Quantenmechanik 9783486598964, 9783486249750

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Quantenmechanik von

Volkhard F. Müller

Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme -

Müller, Volkhard F.:

Quantenmechanik / von Volkhard F. Müller. Oldenbourg, 2000

München ; Wien

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ISBN 3-486-24975-4

© 2000 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Martin Reek Herstellung: Rainer Haiti

Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH

V

Vorwort Dieses Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die der Autor an der Universität Kaiserslautern gehalten hat. Sein Gegenstand ist die nichtrelativistische Quanten¬ mechanik. Es ist in der Absicht geschrieben, diese physikalische Theorie in einem überschaubaren Lehrbuch prägnant darzustellen. Der Text wendet sich vor allem an Studierende im Hauptstudium der Physik oder auch an Studierende der (angewandten) Mathematik mit theoretisch-physikalischem Interesse. An physikalischen Vorkennt¬ nissen wird im Niveau einer Einführungsvorlesung eine gewisse Vertrautheit mit Phänomenen der Quantenphysik angenommen. Aus dem Bereich klassischer physika¬ lischer Theorien sollten die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik und der Begriff der elektrodynamischen Potentiale bekannt sein. -

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Die nichtrelativistische Quantenmechanik wird in diesem Buch direkt aus ihren zentralen Begriffsbildungen und deren physikalischer Bedeutung heraus entwickelt. Jedoch läßt sich in einem Lehrbuch hierbei nicht im strengen Sinn axiomatisch vorgehen: Daher werden im ersten Kapitel die Grundannahmen zunächst in Umrissen aufgeführt, um von Anfang an spezifische Aussageformen der Theorie vor Augen zu führen; nach einer Reihe sich daran anschließender charakteristischer physikalischer Anwendungen zu Einzelheiten sei auf das Inhaltsverzeichnis hingewiesen wird dann im neunten Kapitel die allgemeine Formulierung wieder aufgenommen, um dort die Postulate und Aussagen der Theorie umfassend und präzise darzulegen. -

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Der mathematischen Struktur der Quantenmechanik liegt die Theorie der linearen Operatoren in einem Hilbert-Raum zugrunde. Die Sprache dieser Theorie wird ver¬ wendet, weil sie eine klare, kohärente Formulierung und ein durchsichtiges Handhaben der Quantenmechanik ermöglicht. Zur Orientierung sind die benutzten mathemati¬ schen Grundbegriffe und Relationen in einem Anhang zusammengestellt, wo auch die verwendeten Bezeichnungen erklärt werden. Darüber hinaus werden im fortlaufenden Text weitere mathematische Gegebenheiten im Rahmen ihrer Verwendung erläutert. Das Buch enthält mehr Material, als in einer einsemestrigen vierstündigen Vorlesung behandelt werden kann: Die Abschnitte 6.7.2 und 6.9-11 aus den Streuprozessen so¬ wie die Abschnitte 9.3-4 aus der allgemeinen Formulierung und auch die Abschnitte 10.5-7 über Fock-Raum-Methoden ("Zweite Quantisierung") vertiefen und erweitern die übrigen Abschnitte dieses Buches, die den Inhalt und die Anordnung einer ein¬ semestrigen Kursvorlesung wiedergeben. Den Text ergänzen Übungsaufgaben mit ausgeführten Lösungen. Der überwiegende Teil dieser Übungen besteht aus physika-

vi

Vorwort

lisch wichtigen Anwendungsbeispielen der dargestellten Theorie. In den Lösungen werden jeweils alle wesentlichen Schritte angegeben und begründet. Ihrem Zweck entsprechend befinden sich die Übungsaufgaben in den einzelnen Textabschnitten, die

Lösungen hingegen in einem gesonderten Kapitel. Meinem Kollegen J. Kupsch möchte ich für Gespräche und Anregungen danken. Besonderen Dank schulde ich Herrn Dipl.-Phys. J. Breidbach, der sorgfältig und umsichtig die Latex-Version des Manuskripts anfertigte und dabei immer wieder Hinweise^zur Korrektur und Verbesserung des Textes gab. Dem Oldenbourg-Verlag danke ich für sein freundliches Entgegenkommen. Kaiserslautern, im August 1999

V. F. Müller

vii

Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 1.1 1.2

v

Allgemeine Formulierung: Erster Teil und einfache Beispiele

Die Grundannahmen in Umrissen Observablen und zugeordnete Operatoren. 1.2.1 Das Korrespondenzprinzip. 1.2.2 Schrödinger-Darstellung und Aufenthaltswahrscheinlichkeit 1.2.3 Vektoroperatoren. Die Parität. Der harmonische Oszillator. 1.4.1 Der lineare Oszillator. 1.4.2 Der dreidimensionale isotrope Oszillator Die Zeitentwicklung der Erwartungswerte. Die allgemeine Unschärferelation Periodische Potentiale in einer Raumdimension. 1.7.1 Die allgemeine Theorie. 1.7.2 Das periodische Kastenpotential als Beispiel

.

