Mathematik und Theoretische Physik: I 9783110857665, 9783110137859

Citation preview

de Gruyter Lehrbuch Hellwig/Wegner · Mathematik und Theoretische Physik I

Karl-Eberhard Hellwig Bernd Wegner

Mathematik und Theoretische Physik I Ein integrierter Grundkurs für Physiker und Mathematiker

W Walter de Gruyter DE

G Berlin · New York 1992

Karl-Eberhard Hellwig

Bernd Wegner

Technische Universität Berlin Fachbereich Physik Straße des 17. Juni 135 D-1000 Berlin 12

Technische Universität Berlin Fachbereich Mathematik Straße des 17. Juni 135 D-1000 Berlin 12

1991 Mathematics

Subject

Classification:

Primary:

00AOS;

00A06

® Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm über Haltbarkeit erfüllt.

Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme

Hellwig, Karl-Eberhard: Mathematik und theoretische Physik : ein integrierter Grundkurs für Physiker und Mathematiker / Karl-Eberhard Hellwig ; Bernd Wegner. — Berlin ; New York : de Gruyter. (De-Gruyter-Lehrbuch) NE: Wegner, Bernd: 1 (1992) ISBN 3-11-013857-3 kart. ISBN 3-11-013785-2 Gb.

© Copyright 1992 by Walter de Gruyter & Co., D-1000 Berlin 30. Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Druck: Gerike GmbH, Berlin. — Buchbinderische Verarbeitung: Lüderitz & Bauer GmbH, Berlin.

Vorwort

Die Koordinierung zwischen mathematischer Grundausbildung und dem Ablauf von Studiengängen in Disziplinen, die Mathematik als wichtiges Hilfsmittel verwenden, ist ein Problem, mit dem sich schon viele Kommissionen befaßt haben und für das es keine perfekte Lösung gibt. Für den Studiengang Physik tritt dieses Problem in besonderem Maße auf. In einem gewissen Umfang wird die Theoretische Physik im Grundstudium als Hintergrund für die Experimentalphysik benötigt, was wiederum eine frühzeitige Mathematikausbildung auf vergleichsweise hohem Niveau erforderlich macht. Der vorliegende integrierte Grundkurs soll einen Ansatz zur Lösung dieses Problems liefern. In diesem und dem anschließenden zweiten Band erfolgt eine Zusammenstellung von Grundwissen in Theoretischer Physik und in diesem Zusammenhang benötigter Mathematik, die den Stoff der ersten vier Semester in Physik für diese beiden Bereiche inhaltlich überdeckt. Ferner bieten beide Bände jedem an beiden Disziplinen Interessierten eine solide Basis für weitere Studien. Wir möchten daher mit unserem Konzept neben den Physik- und MathematikStudenten im Grundstudium auch Studierende anderer naturwissenschaftlicher und technischer Disziplinen ansprechen. Ausgangspunkt ist ein Curriculum in Mathematik für Physiker, das in den siebziger Jahren in Kooperation zwischen den Fachbereichen Mathematik und Physik der TU Berlin entwickelt wurde. Neben einer inhaltlichen Beschreibung des von den Physikern erwarteten Angebots an Mathematik wurde festgelegt, daß in den ersten beiden Studiensemestern der Schwerpunkt in der Ausbildung der Physik-Studenten mit jeweils sechs Semester-Wochenstunden Vorlesung in der Mathematik liegt. Im dritten und vierten Studiensemester werden die Anforderungen auf jeweils drei Stunden reduziert. Die Einführung in die Theoretische Physik wird im üblichen Umfang im zweiten und dritten Studiensemester angeboten. Als Einführung setzt sie sich aus mehreren Teilbereichen der Theoretischen Physik zusammen, die natürlich nicht in voller Tiefe behandelt werden können. Aus diesen Bereichen muß eine Auswahl getroffen werden. Die Erfahrungen an der TU Berlin haben gezeigt, daß sich hierfür am zweckmäßigsten die Mechanik, die Elektrodynamik, die Relativitätstheorie und die Quantentheorie anbieten. In der Mechanik werden dabei nur die Punktmechanik und die Mechanik starrer Körper angesprochen.

