Statik der Baukonstruktionen: Band 2 Statisch bestimmte Stabwerke [Reprint 2020 ed.] 9783112315507, 9783112304310

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

120

STATIK DER BAUKONSTRUKTIONEN ii

STATISCH B E S T I M M T E S T A B W E R K E von

DR.-ING. A L F R E D

TEICHMANN

o. Professor der Technischen Universität Berlin

Mit 52 Bildern und 7 Formeltafeln

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göscben'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

BERLIN

1957

Für freundliche Kenn

Oberingenieur

Unterstützung Dipl.-Ing.

dankt G.

Pohlmann der

Verfasser

© Copyright 1957 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Straße 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 11 Ol 20. S a t z : Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. Druck : Paul Funk, Berlin W 35 Printed in Germany

Inhalt Seite

IV. S c h n i t t k r ä f t e u. S c h n i t t m o m e n t e (Schnittlasten) A. Allgemeines B. Fachwerk . . 1. Vorbemerkungen 2. Statisch bestimmtes Gelenkfachwerk 3. Zur Anwendung der F a c h w e r k s g l e i c h u n g e n . . . 4. Verwendung von Teilfachwerken 5. Einflußlinien 6. Verwendung von Ersatzfachwerken 7. Abspaltung von Zwischenfach werken 8. Zerlegung in Scheiben C. Andere Stabwerke D. Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen

4 16 16 17 26 30 35 39 42 49 55 62

V. F o r m ä n d e r u n g A. Grundverformungen 64 B. Ermittlung von einzelnen Verschiebungsgrößen . . 67 1. Allgemeine Beziehungen 67 2. Einflußlinien 86 C. Biegelinie 88 D. Der Formänderungszustand 92 1. Allgemeine Beziehungen 92 2. Ebener Stabzug 98 3. Räumliches Fachwerk 99 4. Ebenes Fachwerk 100 Sachverzeichnis 106 Inhalt des dritten Bandes (Statisch unbestimmte Stabwerke): VI. Vollständige Schnittlasten u. Verschiebungen, elastische Stabilität. — VII. Schnittlastenmethode. — VIII. Der eingespannte Stab im ebenen Stabwerk. — IX. Formänderungsmethode. Inhalt des ersten Bandes (Grundlagen): I. Fesselung. — II. Gleichgewicht. — III. Stab.

IV. Schnittkräfte und Schnittmomente (Schnittlasten) A. Allgemeines 1. V o r b e m e r k u n g e n Eine aus Stäben aufgebaute Konstruktion (s. z. B. Bild 1) wird S t a b w e r k genannt. Auch ein „Stabzug" — z. B. ein durch ein Sehnenpolygon ersetzt gedachter krummer Stab — kann als Stabwerk aufgefaßt werden. Der Einfachheit halber

Bild 1. Stabwerk

Bild 2. Bezeichnungen

wird unterstellt, die einzelnen Stäbe des Stabwerks seien gerade und im einzelnen Stab seien die beiden Hauptträgheitsachsen in j e d e r Querschnittsfläche parallel denen in einer beliebig herausgegriffenen Querschnittsfläche desselben Stabes. Unabhängig von einem Koordinatensystem x, y, z wird jedem Stab ein e i g e n e s Koordinatensystem X, Y,Z zugeordnet (s. Bild 2), dessen Ursprung am einen Ende „Z" des Stabes liegt, dessen Achse X mit ihrem positiven Ast durch das andere Stab-Ende „ r " geht und dessen Achsen Y, Z parallel den Hauptträgheitsachsen der Stab-Querschnittsflächen sind. Die Einheitsvektoren der Richtungen X, Y, Z werden mit e*, e**, e*** bezeichnet (vgl. I U C l a ) .

A. Allgemeines

5

Die Stellen des Stabwerks, an denen Stäbe zusammentreffen, heißen „Knoten" und werden im folgenden als (kleine) materielle Gebilde aufgefaßt, an denen die zusammentreffenden Stäbe angeschlossen seien. Bedarfsweise werden sie — unabhängig von den Bezeichnungen l bzw. r der an ihnen liegenden Stab-Enden — mit k, j,... bezeichnet (s. Bild 2). Zunächst wird unterstellt, das b e l a s t e t e Stabwerk habe noch dieselbe Gestalt wie ursprünglich im unbelasteten Zustand. (Das gilt für Kap. I V und V, nicht für Kap. VI.) 2. S t ä b e u n d K n o t e n a) Stabgleichungen Die Stäbe eines Stabwerks sind normalerweise an ihren beiden Enden l und r s t e i f mit Nachbarstäben verbunden, also sowohl bei l als auch bei r mit je 6 Fesseln an den dort liegenden Knoten angeschlossen zu denken; diese Fesseln seien parallel X, Y, Z eingeführt.

