Probleme General de la Stabilite du Mouvement. (AM-17), Volume 17 9781400882311

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A n n a l s o f M a t h e m a t ic s S tu d ie s N u m b e r 17

PROBLEME GENERAL DE LA STABILITE DU MOUVEMENT By

M. A. LIAPOUNOFF

PRIN CETO N PRINCETON U N IV ER SITY PRESS L o n d o n : Ge o f f r e y

cu m berlege

OXFORD U N IV ER SITY P R ESS

1947

The present paper is a translation from the Russian of the original of Liapounoff and appeared in the Annates de la Faculte des Sciences de Toulouse, Second Series, Volume 9 (1907). It is being reproduced with the per­ mission of the Editors, Edouard Privat and Company of Toulouse, a courtesy which the editors of the Annals of Mathematics Studies greatly appreciate.

Photo-Lithoprint Reproduction

E D WA R D S

BROTHERS,

I NC.

Lithoprinters ANN

ARBOR,

1947

MI CHI GAN

PROBLEME GENERAL DE

LA STABILITY Dl) MOl'YEMENT, Par

M. A . LIAPO U N O FF.

Traduit du russe par M. Edouard DAVAUX, Ingenieur de la Marine a Toulon ( l ).

PREFACE. Duns cet O uvrage sont exposees- quelques methodes p >ur la resolution des questions concernant les proprietes du m ouvement et, en parlicu lier, de le q u ilibre, qui sont connues sous les denom inations de stabilite et d'in stabilite. Les questions ordinaires de ce genre, auxquelles est consacre eel O uvrage, eonduisent a l ’etude d’ equations differentielles de la forme _ v

dt “

dt

—y

2’

*

(/j'n - v dt

dont les seconds membres, dependant du temps t et des functions inconnues x {,

x n de t , sc de\eloppent, tant que les x s sont assez petits en valeurs absolues, en series suivant les puissances entieres et positives des x s, et s'annulent quand toutes ces variables sont egales a zero. Le probleme revient a savoir s’il est possible de choisir les valeurs iniliales des

(* ) M. L i a p o u n o l f a t i e s g r a c ie u s e m e n t au to ri se la p u b lica tio n en la n gu e fran^ ais e de son Merno ire : O o m A fl 3 AAAUA OOl> ycTOWUHBOCTii /tBHJKEHiH im p r im e en 1892 par la S o c ie t e m a t h e m a tiq u e de K h a r k o w .

La tr ad u c t io n a ete rev u e et c o r r i g e c par l ’au te u r, qui y a

aj ou te une Note r ed igee d ’a p r e s un A rt icle paru en i 8g 3 dan s les Com m unications de la

Societe m athem atique de K h arkow . F ac . de T., 28 S., IX .

27

20 \r

A.

UAPOUNOFF.

functions x s suffisamment petiles pour que, pendant lout le temps qui suit 1'in— slant initial, ces functions dem eurent, en valeurs absolues, inferieures a des iim iles donnees a I’avance, aussi petites q u ’on veut. Ouand nous savons inlegrer nos equations differentielles, ce probleme ne pre­ sente pas assurement de diffieult.es. ]\Iais il serait important d’avoir des methodes qui permettruient de le resoudre, independamm ent de la possibility de eette integration. On sail q u ’il existe des cas oil le probleme considere se ramene a un problem e de m ixim a et de m inim i ( ') . M iis le domaine des questions qui peuvent £tre resolues par ee procede est tres resserre, et dans la plupart des cas il est necessaire de recourir a d’autres methodes. Le precede dont on se sert d’ordinaire consiste a negliger, dans les equations differentielles etudiees, tous les termes d’ordre superieur au prem ier par rapport aux quantites x s et a considerer, au lieu des equations donnees, les equations lineaires ainsi obtenues. C ’est ainsi que la question esttraitee dans i Ouvrage de Thom son et T ait, T re a ­ tise on n a tu ra l P h ilosophy (V o l. I, Part I, 18 79 ), dans les O uvrages de R outh, A Treatise on the sta b ility o f a given state o f motion (18 7 7 ) et A Treatise on the dynam ics o f a system o f r ig id bodies (P art II, 4 e edition, 1884) et, enfin, dans l’Ouvrage de M. Jo u k o vsk y, De la stabilite du mouvement (M emoires scientific/ues de I ’ U niversite de M oscou; Section physico-m athem atique, 4 e Cahier, 18 8 2). Assurem ent le procede q u ’on vient d ’indiquer entraine une sim plification importante, surtout dans les cas oil les coefficients des equations differentielles sont des constantes. Mais la legitim ite d ’ une telle sim plification ne se ju stifie par rien a p rio ri, car au probleme considere on en substitue ainsi un autre avec lequel il peut ne se trouver dans aucune dependance. Du moins il est evident que, si la resolution du probleme sim plifie peut donner reponse a l’ ancien, c ’est seulement sous certaines conditions, et ces dernieres ne sont pas indiquees d ’ordinaire. On doit toutefois rem arquer que ([uelques auteurs (ainsi, par exem ple, R o u th ), reconnaissant que ce procede n est pas rigoureux, ne se bornent pas a une pre­ miere approxim ation, a laquelle conduit l'integration des equations lineaires precitees, mais en considerent egalement une seconde et quelques suivantes, obte-

T(1 ) Nous sou s-e nt en don s les cas oil est a p p li c a b le le th e or em e c o m m de L a g r a n g e sur les m axim a de la function de fo rc es, se r a p p o r la n t a la s tabilit e de l ’eq u i l ib r e , ainsi que les cas ou est ap plic abl e un th e o r em e plus general de R o u t h sur les m a x i m a et les m inim a des inte*gr al es des eq uati o ns differentiel les du m ouv em ent, p er m e ttan t de re soud re c ertain es q u es ­ tions r el at ives a la stab ilite du m ou v em ent ( V o i r The ad van ced p a rt o f a Treatise on the

dynam ics o f a system o f r ig id bodies, 4 *’ ed ition, 1884, p. 5 >, 5 i ) .

PROBLEME GENERAL DE LA STA BILITE

DU MOUVEMENT.

205

riues par les methodes habiluelles. Mais en operant ainsi on avance peu, car, en general, par cette voie on obtient seulem ent une representation plus exacte des fonctions x s dans les lim ites d ’un certain intervalle de tem ps; ce qui, assurem ent, ne donne pas de nouveaux elements pour obtenirdes conclusions quelconques sur la stabilite. L ’ essai unique, au tan tq u e je sacbe, de solution rigourcuse de la question appartient a M. Poincare, qui, dans le Memoire rem arquable sous bien des rapports

S u r les courbes definies p a r les equations differen tielles (Jo u r n a l de M alhem atiqu es , 3e serie, t. V II et V I I I ; 4e serie, t. I et II ) , et, en particulier, dans ses deux dernieres Parties, considere des questions de stabilite relatives au cas des systemes d ’equations differentielles du second ordre et s’arr£te aussi a quelques questions voisines, se rapportant a des systemes du troisiem e ordre. Bien que M. Poincare se borne a des cas tres particuliers, les methodes dont il se sert permettent des applications beaucoup plus generates et peuvent encore conduire a beaucoup de nouveaux resultats. C ’est ce qu’ on verra par ce qui va suivre, car, dans une grande partie de mes recbercbes, je me suis guide par les idees developpees dans le Memoire cite. L e problem e que je me suis pose, en entreprenant la presente etude, peut etre form ule ainsi : indiquer les cas ou la prem iere approxim ation resout reellem ent la question de la stabilite, et donner des procedes qui perm ettraient de la resoudre, au moins dans certains cas, quand la prem iere approximation ne suffit plus. Pour arriver a quelques resultats, il etait tout d’abord necessaire de faire cer­ taines hypotheses, relativem ent aux equations diflerentielles considerees. La plus sim ple, et eh meme temps celle qui conviendrait ahx applications les plus importantes et les plus interessantes, consisterait en ce que les coefficients dans les d^veloppem ents des seconds membres de ces equations sont desquantites constanles. L ’ bypotbese plus generale que ces coefficients sont des fonctions pcriodiques du temps correspondrait aussi a des questions interessantes tres nom breuses. C ’est dans ces deux hypotheses que je traite principalem ent la question. Du reste, je touche en partie le cas plus general ou lesdits coefficients sont des fonctions quelconques du temps qui ne depassent jam ais, en valeurs absolues, certaines lim ites. C ’est dans cette hypothese generale que la question est traitee dans le prem ier Chapitre de moil O uvrage, ou je demontre une proposition concernant l ’int^gration des equations d iflerenlielles considerees a l ’aide de certaines series ('*) et ou

(* ) Les series dont il.est question ici ont et£ considerees, dans des hypotheses plus particulieres, dans mon Memoire S u r les mouvem&nts helico'idaux perm anents d ’ un corps

^(plide dans un liq u id e ( Com m unications de la Societd m athem atique de K h ark ow ,

A.

