Stochastische Systeme: Markoffketten - Stochastische Prozesse - Warteschlangen [Reprint 2015 ed.] 9783110858600, 9783110076240

Citation preview

de Gruyter Lehrbuch Heller • Lindenberg • Nuske • Schriever • Stochastische Systeme

Wolf-Dieter Heller • Henner Lindenberg Manfred Nuske • Karl-Heinz Schriever

Stochastische Systeme Markoffketten • Stochastische Prozesse Warteschlangen

W DE

G Walter de Gruyter • Berlin • New York 1978

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Stochastl8che Systeme : Markoff ketten, stochast. Prozesse, Warteschlangen / Wolf-Dieter Heller . . . - 1. Aufl. - Berlin, New York : de Gruyter, 1978. (De-Gruyter-Lehrbuch) I S B N 3-11-007624-1 NE: Heller, Wolf-Dieter [Mitarb.]

© Copyright 1978 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göscherrsche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Obersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung der Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Printed in Germany. Druck: Color Druck, Berlin. - Bindearbeiten: Dieter Mikolai, Berlin.

Vorwort

Vas vorliegende

Buch wendet sich an Stu.de.ntzn der Wirtschafts-

Sozialwissenschaften,

deA Ingenieuwi&senschaften

schaften an Universitäten als Beglelttext wegen seiner

und fachhochschulen.

und

und Naturwissen-

Neben deA. Verwendung

für entsprechende VoAleiungen, eignet ¿-ich dai Buch zahlreichen

anwendungsbezogenen Beispiele

und Übungs-

aufgaben mit Lösungen und Lösungsskizzen sowie Hinweise auf führende Literatur

weiter-

auch zum Selbststudium.

Vie fortschreitende

Spezialisierung

des mathematischen

Unterrichts

in den Oberstufen deA Gymnasien eAh'oht die NachfAage deA natuAwissenscha^tlich literatur.

orientierten

Lehrkräfte

nach geeignete*

Fortbildungs-

Viesen LeseAkAeis kann das Buch auch jederzeit

zugerech-

net werden. Es ist

als eine Einführung in die TheoAie deA stochastischen

[insbesondere deA Marko ff pro zesse und -ketten)

genmodelle gedacht. Dabei. Minden die theoAetischen weit dargestellt,

Grundlagen nuA so

wie es ¿ÜA die Praxis notwendig ist.

dann auf eine am jährliche

Prozesse

souiie deA Warteschlan-

Beweisführung verzichtet,

So wurde z.B. wenn dies dem

Leser für das Verständnis der Zusammenhänge keinen zusätzlichen bringen würde. Wir hoffen, Lesen deswegen nicht

daß die Kritik

zu negativ

Nutzen

des mathematisch geschulten

ausfällt.

Vie Voraussetzungen zum Verständnis weAden in den üblicherweise im Grundstudium angebotenen Mathematik- und Statistik-Vorlesungen schaffen;

einige wenige spezielle

zus anmeng es

Hilfsmittel

Für die Anregung zu diesem Buch und die stete

fältige

Viskussionsbereitschaft

Vr. M. Rutsch zu besonderem Vank

verpflichtet.

FAäuleln HoAnung und Frau Koch danken wir für die sorg-

Abschrift

Karlsruhe,

sind in einem Anhang

teilt.

sind wir Herrn Prof. Frau Grill,

ge-

unserem Manuskripts.

im Vezember 1977

Vie Autoren

Inhalt

K A P I T E L I: 1.1

MARKOFFKETTEN

Definition

und g r u n d l e g e n d e

Eigenschaften

einer Markoffkette

11

1.2

Graphentheoretische

1.3

Übergangszeiten

1.4

Klassifikation

1.5

Charakterisierung

1.6

Asymptotisches

1.7

Nichtnegative

1.8

Charakterisierung

Grundlagen

32 40

der Z u s t ä n d e

e i n e r H a r k o f f k e t t e ...

der verschiedenen

eigenschaften

62 Verhalten Matrizen

von M a r k o f f k e t t e n

Aufgaben

einer M a r k o f f k e t t e

Definition

11.2

Ei g e n s c h a f t e n

11.3

Markoffsche

11.4

Geburts-

Eigenwerte 101 113

PROZESSE

eines s t o c h a s t i s e h e n eines

Prozesses

stochastischen

Prozesses

Prozesse

117 127 138

und T o d e s p r o z e s s e

Der A u f b a u M a r k o f f s c h e r

und

155 Semi-Markoffscher

Model le

171

A u f g a b e n zu Kapitel

KAPITEL III:

86 end-

I

STOCHASTISCHE

11.1

11.5

der

(mit

Obergangsmatrix

zu Kapitel

KAPITEL II:

70

und ihre E i g e n w e r t e

lichem Zustandsraum) mittels ihrer

45

Klassen-

II

175

WARTESCHLANGEN

111.1

Einlei tung

111.2

Definition

177 eines W a r t e s c h l a n g e n s y s t e m s

111.3

Die W a r t e s c h l a n g e

M|M|1

111.4

Die W a r t e s c h l a n g e

M|M|s|k

111.5

Das M | M | 2

111.6

Das E r l a n g s c h e Modell

111.7

Das W a r t e s y s t e m M | G | 1

WS-System mit heterogenen

A u f g a b e n zu Kapitel

III

M|Ek11

179 184 197

S c h a l t e r n . . . 205 213 218 229

8 Aufgabenlösungen

233

Bezeichnungen

244

Anhang

246

Literatur

251

Index

254

Einleitung

In a l l e n

Bereichen

wissenschaften

der N a t u r - ,

werden

die z u r B e s c h r e i b u n g Systeme

der zeitlichen

Gesellschafts-

Modelle

Entwicklung

entwickelt,

entsprechender

dienen.

In v i e l e n

Fällen genügen deterministische

In d e n G e b i e t e n a b e r , ständiger stets

I n g e n i e u r - und

heute mathematische

in d e n e n a u f g r u n d

Informationen

Modelle.

fehlender oder

Aussagen über die zukünftige

mit U n s i c h e r h e i t e n

behaftet

s i n d , k o m m t man o h n e den

scheinlichkeitsbegriff

n i c h t aus. S o l c h e stoahastisahen

spielen

in z u n e h m e n d e m M a ß e

beispielsweise

ökonomischer Wenn

Fragestellungen

in b e s t i m m t e n

(beispielsweise

Zeitpunkten

e r h ä l t man eine s p e z i e l l e variablen.

betrachteten

un-

gen Z u s t a n d s v a r i a b l e n

stochastischen

in das Modell

als Markoffkette

abhängen.

Ihre B e d e u t u n g

sicherte) Modelle

liefert.

raum

als e i n

Intervall Prozesse

auffaßt.

parameter

b e r u h t d a r a u f , daß ist und (d.h.

von

sie

anderseits

statistisch

ge-

ist das

oder a n s c h a u l i c h e r , w e n n m a n den Systems

von e i n z e l n e n

gerade

interessanten

Zeitpunkten

Solche Modelle werden

bezeichnet.

der M a r k o f f e i g e n s c h a f t

zukünfti-

gewidmet.

des b e t r e f f e n d e n

8ti8che

der

Der T h e o r i e der M a r k o f f k e t t e n

ist es z w e c k m ä ß i g e r

n i c h t als e i n e F o l g e

von

Z u s t a n d , n i c h t aber

r e c h t g u t zu h a n d h a b e n

Buches

Markoff-

Folge

bezeichnet.

realer Systeme brauchbare

die E n t w i c k l u n g

hineinnehmen.

b e s a g t , daß die V e r t e i l u n g e n

nur v o m g e g e n w ä r t i g e n

analytisch

mit

k a n n , w i r d als

M o d e l l s , die b e t r e f f e n d e

für e i n e V i e l z a h l

Manchmal

k ö n n e n , d a ß die der

Die M a r k o f f - E i g e n s c h a f t

dieses

dann ZufallsKette

des z u g e h ö r i g e n

Kapitel

eines

s i n d , s o n d e r n muß g e w i s s e A b h ä n g i g k e i t e n

Zustands-Beobachtungen

erste

Zustand

e i n e r F o l g e von

F o r m , in der dies g e s c h e h e n

der V e r g a n g e n h e i t

Bearbeitung

registriert wird,

einer solchen

Zustandsvariablen

Die e i n f a c h s t e

einerseits

der

Im a l l g e m e i n e n w i r d man n i c h t a n n e h m e n

voneinander

Eigeneahaft

bei

Wahr-

Modelle

Rolle.

der j e w e i l i g e Systems

Realisierung

einzelnen Zufallsvariablen abhängig

eine große

ökonomischen)

unvoll-

Entwicklung

als

Es z e i g t s i c h , d a ß d i e

sondern stoahaAusdehnung

auf M o d e l l e m i t k o n t i n u i e r l i c h e m

keine p r i n z i p i e l l e n

Schwierigkeiten

bereitet.

Zeit-

für Zeit-

10 In z w e i t e n

Kapitel

w e r d e n neben den b e s o n d e r s w i c h t i g e n

prozessen weitere Typen stochastischer Das d r i t t e

Kapitel

der v o r g e s t e l l t e n sahlangen stellungen

Prozesse

b e f a ß t sich v o r n e h m l i c h

Markoff-

skizziert.

m i t den

Anwendungen

T h e o r i e auf s p e z i e l l e S y s t e m e , die als

bezeichnet

werden.

In d i e s e m Z u s a m m e n h a n g

werden

u n t e r s u c h t , die mit der o p t i m a l e n O r g a n i s a t i o n

schiedlicher

Bedienungssysteme

zu tun

haben.

WarteFrageunter-

Kapitel I Markoffketten

§

1

Definition

In d i e s e m

grundlegende

Buch werden

Abhängigkeit keln;

und

von

solche

wir

Vorgänge

genaue

Definition

chen

Prozeß

zu e i n e m

dem Zustand,

über Zustände man

den

unser

zu s p ä t e r e n

genügend

stochastisehe

gewissen

in

Kap.

befassen,

sich

in

entwik-

genannt,

wir

einen

Zeitpunkt

Aussagen

Beispiele

klassischen

die

Gesetzen

sol-

betrachten, wollen

zu d i e s e m

Zeitpunkten belegen.

tQ

Harkoffkette

Prozesse

II. F a l l s

Zeitpunkt

System

- in d e r

einer

probabi1 istisehen

erfolgt

mit Wahrscheinlichkeiten findet

mit Systemen

nach

werden

ihre aus

uns

der Zeit

Eigenschaften

machen

für

und

dieses

Physik

oder

wir

innehat, diese

Vorgehen

etwa

in

der

Biologie. In d e n

letzten Jahrzehnten

stochastisehen

Prozesse

Sozialaissenschaften gen.

Als

Models

Beispiel

for S o c i a l

zitiert.

und

fand die

auch bei

d a f ü r sei Modelle

Denkweise

zunehmende

vielen das

Processes"

Hier werden

ihre

ökonomischen

Buch

1973,

für soziale oder

einer

Dabei

als H a r k o f f k e t t e biete

der T h e o r i e

spiele 1971, leme

Anwendungen

im e r s t g e n a n n t e n

in M a r k e t i n g

oder man

der stochastisehen

ökonomischer der

erwähnt.

behandeln

und

von

Werk

in

John

Mobilität

"Stochastic

Wiley bzw.

Arbeits-

Oberlebensaussichten kann man bedient

bei

unter anderem

Produktionsplanung

nach

diese Modelle

sich

Prozesse.

findet man

der den

Problemstellun-

Bartholomew:

2.Auflage,

mobilität, Arbeitskräfteumsatz Krebsbehandlung

und Theorie Anwendung

anderer

direkt

Teilge-

Interessante

Bei-

Howard,

und

1960

Optimierungsprob-

behandelt.

1)

Das Wort "stochastisch" hat s e i n e n Ursprung im Griechischen : vergleiche hierzu Hagstroem, K.G. (1940), Im Englischen sind neben der Bezeichnung "stochastic process" noch "chance process" oder "random process", im Französischen "processus stochastique" oder "processus aléatoire", im Deutschen auch "Zufallsprozeß" üblich.

2)

Von diesem schienene soziale

Buch existiert auch eine beim Oldenbourg-Verlag deutsche Übersetzung : "Stochastische Modelle Vorgänge".

erfür

12

In 1.

Kapitel

des

Buches wollen wir

ausführlich

darstellen.

Theorie

stochastisehen

des

der

Buches, nachdem

Proz&sse

Zur

wollen

Einführung

sprechen 1.1

und

Paul

werfen

ein s c h o n

eine

. Zeigt die Münze

zeigt die Münze Sn,

wir

uns

dann

im 2.

in

die

Kapitel

Klassifikationsmöglichkeiten

durchgesprochen

z.B. das Werk

Markoffketten

wurden,

fast

von Feller

klassisches (1968),

der

beschäftigen. Beispiel

be-

Vol.I)).

Beispiel

Peter =

(vgl.

der

der Markoffketten

Prozesse wird

verschiedene

stochastisehen

die Theorie

Eine E i n o r d n u n g

den

Paul

anschaulich

Abb.

1.1

"Zahl",

nach

ideale

Münze

" W a p p e n " , so so z a h l t

n Münzwürfen

(d.h.

zahlt

Paul

an

an P e t e r

"verdient"

1 DM.

hat,

=

Paul

P(Zahl)=

1 DM;

Den

Betrag

können wir

graphisch

darstellen:

(Wir verbinden die einzelnen um den Spielverlauf optisch

Alle möglichen

"Verdienste"

von

Paul

Punkte in dieser Abbildung, deutlicher zu machen).

(in A b b .

ler S p i e l v e r l a u f

aufgezeichnet)

stellen

einen

zeß

dar

Aufgabe

1 über

{Sn:

P(Wappen)

Peter

n elNp)

(vgl. a u c h

1.1

i s t ein

speziel-

stoohastisohen dieses

Pro-

Beispiel).

A Es ist klar, d a ß w i r variablen

E.j (i = l , . . . , n ) Ausgang Peter

in

darstellen

unseres

die

1.1

d.h.

W e r t e +1

oder

Sn Sn

muß.

Hierbei

Prozessen

als e i n e

Summe

von n

sehen

Zufalls-

= E^ + ... + E p , w o b e i

-1 a n n i m m t , je n a c h d e m

Münzwurfexperimentes

1 DM z a h l e n

stochastisehen

Beispiel können,

Peter wir

n i c h t m i t einer

an

Paul

schon,

oder

Paul

d a ß m a n es

Zufallsvariablen

jedes

ob

nach an

bei zu

tun

13 hat, s o n d e r n m i t e i n e r Familie (Xt)t

bezeichnen

T

(im obigen

von

Zufallavariablen,

Beispiel:

(Sn)ne]N

die w i r

mit

)• o

Diese Zufallsvariablen

m ü s s e n alle d e n s e l b e n

den w i r Z u s t a n d s r a u m J n e n n e n . abzählbar.

Wir w e r d e n

natürlichen verwenden;

Zahlen

Hierbei

(bzw.

IN Q )

häufigsten wird hierfür

Prozesses,den

INQ

verwendet.

der L e s e r s c h o n , daß b e i s p i e l s w e i s e raum d i e o b e n e r w ä h n t e n sen m ö g l i c h

der

b e t r a c h t e n , ist J Xt

bilden

wir mit T bezeichnen. An d i e s e r S t e l l e

Am

bemerkt

d u r c h Z u s t a n d s - und

Klassifikationen

2

= E

Parameter-

von s t o c h a s t i s e h e n

Prozes-

sind.

Zusammenfassend angedeutet

die M e n g e

Die Indizes d e r Z u f a l 1 s v a r i a b l e n

unseres

besitzen, in Kap. I

o d e r die M e n g e der g a n z e n Z a h l e n

falls w i r e n d l i c h e M a r k o f f k e t t e n

den P a r a m e t e r r a u m

ketten

ist d i e s e M e n g e J

als Z u s t a n d s r a u m m e i s t e n s

IN

eine e n d l i c h e M e n g e .

Wertebereich

m ö c h t e n w i r nun noch

- daß w i r uns

in Kap.

feststellen

I des

Buches

b e f a s s e n , die e i n e n a b z ä h l b a r e n

endlichen oder höchstens

abzählbar

- wie oben

nur m i t

Parameterraum

unendlichen

schon

Markoffund

einen

Zustandsraum

be-

s i tzen . *^

1.2

DEFINITION

Eine F o l g e die alle

von Zufall s va ri abl en (xt)te-|-»

über

demselben

=

t t Q ,tj ,t 2 . . .}

Wahrscheinlichkeitsraum

^

definiert

s i n d u n d die a l l e d e n s e l b e n d i s k r e t e n Z u s t a n d s r a u m als 3) bereich

(einer Z u f a l 1 s v a r i a b l e n )

stochastisehe

Kette und b e z e i c h n e n

satz z u m W e r t e b e r e i c h die Verteilung also

P ( X tl

braucht

j''P(X3(m-1)+2

1-

=

a

I.J.^n.2.3}.

sollen

in A u f g a b e

i I

X

3(m-1)+l_ak'J

m >

1.

(3) b e h a n d e l t

werden.1' •

1.11

Beispiel

Gegeben

seien

folgende

Übergangsmatrizen

3 s T 'sTT P(s.s+1)

-

[

1

erster

Ordnung:

3 s " * ' s+T s e IN

4 7

n (1

s » s+T'

1 + 4 5 5

(1.8)

s s+T

1) Ein weiteres Beispiel für den Sachverhalt, daß eine stochastische Kette die Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen erfüllt, aber nicht die Markoffeigenschaft, gibt Parzen (1967) an.

22 P(s,s+m)

: = p ( s , s + l)-p(s + l , s + 2 ) . . . . . p ( s + m - l , s + m ) , m e IN

Es e r g i b t

sich:

lim s -

p(s,s+l)=:

(i i\

P =

Der L e s e r möge sich o b i g e A n g a b e n

l \ 0

J 1 /

durch folgende

Erläuterungen

klarmachen: Der K ä u f e r eines W a s c h m i t t e l s

wähle zwischen

2 P r o d u k t e n A und

die neu a u f den M a r k t kommen, m i t W a h r s c h e i n l i c h k e i t schließendes

Kaufverhalten

Obergangsmatrix

in d e n Z e i t p u n k t e n

P(l.Z)

=

5 5

2 5

3 5 realistisch

ist oben e r s i c h t l i c h , w e l c h e s

der Zeit Weitere

"einpendeln" Beispiele

die durch

beschrieben

Howard

1. In e i n e m e i n f a c h e n

(1971), Volume

matrizen

P

Beispiel

n

n + l>

falls

vollständig =

•

dort

Obergangs-

g

n gerade

f a l l s

n

u n g e r a d e

G i b t m a n nun noch die A n f a n g s v e r t e i l u n g £ ( t Markoffkette

bei

werden

benützt: A

,1:

Laufe

Anfangsvertei1ung

w e r d e n , f i n d e t m a n etwa

M a t r i z e n /\ und ß zur D e f i n i t i o n der

n-ter Ordnung

(t

kann.

sich im

wird.

für M a r k o f f k e t t e n ,

stochastische

die

zwischen

angesehen werden

Kaufverhalten

und Ü b e r g a n g s m a t r i z e n zwei

durch

B,

an-

sich

3 5

für d i e s e Z e i t s p a n n e als

Weiter

s werde

(1.8) a n g e g e b e n , a u ß e r d e m w ä h l e er nur

den P r o d u k t e n A und B. Z.B. e r g i b t

was

Sein

bestimmt,

£(Vi>-B

= £(V2>-

£(t0)-(A-B)

) a n , so ist

die

denn: A

'

B

"

n/2

für

n gerade

für

n ungerade

n-1 £(tn) Ebenso

trifft man

kette b e h a n d e l n (z.B.

= £(t0)'AI(B'A)"T" in der A n w e n d u n g

l a s s e n und bei

Käuferverhalten

im V e r l a u f

f i e h l t . sich eine Unterteilung nung

B e i s p i e l e , die sich als

denen

periodische

einer Woche) auftreten.

der O b e r g a n g s m a t r i z e n

in " G r u p p e n " , s o d a ß durch die A n g a b e der

einer Gruppe alle anderen bestimmt sind Howard

(1971)).

Markoff-

Schwankungen Hier

erster

emp-

Ord-

Übergangsmatrizen

(vgl. h i e r z u

ebenfalls

23 1.12

Bemerkung

Wichtig stark

ist w e i t e r h i n ,

daß

vom Z u s t a n d s r a u m

einer Markoffkette, einzigen

Zustand

Eigenschaft Snel1

indem man

§ 6,3

gehen.

ff.

sinnvoll

zungen,

eine

und

hierzu

auch

Wie wir nicht sind.

ausführlich

diskutiert.

Ebenso

Ordnung Elemente wir

des die

alleine

fallen,

1.13

jetzt

funktionale Ordnung

lassen

so e r h a l t e n

bei

Markoff-

Kemeny-

interessant

zu

verkleinern, Vorausset-

"Verkleinerung" unter

Umständen

Markoffkette

(vgl.

i s t es

spezielle

im a l l g e m e i n e n

Fall

schwierig

einer

zu

zu

machen,

behandeln

spezielleren

Klasse

von

Obergangswahrscheinlichkeiten

Funktion

des

also die

Zeitparameters

p . j ( s , s + l)=

Abhängigkeit auf

Aussagen

der

Übergangswahr-

Elemente

die A b h ä n g i g k e i t

vom

und

f(i,j,s).

des

Zustands-

Zeitparameter

weg-

wir:

DEFINITION

zei tunabhäng.i g s i n d , Diese

w i r mit p^j-

Bezeichnungen lassen p^s)

die

(zei t ) h o m o g e n

bzw.

p - j ( s , s + l) h o m o g e n 1)

kurz

Obergangswahrscheinlichkeiten Entsprechend

bisherige

natürlich wird

Obergangswahrscheinlichkeiten

heißt

zeitunabhängigen

bezeichnen

Die

uns

Zustandsraumes,

Eine M a r k o f f k e t t e , deren

und

haben,

Bisher waren

erster

und

geben

einem die

gewissen Durch

ursprüngliche

Obergangsmatrizen

p.jj(s,s + l) e i n e

scheinlichkeiten raumes

gesehen

wir

zuwenden.

zweier

nicht

so, unter

Markoffketten

über die

1.11

wollen

erster

Reduzieren

und

zu e r h a l t e n .

eine M a r k o f f k e t t e

zeitabhängigen

Markoffketten

zu

4).

in B e i s p i e l

Deswegen

Elemente

allgemeinen

einer Markoffkette

sehr

Zustandsmenge

wird

gewonnene

Aufgabe

im

die

Sachverhalt

Aufschlüsse

leicht,über

da d i e

so w i r d

zu e r w e i t e r n ,

"Vergrößerung"

man

verschiedene

neue Markoffkette

interessante

der Markoffkette

Verändert

Dieser

ist e s , d i e Z u s t a n d s m e n g e sondern

Struktur

zusammenfaßt,

verloren

(1960)

die

abhängt.

behalten

Schreibweise

nur die Z e i t v a r i a b l e

zu p . V s ;

P ( s , s + 1) w i r d

wir

erster

in d e n

im h o m o g e n e n

Stufe

übrigen

Fall

bei

t weg; zu P V s

usw.

Matrix P H

P12

P2i

P22

(1.9)

1) In der Literatur wird anstelle von homogen auch oft stationäre Übergangs wahr sehe in Iichkeiten verwendet. Obwohl diese Bezeichnungsweise den Sachverhalt gut trifft, verwenden wir diesen Begriff nicht, da er schwerfällig ist und außerdem zu Verwechslungen mit Definition 1.2Q führen kann.

24 heißt Obergangsmatrix

(der 1 - s t u f i g e n

k e i t e n ) der h o m o g e n e n

Harkoffkette.

1.14

Obergangswahrscheinlich-

Bemerkung

Von nun an w e r d e n w i r nur noch h o m o g e n e M a r k o f f k e t t e n Falls wir

in B e m e r k u n g e n

auf z e i t a b h ä n g i g e drücklich darauf

oder aus

Markoffketten

Vergleichsgründen

zurückkommen,

einmal

w e r d e n wir

aus-

hinweisen.

1.15

Bemerkung

Nach

(1.6) s i n d w i r nun in d e r L a g e , im h o m o g e n e n

Ü b e r g a n g s m a t r i x P(s,s+ra) e i n e r H a r k o f f k e t t e P(s,s+m)

behandeln.

auch

zu

Fall

für

die

schreiben:

= P ( s ,s + l)-P(s + l,s + 2 ) . . . . - P ( s + m - l , s + m )

= (1.10)

P-...-P = P m

= P(0,1)....-P(0,1) woraus ersichtlich scheinlichkeiten

i s t , daß im h o m o g e n e n

,

Fall

die

Obergangswahr-

n - t e r O r d n u n g n u r von n a b h ä n g e n , d.h. a l s o

der D i f f e r e n z der b e i d e n Z e i t p u n k t e

und n i c h t von d i e s e n

In d e r B e z e i c h n u n g s w e i s e w e r d e n w i r j e t z t n-stufigen

Ubergangawahraaheinlichkeiten i r a t u r sind b e i d e B e z e i c h n u n g s w e i s e n

im h o m o g e n e n Fall sprechen.

(In d e r

homogene

Markoffketten pm+n

=

pm

.p n

Bezeichnen wir mit

von Lite-

vertreten.)

( 1 . 5 1 ) e r g i b t sich die C h a p m a n - K o l m o g o r o f f - G l e i c h u n g

Nach

von

selbst.

für

zu: v m, n e m

nicht

gleich

!p..)n ist, die E l e m e n t e der M a t r i x p n , so k ö n n e n w i r 3 in f o l g e n d e r F o r m s c h r e i b e n :

(1.11)

auch

(Zur V e r t i e f u n g

dem

Aufgabe

1.16 Sei J

(1.11)

und

natürlich

(1.12)

sei

Leser

nun e i n e n w e i t e r e n S a t z a n g e b e n , d e s s e n W i c h t i g k e i t

stellt nämlich daß j e d e

P=

der G l e i c h u n g e n

letzten Paragraphen

kette

im allgemeinen

5 empfohlen.)

Wir wollen den

das

(1.11)

Q

dieses

die V e r b i n d u n g

stochastisehe

Matrix

Kapitels

zum V o r s c h e i n

kommt.

in

Er

zur M a t r i z e n t h e o r i e

her und s a g t

die O b e r g a n g s m a t r i x

einer

aus,

Markoff-

darstellt. SATZ eine a b z ä h l b a r e M e n g e , P ^ J

(p^)..

->-[0,1] m i t £p.¡ = 1 und

eine s tochasti sehe M a t r i x .

Wahrscheinlichkeitsraum

Dann e x i s t i e r e n

(n,?,P) u n d eine H a r k o f f k e t t e

ein

{X.;teT},

25

die

auf diesem

standsraum j matrix

Beweis

zu

viele

an, sondern

Band

I, S.

1.17

Bemerkung

Zur

Anfangsvertei1ung

Literatur Klasse

aber

von

Eindruck

Angabe

und die durch

über diese

geben wir

ihn

(1973),

Harkoffkette

benötigt man Meistens

der O b e r g a n g s m a t r i x obwohl

dies

dadurch,

Prozesse

Verhalten

dann

allein auch

in d e r

in

die meiste Fällen

eine der

gegeben "Information"

Obergangsmatrix

in v i e l e n

die

der

nur

schon

Harkoffkette

daß

also

wird

liegt

durch

sie

allein

können wir

nun

an

wird.

angegebenen

Beispiel

Testmarkt

etwas

für eine

geplanten

durch

noch

nie

Absatzmarkt

kaufen

gelegentlich lich

wieder;

kaufen; zur

die

der

weitgehend

sie

wurde

ermittelt:

Zeitschrift

Mal.

zum e r s t e n

kaufen;

einen

Mal

50 % k a u f e n

in Z u k u n f t

sie

wöchent-

die

die

die

Zeitschrift

Zeitschrift

künftig

schon nur

Kunden

aus

dieser

Zeitschrift

von

nun

gekauft

gelegentlich Gruppe

kaufen

an r e g e l m ä ß i g

bzw.

mehr.

gekauft

a)

Zeitschrift

40 % w e r d e n

restlichen

Hälfte

d) 30 % d e r lich

die die

zum ersten

nicht mehr

Kunden, die

haben, werden

nie

die die

diese

gegeben,

uns

Kundenverhalten

Kunden,

diese

wir

In d i e s e m T e s t m a r k t

folgendes

20 % d e r

denken

kaufen.

c) 60 % a l l e r

je

Dabei

entspricht.

hatten,

Kunden,

kaufen, werden

und D e f i n i t i o n e n

Umfragen

gekauft

10 % a l l e r

Sätze

verdeutlichen.

neue Wochenzeitschrift

wöchentliche

a) w ö c h e n t l i c h

Kunden,

die

haben, werden

die Z e i t s c h r i f t diese

bis j e t z t

in Z u k u n f t

nur

regelmäßig

noch

gelegent-

kaufen. - d)

Absatzmarkt G,:

würde,

Beispiel

diesem

Aus

Zu-

Obergangs-

Iosifescu-T?utu

d a B ei ne b e s t i m m t e

wird

stochastisehen

Die b i s h e r

b)

benötigen

auf

angegeben,

asymptotische

bestimmt

einer

Vorgabe

erweckt wird,

das

z.B.

Anfangsvertei1ung.

Markoffketten

sei. G e r e c h t f e r t i g t

dem

Hilfsmittel

verweisen

vollständigen

1.18

ist, den die

14.

Obergangsmatrix

und

definiert

ip^J^^und

(p^.-).- $ besitzt. • J i » Je 5

Da d e r nicht

Wahrscheinlichkeitsraum

, die

ergibt

sich

dann

in d i e G r u p p e n

Kunden, die

folgende

G^ bis

die Z e i t s c h r i f t

Kundeneinteilung

Gg, entsprechend

noch

nie

gekauft

auf

dem

Zuständen

haben

1 bis

5:

26 G,,: K u n d e n , die die Z e i t s c h r i f t

s c h o n ein o d e r m e h r e r e

g e k a u f t h a b e n , a b e r sie in Z u k u n f t G3:

K u n d e n , die die Z e i t s c h r i f t Mal

gekauft

in d i e s e r W o c h e

G5:

zum

haben

in der

und sie g e l e g e n t l i c h

gekauft

Man m a c h e s i c h

wieder

Vergangenheit kaufen

k l a r , daß damit alle M ö g l i c h k e i t e n

Nun k ö n n e n w i r f o l g e n d e s

Aus den d a r g e s t e l l t e n Übergangsmatrix d e n n die G r ö ß e natürlich Woche

Obergangsschema

Sachverhalten

der e i n z e l n e n

nur von der Angabe ist die

erschöpft

G r u p p e n G^ der G r ö ß e

sind

ausschließen!

ist e r s i c h t l i c h , (i = l ,2 ,. .. ,5) in der

die

hängt

vorangegangenen

H o m o g e n i t ä t der M a r k o f f k e t t e

im z e i t l i c h e n V e r l a u f n i c h t

daß P

i X t : t e IN } i s t ,

zu e r k e n n e n , da sich j a , nach V o r a u s s e t z u n g e n , die der Ü b e r g ä n g e

Woche

aufstellen:

einer homogenen Markoffkette

ab. Ebenso

werden

haben.

und daß sich die K a t e g o r i e n Gj - G 5 w e c h s e l s e i t i g

1)

ersten

K u n d e n , die die Z e i t s c h r i f t bis zur g e g e n w ä r t i g e n regelmäßig

Male werden

haben

G ^ : K u n d e n , die die Z e i t s c h r i f t s c h o n gekauft

nie m e h r k a u f e n

sofort

Prozentsätze

ändern.

Von der Anwendbarkeit her läßt sich bei diesem Beispiel die Homogenität natürlich nicht für einen zeitlich sehr langen Ablauf (n>7,8) rechtfertigen. Den "Kaufprozeß" werden wir bei einem längeren Verlauf dann durch eine andere Übergangsmatrix beschreiben müssen - wir erhalten also insgesamt eine inhomogene Markoffkette, deren Parameterraum aber in Zeitabschnitte aufgeteilt werden kann, so daß jeder Zeitabschnitt durch eine einzige Ubergangsmatrix charakterisiert ist.

27 P ( X t = j ) b e z e i c h n e t die W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß sich zum p u n k t t ein Kunde

in G r u p p e Gj b e f i n d e t , j e Ii,2

vernünftige Anfangsvertei1ung P(XQ=i)

= 0

i =

rung

kann das

in t=0 die g e s a m t e

1), was v e r s t ä n d l i c h

Produkt

noch

sich

So können w i r

Käuferschicht

in Z u s t a n d 1

Produkteinfüh-

gekauft worden

sein.

zu s p ä t e r e n Z e i t p u n k t e n

n>o

in

=

£(0).P"

U)

z.B. a u s r e c h n e n , w i e v i e l e

von 1 0 0 . 0 0 0

in F r a g e

m ä ß " nach 3 W o c h e n

kommender

im Z u s t a n d / 0.64

P2 = \

\

ist 0.08 \

0

0

0

0.2

0

0.42

0.38

0

0.32

0

0.42

0. 26

0

0.06

0

0. 39

0. 55

0 14

0.056

0. 128

0 164

0

1

0

0

0

0.284

0

0 366

0 35

0

0.404

0

0 33

0 266

0

0.138

0

0 399

0 463/

f o l g t aus

(1.14)

0

(*) m i t o b i g e r

(1.15)

Obergangsmatrix

= (0.512, 0.056, 0.128, 0.164, 0.14).

Bezeichnen

w i r m i t X.j die ZV, die den W e r t

1 a n n i m m t , falls

Kunde zum Z e i t p u n k t 3 in G r u p p e

k b e f i n d e t , und den W e r t 0,

Kunde

i zum Z e i t p u n k t

k

x

X (n): =

2

(X (n) b e z e i c h n e t in G r u p p e k Für großes eine

+

3 in e i n e r G r u p p e l

k P(Xf=l)

= pk(3)

P(Xi-0)

=

•••

+

x

n

na

ch

sich der i-te

t k ist, so

l-pk(3)=:qk(3), k

i s t

die Anzahl

Gesamt-

"erwartungsge-

0

= (1,0,0,0,0)

unmittelbar: ¿(3)

Es

0.1

0.16

1

j0.512

P3 -

K u n d e n - bei e i n e r

K u n d e n - sich

3 befinden.

0.02

0

Wegen £(o)

= 1;

zu: £(n)

zahl

Eine

P(XQ=1)

ist, denn bei

von n i e m a n d e m

Die Z u s t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n ergeben

lautet:

2,3,4,5.

Es b e f i n d e t sich also (d.h. in G r u p p e

des S y s t e m s

Zeit-

5).

e

;n,pk(3))

{1,2,.

falls

folgt:

,5} ;

verteilt

d e r K u n d e n , die sich zum Z e i t p u n k t 3

befinden.) n a p p r o x i m i e r e n w i r die o b i g e

Binomialvertei1ung

Normalvertei1ung.

