Theoretische Physik: Eine Übersicht [Reprint 2021 ed.] 9783112480168, 9783112480151

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THEORETISCHE PHYSIK

DI ERC K - E K K E H A R D

LIEBSCHER

THEORETISCHE PHYSIK Eine Ubersicht

Mit 91 Abbildungen

A K A D E M I E - V E R L A G B E R L I N 19 7 3

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1973 by Akademie-Verlag Berlin Lizenznummer: 202 • 100/442/73 Einband und Schutzumschlag: Karl Salzbrunn Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer 41 , 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 761 562 7 (5919). ES 18 B 1, 10 B 4 Printed in GDR EVP 2 8 , -

Vorwort

Das vorliegende Buch ist in der Absicht geschrieben worden, die theoretische Physik in einem Umfang darzustellen und zu erläutern, der den Möglichkeiten von Studenten angepaßt ist, die die theoretische Physik nicht als Hauptfachrichtung gewählt haben, sich aber einen zusammenhängenden Überblick über die Grundvor Stellungen, die Standardmodelle und den physikalischen Leitgedanken ihrer mathematischen Methoden verschaffen wollen. Es soll ordnen und leiten bei der Arbeit mit Vorlesungen, Lehrbüchern und Enzyklopädien. Dementsprechend sind nur die Gebiete aufgenommen worden, die die mikroskopischen Vorgänge selbst oder den Prozeß der Begründung makroskopischer Phänomene durch mikroskopische Modelle betreffen. Die Mechanik der Kontinua und die Quantentheorie der Festkörper, die den Hauptteil der unmittelbaren Bedürfnisse der technischen Anwendung decken, werden nur extrem kurz, nur bis zur Klärung des gedanklichen Aufbaus auf den Grundlagen der theoretischen Physik erläutert. Darstellungen dieser Gebiete liegen in großer Auswahl vor. Mehr Mühe wird auf die Einführung in die Vorstellungen der Elementarteilchenphysik und der Relativitätstheorie verwandt, die erkenntnistheoretisch von so entscheidender Bedeutung sind. Vorausgesetzt wird die Bekanntschaft mit allgemein-physikalischen Grundlagen, wie sie in Einführungsvorlesungen in die Experimentalphysik bzw. in entsprechenden Büchern geboten werden (G. H E B E R und B. K O Z I K , Physik, [ 6 ] ) . Es wird überall versucht, die Einsicht in die Zusammenhänge nicht vollständig von der Beherrschung des mathematischen Apparates abhängig zu machen. Andererseits werden die mathematischen Methoden so weit entwickelt, daß ihre Effektivität und Wirkungsweise in der theoretischen Physik übersehen werden kann. I n der Mechanik (klassische Mechanik, statistische Mechanik, Quantenmechanik) wird die Form der Bewegung und der Zusammenhang der Bewegung mit den Bewegungsur Sachen, den Kräften, dargestellt. Die Natur der Kräfte selbst ist zunächst ohne Belang, diese stellen hier nur formale Kopplungen zwischen den Systemen dar. I n der relativistischen Physik erweisen sich Kräfte und Kraftfelder als selbständige Objekte, die in der kanonischen Quantenfeldtheorie sogar die Grundlage des mikroskopischen Weltbildes liefern. Davon ausgehend, ist die Gliederung des Stoffes vorgenommen worden. I m ersten Kapitel wird die klassische Mechanik der Massenpunktsysteme als Grundlage des mechanischmaterialistischen Weltbildes aufgebaut. Die statistischen Methoden werden auf

