Matter and Interactions - Supplement 3 - Waves

Citation preview

4611-&.&/5

4

l θ un

un–1

8BWFT

d xn–1 = (n–1)d

Wavelength λ

v

un+1

d xn = nd

xn+1 = (n+1)d

0#+&$5*7&4 "GUFS TUVEZJOH UIJT TVQQMFNFOU ZPV TIPVME CF BCMF UP

x 'JHVSF 4 " TJOVTPJEBM XBWF QSPQBHBUJOH BU TQFFE W UIF XBWFMFOHUI λ JT UIF EJTUBODF CFUXFFO DSFTUT PG UIF XBWF

t=0 (2πt/T) = 0

E = 0.7Emax

t = T/4 (2πt/T) = π/2

E=0

t = 3T/8 (2πt/T) = 3π/4

E = 0.7Emax

t = T/2 (2πt/T) = π

t=T (2πt/T) = 2π

4 8"7& 1)&/0.&/"

E = Emax

t = T/8 (2πt/T) = π/4

*O B XBWF FOFSHZ QSPQBHBUFT GSPN POF QMBDF UP BOPUIFS XJUIPVU UIF USBOTGFS PG NBUUFS 4IBLF UIF FOE PG B UBVU TUSJOH BOE B QVMTF SVOT BMPOH UIF TUSJOH CVU UIF BUPNT JO UIF TUSJOH POMZ NPWF TJEFXBZT B USBOTWFSTF XBWF

OPU GSPN POF FOE PG UIF TUSJOH UP UIF PUIFS )JU B CBS PG BMVNJOVN BU POF FOE BOE B QVMTF PG TPVOE QSPQBHBUFT UP UIF PUIFS FOE PG UIF CBS XJUIPVU BOZ BMVNJOVN BUPNT NPWJOH GSPN POF FOE PG UIF CBS UP UIF PUIFS B MPOHJUVEJOBM XBWF  $MBQ ZPVS IBOET BOE ZPVS GSJFOET FBS JT BGGFDUFE CZ UIF TPVOE UIBU QSPQBHBUFE UISPVHI UIF BJS CVU ZPVS IBOET BOE UIF OFJHICPSJOH BJS TUBZ XJUI ZPV TPVOE QSPQBHBUJPO JO BJS JT BMTP B MPOHJUVEJOBM XBWF  "O FMFDUSPNBHOFUJD XBWF DBO USBOTGFS FOFSHZ BOE NPNFOUVN UP B DIBSHFE QBSUJDMF 5IF SFGSBDUJPO PG MJHIU XIFO JU QBTTFT GSPN POF NFEJVN UP BOPUIFS DBO CF FYQMBJOFE CZ DPOTJEFSJOH MJHIU BT BO FMFDUSPNBHOFUJD XBWF *O UIF àSTU QBSU PG UIJT TVQQMFNFOU XF XJMM FYBNJOF BEEJUJPOBM QIFOPNFOB UIBU DBO CF FYQMBJOFE XJUI B XBWF NPEFM PG MJHIU XIJDI JODMVEF JOUFSGFSFODF BOE EJGGSBDUJPO PG FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO BOE SFáFDUJPO BOE TDBUUFSJOH PG MJHIU /FYU XF XJMM JOWFTUJHBUF NFDIBOJDBM XBWFT TVDI BT XBWFT PO B TUSJOH 'JOBMMZ XF XJMM EJTDVTT UIF SFMBUJPOTIJQ CFUXFFO UIF XBWF NPEFM PG MJHIU BOE UIF QBSUJDMF QIPUPO NPEFM EJTDVTTFE JO 7PMVNF 

E = Emax

E = Emax

'JHVSF 4 4OBQTIPUT PG UIF FMFDUSJD àFME BU POF QBSUJDVMBS MPDBUJPO PCTFSWFE BU TVDDFTTJWF UJNFT

E

Period T

t 'JHVSF 4 (SBQI PG &Z WT UJNF U BT PCTFSWFE BU POF QBSUJDVMBS MPDBUJPO

%FUFSNJOF UIF MPDBUJPOT PG NBYJNB BOE NJOJNB JO QBUUFSOT PG JOUFSGFSFODF GSPN UXP PS NPSF TPVSDFT PG MJHIU $BMDVMBUF UIF QSPQFSUJFT PG MPOHJUVEJOBM BOE USBOTWFSTF NFDIBOJDBM XBWFT %FUFSNJOF UIF QBUUFSOT PG iTUBOEJOH XBWFTu .BLF DPOOFDUJPOT CFUXFFO UIF QBSUJDMF NPEFM BOE UIF XBWF NPEFM PG MJHIU

7BSJBUJPO JO 5JNF *G ZPV TUBOE BU POF QBSUJDVMBS MPDBUJPO BT B TJOVTPJEBM PS DPTJOVTPJEBM FMFDUSPNBHOFUJD XBWF HPFT CZ 'JHVSF 4

ZPV PCTFSWF UIF FMFDUSJD àFME WBSZJOH JO UJNF MJLF & DPT πU/5  5IF UJNFWBSZJOH RVBOUJUZ πU/5 JT DBMMFE UIF QIBTF PG UIF DPTJOF GVODUJPO 5IF QIBTF πU/5 JODSFBTFT CZ π SBE ◦

XIFOFWFS U JODSFBTFT CZ BO BNPVOU 5 'JHVSF 4 TIPXT BT B TFSJFT PG TOBQTIPUT XIBU ZPV XPVME PCTFSWF BU WBSJPVT UJNFT BU POF MPDBUJPO JO TQBDF XIJMF 'JHVSF 4 TIPXT UIF TBNF PCTFSWBUJPOT BT B HSBQI PG &Z WT U 0G DPVSTF UIFSF JT BMTP B DPTJOVTPJEBMMZ WBSZJOH NBHOFUJD àFME BU SJHIU BOHMFT UP UIF FMFDUSJD àFME 8F BSF DPODFOUSBUJOH PO UIF FMFDUSJD àFME JO FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO CFDBVTF JU IBT B NVDI CJHHFS FGGFDU PO NBUUFS UIBO EPFT UIF NBHOFUJD àFME 4

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT

7BSJBUJPO JO 4QBDF v

λ E x

'JHVSF 4 4QBDFWBSZJOH FMFDUSJD àFME BU POF QBSUJDVMBS UJNF

0O UIF PUIFS IBOE JG ZPV UBLF B TOBQTIPU BU POF QBSUJDVMBS UJNF ZPV TFF B TJOVTPJEBM PS DPTJOVTPJEBM QBUUFSO PG FMFDUSJD àFME WBSZJOH JO TQBDF BT TIPXO JO 'JHVSF 4 5IJT QBUUFSO JO TQBDF DBO CF FYQSFTTFE BT & DPT πY/λ

TJODF UIF UPUBM QIBTF PG UIF DPTJOF πY/λ

JODSFBTFT CZ π SBE ◦ XIFOFWFS Y JODSFBTFT CZ BO BNPVOU λ /PUJDF UIBU JG XF SFQMBDF Y CZ U BOE λ CZ 5 UIJT HSBQI DPVME KVTU BT FBTJMZ SFQSFTFOU UIF UJNF WBSJBUJPO PG FMFDUSJD àFME BU B QBSUJDVMBS àYFE MPDBUJPO JO TQBDF

5JNF BOE 4QBDF " DPTJOF XBWF UIBU NPWFT UP UIF SJHIU DBO CF EFTDSJCFE JO UFSNT PG Y BOE U BT GPMMPXT   U Y & DPT π − π 5 λ 5IJT FYQSFTTJPO DBQUVSFT CPUI UIF UJNF BOE TQBDF BTQFDUT CFDBVTF BT UJNF U JODSFBTFT ZPV OFFE B MBSHFS Y NPUJPO UP UIF SJHIU UP HFU UIF TBNF UPUBM QIBTF πU/5 − πY/λ DPSSFTQPOEJOH UP B QBSUJDVMBS DSFTU PG UIF XBWF *O XIBU EJSFDUJPO JT B XBWF USBWFMJOH UIBU JT SFQSFTFOUFE CZ UIF FYQSFTTJPO & DPT πU/5 + πY/λ /PUF UIF + TJHO

26&45*0/

*O UIJT DBTF B MBSHFS U SFRVJSFT B TNBMMFS Y JO PSEFS UP HFU UIF TBNF UPUBM QIBTF TP UIJT FYQSFTTJPO SFQSFTFOUT B XBWF NPWJOH UP UIF MFGU

1IBTF 4IJGU %FQFOEJOH PO IPX XF EFàOF U =  PS Y =  B XBWF NBZ OPU CF EFTDSJCFE FYBDUMZ JO UIF GPSN & DPT πU/5−πY/λ CFDBVTF JU NBZ OPU TUBSU BU JUT NBYJNVN WBMVF 8F DBO BEE B DPOTUBOU QIBTF iTIJGUu φ BOE XSJUF & DPT πU/5 − πY/λ + φ UP BDDPVOU GPS UIJT 5IF QIBTF TIJGU φ DBO IBWF BOZ WBMVF CFUXFFO  BOE π ◦  8IFO UIF QIBTF TIJGU CFUXFFO UXP XBWFT JT  XF TBZ UIF XBWFT BSF JO QIBTF 8IFO UIF QIBTF TIJGU JT OPU [FSP XF EFTDSJCF UIF XBWFT BT PVU PG QIBTF

( Tt )

E cos 2π

t t = 0 T/2

T t t π E cos 2π T + 2

(

)

'JHVSF 4 " QIBTF TIJGU BGGFDUT UIF UJNF BU XIJDI UIF NBYJNVN PDDVST 5IF CPUUPN DVSWF EJGGFST GSPN UIF UPQ DVSWF CZ B QIBTF TIJGU PG π/

$IFDLQPJOU  $POTJEFS UXP FYBNQMFT PG DPTJOF XBWFT JO UJNF BU UIF MPDBUJPO Y =  'JHVSF 4  4UVEZ UIF UXP DVSWFT BOE NBLF TVSF ZPV VOEFSTUBOE UIF SFMBUJPOTIJQ CFUXFFO UIFN -BCFM BO Y BYJT JO VOJUT PG IBMGQFSJPET U = 5/ 5/ 5/ FUD  5IFO TLFUDI B HSBQI PG & DPT πU/5 + π UP NBLF TVSF ZPV VOEFSTUBOE XIBU B QIBTF TIJGU NFBOT :PVS DVSWF DBO CF DPOTJEFSFE BT FJUIFS B QIBTF TIJGU CZ π SBEJBOT PS UIF OFHBUJWF PG UIF PSJHJOBM DVSWF #PUI QPJOUT PG WJFX BSF VTFGVM

"OHVMBS 'SFRVFODZ .PTU PG UIF UJNF JO PVS TUVEZ PG JOUFSGFSFODF XF POMZ OFFE UIF UJNF WBSJBUJPO PG B XBWF BU B QBSUJDVMBS MPDBUJPO JO XIJDI DBTF B DPTJOF XBWF DBO CF SFQSFTFOUFE CZ BOZ PG UIFTF FRVJWBMFOU GPSNT & DPT πU/5 + φ

& DPT πGU + φ

& DPT ωU + φ

CBTJD GPSN TJODF G = /5 XIFSF ω = πG = π/5

5IF BOHVMBS GSFRVFODZ ω GBNJMJBS GSPN PVS TUVEZ PG PSCJUT BOE WJCSBUJPOT JO DMBTTJDBM NFDIBOJDT JT NFBTVSFE JO SBEJBOT QFS TFDPOE π SBE5 T  #FDBVTF PG JUT DPNQBDUOFTT XF XJMM VTVBMMZ XSJUF & DPT ωU + φ 

4 8BWF 1IFOPNFOB

4

*OUFOTJUZ 5IF GSFRVFODZ PG FMFDUSPNBHOFUJD XBWFT JO UIF WJTJCMF SBOHF JT TP IJHI UIBU XF EPOU QFSDFJWF JOEJWJEVBM NBYJNB BOE NJOJNB 3BUIFS XF QFSDFJWF B LJOE PG UJNF BWFSBHF 5IJT UJNF BWFSBHF JT DBMMFE UIF iJOUFOTJUZ u BOE JU JT XIBU XF DBO NPTU FBTJMZ QFSDFJWF BOE NFBTVSF GPS NBOZ LJOET PG XBWFT *O $IBQUFS  XF TBX UIBU UIF FOFSHZ áPX DBSSJFE CZ FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO JT QSPQPSUJPOBM UP UIF TRVBSF PG UIF FMFDUSJD àFME "U B QBSUJDVMBS JOTUBOU UIF FMFDUSJD àFME JT & DPT ωU BOE UIF JOTUBOUBOFPVT FOFSHZ áPX JT QSPQPSUJPOBM UP   5IFSFGPSF UIF UJNFBWFSBHFE FOFSHZ áPX JT QSPQPSUJPOBM UP UIF TRVBSF PG UIF BNQMJUVEF &  8F DBMM UIF BWFSBHF FOFSHZ áPX UIF JOUFOTJUZ * NFBTVSFE JO XBUUT QFS TRVBSF NFUFS 8N  TFF 'JHVSFT 4 BOE 4  "MUIPVHI UIF FMFDUSJD àFME BU B QBSUJDVMBS MPDBUJPO WBSJFT TJOVTPJEBMMZ BOE UIF àFME JT [FSP UXJDF EVSJOH FWFSZ DZDMF JO NBOZ DBTFT PG JOUFSFTU UIF PTDJMMBUJPO JT TP GBTU UIBU XF KVTU QFSDFJWF BO BWFSBHF FOFSHZ áPX 'PS FYBNQMF POF DZDMF PG WJTJCMF MJHIU UBLFT POMZ BCPVU  × − T BOE ZPVS FZF DBOOPU EFUFDU UIF TJOVTPJEBM WBSJBUJPO PG TVDI IJHIGSFRVFODZ PTDJMMBUJPOT

Amplitude x or t 'JHVSF 4 5IF BNQMJUVEF JT UIF NBYJNVN BCTPMVUF WBMVF PG UIF FMFDUSJD àFME JO BO FMFDUSPNBHOFUJD XBWF

*/5&/4*5: "/% ".1-*56%& [E

*OUFOTJUZ * 8N JT QSPQPSUJPOBM UP BNQMJUVEF   * ∝ & GPS FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO

cos(ωt)]2

I E cos(ωt) t 'JHVSF 4 5IF UJNFBWFSBHFE FOFSHZ áPX JT DBMMFE UIF JOUFOTJUZ *

*OUFOTJUZ JT QSPQPSUJPOBM UP UIF TRVBSF PG UIF BNQMJUVEF OPU POMZ GPS TJOVTPJEBM FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO CVU BMTP GPS PUIFS LJOET PG TJOVTPJEBM XBWFT TVDI BT XBUFS XBWFT BOE TPVOE XBWFT *O UIF DBTF PG WJTJCMF MJHIU UIF JOUFOTJUZ JT PG DPVSTF BMTP DBMMFE UIF iCSJHIUOFTTu 'PS TPVOE XBWFT JOUFOTJUZ DPSSFTQPOET UP MPVEOFTT *U JT UIF JOUFOTJUZ * UIF UJNFBWFSBHFE FOFSHZ áPX UIBU XF UZQJDBMMZ NFBTVSF $IFDLQPJOU  *G UIF QFBL FMFDUSJD àFME JO B TJOVTPJEBM FMFDUSPNBHOFUJD XBWF JT USJQMFE CZ XIBU GBDUPS EPFT UIF JOUFOTJUZ DIBOHF

*OUFSGFSFODF PG 5XP &MFDUSPNBHOFUJD 8BWFT Screen

Two slits

"DDPSEJOH UP UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF UIF OFU FMFDUSJD àFME BU B MPDBUJPO JO TQBDF JT KVTU UIF WFDUPS TVN PG UIF FMFDUSJD àFMET DPOUSJCVUFE CZ BMM TPVSDFT PG FMFDUSJD àFME 5IJT QSJODJQMF JT TUJMM WBMJE FWFO JG UIF FMFDUSJD àFMET DIBOHF XJUI UJNF TP XF DBO BQQMZ UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF UP FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO NBEF CZ TFWFSBM EJGGFSFOU TPVSDFT *O $IBQUFS  XF TBX UIBU B SBEJP BOUFOOB ESJWFO CZ TJOVTPJEBMMZ BMUFSOBUJOH WPMUBHF "$ QSPEVDFT QSPQBHBUJOH FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET XIPTF NBHOJUVEFT BMTP WBSZ TJOVTPJEBMMZ 8F CFHJO PVS TUVEZ PG NVMUJQMF TPVSDFT PG SBEJBUJPO CZ DPOTJEFSJOH UIF TJNQMF DBTF PG KVTU UXP TVDI TPVSDFT FNJUUJOH TJOVTPJEBM SBEJBUJPO .BOZ TJUVBUJPOT JOWPMWF WFSZ MBSHF OVNCFST PG TPVSDFT TVDI BT XIFO MJHIU IJUT B NJSSPS CVU B DBSFGVM BOBMZTJT PG UIF DBTF PG KVTU UXP TPVSDFT CSJOHT PVU UIF NBJO BTQFDUT PG UIF QIFOPNFOB RVJUF DMFBSMZ

*OUFSGFSFODF 1BUUFSO Laser 'JHVSF 4 -BTFS MJHIU JMMVNJOBUFT UXP OBSSPX TMJUT BOE NBLFT BO JOUFSGFSFODF QBUUFSO PO B TDSFFO

8IFO B MBTFS JMMVNJOBUFT UXP OBSSPX WFSUJDBM TMJUT JO B NFUBM TIFFU B QBUUFSO PG NVMUJQMF TQPUT PG MJHIU DBO CF PCTFSWFE PO B EJTUBOU TDSFFO 'JHVSF 4  'VSUIFSNPSF UIF CSJHIUOFTT PG UIF TQPUT EFDSFBTFT BT UIF EJTUBODF GSPN UIF DFOUFS PG UIF QBUUFSO JODSFBTFT UIJT DIBOHF JO CSJHIUOFTT JT OPU TIPXO JO 'JHVSF 4  26&45*0/

%PFT B QBSUJDMF NPEFM PG MJHIU QSFEJDU UIJT QBUUFSO

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT /P " TJNQMF QBSUJDMF NPEFM PG MJHIU QSFEJDUT UIBU XF XJMM TFF POMZ UXP CSJHIU TQPUT POF JO GSPOU PG FBDI TMJU )PXFWFS B XBWF NPEFM PG FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO BMMPXT VT UP FYQMBJO CPUI UIF OVNCFS PG CSJHIU TQPUT BOE UIFJS SFMBUJWF CSJHIUOFTT 'VSUIFSNPSF JU BMMPXT VT UP NBLF RVBOUJUBUJWF QSFEJDUJPOT PG UIF MPDBUJPOT PG UIF CSJHIU BOE EBSL TQPUT PO UIF TDSFFO TJNQMZ CZ BQQMZJOH UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF

$PIFSFOU .POPDISPNBUJD 3BEJBUJPO -BTFST FNJU MJHIU XJUI SBUIFS TQFDJBM QSPQFSUJFT 5IF FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO JO B MBTFS CFBN JT DPIFSFOU UIF QIBTF PG UIF PTDJMMBUJPOT JT UIF TBNF BOE NPOPDISPNBUJD BMM SBEJBUJPO FNJUUFE IBT UIF TBNF XBWFMFOHUI  #FDBVTF B MBTFS QSPEVDFT DPIFSFOU NPOPDISPNBUJD MJHIU JU JT B HPPE TPVSDF UP VTF GPS FYQFSJNFOUT XJUI MJHIU *O DPOUSBTU MJHIU GSPN BO PSEJOBSZ JODBOEFTDFOU MJHIU CVMC JT B NJYUVSF PG SBEJBUJPO PG NBOZ XBWFMFOHUIT BOE JT OPU DPIFSFOU FMFDUSJD àFMET OPU PTDJMMBUJOH JO QIBTF  8F DBO UIJOL PG UIF UXP TMJUT BT UXP TFQBSBUF TPVSDFT PG FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO QSPEVDJOH UXP FMFDUSPNBHOFUJD XBWFT UIBU BSF DPIFSFOU BOE NPOPDISPNBUJD " EFSJWBUJPO BU UIF FOE PG UIJT TVQQMFNFOU TIPXT UIBU GPS UIF SFHJPO CFUXFFO UIF TMJUT BOE UIF TDSFFO XF DBO USFBU UIF UXPTMJU JOUFSGFSFODF QIFOPNFOPO BT UIPVHI UIF UXP TMJUT XFSF JOQIBTF TPVSDFT PG MJHIU

$POTUSVDUJWF *OUFSGFSFODF $POTJEFS UXP QBSBMMFM SBEJP BOUFOOBT QMBDFE OFBS FBDI PUIFS CPUI ESJWFO CZ UIF TBNF USBOTNJUUFS BOE CPUI FNJUUJOH FMFDUSJDàFME DPTJOF XBWFT PG UIF GPSN & DPT ωU

XJUI UIF TBNF BNQMJUVEF & BOE UIF TBNF BOHVMBS GSFRVFODZ ω XIFSF ω = πG = π/5  'PS DMBSJUZ UIF BDDPNQBOZJOH NBHOFUJD àFME JT OPU TIPXO JO 'JHVSF 4 OPS EP XF TIPX UIF /S GBMMPGG PG UIF SBEJBUJWF FMFDUSJD àFME 4JODF UIF FNJUUFE FMFDUSPNBHOFUJD XBWFT IBWF POMZ B TJOHMF GSFRVFODZ UIFZ BSF NPOPDISPNBUJD #FDBVTF UIF QIBTF PG UIF XBWFT FNJUUFE CZ UIF UXP TPVSDFT JT UIF TBNF UIFZ BSF BMTP DPIFSFOU E2 E1 + E2 E1

'JHVSF 4 5IF FMFDUSJD àFME SBEJBUFE CZ UXP SBEJP BOUFOOBT "U UIF QBSUJDVMBS MPDBUJPO TIPXO UIF UXP FMFDUSJD àFMET BSF JO QIBTF BOE UIF OFU àFME JT UXJDF UIF àFME PG POF BOUFOOB

"U BOZ MPDBUJPO JO TQBDF UIF OFU FMFDUSJD àFME JT PG DPVSTF UIF TVQFSQPTJUJPO WFDUPS TVN PG UIF UXP SBEJBUJWF FMFDUSJD àFMET HFOFSBUFE CZ UIF UXP BOUFOOBT "U UIF MPDBUJPO JO 'JHVSF 4 XIFSF XF TIPX UXP XBWFT DSPTTJOH UIF UXP FMFDUSJD àFMET BEE VQ JO QIBTF XJUI FBDI PUIFS & DPT ωU + & DPT ωU = & DPT ωU

