Curso De Matematicas

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Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 1

N´ umeros reales 1.1. 1.1.1.

Sistemas num´ ericos N´ umeros naturales: principio de inducci´ on

Los n´ umeros 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de n´ umeros naturales. Con ellos se realizan dos operaciones, la suma de n´ umeros naturales y el producto de n´ umeros naturales, que dan como resultado otro n´ umero natural perfectamente definido. Para dos n´ umeros naturales cualesquiera m y n, su suma suele representarse por m + n y su producto por m · n o m n (si no ha lugar a confusi´on). Si denotamos con N el conjunto de todos los n´ umeros naturales, podemos pensar en la suma y el producto como aplicaciones del producto cartesiano N × N en N, de modo que + : (m, n) ∈ N × N → m + n ∈ N,

· : (m, n) ∈ N × N → m n ∈ N.

Las propiedades fundamentales de estas operaciones son las que a continuaci´on transcribimos: Dados n´ umeros naturales cualesquiera m, n, p, se cumplen N1. Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p). N2. Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m. N3. Propiedad asociativa del producto: (m n) p = m (n p). N4. Propiedad conmutativa del producto: m n = n m. N5. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto: Hay un n´ umero natural, que denotamos por 1, tal que 1 · n = n · 1 = n. N6. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m (n + p) = m n + m p. Es posible asimismo “comparar el tama˜ no” de dos n´ umeros naturales cualesquiera , estableciendo as´ı una relaci´on de orden en N. Suele escribirse m ≤ n para indicar que m es menor o igual que n (o lo que es lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que tambi´en se escribe n ≥ m), y pondremos m < n (o n > m) para expresar que m es estrictamente menor que n (o sea, que m es menor y distinto que n). Esta relaci´on cumple para m, n, p ∈ N N7. Propiedad reflexiva: m ≤ m. N8. Propiedad antisim´ etrica: si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. N9. Propiedad transitiva: si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p. N10. Propiedad de orden total: siempre es m ≤ n o n ≤ m. N11. Principio de buena ordenaci´ on: Todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales posee un elemento m´ınimo, es decir, dado S ⊆ N no vac´ıo, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S. Una de las propiedades de N m´as usadas durante el curso es el denominado principio de inducci´ on, que pasamos a enunciar. N12. Principio de inducci´ on matem´ atica: Un conjunto de n´ umeros naturales que contenga a 1 y que con cada n contenga a n + 1, debe contener a todos los n´ umeros naturales. Es decir, dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, es S = N. 1

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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En la pr´actica, el principio de inducci´on suele aplicarse en t´erminos de “propiedades” m´ as que en t´erminos de conjuntos, como expresan los siguientes enunciados: N12’. Principio de inducci´ on: Si para cada n´ umero natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa, de tal manera que (a) P1 es cierta, (b) para cada n ∈ N, suponiendo que Pn es cierta se puede demostrar que Pn+1 es cierta, entonces Pn es cierta para todo n ∈ N. N12”. Principio de inducci´ on completa: Si para cada n´ umero natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa, de tal manera que (a) P1 es cierta, (b) para cada n ∈ N, suponiendo que P1 , P2 , . . . , Pn son ciertas se puede demostrar que Pn+1 es cierta, entonces Pn es cierta para todo n ∈ N. La ordenaci´on de N no es independiente de las operaciones anteriormente consideradas: como es bien sabido, para dos n´ umeros naturales m, n se tiene m > n si y solo si es m = n + p para alg´ un n´ umero natural p. Es un hecho notable, se˜ nalado por el matem´atico italiano G. Peano en su obra Arithmetices principia nova methodo exposita (Bocca, 1889) que todas las propiedades de los n´ umeros naturales pueden deducirse de las siguientes, llamadas en su honor axiomas de Peano para los n´ umeros naturales: P1: Para todo n´ umero natural n existe otro n´ umero natural, ns , que llamaremos siguiente o sucesor de n. P2: Existe un n´ umero natural, que denotamos por 1, tal que ns 6= 1 cualquiera que sea el n´ umero natural n. P3: Para n´ umeros naturales cualesquiera m y n, es ms = ns si y solo si m = n. P4. (Principio de inducci´ on): Si un conjunto S de n´ umeros naturales satisface las dos condiciones 1 ∈ S y n ∈ S implica ns ∈ S, entonces S = N. Las operaciones de suma y producto y la relaci´on de orden se definen entonces en t´erminos de “siguientes”, v´ease por ejemplo [Birkhoff-MacLane].

1.1.2.

N´ umeros enteros y racionales

El conjunto de los n´ umeros enteros . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . , que ampl´ıa el de los naturales, se denota por Z. En ´el hay definidas dos operaciones, suma y producto, y una relaci´on de orden, cuyas propiedades fundamentales recogemos a continuaci´on: Dados m, n, p ∈ Z, se cumple Z1. Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p). Z2. Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m. Z3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma: Hay un n´ umero entero, que denotamos por 0, tal que 0 + n = n + 0 = n. Z4. Existencia de elemento opuesto para la suma: Hay un n´ umero entero (y solo uno), que denotamos por −n, tal que (−n) + n = n + (−n) = 0. Las propiedades Z1 a Z4 pueden resumirse diciendo que Z es un grupo conmutativo para la suma. Z5. Propiedad asociativa del producto: (m n) p = m (n p). Z6. Propiedad conmutativa del producto: m n = n m. Z7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto: Hay un n´ umero entero, que denotamos por 1, tal que 1 · n = n · 1 = n.

´ 1.1. SISTEMAS NUMERICOS

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Z8. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m (n + p) = m n + m p. Las propiedades Z1 a Z8 pueden resumirse diciendo que Z es un anillo conmutativo para la suma y el producto. Z9. Propiedad reflexiva de la ordenaci´ on: m ≤ m. Z10. Propiedad antisim´ etrica de la ordenaci´ on: Si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. Z11. Propiedad transitiva de la ordenaci´ on: Si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p. Z12. Propiedad de orden total: Siempre es m ≤ n o n ≤ m. N´otese que no va a ser v´alido un principio de buena ordenaci´on igual que para los n´ umeros naturales: por ejemplo, el propio conjunto Z no tiene elemento m´ınimo, pues para cada n ∈ Z es n − 1 < n. Sin embargo, vamos a tener una propiedad an´aloga para cierta clase de subconjuntos: Z13. Principio de buena ordenaci´ on de los conjuntos minorados: Todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros enteros acotado inferiormente posee un elemento m´ınimo, es decir, dado S ⊆ Z no vac´ıo tal que para alg´ un k ∈ Z es k ≤ n para todo n ∈ S, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S. En Z puede hablarse del “siguiente” a un n´ umero entero, en el sentido de que entre n y n + 1 no hay ning´ un otro n´ umero entero. No se cumple, sin embargo, el principio de inducci´on, sino una propiedad similar aunque m´as d´ebil: Z14: Un conjunto de n´ umeros enteros que contenga un n´ umero k y que con cada n contenga a n + 1, debe contener a todos los n´ umeros enteros mayores o iguales que k. Es decir, dado S ⊆ Z tal que k ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, se tiene S ⊇ {n ∈ Z : n ≥ k}. Como es sabido, la introducci´on de los n´ umeros enteros hace posible la substracci´on, pero no la divisi´on. Esta operaci´on es posible (¡dividiendo por elementos distintos de 0!) en el conjunto Q de los n´ umeros racionales, cocientes de n´ umeros enteros (con denominador no nulo). Las propiedades b´asicas de la suma, producto y orden de n´ umeros racionales se sumarizan a continuaci´on. Dados a, b, c ∈ Q, se cumple Q1. Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c). Q2. Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a. Q3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma: Hay un n´ umero racional, que denotamos por 0, tal que 0 + a = a + 0 = a. Q4. Existencia de elemento opuesto para la suma: Hay un n´ umero racional (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0. Las propiedades Q1 a Q4 expresan que Q es un grupo conmutativo para la suma. Q5. Propiedad asociativa del producto: (a b) c = a (b c). Q6. Propiedad conmutativa del producto: a b = b a. Q7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto: Hay un n´ umero racional, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a. Q8. Existencia de inverso para el producto: Si a 6= 0, hay un n´ umero racional (y solo uno) −1 −1 −1 que denotamos por a o 1/a, tal que a a = a a = 1. Q9. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a (b + c) = a b + a c. Las propiedades Q1 a Q9 expresan que Q es un cuerpo conmutativo para la suma y el producto. Q10. Propiedad reflexiva de la ordenaci´ on: a ≤ a. Q11. Propiedad antisim´ etrica de la ordenaci´ on: Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. Q12. Propiedad transitiva de la ordenaci´ on: Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. Q13. Propiedad de orden total: Siempre es a ≤ b o b ≤ a. Q14. Compatibilidad del orden con la suma: Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c. Q15. Compatibilidad del orden con el producto por elementos no negativos: Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces a c ≤ b c. Las propiedades Q1 a Q15 expresan que Q es un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Se˜ nalaremos que en Q no hay ninguna propiedad similar al principio de inducci´on. Ni siquiera puede hablarse del “siguiente” a un n´ umero dado: concretamente, entre dos n´ umeros racionales

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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distintos siempre hay otro n´ umero racional. Pues si a < b, se tiene a
0 excepto si a1 = · · · = an = 0. 6. a ≤ b ⇐⇒ −a ≥ −b. 7. a < b ⇐⇒ −a > −b. 8. a > 0 ⇐⇒ −a < 0. 9. a > 0 y b > 0 =⇒ a b > 0. 10. a > 0 y b < 0 =⇒ a b < 0. 11. a < 0 y b > 0 =⇒ a b < 0. 12. a < 0 y b < 0 =⇒ a b > 0. 13. a 6= 0 =⇒ a2 > 0, y as´ı a2 ≥ 0 siempre. 14. 2ab ≤ a2 + b2 . 15. 1 > 0, −1 < 0. 16. a < b y c ≥ 0 =⇒ a c ≤ b c, siendo entonces a c < b c si y solo si c 6= 0. 17. a ≤ b y c < 0 =⇒ a c ≥ b c, siendo entonces a c > b c si y solo si a < b. 18. producto de desigualdades: si b ≥ 0 y c ≥ 0, a ≤ b y c ≤ d =⇒ a c ≤ b d. 19. si b ≥ 0 y c ≥ 0, a ≤ b y c ≤ d, entonces a c < b d excepto si d = 0 o bien a = b = 0 o bien b = c = 0 o bien a = b y c = d. 20. 0 ≤ a ≤ b =⇒ a2 ≤ b2 . 21. 0 ≤ a < b =⇒ a2 < b2 . 22. a2 ≤ b2 y b ≥ 0 =⇒ a ≤ b. 23. a2 < b2 y b > 0 =⇒ a < b.

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

6 24. a > 0 ⇐⇒

1 > 0. a

25. 0 < a ≤ b =⇒

1 1 ≤ . b a

26. a ≤ b < 0 =⇒

1 1 ≤ . b a

1.2.2.

Valor absoluto de un n´ umero real. Desigualdades b´ asicas

El valor absoluto de un n´ umero real a es el n´ umero real no negativo ( a, si a ≥ 0; |a| = −a, si a ≤ 0. Gr´aficamente corresponde a la distancia de a al origen. Definici´ on 1.2.1 (distancia entre n´ umeros reales). Dados a, b ∈ R, llamaremos distancia entre a y b al n´ umero real no negativo |a − b|. Gr´aficamente, |a − b| mide la ‘distancia geom´etrica’ entre a y b. Recogemos las propiedades del valor absoluto que son de mayor inter´es para el resto del curso. Si a, b, c, d, denotan n´ umeros reales cualesquiera, se verifica: 1. |1| = 1; | − 1| = 1. 2. | − a| = |a|. 3. −|a| ≤ a ≤ |a|. 4. |a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b. 5. |a| < b ⇐⇒ −b < a < b. 6. |a| > b ⇐⇒ a > b ´o a < −b (supuesto b ≥ 0). 7. |a| ≥ 0; |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. 8. |a b| = |a| |b|. 9. desigualdad triangular |a + b| ≤ |a| + |b|. 10. desigualdad triangular “inversa”: ||a| − |b|| ≤ |a − b|. 11. |a−1 | = |a|−1 siempre que a 6= 0. 12. a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b| y a2 = b2 ⇐⇒ |a| = |b|. 13. |a| ≤ b ⇐⇒ a2 ≤ b2 y b ≥ 0. Ejercicio. Demostrar que |x| ≤ εpara todo ε > 0 =⇒ x = 0. ¿Para qu´e n´ umeros x se cumple que x ≤ ε para todo ε > 0?

´ DE LOS NUMEROS ´ 1.2. ORDENACION REALES

1.2.3.

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Conjuntos acotados en R: cotas, supremo, ´ınfimo, m´ aximo, m´ınimo de un conjunto

Dado un subconjunto S de R, si para alg´ un n´ umero real a es a ≤ s para todo s ∈ S, diremos que a es una cota inferior de S y que S est´a acotado inferiormente (por a). Si para alg´ un n´ umero real b fuese b ≥ s para todo s ∈ S, diremos que b es una cota superior de S y que S est´a acotado superiormente (por b). Cuando S est´a acotado a la vez superior e inferiormente, se dice que S est´a acotado . Un n´ umero real m es m´ınimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota inferior del mismo. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces m = m´ın S. Un n´ umero real M es m´ aximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota superior del mismo. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces M = m´ax S. Un n´ umero real a es ´ınfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a0 > a no es cota inferior de S, de modo que se tendr´a a0 > s0 para alg´ un s0 ∈ S. Pondremos entonces a = inf S. (Dicho de otra forma, el ´ınfimo de un conjunto es el m´aximo del conjunto de cotas inferiores del primero.) N´otese que si a = inf S, ser´a a = m´ın S si y solo si a ∈ S. Un n´ umero real b es supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S. Es decir, si b ≥ s para todo s ∈ S y cada b0 < b no es cota superior de S, de modo que se tendr´a b0 < s0 para alg´ un s0 ∈ S. Pondremos entonces b = sup S (Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el m´ınimo del conjunto de cotas superiores del primero.) N´otese que si b = sup S, ser´a b = m´ax S si y solo si a ∈ S. Ejemplos. Ver [Apostol1, p´ag. 29].

1.2.4.

Axioma del supremo (axioma de completitud de R para el orden)

R16. Completitud de R: Todo subconjunto no vac´ıo de R acotado superiormente tiene supremo. La propiedad sim´etrica (todo subconjunto no vac´ıo de R acotado inferiormente tiene ´ınfimo) es consecuencia de lo anterior.

1.2.5.

Propiedad arquimediana de R: consecuencias

Teorema 1.2.2 (propiedad arquimediana de R). Dados dos n´ umeros reales a, b, con a > 0, existe alg´ un n´ umero natural n tal que na > b. Demostraci´ on. Razonemos por reducci´on al absurdo. Si la tesis no fuese cierta, es decir, si hubiese n´ umeros reales a, b, con a > 0, tales que na ≤ b para todo n´ umero natural n, veamos que se llega a una contradicci´on. En tal caso, el conjunto S = {na; n ∈ N} estar´ıa acotado superiormente (por b) siendo no vac´ıo, luego por la propiedad de completitud tendr´ıa supremo. Sea s este supremo, es decir, s = sup S = sup{na; n ∈ N}. Puesto que a > 0, s − a < s; seg´ un la definici´on de supremo, s − a ya no puede ser cota superior del conjunto S, de modo que existir´a alg´ un elemento en S estrictamente mayor que s − a. Dicho elemento ser´a de la forma n0 a con n0 ∈ N, y as´ı s − a < n0 a. Pero esto implica que s < n0 a + a = (n0 + 1) a y obviamente (n0 + 1) a ∈ S, con lo cual s no podr´ıa ser cota superior de S, contradicci´on. Aplicada al caso particular a = 1, la propiedad arquimediana muestra que el conjunto N de los n´ umeros naturales no est´a acotado superiormente por ning´ un n´ umero real. Como consecuencia de la propiedad arquimediana se puede probar que todo n´ umero real est´a “encajado” entre dos enteros consecutivos.

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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Teorema 1.2.3 (parte entera de un n´ umero real). Dado x ∈ R, existe un n´ umero entero (y uno solo), que suele denotarse con [x], tal que [x] ≤ x < [x] + 1. Denominaremos a [x] la parte entera de x. Demostraci´ on. La desigualdad del enunciado equivale a decir que [x] es el mayor n´ umero entero menor o igual que x. Para probar que existe, podemos utilizar uno cualquiera de los siguientes caminos: Primer camino. Comenzamos por observar que todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros enteros acotado superiormente tiene un elemento m´aximo, como se deduce del principio de buena ordenaci´ on de los conjuntos minorados (Z13) sin m´as que tomar opuestos. Pero el conjunto S de enteros menores o iguales que x es no vac´ıo, pues por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que −x ≤ n y as´ı −n ≥ x, luego −n ∈ S; adem´as, S est´a acotado superiormente (por x o por cualquier n´ umero natural superior a x, si no queremos salirnos de Z). Por lo tanto, S tiene un elemento m´aximo, llam´emosle m, que por estar en S ser´a menor o igual que x y por ser m´aximo excluye que m + 1 (entero estrictamente mayor que m) pueda figurar en S, lo que implica que m + 1 > x. Segundo camino. Utilizaremos que todos los n´ umeros naturales son mayores o iguales que 1 (¡demostrarlo por inducci´on!) y que los n´ umeros naturales son justamente los enteros positivos. Llamando nuevamente S al conjunto de enteros menores o iguales que x, S es no vac´ıo por el argumento anterior y est´a acotado superiormente por x; aplicando el axioma de completitud, S tiene un supremo, al que vamos a llamar s. Como s − 1 ya no es cota superior de S, por ser estrictemente menor que s, existir´a m ∈ S tal que s − 1 < m ≤ s. Pero m tambi´en es cota superior de S, dado que si alg´ un n ∈ S verificase n > m obtendr´ıamos m < n ≤ s < m + 1, de donde 0 < n − m < 1, y n − m ser´ıa un entero positivo menor que 1, imposible. Por tanto vemos que hay un elemento de S que es cota superior de S, es decir, que es el m´aximo de S, y como antes deber´a cumplir m ≤ x < m + 1. La propiedad arquimediana permite tambi´en deducir c´omo est´an “repartidos” en R los n´ umeros racionales. Teorema 1.2.4 (densidad de Q en R). Dados dos n´ umeros reales a, b, con a < b, existe alg´ un n´ umero racional r tal que a < r < b.

Comentario. Si existe tal r, podr´a escribirse en la forma r = m/n con m ∈ Z y n ∈ N, de modo que hemos de encontrar m ∈ Z y n ∈ N tales que a < m/n < b o, lo que es lo mismo, na < m < nb. Es intuitivamente claro, pensando en la representaci´on gr´afica de R, que entre dos n´ umeros a “distancia” mayor que 1 siempre se puede incluir un n´ umero entero (suponiendo los dos n´ umeros positivos, por ejemplo, superponiendo el segmento unidad consigo mismo hacia la derecha, la primera vez que sobrepasemos el n´ umero m´as cercano al origen, no habremos sobrepasado el otro n´ umero). Esta es la idea que vamos a tratar de utilizar. Demostraci´ on. La propiedad arquimediana aplicada a b − a > 0 y a 1 nos asegura la existencia de un n ∈ N tal que n(b − a) > 1, con lo cual nb > na + 1. Sea ahora S = {p ∈ Z : p > na}. Este es un conjunto no vac´ıo (¿por qu´e?) de n´ umeros enteros acotado inferiormente en Z (¿por qu´e?); seg´ un la propiedad Z13, posee un elemento m´ınimo. Llamando m = m´ın S, puesto que m ∈ S es m > na; y como es el m´ınimo de S, m − 1 no puede estar en S, lo que significa que m − 1 ≤ na. Pero entonces m ≤ na + 1 < nb; as´ı pues, na < m < nb y finalmente a < m/n < b. Teorema 1.2.5 (densidad de R \ Q en R). Dados dos n´ umeros reales a, b, con a < b, existe alg´ un n´ umero irracional x tal que a < x < b.

´ DE LOS NUMEROS ´ 1.2. ORDENACION REALES

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Demostraci´ on. Es suficiente encontrar un n´ umero irracional y. En efecto, si y ∈ R \ Q, para cada r ∈ Q se tiene r + y ∈ R \ Q (pues si fuese r + y ∈ Q, como la diferencia de dos n´ umeros racionales es asimismo un n´ umero racional, tambi´en y = (r + y) − r ∈ Q). Puesto que a − y < b − y, seg´ un acabamos de probar existe r ∈ Q tal que a − y < r < b − y, de donde a < r + y < b y r + y ∈ R \ Q. Veamos, pues, que existe y ∈ R \ Q. Para ello, como ya sabemos que no hay ning´ un n´ umero racional cuyo cuadrado sea igual a 2, vamos a √demostrar que existe un n´ umero real positivo de cuadrado 2 (n´ umero que representamos por 2). Consideremos el conjunto S = {x ∈ R : 2 x ≥ 0, x ≤ 2}. Este es un conjunto no vac´ıo de n´ umeros reales (por ejemplo, 1 ∈ S), acotado superiormente (por ejemplo, por 2: ya que si x > 2, x2 > 4 > 2), luego tiene supremo. Sea y = sup S (como 1 ∈ S, y ≥ 1 > 0). Comprobemos, por exclusi´on, que y 2 = 2. No puede ser y 2 > 2, porque entonces tomando por ejemplo h = m´ın{y, (y 2 − 2)/2y} > 0 se tendr´ıa (y − h)2 = y 2 − 2yh + h2 > y 2 − 2yh ≥ y 2 − (y 2 − 2) = 2, de modo que si x ∈ S, (y − h)2 > 2 ≥ x2 , de donde y − h > x, es decir, y − h ser´ıa una cota superior de S ¡estrictamente menor que su supremo! Pero tampoco puede ser y 2 < 2, porque entonces tomando por ejemplo h = m´ın{y, (2 − y 2 )/3y} > 0 , se tendr´ıa (y + h)2 = y 2 + 2yh + h2 ≤ y 2 + 2yh + yh = y 2 + 3yh ≤ y 2 + (2 − y 2 ) = 2, o sea, y < y + h ∈ S, con lo cual el supremo de S no ser´ıa cota superior de S, absurdo. Queda as´ı como u ´nica posibilidad y 2 = 2.

1.2.6.

Intervalos en R

Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de R definidos del siguiente modo (a, b son n´ umeros reales cualesquiera): (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (a, +∞) = {x ∈ R : x > a} [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} (−∞, +∞) = R.

(intervalo (intervalo (intervalo (intervalo (intervalo (intervalo (intervalo (intervalo

abierto acotado de extremos a, b) semiabierto –por la derecha– de extremos a, b) semiabierto –por la izquierda– de extremos a, b) cerrado acotado de extremos a, b) abierto no acotado de origen a) cerrado no acotado de origen a) abierto no acotado de extremo b) cerrado no acotado de extremo b)

N´otese que si a > b, (a, b) = ∅, de modo que el conjunto vac´ıo es un intervalo. Los intervalos de R pueden ser caracterizados mediante la propiedad de los valores intermedios: Proposici´ on 1.2.6 (caracterizaci´ on de los intervalos reales). Un subconjunto I de R es un intervalo si y solo si dados x, y ∈ I, cada z ∈ R tal que x ≤ z ≤ y tambi´en pertenece a I. (Dicho de otro modo: con cada dos valores est´ an tambi´en todos los intermedios.) Demostraci´ on. Para probar la implicaci´on directa basta un examen de todos los casos. Por ejemplo, si I = (a, b), x, y ∈ I, y z ∈ R es tal que x ≤ z ≤ y, se tiene a < x ≤ z ≤ y < b, luego a < z < b y por definici´on z ∈ I. La implicaci´on inversa es trivial en el caso de que I = ∅. Suponemos, pues, I 6= ∅. Pueden presentarse las siguientes situaciones: (1) I es acotado. (2) I es acotado superiormente pero no inferiormente. (3) I es acotado inferiormente pero no superiormente. (4) I no es acotado superior ni inferiormente. Veamos cada una de ellas. (1) I es acotado. Sea a = inf I, b = sup I. Obviamente entonces (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b], pues c ∈ (a, b) ⇐⇒ a < c < b, y por definici´on de supremo e ´ınfimo existir´an un x ∈ I con x < c y un y ∈ I con c < y, luego c ∈ I; por otra parte, tambi´en por definici´on de supremo e ´ınfimo, de x ∈ I se sigue a ≤ x ≤ b, o sea, x ∈ [a, b]. Ahora,

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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si a, b ∈ I, [a, b] = (a, b) ∪ {a, b} ⊆ I ⊆ [a, b], luego I = [a, b], si a ∈ I, b 6∈ I, [a, b) = (a, b) ∪ {a} ⊆ I ⊆ [a, b] \ {b} = [a, b), luego I = [a, b), si a 6∈ I, b ∈ I, (a, b] = (a, b) ∪ {b} ⊆ I ⊆ [a, b] \ {a} = (a, b], luego I = (a, b], si a 6∈ I, b 6∈ I, (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b] \ {a, b} = (a, b), luego I = (a, b). (2) I es acotado superiormente pero no inferiormente. Sea a = sup I, con lo que (−∞, a) ⊆ I ⊆ (−∞, a], pues para cada z ∈ I es z ≤ a y dado z < a, existe y ∈ I con z < y (por definici´ on de supremo) y existe x ∈ I con x < z (I no est´a acotado inferiormente), que con la hip´otesis del enunciado da z ∈ I. En consecuencia, si a ∈ I, (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a} ⊆ I ⊆ (−∞, a], luego I = (−∞, a], si a ∈ / I, (−∞, a) ⊆ I ⊆ (−∞, a] \ {a} = (−∞, a), luego I = (−∞, a). Los restantes casos se analizan de forma an´aloga: en (3) se obtiene I = (a, +∞) o I = [a, +∞), donde a = inf I, y en (4) queda I = R.

1.3.

´ APENDICE. Expresi´ on decimal de un n´ umero real

En esta exposici´on, seguiremos esencialmente la que puede verse en [Apostol2, p´ags. 13–15]. Los n´ umeros reales de la forma a1 a2 an a0 + + 2 + ··· + n, 10 10 10 donde a0 es un n´ umero entero no negativo y a1 , . . . , an son enteros que satisfacen 0 ≤ aj ≤ 9, se expresan normalmente de la forma a0 , a1 a2 . . . an . Esta expresi´on se llama representaci´on decimal finita. Estos n´ umeros son racionales, pero no todo n´ umero racional tiene una representaci´on decimal finita (v´ease [Apostol2, p´ags. 13–14]). Proposici´ on 1.3.1 (aproximaciones decimales finitas de los n´ umeros reales). Dado un n´ umero real x ≥ 0, para todo n ∈ N existe un decimal finito rn = a0 , a1 a2 . . . an tal que r n ≤ x < rn +

1 . 10n

En consecuencia, x = sup{rn : n ∈ N}. Demostraci´ on. Para construir los rn basta tomar a0 = [x], ak = [10k x] − 10[10k−1 x], 1 ≤ k ≤ n (ver detalles en [Apostol2, p´ags. 14–15]). Por otra parte, x es cota superior de {rn : n ∈ N} por construcci´on, y es la menor de las cotas 1 superiores porque si y < x es posible encontrar un n ∈ N de manera que 10n > (¿por qu´e?) x − x0 0 y para este n es rn > x (¿por qu´e?). Que x es el supremo del conjunto {rn : n ∈ N} suele expresarse poniendo x = a0 , a1 a2 . . . an . . . y se dice entonces que a0 , a1 a2 . . . an . . . es una representaci´ on decimal infinita de x. En ciertos casos, es posible obtener el mismo supremo para dos representaciones decimales infinitas distintas, ver [Apostol2, p´ag. 15]. Para x = 0, suele tomarse como representaci´on decimal 0, 00 . . . 0 . . .; y para x < 0, se parte de una representaci´on decimal de −x y se coloca un signo − delante. (Hay una presentaci´on m´as geom´etrica y ‘computacional’ en [Lax, §1.3].) Si en vez de usar potencias de 10 se utilizan potencias de 2, se obtiene la representaci´ on binaria de los n´ umeros reales; la representaci´on hexadecimal resulta al tomar potencias de 16. Ambas han adquirido gran importancia (especialmente la primera) en relaci´on con los ordenadores. (Ver detalles en [Abellanas-Galindo, cap´ıtulo 3] y [Bartle-Sherbert, p´ags. 73 y siguientes].)

Bibliograf´ıa [Abellanas-Galindo] Abellanas, L. - Galindo, A.: M´etodos de c´ alculo. Serie Schaum, Mc GrawHill/Interamericana de Espa˜ na, Madrid, 1989. Citado en la(s) p´agina(s) 10 [Apostol1]

Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1989. Citado en la(s) p´ agina(s) 7

[Apostol2]

Apostol, T. M.: An´ alisis Matem´ atico (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1991. Citado en la(s) p´agina(s) 10

[Bartle-Sherbert]

Bartle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 10

[Birkhoff-MacLane] Birkhoff, G. - MacLane, S.: Algebra moderna. Teide, Barcelona, 1960. Citado en la(s) p´agina(s) 2 [Lax]

Lax, P. - Burstein, S. - Lax, A.: Calculus with Applications and Computing. Springer, Berl´ın, 1976. Citado en la(s) p´agina(s) 10

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Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 2

Funciones reales de una variable real. Generalidades 2.1.

Primeros conceptos

2.1.1.

Funciones. Clases particulares de funciones

Recordemos que una aplicaci´ on f : A → B se define en t´erminos conjuntistas como una terna (A, B, Gf ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio o conjunto final de f , y Gf , denominado gr´ afico o gr´ afica de f , es un subconjunto del producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento u ´nico y ∈ B de modo que (x, y) ∈ Gf (ese elemento y un´ıvocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicaci´ on f en el punto x o imagen de x por f ). Definici´ on 2.1.1. Una funci´ on (real de variable real) es una aplicaci´ on f : A → B con A, B ⊆ R. Informalmente, dar una funci´on f supone dar: a) su dominio de definici´ on A = dom f ; b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atenci´on en este curso); c) una regla de correspondencia o regla de definici´ on que permita asignar inequ´ıvocamente a cada elemento x de A, sin excepci´on, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f. Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la “regla de definici´on”) hace que la funci´on cambie. Por ejemplo, si tenemos una funci´on f : A → B y consideramos un subconjunto S de A, la restricci´ on de f a S es la funci´on f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, que no es la misma funci´on f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por “la misma regla de correspondencia” (a cada x de S, la restricci´on f |S hace corresponder el mismo valor que f ). En la pr´actica raras veces se muestra una funci´on como una terna, tal como requerir´ıa su definici´on formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la funci´on en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [Bartle-Sherbert, Sec. 1.2, especialmente p´ags. 22-25]). En cuanto al conjunto final de una funci´on, cuando no se mencione expl´ıcitamente se sobrentender´a que dicho conjunto es R. Suele chocar al principiante que a veces la regla de definici´on de una funci´on aparece dividida en varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante f´ormulas), tendiendo a interpretar 13

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

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incorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo, la funci´on f : R → R tal que ( x, si x ≥ 0; f (x) = −x, si x < 0, es una sola funci´on, la funci´ on valor absoluto , y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en parte de su dominio (¡no en todo!) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R. Dada una funci´on f , emplearemos la expresi´on f est´ a definida en S como sin´onimo de S es un subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, “el mayor subconjunto de R en el que f est´a definida”. Ejercicio. Estudiar si son o no iguales las funciones f : R → R, g : R → R dadas por f (x) = 2x;

g(x) = |x − 1| + |x + 1|.

¿Cambia la respuesta si comparamos las restricciones de f y g al intervalo [1, +∞)? ¿Y comparando las restricciones a otros subconjuntos de R? Definici´ on 2.1.2. Sea f una funci´ on con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagen de S por f al conjunto f (S) = {f (x) : x ∈ S}, y conjunto antiimagen de T por f al conjunto f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T }, que ser´ a un subconjunto (eventualmente vac´ıo) de A. El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene im f = f (dom f ) = {f (x) : x ∈ dom f } . Una funci´ on f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre im´ agenes distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x 6= y se sigue f (x) 6= f (y); o, equivalentemente, si dados x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y. Una funci´ on f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto imagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de alg´ un (o algunos) elemento(s) de A. Una funci´ on se dice biyectiva si es simult´ aneamente inyectiva y suprayectiva. Ejemplos. La funci´on identidad id : x ∈ R → id(x) = x ∈ R es trivialmente biyectiva. La funci´ on parte entera, que asocia a cada x ∈ R su parte entera (vista como aplicaci´on de R en R) no es inyectiva ni suprayectiva. Definici´ on 2.1.3 (funci´ on inversa). Dada una funci´ on inyectiva f : A → B, llamaremos fun−1 ci´ on inversa de f a la funci´ on f : f (A) → A tal que f −1 (y) = x si y solo si f (x) = y. En t´erminos m´as formales, f −1 ser´ıa la funci´on dada por la terna (f (A), A, Gf −1 ), donde Gf −1 = {(y, x) : (x, y) ∈ Gf }, y Gf es, por supuesto, la gr´afica de f . Para ser rigurosos, deber´ıamos comprobar que tal terna define efectivamente una funci´on; esto es una consecuencia inmediata de que f es inyectiva. En muchos textos aparece definida la funci´on inversa solamente para funciones biyectivas. Sin embargo, la pr´actica usual en an´alisis matem´atico recomienda ampliar la definici´on a todas las funciones inyectivas, como acabamos de hacerlo. Obs´ervese que, en cualquier caso, lo que hemos definido ser´ıa la funci´on inversa de la funci´on biyectiva f˜ : A → f (A) tal que f˜(x) = f (x), que, record´emoslo, salvo cuando f es adem´ as suprayectiva, es otra funci´on —la biyecci´ on asociada a f — pues cambia el conjunto final.

2.1. PRIMEROS CONCEPTOS

15

Ejercicio. Dada una funci´on inyectiva f : A → B, una funci´on g es la inversa de f si y solo si g : f (A) → A y g(f (x)) = x para todo x ∈ A,

f (g(y)) = y para todo y ∈ f (A).

Ejercicio. Probar que la funci´on f : R → R definida por f (x) = 2x + |x − 3| es biyectiva y demostrar que su funci´on inversa puede escribirse en la forma f −1 (x) = ax + b − |cx + d| para ciertos valores a, b, c, d ∈ R. Representaci´ on gr´ afica de una funci´ on. Dada una funci´on f , para cada x ∈ dom f el par ordenado de n´ umeros reales (x, f (x)) puede interpretarse como coordenadas de un punto del plano respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, de modo que la gr´afica de f , es decir, {(x, f (x)) : x ∈ dom f }, vendr´a representada por un subconjunto del plano, que da la representaci´ on gr´ afica de la funci´on f . Observar esta representaci´on puede proporcionar a veces informaci´on interesante sobre f , por lo que m´as adelante nos ocuparemos con detalle de la representaci´on gr´ afica de funciones. El lector puede examinar c´omo se refleja en su representaci´on gr´afica que una funci´on es inyectiva o suprayectiva, y qu´e relaci´on hay entre las representaciones gr´aficas de una funci´on inyectiva y la de su inversa. Ejercicio. Describir la gr´afica de g en t´erminos de la gr´afica de f , en los casos siguientes: g(x) = f (x) + c; g(x) = f (−x); g(x) = |f (x)|;

g(x) = f (x + c); g(x) = −f (x); g(x) = m´ax{f (x), 0};

g(x) = c f (x); g(x) = f (|x|); g(x) = m´ın{f (x), 0}.

(Por ejemplo, en el primer caso la gr´afica de g se obtiene desplazando hacia arriba la gr´afica de f una distancia c si c ≥ 0, o desplazando hacia abajo la gr´afica de f una distancia |c| si c < 0.) Tabulaci´ on de funciones. Cuando el dominio de una funci´on es finito (y con un n´ umero no demasiado elevado de elementos) es a menudo u ´til describir la funci´on escribiendo en forma de tabla los valores del dominio y a su lado, correlativamente, los valores de la funci´on en cada uno de ellos. As´ı, por ejemplo, suele procederse en la recogida de datos experimentales, cuando se estudian dos magnitudes de las cuales una depende de la otra y, de hecho, las tablas de correspondencias entre n´ umeros o magnitudes son hist´oricamente muy anteriores a la idea misma de funci´on. Tambi´en se procede a la tabulaci´on de funciones aunque el dominio no sea finito, reflejando en tal caso, por descontado, tan solo una parte finita del mismo. Cabe se˜ nalar que en la mayor´ıa de las tablas de funciones que se usan en las ciencias, los valores de la funci´on que aparecen en las tablas no son, por razones obvias, valores exactos, sino valores aproximados con un error que es necesario controlar para poder utilizarlas adecuadamente. Existe una extensa bibliograf´ıa de libros de tablas de funciones, sustituidos casi totalmente en la actualidad por los ordenadores e incluso por las calculadoras cient´ıficas de bolsillo. Sin embargo, es muy conveniente conocer al menos uno de ellos, como [Spiegel-Abellanas]. Veamos ahora algunas clases particulares de funciones que aparecer´an frecuentemente a lo largo de todo el curso. Definici´ on 2.1.4. Una funci´ on f se dice mon´ otona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) ≥ f (y). Una funci´ on f se dice mon´ otona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) ≤ f (y). Una funci´ on f se dice mon´ otona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) < f (y). Una funci´ on f se dice mon´ otona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) > f (y).

16

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

Una funci´on mon´ otona es una funci´on de uno cualquiera de los tipos anteriores. Por brevedad, si S ⊆ dom f , se dice que f es mon´ otona en S si la restricci´on f |S es mon´otona. Esta nomenclatura puede variar de unos textos a otros: por ejemplo, algunos autores llaman “funciones crecientes” a las que nosotros denominamos “mon´otonas no decrecientes”, mientras que otros utilizan el nombre de “funciones crecientes” para las que hemos definido como “mon´otonas estrictamente crecientes”. Hemos elegido por ello los nombres que nos parecen menos ambiguos para cada uno de los tipos considerados. Observaci´ on. La monoton´ıa no es una propiedad puntual de la funci´on, sino que es una propiedad global . Esto significa que solo tiene sentido decir que una funci´on es mon´ otona en un determinado conjunto , no que es mon´otona “en un punto” del conjunto. La expresi´on “funci´on mon´otona en un punto” carece de significado. Ejercicio. Probar que la funci´on f : R \ {0} → R definida mediante f (x) = 1/x es estrictamente decreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞). ¿Es estrictamente decreciente en R \ {0}? En general, dada una funci´on f : D ⊆ R → R y dos subconjuntos A, B de D, si f es estrictamente decreciente en D ¿puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A y que f es estrictamente decreciente en B? Y si f es estrictamente decreciente tanto en A como en B, ¿puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A ∪ B? Responder las mismas preguntas para los dem´as tipos de monoton´ıa. Ejercicio. Probar que la funci´on f : [1/2, +∞) → R definida mediante f (x) = x2 − x + 1 es estrictamente creciente. En consecuencia, es inyectiva. ¿Cu´al es su funci´on inversa? Definici´ on 2.1.5. Diremos que una funci´ on f est´ a acotada superiormente si su conjunto imagen est´ a acotado superiormente. En otras palabras, si existe un n´ umero fijo M ∈ R tal que, simult´ aneamente para todos los x ∈ dom f , se tiene f (x) ≤ M (por comodidad, suele decirse entonces que f est´ a acotada superiormente por M o que M es una cota superior de f , en lugar de decir que el conjunto imagen de f est´ a acotado superiormente por M o que M es una cota superior de dicho conjunto). Enteramente an´ aloga es la definici´ on de funci´ on acotada inferiormente . Por u ´ltimo, una funci´ on acotada es aquella que est´ a acotada superior e inferiormente, es decir, aquella cuyo conjunto imagen est´ a acotado, de manera que existen constantes m, M ∈ R tales que para cada x ∈ dom f se tiene m ≤ f (x) ≤ M ; equivalentemente, f est´ a acotada si y solo si existe un K ∈ R tal que |f (x)| ≤ K para todo x ∈ dom f . x Ejercicio. Probar que la funci´on f : R → R dada por f (x) = 2 est´a acotada. ¿Cu´al es la x +1 cota inferior m´as ajustada que se puede encontrar? ¿Cu´al la cota superior m´as ajustada? El estudio de una funci´on se simplifica cuando posee alg´ un tipo de “repetici´on”. Concretamos esta idea en las siguientes definiciones. Definici´ on 2.1.6. Sea f una funci´ on definida en R. Diremos que f es a) par si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = f (x) (su gr´ afica es entonces sim´etrica respecto del eje de ordenadas); b) impar si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = −f (x) (su gr´ afica es entonces sim´etrica respecto del origen de coordenadas); c) peri´ odica de periodo T (T ∈ R \ {0}) si para cada x ∈ R se cumple f (x + T ) = f (x) (su gr´ afica puede obtenerse entonces por traslaci´ on reiterada de la gr´ afica en cualquier intervalo de longitud |T |). Ejercicio. Toda funci´on definida en R puede escribirse, adem´as de manera u ´nica, como suma de una funci´on par (su componente par ) y una funci´on impar (su componente impar ).

2.1. PRIMEROS CONCEPTOS

17

N´otese que la definici´on de funci´on par y de funci´on impar puede ampliarse de manera obvia a funciones f cuyo dominio sea sim´etrico (respecto al origen de coordenadas), es decir, tal que −x ∈ dom f siempre que x ∈ dom f . Ejercicio. Probar que la funci´on de Dirichlet ( 1 si x es racional, D(x) = 0 si x es irracional es peri´odica (comprobar que cada n´ umero racional no nulo es un periodo, y que ning´ un n´ umero irracional lo es). ¿Es D una funci´on par? ¿Es una funci´on impar? Las mismas preguntas para la funci´on f (x) = x − [x].

2.1.2.

Operaciones con funciones

Dadas dos funciones f y g, podemos construir a partir de ellas nuevas funciones de diferentes maneras. Para nosotros, las m´as u ´tiles son las que a continuaci´on exponemos. Definici´ on 2.1.7. La composici´ on de f y g, denotada g ◦ f , es la funci´ on con dominio dom(g ◦ f ) = f −1 (dom g) dada por (g ◦ f )(x) = g (f (x)) para cada x ∈ dom(g ◦f ) (obs´ervese que tales x son justamente aquellos para los que g (f (x)) “tiene sentido”). x Ejercicio. Sea f : x ∈ R → f (x) = √ . Calcular f ◦f . En general, si se define por recurrencia 1 + x2 f1 = f y fn+1 = f ◦ fn , n ∈ N, calcular fn . Definici´ on 2.1.8. La suma de f y g, denotada f + g, es la funci´ on con dominio dom(f + g) = dom f ∩ dom g dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) para cada x ∈ dom(f + g) (obs´ervese que tales x son justamente aquellos para los que f (x) + g(x) “tiene sentido”). Totalmente similar es la definici´on de la diferencia f − g y del producto f g de f y g. Definici´ on 2.1.9. El cociente de f y g, es la funci´ on f /g con dominio dom(f /g) = (dom f ∩ dom g) \ g −1 (0) dada por (f /g)(x) =

f (x) g(x)

para cada x ∈ dom(f /g) (obs´ervese una vez m´ as que tales x son exactamente aquellos para los que f (x)/g(x) “tiene sentido”). En algunos textos, se da el nombre de dominios naturales a los dominios anteriormente definidos. Ejercicio. Sea id : R → R la funci´on identidad, es decir, id(x) = x para todo x ∈ R. ¿Son iguales id2 −1 las funciones e id −1? ¿Por qu´e? ¿Cu´al es la relaci´on entre ambas? id +1

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

18

2.1.3.

Ejemplos de funciones

Sucesiones Son funciones cuyo dominio es el conjunto N de los n´ umeros naturales. Desempe˜ nan un destacado papel en la elaboraci´on de nuestra teor´ıa, y a ellas dedicaremos espec´ıficamente el cap´ıtulo siguiente. Funciones constantes Son las que asignan a todos los valores de su dominio un mismo valor fijo, es decir, aquellas funciones f para las que existe un a ∈ R tal que f (x) = a para todos los x ∈ dom f . ¿Puede una funci´on constante ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿C´omo es su representaci´on gr´afica? ¿Es mon´otona? ¿De qu´e tipo? ¿Es acotada? ¿Es par, impar, peri´odica? Funci´ on identidad Dado un conjunto A ⊆ R, la identidad en A es la funci´on tal que f (x) = x para cada x ∈ A. ¿Es la identidad siempre inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Es mon´otona? ¿Es acotada? ¿C´omo es su representaci´on gr´afica? ¿Cu´al es su inversa? Potencias de exponente entero Dado un n´ umero natural n, la funci´on f : x ∈ R → xn ∈ R (producto de n funciones iguales a la identidad) tiene distinto comportamiento seg´ un n sea par o impar. Para n = 2k − 1, k ∈ N, la funci´on g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. Tambi´en es suprayectiva, aunque ahora no estemos todav´ıa en condiciones de demostrarlo f´acilmente. Sin embargo, la funci´on h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva (es una funci´on par), aunque la restricci´on de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞), como justificaremos m´as adelante. La potencia de exponente 0 es la funci´on constante con valor siempre igual a 1. Para exponente negativo, n = −m con m ∈ N, se define     1 1 n x ∈ R \ {0} → x = = ∈ R. xm x−n Ra´ıces Dado k ∈ N, se puede probar que la funci´on g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es biyectiva. Por tanto, posee una funci´on inversa f : R → R, denominada ra´ız (2k − 1)-´ esima ; su valor en un punto √ √ 1/(2k−1) 2k−1 x ∈ R se denota por xox . De acuerdo con su definici´on, se tiene y = 2k−1 x si y solo si y 2k−1 = x. Sin embargo, puesto que la funci´on h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva, no puede hablarse de “ra´ız 2k-´esima” en todo R. No obstante, la restricci´on de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞): su inversa es la que llamamos funci´ on ra´ız 2k -´ esima , de modo que dicha funci´on tendr´a ahora por dominio [0, +∞). Es decir, solo √ est´a definida en un n´ umero real x si x ≥ 0: su valor en dicho punto se representa por 2k x o x1/(2k) √ excepto para el caso k = 1 (ra´ız cuadrada), que se usa abreviadamente x. N´otese que siempre es √ √ x ≥ 0 y, en general, 2k x ≥ 0. Funciones polin´ omicas y funciones racionales Las funciones que pueden obtenerse mediante sumas y productos de funciones constantes y de la identidad en R reciben el nombre de funciones polin´ omicas . Por tanto, f es una funci´on

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

19

polin´omica si y solo si existen a0 , a1 , . . . , an ∈ R tales que f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn para cada x ∈ R (tambi´en suelen denominarse funciones polin´ omicas las restricciones de las anteriores a cualquier subconjunto de R.) Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funciones polin´omicas. Su dominio es todo R salvo un conjunto finito (eventualmente vac´ıo), el conjunto de los ceros o ra´ıces del denominador. Es asimismo usual utilizar el mismo nombre para las restricciones de tales funciones a subconjuntos cualesquiera. Funciones algebraicas Reciben este nombre las funciones tales que se pueden encontrar polinomios p0 , p1 , . . . , pn de manera que para todo x ∈ dom f se verifica p0 (x) + p1 (x) f (x) + · · · + pn (x) f (x)n = 0. Obs´ervese que las ra´ıces anteriormente definidas quedan dentro de esta clase.

2.2.

Funciones trascendentes

Las funciones que vamos a describir ahora, aunque quedan como las anteriores dentro de las que suelen denominarse gen´ericamente funciones elementales, y en buena parte son “conocidas” por el lector, requieren para su “construcci´on” t´ecnicas de las que no disponemos todav´ıa. No podemos, pues, definirlas, pero vamos a emplearlas admitiendo de momento que existen y tienen las propiedades que enunciamos.

2.2.1.

Funciones exponencial y logar´ıtmica

Funci´ on exponencial La funci´ on exponencial , exp : R → R, que construiremos m´as adelante, aparece en la descripci´on de los fen´omenos en los que la variaci´ on de una magnitud es proporcional al valor de dicha magnitud. El n´ umero exp(1) se denota por e. Es irracional; m´as todav´ıa, es trascendente , lo que significa que no existe ning´ un polinomio con coeficientes enteros que se anule en e. Sus primeras cifras decimales son 2, 7182818284590452353602874713526624977572 . . . (sobre su historia, ver [Maor]). En lugar de exp(x) suele escribirse ex . Proposici´ on 2.2.1 (propiedades de la exponencial). b) Para cada x ∈ R,

1 = e−x , ex

y, en particular, ex 6= 0. c) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey .

a) e0 = 1.

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

20 d) Dados n ∈ N y x ∈ R,

n

enx = ex · · · ex . e) Para cada x ∈ R,

ex > 0 .

f ) La funci´ on exponencial es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva. g) El conjunto imagen de la funci´ on exponencial es (0, +∞).

e−x

ex

Funci´ on logar´ıtmica La funci´ on logar´ıtmica log : (0, +∞) → R es la inversa de la funci´on exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x. Por tanto, est´a caracterizada por cumplir log(ex ) = x

cualquiera que sea x ∈ R

y elog x = x

cualquiera que sea x ∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funci´on exponencial. Proposici´ on 2.2.2 (propiedades del logaritmo).

a) log 1 = 0; log e = 1.

b) Para cada x ∈ (0, +∞), log

1 = − log x . x

c) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y . d) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞),

log(xn ) = n log x .

e) El conjunto imagen de la funci´ on logar´ıtmica es R.

