Selectividad Matematicas II Pruebas de 1990

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SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE 1990

Miguel de Guzmán José Colera

ES PROPIEDAD D E : M I G U E L A N G U I T A GAY /

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Diseño didáctico Departamento de Proyectos de Grupo Anaya, S.A. Edición Javier del Olmo Equipo técnico Domingo del Hoyo, Isabel Pérez y A na da Pena. Composición, m aquetación y filmación Pontizón Estudio Diseño de cubierta Alberto Corazón Diseño de interiores Estudio EGE

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SOBRE LA UTILIZACIÓN DEL LIBRO DE PROBLEMAS

La ayuda que puede prestar Un libro como éste puede ayudarte en tu preparación del examen de Selectividad en diversos aspectos: Para familiarizarte con la estructura del examen. Como observarás, aun­ que aquí figuran exámenes provenientes de todas las Universidades, la estructura de todos ellos viene a ser prácticamente la misma: unas cuan­ tas opciones entre las que has de elegir, un tiempo señalado sim ilar,... * Para darte la posibilidad de captar cuáles son las ideas, destrezas, ruti­ nas,... esenciales en los temas de Selectividad. Los programas de las diferentes Universidades son prácticamente iguales y los criterios a la hora de proponer exámenes difieren muy poco. Cualquier examen hubiera podido ser propuesto en otra Universidad. Para percibir cuáles son los tipos de cuestiones apropiadas para un examen de estas características. * Para poder ensayar y comprobar tu grado de preparación con proble­ mas semejantes a los que vas a tener que resolver y en condiciones aná­ logas a las del examen de tiempo limitado, opciones diferentes,... Así puedes tratar de distribuir mejor tus fuerzas y tu tiempo en lo que se refiere a la elección de una opción, realización, comprobación, presen­ tación,...

Como usar este libro * Lo fundam ental en él son los problemas que contiene. Es una colección bien amplia de los problemas propuestos en las diversas Universidades del país en Junio de 1990. s El uso ideal del libro consistiría en que te encararas directamente con cada uno de los ejercicios de Selectividad con el tiempo limitado, como se señala en él, e imponiéndote la obligación de hacer una presentación lo más esmerada posible de tu resolución, como si realmente te estuvieras examinando, sin mirar en absoluto la resolución que el libro te propone.

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Por nuestra parte te ofrecemos ... — una resolución completa de cada problema de modo que puedas comparar tu modo de proceder y tu solución con la nuestra; — un método general para afrontar problemas de matemáticas en tres fa ses diferentes que te pueden ayudar a hacerte con un esquema de procedimiento que suele ser útil; — la distinción en tres fases que proponemos en el tratamiento de cada problema puede servirte para distribuir tu ocupación con el proble­ ma de acuerdo con el esquema que encontrarás a continuación. En nuestra solución del problema distinguimos claramente tres etapas: — ENCUADRANDO EL PROBLEMA

Se trata de entender sus términos, saber "de dónde parto" y "a dónde quiero llegar" y señalar claramente el marco de conocimiento en que se puede colocar el problema a fin de hacerte presente qué clase de conocimientos habrá que invocar. — ESTRATEGIA A SEGUIR

Aquí indicamos una o varias estrategias posibles para la resolución, sin desarrollarlas aún. — RESOLUCION

Se pone en práctica la estrategia elegida y se resuelve el problema. Otra form a de usar el libro, que puede servir para familiarizarte con el proceso que te presentamos y hacerlo tuyo propio, es la siguiente: — Lee el enunciado con atención. No mires nada de lo que escribimos. Enfráscate en el problema por tu cuenta, a tu aire y trata de resolverlo. — Si pasado un tiempo prudencial, diez o quince minutos, no se te ocu­ rre cómo empezar, lee solamente la parte de nuestra solución corres­ pondiente a la primera fase: e n c u a d r a n d o e l p r o b l e m a . Ahí encontrarás el marco que te señalará qué campo de ideas debes recordar para ponerte en marcha. Dedica otro intervalo de tiempo para trabajar por tu cuenta. — Si, aún así, no consigues progresar, lee la segunda sección: e s t r a t e ­ g ia a s e g u ir . Encontrarás algunas indicaciones más precisas para atacar el problema, técnicas concretas que se pueden utilizar. Aplícalas al problema por tu cuenta sin mirar aún cómo lo hacemos nosotros.

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— Cuando hayas trabajado por tu cuenta las estrategias y hayas llegado a la solución, o bien si no has sido capaz de llegar a ella, mira nues­ tra r e s o l u c ió n para comprobar cómo se puede hacer o si tu solución coincide con la nuestra. Esperamos no habernos equivocado. — Después de esta ocupación con el ejercicio, dedica un espacio de tiempo a pensar en los puntos de la teoría y de las rutinas relaciona­ das con la materia del ejercicio que, a la vista de tu actuación, pue­ das tener necesidad de revisar, reforzar, practicar más a fondo..., mediante el repaso con tu libro de texto o con tu colección de pro­ blemas. •

Incluso para aquéllos que no necesiten de ninguna de nuestras indica­ ciones para resolver el problema puede ser útil mirar nuestro tratamien­ to de él. Es muy posible que su método sea perfectamente válido y superior al nuestro. Enhorabuena. En todo caso viene bien y es muy instructivo comparar procesos de pensamiento distintos y comprobar si las soluciones coinciden.

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CONSEJOS SOBRE EL EJERCICIO DE MATEMÁTICAS EN EL EXAMEN DE SELECTIVIDAD

Sentido del ejercicio de Matemáticas

Quienes proponen los ejercicios de Matemáticas suelen ser personas sensa­ tas a quienes la Universidad correspondiente ha encargado una tarea bien deli­ cada. Los o b j e t i v o s r a z o n a b l e s que deben perseguir a través de la parte del Examen de Selectividad que les corresponde son: — Comprobar que ciertas destrezas mínimas, alrededor de los temas fun­ damentales del programa, están presentes. — Comprobar que se han asimilado las ideas fundamentales a través del control de su correcta utilización. •

Lo que no se pretende: — Que el alumno demuestre que es capaz de inventar o de actuar creativa­ mente en las condiciones muy peculiares de un examen como éste (tal propósito requeriría otro tipo de prueba muy diferente, otro ambiente distinto). — Que el alumno demuestre el dominio de la materia hasta el grado de poder exponer con madurez y con estilo apropiado demostraciones de alguna envergadura (esto requiere un ejercicio de memorización que no se puede exigir razonablemente en las circunstancias de este examen. Requeriría una cantidad de tiempo mucho mayor).

•

De hecho, como verás a lo largo de esta colección de problemas de Selectividad 1990, los ejercicios de Matemáticas propuestos en todas las Universidades tienen un carácter muy homogéneo, ajustándose exactamen­ te a los objetivos antes señalados: — Control de la correcta utilización y asimilación de las ideas fundam en­ tales del programa. — Comprobación de la presencia de las destrezas básicas relacionadas con los temas exigidos.

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Preparación para el examen

•

La mejor preparación del examen consiste en el trabajo pausado y conti­ nuado a lo largo del curso. — Con ello se consigue una asimilación más perfecta y profunda, — La misma naturaleza de la matemática exige una absorción ordenada de los hechos y métodos correspondientes a cada tema. — El trabajo continuo proporciona una gran confianza en las propias fuerzas que favorece enormemente la realización del examen.

•

Hay que conocer a fondo de antemano la estructura del examen. Que no haya sorpresas. — Estudiar bien las normas de la Universidad correspondiente. — Hacer previamente ensayos con exámenes anteriores en condiciones de tiempo y circunstancias semejantes a las que regulan el examen real. — Analizar a fondo las características de los exámenes anteriores, las opciones posibles, lo que se suele y lo que no se suele pedir, si se per­ mite o no calculadora y si va a servir de algo utilizarla. — Ten en cuenta que la calculadora es un instrumento cuyo uso no es tri­ vial. Debes entrenarte en su manejo para, cuando lo necesites, poder uti­ lizarla con seguridad y rapidez. No improvises en el examen y, desde luego, no utilices una calculadora distinta de aquélla con la que estás acostumbrado a trabajar. Presta atención muy expresamente al encadenamiento de la operaciones y al manejo de las teclas funcionales. Cuida, cuando hagas uso de las funciones trigonométricas, que la máquina esté preparada para trabajar en grados (DEG) o en radianes (RAD), según necesites.

•

Procura localizar, con ayuda de tus profesores, aquellas partes del programa que se prestan más razonablemente a un examen del tipo usual en tu Universidad. Insistid en ellas con ejercicios, repasos,... — Hay aspectos del programa que difícilmente pueden aparecer de forma razonable: aquéllos que requieren mucho tiempo o mucha memoriza­ ción, que no se pueden realizar sin una preparación inmediata,... — Hay problemas que tienen sentido dentro de la actividad normal del curso o propuestos en un texto, pero no en un examen.

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•

Ir al examen con la confianza posible. — No es un examen para suspender. De hecho son muy pocos los que sus­ penden. — Las pruebas son razonables. — No depende de la memoria, sino de una cierta dosis de ejercicio previo. — Hay tiempo más que suficiente.

•

Procura ir al examen bien descansado. — Nada de atracones de última hora. Son especialmente inútiles en m ate­ máticas para un examen de cierta amplitud como éste. — Si descansas bien los últimos días antes, te irá mucho mejor, pues esta­ rás más despierto.

La realización del examen

•

Mira bien las distintas opciones que se te ofrecen. — No excluyas de entrada ninguna de ellas porque contenga tal o cual materia sin mirarla un poco. Puede ser más fácil de lo que piensas. — No inviertas demasiado tiempo en decidirte p o r una determinada. Normalmente son ejercicios muy directos, no requieren ideas rebusca­ das. Basta con que tengas presentes las técnicas que has visto muchas veces para que puedas emplearlas con éxito. Escoge una opción que te parezca que puedes resolver con mayor seguridad.

•

Una vez que te hayas decidido por una de las opciones, ponte manos a la obra con decisión y no cambies de opción sin un motivo poderoso. — Lee atentamente los enunciados varias veces. En las circunstancias de un examen se puede uno aturdir fácilmente. Asegúrate de que lo entiendes bien. — Dedica tiempo a pensar y planear antes de lanzarte a hacer cálculos sin más ni más. Mira si das con la forma más simple posible. Tal vez la primera que se te ocurra no sea la más conveniente. — Atiende, especialmente en estas circunstancias, a las operaciones y cál­ culos. Repítelos y cerciórate a medida que los vas haciendo, a trozos pequeños. De esta forma la posibilidad de equivocarte se hará menor.

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— Si efectúas cálculos con la ayuda de la calculadora, revísalos con aten­ ción para evitar posibles errores, y hazlos constar en el papel para que quien lo corrija pueda seguir el proceso. No hagas un uso indiscriminado de la calculadora y recurre a tus cono­ cimientos matemáticos siempre que puedas. — Al final, si es posible y tienes tiempo, comprueba tus resultados. Lo puedes hacer de diversas maneras: a) Cerciorándote de que tu resultado satisface, efectivamente, las con­ diciones del enunciado. b) Repasando bien a fondo lo que has hecho. c) Haciéndolo por otro procedimiento. No te vayas antes de tiempo sin dedicarte a la comprobación. Cuida la presentación. — Quien ha de leer tu ejercicio, tal vez tenga que leer 400 más. Aunque no lo pretenda, quedará inclinado favorablemente ante un ejercicio que le haga su tarea más fácil. — Escribe con letra clara. — Explica lo que haces brevemente. — Señala con recuadros, subrayados, etc., lo que juzgues importante. — Prepárate en este sentido con anticipación. Esto no se improvisa en un examen. En el examen lo harás peor que de ordinario, con seguridad.

Miguel de Guzmán José Colera

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS El alumno deberá responder, en el plazo de una hora quince minutos, a dos de los tres problemas planteados y a dos de las cuatro cuestiones.

Problema 1 Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de cero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1; 1,5; 2 y 2,5 centímetros con los precios respectivos siguientes: Clavos A:

0,20

0,30

0,40

0,50 PTA

Clavos Q:

0,30

0,45

0,60

0,75

Clavos H :

0,40

0,60

0,80

pta

1 PTA

>-riendo que en un minuto se producen: De 1 cm de longitud:

100 A

50 Q

700 H

De 1,5 cm de longitud:

200 A

20 Q

600 H

De 2 cm de longitud:

500 A

30 Q

400 H

De 2,5 cm de longitud:

300 A

10 Q

800 H

se pide: Resumir la información anterior en dos matrices, M y N. M será una matriz 3 x 4 que recoja la producción por minuto y N una matriz 4 x 3 que recoja los precios. Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz M ■N y dar su significado. Hacer lo mismo para la matriz N ■M.

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Problema 2 La empresa Autos, S. A. tiene en exclusiva el modelo Turbo-fi. Cada coche le cuesta a la em presa 1 200 000 p t a y sabe que en un mes puede vender 30 coches a 1 600 000 pta cada uno. Un estudio de marketing le revela que por cada 20 000 pta de descuento sobre el precio anterior puede aumentar la venta en 2 coches más al mes. ¿Le conviene hacer estos descuentos para aumentar la venta mensual de coches? ¿A qué precio deberá vender entonces cada automó­ vil para maximizar los beneficios mensuales?

Problema 3 Un saco que contiene 400 m onedas es vaciado sobre una mesa. H allar la probabilidad: a)

De que aparezcan más de 210 caras.

b)

De que el número de caras sea menor que 180.

c)

De que el número de caras esté comprendido entre 190 y 210, ambos inclusive.

Cuestión 1 Resolver gráficamente el siguiente problema de programación lineal: max 0,75 x + y s.a

x + 3y < 15 5x + y < 20 3x + 4y < 24 x > 0 ,y > 0

¿Es única la solución?

Cuestión 2 a)

Expresar que la variable y es directamente proporcional a la variable u, e inversamente proporcional al cuadrado de la variable x.

b)

Si u = sen2 x , calcular la derivada de y respecto a x en la fórmula obtenida en a).

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Cuestión 3 La función f[x) = 2/7 x, si x e [O, 2], y /fx) = 0 en el resto, ¿puede ser la función de densidad de alguna distribución continua? ¿Por qué?

Cuestión 4 Juan tiene 19 años de edad y mide 1,90 m de estatura. Se dice que su talla está en el percentil 92 para los jóvenes de 19 años. ¿Qué quiere decir esto? Alicante. Junio 1 990

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Problema 1 Encuadrando el problema Se nos dan los precios y el número de unidades que se producen, correspon­ dientes a tomillos clasificados según dos conceptos: el material y el tamaño. Se nos pide que dichos datos se expresen en form a matricial. Con las matrices obtenidas hemos de realizar algunas operaciones e interpretar los resultados. Estrategia a seguir Lo que se nos pide es inmediato. Sólo deberemos tener la cautela de construir M y N tal y como se nos pide en la pregunta, que no coincide con la forma en que se nos muestra en los datos. Resolución a)

s(

1

1,5

2

100 50 700

200 20 600

500 30 400

A 1 1.5

2

0,20 0,30 0,40 0,50

Q 0,30 0,45 0,60 0,75

2,5 300 ) 10 = M (unidades producidas por minuto). 800 j H 0,40 0,60 =N 0,80 1 i

(p re c io e n

p t a ).

