Technische Schwingungslehre: Teil 1 Allgemeine Schwingungsgleichungen, einfache Schwinger 9783111680859, 9783111294513

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S a m m l u n g

G ö s c h e n

B a n d

9 5 3

Technische Schwingungslehre Von

Prof. Dr.-Ing. liabil. L. Zipperer Karlsruhe i. B . ehemals Direktor der Ingenieurschule Mittweida und apl. Professor der Technischen Hochschule Dresden

I

Allgemeine Schwingungsgleichungen Einfache Schwinger Mit 101 Abbildungen Zweite, neubearbeitete Auflage

W a l t e r de G r u y t e r & Co. yormals G. J . Göschen'sehe V e r l a g s h a n d l u n g - J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J . Trübner - Veit & Comp.

Berlin

1953

Alle R e c h t e , einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Meinem

seit Stalingrad Fritz

Heinz

vermißten

Sohne

Zipperer

gewidmet

Copyright by WALTER DE

GRUYTER&CO.

vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung - J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung -

Georg Reimer - Karl J . Trübner - Veit & Comp. Berlin W 35, Genthincr Str. 13 Archiv-Nr. 110 933 Gen. Nr. 722/08/50

Satz und D r u c k : V E B Leipziger Druckhaus, Leipzig (111/18/20:!) Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Seite

Literaturverzeichnis

6

1 Grundlagen

7

11 Schwingungsversuch 12 Harmonische Bewegung 13 R i c h t k r a f t (Federkonstante)

7 9 11

2 S c h w i n g u n g s g l e i c h u n g e n für den M a s s e n p u n k t 2 1 Freie Schwingungen 211 212 213 214

Schwingungen ohne Dämpfung Energiegleichung Freie Schwingungen mit Geschwindigkeitsdämpfung. Freie Schwingungen mit Keibungsdämpfung

13 13

. . .

13 16 18 21

22 Erzwungene Schwingungen 221 Antrieb durch Federkräfte 2211 Ohne Dämpfung 2212 Mit Dämpfung 2213 Zahlenbeispiel 2214 Erzwungene Schwingungen 222 Antrieb durch Massenkräfte

22 22 22 23 26 29 29

23 Zusammengesetzte Schwingungen 231 Sinus- und Cosinus-Schwingungen 232 Addition bei gleicher Frequenz 233 Addition bei ungleichen Frequenzen

31 31 32 32

24 Harmonische Analyse

35

3 B e s t i m m u n g der S c h w i n g u n g s d a u e r e i n f a c h e r Systeme 36 31 Schwingungssysteme unter Wirkung der Schwerkraft 311 312 313 314 315 316 317

Mathematisches Pendel Physisches Pendel Metronom von M ä l z e l Mathematisches Pendel mit großem Ausschlag Drehpendel (Bifilarpendel) Balkenwaage Spiegelschwingungen in kommunizierenden G e f ä ß e n . . . .

36 36 37 40 41 45 48 49

4

Inhaltsverzeichnis 32 Schwingungssysteme unter Wirkung elastischer K r ä f t e . . . . 321 Systeme mit Längsschwingungen 3211 Federpendel 3212 Zusammengesetzte Federungen 3213 Schwinger großer Schwingungsdauer 3214 Schwinger hoher Frequenz (Tonpilz) . 3215 Schwinger mit mehreren Massen 3216 Indirektes Verfahren 3217 Systeme mit Übersetzungen im elastischen Teil . . . . 322 Systeme mit Querschwingungen (Biegungsschwingungen) . 3221 Eingespannter Stab mit Endmasse 3222 Stab mit zwei Massen 323 Systeme mit Drehschwingungcn 3231 Schwingungsgleichung 3232 Berechnung der Massenträgheitsmomente 3233 Mehrmassensysteme 3234 Reduktion von Schwingungssystemen 3235 Torsionspendel 3236 Unruhe einer Ankeruhr 33 Elektrische Schwingungen 34 Gegenüberstellung der mechanischen und elektrischen Schwingungen • - •