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

21

f ) La funci´ on logar´ıtmica es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva.

ex

x

log x

Funciones exponencial y logar´ıtmica de base cualquiera Definici´ on 2.2.3. Dado un n´ umero real a > 0, la funci´ on exponencial de base a se define mediante la igualdad ax = ex log a . Cuando a > 1, esta funci´on tiene propiedades similares a la funci´on exponencial anteriormente estudiada; si a = 1, es una funci´on constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con la funci´on exponencial de base e estriba en que la funci´on exponencial de base a es entonces estrictamente decreciente. Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definici´on y de lo que hemos visto para las funciones ex y log x son las siguientes: Proposici´ on 2.2.4 (propiedades de las potencias). Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, a) (ab)x = ax bx . b) (ax )y = axy . Definici´ on 2.2.5. Dado a > 0, a 6= 1, la funci´ on logar´ıtmica de base a se define en (0, +∞) mediante la f´ ormula log x loga x = . log a Es inmediato comprobar que esta funci´on es la inversa de la funci´on exponencial de base a. Como propiedad adicional interesante se tiene: dados a, b, x ∈ R con 0 < a 6= 1 y b > 0, loga (bx ) = x loga b .

2.2.2.

Funciones trigonom´ etricas. Funciones trigonom´ etricas inversas

Funciones trigonom´ etricas Reciben este nombre una serie de funciones de origen geom´etrico, ligadas con las medidas de ´angulos y la descripci´on de fen´omenos peri´odicos.

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

22 La funci´ on seno

sen : R → R y la funci´ on coseno cos : R → R ser´an definidas m´as adelante. De momento, admitimos sin demostraci´on que satisfacen las propiedades que pasamos a enunciar. Proposici´ on 2.2.6 (propiedades del seno). a) El seno es una funci´ on impar, mientras que el coseno es una funci´ on par: cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x, b) Para cada x ∈ R es

cos(−x) = cos x .

sen2 x + cos2 x = 1 .

c) Existe un n´ umero real positivo, denotado por π, tal que sen π = 0 y sen x 6= 0 si 0 < x < π. Este n´ umero π es irracional (y trascendente) y sus primeras cifras decimales son 3, 14159265358979 . . . El n´ umero π, ((´ area del c´ırculo de radio 1, es de lejos la constante m´ as c´elebre de las matem´ aticas. Aparecida inicialmente en Geometr´ıa, interviene hoy en los dominios m´ as variados: an´ alisis, teor´ıa de n´ umeros, probabilidades y estad´ıstica, combinatoria, etc. Los m´ as grandes matem´ aticos se han interesado desde hace m´ as de 2000 a˜ nos por los problemas planteados por este n´ umero)) ([Le Lionnais, p´ ag. 50]). d) cos π = −1. e) Las funciones sen y cos tienen por conjunto imagen (rango) el intervalo [−1, 1]. f ) Dados x, y ∈ R tales que x2 + y 2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x,

sen α = y

(gr´ aficamente, esto significa que las funciones seno y coseno que hemos definido se corresponden con las utilizadas en trigonometr´ıa). g) F´ ormulas de adici´ on. Dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y ;

sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y ;

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y ;

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y .

h) Las funciones sen y cos son peri´ odicas de periodo 2π. i) La funci´ on sen es estrictamente creciente en [0, π/2] y estrictamente decreciente en [π/2, π]. j) La funci´ on cos es estrictamente decreciente en [0, π/2] y estrictamente creciente en [π/2, π]. Damos ahora una tabla de algunos valores particulares de estas funciones. grados 0 15 30 45 60 90

x 0 π/12 π/6 π/4 π/3 π/2

sen x √ 0 √ 1 4 ( 6 − 2) √1/2 √2/2 3/2 1

cos x √ 1 √ 1 6 + 2) 4( √ √3/2 2/2 1/2 0

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

23

Ejercicio. Comprobar que para x, y ∈ R arbitrarios es x+y x−y sen x − sen y = 2 cos sen . 2 2 Deducir de aqu´ı que sen x = sen y si y solo si existe alg´ un k ∈ Z tal que x = y + 2kπ o existe alg´ un k ∈ Z tal que x = (2k + 1)π − y. sen x

cos x

Definici´ on 2.2.7. La funci´ on tangente tg, la funci´ on cotangente ctg, la funci´ on secante sec y la funci´ on cosecante cosec se definen a partir de las funciones seno y coseno mediante las f´ ormulas sen cos 1 1 tg = , ctg = , sec = , cosec = . cos sen cos sen ¿Cu´ales son los dominios de estas funciones?

tg x

cosec x

cotg x

sec x

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

24 Funciones trigonom´ etricas inversas

Se conocen con el nombre de ‘funciones trigonom´etricas inversas’ las de una colecci´on de funciones que son “casi”, pero no totalmente, inversas de las funciones tigonom´etricas que acabamos de considerar. Precisemos su definici´on. La funci´on seno no es inyectiva, por lo que no puede hablarse estrictamente de ‘inversa de la funci´on seno’. Sin embargo, la restricci´ on de la funci´ on seno al intervalo [−π/2, π/2] es estrictamente creciente, luego inyectiva en particular, y su conjunto imagen es el intervalo [−1, 1] (igual conjunto imagen que la funci´on seno). La inversa de la restricci´on de la funci´on seno al intervalo [−π/2, π/2] es, por definici´ on, la funci´ on arco seno arc sen : [−1, 1] → [−π/2, π/2], de manera que ser´a una funci´on estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ [−1, 1] ( y ∈ [−π/2, π/2] arc sen x = y ⇐⇒ sen y = x, con lo cual sen(arc sen x) = x

para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc sen

(es decir, la funci´on arco seno es una inversa por la derecha de la funci´on seno), mientras que arc sen(sen x) = x ⇐⇒ x ∈ [−π/2, π/2]. Ejercicio. Dado n ∈ Z, sea f : x ∈ [nπ −

π π , nπ + ] → f (x) = sen x ∈ R. 2 2

Comprobar que f es inyectiva y expresar su inversa f −1 en t´erminos de la funci´on arco seno. Ejercicio. Dibujar las gr´aficas de las funciones sen ◦ arc sen y arc sen ◦ sen. Pasando a la funci´on coseno, su restricci´on al intervalo [0, π] es una funci´on estrictamente decreciente cuyo conjunto imagen es [−1, 1]. An´alogamente a lo anterior, la funci´ on arco coseno arc cos : [−1, 1] → [0, π] es por definici´on la inversa de la restricci´on de la funci´on coseno al intervalo [0, π]. Es una funci´on estrictamente decreciente y acotada, con el mismo dominio que la funci´on arco seno, pero con distinto codominio. Dado x ∈ [−1, 1], se tiene ( y ∈ [0, π] arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x, con lo cual cos(arc cos x) = x

para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc cos

(es decir, la funci´on arco coseno es una inversa por la derecha de la funci´on coseno), mientras que arc cos(cos x) = x ⇐⇒ x ∈ [0, π].

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

25

arc sen x

arc cos x

De manera similar: La funci´ on arco tangente arc tg : R → (−π/2, π/2) es por definici´on la inversa de la restricci´on de la funci´on tangente al intervalo abierto (−π/2, π/2). Es una funci´on estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ R ( y ∈ (−π/2, π/2) arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x, con lo cual tg(arc tg x) = x

para todo x ∈ R = dom arc tg

(es decir, la funci´on arco tangente es una inversa por la derecha de la funci´on tangente), mientras que arc tg(tg x) = x ⇐⇒ x ∈ (−π/2, π/2).

arc tg x

Aunque se usa menos que las anteriores, podemos tambi´en definir: la funci´ on arco cotangente arc ctg : R → (0, π) es la inversa de la restricci´on de la funci´on cotangente al intervalo (0, π). Las funciones arco secante y arco cosecante se usan raras veces. Su definici´on puede verse en [Spiegel-Abellanas] (con las notaciones sec−1 y cosec−1 ). Ejercicio. Probar que para todo x ∈ [−1, 1] es arc sen x + arc cos x =

π . 2

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

26

Ejercicio. Probar que dados a, b ∈ R tales que a, b, a + b ∈ dom tg, tg(a + b) =

tg a + tg b . 1 − tg a tg b

¿Puede deducirse de aqu´ı, haciendo tg a = x y tg b = y e ‘invirtiendo’, que arc tg x + arc tg y = arc tg

x+y ? 1 − xy

Precisar la respuesta.

2.2.3.

Funciones hiperb´ olicas. Funciones hiperb´ olicas inversas

Funciones hiperb´ olicas Definici´ on 2.2.8. La funci´ on coseno hiperb´ olico est´ a definida mediante cosh : x ∈ R → cosh x =

ex + e−x ∈ R. 2

Es una funci´ on par (la ‘componente par’ de la exponencial), estrictamente decreciente en (−∞, 0] y estrictamente creciente en [0, +∞). Est´ a acotada inferiormente por 1: para cualquier x ∈ R, ex + e−x e2x + 1 = ≥1 2 2 ex

porque

e2x + 1 ≥ 2 ex (> 0).

Su conjunto imagen es [1, +∞).

cosh x

La funci´ on seno hiperb´ olico est´ a definida mediante senh : x ∈ R → senh x =

ex − e−x ∈ R. 2

Es una funci´ on impar (la ‘componente impar’ de la exponencial), estrictamente creciente y no acotada superior ni inferiormente: su conjunto imagen es todo R.

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

27

senh x

Estas funciones tienen un cierto parecido con el coseno y el seno trigonom´etricos, y pueden relacionarse geom´etricamente con la hip´erbola de manera similar a como las funciones trigonom´etricas se relacionan con la circunferencia. Aumentando la semejanza, existen f´ ormulas para las funciones hiperb´ olicas que, con variaciones en algunos signos, recuerdan las conocidas para las funciones trigonom´etricas: por ejemplo, calculando a partir de la definici´ on se comprueba que cosh2 x − senh2 x = 1, cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y, senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y cualesquiera que sean x, y ∈ R. La funci´ on tangente hiperb´ olica se define como tgh : x ∈ R → tgh x =

senh x ex − e−x e2x − 1 = x = ∈ R. cosh x e + e−x e2x + 1

Es una funci´ on impar, estrictamente creciente y acotada: su conjunto imagen es el intervalo abierto (−1, 1).

tgh x

La funci´ on cotangente hiperb´ olica est´ a dada por ctgh : x ∈ R \ {0} → ctgh x =

cosh x ex + e−x e2x + 1 = x = ∈ R. senh x e − e−x e2x − 1

1 . cosh 1 La funci´ on cosecante hiperb´ olica cosech = . senh La funci´ on secante hiperb´ olica sech =

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

28 Funciones hiperb´ olicas inversas

Definici´ on 2.2.9. La funci´ on argumento coseno hiperb´ olico , p arg cosh : x ∈ [1, +∞) → arg cosh x = log(x + x2 − 1) ∈ [0, +∞), es la inversa de la restricci´ on de la funci´ on coseno hiperb´ olico al intervalo [0, +∞). La funci´ on argumento seno hiperb´ olico , p arg senh : x ∈ R → arg senh x = log(x + x2 + 1) ∈ R, es la inversa de la funci´ on seno hiperb´ olico. La funci´ on argumento tangente hiperb´ olica , arg tgh : x ∈ (−1, 1) → arg tgh x =

1 1+x log ∈ R, 2 1−x

es la inversa de la funci´ on tangente hiperb´ olica. La funci´ on argumento cotangente hiperb´ olica , arg ctgh : x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) → arg ctgh x =

1 x+1 log ∈ R, 2 x−1

es la inversa de la funci´ on cotangente hiperb´ olica.

cosh x

arg senh x x

arg cosh x

arg tgh x

Bibliograf´ıa [Bartle-Sherbert]

Bartle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 13

[Le Lionnais]

Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Par´ıs, 1983. Citado en la(s) p´agina(s) 22

[Maor]

Maor, E.: e. The Story of a Number. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1994. Citado en la(s) p´agina(s) 19

[Spiegel-Abellanas] Spiegel, M.R. - Abellanas, L.: F´ ormulas y tablas de matem´ atica aplicada. McGraw Hill (colecci´on Schaum), 1991. Citado en la(s) p´agina(s) 15, 26

29

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 3

Sucesiones de n´ umeros reales Como libros de referencia para los temas de este cap´ıtulo, aunque haya algunas diferencias de detalle entre su tratamiento y el nuestro, pueden consultarse [Bartle-Sherbert] (especialmente sus comentarios sobre algunos conceptos) y [Ross], algo m´as conciso pero igualmente claro.

3.1.

Sucesiones de n´ umeros reales

3.1.1.

Definici´ on de sucesi´ on. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. L´ımite de una sucesi´ on convergente

Informalmente, una sucesi´on de n´ umeros reales es una “lista ilimitada” de n´ umeros s1 , s2 , s3 , s4 , . . . , sn , . . . (n indica el ‘lugar’ que ocupa el n´ umero sn en la lista); puesto en forma de tabla lugar valor

1 s1

2 s2

3 s3

4 s4

5 s5

... ...

n sn

... ...

es obvio que se trata justamente de una funci´on real con dominio N. Esta es su definici´on formal. Definiciones 3.1.1. Una sucesi´ on de elementos de un conjunto es una aplicaci´ on con dominio N y codominio dicho conjunto. En particular, una sucesi´ on de n´ umeros reales es una funci´ on real con dominio N, o sea, una aplicaci´ on s : N → R. Tradicionalmente, el valor que una sucesi´ on s toma en cada n ∈ N se denota por sn , en lugar de s(n) como para las dem´ as funciones. Normalmente nos referiremos a sn con el nombre de t´ ermino n-´ esimo de una sucesi´ on , pero no debe perderse de vista que cada t´ermino lleva una doble informaci´ on: su valor y el ‘lugar n que ocupa’. Como el dominio N es com´ un a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notaci´on s : N → R para una sucesi´on es m´as frecuente encontrar notaciones del tipo (sn )n∈N ´o (sn )∞ o {sn }∞ n=1 ´ n=1 o alguna similar, poniendo mayor ´enfasis en los t´erminos. Aunque esta notaci´on propicie a veces la confusi´on, no deber´ıa ser necesario insistir en la diferencia entre la propia sucesi´on y el conjunto de valores que toma la sucesi´on, que es la misma que hay entre cualquier funci´on y su conjunto de valores (conjunto imagen o rango); obs´ervese, por ejemplo, que una sucesi´on tiene siempre infinitos t´erminos incluso aunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes. Ejemplos. Los ejemplos m´as ‘corrientes’ de sucesiones se especifican dando una f´ormula que defina el t´ermino n-´esimo, como en los siguientes casos: • sn = a, donde a es un n´ umero real prefijado (sucesi´ on constante); la sucesi´on consta de los t´erminos a, a, a, . . . , a, . . . 31

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

32

• sn = n (sucesi´ on de los n´ umeros naturales); la sucesi´on consta de los t´erminos 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n, . . . • sn = n1 ; la sucesi´on consta de los t´erminos 1 1 1 1 1 1, , , , , . . . , , . . . 2 3 4 5 n • sn = (−1)n ; la sucesi´on consta de los t´erminos −1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . • Las f´ormulas no tienen por qu´e referirse solo a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo, consid´erese la sucesi´on 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; 3, 141592; 3, 1415926; 3, 14159265; 3, 141592653; . . . formada por las aproximaciones decimales de π (el t´ermino n-´esimo ser´ıa la aproximaci´ on decimal con n cifras decimales exactas). Aunque no supi´esemos escribir con todas sus cifras el t´ermino 1000000000000000, sabemos que tal t´ermino est´a perfectamente definido, y lo mismo podemos decir de cualquier otro. En este caso podemos dar una f´ormula expl´ıcita para el t´ermino n-´esimo con ayuda de la funci´on parte entera: concretamente, para cada n ∈ N, sn = 3 +

a1 a2 ak an + 2 + ··· + k + ··· + n, 10 10 10 10

donde ak = [10k π] − 10[10k−1 π] (1 ≤ k ≤ n); el hecho de que esta f´ormula no proporcione un algoritmo de c´alculo para los ak no obsta para que ´estos est´en definidos sin ambig¨ uedad y sin excepci´on alguna. • Sucesiones recurrentes . Reciben este nombre las sucesiones cuyos t´erminos se definen en funci´ on de los anteriores (definici´on inductiva o recursiva). Un ejemplo muy citado de este tipo es la sucesi´ on de Fibonacci, dada por s1 = 1, s2 = 1, sn+2 = sn+1 + sn

(n ∈ N),

cuyos primeros t´erminos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Las sucesiones definidas por recurrencia aparecen con frecuencia en c´alculos con ordenadores: ver comentario en [Bartle-Sherbert, p´ag. 85]. Otros ejemplos de sucesiones recurrentes son las progresiones aritm´eticas de primer t´ermino x y raz´on h, que pueden definirse recursivamente por s1 = x,

sn+1 = sn + h,

y las progresiones geom´etricas de primer t´ermino x y raz´on r, dadas por s1 = x,

sn+1 = sn · r.

Se encuentran sin dificultad f´ormulas expl´ıcitas en ambos casos: sn = x + (n − 1) h para las primeras, sn = x · rn−1 para las segundas.

´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES

33

• La regla que define una sucesi´on no tiene por qu´e ser de car´acter ‘estrictamente matem´atico’. Por ejemplo, puede definirse una sucesi´on poniendo ( 107 /3 si el nombre en castellano del n´ umero n contiene la letra d sn = √ π en caso contrario (¿cu´ales ser´ıan sus primeros t´erminos?), o mediante cualquier otra condici´on que permita asegurar que a cada n ∈ N sin excepci´on se le asocia inequ´ıvocamente un n´ umero real perfectamente definido. • Existen sucesiones cuyo rango es exactamente Z. M´as dif´ıcil: existen sucesiones cuyo rango es exactamente Q (la construcci´on usual se hace mediante el proceso diagonal de Cantor : ver [Bartle-Sherbert, p´ags. 36–37], [Spivak, p´ag. 609]). Las llamaremos enumeraciones de Q, es decir: una enumeraci´ on de Q es una sucesi´on cuyo rango es exactamente Q. • ¿Queda definida una sucesi´on si para cada n ∈ N ponemos sn = m´ax{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 < 0}? ¿Y si ponemos sn = m´ax{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 ≤ 0}? En caso afirmativo, ¿puede darse una expresi´on m´as directa para sn ? Notaci´ on. Para mayor comodidad de escritura, a menudo se denotan las sucesiones simplemente por (sn ) en vez de (sn )n∈N ´o (sn )∞ n=1 si esto no da lugar a imprecisiones. Definici´ on 3.1.2. Una sucesi´ on (sn ) es convergente si existe un n´ umero real a tal que para cada ε > 0 se puede encontrar un n´ umero natural N = N (ε) de modo que siempre que n > N se verifique |sn − a| < ε. Se dice entonces que el n´ umero a es l´ımite de la sucesi´ on (sn ), y se escribe a = l´ım sn . Tambi´en n

diremos que (sn ) converge a a. Usaremos a veces la f´ormula sn → a como expresi´on abreviada de la sucesi´ on de t´ermino n-´esimo sn es convergente y tiene por l´ımite a. Nota. Recu´erdese que la desigualdad |sn − a| < ε es equivalente a las dos desigualdades −ε < sn − a < ε, que equivalen a su vez a las desigualdades a − ε < sn < a + ε, lo que permite reformular la definici´on anterior de manera evidente. • s4

• s1

• s2

a−ε a a+ε • • •Y••H • Y s5  H H H s 
7
H H sN +1 , sN +2 , sN +3 , sN +4 , . . .

Ejemplos (sucesiones convergentes). igual a todos sus t´erminos.

• s3

• s6

a) Las sucesiones constantes convergen al n´ umero real

b) La sucesi´on (1/n) converge a 0 (consecuencia de la propiedad arquimediana). Ejemplos (sucesiones no convergentes). a) La sucesi´on ((−1)n ) no es convergente (si tuviese l´ımite a, no puede ser a = 1 puesto que entonces eligiendo ε = 2 > 0, cualquiera que fuese N bastar´ıa tomar n = 2N + 1 > N para conseguir que |sn − a| = | − 1 − 1| = 2 6< ε; y si a 6= 1, eligiendo ahora ε = |1 − a| > 0, cualquiera que fuese N bastar´ıa tomar n = 2N > N para conseguir que |sn − a| = |1 − a| < 6 ε = |1 − a|).

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

34

b) La sucesi´on (n) no puede ser convergente, pues si tuviese l´ımite a, tomando ε = 1 en la definici´on de convergencia, para alg´ un N habr´ıa de ser n < a + 1 siempre que n fuese mayor que N , lo cual es imposible (consecuencia una vez m´as de la propiedad arquimediana). Proposici´ on 3.1.3. Sea a ∈ R. Dada una sucesi´ on (sn ), son equivalentes entre s´ı: a) (sn ) es convergente con l´ımite a; abreviadamente, a = l´ım sn o sn → a. n

b) siempre que a0 < a, existe un n0 tal que para todo n > n0 es sn > a0 y siempre que a00 > a, existe un n00 tal que para todo n > n00 es sn < a00 . c) si a0 , a00 son n´ umeros reales tales que a ∈ (a0 , a00 ), existe entonces un N tal que para todo n > N es sn ∈ (a0 , a00 ). Demostraci´ on. a) =⇒ b) Dado a0 < a, tomando ε = a − a0 > 0 existir´a por hip´otesis un N tal que si n > N entonces sn > a − ε = a − (a − a0 ) = a0 . Para a < a00 se razona de manera similar. b) =⇒ c) Basta observar que x ∈ (a0 , a00 ) significa que a0 < x < a00 . Por consiguiente, si a ∈ (a0 , a00 ) existen n0 y n00 tales que para todo n > n0 es sn > a0 y para todo n > n00 es sn < a00 . Tomando ahora N = m´ax{n0 , n00 }, siempre que n > N es simult´aneamente n > n0 y n > n00 , luego para todo n > N ser´a a0 < sn < a00 o, equivalentemente, sn ∈ (a0 , a00 ). c) =⇒ a) Si ε > 0, se tendr´a a ∈ (a − ε, a + ε), por lo que debe existir un N tal que para todo n > N es sn ∈ (a − ε, a + ε), o lo que es lo mismo, |sn − a| < ε. Corolario 3.1.4. Sea (sn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite a y sea c ∈ R. Se tiene: a) Si existe m tal que para todo n > m es sn ≥ c, entonces a ≥ c. b) Si existe m tal que para todo n > m es sn ≤ c, entonces a ≤ c. Demostraci´ on. Se prueba por reducci´on al absurdo aplicando la proposici´on anterior (hacerlo). ¿Es cierto el corolario con desigualdades estrictas? Corolario 3.1.5 (unicidad del l´ımite de una sucesi´ on convergente). Sea (sn ) una sucesi´ on convergente y sean a, b ∈ R tales que a = l´ım sn , b = l´ım sn . Entonces a = b. n

n

Demostraci´ on. Si no, sea, por ejemplo, a < b. Tomando c tal que a < c < b, puesto que c < b y b es l´ımite de (sn ), debe existir un n0 tal que para todo n > n0 sea sn > c; igualmente, puesto que a < c y a es l´ımite de (sn ), debe existir un n00 tal que para todo n > n00 es sn < c; tomando n = m´ax{n0 , n00 } llegamos a una contradicci´on: tendr´ıa que cumplirse c < sn < c. El l´ımite de una sucesi´on convergente es as´ı el u ´nico n´ umero real al que la sucesi´on converge. Las definiciones de acotaci´on de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las que dimos sobre acotaci´on de funciones. Definici´ on 3.1.6. Una sucesi´ on (sn )∞ a acotada superiormente si existe alg´ un n=1 se dice que est´ n´ umero C ∈ R tal que para todo n ∈ N, sn ≤ C. Se dice que est´ a acotada inferiormente si existe alg´ un n´ umero K ∈ R tal que para todo n ∈ N, K ≤ sn . Se dice que est´ a acotada si lo est´ a superior e inferiormente. Esto equivale a que exista un n´ umero M ≥ 0 tal que para todo n ∈ N, |sn | ≤ M . Proposici´ on 3.1.7. Toda sucesi´ on convergente est´ a acotada. Demostraci´ on. Ver [Bartle-Sherbert, p´ag. 94, Teorema 3.2.2]. Aplicaci´ on. Dado x ∈ R tal que |x| > 1, la sucesi´on que tiene por t´ermino n-´esimo xn no es convergente. En efecto: si ponemos h = |x| − 1, entonces |xn | = |x|n = (1 + h)n ≥ 1 + nh, seg´ un la desigualdad de Bernoulli. De aqu´ı se deduce que la sucesi´on no est´a acotada. Tampoco es convergente la sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = n.

´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES

3.1.2.

35

Sucesiones mon´ otonas

Las definiciones sobre monoton´ıa de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las que dimos sobre monoton´ıa de funciones. Esto equivale a lo siguiente: Definici´ on 3.1.8. a) Una sucesi´ on (sn ) es mon´ otona no decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≤ sn+1 . b) Una sucesi´ on (sn ) es mon´ otona no creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≥ sn+1 . c) Una sucesi´ on (sn ) es estrictamente creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn < sn+1 . d) Una sucesi´ on (sn ) es estrictamente decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn > sn+1 . e) Una sucesi´ on se dice que es mon´ otona si es de alguno de los tipos anteriores. Proposici´ on 3.1.9. a) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no decreciente. Entonces (sn ) es convergente si y solo si est´ a acotada superiormente, en cuyo caso l´ım sn = sup{sn : n ∈ N}. n

b) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no creciente. Entonces (sn ) es convergente si y solo si est´ a acotada inferiormente, en cuyo caso l´ım sn = inf{sn : n ∈ N}. n

Demostraci´ on. Es consecuencia directa de las definiciones. Gr´aficamente, para sucesiones no decrecientes: a−ε s

s

s

s s

s

s

s1

s2

s3

s4 s5

s6

s7

Y para sucesiones no crecientes: a−ε s

m

a+ε a = inf n sn ssss s s

. . . sN +2 sN +1

a+ε a = supn sn

s s ssss

s

sN +1 sN +2 . . .

s

s

s7

s s

s6

s5 s4

M

s

s

s3

s

s2

s1

Ejemplo (el n´ umero e). La sucesi´on de t´ermino n-´esimo   1 n sn = 1 + n es estrictamente creciente y acotada superiormente por 3. Lo primero puede probarse mediante la desigualdad de Bernoulli observando que  n+1  n+1 1 n+2  n+1 1 + n+1 n+1 [n (n + 2)]n+1 n + 1 n+1 1 sn+1
n = · = 1− = =
2 )n+1 n+1 n+1 n n n (n + 1)2 sn 1 + n1 ((n + 1) n n+1   n+1 −1 n+1 n > 1 + (n + 1) = · = 1. 2 n (n + 1) n n+1 Que 3 acota superiormente a la sucesi´on puede deducirse del siguiente resultado, que a su vez se demuestra por inducci´on: Para cada n ∈ N, si −1 ≤ h ≤ n1 se tiene (1 + h)n ≤ 1 + nh + n2 h2 (ayuda: si nh ≤ 1, tambi´en n2 h3 ≤ nh2 ). El l´ımite de esta sucesi´on es el n´ umero e, base de los logaritmos neperianos y de la funci´ on exponencial ya presentados en el cap´ıtulo anterior.

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

36

Ejemplo. La sucesi´on (xn ) es mon´otona no decreciente y acotada si x ∈ [0, 1]; veremos que su l´ımite es 0 si x ∈ [0, 1) y 1 si x = 1. Cuando x ∈ (1, +∞), la sucesi´on (xn ) es estrictamente creciente y no acotada (para ver esto u ´ltimo, t´omese h = x − 1 > 0 y apl´ıquese la desigualdad de Bernoulli a xn = (1 + h)n junto con la propiedad arquimediana). Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo Hn = 1 + acotada (ver [Bartle-Sherbert, p´ag. 105]).

1 2

+ ··· +

1 n

es estrictamente creciente y no

1 1 1 Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = n+1 + n+2 + · · · + 2n es estrictamente creciente 1 1 (puesto que sn+1 − sn = 2n+1 − 2n+2 > 0) y acotada superiormente por 1 (obs´ervese que sn ≤

+ n1 + .(n) . . + n1 = 1). De su l´ımite, por el momento, solo podemos asegurar que est´a entre s1 = 12 y 1 (o entre s2 = 13 + 14 y 1, o entre s3 = 41 + 15 + 16 y 1, etc´etera). M´as adelante podremos probar que su valor exacto es log 2. 1 n

3.1.3.

Operaciones con sucesiones

Proposici´ on 3.1.10. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con l´ımites a = l´ım sn , n

b = l´ım tn , n

y sea c ∈ R. Entonces a) (sn + tn ) es convergente y tiene l´ımite a + b. b) (c · sn ) es convergente y tiene l´ımite c · a. Proposici´ on 3.1.11. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con l´ımites a = l´ım sn , n

b = l´ım tn . n

Entonces (sn · tn ) es convergente y tiene l´ımite a · b. Ejemplo. 1 1 1 = · → 0. 2 n n n En general, aplicando reiteradamente el mismo argumento,

1 np

→ 0 cualquiera que sea p ∈ N.

Proposici´ on 3.1.12. Si (sn ) es una sucesi´ on acotada y (tn ) es una sucesi´ on convergente a 0, la sucesi´ on (sn · tn ) converge a 0. Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = (−1)n , tn = n1 .)

(−1)n n

converge a 0 (t´omese en el enunciado anterior

Lema 3.1.13. Sea (tn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite b 6= 0. Fijado r de modo que 0 < r < |b|, existe m ∈ N tal que para n ∈ N se verifica |tn | > r

siempre que n > m.

tn > r

siempre que n > m

Precisando m´ as: si b > 0, es y si b < 0, tn < −r

siempre que n > m.

´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES

37

Proposici´ on 3.1.14. Sea (sn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite a y (tn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite b 6= 0. Si (un ) es una sucesi´ on tal que sn siempre que tn 6= 0, un = tn entonces (un ) es convergente con l´ımite a/b. Corolario 3.1.15. Sea (sn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite a y (tn ) una sucesi´ on convergente sin t´ erminos nulos y l´ımite b 6= 0. Entonces la sucesi´ on (sn /tn ) es convergente y sn a = . l´ım n tn b Ejemplos.

a) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo 1 + 2 + ··· + n n2

converge a 1/2: basta observar que 1 + 2 + ··· + n = n2

n(n+1) 2 n2

=

1 1 (1 + ). 2 n

b) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo 1h 1
2 2
2 n − 1
2 i a+ + a+ + ··· + a + n n n n converge a a2 + a + 13 . (¿Por qu´e?) c) Si (sn ) es una sucesi´on cuyos t´erminos son todos no negativos, convergente y con l´ımite a, √ √ entonces la sucesi´on ( sn ) es convergente con l´ımite a. En el caso a = 0, esto se deduce inmediatamente de la definici´on de l´ımite; en el caso a 6= 0, se deduce de √ √ sn − a √ sn − a = √ sn + a √ √ y de que (sn − a) converge a 0, mientras que 1/( sn + a) est´a acotada: 0< √ d) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo

1 1 √ ≤√ . sn + a a

√

1+n−1 n

converge a 0 (¿Por qu´e?). e) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo

√ √ n2 + 1 + n √ 4 n3 + n − n

converge (¿a qu´e l´ımite? ¿por qu´e?). f) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo

√

n+1−

√

n

converge (¿a qu´e l´ımite? ¿por qu´e?). g) La sucesi´on (sn ) con 1 1 1 1 + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 n(n + 1)  1 1 − k+1 =⇒ sn = 1 − n+1 →1

sn = converge a 1



1 k(k+1)

=

1 k

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

38

3.1.4.

Desigualdades y l´ımites. Regla del sandwich

Proposici´ on 3.1.16. Dadas dos sucesiones convergentes (sn ) y (tn ) para las que existe un m tal que sn ≤ tn siempre que n > m, se verifica l´ım sn ≤ l´ım tn . n

n

Ahora podemos enunciar c´omodamente una versi´on del teorema de los intervalos encajados de Cantor con una condici´on sencilla para que la intersecci´on est´e formada por un solo punto. Teorema 3.1.17 (de Cantor de los intervalos encajados). Para cada n ∈ N, sea In = [an , bn ] un intervalo cerrado (no vac´ıo). Supongamos que para todo n se cumple In+1 ⊆ In , es decir, an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn , y que adem´ as l´ım(bn − an ) = 0. n

Entonces ∩n∈N In se reduce a un punto; en concreto, ∩n∈N In = {x}, donde x = l´ım an = l´ım bn . n

n

Proposici´ on 3.1.18 (regla del sandwich o de encajamiento). Sean (sn ), (tn ) y (un ) sucesiones tales que existe un m ∈ N de manera que sn ≤ tn ≤ un para todo n > m. Si (sn ) y (un ) son sucesiones convergentes con el mismo l´ımite a, l´ım sn = l´ım un = a, n

n

entonces (tn ) es tambi´en convergente con el mismo l´ımite a, l´ım tn = a. n

Ejemplos.

a) Se verifica √

1 n2

+1

+√

1 n2

+2

pues podemos encajar la sucesi´on entre n √ n2 + n

+ ··· + √

y

√

1 → 1, +n

n2

n . n2 + 1

b) Encajando la sucesi´on de t´ermino n-´esimo n+2 n+n n+1 + 2 + ··· + 2 2 n +1 n +2 n +n entre n2 + 12 n(n + 1) n+1 n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) + + · · · + = = n2 + n n2 + n n2 + n n2 + n n2 + n y n2 + 12 n(n + 1) n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) n+1 , + + · · · + = = n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 podemos obtener que la sucesi´on dada converge a 23 .

´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES

3.1.5.

39

Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass

Eliminando t´erminos de una sucesi´on podemos “extraer” de ella nuevas sucesiones, cuyos t´erminos aparecen en la ‘sucesi´on madre’ en el mismo orden (¡tal vez no en el mismo lugar!) que en la nueva: es decir, vamos tomando infinitos t´erminos, saltando algunos quiz´a, pero sin volver atr´ as. Por ejemplo, dada una sucesi´on s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8 , s9 , . . . , si nos quedamos con los t´erminos que ocupan lugar impar (eliminando los que ocupan lugar par), obtenemos una nueva sucesi´on s1 , s3 , s5 , s7 , s9 , . . . , cuyo t´ermino n-´esimo es s2n−1 ; si nos quedamos con los t´erminos que ocupan lugar par (eliminando los que ocupan lugar impar), obtenemos la nueva sucesi´on s2 , s4 , s6 , s8 , s10 , . . . , cuyo t´ermino n-´esimo es s2n . Podemos imaginar f´acilmente otras muchas maneras de extraer sucesiones de la sucesi´on inicial con este procedimiento. Se obtienen as´ı lo que denominaremos subsucesiones de la sucesi´on dada; como iremos viendo a lo largo del curso, el manejo de subsucesiones facilita habitualmente el estudio de la sucesi´on original, y permite demostrar varias propiedades esenciales de la teor´ıa de funciones reales de variable real. Pasemos a formalizar este concepto. Definici´ on 3.1.19. Dada una sucesi´ on (sn ), diremos que una sucesi´ on (tn ) es una subsucesi´ on de (sn ) si existe una funci´ on ϕ : N −→ N estrictamente creciente, es decir, ϕ(1) < ϕ(2) < ϕ(3) < · · · < ϕ(n) < ϕ(n + 1) < · · · de manera que para todo n ∈ N es tn = sϕ(n) . Ejemplos. ([Bartle-Sherbert, p´ag. 110], [Ross, p´ags. 48, 49–51]) a) Sea n0 ∈ N. Tomando ϕ(n) = n + n0 en la definici´on anterior, se obtiene la subsucesi´on sn0 +1 , sn0 +2 , sn0 +3 , sn0 +4 , sn0 +5 , sn0 +6 , sn0 +7 , . . . , que resulta de la original “suprimiendo los n0 primeros t´erminos”. En [Bartle-Sherbert, p´ag. 110], se da el nombre de colas de la sucesi´on (sn ) a las subsucesiones as´ı obtenidas. b) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo tn = 4n2 es una subsucesi´on de la sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = (−1)n n2 , como se ve tomando ϕ(n) = 2n.

∞ c) La sucesi´on 1, 13 , 12 , 14 , 15 , 16 , 17 , . . . no es una subsucesi´on de n1 n=1 . Tienen los mismos t´ermi  n+1 nos, pero no en el mismo orden. La sucesi´on 1, 0, 13 , 0, 15 , 0, 17 , 0, . . . , 1+(−1) , . . . tampoco 2n
1 ∞ es una subsucesi´on de n n=1 . d) Toda sucesi´on es una subsucesi´on de s´ı misma (reflexividad). Tambi´en hay transitividad: si (un ) es una subsucesi´on de (tn ) y (tn ) es una subsucesi´on de (sn ), a su vez (un ) es una subsucesi´on de (sn ).


1 Ejercicio. ¿Para qu´e valores de a ∈ R es (an ) una subsucesi´on de n1 ? ¿Y de 21n ? ¿Y de 2n ?   1 ¿Y de 2n−1 ? ¿Por qu´e? Proposici´ on 3.1.20. Toda subsucesi´ on de una sucesi´ on convergente con l´ımite a es convergente con l´ımite a.

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

40

Aplicaciones. a) Ya vimos, con cierto esfuerzo, que ((−1)n ) no es una sucesi´on convergente. Ahora es inmediato: la subsucesi´ on de sus t´erminos de lugar par converge a 1, la subsucesi´ on de sus t´erminos de lugar impar converge a −1. b) Para x ∈ [0, 1), la sucesi´on (xn ) converge a 0: puesto que un probamos, y
es convergente, seg´ n n+1 n+1 si l´ım x = a, vemos que l´ım x = a · x. Pero x es una subsucesi´on de (xn ) (la que n

n

corresponde a ϕ(n) = n + 1 en la definici´on), luego tambi´en l´ım xn+1 = a, de donde a · x = a n

y como x 6= 1, finalmente a = 0. (¿Por qu´e no podemos utilizar estos c´alculos si x > 1?) c) La ‘enumeraci´on diagonal’ de todos los n´ umeros racionales forma una sucesi´on que no es convergente: tiene subsucesiones convergentes a cualquier n´ umero real (ver [Ross, p´ags. 49– 50]). Proposici´ on 3.1.21. Una sucesi´ on (sn ) es convergente si y solo si la subsucesi´ on de t´erminos de lugar par (s2n ) y la subsucesi´ on de t´erminos de lugar impar (s2n−1 ) son ambas convergentes y tienen el mismo l´ımite. Lema 3.1.22. Toda sucesi´ on posee una subsucesi´ on mon´ otona. Demostraci´ on. V´ease [Spivak, p´ag. 622]. Con ayuda del lema anterior, o bien del teorema de Cantor de los intervalos encajados, puede demostrase el siguiente resultado: Teorema 3.1.23 (de Bolzano-Weierstrass). Toda sucesi´ on acotada posee una subsucesi´ on convergente.

3.1.6.

Sucesiones de Cauchy

Definici´ on 3.1.24. Una sucesi´ on (sn )∞ n=1 se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe alg´ un n0 ∈ N (que puede depender de ε) de modo que n, m ≥ n0 =⇒ |an − am | < ε. Lema 3.1.25. Toda sucesi´ on de Cauchy est´ a acotada. Proposici´ on 3.1.26. Una sucesi´ on es convergente si y solo si es de Cauchy.

3.2.

L´ımites infinitos

3.2.1.

Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes

Definici´ on 3.2.1. Diremos que una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞, y escribiremos l´ım sn = +∞, si n para todo M ∈ R existe alg´ un N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn > M . Diremos que una sucesi´ on (sn ) diverge a −∞, y escribiremos l´ım sn = −∞, si para todo M ∈ R n existe N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn < M . Una sucesi´on divergente es una sucesi´on que diverge a +∞ o a −∞. Las sucesiones que no son convergentes ni divergentes se denominan sucesiones oscilantes. Nota. Se sigue directamente de la definici´on que una sucesi´on (sn ) diverge a +∞ si y solo si su opuesta (−sn ) diverge a −∞. Proposici´ on 3.2.2. a) Una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞ si y solo si para todo M > 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn > M .

3.2. L´IMITES INFINITOS

41

b) Una sucesi´ on (sn ) diverge a −∞ si y solo si para todo M < 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn < M . Notas. 1) En lo sucesivo, diremos que una sucesi´on tiene l´ımite si es convergente o divergente, es decir, si no es oscilante. Obs´ervese que el l´ımite (en este sentido ampliado) sigue siendo u ´nico: si a, b ∈ R ∪ {+∞, −∞} y l´ımn sn = a, l´ımn sn = b, es a = b. A veces nos referiremos a las sucesiones convergentes como ‘sucesiones con l´ımite finito’ y a las divergentes como ‘sucesiones con l´ımite infinito’. 2) Si una sucesi´on diverge, no est´a acotada. Pero hay sucesiones no acotadas que oscilan, no son divergentes. Proposici´ on 3.2.3. a) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no decreciente. Si no est´ a acotada superiormente, (sn ) diverge a +∞, l´ım sn = +∞. n

b) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no creciente. Si no est´ a acotada inferiormente, (sn ) diverge a −∞, l´ım sn = −∞. n

Corolario 3.2.4. Toda sucesi´ on mon´ otona tiene l´ımite (finito si est´ a acotada, infinito en caso contrario). Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo Hn = 1 +

1 1 1 + + ··· + 2 3 n

es mon´otona estrictamente creciente y no est´a acotada superiormente (v´ease [Bartle-Sherbert, p´ag. 105]), luego diverge a +∞. Proposici´ on 3.2.5.

a) Toda subsucesi´ on de una sucesi´ on divergente a +∞ es divergente a +∞.

b) Toda subsucesi´ on de una sucesi´ on divergente a −∞ es divergente a −∞. Proposici´ on 3.2.6. a) Una sucesi´ on posee una subsucesi´ on divergente a +∞ si y solo si no est´ a acotada superiormente. b) Una sucesi´ on posee una subsucesi´ on divergente a −∞ si y solo si no est´ a acotada inferiormente. c) Una sucesi´ on posee una subsucesi´ on divergente si y solo si no est´ a acotada. Proposici´ on 3.2.7. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on acotada inferiormente, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a +∞. b) ) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on acotada superiormente, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a −∞. Corolario 3.2.8. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente o divergente a +∞, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ R ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn + tn ) = +∞. n

n

n

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

42

b) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente o divergente a −∞, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ R ∪ {−∞} =⇒ l´ım(sn + tn ) = −∞. n

n

n

Nota. La suma de una sucesi´on divergente a +∞ con una sucesi´on divergente a −∞ puede resultar convergente, puede resultar divergente a +∞, puede resultar divergente a −∞ y puede resultar oscilante. (¿Ejemplos?) Proposici´ on 3.2.9. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn > r

siempre que n > m,

la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a +∞. b) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn > r siempre que n > m, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞. c) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn < −r siempre que n > m, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞. d) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn < −r siempre que n > m, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞. Corolario 3.2.10. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite positivo o divergente a +∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ (0, +∞) ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn · tn ) = +∞. n

n

n

b) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite positivo o divergente a +∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ (0, +∞) ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn · tn ) = −∞. n

n

n

c) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite negativo o divergente a −∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´ım(sn · tn ) = −∞. n

n

n

d) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite negativo o divergente a −∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´ım(sn · tn ) = +∞. n

n

n

Nota. El producto de una sucesi´on divergente a +∞ o a −∞ por una sucesi´on convergente a 0 puede resultar convergente, divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante.

3.2. L´IMITES INFINITOS

43

Proposici´ on 3.2.11 (inversas de sucesiones divergentes). a) Una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un n´ umero finito de t´erminos no positivos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn > 0 siempre que n > m l´ım sn = +∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 b) Una sucesi´ on (sn ) diverge a −∞ si y solo si tiene como mucho un n´ umero finito de t´erminos no negativos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn < 0 siempre que n > m l´ım sn = −∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 c) La sucesi´ on de valores absolutos de una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un n´ umero finito de t´erminos no nulos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn 6= 0 siempre que n > m l´ım |sn | = +∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 Es f´acil comprobar que una sucesi´on (sn ) converge a 0 si y solo si la sucesi´on (|sn |) de sus valores absolutos converge a 0. En efecto, ambas propiedades equivalen a que para todo ε > 0 exista un N tal que |sn | < ε para n > N . En general, sin embargo, solo puede afirmarse que si (sn ) es convergente con l´ımite a, entonces (|sn |) es convergente con l´ımite |a|; el rec´ıproco no siempre es cierto si a 6= 0. De esto se deduce: Corolario 3.2.12. Una sucesi´ on (sn ) sin t´erminos nulos converge a 0 si y solo si la sucesi´ on (1/|sn |) de los valores absolutos de los inversos diverge a +∞: en s´ımbolos, si sn 6= 0 para todo n, l´ım sn = 0 ⇐⇒ l´ım n

Observaci´ on. Como Una muestra:

sn tn

n

1 = +∞. |sn |

= sn · t1n , el estudio de cocientes se reduce f´acilmente a los casos anteriores.

Corolario 3.2.13. Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite positivo o una as un n´ umero finito de t´erminos  sucesi´  on convergente a 0 que tiene a lo m´ sn no positivos, entonces tn es una sucesi´ on divergente a +∞.   Nota. Supuesto que la sucesi´on cociente stnn est´e definida, tal sucesi´on puede resultar convergente, puede resultar divergente a +∞, puede resultar divergente a −∞ y puede resultar oscilante si estamos en alguno de los siguientes casos: a) (sn ) y (tn ) convergen a 0; b) l´ım |sn | = l´ım |tn | = +∞. Si (sn ) tiene l´ımite no nulo (finito o infinito) y (tn ) converge a 0, su cociente es divergente salvo en el caso de que tenga infinitos t´erminos positivos e infinitos t´erminos negativos. Proposici´ on 3.2.14 (encajamiento de sucesiones divergentes). Dadas dos sucesiones (sn ) y (tn ) para las que existe un m tal que sn ≤ tn

siempre que n > m,

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

44 se verifica: (a) si (sn ) diverge a +∞, tambi´en (tn ) diverge a +∞: l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım tn = +∞. n

n

(b) si (tn ) diverge a −∞, tambi´en (sn ) diverge a −∞: l´ım tn = −∞ =⇒ l´ım sn = −∞. n

3.2.2.

n

La recta ampliada

Los resultados anteriores sugieren ampliar al conjunto R = R ∪ {+∞, −∞} la estructura de orden de R, y (parcialmente) sus operaciones algebraicas. Concretamente, haremos 1) Para todo x ∈ R, −∞ ≤ x ≤ +∞; 2) Para todo x ∈ R distinto de −∞, (+∞) + x = x + (+∞) = +∞; 3) Para todo x ∈ R distinto de +∞, (−∞) + x = x + (−∞) = −∞,

quedando sin definir (+∞) + (−∞) y (−∞) + (+∞); 4) −(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞; 5) Para x, y ∈ R, x − y = x + (−y) siempre que la suma tenga sentido; quedan sin definir (+∞) − (+∞) y (−∞) − (−∞); 6) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (+∞) · x = x · (+∞) = +∞; 7) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (+∞) · x = x · (+∞) = −∞; 8) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (−∞) · x = x · (−∞) = −∞, 9) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (−∞) · x = x · (−∞) = +∞,

quedando sin definir (+∞) · 0, 0 · (+∞), (−∞) · 0 y 0 · (−∞); 10)

1 +∞

=

1 −∞

= 0;

3.2. L´IMITES INFINITOS

45

11) Para x, y ∈ R, x =x· y

  1 y

siempre que el producto tenga sentido; quedan sin definir +∞ −∞ −∞ sea x ∈ R, as´ı como +∞ +∞ , −∞ , +∞ , y −∞ ;

1 0

y por tanto

x 0

cualquiera que

12) | + ∞| = | − ∞| = +∞. Con la estructura resultante, R suele denominarse la recta ampliada . Observaci´ on. Todo subconjunto de R tiene siempre extremo superior (= cota superior m´ınima) y extremo inferior (= cota inferior m´axima) en R. Notas. a) Dados dos elementos cualesquiera x, y ∈ R tales que x < y, se puede encontrar siempre un n´ umero real z que cumple x < z < y; en otras palabras, todo intervalo (x, y) ⊆ R contiene n´ umeros reales. b) Dados x, y, z ∈ R, se tiene x ≥ y =⇒ x + z ≥ y + z siempre que las sumas est´en definidas. c) Para todo x de R se tiene (−1) · x = −x. d) Se siguen verificando en R las propiedades del valor absoluto en todos los casos en que tengan sentido. Ejercicio. Hallar el extremo superior y el extremo inferior de los siguientes conjuntos: R, R, N, ∅ y un intervalo de extremos a y b (a, b ∈ R, a ≤ b). Teorema 3.2.15. Dada una sucesi´ on (sn ) con l´ımite a (finito o infinito) y una sucesi´ on (tn ) con l´ımite b (finito o infinito), se tiene: a) si a + b est´ a definido (en R), (sn + tn ) tiene l´ımite a + b. b) si a − b est´ a definido (en R), (sn − tn ) tiene l´ımite a − b. c) si a · b est´ a definido (en R), (sn · tn ) tiene l´ımite a · b. d) si a/b est´ a definido (en R), (sn /tn ) tiene l´ımite a/b.

