Distributionen [Reprint 2013 ed.] 9783110841053, 9783110019728

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de Gruyter Lehrbuch Jantscher - Distributionen

Distributionen

Prof. Dr. Lothar Jantscher Technische Universität Clausthal

w DE

G Walter de Gruyter · Berlin · New York 1971

© Copyright 1971 by Walter de Gruyter & Co., vormals G . J . Göschen'sche Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. Satz und Druck : Universitätsdruckerei H. Stürtz A G , Würzburg Printed in Germany

ISBN 3110019728

Vorwort

Dieses Buch gibt eine Einführung in die Theorie der Distributionen von L. SCHWARTZ und in einige ihrer Anwendungen. In den, häufig in englischer Sprache, vorliegenden Darstellungen dieses Gegenstandes mit Lehrbuchcharakter wird in der Regel auf eine Erörterung der topologischen Grundlagen verzichtet; der Text ist mehr auf die Anwendungen ausgerichtet. Andere Werke, die etwa die Behandlung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Distributionen zum Ziele haben, setzen topologische Kenntnisse voraus oder vermitteln diese in knappester Form. Mein Bestreben ging dahin, einen Mittelweg zu beschreiten: Die Topologie wird in dem für das Verständnis der Grundgedanken der Distributionentheorie erforderlichen Umfang in den ersten Kapiteln des Buches entwickelt, so daß auf diese Weise auch Lesern mit geringen oder gar keinen Kenntnissen auf diesem Gebiet hiermit eine ausreichende Einführung in die topologische Seite der zu behandelnden Fragestellungen gegeben wird, die dazu befähigt, weiterführende Literatur zu unserem Thema zu studieren. Das ansonsten zum Verständnis des Buches erforderliche Wissen aus der Analysis, der Theorie der Differentialgleichungen und der Funktionentheorie, geht kaum über das hinaus, was man in den ersten drei bis vier Semestern eines Mathematik-Studiums zu lernen pflegt. Zahlreiche Literaturhinweise mögen dazu dienen, vorhandene Wissenslücken zu schließen. Die Herren Prof. Dr. B. HORNFECK und J. SCHMALMACK haben das ganze Manuskript, Herr Dr. R. GOEDECKE einen Teil davon gelesen. Für ihre wertvollen, kritischen Anmerkungen möchte ich mich herzlich bedanken. Dem Verlag sage ich für die Aufnahme des Textes in seine Lehrbuch-Reihe, für Geduld und vielfältiges Entgegenkommen besonderen Dank. Wolfenbüttel, im August 1971

L . JANTSCHER

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

9

I Lineare und topologische Räume §1 §2 §3 §4 §5

Mengen, Abbildungen Lineare Räume Halbnormen Topologische Räume Metrische Räume

II Testfunktionen § 6 Einige lineare Funktionenräume § 7 Approximation durch Testfunktionen § 8 Zerlegung der Einheit III Topologische lineare Räume § 9 Definition und allgemeine Sätze § 10 Vektorräume mit einem System von Halbnormen IV Topologien für die C-Räume §11 Die Topologie für C"(Q) § 12 Die Topologie für C¡?(fí) §13 Die Vollständigkeit von Χ)(Ω) V Distributionen § 14 § 15 § 16 § 17

Definition der Distributionen Reguläre Distributionen Distributionen endlicher Ordnung Das Lokalisationsprinzip. Der Träger von Distributionen

VI Das Rechnen mit Distributionen § 18 § 19 § 20 §21

Multiplikation mit Funktionen aus (£. Lineare Substitutionen Differentiation für η = 1 Differentiation für η > 1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit bezüglich eines Parameters der Testfunktion § 22 Integration für η = 1 §23 Integration für η > 1

13 13 14 17 19 24 27 27 32 36 39 39 45 49 49 51 56 60 60 64 69 71 75 75 79 86 90 94 98

