Modellkatalog Varianzanalyse [Reprint 2018 ed.] 9783486790221, 9783486236774

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Lehr- und Handbücher der Statistik Herausgegeben von Universitätsprofessor Dr. Rainer Schlittgen Bisher erschienene Werke: Caspary/Wichmann, Lineare Modelle Chatterjee/Price (Übers. Lorenzen), Praxis der Regressionsanalyse, 2. Auflage Degen/Lorscheid, Statistik-Aufgabensammlung, 2. Auflage Hartung/Elpelt/Voet, Modellkatalog Varianzanalyse Harvey (Übers. Untiedt), Ökonometrische Analyse von Zeitreihen, 2. Auflage Harvey (Übers. Untiedt), Zeitreihenmodelle, 2. Auflage Heiler/Michels, Deskriptive und Explorative Datenanalyse Miller (Übers. Schlittgen), Angewandte Statistik Naeve, Stochastik für Informatik Oerthel/Tuschl, Statistische Datenanalyse mit dem Programmpaket SAS Pokropp, Lineare Regression und Varianzanalyse Rasch/Herrendörfer u.a., Verfahrensbibliothek, Band I Rinne, Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik, 2. Auflage Rüger, Induktive Statistik, 3. Auflage Schlittgen, Statistik, 6. Auflage Schlittgen, Statistische Inferenz Schlittgen/Streitberg, Zeitreihenanalyse, 6. Auflage

Modellkatalog Varianzanalyse Buch mit CD-ROM Von

o. Prof. Dr. Joachim Härtung Fachbereich Statistik der Universität Dortmund

Dr. Bärbel Elpelt und

Dr. Bernard Voet Schering AG, Berlin unter Mitarbeit von

Dr. Annette Böckenhoff, Dr. Barbara Heine Dipl.-Stat. Uwe Däumling, Dr. Guido Knapp Dr. Meike Deiters, Dipl.-Stat. Jürgen Meurer Dipl.-Stat. Rolf Dietl, Dipl.-Stat. Thomas Nawrat

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Modellkatalog Varianzanalyse / von Joachim Härtung, Bärbel Elpelt und Bemard Voet. Unter Mitarb. von Annette Böckenhoff... - München ; Wien : Oldenbourg. (Lehr- und Handbücher der Statistik) ISBN 3-486-23677-6 NE: Härtung, Joachim; Elpelt, Bärbel; Voet, Bemard Buch. - 1997 Modellkatalog Varianzanalyse / von Joachim Härtung, Bärbel Elpelt und Bernard Voet. Unter Mitarb. von Annette Böckenhoff... - München ; Wien : Oldenbourg. (Lehr- und Handbücher der Statistik) ISBN 3-486-23677-6 NE: Härtung, Joachim; Elpelt, Bärbel; Voet, Bemard CD-ROM. - 1997

© 1997 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Huber KG, Dießen ISBN 3-486-23677-6

V

Hinweise z u m U m g a n g mit der CD-ROM Für die Installation der Varianzanalyse legen Sie bitte die C D in Ihr C D - R O M - L a u f werk. U n t e r Windows 3.1 aktivieren Sie i m P r o g r a m m a n a g e r d e n M e n ü p u n k t Ausf ü h r e n . Geben Sie n u n im Dialogfeld die A n w e i s u n g D.'SETUP ein. wobei D: d e n K e n n b u c h s t a b e n Ihres C D - R O M - L a u f w e r k s darstellt. Unter W i n d o w s 95 klicken Sie auf die S t a r t - S c h a l t f l ä c h e u n d aktivieren dort e b e n falls d e n M e n ü p u n k t A u s f ü h r e n mit A n g a b e der A n w e i s u n g D:SETUP. Die Installation wird gestartet nnrl die P r o g r a m m s v m b o l e f ü r dieVarianzanalvse eingerichtet. Sollte sich der Adobe R e a d e r bereits auf I h r e m P C befinden, ist d e r Installationsprozeß an dieser Stelle beendet. Falls dies nicht der Fall ist. werden Sie n u n zur Installation des R e a d e r s aufgefordert. A b h ä n g i g vom Betriebssystem wird eine 16- o d e r 32-bit-Version dieses P r o g r a m m s auf Ihren P C kopiert. Die 52-bit-Version unterscheidet sich von der 16-bit-\ersion d u r c h eine bessere Verarbeitungsgeschwindigkeit sowie eine optimierte D a r s t e l l u n g der Seiten. Acrobat P.coder - [varianz.pdf] gg File £dit V'rtw iools Window Help

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Inhalt

0 Votwort Q Hitfe Q Werkzeugleiste

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20.-29.