/ Xk(n)-npk(3) \ (a < — — — — — — < b) % t (b) - t (a ) = . a P k \ ~ /npk(3Jqk(3J- _ /

durch

28 < Xk(n)

Pp ( a - t ' n P k ( 3 ) q k ( 3 ) ' + n p k ( 3 )

< b. /n P|< (3 ) q k ( 3 ) + n p k ( 3 ) ) „

k

d.h.

X ( n ) l i e g t mit W a h r s c h e i n l i c h k e i t [a. / n p k ( 3 ) q k ( 3 J " + n p f c ( 3 ) ,

d i e Länge d i e s e s minimal

Intervalls

f ü r a= - b

a

beträgt

d i e Anzahl

p u n k t 3 i n Gruppe 1 b e f i n d e n

(b-a)-/np^(3)q

( 3 ) ' und w i r d

k e i t e n aus P 3 a b l e s e n ;

so i s t

a = 3. H i t

Wahrschein-

d e r Kunden, d i e s i c h zum Z e i t -

im I n t e r v a l l

W e i t e r h i n kann man j e t z t d i e 3 - s t u f i g e n

ist

npk(3)];

(Übungsaufgabe!)

0.997 l i e g t

scheinlichkeit

Intervall

b. /np k ( 3) q k ( 3 ) ' +

Für k = 1; a = 0,997 und n = 1 0 0 . 0 0 0 i s t lichkeit

im

z.B.

[50726,

51674].

Übergangswahrscheinlich-

p^g^ = 0 . 2 6 6 , d . h . d i e

Wahr-

nach 3 Wochen von Gruppe 4 i n Gruppe 5 zu kommen

0.266.

Dieses

Beispiel

werden w i r i n den f o l g e n d e n P a r a g r a p h e n

noch

w e i t e r b e h a n d e l n . Der L e s e r b e a c h t e ebenso d i e A u f g a b e 6 , s i c h auf d i e s e s 1.19

Beispiel

E i n Unternehmer b e t r e i b t e i n e A u t o v e r m i e t u n g

z w i s c h e n den

weiß der U n t e r n e h m e r , daß d i e Anzahl binomialvertei1te

Zufal1svariablen

der nachgefragten

s i n d mit den

Auto

Autos

entsprechenden

ist

Überbelieam Abend

rechnen? schreiben wir PAA

Z

p X y vom Ort X zum Ort Y f ü r e i n

(X,Y e { A , B , C ) ) . H i t welchen A u t o b e s t ä n d e n

Die O b e r g a n g s m a t r i x

Z

müssen

Erfahrung

Parametern n ^ , p^; n g , p B ; n c , p^.; außerdem kennt e r d i e gangswahrscheinlichkeiten biges

Orten

im L a u f e des Tages g e m i e t e t werden,

am Abend d e s s e l b e n Tages w i e d e r abgegeben werden. Aus

Z

die

bezieht.

Beispiel

A , B und C. A u t o s , d i e

zu

a

A B C

PAC

PßA

PßB

PBC

P

P

p

CA

CB

CCj

b e z e i c h n e d i e Anzahl

der A u t o s ,

d i e morgens

in A s t a r t e n

b e z e i c h n e d i e Anzahl

der Autos,

d i e morgens

in B s t a r t e n

b e z e i c h n e d i e Anzahl

der A u t o s , d i e morgens i n C s t a r t e n

Y^ : = ( A n z a h l Autos, Y„, Yr B'

Pab

so:

der A u t o s , d i e abends

in A sind)

d i e n i c h t v e r l i e h e n werden von A)

sind entsprechend

definiert.

(Anzahl

der

XAA:

bezeichne die Anzahl der Autos, d i e morgens i n A s t a r t e n und abends i n A s i n d

XßA:

bezeichne d i e Anzahl der Autos, d i e morgens i n B s t a r t e n und abends i n A s i n d

Xj.^:

bezeichne d i e Anzahl der Autos, d i e morgens i n C s t a r t e n und abends in A s i n d

Es g i l t E

(

Y

E(Y

A ) A

)

dann:

"

E(X

=

E ( E ( X

A A

XAA

)

+

A A

E ( X

I Z

A

R 4 ); BA

) )

+

+

+

I Z

ß A

b(k;nA,pA)E(XAA!ZA=k)

+

b ( k ; n c , p c ) E ( X C A | Z c = k)

= j j

b(k;nA,pA).k.pAA

k o

=

PAA'PA- n A

b(k;n

C'PC)' +

+

X CA"

E ( XCA' R & )

E ( E ( X

• j *

+

X BA

B

) )

+

J ®

+

E ( E ( X

+

J «

I

C A

z

c

1)

) )

b ( k ; nß , p B ) E ( X ß A | Z ß = k )

b(k;nB>

pB).k.pBA

k ' PCA

PßA" Pß" n B

+

PCA^C^C

Analoge Überlegungen führen zu: B> C> a)

=

PßB"PB

=

p

1

cc,pc =

B>

c >i

nß

+

nC

+

P AB

• PA' n A

f

PCB • p C ' n C

PAC

• pA'nA

f

P BC

' P AA

p BA

P CA

PAB

PßB

p CB

( pAC

PßC

PCC /

S c h r e i bwei s e :

E(Y)

\

fNA'

V

'

P

• PB"nB

A\

pB

\nC' Pcj

• P-E(Z)

Beachten w i r nun, daß d u r c h s c h n i t t l i c h

"

A

P

A

>

"GPß

^zw. n^-pj.

Autos an den Orten A, B bzw. C nachgefragt werden, so i s t

der

e r w a r t e t e a b e n d l i c h e Autobestand gerade: / „ crw < nA

„ «er

\nc 1)

Zur

PAA

PßA

PCA

p AB

PßB

p CB

kpAC

P BC

PCC,

V e r i f i z i e r u n g dieser

n. nB

B

"

APA

nBpB

rp \ n C - nc^cy

Umformung

vergleiche

der

Leser

A.1.3

30

Verdeutlichen

wollen

wir

uns

den

Sachverhalt

an

folgendem

Zahlen-

beispiel :

/ l P

=

erw V /nA

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1

\

\ / /

/ 1 7

1 7

1 7

n-">

Grenzvertei1ung und

zeit-

stationär.

im

Markoffkette

alle

Anfangsvertei1ung

sind

nicht

Anfangsverteiund

der

so

als

heißt

überein.

innerhalb

dabei

die

bleiben,

Übergangsmatrix

vollkommen

vereinbaren

wir:

Definition

Eine

Markoffkette

Verteilung

der

besitzt

eine

ergodische

{p^JJj

von

1 iP-j}-j e j

der

1.22

Verteilung,

Zustandswahrscheinlichkeiten

s c h e i nl i c h kei ts v e r t e i 1 u n g

Für

so

"stabilisieren",

£(o)

genügt,

Verteilung,

(behalten

ist

konstant

asymptotische

die

(1.17)

mit £(o)

aber

wir

Verteilung

man £(»)

vor,

Verteilung,

können der

Anfangsvertei1ung Wird

bleiben

die

nicht

Verhalten gegen

stimmen

Wählen

wenigstens

p.j(n):

der

-

die

stationäre

Anfangsvertei1ung selbst

stationäre

konstant,

P

p(n)

Klasse.

mehr

Umständen

Markoffkette

bezüglich

lichen

p,

Verteilung.

A n f a n g s v e r t e i 1 ung

konvergiert, 11

n

falls

die

eine

Wah

gegen die

unabhängig

Satz die

ergodische

Verteilung v je

3

«

einer

: lim n-voo

Markoffkette

gilt:

pj") = p* J

Bewei s: Besitzt die

=

1)

die

Markoffkette

Anfangsvertei1ung

In

angelsächsischen

eine

ergodische

unabhängig rait

6

ji

wählen;

=

Literatur

{

Verteilung, speziell

1

für

0

sonst

wird

für

so

können

wir

für

j=i

die

sehr

anschauli che Bezei chn u/j gswei se der "long run distribution" auch der "steady-stäte distribution" verwendet. Der Leser sei schon an dieser Stelle auf den Unterschied einer Marko ffkette, die eine ergodische Verteilung besitzt, der noch zu definierenden ergodischen Marko ffkette (Def, hingewiesen, über den Zusammenhang dieser beiden Begriffe gleiche Bemerkung 6.13.

oder zwischen und 4.5) ver-

32

gilt £

(n)

und pi

-

(p^(n),...,Pjj

| (n))

-

(«^

,,.pn

,?

=

(p j [ >.. . . ,p j J ^

daher = lim

Pl

(n)

=

lim p i " )

n -voo

V je? .

n-»«

®

Definition

1.21

wird

durch

deutlicht,

denn

egal

welche

wird,

die

Verteilung

vorliegt,

(lim pj"> n+c»

= lim n-»-»

Weiterhin

ergibt

godischen

lung Für

Pjj)

mehr

eine

ketten

und

teilung

fordern

§ 2

etwas

n-stufigen

eine

ver-

gewählt Ober-

ergodische

1.22

mache

der

Diskussion

als

sich

{p*}^^

des

p als

Definition

klar, daß von

Obergangs-

der

einer

man

er-

dann

Anfangsvertei-

Bedingungen

Graphentheoretische

wir

für

angeben;

Obergangsmatrix sie

Grenzverhaltens

Hilfsmittel,

In § 6 w e r d e n

Markoffkette

(falls

und

(Aufgabe!).

muß.

wir weitere

hinreichende

Grenzverteilung

die

falls

Harkoffkette

Satz

Der L e s e r

Unabhängigkeit

der

1.22

i P ^ ^ j

, j.: '

verwenden

werden.

einer

p*)

s»tati t a t i oonär näre

ausführliche

Eigenwerten

bzw.

konvergieren,

«

eine

benötigen

bereitstellen dige

=

Autoren

die

Satz

gegen

Verteilung.

(Pi(°)>iej

und

(p^i) ^e a- aa l ss AAr n f a n g s v e r t e i 1 ung

genommen,

Verschiedene

nicht

Fußnote

Anfangsverteilung

Zustandswahrscheinlichkeiten

gangswahrscheinlichkeiten

matrix

ihre

dann

die

die

einer

die wir

von

Markoff-

in d e n

§ § 2 - 5

insbesondere

Existenz

Beziehungen

Harkoffkette

existiert!)

der

werden

notwen-

Grenzver-

zwischen und

in § 8

den

ihrer

aufgezeigt.

Grundlagen

\

In § 2 w e r d e n

wir

uns

einige

Diese

sind

einer

Obergangsmatrix

Untersuchung

zuerst

der

2.1

DEFINITION

Ein

orientierter

nichtleere Relation

Menge

auf

Br)

einer

ist e i n

(Punkte) sind.

bei

behilflich

Struktur

Graph

Grundlagen

einmal

der

Graphentheorie

der

anschaulichen

und

werden

Markoffkette

Paar

G

=

uns

darstellen.

Erläuterung

später

die

erleichtern.

(Bg,Fg), wobei

und Fg

eine

Teilmenge

von

(F. h e i ß t

auch

Pfeilmenge).

Bg

Bg x B g

eine (binäre

33 In ü b l i c h e r Weise v e r a n s c h a u l i c h t man die Relation Fg auf Bg durch ein

Pfeildiagramm.

2.2

Beispiel

G = ({1,2,3,4,5}

,

{(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,3),(4,5),(5,3)})

2.3 DEFINITION Eine Folge w p Fq heißt Weg

* 1

= (im Graph G) mit A n f a n g s p u n k t

von Elementen

ij und Endpunkt

aus

ip.

(Abkürzend schreiben wir auch w n = ) • 2.4

DEFINITION

Ein b e w e r t e t e r Graph ist ein Paar Graph und b eine Abbildung U

(G,b), wobei

{ < ( i i » i 2 ' S C ^ » ^ ) '•• • • ^ V l ' V

nelN

in IR sind mit n a c h f o l g e n d e n V WpW2

G ein

orientierter

von 5

(1

' '

k^'k+l1

eF

G

f ü r

k e { 1

" •, n " 1 } i

Bedingungen:

e W : b ( W j O W 2 ) = b(wj) @

b(w2)

für solche Wege W j , W 2 , bei denen der Endpunkt von Wj und der A n f a n g s p u n k t von w2 ü b e r e i n s t i m m e n ; w ^ c ^ w2

zusammengesetzte

®ist

ist der aus Wj und

Weg.

eine assoziative V e r k n ü p f u n g

auf IR .

Wir wollen nun diese g r a p h e n t h e o r e t i s c h e n

Begriffe auf

Harkoffketten

übertragen. Sei P = (p. .), . « die O b e r g a n g s m a t r i x • J 1 »Je 7 Z u s t a n d s r a u m J c IN , so heißt G

=

( J , F G = {(i,j)

E

J

O b e r g a n g s g r a p h der b e t r a c h t e t e n

2

|P i j

einer M a r k o f f k e t t e

> 0»

Harkoffkette.

mit

(2.1)

34

(G,b) mit b: W ->• (0,1];

(2.2) b: Wbw= i2);(i2>i3);...;(in.1in)>H>pi ..Pi . p l t ¿3 n-1 n heißt vollständiger Obergangsgraph der Harkoffkette. 2.5 Beispiel

P =

/l 1 1 ' 7 7 ? 1 1 7 1

2 = {1,2,3} ,

Fg = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3)}.

Beispiele für Wege im Obergangsgraphen: Wege von 1 nach 2 Wege von 3 nach 2

z.B. z.B.

, . , , .

Die Bewertungen der Wege erhält man wie folgt: Wege von 1 nach 2:

b() = ^ .-j. = £ b()

Wege von 3 nach 2:

- ^

b() = -j ' •J'

=

T7

b() b( 0 a K p ( m ) iJ ji gegenseitig erreiahbar. m e IN :

und T r a n s i t i v i t ä t

""; unmittelbar

aus D e f i n i t i o n

von " — > "

> 0

ü b e r t r ä g t sich

2.6 f o l g t , daß

U

i s t ; < ~ ~ > i s t also e i n e Ä q u i v a l e n z r e l a t i o n

K^

mit K^ n K^ *

a u f J , d.h. Klassen.

f ¿ ^ und e i n e r

geeigneten

Indexmenge

^

3)

L

Bemerkung

a) W e n n

im f o l g e n d e n von K l a s s e n von Z u s t ä n d e n einer

die Rede ""'. b) Das

ist, m e i n e n w i r stets

ftquivalenzklassen

Bestehen oder Nichtbestehen

der R e l a t i o n

i i j läßt sich l e i c h t am Obergangsgrafihen

d e u t e t , daß m i n d e s t e n s j führt;

eine P f e i l f o l g e

ij b e d e u t e t , daß m i n d e s t e n s

j und m i n d e s t e n s 2.9

= 0 für ^

auf

" zusätzlich

der Z u s t a n d s r a u m J- zerfäl lt h i n s i c h t l ich in d i s j u n k t e

für

i stets

durch:

: 3neIN,

2.8

i~~>j,

i ~~> i s t e t s .

Die R e l a t i o n =

in Z e i c h e n

für lVj; für i=j heißt

Beispiel

eine Pfeilfolge

Harkoffkette

von i

hinsichtlich bzw.

ablesen,

(orientierter i führt.

be-

W e g ) von

eine P f e i l f o l g e

von j nach

i2,

folgende

2 — > 3,

3 —>2,

Äquivalenzklassen Wir

wollen

Relationen:

nun

4 —>3

sind:

noch

2.10 Sei

so

a)

| U^

b)

K

:

i

K£, : < = >

v

Definitionen

"_" i s t

ist

f

i

n

K

"

zwar:

DEFINITION

Ki > Kt< : < = > ist

Ki > Kt,

transitiv;

dies

pliziert;

zusätzlich

(wegen

i

K

Ordnung

2.12 Für

K

j e K£r : i — > j .

bzw.

deduzieren,

2.11

te

= {4}

.

nicht

"i"

"

K3

gehen

v i

demnach

beispielsweise

auf

'>

auf

Eigenschaft

valenzklassen

n>

weiter

Ordnungsrelation

j E K £ I : i ~~>j

2.10

anti s y m m e t r i s c h ;

Von

{2,3>,

sind.

sprechende

"i"

=

i c (1,2,3) .

3 i eK^,

daraus,

Reflexivität

tion

wir

i

unmittelbar

Die

für

(1),

Schritt

eine

= ^

definieren

K^

Die

i«~~>i

DEFINITION

K^, >

" K^

durch

die

Transitivität

anti symmetri s c h , folgen

kann;

da

d.h.

aus ">"

von

im-

K^ > ist

K^,

eine

strik-

.

Beispiel die

Klassen

aus

Beispiel

2.9

gelten

folgende

Ordnungsbezie-

hungen : (1)

>

nicht

(2,3);

{4}

>

vergleichbar.

{2,3};

{1}

und

{4}

sind

bezüglich

">"

bzw.

">" A

37 2.13

DEFINITION Klasse

< = >VK¿

K e t

^el^e Pj.¡

Kj,

> im

= 0,

d.h.

, e r r e i c h t | K, w u r d e

ver-

1

Zustandsraumes J

lassen

sich

finale

charakterisieren;

SATZ

Gleichgültig stets

in w e l c h e m

ist

Element

Den

Beweis

dieses

den

Seiten

290

Bei

nicht

ohne

Zustand

z(0)

= i die

Markoffkette

finalen

Klasse)

=

beginnt,

gilt:

lim P(z(t) t+co

immer

-

beim

endliche

Satzes

findet

Zustandsraum

gültig,

gesichert

einer

man

etwa

bei

1.

Rutsch

(1974),

auf

292.

endlichem

weiteres

Selbst

da j a

die

ist

Satz

Existenz

2.17

natürlich

finaler

Klassen

nicht nicht

ist.

Vorhandensein

Zustandsräume

finaler

nicht

immer

Klassen

ist

gültig.

Hierzu

Satz

2.17

{i}

i e IN \ {1}

das

für

un-

nachfolgende

Bei s p i e l :

2.18

(1)

0,

Wi-

j ¿Kj. > 0 gilt

= P

Klasse;

e IN

(n

V

gilt

1.

Voraussetzung

j

Falle

Klassen

ein

i und

V 0 = ¿-j jT^ 1assen). Im

i e Kj

für

so w ä r e n spruch

e K | z (t) e K)

| z ( t ) e K)

Beispiel

ist

sient.

finale

Klasse,

die

Klassen

mit

sind

tran-

40

F a l l s die M a r k o f f k e t t e g i n n t , gilt l i m P ( z ( t ) t-f» F a l l s die M a r k o f f k e t t e Element einer z(0)

in z ( 0 ) = 2 b e g i n n t , gilt: lim P ( z ( t ) Klasse) = — , und für den

= 1 e r h a l t e n w i r : lim P ( z ( t )

Klasse)

§ 3

finalen

in e i n e m Z u s t a n d z(0) = i e IN \ {1,2} b e ist E l e m e n t e i n e r f i n a l e n Klasse) = 0.

Anfangszustand

ist E l e m e n t e i n e r

finalen A

= 1.

Obergangszeiten

Zur w e i t e r e n

Klassifikation

der Z u s t ä n d e e i n e r M a r k o f f k e t t e

nötigen wir die nachfolgenden

3.1

be-

Begriffe:

DEFINITION

L i e g t e i n e M a r k o f f k e t t e mit Z u s t a n d s r a u m so

ist

, (|

| j' ist

ist,

zu

zeigen.

j ' E C^ C j ] würde

[jl.^eine

wegen echte

im W i d e r s p r u c h

zur

M.

•

SATZ

Die

Menge

aus

erreicht

M(i)

aller

werden

Zustände können,

j

ist

e^,

die

von

einem

abgeschlossen.

Zustand

i e

49 Bewei s : Unmittelbare

F o l g e r u n g aus d e r D e f i n i t i o n

M(i) m u ß n i c h t n o t w e n d i g e r w e i s e M(i)

bereits

eine K l a s s e

Abgeschlossene Mengen zwar

gemäß

4.12

DEFINITION

ist M ( i )

•

wenn

final.

l a s s e n sich n o c h w e i t e r

V 1 ,j e M

"abgeschlossen".

eine K l a s s e s e i n ; a b e r

i s t , dann

Eine M e n g e M von Z u s t ä n d e n :

von

unterteilen,

und

h e i ß t i rreduzi bei 3 n e IN

: pf^

> 0

;

g i l t dies n i c h t , so h e i ß t M r e d u z i b e l •

4.13

Bemerkung

Eine

irreduzible

Klasse;

abgeschlossene

Menge

ist d e m n a c h

bereits

eine

Irreduzibilität einer Zustandsmenge M allein bedingt

noch

nicht die Klasseneigenschaft,

da b e i s p i e l s w e i s e j e d e

Teilmenge

einer Klasse zwar irreduzibel

i s t , a b e r keine

darstellt.

B e s t e h t die M a r k o f f k e t t e irreduzibel.

Für e i n e r e d u z i b l e M a r k o f f k e t t e

i, j e ^ d e r a r t , d a ß f ü r alle n e IN liegen Ki

i, j in v e r s c h i e d e n e n

> Kj noch Kj > K i

die M a r k o f f k e t t e

stets

Klassen

erfüllt

ist

vollständig

junkte Vereinigung

(beachte D e f i n i t i o n

e r r e i c h e n , daß die O b e r g a n g s m a t r i x Diagonalmatrix Wir wollen

übergeht,

Mengen

getrennt

der Z u s t ä n d e

P in eine

behandelt

können wir

sind; dazu benötigen wir

SATZ i ist r e k u r r e n t

i rekurrent < = >

=

11

genau dann, wenn

-

f.. =

dis-

darstellen,

im f o l g e n d e n z e i g e n , daß die v o r h i n d e f i n i e r t e n

l pi?1 n=l 1 1

Ist

dann

verallgemeinerte

Hilfsmittel.

Ein Z u s t a n d

weder

2.10).

(s. § 7).

g r i f f e alle K l a s s e n e i g e n s c h a f t e n

4.14

Somit

läßt s i c h ^ , als

abgeschlossener

Durch geeignetes Umnumerieren

selbst

Zustände

= 0 gilt.

r e d u z i b e l , d.h.

irreduzibler

sie

existieren

K.¡ bzw. Kj, f ü r die

so kann j e d e d i e s e r M e n g e n als M a r k o f f k e t t e werden.

Klasse

aus nur e i n e r K l a s s e , so heißt

, ? n=l

d.h.

ff?) = 1 < = > 11

gilt:

T n=l

pf?) = 11

Beweitere

50

B e w e i s: Mittels hang

des

Satzes

A 4.1) f

und der

ii

-

11

4.15

Uber

die m a j o r i s i e r e r i d e

Formel

1

(3.10)

l n=l

= 1

11

Konvergenz

erhalten

wir:

< = >

g

l i m

t-1-

lim Gp (t) = « > < = > tn-1ii

f

I pj") n=l

(*> i i

=

(siehe

An-

1

=

•

SATZ

Ist M eine alle

Klasse,

rekurrent

so

oder

gilt:

alle

die

Zustände

aus

M

sind

entweder

nicht-rekurrent.

Bewei s : Sei

I

i e M

und

>

existieren pi1!1' >

0 und

der

gilt:

f,.,. =

1 und

gemäß

Satz

4.14:

hieraus

natürliche

JJ

somit

j r

r.ke^

n und m

mit:

Gleichung

r k

kj

(1.5)

J1

~

folgt

nun:

1J

folgt: -

li o JJ Wegen

Zahlen

0.

Chapman-Kolmogoroff'fcchen H

Von

so

p W = -.

n=1 P " für j E M

Aus

i rekurrent,

J n=l f..

= ™

J1

gilt

1J

aber

11

¿o

gemäß

(•*•) a u c h

7 l=o

11

=

1, d . h .

j

ist

rekurrentenZuständen

pff^

= -

und

J J

rekurrent. können

nur

rekurrente

Zustände

erreicht

werden. Sind

nun

i, J

E M

i nicht-rekurrent

Elemente

ein

ist, j auch

Teil

1 des

Beweises

aus

4.16

SATZ

(a)

i positiv-rekurrent

und

derselben

j rekurrent

und

Klasse,

nicht-rekurrent auch

sein,

so m u ß , da s o n s t

i rekurrent

3 n e IN : p i " '

> 0

=>

folgen

j

falls mittels würde.

positiv-

rekurrent

(b)

i nul 1 - r e k u r r e n t

und

3 n e IN :

> 0

=>

j nul 1 - r e k u r r e n t .

B e w e i s: Aus

Satz

4.15

folgt:

3nj>n2

E

^

:

(nx) Pji > 0

(nz) A p^> 0

;

51 damit e r h a l t e n wir f ü r a l l e m t IN : (n1+m+n2)

p

n

jj

-

(n1+m+n2)

m-1

(n x )

p

ji n

p

ii '

(n2)

p

(n:)

~ m= 1

P j j

(m)

'

(m) '

P j i

ij

(n2) '

P i i

Pl'J

Beide S e i t e n der l e t z t e n Ungleichung werden durch n d i v i d i e r t

und

umgeschrieben zu: n

l+n2+n ••1

(m)

n

l

+ n

2

m-1

P j j

(m)

n

" " ü

,

("l)

1

*

P

("2) ij *

(m)

m=1 P i i ^

(4

.. -!)

Zur weiteren Abschätzung von ( 4 . 1 ) benötigen w i r eine Aussage über

lim n-»-»

J . -SL^

;

n

l

e {i,j}

(4.2)

(Abschätzungen d i e s e r Art werden wir noch in den folgenden §§ ver-

wenden) .

Hierzu d e f i n i e r e n w i r folgende T(r)

Zufal1svariablen:

= min{n E IN : Xp = i und 3 0 < t j < t j < . . . < t r _ j < n Xt = i für k e { 1 tR

r-1} und X„ = i } o

mit (4.3)

I r) d.h. T s . ' nimmt der Wert m > r an, wenn der Zustand i zum ( r + l ) - t e n Mal zur Z e i t m e T angenommen wird. : = l!r) - T^"1) für r >2 W(r) W^ 1 '

:=

= m i n {n e IN : X n = i und XQ = i > = T ^

w(r'

wird a l s W a r t e z e i t zwischen der r - t e n und ( r + l ) - t e n Annahme

des Zustandes i

Def.

bezeichnet.

l ä ß t sich nun d a r s t e l l e n = Wj1' Die w ! v )

(vgl.

+

( ve { 1 , . . . , r } )

wj2>

als: +

...

+

«(")

sind unabhängig, i d e n t i s c h v e r t e i l t

wie

d i e Z u f a l l s v a r i a b l e T^. und besitzen f o l g l i c h den gemeinsamen Mittelwert y . . = E(T. i ) .

3.1)

52 A u s dem s t a r k e n

Gesetz

der großen

7 (r) l i L r Die Z u f a l l s v a r i a b l e schließlich Hieraus

• N(n'

Zeitpunkt

ergibt

sich

v

Zahlen

f.s.

u

gebe an,

Nj

(n)

der

Unter

Beachtung

Satzes

lim

— n

schreiben n )

der

=

? m=o

l

+

1

f.s.

-1— wii

f.s.

l ^ j J

(4.5)

J

i e

als: iti>(x.)

Beziehung E ( l

von der m a j o r i s i e r e n d e n

-2=2n

n )

(4.4)

Indikatorvariablen

i

{ i }

(X

m

)

| XQ=i)

Konvergenz

= pj™)

erhalten

p!?' •

ein-

,(n)

\

dann:

N

bis

ii

H(n) siehe

f.s.

Hilfe

i

1J

und s o m i t die p o s i t i v e

4.17

P l J

>

0

"H

R e k u r r e n z v o n j.

Bemerkung

Rekurrenz, positive sind also

Rekurrenz, Null-Rekurrenz

Klasseneigenschaften;

a b e r ü b e r d i e s , d a ß von r e k u r r e n t e n stände erreicht werden von n i c h t - r e k u r r e n t e n

und

Nicht-Rekurrenz

aus dem B e w e i s von S a t z 4 . 1 5 Zuständen

können; umgekehrt Z u s t ä n d e n aus

nur r e k u r r e n t e

ist es j e d o c h

folgt Zu-

möglich,

r e k u r r e n t e Z u s t ä n d e zu

errei-

chen.

Zustand

1 ist r e k u r r e n t ,

1

-

Da {1,3}

T Jo

-

denn:

1

1

-

1

? - 1

e i n e K l a s s e i s t , gilt auch f ^

Zustand

J n = l n(|)n n=l n=l 2 ist n i c h t - r e k u r r e n t , d e n n :

P23 = ^

kann Z u s t a n d

Wegen E ( T U )

=

(siehe

in B e i s p i e l

auch Aufgabe

= 1.

= 2, ist 1 p o s i t i v r e k u r r e n t ; ... j f^z • f ^ ' = ? > a b e r w e g e n

3 von 2 aus e r r e i c h t w e r d e n .

Zur V e r t i e f u n g d e r b i s h e r e r w ä h n t e n Leser etwa

1

8).

±

S ä t z e und D e f i n i t i o n e n , möge

2.5 die R e k u r r e n z

der Z u s t ä n d e

nachprüfen

der

54

4.19

SATZ

Jeder nicht rekurrente erreicht werden

Zustand, von dem aus e i n r e k u r r e n t e r

k a n n , ist

Zustand

unwesentlich.

Bewei s: Ist i E J

ein n i c h t r e k u r r e n t e r Z u s t a n d und gilt

kurrenten

Zustand j e J : pjj^

wesentlich Klasse

s e i n , da sonst j — > i

B e z ü g l i c h der e b e n a n g e f ü h r t e n

re-

zu S a t z 4 . 1 5 .

nicht

"Eigenschaften"

g

rekurrenter

Zustände zerfällt der Zustandsraum J

liche V'eise in drei

{i e J

E

für e i n e n

IN , so kann j

f o l g e n w ü r d e und i, j in e i n e r

l i e g e n w ü r d e n , im W i d e r s p r u c h

nicht-rekurrenter

E0:=

> 0 für ein n

Kategorien von

auf

und natür-

Zuständen.

| i nicht rekurrent A Obergang

in r e k u r r e n t e n

Zustand

i st mögli ch) Aj,...,Ak

Klassen AVs

A

0

:=

(

1}

[E

L

0

U

rekurrenter Zustände

i = l,...,k U

n= 1

A ! n

J

(Obergänge zwischen

sind g e m ä ß Satz

5.2 n i c h t

den

möglich)

=

= {i c j |i n i c h t - r e k u r r e n t n i c h t - r e k u r r e n t

—»-rekurrent unmöglich}

55 Zu E q g e h ö r e n a l l e

nicht-rekurrenten

kurrente Zustände erreicht werden l i c h , daß m a n von e i n e m

i e E Q aus

auch einen nicht-rekurrenten

Aj,...,A|( Aq

Z u s t ä n d e , von d e n e n aus

können, Es sowohl

Zustand

sind die r e k u r r e n t e n

Z u s t ä n d e n , von d e n e n

Zustände

(A0, Aj,..., A^, E0}

ist eine Z e r l e g u n g

falls

erreicht werden

denn ein O b e r g a n g

kann von A

aus E

o

von J

; überdies

aus

U A n nach E q ist n= 1 n i c h t e r r e i c h t w e r d e n , da m a n

unmöglich, andern-

k

nach

(im A

„

Widerspruch

nicht

n

CEq

ist

von

erreicht

SATZ

A l l e Z u s t ä n d e ein u n d d e r s e l b e n K l a s s e s i n d e n t w e d e r oder

als

können.

U A g e l a n g e n könnte n=l k zur K o n s t r u k t i o n v o n A _ ) ; da von A„ aus auch U 0 0 n=l w e r d e n k a n n , ist A q e b e n f a l l s a b g e s c h l o s s e n .

4.20

Uber E Q von A

o

einen r e k u r r e n t e n ,

K l a s s e n d e r M a r k o f f kette.

nur n i c h t - r e k u r r e n t e

ebenso

re-

mög-

erreicht.

b e s t e h t aus a l l e n n i c h t - r e k u r r e n t e n

abgeschlossen,

ist also auch

wesentlich

unwesentlich.

Bewei s : Es sei

i e J

zeigen

ist, daß für Z u s t ä n d e i ,

wesentlich

wesentlich,

(unwesentlich)

d.h. auch

Für i,i' e K und i w e s e n t l i c h

V j e ^

:

1

'~~> J

=>

= >

j ~~>i

V j e ^ i1

: i

i' w e s e n t l i c h ergibt

i1 w e s e n t l i c h

i

i '~~> j

=>

j—>1—>i'

Mit dem letztem Teilergebnis i unwesentlich

n(i

j~~>i

Klasse

=>

zu

K aus i

(unwesentlich)

sich n a c h f o l g e n d e

folgt.

Sequenz:

i~~>j =>

d . h . i' ist w e s e n t l i c h ; d u r c h V e r t a u s c h e n insgesamt:

=>

aus d e r s e l b e n

j—>i'

von i und i 1

ergibt

f o l g t dann

wesentlich)

auch: n(i' wesentlich)

•

Aus dem Beweis von S a t z 4.20 e r g i b t sich u n m i t t e l b a r , d a ß m a n Z u s t a n d n i c h t zu u n w e s e n t l i c h e n

Zuständen

gehen kann;

(umgekehrt

ist ein O b e r g a n g j e d o c h m ö g l i c h . )

wesentliche

Klasse

abgeschlossen.

verhaltes sene

Klasse

ist

ist t r i v i a l e r w e i s e ist

wesentlich.

auch

d.h.

Die U m k e h r u n g d i e s e s r i c h t i g , d.h. jede

i1

unwesentlich.

einem wesentlichen

sich

i wesentlich.

von überjede

Sach-

abgeschlos-

56 4.21

Beispiel

{1,2}

ist e i n e w e s e n t l i c h e K l a s s e , e b e n s o

l i c h ; O b e r g ä n g e von Wenn w i r von einer Klasse übergegangen sentlicher

{3} nach

{1,2} bzw.

unwesentlichen s i n d , so

scheinlichkeit

null).

Besteht

{3} ist

Klasse zu e i n e r

ist w e g e n

K l a s s e n eine R ü c k k e h r

{4}.

unwesent-

{4} sind j e d o c h

möglich.

•

wesentlichen

der A b g e s c h l o s s e n h e i t

nicht mehr möglich

nun eine s o l c h e

we-

(nur mit

K l a s s e aus

Wahr-

nur

einem

E l e m e n t , so h e i ß t sie a b s o r b i e r e n d

(vgl. D e f i n i t i o n

4.3 a ) ) ,

absorbierende

einelementige,

wesentliche

Klasse.

Zustände

bilden

- Für reflektierende

eine

Zustände

liegt der S a c h v e r h a l t

d.h. etwas

anders.

4.22

SATZ

(a) E i n e M e n g e r e f l e k t i e r e n d e r weise

eine

(b) R e f l e k t i e r e n d e wesentlich

Zustände bildet nicht

Zustände

k ö n n e n sowohl

wesentlich

als auch

un-

sein.

Den o b i g e n S a t z w o l l e n wir a m n a c h f o l g e n d e n 4.23

notwendiger-

Klasse.

