Operations Research: Einige ausgewählte Gebiete der linearen und nichtlinearen Optimierung [4., wesentlich erw. Aufl.] 9783486850581, 9783486590340

Citation preview

Managementwissen fur Studium und Praxis Herausgegeben von Professor Dr. Dietmar Dom und Professor Dr. Rainer Fischbach Lieferbare Titel: Anderegg, Grundzuge deY Geldtheorie und Geldpolitik

Arrenberg· Kiy· Knobloch· Lange, VOTKUTS in Mathematik, l Auflage Barth· Barth, Controlling, 2. Auflage Behrens· Kirspe4 Grundlagen der VoTkswirtschaftslehTe, l Auflage

Behrens· Hilligweg· Kirspe/, Obungsbuch mT VoTkswirtschaftslehTe Behrens, Makrookonomie - Wirtschaftspolitik, 2. Auflage Bontmp, VoTkswiTtschaftslehTe, 2. Auflage Bontmp, Lohn und Gewinn, 2. Auflage Bontmp· Pulte, Handbuch Ausbildung Bradtke, Mathematische GrundlagenfuT Okonomen, 2. Auflage

Bradtke, Obungen und K1ausuTen in Mathematik fuT Okonomen Bradtke, Statistische Grundlagen fuT Okonomen, 2. Auflage

Bradtke, Grundlagenim OpeTations ReseaTch fuT Okonomen Busse, Bebiebliche Finanzwirtschaft, s.Aufiage Camphausen, 5trategisches Management, 2. Auflage Dinauer, Grundzuge des FinanzdienstleishmgsmaTkts, 2. Auflage Dom . Fischroch, VoTkswirtschaftslehTe II, 4. Auflage Dorsch, AbenteueY Wirtschaft ·75 Fallshtdien mit Losungen Drees-Behrens· Kirspel·Schmidt· Schwanke, Aufgaben und Falle mT Finanzmathematik, Investition und Finanzierung, 2. Auflage Drees-Behrens· Schmidt, Aufgaben und Falle mT Kostemechnung, 2. Auflage FisdJbach· Wollenberg, VolkswiTtschaftslehTe 1, lJAuflage Gotze· Deutschmann· Link, Statistik Gohout, OpeTations ReseaTch, 4. Auflage Haas, Kosten, Investition, Finanzierung - Planung und Kontrolle, J Auflage Haas, Access und Excelim Bebieb Haas, Excel im Bebieb,Gesamtplan Hans, Grundlagen deY Kostemechnung Heine· Herr, VoTkswiTtschaftslehTe, J Auflage

Hoppen, Vertriebsmanagement Koch, MaTktfOTschung, 5. Auflage Koch, Bebiebswirtschaftliches Kosten-und Leishtngsmntrollingin KTankenhaus und PFlege, 2. Auflage Laser, Basiswissen VoTkswirtschaftslehTe Martens, Statistische Datenanalyse mit SPSS fuT Windows, 2. Auflage Mensch, Finanz-Controlling.2.Aufiage Peto, Grundlagen deY MakroOkonomik, lJAufiage Piontek, Controlling, J Auflage Piontek, Beschaffungsmntrolling, J Aufl. Plumer, Logistik und Produktion Posluschny, Controlling fuT das HandweTk Posluschny, Kostemechnung fuT die Gastronomie, 2. Auflage Rall, Planung,StatistikundEntscheidungBebiebswirtschaftliche Insbumente fuT die KommunalveTwalhtng Rothlauf,Total Quality Management in Theone und Praxis, 2. Auflage Rudolph, Tounsmus-BebiebswiTtschaftslehTe, 2. Auflage RUth, Kostemechnung, Band I, 2. Auflage Scham rocher· Kiefer, Kundenmfriedenheit, JAufiage Schuster, Kommunale Kosten- und LeishtngsTechnung, 2. Auflage Schuster, Doppelte Buchfuhrung fuT Stadte, KTeise und Gemeinden, 2.Auflage Specht· Schweer· Ceyp, MaTkt-undeTgebnisonentieTte Untemehmensfuhrung,6.Aufiage Stahl, IntemationaleT Einsatzvon Fuhrungshaften Stender-Mon hem ius, MaTketing - Grundlagen mit Fallshtdien Stibbe, Kostenmanagement, J Auflage StnJ.nz· Dorsch, Management StnJ.nz· Dorsch, Intemationale MaTkte Weeber, Intemationale WiTtschaft Wilde, Plan- und Prozesskostemechnung Wilhelm, ProzessOTganisati on, 2. Auflage Womer, Handels- und SteueTbilanz nach neuem Recht, 8. Auflage Zwerenz, Statistik, JAuflage Zwerenz, StatistikveYstehenmit Excel- Buch mit Excel-Downloads, 2. Auflage

Operations Research Einige ausgewahlte Gebiete derlinearen und nichtlinearen Optimierung

von

Prof Dr. Dr. Wolfgang Gohout

4., wesentlich erweiterte Auflage

Olden bourg Verlag Munchen

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet tiber abrufbar.

1. Nachdruck: 2013 © 2009 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer StraBe 145, D-81671 MUnchen Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschlieBlich alIer AbbildlUlgen ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwerhmg auBerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne ZustirnrnlUlg des Verlages lUlzlIlassig lUld strafbar. Das gilt insbesondere fur VervielfaJtigungen, Ubersetzungen, MikroverfilmlUlgen lUld die Einspeichenmg und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, [email protected] Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, MUnchen Gedruckt auf saure- lUld chlorfreiem Papier Gesarntherstellung: Books on Demand GmbH, Norderstedt

ISBN 978-3-486-59034-0

Vorwort Der Einsatz von Operations Research ist in Unternehmens- und Verwaltungsbereichen weit verbreitet. Obwohl die Wissenschaft des Operations Research im Vergleich zu anderen Wissenschaftsgebieten recht jung ist - man datiert sie auf die Mitte cler Vierziger Jahre des 20. Jahrhunderts - , gibt es doch eine Fulle von Literatur und auch von Lehrbuchern dazu; darunter gibt es zweifellos auch sehr viele gute. Dennoch habe ich mich entschlossen, clem Angebot ein eigenes Btichlein hinzuzufiigen. Es ist zum einen in inhaltlicher und didaktischer Hinsicht exakt auf meine Vorlesung Opemtions Research 1 am Hochschulbereich Technik der FH Pforzheim abgeslimml und soll damit angehende Maschinenbau-, Elektrotechnik- und Wirtschaftsingenieure ansprechen. Es solI andererseits aber auch aIle Interessenten und Autodidakten des Operations Research ansprechen, wobei hinzugerugt werden muE, daB hier nur die Lineare Optimierung und ihre Anwendungen thematisiert werden. Die zu Beginn jedes Kapitels formulierten Lernziele sollten nach der Lekture des jeweiligen Kapitels yom Leser uberpruft werden. Auf den Anspruch der Allgemeingiiltigkeit der Darstellung sowie auf Beweise und Herleitungen wurde weitgehend verzichtet, urn den Leser mittels Beispielen maglichst schnell zum Kern der Sache und zur Anwendbarkeit der Verfahren zu bringen. Nach zwei Kapiteln mit einfUhrendem Charakter beschlieBen Ubungsaufgaben die Kapitel. Ihre Lasungen sind am Ende des Buches zusammengefaBt. Ihr Vorhandensein sollte den Leser nicht dazu verleiten, sie zu frtih zu studieren. Nur die intensive Auseinandersetzung mit einem Problem gewahrleistet das nachhaltige Verstandnis desselben und seiner Lasung. Das Kapitel uber Postoptimale Rechnungen hat eher vertiefenden Charakter und kann optional iibersprungen werden. Fur die kritische Durchsicht und fUr konstruktive Vorschlage danke ich meiner Fachkollegin, Frau Dr. Dorothea Reimer von der Justus-Liebig-Universitat in CieBen. Q) (Verbleibende Fehler gehen nun natiirlich auf ihr Konlo . Aber SpaB beiseite: Fur Fehlerhinweise oder Verbesserungsvorschlage habe ich gerne ein offenes Ohr und eine empfangsbereiteMailbox(gohout©fh-pforzheim.de). Ich wunsche allen Lesern bei der Lektiire viel Erfolg und wenig SpaB.

wenn maglich -

ein

Wolfgang Cohout

VI

Vorwori

Vorwort zur zweiten Auflage Eine einfiihrende Vorlesung in das Operations Research wird stets die lineare Optimierung behandeln. Fur eine weiterfiihrende Veranstaltung hat man aus einer Ftille von Themen die Qual der Wahl. Ich habe mich entschlossen, die verwandten Themen der Netzwerkanalyse und der Netzplantechnik sowie das Cebiet der Lagerhaltungsmodelle in diese zweite Auflage aufzunehmen. Die Analyse und optimale Cestaltung von Netzwerken dient neben dem Zweck der eigentlichen Aufgabenstellungen auch der Einfiihrung in die Funktionsweise dieses graphentheoretischen Planungswerkzeugs, das ja auch die Crundlage der Netzplantechnik darstellt. Die Netzplantechnik ist zentraler Bestandteil des Projektmanagements. Ihre Bedeutung in der Praxis ist daher entsprechend clem Trend zu projektorientiertem Management gestiegen und nimmt kontinuierlich zu. Ein "Evergreen" ist das Thema Lagerhaltung, deren Methoden und Modelle in den moderner klingenden Bereich der Logistik gehOren. Wie bereits in cler ersten Auftage wird auch weiterhin cler Wert auf die Anwendung und schnelle Anwendbarkeit gelegt. Beispiele und Ubungsaufgaben mit Losungen untersttitzen dieses ZieL Neben der Umstellung auf die neue Rechtschreibung habe ich noch einige Fehler korrigiert. Fur die entsprechnden Hinweise danke ich den aufmerksamen Leserinnen und Lesern. Ich bin auch weiterhin dankbar fur solche Hinweis8. Meine email-Adresse hat sich geringfiigig geandert: Wolfgang. Gohout©fh-pf orzheim. de Wolfgang Cohout

Vorwort zur vierten Auflage Nachdem die dritte Auflage gegeniiber der zweiten Auflage inhaltlich nicht veriindert worden war) habe ich cler vierten Auftage ein weiteres Kapitel zur nichtlinearen Optimierung hinzugefiigt. Einerseits ist dieses Thema fur viele praktische Probleme au:Berst relevant. Andererseits gibt es ganze Bucher zu diesem Thema. Hier soll nun der Versuch unternommen werden, fur die haufig auftretenden Falle der konvexen Optimierung und der quadratischen Optimierung die wichtigsten Ergebnisse und einige Losungsverfahren darzustellen. Dabei spielen vor allem die so genannten restringierten Modelle eine gro:Be Rolle. Sie finden eine prominente Anwendung in der Portfolio-Optimierung nach dem Nobelpreistrager Harry M. Markowitz, mit der wir uns schlieBlich als umfangreiches Anwendungsbeispiel befassen. Meine Kollegin Katja Specht hat dieses Kapitel sorgfiiltig gelesen, wofiir ich ihr herzlich danken mochte. N eben dieser Erweiterung sind noch einige Fehler korrigiert worden. Fur die Hinweise mochte ich mich wieder bei den Leserinnen und Lesern herzlich bedanken. Wolfgang Cohout

Inhaltsverzeichnis

1 Einordnung und Entwicklung des Operations Research

2

3

4

1

1.1

Begriff und Zielsetzung

1

1.2

Geschichtlicher Abriss

2

1.3

Charakteristika des OR .

3

Grundmodell der linearen Optimierung

7

2.1

Zielsetzung cler linearen Optimierung

7

2.2

Schreibweisen des Grundmodells .

8

2.3

Erweiterungen des Grundmodells

9

2.4

Anwendungsgebiete .

11

Graphische Lasung eines LP-Problems

13

3.1

Graphische Reprasentation .

13

3.2

Semigraphische Lasung

17

3.3

Weitere Beispiele

20

3.4

Ubungsaufgaben

27

Simplex-Algorithmus

31

4.1

Simplex-Begriff

31

4.2

Tableau-Form .

33

4.3

Simplex-Iteration

35

4.4

Weitere Beispiele

41

4.5

Ubungsaufgaben

45

VIII

Inhaltsverzeichnis

5 Sonderfalle des Simplex-Algorithmus

47

5.1

Duale Entartung

48

5.2

Primale Entartung erster Art

49

5.3

Primale Entartung zweiter Art.

50

5.4

Unzulassige Ausgangs16sung

51

5.5

Restriktionsgleichungen .

53

5.6

Freie Strukturvariable

54

5.7

Lineare Gleichungssysteme als Spezialfall

55

5.8

Greatest-Change-Version

57

5.9

Die Phasen des Simplex-Algorithmus

58

5.10 Ubungsaufgaben 6 Dualitat

60 63

6.1

Das Wesen der Dualitiit

63

6.2

Beziehungen zwischen Primal- und Dualproblem .

64

6.3

Dualitiit am Beispiel konkurrierender Wirtschaftssubjekte .

68

6.4

Ubungsaufgaben

71

7 Postoptimale Rechnungen

75

8

7.1

Graphische Sensitivitiitsanalyse

75

7.2

Algebraische Sensitivitiitsanalyse

80

7.3

Parametrische Planungsrechnung

89

7.4

Ubungsaufgaben

95

Transportprobleme

97

8.1

Beschreibung des Transportproblems

97

8.2

Suchphase

103

8.3

Optimierungsphase

114

8.4

Ubungsaufgaben

122

Inhaltsverzeichnis

9

Zuordnungsprobleme

IX

125

9.1

Beschreibung des Zuordnungsproblems

· 125

9.2

Kostenmatrixreduktion und Ausgangszuordnung .

· 126

9.3

Optimierungsphase

· 127

9.4

Ubungsaufgaben

· 130

10 Netzwerke

133

10.1 Minimaler aufgespannter Baum

· 134

10.2 Kiirzeste Route

· 135

10.3 Maximaler Durchsatz

· 140

10.4 Ubungsaufgaben

· 145

11 Netzplantechnik

147

11.1 Ziele und Werkzeuge der Netzplantechnik .

· 147

11.2 Zeitplanung

· 154

11.3 Finanzplanung

· 163

11.4 Kapazitatsplanung

· 166

11.5 Critical Path Method.

· 171

11.6 Program Evaluation and Review Technique.

· 179

11.7 Ubungsaufgaben

· 184

12 Lagerhaltung

189

12.1 Einfiihrung in die Lagerhaltung

· 189

12.2 Statische deterministische Lagerhaltung .

· 193

12.2.1 Das Grundmodell

· 193

12.2.2 Fehlmengen und Nachlieferung .

· 196

12.2.3 Stetiger Zugang

· 199

12.2.4 Mengenrabatte

· 200

12.2.5 Restriktionen

· 201

12.3 Dynamische deterministische Lagerhaltung

· 205

12.4 Statische stochastische Lagerhaltung

· 209

12.4.1 Ein-Perioden-Modell .

· 209

12.4.2 Mehr-Perioden-Modelle

· 213

x

Inhaltsverzeichnis

12.5 Dynamische stochastische Lagerhaltung .

· 218

12.6 Ubungsaufgaben

· 223

13 Nichtlineare Optimierung

227

13.1 Konvexe Optimierung

· 229

13.1.1 Grundlagen

· 229

13.1.2 Das konvexe Optimierungsproblem

· 234

13.1.3 Konvexe differenzierbare Funktionen

· 236

13.1.4 Kuhn-Thcker-Bedingungen fUr konvexe Probleme

. 237

13.1.5 Methode der Schnittebenen

. 240

13.1.6 Simplex-Verfahren von NeIder/Mead

. 250

13.1.7 Verfahren der Straffunktionen

. 257

13.2 Quadratische Optimierung

. 259

13.2.1 Das quadratische Optimierungsproblem .

. 259

13.2.2 Kuhn-Thcker-Bedingungen fUr quadratische Probleme

. 260

13.2.3 Wolfe-Algorithmus

. 262

13.3 Portfolio-Optimierung

. 265

13.3.1 Finanzwirtschaftliche Grundlagen

. 265

13.3.2 Markowitz-Modell

. 267

13.3.3 GMV-Modell

. 270

13.3.4 Tobin-Modell

. 271

13.3.5 Sharpe-Modell

. 272

13.4 Ubungsaufgaben 14 Losungen der Ubungsaufgaben

. 275 277

Literaturverzeichnis

333

Stichwortverzeichnis

337

Kapitel 1 Einordnung und Entwicklung des Operations Research Lernziele • Was bedeulel OR? • Welche allernaliven Begriffe kennen Sie? • Was kann OR leislen? • Wann und wie enlsland das Gebiel des OR? • Was isl ein Modell? • Was bedeulel modellgebundenes Arbeiten? • Welche Aspekle sind fUr OR charaklerislisch?

1.1

Begriff und Zielsetzung

Den Begriff Operations Research k6nnte man etwa mit Operaiionsforschung ins Deutsche ubersetzen, was auch versucht worden ist. Allerdings hat sich dieser Ubersetzungsversuch in Schrift und Sprache genauso wenig durchsetzen k6nnen wie Unternehmensforschung, Entscheidungsforschung, Systemforschung, Planungsrechnung, Optimalplanung, und andere Begriffe. So soll auch hier weilerhin der allgemein akzeptierte Anglizismus Operations Research beziehungsweise seine Abkiirzung OR

verwendet werden. Die Bedeulung und Zielselzung des Wissenschaftsgebieles OR wird in ersler Naherung bereils aus den vielfiilligen Uberselzungsversuchen deullich. Es gehl urn die Analyse belrieblicher und wirlschaftlicher Prozesse und urn die Anwendung malhemalischer Melhoden zur Enlscheidungsvorbereilung. MaBgeblich isl hierbei die genaue Kenntnis des Entscheidungsproblems mit den realisierbaren Entscheidungsalternativen, ihren Auswirkungen oder Ergebnissen, den in der Wirtschaftspraxis

2

1 Einordnung und Eniwicklung des Operations Research

stets vorhandenen Restriktionen und den Zielen, die verfolgt werden sollen. Die Genauigkeii cler Kenntnis kann sich dabei auch in einer Wahrscheinlichkeiisverieilung der Ergebnisse manifeslieren, weshalb fur das Verslandnis einiger Melhoden des OR Kennlisse der Wahrscheinlichkeilsrechnung erforderlich sind. Man sprichl dann von Risikosiiuaiionen. Die hier vorgestellten Methoden cler linearen Optimierung werden weitgehend ohne Wahrscheinlichkeitsrechnung auskommen. Bei diesen so genannten Entscheidungen unier Sicherheii geht man davon aus, class die Auswirkungen jeder Enlscheidung auf jedes Zielkrilerium delerminierl sind, also keinen zufalligen Schwankungen unterliegen.

1.2

Geschichtlicher Abriss

Die hislorische Enlwicklung des OR soll hier nur ganz grob skizzierl werden. Allzu viel gibt es dazu allerdings auch nicht zu sagen, da dieser Wissenschaftsbereich noch rechl jung isl. Der Ursprung des OR wird im Allgemeinen auf das Ende des Zweilen Wellkrieges dalierl. Bereils wahrend dieses Wellkrieges haben vor allem die Briten und die Amerikaner in interdisziplinaren Teams mit Mathematikern, Physikern, Ingenieuren und Wissenschaftlern aus verwandten Bereichen mathematische Methoden entwickelt, urn beispielsweise die Zusammensetzung von Geleitzugen oder von Bombergeschwadern zu optimieren. Andere militarische Anwendungsgebiete belrafen die Oplimierung des Radareinsalzes, der Fliegerabwehr und der U-BoolBekampfung. Der Namensbestandteil "Operations" oder "Operational" geht auf diese militar-strategischen "Operationen" zuruck. 1 Zwar sind vereinzelte Ansatze, die man zum OR zahlen konnte, schon alter? dennoch wird die Geburtsstunde des Wissenschaftsbereiches OR so spat datiert, da mit dem Bekanntwerden der geheimen Verfahren nach Kriegsende eine gezielle Forschung und Publikalion eingeselzl hal. Die in Kriegszeiten mit OR befassten Wissenschaftler wollten nun ihre Kenntnisse theoretisch starker fundieren, an den Hochschulen fur ihre Verbreitung sorgen und selbsl in der wirlschafllichen Praxis einbringen. Das zeilgleiche Aufkommen der Computer und der Elektronischen Datenverarbeitung waren dabei einerseits sehr hilfreich und erfuhren andererseils selbsl einen Aufschwung durch den verslarklen Einsalz der recheninlensiven Melhoden des OR. Als auBeres Zeichen fur die Geburl des OR lieB dann auch die Grtindung nalionaler und inlernalionaler Gesellschaften nichl lange auf sich warlen. 1m Jahr 1952 wurde als erste nationale Vereinigung die Operations Research Society of America (ORSA) gegrtindel. Es folglen 1954 in England die Operational Research Society (ORS), 1956 in Wesldeulschland der Arbeitskreis Operations Research (AKOR) und 1959 die International Federation of Operational Research Societies (IFORS) als ersle Dachgesellschaft. Weilere nalionale und inlernalionale Gesellschaften folglen. In Ivgl. Phillips, Ravindran, Solberg (1987) oder Trefethen (1954) 2Unter den Protagonisten finden sich berUhmte Naruen wie Turgot, v. Thfulen, Cournot, Gossen, Walras, Pareto, Frisch und Taylor; vgL z.E. Zimmermann (1999) und die dort angegebene Literatur.

1.3 Chamkteristika des OR

3

Westdeutschland bekam der AKOR im Jahr 1961 Konkurrenz durch die Deutsche Gesellschajt fur Unternehmensforschung (DGU), die jedoch 1971 mit dem AKOR zur Deutschen Gesellschajt fur Opemtions Research (DGOR) verschmolz. Seit 1998 firmiert diese Vereinigung unter clem Namen Gesellschajt fur Operations Research (GOR). Als Forum ver6ffentlichter Forschung geben wissenschaftliche Gesellschaften Zeitschriften heraus, von denen es auch im Bereich des OR eine Vielzahl gibt. Fur den deutschsprachigen Raum seien etwa die Zeiischrijt jUr Operations Research und das OR-Spektrum genannt. Die IFORS gibt die Zeitschrift International Tmnsaciions in Opemtional Research (ITOR) sowie den Abstract-Service International Abstmcis in Opemtions Research (IAOR) heraus, der einen Uberblick tiber aile wissenschaftlichen Aufsatze aus dem Gebiet des OR bietet.

1.3

Charakteristika des OR

Drei Aspekte sind charakteristisch fur das OR, namlich die Quantijizierung eines Problems, das Optimalitiitsstreben und die Modellierung. Die Quantifizierung des Entscheidungsproblems stellt eine notwendige Voraussetzung fur die Anwendung mathematischer Methoden mit dem Ziel der Optimierung dar. Sie auBert sich in cler genauen, zahlenmaBigen Formulierung von Zielsetzung und Problemformulierung. Eine qualitative Formulierung, wie etwa das Ziel einer "guten" Marktpra.senz, gentigt nicht den Ansprtichen des OR. In engem Zusammenhang mit der Quantifizierung steht offenbar das Optimalitatsstreben, das die Exislenz einer Zieljunktion voraussetzt, in cler ein oder auch mehrere Ziele numerisch abgebildet werden. Die Optimierungsvorschrijt kann in einer Maximierung, einer Minimierung oder auch in der moglichst groBen Anniiherung an einen vorgegebenen Sollwert bestehen. Die Maximierung wird typischerweise bei Gewinnen, Umsiiizen, Markianieilen usw. verfolgt, die Minimierung etwa bei Kosien, DurchlauJzeiien, Verschniti und Ahnlichem. Das Anstreben eines Sollwertes spielt beispielsweise bei der Produktion von technischen Normteilen eine groBe Rolle. Das dritte Charakteristikum des OR ist das modellgebundene Arbeiten. Der Begriff des Modells ist sehr oft definiert worden. Sucht man den Kern aller dieser Definitionen, so kann man Folgendes fest halt en: Ein Modell ist eine vereinfachte Abbildung der Realiiiii unier Bewahrung der Siruktur.

Mit Realiiiii ist hierbei eine reale Problemstellung gemeint, wie man sie im Berufsleben - aber auch in der Freizeit - standig antrifft. N atiirlich bekommt man solche Problemstellungen im Allgemeinen nicht auf dem Silbertablett prasentiert. In der wirtschaftlichen Praxis gibl es Berufsbilder (Unternehmensberater, Systemanalytiker), die geradezu auf die Suche nach solchen Problemen gehen. Will man

4

1 Einordnung und Eniwicklung des Operations Research

das reale Problem zum Zwecke der Lasung gedanklich durchdringen, so kommt es auf sehr viele reale Aspekte nicht an. SolI beispielsweise das gewinnmaximale Produkiionsprogramm bestimmt werden - eine im Folgenden noch haufig anzutreffende Zielsetzung - , so kommt es auf die Kosten und Erl6se cler Produkte sowie auf deren Ressourcenverbrauch und vorhandene Kapazitaten an, nicht aber auf Farbe, GroBe oder Seriennummer cler einzelnen Produkte. Auf die Nichtbeachtung dieser realen, aber irrelevanten Aspekte bezieht sich die Forderung der Vereinfachung. Andererseits darf die Vereinfachung offenbar nicht so weit gehen, dass relevante Aspekte etwa Kosten - eliminiert werden. Die Berucksichtigung dieser relevant en Aspekte und deren Beziehungen untereinander ist mit Bewahrung der Sirukiur gemeint. Wenn also eine Mengeneinheit des Produktes A die doppelte Menge eines bestimmten Rohstoffes verbraucht im Vergleich mit einer Mengeneinheit des Produktes B, so muss dies in einem Modell zur Bestimmung des gewinnmaximalen Produktionsprogrammes seinen Niederschlag finden. Eine andere, eher mathematisch orientierte, aber doch ahnliche Definition lautet:

Ein Modell isi eine zweckorieniierie, relaiionseineindeuiige Abbildung der Realiiiii.

Diese Definition betont die Zweck- oder Zielorientierung eines Modells. Die Relationseineindeutigkeit entspricht der Bewahrung der Sirukiur in der ersten Definition. Die Relaiionen oder Beziehungen zwischen den realen Elementen und ihren Gegenstucken im Modell sollen sich demnach entsprechen, sofern sie fur die Zielsetzung relevant sind. Wenn also Produkt A einen hOheren Deckungsbeitrag als Produkt B erzielt, so muss sich dies in der Zielfunktion des Modells in einem numerisch graBeren Deckungsbeitragskoeffizienten widerspiegeln. Auch umgekehrt kann man aus einem graBeren Koeffizienten in der Zielfunktion auf einen hOheren (realen) Deckungsbeitrag schlieBen. Die Relationseineindeutigkeit bezieht sich aber auch in dieser zweiten Definition nur auf relevanie Beziehungen und nicht auf aIle realen Beziehungen, so dass es sich bei einem Modell gemaB dieser zweiten Definition nicht urn einen Isomotphismus im mathematischen Sinne handelt. Ein Isomorphismus wurde nichts vereinfachen und ware als Modell unbrauchbar. Wie kann nun ein Modell zur Lasung eines realen Problems beitragen? Das reale Problem wird durch die Modellbildung in ein formales Problem iiberfiihrt. Dieser erste Schritt ist keineswegs trivial, da er das schon erwahnte Erkennen des realen Problems und seine genaue Analyse erfordert. Die Schwierigkeiten, die Schiller (und Studenten) mit mathematischen Textaufgaben haben, zeigen dies eindrucksvoll. In dem zweiten Schritt wird das formale Problem mit Hilfe formaler Methoden - hier mittels OR-Methoden - gelast. Einem Teil dieser Methoden ist das vorliegende Buch gewidmet. Die gefundene Modelllosung muss schlieBlich noch auf die Realitat ubertragen werden, was dann zur Reallosung oder Enischeidung fuhrt. Die folgende Abbildung macht diesen Prozess deutlich, bei dem es allerdings in der Praxis auch zwischen den einzelnen Schritten noch zu Ruckkopplungen kommen kann.

