Progetto di travi in cemento armato precompresso [Bozza ed.]

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PROGETTO DI TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO Fabrizio Paolacci Università degli Studi di Roma Tre

Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p _________________________________________________________________________

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PREFAZIONE Questo scritto raccoglie parte del materiale utilizzato nel corso di Tecnica delle Costruzioni da me tenuto dal 2004 al 2008 presso l’Università degli Studi Roma Tre - Facoltà di Ingegneria, in particolare, le lezioni sul cemento armato precompresso. Alcuni argomenti vengono ripresi e approfonditi mentre altri sono stati inseriti ex-novo, come ad esempio il dimensionamento di travi in cemento armato precompresso, la verifica di sezioni composte c.a–c.a.p., il progetto dei dettagli costruttivi e la diffusione delle forze di precompressione. Le esercitazioni svolte durante gli anni, sono un utile strumento didattico, che ho adoperato con molta convinzione e che ho utilizzato anche nel presente testo. Gli argomenti sono corredati da molti esercizi svolti, che dovrebbero mettere in grado lo studente di utilizzare gli strumenti di calcolo forniti durante le lezioni in maniera più proficua. Ogni scritto presuppone uno sforzo notevole che deve coinvolgere in primis il docente ma anche gli studenti, che con il loro apporto e continua interazione contribuiscono ad una migliore definizione degli argomenti trattati. Questi appunti costituisco il testo di riferimento del corso di Cemento Armato Precompresso tenuto attualmente dal sottoscritto nel corso di Laurea di Ingegneria Civile per la Protezione del Territorio dai Rischi Naturali dell’Università degli Studi Roma Tre, ma spero possano essere utili a quanti vorranno farne buon uso. Roma, 30 Settembre 2018 Prof. Fabrizio Paolacci

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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p _________________________________________________________________________

INDICE 1. INTRODUZIONE 2. CONCETTI BASE 2.1. Definizione di stato di coazione e di presollecitazione 2.2. Lo stato di presollecitazione nel c.a.p. 2.3. Vantaggi e svantaggi della precompressione 3. METODI DI APPLICAZIONE DELLA PRECOMPRESSIONE 3.1. Precompressione interna 3.1.1. Precompressione a fili aderenti 3.1.2. Precompressione a cavi post-tesi 3.1.3. Precompressione nelle strutture composte c.a.-c.a.p. 3.2. Precompressione esterna 3.3. Precompressione mista e interna non aderente. 4. I MATERIALI 4.1. Il calcestruzzo 4.1.1. Resistenza e deformabilità 4.1.2. I modelli di calcolo 4.1.3. Tensioni massime iniziali e di esercizio 4.1.4. La viscosità 4.1.5. Il ritiro 4.2. L’acciaio da cemento armato precompresso 4.2.1. Resistenza e deformabilità 4.2.2. I modelli di calcolo

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4.2.3. Tensioni massime in condizioni iniziali e in esercizio 4.2.4. Il rilassamento 5. STATICA DELLE SEZIONI IN C.A.P. 5.1. Il calcolo elastico di una trave in c.a.p. inflessa in presenza di precompressione totale o limitata 5.1.1. Richiami di geometria delle aree 5.1.2. Il calcolo delle tensioni 5.1.2.1. Il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo in condizioni iniziali 5.1.2.2. Calcolo delle tensioni nel calcestruzzo a lungo termine 5.1.2.3. Calcolo delle tensioni nell’acciaio 5.1.3. Le perdite e le cadute di tensione 5.1.3.1. Cadute di tensione nel calcestruzzo: la viscosità 5.1.3.2. Cadute di tensione nel calcestruzzo: il ritiro 5.1.3.3. Cadute di tensione nell’acciaio: effetto combinato 5.1.3.4. Perdite di tensione istantanee nell’acciaio 5.1.3.4.1. Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito 5.1.3.4.2. Travi a fili pre-tesi: perdite per deformazione elastica del calcestruzzo 5.1.3.4.3. Rientro degli ancoraggi 5.1.3.4.4. Rientro dei cunei degli ancoraggi 5.2. Il calcolo allo stato limite ultimo di una trave in c.a.p. inflessa 5.3. Il calcolo in fase elastica delle sezioni composte c.a. – c.a.p. 5.3.1. Verifiche tensionali 5.3.1.1. Caso di trave non puntellata 5.3.1.2. Caso di trave puntellata

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5.3.2. Calcolo del sistema di connessione trave-soletta 5.3.3. L’influenza del ritiro 5.3.4. L’influenza della viscosità 6. IL PROGETTO DI TRAVI IN C.A.P. ISOSTATICHE 6.1. Il predimensionamento della sezione 6.2. Considerazioni sulla scelta della sezione: il rendimento geometrico 6.3. Determinazione dello sforzo di precompressione 6.3.1. Precompressione totale 6.3.2. Precompressione limitata 6.3.3. Procedura di progetto 6.4. Il tracciato dei cavi 6.4.1. Il cavo risultante 6.4.2. Il fuso del cavo risultante 6.4.3. Il fuso di Guyon 6.4.4. Il fuso di Guyon per travi a fili aderenti 6.4.5. Considerazioni sulla forma del fuso di Guyon 6.5. Il progetto a taglio di travi precompresse 7. IL PROGETTO DI TRAVI IN C.A.P. IPERSTATICHE 7.1. Il sistema equivalente alla precompressione 7.2. Il calcolo delle reazioni iperstatiche dovute alla precompressione 7.3. La linea delle pressioni e il progetto dell’andamento del cavo 7.4. Il cavo concordante 8. LA DIFFUSIONE DELLE FORZE DI PRECOMPRESSIONE 8.1. Definizione e identificazione delle zone di discontinuità 8.2. I modelli strut-and-tie (SAT) 8.2.1. Principi del metodo 8.2.1.1. Metodo degli Elementi finiti 8.2.1.2. Metodo dei percorsi di carico 8.2.2. Regole per la costruzione dei modelli SAT

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8.3. Il caso di forze concentrate (precompressione) 8.3.1. La diffusione delle forze concentrate nel c.a.p. 8.3.2. Definizione di modelli SAT 8.3.2.1. Soluzione col metodo dei percorsi di carico 8.3.2.2. Soluzione con il metodo degli E.F. 8.4. Esempi APPENDICE A Programma Matlab per il progetto di travi in CAP

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1 INTRODUZIONE Il calcestruzzo è un materiale particolarmente resistente a compressione, ma molto debole a trazione; la sua resistenza a trazione varia tra l’8 e il 14% della sua corrispondente resistenza a compressione. A causa di questa bassa capacità sono possibili fessurazioni fin dalle prime fasi di carico. Per ridurre questo fenomeno si può tentare di applicare una forza di compressione centrata o eccentrica in grado di diminuire lo stato tensionale di trazione nelle zone di maggior cimento, o addirittura di annullarlo del tutto. In tali condizioni, le sezioni si comportano elasticamente, premettendo così di sfruttare per intero le loro caratteristiche di deformabilità e resistenza. Infatti, tutte le sezioni in cemento armato ordinario si fessurano rapidamente arrivando in fase II (fase a comportamento elastico dei materiali con completa fessurazione del calcestruzzo) dove il calcestruzzo teso diventa un elemento passivo presente solamente in come peso. La tecnica con cui si applicano queste forze esterne va sotto il nome di precompressione e consiste, mediante opportune tecniche, di imporre uno stato di coazione (sistema di forze a risultante nulla) che sia in grado di modificare favorevolmente lo stato tensionale della struttura. Le forze di precompressione vengono generalmente applicate in fasi diverse, prima dei carichi, anche se non mancano fasi in cui vengono applicate contemporaneamente (ad esempio il peso proprio della struttura). La scelta del tipo di precompressione dipende essenzialmente dal tipo di sistema costruttivo utilizzato. Molto spesso la precompressione è

applicata lungo l’asse degli elementi da precomprimere. In tal caso si parla di precompressione lineare, tipica di elementi trave, dove l’azione è quella di contrastare le sollecitazioni flessionali e taglianti. Un possibile alternativa è rappresentata dalla precompressione circolare, tipica di strutture di contenimento come silos e serbatoi dove l’azione esterna prevalente è rappresentata dalla pressione del liquido interno.

Figura 1.1 – Tipi di precompressione

Queste due tipologie di precompressione sono illustrate schematicamente in Figura 1.1. Ad esempio nella figura 1.1a c’è il caso limite di trave a conci separati (resistenza a trazione nulla) che vengono resi solidali attraverso l’uso di cavi di precompressione. Il cavo può essere progettato in maniera tale da ottenere sotto l’azione dei carichi esterni uno stato tensionale triangolare nella sezione di mezzeria (C) e uno trapezoidale nelle altre sezione (A, B). La pressione radiale in serbatoi per liquido può essere efficacemente contrastata mediante l’applicazione di una precompressione che induca nel materiale uno stato tensionale preesistente in grado di ridurre quello



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derivante dal liquido interno (Fig. 1.1b). Anche in questo caso la precompressione può essere applicata con cavi che assumono forma circolare e vengono tesi per generare uno stato di pressione equivalente diretto verso l’interno del serbatoio. (Fig, 1.1c). E’ chiaro quindi che le potenzialità nell’uso della precompressione sono notevoli, per tutta una serie di aspetti che saranno analizzati nei capitoli successivi. Ma appare evidente che la versatilità nell’uso del cemento armato precompresso presenta almeno due aspetti importanti che lo rendono certamente superiore rispetto al cemento normale: la possibilità, di modulare resistenza e deformabilità dell’elemento precompresso dosando opportunamente il grado di precompressione. Ad esempio, la precompressione potrebbe essere utilizzata per aumentare la rigidezza laterale di elementi o la capacità di ricentraggio degli stessi nel casi di forti azioni laterali come il sisma (Fig. 1.2).

Figura 1.2 – Uso della precompressione: ri-centraggio di pile la ponte

Un uso più comune della precompressione è quello di aumentare la capacità portante di elementi e quindi di poter superare luci maggiori rispetto a quelle normalmente raggiungibili utilizzando travi in c.a. ordinario. Ad esempio, l’uso delle travi precompresse nella realizzazione di ponti è estremamente frequente (Fig. 1.3). Luci elevate possono essere agevolmente superate con l’uso di travi di altezza contenuta, ma la cui resistenza e deformabilità risultano pienamente compatibili con le



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condizioni di esercizio e di collasso, condizioni altrimenti impossibili da rispettare utilizzando travi in c.a. ordinario, a meno di accettare condizioni di antieconomicità dell’opera.