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b)

M ■N es una matriz 3 x 3 . Llamamos a sus elementos a ,; : a „ = 100 x 0,2 + 200 x 0,3 + 500 x 0,4 + 300 x 0,5 = 430 pta Producen 430 pta de clavos de aluminio por minuto. a 22 = 50 x 0,3 + 20 x 0,45 + 30 x 0,6 + 10 x 0,75 = 49,5 Producen 49,5 p t a de clavos de cobre por minuto.

pta

a 33 = 700 x 0,4 + 600 x 0,6 + 400 x 0,8 + 800 x l = l 760 Producen 1 760 pta de clavos de acero por minuto.

c)

pta

N M es una matriz 4 x 4. A sus elementos los llamamos (3^-: Pn = 0,20 x 100 + 0,30 x 50 + 0,40 x 700 = 315 pta Producen 315 pta de clavos de 1 cm por minuto. p22 = 0,30 x 200 + 0,45 x 20 + 0,60 x 600 = 429 pta Producen 429 pt a de clavos de 1,5 cm por minuto. p33 = 0,40 x 500 + 0,60 x 30 + 0,80 x 400 = 538 pta Producen 538 pta de clavos de 2 cm por minuto. p 44 =

0,50 x 300 + 0,75 x 10 + 1 x 800 = 957,50 pta Producen 957,5 pta de clavos de 2,5 cm por minuto.

Problema 2 Encuadrando el problema Se trata de traducir en términos m atemáticos una situación económica muy usual: controlar los beneficios procedentes de ventas de un producto, las cuales dependen, a su vez, de los posibles descuentos. Estrategia a seguir Tomar como variable independiente, a nuestro arbitrio, el número x de paque­ tes de 2 0 0 0 0 pta de descuento que la empresa puede hacer con el fin de ven­ der más coches. Escribir a continuación el beneficio obtenido para cada x y estudiar esta función para contestar a las dos preguntas propuestas.

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Resolución Si la empresa hace un descuento de 20 000 x p t a , el beneficio por cada coche será 400 000 - 20 000 x en lugar de las 400 000 = 1 600 000 - 1 200 000 que obtiene si no hace descuento. Como por cada paquete de 20 000 pt a de descuento vende 2 coches más al mes, resulta que al mes, con el descuento de 20 000 x, venderá 30 + 2x coches. Por tanto, el beneficio mensual que obtiene así es B(x) = (30 + 2x) (400 000 - 20 000 x) = 10 000 (30 + 2x) (40 - 2x) La gráfica de y = (30 + 2x) (40 - 2x) es muy fácil de construir. Es una parábo­ la invertida que pasa por ( - 1 5 ,0 ) y (20,0):

El máximo de y = (30 + 2x) (40 - 2x) se alcanza para x = 2,5. Por tanto, a la empresa le conviene hacer un descuento de 2 paquetes de 20 000 pta , es decir, vender a 1 560 000 pta cada coche.

Problema 3 Encuadrando el problema Es una situación que responde a una distribución binomial con n = 400 y p = 1/2.

Estrategia a seguir

Como

n ■p - 400 ■^ = 200

es mayor que 5, la binomial se puede tratar como

normal, de media x = np = 200 y a = Vnpq = 10.

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Al resolverlo habremos de cuidar el paso de una distribución discreta a una continua. Por ejemplo, si en la binomial tenemos x > 210, en la normal habrá que poner x ' > 210,5. Resolución

x es binomial B 400, — —> x ' es normal N (200, 10) —> z e s N ( 0 ,1) ’2 x > 210 x < 180

a)

x ' >210,5 jc'< 179,5 ->

z> z
2 1 0 ] = P [ x ’ > 2 1 0 ,5 ] = P [z > 1 ,0 5 ] = 1 - P [z < 1 ,0 5 ] = = 1 - 0 , 8 5 3 1 = 0 ,1 4 6 9 .

b)

P [x < 1 80] = P [x ’ < 1 7 9 ,5 ] = P [z < - 2 ,0 5 ] = 1 - P [z < 2 ,0 5 ] = = 1 - 0 ,9 7 9 8 = 0 ,0 2 0 2 .

c)

P [1 9 0 < x < 2 1 0 ] = P [1 8 9 ,5 < * ' < 2 1 0 ,5 ] = P [ - 1,05 < z < 1,05] = = P [ z < l , 0 5 ] - ( l - P [ z < 1 ,0 5 ]) = 2 - P [z < 1,05] - 1 = = 2

0 , 8 5 3 1 - 1 = 0 ,7 0 6 2 .

Cuestión 1 Encuadrando el problema Un problema típico de programación lineal. Estrategia a seguir Dibujar el recinto. Puede suceder que la solución no sea única; esto ocurrirá si algún segmento del borde en que se encuentra un punto que maximiza la función propuesta es paralelo a la orientación de la recta que corresponde a la función que hay que maximizar. Aquí, maximizar 0,75x + y es lo mismo que maximizar 3x + 4y. Hay una restricción, 3x + 4_y < 24, que produce posiblemente un borde paralelo a las rectas z = 3x + 4y.

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Resolución

Representamos el recinto:

El recinto es la zona destacada. Como la dirección de z = 3x + 4y coincide con la del borde sobre 3x + 4y = 24, cualquier punto sobre ese segmento maximiza la función 3x + 4y. La solución no es única. El máximo es 24 y un posible punto que lo produce es la intersección + y = 20 llx \ 3x + 4y = 24

1 56 60\ \x = — » y - — 1 17 17/

Cuestión 2 Resolución a)

y =k— x1

,. b)

, sen2 x y = k --------x2

k es la constante de proporcionalidad.

, , (2 sen x eos x) x 2 - 2x sen 2x , 2 sen x (x eos x - sen x) y = k - ----------------- í-------------------- = k -------------------------------- -

Cuestión 3 Encuadrando el problema Para responder a esta pregunta recordemos que el área bajo la curva de la fun­ ción de densidad coincide con la probabilidad total disponible, es decir, 1.

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Resolución

Calculemos el área bajo la curva dada:

Como el área bajo la curva no es 1, ésta no puede ser una función de densidad.

Cuestión 4 Quiere decir que el 92% de los jóvenes de 19 años mide menos o igual que él. O, lo que es lo mismo, que sólo el 8 por ciento de los de esta edad lo superan en estatura.

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — Contestar de manera clara y razonada dos de las cuatro cuestiones propuestas. — Se dispone de 1 h 30 min para realizar la prueba.

Cuestión 1 5 una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una com: ;'>ición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de : meo unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1 000 pesetas y el ¿el tipo E es de 3 000 p t a . Se pregunta: Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Cuestión 2 a)

Dada la función f(x )= x e ~ x, se pregunta: i) Estudiar su dominio, las asíntotas, los máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ii) Hacer su representación gráfica.

b)

Calcular el área comprendida bajo la curva de fix ) = In x/x entre los valores x = 1 y x = e.

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Cuestión 3 Las notas obtenidas por 10 alumnos en matemáticas y en música son: Alumnos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Matemáticas

6

4

8

5

3,5

7

5

10

5.

4

Música

6,5

4,5

7

5

4

8

7

10

6

5

Se pregunta: a)

Calcular la covarianza, las varianzas y el coeficiente de correlación.

b)

¿Existe correlación entre las dos variables? Razónese la respuesta.

c)

Calcular la recta de regresión. ¿Cuál sena la nota esperada en música para un alumno que hubiera obtenido un 8,3 en matemáticas?

Cuestión 4 De una baraja de 48 cartas se extraen simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: a)

Las dos sean copas.

b)

Al menos una sea copas.

c)

Una sea copas y la otra espadas. Islas Baleares. Junio 1 990

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Cuestión 1 Encuadrando el problema Es un problema típico de programación lineal. Estrategia a seguir Determinar el conjunto de restricciones y la función a minimizar mediante la interpretación de los datos del enunciado. Luego habrá que elegir el punto del conjunto de restricciones que minimiza la función.

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- : : '¡lición

5 ^pongamos que compramos cantidades x de X e y de Y. Su coste será: Z = 1 OOOx + 3 000 y Esta es la función que hay que minimizar. Las unidades de A son x + 5y. la s unidades de B son 5x + y. Se requiere

x + 5y > 15 5 x + y > 15

Así, el conjunto de restricciones viene dado por x > 0 , y > 0 , x + 5y > 15 , 5x + y > 1 5 hay que minimizar z = 1 000 (x + 3y).

Las rectas z = 1 000 (x +3y) que pasan por algún punto del recinto tienen z mínimo cuando pasan por (2,5; 2,5). Hay que comprar 2,5 de X y 2,5 de Y.

Cuestión 2 Encuadrando el problema Se trata de cuestiones bastante directas referentes al cálculo infinitesimal. Estrategia a seguir a)

Estudiar asíntotas mediante límites y máximos, mínimos, inflexión y crecimiento mediante derivadas.

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b)

La integral parece bastante directa.

Resolución a)

i)

La función J{x) = xe * está bien definida para todo x, es continua y derivable: f ' ( x ) = (1 - x) e x , f " (x) = ( x - 2) e-" Para x —>+

f(x)

—> 0+.Así, y = 0 es una asíntota.

Para x —» -

y(x) —» - oo

y además

=— —> oo. p0r tan-r ex to, hay una rama infinita de tipo parabólico para x —» Para x = 0 , /(O ) = 0. Para * = 1 , / ( l ) = Ve , / ' ( 1 ) = 0 , / " ( l ) < 0 . Por tanto, en 11, —I hay un máximo. Como / " (2) = 0 y / " ’ (2) ^ 0, hay inflexión en 2 , Como f (x) = (1 - x ) e x, resulta que / '( x ) > 0 si x < l y / '( x ) < 0

si

x > 1.

La función crece en ( - °o, 1) y decrece en (1, + °°)ii)

b)

Con todos estos datos la representación es sencilla

El área bajo la curva de y

In x

entre 1 y e viene dada por

In x , dx

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Como — es la derivada de Inx, la función es la derivada de - (In x ) 2. x 2 •e Así, i

In x , ------d x = I ( / n x)2 JC 2

Cuestión 3 £

.uidrando el problema

>e nos da una distribución bidim ensional (notas en m atem áticas-notas en ¡sica) y se nos pide el valor de una serie de parámetros. Estrategia a seguir Para calcular los parámetros requeridos habremos de formar una tabla con los alores de las variables y el resultado de hacer algunas operaciones con ellas:

X,

y,

V

*2

*¡y¡

6

6,5

36

42,25

39

4

4,5

16

20,25

18

A partir de las sumas obtenidas en estas columnas, se calculan los valores de los parámetros. Resolución a)

Las sumas de los 10 valores de cada una de las columnas anteriores son: X x, = 57,5 ; X y¡ = 63 ; lx ¡y ¡= 393 ; Xx,-2= 368,25 ; Xy,-2= 426,5. Con ellas obtenemos: 2

2

dy = ± ^ — y 1 = 2,96 n

;

= 3,7625.

axy = ^ j X ‘yi - xy = 3,075. n

pxy=^ = crrCTv

3’° 75 =0,92. 1,94 1,72

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b)

El valor de la correlación (0,92) es alto. Podemos decir que hay mucha correlación entre esas dos variables.

c)

La ecuación de la recta de regresión de Y sobre X es y - y = rxy( x - x ) Obtenemos:

r™ =—^ = ^ * ^ ''- = 0,817. 2 3,7625 — 2

F (x) = ! sen (x), si

se pide:

0 < x < — 4

eos (x ), si — < x < — 4 2

a)

¿Es F derivable en el punto x = — ? 4

b)

Represéntese gráficamente.

c)

Calcúlese el valor de la integral

Jt/2

F(x) dx

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d)

A la vista del resultado del apartado anterior, ¿qué sencilla transforma­ ción puede hacérsele a la función F para que se convierta en una fun­ ción de densidad de probabilidad? (Sugerencia: ¿qué condiciones ha de cumplir una función para que sea de densidad de probabilidad?)

Cuestión 3 Se distribuyen tres bolas indistinguibles en dos urnas A y B. a)

Escríbanse todas las configuraciones posibles, esto es: ¿escríbase el espacio muestral asociado a este experimento.

b)

Calcúlese la probabilidad de que la urna A contenga exactamente 0, 1, 2 ó 3 bolas.

Cuestión 4 Resuélvase la cuestión 3 para bolas distinguibles. Cádiz* Junio 1990

SOLUCIÓN DE LA PRUEB A Cuestión 1 Encuadrando el problema Se trata de representar una función dada por el cociente ce c:> pe cr.omios. Los términos en x2 sugieren simetría. Se pide estudiar continuic^c ¿err> abüidad. Estrategia a seguir La usual, estudiando simetrías, asíntotas y puntos e s p e c ie simplicidad de la expresión, parece sencillo en conjunto

Aquí, dada la

Resolución (- x)2 + 4 /(-* ) =

x 2+ 4 =

= - *

www.FreeLibros.org ( - x ) 2 + 16

32

x 2 + 16

A sí hay simetría respecto del e je O Y.

Para todo x, es

0
16 siempre, no hay asíntota vertical. La función fix ) es continua.

Como

f(x)

---------- -+ 1 para x —> x 2 + 16 es derivable y

hay una asíntota horizontal y = 1.

2,4x / '( x ) = --------------- ; por tanto / '( 0 ) = 0, / ’(x ) > 0 ( x 2 + ló)

para x > 0 . Esto dice que / (x) tiene un mínimo en x = 0, /(O ) = — tangente horizontal.

con

La curva tiene esta forma:

Cuestión 2 Encuadrando el problema Se da una función definida a tramos por diversas expresiones. Se trata de estu­ diar diversos aspectos de ella relacionados con el cálculo. Estrategia a seguir Para comprobar la derivabilidad de una función definida a tramos, se puede estudiar la continuidad en los puntos frontera de estos tramos y luego compro­ bar si las derivadas de las funciones a cada lado de esos puntos son iguales, es decir, ver si las curvas correspondientes a los dos tramos empalman (continui­ dad) y si empalman suavemente (misma tangente). Las otras preguntas son bastante directas.

www.FreeLibros.org 33

Resolución

a)

La continuidad de y = F(x) es clara, puesto que VT sen 0 = 0, sen — - ----- = eos — , eos — - 0. 4 2 4 2 Para la derivabilidad en x = — estudiamos 4 d (sen x) — - eo sx dx d (eos x) — =-senx dx

y para

n

x

4

n , eos — 4

V~2~ ----2

k n x = — , -sen — 4 4

y para

-------2

Así y = F ( x) no es derivable en x = — 4 La derivada a la izquierda de — vale —

y a su derecha vale - — |

b)

*

■ x /2

. 0

eos x dx

sen x dx +

F (x) dx = c )

• K ¡2

4

Jt

0

/4

■ |* /4

= I - eos x J o + [ sen x

í/)

1>t/2

J

K ¡ 4

2 - V2 = 0,59.