5

1.3 Chamkteristika des OR I Realitat

(reales Problem)

I

--+

I Modell

(formales Problem)

I

lOR I Reallasung

(Entscheidung)

I

c-

I Modelllasung I

Der Begriff des Modells ist nun aber so weit gefasst, class er sehr verschiedenartige Auspragungen umfasst. Es ist daher sinnvoll - und manchmal natig -, die Fiille cler Modelle zu klassijizieren. Zu diesem Zweck bieten sich wiederum verschiedene Aspekte an. Zum Beispiel kannen Modelle nach ihrer iiujJeren Form unterschieden werden in verbale Madelle, die ausschlieBlich aus Worten einer natiirlichen Sprache gebaut sind und damit sehr schnell groB und uniibersichtlich werden kannen, weiter in ikonische Madelle, bei denen die Worte durch Piktogramme, bildliche oder auch physische Darstellungen (Miniaturen) ersetzt werden und die dadurch schon iibersichtlicher werden, und schlieBlich in mathematische Madelle (Kalhile), die sich der kompakten Formalsprache der Mathematik bedienen und damit in komplexen Situationen am machtigsten sind. 1m OR werden wir es stets mit solchen mathematischen Modellen zu tun haben, beispielsweise in Gestalt von Gleichungs- oder U ngleichungssystemen. Einen weiteren Klassifikationsaspekt stellt die Vorgehensweise dar. Hier unterscheidet man analyiische, iterative, heurisiische und Simulaiionsmodelle. Analyiische Madelle kommen nach einem festgelegten Algorithmus in endlicher Zeit zu der Lasung des Problems und sind somit den iibrigen Modellen iiberlegen. Jedoch gibt es Situationen, in denen ein solches analytisches Modell nicht zur Verfiigung steht. Dann sollte man ein iieraiives Modell heranziehen, das sich auch durch einen Algorithmus auszeichnet, mit dem man sich jedoch der Lasung des Problems im Allgemeinen "nur" annahern kann. Der Grad der Annaherung ist allerdings haufig frei wahlbar und wird mit jedem Iterationsschritt - in der Regel - besser. 1st auch kein iteratives Modell verfiigbar, so bleiben nur noch heurisiische Verfahren, deren Vorgehen zwar plausibel ist, die jedoch weder das exakte, noch das approximative Auffinden der Lasung garantieren. Auch Simulaiionsmodelle kommen dann in Frage. Sie bilden das reale Problem im Allgemeinen mit Hilfe einer Simulationsspmche im Computer nach und gestatten die kostengtinstige und gefahrlose Beobachtung der (virtuellen) Resultate diverser Entscheidungen und MaBnahmen. Ob und in welchern AusmaB die Simulation zu einer Lasung des Entscheidungsproblems flihrt, hangt maBgeblich von der Erfahrung und dem Geschick des Simulators abo Der letzte (hier erwahnte) Klassifikationsaspekt orientiert sich an dem Einsatzzweck der Modelle. Er unterscheidet Beschreibungsmodelle, Erkliirungsmodelle und Entscheidungsmodelle. Der ausschlieBliche Zweck der Beschreibungsmodelle besteht in der Darstellung eines komplexen, realen Sachverhalts (z.B. Volkswirtschaftliche Gesamtrechnungen, betriebliche Kennzahlensysteme). Der Zweck von Erkliirungsmodellen geht insofern daruber hinaus, als auch Wirkungsmechanismen und Kausalzusammenhange dargestellt werden sollen (z.B. Preis-Absatz-Funktionen, Prod uktionsfunktionen, Regressionsmodelle). Wenn man erklaren kann, warum ein reales Phanomen - etwa eine Absatzsteigerung eines Produktes - beobachtet worden ist,

6

1 Einordnung und Eniwicklung des Operations Research

dann liegt die Versuchung nahe, die Fragestellung urnzukehren und zu fragen, unier welchen Umsiiinden sich eine andere Auspragung des Phanomens einstellen wurde. Hat man den Preis eines Gutes als (einzigen oder maflgeblichen) Einflussfaktor fUr die Absatzmenge ausgemacht, so kannte man mit dem Modell der Preis-AbsatzFunktion auch den Absatz prognosiizieren, cler sich bei einem bestimmten Preis ergeben wurde. Bei clieser inversen Nutzung von Erklarungsmodellen spricht man deshalb auch von Prognosemodellen. Dagegen erfUllen Entscheidungsmodelle einen wesentlichen zusatzlichen Zweck, indem sie die hineingesteckte Information unmittelbar und automatisch in eine Entscheidung transformieren. 3 Beispiele hierfiir sind medizinische Expertensysteme, die aus Symptomen einen Therapievorschlag ableiten, oder auch die Methoden cler statistischen Inferenz, die aus Stichprobendaten eine Parameterschatzung oder eine Hypothesenbeurteilung berechnen. Die Klassifikation von Modellen gestattet eine schnelle Vorentscheidung daruber, welche Modelle fUr bestimmte Problemstellungen besser oder schlechter geeignet sind. 1m OR haben wir es mit mathematischen Entscheidungsmodellen zu tun, die uberwiegend analytisch oder iterativ arbeiten. 1m Folgenden werden lineare Optimierungsprobleme und ihre Losungsmethoden behandelt. Bei dieser linearen Optimierung handelt es sich zwar urn einen sehr speziellen Sonderfall der Optimierung in toto, aber urn einen sehr haufig anzutreffenden. Selbst nichtlineare Probleme lassen sich machmal linearisieren, also durch einfache mathematische Ttansformationen (exakt oder approximativ) in lineare Probleme uberfuhren. Der enorme Vorteil linearer Probleme ist deren einfache, algorithmische Lasbarkeit. Nach einer allgemeinen Vorstellung des Grundmodells der linearen Optimierung wird fur sehr einfache Situationen ein graphisches Losungsverfahren demonstriert, das die Intuition fUr das anschlieBende, abstraktere Simplex-Verfahren fardern soli. Nach einer EinfUhrung des Simplex-Algorithmus ohne Komplikationen werden Sonderfalle und ihre Behandlung besprochen. Postoptimale Rechnungen schlieBen sich an, die Fragen nach der Stabilitiit der gefundenen Lasung beantworten. Danach werden Ttansport- und Z uordnungsprobleme als auBerst spezielle Sonderfillle der linearen Probleme behandelt. Obwohl man sie prinzipiell mit dem SimplexAlgorithmus 16sen konnte, ist doch ihr Spezialisierungsgrad so groB, dass es hier effizientere Methoden gibt. Fur die Ttansportprobleme wird die Distributionsmethode mit diversen Einzelalgorithmen und fur die Zuordnungsprobleme die Ungarische Methode vorgestellt und an Beispielen verdeutlicht. SchlieBlich folgen noch Kapitel uber Netzwerke, die Netzplantechnik und Modelle der Lagerhaltung. Hier verlassen wir - zumindest teilweise - das Gebiet der linearen Optimierung und stoBen auf nichtlineare Probleme. In den beiden letztgenannten Kapiteln werden daruber hinaus auch Kenntnisse der Stochastik benatigt. 3Natiirlich ist diese Entscheidung in der Praxis im Allgemeinen nur als Enischeidungsvo,schlag aufzufassen. Die eigentliche Entscheidung im SiIme eines Enischeidungspmzesses mit den Phasen der Planung, der Realisation und auch der Kontrolle der ergriffenen Maflnahmen obliegt nach wie vor dem Enischeidungstniger, dem OR-Modelle lediglich als Unterstutzung in der Enischeidungsvo,be,eitung dienen; vgl. dazu etwa BambergjCoenenberg (2007).

Kapite12 Grundmodell der linearen Optimierung Lernziele

• Wie lautet das Grundmodell der linearen Optimierung? • Was bedeutet Linearitiit? • Wie kann man eine Minimierungsaufgabe in eine Maximierungsaufgabe uberfuhren? • Welche Strukturen k6nnen mit dem Grundmodell der linearen Optimierung behandelt werden? • Wo kann man die lineare Optimierung einsetzen?

2.1

Zielsetzung der linear en Optimierung

Die lineare Optimierung stellt das grundlegende und wohl auch wichtigste Teilgebiet des OR dar. V611ig synonym werden hierfur auch die Begriffe lineare Planungsrechnung und lineare Programmierung benutzt. Von diesen Begriffen stammt die gangige und auch hier oft gebrauchte Abkiirzung LP. Ein LP-Problem ist also ein Problem cler linearen Optimierung. Eine lineare Funktion, die so genannte Zielfunktion, solI optimiert, also im Allgemeinen maximieri oder minimieri werden. Dies geschieht durch geeignete Festlegung ihrer Variablen X 1 ) X2, . .. ) X n ) cler so genannten Sirukturvariablen , Entscheidungsvariablen oder Aktionsvariablen. Eine lineare Funktion cler Variablen X 1 ) X2) . .. ) Xn hat stets die Gestalt

wobei Co , Cj, . . . ,en beliebige, aber bekannte reelle Zahlen sind. Das absolute Glied Co spielt hier keine Rolle, da es lediglich fur eine Verschiebung in Ordinatenrichtung

8

2 Grundmodell der linearen Optimierung

sorgt und somit keinen Einfluss auf die Maximalstelle oder Minimalstelle selbst ausubt, so dass die Zielfunktion Z im weiteren folgende Gestalt hat:

Eine solche Funktion kann durch geeignete Wahl der Variablenwerte offenbar beliebig groB oder beliebig klein werden, so class eine Maximierungs- oder Minimierungsforderung ohne weitere Einschrankungen keinen Sinn machen wurde. Diese Einschrankungen, die so genannten Restriktionen, sind in cler Praxis auch stets vorhanden 1 und haben bei LP-Modellen stets eine lineare Struktur bezuglich der Strukturvariablen. Es kann sich dabei urn Gleichungen oder urn Ungleichungen handeln, wie wir noch sehen werden. Die Anzahl m dieser linearen Restriktionen ist dabei grundsatzlich nicht nach oben beschrankt. In der Praxis k6nnen durchaus LP-Probleme mit vielen hundert Restriktionen (und vielen hundert StrukturvariabIen) auftreten.

2.2

Schreibweisen des Grundmodells

Das Grundmodell der linearen Optimierung hat die folgende Gestalt: Z(Xl)'"

,xn )

= C1Xl

+ a12x2 + ... + alnXn :s; a21xl + ~2X2 + ... + a2nXn :s;

b1

+ am2X2 + ... + amnXn :s;

bm

al1xl

a m 1 X1

X1,X2)'"

,X n

~

+ ... +enxn

max!

b2

O.

Fur die lineare Zielfunktion gilt im Grundmodell also stets die Maximierungsforde rung, wobei die Zielfunkiionskoeffizienten C1) . . . ) Cn, die auch Dualwerte genannt werden, bekannte reelle Zahlen sind. Die m Restriktionen liegen im Grundmodell stets als unechte Abschiitzungen nach oben, d.h. als Kleiner/Gleich-Beziehungen VOL Die lineare Kombination der Strukturvariablen mit den bekannien reellen Koeffizienten aij ist im Grundmodell also stets kleiner oder h6chstens gleich einer weiteren bekannien reellen Zahl bi , dem so genannten Resirikiionsweri oder Primalwert der i-ten Restriktion. Die aij heiBen iechnische KoejJizienien. Weiterhin diirfen die Strukturvariablen im Grundmodell nicht negativ werden. Dies nennt man die Nichtnegaiivitaisbedingungen fUr die Strukturvariablen. Da weder die Anzahl n der Strukturvariablen noch die Anzahl m der Restriktionen in dieser allgemeinen Schreibweise festliegen, kommt man urn die Av..slassungspunkie (teilweise) nur herum, wenn man sich der kompakteren Operatorenschreibweise 1 Angeblich hat es vor langer Zeit einmal ein Land olme Einschriinkungen gegeben, aber dann hat eine Dame einem Herm einen Apfel angeboten ... und dieser Apfel hat dann im Grunde doch wieder eine "Einschriinkung" dargestellt.

2.3 Erweiterungen des Grundmodells

9

der Mathematik bedient. Das oben dargestellte LP-Crundmodell kann dann v611ig aquivalent wie folgt geschrieben werden: n

Z(Xl)""X n ) =

LCjXj

max!

j= l n

L

aijXj

:s; bi

fur i

=

1, ... ,m

j= l

Xl , ... ,Xn;::::O.

Der Summenoperator :>:: wird im Folgenden durehaus gebraueht und als bekannt vorausgesetzt. Seine Bedeutung kann unmittelbar dureh den Vergleieh mit dem aquivalenten, aber mit Auslassungspunkten versehenen Grundmodell eingesehen werden. Eine noeh kompaktere Sehreibweise erhalt man mit der Vektor-Matrix-Notation der linearen Algebra. Dazu bezeiehne x den Spaltenvektor der Strukturvariablen, c den Spaltenvektor der Dualwerte, b den Spaltenvektor der Primalwerte und A die Matrix cler technischen Koeffizienten:

x

Dann kann das LP-Grundmodell aueh folgendermaBen gesehrieben werden: Z(x)

~ C IX

max!

Ax -X.l_ / xe bilden das geometrische Grundgerust fUr X3 den Simplex-Algorithmus. Ausgehend von eiXo nem Punkt des zulassigen Bereichs - z.B. vom Koordinatenursprung, falls dieser zum zulassigen Bereich gehort, - legt man ein Simplex an und vergleicht die Verbesserung der Zielfunktion in Richtung der ubrigen n Simplex-Eck-Punkte. In dem besten dieser benachbarien Punkte wird im nachsten Schritt das neue Simplex zentrieri, d.h. man betrachtet nur benachbarie Ecken dieser neuen Basis. In der Ebene konnte dieser erste Eckeniausch beispielsweise so aussehen:

33

4.2 Tableau-Form

z

Xo

z

2

Auf diese Weise fortschreitend findet man stets nach endlich vielen Eckentauschen oder Iieraiionsschritiert die optimale Ecke. 1m skizzierten Beispiel ware sie nach zwei Iterationsschritten erreicht. Die Vorteilhaftigkeit dieses Vorgehens - beispielsweise gegeniiber einer vollsiiindigen Enumeration aller Ecken - wird urn so eklatanter) je h6her die Dimension des Problems beziehungsweise des zulassigen Bereichs ist.

4.2

Tableau-Form

Der eigentliche Simplex-Algorithmus wird in Gestalt von Tableaus operationalisiert. Das urspriingliche LP-Problem n

Z(Xl, ... ,Xn)

= LCjXj

max!

j=l n

L

aijXj ::;

fur i

bi

=

1, ... ,m

j=l Xl, ... ,X n

;::::O

wird zuniichst durch Einfiihrung so genannter Schlupfvariablen oder Leerlaufvariabien (eng!.: slack variables) formal in ein lineares Gleichungssystem iiberfiihrt: n

- LCjXj

+Z

~0

+ Yi

=

j=1 n

L

aijXj

bi

j=l X1)· .. ) X n ) Yl)· .. ) Ym ;::::

O.

fur i

=

I, ... ,m

4 Simplex-Algorithmus

34

Auch die Zielfunktion wurde dabei so umgestellt, dass die Strukturvariablen auf der linken Seite stehen. Die Zielfunktionsvariable Z selbst ubernimmt hier gewissermaBen die Rolle der Schlupfvariablen. Fur die "echten" Schlupfvariablen Yl, ... ,Ym gelten im Grundmodell die Nichtnegativitiitsbedingungen, da sonst die oberen Abschiitzungen verletzt waren. Sieht man von den Nichtnegativitatsbedingungen einmal ab, so handelt es sich formal urn ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit n+m+ 1 Unbekannten (X1)' .. ) X n ) Yl, . .. ) Ym) Z) und mit m+ 1 Gleichungen. Ein solches Gleichungssystem ist naturlich unierbesiimmi und daher im Allgemeinen nicht eindeutig 16sbar. Vielmehr wird es im Allgemeinen unendlich viele "L6sungen" haben, unter denen die gemiiB Zielfunktion beste gesucht ist.

Diese vereinheitlichte Form des LP-Problems wird nun in das formale Korsett des Starttableaus gesteckt, das wir im Folgenden auch Tableau 0 nennen. In der ersten Kopfzeile stehen die Bezeichnungen der StrukTab. 0 Xl ... Xn X2 turvariablen x1)'" ,Xn- Die Variablen in dieser Z 0 -Cj -C2 ... -Con ersten Kopfzeile werden stets - auch wenn sie Yl br all a12 ... al n im Verlauf des Algorithmus wechseln werden Nichtbasisvariablen genannt und haben in clem jebm amI a m 2 ... a mn Ym weiligen Tableau definitionsgemiiB den Wert null. In der zweiten Kopfzeile finden wir die Bezeichnung der Zielfunktionsvariablen (Z) und den momentanen Wert der Zielfunktion, der natiirlich null ist, wenn aile Strukturvariablen Nichtbasisvariablen und daher null sind. Weiterhin werden in der zweiten Kopfzeile die Koeffizienten der umgestellten Zielfunktion, also die mit (-1) multiplizierten Zielfunktionskoeffizienten, eingetragen. Die erste Kopfspalte enthiilt die Bezeichnungen der Schlupfvariablen. Die Variablen in dieser ersten Kopfspalte werden stets - auch wenn sie im Verlauf des Algorithmus wechseln werden Basisvariablen genannt und haben in dem jeweiligen Tableau gerade denjenigen Zahlenwert, der in der zweiten Kopfspalte steht. 1m Start tableau stehen hier die Restriktionswerte, die natiirlich gleich dem Leerlauf oder dem Schlupf in der jeweiligen Restriktion sind, wenn aIle Strukturvariablen null sind. 1m Inneren des Start tableaus stehen die technischen Koeffizienten. Die Gestaltung des Start tableaus soli nun an dem bereits graphisch gelosten Waschpulver-Beispiel demonstriert werden. Das transformierte LP-Modelllautet:

-4Xl -

3X2

+Z

~

0

X2+Yl~6

+ X2 + Y2 3Xl + 2X2 + Y3 Xl

(Gewinn) (Maschine A)

~

7

(Maschine B)

~

18

(Maschine C)

Xl,X2,Yl,Y2,Y3;:::: O.

4.3 Simplex-Iteration

35

Das Start tableau hat neben den beiden Kopfspalten genau Tab. 0 Xl X2 zwei innere Spalten, die jeweils mit einer Strukturvariablen Z 0 -4 -3 korrespondieren. Man beachte, dass die ursprunglichen Ziel0 1 Yl 6 funktionskoeffizienten nun mit einem negativen Vorzeichen 7 1 1 Y2 auftreten. Die Restriktionswerte und die technischen Koeffizi3 2 Y3 18 enten werden unmittelbar, Zeile filr Zeile, aus dem LP-Modell ubernommen. Hatten wir mehr als zwei Strukturvariablen, dann hatte das Starttableau entsprechend weitere Spalten. Hatten wir mehr als drei Restriktionen, dann hatte das Start tableau entsprechend weitere Zeilen. (Manche Autoren gestalten das Tableau geringrugig anders, indem sie etwa die zweite Kopfzeile unten oder die zweite Kopfspalte rechts anhiingen.)

4.3

Simplex-Iteration

Eine Simplex-Iteration entspricht clem schon graphisch demonstrierten Eckentausch, also clem Ubergang von einer Ecke des zulassigen Bereichs in eine benachbarte Ecke. Die jeweils aktuelle Ecke, die dem jeweils aktuellen Tableau entspricht, heWt Basis. Ihre Koordinaten entsprechen gerade den Werten der Basisvariablen im Tableau. Eine Simplex-Iteration, also der Ubergang von einem Tableau zum nachsten, kann in sechs Schritten beschrieben werden. Schritt 1:

Wahl der Pivotspalte

Zunachst ist eine Spalte als so genannte Pivotspalte auszuwahlen. Pivot heiBt so viel wie Dreh- und Angelpunkt. Die Wahl erfolgt hier zunachst nach dem einfachen und verbreiteten Prinzip des steilsten Einheitsanstiegs (engL: steepest unit ascent) der Zielfunktion. Dabei verschiebt man - hypothetisch - die Zielfunktion von der aktuX2 ellen Ecke (in der Skizze ist dies der Koordinatenursprung) parallel jeweils um eine Einheit in Richtung der verschiedenen Achsen. Man wahlt dann diejenige Strukturvariable 1 Xs beziehungsweise deren Spalte im Tableau, Z ~ Z(O,l) filr die eine Verschiebung der Zielfunktion urn Xl eine Einheit zum groflten Zuwachs des Zielo 1 funktionswertes filhrt. 1m skizzierten Beispiel ware dies X2, da offenbar die Zielfunktion, die Z ~ Z (1,0) durch den Punkt (0,1) geht und damit urn eine Einheit in x2-Richtung verschoben worden ist, oberhalb der Isozielwertlinie durch den Punkt (1,0) Jiegt. Dieser ganze Hintergrund des Prinzips kann im Simplex-Tableau sehr einfach beschrieben werden: Man wiihlt die Spalte mit dem kleinsten negativen Wert in der zweiten Kopjzeile als Pivotspalte.

4 Simplex-Algarithmus

36

Wohlgemerkl, nichl "belragsmiWig" am kleinslen isl hier geforderl. (-3) isl also kleiner als (-2). Wenn man mil s den Spallenindex der Pivolspalle bezeichnel und mit aoj die Werte in cler zweiten Kopfzeile des Tableaus, die ja nur im Siarttableau gleich (-Cj) sind, dann kann man die Auswahlregel malhemalisch folgendermaflen beschreiben: Wahle 8 so, dass

aD,

~

min{Ooj

j ~ 1, ... ,n}

1\

00, < O.

Nun k6nnte es passieren, dass diese Auswahlregel nicht eindeutig ist, wei! mehrere Ooj gleichzeilig am kleinslen und negaliv sind. Dieser Fall heWI duale Entartung und wird im nachslen Kapilel noch ausfuhrlicher besprochen. Er isl jedoch unproblemalisch, d.h. man kann dann ganz beliebig einen der Kandidalen als Pivolspalle wahlen. Andererseits k6nnte es auch sein, dass nach dieser Regel gar keine Spalte als Pivotspalte in Frage kommt, wei! alle aOj positiv oder null sind. Dieser Fall ist noch weniger problemalisch, denn dies isl geradezu das Abbruchkriterium fur den SimplexAlgorilhmus: Man isl am Ziel! Das erreichle Tableau slellt die Lasung des LPProblems dar) deren Interpretation spater noch erlEiutert wird. Schrilt 2:

Wahl der Pivatzeile

N achdem die Pivolspalle feslliegl und die Indexvariable 5 bekommen hal, isl nun eine Pivoizeile zu wahlen. Sie wird die Indexvariable z erhalten. Die praktische Auswahl im Simplex-Tableau kann folgendermaBen beschrieben werden: Man wiihlt diejenige Zeile als Pivotzeile, die den kleinsien nichtnegativen Quoiienten aus dem Wert der zweiien Kopfspalte und dem iechnischen Koeffizienien der Pivoispalte aufweisi.

Der besseren Syslemalik halber werden hier und nachfolgend die Werle der zweilen Kopfspalte, die ja nur im Siartiableau mit den Restriktionswerten ubereinstimmen, mit aiD bezeichnet, und zwar fur die Zeilenindizes i = 0,1, ... ,m. Die mathematische Formulierung laulel dann: Wahle z so, dass

Diese Auswahlregel garanlierl, dass man bei der Suche nach der nachslen Ecke in der bereils durch die Wahl der Pivolspalle feslgeleglen Richtung nun 80 weit wie moglich voranschreitet, d.h. bis zum Rand des zulassigen Bereichs. Die Probleme, die bei dieser Wahl der Pivotzeile auftreten k6nnen, werden wiederum in dem Kapitel uber die Sanderfiille behandelt. Schritt 3:

Umrechnung des Pivoielemenis

Mil der Pivolspalle und der Pivolzeile liegl nun auch das Pivatelement oder kurz Pivoi fest, namlich das eindeutig bestimmte Element a zs im Kreuzungspunkt von Pivolspalle und Pivolzeile. Dieses Pivol isl nun wirklich Dreh- und Angelpunkt der Tableauumrechnung. Obwohl es auf die Reihenfolge der Schrille 3 bis 6 eigenllich

4.3 Simplex-Iteration

37

gar nicht ankommt, ist es doch naheliegend, die einfacheren Operationen zuerst vorzunehmen. Die U mrechnung des Pivotelements ist besonders einfach: I

Das Pivot geht in seinen Kehrweri uber.

Bezeichnen wir mit aij das Element cler i-ten Zeile und j-ten Spalte in clem niichsten, hier zu berechnenden Tableau, dann laulel die Umrechnungsvorschrift fur das Pivol:

Schrill 4:

Umrechnung der restlichen Pivotspalte

Da das Pivotelement ja bereits gemaB Schritt 3 umgerechnet worden ist, mussen nun noch die restlichen Elemente cler Pivotspalte transformiert werden: Die restlichen Elemenie der Pivotspalte wechseln ihr Vorzeichen und werden durch das Pivot geteilt.

Die mathematische Formulierung lautet: i f z.

i=O,l, ... ,m

Schritt 5:

Umrechnung der restlichen Pivoizeile

Die restlichen Elemenie der Pivoizeile werden einfach durch das Pivot geteilt.

Die mathematische Formulierung lautet: j =O,l, ... ,n

Schrill 6:

j

f

s.

Umrechnung des restlichen Tableaus

Die Umrechnung aller verbleibenden Werle des Tableaus, also aller Werle mil Ausnahme der Pivolspalle und der Pivolzeile, erfolgl nach der so genannlen Rechteckregel. Der Name ruhrt daher, dass zur Umrechnung eines dieser Elemente - neben dem Pivolelemenl selbsl - diejenigen zwei EleTab. x mente aus der Pivotspalte beziehungsweise der Z Pivotzeile verwendet werden, die zusammen mit dem Pivotelement und dem zu transformierenden ... aij ais Elemenl ein Rechteck im Tableau ergeben. Wenn also das Element a ij umgerechnet werden solI, so ... I a zs I . .. azj werden das (eingerahmle) Pivolelemenl und das zu transformierende Element selbst, aber auch die Elemente ais und azj benotigt. Diese vier Werte bilden in dem Tableau die Ecken eines Rechlecks. Aile genannlen Elemenle werden natiirlich slels aus dem akluellen, d.h. dem allen Tableau genommen. Eine verbale Formulierung dieser Rechteckregel ware umslandlich und alles andere als erhellend, so dass hier gleich die malhemalische Formulierung gegeben wird:

4 Simplex-Algorithmus

38

*

a ij

:= aij -

ais . azj

an

fur i und j

0, ... ,m, aber i

= =

0, ... ,n, aber j

i- z, i- s.

Die Simplex-Iteration solI nun an clem Waschpulver-Beispiel 3.1 demonstriert werden. 1m ersten Schritt ist im Start tableau die Pivotspalte zu bestimmen. GemiiB clem Prinzip des steepest unit ascent ist dies diejenige SpalTab. 0 X l X2 te mit clem kleinsten negativen Wert in cler zweiten KopfZ 0 -4 -3 zeile. Pivotspalte wird hier die erste innere Spalte, da (-4) 0 1 Yl 6 kleiner ist als (-3). Die Kopfspalten kommen als Pivotspal7 1 1 Y2 ten selbstverstandlich ebenso wenig in Ftage, wie Kopfzeilen 2 Y3 18 [3J als Pivotzeilen. Zur Bestimmung cler Pivotzeile sind nun die Quotienten aus den Werten der zweiten Kopfspalte und der Spalte 1 zu bilden. Dabei kommen aber nur Zeilen mit einem positiven technischen Koeffizienten in cler Pivotspalte in Frage. Eine Division durch null ist nicht erlaubt. Das Pivotelement kann niemals null sein! Es sind also die Quotienten 7/ 1 und 18/3 zu vergleichen. Der kleinere bestimmt die Pivotzeile, hier also die dritte Zeile. Damit liegt das Pivotelement fest, namlich 3, und wird wegen seiner zentralen Bedeutung fur die weitere Umrechnung eingerahmt. Ein neues Tableau wird entworfen und mit Tab. 1 bezeichTab. 1 Y3 X2 net. Zuerst sollte man den durch die Position des Pivots beZ stimmten Ausiausch der Variablen in cler ersten Kopfzeile Yl beziehungsweise in der ersten Kopfspalte des Tableaus vorY2 nehmen. Die Basisvariable Y3 wechselt in die Position der Xl Nichtbasisvariablen X l und umgekehrt. Dies bedeutet, dass man den Wert von X 1 , der null war, vergroBert, und zwar so lange, bis der Wert von Y3 null wird und man somit an die Grenze der dritten Restriktion stoBt. Dieser Eckeniausch ist hier noch einmal graphisch veranschaulicht. Der Koordinatenursprung (0,0) entspricht dem Start tableau, Tab. O. Die Wahl der zu X l gehOrigen Spalte als Pivotspalte entspricht einer Bewegung in x l-Richtung. X2 bleibt null. Die Wahl der zu Y3 gehorigen Zeile als Pivotzeile entspricht einer Bewegung bis zu der entsprechenden Restriktionsgrenzgeraden. Die Isogewinnlinien durch die urspriingliche Ecke (0,0) und die neue Ecke (6,0) sind eingezeichnet. Der Gewinn ist durch diesen Eckentausch von null auf 24 [G E] gestiegen. Die Kapazitiit der Maschine C ist in der neuen Ecke erschopft; ihr Leerlauf ist null.

8 7 6r~-

5 4 3

2 Xl

12345 7 Z ~0 Z ~ 24

39

4.3 Simplex-Iteration

Nun erfolgt die Umrechnung nach den Schritten 3 bis 6. Tab. 1 X2 Y3 Die Transformation des Pivots ist einfach: 3 geht in seiZ 4/3 nen Kehrwert 1/3 tiber. Es empfiehlt sich bei der manuel0 Yl len Durchfuhrung des Simplex-Algorithmus, mit Briichen -1/3 Y2 zu arbeiten, da sich so Rundungsfehler vermeiden lassen. 6 Xl 1/3 2/3 Naturlich soUte man aIle Bruche maximal durchkurzen, urn unnotig gro:Be Zahler- und N ennerwerte zu vermeiden. Die restlichen drei Werte der Pivotspalte in Tableau 0, niimlich -4, 0 und 1, wechseln ihr Vorzeichen und werden durch das Pivotelement 3 geteilt. Die rest lichen zwei Elemente der Pivotzeile, niimlich 18 und 2, werden nur durch das Pivot geteilt. Aile noch fehlenden Werte des Tableaus 1 mtissen nun Tab. 1 X2 Y3 nach der Rechteckregel aus Tableau 0 berechnet werden. Z 24 4/3 -1/3 Nehmen wir als Beispiel den Zielfunktionswert. Welche 6 0 1 Yl Zahlen aus Tableau 0 bilden gemeinsam mit dem alten 1 -1/3 1/3 Y2 Zielfunktionswerl 0 und dem Pivot 3 ein Rechteck? Dies 6 Xl 2/3 1/3 sind offenbar der Wert -4 in der Pivotspalte und in der Zeile des zu transformierenden Wertes und cler Wert 18 in cler Pivotzeile und in cler Spalte des Zielfunktionswertes. Die Umrechnungsvorschrift gemiiB Schritt 6lautet:

Dies ist der neue Zielfunktionswert, der in der Ecke (6,0) des zuliissigen Bereichs angenommen wird, wie man auch durch Einseizen in die Zieljunktion leicht sehen kann:

Z(6,0)

~

4·6 + 3· 0

~

24.