4 Schwingungen elastischer Stoffe 41 Schwingungsgleichung 42 Längsschwingungen . . , 421 Elastische Stäbe 422 Flüssigkeitssäulen 423 Gassäulen 43 Transversal-Schwingungen (Querschwingungen) 431 Saite 432 Torsionsschwingungen 433 Biegungsschwingungen eines Stabes mit konstantem Querschnitt 434 Querschwingungen eines Stabes mit veränderlichem Querschnitt 4341 Eingespannter konischer Stab 4342 Eingespannter Stab mit konstantem Trägheitsradius i 4343 Allgemeiner Fall des eingespannten verjüngten Stabes 435 Stäbe mit Eigen- und P u n k t m a s s e 4351 Längsschwingungen, Stab und Feder mit Endmasse . 4352 Biegungsschwingungen eines gestützten Stabes mit Eigenmasse und Punktmasse 436 Näherungsverfahren 4361 Federpendel 4362 Gestützter Stab mit Punktmasse 4364 Eingespannter Stab mit Eigen- und Punktmasse am frei schwingenden E n d e 4364 Torsionspendel

Seite

51 51 51 52 53 55 55 58 63 65 65 66 68 68 70 72 73 73 75 78 78

80 80 85 85 85 86 87 87 87 87 94 94 95 96 98 98 101 102 102 104 104 105

Inhaltsverzeichnis 5 Anhang

5 Seite

106

51 Grundlagen der Rechnung mit komplexen Zahlen 106 511 G a u ß s c h e s Koordinatensystem . . . . : . . 106 512 Addition (Subtraktion) komplexer Zahlen 107 513 Multiplikation (Division) komplexer Zahlen. . . . . . . . 110 514 Potenzieren (Radizieren) komplexer Zahlen 110 52 Harmonische Analyse 521 Tafelverfahren Z i p p e r e r 522 Beispiel

Namen- und Sachverzeichnis Anmerkung: Gleichungen sind abschnittsweise numeriert, z. B. (303), (416). Abbildungen sind durchnumeriert, z. B. (Abb. 43). Literaturhinweise sind in eckigen Klammern angegeben, z. B. [4],

III 113 117

119

Literaturverzeichnis [1] D u i f i n g , Erzwungene Schwingungen. Vieweg. [2] F ö p p e l , 0 . , Grundzüge der technischen Schwingungslehre. Springer 1931. [3] G e i g e r , I., Mechanische Schwingungen und ihre Messungen. Springer 1927. [4] H a r t o g , J . P., Mechanical Vibrations. New York-London 1947. Deutsche Ausgabe: M e s m e r , 2. Aufl. 1952. [5] H o r t , W., Technische Schwingungslehre. Springer 1922. [6] H o r t , W-, u. T h o m a , A., Differentialgleichungen des Ingenieurs. Springer 1939. [ 7 ] ' K a r m a n - B i o t , Mathematical Methods in Engineering. New YorkLondon. [8] K l o t t e r , K . , Technische Schwingungslehre. Springer 1950. [9] L e h r , E., Schwingungstechnik. Bd. I u. I I . Springer 1930, 1934. [10] S c h n e i d e r , E., Mathematische Schwingungslehre. Springer 1924. [11] T i m o s h e r i k o , S., Vibration Problems in Engineering. Deutsche Ausgabe: Schwingungsprobleme der Technik. Von M a l k i n - H e l l y . Springer 1932. [12] T ö l k e , F . , Mechanik deformierbarer Körper. Springer 1949. Ferner: Lehrbücher der Physik und Mechanik. — Ingenieur-Taschenbücher: D u b b e l (1940) — H ü t t e (1948) — K r ö n e r - U h l a n d (1952). Ausführliches Verzeichnis amerikanischer L i t e r a t u r in [4],

1 Grundlagen 11 Schwingungsversuch Belasten wir die Feder (Abb. 1) mit einem Gewicht mg, so nimmt die Feder im Abstand d1) eine neue Ruhelage an. Wird sie aus dieser gebracht, so führt sie Schwingungen aus, die wir durch Aufzeichnen der Bewegung auf einen gleichförmig bewegten Papierstreifen sichtbar machen können. Versuche mit verschiedenen Massen und Federn zeigen uns, daß die Schwingungsdauer T (sek) abhängig ist von der Masse und einem Eigenschaftswert der Feder. An Stelle der Schwingungsdauer T kann auch der reziproke Wert

= f , die

Abb. 1 Frequenz, die Anzahl der Schwingungen in der Sekunde angegeben werden; ihre Dimension ist s _ 1 oder Hz (Hertz). Die Schwingungsausschläge nehmen ab infolge der ihr entgegenwirkenden Eeibungskräfte, insbesondere, wenn wir an dem Körper eine in eine Flüssigkeit eintauchende Platte anbringen. Die Schwingung wird gedämpft; die Dämpfung kann so stark sein, daß die Masse, ohne über die Nullage hinauszuschwingen, langsam wieder in diese zurückkriecht; aperiodische Bewegung. *) d entspricht der Durehfederung / der Festigkeitslehre.

