Regelkreistheorie und Datenverarbeitung [Unter Mitarb. von zahlr. Fachgelehrten. Reprint 2018 ed.] 9783110847789, 9783110064308

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Bell • Griffin Regelkreistheorie und Datenverarbeitung

Regelkreistheorie und Datenverarbeitung Unter Mitarbeit von zahlreichen Fachgelehrten herausgegeben von

D. Bell und A.W. J. Griffin

mit 120 Abbildungen

Walter de Gruyter & Co · Berlin 1971 vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung buchhandlung

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Georg Reimer

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J. Guttentag, Verlags-

Karl J. Trübner

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Veit & Comp.

Titel der englischen Originalausgabe: Modern control theory and computing, Me Graw-Hill Publishing Company Limited, London. Deutsche Übersetzung: Dr. Klaus Jaeger

© Copyright 1971 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung - J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp., Berlin 30. - Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. ArchivNr. 14 02 701 - Satz: IBM-Composer, Mercedes-Druck, Berlin - Druck: J. Schönwald KG, Berlin - Printed in Germany

Vorwort zur deutschen Ausgabe Die Regelungstechnik kann als bedeutender klassischer Bereich der Ingenieurwissenschaften, insbesondere der Disziplinen Elektrotechnik und Maschinenbau, angesehen werden. Methoden der Modellbildung, des Modellexperimentes sowie der quantitativen Modellbeschreibung und -Optimierung wurden schon frühzeitig entwickelt und in vielen Jahren verbessert und verfeinert. Besonderen Aufschwung erfuhr das Gebiert der Regelungstheorie durch den zunehmenden Einsatz von Digital-, Analog- und Hybridrechnern in den letzten Jahren. Die Erkenntnisse der Regelungstheorie konnten u.a. für die Entwicklung und Konstuktion analoger Baugruppen eingesetzt werden. Wichtiger aber sind die Methoden dieser Theorie für die Simulation von Regelungsmodellen auf Analog-, Digital- oder Hybridrechnern zum Zwecke der Beschreibung oder gar Optimierung reeller technischer Systeme, die den Modellen zugrundeliegen. Derartige Erfahrungen mit Prozeßrechnern liegen insbesondere in der Verfahrenstechnik, aber auch in der Fertigungstechnik vor. Heute werden Prozeßrechner nicht nur für technische Systeme, sondern beispielsweise auch zur Überwachung biologischer Regelkreise (Patientenüberwachung in Krankenhäusern etc.) eingesetzt. Die Simulation als Modellexperiment mit Regelkreisen kann heute als leistungsfähige Computermethode zur Gestaltung betrieblicher Ablauforganisationen angewandt werden. Der Begriff „Regelkreistheorie" kennzeichnet diese Ausweitung regelungstheoretischer Methoden auf neue Disziplinen wie Biologie und Wirtschaftswissenschaften. Sie bildet den Kern der interdisziplinären Wissenschaft „Kybernetik". Aufgabe dieses Buches soll es sein, dem Studierenden der Ingenieurwissenschaften und dem im Beruf stehenden Ingenieur und Naturwissenschaftler einen fundierten Überblick über Methoden und Anwendungsmöglichkeiten der Regelkreistheorie im Zusammenhang mit dem Einsatz von elektronischen Rechnern zu geben. Benachbarte Disziplinen können Hinweise zur Modellbildung finden und damit zu qualitativen oder gar quantitativen Aussagen bezüglich ihrer Regelkreisprobleme gelangen. Der Aufbau des Buches auf Vorlesungsunterlagen und seine straffe Gliederung in inhaltlich geschlossene Kapitel, die zum Teil unabhängig voneinander durchgearbeitet werden können, werden dem Leser zugute kommen. Aachen, Oktober 1970

S. Dworatschek

Vorwort zur englischen Ausgabe Die Grundlagen dieses Buches gehen auf eine Reihe von Vorlesungen zurück, die anläßlich eines Ferienkurses über Regelkreistheorie und Datenverarbeitung im University College in Swansea gehalten wurden. Dieser Einführungskurs

6

Vorwort

sollte den in der Industrie tätigen Ingenieuren einen Überblick über die moderne Theorie der Regelkreise und die mit ihr verknüpften Methoden der Datenverarbeitung geben. Die Unterlagen dieses Ferienkurses wurden in teilweise erweiterter Form als einführendes Lehrbuch für Studenten höherer Semester, Doktoranden und für bereits im Beruf stehende Ingenieure herausgegeben. Am Ende jedes Kapitels wurde ein Literaturverzeichnis eingefügt, das eine Vertiefung des Stoffes erleichtert. Das Kapitel 1 ist eine Zusammenstellung der sogenannten „klassischen Methoden" der linearen Regelkreise. Es ruft dem Leser die theoretischen Grundlagen ins Gedächtnis zurück, die den konventionellen Methoden der Planung und Analyse zugrunde liegen. Im Kapitel 2 werden Zustandsvariablen-Methoden unter Anwendung der Stabilitätstheorie von Ljapunow behandelt. Diese Theorie ermöglicht die direkte Berechnung der Stabilität hochgradig nichtlinearer Kreise ohne Zwischenstufen, d. h. ohne Kenntnis der Frequenz- oder Zeitbeantwortung. Digitale Methoden der Datenverarbeitung sind Thema des Kapitels 3. In diesem Kapitel werden einige Mehrzweckprogramme beschrieben, die mit klassischen Methoden die Planung von Regelkreisen erleichtern. Mit ihrer Hilfe können die Zeitbeantwortung, Bode- und Wurzelortsdarstellungen bekannter Systeme gefunden werden. Im Kapitel 4 werden die analoge und hybride Datenverarbeitung eingeführt. Die analoge Datenverarbeitung ist die Grundlage für die Mehrzahl der Realzeitsimulationen von Prozessen, und die hybriden Verknüpfungen zwischen Analogund Digitalrechnern ermöglichen die heute besten Leistungen auf dem Gebiete der Simulation. „Einführung in die statistischen Prozesse" ist der Titel von Kapitel 5. Da die meisten Regelkreise unbekannte und häufig unvorhersehbare Eingänge aufweisen, ist eine Planung vom Standpunkt der schrittweisen Eingabe meist nicht vollkommen zufriedenstellend. Dieses Kapitel gibt die Grundlagen zum Verständnis für statistische Planungsmethoden. Im Kapitel 6 werden Identifikationsmethoden behandelt. Um Prozesse genauer regeln zu können, ist es von besonderer Bedeutung, ihre Charakteristiken zu kennen. Die Identifikationen dieser Prozeßcharakteristiken ist eines der wichtigsten praktischen Probleme der modernen Regelkreistheorie. Adaptive Regelung wird in den Kapiteln 7 und 8 behandelt. Im Kapitel 7 wird das „hill-climbing"-System behandelt, in dem durch Wandern auf den Flanken des „Kostenberges" die Kostenfunktion optimiert wird. Kosten und Gewinn können in solchen Systemen aufeinander abgestellt werden, so ζ. B. in einem chemischen Werk, in dem bei minimaler Lagerhaltung und minimalem Energieverbrauch ein Produktionsmaximum erreicht werden soll.

7

Vorwort

Modellbezogene adaptive Kreise werden im Kapitel 8 beschrieben. Diese Regelkreise haben breites Interesse und eine gewisse Anwendung auf aeronautischem Gebiet gefunden, in dem es darauf ankommt, für Flugzeuge und Raketen invariante Regelkreise zu entwerfen. Im Kapitel 9 werden der Matrizenansatz für multivariable Regelkreise und optimale Regelung diskutiert. Kreise mit optimaler Regelung werden mit Hilfe der Methode der dynamischen Programmierung und des Maximum-Prinzips erhalten. Die Herausgeber weisen dankbar auf die Unterstützung des Verlages, der anderen Autoren und von Mrs. J. M. Robertson hin, die die Niederschrift des Manuskriptes besorgte. Zu großem Dank sind wir außerdem den Kollegen von den Universitäten in Oxford und Warwick verpflichtet, ohne deren wertvolle Beiträge zum Ferienkurs in Swansea im September 1967 die Zusammenstellung dieses Textes nicht möglich gewesen wäre. Wir möchten außerdem auf die Mitarbeit der folgenden Forschungs-Studenten der Regeltechnik in unserer Abteilung hinweisen, die an der Arbeit beteiligt waren, die zu diesem Buch führte: J. D. Williams, B.Sc. - J. A. Chang, M.Sc., Ph.D. - J. Hurlow, B.Sc. J. Κ. M. MacCormac, B.Sc. - J. Gölten, M.Sc. - R. E. Selway, M.Sc. A. G. Owen, M.Sc. - J. D. Neate, B.Sc. - M. Zaman, B.Sc., D.I.C. - Ing. E. Jimenez (UNESCO Fellow) Donald Bell Antony W. J. Griffin

Autoren D. Bell, M.Sc., Ph.D.