LIAPOUNOFF.

j ’indique quelques conclusions relatives a la stabilite qui en decoulent. Dans la meme hypothese sont ici demontrees encore quelques autres propositions form ant la base des conclusions ulterieures. Le prem ier Chapitre forme seulem ent une sorte d’introduction ou je dem ontre quelques propositions fondam entales, tandis que le deuxieine et le troisiem e con­ stituent la partie p rin cip ale; et c ’est la que I’on considere les cas des coefficients constants et periodiques. Je debute, dans chacun de ces deux Chapitres, par quelques rem arques concernant les equations

differentielles

lineaires qui correspondent a la prem iere

approxim ation, et dans le troisieme Chapitre, ou est traite le cas des coefficients periodiques, j ’entre dans quelques details au sujet de ce qu ’on appelle equation

ca ra c leristiq u e . Passant ensuite a la question principale, je fais voir a quelles conditions elle se resout avec la prem iere approxim ation et je viens ensuite aux cas sin g u lie rs ou il est necessaire pour cela de tenif compte des termes d ’ordre superieur au prem ier. O r les cas de ce genre sont tres varies, et dans chacun d ’eux le problem e a son caractere special, de sorte q u ’il ne peut 6tre question de methodes generales qui pourraient em brasser tous les cas. Done les differents cas possibles sont a considerer separem ent, et je me borne ici aux plus sim ples qui presentent les difficultes les moins serieuses. C ’est leur etude et l’expose des methodes qui leu r correspondent, pour resoudre les ques­ tions de stabilite, qui constituent la plus grande partie des deux derniers Cha­ pitres. Sans entrer dans de plus longs details sur le contenu de cet O uvrage, je ferai encore rem arquer que je traite dans le deuxiem e Chapitre la question des solutions periodiques des equations differentielles non lineaires. Cette question se trouve en etroite liaison avec les methodes q u e j’ai proposees pour un des cas singuliers. D ’ailleurs, son exaraen conduit a quelques conclusions sur la stabilite conditionnelle pour les cas les plus interessants ou les equations differentielles ont la fornm canonique. E t ces conclusions constituent presque tout ce q u ’on peut dire de general sur ces cas im portants. Le lecteur ne trouvera pas dans le present O uvrage la solution de tels ou tels problemes de M ecanique. Selon le plan prim itif, les applications de ce genre devaient form er le quatriem e C hapitre. Mais ensuite je renonyai au dessein de l ’ajouter, ayant en vue les considerations suivantes.

1

a* serie, 1 . , 18 88 ). J ’ai appris dans la suite que M. Poincare avait considere ces series, dans les m6mes hypotheses, dans sa These Su r les propriiU s des fonctions difinies p a r les

equations aux differences partielles (1 8 7 9 ).

PROBLEME GENERAL DE LA

ST A BILIT E

DU MOUVEMENT.

2O 7

Toutes les questions de M ecanique les plus interessantes et importantes (coinme, par exem ple, celles qui conduisent aux equations canoniques) sont telles que, dans les cas singuliers ou la prem iere approxim ation ne suffit pas, le probleme devient des plus difficiles, et a present on ne peut indiquer aucune methode de le resoudre. C ’est pourquoi, dans I’exam en de ces questions, j ’aurais eu a me borner seulem ent a des exem ples de deux especes : a ceux oil la question se ram enerait a un problem e de m axima et de m inim a (en vertu du theoreme de R outh ), ou bien a ceux ou elle se resoudrait avec la prem iere approxim ation. Mais ces exem ples, bien q u ’ils presenteraient un certain interet, ne se rapporteraient pas a l’objet principal de mes recherches qui, comme on l’a deja dit, consiste dans l ’exam en des methodes relatives a des cas singuliers de certaines categories. E t pour ce qui concerne les exem ples se rapportant a ces methodes, on serait oblige de les choisir dans le domaine de ces questions de M ecanique ou l’on considere des resistances du m ilieu. On pourrait sans doute citer autant d’exem ples de cette sorte qu’on vo ud rait; mais ils ne presenteraient pas par eux-m em es un grand interet et ne pourraient avoir d’im portance que par la mise en lum iere desdites methodes. O r, si l ’on a en vue exclusivem ent ce dernier but, les exem ples de nature analytique que j ’ai donnes a des endroits convenables des deux derniers Chapitres sont largem ent suffisants. Je ferai rem arquer, en term inant, que mon O uvrage n ’est pas un T raite de sta­ bilite ou la consideration de problem es de M ecanique de toute sorte serait obligatoire. Un pareil T raite devrait renferm er beaucoup de questions qui ne sont pas meme abordees ici. J ’ai eu settlement en vue d’exposer dans cet Ouvrage ce que je suis parvenu a faire en £e moment et ce qui, peut-etre, pourra servir de point de depart pour d ’autres recherches de meme genre.

Pendant 1’im pression de cet O uvrage, laquelle s’etendit a plus de deux annees, ont paru deux O uvrages tres interessants de M. Poincare, qui traitent de ques­ tions se rapprochant beaucoup de celles que j ’ai considerees. Je parle de son M e­ m oire S u r le problem e des trois corps et les equations de la D yn am ique} paru dans les Acta mathematical t. X I I I , peu de temps apres que j ’ eus com ­ mence a faire im prim er mon T ravail, ainsi que du prem ier V olum e, qui vient de paraitre, de son T raite intitule : Les methodes nouvelles de la Mecanique

celeste , P aris, 18 9 2 . Dans le prem ier se trouvent certains resultats analogues a ceu x que j ’ai oblenus, ce que j ’indique aux endroits convenables de mon O uvrage. Q uant au second, je

208

A.

LIAPOUNOFF.

n ’ ai pas encore eu le temps de I’etudier en d etail; mais, pour ce qui concerne les questions que j ’ai considerees, il ne renferm e pas, a ce qu’il parait, de com ple­ ments essentiels au Memoire des A cta m athem alica.

Je dois faire mention d’une expression dont je me sers souvent, a l’instar des geometres framjais et allemands, pour abreger le discours, a savoir, de celle-ci : series satisfaisant Jorm eU em ent a telles ou telles equations. Cette expression a un sens tres vagu e; mais j ’ai ju ge superflu d’entrer a son sujet dans des edaircissem ents, car il ne peut s’elever aucun doute relativem ent a sa signification dans les cas ou il m ’est arrive de m ’en servir. K h a r k o w , 5 avril 1892.

A . L iapounoff .

PROBLEM E GENERAL

DE LA

STA BILITE

1)U MOUVEMENT.

2°9

CHAPITRE I. A N A LY SE PR ELJM IN A IR E .

g

£ n e r .a l i t £ s

sur

la

question

ETUDltiE.

1 . Considerons un systeme m ateriel a k degres de liberte. Soient

qu

q-i,

•••♦

qk

k variables independantes par lesquelies nous convenons de definir sa position. Nous supposerons q u ’on a pris pour ces variables des quantites qui restent reelles pour chaque position du system e. En considerant lesdites variables comine des fonctions du temps t , nous designerons leurs derivees prem ieres, par rapport a t , par

q'i>

q\>

•••»

qk'

Dans chaque problem e de dyham ique, dans lequel les forces sont donnees d’une facon determ inee, ces fonctions satisferont a k equations differentielles du second ordre. Supposons trouvee pour ces equations une solution particuliere

q * = A ( *)>

•••»

7a- = A ( 0 i

dans laquelle les quantites q j s’exprim ent par des fonctions reelles de t , ne donnant pour les q j, quel que soit t , que des valeurs possibles ( 1 ). A cette solution particuliere correspondra un m ouvement determine de notre systeme. En le comparant, sous un certain rapport, avec d’autres mouvements possibles pour ce systeme sous l ’action des memes forces, nous Tappellerons le

niouvenictiL non trouble, et tous les autres, avec lesquels il est compare, seront dits des mouvements troubles. E n entendant par t$ un moment donne du temps, designons les valeurs correspondantes des quantites qj, o,

ou f est une fonction des quantites £i,

£2»

• • • » £/.»

£i * £2’

• • • » £/.»

devenant nulle quand toutes ces quantites sont supposees etre egales a zero. Dans de pareils cas nous dirons que le mouvement non trouble est stable pour des perturbations assujetties a de telles ou telles conditions. C ’est ainsi que, dans l ’exem ple precedent, le mouvement elliptique du point est stable par rapport a ses coordonnees rectangulaires ou a d’autres coordonnees quelconques, pour des perturbations satisfaisant a la condition de l’ invariabilile de l ’energie totale ou, selon la term inologie de Thom son et T ait, pour des pertur­ bations conservatives. De cette fagon, pour des mouvements instables, on pourra parler de stabilite

conditionnelle. 2.

L a resolution de notre question depend de l’etude des equations differen­

tielles du mouvement trouble ou, si Ton veut, de l ’etude d’equations differentielles auxquelles satisfont les fonctions Q i— F, = x ,,

Q ,— F 2 — .r2,

...,

Q „— Fn = x n.

L ’ordre du systeme de ces dernieres equations sera, en general, le m eme, e ’esta-dire 'ik\ mais, dans certains cas, il peut etre inferieur. Nous supposerons le nombre n et les fonctions Q.f tels que l’ordre de ce sys­ teme soit n et que celui-ci se ramene a la form e normale

(i)

dx i _ Y ~ d T -x "

dx 2 _ Y dt

d x n __

et partout dans la suite nous raisonnerons sur ces dernieres equations, en les appelant les equations differentielles du mouvem ent trouble. Tous les X , dans les equations (i) sont des fonctions connues des quantites &19

> • • •♦

nt L

devenant nulles pour X | — X , — . . . — X n — O.

Nous ferons maintenant, a leur egard, quelques hypotheses, et partout dans la suite nous traiterons les equations (i) exclusivem ent dans ces hypotheses.

PROBLfcME

GENERAL DE LA ST A BILIT E

DU MOUVEMENT.