Die tibrigen Werte in Tableau 1 ergeben sich wie folgt aus der Rechteckregel und den Werten aus Tableau 0:

•

a 02

:=

•

:=

a 10

a31 a1l . a30 alO-

a31

a~2 :=

0;0

a01 . a32 a02 -

:=

• := "'22

a1l . a32

a12a31 a21 . a30

a20 -

(-4) . 2 3 0·18 ~6---~6 3 0·2 ~1--~1 3 1 . 18 ~

a22 a31

~

-1/3

~7---~1

a31 a21 . a32

-3-

~

3 1 ·2 1- - 3

~

1/3 .

Damit ist die erste Iteration abgeschlossen. Die Werte des Tableaus 1 lassen sich interpretieren. Den neuen Zielfunktionswert 24 haben wir schon erwahnt, ebenso die Koordinaten cler neuen Ecke, wobei man den Wert 6 cler neuen Basisvariablen X1

4 Simplex-Algorithmus

40

direkt in der zweiten Kopfspalte ablesen kann. Der Wert von x2 ist definitionsgemiijJ null, da X2 (noch) Nichtbasisvariable ist. Die Werte der Schlupfvariablen Yl und Y2 lassen sich - wie stets bei Basisvariablen - in cler zweiten Kopfspalte ablesen. Sie betragen 6 fur die Maschine A und 1 fur die Maschine B, wie man auch wieder durch Einseizen in die Resirikiionen verifizieren kann, z.E. fur Maschine B: 1 .6+1 .0

~

6 0 minimierende Zielfunktion Z* in die dann zu maximierende Form -Z' iiberfuhrt werden. AuBerdem miissen die GroBer/Gleich-Restriktionen entsprechend durch Multiplikation mit -1 in Kleiner/Gleich-Restriktionen transformiert werden. Das duale Problem hat demnach die obige, vollig aquivalente Gestalt, die nun in gewohnter Weise in ein Simplex-Tableau ubertragen werden kann. Man beachte dabei, dass die - nunmehr negativen - Zielfunktionskoeffizienten der zu maximierenden Zielfunktion - Z* bei der Ubertragung in die zweite Kopfzeile des Simplex-Starttableaus ihr Vorzeichen wechseln und so hier also positiv werden. Nachfolgend ist dieses Simplex-Starttableau des (aquivalent umgeformten) Dualproblems vergleichend dem Simplex-Start tableau des Primals gegeniibergestellt.

Start tableau des Primals' Tab. 0 Xj X2 Z 0 -4 -3 6 0 1 Yj 7 1 1 Y2 18 3 2 Y3

Start tableau des Duals' Tab. 0 Vj V3 -Z' 0 6 7 18 -4 0 -1 -3 Wj

'"

W2

-3 -1 -1 -2

Die Symmetrie besteht darin, dass wir im Starttableau des Duals so viele Zeilen haben, wie es Spalten im Start tableau des Primals waren und umgekehrt. Ferner entsprechen sich die Werte der Kopfzeile und der Kopfspalte wechselseitig in den beiden Tableaus. Und schlieBlich wird die Matrix der inneren Werte gespiegelt und mit -1 multipliziert. Der Vorzeichenwechsel resultiert aus der Umwandlung der GroBer IG leich-Restriktionen in Kleiner IG leich-Restriktionen. Das duale Problem kann nunmehr in gewohnter Weise nach dem Phasenschema des Simplex-Algorithmus gelost werden. Die Phase 0 ist in diesem Beispiel nicht relevant, da hier weder freie Strukturvariablen, noch gesperrte Schlupfvariablen vorliegen. Die Phase 1 ist jedoch akut, da wir uns offenbar noch nicht im zuliissigen Bereich befinden. Generell gilt: Wenn die Ausgangs16sung des Primals zwar zulassig, aber noch nicht optimal ist, dann ist die Ausgangs16sung des Duals nicht zuliissig. Wir tauschen hier ganz willkurlich W1 gegen V2 aus und gelangen dadurch bereits in den zulassigen Bereich. Der Wert der zu minimierenden Zielfunktion Z* ist dadurch zwar von 0 auf 28 gestiegen, aber das war eben der Preis, urn in den zulassigen Bereich zu gelangen.

66 Als nachstes kommt - nunmehr in Phase 2 - nur noch die dritte Spalte als Pivotspalte in Betracht. W2 verlasst die Basis. Dies fiihrt zum Optimum mit V 1 = 0 und V2 = V3 = 1 sowie einem minimalen Zielfunktionswert Z· ~ 25. Zum Vergleich mit dem Optimal tableau des Primalproblems wird dieses noch einmal angegeben. Es zeigt sich die folgende Analogie: Der minimale Wert von Z*) namlich 25, entspricht genau clem maximalen Wert von Z im Primal.

Die Strukturvariable V i des Duals korrespondieri mit der Schlupfvariablen Yi des Primals in dem folgenden Sinne: Die optimalen Werte der Strukturvariablen 'V2) V3 stimmen mit den Schaitenpreisen der Schlupfvariablen Y2, Y3 des Ausgangsproblems uberein. Der Schattenpreis von V 1 gleicht dem Wert von Yj. Ebenso korrespondieren die Schlupfvariablen des Duals mit den Strukturvariablen des Primals: Die SchaUenpreise der dualen Schlupfvariablen W j, 1li2 stimmen mit den Werien cler primalen Strukturvariablen X 1 ) X2 uberein.

6 Dualitiit

Tab. 0 0

-Z' W j

W2

-4 -3

Tab. 1

-Z' -28 v, W2

4 1

Tab. 2

-Z' -25 v, V3

1 1

Vj

V2

V3

6

7

18

OL=;J

-3 -2

-1

-1

Vj

W j

V3

6 0 -1

7 -1 -1

-3 3

Vj

W j

1li2

3 3 -1

4 2 -1

3 -3 1

ITl

Endtableau des Primals' Tab. 2 Y3 Y2 Z 25 1 1 -3 3 1 Yj -1 3 3 X2 -2 Xj 4 1

Der technische Koeffizient a i j in cler Zeile cler i-ten Basisvariablen und cler Spalte der j-ten Nichtbasisvariablen des dualen Optimaltableaus ist identisch mit dem mit -1 multiplizierten - technischen Koeffizienten des primalen Endtableaus, der sich in der Zeile und der Spalte der jeweils korrespondierenden Variablen befindet. So entspricht der Wert 2 in der Zeile von v2 und in der Spalte von W j des dualen Endtableaus dem Wert -2 in der Spalte von Y2 und der Zeile von X j .

Wie bereits erwahnt, ist die Ausgangs16sung des Duals unzulassig, wenn die Ausgangslasung des primalen Problems zuliissig, aber noch nicht optimal ist. Wiihrend sich in diesem Fall der primale Simplex-Algarithmus durch Eckentausche dem Optimum im Rahmen der Optimierungsphase annahert, versucht der duale SimplexAlgorithmus zunachst, in den zulassigen Bereich zu gelangen. Nicht nur im vorigen Beispiel, sondern generell gilt, dass das primale Problem genau dann eine optimale Lasung hat, wenn das duale eine solche besitzt. In dem fruher besprochenen Sonderfall der primalen Eniartung zweiier Art existierte keine endliche Lasung, da der zulassige Bereich in der Optimierungsrichtung unbegrenzt war. Diese Situation erkennt man im dualen Simplex-Algarithmus daran, dass dart der zulassige Bereich leer ist, also tiberhaupt keine zulassige Lasung existiert. Dies gilt nattirlich sinngemaB auch umgekehrt: Das primale Problem ist genau dann un16sbar, wenn das Dual unbegrenzt ist .

6.2 Beziehungen zwischen Primal- und Dualproblem

67

Das folgende, kleine Beispiel soll die Dualitat dieses Sonderfalles und seine Offenbarung im Simplex-Tableau demonstrieren:

Primales Problem: -2X I

Z

3X l

+ 5X2


-2Vl

< 1 > 0

4X2

X l , X2

Z·

max! 5Vl -

4V2

V l , V2

min!

3

> 2 > 0

Die positiven Werte in der Kopfspalte des primalen Start tableaus zeigen, dass die Ausgangslasung des primalen LP-Problems im zulassigen Bereich liegt und sofart mit der Optimierung - beispielsPrimal' Dual: weise mittels steepest unit ascent Tab. 0 X l Tab. 0 X2 VI V2 - begonnen werden kann. Es wird -Z' Z 0 -3 -2 0 10 1 daher X l in die Basis aufgenom-2 10 5 -3 W I Yl 2l=1J men, und Y2 verlasst die Basis. 1 [1J -4 -2 -5 4 W2 Y2 N ach der Ub ertragung des d ualen LP-Problems in ein SimplexTab. 1 Y2 Tab. 1 X2 VI WI Start tableau erkennen wir an der -Z' -3 12 Z 3 3 -14 1 Existenz negativer Werte in der 3 -2 -1 v, Yl 12 2 -3 Kopfspalte, dass der zulassige Be1 1 -4 -14 3 4 Xl W2 reich noch nicht erreicht ist. Wir nehmen - willkiirlich - 'V2 auf Kosten von W l in die Basis auf. Nach einer Iteration erkennen wir im primalen Tableau 1 die primale Entartung zweiter A ri. Wahrend die Pivotspalte eindeutig festliegt, kommt keine der beiden Zeilen als Pivotzeile in Betracht. Das Problem hat keine endliche Lasung. 1m dualen Tableau 1 liegt die zweite Zeile als Pivotzeile eindeutig fest. Jedoch kannen wir kein negatives Pivotelement tinden, was bedeutet, dass wir nicht in den zulassigen Bereich gelangen k6nnen: Er ist leer! An dem folgenden Beispiel solI demonstriert werden, wie aus einer freien Strukturvaria bien eine gesperrte Schlupfvariable im dualen Modell wird. Primales Problem:

Z 4X l

+ 2X2

2Xl -

5X2

Xl

15xl

< 8 < >

10 0

+ 5X2

Duales Problem: max!

Z· 4Vl + 2'12 2Vl - 5'12 Vl ,

'V2

8Vl > 15 5

>

+ lOv 2

min!

0

Wegen der Vorzeichenfreiheit der zweiten Strukturvariablen im Primal wird aus der zweiten GraBer/Gleich-Restriktion im Dual eine Gleichheitsrestriktion. FOr eine konsistente Interpretation der zugehOrigen Schlupfvariablen 1li2 wird auch diese zweite Restriktion var der Ubertragung in das Simplex-Start tableau mit -1 mul-

6 Dualitiit

68

tipliziert: -2VI + 5V2 ~ -5. Wahrend X2 also frei ist und in die Basis gelangen muss, ist W2 gesperrt und muss die Basis verlassen. Nachdem die erste Iteration in die Vorbereitungsphase geMrt, schlieBt sich im Primal jetzt ein Eckentausch im Rahmen cler Optimierungsphase an. X1 wird in die Basis transformiert. 1m Gegenzug kann Primal' Dual' nur Y2 aus cler BaTab. 0 Tab. 0 Xl VI V, rX2l sis entfernt werden, -15 -5 -Z' 0 0 8 10 da X2 als freie Va-15 -4 -2 8 4 WI Yl W riable ja nun in cler -5 -5 10 2 5 t=]] Y2 [§J Basis verbleiben muss. 1m dualen Tab. 1 Tab. 1 v, Xl Yl r w2l Tableau 1 ist eine -5 -Z' -20 Z 20 4 30 5/2 Iteration im Rah-5 -2 2 1/2 WI §] 4 men der Suchpha30 -1/2 -5/2 5/2 VI 5/2 Y2 se erforderlich. W1 verlasst die Basis, Tab. 2 Tab. 2 WI Y2 Yl IW21 und V2 wird aufge-Z' -65/2 -1 Z 65/2 5/12 85/24 5/2 nommen. Die bei-1 -1/6 1/12 5/12 -1/12 V2 1/6 den Tableaus 2 sind §] 1/12 5/24 85/24 -1/12 -5/24 Xl 5/2 VI jeweils optimal und entsprechen einander in cler bereits ausfiihrlich erlEiuterten Art und Weise. Der maximale Funktionswert von Z stimmt mit dem minimalen Wert von Z* uberein. Die Lasung im Primallautet Xl ~ 2.5, X2 ~ -1 und entspricht damit den Schattenpreisen der Schlupfvariablen im Dual - und umgekehrt.

z

ern

6.3

l=22J

Dualitat am Beispiel konkurrierender Wirtschaftssubjekte

Die Dualitat in cler Linearen Optimierung solI nun an einem 6konomischen und zugleich spieltheoretischen Beispiel zweier, urn Ressourcen konkurrierender Wirtschaftssubjekte oder Agenten veranschaulicht werden. Die Agenten kannten etwa zwei Profit-Center desselben Unternehmens sein, die urn gewisse knappe Rohstoffe konkurrieren. Diese beiden Profit-Center entsprechen den beiden Spielern in einem in der Spieltheorie so genannten Zwei-Personen-Nullsummen-Spiel. In der Wirtschaftstheorie nennt man dies ein bilaierales M onopol. Profit-Center A machte mit vier knappen Rohstoffen - die iibrigen Rohstoffe magen hier nicht interessieren - drei Produkte herstellen und dabei die Deckungsbeitragssumme beziehungsweise seinen Gewinn in der betrachteten Planungsperiode maximieren. Profit-Center B machte diese knappen Rohstoffe ebenfalls haben und machte sie daher dem Profit-Center A maglichst kostengiinstig abkaufen. Die vier Rohstoffe sind in den Mengen 5000 kg, 4000 kg, 3400 kg und 3000 kg vorhanden.

6.3 Dualitiit am Beispiel konkurrierender Wirischajtssubjekte

69

Das gewinnmaximale Produklionsprogramm soli in Profil-Cenler A gefunden werden. Das ersle Produkl erwirlschaftel einen Deckungsbeilrag von 80€ pro Tonne, das zweile 60€/1 und das drille 50€/1, was zu folgender Zielfunklion fuhrl:

z ~ 80[€/1] . xl[l] + 60[€/1] . x2[1] + 50[€/1] . x3[1]

max!

FOr die Produklion benoligl man von Rohsloff 1 genau 40 kg je Tonne des erslen Produkls, 120 kg je Tonne des zweilen Produkls und 150 kg je Tonne des drillen Produkls. Die resullierende Reslriklion und die enlsprechenden Reslriklionen fur die Obrigen Rohsloffe sind im Folgenden angegeben:

+ 120[kg/l] . x2[1] + 150[kg/l] . xl[l] + 90[kg/I]· x2[1] + 60[kg/l] . xl[l] + 50[kg/I]· x2[1] + 40[kg/l] . xl[l] + 50[kg/I]· x2[1] + 80[kg/l]

40[kg/I]· xl[l] 100[kg/l] 90[kg/l] 100[kg/l]

Dieses M engenproblem - die optimalen M engen sollen ermittelt werden - kann nun sofarl millels Simplex-Algarilhmus gelosl werden, was nebenstehend geschehen ist. Es gibl keine gesperrlen Schlupfvariablen und keine freien Strukturvariablen, so dass die Phase 0 iibersprungen werden kann. Ferner ist die Ausgangs16sung zulassig, so dass auch die Phase 1 irrelevanl isl. Zuniichsl isl also gemiiB steepest unit ascent X1 fUr Y4 in die Basis aufzunehmen. Danach gelangt X2 fur Y2 in die Basis.

Die maximale Deckungsbeitragssumme belriigl 2900€ und wird mil der Produklion von 17.5 I des erslen und 25 I des zweilen Produkles erziell. Das drille Produkl isl hier unrenlabel und wird daher nichl hergeslellt. Von den Rohsloffen 1 und 3 sind gemiiB diesem Produklionsprogramm noch Reste vorhanden.

. x3[1]

6 9 14 0

+ X2 + 3X3

6 Dualitiit

72 Aufgabe 6.2:

Nash-Gleichgewicht

In einem bilateralen Monopol habe Monopolist A die vier StraUij h b2 b3 tegien a l ,a2,a3,a4 und Monopolist B die drei Gegenstrategien 4 2 1 a l h, b2 , b,. In Abhiingigkeit von dem eingesetzten Strategienpaar a2 2 3 4 ai und bj erziele Monopolist A den in der Tabelle angegebenen a3 0 6 3 Gewinn U i j, der gleiehzeitig der (spieltheoretisehe) Verlust des a, 6 1 2 Monopolisten B ist. Urn ein so genanntes Nash-Gleichgewicht in diesem Zwei-Personf:r"L-Nullsummen-Spiel zu erzielen, set zen die Monopolisten so genannte gemischte Straiegien ein: Ein Zufallsgenerator entscheidet, welche cler (reinen) Strategien zum Einsatz kommt. Die Strategie a i des Monopolisten A kommt also mit einer gewissen (noeh unbekannten) Wahrseheinliehkeit Pi zur Anwendung. Da er genau vier reine Strategien zur Auswahl hat, gilt die Normierungsrestriktion PI +P2+P3+P' ~1.

Sein erwarieier Gewinn, wenn Monopolist B seine Gegenstrategie bj einsetzt, betragt dann U l jP l

+ U2jP2 + U3jP3 + U 4jP4'

Der erwartete Mindestgewinn u des Monopolisten A, cler bei jeder Gegenstrategie von B garantiert sein solI, unterliegt daher den Restriktionen

und solI nun maximiert werden. Mit den neuen Strukturvariablen Xi := pdu kann man die Aufgabe wie folgt als lineares Minimierungsproblem formulieren:

z ~ l/u ~ Xl +X2 +X3 +x, U l jX l +U2jX2 +U3jX3 +U4jX 4 ~

I,

X l ,X2 , X3,X 4 ~

o.

min!

j = 1,2,3

Formulieren Sie das duale LP-Problem mit den Gewinnen aus der obigen Tabelle und 16sen Sie es! Wie ist die Lasung zu interpretieren? Aufgabe 6.3:

Schere-Stein-Papier-Brunnen

In dem Zwei-Personen-Nullsummen-Spiel Schere-Stein-Papier-Brunnen entscheiden sieh beide Spieler gleiehzeitig - also unabhiingig voneinander - fUr jeweils eine der vier (reinen) StrategiSpieler B: Sehere Stein Papier Brunnen en Schere, Stein, P apier oder Spieler A: Brunnen. Der Spieler A erbalt Sehere 1 0 2 0 dabei den fUr jede StrategienStein 1 0 0 2 kombination tabellierten Gewinn. Papier 0 2 1 2 Entscheidet er sich beispielsweiBrunnen 2 0 1 2 se fUr Schere, wiihrend Spieler B

6.4 Ubungsaufgaben

73

Stein wahlt, erhalt er nichts (was einem Verlust des Einsatzes von beispielsweise

1 GE fur die Teilnahme am Spiel entspricht). Wiihlt Spieler A Brunnen, Spieler B dagegen Schere, dann erhiilt Spieler A 2 GE (was nach Abzug des Einsatzes einem Gewinn von 1 GE entspricht; ein Gewinn von 1 GE in cler Tabelle wiirde also einem "U nentschieden (( entsprechen.) Bestimmen Sie mittels dualer Simplex-Methode das Nash-Gleichgewicht fur beide Spieler!

Kapitel 7 Postoptimale Rechnungen Lernziele

• Wie stabil sind Optimallosungen? • Wie wirkt sich eine Anderung eines Zielfunktionskoeffizienten auf das LPModell aus? • Wie wirkt sich eine Anderung eines Restriktionswertes auf das LP-Modell aus? • Was leistet die Sensitivitatsanalyse? • Was leistet die Parametrische Optimierung? Die Optimallosung eines LP-Prablems ist naturlich nur unter den getraffenen Annahmen uber aile beteiligten Parameter gesichert. Sollten sich beispielsweise Zielfunktionskoeffizienten oder Restriktionswerte andern, ware prinzipiell eine Neuberechnung des LP-Problems erfarderlich. Die Linearitat der Prablemstruktur gestattet jedoch weitergehende Aussagen uber die Abhiingigkeit der neuen Optimallosung von cler Art und dem AusmaB cler Parameteranderung. Dies solI in diesem Kapitel - uberwiegend exemplarisch - verdeutlicht werden. 1m Faile zweier Strukturvariablen kann die Wirkung einer kleinen Anderung eines oder zweier Parameter

visualisiert und damit besonders anschaulich dargestellt werden. Nach dieser graphischen Motivation sind die Berechnungen jedoch auf die allgemeine Situation mehrerer Strukturvariablen zu ubertragen. SchlieBlich werden die Uberlegungen einer Parametervariation in dem Abschnitt tiber Parameirische Optimierung noch weiter verallgemeinert.

7.1

Graphische Sensitivitatsanalyse

Eine kleine Anderung eines Parameters in einem LP-Modell fiihrt nicht immer sofart dazu, dass die Optimallosung sich andert. Eine graBe Anderung wird aber im Allgemeinen sehr wohl zu einer Anderung der Optimallosung fuhren. Wie sehr darf

'l Postoptimale Rechnungen

76

sich ein Parameter ceteris parib1J.S - also unter Beibehaltung aller tibrigen Parameterwerte - andern, ohne class sich die optimale Lasung andert? Diese und ahnliche Fragen beantwortet die Sensitivitiitsanalyse, gelegentlich auch Sensihilitiitsanalyse genannt. An dem Waschpulver-Beispiel aus Abschnitt 3.1 soll dies graphisch veranschaulicht werden. Es hatte sich die gewinnmaximale Lasung X 1 = 4 und X2 = 3 mit einem Zielfunktionswert von 25 im Punkt P ergeben. Wie in der Graphik zu erkennen ist, bliebe diese Ecke auch optimal, wenn sich die Steigung der Zielfunktion geringfiigig verandern wtirde. Solange die Steigung der Zielfunktion kleiner (beziehungsweise betragsmiiBig groBer) ist als die Steigung der Restriktionsgrenzgeraden cler Maschine B und groBer als die Steigung der zu Maschine C gehOrigen Grenzgeraden, bleibt die gefundene Losung optimal. Wenn die Steigung der Zielfunktion mit derjenigen cler Grenzgeraden von MaschiMaschine B ne B tibereinstimmen wtirde, ware jedes der Produktionsprogramme auf der Strecke PQ optimal. Uberschreitet die Steigung der Zielfunktion diesen Wert, dann verliert P Xl seine Optimalitiit, und Q wird alleiniges Optimum. Wenn die Steigung der Zielfunktion die Steigung der Grenzgeraden von Maschine C Z ~ 25 erreicht, dann ist jeder Punkt auf der Strecke PR optimal, und wenn sie diese dann unterschreitet, dann wird R allein optimal. Mit den variablen Zielfunktionskoeffizienten Cl und C2 ergeben sich die folgenden Geradendarstellungen:

Maschine B: Maschine C:

X1

3X l

+ X2

+ 2X2

18

_

X2 ~

-3/2 . X l

+ 9.

2

C2

Die Optimalitiitsbedingung filr den Punkt P lautet also: Cl --3 < -< -1

2 -

C2-

bzw.

bzw.

- O. Wenn wir nun wissen wollen, wie sehr sich die ursprunglichen Restriktionswerte verandern durfen, ohne dass die optimale Ecke unzulassig wird, dann k6nnen wir im Vektor b Abweichungsvariablen (3 einsetzen und B- l (b + (3) auf Nichtnegativitiit uberprufen.

87

'1. 2 Algebraische Sensitivitiitsanalyse

In unserem Waschpulver-Beispiel erhalten wir mit B- 1 aus dem Optimaltableau 2 b eisp ielsweise

In jedem Szenario, in dem die Restriktionswertanderungen diese Ungleichungen aIle erfiillen, bleibt die Basis des Tableaus 2 zulassig. Fur die Verfiigbarkeitsdauern 7, 8 und 20 der Maschinen A, B und C erhalten wir die Veranderungen fI' ~ (1,1,2), die diese Ungleichungen erfiillen. Dajedoch auch aktive Restriktionsgrenzen verschoben worden sind, bleibt die alte Lasung keine "Ecke" des neuen zulassigen Bereichs mehr und wird daher suboptimal. Die neue Lasung und das neue Gewinnmaximum bekommt man aus den Berechnungen

z

~ ~n-'", + '" ~ (0,',:: Cii . xii ren Transportwege errechnen. Die m· n U ni=i j=i n bekannten Xij steIlen dabei die Sirukturvai = 1, ... ,m :>:: xii riablen dar. Die Minimierung erfolgt aber

z

j=i

m unter gewissen Nebenbedingungen oder Rej = 1, ... ,n sirikiionen - ansonsten ware es optimal, gar nichts zu transportieren. Z urn einen solI Xij > o fur aile i, j das gesamte Angebot aus allen Ausgangsorten abtransportiert werden, was zu den m Angeboisgleichungen L: j Xij = ai fiihrt. Zurn anderen soli der gesamte Bedarf in allen Bestimmungsorten gedeckt werden, was zu den n Bedarfsgleichungen :>::i x ii ~ bi fuhrt. SchlieBlich gel ten fur aile xii Nichtnegativitatsbedingungen, da Transportmengen nicht negativ sein kannen. Zwei Aspekte sind sehr speziell an diesem LP-Problem: Aile technischen Koeffizienten sind eins oder null, und aile Restriktionen sind Gleichungen, ihre Schlupfvariablen also gesperrt. Diese letzte Besonderheit impliziert wegen

99

8.1 Beschreibung des Tmnsportproblems

n

m

m

j= l

i= l

i= l

m

n

i = l j= l

n

m

j= l i= l

n

j= l

die Ubereinstimmung von gesamtem Angebot und gesamtem Bedarf. Ein Ttansportproblem, das dieses Gleichgewicht von Angebot und Bedarf aufweist, heiEt geschlossen. In der Realitat wird ein gegebenes Ttansportproblem hOchstens rein zufiillig geschlossen, sondern im Allgemeinen offen sein. Solche offenen Transportprobleme k6nnen jedoch formal in geschlossene Transportprobleme transformiert und mit den im Folgenden vorzustellenden Methoden gelost werden. Dazu ist im FaIle eines Angebotsuberschusses, also fur L: a i > L: bj ) eine zusatzliche Spalte in das Transporttableau einzufiigen, die einem fikiiven Bestimmungsort E n + l entspricht, in dem gerade der (fiktive) Bedarf bn + l in Hohe des Angebotsiiberschusses besteht, so dass das erweiterte Ttansportproblem mit dem fiktiven Bestimmungsort nun geschlos... E l En Bn+l sen ist. Als Einheitstrans... X ln Cl n X l ,n+ l 0 a l Al X II Cll portkosten sind in cler zusatzlichen Spalte Nullen einzutragen, was auch sofort Am Xm l Cml ... Xmn Cmn X m ,n+ l 0 am einleuchtet) da ein Transbl ... bn bn +1 port zu einem fiktiven Ort selbst fiktiv ist und somit keine Ttansportkosten verursacht. 1m Fane eines Bedarfsuberschusses a m +l := L: bj - L: ai wird analog eine zusatzliche Zeile filr einen fiktiven Ausgangsort A m + l mit einem (fiktiven) Angebot in Hohe von a m + l und Einheitstrans... E l En portkosten vonjeweils null an... Al X II Cll X ln Cl n al gehiingt. Die Ttansportmengen X i j, die nach Abschluss der im Folgenden vorgestellCmn Am am Xm l eml . .. Xmn ten Optimierungsmethoden in 0 ... X m + l ,n 0 am + l Am+ l der Spalte oder Zeile eines X m + l ,l fiktiven Ortes stehen, werden ... bn br faktisch nicht transportiert, so dass im FaIle eines Angebotsuberschusses in einem oder mehreren Ausgangsorten in praxi ein Rest liegen bleibt und im Fane eines Bedarfsuberschusses in einem oder mehreren Bestimmungsorten ein Teilbedarf nicht wirklich gedeckt wird. Immerhin zeigen uns die Algorithmen, wo wie mel Angebot liegen bleibt oder wo wie mel Bedarf ungedeckt bleibt, so dass die Losung unter diesen Bedingungen kostenminimal ist. Die MaBnahmen dieser Ausgleichspriifung auf Geschlossenheit eines Ttansportproblems werden spater noch anhand eines Beispiels demonstriert werden. Bevor wir zu den eigentlichen Transportalgorithmen kommen, son noch das vorbereitende und optionale Verfahren der Kosienmairixredukiion vorgestellt werden. Diese

100

8 Transporiprobleme

Kostenmatrixreduktion ist stets zulassig und flihrt dann im Verlauf der Transportalgorithmen zu geringfligigen Reehenerleiehterungen. Sie ist aber keinesfalls obligatorisch. Ob wir nun eine Kostenmatrixreduktion durchfiihren oder nicht, hat auf die letztlieh zu findende Optimallosung des Transportproblems keinerlei Auswirkungen. Bevor dies aber bewiesen wird, sollen die Schritte einer Kostenmatrixreduktion im Einzelnen erl dik + dkj ist. In diesem Fall wurde im niichsten Tableau dij durch dik+d kj und die Zahl in der rechten Feldhillfte durch k ersetzt werden. Beispiel:

Stadtplan

Die Entfernungen bzw. Fahrzeiten aus unserem Beispiel sind nachfolgend nach den angegebenen Regeln in ein Start tableau eingetragen worden. Sowohl das v611ige Fehlen einer direkten Verbindung als auch das Fehlen der Ruckrichtung 5 - 3 der EinbahnstraBe 3 - 5 wird durch eine unendliche Distanz reprasentiert. Tab. 0

1

3

2

4

5

6

15

3

5

4

co

5

co

6

-

6

3

co

4

co

5

24

6

6

2

-

-

co

4

4

5

17

6

1

co

2

co

3

-

10

5

co

6

co

1

co

2

co

3

10

4

-

-

12

6

co

1

24

2

17

3

co

4

12

5

-

-

1

-

-

2

4

1

-

3

10

1

4

5

5 6

4

2

-

Die erste Zeile und die erste Spalte werden nun pivotieri, also (zumindest gedanklich) markiert. Fur aIle ubrigen iiberprufen wir, ob die Beziehung

erfUllt ist. Dies ist beispielsweise fUr

der Fall. In Tableau 1 werden die entsprechenden dij-Werte (hier insgesamt vier) durch die Summen di 1 + d 1j ersetzt, und die nebenstehenden (Spalten-)Indizes werden durch k ~ 1 ersetzt. Die Anderungen sind durch Fettdruck hervorgehoben. Tab. 1

1

3

2

4

5

6

15

3

5

4

co

5

co

6

-

6

3

9

1

co

5

24

6

6

2

-

-

1

4

5

17

6

1

9

1

20

6

co

1

co

2

co

1

24

2

1

-

-

4

2

2

4

1

-

3

10

1

4

5

5 6

15

1

-

-

10

5

co

co

3

10

4

-

-

12

6

17

3

co

4

12

5

-

-

138

10 Netzwerke

Nun wird k ~ 2 geselzl und fUr alle i f 2 und j f 2 die Beziehung dij > di2 + d2j iiberpriift. Wo sie erfUlIt isl, z.E. fUr i ~ 6, j ~ 1, wird d ij durch die (kleinere) Summe, also durch 4 + 24 ~ 28, und die nebenslehende Zahl durch k, also durch 2, erselzl. Wenn slall der GroBer-Beziehung zufallig Gleichheil beslehen sollte, hier z.E. fUr i ~ 3, j ~ 1, dann konnle man den Inderiausch in der rechlen Feldhalfte ebenso durchfiihren oder - wie hier geschehen - unterlassen.