Ο. L. R. Jacobs, B.Sc., Ph.D.

Dozent für Elektrotechnik University College, Swansea

Dozent für Ingenieurwissenschaften University of Oxford

W. Fishwick, M.A., Ph.D. UNESCO ehemals Professor und Direktor der Abteilung für Elektrotechnik University College, Swansea

A. W. J. Griffin, B.Sc. Dozent fur Elektrotechnik University College, Swansea

Μ. Τ. G. Hughes, B.Sc., Ph.D. Dozent fur Ingenieurwissenschaften University of Warwick

J. Κ. M. MacCormac, B.Sc. Forschungsassistent des Ministeriums für Technologie University College, Swansea

Κ. C. Ng, B.Sc., Ph.D. Dozent fur Ingenieurwissenschaften University of Warwick

Inhaltsverzeichnis

Einleitung (W. Fishwick)

11

1. Die klassischen Methoden (D. Bell)

15

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Einführung Fourier- und Laplace-H-ansformationen Die Übertragungsfunktion Die Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterien Das Nyquist-Stabilitätskriterium Bode-Diagramme (Frequenzbeantwortungskurven) Die Wurzelortsmethode Optimale Auslegung linearer Regelkreise mit Rückführung durch klassische Methoden 1.9 Zusammenfassung Literaturzitate Anhang: Laplace-Transformationen

2. Direkte Methode der Analyse nichtlinearer Regelkreise nach Ljapunow (D. Bell) 2.1 2.2 2.3 2.4

Einführung Definitionen der Stabilität und die Ljapunow-Stabilitätstheoreme Einfache quadratische Ljapunow-Funktionen Methode der variablen Gradienten zur Erzeugung von Ljapunow-Funktionen 2.5 Zusammenfassung Literaturzitate Anhang: Bestimmung der Geschlossenheit einer V-Funktion unter Benutzung des Sylvester-Theorems

3. Digitale Datenverarbeitung in der Regelung (A. W. J. Griffin) 3.1 Einführung 3.2 Digitale Simulation 3.3 Automatische Zeichnung von Bode-Diagrammen 3.4 Die X-Y-Zeichenroutine 3.5 Wurzelortskurven 3.6 Regelung mit On-line-Rechnern 3.7 Logische und digitale Eingaben 3.8 Programmiersysteme zur On-line-Regelung Literaturzitate Anhang zur digitalen Datenverarbeitung

15 16 24 27 27 30 37 42 47 47 48

50 . . . .

50 50 52 58 64 65 65

66 66 66 69 70 71 74 78 80 80 81

4. Analoge und hybride Datenverarbeitung (D. Bell)

94

Der Analogrechner 4.1 Einfuhrung 4.2 Elemente der linearen Datenverarbeitung 4.3 Elemente der nichtlinearen Datenverarbeitung 4.4 Das Steuersystem 4.5 Logische Moduln

94 94 94 99 102 105

Inhaltsverzeichnis Analoge Berechnungen in der automatischen Regelung 4.6 Einführung 4.7 Grössen - Skalen - Faktoren 4.8 Zeit - Faktoren - Skalen 4.9 Ein einfaches Simulationsproblem mit Optimierung unter Benutzung der Iterationsmethode Der hybride Digital-Analog-Rechner 4.10 Einführung 4.11 Die Nahtstelle im Hybridrechner Hybride Berechnung in der automatischen Regelung 4.12 Einführung 4.13 Unterprogramme in der PAL HI-Sprache Einfache Anwendungen des hybriden Digital-Analog-Rechners 4.14 On-line-Regelung und Prüfung eines Gleichstrommotors 4.15 Querkorrelation mittels pseudostatistischer Sequenzen 4.16 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines Signals Problemorientierte Hybridrechner-Sprachen 4.17 Einführung 4.18 HELP (Version 1). Steuerung des Analog-Rechners 4.19 HELP (Version 2). Die neueste FORTRAN-artige Sprache und ihr System 4.20 Zusammenfassung Literaturzitate

5. Einführung in die statistischen Prozesse (O. L. R. Jacobs) 5.1 Einfuhrung 5.2 Die Wahrscheinlichkeit 5.3 Die Diskretzeitmodelle 5.4 Statistische Prozesse im kontinuierlichen Zeitablauf 5.5 Einige Eigenschaften statistische Prozesse 5.6 Beantwortung linearer Systeme 5.7 Leistungsdichte-Spektren in der Praxis 5.8 Identifikation linearer Systeme Literaturzitate

6. Identifikationsmethoden (M.T.G. Hughes) 6.1 Einführung 6.2 Abschätzung der Schrittbeantwortung und der Impulsbeantwortung . . . . 6.3 Pseudostatistische binäre Sequenzen Abschätzung der Frequenzbeantwortung 6.4 6.5 Methoden für anpassbare Modelle 6.6 Zusammenfassung Literaturzitate

7. Adaptive Regelkreise (hill-climbing) (K.C. Ng) 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Einführung Typen adaptiver Systeme Hill-climbing-Systeme mit Parameter-Störungen Elementaranalyse der adaptiven Schleife Eine Betrachtung der Dynamik des Systems Dynamik des Parameter-Störungsprozesses

9 110 110 111 113 114 117 117 117 120 120 120 123 123 125 127 128 128 129 133 133 134

135 135 136 138 139 143 157 159 163 164

166 166 168 174 180 186 194 195

197 197 198 201 204 205 207

10

Inhaltsverzeichnis 7.7 Eine neue hill-climbing-Methode 7.8 Mehrparameter-Systeme 7.9 Zusammenfassung Literaturzitate

8. Adaptive R e g e l s y s t e m e ( S y s t e m e mit h o h e m Leistungsgewinn u n d m o d e l b e z o g e n e S y s t e m e ) (J. Κ. M. MacCormackj 8.1 Adaptive Systeme mit hohem Leistungsgewinn 8.2 Ein Abtastbeispiel 8.3 Verwandte Probleme 8.4 Modellbezogene adaptive Systeme 8.5 Gleichungen für den Parameterabgleich 8.6 Zusammenfassung Literaturzitate 9. Multivariable S y s t e m e u n d S y s t e m e m i t o p t i m i e r e n d e r R e g e l u n g (A. W. J. Griffin) 9.1 9.2 9.3

Multivariable Systeme Verschiebung der Eigenwerte zu Sollstellen Die Wechselwirkung und der Entwurf multivariabler Systeme ohne Wechselwirkung 9.4 Optimierende Regelung 9.5 Das Maximumprinzip von Pontrjagin 9.6 Dynamische Programmierung 9.7 Dynamische Programmierung und diskrete Regelsysteme 9.8 Der kontinuierliche Regelkreis 9.9 Zusammenfassung Literaturzitate Weitere Literaturhinweise Stichwortverzeichnis

