Selectividad Matematicas I Pruebas de 1995

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M u e s tra s r v a lo r c o m e r'

Miguel de G uzm án

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MATEMATICAS PRUEBAS DE 1995 Incluye pruebas Bachillerato LO G SE

Miguel de Guzmán José Colera

ANAYA

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Coordinación editorial Mercedes García-Prieto Revisión Rosario García Corrección técnica Domingo del Hoyo Composición y maquetación Grafismo Autoedición, C.B. Gráficos Grafismo Autoedición, C.B. Diseño de cubierta Alberto Corazón Diseño de interiores Eduardo Gómez

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SOBRE LA UTILIZACIÓN DEL LIBRO DE PROBLEMAS

La ayuda que puede prestar Un libro como éste puede ayudarte en tu preparación del examen de Selectividad en diversos aspectos: •

Parafamiliarizarte con la estructura del examen. Como observarás, aun­ que aquí figuran exámenes provenientes de todas las Universidades, la estructura de todos ellos viene a ser prácticamente la misma: unas cuan­ tas opciones entre las que has de elegir, un tiempo señalado similar...

•

Para darte la posibilidad de captar cuáles son las ideas, destrezas, ruti­ nas... esenciales en los temas de Selectividad. Los programas de las diferentes Universidades son prácticamente iguales y los criterios a la hora de proponer exámenes difieren muy poco. Cualquier examen hubiera podido ser propuesto en otra Universidad.

•

Para percibir cuáles son los tipos de cuestiones apropiadas para un exa­ men de estas características.

•

Para poder ensayar y comprobar tu grado de preparación con proble­ mas semejantes a los que vas a tener que resolver y en condiciones aná­ logas a las del examen de tiempo limitado, opciones diferentes... Así puedes tratar de distribuir mejor tus fuerzas y tu tiempo en lo que se refiere a la elección de una opción, realización, comprobación, presen­ tación...

i orno u sa r esto lih ro

•

Lo fundam ental en él son los problemas que contiene. Es una colección bien amplia de los problemas propuestos en las diversas Universidades del país en Junio de 1994.

•

El uso ideal del libro consistiría en que te encararas directamente con cada uno de los ejercicios de Selectividad con el tiempo limitado, como se señala en él, e imponiéndote la obligación de hacer una presentación lo más esmerada posible de tu resolución, como si realmente te estuvieras examinando, sin mirar en absoluto la resolución que el libro te propone.

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Por nuestra parte te ofrecemos... — una resolución completa de cada problema de modo que puedas comparar tu modo de proceder y tu solución con la nuestra; — un método general para afrontar problemas de matemáticas en tres fases dife­ rentes que te pueden ayudar a hacerte con un esquema de procedimiento que suele ser útil; — la distinción en tres fa ses que proponemos en el tratamiento de cada problema puede servirte para distribuir tu ocupación con el problema de acuerdo con el esquema que encontrarás a continuación. En nuestra solución del problema distinguimos claramente tres etapas: — ENCUADRANDO EL PROBLEMA

Se trata de entender sus términos, saber "de dónde parto" y "a dónde quiero llegar" y señalar claramente el marco de conocimiento en que se puede colocar el problema a fin de hacerte presente qué clase de conocimientos habrá que invocar. ESTRATEGIA A SEGUIR

Aquí indicamos una o varias estrategias posibles para la resolución, sin desa­ rrollarlas aún. — RESOLUCIÓN

Se pone en práctica la estrategia elegida y se resuelve el problema. Otra form a de usar el libro, que puede servir para familiarizarte con el proceso que te presentamos y hacerlo tuyo propio, es la siguiente: — Lee el enunciado con atención. No mires nada de lo que escribimos. Enfráscate en el problema por tu cuenta, a tu aire y trata de resolverlo. — Si pasado un tiempo prudencial, diez o quince minutos, no se te ocurre cómo empezar, lee solamente la parte de nuestra solución correspondiente a la pri­ mera fase: e n c u a d r a n d o e l p r o b l e m a . Ahí encontrarás el marco que te seña­ lará qué campo de ideas debes recordar para ponerte en marcha. Dedica otro intervalo de tiempo para trabajar por tu cuenta. — Si, aún así, no consigues progresar, lee la segunda sección: e s t r a t e g i a a s e g u i r . Encontrarás algunas indicaciones más precisas para atacar el proble­ ma, técnicas concretas que se pueden utilizar. Aplícalas al problema por tu cuenta sin mirar aún cómo lo hacemos nosotros.

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— Cuando hayas trabajado por tu cuenta las estrategias y hayas llegado a la solución, o bien si no has sido capaz de llegar a ella, mira nues­ tra r e s o l u c i ó n para comprobar cómo se puede hacer o si tu solu­ ción coincide con la nuestra. Esperamos no habernos equivocado. — Después de esta ocupación con el ejercicio, dedica un espacio de tiempo a pensar en los puntos de la teoría y de las rutinas relaciona­ das con la materia del ejercicio que, a la vista de tu actuación, puedas tener necesidad de revisar, reforzar, practicar más a fondo..., median­ te el repaso con tu libro de texto o con tu colección de problemas. •

Incluso para aquéllos que no necesiten de ninguna de nuestras indica­ ciones para resolver el problema puede ser útil mirar nuestro tratamien­ to de él. Es muy posible que su método sea perfectamente válido y superior al nuestro. Enhorabuena. En todo caso viene bien y es muy ins­ tructivo comparar procesos de pensamiento distintos y comprobar si las soluciones coinciden.

CONSEJOS SOBRE EL EJERCICIO DE MATEMÁTICAS EN EL EXAMEN DE SELECTIVIDAD

Sentido del ejercicio de Matemáticas Quienes proponen los ejercicios de Matemáticas suelen ser personas sensa­ tas a quienes la Universidad correspondiente ha encargado una tarea bien deli­ cada. Los objetivos razonables que deben perseguir a través de la parte del Examen de Selectividad que les corresponde son: — Comprobar que ciertas destrezas mínimas, alrededor de los temas fun­ damentales del programa, están presentes. — Comprobar que se han asimilado las ideas fundamentales a través del control de su correcta utilización. •

Lo que no se pretende: — Que el alumno demuestre que es capaz de inventar o de actuar creativa­ mente en las condiciones muy peculiares de un examen como éste (tal propósito requeriría otro tipo de prueba muy diferente, otro ambiente distinto).

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— Que el alumno demuestre el dominio de la materia hasta el grado de poder exponer con madurez y con estilo apropiado demostraciones de alguna envergadura (esto requiere un ejercicio de memorización que no se puede exigir razonablemente en las circunstancias de este examen. Requeriría una cantidad de tiempo mucho mayor). •

De hecho, como verás a lo largo de esta colección de problemas de Selectividad 1994, los ejercicios de Matemáticas propuestos en todas las Universidades tienen un carácter muy homogéneo, ajustándose exactamen­ te a los objetivos antes señalados: — Control de la correcta utilización y asimilación de las ideas fundam en­ tales del programa. — Comprobación de la presencia de las destrezas básicas relacionadas con los temas exigidos.

Preparación para el examen •

La mejor preparación del examen consiste en el trabajo pausado y conti­ nuado a lo largo del curso. — Con ello se consigue una asimilación más perfecta y profunda. — La misma naturaleza de la matemática exige una absorción ordenada de los hechos y métodos correspondientes a cada tema. — El trabajo continuo proporciona una gran confianza en las propias fuerzas que favorece enormemente la realización del examen.

•

Hay que conocer a fondo de antemano la estructura del examen. Que no haya sorpresas. — Estudiar bien las normas de la Universidad correspondiente. — Hacer previamente ensayos con exámenes anteriores en condiciones de tiempo y circunstancias semejantes a las que regulan el examen real. — Analizar a fondo las características de los exámenes anteriores, las opciones posibles, lo que se suele y lo que no se suele pedir, si sé per­ mite o no calculadora y si va a servir de algo utilizarla. — Ten en cuenta que la calculadora es un instrumento cuyo uso no es tri­ vial. Debes entrenarte en su manejo para poder utilizarla con seguridad y rapidez. No improvises en el examen y, desde luego, no utilices una calculadora distinta de aquélla con la que estás acostumbrado a trabajar. Presta atención muy expresamente al encadenamiento de la operacio­ nes y al manejo de las teclas funcionales. Cuida, cuando hagas uso de las funciones trigonométricas, que la máquina esté preparada para tra­ bajar en grados (DEG) o en radianes (RAD), según necesites.

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•

Procura localizar, con ayuda de tus profesores, aquellas partes del programa que se prestan más razonablemente a un examen del tipo usual en tu Universidad. Insistid en ellas con ejercicios, repasos... — Hay aspectos del programa que difícilmente pueden aparecer de forma razonable: aquéllos que requieren mucho tiempo o mucha memoriza­ ción, que no se pueden realizar sin una preparación inmediata... — Hay problemas que tienen sentido dentro de la actividad normal del curso o propuestos en un texto, pero no en un examen.

•

Ir al examen con la confianza posible. — No es un examen para suspender. De hecho son muy pocos los que sus­ penden. — Las pruebas son razonables. — No depende de la memoria, sino de una cierta dosis de ejercicio previo. — Hay tiempo más que suficiente.

•

Procura ir al examen bien descansado. — Nada de atracones de última hora. Son especialmente inútiles en mate­ máticas para un examen de cierta amplitud como éste, — Si descansas bien los últimos días antes, te irá mucho mejor, pues esta­ rás más despierto.

La realización del examen •

Mira bien las distintas opciones que se te ofrecen. — No excluyas de entrada ninguna de ellas porque contenga tal o cual materia sin mirarla un poco. Puede ser más fácil de lo que piensas. — No inviertas demasiado tiempo en decidirte por una determinada. Normalmente son ejercicios muy directos, no requieren ideas rebusca­ das. Basta con que tengas presentes las técnicas que has visto muchas veces para que puedas emplearlas con éxito. Escoge una opción que te parezca que puedes resolver con mayor seguridad.