2 l3

Nous admettrons que les fonctions X* sont donnees non seulem ent pour des va­ leurs reelles, mais encore pour des valeurs com plexes des quantites

# 2,

dont les modules sont assez petits, et que, au moins pour chaque valeur de l reelle el superieure ou egale a /0, ces fonctions se developpent suivant les puissances entieres et positives des quantites x , , # 2, . .

x /ly en des series absolum ent con-

vergentes pour toutes les valeurs des x s satisfaisant aux conditions |*i|£Ai,

ou A ,, A 2, . .

|^j| = A „

|

| i A„ ,

A n sont, ou des constantes non nulles, ou des fonctions de H ie

s’annulant jam ais. De cette maniere tous les X , seront des fonctions holom orphes ( 4) des quan­ tites x {, # 2, . . ., x n, au moins tant que t est reel et plus grand que /• Soit X , = p s, x t H- /

il correspondra un systeme de valeurs reelles des quantites

a it

(4 )

• • • > aiv

D ’ailleurs, quelque petit que soit un nombre positif donn£ A , on pourra toujours rendre les quantites ( 4 ) plus petites que A, en assujettissant les quantites ( 3 ) a la condition d ’etre, en valeur absolue, au-dessous d’une lim ite E suffisam m ent petite. Nous supposerons maintenant que, quelque petit que soit le nom bre p ositif donn^ E , il soit toujours possible de trouver un nombre p ositif A, tel q u ’a chaque systeme de valeurs reelles des quantites (4 ) qui sont plus petites que A il corresponde un ou plusieurs systemes de valeurs reelles des quantites ( 3 ), plus petites que E . A cette condition, les quantites ( 4 ) peuvent jo u e r le meme role dans la ques­ tion de stability que les quantites ( 3 ), pourvu que les fonctions x $ satisfaisant aux equations (i) soient entierem ent d^terminees en donnant les quantites ( 4 ). Cette derniere condition, en vertu des hypotheses que nous faisons plus loin relativement aux Equations (i) (n° 4), sera toujours rem plie. C ’est pourquoi nous considererons dans la suite au lieu des quantites ( 3 ) les quantites (4 ). 3.

Pour I’integration des Equations (i) dans la question qui nous interesse, se

pr^sente naturellem ent la m^thode des approxim ations successives, fondee sur la

( l ) En disant qu'une quantite est petite, nous supposerons toujours qu’il s’a g il de sa v a ­ leur absolue

PROBLEME GENERAL DE LA STA BILITE

DU MOUVEMENT.

supposition que les valeurs initiales (c ’ est-a-dire correspondant a t — £0 ) des fonc­ tions cherchees soient assez petites. Cette m ethode, sous sa forme la plus sim ple, conduit a des series qui peuvent £tre obtenues de la maniere suivante : E n posant

x s = x\>] 4- x {*]

(5 )

..

et en considerant les quantites x ("t], x \"l), . .

(.? z=z I, 2, . .

n),

x\\n\ ainsi que leurs derivees par

rapport a £, comme possedant le j?i1*me ordre, portons ces expressions des fonc­ tions x s dans les equations ( i) et dans chacune de ces dernieres egalons entre eux les ensem bles des termes de meme ordre de l ’ un et de l’autre membre de l’egalite. De cette maniere nous obtiendrons les systemes suivants d’equations differen­ tielles :

d.r(1 >

(6) (7)

( ™ > l)

— p sxx \x) -*-pstX {"

d x Km* - j j - — P s \ ^ n) + p si

p snX\l > -hpSnX{”l)-

(s — i, a

, «),

=

Les R y w) sont ici des fonctions entieres et rationnelles des quantites x {£ ] avec des coefficients representant des sommes de produits des fonctions

par

des nombres entiers positifs. D ’ailleurs, les R i'w), correspondant a une valeur donnee de m , ne dependent que des x {f ] pour lesquels jjl < m. Par consequent, les fonctions x K sm\ que nous avons introduites, pourront etre calculees e« donnant a m successivem ent les valeurs i, a, 3; . . . . Le prem ier problem e dont nous aurons a nous occuper alors consistera a integrer le systeme (6) d’equations lineaires hom ogenes. En tenant compte de la continuite admise des coefficients p Sf,r, il n’est pas diffi­ cile de dem ontrer qu’ il existera toujours un groupe de n 2 fonctions determinees et continues pour toutes les valeurs de t considerees (*), ce groupe representant un systeme de n solutions independantes pour le systeme d’equations (6 ). Cette proposition pourra se dem ontrer en formant efi'ectivement cerlaines expressions pour les fonctions :r ;n , satisfaisant aux equations considerees pour chaque valeur de t plus grande que t 0 et prenant des valeurs donnees pour t = t0. E t de pareilies expressions peuvent etre obtenues sous forme de series, en conside­ rant, par exem ple, les Equations qu’on deduit des equations (6 ) en m ultipliantles seconds m em bres par un param etre e, et en cherchant a satisfaire a ces nouvelles

( * ) E n parlant des valeurs de t, nous aurons toujours en vue des nombres determines. Aussi nous ne considererons jam ais l’infini comme valeur de

t.

2 l6

A.

LIAPOUNOFF.

equations par des series, ordonn^es suivant les puissances entieres et positives de e. S i ces series sont form ees dans l ’hypothese que les valeurs des fonctions cherchees pour t = t 0 ne dependent pas de e, elles seront absolum ent convergentes pour toutes les valeurs considerees de /, q u e l que soit e. En y faisant e = i , nous obtiendrons les expressions des fonctions x {s{) dont on a parle. Supposons done q u ’on ait reussi a trouver par un moyen quelconque un sysleme de n solutions particulieres independantes pour les equations (6 ). Soient &$\t

X's2t

• • •»

^sn

les fonctions de t , representant la fonction x \K) dans ces solutions. A lors l ’integrale generale du systeme (6) s’exprim era par les Equations x s{ l) = ciiXsy,

(8)

ou a», a 2,

. .-\-an x sn

( s = i, 2, . .

n ),

sont des constantes arbitraires.

A pres qu’on aura trouve les fonctions x {sl\ on pourra determ iner les autres par* integration successive des systemes d’equations lineaires non homo­ genes (7 ), correspondant a rn — 2, 3 , . . . . Ghacune de ces integrations s’elfectuera a l ’aide de quadratures. D ’ailleurs, chacune d ’elles introduira n constantes arbitraires et, pour determ iner ces dernieres, on pourra s’arreter a une hypothese quelconque, pouvu que les series obtenues soient convergentes, #au moins dans certaines lim ites. Ces constantes seront entierem ent determinees si nous introduisons la condition que tous les x (/ n\ pour lesquels m > 1, s’annulent pour t = t0. Chercbons, dans cette hypothese, des form ules pour determ iner les fonc­ tions x {sm\ quand tous les x {£ \ pour lesquels p < m , sont deja trouves. Posons •^*11

*^t\

•••

Xlt

X In

••

Ce determ inant sera une fonction de t , ne s’annulant pour aucune des valeurs considerees de /, car, d ’apres un theoreme connu,

ou C est une constante differente de o. Designons le mineur de ce determinant, correspondant a l’eiement Xij, par A/y.

PROBLftMK GENERAL DE

LA STA BILITE Dl)

MOUVEMENT.

217

A lors les formules cherchees s’ecriront ainsi :

(9) ^ Les fonctions x'sm\ definies par ces forinules, restent determinees et continues pour toutes les valeurs considerees de t. R elativem ent aux constantes , . . . , a„ ce sont des fonctions entieres et homogenes du niwmi' degre. D ’ailleurs, si le systeme choisi de solutions particulieres des equations (6 ) est tel que pour t — /„ tous les x ij prennent des valeurs reelles, les coefficients dans ces fonctions restent reels pour toutes les valeurs de t considerees. A Pres avoir obtenu, de cette m aniere, les fonctions x ls,n\ xenons a la question de la convergence des series (;>), qui se presenteront comme ordonnees suivant les puissances entieres et positives des constantes a s. i. Nous avons deja fait quelques hypotheses relativem ent aux coefficients dans les developpem ents des seconds membres des equations (1). M aintenant ajoutonsen encore une. Nous supposerons quOn peut prendre pour les quantites A ,, A a, M ,, M 2, . . .,

A,,,

des fonctions de t telles que pour chaque valeur de T , superieure

a tQl t variant dans les lim ites t{) et T , il existe pour chacune des fonctions A, une lim ite inferieure non nulle et, pour chacune des fonctions M.f, une limite supe­ rieure. Dans cette hypothese nous allons dem ontrer que pour toutes les valeurs de ty com prises entre / 0 et T . quelque grand quc soitle nomhre donne T , les series pr£cedentes (considerees comme ordonnees suivant ies puissances des quantites a s) seront absolum entconvergentes, tant que les modules des a s ne depassent pas une eertaine limite dependant de T . Nous le dem ontrerons, comme d’autres theoremes sem blables que nous rencontrerons plus loin, a l'aide de la methode communement employee dans de pareils cas, qui est due a C auchy. Rem arquons tout d’abord que, t etant com pris diins les lim ites t 0 et T , on peut assigner des limites superieures constantes aux modules de tous les Xij et

A

(10) ( ««)

ou, si Ton veut, aux modules de tous les

x u — 1,

((> y ) >

2 18

a.

lia p o u n o ff.