Inhaltsverzeichnis VII Einige singulare Distributionen §24 §25 § 26 § 27

Pseudofunktionen Regularisierungen Die Distribution Φη Die Distribution Ψη

VIII Weiterer Ausbau der Theorie § 28 §29 § 30 §31 § 32 §33 §34 § 35

Folgenkonvergenz im Distributionenraum Spezialfälle der Folgenkonvergenz für Distributionen Finite Distributionen Fortsetzung von Distributionen Distributionen mit einem Unterraum des R" als Träger Division für n = 1 Division für n > l Über die Struktur der Distributionen

IX Temperierte Distributionen § 36 Der Raum S § 37 Der Raum & X Direktes Produkt und Faltung § 38 § 39 § 40 § 41 §42

Direktes Produkt Faltung von Distributionen mit Testfunktionen Faltung von Distributionen Einige Sätze über die Faltung Faltungsgleichungen

XI Fouriertransformation § 43 Fouriertransformation in © §44 Fouriertransformation in S ' XII Laplacetransformation § 45 Die klassische Laplacetransformation §46 Die Laplacetransformation für Distributionen aus T>'+(R) § 47 Die inverse Laplacetransformation XIII Periodische Distributionen § 48 § 49 § 50 §51

Periodische Funktionen Periodische Distributionen Faltung periodischer Distributionen Fourierreihen

7 105 105 115 120 124 130 130 135 141 146 149 152 156 159 165 165 169 177 177 182 190 195 202 210 210 215 225 225 231 238 245 245 247 250 254

8

Inhaltsverzeichnis

XIV Differentialgleichungen § 52 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und lineare Systeme . . . . §53 Grundlösungen § 54 Die Anfangswertaufgabe für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten §55 Anwendung der ^-Transformation auf Faltungsgleichungen § 56 Anwendung der ß-Transformation auf lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten § 57 Lineare gewöhnliche Integrodifferentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten § 58 Periodische Lösungen linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten § 59 Allgemeine Sätze über lineare partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten § 60 Das Anfangswertproblem für die Wärmeleitungsgleichung § 61 Zwei Randwertprobleme für den Kreis . . .

263 263 269 275 279 281 284 288 293 301 305

Lösungen der Aufgaben

312

Verzeichnis der verwendeten Symbole

362

Literatur

363

Namen- und Sachverzeichnis

365

Einleitung

Die hier dargestellte Theorie der Distributionen wurde in ihren Grundzügen von L. SCHWARTZ in einer Reihe von Arbeiten in den Jahren nach 1945 entwickelt und schließlich zusammenfassend dargestellt [28], Grundlegende Ideen hierzu erscheinen auch schon in früheren Veröffentlichungen verschiedener Autoren. Einen wesentlichen Anstoß zur Entstehung des Begriffs „Distribution" gab eine zur Beschreibung physikalischer Erscheinungen von P.A.M. DIRAC 1927 in die Quantentheorie eingeführte Größe, die später nach ihm benannte DIRACsche ¿-Funktion. Von δ wird zweierlei gefordert: Einerseits sei R — R sei — 00

die Menge der reellen Zahlen — mit diesen beiden Eigenschaften kann es nicht geben; denn integriert man eine Funktion, die überall auf der x-Achse bis auf eine Stelle gleich Null ist, über R, so wird das Integral gleich Null. Dies hat natürlich auch DIRAC gesehen; er bemerkte jedoch auf der anderen Seite, daß man mit δ unter Einhaltung geeigneter Regeln weitgehend so rechnen kann, als ob δ eitle Funktion im klassischen Sinne wäre, um zu sinnvollen Resultaten zu kommen. Heute ist δ fur den Physiker ein unentbehrliches mathematisches Werkzeug. Es erscheint somit wünschenswert, den klassischen Funktionsbegriff so zu modifizieren, daß δ, seine Ableitungen, aber auch andere derartige „uneigentliche Funktionen" eine präzise mathematische Deutung erhalten. Dies leistet unter anderem die hier zu entwickelnde Distributionentheorie. Die Grundidee ist folgende: Hat man auf der x-Achse elektrische Ladung (oder CO