4 8BWF 1IFOPNFOB

4

5IF NBYJNVN FMFDUSJD àFME PS BNQMJUVEF BU UIJT QBSUJDVMBS MPDBUJPO JT UXJDF BT MBSHF BT UIF FMFDUSJD àFME EVF UP B TJOHMF BOUFOOB 8F TBZ UIBU BU UIJT MPDBUJPO UIF UXP XBWFT JOUFSGFSF DPOTUSVDUJWFMZ

3FEJTUSJCVUJPO PG &OFSHZ 'MPX 8F IBWF KVTU TFFO UIBU BU B MPDBUJPO XIFSF UXP DPTJOF XBWFT BEE VQ JO QIBTF XF àOE BO BNQMJUVEF UIBU JT UXJDF BT CJH BT UIF BNQMJUVEF EVF UP B TJOHMF BOUFOOB 5IF FMFDUSJD àFME BU UIJT MPDBUJPO TUJMM PTDJMMBUFT TJOVTPJEBMMZ XJUI UIF TBNF GSFRVFODZ BT UIBU PG UIF UXP XBWFT

*G UIF BNQMJUVEF JT UXJDF BT CJH IPX NVDI CJHHFS JT UIF JOUFOTJUZ UIF UJNFBWFSBHFE FOFSHZ áPX

26&45*0/

5IF JOUFOTJUZ BU UIBU MPDBUJPO PS UIF CSJHIUOFTT JO UIF DBTF PG WJTJCMF MJHIU JT GPVS UJNFT BT MBSHF BT JU XPVME CF GSPN POF BOUFOOB &WJEFOUMZ UIJT QSPWJEFT B XBZ UP NBLF NPSF JOUFOTF SBEJBUJPO BU UIBU MPDBUJPO CVU TPNFUIJOH JT QFDVMJBS 5IF UXP BOUFOOBT SBEJBUF UXJDF BT NVDI FOFSHZ BT POF BOUFOOB TP IPX DBO UIF JOUFOTJUZ BU UIJT MPDBUJPO CF GPVS UJNFT BT MBSHF &WJEFOUMZ UIFSF NVTU CF TPNF PUIFS QMBDF XIFSF UIF JOUFOTJUZ JT TNBMMFS UIBO VTVBM

%FTUSVDUJWF *OUFSGFSFODF $POTJEFS B EJGGFSFOU MPDBUJPO XIFSF UIF UXP DPTJOF XBWFT BSF PVU PG QIBTF CZ ◦ 'JHVSF 4  "U UIJT MPDBUJPO POF PG UIF XBWFT IBE UP USBWFM λ/ GBSUIFS UIBO UIF PUIFS POF 4JODF UIFZ TUBSUFE JO QIBTF UIFSF JT OPX B QIBTF EJGGFSFODF PG ◦ π SBE 

E1

E2

E1 + E2 = 0

'JHVSF 4 "U B EJGGFSFOU MPDBUJPO UIF UXP FMFDUSJD àFMET BSF ◦ PVU PG QIBTF BOE HJWF B OFU àFME PG [FSP BU BMM UJNFT

8IBU JT UIF BNQMJUVEF NBYJNVN FMFDUSJD àFME BU UIF MPDBUJPO JO 'JHVSF 4 XIFSF XF TIPX UXP SBZT DSPTTJOH

26&45*0/

&WJEFOUMZ UIF FMFDUSJD àFME TVNT UP [FSP BU BMM UJNFT BU UIJT MPDBUJPO CFDBVTF UIF UXP XBWFT BSF ◦ PVU PG QIBTF XJUI FBDI PUIFS 8F TBZ UIBU UIFTF UXP XBWFT JOUFSGFSF EFTUSVDUJWFMZ BU UIJT MPDBUJPO BOE UIF HFOFSBM QIFOPNFOPO JT DBMMFE iJOUFSGFSFODFu *O QIZTJDT UIF UFSN JOUFSGFSFODF SFGFST JO HFOFSBM UP UIF TVQFSQPTJUJPO PG XBWFT GSPN NVMUJQMF TPVSDFT 8F TBZ UIBU BU B MPDBUJPO XIFSF UIF UXP XBWFT BEE UP FBDI PUIFS UIFZ JOUFSGFSF DPOTUSVDUJWFMZ XIJDI JT SBUIFS QFDVMJBS MBOHVBHF CVU DPNNPOMZ VTFE JO UFDIOJDBM EJTDVTTJPOT 5XP TJOVTPJEBM TPVSDFT QSPEVDF B DPNQMFY QBUUFSO PG SBEJBUJPO JO TQBDF 5IF JOUFOTJUZ PG UIF SBEJBUJPO JT MBSHFS BU TPNF MPDBUJPOT UIBO POF NJHIU FYQFDU BOE TNBMMFS PS FWFO [FSP BU PUIFS MPDBUJPOT *G ZPV MPPL BU UIF JOUFOTJUZ JO FWFSZ EJSFDUJPO JU DBO CF TIPXO UIBU UIF UPUBM FOFSHZ SBEJBUFE BXBZ JT UXJDF UIF FOFSHZ SBEJBUFE BXBZ CZ POF BOUFOOB BT ZPV XPVME FYQFDU *UT KVTU UIBU UIF SBEJBUFE FOFSHZ JT SFEJTUSJCVUFE JO B TQFDJBM XBZ

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT */5&3'&3&/$& ."9*." "/% .*/*." 5XP DPTJOFT DBO BEE VQ UP HJWF B NBYJNVN XJUI UXJDF UIF BNQMJUVEF BOE GPVS UJNFT UIF JOUFOTJUZ 5IJT PDDVST XIFO UIF QBUI EJGGFSFODF JT  λ λ λ FUD 5XP DPTJOFT DBO BEE UP HJWF B NJOJNVN XJUI [FSP BNQMJUVEF BOE [FSP JOUFOTJUZ 5IJT PDDVST XIFO UIF QBUI EJGGFSFODF JT λ/ λ/ λ/ FUD $BO ZPV PCTFSWF DPNQMFUFMZ EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF UIBU JT [FSP JOUFOTJUZ BU TPNF MPDBUJPO XJUI UXP TPVSDFT UIBU IBWF EJGGFSFOU BOHVMBS GSFRVFODJFT ω BOE ω 8IZ PS XIZ OPU

26&45*0/

C

5IFSF JT OP MPDBUJPO BU XIJDI UIF UXP TPVSDFT DBODFM FBDI PUIFS BMM UIF UJNF CFDBVTF FWFO JG UIF XBWFT DBODFMFE FBDI PUIFS BU TPNF NPNFOU BGUFS POF DZDMF PG UIF àSTU XBWF UIF TFDPOE XBWF XPVMEOU IBWF SFUVSOFE UP UIF TBNF WBMVF TP UIFZ XPVMEOU DBODFM BU UIJT MBUFS UJNF /PU POMZ NVTU UIF GSFRVFODJFT PS BOHVMBS GSFRVFODJFT PG UIF TPVSDFT CF FYBDUMZ UIF TBNF CVU UIF TPVSDFT NVTU BMTP IBWF B DPOTUBOU SFMBUJWF QIBTF NVTU CF DPIFSFOU 

Line AC ≈ line BC

Δl

=d

sin

θ

1SFEJDUJOH UIF 3BEJBUJPO 1BUUFSO GPS 5XP 4PVSDFT

Source 1

8F TIPVME OPX CF BCMF UP QSFEJDU XIFSF UXP TPVSDFT UIBU BSF JO QIBTF XJUI FBDI PUIFS XJMM HJWF IJHIJOUFOTJUZ NBYJNB "MM XF IBWF UP EP JT àHVSF PVU XIFSF UIF QBUI EJGGFSFODFT BSF NVMUJQMFT PG POF XBWFMFOHUI &RVJWBMFOUMZ XF DBO àHVSF PVU XIFSF UIF QIBTF EJGGFSFODF JT B NVMUJQMF PG ◦ π SBE  4JNJMBSMZ XF DBO àOE B MPDBUJPO PG [FSP JOUFOTJUZ CZ àHVSJOH PVU XIFSF UIFSF JT B QBUI EJGGFSFODF PG IBMG B XBWFMFOHUI PS B QIBTF EJGGFSFODF PG ◦ π SBE  $POTJEFS UXP TPVSDFT UIBU SBEJBUF JO QIBTF BOE DPOTJEFS JOUFSGFSFODF BU B MPDBUJPO $ JO B EJSFDUJPO θ NFBTVSFE GSPN UIF QFSQFOEJDVMBS CJTFDUPS CFUXFFO UIF UXP TPVSDFT 'JHVSF 4  8F OFFE UP CF BCMF UP DBMDVMBUF UIF QBUI EJGGFSFODF ΔM JO UFSNT PG UIF BOHMF θ JO PSEFS UP EFUFSNJOF XIFUIFS UIFSF DPVME CF B NBYJNVN PS B NJOJNVN JO UIF JOUFOTJUZ BU MPDBUJPO $

θ

A 90°

θ

B Source 2

d

'JHVSF 4 5IF QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO UXP TPVSDFT SBEJBUJOH JO QIBTF /FBS UIF TPVSDFT UIF QBUIT BSF OFBSMZ QBSBMMFM

"QQSPYJNBUJPO GPS %JTUBOU 0CTFSWBUJPO -PDBUJPOT *O 'JHVSF 4 JG UIF PCTFSWBUJPO MPDBUJPO $ JT GBS BXBZ GSPN UIF TPVSDFT BT JU VTVBMMZ JT JO NPTU BQQMJDBUJPOT PG UIF UIFPSZ

XF DBO NBLF UIF BQQSPYJNBUJPO UIBU JO UIF SJHIU USJBOHMF "#$ ESBXO PO UIF EJBHSBN UIF CBTF "$ JT BMNPTU UIF TBNF MFOHUI BT UIF IZQPUFOVTF #$ 5IJT BQQSPYJNBUJPO JT WBMJE JG UIF PCTFSWBUJPO MPDBUJPO $ JT GBS FOPVHI GSPN UIF TPVSDFT UIBU ∠"$# JT B WFSZ TNBMM BOHMF *O UIJT DBTF UIF QBUI GSPN TPVSDF  UP $ JT UP BO FYDFMMFOU BQQSPYJNBUJPO ΔM = E TJO θ MPOHFS UIBO UIF QBUI GSPN TPVSDF  QBUI #$  1"5) %*''&3&/$& ΔM = E TJO θ 5IJT JT HFPNFUSZ OPU QIZTJDT 5IF QIZTJDT MJFT JO UIF GBDU UIBU JG UIF QBUI EJGGFSFODF ΔM JT BO JOUFHFS OVNCFS PG XBWFMFOHUIT UIFSF XJMM CF B NBYJNVN BU UIF BOHMF θ EFUFSNJOFE CZ ΔM = E TJO θ *G ΔM JT λ/ λ/ λ BOE TP PO UIFSF XJMM CF B NJOJNVN [FSP JOUFOTJUZ BU UIF BOHMF θ EFUFSNJOFE CZ ΔM = E TJO θ /PUF UIF JNQPSUBODF PG UIF TQBDJOH E CFUXFFO UIF TPVSDFT *O QBSUJDVMBS JG E < λ ZPV DBO OFWFS HFU DPNQMFUFMZ DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF FYDFQU BU θ = ◦ PS θ = ◦ CFDBVTF E TJO θ JT BMXBZT MFTT UIBO λ *G E < λ/ ZPV DBO OFWFS HFU [FSP JOUFOTJUZ DPNQMFUFMZ EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF 

4 8BWF 1IFOPNFOB

Max2 Max3

Max1 Min2

Min1

*OUFOTJUZ WT "OHMF

Max0

Min3

Max4 Min4

I θ

Min5

in

Δl

4

s =d

θ

d = 4.5λ

'JHVSF 4 JT B QMPU PG UIF JOUFOTJUZ QBUUFSO WT BOHMF GPS UXP TPVSDFT UIBU BSF ESJWFO JO QIBTF XJUI FBDI PUIFS BOE MPDBUFE B EJTUBODF E BQBSU XIFSF JO UIJT QBSUJDVMBS DBTF E = λ *O TPNF EJSFDUJPOT .BY .BY FUD

UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI ΔM = E TJO θ GPS UIF UXP DPTJOF XBWFT JT [FSP PS BO JOUFHFS OVNCFS PG XBWFMFOHUIT UIF BNQMJUVEFT BEE VQ JO QIBTF BOE UIF JOUFOTJUZ * JT GPVS UJNFT BT MBSHF BT UIF JOUFOTJUZ PG B TJOHMF TPVSDF *O TPNF PUIFS EJSFDUJPOT .JO .JO FUD

UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI ΔM = E TJO θ GPS UIF UXP DPTJOF XBWFT JT IBMG B XBWFMFOHUI PS λ/ λ/ FUD

UIF XBWFT BSF ◦ PVU PG QIBTF XJUI FBDI PUIFS BOE UIF JOUFOTJUZ * JT [FSP 8IZ JT UIF JOUFOTJUZ B NBYJNVN BU θ = ◦ MPDBUJPO .BY BOE θ = ◦

26&45*0/

"U ◦ BOE ◦ UIF QBUI MFOHUIT BSF UIF TBNF GSPN CPUI TPVSDFT TP UIF XBWFT BSF JO QIBTF HJWJOH B NBYJNVN JOUFOTJUZ 'JHVSF 4 5IF JOUFOTJUZ QBUUFSO GPS UXP TPVSDFT 5IF CBS NBSLT UIF JOUFOTJUZ * BU UIF MPDBUJPO PG B NBYJNVN .BY 

*O 'JHVSF 4 E = λ 8IZ JT UIF JOUFOTJUZ FRVBM UP [FSP BU θ = ◦ MPDBUJPO .JO BOE BU θ = −◦

26&45*0/

"U ◦ BOE −◦ UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUIT GSPN UIF UXP TPVSDFT JT λ TP UIF UXP XBWFT BSF λ PVU PG QIBTF XIJDI JT ◦ EJGGFSFODF JO QIBTF 5IJT HJWFT DPNQMFUFMZ EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF 4UBSUJOH GSPN θ =  BT θ JODSFBTFT GSPN [FSP UIF JOUFOTJUZ GBMMT SBQJEMZ UP [FSP BU MPDBUJPO .JO  5IF FYBDU WBSJBUJPO PG UIF JOUFOTJUZ XJUI BOHMF DBO CF DBMDVMBUFE CZ BEEJOH VQ UXP DPTJOF XBWFT XJUI B WBSZJOH QIBTF EJGGFSFODF BOE UIJT IBT CFFO EPOF JO UIF DPNQVUFS QSPHSBN VTFE UP DSFBUF UIF EJBHSBN )PXFWFS GPS NBOZ QVSQPTFT JU JT TVGàDJFOU KVTU UP àHVSF PVU XIFSF UIF NBYJNB BOE NJOJNB BSF " SPVHI RVBMJUBUJWF TLFUDI PG UIF JOUFOTJUZ QBUUFSO CFUXFFO B NBYJNVN BOE B NJOJNVN XJMM CF BEFRVBUF GPS PVS QVSQPTFT JO UIJT EJTDVTTJPO $IFDLQPJOU  5IF UXP TPVSDFT JO 'JHVSF 4 BSF TFQBSBUFE CZ B EJTUBODF E = λ B $BMDVMBUF UIF BOHMF θ XIFSF UIF àSTU NJOJNVN JT FODPVOUFSFE MPDBUJPO .JO JO 'JHVSF 4  )JOU 8IBU NVTU CF UIF QBUI EJGGFSFODF E TJO θ JO UIJT EJSFDUJPO C "T θ JODSFBTFT CFZPOE UIF MPDBUJPO PG UIF àSTU NJOJNVN UIF JOUFOTJUZ SJTFT SBQJEMZ UP B TFDPOE NBYJNVN UIFO GBMMT UP B NJOJNVN SJTFT BHBJO BOE TP PO $BMDVMBUF UIF BOHMF θ BU MPDBUJPO .BY JO 'JHVSF 4 )JOU 8IBU NVTU E TJO θ CF JO UIJT EJSFDUJPO

4VNNBSZ 5XP4PVSDF *OUFSGFSFODF )FSF JT B TVNNBSZ PG UIF NBKPS QPJOUT TP GBS -0$"5*0/4 0' ."9*." "/% .*/*." .BYJNVN JOUFOTJUZ * XIFSF ΔM = E TJO θ JT  λ λ λ FUD .JOJNVN JOUFOTJUZ [FSP XIFSF ΔM = E TJO θ JT λ/ λ/ λ/ FUD /P [FSPJOUFOTJUZ NJOJNVN JT QPTTJCMF JG E < λ/ *G UIF TPVSDFT BSF DPIFSFOU CVU OPU JO QIBTF ZPV OFFE UP UBLF UIBU QIBTF EJGGFSFODF JOUP DPOTJEFSBUJPO JO BEEJUJPO UP UIF QIBTF EJGGFSFODF EVF UP ΔM

5XP4MJU *OUFSGFSFODF &BSMJFS XF NFOUJPOFE UIF QIFOPNFOPO PG UXPTMJU JOUFSGFSFODF PCTFSWBCMF XJUI B MBTFS MJHIU TPVSDF 8F BSF OPX JO B QPTJUJPO UP SFMBUF UIF TMJU TQBDJOH BOHMFT BU XIJDI XF àOE NBYJNB BOE NJOJNB BOE UIF XBWFMFOHUI PG UIF MBTFS MJHIU

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT x Screen

Intensity

*O B UPQ WJFX 'JHVSF 4

XF TIPX UIF MBTFS UIF UXP TMJUT BOE UIF JOUFOTJUZ QBUUFSO PO UIF TDSFFO XIJDI DBO CF NFBTVSFE RVBOUJUBUJWFMZ XJUI B MJHIU NFUFS 4VQQPTF UIBU UIF EJTUBODF CFUXFFO UIF TMJUT JT E =  NN UIF EJTUBODF GSPN UIF TMJUT UP UIF TDSFFO JT - =  N BOE UIF EJTUBODF PO UIF TDSFFO GSPN UIF DFOUFS NBYJNVN UP UIF OFYU NBYJNVN JT NFBTVSFE UP CF Y =  NN 26&45*0/

$BMDVMBUF UIF XBWFMFOHUI PG UIJT MBTFS MJHIU

"U UIF TFDPOE NBYJNVN E TJO θ = λ TP TJO θ = λ/E 'PS TNBMM BOHMFT TJO θ ≈ UBO θ ≈ θ TP λ/E ≈ Y/- 5IFSFGPSF XF IBWF

θ L

λ= Two slits d

YE  × − N  × − N

= =  × − N =  ON  N

5IJT XBWFMFOHUI JT JO UIF SFE QPSUJPO PG UIF WJTJCMF TQFDUSVN *U XBT FYQFSJNFOUT PG B TJNJMBS LJOE UIBU JOJUJBMMZ FTUBCMJTIFE XIBU XF OPX LOPX BCPVU UIF XBWFMFOHUIT PG WJTJCMF MJHIU

Laser

*OUFOTJUZ 7BSJBUJPO PG *OUFSGFSFODF .BYJNB 'JHVSF 4 5PQ WJFX PG B MBTFS UXP TMJUT BOE BO JOUFSGFSFODF QBUUFSO PO B TDSFFO

8F DBO QSFEJDU UIF MPDBUJPOT PG JOUFSGFSFODF NBYJNB BOE NJOJNB )PXFWFS XF IBWF OPU ZFU GPVOE BO FYQMBOBUJPO GPS UIF QPTTJCMF WBSJBUJPO JO CSJHIUOFTT PG UIF NBYJNB 5P FYQMBJO XIZ JO TPNF DBTFT UIF DFOUSBM NBYJNVN NBZ CF NVDI CSJHIUFS UIBO UIF PUIFST XF XJMM OFFE UP DPOTJEFS EJGGSBDUJPO GSPN B TJOHMF TMJU XIJDI JT EJTDVTTFE JO 4FDUJPO 4

8BWFMFOHUI 1BUI -FOHUI BOE %JTUBODF CFUXFFO 4PVSDFT 5IF JOUFSGFSFODF FGGFDUT XF IBWF EFTDSJCFE TIPX VQ JO TJUVBUJPOT XIFSF UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI PG UXP SBZT JT MBSHFS UIBO CVU DPNQBSBCMF UP UIF XBWFMFOHUI PG UIF FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO *O UIF DBTF PG SBEJP XBWFT XF DPOTJEFSFE JO UIF QSFWJPVT TFDUJPO E UIF TQBDJOH CFUXFFO UIF BOUFOOBT XBT TFWFSBM UJNFT UIF XBWFMFOHUI SFTVMUJOH JO QBUI EJGGFSFODFT PG VQ UP λ *O UIF DBTF PG UXPTMJU JOUFSGFSFODF XJUI B MBTFS UIF TMJU TQBDJOH  NN PS  × − N XBT OFBSMZ  UJNFT UIF XBWFMFOHUI PG UIF MJHIU BCPVU  ON PS  × − N  )PXFWFS CFDBVTF UIF TVSGBDF PO XIJDI XF TBX UIF JOUFSGFSFODF QBUUFSO XBT RVJUF GBS GSPN UIF TMJUT UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI GPS UIF UXP XBWFT XBT TUJMM POMZ B GFX UJNFT UIF XBWFMFOHUI PG UIF MJHIU

*OUFSGFSPNFUSZ " NPEFSO BQQMJDBUJPO PG UIJT JOUFSGFSFODF QIFOPNFOPO JT UP NFBTVSF WFSZ TNBMM EJTUBODFT " MBTFS CFBN JT TQMJU JOUP UXP CFBNT BOE NJSSPST HVJEF POF PG UIF CFBNT UP BO PCKFDU PG JOUFSFTU GSPN XIJDI UIF CFBN JT SFáFDUFE UP B TDSFFO XIFSF UIFSF JT JOUFSGFSFODF XJUI UIF PUIFS MBTFS CFBN *G UIF PCKFDU NPWFT FWFO B GSBDUJPO PG POF XBWFMFOHUI PG WJTJCMF MJHIU UIFSF JT BO FBTJMZ PCTFSWBCMF TIJGU JO UIF JOUFSGFSFODF QBUUFSO PO UIF TDSFFO 5IJT VTF PG JOUFSGFSFODF QIFOPNFOB UP NFBTVSF TNBMM DIBOHFT JO EJTUBODF JT DBMMFE iJOUFSGFSPNFUSZu

4 .6-5*4063$& */5&3'&3&/$& %*''3"$5*0/ 4P GBS XFWF EJTDVTTFE JOUFSGFSFODF FGGFDUT QSPEVDFE CZ UXP DPIFSFOU TPVSDFT i%JGGSBDUJPOu JT UIF UFSN VTFE UP EFTDSJCF JOUFSGFSFODF FGGFDUT JOWPMWJOH B MBSHF OVNCFS PG TPVSDFT iJOUFSGFSFODFu EFTDSJCFT FGGFDUT JOWPMWJOH POMZ B GFX TPVSDFT *O UIJT TFDUJPO XFMM EJTDVTT TFWFSBM FYBNQMFT PG EJGGSBDUJPO