8

Grundlagen

Aus Abb. 2 sind diese drei Schwingungsformen zu ersehen. Ist die Geschwindigkeit c des bewegten Papierstreifens, die Schwingungsdauer T einer vollen Schwingung (Rückkehr in die Ruhelage) und deren Länge X bekannt, so muß c=A

=

A/

(101)

' sein. Wir nennen c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ( m s - 1 ) und X die Wellenlänge. Abb. 2 Den meisten Lesern ist diese Beziehung bekannt aus der Umrechnung der Rundfunkwellen von Wellenlänge und kHz = 1000 Hz. Mit der Lichtgeschwindigkeit c = 300000 km s _ 1 besteht die Beziehung: A(m) /(kHz) = 300000 (km s" 1 ). Die aufgezeichnete Kurve der ungedämpften Schwingung (Abb. 2, a) zeigt einen sinusförmigen Verlauf. Wir erweitern unseren gedachten Versuch und bewegen den Aufhängepunkt der Feder ebenfalls nach dem Sinusgesetz, was durch eine Kurbelschleife vollständig, durch einen Kurbeltrieb um so angenäherter erreicht werden kann, je größer das Verhältnis von Kurbelstange zur Kurbel ist. Bei sehr langsamer Bewegung des Aufhängepunktes, kleiner Frequenz, stimmen die Bewegungen der Masse mit denen des Aufhängepunktes überein. Mit zunehmender Frequenz werden die Masseausschläge immer größer; bis diese bei einer Frequenz / = / 0 , der Eigenfrequenz des Schwingungssystems, der freien Schwingung des ersten Versuches, einen sehr großen, theoretisch oo großen Wert annehmen. Mit weiterer Frequenzsteigerung nehmen die

Harmonische Bewegung

9

Ausschläge wieder ab, bei oo großem / bleibt die Masse in Ruhe. Diese Versuchsergebnisse sind in Abb. 2 wiedergegeben; die zweite Kurve b zeigt den Verlauf bei vorhandener Dämpfung. Ist diese klein, so liegt der Maximalausschlag nahe bei f 0 . Wir haben also folgende Schwingungsvorgänge zu betrachten : freie und erzwungene Schwingungen, ohne oder mit Dämpfung. Im nächsten Abschnitt werden diese Vorgänge mathematisch behandelt werden. Wir wollen jedoch versuchen, die zunächst wichtigste Aufgabe, die Bestimmung der Schwingungsdauer T, auf elementarem Wege zu finden.

12 Harmonische Bewegung Das Kreispendel (Abb. 3) ist aus der Physik bekannt. Die Masse m führt eine gleichförmige Kreisbewegung mit der Umfangsgeschwindigkeit v = r co aus. Auf sie wirken die Zentrifugalkraft Z (co ist die Winkelgeschwindigkeit s _ 1 ) und senkrecht das Gewicht G = mg. Die Resultierende R wirkt in Richtung des Fadens. Es ist mg = R cos« und m t co2 — R sina, woraus sich ergibt ü) = | / - | - . Benötigt die Masse für einen Umlauf T Sekunden, so wird wegen 2 jj v = reo, co = —=r = 2 j r / . Damit erhält man für die

10

Grundlagen

Umlaufsdauer T = 2jt 1 / — ; sie ist unabhängig von der Größe der Masse. ' 9 Projizieren wir die Kreisbewegung (Umfang in 12 Teile geteilt) auf einen Durchmesser (Abb. 4), so erhalten wir eine hin- und hergehende geradlinige Bewegung; die E n t fernung der einzelnen P u n k t e ist nicht mehr gleich. Aus der Abbildung ist unschwer abzulesen: x = r s i n a = r s i n « t, da der Fahrstra.h.1 sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit co dreht. I n R i c h t u n g der geradlinigen Bewegung sind und

vx — V cos cot

bx = b sin co t = reo2 sin co t = co 2 x, letztere, die Beschleunigung stets der BeweAbb. 4 gung entgegengesetzt gerichtet, dem Mittelp u n k t zu. Zu diesen Gleichungen gelangt man auch durch zweimaliges Differenzieren des Weges nach der Zeit: dx = x = r co cos co t ~dt

und dv IT

d?x = x = — T co sin co / — ~dt*

*) x , z sind die B e z e i c h n u n g e n für den ersten und zweiten q u o t i e n t e n des Weges n a c h der Zeit.

