Modelltheorie für Linguisten [Reprint 2017 ed.] 9783111373591, 9783484500662

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Romanistische Arbeitshefte

7

Herausgegeben von Gustav Ineichen und Christian Rohrer

Peter Lutzeier

Modelltheorie für Linguisten

Max Niemeyer Verlag Tübingen 1973

ISBN 3-484-50066-2 © Max Niemeyer Verlag Tübingen 1973 Alle Rechte vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen. Printed in Germany

VORWORT

E i n i g e Logiker ( z . B . D. KAPLAN, H. KAMP, R . MONTAGUE, D . SCOTT) gewinnen zunehmend I n t e r e s s e an der B e s c h r e i b u n g n a t ü r l i c h e r Sprachen. Ihrer Meinung nach sind die für die Semantik f o r m a l e r Sprachen entwickelten Methoden und B e g r i f f e d e r Modelltheorie s o stark, um auch auf natürliche Sprachen e r f o l g r e i c h angewendet zu werden. L e i d e r können d i e s e Arbeiten v o n den m e i s t e n Linguistikstudenten nicht mit Gewinn g e l e s e n werden, da ihnen die e r f o r d e r l i c h e n V o r k e n n t n i s s e f e h l e n . Hier s o l l nun das Heft eine Hilfe sein, indem e s in die zentralen B e g r i f f e und e l e m e n t a r e n Methoden d e r Modelltheorie einführt. V o m L e s e r werden w e n i g s t e n s e l e m e n t a r e Kenntnisse aus d e r Logik (Wahrh e i t s t a f e l n der Aussagenlogik) und der naiven Mengenlehre (Grundoperationen) e r w a r t e t . J e d e m , der hierüber noch nicht v e r f ü g t , raten w i r zur Lektüre d e s in d i e s e r Reihe e r s c h i e n e n e n Heftes: A LLWO O D / A NDERSSON / D A H L / GRABSKI, Logik für Linguisten, Tübingen 1973 ( R o m a n i s t i s c h e Arbeitshefte). B e i m v o r l i e g e n d e n Text handelt e s s i c h um e i n e v e r b e s s e r t e und e r w e i t e r t e V e r s i o n e i n e s von mir abgehaltenen 2-stündigen K u r s e s "Einführung in die Modelltheorie" i m SS 72 a m Institut für Linguistik der Universität Stuttgart. In d i e s e m Kurs wurde b e r e i t s ein Großteil d e r Aufgaben g e t e s t e t , wodurch die Wahrscheinlichkeit groß i s t , daß s i e d e m L e s e r die Kontrolle s e i n e s Lernerfolges ermöglichen. Wir beschränken uns auf Sprachen 1. Stufe mit Operatoren, für die eine kontextabhängige Theorie entwickelt wird. Hiervon s o l l t e d e r L e s e r die für ihn z w e i f e l l o s notwendigen Erweiterungen, s o w i e die konkrete Anwendung auf ein F r a g m e n t e i n e r natürlichen Sprache mit Hilfe weiterführender Artikel nachvollziehen können. D e r Text und das L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s geben h i e r z u r e i c h l i c h Anregungen. D i e Syntax dient uns f a s t a u s s c h l i e ß l i c h zur Definition d e r jeweiligen Sprachen. Aus d i e s e m Grunde bleiben F r a g e n d e r A x i o m a t i s i e r u n g und der Vollständigkeit - a l s o die E x i s t e n z e i n e s g l e i c h w e r t i g e n syntaktischen A b l e i t b a r k e i t s b e g r i f f e s zu u n s e r e m s e m a n t i s c h e n F o l g e r u n g s b e g r i f f - u n e r wähnt. Jede Beschäftigung mit Modelltheorie i s t d e m Werk A L F R E D TARSKIs v e r pflichtet. HANS KAMP hat i m p e r s ö n l i c h e n Gespräch m e i n I n t e r e s s e an kontextabhängigen T h e o r i e n entscheidend g e w e c k t . Meine V o r g e h e n s w e i s e i m

VI Kap. 5 orientiert sich teilweise an dem Buch: W. SCHABHÄUSER, Modelltheorie I, Mannheim 1971 (BI-Hochschultaschenbuch 813), das Anregungen für die Verwendung der Modelltheorie in der Mathematik gibt. Neben den Teilnehmern des K u r s e s haben m i r insbesondere FRANZ GUENTHNER und P r o f . EKKEHARD KÖNIG geholfen, die Anzahl der unbewußt unterdrückten Dinge möglichst gering zu halten. MICHAEL GRABSKI machte sich die Mühe, das Manuskript in vorläufiger F o r m zu l e s e n ; woraus einige wertvolle Hinweise r e s u l t i e r t e n . Die Herausgeber, P r o f . CHRISTIAN ROHRER und P r o f . GUSTAV INEICHEN ermöglichten durch ihre Kritik die j e t z i g e Fassung. Die bewundernswerte E n e r g i e , dieses Manuskript druckf e r t i g zu tippen, brachte F r l . INGRID WIEDMANN auf. Zur Zeit der Abfassung des Manuskripts arbeitete ich an einem von der DFG finanzierten P r o j e k t über "Beziehungen zwischen natürlichen und formalen Sprachen" mit. Stuttgart, im Juni 1973 P e t e r Lutzeier

INHALTSVERZEICHNIS

V e r z e i c h n i s d e r S y m b o l e und A b k ü r z u n g e n

VIII

1

Gegenstand der Modelltheorie

1

2

Modelltheorie für Linguisten?

4

3

Definitionen aus der Mathematik

9

4

Syntax d e r S p r a c h e n 1. S t u f e m i t O p e r a t o r e n

19

5

S e m a n t i k d e r S p r a c h e n 1. Stufe m i t O p e r a t o r e n

28

6

5. 1

Interpretation

28

5.2 5.3

M o d e l l und l o g i s c h e F o l g e r u n g A n w e n d u n g e n d e r z e n t r a l e n s e m a n t i s c h e n B e g r i f f e in der Modelltheorie

56

S p e z i e l l e S p r a c h e n 1. S t u f e m i t O p e r a t o r e n 6. 1 6.2 6. 3 6.4

Sprachen Sprachen Sprachen Sprachen

im im im im

Rahmen Rahmen Rahmen Rahmen

der der der der

Prädikatenlogik Modallogik Zeitlogik M o d a l l o g i k und Z e i t l o g i k

67 84 84 87 93 100

7

L ö s u n g e n zu d e n A u f g a b e n

105

8

Literaturverzeichnis

116

9

N a m e n - und S t i c h w o r t v e r z e i c h n i s

120

VERZEICHNIS DER SYMBOLE UND ABKÜRZUNGEN

A , B , . . . , M, N , . . . H, I, J, . .. C IN Z Q R 0 T W V

Mengen Indexmengen Kontextmenge Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen leere Menge Potenzmenge Menge der Zeitpunkte Menge der möglichen Welten Menge der Individuenvariablen

3 & T E, ... £ Cn ( ) 2 P„ . . . , R , S, . . . O L R*, . . .

Menge der Zeichenreihen Menge der Ausdrücke Menge der Terme Ausdrucks mengen Menge der logisch gültigen Ausdrücke Folgerungsmenge von Menge der Wahrheitswerte Relationen Relationskonstanten

E ^ ~ A s <
C

Propositionsfunktion

$ 8 O ,... h -i A V -*

Definitionsbereich Bildbereich Operatoren nicht und oder wenn, dann dann und nur dann es war der F a l l , daß es wird der F a l l sein, daß es wird i m m e r der F a l l sein, daß es war i m m e r der F a l l , daß es ist notwendigerweise der Fall, daß es ist möglicherweise der F a l l , daß Quantoren Strukturen logisch ausgezeichnete Interpretation relativ zu C a ist gültig an k unter ( A , D )

M

P F G H I~1 $ V, 3, . . . Sl (A, E ) ^ ( A , D>

t=

b

fc=

a

MOD

a

Z

( A , D>

ist Modell an k von 2

a ist logisch gültig in S

D

Deutung Deutung von E an k

Qr,, hk V^

Deutung von O, an k h Deutung von V an k

Z S\ S , . . .

Zeichenreihe Teilsprachen

1, . . . , T h , . . .

Theorien

X V

l'

V 2'

'''

Individuenvariablen

x, y, . . . n., m . , . . .

Metavariablen für Individuenvariablen Stellenzahlen

e 1 r k b a b^

neutrales Element Länge Rang Kontext Belegung modifizierte Belegung

a, ß, . . . T , . . . , er, T, . . .

Metavariablen für Ausdrücke Metavariablen für Terme

P n U

• - 1

Element von Durchschnitt Vereinigung Komplement Klammern geschweifte Klammern zur Angabe einer Menge spitze Klammern zur Angabe eines geordneten n-Tupels kartesisches Produkt Typ Abbildungspfeil Inversenbildung

BI gdw Hg. S. w. z . z . w . z.B. z. z.

Beweisidee genau dann wenn Herausgeber Seite was zu zeigen war zum Beispiel zu zeigen

i

3

( , ) {

(

(

}

X A

1

GEGENSTAND

DER

MODELLTHEORIE

Die U m g a n g s s p r a c h e v e r w e n d e t den Modellbegriff in v i e l e r l e i Schattierungen. Doch b e r e i t s i m B e r e i c h d e r e m p i r i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n gibt es eine e i n h e i t liche Auffassung: Man v e r s u c h t konkreten, einander ähnlichen Vorgängen d u r c h ein Konstrukt beizukommen, d a s die wesentlichen, g e m e i n s a m e n Züge d e r einzelnen Vorgänge a u f w e i s t . Ein solches Modell stellt i m m e r das E r g e b n i s eines A b s t r a k t i o n s p r o z e s s e s d a r . Z . B . steht a m Beginn e i n e s E i n f ü h r u n g s k u r s e s in die Linguistik häufig die Darstellung eines s p r a c h l i c h e n K o m m u n i k a t i o n s m o d e l l s d a s z u r E r k l ä r u n g von in Sätzen wie (1) Hans g e s t e h t M a r i a seine Liebe und (2) P r o f . V e r k o r k s t hält einen V o r t r a g ü b e r die Q u a r k s ausgedrückten Situationen dienen soll. Neben d e r a r t i g e n t h e o r e t i s c h e n Ansätzen finden auch m a t e r i e l l e Ausführungen i h r e Anwendung. Dabei sei an Automaten a l s Simulatoren m e n s c h l i c h e r Kreativität e r i n n e r t . F ü r die e m p i r i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n f u n g i e r t ein Modell hauptsächlich a l s H y p o t h e s e , denn die an ihm abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten sind wieder an d e r Realität zu m e s s e n . Haben auch die e m p i r i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n ein f e s t e s V e r s t ä n d n i s über den Modellbegriff entwickelt, so l i e f e r t eine exakte Definition des Modellbegriffes n u r die M o d e l l t h e o r i e a l s Disziplin d e r Logik. Was m a n u n t e r d e r Modelltheorie zu v e r s t e h e n h a t , läßt sich nach i h r e m B e g r ü n d e r ALFRED TARSKI folgendermaßen f o r m u l i e r e n : " ( . . . ) the t h e o r y of models ( . . . ) can be r e g a r d e d a s a p a r t of the s e m a n t i c s of f o r m a l i z e d t h e o r i e s . The p r o b l e m s studied in the t h e o r y of models concern mutual r e l a t i o n s between s e n t e n c e s of f o r m a l i z e d t h e o r i e s and m a t h e m a t i c a l s y s t e m s in which t h e s e s e n t e n c e s hold". ( / C M / , S. 572) 1

Nachzulesen etwa i m Studienbegleitbrief 1 d e s Funkkollegs "Linguistik" (/FKK/).

2 Fig. 1 Mathematische Strukturen Modelltheorie formalisierte Theorien Eine Beziehung ist tatsächlich in beiden Richtungen denkbar: Einmal gibt man eine M e n g e v o n A u s s a g e n v o r , untersucht deren formale Eigenschaften und fragt nach den mathematischen Eigenschaften der zugehörigen Modelle. Liegt etwa ein Axiomensystem d e r Gruppentheorie v o r , dann weiß man, daß die in F r a g e kommenden Modelle ("Gruppen") ein neutrales Element usw. besitzen werden. Umgekehrt gibt man eine K l a s s e v o n S t r u k t u r e n mit bestimmten mathematischen Eigenschaften vor und wünscht sich Aussagen über die formalen Eigenschaften eventueller Axiomensysteme. In unserem "Gruppenbeispiel" heißt dies: Gegeben sei die Klasse aller Gruppen. Ein Axiomensystem muß dann z . B . die Assoziativität der Gruppenoperation fordern. Da wir im Laufe des Heftes zu in e r s t e r Linie syntaktisch definierten Sprachen geeignete Interpretationen finden wollen, steht für uns die e r s t e Fragestellung eindeutig im Vordergrund. Fig. 2 Mathematische Strukturen • formalisierte Theorien

Modelltheorie

J

D i e s e Fragestellung gehört nach dem Zitat von Tarski selbstverständlich nur zum V o r f e l d der eigentlichen Modelltheorie und wird deshalb auch schlicht " F o r m a l e Semantik" genannt. Dennoch hat es sich innerhalb der Sprachbeschreibung für natürliche Sprachen eingebürgert, von Modelltheorie zu reden, f a l l s man die Semantik mit den von uns zu beschreibenden Methoden und Begriffen durchführt. Die Modelltheorie als eine Theorie ü b e r formalisierte Theorien ist eine M e t a t h e o r i e . Sie wird hier in der durch einige Symbole angereicherten Umgangssprache präsentiert. Da diese Umgangssprache uns erlaubt, für vorgegebene formale Sprachen semantische Eigenschaften zu formulieren, stellt sie eine s e m a n t i s c h e M e t a s p r a c h e dar. Auf eine davon streng getrennte s y n t a k t i s c h e M e t a s p r a c h e - man denke bei den natürlichen Sprachen an die Ableitungsbäume oder etikettierten Klammerungen - wollen wir ausdrücklich verzichten. Weil keine Fragmente einer natürlichen Sprache mit ihren syntaktischen Mehrdeutigkeiten explizit behandelt werden - wir begnügen uns mit einigen Hinweisen - , können wir uns diese

3

Vereinfachung leisten. In der Logik ist das der Modelltheorie entsprechende Gegenstück die von D. HILBERT begründete B e w e i s t h e o r i e . Sie liefert die Grundlagen der Syntax und wirkt somit als syntaktische Metatheorie. Auf den Vergleich des Modellbegriffes der empirischen Wissenschaften mit unserem Modellbegriff muß der L e s e r noch auf Kapitel 5 vertröstet werden.

2

MODELLTHEORIE

FÜR

LINGUISTEN

?

