Probleme de limita şi extrem în fizică

Citation preview

,

ROMULUS SFICHI

. PROBLEME .· DE LIMITA

SI EITREM IN FIZICA

E0ITURA DIDACTICA $1 PEDAGOGICA BUCURE$TI, 1979

~---

Refeirenti

· . qoni.

dr. ing~. B. Guvrilli

:fu:ector , O. Ciiin Prof.· N. Fiucfüc

Redac.tê.r . . P.rof.. rGJi•..·Enescn Teh~oreda:~~81' Ottoi .P..ar~chw Nec~oiu

-

CUPRINS Capitolul I Capitolul II Capitolul III Capitolul IV

Probleme de mecanici ............. . Probleme de calduri §Î fizica moleculara ........................... . Probleme de electricitate ........... . Probleme de optica ............... . Bibliogratie ....................... .

7

108 122 204 246

/

PREFATÂ

Cartea de fatd abordeazd sistematic un gen aparte de probleme - cele în care se solicitd determinarea valorilor de extrem pentru diferite mdrimi fizice, ~i este gînditd ca o lucrare complementard manualelor pentru licee. Conexiunea dintre f izicd, matematicd, tehnicd gi economie ~i gdseste o ' ilustrare vie în cadrul unor astfel de probleme. Lucrarea de f afd integreazd monografic probleme de maxim # de minim în f izicd la nivelul liceului pentru toate clasele. Abordarea rezolvarii acestui gen de probleme se poate face eu un instrument matematic nu numaidecît de nivelul ultimclor cla,se de liceu. lntr-adevdr, dupd studiul idcntitdÇilor /Î inegal,itm,ilor algebrice precum gi a ecuafiei de gradul al doilea, elevii pot rezolva probleme de maxim # minim specifice capitolelor de f izicd învCU,ate. Dupa studiul tri.gonometriei, posibilitd/ile de rezolvare a acestor probleme cresc # mai mnlt. Se înfelege cd dupd studiul derivatelor elevii aU, deja la dispozitie instrumental matematic de determinare a extremelor unei f uncf ii, în general. ln conçinutul acestei lucrdri sînt abordate nu, numai probleme propriu-zise de extrem, dar §Ï probleme de extrem condi/ionat ( de lim'ita J afLate în contingen/d cu programa de matematicd prin ut,i/,izarea de exemplu a identitd/ii algebrice a lui Lagrange sa1i a inegalitd/ii algebrice a lui Cauchy-Bunialrovski. 0 parte din problemele de limita în fizicd aflate în aceasta carte slnt condi/ionate ~i de restriqii de ordin pur fizic (temperaturd limita, pierdere maxima admisa de tensiune electrica etc.). Conf inutul problemewr prezentate este de ordin fizic, cartea nefiind conceputd doar în scopul folosirii unui anumit aparat matematic. Legatura eu practica a constituit principalul criteriu de formzilare a enunturi/,or problemelor # de rezolPare a acestora. Toate problemele prezentate în aceasta carte aU, rezolvii.rile date tn tntregime. Rezolvdrile s-au f dcut pe cît posibil li!eral ~i numai dupa aceea s-au 5

introdzis çalorile numerice. Aceasta pentru cd rezolçarea literald permite cu U§urinld discuf ia, comentarea, interpretarea fi generalizarea rezultatelor ca principale cai de stimulare a creatiçitdfii §i inçentiçitatii rezolvitorilor. 1n discutarea rezultatelor rezolvdrii unor probleme din aceasta carte, nu putine sînt cazurile cînd am ldsat direct sau indirect în seama cititorului aprofundarea unor aspecte 1i sensuri legate de interpretarea fi aplicarea practicd a rdspunsurilor date. Aceasta, pentru cd în majoritatea cazurilor rezultatul solutionarii unei probleme de fizicd constituie §Î trebuie sa constituie baza de plecare pentru enuntzil altor probleme, fapt ce se poate obt ine prin discuf ia §Ï generalizarea solutiilor, prin comentarea sensului f izic al rezultatelor obt inute. Comentînd §Î discutînd solutiile fi rezultatele solufiondrii problemelor de f izicd, rezolvitorul este condus catre investigat ia §tiintificd, cdtre cercetare, înldturînd tendinta spre conformism fi stereotipie. Evident, unele solutii propuse tn rezolvarea problemelor ,din aceasta carte nu sînt unicele §Î poate nici cele mai simple. Recomanddm cititorilor sa .încerce .a mai gdsi §Î altele. · La realizarea lucr.drii, s-a încercat ca .materialul sa fie adaptat actualei programe 1colare din licee. , Cartea cuprinde p, unele probleme ce depi4esc însa cadrul acestei programe. 1n aceste cazuri au ,fost date explicatiile suplimentare necesare. . Lucrarea se adreseazd cu precddere tineretului din -licee, dar ea poate fi f olositd §Î de studen#i din primii ani de facultate, de prqfesori, de unele categorii de ingineri §Ï tehnicieni§i, în general, de toti cei care sînt interesati în probleme de f izicd legate de ,pro,fiïul acestei carçi. Observatiile ti sugestiile cititorilor le vom tntîmpina eu mziltd reciino1tintd, ele !urmînd a ajuta la îmbunatdfirea eventualelor ed#ii çiitoare. AUTORUL

Capitolut 1

PROBLEME DE MECANICA

1.1. Un observator se deplaseaza rectiliniu §Ï uniform eu viteza " pe un teren orizoDtal'. ln deplasarea sa observaterul trece pe linga un arbore a carui coroana este delimitata. fata de sol de cotele a l}Î h (fig. 1.1). Sa se determine timpul, socotit din momentul trecerii observatorului pe linga arbore, pentru oare ochiul aoestuia aflat la cota h fata de sol (h < a), vede ooroana arborelui sub unghiul q:i de valoare maxima. Diseuti&. -z---F REZOLVARE În conditiile date prin enuntul problemei b~ k < a), presupunem ca dttpa tJimip,ul; t obse:r.vatorul parcurge distanrta AB- (fig. t.1!}. Avem:

(~


a--k tg «DB =-=--· DC

,.

vt

~)

Înlocuind (2)

§Î (~)

cp

in (3)

§Î

explicitînd cp, se obtine:

= arc t g - - -b-a -----, Vt

Din (5) se observa ca. cp

+

= f(t)

(a -

li) (b -

te

h)

(0, 00}.

{5)

Vl

prezintü un max.im in intervalul cp e ( ; ,

o)

atunci cînd numitorul expresiei (5) este minim. Acest lucru are loc atunci cind: vt

= __(a_-_h_)__(b_-_h_) => t = _!_ V,-(a___h.,...)-(b---h-). Vt

V

(6)

DISCU'flE 1) Este U§Or de observal cii pentru t dat de (6), avem:

-1''1J --

' _ DC _ tg E

2gh~œ

>

• (cos (3 - ) arc sm --V2gh

.

'lfo

f.l.

t-',

rezulta doi timpi: t2 < ti· Prima întîlnire are foc dupa timpul: t

2

= t = .!_

·[v

0

sin(«

+ ·(!) _

2

+ (3)

(ex. cos2 f3

V

cos (3

g

v3 sin

"'\ /

2gh]

(5)

care rezulta din rezolvarea ecua,tiei (~)Studiind extremele functiei t = f{cx.) explicitata prin (5), avem: dt

= ~ cos {ex. + f3} [ 1

dcx.

g cos (3

_ _!L . cos f3

"\ /

V

v:

+

sin (ex (3) sin2 (a. + (3) -

]

= O,

2gh

cos2 (3

din care: cos {a.+ (3)

= ·O =-

ex+

f3 =

-2

'1t

'1t

=>ex= - - (3. 2

Este u~or de verificat ca.: 1t

dt < O; dcx..

- pentru ex< - - (3=> 2

- pentru « Ji deci pentru

ex.

> -1t 2

dt (3 => dœ

>

0

dat de {6), func~a t

=

f(cx.) are un minim,

15

(6)

Se observa din (6)

§Î

(5) ca acest minim exista, daca se tndepli~te condif.ia:

v0

> V2ck-cos {3.

(7)

1~7. Un corp este lansat în aer cu o viteza initiala v0 sub un unghi œ cu orizontala de la haza unui plan inclinat eu un unghi {3 fa\a de orizontala. 1) Considerînd œ variabil, sa se determine acea valoare a acestui unghi pentru care bataia corpului de-a lungul planului inclinat este maxima precum fJÏ aceasta valoare maxima a bataii. 2) Considerînd {3 variahil §i œ constant, sa se arate ca bataia minima a corpului de-a lungul planului inclinat este conditionata de rela\ia: tg {3 tg (et - {3}

= .!. . 2

In ambele cazuri se neglijeaza rezistenta aerului.

y

REZOLVARE În ambele cazuri problema --,.'~J-.1.----------x (fig. 1.7), îndeplinind restrictia:

este

posibila

1t

0

i

-

2

ds

::> -

df3

df3

> o.

Observatic. Cititorul poate incerca rezolvarea aceleia!}i probleme considerind corpul lansat din vîrful planului tnclinat spre baza acestuia.

17 2 - Probleme de llmltâ r,;t e."ttrem ln 1izlcA

1.8. Un automobil ale carui ro\i au raza R se deplaseaza fa.ra alu_necare pe un drum orizontal eu viteza v. Sa se determine pozitia punctului de pe anvelopa rotii de pe care, la -viteza data, noroiul va fi aruncat la cea mai mare înal\ime. Care este valoarea acestei înaltimi? Se neglijeaza rezistenta aerului. REZOLVABE

y

Presupunem ca dupa timpul t, -unghiu1 de rotatie fatà de momentul începerii mi§clirii automobilului al unui punct A (x, y) de pe anvelopa (fig. 1.8), este: __......_

AO'B

tl

= «= -t. R

(1)

Presupunem ca la t = -0, « = 0, x = o §Ï y= O. Ev~dent, noroiul poate fi aruncat de pe anvelopl cînd « e (O, n]. Ordonata punctului A considerat, în sistemul de referinta xOy este: Fig. 1.8.

y

= R(1 -

cos «)

=R{1 -

c~s ;

t) .

(2)

Traiectoria unei particule de noroi va fi o parabola a ciirei înaltime maxima fata de terenul drept Ox, este:

r:r

h=y+--.

(3)

2g

Din (2) rezultà: dy . V - = V sm -:-- t = dt R lnlocuind (2) i;i (4) in (3), se obtine: h

= R(i

- cos oc)

•

SlD oc.

(4)

+ va2g - sin .oc.

(5)

V

2

Pozipa punc'tului de pe anvelopa rotii de pe care, la pozitia datà, noroiul va .fi aruncat la cea mai mare înaltime fiind definità de a., vom determina extremele :f:unct.iei h;= f{oc) explicitata prin (5). Din conditia dk dœ

= O, se obtine unghiul pentru care înaltimea h este

.

«= arc cos

18

•

·( - Rg} - • vs l

maxima: (6)

Problema are dod s~u{ie {ilo~oiuI· este aruncat de• pe· anvel.opa dupa o traiector.ie in frm:a de par.ahol'ai atiunci ctml: v2

> Rg.

{7)

lnlocuind (6) in (5), se o))tine:

R2g +-. 2·g 2v vs

hmax=R+-

2

{8)

1.9. Se di un mecanism biela manivela. avînd elementele geometrice ca in figura 1.9, a. Sa se determine pozitJa sistemului biela-manivela. pentru care piciorul B al bielei are viteza maxima, tn ipoteza ca mani~ vela se rote§te• unif-0rm. ou viteza tlllghiutara Cù.. Care este valoarea acestei viteze maxime? Se precizeaza ca !... = .! . l

5-

Fig. 1.9, a

În figura 1.9, a prin, B.0 §i ,!11 s .. a:u notat punctele moarte superior §Î inferior ale piciorului bielei {pistonuhii). Mi§carea piciorului bielei B este o mi§care alter.nativa de du-te-vlno. Para• metrul care determina. pozitia sistemului biela manivela este unghiul 8 = C1>t. Legea mi§carii punctului B este datii de vADi&.4ia cursei a-cestui punct în tr-un ciclu cinematic. Notînd cu a: valoarea instantanee a cursei punctului B, din figura 1.9,a rezulta:

a:= B 0 B

2*

= OB OB= r + l - (r cos 8 + l cos q,) == = r{1. - -cos· 8) + Z{'l - cas cp-). 0 -

(1)

Expresia (1) da legea de mi~care a punctului B. Penlru a exprima x în functie numai de parametrul e, vam exprima unghiul

Sln

sin 8 l

.

SID

a

sau: cos a

= g sin

ex.

{2}

înlocuind (2) în (1), se obtine: t= 2

Fig. 1.15.

28

V-__ g

d_

sm 2cx

(3}

Din (3) se observa. ca timpul este minim atunci cînd sin 2« Astre], timpul minim este:

'min= 2

=

1 deci cînd

0t

Vî•

= rt/4. (4)

2) Timpul de cadere 1n gol a corpului din vîriul planului pe orizontala pentru

«

= 2:.., 4

este:

,,_ yqc-v~-v V;· 2

(5)

Comparînd (4) cu (5), rezulta d tmfn = Vît' §Ï deci t' < tmto• 3) Luînd in considerare frecarea pe plan inclinàt, timpul de parcurgere a planului este dat tot de relatia (1) în care acceleratia corpului pe plan rezulta din:

ma= G1

-

Ft

=

mg {sin ot - IL cos et}

c:>

a= g {sin

0r. -

IL cos et),

sau: _ sit~ (ot - cp) a - g ---'----'--_;..;. ' cos cp

(6)

in care cp = arc tg µ. (cp este unghiul de rrecare al corpului pe plan). Înlocuind (6) in {1), se obtine: t

=

2d cos

µ, ad ca Luînd in considerare faptul ca: 2 sin (œ -

et

>

cp.

cp) cos et= sin (2ot - cp - sin cp,

expresia timpului data de {7}, devine: t=2

d cos cp g(sin (2œ - cp) - sin cp]

(8)

Din (8), se observa ca timpul este minim cînd: sin (2« - cp)

=

.

1 ~

+ -2 . 4

1t

et

=-

în acest ca:z avem: tmtn

=2

d cos cp = 2 g(1- sin cp)

V

V g+ d(1

sin cp) = 2 cos cp

29

O.. tn (5) + tl reprezinta suma rada.cinilor trinomului bipatrat din membrul doi al expresiei- (4).. finînd seama ca.:

ti

a= g(sin ot - µ cos oc.)= g sin (~ - c:p), µ = tg 9, cos cp

rezulta final: t

Înlocuind (6) ln (4.)

§Ï

= '"\ / (11 + 12) cos cp •

Vg sin

(ot -

(6)

cp)

efectuînd opera\iile algebrice necesare se obtine: dmin

= 14 -

{7)

12 lsin ot.

DISC1JTIE 1} Analizînd. (li}', se observa cà problema este practic posibila atunci cînd

tl > cp ·=:> a. > arc· tg µ. deoarece ln caz contrm-· corpurile nu aluneca: 2) Corpurile se pot întîlni la intersectia planurilor dacà 11 a:vem:

'1 =

y. .

21 .... q,..

g sin (oc. - cp)

•

=

12 =- L, in care caz

(8)

Timpul ti reprezinta atît timpul cautat {deoarece în acest caz d este minima §Î egala CtJ zero) cît §Î timpul necesar corpurilor sa ajunga la intersectia planurilor. Este necesar de remar.cat clr ti dat de (8)· se putea .obtine §Î prin anularea realizantului trinomului bipatrat din membru! doi al expresiei (4).

3t

· 1.17. Doua plane înclinate identice a§ezate ca în figura 1.17 au fiecare lungimea liniei de cea mai mare panta constanta i,i egala eu l. Unui corp de dimensiuni neglijabile i se imprima de- la ba~a A a pri-+

mului plan inclinat o viteza initiala v0 in sens ascendent pe plan. Cunoscind valoarea constanta. a unghiului de frecare la alunecarea corpului pe plan

SÎn (2a.

=

V~

2 gl •

Sa se particularizeze relatia pentru cazul în carc frecarea este neglijabila. §Ï sa se detcrmine in acest caz si bataia maxima. Aplica~ie numerica pentru cazul particular considerat: l = 40 m; v0 = 20 m/s §Ï gr010 m/s 2 •

A'..__..____---"'.o'----~B

Fig. 1.17.

REZOLVARE Conform formulei lui Galilci vitcza corpului in C, este: Ve

=

V v3 -

2al

=

V v~ -

2l (sin a.

+µ

= "\ / vf- 2gl sin(a.: + cp) •

V

cos q>

cos a.)

= (1)

în care µ=tg cp f}i reprezinta coeficientul de frecare la alunecarea corpului pe plan. · Din punctul C corpul se va m~ca pe o traiectorie a carei ecuatie în sistemul de referint;ï :eCy (fig. 1.17) este: y

= 3: tg Cl -

gr 2

2vc cos2 a.

•

(2)

Presupuncm ca linia de cea mai mare panta a celui de al doilea plan este atinsa de corp tn M(x, - x tg«). Coordonatele accstui punct vor trebui sa verifice (2). Avem:

-z tg CX

=

X

tg Cl

32

gxz -

-~--

2vi cos2 cx

din care: x1

=0-

solutie banalà ~i corespunde punctului C (origine a arunciirii); 2

x2

Bataia corpului CM=

s

4llC • = --sm 0t g

cos ex.

are valoarea:

4,.,i .

:t!2 CM= s = - - = --smex. cos ex g

lnlocuind (1) in (3), vom obtinc functia s

=

(3)

C(~) careia va trcbui sii-i dctcrminam

extremcle. Avem succesiv: s

+ q,)] ,

2gl sin(« -----.;.... cos cp

4 sin~ =- [ ,,02 g

-ds = det

[ 81 cos 0t -

Punînd conditia ds • dot

v8

[o ,

1t)

2

q,)]

sin (20t + .;_ • ______ cos 0t cos cp

-

2gl

= o,

ae

(4)

(5)

rezultà rcla•ia cautala: r

sin (20t + cp) cos 0t cos cp

=

,.~

2gJ.

(6)

Se observa din (5) cà:

sin (2a + cp\ - daca - - - - cos 0t cos cp

+

sin (2~ cp) - daci'i - - - - - - cos oc cos q,

1·~

ds

< -=> > 2 gl d:x

:J

O· '

ds

> -=> < 0. 2gl d0t

Deci pcntru {fi), funcpa s = f(:x) are valoarea maxima. Neglijînd frecarca pc planul înclinat (cp = 0), l'elatia (G) devine:

.

Stn

2

0t

Vo = -2gl •

Înlocuind (7) în ('t) ~i tinînd seama cil cp smax

=

(7)

0, se ohtine:

1:,i = 2,lï.

(8)

Evident problema este posibila atunci cînd:

smu

;t

~ l => 2 ~ l => v ~ VV°igl• 0

înlocuind valorile numerice în (7) ~i (8), se ohlinc:

0t ~ 14°28' ~i Smax

33 3 - Probleme de llmitâ l?i extrcm ln fizicâ

=

20 m.

(9)

1.18. Doua corpuri de masa m1 §Î m2 sînt aruncate simultan din acela§i punct pe verticala, unul in sus ti celalalt in jos, eu aceea~i viteza initiala v0• Se cere a se determina timpul socotit din momentul aruncarii dupa care energia cinetica a sistemului format de cele doua corpuri, este minima. Care este marimea minima a acestei energii? Aplica\ie nnmericâ: m 1 = 5 kg; m2 = 3 kg ~i v0 = 10 m/s. REZOLVARE

X

if 1

Energia cineticü la un moment dat {(ig. 1.18) a sistemu1ui format de cele doua corpuri dupa aruncarea lor este:

~ 1 2

-Va

{1)

Vitezelc v1 !JÏ v2 ale celor doua corpuri la un moment dat, sînt: (:!)