•

Una vez que te hayas decidido por una de las opciones, ponte manos a la obra con decisión y no cambies de opción sin un motivo poderoso. — Lee atentamente los enunciados varias veces. En las circunstancias de un examen se puede uno aturdir fácilmente. Asegúrate de que lo entiendes bien.

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— Dedica tiempo a pensar y planear antes de lanzarte a hacer cálculos sin más ni más. M ira si das con la forma más simple posible. Tal vez la pri­ mera que se te ocurra no sea la más conveniente. — Atiende, especialmente en estas circunstancias, a las operaciones y cál­ culos. Repítelos y cerciórate a medida que los vas haciendo, a trozos pequeños. De esta forma la posibilidad de equivocarte se hará menor. — Si efectúas cálculos con la ayuda de la calculadora, revísalos con aten­ ción para evitar posibles errores, y hazlos constar en el papel para que quien lo corrija pueda seguir el proceso. — No hagas un uso indiscriminado de la calculadora y recurre a tus cono­ cimientos matemáticos siempre que puedas. — Al final, si es posible y tienes tiempo, comprueba tus resultados. Lo puedes hacer de diversas maneras: a) Cerciorándote de que tu resultado satisface, efectivamente, las con­ diciones del enunciado. b) Repasando bien a fondo lo que has hecho. c) Haciéndolo por otro procedimiento. No te vayas antes de tiempo sin dedicarte a la comprobación. Cuida la presentación. — Quien ha de leer tu ejercicio, tal vez tenga que leer cuatrocientos más. Aunque no lo pretenda, quedará inclinado favorablemente ante un ejer­ cicio que le haga su tarea más fácil. — Escribe con letra clara. — Explica lo que haces brevemente. — Señala con recuadros, subrayados, etc., lo que juzgues importante. — Prepárate en este sentido con anticipación. Esto no se improvisa en un examen. En el examen lo harás peor que de ordinario, con seguridad.

Miguel de Guzmán José Colera

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UNA ACLARACIÓN SOBRE LAS PRUEBAS DE BACHILLERATO LOGSE CONTENIDAS EN ESTE LIBRO En este tomo se incluyen varias pruebas de Selectividad destinadas a alumnos de la Logse. Los alumnos que sigan estas enseñanzas podrán entrenarse con ellas, pero también con todas las demás, pues casi todos los temas que tratan las otras corres­ ponden también a los programas Logse y se tratan con niveles similares. Del mismo modo, los alumnos que no son del plan Logse podrán resolver los proble­ mas de las pruebas propuestas en este plan de estudios. Únicamente los problemas de Geometría analítica del plano son específicos para alumnos de la Logse, pero han sido estudiados en cursos anteriores al COU (en 3o BUP).

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CLASIFICACIÓN DEL CONTENIDO POR MATERIAS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES

DETERMINANTES

G EOM ETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO

A lican te, C3 C ádiz, A3 C anarias, A 2.2 C anarias, B 2.2 C an tab ria, I .B .l C astellón, 1 C a stilla-L a M ancha, l a C ataluña, B 2 C órdoba, 3 a E x trem ad u ra, A 2 G alicia, 2.3 J a é n ,1 L a R io ja, l a

págPágPágPágpágpág.

14 38 47 48 57 65 70 77 85 90 97 112 117

M adrid, A l M álaga, 2 M urcia, la N avarra, 3a País V asco, C1 S alam anca, 3.2 y 3.3 S evilla, 4 C V alencia, l.B .T V alladolid, B1 G alicia L O G S E , 2.3 L a R ioja L O G S E . 1A y 2 A M adrid L O G S E Prob.

B aleares, A a) B aleares, C b) B urgos, A 2 C ádiz, A 2 C an arias, A .4.1 C an arias, B.4.1 C an tab ria, I.A .l C an tab ria, I.B .2 C astelló n, 2 H uelva, la L a R ioja, 2a

Pág- 25 pág- 26 Pág- 31 Pág- 38 Pág- 47 Pág- 48 Pág- 56 Pág- 57 Pág- 65 Pág- 106 Pág- 117

L eón, A 1 L eón, A 2 N avarra, l a O viedo, BL1 P aís V asco, P1 S evilla, 2 V alencia, I-A .P E xtrem ad u ra LO G SE, A l G alicia L O G S E , 2.2b

E x trem adura, B2 M adrid, B 1 V alladolid, A 2

Pág- 91 Pág- 133 Pág- 190

E xtrem adura L O G S E , B1 M ad rid L O G S E , B2

págPágPágPágPágpágPág-

A lican te, P2 PágA licante, C 2 PágA lm ería, 1 PágA lm ería, 2 PágB aleares, A b) PágB aleares, B b) PágB u rg o s, B 1 PágB urgos, B 2 PágC ád iz, A 4 PágC an arias, A .3.2 PágC an arias, A .4.2 PágC an arias, B .3.2 PágC an arias, B .4.2 PágC an tab ria, I.A .2 PágC a stilla-L a M ancha, 2a PágC a stilla-L a M ancha, 3a pág.

13 14

C ataluña, A 3 C ataluña, B 1 20 C órdoba, 2 20 E xtrem adura, A 2 E x trem ad u ra, B1 25 25 G ranada, 5 31 G ranada, 6 H uelva, Ib 31 3 9 - H uelva, 2a 47 H uelva, 3a 47 J a é n ,2 48 48 56 70 71

L a R ioja, 2b L a R ioja, 3a l^eón, B1 y B2 M adrid, A 2 M adrid, B 2

pág. 132 139 145 152 163 170 pág- 176 pág. 183 Pág- 191

PágPágPágpágpág.

Pág- 2 1 0 Pág- 214 Pág- 2 2 0 pág- 123 Pág- 123 Pág- 151 Pág- 157 Pág- 164 Pág- 175 Pág- 182 Pág- 204 Pág- 2 1 0

Pág- 205 Pág- 2 2 0 PágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPág-

76 77 84 90 91 ' 102 102

106 106 107 112

118 118 124 132 133

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M álaga, 1 M u rcia, O B L b M urcia, 2b M urcia, 3a N av arra, Ib N av arra, 2a O v iedo, B L 5 P aís V asco, C 2 P aís V asco, P2 Salam anca, 3 .2 y 3.3 S evilla, 3 S evilla, 4C

págpágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPág-

GEOMETRÍA ANAIJTÍCA DEL PLANO

E x trem ad u ra L O G S E , A3

Pág- 204

E xtrem adura LOG SE, Pr B2

pág- 205

ESPACIOS

C ád iz, A l E x trem ad u ra, A l S alam anca, 1.2 V alen cia, I.A .T

Pág- 38 pág. 90 pág. 169 Pág- 182

V alladolid, A l Z arag o za, A l Extrem adura L O G S E B3 G alicia L O G S E , 2.2a

Pág- 190 pág. 197 pág. 205 Pág- 210

13 14 20 21 25 26 39 46 46 47 66 66 71 84 90 91

G ranada, 3 H uelva, 4b Jaén, 3 L a R ioja, 2c L eón, C1 y C2 M álaga, 3 M álaga, 4b M urcia, 3b N avarra, 4a Salam anca, 2.2 V alen cia, II.A .T G alicia L O G S E , 2.1 M adrid L O G S E , A 2 M adrid L O G S E , A3 M adrid L O G S E , B1 S alam anca L O G S E , C2

Pág- 101 Pág- 107 pág. 112 Pág- 118 Pág- 124 pág. 139 pág. 140 Pág- 146 Pág- 152 Pág- 169 Pág- 183 Pág- 210 Pág- 219 pág. 219 pág- 220 Pág- 226

21 39 40 47 48 57 58 76 78 85 96 101 107 113

M adrid, A3 M álaga, 4a O viedo, B L 6 P aís V asco, C3 P aís V asco, P3 V alladolid, C1 V alladolid, C 2 Z arag o za, C1 y C 2 E xtrem ad u ra L O G S E , Pr. A l E xtrem ad u ra L O G S E , B2 L a R ioja, L O G S E IC a) M adrid L O G S E , Prob.

132 139 158 163 164 191 191 Pág- 198

GEOM ETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO

VECTORIALES

CONTINUIDAD, DIRTVABILIDAD, BOLZANO, RO LLE. VALOR M EDIO

APLICACIONES DE LA DERIVADA. OPTIM IZACIÓ N

A licante. P1 I y ü PágA licante, C1 PágA lm e n a , 4 PágA lm ería, 5b PágB aleares, B a PágB aleares, D a PágC ád iz, B 2 PágC an arias, A. 1.1 PágC an arias, A . 1.2 PágC an arias, B . l . l PágC astellón, 5 PágC astellón, 6 pág. C a stilla-L a M ancha, 4a PágC ó rd oba, 1 PágE x trem adura, A 4 PágE x trem adura, B 3a PágA lm ería, 6 C ád iz, B1 b) C ád iz, B3 C an arias, A.3.1 C an arias, B.2.1 C an tabria, II. A .l C an tabria. II.B .l C ataluña, A l C an tab ria, B4 C ó rd oba, 3b G alicia, 1.2.B G ran ada, 1 H uelva, 3b Jaén , 5a

PágPágPágPágPágPágpág. PágPágPágPágPágPágPág-

139 144 145 145 151 152 158 163 164 170 176 176

V alencia, I.B .P Pág- 183 Z aragoza, B 1 y B 2 pág. 198 E xtrem adura L O G S E Pr. A 2 Pág- 204 G alicia L O G S E , 1.1 pág. 210 L a R io ja L O G S E IB y 2B pág. 214 M adrid L O G S E , A l pág. 219 M ad rid L O G S E , C3 pág. 220 S alam anca L O G S E , C1 Pág- 226 S alam anca L O G S E , C 3 y P1 pág. 226

PágPágPágPágPágpág. pág.

pág. 204 Pág- 205 pág. 215 pág- 220

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LÍM ITES. l ' h ó p it a l

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE i' r \ r i n \ ¡ s

INTEGRALES. ÁREAS Y VOLÚMENES

PROBABILIDAD

H uelva, 4a Jaén, 6a M adrid, B3 L a R ioja, L O G S E 2Cb

PágPágPágPág-

107 113 133 215

A lm ería, 5a Pág- 21 B urgos, C 2 Pág- 32 C an tab ria, II.B .2 Pág- 58 C a stilla-L a M ancha, Ib pág- 70 C ataluña. B3 Pág- 78 C ó rd o ba, 1 Pág- 84 E x trem adura, B3 Pág- 91 G ranada, 2 Pág- 101 G ranada, 4 pág- 102 L a R io ja , Ib Pág- 117

L eón, D I M urcia, 2a O viedo, B L 3 S alam anca, C 4 S evilla, 1 V alencia, II.B .P G alicia L O G S E , 1.3 L a R io ja L O G S E , 1C a y b S alam anca L O G S E , P3

PágPágPágpágPágPágpág.

