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Elemento Tipo 1 – Nonlinear Truss

I ELEMENTO TIPO 1 NONLINEAR TRUSS

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I.1 - TRUSSNL01 – Cilindro e Vite con Nonlinearità di Materiale

Caratteristiche del Problema La struttura, rappresentata in figura, è costituita da un cilindro esterno e da una vite interna, uguali in lunghezza, con sezione resistente di uguale area, e con le estremità connesse tra loro, in modo da sviluppare gli stessi spostamenti e deformazioni in trazione. La vite è serrata in modo da non presentare alcun precarico: il dado a destra è semplicemente appoggiato sul fondello terminale del cilindro, che si suppone infinitamente rigido. I due elementi sono di materiale a differente comportamento. Il cilindro ha materiale a basso modulo elastico ma a comportamento lineare. Viceversa il materiale della vite ha modulo elastico iniziale elevato, ma si comporta in modo nonlineare in trazione, con un primo tratto elastico fino allo snervamento, seguito da un secondo tratto con modulo tangente ridotto, un terzo tratto in cui il comportamento è perfettamente plastico fino alla deformazione ultima di rottura. Il cilindro è incastrato ad un estremo, mentre sull’altro estremo è applicata una forza di trazione gradualmente crescente da 0 fino al valore massimo di 1200 MPa (1200 N/mm2), per il quale viene superata la deformazione massima di rottura nella vite. Y

A=1.0 mm2 F=1200 N

F 1 L=10 mm

2

10 mm

X

σ 500 190

P3

P4

P2 P5

P1

0.001

0.01

0.05

ε

4

E1=1.0⋅10 MPa

La curva σ-ε del materiale della vite (curva rossa) è assegnata per cinque punti. In questo caso il materiale può essere definito solo sul primo quadrante, come resistente a sola trazione, con modulo elastico E2=1.9⋅105 MPa (tratto P1-P2). Lo snervamento avviene per εy=0.001 cui corrisponde lo sforzo σy=E2⋅εy=190 MPa (punto P2). Per provocare la rottura della vite occorre raggiungere e superare la deformazione ε=0.05. In questa situazione il materiale n.1 sviluppa uno sforzo pari a E1⋅ε=500 MPa e il materiale

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n.2 continua a fornire uno sforzo di 500 MPa. La forza corrispondente da applicare per provocare la rottura della vite deve essere maggiore di 1.0⋅500+1.0⋅500 = 1000 N.

Schematizzazione della Struttura Si schematizza la struttura con due nodi e due elementi Truss sovrapposti sugli stessi nodi. Il primo nodo ha tutti i gradi di libertà soppressi. Il secondo nodo ha tutti i gradi di libertà soppressi, tranne lo spostamento lungo X. Si noti che non sopprimendo lo spostamento lungo Y nel secondo nodo la struttura è labile in quanto alla prima iterazione gli elementi truss non avrebbero alcuna rigidezza in direzione perpendicolare al loro asse e l’analisi si arresterebbe. Si noti comunque che sarebbe sufficiente un piccolo salto termico e l’attivazione dell’opzione stress-stiffening per conferire una piccola rigidezza geometrica normale agli elementi. L’analisi nonlineare è svolta in un solo step di carico, applicando una forza F che raggiunge i 1200N a fine step. Per convenienza si assume la variabile tempo coincidente con il valore di carico. È quindi t0=0 all’inizio dello step e t1=1200 a fine step. Si assegna un intervallo nominale del substep pari a 1/12=0.0833333, in modo da ottenere almeno 12 substep ad intervalli di 100N. Per tutti gli altri parametri sono assunti i valori di default. Si richiede inoltre il monitoraggio del nodo n.2 e dei due elementi ad ogni substep. Si possono distinguere quattro fasi di carico per altrettanti livelli di deformazione: 1. Da ε=0.0 a ε=0.001. Entrambi i materiali si comportano linearmente. Quando ε1=ε2=ε=0.001 si ha σ1=E1⋅ε=1.0⋅104⋅0.001=10.00 MPa e 5 σ2=E2⋅ε=1.9⋅10 ⋅0.001=190.00 MPa. Poiché ciascun elemento ha area unitaria, la forza totale applicata sarà 10.00+190.00=200 N. 2. Da ε=0.001 a ε=0.01. Quando ε=0.01 si ha σ1=E1⋅ε=1.0⋅104⋅0.01=100.00 MPa, mentre σ2=500.00 MPa ed F=600.00 N. 3. Da ε=0.01 a ε=0.05. Quando ε=0.05 si ha σ1=E1⋅ε=1.0⋅104⋅0.05=500.00 MPa, σ2=500.00 MPa ed F=1000.00 N. 4. ε>0.05. Quando la deformazione supera questo valore la forza esterna è interamente sopportata dal cilindro. Appena superata F=1000.00 N lo sforzo sulla vite è nullo e quello sul cilindro esterno passa bruscamente da 500 MPa a 1000 MPa e la deformazione passa da ε=0.05 a ε=0.10. A F=1200.00 N è σ1=1200.00 MPa e ε=σ1/ E1=0.12.

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Analisi dei Risultati La tabella seguente riassume i risultati di sforzo e deformazione degli elementi e lo spostamento del nodo 2.

F (N)

ε1

σ1 (MPa)

ε2

σ2 (MPa)

ux2 (mm)

100 200 600 1000 1200

0.0005 0.0010 0.0100 0.0500 0.1200

5.00 10.00 100.00 499.99 1200.00

0.0005 0.0010 0.0100 0.0500 0.1200

95.00 190.00 500.00 500.00 0.00

0.005 0.010 0.100 0.500 1.200

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I.2 - TRUSSNL02 – Cilindro e Vite Allentata o Catena

Caratteristiche del Problema La struttura, rappresentata in figura, è uguale a quella del precedente esempio test, ma il dado è allentato tanto da lasciare uno spazio di 0.1mm tra le superfici di contatto del dado e del fondello. Si noti che il problema non cambia se la vite è sostituita da una catena di lunghezza L=10.1mm con le estremità (nodi 1 e 2) distanti L=10mm. Il file dati è lo stesso, con l’unica variante costituita dal fatto che la curva del materiale del cilindro interno è traslata verso destra e il primo punto è posizionato sull’asse σ=0.

L=10.1 mm

F

0.1 mm

F

L0=10 mm

Y

A=1.0 mm2 F=1200 N

1

2

10 mm

X

σ 500

P3

190

P4

P2 P1 0.01 0.011

P5 0.02

E1=1.0⋅104 MPa

0.06

ε

Le superfici entrano in contatto, o la catena inizia a collaborare, quando la distanza tra i nodi raggiunge il valore L=10.1mm. In tale condizione la deformazione è: L − L0 10.1 − 10 = = 0.01 L0 10 Questa è la posizione del primo punto P1 e anche l’entità della traslazione verso destra. L’elemento è di tipo hook, reagente solamente a trazione.

ε=

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Schematizzazione della Struttura La struttura può essere schematizzata come nel precedente esempio test, modificando semplicemente i punti della curva del materiale n.2. Tuttavia la schematizzazione di questo tipo di nonlinearità nel comportamento dell’elemento ottenuta attraverso la manipolazione delle caratteristiche del materiale è deprecabile e potrebbe non essere contemplata nelle future release. Essa è qui documentata per il suo valore propedeutico. Il file dati TRUSSNL02.DAT utilizza infatti lo stesso materiale, passante per l’origine degli assi σ-ε, del precedente esempio. La vite è quindi schematizzata con uno specifico elemento truss di tipo “hook”, assegnando la lunghezza 0.01 nella linea di definizione delle caratteristiche della sezione. L’analisi nonlineare è svolta in un solo step di carico, senza alcun’altra modifica rispetto all’esempio precedente. Il file alternativo TRUSSNL02A.DAT utilizza invece la schematizzazione dell’elemento hook attraverso la modifica delle caratteristiche nonlineari del materiale. Si possono distinguere cinque fasi di carico per altrettanti livelli di deformazione: 1. Da ε=0.0 a ε=0.01. In questa fase reagisce solo il materiale n.1, a comportamento lineare. Quando ε1=ε2=ε=0.01 si ha σ1=E1⋅ε=1.0⋅104⋅0.01=100.00 MPa. Poiché l’elemento ha area unitaria, la forza totale applicata sarà di 100 N. 2. Da ε=0.01 a ε=0.011. Entrambi i materiali si comportano linearmente. Quando ε1=ε2=ε=0.011 si ha σ1=E1⋅ε=1.0⋅104⋅0.011=110.00 MPa e σ2=190.00 MPa. Poiché ciascun elemento ha area unitaria, la forza totale applicata sarà 110.00+190.00=300 N. 3. Da ε=0.011 a ε=0.02. Quando ε=0.02 si ha σ1=E1⋅ε=1.0⋅104⋅0.02=200.00 MPa, mentre σ2=500.00 MPa ed F=700.00 N. 4. Da ε=0.02 a ε=0.06. Quando ε=0.06 si ha σ1=E1⋅ε=1.0⋅104⋅0.06=600.00 MPa, σ2=500.00 MPa ed F=1100.00 N. 5. ε>0.06. Quando la deformazione supera questo valore la forza esterna è interamente sopportata dal cilindro. Appena superata F=1100.00 N lo sforzo sulla vite è nullo e quello sul cilindro esterno passa bruscamente da 600 MPa a 1100 MPa e la deformazione passa da ε=0.06 a ε=0.11. A F=1200.00 N è σ1=1200.00 MPa e ε=σ1/ E1=0.12.

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Analisi dei Risultati La tabella seguente riassume i risultati di sforzo e deformazione degli elementi e lo spostamento del nodo 2. F (N)

ε1

σ1 (MPa)

ε2

σ2 (MPa)

ux2 (mm)

100 300 700 1100 1200

0.0100 0.0110 0.0200 0.0600 0.1200

100.00 110.00 200.00 599.99 1200.00

0.0100 0.0110 0.0200 0.0600 0.1200

0.00 190.00 500.00 500.00 0.00

0.100 0.110 0.200 0.600 1.200

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I.3 - TRUSSNL03 – Telaio Reticolare NonLineare

Caratteristiche del Problema Si tratta di un semplice telaio reticolare piano, con due piani e una campata, per un totale di 10 bielle. Gli elementi orizzontali e verticali sono costituiti da materiale indefinitamente elastico (o meglio, lineare), mentre gli elementi diagonali sono di materiale nonlineare simmetrico, che comunque presenta lo stesso modulo elastico iniziale. Le aste hanno tre differenti sezioni. La struttura e i materiali sono rappresentati nelle figure seguenti. Sono definiti due step di carico. Nel primo step sono applicati i carichi verticali ai nodi 1 e 2. Nel secondo step sono aggiunti i carichi orizzontali ai nodi 1 e 3.

F1X

σ

F2Y

F1Y 1

6

3.5⋅10

2 2.5⋅104

2

4

F3X 3

5

ε 0.0025

4

3 7

Y

E1=1.0⋅107

360

8 6

5

1.0025

P2 P1

1

P3

360

10

9

P4

4

X

A5 = A6 = A10 = 20 A2 = A4 = A7 = 70 A1 = A3 = A8 = A9 = 100

F1Y = F2Y = -1.0⋅105 F1X = 1.0⋅106 F3X = 0.5⋅106

360

Schematizzazione della Struttura Il calcolo nonlineare è svolto nell’ipotesi di grandi spostamenti ma è disattivata l’opzione stress stiffening, che peraltro non incide significativamente. Tutti i nodi sono liberi di traslare nelle direzioni X e Y, tranne i nodi alla base, su cui sono soppressi tutti i gradi di libertà. L’analisi nonlineare è svolta in due step di carico. Nel primo step sono assegnati i carichi verticali ed è usata l’opzione semplificativa KALGO=9. Nel secondo step sono aggiunti i carichi orizzontali. Sono da rimarcare i seguenti punti. • Il primo step è risolto in un unico sottostep, ed il carico F1Y = F2Y = -1.0⋅105 è introdotto con una funzione a gradino (stepped), già col suo valore massimo, contrariamente a quanto avviene specificando un numero di substep intermedi, in cui il carico è introdotto gradualmente con una funzione a rampa. Sono comunque attive le opzioni nonlineari di Microsap Rel.11.0

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base. In altre parole, è attivato il ciclo iterativo di equilibrio e i criteri di convergenza di default, ma non è effettuato alcun aggiornamento della matrice di rigidezza e nessuna misura è attivata per ridurre l’ampiezza del substep. Quindi, se come ipotizzato, lo step è lineare, esso si conclude in una sola iterazione. L’iterazione comprende il passo di fattorizzazione iniziale e il passo di calcolo degli sforzi e deformazioni. Se invece dovesse essere incontrata una leggera nonlinearità, essa può essere risolta comunque dal ciclo iterativo. In caso contrario l’analisi si arresterà per un problema di convergenza. Si deve notare che con KALGO=9 è attivato solamente il controllo di convergenza sull’equilibrio delle forze, poiché si presume che il problema possa presentare solo deboli nonlinearità, e che la struttura non raggiunga la condizione di collasso. • Nel secondo step deve essere assegnata la configurazione di carico completa che sarà presente alla fine dello step. Ad esempio, nel nodo n.1 vi sarà la forza F1X = 1.0⋅106 e F1Y = -1.0⋅105. Sono utilizzati i parametri di default, che prevedono quindi 10 substep. Il carico è quindi introdotto gradualmente nei successivi substep. Quindi F1Y e F2Y rimarranno costanti al valore F1Y = F2Y = -1.0⋅105 mentre F1X e F3X varieranno linearmente da 0 (inizio step) al valore finale F1X = 1.0⋅106 e F3X = 0.5⋅106. • Sul nodo n.1 è attivato il controllo di spostamento per un valore massimo di 10.0, con continuazione automatica dello step (KCONT=1). In tal modo, se in un qualunque substep è raggiunto questo valore il calcolo viene concluso. Altrimenti lo step prosegue incrementando F1X e F3X con la stessa legge, finchè non è raggiunto il valore di spostamento richiesto. • Durante il calcolo è richiesto, ad ogni substep, il monitoraggio degli elementi 7,8,9,10 che possiedono il materiale nonlineare. • Per un confronto dei risultati, il calcolo è risolto anche con Ansys.