Die Linguistik a l s e m p i r i s c h e Wissenschaft ist dem in Kap. 1 angefahrten Modellbegriff verpflichtet^. Kann sie nun darüber hinaus die Modelltheorie mit Gewinn v e r w e r t e n ? Mischen wir uns doch kurz unter die allabendliche Runde am Stammtisch des " O c h s e n s " , bei der e s heute um die F r a g e geht, ob am nächsten Sonntag der H e r r P f a r r e r den Anstoß zum K r e i s k l a s s e n s p i e l des örtlichen Fußballklubs durchführen darf, um damit auf eine anlaufende Spendenaktion der K i r c h e aufmerksam zu m a c h e n : A: "Wie ich ihn kenne, spielt e r doch gleich den B a l l dem Gegner z u " . B : "Im übrigen geht j e d e r von uns am Sonntag in die Kirche, a b e r wann sieht man schon den P f a r r e r a m Sportplatz"? C an B g e r i c h t e t : " A b e r nein, ab und zu schaut e r v o r b e i " . B : "Dann muß ich da i m m e r krank gewesen s e i n " . D an B g e r i c h t e t : " E i n e s hast du auch noch übersehen; nämlich folgendes: Nicht nur wir werden am Sportplatz sein, sondern auch die S p i e l e r der gegnerischen Mannschaft mit all ihren Schlachtenbummlern". B : "Das stimmt a l l e r d i n g s " . B e i diesem Ausschnitt wollen wir e s b e l a s s e n , da e r uns b e r e i t s genügend Anschauungsmaterial gibt. Die Kontroverse ' B - C ' ist vielleicht s o zu v e r s t e h e n : 'Wann sieht man schon den P f a r r e r am Sportplatz 1 ? fungiert nicht a l s echte F r a g e , sondern e h e r a l s Behauptung im Sinne von: 'Der P f a r r e r war doch noch nie am Sportplatz'. B verbindet damit eine nicht explizit gemachte Folgerung: 'Der P f a r r e r i s t am Sport nicht i n t e r e s s i e r t ' . Durch den Einwand von C wird nun diese Beziehung der beiden Sätze untereinander a l s Folgerung n i c h t bestritten, v i e l m e h r wird einzig die Wahrheit d e r P r ä m i s s e 'Der P f a r r e r war doch noch nie am Sportplatz' in F r a g e g e s t e l l t . F a l l s C recht hat, erweist sich die Argumentation von B a l s rein h y p o t h e t i s c h . Die Folgerung, für sich genommen, hat in diesem F a l l kein "Gewicht" und B bleibt nicht v i e l anderes übrig, a l s C 1

Einen Überblick über die in linguistischen Arbeiten verwendeten Modellbegriffe findet man bei CHAO (/MG/) v o r .

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auf ironische Weise entgegenzukommen. Eine Folgerung S ' von S ist in allen Situationen für eine Argumentationskette nicht verwendbar, in denen S falsch ist, denn in diesen Situationen wird der Wahrheitswert von S 1 nicht automatisch m i t g e l i e f e r t . Wenden w i r uns der Kontroverse ' B - D ' zu. E s scheint plausibel zu sein, daß B durch die Argumentation von D zu seinem Zugeständnis 'Das stimmt a l l e r dings' gebracht wird. Unter dieser Annahme könnte eine Erklärung folgendermaßen lauten: Neben anderem wendet sich D gegen eine von B nicht explizit gemachte Folgerung d e r ersten Aussage von B - 'Der P f a r r e r e r r e i c h t am Sportplatz auch nicht mehr Leute a l s in der K i r c h e ' - durch seine Äußerung: "Nicht nur wir werden . . . " . D i e s e r Einwand beinhaltet ebenfalls eine nicht explizit gemachte, zu der von der Aussage von B im Gegensatz stehende, Folgerung: 'Einige der Spieler der gegnerischen Mannschaft und der Schlachtenbummler werden sich als Gäste moralisch verpflichtet fühlen, dem P f a r r e r zu spenden; wodurch der P f a r r e r mehr Einnahmen e r z i e l t , a l s wenn e r nur in der Kirche s a m m e l t ' . Die dritte Aussage von B dokumentiert nun, daß B die Aussage von D anerkennt. Man kann aus d i e s e r Entwicklung des Gespräches vermuten, wie sich B weiter verhalten wird: Als rationales Wesen ist für ihn damit seine eigene " F o l g e r u n g " nicht mehr haltbar. F a l l s dem jedoch nicht so wäre, müßten wahrscheinlich zur Erklärung Charakterzüge von B - etwa Starrsinn - herangezogen werden. Die Strategie von D war eine andere a l s die von C. Indem D aufzeigte, daß trotz der Wahrheit der ersten Aussage von B dessen " F o l g e r u n g " falsch ist, widersprach D gerade d i e s e r behaupteten Beziehung der Folgerung zwischen den beiden Sätzen. Ein Sprecher muß eine von ihm behauptete Folgerung S ' aus S zurücknehmen, wenn ihm der H ö r e r eine plausible Situation angeben kann, in d e r S wahr, a b e r S ' falsch i s t . Wenn man als Linguist solche Argumentationsstrukturen untersucht, so kann man sich nicht mit den angegebenen Aussagen zufrieden geben, sondern man muß die intuitiv gewonnenen Folgerungen hinzufügen. Diese Methode beruht natürlich auf der bekannten T a t s a c h e , daß jeweils nur ein g e r i n g e r Teil der beabsichtigten Intention sprachlich explizit gemacht wird. Da, wie wir sehen werden, der F o l g e r u n g s b e g r i f f innerhalb der Modelltheorie eine zentrale Rolle spielt, bietet sich die Modelltheorie a l s t h e o r e t i s c h e s Instrument zur Überprüfung s e i n e r durch die Intuition gewonnenen Resultate an. F e r n e r kommt - wie die Kontroverse ' B - D ' zeigte - offenbar ein Linguist, f a l l s e r sich theoretisch absichern will, nicht an einer W a h r h e i t s d e f i n i t i o n v o r b e i , was wiederum die Modelltheorie bereitstellen kann. Die Wichtigkeit e i n e r Wahrheitsdefinition hebt der Logiker R . MONTAGUE h e r v o r : " ( . . . ) I regard the construction of a theory of truth - or r a t h e r , of the more g e n e r a l notion of truth under an a r b i t r a r y interpretation - as the b a s i c goal of serious syntax and s e m a n t i c s " (Montague /EFL/, S. 189).

6 W o h l g e m e r k t , e s geht - wie auch a u s dem Zitat von MONTAGUE h e r v o r g e h t i m allgemeinen nicht f ü r einen L o g i k e r und schon g a r nicht f ü r einen Linguisten u m eine a b s o l u t e W a h r h e i t s d e f i n i t i o n 2 . Diese e r m ö g l i c h t e j a u n s e r e aktuale Welt in den Grenzen u n s e r e r Sprache sprachlich a b z u s t e c k e n . E i n e F r a g e s t e l l u n g , die a m e h e s t e n f ü r einen N a t u r w i s s e n s c h a f t l e r i n t e r e s s a n t sein könnte. Dagegen ist e i n e m Linguisten b e r e i t s geholfen, wenn e r die W a h r h e i t s b e d i n g u n g e n f ü r die Sätze s e i n e r von i h m u n t e r s u c h t e n Sprache angeben kann; m i t a n d e r e n Worten, wenn e s ihm möglich i s t , folgende F r a g e zu b e a n t w o r t e n : Wie muß eine "Welt" a u s s e h e n , d a m i t d e r Satz S in i h r wahr i s t ? Häufig ist nicht e i n m a l eine d e t a i l l i e r t e Beantwortung d i e s e r F r a g e nötig, u m eine F o l g e r u n g zu r e c h t f e r t i g e n . B e t r a c h t e n w i r (1) Anita i s t eine F r e u n d i n von B i r g i t . (2) B i r g i t hat eine F r e u n d i n . Die Modelltheorie l i e f e r t t a t s ä c h l i c h eine Rechtfertiglang f ü r die Behauptung: (2) folgt a u s (1) - f ü r die Überprüfung d i e s e r T h e s e muß ich den L e s e r noch um etwas Geduld bitten - , ohne dabei konkrete Angaben ü b e r die g e s a m t e Organisation d e r "Welten" zu f o r d e r n , in denen die beiden Sätze w a h r sind. D e r Linguist, d e r die Modelltheorie a l s I n s t r u m e n t z u r S p r a c h b e s c h r e i b u n g h e r a n z i e h t , wird sich deshalb in den s e l t e n s t e n F ä l l e n m i t d e r expliziten Konstruktion von I n t e r p r e t a t i o n e n abmühen m ü s s e n . Dies a l l e s kommt i n s g e s a m t den I n t e r e s s e n d e s Linguisten entgegen, denn d i e s e r soll sich nach E . KEENAN in e r s t e r Linie m i t den s e m a n t i s c h e n Relationen von Sätzen b e s c h ä f t i g e n (Keenan / L B / , S. 3). Diesen von uns v o r g e b r a c h t e n Gründen f ü r die Verwendung d e r Modelltheorie in d e r Linguistik stehen nicht zu ü b e r s e h e n d e gegenteilige Meinungen g e g e n ü b e r . So f ü h r e n K r i t i k e r v o r a l l e m den von Linguisten intuitiv v e r w e n d e t e n Bedeutungsbegriff a l s ein B e s t a n d t e i l e i n e r linguistischen T h e o r i e an, d e r durch eine Wahrheitsdefinition nicht e r f a ß t w ü r d e . B . VERMAZEN gibt z . B . in "Semantics and S e m a n t i c s " zu bedenken, daß man s e h r wohl ü b e r die Wahrheitsdefinition f ü r eine S p r a c h e v e r f ü g e n kann, ohne diese S p r a c h e t a t sächlich zu v e r s t e h e n (Vermazen /SAS/). Denn dazu r e i c h t e s s e i n e r Meinung nach nicht a u s , die Bedingungen angeben zu können u n t e r denen ein b e s t i m m t e r Satz wahr i s t , sondern man muß in d e r L a g e sein, angeben zu können, w a r u m ein Satz in d i e s e r Sprache u n t e r d i e s e n Bedingungen w a h r ist. Was auch i m m e r die "Bedeutung" e i n e s Satzes sein m a g , m i t Hilfe d e s F o l g e r u n g s b e g r i f f e s läßt sich z . B . häufig die T h e s e u n t e r m a u e r n , daß zwei g e g e b e n e S ä t z e v e r s c h i e d e n e "Bedeutungen" haben. Denn f a l l s e s gelingt 2

Wir k o m m e n hierauf in Kapitel 5 noch zu s p r e c h e n .

7

einen Satz zu finden, d e r F o l g e r u n g des einen S a t z e s , jedoch keine Folgerung d e s anderen i s t , s o w i r d m a n von v e r s c h i e d e n e n "Bedeutungen" d e r beiden Sätze s p r e c h e n . V e r g l e i c h e n Sie z . B . die folgenden S ä t z e : (1) D e r R a u s s c h m e i ß e r b r a c h t e Hans dazu, d a s Lokal zu v e r l a s s e n . (2) D e r R a u s s c h m e i ß e r bat Hans, das Lokal zu v e r l a s s e n . (3) Hans v e r l i e ß das Lokal. Die Sätze (1) und (2) haben s i c h e r l i c h v e r s c h i e d e n e "Bedeutung", denn d e r Satz (3) i s t eine F o l g e r u n g von (1), jedoch keine F o l g e r u n g von (2). U n t e r schiedliche F o l g e r u n g s m e n g e n z w e i e r Sätze sind eine hinreichende Bedingung f ü r v e r s c h i e d e n e "Bedeutungen" b e i d e r Sätze. I n s g e s a m t w ä r e e s u n s e r e r Meinung nach v e r f e h l t , vagen Intuitionen ü b e r den Bedeutungsbegriff n a c h z u t r a u e r n . W i r hielten e s f ü r sinnvoller, zunächst die Methoden d e r Modelltheorie auszuschöpfen, i h r e G r e n z e n in d e r b i s h e r i g e n F o r m k l a r zu erkennen und von d a h e r V e r b e s s e r u n g s v o r s c h l ä g e zu m a c h e n . Z u s ä t z l i c h sind die natürlichen Sprachen s e m a n t i s c h a b g e s c h l o s s e n , d . h . sie f u n g i e r e n a l s i h r e eigenen s e m a n t i s c h e n M e t a s p r a c h e n . Demzufolge t r e t e n in ihnen s e m a n t i s c h e P a r a d o x i e n auf; a l s o A u s d r ü c k e , bei denen die Annahme i h r e r Gültigkeit a l s auch i h r e r Nichtgültigkeit j e w e i l s zu einem W i d e r s p r u c h f ü h r t . Dies s ei nun, wie b e r e i t s TARSKI 1936 in s e i n e m g r u n d legenden A r t i k e l ü b e r den Wahrheitsbegriff ( T a r s k i / W / ) a n f ü h r t e , ein Grund, weshalb sich n a t ü r l i c h e Sprachen prinzipiell e i n e r adäquaten Behandlung m i t Methoden d e r Modelltheorie w i d e r s e t z e n . J e d o c h stellt sich i m Augenblick überhaupt nicht die Aufgabe eine Semantik f ü r eine "ganze" natürliche Sprache anzugeben, da s ä m t l i c h e uns bekannten Syntaxkomponenten j e w e i l s nur F r a g m e n t e g e w i s s e r n a t ü r l i c h e r Sprachen e r z e u g e n . D i e s e Situation wird f ü r g e r a u m e Zeit noch s o bleiben, wobei man sich natürlich eine " s t e t i g e " E r w e i t e r u n g d e r jeweiligen F r a g m e n t e wünscht. Die Vorstellung i s t dabei, daß die E r k e n n t n i s s e in d e r Semantik so f o r t s c h r e i t e n , um die Erweiterungen in d e r Syntax e n t s p r e c h e n d s e m a n t i s c h nachvollziehen zu können. Ob die b i s h e r i g e n E r g e b n i s s e den O p t i m i s m u s von MONTAGUE: " T h e r e i s in my opinion no i m p o r t a n t t h e o r e t i c a l d i f f e r e n c e between n a t u r a l languages and the a r t i f i c i a l languages of logicians; indeed, I c o n s i d e r it possible to comprehend the syntax and s e m a n t i c s of both kinds of languages within a single n a t u r a l and m a t h e m a t i c a l l y p r e c i s e t h e o r y " (Montague / U G / , S. 1) r e c h t f e r t i g e n , mag dahingestellt s e i n . D e r L e s e r kann i m Verlauf des Heftes eine a u s f ü h r l i c h e Darstellung d e r z u r S p r a c h e gekommenen Wáhrheitsdefinition und des F o l g e r u n g s b e g r i f f e s e r w a r t e n . Was w i r hingegen v o m L e s e r e r w a r t e n , i s t nicht k r i t i k l o s e Z u s t i m -

8

mung der vorgebrachten Thesen, sondern eine kleine Portion guten Willen, um die nächsten Paragraphen durchzustehen. Dabei beginnen wir mit einigen Definitionen aus der Mathematik, womit eine Übereinkunft u n s e r e r Sprechweisen für die nachfolgenden Paragraphen e r r e i c h t werden s o l l .