124 145 158 170 175 184 210

13 A lican te, P1 III Pág14 A licante, C 4 PágA lm ería, 3 pág- 20 B aleares, C a II Pág- 26 C ádiz, B a 1) pág- 39 pág. 46 C anarias, A .2.1 pág. 47 C anarias, B .1.2 C an arias, B.3.1 Pág- 48 C an tab ria, II.A .2 Pág- 57 pág. 66 C astellón, 7 C astellón, 8 Pág- 66 C astilla-L a M ancha, 2b pág. 70 C a stilla-L a M ancha, 3b Pág- 71 C atalu ña, A 4 Pág- 77 C ó rd o ba, 4b Pág- 85 E x trem adura, A 4b Pág- 90 E x trem adura, B 4 Pág- 91 G alicia, 1.3 Pág- 96 G ran ada, 1 pág- 101 H uelva, 2b Pág- 106 Jaén, 5b pág. 113 J a é n ,$ b Pág- 113 L a R io ja , Ib Pág- 117

L a R ioja, 3b L eón, D 2 M adrid, A 4 M adrid, B 4 M urcia, Ib N avarra, 3b O viedo, B L 4 P aís V asco, C4 P aís V asco, P4 S alam anca, C 4 S evilla, 4b V alencia, I I A P V alencia, I I B T V allado lid, D I Z aragoza, D I y D 2 E xtrem ad u ra LO G SE, A2 E xtrem ad u ra L O G S E , P r .B l G alicia L O G S E , 1.2 L a R io ja L O G S E , 1C L a R io ja L O G S E , 2C a S alam anca L O G S E , P 2

págPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPágPág-

M adrid, B5 M urcia, O B L d N avarra, 4b O viedo, B L 2 P aís V asco , C5 País V asco, P5 V alen cia I I I A y B V alladolid, E l V alladolid, E 2 Z aragoza, A 2

PágPágPágpágpágPágPágPágPágPág-

B aleares, C a I PágC ádiz, B 4 PágC astilla-L a M ancha, 4b pág. E x trem adura, A3 pág-

A licante, P3 B aleares, D b B urgos, D I B urgos, D 2 B urgos, E l B u rg o s, E 2 C ataluña, A 2 G alicia, 2.2B L eón, E l y E 2 M adrid, A 5

Págpágpág. págpágpág. PágPágPágPág-

26 40 71 90

13 26 32 32 32 32 76 96 125 133

Pág- 215 pág. 227 118 125 133 133 145 152 158 164 164 170 176 183 183 191 198

Pág- 204 Pág. 205 210 215 215 227

PágPágPágpág.

133 144 152 157 164 164 184 191 192 197

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS El alumno deberá responder, en el plazo de una hora y cuarenta minutos, a dos de los tres problemas planteados y a dos de las cuatro cuestiones.

Problema 1 Dada la función f ( x ) = Ir' - x\, se pide: i)

Estudiar si es aplicable el teorema de Rolle a / en los intervalos [-1. 1] y [-1, 0], (1 punto)

II)

De una función g, se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0,1] y que para 0 < x < 1 es g(x) =

^

^ . donde / es la función del apar­

tado i). ¿Cuánto vale g(0)? (1 punto) tu)

Calcular I g ( x ) e x dx. (1 punto) Jo

Problema 2 Un rayo luminoso que está en el plano determinado por el punto A (1; 1, 1) y la x- 1 v- 2 z+1 recta r = — j— = — j— = — - — , parte del punto A y se refleja en la recta r, incidiendo en ella en el punto P (2 ,3 ,1 ). Se pregunta si el rayo reflejado ilumina el punto a = 3

2 (2 , 2, 3)

2

2

2+ P 7 — 7 ^ = ^2

QXa , p, y) ¿Están alineados A, P y 2 ?

2

P= 5

F

2 '( 3 , 5, 1)

3+y

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AP = (1, 2, 0) -» _> \ AP IIA Q ' A Q '= ( 2 ,4 , 0) J

Sí están alineados los tres puntos.

Por lo tanto, el rayo que parte de A y se refleja sobre la recta en P pasa por Q.

Problema 3 Estrategia a seguir Para calcular la probabilidad de “alguna doble ”, hallaremos previamente la pro­ babilidad de “ninguna doble ”, que es su suceso complementario. Resolución I)

21 20 19 95 P [ninguna dob e] = -------------------- = --------= 0,406 e 28 27 26 234 95 139 P [alguna doble] - 1 --------- = --------= 0,594 234 234

u)

P [ninguna doble] =

/ 21 \ 3

27 = - ^ - = 0,422

37 P [alguna doble] = ----- = 0,578 64

Cuestión 1 Resolución Efectivamente, si I x I < f (x) = g' (x ) =

2

2 ya que

2 x - ■(-2 x ) fW

2\ 1- x 2 +-

=

A 1 - X2

J l - ( 2* V 1 - * 2 ) 2 = (simplificando) =

2

g’W Vi —x

Por tanto, / y g difieren en una constante. (La función arcsen tiene infinitas determinaciones que difieren en 2n.)

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Cuestión 2 Encuadrando el problema Las dos rectas r y s son no parale­ las, pues di no es paralelo a d2. Para que se corten, es necesario que los vectores d\, d2 y PQ sean coplanarios. Estrategia a seguir —^ Para que d¡, d2 y PQ sean coplanarios, el determinante de la matriz formada por sus coordenadas ha de ser cero. Resolución -1

fe + 5

2

2

-3

2 =

4

-1

2

-3

fe + 8

2

-3

2

2

2

0

0

Para que r y s sean secantes, ha de ser fe = —11.

Cuestión 3 Encuadrando el problema Sabemos que el sistem a de ecuaciones tiene solución y que ésta no es x = 0, y = 0, pues la tercera ecuación no tiene esta solución. Para que el sistema de ecuaciones formado por las dos primeras (un sistema li­ neal homogéneo) tenga solución distinta de la trivial (x = 0, y - 0), es necesa­ rio que el determinante de la matriz de los coeficientes sea cero. Resolución m -

3m = 2nm~ —2n - 6m~n + 3m = - 4 m n - 2n + 3m

2mn —1

2n

Para que el sistema tenga solución, es necesario y suficiente que —4 m n - 2 n + 3m = 0 o, lo que es lo mismo, que n = -

3m 4m + 2

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Cuestión 4 Resolución Lo que se pide es una primitiva de e* sen x que valga 1 en x = 0, es decir, f ( x ) = l+ I e 's e n td t Con dos integraciones por partes resulta: sen td t = e sen t - \ el eos td t =

= e‘ sen t ■ e' eos t + \ eJ sen t dt = e‘ sen t —e' eos t —I 1 Con esto resulta 1 - — \e' sen t - e ' eos f 1

2

y asi. 3 ex sen x ex eos x f(x ) = — + ---------------------------

J

2

2

2

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS Debes elegir un ejercicio de la parte de Álgebra L ineal y Geometría y dos de la parte de Análisis. Nota: Los ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría se evaluarán sobre cuatro puntos y los de Análisis sobre tres puntos.

A

Algebra Lineal y Geometría 1

Hallar a para que las dos rectas r, s dadas por las ecuaciones

estén sobre un mismo plano y buscar la ecuación de este plano. 2

Hallar el simétrico del punto P (l, 0, 1) respecto del plano X ~ Y + Z = i.

Análisis 3

Dadas las funciones f( x ) = x y g(.r) = a x 1. hallar a de manera que el área de la región limitada por las dos gráficas sea 2/3.

4

Hallar todos los puntos en los que / es derivable. siendo a)

f ( x ) = Lr - 91

b) f{ x ) =

www.FreeLibros.org 20

5

a) V erificar que la función f{ x ) = tales distintas.

I a- í

tiene dos asíntotas horizon­

x+ l

b) Una función / está dada por la fórmula x2 - 4

/« =

T

-

x- 2

El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando .r = 2. ¿Cómo elegir el valor de /( 2 ) para que la función f( x ) sea continua en este punto? D eterm inar los coeficientes p, q de la parábola Y = X 2 + p X + q de forma que Y = 3 sea un mínimo cuando X = 1. Almería. Junio 1995

SOLUCION DE LA PRUEBA Ejercicio 1 Encuadrando el problema Las ecuaciones de las rectas r y s dependen de un parámetro a. Para un cierto valor de a, las dos rectas se cortan. Hemos de hallarlo. Estrategia a seguir Cada recta viene dada com o intersección de dos planos. H abrá que estudiar cuándo y dónde se cortan los cuatro planos. Resolución 2

0

0

1 0

-1 1

2

1 a 2

1 0

2

1 _ 0 5 -1 a

1

1

a

1 0

0

2

3

0

2

1 0

(2-1

2

1

a

_ -1

2

3

1

0

a -1

= 3 a -2

3 a - 2 = 0 —> a = — 3 Si a - — , las dos rectas se cortan en un punto. Hallémoslo.