Differential-

Richtkraft (Federkonstante) Die Gleichung für Beschleunigung co2

=

bx = ajPx

11 liefert

= 6 0 , wenn b0 die Beschleunigung im Abstand

x = l von der Ruhelage aus ist. Stehließlich wird (sek). -o Nach dem N e w t o n s c h e n Grundgesetz ist K(j = mb0 , wobei K0 die Kraft für x = 1 ist, die Richtkraft; im Abstand x wirkt demnach die Kraft K — K0 x oder K = c x, wenn von nun an c für die Richtkraft gesetzt wird; sie diejenige Kraft ist, die im Abstand 1 auf die Masse m wirkt. Hiermit erhalten wir für die freie ungedämpfte Schwingung folgende Beziehungen: T

=

2it^

r

und da

' - ^ T - ^ T S E B i r ^




(103) ist:

f

m

( s _ 1 ) (Kreisfrequenz)

(104)

und den wichtigen Satz: „Ist in einem schwingenden System die Beschleunigung dem negativen Ausschlag direkt proportional, so liegt eine harmonische, eine Sinus-Schwingung vor." 1 3 Richtkraft (Federkonstante) Mit obigem Satz muß die auf die Masse wirkende Kraft proportional dem Ausschlag x sein. Dies läßt sich nach den Lehren der Festigkeit verwirklichen, wenn die Proportionalitätsgrenze nicht überschritten wird, das Hooksche Gesetz a = eE (Spannung = Dehnung mal Elastizitätsmodul) gilt und ferner e = \ (Dehnung = ^ ' X T n g f )

Grundlagen

12

undCT: y - 1 S p a n n u n g :

• Abb. 5 gibt das Federdiagramm ?, = f(K). Unter der Wirkung des Gewichts G = mg der Masse ist die Durchfederung d (Eichung der Feder). Mit c wurde die Richtkraft bezeichnet; führt man mit C (Federung, Nachgiebigkeit) in (cm k g - 1 ) ein, so ist die eine Größe gleich dem reziproken Wert der anderen; c C = l , was auch aus den ähnlichen Dreiecken des FederungsdiaK (kg) gramms entnommen werden kann. Unter der Wirkung des Gewichtes der Masse war die Verlängerung d. Das Diagramm gibt die Beziehung c :

mg d

womit (105)

X (cm) Abb. 5

/^r

(106)

wird, und wenn die minutliche Schwingungszahl mit 2 ji n eingeführt wird: 60

(min"

(107)

da V981 ^ 10 ist. Zu beachten ist, daß letztere Formel nur für senkrechte Schwingungsrichtung unter Wirkung der Erdanziehung gilt. Zum Abschluß noch die Anwendung der abgeleiteten Formeln für ein U-Manometer (Abb. 6). Masse der Flüssigkeitssäule: m

fly

Richtkraft = Gewicht der Säule

Freie Schwingungen

13

von l = 2 cm: c = / • 2 y ; / ist der Querschnitt, l die Länge des mittleren Fadens und y das spez. Gewicht der Flüssigkeit.

-

2-

/

l

(sek).

(108) s j - -

-

Die Schwingungsdauer ist lediglich abhängig von der Länge der Säule, unabhängig von der Flüssigkeit. Im kommenden Abschnitt werden die l Schwingungsvorgänge mathematisch ausAbb. c führlich behandelt, er kann fürs erste zunächst überlesen werden. Mit den bereits abgeleiteten Formeln für T und co können diese Werte für einfache Schwinger angewandt werden, die im Abschnitt 3 behandelt sind.

