Proben aus der elementaren additiven Zahlentheorie

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SCHRIFTENREl—HE

ZUR

MATHEMATIK

HEFT 9

Wilhelm Ness

Proben aus der

elementaren additiven Zahlentheorie

— owo sAue vsme —

SCHRIFTENREIHE ZUR MATHEMATIK HERAUSGEGEBEN VON

PROF. DR. FRIEDRICH DRENCKHAHN UND DR. RICHARD STENDER

HEFT 9

Proben aus der elementaren additiven Zahlentheorie

Ein kurzgefafltes Lehr- und Arbeitsbuch zur Einfiihrung

Prof. Dr. WILHELM NESS

OTTO SALLE VERLAG FRANKFURT AM MAIN - HAMBURG

'Bestell -N1'. 6049

1961 Sat-z, Druck und Einband: Universitfltsdruckerei Mainz GmbH Zeichnungen: Karl Schilling

INHALTSVERZEICI-INIS Vorwort ...................................

mmmmmemm

I. Elementare kombinatorische und abzfihlende Methoden 1 Die Zusammenstellung einer Portogebiihr . . 2 Die Darstellung einer Zahl als Summe von Zweierpotenzeri .

.

3 Die Darstellung einer Zahl als Summe und Differenz von Dreierpotenzen 4 5 6 7

Die Darstellung einer Zahl als Summe von nicht negativen ganzen Zahlen Die Anzahl der Zahlen mit gegebener Quersumme . . Der Satz von den vier Quadraten Der Satz von den 50 Biquadraten .

11. Das Prinzip der Paarung in der additiven Zahlentheorie § § § § §

8 9 10 11 12

Das Prinzip der Paarung . Ein Satz von Sylvester . Ein Satz von Euler . . . Der Pentagonalzahlensatz von Euler . Konjugierte Zerffillungen .

111. Die Eulersche Methode der Potenzreihen § § § § § §

13 14 15 16 17 18

Das Prinzip der Methode . . . Die Darstellung einer Zahl als Summe von Zweierpotenzeri . Ein Satz von Euler . . Der Pentagonalzahlensatz von Euler . Quotienten von Potenzreihen . Der Satz von der Quersumme . . . .

§ 19 Noch einmal die Portoaufgabe von § l . § 20 Eine Aufgabe vom Jahrmarkt . . . § 21 Eine weitere Folgerung aus dem Pentagonalzahlensatz . § 22 Die Ableitung einer Potenzreihe . .

§ 23 Eine Anwendung der logarithmischen Ableitung § 24 Eine Beziehung zwischen 0(n) und 1)” § 25 Eine Beziehung zwischen q”, p” und 0(n). . . §26 Noch einmal die Potenzreihenmethode und Ausblick auf den Waring-

Hilbert-Satz Literaturverzeichnis

Vorwort

Die additive Zahlentheorie befaBt sich mit den Gesetzen und Beziehungen, die bei der additiven Verkniipfung der positiven (gelegentlich auch der negativen) ganzen Zahlen auftreten. Ist etwa ein Vorrat von endlich oder unendlich vielen ganzen Zahlen n1, n2, n3, . . . gegeben (zum Beispiel die Zahlen 1, 2 und 3, die Quadratzahlen,

die Potenzen von 2 oder 3 oder alle positiven ganzen Zahlen), so kann man die Frage stellen, ob und wie oft sich eine beliebige natiirliche Zahl n als Summe von Zahlen des Vorrats darstellen la'aLBt. Dabei gibt es eine Vielzahl von Fragestellungen, je nachdem, ob man beispielsweise die Summanden nur einfach oder mehrfach zulaBt, ob man die Anzahl der Summanden vorschreibt, beschrankt oder nicht beschrankt. Ferner kann man die Reihenfolge der Summanden als wesentlich ansehen oder nicht. Die ersten systematischen Untersuchungen hierzu stammen wohl von Leonardo von Pisa (13. Jahrhundert). Spater hat Euler (1707 bis 1783) mit Hilfe einer von ihm selbst eingefiihrten Methode, auf die wir im dritten Abschnitt eingehen, eine Fiille von Sfitzen bewiesen. Die weiteren Fortschritte erreichen erst in neuester Zeit wieder einen Héhepunkt durch die Arbeiten von Hilbert (1862 bis 1943), Hardy und Littlewood, Winogradofl, Schnirelmann. Im vorliegenden Heft ktjnnen natiirlich aus dieser Fiille nur einige charakte-

ristische Fragen herausgegriffen werden, die sich ohne schwierige Hflfsmittel behandeln Lassen. Dabei wird es auch vorkommen, daB ein und derselbe Satz