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r 2 0 -1

0

1 2 /3 '

1 0

1

2

5 ,

2

r 6 0 -1

0

3

2'

1 0

1 ->

2

5,

2

r 0

12

15

32"

0

1

0

1

-1

2

2

5,

2a ecuación : y = 1 4 Ia ecuación : 12-1 + 15z = 32 —> ^ = — 3 3a ecuación

Se cortan en

A

3

1,

^

3)

- x + 2-1 + 2 — = 5 3 Para hallar el plano 7t que contiene a r y s, empecemos por hallar los vectores d i y d2: dy = (2, 0, 1) x (0, 1,0) = (- 1 ,0 , 2) d2 = (-1 , 2, 2) x (1 ,1 , 0) = (-2, 2, -3 ) d } x d 2 = (-1, 0, 2) x (-2, 2, -3 ) = = (-4, -7 , -2 ) 1 n

Ecuación de n: -4 U + y ) - 7 ( y - l)

Ejercicio 2 Encuadrando el problema Para hallar el simétrico, P \ de P respecto de n hemos de trazar la recta r que pasa por P y es perpendicular a ji. La intersección, M, de r y 7t nos permite ha­ llar P' como simétrico de P respecto de M.

Resolución x = 1+ X Ecuaciones de r: \ y = -X z — 1 + A.

www.FreeLibros.org 22

Intersección de r y 71: (1 + X) - (-1 ) + (1 + X) = 1

3X. = -1 -> X = -----3

M Simétrico de P respecto de M: a + 1

P( 1,0, 1)

MI

3

2

1

2 ~y ^ a_y 3/

2

3

3

y+

2

1

V3

31

3

y ->Y=y

P'{a, p, y)

Ejercicio 3 Resolución 2

I se obtienen para x = 0 y x = — . La a región limitada para a es simétrica de la obtenida para -a . Así, podemos su­ poner que a > 0, en principio. Se ha de verificar Las intersecciones de y = x con y = ax

2 -2 = Ir(x —ax 2 ) ax = x — 3 Jo

ax

3

\/a

o

1 “ 6« 2

1 Así, a = — . Otra solución, por la simetría indicada, es a 2

1 ------. 2

Ejercicio 4 Resolución x2- 9 a)

si r e (-°°, -3 ] u [3,

Como f(x) = 9 - x“ si x e (-3, 3) la función / es derivable para x e (-3, 3) u (-oo, 3) u (3, +°°)

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y se tiene:

/'( x ) = -2 x

si x e (-3, 3)

f '(x) - 2 x

si x e (-oo, -3 ) u (3, +°°)

En el punto 3. / ' ( 3+) = 6, / ' ( 3_) = - 6 . En el punto -3 , /'( - 3 + ) = +6, / ' ( - 3_) = - 6 . No hay derivabilidad ni en -3 ni en 3. b)

La función es ahora: x2 - 2 x

si x > 1

/(* ) =

x3 - 3x2 + 3x si x < 1 Es derivable, claramente, para x e (-oo, +1) u (1, °°). Como / ( 1+) = -1 , / ( 1_) = 1, la función ni siquiera es continua en 1. No es derivable en 1.

Ejercicio 5 Resolución a)

Deshaciéndonos de las barras, x m

=

-x x+ 1

Así,

lím /(x ) = 1, x —> +

si x > 0

X + 1

lím

si x < 0

/(x ) = - 1

x —» -o»

y las rectas y = 1, y = -1 son dos asíntotas horizontales. b)

Si se quiere que haya continuidad en 2, habrá de ser: /(2 )=

lím f (x) = lím ^2 x —^ 2

(x + 2) (x —2) —r =4 X —2

Ejercicio 6 Resolución Si /( x ) = x2 + p x + £/, entonces / '(x) = 2x + p y habrá de suceder / ' ( l ) = 0, es decir, p = -2 . Así, /(x ) = x2 - 2x + q y nos dicen que / ( l ) = 3, es decir, q = 4. La función es x2 - 2x + 4.

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS Contesta de manera clara y razonada dos de las cuatro opciones p ro ­ puestas. Cada opción elegida puntúa sobre 20 puntos (10 puntos cada problem a). La puntuación fin a l se obtiene al dividir la suma total de puntos entre 4.

Opción A a)

Calcula los valores de los parámetros a, b, c, para los cuales rang(B) = 1, donde f 1 af B=

b)

2

b

-1

1

-3

c,

Calcula la ecuación de las rectas que pasan por el origen de coordenadas y son paralelas al plano x + y + z + 1 = 0 .

Opción B a)

Dada la función f( x ) = x 2 + ax + b. si jt < 0, y f(x ) = e~x + 1 , si x > 0 . determina los valores de a y b para los cuales la función f(x) sea con­ tinua (5 puntos) y derivable (5 puntos) en x - 0.

b)

Dados los siguientes planos x +y = 1 Áx + z = 0

www.FreeLibros.org x + (1 + A,)y + f z —L + 1

25

determina los valores de X para los cuales: (b. 1) Los planos se corten en un único punto (4 puntos). (b. 2) Se corten en una recta o en un plano (3 puntos). (b. 3) No se corten (3 puntos).

Opción C a)

Calcula: i 1 x2 e —l —x — — i) lím = (5 puntos); jc->0 x

b)

m

f v + In x —— ’— dx (5 puntos) J

Sea A e x 3 (IR) tal que a¡j = 0 si i * j (es decir, A es una matriz diagonal). Prueba: (b. 1) Que el producto de dos m atrices diagonales es diagonal (5 pun­ tos). (b.2) En general, ¿toda m atriz diagonal tiene inversa? Razona la re s­ puesta (5 puntos).

Opción D a)

(a. 1) Enuncia el teorema de Bolzano (5 puntos). (a.2) Supongamos que nos dan la función f(x ) = — (x - 4) si 0 < x < —

,

1

2

4

y f( x ) = e x si — < x < 1.

E sta fu n ció n está d e fin id a en el in te rv a lo [0, 1], /(O ) = -1 < 0 y / ( I ) = e~x > 0, pero no existe ningún c e (0, 1) tal que f( c ) = 0. ¿Contradice el teorema de Bolzano? Razona la respuesta (5 puntos). b)

Se tienen dos urnas, A y B. En A hay 8 bolas blancas y 5 negras, mien­ tras que en B hay 4 bolas blancas y 4 bolas negras. Si se extrae una bola y resulta ser negra, calcula la probabilidad de que provenga de la urna A. Baleares. Junio 1995

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SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A A, a) Encuadrando el problema Para que sea rang(B) =1, las dos columnas de la matriz han de ser proporcio­ nales. Resolución Como «31= -1 . a 32= l , «32 = —«31, entonces: « 12 = - « ii

=>a = - 1

«22 = “ «21

b = -2

«42 = -«4|

=>C = - (-3) = 3

A ,b ) Encuadrando el problema Una recta paralela a un plano tiene un vector dirección. d{a , (3, y), perpendicu­ lar al vector normal al plano (en este caso, el (1, 1, 1)). Por tanto, su producto es­ calar es cero: (a , (3, y) • ( 1, 1, 1) = 0. Resolución (a, (3, y) • (1. 1. 1) = 0 —> a + P + y = 0 a = l —> y = - ( 3 - 1

-»

(l,p .-p -1 )

a = 0 -4 y = - P

->

(0, P, -P) // (0, 1 ,-1 )

Estos vectores dirección dan lugar a las rectas siguientes:

y, además, x=0 y =X z = -A,

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Opción B B, a) Resolución

y se nos dice que / debe ser continua en 0, es claro que /(O ) = b =

lím /( x ) = 2 x -> 0+

Así, b = 2. Por otra parte, f'(x ) = -é~x si x > 0 y f'(x ) = 2x + a si x < 0. Así, / '( 0 +) = -1 y / (O ) - a - Para la derivabilidad en 0, es necesario que a = - 1. La función es:

B ,b ) Encuadrando el problema Para estudiar la posición relativa de los tres planos, empezaremos por hallar el valor del determinante de la matriz de los coeficientes y averiguar para qué valo­ res de X se anula. Resolución

Si A ^ O y A ^ - l . se cortan en un punto. • Si A = 0 : fi

i

o

0

0

1 0

1 1 0

r se cortan en una recta. 1

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Si A = - 1 : 1 1 0 - 1 0

1' 1 0

se cortan en una recta.

1 0 - 1 0 Por tanto: b. 1) Se cortan en un punto cuando X toma valores que no sean ni 0 ni -1 . b. 2) Se cortan en una recta cuando X = 0 o cuando A = - l . b. 3) No hay ningún valor de X para el cual los planos no se corten.

O p ció n C C, a ) Resolución i) Utilizando la regla de l'Hópital, resulta: 2

ex - l - x 2

lím

= lím - x— >0

1 X = lím Xx x— >0

J

II) La integral / = | | 1 + — — dx teniendo en cuenta que inmediata,

I=x+

2

dx

- = 0

(Inx) —— , es x

iln x)~

C , b) b. 1) Si A y B son diagonales y A ■B = C, (u \ 0

Cu = ( a n . a¡2, a¡3) b2j - an ■b\ ¡ + a¡2 ■b2j + ai3 ■ V¿ 3j j

aík • bkj ^ 0 si aik ^ 0 y bk¡^ 0 , y para ello es necesario que i = k - j. Por tanto, sólo pueden ser distintos de cero los Cy cuando i = j, es decir, los elementos de la diagonal principal. La matriz C es, pues, diagonal.

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b. 2) Para que una matriz diagonal tenga inversa es necesario que todos los ele­ mentos de la diagonal principal sean no nulos, pues sólo en tal caso su de­ terminante es distinto de cero.