Si tomamos ---------- F (x) = g (x) entonces g (x) dx = 1, g (x) > 0 2-Í2 J-~

www.FreeLibros.org para todo x y así g(x) es función de densidad.

34

Cuestión 3 Encuadrando el problem a

Es un problema de probabilidad muy sencillo porque resulta inmediato porme­ norizar todos los casos. Resolución a)

A la configuración " 1 bola en A y 2 en B" la designaremos, simple­ mente, por (1, 2). De este modo el espacio muestral queda { (0, 3) , (1, 2) , (2, 1) , (3, 0) }.

b)

Nos da la impresión de que quien propone el problema pretende que se responda que cada una de las cuatro posibilidades tiene probabilidad — . 4 Sin embargo, dependerá de cómo se hayan repartido las bolas en las urnas, lo cual no tiene que ver con que se distingan o no. Si, como pare­ ce lo más razonable, cada bola cae al azar en una urna o en la otra, la solución sería la misma que la del problema siguiente.

Cuestión 4 Encuadrando el problema Las bolas se distinguen unas de otras. Las llamaremos a, b, c. Resolución Ia URNA

2a URNA

P 0 en A = i .

abe ab

c

ac

b

bc

a

a

bc

b

ac

c

ab abe

P [1 en A] = - .

P 2 en Al =

P [3 en A] = I .

www.FreeLibros.org 35

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVL4.S — E legir una de las dos opciones propuestas, la 1 ó ia 2, y dar respuesta a las cuatro cuestiones de que consta. — Se dispone de una hora y media para realizar la prueba.

Opción 1 1

Se ha realizado una encuesta sobre opiniones poli: . - - _ un colectivo de 88 alumnos universitarios, arrojando los siguieme> rest . Jos (puntua­ ción cero = extrema derecha, puntuación cien - extrema rcuierda): Puntuación Puntuación Puntuación Puntuación Puntuación Puntuación Puntuación

(38-44) 7 (44-50) 8 (50-56) 15 (56-62) 25 (62-68) 18 (68-74)..................... 9 (74-80) 6

alumn alumn alumn alumn alumn alumn alumn

-

Halla la media y la mediana, el percentil 90 > 1¿ ¿es amen típica de esta variable estadística. Organiza los cálculos y exp e re - altado obtenido, aunque para la realización de los mismos utilices mu cale _mdora. 2

Observaciones realizadas con estudiantes de Materna: :a>. ' bre el efec­ to del paso del tiempo en los conocim ier: - ¿ocu tridos. arrojan los siguientes resultados: 1 día 90% de permanenci- ¿e . nocimientos 2 d ía s .................. 75% 3 d ía s.................. 42% 4 d ía s.................. 30% 5 d ía s.................. 21%

www.FreeLibros.org 36

Tomando los días transcurridos (X) y el tanto por ciento de permanen­ cia (F) como variables de una distribución bidintensional, halla la recta de regresión de dicha distribución y estima, si existe una correlación fuerte, el tanto por ciento de conocim ientos que permanecerán a los ocho días. Organiza los cálculos y explica el resultado obtenido, aunque para la realización de los mismos utilices una calculadora.

3

Un grave problem a ecológico es la destrucción cotidiana de grandes extensiones de arbolado. Supongamos que este fenómeno pasa a regirse por una función logarítmica y = In (x), donde x es el tiempo en años e y es el número de millares de hectáreas de bosque que han desapareci­ do hasta ese momento. Contesta, basándote en el análisis de la gráfica de dicha función, a las siguientes cuestiones: a) Expresa la fórm ula m atem ática que te da la superficie destruida anualmente. ¿Puedes asegurar que la destrucción anual de arbolado permanecerá acotada por debajo de cierto valor en un futuro lejano? b) ¿Es cierto que, siguiendo esta función, cada año se destruirá menos que el anterior? c) ¿Puedes concluir que, en consecuencia, nunca llegará un momento en el que desaparezcan todos los árboles?

4

Tres gráficas representan las funciones y = ax + 2 , y = 6x - b, y = - x - 1, respectivamente. Determina, si es posible, los valores de a y b para que: -

las tres gráficas concurran en un punto;

-

las tres gráficas sean paralelas;

-

las tres gráficas se corten dos a dos. Detalla, en este caso, las desi­ gualdades que describen la región triangular formada.

Opción 2 1

Las alturas en kilómetros y la longitud por carretera de los tramos de puerto de montaña en Cantabria, que se recogen en los datos adjuntos, pueden con siderarse dos variables estadísticas de una distribución bidimensional. Halla las medias respectivas de cada variable y el coeficiente de correlación lineal. Interpreta el valor del coeficiente en el contexto del problema.

www.FreeLibros.org 37

El Escudo Pozazal Piedrasluengas Palombera Los Tomos San Glorio Lunada La Sía Estacas de Trueba La Magdalena La Braguía Alisas

1 0,9 1,3 1,2 0,9 1,6 1,3 1,2 1,1 1 0,7 0,5

km km km km km km km km km km km km

altura altura altura altura altura altura altura altura altura altura altura altura

12 33 19 11 23 58 26 8,4 6 14 16 15

km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud km longitud

Organiza los cálculos y explica el resultado obtenido, aunque para la realización de los mismos utilices una calculadora.

2

Ante un exam en, un alum no sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

3

Si suponemos que el momento actual corresponde al valor x = 0 de la variable tiempo, las pérdidas o ganancias (y) de una empresa fundada X

durante el año pasado siguen una ley del tipo y = — ------ . Apoyándote (x+ l) en la representación gráfica de esta función, determina: a) El momento (valor de ,v) a partir del cual la empresa tendrá ganancias. b) La ganancia máxima previsible en el futuro, si existe. c) ¿Existirá algún momento futuro en el que las ganancias comiencen a disminuir? d) ¿Tendría sentido aplicar esta ley a una empresa fundada hace tres años? ¿Por qué?

4

Minimizar y maximizar la función 5x + 4y en el recinto 12t +5y á 120, 6x + 8y < 180, 5 x + 10y < 100, x > 0 , y > 0. Cantabria. Junio 1990

www.FreeLibros.org 38

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción 1 1

Encuadrando el problema Nos dan la distribución de frecuencias de una variable continua con datos agrupados en intervalos. Se nos piden algunos parámetros. Estrategia a seguir Para el cálculo de la media y la desviación típica necesitamos ampliar la tabla con las columnas x¡ (marcas de clase), f x ¡ (para la media) y f x,-2 para la desviación típica. La mediana y el centil 90 los podemos obtener gráficamente, sobre el polígono de frecuencias acumuladas, o mediante las fórmulas corres­ pondientes. En cualquiera de los casos, necesitamos las columnas de las frecuencias acumuladas y la de los porcentajes acumulados. Resolución X

41 47 53 59 65 71 77

f i xi

fi *i2

fOj

% a¡

7 8 15 25 18 9 6

287 376 795 1 475 1 170 639 462

11 767 17 672 42 135 87 025 76 050 45 369 35 574

7 15 30 55 73 82 88

8 17 34 62,5 83 93 100

88

5 204

315 592

A

5 204 x = ------- = 59,14 88

;

0 =

'W V

/

315 592

59,142 = 9,42.

88

Me = 56 + 6 ■ ^ ~ 30 = 59,36. 25 P 90 — 68 + 6 ■ 9Q~ 83 = 72,2.

www.FreeLibros.org 9 3 -8 3

39

2

Encuadrando el problem a

En una distribución bidimensional hemos de calcular el coeficiente de correlación y la recta de regresión y, a partir de ésta, estimar el valor de y para un cierto valor de x. Posteriormente habremos de explicar los resultados. Estrategia a seguir Para calcular los parámetros que se requieren, hemos de ampliar la tabla con las columnas x,-2 , y,-2 , x¡ y¡. Resolución X x ; = 15; X .v / = 2 5 8 ;

= 5 5 ; X Vi = 16 830: J j x ¡yi = 59\

A partir de estos resultados se obtiene: x = 3; y =51,6;

= —36,6; 1, pues de otro modo, si x = ——

por ejemplo, como

In —— ~ - 1 000, e ¡000

g lO O O

resultaría que en estos primeros instantes aparecen 1 000 hectáreas de bosque y haciendo aún más pequeño el intervalo inicial aparecen tantas hectáreas como queramos. Absurdo.) Luego, tendremos que escribir, en términos matemáticos y a la luz de la función que se nos da, las diversas preguntas que se hacen. Resolución La función y - l n x tiene la forma siguiente:

a) Tratamos de ver cuál es la superficie destruida anualmente, es decir, hasta que han transcurri­ desde que han transcurrido x años (x > do x + l años. Es claro que la destrucción desde que han pasado x años hasta que han pasado x + 1 años es

1)

In (x +

1) -

In (x) - In

| + ^ j = In 11 + —j

j

Como x > 1 resulta In 11 + — < In 2 .

www.FreeLibros.org La destrucción anual está acotada por In 2.

41

b)

En el año x (desde que han pasado x años hasta que han pasado x + 1) se han destruido In

(x + | hectáreas.

En el año x + 1 se han destruido In x + “ 1 hectáreas. \x+ l) La pregunta es si es cierto, o no, que ¡n [x- ± 2 \ < l n l x + l \x + 1 / \ x Como y = I n x es una función creciente, basta ver si x+2 x+ 1

x+ 1 x

Como x es positivo, esto equivale a ver si x2 + 2 x < x 2 + 2x + 1 lo que, claramente, es siempre cierto. La respuesta es que, efectivamente, cada año se destruye menos que el anterior.

c)

Aunque í n r - > + “ para x —» + de aquí no se deduce que todos los árboles desaparecerán, pues no se nos da ninguna hipótesis sobre el crecimiento del bosque. Tampoco del hecho de que cada año desaparezca menos bosque que el año anterior se deduce que nunca desaparecerá el bosque. De hecho, si se supone que se parte de una superficie de bosque M que no se reproduce, como /« x —> + °° para x —> deberá existir x* tal que l n x * > M y así todo el bosque se extingue. Incluso si el bosque se reproduce, pero no lo hace suficientemente rápido, desaparecerá. Del hecho de un decrecimiento cada vez menor no se deduce nada. Por ejemplo,si de 1 quitamos — el 1er año, — el 2o , —-el 3o ... 2 4 8 después den años quedará

1 - -—-----1------- L _ _ _L

=

J_ .

www.FreeLibros.org 2

42

4

8

2"

2"

En cambio, si de 1 quitamos —

después de tres años 1 -

4

el 1er año,

- el 2o, — el 3o ... 3 4

1

1

1

1

2

3

4

12

< 0.

Encuadrando el problema Nos dan tres rectas, dos de las cuales dependen de un parámetro. Nos piden valores de dichos parámetros para los cuales las rectas cumplan ciertas condiciones. Estrategia a seguir Puesto que se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, estudiaremos el caso general y, a partir de él, extraeremos valores parti­ culares de los parámetros que cumplan cada una de las condiciones que se nos imponen. Resolución Para que el sistema sea compatible, es necesario que el determinante de la matriz formada por los coeficientes y los términos independientes sea nulo (pues si no fuera así, el rango de esta matriz sería 3 y el de la matriz de los coeficientes sólo puede ser 2).

IA ' |=

1

a

1

6

1

-1

2 —b -1

- - 20 - a b - b + a = a - 20- b ( a + 1)

,, i ,, , a 20 | A | = 0 b = -------a+ 1 -

Para que las tres gráficas se corten en un punto, pongamos, por ejemplo, a = 0, b = - 20:

-

No hay posibilidad de que las tres rectas sean paralelas, pues las rec­ tas segunda y tercera tienen pendientes distintas.

www.FreeLibros.org 43

-

Para que se corten dos a dos, démosle a a un valor distinto de - 1 (para que no sean paralelas la Ia y la 3a) y distinto de 6 (para que no sean paralelas la Ia y la 2a) y a b un valor distinto de - —— que no se corten en un punto). a+^

(para

Por ejemplo, para a = 0, b = 1 se tiene: La región triangular queda deter­ minada por las inecuaciones:

l y^2 (*)

/

y > 6 x -l

\

y> -x- 1

(*) Para decidir el signo (< ó >) de estas inecuaciones, hemos toma­ do un punto interior (por ejemplo el (0, 0)) y hemos puesto el sentido de la desigualdad de modo que la cumpla dicho punto.

Opción 2 1

Encuadrando el problema Estudiar una distribución bidimensional, calcular algunos parámetros e interpretar los resultados. Estrategia a seguir Ampliar la tabla con nuevas filas (x,2, y,2, x¡ y¡) a partir de cuyas sumas se podrán obtener los parámetros pedidos. Resolución Obtenemos los siguientes resultados £ x í = 12,7

;

x = 1,058.

X x ? = 14,39

;

ox = 0,283.

y i — 241,4

;

y = 20,117.

£ y ■ = 7067,56

;

c¡y = 13,575.

www.FreeLibros.org £ x ¿ y ¿ = 276,28

44

;

axy = 1,740.

El coeficiente de correlación lineal es

pxy

(7,v ;— = 0,453. (7x ' Oy

El valor, moderadamente bajo, es lógico, pues aunque en un principio se puede pensar que el recorrido depende muy fuertemente de la altura, hay que tener en cuenta que, para ir a un puerto, se parte ya de una altu­ ra previa. Es decir, las alturas se miden desde el nivel del mar, pero los recorridos se cuentan desde el valle inmediatamente anterior.

2

Encuadrando el problema Cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta. Estrategia a seguir Imaginamos que extraemos los temas uno a uno. La probabilidad en la segunda extracción depende del resultado obtenido en la primera. Resolución

P [no sabe ninguno de los dos] = — • — = — = 0,15. 25 24 600 P [sabe alguno de los dos] =

1 - P [no sabe ninguno de los dos] =

= 1 - 0 ,1 5 = 0,85.

3

Encuadrando el problema Se supone que un cierto fenómeno económico se rige por una función m atem ática concreta. Se trata de interpretar m atem áticam ente unas cuantas cuestiones sobre el fenómeno, formuladas en palabras, y luego responderlas. Estrategia a seguir En primer lugar hay que interpretar bien lo que se nos dice. Se nos da una función y = - A

. La variable a representa el tiempo a partir del

x + 1

momento actual (aunque no se dice explícitamente en qué unidades se mide, parece claro, por la pregunta del apartado d), que se mide en años: el instante actual es r = 0). La variable y representa las pérdidas

www.FreeLibros.org 45

o ganancias (no se nos dice en qué unidades se mide, pero esto no importa mucho; tampoco está del todo claro, a partir de la sintaxis del X

y (x) = -------- es la pérdida hasta el momento x o la gax+ 1 nancia hasta el momento x. Por el contexto, y por la forma usual de proceder, es razonable interpretar que si y (x) > 0 se trata de una gana­ d a , y si y (x) < 0 se trata de una pérdida.)

enunciado, si

A continuación, a la luz de esta interpretación, habrá que encontrar la formulación matemática correspondiente a las preguntas que se hacen. Resolución a)

X

Se trata de ver a partir de qué x > 0 es y (x) = ------> 0. Está claro que x+ 1 para x > 0. Es decir, a partir del instante actual siempre hay ganancias. Para responder a las otras preguntas, viene bien hacerse una idea X

sobre cómo va la función y = —— . Su representación es fácil: x+ 1 Para x = 0 , y = 0 Para x —> + °° , y —> 1 Para x —>

, y —» 1

1 / => y = 1 es asíntota. )

Para x = - 1 hay una asíntota vertical. La situación de la curva res­ pecto de ella se obtiene fácilmente a partir de estos resultados: x —» - l + , y x —» - l -

, y —»+

La curva es una hipérbola:

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Con esto resulta claro que: b ) y c) No hay ganancia máxima. La ganancia siempre aumenta y tien­ de a 1 cuando x —>+ » . d)

Entre x = 0 y x = - 3 se encuentra x = - 1, punto en el que la función no está definida. Por esta razón, no tiene sentido aplicar la ley a una empresa fundada hace 3 años.