3.2.3.

L´ımite superior y l´ımite inferior de una sucesi´ on. L´ımites de oscilaci´ on

Definici´ on 3.2.16. Sea (sn ) una sucesi´ on acotada superiormente. La sucesi´ on (xn ) de n´ umeros reales definida por xn = sup{sk : k ≥ n} es mon´ otona no creciente, por lo que tiene l´ımite (que puede ser finito o −∞). Dicho l´ımite recibe el nombre de l´ımite superior de la sucesi´ on (sn ). Se denota por l´ım sup sn , de modo que n

! l´ım sup sn = l´ım sup sk n

n

k≥n

! = inf n

Si (sn ) no est´ a acotada superiormente, se define l´ım sup sn = +∞. n

sup sk k≥n

.

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

46

Definici´ on 3.2.17. Sea (sn ) una sucesi´ on acotada inferiormente. La sucesi´ on (yn ) de n´ umeros reales definida por yn = inf{sk : k ≥ n} es mon´ otona no decreciente, por lo que tiene l´ımite (que puede ser finito o +∞). Dicho l´ımite recibe el nombre de l´ımite inferior de la sucesi´ on (sn ). Se denota por l´ım inf sn , de modo que n

 l´ım inf sn = l´ım n

 inf sk

n

k≥n

 = sup n

 inf sk .

k≥n

Si (sn ) no est´ a acotada inferiormente, se define l´ım inf sn = −∞. n

Nota. Una consecuencia inmediata de la definici´on es que siempre l´ım inf sn ≤ l´ım sup sn . n

n

Ejemplos. Pueden examinarse las siguientes sucesiones (no es sencillo demostrar en todos casos cu´al es el l´ımite superior e inferior): a) l´ım inf (−1)n = −1, l´ım sup(−1)n = 1. n

n

b) l´ım inf (−1)n n = −∞, l´ım sup(−1)n n = +∞. n

c) l´ım inf n

n

(−1)n (−1)n = 0, l´ım sup = 0. n n n

d) l´ım inf sen n = −1, l´ım sup sen n = 1. n

n

e) (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .); el l´ımite inferior es 0 y el l´ımite superior es 1. f) (0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .); el l´ımite inferior es 0 y el l´ımite superior es +∞. g) (0, 12 , 0, 13 , 0, 14 , . . .); el l´ımite inferior es 0 y el l´ımite superior es 0, tambi´en. h) (a, b, c, a, b, c, . . .); el l´ımite inferior es m´ın{a, b, c} y el l´ımite superior es m´ax{a, b, c}. Proposici´ on 3.2.18. Dada una sucesi´ on (sn ), se tiene: a) (sn ) es convergente con l´ımite a si y solo si l´ım inf sn = l´ım sup sn = a. n

n

b) (sn ) es divergente a +∞ si y solo si l´ım inf sn = +∞, n

y en tal caso tambi´en l´ım sup sn = +∞. n

c) (sn ) es divergente a −∞ si y solo si l´ım sup sn = −∞, n

y en tal caso tambi´en l´ım inf sn = −∞. n

3.2. L´IMITES INFINITOS

47

Demostraci´ on. a) Pongamos, para cada n ∈ N, xn = sup{sk : k ≥ n},

yn = inf{sk : k ≥ n}.

Es claro que yn ≤ sn ≤ xn . Como l´ım inf sn = l´ım yn y l´ım sup sn = l´ım xn , si l´ım inf sn = n

n

n

n

n

l´ım sup sn = a ∈ R, basta aplicar la regla del sandwich para obtener que (sn ) es convergente n

con l´ımite a. Rec´ıprocamente, si (sn ) es convergente con l´ımite a, n > N es ε a − < sn < a + 2

dado ε > 0 hay un N tal que para todo ε , 2

con lo que para todo n > N el conjunto {sk : k ≥ n} est´a acotado superiormente por a + inferiormente por a − 2ε , y as´ı para todo n > N es a−ε N se verifica sn > M + 1, con lo que yn ≥ yN ≥ M + 1 > M , es decir, l´ım yn = +∞. n

c) Razonamiento an´alogo al anterior. Corolario 3.2.19. Una sucesi´ on (sn ) tiene l´ımite (en R) si y solo si l´ım inf sn = l´ım sup sn . n

n

Y en este caso, el l´ımite es igual al l´ımite superior y al l´ımite inferior. La sucesi´ on (sn ) es oscilante si y solo si l´ım inf sn < l´ım sup sn . n

n

Demostraci´ on. Consecuencia inmediata de lo anterior. Una descripci´on interesante de los l´ımites superior e inferior se expresa mediante el siguiente concepto. Definici´ on 3.2.20. Diremos que a ∈ R es un l´ımite de oscilaci´ on de una sucesi´ on (sn ) si a es l´ımite de alguna subsucesi´ on de (sn ). Corolario 3.2.21. Toda sucesi´ on tiene al menos un l´ımite de oscilaci´ on. Demostraci´ on. Toda sucesi´on tiene una subsucesi´on mon´otona, y ´esta tiene l´ımite (finito o infinito).

Proposici´ on 3.2.22. El l´ımite superior de una sucesi´ on es el m´ aximo (en R) de sus l´ımites de oscilaci´ on. El l´ımite inferior de una sucesi´ on es el m´ınimo (en R) de sus l´ımites de oscilaci´ on.

CAP´ITULO 3. SUCESIONES

48

Demostraci´ on. Hay que probar que el l´ımite superior y el l´ımite inferior son l´ımites de oscilaci´ on (lo que no es inmediato) y que cualquier otro l´ımite de oscilaci´on queda comprendido entre ambos (lo que resulta m´as sencillo de comprobar). Para los detalles, puede verse [Ross, Cor. 11.4, p´ags. 52–53, y teorema 11.7 (ii), p´ag. 54]. Otras propiedades de los l´ımites superior e inferior se recogen en el siguiente enunciado. Proposici´ on 3.2.23. Sean (xn ), (yn ) sucesiones de n´ umeros reales y c ∈ R. a) si l´ım sup xn < c, existe un n0 tal que xn < c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un n´ umero n

finito de t´erminos de la sucesi´ on mayores o iguales que c) b) si l´ım sup xn > c, existen infinitos n para los que xn > c n

c) si l´ım inf xn > c, existe un n0 tal que xn > c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un n´ umero n

finito de t´erminos de la sucesi´ on menores o iguales que c) d) si l´ım inf xn < c, existen infinitos n para los que xn < c n

e) si para alg´ un m es xn ≤ yn siempre que n > m, entonces l´ım inf xn ≤ l´ım inf yn ; n

n

l´ım sup xn ≤ l´ım sup yn . n

n

f) l´ım inf xn + l´ım inf yn ≤ l´ım inf (xn + yn ) ≤ l´ım inf xn + l´ım sup yn n

n

n

n

n

≤ l´ım sup(xn + yn ) ≤ l´ım sup xn + l´ım sup yn . n

n

n

g) si c ≥ 0, l´ım inf (c xn ) = c l´ım inf xn ;

l´ım sup(c xn ) = c l´ım sup xn .

l´ım inf (c xn ) = c l´ım sup xn ;

l´ım sup(c xn ) = c l´ım inf xn .

n

n

n

n

h) si c < 0, n

n

n

n

i) si xn ≥ 0, yn ≥ 0, l´ım inf xn · l´ım inf yn n

n

≤ l´ım inf n (xn yn ) ≤ l´ım inf n xn · l´ım supn yn ≤ l´ım supn (xn yn ) ≤ l´ım supn xn · l´ım supn yn .

j) si xn > 0 para todo n, l´ım inf n

√ √ xn+1 xn+1 ≤ l´ım inf n xn ≤ l´ım sup n xn ≤ l´ım sup . n xn xn n n

Bibliograf´ıa [Bartle-Sherbert] Bartle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 31, 32, 33, 34, 36, 39, 41 [Ross]

Ross, K.A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ın, 1980. Citado en la(s) p´agina(s) 31, 39, 40, 48

[Spivak]

Spivak, M.: Calculus. C´ alculo Infinitesimal (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 33, 40

49

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 4

Continuidad 4.1.

L´ımites de funciones reales de una variable real

4.1.1.

Definici´ on de l´ımite de una funci´ on. Unicidad del l´ımite. L´ımite por sucesiones

Definici´ on 4.1.1. Dado a ∈ R, llamaremos entorno de a a todo conjunto V ⊆ R para el que exista alg´ un ε > 0 de manera que V contenga al intervalo (a − ε, a + ε). Si V es un entorno de a, diremos que el conjunto V \ {a} es un entorno reducido de a. Ejemplos. a) Si b < a < c, los intervalos (b, c), [b, c), (b, c] y [b, c] son entornos de a. Tambi´en lo son los intervalos (b, +∞), [b, +∞), (−∞, c) y (−∞, c]. b) Todo conjunto que contenga un entorno de un punto es a su vez entorno de ese punto. Definici´ on 4.1.2. Sea A ⊆ R, a ∈ R; a es un punto de acumulaci´ on de A si todo entorno reducido de a contiene puntos de A; equivalentemente, si para cada ε > 0 existe alg´ un y ∈ A tal que y 6= a, |y − a| < ε, o sea, tal que 0 < |y − a| < ε. El conjunto de puntos de acumulaci´ on de un conjunto A suele denominarse conjunto derivado de A y representarse por A0 . Informalmente, a ∈ A0 si y solo si hay puntos de A, distintos de a, arbitrariamente pr´oximos al punto a. Ejemplos.

a) Si A es finito, A0 = ∅.

b) N0 = Z0 = ∅, Q0 = R. c) (a, b)0 = [a, b]0 = [a, b]. d) Si A = {1/n : n ∈ N}, 0 ∈ A0 (aunque 0 ∈ / A) y 1 ∈ / A0 (aunque 1 ∈ A). Ejercicio. Probar que a ∈ A0 si y solo si existe una sucesi´on (xn ) de puntos de A distintos de a que converge a a. Definici´ on 4.1.3 (l´ımite de una funci´ on en un punto). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A0 , b ∈ R. Se escribe l´ım f (x) = b x→a

cuando se cumple lo siguiente: para cada ε > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ se tiene |f (x) − b| < ε. Se dice entonces que “b es l´ımite de f (x) cuando x tiende al punto a”. 51

CAP´ITULO 4. CONTINUIDAD

52

La condici´on de que |f (x) − b| < ε para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ se puede escribir de esta otra forma: f (U ) ⊆ (b − ε, b + ε), U = [A ∩ (a − δ, a + δ)] \ {a}. Podemos parafrasear esta definici´on diciendo que f (x) “se acerca” a b cuando x “se acerca” a a dentro del dominio de f , o que b puede ser aproximado “tanto como se quiera” por valores de f en puntos de su dominio “suficientemente pr´oximos” al punto a, pero distintos de a. Ejemplo. Si f : R → R est´a dada por ( 0 si x 6= 0; f (x) = 1 si x = 0, entonces l´ım f (x) = 0 (sin que importe que f (0) = 1). x→0

Proposici´ on 4.1.4 (unicidad del l´ımite). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A0 , b1 , b2 ∈ R. Si l´ım f (x) = b1 y l´ım f (x) = b2 , x→a x→a entoncesb1 = b2 . b2 − b1 . Deben existir un 2 b1 + b 2 δ1 > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ1 es f (x) < b1 + ε = y un δ2 > 0 tal que 2 b1 + b2 para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ2 es = b2 − ε < f (x). Definiendo δ = m´ın{δ1 , δ2 }, resulta 2 b1 + b 2 b1 + b2 que para todo x ∈ A con 0 < |x−a| < δ es < f (x) < . Esto es una contradicci´on. 2 2 Demostraci´ on. Supongamos, por ejemplo, que b1 < b2 . Elijamos ε =

El resultado anterior tambi´en se puede obtener como una consecuencia de la proposici´ on siguiente y de la unicidad del l´ımite para sucesiones. Proposici´ on 4.1.5 (l´ımite a trav´ es de sucesiones). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A0 , b ∈ R. Las siguientes propiedades son equivalentes: a) l´ım f (x) = b. x→a

b) para cada sucesi´ on (sn ) de puntos de A \ {a} tal que l´ım sn = a se verifica l´ım f (sn ) = b. n

n

Demostraci´ on. (a) =⇒ (b) Supongamos que l´ım f (x) = b. Para cualquier ε > 0 se puede encontrar x→a

δ > 0 de modo que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ se cumple |f (x) − b| < ε. Sea (sn ) una sucesi´on de puntos de A \ {a} tal que l´ım sn = a. Dado δ > 0, existir´a un N ∈ N tal que para todo n

n > N se verifica |sn − a| < δ, y como sn 6= a, se deduce que |f (sn ) − b| < ε; en otras palabras, l´ım f (sn ) = b. n

(b) =⇒ (a) Vamos a probar que si (a) no se cumple, entonces (b) tampoco. Que no se cumpla (a) significa que existe alg´ un ε > 0 tal que para todo δ > 0 hay al menos un xδ ∈ A que cumple 0 < |xδ − a| < δ y sin embargo |f (xδ ) − b| ≥ ε. Para cada n ∈ N, elijamos δ = n1 . Hay alg´ un punto sn ∈ A que cumple 0 < |sn − a| < n1 y sin embargo |f (sn ) − b| ≥ ε. La sucesi´on (sn ) as´ı obtenida tiene las siguientes propiedades: est´a contenida en A \ {a}, porque sn ∈ A, pero 0 < |sn − a|; l´ım sn = a, porque 0 < |sn − a| < n

1 n

(basta aplicar la definici´on de l´ımite, o bien la regla del

sandwich). pero la sucesi´on f (sn ) no tiende a b, porque para todos los n ∈ N, |f (sn ) − b| ≥ ε. Por lo tanto, no se cumple (b).

4.1. L´IMITES DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

4.1.2.

53

L´ımites infinitos y l´ımites en el infinito

Definici´ on 4.1.6. Llamaremos entorno reducido de +∞ o −∞ a todo conjunto V ⊆ R para el que exista un r de manera que (r, +∞) ⊆ V (respectivamente, (−∞, r) ⊆ V ). Definici´ on 4.1.7. Diremos que +∞ es un punto de acumulaci´ on de un conjunto A ⊆ R si A no est´ a acotado superiormente, en cuyo caso escribiremos +∞ ∈ A0 . Diremos que −∞ es un punto de acumulaci´ on de un conjunto A ⊆ R si A no est´ a acotado inferiormente, en cuyo caso 0 escribiremos −∞ ∈ A . Definici´ on 4.1.8 (l´ımites infinitos y l´ımites en el infinito). Sea A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R ∪ {±∞}, a ∈ A0 . Pondremos l´ım f (x) = b x→a

si para cada entorno V de b existe un entorno reducido U de a tal que f (U ) ⊆ V . Pueden darse definiciones en t´erminos de desigualdades, desglosando los diferentes casos posibles. Concretamente, sean A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R. a) l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A con x→a

0 < |x − a| < δ cumplen f (x) > M . b) l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A con x→a

0 < |x − a| < δ cumplen f (x) < M . c)

l´ım f (x) = b si para cada ε > 0 existe alg´ un K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K

x→+∞

cumplen |f (x) − b| < ε. d)

l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K

x→+∞

cumplen f (x) > M . e)

l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K

x→+∞

cumplen f (x) < M . f)

l´ım f (x) = b si para cada ε > 0 existe alg´ un K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K

x→−∞

cumplen |f (x) − b| < ε. g)

l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K

x→−∞

cumplen f (x) > M . h)

l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K

x→−∞

cumplen f (x) < M . Con esta ampliaci´on, sigue habiendo unicidad de l´ımite. Igualmente se mantiene la caracterizaci´on mediante sucesiones: Proposici´ on 4.1.9. Sea A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R ∪ {±∞}, a ∈ A0 . Las siguientes propiedades son equivalentes: a) l´ım f (x) = b. x→a

b) para cada sucesi´ on (sn ) de puntos de A \ {a} tal que l´ım sn = a se verifica l´ım f (sn ) = b. n

n

Demostraci´ on. Basta adaptar a cada caso la demostraci´on de la proposici´on 4.1.5.

CAP´ITULO 4. CONTINUIDAD

54

4.1.3.

C´ alculo de l´ımites

Proposici´ on 4.1.10 (operaciones algebraicas con l´ımites). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulaci´ on de A, c ∈ R y f, g : A → R. Se tiene: a) l´ım (f (x) + g(x)) = l´ım f (x) + l´ım g(x), si estos u ´ltimos l´ımites existen y su suma est´ a dex→a

x→a

x→a

finida en R ∪ {±∞}. ´ltimo l´ımite existe y su producto por c est´ a definido en b) l´ım cf (x) = c l´ım f (x), si este u x→a

x→a

R ∪ {±∞}. c) l´ım f (x)g(x) = l´ım f (x) l´ım g(x), si estos u ´ltimos existen y su producto est´ a definido en x→a

x→a

x→a

R ∪ {±∞}. l´ım f (x) f (x) = x→a , si estos u ´ltimos l´ımites existen y su cociente est´ a definido en R∪{±∞}. x→a g(x) l´ım g(x)

d) l´ım

x→a

Demostraci´ on. Basta aplicar la proposici´on 4.1.9 y el resultado an´alogo para sucesiones. Proposici´ on 4.1.11 (acotaci´ on y l´ımite cero). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulaci´ on de A, y f, g : A → R. Supongamos que: a) la funci´ on f est´ a acotada, es decir, existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M para todo x ∈ A. b) l´ım g(x) = 0; x→a

Entonces l´ım f (x) g(x) = 0. x→a

Demostraci´ on. Basta aplicar la proposici´on 4.1.9 y el resultado an´alogo para sucesiones. Proposici´ on 4.1.12 (cambios de variable). Sean A, B subconjuntos de R, a un punto de acumulaci´ on de A, b un punto de acumulaci´ on de B, f : A → R y g : B → R tales que f (A) ⊆ B y supongamos que l´ım f (x) = b, l´ım g(y) = c x→a

y→b

Si b 6∈ f (A), entonces existe l´ım g(f (x)) = c. x→a

Demostraci´ on. Sea ε > 0. Como l´ım g(y) = c, existe alg´ un r > 0 tal que para todo y ∈ B con y→b

0 < |y − b| < r, se tiene |g(y) − c| < ε. Ahora, como l´ım f (x) = b, existe alg´ un δ > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ, se x→a

tiene |f (x) − b| < r. Sea x ∈ A con 0 < |x − a| < δ. No solo es |f (x) − b| < r, sino que como b 6∈ f (A) y f (A) ⊆ B, resulta 0 < |f (x) − b| < r, f (x) ∈ B Por lo tanto, |g(f (x)) − c| < ε. La hip´otesis adicional b 6∈ f (A) es suficiente, aunque no necesaria para que se verifique la tesis. Bastar´ıa tambi´en, por ejemplo, que f fuese inyectiva; o que b ∈ B y c = g(b). Sin a˜ nadir alguna condici´on como ´estas, no puede garantizarse la validez del resultado final: consid´erese, por ejemplo, el caso de las funciones definidas en R por ( 0 si y 6= 0 f (x) = 0, g(y) = . 1 si y = 0

4.1. L´IMITES DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

55

Entonces g(f (x)) = 1 para todo x, y as´ı l´ım f (x) = 0,

x→0

l´ım g(y) = 0,

l´ım g(f (x)) = 1.

y→0

x→0

A veces es u ´til en el c´alculo de l´ımites tener en cuenta las siguientes consecuencias inmediatas de la definici´on de l´ımite: Proposici´ on 4.1.13. Si A ⊆ R, a punto de acumulaci´ on de A y f : A → R, a) l´ım f (x) = b ∈ R ⇐⇒ l´ım |f (x) − b| = 0. x→a

x→a

b) l´ım f (x) = b ∈ R =⇒ l´ım |f (x)| = |b|. x→a

x→a

El rec´ıproco solo es cierto, en general, cuando b = 0. c) l´ım f (x) = b (a ∈ R) ⇐⇒ l´ım f (a + t) = b. x→a

4.1.4.

t→0

L´ımites laterales

Si en las definiciones de l´ımites a˜ nadimos una de las dos condiciones x > a, x < a, entonces se habla de l´ımites laterales (por la derecha y por la izquierda, respectivamente). Se emplea la notaci´on l´ım f (x), l´ım f (x). x→a+

x→a−

Definici´ on 4.1.14 (l´ımites laterales: por la derecha y por la izquierda). Sean A ⊆ R, f : A → R, a ∈ R un punto de acumulaci´ on de A y b ∈ R. a) Se dice que l´ım f (x) = b si para cada ε > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A con x→a+

0 < x − a < δ cumplen |f (x) − b| < ε. b) Se dice que l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A x→a+

con 0 < x − a < δ cumplen f (x) > M . c) Se dice que l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A x→a+

con 0 < x − a < δ cumplen f (x) < M . d) Se dice que l´ım f (x) = b si para cada ε > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A con x→a−

0 < a − x < δ cumplen |f (x) − b| < ε. e) Se dice que l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A x→a−

con 0 < a − x < δ cumplen f (x) > M . f ) Se dice que l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe alg´ un δ > 0 tal que todos los x ∈ A x→a−

con 0 < a − x < δ cumplen f (x) < M . En t´erminos de entornos reducidos, la definici´on anterior se puede escribir de manera m´as breve. Para los l´ımites laterales se puede probar el resultado an´alogo a la proposici´on 4.1.9. Tambi´en, y como consecuencia inmediata de las definiciones, tenemos: Proposici´ on 4.1.15. Sean A ∈ R, f : A → R y a ∈ R de modo que (a − δ, a + δ) ⊆ A para alg´ un δ > 0. Sea b ∈ R ∪ {±∞}. Entonces, l´ım f (x) = b ⇐⇒ l´ım f (x) = l´ım f (x) = b.

x→a

x→a−

x→a+

CAP´ITULO 4. CONTINUIDAD

56

Las proposiciones siguientes demuestran que las funciones mon´otonas tienen l´ımites laterales en todos los puntos. Proposici´ on 4.1.16. Sean A ⊆ R, f : A → R mon´ otona no decreciente , a ∈ R ∪ {±∞}. a) si a ∈ [A ∩ (−∞, a)]0 , entonces f tiene l´ımite por la izquierda en a (finito o infinito) y es l´ım f (x) = sup{f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)}

x→a−

(entendiendo que si el conjunto no est´ a acotado superiormente, su supremo es +∞). b) si a ∈ [A ∩ (a, +∞)]0 entonces f tiene l´ımite por la derecha en a (finito o infinito) y es l´ım f (x) = inf{f (x) : x ∈ A ∩ (a, +∞)}

x→a+

(entendiendo que si el conjunto no est´ a acotado inferiormente, su ´ınfimo es −∞). Demostraci´ on. Solo demostramos el apartado a) y en el caso de que a ∈ R y el conjunto {f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)} est´e acotado. Los dem´as casos son similares. Sea L = sup{f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)} ∈ R. Sea ε > 0. Entonces, L − ε no es una cota superior del conjunto {f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)}, as´ı que existe alg´ un r ∈ A ∩ (−∞, a) tal que L − ε < f (r). Si ahora elegimos δ = a − r, todos los x ∈ A tales que 0 < a − x < δ cumplen r = a − δ < x, luego L − ε < f (r) ≤ f (x) ≤ L < L + ε, es decir: |f (x) − L| < ε. La variante para funciones mon´otonas no crecientes, que enunciamos a continuaci´on, se demuestra de igual manera. Proposici´ on 4.1.17. Sean A ⊆ R, f : A → R mon´ otona no creciente , a ∈ R ∪ {±∞}. a) si a ∈ [A ∩ (−∞, a)]0 , entonces f tiene l´ımite por la izquierda en a y es l´ım f (x) = inf{f (x) : x ∈ A ∩ (−∞, a)}

x→a−

(entendiendo que si el conjunto no est´ a acotado inferiormente, su ´ınfimo es −∞). b) si a ∈ [A ∩ (a, +∞)]0 entonces f tiene l´ımite por la derecha en a y es l´ım f (x) = sup{f (x) : x ∈ A ∩ (a, +∞)}

x→a+

(entendiendo que si el conjunto no est´ a acotado superiormente, su supremo es +∞).

4.1.5.

L´ımites de funciones elementales

Si f (x) representa una cualquiera de las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x, arc tg x, xr , entonces l´ım f (x) = f (a) x→a

para cualquier punto a del dominio de la funci´on. Otros l´ımites son los siguientes: l´ım ex = 0

l´ım ex = +∞

x→−∞

x→+∞

l´ım log x = −∞

x→0+

l´ım

x→(π/2)−

tg x = +∞

l´ım arc tg x = −

x→−∞

π 2

l´ım xr = 0

x→0+

l´ım xr = +∞

x→0+

l´ım log x = +∞

x→+∞

l´ım

x→(π/2)+

tg x = −∞

π 2 r l´ım x = +∞

(si r > 0)

l´ım xr = 0

(si r < 0)

l´ım arc tg x =

x→+∞

x→+∞

x→+∞

4.1. L´IMITES DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

57

Si f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 es un polinomio (con r ∈ N y ar 6= 0), entonces l´ım f (x) = +∞

(si ar > 0),

l´ım f (x) = −∞

(si ar < 0).

x→+∞ x→+∞

As´ı mismo, se tiene el siguiente orden de infinitud, donde a > 0 y b > 1: log x b, existe r tal que f (x) < c

∀x ∈ A ∩ E(a; r)

(en palabras, cuando el l´ımite de f en a es menor que c, tambi´en la funci´ on f se mantiene menor que c en puntos ‘suficientemente pr´ oximos’ al punto a, pero distintos de a). Corolario 4.1.20. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulaci´ on de A y f, g : A → R y supongamos que existen l´ım f (x) = b ∈ R ∪ {±∞} y l´ım g(x) = c ∈ R ∪ {±∞}. Se tiene: x→a

x→a

a) Si b > 0, entonces existe alg´ un r > 0 tal que 0 < f (x)

∀x ∈ A ∩ E(a; r).

b) Si b < 0, entonces existe alg´ un r > 0 tal que f (x) < 0

∀x ∈ A ∩ E(a; r).

c) Si b < c, entonces existe alg´ un r > 0 tal que f (x) < g(x)

∀x ∈ A ∩ E(a; r).

En particular, f conserva el signo del l´ımite en puntos ‘suficientemente pr´ oximos’ al punto a, pero distintos de a (cuando el l´ımite no es nulo). Observaci´ on. En el enunciado anterior, no se puede cambiar < por ≤. Corolario 4.1.21. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulaci´ on de A y f : A → R, g : A → R funciones para las que existen l´ım f (x) = b ∈ R ∪ {±∞}, l´ım g(x) = c ∈ R ∪ {±∞}. Si x→a x→a existe alg´ un r > 0 tal que f (x) ≤ g(x)

para todo x ∈ A ∩ E(a; r),

entonces b ≤ c. Observaci´ on. En el enunciado anterior, no se puede cambiar ≤ por 0 existe r ∈ R tal que para cualesquiera x, y ∈ A ∩ E(a; r) se verifica |f (x) − f (y)| < ε; c) para cada sucesi´ on (xn ) de puntos de A \ {a} tal que l´ım xn = a se verifica que la sucesi´ on n

(f (xn )) es de Cauchy. Demostraci´ on. (a) =⇒ (b) Sea l´ım f (x) = b. Dado ε > 0 existe r ∈ R tal que para todo x ∈ x→a

A ∩ E(a; r) se tiene

ε |f (x) − b| < , 2 luego para cualesquiera x, y ∈ A ∩ E(a; r) ser´a |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − b| + |b − f (y)|
0 existe δ > 0 tal que para cualquier x ∈ D con |x − a| < δ es |f (x) − f (a)| < ε. Gr´aficamente: hay siempre una ‘ventana’ o ‘pantalla’ centrada en (a, f (a)) de altura arbitrariamente prefijada (2ε) que, con la anchura ajustada convenientemente (2δ), no deja ‘fuera de pantalla’ puntos de la gr´afica de abscisa igual a los de la base de la ventana (ver [Guzma´n, p´ags. 174–175]). Proposici´ on 4.2.2. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Se tiene: a) si a es un punto aislado de D, lo que significa que a ∈ / D0 , entonces f es continua en a. b) si a es un punto de acumulaci´ on de D, a ∈ D0 , entonces f es continua en a si y solo si existe l´ım f (x) y es igual a f (a). x→a

Definici´ on 4.2.3. Sea f : D ⊆ R → R, S ⊆ D. Diremos que f es continua en el conjunto S si f es continua en todos los puntos de S. Si S = D, diremos simplemente que f es continua . Ejemplos.

a) Dado c ∈ R, la funci´ on constante f (x) = c es continua (en todos los puntos).

b) La funci´on identidad, f (x) = x, es continua. c) La funci´on valor absoluto, f (x) = |x|, es continua. d) Las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x, arc tg x, xr son todas ellas continuas en sus respectivos dominios de definici´on. e) La funci´on de Dirichlet, ( 1 f (x) = 0

si x ∈ Q si x ∈ /Q

no es continua en ning´ un punto. f) La funci´on f : R → R dada por ( sen x1 f (x) = 0 no es continua en 0.

si x 6= 0 si x = 0

4.2. FUNCIONES CONTINUAS

61

g) La funci´on f : R → R dada por ( x sen x1 f (x) = 0

si x 6= 0 si x = 0

es continua en 0. Proposici´ on 4.2.4. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Las siguientes propiedades son equivalentes: a) f es continua en a; b) si (xn ) es una sucesi´ on de puntos de D convergente al punto a, entonces la sucesi´ on (f (xn )) converge a f (a); Demostraci´ on. An´aloga a la de la proposici´on 4.1.9. Proposici´ on 4.2.5. Sean f , g : D ⊆ R → R, a ∈ D, c ∈ R, y supongamos que f y g son continuas en a. Se tiene: a) f + g es continua en a. b) c f es continua en a. c) f g es continua en a. d) si g(a) 6= 0, f /g es continua en a. Demostraci´ on. Basta aplicar la proposici´on 4.2.4 y el resultado an´alogo para sucesiones. Proposici´ on 4.2.6. Sean f : D ⊆ R → R, g : E ⊆ R → R, a ∈ D, y supongamos que f (D) ⊆ E. Si f es continua en a y g es continua en f (a), entonces la composici´ on g ◦ f es continua en a. Demostraci´ on. Sea ε > 0. Como g es continua en el punto f (a), existe alg´ un r > 0 tal que para todo y ∈ E con |y − f (a)| < r, se tiene |g(y) − g(f (a))| < ε. Ahora, como f es continua en a, existe alg´ un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ, se tiene |f (x) − f (a)| < r. Sea x ∈ dom(g ◦ f ) [es decir, x ∈ D y f (x) ∈ E] con |x − a| < δ. Entonces, |f (x) − f (a)| < r, luego |g(f (x)) − g(f (a))| < ε. Ejercicio. Sean f , g : D ⊆ R → R, a ∈ D. Probar que si f y g son continuas en a, entonces que m´ax(f, g), m´ın(f, g) son tambi´en continuas en a ([Ross, Ejercicio 17-8, p´ag. 94]).

4.2.2.

Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux; funciones continuas mon´ otonas

Teorema 4.2.7 (de Weierstrass). Sea f una funci´ on continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], (donde a, b ∈ R, a < b). Entonces: a) f est´ a acotada; b) f alcanza un valor m´ınimo y un valor m´ aximo, es decir, existen puntos r, s ∈ [a, b] (no necesariamente u ´nicos) tales que para todo x ∈ [a, b] es f (r) ≤ f (x) ≤ f (s).

CAP´ITULO 4. CONTINUIDAD

62

Demostraci´ on. a) Sea f : [a, b] → R una funci´on no acotada y probemos que entonces hay alg´ un punto del intervalo [a, b] donde la funci´on no es continua. Dado que f no est´a acotada, para cada n ∈ N hay alg´ un punto xn ∈ [a, b] tal que |f (xn )| > n. En particular, l´ım |f (xn )| = +∞. n

Pero la sucesi´on (xn )∞ ı est´a acotada, as´ı que, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, hay alguna n=1 s´ subsucesi´on suya que converge: xϕ(n) → c ∈ [a, b]. Sabemos que l´ım |f (xϕ(n) )| = +∞, n

por ser una subsucesi´on de fuera deber´ıa ser

(|f (xn )|)∞ n=1 .

Entonces, la funci´on f no es continua en c, ya que si lo

l´ım |f (xϕ(n) )| = |f (c)|. n

b) Sea f : [a, b] → R continua. Por el apartado anterior, ya sabemos que est´a acotada, de modo que tiene supremo e ´ınfimo; sean M = sup{f (x); x ∈ [a, b]} ∈ R, m = inf{f (x); x ∈ [a, b]} ∈ R. Se trata de probar que ese supremo y ese ´ınfimo se alcanzan, es decir, que existen ciertos r, s ∈ [a, b] tales que f (r) = m, f (s) = M . 1 Para cada n ∈ N, el n´ umero M − no es una cota superior de f , de modo que podemos elegir n alg´ un xn ∈ [a, b] tal que 1 M − < f (xn ) ≤ M. n En particular, l´ım f (xn ) = M. n

Como la sucesi´on

(xn )∞ n=1

est´a acotada, tendr´a alguna subsucesi´on (xϕ(n) )∞ n=1 convergente: xϕ(n) → s ∈ [a, b].

Por una parte, la funci´on f es continua en todos los puntos de [a, b]; por otra, f (xϕ(n) ) es una subsucesi´on de f (xn ). Entonces, f (s) = l´ım f (xϕ(n) ) = M. n

De manera an´aloga se demuestra que existe alg´ un punto r ∈ [a, b] tal que f (r) = m. Pasamos a ver dos resultados ´ıntimamente relacionados entre s´ı, el teorema de Bolzano y el teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux. Algunos libros comienzan por probar el teorema de los valores intermedios (por ejemplo, [Ross, p´ag. 96, Teorema 18.2]) y el teorema de Bolzano resulta como caso particular; otros proceden al rev´es, demostrando primero el teorema de Bolzano y obteniendo despu´es el teorema de los valores intermedios como consecuencia. Tomaremos este segundo camino, que utiliza una demostraci´on m´as ‘constructiva’ que sugiere un procedimiento (un tanto rudimentario) para obtener aproximaciones de ra´ıces de ecuaciones. Teorema 4.2.8 (de los ceros, de Bolzano). Sea f : [a, b] → R una funci´ on continua (a, b ∈ R, a < b). Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0.

4.2. FUNCIONES CONTINUAS

63

Demostraci´ on. Sea, por ejemplo, f (a) < 0 < f (b). Veamos mediante inducci´on que podemos construir sucesiones (xn ), (yn ) tales que a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn < yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, b−a , f (xi ) ≤ 0, f (yi ) > 0 (1 ≤ i ≤ n). 2i a+b Para ello, comencemos tomando z1 = . O bien f (z1 ) ≤ 0, o f (z1 ) > 0. En el primer caso, 2 hagamos x1 = z1 , y1 = b; en el segundo caso hagamos x1 = a, y1 = z1 . En ambos casos, resulta a ≤ x1 < y1 ≤ b, y1 − x1 = (b − a)/2, f (x1 ) ≤ 0, f (y1 ) > 0. Supongamos construidos x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , de manera que yi − xi =

a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn < yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, xn + yn b−a , f (xi ) ≤ 0, f (yi ) > 0 (1 ≤ i ≤ n). Tomamos entonces zn+1 = ; o bien i 2 2 f (zn+1 ) ≤ 0 o f (zn+1 ) > 0. En el primer caso, hagamos xn+1 = zn+1 , yn+1 = yn , en el segundo caso hagamos xn+1 = xn , yn+1 = zn ; en ambos casos resulta yi − xi =

a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, b−a , f (xn+1 ) ≤ 0, f (yn+1 ) > 0. 2n+1 La sucesi´on (xn ) es una sucesi´on mon´otona no decreciente, acotada superiormente por b. Entonces tiene un l´ımite c, y necesariamente c ≤ b. An´alogamente, (yn ) es una sucesi´on mon´otona no creciente acotada inferiormente por a. As´ı que tiene l´ımite y necesariamente l´ım yn ≥ a. Pero como n b−a l´ım(yn − xn ) = l´ım n = 0, resulta que l´ım yn = l´ım xn = c, con lo que a ≤ c ≤ b. n n n n 2 Puesto que para cada n ∈ N es f (xn ) ≤ 0, f (yn ) > 0, usando la continuidad de f en c se deduce finalmente f (c) = l´ım f (xn ) ≤ 0, f (c) = l´ım f (yn ) ≥ 0,

yn+1 − xn+1 =

n

n

o sea, f (c) = 0 (lo que garantiza adem´as que a 6= c 6= b). Teorema 4.2.9 (teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux). Sea I un intervalo, f : I → R continua. Entonces f tiene la propiedad de los valores intermedios : si a < b y λ est´ a entre f (a) y f (b), es decir, f (a) < λ < f (b) o f (a) > λ > f (b), entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (x) = λ. Demostraci´ on. Aplicar el teorema de Bolzano a la funci´on f (x) − λ en el intervalo [a, b]. Corolario 4.2.10. Sea I un intervalo, f : I → R continua. Entonces f (I) es un intervalo. Aplicaciones. a) Toda aplicaci´on continua de [0, 1] en [0, 1] tiene un punto fijo (ver [Ross, p´ag. 97]). b) Dado m ∈ N, todo y > 0 tiene ra´ız m-´esima positiva (ver [Ross, p´ag. 97]). Lema 4.2.11. Sea g una funci´ on estrictamente mon´ otona en un intervalo J y tal que g(J) es un intervalo I. Entonces g es continua en J. Demostraci´ on. Podemos suponer que g es estrictamente creciente (en el otro caso, se sigue de forma an´aloga). Sea c ∈ J. Entonces, l´ım g(x) = sup{g(x) : x ∈ J, x < c} ≤ g(c),

x→c−

l´ım g(x) = inf{g(x) : x ∈ J, x > c} ≥ g(c)

x→c+

CAP´ITULO 4. CONTINUIDAD

64

(esto, en caso de que c no sea uno de los extremos del intervalo; si lo es, la demostraci´on se reduce a tomar el u ´nico l´ımite lateral que tenga sentido). Se trata de probar que las dos desigualdades son igualdades. Supongamos que, por ejemplo, sup{g(x) : x ∈ J, x < c} < g(c) (para la otra desigualdad se procede de manera similar). Elijamos cualquier λ tal que sup{g(x) : x ∈ J, x < c} < λ < g(c). Entonces, g(x) < λ para todos los x ∈ J, x < c. Y si x ∈ J, pero x ≥ c, resulta que λ < g(c) ≤ g(x). As´ı que λ ∈ / g(J). Sin embargo, tomando cualquier x ∈ J tal que x < c, se tiene g(x) < λ < g(c), g(x) ∈ g(J), g(c) ∈ g(J). Por lo tanto, g(J) no es un intervalo, lo que contradice las hip´otesis. Proposici´ on 4.2.12. Sea I un intervalo, f : I → R continua y estrictamente creciente (resp., estrictamente decreciente ), J = f (I) el intervalo imagen. Entonces la funci´ on inversa f −1 : J → I es asimismo continua y estrictamente creciente (resp., estrictamente decreciente). Demostraci´ on. Es una consecuencia directa del lema anterior, ya que la funci´on inversa de una estrictamente mon´otona es tambi´en estrictamente mon´otona (y del mismo tipo) y f −1 (J) = I es un intervalo. Teorema 4.2.13 (continuidad de la funci´ on inversa). Sea f una funci´ on continua e inyectiva en un intervalo I. Entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y la inversa f −1 : f (I) → R es asimismo estrictamente mon´ otona (del mismo tipo) y continua. Demostraci´ on. De acuerdo con la proposici´on anterior, basta demostrar que f es estrictamente mon´otona. Supongamos que f no es estrictamente decreciente; entonces existen ciertos a, b ∈ I tales que a < b, f (a) ≤ f (b). Como f es inyectiva, se deduce que f (a) < f (b). Vamos a probar que f es estrictamente creciente, es decir, que ∀r, s ∈ I con r < s, resulta que f (r) < f (s). Consideramos seis casos: en los tres primeros uno de los dos puntos r, s es el punto a; en los tres u ´ltimos ninguno es a. Tendremos en cuenta que la funci´on es inyectiva, as´ı que, por ejemplo, tenemos descartado que sea f (r) = f (s). a) r = a, s = b. Ya sabemos que f (a) < f (b). b) r = a, a < s, s 6= b. Hay que probar que f (a) < f (s). Pero si fuera f (s) < f (a), entonces f (a) estar´ıa comprendido entre f (s) y f (b), luego habr´ıa alg´ un c comprendido entre s y b tal que f (c) = f (a). Esto no puede ser, porque f es inyectiva. c) s = a, r < a. Hay que probar que f (r) < f (a). Pero si fuera f (r) > f (a), entonces podr´ıamos tomar alg´ un λ tal que f (a) < λ < f (r), f (a) < λ < f (b). Habr´ıa alg´ un c comprendido entre r y a tal que f (c) = λ y alg´ un d comprendido entre a y b tal que f (d) = λ. Esto no puede ser, porque f es inyectiva. d) r < a < s. Seg´ un los apartados anteriores, ya sabemos que f (r) < f (a) < f (s). e) a < r < s. Ya sabemos que f (a) < f (r) y que f (a) < f (s). Si fuera f (r) > f (s), entonces f (s) estar´ıa comprendido entre f (a) y f (r), luego habr´ıa alg´ un c ∈ (a, r) tal que f (c) = f (s). Esto no puede ser, porque f es inyectiva. f) r < s < a. Ya sabemos que f (r) < f (a) y que f (s) < f (a). Si fuera f (r) > f (s), entonces f (r) estar´ıa comprendido entre f (s) y f (a), luego habr´ıa alg´ un c ∈ (s, a) tal que f (c) = f (r). Esto no puede ser, porque f es inyectiva.

4.2. FUNCIONES CONTINUAS

4.2.3.

65

Clasificaci´ on de discontinuidades

Definiciones 4.2.14 (tipos de discontinuidades). Sea f : D → R, c ∈ D0 . Diremos que f tiene en c una discontinuidad evitable si existe l´ım f (x) ∈ R pero o bien el l´ımite no coincide con x→c

f (c), o bien c ∈ / D. N´ otese que en tal caso, la funci´ on g definida por ( f (t) g(t) = l´ım f (x) x→c

si t ∈ D \ {c} si t = c

que es ‘casi la misma’ que f , resulta continua en el punto c: hemos ‘evitado’ la discontinuidad de f redefiniendo adecuadamente el valor en c como l´ım f (x). Este l´ımite se denomina a veces el valor x→c asint´ otico de f en c. Diremos que f tiene en c una discontinuidad de salto si existen l´ım f (x) ∈ R y l´ım f (x) ∈ x→c−

x→c+

R, pero son distintos. En algunos libros llaman a este tipo de discontinuidad discontinuidad de salto finito . La diferencia l´ım f (x) − l´ım f (x) recibe el nombre de salto de f en c (hay textos x→c+

x→c−

que dan este nombre al valor absoluto de la diferencia). Corolario 4.2.15. Sea f : (a, b) → R una funci´ on mon´ otona . Si c ∈ (a, b), entonces o bien f es continua en c o bien f tiene en c una discontinuidad de salto. Nota. Puede probarse que, como consecuencia de este resultado, el conjunto de discontinuidades de una funci´on mon´otona en un intervalo es finito o numerable.

4.2.4.

Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensi´ on de funciones continuas

Definici´ on 4.2.16. Sea f : S ⊆ R → R. Entonces f es uniformemente continua en S si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualesquiera x, y ∈ S con |x − y| < δ es |f (x) − f (y)| < ε. N´otese que una funci´on uniformemente continua es, necesariamente, continua. El rec´ıproco, en general, no es cierto. Ejemplo. La funci´on 1 x es continua, pero no uniformemente continua. Sin embargo, para cada a > 0, la funci´on f : (0, 1] → R,

g : [a, +∞) → R,

f (x) =

g(x) =

1 x

es uniformemente continua. Nota. Por comodidad, diremos a veces que una funci´ on es uniformemente continua en un subconjunto de su dominio en vez de decir que la restricci´on de la funci´on a dicho subconjunto es uniformemente continua. As´ı, en el ejemplo anterior, la funci´on 1/x es uniformemente continua en [a, +∞) (para cualquier a > 0) pero no es uniformemente continua en (0, 1]. Teorema 4.2.17 (de Heine). Si f es continua en un intervalo compacto [a, b], entonces f es uniformemente continua en [a, b]. Demostraci´ on. Sea f : [a, b] → R, supongamos que no es uniformemente continua en [a, b] y probemos que entonces hay alg´ un punto de [a, b] donde f no es continua.

CAP´ITULO 4. CONTINUIDAD

66

Como f no es uniformemente continua, existe alg´ un ε > 0 tal que para cualquier δ > 0 hay al menos un par de puntos x, y ∈ [a, b] (que depender´an de δ) para los cuales |x − y| < δ, pero |f (x) − f (y)| ≥ ε. Entonces, para cada n ∈ N tenemos un par de puntos xn , yn ∈ [a, b] tales que |xn − yn |
0. Como f es uniformemente continua, existe alg´ un δ > 0 tal que para cualesquiera x, y ∈ S con |x − y| < δ, se tiene |f (x) − f (y)| < ε. Ahora, como la sucesi´on (sn )∞ un K ∈ N tal que para cualesquiera n=1 es de Cauchy, existe alg´ n, m > K se tiene |sn − sm | < δ. Y adem´as, sn , sm ∈ S. Entonces, para cualesquiera n, m > K se tiene |f (sn ) − f (sm )| < ε. Por lo tanto, la sucesi´on (f (sn ))∞ n=1 es de Cauchy. Proposici´ on 4.2.19. Una funci´ on f : (a, b) → R es uniformemente continua si y solo si posee una extensi´ on continua en [a, b]. Demostraci´ on. Si f tiene una extensi´on continua g : [a, b] → R, entonces g es uniformemente continua, seg´ un el teorema de Heine. Cualquier restricci´on de una funci´on uniformemente continua tambi´en es uniformemente continua, y en particular, f . Ahora supongamos que f es uniformemente continua en (a, b); se trata de probar que existen los dos l´ımites l´ım f (x), l´ım f (x) x→a+

x→b−

4.2. FUNCIONES CONTINUAS

67

y que son n´ umeros reales, ya que entonces la siguiente funci´on ser´a una extensi´on continua de f al intervalo [a, b]:  f (x), si x ∈ (a, b)    l´ım f (x), si x = a g(x) = x→a +    l´ım f (x), si x = b x→b−

Solo vamos a probar que existe l´ım f (x) y que es un n´ umero real; el otro l´ımite se prueba de x→a+

manera an´aloga. Elijamos una sucesi´on (sn )∞ ım sn = a. Como es n=1 contenida en el intervalo (a, b) y tal que l´ n convergente, la sucesi´on es de Cauchy; y como la funci´on f es uniformemente continua, la sucesi´ on ∞ (f (sn ))n=1 es tambi´en de Cauchy y, por lo tanto, convergente. Sea l´ım f (sn ) = L ∈ R. n

on cualquiera contenida en el intervalo (a, b) y tal que l´ım tn = a. Ahora sea (tn )∞ n=1 una sucesi´ n Definamos la nueva sucesi´on r2n = tn , r2n−1 = sn . ∞ ∞ Por la misma raz´on que antes, la sucesi´on (f (rn ))∞ n=1 es convergente. Como (f (tn ))n=1 y (f (sn ))n=1 son dos subsucesiones suyas, deducimos que

l´ım f (tn ) = l´ım f (rn ) = l´ım f (sn ) = L. n

n

n

Seg´ un la proposici´on 4.1.9, l´ım f (x) = L ∈ R.

x→a+

68

CAP´ITULO 4. CONTINUIDAD

Bibliograf´ıa [Guzma´n] Guzm´ an, M.: El rinc´ on de la pizarra: Ensayos de visualizaci´ on en an´ alisis matem´ atico. Pir´amide, Madrid, 1996.Citado en la(s) p´agina(s) 60 [Ross]

Ross, K. A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ın, 1980. Citado en la(s) p´agina(s) 61, 62, 63

69

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 5

Derivaci´ on 5.1. 5.1.1.

