Stetige Faltungshalbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmassen und erzeugende Distributionen 354008259X, 9783540082590

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

595 Wilfried Hazod

Stetige Faltungshalbgruppen von WahrscheinlichkeitsmaBen und erzeugende Distributionen

Springer-Verlag Berlin' Heidelberg· New York 1977

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

595 Wilfried Hazod

Stetige Faltungshalbgruppen von WahrscheinlichkeitsmaBen und erzeugende Distributionen

Springer-Verlag Berlin' Heidelberg· New York 1977

Author Wilfried Hazod Abteilung Mathematik der Universitat Dortmund Postfach 5005 00 0-4600 Dortmund 50

AMS Subject Classifications (1970): 43A05, 60B1O, 60B15, 60J 25, 60J30 ISBN 3-540-08259-X Springer-Verlag Berlin' Heidelberg' New York ISBN 0-387-08259-X Springer-Verlag New York' Heidelberg' Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.

© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1977 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.

2141/3140-543210

III

Inhaltsverzeichnis Einleitung

V

XI

Bezeichnungen und Symbole O. Halbgruppen von MaBen und Halbgruppen invarianter Operatoren

1

§ 1. Kontraktionshalbgruppen und ihre Erzeuger

2

§ 2. Produktformeln vom Lie-Trotter-Typ und Approximation

6

durch diskrete Halbgruppen

§

3. Approximation teilbarer Operatoren durch stetig ein-

12

bettbare Operatoren

§

4. Halbgruppen invarianter Operatoren. Der Satz von

15

F.Hirsch § 5. Weitere unmittelbare Folgerungen aus

§

1-§ 4

I. Struktur der erzeugenden Distributionen

21

28

§ 1. Homomorphismen von MaBalgebren

28

§ 2. Erzeugende Distributionen

32

§ 3. Beispiele zum Satz 2.6

43

§ 4. Der Fall lokalkompakter nicht notwendig Liescher Gruppen

51

§ 5. Erganzende Bemerkungen

57

§ 6. Anwendung von Storungsreihen

61

II.Mischungen erzeugender Distributionen und Zufallsentwicklungen

66

§ 1. Jl1ischungen erzeugender Distributionen

67

§ 2, Beispiele

73

§ 3. r1ischungen spezieller Typen erzeugender Distributionen

80

§ 4. Zufallsentwicklungen

85

III. tiber Satze von H.Cramer, D.A.Raikoff und S.N.bernstein

§

1. Charakterisierung gewisser erzeugender Distributionen

89 91

durch approximierende Folgen von Poissongeneratoren

§

2. Zur Definition der GauB-Verteilungen nach K.R.Parthasarathy und zum Satz von H.Cramer

§ 3.

Zum Satz von D.A.Raikoff

§ 4. Direkte Produkte von Faltungshalbgruppen

97

99

IV

§ 5.

Zum Satz von S.N.Bernstein

IV.Halbgruppen komplexer

105

und dissipative Distributionen

107

§ 1. Dissipative Distributionen

109

§

113

2. Levy-Hincin-Hunt-Darstellung

§ 3.

Stetige Halbgruppen komplexer

§ 4. Die Gestalt der Kegel

§ 5. § 6.

dec G-)

118 und 11() C(i

)

Erganzungen. Allgemeines liber die Abbildungen

r:

MC q X T ) - - - - - ? " MCG ) I

r9

I

,-pl

124

MCG) - > M+ CoU

't

((j)

stetige Halbgruppe

induziert. Es ist Q(

­

;](M

laBt sich ve r­rnoge

1

=

t

,

darstellen als

homomorphes Bild einer stetigen Halbgruppe von WahrscheinlichkeitsmaBen auf

GX T

x T) ver­mo ge

, secas die erzeugende Distribution in

in die (erzeugende) dissipative Distribution auf

f

libergeflihrt wird.

Es werden Analoga zum Konvergenzsatz und zum Zerlegungssatz nun fUr dissipative Distributionen bewiesen, damit gelingt es, die Probleme zu reduzieren: zunachst auf Lie­projektive Gruppen, sodann auf Lie­Gruppen und schlieBlich auf deren Lie­Algebren, also auf endlichdimensionale reelle Vektorraume. Dissipative Distributionen und Halbgruppen kontraktiver MaBe auf R

n

wurden aber bereits von J.Faraut

[18J

erschopfend be­

handelt, unter Verwendung der dart gewonnenen Resultate kann man also die oben behaupteten Darstellungen beweisen. Abs cn Li.ejse nd studieren wir die Eigenschaften von

t

T)

anharid einiger Beispiele, uv a , idempotente und un i t ar­e MaBe in Q(

Q( 1(,,0() ,dann folgt (Tt(o(...» ­>(T t). o d) Falls das Netz (0() eine abzahlbare Basis besitzt, i.e. falls eine

konfinale Folge existiert, dann folgt aus f ­> Ttf fur t> 0, ftlE die Konvergenz (T resp. u("');v­­+U. t) e) Genau dann gilt wenn es zu jedem fE D(U) ein Netz (f(CX »(IB gibt, sodaR> (i) f(o()E D(U(cx.», a.c1, (ii) (iii) f(cX.)_> f > (iv) U(OC)f( Uf. Beweis

a) folgt unmittelbar aus der kompakt­offenen Konvergenz,

b) ist eine Version des Satzes von Trotter­Kato, s.z.B. [ 41] c) Es ge nu gt; nach b) zu zeigen, dafs

0

1?< fur a Ll.e

?»

O.

Sei zunachs t die Resolvente definiert durch

I

R"

/'

')..­1

II

,

:= I;) 1ro,co'{­:>.t Tt d t, definiert. Dann gilt fur die Resolventen

=

analog sei

R(O­1.

dann lassen sich R(O' ­

0

R(OC) 1\0

R?\ 0

/0

k

k

).

s . [41J

4

R ( (X,) k _> R k . 1\0 R/\ fur alle nu.t

Aus der absoluten Konvergenz dieser Reihen und wegen in

't'st fur alle k

( ex- )

1 folgt

R;>.

->

• Setzt man dieses Verfahren fort, dann erhalt man ex)

>0

R;>, fur alle

-->-

und daher auch

I?- fur

d) Es ge nugt nach c) fur ein 'II> 0 die Konvergenz

0(

)

:\

>

O.

I?>. nachzu-

_0>

weisen. Aus den Voraussetzungen folgt aber mit Hilfe des Satzes von Lebesgue ube r dominierte Konvergenz fur f 1\ I ( O()

f

?>.

-

I

II =11Jpr ,00)e -

f

j\

- T

II

und wegen e)

(I-U)fll f

f(()(.,)

/I = II (Ii

-

ex-)) (I-U)

))-1 _ I](I-U)f - Uf

n

U( cc ) f

fur alle

I

f II

ex--

->

t)

,

,

'ts t

0, da

IX- )_ _

Ut

U( ex. ) (I -U (C

(I_u(o())-l g( Uf furallef D. Man betrachte folgende Aussagen : (A Es gibt ein /I> 0 sodaB D dicht in B ist 1) (B Fur aIle t , s :{ 0 sind die approximativ vertauschbar, Le. 1) = 0 , fE IB lim (T(o a • k st k (k ) Dann setze man T := exp tak(Ak­I) , T .­ exp ta(A­I) und man t t e r-ha Lt

n=

:

-l>

(T ) . t

Zum Beweis ist bloB zu beachten, daB die Exponentialreihen absolut

konvergieren und daB aus den Voraussetzungen folgt, daB ak(A ­I) j _ a(A­I) k

j

fur aIle

o.

j

]

Fur gleichmaBig stetige Halbgruppen laBt sich eine Lie­TrotterProduktformel fur unendlich viele Summanden angeben : Hilfssatz 2.6 raum B, sei

f: n=l

Bo­

n

n

eine Folge positiver Zahlen mit

an(Bn­I) exp tB II

es ist exp tB lim

Sei (B ) eine Folge von Kontraktionen auf einem Banach­ a

=

«

n n

N

£. n=l

exp ta

Dann ist

an(Bn­I) d+ dt

FN(t)1

c

n

00

.Dann ist

woh Lde f'Ln Le r t , b e e c hr­ank t

n

exp ta k­ 1(B ­I) ] k

n=l nk­

n

1(B ­I) n

und

FN(t)

n

Jk

=lim[lim

und

n

:=

-r4 n=l

=

k­:>oo N-too n =1

exp t(B -I),

Beweis: Man setzt abkurzend C :=

a)I

a

1 und

lim lim N­'>O"' k...->;oo

N ­"00 n= 1

-(L

a B

L

T(n) n ant

= CN ' es konvergiert

II CN

T

exp tB,

t

­ B

II

-;>

0

und nach

9

Hilfssatz 2.2 ist exp tB

= lim lim N-.".,

lim

exp t eN

r

FN(t/k) Jk

[FN(t/k)] k

, somit

k--:>oo

Damit ist der erste Teil der Aussage

bewiesen.(Die Limiten existieren nunmehr naturlich in der Normtopologie).

II M

Auf der anderen Seite ist fur M> N wegen II F. (t) M n-1 J F (t) - F (t ) I { I I -T (N + 1) II + (-I- I T (k ) n=N+2 k=N+1 akt N M a N+1 t

II {

II

L. II

n=N+1

I-T

an

t

II

M

L

4t

und genugend groBe

a

n=N+1

H.

L

4t

n

a

n=N+1

1 -

n

-I-I

T (k )

)

k=N+1 akt

II «

fur genuge nd kleine t

n

Also existiert eine Abbildung t -->G(t) in die

Kontraktionen auf B, sodaB

FN(t)

G(t). Aus den Abscratzungen sieht

man leicht, daB G(.) stetig ist und man zeigt analog, daB G(t) fur t>O differenzierbar ist und daB

G(t)! dt t=O Daher ist wieder nach Hilfssatz 2.2

lim d+ N...ca dt

exp tB = lim G(t/k)k

= lim

= limflim FN(t/k) Jk

k7 00

k-.oo

FN(t)

It=O

=

B.

lim [ FN(t/k)] k . 0

N-:>oo

N-+oo

Analoge Formeln lassen sich auch fur das arithmetische Mittel beweisen. Daruberhinaus konnte man unter geeigneten Voraussetzungen die Lie-Trotter Formel fur stark stetige Kontraktionshalbgruppen auch fur unendlich viele Summanden beweisen. Bis zum SchluR> diesES §.2 betrachten wir nun "diskrete" Halbgruppen und Konvergenzsatze vom Trotter-Kato Typ, s. T.Kato Definition 2.1

Sei T eine Kontraktion,

IX §3. [41J •

0 eine Zahl , die Zeiteinheit. k

Dann heiR>t die Familie (T(t»t=k't, ktZ-.- mit T(k't') :=T eine diskrete Halbgruppe. Wir werden T(t) auf der ganzen Halbgeraden R+ definieren, indem wir T(t) in den Intervallen [k setzen, also

T(t)

:= T(

Nat ur-Li c h ist (T(t» t ein Homomorphismus.

[tlr] ) ,

t

0, somit

0 keine Halbgruppe, aber

, (k+1) T(t)

) konstant

:= T[tlt']

Z+t';:) k'C'---'> T(k r-) ist

Wir interessieren uns nun fur Approximation

ste-

tiger Halbgruppen durch diskrete Halbgruppen, wobei die Zeiteinheit gegen 0 konvergieren mufs, Dazu bezeichnet man den Operatori'l(T( 't' )-1) = =

-1

(T-I) =: U als den Generator der (diskreten)Halbgruppe (T(t».

Es gelten Abschatzungen ahnlich denen in Hilfssatz 2.1 a) : Hilfssatz 2.7 (T.Kato[41} IX §3. Lemma 3.1, Remark \\(exp kt'U l\(exp tU

2- 1 't'2 k IIu 2 fll

T(k't') T(t) )f

Definition 2.2

/1

2-

Seien U(n)

1

t t IIu

2fli

, fEIB, k> 0, sowie

+1'llufli

Generatoren diskreter Halbgruppen

mit Zeiteinheiten Tn' dann heiR>t ) konvergent gegen eine stetige Halbgruppe (T mit Generator U, symbolisch u(n) (V--> u resp. t)

10

(n)

(T(t» in t

(n )

(T

e

Hilfssatz 2.8 flir alle - '>..>0 en.

.

, falls T(t) f -- Ttf , IB, komp akt g Le Lchmafs.i.g t) • ( Dabei wird stets sti llschweigend 1; -> 0 vorausgesetzt.) -----;>

(T ) gilt genau t die Resolventen

wenn flir ein - und damit __> konvergier-

IX § 3, Theorem 3.6[41 ]).

s , T.Kato

Daraus folgen als Korollare die angeklindigten Resultate liber die Konvergenz diskreter Halbgruppen gegen stetige, falls Korollar 1

Sei D ein dichter linearer Teilraum, D (U,D) mit (U,D(U» Dann folgt sat z 2.7

t' n

---

0

Mit den Bezeichnungen des Hilfssatzes 2.8 gilt: D(U), sodaB der Abschlue, von

libereinstimmt und sei

U(n)l\.,r--> U , resp. (e xp t U(n ) )

-?'

U(n)f

--;>

(T t ) .

(T )

t

Uf flir alle fED. und daher nach Hilfs-

Beweis : Man kann jeden der Operatoren U(n) als Generator der stetigen Halbgruppe (exp tu(n»

auffassen. Dann liefert der Satz von Trotter-

Kato in der Version des Hilfssatzes 1.5, daB (exp und daher (1- u(n»-l ----> haup t ung .

(T t), (I-U)-l . Der Hilfssatz 2.8 liefert die Be-

c:J

Seien T, (T(n» IN Kontraktionen auf ffi,sei (S ) eine stenE ( tige Halbgruppe von Kontraktionen mit Erzeuger U. Es sei (T n»n T und U(n): = n(T(n)-I) rv---.. u. Dann ist T = T und (T(n) ) [ntL;> St 1 in der Topologie kompakt gleichmae,ig in t. Man wahlt := (T(n»[ntJ mit Generator u(n) =n(T(n)-I) . Korollar 2

r.

J

Beispiel: Sei (St) eine stetige Kontraktionshalbgruppe, dann wahle man = (1- n- 1U)-1 , dann e r-ha Lt man auf diese Weise T(n) := I die be1/n kannte Approximation ( die im Beweis des Satzes von Hille Yosida zur Definition von (St) bei gegebenem U verwendet wird ): St = lim exp tn(I = lim I lim (I_n- 1U)-n - I) 1 / n[nt] 1/n n->OO n->oo Aus Hilfssatz 2.7 folgt noch allgemeiner Hilfssatz 2.9

Seien U(n) Generatoren diskreter Halbgruppen

mit Zeiteinheiten E mit sup 11 u(n) 2 f n

exp tu(n)

--;> O. Es existiere ein dichter linearer Teilraum und sup ] U(n)f II 0, fE-D,

rn

dann ist T rational einbettbar und der Homomorphismus kann so gewahlt werden, daB jedes

Q+ 3

r --;> T

r durch stetig einbettbare Operatoren

T

r in '11 approximiert werden k arm , genauer, durch Operatoren der Gestalt exp(rn (T(n)_I».

Beweis: a) wurde zuerst fur Halbgruppen von WahrscheinlichkeitsmaBen bewiesen, s , W. Bo ge [ 3] § 5. Wir geben hier nur eine Beweisskizze : FurjedeskE6'JwahlemaneinT(kl)E N < k,

falls

:=(T(Nl »Nl Ik!

Wk,(T)

falls N

undsetze

:=T(kl)

k , Offensichtlich ist

E Wk,(T) und da die Wurzelmengen Wk l

kompakt sind, kann man ein Netz natu;licher Zahlen finden, sodaB S(kl) - ; > S(kl) E W (T) • Dann ist k'. (k') k «k-1) l lr) nach Konstruktion (S ') = S ,k !N, daher kann man einen HomoS(k!) ' S 1 = T . morp h ia smu s Q+ ') r - - ; : > S r angeben, sodaB S 11k! b) Nach Hilfssatz 3.1 konvergiert

exp(n(T(n)-I»)

--?

T, daher ist

:= (T ,exp n(T(n)-I), nEINJ t: -kompakt. Da /Yl stark wurzelkompakt st ist, ist W ( 12 ) kompakt fur aIle k E W. Insbesondere ist daher fur k 1 jedes mE!N die Menge 'Lst-relativkompakt, also

'11

gibt es ein Netz (n') naturlicher Zahlen, sodaB Dl / m !

---i>

und (D

l /m

;:

! )m,

morphismus

Q+ 3

Hilfssatz 3.:J a )

m+l Wm! C' /i l ) . Offen(i')htlich ist dann Dl /(m+l) 1 = Dl / m ! = lim exp neT n -I) = T. Daher existiert ein Homor

--?

l'lr:£c

Dr

18)

mit D l sei eine

von Kontraktionen auf

J;(

auf

exp (n/m!

/VI

= T.

0

'lst -abgeschlossene konvexe Halbgruppe

eine lokalkonvexe Hausdorff Topologie

18), die durch ein System von Halbnormen

J;(

B)3 A---7> peAr),

prY,

ill beschrieben wird, wobei )) ein System stetiger Halbnormen auf 18 Ls t , sei 1: -relativkompakt und der AbschluR> b e z tlg Li c h 7:" werde mit 1f1fE

bezeichnet. 0 T(t) t

eine topologische Halbgruppe ist, dann ist

(T(t»

stetige Halbgruppe. von der Gestalt

durch die Halbnormen

B = Co(X), X lokalkompakt, ist, und falls

A-;> jAf(x)/, f ECo(X), xE X beschrieben wird,

14

d arm ist (T(t»

-n.

d) Falls

'tSt-stetig.

selbst2;t- kompakt ist und falls fur alle fE D

dann ist (T(t»

eine

nerators von (T(t»

7s t - s t e t i g e Halbgruppe und die Restriktion des Geauf D stimmt mit U uberein.

Beweis : Fur a l l e f c. D ist f 1/ T(IX) =

AuBerdem ist

t _ T ( ci)

11 (T ( ex)

t+r

1/

t

tAbbildung

)f

II

1+ (r

Jt

T(eX-) U(ex..-) f d s s sup)' U (0( ) f 1/ , ft. D. /

und daher fur t

0

'

"

relativ kompakt ist, findet man ein Teilnetz ( 0

Aus dem Konvergenzsatz von Hasegawa, Hilfssatz 1.4, folgt die Existenz einer Kontraktionshalbgruppe (T

t),

deren Erzeuger eine Fortsetzung von

0

U ist, sodaB Hilfssatz 3.4

eire t

Sei·n

Kontraktionen auf

-abgeschlossene konvexe Halbgruppe von st stark wurzelkompakt. Es existiere eine wei-

arC

JP

wie in Hilfssatz 3.3

beschrieben wird. Die Operatorenmultiplikation (A,B)

AB sei getrennt

tere Topologie

IB), die durch Halbnormen

stetig b e z tlg l Lc h 7;-, fUr A,B f kompakt.

