Physikalische Formelsammlung 9783111360829, 9783111003528

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

136

PHYSIKALISCHE FORMELSAMMLUNG von

G. M A H L E R + Professor der Mathematik und Physik am Gymnasium in Ulm Neubearbeitet von

P R O F . K.

MAHLER

Oberstudiendirektor

Mit 69 Figuren Zehnte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche VerlagshandluDg • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1959

©

Copyright 1959 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. — Alle Rechte» einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 11 Ol 86. — Druck: Thormann & GoetsA, Berlin-Neukölln. Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis. Seite I. Kapitel. Mechanik des materiellen Ponktes und der starren Körper. 1. Metrisches Maßsystem 7 2. Die gleichförmige, geradlinige Bewegung 8 3. Das Parallelogramm der Bewegungen 8 4. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung 10 5. Freier Fall und Bewegung auf der schiefen Ebene 12 6. Der Wurf 13 7. Masse. Kraft 15 8. Impuls. Energie. Leistung 18 9. Die Dimension 17 10. Die Zentralbewegung 18 11. Die harmonische Bewegung 19 12. Das mathematische Pendel 21 13. Die Grundgesetze des Gleichgewichts starrer Körper 22 14. Die Zusammensetzung zweier Kräfte mit verschiedenen Angriffspunkten 23 15. Drehkräfte. Moment einer Kraft 25 16. Schwerpunkt 27 17. Die einfachen Maschinen 28 18. Das Trägheitsmoment 31 19. Gesetze der drehenden Bewegung. Kreisel 33 20. Fallmaschlne. Physisches Pendel 34 21. Reibung 3« 22. Die allgemeine Gravitation 37 23. Elastizität S8 24. Der Stoß 89 II. Kapitel. Statik der Flüssigkeiten und Gase. 42 25. Druck in einer ruhenden Flüssigkeit 20. Archimedisches Prinzip 43 27. Spezifisches Gewicht. Bestimmung desselben 44 28. Eigenschaften der Gase 45 29. Luftdruck. Lüftpumpen 46 30. Gesetz von Boyle 48 III. Kapitel. Dynamik der Flüssigkeiten nnd Gase. 31. Strömung von Flüssigkeiten und Gasen 48 32. Ausfluß von Flüssigkeiten und Gasen aus einer Öffnung 50 33. Flächen in Luft und Wasser 52 IV. Kapitel. Molekularphysik. 34. Oberflächenspannung. Kapillarität. Diffusion. Osmose 66 35. Strömung in Kapillaren. Turbulenz. Gesetz von Stokes 66 36. Kinetische Theorie der Gase 67 V. Kapitel. Wärmelehre. 87. Thermometer 58 38. Ausdehnung der Körper durch die Wärme 68 39. Kalorimetrie; spezifische Wärrae 60 40. Änderung des Aggregatzostandes 62 41. Thermodynamik 63 1»

4

Inhaltsverzeichnis.

VI. Kapitel. Wellenlebre und Akustik. 42. Wellenlehie I 43. Wellenlehie I I 44. Schwingungszahl. Tonleiter 45. Toncjuellen 46. Ausbreitung des Schalles. Schallgeschwindigkeit VII. Kapitel. Geometrische Optik. 47. Reflexion des Lichtes an ebenen Flächen 48. Kugel- oder sphärische Spiegel 49. Brechung des Lichtes 60. Prisma 51. Brechung an sphärischen Begrenzungsflächen 52. Brechung durch Linsen 53. Sphärische Aberration bei der Brechung 54. Optische Instrumente VIII. Kapitel. Optische Strahlung. 55. Photometrie 56. Geschwindigkeit des Lichtes 57. Spektroskopie 58. Achromasie 59. Wellenlängenmessung 60. Polarisation. Doppelbrechung