Soient K une pareille limite superieure pour les quantites (10) et K ' pour les quantites (i i). S i le systeme considere de solutions particulieres des equations (6 ) est defini par la condition que, pour t == t0,

Xa— i 9

m o

(i% j),

on peut prendre pour K et K ' des fonctions continues de T qui s’annulent pour t = z t 0. Designons, d ’une fagon generale, par [w] le resultat du rem placem ent, dans une fonction entiere quelconque u des quantites a , , a 2, . . . , a,n de tous les termes par leurs modules. A lors, en designanl par a la plus grande des quantites | as |, nous tirerons de (8) et (9) les inegalites suivantes : [ * “ > ] < (1 + / 1 K K T

[ s ‘tm)] < f

n

[RJ" 1,]rf« + (K + K' + « K K ' ) y f

T

[R r]«ft-

Ces inegalites auront lieu pour toute valeur de t qui se trouve entre t 0 et T . Nous rem arquerons en outre que, par la nature de l’expression prim itive d e R J ,M) en fonction des quantites x {y \ P*"11

m"’, en y rem plaganl ces dernieres par des

lim ites superieures des quantites

[ * {n nous aurons une limite superieure pour la quantite [ R ; " 1]* Si done nous designons par xW une lim ite superieure commune des quantites [ r T ]>

|> f].

•••>

W J.

dans les lim ites considerees de /, et par R (/«) ce que devient chacune des fonctions

) R (rn 1 t quand on y remplace les x

R(/w>»

• • •>

R»

par les xW et les P^n‘*w* '"-‘ -par des lim ites supe­

rieures Pf,Mn •••»»*».>, independantes de «, pour leurs valeurs absolues dans les m^mes lim ites de £, nous obtiendrons

[ x (sm) ] < ( i + « K ) ( n - n K ' ) ( T — £0) R (m) • On voit par la qu’on peut prendre x (x) = (1 + /iK)a, (1 -h /iK)(i -h /iK')(T — t0) (

( m = a , 3, . . . ) •

PROBlfcMF. GENERAL DE

LA STA BILITE

2 I9

DU MOUVEMENT.

D ’autre part, conform em ent aux inegalites (a ), on peut prendre pour les expressions suivantes :

p (m n .. ., mn) j e s

m„) —

M

ou M est une limite superieure commune pour toutes les fonctions M, dans les lim ites considerees de £, et A une limite inferieure commune pour toutes les fonctions As dans les memes lim ites de t. O r, si nous remplacons par ces expressions les coefficients

les ensembles

de termes de degre superieur au prem ier dans les fonctions X* deviendront identiques au developpem ent de la fonction

Par consequent, pour le choix fait des quantites P

Xij— O

(«>y).

Dans cette derniere hypothese les constantes a s sont les valeurs des fonctions x s pour t =■ t0. Nous pouvons par consequent affirm er que, A 0 etant la plus petite des valeurs prises par les fonctions A , pour t = J 0, et les a s representant des nombres donnes quelconques dont les valeurs absolues sont au-dessous de A 0, on pourra trouver une lim ite T superieure a t0, telle que les fonctions x s, satisfaisant aux equa­ tions (i) et prenant les valeurs as pour t — /0, soient susceptibles d’etre represen­ tees par des series absolum ent convergentes, ordonnees suivant les puissances croissantes des a s, pour toute valeur de t com prise entre t 0 et T .

R em a rq u e. — On peut certainem ent obtenir, pour representer les fonctions x s dans les memes lim ites de variation de £, une infinite d’autres series absolument convergentes, ordonnees suivant les puissances entieres et positives de constantes arbitraires. Toutes les series de cette espece peuvent etre deduites des precedentes a 1’aide des substitutions de la form e 04)

as—f s{a u a 2,

. .

a „)

(5 =

1, 2, . .

,,

n),

les f s etant des fonctions holom orphes des quantites a ff q u ’on veut prendre pour de nouvelles constantes arbitraires. En considerant de pareilles series, admettons que toutes les fonctions f s s’annulent pour a, = a 2 = . . . =

= o, mais que le determ inant fonctionnel de ces

fonctions par rapport aux quantites a a ne devienne pas nul dans cette hypothese. A lors, si nous prenons dans les series dont il s’agit les ensem bles des term es de degre non superieur au mii!me relativem ent aux constantes a 0, ces ensem bles representeront ce que nous appellerons les expressions des fonctions x s a la m lvme ap­ proxim ation. On sail que, dans les hypotheses faites relativem ent aux fonctions f s, on peut toujours satisfaire aux equations ( i 4 )» en prenant pour les a a certaines fonctions holom orphes des quantites a s, s’annulant pour a s — a 2 = . • . = a n = o, et que, les quantites | a^j, | a ,j etant assujetties a la condition de ne pas depasser des lim ites suffisam m ent petites, cette solution sera la seule possible. P ar suite, les differentes m ie,nes approxim ations, fournies par les diverses series de l’espece consid^r^e, £tant exprim ees par les constantes a s, seront developpables en des series, ordonnees suivant les puissances entieres et positives des series ne diflfereront entre elles que par les termes de degre superieur au

et ces

222 5.

A.

LIAPOlfNOKF.

A u point de vue general, auquel nous avons considere ju sq u ’ici la question,

nous avions seulem ent en vue d ’etablir q u ’il existe toujours, au moins tant que t ne sort pas de certaines lim ites, des fonctions satisfaisant aux equations (i) et prenant a un instant donne des valeurs donnees suffisam m ent petites, et que la methode des approxim ations successives fournit des series qui, dans certaines conditions, peuvent servir pour determ iner ces fonctions. M ais, des que nous en viendrons a des procedes de resolution des questions de stabilite, nous serons oblige d ’abandonner ce point de vue, en nous bornant, dans notre etude, a des hypotheses plus precises relativem ent aux equations differentielles du m ouvem ent trouble. Nous considererons principalem ent les deux cas suivants : i° quand tous les coefficients

sont

des quantites constantes, et 2" quand ce sont

des fonctions periodiques de / a une seule et meme periode reelle. Le prem ier cas pourrait etre considere comme un cas particulier du second. Nous preferons toutefois l’exam iner separem ent pour de nom breuses raisons. Dans le prem ier cas, a l ’exem ple de M. R outh, nous appellerons le m ouvem ent non trouble (pour les quantites par rapport auxquelles la stability est etudiee)

perm a n en t (ste a d y ); dans le second cas, nous l ’ap p ellero n s p eriodicju e. En considerant ces deux cas, nous verrons que,-pour notre question, l’etude de la prem iere approxim ation aura une grande im portance. Nous m ontrerons dans quelles conditions cette etude suffit pour resoudre com pletement la question de la stabilite, et dans quelles conditions elle devient, en general, insuflisante. En meme temps, nous donnerons des methodes pour re­ soudre la question dans certains cas de cette derniere categorie. M ais, avant de passer a l’examen detaille de la question, nous nous arr£terons a quelques propositions generales qui serviront de points de depart a nos recherches. Tous les procedes que nous pouvons indiquer pour resoudre la question qui nous occupe peuvent se ranger en deux categories. Dans l ’ une, nous reunirons tous ceu x qui se reduisent a l’etude immediate du mouvement trouble, et qui, par suite, dependent de la recherche des solutions generales ou parliculieres des equations differentielles considerees. On aura, en general, a rechercher ces solutions sous form e de series infinies, dont le type le plus simple est fourni par les series considerees au numero prece­ dent. Ce sont des series ordonnees suivant les puissances entieres positives des constantes arbitraires. Mais nous rencontrerons aussi dans la suite certaines series d’ une autre nature. L ’ensemble de tous les procedes d ’etude de la stability, se rapportant a cette categorie, sera appel^ la p rem iere m ethode. Dans l ’autre, nous r^unirons toute sorte de procedes qui sont ind^pendants

PRO BLEM S

de la recherche

des

GENERAL DE

solutions

des

LA STA BILITE

DU MOUVEMENT.

223

equations differeiitielles du m ouvement

trouble. T e l est, par exem ple, le procede connu d’exam en de la stabilite de l ’equilibre dans le cas ou il existe une fonction de forces. Ces procedes pourront se ram ener a la recherche et a l ’etude des integrales des Equations ( i) , et en general tous ceux d’entre eux que nous rencontrerons dans la suite seront bases sur la recherche des fonctions des variables x {, x 2l . # « , dont les dErivees totales par rapport a t , form eesdans l’hypothese que

t, ...,

x n sont des fonctions de t satisfaisant aux equations ( 1), doivent satisfaire a telles ou telles conditions donnees. L ’ensem ble de tous les procedes de cette categorie sera appele la seconde me­

thode. L es principes de cette derniere, exprim es dans quelques theoremes generaux, seront exposes a la fin de ce C hapitre. Q uant a present, nous nous arreterons a I’application de la prem iere methode a un cas assez general d’equations diffErentielles du m ouvem ent trouble, qui embrassera le cas des m ouvements permanents aussi bien que celui des m ouvements periodiques. Ce cas est celui ou l’on peut supposer que pour

il existe, pour les fonc­

tions A S1 une lim ite inferieure non nulle A et, pour les fonctions M „ une lim ite superieure M, et ou l ’on peut assigner, pour les mEmes valeurs de t , une lim ite superieure aux valeurs absolues de tous les coefficients p sa. Nous com m encerons par l’etude d’equations differentielles lineaires correspon­ dant a la prem iere approxim ation

SU R

6.

C E R T A IN S

SVSTEM ES

d

’ E Q U A T IO N S

D IF F E R E N T IE L L E S

L IN E A IR E S .