2 Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt 21 F r e i e Schwingungen 211 Schwingungen ohne Dämpfung Auf einen Massenpunkt m (Abb. 7) wirke eine Kraft, die der Auslenkung aus der Ruhelage proportional ist, derart, daß sie stets bestrebt ist, den Massen1 punkt in die Ruhelage zurückzubringen. ^ Dies ist gleichbedeutend mit einem Anf Cm\ ziehungszentrum im Ruhepunkt. Wird ^ dieser Massenpunkt aus seiner Ruhelage i herausgebracht, so vollführt er eine harAüb 7 monische Schwingung. Wir wählen nun ein Koordinatenkreuz so, daß der Ursprung mit der Ruhelage zusammenfällt und die Schwingung in Richtung der X-Achse erfolgt.

14

Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt

Zur Zeit t befinde sich der Massenpunkt in der Entfernung x von der Ruhelage nach rechts ausschwingend. d2x Die Beschleunigung in diesem Punkt ist - j ^ - = x , woraus sich die Trägheitskraft aus der Beziehung: Kraft = Masse X Beschleunigung ergibt zu m x . Auf den Massenpunkt wirkt außerdem die Kraft cx, worin c die Größe der Richtkraft, d. h. diejenige Kraft ist, die in der Entfernung 1 von der Ruhelage auf den Massenpunkt wirkt. Hiermit ergibt sich die dynamische Grundgleichung, die zugleich die Schwingungsgleichung ist, zu m x = — cx oder mx-\-cx

= 0,

(201)

worin das Minuszeichen angibt, daß die Kraft cx stets der Auslenkung aus der Ruhelage entgegengerichtet ist. Die Auflösung der Differentialgleichung zweiter Ordnung ist auf verschiedene Arten möglich. 1. Wir setzen x = a s i n a i , bilden die Differentiaiquotienten x = aa cosat; x = —ao? sinai; setzen die Werte in Gl. (201) ein und erhalten: schließlich

— m a a . 2 sina t + c a sina t = 0 , a2 =

= CD2 (Eigenkreisfrequenz)

'1/m

(202)

2. Zum gleichen Ergebnis gelangen wir mit: x = a1 sina t -f- a 2 cosa t = a sin(a ( + cp). 3. Wegen der Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen und der e-Funktion können wir die Lösung auch mit i: = a e x t vornehmen.

Freie Schwingungen

15 1

Die Differentialquotienten x = acxe' und x = a 2 a 2 e a i in die Schwingungsgleichung eingesetzt, ergibt: m a2 t + \ca2 sin a> t = E0, 2

Freie Schwingungen

17

oder da u>2 = — ist:

TO

\ca2 (cos2a> t + sin2 a> t) =

E0,

mithin, da der Klammerausdruck gleich 1 ist, E0=

Jca,

(210)

d. h. also, die Konstante ist gleich, dem Maximalwert der Spannungsenergie für x = a. Die Energiegleichung lautet damit: ! m x2 -f | c x2 =

|co2.

(211)

Differenzieren wir die Energiegleichung nach der Zeit, so erhalten wir: m x + c x = 0, also die Differentialgleichung für die Schwingung. Die Energiegleichung ist demnach ein Zwischenintegral der Differentialgleichung. Aus dieser Betrachtung ergibt sich eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Eigenfrequenz eines Schwingungssystems. Wir erhielten für die Energiegleichung: J m x2 = \ m a2 co2 cos2cu t, | c x 2 = \ca2 sin2 co t. Aus diesen Gleichungen ergeben sich die Maximalwerte: Jma2eo2 und c a2, wobei zwischen beiden £ Periode liegt. Aus der Gleichsetzung beider Maximalwerte ,2 £ = c a• ii im a'.2£cü

ergibt sich die Eigenfrequenz zu

Z i p p e r e r , Schwingungslehre I

2

18

Schwingungsgleichungen £ür den Massenpunkt

213 Freie Schwingungen mit Geschwindigkeitsdämpfung Der Schwingung entgegen wirken Kräfte, die diese zum Abklingen bringt. Die allgemeine Formel 1 ) lautet: m x + F(x) -f c x = Die Kurve F(x)

0.

ist die Dämpfungskennlinie, der Quotient

b = — w i r d Dämpfungskennwert genannt. Eine Dämpfung ist linear, wenn der Kennwert b konstant ist. Für diesen bei Flüssigkeitsreibung zulässigen Fall nimmt die Schwingungsgleichung in der Gaußsehen Ebene folgende Form an: m'i + r i + cz = 0 ,

Mit z = aeiat; wlrd:

und

i = itxaeiat

—maofe1"1

+ iraaei!lt

z = — tx2Uei't

+ cae'«' = 0,

m a2 — i a r — c = 0 und mit 2 = 1 Tri

~

iii

(Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung): a 2 - 2ioid

- co2 = 0 .