Masse) mit einer stetigen Dichte p(x) verteilt, so liefert J p(x)dx die Gesamt— 00

ladung (Gesamtmasse). Neben solchen Verteilungen interessieren den Physiker Punktladungen (Punktmassen) : Es sei ζ. B. in χ = 0 eine Ladung + 1 konzentriert, während alle Punkte χ # 0 ladungsfrei sind. Denkt man sich diese Ladung auf eine Umgebung des Punktes 0 „verschmiert", so liegt es nahe, die Ladungsdichte durch eine „Glockenkurve"

lo

für

|χ|0)

10

Einleitung

darzustellen. Hierbei wurde

gesetzt. Für x = 0 hat pE sein Maximum

e~l, für x = ± ε wird pc im Limes

00

gleich Null, und es gilt J pc(x)dx = 1, also ist die Gesamtladung gleich Eins. — 00

Vergleicht man die Eigenschaften von ρε mit den an + 0 die Länge des Intervalles, auf das die Ladung verschmiert wurde, gegen Null geht, so drängt sich die Vermutung auf, daß es möglich sein müßte, durch ρε für ε—>+0 die „uneigentliche Funktion" δ zu approximieren. Wir werden sehen, daß dies bei Verwendung eines geeigneten Limesbegriffes der Fall ist. Damit wird dann δ zur mathematischen Beschreibung einer Punktladung + 1 im Punkte 0 Verwendung finden können. Modifiziert man obiges Integral über pt durch Einfügung einer stetigen 00

Funktion φ in

J ρε{χ) 0 ist. Die Beachtung des Appro00

ximationscharakters von pt für δ führt jetzt zu der Festsetzung J δ(χ) φ (χ) dx - 00

= φ(0). Wenn man hier von der Sinnlosigkeit des Integrals absieht, denn δ ist keine herkömmliche Funktion, so enthält diese Beziehung aber das allein Wesentliche, nämlich eine Zuordnung: der Funktion φ entspricht als Bild die Zahl Y bijektiv; dann und nur dann existiert die Umkehrabbildung f ~1 : Y—• X. Es ist / _ 1 auch bijektiv. In diesem Falle gilt f { f ~ x y ) = y für alle yeY und / _ 1 ( / x ) = x für alle xeX. Zwei Abbildungen fy. X ->Y (7= 1,2) sind genau dann gleich, f = f2, wenn für jedes xeX gilt f χ =f2 x. Unabhängig von der Existenz der Umkehrabbildung / _ 1 von / : X - * Y versteht man unter f~1(Y1) mit Y t c Y die Menge derjenigen xeX, deren Bilder in Yt liegen: Es ist also f-\Yx)

= {x\xeX

das Urbild von Yj bei der Abbildung / .

und / x e Y J ,

14

I Lineare und topologische Räume

Ist I , c X u n d / : X-* Y, so versteht man unter der Restriktion f\Xl v o n / a u f Χγ diejenige Abbildung, die aus / entsteht, wenn der Definitionsbereich von / auf die Elemente von Xy eingeschränkt wird : Es ist f\Xi'. X1—>Y und f=f\Xl auf X1. Abschließend notieren wir die für beliebige Zahlen x¡, y¡, ZJEC (j—l,...,n) gültigen Ungleichungen (i-i)

( Σ l^^'l) 2 ^ Σ I * / Σ \j=I ' j= 1 j= 1

(CAUCHY-SCHWARZ)

und (1.2)

j D ^ - J ' / J ^ ^ ^ - ^

+ ltl^-J'/P

(MINKOWSKI)

(vgl. L . A . LJUSTHRNIK, W . I . SOBOLEW [ 1 9 ] , A n h a n g ) .