3

DEFINITIONEN MATHEMATIK

AUS

DER

W i r verwenden den naiven Mengenbegriff nach CANTORs Definitionsversuch: "Unter einer M e n g e verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen" und sind uns der damit verbundenen Gefahren bewußt. Ich r e s e r v i e r e den bereits gefallenen Begriff K l a s s e für nicht erlaubte Mengenbildungen. Man denke dabei an so uferlose Gesamtheiten wie "Menge a l l e r Mengen". Für einen exakten Aufbau bietet sich eine axiomatische Mengenlehre im Stile John von NEUMANNs an, die mit eigentlichen Klassen arbeitet. Da sich jedoch eine hierzu benötigte Sprache als weniger "eingängig" erweist, haben wir auf eine exakte Grundlegung verzichtet 1. Die elementaren mengentheoretischen Operationen: Durchschnittsbildung ('PI '), Vereinigungsbildung (*U *), Komplementbildung ( ' - ') und Potenzmengenbildung ( ' ? ' ) erfordern wohl keine Erklärungen. Treibt man nicht gerade axiomatische Mengenlehre, so wird es interessanter, wenn man den Mengen Strukturen aufprägt. N. BOURBAKI nahm unter diesem Gesichtspunkt eine Dreiteilung der Mathematik v o r : Fig. 3 Mengenlehre

algebraische Strukturen 1.

1

Ordnungsstrukturen 2.

topologische Strukturen 3.

Interessierte Leser seien auf die Lektüre von D. MONK (/ST/) verwiesen.

10

D i e s e Aufteilung e n t s p r i c h t den d r e i Aspekten d e r r e e l l e n Zahlen (K): 1. Reelle Zahlen können auf v e r s c h i e d e n e Weisen miteinander v e r k n ü p f t werden (Addition, Multiplikation u s w . ) . 2. Reelle Zahlen l a s s e n sich durch die " K l e i n e r - B e z i e h u n g " u n t e r e i n a n d e r vergleichen. 3. Zu j e d e r r e e l l e n Zahl bilden a n d e r e r e e l l e Zahlen eine Umgebung. D u r c h Kombination j e n e r d r e i Strukturtypen e r z i e l t man die Vielfalt d e r m a t h e m a t i s c h e n Disziplinen. F ü r die S p r a c h b e s c h r e i b u n g natfirlicher Sprachen finden die a l g e b r a i s c h e n S t r u k t u r e n und die O r d n u n g s s t r u k t u r e n Verwendung. Dies ist wohl auf d e r Ebene d e r Syntax d e n m e i s t e n Linguisten bekannt. Man denke h i e r z u n u r an die P h r a s e n s t r u k t u r g r a m m a t i k e n und an die Konstruktion von Automaten z u r Erzeugung bzw. Erkennung von Sprachen. Einige Anwendungen auf d e r s e m a n t i s c h e n Ebene wird u n s e r Heft d e m o n s t r i e r e n . D a f ü r liegt die an sich g r o ß a r t i g ausgebaute Topologie, was i h r e Anwendung in d e r S p r a c h b e s c h r e i b u n g angeht, noch ziemlich b r a c h da. Hier ist zweifellos noch einiges nachzuholen. U n s e r einführendes Heft kann von d i e s e r Aufgabe s e l b s t v e r s t ä n d l i c h nichts übernehmen. Vollziehen wir nun i m einzelnen den Schritt von Mengen zu S t r u k t u r e n . Die Reihenfolge d e r E l e m e n t e bei e i n e r Menge M = . . . , m | i s t ohne Einfluß auf i h r e F e s t l e g u n g . Man kann a b e r s e h r wohl einen Begriff gebrauchen, bei dem es auf die Reihenfolge ankommen soll. So w e r d e n sich z . B . zwei Menschen, die sich v e r a b r e d e t haben, in den s e l t e n s t e n F ä l l e n t r e f f e n , f a l l s e i n e r d e r beiden die g e o g r a p h i s c h e Länge mit d e r geographischen B r e i t e des ausgemachten O r t e s v e r t a u s c h t . Wir zielen auf das g e o r d n e t e n - t u p e l ( x ^ , . . . , x ) ab. Ausgehend von d e m d e f i n i e r t e n g e o r d n e t e n 2-tupel (geordnetes P a a r ) ( x^, x ^ ) läßt sich das geordnete n-tupel f ü r n ^ 2 rekursiv definieren: (x

.... x , x > : = . 1 n n+1 1 n n+1 Man n i m m t h i e r b e i eine sogenannte L i n k s k l a m m e r u n g v o r . Die M a t h e m a t i k e r lieben keine Ausnahmen, s o daß noch die F ä l l e n = 1 und n = 0 f e s t zulegen sind: Als g e o r d n e t e s 1 - t u p e l wählt man einfach d a s jeweilige Element < x > : = x. womit a l s w e i t e r e Reduktion f ü r die geordneten 0 - t u p e l n u r noch die l e e r e Menge 0 z u r Verfügung steht g e o r d n e t e s 0 - t u p e l : = 0. Damit gibt es genau ein g e o r d n e t e s 0-tupel! Beide so b e s t i m m t e n Festlegungen e r w e i s e n sich i m nachhinein a l s "sinnvoll".

11 Der Begriff des geordneten n-tupels ermöglicht die Definition des k a r t e s i s c h e n P r o d u k t s M,X M X . . . XM d e r M e n g e n M., , M : 1 2 n 1 n M X . . . XM : = | < x , , . . . , x > | x „ € M, und x „ € M „ und . . . und x € M t. n n Häufig wird speziell M = M = . . . = M gelten. 1 2 n Die zusätzlichen Definitionen des geordneten 1-tupels und des geordneten 0-tupels kommen uns nun zugute. Das kartesische Produkt M der Menge M bestätigt die gewählte Schreibweise und dadurch die Bemerkung über die sinnvollen Festlegungen: M = | < m > |m i M|= | m | m€M| (m ) = m | als kartesisches Produkt der Menge M aufgefaßt Auch brauchen wir uns keineswegs vor dem kartesischen Produkt von null Mengen zu scheuen, denn aufgrund obiger Definitionen ist dieser Fall wohldefiniert: Die Anwendung der Definitionen liefert für die Menge der geordneten 0-tupel die Menge j 0 |. Wir kommen nun zur mengentheoretischen Präzisierung des Begriffes n - s t e l l i g e R e l a t i o n R z w i s c h e n den M e n g e n M , . . . , M : 1 n R ist eine n-stellige Relation zwischen M , . . M : gdw 1 n R s M X . . . XM 1 n Im Falle M = M = . . . = M ( = : M). also 1 2 n R s M X . . . XM V I n-mal spricht man von n - s t e l l i g e r R e l a t i o n in M . Eine n-stellige Relation in M ist somit eine Menge von geordneten n-Tupeln aus Elementen von M. Speziell stellt sich eine 1-stellige Relation R in M ( R £ M) als eine gewöhnliche Teilmenge von M heraus. Wenn wir aus einem vorgegebenen Gegenstands bereich eine Teilmenge auszeichnen wollen, werden wir uns dieses Begriffes bedienen. So könnte es sich z . B . um eine Menge von Individuen handeln, bei der man sich für die männlichen Mitglieder interessiert. Wie steht es mit den O-stelligen Relationen? Nach Definition (n = 0): R ist eine 0-stellige Relation gdw R = | 0 (. Somit findet man folgende Möglichkeiten v o r : 1. R = 0 ... N u l l r e l a t i o n 2. R = 1 0 | . . . T o t a l r e l a t i o n auf | 0 ).

12

Da 0 * { 0 i sind es 2 verschiedene O-stellige Relationen. Diese Tatsache verwendet man häufig, um eine Antwort auf die Frage, was die beiden Wahrheitswerte seien, zu geben. So legt man etwa fest: 0 das "Falsche" F oder 0 |0| . . . das "Wahre" W oder l . 2 Für eine 2-stellige Relation R erwähnen wir im Hinblick auf den Abbildungsbegriff: D e f i n i t i o n s b e r e i c h S R einer 2- stelligen Relation R fl R : = | x | Es gibt ein y mit x R y | 3 und B i l d b e r e i c h ® R einer 2-stelligen Relation R » R : = 1 y | Es gibt ein x mit x R y |. Wir sind nun soweit, um den Abbildungsbegriff festlegen zu können: Seien M und N zwei Mengen. f ist eine A b b i l d u n g v o n M in N ( f : M — - N ) : gdw f £ M x N und $ f = M und für alle x, y, z: Wenn ( x , y ) € f und ( x , z ) € f, dann y = z. Die Abbildung f ordnet also j e d e m f (m) aus N zu.

Element m aus M g e n a u

ein

Element

In einer Menge N treten Elemente nicht mehrfach auf. Ein solcher Effekt kann leicht durch eine Abbildung erzielt werden. Sei I eine beliebige Menge, f : I — » N und n. : = f (i) für jedes i € I. Man schreibt dann statt f : I — » N gern (n. f und spricht von der F a m i 1 i€ I l i e f aus Elementen von N mit der I n d e x m e n g e I. Es kann sein, daß für i * j : f (i) = f ( j ) . Der Extremfall ist erreicht, wenn f eine konstante Abbildung ist, das heißt, für jedes i € I immer ein und denselben Wert n € N annimmt. In diesem Fall hat man (n, n, . . . ) _ als iG I Familie.

2

Man beachte, daß in einer axiomatischen Mengenlehre für die natürlichen Zahlen folgendes gilt: 0=0 1=101 = I0| 2 = 1 0 , f 0 | ! = ( 0, 1 |

Wir werden deshalb auch in Kapitel 5. 2 als die Menge der Wahrheitswerte einführen. 3

Zur Vereinfachung schreiben wir für ( x , y ) € R auch x R y.

13 Für I = N (Menge der natürlichen Zahlen) spricht mein von einer F o l g e von Elementen aus N. Für I = i 0 , 1 , . . . . k-1 | spricht man von einer e n d l i c h e n F o l g e von Elementen aus N, bei der dann der Bildbereich der Folge ( n > 1 i € j 0, 1, . . . k-1 | in Form eines geordneten k-tupels (n„, n^, . . ., n^ ) angeschrieben werden kann. Dieses geordnete k-tupel repräsentiert häufig die gesamte Folge (n.) in intuitiver Weise. 1 i € 1 0,1, k-1 j Seien M und N zwei Mengen. Unter dem Symbol N^® verstehen wir die Menge aller Abbildungen von M in N, also NM : = | f | f : M — N | . 4 Eine Formulierung mit Hilfe des Familienbegriffes:

NM

ist die Menge aller Familien aus Elementen von N mit der Indexmenge M; speziell N^: Menge aller Folgen aus Elementen von N. Folgende Abbildungen sind für uns besonders bedeutsam: Sei M eine Menge. cp ist eine n - s t e l l i g e O p e r a t i o n a u f M : gdw ip : M x M x . . . x M—»M < p n-mal Eine n-stellige Operation auf M ordnet somit jedem geordneten n-Tupel aus Elementen von M genau ein Element von M zu. Bei 1-stelligen Operationen auf M (cp : M—• M) spricht man auch von Selbstabbildungen. Auch 0-stellige Operationen auf M ordnen sich der Definition unter: cp ist eine 0-stellige Operation auf M gdw tp : j 0 j—• M. Das heißt, cp ist durch das Bild der leeren Menge festgelegt. Deshalb wird cp häufig mit diesem einen Elemente ( 0) identifiziert, cp ( 0) nennt man ein a u s g e z e i c hn e t e s E l e m e n t der Menge M. Was Beispiele für Operationen angeht, mag sich der Leser noch kurz gedulden. Doch jetzt zu unserem wichtigsten Begriff dieses Paragraphen: der S t r u k t u r b e g r i f f . Es soll sich um eine nichtleere Menge handeln, auf der gewisse Operationen und Relationen vorgegeben sind. Im einzelnen seien zwei Indexmengen I und J gegeben. Davon ausgehend bilden wir die Familien , > mit 1 i 61 1j6J 1. A ist eine Menge und A * 0. A nennt man G r u n d m e n g e Individuenbereich.

oder

2. für jedes i € I: a. ist eine m.-stellige Operation auf A; also a : Ax . . . XA—» A 1

>

m. - mal i 3. für jedes j € J: ß. ist eine n.-stellige Relation in A; also ] 3 ß. E AX . . . X A J . — . — , n. - mal 3

A * 0, d.h. die "Welten" sollen bevölkert sein. Mit Rücksicht auf die natürlichen Sprachen, in denen man immer gewisse Terme hat, die auf außersprachliche Dinge referieren - man denke an Eigennamen ist diese Annahme gerechtfertigt. ® Es ist selbstverständlich zugelassen, daß für i * i ' a. = a und analog für die Relationen. Kümmern wir uns um einige wichtige Sonderfälle: 1. Sind I und J endliche Mengen, etwa I = i 1, . . . , k | und J = j 1, . . . , p |, dann schreibt man: A = ( m . , . . . , m, ; n., . . . . n ) 1 k l p (vergleiche die Bemerkung zum Begriff "endliche F o l g e " auf S. 13 und Sl = < A; ol . . . , ak ;l ß ..., ß p >. 5

Läßt man A = 0 zu, dann ist man gezwungen, p a r t i e l l e O p e r a t i o n e n einzuführen. cp ist eine n - s t e l l i g e p a r t i e l l e O p e r a t i o n auf M : gdw cp : X — M mit X £ M x xty[. n - mal Ist A = 0, dann gibt es z.B. für eine nullstellige Funktionskonstante f ( z . B . x bei den Axiomensystemen der Gruppentheorie auf S. 15 o . keine nullstellige Operation a auf 0; denn es gibt keine Abbildung von einer nichtleeren Menge (in diesem Fall: j 0 |) in die leere Menge. Doch gibt es sehr wohl eine nullstellige partielle Operation, nämlich die leere Abbildung. Entsprechend führt man p a r t i e l l e S t r u k t u r e n ein.

