Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke: Dimensionierung, Analyse und Synthese [2. Auflage] 3658425547, 9783658425548, 9783658425555

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Reiner Thiele

Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke Dimensionierung, Analyse und Synthese 2. Auflage

Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke

Reiner Thiele

Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke Dimensionierung, Analyse und Synthese 2. Auflage

Reiner Thiele Zittau, Deutschland

ISBN 978-3-658-42554-8 ISBN 978-3-658-42555-5  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023, 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Reinhard Dapper Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Das Papier dieses Produkts ist recyclebar.

Vorwort zur zweiten Auflage

Hinsichtlich der ersten Auflage hat es überwiegend Zustimmung, jedoch auch konstruktive Kritik gegeben. In Übereinstimmung mit dem Auftraggeber wurde deshalb das Grundkonzept des Buches in der zweiten Auflage beibehalten und im Wesentlichen nur die Lesbarkeit der Formeln mit Exponentialfunktionen durch Vergrößerung des Schriftgrades des Exponenten verbessert. Wir haben hier sämtliche Literaturstellen kapitelweise numeriert, um eine eindeutige Zuordnung zu den entsprechenden Angaben im Text zu erhalten. Außerdem hat der Verlag freundlicherweise die Darstellung der eBook- und PrintVersionen im 4-farbigen Layout für spannungs- und strombezogene Sachverhalte in den Abbildungen beibehalten. Den Mitarbeiter*innen des Springer Verlages habe ich zu verdanken, dass viele meiner Wünsche zur attraktiven Gestaltung des Werkes in Erfüllung gegangen sind. Reiner Thiele

V

Vorwort zur ersten Auflage

Jahrelang versuchte man, einheitliche Methoden zur Dimensionierung, Analyse und Synthese für Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke zu entwickeln. Hier finden Sie die Lösungen zu quasilinearen, d. h. affinen Realisierungen gesteuerter Quellen, bestehend aus Transistoren, Widerständen sowie Gleichstrom- und Gleichspannungsgeneratoren. Zur Dimensionierung der Realisierungen ersetzen wir die Transistoren hinsichtlich des Arbeitspunktes als Fixpunkt durch ihre Fixator-Modelle und diese in einem weiteren Schritt durch u-i-Generatoren. Dieses Vorgehen erlaubt die Zerlegung gesteuerter Quellen in geeignete Unternetzwerke zur schnellen Ermittlung der linearen Gleichungssysteme für die Arbeitspunktgrößen einerseits und die Quellendimensionierung andererseits. Als nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke analysieren und synthetisieren wir einschlägige Gleichrichter-Netzwerke. Dazu erfolgt die Applikation neuer Dioden-Modelle, die mithilfe charakteristischer Momente und Funktionen hergeleitet werden. Die u-i-Relation der idealen Diode ergibt sich hierbei aus einfachen Restriktionen für die Sprungfunktionen im Modell der realen Diode. Zum Verständnis der geschilderten Sachverhalte scheint die Einteilung des vorgelegten Werkes in die Kapitel „Quasilineare Netzwerke“ und „Nichtlineare Netzwerke“ zweckmäßig zu sein. Dabei wird bewusst auf die Darstellung der gesamten Netzwerktheorie verzichtet. Vielmehr stellen wir die exemplarische Wissensvermittlung mit praxisrelevanten Aufgaben in den Mittelpunkt. Durch die Angabe der vollständigen Lösungen im Anhang findet der Leser auch einen Zugang zu schwierigen mit Stern gekennzeichneten Aufgaben. Es ist mir ein Bedürfnis, dem Springer Verlag für die sehr gute Zusammenarbeit bei der Herstellung und Veröffentlichung dieses Werkes zu danken. Reiner Thiele

VII

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Quasilineare Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1 Definition des Fixators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Fixatoren und u-i-Generatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Fixator-Modelle von Transistoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 Dimensionierung gesteuerter Quellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4.1 Dimensionierungs-Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4.2 Dimensionierung der IUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4.3 Dimensionierung der IIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.4 Dimensionierung der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.5 Dimensionierung der IIIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.6 Dimensionierung der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.7 Dimensionierung der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.8 Dimensionierung der NUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.9 Dimensionierung der NIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Aufgaben zu quasilinearen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Nichtlineare Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1 Transistor-Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Nichtlineare Transistor-Modelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Klemmenverhalten gesteuerter Quellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2.1 Klemmenverhalten der IUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2.2 Klemmenverhalten der IIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2.3 Klemmenverhalten der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2.4 Klemmenverhalten der IIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2.5 Klemmenverhalten der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2.6 Klemmenverhalten der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2.7 Klemmenverhalten der NUUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 IX

X

Inhaltsverzeichnis

3.1.2.8 Klemmenverhalten der NIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.3 Synthese gesteuerter Quellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.3.1 Synthese-Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.3.2 Synthese der IUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.3.3 Synthese der IIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.3.4 Synthese der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3.5 Synthese der IIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.3.6 Synthese der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.3.7 Synthese der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.3.8 Synthese der NUUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.3.9 Synthese der NIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Dioden-Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.1 Nichtlineare Dioden-Modelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.2 Resistive Dioden-Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2.1 Analyse des resistiven Einweg-Gleichrichters. . . . . . . . . . 61 3.2.2.2 Analyse des resistiven Zweiweg-Gleichrichters. . . . . . . . 63 3.2.2.3 Synthese des resistiven Einweg-Gleichrichters. . . . . . . . . 66 3.2.2.4 Synthese des resistiven Zweiweg-Gleichrichters. . . . . . . . 68 3.2.3 Dynamische Dioden-Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.3.1 Analyse des dynamischen Einweg-Gleichrichters. . . . . . . 70 3.2.3.2 Analyse des dynamischen Zweiweg-Gleichrichters . . . . . 73 3.2.3.3 Synthese des dynamischen Einweg-Gleichrichters. . . . . . 75 3.2.3.4 Synthese des dynamischen Zweiweg-Gleichrichters. . . . . 77 3.3 Aufgaben zu nichtlinearen Netzwerken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Appendix B. Graphentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Appendix C. Lösungsverhalten resistiver Dioden-Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . 127 Appendix D. Lösungsverhalten dynamischer Dioden-Netzwerke . . . . . . . . . . . . 129 Weiterführende Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Abkürzungsverzeichnis

AP Arbeitspunkt B Basis C Kollektor D Diode E Emitter FI Fixator ID ideale Diode IIQ stromgesteuerte Stromquelle IIIQ invertierende stromgesteuerte Stromquelle IIUQ invertierende stromgesteuerte Spannungsquelle IUIQ invertierende spannungsgesteuerte Stromquelle IUUQ invertierende spannungsgesteuerte Spannungsquelle KV Klemmenverhalten NW Netzwerk NIIQ nichtinvertierende stromgesteuerte Stromquelle NIUQ nichtinvertierende stromgesteuerte Spannungsquelle NO Norator NUIQ nichtinvertierende spannungsgesteuerte Stromquelle NU Nullator NUUQ nichtinvertierende spannungsgesteuerte Spannungsquelle UUQ spannungsgesteuerte Spannungsquelle

XI

Formelzeichen

A Index für den Arbeitspunkt A Matrix − A+ Pseudoinverse − B Stromverstärkung C Kapazität E Einheitsmatrix − e Euler- Zahl f Frequenz G Leitwert I Fixpunkt- Strom, Noratorstrom, maximaler Strom konstanter Quellenstrom Iq I Strom-Amplitude i äußerer Strom im Zeitbereich ¯i linearer Strom-Mittelwert konstanter innerer Strom J innerer Strom im Zeitbereich, imaginäre Einheit j K Konstante L Induktivität N Menge geordneter Paare aus Klemmenspannungen und –strömen n Anzahl der Tore Q Ladung R Widerstand s(W) Sprungfunktion von W T Periodendauer t Zeit Fixpunkt-Spannung, charakteristisches Spannungsmoment U konstante Quellenspannung Uq Uˆ Spannungs-Amplitude u äußere Spannung im Zeitbereich

XIII

XIV

zeitabhängige Quellenspannung uq u¯ linearer Spannungs-Mittelwert konstante innere Spannung V innere Spannung im Zeitbereich v freie Variable w z freie Variable z freier Vektor α Koeffizient γ (d) charakteristische Funktion von d i Spitze-Spitze-Wert der Wechselstrom-Komponente u Spitze-Spitze-Wert der Wechselspannungs-Komponente ψ Induktionsfluss ω Kreisfrequenz χ Äquivalenztyp τ Zeitkonstante

Formelzeichen

Abbildungsverzeichnis

Abb. 2.1 Abb. 2.2 Abb. 2.3 Abb. 2.4 Abb. 2.5 Abb. 2.6 Abb. 2.7 Abb. 2.8 Abb. 2.9 Abb. 2.10 Abb. 2.11 Abb. 2.12 Abb. 2.13 Abb. 2.14 Abb. 2.15 Abb. 2.16 Abb. 2.17 Abb. 2.18 Abb. 2.19 Abb. 2.20 Abb. 2.21 Abb. 2.22 Abb. 2.23 Abb. 2.24 Abb. 2.25 Abb. 2.26 Abb. 2.27 Abb. 2.28 Abb. 2.29

Kennlinie des Fixators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 u-i-Generatormodelle der Fixatoren mit a) VerbraucherZählpfeilen b) Erzeuger-Zählpfeilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fixator-Modell des npn-Transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Fixator-Modell des pnp-Transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Erweiterte Transistor-Realisierung der IUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Fixator-Ersatzschaltung der IUIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Stromquellen-Netzwerk der IUIQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Spannungsquellen-Netzwerk der IUIQ mit Nullatoren . . . . . . . . . . . . . 9 Erweiterte Transistor-Realisierung der IIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Fixator-Ersatzschaltung der IIUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Stromquellen-Netzwerk der IIUQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Spannungsquellen-Netzwerk der IIUQ mit Nullatoren . . . . . . . . . . . . . 13 Erweiterte Transistor-Realisierung der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Fixator-Ersatzschaltung der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Stromquellen-Netzwerk der IUUQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Spannungsquellen-Netzwerk der IUUQ mit Nullatoren . . . . . . . . . . . . 15 Erweiterte Transistor-Realisierung der IIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fixator-Ersatzschaltung der IIIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Stromquellen-Netzwerk der IIIQ mit Noratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Spannungsquellen-Netzwerk der IIIQ mit Nullatoren. . . . . . . . . . . . . . 17 Erweiterte Transistor-Realisierung der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fixator-Ersatzschaltung der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Stromquellen-Netzwerk der NUIQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Spannungsquellen-Netzwerk der NUIQ mit Nullatoren . . . . . . . . . . . . 20 Erweiterte Transistor-Realisierung der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fixator-Ersatzschaltung der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Stromquellen-Netzwerk der NIUQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Spannungsquellen-Netzwerk der NIUQ mit Nullatoren . . . . . . . . . . . . 23 Erweiterte Transistor-Realisierung der NUUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 XV

XVI

Abb. 2.30 Abb. 2.31 Abb. 2.32 Abb. 2.33 Abb. 2.34 Abb. 2.35 Abb. 2.36 Abb. 2.37 Abb. 2.38 Abb. 3.1 Abb. 3.2 Abb. 3.3 Abb. 3.4 Abb. 3.5 Abb. 3.6 Abb. 3.7 Abb. 3.8 Abb. 3.9 Abb. 3.10 Abb. 3.11 Abb. 3.12 Abb. 3.13 Abb. 3.14 Abb. 3.15 Abb. 3.16 Abb. 3.17 Abb. 3.18

Abb. 3.19 Abb. 3.20 Abb. 3.21 Abb. 3.22 Abb. 3.23 Abb. 3.24 Abb. 3.25 Abb. 3.26 Abb. 3.27

Abbildungsverzeichnis

Fixator-Ersatzschaltung der NUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Stromquellen-Netzwerk der NUUQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . 25 Spannungsquellen-Netzwerk der NUUQ mit Nullatoren. . . . . . . . . . . . 25 Erweiterte Transistor-Realisierung der NIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Fixator-Ersatzschaltung der NIIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Stromquellen-Netzwerk der NIIQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Spannungsquellen-Netzwerk der NIIQ mit Nullatoren . . . . . . . . . . . . . 28 Transistor-Realisierung der UUQ [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Transistor-Realisierung der IIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Nichtlineare Transistor-Modelle [1, 2] a npn-Transistor b pnp-Transistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IUIQ . . . . . . . . . . . . . . 44 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IIUQ . . . . . . . . . . . . . . 45 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IUUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . 48 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IIIQ. . . . . . . . . . . . . . . 51 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NUIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . 53 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NIUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . 55 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NUUQ. . . . . . . . . . . . . 58 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NIIQ . . . . . . . . . . . . . . 60 Dioden-Modelle a Schaltsymbol und Zählpfeile b Nichtlineare Kennlinie der realen Diode c Linearisierte Kennlinie der idealen Diode [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Resistiver Einweg-Gleichrichter [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Resistive Einweg-Gleichrichtung der Sinusfunktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Resistiver Zweiweg-Gleichrichter [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Resistive Zweiweg-Gleichrichtung der Sinusfunktion a Partikuläre Lösungen b Homogene Lösungen c Gesamtlösung. . . . . 67 Netzwerk-Zerlegung des resistiven Einweg-Gleichrichters. . . . . . . . . . 68 Netzwerk-Zerlegung des resistiven Zweiweg-Gleichrichters. . . . . . . . . 70 Dynamischer Einweg-Gleichrichter [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Dynamische Einweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung. . . . . . . . . 73 Dynamischer Zweiweg-Gleichrichter [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Abbildungsverzeichnis

XVII

Abb. 3.28 Dynamische Zweiweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung. . . . . . . . . 76 Abb. 3.29 Netzwerk-Zerlegung des dynamischen Einweg-Gleichrichters. . . . . . . 77 Abb. 3.30 Netzwerk-Zerlegung des dynamischen Zweiweg-Gleichrichters. . . . . . 79 Abb. 3.31 Resistiver Mittelpunkt-Gleichrichter [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Abb. 3.32 Dynamischer Mittelpunkt-Gleichrichter [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Abb. 3.33 Einweg-Gleichrichter mit Drossel und Nulldiode [6] . . . . . . . . . . . . . . 81 Abb. 3.34 Mittelpunkt-Gleichrichter mit Glättungsdrossel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Abb. 3.35 Drehstrom-Brücken-Gleichrichter [7] a Netzwerk b Spannungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Abb. L1 Erweiterte Transistor-Realisierung der UUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Abb. L2 Fixator-Ersatzschaltung der UUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Abb. L3 Stromquellen-Netzwerk der UUQ mit Noratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Abb. L4 Spannungsquellen-Netzwerk der UUQ mit Nullatoren. . . . . . . . . . . . . 95 Abb. L5 Erweiterte Transistor-Realisierung der IIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Abb. L6 Fixator-Ersatzschaltung der IIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Abb. L7 Stromquellen-Netzwerk der IIQ mit Noratoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Abb. L8 Spannungsquellen-Netzwerk der IIQ mit Nullatoren. . . . . . . . . . . . . . . 98 Abb. L9 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der UUQ mit Noratoren . . . . . . 103 Abb. L10 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der UUQ mit Nullatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Abb. L11 Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IIQ mit Noratoren. . . . . . . . 105 Abb. L12 Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IIQ mit Nullatoren. . . . 106 Abb. L13 Resistive Mittelpunkt-Gleichrichtung der Sinusfunktion a Lastspannung b Laststrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Abb. L14 Netzwerk-Zerlegung des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters. . . . . . . 109 Abb. L15 Dynamische Mittelpunkt-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung. . . . . . . . . 111 Abb. L16 Netzwerk-Zerlegung des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters. . . . 113 Abb. L17 Einweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion mit Drossel & Nulldiode a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Abb. L18 Netzwerk-Zerlegung des Einweg-Gleichrichters mit Drossel & Nulldiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Abb. L19 Mittelpunkt-Gleichrichtung der Sinusfunktion mit Drossel (a) Eingangsspannung (b) Laststrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Abb. L20 Netzwerk-Zerlegung des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Glättungsdrossel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Abb. L21 Spannungen am Drehstrom-Brücken-Gleichrichter (a) Dreiphasenspannungen (b) Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Abb. L22 Resistives Dioden-Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Abb. L23 Dynamisches Dioden-Netzwerk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Lösungsverzeichnis

L 2.1 L 2.2 L 2.3 L 2.4 L 2.5 L 2.6 L 2.7 L 2.8 L 2.9 L 2.10 L 2.11 L 2.12 L 2.13 L 2.14 L 2.15 L 2.16 L 2.17 L 2.18 L 2.19 L 2.20 L 2.21 L 2.22 L 2.23 L 2.24 L 2.25 L 2.26* L 2.27* L 3.1* L 3.2

Arbeitspunktfixierung der IUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Quellendimensionierung der IUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Arbeitspunktfixierung der IIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Quellendimensionierung der IIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Arbeitspunktfixierung der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Quellendimensionierung der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Arbeitspunktfixierung der IIIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Quellendimensionierung der IIIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Arbeitspunktfixierung der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Quellendimensionierung der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Arbeitspunktfixierung der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Quellendimensionierung der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Arbeitspunktfixierung der NUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Quellendimensionierung der NUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Arbeitspunktfixierung der NIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Quellendimensionierung der NIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Parameterbestimmung an Transistor-Kennlinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Parameterbestimmung der IUIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Parameterbestimmung der IIUQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Parameterbestimmung der IUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Parameterbestimmung der IIIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Parameterbestimmung der NUIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Parameterbestimmung der NIUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Parameterbestimmung der NUUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Parameterbestimmung der NIIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Dimensionierung einer UUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Dimensionierung einer IIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Eingangskennlinie des pnp-Transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Klemmenverhalten der UUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

XIX

XX

L 3.3 L 3.4* L 3.5* L 3.6 L 3.7 L 3.8* L 3.9 L 3.10* L 3.11 L 3.12* L 3.13 L 3.14 L 3.15 L 3.16 L 3.17 L 3.18

Lösungsverzeichnis

Klemmenverhalten der IIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Synthese der UUQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Synthese der IIQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Analyse des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Synthese des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Analyse des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters . . . . . . . . . . . . . . . 109 Synthese des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters. . . . . . . . . . . . . . . 111 Analyse des Einweg-Gleichrichters mit Drossel und Nulldiode. . . . . . . . 113 Synthese des Einweg-Gleichrichters mit Drossel und Nulldiode . . . . . . . 115 Analyse des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Drossel. . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Synthese des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Drossel. . . . . . . . . . . . . . . . 118 Dimensionierung des Ladekondensators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Dimensionierung der Glättungsdrossel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Intervallrestriktionen gleichgerichteter Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Drehstrom-Brücken-Gleichrichter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Dioden-Umschaltzeitpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1

Einleitung

Kirchhoff-Netzwerke lassen sich einteilen in lineare, quasilineare und nichtlineare Netzwerke. Hier dimensionieren wir Netzwerke mit Transistoren hinsichtlich der ArbeitspunktEinstellung unter Verwendung von Gleichstrom- und Gleichspannungsquellen als sogenannte affine Netzwerke. Die Affinität bezieht sich darauf, dass sie als Zusammenschaltung unabhängiger Strom- und Spannungsquellen mit einem linearen Netzwerk darstellbar sind [1]. Wir bezeichnen sie deshalb als quasilineare Netzwerke. Zur Arbeitspunkt-Einstellung müssen die linearen Transistor-Realisierungen für den Kleinsignalbetrieb vorliegen. Das ist z. B. in [2] der Fall. Dioden-Netzwerke bemessen wir im Großsignalbetrieb in Form von Gleichrichterschaltungen. Sie sind spezielle nichtlineare resistive oder dynamische Netzwerke. Sowohl die Analyse als auch die Synthese der linearen resistiven und dynamischen Kirchhoff-Netzwerke finden Sie für gesteuerte Quellen, Konverter und Gyratoren im Kleinsignalbetrieb in [2]. Dabei versteht man unter Kirchhoff-Netzwerken solche, die das Kirchhoffsche Stromund Spannungsgesetz neben der u-i-Relation erfüllen [2]. Zur Aneignung des Stoffes scheint die Zerlegung in folgende Teilaufgaben zweckmäßig zu sein: 1. Verständnis quasi- und nichtlinearer Netzwerk-Modelle hinsichtlich der u-iRelationen zugehöriger Unternetzwerke, 2. Applikation von Aspekten der Graphentheorie auf die Zusammenschaltung von n-TorNetzwerken, 3. Herleitung von linearen Gleichungssystemen zur effektiven Dimensionierung quasilinearer Kirchhoff-Netzwerke,

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5_1

1

2

1 Einleitung

4. Entwicklung zielführender Analyse- und Synthese-Algorithmen für quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, 5. Ausprägung von Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der exemplarischen Applikation der Verfahren zur Analyse sowie Synthese resistiver und dynamischer Netzwerke.

Literatur 1. Reibiger, A.; Straube, B.: Ein Beitrag zum deduktiven Aufbau der Netzwerktheorie. TUpreprints 09-10-76, Dresden, Teil III, S. 6 2. Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden (2022)

2

Quasilineare Netzwerke

Ausgehend von Fixator-Modellen bipolarer Transistoren in quasilinearen gesteuerten Quellen zeigen wir ihre Dimensionierung. Dazu erfolgt die Kirchhoff-Analyse mit einer Zerlegung der zugehörigen Ersatzschaltungen in ein Stromquellen-Netzwerk mit Noratoren sowie ein Spannungsquellen-Netzwerk mit Nullatoren. Als Ergebnis erhält man zwei lineare Gleichungssysteme, einerseits aufgelöst nach gesuchten Arbeitspunktgrößen bzw. eingeprägten Gleichströmen und Gleichspannungen andererseits.

2.1 Definition des Fixators Wir definieren den Fixator wie folgt. Definition 2.1 Fixator Der Fixator wird durch ein einziges geordnetes Paar aus der Klemmenspannung U und dem Klemmenstrom I als 1-Tor-Netzwerk in der Form     NFI = (U, I)|(U, I) = Uq , Iq , Uq = const. ∧ Iq = const. (2.1)   mit dem Fixpunkt Uq , Iq definiert. Abb. 2.1 zeigt die Fixator-Kennlinie. Sie besteht aus einem Punkt in der U-I-Ebene. Dabei stellt der Nullator mit

NNU = { (U, I)|(U, I) = (0, 0)}

(2.2)

einen Spezialfall des Fixators dar.

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5_2

3

4

2  Quasilineare Netzwerke

Abb. 2.1   Kennlinie des Fixators

2.2 Fixatoren und u-i-Generatoren Fixatoren lassen sich klemmenäquivalent durch u-i-Generatoren als Verbraucher oder Erzeuger nach Abb. 2.2 darstellen. Hierbei besteht jeder u-i-Generator aus der Zusammenschaltung einer Gleichstromquelle mit dem konstanten Strom Iq, einer Gleichspannungsquelle mit der konstanten Spannung Uq und einem Nullator. Da sowohl Iq als auch Uq sozusagen eingeprägt sind, ist das gewählte Schaltsymbol des Fixators in Abb. 2.2 sinnvoll. Das Schaltsymbol des Nullators entnehmen Sie bitte aus den u-i-Generatoren. In Analogie zur Parallelschaltung von Norator- und Nullator-Netzwerk bei der Analyse oder Synthese linearer Kirchhoff-Netzwerke nach [1] ergibt sich im quasilinearen Fall die Möglichkeit der Netzwerk-Zerlegung in die Parallelschaltung eines Stromquellen-Netzwerkes mit Noratoren und eines Spannungsquellen-Netzwerkes mit Nullatoren. Dazu muss man sämtliche Fixatoren durch die in Abb. 2.2 rechts dargestellten u-i-Generatoren ersetzen, weil darin die Parallelschaltung eines StromquellenZweiges mit einem Zweig aus Spannungsquelle und Nullator an den Klemmen auftritt.

Abb. 2.2   u-i-Generatormodelle der Fixatoren mit a) Verbraucher-Zählpfeilen b) Erzeuger-Zählpfeilen

2.3  Fixator-Modelle von Transistoren

5

Beim Norator als pathologisches Elementarnetzwerk sind Strom I und Spannung U beliebig. Als Symbol hierfür wählen wir nach Gl. 2.3 die Ziffer 8 und später das der 8 ähnliche Schaltsymbol.

NNO = { (U, I)|(U, I) = (8, 8)}

(2.3)

2.3 Fixator-Modelle von Transistoren Abb. 2.3 zeigt das Fixator-Modell des npn-Transistors mit den zugehörigen Strömen und Spannungen im Arbeitspunkt A. Dabei setzen wir hier voraus, dass der Fixpunkt jedes Fixators mit dem Arbeitspunkt auf der entsprechenden Transistor-Kennlinie übereinstimmt. Aus Abb. 2.3 und 2.4 erhält man jeweils mit dem Kirchhoffschen Stromgesetz

IEA = IBA + ICA

(2.4)

Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz liefert am npn-Transistor

UCEA = UBEA + UCBA

(2.5)

Gemäß Abb. 2.4 ergibt das Kirchhoffsche Spannungsgesetz am pnp-Transistor

UECA = UEBA + UBCA

Abb. 2.3   Fixator-Modell des npn-Transistors

Abb. 2.4   Fixator-Modell des pnp-Transistors

(2.6)

6

2  Quasilineare Netzwerke

Ergänzende Hinweise 1. Die drei Klemmen des Transistors heißen Basis (B), Kollektor (C) und Emitter (E). 2. Die Bezeichnungen „npn“ oder „pnp“ beschreiben die räumliche Zonenfolge n- und p-leitender Gebiete hinsichtlich des Aufbaus eines Bipolartransistors als Halbleiter.

2.4 Dimensionierung gesteuerter Quellen 2.4.1 Dimensionierungs-Algorithmus Zur effektiven Realisierung gesteuerter Quellen verwenden wir den folgenden. Dimensionierungs-Algorithmus 1. Erweitern der Transistor-Realisierungen gesteuerter Quellen mit Gleichstrom- und Gleichspannungsquellen, 2. Ersetzen der Transistoren durch ihre Fixator-Modelle, 3. Zerlegen der Fixator-Ersatzschaltungen gesteuerter Quellen in ein StromquellenNetzwerk mit Noratoren und ein Spannungsquellen-Netzwerk mit Nullatoren durch Applikation geeigneter u-i-Generatormodelle der Fixatoren, 4. Analysieren dieser Netzwerke mit dem Kirchhoff-Formalismus unter Berücksichtigung von Aspekten der Graphentheorie sowie Formulierung der zugehörigen ui-Relation, 5. Dimensionieren der gesteuerten Quellen mit zwei linearen Gleichungssystemen in Ergebnis-Darstellung zur 5.1 Arbeitspunktfixierung, 5.2 Quellendimensionierung. Hinweis Grundlegende Definitionen zur Graphentheorie finden Sie im Anhang.