Tab. 2

1

2

3

1

-

-

4

2

2

4

1

-

-

3

10

1

6

2

4

5

1

9

1

5

co

1

co

6

28

2

24

4

10

5

6

2

5

4

co

5

28

2

6

3

9

1

co

5

24

6

-

-

15

1

4

5

17

6

15

2

-

-

10

5

33

2

2

co

3

10

4

-

-

12

6

2

17

3

33

2

12

5

-

-

Die weileren Iteralionen fUr k ~ 3, 4, 5 und 6 erfolgen analog und sind den Tableaus 3,4,5,6 zu entnehmen. Die Anderungen gegenuber clem vorigen Tableau sindjeweils felt gedruckl. 1m lelzlen Tableau dieses Beispiels erfolgle keine Anderung mehr.

Tab. 3

1

2

3

1

-

-

4

2

2

4

1

-

3

10

1

4

5

5

co

4

5

6

10

2

5

4

14 3

27 3

-

6

3

9

1

10

3

23

3

6

2

-

-

15

1

4

5

17

6

1

9

1

15

2

-

-

10

5

32

3

1

co

2

co

3

10

4

-

-

12

6

6

27 3

23

3

17

3

32

3

12

5

-

-

Tab. 4

1

2

3

1

-

-

4

2

2

4

1

-

3

10

1

4

5

5 6

4

5

6

10

2

5

4

14

3

27

3

-

6

3

9

1

10

3

23

3

6

2

-

-

15

1

4

5

17

6

1

9

1

15

2

-

10

5

32

3

15

4

19

4

25

4

10

4

-

-

12

6

27

3

23

3

17

3

32

3

12

5

-

-

-

10.2 Kurzeste Route

139

Tab. 5

1

2

3

5

6

2

5

4

14

3

26 5

6

3

9

1

10

3

22 5

2

-

-

14 5

4

5

16 5

9

1

15

5

22 5

4

19

4

3

23

3

1

-

-

4

2

2

4

1

-

-

3

10

1

6

4

5

1

5

15

6

27

Tab. 6

4

1

10

2

-

-

10

25

4

10

4

-

17

3

22

5

12

2

3

1

-

-

4

2

2

4

1

-

3

10

1

4

5

5 6

4

-

5

12

6

-

-

5

6

10

2

5

4

14

3

26

5

-

6

3

9

1

10

3

22

5

6

2

-

-

14

5

4

5

16

5

1

9

1

15

2

-

-

10

5

22

5

15

4

19

4

25

4

10

4

-

12

6

27

3

23

3

17

3

22

5

12

-

-

-

5

Das Endtableau des Floyd-Algirithmus gestattet nun die Identifikation der kurzesten Route von jedem Knoten des Netzwerkes hin zu jedem anderen Knoten. Die Lange der kurzesten Strecke kann unmittelbar in der linken Feldhiilfte abgelesen werden. So betriigt etwa die kurzeste Fahrzeit von Kreuzung 1 zu Kreuzung 6 genau 26 Minuten, die von Kreuzung 6 zu Kreuzung 1 dagegen 27 Minuten. Urn die kiirzeste Strecke selbst herauszubekommen, muss man sich an den Indizes I ij cler rechten Feldhalfte orientieren. Urn von 1 nach 6 zu gelangen, mUSS8n wir also tiber die Kreuzung 116 = 5 fahren. 156 = 6 zeigt uns, dass es von Kreuzung 5 zu Kreuzung 6 eine direkte Verbindung gibt, was man in unserem kleinen Beispiel natiirlich auch an der Skizze sehen kann. Wie verliiuft aber der kurzeste Weg bis zur Kreuzung 57 Dazu betrachten wir den Index 115 = 3, cler uns sagt, dass wir die Kreuzung 5 tiber die Kreuzung 3 anfahren mussen. Wegen hs = 5 kommen wir von 3 nach 5 direkt. Wie lautet der optimale Weg bis zur Kreuzung 37 113 ~ 2 sagt uns, dass dieser uber die Kreuzung 2 fiihrt. 1 12 ~ 2 besagt, dass von 1 nach 2 eine direkte Verbindung besteht ebenso wie zwischen 2 und 3 wegen 1,3 ~ 3. Die kurzeste Route von Punkt 1 zu Punkt 6 lautet also 1-2-3-5-6. In umgekehrter Richtung ist diese Route wegen cler Einbahnstra:Be nicht zu verwenden. Wie lautet also die kiirzeste Route von 6 nach 17 Wegen 16 1 ~ 3, 163 ~ 3 und 1,1 ~ 1 lautet diese Route 6-3-1 und dauert 17 + 10 ~ 27 Minuten. Wie kommen wir am schnellsten von Kreuzung 5 zu Kreuzung 37 153 ~ 4 zeigt uns, dass der kurzeste Weg uber die Kreuzung 4 flihrt. Wegen 154 ~ 4 existiert die direkte Verbindung von 5 nach 4. Wie gestaltet sich aber der Weg von 4 nach 37 143 ~ 2 bedeutet, dass er uber die Kreuzung 2 verliiuft. Jedoch ist wegen 1 42 = 1 zwischen Kreuzung 4 und Kreuzung 2 noch die Kreuzung

140

10 Netzwerke

1 zu passieren. Jetzt haben wir die ktirzeste Route von Kreuzung 5 zu Kreuzung 3 identifiziert, denn wegen 154 = 4, 1 41 = I, 1 12 = 2, h3 = 3 existieren diese Einzelverbindungen und liefern die Route 5-4-1-2-3. Sie dauert d 53 ~ 25 Minuten.

10.3

Maximaler Durchsatz

Das Problem, in einem Netzwerk den maximal en Durchsaiz oder Maximalfiuss zu bestimmen, hat eine gewisse A.hnlichkeit mit dem Transportproblem. Auch hier gibt es Quellen oder Al/..Sgangsorte und Ziele oder Besiimmungsorte. Die Ftage betrifft hier jedoch nicht den kostenminimalen Transport, sondern die gr6Btm6gliche Transportmenge pro Periode bei gegebenen Kapazitatsgrenzen cler einzelnen Transportwege. Dabei k6nnen zwischen den Quellen und den Zielen auch noch Zwischensiaiionen (z.E. Ulger) bestehen. Beispiel:

Apfelwein

In einer Abfullanlage fur Apfelwein gibt es zwei Quellen Ql , Q, sowie zwei Abfullstellen AI, A" die durch das folgende Netzwerk aus Rohren miteinander verbunden sind. Zwischen den Quellen und den Abfullstellen sind noch drei Pumpstationen P1) P2) P3 eingerugt. Ein Pfeil bedeutet eine eindeutig orientierte Transportstrecke, eine Linie dagegen eine Verbindung, die in jeder Richtung benutzt werden kann aber natiirlich nicht gleichzeitig. So kann der Apfelwein beispielsweise sowohl von Pr nach P, als auch umgekehrt flieBen. Ql kann auch Q, noch mit Apfelwein versorgen, aber nicht umgekehrt. Es ware auch denkbar, dass sich die Abfullstellen untereinander versorgen konnen. Dies soll in unserem Beispiel aber nicht vorgesehen sein.

Fur den Losungsalgorithmus wird den Quellen eine gemeinsame fiktive "Superquelle" (Knoten 1) mit unendlicher Kapazitiit vorgeschaltet und entsprechend den Zielen ein gemeinsames fiktives "Superziel" (Knoten 9) nachgeschaltet. Anstelle der iibrigen Pfeile werden nun Strecken verwendet, wobei die Pumpkapazitiiten (z.B. in Liter

10.3 Maximaler Durchsaiz

141

pro Sekunde) der jeweiligen Verbindung in der Orientierungsrichtung jeweils am Anfang der Strecke stehl und eine Null am Ende der Strecke die "Nullkapazitiit" in Gegenrichtung signalisiert. Die Kapazitiit von Pumpe 1 (Knoten 4) zu Pumpe 2 (Knoten 5) betrage 15, die Kapazitiit in umgekehrter Richtung dagegen nur 12. Wie lautet nun die maximale Pumpkapazitat des gesamten Systems und wie viele Liter werden dazu durch die einzelnen Rohre gepumpt?

20

2

0

4

10

0

6 co

c;~

5

15

0 3

0

8

12 30

0

5

20

0

0)

10

co 0

8

Da die formale Beschreibung des Algorithmus viele Bezeichnungen erfordern wiirde und dadurch recht uniibersichtlich werden wiirde, soli das L6sungsverfahren direkt am Beispiel beschrieben werden. Man sucht einen vollstiindigen (und schleifenfreien) Pfad vom ersten bis zum letzten Knoten durch das gesamte Netzwerk, stellt den maximalen Durchsatz auf diesem Pfad fest und modifiziert entsprechend die restlichen Kapazitiiten. Dies wiederholt man, bis es keinen durchgiingigen Pfad mehr gibt. Kann man von einem Knoten zu mehreren Knoten gelangen, wahlt man den Weg mit der gr6Bten Kapazitiit. Bei mehreren (gleich-)gr6Bten Kapazitiiten (Bindungen) kann man eine beliebige wahlen. Von Knoten 1 sind die Knoten 2 und 3 mit jeweils derselben (unendlichen) Kapazitat zu erreichen. Wahlen wir also willkiirlich einen Weg, etwa den zu Knoten 3. Von dort geht es nur weiter zu Knoten 5, wo man nun vier verschiedene Fortsetzungsmoglichkeiten hat. Es ist diejenige mit der maximalen Kapazitat zu wahlen, also nach Knoten 8 und schlieBlich zwangsliiufig zu Knoten 9. Der erste vollstiindige Pfad ist gefunden: PI ~ 1- 3- 5 - 8- 9. Er besitzt offenbar eine maximale Kapazitiit von Kl ~ 20, da von 5 nach 8 nicht mehr flieBen kann. Dieser Wert wird vor der niichsten Iteration von den Kapazitiiten auf dem gefundenen Pfad subtrahiert und - das ist wichtig! - zu den Kapazitiiten in Gegenrichtung addiert.

10 Netzwerke

142

2

4

10

0

6 co

c,~

5

15

0

12

3

30

0

8 5

0

0

8

10

co

20

0

8

Wir gehen zunachst wieder ganz willkiirlich von 1 nach 3, dann wieder zwangslaufig nach 5) von wo wir die kapazitatsmaximale Fortsetzung nach 4 nehmen. Der restliche Pfad ergibt sich dann wieder zwangsliiufig. Der zweite vollstandige Pfad P2 ~ 1 3 - 5 - 4 - 6 -7 - 9 hat eine maximale Kapazitat von K2 = 5 wegen des "Engpasses" von 6 nach 7. Nun ist zur Bestimmung cler "restlichen" Kapazitaten entlang des gefundenen Pfades wieder der Wert K2 in Flussrichtung zu subtrahieren und in der Gegenrichtung zu addieren.

20

2

c~~ 3

0

4

5

15

0

12 10

20

10

0

6

0

8 5

0

8 10

co

20

8

Wahlen wir beispielsweise zum dritten Mal den Weg von Knoten 1 zu Knoten 3 und dann zu Knoten 5, so fiihrt die kapazitatsmaximale Fortsetzung direkt zu Knoten 7 und zum Endknoten: P3 ~ 1 - 3 - 5 - 7 - 9. Die Kapazitat dieses Pfades betragt K3 ~ 5.

10.3 Maximaler Durchsaiz

20

2

(;~

143 0

4

5

20

0

7

8 co

3

5

5

25

Nach der Korrektur der rest lichen Kapazitat des Systems kommt man offenbar von Knoten 3 nicht mehr weiter, so dass wir zwangslaufig vom Startknoten zu Knoten 2 gehen mussen. Die kapazitatsmaximale Fortsetzung fiihrt uber Knoten 4 und Knoten 5 (mit einer Kapazitat von 20 CISek. in dieser Richtung) zu Knoten 6. Dieser Pfad entpuppt sich allerdings als Sackgasse, da wir von 6 nur noch nach 7 gelangen k6nnten, auf dieser Strecke aber keine Restkapazitat mehr vorhanden ist. 20

2

0

7

4

co

(~~

5

20

0

7

5

8 co

3

0

5

30

20

8

Also gehen wir einen Schritt zuruck zu Knoten 5, streichen gedanklich den Weg in die Sackgasse und wahlen die Fortsetzung mit der zweitgr6Bten Kapazitat, also nach 7 und zum Endknoten: P, ~ 1 - 2 - 4 - 5 - 7 - 9 mit K , ~ 5. Der Wert K , ist in Flussrichtung zu subtrahieren und in Gegenrichtung zu addieren. 20

2

(,~

0

4

5

20

0

7

8 co

3

0

30

5

144

10 Netzwerke

Wie man schnell sieht, gibt es nun keinen weiteren vollstandigen Pfad vom Startzum Endknoten mehr, denn der Schniti oder Cut trennt Start- und Endknoten vollstiindig voneinander, durchtrennt dabei jedoch nur Rohre ohne jegliche Restkapazitat in Flussrichtung. Man kann nun zusammenfassen: Das Netzwerk besitzt einen maximalen Durchsatz von Kl + K2 + K3 + K , ~ 35 Litem pro Sekunde. Dieser entspricht iibrigens stets exakt der gesamten Kapazitiit aller durch den Cut "durchtrennten" Verbindungen.

15

2

5

4

5

5

6

0

5

7 co

c,~

5

15

0 3

0

12 0

30

8

Cut

8 5

10

0

co

0

20

8

N eben clem maximalen Durchsatz oder Durchftuss des gesamten Systems kann man nun auch sehen, wie dieser Durchftuss sich innerhalb des Netzwerks auf die einzelnen Verbindungsrohre aufteilt. Dazu vergleicht man die urspriinglichen Kapazitiiten der Rohre mit den "Restkapazitaten" aus cler letzten Darstellung. Die Differenz aus cler urspriinglichen Kapazitiit in der ersten Netzwerkdarstellung und der entsprechenden Restkapazitiit ergibt den tatsiichlichen Durchfluss der betrachteten Verbindung. So werden etwa von Knoten 2 zu Knoten 4 im optimalen Fall 20 - 15 ~ 5 Liter pro Sekunde gepumpt, ebenso von 4 nach 6 (10 - 5 ~ 5) und von 6 nach 7 (5 - 0 ~ 5). Von 3 nach 5 flieBen 30 - 0 ~ 30 CISek., die sich dann auf die Verbindungen 5-7 (10 - 0 ~ 10) und 5-8 (20 - 0 ~ 20) aufteilen. Die iibrigen Verbindungsrohre werden im Grunde gar nicht gebraucht und k6nnten eingespart werden. Die letzte Abbildung zeigt den tatsiichlichen Fluss im durchsatzmaximalen Fall.

o

o

o

10

20

145

10.4 Ubungsaufgaben

10.4

Ubungsaufgaben

Aufgabe 10.1:

Umspannwerke

Sechs Umspannwerke sind durch Hochspannungsleitungen (zumindest indirekt) miteinander zu verbinden. Die Entfernungen cler Umspannwerke voneinander sind in der Tabelle angegeben. Wie sieht die kostengunstigste, also kiirzeste Verbindungsstruktur aus und wie lang ist sie?

1

3

6

0

20 30 35 15 22

2 20

0

42

28 21 33

3 30 42

0

43 23 17

4 35 28 43

0

23 37

37 26 0

39

6 22 33 17 26 39

0

Logistik- Uniernehmen

Ein Logistik-Unternehmen hat ein Verkehrsnetz von sechs Distributionszentren. Die Transportkosten sind fur die vorhandenen Wege des Netzes in der Abbildung angegeben. Dabei ist beispielsweise cler Transport von 1 nach 2 mit 10 Geldeinheiten giinstiger als der Transport von 2 nach 1, der 12 Geldeinheiten kostel. Berechnen Sie jeweils die gunstigste Transportroute und die zugeharigen Transportkosten fur die Fahrten von 1 nach 5, von 5 nach 1) von 4 nach 3 und von 4 nach I!

Aufgabe 10.3:

5

2

5 15 21

Aufgabe 10.2:

4

1

1

10

10

10

co

3

22

1 co

5

17

14

16

14

17 4

18 16 18

12 2

24

24

6

Raffinerie

In einer Raffinerie wird ein Leitungssystem entworfen. Zwei "Quellen" verfligen tiber beliebig viel Rohal, das mittels vier Pumpstationen zu drei Zielen gepumpt werden soli. Das Layout des Rohrsystems sowie die Kapazitilten der einzelnen Rohre je Richtung sind der Abbildung zu entnehmen. Uber welche Gesamtkapazitilt verfugt das Leitungssystem?

Ql

15

12

14

10

19 8

Q2 25

0

16

o

9

o0

18 0 P2 20

P3

o

ZI 0 Z2

0 14

P, 15

o

Z3

10 Netzwerke

146

Aufgabe 10.4:

Bestimmen Sie den maximalen Durchsatz durch das nebenstehende System von der QueUe zum Ziel!

o

P 12 1

0

P3 14

5

0

10 0

Q

Z 0

25

8

Kapitel 11 N etzplantechnik Lernziele • Was kann und will die Netzplantechnik leisten? • Was ist ein Netzplan? • Was ist ein Ganttdiagramm? • Welche Unterschiede gibt es zwischen Vorgangspfeil- und Vorgangsknotennetzplanen? • Was ist ein kritischer Pfad und welche Arten von Pufferzeiten gibt es? • Wie berechnet man einen Netzplan? • Welchen Zinsvorteil kann man durch die Ausnutzung von Pufferzeiten erzielen? • Wie kann man vorhandene Kapazitaten optimal auslasten? • Was sind CPM und PERT?

11.1

Ziele und Werkzeuge der Netzplantechnik

Die Netzplantechnik ist ein - teils graphisches, teils numerisches - Verfahren zur Darstellung und Optimierung von Projekten. Ein Projekt ist ein zeitlich und inhaltlich klar abgegrenztes Vorgehen - sei es in cler Industrie, im Dienstleistungsbereich, cler Verwaltung, cler Politik oder in anderen Bereichen des beruftichen oder privaten Lebens. Es besteht aus mehreren, oftmals sehr vielen Vorgiingen oder Tiitigkeiten. Jeder Vorgang wird dabei als homogene, nicht mehr sinnvoll untergliederbare Aufgabe verstanden. Die verschiedenen Vorgange eines Projektes sind typischerweise - zumindest teilweise - voneinander abhangig in dem Sinne, dass einige bereits abgeschlossen sein mussen, bevor andere beginnen k6nnen. Die Netzplantechnik ist eines der wichtigsten Instrumente des Projektmanagements, also zur Planung, Durchfiihrung und Steuerung von Projekten. Einer ihrer wesentlichen Vorteile liegt liegt darin, dass die Zeitplanung oder Berechnung des Netzplans unabhiingig von der Ablaufplanung, also der Fixierung der Reihenfolge aller Vorgange, vorgenommen

148

11 N etzplantechnik

werden kann. Auch wenn sich wahrend cler Projektdurchfiihrung etwas verz6gern sollie und daher eine Neuberechnung des Nelzplans erforderlich werden sollie, bleibl dennoch seine Struktur inlakl. Der Nelzplan isl - graphenlheorelisch gesprochen - ein gerichtetes, zusammenhangendes und bewertetes Netzwerk ohne Schleifen. Unler Bewertung verslehl man dabei die Zuordnung von Zahlen zu den Pfeilen. Die vorrangigen Ziele der N elzplanlechnik beslehen in der • Minimierung der Projekldauer bei gegebenen Dauern und Abhiingigkeilen der einzelnen Vorgange, • Optimierung cler Finanzierung im Rahmen cler Freiheitsgrade und • Maximierung cler Kapazitatsauslastung. Haufig sind die Dauern cler einzelnen Vorgange eines Projektes aus cler Erfahrung heraus bekannt - zumindest approximativ oder stochastisch, d.h. im Sinne einer bekannlen Wahrscheinlichkeilsverleilung. Auch die zeillichen Abhangigkeilen der Vorgange untereinander sind bekannt. Manche Tatigkeiten mussen eben abgeschlossen sein, damit andere beginnen k6nnen. (Fangen Sie einmal an, das Obergeschoss eines Hauses zu mauern, bevor das Erdgeschoss fertig gemauert ist!) Andererseits gibt es sicherlich auch Tatigkeiten, die unabhangig voneinander eingeplant werden konnen. So gibt es also fur die zeitliche Einplanung der einzelnen Vorgange gewisse Fteiheitsgrade, die sich in Form der so genannten PujJerzeiien manifestieren. 1m Rahmen dieser Pufferzeiten konnen Vorgange verzogert oder verschoben werden, ohne dass sich dadurch die gesamle Projekldauer verlangerl. Die zweile Zielselzung nutzt diese Freiheitsgrade, urn einzelne Vorgange moglichst spat durchzufuhren. Die so erzielle Kapilalfreiselzung soli hier maximierl werden. Das drille Ziel berlicksichtigt die - meist vorgegebenen - Kapazitaten oder Ressourcen zur Durchfiihrung der Vorgange. Diese Kapazitaten konnen in Form von Mitarbeitern, Rohstoffen, Belriebsmilleln, Maschinen, Fahrzeugen, Raumlichkeilen, Kapilal oder A.hnlichem auftreten. Sind solche Kapazitaten vorhanden, solI ten sie naturlich auch eingesetzt und genutzt werden, denn ein Flugzeug auf dem Boden oder ein Mitarbeiter, der Daumchen dreht, verursachen nur Kosten. Neben der Erflillung dieser Oplimierungsziele bescherl der Einsalz der Nelzplantechnik jedoch noch weitere Vorteile. Zu nennen ware beispielsweise die exakte Analyse komplexer Projekle wie elwa Hoch- oder Tiefbau-Projekle, Schiff-, Flugzeugoder Maschinenbau, Planung und Bau von Fabriken und Kraftwerken, aber auch Markeling-Aklionen oder komplexe Dienstleislungen. Der melhodische Zwang zur akribischen Zerlegung des Projekles in viele Vorgange lieferl einen erheblichen Erkennlnisgewinn liber das Projekl und deckl womoglich versleckle Probleme auf, die nun schon vor dem Projeklslarl gelosl werden konnen. AuBerdem ermoglichl die Nelzplanlechnik die oplimale Koordinalion organisalorisch gelrennler Slellen wie etwa Subunternehmer, Lieferanten oder Amter.

11.1 Ziele und Werkzeuge der N etzplantechnik Beispiel:

149

Studienarbeit mit Umfrage

Als einfiihrendes Beispiel eines Projektes solI hier eine gemeinsame Studienarbeit der drei Studierenden Frauke, Kathrin und Christoph aus dem Hauptstudium des Studiengangs Wirtschaftsingenieurwesen dienen. Die Arbeit ist mit einer Meinungsoder Unternehmensumfrage verbunden. Die einzelnen Vorgange sind in cler folgenden Vorgangsliste zusammengefasst. Die Lektiire cler einfiihrenden Fachliteratur solI ten zuniichst aile beendet haben, bevor der Fragebogen sinnvoll entworfen und anschlieBend gedruckt werden kann. Parallel zur Arbeit am Fragebogen kann sich schon jemand urn die Adressen kiimmern, an die anschlieBend cler Fragebogen verschickt werden solI. Nach einer angenommenen Riicklaufzeit von 14 Tagen k6nnen die Drei parallel mit der Auswertung beginnen, die gemiiB einer inhaltlich sinnvollen Aufteilung zu einer geringfugig unterschiedlichen erwarteten Zeitbelastung fuhrt. AbschlieBend werden die Ergebnisse gemeinsam schriftlich zusammengefasst. Der Vorgangsliste sind weiterhin eine Kurzbezeichnung in Gestalt eines GroBbuchstaben, die Dauer - z.B. in Tagen - und die unmittelbaren Vorgiinger und Nachfolger jedes einzelnen Vorgangs zu entnehmen. Bez. A B C D E F G H I

Vorgang Dauer Vorganger Literaturstudium 14 Fragebogenentwurf 5 A Fragebogendruck 2 B Adressermi t tl ung 10 A Fragebogenversand 14 C,D Auswertung Frauke 6 E Auswertung Kathrin 5 E Auswertung Christoph 7 E Z usammenfassung 5 F,G,H

Das Ganttdiagramm oder Balkendiazeigt tiber der horizontalen Zeitachse fUr jeden Vorgang dessen zeitliche Lage, also den Anfangszeitpunkt und den Endzeitpunkt. Dies kann im Prinzip zu jedem Zeitpunkt des Projekts geschehen. Hier wird es jedoch fur den "Zeitpunkt 0" gezeigt, also fur den Projektbeginn. Die Vorgiinge werden dabei im Rahmen ihrer Reihenfolgeabhiingigkeit friihestmoglich platziert. Vorgang B kann beispielsweise sofort nach dem Ende von A beginnen und ware dann nach 19 Tagen beendet. Danach kann sofort Vorgang C beginnen usw. Genau gramm

Nachfolger B,D C E E F,G,H I I I -

A B C

D E

F G

H I 10

20

30

40

50

150

11 N etzplantechnik

diese Situation ist im Ganttdiagramm dargestellt. Man erkennt, dass unser Projekt nach 50 Tagen abgeschlossen werden kann. Das Ganttdiagramm ermoglicht zwar eine visuelle Darstellung der zeitlichen Lage und Ausdehnung aller Vorgange zu jedem Zeitpunkt - z.E. vor dem Projektstart - , es zeigt aber nicht die zeitlichen Abhiingigkeiten der Vorgange untereinander und die sich daraus ergebenden Restriktionen und Moglichkeiten. Diesen Vorzug genieBen nun die Netzplane, von denen es zwei Variant en gibt: den Vorgangspjeilneizplan und den Vorgangsknoienneizplan. 1m Vorgangspfeilnetzplan werden die Vorgange durch Pfeile dargestellt. Da Vorgange eine zeitliche Ausdehnung haben und daher etwas Dynamisches darstellen, scheint mir diese Variante auch naherliegend und intuitiver zu sein. Aber das ist sicherlich Ansichtssache.