Beispiel l

Beispiel

erläutern.

57

Die Z u s t ä n d e il.2),

1 , 2 , 3 und 4 sind

reflektierend.

{3} s i n d K l a s s e n , e b e n s o

K l a s s e , (3), {4,5} Bei der B e a r b e i t u n g schon vermutet eventuellen

( 4 , 5 ) ; {1,2}

ist e i n e

wesentliche A

sind u n w e s e n t l i c h . der B e i s p i e l e

in § 4 w i r d der L e s e r

h a b e n , d a ß eine w e i t e r e

Periodizität

vielleicht

Klasseneigenschaft

ihrer Z u s t ä n d e

liegen

könnte.

in

einer

H i e r z u der

folgende Satz :

4.24

SATZ

(a) A l l e Z u s t ä n d e

e i n e r Klasse b e s i t z e n d i e g l e i c h e

(b) Gl e i c h p e r i o d i g e einer

Zustände

Periode-

liegen nicht notwendigerweise

in

Klasse.

Beweis: (a) W i r z e i g e n z u n ä c h s t , daß für ein

i e \

m * (i) e IN

f1 )) > o g i l t f ü r

e x i s t i e r t d e r a r t , daß p i

m i t P e r i o d e d(i)

ein

alle

m > m*(i). Aus S a t z A 4.3 f ol g t , daß zu D.j:= i n e ! N 0 | p i " ' > 0} e i n e T e i l m e n g e D * = {n^

, - - • .n^}

d(i) V m > m*(i)

Wegen D * c Di pil^i))

:= G G T ( D . )

3 t> 1 ,b 2 - - - b k gilt:

= GGT(D*)

und

IN : m d ( i ) = b j n j + b ^ n 2 + ... + b ^ n k .

(bin,) p^

>0,

(bknk) ..., p ^

>0

und s o m i t

auch

> o .

S e i e n nun i,j e } n,m mit:

pi j '

p'ür j e d e s

t e D^

p j ^ " ) Da sowohl

a u s einer > 0

>

erhalten wir > 0

> 0 .

m + £ + n als auch m + 2 £ + n zu Dj g e h ö r e n ,

d

Zahlen

dann:

und

d

folgt:

(j)|m+2£+n

(j) | (m+2£+n)-(m+£+n)

da dies für alle f c D 1 d ( J ,

K l a s s e , so e x i s t i e r e n n a t ü r l i c h e pj1?) > 0.

und

u n d

=

E

endliche

existiert,mit:

d

gilt, folgt

-h"

d

U > U

insbesondere:

|- = 2IN = >

d(i)

= 2

H d l

4} .

• Durch die

Periode

K. w e i t g e h e n d nächst

den

d(i)

sind

bestimmt.

die

Übergänge

Um d i e s

innerhalb

nachzuweisen,

einer

benötigen

Klasse

wir

zu-

d^-

e 1N0

nachfolgenden

4.25

SATZ

Sind

die

d(i)

= d(j)

Zustände

i ,j

gegenseitig

d, so e x i s t i e r t

m i t d ^ j £ d - 1 , und es VnelN

3 m e I N

wählten

n abhängt

o

erreichbar

ein eindeutig

und

gilt

bestimmtes

folgt:

: p ! " ' > 0 und d .

=>

n = m-d + d ^ j ,

nicht

mit n

wobei

m vom g e -

variiert.

Bewei s : Für n < d

folgt

m = 0

und

d^j

= n

für

n = d

folgt

m = 1

und

d.-

=0

für

n > d

ist

Die

Eindeutigkeit

s t r u kk 't i o n .

m >_ 1 d i e g r ö ß t e der

Darstellung

Wir müssen nur

ganze Zahl folgt

noch z e i g e n ,

n £ ^ und d ^ .

unmittelbar daß d i e

d^j

aus von n

= n-md. der

Kon-

unabhängig

sind. Seien

also

Wegen der k

n,n*e

IN , s o d a ß

e

= >

pj?+k>

also

gilt:

=

>

d

IN

mit

gegenseitigen p ^

> 0 d|n+k

pjj'

> 0 und p ! j

Erreichbarkeit

> 0.

'und und

|(n+k)-(n*+k)

> 0

,

d|n#+k d

-h"

d

|n-n*

) > 0.

von i

und j

existiert

ein

59 S e t z e n wir für n bzw. n* die n = md + d i j

bzw.

Darstellungen

n* = m - d + d i j , so = >

^{(-n-^d.^.-df.)! da sowohl tität

'Kj-dJj

d..j < d als auch d*j < d, i m p l i z i e r t

gegenseitig

erreichbar

(und u m g e k e h r t )

dl^ 1

d. 4 = d*.. 1j ij

Aus S a t z 4 . 2 5 f o l g t i n s b e s o n d e r e ,

ist.

folgt:

daß für zwei

sind, höchstens

die

ij

g

Zustände

ein O b e r g a n g

Iden-

ij

i,j, die

von

i nach j

in w e n i g e r als d = d ( i ) = d(j) S c h r i t t e n

möglich

-

Eine A u s k u n f t Uber die einer

4.26

"Reihenfolge"

K l a s s e gibt der f o l g e n d e

der Z u s t ä n d e

beim

Durchlauf

Satz.

SATZ

Es sei

K eine

legung

Z=

K l a s s e m i t der P e r i o d e d; d a n n e x i s t i e r t e i n e

i Z k | k = 0 , 1 , . . . d - 1 } von

in e i n d e u t i g

Zer-

K d e r a r t , daß die M e n g e n

gegebener Reihenfolge

zyklisch

durchlaufen

ausZ

werden.

Bewei s: e K definieren

Für i,j

j eZk(1) Weil

:

i und j in e i n e r

p j ? ' > 0. M i t t e l s jeZrf

wir: 3meINo

Klasse

für g e n a u ein d . e

d.h. die Z ^ ( i ) b i l d e n eine Z e r l e g u n g etwa Zf(i)

md + t

_

Z^(1)

= 0 für

0

ein s | K

p(2md+£+t)

=

o

-£e{0,l

, dann

steht jedoch

Eregbnis

i e K werden

Da s | K, h a b e n

impliziert,

im W i d e r s p r u c h

nach

von K a n g e n o m m e n .

Für

wir

daß für

= p( (2m+,k)d)

V k e IN .

zu der im B e w e i s

von

T a t s a c h e , d a ß nach e i n e r g e w i s s e n

(m > m* (i)) stets p('! , d ( i ) )

An-

> 0 gilt.

n i c h t l e e r , u n d die

{Z . (i) | £ e {0,1

zeigen,

folgt:

folgt insbesondere

0 -

(a) f e s t g e s t e l l t e n

Alle Z^(i) sind demnach

>0.

V t e IN0 . D i e s

Dieses

Z{1)

d-1)

y t e IN , und h i e r a u s kcIN:

laufzeit

von K. Wir w o l l e n n u n

gilt d e m n a c h :

t = k-d - l mit

Satz 4.24

,

ist.

n u r noch Z u s t ä n d e a u ß e r h a l b

p('? d + t ) = 0

überdies:

leer

v j e K. A u s g e h e n d von e i n e m Z u s t a n d

Obergängen

mindestens

(.0,1,. .. ,d-l}

J

daß k e i n e d e r M e n g e n p(md+£)

mit

nun:

ij

Sei

> 0.

l i e g e n , e x i s t i e r t ein n e IN

S a t z 4 . 2 5 folgt (i)

pj™d+k)

:

d-1}} g e g e b e n e

durch Zerlegung

von K b e s i t z t

60 keine

trivialen

weitergehen

vom g e w ä h l t e n V i,j Sei

Zustand

0
o;

d + f )

Seien

ist,

Schritt

Zerlegung

Z£.(J).

Wir

Für

nun noch e i n e n

oben angegebene

f e { 0 , 1 , . . . , d - l > . Wir müssen

d-1)

•

=

Wir wollen

daß d i e

[(m"+m*+k-l>d+£)

f a l l s

£

=

.

+ f l d

1

s+f)

t + f

>

d

.

1

k e Zt( i ) .

Damit i s t d i e legung Z(i) d-1 K l Z x=o

Durch

Unabhängigkeit von K g e z e i g t .

vom s p e z i e l l e n Z u s t a n d i Wir schreiben deshalb in

e K der Zukunft

Zer-

A

die

obige

Zerlegung

ist

auch der

Durchlaufsinn

der

Klasse

K

festgelegt. Für

einen

gilt:

Zustand

p(!"d+*+1)

3 e ZQ(i),

falls

Das n a c h f o l g e n d e klische

g e Z^(i)

> 0;

d.h.

j

und e i n e n E Z„

,(i),

Zustand

j

E K mit

falls

l+l

< d-1

PGJ > 0 bzw.

£+1 = d. Beispiel

Teilmengen"

soll

die

verdeutlichen.

Zerlegung

einer

Klasse

in

"zy-

61

d = d(i) ZQ(1)

=4

= {1}

V i e(1,2,3,4) ;

Z^l)

= (2}

d' ;

Z2(l)

f ü r den A n f a n g s z u s t a n d i = 3 g i l t Z0(3)

= {3}

;

Zj(3)

Die K l a s s e { 5 , 6 }

läßt

= {4}

;

= (5}

;

Z:(S)

= (6)

Zq(6)

= {6}

;

Za(6)

= (5).

Ein w e i t e r e s

Beispiel

und i s t junkte

= {1}

Art

= {4}

;

;

Zj(3)

= {2}

.

zerlegen:

findet

der L e s e r i n d e r Aufgabe 9.

nur e i n e K l a s s e

d i e P e r i o d e d , so können w i r Mengen Z Q . Z J , . . . a u f t e i l e n

(sie

ist

• • P* -

\

• Pd

Die q u a d r a t i s c h e n

Pl

•

• •

irreduzibel) in d dis-

und d u r c h e n t s p r e c h e n d e s der

Ver-

Markoffkette

überführen:

• p2

• •

••

•

• • ••

•

•

\

•

(4.10) ••

Pd

..

•

( U n t e r - ) M a t r i zen P k ( k c { l , . . . , d } )

dabei d i e m ö g l i c h e n Obergänge von bzw. von Z ( j _ 1 nach Z Q f ü r

also

den Zustandsraum J

t a u s c h e n von Z e i l e n und S p a l t e n d i e O b e r g a n g s m a t r i x i n d i e n a c h f o l g e n d e Form

= 2

Z3(l)

•

dieser

B e s i t z t eine M a r k o f f k e t t e

= d(6)

;

etwa:

Z2(3)

s i c h wie f o l g t

Z0(5)

= d(5)

= {3}

nach Z^ f ü r

beschreiben ke { 1 , . . . , d - l }

k=d. Nach d Obergängen b e f i n d e t man s i c h

62

wieder

in der A u s g a n g s m e n g e ,

eine verallgemeinerte gative

d.h.

die d - t e P o t e n z der M a t r i x P ist

Diagonalmatrix,

(vgl.

irreduzibel

das

Ist

eine

wir

die

Markoffkette Kette

regulär.

und

Wir w e r d e n

später

d i e s e m F a l l e das l a n g f r i s t i g e V e r h a l t e n deutig durch die Obergangsmatrix besitzen, folgt hieraus eigenschaft

ist; mittels

Charakterisierung

zugehörige

der M a r k o f f k e t t e

so

nennen

schon

Periode

eine

Klassen-

Satz 4.16 e r g i b t sich d a n n , daß die

Ergo-

ist.

der v e r s c h i e d e n e n

Abschnitt eingeführten

ein-

Ist.

Klasse s t e t s d i e s e l b e

Klasseneigenschaften

Im f o l g e n d e n P a r a g r a p h e n w o l l e n w i r w e i t e r e den im v o r i g e n

d=l,

sofort, d a ß die A p e r i o d i z i t ä t

d i z i t ä t a u c h eine K l a s s e n e i g e n s c h a f t

5.1

nichtne-

(vgl. § 6) s e h e n , daß in

festgelegt

Da a l l e Z u s t ä n d e ein und d e r s e l b e n

§ 5

auch § 7 über

Matrizen).

Beziehungen

Begriffen

zwischen

aufzeigen.

SATZ

Für die gende

Äquiva1enzklassen K einer Markoffkette

gelten

nachfol-

Beziehungen:

(a)

K

wesentlich

final

(b)

K

unwesentlich

transi ent

(c)

K

final

abgeschlossen

(d)

K

transient

offen

Bewei s: (a), K aus

(b)

Wenn

K wesentlich

erreicht werden

Wenn

K final

alle

Zustände,

d.h.

K ist

i s t , so k a n n K n i c h t die von

(c),

(d)

alle Z u s t ä n d e , die

zu K, f o l g l i c h

von

ist K f i n a l .

v e r l a s s e n w e r d e n , also

K aus e r r e i c h t w e r d e n

gehören

k ö n n e n , s c h o n zu

wesentlich.

(b) ist die N e g a t i o n von

folglich

ist, g e h ö r e n

können,schon

Eine f i n a l e

(a).

Klasse

kann

ist sie a b g e s c h l o s s e n

(d) ist d i e N e g a t i o n v o n

(c).

und

nicht mehr verlassen

werden,

umgekehrt. •

K;

63 Filr r e k u r r e n t e 5.2

Klassen

können wir

feststellen:

SATZ

(a) Eine r e k u r r e n t e

Klasse

(b) Eine a b g e s c h l o s s e n e viele

ist

abgeschlossen.

nicht-rekurrente

Klasse besitzt

unendlich

Zustände.

Bewei s: (a) Als

Erweiterung

variablen

der im Beweis

die a n g i b t , w i e o f t der Z u s t a n d Für jedes n e IN P(Nk

- - |X0

(falls

P(XQ

gilt

P(Nk

l

P^'-P(Nk

rekurrenten

Zustand

• -|X

0

= - | XQ

= k):= 0)

- 1)

(5.1)

k w o l l e n w i r z u n ä c h s t die

Beziehung

= k) = 1 n a c h w e i s e n .

"Gleichung"

für b e l i e b i g e s t e IN P(Nk >

l\ X Q

Daraus folgt durch

Weil

Nk,

wird.

- - |X„ - 1) -

Pk?)p(Nk

X

P ( N k > £ | X Q = k) = J ^ f k k ' - P ^ k ^ "

P(Nk—

Zufalls-

Zufallsvariable

k insgesamt angenommen

= k) = 0 , so d e f i n i e r e n w i r P ( N k

= « |X

Aus der

(erweiterte)

dann:

- k) =

•

Für einen

zu S a t z 4.16 e i n g e f ü h r t e n

d e f i n i e r e n w i r die

1

I X o =k > = f k k - P ( N k > i - l | X 0 - k )

erhalten wir = k) - ( f

k l

schließlich:

/

(5.3)

Grenzübergang:

| X 0 = k) = lim P ( N k > -e | X =k) = lim (f..)

k rekurrent P(Nk

o =

i s t , d.h.

- - | X0

und die G l e i c h u n g

fkk

= 1, e r g i b t

1

.

(5.5)

können w i r m i t t e l s

- P(Nk

- - | x 0 - 1))

insbesondere gilt

dann:

V

0 • pj[f ^ • (1 - P(

(5.4)

sich

- k) - 1 .

(5.1)

J j P ^ - O

ie-J.nsIN:

(5.2)

(5.5)

umschreiben

zu:

;

= - | XQ

= i )) .

(5.6)

64 Falls

j c J

von k aus e r r e i c h b a r

2 . 6 e i n n * E IN m i t

ist,

' > 0 ; aus

P(N k - - | X 0 - j )

existiert

(5.6)

folgt

gemäß

- 1 .

(5.7)

Durch ä h n l i c h e Überlegungen wie b e i der H e r l e i t u n g e r h a l t e n w i r nachfolgende P(N k = " I XQ = j ) und m i t t e l s p^j

>

'

(5.5)

1 und f ^

= f

j k

.

P(N k - - | XQ - k)

und ( 5 . 7 )

folgt

zusammen: liegt

[k], d.h.

(b) Für einen n i c h t - r e k u r r e n t e n (5.4)

(5.8) f

j

K endlich,

gilt:

K abgeschlossen = > so g i l t

überdies:

K final

=>

K wesentlich

K wesentlich =>

K rekurrent.

Bewei s : (a)

u n m i t t e l b a r e F o l g e r u n g aus den Sätzen 5 . 1 und 5 . 2

( b ) wäre K n i c h t - r e k u r r e n t , lich

5.4

v i e l e Zustände.

so besäße K gemäß Satz 5 . 2

(a) (a)

unend-

(Widerspruch).

•

Bemerkung:

Zusammenfassend können w i r Klassen d i e

Begriffe,

nun f e s t s t e l l e n ,

daß f ü r

endliche

65

wesentlich

- rekurrent

unwesentlich jeweils

- abgeschlossen

- nicht-rekurrent

äquivalent

bevor wir

5.5

K mit

unendlich

"K w e s e n t l i c h

dies

nachfolgenden

-

bzw.

transient

sind.

Für R q u i v a l e n z k l a s s e n Implikation

- final

- offen

=>

an e i n e m B e i s p i e l Satz

vielen

K rekurrent"

Elementen nicht

immer

aufzeigen, wollen wir

ist

die

erfüllt; noch

den

zitieren.

SATZ

Für jede

abgeschlossene

K rekurrent

Klasse

V i.jeK

:

K gilt:

i i j

=>

f 1 j = 1.

Beweis: " = > " Wurde

bereits

" < = " Bezeichnen nach

Ereignis,

von

kk

=

A

Zustand

daß,

erreicht wird, A

zu S a t z

w i r m i t Av'j d a s

k Zeitpunkten

A.jj d a s wann

im B e w e i s

so b e s t e h t


}

i, Z u s t a n d

k

O

•

Je? k hieraus

erhalten P

(Akk>

=

Wir: P

= |

J

0

131

gemäß Satz 5.8

*

•

= lim 1 = 1

lim n-»-»

j

l^

E

p{"> J

=

0

Widerspruch.

g

68 Für a b z ä h l b a r e n

Zustandsraum ^

ist das V e r t a u s c h e n

von

und

"lim" n i c h t o h n e w e i t e r e s e r l a u b t , da die V o r a u s s e t z u n g e n Anwendung

des S a t z e s

von der m a j o r i s i e r e n d e n

f ü l l t zu s e i n b r a u c h e n 5.10

Bemerkung

Satz

5.9 i m p l i z i e r t

Konvergenz

(vgl. h i e r z u auch Beispiel

die R e k u r r e n z

nicht

5.11

er

5.6).

einer endlichen

irreduziblen

M a r k o f f k e t t e ; für e i n e e n d l i c h e r e d u z i b l e M a r k o f f k e t t e m u ß jedoch

für di

n i c h t i m m e r g ü l t i g s e i n . H i e r z u das n a c h f o l g e n d e

dies

Beispiel

Beispiel 1/2 f T

11

1 = f* r ) ll

- 1 < 11 " 7

= f(l>

= 1

f22

1 ist ein n i c h t - r e k u r r e n t e r

5.12

und 2 ein

rekurrenter

Zustand.

SATZ

Eine M a r k o f f k e t t e

mit endlichem Zustandsraum ^

nul1-rekurrenten

besitzt

keinen

Zustand.

Bewei s: Eine e n d l i c h e M a r k o f f k e t t e b e s i t z t g e m ä ß S a t z 5.9 einen rekurrenten K.j r e k u r r e n t e r Hieraus

Z u s t a n d i, der

Zustände

liegt,

mindestens

in e i n e r a b g e s c h l o s s e n e n

(vgl. S a t z

Klasse

5.2 a)

folgt: l

l I m=l J E K 1

J

p!^

=1

I

I

jeK. m = l

V m e IN

Pff

- n

1J

! = >

l - 1 = i jeK. n Aus dem B e w e i s von S a t z 4.16 e r h a l t e n

lin

n+»

- 1

1J

n

Tim n->-»

(5.

wir:

1 I E(1{1}(X ) I X tJt 0 m=l " '

- 1)

=

y

. jj

69 Da K. n u r e n d l i c h

viele Zustände enthält, i

1 = 1 F — JeK^ jj Wären 5.12

P|5>

i j e K. n->-

n

"1=0"

in

Piy>

l i m

l — n-»-« jeK..

(5.12)

n

d . h . y^j = ~ V j e K ^

SO w ü r d e

führen.

Es e x i s t i e r t a l s o m i n d e s t e n s K.., und n a c h S a t z 4.16

(5.11) ü b e r

i •

nun alle jeK. n u l 1 - r e k u r r e n t , zum W i d e r s p r u c h

geht

ein p o s i t i v - r e k u r r e n t e r

sind alle Zustände

aus K^

Zustand

in

positiv-rekurrent.

• N a c h d e m w i r in § 4 v e r s c h i e d e n e eine gewisse besprochen diesen

"Eigenschaft"

zuzuschreiben,

h a b e n , und in § 5 d a n n

verschiedenen

Definitionen

w i r nun die E r g e b n i s s e Aus Satz

Möglichkeiten,

kurz

Zuständen

ausführlich

Beziehungen bewiesen

zwischen

haben,

möchten

zusammenfassen:

5.1 f o l g t , d a ß für Ä q u i v a l e n z k l a s s e n

K einer

kette die Begriffe w e s e n t l i c h - f i n a l - a b g e s c h l o s s e n s i n d , e b e n s o e r g i b t s i c h die Ä q u i v a l e n z den k o m p l e m e n t ä r e n ergibt

Begriffe.

Im F a l l e

s i c h n o c h nach B e m e r k u n g

Begriffe

zu r e k u r r e n t

noch die

Frage

lichkeit

der Ä q u i v a l e n z k l a s s e n

beispielsweise valenten "offen"

und

Wir wollen stellung

bzw. n i c h t r e k u r r e n t .

"abgeschlossen"

diese

K, a l s o (als

Beziehungen

verdeutlichen:

für

Klassen obiger

Es b l e i b t

Beziehungen

bei

und

also

Nichtend-

IKI = fj , z w i s c h e n

"Stellvertreter"

in S a t z 5.1 a,c)

"nicht-rekurrent"

entsprechen-

von e n d l i c h e n

5.4 d i e Ä q u i v a l e n z

zu k l ä r e n , w e l c h e

Beziehungen

f ü r die

Markoff-

äquivalent

der

"rekurrent"

bestehen. durch die nachfolgende

äqui-

bzw.

Dar-

70 • • . . l i e s : aus .. lies: aus

( T ) S a t z 5.2

(3) Beispiel

5.6

(4) Beispiel

5.6

(5)

6.14

Beispiel 5.2

In den e r s t e n verschiedenen für das

...

Pm>m-1

=

\

5.6 b e s c h r i e b e n e V

m

E

Verhalten

5 Paragraphen Sachverhalten

"längerfristige" In § 1 w u r d e n

dische" Markoffkette

' Pix

von

für e i n e n p o s i t i v

h a t t e n w i r es w i e d e r h o l t zu t u n , a u s d e n e n ein

eingeführt,

"stationäre" im B e w e i s

rekurrenten Zustand

a n g i b t , wie oft ein Zustand In S a t z 2.17 h a b e n w i r

und

4.16 1 (m) lim — • £ p ^ ^ ' n-no m= 1

i, und im B e w e i s

auf d i e f i n a l e n

konzentriert,

nimmt mit Wahrscheinlichkeit anknüpfen ketten 6.1

Nk

betrachtet,

der Z e i t das d.h.

die

Verhalten

bei

Markoffkette

1 nur noch Z u s t ä n d e aus

längerfristige

die

"Geschehen"

Im f o l g e n d e n w o l l e n w i r n u n an diese

und das

zu

wird.

bereits f e s t g e s t e l l t , daß sich im L a u f e

er-

"erqo-

zu Satz

k insgesamt angenommen

endlichen Markoffketten Klassen

mit

Interesse

Verhalten einer Markoffkette

die B e g r i f f e

Satz 5.2 h a t t e n wir die Z u f a 1 1 s v a r i a b ! e

an.

= ?>

Harkoffketten

b e n ö t i g t e n w i r eine A u s s a g e U b e r den G r e n z w e r t

Klassen

Markoffkette

(a)

§ 6 Asymptotisches

wuchs.

in Beispiel

=

Pm-l.m

( ? ) Satz

...

(a)

( T ) g i l t etwa für die f a l l s

... fol gt

... kann f o l g e n

finalen

Überlegungen

homogener

Markoff-

analysieren.

SATZ

Für e i n e

stationäre

V e r t e i l u n g £ = {p^} • e ^ ( v g l . D e f i n i t i o n

gilt: Für a l l e

nicht-rekurrenten

i e J- i s t p i = 0.

und nu 1 1 - r e k u r r e n t e n

Zustände

1.20)

Bewei s Ist £ = iP-j^- £ j e i n e V i

E

y:

p. = je}

I J

stationäre p.p. .

schließlich: £

v

.1 pJp}T)jej J J

:

Pi •

Durch Summation durch

n, e r h a l t e n

1

:

Pi

=

A'W

ü-^j-

m

e IN , d.h.

von 1 bis n und

Division

pj?> (6

jlj

Für n i c h t - r e k u r r e n t e s

lim

V

wir: i

v

= £-Pm

"Gleichung' 1

dieser

gilt:

d.h. £ = £ - P ;

J

hieraus folgt

1

V e r t e i l u n g , so

= 0;

i ej

folgt m i t t e l s

Satz

für nul I - r e k u r r e n t e s

'1)

5.8

i

erhalten

wir

i pJT» aus d e m B e w e i s

zu Satz 5.12: lim n->-«

Unter Beachtung

der eben e r h a l t e n e n

G ü l t i g k e i t des S a t z e s (vgl. A 4.1

p

i

=

im

In-»-~ i

für alle

Die

p

Existenz

teilung.

im

l n->-®

(weil

Beziehungen

und

X

i p

der

Konvergenz

i

pj:»

1

je^- J t

im

=

J Ei- l n-»-~T

P

so

es e x i s t i e r t keine s t a t i o n ä r e

(0+)3j, r i r r e d u z i b e l , d.h.

ist

(c)

nicht

viele stationäre

sei

folgende

irreduzibel, Verteilungen.

Markoffkette

1 0 0

1/2

0

1/2

1/3

2/3

0

0

1/4

3/4

0

0

0

1

\0

ist e i n e

Verteilung

K l a s s e , so

existiert

Verteilung

Bei spiel

Gegeben

Zustände

gilt:

genau eine stationäre

6.7

festhalten:

so e x i s t i e r e n

unendlich

76 Wir u n t e r s u c h e n

4 £ p^ = 1

die L ö s u n g e n der G l e i c h u n g £ = £.-P m i t

0-pj + 0-p2 + 0-p3 + 0-p4 = p x r

p

+

1 p

+

°" l

p

2

+

f' 2

+

7

p

T

p

+

3

p

0-p

+

I' 3

=

4 p

p =

°' 4

2

p

3

1-Pj + 0-p2 + 0-p3 + l-p4 = p4 Als L ö s u n g s v e k t o r wie

z.B. £ ( 1 >

8 11 e r h a l t e n w i r : g = (0,p 2 ,-jp 2 , p^) m i t " y P z + P ^ = 1 £(2)

= (0.1,4.

= (O.^.-j.-jI).

Wir s e h e n a l s o , d a ß keine e i n d e u t i g e existiert.

stationäre

eine e i n d e u t i g

3 = {1,2,3,4}

falls

K l a s s e b e s i t z t , w a s bei

(6.7) j a n i c h t d e r Fall

ist, d e n n

ihr

(da e n d l i c h

{4} und {2,3}

. Nach Satz

Verteilungen

festlegen:

= (0,0,0,1)

und

= (0,^,^,0).

teilungen wieder eine stationäre = a-^1'

als

=

die

stationärer

Verteilung

ist,

-

und Ver-

erhalten

stationären Verteilungen

• (l-a)-£(2'

zu

£

(6.7)

- a v ® . ,«)

V 0 < a < 1. In Kapitel teilung

A

I, § 1 S.25

haben wir den B e g r i f f der

einer Markoffkette eingeführt;

Grenzver-

und zwar s a g e n

daß eine M a r k o f f k e t t e mit A n f a n g s v e r t e i 1 u n g £ ( 0 ) gangsmatrix £(co)

P die G r e n z v e r t e i l u n g

:= lim £ ( n ) = lim £ ( 0 ) P n n •+•«> n-»»

1ichkeitsvertei1ung

£(~)

existiert

darstellt.

eine s t a t i o n ä r e V e r t e i l u n g

besitzt,

und

teilung £(») Existenz

Verteilung

s t i m m t d a n n mit £ ( n Q ) £(»)

na-

Grenzver-

ist. Die

£(nQ) Grenzver-

überein.

= lim £ ( 0 ) p n

der G r e n z v e r t e i l u n g

die

es g i l t d a n n

e x i s t i e r t die

t e i l u n g £ ( ~ ) d e r M a r k o f f k e t t e , w e n n f ü r ein n o eIN

Aus der Beziehung £(»)

Wahrschein-

W e n n die A n f a n g s v e r t e i 1 u n g

= £(0); desgleichen

eine b e z ü g l i c h P s t a t i o n ä r e

wir, Ober-

falls

und eine

i s t , so e x i s t i e r t stets

G r e n z v e r t e i l u n g £("» dann:

d e n n es gilt v i

:

d . h . P~

[ p ;1 j=l J

=

in der Tat aus d e r

die E x i s t e n z

T lim P ^ j = l n-K» I J

• lim n-—

J

= £(0)P"

und. £ ( » )

Zustandsraumes

impliziert

noch n i c h t die

In Beispiel

5.6 h a b e n w i r eine

Obergangsmatrix

Zustände j e j

lim

der Markoffkette

alle

= 0 gilt.

aus Beispiel

g i e r t f o l g l i c h g e g e n die N u l l m a t r i x , = £ ( 0 ) ' P " = P(0) • • =

pj^

5.6

und somit

Mar-

nicht-rekur-

K l a s s e b e s t a n d ; Satz 5.8 b e s a g t n u n , daß für

nicht-rekurrenten

die

Existenz

k o f f k e t t e k e n n e n g e l e r n t , die aus e i n e r e i n z i g e n

£(")

£(-),

Wahrscheinlichkeitsverteilung.

E x i s t e n z a l l e r Limites lim

renten

Existenz

der G r e n z v e r t e i l u n g

Die

konver-

ist

0, d.h. £(•») ist keine

Wahrschein-

lichkeitsverteilung. Im f o l g e n d e n w e r d e n w i r d i e L i m i t e s im F a l l e der E x i s t e n z

lim

angeben

der G r e n z v e r t e i 1 u n g £ ( » )

w a n n die G r e n z v e r t e i l u n g

eine e r g o d i s c h e

und

analysieren,

Verteilung

darstellt.

Ein g a n g b a r e r W e g , der sich i n s b e s o n d e r e

für e n d l i c h e

ketten anbietet,

der Matrix p n für n e 1

l i e g t in der B e s t i m m u n g

Die n - t e n P o t e n z e n der O b e r g a n g s m a t r i x

lassen sich auf

s c h i e d e n e W e i s e n b e r e c h n e n , e t w a m i t Hilfe von matrizen oder mittels ausführliche in den

dieser Methoden

B ü c h e r n von Ferschl

1970, B a i l e y

f i n d e t der 1964,

ver-

Spektral-

Ähnlichkeitstransformationen.

Darstellung

Markoff-

Eine Leser

C1arke-Disney

1970 o d e r v o r a l l e m G a n t m a c h e r

1965; man b e a c h t e a b e r

auch

d e n B e w e i s zu S a t z 8 . 2 , K a p i t e l

I,§ 8- Im z w e i t e n Teil

des

§ 8 w e r d e n w i r etwas a u s f ü h r l i c h e r g e h e n . Do'rt w e r d e n w i r das folge

(Pn)nejm

mittels

charakterisieren.

auf d i e s e M e t h o d e n

Konvergenzverhalten

der E i g e n w e r t e d e r

Zuvor jedoch

sei

der

ein-

Matrizen-

Obergangsmatrix

noch e i n e i n f a c h e s

Beispiel

angeführt. 6.8

Beispiel

Eine M a r k o f f k e t t e

P =

0 0 0

1 1/2 2/3

besitze 0 1/2 1/3

nachfolgende

Obergangsmatrix

P

78 Mittels Ähnlichkeitstransformation

/o pn

T

4 18 (4>n 7 "

0

-

1°

1, n

Für P " e r g i b t s i c h

hieraus: 4 7 4 7 4 7

=

= £(0)-

p" = =

weil £ ( " )

nicht m e h r

eine e r g o d i s c h e

(6.8)

l.n

i

3 \ 7 3 7

il

Da P°° eine s t o c h a s t i s e h e Matrix

£(»)

1. n

13)

/0 Pn

3 7 " 1

Ì "5>

4 7 "

(Man b e a c h t e A u f g a b e

1 im

18 T

l>n

ist,

folgt:

(p1(0),p2(0),p3(0))

von £ ( 0 ) a b h ä n g t , erfolgt

ist £ ( ~ ) =

Eine a u s f ü h r l i c h e in B e i s p i e l

d e r Grenz- b z w . e r g o d i s c h e n ist die K e n n t n i s der L i m i t e s

von g r o ß e m N u t z e n .

Im n a c h f o l g e n d e n

3/7 I

(0,4/7,3/7) •

Verteilung lim p ! ^ J n-»-»

Satz w e r d e n w i r

in A b h ä n g i g k e i t von der A r t der Z u s t ä n d e

diese

i,j

B e w e i s des S a t z e s 6.9 w o l l e n wir den

z.B. auf C h u n g , 1967 6.9

3/7

4/7

6.13.

einer Markoffkette

Für den

3/7 '

4/7

Diskussion

Für die B e r e c h n u n g

angeben.

4/7

(0,4/7,3/7)

Verteilung.

dieser Markoffkette

Limites

pn:

e r h a l t e n w i r für

e

J Leser

I § 6 verweisen.

SATZ

(a) j n i c h t - r e k u r r e n t = >

lim p ^ ^ J n->-»

(b) j r e k u r r e n t m i t Periode

= 0

V i e J

d(j) o d e r d(j) = 1:

(1) i ist r e k u r r e n t und i «•/-> j

,0) 1J

(2) i ist r e k u r r e n t und i

folgt:

lim ri-»-®

p Cnd(.i) +

p!;>

. «

r)

=

falls

dJLÜ "H

f U p

d(j)|n_r

j, so r c

0

V n E IN

{0,1,...,d(j)-l}

79

(3)

i ist

nicht-rekurrent, pjnd(J)+

l i m

D

. -Iii. y

n-»— D Aus

{n

diesem

kette lim P n n->-^

Bemerkung, P Aus

eindeutige Satz

Klasse

6.6

erhalten lim n-M»

^sei auf

stat. folgt

p

2)

sei

wir

ist).

folgt,

jetzt, Wir

daß

genau

d >

1 besitze.

lim n+»

die

Nach

.^auch

der die

bzgl .

positiv-rekurrente

an,

daß

= IUI, u jj

eine

nun

dann,

Dieser

f p*>

nehmen Periode

falls

Verteilung. ist

Verteilung.

die

J

impliziert

ergodische

1.22

und

((J)+»")

= 0,

eine Satz

K existiert.

periodisch

1)

e

die

f U r

e

d(j)|n_r.