2

(3)

?

lnlocuin o (dupa momentul aruncarii), adica: (i)

34

In cazul în care nu este tndeplinita conditia (7), minimul energiei cinetice al celor doua corpuri are loc pentru t = 0 (în momentul aruucarii) §Î are vaJoarea: (8)

1.19. Doua corpuri de mase m1 ~i m2 se deplaseaza in acela§i sens dupa o clirec~ie comuna, cu viteze constante ~i de marimi diferite. Sa se arate ca daca in urma f enomemilui de ciocnire a celor doua corpuri, pierderea de energie a sistemului format din corpurile respective este 111.'aXÏma, atunci dupa ciocnire corpurile se deplaseaza eu aceea§i viteza (ciocnire plastica).

REZOLVARE Fic v1 =/= v2 vitezcle constante ale celor doua corpuri înainte de ciocnire §Î respectiv u1 =/= ~ dupa ciocnire. Corpurile ciocnindu-se centric, potrivit legii conservarii impulsului, avem: (1)

Energiile cinetice ale sistemului format de ccle doua corpuri. înainte !]Ï dupa ciocnire sînt: (2) (3)

Pforderea de energie cinetica Li}Vc = fVc1 - Wc 1 este maxima, daca energia W c, a sistemului celor doua corpuri dupa. ciocnire este minima, deoarece ·energia cinetica. initiala Wc 1 a sistomului corpurilor este constanta. Pentru a determina valoarea minima a energiei Wcu exprimam aceasta energie numai în funcfie de zt 1 • Din (1), avem: (4) fnll)cuind .(4) in (3), avem:

l'J'c,

=-

1

-[m1 (m1

2m2

+ m2)uf 35

2m 1Hu 1

+ II

2 ].

(5)

Din (5) se observa cii Wc 2 are valoarea minimA atunci cînd: u1

u;

u;

în carc ~i al relatiei (5).

= -1

2

+ u1•) = - -Il- - m1 + m2

( , . u1

m.,,11 + m-i1'2 m 1 + m2

(6)

sînt radacinilc trinomului de gradul doi in u1 din membru! drcpt

t nlocuind (6)

in (4) rczulla f½

=

21·, = - -H- - = mv, - -+-m~

u1

lni

+ m2

lll,1

+ Ill".!

Aceasta înscamna deci ca dacâ ~Wc este maxima, dupa ciocnire cele douà corpuri se deplascaza eu accca~i viteza (ciocnire plasticü).

1.20. Trei bile perfect elastice de mase m 1, m2 ~i m3 sînt a~ezate tn· ordine in linie dreapta pe un plan neted fa.ra frecare. Se imprima . primei bile o vitezâ; ea ciocne~te bila a doua iar aceasta ciocne~te la rîndul ei bila a treia. Sa se calculeze pentru ce valoare a masei m2 bila a treia va avea viteza maxima ti sâ se dctermine aceasta viteza maxima. REZOLVARE

Se aplica legca conservarii impulsului la ciocnirca a doua cite doua bile. Pentru bilele de maso m1 ljÎ rcspectiv m.2, avcm:

m1v1

=

m 1v;

+ m v;.

(1)

2

Ciocnirea fiind pcr!cct elastica, coe[icicnlul de rcsliluirc csle k

=

1

ljÎ

deci: (2)

k=1=

Din ('1) ~i (2) explicitam r•i: • 2,n V v 2 = - -1 -1 -

m1

Urmare a ciocnil'Îi bilelor de mase m 2

k

=

i

=

+ m2

§Î

(3)

m 3 , avcm:

. . î/3

36

~

V2.

(5)

Din (4)

!JÎ (5)

eu utilizarea rclatici (3) cxplicitam V3

11½

obt.incm:

l1m1V1 = ____ .;:. _; ;___

v; =

(6)

mima

+ - - + m1 + m3

m2

Din (6), rezulta ca functia

t,; ~i

m2

f(m 2 ) prezinta un maxim atunci cînd:

m1ma =- => m2 =

./--.

(7)

V mima•

m2

fnlocuind (7) ln (6), se obtine: (8)

1.21. Dintr-un punct O se arunca o minge eu viteza v0 facind unghiul « eu suprafata solului (fig. 1.21). Cînd mingea atinge înaltimea maxima, love~te în punctul A un perete vertical s,i se reintoarce cazind in punctul B. Cunoscînd distania BC = d, sa se determine valoarea coeficien-

tului de e]asticitate k (restituire) la ciocnirea dintre minge s,i perete precum s,i viteza mingii în punctul B ca ma.rime s,i directie. Se neglijeaza rezistent,a aerului. Discut,ie privitoare lad ~i vn pentru k E (0, 1]. REZOLVARE 1) Mingea·este aruncata oblic astrcl ca traiectoria ei va Ci o parabola. ln puoctul A, viteza mingii va fi VA= v 0 cos~. Înaltimca maxima atinsa de minge este: AC

=

h

=

2 . 2

vo sm

«.

(1)

2g

Dupa ciocnirca eu zidul in A, mingea se reîntoarce dupa un arc de parabola pe sol. Viieza initial a este: VA = ICVA = kv0 cos «• . (2) Distanta pe oriz.ontalà parcursa la reîntoarcere este d

=

,

VAl

=

. 112h c·

(3)

VA

37

}c'ig. 1.21.

Inlocuind (1).

~ (2) in (3),

se obtine: v~ sin 2a

(4)

d= k - - - -

2g

din care: k=

2dg ·t:i, sin 2a 1)

(5)

•

2) Pentru determinarea VB §Î a unghiului (3, putem admite ca punctnl A poate fi atins cu mingea aruncata din punctul B sub unghiul (3 cu viteza vn, astfel cü:

=d=

BC

v1sin 2(3.

Luînd în considerare faptul ca proiectiile pe orizontala în punctele A pe arcul de parabolà AB sînt egale, avem:

VA= vn cos (3. 1nlocuind (5) în (2)

§Î

(G)

2g §Î

B (7)

apoi {2) în (7), se obtine:

vn eos f3 =

gd v0

(8)

sin a.

Rezolvind sistemul de ecuatii format de (5) §Ï (7), se obtîne: (3

=

V~ sin2 ns 900 p l

Tinînd seama ca 7t2

~ g,

~ 900g • [n] .P-

n 2l

= rol/m"in.

'

avcm:

2 900 n ~-,- => nmln

30

= VT"

{3}

2) Cazul ccl mai detavorabil din punct de vedere al solicitàrii sîrmei la întinder-o ➔

~

este cazul cînd vasul se gase§tc în punctul B, cînd Fe §Î G au accla§i sens. ln acest punct este necesar ca: Fe

1td2

+ G ~ a, • s = a, - 4

sau: 1td2

m:=0~

+ ~) V:lgt(1 -

=

cos ot)

. -0t - (1 + -M.) sm = 2 Vgl m .2

/

{3)

•

/

/

\

'

i .

\

,----·-· r;t.:r --·---·;-\ '\ /~j. / ~Ve / 1 .. -d -1n C

J

I /

'\- ..~ n-----.,.9' M -V/ / /

(4)

(Este evidc.nt cü soUcitarea maxima a tijei are loc atunci cînd tn mi~carca sa de oscilatie pendulul trece prin pozitia initiala.) Din (4), avem:

' "\

h

I

2) Valoarca minima a vilezei proiectiluJui pen tru care tija se rupe, rezuita din conditia: G +Fe~ Tmax•

,,,,....- L~l.:.J- .... , .,,. . / 1

--t:;~i4r--m"

6 F, --

Fig. 1.2-l, a

(g + ~:) (m + M) ~ Tmax•

(5)

Explicitînd u din (1) ~i introductndu-1 ln (4}, se obtine: [

g

+

2 2

m v

l(m

+ M)

2

]

(m

+ .ilt) ::> Tmax,

din caro: 1

v~m

t/[ Tmax -

g(m

+ M)] (m + .Ll.l)l

Deci: "min

= _!. V[Tmax m

g(m

43

+ M}]

(,n

+ .M)l

(6)

3) Pcntru ca tn urma ciocnirii plastice eu proiectilul, pcndulul sa dcscrie un cerc în plan vertical (fig. 1.24, a) este necesar casa se indeplineasca conditia:

(m

u2

+ M) -

2

~ 2lg(m

+ M).

(1)

Explicitînd u din (1), introduclndu-l în (7) 9i explicitind apoi pe ", se obtine: V

~ 2 ( 1 + : ) Vgi.

Deci: 1

'min

= 2 ( 1 + :: ) Vii•

. (8)

Evident aceeru;i expresie se ohiine din (3) pentru cr.= x. Discutie. 1) ln rczolvarea problemei (punctul 1) s-a presupus ca proiectilul rAmîne dupa §OC tn pendul. Presupunînd însa ca dupa 9oc proiectilul sare înapoi eu viteza v' sau cade jos pierzîndu-~i viteza, relatia (3) se modi!ica dupa cum urmeaza: În cazul în care proicclilul rico9eaza cu viteza v', avem:

mv lnlocuind (2) în (9)

v

=

§Î

=

Mu- mv'.

(9)

explicitînd pc v, se obtine:

M V2gl(1 - cos cr.) - v'

m

=

2M m

Vii

sin

~ 2

- v'.

ln cazul în care dupa 9oc proiectilul cade jos pierzîndu-~i vitcza (v'

(10)

=

O), din

(10) se obtine: ]If

]lf i / -

I /

v = - v 2gl(1 - cos cr.)= 2 - v m

1n

(X

gl sin - • 2

(11)

Desigur cititorul poate presupune §Î cazul în care proiectilul trece prin cilindru eu nisip tn care caz discutia poate continua. Se pot face consideratii asupra fortei de rezistenta a cilindrului cu nisip etc. etc. 2) Este interesant studiul marimii fortei de intindere T tn tija pendulului pentru cazul punctului 3 al problemei (pendulul se poate roti in plan vertical). Pentru o anumita pozitie a pendulului data de oc. (fig. 1.24, a), avem:

T = G cos ex+ Fe =

(m

+ M) ( g cos« + ul!) ·

(-12)

Aplicînd teorema variatiei energiei cineticc între pozitiile A i;i C ale pendulului avcm:

.

3

(m

+ M) 2i, -

(m + M)

uë

2 = (m + M)gy = gl(m + M) (1 - cos ex),

44

(13)

din care;

n; = u

2 -

2gl(1 - cos or.),

{fit)

in care 11, = 2 Viï (valoarea limita ce rezulta din relatia 7, astfcl încît pendulul sa se rotcasca). Deci: = 2gl(1 + cos ex). (15)

u:

lnlocuind {15) în {12), se obtine: T

=

g(m

7

+ M) (2 + 3 cos or.).

{16}

Din {16), rezulla ca aceasta forta este maxima pentru ex= 0, adica: Tmax

= 5g(m +

M).

(17)

Aceasta forta este minimâ (tija este supusà la compresie) cînd a.= 1r: Tmin

= -g(m + M).

Ea se anulcaza cînd or.0

=

iï

«

(18)

arc cos ( -

!J.

T,,,111

"

Fig. 1.24, b Functia periodica T = f(a.) este reprczentata grafic în figura 1.24, b. Problema poate fi particularizatâ pentru cazul în care tija ar fi înlocuita eu un fir inextensibil ~i de greutate neglijabilii. Lasam in scama citilorului studiul acestui caz.

1.25. Un regulator centrifugai (Watt) are doua bile identice de masâ m. Barele ?iS1 §Î 0S 2 de aceea§i lungime l (fig. 1.25) §Î de greutate neglijabilâ, susiin prin intermediul barelor identice AB ti A' B de lungime a ~i de greutate neglijabila, un man§on de masa M. ~tiind ca. OA = OA' = AB= AB' = a l}Î neglijînd frecarile l}Î rezist.enta aerului, sa se determine tura\ia minima a regulatorului pentru care bilele incep sa se îndeparteze de axa de rotatie. Se va considera rc 2 ~ g. Aplicatie numerica: m = 5 kg; M = 15 kg; l = 450 mm; a= 270 mm.

45

REZOLVARE Este u~or de observat ca bilele vor incepe sa se ridice pcntru acea turatie pentru care unghiul « va începe sa creasca de la O spre

1t •

2

Prin urmare va trebui sa construira o functie care sa exprime dependeata acestui unghi de elemcntele cinematice ~i geometrice ale regu0 latorului. Presupunein o pozitie instantanee a regulatorului ca cea din figura 1.25. Functia respectiva. o VHl determina din conditiile de echilibru dinamic al unei singure bare (OS~), avtnd în vedere simctria conslructiva a regulatorului. Considerînd momentelc rortelor ce actioneazii bara, tn raport eu punctul de articulatie O (în relul mg accsta in calcule se elimina forta de reactiune din artiMg culatia 0), Ja echilibru avem: l!"'ig. 1.26. mgr - Fch

Dar: r

=

(1)

O.

(2)

l sin œ

Fe= mrw2 h

+ P •b =

=

ml

Cü2

(3)

sin a

=l

b=

(4)

cos ex a sin 2«

(5) (6)

P=~2

COS CX

lnlocuind (2), (3), (fi), (5) §Î (6) in (1) §Î eliminînd solutia banala sin cx =>.ex= O, se obtine g(ml Ma) eos œ = --------. ml2oo2

+

Deoarece ex e

.

[o, ;J .2

rezulta cil cos cx ~ 1

1

6'2

:.>

g(ml

§Ï

+ Ma)

ca n

Cl)=

•

~ (n exprimat în rot/min) 30

:.> so

M a) V 1 1 + -;;; 1 .

-._ / 1 (

46

O =>

(7)

deci: {8)

ml3

Lutnd în considerare

=

§Ï cii

r.:1 ~

c,

avem: (9)

Deci:

n.n1. = Numeric rezultü n:nln

~

30

v'; {t+ :: -H·

(to)

75 rot/min.

1.26. Un dispozitiv pentru determinarea tensiunii maxime a unui fir se compune din doua bare identice §Î omogene de lungime l ~i masa m articulate in punctul O (fig. 1.26). La capatul A ~i B ale barelor se prinde firul de lungime d, a carui tensiune la rupere se determinà. Jntreg dispozitivl,11 se rote§te tn jurul verticalei punctului O. Sa se determine: 1) Tura\ia dispozitivului pentru care firul prins între capetele A §Î B ale barelor este întins însa este solicitat la tensiunea minima. 2) Cunoscînd ca in momentul ruperii firului tura\ia este n, sa se deduca expresia care da valoarea tensiunii la ruperea firu lui. Se negli: jeaza frecarile ~i rezisten\a aerului considerînd n:2 ~ g. Discu\ie. REZOL\'ARE 1) Forta de întihdere (tensiunea mecanica) la care este supus firul Te [O, Tr], adica Tmin = 0, iar Tmax = Tr, în care prin Tr S•a notat valoarea tensiunii la ruperea firului. Luînd in consideratie fortele care actioneaza asupra un~i singure bare tn cazul tn care T = Tmin = 0 (dispozitiyul este simetric in raport eu axa de rotatie), la echilibru tg dinamic avem: 1 l:: M 0

= Fey

cos a. - mg..!_ sin a.= 0

·

(1)

2

in care Fe este forta centrifuga ce ac\ioneaza asupra barei, y este distan\a pe bara de la punctul O la punctul C în care se aplica forta centrirug-a, iar a unghiul de deviere a barei rata de vcrticala. Pentru determinarea marimii Fe, consideram o

por\iune infinit micà a barci dx la distanta x de punctul O. Vom avea: dFc = dm2x sin a.= ps dx2 x sin ex.

.Bo--------oA

}'ig. 1.26.

Intcgrînd pe toata lungimca barei, avcm: Fe= psw2 sin a. (l x dx

Jo

tn care:

= ..!.. (psl)

(l sin cx.}t,, 2

2

=

mw 2 .!_ sin a,

(1)

2

densitatea mal(!rialului ba-rei; s - scctiunca barci: ru - vitoza unghiulara de rota tic a dispozitivului. Penl.ru a dctcrmina valoarC'a lui y, scriem momenlul rortei Fe fala de punclul O; p-

Fey cos a.=

l ~o

dFcx cos a.=

~l ps

21

=

ag

V cos 2l

cos a.

=

f),

se obtine: (4)

oc.

V ('')!! 1-

21

= -nn

(5) (6)

30

(7)

lnlocuind (5), (6) §i (ï) în (4), se obtine: n

=

30 "\ /

3

V V4.l2 -

,

(8)

d2

ln care evident n este exprimat in rot/min, iar l ~i d in metri. 2j în cazul in care T > 0, ecuatia (1), are forma: Fey cos

ex. -

lnlocuind (2) ~i (3) în (9)

§Î

Tl cos a. - mg~ sin ex= O.

(9)

2

expliciUnd T, obtincm:

. (">!l 1 - ). T=mgsmcx. ---3g 2 cos ex 48

(10)

Cunoscînd turatia n pentru care firul se rupe, obtinem: T ~ T r => Tmax

=

Tr

=

mg

sin

ex.

n2l -(2 700

-

1

---

2 cos œ

)

•

În mod practic atît n cît ~i œ se pot masura în orice situatie ~i deci ~i la ruperea firului. Daca se neglijeaza alungirea firului §i se introduè (5), (6) §i (7) în (11), seob~ine: Tmax

=

d ( -ns- -

111,a 0 -

2 2 700

1. )• -==-=--=--::...-

V 4lll -

d2

(12~

DISCUTJE 1) Luînd în consideratie cnuntul probJemei 1.25 ~i in cazul de rata se poat& · determina turatia minima a dispozitivului de la care barele tncep a se ridica. lntr-adevar din (4), rezultà:

cos œ = Cum însa ex. e [ 0,

Îl

3g --. 2 2fol

rezulta cos ex.~ 1, adica:

Deci:

-v3g 2f

mln -

lnlocuind (6)

§Î

(13~

0

(7) în (13), se ob\ine: . nmln

= 30

Vfr.

Evident, pentru ca (14) sa fie posibil~ este necesar ca dat de (8). Aceasta conduco la d ~ O.

(14), nmin ~

n, tn care n este,

2) Scriind ecuatiile de echilibru în sistemul xOy, ale fortelor ce actioneaza asupra unei bare se pot gasi Il ~i ·V precum fJÎ R = VH~ + VJ (f ortele de reactiune, ale articulatiei 0) inclusiv

'3 = arc tg V

H

•

49 4

1.27. Un corp este tinut tn ecl1ilihru prin suspendama de doua fire identicc de lungime l, imponderahile, inextensihile §i sirnetrice fata de verticalâ (fig. 1.27, a). ~) Cunoscînd rnasa corpului m ~i unghiul 8 E [ 0, sa se deter-

;1,

mine marimea minima ~i maxima a fortei S 1 de întindere într-un singur fir în momentul in care celalalt fir este taiat. 2) Dupa taierea unuia din firc, considerînd rni~rarea de oscilatie a corpului idealâ, sa se determine marimea minima ~i maxima a fortei de intinclere a firului ramas. Discutie. REZOLVARE 1) Cînd se taie unul din fire, de exemplu BC {îig. 1.27, b), co·rpul C lncepe mi~carea pe un cerc de raza AC = l eu cenlrul in A~ Prin urmare. se lrece de la un regim static la unul dinamic. 1

mg b

a

Fig. 1.27. Forta de întindere în firul AC în stare dinamiéa S 1 ln moment.al rnperii firului BC csle:

(1)

ln care:

➔ n~ - Fe este forta centrifuga ce actioneaza asupra corpului Fe= - - ;

l

➔

➔

- G1 componenta grcutapi corpului pe dircctia lui Fe, G1 ➔

Deoarece S 11

➔

= G cos O =

mg cos 0.