Figura 1.3 – Uso dei cavi di precompressione per precompressione interna

Figura 1.4 – Uso di cavi di precompressione per ponti a conci

Il cemento armato precompresso nasce assieme al cemento armato ordinario. L’idea è quella di superare i problemi legati alla limitata resistenza a trazione del calcestruzzo che rende l’uso del c.a. ordinario circoscritto a costruzioni con luci contenute. Nel 1872 P.H. Jackson brevetto il sistema di precompressione illustrato il Figura 1.1a per l’unione di blocchi separati e la realizzazione di archi altamente resistenti ad azioni flessionali. Tale tecnica prenderà piede molti anni più tardi diventando una delle tecniche più diffuse nella costruzione di ponti a conci (Fig. 1.4). Negli stessi anni in Germania C.W. Dohering ottenne il brevetto per la precompressione di piastre in c.a. Queste idee non ebbero però il successo sperato a causa delle deformazioni differite nel tempo del calcestruzzo non considerate opportunamente e che vanificarono l’azione della precompressione. Soltanto nei primi anni 1920 ci fu in America un risveglio della ricerca su tale tema, con lo studio della viscosità e del ritiro del calcestruzzo. In Europa il cemento armato precompresso fu ampiamente sviluppato a partire dal 1920 da Eugene Fressynet che oltre che a essere un eccelso progettista di opere in c.a.p., brevetto anche un famoso sistema di precompressione interno che prende il suo nome e che si trova tuttora in commercio (per dettagli vedi capitolo 3).



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Durante la seconda guerra mondiale G. Magnel a Ghent in Belgio e Y. Guyon a Parigi svilupparono ampiamente il concetto di precompressione di elementi in calcestruzzo mettendo in pratica i risultati delle loro ricerche per la costruzione di numerosi ponti nel Nord-Ovest dell’Europa e nell’Europa centrale. Contemporaneamente tra il 1930 e il 1960 P.W. Abeles in Inghilterra sviluppo il concetto di precompressione parziale. Intorno agli anni 70 la ricerca sulla precompressione subì una forte accelerazione grazie all’opera ricercatori come F. Leonhardt in Germania, V. Michailov in Russia e T.Y. Lin negli USA. Il secolo che stiamo vivendo è il secolo delle applicazioni del c.a.p., che vedono un ampio sviluppo nel campo degli edifici civili e industriali (edifici prefabbricati, Fig. 1.5), per le strutture sotterranee e per applicazioni di natura geotecnica (Fig. 1.6).

Figura 1.5 – Elementi prefabbricati in c.a.p

Figura 1.6 – Paratie in c.a. con tiranti in acciaio armonico

Alla luce di quanto su esposto, nei prossimi capitoli si affronteranno in maniera approfondita i temi più rilevanti riguardanti la tecnica del cemento armato precompresso. Dato che l’obiettivo di questo scritto è di fornire informazioni di base sul tema, il testo tratta soltanto il progetto e la verifica di travi in c.a., lasciando altri tipi di elementi strutturali (serbatoi, piastre, etc..) a testi specializzati. Dopo una breve introduzione dei concetti base, presentati nel capitolo 2, nel capitolo 3 vengono analizzate le più diffuse tecniche di precompressione (precompressione interna, esterna, mista). Il capitolo 4 è invece dedicato ai materiali che compongo una trave in c.a.p. (calcestruzzo e acciaio) con lo studio del loro comportamento a breve e lungo termine. Il capitolo 5 illustra i



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concetti legati alla statica delle sezioni in c.a.p., fornendo un quadro organico delle procedure di verifica tensionale in esercizio (SLE) e del calcolo della resistenza flessionale e a taglio (SLU) di travi semplici e composte in c.a.p. Il capitolo 6 è invece dedicato al progetto di travi isostatiche in c.a.p. nel quale vengono illustrati i concetti generali di progettazione e vengono suggerite le procedure di progetto più appropriate. Le strutture in c.a.p. iperstatiche vengono introdotte nel capitolo 7 dove concetti come il sistema equivalente alla precompressione e il cavo concordante vengono utilizzati per la verifica e il progetto di travi in c.a.p. iprestatiche. Infine, nel capitolo 8 viene studiato il problema della diffusione locale delle forze di precompressione e vengono fornite le tecniche per il progetto degli ancoraggi in travi di c.a.p.



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2 CONCETTI BASE

2.1. Definizione di stato di coazione e di presollecitazione Uno stato di coazione è per definizione uno stato di sollecitazione interno al quale non corrisponde alcun sistema di forze esterno. Molteplici sono gli esempi che vedono coinvolti stati di coazione [Belluzzi, 1940]. Si pensi alla realizzazione di una botte. Per tenere unite le doghe di legno si utilizzano cerchiature di acciaio preriscaldato le quali vengono inserite a forza subito dopo il riscaldamento. Durante il raffreddamento i cerchi d’acciaio tendono ovviamente ad accorciarsi ma ciò è impedito dalla presenza delle doghe. Nascono allora forze di trazione nei cerchi e, conseguentemente, di compressione nelle doghe, che premettono di rendere le doghe perfettamente aderenti tra loro. Una volta riempita la botte di liquido la pressione interna aumenta lo stato di trazione nei cerchi d’acciaio e conseguentemente diminuisce lo stato di compressione nelle doghe, ma la presenza della precompressione impedisce comunque la fuoriuscita di liquido. In questo esempio lo stato di coazione è dovuto sia alla variazione di temperatura che all’imposizione di forze di pre-trazione negli anelli rendendoli forzatamente aderenti alle doghe.

Figura 2.1

Un altro tipico esempio è quello di una trave incastrata ai due estremi di lunghezza L soggetta ad una variazione di temperatura uniforme DT. Immaginiamo la trave non vincolata agli estremi. In tali condizioni, la variazione di temperatura produrrebbe una variazione di lunghezza proporzionale alla variazione di temperatura stessa secondo la relazione seguente: DL = a DT L

dove a è il coefficiente di dilatazione termica della trave. d

DT C/50/60 Ecm=22´(fcm/10)0.3 (fcm in GPa)

Il simbolo fck indicato nella tabella rappresenta la resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo, ossia la resistenza che



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corrisponde ad un frattile maggiorante del 5%, mentre fctk,0.05 e fctk,0.95 rappresentano rispettivamente i frattili 5% e 95% della resistenza a trazione caratteristica.

Figura 4.2. Ciclo tensione deformazione per la determinazione del modulo elastico

Figura 4.3. Immagine di un provino cilindrico per la determinazione del modulo elastico

Le resistenze medie e compressione e trazione sono indicate rispettivamente con i simboli fcm e fctm e sono legate alle resistenze caratteristiche mediante le relazioni riportate nell’ultima colonna della tabella 4.2. Le deformazioni locali vengono misurate mediante estensimetri elettrici (Fig. 4.3), dalle cui misure si riesce a determinare il modulo elastico stabilizzato (linea rossa) medio. La procedura prevede cicli di carico e scarico a valore massimo della tensione pari a 0.4 fcm (vedi Figura 4.2). Un esempio di storia temporale della forza applicata a cilindro di calcestruzzo per la determinazione di Ec (Fig. 4.4). Qualora non si disponesse dell’attrezzatura sperimentale per la determinazione del modulo elastico medio, esso può essere determinato in accordo con l’espressione riportata in tabella 4.2 riferita ad un livello tensionale medio pari a 0.4 fcm. Le NTC08 prescrivono al punto 11.2.10.1 che tra resistenza cubica e cilindrica debba sussistere la relazione seguente.



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fck=0.83 Rck L’utilizzo di tale relazione non risulta previsto dall’Eurocodice 2, come facilmente deducibile dalla tabella 4.2, dove sono direttamente riportati i valori di fck.

Figura 4.4. Storia temporale della forza applicata durante una prova di determinazione del modulo elastico di un calcestruzzo

La tabella seguente illustra per alcune classi di calcestruzzo i valori delle resistenze e del modulo elastico secondo le NTC-08, che risultano infatti leggermente diversi da quelli prescritti dall’Eurocodice 2. Tabella 4.3 – Classi di resistenza del cls secondo le NTC-08. Classi di resistenza del calcestruzzo C Relazioni 28/35 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67 fck (MPa) 29.05 37.35 41.50 45.65 49.80 55.61 fck=0.83Rck Rck(MPa) 35 45 50 55 60 67 fcm (MPa) 37.01 45.35 49.50 53.65 57.80 63.61 fck+8(MPa) fctm (MPa)

fctm=0.30´fck(2/3) < C/50/60 fctm=2.12ln (1+fcm/10) > C/50/60

2.84

3.35

3.60

3.83

4.06

4.37

fctk(MPa) 1.99 Ecm 32.59 (GPa)

2.35

2.52

2.68

2.84

3.06 fctk=0.7 fctm

34.62

35.58

36.42

37.24 38.33 (fcm in GPa)cm cm



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E =22´(f /10)0.3

Poiché nel precompresso occorre effettuare le verifiche in più fasi costruttive, come in genere viene previsto in sede di progetto, è necessario disporre di leggi che forniscano la variazione temporale della resistenza e del modulo elastico. L’Eurocodice 2, con riferimento ad una temperatura media di 20°C fornisce la variazione temporale di resistenza a compressione e modulo elastico normalizzate rispetto alla resistenza a 28gg. In particolare per la resistenza a compressione si ha: (4.1)

fcm t =!cc (t)fcm con !cc t =e dove fcm (t) fcm bcc(t) t s

s 1-

28 1/2 t

è la resistenza media del cls al tempo t è la resistenza media del cls a 28 giorni è un coefficiente che dipende dall’età t del cls è l’età del cls in giorni è un coefficiente che dipende dal tipo di cemento = 0.20 cementi alta resistenza (R) (CEM42,5R CEM52,5) = 0.25 normali (N) (CEM32,5R,CEM42,5) = 0.38 a lento indurimento (S) (CEM32,5)

In figura 4.5 è illustrato l’andamento della funzione bcc. Oltre i 28 gg l’incremento di resistenza atteso non supera generalmente il 20%. In maniera del tutto analoga l’Eurocodice 2 prescrive una legge temporale per esprimere la variazione della resistenza a trazione del calcestruzzo. L’espressione è la seguente: a

fctm t = βcc (t) fctm dove fctm



(4.2)

è la resistenza media a trazione del cls a 28 giorni

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bcc(t) è il coefficiente utilizzato nell’espressione della resistenza a compressione α

è un coefficiente che vale 1 per t < 28 gg, 2/3 per t ≥ 28 gg

La variazione massima attesa a tempo infinito è simile a quella relativa alla resistenza a compressione, anche se leggermente inferiore. Infine, per il modulo elastico la legge di variazione temporale è la seguente: Ecm t =

fcm (t) 0.3 fcm

(4.3)

Ecm

dove Ecm(t) è il valore al tempo t del modulo elastico ed Ecm è il corrispondente valore a 28 gg. 1.4 1.2 1

28gg

0.8

Incremento max del 20%

0.6 0.4 0.2 0 0

200

400 tempo (g)

600

800

Figura 4.5 – Variazione temporale di bcc secondo l’EC2

Esempio 4.1: Calcolare in accordo con le NTC08 le caratteristiche meccaniche di un calcestruzzo con resistenza cubica caratteristica pari a 30 Mpa. .