T w W ' T

^ v V ^ f ® vTz 1Bztr)

Bild 3. End-Sohnittlasten und verbliebene Fessellasten

Von den 2 • 6 = 12 Fesseln des einzelnen Stabes seien zunächst s e c h s zerschnitten (s. Bild 3), so daß eine Fesselung wie bei einem E l e m e n t a r s t a b (vgl. I I I B l a ) übrig bleibt. Als Ersatz für die zerschnittenen Fesseln seien die in ihnen

6

IV. Schnittkräfte u. Schnittmomente (Schnittlasten)

wirkenden Schnittlasten mit zunächst u n b e k a n n t e n Betragen

By(1), Bz(i), -Br(r), B z (,), T( r ), S ( r )

(1)

— im folgenden „End-Schnittlasten" genannt — angebracht. Dann ist der einzelne Stab l—r als ein Elementarstab aufzufassen, an dem — neben den ihm e i n g e p r ä g t e n Lasten i f a — noch weitere Lasten mit folgenden (zunächst unbekannten) Beträgen wirken (s. Bild 3): My(D = — BY(1), Mz(i) = — BZ(i),

My(r) = BY(T),

Mz(r)=

Px(r)

BZ(r),

Mx(r)=T(t),

^

im folgenden „End-Lasten" genannt. Die in den v e r b l i e b e n e n Fesseln auftretenden Fessellasten (s. Bild 3) Ax(l), AY(l), AZ(i), Ay(r), Az(r), DX(l) (3) setzen sich aus je 2 Anteilen zusammen, nämlich aus Anteilen A X (i), A y ^ , • • • • T)]X(i) infolge der dem Stab e i n g e p r ä g t e n Lasten ißa, und aus Anteilen infolge der End-Lasten lt. Gl. 2. Dementsprechend kann (s. Bd. I, Gl. 51) geschrieben werden: , Ax(i) = A'x(i) + S(T), B

Ayw

= Ay(i)

Ml)

=

s

Ay{r) = Ay(r) Mr)

= A'z(r)

m

B Y(i) s B Z(r)~~ BZ(V) s B Y(r)~ BY(l) s

ß

A'z(i)

B

Z(r)

Y(r)~

Dx(l) = D'x(l) + T(r) > ,, Stabgleichungen".

A. Allgemeines D i e A n t e i l e Ax(l),

7

Ay(l),...

sind als b e k a n n t e Größen anzusehen (berechnet nach Bd. I, Gl. 51). _ |Z'

^

^

Oft enthält ein Stabwerk ^ x r r - g i « - - A x » - - ^ » . auch Stäbe, die nur an e i n e m A > TT J J 7 1.1 Zm 1 •¿'z« ; Am > ^zw , linde r o d e r l angeschlossen • sind (s. Bild 4), also Krag- Bild 4. Stabwerk mit Kragträgern träger (s. Bd. I, S. 73) darstellen. Die an der Anschlußstelle eines solchen Stabes auftretenden Fessellasten

bzw.

^Z(r). -¿y(r)> -¿Z(r)> D 'X(r), ^ r ( r ) , D'z(r)

(5 a)

Ax®,

(5b)

ÄyW,

A'zil) , L>X(1), DyW,

D'm

sind ebenfalls als bekannte Größen anzusehen (vgl. Bd. I, S. 73, berechnet nach Gl. 61 bzw. 62). b) Knotengleichungen Um die Gleichgewichtsbedingungen der einzelnen K n o t e n anschreiben zu können und damit Gleichungen zur Berechnung von 5f(j>.

B

z(i),....

S(r)

zu g e w i n n e n ,

seien nun auch noch die v e r b l i e b e n e n Fesseln an den Enden der Stäbe zerschnitten und seien zum Ersatz auch die in d i e s e n Fesseln wirkenden Fessellasten angebracht (s. Bild 5). Dann erscheinen die ,, T , , V , ' ,, , , „ Bild 5. Lasten am herauseinzelnen Knoten & als selb- geschnittenen Knoten ständige (herausgeschnittene) Gebilde, an denen folgende Lasten wirken:

8

IV. Schnittkräfte u. Schnittmomente (Schnittlasten)

«) die betr. End-Schnittlasten lt. (1), d. s. Vektoren ByW e**, BZil) e*** bzw. - Br(r) e**, - BZ(r) e***, - T(r) e*, - SM e*; ß) die betr. Stab-Fessellasten (Aktionen), d. s. Vektoren 4r und zwar so, daß die 2 unbekannten Stabkräfte 1 ) Zur Auflösung der Gleichungen empfiehlt sich — soweit nicht handliche zeichnerische Verfahren in Frage kommen — die Verwendung von Rechenautomaten. 2 ) Werden die äußeren Fessellasten, wie es oft möglich und zweckmäßig ist, gesondert berechnet (z. B . nach I I oder I I I ) , so gehen ihre Beträge als bereit', b e k a n n t e Größen in die Fachwerk gleichungen ein. Dann werden so viele der Fachwerk gleichungen überzählig, wie äußere Fessellaaten mit bereit? bekannten Beträgen eingesetzt sind.

B. Fach werk

29

darin in d e r Reihenfolge aneinandergereiht auftreten, in der sie angetroffen werden, wenn der Knoten im gleichen Sinne umfahren wird, wie vorher (s. y) das ganze Fachwerk. — Eintragen des Richtungssinnes jeder damit gefundenen S t a b k r a f t iS01, S02 (Pfeilspitzen entsprechend b ->- h, Ii — /) in die Systemlinie des betreffenden Stabes, u n d zwar an dem

Uli

A ' Oi Axro; Ym

b

,

Bild 16. Cremona-Plan; z. B. 0,1 bedeutet den Absolutbetrag | S 0 1 [ der Stabkraft S 0 1

Stab-Ende, das an dem betrachteten Knoten 0 liegt; Eintragen des diesem Richtungssinn entgegengesetzten Richtungssinnes am a n d e r e n E n d e des betreffenden Stabes, e) F ü r den Knoten 1 mit den beiden noch unbekannten Stabkräften S13, S,2: Zeichnen des Kräftepolygons hbcih aus den bekannten Kräften S01, u n d den zunächst unbek a n n t e n Stabkräften S13, JS' 12 . Eintragen von Pfeilspitzen analog d.