Seite 6« 69 71 72 74 75 77 80 82 84 85 90 91 96 97 99 102 102 103

I X . Kapitel. Das elektrische Feld. 61. Elektrisches Feld 104 62. Eigenschaften der Ladung 106 63. Spannung. Feldstärke. Verschiebungsdichte 107 64. Kapazität und Kondensator 10S 65. K r ä f t e und Arbeit im elektrischen Feld 110 66. Das elektrische Feld unter Zugrundelegung des absoluten elektrostatischen Maßsystems 111 X. Kapitel. Das magnetische Feld. 67. Magnetisches Feld 68. Ausmessung des magnetischen Feldes 69. Magnetisches Feld unter Zugrundelegung des absoluten elektromagnetischen Maßsystems 70. Das Moment u n d das Drehmoment eines Magnetes 71. Ablenkung u n d Schwingungen eines drehbaren Magnetes 72. Erdmagnetismus

113 115 117 118 119 119

XI. Kapitel. Elektrische Strömung. 73. Ohmaches Gesetz. Widerstand 120 74. Stromstärke einer Batterie '. 121 75. Stromverzweigung. Sätze von Kirchhof! 123 76. Stromenergie. Gesetz von Joule. Spannungseinheit 126 77. Die Gesetze von F ä r a d a y . Das elektrische E l e m e n t a r q u a n t u m . 127 XII. Kapitel. Induktion. 78. Grundlagen der Induktion 79. Die Selbstinduktion 80. K r ä f t e in magnetischen Feldern 81. Der Einphasenwechselstrom 82. Dreiphasenwechselstrom. Transformator 83. Elektrische Schwingungen

128 181 132 133 136 137

Inhaltsverzeichnis. XIII. Kapitel. Elektrische Strahlung. Tlicorie der Materie. 84. Kathoden- und Anoden- (Kanal-) Strahlen 85. Die Dreielektrodenröhre 86. Röntgenstrahlen 87. Radioaktivität 88. Atombau und periodisches System der chemischen Elemente 89. Relativitätstheorie 00. Bobrsche Sätze. Wasserstoffatom Register

5 Seite 139 141 142 143 . . 144 148 149 161

Bemerkung. Den Bezeichnungen liegen, soweit möglich, die Angaben des Deutschen Normenausschusses zugrunde (Din 1304).

Literatur. Dem Charakter einer „ F o r m e l s a m m l u n g " entsprechend, gibt der vorliegende Band der Sammlung Göschen nur fertige Resultate ohne Ableitungen. Ableitungen findet der Leser in der ausgedehnten physikalischen Literatur, aus der einige wenige Werke namentlich genannt seien: H a h n , Lehrbuch der Physik. Braunschweig, Westerman. Po k e - B a v i n k , Lehrbuch der Physik. Braunschweig, Vieweg n. Sohn. R o s e n b e r g - H a u s c h u l z - I p p i s c h , Grundriß der Physik I und II. Berlin u. Leipzig, Freytag. Grimsehl, Lehrbuch der Physik. Leipzig, Teubner. L e c h e r , Lehrbuch der Physik. Leipzig, Berlin, Teubner. Mie, Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus. Stuttgart, Enke. Riecke-Lecher, Lehrbuch der Physik. Berlin, Walter de Gruyter & Co. S c h a e f e r , Einführung in die theoretische Physik. Berlin, Walter de Gruyter & Co. S c h a e f e r - B e r g m a n n , Ötundaufgaben des physikalischen Praktikums. Leipzig, Teubner. P o h l , Einführung in die Mechanik, Akustik u. Wärmelehre. Berlin, Springer. Pohl, Einführung in die Elektrizitätslehre. Berlin, Springer. P o h l , Einführung in die Optik. Berlin, Springer. S o m m e r f e l d , Mechanik. Leipzig, Akadem. Verlagsgesellschaft. W e s t p h a l , Lehrbuch der Physik. Berlin, Springer. In diesen Werken finden sich z. T. auch Übungsbeispiele, eine größere Zahl von Beispielen finden sich u. a. in Mahler, Physikalische Aufgabensammlung. Sammlung Göschen Bd. 243. Bohn und Matth£, Sammlung physikalischer Aufgaben. Leipzig, Quelle & Meyer. G o t t s b a c h e r , Physikalische Aufgabensammlung. Leipzig u. Wien, Deuticke.