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R ck = 30 MPa

σ

f cm

f ck = 0.83R ck = 24.9 MPa f cm = f ck + 8 = 32.9 MPa

0.4 f cm

f ctm = 0.3( f ck )2 / 3 = 2.59 Mpa f ctk , 0.05 = 0.7 f ctm = 1.79 Mpa

Ecm

ε

f ctk , 0.95 = 1.2 f ctm = 3.11Mpa Ecm = 22.000 ( f cm / 10 )0.3 = 31447 MPa

Ecm = 5700 R ck = 31220 MPa (D.M. 96)

in MPa

4.1.2. I modelli di calcolo La modellazione del comportamento monotono e ciclico del calcestruzzo è un argomento ampiamente trattato in ambito tecnico-scientifico, vista l’estesa letteratura disponibile a riguardo [Kent e Park, 1971], [Mander et al, 1988], [Eligehausen, 1983]. Le normative hanno sintetizzato e semplificato tali informazioni ai fini del calcolo e della verifica di strutture in calcestruzzo armato. In particolare l’attuale normativa italiana (NTC-08 p.4.1.2.1.2) prevede che per il diagramma tensionedeformazione del calcestruzzo si possano adottare opportuni modelli rappresentativi del comportamento del materiale, modelli definiti in base alla resistenza di calcolo fcd e alla deformazione ultima ecu.

Figura 4.6 – Modelli costitutivi per il calcestruzzo secondo le NTC-08



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In Figura 4.6 sono rappresentati i modelli σ-ε disponibili, secondo l’NTC08, per il calcestruzzo: (a) parabola-rettangolo; (b) triangolo-rettangolo; (c) rettangolo (stress block). In particolare, per le classi di resistenza pari o inferiore alla classe C50/60 si può porre:

ec2 = 0,20% ec3 = 0,175%

ecu = 0,35% ec4 = 0,07%

Il modello (a) è generalmente utilizzato per la verifica allo stato limite ultimo di travi in c.a. inflesse o pressoinflesse. Per sezioni o parti di sezioni soggette a distribuzioni di tensione di compressione approssimativamente uniformi, si assume per la deformazione ultima a rottura il valore ec2 anziché ecu. La resistenza di calcolo fcd si valuta attraverso l’espressione seguente: fcd =acc

fck +c

dove gc è il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo, pari a 1.5, e αcc è un coefficiente che tiene conto degli effetti di lunga durata, posto pari a 0.85. Modelli più sofisticati sono in genere associati ad una descrizione accurata dei comportamenti non lineari delle strutture. Ad esempio l’utilizzo dei modelli a fibre è associato a modelli non-lineari del calcestruzzo in ogni fase (carico e scarico) tenendo conto eventualmente del comportamento ciclico, qualora ve ne fosse la necessità, come ad esempio nelle le zone sismiche. I modelli di calcestruzzo più utilizzati a tale scopo sono il modello di Kent e Park [Kent and Park, 1971] e il modello di Mander [Mander et al 1988]. Questi modelli vengono utilizzati in elementi la cui sezione è suddivisa in fibre ad ognuna delle quali può essere attribuito un qualsiasi comportamento del materiale (Fig. 4.7).



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Figura 4.7 – Modelli a fibre di sezioni in calcestruzzo

4.1.3. Tensioni limite in condizioni iniziali e di esercizio La normativa prevede che per il calcestruzzo utilizzato nelle opere da precompresso, le tensioni siano mantenute entro limiti ammissibili, differenziando le varie fasi di costruzione ed esercizio in cui la struttura verrà a trovarsi. In particolare l’EC2 cosi come le NTC08 prevedono le seguenti limitazioni: Tensioni limite di Compressione Condizioni iniziali Eurocodice 2 L’Eurocodice 2 prevede che in condizioni iniziali le tensioni non superino i seguenti valori

σ cc,i = 0.6f ck(t) σ cc,i = 0.7f ck(t)



strutture a cavi post-tesi strutture a cavi pre-tesi

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NTC08 La normativa italiana prevede invece solamente la seconda limitazione, che risulta valida per entrambe le tipologie di acciaio (NTC-08 p. 4.1.8.1.4)

σ cc,i = 0.7f ck (t)

strutture a cavi pre-tesi o post-tesi

Condizioni di esercizio Eurocodice 2 In condizioni di esercizio le prescrizioni normative contenute nell’EC2 si differenziano a seconda della condizione di carico variabile considerata e della classe di esposizione del manufatto:

σ cc,e £ k1 f ck σ cc,e £ k2 f ck

Per le classi di esposizione 3,4 Per le classi di esposizione 1,2

L’annesso nazionale Italiano prescrive che per classi di esposizione 3,4 k1 = 0.5 k2 = 0.4

combinazioni rare combinazioni quasi permanenti

mentre classi di esposizione 1,2 è prescritto k1 = 0.60 combinazioni rare k2 = 0.45 combinazioni quasi permanenti NTC08 La normativa italiana prevede invece la sola differenziazione legata al tipo di combinazione di carico (NTC08 p. 4.1.2.2.5.1): σc 35 MPa

1 a2 =

β fcm =

35 fcm

0.2

se fcm ≤35MPa se fcm >35 MPa

16.8 fcm

fcm è la resistenza a compressione media a 28 giorni in MPa β t0 =

1 0.1+t0.2 0

β t-t0 =



t-t0 !H +t-t0

0.3

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!H =1.5 1+ 0.012RH !H =1.5 1+ 0.012RH

18

h0 +250≤500

18

per fcm ≤35MPa

h0 +250a3 ≤500a3

per fcm >35MPa

Esempio 4.3: Valutare la funzione di viscosità a tempo infinito di una trave in calcestruzzo armato in condizioni di umidità del 65% e la cui sezione risulta rettangolare di dimensioni 30×50 cm. Si consideri un tempo di carico iniziale t0=15gg. L’area esposta è quella dell’intera sezione A=1500 cm2 così come il perimetro p=160 cm. Il parametro h0, rapporto tra il doppio dell’area e il perimetro esposto vale dunque h0=2 ×150000/1600 =187.5 mm. Visto il valore di umidità relativa imposto, occorre interpolare tra i valori delle tabelle 4.4 e 4.5. Calcoliamo il coefficiente di viscosità per un’umidità del 75%. Dalla tabella 2, per t0=15gg, occorre interpolare tra i valori 2.4 e 2.2: ϕ 75% =2.4-

2.4-2.2 187.5-150 =2.35 300-150

Per il caso di umidità del 55% la funzione di viscosità, valutabile dalla tabella 4.3, vale: ϕ 55% =3.0-

3.0-2.7 187.5-150 =2.925 300-150

Il valore del coefficiente di viscosità vale dunque: ϕ ∞,t0 ,RH=65% =2.925-



2.925-2.35 65-55 =2.64 75-55

58



4.1.5. Il ritiro Nel progetto delle strutture in c.a. e c.a.p. occorre tener conto della diminuzione del volume del calcestruzzo nel tempo a causa della continua perdita d’acqua non combinata con il cemento. Tale fenomeno che va sotto il nome di ritiro dipende in genere dalla composizione del calcestruzzo (essenzialmente rapporto acqua/cemento), dalla geometria dell’elemento strutturale e dall’umidità e dalla temperatura ambientale. Il ritiro si manifesta in tre fasi distinte -Ritiro plastico: si sviluppa nei primi giorni dopo il getto. !p è la contrazione che subisce il calcestruzzo nella fase plastica per evaporazione dell’acqua dalla superficie del getto verso un ambiente insaturo di vapore (U.R.1000 Mpa) FeB44k (350-400 Mpa) FeB22k – 200 MPa

e

Figura 4.17 – Resistenze tipiche di acciaio da c.a. e c.a.p.

L’uso di acciai ad alta resistenza permette di ottenere contemporaneamente una riduzione importante delle sezioni d’acciaio e una riduzione del peso proprio. La riduzione delle sezioni d’acciaio è ovvia data l’aumento considerevole della resistenza. La riduzione del peso proprio è invece legata alla prassi di utilizzare un grado di precompressione per la quale il



64



calcestruzzo sia totalmente reagente. In questa condizione, essendo la quantità di calcestruzzo reagente maggiore, di ottiene una riduzione delle sezioni e dunque del peso proprio. In genere le armature di precompressione si presentano sotto forma di fili o trefoli che non hanno alcuna limitazione nella lunghezza, o in barre di lunghezza massima pari a 15-20 m. Esistono infine cavi di grandi capacità 2.5-4.0 MN. L’acciaio per armature da precompressione è generalmente fornito sotto forma di: ü Filo: prodotto trafilato di sezione piena che possa fornirsi in rotoli (Fig. 4.18c); ü Barra: prodotto laminato di sezione piena che possa fornirsi soltanto in forma di elementi rettilinei. Essa ha il vantaggio di poter essere giuntata (F 4.18a). Ciò permette una più agevolmente posa in opera delle armature di precompressione. ü Treccia: 2 o 3 fili avvolti ad elica intorno al loro comune asse longitudinale; passo e senso di avvolgimento dell’elica sono eguali per tutti i fili della treccia; ü Trefolo: fili avvolti ad elica intorno ad un filo rettilineo completamente ricoperto dai fili elicoidali (Fig. 4.18b). (b)

(a)

barra

Trefolo

Figura 4.18 – Differenti topologie di Trefoli



65



(c)

Filo

I fili possono essere tondi o di altre forme; vengono individuati mediante il diametro nominale o il diametro nominale equivalente riferito alla sezione circolare equi pesante. Le barre possono essere lisce, a filettatura continua o parziale, con risalti; esse vengono identificate mediante il diametro nominale. La tabella seguente riporta le caratteristiche meccaniche degli acciai da precompresso, le quali devono essere garantite dal produttore (NTC-08 – p. 11.3.3.2) Tabella 4.8 – Caratteristiche meccaniche degli acciai da precompresso

Le NTC-08 riportano al punto 11.3.3.2 che per il modulo di elasticità si deve fare riferimento al catalogo del fornitore. In assenza di più precise indicazioni si utilizza il valore Ep=205000 MPa.

4.2.2. I modelli di calcolo Per il diagramma tensione-deformazione dell’acciaio è possibile adottare opportuni modelli rappresentativi del reale comportamento del materiale, che sono definiti in base al valore di alcuni parametri caratteristici: a) deformazione ultima eud=0,9euk dove euk=(Agt)k è la deformazione uniforme ultima, b) valore di calcolo della tensione di snervamento fyd e c) rapporto di sovraresistenza k=(ft /fy)k. La resistenza di calcolo viene valutata a



66



partire dalla resistenza caratteristica diviso per il coefficiente di sicurezza ga assunto pari a 1.15. In Fig. 4.19 sono rappresentati i modelli s - e per l’acciaio: (a) bilineare finito con incrudimento; (b) elastico-perfettamente plastico indefinito.