VI

Vorwort

Mit der Verbindung von Mathematik und Theoretischer Physik in einem Grundkurs wollen wir die Situationen, in denen derselbe Stoff in beiden Vorlesungszyklen angeboten wird, auf ein Mindestmaß reduzieren. Es ist unbestritten, daß ein solches Doppelangebot in Einzelfällen insbesondere dann attraktiv sein kann, wenn unterschiedliche Ausgangspunkte gewählt werden. In der Regel ist jedoch die provisorische Behandlung mathematischer Inhalte im Rahmen der Theoretischen Physik mit dem Versprechen, daß diese noch einmal später in der Mathematik-Vorlesung ausführlich erklärt werden, ein für die Studenten unbefriedigendes Verfahren. Es kann in vielen Fällen durch eine bessere Koordinierung beider Veranstaltungen vermieden werden. Ferner führen Maßnahmen, die Studienzeiten auf ein akzeptables Maß zu reduzieren, in weiten Bereichen zu einer Einschränkung der für Vorlesungen zur Verfügung stehenden Stundenzahlen. Da im Rahmen des Physik-Studiums hiervon auch die Theoretische Physik betroffen ist, ergibt sich schon aus diesem Grund die Notwendigkeit, diese Veranstaltung weitgehend davon zu befreien, zusätzlich Mathematik im Vorgriff anbieten zu müssen. Die Erfahrungen, die wir in den vergangenen Jahren als Dozenten der "Mathematik für Physiker" bzw. "Einführung in die Theoretische Physik" gemacht haben, haben uns veranlaßt, das in diesem Buch niedergelegte Konzept zur Lösung der genannten Probleme zu entwickeln und durchzuführen. Es ist von den Studenten sehr positiv aufgenommen worden und hat den gewünschten Erfolg gebracht. Die wichtigste Abweichung von der traditionellen Verfahrensweise betrifft den mathematischen Teil des Kurses. Es wird darauf verzichtet, im ersten Semester erst einmal die eindimensionale Analysis aus der Schulmathematik zu vertiefen. Vielmehr ist eine gründliche Entwicklung der analytischen Geometrie des Raumes und der mehrdimensionalen Analysis Hauptziel dieses Studienabschnitts. Da die Theoretische Physik im zweiten Semester mit der Mechanik beginnt, kann auf eine solche Vorbereitung nicht verzichtet werden. Die Vertiefung der Schulmathematik erfolgt dann auf diesem Niveau. Dazu muß beim Studenten vorausgesetzt werden, daß keine größeren Wissenslücken in der üblichen Schulmathematik vorhanden sind oder diese wenigstens im Rahmen eines Einführungskurses in die Mathematik wieder aufgefüllt werden. Solche Einführungskurse werden von den Universitäten in der Regel vor Beginn der Vorlesungszeit angeboten. Auf dieser Grundlage kann der Inhalt der ersten fünf Kapitel im Rahmen von sechs Semester-Wochenstunden problemlos vermittelt und verstanden werden. Hierbei ist es unerläßlich, daß im Rahmen des Übungsbetriebes eine Reduktion der teilweise recht abstrakten Theorie auf einfache und anschaulichere Fälle erfolgt. Im folgenden soll beschrieben werden, wie der Inhalt der einzelnen Kapitel den jeweiligen Studienabschnitten zuzuordnen ist. Die ersten fünf Kapitel betreffen das erste Semester in Mathematik. Sie beinhalten die Strukturtheorie von

