Physikalische Formelsammlung 9783111679884, 9783111293714

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

136

PHYSIKALISCHE FORMELSAMMLUNG von

G. M A H L E R f Professor der Mathematik und Physik am Gymnasium in Ulm

N e u b e a r b e i t e t von

P R O F . K. M A H L E R Oberstudiendirektor

Mit 69 Figuren Neunte, durchgesehene Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. v o r m a l s G, J . Gö9chen*sche V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • G e o r g R e i m e r • K a r l J. T r ü b n e r • Veit & C o m p .

BERLIN

1955

Alle Rechte, einschl. der Rechte der H e r s t e l l u n g von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright 1955 by W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. Berlin W 35, Genthiner Str. 13

Archiv-Nr. 1101 36 Druck: T h o r m a n n & Goetsch, Berlin S W 6 1 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis. Seite I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes nnd der starren Körper. 1. Metrisches Maßsystem 7 2. Die gleichförmige, geradlinige Bewegung 8 3. Das Parallelogramm der Bewegungen 8 4. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung 10 5. Freier Fall und Bewegung auf der schiefen Ebene 12 6. Der Wurf IS 7. Masse. K r a f t 16 8. Impuls. Energie. Leistung 16 9. Die Dimension 17 10. Die Zentralbewegung . 18 11. Die harmonische Bewegung 19 12. Das mathematische. Pendel 21 13. Die Grundgesetze des Gleichgewichts starrer Körper 22 14. Die Zusammensetzung zweier K r ä f t e mit verschiedenen Angriffspunkten 23 15. Drehkräfte. Moment einer K r a f t 25 16. Schwerpunkt 27 17. Die einfachen Maschinen 28 18. Das Trägheitsmoment 31 19. Gesetze der drehenden Bewegung. Kreisel 33 20. Fallmaschine. Physisches Pendel 34 21. Reibung 3« 22. Die allgemeine Gravitation 37 23. Elastizität 38 24. Der Stoß 3» II. Kapitel. Statik der FHiselpkrllm und Case. 25. Druck in einer ruhenden Flüssigkeit 26. Archimedisches Prinzip 27. Spezifisches Gewicht. Bestimmung desselben 28. Eigenschaften der Gase 29. Luftdruck. Luftpumpen 30. Gesetz von Boyle

42 43 44 46 46 48

III. Kapitel. Dynamik der Flüssigkeiten und Gase. 31. Strömung von Flüssigkeiten und Gasen 32. Ausfluß von Flüssigkeiten und Gasen aus.einer Öffnung 33. Flächen in Luft und Wasser

48 50 52

IV. Kapitel. Molekularphysik. 34. Oberflächenspannung. Kapillarität. Diffusion. Osmose 35. 'Strömung in Kapillaren. Turbulenz. Gesetz von Stokes 36. Kinetische Theorie der Gase

65 56 67

T. Kapitel. Wärmelehre. 37. Thermometer 38. Ausdehnung der Körper durch die Wärme 39. Kalorimetrie; spezifische Wärme 40. Änderung des Aggregatzustandes 41. Thermodynamik

68 68 60 62 63

: l

c

4

Inhaltsverzeichnis. Seite

VI. Kapitel. Wellenlehre und Akustik. 42. Wellenlehre I 43. Wellenlehre I I 44. Schwingungszahl. Tonleiter 45. Tonquellen 46. Ausbreitung des Schalles. Schallgeschwindigkeit

66 69 71 72 74

VII. Kapitel. Geometrische Optik. 47. Reflexion des Lichtes an ebenen Flächen 48. Kugel- oder sphärische Spiegel 49. Brechung des Lichtes 50. Prisma 51. Brechung an sphärischen Begrenzungsflächen 52. Brechung durch Linsen 53. Sphärische Aberration bei der Brechung 54. Optische Instrumente VIII. Kapitel. Optische Strahlung. 55. Photometrie 56. Geschwindigkeit des Lichtes 57. Spektroskopie 58. Achromasie 59. Wellenlängenmcssung 60. Polarisation. Doppelbrechung