Widerspruch Aperiodizität

diese

j e K nicht

J

r

daß

{0,1,....d}

* 0 da zur der

Existenz Klasse

Aus

Klasse

K

Satz

6.9

existiert,

b)2)

da

und

j p o s i ti v - r e k u r r e n t eines

K.

Grenzwertes

80 Nach S a t z 6 . 9 g i l t 1 im n->— 6.5 ergi bt:

« < = _ =

weiterhin:

uI

ii jj

w

jj

, V j

1

W

iJ jj

"

lim n—

p,^' 1J

= — w jj

lim

p(">

= 0;

V i , j e K; i e U K , " V i ,j e } \

Da K p o s i t i v - r e k u r r e n t , Nach S a t z 6 . 5

ist

K bzw;

e K (gemäß S a t z

6.9)

V i e K; j c j \ K

0 < -i- < 1 w jj "

folgt:

j

V j e K

J -

i e K

0

sonst

P,-

ist

die eindeutige >

Pi1 =

s t a t i o n ä r e V e r t e i l u n g der

l P i ' P0i 1i je} J

ebenso p. = 1

Nach dem S a t z von der m a j o r i s i e r t e n w i r f o l g e n d e Umformung vornehmen: 1im

P i1 " Pi d.h.

y Jej

l PjPji' je} J J1

n—

"

I je}

p

Jj

Markoffkette

l P.--P -?' J1 je} J

Konvergenz

'li,n n-*°>

p

Jj 1i

V n e IN

(A 4 . 1 )

können

}

( I PjO-Pi Je } P

J

-

i "

Beachte: F a l l s }

endlich, i s t f ^

= 1

V j e K V i e^

automatisch

erfüllt.

6 . 1 1 SATZ Eine

irreduzible

eine e r g o d i s c h e {p*}.jej

einer

ergodische Verteilung.

irreduziblen

die e i n d e u t i g e

L ö s u n g der

(reguläre)

Markoffkette

Diese ergodische

ergodischen Markoffkette

Gleichungen:

p i - ^ p j p j k r l kej

P

. k "

1

besitzt

Verteilung

ist

81 Bewei s: Eine i r r e d u z i b l e Klasse

ergodische Markoffkette

positiv-rekurrenter

aperiodischer

besitzt genau Zustände,

(nach S a t z 6 . 1 0 ) es e x i s t i e r t e i n e e r g o d i s c h e Ihre D a r s t e l l u n g s w e i s e

Verteilung.

(6.9) f o l g t aus d e m B e w e i s v o n S a t z

und der E i n d e u t i g k e i t der s t a t i o n ä r e n

Verteilung

bei

Zustände

(Satz

genau einer Klasse positiv-rekurrenter

6.12

eine

d.h. 6.10

Existenz 6.9).

•

Bemerkung

Durch die beiden vorangegangenen Lage festzustellen,

Sätze

sind w i r nun in der

daß eine e r g o d i s c h e M a r k o f f k e t t e

u n b e d i n g t eine e r g o d i s c h e V e r t e i l u n g w i e S a t z 6.11 aussagt, nur bei

I r r e d u z i b i 1 i tät

der F a l l . U m g e k e h r t m u ß eine M a r k o f f k e t t e , Verteilung

Weiterhin

Verteilung

immer e i n d e u t i g

von Satz 6.11 f e s t g e s t e l l t

godische

ergodische

Verteilung

Markoff-

nachfolgenden

ist noch zu b e m e r k e n , daß eine bestimmt

{p*

stationäre Verteilung

ist,

Markoffkette

die eine

kette sein. Der L e s e r v e r g l e i c h e h i e r z u d i e

terung

der

b e s i t z t , n i c h t u n b e d i n g t eine e r g o d i s c h e

Beispiele.

nicht

b e s i t z e n m u ß . Dies

ergodische

ist. S o m i t kann

in

Erweis

w e r d e n , d a ß , f a l l s eine

e x i s t i e r t , d i e s e die

der M a r k o f f k e t t e

er-

eindeutige

i s t , w i r also nur

die

Gleichung

Pr

lösen

6.13 Als

p

p* • X

mit

> o

k

Pki;

1

v i « i

« 3 und

;

y

p? = 1 1

l

müssen.

Bemerkung Folgerung

Unterschiede

aus den S ä t z e n 6 . 3 und 6.11

V e r t e i l u n g . S c h o n aus d e r D e f i n i t i o n zur B e r e c h n u n g Obergangsmatrix

lediglich

herangezogen werden muß, während

"Unabhängigkeit

Verteilung

die

ergodischen

in § 1 w i r d k l a r , d a ß

einer stationären Verteilung

mung der ergodischen die

ergeben sich

zwischen einer stationären und einer

zur

die Bestim-

(falls diese existiert)

von der A n f a n g s v e r t e i l u n g "

d e n m u ß . A u s Satz 6.3 ist e r s i c h t l i c h , d a ß die E x i s t e n z stationären einer

Verteilung

b e r e i t s d u r c h die

irreduziblen Markoffkette

für d i e E x i S t e n z

zusätzlich die Aperiodizität

wereiner

positive-Rekurrenz

gewährleistet

einer ergodischen

stets

überprüft

Verteilung

ist,

während

nach S a t z

gefordert werden muß.

6.10

überdies

82 kann aus S a t z 6 . 1 1 g e f o l g e r t w e r d e n , d a ß j e d e e r g o d i s c h e teilung

eine stationär^ Verteilung

Grenzverteilung

einer Markoffkette eine stationäre

ist. Die U m k e h r u n g

12 n a c h w e i s e n

Ver-

jede

Verteilung

g i l t jedoch n i c h t , wie der Leser

l e i c h t m i t H i l f e der A u f g a b e 6.14

i s t , ja daß sogar

etwa

kann.

Beispiel

G e g e b e n sei die

in B e m e r k u n g

6.8 e r w ä h n t e

Markoffkette

1/2 1/3

(6.10) P

e r g i b t sich zu: 4 7 pn

.

4

7 4

7

18 , l,n ++

-

( o

lim P n n-*°>

=

(vgl. B e m e r k u n g

0

7

3

(.

4

7

{

3 7

r - V r - V

4 7

3\ 7

4 7

3 7

4 7

18 , l.n 1 T'("ff) 3 , l.n

3 7

7

3

4

7

S>

+

6.8)

++

S>

1

( r - V F»

7

h

Da die E l e m e n t e der Spalten der M a t r i x

lim P

s e h e n w i r , daß e i n e e r g o d i s c h e V e r t e i l u n g sei

(a ,ß , 1 - a - ß ) , a,ß > 0 u n d a+ß

fangsverteilung, vektors £(n)

so ergibt sich der L i m e s des

= I1«f(a,ß,1-a-ß) • n->-°> L

= lim n-»-»

(l-a-B)]+ |[a+ß+

= (0,£,|).

existiert,

< 1 eine b e l i e b i g e

sind, denn An-

Zustands-

zu: /

lim(£(0)-Pn) n-»-»

gleich

(1-a-ß)]

o 4

0 1 \ \

0

0

(-¿'"["T0

+ (-¿)n

S o m i t ist (p* > P2 »P3) =

+

+

|.(-l)

4

4

7

7 7ß

. 1(

n

7

3 - 3 +

3

7

" ^U""-«5)!.

- f» + |(l-a-ß)]) (0,7,7).

(1)" 4 , 1 " ( *>

83 t Nach Bemerkung Verteilung er das

6.12 ist {p*}

a u c h die e i n d e u t i g e

der M a r k o f f k e t t e .

stationäre

Der L e s e r p r ü f e dies n a c h ,

indem

Gleichungssystem

pj = O-Pj + 0-p* + 0-p* P

j = i - P \ + j- P * z + #

P3 • °-P i

+

rP*2

+

f

P

;

fP3

unter der Nebenbedingung

pj + p£ + P3 = 1 löst.

m ö g e d e r Leser die e r g o d i s c h e S a t z 6.9 b e s t i m m e n , Aufgabe

6.15

Verteilung

Weiterhin

(pj.p^p^)

(ug2 und u ^ 3 b e r e c h n e n ) ,

(vgl.

nach auch

18*).

A

Beispiel

W i r w o l l e n j e t z t ein Beispiel k e i t der B e d i n g u n g f ü r die E x i s t e n z Voraussetzung ist, daß

f^ . = 1

a n f ü h r e n , in dem die

V j e K

einer ergodischen

für die K o n s t r u k t i o n = $ e> d e n n w ä r e

und s o m i t f..j = 1 V j diesen

final

eines

e

6.10)

behandelt

solchen

Klasse

der H a r k o f f k e t t e

Schluß überlegen,

Begriffe

Verteilung

wird.

Beispiels

\ e n d l i c h , so m ü ß t e n , da w i r

n a c h S a t z 6.10 nur eine r e k u r r e n t e alle anderen Zustände

Notwendig-

V i E J (siehe Satz

K haben

dürfen,

nicht-rekurrent

K, V i e J \ K. Der Leser m ö g e indem

sein,

sich

er z.B. die Ä q u i v a l e n z

und r e k u r r e n t für

| Klasse

[jQ]rekurrent, positive

positiv,

dann

Verteilung.

0

m u ß d i e s n i c h t der Fall d

n

besitzt,

die ergodische

können.

von

[j 1

^

nachweisen, Ver-

86 Aus

(6.13) e r h a l t e n wir

unmittelbar:

J p(n) > 0} (vgl. Satz 4.24) J J 0 0 n Da die j - t e Spalte von P positiv ist, gilt dies auch für _n0+l _ _n0 n

e D, := {n e IN J o

die j - t e Spalte von P

= p-p

; insbesondere

ist dann

(n+1) p. t p o s i t i v , d.h. n +1 e D. . Aus (n ,n + l ) e 0 . J J J o o o o sich nun u n m i t t e l b a r : GGT(D, J

6.18

o

) = 1, d.h. [ j - L ^

ergibt

ist aperiodisch.

a

Bemerkung

Für jedes n e IN

läßt sich a n g e b e n , wie gut die Verteilung £ ( n )

die e r g o d i s c h e Verteilung £ ( ~ ) a p p r o x i m i e r t ; vgl. hierzu

etwa

Satz 7.4.1 bei M. Fisz, 197i.

Die in diesem Paragraphen a n g e f ü h r t e n B e z i e h u n g e n

zwischen

der Existenz

Existenz

positiv-rekurrenter

von stationären Verteilung

Vertei1.,Grenzvertei1ungen

sind in der Abbildung

"anschaulich"

Zustände und der und der

ergodischen

6.1 auf der n ä c h s t e n S e i t e

zusammengestellt. A l s Ü b u n g s a u f g a b e

sei

Leser e m p f o h l e n , sich nochmals die Beziehungen mittels entsprechenden

§ 7

der

Sätze zu v e r d e u t l i c h e n .

N i c h t n e g a t i v e Matrizen und ihre

Im folgenden

Eigenwerte

P a r a g r a p h e n wollen w i r die w i c h t i g s t e n

Eigenschaften

n i c h t n e g a t i v e r M a t r i z e n z u s a m m e n s t e l l e n , die wir für die terisierung

einer Markoffkette mittels der Eigenwerte

gangsmatrix

b e n ö t i g e n . Sätze mit v o r w i e g e n d

Inhalt w e r d e n

werden grundsätzlich

Charak-

ihrer Buch

entnommen w e r d e n k ö n n e n ; alle anderen hergeleitet, da dies zum tieferen

Sätze

Verständ-

nis der M a t e r i e beiträgt. Z u n ä c h s t resümieren wir kurz die legenden

Eigenschaften

von E i g e n v e k t o r e n

Für eine

(nxn)-Matrix

P heißt der S p a 1 t e n v e k t o r

von P zum Eigenwert

und

Ober-

matrizentheoretischem

lediglich zitiert, da deren Beweise jedem

der M a t r i z e n t h e o r i e

Eigenvektor

nochmals

dem

grund-

Eigenwerten. (0

y

E

C

\ e I, falls y , \ und p der

n

87

88

"Gleichung" Kern des liegt,

P y = xy g e n ü g e n .

durch

x

(xI-P)

ist g e n a u

dann

aharakterietieohen Vielfachheit zeugten

Eigenwerte

Eigenunterräume

\jI — P) U b e r e i n s t i m m t , Diagonalmatrix stelle

Eigenunterraums daß der

so

einer

In d e r T h e o r i e Elementen.

ihre

7.1

DEFINITION

Form

k a n n , wobei

(die N u l l m a t r i x •

dieselbe

Ordnung

(b)

nicht

Eine

Wir erinnern

P ^

zerlegbare Matrix

daran,

(P*)n

d a ß die Außerdem

Verlauf

hungen

(Sätze

größten

nicht

Struktur

Klasse

nicht-negativen genau

sie durch der

analysie-

Vertauschen entsprechenden

quadratische falls

Matrizen

P^j und

P22

unzerlegbar.

in D e f i n i t i o n das

mache man

7.1

beschriebenen

charakteristische sich

klar,

m i t dem

des

Paragraphen

unzerlegbarer

(7.2)

auf n i c h t n e g a t i v e

bis

(7.8))

zerlegbare

werden

wir

Polynom

daß für

"Operator"

elementarer Matrizenoperationen

Charakterisierung

schäftigen

heißt

= (Pn)* gilt, wobei

gewisser

Im w e i t e r e n der

unab-

erinnern,

besitzen)

lassen.

Anwendung

mit

Vertauschen

und P 2 2

unverändert stets

der

spezielle

ist n u r q u a d r a t i s c h ,

"Matrizenoperationen"

e IN

linear

daran

(7.1)

elementaren n

ein

22

P21

sind

nur

Null-

erzeugten

•

Pll

gebracht werden

einer

charakterisieren.

zeriegbar, wenn

gleichzeitiges

er-

entspricht.

ihre

vollständig

des die

ihnen

d.h.

Xjl - P

wir noch

tritt eine

in f o l g e n d e n

P heißt und

die

von

existiert

von P

Falls

der von

auf, und zwar M a t r i z e n

Eigenwerte

Spalten

ist.

Xj n u r e i n f a c h e

des

im

von Cn- £

P =

(!) -

£ =

|

I

e IR"

und

z =

e IRn

und v^ > 0. P s c h r e i b e n w i r in d e r

/ Pn

P12\

\P2i

P22/

I

I

, wobei

s i n d und die O r d n u n g der V e k t o r e n Wir wollen

^

P J J und

von P 2 2

Form

quadratische

mit der Anzahl

der

Matrizen

Komponenten

übereinstimmt.

z e i g e n , d a ß der V e k t o r z: = (I + P) £

verschiedene

Komponenten

m e h r von

b e s i t z t als der V e k t o r

w i r a n , d a ß z und ^ die g l e i c h e A n z a h l Es

(o

Dazu

Nul1komponenten

null nehmen besitzen.

folgt:

z = ( I + P ) £ = £ +

Da die V e k t o r e n

l -

(gemäß Annahme)

e r h a l t e n w i r aus o b i g e r

Wegen ü > 0 folgt hieraus P j 2

= Q

von

Wir wissen

nun, d a ß der V e k t o r

wenden

besitzen,

> im W i d e r s p r u c h

zur

Unzer-

P.

legbarkeit

verschiedene

die g l e i c h e D i m e n s i o n

"Gleichung": P j 2 H =

Komponenten

des O p e r a t o r s

(*)

z.:=(I + P ) £

b e s i t z t als

(I+P)

(I + P ) n " 1 z

stets m e h r von null

Nach

erhalten wir

(n-l)-maligen

An-

schließlich:

> £

D i e s e B e z i e h u n g b l e i b t g ü l t i g für b e l i e b i g e V e k t o r e n j; > 0, ^

i 0, d e n n d u r c h V e r t a u s c h e n

a u f die F o r m ^ =

w

I

I

gewisser

Komponenten

gebracht werden,

kann £

und die o b i g e

von z e r h ä l t man d u r c h V e r t a u s c h e n d e r e n t s p r e c h e n d e n I +P. des

S e t z e n w i r nun d e r R e i h e nach f ü r ^ die

IRn

in { + ) e i n , so e r h a l t e n

(I+P)""1 >

•

wir

falls

stets

Darstellung

Zeilen

von

Einheitsvektoren

90 Der n a c h f o l g e n d e nichtnegativen

7.3

S a t z gibt A u s k u n f t Uber die E i g e n w e r t e

unzerlegbaren

SATZ

Es sei P e i n e u n z e r l e g b a r e n i c h t n e g a t i v e

(n x n ) - M a t r i x .

existiert unter den Eigenwerten x j , x 2 A

einer

Matrix.

max'

f U r

d e n

Dann Eigenwert

9ilt:

(a)

xmax

R

(b)

V j e {1

e

x n von P ein

und

xmax > 0

n}

: | Xj | ) b e z e i c h n e t .

definieren

dann eine ]R" + IR +

m" (diejenigen

Für b e IR

>+ d(i):=

Komponenten nicht

min -1 3 l_ | x j |

d . h . a b e r | x J < d ( l y | ) < d m > . und d m _ v i s t m a x i m a l e r j — ntax max wert von p, d.h. x m a x = d m a x .

Weil

die transponierte

Matrix PT einer

negativen Matrix P ebenfalls und da P und p T d i e s s e l b e n auch f i i r ' P T m i t demselben genvektoren

Eigen-

geschrieben:

unzerlegbaren

unzerlegbar

max

-

.

nicht-

und n i c h t n e g a t i v

Eigenwerte b e s i t z e n , x

Eigen-

gilt

ist,

Satz

Für d i e zu x m a x g e h ö r e n d e n

7.3 Ei-

gilt:

7. 4 SATZ Zum maximalen E i g e n w e r t Matrix

P existiert

Eigenvektor

- bis

Xmax einer nichtnegativen

unzerlegbaren

a u f s k a l a r e F a k t o r e n - nur e i n

d e s s e n s ä m t l i c h e Komponenten von n u l l

einziger

verschieden

s i n d und d a s s e l b e V o r z e i c h e n b e s i t z e n . £ kann a l s o e c h t p o s i t i v w ä h l t werden mit

|| £ || = 1.

ge-

92 7.5 SATZ Der maximale Eigenwert

xmax e i n e r n i c h t n e g a t i v e n

Matrix P i s t eine einfache N u l l s t e l l e

des

unzerlegbaren

charakteristischen

Polynoms von p. Die Beweise zu den Sätzen 7.4 und 7.5 entnehme man etwa Gantmacher, 1966, Band

II.

7.6 SATZ Eine unzerlegbare n i c h t n e g a t i v e M a t r i x p kann n i c h t zwei unabhängige n i c h t n e g a t i v e E i g e n v e k t o r e n

linear

besitzen.

Bewei s : Zum maximalen Eigenwert positiver

x m a x von p e x i s t i e r t

gemäß Satz 7.4 e i n

Eigenvektor

d-h-

P

=

\nax

und

°

>

Für P^ g e l t e n d i e g l e i c h e n Bedingungen; es e x i s t i e r t positiver

Eigenvektor ^

«•h. S e i nun

P

T

Z

2

zum

Eigenwert

x*

ein

= >raaxZ2

>_ 0 e i n n i c h t n e g a t i v e r

X * , so g i l t

also

xmax

E i g e n v e k t o r von P zum Eigenwert

x m a x (wegen Satz 7 . 5 ) . Wir e r h a l t e n dann folgen-

de Sequenz: *max d

X* - ( P T i z ) 1 1 *

= zJP**

Aus der Beziehung x m a x t x* f o l g t p o s i t i v e n Vektor

uncl

n i c h t g e l t e n kann; d . h . ein l i n e a r

-

dann ^

zl

y * = 0, was f ü r

e i n e " n i c h t n e g a t i v e n Vektor

e

einen IR"

bis auf s k a l a r e V i e l f a c h e e x i s t i e r t

unabhängiger n i c h t n e g a t i v e r

nur

E i g e n v e k t o r zu e i n e r un-

zerlegbaren nichtnegativen M a t r i x . Für d i e C h a r a k t e r i s i e r u n g der Eigenwerte z e r l e g b a r e r

• Matrizen

benötigen w i r den nachfolgenden 7.7 SATZ S e i A e i n e unzerlegbare n i c h t n e g a t i v e M a t r i x ; f ü r d i e komplexe M a t r i x C g e l t e d i e Beziehung Eigenwert von A - Es g i l t (a)

|o| ^ m >

normierter

-

a

) m e jj| b e s c h r ä n k t i s t , e x i s t i e r t zu ihr e (k) (">k) Teilfolge ) e J N mit lim ^ =: ^ . E k

Leser

(7.9)

unzerlegbar

folgt festgelegt:

zu posi-

Ikll

- 1

7.4).

konvergente

Der

p,,

konvergente

d.h.

positiver Eigenwert t m\ Eigenvektor d.h.

Da die Folge

1)

f a l l s

'

ein

tiver V

i ,j ,m

falls

gegen p natürlich

1 3

I ml a ij

dabei

Gliedern

,

n

1 J

I

i s t

zunächst eine

P ^ ,

sei

die

darauf

p^j

ni cht

sind,

sondern

zeichnungsweise der Beweis benützt.

hingewiesen,

daß

die

einer

die

Elemente Elemente

Elemente

von

der

hier

im. Beweis

m-stufigen Matrix wird

eine

zu

. Diese aber

Satz

Vbergangs-

nur

in

Bediesem

95

Wegen

||

- || lim i m i^-^00

("O K

|| = lim || £ m k~*ct>

( M K

|| = lim m^-H»

1 = 1

gilt:

(mk)

£ f 0,

und da ^

>0

V m k e IN , folgt hieraus £ >_ 0, d.h. y

ist nicht negativ. (m k ) (m. ) (m. ) (m.) Aus der Beziehung * m a x y = P y und aus der Existenz der Linn tes lim von lim

y

(m.) (m.) (m k ) * und lim P y folgt auch die Existenz mk->-

*max =: xmax.

V " Hieraus ergibt sich

die

"Gleichung":

(mk) X

x

max l -

mk"K°

max

(mk)

*

(mk)

= " " k

P

(mk)

l

=

d.h. y ist Eigenvektor von P zum Eigenwert * m a x >. 0 (dies gilt, (mk)

weil alle x ^

> 0).

Wir müssen nun noch zeigen, daß X_, v von allen anderen Eigenina x werten Xj der Matrix P dem Betrag nach nicht Ubertroffen wird. Nach Konstruktion der Matrizenfolge

gilt:

|P| < p ( m ) ; aus

Satz 7.7 (1) folgt dann jedoch, daß für alle Eigenwerte Xj von P gilt: I X !
t

Eigenwert *max

x

mit

unzerlegbaren

"'Ele-

menten

")

P*

alle Untermatrizen

Eigenwert

verallgemeinerte

Diagonalmatrix

Ina

a

Pk

(k=l

f)

un-

besitzen.

B e w e i s: "= > "

Existiert

gemäß P j .

Satz

P2'

(falls Für P

"ic>lt

• • • ' Pg g
Q

0

Unzerlegbarkeit Xmax

x=l,

c IN

und d i e von P

= 1 noch w e i t e r e

so k ö n n t e n w i r

gemäß S a t z

Eigen7.8

••

23

•

folgt,

k = h

daß P

r

•

für

k < h nicht

h-1, h

)

•

positiv

sein

kann.

gilt:

/ Ol -

•

•

hl

Ph

Marim-

(8.1)

•

Hieraus

jeder

bringen.

P -

Für

folgt:

mit

, so i s t

erreichbar

•

P12

•

was d i e

> 0 für

•

•

• q2

•

(8.2)

/

104

ist

eine verallgemeinerte Diagonalmatrix;

p*1"

für

alle

n a t ü r l i c h e n Zahlen

k wird,

> •

, gilt

fUr

k

d i e s auch f ü r P

0

wobei P

aus P

0

erhalten

indem man d i e s e l b e n O p e r a t i o n e n a n w e n d e t , wie beim Obergang

von P zu P . W ä h l t man nun n E IN d e r a r t , •

dann auch

k 0

Da P

dies g i l t

n.

daß

_n-h ~(nh-kj k „ ( n - h - k ) ~k 0 0 P - P P 0 • P P 0

I

i •

eins

ist

einziger

Eine u n m i t t e l b a r e

n - h >_ k Q , so >

folgt:

•

> • (n(n-h-k Q) weil P P stochastische Matrix

E i g e n w e r t vom B e t r a g

F o l g e r u n g aus Satz 8 . 1

eins.

ist

8 . 3 SATZ Ist

der E i g e n w e r t

stelle

Eigenwert alle

e i n s der O b e r g a n g s m a t r i x

des c h a r a k t e r i s t i s c h e n eins

Peine

einfache

Null-

Polynoms von P und e x i s t i e r t

der M a t r i x PT e i n p o s i t i v e r

Eigenvektor,

Z u s t ä n d e der z u g e h ö r i g e n M a r k o f f k e t t e

zum

so

sind

positiv-rekurrent.

Bewei s : Nach Satz

5.9

e n t h ä l t jede M a r k o f f k e t t e m i t endlichem

raum p o s i t i v - r e k u r r e n t e zibilität

Zustände.

der M a r k o f f k e t t e ,

Klasseneigenschaft

ist,

Aus Satz 8 . 1 f o l g t

und w e i l

sind a l l e

positive

Zustands-

die

Rekurrenz

Irredueine

Zustände der M a r k o f f k e t t e

tiv-rekurrent. Bisher

haben w i r

Eigenwert

eins

zur C h a r a k t e r i s i e r u n g

einer

M a r k o f f k e t t e nur

der z u g e h ö r i g e n O b e r g a n g s m a t r i x

genden werden w i r a l l e tracht

posi-

^ P benutzt.

E i g e n w e r t e von P vom B e t r a g e i n s

in

Im

den fol-

Be-

ziehen.

8 . 4 SATZ Ist

der E i g e n w e r t e i n s der O b e r g a n g s m a t r i x

stelle

des c h a r a k t e r i s t i s c h e n

genwert e i n s

von P T e i n p o s i t i v e r

gesamt h E i g e n w e r t e rige Markoffkette

Eigenvektor

vom B e t r a g e i n s

zyklisch mit

P eine einfache

Polynoms von P; e x i s t i e r t (h > 1 ) ,

Periode

Null-

zum E i -

und b e s i t z t P i n s so i s t

die

zugehö-

h.

Bewei s : Nach Satz

7.16

koffkette

irreduzibel

Form

ist

unter

den gemachten V o r a u s s e t z u n g e n d i e

und kann gemäß Satz 7 . 8 a u f d i e

Mar-

zyklische

105

•

•

23

• •

• •

^h-l.h

Den

/

•

hl gebracht

\

• •

• P

12

werden.

"Obergangsmatrizen"

sprechen

P^

Zustandsmengen

. + j für i e { l , . . . , h - l } und

J^c

^

^-jn

mit

=

0 für

p^j

ent-

i f j und

Ai'-JAusgehend Zustand

von e i n e m Z u s t a n d

aus

+

aus

w i r d nach e i n e m O b e r g a n g

i (falls j £ h - 1 ) bzw. ein Z u s t a n d aus

j = h) a n g e n o m m e n , u . s . w . ; n a c h h O b e r g ä n g e n b e f i n d e t m a n zum e r s t e n m a l

w i e d e r in

Demnach

k o f f k e t t e ein V i e l f a c h e s

ist die P e r i o d e d der

von h, (nach h O b e r g ä n g e n

w e n d i g e r w e i s e d e r s e l b e Z u s t a n d aus d = m - h . Wir m ü s s e n m 1 nachweisen.

• •

Pl2

•

•

P23

sich Mar-

muß n i c h t

angenommen werden)

Ist m > 1, so k ö n n e n w i r , g e m ä ß den in A n s c h l u ß g e m a c h t e n A u s f ü h r u n g e n , P a u f die

an Satz

ein

(falls

not-

d.h.

4.26

Form

• •

P-

(8.3) •

•

\Pmh,l

•

• •

Pmh-1,mh

•

D"ih transformieren. P hat d a n n die n a c h f o l g e n d e

/

Pll

•

•

/

Gestalt:

\

• D • Für a l l e i e 3 lk1 o somit p i V > 0 und es g i l t : k e D i ( v g l . S a t z 4 . 2 4 ) . Multipliziert

man eine s t o c h a s t i s e h e M a t r i x von r e c h t s mit e i n e r

positiven Matrix,

so e r h ä l t man wiederum e i n e p o s i t i v e

(Für d i e M u l t i p l i k a t i o n von l i n k s d.h.

V

hieraus

ist

n e IN:

P

f o l g t dann:

n+k

D.

=

Pn-

P

k

Matrix

i s t dies n i c h t immer r i c h t i g >•

3 ({ e m |l

; >_ k } ,

was s o f o r t d = ggT(D 1 ) _< ggT { t e IN | £

k} = 1

und somit d = 1 i m p l i z i e r t . Aus Satz 8.3 f o l g t überdies die p o s i t i v e Rekurrenz und mit dem gerade gewonnenen Ergebnis d i e E r g o d i z i t ä t Die Umkehrung von Satz 8.6 i s t e b e n f a l l s

der

Markoffkette.

richtig.

•

8.7 SATZ I s t e i n e i r r e d u z i b l e M a r k o f f k e t t e e r g o d i s c h , so i s t e i n s e i n z i g e Eigenwert von P vom B e t r a g

eins.

der

!)

108 Bewei s : Besäße d i e O b e r g a n g s m a t r i x gemäß S a t z nicht Eins

h > 1 E i g e n w e r t e vom B e t r a g 1 , so wäre

8.4 die Markoffkette

z y k l i s c h mit P e r i o d e h,

also

ergodisch. ist

somit e i n z i g e r

Vor D e f i n i t i o n eine z e r l e g b a r e malform

Eigenwert

7.11 (vgl.

von p vom B e t r a g

S e i t e 96)

nichtnegative Matrix

eins.

haben w i r f e s t g e s t e l l t , stets

P t r a n s f o r m i e r t werden k a n n , wobei d i e M a t r i z e n

unzerlegbar

sind.

von M a r k o f f k e t t e n £ irreduzibler

daß

auf die sogenannte

Nor-

Pj

Pg

Wir können d i e s e M a t r i z e n a l s

Obergangsmatrizen

auffassen,

Zustandsräume

besitzen.

Markoffketten

"Teilmarkoffketten"

die die j e w e i l i g e n Die b i s h e r i g e n

Charakterisierungen

können dann sinngemäß auch a u f

mit den Z u s t a n d s r ä u m e n

J

die

angewandt

werden. Aus S a t z

8.1 folgt,

daß e i n e M a r k o f f k e t t e

i s t , wenn i h r e O b e r g a n g s m a t r i x Eigenwert stischen Matrix

eins

genau dann

P zerlegbar

ist,

von P keine e i n f a c h e N u l l s t e l l e

Polynoms von P i s t

P^ k e i n p o s i t i v e r

reduzibel

d . h . wenn der des

charakteri-

oder wenn zum E i g e n w e r t e i n s

Eigenvektor

existiert;

dies

der

ist

aber

dazu ä q u i v a l e n t , daß i n der Normalform P von P g > 1 oder f > g erfüllt

ist.

Im f o l g e n d e n s o l l e n nun r e d u z i b l e M a r k o f f k e t t e n risiert

näher

charakte-

werden.

8 . 8 SATZ Eine M a r k o f f k e t t e

b e s i t z t genau dann g m i n i m a l - a b g e s c h l o s s e n e

Z u s t a n d s m e n g e n , wenn der E i g e n w e r t e i n s

ihrer

e i n e g - f a c h e N u l l s t e l l e des c h a r a k t e r i s t i s c h e n

Obergangsmatrix Polynoms

P

von P

ist. Beweis : Besitzt

die Markoffkette

g minimal-abgeschlossene

mengen , so hat d i e Normalform i h r e r O b e r g a n g s m a t r i x

Pl

• • Pg+1,1

fl

• P,

• •

Pf2

ZustandsGestalt

•• •

• Pg+1,2

P die

rg+l.g

"g+1

Pfg

Pf,g+1

(8.5)

109 mit unzerlegbaren Polynom

Matrizen

. Für das

von P (und dann n a t ü r l i c h

auch für

charakteristische

P ) gilt:

f A(X) = d e t ( x l - P) = d e t U l - p)

Mittels von

P

Satz

n d e t ( x l - p .J ) j=l

7.18 folgt d a r a u s , daß x m a x

= 1 g-facher

Eigenwert

i st.

" " alle

Besitzt eine Markoffkette Klassen rekurrente

Die N o r m a l f o r m

Klassen

nur r e k u r r e n t e

Z u s t ä n d e , so

und g e m ä ß S a t z 5.2

der O b e r g a n g s m a t r i x

ist d a n n eine

verallgemeinerte

D i a g o n a l m a t r i x , u n d S a t z 7 . 1 3 s i c h e r t die E x i s t e n z e i n e s Eigenvektors "-=> Eigenwert von p vom Betrag eins ist; dies

unmittelbar

Darstellung

aus

von

P

k

der

im

Beweis

zu

Satz

8.2

. Gemäß den Ausführungen k S c h l u ß an B e i s p i e l 6.7 ist l i m P eine stochastisehe n+ und {Y t : t e T}, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum

( n , 3 , P ) definiert sind und

gleichen Parameterraum und Zustandsraum besitzen, heißen äquivalent

wenn gilt: P(X t t Y t )

=

0

V t e T.

Bei äquivalenten stochastisehen Prozessen stimmen also raum, Zustandsraum und auch (vgl. Aufgabe 2 2 ) alle sionalen Verteilungen

Parameter-

endlichdimen-

Uberein.

In der Praxis sind fast sicher nicht eintretende Ereignisse interessant. Deshalb brauchen wir in Zukunft zwischen

selten

äquivalenten

stochastisehen Prozessen nicht mehr zu unterscheiden. Wir sehen einen Prozeß sogar schon dann als eindeutig beschrieben an, wenn

1)

In der Literatur werden verschiedene Xquivalenzbegriffe verwendet. Manchmal werden Prozesse schon als äquivalent bezeichnet, wenn nur die endlichdimensionalen Verteilungen übereinstimmen (vgl. z.B. Josifescu-TSutu (1973), S.165).

126 der z u g e h ö r i g e

P a r a m e t e r r a u m , der Z u s t a n d s r a u m u n d alle

dimensionalen Verteilungen angegeben sind. Zum A b s c h l u ß d i e s e s einführenden eine

Paragraphen

Beispiele

Klassifizierung

des Z u s t a n d s r a u m s Platz

betrachten

stochastischer Wir o r d n e n j e d e m

in e i n e m e n t s p r e c h e n d e n S c h e m a

Um d i e s e s

Schema

w i r n o c h einmal

Prozesse

nach der G e s t a l t des

im H i n b l i c k

Parameterraums

dieser Prozesse

und o r d n e n

auch

schon einige

von di skret

endlich

Bsp.1.1.11

Bsp.1.1 L(t) in

Bsp.1.2.15

Poi s s o n - P r o z e ß l(t) in Abb.III.3.2

Seite 172 f.