zweimal bewiesen wird, und zwar auf ganz verschiedene Art. In diesem Zusammenhang sei an einen Brief von Gan/i an Bolyai vom 2. September 1808 erinnert: ,,Wahrlich, es lst nicht alas Wissen, sondern das Lernen, nichl das Besllzen, sondern alas Erwerben, nicht das Da-sein, sondern alas Hinkommen, was den grb‘fiten Gena/3 gewdh'rt. Wenn lch elne Sacha ganz ins Klare gebracht and erscho'pft habe, so wende ich mich davon weg, um wieder ins Daniele za gehen, so sonderbar is! cler nlmmersatte Mensch, hat er eln Gebc'iude vollendet, so ist es nicht, um mhlg darin zu wohnen, sondern um eln anderes anzufangen.“ Hiernach ist der Beweis eines Satzes wichtiger als der Satz selbst, und zwei verschiedene Beweise des gleichen Satzes kénnen nur von Vorteil sein. Nichts-

destoweniger iiben aber auch die Fragestellungen und die Ergebnisse der additiven Zahlentheorie einen auBerordentlichen Reiz aus, wie der Leser sehen wird.

Herrn Oberschulrat Dr. Sengenhorst, der als ausgezeichneter Sachkenner das Manuskript gelesen hat, verdanke ich manche Anregungen und Verbesserungen. Mein Dank gilt auch den Herausgebem der Schriftenreihe, Herrn Prof. Dr. Drenclchahn und Herrn Oberstudienrat Dr. Slender fiir ihr Interesse, das sie der vorliegenden Schrift entgegenbrachten. Nicht zuletzt gilt mein Dank auch dem Otto Salle Verlag fiir sein freundliches Entgegenkommen.

I. Elementare kombinatorische und abzahlende Methoden § 1. Die Zusammenstellung einer Portogebiihr

Eine Portogebiihr von n Pfennigen soll durch Ein-, Zwei- und Vierpfennigmarken zusammengestellt werden. Solche Zusammenstellungen, die sich nur durch die Reihenfolge der benutzten Marken unterscheiden, sollen als identisch

angesehen werden. Dann ist, wenn n gerade ist, die Anzahl der méglichen Zusammenstellung en die zu

+

n

4 2 nichst gelegene anze Zahl. Ist n un erade,

g g 4 n+ 3 2 so ist es die zu ( ) nachst gelegene ganze Zahl. In beiden Fallen handelt 4

es sich um die grbBte ganze Zah], die

< ("Jr“)2 bzw. < (”—flf = 4 = 4 ist. Beweis: Als Vorbetrachtung beantworten wir die Frage: Auf wieviel Arten lat/3t sick der Betrag van m Pfennigen durch Ein- und Zweipfennigmarken darstellen? Ist m gerade, so kann man kelne, eme, zwel, . . . Oder 7 Zwelpfennlg-

marken verwenden und jeweils den Rest durch Einpfennjgmarken darstellen. Das ergibt

m + 2

Mfiglichkeiten. Ist m ungerade, so kann man keine, eine,

2

zwei, . . . Oder m_l Zweipfennigmarken verwenden und den Rest jeweils 2

durch Einpfennigmarken darstellen. Das ergibt m2— 1 + 1 = m:- 1 M6glichkeiten. In unserer Aufgabe unterscheiden wir nun zwei Falle. 1. n sei gerade: n = 4x + 1', WO 1‘ = 0 oder 2 ist. Die mbglichen Zusammen-

stellungen werden nun in Klassen eingeteilt, je nachdem wir keine Vierermarke, eine Vierermarke, zwei Vierermarken, . . . x Vierermarken verwenden.

Der Restbetrag wird jeweils durch Einer- und Zweiermarken zusammengestellt.

Die Zahl der Méglichkeiten in den einzelnen Klassen ist gema‘aJB unserer Vorbetrach’oung n+2

2

,

n—4+2

2

,

n—8+2

2

,

r+2

2

.

Diese Zahlen bilden eine arithmetische Folge mit der Gliederzahl _ n—r + 4

x+ 1 —T

und der Summe

n+ 4 2

r“

(T) —W .

Hieraus ist die Behauptung fiir jedes gerade n (das heiBt r = O oder 2) abzulesen.

2. n sei ungerade: n = 4x + r, wo r = l oder 3 ist. Wie im Fall des geraden n

nehmen wir wieder eine Klasseneinteilung vor, je nachdem, Wie Viele Vierermarken verwendet werden. Diesmal ist die Zahl der Mtjglichkeiten in den einzelnen Klassen n+1

2

,

Ira—4+1

2

,

n—8+l

2

, ...

r+l

2

.