2.4.2 Dimensionierung der IUIQ Wir applizieren nun für die invertierende spannungsgesteuerte Stromquelle (IUIQ) den Algorithmus nach Abschn. 2.4.1. 1. Erweitern Der Arbeitspunkt (AP) wird so eingestellt, dass die äußeren Klemmenströme und Klemmenspannungen im AP grundsätzlich Null sind. Dann bleibt die Linearität der

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

7

gesteuerten Quellen für den Kleinsignalbetrieb erhalten. Symbolisch realisiert man die verschwindenden AP-Größen an den äußeren Klemmen durch Beschaltung dieser Tore mit Nullatoren. Nun erfolgt die Erweiterung des Netzwerkes aus Abb. 3.6, S. 37 in [1] mit Konstantstromquellen und –spannungsquellen. Dabei wird die durchgehende Masseleitung beibehalten, und ein Teil der AP-Größen soll unter Beachtung schaltungstechnischer Restriktionen vorgegeben sein. In Abb. 2.5 sehen Sie dazu die erweiterte TransistorRealisierung der IUIQ. 2. Ersetzen Im nächsten Schritt werden die Transistoren durch ihre Fixator-Modelle ersetzt. Sehen Sie dazu Abb. 2.6. 3. Zerlegen Wir zerlegen die Fixator-Ersatzschaltung der IUIQ mithilfe der u-i-Generatormodelle aus Abb. 2.2. in zwei parallel zu schaltende Netzwerke, um darauf getrennt die beiden

Abb. 2.5   Erweiterte Transistor-Realisierung der IUIQ

Abb. 2.6   Fixator-Ersatzschaltung der IUIQ

8

2  Quasilineare Netzwerke

Kirchhoffschen Gesetze anwenden zu können. Das erfordert auch den Ersatz des Widerstandes durch eine Parallelschaltung aus Norator und Leerlauf. Die Spannungsquelle   wird gemäß Tab. 2.1 Uq , 8 -äquivalent ersetzt. Bei quasilinearen Netzwerken charakterisiert χ den Äquivalenztyp als einelementige Teilmenge (⊂) der Menge geordneter Paare aus Quellengrößen, d. h.       χ ⊂ Uq , Iq , Uq , 8 , 8, Iq (2.7)   Die u-i-Generatoren aus Abb. 2.2 stellen also Uq , Iq -äquivalente Netzwerke dar. Abb. 2.7 zeigt das Stromquellen-Netzwerk der IUIQ mit Noratoren und Abb. 2.8 das zugehörige Spannungsquellen-Netzwerk der IUIQ mit Nullatoren.

Tab. 2.1  Äquivalenzen für Strom- und Spannungsquellen

Abb. 2.7   StromquellenNetzwerk der IUIQ mit Noratoren

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

9

Der rot gezeichnete Teil des Stromquellen-Netzwerkes der IUIQ ist der vollständige Strombaum, der mindestens die Zweige der zu dimensionierenden Stromquellen, d. h. die Zweige mit Iq1 und Iq2, sowie die Norator-Zweige idealer Spannungsquellen enthält, hier nur der Zweig  mit  I3. Dazu ersetzt man die ideale Spannungsquelle (Uq3) in Abb. 2.6 nach Tab. 2.1 Uq , 8 -äquivalent. Im Stromquellen-Netzwerk erscheint dann an dieser Stelle ein Norator. Außerdem befindet sich an Stelle des Widerstandes R3 ein weiterer Norator mit dem Strom JA3 im Netzwerk nach Abb. 2.7. Damit erreichen wir, dass alle Spannungen im Stromquellen-Netzwerk beliebig und nur durch das entsprechende SpannungsquellenNetzwerk determiniert sind. Umgekehrt sind im Spannungsquellen-Netzwerk, z. B. der IUIQ nach Abb. 2.8, sämtliche Ströme Null,  wenn  man hier den Widerstand durch einen Leerlauf ersetzt und auf die Fixatoren die Uq , 8 -äquivalente Zerlegung gemäß der dargestellten Parallelschaltung in Tab. 2.1 anwendet. Schließlich erkennen Sie in Abb. 2.8 die äußeren Nullatoren zur Realisierung verschwindender Ströme und Spannungen an den zugehörigen Klemmen. Der blau gezeichnete Teil des Spannungsquellen-Netzwerkes der IUIQ ist der vollständige Spannungsbaum, der mindestens die Zweige der zu dimensionierenden Spannungsquellen, hier derjenige mit Uq3, sowie die Zweige mit den Kollektor-EmitterSpannungen der Transistoren, z. B. UCEA1 und UECA2 in Abb. 2.8, nicht enthält. Die Zweige mit den Kollektor-Emitter-Spannungen müssen im Komplement des Span­ nungsbaumes liegen, weil dann UCEA1 und UECA2 nur durch die Spannungen von Baumzweigen bestimmt sind, sofern sie nicht in der u-i-Relation der Transistoren auftreten. 4. Analysieren Aus Abb. 2.7 ergibt sich

  Iq1 1  Iq2   0     I3  =  1     IBA2   1 JA3 1 

Abb. 2.8   SpannungsquellenNetzwerk der IUIQ mit Nullatoren

0 0 1 1 1

 0   1   IBA1   0   ICA1  ICA2 −1 0

(2.8)

10

2  Quasilineare Netzwerke

Abb. 2.8 liefert

    UBEA1 Uq3 1 1 1  UCEA1  =  1 0 0  UEBA2  VA3 UECA2 0 1 0 

(2.9)

Die linearen u-i-Relationen und die v-j-Relation der Unternetzwerke der IUIQ lauten      ICA1 B1 0 0 IBA1  ICA2  =  0 B2 0  IBA2  (2.10) VA3 JA3 0 0 R3 In Gl. 2.10 sind B1 und B2 die Stromverstärkungen der zwei Transistoren nach Abb. 2.5. 5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der IUIQ Aus Gl. 2.8 bis 2.10 erhalten wir das lineare Gleichungssystem zur Fixierung des Arbeitspunktes nach Gl. 2.11.

  ICA1  IBA2       ICA2  =      UCEA1    UECA2 

B1

0 1+B1 0 1+B2 1+B1 B 0 1+B2 2 0 1 0 0

 0   0  IBA1  0  UBEA1   0  UEBA2 1

(2.11)

Bei der Festlegung der Fixator-Größen muss man also die Restriktionen nach Gl. 2.11 beachten. Des Weiteren setzen wir im Kap. 2 grundsätzlich voraus, dass die Basisströme und die Basis-Emitter-Spannungen im Arbeitspunkt so gewählt werden, dass der zugehörige Fixpunkt auf der Eingangs-Kennlinie der Transistoren liegt. 5.2 Quellendimensionierung der IUIQ Mit Gl. 2.8 bis 2.10 und

VA3 = R3 (1 + B1 )IBA1

(2.12)

ergibt sich das lineare Gleichungssystem zur Quellendimensionierung nach Gl. 2.13.

    1 0 0 IBA1 Iq1  Iq2  =  1+B1 B2 0 0  UBEA1  1+B2 UEBA2 Uq3 R3 (1 + B1 ) 1 1 

(2.13)

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

11

2.4.3 Dimensionierung der IIUQ Die linearen Gleichungssysteme zur Arbeitspunkt-Einstellung und Quellendimensio­ nierung der invertierenden stromgesteuerten Spannungsquelle (IIUQ) leitet man mit dem Algorithmus aus Abschn. 2.4.1 wie folgt her. 1. Erweitern In Abb. 2.9 sehen Sie die um die Gleichstrom- und Gleichspannungsquellen erweiterte Transistor-Realisierung der IIUQ. Sie ergibt sich aus der Transistor-Realisierung der IIUQ für den Kleinsignalbetrieb nach Abb. 3.13, S. 41 in [2]. Bedingt durch die Anordnung der äußeren Nullatoren verschwinden Strom und Spannung am Widerstand R3. Er entartet bezüglich der Arbeitspunktfixierung zu einem Nullator. 2. Ersetzen Abb. 2.10 zeigt die Fixator-Ersatzschaltung der IIUQ. Der gestrichelte Nullator kann fortgelassen werden, da er in einer Nullator-Masche liegt.

Abb. 2.9   Erweiterte Transistor-Realisierung der IIUQ

Abb. 2.10   FixatorErsatzschaltung der IIUQ

12

2  Quasilineare Netzwerke

Hinweise 1. In jeder Masche ist genau eine Spannung durch die anderen nach dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz festgelegt. 2. Beim Fortlassen eines Nullators in einer Nullator-Masche bleibt seine Spannung Null. 3. Ersetzt man also einen Nullator in einer Nullator-Masche durch einen Leerlauf, bleibt auch der zugehörige Strom Null. 3. Zerlegen Abb. 2.11 zeigt das Stromquellen-Netzwerk der IIUQ mit Noratoren. Darin führt ein Norator den Strom I3 der Spannungsquelle und der andere rührt von der klemmenäquivalenten Zerlegung der durchgehenden Masseleitung in die Parallelschaltung aus Norator und Nullator her. Das Spannungsquellen-Netzwerk der IIUQ mit Nullatoren sehen Sie in Abb. 2.12. 4. Analysieren Abb. 2.11 liefert für die Ströme der IIUQ nach dem Kirchhoffschen Stromgesetz     � Iq1 1 0 �  Iq2  =  0 1  IBA ICA I3 −1 −1 Aus Abb. 2.12 erhalten wir für die Spannungen an der IIUQ nach Kirchhoff     Uq3 −1 = UBEA UCEA 1

(2.14)

(2.15)

Der lineare Teil der u-i-Relation des Transistors lautet

ICA = B · IBA

(2.16)

5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der IIUQ Aus Gl. 2.15 und 2.16 ergibt sich das System zur AP-Fixierung nach Gl. 2.17.

Abb. 2.11   StromquellenNetzwerk der IIUQ mit Noratoren

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

13

Abb. 2.12   SpannungsquellenNetzwerk der IIUQ mit Nullatoren



ICA UCEA



=



B0 0 1



IBA UBEA



(2.17)

5.2 Quellendimensionierung der IIUQ Die Bedingungen an die Quellengrößen der IIUQ entnehmen Sie bitte Gl. 2.18.     � Iq1 1 0 �  Iq2  =  B 0  IBA (2.18) UBEA Uq3 0 −1

2.4.4 Dimensionierung der IUUQ Die Gleichungssysteme zur Fixierung des Arbeitspunktes und Quellendimensionierung der invertierenden spannungsgesteuerten Spannungsquelle (IUUQ) erhält man mit dem Algorithmus aus Abschn. 2.4.1 wie folgt. 1. Erweitern Abb. 2.13 zeigt dazu die aus [3] (Abb. 3.20, S. 45) entnommene Transistor-Realisierung der IUUQ, erweitert um zwei Gleichstrom- und Gleichspannungsquellen. 2. Ersetzen Aus Abb. 2.13 gewinnt man die Fixator-Ersatzschaltung der IUUQ nach Abb. 2.14. 3. Zerlegen Die Zerlegung der Fixator-Ersatzschaltung der IUUQ in das Stromquellen-Netzwerk mit Noratoren und das Spannungsquellen-Netzwerk mit Nullatoren finden Sie in Abb. 2.15 und in 2.16.

14

2  Quasilineare Netzwerke

Abb. 2.13   Erweiterte Transistor-Realisierung der IUUQ

Abb. 2.14   FixatorErsatzschaltung der IUUQ

4. Analysieren Aus Abb. 2.15 erhält man für die IUUQ nach dem Stromgesetz von Kirchhoff die Zusammenhänge gemäß Gl. 2.19.

Abb. 2.15   StromquellenNetzwerk der IUUQ mit Noratoren

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

15



   Iq1 1 0 0 0   I   0 0 1 1  I  q2    BA1     ICA1   I3   −1 −1 0 0    =    I4   0 1 1 1  IBA2       JA3   1 1 0 0  ICA2 JA4 0 1 10

(2.19)

Spannungsmäßig, d. h. nach dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz, ergibt sich für die IUUQ aus Abb. 2.16      −1 0 −1 0 UBEA1 Uq3  Uq4   0 1 0 1  UBEA2       (2.20)  UCEA1  =  1 1 0 0  VA3  VA4 UCEA2 0 1 0 1 Die u-i- und v-j-Relationen lauten hier, zusammengefasst für beide Transistoren und zwei Widerstände      B1 0 0 0 IBA1 ICA1  ICA2   0 B2 0 0  IBA2       (2.21)  VA3  =  0 0 R3 0  JA3  JA4 VA4 0 0 0 R4 5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der IUUQ

Mit VA3 = R3 (1 + B1 )IBA1 sowie

VA4 = R4 B1 · IBA1 + R4 · IBA2

folgt Gl. 2.25 zur Quellendimensionierung der IUUQ.      1 0 0 0 Iq1 IBA1    Iq2   0 1 + B2 0 0     IBA2      Uq3  =  −R3 (1 + B1 ) UBEA1  0 −1 0 Uq4 UBEA2 R4 B1 R4 0 1 Abb. 2.16   SpannungsquellenNetzwerk der IUUQ mit Nullatoren

(2.23) (2.24)

(2.25)

16

2  Quasilineare Netzwerke

2.4.5 Dimensionierung der IIIQ Nachfolgend wenden wir den Dimensionierungs-Algorithmus aus Abschn. 2.4.1 auf die invertierende stromgesteuerte Stromquelle (IIIQ) an. 1. Erweitern Abb. 2.17 zeigt die Erweiterung der Transistor-Realisierung der IIIQ um Gleichstromund Gleichspannungsquellen. Die ursprüngliche Transistor-Realisierung der IIIQ im Kleinsignalbetrieb finden Sie z. B. in [4], Abb. 3.27, S. 50. Aus schaltungstechnischen Gründen kann der Strom Iq1 der eingangsseitigen Gleichstromquelle Null gesetzt werden. Sie erscheint daher nicht in Abb. 2.17. 2. Ersetzen Abb. 2.18 zeigt im nächsten Schritt des Dimensionierungs-Algorithmus die FixatorErsatzschaltung der IIIQ. Man erkennt aus Abb. 2.17 und 2.18, dass sich die IIIQ durch Kettenschaltung einer IIUQ mit einer NUIQ realisieren lässt. Sehen Sie dazu die Abschn. 2.4.3 und 2.4.6.

Abb. 2.17   Erweiterte Transistor-Realisierung der IIIQ

Abb. 2.18   FixatorErsatzschaltung der IIIQ

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

17

3. Zerlegen Abb. 2.19 zeigt das Stromquellen-Netzwerk der IIIQ mit Noratoren, und Abb. 2.20 enthält das zugehörige Spannungsquellen-Netzwerk der IIIQ mit Nullatoren. Hinweis Man könnte die z. B. in Abb. 2.20 gezeichneten Leerläufe auch weglassen und die entsprechenden Maschen durch die zugehörigen Spannungszählpfeile VA3 und VA4 schließen. Durch das sinnfällig gewählte Schaltsymbol des Leerlaufs ist jedoch der vollständige Spannungsbaum besser sichtbar, falls die jeweiligen Spannungen überhaupt im vollständigen Baum liegen. 4. Analysieren Aus Abb. 2.19 folgt für die Ströme     Iq2 0 0 1  I   −1 −1 0    3    I     BA1  I4   1 1 1    =  I  IBA2   1 1 0  CA1     I  JA3   1 0 0  CA2 JA4 1 1 1 Abb. 2.19   StromquellenNetzwerk der IIIQ mit Noratoren

Abb. 2.20   SpannungsquellenNetzwerk der IIIQ mit Nullatoren

(2.26)

18

2  Quasilineare Netzwerke

Abb. 2.20 liefert für die Spannungen      −1 0 0 0 UBEA1 Uq3  Uq4   0 1 1 1  UEBA2        UCEA1  =  1 0 1 0  VA3  VA4 UECA2 0 1 10

(2.27)

Die linearen u-i-Relationen und die v-j-Relationen der Unternetzwerke der IIIQ enthält Gl. 2.28.      B1 0 0 0 IBA1 ICA1  ICA2   0 B2 0 0  IBA2       (2.28)  VA3  =  0 0 R3 0  JA3 

VA4

0 0 0 R4

JA4

Damit stimmen sie formal mit den u-i- bzw. v-j-Relationen der Unternetzwerke der IUUQ nach Gl. 2.21 bei identischen Parametern überein. 5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der IIIQ Aus Gl. 2.26 bis 2.28 folgen die Restriktionen hinsichtlich des Arbeitspunktes der IIIQ nach Gl. 2.29.     0 0 ICA1 B1    IBA2   1 + B1 0 0  IBA1      ICA2  =  B2 (1 + B1 ) 0 0  UBEA1  (2.29)      UCEA1   1 0  UEBA2 R3 UECA2 R3 0 1 5.2 Quellendimensionierung der IIIQ Die konstanten Quellenwerte der IIIQ errechnet man nach der Arbeitspunktfixierung aus Gl. 2.30.      Iq2 B2 (1 + B1 ) IBA1 0 0  Uq3  =  0 −1 0  UBEA1  (2.30) Uq4 R3 + R4 (1 + B2 )(1 + B1 ) 0 1 UEBA2

mit VA3 = R3 · IBA1

(2.31)

und VA4 = R4 (1 + B2 )(1 + B1 )IBA1

(2.32)

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

19

2.4.6 Dimensionierung der NUIQ Beginnend mit der nichtinvertierenden spannungsgesteuerten Stromquelle (NUIQ) wird nun der Dimensionierungs-Algorithmus aus Abschn. 2.4.1 nacheinander auf die verschiedenen Typen der nichtinvertierenden gesteuerten Quellen angewandt. 1. Erweitern Abb. 2.21 beinhaltet die um Gleichstrom- und Gleichspannungsquellen erweiterte Transistor-Realisierung der NUIQ. Die ursprüngliche Transistor-Realisierung der NUIQ im Kleinsignalbetrieb ist z. B. in [5], Abb. 4.2, S. 75 zu finden. 2. Ersetzen Die Fixator-Ersatzschaltung der NUIQ ist in Abb. 2.22 dargestellt. 3. Zerlegen In Abb. 2.23 und 2.24 sehen Sie das Stromquellen-Netzwerk der NUIQ mit Noratoren und das Spannungsquellen-Netzwerk der NUIQ mit Nullatoren. Darin wurde die durchgehende Abb. 2.21   Erweiterte Transistor-Realisierung der NUIQ

Abb. 2.22   FixatorErsatzschaltung der NUIQ

20

2  Quasilineare Netzwerke

Abb. 2.23   StromquellenNetzwerk der NUIQ mit Noratoren

Abb. 2.24   SpannungsquellenNetzwerk der NUIQ mit Nullatoren

Masseleitung unter Beachtung der Klemmen-Äquivalenz durch einen Norator bzw. Nullator in dem jeweiligen Netzwerk ersetzt. In Abb. 2.23 ist der rot gezeichnete Strombaum so gewählt, dass er sowohl beide Gleichstromquellen mit den Quellenströmen Iq1 und Iq2 als auch mindestens die Noratoren mit den Strömen I3 und JA3 von Gleichspannungsquelle und Widerstand enthält. Dann sind die jeweiligen Schnittmengen-Gleichungen gemäß dem Kirchhoffschen Stromgesetz sofort nach diesen vier Strömen aufgelöst. Teilweise im Gegensatz dazu wählt man in Abb. 2.24 den blau gezeichneten Spannungsbaum so, dass er mindestens die Zweige der Gleichspannungsquellen und die mit Kollektor-Emitter-Spannungen, hier mit Uq3 und UCEA, nicht enthält. Dann sind die beiden Maschen-Gleichungen gemäß dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz sofort nach den jeweiligen Spannungen im Baumkomplement aufgelöst. 4. Analysieren Aus Abb. 2.23 erhält man

   Iq1 1 0 � �  Iq2   0 1  IBA  =   I3   −1 −1  ICA JA3 1 1 

(2.33)

Abb. 2.24 liefert



Uq3 UCEA



=



−1 −1 1 0



UBEA VA3



(2.34)

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

21

Den linearen Teil der u-i-Relation des Transistors sowie die v-j-Relation des Widerstandes finden Sie in Gl. 2.35.      ICA B 0 IBA = (2.35) VA3 JA3 0 R3 5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der NUIQ Das lineare Gleichungssystem zur Fixierung des Arbeitspunktes der NUIQ lautet      ICA B0 IBA = (2.36) UCEA UBEA 0 1 Hinweis Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass das Gleichsetzen von Kollektor-Emitter- und Basis-Emitter-Spannung, z. B. in Gl. 2.36, für den Vorwärtsbetrieb eines Bipolartransistors grenzwertig ist. Das lässt sich aber bei manchen Transistor-Realisierungen linear gesteuerter Quellen im Kleinsignalbetrieb nicht vermeiden. 5.2 Quellendimensionierung der NUIQ

Mit

VA3 = R3 (1 + B)IBA

(2.37)

folgt das lineare Gleichungssystem für die Quellenwerte der NUIQ nach Gl. 2.38.     � Iq1 1 0 � IBA  Iq2  =  B 0  (2.38) UBEA Uq3 −R3 (1 + B) −1

2.4.7 Dimensionierung der NIUQ Hier erfolgt die Applikation des Dimensionierungs-Algorithmus aus Abschn. 2.4.1 auf die nichtinvertierende stromgesteuerte Spannungsquelle (NIUQ). 1. Erweitern Abb. 2.25 enthält die Erweiterung der Transistor-Realisierung der NIUQ aus [6], Abb. 4.8, S. 77 um zwei Gleichstrom- und zwei Gleichspannungsquellen. 2. Ersetzen Aus der erweiterten Transistor-Realisierung der NIUQ in Abb. 2.25 erzeugt man ihre Fixator-Ersatzschaltung in Abb. 2.26.

22

2  Quasilineare Netzwerke

Abb. 2.25   Erweiterte Transistor-Realisierung der NIUQ

Abb. 2.26   FixatorErsatzschaltung der NIUQ

3. Zerlegen Ausgehend von der Fixator-Ersatzschaltung in Abb. 2.26 ergibt sich die Zerlegung in das Stromquellen-Netzwerk der NIUQ mit Noratoren nach Abb. 2.27 und in das zugehörige Spannungsquellen-Netzwerk mit Nullatoren nach Abb. 2.28. Zweckentsprechend wählt man z. T. unterschiedliche Zweige für den Strom- und Spannungsbaum, z. B. in Abb. 2.27 und 2.28, aus. 4. Analysieren Aus Abb. 2.27 erhalten wir

Abb. 2.27   StromquellenNetzwerk der NIUQ mit Noratoren

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

23

Abb. 2.28   SpannungsquellenNetzwerk der NIUQ mit Nullatoren

    Iq1 1 1 0 0   Iq2   0 0 1 1  IBA1       I3  =  −1 0 0 0  ICA1      IBA2   I4   0 −1 −1 −1  ICA2 JA3 0 1 1 0

(2.39)

    −1 0 0  Uq3  Uq4   0 −1 −1  UEBA1       UECA1  =  0 1 0  UEBA2 VA3 UECA2 0 1 1

(2.40)



Mit Abb. 2.28 folgt



Die linearen Teile der u-i-Relationen der beiden Transistoren und die v-j-Relation des Widerstandes lauten zusammengefasst      ICA1 B1 0 0 IBA1  ICA2  =  0 B2 0  IBA2  (2.41) VA3 JA3 0 0 R3 5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der NIUQ Aus Gl. 2.39 bis 2.41 ergibt sich    B1 ICA1  ICA2   0     UECA1  =  0 UECA2 R3 B1

0 B2 0 R3

0 0 0 0

  0 IBA1   0  IBA2  1  UEBA1  1

(2.42)

UEBA2

5.2 Quellendimensionierung der NIUQ

Mit

JA3 = B1 IBA1 + IBA2

und VA3 = R3 B1 IBA1 + R3 IBA2

(2.43) (2.44)

24

2  Quasilineare Netzwerke

erhält man

  0 1 + B1 Iq1  Iq2   0 1 + B2     Uq3  =  0 0 Uq4 −R3 B1 −R3 

0 0 −1 0

  0 IBA1   0   IBA2  0  UEBA1  UEBA2 −1

(2.45)

2.4.8 Dimensionierung der NUUQ Die linearen Gleichungssysteme zur Arbeitspunktfixierung und Quellendimensionierung der nichtinvertierenden spannungsgesteuerten Spannungsquelle (NUUQ) erhält man wie folgt. 1. Erweitern Die Transistor-Realisierung der NUUQ für den Kleinsignalbetrieb ist in [7], Abb. 4.14, S. 80 dargestellt. Sie ist der Ausgangspunkt für die Erweiterung der NUUQ um zwei Gleichstrom- und ebenfalls zwei Gleichspannungsquellen nach Abb. 2.29. Sie erkennen daraus, dass sich die NUUQ aus der Kettenschaltung der NUIQ nach Abb. 2.21 und einer IIUQ nach Abb. 2.9, allerdings mit einem pnp-Transistor, ergibt. 2. Ersetzen Abb. 2.30 zeigt die Fixator-Ersatzschaltung der NUUQ, wobei darin die Plätze der NUIQ und IIUQ gegenüber der IIIQ in Abb. 2.18 getauscht sind. 3. Zerlegen In Abb. 2.31 sehen Sie das Stromquellen-Netzwerk der NUUQ mit 5 Noratoren, die alle im rot gezeichneten vollständigen Strombaum liegen.

Abb. 2.29   Erweiterte Transistor-Realisierung der NUUQ

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

25

Abb. 2.30   FixatorErsatzschaltung der NUUQ

Abb. 2.31   StromquellenNetzwerk der NUUQ mit Noratoren

Abb. 2.32   SpannungsquellenNetzwerk der NUUQ mit Nullatoren

Abb. 2.32 zeigt das Spannungsquellen-Netzwerk der NUUQ mit Nullatoren. Darin wählt man den blau gezeichneten Spannungsbaum so, dass die Zweige mit den Quellenund Kollektor-Emitter-Spannungen im Baumkomplement liegen.