Opción D D, a) a. 1) Puedes consultar un libro de texto. a. 2) La función 1

( x - 4 ) si 0 < . r < y

/( * ) =

si no es continua para x =

1

9

+°o je —1

+«>,

hm x —» +oo

f(x ) x

= 1

y así tendremos que calcular lím ( f ( x ) - x ) = - 1 X ~>+oo lo que nos dice que y = jr - 1 es una asíntota. Como f'(x ) = 1 -------, resulta que en x = O y en x = 2 se hace /'(•*) = 0. ( x - l )2 2 Puesto que f"(x) = --------------/"(O ) = -2 , /" (2 ) = 2, hay un máximo en x = O, ( x - 1)3 y = - 2 y un mínimo en x = 2, y = 2. Con esto es clara la gráfica y el crecimiento. La gráfica es como sigue:

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La función no está definida para x = 1, crece en (—, 0) u (2, +°°) y es decre­ ciente en (0. 2) - { 1}. DI Resolución Dividiendo, resulta: x 2+ x + 2 x' +4

6

x 2 = 1 + —2------- + —2----x“+ 4 X +4

La integral de cada sumando se obtiene fácilmente: f x2 + x + 6 , ln (x 2 + 4) í x \ , ~ dx = x + --------------- + arete] — \+ k J x2 + 4 2 \2) D2 Resolución La elipse dada es simétrica respecto de los ejes OX, O Y y tiene por ecuación, para x e [ - 1, 1], y = 2 Vi - x 2, si tomamos la parte que está por encima del eje OX. Por tanto, las integrales que hemos de calcular, son: Área = 4

I 2 s ] l - x 2 dx Jo -1

Volumen sólido = 2n

J ( 2 V1- X 2 j

2 dx

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La segunda integral es inmediata y resulta: 16 K Vol. sólido pedido (elipsoide) = ■ La primera se obtiene fácilmente con el cambio x = sen t. .1 Área = 8 I v/l - x 2 dx = 8

Jo

I

j.tc/2 i.ic/2 + cos2t dt = cos2t dt = 8 I —

Jo

Jo -m /2

t

sen 21 1---------2 4 o

= 27C

El Resolución

1 P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

1

~ r = P(A ) +

p (A ) = '

_ 1 1 1 P( A n B) = P(B) - P(A n B) = — - — = — P(A/B) :

P(A n fi)

1/4

P(B)

1/3

E2 Encuadrando el problema Aunque no lo dice el enunciado, supondremos que la probabilidad que hay de 1 que cada bola sea blanca o negra es de — . La probabilidad que hemos de obtener es: f f la composición de la bolsa es 3B y 3N/finalmente se obtuvo B] y esta probabilidad se obtiene así: P [3 B /B 1 =-

P[3B y B]

P[3B] • P[B/3B]

P[B]

P[ B]

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La probabilidad total de que, finalmente, la bola extraída sea blanca es, obvia, • , 1 mente, la misma de que sea negra y, por tanto, P\ B | = — .

Resolución

PfB / 3B] = F[extraer B cuando en la bolsa hay 3B y 3N] = y

P[3B y B] = P[3B] • P[B/3B] = 20 • | y j

■y = 10 • | y )6

\6

10

P[3B / B] :

'

1

'

5 Jó

y

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS El alumno debe elegir dos ejercicios de la parte de Álgebra y Geometría y dos de la parte de Análisis. La nota máxima de cada ejercicio es 2,5 puntos. Si un ejercicio tiene dos apartados, a cada uno le corresponde la mitad de la puntuación.

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA Ejercicio A l a)

Obtener X para que sean linealmente dependientes los vectores « , = ( 3 ,2 ,5 ) ,

b)

«2 = (2 ,4 ,7 ),

«3 = ( 1 .-3 , X)

Para X = -3 , expresar el vector v = ( 2 ,- 5 ,- 5 ) como combinación lineal de «,, «2 y «3-

Ejercicio A2 Una m atriz cuadrada se llam a ortogonal cuando su inversa es igual a su tras­ puesta. Calcular x e y para que sea ortogonal la matriz ( 3 /5 A = l

X

0 '

y

-3 /5

0

o

0

K

Ejercicio A3 a)

Justificar razonadamente si la siguiente afirmación es cierta o falsa: Si A ’ es la matriz ampliada de un sistema lineal no homogéneo de 3 ecua­ ciones con 4 incógnitas y rango A '= 3, el sistema siempre tiene solución.

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b)

O btener, si es posible, a, b y c tales que los puntos (1, 1), (-1 , 2), (2, - 1) y ( - 2, 0) pertenezcan a la curva y = ax2 + bx + c.

Ejercicio A4 a)

Calcular a y (3 para que los planos de ecuaciones 2x- y + .y -

y +

z - 3=0 z -

2 = 0

3 x - y - a z - (3 = 0 se corten en una recta r. b)

Hallar razonadamente la distancia entre el punto P(2, 1,3) y la recta r.

ANÁLISIS Ejercicio B1 Sea / una función definida por / ( x) =

—

1 < .y

< 3.

x a)

b)

O btener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de / en el punto (c ,f ( c )) anteriormente calculado.

Ejercicio B2 Sea / una función definida por \ x 2 + bx + c,

* 4 b - - \

4a - 2b + c = 0 Evidentemente, son incompatibles. Por tanto, no es posible encontrar a, b} c para que los cuatro puntos pasen por la curva.

E jercicio A 4 Encuadrando el problema a)

Hemos de hallar a y (i para que tanto la m atriz de los coeficientes como la matriz ampliada sean de rango 2 .

b)

Hallarem os el plano n perpendicular a r que pase por P. La intersección de r y 7i es M. La distancia de P a M es la pedida.

Resolución a)

2

-

1

1

-

1

3

-

-a

2

-

-3

1

-

-2

3

-

-P

a +l

a = - l para que r(A ) = 2

P~4

p = 4 para que r ( A ') = 2

Por tan o, si a = - 1 y P = 4 , los tres planos se cortan en una recta r. Hallemos sus ecuaciones paramétricas. b)

2 x - _ v + z - 3 = oj Restando: x - 1 = 0 —» x = .* - y + z - 2 = o| l - y + z - 2 = 0 , z = l + y

\ x —i r :j y = A. z — 1 + A.

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Ecuación de n (pasa por (2, 1, 3) y es perpendicular a (0, 1, 1): 0 (x - 2) + 1 ( y - 1 )+ 1 ( z - 3 ) = 0 -> y + z = 4 Intersección de n y r A. + (1 + A.) = 4 —> X =

d ist(P ,r) = d ist(P ,A f) = J ( 2 - i y +[

■(■44)

—> M (

1-yJ

+[ 3 - 2 ^

Ejercicio Bl Resolución a)

Calculamos: ~ 1 “3 fv + I * - 1 x— 1, X_ Hemos de conseguir c e [1 ,3 ] tal que f ( c ) = c = V 3.

b)

Puesto que f'(x ) - — pedida es:

resulta f \ c ) =

4

c* + 1 4 — = — , de donde 3

—— y, por tanto, la recta

4 2 VT _ y - — = — -— (x-v3)

Ejercicio B2 Resolución a)

Como f( x ) =

x~ + bx + c In (1 + x)

si x < 0 si x > 0

x

resulta /(O ) = c y así, si ha de ser continua en 0, habrá de suceder: c=

ln (l+ x ) 1/(1 + x) = 1 lim -------------- = lim a:-4 0+ X | a:h>0+ 1 l'H ó p ita l

Si ha de ser derivable en x = 0, es claro que c = 1 y que /'(0_) = / '( 0+).

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Se tiene, si /(x ) = x 2 + bx + c, f'(x ) - 2 x + b. Y así, / ' ( 0_) = b. In (1 + h) — 1

Como / (0+) =

„ lim

- m h

h —►0 h>0

1

(l'Hópital) = -

m

h - lim -----------------h ^> 0 h h>0

1

resulta b = -

Nuestra función es:

b)

1

,

x f(x ) =

2

J t+ 1

si .x: < 0

l n( 1 + jc)

si x > 0

x Se tiene /(O ) = 1, f ( e - 1 ) :

1

e- 1

Como la función es continua y derivable en [0, e - 1], podemos aplicar el teorema del valor medio. Para algún punto d e (0, e - 1), 1 1

-

e-l

/(« -D -/(O )

j (d) =

2-e

-------- =------e -l

e -l

(e -l)

r

E jercicio B 3 a)

Como f( x ) = cos2x + eos x tiene por derivada f'( x ) resulta que f'( x ) = 0 para x en [0, 2n] en x, = 0 ,

x2 =

7t,

x3 = 2k,

x4

=

27t

= -sen x (2 eos x + 1) 4 ji x5 = — 3 -

i

Miramos el signo de / " (x) = -4 c o s x - eos x + 2 f " ( x j ) < 0 , / " ( x 2) < 0 , / " ( * 3) < 0, / " W > 0, / " f e ) > 0 Así, es claro que la función: / 2n \ decrece en 10, — j

(2 n crece en I— , 7t

decrece en Ítc,

crece en

271

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b)

De lo anterior resulta tam bién que 0, n, 2n dan m áxim os relativos y 2ji 4tt , ----- dan mínimos relativos. 3 3 i 2n \ 1 / 471 \ 1 / ( 0) = 2, f ( n ) = 0, / ( 2ti) = 2, / ( — ) * * - — , / ( — ) = - La gráfica es como sigue:

E jercicio B4 Resolución a)

La derivada del num erador es 1 + sen x y es claro que no tiene límite para x —» +°°. El límite del cociente propuesto es claro que existe y es: lím X —> +oo

b)

x - eos X

= lím

X

/ eos X \ 1 -------------- ;

X —> +°° \

X

1

/

Por la regla de l'Hópital se tiene e - e + ove lím ---------------------= lím >0 x - sen x x -»0

e +e

+a

1 —eos x

Para que podamos seguir aplicando la regla, hace falta (ya que 1 - eos 0 = 0) que e° + e° + a = 0, es decir, a = -2. Entonces se tiene: e +, e - X —2o lím ----------------- = lím x— ^ 0 1 —eos x x 0

e..A —e- X sen x

=

lím x -> 0

eX +. e- X eos x

=2

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS — Elíjase la OPCIÓN A o la B y, dentro de ella, contéstese sólo a TRES cuestiones. — Cada cuestión se valorará de 0 a 10 puntos (5 puntos por cada apar­ tado). — La NOTA FINAL de la prueba será la media de las tres notas parcia­ les y se afinará hasta la I a cifra decimal.

OPCIÓN A Cuestión 1 _ _ _ _ A .1.1

Sea f( x ) continua en [-1, 5], tal que / ( - 1 ) < 0 y /(5 ) = 7. Responder razonadamente si la función g(x) = f(x) - 5 tiene al menos un cero en (-1, 5).

A .1.2

E studiar si es aplicable el Teorem a del Valor M edio o Lagrange a la función:

m

x Lx

si x > 0

0

si x = 0

=

en el intervalo [0, 1] y, en caso afirmativo, hallar el valor de c e que se refiere el teorema (Lx - logaritmo neperiano de x).