75 77 80 82 84 85 90 91 96 97 99 •.. 102 102 103

IX. Kapitel. Das elektrische Feld. 61. Elektrisches Feld 104 62. Eigenschaften der Ladung 106 63. Spannung. Feldstärke. Verschiebungsdichte 107 64. Kapazität und Kondensator 103 65. Kräfte und Arbeit im elektrischen Feld 110 66. Das elektrische Feld unter Zugrundelegung des absoluten elektrostatischen Maßsystems 111 X. Kapitel. Das magnetische Feld. 67. Magnetisches Feld 68. Ausmessung des magnetischen Feldes 69. Magnetisches Feld unter Zugrundelegung des absoluten elektromagnetischen Maßsystems 70. Das Moment und das Drehmoment eines Magnetes 71. Ablenkung und Schwingungen eines drehbaren Magnetes 72. Erdmagnetismus XI. Kapitel. Elektrische Strömung. 73. Ohmsches Gesetz. Widerstand * 74. Stromstärke einer Batterie 75. Stromverzweigung. Sätze von Kirchhoff 76. Stromenergie. Gesetz von Joule. Spannungseinheit 77. Die Gesetze von Faraday. Das elektrische Elementarquantum. KU. Kapitel. Induktion. 78. Grundlagen der Induktion 79. Die Selbstinduktion 80. Kräfte in magnetischen Feldern 81. Der Einphasenwechselstrom 82. Dreiphasenwechselstrom. Transformator 83. Elektrische Schwingungen

113 115 117 118 119 119 120 121 123 126 127 128 131 132 133 186 137

Inhaltsverzeichnis. XIII. Kapitel. Elektrische Strahlim;. Theorie der Materie. 84. Kathoden- und Anoden- (Kanal-) Strahien 85. Die Dreielektrodenröhre 86. Röntgenstrahlen 87. Radioaktivität 88. Atombau und periodisches System der chemischen Elemente 89. Relativitätstheorie 90. Bohrsche Sätze. Wasseistoffatom Register

5 Seite 139 141 142 143 . . 144 148 149 161

Bemerkung. Den Bezeichnungen liegen, soweit möglich, die Angaben des Deutschen Normenausschusses zugrunde (Din 1304).

Literatur. Dem Charakter einer „ F o r m e l s a m m l u n g " entsprechend, gibt der vorliegende Band der Sammlung Göschen nur fertige Resultate ohne Ableitungen. Ableitungen findet der Leser in der ausgedehnten physikalischen Literatur, aus der einige wenige Werke namentlich genannt seien: H a h n , Lehrbuch der Physik. Braunschweig, Westerman. P o s k e - B a v i n k , Lehrbuch der Physik. Braunschweig, Vieweg u. Sohn. R o s e n b e r g - H a u s c h u l z - I p p i s c h , Grundriß der Physik I und II. Berlin u. Leipzig, Freytag. G r i m s e h l , Lehrbuch der Physik. Leipzig, Teubner. L e c h e r , Lehrbuch der Physik. Leipzig, Berlin, Teubner. Mie, Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus. Stuttgart, Enke. R i e c k e - L e c h e r , Lehrbuch der Physik. Berlin, Walter de Gruyter & Co. S c h a e f e r , Einführung in die theoretische Physik. Berlin, Walter de Gruyter & Co. S c h a e f e r - B e r g m a i j n , Grundaufgaben des physikalischen Praktikums. Leipzig, Teubner. P o h l , Einführung in die Mechanik, Akustik u. Wärmelehre. Berlin, Springer. P o h l , Einführung in die Elektrizitätslehre. Berlin, Springer. P o h l , Einführung in die Optik. Berlin, Springer. S o m m e r f e l d , Mechanik. Leipzig, Akadem. Verlagsgesellschaft, W e s t p h a l , Lehrbuch der Physik. Berlin, Springer. In diesen Werken finden sich z. T. auch Übungsbeispiele, eine größere Zahl von Beispielen finden sich u. a. in M a h l e r , Physikalische Aufgabensammlung. Sammlung Göschen Bd. 243. B o h n u n d M a t t h £ , Sammlung physikalischer Aufgaben. Leipzig, Quelle & Meyer. G o t t s b a c h e r , Physikalische Aufgabensammlung, Leipzig u. Wien, Deuticke.

I. Kapitel.

Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper.