B 5

0

A 14

2

C

F

2

6

D 1 10

E 3 14

5

I

G

4

5

H 7

6

5

8

7

Die Pfeile sind mit den Kurzbezeichnungen der Vorgange und mit deren Dauer beschriftet. Ferner ist jeder Vorgang zwischen ein eindeutiges Paar von Knoten (Kreisen) eingebettet. Diese Knoten sind willkiirlich von 0 bis 8 durchnummeriert. Auf die Reihenfolge oder auch auf den Zahlenbereich der N ummerierung kommt es nicht an, solange die Knoten unterschiedlich nummeriert werden. Diese Knotennummerierung gestattet nun eine alternative Bezeichnung cler Vorgange. Statt A konnte man genauso gut 0-1 schreiben, und statt F konnte man 4-5 schreiben. Damit die Eindeutigkeit der Bezeichnung gewahrt bleibt, ist es dann allerdings manchmal erforderlich, zusatzliche Knoten und so genannte Scheinvorgange einzufUgen. Dies war in unserem Beispiel fUr den Endknoten von Vorgang F (Knoten 5) sowie fUr den Endknoten von Vorgang H (Knoten 7) der Fall. Ware beispielsweise der Knoten 5 nicht eingefUgt worden, dann waren sowohl der Vorgang F als auch der Vorgang G durch dasselbe Paar von Anfangs- und Endknoten darstellbar, namlich 4-6. Das ist aber graphentheoretisch unzuliissig. Die gestrichelt dargestellten Scheinvorgange sind aber auf jeden Fall erforderlich, da ohne sie der Vorgang I ja auch beginnen konnte, bevor Fund H abgeschlossen sind. Dies ist annahmegemaB nicht erlaubt. Erst die "RiickfUhrung" der Vorgange Fund

11.1 Ziele und Werkzeuge der N etzplantechnik

151

H in den Knoten 6 durch die Scheinvorgange ist sichergestellt, dass der Vorgang I auch auf die Vorgange Fund H wartet - wie ein Anschlusszug, cler auf mehrere "Zuliefererzuge" warten muss. Diese Scheinvorgange haben stets die Dauer nulL Die Knoten stellen hier also bestimmte Zustiinde des Projekts dar. So entspricht beispielsweise der Knoten 2 dem Zustand, dass der Vorgang B - und damit natiirlich auch aile seine Vorganger - abgeschlossen ist, jedoch der Vorgang enoch nicht begonnen hat. In groBen Projekten werden hervorstechende Projektzustande als Meilensteine bezeichnet, z.B. das Richtfest beim Hausbau oder das Vordiplom beim Projekt "Studium". Meilensteine markieren also einen deutlich wahrnehmbaren Teilerfolg im Projektfortschritt. 1m weitesten Sinne kann man auch den Projektbeginn und das Projektende als Meilensteine auffassen. 1m Vorgangsknotennetzplan werden Vorgange durch Rechtecke als Knoten dargestellt, in die die Vorgangsbezeichnung und die Vorgangsdauer eingetragen werden. Die Vorgangsknoten werden durch Pfeile miteinander verbunden, die hier jedoch nur die Reihenfolgebedingungen darstellen. Fur diese Pfeile sollte man die Vorschrift beachten, dass sie stets aus einem Knoten heraus entspringen und in einem Knoten enden mussen. Ansonsten k6nnte es zu "Kreuzungen" von Pfeilen mit unklaren Verzweigungsmoglichkeiten kommen. Man beachte, dass die Struktur des Netzplanes fur dasselbe Problem nun etwas anders aussieht als beim Vorgangspfeilnetzplan. Dennoch sind sie logisch aquivalent. Man erkennt beispielsweise, dass A der eindeutige erste Vorgang des Projektes ist, daran, dass in den Knoten A kein Pfeil hineinfiihrt. list der eindeutige letzte Vorgang, da aus dem Knoten I kein Pfeil herausfiihrt. Jeder Vorgang muss auf das Ende aller Vorgange warten, aus denen Pfeile in den Vorgangsknoten hineinfiihren.

In unserem Beispiel kamen nur geschlossene Folgen oder - synonym - Normalfolgen von Vorgangen VOL Solche Folgen sind dadurch gekennzeichnet, dass es keine Wartezeit zwischen dem Ende des Vorgiingers und dem Anfang seines Nachfolgers gibt. Diese Situation ist die mit Abstand hilufigste und ist hier noch einmal fur eine fiktive Vorgangsfolge A-B im Ganttdiagramm, im Vorgangspfeilnetzplan und im

152 Vorgangsknotennetzplan dargestellt. War/ezeiten werden ublicherweise in cler so genannten Ende-Anfang-Notation angegeben, also die Wartezeit vom Ende des Vorgangers bis zum Anfang des Nachfolgers. Bei Normalfolgen ist diese Wartezeit nulL Dies kann manmuss es aber nicht - im Vorgangsknotennetzplan uber den entsprechenden Verbindungspfeil schreiben, wie dies hier exemplarisch geschehen ist.

11 N etzplantechnik

:1

a

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

o--+--o--{L-{) 4 2 14

A

EA~a

12

1

B

Bei der offenen Folge gibt es dagegen eine positive Wartezeit zwischen den Vorgangen, wie dies hier fur den - auf 3 ZE verkurzten Vorgang A und seinen Nachfolger B wiederum 6 a 1 2 3 4 5 in den drei Graphiken gezeigt ist. Es wurde eine EA-Wartezeit von 1 ZE angenommen. 1m A B Vorgangspfeilnetzplan ist dazu die Einfugung 3 1 2 eines zusatzliches Pfeiles erforderlich, cler den Wartevorgang repra.sentiert, mit cler entspreEA~1 A B chenden Wartedauer versehen wird und eine 13 12 zusatzliche Vorgangsbezeichnung bekommen kann, aber nicht muss. Einfacher ist nun die Darstellung einer offenen Folge und die Berucksichtigung einer Wartezeit im Vorgangsknotennetzplan. Hier andert sich an der eigentlichen Graphik gar nichts. Es wird lediglich die entsprechende Wartezeit (EA~I) auf den Verbindungspfeil geschrieben.

:1

1

1

1

1

1

1

Bei einer uberlappenden PaIge kann umgekehrt der Nachfolger bereits vor dem Ende des Vorgangers beginnen. Dies hat dann sei: If--If----If----If----I-I--+-1---jl ne Ursache in einer gewissen "Heterogenitat" a 1 234 5 6 des Vorgangs A. Er zerfallt offenbar in einen 1 A2 Teilvorgang AI, wahrend dessen B noch nicht 41. laufen darf, und in einen Teilvorgang A2, der B ' parallel zu B laufen kann. Eine entsprechen2 de Aufteilung in diese beiden Teilvorgange ist im Vorgangspfeilnetzplan dann auch durchzufiihren, wahrend im Vorgangsknotennetzplan lediglich die - nunmehr negative - "Wartezeit" auf dem Verbindungspfeil notiert wird. Beispiele fur uberlappende Vorgange waren etwa das Ausbaggern eines Grabens (Vorgang A) und das Verlegen von Rohren (Vorgang B). Urn mit dem Verlegen beginnen zu k6nnen, muss der - evtl. sehr lange - Graben sicherlich nicht vollstandig ausgebaggert sein. Andererseits wird man dem Baggerteam einen gewissen Vorsprung vor dem Verlegeteam einraumen wollen - beispielsweise 3 Tage.

~

11.1 Ziele und Werkzeuge der N etzplantechnik

153

Das fUhrt auf eine andere Form der Wartezeit-Notation, namlich die Anfang-AnfangBeziehung oder Anfangsfolge (im Beispiel: AA~ 3). Weitere, weniger ubliche Notationen stellen die Ende-Ende-Beziehung oder Endfolge (EE) und die Anfang-EndeBeziehung oder Sprungfolge (AE) dar. Als Beispiel fUr den letzten Fall konnte man sich die Betriebsdauern zweier Kraftwerke vorstellen. Das Kraftwerk A darf erst vom Netz gehen, nachdem das (ablosende) Kraftwerk B bereits ans Netz gegangen ist, wenn die Stromversorgung unterbrechungsfrei gewahrleistet werden soIL Bei cler AA- und AE-Notation ware dann jeweils noch die Dauer des Vorgangers zu addieren und bei der AE- und der EE-Notation die Dauer des Nachfolgers. So waren im graphisch dargestellten Beispiel der uberlappenden Folge anstelle von EA~-l ebenso gut auch die Angaben AA~4, EE~l oder AE~6 moglich gewesen. Eine ausfiihrlichere Darstellung von Netzplanen mit anderen Vorgangsbeziehungen als der Normalfolge findet man z.E. in SCHWARZE (1994). Wenn bisher von Wartezeiten die Rede war) dann ist noch gar nicht spezifiziert worden, ob es sich urn Mindestwartezeiten, Maximalwariezeiien oder urn Fixwariezeiien handelt. Mindestwartezeiten sind der Normalfall. Man stelle sich hierfur beispielsweise die Wartezeit zwischen clem Betonieren einer Flache und clem anschlieBenden Mauern auf dieser Flache VOL Aber auch Maximalwartezeiten sind denkbar, wenn Sie etwa an das Anruhren von Gips denken (Vorgang A) und das anschlieBende Verarbeiten (Vorgang B). Und schlieBlich kann es - in wohl eher seltenen Fallen - auch zu Fixwartezeiten kommen, die exakt einzuhalten sind. Solche Situationen k6nnen etwa in chemischen Prozessen vorkommen, in denen ein Vor- oder Zwischenprodukt eine genau einzuhaltende Reaktions-, Abkuhl- oder sonstige Zeit benotigt, urn weiterverarbeitet werden zu k6nnen. Wenn die Art der Wartezeit nicht klar ist, muss man sie naturlich in der Notation berucksichtigen, z.E. EAmax=7 oder EEflx =5. Nachdem ein Netzplan aufgestellt worden ist, ist die erste Phase einer Netzplanstudie abgeschlossen. Insgesamt gliedert sich eine solche Netzplanstudie oftmals in vier Phasen, wobei jedoch bei Bedarfweitere Aspekte oder Phasen hinzukommen konnen. Die vier Phasen, die hier behandelt werden sollen und deren erste bereits behandelt worden ist, umfassen die folgenden Aufgaben: • Strukturanalyse und Ablaufplanung - Zerlegung des Projekts in einzelne Vorgange - Ermittlung der Dauer dieser Vorgange - Ermittlung der zeitlichen Abhangigkeiten dieser Vorgange - graphische Darstellung im Ganttdiagramm und im Netzplan • Zeitplanung (Berechnung des Netzplans) - Berechnung der fruhesten Anfangs- und Endzeitpunkte der Vorgange in einer Vorwiirtsrechnung - Berechnung der spatesten Anfangs- und Endzeitpunkte sowie der Pufferzeiten der Vorgange in einer Ruckwiirtsrechnung

154

11 N etzplantechnik

Ermiltlung des langslen, d.h. kritischen Weges durch den Nelzplan slandige Uberwachung und Neuberechnung des Nelzplans • Finanzplanung

Ermiltlung des finanziellen Aufwands der einzelnen Vorgange zeilliche Kumulalion dieser Aufwande Berechnung des Sparpolenzials der Pufferzeilen • Kapazilalsplanung Ermiltlung des Kapazilalsbedarfs der einzelnen Vorgange Zusammenfassung nach Kapazitatsarten

Kapazilalsausgleich, moglichst im Rahmen der Pufferzeilen In den folgenden Abschnillen dieses Kapilel werden wir uns der Zeil-, Finanz- und Kapazilalsplanung zuwenden.

11.2

Zeitplanung

Die Zeitplanung oder Berechnung des Neizplans zerfallt im wesentlichen in eine Vorwarisrechnung und eine Riickwiirisrechnung. In cler Vorwartsrechnung beginnt man zum Zeitpunkt null - oder wahlweise auch zu einem konkreten Kalenderdalum - , aile Vorgange im Rahmen ihrer zeillichen Abhangigkeil friiheslmoglich anzuordnen. Auf diese Weise ermittelt man ein fruhestmogliches Ende des gesamten Projekls. Man iibernimml nun diesen Zeilpunkl als den spatesten Endzeilpunkl des Projekls bzw. des Endes des lelzlen Vorgangs des Projekls. Dann ordnel man in der Riickwarlsbewegung vom Projeklende bis zum Projeklslarl aile Vorgange im Rahmen ihrer zeillichen Abhangigkeilen - moglichsl spat an. Man berechnel also im Rahmen der Vorwarlsrechnung die friiheslen Anfangszeilpunkle (FAZ) und die friiheslen Endzeilpunkle (FEZ) aller Vorgange und im Rahmen der Riickwarlsrechnung die spaleslen Endzeilpunkle (SEZ) und die spaleslen Anfangszeilpunkle (SAZ) aller Vorgange. Urn die Reihenfolgebedingungen einzuhallen, miissen dazu die folgenden Formeln beachlet werden:

FAZj

~

max{FEZi

FEZj SAZ i

~ ~

FAZj + D j SEZ i - Di

SEZ i

~

min{SAZj

fur aile Vorganger i des Vorgangs j}

fur aile Nachfolger j des Vorgangs i}.

Wenn ein Vorgang nur einen Vorganger hat, dann ist die Maximierung in cler ersten Gleichung natiirlich obsolel und man nimml einfach den FEZ des Vorgangers. Enlsprechend enlfallt die Nolwendigkeil einer Minimierung in der lelzlen Gleichung,

155

11.2 Zeitplanung

wenn ein Vorgang nur einen Nachfolger besitzt. Die Berechnung eines Netzplanes solI nun am Beispiel demonstriert werden.

Beispiel:

Studienarbeit mit Umfmge

In unserem Textbeispiel benotigen die drei Studenten vierzehn Tage, urn sich in die Thematik einzulesen (Vorgang A). Das Projekt und damit der Vorgang A beginnt mit Zeitpunkt null (FAZA~O). Dies notieren wir am linken oberen Ende des Vorgangspfeils A. Dazu addieren wir die bekannte Vorgangsdauer DA~14 und erhalten FEZA~14. Diese Zahl notieren wir am rechten oberen Ende des Vorgangspfeils A. Man iibernimmt diese Zahl als friihesten Anfangszeitpunkt flir aile (beiden) Nachfolger und notiert sie links oben auf den Pfeilen der Vorgange B und D. Mit welchem Teil des verzweigten Netzplans man jetzt weitermacht, spielt keine Rolle. Cehen wir beispielsweise zunachst tiber den oberen Zweig. Wir addieren die Dauer 5 und notieren den Wert FEZB~19 rechts oben auf dem Pfeil von B und iibertragen ihn auch gleich als FAZ-Wert des Nachfolgers C. Addieren wir nun die Dauer von C, erhalten und notieren wir den Wert FEZc~21. Jetzt muss zunachst der andere Zweig berechnet werden. Zu FAZD~14 kommt die Dauer von 10 Tagen hinzu und flihrt zu FEZD~24. Die Notwendigkeit der Maximumbildung aus der o.a. Formel ergibt sich nun erstmals, denn cler Vorgang E ist cler erste (im Rahmen cler Vorwartsrechnung), der mehrere Vorganger hat. Als friihesten Anfangszeitpunkt flir den Vorgang E, mussen wir also das Maximum - und dam it den spiiteren - cler FEZ-Werte der Vorgange C und D eintragen. Dies ist der Wert 24. Dazu addieren wir die Dauer von E und erhalten FEZE=38. Dieser Wert wird wieder - ganz automatisch - als FAZ-Wert aller drei Nachfolger iibernommen. Deren Dauern werden jeweils addiert, was zu den Werten FEZF~44, FEZG~43 und FEZH~45 flihrt. Deren Maximum wird als FAZ-Wert flir den letzten Vorgang I iibernommen. Wir addieren die letzte Vorgangsdauer und erhalten schlieBlich FEZI~50, was gleichzeitig die gesamte Projektdauer darstellt.

14

o

B 19 2 19 C 5 2

14 0 A 14 1 14

D 10

21

24 3 24 E 38 4 38 C 43 6 45 I 50 8 14 5 5

Legende: OFAZ

FEZ

0

38

H 45 7

7

Damit ist die Vorwfutsrechnung abgeschlossen. Man iibernimmt die Projektdauer nun ganz schematisch als SEZ 1 rechts unterhalb des letzten Vorgangspfeils. Die beiden o.g. SEZ-Formeln werden nun verwendet, urn sukzessive alle SEZ- und SAZ-

11 N etzplantechnik

156

Werte im Rahmen einer Ruekwartsbewegung dureh den Netzplan zu berechnen. Den SAZ-Wert bekommt man stets dureh einfaehe Subtraktion der Vorgangsdauer vom SEZ-Wert. Wenn ein Vorgang nur einen Naehfolger hat, wird der SAZ-Wert dieses Nachfolgers einfaeh als SEZ-Wert des Vorgangs ubernommen. Lediglieh wenn ein Vorgang mehrere Naehfolger hat, ist etwas Vorsieht angebraeht. Denn dann muss man als SEZ-Wert das Minimum der SAZ-Werte aller Nachfolger verwenden. So erhalt man beispielsweise SEZE~min{39,40,38}~38 und SEZA~min{17,14}~14. 14 17

o

B 19 2 19 C 5 22 22 2

o A 14 14 0 1414 1 14

D 10

21 24

38 39

F 44 5 6 45

24 24 E 38 38 G 43 45 I 50 3 4 6 8 24 40 5 45 45 5 50 241438

Legende: OFAZ SAZ

FEZ SEZ

0

38 38

H 45 7 7 45

Wenn man diese Regeln genau befolgt, erhalt man als spiitesten Anfangszeitpunkt des ersten Vorgangs stets wieder den Wert null. Dies kann als "RechenkontrolIe" dienen. Nach clem Abschluss cler Riickwartsrechnung kann nun cler kriiische Pfad sehr einfaeh bestimmt werden. Er besteht aus allen Vorgiingen, fur die der SAZ-Wert gleieh dem FAZ-Wert ist. Genauso gut k6nnte man ihn aueh die Gleiehheit von SEZ- und FEZ-Wert besehreiben. Die Differenz SAZ- FAZ und die Differenz FEZ-SEZ sind konstruktionsgemiiB fur jeden Vorgang identiseh. Diese Differenz nennt man auch die PujJerzeii des entsprechenden Vorgangs. Dies bedeutet) dass der kritisehe Pfad - oder aueh kritische Weg - dureh den Netzplan genau aus denjenigen Vorgangen besteht, die keine positive Pufferzeit haben. In unserem Beispiel besteht der kritisehe Pfad aus den Vorgiingen A-D-E-H-J. Er ist dureh verstarkte Linien hervorgehoben. Diese Vorgange diirfen sich nicht verz6gern, ohne dass sieh das gesamte Projekt verz6gert. Das Team muss also die Faehlekttire, die Adressenermittlung, Christophs Auswertung und die sehriftliehe Zusammenfassung planmaBig durchziehen, wahrend beispielsweise cler Fragebogenentwurf eine Pufferzeit von SEZ- FEZ~ 3 Tagen aufweist. Die Berechnung des Netzplans kann aueh in einer Tabelle erfolgen. Dazu erweitert man die Vorgangsliste urn die funf Spalten FAZ, FEZ, SAZ, SEZ und die Pufferzeit. Die ausfiihrlicheren Vorgangsbezeichnungen wurden aus Platzgrunden weggelassen. Die Kurzbezeichnungen - hier werden exemplarisch einmal beide Alternativen angegeben - sind natiirlieh v611ig ausreiehend. An dem Fehlen eines Vorgiingers erkennt man hier, dass der Vorgang A der erste Vorgang des Projekts ist. Man startet daher bei ihm mit einem FAZ-Wert von null. GemiiB der beiden o.a. Fortsehreibungsformeln fur FAZ und FEZ werden nun zuniiehst diese beiden Spalten ausgefiillt.

157

11.2 Zeitplanung

Den FEZ-Wert des letzten Vorgangs - am Fehlen eines Nachfolgers erkennbar iibernimmt man ebendort als SEZ-Wert und berechnet die SAZ- und SEZ-Spalten riickwfuts gemiill den angegebenen Fortschreibungsformeln. SchlieBlich kann man fUr jeden Vorgang die Pufferzeit aus SAZ-FAZ oder aus SEZ- FEZ berechnen und in die letzte Spalte eintragen. Bei beiden Differenzen ergibt sich stets derselbe Wert. Bezeichn.

A B C D E F G H I

0-1 1-2 2-3 1-3 3-4 4-5 4--D 4-7 6--8

Dauer

Vorganger

14 5 2

-

A B A C,D E E E F,G,H

10

14 6

5 7 5

Nachfolger B,D C E E F,G,H I I I -

FAZ

FEZ

SAZ

SEZ

Puffer

0 14 19 14 24 38 38 38 45

14 19 21 24 38 44 43 45 50

0 17 22 14 24 39 40 38 45

14 22 24 24 38 45 45 45 50

0 3 3 0 0 1 2 0 0

Die Berechnung im Vorgangsknotennetzplan erfolgt v6llig analog zu der Berechnung im Vorgangspfeilnetzplan, wobei die Fortschreibungsformeln fUr die FAZ- und SEZ-Werte lediglich beim Vorliegen von Wartezeiten in EA-Notation - andere Notationen sollen hier wegen ihrer geringen Verbreitung nicht mehr verwendet werden -

folgendermaBen zu modifizieren sind:

+ EAij

i Vorganger von

j}

min{SAZj - EAij

j N achfolger von

i}.

FAZj ~ max{FEZi SEZ i

~

Die Berechnung erfolgt hier wieder fUr das Beispiel der Studienarbeit. Man beachte die Legende! Wartezeiten gibt es hier nicht, sie sind also null. 1m Rahmen der Vorwartsrechnung werden die FAZ- und FEZ-Werte links und rechts oberhalb des Vorgangsknotens notiert. In der Riickwartsrechnung schreibt man dann die SAZund SEZ-Werte unter den Vorgangsknoten. Aile Knoten mit gleichen SAZ- und FAZ-Werten (oder mit gleichen SEZ- und FEZ-Werten) sind kritisch und werden zum kritischen Pfad verbunden. r"14'----_----'1"'9

Legende:

FAZ

FEZ

D

SEZ

SAZ

r"19'----_---'2"'1

158

11 N etzplantechnik

Es exislierl slels ein krilischer Pfad vom Projeklslarl bis zum Projeklende. Manchmal kann sich cler kritische Pfad auch "verzweigen". Hier ist dies nicht cler Fall. Aber wenn beispielsweise cler Vorgang H nur 6 Tage dauern wiirde, dann ware neben H auch noch F krilisch, und der krilische Pfad wurde dann in diesem Teil des Nelzplans zwei parallele Abschnille aufweisen. Prinzipiell kann dies auch noch weiler gehen, denn wenn F) G und HaIle gleich lang dauern wurden, dann waren aIle drei Vorgange krilisch und der krilische Pfad hier dreigeleill. Nun sollen noch kompaklere Darslellungen des Vorgangspfeil- und des Vorgangsknotennetzplans vorgestellt werden. Diese unterscheiden sich von obigen Darstellungen nur dadurch, dass die FAZ-, FEZ-, SAZ- und SEZ-Informalionen in die Knolen slall an die Pfeile bzw. Rechlecke geschrieben werden. Diese Informalionen werden dabei aber auch "verdichtet", d.h. es werden insgesamt weniger Zahlen notiert, wodurch der Nelzplan - insbesondere bei groBen Projeklen - ubersichllicher wird. 1m Vorgangspfeilnelzplan wird jeder Knolen dreigeleill. 1m oberen Drillel nolieren wir die Knolennummer. 1m linken unleren Drillel wird das Maximum der FEZWerle aller Vorgiinge eingelragen, die (als Pfeile) in diesen Knolen munden. Dies erfordert nur dort etwas Aufmerksamkeit, wo tatsachlich mehrere Vorgangspfeile in einem Knoten zusammenlaufen. So ist hier beispielsweise in den Knoten 3 das Maximum aus FEZe ~ FAZe + De ~ 19 + 2 ~ 21 und FEZ n ~ FAZ n + Dn ~ 14 + 10 ~ 24 einzulragen, also der Werl 24. 1m rechlen unleren Drillel wird wiihrend der Ruckwiirlsrechnung jeweils das Minimum der SAZ-Werle aller aus diesem Knolen enlspringenden (in der Flussrichlung des Projekls, also Richlung Projeklende!) Vorgiinge eingelragen. So isl also hier im Knolen 1 das Minimum aus SAZ B ~ SEZ B - DB ~ 22 - 5 ~ 17 und SAZ n ~ SEZ n - Dn ~ 24 - 10 ~ 14 einzutragen, also cler Wert 14. Zur Bestimmung des kritischen Pfades mussen nun alle Knoten miteinander verbunden werden, fur die die Hnke und rechte untere Zahl ubereinstimmen. Es ist hier jedoch ganz wichtig, dass man dabei keinen solchen Knoten "vergisst".

B 5

2 19 22

c 2

F 5 '---~'-6-.j 44 45

D 10 Legende:

®

a: Knotennummer b: max {FEZi I i Vorgiinger } c: min{SAZj I j Nachfolger}

H 7 '----';;;7-I 45 45

159

11.2 Zeitplanung

Auch im Vorgangsknotennetzplan wird der Knoten unterteilt, urn die FAZ-, FEZ-, SAZ-, SEZ-Informationen sowie die Pufferzeit einzutragen. Man beachte dazu die Legende. Auch hier ist der FAZ-Wert eines (Vorgangs-)Knotens stets das Maximum der FEZ-Werte aller Vorganger - falls es denn mehrere Vorganger geben sollte. Und in der Ruckwartsrechnung ist entsprechend wieder der SEZ-Wert das Minimum der SAZ-Werte aller Nachfolger. Zur Markierung des kritischen Pfads werden alle Vorgangsknoten miteinander verbunden, deren SAZ- und FAZ-Werte (bzw. SEZund FEZ-Wert e) ubereinstimmen.

lEI 1141191 lei 1191211 [5[3[17[22[ [2[3[22[24[

IE [24 38[ .[ G[ [38[43[ .[ I [ 45[50[ 114 0124 381 I 5121401451 1510 451501

[A[ 0[14L JD[ [14[241 1141 0 01141 110101141241 Legende:

Bez. Daue Puffe

I F I 1381441 [ 6[1 [39[45[

FAZ FEZ SAZ SEZ

IHI 1381451 [ 7[ 0 [38[451

Bisher war immer nur von der Pufferzeit die Rede. Diese (gesamte) Pufferzeit wird gelegentlich jedoch noch unterteilt, namlich in die freie, unabhiingige und bedingt verfiigbare Pufferzeit. Die gesamte PujJerzeii eines Vorgangs j errechnet sich bekanntlich aus P j ~ SAZ j - FAZj ~ SEZ j - FEZj und stellt ein globales Konzept dar. Die freie PujJerzeit eines Vorgangs j wird berechnet als FP j ~ mindFAZd - FEZ j . Die Minimierung erfolgt dabei uber alle Nachfolger - falls der Vorgang j uberhaupt mehrere Nachfolger hat. Sollte auf den Vorgang j ein ScheinvorDj FP j BP j gang folgen, so zahlt dieDj ser dabei nicht als "VorI UP j gang") sondern wird ubersprungen. Bei der freien PufFAZj max{SEZ i } SEZ j min{FAZd ferzeit handelt es sich urn den Teil cler gesamten Pufferzeit, den ein Vorgang "verbrauchen" clarf, ohne einem nachfolgenden Vorgang etwas von dessen Pufferzeit "wegzunehmen". Es handelt sich also urn ein vorwiirtsgerichtetes oder zukunjtsorieniieries und gewisserma:Ben lokales

Konzept. Der Rest der gesamten Pufferzeit heWt dann bedingt verfiigbare PujJerzeit und errechnet sich aus BP j ~ P j - FP j . Die unabhiingige PujJerzeit des Vorgangs j berechnet man schlieBlich aus UP j ~ mindFAZd - maxi{SEZi} - D j . Die Minimierung erfolgt uber die fruhesten Anfangszeitpunkte aller Nachfolger und die Maximierung uber die SEZ-Werte aller Vorganger des Vorgangs j. Die unabhangige

160

11 N etzplantechnik

Pufferzeit eines Vorgangs ist also der zeitliche Spielraum, der selbst dann bliebe, wenn sich aile Vorganger in der spatesten Lage und alle Nachfolger in ihrer fruhesten Lage im Rahmen ihrer gesamten Pufferzeit befiinden. Diese unabhangige Pufferzeit darf ein Vorgang demnach "verbrauchen") ohne dabei irgendeinen anderen Vorgang des gesamten Projekts zu beeintrachtigen. Es handelt sich hierbei also urn ein vorwiiris- und rUckwiirtsgerichtetes Konzept. Die Graphik solI diese PufferzeitKonzepte anhand des Zeitbalkens fur den Vorgang j mit der Lange D j uber der horizontalen Zeitachse veranschaulichen. Auf cler Zeitachse sind die aus Vor- und Ruckwiirtsrechnung bekannten Werte FAZ j , max{SEZ i }, min{FAZd und SEZ j eingetragen. Man erkennt an cler Graphik insbesondere, dass die unabhangige Pufferzeit nie groBer sein kann als die freie Pufferzeit und diese nie groBer als die gesamte. Beispiel:

Studienarbeit mit Umfrage

An unserem Textbeispiel sollen diese Pufferzeit-Konzepte fur einige Vorgange verdeutlicht werden. So besitzt der Vorgang B zwar eine gesamte Pufferzeit von 3 Tagen, die aber keine freie Pufferzeit, sondern in vollem Umfang bedingt verfugbar ist. Denn jeder Tag, den der Fragebogenentwurf langer benotigt als geplant, geht dem Druck FP B FAZe - FEZ B 19 - 19 0 als Pufferzelt verloren. BP B P B - FP B 3- 0 3 Wenn die freie PufferUP B FAZe - SEZ A - DB 19 - 14 - 5 0 zeit schon null ist, dann FPc FAZE - FEZe 24 - 21 3 BP e Pc - FPc 3- 3 0 natiirlich auch die unFAZE - SEZ B - Dc 24 - 22 - 2 0 abhiingige Pufferzeit, die UP e nie groBer sein kann als FP F FAZ 1 - FEZ F 45 - 44 1 BP F P F - FP F 1- 1 0 die freie. Fur den Vorgang C sieht dies etwas UP F FAZ 1 - SEZE - DF 45 - 38 - 6 1 anders aus. Seine Pufferzeit ist komplett frei, da er durch ihre Ausnutzung keine nachfolgenden Vorgange beeintrachtigen wurde, wahl aber den Vorganger B. Die Pufferzeit von 3 Tagen ist also nicht unabhangig, sondern gewisserma:Ben eine gemeinsame Pufferzeit der Vorgangskette B-C. Dagegen ist die Pufferzeit des (nicht in Serie geschalteten) Vorgangs F nicht nur frei, sondern auch unabhangig. Diese Pufferzeit kann der Vorgang F ganz nach Belieben verbrauchen, ohne dadurch auch nur irgendeinen anderen Vorgang des gesamten Projekts zu st6ren. Beispiel:

FujJball- Tumier

Anhand eines weiteren, etwas umfangreicheren Beispiels solIen nun noch einmal die Instrumente Vorgangsliste, Ganttdiagramm, Vorgangspfeilnetzplan und Vorgangsknotennetzplan illustriert werden. Es soli ein FuBball-Turnier geplant werden, zu dem sich neun Mannschaften angemeldet haben und filr das drei Felder zur Verfugung stehen. 1m wesentlichen solI es ein "einfaches ko.-System" werden, was in seiner reinen Form aber nur filr 2, 4, 8, 16, ... (2n) Mannschaften moglich ist. Da wir hier nun einmal

11.2 Zeitplanung

161

fur neun Mannschaften planen sollen, werden wir ein "Ausscheidungsspiel" vorab einplanen mussen, urn dann auf acht Mannschaften zu kommen. Damit das Verfahren im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne fair bleibt, werden die Mannschaften zuniichst gam anonym mit Ml, ... , M9 bezeichnet. Erst nach der Festlegung des Spielsystems werden die Mannschaften diesen Kiirzeln zugelost, so dass dann zwar immer noch zwei cler neun Mannschaften "unzufrieden" sein werden, wei! sie ein zusatzliches Spiel austragen mussen, dieses Risiko aber a priori gleich auf alle neun Mannschaften verteilt ist.