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30.-39.

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40.-49.

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50.-59.

Härtung u.a.

Modellkatalog Varianzanalyse

0 > ü 60.-69 > D 70.-79. > Q 80.-89 > D 90.-99. > 0

100.-109.

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110-119

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t > D 120.-129 t > 0 130.-139. > •

140-149.

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150.-159.

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Entwurf undftMlmatton® 1997 by AlphaSyttsmi OmtjH. Augsburg

160.-169. 170.-179.

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180.-190. .

VI

Mit einem Klick auf das entsprechende Programmsymbol wird nach erfolgreicher Installation die Varianzanalyse gestartet. Das Reader-Fenster ist per Default in zwei Bereiche unterteilt. Am linken Bildschirmrand finden Sie eine Liste aller Modellnummern. Um das gewünschte Modell anzuzeigen, klicken Sie zuerst auf die Hauptnummer (z.B. 2) und danach auf die Unternummer (z. B. 2.1). Das gewünschte Modell wird dann in einem eigenen Fenster dargestellt. In jedem Modellfenster finden Sie in der Bookmarkliste auch einen Link auf die Modellübersichtsdatei, in der Sie sich momentan befinden. Da die Qualität der Bildschirmdarstellung technisch bedingt unter Umständen nicht so hoch ist, wie erwartet, können Sie jede angezeigte Seite bei Bedarf auch ausdrucken. Aktivieren Sie hierfür den Menüpunkt File » Print und wählen Sie die zu druckenden Seiten aus. Sie können mit All alle Seiten eines Modells, mit Curreiit nur die aktuell sichtbare Seite ausdrucken.

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Sobald Sie sich mit der Maus über einer Seite befinden, sehen Sie einen

handförmigen Mauscursor. Durch klicken und gedrückt halten der linken Maustaste können Sie nun die Seite nach oben oder unten bewegen, ähnlich der Funktion des Rollbalkens am rechten Seitenrand. An einigen Stellen finden Sie farbig hervorgehobene Texte. Sollten Sie sich mit der Maus über diese Textstellen bewegen, ändert der Cursor seine Form in eine zeigende Hand. Dies bedeutet, daß hier eine Sprungstelle existiert, die einen Menüpunkt aktiviert oder zu einer anderen Seite wechselt. Zur weiteren Navigation verwenden Sie bitte die Werkzeugleiste unterhalb des Menüs. Mit dieser Leiste können Sie zwischen verschiedenen Seiten. .Ansichten sowie \ergrößerungsstufen umschalten. Weiterführende Informationen zum Einsatz des Readers erhalten Sie in der mitgelieferten Hilfedatei, die Sie über den Menüpunkt Help erreichen.

VII

Übersicht Einführung in die Modellklassen und Darstellung der allgemeinen Methoden

BUCH

Einführender Uberblick

1

1 Einleitung

5

2 Charakterisierung der betrachteten Modelle (ANOVA-Modelle)

11

3 ANOVA-Modelle mit festen Effekten

25

4 ANOVA-Modelle mit zufälligen Effekten und gemischte Modelle

73

5 Verteilungstafeln

197

6 Literaturverzeichnis

215

7 Verzeichnis der Modelle

223

Modellausführungen

CD-ROM

Modelle 1-39: 40-81: 82-162:

Modelle mit festen Effekten Modelle mit zufälligen Effekten

1 845

Modelle mit festen und zufälligen Effekten

2681

163-175:

Split-Plot-Modelle

5203

176-190:

