Technische Schwingungslehre: Teil 1 Allgemeine Schwingungsgleichungen, einfache Schwinger 9783110829631, 9783110027563

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Technische Schwingungslehre von

Prof. Dr.-Ing. L. Zipperer Karlsruhe i. B . e h e m a l s Direktor der Ingenieurschule Mittweida u n d apl. Professor der Technischen H o c h s c h u l e D r e s d e n i

Allgemeine Schwingungsgleichungen Einfache Schwinger Mit 92 A b b i l d u n g e n Dritte, ergänzte A u f l a g e

Sammlung Göschen Band 953

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1970 v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • V e i t & C o m p .

Meinem seit Stalingrad vermißten Sohne Fritz

Heinz

Zipperer

gewidmet

© Copyright 1970 by W a l t e r de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Yerlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — K a r l J. Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, v o m Verlag vorbehalten. —

A r c h i v - N r . : 79 31700. —

Druck: Mercedes-Druck, Berlin

Printed in Germany

—

Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis

6

1 Grundlagen

7

11 Schwingungsversuch 12 Harmonische Bewegung 13 R i c h t k r a f t (Federkonstante)

7 9 11

2 S c h w i n g u n g s g l e i c h u n g e n für den M a s s e n p u n k t 21 Freie Schwingungen 211 212 213 214

Schwingungen ohhe Dämpfung Energiegleichung Freie Schwingungen mit Geschwindigkeitsdämpfung. Freie Schwingungen mit Reibungsdämpfung

13 13

. . .

13 16 18 21

22 Erzwungene Schwingungen 2 2 1 Antrieb durch Federkräfte 2211 Ohne Dämpfung 2 2 1 2 Mit Dämpfung 2213 Zahlenbeispiel 2214 Erzwungene Schwingungen 222 Antrieb durch Massenkräfte

22 22 22 23 £6 29 29

23 Zusammengesetzte Schwingungen 231 Sinus- und Cosinus-Schwingungen 232 Addition bei gleicher Frequenz 233 Addition bei ungleichen Frequenzen

31 31 32 32

24 Harmonische Analyse

35

3 B e s t i m m u n g der S c h w i n g u n g s d a u e r e i n f a c h e r Systeme 36 31 Schwingungssysteme unter Wirkung der Schwerkraft 311 312 313 314 315 316 317

Mathematisches Pendel Physisches Pendel Metronom von M ä l z e l Mathematisches Pendel mit großem Ausschlag Drehpendel (Bifilarpendel) Balkenwaage Spiegelschwingungen in kommunizierenden G e f ä ß e n . . . .

36 36 37 40 41 45 48 49

Inhaltsverzeichnis 32 Schwingungssysteme unter Wirkung elastischer Kräfte . . . . 321 Systeme mit Längsschwingungen 3211 Federpendel 3212 Zusammengesetzte Federungen 3213 Schwinger großer Schwingungsdauer 3214 Schwinger hoher Frequenz (Tonpilz) 3215 Schwinger mit mehreren Massen 3216 Indirektes Verfahren 3217 Systeme mit Übersetzungen im elastischen Teil . . . . 322 Systeme mit Querschwingungen (Biegungsschwingungen) . 3221 Eingespannter Stab mit Endmasse 3222 S t a b mit zwei Massen -. . 323 Systeme mit Drehschwingungen 3231 Schwingungsgleichung 3232 Berechnung der Massenträgheitsmomente 3233 Mehrmassensysteme 3234 Reduktion von Schwingungssystemen 3235 Torsionspendel . . 3236 Unruhe einer Ankeruhr 33 Elektrische Schwingungen 34 Gegenüberstellung der mechanischen und elektrischen Schwingungen

S c h w i n g u n g e n e l a s t i s c h o r St o i f e

41 Schwingungsgleichung 42 Längsschwingungen 421 Elastische Stäbe 422 Flüssigkeitssäulen 423 Gassäulen 43 Transversal-Schwingungen (Querschwingungen) 431 Saite 432 Torsionsschwingungen 433 Biegungsschwingungen eines Stabes mit konstantem Querschnitt 434 Querschwingungen eines Stabes mit veränderlichem' Querschnitt 4341 Eingespannter konischer S t a b 4342 Eingespannter S t a b mit konstantem Trägheitsradius i 4343 Allgemeiner Fall des eingespannten verjüngten Stabes 435 Stäbe mit Eigen- und Punktmasse 4351 Längsschwingungen, S t a b und Feder mit Endmasse . 4352 Biegungsschwingungen eines gestützten Stabes mit Eigenmasse und Punktmasse 436 Näherungsverfahren 4361 Federpendel 4362 Gestützter S t a b mit Punktmasse 4364 Eingespannter S t a b mit Eigen- und Punktmasse am frei schwingenden Ende 4364 Torsionspendel

Seite

51 51 51 52 53 55 55 58 63 65 65 66 68 68 70 72 73 73 75 76 78

80 80 85 85 85 86 87 87 87 67 94 94 95 96 98 98 101 102 102 104 104 105

Inhaltsverzeichnis 5 Anhang Ergänzungen 51 Maßsysteme 52 Internationale Bezeichnungen und Einheiten 53 Vektorielle Addition 54 Harmonische Analyse

N a m e n - und S a c h v e r z e i c h n i s Anmerkung: Gleichungen sind abschnittsweise numeriert, z. B . (303), (416). Abbildungen sind durchnumeriert, z. B, (Abb. 43). Literaturhinweise sind in eckigen Klammern angegeben, z. B. [4],

5 Seite

loa 106 107 108 109

no

Literaturverzeichnis [11 D u f f i n g , Erzwungene Schwingungen. Vieweg. [2] F ö p p e l , O., Grundzüge der technischen Schwingungslehre. Springer 1931. [3] G e i g e r , I., Mechanische Schwingungen und ihre Messungen. Springer 1927. [4] H a r t o g , J . P., Mechanical Vibrations. New York—London 1947. Deutsche Ausgabe: M e s m e r , 2. Aufl. 1952. [5} H o r t , W., Technische Schwingungslehre. Springer 1922. [6] H o r t , W. u. T h o m a , A., Differentialgleichungen des Ingenieurs. Springer 1939. [7] K a r m a n - B i o t , Mathematical Methods in Engineering. New York— London. [8] K l o t t e r , K., Technische Schwingungslehre. Springer 1970. [9] L e h r , E., Schwingungstechnik. Bd. I u. II. Springer 1930, 1934. [10] S c h n e i d e r , E., Mathematische Schwingungslehre. Springer 1924. [11] T i m o s h e n k o , S., Vibration Problems in Engineering. Deutsche Ausgabe: Schwingungsprobleme der Technik. Von M a l k i n - H e l l y . Springer 1932. [12] T ö l k e , F., Mechanik deformierbarer Körper. Springer 1949. ¡13] O e l e r , E., Technische Schwingungslehre. Girardet 1952. Ferner: Lehrbücher der Physik und Mechanik. — Ingenieurtaschenbücher. D u b b e l (1966 Neudruck) — H ü t t e (1955) — K r ö n e r (1954). Ausführliches Verzeichnis amerikanischer Literatur in [4].