30

IV. Schnittkräfte u. Schnittmomente (Schnittlasten)

f), ri), . . . . : Zeichnungen, wie voranstehend beschrieben, für die Knoten 2, 3, 4, Die Stabkräfte in den einzelnen Stäben sind Zug- oder Druckkräfte (Zahlenwerte S positiv bzw. negativ), je nachdem die an den Stab-Enden eingetragenen Pfeilspitzen von den Stab-Enden weg oder zu den Stab-Enden hin weisen (s..die Angaben zu S 5 7 und in Bild 16; vgl. Bd. I, Bild 33). Beim Zeichnen eines Cremona-Planes kann es vorkommen, daß Knoten angetroffen werden, an denen m e h r als 2 unbekannte Stabkräfte vorliegen. Dann kann die eine oder andere dieser Stabkräfte gesondert ermittelt werden, z. B. nach dem in IV B 4 Dargelegten. U. U. empfiehlt es sich auch, zunächst die Zeichnung abzubrechen und von einer anderen Stelle des Fachwerks aus (z. B. vom anderen Auflager aus) neu zu beginnen. 4. V e r w e n d u n g v o n T e i l f a c h w e r k e n a) Allgemeines Vornehmlich bei e b e n e n Fachwerken ist es oft zweckmäßig, die Stabkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen von Teilfachwerken (vgl. IV A 4) zu ermitteln. Dazu werden zunächst die Fesselkräfte Ax, Az ermittelt (s. Bd. I, S. 16ff. und S. 49ff.) und weiterhin (s. Bd. I, S. 58ff.) am „entfesselten" Fachwerk wie e i n g e p r ä g t e Kräfte behandelt, d.h.: Als (äußere) Kräfte Pz(i) am betr. Knoten gelten (mit Bezeichnungen wie in Bd. I, Gl. 56): Px(k) = — (fc) + Pi(fc), Pz(k) = — -Az(k) + P'z(K)Durch das damit e n t f e s s e l t e Fachwerk werden Schnitte gelegt, die es in jeweils 2 Teilfachwerke zerteilen (vgl. die Bilder 19,17,18); zugleich werden die (noch unbekannten) Stabkräfte S der vom Schnitt getroffenen Stäbe im Sinne positiver Schnittlasten eingetragen. Für eines der Teilfachwerke wird dann — rechnerisch oder zeichnerisch — zum

B. Fach werk

31

Ausdruck gebracht, daß an ihm die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein müssen (s. die folgenden Beispiele). Soweit dabei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen Verwendung finden, werden die Momente jeweils auf Achsen bezogen, die der Koordinatenachse y parallel sind u n d (s. Bd. I, S. 32) durch einen P u n k t gehen, in dem sich die Wirkungslinien von (wenigstens) zweien der unbekannten S t a b k r ä f t e schneiden (nach Bitter). b) Beispiel Bild 17 F ü r das in Bild 17 a abgetrennte Teilfachwerk I lautet die Momenten-Gleichgewichtsbedingung bezüglich der Achse durch u + 1 ] ) : — 0Oio + l»u + l +

{Px(k)(K + l — i)ü)

+ Pz(k)(%u +1 - 5t)}

o,

(16)

ü l erstreckt über die äußeren K r ä f t e an den Knoten k des Teilfachwerks I (einschl. derjenigen Kräfte, die aus Fesseln herrühren). Aus Gl. 16 ergibt sich unmittelbar die S t a b k r a f t O 0)0 + 1 : < W

= - i - j ; ; {••••}. (17) r u+1 •} k a n n - vgl. Bd. I, S. 74ff., Gl. 77 e - aufgefaßt werden als das (— l)fache Biegemoment an der Stelle w + 1" eines dem Fachwerks-Untergurt gleichen, nach Bild 17 b oder c belasteten Stabes. Daher kann — unter Bezugnahme auf Bild 17b oder c — auch geschrieben werden: o.,e+i = --f-±i-'> .

(18;

Mi + l

Wiederum f ü r das Teilfachwerk I lautet die MomentenGleichgewichtsbedingung bezüglich der Achse durch o: Uu,u-nr0 + ^u{PX(k)(K - fa) + i V ) ( « o - i i t ) } = 0 > (19) l

) Koordinaten-Bezeichnungen x, z, A, j , i) wie in Bd. I, Kap. III.