Encuadrando el problema Se trata de la formulación matemática de un problema del estilo de los que aparecen en la programación lineal: optimización de una función lineal con ciertas restricciones lineales. Estrategia a seguir Habrá que representar el recinto e interpretar qué significa la maximización y minimización en él de la función 5x + 4 y. Es decir, se trata de encontrar (x, y) del recinto que haga z = 5x + 4y máximo o mínimo. Resolución El recinto determinado por

12x 6x 5x

+

5y


3

a)

Representar gráficamente f(x).

b)

A partir de la gráfica de fix) obtener las de

c)

Estudiar razonadamente la continuidad de j\x).

d)

Determinar, a partir de la gráfica de f(x),los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

e)

Obtener /

g(x) =fipc- 1) y h(x) = \fix) |.

'(3).

Cuestión 4 Una caja contiene tres monedas. Una moneda es com ente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

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b)

A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller (X) y a unidades producidas (Y) determinar la recta de regresión de Y sobre X. el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. Horas de trabajo X ¡

80

79

83

84

60

78

82

85

79

84

80

62

Unidades pro­ 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240 ducidas Y¡

Castilla-La Mancha. Junio 1 990

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Cuestión 1 a)

Encuadrando el problema Es un sencillo problema de operaciones directas con matrices.

A- 5/ =

I- 3 2 1 - 2

ii)

A! =

\ 4

4 \

4

4 /

1 \ 1

1

2 - 3

/

(A - 5 / ) =

/ 4 4 l 4

8 4 8 4 8 4

\

(A-If

1/

/ 4

OO OO

l 1 2

1

1 2 1

n

II (N

I 1 2

OO

Resolución

2 í - 3 1 - 2 \ 1 2

1 ^ 10 1 = 0 -3 , \ o

0 0 0

0 0 0

/ 2 1 1\ 2 3 2 \ 1 1 2/

Como |A k 0, sí existe la inversa de A.

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b)

Encuadrando el problem a

Es un bonito problema aritmético que, acaso, se pueda desarrollar de forma algebraica. Estrategia a seguir Llamando x, y , z al dinero que tenían A, B y C antes de comenzar, y reflejando algebraicamente las evoluciones después de cada partida, se llega, en función de estas incógnitas, al dinero que tendrá cada uno al final. Igualando cada una de estas tres expresiones a 24 se obtendrán tres ecuaciones. El sistema 3 x 3 se resuelve. Por ejemplo, los primeros pasos, en el proceso de expresar el problema algebraicamente, serian: A Antes Fin partida 1 (pierde A) Fin partida 2 (pierde B)

B_______ C

x x-y-z 2 {x-y-z)

y 2y 2y - ( x - y - z) - 2z

z 2z 4z

Podemos utilizar otra estrategia de resolución que no requiere del álgebra. Consiste en razonar de atrás hacia adelante. Veamos los primeros pasos:

Al final tie n e n .................. La partida 3 la perdió C. Al comienzo de ésta cada uno tenía............................ La partida 2 la perdió B. A l comienzo de ésta cada uno tenía............................

A

B

C

24

24

24

12

12

48

6

42

24

Procura entender estos pasos y completar el proceso. Resolución Completemos el proceso en cada uno de los dos procedimientos. Primera estrategia: método algebraico Fin partida 2 (pierde B) A B C

2 (x-y-z) 2y-(x-y-z)-2z 4z

Fin partida 3 (pierde Q 4 (x-y-z) 2 [2y - (x - y - z) - 2z] 4z-2(x-y-z)-[2y-(x-y-z)-2z]

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4(x - y - z) = 24 x -» - x 2 [ 2 y - ( x - y - z ) - 2 z ] = 24 4z - 2 ( x - y - z ) - \ 2 y - { x - y - z) - 2z] = 24 -> x

- y - z = 6j + 3y - z = 121 - y + l z = 24)

Resolvemos por el método de Gauss: 1

1 -1 -1

—>

-1 -1 7

-1 3 -1

/ 1 0 \ o

-1 2 0

6 ^i 12 24 1I

-1 -2 4

-1 2 -2

í 1 0 1 i 0

6

1

18 -> 48 ;

-1 -2 6

6 \

—)

18

30 /

12

x = 6 + 12 + 21 = 3 9

Los tres amigos tenían, respectivamente, 39 de empezar.

pta,

21

pta

y 12

pta

antes

Segunda estrategia: método aritmético Completamos lo comenzado anteriormente:

Al comienzo de la partida 2 te n ía n .............................. La partida 1 la perdió A. Al comienzo de ella cada uno te n ía ............................

39

B

C

42

24

21

12

Llegamos así a la misma solución que se obtuvo por el otro método. ¿No es cierto que es mucho más sencillo y elegante éste que el anterior?

Cuestión 2 a)

Encuadrando el problema Es un problema típico de programación lineal. Estrategia a seguir Se trata de formular matemáticamente las restricciones que aparecen en el texto del enuhciado.

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Si la fábrica produce x neveras utilitarias e y neveras de lujo, el bene­ ficio es de pesetas diarias z = 30 OOOx + 40 000y Se trata de maximizar z, o lo que es lo mismo, de maximizar z*= 3x + 4y con x e y sujetos a las restricciones del enunciado. Resolución Producir x neveras utilitarias e y de lujo supone 3x + 3y horas de montaje 3x + 6y horas de acabado Se nos dice que 3x + 3 y < 1 2 0 , 3x + 6>' 0 , y > 0. Representamos el recinto y la recta que nos da la dirección de maximización

El máximo se obtiene haciendo 20 neveras utilitarias y 20 de lujo y el beneficio es de 1 400 000 pesetas. (Se comprueba fácilmente que para los otros vértices del recinto (40, 0) y (0, 30) el beneficio 30 OOOx + 40 OOOv es menor.) tí)

Encuadrando el problema Nos dan una distribución de frecuencias y nos piden algunas representa­ ciones gráficas y algunos parámetros.

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E strategia a seguir

Para el cálculo de los parámetros deberemos ampliar la tabla con nuevas columnas: x, (marcas de clase); f x¡ ; f x 2 para el cálculo de o; I x ¡ ~ x ! y fi I x ¡ - x I Para el cálculo de la desviación media.

Resolución

ii)

145 155 165 175 185 195 205

fi

fx ¡

3 11 25 30 12 3

435 1 075 4 125 5 250 2 960 2 340 615

100

17 430

16

x = 174,3

,

fx 2 63 264 680 918 547 456 126

U ,.- 174,3 1 f \ x ¡ - 174,3 |

075 275 625 750 600 300 075

29.3 19.3 9,3 0,7 10.7 20.7 30.7

87,9 212.3 232,5 21 171,2 248.4 92,1

3 056 700

120,7

1 065,4

O2 = 3 056 700 - 174,32 = 186,51

100

Desviación media = ^ ^ 5 . 4 _ 100

^ 4

Cuestión 3 Encuadrando el problema

www.FreeLibros.org Se trata de estudiar una función definida a trozos.

54

Estrategia a seguir

Como en todos estos problemas, hay que representar las funciones que se indican y restringirlas a los trozos correspondientes. Para estudiar la continuidad habrá que tener especial cuidado en los puntos de empalme. La función y = fix - 1) es trasladada de f(x) en dirección del eje OX. Para la función y = If(x) I se toman las curvas sim étricas respecto de OX de aquellas partes de y = f(x) que transcurran bajo el eje OX. Resolución a)

La gráfica de

y =x

es

Para y - f ( x ) hemos de tomar la parte en que x < 1. Por tanto:

La gráfica de y = 3 es

y

7=3

0

X

www.FreeLibros.org 55

Para y = f(x) hemos de tomar la parte l < x < 3 :

La gráfica de y - x2 - 6x es una parábola con las ramas infinitas hacia arriba y que pasa por los puntos (0, 0) y (6, 0). Su mínimo se obtiene, por tanto, para x = 3 , y = - 9. Así, la función y = x2 - 6x tiene por representación

Como nos interesa y = I x2 - 6x I, la gráfica será:

De ésta hay que tomar la parte en que x > 3. Así la curva solicitada

www.FreeLibros.org 56

b)

La curva de g(x) = f(x - 1) se obtiene desplazando f(x) una unidad hacia la derecha. Así, es:

Para la curva de h(x) = I/ (x) I tan sólo hay que cambiar, por simetría, la parte de J{x) que está por debajo de OX. Así, queda:

c)

Claramente y =J{x) es discontinua en x = 1 y x = 3, pues f f ( x ) —> 3 si x —> 1+ l f (x) —> 1 si x —> 1

y

|/ W

-> 9 si x -> 3+

lf ( x)

—^ 3 si x —^ 3

d)

La función crece en ( - °°, 1), es estacionaria (permanece constante) en (1, 3), decrece en (3, 6) y crece de nuevo en (6, + °°).

e)

Claramente, para x e (1, 3) se tiene y = 3. Pero también se obtiene y - 3 cuando x es tal que x > 3 y x2 - 6 x = - 3 ó x2 - 6 x = 3, lo que ocurre cuando x = 3 + i~(¡ ó x = 3 + 2VT. Por tanto: / _1(3) = (1, 3) u (3 + /6^} u { 3 + 2 ^ } .

Cuestión 4 a)

Encuadrando el problema

www.FreeLibros.org Cálculo de probabilidad en una experiencia compuesta.

57

Estrategia a seguir

Representar los datos en un diagrama en árbol y razonar sobre él. Resolución

1/2

< ■> 2a


-

1 \

-= -

+

+

La probabilidad de que salga cara es 0,61. b)

Encuadrando el problema Estudio de una distribución bidim ensional, cálculo de parám etros e interpretación de resultados. Estrategia a seguir Calcular sobre la tabla los datos que faltan (x,2 , y,2, x¡y¡) para, a partir de ellos, calcular los parámetros pedidos. Resolución Obtenemos: Y x , = 936

; x = 78

X - L = 7 3 760

; O, = 7,9

X V. = 3 632

; y = 302,66

X y¡ = 1 109 254

; o v = 28,89

X

; Oxv = 218,19

www.FreeLibros.org 58

x¡yi

= 285 908

A partir de ellos obtenemos el coeficiente de correlación lineal Pxi = 0,96 y la recta de regresión de y sobre x y = 29,66 + 3,50x La correlación obtenida es muy fuerte, lo cual es lógico pues hay una relación estrechísima entre las dos variables.

www.FreeLibros.org 59

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — —

Responda sólo a dos cuestiones de entre las cuatro propuestas y justifique las respuestas. Dispone de 1 h 30 min para realizar la prueba.

Cuestión 1 a)

b)

Concepto de determinante de orden n. Resolver, sin desarrollar, apli cando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes: a

a2

a3

b

b2

b3

c

c2

c3

Resolver la integral

j

x e - 2* dx

Cuestión 2 Representar la función y = - In x2 estudiando su dominio, continuidad, máxi­ mos y mínimos, intervalos de crecimiento, así como el área limitada por la fun­ ción y las rectas x = e y x = e2.

www.FreeLibros.org 60

Cuestión 3 a)

Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? 0

Ningún paciente tenga efectos secundarios.

ii) Al menos dos tengan efectos secundarios. iii)

b)

¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

Estudiar la posición relativa de los planos X

-3 y

3x + 2x -

6y y

+z = 0 + z = 3 +z = 1

Cuestión 4 Para realizar unos estudios sobre energía solar se han medido la temperatura máxima y el número de horas de sol durante una semana, obteniéndose los siguientes resultados Lunes

Martes

Temp.

12

14

n° horas

12,35

12,36

Miércoles 7 12,16

Jueves

Viernes Sábado Domingo

10

15

20

12,36

12,38

12,45

18 12,40

a)

Hallar las temperaturas mediana y modal máximas diarias.

b)

Hallar la recta de regresión de la temperatura en función del número de horas de sol.

c)

El lunes siguiente a la realización de la experiencia se rompió el medi­ dor del número de horas de sol. ¿Podemos estimar este número a partir de la función obtenida en el apartado anterior? Justificar la respuesta y obtener esta esimación si sabemos que la temperatura máxima fue de 19 grados centígrados. Córdoba. Junio 1990

www.FreeLibros.org 61

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Cuestión 1 a)

Encuadrando el problema Hemos de calcular el determinante de una matriz 3 x 3 en función de tres parámetros, a, b, c. La estructura regular de la matriz nos hace pen­ sar que admitirá fáciles simplificaciones. Estrategia a seguir Lo prim ero que podem os observar es la posibilidad de sacar factor común a ( I a fila), b (2a fila) y c (3a fila). Después "haremos ceros" en una de las líneas. Resolución a

= abe

a2

a3

b

b2

b3

c

c2

c3

(1) = abe

1

0

0

1

b -a

1

c -a

b 2--a b 9 c 2--ac

(4) = a b e (b - a) (c - a)

a

a2

1

b

b2

1

c

c2

(3) = abe

(2) =

b -a

b (b

c -a

c (c

(5) = a b e (b - a ) ( c - a ) ( c - b )

I b 1

1

c

(1) Sacamos a factor común por serlo de los elementos de la Ia fila. Análogamente b y c en las filas 2a y 3a. (2) (3a columna) - (2a columna) a ; (2a columna) - ( I a columna) •a. (3) Desarrollamos por los elementos de la Ia fila. (4) Sacamos factor común (b - a ) y (c - a) de las filas Ia y 2a, respec­ tivamente. (5) Desarrollamos el determinante 2 x 2 .

www.FreeLibros.org 62

b)

Encuadrando el problem a

Es una integral definida que se puede abordar "por partes". Estrategia a seguir Recordar la fórmula de integración por partes u d v = uv

v du

y tratar de aplicarla aquí. Resolución Aquí se puede poner u = x => du = dx 2x

dv = e 2x dx => v = - —

Así

3 2

3

e- 2x x e~ 2x dx = - x -----2

3

2

dx =

2

3

+ 2

• 2x

+

7 _6 5 e ~ lx = — e H---4 4 2 4

Cuestión 2 Encuadrando el problema Se trata de representar una función gráficamente y estudiar algunos de sus ele­ mentos, así como el área encerrada en un recinto limitado por la curva dada y dos rectas paralelas a OY. Estrategia a seguir La usual para la representación de funciones: el cálculo infinitesimal. Para el área habrá que integrar la función; los límites de integración vienen ya dados en el enunciado.