15

2 . 1 = 0 : Dann nennt man t l ein R e l a t i o n a l s y s t e m

vom Typ ( n ) 3 j€ J 3. J = 0 : Dann nennt man SI eine A l g e b r a vom Typ ( m . ) 1 i€I Beispiele: 1) Seien I = | 1 }, J = 0 und m^ = 2. Damit A = < 2 > und SI = < A; a >; wobei a : A x A — - A . Unter diese Algebren fallen z . B . Halbgruppen, Monoide und Gruppen. Als Axiomensystem der Gruppentheorie auf diesem Stand ist denkbar: 1 . 1 ) für alle x, y, z: x o ( y o z) = (x o y ) o z. 1.2) es gibt ein x so, daß für alle y : x o y = y o x = y . o o o 1.3) zu jedem x gibt es ein y : x o y = y » x = x . o 2) Seien I = | 1, 2 |, J = 0 und m^ = 2 , m^ = 0. Damit A = < 2, 0 > und ü = < A; a a >; wobei a : A x A—»A; a : | 0 | — A. 1 6 1 6 Will man a^ als neutrales Element interpretieren, dann fallen unter diese Algebren Monoide und Gruppen, dagegen im allgemeinen nicht die Halbgruppen. Als Axiomensystem der Gruppentheorie auf diesem Stand ist denkbar: ' 2 . 1 ) für alle x, y, z: x o (y o z) = (x o y) o z. 2 . 2 ) für alle y: X q o y = y o x q = y. 2. 3) zu jedem x gibt es ein y : x ° y = y ° x = x . o Somit ist die Existenzforderung eines neutralen Elements überflüssig geworden. 3) Seien I = j 1, 2, 3 |, J = 0 und m^ = 2, m^ = 0, m g = 1. Damit A = < 2, 0, 1 > und 81 = < A; c^, a w o b e i c ^ : A X A —»A; 2: ' 0 ' "A; a3: A — * A Will man a^ als neutrales Element und a^ als Inversenbildung interpretieren, so fallen unter diese Algebren die Gruppen, dagegen im allgemeinen nicht die Monoide. Als Axiomensystem der Gruppentheorie auf diesem Stand ist denkbar: 3 . 1 ) für alle x, y, z: x o (y o z ) = (x o y) ® z. 3 . 2 ) für alle y: x q o y = y o x q = y. a

3. 3) für alle x : x o x ' = x 1 o x = x . o Somit wurden hier die Existenzforderungen sowohl nach einem neutralen Element als auch nach einem inversen Element überflüssig.

16

Ein V e r g l e i c h d i e s e r d r e i A x i o m e n s y s t e m e im s t r e n g e n Sinne ist e r s t i m Kapitel 5 möglich, wo eine entsprechende Relation zwischen Ausdrucksmengen e i n g e f ü h r t wird. Von den Beispielen ist a b z u l e s e n : Geht man von e i n e r S t r u k t u r a u s , s o ist d e r e n Typ nicht eindeutig b e s t i m m t , wie m a n etwa im F a l l d e r Gruppe s i e h t . Aufgrund von u n s e r e r Definition i s t jede n - s t e l l i g e Operation auf M eine s p e z i e l l e (n+1)-stellige Relation in M. Damit sind auch S t r u k t u r e n und Algeb r e n j e d e r z e i t a l s R e l a t i o n a l s y s t e m e a u f f a ß b a r . ® Aus Gründen d e r Ü b e r s i c h t lichkeit bleiben w i r bei den ursprünglichen Bezeichnungen. Dem a u f m e r k s a m e n L e s e r , d e r sich an die e r w ä h n t e Dreiteilung d e r S t r u k t u r typen e r i n n e r t und Kenntnisse a u s d e r Topologie besitzt, wird nicht entgehen, daß u n s e r Strukturbegriff nicht allgemein genug ist, um alle d r e i S t r u k t u r typen zu e r f a s s e n . So e r f o r d e r t eine topologische S t r u k t u r Operationen auf d e r Potenzmenge d e r Grundmenge. Wir e r r e i c h e n diese Möglichkeit, indem w i r nicht n u r von e i n e r Menge A, sondern von e i n e r F a m i l i e von Mengen (A ) ausgehen. k k€K Da u n s e r Heft auf die Behandlung topologischer Strukturen v e r z i c h t e t , e r s p a r e n w i r uns die d u r c h die m i t Doppelindizes b e w e r k s t e l l i g t e n Zuordnungen d e r Operationen und Relationen zu den einzelnen Mengen A^ a u f t r e t e n d e n d a r s t e l l u n g s t e c h n i s c h e n Schwierigkeiten. Aufgaben 1) Seien A, B zwei Mengen. Was gilt f ü r A und B, f a l l s : A U B = A n B? 2) Sei M eine Menge und X eine beliebige T e i l m e n g e von M (X £ M). Dann v e r s t e h t man u n t e r d e r c h a r a k t e r i s t i s c h e n F u n k t i o n d e r M e n g e X eine Abbildung ch : M—• I 0 , 1 | mit folgender Bedingung:

f ü r jedes x € M:

ch

1

für x € X

0

für x | X

(x) =

Zeigen Sie a) f ü r j e d e s x 6 M: ch . (x) = 0 und ch

(x) = 1. M Seien w e i t e r A, B Teilmengen von M (A, B £ M). Zeigen Sie nun: b) [ f ü r j e d e s x 6 M: ch (x) ^ ch (x)] gdw A = B. A B B ' 6

TARSKI a r b e i t e t in ( / C M / ) ausschließlich m i t R e l a t i o n a l s y s t e m e n .

17 d

)

ch

»,1T, = AUB

c h

. + A

B

~ ch

AHB

.

3) Sei M eine Menge. Unter den zweistelligen Relationen in M (R £ M x M) lassen sich einige auszeichnen: R r e f l e x i v : gdw für jedes x : x R x . R s y m m e t r i s c h : gdw für alle x, y: Wenn x R y, dann y R x . R a n t i s y m m e t r i s c h : gdw für alle x , y : Wepn x R y und y R x, dann ist x = y . R t r a n s i t i v : gdw für alle x, y, z: Wenn x R y und y R z, dann auch x R z. R ist eine Ä q u i v a l e n z r e l a t i o n : gdw R reflexiv und R symmetrisch und R transitiv. R ist eine O r d n u n g s r e l a t i o n : gdw R reflexiv und R antisymmetrisch und R transitiv. a) Bestimmen Sie eine Relation, die reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv ist. b) Bestimmen Sie eine Relation, die reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch ist. c) Bestimmen Sie eine Relation, die symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist. Hinweis: Sie haben jeweils eine Menge M zu spezifizieren und in M eine zweistellige Relation R mit den gewünschten Eigenschaften zu definieren.' 4) Eine Halbgruppe ( A, ° > ist eine Algebra vom Typ A = ( 2 > ( o : A x A — » A ) mit: für alle a, b, c € A: a ° (b 0 c) = (a 0 b)

0

c.

a) Eine Abbildung cp sei folgendermaßen definiert: für alle a, b f A : í ( ( a , b > ) = a . Ist < A, cp > eine Halbgruppe? b) Eine Abbildung

) = | a + b | Ist (K, cp > eine Halbgruppe? 1 , e > vom Typ A = < 2, 1, 0 > 5) Eine Gruppe ist eine Algebra ist eine Halbgruppe. b) für jedes x € G : e o x = x ® e = x c) für jedes x € G: x x - 1 = °x = e

7

( e "neutrales Element") ( x "inverses Element")

Wir werden in Kapitel 6 auf diese Aufgabe zurückkommen.

Bestimmen Sie auf der Megge G = j x , x . x I eine Gruppenstruktur. o 1 2 Hinweis: Sie verwenden zur Definition der zweistelligen Operation am besten eine Verknüpfungstafel mit doppeltem Eingang:

4

SYNTAX DER SPRACHEN MIT OPERATOREN

1.

STUFE

Wir wollen uns eine f o r m a l i s i e r t e S p r a c h e a l s O b j e k t s p r ä c h e die f o r m a l e Gegenstücke zu Sätzen w i e :

aufbauen,

(1) Hans e x i s t i e r t (2) D e r V a t e r von P e t e r i s t g r ö ß e r a l s Otto (3) E s w i r d d e r F a l l s e i n , daß Egon M a r i a liebt und zu Argumentationen wie (4) 'Die Anzahl d e r Bundesligavereine i s t gleich 18' und ' E s i s t notwendigerweise d e r F a l l , daß 18 kleiner i s t a l s 20' deshalb ' E s i s t notwendigerweise d e r F a l l , daß die Anzahl d e r Bundesligav e r e i n e kleiner i s t a l s 20' zuläßt. D i e s e s B e s t r e b e n stellt F o r d e r u n g e n an das Symbolinventar u n s e r e r einzuführenden S p r a c h e . Mit den sich anschließenden r e k u r s i v e n Definitionen d e r beiden wichtigsten syntaktischen K a t e g o r i e n : Kategorie d e r T e r m e und Kategorie d e r A u s d r ü c k e i s t ein z e n t r a l e r T e i l d e r Syntax und die Definition d e r Sprache 1. Stufe a b g e s c h l o s s e n . Wir b e s t i m m e n die s p r a c h l i c h e n Gebilde a l s spezielle Z e i c h e n r e i h e n . Von den Chomsky-Sprachen h e r ist b e i Linguisten m i t d i e s e m Vorgehen eine g r ö ß e r e V e r t r a u t h e i t zu e r w a r t e n a l s m i t e i n e r axiomatischen C h a r a k t e r i s i e r u n g a l s A l g e b r a . 1 D e r Aufbau d e r Zeichenreihen s o l l mit folgenden Symbolen e r f o l g e n : Definition 1: Eine S p r a c h e 1. Stufe m i t O p e r a t o r e n b e s i t z t folgende paarweise verschiedenen S y m b o l e : 1. Individuenvariablen: v , , v „ , . . . , v , . . . (V s e i die Menge d e r . 1 2 n Individuenvariablen); 2. zu den Mengen H, I und J : 1

D i e s e Auffassung von Sprache findet d e r L e s e r in a l l g e m e i n e r F o r m bei MONTAGUE ( / U G / ) .

20

2.1 zu jedem i 6 I ein Symbol f^ als m.-stellige Funktionskonstante; 2. 2 zu jedem j € J ein Symbol R_. als n_.-stellige Relationskonstante; zusätzlich E als einstellige Relationskonstante und — als zweistellige Relationskonstante; 2. 3 zu jedem h € H ein Symbol O als p -stelliger Operator . ' n h (mit p h * O),

3. 4.

zusätzlich -i als einstelliger Operator und A, V, zweistellige Operatoren; die beiden Quantoren: V, 3; Klammern: ( , ) als Hilfssymbole.

M

als

Die aufs Papier gebrachten Zeichen sind als schriftsprachliche Repräsentationen, also als Namen, für die "Symbole an sich" zu verstehen. Mit dieser Auffassung ist es möglich, 'von dem Aufbau einer Zeichenreihe zu sprechen. Dies hat man sich ebenfalls zu vergegenwärtigen, wenn wir in der Semantik Wahrheitswerte festlegen werden. Es wird dann keineswegs behauptet, daß etwa die Repräsentation auf dem Papier wahr sei. Wir verzichten auf eine philosophische Erörterung der Frage, was für Dinge Symbole tatsächlich sind. Wichtig ist nur - um unerwünschte syntaktische Mehrdeutigkeiten auszu9 schließen - , daß sie paarweise verschieden sind. Wir sprechen von R e l a t i o n s konstanten statt von Prädikatskonstanten, da wir den Begriff "Prädikat" für intensionale Objekte reservieren wollen. Weiter schließen wir nullstellige Operatoren aus, da sie in ihrer Funktion - wie nach der Definition der Ausdrücke klar werden wird - , nicht von nullstelligen Relations konstanten unterschieden werden können. Der eher zu erwartende Begriff "Operatorkonstante" setzt sich anscheinend nicht durch. Es ist noch eine Unterkategorisierung unserer Symbole üblich: Definition 2: a) z z b) z c) V

heißt € |i. heißt heißt

l o g i s c h e K o n s t a n t e gdw A. V. » , V, 3, Ä J J u n k t o r gdw z € | -i, A, V, -», « | A l l q u a n t o r und 3 heißt E x i s t e n z q u a n t o r .

Die logischen Konstanten besitzen insofern einen Sonderstatus, als sie syntaktisch gesehen Bestandteil j e d e r Sprache 1. Stufe mit Operatoren sind o und semantisch gesehen k o n s t a n t e Deutungen zugesprochen erhalten. 2

Man erinnere sich, daß wir keine getrennte syntaktische Metasprache einführen wollten.

3

Im Hinblick auf die Quantoren und dem Symbol — wird diese Aussage geringfügig zu modifizieren sein.

21

Wir verwenden f ü r - ! , A, V, .-», V, i , ^ die entsprechenden Lesarten: "es ist nicht der Fall, daß", "und", "oder", "wenn . . . dann", "genau dann wenn", "für alle", "es gibt ein" und "gleich"; womit nicht behauptet wird, daß sich die später anzugebenden Deutungen für die logischen Konstanten mit den "Bedeutungen" dieser umgangssprachlichen Ausdrücke decken. Die ausgezeichnete einstellige Relationskonstante E, gelesen "existiert", zählt nicht zu den logischen Konstanten, da ihre Deutung variieren wird. Einzelne Sprachen 1. Stufe mit Operatoren unterscheiden sich nach der Definition 1 höchstens im Vorrat an Funktionskonstanten, Relationskonstanten und Operatoren. Auch die noch ausstehenden Definitionen für Terme und Ausdrücke ergeben nur einen Unterschied zu Sprachen mit höheren Stufen. Deshalb identifiziert man häufig eine Sprache S mit ihrem Vorrat an diesen Konstanten und schreibt dann S = S ( 1

, , ). h h £ H 161 3j€J

Ausgehend von den Mengen H, I und J lassen sich die Familien ( p

)

h€H und ( n . ) bestimmen. Die Familien ( m . ) , (n.) legen 1 i€ I 1 i £ I J j€J J j6J einen Typ A = ( ( m ) , (n.) fest. Damit ist klar, daß in der Semantik 1 i€I 9 j€J neben den Deutungen für die Operatoren und Quantoren Strukturen eine Rolle spielen werden. Funktionskonstanten stehen mit Operationen und Relationskonstanten mit Relationen im Zusammenhang. Diese Bemerkung ist allerdings nur als intuitiver Hintergrund gedacht, denn in der Syntax haben wir es einstweilen noch mit u n g e d e u t e t e n Symbolen zu tun. h

(m.)

Definition 3: a) Eine Z e i c h e n r e i h e Symbolen.

ist eine endliche Folge von

b) Die Menge der Zeichenreihen sei mit 3 bezeichnet. Wir schreiben

z2

• • •

zn s*att

( zj»

Z2»

• • ••

damit ist eine Zeichen-

reihe als endliche Verkettung von Symbolen auffaßbar. Das Zeichen für die Verkettungsoperation

') wird unterdrückt (Verzicht auf eine syntaktische

Metasprache) und durch einfaches Hintereinanderschreiben angedeutet. Aufgrund der Verschiedenheit der Symbole gibt es genau eine " F o l g e " z j z 2 • • • z die eine vorgegebene Zeichenreihe Z darstellt, für die also Z = z z . . . n ... 12 z gilt. A r einen Beweis eines späteren Satzes müssen wir noch zwei mehr technische Begriffe über Zeichenreihen heranziehen: Definition 4: a) Sei Z € 3 und Z = z. z n . . . z . — — — • ^ 1 2 n Die Zahl n heißt L a n g e der Zeichenreihe Z; geschrieben: 1 ( Z ) = n.