VI

Vorwort

der einfachsten Stufe, das heißt unmittelbar im Anschluß an die klassische Mechanik eingeführt. Dadurch soll der Aufwand verringert und das Verständnis für die Interpretation der Quantenmechanik vorbereitet werden. Die Darstellung der relativistischen Physik beginnt mit der Diskussion der speziell-relativistischen Kinematik und Dynamik und wird mit der Feldtheorie fortgeführt. Die Formulierung der relativistischen Quantenmechanik, die Übersicht über die Elementarteilchenphysik und die Einführung in das darauf aufbauende physikalische Weltbild stellen den Abschluß dar. Die Einführung in die Gravitationstheorie ist als Ergänzung gedacht. Meinem verehrten Lehrer Professor Dr. H . - J . T R E D E R danke ich für seine vielfältige Unterstützung, meinem Kollegen Dr. H.-H. v. B O R Z E S Z K O W S K I für eingehende Diskussionen und kritische Hinweise. Potsdam 1972

DIERCK-EKKEHARD

LIEBSCHER

Inhaltsverzeichnis

Kapitel I: Klassische Mechanik § § § § § § § §

§ § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Der Ausgangspunkt der Dynamik Kraftfelder Die Struktur von Massenpunktsystemen Stoß und Streuung Bewegungsbeschränkungen und allgemeine Koordinaten Variationsprinzip und Erhaltungssätze Kanonische Gleichungen

8 . HAMILTON-JACOBI-Theorie

9. 10. 11. 12.

Schwingungen und Wellen Geometrische Optik Elastomechanik Hydromechanik

. . . .

1 6 10 16 20 27 31 35

41 50 53 59

Kapitel II: Statistik und T h e r m o d y n a m i k § 13. § 14. § 15. § 16. § 17.

Einleitung Statistische Thermodynamik im Modell Systeme aus gleichartigen Teilchen Statistik im Phasenraum Mikrokanonisches und kanonisches Ensemble

§ 18. D e r Gleichverteilungssatz v o n BOLTZMANN

§ 19. § 20. §21. § 22. § 23. § 24. §25.

Quasistatische und nichtquasistatische Arbeit Die Hauptsätze der Thermodynamik Allgemeines Gleichgewicht unter Nebenbedingungen Der NEMrsTsche Wärmesatz Wärmekraftmaschinen Irreversible Prozesse Mischungsentropie

Kapitel I I I : §26. § 27. § 28. § 29. § 30. § 31. § 32. § 33.

63 65 75 80 82 88

92 95 101 103 105 109 110

Quantenmechanik

Grundlegende Experimente Die HEiSENBERGBche Unschärferelation Axiome der Quantenmechanik Die ScHRÖDiNGER-Gleichung Die Darstellung des HILBERT-Raums Die Bewegung eines Teilchens im Potential Eindimensionale Beispiele stationärer Zustände Der harmonische Oszillator

117 123 128 130 133 136 144 157

Inhaltsverzeichnis

VIII §34. § 35. § 36. § 37. § 38. § 39. § 40.

Drehimpuls Stationäre Zustände im kugelsymmetrischen Potential SCHRÖDINGEBsche Störungsrechnung DntACSohe Störungsrechnung Streuung am Potential Die Ununterscheidbarkeit der Teilchen Das Bändermodell des Festkörpers

. . . . .

160 164 167 169 171 173 177

Kapitel I V : Spezielle Relativitätstheorie: M e c h a n i k § 41. § 42. § 43. § 44. § 45. § 46. § 47. § 48.

Das Relativitätsprinzip in der NEWTONschen Mechanik Das Isotropiesystem der Lichtausbreitung Die LonENTZ-Gruppe Die Kinematik der speziellen Relativitätstheorie Geometrie im MisrKOwsKi-Raum Die Axiome der Mechanik in der speziellen Relativitätstheorie.. . Der Energie-Impuls-Tensor Die LAGRANGE-Formulierung der speziell-relativistischen Mechanik

185 187 190 194 205 209 218 221

Kapitel V : E l e k t r o d y n a m i k und Feldtheorie § 49. § 50. § 51. § 52. § 53. § 54. § 55. §56. § 57. § 58. § 59.