1 Grundlagen 11 Schwingungsversuch Belasten wir die Feder (Abb. 1) mit einem Gewicht mg, so nimmt die Feder im Abstand d1) eine neue Ruhelage an. Wird sie aus dieser gebracht, so führt sie Schwingungen aus, die wir durch Aufzeichnen der Bewegung auf einen gleichförmig bewegten Papierstreifen sichtbar machen können. Versuche mit verschiedenen Massen und Federn zeigen uns, daß die Schwingungsdauer T (sek) abhängig ist von der Masse und einem Eigenschaftswert der Feder. An Stelle der Schwingungsdauer T kann auch der reziproke Wert

= /, die

Abb. 1 Frequenz, die Anzahl der Schwingungen in der Sekunde angegeben werden; ihre Dimension ist s - 1 oder Hz (Hertz). Die Schwingungsausschläge nehmen ab infolge der ihr entgegenwirkenden Reibungskräfte, insbesondere, wenn wir an dem Körper eine in eine Flüssigkeit eintauchende Platte anbringen. Die Schwingung wird gedämpft; die Dämpfung kann so stark sein, daß die Masse, ohne über die Nullage hinauszuschwingen, langsam wieder in diese zurückkriecht; aperiodische Bewegung. *) d, e n t s p r i c h t der D u r c h f e d e r u n g f der F e s t i g k e i t s l e h r e .

8

Grundlagen

Aus Abb. 2 sind diese drei Schwingungsformen zu ersehen. Ist die Geschwindigkeit c des bewegten Papierstreifens, die Schwingungsdauer T einer vollen Schwingung (Rückkehr in die Ruhelage) und deren Länge X bekannt, so muß g,

c=

(101)

' sein. Wir nennen c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ( m s - 1 ) und X die Wellenlänge. Abb. 2 Den meisten Lesern ist diese Beziehung bekannt aus der Umrechnung der Rundfunkwellen von Wellenlänge und kHz = 1000 Hz. Mit der Lichtgeschwindigkeit c = 300000 km s _ 1 besteht die Beziehung: A(m) /(kHz) = 300000 (km s " 1 ) . Die aufgezeichnete Kurve de£ .ungedämpften Schwingung (Abb. 2, a) zeigt einen sinusförmigen Verlauf. Wir erweitern unseren gedachten Versuch und bewegen den Aufhängepunkt der Feder ebenfalls nach dem Sinusgesetz, was durch eine Kurbelschleife vollständig, durch einen Kurbeltrieb um so angenäherter erreicht werden kann, je größer das Verhältnis von Kurbelstange zur Kurbel ist. Bei sehr langsamer Bewegung des Aufhängepunktes, kleiner Frequenz, stimmen die Bewegungen der Masse mit denen des Aufhängepunktes überein. Mit zunehmender Frequenz werden die Masseausschläge immer größer, bis diese bei einer Frequenz / = /„, der Eigenfrequenz des Schwingungssystems, der freien Schwingung des ersten Versuches, einen sehr großen, theoretisch oo großen Wert annehmen. Mit weiterer Frequenzsteigerung nehmen die

Harmonische Bewegung

9

Ausschläge wieder ab, bei oo großem f bleibt die Masse in Ruhe. Diese Versuchsergebnisse sind in Abb. 2 wiedergegeben; die zweite Kurve b zeigt den Verlauf bei vorhandener Dämpfung. Ist diese klein, so liegt der Maximalausscjilag nahe bei / 0 . Wir haben also folgende Schwingungsvorgänge zu betrachten : freie und erzwungene Schwingungen, ohne oder mit Dämpfung. Im nächsten Abschnitt werden diese Vorgänge mathematisch behandelt werden. Wir wollen jedoch versuchen, die zunächst wichtigste Aufgabe, die Bestimmung der Schwingungsdauer T, auf elementarem Wege zu finden.

12 Harmonische Bewegung Das Kreispendel (Abb. 3) ist aus der Physik bekannt. Die Masse m führt eine gleichförmige Kreisbewegung mit der Umfangsgeschwindigkeit v = T tx> aus. Auf sie wirken die Zentrifugalkraft Z (co ist die Winkelgeschwindigkeit s - 1 ) und senkrecht das Gewicht G - mg. Die Resultierende R wirkt Z*mr = -fjj- = 2TT/. Damit

erhält

man

für die

Grundlagen

10

Umlaufsdauer T = In 1/— , sie ist unabhängig von der Größe der Masse. ' " Projizieren wir die Kreisbewegung (Umfang in 12 Teile geteilt) auf einen Durchmesser (Abb. 4), so erhalten wir eine hin- und hergehende geradlinige Bewegung; die Entfernung der einzelnen P u n k t e ist nicht mehr gleich. Aus der Abbildung ist unschwer abzulesen: x — r sin« = r sinco t, da der Fahrstrahl sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeitcodreht. In Richtung der geradlinigen Bewegung sind und

v coscot

bz = b sin cot

= reo2 sinco t = co 2 x,

letztere, die Beschleunigung stets der Bewegung entgegengesetzt Abb. .4 gerichtet, dem Mittelp u n k t zu. Zu diesen Gleichungen gelangt man auch durch zweimaliges Differenzieren des Weges nach der Zeit: v

=

und K

=

dv ~dt

d?x ~dt*

dx = 1t

x — reo cos co t

= x — — reo 2 sincoi = —co2 x

') x , x sind die Bezeichnungen für den ersten und zweiten Differentialquotienten des Weges nach der Zeit.