Es sollen beispielsweise in dem Spielmodus die (anonymen) Mannschaften M3 und M4 dieses Zusatzspiel austragen. Der Verlierer scheidet aus. Danach wird es ganz normal ein Viertelfinale, ein Halbfinale und ein Finale geben. Die einzelnen Spiele und Pausen sind in cler Vorgangsliste zusammen mit den Vorgangsdauern und den Nachfolgern aufgefilhrt. Bezeichn. 0-1 A 0-2 B 0-3 C 1-4 D 2-5 E 3-6 F 4-7 G 5-4 H 6-8 1 7-8 J 8-9 K L 9-10

Vorgang MI-M2 M3-M4 M5 -M6 M7-M8 Pause Pause Pause Sieger B - M9 Sieger A - Sieger C Sieger D - Sieger H Pause Sieger 1 - Sieger J

Dauer 20 20 20 20 5 10 10 20 30 30 10 40

Nachf. D E F G H 1

J G K K L -

Die Angabe der (unmittelbaren) Nachfolger ist filr die Festlegung der Ablaufstruktur v6llig ausreichend, ebenso wie es die aUeinige Angabe der Vorganger ware. So erkennt man beispielsweise einen Startvorgang des Projekts in der Nachfolger-Spalte daran, dass er selbst nirgends als Nachfolger auftaucht. Auf allen drei Feldern k6nnen sofort drei Spiele je 20 Minuten beginnen (A, B, C). Danach kann auf dem ersten Feld sofort das Spiel D angepfiffen werden - Wechselzeiten soUen hier einmal ignoriert werden. Auf dem zweiten Feld soU dann der Sieger aus dem Ausscheidungsspiel B gegen die Mannschaft M9 antreten (Vorgang H). Davor wird dem Sieger des Spiels Baber eine filnfmintitige Pause gewiihrt (E). Gleichzeitig kann auf dem dritten Feld das Halbfinale der Sieger aus den Spielen A und C stattfinden (I), die jedoch vorher eine zehnmintitige Pause (F) haben sollen. Die beiden Halbfinale gehen tibrigens tiber 30 Minuten. Das andere Halbfinale (J) kann nach Beendigung von Spiel D und Spiel H auf dem ersten Feld stattfinden, nachdem den beiden Mannschaften eine Pause (G) zugestanden worden ist. Da wirklich beide Mannschaften in den voUen Genuss dieser Pause kommen sollen, hat

162

11 N etzplantechnik

G die beiden Vorganger D und H. Nachdem die beiden Finalisten eine Pause (K) hatten, findet das 40-miniitige Finale (L) statt. Das Ganttdiagramm der friihesten Lage aller Vorgiinge ist nun gar nicht mehr so einfach zu erst ellen. Man muss schon recht genau auf die Reihenfolgebedingungen achten. Daher empfiehlt es sich bei groBeren Projekten, das Ganttdiagramm erst nach -

oder gemeinsam mit -

clem N etzplan zu zeichnen.

~§:======

E~----~~-------------------------------------

F~----~"~----------------------------------­

G~------------

__"~---------------------------

r~~~===

K~--------------------------~"--------------L~----------------------~

o

10

20

30

40

50

60

70

80

90

__________

100 110 120 130 140

Der Vorgangspfeilnetzplan zu diesem Beispiel wird gleich in der kompakten Notation angegeben. Wir sehen - genau wie im Ganttdiagramm - , class das Turnier 135 Minuten dauern wird. Wir sehen nach cler Berechnung - anders als im Ganttdia-

gramm -, dass die Vorgiinge B-E-H-G-J-K-L den kritischen Pfad bilden. Wenn sich eines dieser Spiele oder eine dieser Pausen verz6gert, wird sich auch die gesamte Turnierdauer verlangern.

J

A

30

20

H 20 o o0

B 20

c 20

I 30

8 8585

K 10

163

11.3 Finanzplanung

Der Vorgangsknotennetzplan gestattet es zusatzlich, die Pausen als Wartezeiten aufzufassen als Mindestwartezeiten in EA-Notation - auf die Verbindungspfeile zu schreiben, wodurch die Vorgangsknoten fur die Pausen entfalIen konnen. Wenn ein Projekt mehrere Startvorgiinge (ohne Vorgiinger) hat, dann kann und sollte man im Vorgangsknotennetzplan einen Startknoten vorschalten. Da es sich hierbei aber nicht urn einen Vorgang handelt, sondern urn einen Meilensiein, soUte man diesen Startknoten auch in seiner Form von den Vorgangsknoten abheben. Er wurde hier als Kreis dargestellt.

J D [ [20[40[ EA [20[5 [25[45[

JA[ [0[20[ [20[5 [5 [25[

Start

JE[ [0[201 [20[ 0 [ 0 [20[

EA~5

.[ C [ [0 [20[ EA [20[25[25[45[

11.3

~

IH[ [25[451 [20[ 0 [25[45[

~

10 J J [ 55[851 EA [30[ 0 55[85[

~

lOlL [ [40[ 0

95P~ 95P~

EA~1O

10 .[ I [ [30[60[ EA [30[25[55[85[

~

10

Finanzplanung

Die Finanzplanung eines Projekts solI hier nur im Sinne der folgenden Ftage behandelt werden. Welcher Zinsgewinn kann dadurch erzielt werden, dass unkritische Vorgange im Rahmen ihrer Pufferzeit verschoben werden? Jeder Vorgang ist - zumindest im wirtschaftlichen Kontext - mit gewissen Aufwendungen verbunden, die finanziert werden mussen. Je spater diese Finanzierung anfaUt , desto groBer ist offenbar der Zinsgewinn, denn das Geld kann bei einer Verschiebung des Vorgangs zwischenzeitlich zinsbringend angelegt werden oder muss erst spater zinstrachtig als Kredit aufgenommen werden. Wir wollen diese Frage gleich anhand eines Beispiels beantworten. Beispiel: Wir verwenden die Struktur des Beispiels der Studienarbeit, stellen uns jedoch irgendeine "Coverstory" aus der Industrie vor, damit die Aufwendungen plausibler erscheinen. Auch die Vorgangsdauern wurden gekurzt, damit die nachfolgende Tabelle nicht zu lang wird. Der Vorgangspfeilnetzplan zeigt die neuen Vorgangsdauern und die resultierende Projektdauer. Der kritische Pfad bleibt derselbe wie zuvor.

164

11 N etzplantechnik B

2

2

56

C

1

F 1

5 10 12

D

4

H

7

3

12 12

Zusalzlich nehmen wir nun an, dass fur den Vorgang A funf Geldeinheilen [GE] pro Tag oder allgemeiner pro Zeileinheil [ZE] bereilgeslellt werden milssen, fur den Vorgang B funfzehn usw. Die Belrage findel man in der drillen Zeile der folgenden Tabelle direkl unler der jeweiligen Vorgangsbezeichnung. Es wird in dieser Tabelle also fur jeden Vorgang eine Spalle eingerichlel und fur jede Zeileinheil (z.B. Tag) eine Zeile. Die Zeiteinheiten sind in cler ersten Spalte durchnummeriert. Der Aufbau cler Tabelle erinnert an das Ganttdiagramm, wobei die Orientierung cler "Achsen" hier allerdings vertauscht ist. Auch die "Balken" des Ganttdiagramms kann man hier erkennen, nur dass sie aus Zahlenkolonnen gebildet werden und von oben nach unten verlaufen. Der Betrag, cler fur einen Vorgang zu zahlen ist, wird in aIle Zeilen - also Perioden - eingelragen, in denen der Vorgang lalsiichlich ablauft. Das wird allerdings fur zwei Szenarios durchgefuhrl. 1m erslen Szenario (F) werden alle Vorgiinge wie im Ganttdiagramm gemaB ihrer fruhesten Lage angeordnet. 1m zweiten Szenario (S) werden sie unler Ausnulzung ihrer Pufferzeilen spaleslm6glich angeordnel. In den Spallen Fi und Si werden alle bis zur jeweiligen Periode bzw. Zeile angefallenen Aufwendungen je Szenario kumulierl. In der lelzlen Spalle werden die Differenzen dieser kumulierlen Belrage nolierl und schlieBlich saldierl. frilhesle Lage A B CD E F G H I z 5 15 7 8 25 10 6 6 4 Fi 1 5 5 2 5 10 3 5 15 4 15 7 37 5 15 7 59 6 8 7 74 81 7 7 8 25 106 9 25 131 10 10 6 6 153 11 6 6 165 6 171 12 13 4 175

spalesle Lage A B CD E F G H I

5 15 7 8 25 10 6 6 4 Si 5 5 5 10 5 15 7 22 15 7 44 15 7 66 8 7 81 25 106 25 131 6 137 6 6 149 10 6 6 171 4 175

Fi-S i 0 0 0 15 15 8 0 0 0 16 16 0 0

165

11.3 Finanzplanung

Die Werte der letzten Spalte stellen das "Sparpotenzial" je Zeiteinheit oder Periode dar, das durch die Verschiebung der unkritischen Vorgiinge entsteht. Es ist natiirlich nur in solchen Perioden positiv, in denen mindestens ein unkritischer Vorgang lauft. Eine Ausnahme davon bildet die letzte Periode, bevor der Netzplan jeweils "einspurig" wird. Dies liegt daran, dass die kumulierten Aufwendungen zeitpunktbezogen sind, und zwar auf den Endzeitpunkt der jeweiligen Periode. So stellt der Wert 81 in der siebenten Zeile der F- und der S-Spalte die Summe aller Vorgangsaufwendungen dar, die bis zum Ende der siebenten Periode angefallen ist. Und dies sind nun einmal die gesamten Aufwendungen fUr die Vorgange A, B, C und D - ob sie zuvor verschoben worden sind oder nicht. Die 8umme der GE letzten Spalte hat durch die Kumulation die 150 wenig anschauliche Dimension [GE-ZEI. 100 Dies kann besser an der folgenden Graphik fruheste Lage F(x) veranschaulicht spiiteste Lage S(x) 50 werden, in der die "Kurven" F(x) und S(x) uber x (Zeit) der Zeitachse dar0~~--r-1--+--+--r--r-1--+--+--+--r--r+ gestellt werden. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Genauer gesagt werden die Punkte (i,F i ) und (i,Si), also (0,0), (1,5), (2,10), ... , (13,175) eingetragen und linear miteinander verbunden. Der in der Tabelle berechnete Wert 70 entspricht nun genau der Fliiche zwischen der F- und der 8-Kurve, denn

°

1

13

13

F(x) - S(x) dx

~ ~[(Fi-l + Fi )/2 -

(Si-l

+ S:)/21

(Fo

~

So

~

0)

13

~

L

Fi - Si - (F 13 - SI3)/2

i=l

wegen F 13

=

8 13 .

i=l

Die Zinsersparnis bei maximaler Verschiebung aller unkritischen Vorgange kann nun sehr einfach als Produkt aus dem kumulierten Sparpotenzial mit einem (kalkulatorischen) Periodenzinssatz p berechnet werden: p' :>::i(Fi - Silo Die Dimension lautet

166

11 N etzplantechnik

[l/ZE]·[ZE-GE] ~ [GE]. Wenn wir in unserem Beispiel etwa einen Periodenzinssatz von 0,5% hatten und wenn eine Geldeinheit 1000€ betragen wiirde, dann konnten wir durch die Ausnutzung der Pufferzeit demnach 0,005 . 70000 ~ 350€ sparen. Naturlich ist in cler Praxis immer kritisch abzuwagen, ob dieser monetare Vorteil das gestiegene Risiko cler Verlangerung des gesamten Projekts durch eine unvorhergesehene Verzogerung eines ursprunglich unkritischen Vorgangs kompensiert.

11.4

Kapazitatsplanung

Jeder Vorgang verbraucht Ressourcen (z.B. Rohstoffe, Betriebsmittel) und nimmt Kapazitaten in Anspruch (z.E. Arbeitskraft, Maschinen, Raume, Kapital). Die Kapazitiitsplanung ist umso wichtiger) je knapper die vorhandenen Kapazitaten sind. Sie kann verschiedene Ziele verfolgen. Auf jeden Fall wird es aber darum gehen, vorhandene Kapazitaten nicht zu iiberschreiten, jedoch moglichst gut und gleichmaBig auszulasten. Hier soli nun die Einhaltung der Kapazitatsgrenzen als harte Restriktion behandelt werden, wiihrend man in der Praxis gelegentlich die Moglichkeit hat, vorhandene Ressourcen kurzfristig geringfugig aufzustocken, z.E. durch Umschichtung zwischen mehreren Projekten oder durch Leiharbeitsfirmen. Unter Beachtung cler Kapazitatsgrenzen solI dann die Projektdauer minimiert werden. Die Reihenfolgebedingungen der Vorgange sind dabei natiirlich ebenfalls stets zu beachten. Zur Erreichung dieser Zielsetzung sollen - sofern moglich - Vorgange verschoben, unterbrochen, gestrafft oder ausgedehnt werden. Nach dem Motto "Was zwei Mitarbeiter in sechs Tagen schaffen, das schaffen drei Mitarbeiter in vier Tagen" wird also das Prinzip der Ressourceninvarianz der Vorgange angenommen, das in der Praxis sicher nur in gewissen Grenzen gUltig ist. Das hier verwendete Verfahren besteht in systematischem Probieren, stellt also "nur" eine Heuristik dar, die jedoch mittels zweier graphischer Darstellungen - dem Belastungsplan und dem Flachendiagramm - sehr anschaulich zu handhaben ist. Dies soli gleich am Beispiel illustriert werden.

Beispiel:

Bauuniernehmer

Ein TiefbauunternehBez. Vorgang D Bagger Raupen Vorganger mer hat fur sechs BauA 3 0 Baustelle 1 4 stellen vier Bagger und B 0 1 Baustelle 2 6 drei Raupen zur VerfiiC 2 0 A Baustelle 3 4 gung. Der Bedarf an D 0 A 3 Baustelle 4 2 Baggern und Raupen E 0 2 B,C Baustelle 5 3 an den sechs Baustel3 D F 0 Baustelle 6 2 len ist unterschiedlich hoch und wird in der Vorgangsliste angegeben. Die Versorgung der einzelnen Baustellen mit diesen Geraten entspricht den Vorgangen A bis F, deren Dauern ebenfalls in der Vorgangsliste stehen.

11.4 Kapazitiitsplanung

167

Die Reihenfolge der Bestuckung der eino 1 A D zelnen Baustellen liegt fest und ist in Geo 0 4 4 4 2 stalt der Vorganger-Spalte in der Vorgangsliste aufgefuhrt. Der resultierenC 4 de Vorgangspfei!netzplan ist - inklusive Berechnung und kritischem Pfad A-C-E 2 4 B E - fur die Ausgangssituation dargestellt 1--::-3--+-1 11 11 8 8 6 worden. Das Projekt hat demnach eine Dauer von 11 Zeiteinheiten (z.E. Wochen). Diese Berechnung berucksichtigt jedoch noch nicht die Durchfuhrbarkeit des Projekts bezuglich der Kapazitatsbeschrankungen und des Bedarfs der einzelnen Vorgange.

Zu diesem Zweck stellen wir diese Ausgangssituation in clem so A 31 3 1 3 1 3 genannten Belasiungsplan dar) 2 2 2 I 2 C der groBe A.hnlichkeit mit dem 3 3 D Ganttdiagramm hat. Auch hier werden die Vorgange unter BeB 1 11 11 11 1 1 achtung ihrer ReihefolgebedinE 2 I 2 I 2 I gungen in ihrer fruhestmaglichen F Lage uber der Zeitachse als Bal31 3 ken dargestellt. 1m U nterschied 01234567891011 zum Ganttdiagramm werden die Vorgange im Belastungsplan nach den Kapazitatsarten angeordnet, also die Vorgiinge A, C und D gemeinsam, wei! sie die Bagger benotigen, und die Vorgange B, E und F benachbart, wei! sie die Raupen brauchen. AuBerdem tragt man in jedes (Zeit-) Kastchen der Balken die benatigte Menge bzw. Anzahl der relevanten Kapazitatsart ein. Man erkennt nun bereits, dass es in dieser Ausgangssituation zu einem Konftikt zwischen den Vorgangen C und D in den Perioden 5 und 6 kommt, da sie gemeinsam fiinf Bagger brauchen, aber bekanntlich nur vier verfiigbar sind.

Was kann man tun? Urn die Kapazitatslage anschaulicher darzustellen, wird fur jede Kapazitatsart ein so genanntes Fliichendiagramm aufgestellt. In diesem Flachendiagramm werden aIle Vorgange, die urn eine bestimmte Ressource konkurrieren, als Rechtecke - oder zumindest als aus Rechtecken zusammengesetzte Flachen - uber der horizontalen Zeitachse dargestellt. Die senkrechte Achse gibt die Menge bzw. Anzahl cler betreffenden Kapazitatsart an, die ein Vorgang in einer bestimmten Periode beansprucht. Die gestrichelte Linie zeigt die vorhandene Kapazitat an. Wenn mehrere Vorgange in derselben Periode die Ressource benotigen, dann werden die Flachen in der entsprechenden Hahe ubereinander gestapelt.

168

11 N etzplantechnik

5 4

D

3

2

A

1

00

1 - - -

2 ~

C

3

4

5

6

7

8

--- -F B

1

1011

9

2

3

E

, 4

5

6

7

8

I

9

10 11

Auf die (vertikale) Reihenfol5 ge kommt es dabei nicht an. 4 G So hiitte man im Fliichendiagramm fUr die Bagger durch3 aus auch D unten und C 2 in den Perioden 5 und 6 A D C daruber anordnen k6nnen. Dann 1 wtirde allerdings nach den Re0 geln fUr das Fliichendiagramm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 zum Zeitpunkt 6, also am Ende der Periode 6, die rechts tiber das Ende von D herausragende FHiche von C "herunterftieBen" oder "herunterfallen". Es wirkt also gewissermaBen eine Art Schwerkraft im Flachendiagramm. Dadurch kann es geschehen, dass Vorgange - rein optisch - zerrissen werden. Das ist zwar nicht von Bedeutung fUr die Analyse, es sieht aber nicht sehr schOn aus. Wer solche kosmetischen Schwachen vermeiden will, beginnt also unten mit den zeitlich langsten cler parallelen Vorgange.

1m Fliichendiagramm fUr Bagger erkennt man den Kapazitiitskonflikt sehr schOn daran, dass die gestrichelte Linie uberschritten wird, und zwar in cler fiinften und sechsten Periode und durch das Zusammenwirken der Vorgiinge C und D. Ein erster, naheliegender Versuch besteht in der fiiichentreuen Abfiachung von D, denn was drei Bagger in zwei Wochen schaffen, werden auch zwei Bagger in drei Wochen schaffen. Auoordem k6nnen wir den ungenutzten Bagger in den ersten vier Wochen nutzen, indem wir ihn zusatzlich zur Baustelle 1 schicken, den Vorgang A also intensivieren. Damit wird dieser Vorgang schon nach drei Wochen beendet sein, und die Vorgange C und D k6nnen - als Nachfolger von A - urn ei-

11.4 Kapazitiitsplanung

169

ne Woche vorgezogen werden. 5 1m Flachendiagramm fUr Rau4 pen k6nnen wir zunachst einmal den Vorgang B erheblich 3 D beschleunigen, indem wir ihn 2 A mil der vollen Kapazilal von drei Raupen ausstatten. Lei1 C der kann man hier nicht ein00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 fach auch die Vorgange E und F "heranrucken") denn F muss auf das Ende von D warlen und E auf das Ende von B und C. Man kann also mil F friiheslens nach sechs Wochen beginnen und mit E nach sie3 4 5 67891011 ben Wochen. Aus Kapazilal&grunden braucht man dann aber bis zur zehnten Woche, urn beide Vorgange - und damil auch das Projekl - abzuschlieBen. Die erreichte Situation solI nun im Belaslungsplan dargeslelll A 41414 werden. Sie scheint schon sehr 2 2 2 2 1 C gunstig zu sein. Zurn einen ist 2 2 2 D sie nun zulassig, da die vorgegebenen Kapazitatsgrenzen B 3 13 1 eingehalten werden. Zum anE 3 13 1 deren siehl das FlachendiaF gramm fur Bagger so aus, als 31 3 ob es nicht mehr verbessert 01234567891011 werden konnte, denn es gibt lediglich zwei ungenutzte Bagger in cler letzten Woche. Andererseits muss man aber die FI1lchendiagramme je Kapazilalsarl wegen der moglichen Reihenfolgenabhangigkeil slels gemeinsam belrachlen. Der Vorgang E isl momenlan der lelzle Vorgang. Er muss auf das Ende von C warlen, wei! die Bauslelle 3 annahmegemaB abgeferligl werden sein muss, bevor die Arbeit auf cler Baustelle 5 beginnen kann. Kann cler Vorgang C friiher beendel werden, urn dann vielleichl E und F zu verlauschen und zu einem fruheren Projektende zu gelangen? Dazu schauen wir uns noch einmal die Flachendiagramme an. In cler Tat kann C mit gr6:Berer Prioritat - auch kapazitatsvertraglich - betrieben werden, indem wir namlich D zunachst zuriickstellen. Der Vorgang D kann zwar) muss aber nicht gleichzeilig mil dem Vorgang C beginnen. Die Bauslelle 3 kann also mil vier Baggem in zwei Wochen abgewickell werden und isl dann nach fiinf Wochen erledigl. Danach slehen die vier Bagger vollslandig der Bauslelle 4, also dem Vorgang D zur Verfiigung. Ob man sie so einteilt, class alle vier in cler sechsten Woche und

170

11 N etzplantechnik

dann noch zwei in cler letz5 ten Woche baggern, oder ob 4 man je drei Bagger in den Perioden 6 und 7 einsetzt, spielt 3 nun fur unsere Zielsetzung kei2 A C ne Rolle mehr. Entscheidend D 1 war die MaBnahme fur das andere Fliichendiagramm. Denn 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 durch das frilhere Ende des Vorgangs C kann der Vorgang E entsprechend frilher beginnen, namlich nach funf Wochen. Dies ist im Flachendian I gramm fUr Raupen realisiert worden. Die Reihenfolge der 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 Bearbeitung der Vorgange E und Fist im Vergleich zum vorherigen Flachendiagramm vertauscht worden - allerdings mit dem gravierenden Unterschied, dass dieser Vorgangsblock nun eine Woche frilher beginnen kann und daher auch eine Wocher frilher abgeschlossen ist. Damit ist unter Beachtung cler Kapazitatsgrenzen das Projekt bereits nach neun Wochen beendet. Die Raupen stehen zwar drei Wochen lang ungenutzt herum. Dies kann man aber im Rahmen unserer Vorgaben und Annahmen nicht mehr sinnvoll nutzen. Die Intensivierung des Vorgangs B war zwar "nur" fur die Projektverkiirzung urn eine Woche ursachlich, aber dies immerhin. Innerhalb der ersten flinf Projektwochen konnte sich der Vorgang B nun eigentlich nach Belieben ausbreiten.

1!

U

Diese letzte Losung ist im Sinne unserer Zielsetzung optiA 41414 mal, obgleich es offensichtlich C 414 einige geringfugige AbwandD lungen gibt, die zur selben Pro31 3 jektdauer unter Beachtung der B 31 3 1 Kapazitatsrestriktionen fuhren. E 31 3 Die Lasung ist noch einmal in einem Belastungsplan zuF 3 13 1 sammengefasst. Die Optima01234567891011 litat kann man aber nur aufgrund der "Ubersichtlichkeit" des Beispiels erkennen. Echte Optimierungsmodelle fuhren fUr das Problem der Kapazitatsplanung auf komplizierte Ganzzahligkeitsoder Binfuprobleme. Dies soli hier nicht weiter verfolgl werden. Eine gute Heuristik ist allerdings auch dann wertvoll, wenn sie einmal nicht zum Optimum, sondern "nur" zu einer sehr guten Lasung in der Nahe des Optimums fuhren sollte. In diesem Sinne scheinen der Belastungsplan und insbesondere die Flachendiagramme sehr wertvolle Instrumente fur die Kapazitatsplanung zu sein.

11.5 Critical Path Method

11.5

171

Critical Path Method

In den letzten Abschnitten dieses Kapitels sollen nun noch zwei konkrete Netzplantechniken vorgestellt werden, nachdem bisher uber allgemeine Aufgaben und Verfahren gesprochen worden ist. Die Critical Path Method (CPM) ist in den spaten Funfziger Jahren von der E.I. du Pont de Nemours Company entwickelt worden. Die Idee cler Ressourceninvarianz cler Vorgange aus cler Kapazitatsplanung wird hier in modifizierter Form aufgegriffen. Die Vorgangsdauern werden als fallende Funktion des Mitteleinsatzes angenommen - jedenfalls in gewissen Grenzen. Fur jeden Vorgang wird eine Normaldauer (ND) und eine Minimaldauer (MD) vorgegeben. Der Vorgang kann annahmegemaB jede Dauer in diesem Intervall annehmen. Die Normaldauer ist also auch gleichzeitig die maximale Dauer, die fur diesen Vorgang angenommen wird. Sie kann mit "normalem" Mitteleinsatz verwirklicht werden. Die Minimaldauer ist eine logisch, technologisch oder ahnlich begrundete Untergrenze fur die Dauer eines Vorgangs. Kein realer Vorgang - Scheinvorgange zahlen hier naturlich nicht dazu - kann auf eine Dauer von null komprimiert werden.

Die Intensivierung oder Verkiirzung eines Vorgangs ist jedoch stets mit einem h6heren Mitteleinsatz an Maschinen, Betriebsmitteln, Personal etc. verbunden und verursacht daher h6here Kosten. Diese nennt man direkte Kosten, Verkurzungskosten (VK) oder crashing costs. Man kann sie aus den so genannten Vorgangskosten (VGK) fUr jeden verkurzbaren Vorgang ermitteln. Die Vorgangskosten werden in einem realistischen Bereich von VGK Vorgangsdauern eine fallende Funktion dieser Vorgangsdau- MK ern sein. Weiterhin kann man MK-NK ( X - ND-MD·D oftmals - zumindest in gu~ ter Approximation - anneh~~ men, dass die Vorgangskosten eine lineare Funktion der Vorgangsdauer sind, wie dies hier NK - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - fur einen ausgewahlten Vor'D gang auch dargestellt worden MD ND ist. Sie haben also die funktionale Gestalt VGK(D) ~ (X - p·D mit p ~ (MK - NK)j(ND - MD), wobei MK die Maximalkosten bedeutet, also die Vorgangskosten, die entstehen, wenn der Vorgang in Minimaldauer abgewickelt wird. NK steht entsprechend fUr die Normalkosten und D fUr tatsachliche Vorgangsdauer, die ja annahmegemaB beliebig zwischen MD und ND variieren kann. Aus dieser Wechselwirkung zwischen Vorgangsdauer und Vorgangskosten k6nnen die Kosten der Verkurzung eines Vorgangs von ND auf D, also die Verkurzungskosten,

11 N etzplantechnik

172

als Funktion von D wie folgl bestimmt werden: VK(D)

~ ~

VGK(D) - VGK(ND) a - p. D - (a - p. ND)

~

p. (ND - D).

Die Verkiirzungskosten sind damil proportional zur Verkurzungsdauer ND - D. Die Proportionalitiitskonstante p ist die (betragsmiiBige) Steigung der Vorgangskostenfunktion. Je steiler ihr Verlauf ist, desto mehr kostet die Einsparung einer Zeiteinheit. Ohnehin nutzt die Verkurzung eines Vorgangs nur dann, wenn sich dadurch auch die Projektdauer verkiirzt. Dies geschieht aber definitionsgemiiB genau bei den kriiischen Vorgangen. Die Kosten, die proportional zur Dauer des gesamten Projekts entstehen, heiBen indirekie Kosten. Sie setzen sich aus Kapitalbindung, Personalkosten, Verzugsstrafen oder entgangenen Bonuszahlungen sowie durch (monetarisierte) Marktanteilsverluste und ahnliche Komponenten zusammen. Ihre Einsparung durch die Verkiirzung kritischer Vorgange und die dadurch gleichzeitig gestiegenen direkten Kosten stellen ein klassisches trade-off-Problem dar. Es werden also diejenigen VerkiirzungsmaBmahmen und die daraus resultierende Projektdauer gesucht, die zur Minimierung der Gesamtkosten - als Summe aus direkten und indirekten Kosten - fuhren. Die Wechselwirkung zwischen Projektdauer und Projektkosten ist hier beziiglich der Gesamtkosten und ihrer beiden Komponenten exemplarisch dargestellt. Man versteht die Graphik am besten, indem man sie von rechts nach links anschaut.