Analisi dei Risultati Quando tutto il carico dello step n.2 è stato introdotto, il valore richiesto di spostamento nel nodo 1 (vettore di componenti UX1 e UY1) non è ancora raggiunto. Per cui, il calcolo continua automaticamente fino al completamento del substep con fattore di carico λ=1.8, cioè quando F1X = λ⋅1.0⋅106 = 1.8⋅106 e F3X = λ⋅0.5⋅106 = 0.9⋅106. In Ansys non esiste una opzione di utilizzo immediato per ottenere questo, per cui è assegnato esplicitamente in input un carico a fine step 1.8 volte maggiore. Si deve notare che Ansys suddivide il valore di deformazione nella componente elastica (che può essere interamente recuperata allo scarico) e plastica (che permane allo scarico). La deformazione totale è la somma dei due valori. La tabella riassume i risultati di sforzo e deformazione totale degli elementi n.7,8,9,10 e il modulo del vettore spostamento del nodo n.1 al substep finale. Gli elementi n.8 e n.10 superano il limite elastico.

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Componente ε7 σ7 ε8 σ8 ε9 σ9 ε10 σ10 u1

Ansys

Microsap

0.0018680 18679 -0.003013 -25005 0.0020570 20568 -0.0080730 -25056 10.676

0.0018679 18679 -0.003013 -25005 0.0020568 20568 -0.0080728 -25056 10.676

Risultati per il Fattore di Carico λ=1.80 e con l’Ipotesi di Grandi Spostamenti

Ripetendo il calcolo imponendo il raggiungimento di uno spostamento di 30 sul punto di controllo in corrispondenza del nodo n.1, la soluzione arriva fino a un fattore di carico λ=2.10, con uno spostamento di 69.35. Infatti, al substep precedente, per λ=2.00 lo spostamento è di 12.74. Questo è anche il massimo spostamento raggiungibile con i parametri di default prima che il calcolo si interrompa per difficoltà di convergenza quando anche gli elementi n.7 e n.9 raggiungono lo stato plastico e la struttura diventa quasi labile. Anche Ansys si arresta allo stesso livello di carico. Le piccole differenze tra i due programmi dipendono principalmente dal fatto che la convergenza è raggiunta con diversi livelli di forza residua non equilibrata.

Componente ε7 σ7 ε8 σ8 ε9 σ9 ε10 σ10 u1

Ansys

Microsap

0.077339 25748 -0.084808 -25823 0.002483 24827 -0.009211 -25067 68.511

0.078394 25759 -0.086092 -25836 0.002483 24826 -0.009231 -25067 69.352

Risultati per il Fattore di Carico λ=2.10 e con l’Ipotesi di Grandi Spostamenti

Un’altra interessante verifica può essere effettuata sullo stesso caso rimuovendo l’ipotesi di grandi spostamenti (LRGDEF=0 nella linea B del processore $INPUT). I risultati ottenuti sono riassunti nella tabella seguente.

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Componente ε7 σ7 ε8 σ8 ε9 σ9 ε10 σ10 u1

Ansys

Microsap

0.121674 26192 -0.123920 -26214 0.002468 24683 -0.01032 -25078 99.085

0.121670 26192 -0.123850 -26214 0.002468 24683 -0.01032 -25078 99.085

Risultati per il Fattore di Carico λ=2.10 e con l’Ipotesi di Piccoli Spostamenti

Il file TRUSSNL03A.dat è uguale a TRUSSNL03.DAT, ma è attivata la procedura pathfollowing, ponendo KCTRL=1 nella linea C2. In questo caso le soluzioni prodotte dai due file procedono in modo simile ed è utile il confronto.

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I.4 - TRUSSNL04 – Instabilità di Due Aste con Snap-Through

Caratteristiche del Problema Quello che segue è un benchmark classico del NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards), utilizzato come caso test da svariati autori. La struttura è composta da due aste, vincolate agli estremi e soggette ad un carico verticale sul nodo comune. Il materiale delle due aste è lo stesso e con comportamento lineare. Si vuole studiare il campo di stabilità delle aste e validare l’algoritmo di calcolo nonlineare in grandi spostamenti e la funzione stress-stiffening individuando contemporaneamente i limiti di impiego del metodo di incremento delle forze.

F

F -200

G

3

Y 1

2

1

2

h -100

F B

X b

F=

EA (2h 2 u + 3hu 2 + u 3 ) L30

1 ⎞ ⎛ u B = − h⎜1 − ⎟ 3⎠ ⎝ uC = − h

A

1 ⎞ ⎛ u D = − h ⎜1 + ⎟ 3⎠ ⎝ u E = −2 h

E

C

+100

u

D

L’espressione analitica e il grafico della funzione forza-spostamento sono rappresentati in figura. L0 è la lunghezza iniziale dell’asta. I punti B e D di massimo e minimo si ottengono facilmente, derivando F(u). In particolare, con i seguenti valori: h=10

b=300

A=1.00

E=7.0265⋅106

si ottengono:

uB = -4.2265 FB= -100.00

uC = -10.0

uD = -15.7735 uE = -20.0 FD = +100.00

Schematizzazione della Struttura La struttura è schematizzata con due elementi truss, anche se, data la simmetria esistente, sarebbe sufficiente un solo elemento. L’analisi nonlineare è svolta con un solo step di carico, fino a F = -200. Sono impiegati i valori di default per tutti i parametri di controllo della soluzione nonlineare. In particolare l’ampiezza di substep è pari a DLAMB=0.1 equivalente ad incrementi di -20 sul carico e a 10 substep nominali. E’ Microsap Rel.11.0

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assegnato un limite di 25 allo spostamento del punto di controllo (nodo n.3), per terminare l’analisi nel caso che tale valore sia raggiunto prima. Sono inoltre monitorati i risultati dell’elemento n.1. Il problema è risolto sia con la procedura Load-Control sia con quella Path-Following. Si deve notare quanto segue.

• Utilizzando la procedura Load-Control (KCTRL=0) e l’algoritmo Modified Newton Raphson (KALGO=0 oppure KALGO=2) oltre il livello di carico F=-80, in vicinanza quindi del carico critico, la convergenza è piuttosto lenta e i parametri di default sono inadeguati in quanto tendono ad essere consumate tutte le 20 iterazioni di default ad ogni ciclo. Inoltre la soluzione non può procedere oltre il punto critico B. E’ in tal caso più opportuno ridurre il numero di iterazioni NEQIT e bisecare il substep con DQF=0.5. • Con la procedura Load-Control (KCTRL=0) e l’algoritmo Full Newton Raphson (KALGO=1), utilizzato nel test (file TRUSSNL04.DAT), i parametri di default sono adeguati ed è anche possibile superare il punto B e, incrementando il carico, proseguire nel calcolo delle condizioni di equilibrio oltre il punto F. I punti sul ramo di curva BCDEF non sono comunque raggiungibili. Un eventuale secondo substep che incrementi il carico da –100 a +100 tenderà a ripercorrere la curva da B ad A. • Con la procedura Path-Following (KCTRL=1) è sufficiente l’algoritmo Modified Newton Raphson (KALGO=0) per percorrere agevolmente tutti i rami della curva (file TRUSSNL04A.DAT). • Lo stesso esempio è anche svolto con Ansys, con gli stessi parametri e con Load Control. Ansys rivela un comportamento analogo nello svolgimento del calcolo nonlineare fino al punto critico B, ma non è possibile procedere oltre. Con un substep di 0.05 Ansys trova il punto di equilibrio G, ma consuma un notevole numero di iterazioni per riuscire a superare il punto B. Questo dimostra come in prossimità di situazioni di instabilità o forte nonlinearità sia spesso piuttosto difficoltoso ottenere la convergenza. Inoltre i risultati finali possono dipendere molto dalle tolleranze adottate e dall’ampiezza del substep.

Analisi dei Risultati In tabella sono riportati i valori di deformazione e sforzo nell’elemento n.1 e lo spostamento verticale del nodo n.3 nel punto B (fattore di carico λ=0.5) e nel punto G a fine step (λ=1.0). E’ utilizzato il file TRUSSNL04.DAT con KALGO=1 e KCTRL=0. Microsap Componente Ansys -3 -3 -0.3620⋅10 -0.3629⋅10 ε1B -2540 -2550 σ1B u3B

ε1G σ1G u3G

Microsap Rel.11.0

-4.0957 0.3370⋅10-3 2368 -22.679

-4.1169 0.3370⋅10-3 2368 -22.679

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Nella tabella seguente sono elencate tutte le soluzioni equilibrate calcolate. Si deve notare che i substep 1-5 sono soluzioni del ramo A-B e quelle 6-10 del ramo F-G. Avendo posto KCONT=0 l’esecuzione ha termine al raggiungimento del fattore di carico λ=1.0 e il limite di spostamento di 25.0 non è raggiunto. Si noti il brusco salto di u3 nel passaggio da un ramo all’altro della curva carico-spostamento. Substep

N.iter.cum.

N.fattorizz.

λ

u3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 6 9 13 20 25 27 29 31 33

3 6 9 13 20 25 27 29 31 33

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

-0.4097 -0.8833 -1.4577 -2.2290 -4.1169 -21.797 -22.033 -22.258 -22.473 -22.679

La tabella seguente mostra invece le soluzioni equilibrate ottenute con il file TRUSSNL04A.DAT che ha come uniche varianti l’utilizzo del metodo Modified Newton Raphson (KALGO=0) e della procedura Path-Following (KCTRL=1). I substep 1-6 sono sul ramo A-B. I substep 7-10 sono sul ramo D-E. I substep 11-15 stanno sul ramo E-F. I substep 16-20 sono sul ramo F-G. Infine, il substep 21 è oltre il punto G. Si deve notare come il substep 6 sia molto prossimo al punto critico B, ma non è stata trovata alcuna soluzione nei rami B-C e C-D. Le soluzioni su questi rami possono essere trovate riducendo l’ampiezza del substep. Substep

N.iter.cum.

N.fattorizz.

λ

u3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0.09431 0.18736 0.27846 0.36613 0.44630 0.49968 -0.41673 -0.28278 -0.16961 -0.06087 0.04576 0.15112 0.25564 0.35955 0.46300 0.56610 0.66890 0.77146 0.87382 0.97602 1.07810

-0.3849 -0.8189 -1.3223 -1.9334 -2.7414 -4.0658 -17.605 -18.651 -19.269 -19.757 -20.172 -20.538 -20.868 -21.171 -21.451 -21.714 -21.961 -22.195 -22.418 -22.630 -22.834

Modificando il file TRUSSNL04A.DAT assegnando DLAMB=0.09 in luogo del default 0.10, si ottengono le soluzioni della tabella seguente, che sono uniformemente distribuite su tutti i rami. In particolare, i substep 1-6 sono sul ramo A-B. I substep 7-11 sono su B-C, 12-17 su C-D, 18-22 su D-E, 23-27 su E-F, 28-32 su F-G e 33 oltre il punto G.

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I-15

Elemento Tipo 1 – Nonlinear Truss

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Substep

N.iter.cum.

N.fattorizz.

λ

u3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

0.08538 0.16986 0.25301 0.33398 0.41082 0.47718 0.48357 0.29839 0.20240 0.10945 0.01825 -0.07158 -0.16008 -0.24701 -0.33163 -0.41201 -0.48086 -0.45774 -0.31383 -0.21145 -0.11338 -0.01732 0.07757 0.17168 0.26523 0.35835 0.45115 0.54369 0.63600 0.72813 0.82011 0.91196 1.0037

-0.34641 -0.73218 -1.1715 -1.6889 -2.3347 -3.2423 -5.1119 -7.5594 -8.4024 -9.1521 -9.8596 -10.552 -11.251 -11.977 -12.762 -13.659 -14.817 -17.097 -18.451 -19.057 -19.531 -19.933 -20.286 -20.605 -20.897 -21.167 -21.420 -21.658 -21.883 -22.098 -22.302 -22.498 -22.686

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I-16

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

II ELEMENTO TIPO 2 NONLINEAR BEAM

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I-17

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Microsap Rel.11.0

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I-18

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

II.1 - BEAMNL01 – Asta Appoggiata con Carico Concentrato

Caratteristiche del Problema Si deve studiare lo snervamento di un’asta semplicemente appoggiata e soggetta ad un carico concentrato in mezzeria. L’asta è in acciaio a sezione omogenea rettangolare. Le dimensioni e le proprietà del materiale sono indicate nelle figure seguenti. Il carico iniziale di 200kN è incrementato attraverso il fattore λ fino al completo snervamento della sezione di mezzeria (cerniera plastica).

σ 250 MPa

F=λ⋅200kN

Y

E=210000 MPa G=80770 MPa

X

3000 mm

ε

300 mm λ’=3.750 σy

λ”=5.625 σy

150 mm

Il limite elastico di 250 MPa nelle fibre estreme è raggiunto per P’y=750kN, cioè per λ’=3.75. Lo snervamento dell’intera sezione avviene per λ”=1.5λ’=5.625.