Generalidades Concepto de derivada. Derivadas laterales

Definici´ on 5.1.1. Sea f una funci´ on real definida en un intervalo abierto I y sea a un punto de I. Diremos que f es derivable en a si existe (en R) el l´ımite del ‘cociente de incrementos’ o ‘cociente de diferencias’ f (x) − f (a) l´ım . x→a x−a Cuando f es derivable en a, el valor del l´ımite anterior recibe el nombre de derivada de f en a, y suele denotarse por f 0 (a); es decir, f (x) − f (a) x→a x−a

f 0 (a) := l´ım si tal l´ımite existe y es finito.

d df , etc. Tambi´en se usan otras notaciones: f (a), dx dx x=a Nota. En realidad, para definir la derivada no es necesario que el dominio de la funci´on f sea un intervalo: la definici´on anterior tiene sentido para cualquier tipo de dominio D con tal de que el punto a, adem´as de estar en D, sea punto de acumulaci´on de D. Advi´ertase igualmente que incluso podemos considerar l´ımites laterales, definiendo entonces de manera obvia la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una funci´on en un punto, cuando tales l´ımites laterales del cociente de incrementos tengan sentido. Definici´ on 5.1.2. Sea f : D ⊆ R → R una funci´ on derivable en alg´ un punto, y sea S el subconjunto de puntos de D en los que f es derivable (naturalmente, puede ser S 6= D). La funci´ on derivada de f se define haciendo corresponder a cada x ∈ S el valor de la derivada de f en el punto x. Por razones obvias, esta funci´on suele denotarse por f 0 , de manera que f (y) − f (x) ∈ R. y→x y−x

f 0 : x ∈ S → f 0 (x) = l´ım

Observaci´ on. En este punto conviene deshacer un equ´ıvoco, que surge quiz´a del manejo habitual de las derivadas de las funciones elementales: la definici´ on de derivada en un punto es previa a la de funci´ on derivada, y no al rev´es. Es decir, por ejemplo, que la derivada de la funci´on seno en un punto x no es cos x porque el coseno es la funci´on derivada del seno, sino que el coseno es la funci´on derivada del seno porque la derivada de la funci´on seno en un punto cualquiera x resulta sen y − sen x ser igual a cos x, es decir, que existe l´ım y vale cos x. y→x y−x 71

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

72

5.1.2.

Interpretaci´ on geom´ etrica y f´ısica de la derivada


El cociente de incrementos f (x) − f (a) /(x − a) corresponde gr´aficamente a la pendiente de la cuerda que une el punto (a, f (a)) con el punto (x, f (x)), con lo que en el l´ımite tenemos que la derivada f 0 (a) (suponiendo que exista) corresponde a la pendiente de la tangente a la gr´afica de f en el punto (a, f (a)). En F´ısica, si a cada valor x de una determinada magnitud (la variable independiente) le corresponde el valor
f (x) de una segunda magnitud (la variable dependiente), el cociente de incrementos f (x) − f (a) /(x − a) corresponde a la variaci´ on media de la variable dependiente en el intervalo [a, x] de variaci´on de la variable independiente, y la derivada f 0 (a) (suponiendo que exista) corresponde a la variaci´ on instant´ anea de la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es el tiempo, cuando la variable dependiente es el espacio tenemos los conceptos de velocidad media y velocidad instant´anea; cuando la variable dependiente es la velocidad, pasamos a la acelaci´on media y la aceleraci´on instant´anea. No es sorprendente la gran cantidad de aplicaciones que encuentra el concepto de derivada, si se tiene en cuenta la formaci´on hist´orica de este concepto: v´eanse, por ejemplo, [Dura´n, cap. 3], [R´ıbnikov, especialmente p´ags. 182–186], [Hairer-Wanner, p´ags. 80 y siguientes]. En este u ´ltimo libro, como motivaciones para la introducci´on de la derivada a partir de la pendiente de la tangente se se˜ nalan: — El c´alculo del ´angulo bajo el que se cortan dos curvas (Descartes). — La construcci´on de telescopios (Galileo) y de relojes (Huygens, 1673). — La b´ usqueda de m´aximos y m´ınimos de una funci´on (Fermat, 1638). — El estudio de la velocidad y aceleraci´on de un movimiento (Galileo, 1638, y Newton, 1686). — En Astronom´ıa, la verificaci´on de la Ley de Gravitaci´on (Kepler, Newton).

5.1.3.

Derivabilidad y continuidad

Proposici´ on 5.1.3. Si f es una funci´ on derivable en un punto a, entonces f es continua en el punto a. Demostraci´ on.   f (x) − f (a) l´ım f (x) = l´ım f (a) + (x − a) = f (a) + f 0 (a) · 0 = f (a). x→a x→a x−a El rec´ıproco no es cierto: una funci´ on puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Por ejemplo, la funci´on f (x) = |x|,

f :R→R

es continua en todos los puntos, pero no es derivable en 0. Tiene derivadas laterales: la derivada por la izquierda es −1 y la derivada por la derecha es 1. La funci´on g : R → R dada por ( x sen x1 g(x) = 0

si x 6= 0 si x = 0

es continua en todos los puntos, pero en 0 no es derivable y ni siquiera tiene derivadas laterales.

5.1. GENERALIDADES

5.1.4.

73

C´ alculo de derivadas

Teorema 5.1.4 (operaciones algebraicas con funciones derivables). Sean D ⊆ R, a ∈ D ∩ D0 , c ∈ R y f , g : D → R funciones derivables en a. Se tiene: a) f + g es derivable en a, con derivada (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a). b) c f es derivable en a, con derivada (c f )0 (a) = c f 0 (a). c) f g es derivable en a, con derivada (f g)0 (a) = f 0 (a) g(a) + f (a) g 0 (a). d) si g(a) 6= 0, entonces f /g es derivable en a, con derivada (f /g)0 (a) =

f 0 (a) g(a) − f (a) g 0 (a) . g(a)2

Demostraci´ on. Se deducen f´acilmente de las hip´otesis y las siguientes propiedades: a)

(f + g)(x) − (f + g)(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) = + . x−a x−a x−a

b)

(c f )(x) − (c f )(a) f (x) − f (a) =c . x−a x−a

c) f es continua en a y

(f g)(x) − (f g)(a) g(x) − g(a) f (x) − f (a) = f (x) + g(a) x−a x−a x−a

d) g(x) 6= 0 cerca de a; g es continua en a;   (f /g)(x) − (f /g)(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) 1 = g(a) − f (a) · x−a x−a x−a g(x)g(a)

Ejemplos. (1) Teniendo en cuenta la f´ormula ciclot´omica, se prueba que fijado n ∈ N, la funci´ on xn es derivable en todos los puntos y su derivada en un punto x vale nxn−1 . (2) Dados c0 , c1 , . . . , cn ∈ R, la funci´on P (x) = cn xn + cn−1 xn−1 + · · · + c0 es derivable en todos los puntos, y su derivada en un punto x vale P 0 (x) = cn nxn−1 + cn−1 (n − 1)xn−2 + · · · + c1 . Teorema 5.1.5 (derivaci´ on de funciones compuestas: la regla de la cadena). Sean f : D → R y g : E → R tales que f (D) ⊆ E y supongamos que f es derivable en un punto a y que g es derivable en f (a). Entonces la funci´ on compuesta g ◦ f es derivable en a y su derivada en este punto viene dada por la regla de la cadena: (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a)) f 0 (a). g(y) − g(f (a)) , si y ∈ E \ {f (a)}. Entonces, l´ım h(y) = y − f (a) y→f (a) g 0 (f (a)). Definamos h(f (a)) = g 0 (f (a)), con lo cual tenemos h : E −→ R continua en el punto f (a). Adem´as, [y − f (a)]h(y) = g(y) − g(f (a)) ∀y ∈ E Demostraci´ on. Definamos h(y) =

En efecto: si y 6= f (a), es cierto por la definici´on de h; si y = f (a) se trata de la igualdad 0 = 0. En particular, para cada x ∈ D se tiene f (x) ∈ E, luego [f (x) − f (a)]h(f (x)) = g(f (x)) − g(f (a)).

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

74 De aqu´ı, f (x) − f (a) (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) (h ◦ f )(x) = , x−a x−a

∀x ∈ D \ {a}.

Pero • l´ım

x→a

f (x) − f (a) = f 0 (a), x−a

• l´ım (h ◦ f )(x) = (h ◦ f )(a), ya que f es continua en a (por ser derivable) y h lo es en f (a). x→a

Por consiguiente, ∃ l´ım

x→a

5.1.5.

(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) = f 0 (a)h(f (a)) = f 0 (a)g 0 (f (a)) ∈ R. x−a

Derivabilidad de la funci´ on inversa

Proposici´ on 5.1.6 (condici´ on necesaria para la derivabilidad de la funci´ on inversa). Si f −1 es una funci´ on inyectiva, derivable en un punto c, y su funci´ on inversa f es asimismo derivable en b = f (c), necesariamente se tiene f 0 (c) 6= 0. Adem´ as
0 f −1 (b) =

1 f 0 (c)

.

Demostraci´ on. Aplicando la regla de la cadena a f −1 ◦ f = id, como la derivada de la identidad en todos los puntos vale 1, queda
0 f −1 (b) f 0 (c) = 1. Aplicaci´ on. La funci´on arc sen no es derivable en 1 y −1. Sin hip´ otesis adicionales, que la derivada no se anule no implica la derivabilidad de la inversa. Un rec´ıproco parcial, suficiente en la pr´actica, es el siguiente: Teorema 5.1.7 (condici´ on suficiente para la derivabilidad de la funci´ on inversa). Sea f una funci´ on continua e inyectiva en un intervalo I y sea J = f (I). Si f es derivable en c ∈ I y f 0 (c) 6= 0, entonces f −1 es derivable en b = f (c) con derivada
0 f −1 (b) =

1 f 0 (c)

.

Demostraci´ on. Se˜ nalemos primero que J es un intervalo abierto, puesto que f ha de ser estrictamente mon´ otona. Adem´as, sabemos que f −1 es continua en b (aplicar el teorema de continuidad de la funci´on inversa). Para mayor comodidad, pondremos g = f −1 . Con esta notaci´on, g(b) = c. Definamos h : I → R haciendo, para cada x ∈ I,   f (x) − f (c) si x 6= c h(x) = x−c f 0 (c) si x = c Evidentemente, h es continua en c. Tomando ahora y ∈ J distinto de b, sea x = g(y) ∈ I, por lo que y = f (x) y x 6= c, lo que permite escribir g(y) − g(b) x−c 1 1 = = = . y−b f (x) − f (c) h(x) h(g(y)) En resumen, para todo y ∈ J distinto de b, 1 g(y) − g(b) = . y−b h(g(y))

5.2. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

75

Pero g es continua en b y h es continua en c = g(b), luego h ◦ g es continua en b, de donde podemos concluir que existe g(y) − g(b) 1 1 1 g 0 (b) = l´ım = = = 0 . y→b y−b h(g(b)) h(c) f (c) Nota. Repasando la demostraci´on, se observa que los mismos argumentos prueban en realidad lo siguiente: dada una funci´on inyectiva f : D ⊆ R → R, si f es derivable en un punto c ∈ D0 con f 0 (c) 6= 0, b := f (c) ∈ [f (D)]0 y f −1 es continua en b, entonces f −1 es derivable en b = f (c) con derivada
0 1 f −1 (b) = 0 . f (c) No obstante, el enunciado previo es m´as directo de utilizar en muchas aplicaciones pr´acticas. Ejemplos. (1) La funci´on arc sen es derivable en (−1, 1). (2) Sean f (x) = ex , f : R → R, y g(x) = log x, g : (0, ∞) → R. • si sabemos que f es derivable para cada x ∈ R y f 0 (x) = f (x), entonces deducimos que g es derivable para cada x ∈ (0, +∞) y g 0 (x) = 1/x; • si sabemos que g es derivable para cada x ∈ (0, +∞) y g 0 (x) = 1/x, entonces deducimos que f es derivable para cada x ∈ R y f 0 (x) = f (x).

5.2. 5.2.1.

El teorema del valor medio Extremos relativos y derivada nula

Definici´ on 5.2.1. Sea f : D ⊆ R → R y c ∈ D. Diremos que f tiene un m´ aximo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − c| < δ es f (x) ≤ f (c) (tambi´en se dice que f tiene un m´ aximo local en c). Diremos que f tiene un m´ aximo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − c| < δ es f (x) < f (c) (tambi´en se dice que f tiene un m´ aximo local estricto en c). Diremos que f tiene un m´ınimo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − c| < δ es f (x) ≥ f (c) (tambi´en se dice que f tiene un m´ınimo local en c). Diremos que f tiene un m´ınimo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − c| < δ es f (x) > f (c) (tambi´en se dice que f tiene un m´ınimo local estricto en c). Que f tiene un extremo relativo en c significa que tiene un m´ aximo relativo o un m´ınimo relativo. Definici´ on 5.2.2. Sea S ⊆ R y c ∈ R. Diremos que c es un punto interior de S si para alg´ un δ > 0 se verifica que (c − δ, c + δ) ⊆ S. Ejemplo. Si S es un intervalo, los extremos no son puntos interiores, mientras que los dem´ as puntos s´ı son interiores a S. Proposici´ on 5.2.3. Sea f : D ⊆ R → R y c un punto interior de D. Si f es derivable en c y tiene en c un extremo relativo, entonces f 0 (c) = 0. Demostraci´ on. Supongamos que f tiene en c un m´aximo relativo (si tiene un m´ınimo relativo solo hay que cambiar de sentido algunas desigualdades o pasar a la funci´on opuesta). Como c es un punto interior de D y f es derivable en c, se deduce que existen las dos derivadas laterales de f en c. Adem´as, f (x) − f (c) f (x) − f (c) f 0 (c) = l´ım = l´ım . + − x−c x−c x→c x→c

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

76

Pero seg´ un las hip´otesis existen un δ1 > 0 tal que f (x) ≤ f (c) siempre que x ∈ D y |x − c| < δ1 , y un δ2 > 0 tal que (c − δ2 , c + δ2 ) ⊆ D. Tomando δ = m´ın{δ1 , δ2 }, encontramos que • si x ∈ (c − δ, c), entonces x ∈ D y

f (x) − f (c) ≥ 0, x−c

• si x ∈ (c, c + δ), entonces x ∈ D y

f (x) − f (c) ≤ 0, x−c

de donde se deduce que f (x) − f (c) ≥ 0, x−c f (x) − f (c) ≤ 0, f 0 (c) = l´ım x−c x→c+ f 0 (c) = l´ım

x→c−

y finalmente que f 0 (c) = 0. Nota. En la demostraci´on anterior solo se utiliza realmente que c es un punto interior para poder asegurar que tienen sentido las dos derivadas laterales, de modo que esta condici´on puede sustituirse por la (m´as complicada de enunciar) de que c sea punto de acumulaci´on de los conjuntos D∩[c, +∞) y D ∩ (−∞, c]. Cuando no se impone ninguna condici´on de este tipo a c, el resultado es falso. Por ejemplo, la funci´on f (x) = x definida en el intervalo [0, 1] tiene extremos en los puntos 0 y 1, y f es derivable en los dos puntos, pero su derivada no es 0, sino 1 en ambos. Definici´ on 5.2.4. Sea f : D ⊆ R → R y c un punto de D ∩ D0 . Diremos que c es un punto cr´ıtico de f si f es derivable en c y f 0 (c) = 0. Corolario 5.2.5. Supongamos que f : D ⊆ R → R tiene un extremo relativo en un punto c. Entonces, o bien c es un punto cr´ıtico de f , o bien c no es un punto interior de D, o bien f no es derivable en c. Ejemplos. Exam´ınese lo que ocurre en los extremos relativos de las siguientes funciones: a) x ∈ [−1, 1] → x ∈ R; b) x ∈ [−1, 1] → x2 ∈ R; c) x ∈ [−1, 1] → x3 ∈ R; d) x ∈ [−1, 1] → |x| ∈ R; e) x ∈ R → [x] ∈ R.

5.2.2.

Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos)

Teorema 5.2.6 (de Rolle). Sea f : [a, b] → R (donde a, b ∈ R, a < b) una funci´ on continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) y supongamos que f (a) = f (b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f 0 (x) = 0. Demostraci´ on. Puesto que f es continua en [a, b], tiene m´aximo y m´ınimo absolutos en [a, b], por el teorema de Weierstrass. Si ambos extremos absolutos est´an en a y b, entonces f tiene que ser constante, ya que f (a) = f (b). Y f 0 se anula en todos los puntos de (a, b). En caso contrario, f tiene alg´ un extremo absoluto (que tambi´en es relativo) en un punto interior x ∈ (a, b). Y es derivable en x, as´ı que sabemos que f 0 (x) = 0.

5.3. APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

77

Geom´etricamente, que la funci´on valga lo mismo en dos puntos obliga a que haya tangente horizontal en alg´ un punto intermedio de la gr´afica. Nota. Una vez m´as, si el dominio de f no es un intervalo el resultado no es cierto. Basta considerar funciones definidas en un intervalo menos un punto para encontrar derivada distinta de cero en todo el dominio aunque tengamos el mismo valor en los ‘extremos’; por ejemplo, la funci´on valor absoluto en [−1, 0) ∪ (0, 1]. Teorema 5.2.7 (del valor medio o de los incrementos finitos). Sea f : [a, b] → R (donde a, b ∈ R, a < b) una funci´ on continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f 0 (x) (b − a). f (b) − f (a) (x − a), que b−a cumple las hip´otesis del teorema 5.2.6 de Rolle. Por lo tanto, existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) g 0 (x) = 0, es decir, f 0 (x) = . b−a Demostraci´ on. Basta definir en el intervalo [a, b] la funci´on g(x) = f (x) −

Dicho de otra manera, la variaci´on media de f en el intervalo coincide con la variaci´on instant´anea en alg´ un punto del intervalo. Por ejemplo, si un veh´ıculo ha recorrido 180 km en 2 horas, en alg´ un instante ha marchado exactamente a 90 km/h. Geom´etricamente, la pendiente de la cuerda que une los extremos de la gr´afica coincide con la pendiente de la tangente en alg´ un punto.

5.3. 5.3.1.

Aplicaciones del teorema del valor medio Funciones con derivada acotada y con derivada nula

Corolario 5.3.1. Sea f una funci´ on continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Si la derivada est´ a acotada, entonces f es uniformemente continua en I. Demostraci´ on. Hay alguna constante K > 0 tal que |f 0 (x)| ≤ K en todo punto x interior a I. Sean dos puntos cualesquiera a, b ∈ I (por ejemplo, con a < b); como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), ser´a f (b) − f (a) = f 0 (x)(b − a) para alg´ un x ∈ (a, b), y por lo tanto |f (b) − f (a)| ≤ K|b − a|. Las funciones que satisfacen una desigualdad como esta se llaman funciones de Lipschitz. Y cualquier funci´on de Lipschitz es uniformemente continua, ya que, dado ε > 0, basta tomar δ = ε/K y resulta que a, b ∈ I, |b − a| < δ =⇒ |f (b) − f (a)| < ε. Corolario 5.3.2. Sea f una funci´ on continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Si f 0 (x) = 0 en cada x interior a I, entonces f es constante en I. Demostraci´ on. La funci´on f toma el mismo valor en todos los puntos de I, pues dados dos puntos cualesquiera a, b ∈ I (por ejemplo, con a < b) como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), ser´ a f (b) − f (a) = f 0 (x) (b − a) para alg´ un x ∈ (a, b), por el teorema 5.2.7 del valor medio. Por lo tanto, f (b) − f (a) = 0.

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

78

Corolario 5.3.3. Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo I y derivables en todos los puntos interiores del intervalo. Si f 0 (x) = g 0 (x) en cada x interior a I, entonces hay una constante c ∈ R tal que f (x) = g(x) + c en todo punto de I. Demostraci´ on. Basta aplicar el resultado anterior a la funci´on f − g. Nota. Estas conclusiones no son aplicables a funciones cuyos dominios no son intervalos.

5.3.2.

Signo de la derivada y monoton´ıa

Corolario 5.3.4. Sea f una funci´ on continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Se tiene: a) si f 0 (x) > 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente creciente en I. b) si f 0 (x) < 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente decreciente en I. c) f 0 (x) ≥ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es mon´ otona no decreciente en I. d) f 0 (x) ≤ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es mon´ otona no creciente en I. Demostraci´ on. a) Sean a, b ∈ I con a < b. Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), ser´ a f (b) − f (a) = f 0 (x) (b − a) para alg´ un x ∈ (a, b), por el teorema 5.2.7 del valor medio. Dado que x es interior a I, f 0 (x) > 0 por hip´otesis, y se sigue f (b) − f (a) > 0, o sea, f (a) < f (b), que es lo que necesit´abamos probar. La demostraci´on de b) es similar, as´ı como las implicaciones =⇒ de c) y d). Falta demostrar las implicaciones ⇐= de c) y d). Supongamos, por ejemplo, que f es mon´otona no decreciente en el intervalo I. Si x es un punto interior de I, entonces existen y ∈ I tales que x < y; para estos, se tiene f (y) − f (x) ≥ 0, y−x ya que f es no decreciente. Luego f 0 (x) = l´ım

y→x+

f (y) − f (x) ≥ 0. y−x

Esto demuestra la implicaci´on ⇐= de c). La otra es an´aloga. Nota. Sin embargo, los rec´ıprocos de a) y b) no son ciertos. Si la funci´on f es estrictamente creciente en I, su derivada puede que se anule en algunos puntos (eso s´ı, seg´ un el apartado c), f 0 (x) ≥ 0 para todos los x). Por ejemplo, la funci´on f (x) = x3 es derivable en todos los puntos y estrictamente creciente, pero hay alg´ un punto donde su derivada se anula. Aplicaciones. (1) Estudio de extremos absolutos y relativos. (2) Obtenci´on de desigualdades.

5.3. APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

5.3.3.

79

Propiedad del valor intermedio para derivadas

Si una funci´on es la derivada de otra en un intervalo, puede que no sea continua (ver por ejemplo [Ross, Ejercicio 28.4, p´ag. 160]). Pero en el siguiente resultado se prueba que, lo mismo que las funciones continuas, tiene la propiedad de los valores intermedios. Teorema 5.3.5 (del valor intermedio para derivadas). Sea f una funci´ on derivable en un intervalo I. Si la derivada f 0 toma dos valores, toma tambi´en todos los valores intermedios; es decir, si a, b ∈ I, a < b, y λ est´ a entre f 0 (a) y f 0 (b), existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f 0 (x) = λ. Demostraci´ on. Supongamos, por ejemplo, que f 0 (a) < λ < f 0 (b); si fuera f 0 (a) > λ > f 0 (b) se proceder´ıa de manera an´aloga. Definamos la funci´on g(x) = f (x)−λx, para x ∈ [a, b]. Es una funci´on derivable en [a, b], porque lo es f . Adem´as, g 0 (x) = f 0 (x) − λ para cada x ∈ [a, b]. En particular, g es continua en [a, b], as´ı que tiene m´ınimo absoluto (por el teorema de Weierstrass). Ahora bien, l´ım

x→a+

g(x) − g(a) = g 0 (a) = f 0 (a) − λ < 0, x−a

g(x) − g(a) < 0 y, por lo tanto, g(x) < g(a). Esto significa que el x−a m´ınimo absoluto de g no est´a en a. An´alogamente, luego existe x ∈ (a, b] tal que

l´ım

x→b−

g(x) − g(b) = g 0 (b) = f 0 (b) − λ > 0, x−b

g(x) − g(b) > 0; como x − b < 0, resulta que x−b g(x) < g(b). Esto significa que el m´ınimo absoluto de g tampoco est´a en b. Por lo tanto, el m´ınimo absoluto de g est´a en alg´ un punto x ∈ (a, b). Y como es un extremo relativo de g en el interior del intervalo y g es derivable, se tendr´a g 0 (x) = 0, por la proposici´on 5.2.3. Es decir, f 0 (x) = λ. de donde se deduce que existe x ∈ [a, b) tal que

Notas. (1) Este resultado indica que, dada una funci´on arbitraria g, puede que no exista ninguna funci´on derivable cuya derivada sea g (es decir, una funci´ on primitiva de g). Basta con que g no cumpla la propiedad de los valores intermedios. Por ejemplo, la funci´on ( 1 si x ≥ 0 g(x) = 0 si x < 0 no es la derivada de ninguna funci´on f : R → R. (2) Cuando hayamos definido la integral, probaremos que cualquier funci´on continua en un intervalo tiene primitiva. Corolario 5.3.6. Sea f una funci´ on continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Si la derivada f 0 no se anula en ninguno de esos puntos, entonces la funci´ on f es estrictamente mon´ otona en I (o bien estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente). Demostraci´ on. Existen las siguientes posibilidades: a) f 0 (x) > 0 en todos los puntos x interiores a I. En tal caso f es estrictamente creciente. b) f 0 (x) < 0 en todos los puntos x interiores a I. En tal caso f es estrictamente decreciente. c) Hay puntos x1 , x2 , interiores a I, tales que f 0 (x1 ) < 0 < f 0 (x2 ). Pero esto no puede suceder, porque el teorema del valor intermedio para derivadas obligar´ıa entonces a que la derivada se anulase en alg´ un punto entre x1 y x2 .

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

80

5.3.4.

Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’Hospital

Teorema 5.3.7 (del valor medio generalizado). Sean f y g funciones continuas en un intervalo [a, b] (donde a, b ∈ R, a < b) y derivables en el intervalo abierto (a, b). Existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f 0 (x) [g(b) − g(a)] = g 0 (x) [f (b) − f (a)]. Demostraci´ on. Basta definir en el intervalo [a, b] la funci´on h(x) = f (x)[g(b) − g(a)] − g(x)[f (b) − f (a)], que cumple las hip´otesis del teorema 5.2.6 de Rolle. Luego existe al menos un x ∈ (a, b) tal que h0 (x) = 0, es decir, f 0 (x) [g(b) − g(a)] = g 0 (x) [f (b) − f (a)]. Proposici´ on 5.3.8 (regla de L’Hospital). Sean I un intervalo, f, g : I → R y a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulaci´ on de I. Denotemos mediante s uno de los s´ımbolos a, a+ , a− . Supongamos que: a) f y g son derivables en I \ {a} y g 0 (x) 6= 0 en cada x ∈ I \ {a}. b) se verifica alguna de las tres condiciones siguientes: • l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0. x→s

x→s

• l´ım g(x) = +∞. x→s

• l´ım g(x) = −∞. x→s

c) existe f 0 (x) = L ∈ R ∪ {±∞}. x→s g 0 (x) l´ım

Entonces, existe el l´ımite de f (x)/g(x) y es igual a L: f (x) f 0 (x) = l´ım 0 = L. x→s g(x) x→s g (x) l´ım

Demostraci´ on. Para empezar, veamos que basta considerar el caso a = 0 y s = 0+ . En efecto, una vez demostrado este caso se deducen los dem´as: Si a 6= 0 y s = a+ , hacemos el cambio y = x − a, aplicamos la regla en el caso conocido y deshacemos el cambio: l´ım

x→a+

f (x) f (y + a) f 0 (y + a) f 0 (x) = l´ım = l´ım 0 = l´ım 0 . g(x) y→0+ g(y + a) y→0+ g (y + a) x→a+ g (x)

Si a ∈ R y s = a− , hacemos el cambio y = −x. Si a ∈ R y s = a, hacemos los dos l´ımites laterales. Si a = ±∞, hacemos el cambio y = 1/x; por ejemplo, − y12 f 0 (1/y) f 0 (x) f 0 (1/y) f (x) f (1/y) = l´ ım = l´ ım . l´ım = l´ım = l´ım x→+∞ g 0 (x) x→+∞ g(x) y→0+ g 0 (1/y) y→0+ g(1/y) y→0+ − 12 g 0 (1/y) y As´ı que a partir de ahora, suponemos que a = 0 y s = 0+ . Aparte de esto, el caso l´ım g(x) = −∞ se deduce del caso l´ım g(x) = +∞ tomando la x→0+

x→0+

funci´on G(x) = −g(x) en lugar de g, y el caso L = −∞ del caso L = +∞, tomando la funci´ on F (x) = −f (x) en lugar de f . En resumen, solo necesitamos considerar los siguientes casos:

5.3. APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

81

a) l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0. x→0+

x→0+

b) l´ım g(x) = +∞ y l´ım

f 0 (x) = L ∈ R. g 0 (x)

c) l´ım g(x) = +∞ y l´ım

f 0 (x) = +∞. g 0 (x)

x→0+

x→0+

x→0+

x→0+

a) Supongamos que l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0. Definamos las siguientes funciones: x→0+

x→0+

( f (x) si x > 0, x ∈ I F (x) = 0 si x = 0. ( g(x) si x > 0, x ∈ I G(x) = 0 si x = 0. Las dos funciones F y G son continuas en 0 por la derecha y derivables en I \ {0}. Adem´ as, del teorema de Rolle 5.2.6 se deduce que para cada x > 0 tiene que ser G(x) 6= G(0), ya que de lo contrario se tendr´ıa 0 = G0 (c) = g 0 (c) para alg´ un c. Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado, para cada x > 0, x ∈ I, existe alg´ un c tal que 0 < c < x y f (x) F (x) − F (0) F 0 (c) f 0 (c) = = 0 = 0 . g(x) G(x) − G(0) G (c) g (c) Ahora sea (xn ) ⊆ I una sucesi´on cualquiera tal que xn > 0 para todo n ∈ N y xn → 0. Si para cada n ∈ N tomamos un cn que cumpla la f´ormula anterior, entonces cn → 0+ y l´ım n

f (xn ) f 0 (cn ) = l´ım 0 = L. n g (cn ) g(xn )

Por la caracterizaci´on de l´ımites mediante sucesiones, deducimos que l´ım

x→0+

f (x) = L. g(x)

f 0 (x) = L ∈ R. x→0+ x→0+ g 0 (x) Dado que g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I, x > 0, deducimos del teorema de Rolle 5.2.6 que g es inyectiva en I ∩ (0, +∞). Para cada par de puntos distintos x, y ∈ I positivos, podemos escribir b) Supongamos que l´ım g(x) = +∞ y que l´ım

f (x) f (x) − f (y) g(x) − g(y) f (y) = · + . g(x) g(x) − g(y) g(x) g(x) Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado,   f (x) f 0 (c) g(y) f (y) = 0 · 1− + g(x) g (c) g(x) g(x)  0  0 f (c) 1 f (c) = 0 + − 0 · g(y) + f (y) g (c) g(x) g (c) para alg´ un c comprendido entre x e y. Por lo tanto, 0  0  f (x) f (c) 1 f (c) g(x) − L = g 0 (c) − L + g(x) − g 0 (c) · g(y) + f (y) 0   0 f (c) f (c) 1 · |g(y)| + |f (y)| ≤ 0 − L + g (c) |g(x)| g 0 (c) 0   0 f (c) f (c) 1 ≤ 0 − L + − L · |g(y)| + |L| · |g(y)| + |f (y)| . g (c) |g(x)| g 0 (c)

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

82 Sea ε > 0. Existe alg´ un r > 0 tal que 0 f (c) ε g 0 (c) − L < 2 ,

si 0 < c < r.

Fijemos y = r. Ahora existe alg´ un δ > 0, con δ < r, tal que h i 2 ε g(x) > · |g(r)| + |L| · |g(r)| + |f (r)| , ε 2

si 0 < x < δ.

Entonces, para cada x con 0 < x < δ se tiene (teniendo en cuenta que 0 < x < c < y = r) 0  0  f (c) f (c) f (x) 1 ε ε g(x) − L ≤ g 0 (c) − L + |g(x)| g 0 (c) − L · |g(r)| + |L| · |g(r)| + |f (r)| < 2 + 2 = ε. Esto prueba que l´ım

x→0+

f (x) = L. g(x)

f 0 (x) = +∞. Volvemos a la expresi´on x→0+ g 0 (x)   f (x) f 0 (c) g(y) f (y) = 0 · 1− + , g(x) g (c) g(x) g(x)

c) Supongamos que l´ım g(x) = +∞ y que l´ım x→0+

donde c est´a comprendido entre x e y. Dado M > 0, existe alg´ un n´ umero r > 0 tal que f 0 (c) > 2(M + 1), g 0 (c)

si 0 < c < r.

Fijamos y = r y ahora existe alg´ un δ1 > 0 tal que 1−

g(r) 1 > , g(x) 2

si 0 < x < δ1

y tambi´en alg´ un δ2 > 0 tal que f (r) > −1, g(x)

si 0 < x < δ2 .

Elegimos δ = m´ın{r, δ1 , δ2 }. Para cada x con 0 < x < δ, teniendo en cuenta tambi´en que 0 < x < c < y = r, resulta que   f (x) f 0 (c) g(r) f (r) 1 = 0 · 1− + > 2(M + 1) · − 1 = M. g(x) g (c) g(x) g(x) 2 Esto prueba que l´ım

x→0+

f (x) = +∞. g(x)

Corolario 5.3.9. Sea I un intervalo, a ∈ I, f una funci´ on definida en I. Supongamos que: a) f es continua en a; b) para alg´ un r > 0, f es derivable en {x ∈ I : 0 < |x − a| < r}; c) existe l´ım f 0 (x) = c. x→a

Entonces f es tambi´en derivable en a y f 0 (a) = c. Demostraci´ on. Basta aplicar la regla de L’Hospital 5.3.8 a las funciones F y G dadas por F (x) = f (x) − f (a), G(x) = x − a.

´ POLINOMICA ´ 5.4. APROXIMACION LOCAL

5.4. 5.4.1.

83

Aproximaci´ on polin´ omica local Desarrollos polin´ omicos. Teorema de Taylor-Young

Definici´ on 5.4.1 (derivadas de orden superior). Sea f una funci´ on derivable en un conjunto 0 0 D. Dado c ∈ D ∩ D , si la funci´ on derivada f es derivable en c diremos que f es dos veces derivable en c, y a la derivada de f 0 en c, que denotaremos por f 00 (c), la llamaremos derivada segunda de f en c. Diremos que f es dos veces derivable en un conjunto D si f es dos veces derivable en cada punto de D. Si esto sucede, la funci´ on f 00 definida en D asociando a cada x ∈ D el valor f 00 (x) se denomina funci´ on derivada segunda de f en D. Reiterando, se define para cada n ∈ N el concepto de funci´ on n veces derivable en un punto, en un conjunto, la derivada de orden n en un punto, que se escribe f (n) (c), y la funci´ on derivada de orden n. Ejercicio (derivadas sucesivas de un producto: regla de Leibniz). Sea I un intervalo, c un punto de I, f y g funciones definidas en I. Dado n ∈ N, si f y g son funciones derivables hasta el orden n en el punto c, entonces el producto f g es derivable hasta el orden n en el punto c, y se tiene n   X n (k) (f g)(n) (c) = f (c) g (n−k) (c). k k=0

Teorema 5.4.2 (de Taylor-Young). Sea I un intervalo, c un punto de I, f una funci´ on definida en I. Supongamos que f es derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 (n ≥ 1) y que existe f (n) (c). Entonces " # 00 (c) (n) (c) 1 f f l´ım f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0. x→c (x − c)n 2 n! Demostraci´ on. Lo probaremos por inducci´on sobre n. Fijados I y c ∈ I, sea Pn la propiedad: “dada una funci´ on f : I → R derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 y tal que existe f (n) (c), se verifica " # 00 (c) (n) (c) 1 f f l´ım f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0”. x→c (x − c)n 2 n! La propiedad P1 es cierta, puesto que tenemos entonces una funci´on f derivable en c y, por la definici´on de derivada en un punto, ser´a     f (x) − f (c) 1 0 0 l´ım f (x) − f (c) − f (c)(x − c) = l´ım − f (c) = 0. x→c (x − c) x→c (x − c) Veamos ahora que si es cierta Pn , tambi´en lo es Pn+1 . Sea f : I → R una funci´on derivable en todos los puntos hasta el orden n y tal que existe f (n+1) (c). Su funci´on derivada f 0 : I → R es una funci´on derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 para la que existe la derivada de orden n en c. Aplicando la hip´otesis de inducci´on a f 0 , " # 000 (c) (n+1) (c) 1 f f l´ım f 0 (x) − f 0 (c) − f 00 (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0. x→c (x − c)n 2 n! Definamos F : I → R por F (x) = f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) −

f 00 (c) f (n) (c) f (n+1) (c) (x − c)2 − · · · − (x − c)n − (x − c)n+1 . 2 n! (n + 1)!

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

84 La funci´on F es derivable en cada x ∈ I con derivada F 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (c) − f 00 (c)(x − c) −

f 000 (c) f (n+1) (c) (x − c)2 − · · · − (x − c)n ; 2 n!

teniendo en cuenta la regla de L’Hospital 5.3.8 se deduce que existe " # 00 (c) (n+1) (c) 1 f f f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n+1 l´ım x→c (x − c)n+1 2 (n + 1)! F (x) F 0 (x) = l´ ım = 0. x→c (x − c)n+1 x→c (n + 1)(x − c)n

= l´ım

Podemos expresar el teorema de Taylor-Young de otras formas, introduciendo algunos conceptos nuevos. Definici´ on 5.4.3. Dada una funci´ on f derivable n veces en un punto c, se llama polinomio de Taylor en c de orden n al polinomio Pn,c,f (x) = f (c) + f 0 (c)(x − c) +

f 00 (c) f (n) (c) (x − c)2 + · · · + (x − c)n 2 n!

(n´ otese que se trata de un polinomio de grado menor o igual que n). Entonces, la f´ormula del teorema de Taylor-Young se puede escribir as´ı: f (x) − Pn,c,f (x) = 0. x→c (x − c)n l´ım

Si definimos

  f (x) − Pn,c,f (x) , si x 6= c (x − c)n u(x) =  0, si x = c

entonces la f´ormula del teorema de Taylor-Young es: f (x) = Pn,c,f (x) + (x − c)n u(x), con una funci´on u continua en c y u(c) = 0. Tambi´en se suele usar la notaci´on “o peque˜ na” de Landau: Definici´ on 5.4.4. Si f y g son dos funciones, se dice que f (x) = o(g(x)) cuando x → c si f (x) = 0. x→c g(x) l´ım

Tambi´en se escribe f (x) = h(x) + o(g(x)) si f (x) − h(x) = o(g(x)), es decir, si f (x) − h(x) = 0. x→c g(x) l´ım

Con esto, la f´ormula del teorema de Taylor-Young es f (x) = Pn,c,f (x) + o((x − c)n ),

x → c.

Es interesante saber que para una funci´on dada solo puede haber un polinomio de grado menor o igual que n que cumpla esa condici´on, como pasamos a demostrar.

´ POLINOMICA ´ 5.4. APROXIMACION LOCAL

85

Proposici´ on 5.4.5 (unicidad de la aproximaci´ on polin´ omica). Sea I un intervalo, c ∈ I, f : I → R, n ∈ N. Supongamos que existen polinomios P y Q de grado menor o igual que n tales que f (x) − Q(x) f (x) − P (x) = l´ım =0 l´ım n x→c x→c (x − c) (x − c)n Entonces P = Q. Demostraci´ on. Como P − Q es un polinomio de grado menor o igual que n, se tendr´a que P (x) − Q(x) = b0 + b1 (x − c) + · · · + bn (x − c)n para ciertos coeficientes b0 , b1 , . . . , bn . Y como P (x) − Q(x) [f (x) − Q(x)] − [f (x) − P (x)] = l´ım = 0, n x→c x→c (x − c) (x − c)n l´ım

resulta en primer lugar que P (x) − Q(x) · (x − c)n = 0. x→c (x − c)n

b0 = l´ım [P (x) − Q(x)] = l´ım x→c

Luego realmente P (x) − Q(x) = b1 (x − c) + · · · + bn (x − c)n . Pero entonces

P (x) − Q(x) P (x) − Q(x) = l´ım · (x − c)n−1 = 0, x→c x→c x−c (x − c)n

b1 = l´ım y reiterando el proceso,

b2 = · · · = bn = 0, es decir, P = Q. Este resultado permite denominar a P el desarrollo polin´ omico de f de orden n en el punto c (se usa tambi´en el nombre de desarrollo limitado). No toda funci´on admite un desarrollo polin´omico; el teorema de Taylor-Young da una condici´on suficiente , aunque no necesaria , para su existencia. Ejemplos. (1) La funci´on  cos x + x3 sen 1 f (x) = x 1

si x 6= 0 si x = 0

no tiene derivada segunda en el origen, pero es f´acil comprobar que f (x) = 1 −

1 2 x + o(x2 ) 2

cuando x → 0. (2) La funci´on ( x2 log x f (x) = 0

si x 6= 0 si x = 0

es derivable en el origen, y por tanto admite un desarrollo polin´omico en el origen de orden 1. Sin embargo, no admite desarrollos polin´omicos de orden superior a 1.

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

86

Observaci´ on. En algunas ocasiones, podemos calcular derivadas n-´esimas en un punto a partir del teorema de Taylor-Young y de la unicidad del desarrollo. Por ejemplo, sea f (x) = 1/(1 − x). Como 1 x7 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + 1−x 1−x y

x7 es una o(x6 ) cuando x → 0, se deduce que 1−x P6,0,f (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 .

Es decir, f (0) = f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 2, f 000 (0) = 3!, f (4) (0) = 4!, f (5) (0) = 5!, f 6 (0) = 6!. Si conocemos el desarrollo polin´omico de la derivada de una funci´on podemos obtener f´acilmente un desarrollo polin´omico para la funci´on misma. Concretamente: Proposici´ on 5.4.6. Sea I un intervalo, c ∈ I, f : I → R, n ∈ N. Supongamos que f es continua en I y derivable en I \ {c}. Si f 0 (x) = a0 + a1 (x − c) + · · · + an (x − c)n + o ((x − c)n ) ,

x → c,

entonces f (x) = f (c) + a0 (x − c) +


a1 an (x − c)2 + · · · + (x − c)n+1 + o (x − c)n+1 , 2 n+1

x → c.

Demostraci´ on. Es una consecuencia inmediata de la regla de L’Hospital 5.3.8: an f (x) − f (c) − a0 (x − c) − a21 (x − c)2 − · · · − n+1 (x − c)n+1 x→c (x − c)n+1 0 f (x) − a0 − a1 (x − c) − · · · − an (x − c)n = l´ım = 0. x→c (n + 1)(x − c)n

l´ım

5.4.2.

Aplicaci´ on al c´ alculo de l´ımites

Corolario 5.4.7. Sea I un intervalo, c un punto de I, f una funci´ on definida en I. Supongamos que f es derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 (n ≥ 1) y que existe f (n) (c). Si f (n) (c) 6= 0, entonces f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) −

f (n−1) (c) f (n) (c) f 00 (c) (x − c)2 − · · · − (x − c)n−1 ∼ (x − c)n , 2 (n − 1)! n!

x → c.

Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que para x → c, f 00 (c) 2 2 (x − c) − · · · (f (n) (c)/n!) (x − c)n

f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) −

f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) − · · · − =

f (n−1) (c) (n−1)!

−

f (n−1) (c) (n−1)!

(x − c)n−1 −

(f (n) (c)/n!) (x − c)n

(x − c)n−1 f (n) (c) n!

−1

(x − c)n

−→ 0.

Nota. Las equivalencias que vimos para funciones elementales se obtienen como caso particular de este corolario, conociendo los valores de las derivadas de tales funciones. Adem´as, podemos ‘afinar’ esas equivalencias, lo que resulta especialmente u ´til cuando hay que manejar sumas o diferencias de funciones conocidas.

´ POLINOMICA ´ 5.4. APROXIMACION LOCAL

87

Observaci´ on. Este resultado, junto con el teorema 5.4.2 de Taylor-Young, permite en muchos casos resolver con comodidad indeterminaciones del tipo “0/0” en el c´alculo de l´ımites. Disponemos as´ı de procedimientos que en algunos casos sustituyen con ventaja a la aplicaci´on repetida de la regla de L’Hospital 5.3.8. Ejemplo. Calculemos el l´ımite 1 6 x (sen x − x)2 − 36 . 8 x→0 x Para empezar, utilizando el teorema 5.4.2 de Taylor-Young, se deduce que

l´ım

1 1 5 sen x = x − x3 + x + o(x5 ), 6 120 cuando x → 0. Por lo tanto, 1 1 5 sen x − x = − x3 + x + o(x5 ), 6 120 cuando x → 0. Elevando al cuadrado, es f´acil comprobar que (sen x − x)2 =

1 6 1 8 x − x + o(x8 ) 36 360

cuando x → 0. Entonces, (sen x − x)2 − x8

1 6 36 x

=−

1 o(x8 ) + 360 x8

cuando x → 0 y, finalmente, (sen x − x)2 − l´ım x→0 x8

5.4.3.

1 6 36 x

=−

1 . 360

F´ ormula de Taylor con resto

Seguimos la exposici´on del [Ortega, p´ag. 119 y siguientes]. Teorema 5.4.8 (de Taylor). Sea f una funci´ on n+1 veces derivable en un intervalo I. Entonces, dados a, x ∈ I, se cumple f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +

f (n) (a) f 00 (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n + Rn (x, a) 2 n!

donde Rn (x, a) (resto de Taylor o t´ ermino complementario ) es una funci´ on que depende de x y de a y que puede expresarse de las siguientes formas: a) T´ ermino complementario de Lagrange: Existe un punto s interior al intervalo de extremos a y x [equivalentemente: existe un s = λa + (1 − λ)x con λ ∈ (0, 1)] tal que Rn (x, a) =

f (n+1) (s) (x − a)n+1 . (n + 1)!

b) T´ ermino complementario de Cauchy: Existe un punto c interior al intervalo de extremos a y x [equivalentemente: existe un c = λa + (1 − λ)x con λ ∈ (0, 1)] tal que Rn (x, a) =

f (n+1) (c) (x − a)(x − c)n . n!

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

88 Demostraci´ on. Est´a claro que "

# (n) (a) 00 (a) f f (x − a)2 + · · · + (x − a)n . Rn (x, a) = f (x) − f (a) + f 0 (a)(x − a) + 2 n!

Lo que hay que probar es que Rn (x, a) puede escribirse de las formas anteriores (f´ormulas de Lagrange y de Cauchy, respectivamente). Definamos h : I → R de la siguiente manera: h(t) = f (t) + (x − t)f 0 (t) + (x − t)2

f 00 (t) f (n−1) (t) f (n) (t) + · · · + (x − t)n−1 + (x − t)n 2 (n − 1)! n!

(obs´ervese que la variable es t, y que x es una constante). Seg´ un las hip´otesis, h es derivable en I. Adem´as, para cada t ∈ I,   000  0  0 0 00 00 2 f (t) h (t) = f (t) + −f (t) + (x − t)f (t) + −(x − t)f (t) + (x − t) + ... 2 " # " # (n−1) (t) (n) (t) (n) (t) (n+1) (t) n−1 f n−1 f nf n−2 f + −(x − t) + (x − t) + −(x − t) + (x − t) (n − 2)! (n − 1)! (n − 1)! n! f (n+1) (t) . n! Demostremos ahora las f´ormulas de Lagrange y de Cauchy, empezando por esta u ´ltima. (b) Por el teorema 5.2.7 del valor medio, existe alg´ un c comprendido entre x y a tal que h(x) = h(a) + h0 (c)(x − a), es decir, = (x − t)n

f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + (x − a)2

f 00 (a) f (n−1) (a) f (n) (a) + · · · + (x − a)n−1 + (x − a)n 2 (n − 1)! n!

f (n+1) (c) (x − a). n! Esto demuestra la f´ormula de Cauchy para el resto Rn (x, a). (a) Ahora consideremos la funci´on g(t) = (x − t)n+1 . Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado, existe alg´ un s comprendido entre x y a tal que + (x − c)n

h(x) − h(a) h0 (s) (x − s)n f (n+1) (s) f (n+1) (s) = 0 =− = − , g(x) − g(a) g (s) n!(n + 1)(x − s)n (n + 1)! es decir, f (x) = h(x) = h(a) −

f (n+1) (s) [g(x) − g(a)] (n + 1)!

= f (a) + (x − a)f 0 (a) + (x − a)2 +

f 00 (a) f (n−1) (a) f (n) (a) + · · · + (x − a)n−1 + (x − a)n 2 (n − 1)! n!

f (n+1) (s) (x − a)n+1 . (n + 1)!

Esto demuestra la f´ormula de Lagrange para el resto Rn (x, a). El resto de Taylor es el error cometido al sustituir la funci´on por su polinomio de Taylor. El teorema anterior proporciona expresiones expl´ıcitas del resto, muy u ´tiles en la pr´actica para controlar ese error. N´otese que los resultados obtenidos pueden reescribirse del siguiente modo: f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + · · · + = f (a) + f 0 (a)(x − a) + · · · +

f (n) (a) f (n+1) (s) (x − a)n + (x − a)n+1 n! (n + 1)! f (n) (a) f (n+1) (c) (x − a)n + (x − a)(x − c)n n! n!

´ POLINOMICA ´ 5.4. APROXIMACION LOCAL

89

para s, c adecuados. La f´ormula de Taylor-Young nos daba tambi´en una expresi´on del resto de Taylor, aunque menos informativa sobre su ‘tama˜ no’: tan solo da idea de su comportamiento en el l´ımite (aunque con menos exigencias sobre la funci´on). Aplicaciones. (1) C´alculos aproximados [Ortega, p´ag. 123]. (2) Demostraci´on de algunas desigualdades [Ortega, p´ags. 124–125]. (3) e es irracional. Nota. La f´ormula y el polinomio de Taylor se llaman de Taylor-Maclaurin en el caso particular a = 0.