Richtkraft (Federkonstante)

11

Die Gleichung für Beschleunigung bx = io2x liefert co4 =

= b0, wenn b0 die Beschleunigung im Abstand

x = 1 von der Ruhelage aus ist. Schließlich wird T = 2n |/X(sek). Nach dem Newton sehen Grundgesetz ist K0 = mb0, wobei K0 die Kraft für x = 1 ist, die Richtkraft; im Abstand x wirkt demnach die Kraft K = K0x oder K = c x, wenn von nun an c für die Richtkraft gesetzt wird; sie diejenige Kraft ist, die im Abstand 1 auf die Masse m wirkt. Hiermit erhalten wir für die freie ungedämpfte Schwingung folgende Beziehungen: T =«

«l^-^ÄrM*

—

=

/

(103)

ist: co •=

(s" 1 ) (Kreisfrequenz)

(104)

und den wichtigen Satz: „Ist in einem schwingenden System die Beschleunigung dem negativen Ausschlag direkt proportional, so liegt eine harmonische, eine Sinus-Schwingung vor." 13 Richtkraft (Federkonstante) Mit obigem Satz muß die auf die Masse wirkende Kraft proportional dem Ausschlag x sein. Dies läßt sich nach den Lehren der Festigkeit verwirklichen, wenn die Proportionalitätsgrenze nicht überschritten wird, das Hooksche Gesetz a = eE (Spannung = Dehnung mal Elastizitätsmodul) gilt und ferner e = \ (Dehnung =

)

12

Grundlagen

und a = ~ | Spannung = ^ ^ j. Abb. 5 gibt das Federdiagramm X = f(K). Unter der Wirkung des Gewichts G = mg der Masse ist die Durchfederung d (Eichung der Feder). Mit c wurde die Richtkraft bezeichnet; führt man mit C (Federung, Nachgiebigkeit) in (cm k g - 1 ) ein, so ist die eine Größe gleich dem reziproken Wert der anderen; cC=l, was auch aus den ähnlichen Dreiecken des FederungsdiaK (kg) gramms entnommen werden kann. Unter der Wirkung des Gewichtes der Masse war die Verlängerung d. Das Diagramm gibt mg die Beziehung c = womit d 2 7t

A (cm)

F

Abb.

= 2 TT

OJ =

wird, und wenn die minutliche 2 7t n eingeführt wird: CO • eo 60

l/f /^r

Schwingungszahl

^ 300|/^(mm-i),

(105) (106) mit

(107)

da]/98l ~ 107r ist. Zu beachten ist, daß letztere Formel nur für senkrechte Schwingungsrichtung unter Wirkung der Erdanziehung gilt. Zum Abschluß noch die Anwendung der abgeleiteten Formeln für ein U-Manometer (Abb. 6). Masse der Flüssigkeitssäule:

llj9

:

Richtkraft = Gewicht der Säule

Freie Schwingungen

13

von l = 2 c m : e = / • 2 y ; / ist der Querschnitt, l die Länge des mittleren Fadens u n d y das spez. Gewicht der Flüssigkeit.

Z' =

2jt

1JJL 9 tr

= 2.T

1/i 2 - ö H.

(212)

Der Vergleich mit der ungedämpften Schwingung ergibt, daß die Amplituden nach einer e-Funktion abnehmen. Es liegt strenggenommen kein periodischer Vorgang vor, trotzdem spricht man von einer Eigenkreisfrequenz y/(0 v = }l(o2~d2.

(213)

M i t D = — (Dämpfungszahl)wird V/UJ v = co Vi — D2 oder (214) Durch weitere Umformung erhält man

j + D2 = 1, die

Abb. 9

Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser 1, womit nach Abb. 9 für D das Verhältnis ~ abgelesen werden kann. Mit dem D a r m s t a d t - R e c h e n s t a b erhält man — auf Skala P, wenn D auf Skala (D) eingestellt wird 1 ). Der Wurzelausdruck läßt in der umgeformten Gleichung: x = ae-mDt

cosco Vi — D2 t

folgende Möglichkeiten zu: a) D = 1:

x =

ae-a>Dt,

es liegt keine Schwingung vor, sondern der aperiodische Grenzfall. ') P = pythagoreische Teilung bei „ F a b e r " ; cos (Rot) bei „ N e s t l e r " . 2*

20

Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt

b) D > 1: Für y'l — D2 setzen wir i ]'Z>2 — 1 und erhalten, da c o s i x = Sofa; ist: ae-mDl{io\(oyD*

x =

-

1 t,

es liegt keine Schwingung vor, sondern ein aperiodischer Vorgang. c)

D i{at-r)

ae

+ irQae i(- Qt-»•> -

a(c — mÜ 2 + irD)

+ caeW-tl

+ irQ) = Ke I

= K

= Ke i Q t

,

iat ..a. . = Ke** gl (Slt —

(226)

I n der G a u ß sehen Zahlenebene dargestellt ergibt Abb. 11. Hieraus folgt, einfacher als mit Anwendung der trigonometrischen Funktionen, Im , (-L)2=(2Z>/?)2 + ( l - ^ 200 ks

^ i

y i V i i ! „ "—-Re

und

]

F =

V(i - M + Ferner wird:

4D'p

(227)

2 BS

Abb. 11

Diese Gleichung stimmt mit derjenigen der ersten Auflage überein, da — = ß und D = a ist. CO

F ü r den dämpfungsfreien Fall wird wegen D = 0 : 1

1 - ß2

tg

i

x = 2e~ 10t©of5

8 = wD = 5 - 2 = 1 0 ,

folglich ]/D 2

j/3 £.

—

11 =

ae~

mDt.

(235)

Zusammengesetzte Schwingungen

31

Aus Abb. 17 kann ohne weiteres angeschrieben werden: 7

=

und

(236)

V(1 - £ • ) » + (2 Dp? 6V =

t

2Dß i

(237)

Der Phasenwinkel ist also der gleiche, die Vergrößerungszahl)?2 mal so groß wie bei dem Federkraftantrieb (Abb. 10). In Abb. 18 ist V als Funktion von ß wiedergegeben. Im

Vi

I I I

2Dß

-Re

1~ß' A b b . 17

Weitere Antriebsarten der erzwungenen Schwingungen, wie durch Dämpfungskräfte, elektromagnetische Kräfte, sind in der angeführten Literatur nachzulesen 1 ). 23

Zusammengesetzte Schwingungen

231 Sinus- und Cosinus-Schwingungen Wenn x = a sina>i ist, so kann x = a cos cot als eine um =

" j - verschobene Sinusschwingung aufgefaßt werden: cosco t

sin ^io t +

•

Die Addition von xL = a sinwi, *) U . a . L e h r ,

Schwingungstechnik.

= —b cosco t

32

Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt

ergibt, da die Schwingungen gleiche Frequenzen haben, wie Abb. 19 zeigt: x = c sin (w t — (p) mit , c = Va2 + b2

232 Addition bei gleicher Frequenz Sj == ßj sin (coi + = Tx

C«! — to '

und

=

ist,

Ti

T2 (238)

A b b . 22

oder nach Einführen der Frequenzen f = 1 __ 7 T T J1 ]_ /. 1 und damit:

T~

=

1 /]-/

fi

t. = t i - f ,

(239)

d. h. die Sch webungsfrequenz ist gleich der Differenz der beiden Frequenzen. In Abb. 22 ist ein Beispiel gezeigt für ein Amplitudenverhältnis 2 : 3 und Frequenzverhältnis 4 : 5 . Mit diesem wird: „

T, =

4T.

