Neuere Verfahren in der Festigkeitslehre 9783486777154, 9783486777147

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Neuere Verfahren in der Festigkeitslehre

von

H. H E N C K Y Mit

12

Abbildungen

M Ö N C H E N 1951

VERLAG V O N R. O L D E N B O U R G

Copyright 1951 by R. Oldenbourg, München Druck und Einband von R. Oldenbourg, München

Inhaltsverzeichnis Seite

I. D e r h o m o g e n e Körper

Spannungs-

und

Verzerrungszustand

elastischer 7

A . Kinematik 1. Geometrische Grundbegriffe 2. Die infinitesimale Drehung 3. Die Verzerrung

7 7 11 13

B. Statik 1. Kräfte und Vektoren. Prinzip der virtuellen Arbeit 2. Die Spannungen 3. Elementare Betrachtung über das Elastizitätsgesetz

16 16 17 18

C. Anwendung der vom Bezugsystem unabhängigen Größen 1. Invarianten der Spannung 2. Bruch und Plastizität

19 19 21

D. Beziehung zwischen Spannung und Verformung 1. Das Elastizitätsgesetz 2. Der ebene Spannungszustand

24 24 26

II. Der i n h o m o g e n e Spannungs- und V e r z e r r u n g s z u s t a n d

28

A . Krummlinige orthogonale Koordinaten 1. Analyse der Verzerrung in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . 2. Die Drehung im krummlinigen Koordinatensystem

28 28 30

B. Inhomogene Gleichgewichtszustände 1. Der inhomogene Zustand in kartesischen Koordinaten 2. Die Divergenzoperation in krummlinigen Koordinaten

31 31 32

C. Die Bedeutung der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen für die speziellen technischen Näherungstheorien

33

1. Die allgemeinen Gleichungen der virtuellen Arbeit 2. Die ebene Platte a) Die Reduktion auf e i n e partielle Differentialgleichung b) Die Reduktion auf gewöhnliche Differentialgleichungen 3. Lange Scheiben und ihr Übergang zum Balken

34 35 35 37 40

D. Die Theorie der Schalen in neuer Form 1. Die allgemeinen Gleichungen 2. Die Gleichgewichtsbedingungen 3. Anwendungen a) Die Zylinderschale a) Kinematik und Statik ß) Die Zylinderschale mit konstantem Umfang y) Der Übergang zu gewöhnlichen Differentialgleichungen b) Die Ringflächenschale

43 44 49 55 55 55 59 62 63

c) Bemerkungen zur Konstruktion äquidistanter Flächensysteme N a c h b e m e r k u n g des V e r l a g e s zum S c h r ä g b r u c h s t r i c h u n d zum v e r e i n f a c h t e n D i f f e r e n t i a l s y m b o l

. . .

69 71 1*

Vorwort Die vorliegende Schrift, der einführende Teil einer umfangreicheren, die 1943 in den Räumen des Verlages vor der Ausgabe verbrannt ist, behandelt im wesentlichen bekannte Aufgaben, aber nach neueren Verfahren und Gesichtspunkten. Sie soll dem Leser hauptsächlich die praktische Anwendung der T e n s o r g e o m e t r i e im Gebiet der Festigkeitslehre zeigen. Die vorgetragene Theorie der Schalen und Platten ließe sich auch ohne Tensorsymbolik darstellen; es war aber gerade Absicht, den Leser mit Rechenverfahren dieser Art vertraut zu machen für die wichtige Anwendung in der Grundlagenforschung der technischen Mechanik, die in zwanglosen Veröffentlichungen folgen soll. Der ungünstige Umstand der Papierknappheit in den Jahren nach 1945 veranlaßte eine papiersparende Umschrift unter Anwendung des Schrägbruchstriches auf Wunsch des Verlages*). Die Umschrift und sonstige Umarbeitung hat Herr Dipl.-Ing. H. Pfannenmüller in dankenswerter Weise übernommen, denn ich hatte wegen starker beruflicher Beanspruchung leider nicht die nötige Zeit. Dem Verlag fühle ich mich für seine wohlwollende Einstellung und die große aufgewandte Mühe zu Dank verpflichtet. Ebenso danke ich den Leitern der Maschinenfabrik Augsburg-Nürnberg, Werk Gustavsburg, für die wohlwollende Förderung meiner Arbeit. G u s t a v s b u r g , im Juli 1950.

*) Vgl. Nachbemerkung am Schluß des Buches.

Heinrich

Hencky.