Figura 4.19 – Legame costitutivo degli acciai da precompresso

Figura 4.20 – Legame costitutivo di Menegotto-Pinto

Per il precompresso viene generalmente adottato il modello (a) che prevede anche un incrudimento post-elastico, tipico degli acciai armonici. Nel caso si utilizzi il modello (b) non è prevista alcuna limitazione nella deformazione massima se non la



67



deformazione ultima sperimentale pari a eud = 0,9euk dove euk=(Agt)k . Per il significato dei simboli vedi la tabella 4.8. I valori caratteristici per la definizione dei modelli (a) o (b) devono essere determinati da opportune prove di accettazione, così come previsto dalla normativa. Come per il calcestruzzo, qualora si presentasse la necessità di effettuare analisi non lineari, si possono adottare modelli più raffinati in grado anche di simulare il comportamento ciclico dell’acciaio. Il più utilizzato è quello di Menegotto-Pinto, Fig. 4.20, [Menegotto and Pinto, 1973].

4.2.3. Tensioni limite in condizioni iniziali e in esercizio Le tensionali limite riferite ad acciai da precompresso, così come previsto dall’Eurocodice 2, sono le seguenti: All’atto del tiro s spi £ s si = min 0.8 f ptk ,0.9 f p0,1k

(

)

Condizioni di esercizio s spe £ 0.75 f pk La normativa italiana (NTC-08 p. 4.1.8.1.4) prevede limiti tensionali leggermente diversi. In particolare impone che le tensioni iniziali all’atto della tesatura dei cavi debbano rispettare la più restrittiva delle seguenti limitazioni:

sspi < 0,85 fp0,1k sspi < 0,90 fp0,1k

sspi < 0,75 fpk per armatura post-tesa sspi < 0,80 fpk per armatura pre-tesa

In esercizio invece la tensione nell’acciaio non deve superare il seguente limite:



68



ss < 0,80 fpyk Il significato delle grandezze utilizzate nelle espressioni precedenti è illustrato nella figura 4.21: s fpk

fp0,1k

fp0,1k f pyk

Es =195000 MPa trecce-trefoli Es =205000 MPa barre-fili

0.1%

e

Figura 4.21 – Significato grandezze meccaniche dell’acciaio da c.a.p

4.2.4. Il rilassamento Un fenomeno duale della viscosità nel calcestruzzo è quello del rilassamento, che si manifesta nell’acciaio come diminuzione della tensione a deformazione costante. Questo fenomeno assume particolare rilevanza negli acciai da precompresso per i quali una diminuzione di tensione al loro interno produce una diminuzione del grado di precompressione nella struttura. La legge con cui varia nel tempo la tensione a deformazione costante nell’acciaio ha qualitativamente l’andamento indicato in figura 4.22.



69



s1 s2 s0

t1 = 0 t2 = ¥

e1 = e 2 Figura 4.22 – Influenza del rilassamento sul diagramma s-e

La tensione inizialmente variabile linearmente con la deformazione diminuisce poi con andamento non-lineare; in particolare la tensione massima si attesta a tempo infinito su un valore inferiore del 10-20% rispetto a quello iniziale. L’andamento nel tempo si assume in genere logaritmico. Il fenomeno si manifesta per tensioni elevate mentre per valori molto bassi di tensione il fenomeno è praticamente assente. Temperature elevate aumentano il fenomeno del rilassamento che in condizioni ambientali estreme può essere particolarmente rilevante. Per questo motivo nel caso di contenitori nucleari precompressi si deve porre particolare attenzione al fenomeno del rilassamento per la presenza di temperature dell’ordine di 100-120°, (Fig. 4.23).

Figura 4.23 – Influenza della temperatura sul rilassamento



70



La normativa italiana (NTC08 p. 11.3.3.3) fornisce le seguenti espressioni per il calcolo delle cadute di tensione da rilassamento dell’acciaio da precompresso utilizzabili in assenza di sperimentazione diretta: ∆-pr

t -pi 1000 ∆-pr t =0.6641000 e 9.1 μ -pi 1000 ∆-pr t =1.9841000 e 8.0μ -pi 1000 =5.3941000 e 6.7μ

0.75 1-μ

0.75 1-μ

0.75 1-μ

×10-5 ×10-5 ×10-5

ü spi è la tensione iniziale nel cavo; ü r1000 è la perdita per rilassamento (in %) a 1000 ore dopo la messa in tensione, a 20 °C e a partire da una tensione iniziale pari a 0,7 della resistenza fp del campione provato; La tabella 4.9 fornisce i valori per le varie classi di acciaio. ü µ= spi/fpk; ü fpk è la resistenza caratteristica dell’acciaio da precompressione; ü t è il tempo misurato in ore dalla messa in tensione. Le espressioni precedenti si devono utilizzare rispettivamente per acciai di classe 1, 2 e 3 secondo quanto indicato nella tabella 4.9. Tabella 4.9- valore della perdita di rilassamento a 1000 ore Classe di armatura r1000 Classe 1 – trecce, filo o trefolo ordinario 8.0 Classe 1 – trecce, filo o trefolo stabilizzato 2.5 Classe 1 – Barra laminata 4.0

Il calcolo a tempo infinito della caduta per rilassamento può essere determinato utilizzando un tempo convenzionale t=500.000 ore.



71



Esempio 4.4: Valutare la perdita per rilassamento a tempo infinito di trefoli d’acciaio armonico di classe 1 con resistenza caratteristica fptk = 1800 MPa soggetto ad una tensione iniziale spi = 1300 MPa. Essendo l’acciaio di classe 1 per il calcolo della perdita di rilassamento deve essere utilizzata la prima espressione con una perdita a 1000 ore pari a r1000 = 8.0: Ds pr

s pi

= 5.39 r1000e

6.7 µ æ

t ö ç ÷ 1000 è ø

0.75(1- µ )

5

10 = 5.39 × 8 × e

6.7

1300 1300 0.75(1) 1800 500000 ö 1800 æ 105 ç ÷

è 1000 ø

= 0.199

La perdita vale dunque Dspr=258.78 MPa

4.2.5. Modelli reologici per il rilassamento Al pari della viscosità, il fenomeno del rilassamento rappresenta un fenomeno di natura reologica, e dunque, come descritto nel paragrafo precedente, dipendente dal tempo. Per una descrizione analitica di prima approssimazione del fenomeno è possibile, in maniera duale a quanto fatto per il calcestruzzo, utilizzare semplici modelli reologici come il modello di Maxwell o il modello di Kelvin-Voigt. Ad esempio, con riferimento al modello di Maxwell, la cui equazione costitutiva è data dall’equazione (4.5), applicando una deformazione e = cost, la soluzione risulta la seguente: s = s0 e-K/C t Tale equazione mostra un andamento esponenziale del decadimento della tensione a partire dalla tensione iniziale s0.



72



σ σ0 C2/K2 C1/K1 t Figura 4.24 – Influenza del tempo di rilassamento sul diagramma s-e

In Fig. 4.24 è mostrato in maniera qualitativa l’andamento della tensione in funzione del tempo. Tale andamento, è certamente coerente con quanto disponibile in letteratura su prove sperimentali. In realtà il fenomeno è più complesso. In particolare, l’acciaio sotto rilassamento manifesta un comportamento di natura viscoplastica, con scorrimenti interni di natura irreversibile (plastici). Anche in questo caso esistono modelli di natura semplificata che permettono di tener conto di tale non-linearità, come ad esempio il modello di Bingham [Bazant and Yu, 2013]. Alcune normative hanno proposto formulazioni di natura semplificata in grado di prevedere in maniera affidabile il comportamento dell’acciaio in condizioni di rilassamento. Un esempio è illustrato in figura 4.25 dove il confronto tra i modelli proposti dal CEB-fib (CEB-Fib, 1990) e dall’American Practice (Buckler and Scribner 1985). Volendo utilizzare il modello di kelvin-Voigt risulta evidente dall’eq. (4.5) che la soluzione risulterebbe inadeguata essendo soluzione indipendente dal tempo e uguale alla reazione elastica della molla sotto l’azione di uno spostamento inziale.



73



Figura 4.25 – Andamento nel tempo della tensione per diversi valori della tensione iniziale: confronto con le normative CEB-fib e AP



74



5 STATICA DELLE TRAVI IN C.A.P. In questo paragrafo viene trattata la statica delle sezioni in cemento armato precompresso semplicemente inflesse. Dopo un breve richiamo di geometria delle aree, viene analizzato lo stato tensionale della sezione in fase elastica in presenza di precompressione totale o limitata, per il quale il calcestruzzo è considerato interamente reagente. Si passa poi a esaminare il fenomeno delle perdite istantanee e delle cadute lente di tensione utilizzando le informazioni sul comportamento reologico del materiale contenute nel cap. 4. Per il caso di precompressione parziale, non tratta in questo testo, si rimanda a testi specializzati [Cestelli Guidi 1987], Il comportamento della sezione viene analizzato anche in condizioni di stato limite ultimo con riferimento sia ad azioni di tipo flessionale che tagliante. Infine, l’ultimo paragrafo è dedicato alla statica delle sezioni composte cemento armato – cemento armato precompresso, nel quale si illustra il calcolo tensionale in fase elastica con precompressione totale o limitata nelle diverse fasi di costruzione.

5.1. IL CALCOLO ELASTICO DELLE TENSIONI IN TRAVI DI C.A.P. CON PRECOMPRESSIONE TOTALE O LIMITATA

5.1.1. Richiami di geometria delle aree Come verrà mostrato nei paragrafi successivi, l’analisi dello stato tensionale è strettamente correlato alla valutazione delle caratteristiche geometriche della sezione. Per tale motivo, nel seguito saranno brevemente richiamati alcuni concetti legati alla geometria delle aree, utili per il calcolo delle tensioni e per il progetto di travi in c.a.p.

5.1.1.1.

Definizione di momento statico e sue proprietà

Data la superficie A e detta dA l’area di un elementino appartenente all’area stessa, le cui coordinate rispetto ad un sistema di riferimento (0 x y) siano x e y, si definiscono momenti statici dell’area, rispetto ai due assi x e y, i seguenti integrali: Sx =

A

ydA

Sy =

A

(5.1)

xdA

Si consideri ora un nuovo sistema di riferimento (0’ x’ y’) la cui origine 0’ ha coordinate xg e yg. e gli assi sono paralleli al sistema di riferimento originario. Il momento statico rispetto a questi due nuovi assi può essere così calcolato: Sxg =

A

y-yg dA

Syg =

A

(5.2)

x-xg dA

Gli assi rispetto ai quali il momento statico risulta nullo sono detti assi baricentrici e la loro origine è detto baricentro dell’area A, le cui coordinate si possono ricavare dagli integrali precedenti annullandone il risultato: xg =



Sy A

yg =

Sx

(5.3)

A

76



Si può facilmente dimostrare che il momento statico rispetto a qualsiasi asse passante per il baricentro è nullo. y’

y dA

xg

0’

x’

yg x

0

Figura 5.1 - Posizione del baricentro

5.1.1.2.

