Stetige schallnahe Potentialstromungen um eine Familie symmetrischer Profile mit abgerundeter Nase und ihre Grenzlinieneigenschaften [Reprint 2021 ed.] 9783112495704, 9783112495698

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SITZUNGSBERICHTE

DER

SÄCHSISCHEN

DER WISSENSCHAFTEN ZU

LEIPZIG

Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

ERICH

AKADEMIE

Klasse

105 • Heft 3

SCHINCKE

STETIGE SCHALLNAHE POTENTIALSTRÖMUNGEN UM EINE FAMILIE SYMMETRISCHER PROFILE MIT ABGERUNDETER NASE UND IHRE GRENZLINIENEIGENSCHAFTEN

A K A D E M I E - V E R LAG 1963

•

B E R L I N

B E R I C H T E Ü B E R DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE KLASSE

Band 97 Heft 1 Heft 2 Heft 3 Heft 4

Heft 6

Heft» Heft 7 Heft 8

Prof. Dr. ERICH STRACK / Beobachtungen über den endogenen Anteil des Kot-Stickstoffs 24 Seiten - 8° - 1949 - DM 2,50 (vergriffen) Prof. Dr. ERNST HÖLDER / Über die Variationsprinzipe der Mechanik der Kontinua 18 Seiten - 8° - 1960 - DM 2,76 (vergriffen) Dr. H. GERSTNER / Dr. H. BAARK / Dr. H. GRAUL / Der Wechselstromwiderstand der Froschhaut 25 Seiten - 8° - 1950 - DM 2,75 (vergriffen) Prof. Dr. H E R B E R T BECKERT / Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise für das Differenzenverfahren zur Lösung des Anfangswertproblems, des gemischten Anfangs-Randwertund des charakteristischen Problems einer hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen 42 Seiten - 8° - 1950 - DM 9, (vergriffen) Prof. Dr. H E R B E R T B E C K E R T / Über quasilineare hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das Anfangswertproblem, die gemischte Anfangs-Randwertaufgabe, das charakteristische Problem 68 Seiten - 8° - 1950 - DM 14,60 (vergriffen) Prof. Dr.-Ing. ENNO H E I D E B R O E K / Das Verhalten von zähen Flüssigkeiten, Insbesondere Schmierflüssigkeiten, in engen Spalten Nachdruck - 40 Seiten - 24 Abbildungen - 8° - 1952 - DM 6,80 (vergriffen) Prof. Dr. HANS SCHUBERT / Über eine lineare Integrodifferentialgleichung mit Zusatzkern 52 Seiten - 8° - 1950 - DM 9,26 (vergriffen) Dlpl.-Phys. HERMAR K R U P P / Bestimmung der allgemeinen Lösung der SchrödingerGleichung für Coulomb-Potential 28 Seiten - 8° - 195Ö - DM 6,50 (vergriffen)

Band 98 Heft 1

Prof. Dr. WALTER SCHNEE / Über magische Quadrate und lineare Gitterpunktprobleme 48 Seiten - 8° - 1961 - DM 4,65 (vergriffen) Prof. Dr.-Ing. ENNO H E I D E B R O E K / Über die Beziehungen zwischen Schmierung und Verschleiß bei gescbmlerter Gleitreibung Nachdruck - 36 Selten - 6 Abbildungen - 8° - 1954 - DM 2,75 Heft 8 Prof. Dr.-Ing. e. h. KARL K E G E L / Der Salzstock Mirowo bei Provadia in Bulgarien 26 Seiten - 9 Abbildungen - 8° - 1961 - DM 3, — (vergriffen) Heft 4 Prof. Dr. H E R B E R T B E C K E R T / Prof. Dr. HANS SALI® / Bemerkungen über die Verbiegung hyperbolisch gekrümmter Flächenstücke /.Über Abels Verallgemeinerung der binomischen Formel ' 22 Selten - 2 Abbildungen - 8° - 1961 - DM 2,25 (vergriffen) Heft 5 Prof. Dr. ERICH STRACK / Die Dauerinfusion als Verfahren zur Erforschung des Kohlenhydratstoffwechsels des Tierkörpers 20 Seiten - 8° - 1952 - DM 2, (vergriffen) Heft 2