Vorwort

VII

Vektorräumen und affinen Räumen, die Behandlung linearer Gleichungssysteme und linearer Abbildungen, die Geometrie metrischer Vektorräume, die topologische Struktur Euklidischer Räume sowie die Differentialrechnung in solchen Räumen. Im zweiten Semester wird parallel zur Behandlung der Mechanik in der Theoretischen Physik (vgl. die Kapitel IX, X und XI) in der Mathematik die Integrationstheorie entwickelt (vgl. Kapitel VI). Es wird mit der eindimensionalen Theorie begonnen. Diese wird dann bis zu den Kurvenintegralen von Vektorfeldern ausgebaut. Die mehrdimensionale Theorie kulminiert in den Integralsätzen der Vektoranalysis. Damit ist der Ansatzpunkt für die Behandlung der Elektrodynamik in der Theoretischen Physik gegeben (vgl. Kapitel XII), was sich beim vorliegenden Konzept auch zeitlich gut koordinieren läßt. Die Mathematik wird mit der Behandlung von Eigenwertproblemen und Bilinearformen fortgesetzt (vgl. Kapitel VII), wobei in einem speziellen Abschnitt im Hinblick auf die Relativitätstheorie die Geometrie des Minkowski-Raumes eingeführt wird. Einige Ergänzungen zur Analysis, die nicht gleich am Anfang benötigt wurden, werden schließlich in Kapitel VIII nachgetragen. Der zweite Band wird in der Physik die Relativitätstheorie und die Quantentheorie behandeln. In der Mathematik wird eine Einführung in die Funktionentheorie, die Funktionalanalysis und die Theorie der gewöhnlichen sowie der partiellen Differentialgleichungen erfolgen. Die Physik wird im zweiten Band einen größeren Platz einnehmen als im ersten. Die Stoffauswahl im vorliegenden Band ist durch die Vorgaben in den Curricula geprägt und so getroffen worden, daß die wichtigsten Ideen und Techniken sichtbar werden. Der Umfang wurde so bemessen, daß der Stoff im Rahmen der zur Verfügung stehenden Zeit vermittelt werden kann. Die Argumentationen werden in der Mathematik nicht in jedem Fall in aller Ausführlichkeit vorgetragen. So werden einige komplizierte Beweise unterdrückt und andere exemplarisch in allen Einzelheiten ausgeführt. Analoge Argumentationen werden teilweise dem Leser überlassen. Ziel ist es, im Rahmen der eingeführten mathematischen Strukturen mathematische Arbeitsweisen zu demonstrieren und den Leser zur eigenen Anwendung dieser Techniken zu motivieren. Zwangsläufig geschieht das erst einmal auf einem relativ abstrakten Niveau. Die Koppelung mit anschaulichen Situationen und Beispielen aus der Physik wird hier durch zahlreiche Übungsaufgaben unterstützt. Dadurch werden die Studenten in die Lage versetzt, mathematische Arbeitsweisen auch in ihrem späteren Studium anzuwenden und Mathematik nicht nur als eine Sammlung von Sätzen und Formeln zu verstehen.

VIII

Vorwort

Bei der hier angestrebten Integration der Grundausbildung in Mathematik und Theoretischer Physik stellt sich das Problem der Wahl einheitlicher Bezeichnungen. Wir halten dieses Problem für nicht lösbar und im Hinblick darauf, daß ein Student im Laufe seines Studiums bei der Lektüre anderer Literatur mit unterschiedlichen Bezeichnungsweisen konfrontiert wird, eine Lösung auch nicht für erstrebenswert. Wir haben uns hinsichtlich der Bezeichnungen nur um lokale Konsistenz bemüht. Es sollte also nicht stören, wenn an einer Stelle ein Vektorraum mit V bezeichnet wird, während an einer anderen dieser Buchstabe für ein Potential steht. Bei der Realisierung des Grundkurses in der vorliegenden Form haben wir von unseren Mitarbeitern viel Unterstützung erfahren. Ferner haben die PhysikStudenten des Anfangssemesters 1990/91 durch ihre Kooperation viel zur inhaltlichen Verbesserung beigetragen. Wir möchten an dieser Stelle allen Beteiligten dafür unseren Dank aussprechen. Berlin, im September 1992