26

2  Quasilineare Netzwerke

4. Analysieren Mit Abb. 2.31 folgt



   Iq1 1 0 0 0   I   0 −1 1 1  I  q2    BA1     ICA1   I3   −1 −1 0 0    =   I4   0 0 1 1  IBA2       JA3   1 1 0 0  ICA2 JA4 0 −1 1 0

(2.46)

Abb. 2.32 liefert

  −1 Uq3  Uq4   0     UCEA1  =  1 UECA2 0 

  0 −1 0 UBEA1   1 0 1  UEBA2    VA3  0 0 1 VA4 1 0 1

Als zusammengefasste u-i- bzw. v-j-Relation gilt beide Widerstände.    B1 0 0 ICA1  ICA2   0 B2 0     VA3  =  0 0 R3 VA4 0 0 0

(2.47)

Gl. 2.48 für die zwei Transistoren und

  0 IBA1   0   IBA2    JA3  0 JA4 R4

(2.48)

5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der NUUQ Das lineare Gleichungssystem zur Fixierung des Arbeitspunktes der NUUQ lautet      0 0 0 B1 IBA1 ICA1    ICA2   0 B2 0 0     IBA2   (2.49)  UCEA1  =  −R4 B1 R4 1 0  UBEA1  UEBA2 UECA2 −R4 B1 R4 0 1 5.2 Quellendimensionierung der NUUQ

Mit VA3 = R3 (1 + B1 )IBA1

(2.50)

und VA4 = −R4 B1 IBA1 + R4 IBA2

(2.51)

erhalten wir das folgende Gleichungssystem zur Ermittlung der Quellenwerte der NUUQ      1 0 0 0 IBA1 Iq1    Iq2   −B1 1 + B2 0 0     IBA2   (2.52)     U  =  −R (1 + B ) U 0 −1 0 q3

Uq4

3

−R4 B1

BEA1

1

R4

0 1

UEBA2

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

27

2.4.9 Dimensionierung der NIIQ Schließlich leiten wir die linearen Gleichungssysteme zur Arbeitspunktfixierung und Quellendimensionierung der nichtinvertierenden stromgesteuerten Stromquelle (NIIQ) wie folgt her. 1. Erweitern In Abb. 2.33 finden Sie die erweiterte Transistor-Realisierung der NIIQ. Sie ergibt sich aus der ursprünglichen Transistor-Realisierung der NIIQ für den Kleinsignalbetrieb nach Abb. 4.20, S. 83 in [8]. Die Erweiterung zur Arbeitspunkteinstellung umfasst hier eine Gleichstromquelle und zwei Gleichspannungsquellen. 2. Ersetzen Abb. 2.34 zeigt die Fixator-Ersatzschaltung der NIIQ. Verifizieren Sie bitte, dass in der Ersatzschaltung der NIIQ nach Abb. 2.34 gegenüber der Variante einer IIIQ in Abb. 2.18 im Wesentlichen nur zwei Zweige getauscht sind. Weiterhin kann z. B. in Abb. 2.33 und 2.34 auf die eingangsseitige Gleichstromquelle aus schaltungstechnischen Gründen verzichtet werden. Abb. 2.33   Erweiterte Transistor-Realisierung der NIIQ

Abb. 2.34   FixatorErsatzschaltung der NIIQ

28

2  Quasilineare Netzwerke

3. Zerlegen Abb. 2.35 enthält das Stromquellen-Netzwerk der NIIQ mit 5 Noratoren. Wenn alle 5 Noratoren und die Gleichstromquelle Iq2 im rot gezeichneten Strombaum liegen sollen, ist es unvermeidlich, einen geeigneten Transistor-Strom in den vollständigen Baum einzubeziehen. Das Spannungsquellen-Netzwerk der NIIQ mit Nullatoren zeigt Abb. 2.36, wobei für den blau dargestellten Spannungsbaum teilweise andere Zweige gegenüber dem Strombaum gewählt werden. 4. Analysieren Aus Abb. 2.35 erhalten wir 

   Iq2 0 0 1  I   −1 −1 0    3    I     BA1  I4   1 1 0    =  I  IBA2   1 1 −1  CA1     I  JA3   1 0 0  CA2 JA4 1 1 0

Abb. 2.35   StromquellenNetzwerk der NIIQ mit Noratoren

Abb. 2.36   SpannungsquellenNetzwerk der NIIQ mit Nullatoren

(2.53)

2.4  Dimensionierung gesteuerter Quellen

29

Abb. 2.36 liefert

  −1 Uq3  Uq4   0     UCEA1  =  1 UCEA2 0 

0 1 0 1

0 1 1 0

  0 UBEA1   1  UBEA2    VA3  0 VA4 0

(2.54)

Die u-i- bzw. v-j-Relation lautet erneut für beide Transistoren und die zwei Widerstände      B1 0 0 0 IBA1 ICA1  ICA2   0 B2 0 0  IBA2       (2.55)  VA3  =  0 0 R3 0  JA3  JA4 VA4 0 0 0 R4 5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der NIIQ Aus Gl. 2.53 bis 2.55 folgt hinsichtlich der Fixierung des Arbeitspunktes der NIIQ

  B1 ICA1 1+B1  IBA2   2    1+B 1+B1  ICA2  =  B2 1+B    2  UCEA1    R3 UCEA2 0 

0 0 0 1 0

 0   0  IBA1  0  UBEA1   0  UBEA2 1

(2.56)

5.2 Quellendimensionierung der NIIQ

Mit

VA3 = R3 IBA1

und VA4 = R4 (1 + B1 )IBA1

(2.57) (2.58)

ergibt sich das nachstehende Gleichungssystem zur Quellendimensionierung der NIIQ.      1+B1 0 0 B2 1+B IBA1 Iq2 2  Uq3  =  0 −1 0  UBEA1  (2.59) UBEA2 Uq4 R3 + R4 (1 + B1 ) 0 1 Damit ist die Herleitung der linearen Gleichungssysteme zur Fixierung der Arbeitspunkte und Dimensionierung der u- sowie i-Generatoren quasilinearer gesteuerter Quellen abgeschlossen. Die Lösungen zu den nachfolgenden Aufgaben vermitteln zusätzlich einen quantitativen Eindruck zu den Werten der Arbeitspunktgrößen bei Transistor-Realisierungen.

30

2  Quasilineare Netzwerke

2.5 Aufgaben zu quasilinearen Netzwerken A 2.1 Arbeitspunktfixierung   der IUIQ   10 µA IBA1 Gegeben:    UBEA1  =  0,7 V ; B1 = B2 = 100; R3 = 1 k UEBA2 0,3 V ′  Gesucht:   ICA1 IBA2 ICA2 UCEA1 UECA2 A 2.2 Quellendimensionierung der  IUIQ    10 µA IBA1 Gegeben:    UBEA1  =  0,7 V ; B1 = B2 = 100; R3 = 1 k UEBA2 0,3 V ′  Gesucht:   Iq1 Iq2 Uq3 A 2.3 Arbeitspunktfixierung    der IIUQ  IBA 10 µA = ; B = 100 Gegeben:   UBEA 0,7 V ′  Gesucht:   ICA UCEA A 2.4 Quellendimensionierung der     IIUQ IBA 10 µA = ; B = 100 Gegeben:   UBEA 0,7 V ′  Gesucht:   Iq1 Iq2 Uq3 A 2.5 Arbeitspunktfixierung    der IUUQ  10 µA IBA1  IBA2   10 µA  = ; B1 = B2 = 100; R3 = R4 = 1 k Gegeben:     UBEA1   0,7 V 

UBEA2 0,7 V ′  Gesucht:   ICA1 ICA2 UCEA1 UCEA2

A 2.6 Quellendimensionierung der  IUUQ    10 µA IBA1  IBA2   10 µA  = ; B1 = B2 = 100; R3 = R4 = 1 k Gegeben:     UBEA1   0,7 V 

UBEA2 0,7 V ′  Gesucht:   Iq1 Iq2 Uq3 Uq4

2.5  Aufgaben zu quasilinearen Netzwerken

A 2.7 Arbeitspunktfixierung der IIIQ Gegeben:



Gesucht:

( ICA1 IBA2 ICA2 UCEA1 UECA2 )′

   10 µA IBA1  UBEA1  =  0,7 V ; B1 = B2 = 100; R3 = 1 k R4 = 10 UEBA2 0,3 V

A 2.8 Quellendimensionierung der IIIQ

   10 µA IBA1 R = 1 k Gegeben:    UBEA1  =  0,7 V ; B1 = B2 = 100; 3 R4 = 10 UEBA2 0,3 V ′  Gesucht:   Iq2 Uq3 Uq4 

A 2.9 Arbeitspunktfixierung    der NUIQ  I 10 µA = ; B = 100; R3 = 1 k Gegeben:   BA UBEA 0,7 V ′  Gesucht:   ICA UCEA A 2.10 Quellendimensionierung der     NUIQ I 10 µA = ; B = 100; R3 = 1 k Gegeben:   BA UBEA 0,7 V ′  Gesucht:   Iq1 Iq2 Uq3 A 2.11 Arbeitspunktfixierung    der NIUQ  10 µA IBA1  IBA2   10 µA  = ; B1 = B2 = 100; R3 = 1 k Gegeben:     UEBA1   0,3 V  UEBA2 0,3 V ′  Gesucht:   ICA1 ICA2 UECA1 UECA2 A 2.12 Quellendimensionierung derNIUQ    10 µA IBA1  IBA2   10 µA  = ; B1 = B2 = 100; R3 = 1 k Gegeben:     UEBA1   0,3 V  UEBA2 0,3 V ′  Gesucht:   Iq1 Iq2 Uq3 Uq4

31

32

2  Quasilineare Netzwerke

A 2.13 Arbeitspunktfixierung    der NUUQ  10 µA IBA1  IBA2   1 mA  = ; B1 = B2 = 100; R3 = R4 = 1 k Gegeben:     UBEA1   0,7 V 

UEBA2 0,3 V ′  Gesucht:   ICA1 ICA2 UCEA1 UECA2

A 2.14 Quellendimensionierung derNUUQ    10 µA IBA1  IBA2   1 mA  = ; B1 = B2 = 100; R3 = R4 = 1 k Gegeben:     UBEA1   0,7 V 

UEBA2 0,3 V ′  Gesucht:   Iq1 Iq2 Uq3 Uq4

A 2.15 Arbeitspunktfixierung    der NIIQ  10 µA IBA1 Gegeben:    UBEA1  =  0,7 V ; B1 = B2 = 100; R3 = R4 = 1 k UBEA2 0,7 V ′  Gesucht:   ICA1 IBA2 ICA2 UCEA1 UCEA2 A 2.16 Quellendimensionierung derNIIQ    10 µA IBA1 Gegeben:    UBEA1  =  0,7 V ; B1 = B2 = 100; R3 = R4 = 1 k UBEA2 0,7 V ′  Gesucht:   Iq2 Uq3 Uq4 A 2.17 Parameterbestimmung  an Transistor-Kennlinien Gegeben:  I BA = I 1 − e−

U2 BEA 2U2

Gesucht:  ( U, I) für den optimalen Arbeitspunkt mit

    IBA 10 µA = a) UBEA 0,7 V     IBA 10 µA = b) UBEA 0,3 V Hinweis Als optimalen Arbeitspunkt bezeichnen wir das geordnete Paar

(UBEA , IBA ) = (U, 0,39 · I)

2.5  Aufgaben zu quasilinearen Netzwerken

A 2.18 Parameterbestimmung der IUIQ     1 0 0 IBA1 Iq1 Gegeben:    Iq2  =  102 0 0  UBEA1 

UEBA2 Uq3 1,01 · 105 1 1 ′  Gesucht:   B1 B2 R3 als normierter Parametervektor A 2.19 Parameterbestimmung der    IIUQ  � 1 0 � Iq1 IBA     = 10 0 Gegeben:   Iq2 UBEA Uq3 0 −1 Gesucht:  B als Stromverstärkung

A 2.20 Parameterbestimmung der IUUQ      1 0 0 0 IBA1 Iq1    Iq2   0 101 0 0  =  IBA2  Gegeben:    5      UBEA1  Uq3 −1, 01 · 10 0 −1 0 5 3 UBEA2 Uq4 10 10 0 1 ′  Gesucht:   B1 B2 R3 R4 als normierter Parametervektor A 2.21 Parameterbestimmung der IIIQ      1,01 · 104 0 0 IBA1 Iq2 Gegeben:    Uq3  =  0 −1 0  UBEA1  UEBA2 Uq4 103 (1 + 10201) 0 1 ′  Gesucht:   B1 B2 R3 R4 als normierter Parametervektor A 2.22 Parameterbestimmung der NUIQ    � 1 0 � Iq1 IBA Gegeben:    Iq2  =  0 102 UBEA Uq3 −1,01 · 106 −1 ′  Gesucht:   B R3 als normierter Parametervektor A 2.23 Parameterbestimmung der NIUQ      101 0 0 0 IBA1 Iq1    Iq2   0 101 0 0  =  IBA2  Gegeben:         UEBA1  Uq3 0 0 −1 0 6 4 UEBA2 Uq4 −10 −10 0 −1 ′  Gesucht:   B1 B2 R3 als normierter Parametervektor

33

34

2  Quasilineare Netzwerke

A 2.24 Parameterbestimmung der NUUQ      1 0 0 0 IBA1 Iq1    Iq2   −102 101 0 0  =  IBA2  Gegeben:    4      UBEA1  Uq3 −10 · 101 0 −1 0 5 3 UEBA2 Uq4 10 0 1 −10 ′  Gesucht:   B1 B2 R3 R4 als normierter Parametervektor A 2.25 Parameterbestimmung der NIIQ     10 0 0 IBA1 Iq2 Gegeben:    Uq3  =  0 −1 0  UBEA1  3 UBEA2 Uq4 10 · 12 0 1 ′  Gesucht:   B1 B2 R3 R4 als normierter Parametervektor A 2.26* Dimensionierung einer UUQ Gegeben ist die Transistor-Realisierung der UUQ in Abb. 2.37. Führen Sie mit dem Dimensionierungs-Algorithmus nach Abschn. 2.4.1 die Fixierung des Arbeitspunktes sowie die Quellendimensionierung für die UUQ nach Abb. 2.37 durch! A 2.27* Dimensionierung einer IIQ Gegeben ist die Transistor-Realisierung der IIQ nach Abb. 2.38. Bestimmen Sie bitte mit dem Dimensionierungs-Algorithmus nach Abschn. 2.4.1 den Arbeitspunkt und das Gleichungssystem zur Quellendimensionierung für diese IIQ.

Abb. 2.37   TransistorRealisierung der UUQ [9]

Abb. 2.38   TransistorRealisierung der IIQ

Literatur

Literatur 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 36–37 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 41 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 45 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 50 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 75 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 77 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 80 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 83 (2022) Thiele, R.: Lineare Kirchhoff-Netzwerke. Springer, Wiesbaden, S. 16 (2022)

35

3

Nichtlineare Netzwerke

Mithilfe charakteristischer Momente und Funktionen erfolgt die Herleitung nichtlinearer Transistor-Modelle sowie ihre Applikation auf die Ermittlung des Klemmenverhaltens gesteuerter Quellen. Auf dieser Basis synthetisieren wir mit einem Algorithmus nichtlineare gesteuerte Quellen. Außerdem wird die Analyse und Synthese resistiver und dynamischer Gleichrichter-Netzwerke mit neuartigen nichtlinearen Dioden-Modellen vorgestellt.

3.1 Transistor-Netzwerke 3.1.1 Nichtlineare Transistor-Modelle Abb. 3.1 zeigt die nichtlinearen Modelle bipolarer Transistoren. Darin äußert sich die Nichtlinearität der Transistoren im Großsignalbetrieb in den zugehörigen Kennlinien der eingangsseitigen Basis-Emitter-Dioden. Hinweis Die räumliche Zonenfolge „npn“ oder „pnp“ entspricht der Klemmen-Reihenfolge „EBC“, d. h. Emitter-Basis-Kollektor. Wir leiten nun die Kennlinie der Basis-Emitter-Diode im Modell eines npn-Transistors her. Die entsprechende Lösung des pnp-Transistors finden Sie in L 3.1* zu Aufgabe A 3.1*. 1. Kennlinien-Ansatz Wir setzen an mit

  IBA = I 1 − γ (UBEA ) ∧ UBEA ≥ 0 © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5_3

(3.1) 37

38

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.1   Nichtlineare Transistor-Modelle [1, 2] a npn-Transistor b pnpTransistor

In Gl. 3.1 ist I der Maximalwert des Basisstromes, und γ (UBEA ) bezeichnet die von der Basis-Emitter-Spannung abhängige charakteristische Funktion. Da wir später das Verhalten im Arbeitspunkt an den Klemmen der Gleichstromund Gleichspannungsquellen ausrechnen und auf dieser Grundlage gesteuerte Quellen synthetisieren wollen, stellen wir sowohl den Basisstrom als auch die Basis-EmitterSpannung in diesem Fixpunkt dar. 2. Charakteristisches Moment Wir definieren das charakteristische Spannungsmoment U mit γ (UBEA ) durch

2

U =

´∞

UBEA γ (UBEA )dUBEA

0

´1

(3.2)

dγ

0

3. Charakteristische Funktion Aus den Grenzwerten

IBA (UBEA = 0) = 0 ∧ IBA (UBEA = ∞) = I

(3.3)

ergibt sich folgendes Intervall für den Wertevorrat der charakteristischen Funktion.

γ (UBEA = 0) = 1 ∧ γ (UBEA = ∞) = 0

(3.4)

Aus Gl. 3.2 folgt

ˆ0 1

dγ +

ˆ∞

UBEA γ (UBEA )dUBEA = 0 U2

0

 dγ (UBEA ) UBEA γ (UBEA ) dUBEA = 0 + dUBEA U2   

ˆ∞  0

(3.5)

=0

(3.6)

3.1 Transistor-Netzwerke

39

Somit ergibt sich die Gauß-DGL

dγ (UBEA ) UBEA + γ (UBEA ) = 0 dUBEA U2

(3.7)

mit der Gauß-Funktion nach Gl. 3.8 als Lösung.

γ (UBEA ) = e−

U2 BEA 2U2

(3.8)

Die charakteristische Funktion der Basis-Emitter-Diode im nichtlinearen TransistorModell ist also die Gauß-Funktion. Unter Einbeziehung von Gl. 3.1 lautet damit der nichtlineare Teil der u-i-Relation des npn-Transistors entweder   U2 BEA IBA = I 1 − e− 2U2 (3.9) oder

UBEA

    IBA −2  = U ln 1 − I 

(3.10)

Der lineare Teil der u-i-Relation ist für beide Transistortypen, d. h. npn- oder pnpTransistor, durch Gl. 3.11 gegeben. (3.11)

ICA = B · IBA Darin stellt B die konstante Stromverstärkung dar.

3.1.2 Klemmenverhalten gesteuerter Quellen 3.1.2.1 Klemmenverhalten der IUIQ Ausgehend von Gl. 2.13 erhalten wir durch Elimination von IBA1 und Berücksichtigung von Gl. 3.10 sowie der Lösung L 3.1* von Aufgabe A 3.1* den folgenden Vektor. (KV-Vektor) für das Klemmenverhalten der IUIQ an den Verbindungspunkten mit den Gleichstrom- und Gleichspannungsquellen. Dabei setzt sich der KV-Vektor aus dem linearen und nichtlinearen Teilvektor zusammen. �

mit

Iq2 Uq3

�

=

�

1+B1 B2 1+B 2 R3 (1 + B1 )

�



� � Iq1 +  � U1 ln �1 −

0 � �−2 � � � Iq1 + U ln � �1 − 2 I1

�−2 1+B1 Iq1 � 1+B2 I2 �



 (3.12)

40

3  Nichtlineare Netzwerke

UBEA1 und

    −2     I IBA2 −2 BA1    ∧ UEBA2 = U2 ln 1 − = U1 ln 1 − I1  I2  IBA2 =

1 + B1 IBA1 1 + B2

(3.13)

(3.14)

Der KV-Vektor nach Gl. 3.12 zeigt, dass für die IUIQ bei vorgegebenen Parametern nur ein Freiheitsgrad Iq1 existiert. Die beiden anderen Quellengrößen Iq2 und Uq3 sind dann bei Belegung des Freiheitsgrades durch Gl. 3.12 festgelegt.

3.1.2.2 Klemmenverhalten der IIUQ Durch Elimination des Basisstromes IBA aus Gl. 2.18 ergibt sich zur Beschreibung des Klemmenverhaltens der IIUQ der KV-Vektor   � � � � 0 � � Iq2 B �−2  = Iq1 −  (3.15) � I � Uq3 0 U ln �1 − q1I � Im nichtlinearen Teil des KV-Vektors berücksichtigt man den Zusammenhang nach Gl. 3.10. Wie Gl. 3.15 zeigt, gibt es auch für die IIUQ genau einen Freiheitsgrad zur Quellendimensionierung bei festen Parametern.

3.1.2.3 Klemmenverhalten der IUUQ Durch Elimination von IBA1 und IBA2 aus Gl. 2.25 und Berücksichtigung von Gl. 3.10 erhält man für das Klemmenverhalten der IUUQ mit den Freiheitsgraden Iq1 und Iq2  � � �−2  � Iq1 � � � � �� �   −U1 ln �1 − I1 � −R3 (1 + B1 ) 0 Uq3 Iq1 � � = + R4 �−2   (3.16)  R4 B1 Uq4 I q2 � 1+B2 1 Iq2 � U2 ln �1 − 1+B � 2 I2 3.1.2.4 Klemmenverhalten der IIIQ Wir eliminieren IBA1 aus Gl. 2.30 und ersetzen UBEA1 sowie UEBA2 durch Gl. 3.13. Mit IBA2 = (1 + B1 )IBA1

(3.17)

ergibt sich das folgende Verhalten der IIIQ an den Klemmen der Gleichstrom- und Gleichspannungsquellen.  � � �−2  � � Iq2 � 1 � � �  −U1 ln �1 − (1+B1 )B2 I1 �  0 Uq3  (3.18) � � = Iq2 +  R3 1+B2 �−2   + R 4 B2 Uq4 � (1+B1 )B2 1 Iq2 � U2 ln �1 − B2 I2 �

3.1 Transistor-Netzwerke

41

Aus Gl. 3.18 erkennt man, dass der KV-Vektor genau einen Freiheitsgrad Iq2 zur Quellendimensionierung bei vorgegebenen Netzwerk-Parametern besitzt.

3.1.2.5 Klemmenverhalten der NUIQ Aus Gl. 2.38 erhalten wir durch Elimination von IBA und Berücksichtigung von Gl. 3.10 den KV-Vektor   � � � � 0 � Iq2 B �−2  � Iq1 −  = (3.19) � I � Uq3 −R3 (1 + B) U ln �1 − q1I �

zur Beschreibung des Klemmenverhaltens der NUIQ. Bei festen Parametern ist in der Darstellung nach Gl. 3.19 nur der Quellenstrom Iq1 frei wählbar.

3.1.2.6 Klemmenverhalten der NIUQ Aus Gl. 2.45 und entsprechenden Kennlinien-Ersatz von UEBA1 und UEBA2 folgt der KVVektor nach Gl. 3.20 mit den Freiheitsgraden Iq1 und Iq2.  � � �−2  � 1 Iq1 � � � � �� �  U1 ln �1 − 1+B1 I1 �  0 0 Uq3 Iq1 � � = −R3 − B1 1 �−2   (3.20)  Uq4 Iq2 � 1+B1 1+B2 1 Iq2 � U2 ln �1 − 1+B2 I2 �

3.1.2.7 Klemmenverhalten der NUUQ Aus Gl. 2.52 und 3.13 erhalten wir den folgenden KV-Vektor zur Beschreibung des Klemmenverhaltens der NUUQ mit den Freiheitsgraden Iq1 und Iq2.   � � �−2 � Iq1 � � � � �� � −U1 ln �1 − I1 �   −R3 (1 + B1 ) 0 Uq3 Iq1  (3.21) � � = + R4 B1 B2 R4 �   −2 − 1+B2 Uq4 Iq2 � 1+B2 1 B1 Iq1 +Iq2 � U2 ln �1 − 1+B2 I2 �

3.1.2.8 Klemmenverhalten der NIIQ Mit Gl. 2.59 und Elimination von IBA1 sowie Berücksichtigung von Gl. 3.10 ergibt sich schließlich der KV-Vektor nach Gl. 3.22 zur Beschreibung des Klemmenverhaltens der NIIQ.  � � �−2  � � 1+B2 Iq2 � � � �  −U1 ln �1 − (1+B1 )B2 I1 �  0 Uq3 (3.22) � � = Iq2 +  1+B2 1+B2 �−2   R3 (1+B1 )B2 + R4 B2 Uq4 � 1 Iq2 � U2 ln �1 − B2 I2 �

In Gl. 3.22 ist der Quellenstrom Iq2 der einzige Freiheitsgrad bei vorgegebenen Netzwerk-Parametern.

42

3  Nichtlineare Netzwerke

3.1.3 Synthese gesteuerter Quellen 3.1.3.1 Synthese-Algorithmus Der Entwurf der nichtlinearen gesteuerten Quellen erfolgt hier auf der Grundlage des Klemmenverhaltens mit dem nachfolgenden universellen. Synthese-Algorithmus 1. Darstellung des Klemmenverhaltens mit den Strömen und Spannungen aus den Definitionen der Netzwerk-Parameter, 2. Zerlegung in die 2.1 Kirchhoff-Gleichungen, 2.2 u-i- bzw. v-j-Relationen der Unternetzwerke, 3. Netzwerk-Zerlegung.

3.1.3.2 Synthese der IUIQ Mit den Definitionen der Netzwerk-Parameter ergibt sich aus dem KV-Vektor nach Gl. 3.12 das folgende Klemmenverhalten und daraus die gesamte Synthese der IUIQ. 1. Klemmenverhalten

Iq2 =

Uq3

1+ 1+

ICA1 IBA1 ICA2 IBA2

ICA2 Iq1 IBA2

(3.23)

     −2      ICA1 VA3 IBA1 Iq1  ln 1 − 1 + 1+ Iq1 + U1 ln 1 − + U = 2   JA3 IBA1 IBA1 I1 1+

ICA1 IBA1 ICA2 IBA2

2. Zerlegung von

IBA1 + ICA1 Iq1 Iq2 = ICA2 IBA2 + ICA2 IBA1      =1

Uq3

=1

(3.24)

(3.25)

=1

  −2         Iq1 IBA1  IBA1 + ICA1 Iq1  + U1 ln 1 − = VA3   JA3 IBA1 IBA1 I1         =1 =1 =1    =UBEA1

  −2         IBA1 + ICA1 Iq1 IBA2    + U2 ln 1 −   I +I IBA1 I2  BA2  CA2    =1 =1    =UEBA2

−2 Iq1   I2 

(3.26)

3.1 Transistor-Netzwerke

43

in die 2.1 Kirchhoff-Gleichungen 

  Iq1 1  Iq2   0     IBA2  =  1 JA3 1 Uq3

und

  0 0  IBA1  0 1   I 1 −1  CA1 ICA2 1 0

(3.27)

 UBEA1 = 1 1 1  UEBA2  VA3 �



�

(3.28)

2.2 Spannungs-Strom-Relationen

Transistor 1 :

�

ICA1 UBEA1

�

Transistor 2 :

�

ICA2 UEBA2

�

=

�

=

�

 � � �0 B1 IBA1 +  � 0 U1 ln �1 −

 � � �0 B2 IBA2 +  � 0 U2 ln �1 −

Widerstand : VA3 = R3 JA3



�−2 

IBA1 � I1 �

�−2 IBA2 � I2 �

 

(3.29)

(3.30)

(3.31)

3. Netzwerk-Zerlegung In Abb. 3.2 und 3.3 sehen Sie das modifizierte Stromquellen- und SpannungsquellenNetzwerk der IUIQ mit scharfen und unscharfen Teilen. Da beide Graphen bis auf die Orientierung ihrer Zweige übereinstimmen müssen, lassen sich die unscharfen Teile aus den scharfen des anderen Graphen strukturell ermitteln. Durch die Applikation von

Abb. 3.2   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IUIQ

44

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.3   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IUIQ

Äquivalenztransformationen findet man dann auch die zugehörigen Elementarnetzwerke der unscharfen Teile. Außerdem ergeben sich aus den Netzwerken nach Abb. 3.2 und 3.3 bzw. Abb. 2.7 und 2.8 die fehlenden Kirchhoff-Gleichungen. Sie lauten   � � IBA1 I3 = 1 1 0  ICA1  (3.32) ICA2

�

UCEA1 UECA2

�

=

�

 UBEA1 1 0 0  UEBA2  0 1 0 VA3 

�

(3.33)

Somit erhält man durch Parallelschaltung der Netzwerke aus Abb. 2.7 und 2.8 sowie Anwendung von Äquivalenztransformationen die Fixator-Ersatzschaltung in Abb. 2.6 und daraus schließlich die erweiterte Transistor-Realisierung nach Abb. 2.5. Beim Übergang von Abb. 2.6 nach 2.5 berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen den Fixator-Modellen von npn- und pnp-Transistor und den zugehörigen Schaltzeichen, dargestellt in Abb. 2.3 und 2.4.