➔

!le ~i G1 sînt coliniare! avem: S1

mv 2 l

= -·-

+ mg cos 50

8.

(2)

Dar în momcnlul laicrii firului BC, viteza corpului este nula (v S1 Deoarece O e [ o,

-; ) ,

=

mg

cos 0.

=

O)

§Ï

deci: (3)

rezulta §i S1 e [mg, O). Deci: S 1 max

=

cînd O = 0

mg,

S 1 min ➔ 0, cînd 0 ➔ ~ . 2

2) Dupa_ ruperea fifülui BC, considerînd mi§carea corpului C ideala (neglijîndu-se frecarile de orice natura), tensiunea cea mai marc a firului are loc cînd corpul trece prin pozitia verticalà ( 8 = O). ln aceasta situatie este dat de (2), ln care

si

v2 §Ï

=

2gl(1 - cos 6)

deci:

s;

~ mg(3 - 2 cos 8).

(4)

Din (4) rczulUi eu U!}urintà ca:

S1 max ➔ 3mg

s; miu Dcci pcntru O e [ 0, ;

=

mg

J,

cînd 6

rezultà

cînd 8 ➔ .!:. 2

=

0 (situatie statica).

si e

[mg, 3mg].

DISCU'fIB 1) Se observa ca in situa\ia statica tensiunea mecanica in cele doua firc este:

S= __m_f!_ 2 cos 0

Pentrn

O

e [0, ; )

=>SE

[~g ,

oo)

=> Si

(5)

e

[O,

2S].

Aceasla dcoarcce pentru un anumit unghi 0, S1 = 28 cos2 6. 2) În cazul celei de a doua parti a problemei este de re\inut cü (4) da valoarca maxima a tensiunii mecanice pentru un anumit unghi O e [ O,

51 4*

Î].

Se observa

W}Or

din (3)

ca:

fiÎ ('•)

s; = 3mg -- ~Si,

(6)

astrel ca:

s; min =

~m~ - 2S1 max

(7)

s; ma:c =

3mg -

2s. min.

(8)

1.28. Sa se determine viteza maxima §Î respectiv mm1ma a unui autovehicul pe o ~osea avînd raza de curbura R §Î unghiul de înclinare n suprainaltarii a, astfel incît deraparea in exteriorul ~i respectiv în interiorul curbei sa fie exclusa. Se vmax =

- penlru a= 0 ~ Vmax - pentru ~

=0

(µ

=

= V gll

0) lg

(9)

{10)

Cl•

2) Valoarea vitezei pentru care este exclusâ deraparca spre interiorul curbei, este data tot

-

-

de conditia (1) tn situatia in care F 1 este orientala spre intcri~rul acestei curbe ([ig. 1.28, I,)

li,

(11)

Dar: F,

= F sin (ex -

Fn

=

F

CO!-

{12)

(3)

(ex - (3).

1''ig. 1.28, b

{13)

Introducînd l12) ~i (13) în (11} ~i tinînd sea~a de (5), se obtine: (14)

Deci: vmin

= VgR tg («

(15)

- cp).

Din (15) rezulta ca deraparea spre interiorul curbei este exclnsa pentru 0t ~ q,. ln cazul în care µ = O, rezulta vmax = vmin = VgR tg œ. Daca autovehiculul se opro.5le în curba (v = O) din (14) rezulta ca pentru stabilitatea autovehiculului este necesar ca « ~ cp. Oin (7) f?Ï {l'a) rewlta ca domeniul de variatic a vitezei autovehiculului pentru care este exclusâ deraparea in exteriorul sau interiorul curbei este:

VgR tg (œ -

q>) ~ v ~ VgR tg (ex

53

+ cp).

1.29. Cunoscutul ,,zid al curajului" este constituit dintr-un cilindru de razâ R terminat la baza eu o portiune tronconicli de raza R 1 (fig. i.29). Motociclistul acrobat parcurge mai intli portiunea de teren orizontaJ, apoi trece pe suprafata conicà §Î in cele "( ~ cpl + q>2•

(8)

Deci pcntru autofixare, avem: y max -_

1n cazul în care

µ1

q>1

= µ2 =

+ q>2 -_

!.f.1 + !.f.2 • arc tg ----"-...;...._

µ, adica cp1 = cp2 = cp, relatia (9) devine:

Ymax= 2cp = arc tg

2 1.!. = 2 arc tgµ. 1 - µ2

Nota: Conditia de autofrînare a penei putea fi pusa ➔

➔

➔➔➔

1R' I ~ I R I în care R' = T1

(9)

1 - !J.d-l.2

+ T 2,

§Î

(to)

pe considerentul cà

➔➔➔

iar R

=

N1

+ N 2•

➔

1.39. Un corp de greutate G este mentinut in echilibru prin intermediul unui fir pe un ghidaj, avtnd form~ unui sfert de cerc (fig. 1.39). Coeficientùl de frecare dintre corp ti ghidaj este µ.. Sa se determine valoarea unghiului cc, pentru care f oria de intindere in· fir este minima, la limita echilibrului cind corpul tinde sa urce. 66

REZOLVARE Scriind ecuatiile de proiectii ale f ortelor ce actioneaza asupra corpului tn sis.. temul :&My, se obtine: I: Xi = S cos y - G sin ex - Fr = o (1) I: Yi = N + S sin y - G cos ot = O. (2) Pentru a explicita valoarea unghiului y se observa ca tn triunghiul isoscel OMN avem: ./""...

MON

./""...

+ 2OMN = -zt.

Dar: ./""...

MON=

7t

=--« 2

6MN = ~2 -

iar

y.

Deci:

a Fig. 1.89.

din care: « r ='1t- - ....... 4

lnlocuind (3) tn (1)

(2), se obtine:

§Î

s cos N

(3)

2

+ ·

(2:.4 - ~) - a· sin « 2 · S sin

(2:4 - ~) 2

Fr = o

G cos «

(4)

= o.

(5)

De asemenea pentru echilibru la limita avem: (6)

Fr= µN.

Rezolvtnd sislemul de ecuatii format de (4), (5) §Î (6) în raport eu S se obtine.: S = S1 = G • ~in ex + µ. cos ex cos (: • lnlocuind în (7) µ. = tg cp

sincp =-

cos cp

; )

+ µ. sin ( :

-

sin(«+ cp)

= S1 = G•

)

cos(~ -

67 5*

; - cp

(7)

; )

. (cp este ungh1ul de frecare dinlrc corp

gbidaj), avem: S

= S1 ,

§Î

Valoarea unghiului œpentru care S ia valoarea cea mai mica rezulta din ecuatia: 1 dS

=G

12

dœ

[tg(« + cp) tg(~ - ~ - cp)] = o.

sec(œ

4

+ cp) cos (7t -

4

2

2œ

cp)

·

Se obtine deci ecuatia: tg(œ + cp) tg (

=- ; - cp) = 2.

(8}

Pentru determinarea lui «, ecuatia (8) se rezolva prin încercari.

1.40. Deasupra unui orifioiu circular de raza r dintr-un plan orizontal de sprijin se a~aza. o placa ciroulara omogena de raza R §Î greutate G· (fig. 1.40) astfel tncît sa-1 acopere pariiaI. ln punctül A se suspenda de placa. o greutate Q, astfel înctt. placa sa se afle în echilihru la limita, avînd tendinia de a se roti în jurul coardei BC. S~ se determine :,; pentru oare Q ia cea mai mica valoare, inclusiv aoeasta. valoare minima. REZOLVARE Considertnd momentele fortelor care actioneazA. asupra pHicii în raport cu coarda BO (fig. 1.40); la echilibru avem: (1)

din care: Q

.

= G OD =

G V R2 - y2

R-l/R2

AD

(2)

-y2

Este m;or de observat ci:

FfT;/7//h/, 7T / Fig. 1.40.

AD + DE = a: =

+ r - (V r2 +VR2 - ya). R

y2

+ (3)

Pentru simplificarea calculelor vom cauta extremele functiei Q = f{y) l}Ï apoi prin intermediul lui (8), vom determina pe a:.

68

Expresia (2), se mai poate scrie

§Î

sub iorma:

1 Q=G•----R -----1 VR2-y2

(4)

Luînd în consideratie ca o Q = G ( A:

in (3). Se

-

1).

=

f(x), însa

(7)

Dar: (8)

Pe de alta parte, avem:

V r2 -

=

(r - DE) 2

V R2 -

(R - A.D} 2 ,

din care rezulta:

-

-

Ra_,.a

AD=

x(2r - x) 2(R r- x)

D E - A D = - - - - (R- r). R+r-x

Din (8)

§Î

(9) .

(9), rezulta (10)

+

Înlocuind (10) tn (7), se obtine: Q

= G 2(R + r)

(R - x) x{2r - x)

+ x?.

•

(11)

1n continuare se studiaza extremele functiei Q = f(x) etc., ajungîndu-se la rezultatele (5) §Î (6), dar dupa cum se vede pe o cale mai grea.

69

1.41. Ce for\a minima tr~buie sa se intrehuinteze pentru a ridica un corp eu masa m, cu ajutorul unui troliu la cEµ"e se dau D, d ,ï d1 (fig. 1.41), ounoscind ca valoarea coeficientului de frecare la alunecare in axul troliului este µ? Aplica\ie 1;mmerica: m = 600 kg, D = 48 cm; d = 34 cm; d1 = 1,8 cm; µ = 0,2 ,ï g rv 10 m/s. REZOLVARE Pentru a se putea ridica corpul de greutate G = mg eu ajutorul troliului este necesara. o forta P, al carei moment fata de centrul axului troliului O sa fie mai mare sau cel putin egal eu momentul fortei G rata de acela§i punct la care se adàuga momentul cuplului de' frecare în ax Mr

=

µN di 2

=

µ(G + P) di , •

marimea f ortei de reactiune totala a lagarului axului. Deci:

mg

fiind

§Î

fusului

D Gd ( )dl P-';> -+µ Pmln

Este evident ca în absenta frecarii tn ax (µ Pmin

•

D- µdl

=

0), rezulta:

d

=mg-. D

Înlocuind valorile numerice în (2) se obtine Pmin "" 4392 N.

1.42. Se considera. un mecanism ,urub-piulita la care piulita este fixa iar turubul poate inainta provocind strîngerea unei piese. Se cere sa se determine înclinarea filetului pentru care randamentul imbinarii ,urub-piulita este maxim. eoeficientul de frecare intre filetul piulitei §Î cel al ,urtibului este µ = tg = 0,05. 70

REZOLVARE Expresia randamentului §Urubului la strîngere este: Wu

(1)

'1)=-

w

ln care Wu este lucrul mecanic al fortelor utile, iar J,V - lucrul mecanic al fo1·telor motoare. La în§urubare, forta utilâ este forta Q (fig. 1/12) iar lucrul mecanic

pentru o rotatie a §urubului este: Wu= Qp

=

21trQ tg«,

(2)

ln care p este pasul filetului §urubului, r este raza media a §urubului, iar « - unghiul de tnclinare a filetului. Lucrul mecanic al fortelor motoare este:

W = M • 211: = 21trQ tg(«

fn care M este momentul = P • l) iar cp este unghiul piulitei §Î cel al §urubului lnloc~ind (2) §Î (3) în

+ cp)

(3)

cuplului motor (M = de frecare tntre filetul (cp = arc tg µ). (1) se obtine:

7)

=

tg(:g~ cp) ,

a; E [

Fig. 1.42.

((1)

0, ; ] •

= constant, 1l = f(«) este o functic continua §Î pozitiva « = O §Î « = ~ - cp. ln acest interval randamentul va avea

Se observa ca pentru cp anulindu-se pentru

2

un maxim. Avem: d"l) dcx

= _! [

tg «

d« tg(«

Din (5) rezulta câ d"l)

=

+ cp)

]

=

sin cp cos(2~ + cp) ·cos2 « sin 2 (« + cp)

= o.

(5)

O pentru doua cazuri distincte:

dcx . 1) pentru cazul sin cp == 0, adica. µ = tg cp = O ccca ce înseamnü cazul banal al absentei frecarii cînd într-adevar -q = -qmax = 1.

2) pentru cazul cos(2«

+ cp) = o,

adica « = ~ , 4

- __p_, caz care raspunde 2 ·

problemei puse. Se observa eu u§urinta ca pentru « o, iar pentru œ > ~ - .!. , 4

d-q/dcx

2

dcx

4

< O §Î deci pentru « = r./4 - cp/2, functia -,, = f(«) prczintli un maxiin. 71

2

Valoarea maxima a randamentului mecanismului §Urub-piuli\à este:

=

· Numeric avem: «

45° -

.!. tg 0,05 ~ 45° - .!. • 3°20' = 2

7lmax

2

=

.

43°20';

tg2 43°20' ;;;:, 0,65.

1.43. Apa dintr-un canal de forma dreptunghiulara. este op.ri ta eu ajutorul unui bloc de forma unei prisme-drepte. 1naltimea· hlocului este h iar densitatea materialului din care este · confectionat este p. Ce grosime minima trebuie sa aiba. hlocul pentru ca apa sa nu-1 ritstoarne, apa fiind aproape de deversai·e? REZOLVARE Foria eu care apa preseazi'i blocul (fig. 1.43),. este: F

Dar:

______

])

\

= P medle Pmax

=

=

O

+2Pmax

Pogk;

S

=

•S

(2)

lh.

F

=

hl

B

6 Fig. 1.43.

A

(3)

Pogl- • 2

I

h

(1)

•

Înlocuind (2) ln (-1), rezulta:

C

I I

•S

Pentru ca blocul sa nu se rastoarne este nccesar ca momentul de rasturnare M,. al fortei F în raport eu muchia AB a blocului (fig. 1.43) sa fie mai mie sau cel rouit egal eu momentul de stabilitatc Ms a greutatii G a blocului rata de aceea§i muchie: .Mr ~ llfs

72

~

.

cl

F •y~ G • - , 2

(4)

în care y este distanta de la funtlul apei pîna. la punctul de aplicatie al fortei F (centrul de presiune). Pentru a determina cota y, vom evalua Mr, considerlnd o suprafata. infinit mica ds = ldx asupra careia actioneaza. forta dF la distanta :c de suprafata libera a apei (fig. 1.43): dF

= p(x) • dS =

p0 gxldx, :c e [O, h].

(5)

Momentul acestei forte în raport eu muchia AB al blocului este: dMr = dF(lt - x) Prin integrare, gasim Mr: Mr

= ~ dMr = ~: p0 glx(h

-

=

=

x)dx

p0 glx(h - x)dx.

I

p0 gl h : -

~ 1: =

(6)

! Î. 2

p0 gl •

•

(7)

Pe de alla parte însa, avem: Jlr

= F • Y =.

, Comparînd (7) eu (8), rezulta y

h2 PoCl -2 • y.

(8)

h

=- . 3

1'evenind la (4), avem: h2 h PoCl - • ~

3

d

.

< pglhd • -2

din care: .d

~ J, "\

/ Po => dmin

. V ap

=

h ."\ / Po • . 3@

V

(9)

1.44. Un areometru este constituit dintr-un mie balon de sticla care are volumul exterior V §Ï care se continua eu o tija cilindrica de hmgime .l ti de· sec\iune S. Introducînd areometrul in apa distila:ta, se constata ca. tija patrtinde pîna la distant~ J_, (n > 1). Sa se detern mine vàlorile maxime .§Ï minime ale densitatilor lichidelor ce pot fi masurate cu acest areometru daca V= kSl, (k > 1). REZOLVARE

Notam eu m masa areometrului. InJrodus tn apA distilaUi se scurundâ pînâ la..!_: n mg= p0 Vg

+ p0S -nl

73

•

g.

(1)

Densitatea minima ce poate fi masurata (areometrul se scurunda integral in lichid) rezulta din:

mg= Pmln Vg Din (1)

§Î

+ PmlnSlg.

(2)

(2), rezulta: 1 + nk Pmtn = n(i + k} •Po•

(3)

tn lichidul de densitate maxima Pmax, (tija ramtne în afara

§Î

deci:

mg= PmaxVg. Din (1)

§Î

(4)

(4), rezulta: (5)

1.45. Se da un canal hidraulio ou seotiunea trapezoidala. de_ arie constanta (fig. 1.45 ). Cunosctnd ca panta taluzului este constanta tg ex = m = 1, sa se determine raportul dintre haza mica ~i tnaltimea sectiunii trapezoidale a can-alului hidraulic, astfel tncît sa rezulte perimetrul minim udat. REZOLVARE Notînd euh §Î respectiv eu b, înaltimea §Î respectiv baza mica a sectiunii trapezoidale a canalului hidraulic (fig. 1.45), perimetrul udat este: 2h

P=b+-- .. cos œ

Cum tnsa cos §Î

cum tg1X

=

IX

(1)

= ---:=1==V1 + tgl!IX

(o


= f{vk)

prezinta un maxim.

Va7&,

P

·

lnlocuind (3) tn (1), se obtine: -(t

Pmax

.

= -(2gh} 8/ 2 • S • Pa• 27 · ·

(4)

Viteza ungbiulara de rotatie optima a rotii bidraulice este:

=

2 v:Jt D

= _!_ V2gl, => n == ~ V 2gh ~ 20 V 2h. 3D

lnlocuind valorile numerice tn (4)

.

§Î (5)

ruJ

D

se obtine: Pmax

= ;, (2·9,81 •5)S/2 •

20 · • 0,6 • 1 000 ,-:, 86 868 W = 86,868 kW; n = - t,12,5 ~ 81 rot/min. 3

81 6 - Probleme de limitâ ~1 extrem ln fizicA

{5}

1.50. Sa se determine viteza maxima a unui corp ce cade intr-un mediu viscos §Ï care opune o rezistenta proportionala eu patratul vitezei . . . de cadere (R = kv2 ; k > 0). Sa se particularizeze apoi relatia ce se va obtine pentru cazul caderii 1n aer in care k = 2- ps (expresia legil lui Newton pentru R) ti unde C 2 este o constant! ce depinde numai de- forma corpului ti de starea suprafetei lui, p este densitatea aerului iar s este aria sectïunii transversale maxime a corpului. · BEZOLVARE

----o O

Ecuatia mi§clrii corpului pe verticala d~scendenta Om

a. ;r

(fig. 1.50) va: fi:

M,

(1)

sau: dv

mdt

=

mg- kv1•

Împartind ecuatia (2) prin avem:

O'

__d_v_ mg _v:i

Fig. 1.60.

=

m §Î

(2)

separînd variabilele,

}!_ ·dt.