Unvollständige Modelle

5667

E N D E 6004

IX

Inhaltsverzeichnis Einführender Überblick

l

1 Einleitung

5

2 Charakterisierung der betrachteten Modelle (ANOVA-Modelle)

11

3 ANOVA-Modelle mit festen Effekten

25

3 . 1 Modellstruktur

25

3.2

26

Varianzanalysetafel

3 . 3 Behandlung

der

Fehlervarianz

35

3.3.1 Schätzer

36

3.3.2 Varianz des Schätzers

36

3.3.3 Schätzer für die Varianz des Schätzers

37

3.3.4 Konfidenzintervall zum Niveau 1 — K

37

3.3.5 Tests zum Niveau K

38

3 . 4 Behandlung

der festen

Effekte

40

3.4.1 Schätzer

40

3.4.2 Kovarianzen der Schätzer

43

3.4.3 Schätzer für die Kovarianzen der Schätzer

46

3.4.4 Varianzen der betraglichen Differenz von Schätzern und ihre Schätzer

47

3.4.5 Konfidenzellipsoide zum Niveau 1 — K

50

3.4.6 Simultane Konfidenzintervalle zum Niveau 1 — K

55

3.4.7 Einzelne Konfidenzintervalle zum Niveau 1 — K

56

3.4.8 Multiple Vergleiche zum Niveau K

57

3.4.9 Tests zum Niveau K

67

Inhaltsverzeichnis

X

4 A N O V A - M o d e l l e mit zufälligen E f f e k t e n und g e m i s c h t e Modelle 4.1 Modellstruktur 4.1.1 Reduziertes Modell in Matrixschreibweise

73 73 74

4.1.2 Basis paarweise orthogonaler Projektoren des Spanns von V i , . . . , Vm 4.1.3 Mittlere Quadratsummen

4.2 Schätzen

der Varianzkomponenten

76 80

82

4.2.1 M I N Q U E ' s

82

4.2.2 Positive Schätzer

84

4.2.3 Varianzen und Kovarianzen der M I N Q U E ' s

89

4.2.4 Varianzen der Positiven Schätzer

91

4.2.5 B i a s der Positiven Schätzer

92

4.2.6 M S E der Positiven Schätzer

93

4.2.7 Schätzer für die Varianzen und Kovarianzen der M I N Q U E ' s sowie für die Varianzen und M S E ' s der Positiven Schätzer

95

4.2.8 Modifizierte Schätzer für die M S E ' s der Positiven Schätzer . . . . 101 4.2.9 Gesamtvarianz

102

4.2.10 Tests zum Niveau K

105

4.2.11 Konfidenzintervalle

125

4.2.12 Approximative Tests und Konfidenzintervalle

132

4.3 Behandlung

der festen Effekte

139

4.3.1 Reparametrisierungsbedingungen und Schätzer

142

4.3.2 Varianzen und Kovarianzen der Schätzer

144

4.3.3 M I N Q U E ' s und Positive Schätzer für die auftretenden Linearformen von Varianzkomponenten 4.3.4 Schätzer für die Varianzen und Kovarianzen der Schätzer

148 152

4.3.5 Varianzen der betraglichen Differenz von Schätzern und ihre Schätzer

154

4.3.6 Mittlere Quadratsummen und ihre Erwartungswerte

156

4.3.7 Verteilungen im Zusammenhang mit den festen Effekten

159

Inhaltsverzeichnis

XI

4.3.8 Konfidenzellipsoide zum Niveau 1 — K

167

4.3.9 Simultane Konfidenzintervalle zum Niveau 1 — K

171

4.3.10 Einzelne Konfidenzintervalle zum Niveau 1 — K.

173

4.3.11 Multiple Vergleiche zum Niveau K

178

4.3.12 Tests zum Niveau K

188

5 Verteilungstafeln

197

6 Literaturverzeichnis

215

7 Verzeichnis der Modelle

223

7 . 1 Übersicht 7 . 2 Auflistung

223 und

Beschreibung

der Modelle

Modellausführungen

225 auf CD-ROM

CD-ROM: Übersicht MODELLE 1-39: M o d e l l e m i t f e s t e n E f f e k t e n 1-4: Hierarchische Modelle

1

5-6: Modelle mit zweifacher Kreuzklassifikation

55

7-11: Modelle mit dreifacher Kreuzklassifikation

79

12-29: Modelle mit vierfacher Kreuzklassifikation

179

30-39: Modelle mit einer Kombination von hierarchischer Klassifikation und Kreuzklassifikation

655

40-81: M o d e l l e m i t zufälligen E f f e k t e n 40-43: Hierarchische Modelle

845

44-45: Modelle mit zweifacher Kreuzklassifikation

941

46-53: Modelle mit dreifacher Kreuzklassifikation

1001

54-71: Modelle mit vierfacher Kreuzklassifikation

1309

Inhaltsverzeichnis

XII

72-81: Modelle mit einer Kombination von hierarchischer Klassifikation und Kreuzklassifikation