ALGUNOS POLINOMIOS DE TAYLOR-MACLAURIN ´ FUNCION

POLINOMIO DE TAYLOR-MACLAURIN

RESTO

1 1−x

1 + x + x2 + x3 + · · · + xn

1 xn+1 (1 − t)n+2

ex log(1 + x) (1 + x)α sen x cos x tg x sec x arc sen x arc tg x senh x cosh x tgh x arg senh x arg tgh x

1+x+

1 2 1 1 x + x3 + · · · + xn 2! 3! n!

1 1 1 (−1)n+1 n x − x2 + x3 − x4 + · · · + x 2 3 4 n   α(α − 1) 2 α n 1 + αx + x + ··· + x 2! n x−

et xn+1 (n + 1)! (−1)n xn+1 (n + 1)(1 + t)n+1
xn+1 α n+1 (1 + t)n+1−α

1 3 1 1 (−1)n 2n+1 x + x5 − x7 + · · · + x 3! 5! 7! (2n + 1)!

(−1)n+1 cos t 2n+3 x (2n + 3)!

1 2 1 1 (−1)n 2n x + x4 − x6 + · · · + x 2! 4! 6! (2n)!

(−1)n+1 cos t 2n+2 x (2n + 2)!

1−

2 17 7 1 x + x3 + x5 + x 3 15 315 1 5 61 6 1 + x2 + x4 + x 2 24 720 1 3 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x2n+1 x + x3 + x5 + · · · + · 6 40 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 2n + 1 1 1 1 (−1)n 2n+1 x − x3 + x5 − x7 + · · · + x 3 5 7 2n + 1 1 1 1 1 x + x3 + x5 + x7 + · · · + x2n+1 3! 5! 7! (2n + 1)! 1+

1 1 1 1 2 x + x4 + x6 + · · · + x2n 2! 4! 6! (2n)!

1 2 17 7 x − x3 + x5 − x 3 15 315 1 3 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x2n+1 x − x3 + x5 + · · · + (−1)n · 6 40 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 2n + 1 1 1 1 1 x + x3 + x5 + x7 + · · · + x2n+1 3 5 7 2n + 1

o(x8 ) o(x7 ) o(x2n+2 ) o(x2n+2 ) cosh t 2n+3 x (2n + 3)! cosh t 2n+2 x (2n + 2)! o(x8 ) o(x2n+2 ) o(x2n+2 )

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

90

5.4.4.

Extremos relativos

Recordemos que, por definici´on, una funci´on f : D → R tiene en un punto a ∈ D un m´aximo relativo si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ es f (a) ≥ f (x). Se dice que el m´aximo relativo es estricto si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ es f (a) > f (x). An´alogamente, f tiene un m´ınimo relativo en a si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ es f (a) ≤ f (x). Y es un m´ınimo relativo estricto si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ es f (a) < f (x). Se dice que f tiene un extremo relativo en a si tiene en a un m´aximo relativo o un m´ınimo relativo. Hab´ıamos visto el siguiente resultado: Proposici´ on 5.4.9. Sea f : D ⊆ R → R y c un punto interior de D. Supongamos que f es derivable en c. Entonces, si f tiene en c un extremo relativo, necesariamente f 0 (c) = 0. Tenemos as´ı una condici´on necesaria para la existencia de extremos relativos que, seg´ un sabemos, no es condici´on suficiente. Usando el teorema de Taylor-Young se puede dar una condici´on suficiente mediante las derivadas de orden superior. Teorema 5.4.10 (condiciones para la existencia de extremos relativos). Sea f una funci´ on (n) derivable n − 1 veces (n > 1) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (a) y adem´ as f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0,

f (n) (a) 6= 0.

Entonces: a) n par, f (n) (a) > 0 =⇒ f tiene en a un m´ınimo relativo estricto; b) n par, f (n) (a) < 0 =⇒ f tiene en a un m´ aximo relativo estricto; c) n impar =⇒ f no tiene un extremo relativo en a. Demostraci´ on. Observemos que podemos aplicar el corolario 5.4.7 y, por lo tanto, f (x)−f (a)−f 0 (a)(x−a)−

f 00 (a) f (n−1) (a) f (n) (a) (x−a)2 −· · ·− (x−a)n−1 ∼ (x−a)n , 2 (n − 1)! n!

x → a.

Como f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, quedar´a f (x) − f (a) ∼ de donde

f (n) (a) (x − a)n , n!

x → a,

f (x) − f (a) f (n) (a) = . n x→a (x − a) n! l´ım

Puesto que f (n) (a) 6= 0 se sigue que, para alg´ un r > 0, se cumplir´a para todo x ∈ I con 0 < |x − a| < r que f (x) − f (a) f (n) (a) signo = signo = signo f (n) (a). n (x − a) n! Estudiemos ahora los distintos casos posibles. a) Si n es par y f (n) (a) > 0, para los x ∈ I con 0 < |x − a| < r es signo(f (x) − f (a)) = signo

f (x) − f (a) = signo f (n) (a). (x − a)n

ya que por ser n par, se tiene (x − a)n > 0. Luego para todo x ∈ I con 0 < |x − a| < r queda f (x) > f (a) y f tiene en a un m´ınimo relativo estricto.

´ POLINOMICA ´ 5.4. APROXIMACION LOCAL

91

b) Si n es par y f (n) (a) < 0, se procede de la misma manera y se llega a que f tiene en a un m´aximo relativo estricto. c) Si n es impar, entonces (x − a)n < 0 si x < a; y (x − a)n > 0 si x > a. Luego f (x) − f (a) tiene un signo si x ∈ I ∩ (a − r, a) y el signo contrario si x ∈ I ∩ (a, a + r). Por lo tanto, f no tiene un extremo relativo en a.

5.4.5.

Convexidad y concavidad

Sea I un intervalo y f : I −→ R una funci´on. Recordemos que si a y b son dos puntos distintos de I, la recta (en R2 ) que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) tiene la ecuaci´on: y(x) = f (a) +

f (b) − f (a) (x − a) b−a

y(x) = f (b) +

f (b) − f (a) (x − b). b−a

o, de otra manera,

Definici´ on 5.4.11. Sea f : I −→ R, I un intervalo. Se dice que f es convexa en I si para cualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene f (c) ≤ f (a) +

f (b) − f (a) (c − a) b−a

(es decir, la gr´ afica de f est´ a por debajo de todas las cuerdas) o, lo que es igual, f (c) − f (a) f (b) − f (a) ≤ c−a b−a (es decir, la pendiente de la cuerda crece al crecer una de las abscisas). Se dice que f es c´ oncava en I si para cualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene f (c) ≥ f (a) +

f (b) − f (a) (c − a) b−a

o, lo que es igual, f (b) − f (a) f (c) − f (a) ≥ . c−a b−a Observaci´ on. Que c ∈ (a, b) equivale a que c = λa + (1 − λ)b, con λ ∈ (0, 1). Es f´acil ver entonces que f (b) − f (a) f (c) ≤ f (a) + (c − a) ⇐⇒ f (c) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b). b−a

Funci´ on convexa y funci´ on c´ oncava

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

92

El siguiente resultado se deduce inmediatamente de las definiciones. Proposici´ on 5.4.12. Sea f : I −→ R, I un intervalo. La funci´ on f es c´ oncava en I si y solo si −f es convexa en I. Teorema 5.4.13. Sea f una funci´ on derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extremos si estos pertenecen al intervalo). Son equivalentes: a) f es convexa en I; b) “la gr´ afica de f est´ a por encima de sus tangentes”: f (b) ≥ f (a) + f 0 (a)(b − a)

∀ a, b ∈ I;

c) f 0 es no decreciente en I. Demostraci´ on. (a) =⇒ (b): sean a, b ∈ I; supongamos que a < b. Entonces, ∀ x ∈ (a, b) se tiene f (x) − f (a) f (b) − f (a) ≤ ; x−a b−a puesto que f es derivable en a, haciendo x −→ a+ se obtiene f 0 (a) ≤

f (b) − f (a) b−a

y como b − a > 0, resulta f 0 (a)(b − a) + f (a) ≤ f (b), como ten´ıamos que demostrar. Si, por el contrario, b < a, entonces se tiene para todo x ∈ (b, a) f (x) ≤ f (b) +

f (a) − f (b) f (b) − f (a) (x − b) = f (a) + (x − a), a−b b−a

de donde, haciendo x −→ a− , f (b) − f (a) ; b−a y como b − a < 0, resulta tambi´en en este caso f 0 (a)(b − a) + f (a) ≤ f (b). (b) =⇒ (c): sean a, b ∈ I, a < b. Por hip´otesis, f 0 (a) ≥

f 0 (a)(b − a) ≤ f (b) − f (a) y, cambiando los papeles de a y b, f (b) − f (a) ≤ f 0 (b)(b − a); luego f 0 (a)(b − a) ≤ f 0 (b)(b − a) y, por ser b − a > 0, f 0 (a) ≤ f 0 (b). Es decir, f 0 es no decreciente. (c) =⇒ (a): sean a, b, c ∈ I, a < c < b. Por el teorema del valor medio, ∃ α ∈ (a, c) tal que f (c) − f (a) = f 0 (α)(c − a); ∃ β ∈ (c, b) tal que f (b) − f (c) = f 0 (β)(b − c). Por hip´otesis, f 0 (α) ≤ f 0 (β), luego f (b) − f (a) = f 0 (α)(c − a) + f 0 (β)(b − c) ≥ f 0 (α)(c − a) + f 0 (α)(b − c) = f 0 (α)(b − a) = como b − a > 0, se deduce que f (b) − f (a) f (c) − f (a) ≤ . c−a b−a Y f es convexa.

f (c) − f (a) (b − a); c−a

´ POLINOMICA ´ 5.4. APROXIMACION LOCAL

93

Corolario 5.4.14. Sea f derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extremos si estos pertenecen al intervalo). Son equivalentes: a) f es c´ oncava en I; b) “la gr´ afica de f est´ a por debajo de sus tangentes”: f (b) ≤ f (a) + f 0 (a)(b − a)

∀ a, b ∈ I;

c) f 0 es no creciente en I. Corolario 5.4.15. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes: a) f es convexa en I; b) f 00 (x) ≥ 0

∀ x ∈ I.

Corolario 5.4.16. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes: a) f es c´ oncava en I; b) f 00 (x) ≤ 0

∀ x ∈ I.

Definici´ on 5.4.17. Sea f una funci´ on y sea a ∈ dom f . Se dice que f tiene en a un punto de inflexi´ on si existe δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊆ dom f y o bien f es convexa en (a − δ, a] y c´ oncava en [a, a + δ), o bien es c´ oncava en (a − δ, a] y convexa en [a, a + δ). Proposici´ on 5.4.18. Sea f : D ⊆ R → R y a un punto interior de D. Supongamos que f es derivable en un intervalo abierto I ⊆ D tal que a ∈ I. Entonces, si f tiene un punto de inflexi´ on 00 00 en a y existe f (a), necesariamente f (a) = 0. Demostraci´ on. Por hip´otesis existe δ > 0 tal que f es convexa en (a − δ, a] y c´oncava en [a, a + δ) (si es al rev´es, se procede de manera an´aloga). A su vez, para alg´ un % > 0 se tendr´a (a − %, a + %) ⊆ I. Haciendo r = m´ın{δ, %}, la funci´on f es derivable en (a − r, a + r) ⊆ I, convexa en (a − r, a] y c´oncava en [a, a + r). En consecuencia la funci´on f 0 es mon´otona no decreciente en (a − r, a] y mon´otona no creciente en [a, a + r), por lo que tiene en a un m´aximo local; como f 0 es derivable en a, su derivada se anula; es decir, f 00 (a) = 0. Observaci´ on. Aun suponiendo que f sea derivable en a, que f tenga en a un punto de inflexi´ on 0 0 no tiene ninguna relaci´on con el valor de f (a) y, en particular, no tiene por qu´e ser f (a) = 0. Proposici´ on 5.4.19 (condici´ on suficiente para la existencia de puntos de inflexi´ on). Sea f una funci´ on derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n) (a) y adem´ as f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) 6= 0. Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexi´ on. Demostraci´ on. Por el corolario 5.4.7(aplicado a la funci´on f 00 ), f 00 (x) ∼

(f 00 )(n−2) (a) (x − a)n−2 , (n − 2)!

luego f 00 (x) f (n) (a) = 6= 0 x→a (x − a)n−2 (n − 2)! l´ım

y f 00 (x)/(x − a)n−2 tiene signo constante en (a − δ, a + δ) \ {a} para alg´ un δ > 0; por ser n − 2 impar, resulta que f 00 tiene un signo en (a − δ, a) y el otro en (a, a + δ). Como f 00 (a) = 0, se deduce que o bien f es convexa en (a − δ, a] y c´oncava en [a, a + δ) o al rev´es. Es decir, f tiene un punto de inflexi´on en a.

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

94

Corolario 5.4.20. Sea f una funci´ on derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n) (a) y adem´ as f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0,

f (n) (a) 6= 0.

Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexi´ on con tangente horizontal y no un extremo local. Demostraci´ on. Ver el resultado anterior y el teorema 5.4.10.

5.4.6.

Representaci´ on gr´ afica de funciones

Si f es una funci´on real de una variable real, su estudio y representaci´on gr´afica puede sistematizarse en los siguientes pasos (de los que han de llevarse a cabo tan solo los que resulten imprescindibles para responder a las cuestiones que se traten de resolver, y siempre de la manera m´as sencilla posible): 1) Generalidades. a) Determinaci´on de su dominio. b) Simplificaci´on del estudio: paridad [f (−x) = f (x)] o imparidad [f (−x) = −f (x)]; periodicidad [f (x + p) = f (x)]. Otras simetr´ıas. Regiones planas sin puntos de la gr´afica. c) L´ımites de la funci´on en puntos del dominio; continuidad. d) L´ımites de la funci´on en los puntos de acumulaci´on del dominio que no pertenezcan a ´el. En particular, as´ıntotas verticales: si para alg´ un punto a de acumulaci´on del dominio de f se cumple l´ım f (x) = +∞, la recta x = a es una as´ıntota vertical (lo mismo si el x→a−

l´ımite es −∞ o si el l´ımite es por la derecha). e) Comportamiento en el infinito: as´ıntotas horizontales y oblicuas. • Si el dominio de f no est´a acotado superiormente y para alg´ un b ∈ R es l´ım f (x) = x→+∞

b, la recta y = b es una as´ıntota horizontal. • Si existen a, b ∈ R tales que l´ım [f (x) − (ax + b)] = 0, la recta y = ax + b es una x→+∞

as´ıntota oblicua. En este caso, a = l´ım

x→+∞

f (x) , x

b = l´ım [f (x) − ax]. x→+∞

Una as´ıntota horizontal es un caso particular de as´ıntota oblicua, con a = 0. f (x) • Si existe a ∈ R tal que a = l´ım , la recta y = ax es una direcci´ on asint´ otica de x→+∞ x la gr´afica (aun cuando no exista as´ıntota). En este caso, si l´ım [f (x) − ax] = +∞ x→+∞

se dice que la gr´afica de f tiene una rama parab´ olica de direcci´on asint´otica y = ax. • Lo mismo para x → −∞ (si el dominio de f no est´a acotado inferiormente). f) Crecimiento y decrecimiento. 2) Estudio de la derivada. a) Derivabilidad de la funci´on. Puntos con tangente vertical. b) Signo de la derivada: crecimiento y decrecimiento; extremos relativos y absolutos. c) Crecimiento y decrecimiento de la derivada: convexidad y concavidad; puntos de inflexi´on. d) Puntos cr´ıticos o singulares.

´ POLINOMICA ´ 5.4. APROXIMACION LOCAL

95

3) Estudio de la derivada segunda. a) Existencia de la derivada segunda. b) Signo de la derivada segunda: convexidad y concavidad; puntos de inflexi´on. 4) Otras consideraciones: valores particulares de la funci´on o de sus derivadas; cortes con los ejes; cortes con las as´ıntotas.

96

´ CAP´ITULO 5. DERIVACION

Bibliograf´ıa [Dura´n]

Dur´ an, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del c´ alculo. Alianza, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´agina(s) 72

[Hairer-Wanner] Hairer, E.; Wanner, G.: Analysis by Its History. Springer, Nueva York, 1996. Citado en la(s) p´agina(s) 72 [Ortega]

Ortega, J. M.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico. Labor, Barcelona, 1995. Citado en la(s) p´agina(s) 87, 89

[R´ıbnikov]

R´ıbnikov, K.: Historia de las Matem´ aticas. Mir, Mosc´ u, 1987. Citado en la(s) p´agina(s) 72

[Ross]

Ross, K.A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ın, 1980. Citado en la(s) p´agina(s) 79

97

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 6

La integral de Riemann Vamos a dar una definici´on precisa de la integral de una funci´on definida en un intervalo. Este tiene que ser un intervalo acotado y cerrado, es decir [a, b] con a < b ∈ R, y la definici´on que daremos de integral s´olo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos integrables. En el siguiente cap´ıtulo veremos c´omo, en un sentido m´as amplio, podemos hablar de integrales de funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados. Seguiremos b´asicamente el desarrollo que puede verse, entre otros muchos textos, en [Ross, cap. VI, pp. 184 y ss.] o en [Bartle-Sherbert, cap. 6, pp. 251 y ss.]. Como complemento puede consultarse [Guzma´n, cap. 12]. La evoluci´on hist´orica de la integral est´a muy bien contada (sobre todo la aportaci´on de Newton y Leibniz) en [Dura´n]; de car´acter m´as t´ecnico es el libro [Grattan-Guinness].

6.1.

Definici´ on (de Darboux) de la integral de Riemann

6.1.1.

Definici´ on de integral

Definici´ on 6.1.1. Una partici´ on de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b] que incluye a los extremos. Una partici´ on P la denotaremos ordenando sus puntos de menor a mayor, comenzando en a y terminando en b, P = {xi }ni=0 ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. El conjunto de las particiones de [a, b] lo expresaremos como P([a, b]). Una partici´ on como la indicada divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ], cada uno de longitud xi − xi−1 . Definici´ on 6.1.2 (sumas de Darboux). Sea f una funci´ on acotada definida en [a, b], y sea P ∈ P([a, b]), P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n, Mi = sup{f (x); x ∈ [xi−1 , xi ]};

mi = inf{f (x); x ∈ [xi−1 , xi ]}.

La suma inferior de f asociada a P se define como S(f, P ) =

n X

mi (xi − xi−1 ),

i=1

y la suma superior de f asociada a P es S(f, P ) =

n X

Mi (xi − xi−1 ).

i=1

99

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

100

Observaci´ on. Para cualquier P ∈ P([a, b]) tenemos que S(f, P ) ≤ S(f, P ), ya que mi ≤ Mi para cada i. As´ı mismo, poniendo M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}, m = inf{f (x) : x ∈ [a, b]}, se deduce que m(b−a) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M (b−a) cualquiera que sea la partici´on P (y por consiguiente, tanto el conjunto de las sumas superiores como el de las sumas inferiores est´an acotados, superiormente por M (b − a), inferiormente por m(b − a)). Nota (relaci´ on entre la integral y la medida de ´ areas). Supongamos que f es una funci´ on no negativa, y consideremos la regi´on que delimita su gr´afica con las rectas y = 0, x = a y x = b. Si el ´area de dicha regi´on es A, entonces S(f, P ) ≤ A ≤ S(f, P ), ya que las respectivas sumas son las ´areas que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1 , xi ) por mi o Mi , y los hemos definido de forma que mi ≤ f ≤ Mi (de hecho hemos tomado los valores m´ as ajustados que cumplen dichas desigualdades).

En la figura, la diferencia entre la suma superior y el ´area A es lo que mide la zona de color amarillo (claro), y la diferencia entre A y la suma inferior es lo que mide la zona de color azul (oscuro). Parece claro que si tomamos una partici´on suficientemente nutrida de puntos podemos conseguir que estas zonas sean muy peque˜ nas, de forma que tanto la suma superior como la inferior sean arbitrariamente pr´oximas al ´area A. Definici´ on 6.1.3. Dada f acotada en [a, b], se define su integral inferior en [a, b] como Z b f = sup{S(f, P ); P ∈ P([a, b])}, a

y su integral superior en [a, b] como Z b f = inf{S(f, P ); P ∈ P([a, b])}. a

Notemos que, como consecuencia de la observaci´on previa, la integral inferior y la superior son valores reales perfectamente definidos para cualquier funci´on acotada en un intervalo cerrado y acotado. No es dif´ıcil adivinar que la integral inferior es siempre menor o igual que la superior, pero la demostraci´on de este hecho es menos trivial de lo que parece a simple vista. Para probarlo, necesitaremos un estudio m´as detallado de las sumas de Darboux, que posponemos al apartado siguiente.

´ (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 6.1. DEFINICION

101

Definici´ on 6.1.4. Una funci´ on f acotada en [a, b] es integrable-Riemann en [a, b] (en el sentido de Darboux), o simplemente integrable , si se cumple que Z

b

b

Z f=

f. a

a

En tal caso, al valor com´ un de dichas integrales se le llama la integral (de Riemann) de f en Z b [a, b], y se escribe f. a

Z A veces es c´omodo escribir la integral como

b

f (x)dx, expresando la funci´on mediante su a

valor f (x) en la variable x. En tal caso, es indiferente la letra empleada: el mismo significado tiene Z b Z b Z b f (y)dy, f (z)dz, f (t)dt, etc.; todos estos s´ımbolos representan la integral de la funci´ on a

a

a

f en el intervalo [a, b]. Ejemplos. (1) Integral de una funci´ on constante. Si f (x) = c para todo x ∈ [a, b] y P es la partici´on trivial {a, b} resulta que S(f, P ) = c(b − a) = S(f, P ). Se comprueba f´acilmente que lo mismo sucede para cualquier otra partici´on, as´ı que la integral superior y la inferior coinciden con c(b − a). Es decir, Z b c dx = c(b − a). a

(2) Integral de la funci´ on identidad. Si f (x) = x para todo x ∈ [a, b], su integral superior y su inferior coinciden con 21 (b2 − a2 ). Es decir, Z b 1 x dx = (b2 − a2 ). 2 a La comprobaci´on de este resultado a partir de la definici´on de integral requiere m´as esfuerzo del que cabe suponer (v´eanse en [Bartle-Sherbert, p. 257–258] los c´alculos para a = 0, b = 1). (3) Integral de la funci´ on cuadrado. Si f (x) = x2 para todo x ∈ [a, b], su integral superior y su inferior coinciden con 31 (b3 − a3 ). Es decir, Z b 1 x2 dx = (b3 − a3 ). 3 a La obtenci´on de esta f´ormula es sorprendentemente complicada. Los detalles del c´alculo pueden verse en [Ross, p. 186] o [Bartle-Sherbert, p. 258]. Este ejemplo y el anterior ponen de manifiesto la necesidad de hallar procedimientos indirectos de c´alculo que permitan evaluar c´omodamente al menos integrales de funciones tan sencillas como estas. Veremos algunos m´as adelante. (4) Hay funciones acotadas que no son integrables. Sea f : [0, 1] → R la dada por f (x) = 1 si x ∈ Q y f (x) = 0 si x ∈ / Q (funci´on de Dirichlet). Por la densidad de los racionales y de los irracionales, en cualquier intervalo [xi−1 , xi ], asociado a cualquier partici´on P , f toma los valores 0 y 1, luego resulta que S(f, P ) = 1 y S(f, P ) = 0. Por lo tanto la integral inferior vale 0 y la integral superior vale 1. ¡La funci´on de Dirichlet no es integrable-Riemann! Nota (¿la integral es el ´ area?). Dada una funci´on f acotada y no negativa, ya hemos visto que S(f, P ) ≤ A ≤ S(f, P ) para cada partici´on P , si A es el ´area de la regi´on que limita la gr´afica de f . Por tanto A es una cota superior del conjunto de las sumas inferiores y una cota inferior del conjunto de las sumas superiores, y entonces Z b Z b f ≤A≤ f. a

a

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

102

Z Si f es integrable los dos extremos de las desigualdades anteriores coinciden con

b

f , as´ı que A a

es igual a la integral de f .

Z

b

f (x) dx a

Pero hay que se˜ nalar un matiz importante: mientras que la integral es un concepto que hemos definido rigurosamente, nos hemos valido de una noci´on intuitiva e “ingenua” de la medida de ´ areas.

6.1.2.

Propiedades b´ asicas de las sumas de Darboux

Lema 6.1.5. Sea f una funci´ on acotada en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si P y Q son particiones de [a, b] y P ⊆ Q (se dice en tal caso que Q es m´as fina que P ), entonces S(f, P ) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P ), y en consecuencia S(f, Q) − S(f, Q) ≤ S(f, P ) − S(f, P ). Demostraci´ on. Basta probarlo en el caso en que Q tiene un elemento m´as que P ; para el caso general basta reiterar el razonamiento, a˜ nadiendo en cada paso un punto nuevo hasta obtener Q. Ponemos entonces Q = P ∪ {c}, con P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y Q ≡ a = x0 < . . . < xk−1 < c < xk < . . . < xn = b. Se trata de probar que S(f, P ) ≤ S(f, Q) y S(f, Q) ≤ S(f, P ). Sean mi los ´ınfimos correspondientes a la partici´on P y sean α1 = inf{f (x); x ∈ [xk−1 , c]}, α2 = inf{f (x); x ∈ [c, xk ]}. Entonces, mk ≤ α1 , mk ≤ α2 .

Por lo tanto, S(f, Q) − S(f, P ) = α1 (c − xk−1 ) + α2 (xk − c) − mk (xk − xk−1 ) ≥ mk (c − xk−1 + xk − c) − mk (xk − xk−1 ) = 0. An´alogamente, sean Mi los supremos correspondientes a P y sean β1 = sup{f (x); x ∈ [xk−1 , c]} y β2 = sup{f (x); x ∈ [c, xk ]}. Entonces, Mk ≥ β1 , Mk ≥ β2 y S(f, Q) − S(f, P ) = β1 (c − xk−1 ) + β2 (xk − c) − Mk (xk − xk−1 ) ≤ 0.

1

´ (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 6.1. DEFINICION

103

Lema 6.1.6. Sea f una funci´ on acotada en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si P y Q son particiones cualesquiera de [a, b], entonces S(f, P ) ≤ S(f, Q).

Demostraci´ on. Por el lema anterior, si tomamos P ∪ Q ∈ P([a, b]) entonces S(f, P ) ≤ S(f, P ∪ Q) ≤ S(f, P ∪ Q) ≤ S(f, Q); la primera desigualdad se da porque P ⊆ P ∪ Q, y la tercera porque Q ⊆ P ∪ Q. Teorema 6.1.7. Si f es una funci´ on acotada en [a, b], entonces su integral inferior es siempre menor o igual que su integral superior: Z

b

Z f≤

a

b

f a

Demostraci´ on. Seg´ un el lema anterior si Q es una partici´on cualquiera de [a, b], b

Z

f = sup{S(f, P ); P ∈ P([a, b])} ≤ S(f, Q). a

Por lo tanto, Z

b

Z f ≤ inf{S(f, Q); Q ∈ P([a, b])} =

a

6.1.3.

b

f. a

Existencia de la integral: condici´ on de Riemann. Integrabilidad de las funciones mon´ otonas y de las funciones continuas

“Al abordar la integral de Riemann uno se enfrenta a dos cuestiones. Primero, para una funci´ on acotada en un intervalo, se encuentra la cuesti´on de la existencia de la integral. Segundo, cuando se sabe que existe la integral, surge entonces el problema de evaluarla” ([Bartle-Sherbert, p. 259]). Para ver si una funci´on es integrable, ¿es preciso considerar todas las sumas de Darboux y calcular la integral superior e inferior? Por suerte, en el siguiente teorema vamos a demostrar que no es necesario: basta probar que hay particiones cuyas sumas de Darboux est´an suficientemente pr´oximas. Este resultado servir´a adem´as para deducir que las funciones continuas y las mon´otonas son integrables. Teorema 6.1.8 (condici´ on de integrabilidad de Riemann). Una funci´ on f acotada en [a, b] es integrable en dicho intervalo si y s´ olo si para cada ε > 0 existe una partici´ on P = Pε de [a, b] tal que S(f, P ) − S(f, P ) < ε.

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

104

b

Z Demostraci´ on. Supongamos primero que f es integrable. Como

f es el supremo de las sumas Z b inferiores y el ´ınfimo de las sumas superiores, para ε > 0 resulta que ni f − ε/2 es cota superior a Z b de las primeras ni f + ε/2 es cota inferior de las segundas, as´ı que existen dos particiones P1 y a

a

P2 tales que

b

Z

b

Z f − ε/2 < S(f, P1 ),

S(f, P2 )
0 prefijado, basta elegir un n tal que h = n < δ y tomar P = {a, a + h, a + 2h, a + 3h, . . . , a + nh = b}. Teorema 6.1.10 (integrabilidad de las funciones mon´ otonas). Toda funci´ on mon´ otona en un intervalo [a, b] es integrable. Demostraci´ on. Supongamos que f es una funci´on no decreciente en [a, b]. Entonces f est´a acotada (inferiormente por f (a), superiormente por f (b)). Dada P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}, la monoton´ıa dice que, para cada i, Mi ≡ sup{f (x); x ∈ [xi−1 , xi ]} = f (xi ); mi ≡ inf{f (x); x ∈ [xi−1 , xi ]} = f (xi−1 ). Por lo tanto, S(f, P ) − S(f, P ) =

n X

(Mi − mi )(xi − xi−1 ) =

i=1

< kP k

n X

(f (xi ) − f (xi−1 ))(xi − xi−1 )

i=1 n X i=1

(f (xi ) − f (xi−1 )) = kP k(f (b) − f (a)).

´ (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 6.1. DEFINICION

105

Ahora, dado ε > 0 basta tomar una partici´on P de modo que kP k(f (b) − f (a)) < ε para probar que se cumple la condici´on de integrabilidad de Riemann. Si f es no creciente la demostraci´on es an´aloga. Notemos que la idea esencial de la demostraci´on es que, gracias a la monoton´ıa de f , en cada subintervalo [xi−1 , xi ] podemos controlar la oscilaci´on de sus valores (el tama˜ no de Mi − mi ) a trav´es del tama˜ no de la norma de la partici´on. Esta misma idea es adaptable al caso de que f sea continua, debido a que f es entonces uniformemente continua. Teorema 6.1.11 (integrabilidad de las funciones continuas). Toda funci´ on continua en un intervalo [a, b] es integrable. Demostraci´ on. Sea f continua en [a, b]. Notemos que f es acotada por ser continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b], as´ı que tiene sentido considerar su integrabilidad. Adem´as, el teorema de Heine dice que es uniformemente continua en [a, b]. Dado ε > 0, existe por tanto un valor δ > 0 tal ε que |f (x) − f (y)| < b−a para cualesquiera x, y ∈ [a, b] tales que |x − y| < δ. Sea P una partici´on tal que kP k < δ, P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Si Mi y mi son los correspondientes supremos e ´ınfimos en cada [xi−1 , xi ], por el teorema de Weierstrass podemos elegir ri , si en dicho intervalo con Mi = f (ri ) y mi = f (si ). Entonces |ri −si | ≤ xi −xi−1 < ε δ, as´ı que f (ri ) − f (si ) < b−a ,y S(f, P ) − S(f, P ) =

n X

Mi (xi − xi−1 ) −

i=1

=

n X

n X i=1

(Mi − mi )(xi − xi−1 ) =

i=1


0 una cota de |f | en [a, b]. Dado ε > 0, tomemos c ∈ (a, b) de manera que ε c − a < 4B . Como f es integrable en [c, b], en virtud de la condici´on de Riemann se puede encontrar una partici´ on Pcb del intervalo [c, b] tal que S(f, Pcb ) − S(f, Pcb ) < 2ε . A˜ nadiendo el punto a a la partici´on anterior obtenemos una partici´on P de [a, b] para la que S(f, P ) − S(f, P ) = sup f ([a, c]) · (c − a) + S(f, Pcb ) − inf f ([a, c]) · (c − a) − S(f, Pcb ) ≤ B · (c − a) + S(f, Pcb ) + B · (c − a) − S(f, Pcb ) ε ε ε < 2B · (c − a) + < + = ε, 2 2 2

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

106 y en consecuencia f es integrable en [a, b].

Ejemplo. La funci´on f : [0, 1] → R definida mediante f (0) = 1 y f (x) = sen

1 x

si 0 < x ≤ 1

es integrable-Riemann en [0, 1]. En efecto, claramente est´a acotada y adem´as es integrable en cada intervalo [c, 1], con 0 < c < 1, porque es continua en [c, 1]. Este es un ejemplo interesante de una funci´on integrable que no es continua ni mon´otona.

Comentario: discontinuidades de las funciones integrables-Riemann (condici´ on de integrabilidad de Lebesgue) Las funciones continuas son integrables, aunque no todas las funciones integrables son continuas: valen de ejemplo las funciones mon´otonas con discontinuidades. Pero las funciones integrables no pueden tener “demasiadas” discontinuidades, seg´ un demostr´o Lebesgue. Concretamente: Teorema 6.1.13. Una funci´ on f acotada en [a, b] es integrable si y s´ olo si para cada ε > 0 se n X puede encontrar una sucesi´ on (Jn ) de intervalos tal que l´ım long Jk < ε y el conjunto de puntos n

k=1

de [a, b] en los que f es discontinua est´ a contenido en ∪n Jn . Cuando se conozca la medida de Lebesgue, se ver´a que esto significa que el conjunto de puntos de discontinuidad de f es de medida nula. Los conjuntos finitos quedan dentro de esta categor´ıa; tambi´en los conjuntos numerables, es decir, los conjuntos infinitos que pueden escribirse en forma de sucesi´on, como N, Z o Q.

6.1.4.

Sumas de Riemann. Definici´ on de integrabilidad de Riemann: comparaci´ on con la de Darboux

El control de las oscilaciones de f a trav´es de la norma de la partici´on que hemos visto para funciones mon´otonas o continuas puede llevarse a cabo para cualquier funci´on integrable: Teorema 6.1.14. Una funci´ on f acotada en [a, b] es integrable si y s´ olo si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda partici´ on P de [a, b] kP k < δ

implica

S(f, P ) − S(f, P ) < ε.

Demostraci´ on. Supongamos que f es integrable. Fijado ε > 0, sea P0 ∈ P([a, b]) tal que S(f, P0 ) − S(f, P0 ) < ε/2, pongamos que P0 tiene n puntos y sea K > 0 tal que |f (x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Sea P una partici´on de [a, b], P ≡ {a = t0 < t1 < . . . < tm−1 < tm = b}. y tomemos Q = P0 ∪ P . Como m´aximo, Q tiene n − 2 puntos m´as que P , los de P0 \ {a, b}. Supongamos que fuese Q = P ∪ {c}, con tj−1 < c < tj . Entonces ser´ıa S(f, P ) − S(f, Q) = Mj (tj − tj−1 ) − α1 (c − tj−1 ) − α2 (tj − c) donde Mj , α1 y α2 son los supremos de los valores de f en [tj−1 , tj ], [tj−1 , c] y [c, tj ] respectivamente. Como |Mj | ≤ K, |α1 | ≤ K, |α2 | ≤ K y 0 < tj − tj−1 ≤ kP k, deducimos que S(f, P ) − S(f, Q) ≤ K(tj − tj−1 ) + K(c − tj−1 ) + K(tj − c) ≤ 2KkP k.

´ (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 6.1. DEFINICION

107

Reiterando lo anterior (a˜ nadiendo cada vez un punto hasta obtener Q) es f´acil ver que en general tendremos S(f, P ) − S(f, Q) ≤ 2(n − 2)KkP k < 2nKkP k, y an´alogamente se ve que S(f, Q) − S(f, P ) < 2nKkP k. Tambi´en tenemos que S(f, Q) − S(f, Q) < ε/2, porque Q es m´as fina que P0 . Por lo tanto, S(f, P ) < S(f, Q) + 2nKkP k < S(f, Q) + ε/2 + 2nKkP k < S(f, P ) + ε/2 + 4nKkP k. ε Ahora basta tomar δ = 8nK y si kP k < δ, entonces S(f, P ) − S(f, P ) < ε. El rec´ıproco es consecuencia directa de la condici´on de integrabilidad.

Definici´ on 6.1.15. Dada una partici´ on P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y una funci´ on f definida en [a, b], para cada elecci´ on de valores si ∈ [xi−1 , xi ] se dice que S=

n X

f (si )(xi − xi−1 )

i=1

es una suma de Riemann de f asociada a P . Provisionalmente, diremos que f es 0 arbitrario, se puede encontrar un δ > 0 de manera que |S − R| < ε para cualquier suma de Riemann S de f asociada a una partici´ on P de norma kP k < δ. Cuando esto Z b < suceda, diremos que R es la 0. Por la proposici´ on anterior existe δ tal que S(f, P ) − S(f, P ) < ε siempre que kP k < δ; si S es una suma de Riemann Rb asociada a P entonces S(f, P ) ≤ S ≤ S(f, P ), y como tambi´en S(f, P ) ≤ a f ≤ S(f, P ) concluimos Rb que la distancia entre S y a f es menor que ε. Es decir, cualquier suma de Riemann S asociada a una partici´on P ∈ P([a, b]) con kP k < δ cumple que Z b f < ε. S − a

Z Por lo tanto, f es integrable en [a, b] seg´ un la definici´on de Riemann, con integral igual a

b

f. a

Para probar el rec´ıproco, supongamos que f es integrable seg´ un la definici´on de Riemann en [a, b], con integral R. Dado ε > 0, si δ es como en la definici´on anterior y P ≡ {a = x0 < x1
Mi − ε (1 ≤ i ≤ n). La correspondiente suma de Riemann S verifica simult´aneamente S ≥ S(f, P ) − ε(b − a),

|S − R| < ε.

Entonces, Z

b

f ≤ S(f, P ) ≤ S + ε(b − a) < R + ε + ε(b − a), a

y como ε es arbitrario, b

Z

f ≤ R. a

De manera an´aloga se prueba que sentido de Darboux y

Rb

af

≥ R, por lo cual Z

Rb

af

=

Rb

af

= R, f es integrable en el

b

f = R. a

Conclusi´ on. A la vista de lo que acabamos de probar, resulta innecesaria la distinci´on entre la integrabilidad y la integraci´on “seg´ un la definici´on de Darboux” o “seg´ un la definici´on de Riemann”: ambas integrales se aplican exactamente a las mismas funciones y dan el mismo resultado num´erico. Corolario 6.1.17. Sea f una funci´ on integrable en [a, b], (Pn ) una sucesi´ on de particiones de [a, b] tal que l´ım kPn k = 0. Si para cada n se considera una suma de Riemann Sn correspondiente a la n partici´ on Pn y a la funci´ on f , entonces Z b f. l´ım Sn = n

a n

Ejemplo. Para toda funci´on f integrable en [0, 1],

1X l´ım f n n k=1

  Z 1 k = f . n 0

6.2.

Propiedades b´ asicas de la integral de Riemann

6.2.1.

Operaciones con funciones integrables

Empezaremos probando la linealidad de la integral. Para ello nos conviene observar antes lo siguiente: Lema 6.2.1. Sea A un conjunto acotado y no vac´ıo de n´ umeros reales. Entonces: (a) sup(−A) = − inf A; inf(−A) = − sup A. (b) Para todo α > 0 se cumple que sup(αA) = α sup A, inf(αA) = α inf A. (c) sup A − inf A = sup{|x − y|; x, y ∈ A}. Demostraci´ on. (a) Si y = inf A y x ∈ A resulta que −x ≤ −y, luego −y es cota superior de −A, y por tanto sup(−A) ≤ − inf A. Si s = sup(−A), dado x ∈ A tenemos que −x ≤ s, es decir que −s ≤ x, luego −s es una cota inferior de A y entonces − sup(−A) ≤ inf A, o sea − inf A ≤ sup(−A). Ya tenemos que sup(−A) = − inf A, y entonces sup A = sup(−(−A)) = − inf(−A), luego inf(−A) = − sup A. (b) Si s = sup A, dado x ∈ A tenemos que αx ≤ αs, luego αs es una cota superior de αA; por tanto sup(αA) ≤ α sup A. Por la misma raz´on tenemos que sup A = sup α1 αA ≤ α1 sup(αA), y entonces α sup A ≤ sup(αA). Por tanto sup(αA) = α sup A. Por (a) tenemos entonces que α inf A = −α sup(−A) = − sup(−αA) = inf(αA). (c) Recordemos que, dados dos conjuntos acotados A y B, sup(A+B) = sup A+sup B. Notemos que el conjunto {|x−y|; x, y ∈ A} es la intersecci´on con [0, +∞) de {x−y; x, y ∈ A} = A+(−A), luego su supremo es igual al de este, y por (a) sup(A + (−A)) = sup A + sup(−A) = sup A − inf A.

´ 6.2. PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN

109

Teorema 6.2.2. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y sea α un n´ umero real. Entonces Z b Z b f. (a) αf es integrable y (αf ) = α a a Z b Z b Z b (b) f + g es integrable y (f + g) = f+ g. a

a

a

Demostraci´ on. (a) Notemos primero que f es acotada, y entonces αf tambi´en lo es. Si α = 0 el resultado es inmediato. Si α > 0, para cada partici´on P de [a, b] se obtiene, usando la parte (b) del lema anterior, que S(αf, P ) = αS(f, P ) y S(αf, P ) = αS(f, P ). Por la misma raz´ on, se deduce que Z

b

Z

b

αf = α a

Z

a b

Z

a

luego αf es integrable y

b

(αf ) = α a

f, a

b

Z f =α

a

Z

b

f =α

αf = α Z

Z

b

f, a

b

f. a

Para ver que −f es integrable (α = −1) utilizamos la parte (a) del lema: resulta que, para cualquier P , S(−f, P ) = −S(f, P ) y S(−f, P ) = −S(f, P ), luego Z a

b

Z b Z b (−f ) = − f = − f, a

b

Z

a

Z b Z b (−f ) = − f = − f.

a

a

a

Por u ´ltimo, si α es cualquier valor negativo lo reducimos a los casos anteriores: αf = −|α|f es integrable, con integral igual a Z −

b

Z (|α|f ) = −|α|

a

b

Z f =α

a

b

f. a

(b) Notemos primero que f + g est´a acotada, porque f y g lo est´an. Dado A ⊆ [a, b], para cada t ∈ A tenemos que f (t) + g(t) ≤ sup{f (x); x ∈ A} + sup{g(x); x ∈ A}, luego sup{f (t) + g(t); t ∈ A} ≤ sup{f (t); t ∈ A} + sup{g(t); t ∈ A} y an´alogamente inf{f (t); t ∈ A} + inf{g(t); t ∈ A} ≤ inf{f (t) + g(t); t ∈ A}. Cuando tomamos como A los subintervalos [xi−1 , xi ] que define una partici´on P ∈ P([a, b]), se sigue que S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P ), S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f + g, P ). Dado ε > 0, podemos tomar dos particiones P1 y P2 tales que S(f, P1 ) −S(f, P1 ) < ε/2 y S(g, P2 ) − S(g, P2 ) < ε/2. Si P = P1 ∪ P2 , tambi´en S(f, P ) − S(f, P ) < ε/2 y S(g, P ) − S(g, P ) < ε/2, y lo

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

110

anterior dice que S(f + g, P ) − S(f + g, P ) < ε. Por el criterio de integrabilidad, f + g es integrable. Adem´as tenemos que Z

b

b

Z

a

Z g−ε=

f+ a

b

b

Z f − ε/2 +

g − ε/2 < S(f, P ) + S(g, P )

a

a b

Z ≤ S(f + g, P ) ≤

(f + g) ≤ S(f + g, P ) Z b Z b ≤ S(f, P ) + S(g, P ) < f + ε/2 + g + ε/2 a a Z b Z b = f+ g + ε. a

a

a

Es decir, para cualquier ε > 0 resulta que Rb Rb Rb a (f + g) = a f + a g.

Rb a

f+

Rb a

g−ε
0. Como consecuencia, si dos funciones f y Rb Rb g son integrables y se cumple que f (x) < g(x) en todo x ∈ [a, b], podemos asegurar que a f < a g. Teorema 6.2.4. Si f es integrable en [a, b], entonces |f | es integrable en [a, b] y Z b Z b f ≤ |f |. a

a

Demostraci´ on. Como f es integrable, est´a acotada. Y por lo tanto, la funci´on |f | tambi´en est´ a acotada. Dada una partici´on P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} ∈ P([a, b])

´ 6.2. PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN

111

tenemos que S(f, P ) − S(f, P ) = S(|f |, P ) − S(|f |, P ) =

n X i=1 n X

(Mi − mi )(xi − xi−1 ), (Mi0 − m0i )(xi − xi−1 ),

i=1

donde, usando la parte (c) del lema, Mi − mi = sup{f (t); t ∈ [xi−1 , xi ]} − inf{f (t); t ∈ [xi−1 , xi ]} = sup{|f (t) − f (s)|; s, t ∈ [xi−1 , xi ]} para cada i. An´alogamente, Mi0 − m0i = sup{ |f (t)| − |f (s)| ; s, t ∈ [xi−1 , xi ]}. Como para cada t y s la desigualdad triangular inversa dice que |f (t)| − |f (s)| ≤ |f (t) − f (s)|, resulta que Mi0 −m0i ≤ Mi −mi para cada i, y por tanto que S(|f |, P )−S(|f |, P ) ≤ S(f, P )−S(f, P ) para toda P . Por el criterio de integrabilidad resulta que si f integrable tambi´en lo es |f |. Rb Rb Ahora, como f ≤ |f | y −f ≤ |f |, por los teoremas previos tenemos que a f ≤ a |f | y Rb Rb Rb a (−f ) = − a f ≤ a |f |, luego Z Z b o Z b nZ b b f = m´ax f, − f ≤ |f |. a

a

a

a

En cierto sentido, este resultado puede verse como una generalizaci´on de la desigualdad triangular, cambiando sumas por integrales. Pronto iremos comprobando que es tan u ´til como la propia desigualdad triangular. Corolario 6.2.5. Sean f y g funciones integrables en [a, b]. Entonces las funciones m´ax(f, g), m´ın(f, g) son tambi´en integrables en [a, b]. Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que i 1h f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)| , 2 i 1h f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)| . m´ın{f (x), g(x)} = 2

m´ax{f (x), g(x)} =

Teorema 6.2.6. Sean f y g funciones integrables en [a, b]. Entonces (a) f 2 es integrable en [a, b]; (b) la funci´ on producto f g es integrable en [a, b]. Demostraci´ on. (a) f est´a acotada, as´ı que existe K > 0 tal que |f (x)| < K para todo x ∈ [a, b]. Entonces 0 ≤ f (x)2 ≤ K 2 para todo x, luego f 2 tambi´en est´a acotada. Dado ε > 0, sea P ∈ P(I) ε tal que S(f, P ) − S(f, P ) < 2K . Si P ≡ {a = x0 < x1 < x2 P < . . . < xn−1 < xn = b}, entonces, como en el teorema anterior, resulta que S(f, P ) − S(f, P ) = ni=1 ri (xi − xi−1 ), donde ri = sup{|f (t) − f (s)|; s, t ∈ [xi−1 , xi ]}, P y an´alogamente S(f 2 , P ) − S(f 2 , P ) = i ri0 (xi − xi−1 ), donde ri0 = sup{|f 2 (t) − f 2 (s)|; s, t ∈ [xi−1 , xi ]}. Como para cada s y t tenemos que |f 2 (t) − f 2 (s)| = |f (t) + f (s)| · |f (t) − f (s)| ≤ (|f (t)| + |f (s)|)|f (t) − f (s)| ≤ 2K|f (t) − f (s)|,

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

112


resulta que ri0 ≤ 2Kri para cada i, y por tanto que S(f 2 , P )−S(f 2 , P ) ≤ 2K S(f, P )−S(f, P ) < ε, y as´ı vemos que f 2 es integrable, por el criterio de integrabilidad. (b) Por el apartado (a), son integrables tanto f 2 como g 2 y (f + g)2 (ya que f + g es integrable). Pero
1 f g = (f + g)2 − f 2 − g 2 , 2 y as´ı vemos que f g es integrable. Observaci´ on. Los dos u ´ltimos teoremas no admiten rec´ıproco: una funci´on f puede ser no integrable pese a que |f | y f · f = f 2 s´ı lo sean. Como ejemplo podemos tomar, en I = [0, 1], la funci´ on dada por f (x) = 1 si x ∈ Q y f (x) = −1 si x ∈ / Q, de forma que f 2 = |f | = 1.

6.2.2.