11.-

1'L

simultan stetig und /(/ sei Z'--relativ-

bezeichne wieder die 1"'" HUlle von

12 ,

dann ist

n

eine halb-

topologische Halbgruppe und es werde zusatzlich vorausgesetzt, daB ein Ideal in 11.-ist. Es sei Folge Teilraum

verallgemeinert unendlich teilbar, es existiere eine mit

T(n) n_ _;:> T

s odafs flir fE-D

in?;t und es existiere ein dichter

sup nl!(T(n)-I)f!J

T(r) e f'fl mit T(r) = lim exp rn (T(n)-I) . Andererseits sind mit (at.) = (n ") ,

T

(n)

(n ")

: = exp tn(T

t

(n)

- I ) , die Voraussetzungen des

Hilfssatzes 3.3 erfullt, also gibt es eine R+ -9 t

T(t)

-->

lim

Abbildung

/YZ- und diese Abbildung ist eine Er-

EO

weiterung der oben def1t1ierten Abbildung

Q+ '3 r

Wir erhalten also insbesondere, d afs

/f7. IJZ

rn. - '\ 01

T(r) E

ein Ideal ist, folgt daraus T (t ) E-

(rn.,

lich ist

R+7 t

T(r) .

fur a l l e r E Q+. D.a aber fur alle t

T(t)

ein Homomorphismus.

eine lokalkompakte Halbgruppe mit Einheit e. Weiter setze man

voraus, daB die Einpunktkompaktifizierung

mit 00 als Nullelement eine

halbtopologische Halbgruppe ist, i.e. fur jedes Netz (;

O. SchlieB-

Halbgruppen invarianter Operatoren. Der Satz von F.Hirsch

9 sei x

>

Q+ 9 r -,:;>T(r) ein

1;) eine topologische Halbgruppe und

Homomorphismus, daher ist auch

§ 4

--i>

ist

x x

und

0(---'>00

x"'- x - -

00.

(

00

und jedes

Dies ist insbesondere e r-f'u Ll t ,

wenn, wie in den folgenden Kapiteln stets vorausgesetzt,

eine lokal-

kompakte Gruppe ist). Als Banachraum E man den Raum C ( § ) der stetigen Funktionen, o die im Unendlichen verschwinden. sei die Algebra der 1( MaBe auf , M die Faltungshalbgruppe der WahrscheinlichkeitsmaBe. Hilfssatz 4.1 Zu f< e M(

g)

:

Rr

Anders ausgedruckt: Sf' f(x)

=

f

(R [

x

Wegen der an

l'

und

definiere man zwei lineare Operatoren

f(.y)dj«y)

Co(q)

f

R[ f= ).

x

,

f x ' S£

x

Sf


r

sind Vektorraum-

homomorphismen, weiter ist t' -> Rf< beziehungsweise : » Sf< ein Homomorphismus beziehungsweise Antihomomorphismus bezuglich der Faltung, i.e. RrV-

= RrRv-

, S/'Y' =

s.,

Sj"-

,schlieBlich sind die Abbildungen

injektiv und 11 Rf /I { 1I/lf,lIs)" If (. 11'11. Ube r-d i.e s gelten die Vertauschungsrelationen Rf< Sv = Sy. R fur aIle)', \If- M(

f


Rf' und

r->Si"

[ unmittelbar einzusehen. ] Versieht man

r

M(0) mit der vagen und d'(Co(q»

Operatorentopologie, dann

q ).

mit der schwachen

man leicht, daB die Abbildungen

R)'

16

und

auf normbeschrankten Teilmengen von

--?

Daruberhinaus gelten Hilfssatz 4.2 a)

Es sei

'ii

) stetig sind.

eine lokalkompakte topologische Halbgruppe,

deren Verhalten im Unendlichen durch folgende starkere Bedingung beschrieben wird : Fur alle kompakten {Z

sind {Z

: ZXfN,XE'M}relativ kompakt.

eine Gruppe ist ). Es sei (/o

vage

Sr

s chwach konver-

giert, dann sind die Voraussetzungen von a) erfullt, also c) Aus (d.) ) , (I' (0 V s chwach, folgt daB die Fal-

'r

tungsprodukte

r; ),t I" v

P- Col\',..

schwach konvergieren; also ist M1 (§.)

ver-

sehen mit der schwachen Topologie eine topologische Halbgruppe. ( Dies gilt fur beliebige vollstandig regulare topologische Halbgruppen). Zum Beweis s. E.Siebert [

63J.

Die Satze sind dort nur fur Wahrschein-

lichkeitsmaBe auf lokalkompakten resp. topologischen Gruppen behauptet, die Beweise lassen sich jedoch fast wortwortlich auf den allgemeinen Fall ubertragen.Zum Beweis von c)

(fUr Gruppen) s.auch LCsiszar [13 ] . ]

Definition 4.1

Ein auf einem dichten Teilraum definierter linearer

Operator

S;

(i)

A : D

Co (

§)

q,

SE

Co (q) heiBt invariant, falls

Sei

DC D fur alle xE (ii) S[ A = A Sf fur alle XE Co Uj) ein linearer Operator, sei B das lineare Funktio-

nal

D.;, f--,> B(f)

Af(x) = B(S" f) ex Hilfssatz 4.3

:= Af(e)

, dann heiBt A vom Faltungstyp, falls

= B(f ) , xEq, fE: D X

A: D

--0>

Co(q)

. Wir set zen dann auch A:= RB

ist invariant genau dann, wenn A

vom Faltungstyp ist . 1st uberdies D = Co(q), dann ist B ein beschranktes lineares Funktional, wenn A abgeschlossen ist. Also

Falls A be-

s c hr-ank t

=

A = R

r

und invariant ist, dann gibt es ein

r

E-

M( tj

), f

B, s o dajs

im Sinne der oben eingefuhrten Bezeichnung ist.

[Der Beweis ist wieder unmittelbar einzusehen . Definition 4.2

Eine Familie (j

It

M(

1

q ) heiBt

Faltungshalbgrup-

schwach stetig ist und falls fur

to

alle s, t ? 0 f t ;Us = ft+s • Dann ist j ein idempotentes MaB. In den folgenden Abschnitten beschaftigen wir uns fast ausschlieBlich mit Faltungshalbgruppen in M1 ( fur die ub e r-d i e e = C . Dennoch e formulieren wir den fur die folgenden Anwendungen fundamentalen Satz

1'0

von F.Hirsch (Satz 4.1) moglichst allgemein. Zuvor jedoch

geben wir

noch eine Charakterisierung der Generatoren von Halbgruppen der Gestalt(R

.!'"t

)

17

Sei (ft,tdO,!O = j )

Hilfssatz 4.4

eine Faltungshalbgruppe in

a Ll e MaR>e seien kontraktiv, Le.Jfl't'{(,1, dann bilden die Operatoren ( R"u )t.?-O eine stetige Kontraktionshalbgruppe auf IB := R Co(r;}). j Der Generator dieser Halbgruppe erfullt folgende Bedingungen :

(i)

U ist invariant, also vom Faltungstyp mit Definitionsbereich D(U).

Setzt man also

A :D(U)7f--03> A(f)

§',

D(U), x e-

:= Uf(e), so gelten

(8)

S E.

(F)

U

(D)

U ist dissipativ, i.e. fur f r; D(U), f

D(U)

x

=

:D(U)

R A

Re (U f (x ) )

=

(I-U) D(U)

(ii)

Beweis : t

---;>

-;>

\B

Re(

=

II

f

I

folgt

O.

=B

R f't

ist sicher ein Homomorphismus in die Kontraktionen

( man beachte Hilfssatz 4.1 ), weiter ist nach der Bemerkung vor Hilfssatz 4.2 t R stetig bezuglich der schwachen Operatorentopologie. ft Da aber schwach stetige Kontraktionshalbgruppen bereits stark stetig sind, folgt die erste Behauptung. Die ubrigen Aussagen folgen nun unmit7 telbar aus der Charakterisierung der Generatoren nach Lumer- Phillips ( Hilfssatz 1.2)

CJ

Der folgende Satz gibt eine partielle Umkehrung an, s. F.Hirsch D7 ] Theorem 9, F.Hirsch. J.P.Roth[381 s.auch Satz 4.1 ( Satz von F.Hirsch)

Sei

T 27J

5.8

me C0 (C) ein linearer Teilraum d

sei ein idempotentes MaR> mit IIi/I = 1, s o dafs Rjm = D, D =RjCo«(j.). m sei invariant gegenuber links- und rechts Verschiebungen, i.e. (R)

Rj

U :[)

R

--?

Ex

/D (

o ,

Co(q)

/D (;; m fur aIle x (; Ij. x sei ein linearer Operator, invariant und dissipativ, (S) S"E.

Le. (F) U = R mit A(f) := Uf(e), (D) aus f(x) = II f II folgt ReUf(x)(O. A Dann ist fur jedes A>O (I-:\U)/D dicht in R.C (t-:') =:IB und daher ist J

0

die kleinste abgeschlossene Fortsetzung von (U,ID) traktionshalbgruppe auf B.

d

Generator einer Kon-

Die Halbgruppe besteht aus invariant en Opera-

toren, daher gibt es eine stetige Halbgruppe kontraktiven MaR>en, sodaB (U,ID)

(?t'

O,to=

)j ) von

ist. / t) Beweis : Man sieht leicht, daR> aIle ubrigen Aussagen folgen, sobald die Relation

(I-U)/D

=

JJ

der Generator von (R

- = B nachgewiesen ist.

Man f'il hr-t die Bezeichnung (f,If>:= Jfd";

'1'>

Dann gelten : (f,l'v-') = (Rr r , =

Sv- f

, f f Co(g), ltfM(0')

,r> ==

e i.n ,

f,[e)' durch MaR>e mit endlichem Trager

im Definitionsbereich des Abschlusses von (U,[))

liegt. Dieser AbschluR> werde wieder mit U bezeichnet, dann erhalt man U SI/- f

=

s.;

U f

18

(R j C (§ » stimmt mit der Menge der MaR>e o ilberein. Es sei nun '{= V.§ orthogonal zu (Rli-U)D. Es genilgt zu zeigen, daR> dann if = 0 sein mufs, Der Dualraum von

{V'; : 'IE M(c;)

J

Sei fE:[) und man wahle

< (Rj-U)g, ...,) , Vi) - c(u Rj Rr/,V>=

E/

= c O)

(Mit anderen Methoden wurde dieses Resultat von M.Duflo [16],[ 17] bewiesen, Spe z La Lf'a LLe wurden uv a , von J.Faraut [18]und J.Faraut,K.Harzallah [19J C.

behandelt.) Mit Hilfe des Satzes 4.2 lassen sich elnlge unmittelbare Folgerun-

gen aus den in §1­3 genannten Hilfssatzen liber Operatorhalbgruppen gewinnen :

20

Folgerung 1 (1. Version des Konvergenzsatzes ) Sei Menge, A, A", en

(/'t

&-

=:

(c{)

Cd ((; ), weiter sei-

seien dissipative Distributionen auf (tA )),

=: tx­(tArx.))

die von A resp.Ao --::>

Dann

eine gerichtete erzeug-

)

O.

schwach,

beziehungsweise

kompakt­gleichmaBig in t. Folgt unmittelbar aus Satz 4.2 und aus dem Korollar zu Hilfssatz 1. ?e Siehe auc h

[27J.

Wie eingangs vereinbart (Def. 1.3

(R,

0

Folgerung 2 ter seien c

Seien A ... A dissipative Distributionen auf n 1, ... c > 0 und A := c . Es seien + ... +cnA n n 1' 1A 1 =

(b)

= tk(t­t­1

f\

ciA i)

lim E1/n) j -> 00 i= 1

=

d9(0),

wei-

(ft =

die zugehorigen MaBhalbgruppen. Dann gelten :

(a)( Lie­Trotter­Produktformel )

r.

) bedeutet dies

J

IJ (k ) a t Ij

r

k=l

J->Qo

[A kk t /(k)j ]

j

= lim

jn

lim

[ (lIn)

j-o>oo

k

k

J.... oo

(lIn)

[

fr

j-oo k= 1

J-> k=lk=l

t

k=l

t(tak A )) j k T

,&(ta k A ..........­­ k J

n

)

k=l

--.- A k

)J jn )J

J

Unmittelbare Folgerungen auf Satz 4.2 und Hilfssatz 2.2, s. [27J,

f

fur Liegruppen s ,

24]

Folgerung 3.a.Sei

eine Folge von WahrscheinlichkeitsmaBen,

sei eine Folge positiver Zahlen mit =

Ee )

c0 ­ ? 0 . Weiter sei (I't,t? 0, n eine stetige Halbgruppe von WahrscheinlichkeitsmaBen mit er-

zeugender Distribution A, sodaB

II

(1 I Tn) (

R \\ ( n )

Dann konvergiert t b.

. Ebenso

- R [e)

f

exp((t/r)( j\(n)_

Dann ist

[

n

Sei insbesondere

ub e r­d i e s sei

t

E

ft

,;\(n) l­t/?:'n] __'>

1 M (

G)

f = 1'1

rn

:=

mit und

e

))

lin ,n

A (n) 1\

schwach, kompakt­gleichmaBig in

_ _'Y

E

n

I't

IN, also

-::> f
/

n

.

(R:\(n)­

M

t

Dieses Resultat laBt sich auf folgende Weise formulieren : Sei

:r E

1 M (

0')).

Rj


stetig einbettbar, liberdies gilt

_ > J't

'

/)1. : = {

(Dabei vereinbart man :

schwach, komp ak t.e-gLe i chmafs.i g in t , R f< ' A

E

1 M (0

) J und

man nennt ein MaB

unendlich teilbar, verallgemeinert unendlich teilbar, ... , wenn

f


die Loka I zu

gehoren )folgt II(R

dem Raum der Funktionen, R

AIX-

A

)f lf - >O,f t: 9)( >i ) .

Entsprechend genligt es dann, in Folgerung 3 ;i\,(n)-c ) (g) -rr-r--> A(g) , g E e

resp.

in Folgerung 3 b) n(

§ 5

?c (n)

- ['e ) (g)

A(g)

, g E [(

) zu fordern.

Weitere unmittelbare Folgerungen aus §1 - §4

S7

5.1

72 : = {

sei eine lokalkompakte topologische Halbgruppe. Es sei 1 :;d M (§ ) Z: sei die Topologie auf 12 , die durch die

J,

Rr

schwache Topologie auf nau d arin , wenn 1'«-

) induziert wird, i.e.

--i>U-

I

(

--?

Rfin

ge-

schwach konvergiert. Dann ist 11 eine :>-- -ab-

geschlossene , konvexe, topologische Halbgruppe von Kontraktionen auf dem Banachraum

C

(q ).

Definition 5.1 (K.H.Hofmann

£39]

). rj

heiBt darstellbar, falls es

ein punktetrennendes System von endlichdimensionalen invarianten Teilr-aume n

LJ

c;;;:

C ( ())

, R [x H(3 .; H

13

flir x

E

0',

gibt.

besitzt die Peter-Weyl-Eigenschaft, falls man die Raume

wahlen kann und falls

Lj H()

in

dicht in Co (C;) liegt.

Beispiele : 1. Maximal fastperiodische Gruppen sind darstellbar. 2. Kompakte Gruppen besitzen liberdies die Peter-Weyl-Eigenschaft (Satz von Peter-Weyl ). 3. Kompakte totalunzusammenhangende topologische Halbgruppen sind profinit, i.e. darstellbar als projektive Limiten endlicher Halbgruppen

)

22

und besitzen daher die Peter-Weyl-Eigenschaft. 4. Sei

eine HaIbgruppe mit Peter-Weyl-Eigenschaft, es existiere

ein stetiger injektiver Homomorphismus

Y':

(j

q'1'

->

dann ist

Cii

dar-

steIIbar. Insbesondere : Lokalkompakte topologische Halbgruppen, die sich stetig injektiv in eine profinite Halbgruppe einbetten lassen, sind darstellbar. Offensichtlich gilt Hilfssatz 5.1

C«i ),

Sei

H ein endlichdimensionaler invarianter Teilraum von

dann ist auch

RI'

H C H

fur alle

f

M( §').

f

Nun wendet man den Hilfssatz 1.6 an : Man setzt invariant in

Sl),

C(

Faltungsoperator Rr

IS: = ID

ID • -

U Hi>

' Hi>

- der Ab s c h Lufs von [) • Dann ist jeder

definiert als beschrankter Operator

IS

B.

Es gelten daher die Analoga zu den Folgerungen 1-3 aus Satz 4.2, wobei

jj) (

nun

durch ID zu ersetzen ist.

Wir verzichten darauf, diese

Folgerungen nun nochmals explizit zu formulieren. 5.2 Als Anwendung des Hilfssatzes 2.6 erhalt man sofort Satz 5.1

Sei

eine volllstandig regulare topologische Halbgruppe,

aIle MaBe seien als straff vorausgesetzt. Es sei WahrscheinlichkeitsmaB, ( j

maBen mit

Zahlen mit Lan Dann gilt:

eX P

It-

lim [lim N4>OO

j

n

k-;>oo n=l

=:a j

ta(

n

n

A

N.

. Es sei

:z-

an(!\n- c'e)Jk=

J

ein idempotentes

Weiter sei (a ) eine Folge positiver -1 n := a an n

-£e)

ex P . t

j

) sei eine Folge von Wahrscheinlichkeits-

r

lim lim

k->cvLN -;>00

].Wir

lim [lim '" k nenen exp.ta(/l-j)j-Poissonrna.E, a(j\-,6)j-Poissonk-;>= N-> 00 generator. Analoge Formeln gelten fur das "arithmetische Mittel ". (Da nur die Normtopologie verwendet wird, kann man auf die Lokalkompaktheit von

g

verzichten.

)

5.3 SchlieBlich erhalten wir aus Hilfssatz 2.3 sofort den Satz 5.2

Sei wiederum

eine lokalkompakte topologische Halbgruppe

(- es genugt wiederum vollstandig regular vorauszusetzen -), seien 1 1 j 1J;dempotente in M ( ) und ',\ ( M ) mit j 1\ j = A • Man setze

J,

\:= j1 mation :

J 1 dann erhalt man fur die e xp .

J1

t

(3; -

j 1)

=

j1-PoissonmaBe folgende Approxi-

e xp. J

(t / k ) ( j\

-j)

k

Weitere Approximationsformeln dieser Art fur Faltungshalbgruppen auf lokalkompakten Gruppen und homogenen Raumen werden im Anhang betrachtet.

23 Betrachtet man den Spezialfall einer lokalkompakten Gruppe j,

J1

Haarsche MaBe auf kompakten Untergruppen, also j

und es gilt fur t> 0, :\E:M

.i 1 j Ci- ), 1\

, so sind

= 0

j1 = kjK

H,

.i l genau dann, wenn H oo

[UK

in der Normtopologie.