Auch diese Zahlen bilden eine arithmetische Reihe mit der Gliederzahl n—r + 4

x + 1 — —4— . Die Summe ist

(n + 3)2

16

(r—l")

_

16

'

Hieraus ist Wieder die Behauptung fiir ungerades n (das heiBt r = 1 oder 3)

abzulesen. Wir wollen noch eine mehr in geometrischer Form gehaltene Lésung der gleichen Aufgabe geben. Es handelt sich um die Darstellung der Zahl n durch die Summanden 1, 2 und 4 oder um die Lésung der Diophantischen Gleichung x —I— 2y + 42 = n.

Diese kann bei gegebenem n als Gleichung einer Ebene im rechtwinkligen Cartesischen Koordinatensystem aufgefaBt werden. Die Ebene schneidet auf der :0, y- und z-Achse die Abschnitte n, % und % ab (Abb. 1). Die Aufgabe léuft darauf hinaus, die Anzahl der Gitterpunkte zu bestimmen, die auf dem im

ersten Oktanten gelegenen Teil der Ebene liegen. Wir nehmen n zunéchst als durch 4 teilbare Zahl an: n = 4k. Wir zélhlen zuerst die Gitterpunkte auf der

Schnittgeraden der Ebene mit der 1', y-Ebene (Abb. 2). Hier liegen auf der Ver01234

Abb. 1

Abb. 2

bindungsstrecke der Punkte (n, 0) und (0, 123) ofi‘enbar genau % + 1 Gibberpunkte, indem jeder ganzzahlige Wert von 3/ auf einen Gitterpunkt der Schnittgeraden ffihrt. Fiir alle diese Gitterpunkte ist z = 0. Nun bestimmen wir die Anzahl der Gitterpunkte, ffir die z = 1 ist. Sie liegen auf der Verbindungsgeraden der beiden Punkte (n — 4, 0, l) und (0 , n— 4 , 1) . 2

6

n.—

2 4 + 1 = g—I. Ebenso gibt es %—3 Gitter-

Ihre Anzahl ist ofi'enbar

punkte mit z = 2 usw. Mit z = % gibt es nur den einen Git’oerpunkt (0, 0, %) .

Die Gesamtzahl ist also:

1+3+5+---+(%—1)+(%+1)=(’"“;r 4 ).2

Hat n die Form 416 + 1, so ist n ungerade. Es muB in diesem Fall mindestens

eine Einermarke verwendet werden. Man erhalt also alle Moglichkeiten fiir n Pfennige, indem man alle Moglichkeiten fiir n — l Pfennige noch durch eine Einermarke erganzt. In diesem Fall ist die gesuchte Anzahl also n —— l + 4 2

(

4

n+ 3 2

) =( 4 l '

Wir gehen zum Falln = 410 + 2 fiber. Die Darstellungen von n Pfennigen werden hier in zwei Klassen eingeteilt, je nachdem mindestens eine Einermarke benutzt Wird Oder nicht. Alle Darstellungen der ersten Klasse bekommen wir also, indem wir alle Darstellungen von n —— l Pfennigen noch durch eine Einer-

marke ergialnzen. Wie soeben gezeigt, ist die Anzahl dieser Darstellungen n— 1 + 3 2

(

4

n, + 2 2

) :( 4 ) ‘

Bei den Darstellungen der zweiten Klasse werden nur Zweier- und Vierer-

marken benutzt. Die Anzahl dieser Darstellungen ist ofl'enbar die gleiche, als wenn man den Betrag von % Pfennigen durch Einer- und Zweiermarken dar-

stellt. Da % = 2 k + l ungerade ist, so ist nach obigem die Anzahl der Darstellungen in der zweiten Klasse % (g + 1). Ffir den Fall n = 410 + 2 ist also die Ge-

samtzahl der Darstellungen

(n+2)2

1

n

__(n+4)2

1

T+’2‘(§+ 1)——16_—1‘Es bleibt der Fall n = 410 + 3. Da dies eine ungerade Zahl ist, muB bei jeder

Darstellung mindestens eine Einermarke verwendet werden. Man bekommt

also wieder alle Darstellungen von n Pfennigen, indem man alle Darstellungen von n — l Pfennigen durch eine Einermarke erganzt. Die Anzahl dieser Darstellungen ist aber, wie soeben festgestellt wurde,

w_i= b1 > . . . und a2 > 62 > . . . Dabei denken Wir uns von vornherein die Potenzen gestrichen, die auf beiden Seiten der Gleichung auftreten, so daB in der obigen Gleichung fiberhaupt alle Summanden verschieden sind, insbesondere die beiden ersten. Wir nehmen ohne Beschrénkung der Allgemeinheit a1 > a2 an. Der Wert der linken Seite ist dann mindestens 2“1, der Wert

der rechten Seite hochstens 2a1—1+2a1—2+... +1 =2a1__1. Hiermit ist ein Widerspruch hergeleitet.