1. Metrisches Maßsystem, a) Ausgangspunkt für das metrische Maßsystem ist das Meter, ursprünglich festgesetzt 1 m

= löö^öoö = 1 0 - 7 Erdquadranten' dargestellt durch den geradlinigen gegenseitigen Abstand zweier Strichmarken auf einem Platinstab bei 0°C. Später ergab sich mit wachsender Genauigkeit der Messungen, daß 1 m = 0,999914 • 10~ 7 Erdquadranten, doch besteht keine Veranlassung, deshalb das Grundmaß zu ändern, weil für die praktischen Anwendungen diese Abweichungen meist keine Bedeutung haben, für die Wissenschaft es viel mehr auf die Unveränderlichkeit des einmal angenommenen Grundmaßes ankommt. Außerdem l m = 1553164,13 Wellenlängen der roten Kadmiumlinie. Abgeleitete Längenmaße: mm, cm, dm, m, Dekameter, Hektometer, km; je 10 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden Maßes. Außerdem 1 fi. = 1 Mikron = 1/1000 mm = 10~ 4 cm 1 m/j, = 1 Millimikron = 3/1000000 mm = 10~ 7 cm 1 A. E. = 1 Angströmeinheit = 1/10 m/n = 10~ 8 cm (Lichtwellen) 1 XE. = 1 X-Einheit = 1 0 ~ n cm (Röntgenwellen) 1 Lichtjahr ~ 365 • 24 • 60 • 60 • 300000 km = 9 5.10 1 2 km. 1 parsek ist die Entfernung, von der aus gesehen der Halbmesser der Erdbahn um die Sonne unter einem Winkel von 1" erscheint, entsprechend 3,0666 • 1013 km = 3,26 Lichtjahre, b) Flächenmessung. Maßeinheit 1 m a (1 cm2) d. i. ein Quadrat von I m (1 cm) Seitenkante.

8

Mechanik des materiellen Punktes und' der starren Körper.

Abgeleitete Flächenmaße: mm 2 , cm 2 , dm 2 , m 2 , a, ha, km 2 ; je 100 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden Maßes. c) Raummessung. Maßeinheit 1 dpi 3 (1 cm3), d. i. ein Würfel von 1 dm (1 cm) Seitenkante. Abgeleitete Maße: mm 3 , cm 3 , dm 3 , km 3 ; je 1000 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden. Außerdem 11 = 1 dm 3 = 1000 cm 3 = 1 /100 hl. Genau: 11 (Rauminhalt von 1 kg luftfreien Wassers größter Dichte bei 1 Atm. Druck) gleich 1,000028 dm 3 , entsprechend der maximalen Dichte des Wassers bei 4° C und 760 Torr Q = 0,999972 ± 0,000002 g/cm 3 . d) Gewichtsmessung. Maßeinheit 1 kp (1 p ), d. i. das Gewicht von 1 dm 3 (1 cm 3 ) Wasser bei 4° C. Abgeleitet mp , p , k p , t*; Übergangszahl 1000 wie bei c, vgl. Nr. 7 f bis 7 h. 2. Die gleichförmige, geradlinige Bewegung. Eine gleichförmige Bewegung ist eine Bewegung, bei der in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. Geschwindigkeit ist der in 1 sek zurückgelegte Weg. Bedeuten v die Maßzahl der Geschwindigkeit, t die der Zeit und s die des zurückgelegten Weges, so ist s = vi. In vielen Fällen ist es zweckmäßig, den Weg durch den Inhalt eines Rechteckes zu versinnlichen, dessen Grundlinie und Höhe durch die Maßzahlen der Zeit bzw. der Geschwindigkeit gegeben sind. Die mittlere Geschwindigkeit v0 aus mehreren (n) Geschwindigkeiten vlt v2, v3 • • • vn ist das arithmetische Mittel derselben: f j + «2 + H + Vn v0 = n 3. Das Parallelogramm der Bewegungen. Wird ein Körper gezwungen, gleichzeitig mehrere Bewegungen auszuführen, so ist das Endergebnis dasselbe, wie wenn er die Bewegungen nacheinander während derselben Zeit ausführen würde.

Das Parallelogramm der Bewegungen.

9

Wird also ein materieller Punkt A (Fig. 1) zu zwei Bewegungen angeregt, die einen Winkel oc miteinander bilden, so gelangt er in die vi orte Ecke D desjenigen Parallelogramms, das man aus den beiden Einzelwegen sx und s 2 und dem von diesen eingeschlossenen Winkel « konstruiert. A .v, Sind die beiden Bewegungen geFiff. 1. radlinig und gleichförmig, so ist auch die resultierende Bewegung geradlinig und gleichförmig, und der Punkt A durchläuft die Diagonale AD. Bezeichnet man den Weg AD mit r, so ist r 2 = s^ + sf + 2 • s1 • s2 • cos « . Wird oc = 0 bzw. 180°, so ergeben sich die besonderen Werte r = s !±s2. Ist oc = « 0 ° , so kommt ri = s\ + s\. Die Einzelwege heißen die Seitenwege, die Komponenten; der resultierende Weg der Mittelweg, die Resultante. Soll der Mittelweg AD (Fig. 2) in L zwei Seitenwege längs Lx und Lz zercL f» legt werden, so ziehe man DB\\L2 und f Sy DC ¡¡Lj; nun sind AB und AG die ge/ / suchten Komponenten. — Hat man / / über die beiden Einzelwege keine weiL, teren Bestimmungen getroffen, so ist r 2 die vorliegende Aufgabe vieldeutig. Sonderfall: „Projektionssatz". Ist J_ L und bildet AD mit Li den Winkel a , so ist die waagerechte Komponente AB = AD cos«, die senkrechte AG = AD sin«. Unterliegt ein materieller Punkt gleichzeitig mehreren Bewegungen, so bestimmt man die Resultante folgendermaßen: Zunächst werden zwei' Wege zusammengesetzt, hierauf der

10

Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper.