4 .VMUJTPVSDF *OUFSGFSFODF %JGGSBDUJPO

4

93BZ %JGGSBDUJPO

+

~1 10–10 m 'JHVSF 4 1BSU PG B TJNQMF DVCJD DSZTUBM MBUUJDF 0UIFS NPSF DPNQMFY HFPNFUSJD BSSBOHFNFOUT PG BUPNT BSF BMTP QPTTJCMF

-JHIU JO UIF YSBZ SFHJPO PG UIF TQFDUSVN DBO JOUFSBDU XJUI UIF FMFDUSPOT JO BO BUPN JO B TPMJE DSZTUBMMJOF PCKFDU *O PSEFS UP QSPCF UIF TUSVDUVSF PG B DSZTUBM JU JT OFDFTTBSZ UP QSPEVDF B NPOPDISPNBUJD DPIFSFOU CFBN PG YSBZ SBEJBUJPO BOE UP àOE B XBZ UP NFBTVSF QSFDJTFMZ UIF XBWFMFOHUI PG UIJT SBEJBUJPO 9SBZ EJGGSBDUJPO B UFDIOJRVF UIBU DBO CF VTFE UP TUVEZ UIF TUSVDUVSF PG DSZTUBMT PS PG JOEJWJEVBM NPMFDVMFT JO B DSZTUBM DBO BMTP CF VTFE UP QSFQBSF B NPOPDISPNBUJD YSBZ CFBN BOE UP NFBTVSF QSFDJTFMZ UIF XBWFMFOHUI PG TVDI B CFBN #FDBVTF PG JUT JNQPSUBODF XF XJMM EJTDVTT YSBZ EJGGSBDUJPO JO TPNF EFUBJM *O B DSZTUBM BUPNT PS NPMFDVMFT BSF BSSBOHFE JO B SFHVMBS UISFFEJNFOTJPOBM BSSBZ DBMMFE B MBUUJDF BT TIPXO JO 'JHVSF 4 *G FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO PG B TJOHMF XBWFMFOHUI IJUT B DSZTUBM FMFDUSPOT JO BMM UIF BUPNT BSF BDDFMFSBUFE BOE SFSBEJBUF 8F DBO FYQFDU UP àOE IJHI JOUFOTJUZ SFSBEJBUJPO POMZ JO UIPTF EJSFDUJPOT XIFSF UIF QBUI EJGGFSFODF GPS BEKBDFOU BUPNT JT λ λ λ BOE TP PO %FBMJOH XJUI B UISFFEJNFOTJPOBM BSSBZ PG TPVSDFT DBO CF HFPNFUSJDBMMZ DPNQMFY CVU XF XJMM MJNJU UIJT EJTDVTTJPO UP TPNF TJNQMF DBTFT UIBU JMMVTUSBUF UIF CBTJD QSJODJQMF

93BZ 8BWFMFOHUI λ ≈ E 1

Outgoing x-rays

Incoming x-rays 2

2

1

s

s

θ

θ

'JHVSF 4 3FSBEJBUJPO GSPN UIF UPQ MBZFS PG BUPNT JO B DSZTUBMMJOF TPMJE /PUF UIBU θ JT NFBTVSFE GSPN UIF TVSGBDF OPU GSPN UIF OPSNBM UP UIF TVSGBDF

Incoming x-rays 1

2 Outgoing x-rays 2

1

θ

d sin

d sin θ

θ θ d

θ

θ

θ

'JHVSF 4 3FSBEJBUJPO GSPN UIF UPQ UXP MBZFST JOWPMWFT BO BEEJUJPOBM QBUI EJGGFSFODF

5IF TQBDJOH CFUXFFO BUPNT JO B DSZTUBMMJOF TPMJE JT PG UIF PSEFS PG NBHOJUVEF PG BUPNJD TJ[FT PS BCPVU  × − NFUFS 8F IBWF TFFO UIBU JOUFSGFSFODF FGGFDUT SFRVJSF UIBU UIF XBWFMFOHUI λ NVTU CF DPNQBSBCMF UP UIF TQBDJOH E PS BCPVU  × − N 4VDI FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO JT DBMMFE YSBZT 9SBZT IBWF WFSZ TIPSU XBWFMFOHUIT DPNQBSFE UP WJTJCMF MJHIU WJPMFU MJHIU IBT B XBWFMFOHUI PG  ON PS  × − N BCPVU  UJNFT UIF XBWFMFOHUI PG YSBZT " DPNNPO XBZ UP QSPEVDF YSBZT JT UP TIPPU B CFBN PG WFSZ IJHIFOFSHZ FMFDUSPOT JOUP B CMPDL PG NFUBM TVDI BT DPQQFS 5IFTF IJHIFOFSHZ FMFDUSPOT TPNFUJNFT LOPDL BO FMFDUSPO PVU PG BO JOOFS FMFDUSPO TIFMM PG UIF DPQQFS BUPN 7FSZ TIPSUMZ UIFSFBGUFS BO FMFDUSPO GSPN BO PVUFS FMFDUSPO TIFMM ESPQT JOUP UIF IPMF BOE UIF BTTPDJBUFE MBSHF ESPQ JO FOFSHZ PG UIF BUPN JT BDDPNQBOJFE CZ UIF FNJTTJPO PG MJHIU PG IJHI FOFSHZ BOE TIPSU XBWFMFOHUI 5IJT JT UIF QSPEVDUJPO NFDIBOJTN VTFE JO NFEJDBM YSBZ FRVJQNFOU

$POEJUJPOT GPS $POTUSVDUJWF *OUFSGFSFODF 5P TFF UIF CBTJD JEFB CFIJOE YSBZ EJGGSBDUJPO XFMM DPOTJEFS B CFBN PG TJOHMFXBWFMFOHUI YSBZT UIBU IJU B TJNQMF DSZTUBM POF JO XIJDI UIF BUPNT BSF BSSBOHFE PO B UISFFEJNFOTJPOBM SFDUBOHVMBS HSJE *G UIF YSBZT DPNF JO BU BO BOHMF θ UP UIF TVSGBDF UIF àSTU MBZFS PG BUPNT XJMM SFSBEJBUF XJUI DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF BU BO BOHMF θ UIBU MPPLT MJLF TJNQMF SFáFDUJPO CFDBVTF JO UIBU EJSFDUJPO UIFSF JT B [FSP QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO BEKBDFOU TPVSDFT BUPNT JO UIF àSTU MBZFS  "MPOH QBUI  JO 'JHVSF 4 UIFSF JT BO FYUSB MFOHUI T JO UIF PVUHPJOH SBZ BOE BMPOH QBUI  UIFSF JT UIF TBNF FYUSB MFOHUI T JO UIF JODPNJOH SBZ "U PUIFS BOHMFT UIF QBUI EJGGFSFODF XPVME OPU CF [FSP BOE VOMFTT UIF QBUI EJGGFSFODF JT BO JOUFHFS OVNCFS PG XBWFMFOHUIT UIFSF XPVME OPU CF DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF 8F XJMM DPOTJEFS KVTU UIF TJNQMF DBTF XIFSF XF PCTFSWF B NBYJNVN BU UIF TJNQMF SFáFDUJPO BOHMF 5IF SFSBEJBUJPO GSPN PUIFS BUPNJD MBZFST CFMPX UIF TVSGBDF MBZFS OFFE OPU CF JO QIBTF XJUI UIF UPQ MBZFS VOMFTT TQFDJBM DPOEJUJPOT IPME *O 'JHVSF 4 JG UIF DFOUFSUPDFOUFS EJTUBODF CFUXFFO MBZFST JT E UIFSF JT B EJGGFSFODF E TJO θ JO QBUI MFOHUIT GPS FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO BDDFMFSBUJOH FMFDUSPOT JO BO BUPN JO UIF UPQ MBZFS XIJDI SFSBEJBUFT

BOE GPS BDDFMFSBUJOH FMFDUSPOT JO BO BUPN JO UIF OFYU MBZFS XIJDI BMTP SFSBEJBUFT  *G UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI E TJO θ JT OPU FRVBM UP UIF XBWFMFOHUI λ PS TPNF NVMUJQMF PG λ

UIF UXP UPQNPTU MBZFST PG BUPNT XJMM OPU SFSBEJBUF JO

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT QIBTF BU UIF BOHMF θ "MTP BU TPNF PUIFS BOHMF θ UIF BUPNT JO UIF UPQ MBZFS XPOU SBEJBUF JO QIBTF XJUI FBDI PUIFS 5IFSFGPSF JG ZPV PSJFOU UIF TVSGBDF PG UIF DSZTUBM BU BO BOHMF θ UP UIF YSBZ CFBN ZPV NBZ PS NBZ OPU HFU BO JOUFOTF CFBN PG YSBZT SFSBEJBUFE SFáFDUFE GSPN UIF DSZTUBM BU UIF SFáFDUJPO BOHMF :PV XJMM HFU BO JOUFOTF iSFáFDUJPOu POMZ JG UIF GPMMPXJOH DPOEJUJPO JT USVF $0/%*5*0/ '03 $0/4536$5*7& 93": */5&3'&3&/$& E TJO θ = Oλ

'JHVSF 4 9SBZ EJGGSBDUJPO QBUUFSO TIPXJOH JOUFSGFSFODF NBYJNB GSPN B TJOHMF DSZTUBM PG UVOHTUFO

XIFSF O JT BO JOUFHFS

/PUF UIBU JG UIF UPQ UXP MBZFST SFSBEJBUF JO QIBTF UIF SFSBEJBUJPO GSPN BMM UIF PUIFS MBZFST XJMM BMTP CF JO QIBTF 5IJT FGGFDU DBMMFE YSBZ EJGGSBDUJPO CFDBVTF JU JOWPMWFT B IVHF OVNCFS PG TPVSDFT DBO CF VTFE UP EFEVDF UIF TQBDJOH E CFUXFFO MBZFST JO B DSZTUBM "TTVNF UIBU ZPV IBWF B TPVSDF PG TJOHMFXBWFMFOHUI YSBZT XIPTF XBWFMFOHUI λ JT LOPXO :PV EJSFDU B CFBN PG UIFTF YSBZT BU BO BOHMF θ POUP UIF DSZTUBM BOE ZPV MPPL GPS BO JOUFOTF CFBN BU UIF SFáFDUJPO BOHMF *G UIFSF JT OP JOUFOTF CFBN UIFSF ZPV DIBOHF UIF BOHMF B CJU BOE MPPL BHBJO 5ZQJDBMMZ POF UVSOT UIF DSZTUBM SBUIFS UIBO UIF MBSHF YSBZ CFBN BQQBSBUVT *G ZPV àOE BO JOUFOTF SFáFDUJPO BU B QBSUJDVMBS BOHMF θ ZPV LOPX UIBU UIF TQBDJOH CFUXFFO MBZFST PG BUPNT JT E = Oλ/  TJO θ  :PV NBZ OFFE UP EP TPNF BEEJUJPOBM DIFDLJOH UP EFUFSNJOF UIF WBMVF PG O XIJDI DPVME CF    BOE TP PO 'JHVSF 4 TIPXT B QBUUFSO PG DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF GSPN B DSZTUBM PG UVOHTUFO 5IF YSBZT QSPEVDFE CZ TPNF LJOET PG YSBZ TPVSDFT IBWF B DPOUJOVPVT TQFDUSVN PG XBWFMFOHUIT )PX DBO POF NBLF B CFBN PG TJOHMFXBWFMFOHUI YSBZT GSPN TVDI TPVSDFT 26&45*0/ 4VQQPTF UIBU ZPV IBWF B DSZTUBM XJUI LOPXO TQBDJOH E CFUXFFO BUPNJD MBZFST &YQMBJO CSJFáZ IPX UP VTF UIJT DSZTUBM XJUI B NVMUJXBWFMFOHUI CFBN PG YSBZT UP QSPEVDF B TJOHMFXBWFMFOHUI CFBN XIJDI DBO CF VTFE JO FYQFSJNFOUT PO DSZTUBMT XIPTF TUSVDUVSF JT OPU LOPXO

End view

'JHVSF 4 9SBZ EJGGSBDUJPO XJUI B QPXEFS PG DSZTUBMT BU SBOEPN PSJFOUBUJPOT

'JHVSF 4 9SBZ EJGGSBDUJPO QBUUFSO GSPN QPMZDSZTUBMMJOF MJUIJVN áVPSJEF

'PS UIF HJWFO BUPNJDMBZFS TQBDJOH E BOE EFTJSFE XBWFMFOHUI λ XF DBO HFU B MBSHF JOUFOTJUZ GPS KVTU UIBU XBWFMFOHUI BU UIF BOHMF θ UIBU TBUJTàFT E TJO θ = λ *G XF EJSFDU UIF YSBZ CFBN BU UIF DSZTUBM BU UIJT BOHMF XFMM HFU B TUSPOH SFáFDUJPO GPS UIF EFTJSFE XBWFMFOHUI XIFSFBT PUIFS XBWFMFOHUIT XPOU HJWF B TUSPOH CFBN JO UIBU EJSFDUJPO 9SBZ EJGGSBDUJPO JT BO FYUSFNFMZ QPXFSGVM UPPM UIBU IBT CFFO VTFE UP EFUFSNJOF UIF TUSVDUVSF PG B IVHF WBSJFUZ PG DSZTUBMT *U DBO BMTP CF VTFE XJUI QPMZDSZTUBMMJOF NBUFSJBMT NBUFSJBMT JO UIF GPSN PG B QPXEFS PG UJOZ DSZTUBMT PSJFOUFE JO SBOEPN EJSFDUJPOT *O TVDI B QPXEFS DPOUBJOJOH B WFSZ MBSHF OVNCFS PG UJOZ DSZTUBMT UIFSF XJMM CF TPNF DSZTUBMT UIBU IBQQFO UP CF PSJFOUFE BU BOHMFT UP UIF YSBZ CFBN UIBU TBUJTGZ UIF DPOEJUJPO E TJO θ = Oλ JO XIJDI DBTF UIFSF JT JOUFOTF SFSBEJBUJPO JO B SJOH TVSSPVOEJOH UIF JODPNJOH YSBZ CFBN BU UIF BQQSPQSJBUF BOHMF 'JHVSF 4  9SBZ àMN FYQPTFE UP UIJT SFSBEJBUJPO TIPXT SJOHT XIPTF EJBNFUFST UFMM B HSFBU EFBM BCPVU UIF DSZTUBM TUSVDUVSF FWFO JG POF EPFTOU IBWF B TJOHMF MBSHF DSZTUBM BWBJMBCMF " EJGGSBDUJPO QBUUFSO GSPN QPXEFSFE MJUIJVN áVPSJEF JT TIPXO JO 'JHVSF 4 " MBZFS PG BUPNT SFSBEJBUJOH JO QIBTF OFFE OPU CF QBSBMMFM UP UIF TVSGBDF PG B DSZTUBM " MBZFS DBO DPOTJTU PG BOZ HFPNFUSJDBM QMBOF ESBXO UISPVHI UIF DSZTUBM JO TVDI B XBZ UIBU NBOZ BUPNT MJF JO UIBU QMBOF TP BT UP HJWF B MBSHF SFSBEJBUJPO JOUFOTJUZ  *O BEEJUJPO JG UIF DSZTUBM JT NBEF VQ PG NPSF UIBO POF LJOE PG BUPN BT JO /B$M DSZTUBMT GPS FYBNQMF

BDDVSBUF NFBTVSFNFOUT PG JOUFOTJUZ DBO QSPWJEF JOGPSNBUJPO BCPVU UIF BSSBOHFNFOU PG UIF EJGGFSFOU BUPNT CFDBVTF EJGGFSFOU BUPNT SFSBEJBUF EJGGFSFOU BNPVOUT PG FOFSHZ

4 .VMUJTPVSDF *OUFSGFSFODF %JGGSBDUJPO

4

$IFDLQPJOU  *U JT LOPXO UIBU UIF TQBDJOH CFUXFFO OFJHICPSJOH QMBOFT PG BUPNT JO B QBSUJDVMBS DSZTUBM JT  × − N " NPOPDISPNBUJD YSBZ CFBN PG XBWFMFOHUI  × − N JT EJSFDUFE BU UIF DSZTUBM "U XIBU BOHMF NJHIU POF FYQFDU UP àOE BO JOUFSGFSFODF NBYJNVN

2 1 s1

s2

3FáFDUJPO PG 7JTJCMF -JHIU λ % 'JHVSF 4 0OMZ XIFO JODJEFOU BOHMF  SFáFDUJPO BOHMF JT T = T TP ΔM = 

2 1

s1

s2

'JHVSF 4 "U BOZ PUIFS BOHMF T = / T TP ΔM JT OPO[FSP

8IZ EP XF TFF B SFáFDUJPO PG WJTJCMF MJHIU GSPN B TNPPUI TVSGBDF BU POMZ POF BOHMF 8IFO WJTJCMF MJHIU JOTUFBE PG YSBZT IJUT B DSZTUBM JU BDDFMFSBUFT FMFDUSPOT JO UIF NBUFSJBM BOE UIFSF JT JOEFFE SFSBEJBUJPO JO BMM EJSFDUJPOT )PXFWFS UIF YSBZ EJGGSBDUJPO DPOEJUJPO E TJO θ = Oλ GPS BEKBDFOU MBZFST JT OPU SFMFWBOU GPS WJTJCMF MJHIU CFDBVTF UIF EJTUBODF CFUXFFO BUPNJD MBZFST JT FYUSFNFMZ TNBMM DPNQBSFE UP UIF XBWFMFOHUI PG WJTJCMF MJHIU E ≈  × − N λ ≈  × − N  5IF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI GPS SFSBEJBUJPO GSPN BEKBDFOU MBZFST JT OFHMJHJCMF BOE BEKBDFOU MBZFST BSF OFBSMZ JO QIBTF #FDBVTF UIF JOUFSBUPNJD TQBDJOH E JT NVDI TNBMMFS UIBO λ GPS WJTJCMF MJHIU UIFSF XJMM CF DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF CFUXFFO UXP XBWFT POMZ JG UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI JT [FSP TP XF XJMM TFF POMZ POF IJHIJOUFOTJUZ NBYJNVN "T DBO CF TFFO GSPN 'JHVSF 4 GPS JOUFSBDUJPOT XJUI BUPNT JO UIF TVSGBDF MBZFS ΔM =  POMZ JG UIF SFáFDUJPO BOHMF FRVBMT UIF JODJEFOU BOHMF "U BOZ PUIFS BOHMF UIF EJGGFSFODF JO QBUI MFOHUI JT OPO[FSP 'JHVSF 4

BOE UIFSF JT EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF 5IF JOUFSBDUJPO PG UIF JODJEFOU SBEJBUJPO XJUI EFFQFS MBZFST PG BUPNT JT FTTFOUJBMMZ UIF TBNF TJODF UIF MBZFST BSF WFSZ DMPTF UPHFUIFS DPNQBSFE UP UIF XBWFMFOHUI PG UIF SBEJBUJPO

.FUBM 4VSGBDFT

Thin film with N layers; thickness λ/2

Path difference λ/2

3FáFDUJPO PG WJTJCMF MJHIU PGG B NFUBM TVSGBDF JT RVJUF EJGGFSFOU GSPN UIF SFáFDUJPO PGG USBOTQBSFOU JOTVMBUJOH NBUFSJBMT TVDI BT XBUFS PS HMBTT 5IF NPCJMF FMFDUSPOT JO B NFUBM BSF WFSZ FBTZ UP BDDFMFSBUF 5IF NPCJMF FMFDUSPOT OFBS UIF TVSGBDF HBJO B MPU PG FOFSHZ TP XF DPODMVEF UIBU MJUUMF FOFSHZ JT BWBJMBCMF UP USBOTGFS UP FMFDUSPOT GBS GSPN UIF TVSGBDF *U NVTU CF UIF DBTF UIBU UIF JOUFOTJUZ PG UIF SBEJBUJPO BOE UIFSFGPSF UIF JOUFOTJUZ PG UIF FMFDUSJD àFME JOTJEF UIF NFUBM JT TNBMM )PX DBO UIJT IBQQFO 1SFTVNBCMZ UIFSF JT TP NVDI SFSBEJBUJPO CZ BDDFMFSBUFE FMFDUSPOT OFBS UIF TVSGBDF PG UIF NFUBM UIBU UIFSF JT WFSZ MJUUMF OFU àFME JO UIF JOUFSJPS PG UIF NFUBM 5IFSF BSF OP TJHOJàDBOU JOUFSGFSFODF FGGFDUT CFUXFFO MBZFST BU EJGGFSFOU EFQUIT GSPN UIF TVSGBDF 0G DPVSTF UIFSF BSF UIF VTVBM JOUFSGFSFODF FGGFDUT JOWPMWJOH FMFDUSPOT JO EJGGFSFOU MPDBUJPOT PO UIF TVSGBDF TP UIBU UIFSF JT TUSPOH JOUFOTJUZ POMZ BU UIF iSFáFDUJPOu BOHMF BOE NFUBMT NBLF HPPE NJSSPST

5IJO'JMN *OUFSGFSFODF λ/4 λ/4 Layer (N/2 + 1)

'JHVSF 4 7JTJCMF MJHIU FODPVOUFST B WFSZ UIJO àMN PG NBUUFS $POTJEFS QBJST PG MBZFST TVDI BT MBZFS  BOE MBZFS // + 

FUD

%FTQJUF XIBU XF TBJE BCPVU UIF DPOEJUJPO E TJO θ = Oλ GPS BEKBDFOU MBZFST JO DPOOFDUJPO XJUI SFáFDUJPO PG WJTJCMF MJHIU UIFSF DBO CF JOUFSFTUJOH JOUFSGFSFODF FGGFDUT XIFO WJTJCMF MJHIU IJUT B UIJO àMN PG USBOTQBSFOU NBUFSJBM POMZ B GFX XBWFMFOHUIT UIJDL TVDI BT B TPBQ CVCCMF PS B UIJO PJM TMJDL áPBUJOH PO B QVEEMF PG XBUFS 5IFTF UIJOàMN JOUFSGFSFODF FGGFDUT EFQFOE DSJUJDBMMZ PO UIF FYBDU UIJDLOFTT PG UIF UIJO àMN "TTVNF GPS TJNQMJDJUZ UIBU TJOHMFGSFRVFODZ JODPNJOH MJHIU IJUT UIF TVSGBDF PG B UIJO àMN OFBSMZ IFBEPO SBZT OFBSMZ QFSQFOEJDVMBS UP UIF TVSGBDF BT JO 'JHVSF 4  4VQQPTF UIBU UIF UIJO àMN IBT B UIJDLOFTT PG POMZ IBMG B XBWFMFOHUI λ/  5IPVHI UIJT JT B WFSZ UIJO àMN JU OFWFSUIFMFTT DPOUBJOT B MBSHF OVNCFS / PG BUPNJD MBZFST / JT BCPVU  × − N/ × − N  BUPNJD MBZFST *O 'JHVSF 4 DPOTJEFS QBJSJOH UIF àSTU MBZFS PG BUPNT XJUI BUPNJD MBZFS OVNCFS // +  = 