35

Harmonisöhe Analyse

24 Harmonische Analyse In Umkehrung der im vorigen Abschnitt behandelten Addition von Sinusschwingungen (Synthese) mit ganzJ

r

\

/ at + (px) + c2 sin(coi + + (7)

Schwingungssysteme unter Schwerkraftwirkung

und hieraus

39

« « _ ! , + *» = 4k 2 ist. Aus diesen Ableitungen folgt, daß das Scheibenpendel zwei Aufhängepunkte besitzt für gleiches T , ihre Entfernungen vom Schwerpunkt sind Sj und s2. Zur Beantwortung der Frage, für welche Entfernung des Aufhängepunktes vom Schwerpunkt die reduzierte Länge und damit die Schwingungsdauer ein Minimum wird, differenzieren wir nach s: 4-(s* as

- l s +

ki)=2s

- l ,

setzen den erhaltenen Wert = Null und erhalten s = — Dies ist nach den Gleichungen für die Wurzelwerte der Fall, wenn l2 = 4 P , d. h. I = 2 k ist. Mit Gl. (306) kann das Trägheitsmoment eines unregelmäßigen Körpers ermittelt werden, wenn dessen Gewicht und Schwerpunktlage bekannt sind, wobei letztere in den meisten Fällen leicht durch Auflegen auf eine Schneide bestimmt werden kann. Für die in Abb. 27 wiedergegebene Kurbelstange bestimmt man aus der beobachteten Schwingungsdauer T das Trägheitsmoment, bezogen auf die Schneide aus T — 2 7t j / J ~ > und rechnet dieses dann um auf die Bolzenachse mittels des Steinerschen Satzes. Hierbei muß zuerst 0 , = 0 / — ma? und hieraus das gesuchte Trägheitsmoment nach Qu = 0 , + mb2 berechnet werden.

46

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

313 Metronom von Mälze! Es sei nach Abb. 28 |

,

b =

(320)

Scbwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

53

b) H i n t e r e i n a n d e r s c h a l t u n g von F e d e r n (Abb. 40). Die einzelnen Durchfederungen sind: d, = —

und

* = j / ^ -

ergibt

sich

Abb. 43

mit

m = 0,0051 kg s 2 c m " 1 und co = 2730 s " 1 c = 2730 2 • 0,0051 = 37000 kg c m " 1 , Die Länge des Stabes müßte , A I E

0,025 • 2,15 • 10°

= 26,9 cm

2000 betragen; schnitt

der

Stabquer-

^ = ^ l l ^ W = °'46

cm2

-

3215 S c h w i n g e r m i t mehreren Massen a)Zweimassensystem In Abb. 44a u. b ist ein Zweimassensystem schematisch wiedergegeben.

777*

m-,

TT~TT 777777 Abb. 44 a u. b

56

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

Auf das Massensystem wirken folgende Kräfte (Abb. 45), die folgende Gleichungen liefern: m1 Xj + c(x1 — x 2 ) = 0 , oder

m2 z 2 — c(x1 — x a ) = 0

m1 x1 + c x1 — c x 2 = 0 ,

(323)

m2 x„ — c x1 + c x 2 = 0 . (324)

Aus Gl. (324) erhalten wir:

_ ml ..

2/] "T"

m1x1

c(x

m,

«

,-Xj)

m1x.

trig

A b b . 45

nach zweimaliger Differentiation: . _ m1 ... . .. _ m, .... x 2 — — x x -f, x 2 — — - atj +

Xj,

in Gl. (323) eingesetzt: , ^ schließlich:

+ '¿i +

-

.... x,1 1H

m

c^

-

+ m .. ! - !«i — ? c x ,* = «i

äj -

x ^ = 0,

0.

(325)

Wird zur Lösung x 1 = asina»i gesetzt und viermal differenziert : Xj = a co cos«) i , Xj = — aco 2 sincoi = —Xj a) 2 , Xj =

—aa)3cosa)i,

Xj = a co* sineo t — x1 a>* und in Gl. (325) eingesetzt, so erhält man nach Division durch (o2: >m

fti

>

i

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

57

und hieraus: i

I / j l + J.", m

y m1m2

(327)

m

\ i

i

die Eigenkreisfrequenz, die mit Wlj — = w j und — = w2ZI auch 7n>2 geschrieben werden kann oß = coj + «//> worin also a)/ und Wh die Eigenkreisfrequenzen der beiden Einzelmassen sind. Ein Schwinger mit zwei Massen besitzt eine Eigenfrequenz. Dies steht scheinbar im Widerspruch mit einer Eigenfrequenz beim Einmassensystem. Es wird:

i/ZTjl m ym 1

2

=

][Z ym

1

'

wenn m2 = oo ist; dies besagt, daß die Einspannstelle des Einmassenschwingers gleichbedeutend mit einer unendlich großen Masse ist. Aus den Gl. (323) folgt durch Addition: Wj ä j = to2 x9 und nach zweimaliger Integration: \

3/j — Wlg ^ > d. h. die Schwingungsausschläge sind indirekt proportional den Massen, und ferner, daß es einen Federpunkt gibt, der in Ruhe bleibt, einen Knotenpunkt, der den Massenabstand im umgekehrten Verhältnis der Massen teilt. b) S c h w i n g e r m i t 3 M a s s e n liefert folgendes Gleichungssystem : m

\ x i + C12 x i ~

m

i

m2x3

C

]2

c

n x-i

C

1 2 X2

= °> C

23

C

2 3 X2 = ® '

— c 23 x2 + c 23 x3 = 0 .

58 Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme mit dem Ergebnis:

1

+

1

+

0,

das mit co2 = z gesetzt auf eine quadratische Gleichung f ü h r t , die schließlich zwei positive Eigenkreisfrequenzen zu ft)x und co2 liefert. c) S c h w i n g e r m i t w - M a s s e n . Das Bildungsgesetz für die w-Massen f ü h r t auf eine Gleichungsform an_1ö>2("-1) + an_2co2(»-2)-1

0^0? + % = 0,

die nur graphisch zu lösen ist. F ü r «-Massen gibt es (n — 1) Eigenkreisfrequenzen. Das Bildungsgesetz f ü r die Koeffizienten ist von H o l z er aufgestellt, es liefert rechnerisch unbequeme Ausdrücke. Graphische Verfahren von G ü m b e l , G e i g e r und insbesondere das analytische indirekte Verfahren von T o l l e bringt die Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen rechnerisch einfacher. 3216 I n d i r e k t e s V e r f a h r e n Es soll zunächst am Dreimassensystem (Abb. 46) gezeigt werden m

C12

i

\AAA

Cl3

mz

\MMAA m s a-3

a2

lSr£

® i

^

®

m^Xi > A b b . 46

Die Federverlängerung ist A11Z — a2 — alt die elastische Federkraft e12 = c 12 (a 2 — «j).