I. Kapitel.

Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper.

1. Metrisches Maßsystem, a) Ausgangspunkt für das metrische Maßsystem ist das Meter, ursprünglich festgesetzt l m = raoöö=10"7Erdquadranten' dargestellt durch den geradlinigen gegenseitigen Abstand zweier Strichmarken auf einem Platinstab bei 0°C. Später ergab sich mit wachsender Genauigkeit der Messungen, daß 1 m = 0,999914 • IQ" 7 Erdquadranten, doch bestellt keine Veranlassung, deshalb das Grundmaß zu ändern, weil für die praktischen Anwendungen diese Abweichungen meist keine Bedeutung haben, für die Wissenschaft es viel mehr auf die Unveränderlichkeit des einmal angenommenen Grundmaßes ankommt. Außerdem 1 m = 1553164,13 Wellenlängen der roten Kadmiumlinie. Abgeleitete Längenmaße: mm, cm, dm, m, Dekameter, Hektometer, km; je 10 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden Maßes. Außerdem 1 ^ = 1 Mikron = 1/1000 mm = 10~ 4 cm 1 mfj, = 1 Millimikron = 1 / 1 0 0 0 0 0 0 mm = 10~ 7 cm 1 A. E. = 1 Angströmeinheit = 1/10 m/j, = 10 —8 cm (Lichtwellen) 1 XE. = 1 X-Einheit = 1 0 ~ u cm (Röntgenwellen) 1 Lichtjahr = 365 • 24 • 60 • 60 • 300000 km ~ 9 5.10 1 2 km. 1 parsek ist die Entfernung, von der aus gesehen der Halbmesser der Erdbahn um die Sonne unter einem Winkel von 1" erscheint, entsprechend 3,0666 • 101S km = 3,26 Lichtjahre, b) Flächenmessung. Maßeinheit 1 m a (1 cm2) d. i. ein Quadrat von 1 m (1 cm) Seitenkante.

8

Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper.

Abgeleitete Flächenmaße: mm 2 , cm2, dm 2 , m 2 , a, ha, km 2 ; je 100 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden Maßes. c) Raummessung. Maßeinheit 1 dm 3 (1 cm3), d. i. ein Würfel von 1 dm (1 cm) Seitenkante. Abgeleitete Maße: mm 3 , cm3, dm 3 , km 3 ; je 1000 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden. Außerdem 1 1 = 1 clm3 = 1000 cm 3 = 1 / 1 0 0 hl. Genau: 11 (Rauminhalt von 1 kg luftfreien Wassers größter Dichte bei 1 Atm. Druck) gleich 1,000028 dm 3 , entsprechend der maximalen Dichte des Wassers bei 4° C und 760 Torr q = 0,999972 ± 0,000002 g/cm 3 . d) Gewichtsmessung. Maßeinheit 1 kp (1 p ), d. i. das Gewicht von 1 dm 3 (1 cm 3 ) Wasser bei 4° C. Abgeleitet mp , p , kp , t*; Übergangszahl 1000 wie bei c, vgl. Nr. 7f bis 7 h. 2. Die gleichförmige, geradlinige Bewegung. Eine gleichförmige Bewegung ist eine Bewegung, bei der in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. Geschwindigkeit ist der in 1 sek zurückgelegte Weg. Bedeuten v die Maßzahl der Geschwindigkeit, t die der Zeit und s die des zurückgelegten Weges, so ist s = vt. In vielen Fällen ist es zweckmäßig, den Weg durch den Inhalt eines Rechteckes zu versinnlichen, dessen Grundlinie und Höhe durch die Maßzahlen der Zeit bzw. der Geschwindigkeit gegeben sind. Die mittlere Geschwindigkeit v0 aus mehreren (n) Geschwindigkeiten vv v2, v3 • • • v„ ist das arithmetische Mittel derselben: v, + V2 + w, H + vn

%'

.

n 3. Das Parallelogramm der Bewegungen. Wird ein Körper gezwungen, gleichzeitig mehrere Bewegungen auszuführen, so ist das Endergebnis dasselbe, wie wenn er die Bewegungen nacheinander während derselben Zeit ausführen würde.