Definizione di momento d’inerzia e sue proprietà

Il momento d’inerzia rispetto agli assi x e y della superficie A è così definito: Ix =

A

y2 dA

Iy =

A

x2 dA

(5.4)

mentre il momento polare è definito come l’integrale dell’area per la distanza rispetto al polo considerato. Nel caso che il polo coincida con l’origine degli assi, il momento polare si può esprimere come segue:

IR =

A

r2 dA =

A

x2 +y2 dA =Ix +Iy

(5.5)

Si consideri ora un nuovo sistema di assi (0’ x’ y’) e si calcoli il momento d’inerzia rispetto ai nuovi assi x’ e y’



77



Ix' =

A

y-yg

2

dA

Iy' =

2

(5.6)

x-xg dA

A

Ricordando la definizione di coordinate del baricentro xg e yg gli integrali precedenti, dopo brevi passaggi, possono riscriversi nella maniera seguente: Ix' =Ix +y2g A-2xg Sx

Iy' =Iy +x2g A-2yg Sy

(5.7)

Qualora l’origine del sistema di riferimento originario coincida con il baricentro della sezione, poiché Sx=Sy=0, le equazioni precedenti assumono la forma seguente, che rappresenta il risultato del ben noto teorema di Huygens: Ix' =Ixg +y2g A

Iy' =Iyg +x2g A

(5.8)

Il significato delle precedenti espressioni è il seguente: il momento d’inerzia assiale minimo di una figura rispetto ad una retta di direzione nota si ottiene facendo passare la retta stessa per il baricentro. Si consideri ora il sistema (0 x y) passante per il baricentro dell’area e si calcolino i momenti d’inerzia assiali, rispetto ad un nuovo sistema (0 r s) con origine nel baricentro ma ruotato rispetto al primo dell’angolo a. Dopo semplici passaggi algebrici che tengono conto della trasformazione di coordinate dal sistema (0 x y) al sistema (0 r s) si ottengono le seguenti espressioni dei momenti d’inerzia rispetto ai due assi r ed s: 2

Ir =

A

s2 dA=

A

ycos-xsinα dA= I cos2 α+Iy sin2 α-Ixy sin2α

Is =

A

r2 dA=

A

ysenα+xcosα 2 dA= I sin2 α+Iy cos2 α+Ixy sin2α



x

x

78



(5.9) (5.10)

dove il termine Ixy rappresenta il momento d’inerzia misto rispetto agli assi x ed y la cui espressione è la seguente: Ixy =

(5.11)

xydA

A

Il momento d’inerzia misto rispetto agli assi r ed s può essere così espresso: Irs = Ix -Iy 2

rsdA= A

ysenα+xcosα ycosα-xsinα dA = A

(5.12)

sin2α+Ixy cos2α

E’ di particolare interesse ricercare i così detti assi principali d’inerzia rispetto ai quali si ha che il momento d’inerzia misto è nullo. Annullando quindi la precedente si ottiene l’angolo a del quale è inclinato il sistema di assi principali r,s rispetto al sistema di riferimento (0 x y): tan2α=

2Ixy

(5.13)

Iy -Ix

Nel caso in cui l’origine degli assi coincide con il baricentro, gli assi principali sono detti anche assi baricentrali.

5.1.1.3.

L’ellisse centrale d’inerzia e la relazione di antipolarità

Si definisce ellisse centrale d’inerzia di un’area, l’ellisse con centro nel baricentro dell’area stessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d’inerzia massimo e minimo della sezione. Essa fornisce un’indicazione rapida sul comportamento flessionale della sezione. x2

r 2y



+

y2

r x2

=1

(5.14)

79



Ellisse centrale d’inerzia rY

y

rX

Asse neutro

x

Retta antipolare rispetto all’ellisse centrale d’inerzia

Figura 5.2 – Ellisse centrale d’inerzia e relazione di antipolarità

Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L’asse neutro è l’antipolare del centro di pressione rispetto all’ellisse centrale d’inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la tensione si ottiene l’equazione dell’asse neutro:

N Nx 0 Ny 0 + x+ y =0 A Iy Ix

(5.15)

Ossia, moltiplicando per l’area e dividendo per lo sforzo N si ha:

x 0x

r

2 y

+

y0 y

r x2

+1 = 0

(5.16)

La precedente è nota dalla geometria come retta antipolare rispetto all’ellisse centrale d’inerzia del polo di coordinate x0 e y0. Ciò dimostra come l’asse neutro sia una caratteristica esclusivamente geometrica della sezione.



80



5.1.1.4.

Nocciolo centrale d’inerzia

Il nocciolo centrale d’inerzia è il luogo dei centri di pressione tali per cui l’asse neutro non taglia mai la sezione e quindi la sezione risulta interamente compressa. Detta An l’area del nocciolo centrale d’inerzia, la condizione per cui la sezione rimanga interamente compressa si esprime come segue:

x 0x

r

2 y

+

y0 y

r x2

+1> 0

"x , y Î An 1

(5.17)

Nel caso di pressoflessione retta si è in genere interessati ai punti di frontiera del nocciolo per il quale l’asse neutro è ortogonale all’asse di sollecitazione ed è tangente alla sezione rispettivamente al lembo inferiore e superiore. Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore ci e cs. Nel caso ad esempio della figura 5.3, per individuare la loro posizione basta far riferimento all’equazione della retta antipolare con la condizione che essa passi per i punti x=0 e y=yi per individuare cs e y=ys per individuare ci : yCs y i

r x2

yCi y s

r x2

+ 1 = 0 ® yCs = + 1 = 0 ® yCi = -

r x2 yi

r x2 ys

=-

Wxi Ac

(5.18)

=-

Wxs A

(5.19)

b

b/3 s

h/3

x y b

h

ce x

n

yG

cs

x

h

ys

yci yi

ci

ci

ycs

y

b0 y

Figura 5.3 – Nocciolo centrale d’inerzia di sezoni rettangolari e a T



81



Esempio 5.1: Si determini il nocciolo centrale d’inerzia di una sezione rettangolare di base b e altezza h.

bh 3 I h2 r x2 = x = 12 = A bh 12

y Cs = -

r x2 yi

=-

® y Ci = -

r x2 ys

=-

h 2 / 12 = h /6 - h/2

h 2 / 12 = -h / 6 h/2

Esempio 5.2: Si determini il nocciolo centrale d’inerzia di una sezione a T con spessore dell’anima b0, larghezza dell’ala b, spessore soletta s e altezza della sezione h: 1) Determinazione della posizione del baricentro

S yG = n = A

h s b0h + (b - b0 )s 2 2 b0h + (b - b0 )s

2) Determinazione del raggio giratore d’inerzia rispetto all’asse baricentrico (asse x) b0h 3 (b - b0 )s 3 s h + - ( b - b0 )s( - yG ) 2 - b0h( - yG ) 2 Ix 2 12 12 2 2 rx = = A b0h + (b - b0 )s

3) Una volta noto il giratore d’inerzia r i punti di nocciolo si determinano con le formule 5.18 e 5.19. Esempio 5.3: Determinare le caratteristiche geometriche (baricentro, momenti d’inerzia, punti di nocciolo) della sezione indicata in figura :



82



Poiché la sezione è divisibile in rettangoli, assumiamo per semplicità che essa sia suddivisa in 4 parti, numerate come indicato in figura. a

a y=y'

G

x

a

yci=1.55a

7a

5a

2

ycs=2.06a

a

1

a

4

3 2a

a

x'

2a

5a

Calcolo dell’area L’area è data dalla somma delle aree dei 5 rettangoli: A=13 a2 Calcolo baricentro xg =Sy’/A=0 yg =

Sy ' A

=

5 i=1 Si

A

=

3a×a×

13 a a+6a×a×3a+2×2a×a× 2 2 = 79 a≅3a 2 13a 26

Calcolo Momenti d’inerzia Seguendo la suddivisione indicata in figura si ha per il momento d’inerzia rispetto all’asse x l’espressione:



83



Ix =

1 7 3a×a3 +3a×a× a 12 2

2

+

1 1 5 a× 6a 3 +2 2a×a3 +2a×a× a 12 12 2

2

=

241 4 a 3

Analogamente per il momento d’inerzia rispetto all’asse y: Ix =

1 1 1 157 4 a× 3a 3 + 5a×a3 + a 5a 3 = a 12 12 12 12

Calcolo punti di nocciolo Il punto di nocciolo superiore è dato dalla formula: ycs =-

Wxi Ix 241 a3 ===2.06a A yi A 3 -3a×13a2

Analogamente per quello inferiore Wxs Ix 241 a3 yci ====-1.55a A ys A 3 4a×13a2

5.1.2. Il calcolo delle tensioni Tra le verifiche in esercizio previste dalla normativa per il c.a.p., c’è la verifica dello stato tensionale. Poiché una trave in cemento armato precompresso è realizzata per fasi successive, la verifica tensionale dovrà essere estesa a ognuna di esse. In ogni caso, sono previste almeno due differenti verifiche, corrispondenti alle seguenti fasi costruttive: 1) condizioni a vuoto: all’atto del tiro, in sezioni di c.a.p. a cavi posttesi o pre-tesi, occorre verificare che le tensioni massime raggiunte nel cavo e nel cls siano minori di prefissati valori ammissibili. In tali condizioni, oltre la precompressione che agisce a livello di cavi, agisce il



84



peso proprio della trave. Lo sforzo di precompressione deve essere scontato delle perdite istantanee di tensione (vedi par. 5.1.3) Di conseguenza, nella generica sezione di una trave in calcestruzzo armato precompresso agiscono le forze illustrate in figura 5.4, dove MG è il momento dovuto al peso proprio e Ni è lo sforzo normale nei cavi di precompressione, derivato dallo sforzo normale iniziale N0 ridotto delle perdite istantanee DNp. L’effetto del momento MG è quello di traslare lo sforzo di precompressione della quantità e1=MG/(N0-DNp). Nel caso di precompressione totale tale eccentricità, come vedremo meglio nel Capitolo 6, è bene che sia tale da fare cadere il centro di pressione proprio nel punto di nocciolo inferiore, garantendo in tal modo la totale compressione della sezione, sfruttando quindi la massima eccentricità possibile. In condizioni di precompressione limitata si ammette al lembo superiore la presenza di trazione, con la condizione che la trazione si mantenga entro i limiti imposti dalla normativa. In tal caso il centro di pressione può anche cadere al di sotto del punto limite inferiore del nocciolo centrale d’inerzia Ci. 2) condizioni di esercizio o lungo termine: dopo la messa in esercizio della struttura e scontate le cadute lente DNL (vedi par. 5.1.3) occorre verificare l’efficacia della precompressione. In condizioni di precompressione totale la sezione deve essere interamente compressa. Nel caso di precompressione limitata occorre verificare il rispetto del limite massimo imposto dalla normativa alla tensione di trazione nel calcestruzzo. M = MG+Mp+q