www.FreeLibros.org 63

Resolución

El logaritmo sólo está definido para valores positivos, pero como x2 > 0 salvo para x = 0 resulta que el dominio es ( 0) U (0, + °°). Como ( - x)2 = (x)2 resulta que y = - /n x 2 no cambia al cambiar x por - x. Hay por tanto una simetría respecto de OY. Por ello basta que consideremos la representación para x e (0, °°) y luego completemos por simetría. Como y = - In x2 = - 2In x si x e (0, °), resulta más cómoda y conocida la representación de y = - 2In x. La función In x es continua en todo (0, °°) y por tanto y = - In x2 es conti­ nua también en ( - «>, 0). No está definida para x = 0. 2

La función y = - 2 In x , x e (0, °°), tiene por derivada y' = todo x e (0, oo), y es decreciente.

y así, para

x

Para x —> 0+ , y —) + =» y para x -» + °°, y —¥ Así, no hay máximos ni mínimos. La función propuesta, por simetría es creciente en ( - - 15 ; 2 x - 3 y > ~ 10 ; jc > 0 ; y > 0.

www.FreeLibros.org 68

Opción B 1

El peso de los toros de determinada ganadería se distribuye como una distribución normal de 500 kg de media y 45 kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 2 000 toros: a) ¿Cuántos pesarán más de 540 kg? b)

¿Cuántos pesarán menos de 480 kg?

c) ¿Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg? 2

Resuelve aplicando el método de Gauss el sistema: Xí

-

2x, 3xi -

3

2x2 *2 3x2 -

3x

4X; 5x:

Responder de forma breve, pero razonada, a las siguientes preguntas relativas a la función cuya gráfica es la siguiente (la parte curva corres­ ponde a una parábola): a)

¿Cuál es el valor de la derivada de la función en el punto x = - 1?

b)

¿Cuál es el valor de la derivada de la función en el punto x = 2?

c)

¿Se trata de una función continua en el intervalo [- 2, 5]? Extremadura. Junio 1 990

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A 1

Encuadrando el problema Se dice que una cierta función es lineal y se dan dos puntos de ella. Se pregunta por otros valores de la función.

www.FreeLibros.org 69

Estrategia a seguir Llamando P al precio y d a los kilómetros, la función lineal será de la forma: P = ad + b Hay que calcular, con los datos que se proponen, a y b. Con esto el resto del problema es fácil. Resolución Como para d = 57

resulta P = 285

y para d = 68

resulta P = 340

I 285 = \ 340 =

tenemos

57a + b 68a + b

Así, a = 5 , b = 0. Con esto: a)

P = 5 d\

b)

P = 5 ■500 = 2 500 pesetas;

c)

400 = 5d , d = 80 km.

Encuadrando el problema De una distribución estadística se nos dice que es normal y se nos da la media y la desviación típica. Hemos de calcular la probabilidad de que la variable cumpla ciertas condiciones. Estrategia a seguir Para poder utilizar las tablas de la normal N(0, 1) habremos de tipificar los valores de la variable que sirven de extremos a los intervalos entre los que se mueve la variable:

x es N (0,95;0,22)

->

x - 0 95 ’ es N (0 ,1 )

0,22

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Resolución

a)

P [ x > 1,3] = P z > -

1,3-0,95

0,22

= P [ z > 1,59] = 1 - P [ z < 1,59] =

= 1 -0,9441 =0,0559. Número de personas: 0,0559 • 2 600 = 145 personas.

b)

0 ,0 7 -0 ,9 5 P [ x < 0,07] = P z < 0,22

= P [ z < - 4 ] = 1 - P [ z < 4 ] =0.

Número de personas: 0.

c)

P [0,8 < jc< 1,15] = P

0,8 - 0,95

0,22

1,15 - 0,95 [ < z < ---------------

0,22

= P [ - 0 , 6 8 < z < - 0 , 9 l ] = P [ z < 0,91] - ( l - P [ z < 0 ,6 8 ]) = = P [ z < 0 ,9 1 ] +

P [ z < 0 , 6 8 ] - 1 = 0 ,8 1 8 6 + 0 , 7 5 1 7 - 1 = 0 ,5 7 0 5

Número de personas: 0,5705 • 2 600 = 1 483 personas. 3

Encuadrando el problema Se da un recinto determinado por cinco inecuaciones lineales, es decir, por cinco rectas. Se pide maximizar una expresión lineal sujeta a las condiciones del recinto. Estrategia a seguir Primeramente, dibujar el recinto. Luego se trata de buscar una recta de la forma 3x + 2y = z que tenga algún punto en el recinto y tal que z sea lo mayor posible. Las rectas que limitan el recinto se determinan fácilmente mediante dos de sus puntos. El semiplano que corresponde a la inecuación se halla fácilmente sin más que calcular el valor que corresponde a un punto fuera de la recta determinada por la ecuación.

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Resolución El recinto es el siguiente (zona rayada):

Las rectas z = 3x + 2y son paralelas a 3x + 2y = 0. que es la r que se ha dibujado. La paralela a ella, 3x + 2y = z, que hace máximo z y que todavía tiene un punto en el recinto, es r ' , que pasa por el vértice intersección de I 2x - 3y = - 10 | - I x + 3y = - 15 es decir x = 5 , y = — . El valor z máximo es z = 3- 5 + 2 - — = — . 3 3 3

Opción B 1

Encuadrando el problema Es un problema absolutamente similar al 2 de la opción A de este mis­ mo examen. Estrategia a seguir Para poder m anejar las tablas de la normal N(0, 1) efectuaremos el cambio siguiente: x es N (500,45)

->

z = ’Y~ 5° ° 45

es N(0, 1)

www.FreeLibros.org 72

Resolución

a)

540 - 500

p [ x > 540] =P

=P [z > 0,89] = l - P [ z < 0,89] =

45

= 1 -0 ,8 1 3 3 = 0,1867. Habrá 0,1867 • 2 000 = 373 toros aproximadamente. b)

P [x < 480] = P [z < - 0,44] = 1 - P[ z < 0,44] = 1 - 0,6700 = 0,33. Habrá 0,33 x 2 000 = 660 toros aproximadamente.

c)

P [ 4 9 0 < x < 5 1 0 ] = P [ - 0,22 < z 540,5] ; b) P [ x < 479,5] ; c) P[489,5 < x < 510,5]

Encuadrando el problema Se trata de resolver un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas por el método de Gauss, es decir, mediante transformaciones matriciales. Resolución

M

2

l 3

-2 -1 -3

-3 -4 -5

3' 7 8¡

->

-2

(1 0 lo II

-»

0

-3

2

3\

4

1 - 1/

- 2 - 3 3 2

3\ 1

3 3

www.FreeLibros.org \ 0

0

2

- 2/

73

2z = - 2

-> z = - 1

3y + 2z = 1

—» 3y - 2 = 1

x - 2y - 3z = 3

—» 3y = 3

—> x - 2 + 3 = 3

—> y = 1

—> x = 2

x = 2 , y = 1 , z = - 1 es la solución buscada.

Encuadrando el problema

3

Se presenta una curva de forma gráfica. Se pide hallar unos cuantos ele­ mentos que serían muy fáciles de encontrar si tuviésemos también la expresión analítica.

Estrategia a seguir El punto en el que la recta de la izquierda corta al eje O Y en la gráfica parece ser, aunque no se indica explícitamente, el (0, 4). El punto en que la parábola corta al eje O Y parece ser el (0, 5). Con estos datos, la recta de la izquierda es la que pasa por ( - 2, 0) y (0,4). Su ecuación es y = 2x + 4. La parábola es de la forma y = ax2 + bx + c. Para x = 0 , y = c = 5. Así es, por ahora,de la forma y = ax2 + bx + 5. Como pasa por el punto (2, 1), 1 = 4a + 2b + 5. Además, tiene un mínimo en (2, 1). Como y '(x) = 2ax + b, resulta que se ha de verificar y '(2) = 0 = 4a + b. De f4 a + 2b = - 4 \4 a + b = 0 resulta b = - 4 , a = 1. La parábola es y = x2 - 4x + 5. Para x = 3 se obtiene y = 32 - 4 - 3 + 5 = 2. Por tanto, la parábola pasa por (3, 2). Ahora ya tenemos dos puntos de la recta de la derecha, (3, 2) y (5, 0).

www.FreeLibros.org Por tanto, esta recta es y - - x + 5.

74

La función correspondiente a la gráfica es:

m

= x

2x + 4

si

x ^ >3

Resolución

2 5 ___

D

6 25

3 5

h

2 5......... ----- R

25

¿ 5

Á. 25

~~

V

Espacio muestral {(/?, R) , ( R, V), (V, R) , ( V, V)} „r

•

i

i

b

6

12

P 1mismo color = — + — = — 25 25 25 13 /^ d is tin to colorí = — . 25

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — D ebe co n testa r sólo dos de las cuatro cuestiones propuestas, elegidas libremente. — Cada una de las cuestiones elegidas se calificará entre Oy 5 puntos. — Se dispone de 1 h 30 min para realizar la prueba.

Cuestión 1 a)

Se pide: i)

Explicar el significado de los términos frecuencia absoluta, frecuen­ cia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.

ii) ¿Es siempre posible el cálculo de los parámetros media y moda? Justifiqúese la respuesta. b)

La siguiente tabla representa los pesos y alturas de 20 alumnos de C.O.U.: N° de alumnos Peso Altura

4

3

2

5

4

2

73

76

73

78

80

82

1,65

1,68

1,70

1,72

1,76

1,80

Se pide: i)

¿Cómo están correlacionados estos datos?

ii) ¿Cuál será la altura estimada para un alumno de este colectivo que pese 75 kg?

www.FreeLibros.org 83

Cuestión 2 a)

b)

Se sortea un viaje a Singapur entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: 0

¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

ii)

Si del afortunado se sabe ya que es casado, ¿cuál será la probabili­ dad de que sea una mujer?

¿Qué relación guardan tres curvas de distribución normal con la misma media y distintas desviaciones? ¿Y con la misma desviación típica y distintas medias? Justifiqúense las respuestas.

Cuestión 3 a)

Representar gráficamente la función siguiente: |

*

A x) = l 1 —x 2 \ Indíquese además X =

b)

-3

M - l)

(- 1

3

El sistema es, evidentemente, compatible indeterminado. Resolvámoslo:

x -

y 3y

+ 3z =

x -

_ ,

Í8-5X 3

y

=

3y

— 4z = - 1

Solución:

tí)

3

3 - 3z

= - 1 + 4z

-1+4X

y=

1+4z 3

x = y + 3 - 3z = -

!-5z

'

, ------------ , X 3

Encuadrando el problema Hemos de representar un recinto limitado por tres rectas. Estrategia a seguir Cada desigualdad significa un semiplano. La recta correspondiente es inmediata. Para determinar cuál de las dos regiones es la que nos intere­ sa, probamos si un punto de una de ellas cumple o no la desigualdad. Resolución

l l'l l Plil i l

i

l

I liílfiil ¡i i

l

i i i 1 iiliiili i|l ¡PpÜ j¡ii i ÍHljl |

í

B

|

|

|

www.FreeLibros.org M

M

l

l ííílillS lil! ! ! : ! ! !

89

en

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — E legir una de las dos opciones prop u esta s, la A o la B, y dar respuesta a las tres cuestiones de que consta. — Se dispone de lh 30 min para realizar la prueba.

Opción A 1

Establezca la diferencia entre sucesos contrarios y sucesos incompati­ bles. Ponga ejemplos de cada uno de ellos.

2

Represente mediante tres diferentes modos de presentación de datos los que aparecen en la figura. Calcule la media y dé su interpretación. IN VERSIO N TOTAL PER IO D O 1985-1989 M IL L O N E S DE P ESET A S 54 544 ^ ■ |

8 903

17 126 4 |

^

aidlJ J 1985

3

1986

1987

1988

1989

Total

Represente gráficamente la progresividad del impuesto sobre la renta sabiendo que es una función creciente por tramos, que es lineal en cada tramo y que las pendientes primero aumentan y después disminuyen.

Opción B 1

Definiciones de probabilidad. Comente las diferentes aproximaciones a esa idea.

www.FreeLibros.org 90

2

Extraiga del gráfico la mayor información matemática posible.

3

Maximizar la función z = 6x - 2y en el primer cuadrante con las res­ tricciones y + 2x= 1, 2 y > 1 + x, x < 1/4, analizando la posibilidad de resolución del problema. Las Palmas de Gran Canaria. Junio 1990

SOLUCION DE LA PRUEBA Opción A Dos sucesos se llaman contrarios cuando necesariamente ha de ocurrir uno de los dos, pero no ambos. Es decir A ' es contrario de A si A u A ' = E (sucesototal) , A n A ' = f Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir simultánea­ mente: A n B = (j). Por ejemplo, al tirar un dado los sucesos {1} y {2, 4, 6} son incompati­ bles pero no contrarios. El suceso contrario de {1} es {2, 3, 4, 5, 6} y el suceso contrario de {2, 4, 6} es {1, 3, 5}. Resolución Podría representarse mediante un diagrama de barras, un histograma o un polígono de frecuencias: DIAGRAMA DE BARRAS

LA El histograma y el polígono tienen la ventaja, sobre el diagrama de barras, de representar cada año como un intervalo de tiempo y no como un punto.

www.FreeLibros.org 91

El diagrama de sectores no sería una representación adecuada, pues se uti­ liza cuando, a priori, hay un total que se reparte en distintos conceptos. —

54 544

La media x = 1

= 10 908,8 millones de pesetas, significa lo que 5 correspondería a cada año si la inversión total se repartiera por igual en los cinco años del periodo estudiado. 3

Encuadrando el problema Se trata de interpretar gráficamente una situación descrita mediante tér­ minos matemáticos: función creciente p or tram os,... Estrategia a seguir Preguntarse qué significa gráficamente cada una de las descripciones dadas en el enunciado e ir conectando los significados. Resolución "Función creciente por tramos":

Además, "lineal en cada tramo" (las líneas son segmentos de rectas):

www.FreeLibros.org 92

Además "las pendientes primero aumentan y luego disminuyen":

Razonable sería que la gráfica fuera continua (de otro modo una dife­ rencia de una peseta en los ingresos llevaría a pagar una cantidad posi­ blemente mucho mayor):

Opción B 1

Enunciado de carácter teórico. En textos matemáticos de COU.

