Technische Schwingungslehre: Teil 2 Torsionsschwingungen in Maschinenanlagen 9783110852271, 9783110062137

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BAND

961/961a

TECHNISCHE SCHWINGUNGSLEHRE Prof. Dr.-Ing. habil. L. Z I P P E R E R K a r l s r u h e i. B. e h e m a l s D i r e k t o r d e r I n g e n i e u r s c h u l e Mittweida u n d apl. PtofesBor der T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e D r e s d e n

ii

TORSIONSSCHWINGUNGEN IN MASCHINENANLAGEN Mit 59 A b b i l d u n g e n Zweite, n e u b e a r b e i t e t e Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , Verl agabuch h a n d l u n g • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

BERLIN

1955

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Dem

Andenken

meiner

Frau

Emmy 1899-1944

Copyright 1955 by W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. Berlin W 35, Genthiner Str. 13 Archiv-Nummer 110 961 Satz und Druck von Mercedes-Druck • Berlin SW 01 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Seite

Literaturverzeichnis Geschichtlicher Rückblick 1. A l l g e m e i n e V e r f a h r e n 11 Verfahren Holzer 12 Determinantenverfahren Mies 13 Verfahren Dreves 2. I n d i r e k t e V e r f a h r e n 21 Verfahren Gümbel-Geiger £2 Verfahren Tolle 23 Verfahren Grammel 24 Verfahren Kraemer 3. H o m o g e n e M a s s e n (Motore) 31 Verfahren Tolle 32 Verfahren Grammel 33 Verfahren Kraemer — Frank — Arnold 34 Verfahren Zipperer 4. Z u s a m m e n g e s e t z t e M a s c h i n e n a n l a g e n . . . . , 41 Wellenverzweigung nach Tolle 42 Schaltungen von Grammel 5. B e r e c h n u n g s b e i s p i e l e 51 Ermittlung der Grundwerte 52 Beispiel nach Tolle 53 Beispiel nach Grammel 54 Beispiel nach Kraemer — Frank — Arnold 55 Beispiel nach Zipperer 6. E i n g e s p a n n t e S y s t e m e 61 Verfahren nach Tolle 62 Sonderfall nach Zipperer (homogene Masse) 7. V e r f a h r e n m i t „ e f f e k t i v e n M a s s e n " Anhang 1 aufgezeichnet; für jedes co erhalten wir eine bestimmte Restkraft R. Trägt man die Restkräfte R als Funktion von co auf, so ergeben die Schnittpunkte der R-Kurve mit der Abszissenachse die Eigenschwingungszahlen des Systems. Dieses an sich klare Verfahren hat den Nachteil, daß bei erheblichen Unterschieden der m- und l-Werte Maßstabsänderungen nicht zu umgehen sind. Aus diesem graphischen Verfahren hat der Verfasser bereits 1917*) das folgende rechnerische Rechenschema entwickelt. Mit der Abkürzung:

) Zeitlich nach Tolle.

16

Indirekte Verfahren

worin auch Jp konstant ist, da die Anlage zuvor auf eine Welle mit konstantem d umgerechnet wurde, erhält man: 2'i-

T,

1), wird die Reständerung: +

=

+

(37)

worin: Qi = —

und

^iOi2ai(ai),

Qk = ist. Ändert sich 0* u m i j und cki .. = Bei Änderung von c,Q u k =

j+1

Q i + Q

k+1

in c',-

k +

in c'k

so erhält man: (38)

i+l

Q i Q

und 6k u m ö t , wird:

k [ l + ^ y ^ \

(39)

Schließlich ergibt sich die Reständerung: =

„

1 „

+

l „ „ Tl

i, i + l feie, k + l)l rtr\\ \ (40)

e

für eine Änderung von Cj < + 1 in c' { i + 1 und ckr k+1 in c'kt k+1. Für weitere Berechnungen benötigen wir noch die a- und e-Werte. Auch für diese gibt Tolle Änderungsformeln an, so daß eine Neuberechnung nicht notwendig wird. 1) 6( wird u m e r h ö h t : B' , ftiopa? , , a'k = "ß a>k H g— (ak) (41) R' ¿r ek)

e k, k+i =

dioßa? . -ß— (ekt

k+1

.