(0 ,

1) al

Cuestión 2 A.2.1

Calcular la integral

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A.2.2

Discutir, según los valores del parám etro a, y resolver, en los casos que proceda, el sistema: (a + 1) x + y + z = 0 x + (a + l ) y + z = 0 x + y + (a + 1)2 = 0

Cuestión 3 A.3.1

Razonar si la función f(x ) = ex + L { 1 - x ) tiene un extremo en x{) = 0, utilizando el desarrollo de Taylor de orden 3 en el origen.

A.3.2

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r : y es paralelo a la de ecuación s :

A.4.1

-2

_ y _ z +2 ~

T

~

-4

2x—v + z = 0

'

Resolver la ecuación matricial AX + fí = C siendo: "0 4 = 1 ,2

A.4.2

1- x

x +y - 1= 0

1

31 1 0 ,

0

' 2 B = -1 , 3

0,

n 0 , 4)

a c=

- r 0

1

,1

~2y

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( \ , 1, 1) y es pa­ ralela a los planos de ecuaciones: x = 2 + X - |i 7t: 3x + 2y —z - 1 = 0

y

jt’: - j y = l - X + p z = 2 + A. + 2p

OPCION B Cuestión 1 B .l.l

Se sabe que f ( x ) es continua en [a, b] y que f( a ) = 3 y f( b ) = 5. ¿Es posible asegurar que para algún punto c del intervalo [a, b] cum­ ple que f(c ) = 7? Razonar la respuesta e ilustrarla con ejemplos.

B.1.2

Calcular la intersral

J

- 27 a

dx.

www.FreeLibros.org 47

Cuestión 2 B.2.1

Utilizando las derivadas, investigar si f( x ) = O + l )5 posee en x = -1 un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. ¿Qué se puede decir si el exponente fuese 101 en lugar de 5? Razonar la respuesta.

B.2.2

Discutir y resolver, si es posible, el siguiente sistema: f x — y + 3z + 14í = 0 j 2jc - 2y + 3z + t= 0 3x - 3y + 5z + 6 t = 0

Cuestión 3 B.3.1

Hallar el volumen del cuerpo de revolución generado por la elipse de ?

B.3.2

Estudiar, explicando el método seguido, si los puntos (1, 1. 1), (2. 3, 4) y (-5 , 0, -2 ) están alineados. En caso afirmativo, hallar las ecuaciones paramétricas y continua de la recta que definen y, en caso negativo, la ecuación del plano correspondiente.

Cuestión 4 B.4.1

Hallar X 2 + Y 2, siendo X e Y las soluciones del sistema matricial siguíente:

B.4.2

Escribir en forma paramétrica las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (5, 5, 5) y es paralela a los planos 7t: x + y = 0, 7t': y + 3z - -2 . Canarias. Junio 1995

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA O P C IÓ N A C u estió n 1 A .1.1 Resolución Si / es continua en [-1, 5], entonces g(x) - f ( x ) -5 también lo es.

www.FreeLibros.org 48

I Si / ( - l ) < O, entonces g ( - l ) < 0 y si /( 5 ) = 7, entonces g(5) = /(5 ) - 5 = 2. Así, g ( - l) < 0, g(5) = 2 y, por tanto, por el teorema de Bolzano, existe c e (-1, 5) tal que g(c) = 0. A.1.2 Resolución Como /(O) = 0, / ( l ) = 0 y / es continua en [0, 1] y derivable en (0, 1) con f \ x ) = Lx + 1, el teorema es aplicable. Existe c e (0, 1) tal que /(D -/(0 ) 1 -0

= 0 =f'(c) = Lc+ 1

Claramente c = e 1 = 0,368.

Cuestión 2 A.2.1 Resolución Como x 2 + 2x + 5 - (x + l ) 2 + 4, podemos poner 2x + 3

2 (x + 1)

1

x 2 + 2x + 5

(x + 1)2 + 4

( x + l )2 + 4

y así resulta fácilmente la integral pedida, que vale: ? 1 / x• + 1 L ( x + 2x + 5) + — are tg I+k A.2.2 Resolución a +1

1

1

1

a +1

1

1

1

a +1

= (a + 1) —3 (a + l) + 2 =

= [(a +1) —1] [(a + 1) + 2] = a" {a + 3) a = 0. Sistema compatible indeterminado (una sola ecuación). x = A. Solución -j y = p z = - X - |i

www.FreeLibros.org 49

a = —3 '- 2

1

1

0'

'0

0

0

0"

1

-2

1

0

0

-3

3

0

1

1

-2

0,

,1

1

-2

0,

V

y -z x-z

x =X Solución

y =X z=X

• d j t O y a í - 3 . Sólo existe la solución triv ial: x = 0, y = 0, z = 0.

C u estió n 3 A.3.1 Resolución Como

e = 1+_n~+^ r +^!~+ 2

3

resulta: ex + L (1 - x) = 1 — — + ... 6

Es decir, el desarrollo de Taylor pedido (orden 3) es

X ~6

Junto al 0, /(x ) se comporta como y = 1 — —, que tiene una inflexión y no un 6

extremo en xq = 0. A.3.2 Resolución (0, 1, 1) e /■ y, por tanto, (0, 1, 1) e 7t (plano buscado). (1, 1, 0) x (2, -1 , 1) = (1, —1, -3 ) // r (1, -1 , -3 ) x (-2, 3, -4 ) = (13, 10, l ) l n (-2, 3, -4 ) II s

www.FreeLibros.org 50

Ecuación de n: 13 ( x - 0) + 10 (y - 1) + 1 ( z - 1) = 0 13x+ 10y + z - l l = 0

C u estió n 4 A.4.1 Resolución AX+B = C

AX = C - B

X = A~l { C - B )

Cálculo de A~': IA I= - 6 0

0

-2'

0

-6

-2

V-3

-3

~b

'

(a ¡j) =

6

O ai,

X =— 0 6 2

0

3

6 - 3 -2

\

0

0

-6

("3

3

0

0

3^

0

6 - 3

(Ay ) -

,1

0

' 0

"-1 1

1 / v- 2

2

-2

—2 ' 1 - 6,

=

-2' 2 —> ~b

1

'-1

—3'

2

4

-1

- 2,

A.4.2 Resolución (3 ,2 ,-1 )1 7 1

(1,-1, 1) x (-1, 1,2) //(1 , 1 ,0 )1 7 1 ’

(-3, -3, 0) //

(3, 2, -1) x (1, 1,0) =

, - 1, 1) // r

f x = 1+ X Ecuaciones de r: i y = 1 - X Z= 1+ A

www.FreeLibros.org 51

OPCIÓN B Cuestión 1 B .l.l Resolución No se puede aplicar el teorema del valor intermedio o de Bolzano, pues 7 no es valor intermedio entre 3 y 5. La siguiente función

sirve como ejemplo. Ningún valor c entre a y b es tal que f ( c ) = 7. B.1.2 Resolución Como:

27* - (33)* = 33* = (3*)3 9a = (32fl = 3Zt = (3A)2

hacemos 3x - t , x In 3 = In t, y resulta , f t + t3 1 dt Integral = ~-------------- = J 1 +t ln3 tIn3

1

J

f. 3* I dt = In3

, 1- k

Cuestión 2 B.2.1

Resolución

Lo más fácil para ver el comportamiento cerca de -1 es poner x = -1 + h y así resulta f ( x ) - (x + l )5 = Ir . Es claro que y =f ( x) tiene tangente horizontal en x = -1 , / ( - l ) = 0, y como: • para h > 0 , Ih I pequeño, resulta / ( - 1 + h) > 0 • para h < 0, resulta / ( - 1 + h) < 0, es claro que hay una inflexión en - 1.

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Utilizando las derivadas, se tiene: f ' ( x ) = 5 (x + l)4, f" (x ) = 20 (x + l) 3, f " \ x ) = 5 • 4 ■3 (x + l) 2, / lv(x) = 5 • 4 • 3 • 2 (x + 1), f \ x ) = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 1) = 0, f \ - 1) = 0, f \ - 1) * 0.

Claramente, / '( - 1 ) = 0, /" ( - 1 ) = 0,

Como la primera derivada que se hace no nula es / v( - l ) de orden impar, hay una inflexión en - 1. Para el exponente 101 sucede lo mismo. B.2.2 Resolución a ;2

-1

3

14

-2

3

1

Í3

-3

5

6

(l

-1

3

14

0^

0 —> 0

0

-3

-2 7

0

,0

0

-4

-3 6

0^

0>

0,

ri

-1

3

14

0N

0

0

1

9

0

,0

0

0

0

o,

2a ecuación : z = —9t Ia ecuación : x - y + 3 (—9?) + 14f = 0 —> x = y + 13í x = A, + 13p y = )i Solución: < z = -9(1 í=p

Cuestión 3 B.3.1 Resolución La integral que hay que calcular es :

a Aquí, y = — y 4 - x 2 ,

x e [-2, 2] y la integral e s :

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B.3.2 Resolución PQ = (1 ,2 , 3) PR = ( - 6, - 1 , - 3 )

J

no están alineados.

PQ x P/? = ( - 3 ,- 1 5 , 11) es perpendicular al plano, n, que forman. Ecuación de k : 3 (x - 1) + 15 (y —1) -11 (z - 1) = 0 3x + 15y —1 lz —7 = 0

C u estión 4 B.4.1 Encuadrando el problema Hemos de resolver el sistema de ecuaciones matriciales 2X+Y - M X - Y =N Sumando las dos igualdades: 3X = M + N Restando a la primera el doble de la segunda: 3 Y - M - 2N. Con esto se obtienen fácilmente las matrices X e Y. Resolución 2 /3

www.FreeLibros.org 54

B.4.2 Resolución (1, 1 , 0 ) ± 7 1

(1, 1, 0) x (0, 1,3) = ( 3 ,- : , 1) es paralelo a it y a 7t'. —39 = 13(¿> —3)

Si a = 1, r(A ) = 2

Si a = 1 y b = 3, r(fí) = 2

Si + 3, es incompatible. Si o = l y ¿>= 3, es compatible indeterminado.