211 213 215 215

217 217 218 221 222 224 228 228

229 229 234 237 241 244 249 251 254 259 259 260 261

Einleitung W. Fishwick

Die Analyse und die Zusammenstellung von Steuerungssystemen und Regelkreisen und der Entwurf von Teilkomponenten dieser Systeme und Kreise ist das Feld des Regelungstechnikers. Gesteuerte und geregelte Systeme treten in der Industrie in einer solchen Vielfalt auf, daß die Regelungstechniker nach technischem Wissen und technischer Erfahrung notwendigerweise zwar verschiedenster Herkunft sind, sie alle aber dennoch ein gemeinsames Wissen verbindet. Dieses gemeinsame Wissen umfaßt die Standardformen grundlegender Steuerungs- und Regelsysteme sowie die Methoden ihrer Analyse und Synthese in recht allgemeinen Begriffen. In den Stadien jedoch, in denen die tatsächlichen Komponenten eines Systems untersucht und vor allem entworfen werden, werden die allgemeinen Faktoren der Regelungstechnik meist durch die Unterschiede der speziellen Techniken zurückgedrängt, so ζ. B. bei der Konzeption von hydraulichen Komponenten, Transistor-Schaltkreisen oder Gleichstrommaschinen. Im vorliegenden Text sollen diejenigen Aspekte der Regelungstechnik behandelt werden, die allen in diesem Fach Tätigen bekannt sind oder doch zumindest bekannt sein sollten. Wenngleich die Regelungstechnik auch ein sehr bedeutender Zweig der Technik ist, so ist sie dennoch Teilgebiet eines noch allgemeineren Gebietes des Ingenieurwesens. Dieses Gebiet umfaßt alle Bemühungen, die darauf ausgerichtet sind, dynamische Prozesse im Rahmen vorgegebener Bedingungen oder Standardwerte zu halten. Unter dynamischen Prozessen sind dabei beliebige, zumeist technische Funktionseinheiten, ζ. B. ein Flugzeug, ein Kraftwerk oder eine ganze Fabrik, zu verstehen. Der Wert der Steuerungs- und Regelkreistheorie liegt für den Ingenieur darin, daß sie ihm Lösungen an die Hand gibt für Probleme, denen er sich bei der Aufgabe gegenübergestellt sieht, einen Produktionsablauf oder irgendeinen anderen Arbeitsvorgang mit guter Ausbeute, wirtschaftlich, sicher und in vorgeschriebener Zeit ablaufen zu lassen. Der qualifizierte Ingenieur war zwar schon immer daran interessiert, seine Anlagen „optimal" zu planen und zu betreiben, so daß er seine Produkte mit dem geringsten Kostenaufwand, in der kürzesten Zeit oder hinsichtlich irgendeiner anderen Kategorie besser als der Wettbewerber herstellen konnte, erst die Einführung der digitalen Rechner jedoch hat dem Regelungsingenieur neue Wege eröffnet. Heute ist es die Aufgabe automatischer Regelungssysteme, charakteristischen mathematischen Funktionen oder variablen Parametern solcher Funktionen, die ihrerseits Meßwerte aus dem Prozeß sein können, Sollwerte, Maxima oder Minima, zuzuschreiben. Der Rechner ermöglicht die schnelle Berechnung der Istwerte solcher Funktionen und die rasche Einleitung von Regelmaßnahmen, die dazu geeignet sind, die Istwerte

12

Einleitung

den Optima anzugleichen. Das eigentliche Ziel der heutigen Regelungstechnik ist es, wirtschaftlich sinnvolle Regelkreise zur Optimierung zu entwickeln. Dabei ist es bis jetzt durchaus noch unklar, welche Wege fur die zukünftige Forschung die aussichtsreichsten sein werden. Die Grundlage unserer heutigen Zivilisation ist die Schaffung eines allgemeinen Wohlstandes durch die massenweise und billige Produktion von Gütern. Im Rahmen dieses Prozesses gehen eine Reihe von Industriezweigen von den Rohstoffen aus, die in der Natur vorkommen, und verarbeiten diese zu Produkten, die größtenteils ihrerseits wieder Ausgangsprodukte für andere Industriezweige, sind. Diese aufbereitenden Industriezweige, wie ζ. B. die Hüttenwerke oder die chemischen Werke, arbeiten zum Teil weitgehend automatisiert, so daß man die praktischen Anwendungen der Regelkreistheorie heute vielerorts antrifft. Dennoch ist der Weg vom automatischen zum vollautomatischen Produktionsbetrieb noch weit und bietet dem Regelungsingenieur viele Möglichkeiten zu Verbesserungen und Erfindungen. Beim Lesen dieser Zeilen wird sicher so mancher Praktiker abwinken; er denkt an die mannigfaltigen Widerstände, die seinen Bestrebungen auf diesem Gebiet entgegengestellt werden. Häufig jedoch äußert sich in diesem Widerstand gegen die komplizierten automatischen Steuerund Regelsysteme nichts weiter als mangelndes Verständnis für die hohe Anpassungsfähigkeit der modernen Regelmethoden. Vom Hörensagen, mitunter auch aus eigenen schlechten Erfahrungen, bildete sich immer wieder die Meinung, daß durch die detaillierten Regelsysteme eine Produktionsumstellung erschwert würde und daß die Steuerrechner eine unerwünschte Unbeweglichkeit in den Produktionsprozeß brächten. Tatsächlich kann das jedoch nur dann auftreten, wenn die verwendeten Regelsysteme so unzureichend sind, daß sie besser nie installiert worden wären. Die Methoden der Massengüterproduktion haben sich mittlerweile weit von jenen Zeiten entfernt, während derer die erzeugten Waren aus Gründen der Kostenersparnis über Jahre hinweg unverändert hergestellt wurden. Ziel des Anlagenkonstrukteurs sollte es sein, seine Produktionsstrecke so zu planen, daß sie von vornherein in vernünftigem Rahmen eine gewisse Vielfalt der Produkte vorsieht. Entsprechend sollte sich auch der Regelungsingenieur vergewissern, daß seine Regelsysteme leicht und schnell umstellbar sind. Die überwiegende Zahl von Werken jedoch gehört nicht der aufbereitenden Industrie an, sondern verarbeitet die von jener gelieferten Rohprodukte zu geformten Endprodukten für den Konsumenten weiter. Die Formgebung richtet sich dabei nach den ermittelten Bedürfnissen der Gesellschaft oder ihrer Teile. Nachdem der Formentwurf des herzustellenden Artikels vorliegt, muß seine eigentliche Produktion in die Wege geleitet werden, und nicht selten erfordern sogar verhältnismäßig einfache Produkte, wenn sie in Massen hergestellt werden sollen, eine Vielzahl von Handhabungen, Werkzeugen, Maschinen und Behandlungen. Vom Standpunkt des Regelungsingenieurs aus stellt diese gesamte Orga-

Einleitung

13

nisation von Menschen und Maschinen ein komplexes System mit einer eigenen spezifischen Ordnung dar. Diese Ordnung und die Regelmäßigkeit der Handlungen in ihr wird sowohl durch einen Informationsfluß von Punkt zu Punkt aufrecht erhalten als auch durch eine topographisch sinnvolle Anordnung der einzelnen Einheiten des gesamten Werkes. Jede Fabrik und jede größere Anlage sind überaus komplex und erstaunlich flexibel in ihren Wirkungsweisen. Durch ihre unübersehbar vielen Operationsmoden stellt eine solche Produktionsstätte tatsächlich auch ein System dar, das sich wesentlich von den meisten anderen normalerweise vom Regelungsingenieur zu regelnden Systemen unterscheidet. So sieht sich denn auch der Systemingenieur um Größenordnungen schwierigeren Regelungsproblemen gegenübergestellt als der mit der Prozeßsteuerung befaßte Ingenieur. Daß diese Probleme überhaupt lösbar sind, ist nur auf die Vielzahl der möglichen Operationsmoden zurückzufuhren. Selbst wenn man einmal die vielen den Maschinen, dem Material, dem Instruktionsfluß oder dem verfügbaren Kapital innewohnenden Variationsbreiten außer acht läßt, dann sorgen doch die Unberechenbarkeiten und impulsiven Verhaltensweisen der an solch einer Organisation beteiligten Menschen mit Sicherheit dafür, daß sich die momentane Wirkung des Systems ständig verändert, wenngleich sie sich dadurch zweifellos nicht allzuweit von den spezifizierten Soll-Wirkungen entfernen wird. Das Auffinden bester Wirkungsweisen für bereits in Betrieb befindliche Werke und Anlagen ist eine der Hauptaufgaben des Betriebsleiters. Häufig genug wird er sich vor scheinbar unlösbare Probleme gestellt sehen, die einfach nur deshalb unlösbar sind, weil sie auf falsch gestellten Fragen basieren. Auch hier vermögen die Vorstellungen des Informationsflusses, der Regelkreistheorie und der Optimierung wesentliche Beiträge zu liefern. In der Industrie tätige Regelungsingenieure, deren tägliche Arbeit im wesentlichen von Fragen der Prozeßsteuerung bestimmt wird, sollten ebenfalls darauf bedacht sein, sich nicht zu sehr in ihrem Spezialistentum einzuengen, sondern auch in verstärktem Maße die Funktionen eines Systemingenieurs ausüben und prüfen, ob ihre Theorien nicht eher auf die Wirkungsweisen des gesamten Werkes angewendet werden sollten als nur auf eine seiner Einheiten. Manch Regelungsingenieur, der einem schwierigen Regelungsproblem gegenübersteht, wird sich schon gefragt haben, ob nicht eine bessere oder zumindest andere Planung seiner Anlage von vornherein eine leichtere Regelbarkeit zur Folge gehabt hätte. In den Anfangsstadien einer Werksplanung arbeiten die Anlagenplaner und Regelungsspezialisten zwar zuweilen zusammen, eine Zusammenarbeit, die heute eigentlich selbstverständlich sein sollte, jedoch ist der Beitrag des Regelungsingenieurs nicht immer so nutzbringend, wie er durchaus sein könnte. Das erklärt sich aus dem häufig anzutreffenden verhältnismäßig geringem Interesse, das in der Praxis tätige Regelungsingenieure den Abhängigkeiten