Diese quadratische Qleichung liefert die beiden Wurzeln: «i« = iS±

^'2^l

Ißt

folgende Möglichkeiten zu: a)

D

=

1:

x =

ae~ mDt,

es liegt keine Schwingung vor, sondern der aperiodische Grenzfall. ') P = pythagoreische Teilung bei „Faber"; cos (Rot) bei,,Nes11 er". 2*

20

Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt

b) D> 1: Für — D2 setzen wir % \D2 — 1 und erhalten, da cosi x = (Sof x ist: x =

ae~a>Dt

Qo\a>\D*

-

11,

es liegt keine Schwingung vor, sondern ein aperiodischer Vorgang. c)D

=

— —D der

inzwischen eingeführten Dämpfungszahl. Vergleicht man die Ausschläge zweier um die Periode T 2 n

der gedämpften Schwingung T = — auseinanderliegender Ausschläge, so erhält man e~&t

e"

cos v t cos(v t + 2-p)

(216)

Die Ausschläge nehmen nach einer geometrischen Reihe ab. Der natürliche Logarithmus: In — Zn + l

=

\-a.eÖT

=

ö T

=

$

(217)

ist das logarithmische Dekrement. Zwischen den beiden Dämpfungswerten bestehen die Beziehungen "

n

271D -

D2

und

D= -=JL=. f4 7i2 +

(218)

Wird dem schwingenden System von einer außerhalb liegenden Energiequelle im Takte seiner Schwingungen

Fre»e Schwingungen

21

Energie zugeführt, so spricht man von einein selbststeuernden, selbsterregten Schwinger; meistens schaukeln diese sich von den kleinsten Ausschlägen auf (selbstentfachte Schwinger) und erreichen nach einer bestimmten Zeit einen eingeschwungenen Zustand (selbsterhaltende Schwinger). So ist z. B . eine Pendeluhr ein selbsterhaltender, aber kein selbstentfachter Schwinger. 214 Freie Schwingungen mit Reibungsdämpfung Angenommen sei, daß die Reibung' unabhängig von der Geschwindigkeit, sie konstant ist. Wie ohne weiteres ersichtlich, wechselt sie ihr Vorzeichen, je nachdem, ob die Masse nach links oder rechts ausschwingt Die Schwingungsgleichung lautet. R + cx = 0 ,

mx±

(219)

oder wenn wir für — = e setzen: c e) = 0.

m 'x + c(x Da ^

=

i st > kann auch geschrieben werden m(x ± e) + c(x ± e) = 0.

Mit

x ± c = z = a e~iat — c = 0 , also

a2

=

und

z = — aa2e~iCit

=

d. h. die Kreisfrequenz

w2,

wird

ist diejenige der dämpfungsfreien Schwingung. Es wird ferner x ^ e = aelmt

= «(coscoi -+- i sincui)

und bei Betrachten des Realteiles: x ± £ = o coswt.

(220)

22

Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt

Hieraus ergibt sich nun: xn — xn+i = acosait — acoa{cot + 2tc) ^ 2e = ; t 2 e , (221) d. h. die Amplituden nehmen nach einer arithmetischen Reihe bei gleichbleibender Frequenz ab. 22 Erzwungene Schwingungen 221 Antrieb durch Federkräfte 2211, Ohne D ä m p f u n g Das bisher feststehende Federende vollführe eine harmonische Bewegung, hervorgerufen durch eine periodische Kraft mit der Kreisfrequenz Q (Abb. 10). Die Schwingungsgleichung lautet: m'i-\- CZ = Keiat. (222)

Mit z = aeiat wird:

und den bekannten Werten für i und z.