Brownscher Bsp. 1.2

unend-

konti nui er!i ch

Klassifikation des Parameterraums

In d i e s e m

einiger T

Paragraphen

stischen

1)

Wenn sionale

III.§4

Prozeß

nach

Bsp. 1.4

der

haben w i r e r k l ä r t , w a s w i r g a n z Prozeß

sich

alle

l e i c h t in die S p r a c h e

n

e

IN

und

Verteilungsfunktion

Gestalt

allgemein

verstehen wollen. Wir

Beispiele dafür angegeben, daß viele

Prozesse übersetzen

für

vektorwerti g

kontinui e r l i c h

stochastischer Prozesse und des Zustandsraums ^

stochastisehen

einige einfache Situationen

auf

Prozesse

werden.

Gestal t von ^

unter einem

T und

einen

zu.

e i n , m i t d e n e n w i r uns erst s p ä t e r b e s c h ä f t i g e n

abzählbar lich

die auf

g l e i c h etwas a u f z u f ü l l e n , g r e i f e n w i r zurück

die M a r k o f f k e t t e n aus Kap.I

^•^Gestalt

endlich-

'

haben

alltägliche

der T h e o r i e der

stocha-

lassep.

alle

t

t

1 2

t

F

71

e

gegeben t

l'

T

eine ist

n-dimenund

wenn

n

alle diese Verteilungsfunktionen in gewi sser Weise miteinander verträglich sind, dann existiert nach dem grundlegenden Existenzsatz von Kolmogoroff immer ein stochastischer Prozeß {X^: t e T} derart, daß die endlichdimensionalen Verteilungsfunktionen F des Prozesses mit den vorgegebenen v

xt

1 Verteilungsfunktionen findet man z.B.

,xt

im

n F tr...,tn übereinstimmen. zweiten Paragraphen des Buches

Genaueres von Yeh

(1973)

127

Wir

haben

raum ^

stischen eine

uns

erste

interessiert.

Klassifizierung

nach

Paragraphen

der Art

ihrer

Auf diese

Eigenschaften

Eigenschaften

Wenn

ein

häufig

Prozesses

bis

wurde

stochastischer

Prozesse

Zustands-

eines

deutlich,

stocha-

daß

nach

Zustandsraums y

Schranke Y sind also

eines

nach

stochastisehe

leicht

der

Ge-

vorgenommen

einen

Prozesse

stochastischen Prozeß

(Xt:

festen

tieferen

nun klassi-

Einblick

in

erhalten.

Prozesses

t t T}

Zeitpunkt

Prozesse

Verteilungen

vorgelegt

der W a h r s c h e i n l i c h k e i t ,

zu e i n e m

(nicht)

tQ

ist,

daß der

eine

dann

Pfad

gewisse

des

obere

überschreitet. der Gestalt

für d i e A n w e n d u n g e n

großem

P({u :Xt(u ) £ y

der Theorie

V t e [0 , t Q ]>)

stochastischer

Prozesse

Interesse.

Beispielsweise natürlich

werden wir

Weise werden wir

Wahrscheinlichkeiten

interessieren

für die

argentinischen

gewisse

T, für den

Verteilungen

endlichdimensionalen

stochastischer

fragt man

des

Dabei

T und des

stochastischer

§ 2

von

Parameterraum

kann.

fizieren. die

für den

endlichdimensionalen

Parameterraums

Im f o l g e n d e n auch

allem

Prozesses

stalt des werden

vor

und für die

Schranke Y

sich

die

Wahrscheinlichkeit, Peso

im L a u f e

nicht

Banken daß die

der nächsten

in B u e n o s

Aires

Inflationsrate zwei

Jahre

eine

Uberschreitet.

X(t, 0) ) o Y

t t

o

Abb. Der

Pfad

dem

Zeitpunkt

X(-,tno) t . o

2.1

erreicht

das

Niveau

y erst

nach

Xt

128

Wenn che

der P a r a m e t e r r a u m Fragestellungen

matisch

ist der

ein

Durchschnitt

Wir

können

Es

zwar

{u: X t ( w ) £ Y keit

ein

Diese

V te [0,tQ]}

Ungewißheit der Theorie

werden

sollen.

stetig

häufig

weiß, daß stetig)

ist

liegt

solche

bis

s i n d , dann

D.h.

Menge

(warum bei

von

ist. )

auf

Pfaden genUgt

Punkten

tj^,...

Y b e f i n d e t , -um d a r a u f

{t^t.,.,,}

eine

1

ist, die

in [ 0 , t Q ]

es zu w i s s e n ,

der

schließen

Pfad

in P a r a m e t e r b e r e i c h

[0,tQ]

stochastisehen

einen

X(-,u)

zu können,

Wenn wir

also

< v}

dicht

?).

stetigen

bar.vielen

Mengen

ob a l s o

Uberhaupt

{(j: X t (a>) £ y V t e [0 ,t Q ]} als

abzählbare

Menge

{u:Xt(u)

Uberabzählbarer

alle Pfade

Z ' X {u>: X t ( u ) teftltt2,.^}

sol-

Proble-

kann.

(oder w e n i g s t e n s

stellen

vielen

die

{u: X t ( u ) *

te[0,to]

ist sehr u n a n g e n e h m ,

dungen

Wenn man

da z . B .

Ereignisse

Ereignis

zugeordnet werden

durch

P ( X t °

Y

Z

Ereignissen

ist, dann ergeben

kontinuierliche

{ 1

1) Abzählbare Durchschnitte von Ereignisse sind Vberabzählbare Durchschnitte von E r e i g n i s s e n keine Ereignisse mehr zu sein.

sich

die

häufig

wieder brauchen

als

überababzähl-

Ereignisse. selbst

129

bare

Durchschnitte

stochasti sehen

Man

kann

immer

z e i g e n , d a ß zu jedem

e i n äquivalenter

dem also einer Für

darstellen.

Praxis

Untersuchung

Prozeß

r e i c h t es a l s o

eines

uns

beschäftigen, P(Xt

beginnen,

Version

sondern

< y * t

eine

sich

So w i e

von

eines

Erwartungswerte

man

von

des

Prozesses

haben,

einer

(Xt:

die

interessiert. Prozessen

uninteressanten

dann

der

sto-

jetzt

damit

verbleibenden

Verteilungen

eines

spricht man von

normalvertei1ten

Erwartungswerts

der nur

sind.

können wir

Verteilungen

handelt,

bei

Wahrscheinlich-

berechenbar

praktisch

i s t , so w e r d e n

Gaußprozesses

sich

vornherein

nicht-separablen

allen endlichdimensionalen

durch Angabe

bei

Oberschreitens

a u s g e h e n , daß die

die V e r t e i l u n g

beschrieben

teilungen

betreffenden

um N o r m a l v e r t e i 1 u n g e n

Gaußprozeß.

und die

bei

aus, wenn

Prozesses

die e n d l i c h d i m e n s i o n a l e n

es

variablen

völlig

ausgeklammert

cl)

erstmaligen

prinzipiell

Klasse

Prozessen

des

Prozeß ist,

können.

davon

[0,tQ])

t

betrachten:

ständig

stochastisehen

nicht mit

immer

zu

Wenn

separablen

d e r separabel

des

auch

Prozesse

Prozesses

von

existiert,

stochastischen

deshalb

Nachdem wir also chastischen

dann

beliebigen

berechnet werden

f ü r e i n e eeparable Wir werden keiten

spricht

alle W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n

y-Schranke

die

Man

Prozessen

und der V a r i a n z

voll-

endlichdimensionalen

t e T) vollständig

einem

Zufalls-

durch

Verdie

E(X^.), t e T

Kovarianzen

Cov(Xs,Xt)

= E(Xs-Xt)

- E(XS) • E(Xt),

s,t

c T

beschri eben. Wenn

und

also

die

Funktionen

T

-

1R

t

-

U(t)

:=

E(Xt)

T2 IR (s,t) - r(s,t)

1) Das von Doob eingeführte dem Buch von Yeh (1973), det man auch ein Beispiel schen Prozeß.

:=

Cov(Xs,Xt)

Konzept der Sepärabilität wird z.B. in S.26ff ausführlich behandelt. Dort finfür einen nicht-separablen stochasti-

130

bekannt

sind, dann

den

können

die W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n

Prozeß 1i werden '.

{X,.: t e T } b e s c h r e i b b a r e n

So w i e

Normalvertei1ung

die

keitstheorie so s p i e l e n stischen

cZ)

Bei

Wenn

häufig

Xt-Xs>

der

Prozeß

schreibt, ten

dann

große

{Xt:

durch

Wahrscheinlich-

Grenzwertsatz

Praxis

der

!),

stocha-

stochastisehen

Prozesses

{Xt:

t

den V e r t e i l u n g e n

T}

E

von

Diffe-

zusammenhängen. t e T} b e i s p i e l s w e i s e Uber

bedeutet

Differenz

die

der während

einen

des

die

finanzielle

gewissen x

t~Xs

9

Zeitraum e r a d e

Zeitintervalls

den

[s,t]cT

T

Entbe-

Gewinn eingetre-

ist.

Im a l l g e m e i n e n sowohl Länge

vom

[r,sl Wenn

und nun

Größe

hängen

Zeitpunkt

t-s des

"Zuwächse"

die V e r t e i l u n g e n s als a u c h

betreffenden

X$-Xr ts.tl

und X t - X s

speziellen

nicht

Genauer

- X|

,

Xi 3

gilt

(vgl.

- Xi Z Z

Doob

Auch

, Xi

Xt-Xs

von

sind

der

die

Zeitintervalle

voneinander.

Prozeß

für jede

{t,,t,,...,t_ } von

der

Para-

- Xj. n

(1953),

s und

folgende

unabhängig

stochastisehen

, ....

von

[s,tl.

für aufeinander

nach

X. z 2

der Z u f a l l s v a r i a b l e n

t ab, also

Zeitintervalls

im a l l g e m e i n e n

bei e i n e m

von

geordneten endlichen Menge 2) meterwerten ' a u s T die Z u w ä c h s e

1)

und

Probleme, die mit

e T

in

aller

berechnet

Rolle.

Unternehmens

Verlust),

Rolle

(Zentraler

in d e r T h e o r i e

eines

auf

s,t

eines

eine spielt

eine wichtige

der A n a l y s e

wicklung (bzw.

Gaußprozesse

Prozesse

stößt man renzen

und Statistik

Ereignisse

n-1

S.72):

Wenn

eine

beliebige

-*• JF

vorgegeben

2

Funktion p: sind mit und

dann und 2)

T

1R und

(1)

r ( s

(2)

Für alle endlichen (n,n)-Matrix r ( t j . t j )

f

t )

eine

= r(t,s)

Funktion V s,t

r:

T

e T

Teilmengen

{

J

t

r (t ,t.) r ( t ,t ) n 1 n n positiv semi-definit, ein Gaußprozeß {{X : t £ T> existiert ert , t t) = ,,y nvV t re rTE(X ( t )i

t

}C

1 ist

die

"

mit

t

Cov(Xs,xt)

Oa wir nur Prozesse ergeben sich durch Schwierigkeiten.

= r(s,t) mit reellwertigem die notwendige

V s,t

e T.

Parameter Ordnungsstruktur

t auf

betrachten, T keine

131 unabhängige

Zufal1svariablen

stochastisehen

Ein P r o z e ß m i t u n a b h ä n g i g e n unabhängigen Xt-X$

Zuwächsen

Zuwächsen

Zuwächsen

einem

^^.

heißt Prozeß mit

w e n n die V e r t e i l u n g e i n e s

stationären

Zuwachses

n u r von der D i f f e r e n z t-s und n i c h t vom Z e i t p u n k t s a b h ä n g t .

W e n n die e i n z e l n e n Zufallsvariablen vektors

Komponenten

eines

Zufallsvektors

als P r o d u k t der R a n d v e r t e i l u n g e n

teilungen

der Z u w ä c h s e

Prozeß

s t a n t b l e i b e n , w e n n also

t1'Xt2

X

für alle h > 0

für a l l e n e IN

u n d

tn>

daß sich das z u g e h ö r i g e

X

physikalischen Modellen

der S t a t i o n a r i t ä t

Prozeß { X t :

t

tn

ökonomi-

X t n _ 1 = a n-1 )

= a n-1

ist also der b e d i n g t e

1)

manchmal

auch

"Prozeß

mit

additiven

manchmal

auch

"Prozeß

mit

homogenen

3)

vgl.

Yeh

(1973),

4)

Wir

sprechen

5)

für

die

6)

Zur

Theorie

S.141 von

oder "Zeit",

t2+h,...,tn+h bedingten

auf.

geordneten

gilt:

2)

des

in

Prozesse

e T > heißt Martingal , wenn

Z u f a l l s v a r i a b l e n X f zu e i n e m Z e i t p u n k t t

tt+h,

der

kann vor a l l e m bei

Z a h l e n n und a l l e der G r ö ß e n a c h

Xt2=a2

oft

der

ist, wann man mit

g e m a c h t w e r d e n . A b e r auch

t^,t2

Bei e i n e m M a r t i n g a l

Prozesses,

unabhängig vom Ablauf

schen Modellen treten stationäre stochastisehe

E ( X t n l X t 1=a l '

tn+h)

beginnt.

Die s t a r k e V o r a u s s e t z u n g

Parameterwerte

konTeil-

genügen.

Z e i t e n t w i c k e l t , daß es also g l e i c h g ü l t i g des S y s t e m s

alle

Zufal1svektoren

eines stochastisehen

reale S y s t e m

wenn

und alle e n d l i c h e n

(Xt1+h,Xt2+h

derselben Verteilung

für alle n a t ü r l i c h e n

wird Ver-

zeitlich ^

von T die n - d i m e n s i o n a l e n

c4) Ein s t o c h a s t i s c h e r

d u r c h die

X t und d a r ü b e r h i n a u s

des P r o z e s s e s

bedeutet Stationarität

Beobachtung

Zufalls-

Deshalb

f X t : t e T} h e i ß t s t a t i o n ä r ,

Verteilungen

itj,t2,...,tp}

darstellen.

vollständig

der Z u f a l l s v a r i a b l e n

endlichdimensionalen

Anschaulich

Zuwächsen

des

beschrieben

c3) Ein s t o c h a s t i s c h e r die V e r t e i l u n g e n

(X

unabhängige

s i n d , d a n n läßt s i c h die V e r t e i l u n g

ein P r o z e ß mit u n a b h ä n g i g e n

mengen

s i n d , d a n n s p r i c h t m a n von

Prozeß mit unabhängigen

Doob wenn in

T

V

a

l'a2"-'an-lEJ-

Erwartungswert

^

der

t_ g l e i c h dem W e r t a ,, n n-i

Zuwächsen". Zuwächsen". (1953), wir

S.97. den

Parameter

t

liegen.

Erwartungswertes

vgl.

Al.

meinen.

132

den X t

vorher

Verlauf Das

des

bedeutet

null

im Z e i t p u n k t

Prozesses

angenommen

bis z u m Z e i t p u n k t

a n s c h a u l i c h , daß der

ist, welche

zeitpunkt

Werte

auch

Entwickelt wurde

der P r o z e ß

angenommen

hat, u n a b h ä n g i g

zu e r w a r t e n d e vor

vom

tn_iZuwachs

dem letzten

immer

Beobachtungs-

hat.

der Martingalbegriff

bei

der Analyse

Betrag, über

Spieler

von

Glücks-

spi el e n : Xt

bezeichne

Mit T = sich

den

[0,~)

ist

(Xt:

um e i n faires

ein

Martingal.

c5)

In K a p . I

sucht.

Spiel

haben wir

Die Vorsilbe

diskreten

handelt,

die

stochastisehen

Dieser

Gedanke

lichem

Parameter

Unter

einem

zeß i X t :

Prozeß

Das

heißt:

sich

das von

Formal chung P(X

t ¿0}

bei

dem

abhängt,

aber von ohne

Prozesse

mit

versteht man einen

den

von e i n e m System

kann m a n einen

d a ß bei

der Z u f a l 1 s v a r i a b l e n

und nicht von

Entwicklung

immer

der

G e d ä c h t n i s ! ") kontinuier-

werden.

der E i g e n s c h a f t ,

speziellen

unter-

betreffenden

Entwicklung

nicht

es

offenbar

von M a r k o f f k e t t e n

daß

arbeitet

Ausgehend

verfügt. Wenn

Werten

festen

des

Xs(m)

Prozesses bis

Xt

Xr(w),

s ET,

nur von

durch

die

von

abhängen. ZU

befindet, Xs(w)

zum Z e i t p u n k t

Markoff-Prozeß

Pro-

Zustand

für t > s nur r < s

Zeitpunkt

im Z u s t a n d

Verlauf

stochastisehen gegebenem

dem

hängt ab,

nicht

s.

folgende

Glei-

charakterisieren

IN

P(XT

t)

= P(XT

beliebig. = 1 V t

= i V

c [0,t]) = e

Dann gilt {O.i.t,

E

T

nach

Satz

wir

x = I--X.. + n 11

-

{Pli(i))n

=

< 1+ X i i " £

o(-) 1 n'

=

l

(-l)v-

3.1

+

in

die

+

o(£))).

P o t e n z r e i h e n e n t w i c k l u n g3

Logari thmus 1 og( 1+x)

0.

|.t,...,n.t})

= exp(n.log(l+l.X.. Wenn

, t >

v+1 , 1 x|

< 1

des

147

einsetzen, P(XT

Für

n

erhalten

= i V t e

°° e r g i b t

(O.A-t,...,£-t})

sich

S e p a r a b i 1 i t a t des keit der

wir

aus

der

Prozesses

stillschweigend

(vql.

vorausgesetzten

Seite 128f.)und

der

Stetig-

Exponentialfunktion

P(XT

= i V X e

[u,t])

= l i m P(X n-»-«> t. 11 - e

= i V T e {0

t,. . .

1 >)

• Für

Zustände

Wenn

1

E

= 0 ergibt

P(X

= i V

T e [ü,t]) = e ° = 1

also

solch

ein

einmal Nachdem in der

absorbierender

erreicht wird,

dann wird über

wir

uns

bisher

des

Beobachtungsbeginns

die

Verwei1zeiten

ein

Differentialgleichungssystem,

Dabei zwei

der

gehen

Funktionen wir

von

der

Pij.(t+At)

= j>ik(t)-pkj.(Ätj

i ,j e ^

wir

P 1 i ( t + A t ) - p i .(t) ~

At

'

der

das

haben, uns

+

auf

rechts

die

etwas

beiden dann

At-vO

jetzt Be-

(03h)

für

,

Seiten steht

kfj

1K

+

^/iK^i-Pkjt")

+

der Gleichung

links

„ J / l k « ^ den

die Ableitung

Summe

J J

wir

die vollständige

umschreiben:

Pkj(At) 1J

suchen

Verteilung

^ / I k ^ - P k j ^ ) -

p .ii^ . ( A t )'- l

jetzt

p.j(t)

die

V t, At > 0

" A-iPljt^-Pjj^)

At •* 0 dduurrcchhff üü h r e n ,

Funktionen

t = 0 und über

Pij^)" Wenn wir

1.4.3 ) verlassen.

aus:

Pij(t>-Pjjn)-t 2L e

m

l1 0o ( t )

Differentialgleichungen

( W h l ) '

1

X

, X

11

00

00+X11

• •

W i r h a b e n uns b i s h e r vor a l l e m m i t h o m o g e n e n beschäftigt

Obergangs-Wahrscheinlichkeitsfunktionen Bei

nicht-homogenen

kann m a n a n a l o g

Prozessen mit diskretem

Differentialgl eichungssysteme bei

Fisz

L i t e r a t u r zu den F r a g e n

in Kapitel

tem Z u s t a n d s r a u m weitere

Zustandsraum

auf

hierzu

findet

weiterführende und

Stetig-

wird.

und in d i e s e m P a r a g r a p h e n

mit kontinuierlichem

Parameter

Parameter

bisher und

u n t e r s u c h t h a b e n , w o l l e n w i r j e t z t noch mit diskretem

und k o n t i n u i e r l i c h e m Kontrolle

Näheres

I Markoffprozesse mit diskretem

wenigstens

Parameter

und M a r k o f f p r o z e s s e

Markoffprozesse

Zustandsraum Kolmogoroffsche

X - j (t) h i n g e w i e s e n

T y p e n von M a r k o f f p r o z e s s e n

Markoffprozesse

für die

hergeleitet.

nach E x i s t e n z , E n d l i c h k e i t

und d i s k r e t e m Z u s t a n d s r a u m allem Markoffprozesse

ableiten.

( 1 9 7 1 ) , w o auch

I n t e n s i t ä t s funktioneh

Nachdem wir

P^j(t)

v o r g e h e n und e n t s p r e c h e n d e

man beispielsweise keit der

Harkoffprozessen

und zwei D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g s s y s t e m e

zwei

erwähnen:

kontinuierlichem

mit kontinuierlichem

Parameter

Zustandsraum.

vom ersten T y p e r g e b e n

eines Fabrikationsvorgangs

Dicke oder Gewicht

und

vor

diskre-

sich

z . B . , w e n n bei

s t e t i g e M e r k m a l e wie

in g e w i s s e n Z e i t a b s t ä n d e n ü b e r p r ü f t

der Länge,

werden.

153 Allerdings werden solche stochastisehe

Prozesse

und T e s t m e t h o d e n prozesse

Parameter

i s t die S i t u a t i o n

bei

Typ n i m m t eine b e s o n d e r s Bei

Zustandsänderung

Bei

ein

Stellung

groß

Zustandsraum

sie t a t s ä c h l i c h

Dieser

Prozeß-

im B e r e i c h

der

Mar-

einmal

einer eine

und

(04h)),

e i n t r i t t - auch

ver-

Z u s t a n d s r a u m w i r d sich -

At nur klein

scheinlichkeit eine Zustandsänderung dann a l l e r d i n g s

tritt während

ausfällt.

Prozessen mit kontinuierlichem

ist - mit h o h e r

während

Wahr-

At e r g e b e n ,

a u c h nur klein a u s f a l l e n d ü r f t e . S o l c h e

w e r d e n i m m e r dann als M o d e l l e werden

eine

kontinuierlichem

Zustandsraum.

(wegen der S t e t i g k e i t der p ^ - f t )

s e l b s t w e n n die Z e i t s p a n n e

abständen

Zustands-

Prozesse nur

At nur m i t k l e i n e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t

aber - w e n n

hältnismäßig

Markoff-

ein.

Zeitspanne

die dann

als

Schätz-

bearbeitet.

Prozessen mit

wichtige

Prozessen mit diskretem

kleinen

m i t den

Rolle.

P a r a m e t e r und k o n t i n u i e r l i c h e m koffprozesse

i.a. n i c h t

und k o n t i n u i e r l i c h e m

im R a h m e n d e r s t o c h a s t i s c h e n

untergeordnete Anders

der Q u a l i t ä t s k o n t r o l l e

mit d i s k r e t e m

raum spielen

Kontrol 1 probleine

formuliert, sondern

verhältnismäßig

herangezogen, wenn

die Prozesse

in k u r z e n

kleine Zustandsänderungen

Zeit-

festgestellt

können.

Beispiele

für s o l c h e S i t u a t i o n e n Luftdruck

sind

etwa

in A b h ä n g i g k e i t von der

Zeit

oder Anzahl

von B a k t e r i e n

in A b h ä n g i g k e i t Obgleich

im z w e i t e n

Beispiel

ist, kann man ihn im Modell eben das

kurzen Zeitraumes

wenig

beeinflußt.

Nährlösung

Zeit.

der Z u s t a n d s r a u m e i g e n t l i c h als k o n t i n u i e r l i c h

E n t s t e h e n und A b s t e r b e n e i n z e l n e r

eines

3.4

in e i n e r

von der

diskret

a n s e h e n , weil

Bakterien

die g e s a m t e B a k t e r i e n k u l t u r

innerhalb nur

sehr

Beispiel

Kleine Teilchen

führen

von Z u s a m m e n s t ö ß e n mäßige Bewegung

in e i n e r F l ü s s i g k e i t

mit Flüssigkeitsmolekülen

unter d e m

Einfluß

eine sehr

unregel-

aus.

Diese B e w e g u n g w u r d e

1827

von dem B o t a n i k e r

Robert Brown

ent-

d e c k t und nach ihm b e n a n n t . W e n n m a n ein s o l c h e s w i n z i g e s

Teil-

chen u n t e r dem M i k r o s k o p

die

x-Koordinate Zeit

b e o b a c h t e t , dann z e i g t s i c h , d a ß

X t des T e i l c h e n s

t abhängt.

in sehr

Ein s t o c h a s t i s c h e s

irregulärer

Modell

Weise

für d i e s e n

von

Vorgang

der

154 wurde

zuerst

schlagen

von E i n s t e i n

und dann

(1906) und S m o l u c h o w s k i

von Wiener

(1923) e x a k t

(1915)

Man kann d a v o n a u s g e h e n , daß w ä h r e n d e i n e s Z e i t r a u m e s Teilchen

s e h r viele

unregelmäßige

eine Z u s t a n d s ä n d e r u n g able

X.-X t

von X s

S t ö ß e e r f ä h r t , die

nach

Xt

bewirken.

kann d a n n nach dem Z e n t r a l e n

vorge-

ausgearbeitet.

Die

[s ,t]

Zufallsvari-

Grenzwertsatz

als

nor-

s

malverteilt

a n g e s e h e n w e r d e n . S o l a n g e sich die

(makroskopisch) tende Z u w a c h s verhält.

null

betragen.

Weiter

Xt~X

Einstein

proportional

für b e l i e b i g e

Zustandsänderung

Xt~X

Zeiträume

zur Z e i t d i f f e r e n z

Varianz t-s

der

Zufalls-

h > 0 m i t der V e r t e i l u n g

übereinstimmt

[t-^.t^] und

erwar-

z e i g t e , daß sich die

kann man a n n e h m e n , daß die V e r t e i l u n g

variablen folgende

Flüssigkeit

im G l e i c h g e w i c h t b e f i n d e t , w i r d d e r zu

der Z u s t a n d s ä n d e r u n g

und daß für zwei

[t^.tj]

der

aufeinander-

die Zufa 11 s v a r i a b 1 en

X. -X. und X. - X f unabhängig voneinander sind. l 2 ll 3 z2 Der M o d e l l p r o z e ß {X^: t >. 0} hat d a m i t die f o l g e n d e

Gestalt:

Für alle Z e i t p u n k t e

Zuwächse

Xt

v

- Xt

tj,t2,...,tn

normalverteilte

und V a r i a n z

K-(t - t

Prozeß^

e

Zufal1svariablen

j). Das

Zuwächsen,

E(Xt - Xt ) = 0 V v-1 in Beispiel

also der B r o w n s c h e Interessant

l e i c h t , daß alle

Prozeß ein Gaußprozeß

endlichdimensionasind,

Beispielsweise

irregulär

daß

ist.

ist d i e Ges tal't der Pfade des B r o w n s c h e n

ausgesprochen

un-

wegen

{X^:t > 0} N o r m a l v e r t e i 1 u n g e n

z e i g e n , daß fast alle Pfade

ansonsten

und

Martingal.2)

V t u _ 1 , t v > 0 auch ein

von

Brownsche

P r o z e ß m i t stationären

ein Marko ffprozeß

2 . 3 zeigt man

len V e r t e i l u n g e n

Man kann

also

mit Erwartungwert 0

heißt der s o g e n a n n t e

ist ein nicht-stationärer

abhängigen

[ 0 , » ) sind die

v = 1,2 ,. . . ,n

v -1

unabhängige

Wie

das

insgesamt

X(-,m)

Prozesses.

z w a r stetig

aber

sind.

g i l t bis auf u - A u s n a h m e m e n g e n

der

Wahrscheinlich-

kei t nul 1 : (a) Die P f a d e monotone

sind über keinem

(b) Die P f a d e

haben über keinem

eine e n d l i c h e (c) Die P f a d e

1)

manchmal

2)

vgl.

(noch so k l e i n e n )

Zeitintervall

Funktionen.

sind n i r g e n d w o

auch

Aufgabe

(noch so k l e i n e n )

Länge.

"Wienersche 25.

differenzierbar.

Prozeß"

Zeitintervall

155

(d) D i e

lokalen

(e)

Menge

Die

Funktion

g(t)

sich

sie

Uberabzählbar

ausführliche

Trotz

findet

seiner

Prozeß

ein

kommt

ihm

zesse

große

haben

als

theoretische in d i e s e m mit

reale

und

vom

den

gemeinsamen

die

verschiedene

Brownschen

der

Brownsche

verschiedener Darüberhinaus

stationärer

Gaußpro-

allem

mit

Parameter

Paragraphen

Prozesse

homogenen

und

diskretem

werden

untersuchen,

i a u s g e h e n d nur

nach

wir

bei i+1

uns

denen oder

i-1

Das

System

Die

zukünftige

samten

entwickelt

der

Zeit

durchlaufen,

sich

Entwicklung

gegenwärtigen

Ereignisse,

unabhängig

die

entwickeln

haben

die

folgen-

zeitlich Systems ab

und

homogener

Weise.

hängt

vom

nicht

nur

von

der

ge-

Entwicklung.

der

Entwicklung Zeiträume

des

Systems

während

zusammenhängen,

sind

voneinander.

des

ganze

Ausgehend

mit

in des

Zustand

disjunkter

Zustände

negative

möglich

im L a u f e

vorangegangenen

verschiedener

Alle

sich

Zustände

Eigenschaften:

jeweils

(gE4)

ist

Vorgänge.

vor

nächsten

Zustand

des

Todesprozesse

Systeme,

dabei

(gE3)

Paragraphen

und

ist

null.

zu.

kontinuierlichem

spezialisieren

dann

Pfade

die A n a l y s e

Im

abgeschlos-

ist,

Beschreibung

Bedeutung

beschäftigt.

und

(gE2)

zur

oder

(1971).

irregulären

Modell

Zeitachse.

leer

Eigenschaften

Freedman

der

differenzierbare

leer

Lebesgue-Maß

der

auf

eine

sind.

4 Geburts-

(gEl)

das

bei

für

dicht

Pfad

nicht

elektrotechnischer

Zustandsänderungen

Viele

z.B.

Grundlage

uns

noch w e i t e r

hat

sie

Beschreibung

und

liegen ein

ist e n t w e d e r

Wenn

unvorstellbar

Zustandsraum

§

und

man

Markoffprozessen

möglich

dicht.

geeignetes

physikalischer

Pfades

in d e n e n

schneidet,

und

Eine

in

eines

Punkte,

sen

Prozesses

Wir

Maxima

der

vom

nach

Systems

Zahlen

Zustand i+1.

können

beschrieben

i ist eine

eindeutig

durch

nicht-

werden.

Zustandsänderung

nur

156

Die

Wahrscheinlichkeit

einer

kleinen

nähernd

proportional

tätsfaktor

die

der

zu a t .

unabhängig

Zustandsänderung

während

Länge at

sich

Dabei

vom

als

eine

Zustandsänderung

über

i+1

nach

i+2)

treten

vernachlässigbar

Ordnung

o(at)^

mit

Eigenschaften

den

folgenden

verhält

ist

der

jeweiligen

Mehr

einer

Systeme

x

einer

Zeitspanne

Zustand

(beispielsweise

während

kleinen

der

an-

Proportionali-

Zeit

at

i. von

i

nur

mit

Wahrscheinlichkeit

der

auf.

(gE1)

Zufal1svariablen

bis

(gE4)

werden

z.B.

durch

beschrieben:

Anzahl

von

Telephonanrufen

, Anzahl

von

Kraftfahrzeugen,

bei

einer

die

Zentrale,

einen

Kontrollpunkt

passi eren, Anzahl Um

ein

von

gemeinsames

Schiffskollisionen mathematisches

aufzubauen,

übersetzen

zunächst

in

die

trachten

also

wir

Sprache

im

die

der

folgenden

im

Modell

Ärmelkanal. für

solche

Eigenschaften

stochastisehen Prozesse

(gEl)

Systeme bis

Prozesse. >_ 0 }

mit

(gE4)

Wir

den

be-

Eigen-

schaften:

(PI)

ist

i-

e

in

homogener

Markoffprozeß. 2)

(P2)

i^it

(P3)

y =

(P4)

Es i

—

{0,1,2

E ^

und

es

schon sich

die

bei

sogenannte lich

und

Zur

2)

Hegen der unabhängige

für

Konstante

alle

t,at =

X > 0,

>_ 0

so

P(Xt+it-

j|Xt=

für

0

. i + 2 .

erwähnten mit

den

Beispiele

voneinander

des

Homogenität Zuwächse

Symbols


_ 0 } , d e r f . s .

Eigenschaften

(PI; bis

(mit d e m P a r a m e t e r

"Poissonprozeß"

(vgl.

Satz

im N u l l p u n k t

(P4) a u f w e i s t , x

i s t von d e r

be-

heißt

(ho-

). Poissonvertei1ung

4.3).

Bemerkung

Wegen

(PI)

können wir

die

in § 3

entwickelte

Markoffprozesse

auf den P o i s s o n p r o z e ß

(01h)

sind

bis

(03h)

offenbar

Theorie

anwenden.

erfüllt,

und aus

Die

homogener Eigenschaften

(P4) e r g i b t

sich

(04h):

i Damit sind des

die

l für

j=i

0

j+1.

für

O b e r g a n g s - W a h r s c h e i nl i chkei t s f u n k t i o n e n

Poi s s o n p r o z e s s e s

alle

stetig

und

sogar

Wegen Plj x

i1 iJ

hat die

=

P i1 Ji ( ° )

=

(it)-PlJ(0)

_

Pi;j(t)

differenzierbar. für für

0 -X

0_ 0 }

Parameter

ein

Poi s s o n p r o z e ß Xt,

t >

0

mit

dem

einer

X . Dann

Parameter

Poissonvertei1ung

mit

genügt dem

X't:

P(Xt=

n)

j)f1

=

• e~Xt

für

t >

0

n

c

IN0.

Pon(0,t)

=

Pon(t).

Bewei s Wegen

"XQ=

0

P(Xt=

Die

f.s."

n)

genaue

=

P(Xt=

Gestalt

Kolmogoroffschen Nach

Bemerkung

Voraussetzung bereits

p

Wir

ij

Nach

für

=

X

Funktionen

Pon(t)

K o ^

=

1

=

(ü5h) daß

die

Eigenschaften

braucht alle

uns

Aufgabe

wir

nicht

(ülh) zu

aus

bis

dem (KR)

(04h)

„ V l k - P k j ^

V

^

K

V t

endlich

ab:

erfüllt.

interessieren,

Xjj

"u

oo

p

on(t}

4.2

sind Da

auch

+

x

ol-Pln(t)

alle

Plo(t) pQ

xok wegen

weil

sind.

>

+

für

0.