14

Einleitung

und den Regelungsproblemen im Werksmaßstab entgegenbringen. Zwar ist gerade auf diesem Gebiet interessante theoretische Arbeit geleistet worden und nimmt das Interesse auch schnell zu, jedoch liegen die Ergebnisse in recht abstrakter mathematischer Form vor, die die Ingenieure aus der Industrie abgeschreckt haben mag. Trotzdem liegen gerade in diesem Gebiet Möglichkeiten, die zu grundlegenden Veränderungen der Planungsmethoden führen können. Reine Theorien sind bis heute jedenfalls für die praktische Betriebsführung und Betriebskontrolle wenig nutzbringend. Haben Regelungstheoretiker überhaupt irgendwelche Beiträge zur praktischen Regelungstechnik geleistet? Sicher haben sie die Theorie der Steuerung und Regelung entwickelt, und auch die Idee der adaptiven Regelung wird von einem Regelungsingenieur stammen. Auch die Vorstellungen der Optimierung von Regelkreisen, der Multivariablen-Regelungstheorie, der dynamischen Programmierung und anderer Theorien stammen aus direkt mit Regelungsproblemen befaßten Arbeiten. Gerade den jüngeren Vorstellungen aber blieb bisher eine augenfällige Anwendung in der Praxis versagt. Da diese Theorien in ihrer Form komplexer sind als die einfache Rückfuhrungstheorie, sind ihre Übertragungen in die Hardware der Praxis schwieriger. Der größte Teil der mitunter mühseligen theoretischen Arbeit auf diesem Gebiet wird heute in den Universitäten geleistet. Die dort tätigen Wissenschaftler übersehen die Schwierigkeiten der praktischen Anwendung ihrer Arbeiten durchaus nicht und werden den unzureichenden kommerziellen Einsatz sicher nicht vernachlässigen; Diese Schwierigkeiten sind auf Verfahrenshemmnisse bei der Durchführung der formalen Schritte zurückzuführen, die bei der Einführung eines auf diesen Theorien basierenden Regelschemas erforderlich sind. Die Gelegenheiten zu Verbesserungen und Erfindungen sind unbegrenzt, und früher oder später wird der Durchbruch sicher erfolgen. Man wird dann erleben, daß Steuerungs- und Regelkreistheorien nicht nur wie bisher auf isolierte Einheiten angewendet werden, sondern daß sie jeden Bereich industrieller und kommerzieller Aktivitäten erfassen werden.

1. Die klassischen Methoden D. Bell

1.1 Einführung Die Analyse linearer Regelkreise fuhrt meist unausweichlich auf ein Stabilitätsproblem. Die Lösung dieses Problems kann durch zumindest eine der verschiedenen Methoden erhalten werden, die seit der Ableitung des Routh'schen Stabilitätskriteriums im Jahre 1877 zur Verfugung stehen. Das Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium war die erste der sogenannten „klassischen Methoden", zu denen u. a. das Nyquist-Stabilitätskriterium, die Technik der Bode-Diagramme und der Wurzelortsansatz gehören. Diese Methoden haben sich heute bei den Regelungsingenieuren weitgehend durchgesetzt, und die Anwendung dieser Kriterien zur Lösung hypothetischer Regelprobleme bildete viele Jahre hindurch die Grundlage von Vorlesungen und Übungen in den Universitäten. Leider merkt der Regelungsingenieur bei seiner praktischen Arbeit, daß es nur sehr wenige Regelkreise gibt, die wirklich als linear beschrieben werden können. Die meisten Regelkreise der Praxis sind ganz entschieden nichtlinear, werden durch statistische Eingangssignale (Rauschen) gestört und können multiple, voneinander abhängige Ein- und Ausgangspunkte haben. Darüber hinaus gehen die an moderne Regelkreise gestellten Leistungsanforderungen weit über die bloße Aufrechterhaltung einer Stabilität hinaus. Infolge dieser praktischen Schwierigkeiten sind eine Reihe neuer analytischer Methoden entwickelt worden, die sich im wesentlichen unter die folgenden Kategorien subsumieren lassen: nichtlineare Regelung, statistische Regelung, optimale Regelung, adaptive Regelung, Regelung mit Datenabtastung, multivariable Regelung. Diese Problemkreise bilden die Grundlage der meisten Forschungsarbeiten auf dem Gebiet der Steuerung und Regelung und können unter der allgemeinen Überschrift „moderne Regelkreistheorie" zusammengefaßt werden. Alle diese Themen werden in den folgenden Kapiteln dieses Buches behandelt. Wahrscheinlich wird der Leser spätestens an dieser Stelle zu der Ansicht gekommen sein, daß die klassischen analytischen Methoden der Regelkreistheorie heute überflüssig seien. In der Mehrzahl jedoch der klassischen Planungsuntersuchungen wird es möglich sein, durch Näherungsverfahren und unter Annahme bestimmter Voraussetzungen recht einfache Lösungen der Probleme zu finden.

1. Die klassischen Methoden

16

Diese Verfahren ermöglichen dem Regelungsingenieur ein besseres Verständnis für seine Probleme, bevor er mit komplizierteren Methoden eine exakte Analyse versuchen wird. Darüber hinaus führen die modernen Ansätze oft zu Lösungen, die nicht nur schwierig zu verwirklichen, sondern oft auch schwierig zu deuten sind. In all diesen Fällen wird eine ergänzende und vollständig überschaubare Analyse ein wertvolles Hilfmittel darstellen. Ein typisches Beispiel dafür ist die Quasilinearisierung eines nichtlinearen Regelkreises. Hierbei wird die Voraussetzung gemacht, daß die Istwerte des Regelkreises nur unwesentlich von den Sollwerten abweichen, der Regelkreis also in erster Näherung als linear angesehen werden kann. Eine Vorplanung kann dann auf dieser Grundlage durchgeführt werden. In einem zweiten Arbeitsgang kann dann mit verfeinerten analytischen Methoden eine exakte Lösung des Regelproblemes ohne Zuhilfenahme von Näherungen versucht werden. Im allgemeinen werden die so erhaltenen Lösungen leichter zu interpretieren sein, und auch ihre Richtigkeit wird durch einen Vergleich mit der Näherungslösung leichter zu überprüfen sein. Gegenstand der folgenden Abschnitte dieses Kapitels ist eine Übersicht über die bekannteren klassischen Methoden zur Behandlung linearer Regelkreise. Bei der Aufgabe, diese Übersicht in einem Kapitel darzustellen, versteht es sich von selbst, daß auf die einzelne Methode nicht in voller Ausführlichkeit eingegangen werden kann. Für jeden der klassischen Ansätze soll hier nur ein kurzer Überblick gegeben werden, jedoch wird der Leser, der eine umfassendere Einführung in das Gebiet der klassischen Regelkreistheorie wünscht, bevor er zu den in diesem Buch folgenden Kapiteln übergeht, zur Vertiefung des Stoffes geeignete Literaturzitate am Ende dieses Kapitels finden.