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

59

Auf die zweite Masse wirken die elastischen Kräfte e23 — e12 und die Massenkraft m2 x2. Mit x — a sin cot erhält man x = —a m co . Es wird also für ein beliebiges co und bekanntes a 2 2

2

2

e

2

e

3

®21

=

2

®2 ^2

e

2

2

'

Wi (ü2

23 = l2 ~ ®2 2 -

Aus e 2 3 = c 23 (a3 — a 2 ) berechnet sich: «3 = a 2 + J

1

23

-

Mit dem nun errechneten Ausschlag a 3 kann die Rechnung in gleicher Weise für die dritte Masse durchgeführt werden usw. Für 2 — i erhalten wir für die ¿-Masse die Gleichungen: e»,¿+i = «i-i,» — «iw.jcoa dynamische

, T 028) —±L elastische Igleichung. Ci, i + 1 ' Damit ergibt sich folgender Rechnungsgang für ein gewähltes co, wobei wir ferner ax = 1 setzen. Da sich links der Masse 1 keine Feder befindet und auch keine äußere Kraft wirkt, ist e 01 = 0. Wir erhalten: «i+i = «i +

«i = l , «oi = °> ß

l 2=

a

l

~~

m

l

a

l

«2 = «1 + - P - = e23

=

e12

—

m2

a2

0 , 2

=

~

m

i

0 , 2

1

1

co2 usw.

Die Rechnung selbst ist einfacher als die allgemeine Ableitung erkennen läßt, sie soll deshalb an einem Drei-

60

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

massensystem gezeigt werden. ö j = 20 kg,

m1 =

= 60 kg,

=

G3 = 30 kg,

m., =

20

= 0,02039 kg s 2 c m - 1 , = 0,06118 kg s 2 c m - \

on

= 0,03059 kg s 2 cm - \

c 1 2 = 3,248 kg c m - 1 , c 2 3 = 2,029 kg c m - 1 . Gewählt sei:

a> = 9 s - 1 , co2 = 81 s - 2

= 1,000 cm, e 12 = e 01 — m ^ t o 2 = 0 — 0,02039 •1 • 81 = p «2 = «1 + ^ e

23 = eiz ~

1 fi^Q = 1,000 - - i g -

e

+

34 =

e

23 —

= + 0 , 4 8 9 4 cm,

m^H0?

= -1,659 «3

—1,659kg,

e

0,06118 • 0,4894 • 81 = - 4 , 0 8 4 kg, = 0

'

4 8 9 4

4 0R4 - S § -

= - 1 , 5 2 4 6 cm,

W3O3CO2

= -4,084 -

0,03059 ( - 1 , 5 2 4 6 ) 8 1 = - 0 , 3 0 8 kg.

Da eine Feder 34 nicht vorhanden ist, muß e3i = —0,308 als äußere Kraft angebracht werden, um das System im Gleichgewicht zu halten; esl = —0,308 kg = R = Restkraft. Noch einfacher wird die Durchrechnung mit folgendem Rechenschema 1 ), wenn man zunächst die Werte m y 0 / ; m2 o)2; m3co2 berechnet. 1 ) M a n zeichnet z w e c k m ä ß i g das S c h e m a mit k r ä f t i g e n S t r i c h e n a u f , legt ein d u r c h s c h e i n e n d e s P a p i e r d a r a u f und f ü h r t die R e c h n u n g a u f diesem für verschiedene tu aus.

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung (0 = 9 e

c -1,659

12

-1,659

23

:

84

-0,308

+1,0000

1

.

+ 0,4894

2

-2,0140

2,029 -2,477

R

•

-0,5106 -4,955

+ 3,776

a

mo2

3,248

-2,425 -4,084

tu = 81 -1,659

:

61

2

.

-1,5246

3

R —2 = -0,00381 Ol

Die Durchrechnung für w — 10 liefert eine Restkraft R = + 1 , 0 5 k g , woraus zu ersehen ist, daß zwischen (0 = 9 und u> = 10 R = 0 wird, eine Eigenkreisfrequenz

vorhanden ist. Die zweite liegt zwischen 15 und 16. Trägt man die errechneten Restkräfte als Funktion von CD auf, so erhält man (Abb. 47) als Eigenfrequenzen a)x = 9,2 und a>2 = 15,2 s - 1 .

62

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

Um Maßstabsänderungen zu vermeiden, kann Ii

man

1

zweckmäßiger —- als Funktion von u> auftragen ). Hierfür müssen wir noch untersuchen, welchen Wert —3 für co = 0 co annimmt. Die Weiterrechnung des allgemeinen Verfahrens führt nach Ordnen der Glieder auf eine Gleichung der Form. ^ _ _ ^ j _ m^ ^ a w4 Es wird: R

+ m 2 + m3) + a co2 + b co4

= —

und ™ (-¡37) = - K

+ w 2 + m a ),

allgemein lim Die

M

= — y m-i.

-Kurve ist in Abb. 48 wiedergegeben.

R/o/\ *0,02

-0,02 -0M

-0,06 5

/

-Cl)

fil

\

I

/

-0,09

-0,1 10 Abb. 48

Weitere Rechenschema finden sich in der Literatur. T o l l e zeigte, daß bei einer Durchrechnung des Verfahrens ') Vorschlag T o l l e .

Schwingungssysteme unter einfacher Kräftewirkung

63

von beiden Massenenden aus (Vor- und Rückwärtsrechnung) bei Änderung von Massen und Federkonstanten das ganze Verfahren nicht nochmals durchzurechnen ist, sondern in einfacher Weise die dadurch hervorgerufenen Reständerungen ermittelt werden können; es ist ferner möglich, die Anlage unter Wirkung einer äußeren Kraft zu berechnen usw. Hierüber im zweiten Band bei den Torsi onsschwingungen, für die das Verfahren aufgestellt wurde. Trotz der mannigfachen neuen Verfahren kann es auch heute noch für die praktische Durchführung als das Übersichtlichste und rechnerisch Einfachste bezeichnet werden. 3217 S y s t e m e m i t Ü b e r s e t z u n g e n im e l a s t i s c h e n Teil Zwischen den elastischen Gliedern und Massen sind Übersetzungen vorhanden, die eine Reduktion der Federkonstanten und der Massen erfordern. Nach Abb. 49 besteht das System aus den beiden Massen m1 und m 2 , den elastischen Gliedern cx und c 2 , die an einer masselosen Scheibe mit den Hebelarmen ri und r2 angreifen. Zur Umrechnung auf den gemeinsamen Hebelarm r gehen wir von der Energiegleichung aus. Zu einer bestimmten Zeit habe die Masse »ij den Ausschlag x x . Die Gesamtenergie, bestehend aus der potentiellen Energie Ep und der kinetischen Energie 2?t ist: d-:x1 „ . 1 1 (329) E = Ep + Ek = - C l + HF Für die auf r reduzierten Werte m* und m* lautet die Energiegleichung: d2x* r* E* = _2 X i dt2

64

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

Die Summe der Energie beider Systeme bleibt nur konstant, wenn E* — Ep und 7?* = Ek ist. Hieraus folgt: x d^ xi

X-I

* 9C f Cj vCj — Cj und wegen

.