Karl-Eberhard Hellwig Bernd Wegner

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

V

Kapitel I: Affine Räume und Vektorräume 1. Der dreidimensionale reelle affine Raum 2. Allgemeine reelle Vektorräume und reelle affine Räume 3. Basen und Dimension 4. Komponenten und Koordinaten 5. Unterräume 6. Grundbegriffe der affinen Geometrie

1 1 5 10 15 19 24

Kapitel II: Lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme 1. Lineare Gleichungssysteme 2. Determinanten 3. Der Rang von Matrizen 4. Lineare Abbildungen 5. Matrizendarstellungen linearer Abbildungen 6. Dualräume

31 31 37 44 47 52 62

Kapitel III: Euklidische Räume 1. Die Euklidische Ebene 2. Euklidische Vektorräume 3. Norm und Abstand 4. Orthonormalsysteme 5. Metrische affine Räume 6. Komplexe Zahlen und komplexe Vektorräume

67 67 71 78 81 91 97

Kapitel IV: Konvergenz und Stetigkeit in Euklidischen Räumen 1. Konvergente Folgen 2. Die Topologie des Euklidischen Raumes 3. Stetige Abbildungen 4. Kompaktheit 5. Zusammenhang 6. Stetigkeit auf Teilmengen

105 105 111 115 121 124 127

χ

Inhalt

Kapitel V: Differentialrechnung in Euklidischen Räumen 1. Differenzierbarkeitsbegriffe 2. Differentiationsregeln 3. Krummlinige Koordinatenwechsel 4. Kurven, Vektorfelder und Differentialgleichungen 5. Gradienten 6. Höhere Ableitungen

133 133 139 143 157 164 167

Kapitel VI: Integrationstheorie 1. Das Riemann-Integral 2. Integrationsregeln 3. Kurvenintegrale 4. Mehrfache Integration 5. Iterierte Integrale 6. Flächenintegrale 7. Differentialformen 8. Integralsätze

173 173 177 186 196 202 212 219 228

Kapitel VII: Eigenwerte und Bilinear for men 1. Eigenwerte von linearen Operatoren und Matrizen 2. Diagonalisierung von Operatoren und Matrizen 3. Bilinearformen 4. Der Minkowski-Raum

239 239 243 252 261

Kapitel VIII: Ergänzungen zur Analysis 1. Der Satz von Taylor 2. Extrema in mehreren Veränderlichen 3. Zahlenreihen 4. Potenzreihen

271 271 277 284 290

Kapitel I X : Bewegung, R a u m und Zeit 1. Gegenstände und Bewegung, Raum und Zeit 2. Die Newtonschen Axiome 3. Abgeleitete Begriffe

297 297 306 310

Kapitel X : Einige Anwendungen 1. Bewegung im homogenen Kraftfeld 2. Der lineare harmonische Oszillator 3. Stoß Vorgänge 4. Drehbewegungen 5. Bewegung im Newtonschen Potential

319 319 320 331 338 346

Inhalt

XI

Kapitel XI: B e z u g s s y s t e m e u n d Galileische Relativitätstheorie 1. Bezugssysteme 2. Galileische Relativitätstheorie

353 353 356

Kapitel XII: D a s elektromagnetische Feld 1. Elektrostatik 2. Stationäre Stromverteilungen und Magnetostatik 3. Das Induktionsgesetz und die quasistationäre Elektrodynamik 4. Elektrodynamik

367 368 392 409 420

Literatur

433

Index

435

Inhalt von Band II Relativitätstheorie Punktionentheorie Funktionalanalysis Gewöhnliche Differentialgleichungen Anfangsgründe der partiellen Differentialgleichungen Wellenbewegungen Quantenmechanik