{3)

m

k

Facînd tn (3) substitutia mg= a

2,

k

se ob\ine: k

dv

(~)

---=-dt.

lntegrînd ecuatia {4} se ob{ine: 1 v +a - ln - 2a 11- a

k = -m. t + C1•

(5)

jinînd seama de notatiile facute vom ob\ine: 1 v + V mg -_ -- • 1n -l/k ---'---.....a.- 2

V mg

V mg - i/k v:

Utilizînd conditiile initiale: lat= O; v =

V"ïc v + V mg-: i/mg - t/kv

-

m

(6)

•

o, rezulta C1 = o i,i deci

-----=e

82

Vïè t + Ci·

2

lfJ· e m

(7)

din care:

V

=

V-( mg

2

e

k

m

2

e

vyk. ,- 1) = 1fif:, m

-

v- (V- ) ·

+t

mg th

gk t •

k

m

(8}

Valoarea maxima a ·vitezei de coborîre se calculeaza din conditia:

· v-( lf¾, ) v2

. = 11m max &➔ ao·

V

mg k

e m - 1 ----,/ gk. 21,1-c m ..

e

-

mg

-• k

(9)

+1

Teoretic o astfel de viteza nu s-ar atinge niciodata, deoarece e&,"corespunde la t ➔ oo. Practic însa, membrul doi al egalitatii (8) ia valori apropiail de 1 dupa clteva secunde din ·momentul lansarii corpului • .Este de observat ca viteza maxima data de (9) este atinsa ·de corpul în cadere atunci ctnd R = G. Particularizare. Expresia legii lui Newton pentru Reste: R

=

kv 2 =

-C

psv11 •

(10)

2mg •

{11)

2

Înlocuind (10) în_ (9), se obtine: "max

=

91 /

.V -Cps

Daca corpul considerat este o para§uta, expresia (11) dl viteza maxima eu care para§Uta atinge· pamtntul.

1.51. Se da un eorp greu M de dimensiuni reduse ~i avlnd masa m. El este :aruncat ·pe verticala ou viteza initiala v0 (fig. 1.51). Cunosoînd ;ea aerul •opune ,o rezistenta propor.t,ionala ou viteza R = .k2mv(k >:1), . sa ,se :determ:ine tnaltimea ·maxima pîna la care se ridiol oorpul. ·· Disoutie, generalizare. 83 G*

REZOLVARE Ecuatia diferentiala a mi§carii pe directia Ox (rig~·i.51), este: 1 d2x, dz·. m - = -mg-k2m - .. 2 dt : dt

{1)

ÎmpürPild ccuatia (1) prin m, se obtine: d 2x • dx -=-g-kt-. 2 dt • dt. . dx

{2) ·

Luînd.în considerarc ca ___: = v(t), dt.. ecuatia {2) se poate pune sub forma:,

Ai------

dv·..

- =dt.·

iar v(O)

v0,

{3)

lc2v. •

g -

=

Separînd variàliilèle in (3), se obtinc: dv -

- - - = -dt..

(4)

g:+ J...-¼ •.

Integrînd intre O §Ï t·ecuatia (4), se obtine:

· dv. = ~t

u

}'ig. 1.61.

2 ~ v0 g+k v

. -.dt= - t.

o·

Deci: t = - .!_ (v 1c2

~ = - .!_ j in (;

Jvo V+-g

+ .[) lv ' =

1c2

Jc2

/r2

- .!_ Jn g /c2 g

vu

+ Tc'!.v + k2vo

.

din care prin inversiune, obtinem: v (t ) §i

= -dx = - -g + (.v + -g )

~=

~. e

.

0

~

-h•t

,

(5)

din care printr-o noua integrare, obtinenÎ: x(t)

= - fL • t + (v 0 + A...z

.

.!) (' e-1t' dt, . k Jo 1

2

adica: ::r:(t)

!.)

= - 1.. t + _!_ (v 0 --+ {'1 1c2•· 1c2 --·1c2 :

e:-·N'). · .

(6)

Momentul t1 pentru care corpul ajunge la înaltimea ma.ximl se obtine scriind conditia v(t1 ) = O.

Punînd aceasta conditie în (5), se obtine: e-k1t1

= __1 __

+

1

(7)

t•olc'J

g

= li

Înlocuind (7) in (6) se obtine :t(l1 ) x(t1)

=-

(1 +

max:

+ 1,a Vo •

.!f. t1

k2

(8)

2

Din (7), rezulta t1 =.!.in 1,a .

vok

g

pe care tnlocuind-o în (8), obtinem:

)

.

v0 g 1 ( h max=---n

kZ

. k4

2

vol, 1+--. g )

{9}

Plecînd de la constatarea ca: ln (1

~i deci daca lxl

+ x) -

(x -

+ x3

)

lim .. =-..!_ ~o ~ ' .este suficient de mie, avem aproximatia:

ln(i +X)~ §Î

3

:z

X -

œ2. + x3, 2 · 3

aplictnd-o în (9), avem: ln ( 1

+

v~ ~ vt ~ ~ (v;kT + ½(V;(T 9

2

)

Se obtine în final: (10)

DISCU'flE · .

1. Este iu1or de observat eu atunci cînd k maxima ce s-ar obtine pentru vid.(R

! ; ,adfoa înaltimea 2

= o, hmax =

= O).

2. Aerul __ opune:- corpului în · mii,care.,. o• rezistenta· opusa vcctorului vitezl -:, a carei miirime:'èste.o-functie--de,-moduluLvitezei v. ln general marimea rezistentei aerului se:reprezintâ: printr-o -func!ie de forma: mgf.· (~)·lntroducînd versorul vitezeï•

➔·

Vt

➔

forta· de- rezistentlt R a aerului se va scrie

➔

➔

.

V

•R == - mgC{v) - . V

85

Deci ecuatia cea mai gene!"ala a mi~cArii corpului scrisa vectorial este: ➔

dv

mdt

➔

➔ v = mgmgf(v)-.

(11)

V

Scriind ecuatia (11) pe axa Oz, verticaHi ascendenta (fig. 1.5·1) ob\inem: d 2z dt 2

m -

ln

=-

mgf(v) •

mg -

cazul problemei s-a aproximat C(v)

=

2

k

(12)

v~

g

8. Legea de rezistenta f(v) trebuie astfel aleasa încît oricare este v ~ o sa .avem o ~ f(v) < 1. Pe de alta parte, rezistenta aerului cre§te cu viteza corpului; vom admite deci ca f(v) este o functie crescatoare. 4. Determinarea legii de rezistenia, adica a functiei f(v) constituie una din problemele de baza ale aerodinamicii. în acest domeniu cercetarea teoretica trebuie mereu confruntata eu experienta practica. 0 aproximatie a legii de rezistenta, frecvent utilizata este de forma f(v) =kvn, ln care k este o constanUi, iar n un exponent pozitiv, întreg sau fractionar. Daca." > o, este totu~i destul de mica se poate lua n = 1. ln general se ia: n = 2 pentru "< 250 m/s n = 3 pentru 250 m/s < " < 500 m/s n = 5 pentru 500 m/s < v < 700 m/s n = 1,7 pentru 700 m/s < v < 1200 m/s.

1.52. Sa se determine viteza maxima ,ï expresia spatiului pareurs ln ca.derea unei sfere mici, într-un mediu vîscos, ln care re~istenta este proport;ionala eu viteza (R .= kv, v > 0). Problema se va rezolva pentru doua cazuri distincte: 1) ln cazul tn care densitatea sferei este mai mare decît densitatea mediului ( p > p'), eunoscbidu-se raza sferei r ti k = 6itllr (formula lui Stokes), ln care '1J este coefieientul de viscozitate al mediului iar caderea este libera; 2) in oazul in oare p < p', mitcarea facîndu-se c.u viteza initiala v0 vi eu menlinerea celorlalte conditii de la punctul 1. " 86

REZO~VARE 1.. ln cazul în care p > p', ecuatia_mi§carii sferei este: dv

(t)

m-=Ga-kv dt ,

în care Ga = (p - p') Vg unde Y este volumul sferei. Rezolvînd ecuatia diferentiall (1), obtinem viteza la orice moment de timp. Separînd variabilele, avem: dv 1 ---=-dt, Ga- kV m

(2)

jar dupa integrare se obtine: - .!.1n(Ga - lev) k

= O, v = O,

Punînd conditiile initiale t

= .!. t + C.

(3)

m

rezulta. C =

- .!:.1n Ga k

§Î pe

care

imbstituind-o ln (3), se obtine:.

1n(1• _l!...v)=-~t, Ga m

(i)

din eare: v

G ( 1-e-~t) = ~· m •

(5)

k

Wteza maxima în cadere este: Vmax

. . Ga ( 11m = t➔ v = 11m 1. ao t➔ oa k

e

-

~ ') = Ga - .

(6)

k

!nlocuind in (6) Ga. §Î k eu e~presiile lor, se obtine: Vmax

=

2(p -

p') ra 9lJ

"•

(7)

Este U§Or de observat cl valoarea limita (7) a vitezei este atinsA. cînd R, care .cre§te proportional eu viteza, devine egala eu Ga. Atunci fortele, fiind de sens contrar, .se echilibreazii, iar sfera cade-in continuare rectiliniu §Î uniform. Din (7) rezultà ca viteza de cldere a sferei într-un Cluid vtscos este proportionall .eu patratulrazei sale. Deci cu cît afera este mai mica eu atîL cade mai încet în lluidul dat. Formula lui Stokes, R = 6mirv, este aplicabila la caderea unei srere în Iichid §Î Ja cA.derea sferelor mici ln mediu gazos, care in acest caz, poate fi considerat vtsoos.

87

în acest sens, relatia (7) descrie destul de bine caderea unei pica.Luri miiruriie de ceata. tn aer.

Pontru a determina spat!ul pareurs de sfe~i, plecàm de la relaiîa (5). d:t . dt

Gn. ( k

k 1.) - m , .

V = - = - 1-e

.

de unde, dz

=(G;-~; .-~•)dt.

(8)

Intregrînd ecuatia (8), se obtine: k

Ga t a:=-

k

Punînd condiµile initiale, t c::: -

+ -mGa - e- mt + C. k2

= O,

o,.

a:=

(9)

·

rezuJUi ~onstanta de. i.nt~~re C =

m Ga • Introdu.cînd valoarea lui C în (9) .se obtine in final:

kS

.

.

(10) 2. ln cazul în care p < p', asupra srerei actioneaza o forta ascensionala Fa= == •(p' - .p) vg. Luînd în considerare ca R = kv §Î cala t = o, viteza srerei este v = v0 , ecuatia mi§cii.rii sferei este:

m dv dl

=-

(Fa

+ kv)

sau: dv

-m -dt

=

Fa

+ lev.·

(11)

.

Semnul (-) din (11) aratâ ca odata eu cre§terea timpului, viteza scade. Integrînd aceasta ecuatie î~ mod analog eu cazul precedent, se obtine: F

V=a

k +levoem --t

n --,;·

m

{12)

Din relatia (12) rezuUa ca, tn cazul considerat, viteza scade de la _v0 l)îna la zero. Timpul dupa care se opre§te s!era.poate ri caloo!at din (12), punînd co~ditia v = O, vom avea:

Fa+·kv0 ti _ml -- n---. k Fa·

88

(13)

Dupifacest timp la care sfera s-a oprit, ea începe sa se mi.~te în sens coptrar vite~ 2ei initiale. Acest lucru rczulta din (12) cînd pentru t > t1 • ~i în acest caz avem: r

.

flmax=•1mv=hm ( 400 . 400

k Fn+kvo -mt Ffl ) Fa -----e __ =-k k k

(14)

Valoarea datii de (14) se obtine atunci cînd re~istenta R egaleaûi Fa, dupa care sfera se mi§ca în continuare rectiliniu §Ï uniform. Înlocuind in (14.) valoarea Fa ~i k, se obtine: • :_ 2 (p' - p) r2g tJmax • 9·1,

(15)

Expresia (15) este similara cu (7) §Ï este aplicabila la mi§carea unor sfere eu densitAti mai mici decît a apei, tn apa, precum §Î ln cazul mi§carii unor bule de aer în lichid etc. Pentru a determina spatial pareurs de sfera, se procedeazii ln mod analog, ca i;;i la .punctul 1-,. int~grind ecuatia vitezei data de (12) §Î se obtine:

+

0) ( 1 -e a :m =(Fa - - - /cv --

kX

~ ') - -Fat . k

(16}

Spatiul pareurs pînâ la oprirea sferei se determina înlocuind {13) tn {16).

1.53. Un oscilator alcatuit dintr-un punct material de masa m = 2 • 10-2 kg atîrnat la capatul unui arc, se mii,ca sub aotiunea fortei -elastice a arcului §i a greutatii masei, ecuatia elongatiei avind forma: ~

y= !.sin..!: (t 5

6

+ 1),

unde y este exprimat în metri. Sa se determine viteza §Î acceleratia _maxima a punotului material precum ~i valoarea maxima a f or\ei care aciioneaza. asupra acestui p~nct. REZOLVAnE,

Comparînd ecuatia data cu ecuatiile generale ale unei oscilatii: y= -A sin(t + cp) v = À(.t) cos(t + cp) a= -Â2 sin (Ci>t + cp) = -w2 y

89

obtioem: vmax =Ac.>= 1 • ~

6

5

amax

= Ac.>2 =

: (:

/: = 10,466 • 10-2 ms

r

= 5,476 • 10- 2 m/s2•

Forta maxima care actioneaza asupra punctului material este: Fmax = mamax

= 2 • 10-2 • 5,476 • 10-2 =

10,952 • 10-a N.

1.54. Legea de oscilatie a unui punct material de masa m, este x = B (sin nt cos Sa se determine: 1) viteza maxima a punc-

-v;

nt)-

tului in decursul oscilat,iei §Ï momentul de timp la care se realizeaza, c·onsiderat din momentul in care a inceput mi§carea; 2) forta maxima ce actioneaza asupra punctului material in cursul mi§carii. Aplicatie · numerica: m = 2g; B = 5 1/3 cm §Î n = 10 rad/s. REZOLVARE

a punctului materiaJ se poate pune

1. Ecuafia ce exprima legea de oscilatie sub forma :,; = A sin(nt cp).

+

Factnd identificarea: . B . A. B sm nt - ,/_sin nt= sin nt cos cp V a

+ A cos nl sm. cp,

se obtine: A cos cp

- 1/3 A

=

B

sin cp

(1)

=

B.

(2)

Din (1) ~i (2) prin fmpartire, se obtine: tg cp = -

1 -= => cp =

va

.

7t

- - rad.

(8)

6

Deci: (4)

90

ln acest Cel Iegea oscilatiei punctului material se poate scrie sub rorma:

:,; =

2

r

B sin ( nt -

i) •

(5)

Vitez~ punctului material, este:

r.)

6·

dx 2nt/3 v=~=-Bcos ( nt3

(6)

Din (6) se observA. ca viteza maxima a punctului se realizeaza cînd:

1t) = 1

(

cos nt - 6

⇒

1t

⇒

nt - - = 0

6

t = -11: •

6n

(7)

Deci: 2n

vmax =

Va 3

(8)

B •

2. Forta ce acµoneaza asupra punctului material, este: · dv dt

d!z

F=ma=m-=m-, dtZ

• sau: 2mn

=-

F

2

t/3

3

B

. (ni -

Slll

r.)

6 •

(9)

Deci:

!Fmaxl =

2mn2 Va

a

B,

nt - -1t 6

= -2

(10)

atunci ctnd:

.(

r.) = 1

sm nt - -

\

·

6

-=>

lnlocuind valorile numerice tn (7), (8)

1t

§Î (10),

=>

t

2n: = 3n - .

(U)

se obtine:

"max= 1 m/s; t, = 0,052 s §Î F max= 10 mN.

1.55~ Un corp de masa m este lansat eu viteza v0 pe o masii orizontala frecare. Dupa parcurgerea unei anumite distante cu viteza constanta v0 el lntllne,te un arc de constanta elastica k, astfel tncît viteza v0 este coliniar.l eu axul arcului care are oealalta extremitate fixa •

fa.ra

. '1

91

Se cere sa se determine: a) intervalul de timp care se scurge intre momentul in care corpul ia contact eu arcul §Î momentul opririi sale; . h) deformatia maxima a arcului; o) tensiunea din arc 1n momentul opririi corpului (tensiunea maxima). REZOLVARE a) Din momentul în care corpul ia contact acesta, corpul se mi§ca dupii. legea:

:c = A sin (oot

+ q,);

oo

CU

arcul §Î pîna se desprinde de

= "\ / k.

V

(1)

,n

Viteza de mi§care a corpului în aceasta. situa fie este: v = Aw cos (c.>t + cp).

(2)

Alegînd sensu! pozitiv al axei de mt§care a corpului în seasul comprimarii arcului §Î originea timpului - momentul în care corpul ia contact eu arcul, condifiile initiale ale mi§carii corpului sînt: la t = 0, :c = O §Ï v = v0 • Deci: (3) A sin q, = 0 => ~ = o A(,) cos q,

= v0 =>A=

Vo Ca)

Introducînd (3)

§Î

V

(4) în (1)

!}Ï

:c = v0

m. k sm t; v

= v0 cos

t1 => t1.

= v0 "\ /m •

Vk

(4)

Ctlt.

(5)

(2), se obtine:

CondiPa de oprire se exprima prin .v Deci: 0

cos q,

=

v 0 cos

= O cînd

t == t1 •

·

~ ~ => t = ~ = ~ , / ~ki • 1

2

z

+ q,}.

=A

(1)

§Î deci A

Big. 1.56.

J

= A sin q> => cp = ~. 2

Deci:

z

=A

sin ( (J)t

+ ; )= A

cos t.

(2)

Viteza corpului este: v

=

dz dt

=

-À sin c.>t .

= Àc.> cos (c.>t + ~) • 2

(3)

Sau:

v

= Vmax cos ( .,1 + ; ) ·

(4)

La trccereà prin pozitia de echilibru, corpul are viteza maxima deoarece «

= Cl.)t + ~ = O §Î 2

deci: (5)

(k8

Corpul ce oscileaza armonic fiind prins de doua resoarte montate în paralel 2k}, sistemul va avea pulsatia: ·

=

., =

V! =

y2~ •

(6)

lnlocuind (6) tn (5), se obtine: (7)

93

Evident ca pentru acest moment, energia cinetica· a corpului este tot maxima:: 2

-~E cmax2 -- m2 -k - A '•

(8)

lnlocuind valorile numerice''tn (7.) §i (8), se obtine: vmax

= 0,88

m/s

§Ï

E 1~a.--c

N

3,1 J.

1.57. Se dau ,,n" resoarte mecanice care se monteaza odata in serie 1i odata in paralel. Cunoscind ca f}Ï intr-un caz fJÎ in celalalt corpul care se atatazi sistemelor oscilante• formate este acelati sa se determine relatia dintre constantele- elastice ale resoàrtelor· respective, astfel înctt raportul dintre perioada de oscilatie a sistemului serie f}Ï perioada de -oscilaiie a sistemului paralel sa fie- miniin. Care este valoarea acestui raport miilim? Se neglijeaza marimea maselor proprii ale resoartelor precum f}Ï frecarile de orice natura. SOLUTIE Notam eu ,,m" masa corpului ce se at~aza celor doua sisteme · oscilante

fji

ki, i e [1, n] co~tantele elastice diferite ale resoartelor respective montate tn serie §Î respectiv paralel (fig. :t.57).

,eu

ln cazul sistemului oscilant serie, perioada de oscilatie este: Ts

~ 21t vmks == 21:V mt~, ... ki

(1)

1

ln cazul sistemului oscilant paralel, perioada de oscilatie este: Tp

= 2,r

V:=

2,r

Vt

k;.

(2)

i=t

-

Facînd raportul Ts , avem: Tp

mg Cl

b.,

T 8= Tp

Fig. 1.57.

94

V(n~ kï )(n~ -ki1) •

(3)

Deoarece constantele elastice ale resoarteJor sîilt exprimabile prin numere reaJe, pentru determinar~a raportului Ts utilizam inegalitatea lui Cauchy-Bunia• . Tp kovski:

(i) tn care facem substi~utiile: (5)

ln

aceastii situatie (i) devine: (6)

lnlocuind (6) ln (3) se obtine:

Ts · -~n. Tp

(7)

Evident avem:

(TpTs)min - n daca resoartele au aeeeqi cons tanta elastica k1 = k2 = ... = kn identice.