Schematizzazione della Struttura Nel file dati BeamNL01A.dat la struttura è schematizzata come nel Rif., con 10 elementi Beam di tipo 1 a fibre, a plasticità diffusa. Il materiale è schematizzato col tipo 1 (elasticoperfettamente plastico). La sezione è descritta a fibre, suddividendola in 6 strati di spessore 50 mm, come nel Rif. Allo scopo deve essere preparato il file BEAM.SEC che contiene anche altre sezioni utilizzate in altri esempi. Trattandosi di problema piano, non è necessario suddividere la sezione anche in direzione Z. Ciascuna fibra generata è di tipo indifferenziato, rappresentata da un’area di 7500 mm2 localizzata al centroide di ciascun rettangolo. Questo comporta che, per la sollecitazione My (momento attorno a Y) la sezione presenta rigidezza nulla. In questi casi il programma aggiunge una piccola rigidezza per evitare la singolarità. Un’altra nota riguarda l’approssimazione del calcolo. Nel calcolo lineare la rigidezza flessionale della sezione attorno a Z è EIZ. Il momento di inerzia IZ può essere assegnato esplicitamente e esattamente. Nella schematizzazione a

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I-19

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

fibre di area generica, anche nel tratto elastico iniziale EIZ è calcolato attraverso l’integrazione numerica su ciascuna fibra e il suo valore risulta approssimato e dipendente dal numero di suddivisioni della sezione. Quindi, ad esempio, per λ=1 in campo ancora lineare, il calcolo svolto utilizzando la sezione di tipo 0 o 1 a comportamento lineare non coincide esattamente col calcolo ottenuto con la schematizzazione a fibre.

Analisi dei Risultati Nel Rif. e nel Microsap lo scostamento dal comportamento lineare è percepibile ad iniziare da λ=4.3. Nel Microsap la formazione della cerniera plastica avviene esattamente per λ=5.625 mentre nel Rif. si supera leggermente tale valore. Il corrispondente spostamento verticale del nodo centrale è di circa 13.5mm. Il diagramma Spostamento-Fattore di Carico è rappresentato nella figura seguente.

Diagramma Spostamento-Fattore di Carico – 10 Elementi a Fibre

Il Rif. utilizza un elemento basato sul metodo degli spostamenti, con funzioni di forma cubiche ed è perciò necessario suddividere la trave in più elementi. Nel Microsap è sufficiente utilizzare un solo elemento. Nei casi standard e soprattutto nel caso di pushover a spinte laterali, è inoltre sufficiente l’uso di 5 punti di integrazione (default). Il diagramma seguente (file BeamNL01B.dat) mostra i risultati ottenuti impiegando 2 soli elementi. L’uso di due elementi si è reso in questo caso necessario per poter rappresentare lo spostamento verticale in mezzeria.

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I-20

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Diagramma Spostamento-Fattore di Carico – 2 Elementi a Fibre

Al limite elastico, per λ=3.75 lo spostamento di mezzeria risulta: 1) Formula Classica (senza deformazione a taglio): 2) Elemento Beam Lineare Tipo 0: 3) Elemento Beam a Fibre con 6 strati :

Uy=-5.9524 mm Uy=-6.1381 mm Uy=-6.3082 mm

Rif.: D.R.J Owen – E. Hinton – Finite Elements in Plasticity – Theory and Practice – Pineridge Press, 1980 – pp.148-150.

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I-21

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

II.2 - BEAMNL02 – Asta Incastrata con Carico Ripartito

Caratteristiche del Problema Si tratta di un’asta incastrata agli estremi e soggetta ad un carico uniformemente ripartito. L’asta è in acciaio a sezione omogenea a I. Le dimensioni e le proprietà del materiale sono indicate nelle figure seguenti. Incrementando progressivamente il carico iniziale di 100N/mm si ottiene prima lo snervamento iniziale delle sezioni di incastro e la formazione di cerniere plastiche. Incrementando ancora il carico si arriva al graduale snervamento della sezione di mezzeria e alla comparsa della terza cerniera plastica.

σ 250 MPa

Y q=λ⋅100 N/mm A

C

B

E=210000 MPa G=80770 MPa

X

3000 mm

ε y 20 mm 10 mm

z

160 mm 20 mm

λ’A= λ’B =2.2827 σy

σy

λ”A=λ”B= 2.6133 λ”C=3.4844

200 mm

Il limite elastico di 250 MPa nelle fibre estreme è raggiunto nei punti A e B per λ’=2.2827. Le cerniere plastiche in A e B si formano per λ”=2.6133. Infine la cerniera plastica in C si sviluppa per λ”=3.4844.

Schematizzazione della Struttura Nel file dati BeamNL02A.dat la struttura è schematizzata come nel Rif., con 10 elementi Beam di tipo 1 a fibre, a plasticità diffusa. La sezione è descritta a fibre, suddividendola in soli 6 strati, come nel Rif. E’ utilizzata la sezione n.2 descritta nel file BEAM.SEC con tre componenti. Il materiale è schematizzato col tipo 1 (elastico-perfettamente plastico). Si deve notare che nel ramo perfettamente plastico il modulo tangente è nullo. In questo caso il programma corregge la singolarità applicando un modulo tangente leggermente diverso da zero. Tuttavia tale correzione potrebbe non essere sempre appropriata ed in tal caso deve essere assegnato esplicitamente il valore ETMIN. Questo dipende dai diversi moduli in gioco, dalle caratteristiche del problema e dall’andamento della soluzione. Una

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I-22

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

difficoltà nel raggiungere la soluzione o l’arresto prematuro del calcolo è spesso dovuto a segmenti perfettamente orizzontali o verticali delle curve dei materiali.

Analisi dei Risultati Nel Rif. Il carico ripartito è suddiviso in una serie di carichi nodali concentrati. Nell’esempio risolto col Microsap è invece utilizzato il carico di elemento tipo 6. La formazione delle cerniere plastiche in A e B è facilmente individuabile per λ=2.6133 e così anche la formazione del meccanismo con la terza cerniera plastica in C è correttamente calcolato per λ=3.4844. Il diagramma Spostamento-Fattore di Carico è rappresentato nella figura seguente.

Caso A - 10 Elementi con Sezione a Fibre

Nel file BeamNL02B.dat la struttura è schematizzata con due soli elementi a fibre. Sono utilizzati i parametri di soluzione nonlineare del caso precedente.

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I-23

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Caso B – 2 Elementi con Sezione a Fibre

Nel file BeamNL02C.dat sono invece utilizzati due elementi Beam lineari a cui sono sovrapposte tre cerniere elasto-plastiche a fibre. Per evitare errori è stato assegnato il materiale n.2 lineare (tipo 0) e la sezione n.2 generica (di tipo 0): questo nuovo materiale e sezione sono utilizzati per le beam lineari. Si noti come non sia necessario fornire le linee dati F per descrivere il tratto flessibile. I punti di integrazione sono determinati automaticamente, per cui la assegnazione di un materiale lineare alle beam assicura che siano utilizzate tre sole sezioni di controllo. La sezione è di tipo globale, e quindi il calcolo delle matrici di rigidezza degli elementi è rapido. La nonlinearità è concentrata nelle tre cerniere plastiche, a cui si riserva la sezione n.1 (a fibre: la stessa utilizzata nei due casi precedenti per le beam), cui è associato il materiale nonlineare già visto. Si aggiungono due set di proprietà dei connettori elastoplastici (linee G): il primo definisce le cerniere A e C ai lati del primo elemento beam e sono utilizzate le posizioni di default; la cerniera B è invece definita nel secondo set e per questa è invece definita esplicitamente la posizione all’estrema destra. A tutte le cerniere è assegnato lo stesso materiale della trave e una lunghezza di 30mm, pari a 1/100 della lunghezza flessibile della membratura. In tal modo, durante il comportamento lineare del materiale, la rigidezza flessionale della cerniera risulta 100 volte maggiore di quella della trave, sufficiente a garantire una buona accuratezza ma non così elevata da causare problemi di soluzione. Si può vedere dal grafico che i livelli di carico per i quali si formano le cerniere sono rimasti esattamente quelli previsti anche dal calcolo manuale. La formazione delle cerniere plastiche avviene per spostamenti che sono molto prossimi a quelli calcolati utilizzando gli elementi a fibre a plasticità diffusa.

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I-24

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Caso C – 2 Elementi Lineari + 3 Cerniere con Sezione a Fibre di L=30 mm

I casi D e E sono come il caso C, ma le cerniere sono schematizzate con sezioni globali. In questo caso le caratteristiche di inerzia della sezione e del materiale sono condensati nel diagramma del momento flettente dell’intera sezione in funzione della curvatura o della rotazione. Il calcolo è estremamente rapido, ma occorrono alcune premesse. Anzitutto, l’azione normale e i momenti flettenti attorno agli assi locali y e z risultano disaccoppiati e i tre diagrammi sono tra loro indipendenti, mentre nelle cerniere a fibre del caso C le tre azioni risultano accoppiate in modo naturale. L’uso di cerniere a sezione globale risulta quindi lecito nel caso in cui vi sia una componente preponderante. Ad esempio, quando l’azione normale sia trascurabile o il momento flettente attorno ad un asse locale sia elevato rispetto a quello attorno all’altro asse. Una seconda considerazione riguarda il fatto che i diagrammi momento/curvatura (o momento/rotazione) necessitano di una taratura e del calcolo preliminare dei momenti plastici delle sezioni e delle corrispondenti rotazioni o curvature. Tale calcolo preliminare può essere eventualmente condotto attraverso una schematizzazione a fibre delle sezioni di uso più comune. Se KH e KB sono le rigidezze estensionali o flessionali della cerniera plastica e della beam in serie, UH e UB gli spostamenti della cerniera e della beam e F e U=UH+UB la forza e lo spostamento di estremità, si ha: K HU H = F

e

Se KH>>KB è K≈KB

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K BU B = F

per cui:

K=

KH KB = KH + KB

KB KH = K K 1+ B 1+ H KH KB

Se viceversa KB>>KH è K≈KH

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I-25

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

La prima condizione si verifica nel tratto a funzionamento lineare dell’elemento composto, assegnando la lunghezza LH della cerniera molto più piccola della lunghezza LB della beam. La seconda condizione si verifica nel tratto plastico, assegnando alla cerniera moduli tangenti sufficientemente piccoli rispetto al modulo elastico della beam lineare. Ad esempio, nel caso della rigidezza flessionale, le rigidezze dei due componenti sono proporzionali a: ( EI ) B ( EI ) H KB ≡ KH ≡ e: LB LH Perché la prima condizione sia rispettata, nel tratto a comportamento elastico è sufficiente L assegnare a beam e cerniera uguali moduli (EI)B=(EI)H e se LH = B sarà K H = 100 K B . 100 Nel caso in esame è LB=3000mm, per cui LH=30mm. Perché sia verificata con lo stesso rapporto la seconda condizione nel tratto plastico della cerniera, deve essere ( EI ) tH , cioè ( EI ) tH = 10 −4 ( EI ) B = 10 −4 ( EI ) H . K B = 100 K Ht = 100 LH In altre parole, se il tratto perfettamente plastico con pendenza (EI)tH del diagramma momento curvatura ha pendenza inferiore a 1/10000 della pendenza iniziale l’errore commesso è trascurabile e della stessa entità di quello introdotto nel campo a comportamento lineare. Nel caso in esame, è E=2.1⋅105 MPa e Iz=6.848⋅107 mm4, per cui (EI)B=(EI)H=1.4381⋅1013Nmm2 e (EI)tH=1.4381⋅109Nmm2. Il momento plastico della sezione è MPL=1.96⋅108Nmm. Nel caso D il parametro relativo al modulo di inerzia Iz della sezione di tipo 0 è sostituito con il valore –1. per identificare il set n.1 del materiale della cerniera da utilizzare per la componente di rotazione attorno a z. Per tutte le altre direzioni saranno invece utilizzati i parametri e il materiale assegnati per la sezione (in questo caso è assegnato il materiale n.2 lineare della trave). Il materiale n.1 assegnato per la componente attorno a z è di tipo 12 (diagramma momento-curvatura) definito con 2 punti, come riassunto nella figura seguente. Ovviamente, nel caso più generale il diagramma momento-curvatura della cerniera a plasticità concentrata avrà più pendenze, comprese tra quella iniziale del comportamento elastico e quella nulla. Inoltre, agendo sia sulla lunghezza della cerniera sia sul modulo elastico iniziale e attraverso la verifica delle curvature corrispondenti, sarà l’utente a decidere se la cerniera deve ruotare fin dall’inizio oppure diventare attiva solo in un secondo momento.

M 8

MPL=1.96⋅10

2

EI= 1.4381⋅1013 1.3629⋅10-5

κ

1

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I-26

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Caso D – 2 Elementi Lineari + 3 Cerniere Momento-Curvatura con Sezione Globale di L=30 mm

Caso E – 2 Elementi Lineari + 3 Cerniere Momento-Rotazione con Sezione Globale

Il file BeamNL02E.dat è del tutto uguale a BeamNL02D.dat, con l’unica variante rappresentata dal tipo 13 del materiale n.1 e dalle ascisse del diagramma del materiale

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I-27

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

che risultano moltiplicate per LH=30mm, in quanto rappresentano rotazioni φ=κ⋅LH. La lunghezza LH non è di fatto utilizzata dal programma ma è impiegata esternamente dall’utente per definire la rigidezza della cerniera. Il grafico spostamento-fattore di carico risulta uguale a quello del precedente esempio. Al limite elastico, per λ=2.2827 lo spostamento di mezzeria risulta: 1) Formula Classica (senza deformazione a taglio): 2) Elemento Beam Lineare Tipo 0: 3) Elemento Beam a Fibre con 6 strati :

Uy=-3.3482 mm Uy=-3.7457 mm Uy=-3.8687 mm

Rif.: D.R.J Owen – E. Hinton – Finite Elements in Plasticity – Theory and Practice – Pineridge Press, 1980 – pp.148-150.

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I-28

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

II.3 - BEAMNL03 – PushOver Asta Incastrata con Sezione a Fibre in C.A.