Band 99 Heft 1 Heft 2 Heft 3

Prof. Dr. HEINRICH BRANDT / Über das quadratische R«ziprozitätsgesetz 18 Seiten - 8° - 1951 - DM 1,90 (vergriffen) Prof. Dr. GEORG SPACKELER / Der Gebirgsdruck und seine Beherrschung durch den Bergmann 36 Selten - 12 Abbildungen - 8° - 1951 - DM 1,65 (vergriffen) Prof. Dr. ERNST DIEPSCHLAG / Die Anwendbarkeit der Regelungstechnik in der Hüttenindustrie 38 Seiten - 12 Abbildungen - 8° - 1962 - DM 3,90

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DER

SÄCHSISCHEN

AKADEMIE

D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

ERICH

105 • Heft

Klasse 3

SCHINCKE

STETIGE SCHALLNAHE POTENTIALSTRÖMUNGEN UM EINE FAMILIE SYMMETRISCHER PROFILE MIT ABGERUNDETER NASE UND IHRE GRENZLINIENEIGENSCHAFTEN

Mit 23 Abbildungen

AKADEM I E-VERLAG 1963

• BERLIN

Vorgelegt durch Herrn Keller in der Sitzung vom 15. Oktober 1962 Manuskript eingeliefert am 10. August 1962 Druckfertig erklärt am 30. J u n i 1963

Erschienen im Akademie-Verlag G m b H , Berlin W 8, Leipziger Straße 3 — 4 Copyright 1963 by Akademie-Verlag G m b H Lizenznummer: 202 • 100/468/63 Gesamtherstellung: V E B Druckcrei „ T h o m a s M ü n t z e r " B a d Langensalza Bestellnummer: 2027/105/3 • E S 10 B 4 • Preis: DM 8,90

INHALT Einleitung

5

I . Berechnung stetiger schallnaher Potentialströmungen um eine Familie symmetrischer Profile mit abgerundeter Nase nach einem modifizierten Verfahren von TOMOTIKA-TAMADA

9

1. Die Differentialgleichung der Stromfunktion und des Potentials in der co ö - E b e n e

9

2. Ermittlung einer zugehörigen o(i«)-Beziehung

13

3. Die Stromfunktion in der tu i/-Ebene

15

4. Die Schließungsbedingung 5. E i n e asymptotische Beziehung zwischen der gleichung (1,14a) und der TRicOMi-Gleichung

28 Stromfunktions-

6. Numerisches Beispiel 7. Vergleich des Verfahrens modifizierten Verfahren

von

TOMOTIKA-TAMADA

mit

dem

8. Uber eine Approximation der Funktion K(a>) mit drei Parametern I I . Zur Theorie der Grenzlinien 10. Die Grenzlinien der Hodographentransformation 11. Numerisches Beispiel I I I . Nachbarprofile bei fester Anström-MACH-Zahl

Literatur

41 4G 48

9. Die Grenzlinien der Hodographentransformation für co > a *

12. Numerisches Beispiel

30 32

für co = a *

48 60 65 69 69 72

Einleitung 1 ) I n der vorliegenden Arbeit betrachten wir ebene stationäre symmetrische Strömungen eines isentropischen Gases u m geschlossene Profilkonturen ohne Zirkulation. Die A n s t r ö m u n g erfolgt u n t e r kritisch ; jedoch soll der Geschwindigkeitsbetrag so groß sein, d a ß sich an der K o n t u r b e s c h r ä n k t e Überschallbereiche bilden. Setzt m a n ferner in üblicher Weise voraus, d a ß außerhalb der P r o f i l k o n t u r in der Strömungsebene weder Quellen noch Wirbel v o r h a n d e n sind, d a n n ergibt sich f ü r das Geschwindigkeitspotential u n d f ü r die Stromf u n k t i o n je eine partielle Differentialgleichung, die nichtlinear ist u n d beim Durchgang durch die Schallinie den T y p wechselt. Da die Lösung einer derartigen Differentialgleichung im allgemeinen m i t erheblichen Schwierigkeiten v e r b u n d e n ist, wird zweckmäßig ein vereinfachtes Strömungsmodell b e t r a c h t e t . W e n n m a n von der Stromfunktionsgleichung ausgeht, so liefert eine LEGENDRE-Transformation in der Hodographenebene eine lineare Differentialgleichung, die nach M. J . L I G H T H I L L [1] u n d T. M. C H E R R Y [2] auf Grund eines Separationsansatzes d u r c h eine Reihe hypergeometrischer F u n k t i o n e n gelöst werden k a n n . E s zeigt sich jedoch, d a ß diese Reihe nur in einem Teil des Strömungsgebietes konvergiert. Man ist daher auf analytische F o r t s e t z u n g e n im restlichen Strömungsgebiet angewiesen, die bei kompressiblen S t r ö m u n g e n nicht eindeutig b e s t i m m t sind. Außerdem ist bereits beim Beispiel einer kreisnahen Profilkontur die numerische R e c h n u n g m ü h s a m . E i n e weitere Möglichkeit zur Linearisierung der Differentialgleichung f ü r die Stromf u n k t i o n bietet die TscHAPLYGiN-MoLENBROEK-Transformation; m a n erhält d a n n wieder hypergeometrische F u n k t i o n e n in den P a r t i k u l ä r lösungen. Da die Linearkombination dieser Lösungen auf die gleichen Schwierigkeiten wie bei der LEGENDRE-Transformation f ü h r t , ist es vorteilhaft, die Differentialgleichung der S t r o m f u n k t i o n oder des Geschwindigkeitspotentials zu vereinfachen. Die vorliegende Arbeit stellt eine gekürzte Fassung der von der Math.Nat. Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg am IG. 5. 1962 genehmigten Habilitationsschrift des Verf. dar.