§ 2 Lineare Räume Die in diesem Buch zu betrachtenden Mengen besitzen in der Regel eine algebraische Struktur, d. h., man kann ihre Elemente addieren und mit Zahlen multiplizieren. Dies wollen wir jetzt präzisieren : Gegeben sei eine Menge X , ein Zahlkörper Κ und zwei Abbildungen / : X xX -> X, g: Κ χ X->X. Der Konvention entsprechend werden wir die Abbildung/als Addition, f(x, y) = x+y, und die Abbildung g als Multiplikation, g(a.x) = ctx, schreiben. Definition 2.1. Eine Menge X heißt linearer Raum oder Vektorraum wenn die folgenden Axiome für die Elemente von X erfüllt sind:

über K,

1. Auf X ist eine als Addition bezeichnete Abbildung von X xX in X gegeben und X ist bzgl. dieser Summenbildung eine additiv geschriebene abelsche Gruppe: Sind χ, y, zeX, so gilt (1) x + y = y + x (Kommutativität); (2) (x + y) + z = x + (y + z) (Assoziativität) ; (3) Es gibt ein Element oeX, so daß für alle xeX gilt x + o = x (Existenz eines Nullelementes) ; (4) Für jedes xeX existiert ein Element x'eX mit x + x' = o (Existenz eines inversen Elementes für x). 2. Ferner ist eine als Multiplikation bezeichnete mit den folgenden Eigenschaften gegeben: Sind οι, ßeK, x, yeX, so gilt

Abbildung von KxX

in X

§ 2 Lineare Räume (5) (6) (7) (8)

15

(cc β) x = cc(ßx); lx = x; (cc + ß)x = ax + ßχ,) 0 wählen, und es gilt — x — oeM. In jedem linearen Teilraum {αχ}, o.eK, x + o fest a gewählt, liegt bei absorbierenden M mindestens ein Punkt φ o, der zu M gehört. Jede kreisförmige Menge enthält den Nullvektor und ist zu ihm spiegelsymmetrisch : Mit χ ist auch - χ in M. Zur Erläuterung dieser Begriffe mögen die folgenden Beispiele dienen.

§ 3 Halbnormen

17

2.C. Wir betrachten in dem reellen Vektorraum R2 die Mengen M1 = {(x1,x2)|(x1-l)2 + ( x 2 - l ) 2 ^ l } , M 2 = { ( x 1 , x 2 ) | - l ^ x i ^ l und x 2 = 0 oder x t = 0 und

-l^x2^l},

2

M3 = {(x 1 ,x 2 )|(x 1 -1) + x ^ 1 oder (xj + l ^ + x ^ l oder x1 = 0 und -1^*2^1}· Es ist Ml konvex, nicht absorbierend und nicht kreisförmig; M2 ist kreisförmig (hat jedoch keine kreisförmige Gestalt !), nicht konvex und nicht absorbierend ; M 3 ist absorbierend und kreisförmig, nicht konvex und besitzt keine konvexe absorbierende Teilmenge. 2.d. Ist M eine kreisförmige Teilmenge von C und z = x + iyeM, x,yeR, so folgt α zeM für α = |α| eiy, \a\g 1, yeR. Nun bedeutet ja die Multiplikation mit der komplexen Zahl α eine Drehstreckung mit dem Streckungsfaktor 1 und Winkel y, so daß mit z e M auch der ganze Kreis mit dem Mittelpunkt 0, auf dessen Rand ζ liegt, zu M gehört.

§ 3 Halbnormen Für viele Überlegungen in linearen Räumen ist es erforderlich, eine Verallgemeinerung des Begriffes „Länge eines Vektors im /?"" zur Verfügung zu haben. Definition 3.1. Eine auf einem Vektorraum X über Κ definierte Abbildung p : X-*R heißt eine Halbnorm auf X, wenn für alle x,yeX und OLSK gilt: (1) p(x+y)^p(x)+p{y) (2) ρ ( α χ ) = | α | ρ ( χ )

(Subadditivität von p) und (Symmetrie von ρ).

Erfüllt die Halbnorm ρ zusätzlich (3) aus p(x) = 0 folgt x = o, so heißt ρ eine Norm

auf X.

Aus (1) und (2) folgen (4) p(o)=0, (5) \p(x)-p(yMp(x-y) (6) p ( x ) ^ 0 .

und

Um (4) zu beweisen, beachte man (2): Es ist p(o)=p(0o)=0p(o) = 0. Man ersetze χ durch x — y in (1) und bekommt p{x)—p{y)^p(x—y). Vertauschung von χ mit y liefert unter Beachtung von (2) sodann p(y)—p(x)^p(x — y). 2

Jantscher, Distributionen

18

I Lineare und topologische Räume

Beide Ungleichungen ergeben zusammen (5). Wählt man y=o in (5), so folgt mit (4) schließlich |p(x)|^p(x), d.h. p(x)^0, also (6). Den Buchstaben ρ wollen wir zur Bezeichnung von Halbnormen reservieren.