M = MG

G

G

G =

=

G

==

yp

e1

e1

N i=

No - DNp

e

Figura 5.4 – Sistema di forze nella sezione in condizioni a vuoto



e2

N=N0-DNp-DNL

Figura 5.5– Sistema di forze nella sezione in condizioni di esercizio

85



Possono poi rendersi necessarie ulteriori verifiche nel caso in cui la precompressione venga applicata per fasi successive, dove i cavi non vengono tesi contemporaneamente. Poiché nella fase di esercizio il cavo di precompressione è solidale al calcestruzzo, la variazione di tensione si ripercuote anche sui cavi di precompressione. Le forze agenti sulla sezione di cls sono illustrate nella figura 5.5, dove Mp+q rappresenta il momento dovuto ai sovraccarichi esterni (permanenti e variabili). Lo sforzo normale Ne derivato dallo sforzo normale iniziale N0, già ridotto delle perdite iniziali DNp, deve essere ulteriormente ridotto delle cadute lente DNL. L’effetto di Mp+q è quello di spostare dell’ulteriore quantità e2=Mp+q/(N0-DNp-DNL) la forza di precompressione, rispetto all’eccentricità e1. Nel caso di precompressione totale l’eccentricità e2 deve essere tale che il centro di pressione ricada al massimo nel punto limite superiore del nocciolo centrale d’inerzia, garantendo in tal modo la totale compressione della sezione. Nel caso di precompressione limitata è ammesso che il centro di pressione cada al di sopra del punto di nocciolo superiore Cs con la conseguente nascita di una tensione di trazione al lembo inferiore della sezione; quest’ultima deve essere inferiore ai limiti di normativa. In caso contrario la sezione diverrebbe parzialmente precompressa.

5.1.2.1.

Il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo in condizioni inziali

La sezione risulta interamente reagente e dunque l’azione dello sforzo di precompressione iniziale Ni (al netto delle perdite di tensione DNp) e del peso proprio si traduce nelle seguenti espressioni della tensione minima e massima nel calcestruzzo.



86



N i N i e MG + Aid Wid i Wid i N e M N = i + i s - Gs Aid Wid Wid

s c ,max = s c ,min

(5.20)

Nelle eq. 5.20 Wid e MG ed e devono essere considerati con il loro segno. Per convenzione le tensioni sono considerate positive se di compressione e i momenti positivi se tendono le fibre inferiori. La convenzione dei segni positivi e degli assi di riferimento sono quelli indicati in figura 5.6. La figura 5.6 mostra sinteticamente anche le varie componenti della tensione in condizioni a vuoto causate dalla precompressione e dal peso proprio. sc,min M = MG - Ne

ys

G

N/A

N/A N

yi

(+)

(-)

(+)

e

x

+

=

=

+ (+)

(+)

(+) (-)

sc,max

y

Figura 5.6 – Stato tensionale nella sezione in condizioni a vuoto

Osservazione: Le caratteristiche geometriche della sezione omogeneizzata a calcestruzzo (Aid,Jid) , nel caso di travi a cavi post-tesi, sono quelle delle sezione di calcestruzzo depurata dell’area dei cavi in quanto nella fase a vuoto le guaine non sono ancora state sigillate con la malta.



87



5.1.2.2.

Il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo a lungo termine

In questa fase oltre allo sforzo di precompressione e al momento dovuto al peso proprio (MG) agiscono anche momenti dovuti ai sovraccarichi permanenti e accidentali Mp+q. La verifica più gravosa, a meno di situazioni particolari, è senza dubbio quella riferita a tempo infinito dove anche le cadute di tensione DNL possono considerarsi totalmente scontate. Le eq. 5.21 forniscono le espressioni della tensione minima e massima nel calcestruzzo, dove Aid e Jid rappresentano rispettivamente l’area e il momento d’inerzia della sezione omogeneizzata a calcestruzzo. N e M G + M p +q Ne + es Aid Wid Wid s N e M G + M p +q N = e + ei Aid Wid Wid i

s c , max = s c , min

(5.21)

ys

yi

G

e

N

M = MG +Mp+q - Ne

La figura 5.7 illustra la componente di tensione aggiuntiva rispetto a quelle di figura 5.6 e l’andamento finale delle tensioni.

N/A

N/A

+

= sc,min

Figura 5.7 – Stato tensionale nella sezione a lungo termine



88



5.1.2.3. Il calcolo delle tensioni nell’acciaio Il calcolo della tensione nell’armatura di precompressione si differenzia anch’esso per condizioni a vuoto e di esercizio. Condizioni a vuoto Nelle condizioni a vuoto (precompressione + peso proprio) lo sforzo normale a livello dell’armatura di precompressione si differenzia ulteriormente per i casi di travi con armatura pre-tesa o post-tesa. Per travi precompresse a cavi post-tesi, il momento MG non altera il valore iniziale del tiro al netto delle perdite istantanee (DNp), poiché il cavo non è solidale con il calcestruzzo (guaine non sigillate con cavo scorrevole):

s si =

N 0 - DN p

(5.22)

Ap

Nel caso di travi a fili pretesi, poiché l’armatura di precompressione è aderente al calcestruzzo fin dal rilascio dei cavi, la tensione nei cavi risentirà, oltre che delle perdite istantanee, anche dell’effetto del momento dovuto al peso proprio della trave (tensione di trazione):

s si =

N 0 - DN p Ap

+n

MG e J id

(5.23)

Il momento d’inerzia Jid è quello riferito alla sezione ideale, mentre n è il coefficiente di omogeneizzazione (n=Ep/Ec). Condizioni di esercizio Per il caso di travi a cavi post-tesi, nelle condizioni di esercizio, al momento MG si aggiunge il momento Mp+q che tendendo le fibre inferiori provoca un aumento dello sforzo di trazione N a livello dell’armatura di precompressione, che si trasferisce al cavo stesso in quanto ora solidale



89



con la sezione di calcestruzzo a causa della sigillatura del cavo. Dunque la tensione nel cavo vale: s sp =

N 0 - DN p - DN L Ap

+n

M p +q J id

(5.24)

e

Nel caso di travi a fili pretesi la tensione nell’armatura risentirà anche del momento dovuto ai sovraccarichi permanenti e variabili (p+q):

s sp =

N 0 - DN p - DN L Ap

+n

M G + M p +q J id

(5.25)

e

Esempio 5.4: Si consideri la sezione in c.a.p. a cavi post-tesi illustrata in figura, le cui caratteristiche geometriche sono di seguito indicate assieme alle sollecitazioni. In condizioni di esercizio i carichi sono considerati in combinazione rara e condizioni ambientali ordinarie.

Caratteristiche della sezione e sollecitazioni



Sez

Ac,id (m2)

Ap (cm2)

Jid (m4)

ep (m)

MG (kNm)

Mp+q (kNm)

Ni (kN)

Ne (kN)

Cls Vuoto Eserc.

1,125 1,121 1,149

45 45 45

0,153 0,166 0,166

0,667 0,672 0,645

1800 1800 1800

1200 1200 1200

4500 4500 4500

3800 3800 3800

90



Nella tabella sono riportate le caratteristiche geometriche della sezione a vuoto e in esercizio. Nella stessa tabella sono anche indicati i momenti sollecitanti a vuoto e in esercizio (MG, Mp+q) e le corrispondenti forze di precompressione (Ni, Ne) Le proprietà meccaniche dei materiali e le condizioni da considerare sono le seguenti: • Calcestruzzo: Classe di resistenza minima per le costruzioni in c.a.p., ovvero la C28/35 . • Acciaio: resistenza Caratt. trefoli fpk=1700MPa, fpyk=1300 MPa, • Tiro dei cavi a 14 gg dal getto. • Ambiente poco aggressivo. Le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo secondo le NTC-08 sono le seguenti: • • • • •

Resistenza cubica del cls: Rck =35 MPa Resistenza caratteristica a compressione del cls: fck =29.05 MPa Resistenza media a compressione del cls: fcm =fck +8=37.05 MPa Resistenza media a trazione del cls: fctm =0.3fck 2/3 =2.835 MPa Resistenza a compressione e trazione del cls al tiro (si utilizzano le formule dell’EC2 p. 3.1.2):

Le resistenze medie a compressione e trazione del cls al tempo j=14gg sono le seguenti: fcmj =fcm 28 gg × e

0.25 1-

28 14

=37.05x 0.902 = 33.40 MPa (media a compressione)

fckj =fcmj - 8 Mpa = 25.40 MPa (caratteristica a compressione) fctmj =fctm 28 gg × e

s 1-

28 14

= 2.556 MPa (media a trazione)

Calcolo tensioni limite



91



Tensione massima di compressione ammissibile nel calcestruzzo in condizioni iniziali: scci 2.5) assieme alla loro distribuzione lungo l’altezza nella sezione di mezzeria. Quest’ultima è generalmente lineare e l’ipotesi di Bernoulli può quindi essere ritenuta valida.

Figura 8.2

Figura 8.3

Non appena il rapporto l/h scende, l’andamento delle tensioni lungo l’altezza si allontana rapidamente da quello lineare. Un esempio è illustrato nella figura 8.3 dove l’andamento delle tensioni nella sezione di mezzeria risulta essere altamente non lineare. Ciò dimostra chiaramente la necessità di adottare metodi di calcolo differenti da quelli convenzionali, i quali siano in grado di interpretare lo stato tensionale e di tradurlo in indicazioni di natura progettuale (dimensionamento dell’armatura e verifica del calcestruzzo). Per l’applicazione dell’ipotesi di Bernoulli è necessario individuare l’estensione delle B-Regions e conseguentemente delle D-Regions. A tale scopo è utile il principio di De Saint-Venant. Ad esempio in una trave appoggiata con carico concentrato in mezzeria, il principio di D-SaintVenant suggerisce la distribuzione delle D-Regions indicate in figura 8.4.

individuata mettendosi ad una distanza pari a all’altezza della trave di carichi concentrati (forza o reazioni di estremità).

Figura 8.4

Il risultato dell’applicazione del principio di De Saint Venant non è però sempre così preciso, anche se generalmente non è necessaria una enorme accuratezza, ma piuttosto un’idea considerata ragionevole delle zone dove poter applicare o meno l’ipotesi di Bernoulli. La figura 8.4 mostra alcune significative zone di disturbo con la relativa estensione (FIP Textbook, Vol. 3).