Xi

=

X . t• l> c

i = (^)2ci-

(330)

In gleicher Weise erhält man:

Zweckmäßig wählt man zur Reduktion r = 1, oder man reduziert den einen Teil auf den anderen. F ü r die Reduktion von 2 auf 1 wird r = rx und c* — c t , M2

(331)

oder f ü r 1 auf 2, mit r = r 2 : mT =

— m,, '2 I W?2 = Wi2 ,

c7 =

— c \ '2 / C2 = C2

(332)

In Worten ausgedrückt: Man reduziert 1 auf 2, indem man rn1 und ci mit dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses von 1 auf 2 multipliziert. Hierfür kann man auch schreiben: (333) wenn, wie bei den Grenzen der Integralen [ 1 auf 2, das Quadrat von r1 auf r 2 , also [—) r \ 2 I

bedeutet ist.

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

(¡5

Beispiele. 1. Anordnung nach A b b . 50: R e d u k t i o n 1 auf 2: M i

= (7^-) 2 m i . M i =

2

m,

Ci, [ w j l = m t , [c 2 ]| = c 2 . Das Ersatzsystem

ist

in

der Abbildung eingezeichnet.

® !c

®

0

Ersatzsysrem: .2

Ersatzsyslem

A b b . 50

A b b . 51

2. Anordnung nach A b b . 51: Masse m auf den Federangriffspunkt A reduziert ergibt: [m]

=[w]g=

und die Schwingungsdauer:

da mb2 = 0 das Massenträgheitsmoment ist. K a n n das Trägheitsmoment des Hebels gegen 0 nicht vernachlässigt werden, so ist für 0 , 0 + 0 h ZU setzen. 322

Systeme m i t Querschwingungen (Biegungsschwingungen)

3221 E i n g e s p a n n t e r

Stab mit

Endmasse

E i n masseloser Stab der L ä n g e l ( A b b . 52) trage a m Ende die Masse m . Zipperer,

Schwingungslehre

I

(>6 Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme Die Schwingungsdauer des Systems erhalten wir aus:

' - " f i Nach den Formeln der Festigkeitslehre ist die statische Durchfederung d unter der Last Q: A

Q

13

( E : Elastizitätsmodul; J : Trägheitsmoment.)

A b b . 52

Hieraus ergibt sich: (334)

l3

Der Ausdruck für die Schwingungsdauer lautet nun:

Für einen frei aufliegenden Stab, der in der Mitte die Masse m trägt, erhält man aus: i — JL ~ EJ

d

und

j,

_

48 ' «

C

_

4 8 E J

'

1 /ml3 48 EJ

Analog berechnet sich T für andere Belastungsfälle; es ist nur nötig, die statische Durchfederung zu bestimmen. 3222 S t a b m i t z w e i

Massen

Unter der Wirkung der Lasten Q1 = tn1g und Q2 = erfährt

der

masselose

Stab

eine

Durchfederung.

m2g Wir

nehmen nun an, daß diese statische Durchfederung um die Beträge y1 und y2 vergrößert werden, was durch Wirkung von K r ä f t e n P1 und P2 erreicht werden kann (Abb. 53).

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

67

Unter Verwendung der Einflußzahlen a ergeben sich zwischen Kraft und Durchbiegung folgende Beziehungen: = « n i > i + «i2-P2> Hierin bedeutet z. B. a 1 2 die Durchfederung der Stelle 1 unter Wirkung der Kraft P = 1 an der Stelle 2. Nach dem Maxwellschen Vertauschungssatz ist a 1 2 = a 2 1 . Aus den Gleichungen folgt: P

p

_

2u

oder, wenn wir für

p

z

2 = («11 2/l - « u ü i l J ' • Für die zwei Massen erhalten wir folgende dynamischen Grundgleichungen:

m

i Vi + «22 Viß

=

(336)

m

2 2/2 + «11 V i ß ~ «12 2/2/? = °» also zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten y und y2. Aus der ersten folgt: y

und

*

=

m \ t« ~1 2bp

1 +

»22 =

«12

A °

In die zweite eingesetzt ergibt: »H.m, .... , = ± y ; , 2 (339) sind. Wir erhalten vier Wurzeln, zwei mit positiven und zwei mit negativen Vorzeichen, aber mit gleichen Absolutwerten. Hieraus ergeben sich die beiden Schwingungsdauern zu:

323 Systeme mit Drehschwingungen 3231

Schwingungsgleichung

Auf die im Eadius r angebrachte Masse m (Abb. 54) wirke die Kraft P. Nach dem N e w t o n s c h e n Grundgesetz ist A b b 54

P =

m

b =

m

v =

m s .

Die Umfangsgeschwindigkeit ist v = ru>, wenn w die Winkelgeschwindigkeit ( s - 1 ) ist. Damit wird mit d v = r d c o P

—

m

r

¿ 0 ,

Schwingungsaysteme unter elastischer Kräftewirkung

69

und wenn die Gleichung mit r multipliziert wird: P r = rw r 2 ¿>. Hierin ist Pr = M das Drehmoment, mr2 = 0 das Massenträgheitsmoment, bezogen auf die Drehachse, ¿o = e die Winkelbeschleunigung. Für die rotierende Bewegung lautet damit das N e w t o n sehe Grundgesetz: Drehmoment = Trägheitsmoment X Winkelbeschleunigung. Die Dimensionen sind: M : kg m

oder

kg cm,

0 : kg s 2 m ~ 1 • m2 = kg m s 2

oder

kg cm s 2 ,

zur Probe eingesetzt wird: kg cm - - kg cm s 2 • s - 2 = kg cm Bei der geradlinigen Schwingung war c die Richtkraft mit der Dimension kg c m - 1 . Für die Drehschwingung führen wir das Richtmoment C ein, also das Moment, das den Ausschlag 1 cm, gemessen auf dem Einheitskreis, hervorruft, das somit die Dimension kg cm besitzt. Damit wird die Eigenkreisfrequenz co =