3.1.3.3 Synthese der IIUQ Wir wenden jetzt den Synthese-Algorithmus aus Abschn. 3.1.3.1 auf den KV-Vektor der IIUQ nach Gl. 3.15 an.

Abb. 3.4   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IIUQ

3.1 Transistor-Netzwerke

45

Abb. 3.5   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IIUQ

• Klemmenverhalten

Iq2 =

Uq3

ICA Iq1 IBA

(3.34)

    IBA Iq1 −2  = −U ln 1 − IBA I 

(3.35)

Durch die Erweiterung von Gl. 3.35 mit IBA wird das Erkennen des nichtlinearen Teils der u-i-Relation des Transistors in der IIUQ erleichtert. 2. Zerlegung von

Iq1 Iq2 = ICA IBA   =1

=1

Uq3

(3.36)

  −2         Iq1 IBA     = −U ln 1 −   IBA I     =1   

(3.37)

=−UBEA

in die 2.1 Kirchhoff-Gleichungen



Iq1 Iq2



=



1 0 0 1



Uq3 = −UBEA und

IBA ICA



(3.38) (3.39)

46

3  Nichtlineare Netzwerke

2.2 Spannungs-Strom-Relation

Transistor :



ICA UBEA



=



  B  0 IBA + 0 U ln 1 −

 IBA −2 I



(3.40)

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. 3.4 und 3.5 zeigen das Stromquellen-Netzwerk sowie das Spannungsquellen-Netzwerk in modifizierter Form. Darin findet man die noch fehlenden Kirchhoff-Gleichungen     IBA I3 = −1 −1 (3.41) ICA

UCEA = UBEA

(3.42)

in Übereinstimmung mit dem Satz von Tellegen:

− U1 Iq1 − U2 Iq2 − Uq3 I3 + UBEA IBA + UCEA ICA = 0   =0

=0

UBEA (I3 + IBA ) + UCEA ICA = 0       =−ICA

=UBEA

(3.43)

(3.44)

Damit sind die Netzwerke (NW) in Abb. 3.4 und 2.11 sowie in Abb. 3.5 und 2.12 kongruent. Durch Parallelschaltung der NW aus Abb. 2.11 und 2.12 an sämtlichen Klemmen gewinnt man mit anschließenden Äquivalenztransformationen die FixatorErsatzschaltung in Abb. 2.10. Daraus folgt die erweiterte Transistor-Realisierung der IIUQ nach Abb. 2.9 als Ergebnis der Synthese.

3.1.3.4 Synthese der IUUQ Beginnend mit dem KV-Vektor nach Gl. 3.16 erhalten wir aus den Definitionen der linearen NW-Parameter das Klemmenverhalten der IUUQ sowie die zugehörigen Zerlegungen. Die richtige Zusammenschaltung aller relevanten Unternetzwerke zur erweiterten Transistor-Realisierung der IUUQ ist das angestrebte Synthese-Ziel. 1. Klemmenverhalten

Uq3

Uq4 =

  ICA1 VA3 1+ Iq1 − U1 =− JA3 IBA1

VA4 JA4



1 ICA1 Iq1 + Iq2 IBA1 1 + IICA2 BA2



    IBA1 Iq1 −2 ln 1 − IBA1 I1 

  −2     1 Iq2   + U2 ln 1 −   I2  1 + IICA2 BA2

(3.45)

(3.46)

3.1 Transistor-Netzwerke

47

2. Zerlegung von

Uq3 = −VA3

IBA1 + ICA1 Iq1 −UBEA1 JA3 IBA1     =1

=1

Uq4

(3.47)

=1

=1

    Iq1 Iq2 +IBA2 ICA1 IBA1 IBA2 + ICA2 = VA4 +UBEA2 JA4   

(3.48)

=1

in die

2.1 Kirchhoff-Gleichungen 

  Iq1 1  Iq2   0     JA3  =  1 JA4 0

�

Uq3 Uq4

�

=

�

0 0 1 1

0 1 0 1

  0 IBA1   1  ICA1    IBA2  0 ICA2 0

(3.49)

  UBEA1 �  −1 0 −1 0   UBEA2   VA3  0 1 0 1 VA4

(3.50)

und die u-i- bzw. v-j-Relationen der Unternetzwerke der IUUQ nach Punkt 2.2 des universellen Synthese-Algorithmus. 2.2 Spannungs-Strom-Relationen

Transistor 1 :

�

Transistor 2 :

�

ICA1 UBEA1

�

ICA2 UBEA2

 � � �0 B1 IBA1 +  � 0 U1 ln �1 −

=

�

�

=

�

Widerst¨ande :



VA3 VA4

 � � �0 B2  IBA2 + � 0 U2 ln �1 − 

=



R3 0 0 R4



JA3 JA4





�−2 

(3.51)

�−2 

(3.52)

IBA1 � I1 �

IBA2 � I2 �



(3.53)

48

3  Nichtlineare Netzwerke

3. Netzwerk-Zerlegung In Abb. 3.6 und 3.7 finden Sie das modifizierte Stromquellen- und Spannungsquellen-Netzwerk der IUUQ. Daraus entnimmt man die fehlenden Kirchhoff-Gleichungen, aufgelöst nach den Strömen und Spannungen der unscharfen Teile in diesen Netzwerken. Sie lauten   I � � � � BA1  I3 −1 −1 0 0   ICA1  = (3.54) I4 0 1 1 1  IBA2  ICA2

�

UCEA1 UCEA2

�

=

�

 UBEA1  1 10 0   UBEA2   VA3  0 10 1 VA4 �



(3.55)

In Abb. 3.6 wählt man also den rot gezeichneten vollständigen Strombaum zweck­ mäßigerweise so, dass die Gleichstromquellen mit Iq1 und Iq2 sowie die 5 Noratoren darin enthalten sind. Ein geeigneter vollständiger Spannungsbaum, in Abb. 3.7 blau dargestellt, enthält dann logischerweise die Gleichspannungsquellen mit Uq3 und Uq4 sowie die Zweige mit den Kollektor-Emitter-Spannungen der Transistoren nicht.

Abb. 3.6   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IUUQ

Abb. 3.7   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IUUQ

3.1 Transistor-Netzwerke

49

Die Parallelschaltung der NW in Abb. 3.6 und 3.7 an allen Knoten ergibt durch die Applikation der Äquivalenztransformationen nach Abb. 2.2 und Tab 2.1 die FixatorErsatzschaltung der IUUQ in Abb. 2.14. Der ebenfalls äquivalente Fixator-Ersatz durch die Schaltzeichen der Transistoren führt dann auf die erweiterte Transistor-Realisierung der IUUQ nach Abb. 2.13. Damit ist das Synthese-Ziel erreicht.

3.1.3.5 Synthese der IIIQ Ausgehend vom KV-Vektor nach Gl. 3.18 erhält man die folgenden Zusammenhänge für die Synthese der IIIQ. Zunächst ersetzen wir im KV-Vektor die linearen NW-Parameter durch die zugehörigen Ströme und Spannungen. Daraus erhält man die entsprechende Zerlegung in die Kirchhoff-Gleichungen sowie die Spannungs-Strom-Relationen der Unternetzwerke. Ihre Zusammenschaltung ergibt das gesuchte NW. 1, Klemmenverhalten

Uq3

Uq4

  −2      1 Iq2     = −U1 ln 1 −  ICA2 I1   1 + IICA1 IBA2 BA1

  IBA2 1 VA3 VA4   1+ Iq2 + U2 = Iq2 + JA3 1 + ICA1 ICA2 JA4 ICA2 IBA1

IBA2

2. Zerlegung von

Uq3

Uq4 = VA3

=1

2.1 Kirchhoff-Gleichungen 

=1

(3.58)

=1

IBA2 Iq2 IBA2 + ICA2 Iq2 IBA1 +VA4 +UEBA2 JA3 IBA1 + ICA1 ICA2 JA4 ICA2          =1

in die

    IBA2 Iq2 −2 ln 1 − ICA2 I2  (3.57)

  −2         IBA2 Iq2 IBA1    = −U1 ln 1 − = −UBEA1   IBA1 + ICA1 ICA2 I1        =1

(3.56)

=1

    Iq2 0 0 1   IBA2   1 1 0  IBA1       JA3  =  1 0 0  ICA1 ICA2 JA4 1 1 1

(3.59)

=1

(3.60)

50

3  Nichtlineare Netzwerke

�

Uq3 Uq4

�

�

 UBEA1  −1 0 0 0   UEBA2  0 1 1 1  VA3  VA4

=

�

=

und

�



(3.61)

2.2 Spannungs-Strom-Relationen

 � � �0 B1 IBA1 +  � 0 U1 ln �1 −

Transistor 1 :

�

ICA1 UBEA1

�

Transistor 2 :

�

ICA2 UEBA2

�

=

�

Widerst¨ande :



VA3 VA4

 � � �0 B2 IBA2 +  � 0 U2 ln �1 − 

=



R3 0 0 R4



JA3 JA4





�−2 

IBA1 � I1 �

�−2 IBA2 � I2 �

 

(3.62)

(3.63)

(3.64)

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. 3.8 zeigt das modifizierte Stromquellen-Netzwerk der IIIQ mit dem rot gezeichneten vollständigen Strombaum, der die Gleichstromquelle mit Iq2 ebenso wie die 5 Noratoren enthält. Das modifizierte Spannungsquellen-Netzwerk der IIIQ sehen Sie in Abb. 3.9. Die Kollektor-Emitter-Spannungen sowie die Zweige mit Uq3 und Uq4 befinden sich zweckmäßigerweise im schwarz gezeichneten Baumkomplement. Aus den unscharfen Teilen in Abb. 3.8 und 3.9 entnimmt man die fehlenden Kirchhoff-Gleichungen, d. h.   � � � � I I3 −1 −1 0  BA1  = ICA1 (3.65) I4 1 1 1 ICA2 Abb. 3.8   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IIIQ

3.1 Transistor-Netzwerke

51

Abb. 3.9   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IIIQ

�

UCEA1 UECA2

�

=

�

 UBEA1  1 0 10   UEBA2   VA3  0 1 10 VA4 �



(3.66)

Durch Parallelschaltung der NW aus Abb. 3.8 und 3.9 gewinnt man mit den bekannten Äquivalenztransformationen die Fixator-Ersatzschaltung der IIIQ in Abb. 2.18 und daraus ihre erweiterte Transistor-Realisierung nach Abb. 2.17.

3.1.3.6 Synthese der NUIQ Aus dem KV-Vektor nach Gl. 3.19 folgt das Klemmenverhalten der NUIQ nach Gl. 3.67 und 3.68, wenn man darin die linearen NW-Parameter durch ihre Ströme und Spannungen ersetzt. Anschließend nehmen wir die Zerlegung in die KirchhoffGleichungen und Spannungs-Strom-Relationen der Unternetzwerke vor. 1. Klemmenverhalten

Iq2 =

Uq3 2. Zerlegung von

ICA Iq1 IBA

      ICA VA3 IBA Iq1 −2  1+ Iq1 − U ln 1 − =− JA3 IBA IBA I  Iq1 Iq2 = ICA IBA   =1

=1

(3.67)

(3.68)

(3.69)

52

3  Nichtlineare Netzwerke

Uq3

  −2         Iq1 IBA  IBA + ICA Iq1    − U ln 1 − = −VA3   JA3 IBA IBA I         =1 =1 =1   

(3.70)

=UBEA

in die

2.1 Kirchhoff-Gleichungen

   � Iq1 1 0 �  Iq2  =  0 1  IBA ICA JA3 1 1 

Uq3

(3.71)

   UBEA = −1 −1 VA3 

(3.72)

und die u-i- bzw. v-j-Relation von Transistor bzw. Widerstand nach Punkt 2.2 des Synthese-Algorithmus. 2.2 Spannungs-Strom-Relationen

Transistor :



ICA UBEA



=



  B  0 IBA + 0 U ln 1 −

Widerstand : VA3 = R3 · JA3

 IBA −2 I



(3.73) (3.74)

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. 3.10 und 3.11 zeigen das modifizierte Stromquellen- und Spannungsquellen-Netzwerk der NUIQ. Daraus gewinnt man die folgenden noch fehlenden Kirchhoff-Gleichungen.     IBA I3 = −1 −1 (3.75) ICA Abb. 3.10   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NUIQ

3.1 Transistor-Netzwerke

53

Abb. 3.11   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NUIQ

UCEA

   UBEA = 10 VA3 

(3.76)

Durch Parallelschaltung der Netzwerke aus Abb. 3.10 und 3.11 gewinnt man mit Äquivalenztransformationen die Fixator-Ersatzschaltung in Abb.  2.22 und daraus die erweiterte Transistor-Realisierung der NUIQ nach Abb. 2.21. Damit ist die Synthese der NUIQ vollständig.

3.1.3.7 Synthese der NIUQ Für den KV-Vektor der NIUQ aus Gl. 3.20 erhält man die spezielle Darstellung mit den Strömen und Spannungen der linearen NW-Parameter nach Gl. 3.77 und 3.78 als Ausgangspunkt für die daraus folgenden Zerlegungen. 1. Klemmenverhalten

Uq3

Uq4

VA3 =− JA3



   = −U1 ln 1 −

 Iq1 −2 IBA1 IBA1 + ICA1 I1 

IBA2 ICA1 Iq1 + Iq2 IBA1 + ICA1 IBA2 + ICA2

2. Zerlegung von

Uq3



   − U2 ln 1 −

(3.77)  IBA2 Iq2 −2 (3.78) IBA2 + ICA2 I2 

  −2         Iq1 IBA1     = −U1 ln 1 − = −UEBA1   IBA1 + ICA1 I1      

(3.79)

=1

Uq4

=1 =1        −2    Iq1 Iq2      ICA1 + IBA2 I I  q2 BA2  I + ICA1 IBA2 + ICA2 = −VA3 BA1 − U2 ln 1 − (3.80)   JA3 I +I I     BA2  CA2 2   =1 =1   



=UEBA2

54

3  Nichtlineare Netzwerke

in die 2.1 Kirchhoff-Gleichungen

   I   1 1 0 0  BA1  Iq1  Iq2  =  0 0 1 1  ICA1   IBA2  JA3 0 1 1 0 ICA2 

�

Uq3 Uq4

�

=

�

und 2.2

(3.81)

  � U −1 0 0  EBA1  UEBA2 0 −1 −1 VA3

(3.82)

Spannungs-Strom-Relationen

Transistor 1 :

�

ICA1 UEBA1

�

Transistor 2 :

�

ICA2 UEBA2

�

=

�

=

�

 � � �0 B1 IBA1 +  � 0 U1 ln �1 −

 � � �0 B2 IBA2 +  � 0 U2 ln �1 −

Widerstand : VA3 = R3 · JA3

�−2 IBA1 � I1 � �−2 IBA2 � I2 �

 

(3.83)



(3.84)



(3.85)

3. Netzwerk-Zerlegung In Abb. 3.12 und 3.13 finden Sie das modifizierte Stromquellen- und das zugehörige Spannungsquellen-Netzwerk der NIUQ. Daraus entnimmt man die noch fehlenden Kirchhoff-Gleichungen   I � � � � BA1  I3 −1 0 0 0   ICA1  = (3.86)  IBA2  I4 0 −1 −1 −1 ICA2 und

�

UECA1 UECA2

�

=

�

 UEBA1 0 10  UEBA2  0 1 1 VA3 

�

(3.87)

Da sowohl die Ströme I3 und I4 der Gleichspannungsquellen als auch die EmitterKollektor-Spannungen UECA1 und UECA2 beider Transistoren von ihren u-i-Relationen

3.1 Transistor-Netzwerke

55

Abb. 3.12   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NIUQ

Abb. 3.13   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NIUQ

her noratorisch sind, müssen sie, wie Gl. 3.86 und 3.87 ausweisen, Kirchhoffsch determiniert sein. D. h., es muss für die NIUQ ein vollständiger Strombaum existieren der zumindest diese Noratoren enthält und ein vollständiger Spannungsbaum, der mindestens die Zweige mit den Emitter-Kollektor-Spannungen nicht enthält. Hinweis Bei Beachtung aller u-i-Restriktionen ist es also zweckmäßig, mit verschiedenen vollständigen Bäumen für die jeweiligen Ströme bzw. Spannungen zu arbeiten und zielführend, eine Zerlegung in das Stromquellen- sowie Spannungsquellen-Netzwerk als Zwischenschritt der Synthese vorzunehmen. Daraus folgen, z. B. für die NIUQ, die Netzwerke nach Abb. 2.26 und 2.25.

3.1.3.8 Synthese der NUUQ Ausgehend vom KV-Vektor nach Gl. 3.21 erhalten wir bei Ersatz der linearen NWParameter durch ihre Ströme und Spannungen das folgende Klemmenverhalten der NUUQ. Daraus ergeben sich die nachstehenden Zerlegungen für die nichtinvertierende spannungsgesteuerte Spannungsquelle als Zwischenschritte der Synthese.

56

3  Nichtlineare Netzwerke

1. Klemmenverhalten

Uq3

  ICA1 VA3 1+ Iq1 − U1 =− JA3 IBA1

    IBA1 Iq1 −2 ln 1 − IBA1 I1 

  ICA1 IBA2 IBA2 ICA1 Iq1 VA4 − Iq1 + Iq2 + JA4 IBA1 IBA2 + ICA2 IBA2 + ICA2 IBA1      −2 ICA1   I + Iq2  IBA2 IBA1 q1  + U2 ln 1 −    IBA2 + ICA2 I2

Uq4 =

(3.88)

(3.89)

2. Zerlegung von

Uq3

  −2         Iq1 IBA1  IBA1 + ICA1 Iq1    − U1 ln 1 − = −VA3   JA3 IBA1 IBA1 I1         =1 =1 =1   

(3.90)

=UBEA1

=1

Uq4

   =1     −2   =1 =1  Iq1      ICA1 + Iq2    Iq1 I q1 IBA1    ICA1 + IBA2 − ICA1 + Iq2   I   BA2  IBA1 IBA2 + ICA2 IBA1 + U2 ln 1 − = VA4   JA4 I +I I        BA2  CA2  2     =1 =1      =UEBA2

(3.91)

in die Kirchhoff-Gleichungen nach Punkt 2.1 und Spannungs-Strom-Relationen nach 2.2. 2.1

Kirchhoff-Gleichungen      Iq1 1 0 0 0 IBA1  Iq2   0 −1 1 1  ICA1        JA3  =  1 1 0 0  IBA2  ICA2 JA4 0 −1 1 0

�

Uq3 Uq4

�

=

�

  UBEA1 �  −1 0 −1 0   UEBA2  0 1 0 1  VA3  VA4

(3.92)

(3.93)

3.1 Transistor-Netzwerke

2.2

57

Spannungs-Strom-Relationen

Transistor 1 :

�

ICA1 UBEA1

�

=

�

Transistor 2 :

�

ICA2 UEBA2

�

=

�

Widerst¨ande :



VA3 VA4

B1 0

�



� �0 IBA1 +  � U1 ln �1 −

 � � �0 B2 IBA2 +  � 0 U2 ln �1 − 

=



R3 0 0 R4



JA3 JA4





�−2 

IBA1 � I1 �

�−2 IBA2 � I2 �

 

(3.94)

(3.95)

(3.96)

3. Netzwerk-Zerlegung In Abb. 3.14 ist das modifizierte Stromquellen-Netzwerk der NUUQ dargestellt. Aus dem unscharfen sowie rot punktierten Teil des vollständigen Strombaums folgt Gl. 3.97 für die Norator-Ströme der Gleichspannungsquellen im Arbeitspunkt.   I � � � � BA1  I3 −1 −1 0 0   ICA1  = (3.97)  IBA2  I4 0 0 1 1 ICA2 Abb. 3.15 enthält das modifizierte Spannungsquellen-Netzwerk der NUUQ mit den schwarz punktierten Zweigen der Kollektor-Emitter-Spannungen im Baumkomplement. Für sie gilt Gl. 3.98.   UBEA1 � � � �  UCEA1 1 0 0 1   UEBA2  = (3.98)  VA3  UECA2 0 1 0 1 VA4 Abb. 3.14   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NUUQ

58

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.15   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NUUQ

Durch Parallelschaltung der Netzwerke aus Abb. 3.14 und 3.15 erhält man mit den bekannten Äquivalenztransformationen und geeignetem Umzeichnen die FixatorErsatzschaltung nach Abb. 2.30. Daraus folgt bei Verwendung der Schaltzeichen der Transistoren die erweiterte Realisierung der NUUQ in Abb. 2.29. Die Synthese der nichtinvertierenden spannungsgesteuerten Spannungsquelle ist hiermit beendet.

3.1.3.9 Synthese der NIIQ Mit dem KV-Vektor in Gl. 3.22 ergibt sich das Klemmenverhalten der NIIQ nach Gl. 3.99 und 3.100. Wir zerlegen Gl. 3.99 und 3.100 für das Gesamtnetzwerk durch Applikation des Kirchhoffschen Strom- oder Spannungsgesetzes in Strukturgleichungen und u-i- bzw. v-j-Relationen der Unternetzwerke. 1. Klemmenverhalten

Uq3

Uq4

VA3 1 + = JA3 1 +

IBA2 ICA2 I ICA1 q2 IBA1

      1+ = −U1 ln 1 −  1+

IBA2 ICA2 ICA1 IBA1

  VA4 IBA2 + 1+ Iq2 + U2 JA4 ICA2

2. Zerlegung von

Uq3

−2 Iq2   I1 

(3.99)

    IBA2 Iq2 −2  ln 1 − (3.100) ICA2 I2 

  −2         IBA2 + ICA2 Iq2 IBA1    = −U1 ln 1 − = −UBEA1   IBA1 + ICA1 ICA2 I1        =1

Uq4 = VA3

=1

IBA2 + ICA2 Iq2 IBA1 IBA2 + ICA2 Iq2 +VA4 +UBEA2 JA3 IBA1 + ICA1 ICA2 JA4 ICA2          =1

=1

=1

(3.101)

=1

=1

(3.102)

3.1 Transistor-Netzwerke

59

in die Kirchhoff-Gleichungen nach Synthese-Schritt 2.1 und die Spannungs-StromRelationen der Transistoren und Widerstände gemäß Punkt 2.2. 2.2 Kirchhoff-Gleichungen 

    Iq2 0 0 1   IBA2   1 1 −1  IBA1       JA3  =  1 0 0  ICA1 ICA2 JA4 1 1 0

�

Uq3 Uq4

�

=

�

 UBEA1  −1 0 0 0   UBEA2   VA3  0 1 1 1 VA4

=

�

2.2 Spannungs-Strom-Relationen

�

(3.103)



(3.104)

 � � �0 B1 IBA1 +  � 0 U1 ln �1 −

Transistor 1 :

�

ICA1 UBEA1

�

Transistor 2 :

�

ICA2 UBEA2

�

=

�

Widerst¨ande :



VA3 VA4

 � � �0 B2 IBA2 +  � 0 U2 ln �1 − 

=



R3 0 0 R4



JA3 JA4





�−2 

(3.105)

�−2 

(3.106)

IBA1 � I1 �

IBA2 � I2 �



(3.107)

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. 3.16 zeigt das modifizierte Stromquellen-Netzwerk der NIIQ mit dem markierten unscharfen Norator-Teil. Daraus entnimmt man die fehlenden Beziehungen für die Ströme der Gleichspannungsquellen im Arbeitspunkt gemäß Gl. 3.108. Abb. 3.16   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der NIIQ

60

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.17   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der NIIQ

�

I3 I4

�

=

�

  � I −1 −1 0  BA1  ICA1 1 10 ICA2

(3.108)

Abb. 3.17 enthält das modifizierte Spannungsquellen-Netzwerk der NIIQ mit dem ebenfalls markierten unscharfen Teil aber für die Zweige der zugehörigen Kollektor-EmitterSpannungen. Damit folgt Gl. 3.109.   UBEA1 � � � �  1 0 1 0  UCEA1  UBEA2  = (3.109) UCEA2 0 1 0 0  VA3  VA4 Die parallele Zusammenschaltung der Netzwerke aus Abb. 3.16 und 3.17 an allen Knoten führt auf die Fixator-Ersatzschaltung in Abb. 2.34 sowie auf die erweiterte Transistor-Realisierung der NIIQ gemäß Abb. 2.33.

3.2 Dioden-Netzwerke 3.2.1 Nichtlineare Dioden-Modelle Abb. 3.18 zeigt, neben dem Schaltsymbol und den gewählten Zählpfeilen für Strom und Spannung, die Kennlinien von realer und idealer Diode.

Abb. 3.18   Dioden-Modelle a Schaltsymbol und Zählpfeile b Nichtlineare Kennlinie der realen Diode c Linearisierte Kennlinie der idealen Diode [3]

3.2 Dioden-Netzwerke

61

Wir definieren die reale und ideale Diode wie folgt. Definition 3.1  Reale Diode Unter der realen Diode verstehen wir das nichtlineare Elementarnetzwerk     u2 D ND = (uD , iD )|iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

(3.110)

mit der Sprungfunktion

  1 uD > 0 s(uD ) = 21 uD = 0  0 uD < 0

(3.111)

Definition 3.2  Ideale Diode Unter der idealen Diode versteht man das Elementarnetzwerk (3.112)

NID = { (uD , iD )|(0, 0) ∧ (< 0, 0) ∧ (0, > 0)}

Die geordneten Paare von Spannung und Strom der idealen Diode lassen sich durch Rest­ riktionen in den Sprungfunktionen entsprechend der Definition der realen Diode gewinnen. Beweis

   u2 − 2UD2 s− (uD ) mit s− (uD ) = (0, 0) ∧ (< 0, 0) : iD = I 1 − e

1 2

uD = 0 (3.113) 0 uD < 0

   1  iD −2 i =0 (0, 0) ∧ (0, > 0) : uD = U ln 1 −  s− (−iD ) mit s− (−iD ) = 2 D (3.114) 0 iD > 0 I

3.2.2 Resistive Dioden-Netzwerke

3.2.2.1 Analyse des resistiven Einweg-Gleichrichters In Abb. 3.19 finden Sie das Netzwerk des resistiven Einweg-Gleichrichters. Mit dem nachfolgenden Analyse-Algorithmus berechnen wir nun über das Klemmenverhalten des resistiven Einweg-Gleichrichters nach Abb. 3.19 die Lastspannung u3.