Caratteristiche del Problema In questo test è riprodotto l’Example 3 descritto nel manuale Examples Manual di OpenSees. Opensees è una libreria Open Source messa a punto dal Pacific Earthquake Engineering Research Center dell’Università di Berkeley. Pur non essendo un programma adatto all’utente finale o all’utilizzo di routine ma piuttosto rivolto alla ricerca, esso costituisce proprio per questo una fonte autorevole e indipendente per il confronto delle analisi sismiche statiche e dinamiche di strutture in c.a. e acciaio. L’esempio ha lo scopo di verificare i risultati di una tipica analisi pushover utilizzando un solo elemento verticale soggetto a peso proprio nella prima condizione di carico e ad una forza laterale crescente in modo monotono nella seconda condizione di carico. Per questo esempio di base la sezione è schematizzata a fibre ed è costituita da calcestruzzo e armatura. L’esempio originale utilizza unità di misura inglesi che qui sono convertite al sistema metrico. In particolare, le forze sono espresse in Newton e le lunghezze in metri.

Y y FY FX

0.127 m

2

20x0.00145161 m2

1.524 m

z

10.9728 m

0.127 m x

1.524 m

1 y

X

Lcol = 36 ft = 10.9728m Hcol = Bcol = 5ft = 1.524m Ccol = 5in = 0.127m Barea = 2.25in2 = 0.00141561 m2 FY = -2000kip = -8.896⋅106 N FX = 100kip = 0.4448⋅106 N fcc = 4ksi = 0.275777⋅108 N/m2 εcc = 0.003 Ec0 = 2fcc/εcc fcu = 0.2fcc εcu = 0.01 Et0 = Ec0 ft0 = 0.14fcc ftu= 0. εtu = 10εcu Es0 = 29000ksi = 2⋅1011 N/m2 σy = 66.8ksi = 0.460547 N/m2 Est = 0.01 Es0

Schematizzazione della Struttura La sezione di calcestruzzo è suddivisa in 16 fibre in direzione locale z e 4 fibre in direzione locale y. L’armatura doppia simmetrica è suddivisa in 20 barre per parte. In totale sono quindi utilizzate 104 fibre. Questa è la sezione n.3 del file Beam.SEC ed è descritta con tre componenti. Il calcestruzzo (non confinato) è schematizzato col materiale n.1, di tipo 1 e sottotipo 10, resistente anche a trazione. La curva caratteristica σ-ε coincide con quella del rif.. L’acciaio è schematizzato col materiale n.2, di tipo 1 e sottotipo 1. Nel rif. è utilizzato il

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I-29

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

modello di Menegotto-Pinto, ma per carichi non ciclici l’unica differenza è costituita dal raccordo tra il tratto elastico ed il ramo plastico. OpenSees non considera le deformazioni a taglio, e queste sono soppresse nel file dati. Se si desidera inserirle, è necessario attivare le caratteristiche globali a taglio/torsione della sezione n.1 e il modulo elastico trasversale G del materiale n.1. Nella linea B1 del modulo BEAM è attivato il parametro MATPAR(2)=1 e contemporaneamente è posto ETMIN=1⋅10-6. Questo inibisce l’uso di moduli tangenti negativi nel ramo di softening del calcestruzzo e consente di prolungare la soluzione per valori maggiori di deformazione. Per i parametri di soluzione nonlineare della linea C2 sono adottati i valori di default, tranne per KDIVE a cui è assegnato il valore 10 e a KRELC a cui è attribuito il valore 2. Per le strutture a telaio con elementi beam con sezioni costituite da calcestruzzo e acciaio, i vari test eseguiti sembrano indicare che la strategia di soluzione più opportuna sia la seguente. Il valore di default delle iterazioni di equilibrio per ciclo (NEQIT=20) è generalmente sufficiente, ma durante la formazione delle cerniere plastiche e la conseguente variazione di rigidezza potrebbe essere necessario aumentare questo valore a 25 o 30. L’abbandono del substep e la sua ripetizione riducendo l’incremento di carico non è infatti molto efficace. E’ invece più utile estendere il valore di default del numero di episodi consecutivi di divergenza (KDIVE=3) al valore NEQIT/2 e ridurre il numero di tentativi di default (KATTP=3) a due soli. Spesso infatti durante questi passaggi la velocità di convergenza è piccola, indipendentemente dalla variazione di carico applicata. Il valore delle norme (forze, energia, ecc.) può infatti aumentare, ma la differenza tra le iterazioni successive può essere in diminuzione. La strategia precedente permette quindi che metà delle NEQIT iterazioni possano essere utilizzate prima di abbandonare il ciclo, lasciando l’altra metà delle iterazioni disponibili per il raggiungimento della convergenza. Riassumendo, per questa tipologia di strutture è consigliabile l’adozione della seguente serie di parametri: NEQIT=30; KDIVE=15; KATTP=2; KRELC=2.

Analisi dei Risultati L’elemento a fibre di Opensees, per quanto si deduce dalla documentazione disponibile, è piuttosto simile a quello implementato nel Microsap. Anche l’esempio risolto con OpenSees impiega un solo elemento con 5 punti di integrazione. OpenSees non utilizza espressamente il fattore di carico, ma può produrre un output contenente le forze esterne applicate e gli spostamenti nodali. La prima figura è tratta dal manuale OpenSees. Gli altri diagrammi mostrano i risultati Microsap. Per facilità di confronto il carico laterale unitario è assegnato pari a 100kip. Nel file BeamNL03A.dat è impiegato il criterio di default su forze e momenti. Il caso B (BeamNL03B.dat) è uguale al precedente, ma il valore DLMAX della linea C3 è amplificato di un fattore 10, con cui è ottenuta una soluzione più rapida ma anche più rada (sono contrassegnati i substep di soluzione). Il caso C (BeamNL03C.dat) è come il caso A, ma la soluzione è estesa quanto più possibile. Per ottenere questo si fissa a 10.0 il valore limite dello spostamento del punto di controllo e si rilasciano i criteri di convergenza in condizioni di singolarità adottando il valore KRELC=5. Nell’ultimo diagramma è riprodotto il fattore di rigidezza in funzione dello spostamento del punto di controllo. Si può notare come, per spostamenti superiori a 0.24

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I-30

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

(spostamento al picco λmax) la matrice di rigidezza si mantiene prossima alla condizione di singolarità (Kfac≈0).

OpenSees Example 3 – Pushover – Diagramma Forza-Spostamento del Nodo N.2

Microsap - Caso A – Diagramma Forza-Spostamento del Nodo N.2

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I-31

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Microsap - Caso B – Diagramma Forza-Spostamento del Nodo N.2

Microsap - Caso C – Diagramma Forza-Spostamento del Nodo N.2

Microsap Rel.11.0

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I-32

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Microsap - Caso C – Diagramma Fattori di Carico-Spostamento del Nodo N.2

Si deve tenere presente che la scala delle ordinate del diagramma Opensees è 100 volte quella dei diagrammi Microsap. Inoltre, nel diagramma OpenSees le ascisse sono espresse in pollici mentre nei diagrammi Microsap gli spostamenti sono in metri. Le differenze tra i risultati non sono significative. Questo è anche evidenziato dalla tabella seguente, che riporta i risultati numerici convertiti nelle stesse unità e relativi a soluzioni del tratto plastico, in cui le differenze di comportamento dovrebbero essere più evidenti. I risultati Microsap sono tratti dall’output ASCII del file monitor .MNT del caso A. I risultati OpenSees sono letti dal file Dfree.out prodotto dall’esecuzione dei file Ex3.Canti2D.build.InelasticFiberSection.tcl (costruzione del modello) e Ex3.Canti2D.analyze.Static.Push.tcl (esecuzione dell’analisi) con la rel.2.1.0. Lambda 4.6528 4.7391 4.8742

Spostamento (m) 0.12069 0.14258 0.21978

Lambda 4.6683 4.7067 4.8744

Risultati Microsap

Spostamento (m) 0.12070 0.13167 0.23043

Risultati OpenSees

Rif.: OpenSees Examples Manual – http://opensees.berkeley.edu

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I-33

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

II.4 - BEAMNL04 – PushOver Telaio Piano con Sezioni a Fibre in C.A.

Caratteristiche del Problema E’ riprodotto l’Example 4 descritto nel manuale Examples Manual di OpenSees. Si tratta di un telaio piano, con gli elementi verticali a comportamento nonlineare simili a quelli già visti nell’esempio precedente e con l’elemento orizzontale a comportamento lineare. Gli elementi verticali sono incernierati alla base. La prima condizione di carico è costituita da un carico verticale ripartito su tutta la lunghezza della trave. Nella seconda condizione di carico è aggiunto un carico orizzontale unitario di 100 kip, suddiviso in parti uguali sui due nodi dell’architrave e gradualmente crescente fino al collasso. La sezione del pilastro è uguale a quella dell’esempio precedente, tranne per il fatto che le barre di armatura sono 10 per parte, il copriferro è di 6in e la deformazione ultima del calcestruzzo è εcu=0.05. La trave ha sezione di tipo globale generica 8x5ft e modulo elastico Ec assegnato. Y FY

FX

y

FX 4

3

0.1524 m 10x0.00145161 m2

10.9728 m

1.524 m

z

x

0.1524 m X

1 y

2

12.8016 m

Lcol = 36 ft = 10.9728m Hcol = Bcol = 5ft = 1.524m Ccol = 6in = 0.1524m Barea = 2.25in2 = 0.00141561m2 Lbeam = 42 ft = 12.8016m Hbeam = 8ft = 2.4384m Bbeam = 5 ft = 1.524m FY = -2000kip = -8.896⋅106 N FX = 50kip = 0.2224⋅106 N

1.524 m fcc = 4ksi = 0.275777⋅108 N/m2 εcc = 0.003 Ec0 = 2fcc/εcc fcu = 0.2fcc εcu = 0.05 Et0 = Ec0 ft0 = 0.14fcc ftu= 0. εtu = 10εcu Es0 = 29000ksi = 2⋅1011 N/m2 σy = 66.8ksi = 0.460547 N/m2 Est = 0.01 Es0

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

Ec = 3605 ksi = 2.48544⋅1010 N/m2

2.4384 m

1.524 m

I-34

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Schematizzazione della Struttura La sezione a fibre del pilastro è descritta nella sezione n.4 del file Beam.SEC. Il calcestruzzo (non confinato) è schematizzato col materiale n.1, di tipo 1 e sottotipo 10, resistente anche a trazione. L’acciaio è schematizzato col materiale n.2, di tipo 1 e sottotipo 1. La sezione della trave è la sezione n.2, di tipo 0. Il materiale elastico della trave è il materiale n.3. OpenSees non considera le deformazioni a taglio, e queste sono soppresse nel file dati. Il carico verticale sulla trave è introdotto come carico uniformemente ripartito lungo tutta la lunghezza della trave, come nel rif.. Nella linea B1 del modulo BEAM è attivato MATPAR(2)=1 con un valore ETMIN=1⋅10-6. Questo inibisce l’uso di moduli tangenti negativi nel ramo di softening del calcestruzzo e consente di prolungare la soluzione per valori maggiori di deformazione. La sezione a comportamento nonlineare è infatti armata e l’acciaio contribuisce alla resistenza globale per alti valori di deformazione. Non esiste quindi ragione di introdurre il contributo del calcestruzzo con moduli tangenti negativi: il rispetto dei valori di sforzo sulla curva reale è garantito dalle iterazioni di equilibrio eseguite dalla procedura di soluzione nonlineare.

Analisi dei Risultati La soluzione nonlineare è ottenuta in modo simile a quella dell’esempio precedente, con il file dati BeamNL04A.dat. Nella figura seguente è riprodotto il diagramma forzaspostamento relativo al nodo n.3 tratto dal manuale di OpenSees e nella figura successiva il risultato del Microsap. Con i valori di tolleranza di default può risultare impossibile lo studio del meccanismo di collasso. Il programma consente perciò di applicare un rilascio graduale dei criteri di convergenza in prossimità delle condizioni di singolarità. Per il caso in esame è sufficiente assegnare, nella linea C2, KRELC=2 per ottenere la soluzione completa con i parametri di convergenza di default. Inoltre, come nell’esempio precedente, si pone KDIVE=10. Il caso B (BeamNL04B.dat) è come il caso A, ma la soluzione è estesa quanto possibile, modificando solamente il valore limite dello spostamento del punto di controllo e assegnando KRELC=5.

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-35

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

OpenSees Example 4 – Pushover – Diagramma Forza-Spostamento del Nodo N.3

Microsap – Caso A – Diagramma Forza-Spostamento del Nodo N.3

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-36

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Microsap – Caso B – Diagramma Forza-Spostamento del Nodo N.3

L’esempio Opensees è eseguito con i file Ex4.Portal2D.build.InelasticFiberSection.tcl (costruzione del modello) e Ex4.Portal2D.analyze.Static.Push.tcl (esecuzione dell’analisi), che fanno anche uso dei file di definizione LibUnits.tcl e LibAnalysisStaticParameters.tcl.

Rif.: OpenSees Examples Manual – http://opensees.berkeley.edu

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-37

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

II.5 - BEAMNL05 – PushOver Telaio 3D con Sezioni a Fibre in C.A.