)

fc+1

.... (42)

Diese Formeln gelten für die Vorwärtsrechnung für die Stellen rechts von i, also lc > i. Für die Rückwärtsrechnung erhält man analog:

=

+

(43)

Verfahren Tolle (et, i + 0 ' = ^ (e t ,

t + 1)

25

-

• e*. * + i

(44)

2) Cf, ¡ + 1 in c' t j i + 1 geändert: für Vorwärtsrechnüng über i, i + 1 hinaus: W

+

(45)

(e*, *+i)' = ^ ( e * , f t + i ) —

f

c

+

i

(46)

für Rückwärtsrechnung über i,i — 1 hinaus: (47) («*, * + i ) ' = 5 K

t+o -

y

-

( e

r

) 2 e

*>

(4s)

223 N u l l s t e l l e Für irgendeine Stelle k soll für ein bestimmtes w der Ausschlag zu Null werden, die Stelle also schwingungsfrei sein. Aus Gl. (41) folgt für a ' k = 0: Bf a , •»iwlai» . . A ~ß k+ ß •K) = 0 und hieraus: ferner:

a = 4 2 • r?—^ " cu [(Oj). ak-av

/ M für v(k > i) (ak)]ai ^ >

v (49)

>

Weiter erhalten wir eine Nullstelle in h durch Änderung von cK k+1: R

' [ef, { + 1- (ak) + (efi

i + 1)-

akf~ei~1

^^

224 W i n k e l a m p l i t u d e n Das Tollesche Verfahren gestattet weiter die Berechnung der Winkelamplituden und der elastischen Momente unter Einwirkung von erregenden äußeren Momenten.

Indirekte Verfahren

26

Die Ableitung würde in Anbetracht des zur Verfügung stehenden Raumes zu weit führen, es muß auf die Originalarbeit verwiesen werden. Da die Ergebnisse jedoch sehr wertvoll sind, seien sie angeführt. In den folgenden Formeln bedeuten : Mk: das in k wirkende erregende Moment, Aiik\ die wirkende Amplitude in i unter Einwirkung des Momentes Mk in k, E i ,- +I .fr:das elastische Moment in i, hervorgerufen durch

Mk.

Damit ergeben sich folgende Formeln: Ak,k=Mk.a-K^

(52)

A-i, k = M k - ' h l l p ä Au

k

t wenn

t W enn

= Mk •

ik

k — A k i i (Vertauschungssatz)*) Sj.x,

k

=Mk-

Ei-i,i-,k=Mk-

{ei 1

) ak

- -Ii '

(53) (54) (55)

, wenn i < k

(56)

, wenn i >k

(57)

Liegen die a- und (a)-Kurven für ein beliebiges cu vor, so ist nur notwendig, Akk zu berechnen. Die A-Kurve ist affin zur a- bzw. (a)-Kurve, wie aus Abb. 11 klar hervorgeht.

Abb. 11 aWn zur d-Kurve ' ) Vgl. Maxwellachen Vertauschungssatz für Formänderungen.