I. Der homogene Spannungs- und Verzerrungszustand elastischer Körper Die Erfahrung hat gezeigt, daß der Ingenieur und technische Physiker sich häufig seinen mathematischen Apparat selbst entwickeln muß, wenn er seinen Aufgaben gerecht werden will. Damit soll das Verdienst des Mathematikers an dem Ausbau unserer Wissenschaft keineswegs herabgesetzt werden, im Gegenteil veranlaßt uns gerade die Schätzung seiner Tätigkeit dazu, keine unmöglichen Forderungen an ihn zu stellen. In der Wissenschaft, mit deren Grundlagen wir uns hier beschäftigen, der Festigkeitslehre und angewandten Mechanik, handelt es sich vor allem um die Verschiebung zusammenhängender materieller Elemente und um das Gleichgewicht zwischen Lasten, Massen und elastischen Widerständen. Die analytische Geometrie als geeignetes Mittel zur Beschreibung der Verformungen spielt daher eine ausschlaggebende Rolle in unseren Problemen. Wir wollen diese Probleme nach dem Muster der Lagrangeschen Methode in der Dynamik in Angriff nehmen und lösen, denn diese Methode zeigt das Zusammenwirken von Geometrie und Mechanik in denkbar einfachster Weise. W a s bei der Methode von Lagrange die Variation der Differenz von kinetischer und potentieller Energie, das ist in der Festigkeitslehre das Variationsintegral der Formänderungsenergie, und die Freiheitsgrade in der Dynamik entsprechen bei uns den Funktionen, von denen die Verschiebungen abhängen. Auch für die kinematischen Nebenbedingungen und ihre Berücksichtigung bei Lagrange kann man in unseren Problemen E n t sprechungen finden. Wenn wir zunächst die analytische Geometrie in einer unseren Zwecken entsprechenden Weise einführen, so geschieht dies nicht, um bekannte Sachen unnötig verwickelt darzustellen, sondern gerade im Gegenteil, weil m a n nur durch Einführung der Tensorgeometrie imstande sein wird, die Mechanik der vorgespannten Körper in klarer und verständlicher Sprache zu behandeln. Die vorgetragene Theorie der Schalen und Platten ließe sich gewiß auch ohne Tensorsymbolik darstellen, der Leser würde aber dann bei anderen Problemen nicht die nötige Vertrautheit mit der Rechenmethode besitzen.

A. K I N E M A T I K 1. GEOMETRISCHE GRUNDBEGRIFFE Wir beginnen mit dem homogenen Spannungs- und Verzerrungszustand. Das Koordinatensystem ist ein kartesisches, und eine Parallelverschiebung ändert

8

I. Homogener Zustand — A. Kinematik

nichts an den Spannungs- und Verzerrungszuständen. Haben wir nun irgendein reales Objekt, z. B. eine Ellipse, so wird es Eigenschaften geben, welche sich zwar in den Koordinaten ausdrücken lassen, aber in allen Systemen den gleichen Wert haben. So wird z. B. die Exzentrizität einer Ellipse immer den gleichen Wert haben müssen. Es fragt sich: ist es nicht möglich, durch eine zweckmäßige Schreibweise eine solche vom Koordinatensystem unabhängige Größe kenntlich zu machen ? Es ist nun tatsächlich möglich, eine solche Schreibweise einzuführen, wenn man in den Koordinaten x, y, z die Indizesmethode anwendet, d. h. mit Koordinaten xv xv x3, allgemein: x{ rechnet. Der Grundbuchstabe bedeutet immer die geometrische Größe, und der Index die Nummer der Komponente. Der praktische Sinn wehrt sich zunächst dagegen, mit Indizes zu rechnen anstatt mit einfachen Buchstaben, weil man dabei leichter Fehler machen kann. Wir empfehlen ja aber die Indexmethode nur für allgemeine Untersuchungen. Wir werden sogleich an Hand von Beispielen zeigen, wie einfach sich auf diese Weise die vom speziellen System unabhängigen Elemente darstellen lassen. Wenn wir nun für einen Vektor seine 3 Komponenten angeben, so schreiben wir einen unbestimmten Index. Eine Richtung im Räume ist z. B. durch die 3 Richtungskosinusse m v m 2 , m 3 gegeben. Wir schreiben das mf (i = 1, 2, 3). Wenn die Summe der Quadrate der 3 Komponenten der Einheit gleich ist, so nennen wir den Vektor einen Einheitsvektor. Wir können nun eine zweite Richt u n g angeben, n ; , und nach dem Winkel zwischen diesen beiden Richtungen fragen. Dieser Winkel ist von dem gewählten Koordinatensystem ganz unabhängig und wird durch das sog. skalare Produkt der beiden Vektoren n^ und n^ angegeben: cos m = my + m2 ns + m3 n3 = 2 mi n{ = n^ Man h a t früher bei Formeln, in denen über 3 Indizes summiert wird, ein Summenzeichen geschrieben, man merkt aber bald, besonders wenn es sich um Summationen über mehrere Indizes handelt, daß das Ausschreiben der Summenzeichen vollständig und ohne Gefahr für das Verständnis weggelassen werden kann, wenn man sich ein für allemal merkt, daß ein sich wiederholender Index eine solche Summation bedeutet. Der sich wiederholende Index hat sozusagen seine Individualität verloren. Wir werden von dieser Erleichterung auch dann immer Gebrauch machen, wenn wir uns kartesischer Koordinaten bedienen. Um gleich ein wichtiges Beispiel anzuführen: Das schiefwinklige Grundsystem hat als Element ds, wobei ds 2 = dx* + dx* + dz 2 + 2dx%dx3 cos« + 2da; 3 da; 1 cos/S + 2da^da; 2 cosy = = Su ixl + fe + S33 dxt + 2 dx dx + g23 2 3 + 2 ¿'31 dx3 dxi + 2 ds = 22 gik &Xi Axk = gik dx f dxfc.