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ERICH SCHINCKE

In der Strömungsebene h a t K . O S W A T I T S C H [ 3 ] für Strömungen, die von einer Parallelströmung in Schallnähe wenig abweichen, eine vereinfachte Differentialgleichung für das Geschwindigkeitspotential aufgestellt. Ausgehend von dieser nichtlinearen Differentialgleichung h a t K . O S W A T I T S C H [4] die Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung an schlanken symmetrischen Profilen auf die Lösung einer zweidimensionalen singulären Integralgleichung zurückgeführt, wobei auch Verdichtungsstöße auftreten können. Vgl. dazu auch K . O S W A T I T S C H — J . Z I E R E P [ 5 ] . Bemerkt sei noch, daß der Anwendungsbereich dieser Integralgleichung auch auf Schallanströmung und Anstellung erweitert worden ist. Es liegen Näherungslösungen vor, die mit bekannten Ergebnissen gut übereinstimmen. Im Anschluß an K. O S W A T I T S C H [3] hat F. R E U T T E R [6] gezeigt, daß die nichtlineare Differentialgleichung des Geschwindigkeitspotentials mittels der LEGENDRE-Transformation in die bekannte TRicoMi-Gleichung überf ü h r t werden kann. Diese ist zur Beschreibung schallnaher Strömungen geeignet, wenn die PoissoNsche Adiabatenkurve durch eine passende Approximation ersetzt wird. Vgl. dazu F . T R I C O M I [ 7 ] , Bezüglich der ausgedehnten Literatur über die TRicoMi-Gleichung sei auf die Arbeiten von F . F R A N K L [ 8 ] und P. G E R M A I N [ 9 ] verwiesen. Eine bessere Approximation der PoissoNschen Adiabate, als sie die TRicoMi-Gleichung liefert, ergibt sich nach dem Verfahren von S. T O M O T I K A — K . T A M A D A [ 1 0 ] . Dabei wird die Stromfunktionsgleichung nach Übergang in die Hodographenebene nochmals transformiert, indem man an Stelle des Geschwindigkeitsbetrages und des Stromwinkels neue Variable einführt. Dadurch ergibt sich in der transformierten Ebene außer der üblichen Verzweigungssingularität im Bildpunkt der Anströmung eine weitere komplizierte Singularität im Staupunktsbild. Jedoch läßt sich für stetige Strömungen bei diesem Verfahren der Grenzübergang in die inkompressible Strömung nicht mehr in einfacher Weise vollziehen. I m ersten Teil der vorliegenden Arbeit haben wir eine Modifikation des Verfahrens von S. T O M O T I K A — K . T A M A D A angegeben und dabei auf die Stromwinkeltransformation verzichtet. Die Transformation des Geschwindigkeitsbetrages wurde so ausgeführt, daß im inkompressiblen Grenzfall die Stromfunktionsgleichung in die L A P L A C E Gleichung übergeht, wenn die kritische Geschwindigkeit gegen Unendlich strebt. Außerdem läßt sich zeigen, daß die von uns verwendeten partikulären Lösungen bei diesem Grenzübergang harmonische Funktionen liefern. Mit Hilfe einer verhältnismäßig einfachen Variablentransformation ergibt sich ferner, daß die Stromfunktionsgleichung