Beispiele

r » Ί* 3.a. Auf X = Rn werden durch Pi(x) = < £ xj > , p 2 (x) = ΣΙχ,,Ί und p 3 (x) = u=i J J= ι j=max ι « |χ.·| für x = ( x 1 ; . . . , x „ ) Normen definiert. Für p, ist die Subadditivität nichts anderes als die Ungleichung (1.2) nach Ersetzung von y} durch -y¡ mit Zj=0; für p2 und p3 ist (1) sofort nachzurechnen. Die Gültigkeit von (2) und (3) folgt unmittelbar. 3.b. Es sei Χ = {φ\φ: [0,1] —> R und φ stetig}. Bei Beachtung des Beispiels 2.b sowie des bekannten Sachverhaltes, daß die Summe + φ2 von zwei Funktionen aus X und das Produkt αφ von αeR und >; η/3) disjunkte offene Umgebungen von χ bzw. y. Da die Kugeln S(x; 1/v) für ve Ν eine abzählbare Umgebungsbasis von χ bilden, genügt jeder metrische Raum dem ersten Abzählbarkeitsaxiom. In Übereinstimmung mit der Erklärung von x v — x 0 in einem topologischen Raum X im §4 bedeutet dies für einen metrischen Raum mit der Metrik d, daß lim d(xv, x o ) = 0 gilt. V—• 00

Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes heißt beschränkt, wenn es eine Kugel S(x 0 ; r) gibt, so daß M c S ( x 0 ; r) ist. Eine Familie H = {[/ t | tel}, I beliebige Indexmenge, von offenen Mengen eines topologischen Raumes X, heißt eine offene Überdeckung von McX, wenn M c (J Ut gilt. Dabei heißt die Überdeckung endlich bzw. abzählbar, wenn 1 tel

endlich bzw. abzählbar ist. Ist U = {Ut \ ι e I} eine Überdeckung von M und ist für eine Teilmenge l 0 c lauch U 0 = {l/,|ie l 0 } eine Überdeckung von M, so sagt man, die Überdeckung U 0 ist in der Überdeckung U enthalten. Nun sei X speziell ein metrischer Raum und M e i , dann heißt M kompakt, wenn jede offene Überdeckung von M eine endliche Überdeckung enthält. Wir notieren abschließend den Satz von BOREL-LEBESGUE: Die Teilmenge M 0.

Κ kompakt, M = M und M n X = 0. Dann ist

II Testfunktionen

Wir wollen jetzt für die folgenden Untersuchungen einige lineare Räume einführen, deren Elemente auf Teilmengen des R" definierte Funktionen sind. Die Erörterung von Topologien für diese Räume verschieben wir auf das nächste Kapitel. Eine hervorragende Rolle werden die Testfunktionen spielen; eine Reihe von Sätzen über sie wird bereitzustellen sein.

§ 6 Einige lineare Funktionenräume Es sei Ω eine offene nicht notwendig echte Teilmenge von R", neN. Den Buchstaben Ω wollen wir zur Bezeichnung derartiger Mengen reservieren. Wir betrachten komplexwertige Funktionen φ mit dem Definitionsbereich Ω, also Abbildungen φ: Ω—>C. Ist n = 1, also ß c R ' = i ? , so stehen die Buchstaben t, τ oder σ für die Punkte von Ω; wir schreiben C fast überall auf Ω, für alle KcQ meßbar und \φ\ integrierbar}; Q\0C{Rn) = 2\0C.

sei φ

Die Funktionen aus fi'1oc(ß) heißen auf Ω lokalintegrierbar. Es ist β ^ Ω ) ^ £'Γ(Ω), aber auch C(&)c£i 0 C (ß): Existiert nämlich \\ l

zeigt eine entsprechende Überlegung wie bei 6.b, daß | 0 wird die abgeschlossene Kugel Θ ρη klein, stets bleibt jedoch (6.5)