22 b) Die Anzahl der in der Zeichenreihe vorkommenden Operatoren und von — verschiedenen logischen Konstanten heißt R a n g der Zeichenreihe; geschrieben: r (Z). Der Grund, warum wir das objektsprachliche Gleichheitszeichen ausschließen, wird erst nach der Definition der a t o m a r e n A u s d r ü c k e klar. Beispiel: Sei Z = E v

V -i 3 v v ^ v . Nach Definition 4: 1 ( Z ) = 9 und 1 U U W r ( Z ) = 3 (E ist keine logische Konstante und — wurde ausgeschlossen)

Als Zeichenreihe tritt auch etwas wie v —i) ( ) auf. Deshalb sind aus der Menge der Zeichenreihen ti die "sinnvollen" sprachlichen Gebilde auszusondern. Mit "sinnvoll" ist angesprochen, daß eine solche Beschränkung auf gewisse Zeichenreihen letztlich nur von der Semantik ihre Rechtfertigung erfährt. Es handelt sich um die T e r m e und A u s d r ü c k e . Definition 5:

Die Menge der T e r m e J ist die kleinste Menge X, für die gilt: 1. X S ( j und V £ X . 2. Wenn T,, . . . , T € X und f. eine m.-stellige Funktionskon1 m^ I l steinte, dann f. t . . . t € X. l 1 m^

Die "kleinste" Menge ist im Sinne der Mengeninklusion zu verstehen. Es bedeutet, daß 3 einzig und allein nur Gebilde der nach 1. und 2. gegebenen Vorschriften enthält. Eine k-stellige Funktionskonstante bildet also mit k Termen einen neuen Term. Die klammerfreie Schreibweise bringt keine Mehrdeutigkeiten mit sich. * Beispiele:

Sei I = | 1, 2, 3, 4 j m 1 = 1, m 2 = 0, m 3 = 1, m4 = 2 fl

4

f2

f3

f4

1)

Vg € ii

nach Klausel 1.

2)

f

3)

f

nach Klausel 2. Man spricht hier auch von einer Individuenkonstanten. nach zweimaliger Anwendung von Klausel 2.

€H f f L 0 ¿t

Dies kann in SHOENFIELD (/ML/, S. 16) oder in KREISEL/KRIVINE (/ML/, S. 2) nachgelesen werden.

23

Mit:

f f f

steht f

4)

steht für "die Mutter v o n " steht für " P e t e r " steht für " d e r Vater v o n "

f für "die Mutter von dem Vater von P e t e r " , 3 2 f v f f f f v € S nach Klausel 1 und 2. 4 1 4 1 a , an Relationskonstanten ( R . ) und an 1 1€I J j 6 J , x Operatoren < O ) bestimmt wird: h h € H S = S ( , (R.) , (O > ). 1 i€I h J j€J h6H Diese in der Syntax a l s ungedeutet betrachteten Symbole sollen nun eine Deutung e r f a h r e n . Hierzu benötigen wir eine Menge A ( A * 0 deren nicht weiter spezifizierten Elemente als Deutungen g e w i s s e r Symbole dienen können. D i e s e Menge wird I n d i v i d u e n b e r e i c h oder U n i v e r s u m genannt. E i n e r nullstelligen Funktionskonstanten f, die z . B . für " H a n s " steht, ist s i c h e r l i c h ein Element aus A zuzuordnen. Wir e r r e i c h e n dies, indem wir f durch eine nullstellige Operation f auf A deuten. Doch erkennt man, falls etwa f für " d e r Kanzler der B R D " steht, daß wir diese Festlegung voreilig getroffen haben: Die Zuordnung für f - f stehend für " d e r Kanzler der B R D " ist vom K o n t e x t abhängig. W ä h r e n d e s sich 1950 um Adenauer handelte, betrifft es 1971 Brandt. Neben dem Individuenbereich ist somit eine weitere Menge, die K o n t e x t m e n g e C vorzugeben. Da sich nichts im " l u f t l e e r e n " Raum abspielt, ist die Kontextmenge ebenfalls als nichtleer vorauszusetzen. Selbstverständlich werden für einzelne Sprachen nur "Aspekte" des Kontextes, wie etwa: Welt, Zeitpunkt, S p r e c h e r , Hörer usw. von Bedeutung sein. So i n t e r e s s i e r t in unserem obigen Beispiel nicht, ob es beim Kontext " J a h r 1950 der aktualen W e l t " b e r e i t s eine e l e k t r i f i z i e r t e S t r e c k e der Bundesbahn von 1

Der L e s e r s e i an die Bemerkung im Anschluß an den Strukturbegriff auf S. 14 erinnert.

29

Wicklesgreuth nach Windsbach gab. D e r Kontextbegriff bleibt als solcher u n s p e z i f i z i e r t , d . h . e r wird a l s G r u n d b e g r i f f v e r w e n d e t . Deshalb e r l a u b e n w i r uns von F a l l zu F a l l , Kontexte m i t einzelnen "Aspekten" zu i d e n t i f i z i e r e n . Wie u n s e r e Anwendungen v o r a l l e m in Kapitel 6 zeigen werden, können w i r uns in den m e i s t e n F ä l l e n nicht n u r mit e i n e r Kontextmenge begnügen, sondern m ü s s e n K o n t e x t s t r u k t u r e n e i n f ü h r e n . S o l a s s e n s i c h mit e i n e r Ordnungsrelation in d e r Menge d e r Zeitpunkte f ü r den "Aspekt" Zeit Kontexte zeitlich anordnen. Eine zweistellige Relation in d e r Menge d e r möglichen Welten f ü r den " A s p e k t " Welt kann die von einem Kontext aus v o r s t e l l b a r e n Welten s i m u l i e r e n ( " b e s s e r e " Welten, Erinnerungswelten: "Die gute alte Zeit", Glaubenswelten u s w . ) . Da d i e s e Einzelheiten hauptsächlich b e i speziellen Sprachen a u f t r e t e n , b e l a s s e n wir e s f ü r den Allgemeinfall bei d e r Kontextmenge C. D e r L e s e r sei eh g e w a r n t , allzuviel an Intuition in den Kontextbegriff zu s t e c k e n . Solange e r ein Grundbegriff ohne ihn implizit d e f i n i e r e n d e Axiome ist, bleibt die Kontextmenge s t r e n g g e n o m m e n ein r e i n t e c h n i s c h e s H i l f s m i t t e l , das f l e x i b l e r e Methoden: Relativierung auf einen Kontext, Unterscheidung von I n t e n s i o n und E x t e n s i o n u s w . , e r l a u b t . Um dies zu belegen, k ü m m e r n w i r uns s o f o r t um die beiden zuletzt genannten Begriffe: Definition 8: Sei C eine Kontextmenge und M eine Menge. a) J e d e Abbildung cp von d e r Kontextmenge in eine andere Menge (Cp : C —* M ) nennen w i r I n t e n s i o n . b) Das Bild e i n e r Intension cp f ü r den Kontext k € C nennen wir E x t e n s i o n a m K o n t e x t k. Ist cp : C —"M eine Intension, so ist a l s o f ü r k € C cp ( k) die Extension a m Kontext k. Doch zurück zu u n s e r e n b e r e i t s begonnenen Deutungen d e r Funktionskonstant e n . Die naheliegende V e r a l l g e m e i n e r u n g f ü r eine m . - s t e l l i g e Funktionskons t a n t e f. lautet: An j e d e m Kontext k € C e r h ä l t eine m . - s t e l l i g e Funktionskonstante f. eine m . - s t e l l i g e Operation f auf A zugesprochen. F ü r k * k' w i r d im allgemeinen f., * T s e i n . Im F a l l von denjenigen nullstelligen Funktionskonstanten, die f ü r Eigennamen stehen, ist e s üblich, vom Kontext unabhängige Zuordnungen zu t r e f f e n (vergleiche Kripke / N N / ) . Die Intension e i n e r solchen nullstelligen Funktionskonstanten i s t dann eine k o n s t a n t e Abbildung von d e r Kontextmenge in den Individuenbereich. Auf d e r a r t i g mögliche Restriktionen wollen w i r d e r Einfachheit h a l b e r v e r z i c h t e n , was nicht ausschließt, daß ich hierauf ab und zu hinweisen w e r d e . Als Deutung e i n e r m . - s t e l l i g e n Funktionskonstanten f. e r h a l t e n wir eine Intension, die l i h i e r eine Abbildung von d e r Kontextmenge in die Menge d e r m . - s t e l l i g e n Operationen auf d e m Individuenbereich d a r s t e l l t . Übliche Namen f ü r spezielle Intensionen sollen d e m L e s e r nicht vorenthalten werden:

30

Definition 9:

E i n e Abbildung cp von der Kontextmenge C in den Individuenb e r e i c h A (q3 : C — " A) heißt I n d i v i d u en k o n z e p t .

Eigennamen besitzen z. B . Individuenkonzepte als Deutungen. RUDOLF CARNAP gebührt übrigens das Verdienst, die B e g r i f f e "Extension", "intension" und "Individuenkonzept" eingeführt zu haben (Carnap /MN/). Die erforderliche Modifikation für die Relationskonstanten versteht sich nun von s e l b s t : An jedem Kontext k 6 C erhält eine n^-stellige Relationskonstante R. eine n . - s t e l l i g e Relation öl in A zugesprochen. Wiederum ist im a l l g e J J jk meinen für k * k 1 auch Si * 6L Steht etwa R für " i s t verheiratet m i t " , Jk

Jk»

so tragen wir damit der Tatsache Rechnung, daß am Kontext k Jacqueline Kennedy mit A r i Onassis v e r h e i r a t e t ist, während dies am Kontext k', der zeitlich vor k liegt, nicht der F a l l ist. F ü r die Erfassung der nullstelligen Relationskonstanten schicke ich eine Definition voraus (Vergleichen Sie die Fußnote 2, Kapitel 3): Definition 10: 2 = 1 0 . 1 ) sei die M e n g e d e r W a h r h e i t s w e r t e . F ü r eine nullstellige Relationskonstante R, die für " e s regnet" stehen könnte, ergibt sich nach der allgemeinen Festlegung a l s Deutung die Intension tp, wobei cp eine Abbildung von der Kontextmenge in die Menge der nullstelligen Relationen in A ist. Nun ist, wie in Kapitel 3 erläutert, 2 die Menge der nullstelligen Relationen in A. Damit stellt sich nach Definition 10 als Deutung einer nullstelligen Relationskonstanten eine Abbildung cp von der Kontextmenge in die Menge d e r Wahrheitswerte heraus (cp : C - - 2 ) . T r i v i a l e r w e i s e ist der Wahrheitswert, mit anderen Worten die Extension e i n e r nullstelligen Relationskonstanten, die für " e s regnet" steht, vom jeweiligen Kontext abhängig. F o r m a l kein P r o b l e m , jedoch das Pech jedes Meterologen, der gezwungen ist, eine großräumige V o r h e r s a g e zu geben. F ü r die Deutungen einiger Relationskonstanten haben sich B e g r i f f e eingebürgert, die wir ebenfalls benutzen wollen. Wir verzichten allerdings auf den ihnen zum T e i l anhängenden philosophischen B a l l a s t . Definition 11:

a) Unter einem n - s t e l l i g e n P r ä d i k a t i n A verstehen wir eine Abbildung von der Kontextmenge in die Menge der n-stelligen Relationen in A. b) Ein nullstelliges Prädikat in A heißt P r o p o s i t i o n . c) Ein einstelliges Prädikat in A heißt E i g e n s c h a f t .

Mit dieser Definition haben wir spezielle Intensionen mit Namen belegt. Eine intuitive Erläuterung des Propositionsbegriffes lautet etwa folgendermaßen: Angenommen Hans verfüge über die "Bedeutung" der Aussage " e s r e g n e t " . Dann erwarten wir von Hans, daß e r bei beliebigem Kontext k über den "gültigen" Gebrauch der Aussage "es r e g n e t " Bescheid weiß. Auf diese

31

Weise muß Hans eine Aufteilung der Kontextmenge durchführen; nämlich in solche Kontexte, für die " e s regnet" wahr ist und in solche, für die " e s regnet" falsch i s t . Als Darstellung d i e s e r Aufteilung wählen wir die entsprechende Abbildung von der Kontextmenge in die Menge der Wahrheitswerte. Es sind noch einige Worte zu den Deutungen der zusätzlichen Relationskonstanten E und — e r f o r d e r l i c h . Die einstellige Relationskonstante E erhält an jedem Kontext k nach der oberen Festlegung eine Teilmenge d von A zugesprochen, womit intuitiv die a m jeweiligen Kontext k existierenden a k t u a l e n Individuen bestimmt werden. Aus diesem Grunde nennt man dagegen den Individuenbereich A auch Menge der m ö g l i c h e n Individuen. Der B e g r i f f "mögliches Individuum" ist h i e r nichts weiter a l s ein Grundbeg r i f f . Faßt man den Kontextbegriff s e h r eng, d . h . mythologische Welten, gedachte Welten usw. sind bezüglich dem "Aspekt" Welt ausgeschlossen, so könnte ein B e i s p i e l für ein mögliches Individuum, das wahrscheinlich an keinem Kontext k e x i s t i e r t , die Deutung von " P e g a s u s " s e i n . In diesem F a l l wäre ^ J 6 eine e c h t e Teilmenge des Individuenbereichs. k€ C Wenn man fordert [ J & = A, dann ist garantiert, daß jedes Individuum an k€C mindestens einem Kontext e x i s t i e r t . Die Deutungen der Relationskonstanten an einem Kontext k sind Relationen i n A und nicht etwa Relationen in der Menge der zum Kontext k aktualen Individuen. Da z . B . , falls R für " l i e b t " steht, eine Witwe ihren verstorbenen Mann noch lieben kann, ist dies auch wünschenswert. Analoges gilt für die Deutungen der Funktionskonstanten, man denke nur an "der V a t e r von". Mit diesen Erläuterungen ist es wohl verständlich, daß ich E nicht zu den logischen Konstanten rechne. Die angeführte Unterscheidungsmöglichkeit von aktualen und nicht-aktualen Individuen an einem Kontext mit Hilfe des Symbols E mindert vielleicht auch das Unbehagen über den e i n e n Individuenb e r e i c h , der sozusagen an jedem Kontext " s t e h t " . Die Alternative wäre, daß man eine Kontextmenge C vorgibt und dann für jeden Kontext k 6 C einen Individuenbereich A, festlegt. B e i diesen Ansätzen wird meistens & = A k k k ( k € C) gefordert, wodurch das Symbol E praktisch überflüssig wird. Das objektsprachliche Gleichheitszeichen — wird selbstverständlich als Gleichheit in A gedeutet und zwar für alle k 6 C. Die Gleichheit — A

A

in A a l s spezielle zweistellige Relation in A ist j a folgendermaßen definiert: —- = { < a , a > | a £ A Wir haben somit a l s Deutung für — eine k o n s t a n t e ä

Abbildung von C in die Menge der zweistelligen Relationen in A mit dem festen Bild = . . Mit anderen Worten, die Extensionen an k stimmen für A alle k £ C überein. Abgesehen von den nach der Definition von ---- einsich-

32

tigen Variationen bei unterschiedlichen Individuenbereichen (Fußnote 3, Kapitel 4) besitzt — eine feste Deutung. Deshalb wird — zu den logischen Konstanten gerechnet. Das Bisherige kann folgendermaßen zusammengefaßt werden: Fester Bestandteil einer noch zu definierenden I n t e r p r e t a t i o n einer Sprache S ist für jedes k € C die Struktur , < Ä ., > >• I k i61 ik j€J Für jedes k € C ist ein "extensionaler Schnitt" durchführbar. Fig. 4

k' . •

-

> j€J

ß a>

k ..