5.4 Wie bereits vorhin eingeflihrt, sei

1'1

: j£EM1(SJ-)JaUfge-

:=( Rr

faBt als Operatoren liber C G ). Dabei setzen wir nun stets voraus, o( daB die in Hilfssatz 4.2 a) formulierte erflillt. Dies ist

G

insbesondere der Fall, wenn

eine lokalkompakte Gruppe oder eine kom-

pakte topologische Halbgruppe (mit Einheit) ist. Damit kann man die Faltungsoperatoren als Operatoren auf auffassen und die durch l( die schwache Konvergenz auf M )induzierte Topologie stimmt mit der

n

starken Operatorentopologie auf liberein. l( Definition 5.2 /'( M heiBt unendlich teilbar I verallgemeinert

0 )

unendlich teilbar I stetig einbettbar I rational einbettbar I falls Rr diese Eigenschaft (bez.

besitzt.(s.Definition 3.1 ). Anstelle von

" rational einbettbar " wird vielfach auch "sukzessiv unendlich teilbar" verwendet, s , W.Boge [ 3 ] . l f d ais man d en Homomorp h it.srnus Q+ -r-r-r-:->: M1( G'. ) zu " e i ne m s t e t Lge n Hcmomor'ph + 1 mus R - > M (e:J) fortsetzen kann , CJ Q

1m folgenden Satz formulieren wir ein mit Satz 5.3 verwandtes Resultat liber Grenzwerte von stetigen Faltungshalbgruppen. Satz 5.4

0

Sei

eine kompakte Gruppe oder eine topologische kompakte

Halbgruppe mit Einheit e, die darstellbar ist im Sinne von Definition 5.1. Es sei ID =

U

die Vereinigung der endlichdimensionalen Teil( ,iA(CX) , t.> O,!' (ao) = [; ) ein Netz von stetigen 'it / t o e 1 Faltungshalbgruppen in M ( 0 ) , mit werde die Einschrankung des r aume von C(r:). Weiter sei

Generators der Halbgruppe (R ( ) ) auf I't"sup II u(O(.) f Ii < ()O

ID bezeichnet. Flir aIle

ID sei

Dann gibt es ein Teilnetz (0"-') und eine stetige Halbgruppe ( fAt' t ;;; 0,

1'0=

1

[e) in M (r;) mit

(tt

(IX)

----.>

Beweis : Sei J(oc):= h+ e- t ffe Rs-IH und daraus folgt, daB . "1'lnearen Operator 1\ gl. b t es elnen U H : (I - U

I

mit

RSJ[H(3

I /"

R

Il. injektiv ist. Also 51 H , dessen Resolvente

Dieser Operator ist fur je'des

definiert und laBt sich daher in eindeutiger Weise zu einem Operator U : D---? D

fortsetzen. Man zeigt nun wie in Hilfssatz 1.3.e.

, daB

der AbschluB von U Generator einer Kontraktionshalbgruppe ist und daB

u(DL')

U. Daher ist diese Kontraktionshalbgruppe eine Halbgruppe

von Faltungsoperatoren (R

mit ) (R beziehungsweise t t), f t) schwach, kompakt-gleichmaBig in t.

---->;4t

Das folgende Beispiel zeigt, daB die an die Generatoren gestellte Bedingung

U (0

a"

sei eine Folge

deren erzeugende Dis trib utionen mit

A(n) bezeichnet werden. Es sei wiederum SUp{!!RA(n) auBerdem sei

{11 (n )

fll

,nElN}

eX P jn-

Rb l

in

{l(.

?"st .

('I. -j), n

N,

dann gelten offensichtlich (i)-(iii), tatsachlich gilt sogar b:= DC(A - j)

n(fi(n)- j)

(iii')

in der Normtopologie

Nun seien andererseits (i)-(iii) erfliIIt, dann folgt aus den Konvergenzsatzen uber Operatorhalbgruppen (deren Voraussetzungen nun trivialer-

Fur t

i»

t c t«: (n) (R tb ) • eXPj n exp,j = 1 erhalt man dann ( z.B. aus Satz 4.2,Folgerung 3 ), daR>

weise erfullt sind ), daB (n' )

R fen) n

(R

.

7

R expo b , , s orni t

j-PoissonmaR>, wie Korollar

Sei

exp.b J

n (f(n)

t .

Also ist

] eine kompakte HaIbgruppe mit Einheit e,

f i s t (£e- ) PoissonmaR> genau dann, wenn (i) eine Folge approximativer Wurzeln existiert (ii)

=

-Ce)

(n'»

b .- 00('/-.-

)len)

n

f

1

eM

---7>

J< ,

). s o dafs fur ein

Teilnetz naturlicher Zahlen (n') AbschIieBend greifen wir nun nochmals die in O.§ 2 definierten Storungsreihen auf :

27

5.7

Satz

Si

Sei

eine lokalkompakte topologische Halbgruppe mit Ein-

heit e, die den zu Beginn des 1

§

5 formulierten Bedingungen genligt.

M ( q ) sei ein idempotentes WahrscheinlichkeitsmaB und

j

(tv t

>.--

O'!'o=fJ)

sei eine stetige Halbgruppe von WahrscheinlichkeitsmaBen. SChlieBlich 1 sei = .i A.i to M ( und 0(;?'0 Dann gelten : (i)

(Y t

Durch

wk+ 1(t) :=

;=

!co,t}

L k.?O

w (t) k

tr o!. ("

, t

0, V; 0

-.6) wk(t­r) dr

= .9

mi t

W

o

(t)

:= k , / t

(als schwaches Integral

ist eine stetige Halbgruppe von WahrscheinlichkeitsmaBen gegeben, wobei die Starungsreihe gleichmaBig in t. (ii)

L wk (t)

in der Normtopoloe;ie konvergiert, kompakt-

Es gilt auch folgende Darstellung :

1ft = :=

e

-o(t

ko,t)

L

k> °

frO()"

vk(t)

vk(t­r)

vo(t);= f't

v + (t) k 1

.-

dr.

Diese Darstellung hat den Vorteil, daB samtliche Reihenglieder in ) liegen. Wir werden dies entscheidend in I §6 verwenden. (iii)

f ),

1st U der Generator von (R

dann ist der Generator der Halb-

gruppe (R V ) durch U+ ex (R;>. ­ 1) t gegeben, also geht (lI't) aus (I't) t hervor, indem man den Generator von (it) durch einen Poissongenerator start. [Der Beweis folgt unmittelbar aus IE ; =

R j

Co (

z use t zen is t .

In den folgenden Kapiteln ist

0. §2 , Hilfssatz 2.10, wobei nun ]

zumeist eine lokalkompakte Gruppe.

Es werden Methoden entwickelt, die uber die rein operatorentheoretische Beschreibung hinausgehen. Insbesondere wird die Kenntnis der Struktur der zugrundeliegenden Gruppe ausgenutzt, urn die genaue Gestalt der erzeugenden Distributionen zu beschreiben. Eine wesentliche Rolle spielt dabei die Tatsache, daB daB somit ein

durch Lie Gruppen approximiert werden kann,

"natlirlicher"

Definitionsbereich fur die Generatoren

von Faltungshalbgruppen angegeben werden kann (s. Satz von F. Hirsch, Satz 4.1, Anwendung B), sowie, daB man die erzeugenden Distributionen stets zerlegen kann in einen Poissonanteil und einen Anteil, der in der Nahe der Einheit konzentriert ist (Zerlegungssatz, Satz I. 2.2, Korollar). Fur lokalkompakte Halbgruppen sind keine entsprechenden Hilfsmittel bekannt, daher ist es gerechtfertigt, von nun an sich graBere AIIgemeinheit stets

Verzicht auf

auf die Betrachtung von MaBen auf lokal-

kompakten Gruppen zu beschranken.

I

Struktur der erzeugenden Distributionen

§

1

Homomorphisrnen von

X und Y seien lokalkornpakte topologische Halbgruppen. Es wird wie in o. § 4 stets vorausgeset zt, die Einpunktkornpaktifizierungen Xco und Yoo halbtopologische Halbgruppen sind. (Diese Einschrankung ist nicht einschneidend, da in den folgenden Punkten lokalkornpakte Gruppen bzw. die additive Halbgruppe [0,00 ) betrachtet werden.) Es werden nun Beispiele fur Algebrahomornorphismen M trachtet:

(X) ­­P

M (y) be-

Hilfssatz 1.1: a) Sei 'P: X -+ Y ein stetiger Hornornorphismus, dann wird dadurch ein schwach stetiger Homomorphisrnus von M (X) -+ M (Y) induziert, der Ml(X) in Ml(y) abbildet: Man definiert

f(f) (f):=

Jy

fey) d'f

Cf)

(y):=

Ix

f(Y'(x)) df (x )

:=f

(fo'f).

b) Sei 'f: Co (Y) ­?> C0 (X) ein stetiger (Vektorraum) Homomorphismus, dann wird dadurch ein (schwach) stetiger Vektorraumhomomorphisrnus f' : M(X) --1> M(Y) definiert, riaml Lch 'P',?) (f):= r('f (f)). c) Sei 'f: X ----.:p. M(Y) ein be z , der schwachen Topologie stetiger Homomorphismus von X in die Faltungshalbgruppe M(Y), dann wird dadurch e i.n Algebrenhomomorphismus M(X) -+ M(Y) induziert, nam Ldch f(f)(f):= f(y)d'f(x)(y)df(x). Insbesondere ist /\ 'f(x) = 'f (Ex) fUr alle x"' X.

f:

Jx fy

Wenn 'f(x)E MI(y) (resp. 'f(X)E Q(Y);= {A und Poisson-Halbgruppen s,

I2g

[6], [221)

c) Seien und stehe man die Ma!?>e

wie in b) gegeben. Unter Resolventen von (It) ver-

Dann gibt es zu jedem festen l M so da!?> 'f' allgemeinerte (s , Feller [2g

r

eine Subordinationshalbgruppe = SJ • Man wahlt naml i.ch fur Fs eine ver1\

-Verteilung mit der Dichte r 7\ ,s (t ) =e -'Ati\s tS-lj

,11.2, s . auch Prabhu

I'

(s)

[5c ('>-j-c 0, x f e.

§

Wenn nun eine Lie-Gruppe ist, dann gilt (s. Hunt [10], Siebert [60J): Sei Xl' ... ,X d eine Basis der Lie-Algebra fjJ - jedes Element von (jJ wird als invarianter Differentialoperator aufgefaSt -, seien fl'··· fd lokale Koordinaten und sei'r' eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, die sieh in einer Umgebung von e wie L verh1l.lt, 0 1'(e) = 0 lim ry (x) = 1. (Darin heiSt 'r "Hunt-Funktion".)

fi

x

-»00

r

Zu jeder Levy-Abbildung kann man eine Basis Xl, ... ,Xd und lokale Koordinaten Jd so wahlen, daS r f (x ) = Ii (x ) Xi f(e) (die ({i) bilden ein K-System im Sinne von Siebert [60J). Jede primitive Distribution Fist von der Form F(f) = X f(e), X E: CjJ oder, bei fester Basis F(f) = 1= a i Xi f(e), al, •.. ,a reell. d

II' ... ,

L

Jede quadratisehe Distribution Fist von der Form F(f) = L a .. X. X. f(e), (a .. ) ist dabei eine reelle positiv semilJ l J lJ definite Matrix. Ein MaS /'7?-0 auf

"-(e) ist Levy-MaS, falls 1}"fko"fur eine Hunt-Funktion.

Satz 2.1: a) (Levy-Hincin-Formel) Zu jeder stetigen Halbgruppe von WahrseheinliehkeitsmaSen (It' tfO,!o = t e ) gibt es genau ein so daS F (f) =

ft(f)

It=o

fur aIle f(;JJ(§).

Umgekehrt gibt es zu jedem

genau eine stetige Halbgruppe von

WahrseheinliehkeitsmaSen (ft' t >,,0'(0 =

Ee )

mit

f t(f)! t=O

= F(f),

ff !lJ. Die Elemente sind auSerdem Distributionen im Sinne von Bruhat [5J, 1. e. t110 sie werden daher im folgenden "erzeugende Funktionale" oder "erzeugende Distributionen" genannt. b) Daruberhinaus gilt: Fur jedes FEAW (0) definiert man den Faltungsoperator R : R f(x) = F(xf) fUr xs (dabei ist xf(y):= F F = f(xy». Dann ist RF (} Co (qj) und fUr jedes '>..>0 ist

0

(g )

(RF -'\ I)J) dieht in Fortsetzung von (RF,

daher ist die kleinste abgesehlossene der infinitesimale Generator einer (ein-

34

deutig bestimmten) Halbgruppe von Faltungsoperatoren (R

It

, tfO), wobei

(tt) eine stetige Halbgruppe von WahrscheinlichkeitsmaBen ist. (Es ist wieder Rt't f(x) =

f(xy) drt(y) = f't(xf).)

(s.o.§ 4)

!-Dies ist eine Neuformulierung des Satzes 4.2 von 0.§4. a) wurde erstmals in

[25

J'

b) erstmals in (dem unveroffentlichten Manuskript) [27J bewiesen.

]

Damit erhalt man als Korollar unmittelbar aus O. § 4, Satz 4.2, Folgerung

2:

Korollar.

(Lie-Trotter-Produktformel). An E: A1{)(§), ai'

Seien Ai'

so ist 2a.A, E/I1{)(f:) l

'a

l

.. , an

und es ist

t. Lx(tL a.A.) = lim [fr&(-k a.A.) l l k-)oo i =1 l l

>0 ,

J

k

, [1n

= llm

n)o t (a'k A . ) iool l l

L

ex

J

nk

Z

= lim [

iool

Von GroBer Bedeutung ist der folgende Darstellungssatz: Satz 2.2 (s. Siebert [60) ):

r

Dann gibt es zu jedem

sei eine fest gewahlte Levy-Abbildung. eine eindeutige Zerlegung

F = P + Q + L, wobei P primitiv, Q quadratisch ist und L(f) =

(f(x) - f(e) -

Dabei ist

r'f(X))d1(x)

ist.

ein Levy-MaB (das Levy-MaB von F), das durch F eindeu-

tig festgelegt ist,(s. auch E. Siebert, Arch.Math. 28(1977) 139-148). Korollar (Zerlegungssatz): Sei

U sei eine offene Umgebung von

e, dann gibt es eine eindeutige Zerlegung von F:FooF (i )

FiE:,JtO (0-) ,

(ii)

F

2

(iii) (iv) Tr(F

1+F 2,

so daB

Co-beschrankt (also Poisson-Generator) ist,

1) (v) der Rand U-

v {e

u- und

1,

Nullmenge bezuglich des Levy-Ma£es von F

ist. 1 (Dieses Resultat ist fur die folgenden Untersuchungen von entscheiden-

der Bedeutung: Es versetzt uns in die Lage, erzeugende Distributionen so zu zerlegen, daB sie - abgesehen von einem Poissonterm - auf einer Lie projektiven Gruppe definiert sind.)

35

Beweis: Sei '1U:=

das Levy-MaB der Distribution F, dann definiert man (die Einschr1:inkung auf

U) und setzt F 2:=1u -

Da1u ein nicht negatives beschranktes RadonmaB ist, ist F

ql und unter allgemeineren Abbildungen.

:lJ

Definition 2.3:

IV

sei der lineare Raum aller stetigen be-

s cnr-ankt.en Funktionen, der von allen Funktionen wird, zu denen es einen Homomorphismus Gruppe

und ein gE,;()( N

AbschluR> von 0/) ff

C(§)

unter Homomor-

0

f:

q

tc

aufgespannt

C(

in eine lokalkompakte

g i b t , so daR> f = g o'f. Weiter sei

2"( (j)

der

bezUglich der Supremumsnorm. Offensichtlieh ist jedes

gleichmaBig stetig bezUglieh der linken und der reehten uni-

formen Struktur. Weiter gilt der Hilfssatz 2.2: Sei (ft' t 0, fo = fe) eine stetige Halbgruppe in MI(y ) mit erzeugender Distribution F. Dann ist die Halbgruppe der FaltungsIV

operatoren (Rft) eine stark stetige Operatorhalbgruppe auf C( der

Generator ist zumindest auf

stimmt auf

J)(

(\

) = (j)

F lSR>t sieh daher auf Sei

If:

JJ (q)

(§ )

Jj( tj )

dann ist

und

mit R Uberein. F

fortsetzen, und zwar auf folgende Weise:

ein stetiger Homomorphismus, sei g

f = g o'fE£)(lj). Weiter sei

5})

definiert und

fCj\)

t:JJ

und

die Projektion vonft in es sei F

eine stetige Halbgruppe in

die

erzeugende Distribution. Dann definiert man FCf):= Ff(g). Der Beweis

ist einfaeh und braueht nicht ausgefUhrt zu werden. Es ge-

nUgt zu zeigen, daB fUr jede Funktion der Gestalt f = g 0'1' , g E t

f stark stetig ist und daB Rt t

r s C(

C1

fJ

41

Satz 2.5: Seien

und

1 lokalkompakte Gruppen, es sei

Ci 1

r .

ein stetiger Homomorphismus. Dann wird dadurch ein Homomorphismus ) --l> M( Ci 1)

'f:

der Ml(c;] ) in Ml(!j' 1) abbildet,sowie

ein Kegelhomomorphismus 'f:JtO (§) -----I>AfP(

q1)

gemaB

\f (F)(f)

:= F(fO'f-

\f

Dann gilt:

cp (lPV(c;j ))

l).

und

1)'

Der Beweis ist wieder offensichtlich. Definition 2.4: Zu jeder lokalkompakten Gruppe definiert man die Abbildung

:&J«iJ)

) auf folgende Weise: Sei Ff"1HO Uij.) und

--?>

sei 'It) die von F erzeugte Halbgruppe in Daher ist fUr jedes

:

Dann sei

(F)'=jl'

S,j(tF) =ft'

Bemerkung: Unter den Voraussetzungen des Satzes 2.5 gilt (t1(F)) =

If

und alle FE;J1!J (0 i.

fUr alle t

1 In gewissem Sinne karin man

1-1/1

/{1(./

l«(i ) und c»

als die Analoga der "Lie-

Algebra" und der "Exponentialabbildung" fUr die topologische Halbgruppe l M betrachten. Eine Vektorraum- oder Algebrenstruktur )

(§ )

darf man natUrlich nicht erwarten, da die einzigen invertierbaren l Elemente von M (§) die Punk t mafse sind. Daher muB der groBte Teil vektorraum in

naml Lch

"fP=;f1(j«(j.)n

)),

isomorph zur Lie-Algebra

der zugrundeliegenden Gruppe sein. Die Produktformel bleibt richtig, s , Satz 2.1 c). Diese Vorstellungen sollen im folgenden im Auge behalten werden. Es werden nun allgemeinere lokale Abbildungen zwischen zwei Gruppen studiert, die, kurz gesagt, die differenzierbaren Strukturen invariant lassen. Dann wird, wie im Fall Lie'scher Gruppen, gezeigt, daB, abgesehen von Poisson' schen Anteilen, die "Lie-Algebren" iJfO(

fj)

und,41{)(

tj 1)

als Kegel isomorph sind: Satz 2.6: Seien

0'

1 lokalkompakte Gruppen, U, V seien offene Um-

0

gebungen der Einheit in § resp. l ' Weiter sei 'f: U ---:P Veine stetige Abbildung von U auf V mit der Eigenschaft, daB fo 'f J) (§. ist fUr alle

1)' Tr(f)f:

Dann gilt: Es gibt Zerlegungen so daB a l Le Distributionen aus

VJund

I'!JO(§ )

Weiter definiert die Abbildung

Q

(01 "

(e)

= (}L

at und 06

deren Trager in (§\U)v{ej resp. Trager aller Distributionen ems

'f

= e l·

C£ ,/J1O( § 1)

=

)

«, 000 l'

1 Poisson-Generatoren sind,

V) V { e } liegen und so daB die l resp. U(l in U resp. V- liegen.