Das Parallelogramm der Bewegungen.

9

Wird also ein materieller Punkt A (Fig. 1) zu zwei Bewegungen angeregt, die einen Winkel« miteinander bilden, so gelangt er in die vierte Ecke D desjenigen Parallelogramms, das man aus den beiden Einzelwegen Sj und s 2 und dem von diesen eingeschlossenen Winkel b = roß. Ist T die Umlaufszeit und N die Umlaufszahl des Massenpunkts, so ist 1 n = co = 2 tz/T — 2nn v = 27c r : T = 2,7t rn b — 4:7t2 r : T2 = Anbn2. Ist m die Masse des Punktes, so ist die Radialkraft P = mv2: r = mrw2 = 4jr2wr : T2 = 4n2mrn2. Soll der Punkt der Erdanziehung entzogen werden, so muß sein P = G, also b=v2/R = g, worin R der Halbmesser der Erdkugel und G das Gewicht des Massenpunktes. 11. Die harmonische Bewegung. Bewegt sich ein Punkt auf einer Kreisbahn mit gleichförmiger Geschwindigkeit v0, so führt seine Projektion auf einen Durchmesser eine schwingende Bewegung aus, die h a r m o n i s c h e Bewegung heißt. In Fig. 7 sei A der sich bewegende Punkt. 0 der MittelV punkt des Kreises vom Halbmesser r, femer CB J _ AU und derjenige Durch- 1 0 J * messer, auf welchen der Punkt A projiziert wird, E der Ort des Punktes A, an welchen er nach der Drehung um Fjg ? den e) Gleichmäßig temperierte Stimmung, bei welcher die Oktaven rein und alle Intervalle gleich sind. Nennen wir eines der Intervalle x, so ist x12 = 2- 3 = j/2 = 1.05946. Schwingungszahlen der gleichschwebenden Temperatur: c =f g = 1,498 f eis = 1,059 f gis = 1,587 f d = 1,122 f a ==1,682 f d i s = 1,189 f ais = b = 1,782 f e =1,260/ h =1.888 f f =1,335/' c = 2 n. fis = 1,414 f f) Für das eingestrichene a, ä, den Kammerton, ist f = 440, also hat bei „reiner Stimmung" das zugehörige c die Schwingungszahl 264, bei „gleichmäßig temperierter Stimmung" 261,6 Hertz. g) Reihe der harmonischen Obertöne: = c: c: g: c: e . 45. Tonquellen,

a) Querschtoingungen von Saiten.

Be-

Tonquellen.

73

zeichnen wir mit l die Länge einer Saite, mit F ihren Querschnitt, mit q die Dichte, mit P die sie spannende Kraft, mit g die Beschleunigung der Erdschwere und mit f die Schwingungszahl des erzeugten Tones, so ist

f

21

|iF-e'

worin die Längen in Zentimetern und die Gewichte in pond auszudrücken sind. Dieses Gesetz gilt nur für durchaus homogene Saiten, nicht aber für Darmsaiten, die mit Metalldrähten übersponnen sind. Eine solche Behandlungsweise vermindert die Zahl der Schwingungen wesentlich. b) Längsschmngungen von Luftsäulen {Pfeifen). Der tiefste Ton, den eine Pfeife gibt, ist ihr Grundton (Fig. 24). Bedeutet l die Länge der Pfeife und X die Wellenlänge des Grundtones, so ist für die offene l = 1/2 X, \mdedtf F1 gedeckte 1 = 1/4 X. «- 24Die Verteilung von Druck und Dichte in der Pfeife, ebenso die der Geschwindigkeit und des Ausschlags ist sinusförmig, dabei sind die Knoten der Druck- und Geschwindigkeitsverteilung gegeneinander um eine Viertelwellenlänge in der Kohrlängsrichtung verschoben. Durch die Koppelung von Anblasevorrichtung und Pfeifenrohr kommen vielgestaltige Abweichungen von den angeführten Grundschwingungen zustande. Durch stärkeres Anblasen erhält man die Obertöne. Die offene Pfeife kann 1 , 2 , 3 , . . . n halbe Wellenlängen enthalten, die gedeckte hingegen 1, 3, 5 , . . . (2 n — 1) viertel Wellenlängen; also ist die Wellenlänge X des Tones einer Pfeife von der Länge l, wenn sie