1.2 Fourier- und Laplace-Transformationen Die Fourier-Transformation Gegeben sei ein sich wiederholendes Signal, das eine Funktion der Zeit ist und das durch aus einer Fourier-Analyse abgeleitete Frequenzkomponenten beschrieben werden kann. Wenn die zyklische Periode des Signals 2 Τ s ist und die Grundfrequenz durch ft = 1/27" Hz oder ω ! = π/Τrad/s. gegeben ist, dann kann das Signal durch folgenden Ausdruck beschrieben werden:

/ ( / ) = - γ + Λ, sin ω , ί + A2 sin 2ω{ί

+ ·• •

+ £ , cos ω,ί + B2 cos 2 ω , / + · · ·

·

(1.1)

17

1.2 Fourier- und Laplace-Transformationen

Dabei sind die Fourier-Koeffizienten Α ι, . . . , A „ und ßu

..., B„ gegeben durch

r und

-

τ

+

τ

=

AO s i n r c t v d f

(1.2)

AO

(1.3)

cos

di.

Das Signal f{t) kann auch allgemeiner dargestellt werden, und zwar in der Form r = + oo c M = Σ ' ( 1 4 Γ =

-

)

CC

wobei der Koeffizient Cr komplex sein kann und bei einer Winkelfrequenz ω = ra, durch

Cr =

— J

^

AO

di.

(1.5)

gegeben ist. Die Fourier-Transformation läßt sich durch die Betrachtung eines nichtwiederholten Signals, ζ. B. eines Einheitsimpulses, als Grenzfall eines wiederholten Signals, dessen Periode 2 Τ gegen unendlich geht [1], erklären. Der mit jeder Frequenz verbundene Koeffizient Cr und das Frequenzintervall zwischen jeder harmonischen Schwingung (Δω = ωι = π/Τ) gehen gegen Null, wenn Τ gegen unendlich geht, obwohl das Amplitudenspektrum Cr(2n/oj l) endlich bleibt. Die Fourier-Transformation des nichtwiederholten Signals f(t) wird dann

Ρϋω)=

Lt | T . / ( 0 e - J U " d r T-oo J - T

(1.6)

oder 00

=

I

AO e~ J Ü " d/

(1.7)

Damit ist die inverse Transformation von j\t) gegeben durch /(/)=

Δω Lt y J ^ F i j u i ) * 1 · " r - x t—' 2π

(1-8)

oder

f(t) = ^ |

F(ju))eJ'M άω.

(1.9)

Die Gleichungen (1.7) und (1.9) werden als Fourier-Transformationspaar bezeichnet.

2 Bell - Griffin

18

1. Die klassischen Methoden

Beispiel Der Einheitsimpuls als Funktion der Zeit kann durch das Symbol 5(t) dargestellt werden. Dieser Impuls habe eine extrem kurze Dauer At und eine dazugehörige Amplitude E, die gerade so groß ist, daß die Fläche unter dem Impuls gleich einer Einheit ist und an der Stelle t = 0 auftritt, das heißt E d t

=

(1.10)

1.

Die Fourier-Transformation des nichtwiederholten Signals damit

wird

%ST

F ( j i o )

Da ei,J'

=

L t

E e -

Δ/-0 Jo

j

m

d t .

1 mit / —• 0 wird Gleichung (1.10) zu Γ Al F ( j i o )

=

L t

E d t

=

1.

Ar-0

(1.11)

Die Bewertungsfunktion Es sei ein linearer Regelkreis (Fig. 1.1) betrachtet, dessen Frequenzbeantwortung gegeben ist durch ( J O J ) =

G ( J O > ) .

( 1 . 1 2 )

βοΟ'ω)

θ,'0'ω) G(/u;)

Fig. 1.1.

Fourier-Transformation eines linearen Regelkreises

Wird ein Eingangssignal θ,(ί) in diesem Regelkreis gegeben, so ist die FourierTransformation des Ausgangssignales durch 0 o (y W ) =

G ( j ü > M j m ) .

(1.13)

gegeben. Wenn das Eingangssignal ein Einheitsimpuls ist, dessen Fourier-Transformation gleich Eins ist, dann ist das Ausgangssignal, wie in Fig. 1.2 darge-

19

1.2 Fourier- und Laplace-Transformationen

stellt, die „Bewertungsfunktion des Systems". Ist das Eingangssignal ein beliebiger Impuls, so kann eine normierte Bewertungsfunktion dadurch erhalten werden, daß man das Ausgangssignal durch die Impulsfläche dividiert.

Einheit

System

G(/u>) Impulse

Bewertungsfunktion

Fig. 1.2. Normierte Bewertungsfunktion eines linearen Regelkreises

Dieses Prinzip wird besonders wichtig für lineare Systeme, die kontinuierlich durch statistische Signale erregt oder moduliert werden. Diese Signale können dann als eine Folge von Impulssignalen betrachtet werden und ermöglichen die Analyse solcher Systeme mit Hilfe von Umlaufintegralen. Die FourierTransformation hat jedoch zwei wesentliche Nachteile bei der Analyse von Regelkreisen. Vor allem konvergiert in vielen Fällen von praktischer Bedeutung das in der Gleichung (1.7) definierte Integral nicht immer. Außerdem ist diese Methode dann nicht anwendbar, wenn diskontinuierliche Eingangssignale an Systemen untersucht werden sollen, deren Anfangsbedingungen von Null verschieden sind.

Die Laplace-Transformation Eine brauchbarere Transformation des Signals f(t) kann dadurch erhalten werden, daß das (/ω) in der Fourier-Transformation durch eine komplexe Variable (σ + joj) ersetzt wird. Üblicherweise wird der Laplace-Operator durch das Symbol s = (σ + jw)

(1.14)

dargestellt, und die Laplace-Transformation erhält damit die Form + oo

F(s) =

fit) e - s l di.

(1.15)

Die Laplace-Transformation ist die brauchbarste Transformation zur Analyse linearer Regelkreise und zur Lösung linearer Differentialgleichungen.

2

20

1. Die klassischen Methoden

Beispiele 1. Für das in Fig. 1.3 dargestellte stufenförmige Eingangssignal mit der Amplitude A iSt sy \ Λ

t>0 t 1, gilt

'•Ar

Edt = 1.

F(s) =

Eine kurze Liste von Laplace-Transformationen ist im Anhang dieses Kapitels zusammengestellt. Umfassendere Tabellen stehen in der Literatur zur Verfugung.

1.3 Die Übertragungsfunktion Bei der Analyse linearer Regelkreise kann die Laplace-Transformation durch die Einfuhrung der Übertragungsfunktion benutzt werden. Es sei ein System mit der Impulsbeantwortung g(t), dem Eingangssignal x(t) und mit dem Ausgangssignal _y(t) betrachtet. Die Übertragungsfunktion G(s) für ein solches System kann als das Verhältnis G W

-

m

(

,,6)

oder als das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangs-Laplace-Transformation definiert werden. Um die Übertragungsfunktion bei der Analyse von Regelkreisen benutzen zu können, mlxß man die Laplace-Transformationen der integralen und der abgeleiteten Operatoren kennen.

Laplace-Transformation einer Ableitung Die Laplace-Transformation von dx/dt ist gegeben durch

oo

definiert werden. Für das betrachtete Beispiel wird Gleichung (1.33) zu sF(s) — s — · 2 s as + bs + c

(1-34)

Mit 5 —• 0 wird Gleichung (1.34) zu V sF(s) = — = Endwert von f(t). c

Das Anfangswerttheorem In gleicher Weise kann das Anfangswerttheorem für dasselbe Beispiel bestimmt werden. Das Anfangswerttheorem ist definiert als Lt (.sF(s)) = Lt (fit)). s-cc t-0 Für das diskutierte Beispiel ist =

ί s as2 + bs + c

(1.35)

Mit s —• go wird Gleichung (1.35) Null.