.:p: 0/ (F) (f)

: = F(fo 'f-l) einen Kegel-

42

homomorphismus von

or.

0{1 .

V bijektiv ist und auch fur alle fEJ)(!fj), Wenn tp: U Tr(f)'

Q,r3

"]:>

(11 =

Y({}{)

Nach Boge [2] (s . auch

I

--9

-1

= {rX.-((1

[56J,

E _)

= {o(( [ _ -

=;It{)

definiert

1. Es sind also die Voraussetzung

-(0) +

+

0

fJ (C - [ )

f l - co)},

j3(

2.4) gibt es ein Po Ls s orr-Nafs

0

1

t

tj

auf

mit zwei verschiedenen Poisson-Generatoren, i.e. es gibt

mit

t

&(A) = (B), aber A F B. 51 l( In M ) = Ml(Z) sind aber andererseits die Wurzeln unendlich teil1 barer eindeutig bestimmt, daher wUrde aus (A» =

0

(B)) folgen,

= /B

t

(t(\f(A»

=

(-

-

7;,.( txG,

';)

1;,(

(tA»

(t ( 'f (B») fUr alle t

"!A(

(tB», also

0 und daher

'f (A)

=

CP

(B).

Da aber Ul U! 1 ein Isomorphismus ist, folgte daher A = B, im Widerspruch zur Voraussetzung. Andererseits gilt jedoch, wie man unmittelbar einsieht: Hilfssatz 3.4: Seien gegeben, weiter erfUlle FUr a Ll.e A,BE {

r,.itA), t

Ul ,

'f

wie in Hilfssatz 3.2 (resp. Satz 2.6) folgende Bedingung:

fUr die tA

oj ()

f:

t'B, O«t, t' t)

M

t fl

(klassische) Levy-Hintin-Formel gegeben,

:

(if) -l>

durch die Ml(

wird durch die Hunt'sche Version der Levy-Hincin-Formel beschrieben (s.

[40]). Damit gelingt es, unter Verwendung von Satz 2.6 und Hilfs-

l( satz 3.4 s amt Li.cne stetigen einparametrigen Halbgruppen in M 1) zu l beschreiben: Die stetigen Halbgruppen in M ( § 1) sind eindeutig ben) stimrnt durch die Kenntnis der stetigen Halbgruppen in ) Ml(R (klassische

rt:{

durch die Abbildung

=

(ft' t1 0 ) : stetige Halbgruppe in Ml(fJ))Ml (

wahrscheinlichkeitsmaBe} Poisson-MaBe auf

{unendlich teilbare

1) sowie durch die Kenntnis der

ql'

Zusamrnenfassend: Satz 3.6: (Struktur der stetigen Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsauf Lie-Gruppen) Sei

eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra

legung 1/1f}( Satz 2.6 1.) (}{nJ)

(j1)

= f) 1

(£)

000

Dann gibt es eine Zer-

a

1)

ein AE existieren, so

(tA')

=

U'l bijektiv ist (Le.

-1>

\f = exp : IUO

£I .

= (0)

2.) alle Distributionen aus

3.)

!110( f})

und

9 (A) (A))

und ein Poisson-Generator + B' und daher

tl';01 «t/k)B') Jk.

5.) SchlieBlich gibt es eine Abbildung;r, die auf der Menge der unendlich teilbaren WahrscheinlichkeitsmaBe von !!J ( ';! Rn) definiert Ls t ,

1':

--{>

l( M

(jl)'

so daB

46

rt( t

E-r:.

(tA)):=

A'{;!J1P(§l) ein Ac =

k

(t f(A)). Also gibt es. wie in

t.

'3l

r-t(&JJ

lim

(J

Ul

und ein B'tS

00'1'

so daR>

4.) zu jedem

(tA ') =

«t/k).b\))tG «t/k)B)]k,

31

anders ausgedruckt:

{t\}

6.) Zu jeder stetigen Halbgruppe

fo

mit

= [e auf der Lie-Gruppe

Poisson-MaR>en ()It) auf

(11

keitsmaR>en

at

=

F

01

von Wahrschein1ichkeitsmaR>en gibt es eine Halbgruppe von

und eine Halbgruppe von Wahrscheinlich-

t) auf der Lie-Algebra

fJ '

so daR>

lim [ 1"0 t/k) IT t/kY'

k -1>00

3.7: Interessant wird der Satz 3.6 vor allem deshalb, weil es im FaIle

f

= exp gelingt. die Abbildung

iV=

zu beschreiben. Die Exponentia1-

abbildungy besitzt namlich offensichtlich die Eigenschaft. daR> die Ed.ns chr-ankung von

I.f

auf jede eindimensionale Untergruppe von

Homomorphismus ist. Sei also X E f!J und sei X = { ex, t E RJ von X aufgespannte eindimensionale Unterraum, dann laR>t sich

Rl_der auf

kanonische Weise in einbetten und es gilt: Die Ed rrs chr-ankung von y auf die unendlich teilbaren WahrscheinlichkeitsmaR>e von M1 (f) ), die in X

konzentriert sind, alsoy:{ &t1(tA);

AG'!UO(X)}

stimmt mit dem durch den Gruppenhomomorph1smus tX

exp (tX) von

X ---» fil induzierten Algebrenhomomorphismus M (X) ?' M (R l) uberein (s. § 2).

--1>

M

Nun seien Xl"",X m Elemente in (j . Xi seien die von Xi aufgespannten eindimensiona1en Unterraume und es seien Ai erzeugende Distributionen schlieR>lich sei A = Al + ••• + A c )1-l{ tj ) . Da m

in

eine Abe1sche Gruppe ist, folgt: seien dann ist fo1gt

1< Gt )

Gt =

=

1c If

r;;

t,

= (tA), i), und aus der Lie-Trotter-Produktformel

..• ()

1 ('P(tA)) =

6\

k

lim[l\f(

t,(tA

f!J

Gt/k (1))

...

Der Konuergenzsatz 1iefert sofort: Sei A E;fIIfJ( f!J) und sei Ai/)

sowie

Zu jedem A 1

1

(m )

(A(m) )m

E

IN eine gegen A konvergente Folge in (m)

gebe es eine Folge Xi Vd

"",X

(m)

.

In k i t A(m) _ A(m) + + Am(m) nu, -1 ••. k' m

47

Dann gilt:

rj/(

tf;} (tA»

=

Die Abbildung ist also in diesem Fall dureh die Einsehrtinkung auf die eindimensionalen Unterraume bestimmt. Andererseits ist dadureh 1-'( t:J(tA» fUr alle AE ;14{)«IJ) er-k Lar t , es gilt naml.Lch : Sei A

dann kann man eine Basis von C!J so wahlen, daB A darstelln

G. + L, wobei T eine primitive i=l Form ist, also erzeugende Distribution einer Halbgruppe von PunktmaBen bar ist in der Gestalt: A = T

+

{[tXTJ, Gi erzeugende Distribution einer Halbgruppe von GauBverteilungen ist, die auf dem von dem Basisvektor X. aufgespannten Unterraum Xi konzentriert sind, und sehlieBlieh L erzeugende Distribution einer Halbgruppe ohne GauBsehen Anteil ist. List, als erzeugende Distribution, Limes einer Folge von Poisson-Generatoren und daher aueh Limes von Linearkombinationen elementarer Poisson-Generatoren (s. z.B. [26J) k

also, List Hauf'ungapunk t von MaBen der Gestalt

-

cc , ([ Y.

- [0).

i=l Dies bedeutet aber gerade, daB jede erzeugende Distribution darstellbar ist als Limes von Summen erzeugender Distributionen, die auf eindimensionalen Unterrtiumen konzentriert sind. Damit ist aber, wie oben ausgefUhrt, bereits bestimmt. Die angegebene Konstruktion laBt sogar eine relativ einfaehe Bereehnung von zu: Jede erzeugende Distribution ist approximierbar dureh Linearkombinationen von 1) primitiven Formen (T(f) = lim (f(tX) - f(O»)

;r

t

f

2) erzeugenden Distributionen eindimensionaler GauB-MaBe (G(f) = lim! [f(tX) + f(-tX) - 2f(OU) und 3) elementarer Poisson2 t

Generatoren r:;l(

Ex - Eo)·

In allen drei Ftillen hat ?(F) und damit aueh jV eine besonders einfache Gestalt; namlieh erste bzw. zweite Ableitung langs der Kurve exp (tx) resp. DC< f exp (X) - Ee ). t Damit wurde insbesondere gezeigt, daB die Abbildung )Vallein dureh die Exponentialabbildung besehrieben werden kann. Dies wird noeh deutlieher, wenn man bedenkt, daB jede, auf einem eindimensionalen Unterraum konzentrierte erzeugende Distribution A als Faltungsprodukt

48

A = A A dargestellt werden kann, wobei A resp. A auf dem positiven l 2 l 2 resp. negativen Halbraum konzentriert sind. Also lassen sich die von Al und A2 erzeugten Halbgruppen durch Subordination von PunktmaBhalbgruppen gewinnen (s. [52J). Auf Details soll hier nicht naher eingegangen werd en.

q

ur

3.8: Im Satz 3.6 war die Zerlegung /111)( 1) = ® £1 resp. l ;f1j)( f./j) = (J (f)oC abhang i g von der speziellen Wahl zweier Einheitsumgebungen U, V, ftir die exp : V U bijektiv war. Da die Einheit von

stets in U liegt, erhalt man: Zu jeder GauBschen Halbgruppe auf mit erzeugender Distribution G' + T', G' quadratisch, T' primil tiv, gibt es eine eindeutig bestimmte Halbgruppe GauBscher oder entarteter auf Distribution G + T, so daB =/t' l{(G) = G', 'f(T) = T'.

f

0

Die GauBschen und primitiven Distributionen sind ja gerade dadurch ausgezeichnet, daB ihr Trager aus der Einheit besteht.

a

= 3.9: Seien U,V fest gewahlt. Dann ist 'f = exp : (1 -4> l bijektiv. Es erhebt sich die naheliegende Frage, ob man, etwa durch passende Wahl von U und V erreichen kann, daB auch l (tA), t?O, ACct] ----P M (gl) injektiv ist. Dies gilt jedoch schon In einfachsten Fallen nicht mehr:

Sei

q;

= R und l

d+

A = dx

{Ex'

f

fi1

= T der eindimensionale Torus. Weiter sei

x=o die erzeugende Distribution der PunktmaBhalbgruppe Dann ist nattirlich

Xc

jV(Eo )

andererseits aber ist

stets A 6 (J( • tz: Ehe die nun naheliegende Frage untersucht wird, inwieweit ahnliche Satze tiber die Struktur der erzeugenden Distributionen ftir lokalkompakte,nicht Lie'schen Gruppen gewonnen werden ktlnnen, soll nochmals gesondert der Spezialfall lokalisomorpher Gruppen behandelt werden:

q,

9'

3.10: Es seien also Lie­Gruppen derselben Dimension n , f11 seien ihre Lie­Algebren. Da und isomorph zu Rn sind, gibt es einen Vektorraumisomorphismus i : fj -4> l' Mit If: ---P resp. --p werden die Exponentialabbildungen bezeichnet, weiter wahlt man Umgebungen U, V, VI in (j,!II, ()l' so daB V U, : VI UI bijektiv sind.

91

;0:

fJ

"r­

Dann erhalt man als Korollar zu Satz 3.6:

y

g

49

Es gibt eine Zerlegung /Jt(J(§) =

ot und

£1 aus Poisson-Generatoren bestehen,

ql) =

Ul ncf;

Ul l

(£)

= (0),

Url .

Ur.

und

Ul (j)cfl, !I1P(

obl ,

Ul l

n

so daB

oC 1 =

(0)

Das folgende Diagramm veranschaulicht die Beziehungen:

=

/JW( f.J )

i

(1' 00"

'"

4

J>

(J'®oC' 1 1

UI

UI

ul

Uli

If

I

0/1

-1

=

()[

'f

4'

=

o i o

'fl

Ul

1

In

1]\

Gt @£

'V

® oCl '"

/J1O ( r§l)

NatUrlich kann man nun wieder versuchen, wie in Satz 3.6 Beziehungen zwischen den unendlich teilbaren MaBen von

und

(j 1

herzustellen,

jedoch hangen diese Relationen im allgemeinen wieder von der speziellen Einbettung ab.

=

(Der Fall

ist eine interessante Ausnahme!)

3.11: Als letzten Sonderfall betrachte man den Fall einer uberlagerungsgruppe: Sei

eine aus ammenhangende Lie-Gruppe,

1 sei eine Ube r Lager-ungs>

gruppe, i.e. es gebe einen diskreten zentralen Normalteiler daB Sei )r:

1

£(1' so

q.

';{

--P

91)

q

die kanonische Proj ektion,

q)

)I: M

-»

M

(q ),

jf : A1fJ( seien die von Jr induzierten Algebra- resp. l Kegelhomomorphismen. Die auf den stetigen Halbgruppen in M ) 1 induzierte Abbildung stimmt wieder, da ein Homomorphismus ist, mit)f

(0

Uberein.

Da aber N diskret ist, gibt es andererseits Einheitsumgebungen U,V in

91'

Teilkegel

so daB y-l : U

Q

k;t1O(

G),

OZl

V bijektiv ist. Es gibt also wieder

sAW(

1)

von Distributionen, die in U

50

resp. V konzentriert sind, so daB induzierten Abbildung

--1

Jf

OL

UtI

und

ve r-mo ge der von )r

-1

isomorph sind.

Daruber hinaus erhalt man: Es gibt einen injektiven Homomorphismus, der wieder mit i - I bezeichnet werde, von IJ l ) , so daB i-- l auf mit der oben bezeichneten Abbildung ubereinstimmt; daruber

a

hinaus ist [Man

JT JT

-1 die Lden t Lt a t auf /1f() (C/J ).

§

U

n = 0

naml i.cn eine Zerlegung von in disjunkte mesbar-e Mengen En' mit Eo = U, so daB fur jedes n ein j l existiert,

das ver-moge }T isomorph zu E ist. Eine solche Zerlegung laR>t sich n finden, da der Kern von diskret ist. Es ist naturlich F o = V zu wahlen. Nun weiB man bereits, daR> jedes F ;f1IJ( in der Form F = A + B, AEUL , U)v{e}, dargestellt werden kann. B Poisson-Generator mit Trager in =-1

Da iT

J

:

u

-p

UtI

ein Isomorphismus ist - und man pruft sofort nach,

daR> J'T-l (A) = A fur aIle AcUz - genligt es, die Aus s age fur PoissonGeneratoren B mit Tr (§, U)u{e} zu beweisen. Die Einschrankung von B auf U ist ein beschranktes positives MaR>; bezeichnet man mit B die Einschrankung von B auf En' so erhalt man n B =

00

L

n=o

(B - 1/ B II E nne

).

Da JT- l : E n

-}>

F

n

ein Isomorphismus ist,

wird dadurch ein eindeutig bestimmtes, auf F definiert, so daR>

}T

Cn = Bn und

Definiert man nun B = l

J- l

JT

(B)

(Cn n=o

II

konzentriertes MaR> Cn n cnll [e) = Bn - It Bnll [e'

(C - /I C /I [ ), so folgt offennne

sichtlich die Behauptung. (Es wurde nirgends verwendet, daR>

zusammenhangend und N zentra1 ist)]

51

§

4

Der Fall lokalkompakter, nicht notwendig Liescher Gruppen

Im folgenden sei stets

q eine

q;

lokalkompakte Gruppe und

q

Algebra (im Sinne von Lashof [47J), exp :

die Lie-

bezeichne wieder

die Exponentialabbildung. Da exp im allgemeinen nicht surjektiv ist und sich der Satz 2.6 nicht unmittelbar an­

nicht lokalkompakt ist,

wenden, sondern es muB ein Approximationsargument herangezogen werden:

=:

0/l L

Satz 5.1

Sei





die Aussage des Satzes 5.1 gilt, wenn die erzeugende Distribution von( k)

Sei ( JAt,t ::)0,

Satz 5.2

/

= f't

Antell G, sodas ,. t Beweis: AUS! t e;Ut symmetrisch sind ( und damit die erzeugende Distri-

bution symmetrisch ist):

;Ut

zwar nicht zu

It

dafur

=

f";,

= (t/2 ;et/2

('i. )

>

f

E)

= eine Faltungshalbgruppe ohne GauBschen 0 e :-fur aIle t> O. Dann ist Tr(!t) =

stetige Halbgruppe

symmetrischer MaBe, dann ist die erzeugende Distribution darstellbar in der Form =

G(f)

A(f) = P(f) +G(f)

-r f(x»d4.(x)

=

(f+f;l(-)(x) - f(e»daz(x),

r-Aus A(f) = A(f*)

folgt

A(f) = P(f) + G(f)

= A(f*) = -P(f) +G(f) A(f) =

- fee)

G(f)

+J (i

rf(x)wz..

- fee) +r f(x) )d1- ' daher

JJ

)(x) -fee) )dl (x )

Nun wiederholt man den Beweis des Satzes 5.1, 2. Seien V,A V,Bv'1v wie vorhin definiert, dann ist, wenn man V symmetrisch wahlt u l wenn man bedenkt, daB nach Voraussetzung G = 0 ist, AV(f) =

V\{f3;( iCf + f')Cx) -f(e»dl Cx),

(Aus A

j(V folgt ja

Wegen

S

(tBv) ---?

t

1-= '1I\/UDd (tA)

=jAt

somit1.v

Ev(f)

).

s c h Li.efs t man wieder, daR>

Tr

(f t) c

59

s;-

< Tr(1) >fUr

alle t

> O.