Mittelweg mit dem dritten, der sicli nun ergebende Weg mit dem vierten usw. Man konstruiert daher (Fig. 3) aus den Einzelwegen einen gebrochenen Zug ABFGH-, alsdann ist die

Fig. 3.

Schlußlinie AH die gesuchte Resultante. Schließt sich der Zug, so bleibt der Punkt in Ruhe. Zerlegt man die Bewegung OB eines materiellen Punktes 0 (Fig. 4) in die Komponenten OE und OD von beliebigen Richtungen L und Ly, die durch 0 gehen, und projiziert die so erhaltenen Seitenbewegungen auf zwei zueinander senkrechte Achsen OX und OY, so ist die algebraische Summe der Projektionen auf jede Achse gleich den Komponenten OC und OJ, die unmittelbar aus der Zerlegung der OB längs OX und OY hervorgehen. Im Raum ist das Parallelogramm der Bewegungen durch ein Parallelflach zu ersetzen. Wird nämlich der Punkt 0 (Fig. 5) zu den Bewegungen OA, OB und OC angeregt, deren Richtungen nicht in eine Ebene fallen, so gelangt er an die der Ecke 0 gegenüberliegende Ecke D des aus OA, OB und OC als Kanteil konstruierten PaFjg 8 rallelflachs. 4. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung. Legt ein

Die gleichförmig beschleunigte Bewegung

11

Körper in gleichen Zeiten ungleiche Wege zurück, so ist seine Bewegung eine ungleichförmige. Unter Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitpunkt versteht man in diesem Fall den Weg, den der Körper von jenem Zeitpunkt ab in einer Sekunde zurücklegen würde, falls er sich nun gleichförmig weiterbewegte. Je nachdem die Geschwindigkeiten in den aufeinanderfolgenden gleichen Zeitteilen wachsen oder abnehmen, heißt die Bewegung beschleunigt oder verzögert. Die Geschwindigkeitszunahme in der Sekunde heißt Beschleunigung. Ändert sich diese während der Dauer der Bewegung nicht, so f ü h r t der materielle Punkt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus. Bezeichnen v0 die Anfangsgeschwindigkeit, 6 die Beschleunigung, v die Geschwindigkeit zur Zeit t, s den Weg, den der Körper während dieser Zeit zurücklegt, so gelten folgende Beziehungen: v= v0+bt s=Vot + lbt* v2 =vl+ 2bs. Für die gleichförmig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit ist v = bt s=\W v 2 = 2 bs. Allgemein gilt für jede Bewegung ds v

dv

= Tt tPs

d. h. die Geschwindigkeit ist die erste, die Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit. Ist die Bewegung gleichmäßig verzögert und bedeutet b die (konstante) Verzögerung, so ist v=v„ — bt, s=v ( ? , der Körper sinkt unter; ß) P = Q, der Körper schwebt in der Flüssigkeit; y) P ;

b==

^i-

II. Abweichungen im Brennpunkt einer Linse. Sind ri und r2 die Halbmesser der beiden Kugelflächen der Linse, y der Halbmesser des Randkreises, f ihre Brennweite, a die Gegenstands* und 6 die Bildweite, so ist für a = oo das b = f. Setzt man zur Abkürzung n, 2 r{ I n3 J rx - r 2 \n 2 n so kommt (7) A = c- f-y*; ß = Hieraus folgt, daß die Abweichung geringer ist, wenn die Linse der Strahlenquelle die stärker gekrüminte Seite zuwendet. Bei plankonvexen Linsen z. B. zeigt sich diese Tatsache recht deutlich. Ist r.i = r,r1= oo, also die ebene Seite dem Gegenstand zugewendet, so hat man c1 = w 2 2r 2 . Ist aber r1=r und r 2 = oo, also die gekrümmte Seite der Linse dem Gegenstand zugewendet, so ergibt sich _ w2 ^ 2(n 2 — 1) Da nun bei gewöhnlichem Glas n = 1,5 ist, so hat man cÄ/Cl = 7/27. 54. Optische Instrumente. A. Elementare Formeln. r. , • , n, ••„ , r, , • , , wirkliche Größe a) Scheinbare Große oder Sehwinkel = Gegenstandsweite

Geometrische Optik.