...

1.3 1.4

.

1.5 1.6 1.7

.

.

1 1 5

5 8 10 13 17 17

20 22 25 28 29 32

2 2.1 2.2

Der Drehimpuls

Drehimpuls-Algebra und Spektrum. Der Bahndrehimpuls eines Teilchens. 2.2.1 Spektrum und Eigenvektoren. 2.2.2 Kugelfunktionen.

41 41 44

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Gebundene Zustände in einem Zentralpotential Vertauschbare Operatoren und simultane Eigenvektoren. Das diskrete Spektrum des Hamilton-Operators.

49 49 51

4 4.1

37 37

Der isotrope Oszillator nochmals. Ein Teilchen im Coulomb-Potential 3.4.1 Die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators. 3.4.2 Die dynamische Symmetrie.

60 66

Geladene Teilchen im äußeren elektromagnetischen Feld Minimale Kopplung und Eichinvarianz.

70 71

.

58 60

viii

Inhaltsverzeichnis

4.2 4.3

Spezialfälle äußerer Felder.

74 75

5 5.1

Störungstheorie der Eigenwerte

77 77 77 79 84

5.2 6 6.1

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Mehrere Teilchen.

Störungstheorie

eines mehrfachen

Eigenwertes

.

5.1.1 Vorbemerkungen zur Basiswahl. 5.1.2 Die Störung als formale Potenzreihe. Einfache Anwendung: Modell des Leuchtelektrons für Alkaliatome ...

86 Streuprozesse Fourier-Transformation und Temperierte Distributionen. 86 6.1.1 Die rasch abfallenden Testfunktionen. 86 6.1.2 Temperierte Distributionen. 89 Wellenpakete freier Teilchen. 93 Die Resolvente des freien Hamilton-Operators und Greensche Funktionen 97 Schema eines Streuexperiments und Wirkungsquerschnitt. 100 Streuung eines Teilchens an einem zeitunabhängigen Potential. 101 Streulösungen und Wirkungsquerschnitt. 107

Streuung am Zentralpotential. Ill Partialwellen und Streuphasen. Ill Das attraktive Exponentialpotential als Beispiel. 119 6.8 Die Streuung am Coulomb-Potential. 125 6.9 Die M0ller-Operatoren. 128 6.10 M0ller-Operatoren und Eigendistributionen der Lippmann-Schwinger-Gl. 133 6.11 Der Streuoperator. 137 6.7.1 6.7.2

7 7.1 7.2

7.3 7.4

8

\

Teilchen mit Spin140 Hilbert-Raum und Observablen. 140 Ein Spin-j-Teilchen im elektromagnetischen Feld. 142 7.2.1 Allgemeiner Hamilton-Operator. 142 7.2.2 Die Bewegung im Feld einer zeitunabhängigen homogenen ma¬ gnetischen Induktion. 145 Der Gesamtdrehimpuls und die Clebsch-Gordan-Koeffizienten. 149 Die Spin-Bahn-Kopplung. 152

8.2

Zur Spektraltheorie selbstadjungierter Die Spektralzerlegung Eigendistributionen und verallgemeinerte

9 9.1 9.2

164 Allgemeine Formulierung: Zweiter Teil Die Meßwahrscheinlichkeit spezieller Observablen werte. 164 Der Statistische Operator. 167

8.1

Operatoren

.

9.2.1

Reine Gesamtheiten

Vollständigkeitsrelation

....

.

155 155 159

167

ix

Inhaltsverzeichnis

9.2.2 Gemischte Gesamtheiten. 170 Die Bilder der Zeitentwicklung. 176 9.3.1 Das Schrödinger-Bild. 176 9.3.2 Das Heisenberg-Bild. 178 9.3.3 Das Wechselwirkungsbild. 179 9.3.4 Der Oszillator im äußeren Feld als Beispiel. 182 Die Bewegungsumkehr. 185 189 Meßprozeß und Korrelationen

9.3

9.4 9.5 10 10.1 10.2 10.3

.