2321

82-162: M o d e l l e m i t festen und zufälligen Effekten 82-87: Hierarchische Modelle

2681

88-89: Modelle mit zweifacher Kreuzklassifikation

2779

90-95: Modelle mit dreifacher Kreuzklassifikation

2817

96-120: Modelle mit vierfacher Kreuzklassifikation

3031

121-162: Modelle mit einer Kombination von hierarchischer Klassifikation und Kreuzklassifikation

3935

163-175: Split-Plot-Modelle

5203

176-190: Unvollständige Modelle

5667

E N D E 6004

XIII

Vorwort Die Varianzanalyse ist als methodisches Instrumentarium an allen empirisch und experimentell arbeitenden Wissenschaften bzw.

Wissenschaftsbereichen orien-

tiert. Sie stellt einen umfangreichen Kanon von einfachen, intuitiv sofort einsichtigen bis hin zu komplizierten, tieferliegend zu deduzierenden logischen Denkstrukturen, hier Modelle genannt, zur Verfügung, mit denen dann - in dem jeweils interessierenden Phänomen, mit all seinen möglichen Unabwägbarkeiten, adäquater Weise - in den vielfältigsten A n w e n d u n g s d i s z i p l i n e n wissenschaftlich gesicherte E r k e n n t n i s s e ermöglicht werden. Das vorliegende Werk ist eine erste umfassende Darstellung des gesamten Spektrums solcher flexiblen Strukturklassen, wie sie in den unterschiedlichsten angesprochenen Bereichen von außerordentlicher Relevanz sind; erst eine sorgfältige Wahl des richtigen Modells sichert auch die richtige Erkenntnis. An dieser Stelle sei für ihre Mitarbeit sowie Unterstützung Dr. Annette hoff, Dipl.-Stat. Uwe Däumling,

Böcken-

Dr. Meike Deiters, Dipl.-Stat. Rolf Dietl, Dr.

Barbara Heine, Dr. Guido Knapp, Dipl.-Stat. Jürgen Meurer, Dipl.-Stat. Thomas Nawrath sowie den damaligen Studierenden J u t t a Beckmann, Marita Durek, Thomas Goddemeier, Birgit Keller, Martina Knoche, Achim Müller, Monika Rüßmann, Karen Steindorf und Frau Bärbel Skopp ganz herzlichst gedankt. Die Erstellung dieses Werkes wäre ohne wohlwollende Förderung durch die D e u t sche F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t ( D F G ) nicht möglich gewesen, wofür ihr auch hier gedankt sei.

Bärbel Elpelt Joachim

Härtung

Bernard

Voet

••

Einführender Uberblick Reale Probleme des Lebens sind bekanntlich dadurch charakterisiert, daß sie durch mehrere, vielfältig wirkende Einflußfaktoren hervorgerufen werden, die sich zudem noch in sogenannten Wechselwirkungen gegenseitig beeinflussen, so daß es kaum möglich ist, ohne geeignetes Rüstzeug zunächst die Struktur solcher Probleme zu analysieren und schließlich die Probleme selbst zu lösen. Die Varianzanalyse (ANalysis Of VAriance = A N O V A ) stellt hier nun ein äußerst elegantes und sehr schlagkräftiges, universelles Instrumentarium zur Verfügung. Mit Ursprüngen schon bei Adrien Marie Legendre (1752-1833) und Carl Friedrich Gauß (1777-1855) - beim Auswerten astronomischer Beobachtungsreihen in den Jahren 1805 und 1809 - wurde die Varianzanalyse im wesentlichen in den 20er-Jahren dieses Jahrhunderts von Sir Ronald A y l m e r Fisher (1890-1962) im Rahmen umfangreicher konkreter D a t e n a n a l y s e n begründet. In den folgenden Jahren nahm sie dann einen rasanten Verlauf bis zum heutigen Tage. Das vorliegende Werk ist nun die erste umfassende Darstellung - einschließlich Analysemethoden - der für die Praxis wichtigsten Strukturklassen, hier Modelle genannt, und beinhaltet auch neueste Forschungsergebnisse.