Berechnung schallnaher Potentialströmungen

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in Schallnähe asymptotisch durch die TRicOMi-Gleichung dargestellt werden k a n n . Die Stromdichte, die durch das modifizierte Verfahren festgelegt wird, s t i m m t im kritischen Z u s t a n d s p u n k t u n d im Staup u n k t m i t derjenigen eines Poisscmsehen Gases überein (vgl. Abb. 5). I n gleicher Weise wie S. TOMOTIKA — K . T A M A D A ermitteln wir den singulären Bestandteil der S t r o m f u n k t i o n in geschlossener F o r m . Dieser besitzt f ü r alle symmetrischen zirkulationslosen Profilströmungen dieselbe Gestalt. Der reguläre Bestandteil, der die Profilk o n t u r bestimmt, m u ß so beschaffen sein, d a ß die S t r o m f u n k t i o n einer Schließungsbedingung (vgl. Abschnitt 4) genügt. Dabei h a b e n wir einen Beweis von S. NOCILLA [ 1 1 ] f ü r diese Bedingung ergänzt u n d vereinfacht. I n einem numerischen Beispiel wählen wir den regulären Bestandteil d e r a r t , d a ß sich eine Profilkontur m i t einem S t a u p u n k t an der g e k r ü m m t e n Nase u n d g l a t t e m Abfluß a n der spitzen H i n t e r k a n t e ergibt. Die Gestalt dieser K o n t u r , die einem symmetrischen ScHUKOWSKi-Profil ähnlich ist, h ä n g t von der unterkritischen Anström-MACH-Zahl ab. Allerdings m u ß diese Zahl u n t e r h a l b einer gewissen Schranke liegen, wenn die S t r ö m u n g u m die zugehörige P r o f i l k o n t u r u n d insbesondere beim Durchgang d u r c h die Schallinie stetig sein soll. Wird die Schranke überschritten, d a n n t r e t e n im Strömungsgebiet ToLLMiENsche Grenzlinien auf, deren Verlauf aber m i t den üblichen Methoden nicht e r m i t t e l t werden k a n n ; denn die partiellen Ableitungen der S t r o m f u n k t i o n , die dazu benötigt werden, ergeben f ü r die numerische R e c h n u n g zu komplizierte Ausdrücke. Aus diesem Grund h a b e n wir im zweiten Teil dieser A r b e i t eine Theorie der Grenzlinien u n d ihrer Bildkurven, der sog. Grenzhodog r a p h e n angegeben, die sich auch f ü r die praktische Berechnung eignet. Diese Methode b e r u h t darauf, d a ß sich die wesentlichen Grenzlinieneigenschaften durch den Potentialverlauf längs der Stromlinien beschreiben lassen. Wir erhalten dabei neben den bereits b e k a n n t e n Eigenschaften noch einige, die neu sein d ü r f t e n . I n einem numerischen Beispiel h a b e n wir die Grenzlinien im I n n e r n der P r o f i l k o n t u r ber e c h n e t u n d dabei die sich aus der Theorie ergebenden Eigenschaften verifiziert. Obwohl es sich bei dem Beispiel u m eine stetige Profils t r ö m u n g handelt, bleibt doch zu erwarten, d a ß ein Teil der d o r t nachgewiesenen Grenzlinieneigenschaften auch bei s t o ß b e h a f t e t e n Strömungen a n z u t r e f f e n ist. I m d r i t t e n Teil dieser Arbeit gehen wir v o n einer b e k a n n t e n Stromf u n k t i o n aus, die eine stetige schallnahe U m s t r ö m u n g einer geschlossenen Profilkontur liefert u n d konstruieren eine weitere S t r o m f u n k t i o n , die bei festgehaltener Anström-MACH-Zahl differenzierbar v o n einem