Kapitel I: Affine Räume und Vektorräume 1. D e r dreidimensionale reelle affine R a u m 1.1.1 Vorbetrachtungen. Das einfachste Modell, in dem physikalische Vorgänge beschrieben werden, ist der dreidimensionale Euklidische Raum. Bei der Einführung dieses Raumes kann man zwei Stufen unterscheiden. Einerseits möchte man auf Begriffe wie Punkte, Geraden, Ebenen, Parallelität oder Parallelverschiebung zurückgreifen, ohne gleich mit dem Messen von Längen und Winkeln zu arbeiten, andererseits interessiert man sich dafür, in der nächsten Stufe das Messen dieser Größen auf eine minimale Vorgabe zu reduzieren, aus der sich dann diese Prozeduren ableiten lassen. Zuerst soll gezeigt werden, daß die Menge der Translationen mit geeigneten Eigenschaften für die Beschreibung der ersten Stufe völlig ausreicht. Dazu werden erst einmal die Forderungen plausibel gemacht, die wir mit Hinblick auf unsere bisherige geometrische Erfahrung an Translationen stellen wollen. a) Es ist eine Hintereinanderausführung (Komposition) von Translationen definiert, die nicht unterscheidet, in welcher Reihenfolge zwei Translationen komponiert werden und in welcher Weise das Kompositum von drei Translationen abgearbeitet wird (Kommutativität und Assoziativität). Die Identität, d.h. alle Punkte des Raumes bleiben fest, ist eine spezielle Translation, die bei der Komposition den anderen Partner unberührt läßt. Eine Translation kann rückgängig gemacht werden, so daß als Endergebnis die Identität herauskommt. b) Translationen können mit reellen Zahlen gewichtet werden. Im positiven Fall entspricht der Faktor dem Längenverhältnis der Strecken, um die Punkte unter der gewichteten und der ungewichteten Translation bewegt werden. Im negativen Fall wird die Umkehrtranslation mit dem Betrag der Zahl gewichtet. Es gelten dann Regeln, die dem Assoziativgesetz (bzgl. der Multiplikation) und dem Distributivgesetz bei den Operationen mit reellen Zahlen entsprechen (s.u.). c) Die Wirkung von Translationen auf den Raum hat folgende Eigenschaften: Jede Translation ist eine bijektive Abbildung des Raumes auf sich. Zu je zwei beliebigen Punkten des Raumes gibt es eine Translation, die den einen in den anderen überführt. Außer der Identität gibt es keine Translation, die Fixpunkte besitzt. d) Der Raum ist dreidimensional. In Form von Translationen drückt sich das folgendermaßen aus: Es gibt drei Translationen, aus denen sich alle anderen mit Hilfe von Multiplikation mit reellen Zahlen und anschließender Komposition darstellen lassen. Mit zwei Translationen läßt sich das nicht erreichen. 1.1.2 D e r Vektorraum der g e o r d n e t e n Tripel reeller Zahlen. Die unter 1.1.1 beschriebene Struktur der Menge der Translationen überträgt sich bei Wahl eines Koordinatensystems auf die drei Koordinaten, durch die sich eine

2

Affine Räume und Vektorräume

Translation dann beschreiben läßt. Insofern kann man sie mit dem folgenden Standard-Vektorraum identifizieren: D e f i n i t i o n . Die Menge R 3 = {{XI,X2,X3)\XI,X2,X3

G R},

versehen mit den Operationen der Addition (xi,2:2,2:3) + (2/1,2/2,2/3) :=

+ 2/1,^2 + 2/2,^3 +2/3)

und Skalarmultiplikation •Μ^-Ι, X2, X3) •= ( λ χ ι , λ χ 2 , λ χ 3 ) für Λ e R , heißt der Vektorraum der geordneten Tripel reeller Zahlen. a) Die Operation + erfüllt das Kommutativ- und das Assoziativgesetz. Ferner hat das Tripel (0,0,0) die Eigenschaft, bei Addition das andere Tripel zu reproduzieren: (2:1,2:2,2:3) + ( 0 , 0 , 0 ) = (2:1, x 2 , Z3)·