D

AbschlleBend beschaftigen wir uns mit dem Problem der Bestimmung des GauBschen Anteils einer erzeugenden Distribution. Dies liefert insbesondere ein Kriterium fUr das Fehlen des Gau£schen Anteils. Dies ist deshalb von Interesse, da zwar einerseits bekannt ist, daB der GauBanteil einer erzeugenden Distribution eindeutig bestimmt ist, auf der anderen Seite aber kein einfaches Kriterium fUr das Verschwinden dieses GauBschen Anteils bekannt ist, wenn die erzeugende Distribution nicht in kanonischer Form dargestellt ist. Zunachst ein Hilfssatz : Hilfssatz 5.1 Sei P primitiv, G GauBsch. Dann gilt a) FUr alle fE£1(0), nISIN: p(fn) = np(f) f(e)n­1 . b) FUr alle f = ) ist G(f n) = G(f) [ (n­2)f(e)n­1 +2f(e)n­2] (n> 2 ) Der Beweis folgt sofort durch Induktion aus den Relationen

P( f2) = P(f.f) = 2P(f) f(e) J p(fn+1 ) = P(fn.f) = P(fn).f(e) + f(e)np(f) G (f2) = U/2)2[G(f)f(e) + f(e)G(f)] = 2G(f) fee) G(f n + 1) G(fn)f(e) + f(e)n G(f) Daraus erhalt man : Satz 5.3 .Sei AE:Ait1(0), A(f) Dann gilt: FUr alle G(f) = lim! A(fn) n-7oo

= P(f)

+ G(f) +}G"{e} (f(x)­f(e)­rf(x»d1. f = f*, os r s e , fee) = 1 ist

n

Beweis : Nach Hilfssatz 5.1 b) ist G(f) = G( ! fn), weiter ist f so n gewahlt, daB die primitiven Terme verschwinden, also P(f) = rf(x) = O. Ebenso p(fn ) = fn(x) Daher genUgt es, wegen

r

zu zeigen, daB der Integralausdruck gegen 0 . Es ist aber 11 ­ f n = (:ll­f) ( 1 + f + f 2 ... +f n­1 (:II­f) .n, somit 11 ­ f fUr alle n e IN. Es existiert also eine IYJ.n) = !(f(e)­f) -70 integrierbare Majorante, Uberdies ist natUrlich !(1­f n n daher folgt aus dem Satz von Lebesgue Uber dominierte Konvergenz, daB

J

(l(x)

­fee >")d

L

0

q

Da andererseits, wie man sofort sieht, eine GauBsche Distribution G genau dann verschwindet, wenn G(f) = 0 fUr aIle f = f!"f!lJ ( (j. ), mit fee) = 1, er­ha l.t man das triviale Korollar Sei A eine erzeugende Distribution. Dann ist A genau dann ohne Oautss che n Anteil, wenn fUr a Ll,e ,

60 und

=

f(e)

1 gilt

f1 )--....,. o

A( 1. n

Entsprechend beweist man den Satz 5.4

fur jedes n e IN G(f)

= lim

sin(nf)

n

1.

das Levy-MaR>

f J

), dann ist

A(f)

,f(e) = 0, dann ist

und fur den GauR>schen Anteil G von A gilt:

f

so beschaffen, daR> f r f d'2

existiert fur alle

A darstellbar in der Form

+

= P(f)

+1

G(f)

(f-f(e»d"2.

P(f) = lim

und es ist Beweis:

r"

A( 1. sin(nf) ) .

n-;>oo

b) Ls t

sei ffciiJ.,.((j), f =

a) Sei

,P primitiv, G Gaulsach ,

sin(nf»

Man entwickelt fur

fur alle fGJ((;j') mit f

gfc0(0')

sin(g)

in eine Potenzreihe und

erhalt, indem man zu geeigneten Lie-Faktorgruppen ubergeht, fur primitive Distributionen P und quadratische Distributionen Falls g = G(sin(g» Falls g

ist wegen

=

a) Sei nun f

sin(g) = g - g3 / 3 ! + •••

=

G(g) - G(g3)13! + •••

= -g*

, so erhalt man

= f1("",

G :

G(g)

G(g)

=0

und P(sin(g»

= 0 •

= P(sin(g»

und peg)

fee) = Oj s e i, A in kanonischer Gestalt dargestellt

mit primitiver Distribution P, GauR>scher Distribution G und so ist G(1.sin(nf» n

•

= G(f),

= 0,

n

r

und man erhalt daher wie im Beweis des Satzes 5.3 Ganz analog wird b) bewiesen. Literaturhinweise:

Levy-MaR>

1,

(1.sin(nf»(x) : 0 n A(1. sin(nf»

G(f).

n

Ein mit Satz 5.3 verwandtes Resultat wurde von Ch.

Berg [ On the support of measures in a symmetric convolution semigroup. Math.Z. 148, 141-146 (1976) ]

' Proposition 2 gezeigt: Sei

eine Faltungshalbgruppe symmetrische:

Abelsch,

mit erzeugender Distri-

bution F. Q sei der quadratische Anteil, F, Q die Fouriertransformierten, dann erhalt man fUr 1 n

2

den quadratischen Anteil durch

F(nt)

In der selben Arbeit (Theorem 4) zeigt der Verfasser ein Analogon zu Satz 5.2 (fUr Abelsche Gruppen).

Ahnliche Satze wurden von J. Yuan und

T.Ch. Liang [ on the supports and absolute continuity of infinitely divisible probability measures. Semigroup Forum 12, angegeben.

34-44 (1976)

J

61

§ 6

Anwendung von Storungsreihen

t.

In O.§ 2 wurde gezeigt, daR> neben del" Darstellung von (t (A+B)) in Form von Produktformeln eine Darstellung in Form einer normkonvergenten Reihe ( = Starungsreihe ) maglich ist, wenn B ein Poissongenerator ist. &(t(A+B)) =

L

k>,:. 0

vk(t;A.B)

mit

&(tA) ••..

0

v k+ 1 (tjA,B):= Wenn B

v (t;A,B):=

• O. V . M1 (

= c (I{ -

G).

dann pr-uf't; man sofort nacho daB auch

die folgende aquivalente Entwicklung gilt : (t (A+B)) = u k+ 1 (t jA,B) = C

e- C

2=

uk ( t ; A. B)

mi t

u (t; A. B) = 0

t:(t A).

. •.

V- uk(t-r;A.B) dr .

Die zweite Darstellung hat den Vorteil. daB samtliche Glieder del" Reihe beschl"ankte, nicht negative MaBe sind. Das Ziel des §6 ist es. zu zeigen, daR> diese Darstellung es uns ermaglicht, Aus s age n , die fur (tA) gelten, auf (t(A+B)) zu uber-t.r-agen . Die Anwendungsmaglichkeiten liegen auf del" Hand: In den § 1-5 wul"den die Zusammenhange zwischen Gl"uppen und den darauf definierten erzeugenden Distl"ibutionen untel"sucht, indem mit Hilfe des Zerlegungssatzes abgespalten wurden. Jede erzeugende Distribution kann also z.B. aufgefaBt werden als Summe einer in del" Nahe del" Einheit konzentriel"ten el"zeugenden Distribution und einer n Starung durch einen Poissongeneratol"."Ful" aIle solchen Distl"ibutionen und fur einige weitere etwas speziellere Zel"legungen sind die folgenden Ubel"legungen von Interesse. Es folgt ein Hilfssatz uber Operatol"halbgruppen. del" es el"maglicht, nachzuweisen. daB, kurz gesagt. die Eigenschaften nf ist diffus n, t n ft ist totalstetig n. n Tl"( t) = tt bei Starungen durch Poissongeneratoren erhalten bleiben.

t

6
(i. e. die MaBe sind normal ). Es sei entweder der GauBanteil von A nicht Null oder das Levy-MaB von A sei nicht beschrankt. B sei ein beliebiger Poissongenerator, dann sind alle

c; (t(A+B))

MaBe der Halbgruppe

diffus fur t ) 0.

Beweis : Es ist nach Satz 6.2 bloB nachzuweisen, daB

diffus

sind fur t)o: Dies gilt aber unter den angegebenen Voraussetzungen, wie

[30]

in

t:J

gezeigt wurde.

Daraus folgt als Spezialfall das Korollar 2

Sei (/-/;

=

Anteil. Das Levy-MaB

L

tee tA ») 1

eine stetige Halbgruppe ohne GauBschen

sei so beschaffen, daB es eine Zerlegung gibt

1"':

in IY),. = 11 + 2' wobei 1.1 = und wobei /.2 be s c hr-ank t ist (beide MaBe seien nicht negativ und daher wieder Levy-MaBe ), und es gelte fur alle Wenn

:

A(f)

- f(e))d'{l

nicht beschrankt ist, dann

sind alle MaBe

(t A) diffus fur

t)O. [:

Seien die erzeugenden Distributionen Ai und B definiert durch

Ai (f) Ai =

=J

Korollar 1. C.

=J

(x ) -f(e) )d11' B(f) (f(x) -f(e))d12' dann ist ,B ist Poissonsch und A = Ai + B. Damit folgt die Aussage aus

J

Totalstetige MaBe

Hilfssatz 6.2 [0, (>?) in

Sei r

M+

a(r)

eine schwach stetige Abbildung von

), es seien alle a(r) totalstetig b e z ilg Li c h des linken

Haarschen MaBes. Dann ist fur jedes t> stetig.

° auch

A

:=1;

a(r)dr total-

Beweis : 1. Sei f eine reelle beschrankte, von unten halbstetige Funktion , dann ist die Abbildung

r

[0, DO) 3

r - - y a(r) (f)

von unten halb-

stetig und beschrankt und daher lokal integrierbar. Se i {goc.,} ein Netz in C(G), s od afs go0.

Ui ).

q,

:=L

'-;}

l

l

lJ

l

J

B sei ein Poissongenerator, dann sind alle MaSe der Halbgruppe totalstetig fUr t O. [" Nach Siebert [61J ,1.Satz 1 sind die MaR>e &(tA) totalstetig fUr t>

>

31

D.Trager stetig einbettbarer MaR>e. Wir beschaftigen uns nun wieder wie in §5 mit dem Trager der MaR>e = C«tA). E.Siebert[ 61Jund D.wehn[67 ]gaben Bedingungen an, unter denen der Trager eines GauBmaBes mit der ganzen Gruppo Ubereinstimmt, andererseits wurde in §S gezeigt, daR> fur symmetrische A ohne GauR>anteil der Trager von ft mit der vom Levy-MaR> erzeugten Halbgruppe Ubereinstimmt und somit unabhangig von t> 0 ist. Es wird nun gezeigt, daR> diese Aussagen bei Storungen durch Poissongeneratoren richtig bleiben. Satz 6.4 L C s e i, eine abgeschlossene Halbgruppe mite E L. Es sei (fLt = tx(tA» eine stetige Halbgruppe mit der Eigenschaft, daS Tr(ft)

ft

0

L fUr alle t> O. Sei B = c1... ('I - [ ) ein Poissongenerator mit 0, e L Tr(\)-) L = L. Dann ist Tr( (t(A+B») = L fur alle t )0. Beweis : Wiederum entwickelt man [x(t(A+B» in eine Storungsreihe lX(t(A+B» = e-tOCvk(t)

G

10

wobei

vo(t) = G(tA),

Tr( vo(t»

= L fUr

t

> 0,

65

V

+ (t) k 1

fot,& (rA) V

= of.-

vk(t-r) dr.

Durch Induktion beweist man, Daher ist Tr(L vk(t» Korollar 1

= Tr(

&

Tr( vk(t»

= L fUr t) 0, k) 0.

(t(A+B») = L

o

fUr alle t> 0.

sei eine zusammenhangende lokalkompakte Gruppe, A sei ein

striktes

Funktional im Sinne von SiebertI61J

, B sei ein

Poissongenerator, dann ist Tr( &(t(A+B») = (] fUr alle t > 0.

& (t.A)

[Unter den angegebenen Voraussetzungen ist nach [61J Tr( fUr aIle t> 0, mit 6.4 erfUllt.

L:=

0

sind daher die Voraussetzungen des Satzes

]

Korollar 2 Sei (It =

(tA»

eine stetige symmetrische Faltungshalb-

gruppe ohne GauR>schen Anteil mit Poissongenerator Dann ist

Levy-MaR>

mit Tr( V- )f O

° ist,

=

Dann ist v (t) = t,.(tA), daher o

= Tr(

die Trager der

(t (A+B») zu bestimmen: Sei B = 0( (V-

Tr(

(

L(Tr(Y')

Man betrachtet wieder die Reihenentwicklung

Tr(v (t» 1

=: Lund wen-

Der Beweis des Satzes 6.4 erlaubt es, unter der Voraussetzung

der Trager Tr( dann ist

>.

Tr(1)

ICMan wendet Satz 5.2 an, e r-ha Lt det abermals Satz 6.4 an. Korollar 3

=

Tr(v (t» 0

L)k

-)-. =

-E ) e

vk(t)e-

tq

= L, weiter

[x(rA) V- &«t-r)A) dr) = (L

Tr( v) L u n d

analog beweist man durch Induktion, daR, Tr( v k+ 1 (t» = Tr( = L ( Tr( V)L)k+l -

t,(rA) .] q

-V-

= ( L Tr(v )L(Tr( V)L)k-

II: Mischungen erzeugender Distributionen und Zufallsentwicklungen

Der zweite Teil der Arbeit sich mit Mischungen erzeugender Distributionen resp. Generatoren von Faltungshalbgruppen. Obwohl nahezu Aussagen auf Halbgruppen komplexer Ma£e Ubertragen werden k5nnen, werden nur Halbgruppen von WahrscheinlichkeitsmaBen betrachtet: In Teil IV wird gezeigt, daB die Betrachtung komplexer MaBe nichts wesentlich Neues bringt, andererseits scheint es in Hinblick auf Anwendungen sinnvoll, sich wie in Teil I auf Halbgruppen von WahrscheinlichkeitsmaBen resp. auf Mischungen von Distributionen aus zu In § 1 werden Mischungen erzeugender Distributionen eingefUhrt; dazu ben5tigt man einige die die verschiedenen schwachen Topologien in vergleichen. Wichtig ist insbesondere der Hilfssatz 1.3, der Bedingungen angibt, unter denen eine Folge von Mischungen konvergiert. In § 2 werden Beispiele von Mischungen betrachtet: Distributionen, die unter einer kompakten Gruppe von Automorphismen invariant sind, Subordinationen von Faltungshalbgruppen und die lassen sich als Mischungen erzeugender Distributionen In § 3 werden Mischungen spezieller erzeugender Distributionen betrachtet: Es wird gezeigt, da£ Mischungen von GauB'schen Distributionen stets wieder GauB'sche Distributionen ergeben. Eine Aussage man unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen auch fUr Poisson­Generatoren. In § 4 werden nun die Halbgruppen betrachtet, die durch Mischung der Generatoren entstehen: GestUtzt auf ein Resultat von T. Kurtz kann man zeigen, daB die entstehenden Halbgruppen durch Zufallsentwicklungen dargestellt werden k5nnen. Es zeigt sich, daB der in diesem Zusammenhang kUnstlich anmutende Satz von Kurtz 5 im FaIle der Mischung von erzeugenden Distributionen natUrliche Anwendungen findet.

0J

67

1

§

Mischungen erzeugender Distributionen

Defini tion 1.1: Seien finiert. Weiter sei ----'t>

aIle t e

§, JJ

alle f E!lJ

)

wie in Teil I de-

(Jl, zr,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum,

Ftv e

) sei

(§ ), iUO = iUtJ(

= J)

sei eine s chwa ch me snar­e Abbildung, d h , fUr i

Fev (f) me sbar , Weiter sei F EO

tv

!YIP( q)

und fUr

sei F (f) =/n. Fw (f) dP (0). Dann heHt F Mischung der

£

{Fc.JJ, P heiR>t MischungsmaR>. Fist also das schwache Integral F

=

dP (0).

F0

1m folgenden werden die

G­Algebra

Jl

'0

und

ein lokalkompakter Hausdorff­Raum und

der Borelmengen auf.fl

se i.n , In § 3 wird aus at z Li ch

vorausgesetzt, daR>..Q das zweite Ab z ah Lbar­ke Lt s ax i.om erfUllt. Gelegentlich wird eine etwas allgemeinere Form der Mischung betrachtet: P ist dann ein positives RadonmaR> auf

Jl

und es wird vorausgesetzt, daR>

aIle auftretenden Integrale sinnvoll sind. Wenn

Jl r;j

-kompakt ist, dann

sind die beiden Mischungsbegriffe aquivalent: Es gibt dann ein WahrscheinlichkeitsmaR> Q auf

Jl ,

so daR> P.« Q. Sei"r:= dP/dQ die Radon-

Nikodym­Derivierte, dann ist F =

=

'f(I.J) Fcv

£

'

Sei nun IE (§) C E'(S}) der von

;n

Fw

dP (tJ) =!n. Gw dQ (0) mit

(£) und den Konstanten aufgespannte

lineare Raum. AIle Distributionen aus

seien wieder (wie in I )

in natUrlicher Weise auf IE (q) fortgesetzt. Ein Netz {FocJ c:;; konvergiert gegen F in (&]) resp. (/ (IE), wenn Foe (f) ­­­­PF (f) fUr alle

rs rJ) (§ )

G

resp. f(; [E (0) konvergiert. Darin gilt der

Hilfssatz 1.1: Sei 6)

__

alle

rc

FGJ

!IW

(q)

ein Wahrscheinlichkeitsraum, es sei eine Abbildung, so daR>

IE (§) und so daR> c (f):=

Dann existiert fUr aIle fE

1 Fw

(f)

koo

fUr alle fGIE (2)'

IE (§) das Integral

F (f):=

1.n

F (f) dP W

und das so definierte Funktional liegt in;HP( Mischung der Familie { FtJ} •

Fc..) (f) mefsb ar' ist fUr

(.J

(W)

r) ),

Fist also die P­

68

Beweis: Sei fUr jedes 0 wahle

vonF0 (s.1.§2),weiter das man eine kompakte Einheitsumgebung Uc;} . Dann kauri man mi t te ls

des Zerlegungssatzes (s. I, Satz 2.2) FIJ FOJ =

mit Tr

+

Dabei ist ::\4/= (

darstellen in der Form

fUr a l.Le zo und

is

-1 .

twl

l UE M

(§) und

Aus den Voraussetzungen folgt nun sofort, und

Cw

Ee )

(

(f)

= C

C

w

w :=

tup c6J

\ U dfll-lJ •

const(U)

und beschrankt ist fUr alle

te C FUr alle fb C (§) existiert daher das Integral F(2) (f):=

Ee )

jc

Jl

w

Poissc:n-Generator, dessen Trager in Es genUgt daher zu zeigen, und Ln

MO

(q)

(f) dP (W), F(2) ist ein

(0 \ U) v {e}

auch F(l):=!

liegt. FJ1) dP (lu) existiert

liegt.

Nun ist zunachst fUr alle fE

(q) das Integral F(l) (f):=

(f) dP (Q) definiert und natUrlich ist das Funktional F(l)

:=

fast positiv. Es ist also zu zeigen, die Normierungsbedingung von Siebert ,s.1.2.1 (ii),erfUllt ist: Sei also u es L in U und i

>

u

weiter sei HJ= sup { F

1

) (f); f f" H u}

Dann ist fur jedeskJ = O. da F

1

)f

AW

•

1 1 ) (f) = 0 fUr alle f e H ) ) c; U- folgt daraus, d afs Da aber Tr u und daher ist auch F(l) (f) = 0 fur f E H also F(l)E Cl u' Hilfssatz 1.2: a) Sei F£!i1O( mit u:::: 1 in einer Einheitsumgebung und 0

Weiter sei u u

E

08

(§)

1. Dann ist -F(u) =J?2..(]-u).

0).

b) Sei { F } ein Netz in J weiter sei FE;J1O( Es konvergieren Fe{ - l > F in G (d)). Dann konvergiert Foe.. (f) ---P F(f) fur jedes f6

das sich in einer Umgebung der Einheit wie eine Funktion aus (@) ver ha Lt ,

Seien'1.