QBJSJOH UIF TFDPOE BUPNJD MBZFS XJUI BUPNJD MBZFS

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT OVNCFS // +  = 

BOE TP PO "UPNJD MBZFS OVNCFS // =  JT QBJSFE XJUI BUPNJD MBZFS OVNCFS / =  UIF MBTU MBZFS  5IF QBUI EJGGFSFODF GPS FBDI PG UIFTF QBJST JT λ/ TP FBDI QBJS QSPEVDFT [FSP JOUFOTJUZ BOE UIF UPUBM SFSBEJBUFE JOUFOTJUZ JT [FSP GPS B UIJO àMN XIPTF UIJDLOFTT JT λ/ #Z TJNJMBS BSHVNFOUT ZPV DBO TIPX UIBU UIFSF XJMM CF [FSP SFSBEJBUJPO GPS àMN UIJDLOFTTFT PG λ/ λ/ λ/ λ/ BOE TP PO‡BOZ JOUFHFS NVMUJQMF PG λ/ 'PS àMN UIJDLOFTTFT IBMGXBZ CFUXFFO UIFTF UIJDLOFTTFT λ/ λ/ λ/ FUD

JU DBO CF TIPXO UIBU UIFSF JT NBYJNVN SFSBEJBUJPO BMUIPVHI B GPSNBM QSPPG JT CFZPOE UIF TDPQF PG UIJT EJTDVTTJPO " TPBQ àMN PS PJM TMJDL XIFO JMMVNJOBUFE CZ PSEJOBSZ XIJUF MJHIU TIPXT B SBJOCPX PG DPMPST #SJFáZ FYQMBJO XIZ UIJT JT

26&45*0/

'PS B HJWFO àMN UIJDLOFTT TPNF XBWFMFOHUI NJHIU CF UIF SJHIU MFOHUI UP HJWF GVMMZ DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF BOE CF CSJHIU CVU PUIFS XBWFMFOHUIT XPVMEOU CF UIF SJHIU MFOHUI BOE XPVME CF EJN *G UIF àMN UIJDLOFTT JTOU VOJGPSN PS ZPV MPPL BU B EJGGFSFOU BOHMF UIF XBWFMFOHUI UIBU HJWFT GVMMZ DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF XJMM CF EJGGFSFOU *O B TPBQ CVCCMF UIBU MBTUT B MPOH UJNF NPSF BOE NPSF PG UIF MJRVJE áPXT UP UIF CPUUPN PG UIF CVCCMF 5IF UPQ QBSU HFUT WFSZ UIJO UIJOOFS UIBO B RVBSUFSXBWFMFOHUI PG MJHIU FWFO GPS WJPMFU MJHIU XIJDI IBT UIF TIPSUFTU WJTJCMF XBWFMFOHUI 5IJT WFSZ UIJO àMN TFFNT UP SFSBEJBUF BMNPTU OP MJHIU BU BMM JU BQQFBST CMBDL

CFDBVTF UIFSF BSF POMZ B TNBMM OVNCFS PG BUPNJD MBZFST DPNQBSFE UP UIF TFWFSBM UIPVTBOE UIBU DPOUSJCVUF XIFO UIF UIJDLOFTT JT B RVBSUFSXBWFMFOHUI " DMPTFMZ SFMBUFE UIJOàMN JOUFSGFSFODF QIFOPNFOPO JT SFTQPOTJCMF GPS UIF CSJMMJBOU JSJEFTDFOU DPMPST TFFO JO TPNF CVUUFSáZ XJOHT BOE CJSE GFBUIFST XIJDI DPOUBJO TUSVDUVSFT XJUI TQBDJOH DPNQBSBCMF UP B XBWFMFOHUI PG MJHIU 5IFSF JT DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF GPS TPNF DPMPST BOE EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF GPS PUIFST

*OEFY PG 3FGSBDUJPO 5IF SFMFWBOU XBWFMFOHUI JO UIJOàMN JOUFSGFSFODF JT UIF XBWFMFOHUI JOTJEF UIF NBUFSJBM "T XF TBX JO $IBQUFS  UIJT UVSOT PVU UP CF TIPSUFS UIBO UIF XBWFMFOHUI JO BJS *OTJEF B EFOTF USBOTQBSFOU NBUFSJBM TVDI BT HMBTT PS XBUFS JOEJWJEVBM BUPNT BSF TJHOJàDBOUMZ BGGFDUFE OPU POMZ CZ UIF JODPNJOH FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO CVU BMTP CZ UIF FMFDUSJD àFMET SFSBEJBUFE CZ UIF PUIFS BUPNT 8IFO ZPV BEE VQ BMM UIF FMFDUSJD àFMET ZPV àOE UIBU UIF QBUUFSO PG UIF OFU àFME IBT B DSFTUUPDSFTU EJTUBODF UIBU JT TIPSUFOFE 5IF GBDUPS CZ XIJDI UIF XBWFMFOHUI JT EFDSFBTFE JT DBMMFE UIF JOEFY PG SFGSBDUJPO BOE JT BSPVOE  GPS NBOZ LJOET PG HMBTT JU JT  GPS XBUFS *O B NBUFSJBM XJUI JOEFY PG SFGSBDUJPO O UIF XBWFMFOHUI λ = λ/O XIFSF λ JT UIF XBWFMFOHUI PG UIF SBEJBUJPO JO WBDVVN 5IF GSFRVFODZ PG UIF XBWF JT OPU BGGFDUFE BOE TJODF W = Gλ UIF BQQBSFOU TQFFE PG MJHIU JOTJEF B TPMJE JT OPUJDFBCMZ TMPXFS UIBO  ×  NT 5IJT DPNQMJDBUJPO EPFT OPU BGGFDU PVS BOBMZTJT PG YSBZ EJGGSBDUJPO CFDBVTF UIF SFSBEJBUJPO CZ BO BUPN FYQPTFE UP YSBZT JT WFSZ TNBMM DPNQBSFE UP UIF SFSBEJBUJPO CZ BO BUPN FYQPTFE UP WJTJCMF MJHIU *O UIF DBTF PG YSBZT XF DBO DPOTJEFS UIF FMFDUSJD àFME JOTJEF UIF NBUFSJBM UP CF EVF BMNPTU FOUJSFMZ UP UIF JODPNJOH SBEJBUJPO XJUI B OFHMJHJCMF DPOUSJCVUJPO GSPN UIF UJOZ SFSBEJBUJPO GSPN UIF PUIFS BUPNT $IFDLQPJOU  " àMN PG PJM  ON UIJDL áPBUT PO XBUFS 5IF JOEFY PG SFGSBDUJPO JT  'PS XIBU XBWFMFOHUI PG MJHIU XJMM UIFSF CF DPNQMFUF EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF

4 .VMUJTPVSDF *OUFSGFSFODF %JGGSBDUJPO

4

$PIFSFODF -FOHUI 5IFSF JT BO FGGFDU UIBU MJNJUT JOUFSGFSFODF FGGFDUT JO àMNT .PTU TPVSDFT PG WJTJCMF MJHIU QSPEVDF TJOVTPJEBM XBWFT XJUI B GBJSMZ TIPSU UPUBM MFOHUI - XIJDI DPSSFTQPOET UP UIF TIPSU MFOHUI PG UJNF ΔU = -/D EVSJOH XIJDI BO BUPN XBT FNJUUJOH UIF MJHIU D JT UIF TQFFE PG MJHIU  &WFO JG UIF UPUBM MFOHUI - DPSSFTQPOET UP B MBSHF OVNCFS PG XBWFMFOHUIT JU NJHIU CF MFTT UIBO B NJMMJNFUFS *G UIF UPUBM MFOHUI - JT TIPSUFS UIBO UXJDF UIF UIJDLOFTT PG UIF àMN CZ UIF UJNF UIF MJHIU SFSBEJBUFE CZ UIF MBTU BUPNJD MBZFS FNFSHFT GSPN UIF àMN UIF àSTU BUPNJD MBZFS IBT TUPQQFE FNJUUJOH BOE UIFSF JT OPUIJOH UP JOUFSGFSF XJUI 5IF UPUBM MFOHUI - PG UIF TJOVTPJEBM FNJTTJPO JT DBMMFE UIF iDPIFSFODF MFOHUIu 0OF PG UIF JNQPSUBOU QSPQFSUJFT PG MBTFST JT UIBU UIFZ FNJU MJHIU XJUI B WFSZ MPOH DPIFSFODF MFOHUI 5IJT JT QBSUJDVMBSMZ JNQPSUBOU JO NBLJOH IPMPHSBNT XIJDI BSF CBTFE PO JOUFSGFSFODF FGGFDUT

%JGGSBDUJPO (SBUJOHT

'JHVSF 4 " EJGGSBDUJPO HSBUJOH OPU UP TDBMF IBT NBOZ àOF QBSBMMFM TDSBUDIFT PO JUT TVSGBDF

" DPNQBDU EJTD $% MPPLT QSFUUZ NVDI MJLF B NJSSPS BOE ZPV DBO TFF B MBNQ SFáFDUFE JO UIF TIJOZ TVSGBDF )PXFWFS JG ZPV IPME UIF EJTD JO B àYFE QPTJUJPO BOE NPWF ZPVS FZF BXBZ GSPN UIF EJSFDU SFáFDUJPO ZPV TFF B SBJOCPX PG DPMPST 5IJT JT BO JOUFSGFSFODF FGGFDU 5IF DPNQBDU EJTD IBT DPODFOUSJD SJOHT PG UJOZ QJUT FUDIFE JOUP UIF QMBTUJD BOE UIFTF SJOHT PG QJUT TFQBSBUF VOEJTUVSCFE SJOHT PG QMBTUJD GSPN FBDI PUIFS :PV PCTFSWF JOUFSGFSFODF CFUXFFO SFáFDUJPOT GSPN BEKBDFOU VOEJTUVSCFE TFDUJPOT PG UIF QMBTUJD 5IF EJTUBODF E CFUXFFO BEKBDFOU SJOHT JT DPNQBSBCMF UP UIF XBWFMFOHUI PG WJTJCMF MJHIU PUIFSXJTF UIFSF XPVME CF OP FGGFDU  5IFSF BSF B WFSZ MBSHF OVNCFS PG SJOHT PO B DPNQBDU EJTD BOE UIF FGGFDU JT DBMMFE iEJGGSBDUJPO u UIF UFSN BQQMJFE UP JOUFSGFSFODF QIFOPNFOB XIFO UIFSF BSF B MBSHF OVNCFS PG TPVSDFT XIPTF XBWFT JOUFSGFSF XJUI FBDI PUIFS " TJNJMBS EFWJDF JT UIF EJGGSBDUJPO HSBUJOH B QJFDF PG HMBTT PS QMBTUJD UIBU IBT CFFO BDDVSBUFMZ TDSBUDIFE XJUI B MBSHF OVNCFS PG DMPTFMZ TQBDFE TUSBJHIU QBSBMMFM MJOFT B WFSZ TNBMM EJTUBODF E BQBSU 'JHVSF 4  "T XJUI B DPNQBDU EJTD ZPV DBO TFF BO PSEJOBSZ SFáFDUJPO JO B EJGGSBDUJPO HSBUJOH CVU PGG BU BO BOHMF ZPV TFF B SBJOCPX PG DPMPST 5SBOTNJTTJPO EJGGSBDUJPO HSBUJOHT BSF USBOTQBSFOU CFUXFFO UIF TDSBUDIFT BOE BDU MJLF B MBSHF OVNCFS PG QBSBMMFM TMJUT UISPVHI XIJDI MJHIU QBTTFT "T XJUI UXPTMJU JOUFSGFSFODF FBDI TMJU DBO CF USFBUFE BT UIPVHI JU XFSF B TPVSDF PG MJHIU TFF UIF EFSJWBUJPO BU UIF FOE PG UIJT TVQQMFNFOU  5IF EJGGSBDUJPO HSBUJOH JT BO JNQPSUBOU TDJFOUJàD UPPM CFDBVTF JU DBO CF VTFE UP NFBTVSF WFSZ BDDVSBUFMZ UIF XBWFMFOHUIT BOE UIFSFGPSF UIF GSFRVFODJFT

PG MJHIU FNJUUFE CZ BUPNT %JGGFSFOU BUPNT FNJU MJHIU PG EJGGFSFOU GSFRVFODJFT BOE EJGGSBDUJPO HSBUJOHT IBWF OPU POMZ QMBZFE BO JNQPSUBOU SPMF JO UIF TUVEZ PG BUPNJD TUSVDUVSF CVU IBWF BMTP QSPWJEFE B DPOWFOJFOU XBZ UP JEFOUJGZ UIF BUPNT QSFTFOU JO B TBNQMF PG NBUFSJBM " EJGGSBDUJPO HSBUJOH NBZ IBWF BT NBOZ BT  QBSBMMFM TDSBUDIFT QFS NJMMJNFUFS *O UIJT DBTF E =  × − NN =  × − N DPNQBSF XJUI B UZQJDBM XBWFMFOHUI PG MJHIU PG BCPVU  ON =  × − N #FGPSF XF USFBU UIJT QIFOPNFOPO RVBOUJUBUJWFMZ TFF XIFUIFS ZPV DBO FYQMBJO WFSZ CSJFáZ BOE RVBMJUBUJWFMZ XIZ UIFSF BSF CBOET PG DPMPST PGG BU BO BOHMF UP B DPNQBDU EJTD PS SFáFDUJWF EJGGSBDUJPO HSBUJOH

BOE XIZ UIF PSEJOBSZ EJSFDU SFáFDUJPO EPFT OPU TIPX B SBJOCPX

26&45*0/

5IF BOHMF θ BU XIJDI ZPV HFU BOPUIFS NBYJNVN EFQFOET PO UIF XBWFMFOHUI CFDBVTF UIF QIBTF EJGGFSFODF CFUXFFO BEKBDFOU TUSJQT EFQFOET PO UIF XBWFMFOHUI  5IFSFGPSF EJGGFSFOU XBWFMFOHUIT JO UIF XIJUF MJHIU TIPX VQ BU EJGGFSFOU BOHMFT 5IF PSEJOBSZ SFáFDUJPO JT OPSNBM CFDBVTF JO UIJT DBTF UIF QBUI MFOHUIT BSF BMM FRVBM TP UIFSF JT OP EFQFOEFODF PO XBWFMFOHUI

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT 5P BOBMZ[F B EJGGSBDUJPO HSBUJOH RVBOUJUBUJWFMZ XFMM DPOTJEFS B QBSUJDVMBSMZ TJNQMF HFPNFUSZ CVU POF UIBU JMMVTUSBUFT UIF NPTU JNQPSUBOU BTQFDUT PG UIF EFWJDF 4VQQPTF UIBU B CFBN PG SFE MJHIU TUSJLFT B USBOTNJTTJPO EJGGSBDUJPO HSBUJOH OFBSMZ QFSQFOEJDVMBS UP UIF HSBUJOH 'JHVSF 4  5IFSF XJMM CF B DFOUSBM QFBL BU θ =  TJODF BMM UIF TMJUT BSF JO QIBTF XJUI FBDI PUIFS CVU UIFSF DBO CF POF PS NPSF BEEJUJPOBM QFBLT JO PUIFS EJSFDUJPOT XIFSF UIF QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO BEKBDFOU TMJUT JT POF XBWFMFOHUI Incident light

θ

'JHVSF 4 " USBOTNJTTJPO EJGGSBDUJPO HSBUJOH

*G UIF TQBDJOH CFUXFFO BEKBDFOU TMJUT JT E BOE UIF XBWFMFOHUI PG UIF SFE MJHIU JT λ XIBU JT UIF àSTU OPO[FSP BOHMF θ BU XIJDI ZPV TFF IJHI JOUFOTJUZ )JOU 5IJOL UISPVHI XIBU θ JT SFRVJSFE UP HFU B QBUI EJGGFSFODF PG POF XBWFMFOHUI GPS BEKBDFOU TMJUT PG UIF HSBUJOH ESBX B EJBHSBN GPS BEKBDFOU TMJUT

26&45*0/

5IJT NBYJNVN PDDVST BU BO BOHMF XIFSF E TJO θ = λ TP UIF BOHMF BU XIJDI ZPV XJMM TFF IJHI JOUFOTJUZ GPS SFE MJHIU λ ≈ BCPVU  ON JT DBMDVMBCMF GSPN TJO θ = λ/E *G ZPV SFQMBDF UIF TPVSDF PG SFE MJHIU XJUI B TPVSDF PG WJPMFU MJHIU XBWFMFOHUI PG BCPVU  ON

XJMM UIF IJHI JOUFOTJUZ CF TFFO BU B MBSHFS PS TNBMMFS BOHMF θ 8IZ

26&45*0/

4JODF TJO θ = λ/E B TIPSUFS XBWFMFOHUI λ XJMM HJWF B NBYJNVN BU B TNBMMFS BOHMF θ 4JODF ZPV TFF UIFTF WBSJPVT DPMPST DPNJOH BU EJGGFSFOU BOHMFT GSPN UIF EJGGSBDUJPO HSBUJOH PS DPNQBDU EJTD

UIJT JNQMJFT UIBU XIJUF MJHIU GSPN UIF 4VO PS GSPN BO JODBOEFTDFOU MBNQ NVTU CF B NJYUVSF PG NBOZ DPMPST GSPN SFE UP ZFMMPX UP HSFFO UP WJPMFU %JGGSBDUJPO HSBUJOHT BSF VTFE IFBWJMZ JO TDJFODF BOE UFDIOPMPHZ UP EFUFSNJOF XIBU XBWFMFOHUIT BSF QSFTFOU JO WBSJPVT LJOET PG MJHIU XIJDI JT BO JOEJDBUPS PG XIBU BUPNT BSF QSPEVDJOH UIBU MJHIU *G ZPV MPPL UISPVHI B EJGGSBDUJPO HSBUJOH BU B TMJU JMMVNJOBUFE CZ B OFPO MBNQ ZPV DBO TFF JOEJWJEVBM MJOFT PG DPMPS UIBU BSF DIBSBDUFSJTUJD PG UIF OFPO BUPNT JOTJEF UIF MBNQ UIBU BSF QSPEVDJOH UIF MJHIU 5IJT MJOF TQFDUSVN JT EJGGFSFOU GPS EJGGFSFOU BUPNT BOE RVJUF EJGGFSFOU GSPN UIF DPOUJOVPVT TQFDUSVN QSPEVDFE CZ IPU HMPXJOH PCKFDUT TVDI BT UIF 4VO PS BO JODBOEFTDFOU MBNQ

8IBUT *NQPSUBOU BCPVU )BWJOH -PUT PG 4MJUT *O B MBUFS TFDUJPO PO BOHVMBS SFTPMVUJPO XF XJMM TIPX GPSNBMMZ UIBU UIF CFBNT PG MJHIU BU UIF NBYJNB PG B EJGGSBDUJPO HSBUJOH BSF FYUSFNFMZ OBSSPX DPNQBSFE UP UIPTF NBEF CZ KVTU UXP TMJUT *U JT FBTZ UP TFF GSPN BO FOFSHZ BSHVNFOU UIBU UIJT NVTU CF USVF 8JUI KVTU UXP TMJUT UIF NBYJNVN JOUFOTJUZ JT  =  UJNFT UIF JOUFOTJUZ EVF UP POF TMJU )PXFWFS JO B UZQJDBM EJGGSBDUJPO HSBUJOH  DN XJEF XJUI TQBDJOH CFUXFFO TMJUT E =  × − NN UIFSF BSF  ×  TMJUT BOE UIF NBYJNVN JOUFOTJUZ JT  ×   =  ×  UJNFT UIF JOUFOTJUZ PG B TJOHMF TMJU 'PS UIFSF UP CF TVDI B MBSHF JOUFOTJUZ JO B GFX TQFDJBM EJSFDUJPOT UIFSF NVTU CF XJEF SFHJPOT XIFSF UIF JOUFOTJUZ JT FYUSFNFMZ TNBMM 5IF CFBNT PG MJHIU GSPN B EJGGSBDUJPO HSBUJOH BSF FYUSFNFMZ OBSSPX BOE TIBSQMZ EFàOFE XIJDI JT XIZ EJGGSBDUJPO HSBUJOHT DBO CF VTFE UP NBLF WFSZ QSFDJTF NFBTVSFNFOUT PG XBWFMFOHUIT $IFDLQPJOU  " DFSUBJO EJGGSBDUJPO HSBUJOH JT LOPXO UP IBWF B MJOF TQBDJOH PG E =  × − NN " TPVSDF PG TJOHMFXBWFMFOHUI MJHIU JT PCTFSWFE UP QSPEVDF B IJHIJOUFOTJUZ CFBN BU BO BOHMF θ = ◦ UP UIF OPSNBM *G UIJT JT UIF àSTU NBYJNVN BU B OPO[FSP BOHMF XIBU JT UIF XBWFMFOHUI PG UIF MJHIU 5IJT XBWFMFOHUI JT FNJUUFE CZ FYDJUFE TPEJVN BT JO TPEJVN WBQPS MBNQT %FUFDUJOH UIJT XBWFMFOHUI JO TPNF MJHIU JOEJDBUFT UIF QSFTFODF PG FYDJUFE TPEJVN

4 .VMUJTPVSDF *OUFSGFSFODF %JGGSBDUJPO &9".1-&

Eye

Distant light bulb

CD

'JHVSF 4 -PPLJOH TUSBJHIU BU B $% ZPV TFF BO PSEJOBSZ SFáFDUJPO

Eye

Distant light bulb

CD

'JHVSF 4 -PPLJOH BU BO BOHMF UP B $% ZPV TFF DPMPST

4PMVUJPO

Violet Red

'JHVSF 4 7JPMFU BOE CMVF BQQFBS BU UIF TNBMMFTU BOHMF :FMMPX BOE SFE BQQFBS BU MBSHFS BOHMFT

4

&YQFSJNFOUJOH XJUI B $% )PME B DPNQBDU EJTD $% OFBSMZ QFSQFOEJDVMBS UP B MJOF GSPN UIF $% UP B EJTUBOU MJHIU CVMC *G ZPV MPPL OFBSMZ QFSQFOEJDVMBS JOUP B SFHJPO PG UIF $% OFBS UIF FEHF ZPV TFF BO PSEJOBSZ SFáFDUJPO PG UIF MJHIU CVMC 'JHVSF 4  8IJMF IPMEJOH UIF $% TUBUJPOBSZ JO UIJT QPTJUJPO NPWF ZPVS IFBE TMPXMZ BXBZ GSPN UIF QFSQFOEJDVMBS PS FRVJWBMFOUMZ UJQ UIF $% XIJMF DPOUJOVJOH UP MPPL BU UIJT SFHJPO PG UIF $% VOUJM ZPV TFF UIF àSTU DPMPS PG B SBJOCPX 'JHVSF 4  B *T UIF àSTU DPMPS ZPV TFF SFE PS WJPMFU 5SZ JU 8IZ 7JPMFU ≈  ON SFE ≈  ON