2

812 dxl

dx

2 (1)

9

1. Geometrische Grundbegriffe Die durch 6 Bestimmungsstücke gegebene Größe g(k beißt der metrische mentaltensor.

Funda-

I m speziellen Fall eines kartesischen Systems mit rechten Winkeln

wird i n ~ 822

=

833

812

=

83 1

£23

=

=

1

=

0-

W i r rechnen meist in fiktiver Weise mit dem Symbol gik,

meinen dabei aber

immer den soeben definierten Einheitstensor. Zur Veranschaulichung der Tensorschreibweise wollen wir einige Anwendungen auf die analytische Geometrie einschalten, die uns überdies bei unseren mechanischen Problemen von Nutzen sein werden.

Die Gleichung der Ebene ist bekanntlich:

A1 xx + A2 X2 + As x3 = A2

oder in der gekürzten Schreibweise: A, X( =

A2.

Diese Gleichung besagt, daß die Projektionen aller Punkte der E b e n e auf das vom Nullpunkt des Systems auf die Ebene gefällte L o t alle in den F u ß p u n k t des Lotes fallen müssen. Die Form der Gleichung läßt sich stets so wählen, daß A=fA*

+ A* +

Al.

Dividieren wir beide Seiten der Ebenengleichung mit A und setzen für die Richtungskosinusse des L o t e s : AJA

= au so wird

a,- x{ = A, ein Resultat, das wir soeben mit Worten umschrieben haben.

Die

Gleichung der Mittelpunktsfläche zweiten Grades lautet Ö

11 X\ +

a

22 X\ +

a

3S X\ +

2 a

l2

X

1 X2 + a

ik xi

2 ö

23 X2 X3 +

31 H X1 = ^

2 Ö

°deI>

(2)

x

k — ß21 0 0

Setzt man an Stelle von aik

den Einheitstensor gik ¡s

0 1 0

so wird

0 0 1 gik Xi Xfc = xk xk = xl + xl + x\ =

a2,

d. h. die Mittelpunktsfläche geht in eine Kugel über. Der Einheitstensor 1 ) t r i t t dabei als Substitutionsoperator für die Indizes auf: g1 — x1 A to2). Durch Vergleich der Resultate folgt, daß X = 1 sein muß. Hier hatten wir die Drehung als Vektor eingeführt, wie es in den Lehrbüchern der Mechanik üblich ist. Wenn man mit räumlichen Problemen der Elastizitätstheorie zu tun hat, ist es aber viel zweckmäßiger, die Drehung als eine Raumtransformation aufzufassen. Wenn wir schreiben A Uj = xk A wki

(5)

und noch die Festsetzung machen also auch

Acoik + A coki = 0, A o) u = A ft)22 = A (o33 = 0,

so kommen wir zu den eben für A u l t A u2, A u3 abgeleiteten Formeln, wenn A a>31 = A co2; A w12 = A co3; A a>23 = Aw1

(5 a)

gesetzt wird. Infolge zufälliger Eigenschaften des dreidimensionalen Raumes ist es nämlich möglich, die infinitesimale Drehung als einen axialen Vektor und als antisymmetrischen Tensor aufzufassen. Die Transformation des Raumes infolge einer infinitesimalen Drehung kann geschrieben werden Xf = Xfc(gw + Zlcow), (5 b) wobei x,- — x t die infinitesimale Änderung von x i ist. Man beachte, daß eine Vertauschung der Indizes in A oou das Vorzeichen ändert. Die Summation geht über den ersten Index; eine Summation über den zweiten Index würde Ä = — 1 bedeuten.