Caratteristiche del Problema Questo è l’Example 7 dell’Examples Manual di OpenSees. La struttura è composta da due telai principali a tre piani e una campata, connessi attraverso travi di collegamento. Tutte le membrature hanno comportamento nonlineare e sezioni rettangolari a fibre di calcestruzzo confinato, non confinato e armatura. Sui nodi alla base sono definiti vincoli di cerniera, come nel rif., ma lo stesso esempio è anche risolto assegnando la condizione di incastro perfetto. Per gli impalcati è utilizzata l’opzione di piano rigido. La prima condizione di carico è costituita dal peso proprio. Nella seconda condizione di carico è aggiunto un carico laterale proporzionale alle masse di piano e alla quota. Il carico totale di riferimento (taglio alla base) è assunto pari a 100 kip, per rendere immediatamente confrontabile il diagramma fattore di carico-spostamento con quello del rif. Tale carico è fatto crescere gradualmente fino al collasso. In effetti nel rif. Il valore limite di spostamento del punto di controllo è assunto pari al 10% dell’altezza dell’edificio, per ragioni di difficoltà di convergenza per alti valori di spostamento laterale. Nel Microsap non si notano difficoltà fino al 50% dell’altezza, anche se è adottato il valore del rif. Questo perché la soluzione per valori elevati di spostamento si discosterebbe comunque dal comportamento reale, anche solo per il fatto che essa è ottenuta nell’ipotesi di piccoli spostamenti e deformazioni. 15

7

FX3

23

24

19

5 15

14

5

FX2

21

13

6

22

9

FX1

19

Y

Bar Bcol

4 10

y 20

17

2

Cover

12

16

2

1

Lcol

z

4

13

3

1

Hcol

14

17

11

6

12

18

3

Cover

16

18

11

y

8

X

7

8

Hbeam

z

Lgird

Z

10

9

Bar

Lbeam

Microsap Rel.11.0

Bbeam

Manuale Esempi Test

I-38

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam Lcol = 12 ft = 3.6576m Lbeam = 20ft = 6.0960m Lgird = 20ft = 6.0960m Hcol = 28in = 0.7112m Bcol = 28in = 0.7112m Hbeam = 24in = 0.6096m Bbeam = 18in = 0.4572m Cover = 2.5in = 0.0635m Bar = 1.00in2 = 0.00064516m2 γconcr = 150 lb/ft3 = 23562 N/m3 qcol = γconcr⋅Hcol⋅Bcol = 11918 N/m qbeam = γconcr⋅Hbeam⋅Bbeam + + γconcr⋅0.1524⋅Lgird/2 = 17512 N/m qgird = γconcr⋅Hbeam⋅Bbeam = 6567 N/m W1 = 4⋅qcol⋅Lcol+2⋅qbeam⋅Lbeam+ +2⋅qgird⋅Lgird = 467936N W2 = W1 = 467936N W3 = W1-2⋅qcol⋅Lcol = 380754N

Calcestruzzo non confinato:

Calcestruzzo confinato:

fcc = 4ksi = 0.275777⋅108 N/m2 εcc = 0.003 Ec0 = 2fcc/εcc fcu = 0.2fcc εcu = 0.01 Et0 = Ec0 ft0 = 0.14fcc ftu= 0. εtu = 10εt0

K=1.3 fcc = 5.2ksi = 0.358510⋅108 N/m2 εcc = 0.003 Ec0 = 2fcc/εcc fcu = 0.2fcc εcu = 0.06 Et0 = Ec0 ft0 = 0.14fcc ftu= 0. εtu = 10εt0

Fxi = (Wi⋅Hi/ΣWiHi)⋅Fref

Acciaio armature:

Fref = 100kip = 0.4448⋅106 N Fx1 = 0.1838⋅Fref Fx2 = 0.3676⋅Fref Fx3 = 0.4486⋅Fref

Es0 = 29000ksi = 2⋅1011 N/m2 σy = 66.8ksi = 0.460547 N/m2 Est = 0.01 Es0

Schematizzazione della Struttura Gli elementi della struttura sono costituiti da pilastri (column), travi principali (beam) e cordoli di collegamento (girder). Questi ultimi hanno la stessa sezione delle travi principali. Le travi principali sono caricate dal peso dell’impalcato, considerato costituito da una soletta in calcestruzzo di spessore 6in=0.1524m. Seguendo l’esempio del Rif., il peso proprio è introdotto come carico ripartito (qcol, qbeam, qgird) sugli elementi. Il peso totale del primo e secondo piano (W1, W2) è la somma dei pesi di 4 pilastri, 2 travi e 2 cordoli. Il peso totale del terzo piano (W3) è come W1, ma comprende solo 4 mezzi pilastri. Il peso dei 4 mezzi pilastri alla base non compare, essendo sopportato dai vincoli. Le forze sismiche orizzontali sono quindi calcolate ripartendo la forza totale Fref proporzionalmente ai pesi di piano e alle quote H1, H2, H3 dei piani. Esse sono applicate in direzione X sui nodi master e il punto di controllo può essere assunto coincidente col master dell’ultimo impalcato. L’analisi è interrotta quando il valore di spostamento raggiunge il valore limite di 1 metro. La sezione a fibre del pilastro è descritta come sezione n.5 del file Beam.SEC. La sezione a fibre delle travi principali e dei cordoli è descritta nella sezione n.6. Le sezioni sono costituite da 3 diversi materiali. Il copriferro (cover) è composto da 4 aree quadrangolari di calcestruzzo non confinato, mentre il nucleo centrale è descritto con un’area rettangolare di calcestruzzo confinato. Il nucleo centrale è suddiviso in 400 aree elementari (20x20), mentre ciascuna area di copriferro è suddivisa in 40 aree elementari (20*2). Infine, l’armatura è introdotta ripartendo le aree di ferro nelle diverse file. In totale la sezione dei pilastri è suddivisa in 582 aree mentre la sezione delle travi risulta suddivisa in 574 aree. Il calcestruzzo non confinato è schematizzato col materiale n.1, di tipo 1 e sottotipo 10, resistente anche a trazione. Il calcestruzzo confinato è introdotto allo stesso modo, come materiale n.2, considerando come nel rif. un coefficiente K=1.3 (v. manuale d’uso),

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-39

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

anziché sfruttare la possibilità (offerta dal sottotipo 11), di definire esplicitamente i parametri di confinamento. L’acciaio è schematizzato col materiale n.3, di tipo 1 e sottotipo 1. OpenSees non considera le deformazioni a taglio, e queste sono soppresse nel file dati. Nelle linee B1 del modulo BEAM è attivato MATPAR(2)=1 con un valore ETMIN=1⋅10-6, come nel precedente esempio test. L’analisi pushover è eseguita utilizzando quasi sempre i valori di default dei parametri delle linee C2-C8 di SOLVE del secondo step di carico. In particolare, sono adottati i valori di default per i criteri di forza/momento e spostamento/rotazione (linee C4 e C5), ma sono leggermente rilasciate le tolleranze in prossimità della condizione di collasso, fornendo il parametro KRELC=2 nella linea C2 e assegnando KDIVE=10. Questo consente di prolungare l’analisi oltre la condizione di singolarità senza eccessive difficoltà.

Analisi dei Risultati La soluzione nonlineare relativa al pushover nelle condizioni del rif. è ottenuta con il file dati BeamNL05A.dat. Nella figura seguente è riprodotto il diagramma forza-spostamento tratto dal manuale di OpenSees e relativo al punto di controllo ubicato sull’ultimo impalcato. Le figure successive è riassumono il risultato calcolato col Microsap. E’ incluso il diagramma delle norme di forza e momento calcolate ad ogni iterazione, rispetto ai valori dei criteri imposti con la linea C4 e modificati con KRELC. E’ anche riprodotto l’andamento del Fattore di Rigidezza, il cui valore è unitario in campo lineare e tende a zero in prossimità della condizione di singolarità (collasso della struttura – v. Manuale d’Uso).

OpenSees Example 7 – Pushover – Diagramma Forza-Spostamento del piano n.3

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-40

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Microsap – Caso A - Diagramma Forza-Spostamento del nodo master n.19

Microsap – Caso A - Avanzamento della Soluzione Nonlineare – Diagramma Valori Criteri e Norme

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-41

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Microsap – Caso A - Avanzamento Soluzione Nonlineare – Diagramma del Fattore di Rigidezza

Il file BeamNL05B.dat Caso B) è simile al precedente, tranne per l’unica variante costituita dalle condizioni di vincolo, con incastro perfetto dei nodi di base. Il diagramma forzaspostamento in questa situazione si modifica come rappresentato nella figura seguente.

Microsap – Caso B - Diagramma Forza-Spostamento del nodo n.19 con incastro perfetto alla base

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-42

Elemento Tipo 2 – Nonlinear Beam

Il file BeamNL05C.dat (Caso C) è come il caso A, ma la soluzione è spinta oltre lo spostamento 10.0 del punto di controllo. Il diagramma forza-spostamento è rappresentato nella figura seguente.

Microsap – Caso C - Diagramma Forza-Spostamento del nodo master n.19

L’esempio Opensees è eseguito con i file Ex7.Frame3D.build.RCsec.tcl (costruzione del modello) e Ex7.Frame3D.analyze.Static.Push.tcl (esecuzione dell’analisi), che fanno anche uso dei file LibUnits.tcl, LibMaterialsRC.tcl, BuildRCrectSection.tcl, DisplayPlane.tcl, DisplayModel3D.tcl e LibAnalysisStaticParameters.tcl.

Rif.: OpenSees Examples Manual – http://opensees.berkeley.edu

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-43

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III ELEMENTO TIPO 6 NONLINEAR SHELL

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-44

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-45

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.1 - SHELLNL01 – Membrana Rettangolare in Trazione

Caratteristiche del Problema Questo esempio ha lo scopo di verificare il corretto funzionamento della parte membranale dell’elemento shell con materiale nonlineare e per un caso di carico semplice di trazione. La struttura, rappresentata in figura, è una lamina piana rettangolare a spessore costante e sezione omogenea. La curva caratteristica del materiale è di tipo bilineare elasticoperfettamente plastico. Si fa comunque notare che attualmente il programma non tiene conto di deformazioni plastiche residue allo scarico, e la curva del materiale è ripercorsa nei due sensi, qualunque siano i livelli di deformazione raggiunti negli step di carico precedenti. Non sono quindi implementati situazioni di carico ciclico che superino il livello di snervamento, ma solo sollecitazioni di tipo monotono. Nell’esempio il carico è incrementato fino a superare il livello di snervamento. Nella attuale release di test, oltre al materiale elastico, è implementato solamente un tipo di materiale nonlineare, la cui curva Sforzi-Deformazioni è assegnata per punti e che utilizza come criterio di resistenza il calcolo di una deformazione equivalente coincidente con la Epsilon di von Mises (εEQV=εMIS). La deformazione εEQV consente di ricavare un livello di confronto tra lo stato biassiale di deformazione nella struttura e lo stato di riferimento della curva caratteristica del materiale, di solito relativo ad una prova di trazione uniassiale. Nota εEQV è quindi possibile, dal diagramma assegnato, ricavare lo stato di sforzo σEQV corrispondente e i moduli elastici tangente e secante dello step iterativo (lo step iterativo è una soluzione lineare), sempre riferiti al caso uniassiale. Con queste informazioni è infine possibile ricavare una matrice elasto-plastica tangente (che consente di risolvere la prossima iterazione) e una matrice elastica secante con cui è possibile calcolare, dagli incrementi di deformazione biassiale i corrispondenti incrementi di sforzo biassiale nella struttura.

y

y 5

10

30

10 2

1 1

55 36 26 16 6

40

26

6

F=10000 51

z

x 1

100

σ σy=500

P1

Microsap Rel.11.0

P2

E = 1.0⋅105 ν = 0.3

0.005

Manuale Esempi Test

ε

I-46

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Si deve tener presente che in questo modello di materiale le caratteristiche meccaniche sono modificate uniformemente in tutte le direzioni. Un secondo punto importante riguarda il fatto che εEQV è una quantità sempre positiva e che quindi la curva caratteristica del materiale può essere descritta solo per valori ε e σ positivi. In questo caso la curva σ-ε del materiale è assegnata con due soli punti: il primo punto coincidente con l’origine degli assi e il secondo punto che rappresenta il limite di snervamento a εy=0.005 cui corrisponde lo sforzo σy=E⋅εy=500 (punto P2). Per provocare lo snervamento dell’intera sezione occorre applicare una forza di intensità pari a Fy=σy⋅A=500⋅10⋅1=5000. Questo è anche il carico teorico massimo che la struttura è capace di reagire. Per mostrare alcune attuali caratteristiche del programma, si tenta invece di applicare un carico di 10000. Ovviamente, con la curva di materiale assegnata, a F=5000 la struttura diventa labile, non essendovi nessun’altra membratura capace di contrastare il carico esterno. Raggiunto il fattore di carico 0.5, un qualunque ulteriore incremento produrrebbe spostamenti infiniti. Attualmente tuttavia, l’estrapolazione della curva del materiale oltre i punti estremi è effettuata non con pendenza nulla bensì assegnando un modulo pari a 1⋅10-6E0, essendo E0 il modulo elastico del tratto iniziale (che dovrebbe coincidere o essere dello stesso ordine di grandezza dei moduli elastici Ex e Ey). In questo modo, se gli incrementi di carico non sono eccessivi, potrebbe essere trovata una soluzione anche sul tratto orizzontale della curva carico-spostamento. In caso contrario il programma tenterebbe di ridurre il carico per avvicinarsi quanto più alla situazione di instabilità, senza possibilità di superarla. L’assegnazione di una piccola pendenza rende invece visivamente manifesto il superamento di tale condizione anche in strutture particolari, in quanto all’ultima soluzione corrispondono valori abnormi di spostamento. Si fa notare che spostamenti, sforzi e deformazioni di questa soluzione limite corrispondono generalmente ad uno stato non reale, che viola l’ipotesi iniziale di piccole deformazioni.

Schematizzazione della Struttura Si suddivide la struttura in 40 elementi Shell e 55 nodi. Nel file SHELLNL01.DAT si attiva solamente la parte membranale e si utilizza l’elemento di default. Di conseguenza sono soppressi gli spostamenti Uz e le rotazioni Rx e Ry in tutti i nodi. Gli spostamenti Ux dei nodi sull’estremo sinistro sono vincolati. Il moto rigido in direzione Y è soppresso col vincolo Uy=0 sul nodo n.1, per cui la struttura è libera di dilatarsi in questa direzione. Si noti che, per ragioni di sicurezza e per permettere la rilevazione di errori nel modello, nel primo incremento di carico la struttura non può essere instabile e l’analisi è terminata con un messaggio di errore, che denota vincoli insufficienti o step di carico troppo elevati. Nella struttura in esame è utilizzato un solo step di carico e la forza totale sull’estremo libero può essere introdotta suddividendola sui cinque nodi, oppure può essere assegnata sul nodo n.53 mentre ai nodi 51,52,54,55 è attribuito il vincolo di accoppiamento che stabilisce lo stesso spostamento Ux su tutto il lato dell’estremità destra. Il calcolo nonlineare è eseguito con i parametri standard, ma è disattivato il controllo di convergenza sugli spostamenti, che di solito risulta ridondante. In questo caso particolare infatti non siamo interessati a raggiungere una grande precisione sul tratto orizzontale della curva carico-spostamento, in cui a piccoli incrementi di carico corrispondono grandi incrementi di

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-47

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

spostamento. E’ comunque attivato il check sullo spostamento del punto di controllo situato sul nodo n.53: l’analisi è interrotta al superamento del valore 10.