32

IV. Schnittkräfte u. Schnittmomente (Schnittlasten)

erstreckt über die äußeren Kräfte an den Knoten k des Teilfachwerks I (einschl. derjenigen Kräfte, die aus Fesseln herrühren). Aus Gl. 19 ergibt sich unmittelbar die Stabkraft Vv,u + \'Uv,*+i=yo{-{••••})•

(20)

2 1 {••••} kann - vgl. Bd. I, S. 74ff., Gl. 77 e - aufgefaßt werden als das (— l)fache Biegemoment an der Stelle o" eines dem Fachwerks-Obergurt gleichen, nach Bild 17 d oder e belasteten Stabes. Daher kann — unter Bezugnahme auf Bild 17d oder e — auch geschrieben werden: ü

.

u

u

+

(

2

1

)

Weiterhin folgt aus der Kräfte-Gleichgewichtsbedingung im Sinne z, angeschrieben für das Teilfachwerk I : +i s i »

s n ^ i

+i

(22)

+ uu, u +1 sin ^ft;m ~ ^b', m ) • • • • Diese Ausdrücke zeigen den Aufbau der Einflußlinien S k j i m aus den Einflußlinien Na]m, Nb]m,... und den — gesondert aufzustellenden — Einflußlinien des Ersatzfachwerks. 7. A b s p a l t u n g v o n Z w i s c h e n f a c h w e r k e n a) Zwischen- und Restfachwerk es) Allgemeines Ein Fachwerk (s. Bild 21 a) enthalte eine ebene Stabgruppe von solchem Aufbau, daß sie f ü r sich allein — wenn sie irgendwo mit 3 Fesseln in ihrer Ebene stabil gelagert wäre — als ein statisch bestimmtes ebenes Gelenkfachwerk aufgefaßt werden könnte. Diese Stabgruppe sei vom g e g e b e n e n Fachwerk abgespalten (s. Bild 21b), indem diejenigen Stäbe, welche die Randstäbe der Stabgruppe darstellen, ihrer Länge nach aufgespalten worden sind. — Das übrig gebliebene Stabwerk sei seinerseits so beschaffen, daß es für sich allein als ein statisch bestimmtes Gelenkfachwerk — im folgenden „Restfachwerk Ä" genannt — aufgefaßt werden kann. Die abgespaltene Stabgruppe sei nun mittels dreier Fesseln u, v, w in ihrer Ebene stabil an Knoten des Restfachwerks angeschlossen; sie werde dann „Zwischenfachwerk Zw" genannt. Mit der Zerlegung von Fachwerken in Zwischen- und Restfachwerke ergibt sich oft eine Erleichterung der Stabkraftermittlung. Dazu werden die dem g e g e b e n e n Fach werk eingeprägten Kräfte wie folgt auf das Zwischenfachwerk und auf das Restfachwerk aufgeteilt: Kräfte bzw. Kraftkomponenten, die — mangels geeigneter Knoten am Restfachwerk — n i c h t am Restfach werk wirken

43

B. Fachwerk

d ü r f e n (vgl. I V B 2a), werden als Kräfte am Zwischenfachwerk aufgefaßt (s. Bild 21b). Kräfte bzw. Kraftkomponenten, die — a) .-•_-- - 1 -'¿\6 " k j ; m (Zw)

_ —

i

_ n. :j;m(R) — U,

/ o o \

falls der Stab n u r im Restfachwerk vorkommt (s. Bild 21 d): C

a

k i ; m ( Z w )

_

A Zw i l

—

•

+

-Aw;

u ; m ( Z w )

. CR

« k j ; u

m ( Z w ) ' S&j;

I A Zw

"1" ^ v ;

... mit ihren wahren (noch unbekannten) Beträgen angebracht werden. Zur Berechnung von Na, Nb,... gilt also (analog Gl. 30): (Sa\%Na,...]

=)

s ? ra + N a • s f [iV. = 1] + • • • = 0

(41)

usw. F ü r eine Stabkraft S y des g e g e b e n e n Fachwerks gilt dann allgemein (vgl. Gl. 34, 31): Sti = s p m

+

+ Na • {Stf[Na

= 1] + S%[Na = 1]}

(42)

worin die Glieder mit dem Zeiger Zw bzw. die Glieder mit dem Zeiger R zu streichen sind, falls der Stab n i c h t im Zwischenfachwerk bzw. n i c h t im Reststabwerk (darin auch nicht als Abschnitt eines größeren Stabes) enthalten ist. 8. Z e r l e g u n g i n S c h e i b e n a) Aufteilung des Fachwerks Oft ist es zweckmäßig, ein g e g e b e n e s (räumliches) Fachwerk (s. Bild 23 a) in eine — möglichst geringe — Anzahl von e b e n e n Stabgruppen zu zerlegen, von denen jede für sich — wenn sie irgendwo mit 3 Fesseln in ihrer Ebene stabil gelagert wäre — als ein statisch bestimmtes ebenes Gelenkfachwerk aufgefaßt werden könnte. Diese Zerlegung erfolgt, indem (s. Bild 23b) geeignete Stäbe des g e g e b e n e n Fachwerks ihrer Länge nach in 2 oder auch mehr Teilstäbe aufgespalten werden. — Die so entstandenen ebenen Stabgruppen werden im folgenden als „Scheiben" bezeichnet; ihre Anzahl sei „Seh". (Evtl. k a n n bereits eine Gruppe von 3 Stäben, die 4