Wegen des

außerordentlichen Umfangs von ca. 6250 Seiten werden die Modellausführungen selbst auf CD-ROM herausgebracht, während die Einführung in die Modellklassen und die Darstellungen der allgemeinen Methoden hier in Buch-Form vorliegen. Numerische Beispiele - zumeist nach real durchgeführten E x p e r i m e n t e n und E r h e b u n g e n in einem weiten Fächer von Anwendungsdisziplinen - sind zahlreich und ausführlich durchgerechnet bei den Modellausführungen zu finden; sie sind detailliert dargestellt und vermitteln so einen sehr anschaulichen Eindruck von der letztlich faszinierenden Eleganz der Varianzanalyse. Die hier dargestellten Modellklassen umfassen unter anderem sowohl die vielfältigsten mehrfaktoriellen Versuchspläne bzw. Experimente in Naturwissenschaften,

Einführender Oberblick

2

Medizin und Technik, als auch komplizierte mehrstufige und geschichtete Stichproben-Erhebungen in gesellschaftswissenschaftlichen und ökonomischen Bereichen, in Industrie, Handel und Administration.

In diesem Buch, das als allgemeiner methodischer Vorspann angesehen werden kann, wird in den Kapiteln

1 und 2 zunächst eine Charakterisierung der be-

trachteten Modelle gegeben; sodann werden in Kapitel

3 für Modelle mit de-

terministischen Einflußgrößen und in Kapitel 4 für Modelle mit stochastischen oder gemischt stochastisch-deterministischen Einflußfaktoren alle für die Modellausführungen benötigten Formeln allgemein dargestellt und ihre Anwendung anhand von Beispielmodellen erläutert. Kapitel 5 und 6 beinhalten die benötigten Verteilungs-Quantile und das Literaturverzeichnis. In Kapitel 7findet man dann ein Verzeichnis aller auf den Seiten 1 bis 6004 der CD-ROM explizit bearbeiteten Modelle. Für diese verschiedenen 190 Modelle sind alle für eine umfassende Analyse benötigten Formeln ausführlich und wohlstrukturiert zusammengestellt, so daß eine Anwendung ohne Zuhilfenahme der Kapitel 1 bis 4 dieses "Vorspanns" bequem möglich ist.

Die Universalität der Varianzanalyse wird auch dadurch verdeutlicht, daß von den zu beurteilenden Einflußfaktoren lediglich nominales Skalenniveau verlangt wird, man spricht dann auch von q u a l i t a t i v e n Einflußfaktoren, deren Ausprägungen man dann (qualitative) S t u f e n des Faktors nennt, etwa bei Versuchspersonen der Faktor "Geschlecht" auf den Stufen "weiblich" und "männlich". Sind die einflußnehmenden Wirkungsgrößen von ihrer Natur aus eigentlich q u a n t i t a t i v e Faktoren, so wird eine Senkung des Skalenniveaus auf nominales Niveau mittels Gruppierung bzw. Klassenbildung oder Diskretisierung auf die wesentlichen Einstellungen des Faktors vorgenommen, an denen mit deutlichen Unterschieden in seiner Wirkung zu rechnen ist; etwa bei Dosis-Wirkungsanalysen eines Medikaments oder eines Düngers wird man nicht für alle möglichen (stetig verteilten) Dosierungen Versuche zur Beurteilung der Wirksamkeit vornehmen, sondern sich z.B. auf fünf Dosierungs-Stufen konzentrieren, die das relevante Wirkungsspekt r u m hinreichend genau repräsentieren, und auf jeder Stufe der Dosierung eine

Einführender Überblick

3

erhöhte Anzahl von Versuchen vornehmen, u m die Meßgenauigkeit - auch bzgl. weiterer Störfaktoren - dadurch mitunter erheblich zu verbessern. Wesentliche Referenz als Grundlage für die Ausführungen in den folgenden Kapiteln ist die Arbeit von Elpelt (1989); pauschal verwiesen sei auf die Beiträge von Fisher (1925, 1970; 1935, 1966), Satterthwaite (1946), Scheffe (1959), Seely (1971), Rao (1972), Graybill (1976), Härtung (1981), sowie weitere Referenzen im Literaturverzeichnis. Der bzw. die mathematisch weniger geübte Leser bzw. Leserin sei für einen leichteren Einstieg begleitend auf die mehr anschaulichen, einführenden Darstellungen zur Varianzanalyse im "Grundkurs Statistik", Kapitel 10, von Elpelt und Härtung (1992) und in der "Statistik", Kapitel XI, von Härtung, Elpelt und Klösener (1995) hingewiesen; bzgl. einer kurzen, praktischen und leicht verständlichen Zusammenstellung zur Vektor- und Matrizenrechnung, so wie sie hier verwandt wird, sei auf Abschnitt 4 im Kapitel I der "Multivariaten Statistik" von Härtung und Elpelt (1995) hingewiesen.