Das elektromagnetische Feld 225 Die MAXWELLschen Gleichungen 227 Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes . . . 230 Yiererpotential und Wellengleichung 232 Das stationäre Feld 234 Der Charakter der Lösungen der Wellengleichung 240 Zwei Beispiele zur Entstehung von Strahlung 244 Elektrodynamik in Medien 249 Das skalare Feld .256 Invarianz und Erhaltungssätze in der Feldtheorie 259 Die kanonische Quantisierung freier Felder 264

Kapitel V I : Relativistische Quantentheorie § 60. §61. §62. § 63.

Die Übertragung der LoRENTz-Gruppe auf die Quantenmechanik Spin Antiteilchen Die Wechselwirkung der Teilchen in der relativistischen Quantentheorie § 64. Elementarteilchen: Übersicht § 65. Die Symmetrie der starken Wechselwirkungen § 66. Schwache Wechselwirkung: Leptonen Kapitel V I I : § 67. § 68. § 69. § 70.

269 273 278 281 283 292 298

Gravitationstheorie

Das Äquivalenzprinzip RlEMANNsche Räume Die EiNSTEiNBchen Gleichungen Die Expansion des Kosmos

305 309 315 318

Inhaltsverzeichnis

IX

Anhang I : Größenordnungen

327

Anhang I I : Tabelle der quasistabilen Elementarteilchen

331

Anhang I I I : Bestimmung der Grundkonstanten

333

Anhang IV: Vektoranalysis, Integralsätze, Potentialtheorie

343

Anhang V: Wahrscheinlichkeitsrechnung

35i

A n h a n g V I : D e r HILBERT-Raum

357

Literatur

359

Sachverzeichnis

365

Verzeichnis der benutzten Bezeichnungen

A Ai SA A a a B B b C c D D Dr D E E e e F Fik / / df G g gik H H h I J j

Operator, Matrix, speziell Erniedrigungsoperator (ab § 33), elektromagnetisches Viererpotential, Arbeit, magnetisches Vektorpotential, Eigenwert zu A, große Halbachse eines Kegelschnitts (Kap. I), allgemeiner Vektor, Baryonenzahl (Kap. VI), magnetische Induktionsdichte (§ 56), Beweglichkeit, spezifische Wärme (Kap. II), Kapazität (Kap. V), Operator der Ladungskonjugation (Kap. VI), Phasengeschwindigkeit, speziell Lichtgeschwindigkeit, Federkonstante (Kap. I), kovariantes Differential (Kap. VII), eichinvariante Ableitung nach xT, elektrische Verschiebungsdichte (§ 56), Energie, Eikonal (§ 10), Elastizitätsmodul (§ 11), Feldstärke, speziell elektrische Feldstärke, Ladungen, Basis Vektoren, Freie Energie, elektromagnetischer Feldstärketensor, Gravitationskonstante, Figurenachse, Flächenelement im dreidimensionalen Raum, freie Enthalpie, GßEENsche Funktion, Erdbeschleunigung, Entartungsgrad (§ 15), metrischer Tensor (Kap. VII), HAMiLTON-Funktion, HAMLLTON-Operator, Enthalpie (Kap. II), magnetische Feldstärke, PLANCKsche Konstante (h = — ) , Enthalpie pro Teilchen (§ 23), 271/ \ Wirkungsvariable, Stromstärke, Isospin (Kap. VI), Gesamtdrehimpuls (Kap. VI), Drehimpulsquantenzahl,

XII

j Kl K k kl fe L

Benutzte Bezeichnungen

Stromdichte, Viererkraft, Kraft, BoLTZMANN-Konstante, Viererkraftdichte, Viererwellenzahlvektor, Kraftdichte, Wellenzahl vektor, LAGRANGE-Funktion, Induktivität (§ 53), Leptonenzahl (Kap. VI), LOSCHMIDT-Zahl,