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Vergrößerung des optischen Instrumentes scheinbare Größe mit Instrument scheinbare Größe ohne Instrument b) Lupe. Befindet sich die Lupe unmittelbar am Auge und wird der Gegenstand mit größter Akkommodation betrachtet, so ist die Vergrößerung v =

1 + s/f,

bei akkommodationsfreier Anwendung v = s/f,

wobei s die deutliche Sehweite und f die Brennweite. c) Mikroskop. Der Gegenstand AB befindet sich nahe bei einer Sammellinse L (Objektiv) von kleiner Brennweite, etwas jenseits des Brennpunktes. Sein wirkliches, vergrößertes Bild A1B1 wird durch eine Konvexlinse (Okular) betrachtet, welche als Lupe wirkt. Dadurch entsteht ein scheinbares, umgekehrtes Bild A, B2 in der deutlichen Sehweite s. Unter der Vergrößerung v verstehen wir das Verhältnis der Tangenten der Sehwinkel in der deutlichen Sehweite. Mithin ist unter Zugrundelegung der Fig. 36 v

tgB&C

B2C

AB

'

Bezeichnet ferner A den Abstand der einander zugewandten Brennpunkte, f die Brennweite des Objektives, {' die Brennweite des Okulars, s die deutliche Sehweite, so ist die Vergrößerung v = s A / f f .

d) Des a s t r o n o m i s c h e F e r n r o h r .

Von dem entfern-

Optische Instrumente.

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ten Gegenstand AB wird durch die Objektivlinse L (Fig. 37, die Linsen sind schematisch gezeichnet) ein verkehrtes, kleines, wirkliches Bild in der Nähe .des Brennpunktes F der Sammellinse L entworfen. Dieses erscheint durch die als Lupe wirkende Okularlinse Lx betrachtet in A2B2 vergrößert. Bei großer Gegenstandsweite ist der Brennpunkt F des Objektives auch der des Okulars, Fig. 37. womit das Fernrohr die Länge (/ + /j) erhält (/ die Brennweite des Objektivs, fl die des Okulars). Die Vergrößerung ist / : /1; die Objektivlinse muß also eine große, die Okularlinse eine kleine Brennweite haben. Bezeichnen y bzw. ö den gegenstands- bzw. bildseitigen Gesichtsl'eldwinkel und hat die Blendenöffnung den Halbmesser r, so ist tg y = r/f u. tg d= — r/f1. e) Das t e r r e s t r i s c h e F e r n r o h r . Zwischen dem Objektiv Lt und dem Okular Lt wird noch eine dritte Konvexlinse L3, die Umkehrlinse, eingeschaltet. Die von dem weit entfernten Objektpunkt A ausgehenden Strahlen fallen nahezu parallel auf die Linse L, und werden von ihr in den? reellen Bildpunkt vereinigt. Von hier aus gehen sie divergent weiter bis zur Umkehrlinse L3, welche die Strahlen wieder in dem wirklichen Bilde A2 sammelt. Dann treffen die Strahlen in ihrem weiteren Verlauf auf das Okular L2 und verlassen dieses parallel, um ins Auge zu gelangen. Liegt die Linse La in der Mitte zwischen Al und A2, so ist AtA2 die vierfache Brennweite / 3 der Umkehrlinse. Sind außerdem / j und f2 die Brennweiten von Objektiv und Okular, so ist die Länge des Fernrohrs l = /i+/t + 4/,.

f) Das Galileische F e r n r o h r (Fig. 38). Zwischen das

94

Geometrische Optik.

konvexe Objektiv L mit der Brennweite / und die Stelle AlB1, wohin das wirkliche Bild des Gegenstandes AB fallen würde, schiebt man als Okular L, eine Konkavlirise ein. Letztere wird so eingeordnet, daß ihre Entfernung von jenem Bilde etwas größer als die Zerstreuungsweite f r ist, wodurch alle nach einemPunkte A1 des Bildes At Bl konvergierenden Strahlen durch das Okular so Fig. 38. gebrochen werden, als ob sie von einem Punkte A2 vor der Linse herkämen. Durch Verschiebung des Okulars kann man das scheinbare Bild AJB2 in die deutliche Sehweite bringen. Die Länge des Fernrohres ist nahezu i=

1 - h

und die Vergrößerung ist

« = ///i-

B. Einfluß der Blenden. Jede Blende, die bestimmend auf die Öffnung von Lichtbüscheln wirkt, mögen diese von einem Gegenstandspunkt aus divergieren oder nach dem Bildpunkt konvergieren, heißt Aperturblende. Gesichtsfeldblende ist eine Blende, von deren Größe und Lage die Größe des vom Auge zu übersehenden Gesichtsfeldes abhängt. Von zwei Blenden wirkt die als Aperturblende, die vom Schnittpunkt der Visierlinie mit dem Gesichtsfeld aus gesehen unter dem kleinsten Winkel erscheint. Jedes optische Instrument greift in den Gang der Lichtstrahlen bereits vor ihrem Eintritt in die brechenden Medien des Instruments dadurch bestimmend ein, daß wirkliche Blenden oder deren Bilder aus dem von dem Objektpunkt ausgehenden Strahlenbüschel einen Teil ausschneiden. Die Eintrittspupille ist die Aperturblende des ganzen

Optische Instrumente.