(t):

n

k >_ 2

(P4)

und

i

damit

ebenfalls

auch

null

können2^,

schreiben

ist

erhalten

alle und wir

^ - P o o ^ ) " ^ P o n ^

+

x

"Po,n-l(t'

denn -die Zufallsvariablen "Anzahl der Signale, die während eintreffen " und Xt="Anzahl der Signale, die ein treffen " sind offenbar identisch verteilt vgl.

leiten

Intensitäten

null.

Pjn(t)

Pin' '

2)

=

dann

=

Bemerkung

Reihenreste

1)

0)

fragen nur nach der Gestalt der p Pio^) = ^oo-Poo^' + xol"plo(t) Pin^i

wir

sind

wissen,

gilt

( t )

der

4.2

Die

(KR)

n|XQ=

Rückwärts-Differentialgl eichungssystem

wir Nach

ist

32

> n >

der

nächsten

während

des

(warum?)

1.

t Zeitraumes

Zeiteinheiten [o,i:]

159

Dasselbe

"System

hätten wir auch

von aus

Differential-Differenzen-Gleichungen" dem

tialgl e i c h u n g s s y s t e m Die o b e r e

Kolmogoroffschen

(KV)

gewinnen

Differentialgleichung

Vorwärts-Differen-

können1'.

läßt sich

sofort

nach

; zu

eins.

P00(t)

auf 1ösen:

P0o(t) Wegen Wir

'

Poo(0)

• = 1 ergibt

v e r m u t e n , daß t

auch

Produkt

von e

lassen;

d.h. wir machen

P o n W

*

Pin^J

=

Damit

und e i n e r

Vt)-

sich

u;(t)

"*

Funktionen

Restfunktion"

p„_(t)

Un(t)

sich

als

darstellen

Ansatz

- VUn(t)-e"At

untere

sofort einfache Un(t)

die K o n s t a n t e

übrigen

4

-x-Un(t>)-e"xt

( ( t )

Funktionen

6

den

u;(t)-e"xt

läßt sich die

woraus

sich die

n-1,2,... .

Differentialgleichung - (-X-Un(t) +

schreiben

als

x-Un.l(t)).e-Xt,

Differentialgleichungen

für

die

ergeben:

- x- U n _ 1 ( t )

n-1,2

Wegen poo(t) ergibt

sich U0(t)

1)

Um zur

= l.e"xt

U0(t).e"xt

=

nacheinander

(für

t > 0)

- 1

U { (t) = A - U 0 ( t )

= x

U£(t)

=x-( Xt+Cj) = > U 2 ( t )

(KV)

=X-U1(t)

anwenden

Berechnung

zu von

=

können,

>

U:(t)

müssen

wir

= x^t + = ^-t2

sicher

Pkj(At; —

Cj + XCj^t +

sein,

c2

daß

wir

lim Y p. (t)• den Grenzübergang lk At At+0 At 0 h i n t e r dem Summenzeichen ausführen können (vgl. Seite 148). Das bereitet hier allerdings keine Schwierigkeiten, da wir es wegen ~ O, k > j immer nur mit endlichen Summen zu tun haben. ~Wir können also auf die Voraussetzung (t)6h) verzichten.

160 Wegen pon(0)

= 0

und p Q n ( 0 )

= U n ( 0 ) - e ° = U„{0)

e r g e b e n s i c h a l l e % ( 0 ) . n >_ 1 zu n u l l . D a r a u s f o l g t , daß a l l e Konstanten c j . c ^ c - j , . . . verschwinden. Die H i l f s f u n k t i o n e n U _ ( t ) v e r e i n f a c h e n s i c h a l s o zu n4 ' u0(t)

= i,

Un(t)

=

ux(t)

d.h.

=x.t,

2 t£

n

für t > 0 n =

Damit i s t

der S a t z

n)

= pon(t)

=-Un(t).e"xt

e"xt

=

bewiesen.

Die Anzahl

'

der S i g n a l e ,

eintreffen, meter

0,1,2,...

wegen

P(Xt=

folgt

also

die während e i n e r einer

Zeitspanne

Poissonvertei1ung

[0,t]

m i t dem P a r a -

x-t.

Häufig eines sich

X2 = ^

u2(t)

fragt

man n i c h t

nach d e r A n z a h l

festen

Zeitraums

beobachtet

mehr f ü r

fen w i r d .

den Z e i t p u n k t ,

Dieser

der Z e i t p u n k t , eintrifft. variablen

Signale

Zeitpunkt

nächste

natürlich Signal

seit

{t > 0:Xt

=

die

während

interessiert

Signal

genauso

eintref-

verteilt

wie

Beobachtungsbeginn

man f r a g t nach d e r V e r t e i l u n g

Y := i n f

seit

zu dem das

ist

zu dem das e r s t e

D.h.

der S i g n a l e ,

werden, sondern

der

Zufalls-

1}.

Beobachtungsbeginn

Zeitintervall vorgegeben,

[0,t]

lung der Anzahl nale, spanne

fest

gesucht : Xt

Vertei-

der

d i e während der [0,t]

SigZeit-

eintreffen.

Beobachtungsbeginn

erstes es Si> Signal

seit Beobachtungsbeginn

gesucht:

Verteilung

des

p u n k t e s Y , zu dem das ^

\

Signal ginn

t

i

Beobach

y -

t

tungsbeginn

seit

Zeit-

erste

Beobachtungsbe-

eintrifft.

161

Während X^ e i n e r

diskreten

die Zufallsvariable

V e r t e i l u n g g e n ü g t , w i r d man f ü r

Yeine

stetige

Verteilung

vermuten:

4.4 SATZ Sei

{*t:t

> 0} e i n P o i s s o n p r o z e ß m i t dem P a r a m e t e r

Dann genügt d i e Z u f a l l s v a r i a b l e Y = i n f negativen Exponentialvertei1ung F (t) >

0 = P(Y < t ) - j - lI i . » "

{t

>_ 0 : X t

x. = Deiner

m i t dem Parameter x :

für t

0

t

Bewei s Nach Bemerkung 4 . 2 s i n d d i e E i g e n s c h a f t e n aus § 3 e r f ü l l t . nicht

Die V o r a u s s e t z u n g

(05h)

(01h)

bis

braucht

(04h)

uns w i e d e r

zu i n t e r e s s i e r e n , w e i l w i r b e r e i t s w i s s e n , d a ß a l l e

sitäten

x^j endlich

Inten

sind.

- D a m i t können w i r Satz 3 . Z

anwenden: X„ • t

F

Y(t)

Satz 4 . 4

P(Y

o


0 gerade komplementär

Damit kann d i e V e r t e i l u n g

V e r t e i l u n g von X t z u r ü c k g e f ü h r t

zueinander

der Z u f a l 1 s v a r i a b l e h Y a u f und nach Satz

= 1 - P ( X t - 0) = l - e " x t

4.3 berechnet

die werden:

, t > 0.

Bemerkung

Wenn w i r

schon w i s s e n , daß s e i t

ersten t^ wir

sich nämlich

und {w e Q : X t ( o ) )

f ü r jeden festen Z e i t p u n k t

4.5

t > 0.

Ereignisse

{w e ß:Y (ui) t ^ l e i c h t

eingetroffen

auch während d e r e r s t e n t Z e i t e i n h e i t e n P,YY p (

»

v tt , Y l

• i " 'l)

P ( Y > t > Y

»*!> P(Y > t x )

_ £Xt

ist,

die Wahrscheinlichkeit

_

kein Signal

dann können

b e r e c h n e n , daß eintreffen

P(V>t) P(V > t | )

-x-(t-tj)

= P(Y > t - t j )

t

> tj

> 0.

wird:

162 Das b e d e u t e t , einer ist

auch d i e b e d i n g t e Z u f a l l s v a r i a b l e

negativen

dabei

Der P r o z e ß er b i s

Exponentialvertei1ung.

lediglich

die

"vergißt"

bleibenden

Zeitrest

sozusagen

t-tj

Man kann l e i c h t d i e

eher a l l g e m e i n e r e n

natürlich

muß h ä u f i g

in diese Richtung

(PI)

Zuwachs

wird die Bestand

um e i n e

abhängen.

abzuwandeln,

Es

daß d i e

von dem j e w e i l i g e n

(P4)

sind

interessanter berechnen*^.

für

als

Variabler, Wir

sondern

wollen uns

praktische

Eigenschaft

untersucht,

ein Signal

deshalb

von dem s c h o n

nahe, die

denen

{*t:t

dann

vorhandenen

Eigenschaft

(P4)

so

p.j(t,t+At)

i des S y s t e m s

Prozesse

bei

gewertet w i r d ,

"Sprung-Wahrscheinlichkeiten"

im f o l g e n d e n

Situ-

(P4)

abhängen.

>_ 0}

mit

den

Ei g e n s c h a f t e n (Gl)

{Xt:t

(G3)

'J.c

(G4)

>_ 0}

ist

ein

homogener M a r k o f f p r o z e ß .

{0,1,2,...}

Für jeden Zustand Ai

i e ^

> 0 , s o daß f ü r

P i j (At) =

Pij(t,t+At)

alle

existiert t,it

= P(Xt+it=

eine

>_ 0

Konstante

gilt

J|Xt=

i)

f ü r 00 r o o o ausgehen. 2) Literatur hierzu f i n d e t man etwa bei Fisz (1971), S. 334 f. 3) Ein einfaches Beispiel für eine solche "Systemexplosion" findet man bei Bailey (1964), S. 89.

164

dierende" delle,

Geburtsprozesse

weil

bei

ä u ß e r e n Umstände mitteln,

etc.)

(wie z.B.

eine

voraus,

daß d i e

Die Bedingung schaften

(04h)

(05h)

sowieso

Verknappung

nur v o r l ä u f i g e

von ( 0 2 h )

ergibt

wieder

sich

"nicht

sofort

brauchen w i r

aus

Nahrungs-

abbremsen. setien

zu s c h n e l l " (G4).

wieder

Mo-

irgendwelche

zu g e w ä h r l e i s t e n ,

K o n s t a n t e n x..

und ( 0 6 h )

immer

von L e b e n s r a u m ,

"Geburtenexplosion"

Um nun d i e G ü l t i g k e i t also

liefern

r e a l e n Wachstumsvorgängen

Die

nicht

wir

anwachsen^. Eigen-

nachzuprüfen

(warum 1).

Damit

können w i r

sowohl

gl eichungssystem stimmung der

(KV)

das K o l m o g o r o f f s c h e V o r w ä r t s - D i f f e r e n t i a l •

a l s auch das R ü c k w ä r t s - S y s t e m

(KR)

Obergangs-Wahrscheinl i c h k e i t s f u n k t i o n e n

zur

Be-

P-jj(t)

verwenden. Aus

(KV) e r g i b t

P

(t) i J'

sich

- Ixkj-Pik(t)

V1.de V t

Wir f r a g e n w i e d e r ("Geburten"),

nur

nach d e r V e r t e i l u n g

d i e während e i n e s

3,

> 0.

Zeitraums

der Anzahl

von

d e r Länge t

Signalen

beobachtet

werden:

=

K o M K n ™ Die

"

oo-Poo^J

+

^on'PooW

+

Intensitäten

P™^)

"

Pin^)

=

Dieses mit

M o - P o l * ^ - " x

ln'pol^t^

. errechnet

~xi

V l ' P o . n - l ^

für

die Funktionen

man s i c h

" leicht

aus

(G4):

" V P o n ^

. "

> 1.

sukzessive Pon(t)

kann

g e l ö s t werden,

Ausdrücke,

die

die

und Terme

2)

enthalten

r a t e x(t)

'"'

System von D i f f e r e n t i a l - D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n

t

e

+

" V P o o ^

den N e b e n b e d i n g u n g e n ( 0 4 h )

man e r h ä l t

p

x

'.

F ü r den S p e z i a l f a l l ,

proportional

zum Z u s t a n d

i

ist,

bei

dem d i e

wollen wir

Wachstumsdie

Lösungen

berechnen:

1) Genauer läßt sich zeigen (vgl. Feller £1968), S. 451 ff.), (Ü2h) erfüllt ist, wenn die Summe £x . divergiert. i

2) vgl. Satz

4.3

daß

165 4.7

Beispiel

In e i n e r N ä h r l ö s u n g ausreichender

befinden

Nahrung

durch Zellteilung beeinflussen.

vermehren, ohne

X t sei

In e r s t e r N ä h e r u n g

die Anzahl

zu A t und zur Anzahl

P(X Zwei

S+At

i + l I1X „ = 0 0

Das

Wahrscheinlichder

o(At)

+ 0 (A t)

ist.

Den

s > 0 , i >_ i

f i n d e n w ä h r e n d der Z e i t At nur m i t

statt.

t >_ 0} k ö n n e n w i r d a m i t als e i n e n

x. = i - x

i

> 0 beginnt

Geburtsprozeß

und d e s s e n

Wachstums-

betragen.

sich w ä h r e n d t Z e i t e i n h e i t e n

Kolmogoroffsche

Amöben-

proportional

i ) = X• i * A t + 0(A t) 1 0' 0 '

fragen nach d e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t

kolonie

zu

t1'.

b e z e i c h n e n w i r m i t X:

a u f f a s s e n , der im Z u s t a n d Wir

gegenseitig

kleinen Zeitspanne At

oder mehr Zellteilungen

Wahrscheinlichkeit

raten gerade

sich dabei

bei

Bedingungen

d e r A m ö b e n zur Z e i t

= 1 +11 X = i) =X • i - A t

Den Prozeß { X t :

äußeren

der s c h o n v o r h a n d e n e n A m ö b e n

Proportionalitätsfaktor

At"

A m ö b e n , die sich

(also e i n e r V e r g r ö ß e r u n g

um 1) w ä h r e n d e i n e r

P(X

i

kann m a n a n n e h m e n , d a ß die

keit einer Zellteilung anzahl

sich X Q =

und g u t e n s o n s t i g e n

d a f ü r , d a ß die

von i

Amöben-

auf n >_ i Q

vermehrt.

Vorwärts-Differentialgleichungssystem

(KV)

1i e f e r t " V Dabei

0

^

k n

'

e r g e b e n sich

Pkn die

=

p

•

Intensitäten

P i

o

wegen

0

(Xs+At= ">xs"

k

>

f ü r Ojinik-l

l-xk-At +o(At)

für n=k

X k A t + o(at)

f ü r n = k+l

o(at)

zu -X

*kn"

t i 0. n >. i .

k ( t )

Pkn(°)

für n>.k + 2

für n=k für n=k+l sonst.

Für X k

k ö n n e n w i r nach u n s e r e r

a u c h k-x Damit

Proportionalitätsvoraussetzung

schreiben.

gilt Pl i (*) '

0 0

i "Pi i (t) V o

^

0

0 0 0 1) Hier bedeutet Xfc also nicht die Anzahl eines Zeitintervalls der Länge t.

der

"Geburten"

während

einer

166 und P i / ^

=

^-l.n'P^.n-ltt)

"

X

p

n-r

i

. n - l ^

+

-

^nn-P^ntt)

V P i

n

n ^

>

\

a l so P-

i (t) o o

p:

(t)

n

M i t der

=-T

-^Pij

(t)

= (n-l) -x.p.

(t)

- n.*.Pl

(t)

Anfangsbedingung

P, „ ( 0 ) o ergibt

0

sich

=

1

für

n=i.

0

für

n>i.

sukzessive

P i J

(t)

PiQn

(t)

- i „xt o = e n-1 \

( -

0

-i„xt

-

(l-e'

Differentiation

Man U b e r z e u g t

sich

explosion"

führt,

0

)

, n >

•

was man d u r c h

sofort

auch l e i c h t

l i n e a r e Wachstumsrate

U

nachprüfen

d a v o n , daß d i e

x. = i • x noch n i c h t

daß a l s o

die Gleichheit

kann.

hier

angenommene

zu e i n e r

"Bevölkerungs-

in

tatsächlich

(02h)

g i l t :. 1 ) /n-1 \ E

P (t) n„ o* „ n

=

P

V o„ o( t

+ e

- i X t

•' F ü r den

1) Das m

0

+

6

n=i Q+1

»

' J

-

0

/i + k - 1 \ i

(

der Fußnote

auf Seite

(1-e

)

0

(l-e"xt)k

(l-e"xt)k

V t > 0

1\ können w i r

Binominalkoeffizienten

rigt die Rechnung,

\n-1o/'

/1«+k_l\ i.( * )

-i„xt

0

= e

)

auch

(3

164 angegebene Kriterium erübv -1 1 "vi ist ¿X. = y • L — = "

denn offenbar

167

schreiben.

P

l

Nach

V(t)

dem

= e

Binominalsatz

"ioXt-

k=0 0

Interessant Wir

fragen

Aus

der

ist

-i -1))

0 •ae

noch die

also

nach

dann

\ k /

. (l+(e

0

= e

sich

Jo

-i„Xt = e

ergibt

0

= 1 1.

zu e r w a r t e n d e

E(Xt)

und

Amöbenanzahl

zur Zeit

t.

Var(Xt).

durch

„(t)

Pi

= P(Xt-

n) = P ( X t - 1 0 -

k)

;

n=i0,10+l,i0+2,...

0

k=n-iQ=

gegebenen

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zufallsvariable

Xt-

i

für jeden

ven

Binominalvertei1ung

Wir

können

deshalb

den

erkennt

Zeitpunkt

mit den Parametern Erwartungswert

und

0,1,2,....

m a n , daß

t >_ 0 e i n e r -it i

die

negati-

und e

genügt.

die V a r i a n z

sofort

angeben: E

V(l-e"Xt) • ' e -xt

(V V

10(l-e"xt) " e -21t

Var X

( t" V

al so = i 0 - e X t , Var(Xt)

E(Xt) Daß der

Erwartungswert

Überraschung, liefert Sei

denn

von

N(t)

die

Anzahl

NCt)

keine

tion

von

t sein.

zu

der

Die

anwächst,

ist

deterministisches

keine

Waahstumsmodell

Ergebnis:

Amöben

zur

Zeit

t.

sondern

Wachstumsrate

der

Im

Gegensatz

lediglich

zu

eine

Amöbenkolonie

sei

Funkpropor-

N(t).

diesen

Voraussetzungen

deren

Lösung

N(t)

=

Anfangsbedingung N(t)

exponentiell

Zufallsvariable,

Unter

Die

Xt

passendes

ein entsprechendes

soll tional

ein

= 1Q-ext• (eU-l).

= i

-eXt.

t+C

e*

ergibt

sich

die

Differentialgleichung

ist.

11(0} =

liefert

eC=

also

168

Der Geburtsprozeß mit linearer Wachstumsrate xi

= i-x wurde zuerst

im Zusammenhang mit einer mathematischen Theorie der Evolution untersucht 1 '; später wurde dasselbe Modell

zur Beschreibung des herangezogen 2 '.

Elektronenstroms innerhalb der kosmischen Strahlung

• Bei vielen Problemstellungen aus den unterschiedlichsten bieten ist von "Zuwachs" keine Rede, sondern eher von

Ge-

"Schrumpfung".

Wenn beispielsweise ein Verlag ein Lexikon verkauft, dann kann man diesen Vorgang als einen "Schrumpfungs"-Prozeß

auffassen:

Ausgehend vom Anfangszustand Nq

Anzahl aller Lexika der gesamten Auflage

vermindert sich die Zahl der noch vorrätigen Lexika X t im Laufe der Zeit. Statt von einer "Wachstumsrate" oder "Geburtenrate"

^

kann man hier von einer "Schrumpfungsrate" oder "Sterberate" y. sprechen. Wenn man diesen Ansatz weiterführt, und das Postulat (G4) des Geburtsprozesses entsprechend abändert, dann ergibt sich als Modellprozeß der sogenannte

Todesprozeß.

Wir wollen uns allerdings gleich mit einem allgemeineren

Prozeß

befassen, der sowohl den Geburtsprozeß als auch den Todesprozeß als Spezialfälle Häufiger

enthält.

noch als mit Situationen, für die ein Geburtsprozeß

oder ein Todesprozeß ein geeignetes Modell darstellt, hat man es mit Systemen zu tun, bei denen Zustandsänderungen in zwei Richtungen erfolgen können - in Form einer Vergrößerung

bzw.

Verkleinerung des Systems. In der üblichen Sprechweise werden diese Zustandsänderungen je nach ihrer Natur als "Geburt" bzw. "Tod" innerhalb

des Systems

bezeichnet.

Beispielsweise kann eine Warteschlange vor einem anwachsen

Postschalter^'

oder schrumpfen, je nachdem, ob gerade ein neuer

Kunde hinzukommt ("Geburtf") oder ob ein Kunde nach erfolgter Bedienung den Schalter verläßt

("Tod").

Es liegt also nahe, Prozesse {X t : t >_ 0} mit den folgenden Eigenschaften zu betrachten: (GT1)

eln

-

1)

vgl.

Yule

(1924).

2)

vgl.

Furty

(1937)

3)

vgl.

Beispiel

1. 1

homogener

Markoffprozeß.

169 (GT3)

J e { 0 , 1 , 2 , . . . }.

(GT4)

Für jeden Zustand i e ^

existieren zwei

Konstanten

-> 0, so daß für alle t,At i 0 gilt: p

ij(it)

=

Pij(t,t+At) = P ( X t + Ä t = j | X t = i) o(At) v.j -At + o(At)

=

1-(X i

i)

für 0

sich

p^.(t)

können

wir

Differentialgleichungs-

Durch E i n s e t z e n d e r

V o r w ä r t s s y s t e m (KV) e r g i b t

(GT4):

0

\1

-(Xj+yj)

aus

Intensitäten

x.j

i n das

sofort

«iPuW +

"

w

J+lP1.J +l

( t

>,

1

*

i

Die a l l g e m e i n e Lösung d i e s e s Systems von glei-chungen nimmt e i n e k o m p l i z i e r t e nicht

°

i

K

Differential-Differenzen-

Form an; w i r

gehen

darauf

ein.

Wenn man e i n e g e w i s s e V o r s t e l l u n g des b e t r a c h t e t e n einige

von der z u k ü n f t i g e n

Systems gewinnen w i l l ,

Pfade des M o d e l l p r o z e s s e s

{Xt:t

Entwicklung

dann e r z e u g t man z u n ä c h s t >. 0} und s t u d i e r t

deren

Verlauf. Dazu müssen d i e K o e f f i z i e n t e n Das i s t

ohne w e i t e r e s

ein Geburt-

x-

und-Tod-Prozeß n i c h t s

nation zweier Z u f a l l s e x p e r i m e n t e , tialvertei1ung Nach Satz

des Systems g e s c h ä t z t

anderes i s t

nämlich d i e V e r w e i l z e i t

im Z u s t a n d i b e f i n d e t ,

als

denen j e w e i l s

und e i n e Z w e i p u n k t v e r t e i l u n g

3.2 i s t

d i e Länge des Z e i t i n t e r v a l l s , able

und

m ö g l i c h , wenn man s i c h k l a r m a c h t , eine

eine

werden.

daß Kombi-

Exponen-

zugrundeliegen.

im Z u s t a n d i ,

also

während dessen s i c h das System

eine e x p o n e n t i a l v e r t e i l t e

Zufallsvari-

Yi: X..t P(Y

i

> t)

= e

1

Die W a h r s c h e i n l i c h k e i t [t,t+At] findet,

-(x.+uj-t = e

1

1

änderung von i

t > 0.

d a f ü r , daß während des

ausgehend vom Zustand i beträgt

,

nach (GT4)

Zeitintervalls

eine Zustandsänderung

(X^y^J-it

+ o(At).

nach i + 1 f i n d e t während e i n e r

Eine

Zeitspanne

Länge At m i t d e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t

X.-At + o(At)

Deshalb i s t

daß d i e b e d i n g t e

lichkeit

unmittelbar einsichtig,

einer

Z u s t a n d s ä n d e r u n g von i

daß e i n e Z u s t a n d s ä n d e r u n g s t a t t f i n d e t ,

statt-

Zustandsder

statt. Wahrschein-

nach i + 1 u n t e r d e r gerade T—1— i p i

Bedingung,

beträgt.

171 Entsprechend e r g i b t s i c h für P ( X

t + A

i-l|Xt=

i,

i)

der

Wert - — i — . Wenn d i e K o e f f i z i e n t e n x,- und p . bekannt s i n d , x +li 1 1 i i dann können w i r e i n e n Pfad des Model 1 p r o z e s s e s a l s o f o l g e n d e r maßen k o n s t r u i e r e n : Im Z e i t p u n k t

tQ= 0 wird ein Zufallsexperiment

welches eine R e a l i s a t i o n y .

liefert.

o verläßt.

durchgeführt,

der e x p o n e n t i a l v e r t e i l t e n

Verweilzeit

Damit s t e h t dann f e s t , wann das S y s t e m den Z u s t a n d

Ein Bernoul1i-Experiment

Zustandsänderung

von i Q

entscheidet

d a r ü b e r , ob d i e

nach 1 Q + 1 o d e r nach i Q - l

stattfindet.

Wenn das System den Z u s t a n d i Q + 1 annimmt, dann w i r d Realisation erzeugt

der e x p o n e n t i a l v e r t e i l t e n

iQ

eine

Zufallsvariablen Yi

und a n s c h l i e ß e n d w i e d e r e i n B e r n o u 1 1 i - E x p e r i m e n t

er+ 1 o durch-

geführt . Wenn w i r

i n e n t s p r e c h e n d e r Weise f o r t f a h r e n ,

speziellen Wenn

erhalten wir

P f a d des G e b u r t - u n d - T o d - P r o z e s s e s

anderseits

die K o e f f i z i e n t e n

{Xt:t

x.. und p. n i c h t

bekannt

s i n d , dann können w i r aus den b e o b a c h t e t e n R e a l i s a t i o n e n Verweilzeiten

Y^ S c h ä t z w e r t e f ü r d i e

einen

>.0}. der

Koeffizientensummen

gewinnen; die j e w e i l s

b e o b a c h t e t e n R i c h t u n g e n der Z u s t a n d s ä n d e r Xi »i uns S c h ä t z u n g e n f ü r - r — r — und — . Daraus A +W 1 i V i e r g e b e n s i c h dann l e i c h t S c h ä t z w e r t e f ü r d i e unbekannten K o e f f i ungen l i e f e r n

zienten

x^ und p•.

Für e i n e Reihe von s p e z i e l l e n Lahres

(1964)

Realisationen

Geburt-und-Tod-Prozessen

e r z e u g t und g r a p h i s c h

E i n e w e i t e r f ü h r e n d e D i s k u s s i o n des a l l g e m e i n e n Prozesses

sowie s e i n e r

Spezialfälle

§ 5

zahlreichen

f i n d e t man z . B . b e i

Der Aufbau H a r k o f f s c h e r

I n diesem Kapitel stochastischen einbart,

d i e damit

betrachtet

und e i n i g e

(1964).

Modelle Konzept

eines

Bezeichnungen

ver-

zusammenhängen. Prozeßtypen

für die Behandlung p r a k t i s c h e r

eine Vielzahl

wichtigen

oder L a h r e s

haben w i r z u n ä c h s t das a l l g e m e i n e

Prozesses

w i e s e n haben. Dabei weil

(1969)

und S e m i - M a r k o f f s c h e r

Dann war es n a h e l i e g e n d , s p e z i e l l e die sich

Geburt-i/nd-Tod-

f ü r die Praxis

Karlin

hat

dargestellt.

zu

unterscheiden,

Probleme a l s

nützlich

haben w i r uns a u f wenige Grundmuster feiner,

a u s g e f e i l t e r Modelle

er-

beschränkt,

dem P r a k t i k e r

die

172 Auswahl

eines

g e e i g n e t e n Model 1 p r o z e s s e s

damit erschweren würde. charakteristische Als

eine

Eigenschaften

besonders

eigenschaft

Es e r s c h e i n t

wichtige

eingeschätzt.

beruht darauf, schiedlichen

zu

Eigenschaft

Anwendungsgebieten

haben w i r d i e

für

viele

gut

Satz

1 i chkei t s f u n k t i onen i h r e r s e i t s roffschen

die Anfangsvertei1ung

also

schen

die

Intensitäten

ist.

durch seine

Die

sich

Anfangs-

eindeutig

Obergangs-Wahrschein-

mit H i l f e

aus d e r

der

Kolmogo-

Intensitäten-

einmal

x n -j d i e

außer

für

acht

lassen,

das M o d e l l

dann

charakteristi-

Größen.

Wie w i r

zum A b s c h l u ß

Geburt-

und-Tod-Prozesses

mechanismus, maßen

^

unter-

darstellt

gewinnen.

Wenn w i r sind

3.1).

lassen

Differentialgleichungssysteme

matrix

Modell

Modells ganz

und O b e r g a n g s - W a h r s c h e i n l i c h k e i t s f u n k t i o n e n

b e s c h r i e b e n werden k a n n ( v g l .

Arbeit

einige

Markoff-

Probleme aus

zu h a n d h a b e n

W i r h a b e n g e s e h e n , daß e i n M a r k o f f - M o d e l l verteilung

auf

des M a r k o f f s c h e n

ein sinnvolles

auch a n a l y t i s c h

analytische sich

beschränken.

Die Bedeutung

daß es e i n e r s e i t s

und a n d e r s e i t s

und d i e

sinnvoller,

des

letzten

Paragraphen

gesehen

am B e i s p i e l

h a b e n , kann man s i c h

der einem M a r k o f f - M o d e l l

zugrunde

liegt,

des

den

Zufalls-

folgender-

vorstellen:

Zwei Z u f a l l s e x p e r i m e n t e Experiment Zustand

entscheidet

i wieder

den Z u s t a n d j ,

werden a b w e c h s e l n d a u s g e f ü h r t . d a r ü b e r , wann d e r g e r a d e

verlassen wird.

in

den das M o d e l l

Das a n d e r e bei

Das

eine

eingenommene

Experiment

liefert

der Zustandsänderung

hinüber-

wechselt. Die W e i t e r f ü h r u n g die

Parameter

dieses

X^. eines

Die V e r w e i l z e i t

Gedankens

Y^ - a l s o

P r o z e ß den Z u s t a n d

i

die Z e i t ,

verläßt

-

ist

n e n t i a l v e r t e i 1 1 m i t dem P a r a m e t e r weilzeiten

Für d i e

Schätzung

Überlegung

1)

liefert

uns

liefert

Markoff-Modells

also

die

Möglichkeit, (vgl.

S.

verstreicht,

bis

der

nach S a t z

3.2 negativ

. Die Beobachtung

Schätzwerte

der S t e i g u n g e n

uns e i n e

zu s c h ä t z e n

für

die

expo-

der

Ver-

Intensitäten

x ^ , i j i j gehen w i r

von

170f.).

x^-

folgender

aus:

Wir sprechen in diesem Paragraphen nur von homogenen Prozessen mit kontinuierlichem Parameter und diskretem Zustandsraum.

173

Wir b e z e i c h n e n m i t p . j

die W a h r s c h e i n l i c h k e i t ,

daß das M o d e l l

ausgehend vom Z u s t a n d i b e i der n ä c h s t e n Z u s t a n d s ä n d e r u n g Zustand j

hinüberwechselt.

Zustände i , Es i s t

Dabei i s t

es s i n n v o l l ,

a l s o Zustände i m i t ^ - . ¡ = 0 ,

anschaulich

klar,

in

den

absorbierende

auszuschließen.

daß w i r p . . d u r c h den G r e n z w e r t 'J

I X = i , X ^ i ) d a r s t e l l e n können. Damit e r h a l t e n w i r 0

n-^u für jVi :

h

pi . = lim h+o =

=

lim h+o

lim h-o

P ( X h = j | X Q =i ,

XhVi)

P(XQ=i, X h ? i ,

Xh°J)

P(X0-1,

X^i)

P(X0-1)-P(Xh-j|X0.1) P(X„-1)-P(Xhii1|X0-1)

P ,• iJ(h) 11 m —-x h-o 1-Pii(h)

-PTTTRT

Für e i n e n G e b u r t -

"1

•

^ Ü

•

"xii

l-pi

{h)

-ITT.

und-Tod-Prozeß e r g i b t

i+

Pi j

= lim h+o

w

für

sich

beispielsweise

j=i-l

i f Ü r

TTTÜ7

J' =

i t l

sonst

Wenn w i r

also die

I n t e n s i t ä t e n x^- ( w i e oben angegeben)

h a b e n , dann b r a u c h e n w i r gistrieren.

(vgl.

nur noch d i e A r t

p.j

und d a m i t auch f ü r d i e

x^,

Obergangswahrscheinlichkeiten x^j.

verteilung)

Damit i s t eindeutig

Für s e h r v i e l e

p^j

k e n n e n , haben w i r

das M a r k o f f - M o d e l l

zu

die

re-

Wahr-

i^j.

Sobald w i r a l s o d i e V e r t e i l u n g e n der V e r w e i 1 z e i t e n sitäten

geschätzt

der Obergänge i + j

Auf d i e s e Weise e r h a l t e n w i r S c h ä t z w e r t e f ü r

scheinlichkeiten

S.170)

dann ( b i s

Y. und d i e auch d i e auf die

IntenAnfangs-

beschrieben.

Probleme aus der P r a x i s e r g i b t

M o d e l l , wenn man d i e V e r w e i 1 z e i t e n

Y^ a l s

sich ein

sinnvolles

negativ-exponentialver-

174 teilte Zufallsvariablen

a n s i e h t . Wie a b e r s o l l e n w i r v o r g e h e n , w e n n

w i r aus u n s e r e m D a t e n m a t e r i a l

e i n H i s t o g r a m m g e w i n n e n , das g a n z

gar n i c h t die F o r m e i n e r E x p o n e n t i a l f u n k t i o n nünftiger

e r s c h e i n t , den V e r w e i 1 z e i t e n

g r u n d e zu

legen?

eine a n d e r e V e r t e i l u n g

W i r w i s s e n , daß w i r in solch e i n e m Fall konstruieren

können

h a t , w e n n es also

kein H a r k o f f - M o d e l 1 Entwicklung

n i c h t von der v o r a n g e g a n g e n e n

s o n d e r n nur v o m

blicklichen änderung Modell

Entwicklung

Z u s t a n d und von dem Z e i t p u n k t ,

des

einen sogenannten Semi-Markoffschen

Man w i r d

v e r m u t e n , daß S e m i - M a r k o f f s c h e

gemeineren

Struktur analytisch

augen-

Prozeß.

Prozesse

aufgrund

ihrer

Modellen

kann w i e mit M a r k o f f p r o z e s s e n .