Identische Teilchen

194 194 196 203 203 10.3.2 Variationsmethoden und Grundzustand 208 Das n-Elektronen-Atom: der Virialsatz. 211 DerFock-Raum. 213 Erzeugungs-und Vernichtungsoperatoren und der Feldoperator. 216 10.6.1 Bosonen . 216 10.6.2 Feimionen 223 Die großkanonische Gesamtheit. 230 10.7.1 Modell unabhängiger Teilchen und mittlere Besetzungszahlen 232 10.7.2 Ideale Quantengase. 235

Hilbert-Räumen. Tensorprodukt Fermi-Dirac-Statistik und Bose-Einstein-Statistik. Zwei Elektronen im Coulomb-Potential. 10.3.1 Die Grobstruktur heliumartiger Atome. Das

von

.

10.4 10.5 10.6

.

10.7

.

.

Lineare Operatoren in einem separablen komplexen Hilbert-Raum Hilbert-Räume A. 1.1 Der abstrakte Hilbert-Raum. A. 1.2 Folgerungen aus den Axiomen. A. 1.3 Konkrete Hilbert-Räume. A.2 Lineare Operatoren. A.2.1 Beschränkte auf ganz H definierte Operatoren. A.2.2 Unbeschränkte Operatoren. A.2.3 Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators.

241 243 245 245 248 249

Lösungen der Aufgaben

253

Literaturverzeichnis

279

Index

282

A A.l

.

240 240 240

1

Allgemeine Formulierung: Erster Teil und einfache Beispiele

1

Phänomene im atomaren Bereich bilden den Wirklichkeitssektor der Quantenme¬ chanik; also Prozesse, Experimente, Vorgänge, welche die Physik mittelbar durch spezielle Träger physikalischer Wirkung deutet. Diese Träger physikalischer Wirkung: Elektronen, Protonen, Atome, Moleküle, werden experimentell durch spezifische Meßverfahren identifiziert. In typischen Experimenten des zur Sprache gebrachten Er¬ fahrungsbereichs werden z.B. Übergangsenergien, Anregungsspektren, différentielle Streuquerschnitte und dergleichen bestimmt. Charakteristisch für derartige Experi¬ mente ist der Sachverhalt, daß die damit verbundene Messung aus einer großen Anzahl zeitlich aufeinanderfolgender Einzelmessungen an je einem Exemplar des untersuch¬ ten Systems besteht. ...

1.1 Die

Die Grundannahmen in Umrissen

Grundbegriffe der Quantenmechanik sind das Mikrosystem mit seiner blenmenge und eine Gesamtheit vieler Exemplare des Mikrosystems.

Observa-

a) Als Mikrosystem wird das einzelne betrachtete System bezeichnet; es besteht im allgemeinen aus Konstituenten, die miteinander in Wechselwirkung stehen. Ein

Atom einer gegebenen Sorte oder ein Elektron und ein Proton in Streuwechselwir¬ kung sind zwei Beispiele. Das hierbei unterschwellig verwendete klassische Bild für ein Einzelsystem vermittelt ein intuitives Vorverständnis.

b) Jede reellwertige Größe, die am Mikrosystem gemessen werden kann, ist ei¬ ne Observable dieses Systems. Mit einer Observablen ist also eine spezifische Meßvorschrift verknüpft. Ein Beispiel ist die einem Mikrosystem zugeschriebene Energie. c) Eine Gesamtheit vieler Exemplare eines Mikrosystems wird durch ein Präparier¬ verfahren erzeugt, bei welchem im allgemeinen die einzelnen Exemplare zeitlich nacheinander hervortreten. Dieses Verfahren muß so gestaltet werden, daß sich die Häufigkeitsverteilung zeitlich nicht verändert. Als Folge hiervon hängt dann eine im Zeitintervall (t, t + A) registrierte Meßverteilung nicht vom Weltzeitpunkt t ab.

1

2

Allgemeine Formulierung: Erster Teil und einfache Beispiele

Die allgemeine mathematische Schema aufgeführt:

Formulierung

der

Quantenmechanik ist im folgenden

Grundbegriff

Mathematische Zuordnung im Schrödinger-Bild

Mikrosystem

Hilbert-Raum %

Observable

selbstadjungierter Operator A

Gesamtheit i) reine Gesamtheit

=

A*

VA CU

,

Statistischer

Operator pt