Convenons tout d ’abord de quelques expressions et dem ontrons quelques

propositions auxiliaires. Nous allons considErer des fonctions d’ une variable reelle f, prenant des valeurs parfaitem ent determ inees pour toute valeur de t qui est superieure ou Egale a une certaine lim ite t0. D ’ailleurs, nous ne considererons que des fonctions dont les m odules admettent des lim ites supErieures, des que t est assujetti a rester dans l ’intervalle (*0> T ) , T etant un nombre quelconque plus grand que t0. S i le m odule d ’une pareille fonction admet une lim ite superieure sous la seule condition t > *0, nous dirons que c’est une fonction lim itee. S i, au contraire, par un choix convenable de valeurs de t supErieures a

le m odule de la fonction

considErEe peut Etre rendu supErieur a tout nombre donnE, quelque grand qu ’il

22 ^

A.

LIAPOUNOFF.

soit, cette fonction sera appelee illim itee. Enfin, toute fonction limitee qui tend vers zero, quand t croit indefiniment, sera dite une fonction evanouissante . Quand nous aurons & considerer, en m£me temps que la fonction x , la fonc­ tion

nous supposerons que, T etant un nombre quelconque superieur a *0> la

limite inferieure precise du module de la fonction x dans l’intervalle ( t0, T ) soit differente de zero. Cela pose, nous aurons les propositions suivantes : L e m m e 1. — S i x est une fonction limitee de t , xe~^e sera une fonction eva­ nouissante, quelle que soit la constante positive X.

Ce lemme decoule immediatement des definitions precedentes. L e m m e II. — S i x n'est pas une fonction evanouissante de t , x e s e r a une fonction illim itee, quelle que soit la constante positive X.

En effet, si x n’est pas une fonction evanouissante, on pourra toujours trouver une constante positive a, telle que, par un choix convenable de valeurs de t superieures a une limite T donnee arbitrairement, quelque grande soit-elle, le module de la fonction x puisse etre rendu superieur a a. Alors, en ne considerant que des valeurs de t choisies de cette maniere,7 nous aurons • | x e ht | > ae^Y. Le lemme est par la demontre, car le second membre de l’inegalite peut etre rendu aussi grand qu’on le veut en choisissant T suffisamment grand. L

em m e

III. — E n entendant p a r x une fonction de t et p a r X, et X' des con­

stantes reelles} at Imet tons que la fonction z = xe*e pour X = X| est evanouis­ sante} et pou r X = X', illim itee . Alors on pou rra trouver un nombre reel X0, tel que la fonction z , pour X = X0H-e, soit illim itee ou evanouissante , selon que e est une constante positive ou n ig a tivey et cela, quelque petit que soit | e |. En effet, il resulte des lemmes precedents que, s’il existe une valeur constante de X pour laquelle la fonction z soit limitee non evanouissante, cette valeur sera la valeur cherchee. Dans le cas contraire, en intercalant entre les nombres X, et X' une serie de nombres intermediaires et en passant successivement dans cette serie des plus petits nombres aux plus grands, en partant de X, (car X, est necessairemenl inferieur a X'), nous ne rencontrerons d’abord que des nombres pour lesquels la fonc­ tion z est evanouissante, puis, que des nombres pour lesquels elle est illimitee.

PROBLEME GENERAL

DE LA

STABILITE

225

DU MOUVEMENT.

Par consequent, dans le dernier cas, nous pourrons toujours obtenir, par des intercalations successives de nombres interm ediaires selon une loi choisie d ’une maniere convenable, deux series infinies de nombres : non d^croissante X}, X2, X3, • • • » et non croissante

x \ x \ x",

telles que tout nombre de la prem iere serie soit inferieur a tout nombre de la seconde, que la difference X ("> -X n puisse etre rendue aussi petite q u ’on le veut par le ch oix de rt suffisamment grand, et que, pour toute valeur de n, la fonction

x soit evanouissante et la fonction

^ eK*)t

illim itee. Ges deux series definissent un nombre X0, non inferieu r a aucun des nombres de la prem iere serie et non superieur a aucun des nombres de la seconde, qui sera le nombre cherche. Nous appellerons le nombre X0 nom bre caracteristiqu e de la fonction x .

R e m a rq u e . — L a fonction x , pour laquelle le produit x e lt est une fonction evanouissante pour toute valeur de X ou illim itee pour toute valeur de X, n’a pas de nombre caracteristique. Mais nous pouvons convenir de dire que dans le pre­ m ier cas le nombre caracteristique est -4-00, dans le second, — 00. Avec cette con­ vention, toute fonction aura un nombre caracteristique fini ou infini. Gitons des exem pies : Pour toute constante differente de zero le nombre caracteristique est zero, et pour zero il est

oo.

Pour la fonction tm t cos

(m constant) le nombre caracteristique est egal a -

o, 0,

»

e

»

e

»

e^tsint

w

— 1,

»

e te*ini

»

—

»

e ~ te“nl

»

4 - -> e

»

tl

»

— 00,

»

-I- 00.

»

1

1

— 1 cos -

»

— 1,

»

1

226

A.

LIAPOUNOFF.

Rem arque. — En general, si f ( t ) est une fonction reelle et A n ne constante reelle, telles qu’on puisse rendre aussi petite que l’on vent la quantity

par un choix convenable de valeurs de £, superieures a une lim ite arbitraire donnee, et si, en outre, pour toute constante positive e, quelque petite q u’elle soit, on peut trouver une lim ite T , telle qu ’on ait

t etant sup^rieur a T , X sera le nombre caracteristique de la fonction

Nous nous bornerons, dans la dem onstration des propositions qui suivent, au cas ou les nombres caracteristiques des functions considerees sont finis. Mais les lemmes IV , V et V III seront aussi vrais dans tous les cas de nombres caracteris­ tiques infinis, oil ils conservent un sens determ ine. L f.m m e IV . — Le nombre caracteristique de la somme de deux fonctions est egal au plu s petit des nombres caracteristiques des functions, quan d ces nombres sont differents, et est non inferieu r a ces nombres, quand ils sont egau x.

En effet, soient X, et X2 les nombres caracteristiques des fonctions x Ket x 2, et soit X, £ X2. Les fonctions

x,

x%

seront alors evanouissantes pour toute valeur negative de e. II en sera done de meme de leur somme. D ’autre part, si l ’on a X, < X 2, et si e est assujetti aux inegalites

o n 2> . . . > n ^ N ^ / i,

/i5h- ns+t -+- . . . -h nk< Ns

(s = 1, 2, . .

k).

Cela pose, on aura les propositions suivantes : Theorem e II. — P o u r tout systeme n orm al de solutions

i^\—~~n

N2,

N3,

•••>

uk~\ —

N*,

« * = N*.

PROBLEM E GENERAL

DE LA

ST A BILIT E

I)U MOUVKMENT.

235

En effet, chaque solution est une com binaison lineaire de certaines solutions du systeme norm al. E t d ’apres la propriete de ce system e, pour en d^duire une solu­ tion possedant un nombre caracteristique X*, on doit considerer des combinaisons lineaires des solutions dont les nombres caracteristiques ne sont pas moindres que \ s. Par suite, le nombre des solutions independantes avec le nombre caracte­ ristique \ s ne peut etre plus grand que la quantite

ns-f- n ^ - h . .

nky

correspondant a un systeme normal. D one, pour ce dernier,

ns+x

nk~ N*,

d ’ ou decoule le theoreme. T h6oreme

III. — L a somme S — ^1^1 "4“

• * • *+“ nk'kk

des nom bres caracteristiqu es de toutes les solutions, constituant un systeme de n solutions in dep en dan tes, attein t sa lim ite su p erieu re p o u r un systeme norm al. E n effet, en posant

ns H- ns+i -+-. . . ■+• nk— nous aurons

S = nXj 4- N, (X2— X,) H- N'3(X3— Xj) -f-. . . H- NJt(X*— X*_,). O r, nous venons de voir que, pour un systeme norm al, chacun des nombres N' atteint sa lim ite superieure K s. D one, en rem arquant que, dans l’expression de S, les coefficients des nombres N'a, N'3, . . ., N* sont tous positifs, nous concluons que S atteint son maximum pour un systeme normal. T h e o r e m e IV . — C haqu e system e de n solutions in dep en dan tes, p o u r lequel la somme des nom bres caracteristiques de toutes les solutions q u i le com posent attein t sa lim ite su p erieu re , est un system e norm al.

Ce theoreme resulte de la definition meme d’un systeme norm al, car, s’il etait possible de form er avec des solutions du systeme considere une com binaison lineaire dont le nombre caracteristique soit superieur au nombre caracteristique du groupe de solutions com binees, on pourrait trouver un systeme de n solutions independantes pour lequel la somme de tous les nombres caracteristiques serait superieure a celle du systeme considere. T heorem e

V . — L a somme des nom bres caracteristiques des solutions in de-

Fa c. de T., 2* S., IX,

3 1

236

A.