L l M Mlk M'k 1 M m m N N n

q

Drehimpuls, Länge, Drehimpulsbetrag, Bahndrehimpulsquantenzahl, Gesamtmasse, Polarisationsdichte-Tensor, Drehimpulsdichte-Tensor, magnetische Polarisationsdichte, Masse, Azimutalquantenzahl, Dipolmoment, speziell magnetisches Moment, Anzahl, Teilchenzahl, Leistung, Drehmoment,Brechungsindex, spezifische Anzahl, mittlere Besetzungszahl, Hauptquantenzahl, Einheitsvektor, Normalenvektor, Wahrscheinlichkeit, Impulsoperator, Paritätsoperator, Permutationsoperator, Punkt, Gesamtimpuls, elektrische Polarisationsdichte (Kap. V), generalisierter Impuls, Halbparameter eines Kegelschnitts (Kap. I), Druck (Kap. II), Wahrscheinlichkeit, Impuls, elektrisches Dipolmoment, Gesamtladung, generalisierte Kräfte (§ 5), Ortsoperatoren, Wärmemenge, Ladung, speziell elektrische Ladung, generalisierte Koordinaten, Ähnlichkeit (§ 25), spezielle Frequenz (ab § 59), Wärmestromdichte (§ 24),

Rhm

RiEMANNscher Krümmungstensor (Kap. VII),

Ry R r r S

RYDBEEG-Konstante, Schwerpunktkoordinaten, Abstand, Ortskoordinaten im cartesischen Bezugssystem, Wirkungsfunktion, Entropie (Kap. II), Spinortransformation (§ 60), spinorielle Kausalfunktion (§ 62), Strangeness (Kap. VI), Spin, PoYNTING-Vektor (Kap. V), Entropie pro Teilchen (§ 23), Spinquantenzahl, Entropiestromdichte (§ 24), kinetische Energie, Schwingungsdauer, KELViN-Temperatur, Translationsoperator (§ 32),

n P P p p Q ÖQ q

S s s T

Benutzte Bezeichnungen

XIII

T ,k t U u ul u V v W w iv X x Y Z Z

Energie-Impuls-Tensor, Zeit, potentielle Energie, unitärer Operator, spektrale Energieverteilung (§ 18), Energiedichte (§ 24), Vierergeschwindigkeit, Geschwindigkeit, Volumen, elektrische Spannung, potentielle Energie (Kap. III), Geschwindigkeit, zeitunabhängiger Teil der Wirkungsfunktion, Winkelvariable (§ 8), Dichte der potentiellen Energie (§ 11), Energiestromdichte (§ 24), Arbeitsparameter (Kap. II), Konzentrationen (Kap. II), Hyperiadung (Kap. VI), REYNOLDS-Zahl (§ 12), Zustandssumme, Zustandsintegral, Zwangskraft,

(x rh y

Absorptionskoeffizient, Koeffizienten des affinen Zusammenhangs (§ 68), Dämpfungskonstante (Kap. I u. V), spezifische Wärme pro Teilchen (Kap. II), DNTAC-Matrizen (Kap. VI), Differenz, LAPLACE-Operator, GßEBNsche Funktion (§ 59), infinitesimale Differenz,

A d Öiic

KBONECKEB-Symbol,

Benutzte Bezeichnungen HERTZscher Vektor (§ 55), Impulsdichte (§ 47), eichinvarianter Impulsoperator (§ 61), Massendichte, Ladungsdichte, Wahrscheinlichkeitsdichte, Radialkoordinate in der Ebene, Bezugssystem, Streuung einer Verteilung, Streuquerschnitt, Spannungstensor (§ 11), STEFAN-BoLTZMANN-Konstante (§ 18), PAULi-Matrizen, Leitfähigkeit (§ 56), Oberflächenelement im MINKOWSKI-Raum, Eigenzeit, Lebensdauer, Volumen pro Teilchen, Volumen der w-dimensionalen Einheitskugel, Potential, Phasenvolumen, Wellenfunktion, HILBERT-Vektor, Azimut, Teilspinor (§ 61), Suszeptibilität (§ 56), Teilspinor (§ 61), thermodynamisches Potential im großkanonischen Ensemble, Wellenfunktion, HIBLERT-Vektor, Spinor (Kap. VI), Eigenvektor zu A zum Eigenwert a, Raum winkel, Phasenwinkel-Geschwindigkeit, Oberfläche im Phasenraum (Kap. I I (Kap. I I ) , Winkelgeschwindigkeit,

•

D'AIEMBERT-Operator,

V

Nabla-Operator.