2

Encuadrando el problema Aunque no es fácil, se trata de un problema muy interesante pues hay que extraer toda la información que se pueda de una gráfica, sin que se nos marque ninguna pauta. En el eje de ordenadas nos dan el porcentaje de aumento de demanda de energía respecto al año anterior.

www.FreeLibros.org 93

Estrategia a seguir

Para el estudio de cada una de las gráficas, tomemos como unidad la cantidad de energía demandada el año 84. De este modo, en Canarias, por ejemplo, se obtiene: .1984:

1

1985:

1+ ^ = 100

1,087

1986:

1,087 + ^ L - 1,087 = 1,08711 + 100

\

1987: 1,214 • 1,129 = 1,371. I I

= 1,087 • 1,117 = 1,214 100/

(1,129 es 1 + l 100/

Resolución Las cantidades consumidas en Canarias y en España, tomando como unidad la cantidad consumida en cada comunidad el año 1984, son:

1984

1985

1986

1987

1988

1989

Canarias

1

1,087

1,214

1,371

1,517

1,692

Nacional

1

1,033

10,54

1,092

1,148

1,210

Con sólo mirar la gráfica que se nos da, apreciamos que año a año el aumento de la demanda de energía en Canarias es muy superior que el mismo concepto en toda España. Con la tabla que hemos construido se ve el efecto acumulado durante los cinco años: en Canarias la demanda de energía se multiplicó por casi 1,7 (es decir, aumentó casi el 70%) mientras que el total nacional sólo aumentó el 21% en el mismo periodo. Cabe advertir que no se nos da ningún dato sobre la demanda de energía en términos absolutos. Sería interesante conocer este dato referente al año 84, en ambas comunidades. Encuadrando el problema Se trata de un problema matemático de los de programación lineal.

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Estrategia a seguir

Primero se representa el conjunto de restricciones y luego se trata de buscar una recta de la forma 6x - 2y = z, con z lo más grande posible, que tenga algún punto común con el conjunto de restricciones. Resolución

o

X

El conjunto de restricciones es el señalado con trazo a color. Ahora hay que encontrar una recta de la forma z = 6 x - 2 y (por tanto, paralela a 6x - 2y = 0) que pase por un punto del conjunto de restriccio­ nes y tenga z lo mayor posible. Será la que pase por uno de los dos extremos del segmento de restric­ ciones que son (0, 1) y la solución de

La paralela a

6x - 2y = 0 que pasa por (0, 1) es

paralela a 6x - 2y = 0 que pasa por

6x - 2y = - 2. La

/ 1 3 — , — es 6x - 2y = 0.

1 3 Por tanto, el máximo de 6 x - 2 y se alcanza para x = — , y = — yesO. 5 ' 5

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — E leg ir una de las dos opciones propuestas, la A o la B y, dar respuesta a las cinco cuestiones de que consta la opción escogida. — En la opción B, los alumnos podrán utilizar tablas de la función de distribución N (0, 1). — Se dispone de lh 30 min. para realizar la prueba.

Opción A Calcular el valor de a para que el sistema: 1 2 -1

1 \ -1 a )

/ \

\ y*

=

1 0 i

\

1

sea compatible determinado. Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices. a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto. b) Maximizar la función z = 3jc - 6y sujeta a las restricciones del recinto.

3

Un depósito abierto de chapa y de base cuadrada, debe tener capacidad para 13 500 litros. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que se pre­ cise la menor cantidad de chapa?

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4

5

Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida de 0,25. Si juega cuatro partidas, calcular la probabilidad de que gane más de la mitad. Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 30, 42 y 44 kilos. a) Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso. b) ¿Cuál sería el peso aproximado de una niña de 6 años?

Opción B 1

a) Calcular una matriz X que verifique la iguadad: A X =B b)

con

^ = |

j

j

Y

* =(

2

¿Verifica también la matriz X la igualdad X ■A = B C !

2

Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 4 000 p t a cada una. Para la fabrica­ ción de las del tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 5 000 p t a . El orfebre tiene sólo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcular cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obte­ ner un beneficio máximo.

3

El número, en miles de habitantes, de una determinada ciudad ha evolu­ cionado según la siguiente tabla: Años

1987

1988

1989

Población

53

71

91

Sabiendo que dicha población se ajusta a una función cuadrática, calcu­ lar la población que tenía la ciudad en 1985. 4

Una clase de COU está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido Matemáticas II como asignatura optativa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chi­ co o estudie Matemáticas II? b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie Matemáticas II?

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5

La duración media de un lavavajillas es de 15 años, y su desviación típi­ ca 0,5. Sabiendo que la vida útil del lavavajillas se distribuye normal­ mente, hallar la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas dure más de 15 años. León. Junio 1990

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A Encuadrando el problema La igualdad matricial da lugar a un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas que hay que discutir y resolver. Estrategia a seguir x + y = 2x — y = 0 x + ay = 1

:'o\

Para estudiarlo utilizaremos el método de Gauss.

I

Resolución

í

1 2

U i

1 -1 a

3* + a + l

1 \ 0 1 /

2a -

2

• ( I a)

f

1

0 ---------- ► 3 a + I a ( 0

1 1 -3 -2 a+ 1 2

1

1

0

-2

(2 a

o

4 - 2 a 3

/

Si a ^ 2, el sistema es incompatible. Si a - 2, se tiene y = 2/3 , x = 1/3.

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2

Encuadrando el problema Se da un recinto en el plano determinado por rectas. Se trata de hallar las inecuaciones que lo definen y, luego, maximizar la expresión z = 3x - 6y con la condición de que (x, y) pertenezca al recinto. Estrategia a seguir Cada recta de las que delimitan los bordes tiene una ecuación que se halla fácilmente, pues se conocen dos de sus puntos. Convirtiendo la ecuación en una inecuación se obtiene un semiplano. Con la intersec­ ción de los semiplanos se obtiene el recinto. Para la maximización que se propone habrá que hallar una recta paralela a 3x - 6y - 0, es decir de la forma 3x - 6y = z, que pase por algún punto del recinto y haga z máximo. Resolución a)

La recta que contiene AB es y = 3. El semiplano inferior es y < 3. La recta OB es y - x = 0. El semiplano de la parte superior es y - x > 0. La recta OA es y - 3 x = 0. El semiplano inferior a ella es y - 3x < 0.

El recinto dado es:

b) Tomando paralelas a 3x - 6y = 0 por O, A, B, tenemos: 3 x - 6 y = 0 pasa por 0; 3 x -6 y = 3 x l - 6 x 3 = - 1 5 3 x -6 y = 3 x 3 - 6 x 3 = - 9

pasa por A (1, 3); pasa por B (3, 3).

La primera, 3x - 6y = 0 es la que hace máxima la expresión 3x - 6y = z. Por tanto 3x - 6y es máxima con las condiciones impuestas para x = 0, y = 0 y el valor alcanzado es 0. 3

Encuadrando el problema Es un problema de mínimos que puede abordarse mediante el cálculo.

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Estrategia a seguir Escribir la cantidad de chapa necesaria en función de las dimensiones del depósito e introducir el dato de la capacidad para obtener la cantidad de chapa en función de una de las dimensiones. Luego se utiliza el cál­ culo para minimizar. Resolución

Si el lado de la base cuadrada es l dm y la altura es h dm, la cantidad de chapa necesaria es C = l2 + 4 h l en dm2. Nos dicen que la capacidad es 13 500 litros, por tanto l2 h = 13 500 dm3 (litros)

Así,

C = l 2 + 4 13500 / = l 2 + 54 000 l2

Si queremos ver para qué / es C mínima: C' ( l ) = 2 / - 5 4 000 — = 0 I2

, 1= 30.

Las dimensiones son: lado de la base cuadrada = 1 = 30 dm = 3 m; altura = h =

13 500

15 dm = 1,5 m.

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4

Encuadrando el problema Es una distribución binomial con n - 4 y p = — 4 calcular P [x = 3] + P [x = 4].

en la que se ha de

Resolución

p[* =3]=l j H i ) '

t

=

4 ' 7

= w m 6875.

»4 P [x = 4] = I — I = 0,00390625 . P [más de dos victorias] = P [x = 3] + P [x = 4] = 0,05. Encuadrando el problema En una distribución bidimensional se nos pide la ecuación de una recta de regresión y, a partir de ella, hacer una estimación. Estrategia a seguir A partir de los datos se completa la tabla con las columnas x 2, y,2, x¡ y,: Xj

y¡

Xj

y.-2

x¡ y i

2 3 5 7 8

14 20 30 42 44

4

28

25 49 64

196 400 900 1 764 1 936

60 150 294 352

25

150

151

5 196

884

9

x =

5

,

ax = 2,28

y = 30

,

Gy = 11,80 axy = 26,8

Con estos valores se obtiene la recta de regresión de x sobre y la que se nos pide. Resolución

6 = 0,192y - 0,76 -> y = 3 5 ,2 k g .

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O pción B Encuadrando el problem a

Se nos pide averiguar la matriz X que cumple la condición A X = B. Para ello habrá que despejar la X en esa igualdad. Estrategia a seguir A X = B => X = A”1 B, de modo que deberemos empezar por hallar la inversa de A. Para eso recordamos que M = I \

a c

b d

' I ¡

1

( d ¡M i i ~c

~b a )1

Resolución

á)

2

A | = 1. Por tanto, A 1 =

2

X = A~ B =■

-3

-1

2

)U

-1

-3

-1

-4 3

1

5 -3

Comprobación: A •X

í 2 l

1

3

2

)(~4 I\ 3

5 w -3 r l

i 2

- 1

1 \ = B. )

Efectivamente, X cumple la condición pedida. b) Sabemos que el producto de matrices no es conmutativo y que, por tanto, en general, M ■N N ■M. Comprobemos si en este caso se cumple o no la igualdad: X ■A

-4 3

5 -3

2

)(?

3 2

-3 3

-2 3

* B

Encuadrando el problema Es un problema de programación lineal que consiste en optimizar unas ganancias que dependen de unas variables sometidas a ciertas restriccio­ nes. En el enunciado, donde se dice "beneficio máximo" entendemos que debería decir "ingresos máximos".

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Estrategia a seguir

Llamando x e y al número de tipo A y B respectivamente, pondremos las inecuaciones a que dan lugar las limitadas cantidades de oro y plata. Y, a partir de ellas, maximizaremos los ingresos: 4 000 x + 5 000 y. Resolución x joyas de tipo A (1 g de oro y 1,5 g de plata); y joyas de tipo B (1,5 g de oro y 1 g de plata). Hay 750 g de oro: * + l,5y < 750. Hay 750 g de plata: 1,5x + y < 750. Dibujamos el recinto limitado por estas inecuaciones y por x > 0 , y > 0.

Los ingresos, 4 OOOx + 5 000y, se hacen máximos en el punto (300, 300).

(0 ,5 0 0 ) Ingr: 2 500 i

Esto significa que ha de fabricar 300 joyas de cada tipo. Ingr: 2 000 000

3

Encuadrando el problema Se trata de determinar una función cuadrática y = ax1 + bx + c, una parábola, conociendo tres puntos por los que pasa. Estrategia a seguir Se pueden simplificar los números. Si al año 1987 le llamamos año 0, entonces, si x es el año e y la población y = ax2 + bx+ c y se ha de verificar y (0) = 53 ;

c = 53

y (l) = 71

a +b +c =l\

;

www.FreeLibros.org y (2) = 91

;

4a + 2¿> + c = 91

103

De aquí resulta a - 1, b = \ l , c = 53 y = x2 + \ l x + 53 La población en 1985, es decir en -2 , era y (-2) = 4 + 17 (-2) + 53 = 23 (miles de personas). 4

Encuadrando el problema Es un sencillísimo problema de probabilidad, pues los 20 individuos se reparten por igual en cuatro tipos: 5 chicos con Matemáticas II, 5 chicos sin Matemáticas II, 5 chicas con M at .II y 5 chicas sin Mat. II. Resolución a)

P [sea chico o estudie Mat. II] 20

b)

5

’

P [sea chica y no estudie Mat.

Encuadrando el problema Este problema admite dos lecturas: • Si por "durar más de 15 años" podemos entender, por ejemplo, 15 años y un día, entonces la probabilidad pedida es, evidentemente, 0,5. • Si "más de 15 años" significa "16 años o más", entonces tendremos que aplicar las técnicas de cálculo de probabilidades bajo la curva nor­ mal. Hagámoslo. Resolución x es N (15; 0,5)

,

z =

x - 15

es N (0, 1):

0,5 P [x > 16] = P z 2

1 6 -1 5

= P [z > 2] = l - P [z < 2] =

0,5 = 1 -0 ,9 7 7 2 = 0,0228.

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — El alumno elegirá libremente dos de las cuatro cuestiones presenta­ das a continuación, y dará respuestas razonadas, claras y concisas a las partes a) y b) de que constan las cuestiones escogidas, en el tiempo máximo de hora y media. — En caso necesario el alumno podrá hacer uso de las tablas que aparecen en el reverso de la hoja. (En este texto se encuentran en las últimas páginas.)

Cuestión 1 a)

Una pelota elástica se deja caer sobre el suelo, rebotando sucesivamente en los instantes t¡ , t2 , ... etc. Dibújese aproximadamente la gráfica de la altura de la pelota en función del tiempo: i) Suponiendo que en cada rebote la pelota vuelve a alcanzar la misma altura. ii) Suponiendo que, debido a la pérdida de energía, en cada rebote la pelo­ ta alcanza la mitad de la máxima altura alcanzada en el rebote anterior.

b)

Dos conjuntos de datos bidimensionales tienen como coeficientes de correlación r¡ = 0,87 y r2 = 0,37. zj Razonar en cuál de los dos conjuntos es mejor el ajuste (mediante una recta) de una variable en términos de la otra. ii) Representar dos conjuntos de puntos cuyas correlaciones se corres­ pondan aproximadamente con las dadas.

Cuestión 2 a)

Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:

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i) C alcular la probabilidad de que en una cam ada dos exactamente sean hembras. ii) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. 5

b)

Dada la matriz A =

- 4

2

\

comprobar que A2 - 2 A - 1,

2 - ] 1 -4 4 - 1 /

siendo / la matriz identidad. Usando la fórmula anterior, calcular A 4.

Cuestión 3 5 x + 3y + 2 z = - 2 x+ y = 2 2x - y + z = 3

a)

Resolver el siguiente sistema:

b)

Considérese la siguiente tabla de frecuencias agrupadas: Intervalo

3,5-6,5

6,5-9,5

9,5-12,5

12,5-15,5

15,5-18,5

Frecuencia

3

5

9

6

2

0

Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media y la des­ viación típica.

ii) Calcular la probabilidad de que una variable Normal de media y desvia­ ción típica igules a las obtenidas en el apartado i) sea mayor qe 12,5.

Cuestión 4 a)

Un punto se mueve en línea recta con una velocidad dada por la fórmula v (t) - 12/ - 5 m /s. C alcú lese el esp acio reco rrid o s (t) en cada instante í, sabiendo que s (0) = 10 m. ¿Cuál es la velocidad media entre / = 0 s y í = 2 s? Se recuerda que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo.

b)

i x+y-l > 0 Dada la región del plano definida por las inecuaciones ' 0 < x < 3 , | 0 < y ’ x 5 + c Fácilmente resulta c = 3 000, ¿> = 120, a = 20. El polinomio es P{x) = 20 x2 + 120x + 3 000 El año 1986 corresponde a x = 2: P (2) = 3 320 Se estima que en 1986 hubo 3 320 alumnos. El año 1995 corresponde a x = 11: P (11) =

6

740

Para 1995 el polinomio estima 6 740 alumnos. La interpolación para 1986 es más cercana y más fiable que la extrapolación para 1995, que resulta muy distante.