3. Die Verzerrung

13

3. DIE VERZERRUNG W e n n wir schreiben = Xf + A u t ,

(6)

wobei A u s eine lineare Funktion der Koordinaten sein möge, so haben wir eine Transformation des Raumes vor uns, bei der zwar eine Drehung wie in Gleichung (5 b) beteiligt sein kann, die aber im allgemeinen von einer Verzerrung der Längen und der Winkel zwischen zwei Linien begleitet ist. Das Mittel zum Herausholen der Verzerrung aus der Gleichung (6) ist die Differentiation. Durch Differentiation eines Skalars erhalten wir 3 Komponenten, die sich auf ein anderes Koordinatensystem wie die Richtungskosinusse einer Strecke transformieren. So erhält man Gradienten, z. B. den Druckgradienten, den Temperaturgradienten usw. Eine Differentiation kann man daher auch auffassen als eine Multiplikation mit einem symbolischen Vektor von der Form ö, 1 ). Ganz allgemein entsteht also durch Differenzieren nach den Koordinaten eine Größe, deren Grad um eine Einheit höher ist. Zunächst gelten diese einfachen Regeln allerdings nur für Koordinatensysteme mit konstantem gik, sie lassen aber eine Verallgemeinerung zu, mit der wir uns indessen nicht beschäftigen werden. Das wesentliche Merkmal einer von einer Verdrehung verschiedenen Verzerrung besteht darin, daß der Abstand zweier P u n k t e vor und nach der Verzerrung verschieden ist. Bezeichnen wir den transformierten Abstand mit dz, so wird d z 2 — dx2 = (dx 4 dx,. — dxtf d x ^ gik. Da es sich um eine infinitesimale Transformation handeln soll, wird d x2 — d z a = (dx + dz) (dx •— dz) -» 2 d z (dx — dz) mit infinitesimaler Näherung; die Ergebnisse aus den einzelnen Näherungsschritten seien hier und im folgenden nur durch den waagrechten Strich gekennzeichnet, also nicht weiter voneinander unterschieden. Nun erhalten wir aus (6) durch Differentiation

wie m a n sich leicht aus dem Sinn dieser Differentiationsvorschrift überzeugt. Entsprechend erhalten wir weiter: gik d x , t = (gik d, xk + gik d, A u j dx, = (gn + ö, A urf) dx„ und da gesetzt werden darf dx,- =

dx, = gil dx,, so wird

2 da; (dx — dz) = ((gik + bk A u'y, d„ zu = co; ö® w — cd" ö > = 0 ö x d„ w — co'; d* w + öy w — co" y und dw — ydco;

dvdw = öw,

40

II. Inhomogener Zustand — G. Allgemeine Gleichgewichts-Bedingungen

also:

Mv

=

— E ' J - ( o " y ;

D

=

— E'

V „ =

— E'

+

b. D

Mx

J (l — 1/m) J• =

co";

=

VXZ

—

— E ' J • w"

y/m;

™

¿»3/3 — p0 ¿>2/6 — 2

¿»/3 _ /

b

Po

fts/e) ") . Als Aufgabe stellen wir uns die Bestimmung der simultanen Differentialgleichungen für

' ) { l — p ) / 2

ol* = /b + 9/) = 0 ( 1 — M)E'(rp' + 1 angenommen. Außerdem soll es sich, wie schon angedeutet, um dünnwandige Schalen handeln, so daß e 3 e. Demgemäß werden in den Ausdrücken Nv Nu und Nm die mit dem Faktor £ 3 vorkommenden Glieder ohne x aus zwei Gründen gegen die Glieder mit dem Faktor e und mit x zurücktreten; sie werden infolgedessen besonders geringen Einfluß haben, und wir wollen sie vernachlässigen: Damit vereinfachen sich die Ausdrücke Nv Nn und N1U abermals erheblich: Nt = (E' e3 a 2 «/12) (df Mß — E'ea?