Fragestellungen die z u k ü n f t i g e Lediglich

Man

im P r i n z i p kann die

a u f l ö s e n und zu g a n z e n t s p r e c h e n d e n Entwicklung

des b e t r a c h t e t e n

die n o t w e n d i g e R e c h e n a r b e i t

sich

a b e r durch

rein

technisches

Problem reduzieren

Wenn wir beispielsweise

die

der e i n f a c h e n

1J

= «„

Obergangs-Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Kolmogoroffschen

(i-Ip1k - / k o

1J

fY

ik

(vgl. H o w a r d (t)

Funktionen

Differentialgl eichungs(1963 , S.40)).

dT)

V i ,j e

t +

Dabei

£

P i k

'i

Vik

(T)

p

- kj

(t

"

T)

dT

von i n a c h

k wechselt.

g i b t die Z e i t an, die v o m Z e i t p u n k t des zum Augenblick

des H i n ü b e r w e c h s e i n s

hier Zeit zur

genauer die t im Zustand Zeit t =0 in

Wahrscheinlichkeit, j befindet den Zustand

bei

der

Zufal1svariable

Eintretens

b e z e i c h n e t die Dichte der V e r w e i l z e i t i k Kronecker-Symbol: , /I für i=j ij " 1 00 für i?ij -

p^ - ¡ ( t ) bedeutet Modell s i c h zur s e t z u n g , daß es

Die

in den

in den Z u s t a n d

fv

1)

^

V t >_ 0 f

ist p i k w i e d e r die W a h r s c h e i n l i c h k e i t , d a ß das Modell

nächsten Zustandsänderung i bis

sein, was

auf ein

läßt.

s y s t e m e d e m Integral gl ei c h u n g s s y s t e m Pi:j(t)

über

gelangen.

Rechenanlagen

w i e d e r m i t P-jj(t) b e z e i c h n e n 1 ^ , d a n n g e n ü g e n d i e s e anstelle

gleichen

kann a u f w e n d i g e r

den Einsatz g e e i g n e t e r

zeigt

genauso

Prognosen

Systems

all-

handhaben

s i n d w i e M a r k o f f s c h e P r o z e s s e . Das t r i f f t zwar z u , aber es arbeiten

Zustands-

allgemeineres

n i c h t ganz so l e i c h t zu

s i c h , d a ß man m i t S e m i - M a r k o f f s c h e n

Gründe

Systems

in d e m die letzte

s t a t t f a n d , a b h ä n g t , d a n n e r h a l t e n w i r als ein

zu-

mehr

(vgl. S a t z 3 . 2 ) . W e n n w i r t r o t z d e m g e n u g

für die A n n a h m e h a b e n , daß die z u k ü n f t i g e

und ver-

Zustand

k verstreicht.

und «... b e d e u t e t J

daß u n t e r der i Z-inQltKitin

das

das Vorausi s t .

175

Wir

haben gesehen,

scheinlichkeiten (bis

auf

daß ein

Markoffprozeß

p - j und d i e

die A n f a n g s v e r t e i 1 u n g ) f ü r die

p.jj(t) z e i g t ,

ein S e m i - M a r k o f f s c h e r

die

daß

Die M a t r i x

das

die

den

Y^

ist^Das

Inte-

Obergangs-Wahrscheinlichkeitsfunktionen

geschätzt,

von

i nach

liefert

umfassende

hat Howard

indem man

j feststellt

Zustandsänderungen

beobachteten

darstellt, Eine

beschrieben

Prozeß

ganz

entsprechend

wird.

P wird

Obergänge

zwischen

Obergangswahr-

Verwei1zeiten

Matrizen

charakterisiert

der

seine

seiner

vollständig

gral gl ei chungssystem durch

durch

Verteilungen

Verwei1zeiten

Darstellung

relativen

(ohne

dabei

Häufigkeiten

die

zu b e r ü c k s i c h t i g e n ) . zwischen

dann Schätzungen

(1971)

die

den

Verwei1zeiten

Ein

Histogramm,

Zustandsänderungen H ( t ) .

für die F u n k t i o n e n m a t r i x

Markoffscher

und

Semi-Markoffscher

Modelle

geliefert.

Aufgaben: 20)

Geben Sie

zu dem stochastischen

a) Beispiel b) Beispiel

Prozeß

{

t

)

aus

an und skizzieren

Sie

1.1 1.2

den Stichprobenraum Pfad X(

[} explizit

je

einen

möglichen

21)

Zeigen Sie, daß der in Definition 1.6 Äquivalenzrelation auf der Menge aller darstellt.

eingeführte Äquivalenzbegriff stochastischen Prozesse über

22)

Beweisen Sie, dimensionalen

23)

Der polnische Mathematiker Banach entschloß sich eines Tages, seinen täglichen Zigarettenkonsum zu kontrollieren. Er notierte daraufhin immer dann die genaue Uhrzeit, wenn er sich eine neue Zigarette anzündete, und zählte dabei die an dem jeweiligen Tag bis dahin gerauchten Zigaretten.

daß bei äquivalenten stochastischen Verteilungen übereinstimmen.

a) Für welche Zufallsvariable interessierte b) Skizzieren sie einen speziellen Pfad des c) Beschreiben Sie den Stichprobenrawn ß . d) Welche Gestalt haben T und J? 24)

Die

unabhängigen

experimenten a)

Skizzieren

Zufallsvariablen

wieder. Sie

S

bezeichne

einen

speziellen

X^,

x^,...

die

n-te

Pfad

des

Prozessen

sich Banach? stochastischen

geben

das

Partialsumme: stochastischen

alle

eine ( ü,T,p) endlich-

Prozesses.

Ergebnis n S =£ i*°l

von

Würfel-

X..

Prozesses

{5

:nr: W}.

176 b)

Berechnen

Sie

die

Wahrscheinlichkeit

c)

Berechnen

Sie die

Wahrscheinlichkeit

d)

Welche der unter cl) stochastische Prozeß

25) Sei

{*t:t>p}

P(X -o) o 26) Seien Sei

ein

Prozeß

) - o Vs,t>o. s —

X^ und X^ zwei unabhängige ~ A i t + * 2 ' e ~ ^ 2 t , t>o

Yt:*=X1'e

a) Skizzieren

Sie

b) Berechnen 27) Bin homogener 28) Sei für

stochastischer

= 1 und E(X-X t

einen

Sie alle

des Ereignisses

mit

unabhängigen

Dann ist

{X^:t>o} t ~

(\ 1 ,

Markoffprozeß

mit

29) Erläutern Sie, inwiefern Aussage b) ist.

E(Y^)

Sei

Martingal. Zufallsvariablen.

Prozesses

und Varianzen

unabhängigen

{Y^:t>o}.

Var(Y^)t

Zuwächsen hat stationäre

mit diskretem Zustandsraum. P(X ). tt t2

30) Beweisen Sie für homogene Markoffprozesse räum, daß aus den Eigenschaften (Olh) bis gangs-Wahrscheinlichkeitsfunktionen p^^(t) die 3.3.

3.1 ein

Zuwächse

Berechnen

Sie

Spezialfall

der

mit endlichem diskretem Zustandst (Ü4h) die Stetigkeit aller Oberfolgt. Übergangs-Wahrscheinlichkeitsfunktionen

32) Beweisen Sie, daß ein Poissonprozeß ein räumlich homogenes Verhalten p. .(t)-p . .(t) V i , j e X : o < i < j Vt>o. Was ergibt sich für j = i und i=o? ij o,j—i Q 33) Zeigen Sie der beiden

die räumliche Homogenität des Poissonprozesses durch Kolmogoroffschen Differentialgleichungssysteme.

34) Berechnen Sie die tete Signal eines

Verteilung des Zeitpunkts Z(t), Poissonprozesses vor dem festen

35) Ein Geburtsprozeß prozeß, d.h. alle

mit unabhängigen Zuwächsen ist im wesentlichen Intensitäten X^ haben den gleichen Wert.

Offenbar

ist

p 10

zeigt:

Vergleich

zu dem das letzte beobachZeitpunkt t eingetroffen ist

36) Zeigen Sie, daß die Ubergangs-Wahrscheinlichkeitsfunktionen spiel 3.3 der Integralgleichung auf Seite 174 genügen. (Hinweis:

der

>o konstant) •

die Aussage a) in Satz

und diskutieren Sie ,p ^(t) aus Beispiel

Vn o } ein Markoffprozeß t . / t , die Wahrscheinlichkeit 12

31) Skizzieren Poo(t) ,...

{tiicSi:Sn(u>) t

tn

in d e r die F o r d e r u n g e n

in,

WS-Disziplin

werden,

falls

vom

dieser

0

< -)

Bedienungsmecha-

nicht gerade

in,

- i s t wohl

out"

- bedeutet,

zuerst bedient

in

Reihenfolge

bestimmt. erläutern.

die

gebrauchte

am m e i s t e n

in d e r

Reihenfolge

ihres

werden.

firet

Forderung

- "serviae

out"

unbe-

WS-Disziplinen

besagt, daß Forderungen

bedient

- "last

w i r die w i c h t i g s t e n

first

und

An-

Gestalt:

0

wollen

Wert

Zwischenankunfts-

ist, w i r d durch die W a r t e s c h i a n g e n d i s z i p l i n

Eintreffens

'3)

deterministischen

(0 < t

Im f o l g e n d e n

kommene

immer

von einem

=

abgearbeitet

schäftigt

SIRO

exponentialverteilt

Verteilungsfunktion

die

Reihenfolge,

nismus

einer

t > 0

also negativ

Die

hat dann

A(t)

LIFO

für

(2

- AAtt

die Zwischenankunftszeiten

kunftsprozeß.

FIFO

t < 0

.

> 0 annehmen,

Die

für

ra.nd.om order"

- die

abgearbeitet,

daß die

wird.

zuletzt

ange-

^ Forderungen

die einem

werden

in

Zufallsmechanismus

unterliegt.

PRI

- "priovity"

zugeteilt die

und

- eingehenden entsprechend

Bearbeitung

durchgeführt

innerhalb einer

Rangfolge Priorität

werden

Prioritäten

abgearbeitet, wieder

nach

wobei

FIFO

wird.

A n k o m m e n d e . F o r d e r u n g e n , die eine

Forderungen

ihrer

Warteschiange

nicht sofort

v o r dem S c h a l t e r .

bedient werden,

Hier müssen

w i r zwei

bilden Fälle

unterschei den.

1)

Eine Anwendung findet man beispielsweise bei verschiedenen Lagerhaltungsproblemen, falls es leichter ist, das am nächsten gelagerte (also zuletzt angekommene) Gut abzurufen, ohne dabei die Dauer der Lagerung zu berücksichtigen.

181 Einmal

b e s t e h t d i e M ö g l i c h k e i t , daß d e r Warteraum, i n dem d i e

F o r d e r u n g e n a u f i h r e B e a r b e i t u n g warten, p h y s i k a l i s c h oder ü b e r h a u p t n i c h t vorhanden i s t , Anzahl

endliche

von F o r d e r u n g e n v o r dem S c h a l t e r w a r t e n können.

Warteraum b e s e t z t ,

so müssen w e i t e r

hinzukommende

diese physikalische

Ist

der

Forderungen

a b g e w i e s e n werden. D i e s e gehen s o m i t dem WS-System Ist

begrenzt

und d a h e r nur e i n e

verloren.

B e g r e n z u n g n i c h t g e g e b e n , so

spricht

man von einem u n e n d l i c h g r o ß e n Warteraum.

Der B e d i e n u n g s m e c h a n i s m u s

b e s t e h t aus s ,

1 0

exponentialverteilter häufig als

gesichert.

Aus Abb. 2 . 1 entnehmen w i r ,

ihrSupremum an der S t e l l e (0,tQ] t

Kraftfahrzeugs)

in einer

daß d i e D i c h t e von

Forderung

nicht gerechtfertigt.

exponentialverteilter

Wahrscheinlichkeit,

bezeichnen wollen.

(beispielsfeste

exponenDer

mit der d i e B e a r b e i t u n g

Abb.

2.1):

als

D i e s e b e s a g t , daß d i e einer

davon a b h ä n g t , wie l a n g e d i e s e s c h o n g e g e n w ä r t i g für t > tQ > 0 ( v g l .

Grund

Bedienungszeiten

Forderung

t i n der Z u k u n f t a b g e s c h l o s s e n s e i n wird-,

w u r d e , s o n d e r n nur von der D i f f e r e n z

B(t) Wahr-

Intervallen

e i n e bestimmte

d i e Annahme n e g a t i v

er-

statistisch

Eigenschaft d i e s e r V e r t e i l u n g , die wir

"Markoffei genschaft" zum Z e i t p u n k t

ist

Bedienungszeiten

f ü r d i e Annahme n e g a t i v besteht

bzw. n i c h t

t = 0 b e s i t z t ; d . h . mit g r o ß e r

kaum u n t e r s c h r e i t e t ,

tialverteilter

Bedienungszeiten

falsch

die Bedienung e i n e r

w e i s e d i e Wartung e i n e s Zeit

exponential-

wird eine Bedienung schon i n k l e i n e n

beendet. F a l l s

gemein-

d.h.

für

i n der P r a x i s

Ihre

n e IN

zugeordnet;

weist sich

scheinlichkeit

sind.

Zufallsund a u ß e r -

bezeichnen.

von W S - M o d e l l e n werden n e g a t i v

Bedienungszeiten 0

B (t)

für

Schaltern,

Wir nehmen a n , daß

nicht

bearbeitet

t - t Q , denn es

gilt

182

P(S < t 1| S n > t . ) * n n — o'

=

P

(Sn < P

< n

B(t) 1

S

S

"

n 1

V

1 B(t0)

B(t0) -y(t-t0)

P(Sn < t -

(2.4)

t0)

b( t )

Abb. Die n e g a t i v e Verteilung

Exponentialverteilung

mit der

Der s t o c h a s t i s e h e zum Z e i t p u n k t i s t wegen

2.1 ist

(2.4)

Prozeß ( L ( t ) ,

die einzige

(vgl.

t^O},

Parzen

stetige (1962)).

der d i e Anzahl

t im WS-System b e f i n d e n d e n F o r d e r u n g e n

(2.4)

und d i s k r e t e m

Eigenschaft

ein Markoffscher

der

sich

angibt,

Prozeß mit s t e t i g e m

Parameter

nur mit den f ü r d i e

Praxis

Zustandsraum.

Wir werden uns i n diesem K a p i t e l interessanten,

zeitunabhängigen

(stationären)

Wahrscheinlich-

keitsvertei1ungen p := l i m p ( t ) n t-»-»

:= lim P ( L ( t ) = n) =: P ( L = n) t-»-»

befa s s e n . 1) D i e Z u f a 1 1 s v a r i a b l e verteilung stationären

(pn)neIN

stationäre

1)

Die lung

in

z e i g e n werden,

einem exi-

bestimmte Werte der V e r k e h r s i n t e n s i t a t

mittlere

Bedienungszeit

mittlere

Zwischenankunftszeit

0 < p

Lösungen.

Herleitung pn(t)

findet Prabhu

Wahrscheinlichkeits-

der F o r d e r u n g e n

o WS-System an. Wie w i r s p ä t e r

s t i e r e n nur f ü r p:=

L mit der

g i b t d i e Anzahl

der

für Leser (1965).

der die

zeitabhängigen in d i e s e m in

Cohen

Kapitel

(1969),

behandelten Gross,

Harris

WahrscheinlichkeitsverteiWS-Modelle (1974)

und

183

Zum A b s c h l u ß

dieses

der WS-Systeme (1953)

Paragraphen wollen wir

festlegen,

benutzen.

indem w i r

Danach w i r d e i n e

die

noch d i e

Notation

WS d u r c h d i e

Bezeichnung

von

fünf

Kendall Symbole

A |B |X |Y | Z beschrieben,

die

folgende

Platz

haben:

M

Exponenti a l v e r t e i l u n g

Zwischenankunfts-

D

Determi ni s t i sch

zei ten

Ék

der

2

Erlangverteilt k (k=l,2,...)

'

Allgemeine

Gl

B

Vertei1ung

M

s.o.

der

D

s.o.

E k G

Allgemeine

Bedi enungsze i t

Anzahl X

Erläuterung

Symbol

Verteilung A

Bedeutung

vom Typ

Verteilung

s.o. Verteilung

der

para11elen

1,2,..,-

Schalter Beschränkung Y

der

1,2,..

Systemkapazität

7

1 Warteschlangendisziplin

M|H|5|»fFIFO tiv

5 parallelen

dem d i e

bearbeitet

first

LIFO

last

SIRO

service

PRI

priority

beispielsweise

exponentialverteilten

zeiten, bei

bezeichnet

FIFO

first first

out out

i n random

e i n WS-System mit

Zwischenankunftszeiten

Schaltern

Forderungen

in, in,

und u n e n d l i c h

i n der R e i h e n f o l g e

und

großem

ihres

order

nega-

BedienungsWarteraum,

Eintreffens

werden.

i)

Das Symbol negativen

2)

vgl. § 6.

M steht für die Markoffeigenschaft Exponentialverteilung.

(2.4) der

184

Im f o l g e n d e n werden w i r bei der N o t a t i o n von

Warteschlangen

d i e Symbole Y und Z w e g l a s s e n , f a l l s

e i n WS-System mit

u n e n d l i c h großem Warteraum v o r l i e g t ,

und d i e

Forderungen

i n der R e i h e n f o l g e

bedient

werden

ihres

Eintreffens

(FIFO).

§ 3

D i e W a r t e s c h l a n g e M|M|1

Bei d i e s e m WS-Modell

tritt ein poissonverteilter

Forderungs-

x i n das S y s t e m e i n .

s t r o m mit der m i t t l e r e n A n k u n f t s r a t e Die Zwischenankunftszeiten

und d i e B e d i e n u n g s z e i t e n

negativ exponentialverteilt

mit den H i t t e l w e r t e n i

sind bzw.

i M

d.h. A(t)

=

1 - e

-xt

für

t < 0

für

t > 0

für

t < 0

für

t > 0

bzw. B(t)

1 - e

-yt

Für d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t im I n t e r v a l l (i)

P( { e i n e A n k u n f t

(ii)

XAt - i M i l 1!

2

Forderungsankünften

wir:

in ( 0 , A t ] } )

=

e~XAt

P ( N ( A t ) = 1) = XAt .

von 0 , 1 , 2 , . . .

d e r Länge At e r h a l t e n

iiAÜ 2!

+

P( { k e i n e A n k u n f t

in

3

-

...

=

XAt + 0 ( A t )

(0,At]})

= 1 - XAt + o ( A t ) (iii)

P( { z w e i o d e r mehr A n k ü n f t e

in

(0,At]})

= o(At) , und f ü r d i e e n t s p r e c h e n d e n W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n abschlusses : (i)1

P( {Ende e i n e r = uAt +

(ii)'

P( { k e i n

Bedienung i n

(0,At]l)

o(At) Bedienungsende

= 1 - pAt + o ( A t )

in

(0,At]J)

eines

Bedienungs-

185 (iii)'

P(

{Ende von zwei o d e r m e h r B e d i e n u n g e n

in

(0,&t]})

= o(At). F a s s e n wir die A n k ü n f t e als dienungsende

= X und S t e r b e r a t e n stochastisehe

" G e b u r t e n " u n d das j e w e i l i g e

v o n F o r d e r u n g e n als

"Tod" m i t den

w n » v a u f , d a n n s e h e n w i r , daß

Prozeß L(t) einen einfachen

p r o z e ß d a r s t e l l t . Aus

Kap. II

§4

Gleichungen

Differentialgleichungen)

für

—ffi

die

(Kolmogoroff-Vorwärts-

pn(t).

-(*+u)P„(t) + p + X p

der

Geburt-und-Tod-

erhalten wir sofort

Differential-Differenzen

Be-

Geburtsraten

Pn+1(t)

. (t)

für n

E

.IN (3.1)

d P0(t) —ff? = " * P 0 ( t ) + v Pj_(t)

Wie in § 2 s c h o n e r w ä h n t , sind wir nur an den Lösungen

von P n ( t )

lichen A b l e i t u n g e n

interessiert.

stationären

Wir s e t z e n d a h e r d i e

in (3.1)/ g l e i c h null

und erhalten

zeitdie

Di f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n

p

n+l

_ x+u y

p

p

n " y

n-l

f U r n e IN (3.2)

p

3.1

l

=

jr

p

o

SATZ

Für p = ^

< 1 besitzt P

n

•

(3.2) eine s t a t i o n ä r e L ö s u n g der P

n

( l - P )

für

n e W

Gestalt (3.3)

0

Bewei s: W i r f ü h r e n d e n B e w e i s d i e s e s S a t z e s m i t H i l f e von

erzeugenden

Funktionen durch: G(z)

:=

I Pnzn n=o

;

z k C,

sei

die EF der F o l g e

1

pn+izn = (p+1)

|z|

/ V a r ( L q )

0.1

0.9

0.1111

0.0111

0.3514

0.1160

0.2

0.8

0.2500

0.0500

0.5590

0.2693

0.3

0.7

0.4286

0.1286

0.7825

0.4714

0.4

0.6

0.6667

0.2667

1.0541

0.7424

0.5

0.5

1.0000

0.5000

1.4142

1.1180

0.6

0.4

1.5000

0.9000

1.9365

1.6703

0.7

0.3

2.3333

1.6333

2.7889

2.5667

0.8

0.2

4.0000

3.2000

4.4721

4.3081

0.9 0.95

0.1 0.05

9.0000 19.0000

8.1000

9.4868

9.3963

18.0500

19.4936

19.4460

0.99

0.01

99.0000

98.0100

99.4987

99.4888

Tabelle Tritt

eine Forderung

3.1

i n das S y s t e m e i n und f i n d e t

dort

schon

n Forderungen vor,

so muß d i e s e so l a n g e w a r t e n , b i s a l l e

ihr eingetroffenen

F o r d e r u n g e n b e d i e n t worden s i n d . Wir

s o f o r t , daß b e i der disziplin,

individuellen

d i e b i s h e r noch k e i n e n

Wartezeit die

vor

sehen

Warteschlangen-

E i n f l u ß auf unsere

Untersu-

189

chungeri h a t t e , Forderung

genau

in d e r

b r i n g e n m u ß , sei seitig

3.5

stetigen

durch

die

sein muß.

bis

Die Z e i t , d i e

zum Bedienungsbeginn T q mit

Zufallsvariable q

Verteilungsfunktion

W (t)

der

eine

ver-

rechts-

beschrieben.

^

SATZ

In e i n e m die

spezifiziert

Warteschlange

M |M[1 W S - M o d e l l

gelten

im s t a t i o n ä r e n

Fall

Tq

für

Beziehungen: I Wq(t)

(a)

0

für

T

1 1 - p p

für

T = 00

1 .

für

T

p e-WT(l-p)

E(Tq)

(b)

< 0

(3.6)

> 0

= i. ^

(3.7)

B e w e i s: (a)

Falls das

überhaupt

WS-System

leer

nicht warten,

d.h.

Wq(0):=

P(Tq 0.

T

Den e i n f a c h e n Beweis von (b) 'führe der Leser s e l b s t durch. 3.7

Beispiel

Ein Kieswerk kann ankommende Lastwagen mit der konstanten von 180 Tonnen pro Stunde beladen. als

•

Die Kundenfahrzeuge

Leistung

treffen

Poissonstrom mit e i n e r m i t t l e r e n A n k u n f t s r a t e von 5 Fahrzeugen

pro Stunde e i n .

Die von d i e s e n Fahrzeugen g e f o r d e r t e n Mengen

können a l s n e g a t i v e x p o n e n t i a l v e r t e i l t e

Z u f a l l s g r ö ß e n mit dem

M i t t e l w e r t von 28 Tonnen pro Fahrzeug angenommen werden. (a)

Welche Parameter b e s i t z t dieses M|M|1 WS-System ?

(b)

Wieviel

Fahrzeuge befinden s i c h im M i t t e l

bei der

Belade-

station ? (c)

Mit welcher W a h r s c h e i n l i c h k e i t wird d i e W a r t e z e i t 30 Minuten vor dem Beladen ü b e r s c h r i t t e n

(d)

Wie groß i s t d i e m i t t l e r e A u f e n t h a l t s d a u e r

Lösung: F = Fahrzeuge, t = Tonnen, h = Stunden (a)

A

= 5 F/h

v =^ P

F / t • 180 t / h

- A - 0.8

=

6.24 F/h

von

? bei der S t a t i o n ?

192

(b)

E(L)

(c)

P(Tq >0.5)

E

= ^

= 1 - Wq(0.5)

=

• wTT-pT

Ein V e r g l e i c h die

= 4

von

0 , 8

(3.7)

gilt, die

und

m 1 n /

(3.9)

= E(Tq)

Ziel

unmittelbar der

nun

"p)

= 0.43

A

F

E(Tq)

zeigt, daß fUr

und

E(Lq)

Beziehung

setzen.

zu

+ I

einzusehen

folgenden

rakteristika

3.8

4 8

F *

p (1

E(T)

Beziehung E(T)

Das

h /

p e"0-5

=

ist.

Überlegungen

E(Tq)

und

(3.10)

bzw.

E(L)

ist es, die und

E(T)

Systemcha-

zueinander

in

SATZ

In e i n e m Formeln

M|&|1 von

WS-System gelten

(im s t a t i o n ä r e n

Fall)

die

Little

(a)

E(Lq)

= X Ed")

(3.11)

(b)

E(L)

= XE(T)

(3.12)

Beweis:1^ (a)

Tq

beschreibt

Warteschlange

scheinlichkeit, System

den Z e i t p u n k t ,

verläßt,

und i h r e

an d e m e i n e

Bedienung

d a ß zu d i e s e m Z e i t p u n k t

sind, ist gleich

Forderungen während

Tq

Forderung

beginnt.

n Forderungen

der W a h r s c h e i n l i c h k e i t , angekommen

sind.

Die

Aus

daß

(2.2)

die Wahr-

im n-1

erhalten

wi r P( _

( n - 1 ) Anklinfte w ä h r e n d (XT)"'

1

T q | T q = r)

e-XT

(n-1) ! und mit Hilfe Pn

der Formel

- £ P((n-1)

- 7 lAll^l 0 (n-1) !

1)

für die

AnkUnfte

e

"

u

totale

während

Wahrscheinlichkeit T q | T q = t )d W q ( T )

dWq(x)

Man beachte, daß im folgenden der Verteilungsfunktion zeit B (t i nicht eingeht.

Beweis die spezielle und damit die der

Gestalt Bedienungs-

E(L

) =

I (n-l)p n=l ( X T ) l " n = 2 (n-2)!

- 7((*T). 6\

/

W ( T )

CO

= x / T d wq(x) 0 - XE(T««) (b)

Der

läßt

sich analog

Beweis

3.9

Bemerkung

Die

Littlesche

von

Formel

interpretieren. lere Anzahl

(3.12)

zu d e m

E(L)

In e i n e m

dem Leser

pro

mittleren

Zeit, die jede

von

Zeiteinheit

überlassen;

(3.11)

= x E(T)

gleich

eintreffenden Forderung

folgendermaßen

WS-System

in S y s t e m

er

durchführen.

läßt sich

stationären

der Forderungen

im M i t t e l

3.10

sei

Beweis

ist die

dem

Forderungen

im S y s t e m

mitt-

Produkt und

der der

verbringt.

Bemerkung

Im B e w e i s

von

teilungen

von T*' b z w . T k e i n e R o l l e .

Annahme,

Satz

3.5

spielt die

daß die Beziehungen

nere WS-Systeme und Jewell

spezielle

(3.11)

Dies und

als das M|GI1-Model1

(1967)

haben

von hinreichenden

(3.12)

gelten.

in i h r e n A r b e i t e n

Bedingungen

Gestalt

für die

der

berechtigt für

zu

Verder

allgemei-

Little

(1961)

folgendes

System

Gültigkeit

von

(3.12)

angegeben. (1)

Für

jeden

das

Systemt

beliebigen

scheinlichkeit (2)

In

jedem

(endlichen)

innerhalb eins

einer wieder

Betriebszyklus

Zwischenankunftszeiten, Forderung

im System

(3)

Die

mittlere

während (4)

des

Anzahl

Zeit,

wird mit

(vgl.

Abb.

sowie

die den

3.2)

unterliegen

Wartezeiten,

die

gleichen

von

ersten

Wahrschein-

Forderungen

im

System

ist

durchschnittliche

mittlere

Wartezeit

durchschnittliche

mittlere

Zwisckenankunftszeit

in

endlich

Betriebszyklus.

Die

sind

die eine

^

die

Forderung

Wahr-

leer.

verbringt,

lichkeitsverteilungen.

Anfangszustand

endlichen

jeder

Betriebsperiode

im

System,

(vgl.

Abb.

sowie einer 3.2)

endlich. 1)

Dies ist beispielsweise nicht der Fall, e r s c h e i n u n g e n der "Bedienungs-Haschinen" von Menschen berücksichtigen muß.

wenn man Verschleißoder die Ermüdung

194

•Q 1

Unser

bisher

a n a l y s i e r t e s M|Mj1 WS-Modell m i t p < 1 e r f ü l l t

d i e s e 4 Forderungen Ersetzen w i r

in

so e r h a l t e n w i r die G ü l t i g k e i t

(1)

trivialerweise. -

( 4 ) das Wort "System" d u r c h

die entsprechenden hinreichenden von

(3.11).

"Warteschlange", Bedingungen

für

195

Wenn wir

wir

die

die

Formeln

(3.10)

bis

E(L) x

E(Lq)

=

Abschluß

einer wir

legen

eine

zugrunde.

zur

Die

leere

der

ein,

während System

x),

die

ihrer

die

+

1

b

+

sich

"

b

S

+

T

N + b,l

nun

F(x)

Sei

also

und

weiter

1 +

die von

T

S der

wollen

(N

der

Jede

S

Forderung,

'

die

weitere

N Forderungen Tb

die

das

Forderungen

= 0), wie

in

beitragen,

dieser

Verteilung

in

Forderungen

Betriebsperiode

(v=0,l,..,N;

die

Tb

in

erzeugt

das

da das

daher

unabhängig

besitzen.

Die

Betriebsperiode

w o b e i

Die

A.3).

wieder

gleiche

daher

(vgl.

= 0,1,2,...)

T

Dauer

d i e

b ^ * einer

b,2

+

••'•

+

T

N _ f a c h e

Faltung

Betriebsperiode

Tb

von ist

also

b,N

Laplace-Stieltjes-Transformierte

der

Verteilungs-

bestimmen. / e"sx o

dF(x)

=

dB(t)

=

ST|)

E(e

)

„ / e"zt o

Laplace-Stieltjes-Transformierte

unsere

h.

Bedienungszeit

Betriebsperiode

ersten

N

Länge

b'N'

Tb

L rF ( s ) : =

Bedienungszeit Für

der

Zufal1svariablen.

Lß(z):= die

Dauer d.

wir

die T

der

bestimmen

treten

ist.

B(t)

mittlere

bestimmen;

Laplace-Stieltjes-Transformierte

Tb

N

selbst

die

sei

können.

und

wir

WS-Systems

Tb

zur

erzeugen

von

wollen

funktion

T

MjGIl

Bedienungszeiten

sind

•••

Summe T

Wir

alle

Betriebsperiode

mit

+ p

werden

Verteilung

E(T^)

eintrifft,

Forderungen b

deren

von

eintreffen

voneinander T

eines

Bedienungszeit

System

System

erhalten

bzw.

w

Verteilungsfunktion

:= P ( T b


Pi

2

—

(5.5) (5

Z

-6)

Bewei s: E (

der

Satz.

V

=

P

+

00

1

" (P01

+

+

Pl0'

Z

Pll

+

3

P21

+

OB

" Pl

+

n

lz

- -Pl • j • =

l ,

(

Pn-1.1 n C-

g

- 5"-1

n= 1 d Sl

n

1

1

-Pl

-Pl

1 , T T ? ) Pl

- (i-e)S p i E(Hh)

-

l (n-2) p n=J

=

l (n-2) n=3

-

I n=3

n C""1

e""1

Pj - 2 1

uh? -1

• '

(i-c)z Die B e z i e h u n g e n von L i t t l e

1

c""1

l n=3 •

*

"

Pj 1

-

1

1

(5.7)

(3.11)

und

und (5.8) f o l g e n s o f o r t aus den (3.12).

Formeln

209

5.2

Bemerkung

Für

die

Varianz

Var(L

von

) =

i (i-c)4

h

Zum

Vergleich

L^ e r h a l t e n

der

beiden

wir

(vgl.

Aufgabe

55)

(5.9)

P l 1

WS-Systeme

M|Mh|2

und M | M | 2

nehmen

wir

u 1+Pp fUr

letzteres

der

beiden

In d i e s e m Durch

eine

mittlere

Schalter Fall

leichte

Bedienungsrate

bleibt

die

Größe

Umformungen

Gestalt

Ein

= 2EP

Pn

= £n"2 EP!

(2) (3) Aus

(5.2)

und

pn

für

5.3

SATZ

Für

festes dann

(4.10)

für

Systeme

gleich.

stationären

s = 2 und

Wahr-

£ = -j a u f

-1

>

*

< T^f >

n > 2

(5.2)

-

das

Poo

"

Po

Pl


_ 2 a l s

der

£ und

zeigt,

daß

das

ist,

falls

sehen

wir,

M|Mh|2

von

(5.9)

von

p-j u n d

und

Gültigkeit

als -

M|M|2

"2 v v

1

Gültigkeit

Pn_j

P^"1: 1

+

j

Darstel-

von

(3)

Fall

WS-System,

das M | H ^ | 2

äqui-

WS-System

wenn (5.10)

r2

=

die

daß

p^ d i e s e l b e

(2).

im s t a t i o n ä r e n das

für

daher von

ist.

erhalten

>. 2

Zeile

\ ist

P f

(5.9)

Funktionen

£ besitzen,

besser

mit

M | M | 2 WS-System

Pl
pj" 1

< = > —T7VJ

5

+ 1 +

> —

+ 1 + -£-

X(X+y 2 ) < = >

25

" M1M2{l+2e)

2 uiup

p,

x

2 Uji-^

u21_,J2^

_

y

w

(1 +

2

) > X + y,

y1

2 2 2 x p j p 2 > X uj + X ^ 2

+

+

3 W2

2

2^

2 >

T

Vl-uz

|
i_1(t)kyAt (t

nicht wir

n ^ 2, 2 < i < k

n+l,k(t)kpAt

(t + At) = P j j f t X l

Pl>1

vernachlässigen

f ü r die noch

W e r t e von n und i a u f s t e l l e n , e r h a l t e n

+ At) = P n > i ( t ) ( l

Zustand

(n-1, i-1)

- XAt + 0(At))(knAt + 0(At))

+ Pn-l,i("t)(XAt

berücksichtigten

Dieser

und

d.h.

- XAt + o ( A t ) ) ( l

1_1(t)(l

+ pn_j

(n-1,1)

+ ky p 2 > k

+ X

für die p n . n, i >2, 2 < i 2 ;2£i£k

(6.4)

+ X pQ

p1>k

Die Lösung dieser Differenzengleichungen

in den V a r i a b l e n n und i

gestaltet sich sehr umfangreich. Geeignete Lösungsverfahren d e r L e s e r e t w a in G o l d b e r g

Eine w e i t e r e

Lösungsmöglichkeit

dimensionalen erzeugenden

erzeugenden

Funktionen

findet

(1968).

b e s t e h t in der A n w e n d u n g

Funktionen.

ist, z e i g t

von

Wie e l e g a n t die A r b e i t

d e r B e w e i s des f o l g e n d e n

zweimit

Satzes.