101. die

Levy-MaR.e von F. Foi. • dann gilt fur j ede Umgebung U

der Einheit: Die Einschrankungen

1/

konvergieren schwach gegen

69

Beweis: Es sei F(l) definiert wie vereinbart, also F(l) = F(u) + i ( l - u ) . Sei wieder H wie im Beweis des Hi1fssatzes 1.1 gegeben, dann ist u

c«

F(l) = SUP{F(f) :

Hu}= F(u) +'10-u) = 0, also F(u) = -'1(l-U).

b)!YJ' l'fJ.r/...seien die Levy-MaP.>e von F, Nach a) ist F(u) ='1(u-]), Fc( (u) =''t,/u-:O. Aus FC(. (u) -4> F(u) fo1gt dann 1oc.(]-u) -1>'1.(l-u).

rzJ

Da die Levy-MaP.>e nicht negativ sind und. da ]-u iicht negativ und auP.>erhalb Tr (u ) identisch 1 ist, fo1gt U in der schwachen Topologie. Daraus folgen sofort die Ubrigen Behauptungen. Cl Der folgende Hilfssatz gibt nun einige Bedingungen an, unter denen Mischungsintegrale existieren; weiter werden Fo1gen von Mischungen betrachtet: Hilfssatz 1.3: Jl sei ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, 1rsei die G -Algebra der Borelmengen aufJ1 . P sei ein regulares Wahrscheinlichke Lt smas auf (il,'(). Weiter seiJ};;>4.J ---:l> eine Abbildung, so daP.> eine der folgenden Bedingungen gilt:

2J

(i)

FUr aIle fE

(ii )

FUr aIle t «

(iii) FUr aIle frf (iv)

ist

8J

FUr aIle f

ist

IE

--1> -Ti' W " in C(..Q ). ist W -'J> Fw(f) in C(Sl). W

W ----P-

FC\) (f) in C0

eil) .

ist w --:p F co (f) in Co

«».

Dann gilt: Jede der Bedingungen (ii), (iii), (iv) impliziert (i). a) Aus (i) fo1gt, daP.> die Mischung F existiert und in liegt. I b) sei{p"c::J ein Netz in Ml (ll), das schwach gegen PEM (lL) konvergiert. Es seien Fex. : = Fw dPoc «». Darin konvergieren F0\.. ---'l:>F:=

in

J..n

= Fw dP(G) in 6 (clJ). Wenn au se rdem (ii) erfilIlt ist, dann konvergieren Fo(. - 9 F in r;; (IE). c) Es ist

>

d) Es seien Poc ' P,

(ii) und

>(iv).

F wie in b) gegeben, und es sei (i) erfUllt.

J2.J

Wenn entweder (d.l) { Fev, (J e g Lei.chmafsLg straff ist oder (d.2) die Bedingung (iii) erfUllt ist oder (d. 3) { Pol} gLeLchmajs.ig straff ist,

70

dann ist{ Foe}

g Lei.chmajs.ig straff.

e) Seien PoC.' P, Fo(.' F wie in b), Fc(.' F in;/1{)(§') und es gelte (ii). Dann konvergieren die Faltungsoperatoren (R F - RF ) f 0 fUr alle 0 0

ein

kompaktesJllc-O.., so daB Po i

{Fat}

ist g Le Lchmafs i g straff, wenn

konvergiert R F

«:

Anwendung:

---:t>

R f F

{PIJ(.}

g l e i.chmdjs.i.g straff ist und es

fur alle fE

Seien die Voraussetzungen des Korollars erfilllt - in dem

§

folgenden

f

2 geben wir eine Reihe von Beispielen, in denen dies

offenbar der Fall ist - dann liefert der Konvergenzsatz unmittelbar

&ct F0

(t F).

Eine Anwendung der Lie-Trotter-Produktformel liefert ilberdies:

lim C(..

Also ist

lim [

N->oo

I \ i=1

ex

(

"'-

a.

t

__ l

N

t

(t F).

F) approximierbar durch Faltungsprodukte elementarer

PoissonmaBe,

falls die Fw elementare Poissongeneratoren der Gestalt Fw=C(w)([x(W)- ee) sind. Diese spezielle Approximation durch Faltungs-

produkte elementarer PoissonmaBe wird in H. Heyer

[35J .

[26, 28] behandelt, s. auch

Wir gehen in II § 4, 4.4 nochmals dar auf ein.

73

§

2

Beispiele

2.1: Sei eine lokalkompakte Gruppe, sei die Gruppe der Automorphismen von • Ehe die Topologie von A(;j) festgelegt wird, b eno t Lgt man den Hilfssatz 2.1.1: Fur alle Funktionen f auf sei 1:' f fur definiert durch 'Tf(x):= f('t'(x)), XE (jj • Dann gilt: =

=

1:'E

J)(;}).

I(C c (§ ) ) =

[ES braucht nur die letzte Aussage bewiesen zu werden. Sei

G1 'l;"G: A(fJ). Die Abbildung 1:' - ? 7:" ist stetig und homomorph, daher sind die Bilder kompakter Untergruppen K kompakt in ); diese sind §.hnlich zu Gruppen orthogonaler Transformationen. DarUberhinaus ist zu erw§.hnen: Wenn F GauB'sch ist, dann ist natUrlich auch f(F) GauB'sch fUr a l Le t:e (s , I, Satz 2.5). 2.2 (Subordination): Ein Subordinator ist der infinitesimale Generator einer Halbgruppe von Wahrscheinlichkeitsma£en auf R die aIle auf der positiven Halbachse I, konzentriert sind, i.e. ein Paar (c,N), wobei c ) 0 ist und N ein auf

konzentriertes nicht negatives Rad onmafs mit

leO

dN(t)

0+

Tx(f):=

bution und die Abbildung x

-1>

Tx(f) ist fUr jedes f ;()

stetig und

beschrankt; der Trager dieser Abbildung stimmt mit dem Trager von f Uberein, ist also kompakt (I, Definition 2.0). Abgesehen von der Existenz einer Hunt-Funktion bleiben alle Aussagen

Ci eine

richtig, wenn

beliebige lokalkompakte Gruppe ist (s , I §2, [60J ).

Ahnlich wie beim Beweis des Satzes 2.2 zeigt man nun, daB die Darstellung (2.3) als Mischung von Generatoren gedeutet werden kann: eine Lie-Gvuppe, weiter sei

Satz 2.3.1: Es sei

D::{WoJ v{w11u {Cir \(e)j

(wobei w und isolierte Punkte sind). o 1 Dann definiert man mit den oben vereinbarten Bezeichnungen: F GJ •o

T, F(J

1

-h

G, F . x "'('IX)

. -

J0\

Weiter sei a;=

Y

(x ) d

(e)

12

(E x - Ee -

T ) fUr x x

E

-,

(e ) .

(x ) und ein WahrscheinlichkeitsmaB

l

'\E M (§\{e}) sei definiert durch :A-(f):=

f (x ) d'1(x).

SchlieBlich sei ein WahrscheinlichkeitsmaB PE Ml(il) definiert durch

([0. + o

p:=

E(,)

1

+A)·

Dann gilt: Fist die P-Mischung der { F =

b

Fw

2.3.2: Sei

dP (W), wobei wieder F

W

L!J

die Lie-Algebra von

gewahlte Basis von

q . Dann

t, ;=

CJ (;

Jl},

(2+a) F

w

Le. gesetzt wird.

0-

und Xl' •.. , X sei eine fest n kann man jedes primitive T in der Form

T = .L... c.X. darstellen, ebenso kann man eine reelle positiv semiJ. J.

77

I

definite Matrix (c . . ) finden. so daB G J..J

c .. J..

J

x.x. J. J

(s .

l§O

J

oder

Bei fest gewahlter Levy-Abbildung kann man lokale Koordination Ii (.) t'Lnden , so daB T (f) : [' f(x) : (x ) X. (f). also T : f . (x)X .. x j J. J. X L J J. J.

I. [.

J

Es sei f.jj +;: { (xl ..... xn). x i.)- 0 und U (@) sei die Gruppe der orthogonalen Transformation Q : _Cj} (bezilglich der fest gewah Lt en Basis Xl •...• Xn). Da man jede positiv semdefinite reelle Matrix in der n) Form (c . . ) : U(d. u- l darstellen k ann , wobei U6 (lA ) =- rJ (R J..J

J.

J

o

J. .) J..J

(f

und (d i ij) eine Diagonalmatrix mit nicht negativen Elemente d i• also bis auf Isomorphien ein Element von {jf+r:!Rn't (f - + J.S • Daher kann man folgende aquivalente Form des Satzes 2.3.1 angeben: Sei U iff + x (J )u (e) g-' Rn u x (Rn) u (e) ). versehen mit der Summentopologie.

o

J1 ::

(q \

L

Weiter sei 1';., ::

c.J. X.J. fUr falls (c . . ) : U(d. d. . ) u- l IN

J.. J

UE () (R

n

J.

) ; FI.J;:

T\xJ

J.. J

(E x - [' e - L- jr.i (x )

X.) J.

Dann gibt es ein WahrscheinlichkeitsmaB auf

0

fUr W :x E • so daR> F :

"(e).

In

FCJ dP (W)

eine beliebige lokalkompakte Gr-uppe , FE' MO( ). - > c:Z) sei eine Levy-Abb i Ldung , Dann gibt es wieder eine primitive Distribution T. eine symmetrische GauR>'sche Distribution G und ein nicht negatives RadonmaR> /Yl (Levy-MaR» auf G'-Ce) • so daR> 2.3.3: Nun sei

r :(}) (0 )

F: T + G +

(g )

f(j\ce)

([x - [e - T x )

-

0,

W

­?

° und

F

c.J

=0­­ ([ CJ

x

­

t e)

C(W ist stetig und P­integrierbar und es

T(JdP«(J) = 0.

[Der Beweis wird wie in Satz 3.3 geflihrt: Zun1ichst folgt aus Satz 3.3, daB Ow = 0, P­fast liberall.

+

83

Nun sei 00 E. Tr(P). Angenommen, e s gabe ein Y im Trager von Feu

f

f

e, Y

liegt. Dies bedeutete, daB fUr aIle fE

o

iJ-,

x in

jJ) :

das mit

f(y) = 1, die in einer Umgebung von x und e versehwinden, gilt: FG)

o

Da

(f) =

(.J

1,

o.

(f)

00

Fc.; (f) stetig ist, gibt e s eine Umgebung U(CU

--;l>

>0 };/0 (f)dP(6J) > O.

FG.J (f) = '24.1 (f)

fUr alle WE U (4.1

Das bedeutet aber gerade, daB y

e

= C(W

Vor-aus se t z ung , Somit muB und aus der Stetigkeit von

w ->

0

) ,

daher ist auch

o)'

so daB

Tr 0'), also ein Widersprueh zur

tx

P-fast sieher sein. Daraus fE

FCJ(f),

c2;

(ca) folgen die Ubrigen

Behauptungen. ] Bemerkung 1: Man wUrde nun annehmen, daB eine ahnliehe Aussage aueh fUr beliebige Poisson-Generatoren gilt, dies ist jedoeh falseh: Sei sei

g = Rl,

eine stetige Halbgruppe, die nieht Poisson'seh ist. F sei ein auf (0,00) konzentriertes

die erzeugende Distribution. Weiter sei

= O.

WahrseheinlichkeitsmaB mit

Dann kann

als Subordinator

aUfgefaBt werden, namlich (c=O, N=A) in der vereinbarten Schreibweise. Sei V\ = exp(t(A - [

(ft f r oo

=

0+

s d

0

(s ) ,

)) die von A erzeugte Halbgruppe und sei weiter 0) die untergeordnet;, Halbgruppe. Deren er-

zeugende Distribution hat die Gestalt H = s

Eo'

-

s /s

i l l (/J-

-

[ ) S dA(s) + 0

Setzt man nun H'o fUr s

> 1,

F ' Hs·.-

J

0,(0)

!s (fA 'I s

und definiert PI E"

dann ist H

0+

E0 )dA

(fA. -

s

/

(s)

=

ist also Poisson-Generator

Nun stelle man H in der Gestalt H =

-- JIf[

J

Pl-Mischung der {H

JOO ({s - [ 0+

0

rs - (0)

- [

0

)

)d?t.(s) =

(s)

fUr O.ss

durch PI (f):= s'

s.(oo }. s

-.J>

dar. H:= s

J:

'rs -[ ) 0

f(s)min(s,l)d'A(s),

Hs(f) ist stetig

fUr 0 O,Poisson'sch ist, aber F

ist im Ursprung konzentriert, be-

o und einen primitiven Anteil.

sitzt also nur einen

findet dagegen mehrfach falschlich die Behauptung, Anteil stetig abhang e , s ,

[60J,

Theorem 3, [

:501) .

der

(Man

85

§ 4

Zufallsentwicklungen

4.1: Es sei F eine Mischung von erzeugenden Distributionen, seien die von F resp. erzeugten Halbgruppen in dann ist es naheliegend zu untersuchen, wie;Ut durch die Familie dargestellt werden kann , Wenn Jl endlich ist, liefert die LieTrotter-Produkt-Formel (s. o. § 5) eine befriedigende Antwort. Allgemeinere Aussagen erhalt man mittels des folgenden Satzes von T.G. Kurtz (s. [45J), der im FaIle von Faltungshalbgruppen naturliche Anwendung findet: Satz 4.1: J2 sei ein lokalkompakter Raum, der das zweite Abzahlbarkeitsaxiom erfullt, weiter sei x(t,.) ein reiner SprungprozeB mit Werten in

12.

f 51' §

Es seien 0' 2' ... die Werte, die von x (t , .) angenommen werden (-genauer muBte man r. (.) schreiben-), t. = t. (.) seien Sprungzeiten, 51 1 1 i und damit{ i] seien so numeriert, daB-[t i der GroBe nach geordnet sind. Es sei weiter D.1 = Ll.(.):= t.-t. N(t) sei die 1 1 1; N(t) Anzahl der Sprunge vor dem Zeitpunkt t, und es sei L\:= t Dk· k=l P sei ein regulares WahrscheinlichkeitsmaB auf Jl , so daB flir jedes f ( C von W A I stimmt mit ilbe r-ei.n -). 4J

/ [)

/(1 rn

Dann erhalt man: Fast sicher konvergiert

86

((. )

N 0 fUr alle f del' Ges tal t g£ £)

f

=g

*

+ g ,

).

Es sei kurz angedeutet, daB hier tatsachlich eine enge Beziehung zu Grenzwertsatzen besteht:

Sei

(r n, k) 1"-,k L eN ' die Einschrankung nicht trivial ist. Es seien (bei fester Levy-Abbildung T der primitive und G der symmetrisch-GauR>'sche Anteil von A. Dann definiere man B und C gemaR> B(f):= T(f) + G(f) +

r)

=

J

\U I'f(X)di(x) +}u'.ce)(f(X) - f(e)

-r f ( x » d1.( x ) ,

§\U (f(x) - f(e»d1(x) und man e r na l t

C ist Poisson-Generator

f

O.

:

C(f):=

A = B + C,

und

CJ

Verwendet man den in der Einleitung erwahnten Begriff der Halbgruppenfaktorisierung, so e r-ha Lt; man die folgende aqu i va Lent e Gestalt des Satzes: Satz 2.1": Es seien f(a(x)b(y). c(x)d(y)) = f o'f (x.y). Dabei bezeichnet :)--f --:l>)-f die Abbildung (x,y) ----"> (a(x)b(y). c(x)d(y)).

/l)

If!

Man sieht leicht. daB diese Bedingungen erfullt sind. wenn a. b. c, d topologische Automorphismen oder Antiautomorphismen sind. 1m folgenden seien a. b. c. d und damit fest gewahlt. __ 1/IJ(j-f) -pA1{)(Jf) sei (wie in I. Satz 2.6) durch (A)(f):= = A(f0'P), Af1!P(n). ff-SiJ (Jf) definiert. = Wieder gilt nat ur-Li.ch : Wenn A Gauis t s ch Ls t , dann ist auch 'f (A) GauE>'sch.

'f :

Y

1m folgenden Satz wird zudem vorausgesetzt. daP.> Al = A2 = Ao und daP.> a ( x ) = b ( x) = c (x) = x und d (x) = x-1 fur alle x E .i , e .

\f ( x •y) = (xy. xy -1 ) • Satz 3.1: Sei A eine Gaup'>'sche oder primitive Distribution (AoE o und sei '1: (x.y) ->- (xy.xy-l). Dann gibt es GauP.>'sche oder primitive Distributionen Bl• B so daP.> 'f(A) = 'f(A o ®fe + Ee ®A o) = 2•

101

Beweis: Sei zunachs t = Al «f 0 a)(g 0 c»+ + A2 «f 0 b) (g 0 d». Unter obigen Voraussetzungen gilt daher (A)(f Q9 g) = Ao(fg) + AO(fg>t). wobei g*'(x) = g(X- l) ist.

q-

Nun zerlegt man Ao in kanonischer Form: A = P + G. o Dann gilt: 'f(A)(f ® g) = P(fg) + P(fg-lC') + G(fg+fg*) = P(f)g(e) + + f(e)P(g) + P(f)g(e)-f(e)P(g)+2(G(f)g(e)+f(e)G(g»=2«P+G)(f»g(e) +

E

® e + Ce ® 2G)(f Q9 g)=(2A 0 (A +A"') ) t r ® g) • D 0 0

+ 2f(e)G(g)=«2(P+G» +

£e +

e Nun betrachtet man die Umkehrung: Es seien Ai' a, b. c. d wie in (3.1) gegeben. Wie mUssen die Distributionen Ai beschaffen sein, damit man erzeugende Distributionen Bi finden kann , mit f (A) (Al e + + e ® A2) = B l ® t e + [e ® B2• Man erh1ilt den

=\f

t

Satz 3.2: Seien Ai'

®E

wie in (3.1) gegeben, und es sei

t

A = Al ® t e + e ® AZ• Wenn es erzeugende Distributionen (A) = Bl ®[e + Ee ® BZ' dann oder entartet.

if

gibt. so daB Al, AZ' Bl, BZ ( IP +

s.

Gauf.,'sch

Beweis: Man stel1t zun1ichst Ai und Bi in kanonischer Form bezUg1ich einer fest gewahlten Levy-Abbildung r dar (s , I, 2.1): Ai = Di + Lp

B.

1.

= E.1.

+ N .• 1.

Dabei sind D., E.1. die Antei1e von 10kalem Charakter (6 + $) und 1. Li, Ni sind Distributionen ohne Gaufs t s che n Ant e i.L mit Es seien r , gGJ) (§ ), dann gilt fur f ® gec2J e gem1if., H

2

Prop. N. 8, Theor mE N. 1) ansurjektiv ist.