T e i c h m a n n , Statik der Baukonstruktionen 11

B. Fachwerk

51

ein geschlossenes Dreieck bilden, als eine Scheibe angesehen werden.) E s kann sein, daß bei einer solchen Zerlegung einzelne Stäbe übrig bleiben, d. h. zu keiner der entstandenen Scheiben gehören (z. B . der Stab 1 — 2 in Bild 23 a). Solche Stäbe werden im folgenden als „ R e s t s t ä b e " bezeichnet; ihre Anzahl sei „-Sifl". Die Fesseln zwischen dem gegebenen Fachwerk und dem Erdboden usw. seien (zunächst) als „Fesselstäbe" aufgefaßt; ihre Anzahl sei „St]? . Die Strecken, längs deren sich im gegebenen Fachwerk zwei oder mehr Scheiben berühren (d. s. die Strecken, längs deren die Aufspaltung vorgenommen worden ist), werden im folgenden als „ K a n t e n " des gegebenen Fachwerks bezeichnet — auch im Sonderfall, daß zwei sich längs einer Strecke berührende Scheiben in e i n e r Ebene liegen; die Anzahl der Kanten sei „ K a " . Die Punkte des gegebenen Fachwerks, an denen Kanten, Fesselstäbe oder Beststäbe enden, werden im folgenden „räumliche E c k e n " genannt; ihre Anzahl sei „ E r " . Sofern eine Scheibe einen f r e i e n B a n d 1 ) besitzt, der sich zwischen zwei räumlichen Ecken erstreckt (und auch einen Polygonzug darstellen kann), wird die Strecke, die durch die beiden räumlichen Ecken begrenzt ist, als „freie Bandstrecke" bezeichnet (s. z. B . 1 — 5 und 5—G in Bild 2 3 a ) ; die Anzahl der freien Randstrecken sei ,,Ä/ r ". Sofern sich — längs einer Kante — zwei Scheiben berühren (s. Bild 23), wird zwischen ihnen eine F e s s e l parallel der Kante angenommen (s. Bild 23 d, e), und zwar an irgendeinem auf der Kante liegenden Knoten des gegebenen Fachwerks, z. B . an einem Endpunkt der Kante. Diese Fesseln und die in ihnen wirkenden Fesselkräfte werden ' ) D. i. ein Hand, der keine Kante darstellt. 4*

52

IV. Schnittkräfte u. Schnittlasten (Schnittmomente)

„Kantenfesseln" bzw. „Kantenkräfte Ku genannt. — Sofern sich (längs einer Kante) 3, 4 , . . . Scheiben berühren (s. Bild 23b), werden sie zu 2, 3 , . . . P a a r e n zusammengefaßt (z. B. - s. Bild 23 b - zu den Paaren VI/VIII, V I I I / X ) und wird zwischen den beiden Scheiben eines jeden dieser 2, 3, . . . Paare eine solche Kantenfessel eingeführt. — Die Anzahl der Kantenfesseln und damit zugleich die der Kantenkräfte K sei insgesamt „Kf". Eine notwendige Bedingung dafür, daß das g e g e b e n e (räumliche) Fachwerk als statisch bestimmtes Gelenkfachwerk aufgefaßt werden kann, ist die Erfüllung der Gleichung 3(„Seh" + „E^)

= „Kl" + 2 („Kau +

+ „ S f o " + „StF".

„ß/r") (43)

Zur praktischen Berechnung der Stabkräfte des gegebenen Fachwerks wird zweckmäßig noch folgendes angenommen: Unmittelbar neben denjenigen r ä u m l i c h e n E c k e n , an denen Reststäbe oder — bzw. und — Fesselstäbe enden (Ecken 1, 2, 3, 4 in Bild 23a) oder bei denen die Gesamtzahl der zusammentreffenden Kanten und ggf. freien Randstrecken größer als 3 ist (Ecken 7, 8, 11, 12 und 5, 6, 9, 10 in Bild 23 a), wird noch ein zusätzlicher P u n k t — im folgenden „Nebenecke" genannt — eingeführt. E r sei mittels (gedachter) Fesseln — im folgenden „Eckenfesseln" genannt — an dem zerlegten Fachwerk angeschlossen; zu diesen Eckenfesseln gelte folgendes (s. Bild 23 b, c, e): Ihre A n z a h l sei gleich der Summe der Kanten, freien Randstrecken, Reststäbe, Fesselstäbe, die an der betr. räumlichen Ecke enden; je eine sei den (an der Ecke) zusammentreffenden Kanten, freien Randstrecken, Reststäben und Fesselstäben parallel, jede zu einer K a n t e parallele Eckenfessel sei an e i n e r der Scheiben angeschlossen, die diese Kante berühren;

B. Fachwerk

53

jede zu einer freien Randstrecke parallele Eekenfessel (s. Bild 23e) sei an d e r j e n i g e n Scheibe angeschlossen, zu der die freie Randstrecke gehört; jede zu einem Rest- oder Fessel-Stab parallele Eckenfessel (s. Bild 23c) sei an d i e s e m Rest- bzw. Fessel-Stab angeschlossen. Die in den Eckenfesseln auftretenden Fesselkräfte werden im folgenden „Eckenkräfte E " genannt. (Die Eckenkraft in einer Eckenfessel, die an einem F e s s e l s t a b angeschlossen ist (s. Bild 23 c), stellt — entsprechende Vorzeichenregelung vorausgesetzt — unmittelbar die betreffende Fessel-Stabkraft dar.) b) Aufteilung des Belastungszustandes Greift eine dem gegebenen Fachwerk eingeprägte Kraft an einem Knoten k an, bei dem eine N e b e n e c k e liegt, so wird angenommen, ^ greife an dieser Nebenecke an. Greift ißj; an einem Knoten an, bei dem k e i n e Nebenecke eingeführt ist, so wird über ^ wie folgt verfügt: 1 6 ergeben sich aus den einzelnen Gleichungen die Zahlenwerte a l l e r Unbekannten S und A. Der Gurt 0 — 5 — 1 0 kann dann als entfesselter Stab