Verfahren Tolle

27

Diese Formeln genügen nicht, um die Winkelamplitude zu berechnen, wenn die erregenden Momente von Mehrzylindermaschinen herrühren. In diesem Falle sind die Momente nicht mehr phasengleich. Die Phase ergibt sich aus den Versatzwinkeln der Kurbeln, außerdem aus der Zündfolge der Verbrennungsmaschinen. Wir haben im Verlauf der Abhandlung gesehen, daß harmonisch sich ändernde Größen sich am einfachsten als Projektion einer gleichförmig mit der Winkelfrequenz cu rotierenden Drehstrecke auffassen lassen. Bekommt eine Stelle i durch die Momente SJfj, S J J I 2 . . . die durch Größe und Richtung gegeben sind (Vektoren) die Ausschläge 21;, 21 ¿ 2 . . . , so wird die resultierende Schwingung ebenfalls eine harmonische Schwingung mit der resultierenden Amplitude: 2 J i = = 3 I 4 1 + 2 i i 2 + 2l i 3 + . . . . (58) Die Addition ist vektoriell auszuführen. Wirken die erregenden Momente 9Ji ( ; 9 J J m . . . in den so wird die jeweilige Amplitude in i, Punkten k\ l; m..., wobei i < k; Z; in . . . ist: =

(59)

=

(60) (61)

und die Gesamtwinkelamplitude wird: = | m und

k

• K) + • («,) + . für i < k; l\ m...

• K ) + ...]

8 i < = | < [ a B f f l * + aß/-fl l + 9 R m - « m + •••] für i > ~k\ l; m... In ähnlicher Weise erhält man: ® li\ l; m... Aus diesen Formeln ist ersichtlich, daß es nicht möglich ist, die Momente einfach vektoriell zu addieren und mit dem resultierenden Moment zu rechnen. 1

23 V e r f a h r e n G r a m m e l Wie Abb. 12 zeigt, werden die Drehmassen von 0 s t a t t 1 numeriert; f ü r ein z. B. aus 8 Scheiben bestehendes Schwingungssystem ist n = 7. Der Wert w gibt die zwischen den n-1

k-n

k-1

h Ii c, 6

In

¡K+1

U

Cn

Ck*i al t M i

- W -

M

6 k-1

b; a W d '

Abb. 12

le*

ci

8*

Massen befindlichen Wellenstücke der Länge l an u n d ferner die Anzahl der Eigenfrequenzen. Mit C bezeichnet Grammel [4; 14] die Torsionssteifigkeit des Einheitswellenstückes 1= 1*); damit wird [e] = Cß. Ist das System auf eine Welle mit konstantem J zurückgeführt, so ist C\ = C2 = = C = konstant. Die Schwingungsgleichung**) des Ersatzsystems lautet f ü r den Fall, daß keine äußere Momente wirken f ü r die fc-te Scheibe, wenn # die Verdrehungswinkel sind: r&t

Gjc h ( f c =

o,

1,

^k + l k +1 n)

= 0

(66)

*) Die Bezeichnungen der Originalarbeit sind beibehalten; sie weichen von den in den beiden Bändchen benutzten ab. Um dem Leser die Zusammenhänge besser erkennen zu lassen, sind letztere Bezeichnungen in eine eckige Klammer [ . . . ] gesetzt. * *) Auf die umfangreichen Ableitungen muß verzichtet werden zugunsten der praktischen Anwendung des Verfahrens; sie werden nur angedeutet.

Verfahren Grammel

29

Von den Schwingungen herrührend, wirken die Torsionsmomente: l

k wo M0 = 0 und Mn+1=

0 ist.

{}k und M k sind Funktionen der Zeit: = uk cos 2nixt; Mk = xk cos 2jr(xi w o r i n « die unbekannte Frequenz (Hertz) ist; . 2 j t t x = 27i [/] = a>, die Kreisfrequenz. Mit den Abkürzungen g = ^ =

(68)

(69)

(70)

erhält man nach eliminieren von u: Für k=

c x 'k' k + l = (.Ck + c'k — z) %k — ck'xk-1 n wird, da x0 = 0 und x„+1 = 0 sein muß:

(e» + c'„ — z)x„ — c„- xn.x = 0 (71) sein; hieraus ergeben sich die Eigenwerte Zi und die Eigenfrequenzen « D2

3»

—

A

'

?? j

—

„ £?

a

i

•

2

±

36

Homogene Massen (Motore)

Damit lautet für eine beliebige Zwischenstelle unserer Gl. (86): «