Cuestión 4 a)

Planteamiento de naturaleza teórica que puede verse en cualquier texto matemático de COU.

b)

Encuadrando el problema Un problema de cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta. Razonaremos imaginando que los elementos del comité se seleccionan uno a uno.

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Estrategia a seguir

Razonaremos sobre un diagrama de árbol. Llamamos chico-o, chica-a. 2°

Io

3o 720 •3360

o o o

o

—

540 3360

14

540 3360

_9_

o a a

300 3360

a o o

540 3360 300 3360

a

—^

a a o a a a

300 3360 120

3360

Resolución Tomando los resultados parciales anteriores, se calculan muy fácilmente las probabilidades pedidas: i)

ii)

iii)

P [3 niños] =

720

3

3 360

14 540

1 620

27

3 360

3 360

56

P [2 niños y 1 niña] = 3

P [ningún niño] = P [3 niñas] =

120

3 360 P [algún niño] = 1 - P [ningún niño = 1 -

120 _ 3240 = 27 3 360

iv)

P [2 niñas y un niño] = 3 •

300

= 900

3 360

28

= [15

www.FreeLibros.org 124

3 360

3 360

56 '

en

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS Escoger una de las dos alternativas propuestas. El tiempo disponible para realizar la prueba es 1 h 30 min. Se permite usar calculadora. Puntuación Alternativa 1: Cuestión 1 —>4 puntos; Cuestión 2 —>3 puntos; Cuestión 3 —>3 puntos. — Puntuación Atemativa 2; Cuestión 1 —>3puntos; Cuestión 2 —>4puntos; Cuestión 3 —>3puntos. — — — —

Alternativa 1

1

a) D efinir los conceptos de continuidad y continuidad lateral de una función en un punto. Interpretar gráficamente dichos conceptos. b)

Obtener la expresión y dibujar la gráfica de una función y = f(x) continua que cumpla las siguientes condiciones: -

pasa por el punto (0 , 2 ); en el intervalo [0, 5], cada vez que x aumenta su valor una uni­ dad, y aumenta su valor en una cantidad constante c; para x = 5, y vale 12; en el intervalo [5, 10], cada vez que x aumenta su valor en dos unidades, y disminuye el suyo en tres.

Razonar todos los pasos realizados. 2

a) En el conjunto de matrices cuadradas de orden 2, definir las opera­ ciones suma y producto de matrices.

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b) Dadas las matrices

calcular

3

A^

A=|

^

j

y

B=|

^

^

j

B- , (A - B f , A - 1 y B ~ l .

La compañía aérea "Avión" sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de 1 0 minutos y desviación típica de 5 minutos. Calcular: a) Probabilidad de que un vuelo no tenga retraso. b) Probabilidad de que el próxim o vuelo llegue con no más de 10 minutos de retraso. c) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con más de 20 minutos de retraso. ( D a t o s : F (0) = 0,5 ; F( 2) = 0,9772 ; F función de distribución de la N (0, 1).)

Alternativa 2 1

a)

Obtener la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto, siendo y = j { x ) la función que la define y suponiendo / derivable en dicho punto.

b) ¿En qué punto de la curva y = In x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos ( 1 , 0 ) y (e, 1 )? 2

Hallar la ecuación del plano que pase por los puntos (2, 1, - 3), (1, 2, - 1) y (0 , - 1 , - 1 ) y calcular los valores del parámetro m para que la recta definida como intersección de los planos: Tti = m x - y = - 6 + m

, K2 = x - z = 0

corte al plano anterior en un punto. 3

Se sabe que entre el consumo de papel y el número de litros de agua por metro cuadrado que se recogen en una ciudad, no existe relación. Respon­ der razonadamente a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es el valor de la covarianza de estas variables? b) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación lineal? c) ¿Qué ecuaciones tienen las dos rectas de regresión y cuál es su posi­ ción en el plano?

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126

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Alternativa 1 1

a) De naturaleza teórica. Puede consultarse en cualquier texto mate­ mático de C.O.U. b)

Encuadrando el problema De una función continua se dan unas cuantas condiciones adiciona­ les que parecen fácilmente representables. Se pide obtener la expre­ sión de la función y dibujar su gráfica. Estrategia a seguir En unos ejes cartesianos vam os introduciendo los datos que el enunciado nos proporciona. Luego trataremos de completar la gráfi­ ca y de obtener la expresión. Resolución Los datos que se pueden representar más fácil y directamente son: -

pasa por A (0, 2); pasa por 5 (5 ,1 2 ); en el intervalo [5, 10], cada vez que x aumenta en dos unida­ des, y disminuye en 3. Así, pasa por (7, 9) y ( 9 , 6 ).

Como se dice que si x pasa a x + 1 en el intervalo [0, 5] y pasa a y + c, resulta que en x = 1 , y vale 2 + c; en x = 2, y vale 2 + 2c; en x = 3, y vale 2 + 3c; en x - 4, y vale 2 + 4c; en x = 5, y vale 2 + 5c = 12. Así, c = 2.

Con esto, tenemos unos cuan­ tos p untos m ás que podem os representar.

6)

A (0,

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Como se dice que en [O, 5]la función aumenta 2 unidades cada vez que x aumenta 1 y en [5, 10] disminuye en 3 unidades cada vez que x aumenta 2 , la gráfica se puede completar como se ha hecho, en forma lineal. La recta AB tiene por ecuación =

, y = 2x +

x- 0

2

5

La recta BC tiene por ecuación

y - 12 6 - 1 2 3 ------- = -------- = — . x -5 9 -5 2

Es decir 3 39 y =— x +— 2 2 La función propuesta es: y = 2x +

2

si x

M ~ 1 = —í—( d \ M\ \ - c

- b a

Resolución

a

+b =1 - ( A+ b) ' - 1

2

2

1

A- B=

(A-Bf-

\

2

2

4 0 0 4 16

0

0

16

| A | = - 1 ; A- 1 = I

l 2

2 \ = B.

-1

www.FreeLibros.org Como A ~ l = B , entonces

128

B l =A.

3

Encuadrando el problem a

Típico problema de cálculo de probabilidades bajo la curva normal. En este caso, además, se nos dan los datos de la tabla N (0, 1) que se nece­ sitan para resolver las preguntas que se hacen.

Resolución

x es N (10,5) ; 2 =

a)

P [x < 0] = P z
2] = 1 - P [ z < 2] = 0,0228.

Alternativa 2 1

a) Es una pregunta teórica que puede verse en cualquier texto matemá­ tico de C.O.U. b)

Encuadrando el problema Se trata de utilizar el cálculo para comparar la pendiente de la tan­ gente en un punto con la de una cuerda determinada de la curva. Estrategia a seguir Examinar la pendiente de la cuerda y tratar de encontrar un punto de la curva con su misma pendiente. Así, cuerda y tangente serán paralelas.

www.FreeLibros.org 129

Resolución

La cuerda tiene por ecuación

Su pendiente es

1------= --------. x - 1 e -i

—— .

La derivada de y = ln x

es

y ' = —. x

Así, la pendiente de la tangente a la curva en un punto de abscisa x es i. x

2

Tiene que ser — = — — ; es decir x = e - 1 , y = l n ( e - 1). x e- 1

Encuadrando el problema Se trata, en primer lugar, de obtener la ecuación de un plano, o, del que se conocen tres puntos. A continuación se nos da una recta, r, como intersección de dos planos 7^ y 7t2- En la ecuación de uno de ellos hay un parámetro, m. Hemos de hallar los valores de m para los cuales la recta r corta al plano aen un punto. Es decir, los planos a , n¡ y n 2 se han de cortar en un punto.

Estrategia a seguir La ecuación del plano o buscado la ponemos así: a: ax + by + cz + d = 0 Al obligar a que o pase por los tres puntos obtenemos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas, a , b , c y d, que resolvemos por Gauss. Una vez tengamos la ecuación de a , estudiaremos el sistema formado por las ecuaciones de o, 71] y n 2 y veremos para qué valores de m tiene el sistema solución única. Resolución Obtención de o: j ( 2 ,1 ,- 3 ) £ o —> 2a + b — 3c + d — 0 1 ax + b y+ cz + d = 0 ' ( 1 , 2 , - l j e o - > a + 2 b - c + d = 0' , } (0 , - 1 , - 1 ) e o —> - b - c +d = 0 I

www.FreeLibros.org 130

Resolvamos el sistema: -1

0

-1

1

2

2

1

2a+ 2

- 1 -3

3a +

W'

-1

3*- - 2 (2a)

• (Ia)

/

►

Ia

-1

1

0

-3

0

2

3 -4

-1

0

0

1 \2

0

-1

1

-3 -4

3 2

\ -4 /

2c Ad - 0)para d - 1 se obtiene c = 2 , a = 3 , b = - '1. - c+ d = 0 - 3c + 3d = 0 o: 3 x - y + 2z + 1 = 0 .

-b a

Cálculo de m para que o , 7t[ y 7t2 se corten en un punto: 3 1

0

2

1

5 i SO

-1 - 1

o

m

-1

0

15

2a - I a

►

/h - 5 \

1

Ia + 2 • (3a)

^

1í 5 m

!

)

\ i

-1

0 0

0

1

0

5-m

- 1

0

-i -i 0

0 0 -1

1 60

\

/

Para que este sistem a tenga solución única hace falta que m m = 5 , es incompatible). Para m * 5 la solución es ( 1 , 6 , 1 ) .

3

5 (si

Resolución á)

G ^,

=

0

b)

p„ =

0

c)

Recta de regresión de y

sobre

x :y = y .

Recta de regresión de x

sobre

y :x = x .

Son paralelas a los ejes y, por tanto, perpendiculares entre sí. NOTA. En un caso real, todas estas igualdades serían, sólo, aproximadas.

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c i

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — Debe elegirse un solo tema, el A o el B, y dar respuesta a las tres cuestiones de que consta el tema escogido. — Se dispone de lh 30 min para realizar la prueba.

Tema A 1

Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se con­ trata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la dife­ rente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8 000 p t a y el de cada uno de los pequeños, 6 000 p t a . ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte los más económico posible?

2

La figura adjunta representa la gráfica de una función y =f ( x ) en el inter­ valo [0, 2). Dibujar la gráfica de dicha función en el intervalo [- 2, 2) y determinar su expresión analítica en cada uno de los siguientes casos: ■o

2

0

- 1

■o

a)

f ( x ) es periódica de periodo 2 ;

b)

f { x ) es par;

c)

f ( x ) es impar.

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3

El histograma de la distribución correspondiente a la altura, en pulga­ das, de 1 0 0 estudiantes es el siguiente: a ) Formar la tabla de la distribución. 42-

b) Si el hijo del tío Evaristo mide 72 pulgadas, ¿cuántos alum nos hay más bajos que él? 27-

c) Determinar la moda. 18 -

d) Determinar la mediana.

60

63

66

69

72

75

e) ¿A partir de qué valor se encuen­ tra el 25% de los estudiantes más altos?

Tema B 1

2

El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla observa que es demasiado ligera, por lo que decide añadir una cierta cantidad de vino, y entonces la cantidad de agua es el 30% del total. Como sigue siendo ligera, añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes, y entonces la cantidad de agua es el 20% del total. ¿Cuántos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuántos hay de agua? dx a) Determinar razonadamente a y b en la función y = — -— sabienx~ + b do que tiene un mínimo en el punto ( - 1 , - 1 / 2 ). b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso a = b = 1. c) Calcular la función primitiva de la anterior (sustituidos los valores de a y b) que en r = 0 toma el valor 1 .

3

En un hospital hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizo­ frénicos. Se eligen tres enfermos al azar. a) Hallar la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta. b) Hallar la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad. País Vasco. Junio 1990

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SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Tema A 1

Encuadrando el problema Se trata de un problema típico de programación lineal. Estrategia a seguir Interpretar las condiciones, representar el recinto de restricciones y la orientación de la función que hay que optimizar y escoger el punto o puntos adecuados del recinto. Resolución Si se alquilan x autobuses de 40 plazas e y autobuses de 50 plazas, el coste, que es la función a minimizar, es 6 0 0 0 x + 8 0 0 0 y. Esto equivale a minimizar z = 3x + 4y. Las restricciones que se nos imponen son: 0 400. Representamos el recinto de restricciones:

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El recinto es la zona rayada. La dirección de las rectas z = 3x + 4y es la señalada en grueso. El punto (5, 4) es el que da el mínimo. Hay que alquilar 5 autobuses de 40 plazas y de 4 de 50 plazas. El precio es de 62 0 0 0 pta. (Si se alquilan 0 de 40 y de 8 de 50, el precio es de 64 000 pta). Encuadrando el problema U tilizar las nociones de función periódica, par e impar. Estrategia a seguir Recordar: • / e s periódica de periodo 2 cuando para todo x, f ( x + 2 ) = f ( x) y no hay ningún h , 0 < h < 2 , tal que f ( x + h ) = f ( x ) para cada x. • / es par cuando f ( - x ) - f ( x ) para cada x. • / e s impar cuando f ( - x ) = - f ( x ) para cada x. Pensar lo que esto significa gráficamente. Resolución a)

La gráfica se traslada 2 unidades. b)

Es simétrica respecto de O Y.

c) Es simétrica respecto de O.

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3

Encuadrando el problem a

Debemos responder a varias preguntas muy sencillas a propósito de una distribución de frecuencias que se nos da gráficamente. Resolución

Intervalos

Marcas de clase, x¡

Frecuencias,^

Frecuencias acumuladas, fa¡

60-63

61,5

5

5

63-66

64,5

18

23

66-69

67,5

42

65

69-72

70,5

27

92

72-75

73,5

8

100

b) Puede ser el último del 4o intervalo o el primero del 5o. Por tanto, hay 91 ó 92 alumnos más bajos que él. c) El intervalo modal es 66-69. d) G ráficam ente, sobre un polígono de frecuencias acum uladas, se obtiene que la mediana es, aproximadamente, 67,9 pulgadas. Mediante la fórmula: M e =

66

+ 3■

= 67,928. 42

é) Se nos pide el cuartil superior, Q¡, que coincide con P15: Q?, = 69 + 3 • — - 70,1 pulgadas. 27

Tema B 1

Encuadrando el problema Parece tratarse de un problem a relativo a tantos por ciento. La única dificultad es traducir en ecuaciones los datos. Estrategia a seguir Escoger una buena notación que nos permita traducir en fórmulas lo que se nos dice en palabras.

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Resolución

El tío Evaristo tiene inicialmente 10 litros de mezcla de a, litros de agua y v, litros de vino. Por tanto, 10 = a , + v , . Añade v2 litros de vino. Tiene 10 + v2 litros de mezcla con a¡ litros de agua y v, + v2 de vino. Se nos dice que a\ =

30 (10 + vi) 100

Añade v2 litros de vino más. Ahora tiene 10 + 2v2 litros de mezcla con a¡ litros de agua y v, + 2 v2 de vino. c 20 (10 + 2v2) Se nos dice que a\ = ------------------- . 100 Tenemos, por tanto: 100 a, = 3 0 0 + 30 v2 100 a , = 200 + 40 v2 Resulta v2 = 10, a l = 6 , v, = 4.