C. Andere Stabwerke

59

angesehen und nach Bd. I, S. 58ff., weiterbehandelt werden, an dem — außer den ihm eingeprägten Lasten Mk — die Fesselkräfte (4) und die von den Stäben 2—12, 3—13, 4 - 1 4 , 6 - 1 5 , 7 - 1 6 , 8 - 1 7 ausgeübten Kräfte wirken. (Sofern der Zahlenwert einer solchen Kraft negativ ist, wirkt sie e n t g e g e n dem im Bild eingetragenen Pfeil.) b) Einflußlinien (zum Stabwerk nach Bild 24) Ausdrücke für die Einflußlinien der in den Gleichungen lt. Bild 24 vorkommenden Größen A und 8 können aus diesen Gleichungen entwickelt werden, indem diese speziell für den Belastungszustand „wandernde Einzellast vom Betrage 1, momentan an einer Stelle m der Fahrbahn" angeschrieben werden. Weit einfacher ergeben sich diese Einflußlinien jedoch, indem ihre Ordinaten an der Stelle 5 numerisch berechnet werden (Anwendung der Gleichungen in Bild 24 auf den Belastungszustand „P 2 = 1 in 5"); denn diese Einflußlinien verlaufen zwischen 0 und 5 sowie zwischen 5 und 10 geradlinig, und ihre Ordinaten unter 1 und 9 sind von vornherein bekannt, nämlich: ^z(l);m = l = 1,

-^2(l);m = 9 = 0;

-^z(9);m = l = 0,

Az( 9);m = B = 1;

ßit; m = l ~ Sik;m = 0 = (Ax;m = 0). Ausdrücke für die Einflußlinien der Schnittlasten an einer Stelle j des Gurtes (z. B. Bijnm in Bild 25 a) ergeben sich anschließend auf Grund von geeigneten Schnitten, indem an Hand der Gleichgewichtsbedingungen des einen oder anderen Gurt-Abschnittes die betreffende Schnittlast durch die Fesselkräfte A und Stabkräfte S ausgedrückt wird.

60

IV. Schnittkräfte u. Schnittmomente (Schnittlasten)

4. V e r w e n d u n g v o n E r s a t z - S t a b w e r k e n a) Allgemeines Analog dem in IV B 6 Dargelegten sei s t a t t des gegebenen Stabwerks (s. Bild 25 a) zunächst ein bequemer erfaßbares „ E i s a t z - S t a b w e r k " betrachtet (s. Bild 25b), das aus dem g e g e b e n e n Stabwerk hervorgeht, indem der Stab 14—15 zerschnitten und durch eine innere Drehfessel (Biegemomen-

Bild 25. Stabwerk (a) und Ersatzstabwerk (b) ten-Fessel, vgl. Bd. I, S. 51 f.) an der Stelle 5 e r s e t z t wird (Ausschaltung des Gelenkes). An dem so geschaffenen Ersatzstabwerk werden dann zu Belastungszuständen „^3" und „N tt = 1" (vgl. IV B 6) die Schnittlasten £Er9m, S^[Na

= 1], B^[Na

QErsm; = 1], Q**[Na £rs

r

= 1]

berechnet. (Für die S t a b k r ä f t e ,S' [A a = 1] unterhalb des Gurtes gelten die Gleichungen X I V , X I I I , X I I und XV,

61

C. Andere Stabwerke XVI, X V I I lt. risch aufgelöst wie bei einem Knoten 14, 13, net werden.)

Bild 24. Diese können hier leicht werden, indem — s. Bild 25b —, Cremona-Plan, die Kräftedreiecke 12 einerseits, 15, 16,17 andererseits

zeichneähnlich zu den gezeich-

An der Gelenkstelle 5 des g e g e b e n e n Stabwerks muß das Biegemoment B{i) gleich Null sein. Daher gilt analog Gl. 30: A'a • Bl1; [Na = 1] = 0,

Bfv m

(47 a)

j^Ersrqgi also

Na =

F

(5)

- . = 1]

(47 b) '

Abschließend gilt für die Schnittlasten des gegebenen Stabwerks (analog Gl. 31): C ( = S b z w . B bzw.Q) = CErs[^]

+ Na-CE*[Ntt

= l]

(

'

und speziell «14,15

=

b) Einflußlinien Zur Ermittlung der Einflußlinien gilt Entsprechendes, wie in IV B 6b ausgeführt: AT "

1

r,Era

; m = =

( 4 9 )

(s. Bild 25 b) und damit für irgendeine Schnittlast G^y. C0>; m = 0S5i w + .V8i,„. -c%s[N. (s. B a ) ; m i n Bild 25b).