1.4 Die Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterien Für lineare Regelkreise können die Routh-Hurwitz-Kriterien dazu benutzt werden, um die Parameterbeschränkungen zu bestimmen, die nötig sind, um eine Stabilität des Systems zu gewährleisten. Das wird dadurch erreicht, daß man die das System charakterisierende Gleichung in die Form eines Polynoms

25

1.4 Die Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterien

bringt und die Vorzeichen verschiedener aus dieser Gleichung abgeleiteter Determinanten bestimmt. Im Folgenden sei eine kurze Beschreibung dieser Methode gegeben. Umfassendere Beschreibungen können der Literatur [5] entnommen werden. Im Nachstehenden sei ein lineares Regelsystem betrachtet, dessen Übertragungsfunktion für den offenen Kreis G(s) ist und dessen Kreis durch negative Rückführung geschlossen werden soll. Die Übertragungsfunktion für den geschlossenen Kreis wird dann

(U6)

- ΓΤ^ω ' und die charakteristische Gleichung ist gegeben durch 1 + G(s) = 0.

(1.37)

Diese Gleichung kann durch ein allgemeines Polynom der Ordnung η wiedergegeben werden a0s" + a ^ "

1

+ a2sn'2

+ · · · + a„_

+ an = 0

(1.38)

Die Stabilität dieses Systems kann dadurch geprüft werden, ob die folgende Ungleichung erfüllt ist: a

i

a5

"o

0

a2

öl

a4

0

α2

0

0

0

0

Ol

αο

«2n-l «2n-2

Beispiel Es sei die charakteristische Gleichung einer Differentialgleichung fünfter Ordnung der Form α 0 5 5 + ats4 + a2s3 + a3s2 + a4s + a5 = 0.

(1.40)

26

1. Die klassischen Methoden

betrachtet. Die der Gleichung (1.39) entsprechende Determinante ist dann 0

0

0

0

0

0

ι

«0

0

0

0

0

a2

öl

"ο

0

0

0

0

0

0

«5

0\

αο

03

«2

α

05

α*

«3

0

0

0

wobei

Kl > ο α ι

ar

α3

α2

α,

«5

0

«2

«1

α4

α3

(1.41)

(1.42)

> 0

αο

> o,

> 0.

(1.43)

(1.44)

Wie sich leicht zeigen läßt, ist das System nur dann stabil, wenn jeder der Koeffizienten positiv ist. Auf diese Art und Weise kann mit Hilfe der Routh-Hurwitz-Kriterien die Stabilität eines Systems bestimmt werden, ohne daß die Lösungen der charakteristischen Gleichung ermittelt werden müssen. Einer der Hauptnachteile dieser Methode ist, daß sie keine Aussage über den Grad der Stabilität ermöglicht.

Die Zustandsvariablen-Methode Die Routh-Hurwitz-Kriterien lassen sich auch auf Systeme anwenden, die durch das folgende System linearer Differentialgleichungen ersten Grades beschrieben werden: ·_/·/• \ ~ J\\x\i

x2>

• • • > ^n)

X2>

· · · > ^n)

X2

=

fl(XU

xn

=

/π(·*1> X2i

· · · > *n)

(1.45)

Dieses System wird in der Matrixform zu *

=

A*)·

(1.46)

Für ein unabhängiges System sind sowohl χ als auch /(x) Spaltenvektoren, so daß man

χ = Ax

(1.47)

1.5 Das Nyquist-Stabilitätskriterium

27

schreiben kann, wobei Α eine «Xn-Matrix konstanter Koeffizienten ist. Die Lösung dieser Gleichung hat die Form [6}

*•· = Σ

(1.48)

wobei Xj die η Eigenwerte und C (/ die von den Anfangsbedingungen abhängigen Konstanten sind. Die charakteristische Gleichung dieses Systems ist |A - λ ΐ | = 0,

(1.49)

wobei I die Einheitsmatrix ist. Um der mühsamen Eigenwertbestimmung dieser Gleichung zu entgehen, ist es an dieser Stelle möglich, die Stabilität des Systems mit Hilfe der Routh-HurwitzKriterien zu prüfen. Die Entwicklung der Gleichung (1.49) führt zu α0λ"

+ α,;."-1

+ α2λ"~2

Η

+ a = 0.

(1.50)

Mit dieser Gleichung wird die Routh-Hurwitz-Determinante aufgestellt und die Stabilitätsprüfung genau so wie im vorigen Beispiel durchgeführt.

1.5 Das Nyquist-Stabilitätskriterium Es sei das in Fig. 1.8 wiedergegebene Blockdiagramm eines Regelkreises mit linearer Rückführung betrachtet. Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G c l ( j ) ist in der üblichen Schreibweise GclM =

Fig. 1.8.

G(s) 1 +

Regelkreis mit linearer Rückführung

(1.51)

28

1. Die klassischen Methoden

Dieses System wird instabil, wenn der Leistungsgewinn des offenen Regelkreises (1.52)

F(s)G(s) = -1

Mit Hilfe des Nyquist-Stabilitätskriteriums kann bestimmt werden, wann diese Bedingung erfüllt ist. Das Nyquist-Stabilitätskriterium lautet: Wenn der Leistungsgewinn F(jm)G(juS) des offenen Regelkreises als Bahnkurve in der komplexen Ebene für alle Werte von ω zwischen 0 und 0 0 aufgetragen wird und wenn diese Bahnkurve den Punkt ( - 1 , 0/') im Uhrzeigersinn umläuft, dann ist der geschlossene Regelkreis instabil. Typische Bahnkurven für lineare Systeme sind in Fig. 1.9 dargestellt.

Der Beweis für das Nyquist-Kriterium kann der Literatur entnommen werden [7] und sei hier nicht näher behandelt. Er kann dadurch geführt werden, daß man 1 + F{s)G(s) in der s-Ebene konform abbildet und so erreicht, daß eine Null auf der positiven Seite der Ebene durch ein instabiles System verursacht wird. Beispiel Für einen linearen Regelkreis sei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises gegeben durch

«Λ™

" (1 + ίΓ,Χΐ'

+/γ,ΧΙ

+ sTs)

)G{j«})

=

. *(1 + (1 + ; ω Γ 1 ) ( 1 + J(X>T2){\ +

ja>T3)

-

(1.54)

Man braucht dann nur noch festzustellen, ob die komplexe Variable F(j(ü) G(ja)) den Punkt ( — 1; + ß) umschließt. Der erste Schritt dieses Verfahrens besteht darin, die Gleichung (1.54) auf eine einfache komplexe Zahl zurückzuführen: F(joj)G(jüj)

= Α(ω) + ]Β(ω).

(1.55)

Läßt man jetzt ω Werte von 0 bis 0 0 durchlaufen, so läßt sich die in Fig. 1.9 gezeigte Bahnkurve in der komplexen Ebene auftragen.

Der Spielraum für den Leistungsgewinn Die Nyquist-Kurve ermöglicht nicht nur eine Aussage über die Gesamtstabilität des Systems, sondern gibt auch einen Hinweis auf den Stabilitätsgrad. Diese Bestimmung wird durch einen Leistungsindex, den sogenannten Spielraum des Leistungsgewinnes, ermöglicht. In Fig. 1.10 ist der Spielraum des Leistungsgewinnes (m) in einem NyquistDiagramm dargestellt.

Fig. 1.10.

Der Spielraum des Leistungsgewinnes

1. Die klassischen Methoden

30

Wie aus der Figur deutlich wird, ist der Spielraum des Leistungsgewinnes der Betrag, um den bei einem Phasenwinkel von 180° der Modul des Leistungsgewinnes über dem Wert - 1 bleibt.

Der Phasenspielraum In ähnlicher Weise zeigt der in Fig. 1.11 dargestellte Phasenspielraum 4>m den Betrag an, um den der Phasenwinkel bei einem Modul des Leistungsgewinnes von 1 unter 180° bleibt.

ω = °°

Fig. 1.11.