Analisi dei Risultati Oltre al punto di controllo, sono monitorati i risultati nodali e di elemento sul nodo n.28 in mezzeria (nodo I dell’elemento n.26).

F

ux53

ux28

Tx28

εx28

σx28

2000 4000 5000 6000

0.20006 0.40013 0.50016 48772.

0.10003 0.20006 0.25008 24386.

200.00 400.00 500.00 600.01

0.0020 0.0040 0.0050 486.77

200.00 400.00 500.00 600.00

Il file SHELLNL01A.DAT è simile al precedente, con l’unica variante costituita dal metodo path-following invece del metodo di controllo delle forze. I risultati sono analoghi, ma l’ultima soluzione è trovata per un fattore di carico λ=0.55.

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I-48

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.2 - SHELLNL02 – Membrana con Sezione Multistrato

Caratteristiche del Problema La geometria della struttura è simile a quella dell’esempio precedente e il problema è sostanzialmente lo stesso visto in TRUSSNL01. La sezione della shell è costituita da uno strato centrale di spessore 0.1 di materiale a comportamento nonlineare che arriva a rottura al superamento di una deformazione limite assegnata e da due lamine esterne, ciascuna di spessore 0.05 e costituite da materiale a comportamento lineare su tutto il campo esaminato. Le sezioni e le forze in gioco sono le stesse viste per TRUSSNL01.

y

y 10

5

30

10 2

1 1

40

26

6

0.05

55 36 26 16 6

F=1200 51

x

0.1 z

100

σ 500 190

P3

P4

P2

E1=1.0⋅104 MPa P5

P1

0.001

0.01

0.05

ε

Schematizzazione della Struttura La struttura è descritta nel file SHELLNL02.DAT, analogo a SHELLNL01.DAT, ma con il materiale utilizzato in TRUSSNL01. La sezione è assegnata come multistrato simmetrico, per cui lo strato centrale si deve immaginare suddiviso in due parti: i due strati assegnati in input sono in effetti gli strati n.3 e n.4.

Analisi dei Risultati I diversi risultati possono essere ricavati con le apposite funzioni della DLL (API), oppure dal file .MNT, con ripetute esecuzioni variando il parametro OUTMNT nella linea A del modulo SHELL. La tabella seguente riassume i risultati principali e può essere confrontata

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Manuale Esempi Test

I-49

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

con quella relativa all’esempio TRUSSNL01. Nella tabella, le colonne n.1 e n.2 evidenziano il valore di carico applicato e il fattore di carico. Le colonne n.3 e n.4 riportano la deformazione e lo sforzo assiale del materiale n.1, letti in corrispondenza del nodo I dell’elemento n.26, strato n.1. Le colonne n.5 e n.6 contengono i risultati per il materiale n.2, strato n.2. Infine, l’ultima colonna riporta lo spostamento assiale del punto di controllo n.53. Si noti che rispetto a TRUSSNL01 gli spostamenti risultano 10 volte maggiori in quanto la lunghezza della lamina è 10 volte maggiore della lunghezza dell’asta.

F

λ

εx1

σx1

εx2

σx2

ux53

100 200 600 1000 1200

0.0833 0.1667 0.5000 0.8333 1.0000

0.0005 0.0010 0.0100 0.1008 0.1208

5.00 10.00 100.00 1008.00 1208.00

0.0005 0.0010 0.0100 0.1014 0.1214

95.00 190.00 500.00 0.00 0.00

0.050 0.100 1.003 10.08 12.08

La tabella si presta a diverse considerazioni. Come si può notare, le differenze più evidenti tra la schematizzazione con un unico truss e con gli shell esistono quando si è prossimi al valore di carico 1000 (λ=0.8333) che provoca il cedimento del materiale n.2. Nel truss questo limite è netto, essendo determinato da un solo elemento che ha un unico punto di integrazione. Nel modello a shell la struttura è rappresentata in 3D: l’elemento ha due dimensioni sul suo piano e uno spessore. Lo stato del materiale entro ogni elemento è rilevato quindi in diversi punti del suo piano e dello spessore, la cui posizione non coincide con quella dei nodi. Su ogni punto di integrazione lo stato del materiale è determinato dal valore di un parametro (Deformazione Equivalente εEQV) a sua volta dipendente dalle componenti di deformazione biassiale. Il valore ultimo di cedimento del materiale non avviene istantaneamente su tutti i punti di tutti gli elementi. Rispetto al modello semplificato a truss, c’è quindi da attendersi un passaggio graduale tra i due stati. Sicuramente la perdita totale del materiale n.2 avviene per F=1000 o poco oltre, essendo questo il limite di resistenza dell’intera sezione del materiale n.2. Ma il fenomeno inizia certamente ad un carico inferiore, in quanto le deformazioni non sono uniformi ma variano localmente, potendo raggiungere dei picchi in prossimità di spigoli, vincoli, carichi. Il cedimento del materiale è evidenziato dalla comparsa di spostamenti elevati. Nel modello a truss il fattore di carico λ=0.8333 è leggermente inferiore al carico limite per il materiale n. 2, per via dei decimali trascurati nell’ampiezza del sottostep assegnata. In questa situazione il materiale è ancora completamente efficiente. Nel modello a shell si può verificare che il materiale è ancora completamente integro per λ=0.8166 (F=980). In tabella il carico F=1000 rappresenta già la situazione di equilibrio raggiunta col materiale n.2 totalmente inattivo. Il file SHELLNL02A.DAT è simile al precedente, ma è risolto col metodo path-following. I risultati sono analoghi, ad eccezione del campo di instabilità tra λ=0.8166 e λ=0.8333, cui corrispondono deformazioni comprese tra εx=0.0500 e εx=0.1000 e spostamenti ux53 compresi tra 5.00 e 10.00. Quando la soluzione supera il valore λ=0.7555 il prossimo substep cade entro il campo di instabilità e la prossima soluzione equilibrata durante la rottura del materiale n.2 si ottiene riducendo il carico. In particolare, il programma trova le soluzioni per λ=0.4906, λ=0.5696, λ=0.6529, λ=0.7362, λ=0.7517. Successivamente sono trovate le soluzioni per λ=0.8350, λ=0.9184 e λ=1.0017 nel nuovo campo di stabilità.

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Manuale Esempi Test

I-50

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.3 - SHELLNL03 – Flessionale con Carico Ripartito

Caratteristiche del Problema La struttura è simile per geometria a quella dei precedenti esempi. Si tratta di una lastra di lunghezza L=100 e larghezza b=10 semplicemente appoggiata sui due lati di estremità e soggetta ad un carico q=p⋅b uniformemente distribuito. La shell ha sezione omogenea di spessore t unitario ed il materiale ha comportamento nonlineare elastico-perfettamente plastico. y y 5

10

30

10 2

1 1

55 36 26 16 6

40

26

6

51

z

x 1

100 σy

σy

σy

z p=0.2 0.075 t

a)

x

b)

c)

100

2

M pL = b 8 pb =

2t 2σ y L2

pa =

pc =

σ

4t 2σ y

σy=500

2

3L

2t 2σ y L2

P2

8(0.075) t 2σ y

E = 1.0⋅105 ν = 0.3

2

−

3 L2

P1

0.005

ε

La sezione è soggetta al diagramma di sforzo di tipo a) fino a quando le fibre di estremità non raggiungono il limite di snervamento σy. Da questo momento in poi la struttura lavora in campo nonlineare. Il caso limite teorico di resistenza b) si raggiunge quando la sezione è totalmente plasticizzata. In effetti questo caso non è contemplato dal programma che, con la sezione omogenea di default può solo raggiungere la situazione c). La ragione è che gli sforzi sono direttamente ricavati dalle deformazioni e dall’ipotesi che la sezione si mantenga piana. Sull’asse neutro perciò la deformazione e quindi lo sforzo deve annullarsi. Al crescere del carico il limite di snervamento è raggiunto su fibre sempre più vicine all’asse neutro. La sezione omogenea di default è suddivisa in 4 strati e gli strati contigui all’asse neutro hanno spessore 0.3⋅t. Poiché l’integrazione è effettuata su quattro strisce equispaziate per strato, il punto di integrazione successivo a quello sull’asse neutro si trova a 0.075⋅t. Si assegna un livello di carico di pressione a fine step p=0.2, pari al

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Manuale Esempi Test

I-51

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

doppio di quello richiesto per raggiungere la situazione limite b), come riassunto nella seguente tabella.

p M/b λ

a

b

0.06667 83.33 0.3333

0.10000 125.00 0.5000

c 0.09925 124.06 0.4963

Schematizzazione della Struttura La struttura è descritta nel file SHELLNL03.DAT. Si attiva solamente la parte flessionale e si utilizza l’elemento di default (DKT). Di conseguenza sono soppressi gli spostamenti Ux e Uy e le rotazioni Rz in tutti i nodi. Sono inoltre vincolati gli spostamenti Uz dei nodi sulle due estremità. Il materiale è quello già utilizzato in SHELLNL01: oltre il punto P2 il diagramma non ha pendenza esattamente nulla, ma prosegue con un modulo Et = 1⋅10-6E0 = 0.1. Questo dovrebbe permettere di trovare soluzioni sul ramo orizzontale della curva caricospostamento. E’ scelto il punto di controllo sul nodo n.28, con spostamento limite di 50 e il monitoraggio dei risultati del nodo I degli elementi 6,16,26,36.

Analisi dei Risultati Il limite elastico è raggiunto per un fattore di carico λ=0.3333 e il limite ultimo di resistenza della sezione, nel caso di comportamento elastico-perfettamente plastico si raggiunge per un fattore di carico λ=0.5. Tuttavia, il limite reale di resistenza è previsto per un fattore di carico λ=0.4963 leggermente inferiore, non essendo fisicamente possibile che sull’asse neutro si raggiunga contemporaneamente lo snervamento per trazione e compressione. Si deve comunque viceversa notare che la situazione di completa plasticizzazione si raggiunge per un fattore di carico superiore a quello previsto, a causa del fatto che gli elementi del modello contigui all’asse hanno una larghezza non trascurabile e che quindi la rigidezza e lo stato del materiale non è quella rappresentativa della mezzeria della trave. Come già detto per l’esempio SHELLNL01, oltre il livello di carico plastico limite approssimativamente raggiunto per λ=0.5, possono essere trovate altre soluzioni per carichi superiori, e con livelli di sforzo superiori a σy, ma con spostamenti Uy elevati. λ

Mxx

εb1

εt1

εb2

εt2

σb1

σt1

σb2

σt2

uz28

0.1000 0.4000 0.5000 0.5200 0.5400 0.5600

24.923 96.878 124.56 124.50 124.50 124.50

0.00149 0.00601 0.00958 0.01156 0.01529 0.02777

0.00089 0.00361 0.00575 0.00694 0.00917 0.01666

0.00089 0.00361 0.00575 0.00694 0.00917 0.01666

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

149.54 559.60 559.60 559.60 559.60 559.60

89.72 362.83 570.47 569.99 569.99 569.99

89.72 362.83 570.47 569.99 569.99 569.99

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-3.0961 -12.438 -17.810 -20.305 -24.455 -36.016

Il file SHELLNL03A.DAT è simile al precedente, ma è risolto col metodo path-following.

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Manuale Esempi Test

I-52

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.4 - SHELLNL04 – Flessionale con Sezione Multistrato

Caratteristiche del Problema La geometria della struttura è uguale a quella dell’esempio precedente, ma la sezione e i materiali sono simili a quelli usati in SHELLNL02, con gli strati invertiti. Nelle figure è rappresentato il diagramma sforzi-deformazioni dei materiali e i tre casi particolari incontrati durante l’applicazione del carico uniformemente distribuito. Per definizione la sezione si mantiene piana e il diagramma di deformazione è lineare e continuo e si annulla sull’asse neutro. Il diagramma di sforzo sulla sezione è invece discontinuo. I materiali rimangono in campo lineare fino a che sulle fibre esterne degli strati di superficie non si raggiunge il limite elastico (materiale nonlineare, in rosso). Le deformazioni e i diagrammi di sforzo sono rappresentati dal caso a). Il corrispondente momento resistente per unità di lunghezza (M/b) della sezione è di 73.95833 e perché esso si raggiunga in mezzeria della trave è necessario un valore di pressione pari a 0.059167. All’aumento del carico lo sforzo sulle fibre esterne rimane costante, mentre sulle fibre interne dello strato non lineare lo sforzo cresce fino al caso b), in cui gli strati esterni sono totalmente plasticizzati. Da questo punto in poi il diagramma di sforzo degli strati esterni non cambia, mentre sullo strato interno gli sforzi continuano a crescere indefinitamente. Nella situazione c) le fibre esterne dello strato centrale raggiungono il valore di sforzo di snervamento del materiale nonlineare. L’analisi è effettuata fino al valore finale di pressione di 0.1, sufficiente a comprendere il caso c).

y

y 5

10

30

10 2

1 1

40

26

6

0.25

55 36 26 16 6

51

0.5 z

x

100

ε=.0050

z p=0.1

ε=.0025

x

σ=500 σ=250 σ=25

a)

ε=.0100 ε=.0050

σ=500 σ=500 σ=50

ε=.1000 ε=.0500

σ=500 σ=500

c)

b)

100

σ a) M/b = 73.95833

p = 0.059167

b) M/b = 95.83333

p = 0.076667

c) M/b = 114.5833

p = 0.091667

500

P1

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Manuale Esempi Test

E2=1.0⋅104 MPa P2

0.005

0.05

ε

I-53

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Schematizzazione della Struttura La struttura è descritta nel file SHELLNL04.DAT. Si attiva solamente la parte flessionale e si utilizza l’elemento di default (DKT). Il carico di pressione è assegnato unitario ed è fattorizzato attraverso i moltiplicatori delle linee C1 di SOLVE. Sono assegnati due step di carico. Nel primo step la pressione cresce fino al valore 0.06. Il comportamento sarà elastico su tutto il campo, tranne nell’ultimo substep. Nel secondo step la pressione è portata fino al valore finale di 0.1. Entrambi gli step sono suddivisi uniformemente in 10 substep (default). Come per gli altri esempi, è attivato KALGO=0, che effettua una nuova fattorizzazione ad ogni substep ed eventualmente entro il substep solo nel caso in cui la rigidezza della struttura cambia significativamente. Si effettua il monitoraggio dei risultati del nodo n.28, e del nodo I degli elementi 6,16,26,36.