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Wellenlehre und Akustik. 2 2 offen ist: k = — l, - l ,

2 2 j h . - . - l ,

gedeckt ist: ?. = ~ l , ± Z ,

-

Bezeichnen wir mit v die Geschwindigkeit des Schalles, mit f die Schwingungszahl eines Tones, so kann f folgende Werte haben bei der « tm -t t offenen Pfeife:

v

2v

--,

_ _ Tvf t V gedeckten Pfeife: f = — , - - ,

Sv

-

5t)

n v

,... -

,

(2w— l)v

;

es gibt sonach die offene Pfeife die ganze harmonische Tonreihe, die gedeckte nur die ungeraden Obertöne. Die Wellenlängen der Töne gleicher Schwingungszahl in Gasen verhalten sich umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus den Molekulargewichten der Gase. c) Schivingungen von Stäben. Dieselben Formeln wie bei Luftsäulen gelten auch für Stäbe, die in der Mitte festgeklemmt und in Längsschwingungen versetzt bzw. die an einem Ende festgeklemmt und in Querschwingungen versetzt werden. 46. Ausbreitung des Schalles. Schallgeschwindigkeit, a) Die Stärke des Schalles in einem gewissen Punkt des Raumes ist dem Quadrat der Entfernung vom Erregungsmitteipunkt umgekehrt proportional. Gehen die Schallwellen von einem Mittel in ein anderes über, so erfahren sie eine teilweise Reflexion; treffen sie aber auf ein starres Hindernis, so werden sie fast vollständig zurückgeworfen. Die Senkrechte im Treffpunkt auf der Grenzfläche der beiden Medien heißt Einfallslot, der Winkel des einfallenden Schallstrahles mit dem Einfallslot Einfallswinkel und der Winkel zwischen Einfallslot und dem zurückgeworfenen Strahl Reflexionswinkel. Reflexionsgesetz: Das Einfallslot, der einfallende und aus-

Ausbreitung des Schalles. Schallgeschwindigkeit.

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fallende Strahl liegen in einer Ebene; der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel. b) Bedeutet p den Druck, q die Dichte des Gases, k das Verhältnis cp:c0 (Nr. 39g), so ist die Schallgeschwindigkeit

Geschwindigkeit des Schalls in Luft von der Temperatur t° v = 331 ]/1 + 0,004 im/sek. Geschwindigkeit des Schalls in festen und flüssigen Körpern V = 1 / — cm/sek, V Q wobei E den Elastizitätsmodul in dvn/cm2 und q die Dichte in g/cm3 bedeuten. Sind die Benennungen von E kp /mm2 und von 5p /cm3, so ist v = 100Y E/sm/sek. c) Methode der Kundischen Staubfiguren. Ein Stab wird in der Mitte festgeklemmt und in Längsschwingungen versetzt. Ist die Schwingungszahl der Luftsäule, die in dem Glasrohr mit dem Korkpulver eingeschlossen ist, dieselbe wie die des Stabes, so ist v:v1=l:l1, wobei v die Schallgeschwindigkeit in dem Material des Stabs, v1 die Schallgeschwindigkeit in Luft, l die Länge des Stabs, ij den Abstand zweier unmittelbar benachbarter Knotenpunkte des Pulvers bedeuten. Füllt man in das Glasrohr ein Gas, in dem die Knotenpunkte sich in den Abständen l2 ausbilden. so ist die Schallgeschwindigkeit v2 in diesem Gas gegeben durch v2: vi=l2:l1. VII. Kapitel. Geometrische Optik. 47. Reflexion des Lichtes an ebenen Flächen. Treffen Lichtstrahlen auf die glatte Grenzfläche zweier Medien, so