8

Eine andere Moglichkeit ffir den Beweis der eindeutigen Darstellung besteht

in der vollsténdigen Induktion, wobei wir die Eindeutigkeit gleich mit einbeziehen. Ffir n = 1 ist 1 = 1 die triviale und einzig mogliche Darstellung. Wir nehmen an, alle Zahlen g n seien eindeutig als Summe verschiedener Zweierpotenzen darstellbar. Um nun die Zahl (n —|— l) in Zweierpotenzen zu zerlegen, suchen wir zuerst die hochste Potenz von 2, die § (n + l) ist, also

2a g (n + 1) < 2a+1. Wir stellen fest, daB die Zahl (n + l) ohne den Summanden 2“ fiberhaupt nicht darstellbar ist, da

1+2+4+~-+2a—1=2a—1 x1

x22 —' x12 = (“’2 + x1) (“’2 — x1) = (92 — 91)?”

Es miiBte also 1) in einer der beiden Zahlen (x2 + 961) und (x2 ~— 961) aufgehen.

Diese beiden Zahlen sind aber positiv und kleiner als p. Wir vermehren nun alle Reste um I und subtrahieren das Ergebnis von 1).

Es entstehen p :— 1 neue Zahlen, die ebenfalls verschieden voneinander sind. Auch sie liegen ebenso Wie die Reste zwischen den Grenzen 0 und p —-l einschlieBlich. Da es zwischen diesen Grenzen aber nur p Zahlen gibt, die Zahl der neuentst‘andenen Zahlen und der Reste zusammen aber p + l ist, muB mindestens

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eine der neuen Zahlen auch bei den Resten vertreten sein. Nach unseren Aus-

fiihrungen bedeutet dies, daB es zwei Quadratzahlen x2 und 3/2 gibt, so daB x2 = 911’ + 7‘1, 1/2 = 921’ + 7‘2,

wobei p — (r1 + 1) = 72. Durch Addition der beiden Gleichungen f(11' x2 bzw. 3/3 und Einsetzen von r1 + r2 aus der letzten Gleichung folgt:

(91+92+1)P=x2+?/2+12+02Da x und 3/ hochstens 10—2—1 sind, ist die rechte Seite der letzten Gleichung hochstens

20—1 2

20—1 2

_ p3—2p+3

Daraus folgt, daB der Faktor (q1 + q2 + l) < p ist. Er ist also ein branchbares m im Sinne unserer Behauptung. 2. Schritt. Wir zeigen, daB das kleinste positive Vielfache mp, welches sich als Summe von 4 Quadraten darstellen 15.1312, das Einfache, also die Zahl p selbst ist. Diesen Beweis ffihren wir indirekt. Wir nehmen m > 1 an und unterscheiden zwei Fiallle. 1. Fall: m sei gerade. Dann folgt ans

3512 + $22 + $32 + x42 = mp, daB entweder alle x; gerade sein miissen oder alle ungerade oder zwei von ihnen gerade und zwei ungerade. Im letzten Fall ist es keine Beschrénkung der A11gemeinheit, wenn x1 und x2 als gerade angenommen werden. Dann sind in jedem dieser drei Fille die Zahlen (at:1 + $2), (961 — $2), (953 —|— x4), (x3 — x4) gerade. Die Gleichung

(“mu(”wow(”atouorr l

=—§—(x12+x22+x32+x42)=%p zeigt dann, daB sich bereits 321p als Sum'me von 4 Quadraten darstellen léLBt, also mp doch nicht das kleinste Vielfache mit dieser Eigenschaft war.

2. Fall: m sei ungerade und 2 3. In der Gleichung

”W = x12 + 7622 + x32 + x42 suchen wir zu jedem x; dasjenige Vielfache von m, welches der Zahl x1 moglichst nahe kommt. Das Vielfache kann kleiner oder gréBer als das betreffende x; sein. In jedem Fall gilt aber:

Es folgt:

x:

‘

qt

m+

yt

,

wobei

;§

lyl

m—l

2

-

3/12 + 3/22 + 3/32 + 3/42 = x12 + 9‘22 + $32 + x42

2M(x1q1 + 96242 + xaqa + mm) + WW + 922 + 932 + 442)

= mp — 2””(“7191 + 95q + “3393 + x4q4) + MW? + 922 + 932 + 942) = mn,

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wo n eine ganze Zahl ist, die nicht 0 ist. Sonst ware jedes y; = 0, also jedes x; ein Vielfaches von m und daher jedes x12 ein Vielfaches von m2. Damit wire

aber auch mp ein Vielfaches von m2. Das Wfirde bedeuten, daB m in p aufgehen mfiBte. An dieser Stelle wird die Bedingung 1 g m < p des ersten Schrittes benutzt. Es kann m nicht in p aufgehen. ' Als Ergebnis erhalten wir

mn=y12+y22+y32+y2§ 4(’”‘2_1)2= (m—1)2