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ERICH SCHINCKE

Parameter abhängt und bei verschwindendem Parameter in die Ausgangsstromfunktion übergeht. Diese Stromfunktion ergibt, wie an einem Beispiel gezeigt wird, durch passende Wahl des Parameters stetige Umströmungen von Profilkonturen, die in einer gewissen Parallelstreifenumgebung der Ausgangskontur liegen. Derartige Konturen bezeichnen wir als „Nachbarprofile" und weisen zugleich darauf hin, daß die Existenz solcher Nachbarprofile nicht im Widerspruch zu dem bekannten Nichtexistenzsatz von C. MORAWETZ [12] steht, da dort der Nachbarschaftsbegriff anders definiert wird. Es ist zu erwarten, daß Nachbarprofile in unserem Sinne ebenfalls existieren, wenn sich an Stelle des glatten Abflusses an der Hinterkante ein Staupunkt ergibt. Da die numerischen Rechnungen dann umfangreicher werden, haben wir auf Beispiele dieser Art zunächst verzichtet. Es sei noch bemerkt, daß M. SCHÄFER [13] für stetige schallnahe Kanalströmungen mit einer einheitlichen Charakteristikenmethode Nachbarkonturen berechnet hat, die danach von E . KOPPE [14] experimentell bestätigt wurden.

I. Berechnung stetiger schallnaher Potentialströmungen um eine Familie symmetrischer Profile mit abgerundeter Nase nach einem modifizierten Verfahren von Tomotika-Tamada 1 ) 1. Die Differentialgleichung der Stromfunktion und des Potentials in der io&-Ebene In einem Gebiet der ¡«/-Ebene wird eine reibungslose, wirbel- und quellenfreie Strömung betrachtet. Dann existieren dort ein Potential 0(x, y) und eine Stromfunktion XP{X. y), die durch die Gleichungen =

Q

ß

(Li)

miteinander verbunden sind. Dabei bedeutet Q die Dichte des strömenden Gases und or deren Wert im Ruhezustand. Der Geschwindigkeitsvektor lü = w e i a wird mit Hilfe der Beziehungen w*=0Z + 0 l ,

= ^

(1,2)

gebildet. Um eine Parameterdarstellung in der Gestalt p = p(iv),

Q=eM

(1,3)

für die Druck-Dichte-Beziehung p = p(o)

(1,4)

zu erhalten, bemerken wir zunächst, daß sich auf Grund der B e r NOULLischen Gleichung

wegen

— + wdw = 0 Q Q = Q(P)

(1,5)

(1.6)

') Die Ergebnisse der Abschnitte 1, 2, 3 und 0 wurden auf der Jahrestagung der Gesellschaft für Angew. Mathematik und Mechanik (GAMM) 1958 in Hannover vorgetragen; vgl. dazu E. Schincke [15].

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E R I C H SCHINCKE

der Druck p auch als Funktion von w auffassen läßt. Hieraus ergibt sich die obige Parameterdarstellung (1.3) 1 ). Die Schallgeschwindigkeit a ist definiert durch (1,7)

cLQ

Sie erreicht den kritischen Wert «.*. wenn w = a ist. Außerdem sei noch vermerkt, daß die Größen o* = o(a*)

und

p*

=

p{o*)

(1,8)

als kritische Werte der Zustandsfunktionen Q(W) und p(o) bezeichnet werden. Setzen wir voraus, daß das Strömungsgebiet in der «(/-Ebene umkehrbar eindeutig auf ein im allgemeinen mehrblättriges Gebiet der Hodographenebene mit den Polarkoordinaten iv, 0 abgebildet wird, dann können w und •& als neue unabhängige Veränderliche des Gleichungssystems (1,1) aufgefaßt werden. Mit Hilfe von (1,5) und (1,7) erhält man das bekannte TscHAPLYGiiische Differentialgleichungssystem ^

o Kiw) or

_

w

nr o

wobei zur Abkürzung

gesetzt wurde. streckung

E s ist vorteilhaft, anschließend noch die Radialw

7

/ a* Qr W

(1,11)

durchzuführen. Dabei geht nämlich das System (1,9) über in = - ~ ~ , &) bzw. &(w, je eine lineare Differentialgleichung y « » + -CO , K/co\' *..+-(*)

+ 4C O

K^

=

=

J

„

0

>

/ft>V

(1,14a) d lo)\

„„„, d,14b)

Die Funktion K{co) genügt wegen (1,13), (1,11), (1,10) und (1,3) den Bedingungen i= 1 für w= 0 K(co) 1 = 0 für co = co* = a* l $ 0 für co $ co* . (1,15) Daher ist jede der Differentialgleichungen (1,14) für &> a* vom hyperbolischen Typ und ihre Charakteristiken C+ und C~ sind durch