C &

l/ Richtmoment \ Massenträgheitsmoment '

Die Probe mit den Dimensionen ergibt:

(341)

70 Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme 3232 B e r e c h n u n g

der

Massenträgheitsmomente

Die Berechnung des Massenträgheitsmoments soll an einigen Beispielen gezeigt werden. Nach Abb. 55 ist:

d0 = dm sc

dm = / dx -y = f dx q,

und

2

wenn y die Wichte und q die Dichte bezeichnet. Damit wird:

i

i

0 = J dm x2 = f q J x2dx = / gy

0 0 und nach Einführung der Masse m des ganzen Stabes mit

m — flo:

n=

0 =

m

(342)

Der gleichförmig mit Masse belegte Stab kann ersetzt werden durch die reduzierte Masse m r e d = im Abstand l (Abb. 56) oder durch ein System mit der ganzen Stabm z

,,

h I

- i - J I ^

dx

j — O f

"KD

A b b . 55

A b b . 56

masse m im Abstand k = ~ ,

dem Trägheitshalbmesser.

Befindet sich die Drehachse im Schwerpunkt des Stabes (Abb. 57), so berechnet sich das Massenträgheitsmoment nach + 7/2 0 =

fdmx2 = ^ l

-II 2

2

(343)

Schwingungssysteme unter elastischer Kräfte« iikung

71

oder mit Hilfe des S t e i n e i s c h e n Satzes 0, = 0 - w e 2 , wenn e der Abstand der Achse I von der Schwerachse ist, im obigen Falle

Die Durchrechnung ergibt:

0U s ~ - 3

_

ml* =

T ~

~

— -

12

P.

Es darf hierbei nicht übersehen werden, daß der S t e i n e r sche Satz nur gilt für eine Schwerachse und eine dazu parallele Achse, also s nicht für zwei belie- I bige paralleleAchsen. Für das obige Beispiel (Abb. 58) ist die reduzierte Masse U -

,

m ™red

A b b . 57

12 i

am Hebelarm — oder, da Massenträgheitsmomente auf die gleiche Achse bezogen addiert werden dürfen, zwei reduzierte Massen von ^ an beiden Stabenden.

•o

Tir m

m 12 m z*

o_ A b b . 58

In gleicher Weise errechnet sich für einen Zylinder (Abb. 59): m (344) m »"red

=

72

Bestimmung der SchwingunKadauer einfacher Systeme

für eine Kugel:

0

=?mr*.

(345)

Kann das Integral nicht oder nur durch, umständliche Rechnung gelöst werden, so teilt man den Körper in n endlich kleine Massenteilchen ein und bildet: 0=2Am.rl 1

oder man bestimmt den Wert durch einen Schwingungsversuch. 3233 M e h r m a s s e n s y s t e m e Nachdem im vorigen Abschnitt der aus der Mechanik bekannte Zusammenhang zwischen der geradlinigen und Rotationsbewegung nochmals aufgezeigt wurde, der sich in folgender Tabelle zusammenstellen läßt: Translation Rotation

|

tp

|

t;

j

6

60

|

£

| m

|

P

| ®

|

-Äf

|

c

| C

erübrigt sich die Aufstellung der Gleichungen für die Torsionsschwingungen. Auch das indirekte Verfahren ist ohne Schwierigkeiten anzuwenden, wenn: für

c kg c m - 1 : e kg cm:

C kg cm (Richtmoment), E kg cm 2 (elastisches Moment)

gesetzt wird, wobei sich das Richtmoment berechnet für kreisförmigähnliche Querschnitte zu C =

, cm-2),

(346)

wenn G der Gleitmodul (kg Jp das polare Flächenträgheitsmoment (cm 4 ) und l die Länge der Welle (cm) ist. An Stelle der Restkraft R (kg) erscheint das Restmoment (kg cm), das, besonders wenn die Dimension

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

73

hinzugefügt wird, ebenfalls mit R bezeichnet werden kann. Wir werden uns im zweiten Band der Technischen Schwingungslehre damit noch ausführlicher beschäftigen. In technischen Anlagen befinden sich Übersetzungsgetriebe, deren Einfluß auf die Eigenfrequenzen behandelt werden soll. 3234 R e d u k t i o n von S c h w i n g u n g s s y s t e m e n In Abb. 60 ist ein Zweimassensystem gezeigt Q x , 0 2 mit c, und c2 und einem Zahnradgetriebe rx , r2 mit den Massenträgheitsmomenten und ; fj: r2 = vi :nl . Nach 3217 erfolgt die Reduktion von 1 auf 2, indem 0,

A b b . 60

A b b . Gl

die Q-, 0- und c-Werte mit i — j multipliziert werden. 2 Hiermit ergibt sich:

Das Ersatzsystem zeigt Abb. 61. 3235 T o r s i o n s p e n d e l Nach den Lehren der Festigkeitslehre ist die Verdrehung eines Stabes der Länge l (Abb. 62) V

M OJ,

• l ,

74

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

wenn G der Gleitmodul (für Stahl 0 , 8 — 0 , 8 5 • 10«) und J p das polare Flächenträgheitsmoment ist. D a m i t ergibt sich das R i c h t m o m e n t zu

!

if

l

Das Massenträgheitsmoment der beiden Massen ist:

I

(5>

„

H® Abb. 62

Ö

m l =

,!

TI

ml

2

=

0

2

T'

Die Schwingungsdauer wird: 2

7t

0 w

9 7 r

c~~

l / ^ f e ^ '

(348)

A n w e n d u n g e n . Bestimmung von 0 aus der beobachteten Schwingungsdauer, wenn die rechnerische E r mittlung, wie z. B . bei einer Luftschraube, zu umständlich ist oder bei einwandfrei berechenbaren 0 zur Bestimmung des Gleitmoduls G und damit der P o i s s o n sehen Querzahl m

,//=-1 Abb. «:i

Eine

in E =--- 2G(\ weitere

+ //).

Möglichkeit

besteht nach G a u ß darin, daß man bekannte (Abb. 63) Zusatzgewichte mit den Massen m anbringt und die Schwingungsdauer T 1 und T 2 ohne und mit dieser Zusatzgewichte experimentell bestimmt . I m zweiten Fall ist 02 -

0J-I-2mr*.