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Systems. Die Eintrittsluke ist die objektseitige Gesichtsfeldblende. Es kann immer nur ein Objekt von kleiner Ausdehnung durch weit geöffnete Büschel oder ein Objekt größerer Ausdehnung durch enge Büschel in brauchbarer Weise abgebildet werden. C. Anwendungen auf einige optische Instrumente, a) Mik r o s k o p . Das Objektiv ist,Aperturblende. Gesichtsfeldblende ist die physische Blende an der Stelle, wo das durch das Objektiv erzeugte wirkliche Bild des Gegenstands entsteht. Grenze des Auflösungsvermögens d = Xjn sin w, X ist die Wellenlänge des verwendeten Lichts, d die kleinste Streifenbreite, n sin u die numerische Apertur, u der Winkelabstand des ersten Maximums von dem Beleuchtungsbüschel (s. Nr. 59), n Brechungszahl der Immersion, ohne Immersion n = 1. b) A s t r o n o m i s c h e s F e r n r o h r . Die Objektivfassung ist die Aperturblende; das Objektivbild ist die eigentliche Austrittspupille. Das objektseitige Gesichtsfeld ist der Blendenöffnung direkt und dem Quadrat der Brennweite des Objektivs umgekehrt proportional; es ist von der Brennweite des Okulars und von der Öffnung des Objektivs unabhängig. Das bildseitige Gesichtsfeld ist proportional der Blendenöffnung und umgekehrt proportional dem Quadrat der Brennweite des Okulars. c) G a l i l e i s c h e s F e r n r o h r . Das Objektiv ist die Gesichtsfeldblende. Das Gesichtsfeld nimmt in dem Maße ab, wie die Vergrößerung zunimmt. Die Augenpupille ist Aperturblei.de. Helligkeit H —np2 v2, wobei p der Pupillenhalbmesser, v die Vergrößerung, n = 3,14. d) P h o t o g r a p h i s c h e r A p p a r a t . «„ . .., . Durchmesser der Eintrittspupille d Onnungsverhaltnis = --— = —. Brennweite /

Optische Strahlung.

96

Beleuchtungsstärke des Bildes proportional Belichtungszeit T—k:

I—J

j .

wobei k eine Konstante des

Apparates ist.

VIII. Kapitel.

Optische Strahlung.

55. Photometrie. I. Einheiten. Die Einheit der Lichtstärke J hat die „Neue Kerze" (NK), dadurch definiert, daß die Lichtstärke von 1 cm2 der Oberfläche eines schwarzen Körpers (vgl. Nr.57i) bei einer Temperatur von 1768° C, dem Erstarrungspunkt reinen Platins, gleich 60 NK sein soll. 1 NK = 1,107 HK, wobei eine Hefnerkerze (HK) die waagerechte Lichtstärke der mit Amylacetat gespeisten Hefnerlampe bei einer Flammenhöhe von 40 mm ist. Die Einheit des Lichtstromes0 ist der Lichtstrom, den eine nach allen Richtungen mit 1 NK leuchtende punktartige Lichtquelle in den Raumwinkel 1 aussendet, sie entspricht einem Energiestrom von rund 0,0016 Watt. Diese Einheit heißt ein Lumen (Lm). (Der Raumwinkel 1 ist der Winkel an der Spitze eines Kegels, der aus einer Kugel vom Halbmesser 1 so herausgeschnitten wird, daß das zugehörige Kugelflächenstück 1 m2 ist.) Die Einheit der Beleuchtungsstärke E hat eine Fläche, die von 1 NK in 1 m Entfernung senkrecht beleuchtet wird. Die Einheit heißt 1 Lux = 1 Lumen /m2 bzw. 1 Phot = 1 Lumen/cm2. Die Einheit der Flächenhelle (Leuchtdichte) e hat eine Fläche, die je cm2 die Lichtstärke 1 NK ausstrahlt. Die Einheit ist 1 NK/cm2 = 1 Stilb. Zusatz. Eine Lichtquelle, die nach allen Seiten mit

Geschwindigkeit des Lichtes.