LIAPOUNOFF.

pendantes du systeme d*equations ( i 5 ) ne depasse dans aucun cas le nombre caracteristique de la fonction

e" ,=l En eflfet, si A est le determinant forme avec n solutions independantes quelconques, on a

ou G est une constante, et, en vertu des lemmes IV et V , le nombre caracteris­ tique de A n’estp as moindre que

Go r o l l At hk. — Chaque systeme de n solutions independantes, pour lequel

la somme des nombres caracteristiques de toutes les solutions est egale au nombre caracteristique de la fonction

est un systeme norm ale . II faut toutefois observer qu’ il n’est pas toujours possible d ’obtenir un systeme de n solutions independantes telles que ladite egalite ait lieu. A in si, si nous avons le systeme d ’equations

nous aurons, en determ inant convenablem ent la constante arbitraire,

e'

— gt (sinlogt-t-coslog f )

ce qui represente une fonction dont le nombre caracteristique est — y/2. O r, nos equations admettent le systeme suivant de solutions

X n — e'sin‘0*',

Xix—

x li= e tC0il°ttf

x t2

— er608l0*

et il est facile de s’assurer que ce systeme est norm al. Cependant la somme des nombres caracteristiques qui y correspond (et qui est egale a — 2) est inferieure au nombre precedent. 9.

Nous savons (lemme V , corollaire) que la somme des nombres caracteris-

PROBLfcME GENERAL DE LA ST A BILIT E

DU MOUVEMENT.

237

tiques des fonctions

2 p" 'U

j

et

n’est jamais superieure a zero. Par suite, si p. est le nombre caracteristique de la seconde de ces fonctions, la somme S des nombres caracteristiques des solutions du systeme normal ne peut surpasser le nombre — p.. D ’ailleurs, l’egalite S = — p. n’est possible que si la somme des nombres caracteristiques des deux fonctions considerees est nulle. Cette egalite S

p. — o*

pour les equations a coefficients constants ou periodiques, a reellement lieu. Mais elle peut aussi avoir lieu dans beaucoup d’autres cas. En general, si l’on a S -h p. = o, le systeme d’equations differentielles lineaires sera dit reg u lie r . Dans le cas contraire, il sera appele irregu lier. Ainsi, par exemple, le systeme d’equations

dx i . . -jj- = Xj cos at -4- x t sin bt,

dx*

. . = x xsin bt -+- x t cos at

est regulier, quelles que soient les constantes reelles a et b. A la fin du numero precedent a ete cite un exemple de systeme d’equations irregulier. Pour donner un exemple de caradtere plus general, considerons le systeme suivant :

dx.

w

dx• ( a3 )

i

—P n 1

. ~hp n n x

P n*

dans lequel liquation, contenant la derivee

nr

ne contient pas les fonctions x s»,

pour lesquelles sf> s. Au sujet des.systemes d’equations de cette forme on pourra etablir la proposi­ tion suivante : Theoreme. — P o u r que le systeme d yequations ( 23 ) soit rdgu lier, il fa u t et il su ffit que la somme des nombres caracteristiques des fonctions

J p" dt et

e~

soit egale d zero p o u r toute valeur de s.

238

A.

L IA PO U N O FF .

Demonirons d’abord que cette condition est necessaire. On a, pour les equations ( a 3 ), le sjstem e suivant.de n solutions ind^pendantes : f Pndt

i°

2°

Xx—

O,

.............. ...

nn

f

f

x s-= eJ

,

fpn

et si nous rem arquons q u ’en vertu du lemme V la somme ^ X j ne peut £tre superieure a S , nous devons avoir 2 ^ = 8 O r, dans la m^me supposition, on doit avoir S

S ' = o.

P ar suite, en nous reportant au lemme V II, nous en concluons que le nombre caracteristique de la fonction

est egal a S -f* X*. Nous aurons done (lem m e V ) S H- X*

X*,

et de la, en vertu de l’egalite ci-dessus, il resuite

O r, la somme X*-+- X* ne peut etre positive. Oh devra donc.avoir X*-+- X * =

o,

ce qui demontre la necessitd de la condition du theoreme. Pour dem ontrer que cette condition est suffisante, nous nous arreterons a une autre determ ination des integrates, en supposant que toute integrale de la forme • S— 1

^ P s i O C t e f Ps' dtd l ,

i= i ou le nombre caracteristique de la fonction a integrer est positif, tende vers zero quand t croit indefinim ent. A lors, dans le systeme c o n s id e r de solutions, chaque

A.

LIAPOUNOFF.

integrate de cette forme possedera un nombre caracteristique non moindre que le nombre caracteristique de la fonction a integrer (lemme V III). Par suite, si nous admettons que X * -+- 'kg — O

(Xm

1, 2 , . . . , / l ) ,

et si, en considerant la Zr‘*ine solution (dans laquelle x 1? ,r2, . . .,

sont egaux

a zero), nous remarquons que la fonction xh y a pour nombre caracteristique le nombre X*, nous parviendrons facilement k la conclusion que les nombres caracteristiques de toutes les autres fonctions qui constituent cette solution seront non moindres que X*. II en resulte que X* est le nombre caracteristique de la

solution.

Or nous avons, d’une fagon generale,

et, par suite de ce que nous avons admis,

Nous obtenons done I’egalite X,-h S' = o,

d’ou 1’on conclut : i° que le systeme d’equations ( 2 3 ) est regulier, et 20 que le systeme de solutions trouve est normal.

R em arque . — En vertu du lemme V I, la condition exprimee dans le theoreme est equivalente a la suivante : chacune des fonctions

XP“dt ^=l’

2’

(et si les coefficients p ss etaient des quantites complexes, la partie reelle de cha­ cune de ces fonctions) doit tendre vers une limite d&terminie quand t crolt

indefiniment. 10 . Soient X,, X2, . . . , X* tous les nombres caracteristiques distincts des solu­ tions des equations ( i 5 ), et soit /i, le nombre des solutions possedant le nombre caracteristique Xx dans un systeme norm al . Nous conviendrons de dire que

PROBLfeME GENERAL DE LA STA BILITE

l)U MOUVEMENT.

le systeme de ces equations possede nx nombres caracteristiques egaux a X,, fit

»

X*,

nk

»

X*.

.

De cette m aniere, a chaque systeme de n equations diflferentielles lineaires de la nature consid^ree correspondra un groupe de n nombres caracteristiques parmi lesquels quelques-uns peuvent etre egaux. SupposOns que le systeme d’equations ( i 5 ) soit transforme a l’aide d’ une substi­ tution lineaire,

zs— qsxa:x-+- qslX i-+ -... + qsnx n

( s — I, 2, .

n )f

poss^dant les proprietes suivantes : i° tous les coefficients qs

-"

et.

e - J/

S

II en resulte que le systeme transforme d’^quations sera toujours du m6me genre (c ’est-a-dire regulier ou irr^gulier) que le systeme primitif.

A.

LIAPOUN OFF.

Le systeme d’equations considere pent etre tel que, par un choix convenable de transform ations du caractere considere, on puisse le transform er dans un systeme d ’equations a coefficients constants. Dans ce cas nous l’appellerons le systeme d’equations red u ctib le . De ce que nous venons de rem arquer il resulte que, seuls, les systemes d ’equa­ tions reguliers peuvent etre reductibles. Nous verrons plus loin (Chap. I l l ) que tout systeme d’equations dans lequel les coefficients sont des fonctions periodiques de f a une meme periode reelle est un systeme reductible. Considerons un systeme quelconque d’ equations. Soient X ,, X2, . . \ n tous ses nombres caracteristiques (parm i lesquels quelques-uns peuvent etre egaux) et soit X\a

^*21»

XVif

X221

. . ., X n

. . , Xti2t . . . j

X \ rn

X in ,

•••>

. . . , X tiU

un systeme normal de solutions, dans lequel la j iime solution a pour nombre carac­ teristique Xy. E n designant par A le determinant form e’avec les fonctions #/y, supposons que toutes les fonctions

j

.

Xijeh1

( i , j = i , 2, . . . , n )

soient lim itees. On peut dem ontrer que sous cette condition le systeme considere d’equalions est reductible. E n effet, en designant le m ineur du determ inant A, correspondant a l ’eiement Xij par A,-y, nous concluons de la condition prec^dente que les fonctions e~V

j —

2, . . 7 1 )

sont lim itees. E t il en sera alors de m im e de leurs derivees prem ieres par rapport a I, car on sait que les fonctions ^17

^?7

X ’

X

^nj

’

'* * ’

X

’

pour chaque valeur de j , satisfont a un systeme d’equations differentielles lineaires adjoint au systeme considere.

PROBLEMS GENERAL DE LA STABIL1TE DU MOUVEMENT.

243

P a r suite, la su b stitu tion

zs = ^ ~ -

-h

~ -e ~ 'k^tx n

-h. .

( 5 = 1 , 2, , .

n)

possede toutes les prop rietes des substitu tio n s con sid erees et, en l ’appliquant, on transform era le system e con sid ere dans le system e d ’equ ation s I s --S —

o

(5 =

1, 2, . .

7l )

a coefficients constants.

SUR UN CAS GENERAL nV.QUATIONS DiFFEHENT1ELLES I)U MOOV LATENT Til OCRLE.

11.

R ev en o n s m ain te n an t aux equ ations ( 1 ).

E n ne con sid eran t com m e preced em m ent que des valeurs reelles de t non in fe rieu res a une certain e lim ite £0, nous supposerons

tous les co efficien ts

p sv,

m,,) des fo n ctio n s re e lle s, co n tin u es et lim itees de t. Nous supposerons, en

o u tre,

q u ’on

peut

trou ver

des

con stan tes

p ositives M et A telles

que

les

in eg alites 1 p;/»I,//72,...,wn) I •

s

______

'

/rt,T

-+-/«„

so ien t rem p lies pour toutes les valeurs con sid erees de t. Supp osons que le system e d’equ ations d ifferen tielles lin^aires corresp on d an t a la p rem iere ap p roxim ation soit re g u lie r et designons par

^1,

^2>

• • • f ~kn

les n om bres caracteristiq u es de ce system e. Nous allons m o n tre r q u ’en ch o isissan t, de ces n o m b res, k qu elcon q u es

( 24 )

^1,

^2,

•••,

^k*

on p eu t fo rm ellem en t satisfaire aux equ ations ( 1 ) par des series ren fe rm an t k c o n ­ stantes arb itraire s

ocj,

a 2»

. . .,

a*

et ayant la form e suivante :

v (25)

- S ,= 1

(

5

=

1 , 2,

. . . , / i ) ,

ou Li'”1"*9 • Wk) son t des fo n ctio n s co n tin u e s de t ind ep en dan tes des con stan tes a Fac. de 7\, 2* S.. IX. 32

244

A.