Integraci´ on en subintervalos

Teorema 6.2.7. Sea f una funci´ on definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Dado c ∈ [a, b], son equivalentes: (a) f es integrable en [a, b]; (b) f es integrable en [a, c] y en [c, b]. Adem´ as, cuando f es integrable en [a, b] se tiene b

Z (c)

c

Z f=

b

Z f+

a

f.

a

c

(b) =⇒ (a). Como f es integrable en [a, c] y en [c, b], en particular f est´a acotada en [a, c] y en [c, b]: en consecuencia, f est´a acotada en [a, b]. As´ı mismo, usando la condici´on de Riemann, la integrabilidad de f garantiza que para todo ε > 0 existen una partici´on Pac de [a, c] y una partici´on Pcb de [c, b] tales que ε S(f, Pac ) − S(f, Pac ) < , 2

ε S(f, Pcb ) − S(f, Pcb ) < . 2

Considerando ahora la partici´on Pab de [a, b] obtenida al tomar todos los puntos de Pac y los de Pcb , se sigue directamente aplicando la definici´on que S(f, Pab ) = S(f, Pac ) + S(f, Pcb ),

S(f, Pab ) = S(f, Pac ) + S(f, Pcb ),

luego Z

b

f≤

S(f, Pab )

=

S(f, Pac )

+

S(f, Pcb )


S(f, Pac ) −

ε ε + S(f, Pcb ) − ≥ 2 2

Z

c

f− a

c

b

´ 6.2. PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN

113

Es decir, b

Z

c

Z

b

Z

f>

f −ε

f+ a

a

c

para cualquier ε > 0. De ah´ı se deduce que b

Z

c

Z f≥

f+

a

Como

Rb

af ≥

Rb

a f,

b

Z

f.

a

c

resulta Z

b

b

Z f=

c

Z f=

a

a

Z f+

b

f,

a

c

lo que nos dice que f es integrable en [a, b] con b

Z

Z

c

f= a

Z f+

a

b

f c

(a) =⇒ (b) Si f es integrable en [a, b], para cada ε > 0 existir´a una partici´on Qba del intervalo [a, b] tal que S(f, Qba ) − S(f, Qba ) < ε. Sea Pab la partici´on de [a, b] obtenida al a˜ nadir a Qba el punto c (si es que no figura ya en Qba ), y descompongamos Pab en sendas particiones Pac y Pcb de [a, c] y de [c, b], respectivamente. Se tiene S(f, Pac ) − S(f, Pac ) + S(f, Pcb ) − S(f, Pcb ) = S(f, Pab ) − S(f, Pab ) ≤ S(f, Qba ) − S(f, Qba ) < ε, y como S(f, Pac ) − S(f, Pac ) y S(f, Pcb ) − S(f, Pcb ) son no negativos, cada uno de ellos ser´a menor o igual que su suma, por lo que S(f, Pac ) − S(f, Pac ) < ε,

S(f, Pcb ) − S(f, Pcb ) < ε,

y por consiguiente f es integrable en [a, c] y en [c, b]. Corolario 6.2.8. Sea f : [a, b] → R acotada, y sean a = c0 < c1 < c2 < . . . < cn = b. Se cumple que f es integrable en [a, b] si y s´ olo si lo es en [ci−1 , ci ] para cada i = 1, . . . , n, y en tal caso Z

b

f= a

n Z X

ci

f.

ci−1

i=1

Demostraci´ on. Aplicar inducci´on sobre n y el teorema anterior. El siguiente resultado permite ampliar ligeramente la noci´on de integral y dar ejemplos adicionales de funciones integrables. Lema 6.2.9. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] que coinciden excepto posiblemente en a y b, es decir, tales que f (x) = g(x) para todo x ∈ (a, b). Entonces f es integrable en [a, b] si y s´ olo si lo es g. Si son integrables, Z

b

Z f=

a

b

g. a

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

114

Demostraci´ on. Basta probar que la funci´on h = f −g es una funci´on integrable en [a, b] con integral nula. Ahora bien: h se anula en (a, b), por lo que para cada partici´on P ≡ {t0 = a < t1 < · · · < tn−1 < tn = b} ser´a S(h, P ) = m´ ax{h(a), 0} · (t1 − a) + m´ax{h(b), 0} · (b − tn−1 ) ≥ 0, S(h, P ) = m´ın{h(a), 0} · (t1 − a) + m´ın{h(b), 0} · (b − tn−1 ) ≤ 0. Dado ε > 0, tomemos B > m´ax{|h(a)|, |h(b)|} y Pε de manera que t1 − a
0, podemos dividir para obtener m≤

Z

1 b−a

b

f ≤ M. a

Cuando f es continua en [a, b], su promedio integral est´a en el rango de valores de f : Corolario 6.2.14. Sea f una funci´ on continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado y acotado [a, b]. Existe entonces al menos un punto x0 ∈ [a, b] tal que 1 b−a

b

Z

f = f (x0 ). a

Demostraci´ on. Por el teorema de Weierstrass el conjunto {f (x); x ∈ [a, b]} tiene m´ınimo y m´ aximo, a los que llamamos m y M respectivamente. Se cumple as´ı que Z m(b − a) =

b

Z

b

m≤ a

Z f≤

a

b

M = M (b − a). a

Es decir, m≤

1 b−a

Z

b

f ≤ M. a

Por el teorema de los valores intermedios (o de Darboux), existe x0 ∈ [a, b] en el que f toma dicho Rb 1 valor entre m y M , y as´ı f (x0 ) = b−a a f.

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

116

Ejemplo. Sea 1 < a < b. Para cada x ∈ [a, b], √ √ x+1 2 2 x+ x √ =√ =1+ √ ≤1+ √ . 1≤ x− x x−1 x−1 a−1 Por lo tanto, 1 1≤ b−a

√ x+ x 2 √ dx ≤ 1 + √ . x− x a−1

b

Z a

En algunas ocasiones, no es necesario calcular el valor exacto de una integral, sino que basta con estimaciones aproximadas. Por ejemplo, las desigualdades anteriores bastan para probar que √ Z a+1 x+ x √ dx = 1. l´ım a→+∞ a x− x El teorema de la media (versi´on ‘integrando continuo’) puede mirarse como una lectura inversa del teorema del valor medio del c´alculo diferencial (teorema de los incrementos finitos). De hecho, otra demostraci´on del corolario on F : R xconsiste en aplicar el teorema del valor medio a la funci´ [a, b] → R dada por F (x) = a f , que es derivable con F 0 (x) = f (x) (seg´ un probaremos en el siguiente apartado). Teorema 6.2.15. Sea f una funci´ on integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b], sea g una funci´ on no negativa integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b] y sean m, M tales que para todo x ∈ [a, b] se cumple m ≤ f (x) ≤ M. Entonces existe µ ∈ [m, M ] tal que b

Z

Z fg = µ

a

b

g a

(el n´ umero µ es una especie de “promedio ponderado” de f respecto a la “densidad de masa” g). Demostraci´ on. Puesto que g ≥ 0, se verifica mg ≤ f g ≤ M g. Todas estas funciones son integrables, luego podemos poner Z b Z b Z b m g≤ fg ≤ M g. a

a

a

Rb

Si a g = 0, cualquier µ ∈ [m, M ] cumple la igualdad del enunciado. Si Rb Rb Rb a g > 0, y basta tomar como µ el cociente entre a f g y a g.

Rb a

g 6= 0, entonces

Corolario 6.2.16. Sea f una funci´ on continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado y acotado [a, b] y sea g una funci´ on no negativa integrable en [a, b]. Existe entonces al menos un punto x0 ∈ [a, b] tal que Z b Z b f g = f (x0 ) g. a

a

Demostraci´ on. Similar a la del corolario anterior. Proposici´ on 6.2.17 (segundo teorema de la media del c´ alculo integral). Sean f y g funciones integrables en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. (a) Si g ≥ 0 y es no creciente, existe x0 ∈ [a, b] tal que Z b Z f g = g(a) a

a

x0

f.

´ 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL

117

(b) Si g ≥ 0 y es no decreciente, existe x0 ∈ [a, b] tal que Z

b

b

Z f g = g(b)

f.

a

x0

(c) Si g es mon´ otona, existe x0 ∈ [a, b] tal que b

Z

x0

Z f g = g(a)

Z

b

f + g(b)

a

a

f. x0

Demostraci´ on. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, p. 212].

6.3.

Teoremas fundamentales del c´ alculo integral

6.3.1.

Regla de Barrow (primer teorema fundamental del c´ alculo integral)

Teorema 6.3.1 (regla de Barrow). Sea f una funci´ on integrable en un intervalo [a, b] y supongamos que existe otra funci´ on g continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que g 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b). Entonces, Z b f = g(b) − g(a). a

Demostraci´ on. Sea P una partici´on cualquiera de [a, b], P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Seg´ un el teorema del valor medio, g(b) − g(a) = g(xn ) − g(x0 ) =

n X

(g(xi ) − g(xi−1 ))

i=1

=

n X

0

g (ci )(xi − xi−1 ) =

i=1

n X

f (ci )(xi − xi−1 ),

i=1

donde ci ∈ (xi−1 , xi ) para cada i. Puesto que inf{f (t); t ∈ [xi−1 , xi ]} ≤ f (ci ) ≤ sup{f (t); t ∈ [xi−1 , xi ]}, se deduce que S(f, P ) ≤ g(b) − g(a) ≤ S(f, P ). Como esto es cierto para cualquier partici´on P , tomando supremos e ´ınfimos resulta que Z

b

b

Z f ≤ g(b) − g(a) ≤

f. a

a

Pero sabemos que f es integrable, as´ı que Z

Rb

af

=

Rb

af

=

Rb a

b

f = g(b) − g(a). a

f . Por lo tanto,

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

118

La regla de Barrow nos dice c´omo calcular la integral de una funci´on f integrable entre a y b: si g es continua en [a, b] y es una primitiva de f en (a, b), entonces Z b x=b . f (x) dx = g(b) − g(a), lo que suele escribirse como g(x) x=a

a

Ejemplo. La funci´on arc sen es continua, luego integrable,√en el intervalo [0, 1]. Calculando por partes una primitiva, encontramos la funci´on x arc sen x + 1 − x2 , continua en [0, 1] y derivable claramente en el intervalo [0, 1), con derivada arc sen x en ese intervalo; menos claro es lo que sucede en el punto 1, pero seg´ un el teorema anterior no necesitamos saberlo para garantizar que Z 1 h i h i π p p arc sen x dx = 1 · arc sen 1 + 1 − 12 − 0 · arc sen 0 + 1 − 02 = − 1. 2 0 Si aplicamos la regla de Barrow para calcular una integral, puede ser conveniente utilizar los resultados empleados en el c´alculo de primitivas, como el teorema de integraci´on por partes que acabamos de citar o el teorema de cambio de variable. Ambos tienen su versi´on para integrales. Vemos primero la de integraci´on por partes: Teorema 6.3.2 (integraci´ on por partes). Si u y v son funciones continuas en [a, b] derivables 0 en (a, b) y sus derivadas u y v 0 son integrables en [a, b], entonces Z b Z b 0 u v = u(b)v(b) − u(a)v(a) − u0 v. a

u0 v

a

Demostraci´ on. Notemos que y son integrables porque lo son u0 , v 0 (estas por hip´otesis) y tambi´en u y v (porque son continuas). Entonces tambi´en es integrable (uv)0 = u0 v + uv 0 , y por la regla de Barrow Z b Z b Z b 0 0 uv + uv= (uv)0 = u(b)v(b) − u(a)v(a), a

uv 0

a

a

de donde obtenemos la f´ormula del enunciado. Observaci´ on. Este resultado no es aplicable en el ejemplo anterior (¿por qu´e?). Ejemplo. Veamos que, para cualesquiera m y n enteros no negativos, Z 1 m! n! xm (1 − x)n dx = . (m + n + 1)! 0 Prob´emoslo por inducci´on sobre n. Primero vemos que la f´ormula es v´alida para n = 0 y cualquier m, usando la regla de Barrow: Z 1 xm+1 x=1 m! 0! 1 xm dx = = . = m + 1 x=0 m + 1 (m + 0 + 1)! 0 Ahora, si n ∈ N y suponemos que la f´ormula es cierta para n − 1 y cualquier m, integrando por partes concluimos que lo es para n y cualquier m: para ello tomamos u(x) = (1 − x)n y v(x) = xm+1 /(m + 1), con lo que Z 1 Z 1 x=1 Z 1 m n 0 x (1 − x) dx = u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x)dx x=0 0 0 0 Z 1 n xm+1 (1 − x)n−1 dx, = m+1 0 que por hip´otesis de inducci´on es n (m + 1)! (n − 1)! m! n!
= · . m+1 (m + n + 1)! (m + 1) + (n − 1) + 1 !

´ 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL

119

Corolario 6.3.3 (f´ ormula de Taylor con resto integral). Sea I un intervalo, c un punto de I, f una funci´ on definida en I, n ∈ N. Supongamos que f es derivable en I hasta el orden n y que f (n) es continua en I. Entonces para cada x ∈ I es Z x f 00 (c) f (n−1) (c) 1 0 2 n−1 f (x) = f (c)+f (c)(x−c)+ (x−c) +· · ·+ (x−c) + (x−t)n−1 f (n) (t) dt. 2 (n − 1)! (n − 1)! c Demostraci´ on. Basta integrar por partes reiteradamente Z x 1 (x − t)n−1 f (n) (t) dt (n − 1)! c (ver [Bartle-Sherbert, teorema 6.3.14, p. 281]).

6.3.2.

Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integraci´ on variable

El teorema de la regla de R x Barrow viene a decir que al integrar la derivada de f recuperamos f (ya que f (x) = f (a) + a f 0 ). Para que podamos decir del todo que integrar y derivar son procesos inversos, la pregunta natural ser´ıa: ¿podemos decir que derivando una funci´on dada por la integral de f recuperamos f ? Es tanto como decir: ¿podemos expresar una primitiva de f mediante integrales de f ? La respuesta es afirmativa, como vamos a comprobar. Convenio. Si a > b y f es integrable en [b, a], pondremos b

Z

a

Z f =−

f.

a

Si a = b, pondremos

Rb a

b

f = 0.

Notemos que, con la definici´on anterior, la regla de Barrow vale tambi´en para integrales con a ≥ b. Adem´as, la relaci´on entre las integrales de f y de |f | es en general

Rb a

f

Z b Z b |f | f ≤ a

a

Rb

(si a < b el t´ermino de la derecha es a |f |, como hasta ahora). En cuanto a la monoton´ıa, notemos que si 0 ≤ f ≤ g son funciones integrables podemos asegurar que Z b Z b g f ≤ a

a

(ya que si a > b lo anterior es

Ra b

f≤

Ra b

g). Por u ´ltimo, si las integrales tienen sentido entonces

Z

c

Z f+

a

b

Z f=

c

b

f a

cualquiera que sea el orden entre a, b y c. Teorema 6.3.4 (teorema fundamental del c´ alculo integral (segundo)). Sea f una funci´ on integrable en [a, b]. Definamos F : [a, b] → R mediante Z x F (x) = f. a

Entonces

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

120 (a) F es continua en [a, b];

(b) si f es continua en alg´ un x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0 y F 0 (x0 ) = f (x0 ). Demostraci´ on. (a) La funci´on f es integrable, as´ı que est´a acotada; sea K > 0 tal que |f (x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Veamos que para cada x, y ∈ [a, b], |F (x) − F (y)| ≤ K|x − y|. Si x = y, no hay nada que probar. Si no, podemos suponer que x > y, por ejemplo. Entonces, Z x Z x Z x Z y |F (x) − F (y)| = f (t) dt − f (t) dt = f (t) dt ≤ |f (t)| dt ≤ K|x − y|, a

a

y

y

como quer´ıamos probar. Ahora, dado ε > 0, tenemos: para cada x, y ∈ [a, b] con |x − y| < ε/K, se cumple que |F (x) − F (y)| < ε. Es decir, la funci´on F es continua en [a, b] (de hecho hemos probado que es uniformemente continua). (b) Supongamos que f es continua en alg´ un x0 ∈ [a, b]. Se trata de probar que F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 ). h→0 h l´ım

Tanto si h > 0 como si h < 0, Z

x0 +h

F (x0 + h) − F (x0 ) =

Z f (t) dt −

x0

Z

x0 +h

f (t) dt =

a

a

f (t) dt, x0

luego F (x0 + h) − F (x0 ) 1 − f (x0 ) = h h

Z

x0 +h

x0

1 f (t) dt − h

Z

x0 +h

x0

1 f (x0 ) dt = h

Z

x0 +h

[f (t) − f (x0 )] dt. x0

Entonces, Z F (x0 + h) − F (x0 ) 1 x0 +h − f (x0 ) = [f (t) − f (x0 )] dt . h |h| x0 Sea ε > 0. Como f es continua en x0 , existe alg´ un δ > 0 tal que |f (t) − f (x0 )| < ε, si |t − x0 | < δ. Sea ahora |h| < δ. Si h > 0, entonces Z Z 1 x0 +h 1 x0 +h F (x0 + h) − F (x0 ) − f (x0 ) = ε dt = ε; [f (t) − f (x0 )] dt ≤ h h x0 h x0 y si h < 0, Z Z x0 F (x0 + h) − F (x0 ) 1 x0 1 ε dt = ε. − f (x0 ) = [f (t) − f (x0 )] dt ≤ h −h x0 +h −h x0 +h En resumen, F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ ε, − f (x ) 0 h si |h| < δ. Hemos probado que, en efecto, l´ım

h→0

F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 ). h

Realmente, se cumple un resultado m´as general:

´ 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL

121

Teorema 6.3.5. Sea f una funci´ on definida en un intervalo no trivial I cualquiera, que sea integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I. Fijado un punto a ∈ I, definamos Z x F : x ∈ I → F (x) = f ∈ R. a

Entonces (a) F est´ a bien definida y es continua en todo I; (b) en cada punto x0 ∈ I donde f sea continua, F es derivable y F 0 (x0 ) = f (x0 ). Demostraci´ on. Para puntos a la derecha de a, basta aplicar el teorema anterior a la funci´on Z x F (x) = f, x ∈ [a, b], a

para alg´ un b ∈ I, b > a. Y para los puntos a la izquierda de a, basta considerar la funci´on Z x G(x) = f, x ∈ [b, a], b

para alg´ un b ∈ I, b < a y tener en cuenta que F (x) = G(x) − G(a). Corolario 6.3.6. Toda funci´ on f continua en un intervalo no trivial I cualquiera admite una primitiva en dicho intervalo. Demostraci´ on. Basta observar que, por ser continua, f es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en I, y si fijamos un punto a ∈ I y consideramos la funci´on Z x F : x ∈ I → F (x) = f ∈ R, a

por el teorema precedente resulta que F 0 = f en I. Aplicaci´ on. Podemos construir la funci´on logar´ıtmica como la primitiva de la funci´on 1/x que se anula para x = 1 (ver Ap´endice.) Corolario 6.3.7. Sea f una funci´ on definida en un intervalo no trivial I cualquiera, integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I y sea α : J → I derivable en x0 ∈ J. Dado a ∈ I, sea G : J → R la funci´ on dada por Z

α(x)

G(x) =

f. a

Si f es continua en α(x0 ), entonces G es derivable en x0 , con
G0 (x0 ) = α0 (x0 )f α(x0 ) . Z

x

f , x ∈ J, entonces G = F ◦ α, y por la regla

Demostraci´ on. Si definimos F en J como F (x) = a

de derivaci´ on de las funciones compuestas y el teorema fundamental del c´alculo integral, resulta que

G0 (x0 ) = α0 (x0 )F 0 α(x0 ) = α0 (x0 )f α(x0 ) .

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

122

2x

Z Ejemplo. Sea F : [0, +∞) → R dada por F (x) =

2

e−t dt. Nos proponemos hallar sus extremos

x

relativos y absolutos y sus puntos de inflexi´on. 2 No podemos expresar una primitiva de e−t como combinaci´on de funciones elementales, y entonces no podemos aplicar la regla de Barrow para calcular la integral y obtener otra expresi´ on de F . Pero s´ı que podemos obtener una expresi´on manejable de la derivada de F , gracias al teorema 2 fundamental del c´alculo integral y al corolario anterior, que podemos aplicar porque e−t es continua y 2x es derivable. Z Z 2x

Como F (x) =

x

2

e−t dt −

2

e−t dt, resulta que para cualquier x ≥ 0,

0

0 −4x2

2

F 0 (x) = 2e

2

2

2

2

− e−x = e−x (2e−3x − 1) = e−x (elog 2−3x − 1). p Vemos que F 0 tiene el mismo signo que log 2−3x2 , luego p p es positiva en [0, (log 2)/3) p y negativa en ( (log 2)/3, +∞). Por tanto F es p creciente en [0, (log 2)/3] y decreciente en [ (log 2)/3, +∞), y alcanza su m´aximo absoluto en (log 2)/3. Su m´ınimo absoluto lo tiene en 0, ya que F (0) = 0 y, para cualquier x > 0, F (x) es positiva por ser la integral de una funci´on positiva en el intervalo no trivial [x, 2x]. De la expresi´on de F 0 obtenemos que 2 1 2 2 2 F 00 (x) = 16xe−4x ( e3x − 1) = 16xe−4x (e3x −3 log 2 − 1), 8 √ 2 de √ donde su signo es el de x − log 2, y deducimos que√F es c´oncava en [0, log 2] y convexa en [ log 2, +∞). Tenemos un u ´nico punto de inflexi´on en log 2. Es f´acil ver, adem´as, que el l´ımite de F en +∞ es 0. Basta acotar el valor de F usando la 2 monoton´ıa de la integral: como e−t es decreciente en [0, +∞), para todo t en el intervalo [x, 2x] se 2 2 cumple que e−t ≤ e−x , y entonces Z 2x Z 2x 2 2 −t2 F (x) = e dt ≤ e−x dt = xe−x .

x

x

x = 0, luego tambi´en l´ım F (x) = 0. x→+∞ ex2 x→+∞

Por la regla de L’Hospital vemos que l´ım

Teorema 6.3.8 (cambio de variable). Sea u una funci´ on derivable en un intervalo abierto J tal 0 que u es continua y sea I un intervalo abierto tal que u(J) ⊆ I. Si f es continua en I, entonces f ◦ u es continua en J y Z b Z u(b) f (u(x))u0 (x) dx = f (t) dt a

u(a)

para cualesquiera a, b ∈ J. Demostraci´ on. Sea F una primitiva de f en I. Entonces (F ◦ u)0 = (f ◦ u) u0 , y como f y (f ◦ u) u0 son integrables en intervalos cerrados y acotados (porque son continuas), por la regla de Barrow resulta que Z u(b) Z b f = F (u(b)) − F (u(a)) = (F ◦ u)(b) − (F ◦ u)(a) = (f ◦ u) u0 . u(a)

a √

Z Ejemplo. Calculemos el valor de

3

√

p

4 − x2 dx.

− 3

Ponemos √

Z

3

√

− 3

√

p

4 − x2 dx =

Z

3

√

− 3

√

Z p 2 2 1 − (x/2) dx =

3

√

− 3

4

p

1 − (x/2)2

1 dx 2

´ 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL

123

(hacemos el cambio de variable t = x/2 de izquierda a derecha, en la f´ormula del teorema anterior) √

Z =

3/2

√

p 4 1 − t2 dt

− 3/2

(ahora hacemos el cambio de variable t = sen y, de derecha a izquierda) Z

π/3

=

Z p 2 4 1 − sen y cos y dy =

−π/3

π/3

Z

4 cos2 y dy

4| cos y| cos y dy =

−π/3

−π/3

y=π/3 4π √ = 2(1 + cos 2y) dy = (2y + sen 2y) + 3. 3 y=−π/3 −π/3

Z =

π/3

π/3

Ejemplo (integrales de funciones pares e impares). Si f es par e integrable en [−a, a], entonces Z a Z a f =2 f. −a

0

Esto se puede demostrar a partir de la definici´on de integral o mediante la condici´on de integrabilidad de Riemann. El significado geom´etrico es claro, dado que la gr´afica de f es sim´etrica respecto de x = 0. Notemos que pod´ıamos haberlo usado en el ejemplo anterior. En el caso particular de que f sea continua, as R a estaR propiedad R a se puede demostrar de manera m´ 0 sencilla con un cambio de variable, ya que −a f = −a f + 0 f y Z

0

f (x) dx

[[t=−x]]

=

Z

0

−

a

Z f (−t) dt =

−a

a

Z

Z f (−t) dt =

0

a

f (t) dt. 0

a

An´alogamente, si f es impar entonces

f = 0. −a

6.3.3.

´ APENDICE. Construcci´ on de las funciones logar´ıtmica y exponencial

Ya hemos usado las propiedades de la funci´on logar´ıtmica en ejemplos y ejercicios. Ahora disponemos de las herramientas necesarias para poder construirla, probando con todo rigor su existencia y sus propiedades b´asicas. Recordemos que las potencias de exponente racional se definen en R+ = (0, +∞) de la siguiente manera: xn = x · x · · · x (n veces) si n ∈ N, y x1/n es la funci´on inversa. Dado m otro n´ umero m/n 1/n m 0 −a a natural, x = (x ) , y por u ´ltimo x = 1 y x = 1/x . Resulta que la derivada de la funci´on dada por xa es axa−1 , de manera que una primitiva de 1 xa en R+ es a+1 xa+1 , pero esto s´olo vale si a 6= −1. Como x−1 = 1/x es continua en R+ , podemos usar el teorema R x fundamental del c´alculo integral para definir una primitiva en este caso (a = −1), la dada por c (1/t)dt, cualquiera que sea c > 0. Elegimos c = 1, y la funci´on que resulta cumple todos los requisitos que buscamos para el logaritmo neperiano. Proposici´ on 6.3.9. La funci´ on Z L : x ∈ (0, +∞) → L(x) = 1

x

1 dt ∈ R t

est´ a bien definida, es estrictamente creciente (luego inyectiva) y suprayectiva. Es asimismo derivable en todos los puntos de su dominio y para cada x ∈ (0, +∞) L0 (x) = en particular, es c´ oncava en su dominio.

1 ; x

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

124 Demostraci´ on. La funci´on

1 ∈ R. t es continua, luego L est´a bien definida, es derivable en cada x ∈ (0, +∞) y su derivada es L0 (x) = f (x) = x1 . Puesto que L0 = f es estrictamente
positiva, L es estrictamente creciente. Como es continua por ser derivable, su imagen L (0, +∞) es un intervalo, y para ver que este intervalo es todo R bastar´a probar que no est´a acotada superior ni inferiormente. Ahora bien: dados a > 0 y n ∈ N, el cambio de variable t = un permite escribir Z an Z a n−1 Z a 1 nu 1 dt = du = n du = nL(a). L(an ) = n t u 1 1 u 1 f : t ∈ (0, +∞) →

Tomando a > 1, como L(a) > L(1) = 0, se deduce que L no est´a acotada superiormente; tomando a < 1, como L(a) < L(1) = 0, se deduce que L no est´a acotada inferiormente. Con esta informaci´on es suficiente para comprobar que su gr´afica tiene la forma que ya conocemos (compl´etese el estudio de la funci´on de la manera habitual). En cuanto a la propiedad esencial del logaritmo de transformar productos en sumas, tenemos: Proposici´ on 6.3.10. Con la notaci´ on anterior, para cualesquiera x, y ∈ (0, +∞) es L(xy) = L(x) + L(y) Demostraci´ on. Utilizando el cambio de variable t = u/a, Z L(ab) − L(a) = 1

ab

1 dt − t

Z 1

a

1 dt = t

Z

ab

a

1 dt = t

Z 1

b

a du = u a

Z 1

b

du = L(b). u

Observaci´ on. Tambi´en puede darse otra demostraci´on usando s´olo el valor de la derivada: fijado arbitrariamente y > 0, sea fy la funci´on dada por fy (x) = L(xy). Entonces fy0 (x) = y · L0 (xy) = y ·

1 1 = = L0 (x) xy x

para todo x, luego fy (x) = L(x) + C, para cierta constante C, en todo x > 0. Si tomamos x = 1 vemos que C = L(y).
n Ejercicio. La sucesi´on 1 + n1 es convergente, y denotando su l´ımite por e, resulta L(e) = 1. En efecto:
     L 1 + n1 − L(1) 1 n 1 1 L 1+ = nL 1 + = → L0 (1) = = 1, n n 1/n 1 y la funci´on inversa de L es continua por ser L creciente y continua. Es f´acil, igualmente, obtener las equivalencias conocidas y el desarrollo de Taylor-Maclaurin para el logaritmo de 1 + x. Lo dejamos como ejercicio para el lector. Por u ´ltimo, la funci´on inversa L−1 : R → (0, +∞), tiene todas las propiedades admitidas para la funci´on ex , de modo que tenemos aqu´ı una manera de introducir rigurosamente la funci´ on exponencial. Definici´ on 6.3.11. Se llama funci´ on exponencial a la definida por exp : x ∈ R → exp(x) = L−1 (x) ∈ R . As´ı pues, exp(x) = y si y s´olo si L(y) = x; en particular, exp(0) = 1 y exp(1) = e. Suele escribirse ex en lugar de exp(x).

´ 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL

125

Proposici´ on 6.3.12. a) La funci´ on exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada x ∈ R, (ex )0 = ex . b) e0 = 1. c) Para cada x ∈ R,

1 = e−x y, en particular, ex 6= 0. ex

d) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey . n

e) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex : enx = ex · · · ex . f ) Para cada x ∈ R, ex > 0. g) La funci´ on exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. h) Se tiene l´ım ex = +∞,

x→+∞

l´ım ex = 0.

x→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la funci´ on exponencial es (0, +∞). Demostraci´ on. a) Podemos aplicar el teorema de derivaci´on de la funci´on inversa, ya que L−1 es continua seg´ un hemos se˜ nalado anteriormente. En particular: exp0 (x) =

1 L0 (exp(x))

=

1 = exp(x), 1/ exp(x)

x ∈ R;

la derivada de la funci´on exp es ella misma, luego resulta indefinidamente derivable (igual a todas sus derivadas sucesivas). b) Obvio. c) Sea f : x ∈ R → f (x) = ex e−x ∈ R. Derivando de acuerdo con a), f 0 (x) = ex e−x − ex e−x = 0, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. d) Fijado y, sea f : x ∈ R → f (x) =

ex+y ex

f 0 (x) =

∈ R. Teniendo en cuenta a), ex+y · ex − ex+y · ex = 0, (ex )2

luego f toma constantemente el valor f (0) = ey . e) Se prueba por inducci´on sobre n utilizando d).
2 f) ex = ex/2 ≥ 0 y ex 6= 0. g) La derivada primera y la derivada segunda de la funci´on exponencial (que son iguales a la funci´ on exponencial) son estrictamente positivas. h) Puesto que la funci´on exponencial es estrictamente creciente, e = e1 > e0 = 1, luego l´ım en = +∞. Nuevamente por la monoton´ıa de la funci´on exponencial, esto basta para n probar que l´ım ex = +∞. x→+∞

CAP´ITULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN

126 Finalmente,

l´ım ex = l´ım e−y = l´ım

x→−∞

y→+∞

y→+∞

1 = 0. ey

Del teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que la funci´ on exponencial aplica R sobre (0, +∞). Obs´ervese que, seg´ un la exposici´on anterior, todas las propiedades b´asicas de la funci´on exponencial se deducen realmente de a) y b), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”.

Bibliograf´ıa [Bartle-Sherbert]

Bartle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 99, 101, 103, 119

[Dura´n]

Dur´ an, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del c´ alculo. Alianza, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´agina(s) 99

[Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introducci´ on al c´ alculo infinitesimal. (Ed. de los autores) Zaragoza, 1974. Citado en la(s) p´agina(s) 117 [Grattan-Guinness]

Grattan-Guinness, I. (comp.): Del c´ alculo a la teor´ıa de conjuntos, 1630–1910. Una introducci´ on hist´ orica. Alianza Editorial, Madrid, 1984. Citado en la(s) p´agina(s) 99

[Guzma´n]

Guzm´ an, M.: El rinc´ on de la pizarra: Ensayos de visualizaci´ on en an´ alisis matem´ atico. Pir´amide, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´agina(s) 99

[Ross]

Ross, K.A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ın, 1980. Citado en la(s) p´agina(s) 99, 101

127

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Cap´ıtulo 7

Integrales impropias 7.1.

Definici´ on de integral impropia y primeras propiedades

El concepto de integral se extiende de manera ‘casi espont´anea’ a situaciones m´as amplias que las hasta ahora examinadas. Consideremos, por ejemplo, la funci´on no acotada f : t ∈ (0, 1] → f (t) = log t ∈ R. Puesto que f es continua, para cada x ∈ (0, 1] existe su integral en [x, 1], que vale Z

1

Z

1

log t dt = [t log t − t]1x = −1 − x log x + x;

f= x

x

y como Z x→0+

1

f = l´ım [−1 − x log x + x] = −1,

l´ım

x→0+

x

parece natural escribir, simplemente, Z

1

f = −1. 0

Igualmente, si en el intervalo no acotado [0, +∞) tomamos la funci´on continua f : t ∈ [0, +∞) → e−t ∈ R, para cada x ∈ [0, +∞) tenemos Z

x

x

Z f=

Z0 x l´ım

x→+∞ 0

e−t dt = [−e−t ]x0 = −e−x + 1,

0

f = l´ım

x→+∞


−e−x + 1 = 1,

lo que sugiere escribir Z

+∞

e−t dt = 1.

0

Siguiendo este orden de ideas podemos proceder en distintas situaciones a definir una “integral generalizada” o integral impropia, lo que nos llevar´a a estudiar diferentes tipos de condiciones que permitan asegurar su existencia. 129

CAP´ITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS

130

7.1.1.

Integrales impropias: definici´ on de integrales impropias convergentes, divergentes, oscilantes

Definici´ on 7.1.1. Sea A ⊆ R. Diremos que una funci´ on f : A → R es localmente integrable en A si es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A. Por ejemplo, todas las funciones continuas y todas las funciones mon´otonas, acotadas o no, son localmente integrables. Obs´ervese que si −∞ < a < b ≤ +∞, una funci´on f es localmente integrable en [a, b) si y solo si es integrable en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b). An´alogamente, si −∞ ≤ a < b < +∞, una funci´ on f es localmente integrable en (a, b] si y solo si es integrable en cada intervalo [x, b] ⊆ (a, b]. Consideremos en primer lugar funciones definidas en intervalos del tipo [a, b), donde b es finito o +∞. Definici´ on 7.1.2. Dada una funci´ on f : [a, b) → R localmente integrable, −∞ < a < b ≤ +∞, si existe el l´ımite Z x l´ım f (t) dt x→b−

a

Rb y es finito, diremos que la integral impropia a f es convergente , y al valor de dicho l´ımite Rb lo denominaremos integral impropia de f en el intervalo [a, b); se denota por a f . Si el l´ımite anterior existe, pero es +∞ o −∞, diremos que la integral impropia diverge a +∞ o −∞, y si no existe el l´ımite diremos que la integral impropia no existe, o que no tiene sentido, o que es oscilante (esta u ´ltima denominaci´on se reserva en algunos textos para otro concepto distinto). Expresaremos a veces que la integral impropia de una funci´on en un intervalo es convergente diciendo que la funci´on es integrable en sentido impropio en dicho intervalo. De manera enteramente an´aloga puede definirse la integral impropia de una funci´on en un intervalo (a, b], −∞ ≤ a < b < +∞: Definici´ on 7.1.3. Dada una funci´ on f : (a, b] → R localmente integrable, −∞ ≤ a < b < +∞, Rb diremos que la integral impropia a f es convergente si existe el l´ımite Z l´ım

x→a+

b

f (t) dt x

y es finito, y al valorR de dicho l´ımite lo denominaremos integral impropia de f en el intervalo b (a, b]; se denota por a f . Si el l´ımite anterior existe, pero es +∞ o −∞, diremos que la integral impropia diverge a +∞ o −∞, y si no existe el l´ımite diremos que la integral impropia no existe, o no tiene sentido, o que es oscilante. La definici´on de integral impropia de funciones localmente integrables en intervalos abiertos puede hacerse mediante l´ımites en dos variables o reduci´endola a las definiciones anteriores del siguiente modo: Definici´ on 7.1.4. Dada una funci´ on f : (a, b) → R localmente integrable, −∞ ≤ a < b ≤ +∞, Rb Rc Rb diremos que la integral impropia a f es convergente si existe un c ∈ (a, b) tal que a f y c f son ambas convergentes; en tal caso, se define Z b Z c Z b f= f+ f. a

a

c

Del siguiente resultado (y de su an´ alogo para intervalos semiabiertos por la izquierda) se deduce que en esta definici´on es indiferente el punto c que se elija. Tambi´en se deduce que la convergencia de una integral impropia es un concepto local, que depende solo del comportamiento del integrando “cerca del punto impropio”, en un entorno del “extremo conflictivo”.

´ DE INTEGRAL IMPROPIA Y PRIMERAS PROPIEDADES 7.1. DEFINICION

131

Proposici´ on 7.1.5. Sea f : [a, b) → R una funci´ on localmente integrable y sea a < c < b. La funci´ on f es integrable en sentido impropio en [a, b) si y solo si es integrable en sentido impropio en [c, b), en cuyo caso se tiene Z c Z b Z b f= f+ f. a

a

c

Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que para cada x ∈ (c, b) es Z x Z c Z x f= f+ f. a

a

c

b−

Por tanto, el l´ımite cuando x → de la primera integral existe si y solo si existe el l´ımite de la tercera integral, y cuando esto suceda, pasando al l´ımite se obtiene la relaci´on del enunciado. Los conceptos anteriores pueden generalizarse al caso de funciones definidas en una uni´on finita de intervalos disjuntos. Por ejemplo: Definici´ on 7.1.6. Sea J = ∪nk=1 Ik , donde (Ik )nk=1 es una familia de intervalos R disjuntos. Si f es una funci´ on localmente integrable en J, se dice que la integral impropia J f es convergente Rb si converge cada una de las integrales akk f , donde ak y bk son los extremos de Ik ; en tal caso, se define Z n Z bk X f= f. J

k=1

ak

Nota. Cuando los intervalos (Ik ) son contiguos, es decir, cuando b1 = a2 , . . . , bk−1 = ak , . . . , bn−1 = Rb R an , suele escibirse a1n f en vez de J f . Z Ejemplos.

1) Dado α ∈ R, las integrales impropias a

b

dt y (t − a)α

Z a

b

dt son convergentes (b − t)α

si α < 1, y divergen a +∞ si α ≥ 1. Z +∞ dt 2) La integral impropia es convergente si α > 1. Si α ≤ 1, diverge a +∞. α t 1 Z +∞ 3) La integral impropia e−αt dt es convergente si α > 0. Si α ≤ 0, diverge a +∞. 0

4) La funci´on f (x) = √

1 1 − x2

es localmente integrable en (−1, 1) porque es continua. Su integral impropia es convergente: Z 1 Z 0 Z 1 dx dx dx π π √ √ √ = + = −(− ) + = π 2 2 2 2 2 1−x 1−x 1−x −1 −1 0 (f admite como primitiva arc sen x). Nota. Para mayor sencillez en la exposici´on, hasta nuevo aviso nos limitaremos a considerar integrales impropias de funciones localmente integrables en intervalos del tipo [a, b), −∞ < a < b ≤ +∞. Dejamos al cuidado del lector escribir las modificaciones pertinentes para los restantes casos. La noci´on de integral impropia se reduce a la de integral de Riemann cuando tratamos con funciones integrables-Riemann. Proposici´ on 7.1.7. Sea f : [a, b] → R una funci´ on integrable-Riemann en [a, b]. Entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y su integral impropia es igual a la integral de Riemann.

CAP´ITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS

132

Demostraci´ on. Seg´ un el teorema fundamental del c´alculo integral, la funci´on Z x F (x) = f a

es continua en b, as´ı que Z

b

Z

x

f = l´ım

f.

x→b−

a

a

Esto demuestra que f es integrable en sentido impropio en [a, b) y que su integral impropia es igual a la integral de Riemann. La misma idea sirve para demostrar que si una funci´on es continua en [a, b) y en b tiene una discontinuidad evitable, entonces es integrable en sentido impropio en [a, b): Proposici´ on 7.1.8. Sea −∞ < a < b < +∞. Si f : [a, b) → R es una funci´ on continua y existe el l´ımite l´ım f (x) ∈ R, entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y x→b−

b

Z

b

Z f=

a

g, a

donde g es la extensi´ on continua de f a [a, b]. Demostraci´ on. La funci´on g es integrable Riemann, ya que es continua en [a, b]. Seg´ un la definici´ on de integral impropia, Z b Z x Z x Z b f = l´ım f = l´ım g= g, x→b−

a

x→b−

a

a

a

donde en la u ´ltima igualdad se usa el teorema fundamental del c´alculo integral. Observaci´ on. Con la misma demostraci´on, se puede probar que si f es una funci´on localmente integrable en [a, b) y se puede extender a una funci´on integrable-Riemann en [a, b], entonces la integral impropia Z b f a

es convergente.

7.1.2.

Primeras propiedades de las integrales impropias

Algunas propiedades de la integral de Riemann se trasladan sin dificultad a las integrales impropias, como muestran las proposiciones siguientes. Proposici´ on 7.1.9. Sean f , g funciones integrables en sentido impropio en un intervalo [a, b). Dados λ, µ ∈ R, la integral impropia Z b (λf + µg) a

es convergente, y se cumple Z

b

Z (λf + µg) = λ

a

b

Z f +µ

a

b

g. a

Proposici´ on 7.1.10 (regla de Barrow para integrales impropias). Sea g una funci´ on derivaZ b ble en [a, b) y tal que g 0 es localmente integrable en [a, b). La integral impropia g 0 es convergente a

si y solo si el l´ımite l´ım g(x) existe y es finito. Y si eso ocurre, entonces se verifica x→b−

Z a

b

g 0 = l´ım g(x) − g(a). x→b−

7.2. CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS

133

Proposici´ on 7.1.11 (integraci´ on por partes en integrales impropias). Sean u, v funciones derivables en [a, b) y tales que u0 , v 0 son localmente integrables en [a, b). Si existen y son reales dos de los l´ımites siguientes: Z x Z x l´ım uv 0 , l´ım u(x)v(x), l´ım u0 v, x→b−

x→b−

a

x→b−

a

entonces el otro tambi´en existe y es real y se verifica Z

b

Z

0

b

uv = l´ım u(x)v(x) − u(a)v(a) − x→b−

a

u0 v.

a

Proposici´ on 7.1.12 (cambio de variable en integrales impropias). Sean I y J intervalos abiertos, [a, b) ⊆ J, f : I → R una funci´ on continua, u : J → I una funci´ on derivable tal que existe l´ım u(y) = ` ∈ R ∪ {±∞} y con derivada u0 continua. Entonces la integral y→b−

Z

b

f (u(x)) u0 (x) dx

a

converge si y solo si converge la integral `

Z

f (t) dt, u(a)

en cuyo caso ambas integrales son iguales: Z

b

f (u(x)) u0 (x) dx =

a

Z

`

f (t) dt. u(a)

7.2.

Convergencia de integrales impropias

7.2.1.

Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios de comparaci´ on

En el caso particular de que la funci´on sea no negativa, el estudio de la convergencia de su integral es m´as sencillo: Proposici´ on 7.2.1. Sea f una funci´ on localmente integrable y no negativa en [a, b). La integral Rb impropia a f es convergente si y solo si la funci´ on Z F (x) =

x

f,

x ∈ [a, b)

a

est´ a acotada. En caso contrario, la integral diverge a +∞. Demostraci´ on. Como f es no negativa, la funci´on F es mon´otona no decreciente. Recordando que l´ım F (x) = sup{F (x) : x ∈ [a, b)},

x→b−

se deduce que el l´ımite es finito si F est´a acotada (superiormente), mientras que si no est´a acotada el l´ımite es +∞. Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente criterio de comparaci´ on, que permite reducir el estudio de la convergencia de una integral impropia al de otras conocidas.

CAP´ITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS

134

Proposici´ on 7.2.2 (criterio de comparaci´ on por mayoraci´ on). Sean f , g funciones no negativas localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existen una constante K y Rb alg´ un c ∈ [a, b) tales que f (x) ≤ K g(x) siempre que c < x < b. Si la integral impropia a g es Rb convergente, entonces tambi´en la integral impropia a f es convergente. Demostraci´ on. Para cada x ∈ [a, b) es x

Z

Z f≤

a

c

Z f +K

a

b

g, c

as´ı que el resultado se deduce de la proposici´on anterior. Proposici´ on 7.2.3 (criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite). Sean f , g funciones no negativas localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existe l´ım

x→b−

f (x) = ` ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. g(x)

Rb Rb a) Si ` < +∞ y la integral impropia a g converge, entonces la integral impropia a f tambi´en converge. Rb Rb b) Si 0 < ` y la integral impropia a g diverge, entonces la integral impropia a f tambi´en diverge. Rb Rb c) Si 0 < ` < ∞, las dos integrales a f y a g tienen el mismo car´ acter: o las dos son convergentes, o las dos son divergentes. Demostraci´ on. a) Si ` < ∞, tomemos ` < K < ∞; existe un c tal que f (x) < Kg(x) si c < x < b. Basta entonces aplicar el criterio anterior. b) Si 0 < `, tomemos 0 < K < `; existe alg´ un c tal que f (x) > Kg(x) si c < x < b. Por el Rb Rb criterio anterior, si la integral impropia a g diverge necesariamente la integral impropia a f debe diverger. c) Es una consecuencia inmediata de a) y b). Rb Rb N´otese que si, en particular, es f (x) ∼ g(x) cuando x → b− , entonces a f y a g tienen el mismo car´acter. Examinando los ejemplos que hemos visto de convergencia y divergencia, por aplicaci´on del anterior criterio se obtiene: Corolario 7.2.4 (criterio de Pringsheim). a) Sea f una funci´ on no negativa, localmente integrable en un intervalo [a, +∞) y tal que para alg´ un α existe el l´ımite l´ım xα f (x) = ` ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→+∞

Entonces (a.1) si α ≤ 1 y ` > 0, la integral

R +∞

f diverge (a +∞). R +∞ (a.2) si α > 1 y ` 6= +∞, la integral a f converge. a

b) Sea f una funci´ on no negativa localmente integrable en un intervalo [a, b), con −∞ < a < b < +∞, y tal que para alg´ un α existe el l´ımite l´ım (b − x)α f (x) = ` ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→b−

Entonces

7.2. CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS (b.1) si α ≥ 1 y ` > 0, la integral

135

Rb

f diverge (a +∞). Rb (b.2) si α < 1 y ` 6= +∞, la integral a f converge. a

Ejercicio. Estudiar la convergencia de la integral Z

+∞

dx p

|x(1 − x2 )|

−1

.

Ejercicio (funciones gamma y beta de Euler). Probar que dados t, u, v ∈ (0, +∞), son convergentes las integrales +∞

Z Γ(t) =

xt−1 e−x dx,

0 1

Z

xu−1 (1 − x)v−1 dx.

B(u, v) = 0

7.2.2.

Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y convergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet

Definici´ on 7.2.5. Sea f una funci´ on localmente integrable en [a, b). Diremos que la integral impropia de f en [a, b) es absolutamente convergente si la integral impropia Z

b

|f (t)| dt a

es convergente. Proposici´ on 7.2.6. Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente. Demostraci´ on. Sea f : [a, b) → R localmente integrable y supongamos que la integral impropia Rb a |f | es convergente. Definamos f+ (x) = m´ax{f (x), 0}, f− (x) = m´ax{−f (x), 0}. Las funciones f+ y f− son localmente integrables y es f´acil comprobar que 0 ≤ f+ ≤ |f |,

0 ≤ f− ≤ |f |,

Rb Rb as´ı que las integrales impropias a f+ y a f− son convergentes. Tambi´en es f´acil comprobar que Rb f = f+ − f− , luego la integral a f es convergente. Como la convergencia absoluta de una integral impropia es la convergencia de la integral de una funci´on no negativa, el resultado que acabamos de ver permite aprovechar en muchos casos los m´etodos de comparaci´on anteriores para estudiar la convergencia de integrales impropias. Por ejemplo: Z a) la integral Z +∞ dx ). x2 1

1

+∞

cos x dx es convergente, por ser absolutamente convergente (comparar con x2

CAP´ITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS

136 +∞

Z b) la integral 0

sen x dx es convergente, puesto que integrando por partes x Z y h cos x iy Z y cos x sen x dx = − − dx x x 1 x2 1 1

y el segundo miembro de esta igualdad tiene l´ımite finito para y → +∞, como consecuencia de a). Sin embargo, hay integrales impropias convergentes R +∞ sen x que no son absolutamente convergentes. El ejemplo est´andar es precisamente la integral 0 on. x dx, como vemos a continuaci´ R +∞ | sen x| Ejemplo. La integral 0 dx no es convergente. En efecto: para cada n ∈ N, x Z

nπ

(n−1)π

| sen x| 1 dx ≥ x nπ

nπ

Z

2 2 | sen x| dx = ≥ nπ π (n−1)π

Z

n+1

n

dx . x

Luego Z 0

Nπ

| sen x| 2 dx ≥ x π

Z 1

N +1

dx 2 = log(N + 1) → +∞. x π

Definici´ on 7.2.7. Si una integral impropia es convergente pero no es absolutamente convergente, se dice que es condicionalmente convergente. Como hay integrales impropias condicionalmente convergentes, es importante disponer de criterios de convergencia que no dependan de la convergencia absoluta; de ellos, los que m´as se usan en la pr´actica son los criterios de Abel y Dirichlet. Proposici´ on 7.2.8 (criterio de Abel). Sea f una funci´ on integrable en sentido impropio en un Rb intervalo [a, b) y g una funci´ on mon´ otona y acotada en dicho intervalo. Entonces la integral a f g es convergente. Proposici´ on 7.2.9 (criterio on localmente integrable en un inter Dirichlet). Sea f una funci´ Z x de on mon´ otona en [a, b) con l´ım g(x) = 0. f es finito y sea g una funci´ valo [a, b) y tal que sup x→b− a 0) o a −∞ (si a < 0); c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales est´an acotadas; d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞. Ejemplo (serie arm´ onica). Se denomina as´ı la serie ∞ X 1 . n

n=1

Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-´esima, denotada habitualmente por Hn , cumple Z n+1 n n Z X 1 X k+1 dx dx Hn = ≥ = = log(n + 1), k x x k 1 k=1

k=1

luego la serie arm´onica diverge a +∞ a pesar de que l´ım n

1 = 0. n

El “car´acter” de una serie no cambia si se prescinde de un n´ umero finito de sumandos (aunque esto pueda afectar al valor de la suma). Dicho de forma m´as precisa, P Proposici´ on 8.1.2. Dada una serie ∞ n=1 an y un entero m > 1, se tiene: P∞ P∞ a) n=1 an converge si y solo si converge n=m an . Si convergen, entonces ∞ X

an =

n=1

m−1 X n=1

an +

∞ X

an .

n=m

b)

P∞

diverge a +∞ si y solo si

P∞

diverge a +∞.

c)

P∞

diverge a −∞ si y solo si

P∞

diverge a −∞.

n=1 an

n=1 an

n=m an

n=m an

´ Y PRIMERAS PROPIEDADES 8.1. DEFINICION d)

P∞

n=1 an

es oscilante si y solo si

P∞

n=m an

141

es oscilante.