> J i€i jeJ

"Extensionen" Während bei den Funktions- und Relationskonstanten die Deutungen bereits durch den Namen suggeriert werden, ist dies bei den Operatoren nicht der Fall. Aus Gründen der Einheitlichkeit erstreben wir jedoch als Deutung ebenfalls eine Intension. Als Beispiel benützen wir einen einstelligen Operator O, der für "es war der Fall, daß" stehe. Den Kontext k reduzieren wir auf den jeweiligen "Aspekt" Zeitpunkt, so daß C als Menge der Zeitpunkte zu bezeichnen ist. Nach Definition 6 benötigt O einen Ausdruck a, um einen neuen Ausdruck zu e r halten. Um Schwierigkeiten zu vermeiden, sei a eine Aussage. Der Ausdruck O a ("es war der Fall, daß a " ) soll am Zeitpunkt t € C wahr sein, wenn a zu einem Zeitpunkt t' € C, der vor t liegt, wahr war. Diejenigen Zeitpunkte, an denen a wahr ist, bilden eine Teilmenge K von C. Diese Teilmenge K läßt sich mit genau einer Proposition cp - und umgekehrt identifizieren:

33 cp : C — - 2 ; mittp (t 1 ) = 1

gdw

t 1 G K.

2

Im Hinblick auf u n s e r B e i s p i e l sind a m Zeitpunkt t 6 C alle diejenigen Propositionen akzeptabel, die an m i n d e s t e n s einem v o r t liegenden Zeitpunkt den W a h r h e i t s w e r t 1 e r h a l t e n . D i e s e Menge von Propositionen r e p r ä s e n t i e r t die Extension des O p e r a t o r s O a m Zeitpunkt t : Die Deutung von O am Zeitpunkt t i s t s o m i t 0* ( t ) = | K | K £ C und es gibt ein t ' 6 K mit t ' v o r t | .

3

Diese Menge bildet eine Teilmenge von ? C. F a l l s t f ü r das J a h r 1960 und t^ f ü r d a s J a h r 1970 stehen, dann w ä r e die durch 1 B r a n d t ist Bundeskanzler d e r BRD" a u s g e d r ü c k t e P r o p o s i t i o n zwar Element von 0" (t^), jedoch nicht E l e m e n t von ö " ( t ^ ) . Aus d i e s e n Extensionen an j e d e m Zeitpunkt ergibt s i c h a l s Deutung d e s einstelligen O p e r a t o r s O eine Abbildung von d e r Kontextmenge C in $ ( $ C ) . Man l a s s e sich d u r c h das notationelle Ungetüm !p ( p C) nicht aus d e r Ruhe b r i n g e n . Das Bild d e r Abbildung f ü r t € C, m i t a n d e r e n Worten, die Extension a m Zeitpunkt t , ist ein E l e m e n t von ? ( ? C ) , was nach Definition d e r P o t e n z menge gleichbedeutend ist mit dem, daß das Bild eine Teilmenge von ^ß C i s t . Die V e r a l l g e m e i n e r u n g v e r s t e h t sich von s e l b s t . Sei O ein p - s t e l l i g e r h h O p e r a t o r , dann ist eine Deutung von O eine Abbildung von h h x C i n ? ( K . . . x ? C). p ~^~mal h 1 Daß f ü r k * k im allgemeinen 0" , * 0", , , (mit 0" hk

hk'

= ö"

hk

( k ) ) e r s i e h t man h

aus u n s e r e m B e i s p i e l . Hätten w i r nullstellige O p e r a t o r e n beibehalten, so e r h i e l t e n wir a l s Deutungen nach d e r allgemeinen Festlegung wie f ü r nullstellige Relationskonstanten P r o p o s i t i o n e n . Denn eine Abbildung von C in $ I 0 | i s t eine P r o p o s i t i o n , da ? I 0 f = { 0, I 0 i I und somit gleich d e r Menge d e r W a h r h e i t s w e r t e i s t . Mit d e r Deutung d e r O p e r a t o r e n - v e r g l e i c h e n Sie die B e m e r k u n g auf S. 42 ü b e r n e h m e n w i r einen V o r s c h l a g von CH. HOWARD und R. MONTAGUE, d e r zum e r s t e n Mal in " P r a g m a t i c s " (Montague / P / ) publiziert w u r d e . Die spezielle Behandlung d e r zusätzlichen O p e r a t o r e n als einstelliger Operator und A, V, ** a l s zweistellige O p e r a t o r e n , steht noch a u s . Im einzelnen legen w i r f e s t : 2

V e r g l e i c h e n Sie die intuitive E r l ä u t e r u n g auf S. 30.

3

W i r s e t z e n stillschweigend v o r a u s , daß auf d e r Kontextmenge eine Ordnungsrelation d e f i n i e r t ist, u m " t ' v o r t " zu e r f a s s e n .

34 F ü r -i die Abbildung «p^ : C—* ? ( ? C )

F ü r V die Abbildung tp ( k) = j < K r . K 2 > V * F ü r -* die Abbildung

mit für k € C.

C x y C ) mit

I K J C C und K 2 = C und k 6 K n K | für k € C. ¿t 1 : C — C X $ C ) mit I K j S C und K 2 = C und k € K U K | für k 6 C. 1 2 : C—• f ( f C x j J C ) mit

I K ^ C und K £ C und k € C - ( K -K ) | für k € C. 2 i. ä " die Abbildung cp^ : C — • C x ? c ) mit k) = | < K i . K 2 >

Für

und ( k 6 K OK oder k € C 1 2 ( K U K ) } für k € C. 1 Q E s fällt einem auf, daß bei allen Festlegungen dieser speziellen Operatoren für die Extension am Kontext k dieser Kontext k eine zentrale Rolle spielt. Damit hängt die Tatsache zusammen, daß die für den L e s e r eventuell bekannten W a h r h e i t s f u n k t i o n e n * aus der Aussagenlogik mit unseren Festlegungen in Verbindung gebracht werden können. Um dies einzusehen, muß der L e s e r auf die noch ausstehende Wahrheitsdefinition für Ausdrücke verwiesen werden. Da an diesen soeben formulierten Deutungen bei jeder vorgegebenen Interpretation festgehalten wird, zählen wir —i, A, V, -*, « zu den logischen Konstanten. Generell stellen wir für die Deutungen von Operatoren fest, daß s i e nur von der vorgegebenen Kontextmenge, aber n i c h t von dem vorgegebenen Individuenbereich abhängen. Dies ist jedoch, ähnlich wie beim Gleichheitszeichen, bei den Quantoren der F a l l . Aufgrund der Lesarten von V : "für a l l e " und von 3 : "es gibt ein" wird suggeriert, daß es beim Allquantor auf alle Elemente des Individuenbereichs ankommt, während beim Existenzquantor bereits ein beliebiges Element des Individuenbereichs genügt. Nach Definition 6 erfordern beide Quantoren bei gewählter Variablen, um einen neuen Ausdruck zu erhalten, einen Ausdruck. Deshalb wähle ich die Deutung in Analogie zu den einstelligen Operatoren. Bei den Quantoren werden als Deutungen Intensionen cp der folgenden Art zugesprochen: cp : C — «P„( k) = i < K r K 2 >

4

I K ^ C und K 2 = C

Unter einer n-stelligen Wahrheitsfunktion SP versteht man eine n-stellige Operation auf der Metige der Wahrheitswerte; also cp : 2 x . . . X 2 — - 2 . ' V ' n - mal

35 wobei im einzelnen festgelegt wird: Für V die konstante Abbildung tp^ : qpy ( k ) = | A | für k € C.

c

—

m

i

t

Für i die konstante Abbildung cp^ : C—• "P ( A ) mit cp3 ( k ) = ? A - f 0 | für k € C. Die Deutungen als konstante Abbildungen sind vom Kontext unabhängig, jedoch in einleuchtender Weise vom vorgegebenen Individuenbereich A abhängig. Diese Abhängigkeit ist von Interpretation zu Interpretation gleich. Deshalb zählten wir mit der in Fußnote 3, Kapitel 4 angesprochenen Einschränkung die Quantoren zu den logischen Konstanten. Der Leser sollte sich infolge notationeller Unterschiede nicht beirren lassen, denn aus der Wahrheitsdefinition wird er die Zusammenhänge mit seinen Kenntnissen aus der Prädikatenlogik über die Quantoren ablesen können. Noch ein Beispiel dafür, daß auch Deutungen von Quantoren vom Kontext abhängig sein können: Seien neben den klassischen Quantoren V , 3 noch die beiden Quantoren V1, 3* mit den Lesearten: "für alle aktualen" und "es gibt ein aktuales" vorhanden. Die hiermit vorgenommene Erweiterung unseres Sprachbegriffes soll nur für die Dauer des Beispiels gelten. Syntaktisch funktionieren die beiden Quantoren analog zu den klassischen, also: Wenn x € V und a € , dann V ' x a f j l - und 31 x a € Als Deutungen wählen wir folgende Intens ionen: cpy, : C — ? ( ? A ) mit c p y i ( k ) = j ß j für k 6 C. cp3i : C - ^ C P A )

mit 3, ( k) = ?

|0| für k 6 C.

Ohne der Wahrheitsdefinition vorgreifen zu wollen, wäre der Unterschied folgender: Bei den klassischen Quantoren wird über den gesamten Individuenbereich quantifiziert, während bei 1\ 3' nur über die aktualen Individuen quantifiziert wird. Der Leser vergleiche hierzu die Aufgabe 1. Eine Deutung der Klammern als Hilfssymbole in der Syntax erübrigt sich. Dies gilt ebenfalls für die Variablen, die getreu ihrem Namen bei festgelegter Interpretation noch variabel sein sollen. Die Rolle der Variablen wird im Verlauf des Paragraphen noch deutlich. Wir sind nun in der Lage, das bisher in der Semantik informell Gesagte zu einer Definition über den Begriff "Interpretation" zusammenzufassen: Definition 12: Gegeben sei eine Kontextmenge C ( C * 0) Eine ( l o g i s c h a u s g e z e i c h n e t e ) I n t e r p r e t a t i o n r e l a t i v z u r K o n t e x t m e n g e C der Sprache S = S( , , ) ist ein geordnetes Paar 1 i 61 h h€H 3 j €J ( A, D ) mit A * 0 als Individuenbereich und D als einer Abbildung ( I n t e r p r e t a t i o n s f u n k t i o n ) , die - abgesehen von

36 den V a r i a b l e n und H i l f s s y m b o l e n - den Symbolen d e r S p r a c h e S Intensionen z u o r d n e t , wobei i m einzelnen g i l t : 1) Wenn f^ eine m ^ - s t e l l i g e F u n k t i o n s k o n s t a n t e i s t , dann i s t f ü r k € C : D ( f . ) (k) eine m . - s t e l l i g e Operation auf A; d . h . für k € C:

D ( f . ) (k) : A X . . . x A

—*•

A

m

- mal l 2) Wenn R . eine n . - s t e l l i g e R e l a t i o n s k o n s t a n t e i s t , dann i s t J ] f ü r k € C : D (R_.) (k) eine n ^ - s t e l l i g e R e l a t i o n in A; d . h . für k € C:

D(R.)

(k) c A x • n. J speziell: 2 . 1 ) für k € C : D (E) 2 . 2) f ü r k € C : D J

. .. x A 1 t - mal (k) £ A (k) = =

3) Wenn O ein p - s t e l l i g e r O p e r a t o r i s t , dann i s t für k € C h h D (O ) (k) e i n e p - s t e l l i g e R e l a t i o n in ? C; d . h . f ü r k € C : h h D(OJ ( k ) s ? C x . . . x ? C h , . » ' p - mal h speziell: 3 . 1 ) f ü r k 6 C : D ( - . ) (k) = | K | K e C und k € C - K J 3 . 2 ) für k € C : D ( A ) (k) = | < K r K 2 > | ^ £ C und K 2 £ C und k € K X 3 . 3 ) für k € C : D ( V ) (k) = i < K r K 2 >

|

n K | ¿t

= C und K 2 s C und k € K

1

UK

2

3 . 4 ) für k€ C: D ( " * ) (k) = j < K r K 2 > | K ^ C u n d K ^ C und k € C - ( K - K ) I J. 6 3. 5) f ü r k G C : D ( « ) (k) = | < K , K > | K £ C und K £ C 1 J 1 und ( k € K 1 n K 2 o d e r k C C - l ^ U K g ) A

4)

4 . 1 ) f ü r k € C : D ( V ) (k) = | A j 4 . 2 ) f ü r k 6 C : D ( 3 ) (k) = ? A - j 0 },

37 Aufgrund der für jede Interpretation ( A, D )

bindenden Festlegungen 2. 2), V

3.1) - 3.5) und 4.1) - 4.2) sprechen wir von l o g i s c h a u s g e z e i c h n e t e n Interpretationen. R. MONTAGUE in "Universal Grammar" (/UG/) und M. J. CRESSWELL in "intensional Logics sind Logical Truth" (/IL/) schlagen im Zusammenhang mit Operatoren wie: "Hans glaubt, daß" vor, auch für die Deutungen der logischen Konstanten von den von uns angegebenen abweichende Deutungen zuzulassen. Dies hätte z . B . zur.Folge, daß die Auszeichnung der •logischen Konstanten ~>, A, V, -», « gegenüber den übrigen Operatoren weitgehend verloren ginge. In der Kontextmenge ergäbe sich jedoch eine Trennung in Kontexte, an denen unsere Deutungen für die logischen Konstanten gelten ("klassische Kontexte") und in die übrigen Kontexte. Insgesamt kämen wir zu einer die Klasse der logisch ausgezeichneten Interpretationen umfassenden Klasse von Interpretationen. Das Subskript C deutet die Abhängigkeit von der Kontextmenge an, so daß wir auf den Zusatz "relativ zur Kontextmenge" verzichten wollen. Um Schreibarbeit zu sparen, führen wir die bereits verwendeten Symbole ein: t für D ( f . ) ( k ) , SL für D ( R . ) ( k ) , fr für D ( O J ( k ) , cp ( k ) für lk i jk j hk h ~>

c

"

-




>

ordnet jedem T e r m seine Deutung in der vorgegebenen Interpretation zu. Die Konzeptfunktion läßt sich rekursiv definieren:

39 1) Wenn x € V , b€ A V , k € C ; d a n n i ? T . (x)(b)(k) = b(x). o,(A,D>q 2) Wenn t , . . T € 6 = A 4) Wenn a, ß € j h b€A V , k€C; dann 4 . 1 ) i ^ < A D ) (~i a)(b)(k) = 1 gdw {k'|k'€C und-Z^

(a)(b)(k>) = l | G ^ f k )

4. 2)-4. 5) -D , . . ((a Y ß))(b)(k) = 1 gdw JV, C (k>" =

i?

ir,c

(fiTl--Tm )(b2)(k)i

Als V o r ü b e r l e g u n g : Um die Induktionsvoraussetzung für T ..., T anwenden zu können, muß man sich vergewissern, 1 m. daß für T .. ., t die Voraussetzungen des Satzes erfüllt 1 mi sind. Wir führen dies für t vor: F ü r f T . . . T gelten die 1 l 1 mi Voraussetzungen. T kommt in f. T . . . T vor. Sei g eine 1 i 1 m^ 1 7

Im Teil a) des Satzes mußten wir über die Relationskonstanten und Operatoren nichts voraussetzen, da diese in Termen nicht vorkommen und ebenso mußten wir nicht ausdrücklich von freien Variablen sprechen, da in Termen gewissermaßen jede Variable " f r e i " vorkommt.