Ebenso löst das Tripel (2/1— xi,2/2—^2,2/3 — ^3) bei gegebenen Tripeln und (2/1,2/2,2/3) die Gleichung (2:1,2:2,2:3) + (zi,z2,z3)

( x i , 2:2,2:3)

= (2/1,2/2,2/3)·

Für die Multiplikation mit reellen Zahlen gelten die folgenden Regeln: λ ( ( χ ι , 2:2,2:3) + (2/1,2/2,2/3)) = λ(Χι,Χ 2 ,Χ 3 ) +λ(2/ΐ,2/2,2/3), (Λ + μ ) ( χ ι , χ 2 ,2:3) = Λ(χι, χ 2 , Χ3) + μ(χι,χ2,

χά),

(Λ/χ)(χι,χ 2 ,χ 3 ) = λ ( μ ( χ ι , χ 2 , χ 3 ) ) · b) Die drei Tripel (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) erzeugen mit den obigen Operationen den R 3 : ( χ ι , x 2 , X3) = ®i(l, 0,0) + x 2 ( 0 , 1 , 0 ) + x 3 (0,0,1). Es gibt keine zwei Tripel, die zur Erzeugung von R 3 ausreichen. deshalb die Dimension 3 zugeordnet.

R 3 wird

1.1.3 D e r d r e i d i m e n s i o n a l e r e e l l e a f f i n e R a u m . Mit Hilfe des in 1.1.2 definierten R 3 können wir für den in 1.1.1 umschriebenen Raum ein genaueres Modell angeben. Die Punktmenge, die als Basis hierfür dient, kann noch variabel gehalten werden. Aus den aufgestellten Forderungen wird sich jedoch

1.1 Der dreidimensionale affine Raum

3

ergeben, daß sie mengentheoretisch zum R 3 gleichwertig sein muß. Ein Modell über dem R 3 ist unter 1.1.6 angegeben. Definition. Unter einem dreidimensionalen reellen affinen Raum versteht man eine Menge M, auf der folgende Zusatzstruktur erklärt ist: Es soll eine Abbildung r : Μ χ R 3 —> Μ gegeben sein, für die folgende Eigenschaften erfüllt sind: a) Für beliebige Punkte ρ £ Μ und beliebige Vektoren u, ν € R 3 gilt die Beziehung Τ(Τ(Ρ,

U),V)

=

Τ(Ρ,

U +

V).

b) Zu jedem Paar von Punkten p,q e Μ gibt es einen eindeutig durch diese Punkte bestimmten Vektor υ € R 3 mit r(p, v) = q. 1.1.4 Bezeichnungen, a) Der in 1.1.3.b durch p,q e Μ eindeutig bestimmte Vektor heißt Verbindungsvektor von ρ mit q, geschrieben pq. b) Für festes ν £ R 3 ist durch tv(p) := τ(ρ,ν) eine Abbildung tv : Μ —> Μ gegeben. Sie heißt die Translation um den Vektor v. 1.1.5 Die Verbindung zu 1.1.1 wird durch eine Reihe von Eigenschaften hergestellt, die für Translationen und Verbindungsvektoren bewiesen werden können. Behauptungen: a) pp = (0,0,0), £(o,o,o) = idM, wobei idM die identische Abbildung von Μ bezeichnet. b) ty Ο tyj ty-ty Ο tyj tyj Ο ty. c) Translationen sind bijektive Abbildungen. Es gilt t~l = i(_i)„. d) V = W ty = tw. e) pr — pq + qr, pq = —qp. Beweis, a) Aus den Bedingungen unter 1.1.3 erhalten wir τ(ρ,ρρ) = ρ und damit τ(ρ,ρρ + pp) — τ(ρ,ρρ). Die geforderte Eindeutigkeit von Verbindungsvektoren liefert pp = 2pp, also pp — (0,0,0). Ferner ergibt sich aus (£(o,o,o))(