Demostraci´ on. Basta observar que para todo p > m es p X

an =

n=1

m−1 X

p X

an +

an ,

n=m

n=1

Pm−1 donde n=1 an es fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados conocidos para sucesiones.

8.1.2.

Linealidad de la convergencia de series

P∞ P∞ Proposici´ P∞ on 8.1.3. Sean n=1 an , n=1 bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la serie n=1 (αan + βbn ) es convergente y se tiene ∞ X

∞ X

(αan + βbn ) = α

n=1

an + β

∞ X

n=1

n=1

N X

N X

bn .

Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que N X

(αan + βbn ) = α

n=1

Corolario 8.1.4. Si es convergente.

P∞

n=1 an

Demostraci´ on. Si la serie

converge y

P∞

n=1 (an ∞ X n=1

an + β

n=1

P∞

n=1 bn

an .

n=1

no es convergente, entonces

P∞

n=1 (an

+ bn ) no

+ bn ) convergiera, entonces la serie bn =

∞  X

(an + bn ) + (−1)an



n=1

tambi´en converger´ıa, seg´ un la proposici´on anterior. P P P Ejemplos. La serie (1/n + 1/2n ) no converge, pues 1/n no es convergente y 1/2n s´ı. Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como no convergente: exam´ınense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn = −1.

8.1.3.

Series telesc´ opicas

Proposici´ on 8.1.5. Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones de n´ umeros reales tales que para todo n ∈ N se cumple an = bn − bn+1 . P∞ Entonces la serie n=1 an (denominada serie telesc´opica) es convergente si y solo si la sucesi´ on (bn ) tiene l´ımite real, en cuyo caso tenemos ∞ X n=1

an = b1 − l´ım bn . n

Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie N X n=1

P∞

n=1 an

son

an = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bN −1 − bN ) + (bN − bN +1 ) = b1 − bN +1 .

´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS

142 Ejemplo. Si an =

1 1 1 = − , entonces la suma parcial N -´esima es simplemente n(n + 1) n n+1

SN =

N X n=1

N

X 1 1 1
1 = − =1− , n(n + 1) n n+1 N +1 n=1

con lo que l´ım SN = 1. Es decir, la serie N

P∞

n=1 an

∞ X n=1

Ejemplo. Sea ahora an = log 1 + N X

an =

n=1

N X n=1

1 = 1. n(n + 1)

1
. La suma parcial de orden N es n

N


1
X log 1 + = log(n + 1) − log n = log(N + 1) − log 1 = log(N + 1) n n=1

y tiende a +∞. Es decir, la serie

∞ X n=1

Nota. Toda serie

converge y su suma es 1:

P∞

n=1 an

log 1 +

1
diverge a +∞. n

se puede ver trivialmente como una serie telesc´opica: basta poner

b1 = 0,

bn+1 = −(a1 + a2 + · · · + an ) (n ∈ N),

lo que no a˜ nade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos obtenido s´olo es u ´til cuando la sucesi´on (bn ) es una sucesi´on conocida, cuyo comportamiento sabemos de antemano. Ejercicio. Escribi´endolas como series telesc´opicas, estudiar las siguientes series: a)

∞ X 1 n+2 n+2 (descomponer en fracciones simples). n 2 n(n + 1) n(n + 1)

n=1

b)

∞ X

3n sen3

n=1

c)

∞ X

2n−1 tg2

n=1

d)

∞ X n=1

8.1.4.

α a a (obs´ervese que sen α = 3 sen − 4 sen3 ). n 3 3 3

sen

a 2 tg(α/2) a tg n−1 (utilizar que tg α = ). n 2 2 1 − tg2 (α/2)

1 3 1 cos n (tener en cuenta que cos α sen β = [sen(α + β) − sen(α − β)]). n 2 2 2

Condici´ on necesaria para la convergencia de una serie. Condici´ on general de convergencia de Cauchy

Proposici´ on 8.1.6 (condici´ on necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie P∞ a converge, necesariamente n n=1 l´ım an = 0. n

´ 8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS

143

Demostraci´ on. Si (sN ) es la sucesi´on de las sumas parciales, es decir, sN =

N X

an ,

n=1

entonces ∃ l´ım sN ∈ R. N

Como aN = sN − sN −1 , se deduce que l´ım aN = l´ım sN − l´ım sN −1 = 0. N

N

N

Esta condici´on no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos de series no convergentes cuya sucesi´on de t´erminos tiende a 0; el m´as sencillo es quiz´a la serie arm´onica ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + ··· + + ··· , n 2 3 n n=1

ya estudiada. Teorema 8.1.7 (condici´ on de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie P∞ n=1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N (ε) tal que para cualesquiera m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple m X ak < ε. k=n

Demostraci´ on. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesi´on (sn ) de sus sumas parciales, lo que equivale a que (sn ) sea de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0 exista un N = N (ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn−1 | < ε; pero sm − sn−1 =

m X k=1

ak −

n−1 X

ak =

k=1

m X

ak .

k=n

8.2.

Series de t´ erminos no negativos

8.2.1.

Convergencia de una serie de t´ erminos no negativos. Criterios de comparaci´ on

El estudio del car´acter de una serie se simplifica cuando ´esta es de t´erminos no negativos. P P∞ Proposici´ on 8.2.1. Sea ∞ n=1 an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces n=1 an converge si y solo si la sucesi´ on (sn ) de sus sumas parciales est´ a acotada superiormente. En caso contrario, la serie diverge a +∞. Demostraci´ on. Puesto que para cada n ∈ N es sn+1 − sn = an+1 ≥ 0, la sucesi´on (sn ) es mon´otona no decreciente. Luego o bien est´a acotada superiormente y converge, o bien no est´a acotada superiormente y diverge a +∞. Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie a partir del car´acter de otra serie conocida.

´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS

144

P P∞ Teorema 8.2.2 (criterio de comparaci´ on).PSean ∞ y n0 ∈ N de n=1 an y n=1 bn dos seriesP ∞ ∞ modo que para nP≥ n0 es 0 ≤ anP≤ bn . Si b converge, tambi´ e n converge n=1 n n=1 an . En ∞ ∞ consecuencia, si n=1 an diverge, n=1 bn es asimismo divergente. P∞ P P∞ Demostraci´ on. Sabemos acter que ∞ n tiene n=1 an tiene el mismo car´ n=n0 an , y que n=1 Pque Pb∞ el mismo car´acterPque ∞ b . Denotando por (s ) la sucesi´ o n de sumas parciales de n n=n0 n n=n0 an ∞ y por (tn ) la de n=n0 bn , se sigue que para cada n ∈ N es sn ≤ tn , luego si (tn ) est´a acotada superiormente, (sn ) estar´a acotada superiormente. Y si (sn ) no est´a acotada superiormente, (tn ) tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora el teorema anterior. En los libros cl´asicos, el criterio anterior recibe el nombre P de criterio P de la mayorante y de ∞ la minorante, expres´andose la relaci´on descrita entre las series n=1 an y ∞ n=1 bn diciendo que la primera est´ a mayorada por la segunda y que ´esta est´a minorada por la primera. El criterio se enuncia entonces en la forma siguiente: si la serie mayorante es convergente, la minorante es convergente; si la minorante es divergente, la mayorante es divergente. La comparaci´on entre dos series suele hacerse en la pr´actica estudiando el cociente de sus t´erminos: P P∞ Corolario 8.2.3 (criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite). Sean ∞ n=1 an , n=1 bn series de t´erminos no negativos. Supongamos que existe l´ım n

an = ` ∈ [0, +∞]. bn

P∞

P a) Si ` < +∞ y la serie n=1 bn converge, entonces la serie ∞ en converge. n=1 an tambi´ P∞ P∞ b) Si 0 < ` y la serie n=1 bn diverge, entonces la serie n=1 an tambi´en diverge. P P∞ c) Si 0 < ` < +∞, entonces las dos series ∞ acter. n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´ Demostraci´ on. a) Sea C ∈ (`, +∞) (por ejemplo C = ` + 1). Entonces existe alg´ un n 0 P ∈ N tal que an /bn ≤ C para todo n ≥ n0 , es decir, 0 ≤ an ≤ Cbn para todo n ≥ n0 . Si la serie P ∞ n=1 bn P∞ converge, entonces tambi´en la serie n=1 Cbn converge y, por el criterio anterior, la serie ∞ n=1 an converge. b) Sea C ∈ (0, `). Existe alg´ unP n0 ∈ N tal que an /bn ≥ C para todo n ≥ nP 0 , es decir, an ≥ Cbn ≥ 0 ∞ ∞ para todo n ≥ n0 . Si la serie b diverge, entonces tambi´ e n la serie n n=1 Cbn diverge y, por P∞ n=1 el criterio anterior, la serie n=1 an diverge. c) Basta aplicar a) y b). P∞ P∞ Corolario 8.2.4 (series de t´ erminos equivalentes). Sean a , n n=1 P∞ P∞ n=1 bn dos series de t´erminos no negativos. Supongamos que (an ) ∼ (bn ). Entonces n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´ acter. Por supuesto, en el resultado anterior las dos series pueden tener distinta suma. La comparaci´on con las series geom´etricas proporciona dos de los criterios m´as utilizados en la pr´actica, el criterio de la ra´ız y el criterio del cociente. Posteriormente veremos versiones m´ as generales de los mismos para series de t´erminos cualesquiera. P Proposici´ on 8.2.5 (criterio de Cauchy o de la ra´ız). Sea ∞ erminos no n=1 an una serie de t´ √ negativos tal que existe R = l´ım n an . n→∞ P∞ a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente. P b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∞ n=1 an es divergente. P∞ Proposici´ on 8.2.6 (criterio de D’Alembert o del cociente). Sea n=1 an una serie de an+1 . t´erminos no negativos tal que existe R = l´ım n→∞ an

´ 8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS a) Si R < 1, la serie

145

P∞

n=1 an

es convergente. P b) Si R > 1, entonces an → 6 0 y la serie ∞ n=1 an es divergente.

Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe. P Proposici´ on 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea ∞ erminos no negativos tal n=1 an una serie de t´ an+1 que exista R = l´ım n (1 − ). Entonces: n→∞ an P a) Si R > 1, la serie ∞ n=1 an es convergente. P b) Si R < 1, la serie ∞ n=1 an diverge a +∞. Demostraci´ on. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.28, p´ags. 101–102].

8.2.2.

Otros criterios. Convergencia de algunas series de t´ erminos no negativos

Proposici´ n 8.2.8 (criterio integral). Dada f P : [1, +∞) → [0, +∞) no creciente, la integral Ro+∞ impropia 1 f es convergente si y solo si la serie ∞ as, existe siempre n=1 f (n) converge. Adem´ n X

C = l´ım n

Z

!

n

f (k) −

∈ [0, +∞)

f 1

k=1

y es n X

n

Z f (k) =

f + C + εn 1

k=1

con 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ım f (x). x→+∞

Demostraci´ on. Para cada n ∈ N, pongamos sn =

n X

Z f (k),

tn =

n

dn = sn − tn .

f, 1

k=1

Entonces dn =

n X

f (k) −

k=1

= f (n) +

n−1 X Z k+1 k=1

k

n−1 X Z k+1 k=1

f = f (n) +

n−1 X

Z f (k) −

k=1

k+1

f (x) dx



k

[f (k) − f (x)] dx ≥ 0.

k

Como Z

n+1

dn − dn+1 = sn − tn − sn+1 + tn+1 = f (x) dx − f (n + 1) n Z n+1 = [f (x) − f (n + 1)] dx ≥ 0, n

se sigue que (dn ) es mon´otona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C = l´ım dn ∈ [0, +∞) y, en consecuencia, (sn ) y (tn ) ser´an simult´aneamente convergentes o divergentes. n R +∞ Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn ) equivale asimismo a la de la integral f , luego esta 1 P integral converge si y solo si converge la serie ∞ f (n). n=1

´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS

146

Por u ´ltimo, para obtener la relaci´on entre sn y tn , observemos que Z n+1 Z n+1 0 ≤ dn − dn+1 = f (x) dx − f (n + 1) ≤ f (n) dx − f (n + 1) = f (n) − f (n + 1). n

n

Reiterando, para cualquier n´ umero natural p, 0 ≤ dn − dn+1 ≤ f (n) − f (n + 1), 0 ≤ dn+1 − dn+2 ≤ f (n + 1) − f (n + 2), ... 0 ≤ dn+p − dn+p+1 ≤ f (n + p) − f (n + p + 1). Al sumar las desigualdades resulta que 0 ≤ dn − dn+p+1 ≤ f (n) − f (n + p + 1). Pasando al l´ımite en p, y teniendo en cuenta que l´ım f (x) existe por ser f mon´otona no creciente, x→+∞

obtenemos 0 ≤ dn − C ≤ f (n) − l´ım f (x). x→+∞

Si hacemos εn = dn − C = sn − tn − C =

Pn

k=1 f (k)

−

Rn 1

f − C, hemos probado que

0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ım f (x), x→+∞

lo que completa la demostraci´on. Aplicaciones. 1.- La constante γ de Euler . Aplicando los resultados que acabamos de obtener a la funci´on f dada por f (x) = 1/x y teniendo en cuenta que Z n 1 dx = log n, 1 x podemos escribir la suma parcial n-´esima de la serie arm´onica como n X 1 Hn = = log n + γ + εn , k k=1

donde 0 ≤ εn ≤ 1/n y n X 1 − log n γ = l´ım n k

! = 0, 5772156649 . . .

k=1

es un n´ umero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funci´on Γ, definida tambi´en por ´el. Euler obtuvo sus diecis´eis primeras cifras decimales en 1781; en 1963, Sweeney calcul´o 3.566 cifras. No se sabe todav´ıa si es un n´ umero racional o irracional (ver [Le Lionnais, p´ag. 28]). 2.- La funci´ on ζ de Riemann . El criterio integral permite comprobar f´acilmente que la serie ∞ X 1 ns

n=1

converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol1, ejemplo 1, p´ag. 485]). La funci´on ∞ X 1 ζ : s ∈ (1, +∞) → ζ(s) = ∈ R, ns n=1

´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA

147

denominada funci´ on zeta de Riemann , tiene importantes aplicaciones (especialmente en teor´ıa de n´ umeros). Hay expresiones m´as o menos sencillas para ζ(2n), n ∈ N, pero no para otros valores. π2 π4 Se sabe por ejemplo que ζ(2) = , ζ(4) = . Hasta fechas recientes (R. Ap´ery, 1978) no se hab´ıa 6 90 podido probar siquiera que ζ(3) es irracional: ver [Le Lionnais, p´ag. 36]. 3.- Series logar´ıtmicas . Tambi´en mediante el criterio integral se prueba que la serie ∞ X n=2

1 n(log n)s

converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol1, p´ag. 486]). Por comparaci´on con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios de convergencia. P Proposici´ on 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea ∞ erminos no negativos n=1 an una serie de t´ tal que para alg´ un α ∈ R existe el l´ımite l´ım nα an = ` ∈ [0, +∞].

n→∞

Entonces: P a) Si α > 1 y ` < +∞, la serie ∞ n=1 an converge. P∞ b) Si α ≤ 1 y ` > 0, la serie n=1 an diverge (a +∞). P Proposici´ on 8.2.10 (criterios logar´ıtmicos). Sea ∞ erminos no negativos n=1 an una serie de t´ − log an − log(n an ) tal que existe alguno de los dos l´ımites A = l´ım , B = l´ım . Entonces: n→∞ log n n→∞ log(log n) P a) Si A > 1, la serie ∞ n=1 an es convergente; si A < 1, diverge a +∞. P b) Si B > 1, la serie ∞ n=1 an es convergente; si B < 1, diverge a +∞.

8.3.

Series de t´ erminos cualesquiera

8.3.1.

Series alternadas: criterio de Leibniz

P Proposici´ on 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∞ n=1 xn una serie alternada, es decir, una serie n+1 a con a ≥ 0. Si (a ) es una sucesi´ tal que para cada n ∈ N esPxn = (−1)P on no creciente con n n n ∞ ∞ n+1 l´ımite 0, entonces la serie n=1 xn = n=1 (−1) an es convergente. Adem´ as, denotando con sn la suma parcial n-´esima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades 0 ≤ (−1)n (sn+2 − sn ) ≤ an+1 , n

0 ≤ (−1) (s − sn ) ≤ an+1 .

(8.1) (8.2)

Nota. De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesi´on no decreciente y las sumas de orden impar una sucesi´on no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente modo: si tomamos sn como valor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que |an+1 |, de modo que si (an ) converge “r´apidamente” a 0 , obtenemos una buena aproximaci´ on de la suma mediante una suma parcial de “pocos” t´erminos. Demostraci´ on. Obs´ervese que dado k ∈ N, la diferencia −(s2k+1 − s2k−1 ) = a2k − a2k+1

´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS

148

es mayor o igual que 0 por ser (an ) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo que da (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2 , que an´alogamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1 , lo que completa la prueba de (8.1) para todos los casos. Adem´as, hemos obtenido que (s2k ) es una sucesi´on no decreciente. Como s2k = a1 − [(a2 − a3 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) + a2k ] ≤ a1 , (s2k ) est´a acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su l´ımite. Puesto que s2k−1 = s2k + a2k y a2k → 0, resulta que l´ım s2k−1 = l´ım(s2k + a2k ) = l´ım s2k + l´ım a2k = s + 0 = s. k

k

k

k

Es decir: tanto la subsucesi´on de t´erminos pares como la de t´erminos impares de (sn ) son convergentes con l´ımite s. Esto permite afirmar que (sn ) es convergente con l´ımite s, es decir, que P+∞ x = s. n=1 n Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es +∞ X

s = x1 + · · · + xn +

+∞ X

xk = sn +

(−1)k+1 ak ,

k=n+1

k=n+1

se sigue que (−1)n (s − sn ) =

+∞ X

(−1)n+k+1 ak

k=n+1

= an+1 − an+2 + l´ım [(an+3 − an+4 ) + · · · + (an+2m+1 − an+2m+2 )] m

≥ an+1 − an+2 ≥ 0 y que (−1)n (s − sn ) =

+∞ X

(−1)n+k+1 ak

k=n+1

= an+1 − l´ım [(an+2 − an+3 ) + · · · + (an+2m − an+2m+1 )] m

≤ an+1 , lo que prueba (8.2). Ejemplo. La serie arm´ onica alternada ∞ X (−1)n−1 n=1

n

es convergente. Adem´as, su suma se calcula f´acilmente utilizando la constante de Euler. En efecto: para cada n ∈ N, sumando y restando t´erminos, se tiene 2n X (−1)k+1 k=1

k

=1−

1 1 1 1 1 + − + ··· + − 2 3 4 2n − 1 2n

  1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ··· + + −2 + + ··· + 2 3 4 2n − 1 2n 2 4 2n = H2n − Hn = log 2n + γ + ε2n − log n − γ − εn = log 2 + ε2n − εn .

´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA

149

Como sabemos ya que la serie arm´onica alternada es convergente, podemos escribir: +∞ X (−1)k+1 k=1

k

= l´ım m

m X (−1)k+1 k=1

Ejemplo. La serie

= l´ım

k

n

2n X (−1)k+1 k=1

k

= log 2.

∞ X (−1)n log n n=2

n

log x es convergente. En efecto, es f´acil comprobar que la funci´on f (x) = es decreciente en [3, +∞) x log n log n (por ejemplo, calculando f 0 ). Adem´as, ≥ 0 y → 0. De aqu´ı se deduce que la serie n n ∞ n X (−1) log n converge. n

n=3

8.3.2.

Series absolutamente convergentes

Definici´ on 8.3.2. Una serie es convergente.

P∞

n=1 an

se dice absolutamente convergente si la serie

P∞

n=1 |an |

El ejemplo m´as sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie arm´ onica alternada. Observaci´ on. Una serie obtenida mediante combinaci´on lineal de series absolutamente convergentes es absolutamente convergente (ver [Apostol1, p´ag. 496]). Definici´ on 8.3.3. Para un n´ umero real cualquiera x, escribamos x+ = m´ax{x, 0},

x− = m´ax{−x, 0}.

Es f´ acil comprobar que |x| = x+ + x− , x = x+ − x− , x+ ≥ 0, x− ≥ 0. Proposici´ on 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si P∞ P∞ |a | converge, entonces la serie a tambi´ en converge. Y en ese caso, n=1 n n=1 n ∞ ∞ X X |an |. an ≤ n=1

n=1

Demostraci´ on. Con la notaci´on anterior, 0 ≤ a+ n ≤ |an |,

0 ≤ a− n ≤ |an |,

P∞ − P∞ P + − + en luego las dos series ∞ n=1 an tambi´ n=1 an convergen. Como an = an − an , la serie n=1 an y converge. Adem´as, para cada n ∈ N n n X X a ≤ |ak |, k k=1

k=1

por la desigualdad triangular. Pasando al l´ımite (una vez que ya sabemos que las dos series convergen), ∞ ∞ X X ak ≤ |ak |. k=1

k=1

´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS

150

P P∞ Proposici´ on 8.3.5. (a) SiP una serie P∞ n=1 an converge pero la serie n=1 |an | diverge a +∞, ∞ + y − divergen a +∞. a entonces las dos series ∞ a n=1 n n=1 n P∞ (b) P Una serie Pn=1 an es absolutamente convergente si y solo si son convergentes las series ∞ ∞ + − n=1 an y n=1 an ; y entonces se tiene ∞ X

an =

n=1

∞ X n=1

a+ n −

∞ X

a− n.

n=1

− + − Demostraci´ on. a) Para cada n se tiene |an | = a+ n + an y an = an − an , luego

|an | = 2a+ n − an ,

|an | = 2a− n + an .

P∞ Como la serie aP ´ltimas igualdades se deduce que si alguna de las n converge, de estas dos u P∞ n=1 P∞ ∞ + − dos series n=1 an y n=1 an converge, entonces la serie n=1 |an | converge tambi´en. P∞ + ≤ |a | y 0 ≤ a− ≤ |a |. Luego si la serie b) Para cada n, 0 ≤ a n n n n n=1 |an | converge, las dos series P∞ + P∞ − en. Rec´ıprocamente, si estas dos series convergen, entonces n=1 anPy n=1 an convergen tambi´ − + − la serie ∞ |a | tambi´ e n converge, porque |an | = a+ n n + an . Y en ese caso, como an = an − an se n=1 deduce que ∞ ∞ ∞ X X X + an = an − a− n. n=1

8.3.3.

n=1

n=1

Criterios generales de Cauchy (de la ra´ız) y de D’Alembert (del cociente)

Los criterios ya vistos sobre convergencia de series de t´erminos no negativos se traducen de manera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de t´erminos cualesquiera. As´ı: P∞ Proposici´ o n 8.3.6 (criterio de la ra´ ız o de Cauchy). Sea n=1 an una serie tal que existe p n R = l´ım |an |. Entonces: n→∞

a) Si R < 1, la serie

P∞

n=1 an

converge absolutamente. P b) Si R > 1, entonces an → 6 0 y la serie ∞ n=1 an no es convergente.

Demostraci´ on. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que p n |an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, 0 ≤ |an | ≤ cn ,

n ≥ n0 .

P P∞ n Como 0

1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que n |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an | ≥ 1, n ≥ n0 . P∞ Entonces, an 6→ 0 y la serie n=1 an no es convergente. P Proposici´ on 8.3.7 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea ∞ n=1 an una serie tal que |an+1 | existe R = l´ım . Entonces: n→∞ |an | P a) Si R < 1, la serie ∞ n=1 an converge absolutamente. P b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∞ n=1 an no es convergente.

´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA

151

Demostraci´ on. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que |an+1 | |an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an+1 | ≤ c|an |,

n ≥ n0 .

De aqu´ı es f´acil deducir por inducci´on que 0 ≤ |an | ≤

|an0 | n c , cn0

n ≥ n0 .

P P∞ n Como 0

1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que tanto, |an+1 | ≥ |an |,

|an+1 | |an |

≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo

n ≥ n0 .

Entonces, la sucesi´on |an | no tiende a 0 (es no decreciente), luego an 6→ 0 y la serie convergente.

8.3.4.

P∞

n=1 an

no es

Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet

El criterio de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamente. Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta a˜ nadimos los m´ as conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante “f´ormula de sumaci´on por partes”. ∞ Lema 8.3.8 (f´ ormula de sumaci´ on parcial de Abel). Sean (an )∞ n=1 , (bn )n=1 dos sucesiones arbitrarias, y llamemos, para cada n, n X An = ak k=1

(suma parcial n-´esima de la serie n X

P∞

n=1 an )

Entonces

ak bk = An bn+1 +

k=1

n X

Ak (bk − bk+1 )

k=1

cualquiera que sea n ∈ N. Demostraci´ on. Ver [Apostol1, p´ag. 497]. Proposici´ on 8.3.9 (criterio de Abel).PSi (an )∞ on mon´ otona y acotada, y n=1 es una sucesi´ P∞ ∞ b es una serie convergente, la serie a b es convergente. n n n n=1 n=1 Demostraci´ on. Ver [Apostol1, p´ag. 498]. ∞ Proposici´ on mon´ otonaPque converge P∞on 8.3.10 (criterio de Dirichlet). Si (an )n=1 es una sucesi´ a 0, y n=1 bn es una serie cuya sucesi´ on de sumas parciales est´ a acotada, la serie ∞ n=1 an bn es convergente.

Demostraci´ on. Ver [Apostol1, p´ags. 497–498].

´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS

152

8.4.

Propiedad conmutativa para series

¿Qu´e sucede cuando en una serie “se cambia el orden de los sumandos”? Veremos que las u ´nicas series “inalterables” por tales cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues, las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos. P P∞ Definici´ on 8.4.1. Dada una serie ∞ on n=1 an , se dice que otra serie n=1 bn es una reordenaci´ suya si existe una aplicaci´ on biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N, bn = ar(n) . N´ otese que, rec´ıprocamente, igualmente una biyecci´ on.

P∞

n=1 an

es una reordenaci´ on de

P∞

n=1 bn ,

pues la inversa r−1 es

Informalmente, una serie es una reordenaci´on de otra si tiene exactamente los mismos t´erminos, pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significar´a, as´ı, que tenga suma y que cualquier reordenaci´on suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las series convergentes con la propiedad conmutativa. Definici´ on 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente y si toda reordenaci´ on suya es asimismo convergente, y con la misma suma. Diremos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondicionalmente convergente, de modo que alguna reordenaci´ on suya o bien no es convergente o converge a una suma distinta. P P erminos no negativos y una reordenaci´ on suya ∞ Lema 8.4.3. Dada una serie ∞ n=1 bn , n=1 an de t´ se tiene: P P en ∞ a) si ∞ n=1 bn es convergente con suma s. n=1 an es convergente con suma s, tambi´ P P en ∞ b) si ∞ n=1 bn es divergente a +∞. n=1 an es divergente a +∞, tambi´ Demostraci´ on. a) Para cada n ∈ N definamos m(n) = m´ax{r(1), r(2), . . . , r(n)}. Denotando con tn la suma parcial n-´esima de

P∞

n=1 bn

ser´a entonces

tn = ar(1) + ar(2) + · · · + ar(n) ≤ a1 + a2 + · · · + am(n) ≤ s, P P bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez ∞ lo que prueba que ∞ n=1 an n=1P ∞ b , por el mismo motivo su suma ser´ a menor o igual que la suma de es una reordenaci´ o n de n=1 n P∞ b , lo que implica la igualdad entre ambas sumas. n=1 n P P on suya, tambi´en ıa convergente y entonces ∞ b) En caso contrario, ∞ n=1 an , reordenaci´ n=1 bn ser´ converger´ıa. Proposici´ on 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente. P∞ + P∞ |a | converge, aplicamos el lema anterior a las series Demostraci´ o n. Si la serie n n=1 an y n=1 P∞ − + − en convergen) y por u ´ltimo recordamos que an = an − an . n=1 an (que tambi´ El rec´ıproco tambi´en es cierto: m´as a´ un, una serie convergente que no converja absolutamente posee reordenaciones “que van a parar donde se desee”: convergentes con suma arbitrariamente prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un c´elebre teorema de Riemann.

´ ´ DE SERIES 8.5. APENDICE: SUMACION

153

Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, para cada ` ∈ [−∞, +∞] existe una reordenaci´ on suya con suma `; en general, dados `1 , `2 , . . . , `k , existe una reordenaci´ on cuya sucesi´ on de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen a `1 , `2 , . . . , `k . Demostraci´ on. [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.33, p´ag. 105], [Ortega, teorema 9.20, p´ag. 303]. Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo si es absolutamente convergente.

8.5.

Ap´ endice: sumaci´ on de series

Resumimos las ideas fundamentales sobre el c´alculo de las sumas de algunos tipos particulares de series.

Series telesc´ opicas Si para cada n puede ponerse an = bn − bn+1 , la serie la sucesi´on (bn ), y si este es el caso,

∞ X

∞ X

an converge si y solo si es convergente

n=1

an = b1 − l´ım bn . n

n=1

Series geom´ etricas Si a 6= 0, entonces la serie

∞ X

ar

n−1

converge si y solo si |r| < 1; si converge,

n=1

∞ X n=1

a rn−1 =

a . 1−r

Series aritm´ etico-geom´ etricas Si P es un polinomio no constante, la serie S a su suma, (1 − r)S = P (0) +

∞ X

∞ X

P (n) rn converge si y solo si |r| < 1. Llamando

n=0 n

[P (n) − P (n − 1)]r = P (0) +

n=1

∞ X

Q(n)rn , donde Q es un

n=1

polinomio de grado menor que P ; reiterando, se llega a una serie geom´etrica.

Series hipergeom´ etricas Son de la forma suma

γa1 γ−α−β

∞ X

an con

n=1

αn + β an+1 = , α > 0. La serie converge si y solo si γ > α + β, con an αn + γ

Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’ Series del tipo

X P (n)

, donde P y Q son polinomios (el nombre no es est´andar). Cuando Q(n) convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fracciones simples y calculando la suma parcial n-´esima, relacion´andola con sumas de series conocidas. Pueden ser de ayuda las siguientes: • Serie arm´onica 1 1 1 Hn := 1 + + + · · · + = log n + γ + εn , donde γ es la constante de Euler y l´ımn εn = 0 2 3 n

´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS

154

• Funci´ on ζ de Riemann ∞ X 1 ζ(s) := , s > 1 (funci´ on zeta de Riemann). En particular ns n=1

∞ X 1 π2 = , ζ(2) = n2 6

∞ X 1 π4 ζ(4) = = . n4 90

n=1

n=1

Reordenadas de la serie arm´ onica alternada En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en t´erminos de Hn , y deducir as´ı el comportamiento de la serie.

Series que se reducen a la exponencial Partiendo de que para todo x ∈ R es

∞ X xn n=0

X P (n) n!

n!

= ex , se pueden sumar series de la forma

xn , donde P es un polinomio de grado m, sin m´as que reescribir

P (n) = a0 n(n − 1) · · · (n − m + 1) + a1 n(n − 1) · · · (n − m + 2) + · · · + am−1 n + am para coeficientes a0 , . . . , am adecuados, y observar que n(n − 1) · · · (n − k) 1 = , n! (n − k − 1)! si n > k.

Bibliograf´ıa [Apostol1]

Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1989. Citado en la(s) p´agina(s) 139, 146, 147, 149, 151

[Dura´n]

Dur´ an, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del c´ alculo. Alianza, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´agina(s) 139

[Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introducci´ on al c´ alculo infinitesimal. Edici´on de los autores, Zaragoza, 1974. Citado en la(s) p´agina(s) 145, 153 [Le Lionnais]

Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Paris, 1983. Citado en la(s) p´agina(s) 146, 147

[Ortega]

Ortega, J. M.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico. Labor, Barcelona, 1995. Citado en la(s) p´agina(s) 153

155

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 9

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor En la representaci´on (e incluso en la construcci´on) de funciones, desempe˜ nan un papel especialmente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su estudio corresponden a la teor´ıa de funciones de variable compleja m´as que a la teor´ıa de funciones de variable real, por lo que aqu´ı damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para nuestros prop´ositos. Como referencia utilizamos [Apostol1].

9.1.

Series de potencias

9.1.1.

Convergencia de las series de potencias

Definici´ on 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞ X

an (x − c)n .

n=0

El n´ umero real an se denomina coeficiente n-´ esimo de la serie de potencias (obs´ervese que el n t´ermino n-´esimo es an (x − c) ). Si los coeficientes a0 , a1 , am−1 son nulos, la serie suele escribirse P ∞ n n=m an (x − c) . En cierto modo, se trata de una especie de “polinomio con infinitos t´erminos”. Veremos que, a la hora de operar con ellas, las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qu´e valores de x converge una tal serie? Obviamente, es segura la convergencia para x = c, con suma a0 , y puede suceder que ´este sea el u ´nico punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situaci´on es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos. (1) La serie geom´etrica ∞ X

xn

n=0

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma 1/(1 − x), como sabemos). (2) La serie ∞ X xn n=1

n

converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. 157

CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

158

(3) La serie ∞ X 1 n x n2

n=1

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1]. (4) La serie ∞ X (−1)n x2n n n=1

converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. (5) La serie ∞ X xn n=0

n!

converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ). (6) La serie ∞ X n! xn n=0

converge solamente para x = 0. Lema 9.1.2. Si para alg´ unP r ∈ (0, +∞) la sucesi´ on (an rn ) est´ a acotada, entonces para cada x ∈ R ∞ n tal que |x − c| < r la serie n=0 an (x − c) es absolutamente convergente. Demostraci´ on. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga |an | rn ≤ M. Entonces

∞ X

|an | |x − c|n =

n=0

∞ X

|an |rn

n=0

|x − c|n rn

est´a mayorada por la serie convergente ∞ X

M

n=0

|x − c|n . rn

Definici´ on 9.1.3. Dada una serie de potencias el valor (finito o infinito) dado por r = sup{|x − c| :

∞ X

P∞

n n=0 an (x − c) ,

su radio de convergencia es

an (x − c)n converge}.

n=0

Si r > 0, el intervalo (c−r, c+r) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias. P n Corolario 9.1.4. Dada una serie de potencias ∞ n=0 an (x − c) , con radio de convergencia r, se tiene: a) la serie converge absolutamente P en cada punto x de su intervalo de convergencia; en otras n palabras, si |x − c| < r, la serie ∞ n=0 an (x − c) es absolutamente convergente; b) la serie no converge en los puntos x tales que |x − c| > r. Nota. Seg´ un los ejemplos previos, cuando r es finito, nada puede decirse sobre la convergencia en los puntos c+r, c−r. Tampoco hay un resultado general sobre convergencia uniforme en (c−r, c+r).

9.1. SERIES DE POTENCIAS

159

Demostraci´ on. a) De la P definici´on de r se deduce que si |x − c| < r, debe existirPun punto x1 tal ∞ n n que |x − c| < |x1 − c| y ∞ n=0 an (x1 − c) converge. Aplicando el lema anterior, n=0 an (x − c) debe converger absolutamente. b) Consecuencia directa de la definici´on de r. P n Ejemplos. (1) La serie ∞ n=1 x tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es oscilante. ∞ X xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es (2) La serie n n=1 convergente (condicionalmente). ∞ X xn (3) La serie tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 y para x = −1 es convergente n2 n=1 (absolutamente). Observaci´ on. Existe una f´ormula que permite expresar el radio de convergencia de una serie de P n potencias ∞ on de sus coeficientes. Se trata de la f´ ormula de Cauchyn=0 an (x − c) en funci´ Hadamard 1 p r= . l´ım sup n |an | Sin embargo, en los ejemplos que manejaremos en el curso, es m´as c´omodo realizar directamente el estudio de la convergencia de las series para los distintos valores de x (generalmente con ayuda del criterio del cociente o del criterio de la ra´ız). En la f´ormula de Cauchy-Hadamard, an es exactamente el coeficiente de (x −Pc)n , de modo 2n que si se quiere utilizar por ejemplo para hallar el radio de convergencia de la serie ∞ n=0 x , hay 1√ que calcular donde an = 1 si n es par y an = 0 si n es impar (¿sabr´ıas hacerlo?); por n l´ım sup

|an |

suerte, en este y en casi todos los ejemplos usuales podemos evitar este c´alculo si recurrimos a la definici´on de radio de convergencia y al estudio directo de la convergencia de las series. Este ejemplo muestra tambi´en por qu´e hay que usar obligadamente l´ımite superior en la f´ormula: el l´ımite no tiene por qu´e existir.

9.1.2.

Propiedades de las funciones representadas por series de potencias

La suma de una serie de potencias de radio no nulo define en su intervalo de convergencia una funci´on ∞ X f (x) = an (x − c)n . n=0

Se dice entonces que la serie representa a la funci´ on f en el intervalo de convergencia y que es el desarrollo en serie de potencias de la funci´on f en el punto c. Se plantean entonces de manera natural dos problemas (ver [Apostol1, p´ags. 528–529]): (1) dada la serie, hallar propiedades de la funci´on suma; (2) dada una funci´on, averiguar si puede ser o no representada por una serie de potencias (suele decirse entonces que la funci´on es desarrollable en serie de potencias). Teorema 9.1.5. Sea

P∞

n=0 an (x

− c)n una serie de potencias de radio r > 0 y sea f (x) =

∞ X n=0

definida si |x − c| < r. Entonces:

an (x − c)n ,

160

CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

a) la serie ∞ X

n an (x − c)n−1

n=1

tiene tambi´en radio de convergencia r. b) la funci´ on f es derivable y si |x − c| < r se tiene f 0 (x) =

∞ X

n an (x − c)n−1 .

n=1

Demostraci´ on. a) Sea |x − c| < r. Entonces podemos elegir alg´ un y ∈ R tal que |x − c| < |y − c| < r. Seg´ un la definici´on de radio de convergencia, la serie ∞ X

|an | |y − c|n

n=1

converge. Adem´as, n|an | |x − c|n−1 n x − c n−1 = 0, l´ım = l´ım n n |y − c| y − c |an | |y − c|n luego la serie

∞ X

n an (x − c)n−1

n=1

converge. Si, por el contrario, |x − c| > r, entonces la sucesi´on an (x − c)n no est´a acotada, luego la sucesi´on nan (x − c)n tampoco lo est´a y la serie ∞ X

n an (x − c)n−1

n=1

no converge. b) Sea |x − c| < s < r y sea y ∈ (c − s, c + s), y 6= x. Por el teorema del valor medio, para cada n existe un tn comprendido entre x e y, de manera que ∞

∞

n=1

n=1

f (y) − f (x) X (y − c)n − (x − c)n X = an = an n (tn − c)n−1 . y−x y−x Asimismo, para cada n existe un n−1

(tn − c)

t0n

comprendido entre x y tn , tal que

− (x − c)n−1 = (n − 1)(t0n − c)n−2 (tn − x).

Como x, y ∈ (c − s, c + s), resulta que t0n ∈ (c − s, c + s). As´ı que |t0n − c| < s. Seg´ un el apartado anterior (aplicado dos veces), las series

∞ X

n an (x−c)n−1 y

n=1

∞ X

n(n−1) |an | sn−2

n=2

son convergentes. Por tanto, podemos escribir ∞ ∞ X f (y) − f (x) X n |an | (tn − c)n−1 − (x − c)n−1 − n an (x − c)n−1 ≤ y−x n=1

≤ ≤

n=2 ∞ X

n=2 ∞ X

n |an | (n − 1) |t0n − c|n−2 |tn − x| n(n − 1) |an | sn−2 |y − x|

n=2

= M (s) |y − x|,

9.1. SERIES DE POTENCIAS

161

de donde se deduce que

∞

f (y) − f (x) X = n an (x − c)n−1 . y→x y−x l´ım

n=1

La aplicaci´on reiterada de este resultado permite afirmar: P n Corolario 9.1.6. Sea ∞ n=0 an (x − c) una serie de potencias de radio r > 0 y sea f (x) =

∞ X

an (x − c)n

n=0

si |x − c| < r. Entonces f tiene derivadas de todos los ´ ordenes en (c − r, c + r), y se cumple f (k) (x) =

∞ X

n(n − 1) · · · (n − k + 1) an (x − c)n−k .

n=k

En consecuencia

f (n) (c) , n! de manera que las sumas parciales de la serie son los correspondientes polinomios de Taylor de f en el punto c. an =

Demostraci´ on. La primera parte se prueba por inducci´on sobre k. Para la segunda, tomando en particular x = c, se sigue que f (n) (c) = n! an . P P Corolario 9.1.7. Si dos series de potencias an (x − c)n y bn (x − c)n tienen la misma funci´ on suma f en un cierto entorno del punto c, entonces las dos series tienen los mismos coeficientes: en realidad, para todo n ≥ 0 se cumple an = bn =

f (n) (c) . n!

El teorema muestra que “la derivaci´on de una serie de potencias se hace derivando cada uno de sus t´erminos, como si fuese un polinomio”; esto permite sumar f´acilmente determinadas series a partir de otras de sumas conocidas. P P∞ 1 1 n n−1 = Ejemplo. Puesto que ∞ y, en n=0 x = 1−x , |x| < 1, para tales x se tiene n=1 n x (1−x)2 P∞ n−k −k−1 general, n=k n(n − 1) · · · (n − k + 1) x = k!(1 − x) . Tambi´en es u ´til comprobar que se puede “integrar t´ermino a t´ermino”. P n Corolario 9.1.8. Sea ∞ n=0 an (x − c) una serie de potencias de radio r > 0 y sea f : x ∈ (c − r, c + r) → f (x) =

∞ X

an (x − c)n ∈ R.

n=0

Entonces la serie

∞ X an (x − c)n+1 n+1

n=0

tiene radio r, y si F es una primitiva de f en (c − r, c + r), para cada x ∈ (c − r, c + r) se verifica F (x) = F (c) +

∞ X an (x − c)n+1 . n+1

n=0

CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

162

Demostraci´ on. Ya sabemos, por el teorema anterior, que las series ∞ X an (x − c)n+1 , n+1

∞ X

n=0

an (x − c)n

n=0

tienen el mismo radio de convergencia. Sea g : x ∈ (c − r, c + r) → g(x) =

∞ X an (x − c)n+1 ∈ R. n+1

n=0

El teorema anterior prueba que g tiene derivada en (c − r, c + r) igual a f , es decir, que g es una primitiva de f en (c − r, c + r), por lo que F y g difieren en una constante. Como g(c) = 0, se sigue que F (x) − g(x) = F (c). Ejercicios. (1) Probar que si |x| < 1, se tiene log(1 + x) =

∞ X (−1)n−1

n

n=1

xn .

(2) Probar que si |x| < 1, se tiene arc tg x =

∞ X (−1)n−1 n=1

2n − 1

x2n−1 .

Hemos visto que en los extremos del intervalo de convergencia la serie puede no converger; si lo hace, es interesante disponer de alg´ un resultado que, bajo ciertas condiciones, garantice que la funci´on definida por la serie sea cuando menos continua, como el teorema que pasamos a enunciar (su demostraci´on puede verse en [Ross, Teor. 26.6, p´ags. 147–148]). P n una serie de potencias de radio de convergencia Teorema 9.1.9 (de Abel.). Sea ∞ n=0 an (x− Pc) ∞ r positivo y finito, y supongamos que la serie n=0 an rn es convergente. Entonces ∞ X

an rn =

n=0

∞ X

l´ım

x→(c+r)−

an (x − c)n .

n=0

Ejemplo. Demostrar mediante el teorema de Abel que ∞ X (−1)n−1 n=1

9.2.

n

∞ X (−1)n π = . 2n + 1 4

= log 2 ;

n=1

Desarrollos en serie de Taylor

La f´ormula de Taylor y el teorema de la secci´on anterior pueden inducir a pensar que si una funci´on f tiene derivadas de todos los ´ ordenes, es representable como suma de su serie de Taylor f (x) =

∞ X f (n) (c) n=0

n!

(x − c)n

(como una especie de “f´ormula de Taylor llevada al l´ımite”) en la parte del dominio de f donde tal serie converja. La situaci´on real no es tan satisfactoria: por ejemplo, la funci´on ( 2 e−1/x si x > 0; f (x) = 0 si x ≤ 0,

9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

163

tiene derivadas de todos los ´ordenes en cada punto de R, y en 0 es f (n) (0) = 0 para cada n ∈ N; P f (n) (0) n por consiguiente, para ning´ un valor de r se cumple f (x) = ∞ x siempre que |x| < r. n=0 n! Es posible demostrar que para que una funci´on f coincida con la suma de su serie de Taylor es necesario que sus derivadas sucesivas no tengan un tama˜ no “desmesurado”. En aplicaciones concretas es suficiente comprobar que las derivadas est´an ‘controladas’ por potencias sucesivas de una constante, como vamos a ver ahora. Proposici´ on 9.2.1. Sea f una funci´ on con derivadas de todos los ´ ordenes en un intervalo (c − r, c + r). Supongamos que existan n´ umeros reales no negativos A y B tales que |f (n) (x)| ≤ B · An

siempre que |x − c| < r .

Entonces, para todo x ∈ (c − r, c + r) se verifica f (x) =

∞ X f (n) (c) n=1

n!

(x − c)n .

Demostraci´ on. Sea |x − c| < r. Si x 6= c, dado m ∈ N, aplicando la f´ormula de Taylor podremos escribir, para alg´ un tm comprendido entre x y c m f (m+1) (t ) X f (n) (c) Am+1 m (x − c)n = |x − c|m+1 ≤ B |x − c|m+1 . f (x) − n! (m + 1)! (m + 1)! n=0

Entonces la diferencia anterior tiende a 0 cuando m → ∞. En consecuencia, la serie es convergente con suma f (x). Ejercicios. Obtener los desarrollos siguientes (ver [Apostol1, p´ags. 533–535]): a) sen x =

∞ X (−1)n x2n+1 , (2n + 1)!

x ∈ R.

n=0

b) cos x =

∞ X (−1)n n=0

c) ex =

∞ X n=0

(2n)!

1 n x , n!

x2n ,

x ∈ R.

x ∈ R.

Nota. Si reflexionamos un momento, tenemos ante nosotros una manera rigurosa de construir las funciones seno, coseno, exponencial, sin m´as que leer las f´ormulas anteriores al rev´es. Las series que hemos escrito son obviamente series de potencias de radio +∞, que definen sendas funciones en R: otra cuesti´on es que resulte f´acil o complicado demostrar que estas funciones gozan de las propiedades que venimos utilizando en relaci´on con el seno, el coseno, la exponencial. Dedicaremos a su estudio el u ´ltimo cap´ıtulo, para que sirva a su vez de muestra de la enorme potencia de los conocimientos que hemos ido adquiriendo a lo largo del curso. Para comprobar la validez de ciertos desarrollos es a veces m´as conveniente usar otros recursos, en vez de la f´ormula de Taylor. Ejemplo (serie bin´ omica). Veamos que para cada α ∈ R es ∞   X α n (1 + x)α = x , siempre que |x| < 1 . n n=0

Para α ∈ N ∪ {0}, la f´ormula anterior se reduce a la del binomio y es v´alida para todo x ∈ R. Suponemos, pues, α ∈ / N ∪ {0}.