(8)

= Tt,

adicii stnt.

1.58. Un corp de masa. m este lansat cu viteza ini~iala v0 pe un plan inclinat cu unghiul œ fata de orizontala (fig. 1.58). Dupa ce parcurge distan\a l pe planul inclinat3 corpul loveiite centric un resort spiral de masa neglijabila lixat la baza planului. Neglijînd valoarea coeficientului de frecare dintre corp fJÎ planul inclinat fJÎ cunoselnd constanta de elasticitate a resortului k, se cere a se calcula deformatia maxima a resortului. REZOLVARE Potrivit formulai lui GaJilei, viteza eu care corpul love§te capàtul liber al resortului este: 1/2-(1) = V vo + 2la ,

"1

95

1n care acceleratia a tn mi§carea uniform accclerata a corpu,lui pe planul. îQclinat rezultâ din formula lui Newton:

=

F

ma => mg sin ex

= ma => a = g sin ex.

{2)

+ ~lg s_1n• «..'

{3)

Înlocuind (2) în (1), se ob!ine: ·

v1

=V

2

v0

Din momcntul contactului corp~lui eu resortul §Ï. pîn:i la oprirea sa, . legea de mi~càre · a acestui corp este: ...

z

= A sin( ..1 +'!'),

... =

dx = - = ÂCA> dt

·

V~

(4)

iar viteza Fig. 1.68.

tl

COS( X

0

➔ V

=

V1•

O = A sin cp ~ ~ = O

(6)

V

V1

= Â Cù cos q, '=> Â = ...!. •

(7)

(d

tnlocuind (6) §Î (7) în (4), se obtine: '

x

• = v-1 sm oot =

v1

Cù

"'max=•• 0

V:=

yV m -

k

.

sm

k

-

m

t

~ ( v5 + 2/g sin ex) , k

.

{8)

atunci cînd:

I=; V;1.59. Un corp de masa m este prins de un arc de constanta elastica k avînd cealalta extremitate-legata.' la un punct fix O. Corpul este rezemat fara frecare pe o masa orizontala. 96·

ln pozi\ia initiala (punctul A) arcul ~i corpul se affü pe aceea§i verticala, lungimea libera a arcului l fiind egala eu distanta de la punctul O la masa.. Se cere viteza maxima Vmax eu care poate fi lansat corpul pe masa orizontala astfel lncît el sa nu se desprinda de aceasta. REZOLVARE

0

Facem bilantul energetic între pozitia initiala A ~i pozitia finaJa B in care corpul ... se desprinde de masa, pozitie in care reactiunea normala exercitata de masa asupra corpului este nula §Î de ascmcnea viteza este nula; rezulUi (fig. 1.59): -

-1 mv 2rnnx 2

+ -2k

z)2 = 0, (1)

(,/-12 V + X2 -

Fig. 1.o9.

deoarece variatia cnergiei potentiale a corpului în cîmp gravitational este nula. Din (1) rezulta: V~ax

ln

= !!..(v l 3 + x2

- 1) 2 •

m

(2)

B, p~oiccfînd rortele pe verticala, avem:

T cos cp

=

(3)

mg,

tn care 1.~ este tensiunca din arc, iar cp - unghiul format de arc cu verticala. Pe de alta parte avem:

= k (V l 2 + x2

T

cos Introducînd (4)

§Ï

(5) în (3)

l)

(4)

If)= 1 / - - • V 12 x2

(5)

§Î

l

+

explicitînd

V l2 + x2 = Înlocuind (6) în (2)

§Î

2

kl2 • kl-mg

mgl kl - mg

97 i,;i

Vl + x

V

2 ,

se obtine: (6)

explicitînd vmax, avem: "max =

7 - Probleme de UmitA

-

extrem ln fizica

k

m •

(7)

Rezultatul {7) este valabil în conclitia în care kl modulul vitezei de lansare. Deoarece sageata statica a arcului este f

=

>

mg, deoarece v max

este

mg , rezulta ca {7) se mai poate k

pune ~i sub forma: "max =

Deci conditia kl > mg Deoarece

V~

__E_ "I / k l - f Vm se poate scrie l > f.

= "' -

(8)

•

pulsa\ia oscilaPilor proprii verticale a arcului

§Î

corpului, rezulta în final ca: lei>

(9)

"max=--. l --1

f

1.60. Un pendul este format dintr-o tija. metalica rigida de lungime l ~i de masa neglijabila prinsa la un capat intr-o articulatie 0 iar la celalalt capat avînd un corp de masa m (fig. 1.60). La distanta a de punctul de articulaiie 0, tija pendulului este prinsa de doua resoarte identice, fiecare eu constanta elastica k. Sa se determine viteza tangentiala eu care trece corpul de masa m prin pozitia de echilihru, atunci cînd din pozi\ia de echilibru pendulul este deplasat eu un mie unghi 60 • Se neglijeaza frecarile. REZOLVARE Deplasînd pendulul eu unghiul 8 fatu de po .. zitia de echilibru, momentul ce tinde sa readuca acest pendul la pozitia de echilibru este:

+ M 2 ),

(1)

M 1 ~ 2{ka sin 8) • a M 2 = mgl sin O.

f2) (3)

M

=

-(M1

în care:

Fig. 1.00.

Pentru unghiuri sin 8 ;:;;:; 6 (rad}.

98

mici se poate

considcra

Deci: M

=-

0(2ka3

+ mgl).

((t)

Aplicînd legea rundamentala a dinamicii, avem: d2 8 1 dt 2

=-

8(2ka2

+ mgl).

(5)

Dar momentul de inertie J al corpului de masa m tata de axa orizontala ce trece prin 0, este J = ml3 • Deci avem: ml2

d2 8 -

dt2

+ 6(2ka + mgl) = 0, 2

sau: d28 dt2

+ [ g + 2k (~)2] 6 = O. l

m

(6)

l

Solutia ecuatiei diferentiale {6) reprezinta o functie armonicu: 8 = Oinax sin{Cr>t

Este

U§Or

de observat

ca

+ cp).

(7)

pentru t = O :::::;> 6 = 8max = 60

!]Î

deci cp

= ~rad. 2

Prin urmare avem:

e=

80 sin ( wt

+ ; J=

60 cos

(,)f'

in care:

"'y7+-; \ j g 2k ( T. aJ 2

Cr>=

(8)

Evident viteza pendulului eu care trece prin pozitia sa de echilibru este o viteza maxima ce rezulta din: v

d8 = l dt= -

16

0

. Cr> sin

wt

=

.

-vmax sin Cr>t.

(9)

Deci:

"'V \ J lg + 2k (a) ~ l . 2

vmax

= lOoCr> = l8o 99

'1*

(10)

1.61. 0 masa M atîrnata de un fir de cauciuc oscileaza armonic eu o perioada. T. Din doua fire elastice de acest fel se confectioneaza o pra§tie. Ea se întinde lungindu-se eu Âl. Sa se determine lna.ltimea maxima la care se va ridica o piatra de masa. m aruncata. vertical in sus de aceasta pra§tie, daca întreaga energie potentiala a firelor elastice se transforma în energie poten\iala a pietrei. Aplica\ie numerica: M = 10 g; T = 0,2 s, '1..l = 40 cm; m = 5 g §Ï se va considera 1r2 ~ g. REZOLVARE Energia potentiala a firului elastic întins, este: W =Fm. Al= Fo +Fi• Al= 0

+ kAl Al= k

2

2

A/2. 2

{1)

Constanta elastica a firului rezulta din expresia perioadei: T

=

2r. "' / M

Vk

~k=

4

r.2 • M. 7'"'

(2)

Înlocuind (2) în (t), se obtine: W

=

21t2A/2 . 1'1.

(3)

T2

Deoarece avem doua fire elastice, encrgia totala este: - 47t2 W t-- -'>J,JT -A/2 - •M.

(4)

T2

Energia potentiala a pietrei la înaltimea maxima {vitcza pietrei nula), este: Wp

= mghmax = Wt =

4 r.2Al 7'2

2 •1'f.

din care: hmax

=

4

M ( Az)2 7r.2 .-;;; T ~ 4 Mm (TAl). . 2

Numeric, rezulta: hmax

o('o •10-2}2

= 4 • 1- 5

--2. 10- 1

100

~

32 m.

(5)

1.62. 0 hara omogena AB, de lungime l ~i o anumita masa pe unitatea de lungime, oscileaza in plan vertical, fiind sprijinita pe axa de rotatie in punctul O (fig. 1.62). Sa se determine lungimea OA = x, astfel incît perioada oscila\iei sa fie minima. So neglijeaza frecarea in ax ~i rezistenta aerului. REZOLVABE

Daca dam o deplasare unghiulara mica q, barei AB, ecuatia miljcarii de rotatie în jurul punctului 0, esle: (1)

tn care 1 este momentul de inertie al barei rata de axa de rotatie ce trece prin 0, iar I;.M este suma momentelor fortelor care actioneaza asupra barei. Neglijînd frecarea în ax §Î rezistenta aerului, singura forta activa ce da valoarea cuplului rezis-

Â

-

Fig. 1.62.

tent ce se opune mhJcarii este greutatea barei: G = ➔

= mlg,

în care m este masa pe unitatea de lungime a barei. Deci: (2)

în carc:

= G • OC sin cp = mlg ( x

llfO = G • CC'

10

=

Ic

+ ml OC2 = ml3 - + ml ( x 12

-

~ ) sin cp 2

- -l ) • 2

Tintnd seama ca pentru oscilatii mici sin q, ~ cp §Î înlocuind (3) se obtine ecuatia oscilatiei armonice libere a barei:

[ 12 + (x -

ml 12

l )2] dtd2q, - + mgl (x - -l) 2.

2

(3)

2

q>

(4) §Î (~} în

(2)

= O.

Efcctuînd simpliricarilc posibile, obtinem: d2cp dtll

g( x -

; )

+ -----,-3 q> = o. x2 - lx+ -

3

101

(5)

Din (5) rezulta ca pulsatia proprie a barei este:

"'2

=

(6)

z2

lx+ -

a:3-

3

21r rezulta ca pentru ca aceasta sa !ie

=

Deoarece perioada oscilatiei barei T

Cil

minima este necesar ca sa fie maxima. Deci va trebui sa studiem extremele functiei Avem: . d( c,}2)

3

( x3

la;

~

+~

lx

= f(x).

.!_) (2:c 2

lx+ !:_ -(x -

x3 -

=g

6l2

r

l)

= o.

(7)

Rezulta ecuatia: 6x2 . - 6lx CU

+ l = o, .

(8)

2

radacinile: (9)

Se poate observa deoarece

~ = ~ (1 -

U§Or

ca numai solutia

v\) < ~

X1

= ..!_ 2

(1 + v1-) > ..!_ are sens fizic 3

2

conduce la o valoaro imagina.ra a pulsatiei

ceea ce evident nu este posibil. Pentru a stabili natura extremului dat de (9), avem: d 2 { w 2}

. x(x - i) {2x - l} ~=g ( a:2-lx+-·

[2)3 •

.

(10)

2

Sub$lituind :ci în (10) se obtine: d2(c.>2) - -2 = dx

_ g

-12Vs - 2A sin kx

=

0

=>

kxn

=

nrr,

sau: 2rr -

l

• Xn

=

n7. => Xn

À

= - ·n 2

(n

=

0, 1, 2 ... ),

(5)

sau:

=

n .!:__ (n 2f

x1

= 0,225

Xn

-

= 0,

1, 2, ... ) .

m,

x2

(6)

Deci: x0

= O,

= 0,45 m etc.

1.64. Spre un perete reflectator se trimit continuu unde sonore plane de frecventa f = 500 Hz. Distanta dintre sursa ~i perete este l = 40 m. Amplitudinea oscilatiilor particulelor mediului este A = = 2,4 mm §Ï viteza de propagare a undelor c = 320 ~/s. Sa se determine: 1) distantele fa\a de perete la care in urma interferentei dintre unda incidenta. §Ï unda rcflectata, presupusa de aceea§i amplitudine, se produc maxime (ventre) ~i minime (noduri); 2) energia maxima de oscila\ie a unui volum de gaz egal eu 1 mm3 daca densitatea gazului este p = 1,3 kg/m 3•

REZOLVARE 1) în spatiul dintre sursa daca:

§Î

pcrcte se !ormeaza un sistcm de unde stationare

l

=

n - , (n - întreg},

À

2

104

(1}

în .care >.. este lungimea de unda a undelor sonore: >..

Înloéuind (2) în (1)

§Î

=

cT

=

!:_.

(2)

f

explicitind n, avem:

l

40

C

320

n = 2( - = 2 • 500 • -

= 125,

(3)

deci se Cormeaza unde stationare. ln urma interferentei din_tre unda incidenta §i unda reflectata, punctele situafe la distanta x de perete vor oscila eu amplitudinea: $Î

Ar= 2A sin kx.

(4)

Pentru Ar = 0 => sin kx = 0, adicii: Xn

=. n 2-À ,

(5)

se produc minime (nodurj). Pentru I Ar 1 = 2A => sin kx

=

Xn

1, adica:

=

(2n

+ 1) -À , 2

(6)

se produc maxime (ventre). 2) Viteza maxima a oscilatiilor particulelor mediului dintre sursa §Î perete este: Vmax

=

2Aru

= b(A = 4 • 3,1.4 • 500 • 2,4 • 10-3 ;::.::; 15,72 m/s.

Energia maxima de os~ilatie a volumului de gaz dat este: pVv~ax JVcmax = - - 2 -

1,3 • 10·; • 15,72 3 ;::.::; H, 6 • 10 _8 J.

1.65. La distanta l = 4 m de un perete reflcctator plan vertical se afla o sursa de unde plane de amplitudine A 1 = 0,2 mm. La distanta L de perete se afla un receptor ce prime~te atît undele provenite direct de la sursa cît l]Ï undele reflectate eu amplitudinea A2 = 0,15 mm. Sa se determine prime]e trei frecvente ale sursei pentru care în receptor se produc minime de oscila\io în urma interferentei celor doua unde precum ~i amplitudinea minima. Viteza sunetu.lui in aer se considera c = 340 m/s.

105

REZOLVARE

ln

receptor sosesc undele:

- directa - Yd

= A 1 sin[ üJt -

- reflectata - Yr

=

(1)

k(L - l)]

+ l) + 1r].

A 2 sin[ wt - k{L

(2)

Oscilatia rezultanta în receptor va avea amplitudinea: (3}

în care: q>2

'Pl

-

=

+ l) -

k{L

1t -

lc(L - l)

= 2kl -

1t.

(4)

ln punctul considerat vor fi minime pentru: cos(q,2

qi1 )

-

=

cos(2kl - 1r)

kl

=

=

-1

adica pentru-: mr,

din care: (n

Pentru

C = n·•.-•·

2

n

= 1 ==> f1 = -C = -340 =

n

= 2 => f2 =

21

2(1

2•4

=

(5)

l

42,5 Hz;

85 Hz-; n

=

3 =>

f3 = 3(1 = 127,5 Hz.

Amplitudinea rezultanta minima este:

A

=

A1

-

A2

=

0,2 - 0,15

=

0,05 mm.

1.66. Un diapazon care produce f vibra\ii pe secunda, vibreaza la capatul deschis al unui tub închis, la celalalt capat care are lungimea l. Cunoscînd amplitudinea vibraiiilor diapazonului, a se cer: 1) Distaniele la care rezultanta vihra\iilor incidente §i reflectate de fundul tubului, are amplitudinea maxima §Î valoarea acestei amplitudini. 2) Distantele la care rezultanta vibra\iilor incidenta §i reflectata are amplitudinea minima §Î valoarea acesteia. 106

REZOLVARE 1) Tubul fiind închis la capatul opus diapazonului, reflexia se face eu un salt de faza egal eu ~ §Î ecuatiile vibratiei incidente §Î reflectate la distanta :x; de capAtul deschis sînt: . 21t ( y 1 = a sm

Y2

Tt - "îX)

. [21r (Tl a sm

=

(1)

X) + ]

21-À-

7t

•

(2)

Diferenta de faza va fi:

sau: 8

(m

=-

(x -

/)

À

+ 1t.

(8)

Distanta x pentru care avem amplitudinea maxima, re.zultâ din conditia: 8 = 2krr, k -

Comparînd (3) eu (4)

§Ï

numar întreg.

(~)

explicitînd x, se obtine: x

= }__ (2k·-

1)

+l

= ..!_ (2k -

1)

+ l.

4

sau: x

4(

(5)

Amplitudinea maxima este data de relatia: A ~ax

= a + a"!. + 2a.i cos 2k1t = 2

Amax

=

4a2

(6)

2a.

2) Distanta x pentru care avem amplitudinea minima se obtine din conditia: 8 = (2k

Comparînd (3) eu (7)

§Î

x

+ 1)rt,

k - numàr intreg.

(7)

explicitînd pe x, avem:

=~ k +l= 2 · ·

!:!_ k 2(

+ l.

(8)

Amplitudinea minima are valoarea:

A~n

= a2 + a.i + 2a

2

cos(2k

107

+ 1)1t = O;

Amin= O.

(9)

Capitolul 2

PROBLEME DE CALDURA ~I FIZICA MOLECULARA 2.1. Diamantul care cristalizeaza in sistemul cubic are un coeficient de dilatatie de forma a + b ( 6 - 40). La ce temperatura va prezenta el maximum de densitate?

(a

b = 0,432 · 10-7).

= 0,354 · 10-S,

REZOLVARE , Dilatarea volumicà a diamanlului este datà de legea:

V= V0 (1

+ y8).

(1)

Dar: 1'f

V=-;

Vo

p

M = -.

(2)

Po

lnlocuind (2) in (1) se obtine:

P=

1

=

Po -yuu

-J-

Po(1 - y8)"' p (i _ v0). 1 - v202 0 ' ,

Dar din enuntul problemei rczuWi y

= a + b( 0 -

(3)

40) §Ï deci:

p = p0[1 - a6 - b0(0 - (10)].

(~)

Pentru a delermina extrcmele functiei p ~ f( O) datA de (4), avem:

dp =

dO Fàcînd dp d8

=

p0(-a - 2b0

+ 40b).

(5)

O, se obtine: 0

=

20- ~2b

108

{6)

Pentru a stabiJi natura extrcmului dat de (6), avem: d2p

- - = -2p0b. d82 Deoarece

d!?p d62


Vm1n =k.

(5)

V0

pmax

Înlocuind (5) in (4) se obtine: a2

{6)

1 - -=k. 4b

Rezolvînd sistemul de ecuatii format de {3) a

=

2(k - 1) ; b

e

!JÎ

=

(6) în raport

eu a ;i b, se obtine:

1- k •

(7)

e

2

Înlocuind (7) in (1) se obtine expresia Jegii cautate: V

=

V0 [1

+ 2(k -

e + (1 -

1) ..:.

k)

..!:] . 0 2

(8)

2.3. Sa se evalueze eroarea maxima de masurare a temperaturilor de ordinul 100° C cu un termometru cu rezistenta de fir de platina, dacâ precizia de masurare a rezisten\ei electrice a firului este ~R = = 0,01 n. Rezistenta firului la 0° C este Rô = 100 n, cunoscuta eu suficienta precizie. Coeficientul termic al rezistentei de platina este ex= 3,910 · 10-3 K-1•

REZOLVARE Rezistenta electrica variazà eu temperatura dupa Jegea: R

+ «6)

(1)

R- Ra e = ----".

(2)

=

Ra(1

din care: Raa.