A

Der Phasenspielraum

1.6 Bode-Diagramme (Frequenzbeantwortungskurven) Unter dem Frequenzgang bzw. der Frequenzbeantwortungskurve eines Systems wird normalerweise eine logarithmische Auftragung des Leistungsgewinnes und des Phasenwinkels gegen die Sinusfrequenz des Eingangssignals verstanden. Im Zusammenhang mit Frequenzbeantwortungskurven wird der Leistungsgewinn üblicherweise in Dezibel definiert (dB) =

101oglo^

(1.56)

wobei P2 der Leistungsausgang und Λ der Leistungseingang des Systems sind. Für die elektrische Analogie eines solchen Systems kann die Leistung definiert werden als Yl ~R

(1.57)

1.6 Bode-Diagramme (Frequenzbeantwortungskurven)

31

wobei V die Spannung und R den Widerstand bedeuten. In dieser Anwendung wird Gleichung (1.56) zu Leistungsgewinn (dB) = 10 log 1 0

v

ι /-/M

Bei gleichen Eingangs- und Ausgangswiderständen diese Gleichung zu

·

(1.58)

= R2) vereinfacht sich

Leistungsgewinn (dB) = 20 log 1 0 ~

(1.59)

Für Rl Φ R2 ist Gleichung (1.59) ungültig. Im allgemeinen jedoch ist bei Frequenzbeantwortungsuntersuchungen der Ausdruck Ali s ßän 2 ssicnäl Leistungsgewinn des Systems (dB) = 20 log 1 0 --. :—Eingangssignal

(1.60)

stets anwendbar, und zwar selbst dann, wenn die Definition von dB in diesem Zusammenhang nicht absolut korrekt ist.

Angenäherte Frequenzbeantwortungskurven Als Beispiel sei ein linearer Regelkreis betrachtet, dessen Leistungsgewinn im offenen Kreis gegeben ist durch Gods) =

•

(1.61)

Der Modul des Leistungsgewinnes für dieses System ist dann 201og 1 0 |G O L (/w)| = 201og 1 0

1 dB 1 + ]ωτ

= 20 log 1 0 (1 + ω 2 τ 2 ) " * ·

(1.62) (1.63)

Für die Gleichung (1.63) seien zwei Grenzfälle betrachtet: 1. Mit ω -> 0 wird 20 log 1 0 | G 0 L O ) | -> OdB. 2. Für den Fall, daß ω große Werte annimmt, seien die Fälle ω = ω, und ω = ω2 betrachtet.

32

1. Die klassischen Methoden

Es ist dann 20 log 10 | G O L ( » | , = - 2 0 log 10 ω { τ

(1.64)

20 log 10 |G O L0'«)| 2 = - 2 0 log 10 ω 2 τ.

(1.65)

und

Durch Subtraktion der Gleichung (1.65) von (1.64) erhält man in abgekürzter Schreibweise |GOL|2 - M i

ω2τ

= - 2 0 log 10 — d B . W|T

(1.66)

Für ω2 = 2 ω ^ 1 Oktave) ist |GOL|2 -

|GOL|,

=

- 6

dB/Oktave.

Für ω 2 = 10«! (1 Dekade) gilt |G OL | 2 - |G o l |i

= - 2 0 dB/Dekade.

Aus diesen Ergebnissen erhält man die näherungsweise Leistungsgewinn(dB)Frequenz-Kurve, die in der in Fig. 1.12 dargestellten Weise aufgetragen werden kann. Diese Kurve fällt vom Einsatzpunkt ω = Ι/τ aus mit 6 dB/Oktave ab und zeigt in erster Näherung die Beantwortung des Betrachteten Systems (für eine Nacheilung).

g

ol(/U) dB

1

0

Fig. 1.12a. Log Leistungsgewinn-Frequenz-Kurve für eine Nacheilung in erster Näherung

1.6 Bode-Diagramme (Frequenzbeantwortungskurven)

33

Die exakte Beantwortungskurve

Die exakte Beantwortungscharakteristik für das im Vorhergehenden diskutierte System zeigt die in Fig. 1.13 unterbrochen dargestellte Kurve. Diese Kurve kann direkt durch Einsetzen des tatsächlichen Wertes von ω in Gleichung (1.63) erhalten werden. Beispielsweise erhält man durch Einsetzen der Einsatzpunktfrequenz ω = Ι/τ in (1.63) 201og 1 0 |G O L | = — 10 log 10 (1 + 1) = - 3 dB.

Der Fehler der angenäherten gegenüber der tatsächlichen Kurve beträgt also fiir diese Frequenz 3 dB. Nach den gleichen analytischen Verfahren lassen sich auch andere Systeme untersuchen. Die Fig. 1.14a und 1.15a zeigen log Leistungsgewinn-log ωCharakteristiken für eine Voreilschaltung und für einen Integrator.

3 Bell - G r i f f i n

34

1. Die klassischen Methoden

rung

Fig. 1.15a. Log Leistungsgewinn-Frequenz-Kurve für einen Integrator

35

1.6 Bode-Diagramme (Frequenzbeantwortungskurven)

log ω

-90°

Fig. 1.15b.

Phasen-Frequenz-Kurve für einen Integrator

Der wesentliche Vorteil der angenäherten log Leistungsgewinn-log ω-Charakteristiken besteht darin, daß sie, ohne daß jeder einzelne Punkt aufgetragen werden muß, leicht bestimmt werden können. Die wahre Kurve läßt sich zur Erhöhung der Genauigkeit leicht nachtragen. Auch läßt sich wegen der logarithmischen Auftragung leicht eine Kurvenaddition zu beliebigen Überlagerungskurven ausführen. Zur Verdeutlichung wurden für die im Vorhergehenden diskutierten Beispiele auch die Phasenwinkel-log ω-Kurven aufgetragen. Wenn es eine Reihe von Näherungsmethoden zur Konstruktion dieser Kurven gibt, so müssen doch im allgemeinen zumindest einige Punkte der Kurven berechnet werden. Beispiel Für ein allgemeines lineares Regelsystem sei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises τ Λ Go,(s)= · (1-67) 5(1 + ·ϊΓ 2 )(1 +

sT3)

Der Modul des logarithmischen Leistungsgewinns ist dann 20 log 10 | G ( » | = 20 log 10 Κ + 20 log 10 |1 + jwT,| - 2 0 log 10 Η

- 20 log.o |1 + jü)T2\

- 2 0 1 o g 1 0 |1 +js)]

ο

42

1. Die klassischen Methoden /ω

•κ1

σ

c

Fig. 1.20c. Wurzelortskurve für ÄT/[(1 + (i) durch v(0 =

1 r+oc2π

Y(jio) e Ja " doj

(1.80)

gegeben. Durch Einsetzen von >>(?) in Gleichung (1.79) erhält man

Ρ

Y(joj) eJÜ" doj.

.*(/) dt

=

(1.81)

Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge in Gleichung (1.81) führt zu

Ρ =

Y(jco) dco

x(t) d'M df.

(1.82)

Das Fourier-Integral von Λ:(ί) ist x(t) e~Jal

X(jd) - Γ J -1

Si(0

Fig. 1.21. Blockdiagramm eines zu optimierenden Systems

dt.

(1.83)

1.8 Optimale Auslegung linearer Regelkreise mit Rückführung durch klassische Methoden

45

Für das zweite in der Gleichung (1.82) zu berechnende Integral kann X(-jw)

=1 J -

*(/)

dt.

(1.84)

00

eingeführt werden. Gleichung (1.79) kann damit als Produkt zweier FourierTransformationen geschrieben werden und wird zu "+00 X(-joj)Y(joj)

doj

(1.85)

Diese Gleichung wird als Parseval-Theorem bezeichnet. Sie ist ganz besonders zur Lösung des oben beschriebenen Optimierungsregelproblemes geeignet. Das in diesem Problem als Funktion der Fehlers e zu berechnende IFQ ist *+00

IFQ = — 2π

ε( — jio)z{j(a) άω

(1-.86)

— CO

wobei e üblicherweise als Funktion der Übertragungsfunktion des Systems bestimmt wird. Das IFQ hängt daher von den Werten der Parameter des Systems einschließlich der Parameterwerte der Kompensationsschaltung und dem aufgegebenen Eingangssignal ab. Die gesamte Optimierung ist dadurch auf die Bestimmung des Minimums des IFQ in Abhängigkeit von den freien Parametern der Kompensationsschaltung zurückgeführt worden. Bezeichnet man diese Parameter als α,, so ist also lediglich die Gleichung d( IFQ ) = 0. da,

(1.87)

zu lösen.