— müaeint

+ caewt

=

a{c — mQ2) = K

Keißt,

Erzwungene Schwingungen und

23

% K

~c~

(223)

wenn q die Auslenkung der Feder unter Mitwirkung der Kraft K ist. Hiermit ergibt sich, der Quotient der Amplitude der Masse zu der des angetriebenen Federpunktes zu

mit ß dem Verhältnis der Erregenden zur Eigenkreisfrequenz, der Abkürzung in der ersten Auflage. Für — war V die Vergrößerungszahl eingeführt, für die nun Vergrößerungsfaktor vorgeschlagen ist. 2212 M i t D ä m p f u n g In der Schwingungsgleichung kommt nun noch das Glied r x hinzu, sie lautet: m z

+

r z

+

c z

=

K c

i n t

.

(225)

Wegen der auftretenden Phasenverschiebung zwischen der erregenden Kraft bzw. deren Amplitude und dem Ausschlag der Masse wird z — a e - - ' ) gesetzt. Mit z = i Q a e ~ i und z = - f f a e ' ^ ' - « ' » wird: l {

i ( a t

— m ü

2

a e

i

a e

a(c

^

t

~ ^

+

i r Q a e

i(sit-tp) (

-

n t

p

r >

c

+

_

m

i

Q 2

(

+

a

t

i r

+

caet = —50 cosö t cm s - 2 .

ß) Mit Dämpfung: 1. Grenzfall D = 1. E s wird ö = u> und v = yco2 — i cos Acot + a) + cos tat a x sin/Jcoi,

wofür man auch schreiben kann: oder Darin ist

x + »i = -4 sinco t + B cos cot . x + x-y = 0 s i n (co t + y). C = ]/yl2 + ß 2

oder C =

\a\ + o 2 + 2 « « [ cos Zl co i .

Für cos ¿d co t = 1 erhalten wir: und für cos Amt =

C = ± K —1: C =

+ «) ±(a1-a).

Die Amplitude der Interferenzschwingung schwankt also zwischen den Werten ax + a und — a. Zippe rer,

Schwingungslehre I

3

34

Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt

Zwischen zwei Extremwerten liegt die Periode In. Bezeichnet man die zugehörige Zeit mit Ts, Schwebungsdauer, so erhält man: X

oder, da —

*

=

2,7t = Jl^L,

2n

Am

= ^

c«! — tu '

und

=

ist, T

-

(238)

T — Tx

A b b . 22

oder nach Einführen der Frequenzen / = i ._ und damit:

J /

TT 7

L /i

/ « = /i — /»

:

i A- / (239)

d. h. die Sch webungsfrequenz ist gleich der Differenz der beiden Frequenzen. In Abb. 22 ist ein Beispiel gezeigt für ein Amplitudenverhältnis 2 : 3 und Frequenzverhältnis 4 : 5. Mit diesem wird: „, T, = ( + 315°) + 1,0 sin (3 cot + 150°)

* j 1

0

12

3t

Abb. 24

für die wir folgendes Spektrum (Abb. 24) aufzeichnen können, in dem nach oben die Amplituden, nach unten die Phasenwinkel aufgetragen sind. 3*

36

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

3 Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme 31 Schwingungssysteme unter Wirkung der Schwerkraft 311 Mathematisches Pendel Unter einem mathematischen Pendel versteht man eine punktförmige Masse m an einem masselosen Faden der Länge l (Abb. 25). Zur Zeit t bilde der Faden mit der Ruhelage den Winkel a . Auf die Masse m wirkt die Schwerkraft mg, die in die Komponente mg coaa in Richtung des Fadens und in mg sina senkrecht dazu zerlegt werden kann. Die Komponente mg cosa wirkt als Zug im Faden, -r hat also keinen Einfluß auf die Bewegung. |\ E s sei: (A ä : die Winkelbeschleunigung, | \j ä l: die Umfangsbeschleunigung, \ m l ä : die Trägheitskraft, \ mg .sin«: die rückwirkende Kraft. \ Damit lautet die Bewegungsgleichung: S-fkUJ m a l =—w^sina. t\^9C0Sd D i e Umformung der Gleichung ergibt: Abb. 25

« + |sina = 0.

(301)

Wir ersehen aus ihr, daß die Masse m aus der Gleichung herausfällt. Nehmen wir nun zuerst an, daß die Ausschläge klein sind, so daß an Stelle von sina der Bogen a selbst gesetzt werden kann, so lautet unsere Gleichung: ä + -äj-a = 0 , l deren Lösung wir bereits kennen.