Encuadrando el problema Se da una función con dos parámetros arbitrarios y se pide determinar­ los para que exista un mínimo en un punto determinado. Luego se ha de estudiar crecimiento y decrecimiento en un caso particu­ lar y determinar una función primitiva. Estrategia a seguir Utilizar los procesos ordinarios en el estudio de funciones: derivada, ... Resolución a)

dx La derivada de y - — -— x2+b ,

es a ( b - x 2)

y = —

r

( x* + b ) 2 Sería nula si a = 0 (pero entonces y = 0, que es la función idéntica­ mente nula) o bien si b - x 2 = 0. Si se ha de tener un mínimo para x = —1 , entonces ¿>—(—l ) 2 = 0 , es decir b = 1 .

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* x ax Asi y = --------- y si es que para x = x2 + 1 1

2

1

se ha de tener y = — , entonces

( - 1) a

_

_ -a

(- l)2 + 1

2

Así, a = l . Por tanto la función es: x

y 1

b)

+ x2

La derivada es, para a = b = 1, , _

1

- x2

_

(1

( l + x 2) 2 "

- x)

(1

+ x)

( l + x 2) 2

Es positiva si —1 < x < 1 y negativa cuando x < - 1 ó x > l . Por tanto, la función es creciente en ( - 1 , 1) y decreciente en (—°°, - 1) y ( 1 , + °°).

x

2

+

1

Si para x = 0 toma el valor 1, se ha de tener — In 1 + k = 1, es decir k= 1.

La función es — In (x 2 + 1) + 1. 2

3

Encuadrando el problema Hemos de calcular probabilidades en una experiencia compuesta, pues, como es habitual, es más cómodo razonar suponiendo que los enfermos se eligen uno tras otro. Estrategia a seguir El diagrama en árbol completo es enorme en este caso, pues tiene 27 ramas (3 posibilidades en cada una de tres etapas). Por tanto, deberemos seleccionar las ramas que responden a lo que se nos pregunta.

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Resolución

a) Psicop.

Esq.

Neur.

P [Io Neur,

3 5 2 2oPsicop, 3o Esq ] = — • - •10 9 8

30 1 = — =— . 720 24

Pero esto puede ocurrir de 6 formas distintas: las 6 formas en que pueden ordenarse estos tres enferm os. Por tanto, la probabilidad pedida es

6

• — = — = 0,25. 24 4

b) Neur.

Neur.

P [ 3 neur] =

Neur.

720 5_ 10

Psic. -----► Psic.

P [ 3 psic ] =

-► Psic.

. 720

No hay 3 esquizofrénicos. P [ 3 con la misma enfermedad

JL + 60_ _ _66^ = 00916 720

720

720

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — —

Elegir y dar respuesta a dos de las cuatro cuestiones propuestas. Se dispone de l h 30 min para realizar la prueba.

Cuestión 1 a)

Definir la noción de derivada de una función en un punto y explicar por qué la función / ( x) = 1 x 1 no tiene derivada en el origen.

b)

Hallar un número de 3 cifras sabiendo que suman 9; que si del número dado se resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferen­ cia es 198; y que además, la cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos.

Cuestión 2 a)

Un quiosco vende bolígrafos a 20 p t a y cuadernos a 30 p t a . Llevamos 1 2 0 p t a y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos por lo menos. ¿Cuál será el número máximo de piezas que podemos comprar?

tí)

Definir los conceptos de varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta y escribir las fórmulas que permiten su cálculo.

Cuestión 3 a)

Se lanzan dos dados al aire y la suma de los puntos obtenidos es 7. Hallar la probabilidad de que en uno de los dados aparezca un 1.

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b)

Los resultados obtenidos al lanzar un dado 200 veces vienen reflejados en la siguiente tabla: Número de puntos

1

2

3

4

5

6

Repeticiones

?

32

35

33

?

35

Determinar las frecuencias que faltan sabiendo que la puntuación media es 3,6 y calcular la mediana y la moda.

Cuestión 4 Representar gráficamente la función f ix ) =

determinando sus simetrías, - x2 asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. 1

Salamanca. Junio 1990

SOLUCION DE LA PRUEBA Cuestión 1 a)

Resolución La derivada de una función, f ( x ) , en un punto a es el límite

Km f ( a + h) ~f- (^ h->0 Intuitivamente, significa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto a. De modo que una función no es derivable en un punto cuan­ do no admite tangente (es discontinua o picuda) o su tangente es verti­ cal (el límite anterior sería infinito). La función I x I tiene un punto anguloso (un pico) en x = 0. Por tanto, intui­ tivamente se ve que no es derivable. Apliquemos la definición para probarlo: 1

si h > 0

f ( 0 + h) - / ( O ) _ \ h \ h

h

^ - l s i / i < 0

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Los lím ites por la izquierda y por la derecha no coinciden. La fun­ ción no es derivable: lím

f { X + h ) ~ f { x ) = lím /i — >o

Um h ->

b)

f ( x + h ) - / ( * ) = [ím

= -l;

h

\h[ = j

*o+ h

0+

Encuadrando el problema Es un problema con enunciado aritmético cuyas condiciones son fáciles de expresar algebraicamente, dando lugar a un sistema de tres ecuacio­ nes con tres incógnitas: las cifras del número. Resolución x+y+z=9

x + y + z =9

(lOOx + lOy + z) - (lOOz + 10y + x) = 198

99x-99z=198

y = ' ~

x-2y +z =0

x +y+z= 9 x

—z = 2

3y = 9 —> y = 3 | X + Z = 6 ¡ ^

x = 4 , z = 2.

x - 2y + z = 0

El número pedido es 432.

Cuestión 2 a)

Encuadrando el problema Es un problem a de program ación lineal que sólo admite soluciones enteras.

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Estrategia a seguir

Llamando Jt e y al número de bolígrafos y de cuadernos que podemos comprar, representaremos las inecuaciones que se obtienen a partir de las condiciones que nos dan, sin olvidar que x > 0 e y > 0 . Una vez tengamos el recinto, optimizaremos la función f ( x , y) - x + y para valores enteros de x e y. Resolución 20x + 30y < 120 \

2x + 3y < 12

x < y

x

0

y >

0

|

y>0

b)

El recinto viene señalado con trama azul. Las posibles soluciones (posi­ bilidades) son los puntos que apare­ cen señalados. La solución óptima es aquella para la cual x + y sea máximo. Vemos que hay tres pun­ tos: (0, 4), (1, 3), (2, 2). El número m áxim o de piezas que podem os comprar es 4.

Planteamiento teórico. En textos de matemáticas de COU.

Cuestión 3 a)

Encuadrando el problema Un ejercicio de probabilidad sencillísim o, pues se pueden enumerar todos los sucesos que intervienen. Resolución Hay

6

formas de conseguir "suma 7" con dos dados:

1 -6 , 2-5 , 3-4 , 4-3 , 5-2 , 6-1 2

1

En 2 de ellas aparece un ”1". Por tanto, la probabilidad es —r = — . 6 3

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b)

Encuadrando el problem a

Nos dan una tabla de frecuencias en la que faltan dos valores que hemos de averiguar. Para ello conocemos la suma de todas las frecuencias y la media de la variable. Estrategia a seguir Llamaremos m y n a la s dos frecuencias desconocidas y en función de ellas expresaremos el total y la media. Obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos permitirá calcularlas. U na vez com pleta la tabla, asignarem os la m oda y calcularem os la mediana gráficamente o mediante la fórmula. Resolución m + 32 + 35 + 33 4• n + 35 —200

m + n = 65

m + 2 • 32 + 3 • 35 + 4 • 33 + 5n + 6 • 35

m = 29

m + 5n = 209 | n = 36

„^ |

: 3,0

200

fac¡

X, 1 2

3 4 5 6

29 32 35 33 36 35

29 61 96 129 165

Moda : 5 . ,« ,. Mediana

:

. 3

+

1 0 0 -9 6 ---------- = 3,12. 33

200

Cuestión 4 Encuadrando el problema Se trata de representar una curva algebraica. Para algunos casos puede venir bien dividir el polinomio numerador entre el denominador. Estrategia a seguir La usual para este tipo de problemas. Resolución Al cambiar x por - x, la y cambia a - y. Hay simetría respecto del origen.

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Como

y

- f(x)

- - x +

resulta que x - 1 y x - - 1 son

—

(1 +

x)

(1 - *)

asíntotas. Para hallar la posición de la curva respecto de ellas, observamos que: x —> 1"*" => X —>

1~

y —> —oo y

=>

—> + oo

Esto da la posición con respecto a x = 1. Por simetría obtenemos la posición de la curva con respecto a x = - 1 . Como

y

—

- ( - je) =

resulta que para x —>r-*>, y - { - x ) —> 0

,

(1 + x) (1 - x) y así y = - x es otra asíntota. Para la posición de la curva observamos que —» + oo=> y —(—x) —> 0 —

X

x

y — (— x ) —> 0 +

- » =>

La curva pasa por el origen x = 0 => y = 0. No hay otros puntos de corte con los ejes.

La derivada es

2 (3 y ' = ——* (l-

_

x2)

y se anula para x = 0 y para x = ± V3".

, 2) 2

Con esto resulta que hay un máximo en

+ V 3 . - 3VM

I v— \ simétrico, I - Í~3 , + ~ ~ ~ I- En el (0 ,

0

y un mínimo en el

^ ) hay una inflexión.

La curva tiene la forma siguiente:

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — E leg ir una de las dos opciones propuestas, la 1 ó la 2, y dar respuesta a las tres cuestiones de que consta la opción escogida. — Pueden utilizarse las tablas estadísticas adjuntas (en las páginas finales de este texto). — Se dispone de 1 h 30 min para realizar la prueba.

Opción 1 1

a)

¿Qué característica deberían tener las matrices A y B para que se puedan efectuar los productos AB y BA1

b)

Encontrar una matriz X tal que A X + B = C, siendo A ={ '

' 21

c) 2

1

) ; B= (

1

1

0

) ; C=(

11 2 1 /

0

1

\ 1 13

1

¿Se puede calcular alguna matriz Y tal que YA + B = C?

Durante 31 días consecutivos las acciones de las compañías A y B han tenido unas cotizaciones dadas por las funciones CA - 0,02* 3 - Ofix2 + 7,5x + 100

y

CB = O Jx 2 - 3x + 100

donde x es el número de días transcurridos. a)

Hallar las cotizaciones máxima y mínima de cada compañía y los días en que se han conseguido.

b)

Hallar los días en que las respectivas acciones estuvieron en alza (subiendo de precio) y los que estuvieron a la baja.

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3

Una em presa instala 20 000 bombillas. La duración de una bombilla sigue una distribución normal con media 305 días y desviación típica 40. ¿Cuántas bom billas se espera que se fundan antes de 365 días? ¿Cuántas durarán más de 401 ?

Opción 2 1

Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500 barriles al país A y 15 500 al país B resulta un precio medio de 19,875 dólares. Comprando 1 000 barriles al país A y 1 000 al B el precio medio es de 18 dólares por barril. ¿Cuánto cuesta el barril de cru­ do de cada país?

2

La temperatura T de una reacción química viene dada, en función del tiempo t (medido en horas), por la expresión T(t) = 2 t - t 2, para 0 < t < 2 horas. ¿Qué temperatura habrá a los 15 minutos? ¿En qué momento volverá a alcanzarse esta misma temperatura? Hallar las temperaturas máxima y mínima y los momentos en que se producen.

3

a)

¿Qué significa, en una distribución bidimensional, que el coeficien­ te de correlación sea i) p = 1 , ii) p = - 1 , iii) p = 0,75?

b)

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Música son: Mat.

6

4

8

5

3,5

Mús.

6,5

4,5

7

5

4

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Música para un alumno que tiene 7,5 en Matemáticas.

Santiago de Compostela. Junio 1 990

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SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción 1 1

Encuadrando el problema Es un problema de álgebra de matrices, para cuya resolución hemos de recordar cómo se operan éstas. Hay que tener especial cuidado en recor­ dar que el producto de matrices no es conmutativo. Estrategia a seguir a) Recordaremos que para que dos matrices M y N se puedan multi­ plicar, M ■N, es necesario que el número de columnas de M coin­ cida con el número de filas de N. b) Para despejar X deberemos pasar al segundo miembro la matriz B "restando" y multiplicar por la izquierda por A~'. c)

Razonaremos, nuevamente, sobre las dimensiones de A y B.

Resolución a)

Am, „ ■Bp, q se puede efectuar si p - n I

Por tanto, B es Bn m

BP, q ■Am, n se puede efectuar si q = mf Dos matrices se pueden multiplicar, pues, si el número de filas de cada una coincide con el número de columnas de la otra. b)

Hemos de despejar la X : A ■X + B = C

=>

A ■X = C - B

X =A ~ l ( C - B )

=>

Este proceso se podrá seguir si las dimensiones son las adecuadas y si la matriz A tiene inversa. C-B =

1

0 - 1

es A

0

1

2 - 1

1

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2

-1

Por tanto,

X = A~

1

(C -B )= | ~ ’

|J | -

0

1

1

2

1 -1 1 -2

c)

1

0

No se puede porque ' m, 2 • Art 22¡, 2 +'

# 2 , 3 ~

( Y

' •A )m , 2 +

(y -A )m 2 no se puede sumar con

^ 2 , 3

f í 2 3.

Encuadrando el problema Un fenómeno económico se ajusta, nos dicen, a una función matemáti­ ca. Supuesto esto, se hacen unas cuantas preguntas que habrá que inter­ pretar matemáticamente. Estrategia a seguir Los m áxim os y m ínim os de las funciones respectivas se hallarán mediante el cálculo, así como los intervalos de crecimiento (acciones en alza) y de decrecimiento (acciones en baja).

Resolución CA = 0,02x 3 - 0,9x2 + 7,5* + 100 CB = 0 ,lx 2 - 3 x + 100 C 'A = O.Oójc2- 1,8jc + 7,5 C', í = 0,2x - 3 C 'A se hace cero para r = 5 y para x = 25. Si representamos y - C ' A (x), aproximadamente, resulta:

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Como C \ indica el crecimiento o decrecimiento obtenemos: * C' A (x)> 0 entre 0 y 5. Por tanto las acciones están en alza hasta el d ía 5 en que alcan zan CA (5) = 117,5 , un m áxim o, pues CA (0) = 100. * C' A (x) < 0 entre 5 y 25. Las acciones de A están en baja. El día 25 alcanzan CA (25) = 37,5, un mínimo. * C' A ( x) > 0 entre 25 y 31. CA (31) = 63,42.

Acciones en alza. El día 31 alcanzan

Análogamente representamos y = C '¡¡(x)

C 'B se hace cero para x = 15.

3

0 entre 0 y 15. Las acciones B están en baja hasta el día 15. Sabemos que CB (0 )= 1 0 0 y CB (15) = 77,5. Hay un míni­ mo el día 15.

*

C'B (x)