Ab Kapitel V I und in den Paragraphen 6, 8, 10, 11 und 12 wird die E I N S T E I N sche Summationskonvention benutzt: Über zwei in einem Produkt auftretende Indizes wird summiert, ohne daß Summenzeichen geschrieben werden müssen. Die partielle Ableitung nach der i-ten Koordinate wird an diesen Stellen durch ein Komma und die Angabe des Index beschrieben: 8 f _ /

I. Klassische Mechanik

§ 1. Der Ausgangspunkt der Dynamik In der Mechanik werden die Grundlagen der experimentellen Begriffe wie Geschwindigkeit, Trägheit, Kraft, Energie usw. erklärt. Das geschieht anhand der Mechanik der Massenpunkte. Die Mechanik der Kontinua erscheint als abgeleitet, das Kontinuum wird als Grenzfall eines Kollektivs von Massenpunkten verstanden. Die Lage eines Massenpunktes zu einem bestimmten Zeitpunkt wird durch drei Koordinaten vollständig beschrieben. Sind die inneren Bewegungen eines makroskopischen Körpers nur schwach mit der Bahnbewegung gekoppelt, so ist der Massenpunkt eine brauchbare Approximation. Der Fehler wird dann im Rahmen einer Störungsrechnung behandelt. Die Güte der Approximation, experimentell festgestellt, ist ein Maß für die Schwäche der Kopplung der inneren Bewegung an die des Schwerpunktes. Die Beschreibung der Lage eines Massenpunktes erfolgt in einem Koordinatensystem, dessen zweckmäßige Wahl durch die Dynamik selbst festgelegt wird. Die Koordinatenachsen werden durch die Bahnen dreier kräftefreier Massenpunkte gegeben, die vom Ursprung aus in drei senkrecht zueinander stehende Richtungen projiziert werden. Es entsteht ein cartesisch.es Koordinatensystem. Die Bahn jedes anderen kräftefreien Massenpunktes ist in diesem Koordinatensystem ebenfalls eine Gerade. Die Zeit wird dadurch festgelegt, daß ein kräftefreier Massenpunkt in gleicher Zeit immer die gleiche Strecke zurücklegt. Ein so festgelegtes Bezugssystem (Raumkoordinaten + Zeit) heißt Inertialsystem. Für die Dynamik der Massenpunkte gelten die NEWTONschen Axiome: 1. In einem Inertialsystem bleibt der Impuls p eines freien Massenpunktes erhalten. Der Impuls ist das Produkt aus der Masse und dem Oeschwindigkeitsvektor: p — mv . (1.1) Dieses Axiom enthält die Möglichkeit der Konstruktion eines Inertialsystems nach der obigen Vorschrift. 2. Ändert sich der Impuls eines Massenpunktes in einem Inertialsystem, eine physikalische Ursache, die Kraft K, zu finden und zu erklären:

so ist (1.2)

Das zweite Axiom enthält die Definition der Kraft. Ist die Kraft bekannt, stellt das zweite Axiom eine Bewegungsgleichung dar.

2

Kapitel I: Klassische Mechanik

3. Die Kraft, die ein Massen funkt A auf einen arideren (B) ausübt, ist entgegengesetzt gleich der Kraft von B auf A: Kab = — KBA •

(1.3)

Das Konzept der Kraft in der Form (1.2) ist nicht zuletzt deshalb so fruchtbar, weil sich die aus verschiedenen Ursachen resultierenden Kräfte im allgemeinen komponentenweise addieren, d. h. sich gegenseitig nicht beeinflussen. Unter dieser Voraussetzung bedeutet das dritte Axiom nichts weiter als den Impulserhaltungssatz für Systeme von Massenpunkten, die keinen äußeren Kräften unterliegen: P = £ pÄ . (Impulse addieren sich linear), A

dP