C *G ZPV LFFQ NPWJOH ZPVS IFBE GVSUIFS BXBZ GSPN UIF QFSQFOEJDVMBS PS UJQQJOH UIF $% ZPV TFF B DPNQMFUF TQFDUSVN *G ZPV DPOUJOVF UP FWFO MBSHFS BOHMFT ZPV NBZ TFF BEEJUJPOBM TQFDUSB )PX NBOZ DPNQMFUF TQFDUSB EP ZPV TFF D 6TF ZPVS PCTFSWBUJPOT JO QBSUT B BOE C UP FTUJNBUF UIF EJTUBODF CFUXFFO DJSDVMBS USBDLT PO UIF $% 3FQPSU UIF EBUB PO XIJDI ZPV CBTF ZPVS FTUJNBUF E 5IF $% JT SFBE XJUI B SFMBUJWFMZ JOFYQFOTJWF JOGSBSFE MBTFS XBWFMFOHUI MPOHFS UIBO SFE  8IZ DBOU UIF USBDLT CF QMBDFE DMPTFS UPHFUIFS UP HFU NPSF JOGPSNBUJPO PO UIF $% /FXFS EFWJDFT TVDI BT %7% QMBZFST VTF TIPSUFSXBWFMFOHUI MBTFST

'JSTU USZ UIF FYQFSJNFOU GPS ZPVSTFMG B .PWJOH ZPVS IFBE BXBZ GSPN UIF QFSQFOEJDVMBS UIF àSTU DPMPS ZPV TFF JT WJPMFU XIJDI IBT UIF TIPSUFTU XBWFMFOHUI PG UIF WJTJCMF TQFDUSVN 'JHVSF 4  5IJT JT XIBU ZPV XPVME FYQFDU CFDBVTF GPS UIF MJHIU SFSBEJBUFE CZ BMM UIF HSPPWFT UP CF JO QIBTF TJO θ = λ/E TP UIF TNBMMFTU XBWFMFOHUI XJMM IBWF B NBYJNVN BU UIF TNBMMFTU BOHMF E JT UIF TQBDJOH CFUXFFO HSPPWFT PO UIF $%  C .PTU QFPQMF TFF UISFF TQFDUSB CVU UIJT JT B CJU USJDLZ TJODF ZPV IBWF UP IPME ZPVS IFBE KVTU SJHIU D 8F GPVOE UIF àSTU NBYJNVN GPS SFE MJHIU UP CF BU BO BOHMF θ PG BCPVU ◦ BOE XF DBO PCUBJO B WBMVF GPS E GSPN UIJT E TJO θ = λ àSTU NBYJNVN

E=

λ  × − N

≈ =  × − N =  ON TJO θ TJO ◦

"MUFSOBUJWFMZ JG XF TFF UISFF DPNQMFUF TQFDUSB UIF SFE PG UIF UIJSE TQFDUSB JT BO BU BOHMF θ ≈ ◦ TP XF DBO DBSSZ PVU BO BMUFSOBUJWF BQQSPYJNBUF DBMDVMBUJPO PG UIF TQBDJOH E E TJO θ = λ UIJSE NBYJNVN

E=

λ   × − N

≈ =  × − N =  ON TJO θ TJO ◦

E *G UIF TQBDJOH E CFUXFFO UIF USBDLT JT TIPSUFS UIBO UIF XBWFMFOHUI PG UIF JODJEFOU MJHIU JU JT OPU QPTTJCMF UP SFTPMWF UIF JNBHFT PG UIF UXP USBDLT UIFZ PWFSMBQ  *G UIF USBDLT XFSF DMPTFS UPHFUIFS UIF XBWFMFOHUI PG MJHIU VTFE UP SFBE UIF JOGPSNBUJPO XPVME OFFE UP CF TIPSUFS

4DBUUFSJOH PG -JHIU *O $IBQUFS  XF EJTDVTTFE XIZ UIF TLZ JT CMVF XIJDI JOWPMWFT GSFRVFODZEFQFOEFOU SFSBEJBUJPO CZ BJS NPMFDVMFT PG MJHIU GSPN UIF 4VO

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT Screen

Lamp

'JHVSF 4 -JHIU QBTTFT UISPVHI B UBOL PG XBUFS BOE BQQFBST PO B TDSFFO

Incoming light

λ/2 Molecule 1

Molecule 2

Scattered light 'JHVSF 4 7JFXFE GSPN BCPWF SFSBEJBUJPO TDBUUFSJOH GSPN XBUFS NPMFDVMFT B EJTUBODF λ/ BQBSU

XJUI CMVF MJHIU SFSBEJBUFE NPSF TUSPOHMZ UIBO SFE MJHIU 5IJT QSPDFTT JO XIJDI MJHIU QBTTJOH UISPVHI B OFBSMZ USBOTQBSFOU NFEJVN JT QBSUJBMMZ SFSBEJBUFE UP UIF TJEF JT DBMMFE iTDBUUFSJOHu UIF MJHIU JT TDBUUFSFE JOUP EJSFDUJPOT EJGGFSFOU GSPN UIF PSJHJOBM EJSFDUJPO  8F XJMM EFTDSJCF BO FYQFSJNFOU UIBU CSJOHT PVU TPNF JOUFSGFSFODF BTQFDUT UIBU BGGFDU TDBUUFSJOH QIFOPNFOB 1FSIBQT ZPVS JOTUSVDUPS XJMM EFNPOTUSBUF UIJT GPS ZPV " CSJHIU XIJUF MJHIU JT EJSFDUFE UISPVHI B MPOH BRVBSJVN UBOL GVMM PG XBUFS BOE POUP B TDSFFO XIFSF JU TIPXT VQ BT B XIJUF TQPU 'JHVSF 4  *G UIF XBUFS JT RVJUF DMFBO WFSZ MJUUMF MJHIU JT TDBUUFSFE UP UIF TJEF " QV[[MF JT XIZ UIFSF JT BMNPTU OP MJHIU TDBUUFSFE PGG UP UIF TJEF "GUFS BMM UIFSF BSF IVHF OVNCFST PG NPMFDVMFT JO UIF XBUFS BOE MJHIU TUSJLJOH UIPTF NPMFDVMFT BDDFMFSBUFT FMFDUSPOT MFBEJOH UP SFSBEJBUJPO 8FMM DPOTJEFS QBUI EJGGFSFODFT GPS EJGGFSFOU NPMFDVMFT BOE TFF XIFSF XF TIPVME FYQFDU MPXJOUFOTJUZ BOE IJHIJOUFOTJUZ MJHIU 'PS BOZ NPMFDVMF JO UIF XBUFS àOE B TFDPOE NPMFDVMF B TIPSU EJTUBODF λ/ EPXOTUSFBN 'JHVSF 4  0GG UP UIF TJEF UIF QBUI EJGGFSFODF GPS UIF SFSBEJBUJPO GSPN UIFTF UXP NPMFDVMFT JT IBMG B XBWFMFOHUI TP UIF JOUFOTJUZ JT [FSP *G XF DBO QBJS VQ BMM UIF NPMFDVMFT JO UIJT XBZ XF DBO FYQFDU UP TFF WFSZ MJUUMF JOUFOTJUZ PGG UP UIF TJEF $BO XF BMXBZT àOE B TVJUBCMF QBSUOFS GPS FWFSZ NPMFDVMF 5IF BOTXFS GPS XBUFS PS HMBTT JT ZFT CFDBVTF JO B MJRVJE PS TPMJE UIF NPMFDVMFT BSF SJHIU OFYU UP FBDI PUIFS àMMJOH UIF FOUJSF TQBDF (P EPXOTUSFBN B EJTUBODF λ/ B EJTUBODF PG BCPVU  ON =  BUPNJD EJBNFUFST BOE ZPV DBO CF TVSF UIBU ZPV XJMM àOE B NPMFDVMF BU UIBU MPDBUJPO VOMFTT ZPV BSF XJUIJO λ/ PG UIF FOE PG UIF XBUFS UBOL CVU UIBU TIPSU SFHJPO DPOUBJOT WFSZ MJUUMF XBUFS  *U JT USVF UIBU NPMFDVMFT JO B MJRVJE IBWF TPNF MJNJUFE GSFFEPN UP NPWF BCPVU VOMJLF NPMFDVMFT JO B TPMJE CVU UIFZ EP àMM UIF TQBDF BU BMM UJNFT /PUF UIBU JO UIF EPXOTUSFBN EJSFDUJPO TUSBJHIU UISPVHI UIF XBUFS UPXBSE UIF TDSFFO UIF SFSBEJBUJPO GSPN UIFTF UXP NPMFDVMFT JT JO QIBTF TP XF DBO FYQFDU UP TFF MJHIU DPNJOH PVU UIF FOE PG UIF XBUFS UBOL BOE XF EP *U JT SFBTPOBCMF UP BTL XIBU XPVME IBQQFO JG XF QBJSFE VQ NPMFDVMFT UIBU XFSF B EJTUBODF λ BQBSU 8PVMEOU UIBU HJWF DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF :FT CVU XF XPVME BMTP IBWF UP DBMDVMBUF IPX UIBU SFSBEJBUFE MJHIU XPVME JOUFSGFSF XJUI UIF MJHIU GSPN BMM UIF PUIFS QBJST UIBU XFSF POF XBWFMFOHUI BQBSU 5IJT DBMDVMBUJPO JT CFZPOE UIF TDPQF PG UIJT EJTDVTTJPO CVU UIF SFTVMU JT UIBU XF HFU [FSP JOUFOTJUZ XIFO XF BEE VQ BMM UIF DPOUSJCVUJPOT 5IF TJNQMJDJUZ PG UIF BSHVNFOU JO UFSNT PG QBJST PG NPMFDVMFT UIBU BSF λ/ BQBSU DPNFT GSPN UIF GBDU UIBU JU JT FBTZ UP BEE VQ BMM UIF [FSP JOUFOTJUJFT GSPN BMM TVDI QBJST BOE HFU [FSP

"EE 4PNF 4PBQ UP UIF 8BUFS /FYU XF ESPQ TPNF NBUFSJBM TVDI BT TPBQ JOUP UIF XBUFS UP QSPWJEF B MPX DPODFOUSBUJPO PG TQFDLT PG NBUFSJBM /PX ZPV TFF TPNF MJHIU TDBUUFSFE PGG UP UIF TJEF BOE JU JT EJTUJODUMZ CMVJTI "U UIF TBNF UJNF UIF TQPU PO UIF TDSFFO CFDPNFT TPNFXIBU SFEEJTI CFDBVTF UIF CMVF QPSUJPO PG UIF XIJUF MJHIU IBT CFFO TDBUUFSFE NPSF UIBO UIF SFE QPSUJPO MFBWJOH MJHIU UIBU IBT CFFO EFQMFUFE PG UIF CMVF DPNQPOFOU "T FYQMBJOFE JO $IBQUFS  UIF TDBUUFSFE CMVJTI MJHIU JT TUSPOHMZ QPMBSJ[FE BT ZPV DBO TFF CZ UVSOJOH B QJFDF PG QPMBSJ[JOH NBUFSJBM JO GSPOU PG ZPVS FZF BT ZPV MPPL UPXBSE UIF UBOL GSPN UIF TJEF :PV BMTP HFU B CJH FGGFDU CZ UVSOJOH B QJFDF PG QPMBSJ[JOH QMBTUJD CFUXFFO UIF MJHIU TPVSDF BOE UIF XBUFS UBOL

5IF WJTJCMF TDBUUFSJOH JT EVF UP UIFSF CFJOH B SFMBUJWFMZ TNBMM OVNCFS PG TQFDLT PG NBUFSJBM JO UIF XBUFS UIBU SFSBEJBUF B EJGGFSFOU BNPVOU UIBO UIF XBUFS NPMFDVMFT UIFZ EJTQMBDF .PSFPWFS UIF TQFDLT BSF GBS BXBZ GSPN FBDI PUIFS JO SBOEPN MPDBUJPOT BOE EP OPU EFTUSVDUJWFMZ JOUFSGFSF XJUI FBDI PUIFS 5IBU JT JG ZPV HP B EJTUBODF λ/ EPXOTUSFBN GSPN B TPBQ QBSUJDMF ZPV XPOU OFDFTTBSJMZ àOE BOPUIFS TJNJMBS TPBQ QBSUJDMF BU UIBU MPDBUJPO

4 "OHVMBS 3FTPMVUJPO

4

4DBUUFSJOH GSPN B (BT 5IFSF JT B TVCUMF QPJOU DPODFSOJOH XIZ UIF TLZ JT CMVF 8IZ JT UIFSF TJHOJàDBOU TDBUUFSJOH PGG UP UIF TJEF PG DMFBS BJS XIFO XF TFF MJUUMF TDBUUFSJOH GSPN XBUFS " HBT JT EJGGFSFOU GSPN B MJRVJE PS TPMJE JO UIBU UIF NPMFDVMFT BSF OPU JO DPOUBDU XJUI FBDI PUIFS CVU BSF SPBNJOH BSPVOE RVJUF GSFFMZ XJUI MPUT PG TQBDF CFUXFFO NPMFDVMFT 4JODF UIF BJS NPMFDVMFT BSF OPU JO SFMBUJWFMZ àYFE QPTJUJPOT UIF BSHVNFOU GPS EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF UIBU XF VTFE GPS XBUFS JT OPU WBMJE $POTJEFS B DVCF PG BJS XIPTF FEHF JT POMZ λ MPOH BU TUBOEBSE UFNQFSBUVSF BOE QSFTTVSF 4VDI B DVCF DPOUBJOT B TVSQSJTJOHMZ MBSHF OVNCFS PG NPMFDVMFT UIPVHI NBOZ GFXFS UIBO JO B DPNQBSBCMF WPMVNF PG B MJRVJE PS TPMJE  ×  NPMFDVMFT  ×  DN / =  ×  × − N

    ×  DN N ≈  NPMFDVMFT *G UIFSF XFSF FYBDUMZ  NPMFDVMFT JO FBDI UJOZ DVCF PG BJS UIFSF XPVME CF MJUUMF TDBUUFSJOH EVF UP EFTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF CZ SBEJBUJPO GSPN QBJST PG DVCFT MPDBUFE B EJTUBODF PG λ/ BQBSU )PXFWFS UIF OVNCFS PG NPMFDVMFT JO FBDI DVCF áVDUVBUFT SBOEPNMZ BT BJS NPMFDVMFT SPBN JO BOE PVU PG B DVCF 5IF TDBUUFSJOH GSPN UIF TLZ UIBU XF TFF BOE FOKPZ JT MBSHFMZ EVF UP UIF áVDUVBUJPOT JO UIF OVNCFS PG NPMFDVMFT QFS VOJU WPMVNF 5IJT FGGFDU JT NVDI MFTT QSPOPVODFE GPS MJRVJET "MUIPVHI UIF NPMFDVMFT EP TMJEF QBTU FBDI PUIFS JO B MJRVJE UIF OVNCFS PG NPMFDVMFT QFS VOJU WPMVNF IBSEMZ DIBOHFT TJODF UIF NPMFDVMFT SFNBJO JO DPOUBDU XJUI FBDI PUIFS 0G DPVSTF UIFSF JT OP áVDUVBUJPO BU BMM JO B TPMJE BOE JG UIFSF XFSF OP JNQVSJUJFT PS TQBUJBM JNQFSGFDUJPOT JO B CMPDL PG HMBTT JU XPVME OPU TDBUUFS MJHIU QBTTJOH UISPVHI JU 5IF UZQJDBM TUBUJTUJDBM áVDUVBUJPO PG / NPMFDVMFT JO B HJWFO WPMVNF PG BJS DBO CF TIPXO √ UP CF FRVBM UP UIF TRVBSF SPPU PG / 5IF FMFDUSJD àFMET SFSBEJBUFE CZ UIFTF / NPMFDVMFT BSF OFBSMZ JO QIBTF XJUI FBDI PUIFS CFDBVTF UIFZ BSF JO B√WPMVNF UIBU JT TNBMM DPNQBSFE UP λ  5IVT UIF JOUFOTJUZ JT QSPQPSUJPOBM UP /  = / 5IF TDBUUFSJOH JT XIBU POF XPVME OBJWFMZ FYQFDU‡/ UJNFT UIF TDBUUFSJOH GSPN POF NPMFDVMF

4 "/(6-"3 3&40-65*0/ *O UIJT TFDUJPO XF XJMM FYBNJOF B TFU PG QIFOPNFOB UIBU BU àSTU NBZ TFFN VOSFMBUFE CVU DBO CF FYQMBJOFE CZ UIF TBNF CBTJD BTQFDUT PG UIF XBWF NPEFM PG MJHIU 8F BSF JOUFSFTUFE JO UIF GPMMPXJOH QIFOPNFOB 5IF EJBNFUFS PG B UFMFTDPQF NJSSPS PS MFOT EFUFSNJOFT XIFUIFS ZPV TFF UXP EJTUBOU TUBST BT UXP TFQBSBUF CSJHIU TQPUT PS POF MBSHF CSJHIU TQPU *O UXPTMJU JOUFSGFSFODF OPU BMM UIF NBYJNB IBWF UIF TBNF CSJHIUOFTT -JHIU QBTTJOH UISPVHI POF TJOHMF TMJU TIPXT NBYJNB BOE NJOJNB PO B TDSFFO QMBDFE JO GSPOU PG UIF TMJU 5IF XJEUI PG B EJGGSBDUJPO HSBUJOH EFUFSNJOFT UIF BOHVMBS TFQBSBUJPO PG UIF NBYJNB PCTFSWFE UISPVHI UIF HSBUJOH "MM PG UIFTF QIFOPNFOB JOWPMWF XIBU JT DBMMFE iBOHVMBS SFTPMVUJPO u BOE DBO CF FYQMBJOFE JO UFSNT PG UIF FRVBUJPO GPS BOHVMBS TQSFBE Δθ =

λ 8

XIFSF 8 JT UIF XJEUI PG UIF EFWJDF

"OHVMBS 8JEUI PG B .BYJNVN "O JNQPSUBOU QSPQFSUZ PG B EJGGSBDUJPO HSBUJOH JT UIBU JO UIF EJSFDUJPO PG B NBYJNVN UIF SFSBEJBUFE CFBN JT FYUSFNFMZ OBSSPX +VTU IPX XJEF JO BOHMF

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT JT POF PG UIF NBYJNB PCTFSWFE XIFO NPOPDISPNBUJD MJHIU QBTTFT UISPVHI B QBSUJDVMBS EJGGSBDUJPO HSBUJOH 5IF OBSSPXFS UIJT NBYJNVN UIF FBTJFS JU JT UP EJTUJOHVJTI MJHIU PG UXP TMJHIUMZ EJGGFSFOU XBWFMFOHUIT

8JEUI PG B .BYJNVN )PX EP XF EFàOF UIF iXJEUIu PG B NBYJNVN 8F DPVME TBZ UIBU UIF XJEUI PG UIF NBYJNVN JT UIF BOHVMBS EJTUBODF GSPN UIF CSJHIUFTU BSFB PG UIF NBYJNVN UP UIF EBSLFTU BSFB OFYU UP JU‡UIF BEKBDFOU NJOJNVN 0VS UBTL JT UP DBMDVMBUF UIF MPDBUJPO PG UIF BEKBDFOU NJOJNVN 4VQQPTF UIBU θ JT UIF BOHMF PG UIF àSTU NBYJNVN XJUI UIF QBUI EJGGFSFODF GPS BEKBDFOU TMJUT CFJOH POF XBWFMFOHUI TP UIBU E TJO θ = λ 4JODF UIF NBYJNVN JT BU BOHMF θ XFMM DBMM UIF MPDBUJPO PG UIF BEKBDFOU NJOJNVN θ + Δθ  0VS UBTL JT UP àOE UIF WBMVF PG Δθ

N +λ λ 2 2 Incident light θ +Δθ 'JHVSF 4 5IF àSTU TMJU BOE UIF NJEEMF TMJU PG UIF EJGGSBDUJPO HSBUJOH JOUFSGFSF EFTUSVDUJWFMZ JG UIF QBUI EJGGFSFODF GPS BEKBDFOU TMJUT JT λ + λ//

$POEJUJPOT GPS B .JOJNVN 8F OPUF UIBU UIFSF XJMM CF B NJOJNVN JG MJHIU QBTTJOH UISPVHI UIF àSTU TMJU BOE UIF // UI TMJU UIF NJEEMF TMJU JOUFSGFSFT EFTUSVDUJWFMZ 'JHVSF 4  5IJT JT SFNJOJTDFOU PG UIF BSHVNFOU XF NBEF XIFO DPOTJEFSJOH TJEFXBZT TDBUUFSJOH PG MJHIU GSPN B MJRVJE "TTVNF UIBU UIFSF BSF BO FWFO OVNCFS / PG TMJUT PS JG / JT PEE OFHMFDU UIF TNBMM BNPVOU PG MJHIU GSPN UIF MBTU TMJU  'PS UIF àSTU OPOUSJWJBM NBYJNVN OPU TUSBJHIU BIFBE

UIF QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO BEKBDFOU TMJUT JT POF XBWFMFOHUI TP UIF QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO UIF àSTU TMJU BOE UIF // UI TMJU JT // λ 'PS B NJOJNVN UIJT QBUI EJGGFSFODF IBT BO BEEJUJPOBM λ/   /  λ+ λ   /PX DPOTJEFS UIF OFYU QBJS PG TMJUT TMJU OVNCFS  BOE TMJU OVNCFS // +   5IFZ BMTP IBWF B QBUI EJGGFSFODF PG λ/ TP UIFZ UPP JOUFSGFSF EFTUSVDUJWFMZ 8F IBWF TVDDFFEFE JO QBJSJOH VQ BMM UIF TMJUT JO TVDI B XBZ UIBU UIFZ FBDI DPOUSJCVUF [FSP JOUFOTJUZ TP UIF UPUBM JOUFOTJUZ JO UIF EJSFDUJPO θ + Δθ JT [FSP 8SJUF UIF QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO BEKBDFOU TMJUT MJLF UIJT E TJO θ + Δθ = λ + ε