Analisi dei Risultati Nella tabella seguente sono mostrati i risultati letti in corrispondenza dello strato n.1 (inferiore, nonlineare) e dello strato n.2 (metà inferiore del nucleo centrale, lineare) per diversi valori di pressione, con particolare riferimento ai casi a), b), c).

p

Mxx

εb1

εt1

εb2

εt2

σb1

σt1

σb2

σt2

uz28

0.006 0.054 0.060 0.064 0.076 0.080 0.088 0.092 0.100

7.503 67.527 74.679 76.425 88.754 100.02 109.93 114.93 124.94

0.00051 0.00457 0.00508 0.00551 0.00833 0.02422 0.07181 0.09582 0.14383

0.00025 0.00228 0.00254 0.00275 0.00416 0.01211 0.03590 0.04791 0.07192

0.00025 0.00228 0.00254 0.00275 0.00416 0.01211 0.03590 0.04791 0.07192

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

50.725 456.52 503.51 502.37 502.37 502.37 502.37 502.38 502.38

25.362 228.26 254.05 275.35 416.28 511.69 511.69 511.69 511.70

2.536 22.826 25.405 27.535 41.628 121.09 359.03 479.44 719.47

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-1.054 -9.485 -10.542 -11.319 -15.140 -28.689 -86.238 -123.15 -197.61

Il file SHELLNL04A.DAT è simile al precedente, ma è risolto col metodo path-following.

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Manuale Esempi Test

I-54

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.5 - SHELLNL05 – Piastra su Suolo Elastico

Caratteristiche del Problema Questo esempio è tratto dal manuale Software Verification Examples di Sap2000 (Example 2-009). Il problema è risolto con Microsap e con Ansys utilizzando sia elementi a piccolo spessore (thin shell) sia a grosso spessore (thick shell) che tengono conto della deformazione a taglio fuori piano. La struttura è una piastra di dimensioni infinite sul piano e spessore di 1 in, soggetta ad un carico verticale di 50 kip. Sono analizzati due casi con differente rigidezza specifica di fondazione di 30 k/ft3 e 800 k/ft3. L’esempio è svolto in analisi lineare e ha lo scopo di validare gli elementi shell di Microsap in presenza di suolo elastico. b=300 in

a=b=300 in t=1 in kf1=30 k/ft3 kf2=800 k/ft3

Y h=300 in

E=29000 k/in2 ν=0.3

X

FZ=-50 kip

Schematizzazione della Struttura La piastra è schematizzata come un quadrato di lato 300 in, con suddivisione in 50x50 elementi quadrati (2500 elementi e 2601 nodi in totale) e carico al centro. Come unità di misura si utilizzano i pollici per le lunghezze e le libbre per le forze. Su tutti i nodi sono soppressi gli spostamenti in direzione X e Y e la rotazione attorno a Z. Non deve essere assegnato alcun altro vincolo, essendo presente il suolo elastico. Per la schematizzazione thin shell è impiegato l’elemento DKT (tipo 8) e la struttura è descritta nei file SHELLNL05A.DAT (caso con rigidezza di fondazione kf1) e SHELLNL05B.DAT (caso con kf2). I file SHELLNL05C.DAT e SHELLNL05D.DAT differiscono solamente per il fatto che è utilizzato l’elemento thick shell DKMT (tipo 22) con taglio fuori piano. La soluzione thin shell con Ansys è ottenuta con l’elemento SHELL63 a quattro nodi. Per la soluzione thick shell con Ansys è necessario utilizzare l’elemento SHELL99 a 8 nodi. Ansys non possiede alcun elemento thick shell a 4 nodi su suolo elastico. In questo caso sono sempre impiegati 2500 elementi ma con 7701 nodi totali.

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I-55

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Analisi dei Risultati Nel seguito sono confrontati gli spostamenti UZ del centro della piastra ottenuti con Microsap, Ansys, Sap2000 e Microsap e con la soluzione teorica del testo del Timoshenko (par.59, espr.185). Il calcolo con Ansys e Microsap è effettuato con lo stesso modello. Il modello è preparato e risolto inizialmente con Ansys. Una procedura in linguaggio APDL di Ansys provvede a creare un template con le linee dati per il Microsap. Tale file è quindi editato e completato manualmente. Successivamente, una volta ottenuta la soluzione Microsap, un programma separato di post-processing ne legge i risultati e scrive una serie di file in formato testo, contenente una serie di comandi ANSYS (principalmente DNSOL e DESOL) con i risultati nodali e di elemento. Nella fase di Post-Processing di Ansys è letto il database del modello Ansys e i relativi risultati, che sono quindi rappresentati a video e conservati su file. Successivamente sono letti i file dei risultati Microsap che con i comandi DNSOL e DESOL sostituiscono integralmente la soluzione Ansys con quella calcolata dal Microsap esattamente negli stessi nodi, elementi e componenti di spostamento, sforzo o deformazione. La soluzione Microsap subisce quindi lo stesso trattamento della soluzione Ansys nativa. Soluzione Thin Shell. Nella prima tabella sono riportati i risultati di spostamento Uz del nodo al centro della piastra per i due casi. Nella seconda tabella sono invece contenuti i valori minimi e massimi di sforzo calcolati da Microsap e Ansys per il solo primo caso. Caso kf1=30 k/ft3 kf2=800 k/ft3

Timoshenko -.92050 -.17820

Sap2000

Ansys

-.92850 -.18270

-.92436 -.18028

Microsap -.92436 -.18028

Soluzione Thin Shell - Spostamento Uz del Centro della Piastra

Programma

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

σxyMIN

σxyMAX

Ansys Microsap

-105083 -102947

+5873 +5791

-105083 -102947

+5873 +5791

-8527 -8488

+8527 +8488

Soluzione Thin Shell – Caso kf1=30 k/ft3 – Sforzi Massimi e Minimi

Nelle due figure seguenti sono rappresentati i contour plot dello spostamento Uz solo per il primo caso, utilizzando una scala a 9 livelli con minimo e massimo predeterminato, tra –1. e 0. Si deve notare che l’area in grigio (fuori scala) rappresenta la zona con spostamenti positivi. Con lo stesso criterio di confronto attraverso la rappresentazione con la stessa scala, nelle figure successive sono presentati i contour plot degli sforzi σx e σxy.

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I-56

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell per kf1=30 k/ft3- Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

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I-57

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell per kf1=30 k/ft3- Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

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I-58

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell per kf1=30 k/ft3- Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

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I-59

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell. In tabella sono riportati i risultati di spostamento Uz del nodo al centro della piastra per i due casi. Nelle due figure seguenti sono rappresentati i contour plot dello spostamento Uz solo per il primo caso. Caso kf1=30 k/ft3 kf2=800 k/ft3

Timoshenko -.92050 -.17820

Sap2000

Ansys

-.92500 -.17830

-.92300 -.18004

Microsap -.96917 -.20512

Soluzione Thick Shell - Spostamento Uz del Centro della Piastra

Rif.1: Sap2000 Software Verification Examples - Example 2-009 – Ver.11.00, Dec.2006. Rif.2: S.P.Timoshenko, S.Woinowsky-Krieger – Theory of Plates and Shells – McGrawHill, 2nd ed.

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I-60

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell per kf1=30 k/ft3- Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

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I-61

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.6 - SHELLNL06 – Piastra Isotropa Quadrata Appoggiata

Caratteristiche del Problema La struttura consiste di una piastra quadrata a grosso spessore, semplicemente appoggiata sui quattro lati e soggetta ad un carico concentrato al centro. La piastra ha le stesse dimensioni di quella dell’esempio precedente, ma uno spessore 50 volte maggiore e pari a 1/6 della lunghezza del lato. Il materiale è lo stesso. L’analisi, svolta in campo lineare, ha lo scopo di confrontare la soluzione thin shell, che trascura le deformazioni a taglio e thick shell, che invece tiene conto del taglio fuori piano. Le soluzioni Microsap sono confrontate con quelle ottenute con Ansys. b=300 in

a=b=300 in t=50 in

Y h=300 in

E=29000 k/in2 ν=0.3

X

FZ=-5.⋅108 lb

Schematizzazione della Struttura La piastra è suddivisa in 50x50 elementi quadrati (2500 elementi e 2601 nodi in totale). Su tutti i nodi sono soppressi gli spostamenti in direzione X e Y e la rotazione attorno a Z. Sui quattro lati è inoltre soppresso lo spostamento verticale lungo Z. Per la schematizzazione thin shell è impiegato l’elemento DKT (tipo 8) e la struttura è descritta nei file SHELLNL06A.DAT. Il file SHELLNL06B.DAT differisce solamente per il fatto che è utilizzato l’elemento thick shell DKMT (tipo 22) con taglio fuori piano. La soluzione thin shell con Ansys è ottenuta con l’elemento SHELL63 a quattro nodi. Per la soluzione thick shell con Ansys si utilizza invece l’elemento SHELL43 a 4 nodi (non multistrato).

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I-62

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Analisi dei Risultati Le tabelle seguenti riassumono i risultati della soluzione thin shell e thick shell.

Programma

UzMAX

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

σxyMIN

σxyMAX

Ansys Microsap

-1.573 -1.573

-667890 -659562

+3618 +2711

-667890 -659562

+3618 +2711

-73171 -73162

+73171 +73162

Soluzione Thin Shell – Spostamento Verticale e Sforzi Minimi e Massimi sul Piano

Programma

UzMAX

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

σxyMIN

σxyMAX

Ansys Microsap

-2.667 -2.575

-515663 -472491

+24351 +23818

-515663 -472491

+24351 +23818

-64943 -64708

+64943 +64708

Soluzione Thick Shell – Spostamento Verticale e Sforzi Minimi e Massimi (sul Piano)

Programma

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

Ansys Microsap

-380999 -240136

+380999 +240136

-380999 -240136

+380999 +240136

Soluzione Thick Shell –Sforzi di Taglio Trasversale Minimi e Massimi (Fuori Piano)

Nelle figure seguenti sono confrontati i contour plot dei risultati principali delle due soluzioni calcolate con Ansys e Microsap.

Microsap Rel.11.0

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I-63

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell - Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-64

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-65

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell – Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-66

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-67

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-68

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-69

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σyz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

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I-70

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.7 - SHELLNL07 – Piastra Ortotropa Quadrata Appoggiata

Caratteristiche del Problema La struttura è uguale a quella dell’esempio precedente, ma al materiale sono fornite caratteristiche ortotrope e il carico applicato è inferiore. b=300 in

a=b=300 in t=50 in En=1000 k/in2 Es=10000 k/in2 νns=0.3 Gns=500 k/in2 Gst=5000 k/in2 Gnt=1000 k/in2

Y h=300 in

X

FZ=-5.⋅107 lb

Schematizzazione della Struttura La piastra è schematizzata come quella dell’esempio precedente. La soluzione thin shell è descritta nei file SHELLNL07A.DAT mentre la soluzione thick shell è contenuta nel file SHELLNL07B.DAT.

Analisi dei Risultati Le tabelle seguenti riassumono I risultati della soluzione thin shell e thick shell.

Programma

UzMAX

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

σxyMIN

σxyMAX

Ansys Microsap

-1.5605 -1.5605

-29594 -28956

+697 +697

-126550 -128060

+945 +424

-3015 -3013

+3015 +3013

Soluzione Thin Shell – Spostamento Verticale e Sforzi Minimi e Massimi sul Piano

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-71

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Programma

UzMAX

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

σxyMIN

σxyMAX

Ansys Microsap

-2.0349 -1.9874

-22577 -20828

+635 +589

-115403 -97702

+1981 +1344

-2804 -2791

+2804 +2788

Soluzione Thick Shell – Spostamento Verticale e Sforzi Minimi e Massimi (sul Piano)

Programma

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

Ansys Microsap

-66648 -35747

+66648 +35747

-18857 -13668

+18857 +13668

Soluzione Thick Shell –Sforzi di Taglio Trasversale Minimi e Massimi (Fuori Piano)

Nelle figure seguenti sono confrontati i contour plot dei risultati principali delle due soluzioni calcolate con Ansys e Microsap. Dal confronto si può constatare quanto segue: 1) Gli spostamenti della soluzione thin shell calcolati con i due programmi coincidono. 2) Gli sforzi della soluzione thin shell sono quasi coincidenti e differiscono solamente in punti singolari di concentrazione, in corrispondenza del punto di applicazione dei carichi o delle reazioni di vincolo. 3) La soluzione thick shell nei due programmi è ottenuta con elementi con formulazione piuttosto differente. Inoltre l’elemento quadrangolare Shell22 di Microsap è ottenuto per composizione di 4 triangoli, mentre in Ansys l’elemento Shell43 è quadrangolare puro. 4) Gli spostamenti della soluzione thick shell calcolati con i due programmi sono molto prossimi. Si nota solo una piccola differenza nei valori di picco, che tendono ad essere leggermente inferiori in valore assoluto nella soluzione Microsap. 5) Per gli sforzi della soluzione thick shell vale quanto detto alla nota 2) per la soluzione thin shell. I due programmi forniscono soluzioni in buon accordo.