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b)

1 —» 7ij

corta a r.

a = 1 y ¿ ^ 3 —> 7t¡ es paralelo a r. a = Iy b = 3 —> r está contenida en 7Tj. I.

B . 2.

Resolución a)

íl

1

m

m

m

m

1

1

m

m

1

1

,1

m

1

m,

1

m

1

m j

' m + 1 m +1

1

0 A

-> m —1 m —1

1

0

m —1

1

' 0

0

, o

P

1 0

0

0^

0

1 0

1 1

1

Oy V

' 0

—>

m- K

a

c

a

b

d

c

c

a b

d

b d

m +1 m +V

771 — 1

, 0

m

1

1

0

0

1 -7 7 7

1

777

-

1

0 "

c +d

a + c' ? b +d

ya + c

c +a

a + by

0

0

1

1 0

a +c = 0

1 0

1

0

,0

1 0

1

"0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

,0

1

0

1

V

0

0

—>

0, -1

í° 0

íl 0 ^0

1 -1

0

r

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1 0,

p

0,

+ 1-+ r(M ) = 3

1 0 v0

—>

0

0

0

0

0

1

1 0

,0

1 0

1 0

0

0

1 0 0

1

\

"0

1 0

i

m = 1—» r(M ) = 1

—l y

a +b

1

—>

,1

c +d

(1

-1

1 r 1

'a +b

c+d =0 b +d = 0

1 m

0 777

a +b = 1

0

'l —> m

0

1 0,

Sistema incompatible. No es posible encontrar una matriz X que cumpla esas condiciones.

II. A . 1. Encuadrando el problema Es claro que una parábola sólo tiene un extremo. Probaremos con un polinomio de tercer grado.

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Estrategia a seguir Ponemos P (x) = ax3 + bx2 + ex + d e imponemos las condiciones propuestas para él. Resolución Que y - P ( x ) pase por (0, 0) implica P(0) = d = 0. Si x = - \ y x = 1 son pun­ tos críticos, se ha de tener, siendo P \x ) = 3ax + 2bx + c, P '( - l) = 3 a - 2 b + c = 0 P \ 1) = 3a + 2b + c = 0 De aquí resulta b = 0 (restando) y e - -3 a . Con esto, P(x) = a ( x 3 - 3x). Como P"(x) = 6ax, P " (-1) = - 6a, P "(1) = 6a. Si queremos que x = 1 dé un mínimo y x = -1 un máximo, ha de ser a > 0 . (La elección a = 0 proporciona también una solución trivial al problema.)

II. A. 2. Estrategia a seguir Dibujar la gráfica es sencillo. Ésta nos da la idea sobre la integral que hemos de calcular. Resolución a)

La gráfica de / es como sigue:

b)

El área pedida es: t2 Si 0 < í < 2, 5(r) = — 2 4 f' 2 Si r > 2, s(t) = — + \ ( 2 x - 2 ) d x = t - 2 t + 2

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II. B. 1. Resolución Si f(x) = x 100 (1 - x ) , entonces f'( x ) = x " (100 - 10 lx) /" ( * ) = x98 (99- 1 0 0 - 100- lOlx) , j j , • 100 Los dos puntos de tangente horizontal son x, = 0 , x 2 = . Es claro que ,

100\

/ 100 \ 98 /

7 ( l o r ) = (“F o t)

lo o \

r

-100-100.101.—

)0° (1 - h) > 0 si -1 < h < 1 y, por tanto, 0 da un mínimo, por ser 100 par. Análogamente, si g(x) = x m (1 - x ) , entonces g'(x) = x 100 (101 - 102x) g"(x) = x 99 (100 • 101 - 101 ■102x) Los dos puntos de tangente horizontal son ahora x-, = 0, x4 = — 1 . Es claro que 102

101 \

102 / '

/ 101 \ 99/ '

V,

101 ,

102 y v 4

'

4

1 0 0 - 101-101

■

102

102. < 0

y así, x4 da un máximo relativo de g. Para estudiar x3 = 0, observamos que g(h) = h m (1 - h) es positivo si 0 < h < 1 y negativo si -1 < h < 0. Por tanto, 0 da un punto de inflexión, por ser 101 impar.

II. B. 2. Resolución

x2 Si y = f ( x ) = -------- , es claro que: x -a a)

El dominio es IR - {a} y que una asíntota es x = a. Para hallar posibles asíntotas oblicuas, observamos que /(x ) —>±“ X

y que

— > ±oo

lim ------ = lim = 1 x -> ±°° x x —>±= ±°o

lím (----------- x) = a \ x — a. )

x —> ±°°

Efectivamente, hay una asíntota y = x + a. 2

Como f '( x ) = 1 —, resulta f '( x ) = 0 para x, = 0 y x 2 = 2a. (x - ay -

b)

2a resulta que /"(O) < 0 y f"(2 a ) > 0 y, así, 0 da

Como f"(x) = (x -a )

un máximo relativo y 2a un mínimo relativo. Es claro que la función / crece en (- 0 en (a, +°°), resulta que en a) la curva presenta su concavidad hacia abajo (como y ——x2) (a, +o°) hacia arriba (como y = x ).

d)

La curva es una hipérbola cuya representación, cuando a = 2, es la si­ guiente:

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PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS El alumno deberá contestar sólo una de las dos preguntas de cada uno de los 4 bloques: Algebra lineal, Geometría, Cálculo diferencial y Cál­ culo integral. En caso de contestar, en un mismo bloque, apartados de las dos preguntas, sólo se valorará lo realizado en la primera pregunta. Cada pregunta está valorada en 2,5 puntos. La utilización de la calcula­ dora queda limitada a aquellas de sólo una línea de uso. La duración de la prueba es de 2 horas.

Álgebra lineal 1

Discutir y, en su caso, resolver el siguiente sistema de ecuaciones: f ax + y + z = 1 l x + ay + z - a x + y + az = a~

2

Sean A, B y C matrices cuadradas del mismo orden con coeficientes en IR. Es un hecho conocido que de la igualdad AB = A C no puede, en ge­ neral, deducirse que B = C. a) Probar la afirmación buscando dos matrices 2 x 2 distintas B , C tales que AB = AC, siendo A = b) D em ostrar que, sin em bargo, si det(A ) ± 0 y AB = AC, entonces B -C .

Geometría 3

Deducir razonadamente una fórmula que permita calcular la distancia en­ tre un punto y un plano en el espacio. Poner un ejemplo.

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4

Definir producto mixto de vectores del espacio. Dar una interpretación geométrica del mismo. Razonar cómo puede ésta utilizarse en el cálculo del volumen de un tetraedro y en el de un paralelepípedo. Poner un ejem­ plo a cada respuesta.

Cálculo diferencial

^

*

Demostrar que la ecuación x 18 - 5x + 3 = 0 no puede tener más de dos raíces reales.

6

Averiguar todos los valores reales m, n para los que la función

es derivable en IR.

Cálculo integral 7

Calcular el área que limita la hipérbola xy = 1 y la cuerda de ésta, cuyos extremos tienen como abscisa los valores 1 y 4.

8

Resolver la siguiente integral indefinida:

Castellón de la Plana. Junio 1995

SOLUCION DE LA PRUEBA Álgebra lineal 1

Resolución a A=

1

1 a 1

1 1 = o 3 - 3a + 2 = (a —1)' (a + 2)

1 a

• Si a * 1 y a * -2 , el sistema es compatible y determinado, cuyas so­ luciones pasamos a obtener.

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1 A,. =

1

/ i\2 / ,. Av ¿7 + 1 a a 1 = —{a —1 ) (¿ 7 + 1); x = —— = ---------A ¿7 +2 2 i a 1 a a

Ay =

1

1 1

a 1 = a 2 - 2 a + 1 = (a - l)2; y = 1 1l a 2 a

a

Ay a +2

1

1 a

4 T 2 ,, , , ,2 , ,x2 A, (¿7 + l)‘ a - 2 a +1 = (¿7-1) (¿7 + 1) ; z = =-- ------ — A 1 / ' ( l - ) ^ . 1- 5 ^ 3 3= f \ l + ) = -2 + n J

_ 2

+ )¡

Así resulta n = -1 , m = 2.

Cálculo integral 7

Resolución U na gráfica aproxim ada ayuda a determ inar la integral que hay que calcular.

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La recta que une (1 ,1 ) con |4 , — I es:

y - \ _ 4__________________1 x - 1 _ 4 - 1 ~~ 4 ’ ^ _ 4 ''

5 7

Área = J4Í - - ! - x + — - — ) 0+, entonces f(x )

sólo está definida para x > 0,

0 - y cuando x —> 1

f(x ) —»

x —> 1+, /(x ) —> +°° X

3

Esto nos dice que x = 1 es una asíntota de y = — y nos da la posición In x de la curva respecto de ella. Cuando x —» +°°, entonces fíx) —>+“ y se tiene tanto, hay una rama parabólica.

f(x ) x

> +°°. Por lo

www.FreeLibros.org La única asíntota es x = 1.

72

3x2 x2 x 2 (3 I n x - 1) Extremos. / (jt) = -------------------- = -------------------ln x (ln x)2 (ln x)2 / ' ( 0+) = 0. f \ e m ) = 0 Como f{ h ) < 0, si 0 < /i < 1, resulta que 0 es un máximo relativo. Como f'( x ) > 0, si x > e m f'( x ) < 0, si 1 < x < e1/3 resulta que e 1/3 es un mínimo relativo.

Cuestión 2 a)

Encuadrando el problema Nos dan dos rectas paralelas (es evidente, pues sus vectores dirección son opuestos).