216

6 . 1 SATZ I n einem s t a t i o n ä r e n i ri d e r

M | E k 1 1 WS-System i s t

die m i t t l e r e

Wartezeit

Warteschlange E

•

Vir

(6

i m ^ T

-5>

Bewei s : Nehmen w i r

an,

daß e i n e ankommende F o r d e r u n g b e r e i t s

r u n g e n im System v o r f i n d e t . L-l,

sich

und d i e

vor

ihr

restliche

den F o r d e r u n g wir

in

der Warteschlange

Bedienungszeit,

abwarten.

L

Forde-

S i e muß dann d i e B e d i e n u n g s z e i t e n der

befindenen sich

in

Phase

Für den E r w a r t u n g s w e r t

der

Forderungen I

von T^

befindenerhalten

daher:

E(T

) = T T - l 4

E(L) = p ( J ^ i . ^

"6)

+ 1)

(6.8)

Der B e w e i s d i e s e s Satzes e r f o l g t m i t H i l f e der F o r m e l n

von

Little. F ü h r e n w i r in den F o r m e l n

(6.5) bis

(6.8) den

Grenzübergang

für k->-» d u r c h , so e r h a l t e n w i r die S y s t e m c h a r a k t e r i sti ka des M|D|1

WS-Systems.

F ü r die m i t t l e r e Anzahl

S y s t e m e r g i b t sich E(L) und w i r

= ^

(1 - P)

s e h e n , daß

lere Anzahl

der V a r i a n z

der F o r d e r u n g e n

Hälfte.

6.3

Beispiel

der Anzahl

der Bedienungszeit)

v e r r i n g e r t sich

d i e s e Anzahl

Ein F l u g h a f e n w i r d t ä g l i c h von m e h r e r e n M a s c h i n e n die e i n e n P o i s s o n s t r o m m i t der m i t t l e r e n Flugzeugen bahn

nur ein F l u g z e u g

w e r d e n , w ä h r e n d die r e s t l i c h e n

Für

sie auf

angeflogen, von

auf d i e

zur L a n d u n g

im u n b e s c h r ä n k t e n

Phasen mitt-

hohe

fast

Ankunftsrate

pro S t u n d e b i l d e n . W ä h r e n d des A n f l u g s

kann vom K o n t r o l l t u r m

der die

im S y s t e m k l e i n e r w i r d , bis

B e d i e n u n g s z e i t ein M i n i m u m e r r e i c h t .

Verkehrsintensitäten die

im

(6.9)

durch die V e r g r ö ß e r u n g

(d.h. V e r k l e i n e r u n g für k o n s t a n t e

der F o r d e r u n g e n

beispielsweise

10 Roll-

geführt

Warteraum

sind

218

Für einen gabe

des

10 1

Landeanflug nächsten

30

15

10

10

3

4

5

6

dieses

WS-System

aus

dem

der

Erlangvertei1ung

meter

k

E (v S ) '

=

vorliegenden

u

d.h.

=

bis

zur

Frei-

Anflüge

min behandeln

den Mittelwert

und mit

Hilfe

von

+ 2 - 0.3 + 3 - 0.25 + 4 >

0.1 + 6 »

0.3175

= 1 - 0.1

= 2.13

und

und die

(6.2)

den

Varianz Para-

F

/min

0.1

=

=

-X, k / und wir

3.15

19.05

+ 4 - 0.3 + 9 - 0.25 =

0.15

F

/h

+ 16»

0.15

12.05

=

k = 4.65

Damit

der

als M | E k | 1 - M o d e l 1

schätzen

+ 25 - 0 . 1 + 36 • 0.1

also

%

Datenmaterial

= 1« 0 . 1

v

Var(S)

Kontrollturm

bestimmen.

+ 5 *

E(S2)

der

bei

25

2

Wir wollen

benötigt

Anflugs

berechnen

sich

setzen

k = 5.

die S y s t e m c h a r a k t e r i s t i k a

(6.6)

bis

(6.9)

zu: E(L)

=

E(T)

Die

=

q

0.087

in d i e s e m

sich

E(Lq)

0.873

E(T )

Paragraphen

entsprechend

auf

Eine

ausführliche

Behandlung

zum B e i s p i e l

in G n e d e n k o ,

§ 7

Das

Harris

für die

beliebige

vgl.

den

7.4.

Oberlegungen

WS-Modell

dieses

lassen

Ubertragen.

WS-Modells

Kowalenko

bisher behandelten einer

findet

(1971),

WS-Modellen

Forderung

B(t) z u l a s s e n , deren

Ansonsten

Satz

0.035

der

Cohen

(1969)

M|G|1

Bedienungszeit

Verteilung

existiere

1)

zu

=

(1974).

Wartesystem

Im G e g e n s a t z jetzt

0.348

durchgeführten

das E ^ | M 1 1

Leser

und Gross,

=

gelten wie

wollen

im S y s t e m

zweites

wir

eine

Moment

bisher die Annahmen

Uber

219

die

Unabhängigkeit

der Zwischenankunfts-

Mit P = x > E ( S ) , wobei Forderung des

ist, bezeichnen

WS-Systems.

zige

stetige

ist der scher

bzw.

mehr.

hier

nach

gehen

u n d dabei

(Kap.

I)

anwenden.

seien

TQ.T^,...

System

die

{L (t) : t ^ 0 > der

einer

Verkehrsintensität

Exponentialvertei1ung i.a.

die

(2.4)

kein

einist,

Markoff-

interessierenden

Größen

der S y s t e m c h a r a k t e r i s t i k a ,

wurden

entwickelt,

die u.a.

Hilfsmit-tel

Integralgleichungen

benötigen

die

Zeitpunkte

Der diskrete

gilt

daher L

L

n

(vgl.

Schass-

Nn

Forderungen

vor-

= S

ist. Prozesses

Prozeß

und w i r d

als e i n g e b e t t e t e an, die

gerade

das

MIC b e -

sich

im

System

ver-

Beziehung

n

falls

L

, > 1 n-l —

falls

L

. = 0 n-l

der Forderungen

ist, die während

V n >_0 d e r n - t e n F o r d e r u n g

im S y s t e m e i n t r e f f e n .

unseren Voraussetzungen

daher

ist

=

N

V n ¿0.

Zeit

das

beendet

stochastisehen

der Forderungen

gemäß

n

1953)

mit diskreter

n > 1

Poissonstromes N

des

n-te Forderung

die

N

die Anzahl Sn

(1951,

n > 0

, - 1 + N n-l n

•

nungszeit

die

denen

stochasti sehe

die Anzahl

befinden, wenn Lp

nach

:= L ( x n )

Er g i b t

Für

Kendall

ihre B e d i e n u n g s z e i t

die M a r k o f f e i g e n s c h a f t

zeichnet.

von

der M a r k o f f k e t t e n

haben, d.h.

Ln besitzt

der Methode

Regenerationszeitpunkte

{L (t) : t > . 0 K

wobei

etwa

die Theorie

verlassen

Diese heißen

System

Bedienungszeiten.

(1973)).

Wir werden

läßt.

Prozeß

Methoden

und

Bedienungszeit

mit der M a r k o f f e i g e n s c h a f t

funktionentheoretische

berger

Es

wir wieder

Zur Bestimmung

WS-Systems, wie

verschiedene

die m i t t l e r e

Da die negative

Verteilung

stochasti sehe

Prozeß

dieses

E(S)

Die

unabhängig,

Mit Hilfe

s c h e i n l i c h k e i t e r h a l t e n wir die

des

in F o r m

der

Satzes

Bedie-

eines

Bedienungszeiten identisch

(7.1)

sind

verteilt

und

von der totalen

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrvon

zu rk

:= P ( N = k )

= / P(N=k o ° k = ] ^ n

1)

|S=t)dB(t) (7

e"Xt

dB(t)

"2)

^•

Dieses Integral ist als Stieltjes Integral im Falle der Existenz einer Dichtefunktion Riemann Integral behandelt wird.

aufzufassen, b(t) von B(t)

das als

N

220

und damit d i e s t a t i o n ä r e n O b e r g a n g s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n i , j e IN u i O } ,

der e i n g e b e t t e t e n

i Pij

P

=

tLn=JlLn-l-i)

"

p^j,

Markoffkette. 1> j

< 1-1

P(N=j-i+l)

>_ 1 , j >_ i - 1

P(N=j)

= 0, j > 0

bzw.

Pij =

'J-1+1 r j

Die O b e r g a n g s m a t r i x

i

1. J < i - 1

1

i>

i

i

(7.3)

i-i

= 0, j > 0

hat daher d i e

Gestalt

P =

Im f o l g e n d e n w o l l e n w i r u n t e r s u c h e n u n t e r welchen eine Grenzverteilung

der Form nP = £ e x i s t i e r t .

n a c h p r ü f e n , ob d i e V o r a u s s e t z u n g e n von Kap. I

Bedingungen

Wir müssen

Satz 6.10 e r f U 1 1 1

sind. (1)

Aus

V i ,j e j

V i e^ ' also (2) (3)

= ( 0 , 1 , 2 , . . . } f o l g t daß K. = }

nur e i n e A q u i v a l e n z k l a s s e

1 = d( i ) = d ( 0 ) = ggT{ 1 , 2 , 3 , . . . } Falls

V

existiert.

i e j

zum Z e i t p u n k t TQ das System l e e r

ist,

können b i s

zur

B e e n d i g u n g d e r B e d i e n u n g s z e i t der n ä c h s t e n F o r d e r u n g

I

t e r e F o r d e r u n g e n mit P ( I = i )

System

= r ^ ; i = 0 , 1 , 2 , . . . ; i n das

e i n t r e t e n , und w i r e r h a l t e n f ü r f g g f00

= P(3n>l:

und m i t H i l f e f

r

00 " J j

i

:

L n = 0 | Lg = 0 , L ^ I ,

I >1)

des S a t z e s von der t o t a l e n

P{3"il:

wei-

+ rQ Wahrscheinlichkeit

L n = 0 | L Q - 1) + r Q (7.4)

=

r

o

+

J j

r

ifiO

221

Die Zustände

1-1, 1-2,

..., 1 m ü s s e n

d u r c h l a u f e n w e r d e n , um v o m Z u s t a n d zu e r r e i c h e n , f

Die

f_

v

=

i0

f

i,i-r

f

i-l,i-2

i 12,

+

v=

um e i n e F o r d e r u n g f

und

(7.4)

00

r

•

Wir definieren

J j

nun eine

T1

:= m i n

{n: L n < L g )

T2

:» m i n

{n: L n

Unter

der

identisch und

0,...,i-l

sind die

der Forderungen

verringert 10

1

v

r

i(fio)n

wird. = 0

Folge

von

Wahrscheinim

Daher i

System gilt:

"1 '

d.h.

LQ

Zufallsvariablen - 1 = L-^

Bedingung

L Q = i s i n d d i e T^

verteilt

w i e T^ u n t e r d e r

F ^ D

=

10

< Ly >

für d i e e r z e u g e n d e

gilt:

erstmals

in

+

o

f

•••

f

i - v,i-(v + l) =

geht über

f

erstmals 0

d.h.

l i c h k e i t e n , mit der die Anzahl erstmals

nacheinander

i den Zustand

-

T\

Bedingung

unabhängig LQ =

1,

Funktion

tO

L.

n=l

? P ( T 1 + . . . + T n = n | LQ = i ) z n n=l P(T, = n - ( . I x

| Ln

•(i'^y (F^z))1

= Für bei

(n) f,00 erhalten wir mit den der Herleitung von (7.4): r

f

r

(n)

00 J l

^

0 (n-1)

gleichen

Überlegungen

für

n = 1

für

n > 2

wie

222 und

damit

F

°

f

• X

( Z )

oö)z" n=2

= «(r0 + J Z(r

•

0

+

J

mit Ferner ff ( n r

nn' 00

R(z)

riF,(z))

1

*- 1 (F 1 Cz)) i |

1

^(F^z))1'

= z-.I i =0 •

5

l!x ^

z-RfF^z)) I r.z 1 i=o

:=

gilt: = P(L

= 0, L

il

für

v = 1,.. ,rv-l | L„ = 0)

= P(LX = N a 11, L 2 = •-n-a^n-l-

1

1

i »

+ N 2 - 1 >1 L

L

n = n-l

= P(N 1 2l 1, Nj + N 2 - 1 >1

+ N

Ln_j =

n-

1

=

°l

L

0=°)

Nj + ..+ N n _ 1 - (n-2)

>1.

Nj + ...+ N„ - (n-1) = 0) = P ( L Q + Nj - I i i , L Q * H L + ... + "

Lq +Nj +N2 - 2 > 1 j - (n-1) I 1, L 0 + N 1 + . . + N n - n = 0 | L 0 = 1 )

1. L 2 I 1 , . . . , L n _ 1 T

L n = 0 | L q = 1)

10

und daher

F Q ( z ) = Fj(z) F0(z)

bzw.

= z* R ( F q ( z ) )

u: = F q ( z ) sei die Lösung u = z R(u)

(7.5)

von V z e [-1,1]

mit 0 < r Q £ Fq(z) < 1

V z e [0,1).

Dann ist für z e (0,1) : (*)

j - ^

• ^

+ rl + r2u + r3u2 + . . . - :

und lim M(u) = + " u^O

bzw.

lim M(u) = 1 u-*l

Aus den beiden ersten A b l e i t u n g e n

von M(u)

r0 o M'(u) = — j + r 2 + 2 r 3 u + 3 r 4 u + ...

N(u)

223 r

M"(u) = 2

0

+ 2 r 3 + 6 r 4 u +...

sehen wir, daß M"(u) > 0

V u e (0,1] und damit M'(u)

monoton wachsend im Intervall

(0,1]

streng

ist.

Mit lim M'(u) = - r n + r, + 2 r , + 3r. + ... U - - 1

u

c 00

= -r0 +

J

l n=i

(n-l)r

OD

=

"rfl 0 "

Oft

I nil

vgl. (7.2) = -1 +

4

l

r

nn +

l nil

n

r

nn

e"XT

n J

dB(t)

00

= -1 + x ^ tdB(t) = -1 + P folgt für p < 1, daß M'(u) < 0

V u e (0,1) und damit M(u)

streng monoton fallend vom Wert + » zum Wert 1 im Intervall (0,1] ist. V z e (0,1] existiert dann genau eine Lösung 0 < u = F q ( z ) £ 1 für z = 1 . Diese ist u = 1, d.h.

i • m 1 » - n=iL1 ^

= f

und der Zustand 0 ist rekurrent.

oo Differentiation

von

(*)

nach z liefert

\

=

M'(F0(z)). F q ( z )

und m

0

=

•

i, n n= 1 z-1

^ FA(z) u

= lim — — z+1 z M'(F 0 (z)) X jl —


1

nicht - rekurrent

Der Beweis für die Aussagen daher dem Leser

(b) und (c) verläuft analog und sei

überlassen.

7.2 SATZ In einem stationären M|G[1 WS-System besitzt die eingebettete M a r k o f f k e t t e genau dann eine stationäre V e r t e i l u n g , wenn p < 1 ist. Bewei s: Für p < 1 folgt die Behauptung sofort aus Satz 7.1 (a) sowie Beziehung

(1) und (2) und Kap. I Satz 6.10.

Um die N o t w e n d i g k e i t von p < 1 für die Existenz einer

Grenzver-

teilung zu zeigen, benötigen wir die erzeugende Funktion

dersel-

ben . Aus N_P

= N_

erhalten wir für die Komponenten tt^ , i = 0,1,2,...

von _n_ die

Bezi ehung i+1 ¥

i

=

r

+

i

Jj

*k

r

i-k+l;

1

=

0,1,2,...

i+1 =

und mit b i + 1

"1

=

r

"0

i

+

"0

r

i+ l

+

Jj

: = {r i + 1 } » {ni + 1 }

^0

r

Multiplikation

i

+

b

i+l " ¥0

r

"k

r

i - k + l " "0

r

i+l

(vgl. A. 2)

i+l

dieser Gleichung mit z 1 und Summation »

i = 0,1,2,... P(z) = „

=

liefert mit P(z):= R(z)

+

l bi+1 1=0

über oo

£ w. z 1 und R(z) = J r i i=o i=o z1 - , 0

j r1+l 1=0

z1

R(Z) + z _ 1 ( P ( z ) R ( z ) - b 0 - IR 0 (R(z)-r 0 ))

= TTQ R(Z) + z _ 1 ( P ( z ) R ( z ) - ITQ R( z))

.

z1

225 bzw. ir0(l-z)R(z)

P(z) Zur

R(z)-z

Bestimmung

Regel

von

von

TTQ b e r e c h n e n w i r

l'Hospital

* 1

P ( 1 )

=

¥

1-^(1)

0

1-p (hq,itj.,,... ) nach

ist, g i l t 0 < TTQ < 1 u n d 0

7.3

Bemerkung

Der

Beweis 1I

von

der

*(:)-z

0-

zu ttq = 1 - p . Da _n_ = verteilung

unter Anwendung

(l-z)R(z)

= H l

=

P(l)

aus

Satz

Voraussetzung

eine

Grenz-

damit

< p < 1

7.2

•

liefert

uns

die

EF der

Grenzvertei1ung

7r

£ = ( o* l * * •') p(z)

-

Die e x p l i z i t e Berechnung

_ 1 e r h a l t e n w i r a u s

.6)

(7.6)

durch

einer

Grenz-

d n P f 1z )L - —

von

z = 0 Der

Leser wird

sich

fragen,

verteilung £ nachgewiesen

nachdem wir die

haben, welcher

irn ( d e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t , punkt n Forderungen lichkeit,

daß sich

System

befinden)

dessen

Beweis

7.4

im S y s t e m zu e i n e m

besteht.

der Leser

zu e i n e m

befinden)und

beliebigen

Diesbezüglich

etwa

in G r o s s ,

den

zwischen

p n (der

Wahrschein-

Zeitpunkt n Forderungen gilt der nun Harris

den

Regenerationszeit-

(1974)

folgende

im Satz,

findet.

SATZ

In e i n e m

stationären p_

1)

daß sich

Existenz

Zusammenhang

M|G|1 =

Durch diesen vichtigen M | 0

wird nachträglich der eingebetteten

die Analyse Markoffkette

des ge-

226

Zum A b s c h l u ß des M|G11

dieses

Paragraphen wollen

WS-Systems

7.5 SATZ

(Pollaczek-Chintchine

In e i n e m

stationären

Forderungen

wir

die

Systemcharakteristika

bestimmen.

Formel)

M|G|1 W S - S y s t e m

im S y s t e m

gegeben

p2

Ed) - p +

ist die mittlere

Anzahl

der

durch

; \llyw

(7.7)

B e w e i s: Mit

4 ( L

geht

"-i

(7.1) L

und w i r

, !

-

Uber

n

L

"

|

n-1

>

0

L

n-1

=

0

n > 1

in

n-1

bilden

0

L

von

S

"

, ) + N

V n > 1. Dann geht (**) Uber- in

2E(L)(1 - p) = p - 2p 2 + E ( N 2 ) .

Nach Aufgabe 51 gilt E(N 2 ) = x 2 E(S 2 ) + p und mit E(S 2 )

Var(S) + (E(S)) 2

=

folgt aus 2E(L)(1 - p) = 2p(1 - p) + x 2 ( V a r ( S ) + (E(S)) 2 ) die Behauptung

(7.7).

7.6 SATZ In einem stationären M|G|1 WS-System gelten für die Systemcharakteristika E(T), E(T q ) und E_ O vor?

am

Produktion

die manuell

von [1.5,2.5]

E(L)

in eine

verteilt

g E(T).

Kontrollstation.

mit

durchgeführten Minuten,

beider c)

Die

einem Mittelwert Inspektionen

Man beabsichtigt

mit .konstanter Zeit

die Systemcharakteristika b) s = 2 min

und

wahrscheinlichsten?

exponential

maschinell

Die Aus-

zuständig.

verteilt

Stunden)

Systemcharaktenstika

sind neg.

Stunden.

Man vergleiche

exakt

Maschinenparks

exponential

von s Minuten Systeme s * 2.5

für

min.

Zwischen-

von 0.05 sind

die

gleichKontrolle

durchzuführen.

233

Aufgabenlösungen: 1) E(E)n - i f2 - l y2 - Oi Var(E)n = i2 + i2 = 1 n n => E(S n ) = uy. E(E r ) = 0/ Var(Sn ) = uy. V(Er ) = n r=l r=l 2) Die ersten 3 "Zeitpunkte" werden durch den ersten Wurf bestinmt. P(X=0) - j; P(X=1) =

=> P(X^O)

J

= j;

PfX^l)

= j

ieJY

Die Markoffeigenschaft ist verletzt, denn es hängt innerhalb einer "3er Gruppe" der Zustand zum letzten Zeitpunkt von den zwei vorausgegangenen Zeitpunkten ab. Beispiel:

P(X3=0]X2=1, X=l)

= 0 j j = P(X3=0\X2=1)

Die Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen sind ebenfalls nicht Beispiel:

erfüllt.

P(X3=1 {x^O) = jr f< P(X2~1\X^O)- P(X3=l\X2=l )+P(X2=o\x^O).P(X3=1\X2=0>

- f ^ - f

3) m jt nf mit folgender Eigenschaft: m, nf, nf'cJN; 1, I' , l"e{0,l,2} mit: 3(nf -1)+!' A,, n-11A , n

= P ( X

n ^ l

nK

- l ^ l

n-1>

b) Die ZerlegungenJ = (1,2) u {3} und J - {1} u {2, 3} erfüllen das Kriterium

11,3} P

1 {2}

P 3 {1,3}

u

{2}:

' 2' P2 {2} = I 2

" °!

P

3

{2}

=

2'"

P

1

{1,3}

" 2'"

P

2 {1,3}

'

U

234 {1,3}

{2} {1.3}

Kriterium

erfülltI

—>

P' {2}

5)

a)

Pi_j:~P(Xs=j\X3_^i);

SEJN

Schlug von n' auf ri +1: P-P

1,2,3

U V

Satz

5.12 —> 1,2,3

sind

positiv-rekurrent.

4.1 —=>

-

*

7 ¿3

1

»

rekurrente Zustände,

sind

Definition

entsprechend

sind u22

9) Bo = { 5 , 6 , 7 }

10) Zu zeigen:

1

l3\"' U)

«

3

2

l

=

+

und Ujy< +">=>

; Dj - (1,2)

; D2 -

beschränkt

positive

« - T

Rekurrenz

von

1,2,3.

{3,4}

HMbj

N ist

. 1 16 X n PX"'1 6 - - - n l 3 n ' \ 4 )

und

abgeschlossen

«> Hill - IUW" , -all !] ft^J

ein Häufungspunkt

¿* = lim ¿k = lim fl+P;"'3 JC-H» ^C-Hö mit

y^M;

=> 11)

1 |-liro J^l I Jc-x»

e^, d.h. W ist

)" max . . X^ X e max

-

iI+P;n"J

folgt

Ä

IN

lim fc-X»

lim Jc-x»

t^e M

abgeschlossen

= O 2nk n

X max

2nk + l sin n

= X (cos max für

n=3;

¡^

e N

2nk, ) n

ke{l,...}

1.

In der komplexen Zahlenebene liegen die 3 Lösungen obiger Gleichung auf dem Einheitskreis. Sie bilden die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks, dessen eine Ecke die Koordinaten (1,0) hat. 12) £

-

(1-ju,

V, j v )

;

ue[0,j]

Nach Satz 6.10 besitzt die Markoffkette keine ergodische Verteilung, da sie zwei positiv-rekurrente Klassen K1 - {2,3} und K^ = { i} besitzt. 13) Satz

6.10 =>

die Markoffkette besitzt * 5 11 = (-jy, -j,

ergodische

nach Bemerkung 6.12 zu £ 14) 1 - lim P(z(n)eK) n*«

- lim £ I" £ P(z(n)=j\z(o) n+eo ¿eJLje/c

l [Z lim p[n)).P o nach Satz

ein

-

I ("i ie}'

i - '

Wege müssen berücksichtigt

; = >

_ »

; =

"22

mit P ergibt

1 , "33

,„4 -

sich

3 7'

7

werden:

;

;

;

;

ist kontinuierlich4

Unabhängige Zuwächsei

00

p x

< t2+hxtl^xt1+h

- J

- *tj

x

-

t^>

d

\

00

•

/

P(x

t0+h2xt1+1ht-z)

-Xt

35) Annahme: Geburtsprozeß Gl => {x^:t>o}

Signal

= P(Y>t)

Signal

e

Also

noch kein

^

z t ( 0 i t )

£>0_

unabhängige

unabhängige *tXomi)

Zuwächse.

stationäre

Zuwächse. P p'- p und und damit Aber

p'n - pn

ist E(L')

wegen

(3.7),

V n zwo

= E(L) und B(L'9)

(3.9),

(3.15)

-

E(Lq).

und (3.17)

ist E(T,q)

- 2E(Tq)

und E(T')

-

2E(T) bzw. E(T.D ') - 2E(T.)D und E(T Z •) * 2E(TZ ) 43) P(N*=k) = P(k Ankimfte

in fO,t] |s-tj

00

- ¡P(K(t)=k)

- ! ¥ p a r t i e l l e Integration

k-fache

44) Vor der Änderung X-

dB(t)

5

des

F/d, £ -0.14

(F=Fahrzeug,

-

p*

. .

d+or1

Inspektionsverfahrens d/F

d-Tag)

E(T) = 0.47

d/F

Der mittlere

Verlust

beträgt

dann

Vp - 0.47 12.6 GE/F - 5.88 GE/F . Nach der Änderung

des Inspektionsverfahrens

— =0.11 d/F und der mittlere \1

ist

Verlust

V' = 3.08 GE/F. F

Im Mittel werden pro Tag 9.09 Fahrzeuge a b g e f e r t i g t , und die beträgt 2.80 9.09 GE/d = 25.45 GE/d, d.h. die Steigerung der Betriebskosten darf diesen Betrag nicht übersteigen. 45) E(L) = E(Lq)

+

£ L E(Lq)+s-po

k

Ä S i p"

s-1

- s I P„+ l ("s)Pn n=o

n=o

J ep

p

rs-1 n n / Pe P L. n-s , nl o n=s s sl n-1 s s+1 s+2

Zo

'

+

spo- r§7 +

T7T + V;+ s si

p p¡-1. +p = P d-Pk>

47) P(L>_k) -

l

n-Jt

«

s-2 J 0 P n n=o

p V + S-2 I p n-s— p n

k-1 I L

-

- >

f

PP — s sl

S

Ps —

L.
_s

Kostenersparnis täglichen

241

48)

E(L)

= s-p

o

sp„ •o

-

49)

E(L)

=

s l n=o

n £7

® j n p n=J ®

s /

n=o

+

E(N) -

l u=1

n r

J o

+ p o

s-1 l. n~l

n

n£m

+ —

=

n

= XE(S2)

v g l . Aufgabe

b)

Bedienungszeit

s

/

-

\

n-er

p s/ \

i-«

.

e"xt

——-3

dB(t)

[ n=l

= XEfs;

=

p

man:

+ XE(S)

= \2Var(S)

a)

/ o

i/y

_< 2.15

min/P

P/min

/

242 55;

B ( L

h 2

= 0.Poo +

)

p

+

l

?

P j

2

' ( P

+ P

o l

I

+

)

l o

nfn-j;e

+

3

15.5)

\ n-er

e r h ä l t

V a r f j y

=

E ( i

h

2

)

-

n-u

. . .

nC n _ 1

E ( L

h

)

2

i+e

/

n-e;3

sofort

man

+

n-2

— Mit

2 1

" 2 + P, I

n

n=2

1

.p

2

_ _ -

=

-Pj

—

P j

(1-V

56)

P ( S = 8 )

=

£ f s ;

J J ,

r

1 / 4 ,

P ( S = 1 2 )

V a r i s ;

= 1 . 1 r n/ * 4 ' [

n

r

-

O

=

B(L)

0 . 5 0 5 9 ,

r , 1

=

EdV

1 . 4 6 ,

=

( 1 / 2 ) " -

L

=

P„zn = /

~

k - t e

f a k t o r i e l l e an

der

>

=

e ( l

b)

E ( T

q

)

D

)

=

3 / 4

r , 3

=

0 . 0 2 8 1

35.20

nn *> M = 0.32

=

— r r ~ r

llil-p)

=

man

durch

k - f a c h e D i f f e r e n t i a t i o n

v

=

\ ' ( l - z )

k

r W ,) = ¿ P ^W dz

mit

e r h ä l t

1

dz*

WS-System

=

E(T

e '

n

0 . 1 1 8 6 ,

Moment von I»

dv*

0-96

=

l

S t e l l e

_

dz*

a>

( 3 / 4 )

( \ ( l - z ) )

w

P ( z )

M|M|J

r , 2

3

« e

von

=>

+

1 / 2

2 3 . 4 0

Das

c ^ P ( z )

58)

e '

00

I

=

3/4

0 . 3 4 1 5 ,

0» =

-

3

7 . 6 8

. — / V J —" , dv

v=o

= x Eir'

243

59) M\M\2 \ =

WS-System mit 8 M/h, jj- - — h/M

bzw. y = 6 M/h

(M = Maschinen, h = Stunde) 4 2 p = — bzw. £ = —

= >

und E(L) = 2.4

K^ - Kosten eines Mechanikers pro Stunde Kj = Kosten für den Aufenthalt einer Maschine pro Stunde K

= mittlere Gesamtkosten für das Unternehmen pro Tag

K

= 8 [2'K1+E(L)K2]

-

6720 DM

60) M| M\ 2 WS-System X = Anzahl der unbeschäftigten Kassen X e (0,1,2) P(X = 2)

P(X = 1) =

Po,

=

Mit p

m ä

o ' T^

P

= Bp

1

P

=

O) =

l n-2

Pn

9llt

o

" 2"P

0.4 = E(X) = PflPo

P(X

r

=

>

P = f

P(L > 1) « 1-P(Lo)

=

l n P(1? n=l

I» n=l

-J r

l,

n\Lg>o)

n(

=2 2>

/Î=J

v-l 62) X -

j M/h

(M = Maschinen, h = Stunde)

Die Dichte der Bedienungszeit ist vom Erlangschen Typ b (K,t (kt) D s

'

- (Vk,ktk~l (k-i)l S'1

vkt

6 e'

=t2

=>

k\i = 6

= >

k-

3

y = 2

a; m|EJ|1 WS-System b) P = J, bîl; = ^y-, BfT®; = J f et; - o < = >

t { = j, t 2 = o

f " fy.)

=

_,cAX

XjeAX,)

6->-0

Für alle B o r e i s c h e n M e n g e n A und X mit P(axv ) > 0, Vv e {1,. . . ,n-1}.

(1.2) D E F I N I T I O N Den b e d i n g t e n

(Bedingter

Erwartungswert

V

£

ax

: = [x - 6 , x +6]

V

V

V

Erwartungswert) E(Xn=

X

n

l

x

n

_ i ~

b e r e c h n e t man in ü b l i c h e r Weise m i t t e l s der durch

x

n-l'"'''Xl=

x

l^

(ir) gegebenen

Wahrscheinlichkeitsverteilung. (1.3) SATZ

(Satz von der totalen

Für b e l i e b i g e

Zufal1svariablen

E(E(X|Y)) (1.4)

X,Y

gilt:

= E(X).

SATZ

Es seien A ^ Dann

Erwartung)

i = l,...,n

Ereignisse

mit P (A ) > 0

V i = 1

n.

gilt: P( n A,) =

' A2 E r z e u g e n d e Für u n s e r e

P(A1).P(A2|A1)-P(A3|A2nA1)....P

(AnlAn-ln"""nAl)

Funktionen

Zwecke sind nur die e r z e u g e n d e n F u n k t i o n e n

scheinlichkeitsverteilungen

von

Interesse.

von

Wahr-

247

(2.1) DEFINITION Sei (P n ) n e iN die W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g einer Z u f a l l s v a r i a b l e n X, die also nur nichtnegative ganzzahlige Werte annimmt, so nennen wir n

G(u): = l pun n=0 die erzeugende Funktion (EF) der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g (pn^ne 1Nq ' (2.2) SATZ Die EF G(u) konvergiert wegen [-1,1]

J p

= 1 zumindest im I n t e r v a l l

n =0

(2.3) SATZ Für eine Z u f a l 1 s v a r i a b l e X mit der EF

G(u)gilt

(a) E(X) = G ' ( l ) = X npn (b) Var(X) = G " ( l ) + G' (1) - {G' ( 1 ) ) 2 (c) E ( X ( k ) ) := E ( X ( X - 1 ) . . . ( X - ( k - 1 ) ) ) = G ( k ) ( l ) , wobei E ( X ( k ) ) k-tes faktori:el 1 es Moment bezeichnet wird.

als

(2.4) DEFINITION und 'bn^neIN (''®e W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g e n o o zweier unabhängiger Z u f a l l s v a r i a b l e n X und Y, so heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung Sind (a n ) n e ]jj

c

n

:=

(an>*

:=

jQakbn-k

neIN

o

Faltung (Konvolution) von ( a n ) n E j (

^n^nelN o o W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g der Z u f a l l s v a r i a b l e n X + Y

dle

(2.5) SATZ Sind die Z u f a l 1 s v a r i a b l e n Xj und t^ unabhängig und besitzen sie die EF n Pj(u) und P 2 ( u ) , dann b e s i t z t X1+X2 die EF G(u) -

1)

Damit keine Kap. I mit

Pj(u)(u)

Verwechslungen der zugehörigen

möglich sind, werden Wahrscheinlichkeitsverteilung

einige

EFn

in indiziert.

248 Als w i c h t i g e n S p e z i a l f a l l unabhängigen

identisch

P(X = n) Die S u m m e S =

:= P ( X . = n) = p

dieser

n

Zufal1svariablen

,

nelN

X.

1 = 1,2

o

von k d.h. k

Zufallsvariablen

Xj+...+xk

b e s i t z t d a n n die G(u)

EF

= P 1 (u)'...'P k (u) • ( P ( u ) ) k

Eine a u s f ü h r l i c h e

Diskussion erzeugender

reichen Beispielen

A3

b e t r a c h t e n w i r nun die S u m m e

verteilten

F u n k t i o n e n m i t zahl -

f i n d e t der L e s e r e t w a in R u t s c h / S c h r i e v e r

(1976).

Laplace-Stieltjes-Transformation

(3.1)

DEFINITION

Die s t e t i g e o d e r d i s k r e t e

Zufallsvariable

X nehme nur

W e r t e an und b e s i t z e die V e r t e i l u n g s f u n k t i o n

LF(Z)

= / e"zx o

dF(x)

heißt

(Re(z) > 0)

die L a p l a c e - S t i e l t j e s - T r a n s f o r m i e r t e

(3.2)

nichtnegative

F ( x ) . Dann

(LST)

von

F(x).

Beispiel

Die B e d i e n u n g s z e i t b e s i t z e die

B(t)

einer Forderung

in e i n e m M | G 11 W S - S y s t e m

Verteilungsfunktion

0 0.6 0.95 1

t