Abb. 3.19   Resistiver EinwegGleichrichter [4]

62

3  Nichtlineare Netzwerke

1. u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



1 −¨u 0 0



u1 u2



=



0 0 −¨u 1



s(uD )



i1 i2



(3.115)

mit ü als Übersetzungsverhältnis



u2

Diode : iD = I 1 − e

− 2UD2

(3.116)

Last : u3 = R3 i3

(3.117)

i3 = i 2 = i D

(3.118)

u3 = u2 − uD

(3.119)

i3 = u¨ i1

(3.120)

2. Kirchhoff-Gleichungen

3. Klemmenverhalten



−

u3 = R 3 I 1 − e



( uu¨1 −u3 )2 2U2

4. Lösungsansätze

 u 1 − u3 s u¨

(3.121)

(3.122)

u3 = u3P + u3H mit u3P als partikuläre und u3H homogene Lösung sowie

0 ≤ u3 ≤ 

u3P2 + u3H2 = R3 I 1 − e

−

u1 u¨

(3.123)

( uu¨1 −u3P1 −u3H1 )2 2U2



s

5. Lösung



−

u3H1 = u3H2 = 0 : u3P2 = R3 I 1 − e

u

1

u¨

( uu1 −u3P1 )2 2U2

− u3P1 − u3H1



s

u

1

u¨

− u3P1



(3.124)



(3.125)

u1 u¨

(3.126)

Intervall 2 : u3P2 = 0

(3.127)

Intervall 1 : u3P1 =

3.2 Dioden-Netzwerke

63

Einsetzen von Gl. 3.126 und 3.127 in Gl. 3.124 liefert   u2 3H1 − 2U 2 u3H2 = R3 I 1 − e s(−u3H1 )

(3.128)

Intervall 1 : u3H1 = 0

(3.129)

Intervall 2 : u3H2 = 0

(3.130)

Zusammenfassung:

u1 u¨

(3.131)

Intervall 2 : u3 = u3P2 + u3H2 = 0

(3.132)

Intervall 1 : u3 = u3P1 + u3H1 =

Hinweise a) Da neben der Diode und dem Widerstand auch der Übertrager mit der BelevitchDarstellung nach Gl. 3.115 als resistiv angenommen wurde, ist das Gesamtnetzwerk in Abb. 3.19 ebenfalls resistiv. b) Das Lösungsverfahren für Gl. 3.124 geht wegen den applizierten Restriktionen in den Sprungfunktionen von einer zugrunde liegenden idealen Diode aus. c) In unseren Dioden-Modellen vernachlässigen wir grundsätzlich die Sperrströme. Das nachfolgende Beispiel verdeutlicht die erwähnten Zusammenhänge. Beispiel 3.1  Resistive Einweg-Gleichrichtung

 1 sin ωt Gegeben : u1 (t) = U

Gesucht : u3 (t)  1 U sin ωt im Intervall 1 u¨ Losung : u3 (t) = 0 im Intervall 2

(3.133)

(3.134)

Abb. 3.20 zeigt u. a. die partikuläre Lösung u3P (t) und die triviale homogene Lösung u3H (t) für beide Intervalle. Die Gesamtlösung für die Lastspannung

u3 (t) = u3P (t) + u3H (t)

(3.135)

stimmt also mit der partikulären Lösung überein.

3.2.2.2 Analyse des resistiven Zweiweg-Gleichrichters In Abb. 3.21 sehen Sie das Netzwerk des resistiven Zweiweg-Gleichrichters zur Berechnung der Lastspannung u3 (t) und des Laststromes i3 (t) mit dem nachfolgenden Analyse-Algorithmus.

64

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.20   Resistive Einweg-Gleichrichtung der Sinusfunktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung

Abb. 3.21   Resistiver Zweiweg-Gleichrichter [5]

Der Zweiweg-Gleichrichter in Abb. 3.21 ist eine Brückenschaltung, die nach seinem Erfinder auch Graetz-Schaltung genannt wird. Eine weitere Möglichkeit der Realisierung eines resistiven Zweiweg-Gleichrichters ist die Mittelpunktschaltung nach Abb. 3.31 in Aufgabe A 3.6. 1. u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



1 −¨u 0 0



u1 u2



=



0 0 −¨u 1 



Dioden : iD1 = iD2 = iD3 = iD4 = iD = I 1 − e



(3.136)



(3.137)

i1 i2

u2

− 2UD2

s(uD )

uD1 = uD2 = uD3 = uD4 = uD

(3.138)

Last : u3 = R3 i3

(3.139)

3.2 Dioden-Netzwerke

65

2. Kirchhoff-Gleichungen

i3 = |i2 | = iD

(3.140)

u3 = |u2 | − 2 uD

(3.141)

Hinweise 1. Gl. 3.141 ist trotz der 2 Kirchhoffsch. Das ist wegen der Reihenschaltung und der damit verbundenen Spannungsaddition von jeweils zwei gleichen leitenden Dioden in Abb. 3.21 der Fall. 2. Die Beträge in Gl. 3.140 bzw. 3.141 führen bei ihrer Auflösung zum Splitting in zwei Kirchhoff-Gleichungen. 1. Klemmenverhalten (3.142)

i3 = |¨ui1 | 

u3 = R3 I 1 − e

−

(| uu¨1 |−u3 )2 8U2

4. Lösungsansätze



 u  u  3  1 s  − 2¨u 2

u3 = u3P + u3H ∧ i3 =

u3 R3

(3.143)

(3.144)

u3P partikuläre und u3H homogene Lösung u   1 Aussteuerbereich an der Last : 0 ≤ u3 ≤   (3.145) u¨   (| u1 |−u3P1 −u3H1 )2  u1  u3P1 u3H1  − u¨ 2 8U − Weg A : u3P2 + u3H2 = R3 I 1 − e s  − (3.146) 2¨u 2 2 

Weg B : u3P4 + u3H4 = R3 I 1 − e 5. Lösungen

−

(| uu¨1 |−u3P3 −u3H3 )2 8U2



 u  u u3H3  3P3  1 − s  − (3.147) 2¨u 2 2

u   1 Intervall 1 : Weg A : u3P1 =   ∧ u3H1 = 0 u¨

(3.148)

Weg B : u3P4 = 0 ∧ u3H4 = 0

(3.149)

Intervall 2 : Weg A : u3P2 = 0 ∧ u3H2 = 0

(3.150)

u   1 Weg B : u3P3 =   ∧ u3H3 = 0 u¨

(3.151)

66

3  Nichtlineare Netzwerke

Zusammenfassung:

u   1 Intervall 1 : u3 = u3P1 + u3P4 + u3H1 + u3H4 =         u¨ =u3P

(3.152)

=u3H

u   1 Intervall 2 : u3 = u3P2 + u3P3 + u3H2 + u3H3 =         u¨ =u3P

(3.153)

=u3H

Außerdem gilt f¨ur beide Intervalle : i3 =

|u1 | u3 = u¨ R3 R3

(3.154)

Beispiel 3.2  Resistive Zweiweg-Gleichrichtung

 1 sin ωt Gegeben : u1 (t) = U

(3.155)

Gesucht : u3 (t)

L¨osung : u3 (t) =

1 U |sin ωt| u¨

(3.156)

Abb. 3.22 zeigt u. a. die partikuläre, homogene und Gesamtlösung für die Spannung an der Last bei resistiver Zweiweg-Gleichrichtung der Sinusfunktion. Ergebnisse 1. Aus Abb. 3.22 erkennt man, dass bei der resistiven Zweiweg-Gleichrichtung der Sinusfunktion ebenfalls ideale Dioden zugrunde liegen. 2. Bei der resistiven Gleichrichtung ist die homogene Lösung stets trivial. 3. Die Form der Halbschwingungen der Sinusfunktion bleibt bei der resistiven Zweiweg-Gleichrichtung erhalten. 4. Bei der resistiven Zweiweg-Gleichrichtung weist der Laststrom keine Lücken auf.

3.2.2.3 Synthese des resistiven Einweg-Gleichrichters Ausgangspunkt der Synthese ist das Klemmenverhalten des Einweg-Gleichrichters an seinem Eingangstor, wenn das Ausgangstor resistiv mit R3 beschaltet ist. 1. Klemmenverhalten



−

u¨ i1 = I 1 − e 2. Zerlegung von



( uu¨1 −R3 u¨ i1 )2

iD i 3 i2 = I1 − e iD i 3

2U2



�2 � u u2 − i 3 i2 3 − 2U2

 u 1 − R3 u¨ i1 s u¨ 

� � s u2 − u3 i2 i3

(3.157)

(3.158)

3.2 Dioden-Netzwerke

67

Abb. 3.22   Resistive Zweiweg-Gleichrichtung der Sinusfunktion a Partikuläre Lösungen b Homogene Lösungen c Gesamtlösung

2.1 Kirchhoff-Gleichungen

i2 = i 3 = i D

(3.159)

uD = u 2 − u 3

(3.160)

2.2 u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



u2 i2



=



1 u¨

0 0 u¨



u1 i1



(3.161)

  u2 D Diode : iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

(3.162)

Last : u3 = R3 i3

(3.163)

Wegen − u2 i2 + u3 i3 + uD iD = 0

(3.164)

2.3 Tellegenscher Satz

68

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.23   NetzwerkZerlegung des resistiven Einweg-Gleichrichters

existiert in Abb. 3.23 zwischen Übertrager- und Load-NW ein Kurzschluss- Netzwerk.

Beweis : −u2 iD + u3 iD + (u2 − u3 )iD = 0

(3.165)

q.e.d. 3. Netzwerk-Zerlegung

3.2.2.4 Synthese des resistiven Zweiweg-Gleichrichters Die Synthese des resistiven Zweiweg-Gleichrichters erfolgt hier mit dem Klemmenverhalten an seinem Eingangstor nach Gl. 3.166. 1. Klemmenverhalten



−

|¨ui1 | = I 1 − e

(| uu¨1 |−R3 |u¨ i1 | )2 8U2

2. Zerlegung von

  u  |¨ui1 |  1 s   − R3 2¨u 2

 �2  � �� � � | u22 |− ui33 |i22 | |i | i D i3 s �� u2 �� − u3 2 2U2 |i2 | = I1 − e− i D i3 2 i3 2

(3.166)

(3.167)

2.1 Kirchhoff-Gleichungen

|i2 | = i3 = iD →



i2 = iD1 = iD2 i2 ≥ 0 −i2 = iD3 = iD4 i2 ≤ 0

(3.168)

|u2 | = u3 + 2 uD →



u2 = uD1 + u3 + uD2 u2 ≥ 0 −u2 = uD3 + u3 + uD4 u2 ≤ 0

(3.169)

2 uD =



uD1 + uD2 u2 ≥ 0 uD3 + uD4 u2 ≤ 0

(3.170)

mit

3.2 Dioden-Netzwerke

69

2.2 u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



u2 i2



=



1 u¨

0 0 u¨



u1 i1



(3.171)

  u2 D Dioden : iD1 = iD2 = iD3 = iD4 = iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

(3.172)

uD1 = uD2 = uD3 = uD4 = uD

(3.173)

Last : u3 = R3 i3

(3.174)

2.3 Tellegenscher Satz Der Satz von Tellegen wird hier durch Fallunterscheidung erfüllt. Dabei berücksichtigen wir für die Strom- und Spannungsverteilung im Netzwerk nur die nichtverschwindenden Summanden.

Fall1 : u2 ≥ 0 ∧ i2 ≥ 0

(3.175)

−u2 i2 + u3 i3 + uD1 iD1 + uD2 iD2 = 0

(3.176)

(−u2 + u3 + uD1 + uD2 ) iD = 0    =0

(3.177)

Fall 2 : u2 ≤ 0 ∧ i2 ≤ 0

(3.178)

−u2 i2 + u3 i3 + uD3 iD3 + uD4 iD4 = 0

(3.179)

(u2 + u3 + uD3 + uD4 ) iD = 0    =0

(3.180)

Abb. 3.24 zeigt die zugehörige Netzwerk-Zerlegung. 3. Netzwerk-Zerlegung

Ergebnisse 1. Durch Umzeichnen erhält man aus Abb. 3.23 bzw. 3.24 die Gleichrichter-NW nach Abb. 3.19 bzw. 3.21 zurück. 2. Falls der Satz von Tellegen nach Punkt 2.3 des Synthese-Algorithmus nicht mit Kurzschluss-Netzwerken in den Netzwerk-Zerlegungen der Gleichrichter erfüllbar gewesen wäre, hätte man an Stelle der Kurzschluss-NW mit einer Parallelschaltung von Nullator- und Norator-NW ansetzen und die verbleibenden Nulloren mit OPV oder Transistoren realisieren können.

70

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.24   Netzwerk-Zerlegung des resistiven Zweiweg-Gleichrichters

3. Es ist also grundsätzlich möglich, die Zerlegung in ein NW zur Beschreibung der Struktur mit den Kirchhoff-Gleichungen und in ein Load-NW zur Realisierung der u-i-Relationen der Unternetzwerke vorzunehmen. 4. Dabei ist die Kenntnis von Äquivalenztransformationen zielführend. 5. Hat das Gesamtnetzwerk mehrere potenzialgetrennte Komponenten, so gilt der Satz von Tellegen komponentenweise.

3.2.3 Dynamische Dioden-Netzwerke 3.2.3.1 Analyse des dynamischen Einweg-Gleichrichters In Abb. 3.25 sehen Sie den dynamischen Einweg-Gleichrichter, wobei die Dynamik durch die Applikation des Ladekondensators C3 verursacht wird. Mit dem bekannten Analyse-Algorithmus berechnen wir nun über das Klemmenverhalten des dynamischen Einweg-Gleichrichters nach Abb. 3.25 die Lastspannung u3.

Abb. 3.25   Dynamischer Einweg-Gleichrichter [4]

3.2 Dioden-Netzwerke

71

1. u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



1 −¨u 0 0



u1 u2



=



0 0 −¨u 1



s(uD )



i1 i2



(3.181)

mit ü als Übersetzungsverhältnis



u2

Diode : iD = I 1 − e

Last : i3 = G3 u3 + C3

− 2UD2

1 du3 ∧ G3 = dt R3

(3.182)

(3.183)

2. Kirchhoff-Gleichungen

i3 = i 2 = i D

(3.184)

u3 = u2 − uD

(3.185)

3. Klemmenverhalten

u¨ i1 = G3 u3 + C3

du3 dt

(3.186)

   ( u1 −u3 )2  u1 du3 − u¨ 2U2 − u3 =I 1−e G 3 u 3 + C3 s u¨ dt

(3.187)

u3 = u3P + u3H

(3.188)

4. Lösungsansätze

   ( u1 −u3P1 −u3H1 )2  u1 d(u3P2 + u3H2 ) − u¨ 2 2U =I 1−e − u3P1 − u3H1 G3 (u3P2 + u3H2 ) + C3 s dt u¨ (3.189) 5. Lösung

u3H1 = u3H2

   ( u1 −u3P1 )2  u1 du3P2 − u¨ 2U2 =I 1−e − u3P1 (3.190) = 0 : G3 u3P2 + C3 s dt u¨ u1 u¨

(3.191)

Intervall 2 : u3P2 = 0

(3.192)

Intervall 1 : u3P1 =

72

3  Nichtlineare Netzwerke

Einsetzen von Gl. 3.191 und 3.192 in Gl. 3.189 liefert folgende Bedingungen für die homogenen Lösungen.   u2 du3H2 3H1 − 2U 2 =I 1−e G3 u3H2 + C3 s(−u3H1 ) (3.193) dt (3.194)

Intervall 1 : u3H1 = 0 Intervall 2 : G3 u3H2 + C3

du3H2 − t = 0 → u3H2 = K e τ3 mit τ3 = R3 C3 (3.195) dt

Schaltgesetz am Kondensator : u3H2 (0) = u3P1 (0) → K =

→ u3H2 =

u1 (0) − τt e 3 u¨

u1 (0) u¨

(3.196)

(3.197)

Das nachstehende Beispiel 3.3 verdeutlicht die Zusammenhänge zur dynamischen Einweg-Gleichrichtung. Beispiel 3.3  Dynamische Einweg-Gleichrichtung

 1 cos ωt Gegeben : u1 (t) = U

(3.198)

Intervall 1 : u3 (t) = u3P1 (t) + u3H1 (t)

(3.199)

Gesucht : u3 (t)

Lösungen:

u3 (t) =

1 U u1 (t) = cos ωt u¨ u¨

Intervall 2 : u3 (t) = u3P2 (t) + u3H2 (t) u3 (t) =

1 − t U u1 (0) − τt e 3 = e τ3 u¨ u

(3.200) (3.201) (3.202)

Abb. 3.26 zeigt die partikuläre und homogene Lösung sowie die Gesamtlösung für die Lastspannung bei der dynamischen Einweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion. Ergebnisse 1. Man erkennt, dass die homogene Lösung bei der dynamischen Gleichrichtung offenbar nicht trivial ist. 2. Die dargestellten Lösungen gelten für eine ideale Diode gemäß Gl. 3.112.

3.2 Dioden-Netzwerke

73

Abb. 3.26   Dynamische Einweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung

3.2.3.2 Analyse des dynamischen Zweiweg-Gleichrichters Abb. 3.27 zeigt den dynamischen Zweiweg-Gleichrichter mit Ladekondensator C3. Die Lastspannung u3 berechnet man mit unserem Analyse-Algorithmus wie folgt. 1. u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



u2 i2



=



1 u¨

0 0 u¨



u1 i1



(3.203)

  u2 D Dioden : iD1 = iD2 = iD3 = iD4 = iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

(3.204)

uD1 = uD2 = uD3 = uD4 = uD

(3.205)

Abb. 3.27   Dynamischer Zweiweg-Gleichrichter [5]

74

3  Nichtlineare Netzwerke

Last : i3 = G3 u3 + C3

1 du3 ∧ G3 = dt R3

(3.206)

2. Kirchhoff-Gleichungen

i3 = |i2 | = iD

(3.207)

u3 = |u2 | − 2 uD

(3.208)

3. Klemmenverhalten

|¨ui1 | = G3 u3 + C3

du3 dt

  (| u1 |−u3 )2  u1  u3  du3 − u¨ 8U2 =I 1−e G3 u3 + C3 s  − dt 2¨u 2

(3.209)

(3.210)

4. Lösungsansätze

u3 = u3P + u3H

(3.211)

  (| u1 |−u3P1 −u3H1 )2  u1  u3P1 u3H1  d(u3P2 + u3H2 ) − u¨ 8U2 =I 1−e − G3 (u3P2 + u3H2 )+C3 s  − dt 2¨u 2 2

(3.212)

5. Lösung

u3H1 = u3H2

  (| u1 |−u3P1 )2  u1  u3P1  du3P2 − u¨ 8U2 =I 1−e = 0 : G3 u3P2 + C3 s  − (3.213) dt 2¨u 2 u   1 Intervall 1 : u3P1 =   u¨ Intervall 2 : u3P2 = 0

(3.214) (3.215)

Einsetzen von Gl. 3.214 und 3.215 in Gl. 3.212 liefert folgende Bedingungen für die homogenen Lösungen.    u2 du3H2 u3H1  3H1 = I 1 − e− 8U2 s − G3 u3H2 + C3 (3.216) dt 2

Intervall 1 : u3H1 = 0 Intervall 2 : G3 u3H2 + C3

(3.217)

du3H2 − t = 0 → u3H2 = K e τ3 mit τ3 = R3 C3 (3.218) dt

3.2 Dioden-Netzwerke

75

   u1 (0)   Schaltgesetz am Kondensator : u3H2 (0) = u3P1 (0) → K =  u¨     u1 (0)  − t e τ3 → u3H2 =  u¨ 

(3.219)

(3.220)

Das nachstehende Beispiel 3.4 verdeutlicht die Zusammenhänge zur dynamischen Zweiweg-Gleichrichtung. Beispiel 3.4  Dynamische Zweiweg-Gleichrichtung

 1 cos ωt Gegeben : u1 (t) = U

(3.221)

L¨osungen : Intervall 1 : u3 (t) = u3P1 (t) + u3H1 (t)

(3.222)

Gesucht : u3 (t)

    u1 (t)  U  = 1 |cos ωt| u3 (t) =   u¨ u¨

Intervall 2 : u3 (t) = u3P2 (t) + u3H2 (t)     u1 (0)  − t t e τ3 = U1 e− τ3  u3 (t) =   u¨ u¨

(3.223)

(3.224)

(3.225)

Abb. 3.28 zeigt die partikuläre und homogene Lösung sowie die Gesamtlösung für die Lastspannung u3 bei der dynamischen Zweiweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion. Ergebnisse 1. Bei der dynamischen Zweiweg-Gleichrichtung ist gegenüber der Einweg-Gleichrichtung bei gleichen Parametern die sogenannte Welligkeit geringer und der Zeitmittelwert der Lastspannung größer. 2. Die guten Eigenschaften des Zweiweg-Gleichrichters erkauft man sich durch einen höheren schaltungstechnischen Aufwand, bezogen auf den Einweg-Gleichrichter.

3.2.3.3 Synthese des dynamischen Einweg-Gleichrichters Ausgangspunkt der Synthese ist das Klemmenverhalten des dynamischen Einweg-Gleichrichters an seinem Eingangstor, wenn das Ausgangstor mit R3 parallel C3 beschaltet ist. Daraus folgen die weiteren Synthese-Schritte.

76

3  Nichtlineare Netzwerke

Abb. 3.28   Dynamische Zweiweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung

1. Klemmenverhalten

u¨ i1 = i3 = G3 u3 + C3 

u¨ i1 = I 1 − e

−

1 du3 ∧ G3 = dt R3

( uu¨1 −u3 )2 2U2



 u 1 − u3 s u¨

(3.226)

(3.227)

2. Zerlegung von

   2 3u ( u2u−u D) iD i 3 u2 − u3 D − 2 2U i2 = I 1 − e uD s iD i 3 uD

(3.228)

2.1 Kirchhoff-Gleichungen Da die Dioden-Netzwerke zur Gleichrichtung im resistiven oder dynamischen Fall, abgesehen von der Last, identisch sind, bleiben die Struktur-Gleichungen unverändert erhalten. Sie lauten also

i2 = i 3 = i D

(3.229)

uD = u 2 − u 3

(3.230)

2.2 u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



u2 i2



=



1 u¨

0 0 u¨



u1 i1



(3.231)

3.2 Dioden-Netzwerke

77

  u2 D Diode : iD = I 1 − e− 2U2 s(uD ) Last : i3 = G3 u3 + C3

1 du3 ∧ G3 = dt R3

(3.232)

(3.233)

2.3 Tellegenscher Satz

Wegen − u2 i2 + u3 i3 + uD iD = 0

(3.234)

existiert in Abb. 3.29 zwischen Übertrager- und Load-NW ein Kurzschluss- Netzwerk. Das ist aufgrund der Orthogonalität von Strom- und Spannungs- Verteilung und zwar für jede Netzwerk-Komponente der Fall. Beweis für die sekundäre Netzwerk-Komponente:

−u2 iD + u3 iD + (u2 − u3 )iD = 0

(3.235)

(wahr) 3. Netzwerk-Zerlegung Wegen den identischen Kirchhoff-Gleichungen tritt hier das gleiche Kurzschluss-Netzwerk wie in Abb. 3.23 auf.

3.2.3.4 Synthese des dynamischen Zweiweg-Gleichrichters Unter dem dynamischen Zweiweg-Gleichrichter verstehen wir im Abschn. 3.2.3.4 die Graetz-Schaltung mit Ladekondensator C3. Ausgangspunkt der Synthese ist wieder das Klemmenverhalten zwischen dem Eingangs- und Ausgangstor bei ohmsch/kapazitiver Last. 1. Klemmenverhalten

|¨ui1 | = i3 = G3 u3 + C3

Abb. 3.29   NetzwerkZerlegung des dynamischen Einweg-Gleichrichters

1 du3 ∧ G3 = dt R3

(3.236)

78

3  Nichtlineare Netzwerke



−

|¨ui1 | = I 1 − e

(| uu¨1 |−u3 )2 8U2



 u  u  3  1 s  − 2¨u 2

(3.237)

Dabei legen wir eine Parallelschaltung von Widerstand R3 und Ladekondensator C3 als Last zugrunde. 2. Zerlegung von

 �  � |u2 |−u3 u 2 � � D 2uD |u2 | − u3 i D i3 − 2   2U |i2 | = I 1 − e s uD iD i3 2uD

(3.238)

i3 = |i2 | = iD

(3.239)

u3 = |u2 | − 2 uD

(3.240)

2.1 Kirchhoff-Gleichungen

2.2 u-i-Relationen

¨ Ubertrager :



u2 i2



=



1 u¨

0 0 u¨



u1 i1



(3.241)

  u2 D Dioden : iD1 = iD2 = iD3 = iD4 = iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

(3.242)

uD1 = uD2 = uD3 = uD4 = uD

(3.243)

Last : i3 = G3 u3 + C3

1 du3 ∧ G3 = dt R3

(3.244)

2.3 Tellegenscher Satz

Fall 1 : u2 ≥ 0 ∧ i2 ≥ 0

(3.245)

−u2 i2 + u3 i3 + uD1 iD1 + uD2 iD2 = 0

(3.246)

(−u2 + u3 + uD1 + uD2 ) iD = 0    =0

(3.247)

Fall 2 : u2 ≤ 0 ∧ i2 ≤ 0

(3.248)

−u2 i2 + u3 i3 + uD3 iD3 + uD4 iD4 = 0

(3.249)

(u2 + u3 + uD3 + uD4 ) iD = 0    =0

(3.250)

3.3  Aufgaben zu nichtlinearen Netzwerken

79

Abb. 3.30   Netzwerk-Zerlegung des dynamischen Zweiweg-Gleichrichters

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. 3.30 zeigt die Netzwerk-Zerlegung der Graetz-Schaltung mit Ladekondensator.

3.3 Aufgaben zu nichtlinearen Netzwerken A 3.1* Eingangskennlinie des pnp-Transistors Leiten Sie die Eingangskennlinie eines pnp-Transistors her! Verwenden Sie dazu für einen geeigneten Ansatz das charakteristische Moment und die zugehörige charakteristische Funktion.

80

3  Nichtlineare Netzwerke

A 3.2 Klemmenverhalten der UUQ Leiten Sie mit der Festlegung UECA2 = UEBA2 das Klemmenverhalten der UUQ aus Abb. L1 her! A 3.3 Klemmenverhalten der IIQ Ermitteln Sie mit der Bedingung UCEA2 = UBEA2 das Klemmenverhalten der IIQ aus Abb. L5! A 3.4* Synthese der UUQ Ausgehend vom Klemmenverhalten der UUQ in Lösung L 3.2 ist durch Synthese ihre erweiterte Transistor-Realisierung zu ermitteln! A 3.5* Synthese der IIQ Synthetisieren Sie die IIQ, ausgehend vom Klemmenverhalten in Lösung. L 3.3, sodass die erweiterte Transistor-Realisierung in Abb. L5 entsteht! A 3.6 Analyse des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters Gegeben: Resistiver Mittelpunkt-Gleichrichter nach Abb. 3.31 mit

 1 sin ωt u1 = U

Gesucht: a) Lastspannung u3(t), b) Laststrom i3(t), c) Klemmenverhalten am Eingangstor. Hinweis: Bestimmen Sie α mit dem Ansatz u3 (t) = α|u1 (t)|! A 3.7 Synthese des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters Synthetisieren Sie den resistiven Mittelpunkt-Gleichrichter, ausgehend von seinem Klemmenverhalten am Eingangstor, d. h.



|¨ui1 | = I 1 − e

−

(| u2¨1u |−R3 |u¨ i1 |)2 2U2



  u   1 s   − R3 |¨ui1 | 2¨u

Verwenden Sie als Unternetzwerke ausschließlich Übertrager, Dioden und Widerstände!