= 1]

(50)

62

IV. Schnittkräfte u. Schnittmomente (Schnittlasten)

D. Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen 1. Allgemeines Die in Bd. I, S. 88ff., durchgeführten Überlegungen lassen sich leicht auf ebene Stabwerke ausdehnen. Die einzelnen „Scheiben", in die das Stabwerk zerfällt, wenn die betreffende (äußere oder innere) Fessel zerschnitten wird, bestehen aus Teil-Stabgruppen (s. IV C 2), evtl. auch aus Einzelstäben: s. z. B. das in Büd 26 wiedergegebene Gelenkfachwerk. In diesem ist — zwecks Ermittlung von Su — die zum Stab i—k parallele Fessel am einen Ende des Stabes zerschnitten und ist dem daselbst liegenden Knoten i ein Bild 26. Virtueller Verschiebungszustand virtueller Weg tDf an einem aufgeschnittenen Fachwerk (senkrecht zum Polstrahl 0.1— i) erteilt. Bei einem F a c h w e r k ist der virtuelle Verschiebungssprung (s. Bd. I, Gl. 91): àwX(j) = wx(i) - «'x(i)

(51 a)

gleich der (— l)fachen Abstandsänderung ösilc der Endpunkte des zerschnittenen Stabes i—k; also gilt: Swx(j) x der Angriffsstellen x von eingeprägten Kräften und es gilt (analog Bd. I, Gl. 94, 96, 97): =

( 5 2 )

(wobei die virtuellen Arbeiten auch — s. Bd. I, Gl. 95 — als Momente der Kräfte bezüglich x berechnet werden können). Zugleich ergeben sich die zur Einflußlinien-Ermittlung benötigten Wegkomponenten M>2(m>)) der Fahrbahn-Anschlußknoten mv (vgl. Bd. I, S. 98 und Bild 26). -u Falls die Fesselkraft in einer der Fesseln des Stabwerks am Erdboden usw. beim betreffenden Belastungszustand gleich N u l l ist, kann die Zeichnung u. U. vereinfacht werden, indem diese Fessel an eine geeignete a n d e r e Stelle des Stabwerks gelegt wird (s. die in BUd 27 wieB i l d 2 7 . Verlegung einer dergegebenen Beispiele). unbeanspruchten Wegfessel 3. A n d e r e V e r f a h r e n Wenn ein Fachwerk mit dem Zerschneiden eines Stabes in eine größere Anzahl von Scheiben zerfällt, wird die Er-

64

V. Formänderung

mittlung der Pole oft unübersichtlich. Dann empfiehlt es sich, die virtuellen Knotenwege auf andere Weise — o h n e Verwendung der Pole — zu ermitteln. Zweckmäßig wird dazu angenommen, die virtuelle Verrückung komme dadurch zustande, daß die Länge sik des zerschnittenen Stabes i—k um einen Betrag dsi!c = 1 verändert wird (während für alle übrigen Stäbe die Aussage f bezeichnet.

b) Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen « ) Hilfszustand H Zur Berechnung von di wird zweckmäßig ein g e d a c h t e r Belastungszustand zu Hilfe genommen, der im folgenden als „Hilfszustand H " bezeichnet wird (s. Bild 30b). Näheres über ihn wird weiter unten ausgeführt. — Zunächst sei nur

B. Ermittlung von einzelnen Verschiebungsgrößen

69

unterstellt, er bestehe aus irgendeiner Lastengruppe mit Kräften und Momenten 3R a an irgendwelchen Stellen der Konstruktion und die zugehörigen Schnittlasten By, SH, . .. seien bekannt. ß) Virtueller Verschiebungszustand Der nunmehr mit einem s o l c h e n H i l f s z u s t a n d H belasteten Konstruktion werde ein virtueller Verschiebungszustand erteilt (s. Bd. I, S. 47f.), und zwar 1 ) in der Weise, daß den Stab-Elementen der Konstruktion die (lt. obigem bekannten) Grundverformungen ¿ ^ z , . . . , . . . des u r s ä c h l i c h e n Zustandes U als „virtuelle Grundverformungen" erteilt werden. Dabei führen die einzelnen Stellen der Konstruktion (s. Bild 30 b) Drehungen und Wege als „virtuelle Verschiebungen" aus, die den (noch unbekannten Drehungen l p v und Wegen ~mu) des ursächlichen Zustandes gleich sind. y) Arbeitsgleichung An den „virtuellen Grund Verformungen" leisten die im I n n e r n der StabElemente (s. Bild 31) wirkenden Schnittlasten des Hilfszustandes H virtuelle Arbeiten 2 ): r , H JJ r,ll iL' — JSyOyY, — o OwXi rpH „II >ü — J- 0Z OyZ,

Q*@*C /niSMi.Bf

{6wX.,iwZ, ¿¡pf

Bild 31. Schnittlasten des Hilfszustandes H; — öl & , — Qy , (53) virtuelle Grundverformungen entsprealso im ganzen Stab die virtuelle Arbeit chend Zustand U ») Anders als in I I I D ! 2 ) Die z w i s c h e n zwei Stab-Elementen wirkenden Schnittlasten leisten selbstverständlich k e i n e Arbeiten, weil zwischen den Stab-Elementen keine Verschiebungssprünge auftreten.