164

CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

Entonces, el criterio del cociente nos da que el radio de convergencia de la serie es 1, luego podemos definir una funci´on f : x ∈ (−1, 1) → f (x) =

∞   X α n=0

n

xn ∈ R ,

que, en principio, no tiene por qu´e coincidir con (1 + x)α en dicho intervalo. Pero como f 0 (x) =

  ∞ X α n−1 n x , n

n=1

de     α α α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) n + (n + 1) =n + (n + 1) n n+1 n! (n + 1)! α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) =n + n! n! α(α − 1) · · · (α − n + 1) = [n + (α − n)] n!   α =α , n se deduce que f 0 (x)(1 + x) = α f (x), por lo que f (x)/(1 + x)α tiene derivada nula y por tanto se mantiene constante en todo el intervalo (−1, 1). Tomando x = 0 se sigue que el valor de tal constante es 1, es decir, que f (x) = (1 + x)α para todo x ∈ (−1, 1). De especial inter´es resulta el caso particular α = −1/2. Entonces, operando,


  − 12 · − 32 · − 52 · · · (− 12 − n + 1) −1/2 = n n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n 2n (n!) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n , 2 · 4 · 6 · · · (2n) con lo cual

∞

√

X 1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n = (−1)n x , 2 · 4 · 6 · · · (2n) 1 + x n=0

−1 < x < 1.

Del criterio de Leibniz y del teorema de Abel se sigue que la f´ormula anterior tambi´en es v´ alida para x = 1. A veces se escribe abreviadamente 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (2n − 1)!!,

2 · 4 · 6 · · · (2n) = (2n)!!.

Aplicaci´ on. A partir del desarrollo de su derivada se obtiene arc sen x =

∞ X 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n=0

2 · 4 · 6 · · · (2n)

·

x2n+1 , 2n + 1

−1 < x < 1,

v´alido tambi´en para |x| = 1 por el teorema de Abel. Ponemos final a este cap´ıtulo con una tabla de los desarrollos en serie de Taylor-Maclaurin de las funciones que m´as frecuentemente aparecen en los ejercicios.

9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR ´ FUNCION

DESARROLLO EN SERIE P∞

1 1−x

(1 + x)α log(1 + x)

n n=0 x

1 + αx +

cos x arc sen x arc tg x

CONVERGE

= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · ·

−1 < x < 1

α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x + ··· + x + ··· 2! n!

−1 < x < 1

P∞

n=1

(−1)n−1 n

P∞

1 n=0 n!

ex sen x

165

(−1)n n=0 (2n+1)!

P∞

(−1)n n=0 (2n)!

P∞ P∞

n=0

xn = 1 + x + 12 x2 +

x2n+1 = x − x2n = 1 −

1·3·5·...·(2n−1) 2·4·6·...·(2n)

(−1)n n=0 2n+1

P∞

xn = x − 12 x2 + 13 x3 − 14 x4 + · · ·

·

1 2!

x2n+1 2n+1

1 3!

x3 +

x2 +

1 4!

1 5!

1 3!

x4 + · · ·

x5 −

x4 −

1 6!

= x + 16 x3 +

1 7!

x7 + · · ·

x6 + · · ·

3 40

x5 + · · ·

x2n+1 = x − 13 x3 + 15 x5 − 17 x7 + · · ·

−1 < x ≤ 1 −∞ < x < +∞ −∞ < x < +∞ −∞ < x < +∞ −1 ≤ x ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1

166

CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

Bibliograf´ıa [Apostol1] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1989. Citado en la(s) p´agina(s) 157, 159, 163 [Ross]

Ross, K. A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ın, 1980. Citado en la(s) p´agina(s) 162

167

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 10

Sucesiones y series de funciones Exponemos este tema siguiendo el cap´ıtulo 11 de [Apostol1], completado con algunas partes del cap´ıtulo 7 de [Bartle-Sherbert]. En cada caso iremos dando la referencia adecuada.

10.1.

Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual

Definici´ on 10.1.1. Sea A un subconjunto de R. Supongamos que para cada n´ umero natural n est´ a dada una funci´ on fn : A → R; la aplicaci´ on n 7→ fn recibe el nombre de sucesi´ on de funciones ( definidas en A, si es necesaria la precisi´ on). La funci´ on fn asociada al n´ umero natural n recibe el nombre de t´ ermino n-´ esimo de la sucesi´ on. Informalmente, tenemos, pues, una “lista sin fin” f1 , f2 , . . . , fn , . . . de funciones definidas en el conjunto A. Como hicimos con las sucesiones de n´ umeros reales, denotaremos la sucesi´on de funciones cuyo t´ermino n-´esimo es fn con (fn )n∈N o, simplificando si no ha lugar a confusi´on, con (fn ). Para cada punto x ∈ A podemos considerar la sucesi´on de n´ umeros reales que tiene por t´ermino n-´esimo el n´ umero real fn (x), valor en x de la funci´on fn . Esta sucesi´on podr´a ser o no convergente: el conjunto C de todos los puntos x ∈ A para los que (fn (x)) converge suele denominarse el campo de convergencia de la sucesi´ on de funciones (fn ); supuesto C 6= ∅, podemos definir una nueva funci´ on f : C → R haciendo corresponder a cada x ∈ C el n´ umero real f (x) := l´ım fn (x). n

Hablaremos entonces de convergencia puntual o punto a punto de la sucesi´on a la funci´ on f , concepto que pasamos a definir en general. Definici´ on 10.1.2. Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto A, S un subconjunto de A, f una funci´ on definida en S. Diremos que la sucesi´ on (fn ) converge puntualmente o punto a punto a f en S si para cada x ∈ S la sucesi´ on (fn (x)) converge a f (x). En este caso a f se le llama el l´ımite puntual de la sucesi´ on (fn ) en S. Cuando existe tal funci´ on f , diremos que la sucesi´ on (fn ) es convergente punto a punto en S, o que la sucesi´ on (fn ) converge puntualmente en S. Ejemplos. (1) La sucesi´on (xn ) converge puntualmente en el intervalo cerrado [0, 1] a la funci´ on f definida en dicho intervalo por ( 0 si 0 ≤ x < 1 f (x) = 1 si x = 1. 169

CAP´ITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

170  (2) La sucesi´on por

xn 1 + xn

 converge puntualmente en [0, +∞) a la funci´on f definida en tal intervalo   0 f (x) = 1/2   1

si 0 ≤ x < 1 si x = 1. si x > 1.

(3) La sucesi´on (sen nπx) converge puntualmente a 0 en Z. (Menos trivial resulta comprobar que su campo de convergencia es justamente Z. 1 ) —Pueden verse m´as ejemplos con sus gr´aficas en [Bartle-Sherbert, p´ags. 312–315]. Observaci´ on. La convergencia puntual puede expresarse en t´erminos similares a los de la convergencia de sucesiones num´ericas. Concretamente: • Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto A, S un subconjunto de A, f una funci´ on definida en S. La sucesi´ on (fn ) converge puntualmente a f en S si y solo si para cada x ∈ S y para cada ε > 0 existe un N = N (ε, x) tal que siempre que n > N (ε, x) se verifica |fn (x) − f (x)| < ε. En consecuencia, tendremos la siguiente condici´ on de Cauchy para la convergencia puntual: • Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto A, S un subconjunto de A. La sucesi´ on (fn ) converge puntualmente en S (a una cierta funci´ on) si y solo si para cada x ∈ S y para cada ε > 0 existe un N = N (ε, x) tal que siempre que m, n > N (ε, x) se verifica |fm (x) − fn (x)| < ε. Las definiciones de serie de funciones y convergencia puntual de una serie de funciones son f´acilmente adivinables. P∞ Definici´ on 10.1.3. Una serie de funciones n=1 un es un par ordenado de sucesiones de funciones ((un ), (sn )) relacionadas por la condici´ on de que para cada n ∈ N es sn = u1 + u2 + · · · + un . Para cada n ∈ N, el t´ermino n-´esimo de la primera sucesi´ on, un , recibe el nombre de t´ ermino n-´ esimo de la serie ; el t´ermino n-´esimo de la segunda sucesi´ on, sn , recibe el nombre de suma parcial n-´ esima de la serie . Decimos que una serie de funciones converge puntualmente a una funci´ on f en un conjunto S si lo hace la sucesi´ on de sus sumas parciales. En tal caso, la funci´ on f es la suma de la serie en el conjunto S. P n−1 converge puntualmente en (−1, 1) con funci´ Ejemplo. La serie de funciones ∞ on suma n=1 x 1 f (x) = (−1 < x < 1). 1−x

10.2.

Convergencia uniforme

El estudio de las sucesiones de funciones abre al menos dos interesantes opciones: de un lado, podemos construir nuevas funciones como l´ımites de funciones conocidas; de otro, podemos pensar en ‘sustituir’, en ciertos problemas, una funci´on dada por funciones ‘que la aproximan’ y que pueden tener un comportamiento mejor controlado respecto a la situaci´on que nos interese. En cualquiera 1 En efecto: supongamos que sen nπx → `; entonces sen 2nπx = 2 sen nπx cos nπx → `, de modo que si ` 6= 0 resulta cos nπx → 12 mientras que cos 2nπx = 2 cos2 nπx − 1 → 2 · 14 − 1 = − 21 ; as´ı pues, sen nπx → 0, con lo que | cos nπx| → 1; como sen(n + 1)πx = sen nπx cos πx + cos nπx sen πx → 0, se sigue sen πx cos nπx → 0 y necesariamente sen πx = 0, o sea, x ∈ Z.

10.2. CONVERGENCIA UNIFORME

171

de los dos casos, la primera tarea es examinar qu´e propiedades de las funciones que forman la sucesi´on ‘se traspasan’ a la funci´on l´ımite. El resultado de un primer an´alisis no puede ser m´ as descorazonador, como muestran los siguientes ejemplos. Ejemplos. • Sucesi´ on de funciones continuas con funci´ on l´ımite discontinua. Sirve la sucesi´ on del ejemplo anterior: fn (x) = xn en [0, 1]. (Ver las gr´aficas de las funciones en [Apostol1, p´ag. 518].) • Sucesi´ on de funciones cuyas integrales no convergen a la integral de la funci´ on l´ımite. La succesi´on (fn ) definida por fn (x) = nx(1 − x2 )n ,

0 ≤ x ≤ 1,

converge puntualmente a 0 en [0, 1]. Sin embargo, 1

Z l´ım n

0

1 fn (x) dx = = 6 0= 2

Z

1

l´ım fn (x) dx. 0

n

(Ver [Apostol1, p´ag. 518].) • Peor a´ un es lo que ocurre con la derivaci´on, como veremos posteriormente.

10.2.1.

Definici´ on de convergencia uniforme

A la vista de los ejemplos anteriores, es clara la necesidad de introducir una noci´on m´as fuerte de convergencia (ver comentarios en [Apostol1, p´ags. 518–519]). Definici´ on 10.2.1. Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto A, S un subconjunto de A, f una funci´ on definida en S. La sucesi´ on (fn ) converge uniformemente a f en S si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N (ε) tal que siempre que n > N (ε), para todo x ∈ S se verifica |fn (x) − f (x)| < ε. Ver comentarios e interpretaci´on gr´afica en [Apostol1, p´ags. 519–520]. Comparando esta definici´on con la reformulaci´on que dimos anteriormente para la convergencia puntual, es obvio que • toda sucesi´ on (fn ) que converge uniformemente a una funci´ on f en S, tambi´en converge puntualmente a f en S. Una expresi´on u ´til de la convergencia uniforme, que permite adem´as enunciar una ‘condici´ on de Cauchy’ para esta convergencia muy similar a la que conocemos para sucesiones num´ericas, se logra mediante el empleo de lo que suele llamarse la ‘norma del supremo’, ‘norma infinito’ o norma uniforme de una funci´on acotada. Definici´ on 10.2.2. Dada una funci´ on ϕ acotada en un conjunto S ⊆ R, se llama norma uniforme de ϕ en S al n´ umero real kϕkS = sup{|ϕ(x)| : x ∈ S}. La condici´on kϕkS ≤ α es as´ı equivalente a que sea |ϕ(x)| ≤ α para todo x ∈ S (¡pero |ϕ(x)| < α para todo x ∈ S no es equivalente a que kϕkS < α!) Nota. Se comprueba sin dificultad que esta norma tiene las propiedades b´asicas de las normas eucl´ıdeas (aunque no es una norma eucl´ıdea), a saber: • kϕkS ≥ 0; kϕkS = 0 ⇐⇒ ϕ = 0 en S;

CAP´ITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

172

• ka · ϕkS = |a| · kϕkS para todo a ∈ R; • kϕ + ψkS ≤ kϕkS + kψkS . Proposici´ on 10.2.3. Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto A, S un subconjunto de A, f una funci´ on definida en S. La sucesi´ on (fn ) converge uniformemente a f en S si y solo si l´ım kfn − f kS = 0. n

Demostraci´ on. Ver [Bartle-Sherbert, Lema 7.1.8, p´ag. 316]. Aplicaci´ on. La sucesi´on

 sen nx  n

converge uniformemente a 0 en R, pues k

sen nx 1 kR ≤ → 0. n n

Sin embargo, la sucesi´on (fn ) con fn (x) = xn no converge uniformemente en J = [0, 1], pues en caso afirmativo tendr´ıa que hacerlo a la funci´on f a la que converge puntualmente, y para todo n ∈ N es kfn − f kJ = sup[{|xn − 0| : x ∈ [0, 1)} ∪ {|1 − 1|}] = 1 6→ 0. (Ver este y otros ejemplos en [Bartle-Sherbert, p´ags. 316–317].) Proposici´ on 10.2.4 (condici´ on de Cauchy para la convergencia uniforme). Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto A, S un subconjunto de A. Entonces (fn ) converge uniformemente en S a alguna funci´ on si y solo si para cada ε > 0 existe un N (ε) tal que para todos n´ umeros naturales m, n ≥ N (ε) se cumple kfm − fn kS < ε. Demostraci´ on. No la desarrollamos, pero la comprobaci´on de que es condici´on suficiente resulta muy ilustrativa. Puede verse en detalle en [Bartle-Sherbert, p´ags. 317–318].

10.2.2.

Convergencia uniforme y continuidad

Al contrario que la convergencia puntual, la convergencia uniforme conserva la continuidad, como pasamos a comprobar. on de funciones que converge uniformemente en un conjunto Teorema 10.2.5. Sea (fn ) una sucesi´ S a una funci´ on f con dominio S, y sea p un punto de S. Si cada funci´ on fn es continua en p, f tambi´en es continua en p. Demostraci´ on. Ver [Apostol1, Teorema 11.1, p´ag. 520]. P Corolario 10.2.6. Si una serie de funciones uk converge uniformemente hacia la funci´ on suma f en su dominio S y si cada t´ermino uk es una funci´ on continua en un punto p de S, tambi´en f es continua en p. Demostraci´ on. Ver los comentarios de [Apostol1, Teorema 11.2, p´ag. 521].

10.2. CONVERGENCIA UNIFORME

10.2.3.

173

Convergencia uniforme e integraci´ on

La convergencia puntual no conserva la integrabilidad: hay ejemplos —un tanto “confeccionados a medida”— de sucesiones de funciones integrables-Riemann que convergen puntualmente a funciones no integrables-Riemann (por ejemplo, en [Bartle-Sherbert, ejercicio 13, p´ag. 325]). Una vez m´as, la situaci´on es distinta con convergencia uniforme. Teorema 10.2.7. Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones integrables en un intervalo compacto [a, b] que converge uniformemente en [a, b] a una funci´ on f . Entonces f es integrable en [a, b] y se cumple b

Z

Z f = l´ım n

a

b

fn . a

Demostraci´ on. No la haremos. Puede verse en [Bartle-Sherbert, Teorema 7.2.4, p´ags. 323–324]. Este es un primer resultado dentro de una larga lista de “teoremas de paso al l´ımite bajo el signo integral”. La necesidad de ‘aligerar’ sus hip´otesis es una de las razones que impulsaron la generalizaci´on de Lebesgue del concepto de integral. Para las necesidades del presente curso es m´as ‘c´omodo’ el resultado que sigue. Proposici´ on 10.2.8. Sea (fn ) una sucesi´ on de funciones continuas en un intervalo compacto [a, b] que converge uniformemente en [a, b] a una funci´ on f . Definamos una nueva sucesi´ on de funciones (gn ) mediante Z x gn (x) = fn (t) dt, x ∈ [a, b], a

y pongamos x

Z g(x) =

f (t) dt,

x ∈ [a, b].

a

Entonces (gn ) converge uniformemente a g en [a, b]. Abreviadamente, x

Z l´ım n

Z

x

l´ım fn [unif. a ≤ x ≤ b].

fn = a

n

a

Demostraci´ on. Ver [Apostol1, Teorema 11.3, p´ags. 521–522]. P Corolario 10.2.9. Sea uk una serie de funciones continuas que converge uniformente hacia la funci´ on suma f en un intervalo compacto [a, b]. Si x ∈ [a, b], definimos gn (x) =

n Z X k=1

x

Z uk (t) dt,

a

g(x) =

x

f (t) dt. a

Entonces (gn ) converge uniformemente a g en [a, b]. Abreviadamente, l´ım n

o

n Z X k=1

Z uk (t) dt =

a

∞ Z X k=1

x

a

l´ım a

x

Z uk (t) dt =

x n

∞ xX

a k=1

Demostraci´ on. [Apostol1, Teor. 11.4, p´ag. 522].

n X

uk (t) dt [unif. a ≤ x ≤ b],

k=1

uk (t) dt [unif. a ≤ x ≤ b],

174

10.2.4.

CAP´ITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

Convergencia uniforme y derivaci´ on

Sobre derivaci´on no cabe esperar resultados tan ‘limpios’ como los obtenidos para la continuidad y la integrabilidad ni siquiera cuando hay convergencia uniforme, seg´ un ponen de manifiesto los siguientes ejemplos. Ejemplo. Una sucesi´on de funciones derivables que converge uniformemente a una funci´ on no derivable: r 1 fn (x) = x2 + → f (x) = |x| [unif. − 1 ≤ x ≤ 1]. n Ejemplo. Una sucesi´on de funciones derivables que converge uniformemente a una funci´on derivable, mientras que la sucesi´on de sus derivadas no converge en ning´ un punto: fn (x) =

sen nx √ → f (x) = 0 [unif. R]. n

(Ver [Gelbaum-Olmsted, p´ags. 76–77].) Ejemplo. Una sucesi´on de funciones derivables que converge uniformemente a una funci´on derivable, mientras que la sucesi´on de sus derivadas converge a una funci´on que no es l´ımite de las derivadas: xn fn (x) = → f (x) = 0 [unif. 0 ≤ x ≤ 1]. n Ejemplo. Una sucesi´on de funciones derivables que no converge en ning´ un punto, mientras que la sucesi´on de sus derivadas converge uniformemente: fn (x) = (−1)n ; fn0 (x) = 0 → 0 [unif. R]. Vista la situaci´on, es menos sorprendente que vayamos a parar a un enunciado como el que sigue. Proposici´ on 10.2.10. Sea J un intervalo finito y sea (fn ) una sucesi´ on de funciones definidas en J. Supongamos que (1) existe un x0 ∈ J tal que (fn (x0 )) converge; (2) existe en J la sucesi´ on de derivadas (fn0 ) (3) esta sucesi´ on de derivadas (fn0 ) converge uniformemente en J a una funci´ on g. Entonces la sucesi´ on (fn ) converge uniformemente en J a una funci´ on f derivable en J para la que 0 f = g. Demostraci´ on. Con estas hip´otesis la demostraci´on es un tanto elaborada: se comprueba que (fn ) cumple la condici´on de Cauchy para convergencia uniforme mediante una aplicaci´on adecuada del teorema del valor medio, y despu´es se comprueba que la funci´on f , l´ımite uniforme de (fn ), tiene derivada g(x) en cada punto x ∈ J aproxim´andola por una fn conveniente (ver los detalles en [Bartle-Sherbert, Teorema 7.2.3, p´ ags. 322–323]). La demostraci´on se simplifica notablemente cuando se a˜ nade una hip´otesis de continuidad de las derivadas, no siendo necesario entonces que J sea finito. En efecto, sustituyendo la condici´ on (2) del enunciado por (2+ ) existe en J la sucesi´ on de derivadas (fn0 ) y cada fn0 es continua,

´ SUFICIENTE PARA LA CONVERGENCIA UNIFORME 10.3. UNA CONDICION

175

podemos proceder como sigue: Definamos h : J → R poniendo, para cada x ∈ J, Z x h(x) = g(t) dt. x0

La sucesi´on de funciones (hn ) definida en J por Z

x

hn (x) =

fn0 (t) dt

x0

converge uniformemente en J a h, y la regla de Barrow permite escribir Z x fn0 (t) dt = fn (x) − fn (x0 ). hn (x) = x0

Construyendo f : J → R de modo que f (x) = l´ım fn (x0 ) + h(x) n

es inmediato que f es derivable con derivada f 0 (x) = h0 (x) = g(x) para cada x ∈ J. Para probar que l´ımn fn = f [unif. J] basta tener en cuenta que |fn (x) − f (x)| = |fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − l´ım fn (x0 ) + l´ım fn (x0 ) − f (x)| n

n

= |hn (x) + fn (x0 ) − l´ım fn (x0 ) − h(x)| ≤ |hn (x) − h(x)| + |fn (x0 ) − l´ım fn (x0 )| n

n

y por tanto kfn − f kJ ≤ khn − hkJ + |fn (x0 ) − l´ım fn (x0 )| → 0 n

cuando n → ∞. El lector puede enunciar y demostrar la traducci´on de este resultado a series de funciones.

10.3.

Una condici´ on suficiente para la convergencia uniforme de series

P Teorema 10.3.1 (criterio M de Weierstrass). Sea uk una serie de funciones definidas en P un conjunto para la que se puede encontrar una serie num´erica convergente Mn de t´erminos no 2 negativos de manera que P se cumple, cualquiera que sea n ∈ N , |un (x)| ≤ Mn para todo x ∈ S. Entonces la serie uk converge uniformemente en S y absolutamente en cada punto de S. Demostraci´ on. Dado n ∈ N, sea sn =

n X

uk

k=1

la suma parcial n-´esima de la serie. Hemos de probar que la sucesi´on de funciones (sn ) converge uniformemente en S, para lo que es suficiente demostrar que cumple la condici´on de Cauchy. Pero suponiendo m > n, para cualquier x ∈ S es m m m X X X |sm (x) − sn (x)| = uk (x) ≤ |uk (x)| ≤ Mk , k=n+1

k=n+1

k=n+1

Pm

de donde ksm − sn kS ≤ as que k=n+1 Mk , que puede hacerse menor que un ε prefijado sin m´ tomar m > nP> N (ε) para un cierto N (ε), en virtud de la condici´on de Cauchy aplicada a la serie convergente Mn . 2

(o, al menos, desde un n en adelante. N´ otese que esta condici´ on implica la convergencia absoluta en cada punto de S.)

CAP´ITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

176 Ejemplo. La serie

P∞

n=1

xn es uniformemente convergente en [−1, 1]. n2

Bibliograf´ıa [Apostol1]

Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1989. Citado en la(s) p´agina(s) 169, 171, 172, 173

[Bartle-Sherbert] Bartle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 169, 170, 172, 173, 174 [Gelbaum-Olmsted] Gelbaum, B. R. - Olmsted, J. M. H.: Counterexamples in Analysis. Holden-Day, San Francisco, 1964. Citado en la(s) p´agina(s) 174

177

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 11

Funciones elementales La familiaridad que a trav´es del uso hemos llegado a adquirir con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonom´etricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definici´ on ‘anal´ıtica’ rigurosa de todas ellas. Mediante consideraciones gr´aficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia ), de las que hemos ido deduciendo las dem´as. Excepciones notables a esta situaci´ on han sido la funci´on logaritmo y la funci´on exponencial. En el cap´ıtulo de integraci´on, el segundo teorema fundamental del c´alculo integral nos proporcion´ o un m´etodo de construcci´on de la funci´on logaritmo como primitiva de la funci´on 1/x, obteni´endose luego la funci´on exponencial como inversa del logaritmo. No es esta la u ´nica manera de construir estas funciones, como vamos a probar a continuaci´on, invirtiendo el proceso: definiremos primero la funci´on exponencial como suma de una serie, y despu´es el logaritmo como inversa de la exponencial. Igualmente definiremos las funciones seno y coseno como sumas de ciertas series de potencias, demostrando despu´es que las funciones as´ı definidas tienen todas las propiedades ‘tradicionales’ de estas funciones. En la u ´ltima secci´ on, veremos c´omo tambi´en es posible construir las funciones trigonom´etricas por el m´etodo de “las primitivas”, empezando con las funciones trigonom´etricas inversas. Situ´emonos, pues, “en el principio de los tiempos”, como si nunca hubi´esemos oido hablar de las funciones citadas, y sin m´as herramientas que los conocimientos te´oricos aprendidos a lo largo del curso (¡que no se apoyan en las propiedades de estas funciones!) probaremos su existencia partiendo de cero, “cre´andolas de la nada”, bien mediante series de potencias, bien mediante primitivas construidas por integraci´on.

11.1.

Funciones elementales: construcci´ on mediante series de potencias

Hemos visto c´omo dando por conocidas las propiedades b´asicas de derivaci´on de las funciones elementales pod´ıamos obtener una representaci´on de las mismas mediante series de potencias. Sin embargo, desde el punto de vista del desarrollo l´ogico del An´alisis Matem´atico, ser´ıa m´ as conveniente proceder al rev´es, es decir, tomar como punto de partida las series para definir las funciones elementales y obtener de tal definici´on todas sus propiedades. Esbozaremos en lo que sigue c´omo podr´ıa llevarse a cabo tal programa. 179

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

180

11.1.1.

Funci´ on exponencial +∞ n X x

tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos definir en n! todo R una funci´on como suma de tal serie. La serie de potencias

n=0

Definici´ on 11.1.1. Se llama funci´ on exponencial a la definida por exp : x ∈ R → exp(x) =

+∞ n X x n=0

n!

∈R.

Como siempre, el n´ umero exp(1) se denota por e, y se escribe ex en lugar de exp(x), notaci´ on justificada por la propiedad (5) que probaremos a continuaci´on. Propiedades 11.1.2. 1) La funci´ on exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada x ∈ R, (ex )0 = ex . 2) e0 = 1. 3) Para cada x ∈ R, e−x =

1 , ex

y, en particular, ex 6= 0. 4) Dados x, y ∈ R,

ex+y = ex · ey .

5) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex , n

enx = ex · · · ex . 6) Para cada x ∈ R,

ex > 0 .

7) La funci´ on exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. 8) Se tiene l´ım ex = +∞ ,

x→+∞

l´ım ex = 0 .

x→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la funci´ on exponencial es (0, +∞). Demostraci´ on. Seg´ un vimos en el cap´ıtulo 6, es suficiente probar las dos primeras propiedades (ya vimos c´omo se obten´ıan las dem´as a partir de ellas). Pero la segunda es trivial y para obtener la primera basta aplicar la regla de derivaci´on de una funci´on definida mediante una serie de potencias.

11.1.2.

Funci´ on logar´ıtmica

Una vez conocidas las propiedades b´asicas de la funci´on exponencial, podemos introducir c´ omodamente la funci´on logar´ıtmica como su funci´on inversa, y deducir de ah´ı sus propiedades. Definici´ on 11.1.3. La funci´ on logar´ıtmica log : x ∈ (0, +∞) → log x ∈ R es la inversa de la funci´ on exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x.

11.1. FUNCIONES ELEMENTALES Y SERIES DE POTENCIAS

181

Por tanto, est´a caracterizada por cumplir log(ex ) = x

cualquiera que sea

x∈R

y elog x = x

cualquiera que sea

x ∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funci´on exponencial. Propiedades 11.1.4. la funci´ on 1/x.

1) La funci´ on logar´ıtmica es derivable indefinidamente, y su derivada es

2) log 1 = 0, log e = 1. 3) Para cada x ∈ (0, +∞), log

1 = − log x . x

4) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y . 5) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), log(xn ) = n log x . 6) El conjunto imagen de la funci´ on logar´ıtmica es R. 7) La funci´ on logar´ıtmica es estrictamente creciente y c´ oncava. En particular, es inyectiva. 8) Se tiene l´ım log x = +∞,

x→+∞

l´ım = −∞ .

x→0+

Demostraci´ on. 1) La exponencial es una aplicaci´on biyectiva de R sobre (0, +∞), luego su inversa (el logaritmo) es autom´aticamente continua. Estamos en condiciones de aplicar el teorema de derivaci´ on de la funci´on inversa para concluir que el logaritmo es derivable en cada x ∈ (0, +∞), con derivada log0 x =

1 exp0 (log x)

=

1 1 = . exp(log x) x

2) Obvio. 3) Basta tener en cuenta que 1

elog x =

1 1 = log x = e− log x . x e

4) An´alogamente elog(xy) = xy = elog x · elog y = elog x+log y . 5) Consecuencia inmediata de (4). 6) Va incluido en la biyectividad de la exponencial entre R y (0, +∞). 7) 1 1 log0 x = > 0, log00 x = − 2 < 0 x x para todo x ∈ (0, +∞). 8) Tales l´ımites ser´an, respectivamente, el supremo y el ´ınfimo de los valores alcanzados por el logaritmo.

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

182

11.1.3.

Funciones exponencial y logar´ıtmica de base cualquiera

Definici´ on 11.1.5. Dado un n´ umero real a > 0, la funci´ on exponencial de base a se define mediante la igualdad ax = ex log a . Cuando a > 1, esta funci´on tiene propiedades similares a la funci´on exponencial anteriormente estudiada; si a = 1, es una funci´on constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con la funci´on exponencial de base e estriba en que la funci´on exponencial de base a es entonces estrictamente decreciente. Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definici´on y de lo que hemos visto para las funciones ex y log x son las siguientes: Propiedades 11.1.6. Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, 1) (ab)x = ax bx . 2) (ax )y = axy . Demostraci´ on. Aplicar la definici´on y las propiedades de la exponencial y el logaritmo. Definici´ on 11.1.7. Dado a > 0, a 6= 1, la funci´ on logar´ıtmica de base a se define en (0, +∞) mediante la f´ ormula log x loga x = . log a Es inmediato comprobar que esta funci´on es la inversa de la funci´on exponencial de base a. Como propiedad adicional interesante se tiene: • dados a, b, x ∈ R con 0 < a 6= 1, b > 0, se cumple loga (bx ) = x loga b .

11.1.4.

Funciones trigonom´ etricas

Definici´ on 11.1.8. La funci´ on seno est´ a definida por sen : x ∈ R → sen x =

∞ X (−1)n x2n+1 n=0

(2n + 1)!

∈R,

y la funci´ on coseno por cos : x ∈ R → cos x =

∞ X (−1)n x2n n=0

(2n)!

∈R.

Estas funciones est´an bien definidas, pues las series de potencias que figuran en las f´ormulas tienen radio de convergencia +∞. Propiedades 11.1.9. 1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo x ∈ R sen0 x = cos x, cos0 x = − sen x. 2) El seno es una funci´ on impar, mientras que el coseno es una funci´ on par: es decir, cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x,

cos(−x) = cos x .

11.1. FUNCIONES ELEMENTALES Y SERIES DE POTENCIAS 3) sen 0 = 0;

183

cos 0 = 1.

4) Para cada x ∈ R es

sen2 x + cos2 x = 1 .

5) F´ ormulas de adici´ on. Dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y ;

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y ;

sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y ;

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y .

Demostraci´ on. (1), (2) y (3) son consecuencia inmediata de la definici´on y de las propiedades de las series de potencias. 4) M´as c´omodo que manejar las series es proceder por derivaci´on. Definiendo f : x ∈ R → f (x) = sen2 x + cos2 x ∈ R, a partir de (1) obtenemos f 0 (x) = 2 sen x cos x − 2 cos x sen x = 0 para todo x de R, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. 5) Probaremos solamente las dos primeras identidades: las otras se siguen de estas aplicando (2). Fijado y, sean f y g las funciones definidas en R por f (x) = sen(x + y),

g(x) = sen x cos y + cos x sen y,

Es claro que, como consecuencia de (4), para todo t ∈ R es | sen t| ≤ 1, | cos t| ≤ 1. Se sigue f´acilmente por inducci´on, usando (1), que |f (n) | ≤ 1 y |g (n) | ≤ 2 para cada n, luego f (x) =

∞ X f (n) (0) n=0

n!

xn

y

g(x) =

∞ X g (n) (0) n=0

n!

xn

(x ∈ R).

Notemos que f (0) = g(0) = sen y. Resulta que f 0 (x) = cos(x + y) y g 0 (x) = cos x cos y − sen x sen y, luego tambi´en f 0 (0) = g 0 (0) = cos y. Derivando de nuevo vemos que f 00 = −f y g 00 = −g, por lo que est´a claro que tendremos f (n) (0) = g (n) (0) para todo n. Por su expresi´on como series de potencias, obtenemos que f = g, y entonces f 0 = g 0 , que son las dos igualdades que hab´ıa que probar. N´otese que (4) se deduce de (5) tomando y = −x en la segunda f´ormula. Proposici´ on 11.1.10 (Definici´ on y propiedades de π.). 1) La funci´ on seno tiene ceros positivos, es decir, {x > 0 : sen x = 0} = 6 ∅. Este conjunto posee un elemento m´ınimo, que denotaremos por π: def

π = m´ın{x > 0 : sen x = 0} . En el intervalo (0, π), el seno toma valores estrictamente positivos. 2) cos π = −1;

cos π2 = 0;

sen π2 = 1.

  3) Para conocer la funci´ on seno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π2 . En concreto, 3.1) para cada x ∈ R es sen (π − x) = sen x = − sen(x + π); 3.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, sen(x + 2kπ) = sen x, es decir, el seno es una funci´ on peri´ odica de periodo 2π.

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

184

  4) Para conocer la funci´ on coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π2 . En concreto, 4.1) para cada x ∈ R es cos (π − x) = − cos x = cos(x + π); 4.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, cos(x + 2kπ) = cos x, es decir, el coseno es una funci´ on peri´ odica de periodo 2π.   5) La restricci´ on de la funci´ on seno al intervalo − π2 , π2 es una aplicaci´ on estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. 6) La restricci´ on de la funci´ on coseno al intervalo [0, π] es una aplicaci´ on estrictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. 7) Dado x ∈ R, se verifica sen x = 0 si y solo si para alg´ un k ∈ Z es x = kπ . 8) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0 si y solo si para alg´ un k ∈ Z es x =

π 2

+ kπ.

Demostraci´ on. 1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que sen x > x −

x3 >0 3!

siempre que 0 < x ≤ 1

y que 43 45 47 49 + − + < 0, 3! 5! 7! 9! de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, seg´ un el teorema de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, est´a perfectamente determinado el n´ umero real π = inf{x > 0 : sen x = 0} sen 4 < 4 −

y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π es el m´ınimo del conjunto, o sea, que pertenece a ´el, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto y emplear la continuidad del seno. As´ı sen x 6= 0 para todo x ∈ (0, π) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos escrito, debe ser estrictamente positivo en ´el. 2) Como sen2 π + cos2 π = 1, se deduce que cos2 π = 1 y por tanto cos π = 1 o cos π = −1. Pero si cos π = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolle dar´ıa la existencia de alg´ un punto t ∈ (0, π) en el que se anular´ıa la derivada del coseno, con lo cual ser´ıa sen t = 0 contra lo que acabamos de probar. Puesto que cos π = 2 cos2 π2 − 1, debe ser cos π2 = 0, lo que obliga a que sen2 π2 = 1. Como 0 < π2 < π, sen π2 debe ser positivo y por tanto igual a 1. 3) Las igualdades de (3,1) son consecuencia de las f´ormulas de adici´on y de los valores previamente calculados. La de (3,2) se comprueba por inducci´on.   Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo 0, π2 , podemos obtener los valores en  el intervalo π2 , π usando que sen x = sen (π − x); por ser el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π] y ya por periodicidad a todo R. 4) Similar al apartado anterior. 5) Para cada x ∈ R la igualdad sen2 x + cos2 x = 1 asegura que | sen x| ≤ 1, | cos x| ≤ 1. Como
sen π2 = 1 y por tanto sen − π2 = −1, la continuidad del seno y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de − π2 , π2 exactamente el intervalo [−1, 1].   Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en − π2 , π2 , usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el coseno (que en cada punto x tiene por

11.1. FUNCIONES ELEMENTALES Y SERIES DE POTENCIAS

185

derivada − sen x) ser´a estrictamente decreciente en [0, π], lo que permite afirmar que los valores  π
que alcanza en el intervalo 0, son estrictamente mayores que cos π2 = 0; como el coseno es par, 2
lo mismo vale en − π2 , π2 ; y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos que este   u ´ltimo es estrictamente creciente en − π2 , π2 . 6) Repasar la demostraci´on anterior. 7) Es inmediato que si para alg´ un k ∈ Z es x = kπ, se verifica que sen x = 0. Rec´ıprocamente, sea x ∈ R tal que sen x = 0. Para un k ∈ Z ser´a      1 1 π, k + π . x∈ k− 2 2  Entonces t = x − kπ ∈ − π2 , π2 y sen t = sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ. 8) Similar a la anterior. Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versi´on anal´ıtica’ que venimos explorando y la ‘versi´on geom´etrica’ de la Trigonometr´ıa (=medici´ on de tri´ angulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposici´on, que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de un n´ umero complejo no nulo. Proposici´ on 11.1.11. Dados x, y ∈ R tales que x2 + y 2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x,

sen α = y .

Adem´ as, para que un β ∈ R cumpla igualmente que cos β = x,

sen β = y,

es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ. Demostraci´ on. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x. Entonces sen2 t = y 2 , de donde o bien sen t = y, y tomar´ıamos α = t, o bien sen t = −y, y bastar´ıa tomar α = −t. Por periodicidad, igualmente cos(α + 2kπ) = x, sen(α + 2kπ) = y para todo k ∈ Z. Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x, sen β = y. Entonces sen(β − α) = y x − x y = 0, luego por lo visto anteriormente existir´a un m ∈ Z tal que β − α = mπ. Si m fuese de la forma 2k + 1, k ∈ Z, resultar´ıa cos(β − α) = −1, mientras que cos(β − α) = x x + y y = x2 + y 2 = 1, por lo que debe ser m = 2k para alg´ un k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ. Gr´aficamente, esta proposici´on significa que para cada punto sobre la circunferencia de centro el origen y radio unidad, hay un n´ umero real que mide el ´angulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que dicho n´ umero est´a un´ıvocamente determinado salvo m´ ultiplos enteros de 2π; el coseno del “´angulo” es la abscisa del punto, y el seno es la ordenada. En resumen, en este apartado hemos definido las funciones seno y coseno, y hemos demostrado todas las propiedades fundamentales necesarias para cubrir el uso habitual que hemos venido realizando de las mismas desde el bachillerato. En este punto, podemos continuar rigurosamente el estudio de las restantes funciones trigonom´etricas (tangente, cotangente, secante, cosecante) y de las llamadas funciones trigonom´etricas inversas, que como sabemos son “inversas parciales” de las anteriores, es decir, inversas de la restricci´on de las anteriores a subdominios adecuados. Ser´ıa muy largo completar todos los detalles, pero queremos al menos detenernos en la funci´on arco seno, que veremos en la pr´oxima secci´on que puede ser construida y estudiada mediante integraci´on, de forma paralela a la definici´on que hicimos en su momento del logaritmo.

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

186

11.2.

Funciones trigonom´ etricas: construcci´ on mediante integrales

De nuevo nos situamos “en el principio de los tiempos”, olvidando lo que acabamos de aprender sobre las funciones trigonom´etricas, y partimos de cero para crear la funci´on arco seno como primitiva construida por integraci´on. Proposici´ on 11.2.1 (Funci´ on arco seno). La funci´ on Z x 1 √ dt A : x ∈ [−1, 1] → A(x) = 1 − t2 0 est´ a bien definida, es impar continua en [−1, 1] y derivable en (−1, 1), con A0 (x) = √

1 1 − x2

y

A00 (x) =

x . (1 − x2 )3/2

En consecuencia l´ım A0 (x) = +∞,

x→±1

A es estrictamente creciente en [−1, 1], convexa en [0, 1) y c´ oncava en (−1, 0]. √ Demostraci´ on. La funci´on t ∈ [−1, 1] → 1 − t2 ∈ R est´a bien definida (recordar que todo n´ umero real no negativo tiene una ra´ız cuadrada no negativa perfectamente determinada) y es continua, y solo se anula para t = 1 o t = −1. Adem´as, 1 1 1 ∼√ , 2 2 (1 − t)1/2 1−t 1 1 1 0≤ √ , ∼√ 2 2 (1 + t)1/2 1−t 0≤ √

con lo cual la funci´on t ∈ [−1, 1] → √

(t → 1) (t → −1),

1 ∈R 1 − t2

es impropiamente integrable en (−1, 1). Por tanto, A est´a bien definida y es continua en [−1, 1]. La derivabilidad en (−1, 1) y el valor de la derivada se sigue del Teorema Fundamental del C´alculo Integral. Lo dem´as ya es rutinario. Nota. Una vez m´as, la interpretaci´on anal´ıtica y la geom´etrica son concordantes. Dado y ∈ [−1, 1], A(y) es la longitud del arco de la circunferencia unidad que tiene y por seno: pues si parametrizamos la “semicircunferencia de la derecha” por ( √ x(t) = 1 − t2 −1 ≤ t ≤ 1 → y(t) = t, un c´alculo elemental prueba que p

x0 (t)2 + y 0 (t)2 = √

1 , 1 − t2

as´ı que Z s= 0

y

p

x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt =

Z 0

y

√

1 dt 1 − t2

es la longitud del arco desde el punto de ordenada 0 hasta el punto de ordenada y.

´ 11.2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

187

En particular, la longitud de la semicircunferencia ser´a igual a Z

1

1 √ dt = 2 1 − t2

s= −1

Z 0

1

√

1 dt, 1 − t2

lo que explica la siguiente definici´on. Definici´ on 11.2.2. El n´ umero π . Z

def

π = 2 0

1

√

1 dt . 1 − t2

Es muy f´acil ver con esta definici´on que 3 < π < 4: por un lado, para cada x ∈ (0, 1) se cumple que 1 − x2 = (1 − x)(1 + x) > 1 − x, y por tanto Z 0

1

1 √ dx < 1 − x2

Z 0

1

√

ix=1 h √ 1 dx = − 2 1 − x = 2, x=0 1−x

de donde π < 4. Por otra parte, como 1−x2 < 1 tambi´en tenemos que 2(1 − x), que

√ 1 1−x2

>

√1 √ 1 . 2 1−x

√ 1 1−x2

> 1 y, como 1−x2 = (1+x)(1−x)
2 0

1/2

√ Z 1 dx + 2

1

1/2

√

ix=1 √ h √ 1 dx = 1 + 2 − 2 1 − x = 1 + 2 = 3. x=1/2 1−x

Como consecuencia inmediata de las propiedades de la funci´on A y de la definici´on de π se tiene: Corolario 11.2.3. La funci´ on A aplica biyectivamente [−1, 1] sobre [−π/2, π/2]. As´ı pues, la gr´afica de A tiene el siguiente aspecto:

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

188

Ya hemos comentado c´omo se relaciona la definici´on que hemos dado de π con la definici´ on geom´etrica m´as habitual, en funci´on de la longitud de la circunferencia unidad. Vimos en su momento c´omo se corresponde la noci´on de ´area con la integral, y conforme a ello reencontramos π como valor del ´area del c´ırculo unidad. Proposici´ on 11.2.4. π es el ´ area de un c´ırculo de radio unidad. √ Demostraci´ on. Sea f la funci´on definida en [−1, 1] por f (x) = 12 A(x) + 12 x 1 − x2 . Es continua en √ [−1, 1], y si x ∈ (−1, 1) entonces f 0 (x) = 1 − x2 . Por la regla de Barrow Z

1

−1

p

1−

x2 dx

Z

1

=

f 0 = f (1) − f (−1) =

−1


π 1 A(1) − A(−1) = . 2 2

Dejamos como ejercicio probar que el ´area de un c´ırculo de radio R es πR2 (y que la longitud de su circunferencia es 2πR). El n´ umero π tiene una historia multimilenaria, por lo que no es extra˜ no que abunde el folklore en torno a ´el. Dos referencias interesantes son [Berggren-Borwein-Borwein] y [Delahaye]. Para obtener ahora el seno y el coseno, podemos proceder as´ı: dado que A es biyectiva, existe su inversa, a la que llamaremos S. As´ı, S aplica biyectivamente [−π/2, π/2] sobre [−1, 1] y es creciente, 1 y como A0 no se anula en (−1, 1) resulta que S es derivable en (−π/2, π/2), con S 0 (x) = A0 (S(x)) = p 2 1 − S (x). De hecho S es derivable en [−π/2, π/2] con la expresi´on anterior, ya que por la regla de L’Hospital p S(π/2) − S(x) l´ım = l´ım S 0 (x) = l´ım 1 − S 2 (x) = 0 π/2 − x x→π/2 x→π/2 x→π/2 y por tanto S 0 (π/2) = 0, y an´alogamente S 0 (−π/2) = 0.

´ ´ 11.3. APENDICE: EL NUMERO π ES IRRACIONAL

189

Sea C : [−π/2, π/2] → R la funci´on derivada de S, es decir C(x) = la cadena, si 1 − S 2 (x) 6= 0, o sea si x ∈ (−π/2, π/2), tenemos C 0 (x) =

p 1 − S 2 (x). Por la regla de

p 1 1 p (−2S(x)) 1 − S 2 (x) = −S(x) , 2 1 − S 2 (x)

y con la regla de L’Hospital es f´acil ver que C 0 = −S en [−π/2, π/2]. Como, para cada n, C (n) y S (n) son iguales a ±C o ±S, resulta que |C (n) (x)| ≤ 1 y |S (n) (x)| ≤ 1 para cada x ∈ [−π/2, π/2]. Por lo tanto C y S coinciden en todo el intervalo con su serie de TaylorMac Laurin; es decir, S(x) =

∞ X S (n) (0) n=0

n!

xn

y C(x) =

∞ X C (n) (0) n=0

n!

xn

p

para todo x ∈ [−π/2, π/2]. Al ser S(0) = 0 y C(0) = 1 − S 2 (0) = 1, resulta que las series anteriores, suprimiendo los t´erminos nulos, toman la forma S(x) =

∞ X (−1)n x2n+1 (2n + 1)!

y C(x) =

n=0

∞ X (−1)n n=0

(2n)!

x2n .

Reencontramos las series de potencias conocidas en nuestra anterior definici´on del seno y el coseno, ambas con radio de convergencia +∞, y por tanto las funciones que definen en R extienden a S y C. De este modo cerramos el c´ırculo, y podemos remitirnos a la secci´on anterior en cuanto se refiere a sus propiedades.

11.3.

Ap´ endice: El n´ umero π es irracional

La demostraci´on de la irracionalidad de π que vamos a exponer se debe originalmente a ˜ I.Niven [Niven], y aparece en la p´ag. 47 del libro [Hardy-Wright], junto a una prueba similar de que log x es irracional para todo x racional positivo y distinto de 1. Al igual que otras muchas partes de estas notas, nosotros lo hemos tomado de los apuntes de “An´alisis matem´atico I” del Prof. J. L. Arregui, a quien manifestamos en este punto nuestro agradecimiento por su generosidad. Teorema 11.3.1. π y π 2 son n´ umeros irracionales. Demostraci´ on. Basta probar que π 2 es irracional. n n Para cada n ∈ N, consideraremos la funci´on f dada por f (x) = x (1−x) . Es claro que, si n! 0 < x < 1, tenemos que 0 < f (x) < 1/n!. Existen ciertos ck enteros tales que f (x) =

2n 1 X ck xk . n! k=n

f es un polinomio, y la expresi´on anterior es la serie de Taylor-Maclaurin de f , as´ı que f (k) (0) = 0 k! si k < n o k > 2n (si k > 2n, de hecho f (k) = 0). Si n ≤ k ≤ 2n entonces f (k) (0) = n! ck es un n´ umero entero. Como f (x) = f (1 − x), f y todas sus derivadas toman tambi´en valores enteros si x = 1. n Supongamos que π 2 = ab , con a, b ∈ N. Elegimos entonces n tal que πa n! < 1 (podemos hacerlo, porque an /n! → 0). Para este valor de n tomamos f como hemos dicho, y definimos G(x) = bn

n X

(−1)k π 2n−2k f (2k) (x),

k=0 0

H(x) = G (x) sen πx − πG(x) cos πx.

190

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

Tenemos que π(G(0) + G(1)) = H(1) − H(0) =

R1 0

1 G(0) + G(1) = π

H 0 (x)dx, es decir 1

Z

H 0 (x)dx.

0

Pero H 0 (x) = (G00 (x) + π 2 G(x)) sen πx n n X X
= bn (−1)k π 2n−2k f (2k+2) (x) + (−1)k π 2n−2(k−1) f (2k) (x) sen πx = bn

k=0 n−1 X

(−1)k π 2n−2k f (2k+2) (x) +

k=0

=b

n

n X


(−1)k π 2n−2(k−1) f (2k) (x) sen πx

k=0 k−1 2n−2(k−1) (2k)

(−1)

k=1 n 2n+2

=b π

k=0 n X

π

f

(x) +

n X


(−1)k π 2n−2(k−1) f (2k) (x) sen πx

k=0 2 n

f (x) sen πx = π a f (x) sen πx ,

es decir, Z G(0) + G(1) = π

1

an f (x) sen πxdx,

0

lo que lleva a

an