2

an, so er-ha Lt man, d afs auch

surjektiv ist. Nun sei FE

Co

ein endlich dimensionaler Vektorraum ist,

kann man die Ergebnisse von Faraut wenden und er-na Lt , dafs

'I' :

x T) sowie

t:

P

l

---;;. Hl

beliebig. Dann zeigt der Zerlegungssatz, daB man F in

der Form F = F 1 + F 2 zerlegen kann, wobei Tr (F 1) C;; U und wobei F 2 ein beschranktes MaB ist; aus den angestellten Uberlegungen folgt, daB

t

ein Fi E P existiert, so daB (Fi) = Fl' Der Hilfssatz 2.2 liefert die l Existenz eines positiven MaBes F auf T mit y(F = F 2.

2

ist gezeigt, daB es ein F' = Fi + F 't(F')

!=l

= F.

2)

2 in

x T) gibt, so daB

Durch Betrachtung der Extremalpunkte geeignet gewahlter konvexer kompakter Teilmengen von wie in

[18]

fjj' (1J. x

T) resp.

,de(

)

kann man noch ahn Li ch

zeigen, daB F' dissipativ gewahlt werden kann.

Darauf soll aber nicht naher eingegangen werden. Vielmehr 5011 hervorgehoben werden, daB F' nicht eindeutig ist: iy Sei M(T), so daB IT e d(-(e i Y) = O. Dann gilt fUr jedes

IE daB t ('Y®r)

o.

Es ist nam L'i ch fUr alle U [

qXT

) :

=.tf 'j

T

k

(y- ®r)(x)

=

eiYf(x)df (eiY)dV'(X) =

f(X)dV(X»'(!T eiYdf(eiy» = O. Allgemeiner gilt fUr alle 'pGM(T), V'f'M(§')

:

t

(V-®jJ-)(f) =V(f).f (X),

wobei X die Abbildung X : eiYE T _ _ e i y E ([; bezeichnet. Sei insbesondere V = [e'

r:

If ®/J= [ ® (J leT

W T

Elf

AIO (T),

E(e ,It ;f1,/)(

dann ist x T)

und es ist

116

'6 da

i wT( !o sie ein System bilden, daraus folgt, daR> F':: lim F ' die Bedingung \'(FI) : F ex.. 0( il erfUllt. r=J Der Beweis des Satzes 2.1 wurde nur skizziert, da auch ein anderer Beweis, der nicht explizit die verwendet, aus einem Resultat von J.P. Roth (s. [53J , Corollaire 1) abgeleitet werden kann. Die hier angegebene Beweismethode scheint jedoch besser in den Rahmen dieser Arbeit zu passen. Dies zeigen auch die folgenden Uberlegungen: ® Sei nun eine Lie-Gruppe, (jj die Lie-Algebra und es sei F e de (§). Weiter seien U und V Einheitsumgebungen in 0 und , die vermoge exp homoomorph sind. Man darf nach dem Zerlegungssatz annehmen (unter UnterdrUckung eines Co@ -beschrankten Anteiles), daR> Tr(F) U liegt. _ Es gibt dann ein FIE: de U}) mit V, so daR> exp (F I) : F.

117

Weiter gibt es nach Satz 2.1 ein FiEtf(yx T), so daB

(Fi) = Fl'

Da Fi auBerhalb jeder Einheitsumgebung ein beschrAnktes positives MaS ist, kann man mittels der kanonischen Einbettung T [o,L7\ Rl die Torus-Gruppe T auf naturliche Weise in den euklidischen Rl einbetten. Insbesondere wird daher

(@

Rl) (Rn + l) eingebettet. Definiert man nun t" : Co (@) C(f.(j x R l) durch dann lASt sich zeigen, daB dadurch wie im Falle , ye R l, 't: Co(fJ ) --1:> Co x T) ein Kegelhomomorphismus

(0

t"

x T) in

f(x)e

)

x Rl) definiert wird, der wieder surjektiv ist. Es g i o t also=.ein Fi'6jJ «/jx R l ) f(R + ) , so daB x[O,2 5r) n l und so daS C" (Fi') = Fi· Die Levy-Hincin-Hunt-Formel auf dem Raum Rn + l Rl stimmt jedoch mit der klassischen Levy-Hintin-Formel uberein, auf diese Weise wAre somit eine explizite Darstellung der Distribution F = exp (F l) = = exp ;( 1 '(Fi') gefunden. Auf Details sei an dieser Stelle nicht nahe reingegangen.

iy

118

§

3

Stetige Halbgruppen komplexer MaBe

Definition 3.1: Eine schwach stetige Halbgruppe von MaBen

(ft' t;;'

\I

(i)

0,

to

=

ttll

e) in M «(j ) heiBe

E

von Typ H [resp.

[resp. wenn ein c:?- 0 existiert, so daB

1

wenn

/I

tt

ll

e

c t],

(ii) wenn der Definitionsbereich des Generators der Halbgruppe der Faltungsoperatoren den Raum

dJ (0' )

umf'afst ,

Es ist also (tt) genau dann von Typ H@ , wenn es ein c ,-tc ) , i e von Typ H a s t ,

gibt, so daB

tt

Die Bedeutung des

§

2 wird durch den folgenden Satz erklart:

Satz 3.1: Sei (tt) von Typ H [H@], dann ist das Funktional

(10

F: F(f) =

in J{'(Ii)

Yt(f)- te(f)),

Umgekehrt gibt es zu j edem Ffdt' Typ H Lresp. H@J, so daB Die Zuordnung F

0A

(0-

)J eine

[ae®(S})J

Halbgruppe

V\)

von

erflillt Ls t .

ist bijektiv.

Der infinitesimale Generator der Halbgruppe [R!\, t

auf Co

(§ )

stimmt mit der kleinsten abgeschlossenen Fortsetzung des Faltungsoperators R F

:rJ)

(0 ) ---

C ( §. ) liberein. o

Beweis: Aus der Stetigkeit der HaIbgruppe (tt) folgt, daB

-tel,

f(f\- tel FE

£

inJf

t,?o

(0

) [dee (C}

J

il.

g Le Lchmafs i.g straff ist. Da auBerdem jedes MaB

liegt, folgt aus dem Konvergenzsatz, daB

Sei nun andererseits FE-de (l}), dann ist R :j) --.;;,.. Co(q]) ein F dicht definierter Operator, der auBerdem dissipativ ist. Da die Voraussetzungen des Satzes von Hirsch (s , o. ij Ii

)

erflillt sind, folgt

daraus, daB eine eindeutig bestimmte HaIbgruppe Y't) von Typ H existiert, so daB RF die Einschrankung des infinitesimalen Generators aufJ? (§) ist. Weiter stimmt die kleinste abgeschlossene Fortsetzung von

(S)) mit dem infinitesimalen Generator der Operatorhalbgruppe {RJ\} liberein.

0

119

Y

t

Nun seien wieder und wie am Beginn des § 2 erklart. Zunachst Uberlegt man sicht :=icht, M x T) ) ein Algebrenhomomorphismus ist: ist namlich sicher ein Vektorraumhomomorphismus.

6

Weiter ist

t 'r

(f)

=

t eii V')

=

=

r r

r V(tf) =J(jr

§'XT

t:

xT

L

e ( i.e. 1v.. = un i.t ar-e MaR>e ()'-f'" = E ),

r ),

e

nilpotente MaR>e und Nullteiler und schlieR>lich teilbare MaR>e und gleichmaR>ig stetige Halbgruppen. Mit der letzten Klasse wird das zentrale Thema wieder aufgegriffen. Definition 5.1

Q(§) sei die Halbgruppe der komplexen MaR>e mit

( Halbgruppe der kontraktiven MaR>e ), Qo(0) sei der Rand der Einheitskuge 1, .i , e. Qj

(

q) := [f

Q(

(!

r;)

mi t

/1/11

=1 ].

In Hilfssatz 2.2 wurde gezeigt, daR> es zu der Abbildung

t:

M.. (Gx T)

f(r)(f)

-p

:= r(f@'X.),

eine rechtsinverse Abbildung mit

:=

))(f)(f)

L

f(x, df (x)

'J

wobei eine Version der Dichte Abbildung von es ist

IIJ(f

M(0)

df< /d

II r (.)

=

d)«»

)1/ =

lit II ,!J

=

so gewah Lt war, daR> sie als

t)f

raum - noch Faltungshomomorphismus ( wahrend

f

M(G) ist ).

Urn zu zeigen, daR> Definition 5.2

:3 1 ( I )

:=

j

'r ) + I

r

M(Gx T) T»

-;>

/I f

1/

i (JT

ein schwach stetiger

= Q(§), definiert man weiter sei die Abbildung

->

1-

= id ,

ist positiv homogen, aber weder Vektor-

Algebrenhomomorphismus

f:

d1r!(x)(f),

x 'dr' x

T aufgefaR>t werden k ann , Dann ist

---'7

id

M+(tjXT)

---Y

) d!r(X)

dit'

-:t:T

.

Dann gilt der Hilfssatz5.1

a) id

insbesondere

t(M

M+(L - fas t Uberall, dann is t I \I (x.,) 1;0 1,

ist aber andererseits dann

o£l

:

1.

e in Purik t mafs

Punk t mars ,

sup{l'l(f@7(.,)!

I Vx (x)!

1.

( dim(D»-1/2

de

ae

sei der Charakter der Darstellung D. Dann ist idempotent mit Ilrll=

.LJ§

(dim(D»1/2

>

1.

]

Beschrankt man sich dagegen auf die Betrachtung der Idempotenten in so erhalt man die selben Resultate wie im kommutativen Fall: 2 Sei t- 0 Q ( 0 ) = -t O. Dann istj(;Ql(q}) gilt :

r

t

Satz 5.2

(i) Es gibt eine kompakte Untergruppe H C

X

T, s odais

(ii) Es gibt eine kompakte Untergruppe K = (= stetigen Homomorphismus)

(iii) H = {

!J(!')

(x,

Je(x») :

= LJH

Beweis:

0"-

J ' 'r'

dlJK(x)

Aus

Daher ist

xc K

;}e:

';]

o

stetig in beiden Richtun-

r,

bezliglich del' schwachen

]

Jede Gruppe

gruppe von

N(K)/K

resp.

j ' ).

N(K)-'YN(K)/K stetig sind.

schwach stetig. SchlieBlich sind die Abbildungen -":>

i

3 = J(

0X T

r{;

ist stetig- homomorphes Bild einer Unter-

.

CSeien{ (x/"DCr)jwie im Beweis des Korollars 2 gew1i.hlt,dann setzt man

r2

: =[

XT

(x

t

.oI

t

)H

J.

Offensichtlich ist

Nun betrachtet

EG. IH --e> £(x,cX) (JH

r;

den Homomorphismus

E-/1

eine Untergruppe von N(H)

r

(x , (J( ) G -':> (x, C() H 2 und er-ha Lt die gewlinschte Beziehung. "]

C. Nullteiler und nilpotente MaBe.

Wir heben nun an einem Spezialfall die wesentlichen algebraischen Unter-

129

schiede zwischen den Halbgruppen

X T) und

Q(§) hervor : Wahrend

Nullelement zu besitzen braucht - es existiert genau dann

G kompakt

ein Nullelement, wenn

ist - hat

stets eine Null, nam-

lich das NullmaB 0, darUberhinaus kann man in vie len Fallen Nullteiler angeben. Zum Beispiel, wenn Q(0) ein nicht triviales idempotentes MaB [1 etwa

Ee

0, [1

und

besitzt,dann besitzt Q( ij ) auch nicht triviale Nullteiler, 1 ({e-[l)·/lce- [111.

fico)

Wir set zen

:=

r-

1

(0 )

n

1(!J.XT). ist eine abgeschlossene Unterhalbgruppe von M

Satz 5.4 a)

b) Sie enthalt stets idempotente Elemente, namlich samtliche HaarmaBe auf kompakten Untergruppen H mit

Hn (e,T)

{(e,1)}.

Daraus folgt c) JQ(O) ist kompakt genau dann, wenn kompakt ist. d) Nun sei separabel, jedes Iff M1 XT) sei in desintegrierter Form

G

dargestellt,

V' = fra x d

(q

A (x).

Dann ist I/EJ/(O) genau dann, wenn V:x (';t:) =0

- fas t Uberall!

Beweis :Alle Aussagen mit Ausnahme von b) sind offensichtlich. Urn d) zu beweisen, braucht man nur

t

V'x d

(x) ) (f) = 0, ff C(

fj.)

zu betrach-

ten. Heine kompakte

'0)

da

;j(CJ

H

T, H 1) (e,T)

J(

) idempotent in Q(q) ist,

x

H = {(x, ;)e.(x», x s

Sei andererseits

J.

H

n

(e,T)

t Ct:J

H

)

=

O.

Man weiB, daB M(

r;;..

die

H =[(x, d«x», xfK3und dann ist

0

und damit Q(

q;)

genau dann nilpotente Elemente

nicht kommutativ ist (s.H.Behnke [1

besitzen, wenn

->

dann gibt es stets einen stetigen

de:K ->T, sodaB

de. LuK

Dann ist,

= 0, sonst ware nach Satz 5.2

=[(e,l)}, sei

kanonische Projektion, sei Homomorphismus

()H)

J).

Weiter weiB

man, daB man fUr eine beliebige lokalkompakte Gruppe, die eine nicht triviale kompakte Untergruppe K besitzt, stets nicht triviale Nullteiler finden kann, die beide idempotent in

sind < Sei etwa de : K _

Q(

T

0 K und idempotent und separabel ist, dann liefert der folgende Satz,

ein nicht trivialer Charakter,dann sind Nullteiler ) Wenn

§

der einfach zu beweisen ist, eine Charakterisierung der Nullteiler resp. der nilpotenten Elemente in Q( Satz 5.5

Sei

§

1] )

se par-abe Lj v s Q(tJ X T)

sei in desintegrierter Form

V' = J(19 V- d IJ-. (x ) dargestellt. Dann gilt x a) Ifn f -.5"(0) , Le. t< y-) ist nilpotent mit Ordnung n , genau dann, wenn fUr alle fEe

(G )

f(x 1 ... x n) fTX(U1)dV-x1(U1)

iT

:{(u n) d V-xn(u n)

d,\n

=

o.

130

Dabei ist

n

=

Pr-oduk t majs

® " ..

r;

X " ..

l8??--.. auf

und?--"n bezeichnet in diesem Fall das

0- n

b) Sei uberdies)-'-G M1 «(j x T) in desintegrierter Form dargestellt,

't(j)

r=!@fxd(1 (x ) , danngilt: VfGJ'J(O), i.eY:(V') genau dann, wenn fur aIle f G C ( f(x 1x

f

2)

Iii )

T :{.(u 1 ) d V"x (u 1 )

d fX (u 2)

IT

1

=0,

d ?..(x 1 ) dC (x 2)

2

D. Teilbare Ma2e und Logarithmen von Ma2en. Definition 5.4

Ein Ma2

tl E Q(q)

hei2t unendlich teilbar in Q(

wenn es zu jedem nEIN eine n-te Wurzel in gibt,i.e. ein n flln = /'-1 (s. auch O. § 3, Definition 3.1).

),

1\/l Q(§

)

mit

Definition 5.5

b

Allgemeiner

r

Sei

M(§-) he i.fst; Logarithmus von idempotent , sei £.

E. - Logarithmus von fl 0

= expc: (tb).

Wir suchen nun in Analogie zu den PoissonmaR>en nach Bedingungen, die garantieren, da2

exp[ (tb)

Q(r:j) fur aIle t >O.Man erh1ilt sofort

0

fur alle t

B

A-B:=C ist die Einschrankung eines beschrankten, nicht

dJ (

MaBes auf

.

Dies ist gleichbedeutend dami t , daB die kanonischen

Darstellungen von A und B in folgender Beziehung stehen : Sei

r

eine feste

Levy-Abbildung, seien A = P + G + L

+ a [e '

B = Pi +G1 +L 1 +a E e die kanonischen Zerlegungen , P'P primitiv, 1 1 G,G 1 GauBsch, a,a reell, L,L seien die zu den Levy-MaBen 1, ge1 1 horenden Integralterme. Dann gibt es ein beschranktes nicht negatives MaB 12

mit 12.({eJ) = 0 und ein c

sodas

1. -17.1 + f/tYb /1 +

-Jrf

G = G1 '

= 12' P(f) = Pl(f)

a

c

a1

d12 '

und

Beweis : (i) => (ii) Es ist A(f) = lim (1/t)( Vt(f)-f(e))

lim

-

fee))

B(f)

§ ).

fur alle f" :

Sei A

B, C:= A-B

ist eine nicht negative Distribution,

(9).

daher die Einschrankung eines nicht negativen RadonmaBes auf

Aus der Gestalt von A und B folgt : AuBerhalb einer offenen Lieprojektiven Untergruppe ist das zu C gehorige MaB 12 beschrankt. Man darf sich also auf Lieprojektive Untergruppen und damit auf Liegruppen beschranken. daB

I C(f)

f e

Dann gilt aber - wiederum wegen der Gestalt von A und B,\ =1

(0)

}

1(

(i) . Dies folgt unmittelbar, wenn man

betA) =

Ex (t{B+C))

in eine Storungsreihe entwickelt. Es ist ja dann

&c t B)

&(t (B+C)) =

1 vk(t) + 0 aIle nicht negativ sind.

wegen C

,wobei die Reihenglieder v k(·) q

Damit ist im Prinzip eine Moglichkeit aUfgezeigt, minimale Majoranten aufzufinden. Wenn (rt)

§5{IJ-(fi t

d ann ist nach

("s(,to gibt mit

dann gibt es keine positive Majorante (denn fUr positive ('v't)

ist

11'v\11 = IIv1 11

t!).

Literaturhinweis: Positive Majoranten von (diskrete.n stetigenOperatorhalbgruppen wurdenin letzter Zeit mehrfach betrachtet, s.z.B. C. Kipnis, Majoration des sem.i.gr-oupes de contractions de L1 et applications. Ann.1nst. H. Poincare 10(1974) 369 - 384 und die dort zitierte Literatur.

VI

Anhang. Faltungshalbgruppen mit nicht trivialen idempotenten Faktoren

§ 1

Levy-Hin6in-Hunt-Darstellung

Bisher hatten wir stets vorausgesetzt, daB die betrachteten Faltungshalbgruppen

to

S/J.

nur triviale idempotente Faktoren besitzen, i.e.

= [e • Allgemein gilt : Sei t-> 1( von (0, (0) in M ;j'), dann

It

ein stetiger Homomorphismus t

:=

'

to

ist ein idem-

potentes WahrscheinlicbkeitsmaB und es gibt daher eine kompakte Untergruppe K

q,

10

s od ajs

das normierte Haarsche MaB cJ

K

kann nun als Faltungshalbgruppe auf dem homogenen Raum

auf Kist.

(/\)

jlK aufgefaBt

werden, oder, aquivalenterweise als Halbgruppe von K-invarianten MaBen

SI .

auf

Wenn

§ eine

Lie-Gruppe ist, dann laBt sich

durch die

erzeugende Distribution beschreiben, diese erzeugende Distribution besitzt eine kanonische Darstellung analog zur lim (l/t)(f 0

t-

f

)(f)

=:

A(f)

0

fur alle ff;J K(g)

:=

fc;g

= P(f)

namlich

+ G(f) + L(f)

: f'{xk ) = f(x) fur alle xU] , kt: K

Jl

( Cj), P K ist primitiv, G quadratisch und List ein Integralterm, der durch das

Dabei sind P, G, L, A K-invariante lineare Funktionale auf Le vymafs gegeben ist (s , G. A. Hunt

r 40J

).