Abb. 3.31   Resistiver Mittelpunkt-Gleichrichter [4]

3.3  Aufgaben zu nichtlinearen Netzwerken

81

A 3.8* Analyse des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters  1 cos ωt. Gegeben: Dynamischer Mittelpunkt-Gleichrichter nach Abb. 3.32 mit u1 = U Gesucht: a Lastspannung u3 (t), b Klemmenverhalten am Eingangstor bei idealen Dioden. A 3.9 Synthese des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters Ausgehend vom Klemmenverhalten des dynamischen Mittelpunkt- Gleichrichters, d. h.

|¨ui1 | = i3 = G3 u3 + C3 

−

|¨ui1 | = I 1 − e

1 du3 ∧ G3 = dt R3

(| u2¨1u |−u3 )2 2U2



  u   1 s   − u3 2¨u

ist die Netzwerk-Synthese durchzuführen. Als Unternetzwerke sind Übertrager, Widerstände, Kondensatoren und Dioden zugelassen. A 3.10* Analyse des Einweg-Gleichrichters mit Drossel und Nulldiode Gegeben: Einweg-Gleichrichter mit Drossel und Nulldiode nach Abb. 3.33

 1 sin (ωt + ϕu1 ). Gesucht : i3P und i3H f¨ur u1 = U

mit i3P partikuläre Lösung des Laststromes, i3H homogene Lösung des Laststromes. Abb. 3.32   Dynamischer Mittelpunkt-Gleichrichter [4]

Abb. 3.33   EinwegGleichrichter mit Drossel und Nulldiode [6]

82

3  Nichtlineare Netzwerke

A 3.11 Synthese des Einweg-Gleichrichters mit Drossel und Nulldiode Ausgehend vom KV des Einweg-Gleichrichters mit Drossel und Nulldiode, d. h.    ( u1 −u3 )2  u1 − u¨ 2U2 − u3 u¨ i1 = I 1 − e s u¨

d u3 = R3 (i3 − u¨ i1 ) + L3 (i3 − u¨ i1 ) = −U0 dt

    i3 − u¨ i1 −2  s(¨ui1 − i3 ) ln 1 − I0 

ist eine Netzwerk-Synthese durchzuführen! Zugelassene Unternetzwerke sind Übertrager, Widerstände, Spulen und Dioden. A 3.12* Analyse des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Drossel Gegeben: Mittelpunkt-Gleichrichter mit Glättungsdrossel nach Abb. 3.34  1 sin ωt im Intervall 0 ≤ ωt ≤ π. und u1 = U Gesucht: a) Partikuläre Lösung i3P des Laststromes i3 b) Homogene Lösung des i3H Laststromes i3 c) Gesamtlösung des Laststromes i3 d) Linearer Mittelwert i3 des Laststromes i3 e) Skizzen für u1 und i3 im Intervall 0 ≤ ωt ≤ π A 3.13 Synthese des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Drossel Beginnend mit dem Klemmenverhalten des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Drossel, d. h.



i3 = |¨ui1 | = I 1 − e

−

(| u2¨1u |−u3 )2 2U2

u 3 = R 3 i3 + L 3



  u   1 s   − u3 2¨u

di3 dt

ist dieses Netzwerk zu synthetisieren! Zugelassene Unternetzwerke sind Übertrager, Widerstände, Spulen und Dioden.

Abb. 3.34   MittelpunktGleichrichter mit Glättungsdrossel

3.3  Aufgaben zu nichtlinearen Netzwerken

83

A 3.14 Dimensionierung des Ladekondensators Für die Netzwerke zur Einweg-Gleichrichtung (a) und Zweiweg-Gleichrichtung (b) nach Abb. 3.25 und 3.27 sind die Ladekondensatoren wie in [7] zu dimensionieren! A 3.15 Dimensionierung der Glättungsdrossel Für die Netzwerke zur Einweg-Gleichrichtung (a) und Zweiweg-Gleichrichtung (b) nach Abb. 3.33 und 3.34 sind Näherungen zur Dimensionierung der Glättungsdrosseln herzuleiten! A 3.16 Intervall-Restriktionen gleichgerichteter Spannungen Geben Sie die Intervall-Restriktionen für die Spannungen in den folgenden Abbildungen an! a) Abb. 3.20c zur resistiven Einweg-Gleichrichtung, b) Abb. 3.22c zur resistiven Zweiweg-Gleichrichtung, c) Abb. 3.26c zur dynamischen Einweg-Gleichrichtung, d) Abb. 3.28c zur dynamischen Zweiweg-Gleichrichtung, e) Abb. L13a zur resistiven Mittelpunkt-Gleichrichtung, f) Abb. L15c zur dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichtung. A 3.17 Drehstrom-Brücken-Gleichrichter Für den Drehstrom-Brücken-Gleichrichter nach Abb. 3.35 ist der Verlauf der Gleichspannung u4 bei idealen Dioden zu zeichnen! Wie ermittelt man die jeweils leitenden Dioden?

Abb. 3.35   Drehstrom-Brücken-Gleichrichter [7] a Netzwerk b Spannungssystem

84

3  Nichtlineare Netzwerke

A 3.18 Dioden-Umschaltzeitpunkte Ermitteln Sie für den Einweg-Gleichrichter mit Drossel und Nulldiode die normierten Umschaltzeitpunkte ωt0 und ωt1 der Dioden in Abb. 3.33. Teilaufgaben: a) Übernahme der Gleichungen für ωt0 und K aus der Lösung L 3.10*, b) Berechnung von ωt1 entsprechend Abb. L17, c) Probe und Ermittlung der Dimensionierungsbedingung für die normierte Zeitkonstante ωτ3.

Literatur 1. Ehrhardt, D.: Verstärkertechnik. Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden, S. 14 (1992) 2. Böhmer, E.: Elemente der angewandten Elektronik. Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden, S. 135 (1992) 3. Seifart, M.: Analoge Schaltungen und Schaltkreise. Verlag Technik, Berlin, S. 335 (1980) 4. Möschwitzer, A. (Hrsg.): Formeln der Elektrotechnik und Elektronik. Verlag Technik, Berlin, S. 100 (1989) 5. Möschwitzer, A. (Hrsg.): Formeln der Elektrotechnik und Elektronik. Verlag Technik, Berlin, S. 101 (1989) 6. Lappe, R.: Leistungselektronik. 3. Lehrbrief, Verlag Technik, Berlin, S. 13 (1973) 7. Köstner, R.; Möschwitzer, A.: Elektronische Schaltungstechnik. Verlag Technik, Berlin, S. 36–42 (1987)

4

Zusammenfassung

Ausgehend von affinen Fixator-Modellen bipolarer Transistoren werden Gleichungssysteme zur Arbeitspunktfixierung und Quellendimensionierung in quasilinearen Kirchhoff-Netzwerken hergeleitet. Dabei bildet ein neuer Dimensionierungs-Algorithmus für gesteuerte Quellen die Design-Grundlage. Der Schlüssel-Schritt des Algorithmus ist die Zerlegung der Fixator-Ersatzschaltung einer gesteuerten Quelle in die Parallelschaltung eines Stromquellen-Netzwerks (NW) mit Noratoren und eines Spannungsquellen-NW mit Nullatoren. Dazu verwendet man geeignete Äquivalenz-Transformationen. Auf dem Weg zu den linearen Gleichungssystemen zur Arbeitspunkteinstellung und Quellenbemessung ist eine Kirchhoff-Analyse des Strom- und SpannungsquellenNetzwerks erforderlich. Aufgrund der gewählten Zerlegungen können Strom- und Spannungsbaum in den entsprechenden Netzwerken z. T. unterschiedliche Zweige enthalten. Dadurch eröffnet sich die Möglichkeit, sofort zu den Ergebnis-Darstellungen der linearen Gleichungssysteme überzugehen. Praxisrelevante Aufgaben zu quasilinearen Kirchhoff-Netzwerken beschließen das zweite Kapitel. Die zugehörigen Lösungen sind im Anhang angegeben. Im dritten Kapitel erfolgt mithilfe charakteristischer Momente und Funktionen die Herleitung nichtlinearer Transistor- und Dioden-Modelle. Dabei ergibt sich, dass die charakteristische Funktion der Diode die Gauß-Funktion ist. Damit gewinnt man eine Spannungs-Strom-Relation, die näher an den praktischen Gegebenheiten liegt als andere in der fremden Literatur applizierte Dioden-Modelle. Zur Darstellung des Klemmenverhaltens (KV) nichtlinearer gesteuerter Quellen führen wir den KV-Vektor ein, der aus einem linearen und nichtlinearen Teilvektor besteht. Er beschreibt den Zusammenhang zwischen den Werten der idealen Gleichstromquellen sowie Gleichspannungsquellen und gibt über vorhandene Freiheitsgrade bei der Dimensionierung gesteuerter Quellen Auskunft.

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5_4

85

86

4 Zusammenfassung

Mit einem universellen Algorithmus gelingt die Synthese nichtlinearer gesteuerter Quellen. Dazu wird ihr Klemmenverhalten durch den KV-Vektor beschrieben. Man ersetzt darin die linearen NW-Parameter durch die zugehörigen Ströme und Spannungen. Dann zerlegen wir den KV-Vektor in Kirchhoff-Gleichungen zur Beschreibung der Struktur des Gesamtnetzwerkes sowie in u-i-Relationen der zugelassenen Unternetzwerke. Aufgrund von Freiheitsgraden fehlen jedoch einige Kirchhoff-Gleichungen. Anders gesagt, einige Teile von Strom- und Spannungsgraph sind in diesem DesignStadium noch unscharf. Man findet die fehlenden Zweige mit der Bedingung, dass sich Strom- und Spannungsgraph nur in der Orientierung ihrer Zweige unterscheiden dürfen. Dazu zeichnet man zunächst das unvollständige Strom- und SpannungsquellenNetzwerk. Dann ergänzt man die beiden NW hinsichtlich der fehlenden Zweige bei Beachtung von Klemmen-Äquivalenzen. Schließlich kann man die fehlenden KirchhoffGleichungen aus beiden Netzwerken ermitteln. Weiterhin analysieren und synthetisieren wir resistive oder dynamische GleichrichterNetzwerke. Hinsichtlich der Analyse wird zunächst das Modell der idealen Diode in den Verfahren zur Lösung der Netzwerk-Gleichungen verwendet. Hierbei erweist sich die Überlagerung von homogener und partikulärer Lösung der gesuchten Spannungen und Ströme als zielführender Ansatz. In Analogie zur Synthese linearer resistiver oder dynamischer Kirchhoff-Netzwerke führen wir den Entwurf von Gleichrichter-NW auf die Zerlegung in ein Kurzschlussund ein Load-Netzwerk zurück. Durch ein zusätzlich vorhandenes Übertrager-NW erfolgt die Kopplung mehrerer NW-Komponenten. Das Load-NW ist mit der Sekundärseite des Übertrager-NW genau dann durch ein Kurzschluss-NW verbunden, wenn für die sekundäre NW-Komponente der Satz von Tellegen ohne zusätzliche Unternetzwerke erfüllt ist. Natürlich ist der Satz von Tellegen auch für die primäre NW-Komponente erfüllt, wenn sie Kirchhoffsch ist. Schließlich finden Sie praxisorientierte Analyse- und Synthese-Aufgaben zu nichtlinearen Kirchhoff-Netzwerken am Ende des dritten Kapitels und deren Lösungen im Anhang. Weitere Anhänge beinhalten das Lösungsverhalten realer resistiver und dynamischer Dioden-Netzwerke.

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

A.1. L 2.1 Arbeitspunktfixierung der IUIQ Aus Gl. 2.11 erhalten wir  B1 0    1+B ICA1 1  0  I    BA2   1 + B2     ICA2  =  1 + B1    B2 0     UCEA1   1 + B2  01  UECA2 00

0



   100 0   IBA1  1    UBEA1  =  100   0  0  UEBA2  0 0 1

0 0 0 1 0

   0 1 mA    10 µA  0   10 µA      = 0  0,7 V  1 mA    0 0,3 V 0,7 V  1 0,3 V

A.2. L 2.2 Quellendimensionierung der IUIQ Gl. 2.13 liefert          1 0 0 10 µA 10 µA I 1 0 0 Iq1 BA1           1 + B1   Iq2  =   1 + B2 B2 0 0  UBEA1  =  100 0 0  0,7 V  =  1 mA  2,01 V 0,3 V 101 k� 1 1 UEBA2 Uq3 R3 (1 + B1 ) 1 1 

A.3. L 2.3 Arbeitspunktfixierung der IIUQ Aus Gl. 2.17 folgt           ICA B0 IBA 100 0 10 µA 1 mA = = = UCEA UBEA 0 1 0 1 0,7 V 0,7 V © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5

87

88

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

A.4. L 2.4 Quellendimensionierung der IIUQ Aus Gl. 2.18 ergibt sich         � � 10 µA 1 0 � 1 0 � Iq1 10 µA I BA  Iq2  =  B 0  =  1 mA  =  100 0  UBEA 0,7 V −0,7 V 0 −1 0 −1 Uq3

A.5. L 2.5 Arbeitspunktfixierung der IUUQ Mit Gl. 2.22 gilt 

  ICA1 B1   0  I  CA2   =   UCEA1   0 R4 B1 UCEA2

0 B2 0 R4

0 0 1 0

       0 IBA1 100 0 0 0 10 µA 1 mA        0 100 0 0  0  IBA2    10 µA   1 mA   =  =  0 0 1 1  0,7 V   1,4 V  1  UBEA1   100 k� 1 k� 0 1 0,7 V 1,71 V 1 UBEA2

A.6. L 2.6 Quellendimensionierung der IUUQ Gl. 2.25 führt auf 

       1 0 0 0 IBA1 1 0 0 0 10 µA Iq1      I    0 1 + B2 0 0  0 101 0 0   IBA2    10 µA   q2   =  =     Uq3   −R3 (1 + B1 ) 0 −1 0  UBEA1   −101 k� 0 −1 0  0,7 V  100 k� 1 k� 0 1 0,7 V R4 B1 Uq4 R4 0 1 UBEA2     Iq1 10 µA  I   1,01 mA   q2     =   Uq3   −1,71 V  Uq4

1,71 V

A.7. L 2.7 Arbeitspunktfixierung der IIIQ Gl. 2.29 liefert  100        IBA1  101  IBA2   1 + B1 0 0        4   ICA2  =  B2 (1 + B1 ) 0 0   UBEA1  =  1,01 · 10         R3 1 0  UEBA2  UCEA1    1 k� 

ICA1

UECA2





B1

0 0

R3

0 1



1 k�

  1 mA      0 0  10 µA  1,01 mA        0 0  0,7 V  =  101 mA     1 0  0,3 V  0,71 V  0 0

0 1



0,31 V

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

89

A.8. L 2.8 Quellendimensionierung der IIIQ Aus Gl. 2.30 folgt 

Iq2





B2 (1 + B1 )

0 0



IBA1





1,01 · 104

0 0



10 µA



        0 −1 0  0,7 V  0 −1 0  UBEA1  =   Uq3  =  103,01 k� 0 1 R3 + R4 (1 + B2 )(1 + B1 ) 0 1 0,3 V Uq4 UEBA2     Iq2 101 mA      Uq3  =  −0,7 V  Uq4

1,33 V

A.9. L 2.9 Arbeitspunktfixierung der NUIQ Aus Gl. 2.36 ergibt sich           ICA B0 IBA 100 0 10 µA 1 mA = = = UCEA 0 1 UBEA 0 1 0,7 V 0,7 V

A.10. L 2.10 Quellendimensionierung der NUIQ Gl. 2.38 führt auf 

       � � Iq1 1 0 � 1 0 � 10 µA I 10 µA         BA =  100 =  1 mA  B 0 0  Iq2  =  0,7 V UBEA −R3 (1 + B) −1 −101 k� −1 −1,71 V Uq3

A.11. L 2.11 Arbeitspunktfixierung der NIUQ Man erhält aus Gl. 2.42 

ICA1





B1

0 0 0



IBA1





100

0

0 0



10 µA





1 mA



               ICA2   0 B2 0 0  IBA2   0 100 0 0   10 µA  =  1 mA  =  =            0 U 0 0 0 1  0,3 V   0,3 V  0 0 1  UEBA1     ECA1   1,31 V 0,3 V 100 k� 1 k� 0 1 R3 B1 R3 0 1 UEBA2 UECA2

90

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

A.12. L 2.12 Quellendimensionierung der NIUQ Aus Gl. 2.45 erhalten wir 

Iq1





1 + B1

0

0

0



IBA1





101

0



0

0

10 µA



10µA



              Iq2   0 0 101 0 0 1 + B2 0 0   10 µA   IBA2  =  =        U   0 0 0 −1 0  0,3 V  0 −1 0  UEBA1     q3   0,3 V −100 k� −1 k� 0 −1 −R3 B1 −R3 UEBA2 0 −1 Uq4     1,01 mA Iq1      Iq2   1,01 mA    =  U   −0,3 V   q3    −1,31 V Uq4

A.13. L 2.13 Arbeitspunktfixierung der NUUQ Mit Gl. 2.49 gilt 

ICA1





B1

0 0 0



IBA1





100

0

0 0



            ICA2   0 0 100 0 0  B2 0 0   1 mA  IBA2  =  =    −100 k� 1 k� 1 0  0,7 V   −R B R 1 0  U U 4 1 4  CEA1     BEA1   0,3 V −100k� 1 k� 0 1 −R4 B1 R4 0 1 UEBA2 UECA2



1 mA

     100 mA   =   0,7 V     0,3 V

A.14. L 2.14 Quellendimensionierung der NUUQ Gl. 2.52 liefert 

Iq1





1

0

0 0



IBA1





1

0



0 0



10 µA

            Iq2   101 0 0  −B1 1 + B2 0 0   1 mA  IBA2  =  −100 =        U   −R (1 + B ) 0 −1 0  UBEA1   −101 k� 0 −1 0  3 1  0,7 V  q3   0,3 V −100 k� 1 k� 0 1 UEBA2 −R4 B1 R4 0 1 Uq4     10 µA Iq1      Iq2   100 mA    =  U   −1,71 V   q3    0,3 V Uq4

     

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

91

A.15. L 2.15 Arbeitspunktfixierung der NIIQ Mit Gl. 2.56 wird der Arbeitspunkt der NIIQ wie folgt festgelegt.   B1 0 0         1+B 1 mA 1000 0 ICA1 1        0 0   I   10 0 IBA1  10 µA  10 µA    BA2   1 + B2            UBEA1  =  1000 0 0,7 V =  1 mA  ICA2  =  1 + B1        B2  0 0          UBEA2  0,71 V  1 k�1 0 0,7 V  UCEA1   1 + B2   R3 1 0   0,7 V 00 1 U CEA2

00

1

A.16. L 2.16 Quellendimensionierung der NIIQ Aus Gl. 2.59 erhält man schließlich          1 + B1 Iq2 0 0 B IBA1 100 0 0 10 µA 2   1 + B2   Uq3  =    0 −1 0  0,7 V   0 −1 0  UBEA1 = Uq4 UBEA2 102 k� 0 1 0,7 V R3 + R4 (1 + B1 ) 0 1   1 mA =  −0,7 V 

1,72 V

A.17. L 2.17 Parameterbestimmung an Transistor-Kennlinien Für den optimalen Arbeitspunkt ergeben sich die geordneten Paare.     IBA 10 µA 1. (U, I) = UBEA , = 0,7 V, = (0,7 V, 25, 64 µA) 0,39 0,39     IBA 10 µA 2. (U, I) = UBEA , = 0,3 V, = (0,3 V, 25, 64 µA) 0,39 0,39

A.18. L 2.18 Parameterbestimmung der IUIQ Durch Vergleich der Matrizen in Gl. 2.13 folgt          1 0 0 Iq1 IBA1 1 0 0  1 + B1  IBA1   Iq2  =    102 0 0  UBEA1  →  1 + B2 B2 0 0  UBEA1 = 5 Uq3 UEBA2 UEBA2 1,01 · 10 1 1 R3 (1 + B1 ) 1 1     100 B1  B2  =  100  103 R3

92

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

A.19. L 2.19 Parameterbestimmung der IIUQ Wir vergleichen die Matrizen entsprechend Gl. 2.18 und erhalten hier       � � 1 0 � 1 0 � Iq1 I I BA BA    Iq2  =  B 0 → B = 10 =  10 0 UBEA UBEA 0 −1 0 −1 Uq3

A.20. L 2.20 Parameterbestimmung der IUUQ Der Matrizenvergleich in Gl. 2.25 liefert den folgenden Parametervektor. 

Iq1





1

0

0 0



IBA1





1

0

0 0



IBA1



              Iq2   0 101 0 0  0 1 + B2 0 0   IBA2  →  IBA2  =  =         U   −R (1 + B ) 5 0 −1 0  UBEA1   −1,01 · 10 0 −1 0  UBEA1  3 1   q3   105 UBEA2 103 0 1 UBEA2 R4 B1 R4 0 1 Uq4     100 B1      B2   100   =   R   103   3   103 R4

A.21. L 2.21 Parameterbestimmung der IIIQ Aus Gl. 2.30 ergibt sich 

   0 0 Iq2 B2 (1 + B1 ) IBA1      Uq3  =   UBEA1 0 −1 0     R3 + R4 (1 + B2 )(1 + B1 ) 0 1 Uq4 UEBA2     B1 100      B2   100  =        R3   103  R4





  =  

 IBA1     0 −1 0   UBEA1  → UEBA2 103 (1 + 10201) 0 1 1,01 · 104

0 0



103

A.22. L 2.22 Parameterbestimmung der NUIQ Aus Gl. 2.38 erhält man durch Vergleich der Matrizen den zugehörigen Parametervektor.      � � � � � � 1 0 � Iq1 1 0 � B 100    IBA   IBA  2 = = → = B 0 10 0  Iq2    R3 104 UBEA UBEA −R3 (1 + B) −1 −1,01 · 106 −1 Uq3 

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

93

A.23. L 2.23 Parameterbestimmung der NIUQ Ein Matrizenvergleich liefert unter Berücksichtigung von Gl. 2.45 den Parametervektor 

       1 + B1 IBA1 101 0 0 0 IBA1 Iq1 0 0 0       I   0 101 0 0  1 + B2 0 0   IBA2   0  IBA2   q2   =  =  →   Uq3   0 0 −1 0  UEBA1  0 −1 0  UEBA1   0 −106 −104 0 −1 −R3 B1 −R3 Uq4 0 −1 UEBA2 UEBA2     B1 100      B2  =  100  104 R3

A.24. L 2.24 Parameterbestimmung der NUUQ Mit Gl. 2.52 erhält man 

Iq1





1

0

0 0



IBA1





1

0

0 0



IBA1



              Iq2   101 0 0  −B1 1 + B2 0 0   IBA2  →  IBA2  =  −100 =         U   −R (1 + B ) 4 0 −1 0  UBEA1   −10 · 101 0 −1 0  UBEA1  3 1   q3   −105 UEBA2 103 0 1 UEBA2 −R4 B1 R4 0 1 Uq4     100 B1      B2   100       R  =  102   3   103 R4

A.25. L 2.25 Parameterbestimmung der NIIQ Bei Berücksichtigung von Gl. 2.59 bildet sich der folgende normierte der NIIQ.        1 + B1 Iq2 0 0 B IBA1 10 0 2   1 + B 2  UBEA1  =   Uq3  =  0 −1  0 −1 0  3 Uq4 · 12 0 U 10 BEA2 R3 + R4 (1 + B1 ) 0 1     10 B1  B2   10     →  R3  =  103 

R4

103

Parametervektor

  IBA1 0 0  UBEA1  UBEA2 1

94

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

A.26. L 2.26* Dimensionierung einer UUQ Dimensionierungs-Algorithmus 1. Erweitern Abb. L1 zeigt die gegenüber Abb. 2.37 um eine Gleichstromquelle und zwei Gleichspannungsquellen erweiterte Transistor-Realisierung der UUQ 2. Ersetzen In Abb. L2 sehen Sie die Fixator Ersatzschaltung, die hinsichtlich R4 und Iq2 gegenüber Abb. 2.30 geändert ist. 3. Zerlegen Aus Abb. L3 entnimmt man das Stromquellen-Netzwerk der UUQ mit Noratoren. Abb. L4 enthält das Spannungsquellen-Netzwerk der UUQ mit Nullatoren

Abb. L1   Erweiterte Transistor-Realisierung der UUQ

Abb. L2   FixatorErsatzschaltung der UUQ

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

95

Abb. L3   StromquellenNetzwerk der UUQ mit Noratoren

Abb. L4   SpannungsquellenNetzwerk der UUQ mit Nullatoren

4. Analysieren Aus Abb. L3 erhält man



   Iq1 1 0 0  I   −1 −1 −1    3    I     BA1  I4   0 1 1    =  I  JA3   1 1 1  BA2     JA4  ICA1   0 1 0  ICA2 0 0 1

Abb. L4 liefert

  Uq3 −1 0  Uq4   0 0     VA4  =  1 0 UCEA1 1 −1 

Es gelten die u-i- bzw. v-j-Relationen    B1 0 0 ICA1  ICA2   0 B2 0     VA3  =  0 0 R3 JA4 0 0 0

  0 −1 UBEA1   1 0  UEBA2    UECA2  0 0 VA3 1 0

  0 IBA1   0   IBA2  mit G4 = 1 0  JA3  R4 VA4 G4

96

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

5. Dimensionieren 5.1 Arbeitspunktfixierung der UUQ Aus Punkt 4 des Dimensionierungs-Algorithmus ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem zur Fixierung des Arbeitspunktes der UUQ.      ICA1 B1 0 0 0 IBA1  IBA2   B1 0 0 0  UBEA1        ICA2  =  B2 B1 0 0 0  UEBA2 

UCEA1

0

1 −1 1

UECA2

5.2 Quellendimensionierung der UUQ

Mit VA3 = R3 (1 + B1 )IBA1 + R3 G4 UBEA1 erhält man für die eingeprägten Größen

     I 1 0 0 0  BA1  Iq1  Uq3  =  −R3 (1 + B1 ) −(1 + R3 G4 ) 0 0  UBEA1   UEBA2  Uq4 0 0 0 1 UECA2 

Außerdem ist die nachstehende Nebenbedingung zu beachten. Aus

JA4 = ICA2 = G4 VA4 = G4 UBEA1 = B2 B1 IBA1 folgt

G4 =

B2 B1 IBA1 UBEA1

D. h. der Leitwert G4 ist schon durch die entsprechenden Transistor-Daten festgelegt. Die Verstärkung der UUQ wird dann mit Hilfe von R3 eingestellt.

A.27. L 2.27* Dimensionierung einer IIQ Dimensionierungs-Algorithmus 1. Erweitern Abb. L5 zeigt die erweiterte Transistor-Realisierung der IIQ 2. Ersetzen In Abb. L6 sehen Sie die Fixator-Ersatzschaltung der IIQ.

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

3. Zerlegen Abb. L7 enthält das Stromquellen-Netzwerk der IIQ mit Noratoren In Abb. L8 ist das Spannungsquellen-Netzwerk der IIQ mit Nullatoren dargestellt. 4. Analysieren Aus Abb. L7 ergibt sich für die Ströme     Iq2 0 0 1  I   1 1 0    3    I     BA1  I4   −1 −1 −1    =  I  ICA1   0 1 0  BA2     I  JA3   −1 0 0  CA2 JA4 1 1 1 Abb. L8 führt auf die Maschengleichungen

Abb. L5   Erweiterte Transistor-Realisierung der IIQ

Abb. L6   FixatorErsatzschaltung der IIQ

97

98

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

Abb. L7   StromquellenNetzwerk der IIQ mit Noratoren

Abb. L8   SpannungsquellenNetzwerk der IIQ mit Nullatoren

  Uq3 1  Uq4   0     UECA1  =  1 UCEA2 0 

0 0 −1 0

Hinsichtlich der u-i- bzw. v-j-Relation gilt    ICA1 B1 0  ICA2   0 B2     VA3  =  0 0 VA4 0 0

5. Dimensionieren

0 1 −1 −1

0 0 R3 0

  0 UEBA1   −1   UBEA2  0  VA3  0

VA4

  0 IBA1   0   IBA2  0  JA3  JA4 R4

5.1 Arbeitspunktfixierung der IIQ Aus Punkt 4 des Dimensionierungs-Algorithmus ergibt sich das nachstehende lineare Gleichungssystem zur Fixierung des Arbeitspunktes.

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

99



  ICA1 B1  IBA2   B1     ICA2  =  B2 B1     UECA1   R3 UCEA2 R3

5.2 Quellendimensionierung der IIQ

 0 0   0 0  IBA1   0 0  UEBA1  1 −1 UBEA2 0 0

Die konstanten Quellenwerte der IIQ bestimmt man wie folgt:

    Iq2 0 0 B2 B1 IBA1  Uq3  =  0 1 0  UEBA1  Uq4 UBEA2 −R3 − R4 [1 + B1 (1 + B2 )] 0 0 

mit VA4 = R4 [1 + B1 (1 + B2 )]IBA1 Außerdem folgt aus

VA3 = R3 JA3 = −UCEA2 = −R3 · IBA1 die Nebenbedingung

R3 =

UCEA2 IBA1

Mit R4 wird dann die Stromverstärkung der IIQ eingestellt.

A.28. L 3.1* Eingangskennlinie des pnp-Transistors 1. Kennlinien-Ansatz Wir setzen an mit

  IBA = I 1 − γ (UEBA ) ∧ UEBA ≥ 0

2. Charakteristisches Moment

Wir definieren das charakteristische Spannungsmoment U mit γ (UEBA ) durch

U2 =

´∞

UEBA γ (UEBA )dUEBA

0

´1 0

dγ

100

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

3. Charakteristische Funktion Aus den Grenzwerten

IBA (UEBA = 0) = 0 ∧ IBA (UEBA = ∞) = I ergibt sich folgendes Intervall für den Wertevorrat der charakteristischen Funktion.

γ (UEBA = 0) = 1 ∧ γ (UEBA = ∞) = 0 Es folgt

ˆ0 1

dγ +

ˆ∞

UEBA γ (UEBA )dUEBA = 0 U2

0

 dγ (UEBA ) UEBA γ (UEBA ) dUEBA = 0 + dUEBA U2   

ˆ∞  0

=0

Somit ergibt sich die Gauß-DGL

dγ (UEBA ) UEBA + γ (UEBA ) = 0 dUEBA U2 mit der Gauß-Funktion als Lösung.

γ (UEBA ) = e−

U2 EBA 2U2

Die charakteristische Funktion der Basis-Emitter-Diode im nichtlinearen Modell des pnp-Transistors ist ebenfalls die Gauß-Funktion. 4. Kennlinie Damit lautet der nichtlineare Teil der u-i-Relation des pnp-Transistors entweder   U2 EBA − 2U 2 IBA = I 1 − e oder

UEBA

    IBA −2  = U ln 1 − I 

Der lineare Teil der u-i-Relation des pnp-Transistors ist wieder gegeben durch

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

101

ICA = B · IBA Darin stellt B die konstante Stromverstärkung dar.

A.29. L 3.2 Klemmenverhalten der UUQ Mit

�

IBA1 UBEA1

�



� �Iq1 = � U1 ln �1 −

sowie der Festlegung

�−2 Iq1 � I1 �



∧

�

IBA2 UEBA2

�

 � �B1 Iq1 �−2  = � I � U2 ln �1 − B1 Iq12 � 

UECA2 = UEBA2 erhalten wir für das Klemmenverhalten der UUQ den KV-Vektor  � � �−2  � Iq1 � � � � �  (1 + R3 G4 )U1 ln �1 − I1 �  Uq3 R3 (1 + B1 )  � � Iq1 −  =− �−2   0 Uq4 � Iq1 � −U2 ln �1 − B1 I2 �

Das Klemmenverhalten der UUQ lässt sich also durch einen KV-Vektor beschreiben, der aus der Überlagerung eines linearen sowie des nichtlinearen Teilvektors besteht.

A.30. L 3.3 Klemmenverhalten der IIQ Zunächst gilt

�

IBA1 UEBA1

�



  Iq2 Iq2 � � B2 B1 B � � I BA2 � � 2 �−2  ∧  = = � � � I UBEA2 U1 ln �1 − B21B1 Iq21 � U2 ln �1 −

�−2 1 Iq2 � B2 I2 �

 

D. h. alle inneren Transistor-Eingangsgrößen werden durch den Strom Iq2 gesteuert. Der KV-Vektor der IIQ zur Beschreibung ihres Klemmenverhaltens ist gegeben durch  � � � � �−2  � � � Iq2 � 1 0 Uq3 = − R3 +R4 [1+B1 (1+B2 )] Iq2 +  U1 ln �1 − B2 B1 I1 �  Uq4 B2 B1 0 Darin ist Iq2 der einzige Freiheitsgrad.

102

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

A.31. L 3.4* Synthese der UUQ Synthese-Algorithmus 1. Klemmenverhalten Aus dem KV-Vektor der UUQ nach Lösung L 3.2 folgt: 2. Zerlegung von

Uq3

VA3 =− JA3

   ICA1 JA4 1+ Iq1 + UBEA1 − UBEA1 IBA1 VA4

Uq4 = UECA2 = UEBA2 in 2.1 Kirchhoff-Gleichungen

    IBA2 ICA1 Iq1 −2  = U2 ln 1 − IBA2 IBA1 I2 

    Iq1 IBA1 1 0 0  ICA1  =  0 1 0  IBA2  JA4 JA3 1 1 1      −1 0 −1 UBEA1 Uq3  Uq4  =  0 1 0  UEBA2  VA3 10 0 VA4 

2.2 Spannungs-Strom-Relationen

 � � �0 B1 Transistor 1 : = IBA1 +  � 0 U1 ln �1 −  � � � � � �0 ICA2 B2 IBA2 +  = Transistor 2 : � UEBA2 0 U2 ln �1 − � � � � �� VA3 R3 0 JA3 = Widerst¨ande : JA4 VA4 0 G4 �

ICA1 UBEA1

�

�

�−2 IBA1 � I1 �

�−2 IBA2 � I2 �

 

 

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. L9 zeigt das modifizierte Stromquellen-Netzwerk der UUQ mit Noratoren

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

103

Abb. L9   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der UUQ mit Noratoren

Abb. L10   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der UUQ mit Nullatoren

In Abb. L10 finden Sie das modifizierte Spannungsquellen-Netzwerk der UUQ mit Nullatoren.   Bei Applikation von Uq , Iq - Äquivalenzen nach Abb. 2.2 erhält man die noch fehlenden, in Abb. L9 und L10 punktiert dargestellten Zweige. Daraus ergeben sich weitere Kirchhoff-Gleichungen, die man als „fehlende Gleichungen“ bezeichnen könnte, weil sie nicht unmittelbar aus der Zerlegung des KV-Vektors der UUQ folgen. Fehlende Schnittmengen-Gleichungen der UUQ      IBA1 I3 −1 −1 −1  I4  =  0 1 1  IBA2  JA4 ICA2 0 0 1

104

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

Fehlende Maschen-Gleichung der UUQ   � � UBEA1 Aus UCEA1 = 1 −1 1  UEBA2 folgt der Zusammenhang UECA2   � � UBEA1 UCEA1 = 1 0 0  UEBA2 . VA3 mit der Festlegung UECA2 = UEBA2. Zunächst ergibt die Parallelschaltung der Netzwerke aus Abb. L9 und L10 an allen Knoten bei Anwendung der Äquivalenz-Transformationen nach Abb. 2.2 und Tab. 2.1 die Fixator-Ersatzschaltung der UUQ, dargestellt in Abb. L2. Darin sind schon die v-j-Relationen für die Widerstände berücksichtigt. Schließlich erhält man durch Einfügen der Schaltzeichen der Transistoren an Stelle ihrer Fixator-Ersatzschaltungen die erweiterte Transistor-Realisierung der UUQ gemäß Abb. L1.

A.32. L 3.5* Synthese der IIQ 1. Klemmenverhalten Das Klemmenverhalten der IIQ ist in Lösung L 3.3 deklariert. Damit zerlegt man das Synthese-Problem der IIQ in die nachfolgenden Lösungsschritte. 2. Zerlegung

Uq3

    IBA2 Iq2 IBA1 −2 = UEBA1 = U1 ln 1 − ICA1 ICA2 I1 

Uq4 = VA3

−IBA1 IBA2 Iq2 IBA2 Iq2 IBA1 + ICA1 + − VA4 JA3 ICA1 ICA2 ICA1 ICA2 JA4

2.1 Kirchhoff-Gleichungen 

    0 0 1  Iq2  ICA1   0 1 0  IBA1       JA3  =  −1 0 0  IBA2 ICA2 JA4 1 1 1   UEBA1 � � � �  Uq3 10 0 0   UBEA2  =  VA3  Uq4 0 0 1 −1 VA4

ICA1 I IBA2 CA2

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

105

Abb. L11   Modifiziertes Stromquellen-Netzwerk der IIQ mit Noratoren

2.2 Spannungs-Strom-Relationen

 � � �0 B1 Transistor 1 : = IBA1 +  � 0 U1 ln �1 −  � � � � � �0 ICA2 B2 IBA2 +  = Transistor 2 : � 0 UEBA2 U2 ln �1 − � � � � �� VA3 R3 0 JA3 = Widerst¨ande : VA4 0 R4 JA4 �

ICA1 UEBA1

�

�



�−2 

IBA1 � I1 �

�−2 IBA2 � I2 �

 

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. L11 zeigt das modifizierte Stromquellen-Netzwerk der IIQ mit Noratoren Fehlende Schnittmengen-Gleichungen Aus Abb. L11 entnimmt man die noch fehlenden Schnittmengen-Gleichungen   � � � � I I3 1 1 0  BA1  = IBA2 I4 −1 −1 −1 ICA2 Fehlende Maschen-Gleichungen Aus Abb. L12 folgen die fehlenden Maschen-Gleichungen   UEBA1 � � � �  1 −1 −1 0  UECA1  UBEA2  =  VA3  UCEA2 0 0 −1 0 VA4 Wegen der Festlegung in Aufgabe A 3.3, d. h.

UCEA2 = UBEA2

106

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

gilt außerdem

VA3 = −UBEA2 und damit

UECA1 = UEBA1 Die Parallelschaltung der Netzwerke aus Abb. L11 und L12 an sämtlichen Knoten ergibt mit den bekannten Äquivalenzen die Fixator-Ersatzschaltung der IIQ nach Abb. L6. Darin sind die Parallelschaltungen der Leerläufe mit gewissen Noratoren schon durch die entsprechenden Widerstände ersetzt. Schließlich erhält man aus Abb. L6 die erweiterte Transistor-Realisierung der IIQ nach Abb. L5 als Synthese-Ergebnis, indem man die Fixatoren durch pnp- bzw. npn-Transistoren ersetzt.

A.33. L 3.6 Analyse des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters 1. u-i-Relationen       1 −¨u u1 0 0 i1 = Übertrager: 0 0 u2 −¨u 1 i2   u2 D Dioden: iD1 = iD2 = iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

uD1 = uD2 = uD Last: u3 = R3 i3 u3 = R3 i3 2. Kirchhoff-Gleichungen

Abb. L12   Modifiziertes Spannungsquellen-Netzwerk der IIQ mit Nullatoren

i3 = |i2 | = iD u  u   2  1 u3 =   − uD → uD =   − u3 2 2¨u

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

107

3. Klemmenverhalten an beiden Toren

i3 = |¨ui1 | 

−

u3 = R3 I 1 − e

(| u2¨1u |−u3 )2 2U2



4. Lösungsansatz

 u    1 s   − u3 2¨u

u3 = α|u1 | 5. Lösung



−

α1 |u1 | = R3 I 1 − e

( 2ü1 −α2 )2 |u1 |2 2U2

    1 − α2 |u1 | s 2ü

Lösung 1: α1 = 0 Lösung 2: α2 = 2¨1u. Einsetzen der Lösungen in den Ansatz liefert

u3 = α1 |u1 | = 0 1 |u1 | u3 = α2 |u1 | = 2¨u α2 ist die richtige Lösung, denn für u3 = 0 ∧ u D = 0 gilt |u1 | = 0 Abb. L13 zeigt für die resistive Mittelpunkt-Gleichrichtung der Sinusfunktion sowohl die Lastspannung (a) als auch den Laststrom (b) c) Klemmenverhalten am Eingangstor Aus Punkt 3 des Analyse-Algorithmus erhält man das folgende Klemmenverhalten am Eingangstor.



|¨ui1 | = I 1 − e

−

(| u2¨1u |−R3 |u¨ i1 |)2 2U2



  u   1 s   − R3 |¨ui1 | 2¨u

Mit dieser Gleichung führen wir nach Aufgabe A 3.7 in Lösung L 3.7 die Synthese des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters durch.

108

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

Abb. L13   Resistive Mittelpunkt-Gleichrichtung der Sinusfunktion a Lastspannung b Laststrom

A.34. L 3.7 Synthese des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters 1. Klemmenverhalten Das Klemmenverhalten des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters ist am Eingangstor gegeben durch



|¨ui1 | = I 1 − e 2. Zerlegung von

−

(| u2¨1u |−R3 |u¨ i1 |)2 2U2



  u   1 s   − R3 |¨ui1 | 2¨u

 �2  � �� � � | u22 |− ui33 |i2 | i D i3 � u2 � u3 − 2   2U |i2 | = I 1 − e s � � − |i2 | iD i3 2 i3

in 2.1 Kirchhoff-Gleichungen

i3 = |i2 | = iD u   2 u3 =   − uD 2

Splitting der Kirchhoff-Gleichungen:   u2 − uD1 u2 ≥ 0 i2 = iD1 i2 ≥ 0 2 u3 = i3 = − u22 − uD2 u2 ≤ 0 −i2 = iD2 i2 ≤ 0 2.2 u-i-Relationen       1 −¨u u1 0 0 i1 = Übertrager: u2 −¨u 1 i2 0 0   u2 − 2UD2 Dioden: iD1 = iD2 = iD = I 1 − e s(uD )

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

109

uD1 = uD2 = uD Last: u3 = R3 i3 3. Netzwerk-Zerlegung Abb. L14 zeigt die Netzwerk-Zerlegung des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters in Übertrager-, Kurzschluss- und Load-Netzwerk.

A.35. L 3.8* Analyse des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters a) Lastspannung 1. u-i-Relationen    1   u 0 u1 Übertrager: 2 = u¨ i2 0 u¨ i1   u2 D Dioden: iD1 = iD2 = iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

uD1 = uD2 = uD Last: i3 = G3 u3 + C3 dudt3 ∧ G3 =

1 R3

2. Kirchhoff-Gleichungen

i3 = |i2 | = iD Abb. L14   NetzwerkZerlegung des resistiven Mittelpunkt-Gleichrichters

110

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

u  u   1  2 u3 =   − uD → uD =   − u3 2 2¨u

3. Klemmenverhalten an beiden Toren

i3 = |¨ui1 | = G3 u3 + C3

du3 dt

   (| u1 |−u3 )2  u1  du3 − 2¨u2U2 =I 1−e G3 u3 + C3 s   − u3 dt 2¨u

4. Lösungsansätze

u3 = u3P + u3H    (| u1 |−u3P1 −u3H1 )2  u1  d(u3P2 + u3H2 ) − 2¨u 2U2 =I 1−e G3 (u3P2 + u3H2 )+C3 s   − u3P1 − u3H1 dt 2¨u

5. Lösung

u3H1 = u3H2

   (| u1 |−u3P1 )2  u1  du3P2 − 2¨u 2U2 =I 1−e = 0 : G3 u3P2 + C3 s   − u3P1 dt 2¨u

u  1  Intervall 1: u3P1 =  2¨ u Intervall 2: u3P2 = 0. Einsetzen der partiellen Lösungen in den Ansatz liefert folgende Bedingungen für die homogenen Lösungen.   u2 du3H2 u3H1  3H1 = I 1 − e− 8U2 s − G3 u3H2 + C3 dt 2 Intervall 1: u3H1 = 0. − t Intervall 2: G3 u3H2 + C3 dudt3H2 = 0 → u3H2 = K e τ3 mit τ3 = R3 C3.    Schaltgesetz am Kondensator: u3H2 (0) = u3P1 (0) → K =  u12¨(0) u    u1 (0)  − t  e τ3 → u3H2 =  2¨u 

Abb. L15 verdeutlicht am Beispiel der Kosinus-Funktion die Zusammenhänge zur dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichtung b) Klemmenverhalten am Eingangstor bei idealen Dioden Es gilt

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

111

Abb. L15   Dynamische Mittelpunkt-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung



|¨ui1 | = I1 − e−

�

| u2¨1u |− C13 [|u¨ i1 |−G3 | u2¨1u |]dt ´

2U2

u  1  aus i3 = |¨ui1 | ∧ u3 =  2¨ folgend. u

�2



�� � ˆ � � u �� � � 1� s �� u1 �� − 1 |¨ui1 | − G3 � � dt , 2¨u C3 2¨u

A.36. L 3.9 Synthese des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters 1. Klemmenverhalten an beiden Toren

|¨ui1 | = i3 = G3 u3 + C3 

−

|¨ui1 | = I 1 − e

1 du3 ∧ G3 = dt R3

(| u2¨1u |−u3 )2 2U2



2. Zerlegung Die Zerlegung von



ergibt die

 iD i 3 − |i2 | = I 1 − e iD i 3

 



| u22 |−u3 uD 2 uD

2U2

  u   1 s   − u3 2¨u 

� �� �  � u22 � − u3 s uD  uD

112

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

2.1 Kirchhoff-Gleichungen

i3 = |i2 | = iD u   2 u3 =   − uD 2

mit dem Splitting



i2 = iD1 i2 ≥ 0 −i2 = iD2 i2 ≤ 0  u2 − uD1 u2 ≥ 0 2 u3 = − u22 − uD2 u2 ≤ 0 i3 =

und die 2.2 u-i-Relationen    1   u 0 u1 Übertrager: 2 = u¨ . i2 0 u¨ i1   u2 D Dioden: iD1 = iD2 = iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

uD1 = uD2 = uD Last: i3 = G3 u3 + C3 dudt3 ∧ G3 =

1 . R3

3. Netzwerk-Zerlegung Abb. L16 zeigt die Netzwerk-Zerlegung des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters in Übertrager-, Kurzschluss- und Load-Netzwerk. Aus dem Vergleich der Abb. L14 mit Abb. L16 erkennt man, dass sich lediglich die Last am Tor 3 geändert hat Somit liegt das Synthese-Ergebnis für die ganze Netzwerk-Klasse der MittelpunktGleichrichter mit unterschiedlichen Lasten am Tor 3 vor. Das kommt daher, dass der Initialschritt des Synthese-Algorithmus in der Vorgabe des Klemmenverhaltens zwischen Tor 1 und Tor 3 besteht und das Klemmenverhalten des Last-Zweipols durch eine gesonderte Gleichung angegeben wird. Dabei charakterisiert das Klemmenverhalten eines vorgegeben n-Tor-Netzwerks die sich an den Klemmen einstellenden Strom- und Spannungswerte, wenn es mit einem beliebigen n-Tor-NW beschaltet wird.

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

113

Abb. L16   NetzwerkZerlegung des dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichters

A.37. L 3.10* Analyse des Einweg-Gleichrichters mit Drossel und Nulldiode a) u-i-Relationen       1 −¨u u1 0 0 i1 = Übertrager: . u2 −¨u 1 i2 0 0 1   u2 D u =0 Gleichrichter-Diode: iD = I 1 − e− 2U2 s− (uD ) mit s− (uD ) = 2 D 0 uD < 0   1 −2 i =0  iD0  Nulldiode: uD0 = U0 ln 1 − I0  s− (−iD0 ) mit s− (−iD0 ) = 2 D0 0 iD0 > 0 Last: u3 = R3 i3 + L3 didt3 .

2. Kirchhoff-Gleichungen

u3 = u2 − uD = −uD0 → uD = i3P = iD ∧ i3H = iD0 3. Klemmenverhalten 

i3P = I1 − e−

�

�2 di3P u1 u¨ −L3 dt −R3 i3P 2U2

di3H + R3 i3H = −U0 L3 dt

u1 − u3 u¨



� � s− u1 − L3 di3P − R3 i3P dt u¨

    i3H −2  s− (−i3H ) ln 1 − I0 

114

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

4. Lösungsansätze

i3 = i3P + i3H i3P2



= I1 − e−

�

�2 di3P1 u1 u¨ −L3 dt −R3 i3P1 2U2

di3H2 + R3 i3H2 = −U0 L3 dt 5. Lösungen Inhomogene DGL: τ3 didt3P1 + i3P1 =

u1 u¨ R3



� � s− u1 − L3 di3P1 − R3 i3P1 dt u¨

    i3H1 −2 s− (−i3H1 ) ln 1 − I0 

mit τ3 =

L3 R3

Lösung dieser DGL durch die Methode „Komplexe Rechnung“: Transformation der DGL: τ3 didt3P1 + i3P1 =

(1 + jωτ3 )i3P1 =

Rücktransformation:

I3 =

u¨ R3

Intervall 2: i3P2 = 0 Beispiel: ϕu1 =

π 2

 1 ej(ωt+ϕu1 ) mit u1 = U

u1 u1 → i3P1 = u¨ R3 u¨ R3 (1 + jωτ3 )

i3P1 = I3 sin [ωt + ϕi3 ]

Partikuläre Lösungen: Intervall 1: i3P1 =

u1 u¨ R3

√U 1

1 . U  ∧ ϕi3 = ϕu1 − arctan (ωτ3 ) u¨ R3 1 + (ωτ3 )2

1+(ωτ3 )2

sin [ωt + ϕu1 − arctan (ωτ3 )]

+ arctan (ωτ3 ) → ϕi3 =

π 2

Homogene DGL: τ3 didt3H2 + i3H2 = 0 mit τ3 =

→ i3P1 = I3 cos ωt L3 R3

Lösung dieser DGL durch Trennung der Veränderlichen: Homogene Lösungen: Intervall 1: i3H1 = 0 t ωt−arc cot (ωτ3 ) − − ωτ3 Intervall 2: i3H2 = Ke τ3 = √ ωτ3 2 I3 e 1+(ωτ3 )

t K − t0 − 0 mit i3P1 (t0 ) = i3H2 (t0 ) → I3 cos ωt0 = Ke τ3 → ωI3 sin ωt0 = e τ3 τ3

cos ωt0 = ωτ3 → ωt0 = arc cot (ωτ3 ) sin ωt0

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

115

Abb. L17   Einweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion mit Drossel & Nulldiode a Partikuläre Lösung b Homogene Lösung c Gesamtlösung

  2  arc cot (ωτ3 ) 2t ωτ3 1 K − 0 I3 e ωτ3 e τ3 → K =  cos (ωt0 )+sin (ωt0 ) = 1 = 1+ 2 2 I3 (ωτ3 ) 1 + (ωτ3 ) 2

2

Bezugnehmend auf das angegebene Beispiel zeigt Abb. L17 die einzelnen Lösungen zur Einweg-Gleichrichtung der Kosinus-Funktion mit Drossel & Nulldiode.

A.38. L 3.11 Synthese des Einweg-Gleichrichters mit Drossel und Nulldiode 1. Klemmenverhalten    ( u1 −u3 )2  u1 − u¨ 2U2 − u3 u¨ i1 = I 1 − e s u¨

d u3 = R3 (i3 − u¨ i1 ) + L3 (i3 − u¨ i1 ) = −U0 dt

    i3 − u¨ i1 −2 s(¨ui1 − i3 ) ln 1 − I0 

2. Zerlegung von    2 3u ( u2u−u D) i3P iD u2 − u 3 D − 2 2U i2 = I 1 − e uD u3 s i3P iD uD     −2      D0 D0    d i3H iiD0 i3H iiD0 iD0 iD0    = L3 + R3 i3H = −U0 ln 1 − = −uD0  s −i3H  dt iD0 I0  iD0

116

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

2.1 Kirchhoff-Gleichungen

 i3P = i2 = iD i3 = i3P + i3H = iD + iD0 i3H = iD0 uD = u2 − u3

uD0 = −u3

2.2 u-i-Relationen       1 −¨u u1 0 0 i1 = Übertrager: 0 0 u2 −¨u 1 i2   u2 D Gleichrichter-Diode: iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )   −2   Nulldiode: uD0 = U0 ln 1 − iID00  s(−iD0 ) Last: u3 = R3 i3 + L3 didt3

3. Netzwerk-Zerlegung gemäß Abb. L18

A.39. L 3.12* Analyse des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Drossel 1. u-i-Relationen       1 −¨u u1 0 0 i1 = Übertrager: u2 −¨u 1 i2 0 0   u2 D Dioden: iD1 = iD2 = iD = I 1 − e− 2U2 s− (uD ) mit uD1 = uD2 = uD

Abb. L18   Netzwerk-Zerlegung des Einweg-Gleichrichters mit Drossel & Nulldiode

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

117

Last: u3 = R3 i3 + L3 didt3 2. Kirchhoff-Gleichungen

u  u   1  2 u3 =   − uD → uD =   − u3 2 2¨u i3 = |i2 | = iD 3. Klemmenverhalten 

i3 = I1 − e− u3 = L3

�

| u2¨1u |−L3 didt3 −R3 i3 2U2

di3 + R3 i3 dt

�2



�� � � s− �� u1 �� − L3 di3 − R3 i3 2¨u dt

4. Lösungsansatz

i3 = i3H + i3P f¨ur 0 ≤ ωt ≤ π 5. Lösungen a) Partikuläre Lösung Inhomogene DGL: τ3 didt3P + i3P =

u1 2¨uR3

mit τ3 =

L3 R3

Lösung der DGL durch komplexe Rechnung im Intervall 0 ≤ ωt ≤ π:  1 ejωt Transformation der DGL: τ3 didt3P + i3P = 2¨uuR1 3 mit u1 = U

(1 + jωτ3 )i3P =

u1 u1 → i3P = 2¨uR3 2¨uR3 (1 + jωτ3 )

Rücktransformation: i3P = I3 sin (ωt + ϕi3 )

mit I3 =

2¨uR3



1 U

1 + (ωτ3 )2

b) Homogene Lösung Homogene DGL: τ3 didt3H + i3H = 0 mit τ3 =

∧ ϕi3 = − arctan (ωτ3 )

L3 R3

Lösung der DGL durch Trennung der Veränderlichen im Intervall 0 ≤ ωt ≤ π:

i3H = Ke c) Gesamtlösung: i3 = i3H + i3P = Ke

ωt − ωτ

3

− τt

3

+ I3 sin (ωt + ϕi3 ) für 0 ≤ ωt ≤ π

118

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

An den Intervallgrenzen müssen die Funktionswerte des Stromes i3 übereinstimmen. Aus i3 (ωt = 0) = i3 (ωt = π). π − folgt K + I3 sin ϕi3 = Ke ωτ3 + I3 sin (π + ϕi3 ).

und endgültig K =

 U1 sin [arctan √(ωτ3 )] − π u¨ R3 1−e ωτ3 1+(ωτ3 )2

=

 ωτ3  U1 π  2 − u¨ R3 1−e ωτ3 1+(ωτ3 )

d) Linearer Mittelwert

1 i3 = π

ˆπ

K i3 = π

ˆπ

i3 d(ωt)

0 ωt − ωτ

e

i3 =

i3 =

π +ϕi3 I3 ˆ sin (ωt + ϕi3 ) d(ωt + ϕi3 ) d(ωt) + π ϕi3

0

i3 =

3

 2 ωτ3  − π K 1 − e ωτ3 + I3 cos ϕi3 π π

2 I3 {cos [arctan (ωτ3 )] + ωτ3 sin [arctan (ωτ3 )]} π

1 U  {cos [arctan (ωτ3 )] + ωτ3 sin [arctan (ωτ3 )]} π u¨ R3 1 + (ωτ3 )2 i3 =

1 U π u¨ R3

e) Skizzen Abb. L19 zeigt die Liniendiagramme der Eingangsspannung und des Laststromes im Intervall 0 ≤ ωt ≤ π bei Mittelpunkt-Gleichrichtung der Sinusfunktion mit Drossel

A.40. L 3.13 Synthese des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Drossel 1. Klemmenverhalten



i3 = |¨ui1 | = I 1 − e

−

(| u2¨1u |−u3 )2 2U2

u3 = R3 i3 + L3



di3 dt

  u   1 s   − u3 2¨u

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

119

Abb. L19   MittelpunktGleichrichtung der Sinusfunktion mit Drossel (a) Eingangsspannung (b) Laststrom

2. Zerlegung von



 iD i 3 − |i2 | = I 1 − e iD i 3

 



| u22 |−u3 uD 2 uD

2U2

2.1 Kirchhoff-Gleichungen



� �� �  � u22 � − u3 s uD  uD

i3 = |i2 | = iD u   2 u3 =   − uD 2

Splitting der Kirchhoff-Gleichungen   u2 − uD1 u2 ≥ 0 i2 = iD1 i2 ≥ 0 2 u3 = i3 = u2 − 2 − uD2 u2 ≤ 0 −i2 = iD2 i2 ≤ 0 2.2 u-i-Relationen       1 −¨u u1 0 0 i1 = Übertrager: u2 −¨u 1 i2 0 0   u2 D Dioden: iD1 = iD2 = iD = I 1 − e− 2U2 s(uD )

uD1 = uD2 = uD Last: u3 = R3 i3 + L3 didt3 3. Netzwerk-Zerlegung Abb. L20 zeigt die Netzwerk-Zerlegung des Mittelpunkt-Gleichrichters mit Glättungsdrossel. Durch Vergleich von Abb. L14 zur Zerlegung des Mittelpunkt-Gleichrichters im resistiven mit dem dynamischen Fall nach Abb. L20 wird deutlich, dass der einzige Unterschied in der applizierten Last besteht. Sowohl das Übertrager- als auch das Kurzschluss-Netzwerk sind in Abb. L20 gegenüber Abb. L14 gleich geblieben

120

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

Abb. L20   NetzwerkZerlegung des MittelpunktGleichrichters mit Glättungsdrossel

Damit liegt für die gesamte Klasse der Mittelpunkt-Gleichrichter das Synthese-Ergebnis vor, wenn man das jeweilige Klemmenverhalten des Last-Zweipols getrennt angibt. Das rechtfertigt die Netzwerk-Zerlegung in Übertrager-, Kurzschluss- und Load-Netzwerk zur Synthese sämtlicher Gleichrichter-Schaltungen.

A.41. L 3.14 Dimensionierung des Ladekondensators a) Einweg-Gleichrichtung 1. Dem Kondensator C3 in Abb. 3.25 wird während der Zeit T = 1f die Ladung Q ≈ entzogen. 2. Die Ausgangsspannung u3 (t) sinkt dabei um den Wert u3 = CQ3 ≈ C3uR3 3 f .

u3 T R3

3. Daraus folgt die Näherung zur Dimensionierung des Ladekondensators bei EinwegGleichrichtung entsprechend

C3 ≈

u3 u3 R3 f

b) Zweiweg-Gleichrichtung Hier sinkt die Ausgangsspannung um die Hälfte bei Einweg-Gleichrichtung, d. h.

u3 ≈

1 u3 2 C3 R3 f

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

121

Daraus folgt hier die Dimensionierungsgleichung für den Ladekondensator C3 bei Zweiweg-Gleichrichtung in der Form

C3 ≈

u3 2u3 R3 f

A.42. L 3.15 Dimensionierung der Glättungsdrossel a) Einweg-Gleichrichtung 1. Der Drossel L3 wird während der Zeit T = 1f der Induktionsfluss ψ ≈ R3 i3 T entzogen. 2. Der Ausgangsstrom i3 (t) sinkt dabei um den Wert �i3 = Lψ3 ≈ R3Li33 T.

3. Daraus folgt hier die Näherung zur Dimensionierung der Drossel bei Einweg-Gleichrichtung entsprechend

L3 ≈

R3 i3 i3 f

b) Zweiweg-Gleichrichtung Hier sinkt der Ausgangsstrom um die Hälfte gegenüber Einweg-Gleichrichtung, d. h.

i3 ≈

1 R3 i3 2 L3 f

Daraus folgt jetzt die Dimensionierungsgleichung der Drossel L3 bei Zweiweg-Gleichrichtung in der Form

L3 ≈

R3 i3 2i3 f

Hinweis: Die Dimensionierungsgleichungen für die Glättungsdrossel L3 setzen eine sinusförmige Primärspannung u1 (t) voraus.

A.43. L 3.16 Intervallrestriktionen gleichgerichteter Spannungen a) Abb. 3.20 c zur resistiven Einweg-Gleichrichtung Intervall 1: u3 (t) = u1u¨(t) Intervall 2: u3 (t) = 0 b) Abb. 3.22 c zur resistiven Zweiweg-Gleichrichtung Intervall 1: u3 (t) = u1u¨(t) Intervall 2: u3 (t) = − u1u¨(t)

122

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

Abb. L21   Spannungen am Drehstrom-BrückenGleichrichter (a) Dreiphasenspannungen (b) Gleichspannung

c) Abb. 3.26 c zur dynamischen Einweg-Gleichrichtung Intervall 1: u3 (t) = u1u¨(t) Intervall 2: u3 (t) > u1u¨(t) d) Abb. 3.28 c zur dynamischen Zweiweg-Gleichrichtung   Intervall 1: u3 (t) =  u1u¨(t)  Intervall 2: u3 (t) >  u1 (t)  u¨

e) Abb. L13 a zur resistiven Mittelpunkt-Gleichrichtung 1 (t) 1 (t) Intervall 1: u3 (t) = u2¨ Intervall 2: u3 (t) = − u2¨ u u f) Abb. L15 c zur dynamischen Mittelpunkt-Gleichrichtung  u (t)  1  Intervall 1: u3 (t) =  2¨ u  u1 (t)   Intervall 2: u3 (t) > 2¨u

A.44. L 3.17 Drehstrom-Brücken-Gleichrichter 1. Regel zur Ermittlung der jeweils leitenden Dioden Von den Dioden D1 , D2 , D3 ist jeweils diejenige leitend, an der die positivste Strangspannung u1 , u2 oder u3 anliegt; von den Dioden D4 , D5 , D6 leitet jeweils diejenige, an der die negativste Strangspannung steht. 2. Verlauf der Gleichspannung u4 Abb. L21 beinhaltet die Spannungen am Drehstrom-Brücken-Gleichrichter 3. Beispiel für leitende Dioden Im Intervall π6 ≤ ωt ≤

π 2

sind die Dioden D1 und D5 leitend und alle anderen gesperrt.

Appendix A. Lösungen zu den Aufgaben

123

A.45. L 3.18 Dioden-Umschaltzeitpunkte 1. ωt0 = arc cot (ωτ3 ) ∧ K = √

ωτ3 2

1+(ωτ3 )

I3 e

2. i3P1 (t1 ) = i3H2 (t1 ) → I3 cos ωt1 = Ke

arc cot (ωτ3 ) ωτ3

t

− τ1

→

3

I3 ω

t

sin ωt1 = −τ3 Ke

− τ1

3

sin ωt1 = −ωτ3 → ωt1 = − arctan (ωτ3 ) cos ωt1

3. Probe:

I3 →  ωτ3 I3 =  ωτ3 I3 (wahr) I3 cos [arc cot (ωτ3 )] =  ωτ3 2 2 1 + (ωτ3 ) 1 + (ωτ3 ) 1 + (ωτ3 )2

ωτ3 I3 →  ωτ3 I3 =  ωτ3 I3 (wahr) ωτ3I3 sin [arc cot (ωτ3 )] =  2 2 1 + (ωτ3 ) 1 + (ωτ3 ) 1 + (ωτ3 )2 arctan (ωτ3 )+arc cot (ωτ3 ) ωτ3 I3 cos [arctan (−ωτ3 )] =  ωτ3 I3 e 1 + (ωτ3 )2 π 1 I3 = lim  1 I3 e 2ωτ3 → 0 = 0(wahr)  → lim 2 2 ωτ3 →∞ ωτ ωτ →∞ 3 1 + (ωτ3 ) 1 + (ωτ3 ) 3

− I3 sin [arctan (ωτ3 )] = − 

(ωτ3 )2 1 + (ωτ3 )

π

2

I3 e 2ωτ3

π 1 I3 = lim I3 e 2ωτ3 → 0 = 0 (wahr)   ωτ3 →∞ ωτ ωτ3 →∞ (ωτ )2 1 + (ωτ3 )2 1 + (ωτ3 )2 3 3

→ lim

1

Dimensionierungsbedingung: ωτ3 → ∞

Appendix B. Graphentheorie

Der Graphentheorie liegen folgende Definitionen zugrunde: 1. Ein Netzwerk ist eine Zusammenschaltung von Unternetzwerken (hier Widerstände, Kondensatoren, Spulen, Nullatoren, Noratoren, Fixatoren, Transistoren, Strom- und Spannungsquellen, Strom-Spannungs-Generatoren, Übertrager und Dioden). 2. Knoten sind Endpunkte von Zweigen, meist Verzweigungspunkte. 3. Zweige sind Verbindungen zwischen den Knoten bzw. Klemmen. 4. Klemmen bilden die Teilmenge der Knoten, die für die Zusammenschaltung mit anderen Netzwerken vorgesehen ist. 5. Maschen sind geschlossene Umläufe entlang von Zweigen oder Spannungs- Zählpfeilen. 6. Gerichtete Graphen sind gerichtete Streckenkomplexe. 7. Der vollständige Baum enthält alle Knoten und die Zweige, die alle Knoten verbinden ohne Maschen zu bilden. 8. Ein Verbindungszweig ist jeder Zweig, der nicht zum vollständigen Baum gehört. 9. Das Baumkomplement ist die Menge aller Verbindungszweige. 10. Eine Netzwerk-Komponente ist jeder Teil eines Netzwerkes mit disjunkter Knotenund Zweigmenge zu denen der anderen Teile. 11. Eine Schnittmenge ist die jeweilige Teilmenge von Zweigen, die bei ihrer Entfernung aus der zugehörigen Netzwerk-Komponente zum Zerfall dieser in zwei Teile führt. 12. Strom- und Spannungsgraph sind gerichtete Graphen, auf denen das Kirchhoffsche Strom- bzw. Spannungsgesetz definiert ist. Sie dürfen sich nur in der Orientierung ihrer Zweige unterscheiden. 13. Der vollständige Strombaum ist ein vollständiger Baum, der im Stromgraphen definiert ist und sich vom vollständigen Spannungsbaum in der Auswahl der Baumzweige unterscheiden darf. 14. Der vollständige Spannungsbaum ist ein vollständiger Baum, der im Span nungsgraphen definiert ist und sich vom vollständigen Strombaum in der Auswahl der Baumzweige unterscheiden darf. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5

125

Appendix C. Lösungsverhalten resistiver Dioden-Netzwerke

Gegeben: Resistives Dioden-Netzwerk nach Abb. L22 mit   u2 − 2UD2 uD + RiD = uq ∧ iD = I 1 − e s(uD ) Gesucht: (uD , iD ) als geordnetes Paar von Dioden-Spannung und –Strom Lösungsverhalten: 1. Pseudoinversion der linearen Gleichung         uD −  1 1 uD → + + + = uq → = A uq + E − A A z ∧ A = 11 RiD 1 2    RiD =A

mit A+ Pseudoinverse E Einheitsmatrix. − → z freier Vektor 

uD RiD



=

     1 1 −1 z1 1 uq + z2 1 2 2 −1 1

2. Nichtlineare Gleichung zur Bestimmung der freien Variablen

   uq z1 −z2 2 ( 2 + 2 ) z1 − z2 z1 − z2 uq uq − 2 2U − = RI 1 − e + s 2 2 2 2 3. Fallunterscheidung u 2 = 0 → z1 − z2 = uq Fall 1: (uD , iD ) = (< 0,0) → 2q − z1 −z 2     z1 − z2 uq + = s uq = 0 → uq < 0 s 2 2 © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5

127

128

Appendix C. Lösungsverhalten resistiver Dioden-Netzwerke

Abb. L22   Resistives DiodenNetzwerk

  Lösung: (uD , iD ) = uq , 0 f¨ur uq < 0

Fall 2: (uD , iD ) = (0,0) → iD = 0 → z1 − z2 = uq

uD = 0 → z1 − z2 = −uq Lösung: (uD , iD ) = (0,0) f¨ur uq = 0 Fall 3: (uD , iD ) = (> 0, > 0) → uq > 0 u

2

u

1 ( q + z1 −z2 )  1 ∂uq − ( 2q + z1 −z 2 ) 2U2 RI  ∂uq − 2 2U22 2 2U   =e → = 2 uq + z1 − z2 e ∂uq 2 ∂uq RI uq + z1 − z2 U  

=1

2

=1

Das ergibt nach Elimination der Gaußfunktion die quadratische Gleichung

(z1 − z2 )2 + 2RI(z1 − z2 ) + 2RIuq − u2q − 4U2 = 0  2 mit der folgenden Wurzel als richtige Lösung: z1 − z2 = −RI + uq − RI + 4U2 Lösung:

(uD , RiD ) = f¨ur uq > 0

        2  2 1 1 uq − RI + uq + RI − uq − RI + 4U2 , uq − RI + 4U2 2 2

Appendix D. Lösungsverhalten dynamischer Dioden-Netzwerke

Gegeben: Dynamisches Dioden-Netzwerk nach Abb. L23 mit   u2 duq duD − 2UD2 + iD = Guq + C ∧ iD = I 1 − e GuD + C s(uD ) dt dt Gesucht: (uD , iD ) als geordnetes Paar von Dioden-Spannung und –Strom Lösungsverhalten: a) Pseudoinversion der linearen Gleichung     GuD + C duD duq dt = Guq + C 11 i dt D    =A

→



GuD + C dudtD iD 



        z1 duq 1 1 + E − A+ A mit A+ = = A+ Guq + C z2 1 2 dt

GuD + C dudtD iD



       duq 1 1 −1 z1 1 1 + Guq + C = z2 1 2 dt 2 −1 1

Modifikation: z1 − z2 = G(w1 − w2 ) + C dtd (w1 − w2 )

→ uD =

    d uq w1 − w2 uq w1 − w2 w1 − w2 uq + ∧ iD = G − − +C 2 2 2 2 dt 2 2

2. Nichtlineare Gleichung zur Bestimmung der freien Variablen

      uq w1 −w2 2 ( ) 2 + 2 w1 − w2 w1 − w2 w1 − w2 d uq uq uq − 2 2U − − + +C =I 1−e G s 2 2 dt 2 2 2 2 

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5

129

130

Appendix D. Lösungsverhalten dynamischer Dioden-Netzwerke

Abb. L23   Dynamisches Dioden-Netzwerk

3. Fallunterscheidung u 2 = 0 → w1 − w2 = uq Fall 1: (uD , iD ) = (< 0, 0) → 2q − w1 −w 2     w1 − w2 uq + = s uq = 0 → uq < 0 s 2 2   Lösung: (uD , iD ) = uq , 0 f¨ur uq < 0 Fall 2: (uD , iD ) = (0,0) → iD = 0 → w1 − w2 = uq

uD = 0 → w1 − w2 = −uq Lösung: (uD , iD ) = (0, 0) f¨ur uq = 0 Fall 3: (uD , iD ) = (> 0, > 0) → uq > 0 u

2

1 )  1 ∂uq − ( 2q + w1 −w 2 ∂ 2 uq ∂uq I  2U2 +C e G = 2 uq + w1 − w2 ∂uq ∂uq ∂t 2 ∂u U q     

=1

=1

=0

2

2 ( u2q + w1 −w ) 2 2U2 1 2U2  = e− →  mit R = G RI uq + w1 − w2

Das ergibt nach Elimination der Gaußfunktion die quadratische Gleichung d   uq − w1 + w2 = 0 (w1 − w2 )2 + 2RI(w1 − w2 )+ 2RIuq −u2q − U2 + RC uq + w1 − w2 dt

mit den richtigen Lösungen: w1 − w2 = −RI +

Lösung für Fall 3:  �

 2 uq − RI + 4U2

  w1 − w2 = uq → s uq = 1 f¨ur uq > 0

 � �� �2 2 u − RI + − RI + 4U , u q q   � � � � �� �� (uD , iD ) =  1  �2 �2 1 d 2 2 G uq + RI − uq − RI + 4U + 2 C dt uq + RI − uq − RI + 4U 2 1 2

f¨ur uq > 0

Appendix D. Lösungsverhalten dynamischer Dioden-Netzwerke

131

4. Proben duq Aus GuD + C dudtD + iD = Gu q+ C dt  √ 2 und der Abkürzung A = uq − RI + 4U2 folgt mit der Lösung nach Fall 3:

    √  1 d √  √  1 1 duq 1  duq 1  Guq + C + G RI − A + C Guq + C − G RI − A RI − A + 2 dt 2 2 dt 2 dt 2 √  1 d duq duq duq − C RI − A = Guq + C → Guq + C = Guq + C (wahr) 2 dt dt dt dt

Aus

      2 ( uq + w1 −w2 ) w1 − w2 w1 − w2 w1 − w2 d uq uq uq − 2 2U22 − − + +C =I 1−e G s 2 2 dt 2 2 2 2 

erhält man mit

w1 − w2 = −RI + und

 

2 uq − RI + 4U2

  w1 − w2 = uq → s uq = 1 f¨ur uq > 0

den Zusammenhang

  � � √ 2 uq 1 � � √ � 1 d� √ � √ (  2 − 2 (RI− A)) 1 � u 1 q  2U2 G uq + RI − A + C uq + RI − A = I 1 − e− s  2 − 2 RI − A  �� � � ��2 dt � �2 �

−

iD = I 1 − e

u2D 2U2

�

=iD

=uD

s(uD ) (wahr)

Ergebnis: Durch Applikation der hier dargestellten Algorithmen auf resistive oder dynamische Gleichrichter-Netzwerke erhält man die Lösungen für ihr Strom-Spannungs-Verhalten bei Verwendung realer, d. h. praxisrelevanter Dioden.

Weiterführende Literatur

Thiele, R.: Systemtheoretische Grundlagen der Lichtwellenleitertechnik. Studienhefte ITI 7 und ITI 8. Private Fern- Fachhochschule Darmstadt, 1998 Thiele, R.: Optische Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke. Ein systemtheoretischer Zugang. Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 2002 Thiele, R.: Optische Netzwerke. Ein feldtheoretischer Zugang. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2008 Thiele, R.: Transmittierender Faraday-Effekt-Stromsensor. Springer, Wiesbaden, 2015 Thiele, R.: Reflektierender Faraday-Effekt-Stromsensor. Springer, Wiesbaden, 2015 Thiele, R.: Design eines Faraday-Effekt-Stromsensors. Springer, Wiesbaden, 2015 Thiele, R.: Test eines Faraday-Effekt-Stromsensors. Springer, Wiesbaden, 2015 Thiele, R.: Stromsensor mit zirkularem Polarisator und Regelkreis. Springer, Wiesbaden, 2017 Thiele, R.: Effiziente Faraday-Effekt-Stromsensoren. Springer, Wiesbaden, 2017 Thiele, R.: Partielle Riccati-Differenzialgleichungen. Springer, Wiesbaden, 2018 Thiele, R.: Optische Signale und Systeme. Springer, Wiesbaden, 2019 Thiele, R.: Applikationen der Optoelektronik. Springer, Wiesbaden, 2020 Thiele, R.: Lichtquanten- und Lichtwellenleiter. Springer, Wiesbaden, 2020 Thiele, R.: Wigner-Verteilung trifft Lichtquantenleiter. Springer, Wiesbaden, 2021 Thiele, R.: Riccati-Messsysteme. Springer, Wiesbaden, 2021 Küpfmüller, K.; Mathis, W.; Reibiger, A.: Theoretische Elektrotechnik. Eine Einführung, 18. Auflage, Springer, Berlin, Heidelberg, 2008

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 R. Thiele, Quasi- und nichtlineare Kirchhoff-Netzwerke, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42555-5

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Stichwortverzeichnis

A Analyse-Algorithmus, 61 Äquivalenz, 8 Klemmen-, 20 Äquivalenztyp, 8 Arbeitspunkt Einstellung, 1, 11, 27 -Fixierung, 6, 10–13, 18, 21, 23, 26, 29–32, 85, 87, 96, 98 optimaler, 32

B Basis, 6, 37 Baum -Komplement, 20, 25, 50, 57, 125 Spannungs-, 9, 17, 20, 22, 125 Strom-, 9, 24, 28, 48, 50, 57 vollständiger, 48, 55, 125 -Zweige, 9, 125

D Dimensionierung, 34, 83, 85, 96, 120, 121 -Algorithmus, 16, 19, 21, 94, 96 Quellen-, 10, 11, 13, 15, 18, 21, 24, 26, 29, 30, 41, 85, 87–90, 96, 99 Diode, 62–65, 70, 131 ideale, 61, 72 Modelle, 60 reale, 61 Dioden-Netzwerk, 76

dynamisches, 70, 129 resistives, 61, 127 Drossel, 81, 82, 113, 115, 116, 118 Glättungs-, 119–121

E Elementarnetzwerk, 5 Emitter, 6

F Fixator, 4, 9, 106 -Ersatzschaltung, 6, 7, 11, 13, 16, 19, 21, 22, 25, 27, 44, 49, 51, 58, 60, 94, 96, 104 Kennlinie, 3 -Modelle, 5, 7, 44, 85 Fixpunkt, 3, 5, 10, 38 Funktion, charakteristische, 38, 39, 85, 100

G Graph Spannungs-, 125 Strom-, 125

K Kennlinie Ansatz-, 37 Transistor-, 32 Kirchhoff-Analyse, 3, 85

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136 Kirchhoff-Gleichung, 43–45, 47, 49–52, 54, 56, 59, 65, 67, 68, 70, 71, 74, 76–78, 86, 102–104, 106, 108, 109, 112 Klemme, 4, 6 äußere, 7 Klemmenspannung, 3, 6 Klemmenstrom, 3, 6 Klemmenverhalten, 37, 39–42, 45, 46, 49, 51, 53, 56, 58, 62, 65, 66, 71, 76, 77, 80 Kollektor, 6 Konstant-Spannungsquelle, 4 Konstant-Stromquelle, 4 Kurzschluss-Netzwerk, 69, 77, 119

L Leerlauf, 8, 9, 12, 17 Load-Netzwerk, 86, 109, 112

M Maschen, 125 -Nullator, 11 Mittelwert, linearer, 118 Moment, charakteristisches, 38

N Netzwerk affines, 1 dynamisches, 1 Gleichrichter-, 37, 69, 86 Kirchhoff-, 1, 4, 85, 86 lineares, 3 modifiziertes, 45, 46, 50, 52, 54, 55, 57–60, 102, 103 nichtlineares, 1, 37 Noratoren, 3–6, 8, 9, 12, 13, 105, 125 quasilineares, 3, 30 resistives, 1, 86, 127, 131 Spannungsquellen-, 3, 4, 6, 8, 50, 51, 53, 60, 85, 86, 95, 97, 103, 106 Stromquellen-, 8, 9, 12, 13, 17, 19, 20, 22, 24, 28, 46, 50, 85, 94, 95, 97, 105 Nullator, 3, 4, 12 äußerer, 9, 11 -Netzwerk, 4 Nulldiode, 81, 82, 84, 113

Stichwortverzeichnis P Pseudoinverse, 127

Q Quelle, gesteuerte, 37

S Schaltsymbol, 4, 5, 60 Schnittmenge, 105, 125 Spannungsgesetz, 1, 5, 12, 15, 20, 125 Sprungfunktion, 61, 63 Stromgesetz, 5, 12, 14, 20 Synthese, 42, 46, 49 -Algorithmus, 2, 42, 44

T Tellegen, 69 Tellegenscher Satz, 69, 77, 78 Transistor, 6, 9, 10 bipolarer, 3, 6 -Modelle, 5, 37 npn-, 5, 38, 44, 46, 49 pnp-, 24, 38 -Realisierung, 1, 6, 7, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 27, 29, 34

U Übertrager, 64, 68, 70, 76, 78, 106, 108, 116, 119 -Netzwerk, 80, 86, 109, 119 u-i-Generator, 4, 6–8 u-i-Relation, 1, 9, 10, 12, 21, 23, 39, 54, 62, 64, 67, 69, 71, 73, 76, 78, 86, 100, 106, 108, 109, 112, 113, 116

V v-j-Relation, 10, 15, 18, 21, 23, 26, 29, 42, 47, 52, 58, 95, 98, 104

Z Zweig, 9, 125