Gesamtkosten

I

indirekte Kosten

I

direkte Kosten

T T min

T opt

Die Projektdauer Tm= entspricht der Durchfuhrung aller Vorgiinge in ihrer Normaldauer. Es entstehen also keine direkten Kosten. Wenn man nun den kritischen Vorgang mit den geringsten Verkiirzungskosten, also mit dem ftachsten Verlauf der Vorgangskostenfunktion (siehe vorige Graphik), sukzessive verkiirzt, dann steigen die direkten Kosten moderat an, wahrend die indirekten Kosten abnehmen.

11.5 Critical Path Method

173

Fahrt man in diesem Sinne mit cler Verkurzung des jeweils nachstgtinstigeren kritischen Vorgangs fort - wobei sich der kritische Pfad im Laufe dieser MaJlnahmen verandern wird - , dann wird die Funktion cler stiickweise linearen direkten Kosten immer steiler) wahrend die indirekten Kosten zwar stetig abnehmen, aber mit konstanter Steigung. Irgendwann gelangt man so zu cler Situation, in cler aIle verbliebenen kritischen Vorgange in ihrer Minimaldauer ablaufen. Die resultierende Projektdauer wird T min genannt. Haufig werden jedoch die letztgenannten Anstrengungen nicht mehr lohnen, da die h6chsten Verkiirzungskosten in den meisten Projekten haher sind als die indirekten Kosten. Ein typischer Verlauf der Gesamtkostenkurve ist - durch unsere Annahmen stiickweise linear - zunachst fallend und am Ende wieder steig end, dazwischen aber konstruktionsgemaB (schwach) konvex. Damit existiert eine gesamtkostenminimaIe Projektdauer T opt , die nur dann nicht eindeutig ist, wenn es rein zufallig einen verkiirzbaren kritischen Vorgang gibt, dessen Verkiirzungskosten mit den indirekten Kosten ubereinstimmen. In diesem Fall gabe es einen stuckweise horizontalen Verlauf der Gesamtkostenkurve, und es ware v6llig gleichgiiltig bzw. gesamtkostenneutral, ob der betreffende Vorgang verkurzt wird oder nicht. Ansonsten sind nun offenbar alle diejenigen (jeweils) kritischen Vorgange maximal zu verkurzen, deren Verkurzungskosten geringer sind als die indirekten Kosten. Dies solI am Beispiel verdeutlicht werden. Beispiel:

Volksziihlung

Eine Volkszahlung ist eine VollerheVorgang Nachfolger ND MD VK bung aller Burger eines Landes durch A C,D,E 80 70 8 die amtliche Statistik. Es handelt sich B C,D,E 85 65 10 damit urn ein sehr komplexes Pro30 30 C F,G jekt, das in der Vorgangsliste auf acht D G 25 12 12 Vorgange stark verkurzt wiedergegeE H 60 50 15 ben wird. Wir wollen annehmen, dass F 40 30 8 H es parallel mit der erforderlichen GeG 50 40 10 H setzgebung (A) und einer Probeerhe90 80 10 H bung (B) beginnen kann. AnschlieBend an diese beiden Vorgange kann gleichzeitig mit dem Formularentwurf (C), der Anwerbung von Zahlern oder Interviewern (D) und der Erstellung der Ordnungspapiere (E) fortgefahren werden. Der Formulardruck (F) kann nach Abschluss des Formularentwurfs erfolgen und die Schulung der Zahler (G) nach dem Abschluss ihrer Anwerbung und nach Abschluss des Formularentwurfs. SchlieBlich erfolgt die Erfassung und Auswertung nach dem Abschluss von E, Fund G. Diese Situation ist in der Vorgangsliste zusammen mit den Angaben zur Normaldauer, Minimaldauer und den Verkurzungskosten je Zeiteinheit (z.B. Tag) fur jeden Vorgang dargestellt. Der Vorgang C ist der einzige Vorgang, der (annahmegemaB) nicht verkurzt werden kann. Der Vorgang A kann von der Normaldauer von 80 Tagen auf 70 Tage komprimiert werden. Dies wurde jedoch Verkurzungskosten von acht Geldeinheiten pro Zeiteinheit (Tag) verursachen.

174

11 N etzplantechnik E 60

1 85 85

C

3

F

f----::-30,--+1115 115 i-CC,--4 40

B

G

85

50

Die Ablaufstruktur ist hier im Vorgangspfeilnetzplan dargestellt und mit den Normaldauern berechnet worden. Das Projekt Volksziihlung dauert also 255 Tage, wenn keiner der Vorgange beschleunigt werden sollte. Kritisch sind dabei die Vorgange B-C-G-H. Wenn wir indirekte Kosten von Aktion dir. Kosten + indir. K. -GK zwolf Geldeinheiten pro Zeitein255 . 12 keine 0 3060 heit fUr das Projekt unterstelB --+ 80 5·10 250· 12 3050 len, dann wurden ohne VerkiirG --+ 40 10· 10+ 50 240· 12 3030 zung zwar keine direkten KoH --+ 80 10 ·10+ 150 3010 230· 12 sten, aber 255 ·12 ~ 3060 GE an indirekten Kosten anfallen, die dann auch den Gesamtkosten entsprechen wurden. Diese Situation ist in der ersten Zeile der kleinen Tabelle dargestellt. Schauen wir uns jetzt die kritischen Vorgange auf ihre Verkiirzbarkeit und auf die direkten Kosten hin an! Die Reihenfolge spielt hier in der Tat keine Rolle, da wir aile Verkiirzungsmoglichkeiten testen werden. Der Vorgang B ist verkiirzbar, und seine Verkiirzung kostet 10 GE. Das ist weniger als die indirekten Kosten von 12 GE, die wir je Tag einsparen k6nnen. Daher werden wir diese Aktion durchfiihren, und zwar so oft, wie es geht und Sinn macht. Wir konnten zwar B auf 65 Tage kiirzen, aber der parallele Vorgang A dauert 80 Tage und wird kritisch, wenn wir B auf 80 Tage reduzieren. Jede weitere Verkiirzung von B wurde nur direkte Kosten verursachen, aber keine indirekten Kosten mehr einsparen, da B dann nicht mehr auf dem kritischen Pfad liegen wurde. Wir mussten dann schon A und B gemeinsam verkiirzen, was aber pro Tag 8 + 10 ~ 18 GE kosten wiirde. Zu teuer! Wir kiirzen deshalb als erste Aktion den Vorgang B auf 80 Tage. Dies erzeugt direkte Kosten von 5 . 10 ~ 50 GE und reduziert die Projektdauer auf 250 Tage. Die indirekten Kosten sinken daher auf 250· 12 ~ 3000 GE, und die Gesamtkosten fallen durch die gesamte MaBnahme auf 3050 GE. Der Vorgang C ist annahmegemaB nicht verkiirzbar. Der nachste kritische Vorgang ist G. Da er komprimierbar ist und dies mit 10 GE auch weniger kostet, als wir dabei einsparen, werden wir es tun. Wir kiirzen G auf 40 Tage, da G so lange kritisch bleibt, und daher auch die Projektdauer abnimmt. Diese Aktion kostet

175

11.5 Critical Path Method

10 . 10 ~ 100 GE. Zusammen mit den 50 GE der vorigen Aktion haben wir nun kumulierte direkte Kosten von 150 GE bei indirekten Kosten von 2880 GE. Die Gesamtkosten sind auf 3030 GE gesunken. SchlieBlich kannen wir noch den kritischen Vorgang H auf 80 Tage verdichten. Dies reduziert die Gesamtkosten auf minimale 3010 GE und die Projektdauer auf 230 Tage. Mehr kannen wir hier offenbar nicht tun, urn die Gesamtkosten zu senken. CPM-Netzpliine kannen auch als LP-Modelle formuliert und dann mittels SimplexAlgorithmus gelast werden. Dazu benatigt man jedoch einige zusiitzliche Bezeichnungen, namlich

(~

ti

(unbekannter) Zeitpunkt fur Ereignis i o.B.d.A. to :~ 0

Knoten i)

ND ij

Normaldauer fur Vorgang i - j

MDij

Minimaldauer fur Vorgang i - j

Dij

(unbekannte) Optimaldauer fur Vorgang i - j

Cij

Verkilrzungskosten je ZE fur Vorgang i - j.

i ~ 0,1, ... ,n;

Die Strukturvariablen sind hier sowohl die ti als auch die D ij . Aile anderen GraBen sind bekannt. Drei Modelle mit unterschiedlichen Zielsetzungen sollen jetzt kurz vorgestellt werden. Die Zielsetzung des ersten Modells besteht in der Minimierung der Summe aller Verkurzungskosten bei min! Z :>:: Cij . (NDij - Dij) vorgegebener Projektdauer T. In der (i-j) Zielfunktion tauchen nur die Strukturtn < T fur aile (i - j) tj - ti > Dij variablen Dij auf. Die Verkiirzungsdaufur aile (i - j) Dij > MDij er (NDij - Dij) je Vorgang (i - j) wird fur aile (i - j) Dij < ND ij mit den direkten Kosten Cij je ZE multipliziert. Summiert wird uber alle Vorgiinge des gesamten Projekts. Man kannte die Zielfunktion auch einfach - aber nicht mehr so anschaulich - mit - L: Cij . D ij angeben, da der Rest eine additive Konstante ist, die fur die Optimierung der Strukturvariablen irrelevant ist. Die erste Restriktion garantiert, class die endgiiltige, a priori noch nicht bekannte Projektdauer tn - to ~ tn nicht graBer ist als der vorgegebene Wert T. Die zweite Restriktion stellt gleich eine ganze Gruppe von Restriktionen dar, da sie fur aile Vorgange gilt. Sie garantiert, dass die Dauer Dij jedes Vorgangs (i - j) in das entsprechende, noch nicht bekannte "Zeitfenster" tj - ti passt. Die nachsten beiden Gruppen von Restriktionen stellen sicher) class die resultierenden Vorgangsdauern zwischen ihren vorgegebenen Minimal- und Maximaldauern liegen. Die ublichen Nichtnegativitiitsbedingungen sind redundant, da wir to gleich null gesetzt haben.

11 N etzplantechnik

176

Das zweite Modell minimin! Z tn miert die tatsachliche ProI: Cij . (NDij - Dij ) < B jektdauer tn - to = tn (i-j) bei vorgegebenem Budget fur aile (i - j) tj - ti > Dij B fur die gesamten Verkiirfur aile (i - j) Dij > MDij zungskosten. Die linke Seifur aile (i - j) ND Dij < ij te cler ersten Restriktion ist nun die Zielfunktion des Modells 1) wobei man die "additive Konstante" natiirlich auf die rechte Seite bringen kannte, urn dem Formalismus des Grundmodells der Linearen Optimierung zu geniigen. Die rest lichen Restriktionen sind schon bekannt.

Das dritte LP-Modell folgt gemin! Z F . tn + I: Cij' (NDij - Dij) (i-j) nau unserer ursprunglichen Zielfur alle (i - j) tj - ti > Dij setzung, namlich cler Gesamtkostenfur alle (i - j) Dij > MDij Minimierung bei vorgegebenen infur alle (i - j) Dij < ND ij direkten Kosten F je Zeiteinheit. Die gemeinsamen Restriktionen cler ersten beiden Modelle sind natiirlich auch hier wieder relevant. Die Lasung dieses LP-Modells mittels Simplex-Algorithmus soil an einem ganz kleinen Beispiel angedeutet werden. Beispiel:

Das Mini-Projekt beginnt mit dem Vorgang A, an den sich gleichzeitig die rest lichen Vorgange B, C und D anschlie:Ben k6nnen. Die Vorgangsliste zeigt neben dieser Struktur die N ormal- und Minimaldauern sowie die Verkiirzungskosten.

Vorgang A B C D

Der Vorgangspfeilnetzplan veranschaulicht die Ablaufstruktur des Projekts und ist mit den Normaldauern durchgerechnet. Der kritische Pfad ist offenbar A-B. Die zugehOrige Projektdauer betragt sechzehn Zeiteinheiten. Die indirekten Kosten dieses Projekts magen zwalf Geldeinheiten pro Zeiteinheit betragen.

Nachfolger B,C,D -

0

o0

A 10

ND 10 6 4 3

1 10 10

MD 7 2 1 1

VK 9 8 3 2

B 6

2 16 16

C 4

3 16 16

D 3

13 16

4

11.5 Critical Path Method

177

Wenn wir die Verkiirzung cler Aklion GK dir. Koslen + indo K. -Vorgange nach dem bekannlen 16 . 12 keine 0 192 Schema vornehmen, dann wurden A --> 7 3· 9 13· 12 183 wir A maximal, d.h. auf 7 ZE B-->4 11 ·12 175 2 ·8+ 27 verkiirzen, dann B so lange, bis B,C --> 3 1 ·11 + 43 10· 12 174 der parallele Vorgang C ebenfalls krilisch wird, d.h. auf 4 ZE, und schlieBlich noch B und C gemeinsam, da die Summe deren Verkiirzungskosten noch kleiner ist als die indirekten Kosten. B, C, und D simultan zu verkiirzen wurde sich jedoch nicht mehr rentieren. Die gesamtkoslenminimale Projekldauer belragl also 10 ZE, die Gesamlkoslen 174 GE.

Dies isl die Zielfunklion des Modells 3 fur unser Beispiel: min!

Z

~

12t3 + 9(10 - DOl) + 8(6 - Dd +3(4 - D 13) + 2(3 - D l , ) ~ 12t3 - 9D ol - 8D 12 - 3D 13 - 2D14 + 156

Das LP-Modell enlhall bei vier realen und zwei Scheinvorgangen immerhin 3 . 6 ~ 18 Reslriklionen, die allerdings sehr einfach slruklurierl sind. Es kommen nur die technischen Koeffizienten 0, 1 und -1 vor) wobei die Nullen bei weitem uberwiegen. Normal- und Minimaldauern fur die Scheinvorgange sind naliirlich null. DOl D 12 D 13 Dl, D 23 D '3 -

tl

+ tl + tl t, + t l t3 + t2 t3 + t , t2 t3

< < < < <
0 ist. Die unrestringierte Optimierung der erweiterten Zielfunktion in Sehritt 2 kann beispielsweise mit dem Simplex-Verfahren von NeIder/Mead versueht werden. Ein Beispiel zum Verfahren der Straffunktionen wird am Ende des dritten Absehnitts "Portfolio-Optimierung" betraehtet.

259

13.2 Quadratische Optimierung

13.2

Quadratische Optimierung

Quadraiische Optimierungsprobleme sind spezielle konvexe Optimierungsprobleme mit zusatzlicher Struktur. Daher gelten insbesondere alle Aussagen, Erkenntnisse und Verfahren aus clem vorigen Abschnitt auch hier. Daruber hinaus werden jedoch wegen cler zusatzlichen Strukturmerkmale weitere Aussagen und effizientere Verfahren ermoglicht.

Nach der Vorstellung des quadratischen Optimierungsproblems wollen wir die KuhnThcker-Bedingungen fUr diese Situation formulieren und betrachten. AbschlieBend werden wir in diesem Abschnitt ein numerisches Verfahren zur Lasung quadratischer Optimierungsprobleme behandeln.

13.2.1

Das quadratische Optimierungsproblem

Das quadraiische Optimierungsproblem erfordert die Minimierung einer quadratischen Zielfunktion unter Berucksichtigung von linearen Nebenbedingungen. Diese konnen auch Nichtnegativitiitsbedingungen fUr die Variablen enthalten. Der zuliissige Bereich Z ist - wie bei cler linearen Optimierung - ein Polyeder. Quadraiisches Opiimierungsproblem:

F(x)

x'Cx + c'x Ax-b 0

Dabei ist A eine m x n-Matrix von vollem Rang m mit m < n und C positiv definit und symmetrisch.

Der Wolfe-Algorithmus liiuft in den folgenden Schritten ab: 1. Zuniichst wird eine zulassige Lasung XO von (QG) gesucht. Dies kannte beispielsweise mit clem Simplex-Algorithmus und einer beliebigen linearen "Ersatzzielfunktion" erledigt werden, z.E. auch mit der Zielfunktion F(x) ~ O. 2. Dann wird eine Lasung des linearen Optimierungsproblems

F(x, z)

:~

z

min!

O(m,m)

-A' x , v ;?: 0, z ;?: 0 gesucht, wobei I die Einheitsmatrix bedeutet. Diese Lasung wird jedoch unter cler zusatzlichen nichtlinearen Bedingung

xv ~ 0 gesucht. Diese Zusatzbedingung kann dadurch erfiillt werden, dass nicht gleichzeitig in die Basis aufgenommen werden.

Xi

und

Vi

263

13.2 Quadratische Optimierung 3. Wenn dieses erweiterte Optimierungsproblem eine Lasung mit z dann ist das zugehOrige x eine Lasung von (QG).

=

0 besitzt,

Beispiel:

+ 4x;- 3X l + lOx,

F(x) ~ 2x; - 4X l X,

+ 2x,

Xl

~

min!

6

x;:> 0 Aus der quadratischen Zielfunktion lassen sich wegen

C und c direkt ermitteln:

( 2 -2) -2

4

'

Eine zulassige Lasung lasst sich in diesem einfachen Beispiel etwa mit XO

~

(0,3)'

sofart angeben. Damit !autet das im Wolf~Algarithmus geschilderte Optimierungsproblem: F(x ,z) ~ z min! Xl

2

C4 -84

0 0 0 1 0 -1 0 1 -2

x,

-~5) 34

VI

V, Ul

Ug)

z x,V

~

0, z

~

0

Die folgenden Tableaus zeigen die einzelnen Simplex-Iterationen. Da aile Schlupfvariablen gesperrt und die u-Variablen bekanntlich frei sind, sollen sie hier nicht speziell gekennzeichnet werden. Sie miissen jedoch gemiiB Phase 0 des SimplexAlgarithmus entsprechend behandelt werden.

264

13 Nichtlineare Optimierung

Tab. 0

-F Yl

Y2 Y3

0 6 -3 10

Tab. 1

-F Xl Y2 Y3

0 6 21 -14

Tab. 2

-F Xl Ul

Y3

0 6 -21 -56

Tab. 3

-F Xl Ul

X2

Xl

X2

VI

V2

Ul

Z

0 -4 4

0 2 4 -8

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 -1 -2

1 0 21 -14

Yl

X2

VI

V2

Ul

Z

0 1 4 -4

0 2 12 -16

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 -2

1 0 21 -14

Yl

X2

VI

V2

Y2

Z

0 1 -4 -12

0 2 -12

0 0 -1 -2

0 0 0 1

0 0 -1 -2

1 0 -21 -56

VI

V2

Y2

Z

W

r=4ol Y3

Yl

c:=:IJ

0 0 0 0 0 0 1 16/5 1/20 -1/10 1/20 -1/10 -14/5 2/5 -21/5 -2/5 -3/10 -2/5 -3/10 -2/5 -21/5 1/20 -1/40 1/20 7/5 3/10 -1/40 7/5

Die Lasung des quadralischen Oplimierungsproblems laulel: Xl ~

16/5,

X2 ~

7/5,

F(x)

~

74/5

~

14,8.

Aus Grunden cler numerischen Effizienz konnte man auch die Gleichheitsrestriktionen nutzen, urn die Anzahl cler Variablen zu reduzieren. Dennoch handelt es sich wegen cler Nichtnegativitatsbedingungen nicht urn ein unrestringiertes Optimierungsproblem.

265

13.3 P ortJolio-Optimierung

13.3

Portfolio-Optimierung

In der Portfolio-Optimierung geht es darum, einen gewissen Geldbetrag optimal anzulegen, also die optimalen Mengen verschiedener Wertpapiere zu kaufen. 9 Die Frage nach der Art der "Optimalitiit" fuhrt auf verschiedene Modelle. Dieser Abschnitt ist vor allem als Anwendung der ersten beiden Abschnitte und der dort beschriebenen Verfahren gedacht. Darliber hinaus ist die Portfolio-Optimierung naturlich auch von 6konomischem und statistischem Interesse. Diese Aspekte wollen wir in diesem Buch aber so knapp wie notig behandeln. Nach der Einfuhrung der finanzwirtschaftlichen Begriffe werden wir die vier vermutlich bekanntesten Modelle vorstellen und anhand von Beispielen illustrieren.

13.3.1

Finanzwirtschaftliche Grundlagen

Ausgangspunkt der Auswahl eines optimalen Portfolios sind die Kurse der verfugbaren Wertpapiere. Diese k6nnen Tages-, Wochen- oder Monatskurse sein. Aber auch andere Zeitraume kommen naturlich in Betracht. AuBerdem kann es sich urn zeitpunktbezogene Kurse wie etwa Schlusskurse am Ende des jeweiligen Zeitraums oder urn Durchschniitskurse handeln. Wichtig fur uns ist jetzt nur, dass wir den Kurs fur den Zeitraum oder Zeitpunkt i mit Si bezeichnen und ihn als ZuJallsvariable auffassen wollen. Diese Kurse haben den Nachteil, dass sie dimensionsbehaftet sind und vor aHem von sehr unterschiedlicher GroBenordnung. Man geht daher zu den Renditen liber. Die diskreie Rendiie ist die relative Kursanderung von einem Zeitraum zum nachsten:

Aus verschiedenen Grunden, auf die wir hier nicht eingehen wollen, ist es vorteilhaft, die so genannten sieiigen Rendiien zu verwenden:

Wenn man die Taylor-Reihe des natlirlichen Logarithmus mit der Entwicklungsmitte eins betrachtet, dann sieht man, dass fUr x-Werte in der Nahe von eins folgende Approximation gilt: In(x) ~ (x-I) - (x-I)'/2+ (x-I)3/3- (x-I)'/4±·

x,,=,l ~

x-1.

9Man kann diese Problemstellung aber auch auf andere Situationen ubertragen. So kaufen grof3e Untemehmen beispielsweise andere Untemehmen und halten sich damit ein Portfolio aus Unternehmen. Oder Phanna-Untemehmen entscheiden sich fur die Entwicklung gewisser Medikamente, die dann auch ein Portfolio bilden. Und auch die private CD-Sammlung kann man als Portfolio betrachten.

266

13 Nichtlineare Optimierung

Da sich die Kurse aufeinander folgender Zeitpunkte im Allgemeinen nicht sehr voneinander unterscheiden werden, wird ihr Quotient entsprechend in cler Nahe von eins liegen. Daher sind diskrete und stetige Renditen approximativ gleich: - In ( -Si- ) ~ Si _ S i - S:_ 1 -- R- . ~---1R 'Si_ l

t

Si_ 1

Si_ l

t o

Die statistische Grundannahme fordert nun die gemeinsame Normalverteilung cler Renditen aller verfiigbaren Wertpapiere, clem so genannten Anlage-Universum: 1O

,,2

E~ ":1

mit

( "n l

Der Vektor J.L enthillt die erwarteten Renditen der Wertpapiere des Anlage-Universums. Die Kovarianzmatrix ~ enthalt auf cler Diagonalen die Varianzen cler einzelnen n Renditen und auBerhalb cler Diagonalen die Kovarianzen zwischen den Renditen verschiedener Wertpapiere. Sie ist symmetrisch und im Allgemeinen positiv definit. l1 Wenn wir mit w ~ (W I " ' " W n )' den Vektor der Anteile (oder Gewichte) der einzelnen Wertpapiere im Portfolio bezeichnen, dann erhalten wir als zentrale EntscheidungsgroBe die Portfolio-Rendite.

P ortfolio-Rendite: n

R p

:=

L

Wi . R i

= w'r

i= 1 n

mit

L

Wi

~ wll ~ 1

und

w:;" 0

i= 1

Die Bedingung wll ~ 1 heiBt Budget-Restriktion und besagt, dass der gesamte Anlagebetrag, das Budget, ausgegeben und auf die n Wertpapiere aufgeteilt werden l ODiese Allllahme ist in der Literatur vielfach theoretisch begriindet, aber auch kritisiert worden. Empirische Untersuchungen haben gezeigt , dass sie nur bei hochfrequenten Daten, wie Tageskursen oder Intratageskursen, problematisch ist. Ansonsten ist sie approximativ giiltig. 11 Sie ist auf jeden Fall positiv semidefinit. Die echte Definitheit geht aber nur drum verloren, wellll eine Zeile (oder Spalte) eine Linearkombination der ubrigen ist. In diesem au13erst unwahrscheinlichen Fall ist ihre Detenninante null und sie ist nicht invertierbar. In der Praxis kann man das ausschlief3en.

13.3 P ortfolio-Optimierung

267

muss. 12 Die zweite Bedingung schlieBt so genannte "Leerverkaufe" aus, bei denen sich cler Portfolio-Manager ein Wertpapier zum Beispiel bei einer Bank ausleihen k6nnte - gegen eine Gebuhr und spatere Ruekgabe naturlieh - und gleieh verkauft. Auf diese Weise k6nnte man faktiseh negative Portfolio-Anteile eines Wertpapiers realisieren. Da dies aber in Deutschland im Allgemeinen verboten ist, ist diese zweite Restriktion durchaus sinnvoll. 13 Da die Portfolio-Rendite jedoeh eine Zufallsvariable ist und man eine Zufallsvariable nun einmal nicht maximieren kann, betrachtet man ihren Erwartungswert) den so genannten Ertrag des Portfolios. AuBerdem betraehtet man die Varianz der Portfolio-Rendite als RisikomaB.

Ertrag des Portfolios: Risiko des Portfolios:

Ein Portfolio wird als effizieni bezeichnet, wenn es kein anderes Portfolio gibt, das bei gleichem Risiko einen h6heren Ertrag oder bei gleichem Ertrag ein geringeres Risiko oder gar einen h6heren Ertrag bei geringerem Risiko besitzt.

13.3.2

Markowitz-Modell

Harry M. Markowitz gilt als einer der Grunder der modernen Portfolio-Theorie. Seine Doktorarbeit hat er 1952 in einem beruhmten Aufsatz zusammengefasst, der aueh die Grundlage fUr seine Auszeiehnung mit dem Nobelpreis im Jahr 1990 war. Eine umfassendere Monographie zu seiner Portfolio-Theorie stammt aus dem Jahr 1959. GemaB dem von ihm gepragten Effizienzbegriff eines Portfolios lassen sieh zwei Optimierungsmodelle herleiten. Das erste Modell sueht bei einem vorgegebenen Ertrag /-LP = /-Lo das Portfolio mit der minimalen Varianz. Varianzminimales Portfolio bei gegebenem Ertrag:

F(w)

~ wlEw min! W'tL = /-Lo wll ~ 1 w;:>O

(MM1)

12 Theoretlsch kann aber auch eme solche POSItIOn em "Kassenbestand " sem. Als Rendite kOllllte man dafur den Zinssatz fur Tagesgeld nehmen mit einer Varianz von nulL 13Natfulich sind solche "Leerverkiufe" bei einem Portfolio aus Untemehmen oder Medikamenten oder CDs olmemn nicht sillllvolL

268

13 Nichtlineare Optimierung

Es handelt sich dabei offenbar urn ein quadratisches Optimierungsproblem vom Typ (QG). Wir wollen dazu ein kleines Beispiel rechnen. Beispiel: Wir betrachten ein - aus didaktischen Grunden sehr kleines - Anlage-Universum aus vier Wertpapieren oder "Positionen" mit den folgenden erwarteten Renditen, Varianzen und Kovarianzen:

Pos. z 1 0,12 2 0,20 3 0,15 4 0,10

0,20 -0,25 0,10 0,05

-0,25 0,38 -0,25 -0,15

0,10 -0,25 0,40 0,12

0,05 -0,15 0,12 0,22

Gesucht ist das varianzminimale Portfolio, das zu einer erwarteten Rendite von 12% fiihrt.

Das quadratische Optimierungsproblem lautet dann: 0,20 -0,25 0,10 -025 0,38 -0,25 F(w) ~ (Wl,W2,W3,W,) -0,25 0,40 ( 0,05 -0,15 0,12

0,10

0,05)

-0,15 0,12 0,22

(WI) 1li2 W3

min!

W,

0, 12]

(Wl,W2,W3,W,) ( wll

~:i~

~

0, 12

0,10

~

1

w:> 0 Die Lasung kann mit dem Wolfe-Algorithmus ermittelt werden und lautet (gerundet): WI ~ 0,3598; W2 ~ 0, 1280; W3 ~ 0,0000; W, ~ 0,5122. Das varianzminimale Portfolio besteht also zu 35,98% aus der Position 1, zu 12,80% aus Position 2 und zu 51,22% aus Wertpapier 4. Das Wertpapier 3 wird nicht gekauft. Der Ertrag des Portfolios betriigt dann die geforderten 12%. Die (minimale) Varianz betriigt F(w) ~ 0,0655. Das zweite Modell von Markowitz sucht bei einem vorgegebenen Risiko a~ Portfolio mit dem maximalen Ertrag.

=

a6 das

269

13.3 P ortJolio-Optimierung Ertmgsmaximales Portfolio bei gegebenem Risiko:

F(w)

~ -Wi!,

w!~w

wll

min!

=a6 ~

(MM2)

1

w;:>O

Hier handelt es sich urn ein konvexes Optimierungsproblem mit linearer Zielfunktion. Es wird zu einem Optimierungsproblem vom Typ (LK), wenn wir die Gleichheitsrestriktion fur die Varianz durch eine Kleiner-Gleich-Restriktion ersetzen was ja clem Effizienzprinzip nicht widerspricht - und die Budgetrestriktion in zwei Kleiner-G leich-Restriktionen zerlegen:

F(w)

~ -Wi!,

w!~w -

min!

a5 :s; 0

° + 1 O Tf -

min! (SM)

Dieses Modell k6nnen wir mit dem Verfahren der Straffunktionen behandeln. Dazu wollen wir ein konkretes Beispiel betrachten. Beispiel: Wir betrachten wieder das Beispiel aus clem vorigen Abschnitt. Das restringierte Optimierungsproblem des Sharpe-Modells lautet dann:

F(w)

~

0,08-w l J.L vwlEw

min!

wll

max!