Verwendet man wiederum die Bezeichnungsweise von E. Siebert [60], so erhalt man : Die erzeugenden Distributionen der stetigen Faltungshalb1 gruppen t ). 0.)' 0: in M sind genau die nor-m.i e r-t.e n , fast-

(G)

(f\,

positiven, K-invarianten linearen Funktionale auf cBK(lj'). Wenn nun

G eine

beliebige lokalkompakte Gruppe und K eine beliebige

kompakte Untergruppe von

ist, dann ist bis heute keine vollstandige

•.

,

• v" •

Ubertragung des Huntschen Satzes bzw. der Levy-Hlncln-Formel bekannt. Und zwar laBt sich die eben genannte schwache Version von Siebert ubertragen, wie im folgenden ausgefuhrt wird, dagegen ist die Existenz einer K-invarianten Levy-Abbildung und daher auch die kanonische Zerlegung einer erzeugenden Distribution noch nicht bewiesen.Dies rechtfertigt es, daB wir uns stets auf MaBhalbgruppen mit

/

0

= [

e

beschrankt hatten,

nochdazu)da die auftretenden Schwierigkeiten nur technischer und nicht prinzipieller Natur sind. Fur spezielle homogene Raume ,

(z vBv s ymmet.r-d s die Riemannsche Raume)

die so beschaffen sind, daB die Algebra der K-invarianten MaBe kommutativ ist, wurden Faltungshalbgruppen (komplexer MaBe) und ihre erzeugenden Distributionen eingehend untersucht, s.z.B. J.Faraut

[19

J,

F.Hirsch, J .P.Roth

[38].

, K.Harzallah

137

Die folgenden Uberlegungen zeigen, wir in der Lage sind, ausgehend von der Huntschen Arbeit und mit nur geringem zusatzlichen Aufwand den Zusammenhang zwischen erzeugenden Distributionen und Faltungshalbgruppen (!t,t:?O,JAo =W ) zumindest .in gr­cben ZUgen zu beschreiben. K Man definiert wie oben : ={ fE(JJ (c;j) : f k =f fUr kE KJ. Ein lineares Funktional he i.fst K invariant, falls A(kfh)=

:

= A(f) fUr alle k,he K • fast positiv und normiert, falls (i) A(f)} 0 fUr aIle fC A c2 die in einer Umgebung von K verschwinden und (ii) falls fUr

(G ),

ein

, das in einer Umgebung von K = 1 ist, O,s

SUP{A(f) :

11, folgt

= O.

c8K(G)

Ein komplexes lineares FunktionalE K­invariant und dissipativ, falls A K­invariant ist und falls aus f(K) = max f(x) folgt 0 • Offensichtlich sind die normierten K­invarianten, fast positiven Funktionale dissipativ. Man erhalt sofort den Satz 1.1 A sei ein K­invariantes, dissipatives Funktional auf K( ;i ) , dann gibt es genau eine stetige Halbgruppe komplexer ( t ' t 0) »» =QK,II/\ s od afs = A(f) fUr

t

r;

c9

Beweis ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Satz von F.Hirsch, s.O.§4,Satz 4.1 . Man hat dabeiJ) :=c21 (§ ), j ;=G.J K zu setzen. ] K Zusatz: Wenn A ilberdies fast positiv und normiert ist, dann ist t) eine stetige Faltungshalbgruppe in M1 (G ). , . v . F ormel ) . (Dies ist das Analogon zum zweiten Teil der Levy­Hlncln­ [AUS dem Satz von F.Hirsch folgt, der Faltungsoperator RA mit ( dem Definitionsbereich ab s ch Ldefsbar' ist und der Abs ch Lufs K gerade der Generator der Operatorhalbgruppe (G) ist. Weiter zeigt man wortwortlich wie in IV,Hilfsst.1.l,K A einer jeden Umgebung von K mit einem beschrankten K­invarianten 1 ­ das wieder genannt werde­Ubereinstimmt. Man kann daher wieder zu gegebener Umgebung U von K eine Zerlegung A = A1 + A2 angeben, Tr(A 1 ) S U und s od afs A ein be s chr­ankt e s Ls t . Da A fast positiv 2 ist, kann man annehmen, A2 Poissongenerator ist, namlich A2 = (G\U»'(JK ,( Da A fast positiv ist, ist ja

en

=

wird. Genauer, sei ri

und

13

lim

e--

Lie-Gruppe,

JL: c)l -;>

seien die kanonischen Homomorphismen, sodaR>

ker()1o j edes l i t Wahr-

sCheinlichkeitsmaR> ist.

( fen auf

tJ

)

ist also eine stetige Halbgruppe von Wahrschein-

g1Kund

kann daher als Halbgruppe auf

q; mit

erzeugender

Distribution

A aufgefaR>t werden. 1 A2 erzeugt eine Halbgruppe von WahrscheinlichkeitsmaBen auf , nam2 lich die Poissonhalbgruppe (exPK(tA2) :=W + tA + t 12! + ••• K 2 Daher muR> die von A = A + A erzeugte Halbgruppe eine Halbgruppe 1 2 von WahrscheinlichkeitsmaBen sein, die durch die Lie Trotter Produktformeln cde r durch Storungsreihen darstellbar ist (s. 0, § 2, Hilfss.2.1). Mit ahn Li chen Methoden b ewe i.s t man auch das Analogon zum ersten Teil

' . v . F ormel d er L evy-Hlncln-

Satz 1.2

sei eine lokalkompakte Gruppe, K eine kompakte Untergruppe,

(jJt' t?O')Jo

sei eine stetige Halbgruppe von Wahrscheinlichkeitsmajse n auf Dann existiert fUr alle t e Cj ) del' Grenzwert A(f) := lim (l/t)(,l.(t - /1 )(f) t\( 0 I / 0

G.

=(J K)

und A ist ein normiertes fast positives Funktional auf ;)K(rj.) [

.

Man verwendet wiederum die durch den Hilfssatz 1.1 gesicherte

Existenz einer offenen Lie-projektiven Untergruppe {Nc mit IftolJ= 1 zugelassen wird. Dies liefert jedoch nichts wesentlich neues, da dann/o von der Gestalt'po =oe'(JK ist, wobei »e ein Charakter von Kist. Die Beweismethode von Duflo ist aber von der oben skizzierten wesentlich verschieden.

J1(lJ

r.

141

§ 2

Approximation durch Faltungshalbgruppen mit trivialen idempotenten Faktoren

AbschlieBend diskutieren wir einen anderen Weg,Faltungshalbgruppen mitidempotenten Faktoren zu beschreiben, der es uns erlaubt, auf Levyauf homogenen Raumen weitgehend zu verzichten : Faltungshalbgruppen mit nicht trivialen idempotenten Faktoren werden dargestellt als Projektionen von Faltungshalbgruppen mit trivialen idempotenten Faktoren oder als Limiten solcher Halbgruppen. Die folgenden Satze sind aber auch unabhangig von dem erwahnten Zweck ­ namlich der Umgehung der v Levy­Hincin­Formel fUr homogene Raume ­ von Interesse. Zunachst benotigt man einen Hilfssatz uber Operatorhalbgruppen, der von T.G.Kurtz [ 46JTheorem 2.1 etwas allgemeiner bewiesen wurde : Hilfssatz 2.1 Seien IB ein IB ein dichter linearer Teilr-aum , ( U(O) = I), (S(t), t:;:;O, S(O) = I) seien stetige Halbgruppen linearer Kontraktionen auf mit infinitesimalen Generatoren A resp. B und deren Definitionsbereichen DA resp. DB' Es seiglS;DAf) DB und uberdies sei J) so beschaffen, daB die Abschlusse der Einschrankungen von A resp. B auf J) wieder mit A resp. B ubereinstimmen. Dann erzeugt der AbschluB von A + uB eine Kontraktionshalbgruppe (T (t), T (0) = I), die durch die Lie­Trotter Produktformel gegeben u u Ls t , Tu(t) = lim [U(t/n) S(ut/n)]n n­700

r

00

Es existiere

P:= lim e­'>­­t S(t)dt in der starken Operatorentopologie. ?\70" Jo (Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn P = lim S(t) existiert ). Sei ID:= P( lB) n D C: ([) -i:' ID sei definiert durch Cf;=PAf. A Dann ist C Generator einer stetigen Kontraktionshalbgruppe (T auf t) und es konvergiert T (t)f - - ' ; > T(t)f fur alle r c [)u ll­­­­'>O" Wenn insbesondere P und dD so beschaffen sind, daB pt0 s;!lJ • dann ist ID,2 prJ), daher ID­ = P(IB)und T(t) kann als stetige Kontraktionshalbgruppe auf dem ganzen Raum IB aufgefaBt werden, also P). cr

Zunachst werden Halbgruppen von PoissonmaBen betrachtet, i.e. Halbgruppen von WahrscheinlichkeitsmaBen der Gestalt (;Ut = j/ 1 b a = fP H a(JH IE: M ( tC: ) ). Dabei ist eXPH(b) :=UJ H + Z ';} J. und H ist eine kompakte Untergruppe. Wenn H = [e}, dann schreibt man exp(b) anstatt exp {4b) . o

Hilfssatz 2.2 halbgruppen auf

Seien

q

=4J

) , (V­ ,

t ' I t = eXPK(to((a­w K», V't K

=

,

V o =6JK ) PoissoneXPK(tj1(b­t::JK», s odafs

142

0 H := lim Vt in der schwachen Topologie existiert (dann ist Heine kompaktte->Ur;tergruppe ;d. K i . FUr j edes u > 0 definiert man :=

eXPK(t(c{a + uj3b -

'J ) ) , dann ist K

fUr jedes u>O eine Poissonhalbgruppe mit ':>1

t

e

Co (

t

g) .

( f ) .-

CJ

eXPH(tD(

H

=W

aQ

und es konvergiert

K

fUr alle

H

[Dies folgt unmittelbar aus Hilfssatz 2.1, wenn man anstelle der MaBe die Faltungsoperatoren U(t):= R"

,8(t):=

rj;

ten ist, daB

03 = IB

daB

U(O)

und

Man setzt also T (t):=

, T(t)

u

Yt

IB:=R C CJK 0

: = RJ\

H

'

,wobei zu beacht

die Einheit auf

= 8(0) = T (0)

P :=Rw

ill ist, sowie,

fD = P iB ist.:Jt

Geht man andererseits von zwei kompakten Untergruppen

aus -

z.B. K = (eJ- und betrachtet eine Poissonhalbgruppe mit Idempotent etwa

0.t

:= eXPH(tc0.

.!Itl/=-II('{u -CJH + (1- e- tj3u)W

dann

- u --700

j

(f)

fUr fGID

s r --;::.

ID

(A

der Halbgruppe

und der Generator von

RW RAf, also ist die erzeugende H

t) von der angegebenen Gestalt.

Andererseits erhalt man als Analogon zum Satz 2.1 Satz 2.3 (!\t,t) 0,71 = ».»:

(k )

'

[

(f)

. rni t

e)

trivialen idempotenten

fUr alle fE Co( R RAf(e) fur aIle fEc2 ( ;j' ) , H Cu H

° und

und eine Folge von stetigen Faltungshalbgruppen

= te),nEIN, a odafs

(r

sind:

eine erzeugende Distribution einer GauBhalbgruppe

die etwa mit

bution

q /H

s od ajs

t>­

°

=

fur alle f6 Co(rj). Wenn H zusammen­

hangend ist, dann kann man die approximierende Folge so wahlen, daB aIle

Beweis:

n) )

GauBhalbgruppen sind.

Die Basis der Lie­Algebra sei wie vorhin gewah l t , Sei

ffi­.

der von

146

Xl' ... Xm aufgespannte Vektorraum

dann ist die Einschrankung

der Exponentialabbildung aUfjfftein lokaler COO -Isomorphismus von nach auf

§IH.

Nach G. A. Hunt laEt sich dann eine GauEsche Distribut10n

gIH-resp.

die erzeugende Distribution einer Faltungshalbgruppe

mit idempotenten Faktor QH' die von lokalem Charakter ist - in der Form

Y

.. X.X.

lJ 1 J

darstellen, wobei ub e r lSi,j,s:m summiert wird und

(a .. ) eine positiv semidefinite Matrix ist. Y ist ein primitiver Term, lJ

also YE

f!

Nun sei fE£1r dann ist

A'(f) = A'( xf) fur aIle XGH, daher

RCJ RA. f = RA.f , sei A definiert durch

a .. X.f(e) + Yf(e) fr0l(0)

-l,J-m

lJ

also A(f) = A'Cf) fur fE9 (r.:: ) und A(f) H dWeiter definiere man

B(f) .-

n 1

[61J) und

C\!:t' t :?O, V

V;;-+C1r

Der Satz ist nun bewiesen: Man setze in

t:x

o

o

= ,[ ) mit e

mit t--3>""". (H

o

bezeich-

und

:= Ut(A+kB».

Die Aussagen folgen nun sofort aus 2.2.

'i '

cdJ

fee), dann ist B die erzeugende

i=m+l

net die Zusammenhangskomponente von H.)

in (ii) im FaIle H =

s

0 fUr f =(R[' - R(.) )f. e H

Distribution einer GauEschen Ha Lbgr-uppe Tr('!t) = Ho (s. E.Siebert

1

R 0 HRA

=

und aus Satz

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Sachverzeichnis

Approximation durch Faltungshalbgruppen mit trivial en idempotenten Faktoren

142 145

"

durch GauEhalbgruppen

11

durch Poissongeneratoren

91

"

durch Poissonhalbgruppen

144

approximativ

5

vertauschbar

73

Automorphismengruppe

Bernstein,

Satz von

105

Bruhat, Testfunktionen / Distributionen / im Sinne von

18

6

Chernoffsche Produktformel Corwinsche Gruppen

55

Cramer, Satz von

94

21

darstellbare Halbgruppen Desintegration

125

62

diffuse MaEe direkte Produkte von Faltungshalbgruppen -

"

-

-

11

-

erzeugenden Distributionen

9

diskrete Halbgruppen von Kontraktionen

2

dissipativer Operator 11

-

ves Funktional

11

_

ve Distribution

" " "

18 19

11

extremale

"

Levy-Hincin

"

einbettbares MaE

- " -er Operator Eindeutigkeit der Wurzeln

99 99

111 Darstellung einer

Levy MaE einer

113 109

21 12

98

153

elementarer Poissongenerator erzeugende Distribution _ 11 _ von lokalem Charakter (EG+JP) extremale dissipative Distribution - " - erzeugende Distribution "Exponentialabbildung" Exponentialintegral

&

Faltungshalbgruppe

- " -

mit nicht trivial en idempotenten Faktoren Faltungstyp, Operator vom fast positive Distribution _ tI _ normierte - " -

Generator einer diskreten Halbgruppe - " Co-Kontraktionshalbgruppe gleichmaBig stetige Halbgruppe von Kontraktionen Gruppe von kontraktiven MaBen

33 29 39 111

39 (19)

41

88

16 136 16 32 32

9 2

7 128

Halbgruppenfakterisierung Halbgruppen vom Typ H [H (JJ Hasegawa, Konvergenzsatz von Hille-Yosida, Satz von Hirsch, Satz von Hunt Funktion

90 118

idempotente kontraktive MaBe invarianter Operator invertierbare kontraktive MaBe

126 16 127

K-invariante MaBe Distributionen "

126 136

tt

_

n

_

5 2

17

33

fast positive

137

154

137 95 17

K-invariante Distributionen, dissipative Klasse 1 0 kontraktive MaEe Kontraktionshalbgruppe

2

36

Konvergenzsatz fur erzeugende Distributionen

- " -

II II

_11-

_

II

n

II

1. Version

112

dissipative Distributionen _

II

Verscharfung

von Hasegawa

Levy-Abbildung II

II

-

fur erzeugende Distributionen II _ dissipative _ II _

II

-

II

als Mischung

II

-

II

fur Halbgruppen mit nicht trivialen idempotenten Faktoren

Levy-MaE einer erzeugenden Distribution -

II

-

dissipativen Distribution

Lie-Trotter-Produktformel Logarithmen kontraktiver MaEe Lumer,Phillips, Charakterisierung von Generatoren nach

MaEe, diffuse (= atomfreie) _11kontraktive rational einbettbare

_11_11-

,

R-wurzelkompakte

_11-

,

stark R-wurzelkompakte

_11-

,

totalstetige

_11-

•

unendlich teilbare

_11-

•

verallgemeinert unendlich teilbare

stetig einbettbare

_11-

122

5 5

Konvergenzsatz von Chernoff II

20

Minimale positive Majorante Mischung erzeugender Distributionen

32 33 109

75

136 32 109

7 130

3

62 17 23 23 23 23 63 23 23 132

66

II

von GauEschen Distributionen

80

II

von Poissongeneratoren

82

155

78

Mischung von Subordinationen

30

v. Neumannsche Reihe

128

nilpotente kontraktive MaBe

32

normierte fast positive Distributionen

128

Nullteiler

2

Operator, dissipativer

,

-"_H_

invarianter

_H_

11-wurzelkompakter

-"-"-

,

rational einbettbarer unendlich teilbarer

13 12

,

verallgemeinert unendlich teilbarer

12

,

_tf_

12 16 12

einbettbarer

94

Parthasarathy, Definition der GauBverteilung nach Peter-Weyl-Eigenschaft

22

P-gleichverteilte Folge

87 22

(3)

Poissongenerator

"

"

elementarer -en, Mischung von

PoissonmaB positive Majorante primitive Distribution Produktformel, Chernoffsche

" " "

Lie-Trottervon Chambers

33 80 22 132 32 6

7 7

Produktintegral

7 88

Prohorov, Satz von

54

quadratische Distribution

32

von Friedman

156

97

Raikoff, Satz von

2

Resolvente

(55) 105 94 5 2 17 66 54 97 3 2 85 23 23 11 29 29 74

Satz von Bernstein Cramer

" " " " " " " "

Hasegawa Hille-Yosida Hirsch Kurtz Prohorov Raikoff Trotter-Kato

Semiskalarprodukt SprungprozeE stark R-wurzelkompaktes MaE stetig einbettbares MaE Storungsreihen Subordination Subordinator Subordination als Mischung

130

teilbare kontraktive MaEe

18 63

Testfunktionen totalstetige MaEe

3

Trotter-Kato, Satz von

49 23 12 127 29

uberlagerungsgruppe unendlich teilbares MaE

"

-er Operator

unitares MaE untergeordnete Halbgruppe

verallgemeinert unendlich teilbares MaE

-

" -

"

-er Operator

23 12

157

12/23 12

wurzelkompakter Operator /-s MaB Wurzelmenge

Zeiteinheit Zerlegungssatz fur erzeugende Distributionen - " -"- dissipative Zufallsentwicklungen

"

Zufallsprodukte Zylinderdistribution

" ZylindermaB

GauBsche / primitive

9 34

111 (66) 85 86 51 51 51