Logaritmînd expresia (2), obtinem: ln 8 = ln(R - Ra) - lnRa - Jnct. Diferentiind expresia (3), avem: dO 8

d(R -

R 0)

R- Ra

dRa d« -----. R œ

110

0

(3)

Trecînd la erori (difercnpalele se asimileaza eu erorile) §i luînd cazul cel mai nefavorabil cînd erorile se aduna, se obtine: (ea)max

=

Neglijînd eroarea lui (ea)max

=

=

(80}max O

ex §Î

8R + 8R0 IR-R0 l

+

8R 0 R0

+ 8cx.

R 0 , cunoscute suficient de precis, avem:

(aO)ma~ 6

~ _ :rn 1

R- Roi

; (86)max =

6(ea}max.

Pentru temperaturi de ordinul 6 = 100° C, rezulta din (1) R

=

(S)

œ

100(1

§Î

(6)

(6):

+ 3,910 • 10-~ • 373) ~ 140 !l.

Deci: (ea )max = (80}max

- 0,01 -140-100

=

0(ea)max

= 0,025 o/c

0

~

0,025°C.

2.4. 0 sfera metalica de diametru d, incalzita, se a~aza pe suprafata orizontala a unui bloc de gheata de grosime uniforma h ~i eu temperatura de 0° C. Sa se determine temperatura minima pe care trebuie s-o posede sfera in momentul in care este a~ezata pe hlocul de gheata, astfel incît aceasta topind gheata, hlocul sa fie gaurit. Constantele fizice necesare rezolvarii prohlemei se ccmsidera cunoscute. De asemenea se ;neglijeaza schimhul de caldura. al sferei eu mediul exterior. REZOLVARE -

Volumul limita al ghetii topite, astrel încît blocul sa fie gaurit (fig. 2.4), este: V1

=

1td2

- h1 4

+ -21. . -43 1rd3 -8 = 1rd2 -24

(6h-d).

(1)

Caldura primita de blocul de gheata pentru topirea volumului de gheata V1 , este:

Q1

=

(2)

ÀV1P1,

în care À este caldura latenta de topire a ghetii iar p1 este densitatea ghetii. (Se neglijeaza variatia lui d eu temperatura.)

111

:Fig. 2.4.

Înlocuind (1) in (2), se obtine:

Q.

=

1td2

24

{6h - d)i..pl.

(3)

Caldura cedata de sfera de metal încalzità este:

Q2

= cpJ/(6 -

80)

= cpVO,

(4)

în care Ceste câldura specificll a metalului din care este confectionata sfera, V voJumul sferei, iar e - temperatura initiaJa a sferei, iar p - densitatea materialului sferei. Deci:

Q2 = PenLru ca blocul de gheatà

cp

34 1tdJ 8 .8=

sa fie

r.d3 cp

6 a.

(5)

gaurit, este neccsar ca:

Q2 ~ Q1 => cp ml3 6 6

~

2

1td (6h - d)),p1 ~ :24

din care: 8mm

= 4cp -i..p1 (6h -d -

)

1 •

(6)

2.5. Un patinator cu masa M = 60 kg folose~te patine cu lungimea l = 20 cm ~i latimea a = 0,5 cm. Luînd in considerare ca greuLatea patinatorului se distrihuie uniform pe cele doua patine ~i cunoscînd ca variatia temperaturii de topire a ghetii este in medie de 1° C pentru o variatie a presiunii tl.p = 1,3 · 107 N/m, sa se determine temperatura minima 6m1n a ghetii, astfel ca aceasta sâ se topeascâ sub greutatca pat.inatoru)ui. Se va considera g = 10 m/s? REZOL\'.AltE Temperatura minima a ghetii care se topcl}le sub greutatea patinatorului 6m1n = -A8, in care variatia de temperatura A8, rezultâ din: p

Mg = --· = 2la

112

A8 • Ap,

{1)

în care p este presiunea exercitata asupra ghetii de catre patinator. Din {1) rezulta~ Mg .M=--•

(2),

2laâp

Deci: 8min

· Mg =- -= 2laâp

2 • 20 •

10· 2 •

60 • 10 ~ -2,3 • 10-2 grade. 0,5 • 10- 2 • 1,3 • 107

2.6. Un remorcher navigînd singur cu viteza v = 7,2 km/h consumât 50 kg de carbune pe ora (M1 ). Tragînd ~lepuri cu aceea~i viteza consuma 290 kg de carbune pe ora (M2). Randamentul ma~inii cu abur este· '1J = 10 %- Ce diametru minim trebuie sa aibii cahlul de remorcare a §lepurilor, daca tensiunea de rupere a cablului ar = 360 N/mm 2 ?' Puterea calorica a carbunelui se va considera q = 30 MJ /kg. REZOLVARE Remorcînd ~lepurile, forta de lractiune dezvollatü de motor cre~te eu fortade tensiune din cablul de remorcare. Deci for\a de trac\iune la care este solicitat cablul arc va,oarea: (1)

Pe de aWi parte for\a de trac\iune maximü pe carc o ponte J)rclua cablul seexprima prin rela\ia: (2►

Pcnlru a nu se rupe cablul, este necesar ca: T1 ~ T :::,;,

1td2 Gr -

4

~

din care:

113 8

W -

V

(M2

-

M 1 },

~ï deci: (3)

înlocuind valorile numerice în (3) se ohtine: dmin ~ 1~ mm .

. 2.7 .. .Care. este_ temperatura minima la care energia cinetica medie a .:atomilor de heliu este suficienta pentru a învinge atrac\ia gravitationala terestra' ~i · a ·para.si atmosfera? ·

REZOLVARE {Utilizam notatiile obi§nuite în manuale.) Energia cinetica a atomului de heliu W c =

.!.2 m0 u2

trcce în cre§tcrea energiei .

.

. . -potent1ale de l a - rmoM - - 1a zero §1• d ec1: •

Rp

T~

2 m 0 gRp •

3

îinînd seama

ca

mo k

= .!:.

.

R

2

avem: µgRp

T~ - - - => Tmin 3 R

Înlocuind valoriJe numerice în (3): µ

=

6,4 • 10 m 8

§Ï R

= 8 314

(2)

k

=

4

2

µgRp

3

R

= - --. ~; Kmol

Jfkmol.K, rezulta: Tmin

114

=

g

=

(3)

9,8 m/s 2 ;

20 000 K.

Rp

=

,,1

2.8. Ce viteza minima trebuie sa aiba un meteor de fier, fa\a de onava cosmica., pentru ca prin ciocnire plastica eu nava ·meteorul sa setopeasca? Temperatura ini\iala a meteorului 60 = -110° C. Din cantitatea de caldura degajata prin ciocnire nu.mai 11 = 50% este absorbita· de meteor. Masa navei este mult mai mare decît masa meteorului.. REZOLVARE

Fie M masa navei §Î m - masa meteorului. Caldura degajata urmare a ciocnirii plastice dintre meteor

nava este:

§Ï

1 mM ' 2 Q .= - . - - - ·vr,, 2 m + M

în care

vr

este viteza relativa a mctcorului

(1)·

rata de nava.

Dar: m

mM + M=µ,

(2)·

în care µ este masa redusa a celor doua corpuri care se ciocnesc. Deoarece M rezulta µ ~ m !JÎ deci: 1

Q= -

2

> m,.

2

(3)

mvr• .

Caldura absorbita de meteor pentru a se tapi complet este:

Q1 = mc(O - 00 ) + Àm = m[c(O - 00 ) + À] în care c este caldura specifica a fierùlui din care este constituit meteoritul, ï.. caldura latenta de topire a fierului, iar O - temperatura de topire a fierului. Evident, pentru a se topi• ·meteoritul~ este necesar ca: r,Q

~

Q1

1

=> l) -

2

2

mvr ~ m[c(O -

.

00 )

+ À],

din care:

§Î

deci:

.

Vrmln

=

2

V. 1Ï[r(O J

60 )

+ À]•

. . Luînd în considerare di c = 640 -.- - ; 0 = 1 539 °C kg K

substituind valorile numerice în (5), se obtine:

"r min

,:::::; 2,3

i15

km/s~ :

(5} §Î À

=

.

27 • 1 o•

. J.

-

kg.

!JÏ

'~

2.9. 0 nava cosmica de mas a m = 5 t 0 a f ost înscrisa pe o orbita -circumterestra la altitudinea h = 200 km. Admitem ca la revenirea pe :sol (viteza la sol nula), energia navei se transforma in caldura, din care jumatate este preluata de inveli~ul navei, restul fiind comunicata atmos(erei. Ce masa minima trebuie sa aiba inveli~ul navei confectionat ,din oxid de beri1iu daca. pentru sublimarea unui kg de oxid de beriliu ,este necesara cantitatea de caldura q = 2,445 • 107 J. Se va considera .xaza pamîntului R = 6 370 km ~i g0 = 9,81 m/s 2• REZOLVARE · Energia totala a navei la înalfimea h rata de sol este: E=Ec +Ep, in care:

Ec

=

mv 2

1

=

m • gh • (R 2 mM

Ep

=

YR -

+ li) =

mg0

•

(1)

(-R-) R +h

2 ( Il

+ h)

-

2

mM 'Y R + ,,

=

y•m•M•h R(R

+ h)

{(oR 2mh

- R(R

mg0 R 2

2(R

+ h}

mg0 Rh

+ h) = R + h.

(2) (3)

lnlocuind (2) !JÏ (3) în (1), se obfine:

E

=

+ 2h) + h)

•

(4)

E =-· 2q

(5)

mg0 R(R

2(R

Masa minima a înveli~ului navei rezulUi din: , E , mq=-=>m 2

Ïnlocuind ('•) in (5), se obtino:

m' = mg0 R(R 4q(R

+ 2h) =

+ li)

5 • 103 • 9,81 • 637 • 104 (637 • 104 + 4 • 105 ) ~ 3 288 kg. 4: • 2,445 • 107 (637 • 104 2 • 1015)

+

2.10. Presiunea partiala a vaporilor de apa dintr-o inoapere eu volumul V = 30 m 3 'este f = 1 380 ~ • Temperatura atmosferei din ml

incapere este T = 300° K, iar la aceasta temperaturif presiunea vaporilor saturanii este F = 4 140 N/m 2• 116

Sa se determine cantitatea minima de apa dintr-un pahar aflat in incâperea respectiva dupa vaporizarea câreia atmosfera din încaperea închisa la temperatura T devine saturata. eu vapori. Masa molara a apei M = 18 kg iar constanta universala R = 8 · 310 J /kmol grd. Pentru vaporii de apa se va folosi ecuatia de stare a unui gaz perfect. BEZOLVARE Pentru ca atmosfera sa devina saturata, masa mmtn evaporata trebuie sa produca o presiune partiala egala eu F - f §Ï deci: mmtn

=M

(F - f)V

= 18 • (4140 -

RT

1380} • 30 ~ 0 6 k .

8310 • 300

'

g

2.11. Exista posibilitatea ca diferen\a dintre temperaturilc izvoarelor cald §i rece ale unui motor termic sa fie mari ta eu li T' prin incalzirea izvorului cald §i racirea izvorului rece. Cum trebuie distribuita varia\ia  T' între izvorul cald ~i cel rece astfel oa noul randament sa fie cel maxim posibil? Care este distribu\ia cea mai dezavantajoasa din punctul de vedere al valorii randamentului? Se va lua tn considerare ciolul Carnot. REZOLVARE Fie L\T; crc§terea tcmpcraturii izvorului cald, astfol cli:

T; = T + ATi, 1

(1)

lar 6.T; scàderea temperaturii izvorului rece, astfel eu:

Ti

=

T2

ô.T'

=

ATi

-

.ar;.

(2)

+ AT;.

(3)

Evident di:

Dupa aceste schimbari, randamentul este:

117

Randamentul 71' devine maxim atunci cînd numitorul expresiei (4) este minim (deoarece în conditiile date, numaratorul este constant}, adica atunci cînd .âT; = O: (5)

ceea ce tnseamna ca cel mai eficient este sa se scada temperatura izvorului rece eu .âT', temperatura izvorului cald ràmînînd neschimbata. Daca întreaga variatie afecteaza izvorul cald, randamentul are valoarea minima posibfüi: T 1 - T 2 + 6.T' {6) '1)min=

2.12. Pentru rac1rea unei ma~ini termice care funciioneaza dupa cicJ ul Carnot eu un gaz monoat.omic ideal se folose~te un curent de apa. ~tiind ca temperatura izvorului cald este T 1 ~i ca. apa. iese din ma§ina la temperatura T 2 considerata ca temperatura a izvorului rece, sa se determine energia interna maxima a gazului, cunoscînd ca volumul maxim ~i presiunea minima atinse în cursul unui ciclu sint V, respectiv p.

BEZOLVARE Din analiza transformarii rezulta ca atunci cînd volumul devine maxim, presiunea este minima §Ï temperatura este cea a izvorului rece T 2 • Din ecuatia de stare a gazelor se determina numarul de kil omoli:

n=_E.!_

(1)

RT2

~i apoi energia interna maxima, corespunzatoare temperaturii maxime 7'1 :

= nNA

W, (2) în care NA este numarul lui Avogadro, iar W - energia cinetica medie a unei molecule a gazului monoatomic. Dar: Umax

3

R

2

NA

W=---Ti,

(3)

ÎOlocuind (1) ~i (3) in (2), se obtine: Umax

= ~ pV 2

118

Ti . T2

(4)

2.13. Un cilindru transparent gol, inehis la un capat, este· scufundat complet, eu capatul desehis in jos, intr-un lichid. . Capatul inehis al cilindrului este mentinut la nivelul suprafetei libere a lichidului. Opera\ia de seufundàre s-a fa.eut la temperatura 00 = 7° C. Dupa treeerea unui interval de timp se observa ca nivehtl lichidului din eilindru este cu h = 80 cm mai jos raia de nivelul din exterior. ~tiind ca valoarea presiunii atmosferice nu s-a sehimh~t ~i ca a doua citire s-a fa.eut la temperatura O = 27° C, sa se determine temperatura maxima atinsa in intervalul de timp considerat. Densitatea Iiehidului este p = 1 kg/dm3 , presiunea atmosferica p = 105 N/m2 iar lungimea tubului l = 96 cm. Ce valoare minima a temperaturii se poate determina eu acest dispozitiv? · REZOLVARE

În cilindrul de suprafata s nivelul lichidului coboara cu cre§terea temperaturii. Daca temperatura cre§te foarte mult, nivelul lichidului din cilindru ajunge la capatul deschis §Ï o cantitate de aer va para.si cilindrul. Dupa mic§orarea temperaturii, nivelul lichidului urca. La 0 = 27° C, nivelul va fi: (p

+ hpg)h • s = (p + T

lpg)l • s,

T

=

Tmax

273

+ e,

(1)

din care: Tmax

=

T • (p + lpg)l • (p + hpg)h

(2)

Valoarea minima a temperaturii maxime este acea temperaturâ la care cantitatea de aer, existent initial în tub, umple complet tubul: (p + lpg)sl - = ...,;.;;._,_, -'-"-"-,

pls

T0

T0

=

273

+8

Tmnx

(3)

0,

din care: T~ax

=

To (p

+ lpg) •

(4)

p

Daca temperatura nu· depa§e~te aceasta valoare, atunci prima întrebare nu are sens .

. . Înlocuind valorile numerice în (2) Tmax

=

366 K => 8max

§Î

(4), se obtine:

= 93°C; T~n."t = 307 K 119

=> 8~ax

= :M C:. 0

2.14. N moli de gaz perfect sufera o transformare cicUcA care in coordonatele (T, p) este reprezentata printr-un cerc de raza r eu centrul în punctul de coordonate ( T 0 , p 0 ). Sa se determine stârile in care volumul are valori extreme. Sa se generalizeze solutia la cazul unei transformru-i arbitrare. REZOLVARE Urmarim intersectiile familiei de drepte (fig. 2,14): p= kT,

p

(1)

în care k esto un paramelru; eu cercul. Oazul fiind perfect, avem: _ ~r RT p- .. , - -

V

(2)

Comparînd (1) eu (2), aYem: NR V=--.

(3)

k

0

lô

T

Din (3}, rezulta câ volumul este maxim cînd k (panta dreptei p = kT) este minima ~i câ volumul este minim cînd acee~i panla k este maxima, adica pentru punctele de tangenta A §Ï B. Astfel avem (fig. 2.14):

Fig. 2.14.

J"max Vmin

= =

NRTA

VA=-----"""-

(~)

= -NRTn --.

(5)

PA

Vn

PB

ln primul caz (4), dreapta p = k • Teste tangenta la cerc avînd panta minima, iar în al doilea caz (5), dreapta p=k• Teste tangenta la cerc avînd pantà maxima.

2.15. ln teoria statistico-mo]eculara a gazelor se demonstreaza c~1 moleculele au la o temperaturii constanta vitezc diferite. Distributia moleculelor dupa viteza este data de functia: · '•

v2

n=N---e

v;

~a

-

~

~•,

in care N este numarul total al moleculelor, n este numarul moleculelor

120

care au viteza. între

V §Î fJ

v:T

+ ÂV, -~ =

2

in care R este constanta

generala. a gazelor, T temperatura absoluta. ~i µ masa unui kilomol de gaz (R = 8 310 ,T /grad-1 kmoI-1). Sa se gaseasca viteza cea mai probabila a moleculelor. REZOLVARE Pentru a gasi intervalul de viteza eu care se mi~ca cele mai multe molecule vom cauta extremele functiei n = f(v). Avem:

!: = în care s-a notat k

=

k [ 2ve

4N

_ =

f33V 'Jt

-W + v•e- ; (- ~:)] = O,

(1)

const. .

Dupa simplificarile din (1), rezulta: v2 1 - - =0

(32

sau: V=

(2}

(3. \

Pentru a stabili natura extremului dat de conditia {2}, avem:

ddv2n 2

t1

=

2ke - V

(2 (3"v 5!::.(32 + 1) . 4

-

(3)

Introducînd (2) în (3} rezulta: 2

n -d = 2

dv

/r

-4 -

e

< o.

(4)

Deci pentru (2) functia n = f(v) prezinta un maxim. Deci viteza v, respectiv intervalul de viteza v §Ï v + l:!:.v, eu care se mi§ca. cele mai multe moleculo, este data de rclatia: V=

(3

2RT = µ•

V

(5)

Aplicînd formula (5) pentru a determina viteza cea mai probabila (eu care se mi§ca cele mai multe molecule) în cazul azotului (µ = 28) la 420 K, rezulta v ~ 500 m/s. Calculele ne arata ca în acest caz 80% din N au viteza v e [300, 500] m/8 §Î 29% au un ait domeniu de vitezà ve[500, 700] m/s. Dupa cum se observa 59% din numarul total al moleculelor au viteza v e [300, 700] m/s. R.estul de 41 % din molecule an v < 300 m/s, respectiv v > 700 m/s.

121

Capitolul 3

PROBLEME DE ELECTRICITATE 3.1. Doi purtatori de sarcina electrica pozitiva de aceea§i valoaro Q,, punctiformi, sînt a§ezati în vîrfurile B §Î Cale unui triunghi isoscel ABC A

(B

=

A

C). Se cere sa se determine valoarea unghiului A pentru care

intensitatea cîmpului electrostatic creat de cei V c pentru fiecare din cele trei placi (fig. 3.2).