XIFSF ε JT B TNBMM GSBDUJPO PG λ

5IF QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO UIF àSTU TMJU BOE UIF // UI TMJU JT UIJT   /  / λ+ λ λ + ε =    4PMWJOH GPS ε XF àOE ε=

λ /

'JOEJOH Δθ /PX UP àOE Δθ XF VTF USJH JEFOUJUJFT UP FYQBOE UIJT SFMBUJPO GPS UXP BEKBDFOU TMJUT λ E TJO θ + Δθ = λ + ε = λ + / λ E TJO θ DPT Δθ + E DPT θ TJO Δθ = λ + / 4JODF Δθ JT B TNBMM BOHMF XF DBO NBLF UIF BQQSPYJNBUJPOT UIBU DPT Δθ ≈  BOE

TJO Δθ ≈ Δθ

4 "OHVMBS 3FTPMVUJPO TP E TJO θ + E DPT θΔθ ≈ λ +

4

λ /

#FDBVTF E TJO θ = λ E DPT θΔθ ≈

λ /

BOE Δθ ≈

λ /E DPT θ

5IF UPUBM XJEUI PG UIF EJGGSBDUJPO HSBUJOH 8 JT / UJNFT UIF XJEUI PG POF TMJU 8 = /E 6OMFTT θ JT DMPTF UP ◦ DPT θ JT PO UIF PSEFS PG  TP XF àOE UIBU Δθ UIF iIBMG XJEUIu PG UIF NBYJNVN JT BQQSPYJNBUFMZ HJWFO CZ UIJT "/(6-"3 )"-' 8*%5) 0' " ."9*.6. λ 8 XIFSF 8 JT UIF UPUBM XJEUI PG UIF JMMVNJOBUFE QPSUJPO PG UIF EFWJDF Δθ ≈

"MUIPVHI XFWF QSPWFE UIJT POMZ GPS B EJGGSBDUJPO HSBUJOH UIJT SFTVMU JT RVJUF HFOFSBM 8IFOFWFS B EFWJDF DPOUBJOT B WFSZ MBSHF OVNCFS PG TPVSDFT UIBU JOUFSGFSF UIF BOHVMBS XJEUI PG B NBYJNVNJOUFOTJUZ CFBN JT BQQSPYJNBUFMZ FRVBM UP UIF XBWFMFOHUI EJWJEFE CZ UIF UPUBM XJEUI PG UIF EFWJDF 'PS WJTJCMF MJHIU IJUUJOH B EJGGSBDUJPO HSBUJOH UIBU JT  DN XJEF UIF BOHVMBS TQSFBEJOH NBZ CF WFSZ TNBMM Δθ ≈ λ/8 ≈  × − N /  × − N =  × − SBE XIJDI JT MFTT UIBO  NJMMJEFHSFFT

"O "MUFSOBUJWF (FPNFUSJD "SHVNFOU

Min Incident light

Max dθ

Min d cos θ Δθ Max θ

λ θ sin d =

Δθ

λ/

N

'JHVSF 4 5XP BEKBDFOU TMJUT JO B USBOTNJTTJPO EJGGSBDUJPO HSBUJOH XJUI B NBYJNVN BU θ BOE B NJOJNVN BU θ + Δθ

*OTUFBE PG VTJOH USJH JEFOUJUJFT BT XF EJE BCPWF XF DBO àOE Δθ CZ B HFPNFUSJD BSHVNFOU JOWPMWJOH UXP BEKBDFOU TMJUT 'JHVSF 4  *O UIF EBTIFE USJBOHMF UIF TJEF PQQPTJUF UIF WFSZ TNBMM BOHMF Δθ JT ε = λ// CFDBVTF UIJT JT UIF BEEJUJPOBM QBUI MFOHUI UIBU ZJFMET B NJOJNVN 5IF IZQPUFOVTF JT BQQSPYJNBUFMZ E DPT θ 5IF BOHMF Δθ JO SBEJBOT JT BQQSPYJNBUFMZ FRVBM UP UIF SBUJP PG UIF PQQPTJUF TJEF UP UIF IZQPUFOVTF Δθ ≈

λ// λ λ = = E DPT θ /E DPT θ 8 DPT θ

XIFSF 8 JT UIF UPUBM XJEUI PG UIF HSBUJOH 8 = /E  5IJT JT BO FYUSFNFMZ JNQPSUBOU SFTVMU 5IF XJEFS UIF HSBUJOH UIF OBSSPXFS UIF CFBN 6OMFTT θ JT DMPTF UP ◦ DPT θ JT PG UIF PSEFS PG  TP XF HFU BT CFGPSF Δθ ≈

λ 8

8IBU BCPVU 0UIFS 1BJSJOHT PG 4MJUT :PV NJHIU XPOEFS XIFUIFS XF XPVME OPU IBWF HPUUFO DPNQMFUF DBODFMMBUJPO JG XF IBE DIPTFO PUIFS XBZT PG QBJSJOH VQ UIF TMJUT SBUIFS UIBO QBJSJOH UIF àSTU TMJU XJUI UIF NJEEMF TMJU BOE TP PO 'PS FYBNQMF UIF àSTU BOE MBTU TMJUT IBWF B QBUI EJGGFSFODF PG /λ + λ TP UIFZ JOUFSGFSF DPOTUSVDUJWFMZ )PXFWFS UIJT JT UIF POMZ QBJS UIBU EPFT UIJT BOE JG XF XFSF UP BEE VQ UIF FGGFDUT PG BMM UIF PUIFS TMJUT XF XPVME àOE UIBU UIFJS DPNCJOFE FGGFDUT XPVME DBODFM UIF SFSBEJBUJPO PG UIF PVUFS TMJUT 0ODF XF IBWF TIPXO UIBU UIFSF JT TPNF QBJSJOH UIBU HJWFT B OFU JOUFOTJUZ PG [FSP XF EPOU BDUVBMMZ IBWF UP DPOTJEFS PUIFS QBJSJOHT

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT

4JOHMF4MJU %JGGSBDUJPO Incident light

W = Nd

Δθ = λ W

'JHVSF 4 5IF àSTU NJOJNVN GPS B TJOHMF TMJU JT BU Δθ ≈ λ/8

8IBU EPFT B EJGGSBDUJPO HSBUJOH IBWF UP EP XJUI NBYJNB BOE NJOJNB DSFBUFE XIFO MJHIU QBTTFT UISPVHI B TJOHMF TMJU +VTU BT UXP OBSSPX TMJUT UISPVHI XIJDI MJHIU QBTTFT BSF FRVJWBMFOU UP UXP OBSSPX TPVSDFT PG MJHIU TP XF DBO NPEFM B TJOHMF XJEF TMJU PG XJEUI 8 UP CF FRVJWBMFOU UP B WFSZ MBSHF OVNCFS / PG WFSZ OBSSPX TPVSDFT MPDBUFE B EJTUBODF E = 8// BQBSU "DUVBMMZ UIF TVN PWFS / àOJUF TPVSDFT UVSOT JOUP BO JOUFHSBM PWFS BO JOàOJUF OVNCFS PG JOàOJUFTJNBM TMJUT 5IFSF JT PG DPVSTF B NBYJNVN TUSBJHIU BIFBE CVU UIFSF JT B NJOJNVN BU B TNBMM BOHMF Δθ HJWFO BQQSPYJNBUFMZ CZ λ/8 'JHVSF 4  5IF PWFSBMM QBUUFSO PG JOUFOTJUZ MPPLT MJLF 'JHVSF 4 5IJT BMTP FYQMBJOT UIF WBSJBUJPO JO JOUFOTJUZ PG UIF NBYJNB JO UXPTMJU JOUFSGFSFODF &BDI TMJU NBLFT B QBUUFSO MJLF 'JHVSF 4 BOE UIFTF UXP QBUUFSOT JOUFSGFSF 5IF JOUFOTJUZ QBUUFSO JT UIF DPNCJOFE SFTVMU PG CPUI TJOHMFTMJU EJGGSBDUJPO BOE UXPTMJU JOUFSGFSFODF $IFDLQPJOU  5P HFU B GFFM GPS UIF TJ[F PG UIFTF iEJGGSBDUJPOu FGGFDUT DPOTJEFS B TJOHMF TMJU 8 =  NN XJEF JMMVNJOBUFE CZ WJPMFU MJHIU 5IF XBWFMFOHUI λ PG WJPMFU MJHIU JT BCPVU  ON  × − N  -JHIU GSPN UIF TMJU IJUT B TDSFFO QMBDFE B EJTUBODF - =  N =  NN BXBZ GSPN UIF TMJU BOE UIF JNBHF PG UIF TMJU JT NVDI MBSHFS UIBO  NN EVF UP TJHOJàDBOU BNPVOUT PG MJHIU IFBEJOH BU BOHMFT BT MBSHF BT QMVT PS NJOVT λ/8 GPS B UPUBM BOHVMBS TQSFBE PG λ/8  $BMDVMBUF UIJT UPUBM XJEUI JO NJMMJNFUFST

5FMFTDPQF 3FTPMVUJPO -JNJUFE CZ %JGGSBDUJPO

'JHVSF 4 5IF QBUUFSO PG JOUFOTJUZ WT BOHMF GPS EJGGSBDUJPO CZ B TJOHMF TMJU

ϕ

Slit

'JHVSF 4 -JHIU GSPN UXP EJTUBOU TUBST QBTTFT UISPVHI UIF BQFSUVSF PG B UFMFTDPQF 5IF IBMG XJEUI PG UIF EJGGSBDUJPOCSPBEFOFE JNBHF GPS FBDI TUBS EFUFSNJOFT XIFUIFS PS OPU JU XJMM CF QPTTJCMF UP EJTUJOHVJTI UIF UXP JNBHFT

8IFO B UFMFTDPQF NBLFT BO JNBHF PG B EJTUBOU TUBS PO B QIPUPHSBQIJD QMBUF PS BSSBZ PG FMFDUSPOJD EFUFDUPST UIF JNBHF JT CSPBEFOFE CZ EJGGSBDUJPO XIJDI TQSFBET UIF MJHIU SBZT PVU JOUP B DPOF XJUI BO BQQSPYJNBUF IBMGBOHMF Δθ ≈ λ/8 5IF JNBHFT PG UXP TUBST UIBU BSF DMPTF UPHFUIFS JO UIF TLZ NBZ CF CSPBEFOFE TP NVDI UIBU UIFZ PWFSMBQ FBDI PUIFS BOE DBOOPU CF iSFTPMWFEu JOUP UXP TFQBSBUF JNBHFT 'JHVSF 4  5IF iSFTPMWJOH QPXFSu PS iSFTPMVUJPOu PG B UFMFTDPQF PS DBNFSB JT MJNJUFE CZ EJGGSBDUJPO 5IF XJEFS UIF MFOT UIF TIBSQFS UIF JNBHF CJHHFS 8 TNBMMFS Δθ  "MUFSOBUJWFMZ UIF TIPSUFS UIF XBWFMFOHUI UIF TIBSQFS UIF JNBHF TNBMMFS λ TNBMMFS Δθ  0OF SVMF PG UIVNC GPS SFTPMVUJPO TUBUFT UIBU JG φ UIF BOHMF CFUXFFO UIF TUBST JT HSFBUFS UIBO Δθ UIF JNBHFT XJMM CF SFTPMWBCMF 3BEJP UFMFTDPQFT VTFE JO NBLJOH BTUSPOPNJDBM PCTFSWBUJPOT BSF TPNFUJNFT MJOLFE FMFDUSPOJDBMMZ UP PUIFS SBEJP UFMFTDPQFT MPDBUFE UIPVTBOET PG NJMFT BXBZ JO PSEFS UP NBLF B SBEJPGSFRVFODZ iMFOTu UIBU JT TP MBSHF UIBU UIF EJGGSBDUJPO CSPBEFOJOH JT FYUSFNFMZ TNBMM 5IJT IBT NBEF JU QPTTJCMF UP PCUBJO FYRVJTJUFMZ EFUBJMFE QJDUVSFT PG FYUSFNFMZ EJTUBOU TUSVDUVSFT *U JT NVDI NPSF EJGàDVMU UP EP UIJT XJUI PSEJOBSZ PQUJDBM UFMFTDPQFT UIBU DBQUVSF WJTJCMF MJHIU CFDBVTF ZPV IBWF UP CSJOH UIF MJHIU GSPN UXP EJGGFSFOU UFMFTDPQFT UP UIF TBNF QMBDF XIFSF UIFSF DBO CF JOUFSGFSFODF /FWFSUIFMFTT UIFSF BSF OPX MJOLFE QBJST PG MBSHF PQUJDBM UFMFTDPQFT XJUI NJSSPST UP CSJOH MJHIU GSPN UIF UXP UFMFTDPQFT UP BO PCTFSWBUJPO MPDBUJPO CFUXFFO UIF UFMFTDPQFT 5IJT NBLFT JU QPTTJCMF UP PCUBJO QJDUVSFT XJUI NVDI IJHIFS SFTPMVUJPO UIBO DBO CF PCUBJOFE XJUI PMEFS PQUJDBM UFMFTDPQFT

0OMZ 0OF -BSHF %JGGSBDUJPO 1FBL 8JUI B GFX TPVSDFT XF PGUFO àOE TFWFSBM MBSHF DPNQMFUFMZ DPOTUSVDUJWF QFBLT DPSSFTQPOEJOH UP UIF QBUI EJGGFSFODF CFUXFFO OFJHICPSJOH TPVSDFT CFJOH FRVBM UP  λ λ BOE TP PO &WFO B EJGGSBDUJPO HSBUJOH XJUI NBOZ TPVSDFT NBZ QSPEVDF TFWFSBM NBYJNVNJOUFOTJUZ CFBNT 5IF TJUVBUJPO JT EJGGFSFOU XJUI TJOHMFTMJU EJGGSBDUJPO

4 .FDIBOJDBM 8BWFT

4

&YQMBJO CSJFáZ XIZ B TJOHMF TMJU PS MFOT QSPEVDFT KVTU POF MBSHF QFBL UIFSF BSF TNBMMFS QFBLT CVU POMZ POF MBSHF QFBL 

26&45*0/

8JUI B TJOHMF TMJU UIF QBUI EJGGFSFODF E CFUXFFO BEKBDFOU TPVSDFT JT JOàOJUFTJNBM JO TJ[F TP UIF QBUI EJGGFSFODF JT BO JOàOJUFTJNBM RVBOUJUZ BOE DBO OFWFS HFU BT CJH BT λ 5IFSF JT OP EJSFDUJPO FYDFQU GPS θ =  XIFSF BMM UIF BNQMJUVEFT BSF JO QIBTF $IFDLQPJOU  4BUFMMJUFT VTFE UP NBQ UIF &BSUI QIPUPHSBQIJDBMMZ BSF UZQJDBMMZ BCPVU  NJ  LN BCPWF UIF TVSGBDF PG UIF &BSUI XIFSF UIFSF JT BMNPTU OP BUNPTQIFSF UP BGGFDU UIF PSCJU *G UIF MFOT JO B TBUFMMJUF DBNFSB IBT B EJBNFUFS PG  DN SPVHIMZ IPX GBS BQBSU EP UXP PCKFDUT PO UIF &BSUIT TVSGBDF IBWF UP CF JO PSEFS UIBU UIFZ DBO CF SFTPMWFE JOUP UXP PCKFDUT JG UIF SFTPMVUJPO JT MJNJUFE NBJOMZ CZ EJGGSBDUJPO 5IF LFZ QPJOU JT UIBU UIF BOHMF TVCUFOEFE CZ UIF UXP PCKFDUT TIPVME CF DPNQBSBCMF UP PS CJHHFS UIBO UIF TQSFBE JO BOHMF Δθ JOUSPEVDFE CZ EJGGSBDUJPO PG MJHIU HPJOH UISPVHI UIF MFOT 7JTJCMF MJHIU IBT XBWFMFOHUIT GSPN  UP  ON DPOTJEFS B XBWFMFOHUI TPNFXIFSF JO UIF NJEEMF PG UIF TQFDUSVN :PV TIPVME àOE UIBU UIF OVNCFST PO B DBS MJDFOTF QMBUF XPVME CF UPP CMVSSFE UP SFBE

4 .&$)"/*$"- 8"7&4 .FDIBOJDBM XBWFT IBWF NBOZ GFBUVSFT JO DPNNPO XJUI XBWFT PG MJHIU "O FYBNQMF PG B NFDIBOJDBM XBWF JT UIF QSPQBHBUJPO PG TPVOE JO B TPMJE XIJDI XBT EJTDVTTFE JO $IBQUFS  0UIFS FYBNQMFT PG NFDIBOJDBM XBWFT JODMVEF XBWFT SVOOJOH BMPOH B UBVU TUSJOH XBUFS XBWFT BOE TPVOE QSPQBHBUJOH UISPVHI BJS *O UIF GPMMPXJOH QBHFT XFMM EFSJWF UIF XBWF FRVBUJPO B HFOFSBM FRVBUJPO UIBU EFTDSJCFT BMM LJOET PG XBWFT ∂  V Y U

∂  V Y U

= W  ∂U ∂Y *O UIJT QBSUJBM EJGGFSFOUJBM FRVBUJPO V SFQSFTFOUT TPNF RVBOUJUZ UIBU JT iXBWJOHu JO UJNF PS TQBDF PS CPUI XJUI UIF XBWF NPWJOH BMPOH UIF Y BYJT 'PS FYBNQMF UIF RVBOUJUZ V DBO SFQSFTFOU UIF EFáFDUJPO PG BO BUPN JO B TPMJE UISPVHI XIJDI TPVOE JT QSPQBHBUJOH BXBZ GSPN UIF BUPNT FRVJMJCSJVN QPTJUJPO PS UIF TJEFXBZT EFáFDUJPO PG B QJFDF PG TUSJOH BMPOH XIJDI B QVMTF JT NPWJOH BOE W JT B DPOTUBOU FRVBM UP UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO 5IF RVBOUJUZ V DPVME BMTP SFQSFTFOU UIF FMFDUSJD àFME JO FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO BU TPNF MPDBUJPO JO TQBDF JO XIJDI DBTF W = D

5IF NFBOJOH PG ∂V Y U /∂U JT iUIF EFSJWBUJWF PG V XJUI SFTQFDU UP U IPMEJOH Y DPOTUBOUu 5IJT QBSUJBM EFSJWBUJWF SFQSFTFOUT UIF SBUF PG DIBOHF XJUI UJNF PG UIF EFáFDUJPO PG BO BUPN PS PG UIF FMFDUSJD àFME BU TPNF QBSUJDVMBS MPDBUJPO Y 4JNJMBSMZ UIF NFBOJOH PG ∂V Y U /∂Y JT iUIF EFSJWBUJWF PG V XJUI SFTQFDU UP Y IPMEJOH U DPOTUBOUu 5IBU JT UBLF B TOBQTIPU PG UIF XBWF BU TPNF QBSUJDVMBS UJNF U BOE TFF IPX V DIBOHFT GSPN POF MPDBUJPO Y UP B OFJHICPSJOH MPDBUJPO

5IF 8BWF &RVBUJPO -POHJUVEJOBM 8BWFT *O $IBQUFS  XF EJTDVTTFE UIF TQFFE PG TPVOE JO B TPMJE BOE QSFTFOUFE B BOBMZTJT UIBU TVHHFTUT UIF TQFFE PVHIU UP CF BQQSPYJNBUFMZ W ≈ un un+1 EJNFOTJPOBM un–1  ωE = LT J /NB E XIFSF LT J JT UIF FGGFDUJWF TUJGGOFTT PG UIF JOUFSBUPNJD CPOE d d NPEFMFE BT B TQSJOH BOE NB JT UIF NBTT PG POF BUPN 8F XJMM EFSJWF UIF XBWF xn–1 = (n–1)d xn = nd xn+1 = (n+1)d FRVBUJPO GPS UIJT TJUVBUJPO TUBSUJOH GSPN B NJDSPTDPQJD WJFX BOE VTF JU UP TIPX UIBU PVS FYQSFTTJPO GPS W JT JOEFFE DPSSFDU BT MPOH BT UIF XBWFMFOHUI JT NVDI 'JHVSF 4 5ISFF PG UIF BUPNT JO B MPOH MPOHFS UIBO UIF JOUFSBUPNJD EJTUBODF E XIJDI JT BMNPTU BMXBZT UIF DBTF SPX PG BUPNT DPOOFDUFE CZ TQSJOHT 'JHVSF 4 TIPXT UISFF PG UIF BUPNT JO B MPOH SPX PG BUPNT UIBU BSF SFQSFTFOUJOH UIF JOUFSBUPNJD CPOET &BDI DPOOFDUFE CZ TQSJOHT SFQSFTFOUJOH UIF JOUFSBUPNJD CPOET 8F DIPPTF PVS BUPN IBT CFFO EJTQMBDFE GSPN JUT FRVJMJCSJVN QPTJUJPO CZ BO BNPVOU V DPPSEJOBUF TZTUFN TP UIBU UIF àSTU BUPN BU UIF GBS MFGU JT MPDBUFE BU Y =  OPU

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT TIPXO

TP UIBU UIF FRVJMJCSJVN QPTJUJPO PG UIF OUI BUPN JT OE JG UIF FRVJMJCSJVN EJTUBODF CFUXFFO BUPNT JT E *G B QVMTF USBWFMT BMPOH UIJT SPX PG BUPNT UIF BUPNT XJMM CF UFNQPSBSJMZ EJTQMBDFE GSPN UIFJS OPSNBM FRVJMJCSJVN QPTJUJPOT 5IJT JT DBMMFE B MPOHJUVEJOBM XBWF JO XIJDI UIF EJTQMBDFNFOUT PG UIF BUPNT BSF JO UIF TBNF EJSFDUJPO BT UIF XBWF NPUJPO 8FMM DBMM UIF JOTUBOUBOFPVT EJTQMBDFNFOU PG UIF OUI BUPN GSPN JUT FRVJMJCSJVN QPTJUJPO VO XIFSF UIF JOTUBOUBOFPVT QPTJUJPO PG UIF OUI BUPN JT OE + VO BT TIPXO JO UIF TOBQTIPU JO 'JHVSF 4 8FMM DBMDVMBUF UIF OFU GPSDF BDUJOH PO UIF OUI BUPN JO UFSNT PG UIF TUJGGOFTT PG UIF TQSJOHT BOE UIFO VTF UIF .PNFOUVN 1SJODJQMF UP EFUFSNJOF IPX UIF NPNFOUVN PG UIF OUI BUPN DIBOHFT XJUI UJNF 8FMM TIPX UIBU UIF .PNFOUVN 1SJODJQMF UBLFT UIF GPSN PG UIF XBWF FRVBUJPO GSPN XIJDI XFMM CF BCMF UP EFUFSNJOF UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO PG B QVMTF BMPOH UIF SPX PG BUPNT UIF TQFFE PG TPVOE  'PS HFOFSBMJUZ UIF SPX PG BUPNT NBZ CF VOEFS UFOTJPO PS DPNQSFTTJPO