97

der Lichtstärke J leuchtet, strahlt den Gesamtlichtstrom 0 = An J Lumen aus. II. Lambertsches Gesetz. Die Beleuchtungsstärke E ist proportional dem cos des Einfallswinkels « der Strahlen und umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung r von der Lichtquelle. Für c eine punktförmige Lichtquelle ist E = J cosa/r 2 ; für ein Flächenelement /, das unter dem Winkel ß gegen die Normale Licht ausstrahlt, ist die Leuchtdichte e = J : / cos ß, also die Beleuchtungsstärke E = e f cos « cos ß : r2. Ist oc = ß = 0, so verhält sich E1:Ei=r\:r\, wenn E1 und E2 die Beleuchtungsstärken in den Entfernungen rt und r2 von der Lichtquelle sind. III. Photometerprinzip. Sind J1 und J 2 die Lichtstärken zweier gleichfarbiger Lichtquellen in den Enfernungen rx und r 2 von einem beleuchteten Schirm, so besteht für den Fall, daß beide Lichtquellen dieselbe Beleuchtungsstärke hervorrufen, die Beziehung Jx\ Jt=rl:r*. 56. Geschwindigkeit des Lichtes. Die Geschwindigkeit des Lichtes wurde durch astronomische und terrestrische Beobachtungen zu etwa 300000 km in der Sekunde bestimmt, genauer c = 2,99776 • 1010 cm/sek. a) Metkode des Olaf Römer 1675/76. Sie beruht auf der Beobachtung der Verfinsterung des zweiten, dem Planeten Jupiter zunächst liegenden Mondes, der bei jedem Umlauf in den Kernschatten des Jupiters tritt. Die Fig. 40 gibt ein ungefähres Bild von der Konstellation der betreffenden Gestirne. Es bedeuten S den Ort der Sonne, A, B, C, D vier Stellungen der Erde auf ihrer Bahn, J den Ort des Jupiters Mahl er, Pbfsiktllsehe Formelsammlung. 7

98

Optische Strahlung.

und M denjenigen seines MonB des. Solange sich die Erde in der Nähe von A bewegt, ändert 6ich ihr Abstand vom Jupitermond nur sehr wenig, und es vergehen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Eintritten des Mondes in den Schattenkegel des Jupiters nahezu 42x/2 Stunden. Wenn sich aber die Erde auf ihrer Bahn von A über B nach C immer weiter von M entfernt, so verlängert sich scheinbar die Umlaufszeit des Mondes immer mehr, und in C beträgt von A aus gerechnet der Unterschied 986 Sekunden. Bei der Annäherung der Erde von C über D nach A wird diese Verspätung wieder ausgeglichen. Zur Erklärung dieser auffälligen Erscheinung machte Römer die Annahme, daß das Licht 986 Sekunden brauche, um den Durchmesser der Erdbahn, das sind 299 Millionen Kilometer, zu durcheilen, woraus sich die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes zu 303 000 km/sek berechnet. b) Aus der Aberration der Fixsterne hat Bradley 1725 für die Geschwindigkeit des Lichtes nahezu den gleichen Wert gefunden. Es ist Erdgeschwindigkeit Aberrationskonstante = tg oc = — ,—:—-- , Lichtgeschwindigkeit wobei « durch die scheinbare Verschiebung der Einfallsrichtutig des Lichtes gegeben ist. c) Das von Fizeau 1849 angegebene Verfahren gestattet, die Geschwindigkeit des Lichtes irdischer Quellen zu messen. Seine Versuchsanordnung war folgende: Die von L (Fig. 41) ausgehenden Strahlen wurden von der nur unten belegten Glasplatte B zurückgeworfen, gingen durch die Zahnlücken eines Rades R mit 720 Zähnen, legten dann den 8633 m langen Weg RC zurück, erfuhren an dem Spiegel G eine totale Re-

Spektroskopie.

99

,B

flexion und gelangten, sofern sich das Rad nicht drehte, durch die gleiche "71 Lücke und durch die oben unbelegte L Fig «l Hälfte der Glasplatte B hindurch zu dem bei A befindlichen Auge. Wird aber das Rad R rasch umgedreht, so konnte der von C zurückkehrende Strahl je nach der Rotationsgeschwindigkeit des Rades entweder auf eine Lücke oder einen Zahn treffen und das Gesichtsfeld bei A blieb hell oder dunkel. Zum erstenmal trat eine Verdunkelung des Gesichtsfeldes auf, wenn das Rad in der Sekunde 12,6 Umläufe machte. Nun betrug die Breite eines Zahnes oder einer Lücke 1/1440 vom Umfang des Rades; bei 12,6 Umdrehungen dauerte es demnach 1/1440-12,6 Sekunden, bis an Stelle der Lücke der nächstfolgende Zahn trat. In der nämlichen Zeit legte aber das Licht den Weg 2 - 8,633 km zurück: mithin ist seine Geschwindigkeit 1440 • 12,6 • 2 • 8,633 kmsek" 1 = 313000 kmsek- 1 . d) Für zwei verschiedene Medien gilt für die Brechungszahl die Beziehung n = - , wobei vr und v2 die Werte der V