123

Sa se determine distanta la care trebuie amplasata placa mijlocietaia de placile extreme, astfel inclt energia total a a cîmpului electric al sistemului sa fie minima ~i sa se gaseasca acest minim. Sa se discute rezultatul obtinut ~i sa se compare acest rezultat cu distanta la care trehuie a~ezata placa mijlocie fata de placile extreme, astfel încit sarcina electrica totala a placii mijlocie sa fie nulii. ~

s

~

BEZOLVARE

*

c,

C2

êo

éo

Sistemul prezintâ o capacitate electrica C1 între placile 1 §Î 2 §Î o capacitate electricà C2 lntre placile 2 §Ï 3, a caror valori sînt: e,,S

eS

0 Ci=-; 02=--• x d-x

X

(1}

Energia electrostaticü a sistemului este:

d

(2)

}'ig. 3.2.

lnlocuind (1) în (2), se obtine: W

= eoS [(VA -

VB)

+ (Vn -

2

Vc) d- x

x

2

Pentru a determina extrcmcle functiei W dW

=

e0S [

dx

2

o d cond·•· P unin •ria dW -

=

dx

(VA - Vn) x2

2

= f(x),

2

]·

(3)

avem:

+ (Vn- Vc)

2 ] •

d-x

O, se ob•· rlDe: (4)

'finînd seama cil Y A > V B > V c, rezultù ca numai solutia x1 corespundo prohlemei. Pentru a stabili natura extremului dat de x1 , avem: 2

dW - =

dx2

2

- _ Vn) e0S [(V _A_ _ x3

(Vn - Vc} + ------'(d - x)~ 2

] •

lnlocuind x1 în (5), se obtine: d2 W dx2

= d3° (V A

Vc) 4 Yn)(Vn - Ve)

(Y A

e0 S -

124

-

> o.

(5)

Deci într-adevar pentru z = x1 , energia totala a cîmpului electric al sistemului, prezinta un minim ce re!iuWi înloouind ~ în (a), obtinîndu-se: Wmin

=

eS ....L (V A 2d

-

Vc) 2•

(6}

DISCUTJE 1) Din punct de vcdere fizic solutia a:1 data de {4) corespunde numai daca, V B < V A - V c, deoarcce tn caz contrar x > d ceea ce este imposibil. Din• aceasta cauza în enuntul problemei se preciza V A > YB > V C• VA -

2) Sarcina electrica a placii intermediare este suma sarcinilor de pe cele doua. fete ale sale, corespunzatoare condensatoru:elor de capacitate C1 §Î 0 2 :

Aceasta sarcinâ este nula daca: Q1

= Q2 => C1(VA -

YB)= C2(Vn -

Ve).

Ïnlocuind (1) în (7), se obtine: Y A - VB x

= Yn -

Ve => x d- x

= d.

V A - Yn VA- Ve

fS)•

Comparînd z 1 dat de (4) eux dat de (8), se trage concluzia ca daea V A - Vn• Vc au acelai;i semn, distanta ce corespunde anularii sareinii electrice de· pe placa intermediara corespunde §Î energiei minime a sisternului dat. l}Ï Y A -

3.3. Se da un condensator electric plan eu dieleotric neomogen carepentru simplificare se presupune format din n straturi paralele eu armàturile condensatorului, de grosime uniforma di (i = 1, 2, ... , n) §Ï omogene ,ï de permitivitate absoluta e:i (i = 1, 2, ... , n). Armaturile· condensatorului sint de forma patrata. Se conecteaza condensatorul respectiv la bornele unei surse de energie electrica de tensiune constanta. in doua moduri: eu armaturile paralele eu straturile dielectriculuii (fig. 3.3,a) ti eu armaturile perpendiculare pe aceste straturi (fig. 3.3,b) .. Cunoscînd ca suma grosimilor celor n strat~ri dielectrice ·este ega]a. eu lungimea laturii, sa se arate ca C1max = C2 atund cînd dielectricuk este omogen.

125

b·

(1

}'ig. 3.3.

C1 este capacitatea condensatorului ·pentru prima dispozitie a arma-:turilor (fig. 3.3,a), iar C2 este çapacitatea ace~uia~i condensator pentru a doua dispozitie a ai'ma.turilor (fig. '3.3,b). Dielectricul umple complet :spatiul dintre armaturi. REZOLVARB

Fie l - latura armaturii condensatorului. . Potrivit ~nuntuJuf pr~bI~wei, àvem.: (1)

•Cu

ln cazul dispozitiei ca în figura 3.3, a, capacitatea condensatorului este egala capacitatea echivalenta a n. condensatoare grupate în serie:

_1_' _:_··_-_1_ =·l; t 1 " di Ec. B,:.s ~-;:

Ci·~--

."

i=l

S=l2.

(2)

n

l

i=l :.!_

&=1 -,

di

ln cazul dispozitiei ca in figura 3.3, b capacitatea condensatorului este egaHi ..eu capacitatea· echivalenta a n 'condensatoare grupate în paralel:

126

(4),

Pentru a putea dovedi o-a C1 max = C2 , observam ca marimile ce intervin in (4~ sînt exprimabile prin numere reale. ln consecinta putem utiliza -inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski în care vom face substitutiilc:

= V eidi

= ~· /di.

·v

E:i

ln aceasta: sîtuatie aceasta inegalitate devine:

'

ai

§Î bi

'fintnd seama de (1), avem: (5)·

Înlocuind (5) în · (4), se obtine C1 < C2 • Este evidènt ca C1max = C2 , atunci cînd · e1 = e2 = ... = en = e, adica atunci cînd . dielectricul este omogen .. ,

3.4. 0 sfera metalica de raza r 1 se încarca eu sarcina q §Î apoi se· conecteaza eu o alta sfera metalica neîncârcata de raza r2 prin intermediul unui fir metalic. Sferele sînt izolate intr-un mediu dielectric de permitivitate er, i_ar dis tanta dintre. e}e est~ foarte mare in comparatiecu marimile razelor lor. · · . Sa se arate ca eg~litatea poteniialelor celor ·doua ~fere este echiv~~ lenta eu conditia de minim a energiei e]ectrice de natura pote~tiala a. acestui sistem, §Ï sa s~ determine valoarea acestui minim. · REZOLVARE

Sferele fiind suficient de departate, putem negÎija· o~ice influenia- electrostatica directa între ele, astfel ca sfera de raza r 2 se încarca .ca urmare a conexiunii electrice eu sfera încarc~ta dê raza riNotînd, .eu x sarcina purtatorilor care trcc de pe sfera încarcata pe sfera neîn-• carcata, energia elecÎrica a· siste~ului celor douà sfere e~t~ data de expresia: W

=

W1

+ W2 =

2

(q- x) 2G1

+± = - 12G 2C G 2

1

2

127

[(C1

+ C }.x2 2

2qC2x

+ q2C2].

(1,

Din (1) se constata ca W va avea valoarea minima atunci cînd trinomul de gra-dul doi din paranteza patratica va avea valoarea minima. Deoarece C1 + C2 > O (C1 §Î C2 fiind capacitatile electrice a celor doùa sfere), . 1 ,rezulta ca acest minim are loc atunci cînd x = (x1 + x 2 ), în care x 1 IJÎ x2

2

:sînt radacinile trinomului în cauza: Peci: 2qC2

x

=

2{C1

+ C2 ) =

q • 4m0er • r 2 47teoe:r(r1 +r2 )

qr 2

(2)-

= r 1 + r2

Este UIJOr de observat ca rezultatul (2) se mai poate pune l}i sub forma: r 2 • (q - ·x)

=

r1 x

=>

q- x r1

= -=. => q -

x

C1

r2

= -=. .

(3)

C2

Relatia (3) exprima tocmai egalitatea potentialelor celor doua sfere V(r1 ) = V(r 2), :à.dica toomai ceea ce trebuia de aratat.

Înlocuind (2) în (1), se obtine printr-un calcul simplu: Wmin

=

qZ

---=--81te0e,(r 1

+ r 2)

-l

_

d:e

2

R-~ rezulta + ---v

< -l

+ R-R· v

1

2

-M2 > d:&

o.

,

rezulta ca

Deci pentru :e dat de

(6) curentul prin receptor este minim. Iatensitatea minima a acestui curent rezulta. prin înlocuirea (6) în (4): 1 2mfn

E

= ---------------(Ri + R + 2rl) + _!.. (R1 + R + 2rl)]

[1

4R1

{7)

.

3.24. Daca. la bornele 5 ~i 6 ale circuitului din fig. 3.24,a se racordeaza e rezistenia de sarcina R8 , se cere sa se studieze variatiile curentului / 58 prin rezistenta de sarcina. cînd aceasta variaza. între limitele Rsm1a

=

P Rsmax•

Aplicatie numerica: E = 220 V; R = 1-1 !l; r = 5,5 !l; 5 !l ti R 8 max = 25 !l.

RSm[n

=

REZOLVARE Se aplica formula lui Thévenin (a generatorului echivalent de tensiune): 156

tn care V5 -

= I8 =

Vs - Ve Ra Rse

+

Usso - -----"Rs

(1)

+ Risa

Ve reprezinta tensiunea de mers în gol a circuitului (R8

= oo) (2)

V5- Ys= Usao== U34=rlw

'

Se rezolvii circuitul electric cu R 8 == oo (de exemplu prin metoda aplicarii legiler lui Kirchhort) ~j se obtine: f

3 ·

S

€IL]~ ·

2

4

·

/34

rE = -2- -R + 3rR +r

Înlocuind (3) ln (2) se obtine tensiunea de mers în gol al circuitului:

6

UHo == Ra

Èig. 8.24, a

161 11 - Probleme de Umitâ ~i extrem în fizicâ

(3)

+

:! +

r2 •

(4)

Rezistenta electrica R58 are valoarea:

s fg

R58 =R+r

( rR + R)

~

R. R 2 R2

R+r+__!!i_ r+ R

Rg

+ 4rR + 3r2. + SrR + r2

lnlocuind valorile numerice în (4)

6

U 660

= 20V

§Î R 56

=

§Î

(5)

(5), se •btine:

15!1.

Circuitul poate fi înlocuit între 5 §Î 6 printr-un generator echivalent, de t.e.m. Eg = U 580 §Î ree:istenta Fig. 8.24,b electrica interioara Rg = R 56 ca în fig. 8.24, b. Variatia curentului prin rezistenta electrica de sarcina rezulta imediat: I11sm1n

=

I G&max

=

Ur,ao

RGe

+ Rsmax -

20 15

20

U5eo

Rr,s

+ Rsmin =

05 A

+ 25 = '

15

+5 = 1

A •

(6)

(7)

3.25. Se da circuitul din fig. 3.25, a ·§i se cere:

a) Sa se rezolve circuitul. b) Cu ce rezistenta. R; trebuie înlocuita rezistenta R 6 , astfel caprin R;

sa se

transfere din circuit maximum de putere. o) Ce valoare ar avea în acest oaz J~ §Î oare este valoarea numerica a puterii maxime transferate. Date numerice: E 1 = 130 V, E 2 = 140 V, E 3 = 215 V, R 1 = 2 n, R2 = 4 n; R3 = 1 n; R4 = R6 . 10 n; R5 = 20 n. BEZOLVARE

a) Dupa cum se observa numarul de noduri ale circuitului n = 3 iar numarul laturilor circuitului l = 6. Deci se pot scrie n - 1 = 3 - 1 = 2 ecuatii independente utilizînd legea I a lui Kirchhoff §Î l - n + 1 = 6 - 3 + 1 = 4 ecuatii independente scriind cea de a II-a lege a lui Kirchhoff•.

162

Jt

t,

(

R2

,;

E9

h

0

C'

Fig. 8.25.

Considerînd nodurile 1 §Ï 2 precum cele , ochiuri {bucle} din figura 3.25, a ln care s-au ales sensuri de circulatie arbitrare avem:

+ 14 = 11 + 13 11 + la = 1, + 1 E 1 = R 1I 1 + R,1 E = R I + R 513

{1}

= Rala + Rrle 0 = R,I, + R 515 -

(5)

12

8

{2)

4

{3)

(4)

2 2

2

Ea

Rele

lnlocuind valorile numerice in ecuatiile (1) - (6) bile, se obµne sistemul:

+ J, = 11 + la 11 + la = 1 + le 65 = 11 + 51, 35 = 12 + 5111 215 = la + 101 0 = 1 + 21 le 12

4

8

5 -

4

§Î

(6)

facînd simplificarile posi{7) {8) {9)

(10) (11)

(12)

Rezolvînd sistemul de ecuatii astfel format (indiferent prin ce metoda) se obtine: 11 = 15 A; 12 = 10 A; la= 15 A; I, = 10 A; 15 = 5 A §i 18 = 20 A. , ) Se aplicâ teorema generatorului echivalent de tensiune (Thévenin) §Î teorema tr~ferului maxim _de putere. Se transforma astfel circuitul între nodurile 2 §Î 3 în generatorul echivalent {fig. 3.25, c), avtnd t.e.m. Eg = u230 (tensiunea de mers în gol între nodurile 2 §Î 8)

163 11*

iar rezistenta electrica interioara Rg = R 23 (rezistenta electrica echivalenta între nodurile 2 §Î 3 in conditiile in care se suprimA toate sursele din circuit). Pentro determinarea U230 , se rezolvA. circuitul din figura 3.25, b, ln care s-a suprimat Re dintre nodurile 2 §Î a. Prin aplicarea legilor lui Kirchhoff, se obtine sistemul de ecuapi:

12 + 1; = li + 1; 1~ = 1; + ls 65 = 1; + s1; 85 = 12 + 5/~ 215

=Ji+ 10/~ +

(13) (14)

(15) (16)

(17)

201ii

Ji. Rezolvtnd sistemul Ji se obtine Ji= - 2 A (sensul ales

Pentru determinarea U~ este suficient sa determinam format din ecuatiile (13} - (17) ln raport cu conventional pentru Avem:

Eg

=

Ji

U230

.

3

este invers fatl de cel real).

= E3 -

,

Rais= 215 -

( -3-5) = 3

650 V•

1 ·-

(18)

Pentru cape Re sa se transfere maximum de putere este necesar ca valoarea sa fie: ' R; = Rg = R23 • (19) Calculînd rezistenta electrica echivalenta tntre nodurile 2 §Î 8 ale circuitului pasivizat (fig. 3.25, b), se obtine: 2 • 10 (2 10

4 • 20 )

+ 4 + 20 • 1 2 • 10 + 4 • 20

+ 1. +

2

+ 10

4

5

=-!l. 6

+ 20

Deci: •

Re = Rg = R 23 =

5

-

6

O.

c) Curentul J~ se determina aplictnd legea lui Ohm tn circuitul echivalent din figura 3.25, c. Avem:

1; =

U2 3f) , R 23 + Re

.

650 3Eg = 2Rg 2•~ 6

164

= 130

A.

R;:

Valoarea puterii maxime ttansferate în

-Pmax

=

2

Rs•l 1J= Rg • Eg 2

4R8

=

2

Eg 4R11

(650r 3

=-

4

-

• ~

= 14,083

kW.

6

3.26. Doua receptoare electrice de puteri diferite P 1 ~i P 2 trehuie alimentate sub tensiuni egale ·la borne U. Ele stnt alimentate de la o sursa de curent continuu de rezistenta electrica interioara neglijahila §Î de t.e.m. constanta E > U. _lntre sursa de curent ~i cele doua receptoare se gase§te o Iinie dè lungime l, care se bifurca apoi în doua linii de lungimi l1 ~i l2, pentru a alimenta receptoarele respective (fig. 3.26). Cunoscînd ca metalul conductor este acela§i pentru cele trei linii, sa se determine marimea sectiunilor lor, astfel încît volumul de metal conductor utilizat sa fie minim. REZOLVARE Notînd cu s, s1 ijÎ s2 sectiunile conductoarelor celor trei portiuni de linii, rezulta ca volumul de metal necesar este: (1)

Deci: V= f(s, si,

(2)

s2).

Pentru a simplitica problema vom cauta sa expriniam 8 1 ~i 8 2 în functie de de celelalte marimi constante date prin enuntul problemei. Vom constata tn primul rînd ca. valoarea cadcrii de tensiune dintre sursa §Î cele doua receptoare este· aceea§i, indiferent de distanta dintre receptor § / sursa: I

ca

§Î

(3)

E- U= âU.

f

~

Prin aplicarea legii a II-a a lui Kirchhoff în cele doua ochiuri independente de retea (fig. 8.26), se obtine:

+ R1 I 1 + U = E RI + R 212 + U = E RI

Fig. 8.26.

165

s

sau: RI

+ R 1I 1 =

A.U

(4)

=

A.U

(5)

RI+ R 212 în care:

=

R

2l ; Ri

rs

=

211 §Î Rs Y8 i

=

212 •

'Y8 2

Aplicînd teorema întîi a lui Kirchhotr în nodul A, se obtine: 1 = 11 + 12. lnlocuind J, R, Ri §Ï R 2 tn (4) §Î (5), se obtine:

+ 12) + ~ · 11 =

llU

~ (11 + 12) + ~ •12 =

ll.U

E_ (11 ys

r•si

r · 82

r•s

sau: 21 --(P1 + P 2)

24 +-P 1 = llU Y8 U

ysU 21

(P1 Y8U

•

Din ecuatiile (6)

§Î

+ P 2) + -212- P = 2

ys2 U

{7) se poate obtine 81

(6)

1

81

(7)

A.U. .

în functie de s:

§Î 8 2

= ____2l_..:.,_..:_ 1 P 1 ___

(8)

yU [A.u - __.!!._{Pi+ P 2)] ysU

2l2 P 2 yU

inlocuind (8)

§Î

[!lu - ~(Pi+ "f8U =

(9) în (1), vom obtine V

y= 2ls

+

4 (liP1 yU [ll.u-

(9) P 2)]

f(s):

+ 1iP

2)

~ (P1 + P 2)]

(10)

"(8U

Pentru a afla extremele functiei V= f{s), avem: dV = 2l ds

-81 ( 2 - l1P1

+ y2s2u2

+ 122 P

) 2

[A.u - _E_ (P1 ysU

166

(P1 + P 2 )

+ P2)]

2

=

0

(11J

iin care:

8 _!_(lÎP1 y2 2u2

2

2z[Au-~ (Pi+ P2)] = o. "(Bll

+ liPJ (P1 + P2) -

8

Ecuatia precedenta se mai poate puna §i sub fonna: s2 - 4l Pi + P2 8 + 4Z2(P1 + P2) yU AU y 3 U2 AU2

2

4 P1

-

+ P2 (z2 p

y2 U:JAU2

l

l

+ z2p ) 2 2

=

0

din care se obtine: (12)

Deoarece din punct de vedere fizic caderea dt t-ensiune AU1

2l(P1 + P2) = ---------

y• s• U pe linia comuna este mai mica dectt dderea de tensiune AU, rezulta ca din (12) numai o singurâ solutie satisface problema §Î anume:

lfP1

+ l)P 2) •

{13)

P1+P2 Pentru a determina natura extremului functiei V= f(s) dat de (13), avem:

+

d2 V _ 16ylU liU (zf P 1 li P 2) (P1 ds2, [yU AUs - 2l(P1 P2

+ P 2)

œ

+

0

(14)

lntroducînd (13) tn (14) se obtine: d2V = §Î

> O

16ylU AU

V (P1 +

ds2

Pa) (lfP1

+ ~ P2)

deci pentru s dat de (13}, V = f(s} prezinta un minim. înlocuind {13) în {8) §Î (9) se determina s1 §Ï s 2 : 81

_ -

2l1 P 2 ( 1 y. U • AU

+.

l

-i. /

V _ sa -

2

2l P

2

r . u. Au

(

1

+

lfP 1

Pi+ Pa I

)

+ z) Pa V P 1 + Pa

-i. /

(15)

)

+ zf Pa

zf Pi

Volumul minim de metal înglobat în Iinia dintre sursa prin tnlocuirea (18} în (10):

IJÎ

{16}

•

receptoare se obtine {17)

167

3.27. lntr-o instalatie galvanotehnica. care contine o solu\ie de sulfat de nichel (NiS0 4) in timp de 12 h se ob\in 587 g de nichel prin electroliza. Sa se deterniine energia minima necesara pentru obti• nerea f enomenului de electroliza a sulfatului de nichel cunoscînd ca rezistenta electrica interioara a cuvei electrolitice este de .!!__ n iar .