LIAPOUNOFF.

dont les nombres caracteristiques sont positifs ou nuls, et ou la sommation s’etend a toutes les valeurs entieres non negatives des nombres /n,, m2, . . /w*, qui sont assujetties a la condition / n ,+ w , + , . . + W jt>o . Nous considererons ensuite exclusivement le cas ou les nombres caracteristiques choisis (24) sont tous positifs et, dans cette hypothese, nous alions d^montrer que, si les modules de a,, a2, . . . , a* ne surpassent pas une certaine limite, les series ( 25 ) seront absolument convergentes et representeront des fonctions satisfaisant reellement aux equations (i), pour toutes les valeurs de t plus grandes que /©• Reportons-nous aux formules du n° 3 . Admettons que le systeme de solutions particulieres des equations ( 6 ), dont nous nous y sommes servi, est normal et que la solution S>

possede le nombre caracteristique

St

• • •»

3 ’n s

(s = 1, 2, . . n).

Posons =

( j = i , 2, .

n),

et integrons ensuite les systemes d’equations (7 ), correspondant a m = 2, 3 , ---Au n° 3 nous avions suppose que toutes les fonctions x lsm\ pour lesquelies

m > 1, devaient devenir nulles pour t = t0. Ici nous ne maintiendrons plus cette hypothese, en la remplacant par une autre que nous allons tout de suite indiquer. Supposons que toutes les fonctions x'W pour lesquelies p. < m sont trouvees et representent relativement aux constantes a,- des fonctions entieres et homogenes du jx'®me degr£. Alors les fonctions Rj"n, en vertu de leurs expressions par les quan­ t it y xWj se pr^senteront relativement a ces m£mes constantes sous forme de fonc­ tions entieres et homogenes du m‘*mc degre. Soit ^

.... m“ «” ■«?»... a'p,

R}"‘>= 2

les T £tant des fonctions de t independantes des constantes a,. Alors, en faisant n

n

1= 1y =l

J ^ Ri™1 dt

dt,

PROBLfeME GENERAL DE LA STABIL1T6 DU MOUVEMENT.

245

nous supposerons que celles des integrates

f T!r7 »'m» m*dt ou la fonction a integrer possede un nombre caracteristique positif soient prises dans les limites de

x> a t. Quant aux integrates ou la fonction a integrer a un

nombre caracteristique n^gatif ou nul, nous supposerons seulement qu’on a

J

mt)fa

..,«*> fa

^

les C etant des constantes independantes des as, Les integrates dont il s’agit auront alors des nombres caracteristiques non inferieurs a ceux des fonctions a integrer (lemme V III). En procedant ainsi a partir de m = 2, nous aurons, pour tous les x\m\ des expressions entieres et homogenes par rapport aux constantes a f, a2, . . a*. Soient ..

(5 = 1 , 2 , . .

, n)

les series obtenues dans cette supposition. Pour leur donner la forme (26 ), on doit poser

et de la il est facile de conclure que les nombres caracteristiques des fonctions ne seront pas inferieurs & zero. En effet, le systeme d’equations (6) etant suppose etre regulier, le nombre caracteristique de la fonction ~ sera egai & — (Xi

Xs -+-.. .-4- Xn);

et, par consequent, le nombre caracteristique de la fonction

ne sera pas infe-

rieur k — Xy. Par suite, si nous admettons que ce qui a ete dit relativement aux fonctions L est vrai lorsqu’on a

m, -4- mt -+-... -4- mk < rn, nous pourrons conclure (lemmes IV , V ) que le nombre caracteristique de la fonc­ tion

pour laquelle

//I |-4- W, + . . . + TTijf = /It,

•246

A. LIAPOUNOFF.

et par suite aussi celui de l ’int£grale

mk) dt sont non inferieurs a

O r il en resulte que le nombre caracteristique de chaque fonction L . pour laquelle la somme des indices nil est egal a m, est non inferieur a zero. D one, la propriety en question des fonctions L , qui esl vraie dans le cas de i , est vraie d’ une fa^on generale.

R em arq u e. — Pour arriver a un tel resultat, il n’est pas necessaire d ’int^grer dans les lim ites de + oo a / chacune des fonctions

a un nombre carac­

teristique positif. 11 suffit de le faire seulem ent quand on a

mx\ + 12.

+

+ mkX/, — >7 > o.

E n passant m aintenant a la question de la convergence

des series (2 6 ),

nous allons supposer que les nom bres caracteristiques ( 2 4 ), qui ont £te pris pour form er ces series, soient tous posilifs. Dans cette hypothese, en admettant, pour plus de sim plicite, f 0 = o, nous allons demoritrer la proposition suivante : Th£orem r. — S i, en en ten dan t p a r s. une constante p ositive et en posan t

(xse - ^ - ^ l z=zqs

(5 = i, 2 , . . ., A),

nous rem plagons les as dans les series ( 2 5 ) p a r leurs expressions au moyen des qs, les nouvelles series (26)

. . qf*

(s = 1 , 2 , . .

n),

q u i seront ordonnees suivant les puissances croissantes des qS) jo u iro n t de la p ro p riete que, po u r toute v a le u r de s, quelque p etite so it-e lle , on p o u rra trouver des constantes positives telles q u e , t etant p o sitif, on ait constamment et que la serie (27)

*m0q™iq™*... q'%*

PROBLfeME GENERAL

HE LA ST A BILIT E

< l( \ n

DU MOUVEMENT.

soit convergentej tant que les modules des quantites qs ne surpassent pas une certaine limite q differente de z£ro. Ne considerons, pour e, que des valeurs inferieures a chacun des nombres /j,

X2,

. . .f

Alors on pourra trouver un entier positif I, tel que toutes les expressions

+ m k( l k— e)

— e) H-/ M X * —

—

lj+-e

( j = i,

2, . . . ,

n ),

ou /n,, m2, . . . , mk satisfont a la condition

mx-+• mt -+- .. -h mk > /, soient superieures a un nombre positif H donn£ arbitrairement. Soit 7j une constante positive inferieure a e. Les fonctions (28)

Qim*’m” ' *M"**1e*1* — L i"1*’

ntk)

1(/«!-+-/na-+-... - + - / « t

seront evanouissantes. On pourra done assignor au module de chacune de ces fonctions une limite sup^rieure constante, acceptable pour toutes les valeurs positives de t. Supposons que l’on ait trouve de pareilles limites pour toutes celles de ces fonc­ tions pour lesquelies

m, -j- mt -h. . . 4- mk < /, et, en supposant que ces limites soient independantes de s, designons-les par

Q(mlt mJ f mk)' Parmi ces fonctions, il y aura, entre autres, celles-ci :

X(j e • ■ • ’ " ) •

(39 ) /= ! ; = I

dans lesquelles, conformement a ce que nous avons admis, toutes les integrates sont prises dans les limites de -f-oo a /, puisque pour

les nombres caracteris­

tiques de toutes les fonctions a integrer seront positifs. Soit (m 1+ m , + . . . + m4= m ) , ou les R^'w‘ w*

sont des quantites independantes des constantes a,.

Alors, en posant, pour abreger, m,)kl -f- /wsAs- b . .. -+- mk\k-r me = N, on deduira de (29 ) n

( 30)

n

-«»«2

»»>=

1=1 / = 1

mt' d t ‘ 1

Supposons qu’en se servant de ces formules on ait trouve des limites supe­ rieures, valables pour toutes les valeurs positives de £, pour les modules des quantites

3

( 1)

...... I**),

ou la somme des indices p ,, jjl2, • ••? p* est inferieure a /n, et que ces limites superieures, dans les cas ou P i - +- p

*

. - h p* =

sont obtenues encore sous la forme

les QfPul1*!•••»!**> etant des constantes. Formons a l’aide de ces limites des limites superieures pour les modules de tous les R qui figurent dans les formules ( 3 o). Pour cela nous remarquons que par la nature des expressions R|m) la quantite

PROBL^M E GENERAL DE LA STA BILITE DU MOUVEMENT.

mk) represente une fonction entiere du

249

degre de celles des quan­

t i t y ( 3 i) pour lesquelles la somme des indices {A, est inferieure a m, et que les coefficients de cette fonction entiere sont des form es lin y ir e s a coefficients positifs de celles des quantites

(32)

P ^ * - ......

pour lesquelles la somme des indices

[a , ,

|a 2 ,

[a „

n’est pas superieure a m.