Kapitel 1

Einleitung

Die statistische Analyse von Experimenten unter Berücksichtigung qualitativer Einflußfaktoren erfolgt in der Regel in sogenannten Varianzanalysemodellen. Interessiert man sich dabei lediglich für die konkret im Versuch berücksichtigten qualitativen Stufen eines Einflußfaktors, so spricht man von einem Einflußfaktor mit festen Stufeneffekten oder kurz von einem festen Faktor; sind die konkret berücksichtigten Stufen hingegen nur eine Auswahl aus (unendlich) vielen interessierenden Stufen, so spricht man von einem Einflußfaktor mit zufälligen Stufeneffekten oder einem zufälligen Faktor; zufällige Einflußfaktoren können aber auch dann verwandt werden, wenn b e s t i m m t e Korrelationsstrukturen erfaßt werden sollen. ( Q u a n t i t a t i v e Faktoren werden diskretisiert, s. voranstellenden einführenden Abschnitt.)

Ein Varianzanalysemodell ist nun eine additive Zerlegung der im Versuch realisierten Zufallsvariablen in ein allgemeines festes Mittel, in feste und zufällige Anteile, die sich auf die festen bzw. zufälligen Effekte der jeweils vorliegenden Stufen der Einflußfaktoren respektive auf Wechselwirkungen zwischen den Stufen mehrerer Einflußfaktoren beziehen, und in einen zufälligen Rest, in dem alle in der Versuchsanlage vernachlässigten Einflüsse zusammengefaßt sind. Werden alle Einflußfaktoren und Wechselwirkungen als fest (mit festen Stufeneffekten) angesetzt, so spricht m a n von einem Varianzanalysemodell mit festen Effekten (Modell I), werden alle als zufällig angesetzt, so spricht m a n von einem

Einleitung

6

Varianzanalysemodell mit zufälligen Effekten (Varianzkomponentenmodell, Modell II). Ein gemischtes Modell (Modell III) liegt vor, wenn das Modell sowohl feste als auch zufällige Einflußfaktoren und Wechselwirkungen einbezieht. Beispiel:

In einem Versuch soll die Milchleistung von Kühen, deren Väter alle

zur gleichen Rasse gehören, in Abhängigkeit vom Vater, vom Futter u n d von der Haltungsart untersucht werden. Dazu werden je rsu Töchter von t Vätern, also insgesamt n = rstu Kühe, ausgewählt. Jeweils u Töchter eines Vaters werden einer der rs Kombinationen der r Haltungsarten und der s Futtermittel unterzogen. Jede Haltungsart wird also bei insgesamt stu Töchtern und jedes F u t t e r m i t t e l bei insgesamt rtu Töchtern verwandt. Diesem Milchleistungsversuch liegen drei kontrollierte Einflußfaktoren "Haltungsart" auf r Stufen, "Futtermittel" auf s Stufen und "Väter" auf t Stufen zugrunde, und jede Stufenkombination der drei Einflußfaktoren liegt bei u Kühen vor. Zudem sollen mögliche Wechselwirkungen zwischen Vater und Haltungsart sowie zwischen Vater und Futtermittel bei der Analyse berücksichtigt werden. Sonstige Einflüsse, wie etwa jener der Mütter, eine mögliche Wechselwirkung zwischen Futtermittel und Haltungsart sowie eine mögliche dreifache Wechselwirkung zwischen allen kontrollierten Einflußfaktoren, werden bei diesem Versuch im additiven Rest zusammengefaßt. Bezeichnet ztJkh die reellwertige Zufallsvariable, deren Realisation für i = 1 , . . . , r > 1 , j = 1 , . . . , s > 1, k = 1 , . . . ,t > 1 und h = 1 , . . . ,u > 1 die Milchleistung der h-ten Tochter des fc-ten Bullen beim j-ten

Futtermittel und bei

der ¿-ten Haltungsart ist, so heißt das Modell

(1)