Hemos de hallar la ecuación del plano, 7t, que las contiene. Resolución Vector normal al plano 7t: (2, -3 , -1 ) x ( - 6, 4, -3 ) = (13, 12, -10). Ecuación del plano: —13 ( x - 2) —12 (y + 3) + 10 (z + 1) = 0 - 1 3 x - 12>’+ lOz = 0

b)

Resolución La representación del ln x es sencilla. Para hallar la tangente para x = e, si f ( x ) = ln x, f '( x ) = — f( e ) = 1, y la recta tangente será: y- 1 1 •= — , x -e e

v= l +

x- e e

x e

www.FreeLibros.org 73

La región pedida es la siguiente:

Área = I — dx + I

Jo « Como

Ji

e

In x | dx

J

I In x d x = x l n x —x (por partes), resulta fácilm ente: Área = ——— — 0,359

2

Cuestión 3 a)

Encuadrando el problema Nos dan dos planos, uno de los cuales depende de un parámetro, m. Hemos de averiguar para qué valor de m los planos son paralelos y para cuál son perpendiculares. Resolución i)

- — ----- > m = - 1. En este caso los planos son paralelos. Para hallar la distancia entre dos planos paralelos, calcularem os la distancia de un punto de uno de ellos al otro: | 2 ( - l ) - 4 - 0 + 6 0 + 5| dist ( n un 2) = d is t\P ( - 1,0,0), n 2 ] -

3

www.FreeLibros.org + 4- + 6 -

74

V56

ii)

(m, 2, -3 ) • (2, -4 , 6) = O 2 m - 8 - 1 8 = 0 —> m = 13. En este caso los planos son perpendicu­ lares.

b)

Resolución Por coeficientes indeterminados, resulta: 1

1

x3- l

( x - 1) (x2 + x + 1)

3

(jc

—1)

3 { x 2

+x

3

+ \ )

(jt2

+x

+

1)

y así la integral pedida es: In (x -l)

ln ( x 2 + jt + 1)

V3

3

6

3

-------------------------- arete S

- y - ( 2x + l)

C u estió n 4 a)

Resolución Entre 120° y 240° el coseno es negativo y así, In (-eos x ) está bien defi., , . ,, r 2 tc 4ít I mda y es continua y derívame en -----, . L 3 3 . 271 \ ,, /i 471 \ 271 471 7C i I-ccw l 2 n- \1 = In In — I-e o s -4-n - \1, ya que e o s = eos = -e o s — , 3 3 3 luego se puede aplicar el teorema de Rolle Existe c tal que f'(x ) = 0 para x = c. Aquí, f'( x ) = -tg x, que se anula para x = n, es decir, c = n.

b)

Resolución Puedes repasar la regla de l'Hópital en tu libro de texto. Para calcular el límite pedido, podemos tomar logaritmos: lím — - [In (In x)] = 0 x -»+ ex

\ln (In x) < x]

y así, el límite pedido vale 1.

www.FreeLibros.org 75

íT l

í _

¿

PRUEBA DE SELECTIVIDAD Opción A Tenemos una función derivable f( x ) definida en el dominio de las a: > 0, de la que lo único que sabemos es que su gráfica es, aproximadamente, la que se indica en el figura (el eje de las y es asíntota vertical, la recta de ecuación y = x es asíntota oblicua y tiene un mínimo en el punto de abs­ cisa x = 1).

1

H acer un esquem a sencillo de la gráfica de la función derivada f '( x ) , explicando razonadamente la respuesta. (2 puntos) Y

X

2

Se elige al azar un número entre el 10 000 y el 50 000, ambos incluidos. C alcular la probabilidad de que sea capicúa (esto es, que leído de iz­ quierda a derecha sea el mismo que leído de derecha a izquierda). Razo­ nar detalladamente la respuesta. (2 puntos)

3

Considerar la recta r en el espacio, dada por las siguientes ecuaciones: x +y + z = -x - 2 y + z = 0

www.FreeLibros.org 76

Determinar a para que el plano K de ecuación 2x + y + az = b sea pa­ ralelo a r. Decir para qué valor de b la recta está contenida en el plano. (3 puntos) 4

a) Hallar una primitiva de la función f( x ) = x cambio de variable

V i - * = /).

Vi

- ,v (se puede hacer el

b) Explicar de manera razonada por qué la gráfica de la función f( x ) es la que se indica en la figura. Calcular después el área del recinto limi­ tado por el eje de las x y la gráfica de f(x ). [1 punto la parte a) y 2 puntos la parte b)]

Opción B 1

a) En el espacio, considerar un plano de ecuación cartesiana ax + by + + c z - d . Considerar dos puntos cualesquiera, P y Q. de este plano. U sando el concepto de p roducto encalar, ju stific a r que el vector (a, b, c) es perpendicular al vector PQ del plano (vector de origen P y extremo Q). b) Buscar la ecuación cartesiana del plano del espacio que pasa por el punto de coordenadas (1. 2, 3) y es perpendicular a la recta que pasa por (1. I, 1) y (2, 0, 4). [1 punto cada apartado]

2

Considerar un sistema homogéneo de 3 ecuaciones lineales y 3 incógni­ tas que tenga una solución no trivial (es decir, una solución en la que al­ guna variable tenga un valor diferente de cero). Explicar razonadamente por qué el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema ha de ser necesariamente igual a cero. Poner algún ejem plo de sistem a hom ogéneo de esta forma, mostrando una solución no trivial y comprobando también que el determinante de la matriz de los coeficientes es cero. (2 puntos)

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3

Hacer un esquema sencillo de la gráfica de la función f( x ) = ex + e x que ponga en evidencia los límites cuando x —> °° y .r —» y los posibles máximos y mínimos. Explicar razonadamente todo el proceso. (3 puntos) Para iluminar una mesa circular de un metro de radio, se suspende del te­ cho de la habitación un foco de luz situado en la vertical del centro de la m esa y que enfoque hacia abajo. D ecir a qué altura debe situarse este foco respecto a la mesa para que los puntos de su borde tengan una ilumi­ nación máxima. Si designamos por L el foco (que se supone puntual) y por P un punto cualquiera de la mesa, la ilum inación / del punto P viene dada por

donde K es una constante que depende de las características del foco, d es la distancia entre P y L, y a es el ángulo entre PL y la vertical. (3 puntos)

Cataluña. Junio 1995

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA O p ció n A Resolución La derivada está definida en x > 0. Cerca de x = 0, la función es decreciente y la pendiente es negativa y se acerca a para x acercándose a 0. Para x - 1, la pendiente se hace

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O y luego se va acercando a 1, ya que la curva se acerca asintóticamente a y = x. La gráfica de la derivada es:

Resolución Son capicúas los números de la forma a b c b a a puede tomar los valores 1, 2, 3, 4

—»

4

b puede tomar los valores 0, 1, 2,

9 —> 10

c puede tomar los valores 0, 1, 2,

9 —» 10

4 - 1 0 - 10 = 400

Hay 400 capicúas entre 10 000 y 50 000. En total hay 50 000 - 9 999 = 40 001 números. Por tanto, la probabilidad de conseguir un capicúa al tomar un número al 400 azar entre 10 000 y 50 000 es ----------- . J 40 001 Resolución Obtención del vector dirección de la recta: d = ( 1. 1, 1) x (—í , 2, 1) = (3, —2, -1 ) // r Si r / / n,

r es perpendicular a (2, 1, a). Por tanto: (2, 1, a ) - (3, - 2 , - 1 ) = 6 - 2 - a = 0 => a = 4

Para que la recta sea paralela al plano, es necesario que a - 4 . Obtención del valor de b para que r esté contenida en 7t: Haciendo z = 0 se obtiene el punto P(2, —1,0) de r.

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Imponemos que P pertenezca a 7t: 2 - 2 - 1 + 0 = b => b = 3 En este caso, la recta paralela al plano (a = 4) tiene, además, un punto en él. Por tanto, r estará contenida en 7t.

Resolución a)

Se trata de c a lc u la r, h acien d o t - V 1 - x , es d ecir, x - l - t~, dx = - 2 1 dt, la integral j" X V i - J E dx =J ( l - r ) t (-2 í) dt = J ( 2 4 - 2 r2) dt = 2 t5

2t3

Si y - f( x ) = x V1 - x , entonces, si - ° ° < x < l , 2 -3x / '( * ) =

2 Vr

-X

2

y así, / '( x ) = 0 para x = — . Claramente, / '( x ) > 0 si

— y

2 / '( x ) < 0 si 1 > x > — 2 Por tanto, hay un máximo en x = — . Es claro que /(O ) = 0, /( 1 ) = 0 y que /(x ) -h>

para x —>

f{x) Si x —» - m , — i---- » +oo y no hay asíntota, sino rama parabólica en x dirección del eje Y hacia abajo. Todo esto es lo que se ve claramente en la figura dada. Para la figura propuesta:

/ ( l - x )5 - j A/(l - x f Área = í x V l - x dx = Jo Lo 3

-A o ” 15

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O p ción B 1

Resolución a) P(x o, >'(), Z( j )

e

7t

=> ax0 + by0 + cz0 = d

Q(xu y i - Zi) £ K => ax\ + by\ + cz\ —d a (x, - x 0) + b ( y l - y0) + c (z, - Zo) = 0

Restando:

Este resultado puede expresarse así: (a, b, c) • (x¡ - x0, y, - y0, z¡-Z o ) = 0 Es decir, el vector (a, b, c) es perpendicular al vector PQ. pues el producto escalar es cero. b) Los dos puntos determinan el vector v(2 - 1,0 —1,4 —1) —(1 ,-1 , 3), que es perpendicular al plano. Por tanto, su ecuación es: 1 ( x - 1 ) - 1 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0 x - y + 3z-8 = 0 Resolución El sistema de ecuaciones puede ser así: \

a\\

a \i

an

#21

#22

#23

Va 3I

°32

a 23 )/

í

\

'(T y = 0 X

,0 /

Si el determinante de A = {a¡j) fuera no nulo, la matriz tendría inversa.

V

fx^

' 0'

A y = 0

=>

í0>

y = A~l 0 = 0

0,

^oj

Se obtendría solam ente la solución trivial. Por tanto, si existe alguna solución no trivial, es porque no existe /V 1 y, por tanto, 1/41 = 0 . Ejemplo: 2x + y + z = 0 y+z=0 2x + 2y + 2z = 0 (0 , 1, - 1) es solución del sistema.

www.FreeLibros.org El determinante de la matriz es 0.

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3

Resolución Si y = /(x ) =