8.2 I modelli strut-and-tie (SAT) 8.2.1

Principi del metodo

Normalmente le zone di disturbo possono essere agevolmente studiate mediante lastra caricate nel proprio piano, anche se non mancano casi nei quali la distribuzione delle tensioni è tridimensionale. Finché il calcestruzzo rimane confinato nel campo non fessurato, modelli elastici agli elementi finiti possono essere utilizzati proficuamente per capire quale sia l’andamento delle tensioni principali all’interno della zona d’interesse e individuare le zone per le quali è necessaria l’armatura in grado di assorbire trazioni e le zone ad elevata



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concentrazione di tensioni di compressione, pericolose per il calcestruzzo. Da un punto di vista concettuale l’analisi elastica non richiede grossi sforzi e può essere facilmente applicata in tutti i casi. Occorre però porre particolare attenzione ai punti singolari (spigoli, forze concentrate, etc..) dove la tensione può aumentare considerevolmente, a causa dell’approssimazione del modello. Ad esempio, è noto che il calcolo delle tensioni sul terreno causate da un plinto rigido, se condotto sotto l’ipotesi di terreno elastico rigido, produce tensioni elevate in corrispondenza degli spigoli del plinto a contatto col terreno (Fig. 8.5). Tali valori, a causa del comportamento elastoplastico del terreno non rappresentano però quantità utilizzabili nelle verifiche geotecniche.

Figura 8.5

Inoltre non appena il calcestruzzo si fessura e compaiono fenomeni di non linearità meccanica dei materiali le previsioni di un modello elastico possono divenire totalmente inattendibili. Per la definizione di modelli agli E.F. affidabili, occorre inoltre determinare correttamente le condizioni al contorno, sia cinematiche sia statiche. Ad esempio, le zone di appoggio, normalmente considerate puntuali, nel caso si vogliano modellare zone di disturbo, devono essere considerate con la loro reale estensione; oppure nelle sezioni di separazione tra zone B e D occorre valutare l’effettiva distribuzione delle tensioni per riprodurne l’effettivo andamento all’interno della zona di disturbo. Per la valutazione dell’armatura in tali zone occorre indagare l’andamento delle tensioni di trazione e scegliere una distribuzione di

armature in grado di assorbirle. Il problema maggiore sta proprio nell’interpretazione dei risultati per il conseguente sviluppo del layout d’armatura. In alcune occasioni i risultati del metodo possono essere non facilmente interpretabili soprattutto per zone D di dimensioni ridotte, per le quali spesso il modello strut-and-tie si presta a essere utilizzato più facilmente. Un altro problema legato a modelli elastici è l’impossibilità di valutare le forze di ancoraggio necessarie per un buon funzionamento statico, soprattutto in presenza di fessurazione del calcestruzzo e di fenomeni non lineari. L’esperienza passata suggerisce comunque che l’armatura di un elemento dimensionata mediante modelli elastici sia comunque abbastanza affidabile, e scegliere una distribuzione molto diversa da quella suggerita da tali modelli potrebbe risultare oltremodo pericolosa. In quanto segue verranno illustrati i principi del metodo di analisi delle zone di discontinuità e i metodi di calcolo elastici che ne derivano.

8.2.1.1

Metodo degli Elementi finiti

Per valutare l’andamento delle tensioni all’interno di una zona di discontinuità possono essere proficuamente analizzate le linee isostatiche. Esse permettono di avere un quadro di come le tensioni massime e minime (tensioni principali) si distribuiscono all’interno della zona D. Da esse è possibile quindi ricavare un modello a traliccio composto da puntoni (strut) e tiranti (tie). I primi devono descrivere il tracciato delle linee isostatiche di compressione, mentre i secondi rappresentano l’armatura che serve per assorbire gli sforzi di trazione.



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Figura 8.6

Ad esempio, si consideri il caso di un plinto su pali o superficiale rappresentati in figura 8.6, dove vengono anche illustrati gli andamenti delle tensioni principali di trazione e compressione. A partire dal punto di applicazione del carico verticali le tensioni principali di compressione si distribuiscono in maniera da formare un flusso tensionale facilmente riconoscibile, compreso fra il punto di applicazione carico stesso e i due appoggi inferiori nel caso di plinto su palo. In tal caso è facilmente immaginabile sostituire tale flusso con i puntoni inclinati indicati in figura (Fig. 8.7). L’equilibrio nei nodi richiede inoltre che ci sia un tirante posto in basso in grado di assorbire lo sforzo di trazione che nasce per l’inclinazione dei puntoni.

ù

Figura 8.7

Figura 8.8

Anche nel caso di plinto superficiale si riconosce il flusso di tensioni di compressione in grado d’identificare un puntone compresso, così come le tensioni di trazione, le quali addensandosi verso il lato di appoggio del plinto sul terreno permettono di individuare un tirante equivalente (Tie). Un altro esempio è illustrato in figura 8.8, relativo a una trave alta con carico distribuito applicato all’estradosso. Le linee isostatiche di compressione partono dall’estradosso fino ad addensarsi in prossimità degli appoggi. Le linee isostatiche di trazione sono invece quasi orizzontali. Anche in questo caso è particolarmente agevole individuare un modello SAT di prima approssimazione, come quello indicato nella stessa figura 8.8.

8.2.1.2

Metodo dei percorsi di carico

Un metodo alternativo a quello degli E.F. è il metodo dei percorsi di carico che fa uso dell’analogia meccanica tra il flusso di un liquido e le forze interne. In particolare, s’individuano dei percorsi di carico che rappresentano le linee percorse dal carico dal punto di applicazione fino all’appoggio. Tali linee sono delle linee lungo le quali la componente di forza verticale rimane costante. La figura seguente illustra un esempio relativo ad una trave alta. La curvatura di tali percorsi indica la direzione delle forze di deviazione che sorgono per il rispetto dell’equilibrio globale del sistema di linee di carico. La curvatura delle linee di carico indica anche la loro



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direzione. Nel caso illustrato in figura 8.9 una curvatura verso l’interno indica che le forze che si scambiano le due linee di carico sono di compressione in quanto i percorsi di carico si avvicinano e le componenti orizzontali della forza sono dirette verso l’esterno. Verso gli appoggi la situazione si inverte in quanto le linee si allontanano e le forze di deviazione diventano di trazione.

Figura 8.9 A questo punto non è difficile sostituire alle forze di figura 8.9a un modello a traliccio (figura (8.9b). Le linee tratteggiate rappresentano i puntoni le linee continue i tiranti. Questo rappresenta un utile modello Strut-and-tie per la trave alta. Come ulteriore esempio dell’uso dei percorsi di carico si consideri quello di figura 8.10 nella quale il carico è puntuale e in equilibrio con una distribuzione di tensioni di forma triangolare, come nel caso di una trave precompressa.

Figura 8.10

Il primo percorso di carico è ovvio. Una volta trovato la parte di carico che ha come risultante F si valuta il suo baricentro e si unisce la forza con tale punto, seguendo necessariamente un percorso con curvatura variabile. Un secondo percorso, meno ovvio è quello di destra che nasce a causa della nascita di una coppia di forze B che nasce in una delle due forze e unisce la seconda forza della coppia. Il risultato è quello illustrato in figura 8.10. A questo punto è possibile costruire il modello a traliccio . La costruzione di un modello a traliccio non è in realtà univoca. Per ogni applicazione sono possibili diversi modelli a traliccio. Una volta individuato un possibile modello facendo riferimento ai flussi di sforzo ricavati da un'analisi elastica, esso può essere considerato come uno schema iniziale da distorcere in modo parametrico nel tentativo di riuscire a individuare valori ultimi del carico di intensità maggiore. Un modo sistematico per compiere questa ricerca si basa su procedure di ottimizzazione che richiedono l'utilizzo dell'elaboratore elettronico. Il fondamento teorico di tale procedura è legato a uno dei teoremi dell’analisi limite, secondo il quale il modello a traliccio costituisce una soluzione “staticamente ammissibile “ e il cui moltiplicatore di collasso è approssimato per difetto. Il teorema cui ci si riferisce è il teorema del limite inferiore .



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Figura 8.11

Il teorema del limite inferiore afferma che se esiste un sistema di forze esterne Fi in equilibrio con lo stato tensionale interno in ogni punto e che non viola in nessun punto il criterio di rottura del materiale, allora il collasso non può avvenire e il livello dei carichi considerati rappresenta un limite inferiore per quello di rottura.

Ogni modello SAT è certamente suscettibile di miglioramenti. In particolare può essere aumentata la sua accuratezza introducendo ulteriori sotto-elementi in grado di valutare più in dettaglio il valore locale delle tensioni.

Un esempio è illustrato in figura 8.11 ove sono rappresentati sia il modello SAT di prima approssimazione (b) che un modello SAT più raffinato (c). In particolare, lo stato tensionale di trazione nell’intorno dei due puntoni è stato descritto da due tiranti (Ft2) in grado di quantificare il livello di trazione lungo il percorso di carico. I modelli SAT possono essere utilizzati anche per la valutazione della resistenza a collasso di D-regions. A. La figura 8.12a mostra ad esempio lo stato fessurativo di una trave alta soggetta a un carico uniformemente distribuito applicato all’estradosso della trave stessa. Rispetto al caso di figura 8.8, dove la trave era ancora in fase elastica, la zona compressa si è spostata verso l’estradosso della trave essendo le fessure quasi passanti. Sicché il modello SAT deve essere necessariamente modificato. Un modello staticamente ammissibile è quello rappresentato in figura 8.12b dove al posto del puntone orizzontale ora c’è un tirante. Tale modello ha una maggiore attendibilità in termini di predizione del carico di collasso pari a circa il 94% di quello sperimentale, mentre il modello elastico non arriva al 40%.

Figura 8.12



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8.2.2

Regole per la costruzione dei modelli SAT

Per la costruzione di modelli SAT esistono delle regole generali e raccomandazioni derivate essenzialmente dall’esperienza sul campo. Esse possono essere così riassunte: 1) 2) 3) 4) 5)

Il modello di prima approssimazione deve essere il più semplice possibile con un numero ridotto di puntoni e tiranti. E’ preferibile scegliere tiranti (armature) paralleli ai lati della zona analizzata. In prossimità dei lati della zona è bene infittire le armature e porre il corrispondente tirante nel baricentro delle armature. L’angolo tra i puntoni e i tiranti in un nodo deve essere grande e > 45°, ad eccezione dei casi in cui due tiranti a 90° incontrano un puntone per cui al massimo l’angolo può essere 45°. Le forze concentrate di diffondono all’interno della zona secondo un angolo > 32°

Figura 8.13

Si osservi inoltre che: ü ü

I modelli SAT sono spesso dei quella distribuzione di forze ammissibile. Modelli SAT iperstatici, sono un’analisi di ottimizzazione moltiplicatore di collasso.

meccanismi. Occorre allora cercare che rende il sistema comunque utilizzabili, a patto che si realizzi in grado di massimizzare il

Con riferimento alla figura 8.14, le fasi per la costruzione di un modello Strut-and-tie possono essere così riassunte.