(302)

Schwingungssysteme unter Schwerkraftwirkung

37

Es ist nach dem Früheren:

»2 = i

und

(303)

Zu bemerken ist noch, daß ein Sekundenpendel eine volle Schwingungsdauer von 2 sek besitzt. Die Länge dieses Sekundenpendels ergibt sich zu l =

, also für eine

geographische Breite 50° mit g = 9,81 m s _ ! zu l = 0,994 m. 312 Physisches Pendel Wir betrachten das Massenelement dm einer Pendelscheibe (Abb. 26). Nach den Betrachtungen im vorherigen Teil lautet für diese die Bewegungsgleichung: dm l ä + dm g sina =

0.

Die Gleichung für die ganze Scheibe er hält man durch Summierung wie folgt: £

dm l ä +£dmg

sin« =

0.

Beide Seiten mit l multipliziert ergibt: £

dml2 öi -\-^dmg

Zsina = 0 .

I n dieser Gleichung ist nun:

Abb. 26

^dm l2 = 0: das Massenträgheitsmoment Scheibe, bezogen auf die Drehachse;

der

£dml = M: das statische Moment, für das mg s gesetzt werden kann, worin m die Masse der Scheibe, der Schwerpunktabstand von der Drehachse ist.

38

Bestimmung der Sehwingungsdauer einfacher Systeme Mit diesen W e r t e n wird die Schwingungsgleichung: 0 ä -f- mg s sina = 0

(304)

oder für kleine Ausschläge, da s i n a = a gesetzt werden kann: ä + - ^ a

= 0.

(305)

Hieraus ergibt sich die Schwingungsdauer zu 1

= 2 TT ] / — . C mg s

v

(306) '

Vergleicht man diese Gleichung mit derjenigen für das mathematische Pendel, so ergeben sich gleiche Schwingungsdauern für j q g ~

mg s

1=

_ -®-.

Hieraus wird

m s

Diese L ä n g e l bezeichnet m a n als die reduzierte Pendellänge. Zur weiteren Untersuchung benötigen wir die U m rechnung des Trägheitsmomentes auf parallele Achsen. Ist 0

das Trägheitsmoment, bezogen auf die Drehachse,

0 » dasjenige für die Schwerachse, so besteht

zwischen

beiden nach S t e i n e r die Beziehung 0

= 0,

ms2.

+

Setzen wir weiter für

0, =

m

k2,

worin k der Trägheitsradius ist, so wird

0=

m

(s2 +

k2).

D a m i t erhalten wir für die reduzierte Pendellänge den Ausdruck l

=

Schwingungssysteme unter Schwerkraftwirkung

und hieraus

s

,_

l s

+

k2 =

0

39

.

Die Auflösung dieser Gleichung liefert die Wurzel werte:

Die Wurzeln sind reell, solange l2 > 4 P ist. Aus diesen Ableitungen folgt, daß das Scheibenpendel zwei Aufhängepunkte besitzt für gleiches T , ihre Entfernungen vom Schwerpunkt sind sx und s2. Zur Beantwortung der Frage, für welche Entfernung des Aufhängepunktes vom M ' Schwerpunkt die reduzierte Länge und V damit die Schwingungsdauer ein Minia y mum wird, differenzieren wir nach s: sl

setzen den erhaltenen Wert = Null und erhalten s =

.

A b b . 27

Dies ist nach den Gleichungen für die Wurzelwerte der Fall, wenn l2 = ik2, d. h. I = 2k ist. Mit Gl. (306) kann das Trägheitsmoment eines unregelmäßigen Körpers ermittelt werden, wenn dessen Gewicht und Schwerpunktlage bekannt sind, wobei letztere in den meisten Fällen leicht durch Auflegen auf eine Schneide bestimmt werden kann. Für die in Abb. 27 wiedergegebene Kurbelstange bestimmt man aus der beobachteten Schwingungsdauer T das Trägheitsmoment, bezogen auf die Schneide aus T = 2 jr

und rechnet dieses dann um auf die Bolzen-

achse mittels des St einer sehen Satzes. Hierbei muß zuerst 0 , = 0/ — ma2 und hieraus das gesuchte Trägheitsmoment nach 0/j = 0 e + mb2 berechnet werden.

40

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme 313 Metronom von Mälzel E s sei nach Abb. 28 b = tx a, I

Damit wird 0 = m a? +

-0m

te

m0=

— ma?(l

ß m. o

m

+