70

V. Formänderung

r

+ SH

-f{B§ö%y i

(54 a)

bzw. im ganzen Stabwerk die virtuelle Arbeit T

- 2 ; f { B f d ° y + S S ö ° x + •••},

(54b)

i £ erstreckt über alle Stäbe. An den „virtuellen Verschiebungen" (virtuellen Wegen und Drehungen) der Last-Angriffsstellen x leisten die Lasten , 3JL des Hilfszustandes E virtuelle Arbeiten (55) also an der ganzen Konstruktion: (56) X

X

Insgesamt muß die Summe der virtuellen Arbeiten gleich Null sein (s. I I H): r

ü

£ y%to x +2 m? yl =2 f {Bf Ö°Y+ SE dZx+ • • •}, (57) x

x

y

sog. „Arbeitsgleichung". Indem für die Grund Verformungen die Ausdrücke nach Tafel 4 eingesetzt werden, nimmt die Arbeitsgleichung die in Tafel 5 wiedergegebene Gestalt an. Zur praktischen Anwendung wird die linke Seite der Arbeitsgleichung in K o m p o n e n t e n ausgedrückt, z . B . in Komponenten bezüglich x, y, z (s. das dazu in Tafel 5 Vermerkte). Soweit die Koordinaten des Schubmittelpunktes (s. Bild 29 b) gleich Null oder hinreichend klein sind, kann bei der Berechnung von Verschiebungsgrößen der Einfluß

B. Ermittlung von einzelnen Verschiebungsgrößen u

u

g j T Linke Seite in Komponenten u U H jSrx(K)Hc)+ yw^ym + vmc)

w

71

W

bezüglich x , y , z : u ^H 1 < ( M : ] - t - / 1 y i i C j i p y ( f C ) +nilxJ

jj U . v>i(jc)J

Tafel 5. Arbeitsgleichung der Querkräfte gewöhnlich gegenüber dem der Biege- und Torsionsmomente vernachlässigt werden. Oft kann auch der Einfluß einzelner oder aller Längskräfte (Stabkräfte) gegenüber dem der Biege- und Torsionsmomente vernachlässigt werden. Durch passende Wahl des Hilfszustandes H, nämlich der Lasten 9JP, kann — wie im folgenden gezeigt — stets erreicht werden, daß auf der linken Seite der Arbeitsgleichung gerade die gesuchte Verschiebungsgröße «5» (z. B. rp g ^, erscheint (s. dazu die nachfolgenden Beispiele). Stets erscheint auf der r e c h t e n Seite der Arbeitsgleichung ein s c h e m a t i s c h ausrechenbarer Integralausdruck UJ{•••} (Näheres , dazu s. in V B ld). c) Beispiele zur Aufstellung der Arbeitsgleichung * = Pf(i) Wg^ = 1 ' Wg{i},

(59)

und die Arbeitsgleichung lautet: 1 •«&«+() =/{•••}. (60) i (3) Gesucht: die Drehungskomponente y^r) (s. Bild 32a). Hilfszustand ff: My(r) = 1 lt. Bild32d.

Arbeitsgleichung:

0 + 0 + 0 + 0 + 1 • 9 4 ) + 0 = /{• • •} .

(61)

(4) Gesucht: die Drehungskomponente des StabAbschnitts i — 1, i, d. h. (s. Bild 32 a) der Betrag (•&ni-i,i)

=) w

)a

•fkin-J

a—iX

fiifkm+Mkto)

fitr>'(?fktt)

2fkir!)g

+

(X

v

a

+fk(r}Y

fitriffkd)

"§• futyfm'

fuiffklrf

filßfk'^

'kiri\

J

V

n

f

t y

(fkU>+2fklrl)]--f f

Tafel 6. Integralformeln r

Zur Ausrechnung eines Integrals / fifkdX, erstreckt über i

irgendeinen Integrationsbereich Z—r, kommt natürlich auch die sog. S i m p s o n s c h e Regel 1 ) in Betracht. — Unter Umständen empfiehlt es sich auch, von der f o l g e n d e n Regel Gebrauch zu machen, die sich leicht aus Betrachtungen im Sinne der vorangegcngenen Beispiele (s. V B l c ) ergibt: Verläuft im Integrationsbereich l—r sowohl die Systemlinie als auch die Biegemomentenlinie B r ' ( X ) des Hilfszustandes ü geradlinig, so gilt f r j a , v s

J

B y { X )

l

' WÄX)

'

j dX

r>H

V

=

StU

'By(r) ' 9'r(r)

t,B — t>yii)

StU •(pY(i),

(73b)

worin B?(r), B%) die Beträge von By (X) an den Enden r und l des Integrationsbereiches sind, ') Siehe A. Witting, Intergralrechnung; Sammlung Göschen, B d . 88.

B. Ermittlung von einzelnen Verschiebungsgrößen

79

6 = toé, d. h. (s. auch Bild 51 d): Der wahre Weg roa ergibt sich nunmehr durch Zeichnung des Vektordreiecks 6—6'—6" bzw. ß —6'—6". (Gegeben: tt>¿ = 6 - > 6 ' bzw. = ß - 6 ' . Zu zeichnen: durch 6 bzw. durch Q die Senkrechte zu 0—6, durch 6' die Senkrechte zur Fessellinie /—/; Schnittpunkt: 6 " ; tt>6 = 6 " - 6 ' . ) Bei dieser Drehung (