\p„{x-x0)dx R"

=

J ρη(χ-χ0)άχ= I*-*OIS>Í

J p„(x0-x)dx=l. |x-x0|£>f

Aufgabe 6.A. M a n zeige durch einfache Beispiele, daß bei den Formeln (6.4) das Gleichheitszeichen nicht zu stehen braucht. 6.B. Es sei η ist ρη(χ — ξ) = 0. Integrale der F o r m (7.1) haben einen besonderen N a m e n : Die Funktion / η heißt Faltung von / mit pn, man schreibt (7.2)

/„=/*P„

Satz7.1. Es sei feC

bzw.

/η(χ)=(/*ρη){χ)=/*ρη(χ),

und η>0.

xeR".

33

§ 7 A p p r o x i m a t i o n durch Testfunktionen

(1) Zu jedem xeR"

gibt es ein x'eR"

(2) Ist f=c,

auf S{x0;

ceC,

(3) Es ist fne C"J und £>*/„=f*DK (4) Es gilt

mit \x — x'\^,so

daß /η(χ)=f(x')

ist.

/ „ ( x 0 ) = c.

η), so folgt

ρη für alle n-Multiindizes

κ.

ef^ef+sloTn).

(5) Ist f finit,

so auch fn; also ist fne

B e w e i s : Z u ( l ) : D a ρη(χ — ξ)^0 rechnung fn(x)=f(x')

Cq.

ist, liefert der Mittelwertsatz der Integral-

J ρη(χ~ξ)άξ=/'(χ')

wurde.

mit \χ — χ'\^η,

wobei (6.5) beachtet

R"

D i e Aussage (2) liest man mit (6.5) an (7.1) ab. Zu (3): W i r wählen einen Punkt xeR" \x — £\'è\Ì\ — \x\^:r + rl — r=zìl

und

und setzen |x| = r. Für ξφΞ(ο; daher

ρη(χ — ξ) =0.

Also

S ( o ; r + r ç ) als Integrationsbereich bei (7.1) verwenden. D a Ableitungen Ώ*ρη(χ

— ξ)

r + η) ist

können

wir

sind alle

für (x, / beschränkt, so wegen (4) auch 0fn,

und das ist (5).

Dieser Satz zeigt, daß durch Bildung der Faltung f*pn

J

stetige Funktionen /

„geglättet" werden, denn es ist f* pve C 00 . Ist / e i n e finite stetige Funktion, also aus C 0 , so erhält man durch diese Faltung eine Testfunktion fn. Satz 7.2. Es sei f e Ck mit keN

oder k= oo. Dann gilt DK fn = DKf* ρη für jeden

κ der Ordnung |K|^/C, falls keN,

Multiindex

bzw. für alle κ, falls k = co.

B e w e i s : D i e Behauptung folgt aus dem Satz 7.1 (3) durch Produktintegration und vollständige Induktion. A l s Induktionsbeginn beweisen wir das Gewünschte für die erste Ableitung nach x t : Es ist Djn(x)=

\ηξ)^-Ρη{χ-ξ)άξ=R" νχ1 = =

Rn

J \ηξ)ρη(χ-ξ)\ΪΓ=-„R"-' I

\ D Rn

3 Jantscher, Distributionen

í

m p ¿ x - W

°ζΐ ϊ -οο

=

DJ*p¿x).

°ζΐ

^(ξ)-£ΓΡη(Χ-ξ)άξ

^-ρη(χ-ξ)άξλάξ2...άξπ )

II Testfunktionen

34 Der Term vor dem Integral über

wird gleich Null, denn es ist lim pJx — ξ) i l - ±00

= 0 . Der Induktionsschluß sei dem Leser überlassen.

J

W i r beweisen jetzt eine fundamentale Approximationsaussage. Satz 7.3. Es sei feC

und (ην)νΐΝ

eine Zahlenfolge mit ην>0

und V-* l i moo^ v = 0 . Dann

C00,

konvergiert die Folge (Fv)veJV