225

tensiunea la bornele sale de 5,2 V. Se dau: masa atomica a nichelului A = 58,69 ~i valenta n ...:.. 2. REZOLVARE Energia minima necesara pentrn obtinerea fenomenlllui de electroliza este: W min

=

Ud • 1 • t,

(1)

în care Ud este tensiunea de polarizatie a cuvei electrolitice, I - curentul electric ce traverseaza electrolitul iar t - timpul de functionare. · Dar: (2)

fn care U este tensiunea la bornele cuvei electrolitice, iar Ri :... rezistenta electricl interioara a cuvei. Conform legii electrolizei exprimatii în notatiile cunosoute avem:. m

Ïnlocuind {3) în (2) Wmin

§Î

=

= -1 . -A · It F

n

=>

I

n

=

mF - • At

(3)

apoi (2) în (1), se obtine în final:

(U -

Ri· l)It

= (U -

• n)

n

RimF- mF-. At A

(4)

!nlo~uind valorile numerice în (4), se obtine: Wmfn

=

58,32 • 105 J

=

1,62 kWh.

3.28. 0 spira metalica circulara de diametru D este strabatuta de curentul J. Sa se determine punctele de pe axa verticala perpendiculara in centrul planului spirei în care intensitatea cîmpului magnetic este maxima ~i respectiv minima precum ~i aceste valori extreme. Aplicatie numerica: D = 1 m ~i 1 = 40 A.

168

REZOLVARE

ïT

ln SI rationalizat, intensitatea cîmpului magM

➔

netic H pe axa spirei circulare într-un punct M (fig. 3.28), este:

ID" =--.

(1)

8~

Dar din triunghiul dreptunghic OAM avem:

r

=

V if :Ji' + (

=

(2)

(b' +2 .D")t/0 •

I Fig. 3.28.

lnlocuind (2) în (1), se ohtine:

H=

ID" (4z-1

(3)

+ D2)3/2

Pentru :r: e (0, oo) din (3) rezulta ca: I - pentru x = O ~ Il = Hmax = - (centrul planulu1 spirei); D

- pentru :r: ➔ oo => H = Hmin = O. Ïnlocuind valorile numerice se ohtïne Hmax

=

40 A/m.

3.29. Se considera. doua conductoare rectilinii, paralele ~i infinite, parcurse de acela~i curent I. Sa se determine valorile extreme ale inten sitatiî cîmpului magnetic rezultant in exteriorul conductoarelor, in lungul segmentului de dreapta care une§te centrele sectiunilor determinate in cele · doua conductoare de un plan perpendicular pe direc1ia lor. Se vor considera doua situatii distincte: a) curentii sînt in acela§i sens; b) curentii sînt în sensuri contrare. Diametrul conductoarelor este d iar distanta intre axele conductoarelor a. Aplicatie numerica: J = 50 A; a = 10 cm; d = 4 mm. 169

REZOLVARE a) Din fig. 3.29 se observa ca într-un punct P de pe segmentul 1-2, ctmpurile ➔

➔

Hi ~i H 1 produse de cei doi curenti au acee~i directie, perpendiculad. pe axa :u.' ~i sensuri centrare astfel încît nloarea cîmpului rezultant este: H

= Hi -

H2

1

= -2nr-

-

-

1

1 21t'1'2

= .!__ ( 21t

1

1

)

; + :r: = n{a

a

-:r: 2

4:r:I (i) 4:r:2) •

2

Fig. 3.29.

Expresia (1) exprima H = f{x). Intervalul de variatie a lui œ, în interiorul dintre cela doua conductoare este: a d a d --+-~:r:~--2 2 2 2

sau: -

-i (a - d) ~ x ~ -1 (a - tl ). 2 2

(2)

Din (2) rezulta ca: a;max :r:mta

1

= 2 (a -

= - ~max = 170

d}

.!_ (a - d). 2

(3) (4)

lnlocuind (3) §Ï respectiv ((t) în (1), se obtine: H max= Hmln

2(a - d)I_ nd(2a - d)

= -Hmax =

Este U!JOr de observat ca functia H compunerea a doua curbe hiperbolice H 1 Hi = H 21 adica atunci cînd x = o.

=

(5)

-2(a - d)J nd(2a - d)

(6)

---'---...a....•

f(x) descrisa de (1) este rezultata prin §Î H 2 = f(x). Evident H = o cînd

= f(x)

➔

b) Daca cei doi curenti sînt de sensuri contrare, cîmpurile H 1 sens ti dau un cîmpl total. H = Hi

+ H2 =

.!_ ( __ 1-

Î-

_21t

=

IJ na

§Î

+

1 ;

+x

) =

4al n(a2 -

•

au acela§i •

(7)

(t:&2)

= f(x) trece printr-un minim cînd x = O §i are un -maxim tn valoare absoluta cînd lxl = .!. (a - d):

Din (7) se observa clnd Hmin

ca functia

X

➔

§Î H 2

H

2

IHmaxl

=

4al ----. nd(2a - d}

(8)

3.30. Unul din procedeele de masurare a inductantelor mutuale este metoda Felici, care consta in compararea inductantei mutuale de masurat M~:, eu o inductanta mutuala etalon, variabila. (variometru) Me, avînd un domeniu de variatie intre 0 ~i 0,191 H. In schema de montaj (fig. 3.30) infa§urarile primare ( A1 B 1 ,ï C1D1 ) sînt legate in serie ~i conectate la un vibrator alimentat eu o baterie de acumulatoare, iar înfa§urarile secundare (A 2 B 2 ~i C2D 2) sint conectate in opoMe T Môrolor zitie. Circuitul mai cuprinde ti o casca telefonica T, folosita ca detector de nul. ~tiind ca in casca s-a obtinut un sunet minim pentru Me = 0,16 H, sa se determine inductanta mutuali M:c ti sa se precizeze limita minima ~i respectiv maxima de masurare a metodei. Fig. 3.80. 171

REZOLVARE T.e.m. indusa de variatia curentului din primar

ii tn în!a§urarea secundarl

A 2 B2 este: (1)

e2

= -

di M X -1•

(2)

dt

Deoarece înfa9urarile A 2 B 2 9i respectiv C2D 2 sînt conectate tn opozitie, rezultl ca t.e.m. a circuitului secundar este:

(84 Din enuntul problemei, rezulta ca în casca s-a obtinut un sunet minim pentru Me= 0,16 H. Ori sunetul minim se receptioneaza cînd e = 0, adicà atunci cînd: e1 -

e2

=

di1 (Mx - M) e dt

=

0 =>Mx= lrfe

=

di, -10,16 H; - -,- O. dt

Rezulta deci ca metoda poate fi utilizata pentru masurarea inductantelor prinse între limitele: Mx

E

[Memtn• Memax] => Mx

E

CU•

(0; 0, 19 H].

3.31. 0 spira conductoare circulara fixa, de diametru d (fig. 3.31, a) este plasata într-un cimp magnetic uniform, a carui induc~ie variaza in timp dupa legea: B = Bm sin Cl>t. Daca normala la planul spirei face un unghi constant eu liniile cimpului magnetic, se cer a se determina: a) t.e.m. maxima indusa in spira; b) intensitatea maxima a curentului electric care apare in spira, daca spira conductoare are o rezistenta R; c) sarcina electrica care strabate seciiunea normala a conductorului din care este confectionata. spira in momentele t1 = 0 ~i t2 = T; •

4

d) valoarea maxima §Ï respectiv minima a puterii medii pe timp de o perioada T disipata in spira conductoare prin efect Joule-Lenz considerînd a: E (0, 1t).

172

Aplicatie numerica: d n

ex = - ; 4

f

=

10 cm;

=

= 50 Hz; Bm

Wb ml

~i R

0,8 -

= 2 !l.

REZOLVARE

a) Fluxul magnetic ce stra.bate spira are expresia: • = B S cos ex= B m 1tdl -cos ex sm C1>t

4

=

,'I\.

tn care èl>m = Bm S cos ex (2) Teasiunea electromotoare indusa în spira este data de relatia: d«l>

m cos Cl>t

e= - - = dt

=-

llmSCI> cos

ex

cos C1>t

=

(1)

~ SlDt - ;) • (3)

Fig. 8.31, a

Deci: Em

=

(4)

Bm SCI> cos cc.

b) Valoarea instantanee a curentului indus în spira este:

•

&=

Re

Em • =RSID

( Cl>t-

• ( 71:) 2 = 1msm

Cl>t-

71:) 2 .

(5)

Deci: 1m

= Em - = R

BmS

--Cl>

R

(6)

cos ex.

c) Sarcina electrica elementara care strabate sectiunea normalt a spirei este: dQ

=

•

idt

= -e

R

·

dt

= - -1 d - dt = - -1 R dt

R

·

d ~.

(7)

Dar: {8)

Deci: dQ

=-

BS.

~

R

Cl>

cos oc cos C1>t dt.

173

(9)

Saroina electrioa Q -care strabate sectiunea nomiaUi a spirei într-un sfert de perioada este.:

Q

7'

T

T

4

4

4

=(

Jo

dQ

=_

BmS Ca> cos a. (

cos Ca>t dt

=-

BmS cos « 1 sin CJlt 1

. R . Jo R BmS = - -BmS - cos a. sm. -CJ>T =- - cos a: R .4 R. '

o

CJ>

=

= -2TC .

(

T

10

)

d) Puterea medie disipata în spira pe o perioada este: p

=

1

T

('.l' Ri2dt

Jo

=

RI~ _ R B~S26>2 cos2a. 2 2 · .R2

Emlm _ 2

= Fm S26>

2

4R

Din (11) rezulta

(1

-

+ cos 2a.).

(11)

ca: Pmin

=

0 cînd a.

= 2:. 2

2

_ BmS26>2 P max cînd a. R 2

=

O, respectiv ex

=

(12)

TC.

Reprezentarea gralica a funcpei P = f(a:) pentru ex e (0, 1t] este redata în figura 3.31, b. Înlocuind valorile numerice în (4), (6),

p

=

(10) EJÎ (12) §Î tintnd seama 7r

2

Fig. 3.31, b

Jï

2

ca S = rul = 4

3,14 • 102 • 10-4 78 5 10-4 a • = ------= , • m 1arCa>= 4 = 21tf = 314 rad/s, se obtine: Em = 1,4 V; lm=0,7 A; Q=-2,22 •10- 3 C §Î 1:max ~ 1 W•

3.32. Presupunem un solenoid drept, de raza. R, ·roarte lung ~i uniform bobinat avînd n spire/m ~i fiind pareurs de curentul electric alternativ i = 1m sin CJlt, ( Ci> = 21tf). 0 bobina eu N spire este îrifa~urata peste acest solenoid (fig. 3.32). Sa se determine valoarea maxima a t.e.m. indusa in bobina.

174

Deoareoe

solenoidul

-

este

f oarte

Jung, valoarea inductiei B tn interiorul sau pe portiunea ln care se afla bobina, -este:

74tfOP~ o

a

e =...;. N dt

Deoarece

=

=-

~1tR2NncJm cos

{3)

t.

21rf, avem:

e = -21t2µ 0 R 2Nnflm cos 21r~= 21t2µ 0 R 2Nnflm sin (27rft- ;)•

(i)

Deci: (5)

3.33. Un conductor eleotric rectiliniu ~i foarte lung este strahatut de un curent alternativ i = V2 · 10 sin t, de frecventa 50 Hz. Sa se determine t.e.m. maxima indusa tntr-o spira dreptunghiulara de Iaturi a= iO cm ~i b = 45 cm, a§ezata la distan\a c = 5 cm de conductor, intr-un plan care coniine conductorul (fig. 3.33). Dispozitivul se gase~te 1n aer. BEZOLVARE Considerrun suprafata elementarà adr, la distanta ,. de conductor (fig. 3.38), prin care trece lfluxul magnetic elementar: d0

=

Bds

=

µ0

i -

21tr

(1)

adr.

175

Fig. 8.83.

Val~area ~luxului magnetic, èare strabate ~prafata ab, rezulta prin integrare: 0

=

ap.0 - i ~+c dr = 2'7t r

i 1ln.r ~+c == aµ0 --ln i b+ -c = 2,r c_

aELc, ---

b

. . au...lnb+c,1n =~ - - v 2 1 Stn 2,r C

(2)

t - 2 .. a';J- 0 = oo), avem:

=

%

O; (~)

% = 100%;

(u;) % = o. ln figura 3.38 sînt date curbele de-

101)%

variatie ale tensiunilor procentuale (

(c;;-) % §i

0

(~)

~R) %;.

%, în functie de pulsatie-

(respectiv frecventa), care poarta denumire9· de curbe de rezonanta.

Fig. 3.38.

3.39. 0 bobina avînd rezistenta electrioa. R = 30 k n IJÎ L = = mH, se conecteaza in paralel eu un condensator de capacitate11 variabila.. C E [Ci, C2]. · La hornele ansamhlului se aplica. o tensiune alternativa sinusoidala, de valoare eficace constanta. U = 200 V. Daca. se mentine constanta. frecventa tensiunii aplicate la valoarea f = 500 KHz, .sa se determine valoarea capacita.tii electrice reglabile C pentru care valoarea eficace a curentului total J este minima precum ~i aceasta valoare minima a curentului in cauza. Discutie. 40

REZOLVARE Jntensitatea curentului principal este 1

= !!_

z

în care (1)

Evident ca J = lmin, cînd Z = Zmax- Pentru a determina impedanta maxima este necesar sa determinAm extremele functiei Z = Z(C). Avem: dZ dC

=

c.>2

V R + ro2L 2 2

[(1 -

[L -

ro 2LC) 2

186

+

C(R2 L = 0 => Co = -L- - = -L . R2 + oo2L2 zr 2

2

(3)

)

Este U§Or de observat din (2) câ pentru C < C0 , ~ > 0 iar pentru C dC dZ dC




C0 ,

C0 , Z(C) are un maxim ce rezuWi tnlocuind (3) în (1): CJ>2L2

Zmax=R+--.

(i)

R

Deci: U

/min= - -

Zmax

RU =---= 2R 2 2

Înlocuind valorile numerice în (3)

R

§Î

+ c,:,2L

(5)

U.

(5), obtinem:

40 • 10-3

C0

Z1

r

1t = ------ - - - - - - = 16 - • 10-12 F = 16 (30 • 10~} 2 + (21t. 500 • 10~. ~ • 10·3 7t 7t

pF

r0

5,1 pF

r

30 • 103 • 200 lmtn = - - - - - - - - - - - - - - =2(t • 10- 4A = 2,4: mA. 4 (30 • 103)2 21t • 500 • 10~ • ; • 10· 3

+(

3.40. Un atelier care reprezinta din punct de vedere electric un receptor trifazat echilibrat este alimentat eu tensiuni simetrice printr-o linie trifazata., eu tensiunea de linie U = 380 V. Curentul absorbit de atelier J = 175 A este curentul maxim admis de conductoarele liniei. Factorul de putere inductiv al atelierului este cos q> = 0,6. Sa se determine puterea ~i capacitatea unei baterii de condensa toare, care face posibila instalarea suplimentara in atelier a unui motor trifazat de putere activa P 1 = 14 kW §Î de factor de putere inductiv cos q>1 = 0,8, fara a schimba conductoarele liniei. Frecventa curentului alternativ este f = 50 Hz. 187

REZOLVARE Deoarece linia electrica. de alimentare este construita pentru un curent maxim lmax = J_ = 175 A, ea poate transporta o putere aparenta maxima: Smu

=

VîUimax =

Pentru cos cp

Vs• 380 • 175 =

115 045 VA= 115,045 kVA.

=

0,6 puterea activa transportata este:

P

=

S cos cp

(1}

= 115,045 • 0,6 = 69,027 kW.

Prin instalarea suplimentara a motorului de putcre P 1 pe care va trebui s-o transporte linia în atelier, este:

=

14 kW, puterea activa

1'2 = P + P 1 = 69,027 + 14 = 83,607 kW. (3) Înainte de instalarea motorului, atelierul consuma o putere reactiva data derelatia: Q=

Smax

sin cp =

Smax

V1 -

cos2 cp

=

115,045 V1 - 0,62 = 92,036 kVAR.

(4)

Dupa instalarea suplimentarà a motorului, atelierul consuma o putere- reaclivâ data de relatia: _____ ·· HV1 - 0,8 Q2 = Q + Q1 = Q + P 1 tg cp1 = 92,036 + = 102,036 kVAR. (5) 08

'

Deoarece puterea aparenta maxima data de (1) trebuie sa ramînâ acee~.~i ~i dupa instalarea suplimentara o motorului, rezulta ca linia poate transporta- o :puterereactiva: Q3

=

V S2 -

p~ =

V 115,045

2 -

83,027 2 = 79,636 kVAR.

(6}

Pentru a roduce puterea reactiva Q2 la puterea reactiva Q3 pe care o poat~_transportalinia, este necesara o baterie de condensatoare care sa debiteze puterea rEiacbiva: Qc

= Q2 -

Q3

= 102,536 - 79,636 = 22,9 kVAR.

(7)

Evident, hateria de condensatoare trebuie sa fic trifazata, adica trebuie sa fie formata din trei condonsatoare (sau grupuri de condensatoare) conectate în. stea sau triunghi. Fiecare condensator trebuie sa aiba puterea Q; = Qc = 7,633 kVAR. 3

Notînd eu Uc tensiunea aplicata condensatorului, rezulta imediat capacitatea electrica a acestuia: C

= Q; =

u!oo

Q; 21tf • V~

Daca condensatoarele sînt conectate în stea, rezulta Uc

=

Ut=

.!!...:.

V3

iar Gy=

188

aQ; .

21rf u2

Daca condensatoarele sînt conectate îri triunghi, rezulta • C U c = U 1ar t:,,.

În general faptul ca C1::,,.

Q; §I. d ec1. = 21tf 02

=..!..Gy, 3

Ct:,,.

1

=3

Cy.

nu este un avantaj, deoarece -

de§i capa-

citatea rezulta. mai mica - condensatoarele montate în triunghi sînt supuse la o tensiune mai mare §Î deci trebuie sa aiba un dielectrie mai bun. Deoarece în cazu} problemei U1 =

v\

U

=

220 V, dielectricul este acela.4,i §i în consecinta este mai,

avantajos ca cele trei condensatoare sa fie conectate tn triunghi. Deci: \ Ct:,,.

=

Q; _ -

21tf uz

7,633 · 103. 100 2;;. 50. 3802 ~ 168,34 µF.

3.41. Pentru ac\ionarea electrica. a unei ma~ini de lucru dintr-un, atelier se folosel}te un motor electric asincron trifazat cu puterea P = = 10 kW la cos cp = 0,8 ~i care functioneaza la tensiunea nominala, U = 380 V. Cunoscind ca racordarea motorului la tahloul electric de distribuiiese face eu conductoare de aluminiu avînd lungimea L = 250 m, sa se· determine seciiunea minima a conductoarelor de alimentare i,tiind ca pierderea de tensiune maxima admisibila intre f aze este  Umax% = 5 o/o. din tensiunea nominala. Se neglijeaza ·reactan\a inductiva. i,i capacitiva• a conductoarelor. REZOLVARE Pierderea de tensiune pe faza (fig. 3.41) este:

ÂUt

=

(1)

RI cos cp,

tn care 1 cos