Wir erhalten mit dem noch unbekannten 0 1 : 1\

=

2 TT

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

also

T, -i /©7 T~ = l/©r

75

e1

, oder

e:

und für 0 2 = 0 1 + 2 mr 2 eingesetzt: ®1 © ! + 2m r2 nach

-

aufgelöst:

01 = 01a2 + 2 w r 2 « 2 ,

0^(1 - a

2

) = 2wr 2 (at~v)

cos Qt = ßC/ 0 e ' ß i .

bei

(350)»)

ergibt:

und nach Umformung mit co2 = — ^ und Stromstärke

jidt=E

Vorhandensein

lediglich

= iL, der der

Selbst-

' ) O ist K r e i s f r e f i u e n z der erregenden S p a n n u n g , in der E l e k t r o t e c h n i k mit m b e z e i c h n e t .

*) i = 1

Elektrische Schwingungen

77

induktion L :

j —(0—J—f lo e> ^ , —j-) +u> io-J L = to'

1

schließlich mit den weiteren Abkürzungen

B-=ß, - A = 2 D und ± = co r coL %, V (l-ß*) + j2ßD=ß*jrei*, ¿0

2 . . 7r~2 = —rsin tü< • ox* c' =

—

co2 sin I co t —

und nach Einsetzen in die SchwiDgungsgleichung

aß . / , r sin Iwt C \

(ox\ co x \ E „ . / — == — — wi sin | co t C j Q

wx —

schließlich: 1/E

i/Elastizitätsmodul Dichte "

1 l IE h =

- j j I/— 1. Eigenfrequenz; Grundschwingung, 1 i i~E - j - l/— 2. Eigenfrequenz; 1. Oberschwingung,

3 i f fusw., I/— 3. Eigenfrequenz; z — also . . . = 12. : 2Oberschwingung :3:... b) B e i d e E n d e n f r e i Geschwindigkeit:

(408) (409)

(Schwingungsbauch): = 0 für x =

0 und x =

l mit

dem gleichen Ergebnis:

c) E i n S t a b e n d e f e s t , z w e i t e s f r e i ( K n o t e n Bauch): ' f = 0 für x = 0, =

°

für

x = l , 6*

und

84.

Schwingungen elastischer Stoffe

mit dem Ergebnis: toi

~

71

~2

=

3n ~2~'

5n

~2

2n — 1 2

und schließlich:

usw., also

1 Q K A : /2 : / 3 : . . . = 1 : 3 : 5 : . . .

(413)

Abb. 72

In Abb. 72 sind die verschiedenen Schwingungsformen für die drei Fälle wiedergegeben; es ist nur notwendig, sich diese auf die Stablänge der ersten Eigenschwingung verkleinert vorzustellen.

Längsschwingungen

86

Nach diesen theoretischen Betrachtungen können wir uns den einzelnen Schwingungen zuwenden, die sämtlich auf diese Schwingungsgleichung zurückzuführen sind. 42

Längsschwingungen 421 Elastische Stäbe

c

i iE i /Elastizitätsmodul cm = VJ = V Dkhte

,

..,,. < 414 >

8

im Bereich der Gültigkeit des Hookschen Gesetzes. Für Stahl mit E = 2,15 • 106 kg cm2

wird

y = 7,85 g e r n " 3

p = Z- = 1 0 - 5 = 0,80 • 1 0 - 5 kg s2 c m - 4 g 9,81 ° e

und

c = y ^ = j/26,9 • 10 10 = 10 6 1/2679 = 5,19 • 10 5 cm s " 1 , c = 5200 m s - 1 . 422 Flüssigkeitssäulen Für E ist der Kompressionsmodul M = -i- zu setzen, wenn k =

c

1

y

dV

die Kompressibilität ist. Damit wird:

1 [M i /Kompressionsmodul i/ 1 , F t = I / — D i d ü i — = (/ücm8 • (415) Für Wasser mit h = 5- 1 0 - 5 c m 3 k g ; y = 1 und j ~ 1 0 0 0 c m s - 2 =

gesetzt, wird: c

= i / / ^ = i / s = 1 0 5 ^ = ' c = 1410 m S " 1 .

1

0

5

cm

b_i

'

86

Schwingungen elastischer Stoffe 423 Gassäulen

Für die Zusammendrückbarkeit muß die adiabatische Zustandsänderung f v * = konst. angenommen werden, da in der kurzen Zeit der Druckänderungen eine Wärmeableitung nicht möglich ist. Es wird die „adiabatische" Kompressibilität , 1 dV _ 1 a~ V dp ~ *p ' c » wenn x = — ist und damit die Fortpflanzungsgeschwin" digkeit: F

i

n

c = jAy-

*

Mit — = ^g = RTg E3 A/i

(^16) wird

c = yxgRT

(417)

und bei i = 0 ° C; T = 273 ° K : Abb. 73

,

c 0 = ixgR-273,

(418)

für Luft, 2atomiges Gas, mit x = 1,4: Cq = 1/1,4 • 9,81 • 29,27 • 273 = 333 m s " 1 . Ferner ergibt sich die Schallgeschwindigkeit bei t ° C zu: c' =

co

wenn T = 273 + C ist. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit, Schallgeschwindigkeit, ist unabhängig vom Druck und nur eine Funktion der Temperatur. Bekannt sind derartige Schwingungen aus der Akustik. Aus Abb. 72 ist klar zu ersehen, daß eine offene Pfeife die gleiche Schwingungszahl, also die gleiche Tonhöhe hat wie eine gedeckte doppelter Länge (Abb. 73).

Transversa] -Schwingungen

87

43 Transversal-Schwingungen (Querschwingungen) 431 Saite Eine belastete Saite führt Schwingungen quer zu ihrer Ruhelage aus. Ist P die Spannung der Saite, q deren Querschnitt, q Dichte des Materials, so führt die Ableitung auf die bekannte Schwingungsgleichung mit

Die Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung. /» = «/!• w = l : Grundschwingung = Grundton, n = 2: 1. Oberton: Oktave, »i = 3: 2. Oberton: Quinte der Oktave, n = 4: 3. Oberton: Oktave der Oktave usw. 432 Torsionsschwingungen E G An Stelle von — erscheint hier — in der Schwingungsgleichung, worin G der Gleitmodul ist. Eine ausführliche Behandlung und Anwendung bringt der zweite Band. 433 Biegungsschwingungen eines Stabes mit konstantem Querschnitt Wir betrachten ein Masseteilchen der Länge dx in der Entfernung x von der Einspannstelle (Abb. 74). Seine VF Masse ist dm = -—dx = pF dx. An den Schnittflächen K 9

wirken die Scherkräfte S und S -f dS. Befindet sich das Element in der Entfernung y von der Nullage entfernt, so können wir folgende Gleichung aufstellen: (Pv dm — 0. dS — g dm + ~r&

88

Schwingungen elastischer Stoffe

Für dm den Wert eingesetzt und durch dx die ganze Gleichung dividiert, ergibt:

Nun ist nach den Ableitungen der Festigkeitslehre allgemein: