Einführung in die Getriebelehre: Analyse und Synthese ungleichmäßig übersetzender Getriebe (German Edition) 383510070X, 9783835100701

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Hanfried Kerle, Reinhard Pittschellis, Burkhard Corves

EinfiJhrung in die Getriebelehre Analyse und Synthese ungleichmaBIg iJbersetzender Getriebe

Hanfried Kerle, Reinhard Pittschellis, Burkhard Corves

Einfuhrung in die Getriebelehre Analyse und Synthese ungleichmaBig ubersetzender Getriebe 3., bearbeitete und erganzte Auflage Mit 190 Abbildungen und 23 Tafein sowie 29 Aufgaben mit Losungen

Teubner

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutscine Bibliotinek verzeicinnet diese Publikation in der Deutscinen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografiscine Daten sind im Internet uber abrufbar. Akad. Direktor i.R. Dr.-lng. Hanfried Kerle, geb. 1941 in Kiel, von 1951 bis 1957 Studium des Maschinenbaus mit dem Schwerpunkt Mechanik und Werkstoffkunde an der Technischen Hochschule Braunschweig, von 1957 bis 1973 wissenschaftlicher Assistent am Institut fur Getriebelehre und Maschinendynamikder umbenannten Technischen Universitat Braunschweig, 1973 Promotion mit einer Dissertation uber Kurvengetriebe, von 1973 bis 1990 Oberingenieur bzw. Akadem. Oberrat am selben Institut, von 1990 bis 1999 am neu errichteten Institut fur Fertigungsautomatisierung und Handhabungstechnik, von 1999 bis 2004 Leiter der Abteilung „Fertigungsautomatisierung und Werkzeugmaschinen" am Institut fur Werkzeugmaschinen und Fertigungstechnik der TU Braunschweig. Dr.-lng. Dipl.-Wirtsch.-lng. Reinhard Pittschellis, geb. 1958 in Arolsen, Studium des Maschinenbaus an der TU Braunschweig, dort von 1993 bis 1998 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fur Fertigungsautomatisierung und Handhabungstechnik, wirtschaftswissenschaftliches Aufbaustudium, 1998 Promotion uber das Thema „Mechanische Miniaturgreifer mit Formgedachtnisantrieb". Er ist heute Leiter Produktmanagement bei der Fa. FESTO Didactic GmbH & Co. KG in Denkendorf bei Stuttgart. Univ.-Prof. Dr.-lng. Burkhard Corves, geb. 1950 in Kiel, von 1979 bis 1984 Studium des Maschinenbaus, Fachrichtung Kraftfahrwesen, an der RWTH Aachen, dort von 1984 bis 1991 wissenschaftlicher Mitarbeiter und Oberingenieur am Institut fur Getriebetechnik und Maschinendynamik, 1989 Promotion auf dem Gebiet der Kinematik und Dynamik von Handhabungsgeraten, von 1991 bis 2000 Projektieiter im Bereich Forschung und Entwicklung fur Hohlglasproduktionsanlagen bei der Fa. Emhart Glass SA, Schweiz, 2000Berufung zum Universitatsprofessor und Direktor des Instituts fur Getriebetechnik und Maschinendynamik der RWTH Aachen. 1. Auflage 1998 2. Auflage 2002 3., bearbeitete und erganzte Auflage Januar 2007 Alle Rechte vorbehalten © B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science-i-Business Media, www.teubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, vvvvw.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Morlenbach Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN 978-3-8351-0070-1

Vorwort zur 1. Auflage Als mit deni raschen Fortschreiten der Elektronik und der Datenverarbeitung das Zeitaltcr der Aulomalisienmg anbrach, glaiibten vide Ingenieurc in der ersion Euphorie, da6 der gestcucrtc Anlricb und die Lcislungen der Rechenfcehnik die Getricbclehre und ilire Grundlagen ilberfliissig machen wiirden wie die mechanisehe Uhr oder Sehreibmaschine. Inzwischen ist man zu einer nuchternen Betrachlung der Dinge zurtickgekehrl und hat erkaiinl, dal3 der Getriebelehre ein gleichrangiger Platz zwischen der Antriebstechnik und der Konslruklion gebiihrt. Dies wird auch haufig mit dem Begriff Mechalronik umschrieben. Der Begriff Getriebelehre mag manchem enieuerungsbedurftig erscheinen. Wir haben uns jedoch bewufit an diesen Begriff gehahen, weil er in einer langen Braunschweiger Tradition steht, die eng verkniipfl isl mit den Namen Bekir Dizioglu und Kurt Hain und ihren Lehrbuchem „Getriebelehre" und „Angewandte Getriebelehre". Genau genommen existiert zum Fach „Getriebelehre" bereits eine Reihe guler Lehrbiicher. Wir sind dennoeh der Mcinung, dal3 liir das vorliegonde Buoh ein Bcdarf bcstehl. Im Zugc der allgcmeinen F.nlwicklung von Rcclmem, Rechiicrloi stung und Rcchcnprogramnien hat es in den letzten Jahren einen starken Wandel von den zeichnerischrechnerischen Methoden und Hilfsniitteln zur vorwiegend rechnergestiitzlen Auswertung mit zusatzMcher grafischer VisuaMsierung der theoretischen Aussagen und G!eichungen der Getriebelehre gegeben. Diesem Wandel wurde in deutschen LehrbUchem nur ansatzweise entsprochen. Wir haben deshalb ein ganzes Kapitel dieses Buches den numerischen Methoden gewidmel und begleitend zum Buch ein Programm fur die kinematische Analyse ebencr Getriebe entwickeii, das gegcn eine geringe Vcrsandgcbiihr auf dem Posiweg oder koslenlos iibor das Internet zu beziehen isl. Es geniigt fur ein Lehrbuch aber nicht, nur auf die Produktion numerischer Ergebnisse in Form von Tabellen oder Grafiken hinzuwirken; der Student oder die Studentin miissen erkennen und beurteilen kiinnen, ob ihre errcichten Ergebnisse nicht nur plausibel sind, sondcm aueh mil den Gcsetzen der Mechanik iibereinslimmen. Daher uerden auch in diesem Buch die iheoretischen Grundlagen ausfiihrlich dargestetit, jedoch muBten wir einige klassische Verfahren der Getriebelehre auslassen, die heute weitestgehend durch numerische Verfahren abgelost werden konnen.

VI Diese Beschrankimg ennoglichi eine kompakte Darstellung der wichligslen Grundlagen der Getriebelehre zu einem giinstigen Preis. Der Inhail dieses Buclies bildet unserer Meinung nach den Grundslock iiir die Ausbildung im Fach „Getriebelehre" an Fachhochschulen und UniversitSten. Das Buch ist in 7 Kapitel gegliedert; jedes Kapitel enlhatt am Anfang eine Obersicht, die den Leser oder die Leserin auf den zu erwartenden LemslotT vorbereilen soil. Die Kapilel 2 bis 6 enden mil einer Reihe von Ubungsaulgaben, die der Lemkonlrolle dienen. Die LBsimgcn zu den Ubungsaufgaben tinden sich im Anhang; dabei ist der eriautemde Text bevvulii knapp gebalicn, da die cntsprcchenden Lfisimgswege durch eingestreute Lehrbeispiele pro Kapitel bereits ausfilhrlich beschvieben vverden. Das Buch ist nach einigen Jahren Lehr- und Ubungserfahrung am Institut filr Fertigungsautomatisierung und Handhabungstechnik (IFH) der TU Braunschweig aus einem Vorlesungsskript entstanden. Wir danken dem Leiter des Instituts, Herm Prof. Dr.-Ing. J. Hesselbach, fur seine wohlwoJlende UnterstUtzuiig und Forderung. Eine engagierte Schar von Sludenten hat die Biirde der Arbeit beim Schreiben und Zeichnon sowie bei der Entwieklung des Rec hen prog ram ms mitgetragen: Yannick Baslian, Peter Bohnenstengel, Christoph Hcrmiann, Nikolai l-lille, Uwe Jiirgens, Stefan Scholz, Svcn Olaf Sicmji und Gerald Miiniicr als Koordinator. Ihnen alien gilt unser herzlicher Dank fiir ihre Motivalion und Ausdauer. Dem Teubner-Verlag, \enreten durch Herm Dr. rer. nat. J. Schlembach, gebiihrt unser besonderer Dank fiir die angenehme Zusammenarbeit und gute Ausstattung des Buches.

Braunschweig, im November 1997

Han fried Kerie Reinhard Pittschellis

Vorwort zur 2. Auflage Mit Franz REULEAUX begann die Entwicklung der Getriebelehre als Ingenieurwissenschaft in Deutschiand. Er war der Valer der Zwanglautlehre oder der Lehre von den Maschinengelrieben. In seinem 1875 im Verlag F. Vieweg & Sohn in Braunschweig erschienenen Hauplwerk „Lehrbuch der Kinemaiik, Bd. 1: Theorctisdie Kincmatik - Grundziige cincr Theoric des Mascliinenwest:ns" iciltl er die Maschine aus einer geschlossenen kinematischen Kette - eineni Mechanisnius - niit einein einzigen Antrieb ab und definierl folgendermaBen: Franz Reuleaux 1829-1905

Eine Maschine is/ sine Verbindimg widerslandsjdhiger Korper, welche so eingerichte! isl, dass millehl ihrer mechonische Naltirknifle genolhigl werden konnen. tinter bestimmlen Bewegungen zu wirken.

Wenn sich Getriebewisscnschal^ler heuie trautn, cinen HEXA-Parallelroboier mit scobs Anlrieben geometrisch zu erfassen und rechnergcstiitzt kinematisch zu untersucben, hat das auch mit den systematischen Vorarbeilen des genialen Kinemalikers F. REULEAUX zu tun, der die Aulbauelemente der Getriebc beschricb, die daraus zu enlwickelnden Ociriebc klassiflzicrtc und bcrcils die lechnisch intercssanten Bahnen bcstimmier Gelenk- und Koppeipunkte skizzierte. Andere, wie z.B. F. GRASHOF, L. BURMESTER, F. WITTENBAUER, R. MEHMKE, K. KUTZBACH. H. ALT und R. BEYER, setzten auf diesen Vorarbeilen auf und heferten die wissensehafthehen Grundlagen der Getriebelehre oder Technisehen Kineinatik. Bereits die erste Auflage des vorliegenden Buches, die inzwischen vergriffen ist, stand in der Tradition der vorgenannten Namen. Die Autoren hatten sich das Ziel vorgegeben, den Studierenden an Eachhochschulen und Universitaten die Grundlagen der Getriebelehre in gedrangter Form, aber anhand von zahlreichen Beispieien nahe zu bringen und fur eine rechnergestiitzte Anwendung aufzubereiten. Die Resonanz auf dieses Vorhaben war emiutigend und Hal Autoren und Verlag dazu bewogen, eine zweite Auflage herauszugeben, in der allc Anrcgungen fiir Verbosscrungen und Erganzungen so wcit wie miiglich bcrijt;ksichtigl wurdcn. Inshcsondcrc ist cin Kapiiol iibcr „Ehcnc Kurvengetriebe" hinzugekoinmen. Soweit Fehler zu korrigieren waren, sind diese Korrekiuren eingearbcitet wordcn. Die Auiorcn bedanken sich ausdrijcklich bei alien Lesem, die hier kritisch durchgesehen und Anmerkungen gemacht liaben.

VHl Das Inslitul fur FertigiingsaiiloTnatisiemng und Handhabungstechnik (IFH) an der TU Braunschweig, an dem beide Aiiloren die erste Aullage bearbeitelen, exislien nicht mehr; es ist 1999 mit dem Institut fur Werkzeugniaschinen und Ferligungslechnik (IWF) vereinigl vvorden. Der zvveiie Aulor, Heir Dr.-Ing. R. Pillschcllis, hal in/wischen die TU Braunschweig vcrlasscn. Die Autoren danken dem Lcilcr des IWF, Hcrm Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. J. Hesselbach, enieut fiir seine wohlvvollende Unterstiilzung beim Entstehen der zweiten Auflage. Weilerliin sei an dieser Stelle Herm Dr. M. Feuchte voni Lektorat Teehnik dcs Teubner Verlags herzlich gedankt tiir seine Miiwirkung und fiir die gevvolint gute Ausstattung des Buches.

Braunschweig, im Juni 2002

Ilanfried Kerle Reinhard I'ittschellis

Vorwort zur 3. Auflage

p. L. Tschebyschew 1821-1894

Ini Jahre 1900 erscliien im Verlag von B.G.Teubner in Leipzig ein erstes Bucli ziim Thema „Geiriebelehre"'. Die beiden Verfasser A. WASSILIEW und N. DELAUNAY beschrieben die wisscnscbafliichcn Lcistungcn dcs P. L. TSCHEBYSCHEW, Professor fur Angewandtc Malhematik in Si. Petersburg (kussland). Im Mittelpunkt der Beschreibungen standen die Losungen kinematischer Probleme mil Hilfe mathematischer Approximalionen, aJs technisch sehr interessante Anwendungen hatle TSCI lEBYSCHEW Gelenkgetriebe einfachster Bauarl gewahll, wie beispielweise Geradflihrungen durch das Gelenkviereck.

Es war zu dieser Zeit nicht ungewohnlich, dass sich zunachst Mathematiker des anspruchsvollen Wissenschaftsgebiels der Getriebelehre annahmen. Die Aufbereiluiig der Getriebelehre als Ingenieurwissenscliaft miissten dann die Ingenieure selbst iibemehmen, nachdem sie und ibr Umfeld den groBen Nulzen dieser „Hebelgetricbe" tiir das aulkommende Zeilaller der Mecbanisierung erkannt hatlcn. Hier sind besonders die syslemalisdicn Vorarbciten der Prolagonislen in Dcutschland F. REDTENBACHER (1809- 1863)undF.REULEAUX(1828- 1905) hervorzubeben. Die vorMegende dritle Auflage des Buches „Einflihrung in die Gctriebelcbre" ist zeillich nun als bislang letztes d i e d in der Kette des Verlags B, G. Teubner fur die Getriebelebre bzw. Getriebetechnik zu sehen. Die wissenschaftlichen Grundlagen der Getriebelehre sind durcb eine Reihe hoch begabter Lehrer und Forscher in der Vergangenheit gelegt worden, die Metboden zur Losung geomelrisch-kinematiscber und auch getriebedynamiscber Probleme sind bekannt, den Auloren des Buches bleibl eigentlich nur noch die Aulgabe, daltir zu sorgen, dass das von Generationen von Wissenscballlem zuvor ererble Wissen auf deni Gebiet der Getriebelehre liir die Ingenieure von heute nicht in Vergessenbcit gerSl; zu dieseni Zweck sind die Melliodcn mil Rcchnerunlerstiitzung anwendungsgerechl aufzubereiten. Nieht jede Mechanik muss zvvangsliiullg durch eine (oft auch teurere und siorungsanfalligere) elektronische Losung ersetzt werden; andererseils eroffnen modeme Technologien, wie Mikrotechnologie oder Bioniechatronik. neue, angepasste Anwendungsfelder fiir die Getriebelehre als dk Wissenscbaft fur Aufgaben der Bewegungsiibertragung und -umwandlung. Die dritte Auflage ist gegeniiber der zweiten Auflage wesentlich erweitert bzw. verSndert worden: Deni Kapilel 3 wurde ein Abschnitt tiber die Kriinimungen von Bahnkurven hinzugefijgt; Kapitel 6 enthalt Jetzt auch die BURMESTERsciien Kurven als Basis

X flir die Mehrlagen-Synthese sowie die Theorie der mehrfachen Erzeugung von Koppelkurven nacli ROBERTS fiir viergliedrige Gelenkgetriebe; das Kapilel 7 iiber Kurvengetriebe ist hinsicbtlich der zcichnerischen iind rechnerischen Beslimmung der Hauptabmessimgen sowie des Kurvcnpmnis wesenllieh iimlangreicher gcstaJlet und aueh urn die Typen „KiLrvengetricbe mil TcllcrsloBol" und „KurvcngctrLcbe mi! Tcllcrhebel" ergilnzt worden. Aiif das Progranmi ,.MGA (Modulare Getriebeanalyse)" - eine Eigenentwicklung der beiden Autoren der ersten und zweiten Auflage - wurde jetzt verzichtet, da es zunehmend Konipatibilitiilsprobleme mil den neueren WINDOWSBetriebssyslemen gab und aucli neiiere Programme mehr Leistung und Komfort bieten. Ersatzweise wird das kommerziell und preiswerl erhaltliclie Geometrieprogramm CINDERELLA eingetiiJirl, mil dem eine groUe Zahl der im Bucli beschriebenen Ubungsaulgabcn interakliv gclOst worden kann. Fiir weilere Inlbrmaiionen wird dcm Lcser angcraien, auf die enlsprcclicndi; Webseiie des Instituts flir Oetriebetedinik und Maschinendynamik der RWTH Aachen zu gehen. Die aufgetiihnen Anderungen gehen hauplsaclilieJi darauf zuriick, dass mil den Arbeiten an der dritlen Aullage ein neuor Fachkollego das bishcrigo Aulorenduo zum Trio erweiterl hal: Univ.-Prol". Dr.-lng. B. Corves, seil Jiili 2000 Direklor des oben genannten Instituts, brachte neue Ideen und damit auch neuen Schwung in das Team ein und steht soniit auch in gewissem Sinne flir die Einleitung eines Generationswechsels. Herm Peter Markert, Techniker am Institut flir Getriebetechnik und Maschinendynamik der RWTH AacJien, sei fiir seine Sorgfall und Geduld bei der Erstellung der Bilder sowie bei der Layoul-Geslaltung von Texlen und Bildern insbesondere der neu hinzugekommenen Abschnitle herzlich gedankl. Der Dank gilt auch Herm Dipl.-Tng. Sung-Won CJioi, wiss. Milarbeiler am Inslilul llir Getriebetechnik und Maschinendynamik der RWTH Aachen, Hir seine Unterstiji/.ung liei der Erstellung ncuer Aulgabcn und deren Realisierung mil dem Programm CINDERELLA in den zuvor erwShnten neu hinzugekommenen Abschnitten. Herm Dr. M. Fcuchte. Leklor fiir Maschinenbau/Eleklrolechnik im Verlag Teubner, sei emeui llir seine kompeiente, organisatorische und innovative Mitwirkung bei dieser Aullage gedankt, insbesondere auch flir seine grolie Geduld im Entstehungsstadium. Aachen und Braunschweig, im September 2006 Burkhard Corves Han fried Kerle Reinhard Piltseheilis

Inhalt 1 Einfiihrung

I

1.1 Aulgaben und Inhall der Getriebelehre

1

1.2 Anwendungsgebiete der Getriebelehre

3

1.3 Beispiel einer gelriebetechnischen Aufgabe

10

1.4 Hillsniitlel

11

1.4.1 VDI-Richtlinien

11

1.4.2 Arbeitsblatter(Kurznchllinien)

13

1.4.3 Gelricboicchniksorivvare

13

2 Gctriebesysternatik

14

2.1 GruiidbegrilTe

14

2.1.1 tJbertragungsgetriebe

15

2.1.2 Fiihrungsgetriebe

17

2.1.3 Lage der Dreliachsen

17

2.2 AufbaiL der Getriebe

20

2.2.1 Getriebeglieder

20

2.2.2 Gelenke

22

2.3 Getriebefreiheitsgrad (Laufgrad)

25

2.4 Struklursyslematik

31

2.4.1 Kinematische Ketten

32

2.4.2 Ebene Getriebe

37

2.4.2.1 Getriebe der Viergelenkketle

37

2.4.2.2 Kurvengelriebc

46

2.4.2.3 Raumliche Getriebe

49

2.5 Ubungsaiifgaben

52

Xn

[nhdt

3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe 3.1 Grundlagen der Kinematik

57 58

3.1.1 Bewegung eines Puiikles

58

3.1.2 Bewegung einer Ebene

60

3.1.2.1 Geschwindigkeitszustand

61

3.1.2.2 Momentan- oderGeschwindigkeitspol

63

3.1.2.3 Beschleunigungszustand

64

3.1.2.4 Beschleunigungspol

66

3.1.3 Grapliische Getriebeanalyse

68

3.1.3.1 MalJslabe

68

3.1.3.2 Geschwindigkeitsemiittlung

70

3.1.3.3 BeschJeuiiigungsermittlung

73

3.1.3.4 Raslpolbahn und Gangpolbalm

74

3.2 Relalivkinemaiik

76

3.2.1 GeschwindigkeilsziLStand

77

3.2.2 Bescbleunigungs^ustand

80

3.3 Krilmmung von Bahnkurven

84

3.3.1 Grundlagen

84

3.3.2 Polbalmtangente und Polbahnnormale

86

3.3.3 Gleichung von EULER-SAVARY

87

3.3.4 Satz von BOBILLIER

88

3.3.5 Polwechselgeschwindigkeit und HARTMANNsche Konslruktion

89

3.3.6 Wendepunkl und Wendekreis

92

3.4 tjbungsaufgaben 4 Nuinerische Getriebeanalyse 4.1 Analytisch-vektorielle Methode

96 100 101

4.1.1 Iterative Lflsung der Lagegieichungen

103

4.1.2 Envoiterungaufden mdirdimensionalcn Fall

104

4.1.3 Berechnungder Geschwindigkeiten

105

4.1.4 Berechnung der Beschleunigungen

107

Inhalt

XIII

4.1.5 Berechnung von Koppel- und Vektorkurven

110

4.1.6 Die BedeutungderJACOBl-Matrix

Ill

4.2 ModuJniethode

113

4.3 iJbungsaufgaben

119

5 Kinetostatische Analyse ebeiier Cetriebe

122

5.1 Einteilung der Krafte

122

5.1.1 Traghcitskrafk

124

5.1.2 Gelenk- und Reibungskrafte

125

5.2 Grundlagen der Kinetoslalik

128

5.2.1 Gelenkkraftverfahren

129

5.2.1.1 Kraft-und Seileckverfahren

131

5.2.1.2 CULMANN-Verfahren

132

5.2.1.3 Kraftegleichgewicht an der Eleinentargruppe II. Klasse

133

5.2.1.4 Kraftegleichgewicht an der Elementargnippe 111. Klasse

134

5.2.2 Synthetische Methode (Sclinittprinzip)

139

5.2.3 Prinzip der virtuellen Leistungen (Leislungssatz)

143

5.2.3.1 JOUKOWSKY-Hebel 5.3 Obungsaufgaben 6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe 6.1 Tollagenkonstruktion

144 147 151 151

6.1.1 Tollagenkonstruktion nach ALT

154

6.1.2 Schubkurbel

157

6.1.3 Auswahlkrilcrien

159

6.1.3.1 Uberlragungswinkel

159

6.1.3.2 Beschleunigungsgrad

163

6.2 Lagensynthese

166

6.2.1 Wertigkeitsbilanz

167

6.2.2 Zwei-Lagen-Synthese

168

6.2.2.1 Beispiel eines Fiihrungsgelriebes

168

6.2.2.2 Beispiel eines Cberlragungsgeiriebes

170

XIV

Inhalt 6.2.3 Drei-Lagen-Synthese

171

6.2.3.1 GetriebeenUvurf fur drei allgemeine Gliedlagen

171

6.2.3.2 Gelriebeeiitwurf fur drei Punkteeiner Koppelkurve

173

6.2.3.3 Getriebeentwurf iurdrei Punkteeiner Ubertragungsfunktion

174

6.2.3.4 Beispiel eines Drehgelenkgetriebes als Ubertragungsgetriebe

176

6.2.3.5 Beispiel eines Schubkurbelgetriebes als Ubertragungsgetriebe

177

6.2.4 Mehrlagen-Synlhese

178

6.2.4.1 Getriebeentwurf fur vier allgemeine Gliedlagen (Kreis- und Miliclpunktkurve)

178

6.2.4.2 Gctriebcenlwurl'fiir liinrallgcmeine Gliedlagen (BURMESTERsche Kreis-und Mittelpunkte)

181

6.3 Mehrfachc Rrzeugung von Koppelkurven 6.3.1 Ermittlung der ROBERTSschen Ersatzgetriebe

184 185

6.3.2 Ennililung liinfgliedriger Ersalzgetriebc mit zvvei synchron laufenden KurbeJn 6.3.3 Parallelfuhrung eines Gliedes enllangeiner Koppelkurve

189 191

6.4 Ubungsaufgaben

194

7 Ebene Kurvengelriebe

198

7.1 Vom Bewegungsplan zum Bewegungsdiagramm

199

7.1.1 Kennwerte der normierten Bewegungsgesetze

201

7.1.2 Anpassung der Randwerte

202

7.2 Besiininiung der Hauptabinessungen

204

7.2.1 Hodographenverfahren

205

7.2.2 Naherungsverlahren von FLOCKE

209

7.3 Ennililung der Fiihrungs- und Arbeilskurve der Kurvenscheibe

210

7.3.1 Graphische Ermittlung der Fiihrungs- und Arbeitskurve

212

7.3.2 Rechnerische Ermittlung der Fiihrungs- und Arbeilskurve

213

7.4 Ubungsaufgaben

221

8 Raumliche Getriebe

223

8.1 Der raumliche Geschwindigkeitszustand eines starren Korpers

224

8.2 Der relative Geschwindigkeitszusland dreier starrer Korper

227

Inhalt

XV

8.3 Vektorielle Iteralionsmethode

230

5.4 Koordiiiatentransformatioiien

235

8.4.1 Eienieiitardrehungen

235

8.4.2 Verschiebungen

239

8.4.3 Kombination mehrerer Drehungen

239

8.4.4 Homogene Koordinaten

244

8.4.5 HARTENBERG-DENAVIT-Fomialismus(HD-No(alion)

245

Anhang

252

Losungen zu den Ubungsaufgaben

252

Losungen zu Kapilel 2

253

Losungen zu Kapilel 3

260

Losungen zu Kapitel 4

273

Losungen zu Kapilel 5

277

Lfisungen zu Kapilel 6

286

Lfisungcn zu Kapilel 7

293

Literaturverzeichnis

297

Sachverzeichnis

301

Formelzeichen und Einheiten In dieseni Buch werden Vekioren als gerichteie Gr5l5cn, wie z.B. Krafle F, Geschwindigkeitcti V imd Bcschleimiguiigcn a , mil einem obciilicgcndcn Pfeil gckcnn7.L:ic:hnet; gelegcntlich vtrbindet cin swlditr Pfcil zwci Punkte A und B und gibt dadurch Anfargs- und Endpunkt des Vektors an: AB. Mit AB isl danii der Betrag dieses Vektors (Strecke zwischen A und B) gemeint. Malrizen werden durch Fettdruck hervorgehoben. Fiir Matrizen und Vektoren bedeutet ein „T" als Hochindex, z. B J ' , die transponierte oder Zeilenform; mit J"' wird die Inverse (Kehrmatrix) von J bezeichnet. Die MaBeinheiten richten sich nach dem SI-Einheitensystem mit den Grimdeinheiten m fiir die Lange, kg fiir die Masse und s fiir die Zeil; abgeJeitete koharente Einheiten sind dann z.B. 1 N = I kgm/s' fur die Kraft, I Pa = I N/m" fur den Druck und I W = 1 Nm/s fiir die Leistung.

Geometrieprogramm Cinderella CINDERELLA ist ein Programm fiir Geometrie anfdeni Computer, entwickelt mil dem Anspruch, mathematisch robust und dennoch einfach zu benulzen zu sein. Urn beim Einstieg in die Getriebetechnik einen Eindruck von den Moglichkeiten graphischer Verfahren vennittein zu konnen, bietet sich die Darsteliung mit Hilfe des Geometrieprogramm es CINDERELLA an [24]. Dieses Programm eriaubt auf einfache, intuitive Weise die Erstellung geometrischer Konstruktionen auf dem Rechner. Es ist ein mausgeliihrles, inleraktives Geometrieprogramm, bei dem nach erlblgier Konslruktion die Basisekmente der Konslruklion mil dcr Maus "gegrilTcn" und bewcgl werden kOnnen, Dabei folgl die ganze Konslniktioii der Bcwegung in konsislcnicr Wcise, SO dass auf sehr anschauliche An und Weise das "dynamische" Verhallen der geometrischen Konstruktion erkundet werden kann. AuRerdem konnen mit Hilfe des Geometrie-

XVII programmes Ortskurven dargestelll werden, eine Eigenschaft, die gerade ftir die Anwendung in der Getriebelechnik von groSer Bedeutiing isl. So konneii im einfachsleti Fall mit dieser Funktionalilal die Koppelkurven von Getrieben dargeslellt werden. Ein weseniJicher Vorleii der DarstclJung mit Hilfe des Geometrieprogrammcs CINDERELLA bcstclil darin, dass auth auRerhalb der CINDERELLA-Umgebuiig wahlweise in einer animierten Version, die die Bewcgung eines Getriebes zeigl, oder als interaktive Version, die das Verandern verschiedener kinematischer Abmessungen des Gelriebes ertaubt, die geometrische Konstruktion als HTML-File gespeichert werden kann. Die Bedienung des Programms CINDERELLA wird in Kapitel 3 an zwei Aufgaben gezeigt. AulJerdeni stehen fiir einen Teil der in diesem Buch prasenlierten Aufgaben entsprechende Datensatze sowohl als CINDERELLA-File als audi als HTML-Version zur Verfugung. Diese Dalensalze konnen auf der Intemelseile

http://www.igm.rwth-aachen.de/index.php?id^cinderella

zusaninien mit einer kurzen Gebranchsanleitung hemntergeladen werden. Die HTMLVersionen kSnnen mit iibliclu-n JAVA-Rihigen Brovvscm vcrwendel werden. Filr die weilergehende Verwendung von CTNDERELLA-Files ist es erforderlich, eine lauftahige Version des CINDERELLA-Programms zu inslallieren. Informationen hierzu sind unter der Web-Adresse

htt p: //www .cinderella.de/ zu finden.

Einfuhrung Dieses Kapitel grenzl die gJeiclimaBig ubersetzenden Getriebe, z.B. Zahnradgetriebe, von den uiigleichmaRig ubersetzenden Gelrieben ab, die Tlienia dieses Buches sind. Die Gelriebelehre wird In drei Hauptgebiete unterteill: Getriebesystematik, Gelriebeanalyse und Getriebesynlliese. Der Leser erhalt anhand von Bildem einen Einblick in Technikbereiche, in denen Getriebe als Bevvegungs- und KratUibertragiingsbaiigruppen eine grol3e Rolle spielen. Am Bcispicl einor geiriebctcchnischcn Aiitgabe vverdcn grundlcgende Fragen erBrtert und fiir die Antworten auf die entsprechendcn Kapitcl di;s Buches verwiesen. Hinweise auf weitere Hilfsmittel schlieRen das Kapitel ab.

1.1

Aufgaben und Inhalt der Getriebelehre

Die Getriebelehre oder Getriebetechnik ist eine grundlegende Ingenieurwissenschaft, die eine breite Anwendung im Maschinen- und Geratebau findet. Sie isl einerseils eine Querschnittswissenschaft fur viele Ingenieurzweige, andererseits ordnel sie sich noch am besten zvvischen der Mechanik und der Konstruktion ein: Mil llilfe getriebeiechnischer Mclhodon wcrden technologic die Aufgabcnslellungen - z . B . in der Produktionstechnik - im Bcrcich der Bevvegungs- und Kraflubertragungcn in Konstruklioncn umgesefzt, d.h. es werden Getriebe analysiert und entwickelt und das Zusammenwirken einzelner, miteinander beweglich verbundener Funktionsteile von Maschinen und Geraten erforscht. Die Getriebelehre hat die Aufgabe, die vielfalligen Erscheinungsformen der Getriebe zusainmenzufassen, systematisch zu ordnen und GesetzmaRigkeilen herauszuarbeilen. Sie bietet Methoden und Verfahren zur Analyse der EigenschaOen und des Verhallens der Getriebe, verallgemeinerl dabei die gewonnenen Erkenntnisie und gibl wissenschalllich bcgriindcte Anicilungcn liir die Verbesserung und die Ncuentwicklung von Gelrieben [10], Grundsatzlich wird imterschieden zwischen gleichtormig oder gleichmaRig ubersetzenden Getrieben (G-Getriebe), z.B. Zahnrad-, Schnccken- oder Riemengelriebe, und ungleiehlbrmig oder ungleichmaliig iibersetzenden oder periodischen Getrieben

2

I Eintiilirung

(U-Gelriebe), z.B. Schubkurbelgetriebe oder Kurvengelriebe. Die Griippe der U-Gelriebe soil hier vorrangig behandell werden. Der Zweck von Getrieben ist die Umwandlung einer gegebenen in eine gewiinschte Bewegung und die Ubertragusig bestimmter Krafte und (Dreh-) Momente (Kraftepaare). So wird z.B. bei einem Schubkurbelgetriebe eine Drehung (Rotation) in eine Schiebung (Translation) umgewandelt oder umgekehrt. Entsprechend den zu losenden Aufgaben iasst sich die Getriebelehre in drei Hauptgebiete unterteilen (Bild 1.1). Die Getriebesysteniatik als Aufbaulehre behandelt den stnikturellen Auftau und die Aufbauelemente der Getriebe. Gegensland der Gefriebeanalyse ist es, Getriebe, deren Aufbau und Abmessungen bekannl sind, zu untersuchen, d.h. zu berechnen, wobei entweder die Bewegungen oder die wirkenden Krafte im Vordergrund stehen: Getriebekinematik oder Getriebedynamtk. In der Lehre vermittell die Getriebeanalyse eine geordnele Menge von GesetzmalJigkeiten, die als Grundlage flir die Getriebesynthese benutzl werden [6].

GETRIEBELEHRE G - Getriebe

Geiriebesyslemaiik

Geiriebekinemaitk

U - Getriebe

Geirii;bciiiial>se

-•

Geiriebesymhesc

*-

Geiricbedynamik

Biid 1.1

Einteilung der Getriebelehre Die Getriebesynthese umfasst die Entwicklung von Getrieben aus bekannten Aufbauelementen flir vorgegebene Forderungen. Hierzu gehoren z.B. die Festlegung der Getriebe struktur (Typensynlhese), die Bestimmung kinematischer Abmessungen (MalSsynthese) und die konstruktive Gestallung der Getriebeglieder und Gelenke unter Beriicksichtigung statischer und dynamischer Beanspruchimgen. Da die Getriebesynthese insofem Kenntnisse in Technischer Mechanik, Maschinendynamik, Werkstoftkunde,

1.2 Anwendungsgebiete der GeiMebelehre

3

Konslruktions- und Ferligungstechnik vorausselzl, ist sie im Allgemeinen schwieriger zu handhaben als die Gelriebeanalyse. Im Zuge einer standig wachseiideii Rechnerleistung und der damit gekoppellen Entwicklung von Programmen konnlen die numerischen Schwierigkeilen relalivierl, wenn nicht sogar crsi durch dcn Rcchnereinsatz bcwaltigt werdcn. Eine Rcihc von SynlhcsL'verfahren beruhen auf der wiederlioiten Analyse mit systematisch geanderlen Abinessungen von Geiriebegliedem. Aus einer Vielzah! von Losungen wird antomaiisch oder manuell das beste Getriebe anhand der vorgegebenen F-'orderungen ausgewahit, Man be/oiehnci diesc Vorfahronsweise als Synthese durch iterative (syslcmatisch wiederholle) Analyse [10].

1.2

Anwendungsgebiete der Getriebelehre

Die Getriebelehre umfasst viele Bereiche des Maschinenbaus wie Feingeratelechnik. Fahrzeugtechnik, Texliltechnik, Verpackungsmasehinen, Land-, Druck-, Schneid-, Stanz- und Handhabungstechnik. Mechanische Robustheit, Zuverlassigkeit und Wirlschaftlichkeit sprechen dafiir, Baugruppon und komplctte Maschincn fllr die vorgenanntcn Bcrdthc mit dcn Mitiein der Getriebelehre zu entwerfen und auszulegen. Die wachsende Bedeutung elektrischer, elektronischer und andercr Bauelemenle slebl dazu nicht im Gegensatz, sondem erweitert und erganzt die Palette der Losungsmoglichkeiten fiir den Ingenieur im Maschinenund Geralebau. Durch den Einsatz zusatzlicher elektrischer, hydraulischer, pneuinatischer und anderer Antriebselemente (z.B. Formgedachtnisaktoren) bei der Losung von Bewegungsaufgaben entstehl oft erst die gewiinschte Flexibilitat. Ein von einem Rcchner gesteuerter Anlrieb kann sensorgefiihrt als Hauptanlrieb unterschiedliciien Belastungen angepasst werden, ein Vorschaltgetriebe ersetzen oder als Nebenanlrieb den Bewegungsbereich eines Gelriebes verandem. Fiir gesteuerte (sensorgetiihrle) Bewegungen dieser Art wird heute der Begriff Mechatronik venvendet. In der Kombination von Mcchanik, Elektroiochnik, Fkklronik, Hydraulik und Pneumaiik wird die Getriebelehre stets einen wichtigen Platz in den higenieurwissenschaflen einnehmen. Einen Eindruck von den vielen Anwendungen unterschiedlicher Getriebe im Maschinenbau vermittelndie Bilder 1.2 bis 1.10. In Bild 1.2 isf ein Pkw-Otto motor zu schen. Das Herz dieses Motors bilden drci sechsgliedrige (ebene) Getriebe auf der Basis jeweils zweier gekoppelter Schubkurbelgetriebe, deren Kolbenhahncn V-fonnig angeordnel sind (V6-Motor), Die von der Nockenwelle gesteuerten Ein- und Auslassventile fiir den Gaswechsel stellen spezielle federkraftschliissige (ebene) Kurvengelriebe dar.

4

I Eintiilirung

Ebenfalls eincm Vcrbrennimgsmolor zuziiordnen ist dcr in Bild 1.3 gezdgte Schraubenkompressor zur Verdichliing der Ansaugluti; die sichtbaren beiden ..Schrauben" sind nach cincm raiimlichen Vcrzahnungsgcsctz konjugiert zucinandcr getertigt und bilden mehrfach im Eingriff slehende raumliche Kurvengelenke, die hochgetiau gefertigt werden mussen. Bild 1.4 zeigi eine Pkw-Vorderachse, bei der sowohl die Lenkung als auch die beiden Vorderradaufhiingungeii raumliche Getriebe darslellen, d.h. Getriebe mit windschiefen Bewegungsachsen. Im vorliegendcn Fall besilzen die Geiriebe einen Freiheiisgrad F > I, um neben der Hauptbewegung ..Lenken" bzw. „Einfedem in vertikaler Richtung" noch weitere Einstell- oder Ausgleichsbewegungen zu ermoglichen. Die aulomatisierte Montage von Automobilen erfolgt heute groBtenteils mit Hilfe von Industrierobotern, Industrie rob oter sind cbenfalls raumliche Getriebe, deren Bewegungsachsen vorzugsweise senkrecht oder parallel zueinander liegen oder sich sogar in einem Punkt schneiden. Sie haben als Basis eine sog. offene kiiicmatischc Kette wie der menschliche Arm, die einzelnen Glieder sind iiber Dreh- oder Schubgelenke mileinander verbunden, Bild 1.5 zeigt einen Roboler mil scchs Bewegungsachsen (Freiheiisgrad F = 6) Al bis A6, die samtlich Drehachsen darstellen. Die Achsen Al bis A3 dienen im Wesentlichen der Positionicrung, die Achsen A4 bis A6 im Wesentlichen der Orientierung des Endglieds mil dcm Grcifcr oder Wcrkzcug im x-y-z-Raum. Dadureh, dass die Achsen A2 und A3 parallel sind und sich die Achsen A4 bis A6 in einem Punkt schneiden, reduziert sich der Rechenaufwand fur die Kincmalik des Roboters. Mechanische Greifer fiir die Mikromontage, d.h. fiir die Montage kiciner und kleinster Teile im fmi-Bereieh, vcrlangcn zwar nur geringe Bcwegungon der Oreilglieder, diese Bewegungen mussen jedoch synchron und mit hochster Prazision ablaufen. Am ehemaligen Instiliit tiir Fertigungsaulomatisienmg und Handhabungstechnik (IFH) der TU Braunschweig wurde 1997 ein reinraumtauglicher Mikrogreifer aus Kunslstoff oder superelastischeni Metall mil abriebfreien stoffschliissigen Gelenken entwickell und auf einer CNC-Prazisionswerkzeugmaschine gefrasl, dessen Greifglieder von neuartigen Aktoren auf der Basis von Fornigedachtnislegicrungen (FGL) bewegl werden, Bild 1.6. Die stoffschliissigen Gelenke enlslehen dutch gezieltes Schwachen von Malerialquerselmiitcn. Die Absl^nde zwischen diesen Gelenken sind mii Rechneruntersliitzung so gewahh worden, dass sich die Greifglieder im Greiftereich synchron gegeneinander bewegen (Ubersetzungsverhaitnis i = -I) [1.1]. Insgesamt entstand ein sog. Parallelgreifer mil zwci ahemativ zum OITnen und SchlieBen des Greiiers wirkenden FGLAntrieben zwischen den bewegten Gliedern [ 1.2]. Bei den Kurvengelrieben sind Rundtaktautomaten als Schrit(getriebe in der Handhabungstechnik als Anwendungen zu nenncn [1.3], die nach Katalog in verscbiedenen BaugroUen ausgewahit werden konnen, Bild 1.7. Zwischen den einzelnen Slillstanden (Rasten) des Abtriebsglicdes (hier: Rollenslem) lasst sich durch eine geeigncle Formgebung des angetriebenen Kurvenkorpers (hier: Globoid) fast jedes nach kinenialischen und dynamischen Gesichtspunkten giinslige Ubergangsgesetz verwirklichen. Bei dem

1.2 Anwendungsgebiete der GeiMebelehre

5

skizzierten sehr kompakl aufgebauten Kurvengetriebe sind die Antriebs- iind Abtriebsdrehachse raiimlich zueinander mit einem Kreuzungswinkel von 90° versetzt. Derarlige GetrJebe dieneti entweder mit Wulstkurve und Rollenstem oder Nutkurve uiid Einzelrolle als Bausteine flir zusaniniengesetzte mechanische Mehrachscnsysteme (Bild 1,8), die im Untcrschied /.u frei programmitrbarcn Industricrobotcm durch die Bewegungsgeseize der Kurvetikorper festprograniniiert sind. Es isl nur noch eine Ablaul'sleuerimg zwischen den cinzelnen Anlrieben eribrderlich. Dei dem im Bild skizzierten System werden mindestens drei Tischbewegungen kurvengesteiiert: die beiden Schiebungen in horizonlaler und vertikaler Richlung und die Drehung urn die vertikale Achse. In Bild 1.9 ist eine Kniehebelpresse auf dcrGrundiage eines sechsgliedrigen Getriebes dargestellt. Die vertikal arbeitende Baugriippe entlialt den „Kniehebe]" mit dem DruckkOrper als Gleilsiein wie bei einem Sehubknrbelgctriebe; horizontal ist der Drchanirieb mit Zwischenglied tiir den Kniehebel angeordnet. Die Kniehebelwirkung entstehl in der oberen Stillstandslage („Totlage") des Druckkorpers bei gleichmaUig rofierendem Antrieb. Ein Niederhalter beim Pressvorgang kann ebenfalls iiber den Hauplantrieb gesteuert werden. Bild 1.10 zeigt einen Schaufellader mit zwei Hubzylindem zum Heben und Schwenken der Schaufel. Die Grundlage dieses Getriebes isl eine kinematische Kette (s. Abschnitt 2.4.1), die aus neun Gliedem besteht, einschlieBlich des Fahrzeugs als Gestell.

Bild 1.2

V6-Motor mil Ventilsteuerung (Werkbild: Mercedes-Benz AG, Stuitgart)

Eintiilirung

Bild 1.3

Schraubenkompressor mit rSumlicher Verzahnung (Werkbild: Mercedes-Benz AG, Stuttgart)

Bild 1.4 Pkw-Vorderaehse (Werkbild: Mercedes-Benz AG, Stuttgart)

1.2 Anwendungsgebiete der GeiMebelehre

BJId 1.5

Industrieroboler mil seths Bewegungsachsen (Werkbiid; KUKA Roboter GmbH, Augsburg)

FGL-Aktoren

Bild 1.6 Mikrogretter mil acht Gliedern und siotTschlussigen Gelenken (Werkbiid: IFH der TU Braunschweig)

Eintiilirung

Bildl.7 Kiirvenschritigetriebe fur Riindiaktautomai (Weikbild: MANIFOLD Erich Erier GmbH & Co., Du^seldort)

c >

Bilcl 1.8 Meclianiiches Mehraehsensyslem {Werkbild: SOPAP GmbH, Ravensburg)

1.2 Anwendungsgebiete der GeiMebelehre

Bild 1.9 Kniehebelpresse (Werkbild: Grabener Pressemystenie GmbH & Co KG, Neiphen-Werthenbach)

li,

Bild 1.10 Schaiifeilader (Werkbiid: Liebherr[nternational AG, Bu)le/FR, Schwciz)

10

1.3

Eintiilirung

Beispiel einer getriebetechnischen Aufgabe

Am ehemaligeii IFH der TU Braunschweig wiirde 1994 ein neuartiger Roboter mit seclis Bewegungsfreilieilen eniwickell, dcr sich von herkOninilichen Induslrierobotem grundlegend unterscheidet. Bci dicsem HEXA gcnannten Prototypen wird die Arbcitsplaltfonn (iLndcffekliirtrager) iiber sechs Anne gefiihrt (Bild 1.11). Dadurch sind alle Antriebe gestellfest und miissen nicht milbewegt werden. Solche Roboter werden Para lie) roboter genannl, weil die Arbeilsplatiform slels durch rnehrere Gelenkketten gleichzeitig (parallel) gefiihrl wird. Parallel roboter zeicbnen sich durch groBe Nutzlasien, hohe Verfahrgeschwindigkdten und -beschlcunigungen aiis, weil die bewegten Massen im Vergleich zu seriellen Roboiem (z.B. Bild 1.5) sehr gering sind [1.4, 1.5J. Gesteiibefestigung \ Antriebe

EndeRektorlrager

Bild 1.11 HEXA-Parallel roboter

Bei der Entwicklung, Konstruktion und beini Einsatz eines solchen Roboters, der ein raumliches Getriebe darstetll, tauchen sofort folgende Fragen auf: 1. Welcher Getriebetyp liegtdem HEXA-Parallelroboter zugrunde?(Abschnitt 2.1) 2. Aus welchen Elementen selzl sich das Getriebe strukturell zusammen? Welche Gelenke sind zu wahlen? (Abschnitt 2.2) 3. Welche Gleichungen beschreibeii - zumindest im Ansatz - die Geometric und somit auch den Arbeitsraum des Roboters? (Kapitel 3,4)

1-4 Hilfsmitlel

II

4. Welche Gtiedlangen sind fiir einen vorgegebenen Arbeitsraum zu wahlen? (Kapilel 6) 5. Wie sind die Antriebe aiiszulegen, wenn die Abmessungen der Glieder und deren Material, die Kincmalik und die Belastung der Arbeilsplattfomi durch Nuiz- und Tragheitslaafte vorgegeben werden? (Kapitel 5) 6. Welclien Beanspruchungen (Belastungen) unterliegen dabei die einzelnen Giieder bzw. Geleiike des Roboters? (Kapitel 5) Diese Frageti werden in den genannten Abschnitlen/Kapilein ausPiihrlich beliandell. Dabei werden die Darstcliungcn abcr iin Wcsentiithen auf ebenc Gctricbe heschrjinkt bleiben; nur Absclmitt 2.4.2.3 und Kapitel 8 iiandeln von raumlichen Getrieben.

1.4

Hilfsmittel

1.4.1

VDI-Richttinien

Sehr hilfreich fiir die Auslegung von Getrieben sind eine Reihe von Richtlinien des Vereins Dentsehcr Ingenicure (VDT), z.B.: VDI-Richtlinie Ausgabe Titel/Seitenzahl 2127

02.93

Getriebetechnische Grundlagen; B eg riffs best iinmungen der Getriebe / 48 S.

2130

04.84

Getriebe fiir Hub- und Schwingbewegungen; Konstruklion und Berechnung viergliedriger ebener Gelenkgetriebc fur gcgebcnc Tollagen / 26 S,

2142, Blalt 1

10.94

Auslegung ebener Knrv en getriebe - Grundlagen, Profilberochnung und Konslruktion / 51 S.

2142,Blatt2

10.94

Auslegung ebener Kurvengetriebe - Rechnerunterstiitzte Profilberechnung / 23 S.

2143. Blatt 1

10.80

Bewegungsgesetze fiir Grundlagen / 27 S.

2143, Blatt2

01.87

Bewegungsgesetze tur Kui'vengelriebe; Praktisclie Anwendiing / 60 S.

Kurvengetriebe; Theoretische

12

Eintiilirung

2145

12.80

Ehenc vicrgliedrijic Geiriehe mit Dreh- mid Schubgelenken; Begriffserklarungen und Syslematik / 5S S.

2156

09.75

Einfachc raumliche Kiirbelgetriebe; Syslematik und Begriffsbestimmuiigen / I I S .

2722

08.03

Gelenkwellen und G el en kwe II en strange mil Kreuzgelenkcn - rJnbaubL'dingLingL'n liir HDuiokincmalik / 38 S.

2723

06.82

Vektorielle Methode zur Berechnung der Kinemalik raumlicber Gotricbe / 14 S.

2727, Blalt 1

05.91

Konslruktionskataloge; Losung von Bewegungsaufgaben mit Getrieben; Gmndlagen / 19 S.

2727. Blalt 2

05.91

Konslruktionskataloge; Losung von Bewegungsaufgaben mit Getrieben; Erzeugung hin- und hergebender Schubbcwcgungcn; Antiicb glL'icbsinnig drchcnd / 23 S.

2727, Blalt 3

04.96

Konslruktionskataloge - Losung von Bewegungsaufgaben mit Getrieben - Erzeugung gleichsinnigor Drehbeweguiigen mil Rast(en) - Antrieb gleichsinnig drehend / 36 S.

2727. Blalt 4

06.00

Konslruktionskataloge - Losung von Bewegungsaufgaben mil Gclricben - Erzeugung von Schwingungsbewcgungen mit Rast(en} - Antrieb gleichsinnig drehend/ 60 S.

2727. Blalt 5

05.06

Konstruktionskataloge - Losung von Bewegungsaufgaben mit Getrieben - Erzeugung von ungleicbmaUigen UmlaulliL'wegungen ohnc Stillsland (Vorstlialtgetritbc); Antrieb gleichsinnig drehend / 52 S.

2728, Blalt 1

02.96

Losung von Bewegungsaufgaben mil symmetrischen Koppelkurven - Uberlragungsaufgaben / 23 S.

2729

04.95

Modularc kinematisehe Analyse ebener Gelenkgetriebe mil Dreli- und Scbubgelenken / 36 S.

2740, Blalt 2

04.02

Mechanische Einrichlungen in der AutomatisierungsiCijhnik; Fiibrungsgctricbc / 86 S.

2740, Blalt 3

05.99

Mechanische Einrichlungen in der Automatisierungslechnik; Geiricbe zur Erzeugung zdlweiliger Synchronbewegungen/35 S.

2741

02.04

Kurvengetriebe fiir Punkl- und Ebenenfuhrung / 82 S.

1-4 Hilfsmitlel

1.4.2

13

Arbeitsblatter (Kurzrichtlinien)

In einigen Zeitschriflen sind in loser Reihentblge Arbeitsblaner zur Analyse und Synthese von Getrieben zu finden, die von namhaften Autoren erarbeitet uorden sind, z.B. in den Zeitschriften „Masciiinenbautechnik" von 1963 bis 1991. „Konstruktion" und ,J3er Konstrukteur".

1.4.3

Getriebetechniksoftware

Wegen der in der Gelriebetechnik oftmals erforderlichen umfangreichen Fomieln und Algorilhnien bietet sich der Einsatz von Rechnerprograminen zur Entlastiing des Anwenders bei der Analyse und Synthese von Getrieben an. Mit der einfachen Vertiigbarkeil von Speicherkapazilal und deni Vorhandensein leistungstahiger Prozessoren geniigl heulzutage fur die meisten Anwendungen schon ein Standard-PC, urn die verschiedencn goiricbcteohnischen Aiifgabonsteliungen soRwaregcslulzi in Angrifi" nehmcn zu konnen. in der htuligcn Zeil slt-'ht cint Fillic von unlLTscbicdlichen SoRwarciosungen fur getriebetechnische Probleme zur Vertilgung. Eine Verweisiiste auf aktuelle Softwareanwendungen aus Forschung und Praxis findel sich unter

http: //www, i gm. rwth-aac hen.de/index.php?id-getriebetechnik5oft ware.

Getriebesystematik Dieses Kapitel eriautcrt zunachs! die wichligsten BegriiTe der Geiricbelehre und leitet so iibcr /.iir AufbaLilehro der Geiriobe oder Gclriebesyslcinatik mil Gliedeni und Gelenkeii. Der Leser ienit die Unlcrschiede zwischen Ubeilragimgs- und Fiihrungsgclrieben einerseits und zwischen ebenen, sphiirischen und rauinlichen Getrieben andererseits kennen. Ausgehend voni Freiheitsgrad f einzelner Gelenke wird der Getriebefreiheitsgrad oder -laufgrad als Abzahlformel g

F = b(n^l)-£(b-r;) i=l

hergeleitel und an zahlreichen Beispielen erlaiitert. Da sich jedes Getriebe mil festgeleglem Gestellglied, An- und Abtriebsglied{ern) auf eine kinematische Kette zuriickfiihren lasst, werden die wesenllichen kinemalischen Kelten vorgestellt, aus denen sich zwanglaufige ebene und rauniliche Getriebe init F - 1 entwickeln lassen.

2.1

Grundbegriffe

Die Defmition eines Gefriebcs lautet [6]: Kin Getriebe ist eine mechanische Kinrichtung zum Ubertragen (Wandein oder Umformen) von Bewegungen und Kraften oder zum Fiihreii von I'unkten eines Korpers auf bestimmten Balinen. Es bestelit aus beweglich miteinander verbundenen Teilen (Gliedern), wobei deren gegenseitige Bewegungsmoglichkeiten durch die An der Verbindung (Gelenke) beslimmf sind. Ein Glied ist stels Bezugskorper (Gestell). die Mindestanzahl der Glieder und Gelenke betragt jeweils drei. Nach dieser Definition gibt es Getriebe zum Obertragen von Bewegungen bzw. Leistungen - sie werden Ubertragungsgetriebe genarmt - und Getriebe zum Fuliren von Gliedern oder Korpem, die Fiihningsgetrkbe Iieil3en. Im Ruckblick auf das Kapitel

2.1 Grundbegiiffe

15

zuvor haiidelt es sich bei den Gelrieben der Bilder 1.2, 1.3, 1.7 uiid 1.9 um Ubertragungsgetriebe, bei den Getrieben der Bilder 1.4 bis 1.6, 1.8, 1.10 und 1.11 um Fiihrungsgelriebe.

2.1.1

Ubertragungsgetriebe

In Ubertragungs- oder auch Funktionsgetrieben erfolgt die BewegungsClbenragung nach einer Ubeitragungsfunktion {auch Getriebefunktion) und zwar ohne oder mil einer Anderung der Rewegungsfomi {z,B, Drehen. Schicben. Schrauben). Die Bewegungs- oder Abtriebsl'unktion q des Gelriebes setzt sich aus der zeitabhangigen Antriebsfuiiktion p(t) und der Ubertragungsfunktion q(p) zusammen: q(t) = q [p{t)], Tafel2.1. Entsprechend der Ableitungsstufe gibt es mehrere Ubertragungsflinktionen (UF): ti = q[p(0] -^ UFO. Ordnung (UFO) q(p)

(2.1)

Die Antriebsftinktion p(t) ist vorgegeben. Einmaiigcs Differenzieren nach der Zeit t iicfert die Abtriebsgeschwindigkeit: dq

dq dp

dt

dp dt

q =—'- = —i--!-

= q'.p

*^

-> O F l.Ordnuns (UF l) q' = ^ - ' ' dp

(2.2)

Entsprechend erhalt man fur die Abtriebsbeschleunigimg;

q=4-r=i"p'+^'p ^

UF 2, Ordnung ( O F 2) q" = ^ dp-

(2,3)

Fur die gleichmaJJig ubersetzenden G-Gelriebe gilt: q = K • p(t), K - konst. ^

(reziprokes Obersetzungsverhaltnis)

l = A = i = K = q' = i p p p 1

(2.4)

2 Cetriebesysternal ik

16 Tafel 2,1 Einlellung der Uberliagiiiigsgetriebe (Periodendauer T) [2.1 G - Getriebe

U - Getriebe

Uberselzungsverhallnis i - konst.

Ubersetzungsverhaltnis i * konst.

Beispiel: Reibradgetriebe

Beispiel: Scbubkurbclgctricbe

Ubertragungsverhalten

1

Zeit

-r^

Winkel Weg q

Winkel Weg

y

' ^ ^ •

Zeitt

— ^ ( T)

Bewegungsfunktion q = q[p(t)l Antriebsfunktion P = P(t)

Getriebeftinktion q = q(p)

Winkel Weg

2.1 Grundbegiiffe

2.1.2

17

Fuhrungsgetriebe

Fiihmngsgetriebe sind Getriebe, bei denen ein Glied so gcfulirt wird, dass es bestinimle Lagen einnimmt bzw. dass Piinkte des Glicdes bcslimmtc Bahncn (Fiihrungsbahnen) bcschreibcn. Die biiwcglichcn Glicdcr cincs Fuhrungsgctncbi:s wtrdcn (iiilsprrcbtiid ihrer Kuiiktion als fiihrende odcr gefiihrte Getriebeglieder bezeiclinet, d.h. die Begriffe An- und Abtriebsglied werden nicht benutzt, auch nichl der Begriff Uberlraguiigsflinklion. Die Einleitung einer Bewegung kann meist an beiiebiger Stelle erfolgen. Man unterscbeidet drei Arten von Fuhrung: a) Eindimensionale Fiihrimg = Positionierung eines Gliedpunktes auf vorgeschriebener Bahnkurve; in der Ebene: fl[x,y) = 0 b) Zweidimensionale Fuhrung = Positionierung und Orientierung in der Ebene: Fiihren zweier Gliedpunkte auf vorgeschriebenen Bahnkurven; in der Ebene ist damit die Lage des Getriebeglieds vollstandig deflnierl. c) Dreidimensionale Fuhrung = Positionierung und Orientierung im Raum: Fiihren dreier GHedpunkte auf vorgeschriebenen Bahnkurven f(x,y,z) = 0

2.1.3

Lage der Drehachsen

Die Beirachlung der Bahnkurven leitet iiber zu eineni Ordnungsmerkmal aller Getriebe anhand der Lage (Raumanordnung) der Drehachsen in den Gelenkon.

Hiiiweis 1:

Fur ein Schubgelenk licgl die zugeordnete Drehachse im Unendlichen mit dem Kreuzungswinkel 90" zur Schubrichtung (Bewegungsachse).

a) Ebene Getriebe (Bild 2.1): — Alle Drehachsen sind parallel, — die Bewegungsbahnen von Gliedpunkten liegen in parallelen Ebenen. b) SphSrische Getriebe (Bild 2.2): — Alle Drehachsen schneiden sich in eineni Punkt, — die Bewegungsbahnen von Gliedpunkten liegen auf konzentrischen Kugelschalen.

2 Cetriebesysternal ik

18

Bild 2.1

Bild 2.2 Spharisches Gelriebc (2 Kegelrader)

Ebenes Getriebe

c) Raumliche Getriebe (Bild 2.3): — Die Drehachsen kreuzen sich, d.h. es gibt zwischen ihnen einen Kreuzungsabstand und einen Kreuzungswinkel (s. Kapitei 8), -

die Bewegungsbahnen von Gliedpunkten liegen in nichtparallclen libenen oder auf allgemeinen raumlicheii Flachen.

Bild 2.3

Raumliches Getriebe [2.2]

Hinweis 2:

Bei rauinlichen Getrieben gibt es iin Allgemeinen motnentane Schraubachsen statt reine Drehachsen.

2.1 Grundbeaiiffe

19

d) Kombinierte Bauformen (Bilder 2.4, 2.5, 2.6): Neben den ebeneti, spharischen iind raumlichen Bauformen sind auch kombinierte Bauformen mftglich. Am hautigslen sind dabei solche kombinicrten Getriebe anzutrctTcn, bei denen mehrere gleiche ebene Teilgetriebe raumlich ziieinander angeordnet werden, wie z.B. der in Bild 2.4 dargeslellte Nabenabzieher, bei dem die Ilaken durch das aulJere Gewindc der Verstellspindel auf die GroGc des abzu^iehenden Teiles dngeslclll werden. Mil der innenliegeiideii Abzielispindel werden die Haken zum Abziehen in Langsrichlung verschoben. Wie im vorliegenden Fall konnen mitunter aiis einem solchen komplexen raumlichen Getriebe Baugruppen hcrausgcgriftcn werden, die fiir sich ein ebenes Getriebe darstellen. Wenn man zmn Bcispiel bei der Schraubbewegimg der Verstellspindel niir die LSngsbewegung relativ zur auBeren Mutter betraclitet, kann jeder Haken mit seinen Fiihrungsgliedem als ein ebenes Getriebe mit drei Drehgelenken und einem Schubgelenk angesehen werden, wobei die SuDere Mutter das Gesiell ist.

Bild 2.4

Nabenabzieher Auf ahnliche Weise ist das in Bild 2.5 gezeigte Getriebe zum Offnen und SchlieBen eines Aulomalik-Regcnschirms dureh raumlich-symmetriscbe Anordnung von gleicbartigen ebenen Getrieben entstanden.

Bild 2.5

Automat ik-Regenschirm

20

2 Cetriebesysternal ik

Nebeti der symnietrischen raumlichen Aiiordnung gleichartiger ebeiier Teilgetriebe ist jedoch aiich die allgemeine raumliche Kombination ebener Teilgetriebe anzutrelTen. Dies ist z.B. in dem in Bild 2.6 gezeigten Webladengetriebe zu sehen.

Bild 2.6 Webladengelriebe als Greiteramrieb in einer Webmaschitie

2.2

Aufbau der Getriebe

Bin Getriebe besteht definitionsgemal3 aus mehreren Getriebegliedern, die so mileiniindcr vcrbundcn sind, dass sic daucmd in gcgtnseitiger Berilhrung gchaltcn wL'rdcn und dabei relativ gegeneinander beweglich bleiben. Die bewcglicben Verbindungen werden als Gclenke bezeichnet. Urn also ein Getriebe in eine bestimmte Systemaiik cinzuordnen, isl es notwendig, einige GesetzmaSigkeiten und Definitionen von Gelenken und der Gliederanordnungen zu kennen. Daneben gibt es noch Ililfsglieder oder Getriebeorgane, die Sonderfijnktionen in einem Geiricbe erlullcn, z. B. Riemen, Kelten, Seile als Ziigmiilel, Fodem und Diiinpfer, AnscblSge und Ausgleichsmassen, Entfemt man diese Hilfsglieder, so fUllt lediglich die Sondertunktion aus, entfemt man ein Getriebeglied oder ein Gelenk, so wird das Getriebe im Allgemeinen funktionsunfahig.

2.2.1

Getriebeglieder

Die Getriebeglieder miissen eine ausreichende Widerstandsfahigkeit gegeniiber den auftretenden Kraften und Momenten aufweisen. Sie konnen dann als starr angeseiien werden.

2.2 Aufbau der Gelriebe

21

Die Getriebeglieder werden entsprechend ihrer Hunktion bezeichnet; folgende Beiiennungen sind iiblich [6]: Das feste d i e d oder Bezugsglied eines Oetriebes heiUt Gestell; mit ihm wird das ebcnenfeste oder raumfeste Bezugskoordinatensystem x-y bzw. x-y-z verbunden. Die beweglicheii Glieder eines Obertragungsgetriebes heiBeii Antriebsglieder, Abtriebsglieder und Ubertragungsglieder; dagegen neniit man die beweglichen Glieder eines Fiihrungsgetriebes Fiihrungsglieder. wobei noch zwischen fuhrenden und gefuhrten Getriebegliedern unterschieden wird. Koppelglieder oder Koppeln verbinden sowohl bei Uboriragungs- als aiich bei Fiihrungsgclrieben bewegliche Glieder, ohne selbsl mit dem Gcslcil vorbundon zu sein. Die AnscliJussslellen fur Gelenke zu benaclibarten Gliedem heiBen Gelenkelentente. Man klassifiziert die Glieder daher sehr oft nach der Anzahl der Gelenkelemente, Tafel2.2. Die hier aufgeflihrteu Getriebeglieder sind stark vereinfacht dargestelll und dienen in dieser Fomi als Bausteine der kinematischen Kelten von Getrieben, s. Abschnitt 2.4.1. Tafei 2.2 Einieiliing der Getriebeglieder nach Gelenkelementen

c^

Eingelenkglied

Anzahl ni

o—o

Zweigelenk- oder binaresGlied

Anzahl m

A

Dreigelenk- oder tcrnarc[> Gllcd

Anzahl m

Viergelenk- oder quatcrnares Glied

Anzahl n4

n •

• •

•

* • •

2 Cetriebesysternal ik

22

2.2.2

Gelenke

Zu einem Gelenk gehSren stets zwei Gelenkelemenle als Elementenpaar, die zueinander passondc Fonnen haben mijsscn. IZine Ordnung der Gelenke kann nach verschiedencn Gcsichtspunkicn trtblgen, Tafcl 2.3. Tafel 2,3 Oidiuingdcr Gclcnkc |I0| Ordnendc Gcsiehlspunkte

BcLspicIc fiir Gek'nkbezeichnungL'n

1 Fi)mi der Relativbewegung der Gelenkelemenle

Drebgelenk, Schubgelenk, Schraubgelenk

2 Bcwegungsverhallen an der BeriihrslellL: GIdigelenk, Walz- oder Rollgelenk, der Gelenke lenieiite Gleitvvalz- oder Gleitrollgelenk Anzahl der moglicben relaliven Einzelbewegimgen (Gelenkfreiheitsgrad 0

Geienk mil f = 1, mil f = 2, usw.

4 Gegenseitige Lage der Drehachsen am Gelcnk

ebenes oder raumliches Geienk

5

Geienk mil Flachen-, Linien- oder Pmiklberiihrung do-r Gelenkelemenle

Beriihrungsarl der Gelenkelemenle

6 Art iind Paarung der Gelenkelemenle

Geienk mit KrafV oder Fonnpaarung der Gelenkelemenle

7 Slaiische Bcslimmtbeil, Grad der Uberbcslinimung

slalisch bestimmles oder slaliseh unbcstimmlcs (tibcrbcstimmlcs) Gclcnk

Nachstehend sind einige Eriaulerungen zu den sieben Gesichlspunkten genannt. 1) Bewegungsfonnen der FJeniente relativ zueinander sind beispielsweise: •

Drehen (D)

—> Drehgelenk

•

Schieben (S)

—> Schubgelenk

•

Schrauben (Sch)

-^

Schraubgelenk (Drehen und gesetzmaBJg iiberlagertes Schieben)

2) AuBerdem kann das Bewegungsverhallen an der Beriihrslelle der Gelenkelemenle beschrieben werden durch: •

Gleitcn

•

Walzen oder Rollen

•

Gleitwalzen (Schroten)

2.2 Aufbau der Gelriebe

23

3} iind 4) Die Definition des Gelenkfreiheitsgrads laiiiel [6]: Der Gelenlcfreiheilsgrad f ist die Anzahl der in einem Gelenic unabhangig voneinander mogliclieii Einzelbewegungen (Elementarbcwegungen) der beideii Gelenkelemente bzw. die Anzahl der vorhandenen Drehaciisen des Gelenks. Die durch das Gelenk verhinderten Einzelbewegungen heiUen llnfreiheiten; Hire Anzahl islii. Es gilt mit b aJs Bewegungsgrad f+u = b.

(2.5)

Fur ebene Gelenke ist der Bewegungsgrad b = 3 und 1 < f < 2, fur raumliche Gelenke b = 6und 1 < f < 5 . 5) Die Art der Beruhrung der Gelenkelemente kann erfolgen in: •

FlSchen

—> niedere Elementenpaare (NF.P)

•

Linien

—> hohere Elementenpaare (HEP)

•

Punkten

—> hohere Elementenpaare (HEP)

6) Die Art der Paaning der Gelenkelemcnic kann formschliissig, kraftschliissig odcr stoffschliissig scin.

7) Ein Gelenk fiir den gewiinschten Freiheitsgrad f ist statisch uberbestimmt, wenn sich ng Gelenkelemenle an mehr als einer Stelle beriihren und somil k Teilgelenke bilden, deren Siimme der Unfreiheilen groBer ist als die theorelisch nolvvendige Unfreilicii u des Gelenks. Der Grad der Ubcrbeslimmtheii isi u = £ ( u J - u = f-b(ng-l-k)-X(fi)-

(2.6)

Die Herstellung statisch iiberbestimmter Gelenke erfolgl aus Griinden der Spielfreiheit und verlangt hochste Fertigungsgenauigkeit, um ein Klemmen zu vermeiden.

Tafel 2.4 zeigl einige haiifig auftretende Grundfonnen von Gelenken in raumlichen und ebenen Getrieben.

24 Tafel 2.4 Grundformen von Gelenken [2.3]

2 Cetriebesysternal ik

2.3 Celriebefreilieitsgrad (Laufgrad)

2.3

25

Getriebefreiheitsgrad (Laufgrad)

Die Definition des Cetriebefreiheitsgrads lautet [10]:

Dcr Getrtebefreiheitsgrad F slimmt mil der Anzahl rclaiiver Bewcguiigen iibcrcin, die verhinden werden milssten, um alle Glieder des Getriebes bewegungsunfdhig zu machen. Er bestimml im Allgenieinen die Anzahl der Getriebeglieder, die in einem Getriebe unabliangig voneiiiander angetrieben werden koiinen.

Der Getriebefreiheitsgrad oder auch Laufgrad F isl im Allgemeitien nicht abliangig von — den Abmessungen der Getriebeglieder, — der Funlition der Getriebeglieder, — der Art der Gelenke, sondem ist eine Funktion von der — Anzahl n der Glieder, dabei gilt (s. Tafel 2.2) 11 = I k ) ,

(2.7)

i

— Anzahl g der Gelenke, — Anzahl f] der Freiheiten des i-ten Gelenks, und abh3ngig von der Oetriebestruktur, s. Abschnilt 2,4, Friiher nanntc man niir Getriebe vom Freiheitsgrad F - I zwanglSiitlg; hcule spricht man ebcnfalls von Zwanglauf, wcnn entsprechcnd dem Freiheitsgrad F des Getriebes F Amriebsfunkiionen p(t) defmiert sind, so dass sich die Lage eines Getriebegliedes eindeutig ermitteln lasst. Das Viergelenkgetriebe (kurz: Gclenkviereck) in Bild 2.7 hal den Getriebeft-eihcitsgrad F= 1, denn es gcniigt ein AntriebsgHed (hicr: Glied 2 mil dcr Antriebsl'unklion »p(t)), um die Bewegungen aller Glieder zwangliiuflg zu gestalten, Behindert man eine relative Bewegung zwischen zwei Gliedern, z.B. durch Blockade des Drehgelenks 23 zwischen den Gliedern 2 und 3, so wird das Getriebe unbeweglich (F = 0), Zwanglauf heiUt hier also, dass die Abtriebsbewegung des Gliedes4 gegenuber dem Gestell I berechenbar isl: \\i = \\i [(p(l)].

2 Cetriebesysternal ik

26 a)

V (1)

Vier- (a) iind FQnfgelenkgetriebe (b) mit F = I bzw. F = 2 Das Fiinfgelenkgetriebe (kurz: Gelenktiinfeck) in Bild 2.7 hat F = 2; es ist bei einem Antrieb nicht zwanglaufig. Um z.B. die Lage des Gelriebegliedes 4 gegeniiber dem Geslell I eindeutig festzulegen, mussen sowoiii die Aiitriebsfunktion (p2(t) des Glieds 2 als auch die Antriebsflinklioii ip, (t) des Glieds 5 vorgegeben werden. In einem Getriebe als Gliedergruppe mit insgesamt n Gliedem kann jedes einzelne Getriebeglicd b Einzelbewegungeii ausPuhren, sofem es nicht mit anderen Gliedem gelenkig verbunden, sondem in einem Gedankenmodell frei beweglich Isl. Da das Gestell sich nicht bewegl, bleiben alien n-I beweglichcn Gliedem insgesaml b (n-l) Einzelbcwcgmigcn odcr Frciheiten. Das Verbinden der Glieder durch Gelenke schrankt die Anzahl der Einzelbewegungen ein. Die Anzahl der eingeschrankten Einzelbewegungen oder Unfreiheiten u, errechnet sichausGI. (2.5) zu i i i = b - f i , i = l,2,...,g.

(2.8)

Aufsummiert tiber alle Gelenke ergibt sich

i{uj=2:(b-i^). i=l

(2.9)

i=l

Im Umkchrschluss isl der Gctricbefrciheitsgrad gleich der Anzahl der verbleibenden nicht cingcschrankicn Freihciien, also F = b(n-l)-X(u,)=b(n-l)-X(b-i-: i=l

i=l

(2.10)

2.3 Celriebefreilieitsgrad (Laufgrad)

27

Die vorstehende Gleichung heiRt Zwanglaufgleichung. h'ur rSumlichc Getriebc mil b = 6 wird daraus E

F = 6(n-])-6g + |;(fi)

(2.11)

E

und fur ebene und sphiirische Getricbe mil b = 3 gill F=Xii-l)-3g+X{fi)=3(n-l)-2g,-g,.

(2.12)

Hierbei ist gi die Anzahi der Gelenke mil f= 1 und g2 die Aiizahl der Gelenke mil f = 2.

Beispide zur Bestimmung von F Mil EP isl das Etetnenlcnpaar ais Gelenk bezeiclinet; es wird durcliweg Gl. (2.10) verwendct. a) Ebenes Viergelenkgetriebe

n=4 g=4 b=3 EP

12

23

F =3-(4-l)-4-2 = l • Das ebene Viergelenkgelriebe isl bej einem Antrieb zwanglaufig.

2 Cetriebesysternal ik

28

b) Ebenes Fiinfgelenkgetriebe

b=3 EP

12

23

34

45

15

"^i

2

2

2

2

2 F = 3. 5 - 1 - 5 - 2 = 2

^ Zwei Antriebe sind notwendig. c) Ebenes Kurvengetriebe n=3 g =3 b=3

EP

12

23

2

1

13 2 F= 3-(3-l)-2-l-2 =l

Das Elementenpaar 23 hat zwei Freiheiten (Gieiten und Rolleii = Gleitwalzen). Die Zwanglaufgleichung ist eine reitie Abzahlformel bezugjich ri, g und f, sie beriicksichtigt keine struktureJIeti Besotiderheiten, wie sie z.B. bei ubergeschlossenen Getrieben dutch sog. passive Bindungen vorhatiden sind, so dass diese Getiiebe einen hohereti Fieiheitsgrad aufweisen als er sich lechnerisch ergibt. Auch bei Gelriebeti mil tnehr als einem Schubgelenk gibl es Einschratikungen liir den Anwendungsbereich der Gin. (2.10) bis (2.12) [10]. Der rechnerische Nachweis des Getriebelreiheilsgrads ist deswegen nicht als hinreichend anzusehen. Passive Bindungen treten auf bei •

besonderen Lagen von Oelenkdrehachsen,

•

iibertliissigen Starrheitsbedingungen,

•

besonderen Gliedabmessungen

und sind nicht iinmer leicht identifizierbar.

2.3 Celriebefreilieitsgrad (Laufgrad)

29

WShrend passive Bindungen den Getriebefreilieitsgrad erhohen, verringem ihn sog. ideiitische Freiheiten f.j. Identische Freilieiten sind mogliche Einzelbewegungen von Gelriebegliedem oder Getriebeorganen, die eingeleitet werden konnen, ohne dass das Getriebe als Ganzes bewegt werden muss. Die G!eichung(2.10} lasst sich damit auf einfache Weise um zwei Summenausdrucke erweiterii: (2.13) i-1

i

J

Beispiele fur Getriebe mit passiven Bindungen: d) Reibradgetriebe mit Walz- oder Rollgelenit 23 (f = 1)

EP

12 2

23 2

13

2

F = 3-{3-l)-3-2+l = l

Der Achsabstand d = r2 + TJ ist exakt einzuhalten, d.h. s = I. FUr eine auch denkbare Zahnradpaamng im Gelenk 23 gibt es zwei MOglicbkeiten: I. Ein Beriihrpunkt als NormaJfall, f = 2 (Gleitwalzen), s = 0;

EP 2

23 1

13 2

F= 3-(3-l)-2.2-l

2 Cetriebesysternal ik

30

II. zwei Beriilirpuiikte mit den zugeordneten Nonnalen ii; und m sowie Tangenten t| und t:, nur Drehung urn den sog. Momentanpol P23 als Sciiiiiltpunkt der Nonnalen moglich, f = I, Walzen oder Rollen n2

2

EP

12

Ui

2

13

23 2

F = 3-(3-l)-3-2 + l = I Der Achsabstand d (nichi gezeichnet) der beiden Zahnrader ist exakt einzuhalten, sonst exislieren keine zwei Beriihrpimkle, d.h. s = i. c) Dieigliedriges Keilgetriebe

EP

12

23

Stets ist die Bedingung a = y + P einzuhalten, d.h. s = 1. F = 3.(3-11-3.2+1 = 1 f) Ubergeschlossenes Parallelkurbeigefriebe EP "i 45

12 2

23 2

34 2

14 2

25 2

Glied 3 muss ebenso lang sein wie Giied5 (oder GliedD.d.h. s = l. F = 3-(5-l)-6-2+l = l

///////.

45 2

2.4 Struklursyslematik

31

g) Ebenes Viergelenkgetriebe, raumlich betrachtet EP

23

14

Die Achsen der Gelenke 23, 34, 14 mussen jeweils parallel zii der Achse des Gelenkes 12 sein, d.h. s = 3. 4

F = 6.(4-l)-4.5 +3 = 1

Beispiel fiir ein Getriebe mit identischem Freiheitsgrad: h) Ebenes Kurvengetiiebe mit Abtastrolle EP

12

34

14

1 Die Abtastrolle 3 ist drehbar, ohne dass das Kurvenglied 2 bewegt werden muss, d.h.fij=l.

F = 3.(4-l)-(3.2 + l)-l = l

2.4

Struktursystematik

Die Strukturinerkmale eines Getriebes sind die Anzahl der Getriebeglieder, die Anzahl der Gelenke, die Art der Gelenke, die Gelenkfreiheiten, die Anzahl der Gelenkelemente an den einzelnen Getriebegliedem iind die gegenseitige Anordnung der Getriebeglieder und Gelenke. Aus den Strukturinerkiiialen baut sich die Grundform eines Getriebes auf, die kinemaHsche Kette, die im Wesentlichen die Funktion eines Getriebes darstellt, ohne konstniktive Einschrankungen zu beriJcksichtigen.

2 Cetriebesysternal ik

32

2.4.1

Kinematische Ketten

Dennition |IOj: Die kinematische Kette isl das vereinfachte Struktumiodell eines Getriebes. Es zeigt, wie viele Glieder iind Gelenke ein Getriebe besitzt, weiche Getriebeglieder miteinander verbunden sind und welclie Gelenklreibeilen auftreten. Die Angabe geometrisch-kinematischer Abinessiingen imd der Gelenkarl isl bier iiniiblich. Mit der kinematischeii Kette hat man sovvohl eine wichtige Gmndlage fiir die systematische Untersuchuiig von Getriebeii als auch einen Ausgangspunkt fiir die pianmaBige Ge trie bee ntwicklung geschaffen. Aus der kinemalischen Kette wird ein Mechanismus, wenn ein Ghed als Gestell festgelegt ist. Aus dem Mechanismus wird ein Getriebe, in dem weilerhin ein oder mehrere Glieder je nach Freiheitsgrad als Antriebsglieder und Ablriebsgiieder, liibrcnde oder gefiihrte Glieder bestimmt werden. Erst durch diese Festlegimg entsteben also Mechanismcn bzw. Getriebe. Es ist ofTensichllicb, dass aus einer Kette viele verschiedene Getriebe entwiekelt werden kSnnen. Es gibt ebene imd raumliche kinematische Ketten fiir ebene und raumliche Getriebe. In raumlichen kinemalischen Kcllcn konncn ebene und raumliche Gelenke - letziere mit einem Gelenkfreiheiisgrad \'> 2 - vorkommen bzw. gekennzeichnei sein. Man unterscheidet zwischen geschlossenen imd offenen kinematischen Ketten und deren Kombinationen (Hybridstrukturen), Bild 2.8. b)

f=l

f=2

f = I

r= I

Bild 2.8 Kinematische Ketten;

a) ebcnc, b) raumliche, c) (ebene) geschlossene, d) (ebene) offene, e) (ebene) geschlossen-offene kinematische Ketie

2.4 Struklursyslematik

33

In kinematischen Ketten treten also gelenkig verbundene binare, temare, quateniare Tjsw. Getriebeglieder aiif; alle Gelenke sind symbolisch durch kleine Kreise dargeslellt. Hinweis:

Die Relativbewegung der Glieder von zwangliiufigen gescblossenen kinematischen Ketten ist identisch init der Relativbewegung der aus diesen Ketten entwickelten Mechanismen oder Getriebe.

In kinematisclien Ketten konnen auch Glieder mit Mehrfachgeleiiken auftreten. Ein Mehrfachgelenk entsteht, wenn an einem Glied der Abstand zwischen zwei oder mehreren Gelenkelementen zii null wird, Biid 2.9.

Bild 2.9 Enistehiing eines MehrfQchgelenks, hier: Doppeldrehgelenk a)

b)

6Bild 2.10

-6

^1

Vier- unci rLinfgliedrige kinematische Ketten a) bzw. b) Die einfachste ebene kinematische Kette besteht aus drei Gliedern entsprechend Bild 2.8a. Daraus entsteht durch Auflosung des Gelenks mil f = 2 in zwei mit Jeweiis f= I das in Bild 2.10a skizzierte Gelenkviereck mil vier NEP (Dreh- oder Schubgelenke), aus dem sich bereils eine Vielzahl von Getrieben entwickeln lasst, s. Abschnilt 2.4.2.1. Alle dicse Getriebe habcn den Laulgrad F = I. Die hinsichtlich der Gliederan/ahl nachslhohcrc Gmppc lur Gciricbc mil dcm Laulgrad F = ! sind die secbsgliedrigen kinematischen Ketten, von denen es nur zwei Grundfomien gibt: die WATTsche Kette (I) und die STEPHENSONsche Kette {11). Tafel 2.5. Nach Einfuhrung von Doppelgelenken entstehen hieraus abgeleitete Ketten III und IV.

2 Cetriebesysternal ik

34

Die Gruppe der achtgliedrigen kineniatischen Ketteii bietet eine noch grolJere Vielfalt, insbesondere wenn man (niciit gezeichnet) Doppel- und Dreifachgelenke mil eiiibezieht, Tafel 2.6. Geht man zu den kinematischen Ketteii fiir Gelriebe mil dem Laufgrad F = 2 (2 Antriebe) iiber, so bildet das in Bild 2.10b abgebildete Gelenkfiinfeck die Grundform der einfachsten kinematischen Kette dieser Art. Die nachsthohere Gruppe sind die siebengliedrigen kinematischen Ketten, Tafel 2.7. Bei einigen dieser Ketten lassen sich Teilketten oder Teilpolygone mit dem partiellen Laufgrad F = I unterscheiden. Durch Gestellwechsel entstehen daraus die ableitbareii Gelriebe (Jetzte Spalte in Tafel 2.7), wobei symmetrisch bedingte Mehrfachlosimgen nur einfach zu zahlen sind. Neun Grundfonnen fiihren auf 34 verschiedene Gelriebe. Tafei 2.5 Sechsgliedrige kinemalische Kelten I bis IV und daraus abgeleitele Gelriebe I bis 10 mil dem Laufgrad F = I [2.4] 2-n3 = 6 4-n^ = 8 14

4-112 = 8

'6 1=3 2=4 5=1

6

~

2.4 Struklursyslematik

35

Tafel 2,6 Achtgliediige kinemalische Ketten fur Getriebe mil dem Laufgrad F = I [2.4] 2 6

Hj " 2

= =

8

s 12 20

1

114-

4

2

113 =

6

5

"2

8

=

10 20

2 Cetriebesysternal ik

36 Tafel 2.7 Siebengliedrige kinemaiiselie Ketlen I bis IX [2.4] Arlder Gelenke

TeilkL'llcii mil 1 - 1

Kenc

/iih] J ublCLi-

harcn Ciclricbt

1 -2-3-4

-2-3-4

EinfachGelenke •2-3-4 •5-6-7

IV

3 -

V

VI

- 5 (4 ^ ~ ^ , 6

1 DoppelGelenk

-2-3-4

•2-3-4 •5-6-7

VII

7?

VIII

I -2-3-4 I -5-6-7

2 DoppelGelenke IX

2-3-4-5

34

2.4 Struklursyslematik

2.4.2

37

Ebene Getriebe

2.4.2.1 Getriebe der Vieigelenkkette Die auK dcm Gelenkviereck ablcitbaren Getriebe beiBcn Viergelenkgetriebe iind sind die am hautlgslcn angewendeien U-Gelriebe im Maschinen- und Vorrichlungsbau. Aus der viergliedrigen kinematischen Kene entstehen, wenn unterschiedliche Gclenktypen eingesetzt werden, versdiiedene Viergelenkketten. Es gibt generell bei ebenen Getrieben drei Gelenktypen: Dreligelenk, Schubgelenk und Kurvengelenk. Fiigt man in die viergliedrige kinematische Kette systemalisch alle diese Gelenktypen ein, so erhalt man z.B. iblgende Viergelenkketten: Drehgelenkkette (Bild2.11), Schiibkurbelkette (Bild 2.12). Kreuzschubkurbel-und Schubschleifenkette.

Biltl2.11 Viergliedrige Drehgelenkkette mil Abmessiingeii a, b, c, d

Aus der viergliedrigen Drebgelenkkette enlsteht beispielsweise durcb Festlegen des Glieds 1 und Zuweisen der Lange d (Gestelllange) ein viergliedriges Drehgelenkgetriebe (Viergelenkgetriebe). Das Aussehen der Uberlragungsfimktion dieses Viergelenkgetriebcs, bzw. die Fonn der Fiih rungs be wegung, isl dann durch die Langenverhailnissc a/d, b/d, c/d der Getriebcglieder zueinander bestimmt. Damit ist die Ubertragungsfunktion und die Fiihrungsbewegung von der Geometric des Viergelenkgetriebes abhangig. Die verschicdcncn Bcwegungsmoglicbkcilen des Viergelenkgetriebes werden untersehieden nach den Bcwogungcn, die dem Gcstell benachbarte Gctriebeglicder ausfuhren: Man unterscheidet umlaufende Glieder (Kurbein) von zwischen zwei Grenzlagen schwingenden Gliedem, die a!s Schwingen bezeichnet werden. Die ubrigen Glieder heiUen im Allgemeinen Koppelglieder (Koppeln).

2 Cetriebesysternal ik

38

+ 14"

Bild 2.12

Viergliediigc Scliubkurbelkette

Nun sind beim viergliedrigen Drehgelenkgetriebe drei verschiedene Falle moglich (a, b, c beziehen sichauf Bild2.1l): 1. d i e d a oder c lauft uni —> Kurbelscliwingen, Imju^a bzw. c 2. Glieder aundc laufen um -> Doppelkurbein, ln,i„=d 3. Glieder a und c nicht umlauffahig, b umlauffahig —> umlauffahige Doppelschwingen, , = b Welcher Typ von Viergcienkgetriebe ini Einzelnen vorliegt, kann iiiit dem nachfolgendeii Salz und der Keniitnis, welches Glied Gestell ist, unterschieden werden [2.5].

SatzvonGRASHOF: Ein Viergelenkgetriebe hat mindestens ein umlauirahiges Ghed, wenn I m n ^ 'mux ^ '

^ 1

(2.14)

gih, dabei sind ln,i„ und l^ax die Langen des kiirzesten bzw. langsten Getriebeglieds und 1', 1" die Langen der iwei restlichen Glieder.

Bei einem Viergelenkgetriebe ist kein Glied umlauffahig, wenn l n ™ + U > l ' + l"

(2.15)

gilt. Solche Viergelenkgetriebe werden als Totalschwingen bezeichnet. Mit

u „ + U = r + r'

(2.16)

sind durchschlagende Gefriebe mit sog. Verzweiguiigslagen gekennzeichnet. bei denen in mindestens einer Stellung alle Glieder und Gelenke auf einer Geraden liegen, z.B. beim Parallelkurbelgetriebe nach Bild 2.13. In einer Verzweigungslage kann das Parallelkurbelgetriebe zum Antiparallel- bzw. Zwillingskurbelgetriebe durchschlaeen.

2.4 Struklursyslematik

39 A

b=d

_,

^ B

Bild 2.13

Paralleikuibelgetriebe mit den beiden geslriclidt gezeichneteii Verzweigungslagen auf der Gestellgeraden Anhaiid der Tafel 2.8 lasst sich entscheiden, weicher Typ eines viergliedrigen Drehgelenkgetriebes bei gegebenen Abtnessungen und nach Wahl des Geslellgliedes vorliegt. Einige dieser Viergelenkgetriebe sindin Tafel 2.9 zusammengestellt [10]. Aus der viergliedrigen Schubkurbelkelle mil Schubglied 4 nach Bild 2.12 isi zunachsl einmal das bckannlc Schubkurbelgetriebe (Schubkurbcl) ablcitbar, sofcm Giicd I /.um Gesleil erkian wird, Biid 2.14.

Bild 2.14

ScinibkurbelgelriebemitBezeichnungeii

Das Schubkurbelgetriebe mit Sehubgelcnk enlsieht aus dem Viergelenkgetriebe mil Drehgelenken, wenn der Punkt BD ins Um;ndliche riiekl (Drehaehse 14 iin Uncndlichcn). Femer lassen sich zwei Arten von Versetzungen (ExzentrizMten) unterscheiden: - kinematische Exzentrizitiit ei.= e, - statische Exzentrizitat e,.

Nur die kinematische Rx;?cntrizitat beeinflusst die Obertragungsfunktioncn, Bcidc Ex* zentrizitaten siiid vorztichcnbehaftet.

2 Cetriebesysternal ik

40 Tafel2.8

Programmablaufplan zur Bestimmung von viergliedrigen Drehgelenkgelrieben (j = ja, n = nein)

(

S1>2I„„„

Ti

V ^

Kincmalischc Kcttc nichl schtiel^bar

3

Ipiin"^ inii>L"^ J

T

C C

Doppelkurbel

I = CJesKll

T

Doppelschwinge (unilaullahig)

Iniin =Koppe]

Kiirbelschwingi'

iTtJl^lschvvingcl

miri

^

™, > r+ '"JV-i

-I *nii\>

Diirdischliigende Geli'iebe

T \

j f 2 (ilieder paflr- ^ \_^ weise gJeiclilang ^

C

n H

l.iL-gi:ii ^Icichliingc^ J

Para] lei kurbclgelriebe

Glcdchlaullgcs Avillingsk igskurbtflgflricbc

Gegenlluliges ZwilI ingskiirbelgclrlebe

i" ^ -I / ^

^ -

Kiirbcln inimoi

^

Diirclischlagciide Dn|ipelkiirbel

C

T li„ii, = Koppsl

>

Duri:hM:hkigoiidc D(ippi-'lsi:hivingi;

Diirchsch] agendo Kurbcl^cKwiiseo

{ V


>

Gk'ichscln^nkligc Doppelktirbcl

Gleichschenklige Kiirbclscbuvbige

2.4 Struklursyslematik

41

Tafel 2.9 Getriebe der viergliedrigen Drehgelenkkelle Vier^elenkkelte

lrtii+ Imaj*^ r + I " I mm''" lmax= l'+ I " I mm + Ima. >\'+ 1"

Funklion von Imin

iimlauiraliig durclischlagcnd iiiclil umlaufiahii;

Gecriebeschema Kurbelschwiuge

Zenlrische KurbeJschwinge

E>oppelkurbel

Doppelschwinjje

Ktirbel 2

--^^.^CTB

Ueslell I bz^v. Koppel 2

Parallel kurbelgetriebe

Gegenlauliges Zwillingskurbel^ecriebe

I Gleichschenklige Kurbelschwinge

Gltichlaufiges ZwiUingskiirbelgelriebe Qg

Gli:iLhii:hTf^ =arctan(y').

(3.51)

3.3 Krijmmung voii Balinkurven

85

Auch diese Beziehung lasst sicli nach der Koordinate x ableiten, so dass sich folgendes Differential ergibt: dr, dx

y"

(3.52)

Erweitert man nun Gl. (3.48) formal mif dx, so lassen sich die beiden Gin. (3.50) und (3.52) einsetzen und man erhalt folgende Gleicliungen dT,

dx.

dx d s .

bzw. (i+y-)^

p. =

(i+r=)^

(3.53a,b}

y

flir den Kriimmungsradius p^ als dem Kehrwerl der Kriimmung KA. Bei Getrieben werden die Kriimmungen der Bahnkurven untersucht, die die Punkle eines Gliedes bei ihrer Bewegung relativ zu einem anderen Glied beschreiben. Wenn, wie in Bild 3.21a, Cd der KruinmungsminelpunlJ ——---^ \ / P"

Polbahnianeente

Gangpoltialiii q ^ \

/ ^ AH/—1

^

Rin>lpolbahn p

-OB

Bild 3.22 1 ^^

1\

1

X

Pol ball ntange lite und -nor male (t,n-Systcm) tiir die Koppelebene 3 im Gelenkviereck AuABBu

Die Rastpolbahn p ist die Bahn, die dadurch auf der Rastebene (in Bild 3.22 die Gestellebene I) enislehl, indem die Lagen des Geschwindigkeitspoles iiir alle Slellimgen des Geiriebcs auf der Raslcbcnc cmiillcil wcrden. Analog stellt die Gangpolbahn q die Lagen des Geschwindigkeitspoles fiir alle Getriebestellungcn relativ zur bewegten Ebene dar (in Bild 3.22 die Koppelebene 3). Dies bedeutet, dass wiihrend der Bewegung des Getriebes die mil der bewegten Ebene fesl verbundene Gangpolbahn auf der Rastpolbahn abrollt. Enlsprechend isl die Tangente t die gemeinsame Tangente der Gangund Rastpolbahn im Geschwindigkeilspol. Bei der Definition des l,n-Systems entsprichl die positive Orientierung der t-Achse dem Richlungssinn der Polverlagerung. Damit hangt die Orientierung der t-Achse vom Drehrichtungssinn der Antriebsbewegung des betrachleten Getriebes ab. Der positive Richtungssinn der n-Achse ergibt sich, indem man die positiv orientierte Tangente um 90° entgegengesetzt zur Winkelgeschwindigkeit der allgemein bewegten Ebene (ro,| in Biid3.22)drehl.

3.3 Krijmmung voii Balinkurven

3.3.3

87

Gleichungvon EULER-SAVARY

In Bild 3.23 sind fur eineti allgemeinen Punkt A einer bewegten Ebene die beiden unendlich benacbbarten Lagen A[ und A^- mil dem ziigehorigen KriimmiLngsmiUL'lpunkt A(j sowie die beiden /ugelUirigen Geschwindigkeitspole P und P' dargeslelll.

Bild 3.23

DilTeienlielle Bezieliungen fur die KriJmniungsveLliiiltiiisse

Da es sich um imendlich bcnacJibarle Lagen handcll, muss die Tangenle t in Richlung von P nacli P" verlaufen. Weiterhin isl der Punkt P " gezeigt, der sich als LotfiiSpiinkl des Piinktes P aut'die Gerade durcli A„ und P' ergibl. Nacli dem Strahlensalz gilt nun

Mi PP"

= Ml^.

(3.54)

PA(,

Die in dieser Gleichung auftrelenden Strecken lassen sich auch uiiter Berucksichtigung infinitesimaler OroBen PP' = dp , dtp und dj; wie folgt ausdriicken: A|A, =PA-d(p ,

(3.55)

PP" = P P ' s i n ( p ^ - d x ) = d p s i n p ^ ,

(3.56)

A,Ao = PA„-PA, .

(3.57)

Damil ergibl sich 01. (3.54) zu PA dip dp'smp^

PA^-PA, PAg

PA^-PA PA,

(3.58)

3 Geomelrisch-kineinalische Analyse ebener Getriebe

83

Durch formales Erweiteni der rechten Seite dieser Gleichung mit dt erhall man d

(qi

(4-18)

^pi'ypi>''pi'ypi'^P2'yp2'^P2'yp2'^p:'yp:i '^^^ Winkels W (w,w,w) und die Lange I der Kurbel. AusgangsgrolJen sind alle kineinatischen GroKen des Punktes P (Xp,yp,Xp,yp,Xp,yp).

Der Abstaiid zwischen P, und P^ ist l'=.J(xp2-Xp|)'+(yp2-ypi)^ •

(4.40)

Fiir den Winkel a, den die Gerade PjPj mit der x-Achseeinscliliel3t, gilt sin a =

yi>:-ypi

J

Oder cos a =

Xp-i

Xr

(4.41)

118

4 Numerische Getriebeanalyse

Die Koordinaten des Punktes P iauteii: X J, = X |,j +1 • cos (a + w) = Xp, + l-(cosacos w - s i n a sin w) , I xpT ~ x p i

= Xpi +!•

yp'> ~ y p i

^- ^—!-^cos w -

(4.42) I

'^- ^ '^' sinwL

y? =ypi ••"i-si^a + w) = ypi +1-

' - / " cos w + ' - ^—!-!-sinvv .

Ausgeliend von Gl. (4.42) und (4.43) gilt flir die Geschwindigkeiten: Xp = Xpi - l - ( d +w)-sin{a + w), (4.44)

yp = ypi + l-(d +w)-cos(a + w ) . Die GroRen Xp,, yp,, w sind bekannt, d erhalt manausGl. (4.41): d. . , . (yp2-yp,)-i'-(yp2-yi.i}-i' —(smaj^a-coso.^-^^ '- j —, i,

(>:p2-xpi](xp:-xp|) + ( y p ; - y p i j ( y p ; - y p , ]

,^ , ^ , (4.45) (4.46)

fxp,-Xpj)-+(yp,-ypi)Los! man Gl. (4.45) nach d auf, ergibt sich: ^Jy,.:-yp,)_(y..-ypi),i: (Xp2

Xpi)

(Xpi

^,,,j

Xpi) 1

Einselzcn von Gl. (4.47) in Gl, (4,44) und Anvvenden dcr Addilionstheoreme lietcrt die gewiinschten Gleichungen fur die Geschwindigkeiten. Zur trmittlung der Beschleunigungen leilel man Gl. (4.44) ein zweites Mai nach dcr Zeit ah. Als neue Unbekannle erscheint d , die durch Ableilen von Gl. (4.47) bestimmt wird.

4.3 Gbungsaufgaben

4.3

119

iJbungsaufgaben

Aufgabe4.1: Das dargestellte gleichschenklige Viergelenkgetriebe dient zur Umsetzung eiiier umlaufenden Dreh- in eine Schwingbewegung. Mil Hilfe der Iterationsmethode soil das Getriebe analysierl werden. Der Antrieb erfolgt an Glied 2, Abtrieb ist Glied 4.

2 = A|,A = 50 mm Ij = AB = 100 mm

a = 100 mm b = 10 mm

4=B(,B = 100 mm

a) Welche Variablen benotigen Sie? Weisen Sie den Variablen Startwerte zu. b) Wie viele Schleifengleichiingen werden bcnoligl? c) Geben Sie einen Satz Schleifengleichungen an. d) Stellen Sie die flir das NEWTON-RAPHSON-Verfahren bencitigte JACOBI-Matrix auf.

4 Numerische Getriebeanalyse

i20 Aufgabe4.2:

Das dargestellte Schubkurbelgetriebe dient zur Geradfiihrung z.B. voti Werkstiicketi auf dem Koppelpunkl C, Das Getriebe soil mil I Hlfc dcr Modulmelhode analysien werden. C

a) Der Antrieb erfolgl am d i e d 2 mil konstaiiter Wiiikelgeschwindigkdt (0: = const. l)Welche Variabien werden benotigt? 2)Stellen Sie die Modulaufruireihenfolge zur Berechnung dcr Koppclkurve des Punkles Cauf. b) Der Antrieb erfolgt am d i e d 4 (Schubglied). I) Deflnieren Sie alle Variabien. Ij^AjiA^ 100 mm 13= AB = 100 mm i; = AC = 100 mm

2)Stelleii Sie die Modulaufrufreihenfolge zur Berechnung der Koppelkurve des Punktes C auf.

4.3 Gbungsaufgaben

121

Aufgabe4.3: Das dargestellte sechsgliedrige tjetriebe setzt eine Dreh- in eine Schleifenbewegung um und kounte z.B. als Antricb ciiicr Kolbcnpumpc dicncn. Dcr Anlricb crfblgt am Glicd 2.

1. = A„A = 49.5 mm

a = 64 mm

!j = AH "

71 mm

b - 201) mm

!;-BC -

71 mm

c = 90 mm

Ij-iyj -

71 mm

V = 10 mm

I,-EF

- 400 mm

a) Geben Sie die fiir die Iterationsmethode beiiotigten Variablen an. b) Stellen Sie deii erforderlichen Satz Schleifengleichungen auf. c) Geben Sie die fur das NEWTON-RAPHSON-Verfahren benotigte JACOBI-Matrix an. d) Bestiinmen Sie die Modulaufrufreihenfolge ftr die Modulinethode zur Beslinimung des Sehiibweges s.

5

Kinetostatische Analyse ebener Getriebe

Dieses Kapitel gibt einen Uberblick iiber die gebrauchlichsten Verfahren iiir die Ermittlung von Kraficn in Gctricbcn und stcilt die dafiir nolvvcndigcn gmndlcgcndcn Gleichiiiigen zur Verfiiguiig, die allesamt auf Prinzipieii der (techiiischen) Mecliaiiik aufbauen. Man imtcrscheidct zwischen der statischen Analyse und dcr kinetostatischen Analyse von Getrieben, je nachdem, ob die Tragbeitswirliungen nacli dem d'ALEMBEIiTschen Prinzip ausgeklamnier! oder als eine besondere Gruppe von Kraflen beriicksichligt werden. Uin den Rahinen des Buches nicht zu sprengen, werden keine Bevvegungsdifferentiaigjeichungen gelost, sondem der Beschlennigungsznstand eines Getriebes als detenniniert, d.h. bekannl vorausgesetzt (2. WTTTENBAUERsche Gmndaulgabe). Nacli einer Detmition der in einem Gelriebe wirkenden Krafk werden das Gelcnkkraftverfahren, die synthetisclie Methode und das Prinzip der virtuellen Leistungen vorgestellt und eingehend anhand von Lehrbeispielen eriautert. Das Gelenkkraftvertaiiren ist dabei besonders anscliauiich und Jeicht nachvolJziehbar.

5,1

Einteilung der Krafte

Die Kraflebestimmung in Getrieben setzt die Kennlnis aller am Getriebe ais mechanischem Sysiem wirksamen Krafte und Momente (= Kral'lepaare) voraus. Dabei ist zwiscJien inneren, auReren und Tragheitskriiften zu unterscheiden. Bild 5.1a zeigt ein viergliedriges Getriebe, bestehend aus einem Verband starrer Scheiben, die mittels Fedom und von auBen angrcifenden Kratlen und Momenten gegeneinander verspannt sind. Wird der Scheibenverband an den Verbindungsstellen (z.B. Drehgelenke) aufgelrennt und werden die Fedem durch ihre wirksamen Federkrafte ersetzt, ist das Getriebe in einzelne Glicder zerlegl (Bild 5.1b), die fur sich jeweils im Krafteund Momentengleichgewicht sein miissen.

5.1 EinteilungderKrafte

123

Bild 5.1

a) Viergliedriges Geiriebe als Verband starrer Scheiben, b) mit freigeschnittenen Gliedern Wie schon erwahnt, lassen sich die nicht zu den Traglieitskraflen zahlenden Krafte in innere und auUere KrSfte unterteilen: •

Innere Krafte treten stets paarweise auf, erganzen sich zum Nullvektor und erlialten einen Doppclindex, z.B. -Gclenkkrilfte G;J = - G J | - Ffderkrafte F^.; - -F^,

Dabei gibt der erste index an, von welchem Getriebeglied die Kraft komml, und der zweite Index, an wekhcni Getriebeglied die Kraft wirkt. •

AuBere Krafte siud meist physikaJischen Ursprungs, d.li. vorgegebene, sog. eingepragte Krafte. Sie erhalfen einen Einfachindex, der angibi, an welcliem Getriebeglied die Kraft wirkt, z.B.

124

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe - Atitriebskrafte F;, - Ablriebsmomente (= Abtriebskraftepaare) M j , - Gewichtskrafte Gj,.

Die Unterteilung in „innere" Krafte und „auBere" Krafte hangt ab voni Systembegriff, d.h. von den belrachteten Systemgrenzen. Wir untersclieiden zwischen •

dnem einzelnen Gelriebeglied mit F = 3 in der Ebene,

•

einer Gruppe von Getriebegliedem, die flir sich (kineto-)statisch bestininit ist, d.h tiirdie F = 0 gilt und

•

dem Gesanitgetriebe mil F > 1.

5.1.1

Tragheitskrafte

Tragheitskrafte sind als kinelische Reaktion oder Ruckwirkung auf eine erzwungene Bewegung eines Getriebegliedes zu verstehen. Sie lassen sich aus den kinetisclien Grundgleichungen (Iinpiils- und Drallsatz) emiitteln. Tragheitskrafte sind abhangig von •

der Masse,

•

der Massenverteilung und

•

dem Bcschlcunigungszusiand

eines Getriebegliedes. Sie belasten zusatzlich jedes massebehaftete GHed und somit auch die Verbindungsgelenke zwischen den Gliedern. In Bild 5.2 sind die TrSgheitswirkungen eiuer in der x-y-F,bene besclileunigten Sctieibe mit dcni polaren Massen(ragheitsmonicnt (Drehmasse) J^ = r"dm um die z-Achse senkrechl zur x-y-£bene durch den Schwerpunkt S mit der Masse m dargestellt.

5.1 EinteilungderKrafte

125

m, h

M.|-= -J, a

(0, a

T = -m a -.4^

Bild 5.2

In der x-y-Ebene bewegle starre Seheibe Bei einer Winkelbeschleunigung der Seheibe d"(p

d(o

dt

^

dt-

und einer Linearbeschleunigung a^ = lH^, y J des Schwcrpiinkts lassen sicli die TrSgheitswirkungen nach dem d'ALEMBERTschen Prinzip als auBere Krafte/Mometile darstellen; namlich als - Tragheitskraft: T = —m-aj und als • DrehmoitierU infolge der TrSgheitswirkung (Massendrehmoment):

5.1.2

Gelenk- und Reibungskrafte

Die Gelenkkrafte zwischen den tietriebegliedem werden an den Beruhrstellen der Gelenkelemente iiberlragen. In Bild 5.3 sind drei verschiedene Baidhrmcn von Geienken dargcstellt; Kurvcngelenk, Drehgeienk, und Schubgelenk. Die am j-ien Element auftretende Gelenkkraft G ;^, aufgcbracht vom i-Kn Blemenl, lUsst sich ^erlegen in cine Normalkraft Njj und in eine Reibungskraft Ry. Die Normalkraft weist in Richlung der Beriihrungsnomialen n der beiden zugeordneten Giieder. Die Richtung der Reibungskraft ist durch die zugehorige Tangente I an der Beruhrstelle vorgegeben. Eine Verformung der Beriihrslelle soil vemachlassigt werden. Damit kann eine relative Bewegung

126

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

des Gliedes j gegeniiber dem Glied i mil der Geschwindigkeit Vji nur in Richtung dieser Tangente t statifinden. Es gilt G^=N^+R^

und |G^| = ^|Nij| +|R^| .

(5.1)

Mil Einfuhrung einer Reibungszahl f.in kann die Reibungskraft wie folgt fomiuliert werden: |Rij| = MR-|Nij|

(5.2)

Die Reibungskraft R,^ ist stets der Relativgeseliwindigkcit Vj| = Vji - Vj, entgegengerichtet. Aus Bild 5.3 ISsst sich ablesen: Rii

mit PK als Reibungswinkel. Fiir ^n - 0 (Vemachlassigung der Reibung) ist G^ = Njj. Bei Beruhrungen von zvvei Korpern gibt es nicht nur die Reibungskraft, sondern auc!i eine Haftkraft. Dieser Haftkraft ist - wie jin bei der Reibungskraft - eine Haftzahl fin zugeordnet. Es gilt (5.4)

MR < ^ I I -

Erst nach Oberwinden der Haftkraft kann eine Relativbewegung (Gleiten) eintreten. Dies bedeutet einen Sprung in den Krafteverhaltnissen (slip-stick-Effekte). Es werden verschiedene Arten von Reibungskraften unterschieden, die aile immer der Bewegung entgegenwirken. Allgemein lasst sich schreiben Rij^-Vji-lvjil"

;

(5.5)

dabei liegt mit •

p= 0

COULOMBsche Reibung,

•

p= 1

NEWTONscbe Reibung und

• p = 2 Stromungsreibung vor. Der Proportionalitatsfaktor fur Gl. (5.5) liangt von den physikaJischen Bedingungen an der Beriihrstelle der Gelenkelemente ab. Bei einein Drehgelenk (Bild 5.3b) mit dem Zapfenradius r kommt im Fall der COULOMBschen Reibung ein weiterer BegrifT

5.1 EinteilungderKrafte

127

hinzu, der Reibungskreis mil dem Radius nj. Dieser Kreis wird von der Gelenkkraft Gji langien.

a)

b)

Nii

e) t

^'J-

" r .__.Xiji mWv.

'—~

Bild 5.3 Gclenkkrafte mil Rcibungsanteil

In

a) Kurvciigelcnk, b) Dreligelciik. cl Sciiubaeleiik

128

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

Es gilt: TR = r s i i i p R -

/ V

^"^ •

(5-6)

+ ^R'

Das am Drehgclenk auflretende Reibmoment hat die Gr613e MRji^r-Rji^rR-Gji-

(5.7)

Das Rcibmomcnl MRJJ ist stels der Reiativwinkelgeschwindigkeit QJJ = (0|,-Wji entgegengcrichtet.

5.2

Grundlagen der Kinetostatik

Es gibt zwei Hauptaufgaben der Kinetostatik; 1. Ermittlung der Beaiispruchung von Gliedern und Gelenken infolge der auReren Krafte, einschlieUlich der Tragheitskrafte, 2. Ermittlung der Leistungsbilanz etnes Getriebes als Gesamlsystem durch Gleichgewicht der aufcren Kratle, einschlieRlich der Tragheitskralte. Nacli dem d'ALEMBERTschen Prinzip sind die Tragheitswirkiingen erst zii ennittein, wenn die kinematischen GroBen bekannl sind; die kinematisclie Analyse steilt also die Vorstute der kinelostatischen Analyse dar. Zur Losung der beiden Hauptaufgaben gibt es verschiedene Methoden: 1. Gelenkkraftverfahren: cin iibcruiegend graphiscbes Verlabren mi! groBer Ansdiaulicbkcil; bicr/u gcborcn aucb das Kraft- und Scilcckvcrfahrcn. 2. Synthetische Methode: ein rechnerisches Verfabren nacb dem Schnittprinzip (Freischneiden der Geiriebeglieder); hierzu gehori der Aiitbau eines linearen GleJchungssyslems mit unbekannten Kraftkomponenten und Momcnlen. 3. Prinzip der virtuellen Leistungen: ein sowohl rechnerisches als aiich grapbisches Verfabren fur das Getriebe als Gesamtsyslem, bei dem Reibungseiniliisse global beIracblet werden konnen, um zu Abscbatzungen hinsichtlieh der Answirkiingen zu gelangcn fl9]. Das enlsprcchcnde graphisciie Verfabren ist aucb unter dem BegrifT „JOUKOWSKY-Hcbcl" bckannt.

5.2 Grundtagen der Kinelostatik

5.2.1

129

Gelenkkraftverfahren

Das Gelenkkraftverfahren ISsst sich auf die Losung der Elemeiitar-Gieicligewichtsaufgabe Tiir drei KrSfte im Dreieck zuruckfuhren, Biid 5.4. Satz:

Drei an einem starren Getriebeglied i aiigreifende KrSftc sind dann und nur dann im Gleichgewicht, wenn a) sich ihre Wirkungslinien im Lageplan (Bild 5.4a) in einem Punkt schneiden (Scliiiittpunkt SP-,) und b) ihre Vektorsumme im Krafteplan (Biid 5.4b) einem Nullvektor ent-

spricht,d.h. G, +6^-, +G-,_f-, = 6 .

b) Bild 5.4 Drei Kiafle an einem Getriebeglied i: a) Lageplan, b) Krafteplan (Gewielitskraft G, im Schwerpunkt Sj) Eiiie Ausnahme bildet der masselose Stab mit G | = 0 ; in diesem Fall ist G ji - —G |_| I, d.h. der Stab iibertragt nur Zug- oder Druckkrafte. Urn cin Kriillcdrcicck im Krafteplan zeichnen zu kSnnen, miisscn Richlung (Wirkungslinie), Richtungssinii und Betrag einer Kraft bekannt sein, von eiiier zweiteii Kraft nur die Richtung. Glieder und Gliedergmppen. die sich durch ein- oder mehmialige LOsung der Elementar-Gleichgewichlsaurgabe hinsichtlich der RrSfte analysieren lassen, sind (kineto-) statisch bestimmt. Sie lassen sich nach ASSUR in Klassen eiuteilen [6]. Bild 5.5 zeigt

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

130

einige Beispiele. Wenn die Anschlussgelenke dieser Gruppen als gestellfest aufgefasst werden, haben sie den Gelriebe freiheitsgrad F = 0, d.h. sie sind Fachwerke oder (kiiieto-)slalische Eleinentargruppen (EG). FUr eine EG der Klasse II und hoher mil nur Dreh- und Sohubgclenkcn gill 3n - 2g =^ 0 (n: Anzahl der Glicder. g: AnzabI dcr Gelcnke). Die Klasse I umfassl vonichmlich einfacho Antricbsgiicder und verlangt aulier der durch einen Pfeil gekeiinzeichneten gegebenen Einzelkraft noch die weitere Vorgabe der RichtuEig einer Gelenkkraft, symbolisch dargestellt durch eine gestrichelte Linie. Damil sind Glieder dieser Gruppe mil belasleten Balken vergteichbar.

Schema

KiassL-

\y ^ x

1

w I \ II

^"O—I.

v_l.

J_).

Ill

A5\ Z*^—jk Nf-'-v j_i.

\

IV

Bild 5.5 Elemeiitargriippen der Klassen I - IV mil angreifeiiden auUeren Kraften Die in Bild 5.5 gezeichneten Drehgelenke sind mil Schubgelenken austauschbar, wobei bei fehlender Reibung die enlsprechende Gelenkkrall senkrechl aiif der Schiib- oder SchleifcnrichluJig sichl, Bild 5,6.

a)

D) 7_L

Bild 5.6

Zwei tiememargriippen II. und 111. Klasse - a) bzw. b) - mil Dreh- und Schubgelenken Die EG sind mil den bereits in Abschnitt 4.2 eingeflihrten Modulen (kinematische EG) direkt vergleichbar.

5.2 Grundtagen der Kinelostatik Satz:

Vor der Kraftanalyse eines Gelriebes auf der Grundlage des Gelenkkraftverfahrens isl das Getriebe in die entsprechendeti Elementargruppen zu zerlegcn.

Es ist zweckmal3ig, an jedem einzelnen Glied des Getriebes alle (eingepragten) auRereti Krafte - wie Gewichtskrafle, Feder-, Abtriebs- und Anlriebskrafte - und die Tragheitskratte zu einer resultierenden Kraft zusammenzutassen. Momentc sind durch Kraftepaare zu erselzen. 5.2.1.1 Kraft- und Seileckverfafaren Das Kraft- und Seileckverfahren mil Lage- und Krafteplan leistet bei der Zusammenfassiing von Kraften gule Diensle, insbesondere wenn es inn die Emiiltlung der Wirkungslinie der resultierenden Kraft gehl, Bild 5.7.

b)

Bild 5.7

Kraft- und Seileckverfahren mit drei gegebenen KrSften Die im Lageplan (Bild 5.7a) skizzierten Krafte F,, F, und F3 greifen z.B. alle an einem Glied an. Die resuftiercndc Kraftesummc FH ist im Krafteplan (Bild 5,7b) sofbrt zu ermitteln. Nach Wahl eines belicbigcn Punktcs P als ..Kraftpol" werden vier „Scilkrafte" 0 bis 3 so gezeichnet. dass jedc Kraft Fj mitzwei Seilkraften ein Dreieck bildet. Jedem Dreieck im Krafteplan entspricht ein Schnittpunkt von sich entsprechenden parallelen „Seilstrahlen" im Lageplan; der erste und letzte Seilstrahl schneiden sich auf der Wirkungslinie von F^ .

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

Satz I:

Eine Kraflegruppe ist im Gleichgewicht, wenn Krafteck | V ' Pj = o) und Seileck

( V ' M - = o]

gesclilosseti

sind, d.h. die Oleichgewichls-

kraO Ff;=-F[( lieglaufderselben Wirkungslinie wie F,, im Lageplan.

Satz 2:

Das Krail- unci Scilcckverlahren ist sinngcmiiB auch auf Clememargruppen mil F = 0 anwendbar.

S.2.1.2 CULMANN-Verfahren Greifen an einem Getriebeglied oder an einer Elementargruppe mil F = 0 vier betragsmaBig bckaiinte odur unbckanntc Kraftc an, so kcinncn die Kraflc paarweisc zu zwei resuJIierenden CULMANN-Kraften zusammengcrasst werden, die enlgegengeselzt gerichtet und gleich groB auf einer genieinsamen Wirkungslinie liegen, der CULMANN-Geraden. Bild 5.8.

CULMANNKrafte

a)

X

V.^

CULMANN-Gerade I

Bild 5.8 CULMANN-Verfahren fur vier Krafte an einem Glied: a) Lageplan, b) Krafteplan Das paarweise Zusammenfassen der Krafte ist willkiirlich: F,+F,+F3 + F^=0 -F.

+F^

Die Richtung der CULMANN-Geraden kann aus dem Lageplan ennittelt werden; sie ist durch die Schnitlpunkte SP und TP der paarweise zusammengefassten Krafte bestimmt. Das CULM ANN-Verlahren flibrt das Gleichgewieblsproblem mil vier Kraflen aul'die

5.2 Grundtagen der Kinelostatik

133

zweimalige Losiing der Elementar-Gleichgewichtsaufgabe mil drei Kraften (zwei Krafldreiecke) zuriick: Fi + F, + F^ = 0 und - F , + F 3 + F4 = 0 .

5.2.1.3 Kr^ftegleichgewicht an der Elementargruppe II. Klasse Die Emiittlung der Gelenkreaktionen am belasteten Dreigelenkbogen (Zwcischlag) (Bild5.9) kann entweder mil Hilfe des Kraft- und Seileckverfahrens oder nach dem Superpositionsprinzip vorgenommeii werden.

Bild 5.9 Dreigelenkbogen mit zwei auUereii Einzel kraften Zunachst denkt man sich F4 = 0, d.h. der Stab 4 ubcrtragt nur Zug- oder DruckkrHfte in Richtuiig seiner Achse BC (Bild 5.10). Entsprechend Bild 5.4 erhalt man G'23 als Gelenkkraft im Punkt A und G'43 = G'54 ais Geleiikkraft im Punkt C infolge der Kraft F3 In einem zweiten Schritt denkt man sich F3 = 0 und erhalt analog G"54 als Gelenk kraft im Punkt B und G"34 = G'S^ als Gelenkkrafi im Punkt C infolge der Kraft F^ Die Gesamt-Gelenkreaktionen ergeben sich aus der Vektoraddilion der Teilkrafte, d.h. in A

Gil =G'23+G"23,

in B

G5,=G'54+G"54,

inC

^ 3 4 = G'34+G"34 = - G ' 4 3 + G " , 3 .

134

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

Bild 5.10 KrafteemiiKlung am Dreigelenkbogen nach dem Superpositionsprinzip

5.2.1.4 Kraftegleichgewicht an der Elementargruppe III. Klasse Hier sind zwei verschiedene Falle zu diskutieren.

1. Fall: Eine Kraft greift am Dreigelenkglied an (Bild 5.11), d.h. CULMANN-Gerade

Bild 5.11 Kraftaiigriff am Dreigelenkglied

5.2 Grundtagen der Kinelostatik

135

am d i e d 5 greifen vier Krafte an, von denen eine vollslandig bekannt ist ( F5), von den anderen sind nur die Richlungen bekannt. Die unbekannten Gelenkreaktionen konnen mil Hilfe des CULMANN-Verfahrens besiimmt werden; die Glieder 2, 3 und 4 gelten als Zug- Oder DrucksiSbe.

2. Fall: Eine Kraft greift an einemZweigelenkgliedan(Bild 5.12). iTP CULMANN-Gerade

-F,= C.,

¥r=G Bild 5.12 Krafiangriffam Zweigelenkglied Jetzt greift z.B. am Glied 2 die auUere Kraft F, an, die vollslandig bekannt ist. Damit gelten nur noch die Glieder 3 und 4 als Ziig- oder Druckstabe. Die Gelenkkraft 6,5 =-G^^beslimmt die CULMANN-Gerade durch das Gelenk 25, heide Krafle sorgen einzein iiir das Glcichgewicht an den Gliodorn 2 und 5 und zusammcn tVir das Gleichtiewichl an der EG 2-3-4-5.

i36

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

Lehrbeispiel Nr. 5.1: Kreuzschubkurbel als Verstellgetriebe

1

'

Bild 5.13 Bezeiclinimgen an der Kreuzschubkurbel Aufgabenstellung: An cincm vicrgliedrigcn Vcrslcllgctricbc (Krcuzscbubkurbel) grcifcn die bcidcn aul3ereii Krafte P, (Handkraft) und P4 (Presskraft) an (Bild 5.13). Zwischen den Gliedem 3 und 4 tritt COULOMBsche Gleitreibung mil der Reibungszahl JIR auf. Die Abmessungen des Gleitsteins 3 sind bei der Krafteerm ill lung zu beriicksichtigen. Fiir die gegcbenen Wcrtc F4 = 6flN, |,in = 0,306 und die MalJstabe M,= lem/eni„ M|. = 10 N/cm, sollen in der gezeichneteii Lage bestiinint wcrdeii: 1. die am Glied 4 (Schieber) angreifenden Lagerkral'le in C und D; 2. die zwischen den Gliedern 3 und 4 auftretenden Kaiitenkrafte G'34 (obere Kante) und G"34 (unlere Kante); 3. die am Glied 2 (Winkelhebel) erforderliche Handkraft F2 bei vorgeschriebener Wirkungslinie und die Auflagerkraft in O (Gelenk 12); 4. die NonnalkraftN34 und Reibungskr3ftR34zwischen den Gliedern 3 und 4; 5. das Antriebsmoinent Mj am Winkelhebel; 6. der momentan giiltige Wirkungsgrad rj als Quotient ,^btriebsleistung P^y,/ Antriebsleistung P^^," des Verstellgetriebes.

5.2 Grundtagen der Kinelostatik

137

Losung: Die Glieder 3 und 4 slellen eine EG dar, zwei der drei Drehgelenke des Dreigelenkbogens {Elemenlargriippe II. Klasse) sind diirch Scliiib- bzw. Schleitengelenke ersetzt; die Lagerstellen C und Dzahlen tiirdJe Systematik als ein Gelenk 14. 1. Gleichgewicht am Glied 4: ^

+ GD14+GCI4+G'34+G"34=0

Zwei Unterstriche bedeulen „Belrag (ind Richtung bekannl", ein Unterstrich bedeutet „nur Richtung bekannt". Es isi pii = arctan (R:,4/N34) = arctan (HR)= 17°. Die Reibungskrafl R34 wirkt derRelativgeschwiiidigkeit v^^^ - ^A41 ~^A31 - ^A41 ~ ^ A 3 1 ^ ^E ~ ^ A entgegen bzw. in gleicher Richtung wie v^34 = -v^43 = v^ -^E- Wegen gleicher Reibverhaltnisse an der oberen und unteren Kante des Gleitsteins sind die beiden Kantenkrafte G'34 und G"34 parallel und konnenzurResultierenden G34 zusammengefasst werden, die durch den Punkt A gehen mtiss, da das Drehgelenk hier kein Drehmoment aufnehmen kann. Jelzl greifen 4 Krai\e am Glied 4 an; d.h. das CULMANN-Verfahren liefen (Bild 5,14a) F4+Gm4+^ci4+G34=0niit Fc

-Fc

+ GC14+G34 - 0 ^ T P 4 und F4+Gn,4-Fc=0 ^

SP4;G,„4,Fc.

Satz 1:

Eine unbekannte Wirkungslinie (Richtung) lasst sich emiitteln, wenn im Gleichgewichtssystem dreier Krafte (Vektorsumme) zwei Wirkungslinien (zwei Unterstriche) bekannt sind (Schnittpunkt im Lageplan).

Satz 2:

Zwei unbekannte Krafte lassen sich vollstandig ennitteln, wenn im Gleichgewichtssystem dreier Krafte Betrag und Richtungssinn einer Kraft bekannt sind (doppelter Unterstrich) und bei den resthchen zwei Kraften m der Siimme drei Unterstriche fehlen (Dreieck im Krai\eplan).

138

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

2. Die Aiifteiliing der Gelenkkraflresultierendeii G34 = G34 +O3J in die beiden parallelen Kanienkrafle G^^ und G34 erlblgt mil llilfe des Kraft- und Seileckverfahrens (Bild 5.l4a/b). Dererste und letzteSeilstrahl 1 bzw. 3, ausgehend voneinem beliebig 7L . L v\ahlondi:n Kraftpol P, schneiden sich auf der Wirkungslinie der Geienkkraft G34 durch A (vgl. Abschniu 5.2.I.I). 3. Gleichgewicht am Glied 2 (Bild 5.14b): F, + G , 2 + G j , = 0 ^ S P 2 ; G | 2 , F 2 Die Geienkkraft Gi^ ist vollstandig bckannt (zwei Unterstriche), well folgende Gleichungen giittig sind: 0*43+G"43+G23 = 0

bzw.

G13 =0*34+G"34 = 634 (aus Teiiaufgabc 2)

4. G34=N34+R34=G33 5. M. = F , •OB = 230Ncm 6 . n = P,H/P„„=(F4/F,)-(v,/vg) = 0.65

5.2 Grundtagen der Kinelostatik

,

N,

139

PK

R34 ^

'

, '.

G D14

1 SP4

G,.|j, "

->

"

*

-

•

P-

'

b)

Bild 5.14

Graphisciie Losungen zum Lehrbeispiel „Verslellgetriebe": a) Lageplau, b) Krafteplane

S.2.2

Synthetische Methode (Schnittprinzip)

Die synlhetische Methode gliederl sich in folgende L6sungsschrine: •

Jedes bewegte Getriebeglied wird durch Gelenltschnitte von seineii Bindungen zu Nachbargliedem befreit.

140

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

•

Gelenk- und Aiiflagerreaklionen werden utiter Beriicksichtigung des Prinzips „Aktion = Reaklion'" (G- = - G - u n d M | j = - M j ( ) zwischen benachbarten Gliedern eingefuhrl.

•

Eingepragte Kratte und Momente sowie Tragheitskrafte und -drehmomente nach dem d'ALEMBERTschen Prinzip vervo 11 standi gen die Kraftebilanz flir jedes bewegteGetriebeglied.

•

Fur jedes bewegte Getriebeglied sind drei Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen: die Kraftesumme in x- und y-Richtung

X(Fi)=0,d.h. X ( F J = 0 und S(F,i)=0. i

i

(5-8)

i

und die Momeiitensumme

Z[Mi(B;)] = 0.

(5.9)

Die Bezugspunkte Bi fur die Momente sind fur jedes Glied frei wahlbar. Die Anzahl k| der Gleichungen frir ein Getriebe init n-1 bewegten GetriebegJiedem ist somit k, = 3 ( n - l ) ;

(5.10)

die Anzahl k; der Gelenkkrafte ergibt sich aus k,-2g,-fg,.

(5.11)

hierbei ist g, die Anzahl der Gelenke mit f = 1 und g2 die Anzahl der Gelenke mit f = 2. Wird nun fur jedes Teilsystem Gleichgewichl gefordert, und somit auch Rir das Gesamtsystem, so konnen alle unbekannten Krafte aus dem sich ergebenden linearen Gleichungssystem emiitteil werden. Deshalb muss gelten k| = ki; dies bedeutet, die F freien Bewegungen werden durch Zwangsbewegungen (AnlriebszeitCunktionen) vorgegeben, vgl. GL(2.12).

Lehrbeispiel Nr. 5.2: Massebehaftete Kurbelschwinge im Schwerkraftfeld Aufgabenstellung: An einer Kurbelschwinge mit den Gliedem 1 bis 4 im Schwerkraftfeld (Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s^) greifen das Antriebsmoment M, und das Abtriebsmoment M4

5.2 Grundtagen der Kinelostatik

14!

an, Bild 5.15. Die Kurbel AoA rotiert mil konslanter Winkelgeschwindigkeil to,] - i:(|PKii)='' i

i

i

(5.12)

i

Die ersten beiden Sumnianden in Gl.{5.12)siellen Skalarprodukcc dar, es istalsoz.B. FjVj =|Fi||v||cos|z(Fi,Vi]] = |Fi||v||cosai,

(5.13)

Da Mj und a-, bei ebencn Getrieben stuls scnkrcchiauf der x-y-Ebene (Zeichenebene) stehcn, kann auf eine Vektorschreibweise verzichtet werden. Es bedeuten p. • ''

am Glied i angreifende auBere Kraft, einschlieBlich Tragheitskraft (Massenkraft)

^i:

Geschwindigkcit des Angriffspunktes von F|

c«-i •

von F| und V; eingeschlossener Winkel

0);:

Winkelgeschwindigkeit des Gliedes i, andem Mj angreift

MI:

am Glied i angreifendes auBeres Moment, einschlieBlich Mas send rehmomenl

P,;. :

Verlustleistiingen durch Rcibung

Die Gl. (5.12) kann sowohl rechnerisch ais auch zeichnerisch ausgewertet werden. Die auftretenden Geschwindigkeiten konnen real oder auch nur mil dem System vertraglich, also virtue 11 sein.

5.2.3.1 JOUKOWSKY-Hebel Die zeichnerische Auswertuiig ist unter dem Namen „JOUKOWSK.Y-Hebel" bekannt und eignet sich besoiiders danii. wenn an einem Getriebe nur Krafte aiigreifen.

5.2 Grundtagen der Kinelostatik

WL von R

a)

WL von R

b)

Bild 5.16 Beispiel zum JOUKOWSKY-Hebel: a) Lageplan, b) [v-Plan

145

146

5 Kinetostalische Analyse ebener Gelriebe

Die Skalarprodiikle y"(FjvJ konnen mil Hilfeeines aufder x-y-Ebene (Zcichenebene) senkrecht slcbenden Einhcilsvcklors c (in Richtunjj der z-Achse) auf Spalprodukie umgeformt werden. Bs isl dann mil den zu v^ urn 90° gedrehteii Geschwindigkeitsvektoren Vj Vi = e X ^Vi

(5.14)

und l(FiVi) = l [ F , ( e x ^ v J ] . X [ ^ f ^ i ^ F J l - 0 . i

i

(5-15)

i

d.h. X f v , x F i ) = Z ( l ' i F i ) = 0'

Satz:

(5.16)

In einem Plan der iini 90° gedrehten Geschwindigkeiien (fv -Plan) mit einem willkiirlich gcwahltcn Urspning [O bedcutet der LeistungssaU das „Drcbgleichgewichf der Krafic t] um fo.

Lelirbeispiel Nr. 5.3: Sechsgliedriges Dreistandgetriebe Aufgabenstellung: An dem in Bild 5.16 skizzierten sechsgliedrigen Dreistandgetriebe greifen an den Punkten A2 bis Af^ auf den entsprechenden GJiedern mit gjeicher Niimmer die auBeren Krafts ¥2 bis F^ an. Gesucht isl der Betrag und der Richtungssinn der Antriebskratt Fjin auf vorgegebener Wirkungslinie (WL) im Punkt A des Glieds 2.

Ldsung: Nach der WahJ von fO und einer beliebigen Geschwmdigkeit v^ des Punktes A, die der Strecke ' Oa entsprichl, kann der fv -Plan gezeichnet werden (meislens denkl man sich die Spitzen der Gcschvvindigkeilsvektoren Tvj im Punkt fO), Danach wcrdcii die Kratk F| angetragen, ihre im fv -Plan abgebildeten Angriffspunkte teilen die entsprechenden Gcschwindigkeitsslrecken im gleichen Mali wic im Lagcplan. Gl. (5.16) liefert unter Beriicksichtigung der Vorzeichen fur Links- und Rechtsdreliung um lO

5.3 Gbungsaufgaben

147

IhiFi=F„„h,„-F3h,+F3h,-F,h,+F,h,+F,h,=0

tnit h.,„ = Oa . 1st das Frgebnis Fg,, > 0, so drehl Fg,, um f o in malhematisch positiver Richtung (Gcgcnuhrzcigcrsinn).

5.3

Ubungsaufgaben

AufgabeS.l: Das abgebildete Schiibkurbelgetriebe isl Teil eines Kompressors. Im Zylinder herrschl der Dmck p=10*Pa. Welches Anlriebsmoment isl erforderlich, um den Kolben in der angegebenen Stellung zu halten? Es ist das Gelenkkraflveriahren anzuwenden. Kolbenflache A =10 cm"; r = 10 cm, 1 = 20 cm

l

+ rJ

c

u "O

•a

•li

II u

--s>— ?lt &•

^

"

^

2

©ee

111

hoa

'l^ >32

1 II * o 9- 9c c -; c e 2 S S K

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IN

-.-o >^ ^ c(A 'c S fS T3

II i5

to

•^s

o I?

1

1

Bild 6.4 Abiaufplan zur Berechnung von Kurbelschwingen (nach Richilinie VDI 2130)

-ii

6.1 Tollagenkonstruklioii

6.1.2

157

Schubkurbel

Gegeben sind die kinematischen Grol3en

gesucht sind a = r = AQA, b = AB, e . Die Schubkurbel gehl aus der Kurbclscliwinge durch den Grenzubergang B „ ^ oo liervor, d.h.c—>«, d-> w . Die verbleibenden endlichen Abniessungen miissen die GRASHOFsche Umlaufbedinguiig erfullen, d.h. a+c 0 , Index H) uiid der Gegenlaufphase {i^f' < 0 bzw. s' < U, Index R) durch das Beweguiigsgesetz „Quadratische ParabeJ" (vgl. Richtiiiiie VDI 2143, Blatt \) erreichbar ist. Der Quotient 5

1 ma^

bzw. 8.=

(6.7)

heiUl Beschleunigungsgrad; der Bestwert isl 5n, 5^ = 1. (P5[rad-1

n

n

(p5

(360=-tpo)'

erhait man den Bescbleunigungsgrad liir den GleicH- und Gegenlauf: 5

= V;kiL = ^ ^ . i £ i . ^ ^ ; ;

5

_H>;..R_

n

(36Q°-(p„)^

(6.9a) ,

Bei schiebendem Abtrieb erhait man stattdessen (keine Umrechnung von i|»u von BogenmaB auf Grad notwendig): •'max H '

So

(360=-q)o)'

-li"

"maxR ^ - • I f ^ l w ' •—^-^.KSo

(6.10b)

In den Auswahldiagrammen 2 und 3 (Bilder 6.11 und 6.12) sind die Beschleimigungsgrade 5„, S^ fur die Gleich- und Gegenlaulpbase neben dem Winkel p als Auswahlkriterien angegeben. Die Arbeitsweise mil diesen Diagrammen enlspricht derjenigen mil Auswahldiagramm I.

6 Giuiidlagcii derSynthese ebener viergliediiger Gelcnkgelriebe

164 Hinweis:

Slehen quasistatische Belastungen im Vordergrund, wird man Diagramm 1 wahlen, bei iiberwiegend dynamischen Gesichtspunkten (Tragheitswirkungen) die Diagramme 2 iind/oder 3.

360'

0°

30°

60°

90°

120°

Bild 6.11 Aiiswalildiagramm 2 fur besclileunigungsgiinstigste Getriebe in der Gleichlaufphase (nach Richtl]nieVDI2l30)

165

6.1 Tollagenkonstruklioii 360'

150" i|',|--^ 180° Bild 6.12

Ausvvalildiagramm 3 fur l>esclileimigungsgiinstigsle Gelriebe in der Gegenlaufphase (nach RichtlinieVDI2l30)

6 Giuiidlagcii derSynthese ebener viergliediiger Gelcnkgelriebe

166

6.2

Lagensynthese

Unter dem Begriff der Lagensynthese versteht man die Bestimmiing von Gliedabmessungen eines Getriebes bekannter Struktur, das wahrend des Bewegungsablaufs vorgegebene Lagen einnimmt. Bei den vorgegebenen Lagen kann es sich um a) Punktiageii (Lagen von Koppelpunkten mit jeweils zwei Koordinaten x, y), b) Gliedliigen (Lagen von Koppelgliedern, beschrieben durch jeweils zwei Punkle), c) Relativlagen (Zuordnungen von Winkeln und Wegen) zwischen An- und Abtriebsglied liandeln. Die Falle a) und b) charaklerisieren Fiihruiigsgetriebe, der Fall c) ist typisch fur die Synthese eines Ubertragungsgetriebes. Alle drei Halle lassen sich auf Punktiagen und somit auf die durch drei Satze charakterisierte Grundaufgabe der Getriebesynfhese ebener viergliedriger Getriebe zuriickriihren [I: Bd. 2, 14]. Grundaufgabe:

•

Gegeben sind verschiedene Lagen einer bewegten Ebene E, etwa E|, E;, Ej, ..., Ej gegeniiber der (ruhcnden) Bezugsebene Eo; die Lagen kQnnen endlich oder unendlich bcnachbart sein.

•

Gesucht sind diejenigen Punkte X|, X2, X3, ..., X, von E, die bei der Bewegung von E gegeniiber E„ auf einem Kreis liegen.

•

Diese Punkte beschreiben eine homologe Punktreihenfolge bzw. man nennt E], Ej, E3,..., Ej homologe Lagen der Ebene E gegeniiber En (BiId 6.13).

Bild 6.13 Vorgabe von Ebenenlagen durch homologe Punkte auf einem Kreis

6.2 Lagensynthese

167

Die mil Hilfe der Lagensynthese in den nachfolgenden Abschnitten gefundenen Losungsgelriebe sind allesami noch den Auswahlkriterien des Abschnitts 6.1.3 zu unlerweri'en iind - falls erforderlich - aiif Umlauftahigkeil mit Hilfe des Satzes von GRASHOF (Abschnitt 2.4.2.1) imd auf Beibehailiing der Einbaulage zu priifen.

6.2.1

Wertigkeitsbilanz

Die Beschrcibung von Lagen erfolgl mil Hilfe geomeirischer GrSRen wic Koordinalcn, Langen (Sircckcn), Winkcl, iisw., die eine unterschicdlichc Wertigkeit aufwciscn; bcispielswcisi; ist die Aiigabc der crsten Lagc fines Koppeipunktes C mit den Koordinaten x^, y^ zweiwertig, die Angabe jeder weiteren Lage von C nur noch jeweils einwertig, da die Gleichung flx, y) = 0 der Koppelkurve erfiilll werden muss. Wenn im Fall a) neun Punktlagen vorgeschrieben werden, muss die erforderliche Wertigkeit W„i = 10 mit der durch das Geiriebe ziir Verlugung gestellten vorhandenen Wertigkeit W„„h zumindest u herein sti mm en. Bei der Auswertung der Gleichung

Wf„i = w,„,-w,rf

(6.n)

gibt es fur Wprei < 0 keine, fiir Wivci = 0 eine eindeutige und fiir Wr„i > 0 mchrere L6sungen, wobei Wr^i geometrische GroBen noch frei gewahlt werden konnen. Wenn das Getriebe g = 4 einfache Gelenke (Dreh- und Schubgelenke) besitzt und stets p Punkte zu fiihren sind, errechnet sich W,,„|, im Allgemeinen aus der Gleichung W,,,,=2(g+p)=^8+2p.

(6.12)

Demnach ist bei a) Punktlagen:

W,„,t,= 10

b) Gliedlagen:

W,„,i,= l2

c) Relativ-Winkellagen: W,„|,= 8 Theoretisch iassen sich also mit einem viergliedrigen Gelenkgetriebe neun Punktlagen erfullen. Andererseits kann sich die vorhandene Wertigkeit Wv„ri, eines Getriebes durch typ- oder maRbedingte Sonderformen verringcm. Jedes Schub- oder Schleifengelenk beispielsweise lasst einen der Gelenkpunkte ins Unendliche wandem, und es resultiert eine (kinemalische) Verselzimg oder Exzentrizitat e mit der Folge, dass sich W,,„), Jewells um die abhangige Wertigkeit W^bh - 1 verringert; W,.™.h verringert sich nochmals um die imvvirksame Wertigkeit Wi,n„ - I, falls e = 0 gewahlt wird, folglich crgibi sich die elTcktiv vorhandene Werligkeil zu Weff = W,,rt,-W,,h-W„„,.

(6.13)

6 Giuiidlagcii derSynthese ebener viergliediiger Gelcnkgelriebe

168

Wahh = 1 etitsteht ebenfalls bei Langengleichtieit zweier Glieder. In Tafel 6.1 sind einige oft vviederkehrende Weriigkeiten zusammengestellt, die sowohl W^^^ als auch W^bh als auch W^n„ betreffen. Der Abgleich zwischen der erforderlichen und der vorhandenen Werligkeit des Getriebes entsprechend Gl. (6.11) wird Wertigkeitsbilanz genannl. Satz:

Die Wertigkeitsbilanz entscheidet dariiber, vvie viele Lagen von eineni Getriebe erfiillt werden konnen.

Hinweis: Die Uberlegungen dieses Abscliniits gelten im Wesentlichen aucli fur Cietriebe mil melir als vier Gliedem. Tafel 6.1: Annahmen und zugeordnete Weriigkeiien Annahmc Walil eines Koppelpunktes

Wertigkeil 2

Bahnpunkt zum Koppclpunkt Lange (Strecke, Abstand, Radius) Winkel (einer Geraden) Winkelschenkel (geometrischer Ort fur ein Gelenk) Winkel ziLordmmg Tangente oder Nomiaie im Bahnpimkt Wahl eines Drehgelenks

2

Wahl eines Schub- oder Schleifengelenks mit e ^ 0

1

Wahi eines Schub- oder Schleifengelenks mit e = 0

2

6.2.2

Zwei-Lagen-Syn these

6.2.2.1 Beispiel eines Fiihruiigsgetriebes In Biid 6.14a sind zwei Lagen E| und Ei einer Ebene E durch die Punktpaare Ci,D| und C3,D2 in der Gestellebene Eo mit dem x-y-Koordinatensystem gegeben. Gesucht sind die Gestelldrehpunkte A(, und Bo eines Drehgelenkgetriebes, das die Koppelpunkle C und D und damit die Ebene E durch beide Lagen fiihrt.

6.2 Lagensynthese

169

Lfisung: A mi ah me

D,

C.

D.

W.

Die Wertigkeitsbilanz ergibt entsprechend den Gin. {6.11), (6.12)undTafel 6.1 Wf„i = W,„rt,-W„f^l2-(2 + 2 + l + l) = 6, d.h es gibt ietztendlich on* Mflgiichkciten, ein passendes Getriebe zu finden. Wir wahlen fiir die Lage 1 (Ej) zwei beliebige weitere Punkte A| und B| (und vergeben damit vier Wcrtigkcilen). Die Punkte A; und Bi diirfen audi mil den gegebenen Punkten C[ und D| zusammenfallen. Danach wird die Lage 2 (Ej) um die Punkte A: und Bi erganzt (kongruentes Vierseit zu Ei). Die Mittelsenkrechten m^ und niij der Strecken AjA, bzw. B|B, schneiden sich im Drehpol Pij (s. auch Abschnitt 3.1.3.4). Um den Drehpol Pi: rotiert jeder Pnnkl der Koppel niit dem Winkel (pii be! der Bewegung von Lage 1 in Lage 2. Der Winkel ip,2 ist enlweder matliematisch positiv (Gegeniihrzeigersinn) Oder mathematisch negativ (Uhrzeigersinn) orientiert und stets gilt ip;i = 360° (pt;- Der Drehpol falll nur fiir den Fall mit dem Momcntanpol der Koppel CD bzw. AB zusammen, dass die Lagen E; und E: uneiidlich benaehbart sind, d.h. ebenfalls zusammenfallen. Mil der Wahl von Ao auf mA und von Bo auf mn werden die restliclien beiden Wertigkeilen vergeben und das Drehgelenkgelriebe AHABBO ISsst sich in der Lage 1 oder2 zeichnen,Bild6.14b. b) y+

a)^

C|

0

A

////

//// Lo

Bild 6.14 Viergiiedriges Drehgelenkgelriebe AQABBD als Fiihrungsgelriebe: a) Aufgabenslellung, b) Liisung in Lage I

6 Giuiidlagcii derSynthese ebener viergliediiger Gelcnkgelriebe

170

6.2.2.2 Beispiel eines Uberfragungsgetriebes In Bild 6.15a sind zwei Winkellagen 1 und 2 des Antriebsglieds einerseits und relativ dazu zwei Winkellagen 1' und 2' des Ablriebsglieds andererseits eines Drehgeienkgetriebes um die noch endgiiltig fcslzulegcnden GeslelldrchpLinktc A^ und Bu gcgebcn. Gesucht sind die Puiikie A und B a!s Gelenke der Koppel des Getriebes in einer der beiden Lagen und damit die restlichen Getriebeabmessungen. Losung: Fiir die Wertigkeilsbilanz ist mil der Zuordnimg (pi:,\|/|; soforl W^rf= I anzugeben. Den Gin. (6.11} und (6,12) zulblgc isi

d.h. es gibt ^A,+yA,-''A, - y A , ^

J^oj

>^x,+yi,-''i,-yl,;

(6.17)

das entspriichcnd fur x^ und y^ gelost werden kann. Zur Bestimmung der Koordinaten des zweiten gesuchten Gesteiigelenks B,i konnen die Gin. (6.14) bis (6.17) analog angewendet werden. Im zweiten Fail, wenn also die Lage der Gestellgelenke Ao, B,, ini gestcllleslen X, y-Systcin (Bild 6.17a) bclicbig angcnommcn wurde, muss die Aufgabcnstellung ziinachsl so umgcfomil werden, dass drei Lagen des gestell fcsten Bezugssystems mit den gewahlten Gestellgelenken Ao und BQ relativ zu einer Lage des beweglichen Systems gegeben sind. Man wahit z.B. die Lage I (^i.rji) als Bezugslage der bewegten Ebene und iibertrSgl die Lage der Punktc A,j und Bn relativ zu den Lagen 2 (^2^1);) und 3 {^J-HJ) '" die Bezugslage 1. Es ergeben sich die neuen relativen Lagen der Gestelldrehpunkte ( A J ' , ( B J ' sowie ( A J ^ , (B^J^ . Dabei stellt Z.B. ( A J ^ die Relalivlage des Gestelldrehpunktes Ao aus der Lage 2 in der Lage 1 dar. Die Koppelgelenke A| und B| in der Lage 1 der bewegten Ebene lassen sich nun als Mittelpunkte der Kreise durch A „ = ( A J ; , (A,,)^, (A,,)^ und B , = ( B J ; , ( B J ^ , ( B J ^ beslimmen(Bild6.17b).

Bild 6.17 Drcilagenkonstriiktion bei gcgebenen Gestellgelenken An, B,,: a) Aiifgabenstellimg b) Losung

6.2 Lagensynthese

173

Die rechnerische Losung bei vorgegebenen Gestellgelenken A,) und B„ baut auf dem Algorithmus auf, der fiir die Mitlelpiinl^tssuche mil den Gin. (6.14) bis (6.17) zur Anwendiing kam. Wie aus Bild 6.16b deullich wird, stellt namlich z.B. der gesuchte Gelenkpiinkt A| den Miitelpimkl dncs Krciscs dar, der diircli die relativen Lagen der Gestelldrehpunkle A O - ( A ( , ) | , ( A J ^ , ( A J ^ gfhl. Urn nun den dureh die Gin, (6.14) bis (6.17)besehriebenen Algorithmus anwenden zu kOunen, miissen allerdings zunSchst die neuen Koordinaten der Gestelidrehpunkte (AQ).,,(BQ), sowie (A^,J^,(Eg)^ bestimml werden. Dabei muss sowohl die Verschiebung in das Bezugskoordinatensystem §|, qi sowie die zugehorige Verdreiiung berucksichtigt werden. Man erhalt dadurch = >^o, + b^A„ -^Oi) • cos(9, -