Zijkh = ß + ex, -f ßj -I- 7t + {ai)ik

+ {ßi)jk

+

etjkh

mit den Reparametrisierungsbedingungen r 5

s >

1=1

t

,

=

0

,

i=1

t =

0

,

o

,

r

= Ofüri = l,...,r k=1

=

k= 1 ,

^(oty),* ¿=1

= 0 für k = 1 , . . ., t

,

7

Einleitung

= 0 für j = 1,. . ., a

,

/t=i

= 0 für * =

l,...,i

j=i

und der Annahme, daß die zufälligen Reste e1}kh stochastisch unabhängig sind, den Erwartungswert Null (E(e;jw,) = 0) und die Varianz a\ > 0 (Var(e,jj : / l ) =

besitzen,

eine feste dreifache Kreuzklassifikation mit zwei zweifachen Wechselwirkungen. Hierbei bezeichnet

fi

das Gesamtmittel der Milchleistung;

ai

den Effekt der i-ten Haltungsart (Faktor A) für i = 1 , . . . , r;

ßj

den Effekt des j-ten

7fe

den Effekt des k-ten Vaters (Faktor C) für k = 1 , . . . , t;

(07),^

die Wechselwirkung ( A C ) zwischen z'-ter Haltungsart und fc-tem

Futtermittels (Faktor B) für j =

... ,s\

Vater für i = 1,. . . , r und k = 1,. . ., i; {ßf)jk

die Wechselwirkung ( B C ) zwischen ji-tem Futtermittel und

k-tem

Vater für j = 1 , . . . , s und k = 1 , . . . , t.

Interessiert man sich nicht für die konkret im Versuch berücksichtigten t Väter sondern allgemein für die Milchleistungseigenschaften der Rasse der Väter, so kann man zum Modell der gemischten dreifachen Kreuzklassifikation mit zufälligen Wechselwirkungen zwischen dem zufälligen Einflußfaktor " R a s s e " = " V ä t e r " und den festen Einflußfaktoren "Haltungsart" bzw. "Futtermittel" übergehen:

(2)

Zijkh = ß + cti + ß, + ck + (ac)lk

+ (ßc)jk

+ e%]kh

mit den Reparametrisierungsbedingungen r

Y, 0

für k = 1 , . . . , t,

E ( ( a c ) i t ) = 0, Var((ac) l j f e ) = a\c > 0 für i = 1 , . . . , r und k = 1,. .., t,

8

Einleitung

E { { ß c ) ] k ) = 0, V a r ( ( ß c ) j k ) = a2ßc > 0 f ü r j = 1 , . . . , 5 u n d k = 1 , . . . , t, E(e,jkh.) = 0,

V a r ( e i j t Ä ) = o\ > 0

f ü r i = 1 , . . . , r , j = 1,. . ., s, k = 1 , . . . , t u n d h = 1,. . ., u,

C i , . . . , et, ( a c ) n , . . . , (ac)Tt,

(ßc)n,

• • •, (ßc)st,

e m i , • • •, eTStu

sind s t o c h a s t i s c h u n a b h ä n g i g .

Der Ü b e r g a n g v o m griechischen B u c h s t a b e n 7 i m Modell (1) z u m l a t e i n i s c h e n B u c h s t a b e n c i m M o d e l l (2) soll hier stets den Ü b e r g a n g von e i n e m f e s t e n zu e i n e m zufälligen E f f e k t a n d e u t e n . B e t r a c h t e n wir das Modell (2) e i n m a l g e n a u e r , so stellen w i r fest, d a ß die Zufallsvariablen z.jt/, u n d Zitjik'h' g e n a u d a n n korreliert sind, wenn die z u g e h ö r i g e n T o c h t e r k ü h e d e n gleichen Vater h a b e n , d e n n es gilt Co

\(zijkh,Zi'j'k'h') 0

, für fc / k', i,i', j,j',

h, b! beliebig

, für i ^ i', j ^ j', k = k', h, b! beliebig , für i = i', j ^ j', k = k', h, h! beliebig 0C

, für i

vi

, für i = i', j = j', k = k', h ^ b!

J


ßi')

er2

-er2

= - - • o*

,

für i = 1 , . . . , r

,

für i, i = 1 , . . . , r, i / i

= i • i„ - £>,v) = v(a>,v) + v(o),v) - 2c(,•„,£>;„ 1- k

.

Von besonderem Interesse sind hierbei die simultanen Konfidenzintervalle zum Niveau 1 — k für die einzelnen P a r a m e t e r

i/ = 1 , . . . ,m,,

d.h. c, ist der v-te

mj-dimensionale Einheitsvektor, des Vektors un für i G {1, • • • ,