49

Funktionskonstante, die in T^ vorkommt. Wir haben zu zeigen: D (g^) = D1 (g^). Da die Vorkommensrelation transitiv ist, kommt g in f T, . . . r vor und da für f. T . . . T die 1 1 1 mj l 1 mj Voraussetzungen gelten: D (g^) = D' (g ). Weiter sei y eine Variable, die in T^ vorkommt. Wegen der Transitivität des Vorkommens kommt auch y in f„1 T 1 . . . T nij vor und damit: b1 (y) = b (y). Insgesamt ergibt sich dann mit der InduktionsX ¿t Voraussetzung f ü r

V \ < A , D > ^ ^ ^ . ( A . D . ) ff,c

-

, c ( T l ) ( b l ) ( k ) ' • • • - V

(

vc(Ti)(b2Kk>

**.>

(BJ^.-.t

a = E T und a. = a ^ t 2 ) a = . ß z . z . :

1

g dw , Definition 16

( A . D ^ n / V ^ » € « j k g / dW Satz 3a) mit Vorüberlegung v

^

D

)(baKk,-l. J siehe a = R. t . . . t J

1

j ^ n r Voraussetzung des Satzes

nj

(.ßXb^k) = ^ (-.ß)(b a )(k)

0 0 Induktionsvoraussetzung: Satz f ü r ß bewiesen. Die f r e i e n Variablen von ~> ß sind die f r e i e n Variablen von ß. Als V o r ü b e r l e g u n g : Um die Induktionsvoraussetzung f ü r ß benützen zu können, müssen wir uns v e r g e w i s s e r n , daß f ü r ß die V o r a u s s e t z u n g e n des Satzes e r f ü l l t sind. Der Ausgangspunkt i s t , daß f ü r ~> ß die Voraussetzungen des Satzes gelten. S t e l l v e r t r e t e n d wählen wir einen O p e r a t o r O, d e r in ß v o r komme. Da ß in ß v o r k o m m t , ergibt sich aus der T r a n s i t i vität des V o r k o m m e n s , daß O in ~> ß v o r k o m m t . Also: D (O) = D' (O). Sei y eine f r e i e V a r i a b l e von ß und damit auch von ß. Somit b (y) = b (y). Da die Voraussetzungen X ¿t V < A D >

des Satzes f ü r ß gelten, ergibt die Induktionsvoraussetzung: ^,c(ß)(bl)(k)=^,c(ß)(b2)(k)%

c ( ^ ) ( b l ) ( k ) =

V,

1

c(ß)(bl)(k) = °

Satz 2 ) . a) Gegeben seien die Aussagen V v^ Rv^, V v (Ev 1 -» Rv^), V v ( E v i A Rv^). b) Gegeben seien die Aussagen 3 v^ Rv^, 3 v 3 v i (Evi A R v i ) .

(Ev^ -» Rv^),

Geben Sie sowohl für a) als auch für b) für jede Aussage eine Interpretation an, in der diese Aussage (bei einer Belegung) an einem Kontext wahr ist und diskutieren Sie die dabei auftretenden Unterschiede. 2) Untersuchen Sie die unter (4) am Anfang des Kapitels 4 gegebene Argumentation. Hinweis: Die formalen Gegenstücke finden Sie unter (41) auf S. 24 Die Deutung von O^ soll im Leibnizschen Sinne erfolgen (siehe S. 45 ). Legen Sie sich nun eine Interpretation relativ zu einer Kontextmenge (Menge der möglichen Welten) so zurecht, daß die beiden ersten Aussagen (bei einer Belegung b) in der Welt w wahr sind, während sich die letzte Aussage (bei einer Belegung b) in dieser Welt w als falsch herausstellt. 3) Was geschieht in der Semantik bei " l e e r e r " Quantifizierung? 5.2 Modell und l o g i s c h e Folgerung Wir denken uns eine Sprache S = S (

c

6 Erf

gdw

j 6 .

gdw

| a | a € A und (b^, k , a ) € E r f < A

gdw

wobei sich dann analog zu Satz 2 ergibt: E s gibt ein a € A mit (b » k . c O e E r f , . . x c

< A . D>

j k ' | k ' € C und ( b . k ' . a ) € E r f < A

gdW

' klttl)

c

6

Erf

< A . D>,

|k € C und (b, k Ph Ph

Ph

)€

6 E r f , . _ \ l> € c fe4= a gdw |b|b6A V und (b.k.a) € E r f < A D > } = A V . b) Sei a € ^ . Umgekehrt empfindet man in diesem Fall die Interpretation < A , D ) ^ für eine solche Aussage am Kontext k als "richtig". Mit anderen Worten: Die Interpretation a |.

67 5.3

Anwendungen Begriffe in

der der

zentralen semantischen Modelltheorie

Weiterhin ist die Sprache S = S ( ( f . > 1

, i€I

J

, (O ) j6J

) vorgegeben. h€H

h

Im Verlauf dieses Abschnitts werden sich teilweise unangemessene Ergebnisse einstellen. Diese versuchen wir durch schrittweise "Verfeinerungen" unserer Methoden zu bewältigen. Daß kleine Dinge auch große Wirkung haben können, zeigt unser nächster Hilfssatz: Hilfssatz 4: Sei a e £ . Dann ist Cn ({(a A - i a ) | ) = j|- . b Beweis: a) z . z . : Cn ( { ( a A - i a ) |) s Jh . . o klar nach der Definition von Cn . S b) z . z . : M- £ Cn ( { ( a A ~ i a ) i )

s

Sei ߀ JEs bleibt zu zeigen: |(a A - i a ) [ t = ß , d.h. * für jede Interpretation ( A , D > ^ und k€C mit (A, D )

MOD, {(a A i a ) } ist < A , D > „ k C, k

C

ß.

Es gibt aber keine Interpretation ( A , D ) ^ , so daß für irgendein k€ C gelten würde: ( A , D> v ^ MODK |(a A-ia)|, denn: fürb€AV:i? ((a A-ia))(b)(k) = 1 gdw (A, D>c D

±

/a n \ (a)(b)(k) = 1 u n d i , / a (-.a)(b)(k) = 1

falsch w. z. z.w. Wir werden uns noch über den " W e r t " einer solchen Ausdrucksmenge zu unterhalten haben. Immerhin ist zu erkennen, daß bereits einelementige Ausdrucksmengen eigenwillige Eigenschaften besitzen können. Eine weitere Reduktion führt zur leeren Menge. Um ein Ergebnis einer Aufgabe vorwegzu-

68

nehmen: E s ist j e d e I n t e r p r e t a t i o n (A, D ) ^ d e r S p r a c h e S an j e d e m Kontext k€ C Modell a m Kontext k d e r l e e r e n Menge. Eine F o l g e r u n g d e r l e e r e n Menge ist somit ein A u s d r u c k , d e r in j e d e r I n t e r p r e t a t i o n (A, D)^, an j e d e m Kontext k € C gültig i s t . Solche Ausdrücke können n a t ü r l i c h nicht e s s e n t i e l l e Informationen b e i n h a l t e n , sondern n u r allgemein r e i n logische Bedingungen a u s d r ü c k e n . E s i s t auch intuitiv einleuchtend, daß ein v o r a u s s e t z u n g s l o s e r Schluß nicht v i e l e r b r i n g e n kann. Nach G. HASENJAEGER's T h e s e l a s s e n s i c h T a u t o l o g i e n unabhängig von Kenntnissen ü b e r die wirkliche Welt einsehen (Hasenjaeger / L O / ) . Definition 22:

a) Sei a € A-. D e r A u s d r u c k a heißt l o g i s c h g ü l t i g (oder logie) gdw 0r * = a . Schreibweise: t = J i S S

Tauto-

b) £ = C n g (0). Beispiele f ü r logisch gültige Ausdrücke in d e r S p r a c h e S: f ü r j e d e s i € I : f. v _ . . .v sf.y, v l 1 m. I 1 m. für jedes j € J : ( R , v „ . . . v V~iR v . . . v ) und 3 1 nj 3 1 nj f ü r j e d e s h 6H und a , . . . , a € j(-: (O a . . .a V -> O a . . . a ) 1 Ph h 1 ph h 1 ^ V Vj v — v

( " J e d e s Individuum i s t s i c h s e l b e r g l e i c h " ) .

Mit dem e i n g e f ü h r t e n Begriff ist e s möglich, d a s Deduktionstheorem in s e i n e r g e b r ä u c h l i c h s t e n F o r m anzugeben: Korollar 2: Seien a , ß 6 u n d a eine Aussage. {ali=ß gdw t=(a-»ß) Beweis: Beispiel:

Klar nach Satz 5 mit Z = 0 (R^ f f

w.z.z.w. -» 3 v^ R^ v^ f^) ist eine Tautologie, da w i r im

B e i s p i e l auf S. 62 zeigten: {r^ f^

v

i

R

i

v

i f 2"

Die l e e r e Menge i s t Teilmenge j e d e r A u s d r u c k s m e n g e . Aus d i e s e m Grunde sind die logisch gültigen Ausdrücke d e r Sprache S in d e r F o l g e r u n g s m e n g e j e d e r A u s d r u c k s m e n g e enthalten («d. £ Cn^ (E)). Denken w i r uns eine Sprache S, die Konstanten f ü r "Hans", "Anita", " B i r g i t " , "das Haus von", "ist eine F r e u n d i n von" und " i s t g r o ß " b e s i t z t . Dann sind nach dem eben Gesagten die Sätze

69 (1) Anita i s t e i n e F r e u n d i n von B i r g i t o d e r Anita i s t n i c h t e i n e F r e u n d i n von Birgit (2) D a s H a u s von H a n s i s t g l e i c h d e m H a u s von H a n s neben d e m b e r e i t s erwähnten Satz (3) B i r g i t h a t e i n e F r e u n d i n Folgerungen aus (4) Anita i s t e i n e F r e u n d i n von B i r g i t . E i n i g e L i n g u i s t e n f i n d e n wohl l e t z t l i c h a u s p s y c h o l o g i s c h e n G r ü n d e n d i e s e T a t sache s t ö r e n d . Tautologien e r s c h e i n e n so s e l b s t v e r s t ä n d l i c h , daß sie einem g a r n i c h t m e h r in den Sinn k o m m e n und d a m i t n a t ü r l i c h a u c h n i c h t in d e r R e d e e x p l i z i t e r w ä h n t w e r d e n . T r e t e n s i e a b e r e i n m a l a u f , dann w i r k e n s i e n o r m a l e r w e i s e t r i v i a l . F ü r m e i n e B e g r i f f e i s t a l l e r d i n g s eine A b s t u f u n g in d e r A k z e p t a b i l i t ä t von (1) und (2) f e s t z u s t e l l e n : (2) i s t f ü r m i c h a b w e g i g e r a l s (1). D e r G r u n d i s t k l a r e r k e n n t l i c h : In (2) t r e t e n K o n s t a n t e n a u f , die in (4) ü b e r haupt n i c h t v o r k o m m e n . U n t e r d e n F o l g e r u n g e n a u s (4) s i n d j e d o c h z u n ä c h s t d i e j e n i g e n d i e n a h e l i e g e n s t e n , die m i t Hilfe d e r v o r k o m m e n d e n K o n s t a n t e n gebildet werden. (2) t r i t t a l s F o l g e r u n g v o n (4) i n d e r S p r a c h e S a u f . A u s g e s c h l o s s e n i s t e s in e i n e r S p r a c h e S 1 , d i e n u r d i e K o n s t a n t e n " A n i t a " , " B i r g i t " und " i s t eine F r e u n d i n von" a u f w e i s t . S1 w i r d m a n a l s T e i l s p r a c h e von S a n sprechen. D e f i n i t i o n 23: a) G e g e b e n s e i e n d i e I n d e x m e n g e n I, J und H und d i e S p r a c h e S = S ((f.) , , (O > ). 1 h i€I J jeJ h€H S e i e n I ' = I, J ' s J und H 1 c H. Dann i s t S'=S»( , , (O > ) eine 1 J h i€I1 j€J1 h€H' von S .

Teilsprache

s e i die zu S 1 g e h ö r i g e M e n g e a l l e r A u s d r ü c k e in S ' .

b) jt-

u c) Sei E s j i - . = f i | i G I und f. k o m m t in e i n e m A u s d r u c k von E v o r } = I j I j € J und R . k o m m t in e i n e m A u s d r u c k von E v o r | J H = {h | h € H und O k o m m t in e i n e m A u s d r u c k von E v o r | £ h U n t e r S^, v e r s t e h e n w i r d i e T e i l s p r a c h e S

=S

« f .1>

i6I

, , ( Oh > ). J j€J h€H E E E

70 Beispiele: 1) Die vorhin angeführte Sprache S' ist natürlich die Teilsprache S^, mit E = i Anita ist eine Freundin von Birgit wobei wir uns der Deutlichkeit halber die Saloppheit erlauben, ohne formale Gegenstücke zu arbeiten. Hier gilt nun: Das Haus von Hans ist gleich dem Haus von Hans £ Cn (E). E 2) Seien 1 = { 1 , 2 . 3 , 4 } , J = {1, 2} und H = { 1 , 2 j; S = S ( ( f 1 , f2, fg, f4>, < R r R2>, (O^ 0

» mit den Stellen-

2

zahlen: m J. = 1, m 6 = 3, m O = 2, m 4 = 0; n 1 = 0, n 6 = 2; r - I (B2 v3 f4 .