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Geometrische Optik.

findet in der Kegel eine Teilung des Lichtes statt, indem ein Teil zurückgeworfen, ein anderer gebrochen oder auch absorbiert wird. Eine Fläche, welche das Licht regelmäßig reflektiert, heißt Spiegel. Um den Gesetzen der regulären Zurückwerfung des Lichtes einen kurzen Ausdruck verleihen zu können, erklären wir: Unter dem E i n f a l l s l o t versteht man die im Treffpunkt des Lichtstrahles mit der Grenzfläche auf dieser errichtete Senkrechte, unter Einfallswinkel bzw. Ausfallswinkel den vom Einfallslot einerseits und dem einfallenden bzw. ausfallenden Strahle andererseits gebildeten Winkel. Die Richtung des reflektierten Strahles wird alsdann durch folgende zwei Beziehungen festgelegt: a) Der Einfallswinkel ist gleich dem Ausfallswinkel. b) Das Einfallslot, der einfallende und der ausfallende Strahl liegen in einer Ebene. Hieraus folgt noch: Wird bei unveränderlicher Richtung des einfallenden Strahles die Spiegelfläche um den tx gedreht, so erfährt der reflektierte Strahl in demselben Sinn eine Drehung um den 2a. Ebenso bewirkt bei festgehaltenem Gegenstand eine Verschiebung des Spiegels senkrecht zu seiner Ebene um a cm eine Verschiebung des Bildes um 2a cm. Das Bild befindet sich ebensoweit hinter dem Spiegel als der Gegenstand davor. Die Verbindungslinie Gegenstand—Bild steht auf der Spiegelebene senkrecht. Gegenstand und Bild sind demnach in bezug auf die Spiegelebene symmetrisch, und die von einem Planspiegel erzeugten Bilder sind außerhalb des Auges nicht vorhanden, sie sind scheinbar, subjektiv. Winkelspiegel. Stellt man zwei Planspiegel unter einem Winkel zusammen, so entstehen von einem zwischen ihnen liegenden Lichtpunkte mehrere Bilder, die im Kreise um die gemeinsame Kante der Spiegel angeordnet sind und deren Zahl von der Größe des Neigungswinkels abhängt. Ist näm-

Kugel- oder sphärische Spiegel.

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lieh dieser Winkel in 360° n mal enthalten, so beträgt die Zahl der Bilder (n — 1). Der Spiegelsextant. In der Fig. 25 bedeuten Sl den festen, S den beweglichen Spiegel und BEA —

12

B:G = b:g, wobei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite, / die Brennweite, r den Krümmungshalbmesser, B die Bildgröße, G die Gegenstandsgröße bedeuten. Ferner ist

Geometrische Optik.

78

xy =

f ,

wenn x bzw. y die Gegenstandsweite bzw. Bildweite gemessen vom Brennpunkt aus ist. c) H o h l s p i e g e l geben w i r k l i c h e oder s c h e i n b a r e B i l d e r , je n a c h d e m der G e g e n s t a n d a u ß e r h a l b oder i n n e r h a l b der B r e n n w e i t e l i e g t , die dem h a l b e n K r ü m m u n g s h a l b m e s s e r g l e i c h k o m m t . Die w i r k l i c h e n B i l d e r sind s t e t s u m g e k e h r t , u n d zwar v e r g r ö ß e r t , v e r k l e i n e r t oder gleich groß, je n a c h dem der G e g e n s t a n d i n n e r h a l b , a u ß e r h a l b oder in der d o p p e l t e n B r e n n w e i t e liegt. Die s c h e i n b a r e n Bilder sind s t e t s a u f r e c h t und v e r g r ö ß e r t (vgl. folgende Tabelle). Gegenstandsweite

VA •J28

oo

V VA f f

wirklich, umgekehrt

kleiner

2/

wirklich, umgekehrt

gleich groß

> 2 f < oo

wirklich, umgekehrt

größer

—

—