D ’ailleurs, par rapport aux quantites ( 3 i), les degres des termes de cette fonction ne sont pas au-dessous du deuxiem e. Cela pose, si

est la constante que devient chacune des fonctions » ft(

l

*

.... mjt)

• • •>

quand on j remplace les quantites ( 3 i) par les

•••> [**) e t les quantites ( 3 2 )

par certaines lim ites superieures (independantes de i et de t) de leurs valeurs absolues, on aura, pour toutes les valeurs positives de t , ces in^gaiit^s

et les seconds membres representeront les lim ites superieures cherchees. M aintenant, en nous servant des lim ites superieures obtenues, nous tirons de la form ule ( 3 o) cette inegalite I

m k)

it

|


• • ‘ » | &h |*

E n m6me temps que la fonction V nous aurons k considerer souvent l ’expression V

' - ^ X

v -

+

d x xX l +

0V X - .

+ d y x + dV

dT>

representant sa derivee totale par rapport a /, prise dans l’hypothese que # 2, . . . , x n sont des fonctions de t satisfaisant aux equations diflerentielles du mouvement trouble. Dans de pareils cas, nous supposerons toujours la fonction V telle que V ', comme fonction des variables (3 9 ), soit continue et uniforme sous les conditi6 ns ( 4 o). En parlant dans la suite de derivee d’ une fonction V , ‘ nous sous-entendrons qu’ il s’agit de la derivee totale en question. 16.

Tout le monde connait le theoreme de Lagrange sur la stabilite de I’equi-

PROBL&ME GENERAL DE

LA ST A BILIT E

DU MOUVEMENT.

25

q

iibre dans le cas ou il existe une fonction de forces, ainsi que la dem onstration elegante qui en a ete proposee par L e je u n e-D irich let. Cette deratere repose sur des considerations qui peuvent servir pour la dem onstration de beaucoup d’autres theorem es analogues. E n nous guidant par ces considerations, nous allons etablir ici les propositions suivantes : Th£orem e I. — S i les equations d ifferen tie lies du m ouvem ent trouble sont telles q u fi l est possible d e trou ver une fo n ctio n d e jin ie V , dont la d6riv6e V ' soit une fo n c tio n de sig n e f i x e et co ntraire d c elu i de V , ou se redu ise id e n ti quem ent a zero, le m ouvem ent non trouble est sta b le . Adm ettons, pour fixer les idees, que la fonction trouvee V soit definie positive et que sad erivee V ' represente une fonction negative ou soit identiquem ent nulle. A lors on pourra trouver des constantes T et H telles que, pour toutes les valeurs des variables # f , x 2, . . x ,n t qui satisfont aux conditions l ^ 'I S H

(40

(* = !, 2,

et

/»),

on ait les inegalites suivantes : (4a)

V '< o ,

V>W ,

ou W est une certaine fonction positive des variables x si independante de t et ne s’annulant dans les conditions ( 4 0 que pour x K= x 2 = . . . = x n = o. E n considerant les quantites x s comme des fonctions de t satisfaisant aux equa­ tions diflerentieiles du m ouvem ent trouble, supposons que les valeurs \s de ces fonctions pour / = T satisfassent aux conditions (4 i) avec des signes d’inegalite. A lors, en vertu de la continuite de ces fonctions, les conditions ( 4 ») seront rem plies pour toutes les valeurs de t assez voisines de T . Cela pose, ne considerons que des valeurs de t non inferieures a T . A lors, en designant la valeu r de la fonction V pour t = T par V 0 et' tenant com pte de l ’egalite (4 3 )

V h

T

V 'd t,

nous pourrons conclure q u e , si dans l ’intervalle de T a t les conditions ( 4 i) sont constam m ent rem plies, les fonctions x s, dans le meme intervalle, satisferont certainem ent a la condition (44)

W < V 0,

dont on peut rendre le second m embre aussi petit q u ’on le veut, en faisant tons es assez petits en valeurs absolues. Fac, de T

a* S., IX.

34

260

A.

LIAPOUNOFF.

Designons par x la plus grande des quantites | x K|, | x 2 |, . . | x n | et par e un nombre positif aussi petit qu’on veut (et, d ’ailleurs, plus petit que H ), et con­ siderons tous les syst&mes possibles de valeurs des quantites x s satisfaisant a la condition

X — E.

(4 5 )

S oit Zla lim ite inferieure p recise de la fonction W (com me fonction des variables independantes X i, x 2, . . . , x „ ) sous cette condition. L e nombre I sera n^cessairement different de zero et positif, car, par la nature mdme de la fonction W , cette fonction ne peut devenir, sous la condition ( 4 5 ), ni negative, ni nulle, el que Z, en vertu de la continuity de cette fonction, est nycessairem ent une des valeurs qu ’elle peut prendre sous ladite condition. Par suite, on pourra toujours rendre V 0 m oindre que /, et d’ailleurs on pourra trouver un nombre positif X, tel que l’inygality V 0< I soit rem plie toutes les fois que les £, satisfont aux conditions (46)

lk | = *

(5 ~ i , . 2 , .. .,n ) .

Gela posy, admettons que les quantitys 5, soient eflfeclivement choisies d’apres les conditions ( 4 6 ). Comme le nombre A est nycessairem en tin fyrieur & e, les fonctions x s satisferont alors aux inygalitys ( 47 )

|^ |< «

(5 = 1, 2, . . . , n )

pour toutes les valeurs de t assez voisines de T . O r, ces fonctions, qui varient contindm ent avec t} ne peuvent cesser de satisfaire aux inegalites (4 7) qu’apr£s avoir atteint des valeurs satisfaisant a la con­ dition ( 4 5 ). E t cela, vu que V 0< Z, est incom patible avec la condition ( 4 4 )* Nous devons done conclure que, quelles que soient les

satisfaisant aux con­

ditions ( 4 6 ), les fon ction s x s satisferont aux inegalites (4 7) pour toutes les valeurs de t superieures a T . De cette m aniere, nous pouvons regarder notre theoryme comme dem ontry. On voit que le theoreme de Lagrange n’en est qu ’un cas particulier.

Rem arque 1 . — S i, pour les yqualions diffyrentielles.du m ouvem ent troubiy, on connaissait un certain nombre d’intygrales U , , U 2, . . . , Um (s’annulanl, comme toutes les fonctions considyryes ici, pour x , = x 2~ . . . = x „ = o), et si la fonc­ tion trouvye V ne. satisfaisait aux conditions ( 4 2 ) (avec l ’acception prycydente de la lettre W ) que pour des valeurs des variables soum ise&aux conditions

Uj — o,

U |— o,

•••> * U m — o,

PROBLEME

GENERAL DE

LA STA BILITE

DU MOUVEMENT.

on p ourrait conclure que le m ouvem ent non trouble est stable au moins pour des perturbations qui satisfont a ces dernieres conditions. L e cas ou la fonction V elle-m £m e est une des integrates, e to u les fonctions V , U ,, U 2, . . . , U ,w ne dependent pas explicitem ent de f, constitue une proposition indiquee par R outh ( ’ ).

R em a rq u e I I , — Si la fonction V , tout en satisfaisant aux conditions du theor&me, admet une lim ite superieure infiniment petite, et si sa derivee represente une fonction definie, on peut dem ontrer que tout mouvem ent trouble, assez voisin du mouvem ent non trouble, s’en approchera asjm ptotiquem ent. Dans ce but, considerons un m ouvem ent trouble quelconque, ou les quantites sont assez petites en valeurs absolues pour que les conditions ( 4 i) soient rem plies constam m ent a partir du m om ent I = T . O n se convainc facilem ent, en tenant compte des proprietes admises de la fonction V (que nous supposons, comme precedem m ent, definie p ositive), que, si la constante H est assez petite, il est im possible de trouver un nombre positif I qui soit in ferieur a toutes les valeurs que la fonction V prend dans ce mouvem ent pour t >> T . E n effet, si un pareil nombre existait, on pourrait trouver, vu que la fonction V admet une lim ite superieure infm iment petite, un autre nombre positif X, tel q u ’on eut x > X ( x representant comme precedem m ent la plus grande des quan­ tites \x s |) pour toutes les valeurs de t superieures a T . E t alors, pour la fonc­ tion — V ', il existerait, dans les memes conditions, une lim ite inferieure non nulle /'. E n efhpt, la fonction — V ', conform em ent a ce q u ’on a adm is, est definie posi­ tive. On peut done toujours supposer les constantes T et H telles que, pour

T

et x ^ H, on ait — V ' ^ W ', ou W ' est une certaine fonction positive des variables x s, independante de t et ne s’annulant sous la condition x £ H que dans le cas ou x = o. O r, ce dernier cas sera exclu si l ’on assujettit les x s a verifier la con­ dition

Done, sous cette condition, la fonction W ' admettra une certaine lim ite in ferieure non nulle /'. O r, si pour t^> T on a constam m ent — V ' > V < V 0—

l’ egalite ( 4 3 ) donnera

— T)

(* ) 7 'he advanced part o f a Treatise on the Dynamics o f a system o f rig id bodies,

4 * edition, 1884, p. 52 - 53 .

262

A.

LIAPOUNOFF.

pour toutes les valeurs de t qui surpassent T . E t ceci est im possible, car le pre­ m ier mem bre de Tin^galit^ est une fonction positive de t et le second devient n^gatif d&s que t est suffisamment grand. A in si, quelque petit que soit le nombre I, il arrivera toujours un m om ent oil la fonction V deviendra in & rieu rc a I. E t comme c ’est une fonction d£croissante de elle dem eurera ensuite constam m ent inferieure a /. P ar suite, quelque petit que soit le nom bre p ositif e, il arrivera toujours un moment ou la fonction V deviendra et restera ensuite inferieure k la lim ite infe­ rieure exacte de la fonction W sous la condition 6 W f

|V I