3

I s = { l , 3, 4 |, S

E=SE('

am Kontext k induzierte v k)). Th ( C , k) leistet nach Satz 10

das Gewünschte. Es bleibt noch die Erweiterungseigenschaft zu zeigen: Da (A, D>£ am Kontext k Modell von E ist, ist jeder Ausdruck a € E gültig am Kontext k in (A, D ) v und damit Element von Th (_, k). C

w.z.z.w.

Wir kümmern uns zum Abschluß dieses Abschnitts noch um die Menge der logisch gültigen Ausdrücke. Satz 12:

ist eine semantisch widerspruchsfreie, nicht semantisch unabhängige und nicht semantisch vollständige Theorie.

Beweis: Wir teilen den Beweis in einzelne Schritte auf. a) z . z . : ist eine Theorie. Wir zeigen: Cn^ { £ ) = Jd gdw ist eine Theorie „ /„ und S * = S. Satz 6 £ £ Cn ( der Sprache V S an jedem Kontext k€ C Modell von £ , also bedeutet ¡L (=• ß, daß ß in jeder Interpretation (A, D ) ^ an jedem Kontext k€ C gültig ist; mit anderen Worten: ß € b)z.z.: v - v €

ist semantisch widerspruchsfrei und -i v v 4£•

gdw

* «jf-

83 c) z. z . : £ i s t nicht s e m a n t i s c h unabhängig 0 c t und 0 £ . d ) z . z . : £ i s t nicht s e m a n t i s c h vollständig Sei a = V v V v v a v J. 6 1 A a folgt nicht aus £ , wie eine I n t e r p r e t a t i o n , d e r e n Individuenb e r e i c h m i n d e s t e n s zwei E l e m e n t e b e s i t z t , zeigt, -i a folgt nicht aus iL , wie eine I n t e r p r e t a t i o n , d e r e n Individuenb e r e i c h aus e i n e m E l e m e n t besteht, zeigt. w. z. z . w . Aufgaben 1) Zeigen Sie, daß jede I n t e r p r e t a t i o n (A, D ) ^ an j e d e m Kontext k € C Modell a m Kontext k d e r l e e r e n Menge i s t . 2) Seien E s J - , a € J r . V e r g l e i c h e n Sie die Notationen £ t = a und £ t = { a I. 3) Sei ( A , D ) ^ eine I n t e r p r e t a t i o n d e r Sprache S. Dann ist f ü r k€ C T h ( < A , D > c , k ) = ja | a e j t - u n d C eine T h e o r i e und S„„ , .A , D > , ,k). = S. T h (. < c Hinweis: Verwenden Sie Satz 6 .

^ a l

6

SPEZIELLE SPRACHEN MIT OPERATOREN

1.

STUFE

Nachdem w i r b i s h e r auf d e r Grundlage e i n e r allgemeinen Sprache 1. Stufe m i t O p e r a t o r e n die B e g r i f f e und Methoden eines ausgewählten Teiles d e r Modelltheorie d a r g e s t e l l t haben, v e r s u c h e n w i r nun d e m L e s e r einige Hinw e i s e auf Anwendungsmöglichkeiten mit Hilfe s p e z i e l l e r Sprachen 1. Stufe m i t O p e r a t o r e n zu g e b e n . W i r erzielen s p e z i e l l e Sprachen, indem w i r das Symbolinventar k o n k r e t i s i e r e n . U n s e r Augenmerk r i c h t e t sich dabei auf den O p e r a t o r e n t e i l . Die einzelnen Festlegungen sind j e w e i l s von d e m Wunsch geleitet, v o r h e r b e s t i m m t e B e r e i c h e mit d e r e n t s p r e c h e n d e n Sprache a n g e m e s s e n behandeln zu können. Ob dies gelingt, hängt schließlich von den gewählten Deutungen a b . D e r Behandlung d i e s e r i m R a h m e n u n s e r e s H e f t e s i n t e r e s s i e r e n d e n F r a g e n sind durch die knapp b e m e s s e n e n Darstellungen enge Grenzen g e s e t z t . Einige m e h r oder weniger subjektiv h e r a u s g e g r i f f e n e L ö s u n g s v o r s c h l ä g e mit Hilfe u n s e r e r Semantik sollen Anregungen f ü r das persönliche W e i t e r s t u d i u m l i e f e r n . 6.1

Sprachen

im

Rahmen

der

P r ä di ka t en log i k

Die Prädikatenlogik ist s e i t j e h e r d e r Modelltheorie " l i e b s t e s Kind". Alle von m i r z i t i e r t e n r e i n e n Logikbücher behandeln n u r Sprachen in i h r e m Rahmen, allerdings b e s c h r ä n k e n s i e sich nicht unbedingt auf die 1. Stufe. So beginnt auch u n s e r Überblick m i t den Sprachen 1. Stufe i m Rahmen d e r P r ä d i k a t e n logik. Eine solche S p r a c h e u n t e r s c h e i d e t sich von den a l l g e m e i n e n Sprachen in i h r e m V o r r a t an O p e r a t o r e n : Definition 29: Eine S p r a c h e 1 . S t u f e m i t O p e r a t o r e n i m R a h m e n d e r P r ä d i k a t e n l o g i k (SPL) ist eine Sprache 1. Stufe mit O p e r a t o r e n (Definition 1) f ü r die H = 0 g i l t . Diese Änderung hat eine v e r e i n f a c h t e Syntax z u r F o l g e . Jedoch e r s t in d e r Semantik finden w i r w i e d e r n e n n e n s w e r t e s : d e r I n t e r p r e t a t i o n s b e g r i f f e i n e r Sprache SPL = S P L ( , ). 1 i€I j€J Definition 30: Gegeben s e i eine einelementige Kontextmenge C (Ohne B e schränkung d e r Allgemeinheit C = | 0 | ).

85 Eine ( l o g i s c h a u s g e z e i c h n e t e ) Interpretation r e l a t i v z u r K o n t e x t m e n g e {01 d e r S p r a c h e SPL = S P L ( SML ( 1

W

eine Interpretation der Sprache SML =

iei

, D. . (a)(b)(f)=l *. m i t R reflexiv und eine Z e i t s t r u k t u r m i t < O r d n u n g s r e l a t i o n in T . Als Kontexts t r u k t u r ( i E C X C ) legen w i r f e s t : C = W X T und f ü r (w t >, € W X T : 1 1 6 6 < < w r t 2 > , > € JC gdw Rw 2 und t x < t 2 Eine (logisch ausgezeichnete) I n t e r p r e t a t i o n relativ zur K o n t e x t s t r u k t u r d e r S p r a c h e SMZ = SMZ( , , < D , P , F » i s t eine (logisch a u s g e 1 3 i€I j€J zeichnete) I n t e r p r e t a t i o n r e l a t i v z u r Kontextmenge W X T im Sinne d e r Definition 12 mit den Klauseln 1), 2), 2.1) - 2 . 2 ) , 3.1) - 3. 5), 4), 4.1) - 4.2) und Klausel 3 V ) f ü r € W X T: D (D)() = jW' X T 1 | W1 X T* c W X T und {l ( w ' . t 1 ) f . W X T und , > €JC 1 f ü r 6 W X T: D (F)((w,t>) = j w ' x T ' | W ' s W und w 6 W ' und T ' s T und es gibt ein t ' € T ' - jtf mit C M O D k S ist

Also: £ » = a

iSt

gdw

C

fcf=a.

Sp={a|

w. z. z . w . ad 3) Nach Satz 6 ist zu zeigen: Cn (Th ( k)) = Th ( k) s C* c Der Beweis erfordert 2 Schritte: (1) Th ( v k) s Cnu (Th ( C k)) Extensivität von CnD . (2) Sei ß 6 Cn g (Th ( ( A , D > c , k ) ) z . z . : ß € Th ( C , k)

gdw

ß € J- und Th ( c , k)) fc= ß

gdw

ß 6 jJ- und (A, D > c

ß

ß € ¿1- klar Nach Definition von Th ( ( A , D ) , k) ist die Interpretation ( A , D ) ein Modell am Kontext k6 C von Th ( ( A , D> c > k). Aus Th ( ( A , D ) v k) der äquivalent umgeformten Voraussetzung erzielen wir das Gewünschte: ( A , D ) „ . f = ß. C, k W• Z • Z« TW• Kapitel 6 / 6.1 ad 1) a) Sei ( A . D ) ^ MOD^ {3

V j

3v ^ v ^ v^.

b€AV

Vi(11(3vi3v2-,VlÄV2)(b)(l,)=1 | jj |

„ zweimalige Anwendung von Satz 2 T e i l 7

es gibt ein a ^ i A und es gibt ein a^ € A mit ^j0j

2

1

2

al Die modifizierte Belegung b al Vl (b ) aufzufassen. V1 V 2

V1V2

a2 V2

Satz 2 T e i l 1

ist als modifizierte Belegung

111 es gibt ein a € A und es gibt ein a f A X 6 4. t A n\ ( v , - v o>( b 1 a 2 M > = V1 V2 ^}0j 1

mit

edw Definition 16 3) Definition 15 1) es gibt ein a € A und es gibt ein a € A mit a * a . X ¿t X £t Aus der Voraussetzung folgt die Behauptung. w. z. z. w. b) Mit entsprechenden Umformungen wie oben: V1 V V 2 V V3 ( ( V 1 ö V 2 V V 1 * V 3 ) V V 2 * V 3 ) ) ( b ) ( ! i ) { , D

0

=

1

gdw

für jedes a € A für jedes a P A für jedes a € A : X ¿t «5 a. = a oder a. = a„ oder a„ = a . 1 2 1 3 2 3 Aus der Voraussetzung folgt die Behauptung. w. z. z.w. c) Aus dem Vergleich mit a): V , (a, D >

w H v

i

5 v

2 ^

v

r

v2)(b)(il)

=

1

gdw

es ist nicht der Fall, daß es ein a f A und ein a € A gibt mit X ¿t a^ * a^. Aus der Voraussetzung folgt die Behauptung. w. z. z.w. ad 2) Aus Satz 2 T e i l 2 und Teil 4 liest man das Entscheidende ab: (1) für jedes a 6 A trifft genau eine der beiden Relationen tit^ Der Individuenbereich ist zerlegbar: A = fit^ U Ä.^,

zu-

n (R,^ = 0.

Für die vorgeschlagenen Deutungen bedeutet'dies: Der Individuenbereich ist in Männer und Frauen aufteilbar. (2) Es kann Elemente des Individuenbereiches geben, auf die keine der Relationen zutrifft, aber es kann kein a £ A geben, auf das beide Relationen zutreffen. Für die vorgeschlagenen Deutungen bedeutet dies: Der Individuenbereich besteht aus Männern und Frauen und eventuell weiteren Elementen, jedoch sind darunter keine Elemente, die sowohl Mann als Frau sind. Kapitel 6 / 6.2 adl)Seib€AV

z. z . : .D _ ((• *i

i6I

1

. 3

j € J

, •), wfW,

bfAV.

(A D>

g d w ^ V1 D 9 V2 V1 ~ v 2 ) ( b ) ( w ) = 1 ax W a fAisti ( D 3 v v o v )(b )(w) = 1 1 Jf-, w 2 1 2 Vj

für alle a ^ A :

|w' | w ' e W u n d l ^

^

f ü r

a l l e

gdw

l ' ^ V V O

1

"

1

' '

1

gdw = l| = W für alle a € A : j w ' | w ' 6 W und es gibt ein a PA mit 1 Ct a a ,A nv ( v ^ v X bv 1 v 2 )(w') = l | = W *.w 1 i 2 Wähle a 2 = a . W

1

3 V

{w' | w ' 6 W undD^

< A

gdw

( D V

V

2

V

1 °

D>

V

2)(b)(w) -

1

(V V l 3 v 2

gdW

* v 2 )(b)(W) = l | = W

}w' | w ' € W und für a l l e a P A gibt es ein a P A mit a l a2 ^ J / A n\ )(bv v )(w') = 1| = W ¿.w 1 l 2

Wähle a

= a . ¿t

(A D>

J. ^

v

i

3 v

2 °

v

i ~

v

2)(b)(w)

a € A gibt es ein a CA mit fw'| w'eWundi (vö 'D'w Wähle a 2 = a .

V

=

1

a )(b l 2 v l

g d w

a

v

fÜr

a l l e

2 Xw')=l|=W. 2

Die unterschiedlichen Wahrheitsbedingungen kommen in unserem Ansatz nicht zum T r a g e n , da wir den Individuenbereich unabhängig von der Kontextmenge angeben. Entsprechendes läßt s i c h für die Aussagen mit dem Symbol E sagen. Jedoch l i e s t man von den oberen Wahrheitsbedingungen die Konstruktionsvorschrift der Interpretationen ab, um nachzuweisen, daß folgende Aussagen keine Tautologien sind. Sei w 0 6 W . V vx • 3 v 2 (Ev2 A v ^ v2):

A - D (E)(w Q ) * 0

• V vx ? v2 (Ev2 a v1 * v2):

A - D (E)(w Q ) * 0

V V l 3 v2 • (Ev2 A

a - D (E)(w Q ) * 0

o v2):

114 y

v

?v

1

( E v 2 fiDv^^z: v 2 ) :

2

A - D (E)(W())

* 0

Auf einen Unterschied der beiden letzten Aussagen weise ich hin: Damit V v

i

3v

&

• (Ev

Av

i

\

s v ) in der Interpretation (A, D ) „ , in £ W

der Welt w gültig ist, muß D (E)(w*) = A f ü r alle w ' £ W gelten, während für V v

3v L

(Ev ¿»

AÜv

i y 1

¿i

) D ( E ) ( w ) = A genügt. o W• Z• Z• Wf

ad 4) a € j»0 a = -lü-ia Nimmt man das Symbol

0

zu einer Sprache im Rahmen der Modallogik

hinzu, ergibt sich infolge der Definition die Deutung: für w 6 W : D ( 0 ) ( w ) =

?W-{0|

Die Wahrheitsbedingung f ü r 6 lautet somit:

$ a ist bei einer

Belegung b in der Welt w € W wahr

es gibt eine Welt w 1 € W

gdw

an der a bei der Belegung b wahr ist. w• Z• Z• W• ad 5) Sei ( A , D ) ^ eine Interpretation der Sprache S M L = SML ( ( ( D a -» a ) ) ( b ) ( w ) = 1 1

D, / A m *.

( • a)(b)(w) = 1

gdw Definition 16 Definition 33

w

i w ' | w ' € W und-ö ,

^^ < A

'

D >

(a)(b)(w») = l | € w

f W ' I W ' E W und | w " | w " e w und w R w " { = W ' | Falls nuni? ,

.

von R speziell: B ^

( • o ) ( b ) ( w ) = 1 ergibt sich aus der Reflexivität ^

(a)(b)(w) = 1. W

Um nachzuweisen, daß ( D a - > • D a ) keine Tautologie ist, wähle man folgende Weltstruktur < W , R > : w = fw

w , w3l, R = K w j . w

r

>. < w 2 , w 2 > ,

< w 3 , w 3 > , , ( w , t > > €