Beispiel Es sei ein Flugbahnkontrollsystem einer Boden-Luft-Abwehrrakete mit vereinfachter ballistischer Dynamik betrachtet. Das in Fig. 1.22 im Blockdiagramm dargestellte System wird durch die folgenden Übertragungsfunktionen charakterisiert: Gc(s) = Kc

(1.88)

1. Die klassischen Methoden

46 G

c(s)

Fig. 1.22.

Gm(s)

Blockdiagramm eines Abwehrraketen-Kontrollsystems

wobei Gleichung (1.88) der freie, anzupassende Parameter ist, und 100 G - M = s(s2 +, 150Γ+ ι cno , 104)

(189>

Der Fehler e kann dann als

rfL

Φ) = r r , V 1 + Gc(s)Gm(s)

^ i •

geschrieben werden. Für ein stufenförmiges Eingangssignal mit der Amplitude Α wird mit Hilfe der Fourier-Transformation

>ij0i)

=

A 1 2 > 1 + \()QKJ{jü)[(jo)) + 150/ω + ΙΌ4]}

(1 91

' *

erhalten. Diese Gleichung vereinfacht sich schließlich zu

£

A(jco)2 + 150/ω + 104 τ -JVJVJ -Γ (j°>) = (jcd) r~V3-3 +, 1150( A 22 +, 1Λ4;.. ΓλλΙ. · W ; ,jo) 1 0 > ; +, 100ÄT ( 1

•

1

\

(1 -92)

Mit =

0.93)

wird Gleichung (1.86) zu 1 f + QO

Ν(-ι'ω)ΝΠω)

47

1.9 Zusammenfassung

Komplexe Integrale dieses Typs sind in der Literatur [2] tabelliert. Die Lösung der Gleichung (1.94) ist +

' ~ 2CoC2)DOD3 + 2D0D3(-D0D3 + D{D2)

IFO =

(C 2

C02D2D3 •

wobei die Koeffizienten C2 = ΰ

3

A,

= 1,

Cx =

150Λ,

C0 =

D2

150,

Di

=

104A,

= 104,

D0

=

ιοο/ς

sind. Der Endschritt zur Bestimmung des Optimums von Kc ist dann relativ einfach und besteht lediglich in der partiellen Differentiation der Gleichung (1.95) nach Kc, d.h. Kc

=

(1.96)

Gleichung (1.96) liefert dann direkt das Optimum von Kc.

1.9 Zusammenfassung Es wurde eine Übersicht über die klassischen Methoden der Analyse linearer Regelsysteme mit Rückführung gegeben. Wenngleich es auch nicht möglich war, die einzelnen Methoden eingehend zu behandeln, so wurden dem Leser doch genügend Informationen und Literaturzitate zur Verfugung gestellt, um ihm einen umfassenderen Einblick in die Materie der folgenden Kapitel zu ermöglichen.

Literaturzitate [1] [2] [3] [4] [5] [6]

Douce, J. L.. An introduction to the mathematics of servomechanisms, 1963, S. 4 8 - 5 2 , English Universities Press. Newton, G. C., Gould, L. Α., und Kaiser, J. F., Analytical design of linear feedback controls, 1957, John Wiley & Sons. Thaler, G. J. und Brown, R. G., Analysis and design of feedback control systems, 1960, S. 9 - 2 9 , McGraw-Hill. Thaler, G. J. und Brown, R. G., ebda., S. 1 1 7 - 5 0 . West, J. C., 1953, Servomechanisms, English Universities Press. Gibson, J. E., 1963, Non-linear automatic control, McGraw-Hill.

48 [7] [8] [9]

1. Die klassischen Methoden Thaler, G. J. und Brown, R. G.. ebda., S. 2 0 4 - 7 . Raven, F. H., A u t o m a t i c control engineering, 1961, McGraw-Hill. Graham, D. und Lathrop, R. C., 'The synthesis of " o p t i m u m " transient response: criteria and standard f o r m s ' , Proc. Am. Inst. Elect. Engrs, Nov., 1953.

Anhang: Laplace-Transformationen Zeitfunktion

Laplace-Transformation F(s)

/(')

1

"(f) (Einheitsstufen-Funktion)

s 1

6(t) (Einheitsimpuls)

1

t

?

n!

t" (n = ganze Zahl)

J"^ 1

e'"'

s + a 1

e""' -

(i + a)(s + b) ω 2

η

2

s

+ 2δω^

ω

+

e""

b - a

ω2

y/\

" ~ δ2

δ2 l

sin οι„. /1

1 '

T"(n -

(1 + STT ω 2

(1 + Ts)(s

2

Τω

+ 20w„s +

2

ω)

2

e ~"τ

/""

1

C ~ "

2

1 - 2 t0 + Τ ||x(f, f 0 , ,x°)|| < ε' einschließt, dann wird ein System stabil genannt. b) Asymptotische Stabilität. Wenn darüber hinaus mit t —• oo auch ||x(r, t0, x°)|| —• 0, dann wird ein System asymptotisch stabil genannt.

52

2. Direkte Methode der Analyse nichtlinearer Regelkreise nach Ljapunow

Ljapu now-Stab i I itätstheoreme Bevor mit der Beschreibung dieser beiden der vielen Ljapunow-Theoreme fortgefahren werden soll, ist es notwendig, die Begriffe „begrenzt" und „halb begrenzt" zu definieren. Definition 1. Positiv begrenzt Eine skalare Funktion V (x) ist positiv begrenzt, wenn für alle||x||< h V(x) > 0 ist, und zwar für alle χ / 0 und K(0) = 0. Definition 2. Positiv halb begrenzt Eine skalare Funktion F(x) ist positiv halb begrenzt, wenn fur]|x|| < h F(x) 0 ist, und zwar für alle χ und für F(0) = 0. a) Stabilitätstheorem (Ljapunow-Stabilität). Wenn in einem Bereich Ω in der Nähe des Ursprunges eine positiv begrenzte Funktion F(x) negativ halb begrenzt ist, dann ist der Ursprung stabil. b) Das asymptotische Stabilitätstheorem. Wenn die Funktion F(x) negativ begrenzt ist, dann wird die geprüfte Stabilität asymptotisch. In der oben dargestellten Form prüft die asymptotische Stabilität die Stabilität eines Systems in einem beliebigen schmalen Bereich um den Ursprung und ist für die meisten praktischen Beispiele, bei denen nichtlineare Differentialgleichungen auftreten, nicht besonders geeignet. Deshalb sei ein drittes Theorem mitgeteilt, daß die Bestimmung günstigerer Stabilitätsgrenzen ermöglicht. c) Ein zweites asymptotisches Stabilitätstheorem [5]. Existiert eine reelle skalare Funktion F(x), die ihrerseits kontinuierlich ist und kontinuierliche erste partielle Ableitungen nach jeder der Zustandsvariablen hat, so daß 1. F(x) positiv begrenzt im umschriebenen Bereich Ω ist, 2. eine der Oberflächen von F(x) = Κ an Ω grenzt, 3. der Gradient von F(x),VF außer an der Stelle χ = 0 nirgendwo in Ω Null ist, 4. dV/dT negativ begrenzt oder halb begrenzt in Ω ist und 5. dV/dt außer an der Stelle χ = 0 für keine Lösung des Systems identisch gleich Null ist, dann ist das System asymptotisch stabil.

2.3 Einfache quadratische Ljapunow-Funktionen Das einfachste und elementarste Beispiel einer quadratischen Ljapunow-Funktion ist die Gesamtenergie pro Masseneinheit oder die Gesamtheit der Trägheitsmomente eines Massen-Feder-Systems, das als nichtlineares Regelsystem

53

2.3 Einfache quadratische Ljapunow-Funktionen

zweiter Ordnung beschrieben und durch die Lienard-Gleichung dargestellt werden kann, χ + f(x)x

+ g(x) = 0,

(2.5)

wobei sowohl f(x) als auch g(x) nichtlineare Funktionen der Dämpfung beziehungsweise Feder sind. Die Federcharakteristik g(x) ist gegeben durch 0 für alle χ φ 0.

(2.7)

Gleichung (2.7) ist also eindeutig und geht durch den Ursprung der g(x)-xCharakteristik. Wählt man die Zustandsvariablen des Systems x l = χ und x2 = x, so ist und

χ, = x ,

(2.8)

Χι = -