TP UIBU UIF EJTUBODF E CFUXFFO BUPNT NBZ CF MBSHFS PS TNBMMFS UIBO E UIF SFMBYFE MFOHUI PG B TQSJOH

5IF 'PSDF "DUJOH PO UIF OUI "UPN 8FMM DBMDVMBUF UIF Y DPNQPOFOU PG UIF OFU GPSDF PO UIF OUI BUPN XIJDI GPS DPOWFOJFODF XFMM XSJUF CSJFáZ BT 'O  8F XJMM DBMDVMBUF IPX NVDI UIF TQSJOHT UP UIF SJHIU BOE MFGU PG UIF OUI BUPN BSF TUSFUDIFE PS DPNQSFTTFE

XIJDI XF DBO DBMDVMBUF JO UFSNT PG UIF JOTUBOUBOFPVT QPTJUJPOT PG UIF BUPNT BOE UIF VOTUSFUDIFE MFOHUI PG UIF TQSJOH XIJDI GPS B TPMJE OFJUIFS JO UFOTJPO PS DPNQSFTTJPO JT KVTU UIF FRVJMJCSJVN JOUFSBUPNJD EJTUBODF E TFF 'JHVSF 4  TUSFUDI UP UIF SJHIU = - − - = < O +  E + VO+ − OE + VO > − E = VO +  − V O TUSFUDI UP UIF MFGU = - − - = < OE + VO − O −  E + VO− > − E

u (x2,u2) (x1,u1)

(x3,u3) (x4,u4)

= VO − VO− 'O = LT J

(x5,u5) (x6,u6)

(x0,u0) x 'JHVSF 4 8F JNBHJOF B DPOUJOVPVT GVODUJPO V Y UIBU QBTTFT UISPVHI UIF BDUVBM BUPNJD QPTJUJPOT 5IJT JT B TOBQTIPU PG UIF XBWF BU B QBSUJDVMBS UJNF

= LT J < VO+ − VO − VO − VO− > /PUJDF UIBU JO UIF FYQSFTTJPO GPS 'O UIF JOUFSBUPNJD TQBDJOH E DBODFMT PVU )PXFWFS XFMM TFF UIBU E EPFT DPNF JOUP UIF TQFFE PG TPVOE XFMM DBMDVMBUF *U JT VTFGVM UP UIJOL PG V BT B TNPPUI DPOUJOVPVT GVODUJPO PG Y 5IJT JT JMMVTUSBUFE JO 'JHVSF 4 B TOBQTIPU PG UIF XBWF BU B QBSUJDVMBS UJNF XIFSF XF JNBHJOF B DPOUJOVPVT GVODUJPO V Y UIBU QBTTFT UISPVHI UIF BDUVBM QPTJUJPOT PG UIF BUPNT *O PVS FYQSFTTJPO GPS UIF GPSDF PO UIF OUI BUPN UIF UFSN VO+ − VO

TIPXT VQ JO UIF EFàOJUJPO PG UIF EFSJWBUJWF ∂V/∂Y IPMEJOH U DPOTUBOU JG XF BQQSPYJNBUF B TNBMM ΔY CZ UIF FRVJMJCSJVN EJTUBODF CFUXFFO BUPNT E ∂V ΔV = MJN ∂Y ΔY→ ΔY V − VO ≈ O+ E 8F DBO VTFGVMMZ UBLF UIJT JEFB POF TUFQ GVSUIFS CZ DPOTJEFSJOH UIF TFDPOE EFSJWBUJWF PG V   ∂ ∂V Δ ∂V/∂Y

= MJN Δ Y→ ∂Y ∂Y ΔY VO+ − VO /E − VO − VO− /E ≈ E ∂  V VO+ − VO − VO − VO−

≈ ∂Y E

4 .FDIBOJDBM 8BWFT

4

5IF OVNFSBUPS JO UIJT FYQSFTTJPO DBO CF GPVOE JO UIF FYQSFTTJPO GPS UIF GPSDF PO BO BUPN TP XF DBO XSJUF UIF GPMMPXJOH XIFSF XF SFNJOE PVSTFMWFT UIBU V JT BDUVBMMZ B GVODUJPO PG CPUI Y BOE U ∂  V Y U

∂Y 26&45*0/ 8IBU BQQSPYJNBUJPOT EJE XF NBLF JO EFSJWJOH UIJT FYQSFTTJPO GPS UIF GPSDF PO BO BUPN ' ≈ LT J E

0VS SFTVMU EFQFOET PO UIF WBMJEJUZ PG USFBUJOH V BT B DPOUJOVPVT GVODUJPO PG Y UIBU DBO CF EJGGFSFOUJBUFE XIFSFBT JO SFBMJUZ V IBT WBMVFT POMZ BU MPDBUJPOT Y =  E E FUD 8F DBO FYQFDU PVS SFTVMU UP CF RVJUF BDDVSBUF BT MPOH BT UIF TIBQF PG UIF USBWFMJOH QVMTF DIBOHFT SFMBUJWFMZ TMPXMZ GSPN POF BUPN UP UIF OFYU XIJDI JT UZQJDBMMZ UIF DBTF GPS TPVOE XBWFT USBWFMJOH UISPVHI B TPMJE 'PS FYBNQMF NJEEMF $ PO B QJBOP IBT B GSFRVFODZ PG  )[  DZDMFT QFS TFDPOE  *O BMVNJOVN UIF TQFFE PG TPVOE JT W =  NT TP UIF XBWFMFOHUI PG B  )[ TPVOE XBWF JO BMVNJOVN JT  NT /  DZDMFTT =  N 5IJT XBWFMFOHUI JT IVHF DPNQBSFE UP UIF EJTUBODF CFUXFFO BUPNT TP V JO UIJT DBTF JT JOEFFE B GVODUJPO UIBU DIBOHFT TMPXMZ GSPN POF BUPN UP UIF OFYU " SFáFDUJPO 8IZ JT UIF GPSDF QSPQPSUJPOBM UP B TFDPOE EFSJWBUJWF 8F GPVOE UIBU UIF TUSFUDI UP UIF SJHIU PG UIF OUI BUPN JT VO+ − VO + E BOE UIF TUSFUDI UP UIF MFGU JT VO − VO− + E "T XF IBWF TFFO VO+ − VO BOE VO − VO− BSF SFMBUFE UP UIF àSTU EFSJWBUJWF PG V XJUI SFTQFDU UP Y *G CPUI TQSJOHT BSF TUSFUDIFE CZ UIF TBNF BNPVOU UIF OFU GPSDF PO UIF OUI BUPN JT [FSP 5IJT DPSSFTQPOET UP B SPX PG BUPNT PS B NBDSPTDPQJD XJSF NBEF VQ PG UIFTF BUPNT XIJDI JT JO UFOTJPO EVF UP GPSDFT BQQMJFE BU UIF FOET CVU UIFSF JT OP XBWF NPUJPO POMZ FRVJMJCSJVN 'PS UIFSF UP CF XBWF NPUJPO TPNFXIFSF BMPOH UIF SPX PG BUPNT UIFSF IBT UP CF B EJGGFSFODF CFUXFFO UIF TUSFUDI UP UIF SJHIU BOE UIF TUSFUDI UP UIF MFGU XIJDI NFBOT B EJGGFSFODF JO ∂V/∂Y XIJDI NFBOT B OPO[FSP TFDPOE EFSJWBUJWF ∂  V/∂Y  "O BUPN NBZ CF JO NPUJPO XIFSF UIF OFU GPSDF PO UIF BUPN JT [FSP UIPVHI JUT WFMPDJUZ XPVME OPU CF DIBOHJOH BU UIBU JOTUBOU

"QQMZJOH UIF .PNFOUVN 1SJODJQMF 5IF SBUF PG DIBOHF PG UIF NPNFOUVN PG UIF OUI BUPN JT PG DPVSTF FRVBM UP UIF OFU GPSDF BDUJOH PO UIJT BUPN BOE GSPN BQQMZJOH UIF .PNFOUVN 1SJODJQMF UP UIJT BUPN XF XJMM CF BCMF UP EFUFSNJOF UIF TQFFE PG B QVMTF SVOOJOH BMPOH UIF SPX PG BUPNT 'PS TQFFET TNBMM DPNQBSFE UP UIF TQFFE PG MJHIU EQY EWY E Y ≈ NB = NB  = 'OFUY EU EU EU XIFSF NB JT UIF NBTT PG POF BUPN 5IF QPTJUJPO PG UIF OUI BUPN JT YO = OE + VO  5IF SBUF PG DIBOHF PG UIF NPNFOUVN PG UIF OUI BUPN JO UIF DIBJO PG BUPNT JT NB

∂  OE + VO

∂  VO = N B ∂U ∂U

TJODF O BOE E EP OPU DIBOHF XJUI UJNF /PUF UIBU E Q/EU JOWPMWFT UJNF BOE ' JOWPMWFT QPTJUJPOT %SPQQJOH UIF TVCTDSJQU O UIF .PNFOUVN 1SJODJQMF GPS BOZ BUPN JT UIF GPMMPXJOH XIFSF BHBJO NB JT UIF NBTT PG FBDI BUPN BOE LT J JT UIF FGGFDUJWF TUJGGOFTT PG UIF JOUFSBUPNJD TQSJOH NB

 ∂  V Y U

 ∂ V Y U

= ' = L E T J ∂U ∂Y ∂  V Y U LT J E ∂  V Y U

= NB ∂U ∂Y

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT 5IJT IBT UIF GPSN PG UIF XBWF FRVBUJPO JOUSPEVDFE FBSMJFS JG XF NBLF UIJT SFQMBDFNFOU LT J E NB  LT J W=± E NB

W =

8F XJMM TIPX UIBU |W| JT UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO PG UIF XBWF BOE UIF TJHO EFUFSNJOFT UIF EJSFDUJPO PG QSPQBHBUJPO 5IJT JT UIF TBNF SFTVMU XF PCUBJOFE GSPN EJNFOTJPOBM BOBMZTJT JO $IBQUFS  GPS UIF TQFFE PG TPVOE JO B TPMJE CVU KVTU GSPN EJNFOTJPOBM BOBMZTJT BMPOF XF XPVMEOU LOPX XIFUIFS UIF TQFFE NJHIU CF UXJDF UIJT WBMVF PS POFUIJSE UIJT WBMVF FUD 5IF QMVTNJOVT TJHO GPS W SFTVMUJOH GSPN UBLJOH UIF TRVBSF SPPU NFBOT UIBU FJUIFS B XBWF NPWJOH UP UIF SJHIU PS B XBWF NPWJOH UP UIF MFGU JT B TPMVUJPO PG UIF XBWF FRVBUJPO 4VQQPTF ZPV TUSFUDI B SPX PG / BUPNT TP UIBU UIF JOUFSBUPNJD EJTUBODF JODSFBTFT UP E + T )PX EPFT UIJT BGGFDU UIF TQFFE PG TPVOE W )JOU &YBNJOF IPX UIF OFU GPSDF EFQFOET PO T

)PX EPFT UIJT BGGFDU UIF UJNF GPS B XBWF UP QSPQBHBUF GSPN POF FOE PG UIF SPX PG BUPNT UP UIF PUIFS FOE

26&45*0/

*G ZPV FYBNJOF PVS DBMDVMBUJPO PG UIF OFU GPSDF PO BO BUPN ZPVMM àOE UIBU T JO UIF TUSFUDI UP UIF SJHIU BOE T JO UIF TUSFUDI UP UIF MFGU DBODFM FBDI PUIFS TP UIF TQFFE PG TPVOE W EPFTOU DIBOHF 5IF UJNF JU UBLFT GPS B XBWF UP NPWF UIF MFOHUI PG B SPX PG / BUPNT B UPUBM MFOHUI XIJDI JT OPX / E + T

JODSFBTFT CFDBVTF UIF XBWF IBT TMJHIUMZ GBSUIFS UP HP 5IF DIBOHF JO UIF MFOHUI PG B NFUBM CBS XIFO ZPV TUSFUDI JU JT PG DPVSTF UZQJDBMMZ RVJUF TNBMM TP UIJT JT B TNBMM FGGFDU

" 4PMVUJPO PG UIF 8BWF &RVBUJPO %FTQJUF JUT BQQBSFOU DPNQMFYJUZ UIF XBWF FRVBUJPO IBT B SBUIFS TJNQMF TPMVUJPO 8F DBO TIPX UIBU UIF GVODUJPO u

Δx = vΔt

V Y U = G Y − WU

v

x 'JHVSF 4 " QVMTF USBWFMT UP UIF SJHIU BMPOH B SPX PG BUPNT B EJTUBODF ΔY = WΔU BU TQFFE W GPS B UJNF ΔU 5IF RVBOUJUZ V SFQSFTFOUT UIF EFáFDUJPO PG BO BUPN BXBZ GSPN JUT FRVJMJCSJVN QPTJUJPO

TBUJTàFT UIF XBWF FRVBUJPO BOE SFQSFTFOUT B QVMTF USBWFMJOH UP UIF SJHIU UIF +Y EJSFDUJPO BMPOH UIF DIBJO PG BUPNT XIFSF W JT UIF TQFFE PG UIF XBWF OP NBUUFS XIBU UIF FYBDU GPSN PG UIF GVODUJPO G JT 'PS FYBNQMF V Y U =  DPT  Y − U

JT B QPTTJCMF TPMVUJPO PG UIF XBWF FRVBUJPO " DPNQPOFOU PG UIF FMFDUSJD àFME JO B QSPQBHBUJOH FMFDUSPNBHOFUJD XBWF DPVME CF FYQSFTTFE BT & Y U = & TJO L Y − DU  *O 'JHVSF 4 BU UJNF U UIF QFBL PG B QVMTF JT BU MPDBUJPO Y BOE BU B TMJHIUMZ MBUFS UJNF U + ΔU UIF QFBL PG UIF QVMTF IBT NPWFE UP UIF OFBSCZ MPDBUJPO Y + ΔY XIFSF ΔY = WΔU 'PS UIF QFBL PG UIF XBWF UP IBWF NPWFE BT TIPXO JO 'JHVSF 4 XF NVTU IBWF G Y + ΔY − W U + ΔU

= G Y − WU

5IJT XJMM CF USVF JG ΔY − WΔU =  XIJDI NFBOT UIBU W = ΔY/ΔU XIJDI JT PG DPVSTF KVTU UIF EFàOJUJPO PG UIF TQFFE &WJEFOUMZ B QVMTF EFTDSJCFE CZ V Y U = G Y − WU

XIFSF W JT B QPTJUJWF OVNCFS SFQSFTFOUT B QVMTF NPWJOH UP UIF SJHIU XJUI TQFFE W "OPUIFS XBZ UP TFF UIBU V = G X NVTU SFQSFTFOU B XBWF USBWFMJOH UP UIF SJHIU XIFSF X = Y − WU

JT UIBU GPS UIF GVODUJPO BSHVNFOU X = Y − WU

UP TUBZ UIF TBNF BT UIF UJNF U JODSFBTFT UIF MPDBUJPO Y NVTU JODSFBTF 8IBU LJOE PG B XBWF JT SFQSFTFOUFE CZ UIF GVODUJPO V Y U = G Y + WU

XJUI W B QPTJUJWF OVNCFS

26&45*0/

4 .FDIBOJDBM 8BWFT

4

"T UJNF U BEWBODFT JODSFBTFT

Y NVTU EFDSFBTF GPS UIF GVODUJPO BSHVNFOU Y + WU UP SFNBJO UIF TBNF 5IFSFGPSF V Y U = G Y + WU NVTU SFQSFTFOU B XBWF USBWFMJOH UP UIF MFGU *T TVDI B USBWFMJOH QVMTF DPOTJTUFOU XJUI UIF XBWF FRVBUJPO 8F OFFE UP UBLF QBSUJBM EFSJWBUJWFT PG UIF GVODUJPO V X

XIFSF X = Y − WU  /PUF UIBU UIF EFSJWBUJWF PG V XJUI SFTQFDU UP X JT BO PSEJOBSZ OPU B QBSUJBM EFSJWBUJWF CFDBVTF V JT B GVODUJPO PG UIF TJOHMF WBSJBCMF X = Y − WU  ∂V ∂U ∂V ∂U ∂V ∂Y ∂V ∂Y

EV ∂X EV = − W VTJOH UIF EJGGFSFOUJBUJPO DIBJO SVMF EX ∂U EX       ∂ EV EV E V ∂ ∂V E ∂X = = − W = − W

= W  ∂U ∂U ∂U EX EX EX ∂U EX EV ∂X EV = =  VTJOH UIF EJGGFSFOUJBUJPO DIBJO SVMF EX ∂Y EX       ∂ EV EV ∂X ∂ ∂V E E V = =  = = ∂Y ∂Y ∂Y EX EX EX ∂Y EX =

5IFTF SFTVMUT TIPX UIBU XF DBO XSJUF UIF GPMMPXJOH XIJDI TIPXT UIBU V = G Y − WU JT JO GBDU DPOTJTUFOU XJUI UIF XBWF FRVBUJPO  ∂  V Y U

 ∂ V Y U

= W ∂U ∂Y

v

u(x,t0)

#Z TIPXJOH UIBU UIF W JO UIF XBWF FRVBUJPO SFQSFTFOUT UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO PG BXBWF XF IBWF QSPWFE UIBU UIF TQFFE PG TPVOE JO B TPMJE JT JOEFFE W = LT J /NB E

x1

x2

x3

x

'JHVSF 4 " TOBQTIPU BU UJNF U = U PG B QVMTF USBWFMJOH UP UIF SJHIU BU TQFFE W 8IBU JT UIF QPTJUJPO BT B GVODUJPO PG UJNF PG UIF TFDUJPOT PG SPQF BU MPDBUJPOT Y Y BOE Y

" 5SBWFMJOH 1VMTF 'JHVSF 4 JT B TOBQTIPU PG B QVMTF QSPQBHBUJOH UP UIF SJHIU BMPOH B UBVU SPQF #FJOH B TOBQTIPU UIJT TIPXT V Y U BU BMM MPDBUJPOT Y BU POF QBSUJDVMBS JOTUBOU U = U  5IF NFBOJOH PG V Y U = G Y − WU DBO CF NBEF DMFBS CZ DPOTJEFSJOH UIF GVUVSF NPUJPOT PG UIF SPQF BU UIF MPDBUJPOT NBSLFE Y Y BOE Y  )FSF BSF HSBQIT PG V WT U BU UIFTF UISFF MPDBUJPOT TUBSUJOH BU UJNF U = U  u(x1,t)

t0

u(x2,t)

(a)

t

t0

u(x3,t)

(b)

t

t0

(c)

t

'JHVSF 4 V BT B GVODUJPO PG U BU UIF UISFF EJGGFSFOU MPDBUJPOT TIPXO JO 'JHVSF 4 Y Y BOE Y 

-PDBUJPO Y  "T UIF QVMTF NPWFT UP UIF SJHIU V EFDSFBTFT TFF 'JHVSF 4 BOE 'JHVSF 4B  UIF WFMPDJUZ PG UIJT TFDUJPO PG SPQF JT EPXOXBSE &WFOUVBMMZ UIF USBJMJOH FEHF PG UIF QVMTF QBTTFT MPDBUJPO Y BOE UIJT TFDUJPO PG SPQF OP MPOHFS NPWFT -PDBUJPO Y  "T UIF QVMTF NPWFT UP UIF SJHIU V BU àSTU JODSFBTFT WFMPDJUZ VQXBSE

SFBDIFT B NBYJNVN BT UIF QFBL PG UIF QVMTF QBTTFT WFMPDJUZ NPNFOUBSJMZ [FSP

UIFO EFDSFBTFT WFMPDJUZ EPXOXBSE TFF 'JHVSF 4 BOE 'JHVSF 4C  "HBJO XIFO UIF USBJMJOH FEHF PG UIF QVMTF QBTTFT MPDBUJPO Y UIJT TFDUJPO PG SPQF OP MPOHFS NPWFT -PDBUJPO Y  8IFO UIF MFBEJOH FEHF PG UIF QVMTF SFBDIFT MPDBUJPO Y V CFHJOT UP NPWF VQXBSE *U SFBDIFT B NBYJNVN BT UIF QFBL PG UIF QVMTF QBTTFT MPDBUJPO Y UIFO EFDSFBTFT VOUJM UIF USBJMJOH FEHF PG UIF QVMTF QBTTFT MPDBUJPO Y

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT BGUFS XIJDI UIJT TFDUJPO PG UIF SPQF OP MPOHFS NPWFT 5IF HSBQI PG V WT U 'JHVSF 4D MPPLT MJLF B NJSSPS JNBHF PG UIF QVMTF TIBQF V WT Y 'JHVSF 4  /PUF UIBU UIF HSBQIT PG V WT U JO 'JHVSF 4 IBWF B EJGGFSFOU IPSJ[POUBM TDBMF UIBO UIF HSBQI PG V WT Y JO 'JHVSF 4

" .BDSPTDPQJD 7JFX PG UIF 4QFFE PG 4PVOE *O $IBQUFS  XF TBX UIBU :PVOHT NPEVMVT : B NBDSPTDPQJD SBUJP PG TUSFTT GPSDF QFS VOJU BSFB UP TUSBJO GSBDUJPOBM TUSFUDI DBO CF FYQSFTTFE JO UFSNT PG NJDSPTDPQJD RVBOUJUJFT : = LT J /E "MTP UIF EFOTJUZ ρ PG UIF NBUFSJBM DBO CF XSJUUFO BT ρ = NB /E CFDBVTF FBDI BUPN PDDVQJFT B UJOZ DVCF E PO B TJEF JO UIF TJNQMF DBTF PG B DVCJD MBUUJDF  5IF TQFFE PG TPVOE JO B TPMJE DBO CF FYQSFTTFE JO UFSNT PG NBDSPTDPQJD RVBOUJUJFT     LT J :E :E : W= E= E= = NB NB NB ρ *U DBO CF TIPXO UIBU GPS TPVOE XBWFT JO BJS XIJDI BSF MPOHJUVEJOBM XBWFT JO XIJDI  UIF BJS QSFTTVSF DIBOHFT JO DPOOFDUJPO XJUI DIBOHFT JO UIF EFOTJUZ W = #/ρ XIFSF UIF iCVML NPEVMVTu # JT EFàOFE BT UIF DIBOHF JO QSFTTVSF 1 EJWJEFE CZ UIF BTTPDJBUFE GSBDUJPOBM DIBOHF JO EFOTJUZ ρ #=

Δ1  E1 = Δρ/ρ ρ Eρ

# IBT UIF TBNF VOJUT BT :PVOHT NPEVMVT : GPSDF QFS VOJU BSFB /N  4PVOE XBWFT JO BJS QSPQBHBUF BU B TQFFE PG BCPVU  NT BU SPPN UFNQFSBUVSF