40 500 560 70 0

100

40 } 500

=? {

Xl X2

~ 40} ~

20

Es sind 40 Einheilen des erslen und 20 des zweilen Produkls zu ferligen. Der maximale Umsalz belragl dann 240 [GE].

14

278 Aufgabe 3.2:

a)

Losungen der Ubungsaufgaben

SiljJwarenproduzent

Z(XL, XN) 2XL+4xN 2XL + 1.5xN XL,XN

200XL

< 16 < 12 > 0

+ 200XN

max!

XN

8 7 6

b)

2XL+4xN 2XL + 1.5xN

16 } =? 12

5 4 3

1.6 4.8

2 1 0

Es sind 1.6 [I] Nougalwaffeln und 4.8 [I] Likorpralinen herzustellen. Die maximale Deckungsbeilragssumme belragl dann 1280€.

Aufgabe 3.3:

XL

0 1 2 3 4 5 6 Z ~ 400

7 8

Viehwirtschajt

a)

+ 45x2

Wie komml es zu (*)7 Die A rbeitskriijterestriktion laulel eigenllich: 200Xl +24x2

max!

5 20 7 12 0

verandert.

b) Xl + 0.2X2 2Xl + 0.24x2 Xl =? { X2

~

4.5 ~ 12.5

Es waren ohne eine Ganzzahligkeilsbedingung 4.5 Kiihe und 12.5 Schweine zu hallen. Der maximale Gesamtgewinn wurde 1777.50€ belragen.

50 40

0~~-r~~~-+~~-4~~~

o

1

2

3

4

Z

6

7

~

1215

14 Losungen der Ubungsaufgaben

279

c) Es sind nur ein paar cler relevant en Punkte des Ganzzahligkeitsrasters eingezeichnet. Man sieht leicht, dass nur drei der Punkte urn das Gewinnmaximum konkurrieren, 50 namlich cler jeweils groBte, noch zuliissige Punkt fUr Xl ~ 3,4 40 oder 5. Aus der Futierrestriktion folgt fUr Xl ~ 3: X2

Wie kommt es zu (*)7 Da jedes Endprodukt genau 2 kg des Vorprodukts 1 enthalt, ist die Anzahl der hergestellten Endprodukte genau gleich 0. 5X I. Da ferner jedes Endprodukt mindestens 1 kg des Vorprodukts 2 benotigt, ist oder gleich X2 und damit: 0.5XI >

+ 3OOX2

b)

max!

X2

1800 480 -720 0

30X l + 60X2 24x l - 12x2

c)

Losungen deT Ubungsaufgaben

1800 -720

Xl

-12 36 9600

Aufgabe 3.6:

Minimierung

a)

Z(X I ,X2) + 2X2 8X l + 5X2

lOX I

X1

Xl

+ X2

+ 3X2 X l ,X2

16xl

> 20 > 40 > 6 > 9 > 0

+ 20X 2

min!

Die Restriktionen k6nnen naturlich mit einem beliebigen Koeffizienten multipliziert werden. Dies wurde stets zu einem aquivalenten LP-Modell fUhren.

10

4.5 1.5

Das Minimum betriigt Zmin =

102.

3

2 1

Z

~

160 Xl

0+-~~~~~~-*~~-4~

012345678910

14 Losungen der Ubungsaufgaben Aufgabe 4.1:

281

Technischer Betrieb

Das Slarllableau filhrl nach dem Prinzip des steilsten Einheitsanstiegs zu der Pivolspalle 1 und der Pivolzeile 1. Von Produkt 1 sind also so viele Einheiten zu fertigen, wie es die Kapaziliil der Arbeilsslalion 1 geslallel. Das Pivolelemenl hal den Werl 1.

Tab. 0 Xl X2 Z 0 -5 -2 40 0 Yl 5 Y2 500 8 7 Y3 560 70 0 1 Y4

W

Es werden 40 Einheilen von Produkl 1 geferligl. Der resullierende Umsalz wiirde 200 [GE] belragen. Das zweile Produkl sollte jedoch ebenfalls hergeslelll werden, und zwar so zahlreich, wie es die restliche Kapazitat cler Schlosserei erlaubl. Das Pivolelemenl hal den Werl 5.

Tab. 1 X2 Yl ;,; 200 5 -2 40 1 0 Xl Y2 100 -10 [5J -8 7 Y3 240 70 0 1 Y4

Das Endlableau isl erreichl. Es werden 40 Einheilen von Produkl 1 und 20 Einheilen von Produkl 2 geferligl. Damil wird ein maximaler Umsalz von 240 [GE] erziell. Es verbleiben 100 [ZE] in der Monlageableilung und 50 [ZE] in der Arbeilsslalion 2. Die Opporluniliilskoslen der knappen Kapaziliil von Arbeilsslalion 1 belragen 1 [GEI/[ZE] und filr die Schlosserei 0.4 [GEI/[ZE].

Tab. 2 Yl Y2 Z 240 1 2/5 40 1 0 Xl 20 -2 X2 1/5 6 -7/5 Y3 100 50 2 -1/5 Y4

Aufgabe 4.2:

SujJwarenproduzent

Tab. 0 XL XN Xs Zuniichsl sollten Likorpralinen hergeslelll werZ 0 -200 -100 -180 den, da sie den groBlen Deckungsbeilrag je Ton2 4 3 YR 16 ne erwirtschaften. Dabei kann man bis an die 12 1 [2J 3/2 Yv Kapazitatsgrenze cler Verpackungsanlage gehen, ohne den zulassigen Bereich zu verlassen. Das Pivotelement hat den Wert 2. Tab. 1 XN Xs Der momenlane Gewinn belriigl 1200 €, falls 6 TonYv -80 Z 1200 100 50 nen Likorpralinen produziert werden und sonst 4 -1 5/2 nichls. Es isl jedoch vorleilhaft, noch SchokoladenYR 6 XL 1/2 3/4 creme bis zur Ersch6pfung cler Riihrmaschinenkapazitat zu fertigen. Das neue Pivotelement ist die eingerahmte 2.

m

Das Optimum ist erreicht. Es werden nun 2 Tonnen Schokoladencreme und 5 Tonnen Likorpralinen hergeslellt. Nougalwaffeln sind unrenlabel. Der maximale Gewinn belriigl 1360€, die Schallenpreise der Verpackungsanlage 60€/[h] und

Tab. 2 XN Yv YR Z 1360 60 150 40 2 -1/2 5/4 Xs 1/2 5 XL 3/4 1/8 -1/4 der Riihrmaschine 40€/[h].

14

282 Aufgabe 4.3:

Losungen deT Ubungsaufgaben

Viehwirtschaft

Das Starttableau fuhrt nach steepest unit ascent zu der Pivotspalte 1 und zu der Pivotzeile 1. Kiihe sind also zunachst am vorteilhaftesten. Die Stallrestriktion fur Kiihe ist der erste Engpass. Das Pivotelement hat den Wert 1.

Tab. 0 Xl X2 Z 0 -270 -45 0 Yl 5 0 1 Y2 20 7 1 1/5 Y3 2 6/25 Y4 12 10 0 0 Ys

Bei funf Kiihen betragt der Gewinn 1350€. Die nachstbessere Wahl sind StrauBenvogel. Der Bauer solIte - zunachst - so viele halten, wie es die Futterland-Restriktion zulasst. Das Pivot hat den Wert 2/5.

Tab. 1 X2 X3 Yl Z 1350 270 -45 -120 5 1 0 0 Xl 0 20 0 1 Y2 -1 2 2 1/5 Y3 /5 -2 2 6/25 2/5 Y4 10 0 0 1 Ys

l1J

X3

-120 0 0 2/5 2/5 1

1

1

Fiinf Kiihe und funf StrauBe brauchen zusammen das gesamte Futterland und bringen einen Gewinn von 1950€. Das Optimum ist aber noch nicht erreicht. Die Wiederaufnahme der Kuhstall-Schlupfvariablen Yl in die Basis und die AusschOpfung der StrauBenPlatzrestriktion garantiert eine Verbesserung.

Tab. 2 X2 Yl Y3 Z 1950 -30 15 300 5 1 0 0 Xl 20 0 1 0 Y2 5 -5/2 1/2 X3 5/2 -1 0 -1 1/25 Y4 5 -1/2 -5/2 Ys

Dies ist das gewinnmaximale Viehwirtschaftsprogramm: Drei Kiihe und zehn StrauBenvogel sorgen fur einen Gewinn von 201O€. Das Futterland und der Platz fur StrauBe sind dabei der Flaschenhals mit Schattenpreisen von 270€/[ha] beziehungsweise 12€ je StrauBenstellplatz. Schweine sind unter diesen Umstanden nicht attraktiv. (Sind sie es je?)

Tab. 3 Z 2010 3 Xl 20 Y2 10 X3 2 Y4 2 Yl

f572l Ys

12 ::;5 0 1 2/5 2/5

X2

Y3

9 270 1 1(5 1 0 0 0 -4/25 -2 -1/5 -1

Aufgabe 4.4: Das Start tableau fiihrt nach steepest unit ascent zu der Pivotspalte 2 und zu der Pivotzeile 1. Das Produkt 2 wird also zunachst hergestellt, und zwar so lange, wie es der Engpassfaktor 1 gestattet. Das Pivotelement hat den Wert 16.

Tab. 0 Xl X2 X3 Z 0 -60 -80 -70 8 12 Yl 80 60 2 6 4 Y2

L$

283

14 Losungen der Ubungsaufgaben

Der vorliiufige Gewinn betriigt 400 €, ist jedoch noch nicht optimal. Das Produkt 1 wird nun in das Programm aufgenommen, die Herstellung von Produkt 2 wird dafilr jedoch wieder eingestellt. Das Pivotelement hat den Wert 1/2.

Tab. 1 Xl X3 Yl -10 Z 400 -20 5 5 ~ 1/16 3/4 X2 30 -1 -3/8 -1/2 Y2

Die optimale Ecke ist erreicht. Es werden 10 [ME] des ersten Produkts gefertigt. Von den beiden anderen Produkten wird gar nichts gefertigt. Der maximale Gewinn betriigt 600 €. Von Engpassfaktor 2 sind noch 40 Stunden verfugbar. Aufgabe 5.1:

Tab. 2 X2 X3 Yl Z 600 40 15/2 20 10 2 Xl 1/8 3/2 40 2 -1/4 1 Y2

Aktienfonds

Das LP-Modell mit den erwarteten Branchenrenditen als Zielfunktionskoeffizienten und den vier Regeln als Restriktionen sowie cler Normierungsresiriktion fur die Anteile !autet: Z 0.1· Xl + 0.15 . X2 + 0.2 . X3 + 0.02 . X , max! X1 + X2 < 0.75 X1 - X3 < -0.2 X1 + X2 + X3 > 0.8 X, > 0.05 1 X1 + X2 + X3 + X4 Xl,X2,X3,X4

> O.

Die Schlupfvariable der letzten Restriktion ist gesperrt und muss daher zuniichst aus der Basis verschwinden. Die Wahl der ersten Spalte als Pivotspalte ist rein willkilrlich. Die Vorgehensweise in der anschlieBenden Suchphase ist wiederum recht beliebig. Wir benotigen hier zwei Iterationen, urn in den zulassigen Bereich zu gelangen (Tab. 3). Nach zwei weiteren Iterationen gemaB steepest unit ascent ist das Optimum gefunden.

Tab. 0 0 Yl 3!4 -1/5 Y2 -4/5 Y3 y, -1/20 IYsl 1 Z

Tab. 1 1/10 1/4 Yl -6/5 Y2 1/5 Y3 y, -1/20 1 Xl Z

Xl

X2

X3

X,

1/10 1 1 -1 0

[1J

3/20 1 0 -1 0 1

1/5 0 -1 -1 0 1

1/50 0 0 0 -1 1

[Ys]

X2

X3

X,

1/10 1 -1 1 0 1

1/20 0 -1 0 0 1

1/10 1 -2 0 0 1

2/25 1

EIl 1 -1 1

284

14 Losungen der Ubungsaufgaben

Z

Tab. 2 1/250

Yl

1~~20

X4 Y3 Y4 Xl

Z Yl X4 X3 Y4 Xl

Z Yl X4 X3 Y3 Xl

Iysl

X2

X3

Y2

1/50 0 1 0 1 0

-13/100 1 1 -1 1 0

-13/50 1 2 2 -1

2/25 -1 -1 1 -1 1

Y3

Y2

6/ 5 -1 23/20 -1 / 5 Tab. 3 Iysl 1/50 67/500 0 9/20 1 1/5 0 1/ 2 1 3/20 0 3/ 10 Tab. 4 Iysl 307/2000 3/20 3/8 -y2 0 1/20 23/40 1/2 1 3/20 3/8 1/2

Tab. 5 L; 191/1000 Yl 3(04 1/20 X4 19/20 X3 3/20 Y3 3/ 4 Y2

X2

0 1/2 0 1/2 0 1/ 2

c:::]]

-13/100 -1/20 -1/2 1/2 1 0 -1/2 -1/2 0 [1J -1/2 1/ 2

X2

Y4

Y2

0 1/2 0 1/ 2 0 1/2

13/100 -1/2 -1 1/ 2 1 1/2

-1/20 -1/2 0 -1/2 0

[Ys]

X2

Y4

Xl

1/5 0 0 1 1 1

1/20 1 0 1 0 1

9/50 0 -1 1 1 1

1/10 1 0 1 0 2

Ii72l

Die oplimale Anlageslralegie, die aile Reslriklionen erfullt, laulel: Xl ~

0,

X2 ~

0,

X3 ~

0.95

X4 ~

0.05.

Sie fuhrl zu einer maximalen Durchschnillsrendile des Fonds von Z Aufgabe 5.2:

~

19.1 %.

Linearisierung

Das linearisierte Problem nach Z X2 - X 4 < Einfuhrung der neuen Slruklur-X 4 < variablen x4 :~ max (2 , X2) und X1 + X2 + X3 + 2X 4 < nach Berucksichtigung cler neu< en Restriktionen X 4 ;:::: X2 und > X 4 ~ 2 stellt ein fast ganz normales LP-Problem dar mit einer freien Variablen, namlich

2Xl

0 -2 4

4 0 X2.

+ X3 + X 4

max!

285

14 Losungen der Ubungsaujgaben

Zunachst muss die freie Strukturvariable in die Basis gelangen; die Pivotspalte liegt damit fest. Als Pivotzeile bieten sich die erste oder dritte Zeile an, aber auch die vierte Zeile ware prinzipiell moglich gewesen. Die Phase 0 ist damit abgeschlossen; X2 darf fort an nicht mehr aus cler Basis entfernt werden. Wir sind nun in Phase 1 und mussen in den zulassigen Bereich gelangen, denn wir haben ihn offenbar noch nicht erreicht. Die zweite Zeile liegt damit als Pivotzeile fest. Als Pivotspalte kommt dann nur die letzte Spalte in Frage. Der zulassige Bereich ist immer noch nicht erreicht. Die dritte Zeile muss pivotiert werden. Da wir in dieser Phase negative Pivotelemente brauchen, muss die zweite Spalte Pivotspalte werden. Der zulassige Bereich ist erreicht. Die Lasung ist aber noch nicht optimal; wir sind in cler Optimierungsphase. GemaB steepest unit ascent - ubrigens auch gemaB greatest change wahlen wir die erste Spalte zur Pivotspalte und die letzte Zeile zur Pivotzeile. Das Optimum ist nun erreicht: Xl =

4,

X2 =

Aufgabe 5.3:

-4,

X3 =

0,

X4 =

2, Z

=

10.

Tab. 0 Xl Z 0 -2 0 0 Yl -2 0 Y2 4 1 Y3 y, 4 0 Tab. 1 Xl Z 0 -2 ~ 0 0 -2 0 Y2 4 1 Y3 y, 4 0 Tab. 2 Xl Z 2 -2 §] 2 0 x, 2 0 -2 1 Y3 y, 6 0 Tab. 3 Xl Z 2 2 0 1 §] 2 0 x, 2 -1 Yl y, 4 [1J Tab. 4 y, Z 10 2 §] 4 1 x, 2 0 6 1 Yl 1 4 Xl

[ X2[

X3

X,

0

-1 0 0 1 0

-1 -1 -1 2 0

l10J 1 -1

Yl

X3

X,

0 1 0 -1 1

-1 0 0 1 0

-1 -1

Yl

X3

Y2

0 1 0

c:=:IJ 1

-1 0 0 1 0

-1 -1 -1 3 -1

Y3

X3

Y2

0 1 0 -1 1

1 1 0 -1 1

1 2 -1 -3 2

Y3

X3

Y2

2 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 -1 -1 2

c:=:IJ 3 -1

4

Eintopj des Grauens

Die Gesamtkosten fur den Eintopf sind zu minimieren. Dabei sind funf Restriktionen zu beachten. Daraus ergibt sich das folgende LP-Problem:

Kosten:

Z

Xl

+ X3 < 6 > 2 X2 + X3 4Xl + 2x, + 2xs > 24 o Xl + X2 - 4xs X2

X3 -

2X4

Xl,X2,X3,X 4 ,XS

o

> 0

+ 3X2 + 2X3 + X4 + 3xs

min! (Schiirferestriktion 1) (Schiirferestriktion 2) (Vitaminrestriktion) (Geschmacksverhiiltnis 1) (Geschmacksverhiiltnis 2)

286

14 Losungen der Ubungsaufgaben

X, Tab. 0 Xl X2 X3 0 1 3 2 1 6 0 0 1 1 Yl -2 -1 -1 0 0 Y2 zu multiplizieren, da cler -24 -4 -2 0 0 Y3 in diesem Euch beschrie0 1 0 0 [1J bene Simplex-Algorilh-2 0 0 0 1 Ys mus die Zielfunklion imTab. 1 X, Xl X3 I y, l mer maximiert. -;0 -2 -3 0 2 1 Enlsprechend sind die -1 -1 6 1 0 Y l GroBer / G leich-Reslrikli-2 -1 1 1 0 Y2 onen durch Mulliplika-24 -4 -2 0 0 Y3 lion mil -1 in Kleiner/ 0 1 1 0 0 X2 Gleich-Reslriklionen um-2 0 0 0 [1J [115] zuwandeln. Tab. 2 X, Xl lYsj LY'J Zu den beiden Gleich-L; 0 2 3 2 5 heitsrestriktionen geh6-1 -1 -1 6 2 Yl ren gesperrte Schlupf-2 -2 1 1 1 Y2 variablen, die zuerst aus -24 -4 0 0 Y3 cler Basis heraustrans0 1 1 0 0 X2 -2 formiert werden mussen. 0 0 0 1 X3 abo 3 Xl Diese Aufgabe der VorY3 I y, l I Ysl -60 -12 -3 -2 bereitungsphase ist in Ta- -;0 5/2 bleau 2 abgeschlossen. -18 -1 -1 1 Yl ~ -1 22 5 1 1 AnschlieBend sind drei Y2 x, 2 12 0 0 -1/2 Iterationen erforderlich, 0 0 0 1 1 X2 urn im Rahmen der Such-1 24 0 1 4 X3 phase in den zulassigen abo 4 Yl Y3 lYsj LY'J Bereich zu gelangen. Dies -L; 84/ 5 12/5 3/5 2/5 1/10 ist in Tableau 5 geschaffl. 18/5 -1/5 Xl SchlieBlich isl noch ei4 1 0 0 0 Y2 ne Iteration notig, urn x, 24/5 -2/5 -2/5 -1/10 2/5 im Rahmen der Opti-18/ 5 X2 1/5 4/5 -1/5 1/5 mierungsphase das ko-4/5 1/5 -1/5 X3 48/5 4/5 stenminimale Rezept zu abo 5 Yl Y3 I ysl I y' l linden. Es laulel: Man -22 -19/9 5/9 7/18 1/9 nehme 4.889 kg Karol4 Xl 1/9 2/9 2/9 ~9 len, 2 kg Paprika, 1 kg 4 0 0 0 [1J Y2 Lauch und 1.222 kg Tox, 3 0 0 -1/2 1/2 maten. Zwiebeln werden 1 -1 / 18 -2/9 1/18 -1 / 18 Xs nichl 1 6 0 0 0 X3 Tab. 6 benoligl. Die Scharfe-, Y2 Y3 I y, l I ysl -;0 -122/9 die Vilamin- und die 19/9 7/18 5/9 1/ 9 44/9 -2/9 Geschmacksrestriktionen Xl 1/9 2{9 2(9 4 1 0 0 0 Y l sind damil erfulli. Die x, 0 1 0 -1/2 -1/2 minimalen Kosten be1/ 18 -2/ 9 1/ 18 -1 / 18 Xs 11 / 9 lragen Z ~ 13.56 €. -1 2 0 0 0 X3

Zwecks Uberlragung ins Simplex-Slarllableau isl die Zielfunklion mil -1

Xs 3 0 0 -2 -4 0

-;0

~

Xs 15 4 -4 -2 -4 0

Xs 15 4 -4 -2 -4 0

c:=3J

Xs 10 2 -2 1 -4 2

Xs 26/5

1i 5 1i 5 -y5 -y5 0

-z

9/5 18 / 5 18/5

1-

X2

13/9 1/9 0 1/2 -5/ 18 1 X2

13/9 -1/9 0 1/2 -5/ 18 1

1

14 Losungen der Ubungsaufgaben Aufgabe 6.1:

287

LP-Problem mit Gleichheitsrestriktion

Zunachst werden das primale und das duale LP-Problem angegeben. Aus dem primalen Maximierungsproblem wird ein duales Minimierungsproblem.

4Xl

5X1

Primales Problem: max! Z 2Xl + X2 6 + X2 - X3 X2 + 3X3 < 9 + X2 + X3 < 14 Xl,X2,X3 > 0

+ 3X3

Duales Problem: min! Z· 6Vl + 9V2 4Vl + 5V3 > 2 > 1 V1 + 'V2 + V3 -VI + 3 3 V2,V3 > 0

+ 14v3

Es schlieBt sich nun die Lasung mittels Simplex-Algorithmus an. Auf der linken Seite stehen die vier Tableaus zur Lasung des primalen Problems und auf cler rechten Seite die - zufiillig ebenfalls vier - Tableaus zur Lasung des dualen Problems. Primal' Tab. 0 Z 0 [111] 6

Dual:

Xl

X2

X3

-2 4

-1

-3 -1

llJ

9 0 1 Y2 14 5 1 Y3 Tab. 1 Xl IYll 6 2 1 6 4 1 X2 -4 -1 3 Y2 -1 8 1 Y3 Tab. 2 Xl [Yl] -2 Z 9 0 3 27/4 X2 3/4 -1 -1/4 X3 3/4 13/2 [3J -1/2 Y3 Tab. 3 Y3 [Yl] Z 40/3 2/3 -1/3 -1 X2 1/4 5/4 35/12 1/3 -5/12 X3 13/6 1/3 -1/6 Xl

z

3 1 X3

-4 -1

[4J 2 Y2

1 1/4 1/4 -1/2 Y2

2/3 3/4 1/12 -1/6

Tab. 0 -Z' 0 -2 WI -1 -3 Tab. 1 -Z' -6 2 WI 1 [iii] -4 W3 Tab. 2 -Z' -22 4 WI -1 [iii] 1li2

W3

I vII

V2

V3

6 -4

14 -5

6 -4 -1 1

9 0 -1 -3 1 2X l + 3X2 + 6X3 + X 4 > 1 X l + 4X2 + 3X3 + 2X 4 > 1 Xl,X2,X3,X 4 > 0

min!

Duales LP-Problem:

Z' 4Vl + 2v:c + V3 2Vl + 3V2 + 4V3 6Vl

6V2 + 3V3 + 1v2 + 2V3 V1,

Die Schallenpreise der dualen Schlupfvariablen Wi entsprechen den Werien cler primalen Slruklurvariablen. Daher laulel die primale Losung: X l ~ 0, X2 ~ 1/8,

+ X4

X3 ~ 1/12, X 4 ~ 1/ 8. Daraus folgl Zm= ~ l/u m in ~ 1/3 beziehungsweise Umin = 3 und damit P I ~ 0, P2 ~ 3/8, P3 ~ 1/4, P4 ~ 3/8. Die gewinnmaximale gemischte Strategie fur den Monopolislen A beslehl in der Anwendung eines Zufallsexperiments, das jeweils mil Wahrscheinlichkeil 3/8 die zweite oder vierte reine Strategie auswahlt und mil Wahrscheinlichkeil 1/ 4 die drille. Die Slralegie a l isl im Vergleich mil den Allernativen nicht interessant und wird daher nie eingeselzl. Der (erwarlele) Mindeslgewinn fur den Monopolislen A belriigl wie schon erwiihnl - 3 Geldeinheilen und entspricht damit in einem Zwei-PersonenNullsummen-Spiel dem Verlusl des Monopolisten B. Wenn wir diesen mit den Werlen der dualen Slruklurvariablen Vj multiplizieren, erhalten wir die - in diesem Fall gleichen - Auswahlwahrscheinlichkeiten fur die drei reinen Strategien des Monopolislen B.

'Li2, V3

V1

< < < < >

+ 'V2 + V3

max!

1 1 1 1 0

Tab. 0 V2 V3 VI -1 -1 -1 Z' 0 1 4 2 1 WI 1 2 3 [4J W2 1 0 6 3 W3 1 6 1 2 W4 Tab. 1 VI V2 W2 Z' 1/ 4 -1 / 2 -1/4 1/4 -1/4 WI 3/4 7/2 5/4 V3 1/4 1/2 3/4 1/4 -3/ 2 15/ 4 -3/4 W3 1/ 4 [5J -1/2 -1/2 W4 1/2 Tab. 2 W4 V2 W2 Z' 3/10 1/ 10 -3/ 10 1/5 WI 2/5 -7/10 8/5 1/10 V3 1/5 -1/10 4/5 3/10 18 / 5 -9/10 W3 2/5 3/10 -1/10 -1/10 VI 1/10 1/5 Tab. 3 W4 W3 W2 Z' 1/3 1/8 1/12 1/8 -5/6 -4/9 WI 2/9 1/2 -1/6 -2/9 V3 1/9 1/2 1/ 12 5/18 -1/4 v:c 1/9 5/ 24 1/36 -1/8 VI 1/9 1

1

14 Losungen der Ubungsaufgaben Aufgabe 6.3:

289

Schere-Stein-Papier-Brunnen

Analog zum Ansatz in cler vorigen Aufgabe erMlt man das Dual als Maximierungsproblem mit Kleiner/Gleich-Restriktionen, das wieder direkt in ein SimplexStart tableau iibertragen werden kann.

Duales LP-Problem:

Z·

+ 2V3 2Vl + V2 2V2 + V3 + 2V4 2vj + 2

Tab. 0 Vj 0 200/3 - 2/971 + 1/373 ;:> 0 350/3 - 2/971 - 72 + 11/673 ;:> 0

e)

B- 1

C:~vB-l

270) 90) 180 ~ (160/9 ( 280 190/3

a

270) 90 ) ~ 65000/3 180 ~ (0,150,300) ( 160/9 ( 280 190/3

Die Basis bleibt zulassig. Die Lasung !autet einem Gewinn von 21666.67€.

f)

>

-1 4/9 -1/6

Xl ~

160/9,

X2 ~

0,

X3 ~

190/3 mit

292

14 Losungen der Ubungsaufgaben

Tab. 3' Dem Tableau 3 wird Xl X2 X3 X4 Yl Y2 Y3 Z 68800/3 0 eine neue Spalte fur 350/3 0 -300 0 50/3 200/3 -1 0 3 0 2 1 0 70 X 4 mit den berechYl neten Werten hin1 4/ 3 0 212/9 -2/9 0 -2/9 Xl 4/9 zugefugl. Offenbar 0 0 0 -1/6 194/3 11/6 1 1/3 X3 muss die neue VaTab. 4' Xl X2 X3 X4 Yl Y2 Y3 riable in die Basis. Z 0 0 350/3 50/3 84700/3 225 200/3 0 X 1 verlasst dafiir die 0 1 -5/3 1/3 Yl 104/3 -3/2 10/3 0 Basis. 1 0 53/3 -1/6 X4 3/4 -1/6 0 1/3 Die Oplimallosung 0 0 0 -1/6 194/3 X3 11/6 1 1/3 laulel: X l ~ X2 ~ 0, X3 ~ 64.66, X 4 ~ 17.66 Tonnen mil einem Gewinn von 28233.33€. 1

Aufgabe 7.2:

Modellerueiterung

Das Oplimallableau 2 isl urn eine Zeile und urn eine Spalle fur die zusiilzliche Reslriklion X l +4X2 0

C~J3-lb ~ (0, t, 4 + t) (1~) ~ 64 + 20t Das Tableau 2a stellt nun das parametrisierte Tableau 2 dar, das filr t ~ 0 optimal ist. FOr welche Werte von t bleibt es optimal? Offenbar zuniichst filr alle positiven Werte von t. Aber fur t < 0 muss bereits Y2 anstelle von Yl in die Basis transformiert werden. Tab. 2a Z 64 + 20t 4 Yl 4 X2 2 Xl

Xl

X2

Yl

Y2

Y3

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

t

4+t

l3J

-1 0 1/2

1 -3/2

Daraus ergibt sich das Tableau 3a, das wiederum filr -3 Fur t < -3 muss Y3 anstelle von X2 in die Basis gelangen.

Z Y2 X2 Xl

Tab. 3a 64 + 56/3t 4/3 8/3 4

Xl

X2

0 0 0 1

0 0 1 0

Yl -t/3 1/3 -1/3 1/2