1) 2)

Individuazione delle zone B e D Analisi globale per la determinazione delle forze di interfaccia tra zone B e D Costruzione di un modello a traliccio staticamente ammissibile (SAT) e dimensionamento delle aste compresse e tese Controllo della resistenza dei nodi Distribuzione dell’armatura all’interno della zona D

3) 4) 5)

Figura 8.14



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8.2.3

Resistenze degli elementi e dei nodi di un modello SAT

Per la costruzione di modelli SAT la corretta valutazione della resistenza degli elementi e dei nodi è un elemento essenziale. In fatti, nel caso che i nodi e/o elementi del modello siano effettivamente poco resistenti, il modello stesso verrebbe a perdere senso poiché sarebbe impossibile trasmettere le sollecitazioni agli elementi. La normativa, e in particolare l’Eurocodice 2, fornisce il valore della resistenza nodale per ogni possibile combinazione di sollecitazioni trasmesse dalle aste al nodo stesso. Per gli elementi compressi l’EC2 identifica due differenti condizioni: a) puntone compresso trasversalmente. In tal caso la resistenza è quella a compressione del calcestruzzo fcd.

Figura 8.15

b) Puntone teso trasversalmente Nel caso in cui ci fosse una trazione trasversale del puntone stesso la resistenza verrebbe ridotta di un coefficiente n, come illustrato in figura 8.16

k=0.85 Figura 8.16

Anche per i nodi l’Eurocodice 2 identifica due possibili condizioni:

a) Nodo interamente compresso

Figura 8.16

b) nodo teso-compresso

Figura 8.17

8.2.4 Unicità e accuratezza di modelli SAT Nei paragrafi precedenti si è accennato al fatto che per la scelta di un modello SAT piuttosto che un altro si può operare mediante procedimenti di ottimizzazione. Dovendo scegliere tra più modelli di traliccio, ci si può orientare secondo i seguenti criteri: 1.

condizione di minimo dell'energia di deformazione associata al modello che, nell'ipotesi di comportamento elastico di tiranti e puntoni in fase post-fessurata, è determinabile come:



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S Fi li emi = minimo dove Fi , li, emi indicano rispettivamente sforzo assiale, lunghezza e deformazione dell'i-esimo elemento. In considerazione del contributo esiguo offerto dalle aste compresse (generalmente puntoni di calcestruzzo) rispetto alle barre di armatura, la precedente formula può essere semplificata limitando la sommatoria alle sole aste tese. Il modello corrispondente alla condizione di minimo dell'energia di deformazione sarà quindi quello che presenterà il minor numero di bielle tese e di minor lunghezza. 2.

Utilizzando aspetti operativi associati alla possibilità di una effettiva corrispondenza fra i tiranti del modello e le barre di armatura in opera. A titolo d'esempio si faccia riferimento alle Figure 8.15a e 8.15b;

Figura 8.15

alla soluzione b), che richiederebbe la disposizione di barre d'armature inclinate, è da preferire la soluzione a) facilmente realizzabile sostituendo ai tiranti, ad esempio, una adeguata maglia quadrata d'armatura.

8.3 Il caso di forze concentrate (precompressione) In corrispondenza di forze concentrate come quelle di ancoraggio dei cavi in travi in c.a.p. esistono zone di discontinuità nelle quali non può

essere applicata la teoria di De Saint Venant, ma vanno trattate con modelli ad hoc, come ad esempio modelli SAT (Fig. 8.16).

•  Modelli basati sulla fotoelasticità

Modelli SAT

Figura 8.16

In alternativa esistono modelli analitici basati su teorie ad-hoc che ci permettono di calcolare rapidamente gli sforzi all’interno della zona di ancoraggio di cavi di precompressione. Nei seguenti paragrafi questi metodi verranno brevemente illustrati e commentati.

8.3.1

La diffusione delle forze concentrate: metodi analitici

Lo stato tensionale in una trave in c.a.p. in prossimità delle zone di ancoraggio, sia attivo che passivo, è sede di concentrazione si tensioni che si manifesta in maniera differente, a seconda della tecnologia di precompressione utilizzata. Nel caso di travi a fili pretesi la trasmissione della forza di precompressione avviene per aderenza dei cavi, come illustrato nella figura 8.17.



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Figura 8.17

Il meccanismo che si crea è un meccanismo ad arco dove la parte compressa è confinata in testata, mentre la parte tesa si sviluppa trasversalmente all’armatura di precompressione.

Figura 8.18

Nel caso di travi in c.a.p. a cavi post-tesi la forza di precompressione si trasmette al calcestruzzo per diretta compressione (Fig. 8.18). Questo caso è già stato parzialmente trattato nel paragrafo 8.2.1.2 per mezzo dei modelli SAT. Per entrambi i casi di armatura pretesa o post tesa nascono forze di trazione di trazione in diversi punti della zona di diffusione. Si analizzi a tal proposito la figura 8.19, nella quale si illustrano l’andamento delle isobare di trazione e compressione in una testata di una trave soggetta in testata ad una carico concentrato o distribuito. L’isobara è una linea a tensione costante.

Figura 8.19

Si noti la presenza di tensioni di compressione in prossimità del punto di applicazione delle forze (zona grigia) e di tensioni di trazione ai lati della forza di compressione e nella zona centrale della zona di discontinuità. Per capire meglio il fenomeno fisico associato a questa distribuzione di tensioni si osservi l’ipotetica deformata della trave in prossimità del carico applicato (Fig. 8.20). Si può riconoscere la formazione di un meccanismo a telaio, rappresentato in Fig. 8.21, nel quale la trave caricata in mezzeria e i pilastri si deformano flessionalmente con trazione verso le superfici esterne della zona di discontinuità. La reazione orizzontale del telaio (Ty) provocherà anch’essa sollecitazioni di trazione, ma all’interno della trave. Ne consegue che si possono distinguere almeno tre regioni critiche: a)

la zona a contatto con la piastra di diffusione del carico trasmesso dal cavo, caratterizzata da elevate tensioni di compressione la regione lungo l’asse del carico soggetta a tensioni di trazione di fenditura (bursting)

b)



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c)

le regioni vicine alle superfici libere della trave soggette a tensioni di trazione di sfaldamento (spalling).

Bursting

Spalling

Figura 8.20

Figura 8.21

Nelle travi a fili pretesi sussiste un altro fenomeno che si sviluppa nell’intorno dei cavi di precompressione. Esso va sotto il nome di Splitting e si manifesta come fessure inclinate passanti la zona di discontinuità; è dovuto essenzialmente al meccanismo di trasmissione della forza di precompressione per aderenza (Fig. 8.22, 8.23). Il calcolo delle forze di trazione e quindi dell’armatura necessaria a contrastare i fenomeni di bursting, splitting e spalling è stato formulato in passato sulla base delle osservazioni sperimentali di fotoelasticità. La fotoelasticità è una particolare proprietà di alcuni materiali secondo la quale le caratteristiche ottiche cambiano in funzione dello stato di sollecitazione. Le teorie più consolidate sono opera di Sargius e Iyengar.

Figura 8.22

38°

Figura 8.23 In figura 8.24 sono illustrate le tensioni di trazione sy lungo l’asse di carico dovute agli studi di Iyengar per diversi valori del rapporto a1/a (vedi Fig. 8.18). I valori sono forniti in rapporto ad una tensione costante pari a sp0=P/(a b). La trazione parte da una valore nullo ad una certa distanza dalla testata che dipende dal rapporto a1/a. Inoltre essa presenta un massimo anch’esso dipendente da a1/a.

Figura 8.24

Questo valore può essere utilizzato per il calcolo dell’armatura trasversale di bursting. I risultati in termini di forza di trazione Ty normalizzata a P0 sono anch’essi riportati in Fig. 8.24. Basta determinare il rapporto a1/a per poter calcolare Ty utilizzando la teoria di Iyengar o in alternativa la teoria approssimata di Sargius secondo il quale Ty è data dalla seguente espressione: Ty=0.10÷0.30 spo b (a1-a)



dove

spo =P0 /ab

237



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Nel caso di più cavi di precompressione e/o precompressione eccentrica, per individuare la zona di competenza di ogni singolo cavo è stato proposto da Guyon il metodo dei prismi equivalenti, secondo il quale una volta identificata la distribuzione delle tensioni ad opera, si determina la larghezza di competenza del cavo i-mo. Un esempio è illustrato il Figura 8.25. La larghezza del prisma equivalente (2d) si determina calcolando la tensione media spo e associando a essa una distribuzione costante.

Figura 8.25

Per ciò che riguarda per tensioni di spalling queste possono essere cautelativamente calcolate ipotizzando una forza di trazione Ty=-0.01 P0. Nel caso di fili pretesi, per la determinazione delle tensoni di splitting, si può far riferimento a un angolo di inclinazione delle tensioni di compressione pari a 38°. In virtù di tale ipotesi la forza di spalling si può calcolare come segue: Ts = P0/2 Tan 38°

8.3.2

0.40 P0

La diffusione delle forze concentrate: modelli SAT

In alternativa ai metodi analitici di Sargious e Iyengar è possibile determinare alcune delle armature della zona di ancoraggio mediante modelli SAT.

Figura 8.26

In figura 8.26 è rappresentato il modello SAT di una zona di ancoraggio basata sul metodo dei percorsi di carico. Il carico P si divide in due carichi di entità P/2, ognuno dei quali da origine ad un percorso di carico che congiunge il carico P/2 con il corrispondente carico applicato alla fine della zona di discontinuità. Nel caso di figura la forza di bursting Ty risulta essere pari a 0.19 P che è in linea con i risultati delle teorie di Iyengar e Sargious. Per la determinazione delle forze di bursting in casi più complessi dove sono presenti più cavi inclinati ed eccentrici, si suggerisce di far uso



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del metodo dei prismi equivalenti per individuare la zona di competenza del singolo cavo e poi utilizzare il modello SAT più adatto. Per la determinazione delle tensioni di Spalling e Splitting è difficile formulare un modello SAT affidabile. Si suggerisce quindi di utilizzare le indicazioni del paragrafo precedente.

8.4 Esempi Esempio1: esempio tratto dall’Antonini (esercizio 5.5)

Utilizzando il modello SAT di figura 8.26 il valore della forza di bursting diverebbe Ty=0.19 N = 161 kN, valore molto simile a quello calcolato con le teorie analitiche.



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