Nß)

-

(Lß (x + cos •&) + Ly cos &)

+

+ p a (x + cos •&) + Xx e a (x + cos $) 2

Nn

= (E'

3

e

3

a2 w/12)

M ß +

N ß )

+ E' E a ((* + cos 0)

+

Lß — Lp sin 0 + Ly sin

2

+ (1/2)

A)

+

+ Xß e a (x + cos &). 3

NIU

Ly + ((x + cos #)/2)

— E' s a2 + X

A — A sin

+

s a (x + cos #). 3

Nach Einsetzen der Verschiebungen, jedoch Belassen von Lß und A in den Gliedern mit e ergibt sich: iVj = (E' e 3 a x/i2) — E'

(— A u0 — 2 b2A u0 — b*A u0) —

a (a Lß (x + cos •&) + (A l +

E

+ p a (x + cos •&) -f 2

Nn

+ cos #)

= E' £a (a(x + (AI+

bvA

w0) sin

E

öw0) cos &/(x + cos &)) +

a Xx {x + cos &). 3

Lß — a Lß sin •& +

+ cos 0) + (aß) \ A)

+

+ e a Xß (x + cos #). 3

N

i n

= E'EO2

[(b^Al

+ llAw0)!(x

+ cos 0 ) + ( ( x + cos 0 / 2 )

— A sin t?] +

+ £ a Xy (x + cos •&). 3

Zur abermaligen Vereinfachung sei angenommen: Xy = 0; Xx und Xß unabhängig von rp. Nun kommen keine von

t [ = sin (cui)] oder In ab [ = l n (a&)]. Von diesen Ausnahmen wird in dieser Schrift kein Gebrauch gemacht, weil sie nicht immer eindeutig sind. Der Schrägbruchstrich ist nur für den Druck gedacht. In der Gebrauchshandschrift wird m a n schon wegen der besseren Unterscheidbarkeit von „ 1 " immer den waagrechten benutzen.

72

Nachbemerkung der Verlages

Der Schrägbruchstrich ließe sich durch den Doppelpunkt ersetzen. Es ist aber üblich, den Doppelpunkt für bestimmte Rechnungsarten zu bevorzugen (korrespondierende Doppelpunkte bei der Verhältnisrechnung), und dieser Gebrauch soll nicht gestört werden. Der Differentialquotient läßt sich eindeutig durch ein einziges Operationszeichen wiedergeben mit dem Differentiator als Index : d d *y = -ydx;

b* h* z

*v =

TxdJö 2 z

Die Formen in der neuen und in der alten Schreibweise seien einander in einigen Beispielen gegenübergestellt:

a+

+ d= «+

+

a/b-c = ~c-,

ajbc und ajb/c sind vermieden; statt ihrer werden nur ganz eindeutige Ausdrücke mit Klammern verwendet. . . ö A u, hier ist zur weiteren Vereinfachung nur der Index des Differentiators als Operatorindex gesetzt; in der Differentialgeometrie bereits allgemein angewendet; vgl. S. 13. d

yl

a=

d

d

= - ~ - > dagegen: dx(y/a)=~-

i

Au

Au\h = -^-\

die Operatoren d wie A verbinden enger als der Schrägbruchstrich. d

, ^^ A

=

A ybxz= (A y) d 2/2 = (d yY;

(Va) d/lz

1

— j > — T '

;

ÖA x a/b = {5A x)

d (2/2) nur so;

df

y =

v

ydy/z=

- ;

das Integralzeichen reicht immer bis zum zugehörigen Differential. A n m e r k u n g : Der Gebrauch des Schrägbruchstriclies und ähnlicher Schreibweisen macht auf eine Reihe von Gepflogenheiten aufmerksam, die nicht folgerichtig erscheinen und tatsächlich die Eindeutigkeit gefährden. Man schreibt z . B . s i n ' * in dem Sinn (sinsc)', trotzdem folgerichtig I s t : s i n ' x = sin (sinx), ebenso wie d ' x = d (die) und 2 ' u = 1 ( 2 o). Die folgerichtige Schreibweise für ( s i n * ) ' ist einfach s i n x ! . Nun benutzt man aber s i n x 1 in dem Sinn sin ix'), trotzdem dieser Ausdruck nach Rangregel nur so, also mit Klammern geschrieben werden darf. Der Gebrauch sin sc* für sin (sc1) hängt mit der naheliegenden Neigung zusammen, sich Operatoren bis zum E n d e des jeweiligen Ausdruckes wirkend vorzustellen. Dieser Neigung steht der Zwang zur folgerichtigen Fortsetzung der Rangeregel entgegen, die durch den kaum mehr zu erschütternden Gebrauch für die niedrigen Rechnungsarten festliegt, und gegen die man auch so wohl nichts einwenden kann.