2

Lichtgeschwindigkeit in den beiden Medien sind. Der Weg des Lichtstrahls verläuft stets so, daß er ein Minimum an Zeit zur Erreichung des Zieles braucht. 57; Spektroskopie, a) Reihenfolge der sog. 7 Regenbogenfarben: Rot (am schwächsten brechbar; größte Wellenlänge; kleinste Schwingungszahl), Orange, Gelb, Grün, Bläu, Indigo, Violett (am stärksten brechbar; kleinste Wellenlänge; größte Schwingungszahl). Alle diese Farben vereinigen sich zu Weiß. Komplementär sind zwei Farben, wenn sie sich zu Weiß vereinigen. b) Ein kontinuierliches Spektrum enthält Licht jeder Brechbarkeit (Wellenlänge). Ein Linienspektrum enthält nur Licht bestimmter Brechbarkeit (Wellenlänge); dabei ist es gleichgültig, ob nur eine oder viele Linien auftreten.

100

Optische Strahlung.

c) Weißglühende feste oder flüssige Körper senden ein kontinuierliches Spektrum aus, glühende Gase und Dämpfe ein Linienspektrum. d) Eine Lichtquelle zeigt ein Emissionsspektrum, wenn ihre Strahlung direkt ohne Zwischenschaltung absorbierender Stoffe- zur Untersuchung gelangt. Ein Absorptionsspektrum tritt auf, wenn die Strahlung erst nach Durchlaufen absorbierender Medien spektral zerlegt wird. e) Glühende Gase und Dämpf3 absorbieren die Strahlen, die sie selbst emittieren. Allgemeiner: Das Verhältnis der Emission der Temperaturstrahlung zu der Absorption ist eine für alle Körper gleiche Funktion der Wellenlänge und der absoluten Temperatur; diese Funktion ist gleich der Emission der Temperaturstrahlung des vollkommen schwarzen Körpers (Satz von Kirchhofi). f) Stokessche Regel: Soll eine fluoreszierende Substanz zum Leuchten gebracht werden, so muß sie im allgemeinen mit Licht kleinerer Wellenlänge bestrahlt werden, als sie selbst aussendet. g) Das ultrarote Gebiet des Spektrums ist besonders durch seine Wärmewirkung, das ultraviolette Gebiet durch seine chemische Wirkung ausgezeichnet. h) Wiensches Verschiebungsgesetz: Je höher die Temperatur, desto mehr rückt das Maximum der von einem Körper ausgestrahlten Energie aus dem ultraroten in den roten Teil des Spektrums, genauer: Die Wellenlänge Am des Gebiets höchster Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers ist der absoluten Temperatur umgekehrt proportional X„,T = const. = 0,2897 cm grad. i) Vollkommen schwarz heißt ein Körper, der alle auffallenden Strahlen absorbiert. Stephan-Boltzmannsches Gesetz: Die Gesamtstrahlung S>

Spektroskopie.

101

eines vollkommen schwarzen Körpers ist proportional der 4. Potenz der absoluten Temperatur T S —

a-T*,

wobei die „Stephan-Boltzmannsche" Konstante a = 5,68 • 1 0 - 1 2 Watt c m " 2 grad~ 1 = 1,36" cal em —2 s e k - 1 g r a d "a

W 650

J k

600

550

500

Hy f f j

WO

WO

k) Formel für die Balmerserie des Wasserstoffs (Fig. 42): 350

Fig. 42.

Wellenzahl = R [4

\

\rfl

m2

R Konstante

n = 2 , m = 3, 4, 5, 6 . . . oo R heißt Grenzterm, — R Folgeterm, allgemein für jede —

Spektralserie Wellenzahl = Grenzterm — Folgeterm. Die Wellenzahlen der vier im sichtbaren Gebiet-liegenden Wasserstofflinien sind

Hß

Die universelle „Rydbergkonstante" R hat den Wert R = 109737,3 c m - 1 .

102

Optische Strahlung.

58. Achromasie. Es seien y der brechende Winkel eines Prismas, ferner n, und m„ die Brechungszahlen für die roten bzw. violetten Strahlen, so gelten folgende Beziehungen: a) Die totale Dispersion z (der Winkel zwischen den austretenden roten und violetten Strahlen): s= K -nr)-y. b) Die Ablenkung eo