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-72

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell - Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-73

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-74

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-75

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thin Shell - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-76

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-77

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-78

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-79

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-80

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σyz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-81

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Soluzione Thick Shell - Sforzo σxz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-82

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.8 - SHELLNL08 – Piastra Ortotropa Multistrato

Caratteristiche del Problema La struttura è simile per dimensioni a quella dell’esempio precedente, ma la sezione non è omogenea. Lo spessore di 50in è ripartito in tre strati: un nucleo centrale, di spessore 40in è di materiale morbido e due lamine esterne di materiale più rigido, di spessore 6in e 4in. Le lamine sono di materiale ortotropo, ma con assi orientati in modo differente rispetto agli assi locali degli elementi. Il sistema locale degli elementi è parallelo al sistema globale. La piastra è appoggiata lungo tutto il perimetro e caricata con una pressione p uniforme. Per solo scopo di test e confronto si suppone che il materiale morbido del nucleo centrale possa trasmettere integralmente lo scorrimento per taglio tra le due lamine. Nell’esempio seguente la stessa struttura è risolta nell’ipotesi più realistica di comportamento sandwich.

b=300 in

E1n=1000 k/in2 E1s=10000 k/in2 ν1ns=0.3 G1ns=500 k/in2 G1st=500 k/in2 G1nt=500 k/in2

a=b=300 in t=50 in t1=6 in t2=40 in t3=4 in

Y h=300 in

X

p=-1000 lb/in2 layer 1 β=20° layer 2

layer 3

Mat 1

layer 2

Mat 2

layer 1

Mat 1

t3=4 in layer 3

t=50 in

t2=40 in

β=60°

E2n=10 k/in2 E2s=10 k/in2 ν2ns=0.3 G2ns=4 k/in2 G2st=6 k/in2 G2nt=6 k/in2

t1=6 in

Schematizzazione della Struttura La piastra è schematizzata come quella dell’esempio precedente, con una suddivisione di 50x50 elementi thick shell di tipo 22. Poiché la sezione è multistrato con materiali ortotropi orientati è necessario permettere ai nodi il libero spostamento sul piano e la rotazione normale, in quanto esiste in genere accoppiamento tra la rigidezza membranale e flessionale dell’elemento. I moti rigidi della piastra sono soppressi imponendo il vincolo di spostamento nullo lungo X e Y e la rotazione attorno a Z sul solo nodo centrale. Il modello è descritto nel file SHELLNL08.DAT. La soluzione è confrontata con quella ottenuta con Ansys utilizzando l’elemento thick shell multistrato shell91 a 8 nodi.

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-83

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Analisi dei Risultati Le tabelle seguenti riassumono i risultati della soluzione Ansys e Microsap.

Programma Ansys Microsap

UzMIN

RxMIN

RxMAX

RyMIN

RyMAX

-5.554 -5.517

-0.04407 -0.04401

+0.04407 +0.04401

-0.04428 -0.04418

+0.04428 +0.04418

Spostamento Verticale e Rotazioni Minime e Massime

Programma Ansys Microsap

Programma Ansys Microsap

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

-3297 -1717

+21017 +20920

-5847 -9811

+29244 +29166

Layer 1 - Bottom σxyMIN σxyMAX -11940 -11928

+5914 +5919

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

Layer 1 - Top σxyMIN σxyMAX

-2816 -1535

+15813 +15732

-2102 -6845

+9843 +9787

-6845 -6818

+4921 +4846

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

0 0

0 0

0 0

0 0

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

-7500 -6961

+7500 +6961

-7446 -6977

+7446 +6977

Sforzi Minimi e Massimi sulla Faccia Inferiore e Superiore dello Strato n.1

Programma Ansys Microsap

Programma Ansys Microsap

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

-28.389 -17.992

+150.698 +149.935

-18.276 -17.552

+43.219 +42.740

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

-92.573 -92.588

+30.431 +31.469

-189.604 -189.391

+35.610 +43.134

Layer 2 - Bottom σxyMIN σxyMAX -35.642 -35.132

+35.457 +34.779

Layer 2 - Top σxyMIN σxyMAX -59.719 -59.531

+31.251 +31.517

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

-90.002 -83.536

+90.002 +83.536

-89.357 -83.727

+89.357 +83.727

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

-62.729 -58.222

+62.729 +58.222

-62.279 -58.355

+62.279 +58.355

Sforzi Minimi e Massimi sulla Faccia Inferiore e Superiore dello Strato n.2

Programma Ansys Microsap

Programma Ansys Microsap

Layer 3 - Bottom σxyMIN σxyMAX

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

-22008 -21941

+3627 +5031

-23952 -23919

+3764 +4622

-7739 -7536

+11891 +11784

-5227 -4852

+5227 +4852

-5190 -4863

+5190 +4863

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

Layer 3 - Top σxyMIN σxyMAX

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

-32953 -32834

+5433 +6270

-28905 -28855

+4033 +5003

-9076 -8732

0 0

0 0

0 0

0 0

+16996 +16848

Sforzi Minimi e Massimi sulla Faccia Inferiore e Superiore dello Strato n.3

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-84

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Nota 1. Sia Ansys che Microsap adottano nel calcolo un valore costante del taglio fuori piano (σyz e σxz) lungo lo spessore di ogni strato. Nella realtà la deformazione di taglio segue un diagramma parabolico lungo lo spessore della piastra, con massimo a metà spessore e si annulla sulle superfici esterne. Per gli elementi shell multistrato, con esclusione del caso sandwich (v. esempio test seguente), Ansys effettua la conversione automatica tra il valore di calcolo σyz medio e il valore σyz* reale e nell’output o nelle rappresentazioni grafiche è sempre visualizzato quest’ultimo valore. Per σxz vale lo stesso discorso. Al contrario, Microsap non effettua mai alcun intervento: se si desidera, tale operazione essa può essere eseguita facilmente in fase di postprocessing. La deformazione di taglio fuori piano, continua lungo lo spessore, può essere scritta come: ε *yz = 1.5(1 − r 2 )ε yz essendo r la coordinata normalizzata lungo lo spessore. Essa è nulla a metà dello spessore della piastra e vale –1 sulla superficie inferiore e +1 sulla superficie superiore. Gli sforzi di taglio nello strato i-esimo, generalmente discontinui all’interfaccia di strati con diverso materiale, saranno perciò: σ yzi * = G yzi ε *yz = 1.5(1 − r 2 )G iyz ε yz = 1.5(1 − r 2 )σ yz Nel caso in esame, all’interfaccia tra il primo e il secondo strato è r=0.76 e all’interfaccia tra secondo e terzo strato è r=0.84. Nelle tabelle precedenti i valori medi ottenuti con Microsap sono stati trasformati in valori reali. Viceversa, nelle rappresentazioni grafiche seguenti i valori sono lasciati inalterati ed è effettuata la conversione inversa sui livelli di minimo e massimo delle scale cromatiche. Nota 2. Si fa notare che il modello Ansys comprende, come il modello Microsap, 2500 elementi. Tuttavia il modello Ansys ha un maggior dettaglio in quanto gli elementi sono quadratici e possiede 7701 nodi totali e 38203 equazioni. Il modello Microsap ha invece solo 2601 nodi e 15403 equazioni.

Nelle figure seguenti sono confrontati i contour plot dei risultati principali delle soluzioni calcolate con Ansys e Microsap. I contour plot dei risultati Microsap sono rappresentati nella stessa scala di quelli di Ansys. Per le componenti di taglio fuori piano i livelli limite reali di Ansys sono convertiti a livelli medi, come visto sopra. In tal modo, tra i contour plot dei due risultati esiste un fattore di scala di 0.6336 e 0.4416 pari al fattore di conversione all’interfaccia tra gli strati 1 e 2 e tra gli strati 2 e 3 rispettivamente. Almeno con la densità di mesh adottata nel test, la soluzione ottenuta con Microsap e con l’accoppiamento tra l’elemento membranale tipo 1 e flessionale tipo 22 produce risultati del tutto equivalenti a quelli calcolati da Ansys con l’impiego dell’elemento Shell91.

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-85

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-86

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Rotazione Rx Calcolata con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-87

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Rotazione Ry Calcolata con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-88

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Inferiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-89

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Inferiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-90

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Inferiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-91

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Superiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-92

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Superiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-93

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Superiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-94

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Superiore - Sforzo σyz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-95

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Superiore - Sforzo σxz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-96

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-97

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-98

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-99

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σyz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-100

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σxz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-101

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-102

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-103

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-104

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σyz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-105

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σxz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-106

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Inferiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-107

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Inferiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-108

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Inferiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-109

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Inferiore - Sforzo σyz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-110

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Inferiore - Sforzo σxz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-111

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Superiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-112

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Superiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-113

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Superiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-114

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

III.9 - SHELLNL09 – Piastra Sandwich Ortotropa

Caratteristiche del Problema La struttura è uguale a quella dell’esempio precedente, con l’unica differenza consistente nella attivazione del comportamento sandwich. Con questa ipotesi le lamine esterne sopportano quasi totalmente la flessione e nessuna sollecitazione di taglio fuori piano. Al contrario, tutta la sollecitazione di taglio trasversale è sopportata dal nucleo centrale di materiale morbido. Per ottenere tale comportamento, è necessario azzerare i moduli elastici trasversali Gst e Gnt del materiale delle lamine.

b=300 in

E1n=1000 k/in2 E1s=10000 k/in2 ν1ns=0.3 G1ns=500 k/in2 G1st=0 k/in2 G1nt=0 k/in2

a=b=300 in t=50 in t1=6 in t2=40 in t3=4 in

Y h=300 in

X

p=-1000 lb/in2 layer 1 β=20° layer 2

layer 3

Mat 1

layer 2

Mat 2

layer 1

Mat 1

t3=4 in layer 3

t=50 in

t2=40 in

β=60°

E2n=10 k/in2 E2s=10 k/in2 ν2ns=0.3 G2ns=4 k/in2 G2st=6 k/in2 G2nt=6 k/in2

t1=6 in

Schematizzazione della Struttura La piastra è schematizzata come quella dell’esempio precedente, ma nel Microsap il comportamento sandwich richiede due particolari interventi. Anzitutto è necessario azzerare i moduli elastici trasversali delle lamine. Inoltre, nella descrizione della sezione multistrato occorre porre ts=1010 e χ=1. Il modello è descritto nel file SHELLNL09.DAT. La soluzione è confrontata con quella ottenuta con Ansys utilizzando l’elemento thick shell multistrato shell91 a 8 nodi in cui è attivata l’opzione sandwich.

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-115

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Analisi dei Risultati Le tabelle seguenti riassumono i risultati principali della soluzione Ansys e Microsap. Per brevità sono stati omessi i risultati di sforzo sulla facce interne delle lamine. Dal confronto con i risultati dell’esempio precedente si nota il notevole incremento dello spostamento Uz e dei valori di taglio fuori piano nel nucleo.

Programma Ansys Microsap

UzMIN

RxMIN

RxMAX

RyMIN

RyMAX

-33.071 -33.056

-.05887 -.05883

+.05887 +.05883

-.05884 -.05882

+.05884 +.05882

Spostamento Verticale e Rotazioni Minime e Massime

Programma Ansys Microsap

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

-289 -134

+22459 +22431

-2665 -720

+30525 +30487

Layer 1 - Bottom σxyMIN σxyMAX -6658 -6606

+2955 +2880

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

0 0

0 0

0 0

0 0

Sforzi Minimi e Massimi sulla Faccia Inferiore dello Strato n.1

Programma Ansys Microsap

Programma Ansys Microsap

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

-5.009 -1.260

+167.321 +167.120

-0.648 -0.949

+58.552 +58.427

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

-125.614 -125.254

+1.198 +0.974

-229.852 -229.653

+7.798 +1.315

Layer 2 - Bottom σxyMIN σxyMAX -8.340 -8.177

+33.566 +33.354

Layer 2 - Top σxyMIN σxyMAX -69.540 -69.250

+1.664 +1.569

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

-2635 -2552

+2635 +2552

-2629 -2546

+2629 +2546

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

-2635 -2552

+2635 +2552

-2629 -2546

+2629 +2546

Sforzi Minimi e Massimi sulla Faccia Inferiore e Superiore dello Strato n.2

Programma Ansys Microsap

σxMIN

σxMAX

σyMIN

σyMAX

Layer 3 - Top σxyMIN σxyMAX

-34877 -34795

+1061 +89

-31058 -31029

+250 +120

-4594 -4466

+9007 +8929

σyzMIN

σyzMAX

σxzMIN

σxzMAX

0 0

0 0

0 0

0 0

Sforzi Minimi e Massimi sulla Faccia Superiore dello Strato n.3

Gli sforzi di taglio fuori piano sono nulli nelle lamine, mentre nel nucleo si assume un diagramma costante. Nelle pagine seguenti sono confrontati i contour plot ottenuti dai due programmi che confermano il buon accordo dei risultati anche nel comportamento sandwich degli shell a grosso spessore. Nelle rappresentazioni dei risultati Microsap si è usata la stessa scala dei risultati Ansys, assegnando esplicitamente i valori limiti delle scale. I valori minimi e massimi calcolati (SMN, SMX) sono riportati nella legenda in alto a sinistra.

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-116

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Spostamento Uz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-117

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Rotazione Rx Calcolata con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-118

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Rotazione Ry Calcolata con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-119

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Inferiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-120

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Inferiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-121

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.1 – Faccia Inferiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-122

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-123

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-124

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-125

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σyz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-126

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Inferiore - Sforzo σxz Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-127

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-128

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-129

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.2 – Faccia Superiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-130

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Superiore - Sforzo σx Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-131

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Superiore - Sforzo σy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-132

Elemento Tipo 6 – Nonlinear Shell

Strato n.3 – Faccia Superiore - Sforzo σxy Calcolato con Ansys e con Microsap

Microsap Rel.11.0

Manuale Esempi Test

I-133