4VQFSQPTJUJPO 5IFSF JT B TVQFSQPTJUJPO QSPQFSUZ GPS TPMVUJPOT PG UIF XBWF FRVBUJPO *G CPUI GVODUJPOT G Y U BOE H Y U BSF TPMVUJPOT PG UIF XBWF FRVBUJPO UIFO UIF TVN PG UIFTF UXP TPMVUJPOT I Y U = G Y U + H Y U

JT BMTP B TPMVUJPO PG UIF XBWF FRVBUJPO ∂  G Y U + H Y U

∂  G Y U + H Y U

= W  ∂U ∂Y     ∂ G Y U ∂ H Y U

 ∂ G Y U

 ∂ H Y U

+ = W + W ∂U ∂U ∂Y ∂Y 5IF àSTU UFSNT PO UIF MFGU BOE SJHIU BSF FRVBM BOE UIF TFDPOE UFSNT PO UIF MFGU BOE SJHIU BSF FRVBM TP UIF XBWF FRVBUJPO JT TBUJTàFE " TJNQMF DPSPMMBSZ PG UIJT TVQFSQPTJUJPO QSPQFSUZ JT UIBU NVMUJQMFT PG B TPMVUJPO TVDI BT  G Y U BSF TPMVUJPOT JG G Y U JT B TPMVUJPO 5IJT JNQPSUBOU QSPQFSUZ PG TVQFSQPTJUJPO JT USVF CFDBVTF UIF XBWF FRVBUJPO JT iMJOFBSu JO UIF TPMVUJPO GVODUJPO XIJDI BQQFBST POMZ UP UIF àSTU QPXFS *G UIF GVODUJPO BQQFBSFE JO UIF XBWF FRVBUJPO TRVBSFE TBZ UIFO XF XPVMEOU IBWF CFFO BCMF UP TIPX UIBU UIF TVN PG UXP TPMVUJPOT XBT BMTP B TPMVUJPO 5IJT TVQFSQPTJUJPO QSPQFSUZ XJMM CF JNQPSUBOU JO B MBUFS TFDUJPO PO TUBOEJOH XBWFT

5IF 8BWF &RVBUJPO 5SBOTWFSTF 8BWFT *G UIF BUPNT NPWF TJEFXBZT QFSQFOEJDVMBS UP UIF EJSFDUJPO PG UIF XBWF NPUJPO UIBU JT DBMMFE B USBOTWFSTF XBWF "O FYBNQMF JT B XBWF NPWJOH BMPOH B SPQF PS XBUFS XBWFT 8FMM BOBMZ[F B USBOTWFSTF XBWF USBWFMJOH BMPOH B SPX PG BUPNT DPOOFDUFE CZ TQSJOHT SFQSFTFOUJOH UIF FMFDUSJD JOUFSBUPNJD GPSDF 5IF BOBMZTJT

4 .FDIBOJDBM 8BWFT

4

JT WFSZ TJNJMBS UP UIF BOBMZTJT PG B MPOHJUVEJOBM XBWF CVU UIF EFUBJMT PG UIF HFPNFUSZ MFBE UP B EJGGFSFOU QSFEJDUJPO GPS UIF XBWF TQFFE *O 'JHVSF 4 XF TIPX B TOBQTIPU PG UIF QPTJUJPOT PG BUPNT BT B USBOTWFSTF θ un+1 XBWF QBTTFT CZ 4JNJMBS UP PVS BOBMZTJT PG MPOHJUVEJOBM XBWFT XFMM DBMM UIF USBOTWFSTF QPTJUJPO PG UIF OUI BUPN VO  un un–1 $POTJEFS UIF TQSJOH UP UIF SJHIU PG UIF OUI BUPN JO 'JHVSF 4 8F BSF HPJOH UP NBLF UIF BQQSPYJNBUJPO UIBU UIF BOHMF θ JT TNBMM FOPVHI UIBU UIF d d MFOHUI M PG UIF TQSJOH JT OFBSMZ UIF TBNF BT E UIF FRVJMJCSJVN EJTUBODF CFUXFFO xn–1 = (n–1)d xn = nd xn+1 = (n+1)d BUPNT 5IJT TNBMMBOHMF BQQSPYJNBUJPO DBO CF RVJUF BDDVSBUF *U DPSSFTQPOET UP TBZJOH E/M = DPT θ ≈  :PV DBO UFTU UIJT PO ZPVS DBMDVMBUPS 8IBU JT DPT ◦

'JHVSF 4 " TOBQTIPU PG UISFF  8IBU JT DPT ◦  "T MPOH BT XF DBO BTTVNF UIBU UIF BOHMF OFJHICPSJOH BUPNT JO B SPX PG BUPNT BMPOH PG B TQSJOH UP UIF IPSJ[POUBM JT TNBMM UIF MFOHUI M PG UIF TQSJOH JT BMXBZT XIJDI B USBOTWFSTF XBWF JT QBTTJOH BQQSPYJNBUFMZ FRVBM UP E UIF FRVJMJCSJVN EJTUBODF CFUXFFO BUPNT 4JODF UIF GPSDF UIBU B TQSJOH FYFSUT PO BO BUPN JT QSPQPSUJPOBM UP UIF TUSFUDI BOE BMM UIF TQSJOHT IBWF OFBSMZ UIF TBNF MFOHUI E UIF NBHOJUVEF PG UIF GPSDF FYFSUFE CZ FBDI TQSJOH JT OFBSMZ UIF TBNF LT J E − E

XIFSF E JT UIF SFMBYFE MFOHUI PG B TQSJOH 5IJT JT DBMMFE UIF UFOTJPO '5 = LT J E − E

XIJDI JT OFBSMZ UIF TBNF BMM BMPOH UIF DIBJO PG BUPNT "MUIPVHI UIF NBHOJUVEF PG FBDI TQSJOH GPSDF JT OFBSMZ UIF TBNF UIF EJSFDUJPOT BSF OPU UIF TBNF BT ZPV DBO TFF JO 'JHVSF 4 'PS TNBMM BOHMFT TJO θ ≈ UBO θ ≈ VO /E :PV DBO UFTU UIJT PO ZPVS DBMDVMBUPS 8IBU JT TJO ◦

 8IBU JT UBO ◦  5IFSFGPSF UIF Y BOE V DPNQPOFOUT PG UIF TQSJOH GPSDFT BQQMJFE UP UIF MFGU BOE SJHIU PG UIF OUI BUPN BSF UIFTF l

'O Y = '5 DPT θO − '5 DPT θO− 'O Y ≈ '5 − '5 =  'O V = '5 TJO θO − '5 TJO θO−   VO +  − VO V O − VO −  'O V ≈ '5 − E E "T JO UIF BOBMZTJT PG MPOHJUVEJOBM XBWFT XF JNBHJOF B DPOUJOVPVT GVODUJPO V Y U UIBU QBTTFT UISPVHI UIF QPJOUT YO VO BOE BTTVNF UIBU UIF DIBOHF JO V GSPN POF BUPN UP UIF OFYU JT TNBMM MPOH XBWFMFOHUI DPNQBSFE UP UIF JOUFSBUPNJD EJTUBODF E  8F UBLF B TOBQTIPU GSFF[F UIF NPUJPO BOE XSJUF QBSUJBM EFSJWBUJWFT XJUI SFTQFDU UP Y  

∂V ∂Y ∂V ∂Y

 ≈ SJHIU



V O +  − VO E

V O +  − VO E SJHIU     ∂V ∂V − 'O V ≈ '5 ∂Y SJHIU ∂Y MFGU       ∂V ∂V 'O −    ∂Y ∂Y ∂ ∂V ∂ V '5 SJHIU MFGU ≈ = = ∂Y ∂Y E E ∂Y ≈

'O V = '5 E

∂V ∂Y

5IFSFGPSF UIF .PNFOUVN 1SJODJQMF HJWFT VT UIF GPMMPXJOH GPSN PG UIF XBWF FRVBUJPO JO UIF DBTF PG USBOTWFSTF XBWFT NB

∂V ∂V = ' E 5 ∂U ∂Y

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT *G XF EJWJEF CZ NB XF PCUBJO BO FRVBUJPO UIBU MPPLT MJLF UIF XBWF FRVBUJPO ∂  V Y U '5 E ∂  V Y U

= NB ∂U ∂Y $PNQBSJOH XJUI UIF HFOFSBM GPSN PG UIF XBWF FRVBUJPO XF TFF UIBU W =

'5 E NB 

W=±

'5 E NB

*O 4FDUJPO 4 JT BO PQUJPOBM EFSJWBUJPO PG UIF XBWF FRVBUJPO GPS MJHIU XIJDI JT B USBOTWFSTF XBWF

" .BDSPTDPQJD 7JFX PG 5SBOTWFSTF 8BWFT 'PS DPODSFUFOFTT XF DPOTJEFSFE B TJOHMF SPX PG BUPNT CVU JOTJEF B DSZTUBMMJOF NBUFSJBM B NBUFSJBM XJUI BO PSEFSMZ MBUUJDF PG BUPNT UIFSF BSF PG DPVSTF NBOZ QBSBMMFM SPXT PG BUPNT BOE UIFSF BSF TQSJOHMJLF GPSDFT CFUXFFO BUPNT JO OFJHICPSJOH DPMVNOT 'PS UIBU SFBTPO USBOTWFSTF XBWFT JOTJEF B CMPDL PG NFUBM BSF NPSF DPNQMJDBUFE UIBO XBWFT BMPOH B IZQPUIFUJDBM TJOHMF SPX PG BUPNT )PXFWFS XF DBO JNNFEJBUFMZ BQQMZ PVS SFTVMU UP B NBDSPTDPQJD PCKFDU $POTJEFS B WFSZ MPXNBTT TUSJOH VOEFS UFOTJPO '5 BMPOH XIJDI BSF BUUBDIFE CFBET PG NBTT NB FWFOMZ TQBDFE B EJTUBODF E BQBSU 5IF iMJOFBS EFOTJUZu NBTT QFS VOJU MFOHUI JT μ = NB /E 5IF TQFFE PG QSPQBHBUJPO PG B USBOTWFSTF XBWF BMPOH UIF TUSFUDIFE TUSJOH JT  W=

 '5 E = NB

'5 μ

5IJT JT WBMJE BT MPOH BT UIF XBWFMFOHUI JT MPOH DPNQBSFE UP UIF CFBE TQBDJOH E "T UIF EJTUBODF E CFUXFFO CFBET HFUT TNBMMFS BOE TNBMMFS XF IBWF B OFBSMZ VOJGPSNEFOTJUZ TUSJOH TP UIJT JT UIF TQFFE PG USBOTWFSTF XBWFT JO HFOFSBM BMPOH B TUSJOH PS SPQF *U TIPVME CF NFOUJPOFE UIBU JO EJBHSBNT TVDI BT 'JHVSF 4 JU JT DPNNPO UP FYBHHFSBUF HSFBUMZ UIF WFSUJDBM TDBMF GPS V JO PSEFS UP CF BCMF UP TFF UIF QVMTF DMFBSMZ 4USJDUMZ TQFBLJOH UIF TQFFE UIBU XF IBWF DBMDVMBUFE GPS USBOTWFSTF XBWFT NPWJOH BMPOH B SPQF JT WBMJE POMZ JO UIF TNBMMBOHMF BQQSPYJNBUJPO *G ZPV EPVCMF UIF UFOTJPO JO B SPQF XIBU IBQQFOT UP UIF TQFFE PG B USBOTWFSTF QVMTF USBWFMJOH BMPOH UIF SPQF *G ZPV EPVCMF UIF UFOTJPO JO B NFUBM CBS XIBU IBQQFOT UP UIF TQFFE PG B MPOHJUVEJOBM QVMTF TPVOE XBWF USBWFMJOH UISPVHI UIF CBS

26&45*0/

√ 5IF TQFFE PG UIF QVMTF USBWFMJOH BMPOH UIF SPQF JODSFBTFT CZ B GBDUPS PG  5IJT JT RVJUF EJGGFSFOU GSPN UIF TJUVBUJPO PG B MPOHJUVEJOBM TPVOE XBWF JO B CBS PG NFUBM XIFSF EPVCMJOH UIF UFOTJPO JO UIF CBS BEET BO BNPVOU T UP UIF JOUFSBUPNJD EJTUBODF CVU EPFTOU DIBOHF UIF FRVJMJCSJVN JOUFSBUPNJD EJTUBODF E TP UIF TQFFE PG TPVOE EPFTOU DIBOHF

4JOVTPJEBM 8BWFT " WFSZ JNQPSUBOU LJOE PG XBWF JT B TJOVTPJEBM XBWF .BOZ XBWFT IBWF B TJOVTPJEBM TIBQF BOE BT XFMM TFF JO B MBUFS TFDUJPO PO TUBOEJOH XBWFT JU JT QPTTJCMF UP FYQSFTT NBUIFNBUJDBMMZ PUIFS XBWF TIBQFT BT B TVN PG TJOVTPJET

4 .FDIBOJDBM 8BWFT

Wavelength λ

λ v= T

x Period T Amplitude 'JHVSF 4 " TJOVTPJEBM XBWF

4

$POTJEFS UIF GPMMPXJOH GVODUJPO TIPXO JO 'JHVSF 4 XIFSF " JT DBMMFE UIF BNQMJUVEF λ JT UIF XBWFMFOHUI BOE 5 JT UIF QFSJPE PG UIF XBWF   πY πU V Y U = " DPT − λ 5    λ π Y− U = " DPT λ 5   π (Y − WU) = " DPT λ 5IJT JT B TPMVUJPO PG UIF XBWF FRVBUJPO CFDBVTF JU JT B GVODUJPO PG UIF RVBOUJUZ Y − WU

XJUI UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO W = λ/5 JO POF QFSJPE 5 UIF XBWF BEWBODFT B EJTUBODF PG POF XBWFMFOHUI λ  .PSFPWFS XIFO Y BEWBODFT CZ POF XBWFMFOHUI λ PS U BEWBODFT CZ POF QFSJPE 5 JU JT FWJEFOU GSPN UIF àSTU GPSN PG UIF GVODUJPO TIPXO BCPWF UIBU UIF BSHVNFOU PG UIF DPTJOF BEWBODFT CZ π SBE ◦

BOE UIFSFGPSF UIF DPTJOF GVODUJPO SFQFBUT 5IF RVBOUJUZ π/λ JT DBMMFE UIF iXBWF OVNCFSu L BOE UIF RVBOUJUZ π/5 JT DBMMFE UIF iBOHVMBS GSFRVFODZu ω *U JT TUBOEBSE QSBDUJDF UP XSJUF UIJT TPMVUJPO PG UIF XBWF FRVBUJPO JO UIF GPSN V Y U = " DPT LY − ωU

*U JT PGUFO VTFGVM UP OPUF UIF GPMMPXJOH ω/L = π/5 / π/λ = λ/5 = W "OPUIFS RVBOUJUZ JT PGUFO VTFE UIF GSFRVFODZ G = /5 XIJDI JT UIF OVNCFS PG DPNQMFUF DZDMFT JO POF TFDPOE UIF VOJU JT IFSU[ )[ DZDMFT QFS TFDPOE  4JODF ω = π/5 ω = πG 26&45*0/ 8IBU BSF UIF VOJUT PG UIF XBWF OVNCFS L 0G UIF BOHVMBS GSFRVFODZ ω

5IF XBWF OVNCFS L IBT VOJUT PG SBEJBOTN PS N BOE UIF BOHVMBS GSFRVFODZ ω IBT VOJUT PG SBEJBOTTFDPOE PS T /PUF UIBU SBEJBOT BSF EJNFOTJPOMFTT

&OFSHZ 1SPQBHBUJPO " XBWF DBO DBSSZ FOFSHZ GSPN POF QMBDF UP B EJTUBOU QMBDF XJUIPVU NPWJOH BUPNT GSPN UIF JOJUJBM MPDBUJPO UP UIF àOBM MPDBUJPO *O UIF DBTF PG TJOVTPJEBM XBWFT XF DBO DBMDVMBUF UIF SBUF BU XIJDI FOFSHZ JT USBOTGFSSFE XIJDI JT UIF QPXFS FOFSHZ EFMJWFSFE QFS TFDPOE  $POTJEFS UIF LJOFUJD FOFSHZ BOE QPUFOUJBM FOFSHZ JO B SFHJPO PG UIF XBWF UIBU JT POF XBWFMFOHUI MPOH *O POF QFSJPE 5 BMM UIBU FOFSHZ JT QBTTFE UP UIF BEKPJOJOH SFHJPO PS DPVME CF EFMJWFSFE UP B EFWJDF UIBU JT DPOOFDUFE UP UIF FOE PG UIF XBWJOH PCKFDU 5IF LJOFUJD FOFSHZ PG POF BUPN JO B SPX PG BUPNT BMPOH XIJDI QBTTFT B TJOVTPJEBM XBWF JT    ∂V NB  ∂U 5IF MFOHUI PG B SPX PG BUPNT UIBU XFMM DPOTJEFS JT λ XJUIJO XIJDI SFHJPO UIFSF BSF / = λ/E BUPNT TJODF /E = λ JT UIF UPUBM MFOHUI 5P BEE VQ UIF LJOFUJD FOFSHJFT PG BMM / BUPNT , XF XSJUF UIF TVNNBUJPO BT BO JOUFHSBM

λ

,= 

 NB 



∂V ∂U



EY E

%JWJEJOH EY CZ E QSPQFSMZ XFJHIUT UIF WBSJPVT DPOUSJCVUJPOT TJODF UIF JOUFHSBM PG EY/E JT λ/E = / UIF OVNCFS PG BUPNT XIPTF LJOFUJD FOFSHJFT XF XBOU UP

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT BEE VQ 5P QVU JU BOPUIFS XBZ UIFSF JT  BUPN QFS EJTUBODF E TP EY/E JT UIF OVNCFS PG BUPNT JO B EJTUBODF EY 'PS B TJOVTPJEBM XBWF V = " DPT LY − ωU XF IBWF ∂V = −ω" TJO LY − ωU

∂U

λ  EY NB ω  " TJO LY − ωU

,=  E 

λ    NB ω " TJO LY − ωU EY =  E  8F DBO FWBMVBUF UIF JOUFHSBM CZ TVCUSBDUJOH POF USJH JEFOUJUZ GSPN BOPUIFS DPT θ + TJO θ =  DPT θ − TJO θ = DPT θ

 TJO θ =  − DPT θ

 5IF JOUFHSBM PWFS POF XBWFMFOHUI PG UIF DPTJOF GVODUJPO JT [FSP MFBWJOH POMZ UIF JOUFHSBM PG EY

λ  λ  − DPT  LY − ωU

EY =    "OPUIFS XBZ UP FYQSFTT UIJT SFTVMU JT UIBU UIF BWFSBHF WBMVF PG TJO PWFS POF QFSJPE JT  XIJDI JT SFBTPOBCMF TJODF UIF TRVBSF PG UIF TJOF GVODUJPO WBSJFT CFUXFFO  BOE  5IF SFTVMU GPS UIF LJOFUJD FOFSHZ JO POF XBWFMFOHUI PG UIF XBWF JT  NB ω  " λ ,=  E 5IFSF JT BMTP QPUFOUJBM FOFSHZ JO UIF XBWF BTTPDJBUFE XJUI UIF TUSFUDI PG FBDI TQSJOH XJUI FBDI TQSJOH DPOUSJCVUJOH / LT FGG V XIFSF LT FGG JT UIF FGGFDUJWF TQSJOH TUJGGOFTT BTTPDJBUFE XJUI UIF TQSJOH GPSDFT FYFSUFE CZ OFJHICPSJOH BUPNT PO BO BUPN 'PS FJUIFS MPOHJUVEJOBM PS USBOTWFSTF XBWFT UIF GPSDF PO BO BUPN DBO CF FYQSFTTFE JO UFSNT PG BO FGGFDUJWF TQSJOH TUJGGOFTT GPS V = " DPT LY − ωU  ∂V ∂U = NB −ω  V

= −LT FGG V

' = NB

LT FGG = NB ω  5IF MFOHUI PG BUPNT XFMM DPOTJEFS JT BHBJO λ XJUIJO XIJDI SFHJPO UIFSF BSF / = λ/E BUPNT TJODF /E = λ JT UIF UPUBM MFOHUI 5P BEE VQ UIF QPUFOUJBM FOFSHJFT PG BMM / BUPNT 6 XF XSJUF UIF TVNNBUJPO BT BO JOUFHSBM

λ  EY 6= LT FGG V  E  %JWJEJOH EY CZ E QSPQFSMZ XFJHIUT UIF WBSJPVT DPOUSJCVUJPOT TJODF UIF JOUFHSBM PG EY/E JT λ/E = / UIF OVNCFS PG BUPNT XIPTF QPUFOUJBM FOFSHJFT XF XBOU UP BEE VQ 'PS B TJOVTPJEBM XBWF V = " DPT LY − ωU XF IBWF

λ  EY 6= NB ω  TJO LY − ωU

E  

λ    NB ω " TJO LY − ωU EY =  E  =

 NB ω  " λ  E

4 4UBOEJOH 8BWFT

4

8F TFF UIBU UIF UPUBM QPUFOUJBM FOFSHZ JO POF XBWFMFOHUI JT UIF TBNF BT UIF UPUBM LJOFUJD FOFSHZ BOE UIFJS TVN JT UIJT ,+6 =

 NB ω  " λ  E

5BLJOH B NBDSPTDPQJD WJFX NB /E JT UIF MJOFBS NBTT EFOTJUZ μ LJMPHSBNT QFS NFUFS   , + 6 = μω  " λ  5IF BWFSBHF QPXFS DBSSJFE CZ UIF XBWF JT UIF FOFSHZ JO POF XBWFMFOHUI EJWJEFE CZ UIF UJNF GPS POF XBWFMFOHUI UP QBTT CZ OBNFMZ UIF QFSJPE 5  μω  " λ  5    = μω " W 

BWFSBHF QPXFS =

5IF NBTT . PG UIF XBWJOH PCKFDU JT UIF EFOTJUZ ρ UJNFT UIF WPMVNF - × "SFB

XIFSF - JT UIF MFOHUI BOE "SFB JT UIF DSPTTTFDUJPOBM BSFB PG UIF PCKFDU 5IF NBTT . DBO BMTP CF XSJUUFO BT μ- TJODF μ JT UIF NBTT QFS VOJU MFOHUI 5IFSFGPSF . = μ- = ρ- × "SFB

BOE XF DBO XSJUF UIF BWFSBHF QPXFS BT  ρ BSFB ω  " W  5IF BWFSBHF QPXFS QFS DSPTTTFDUJPOBM BSFB 8N JT    ρω " W  8PSL PVU UIF VOJUT GPS UIJT FYQSFTTJPO GPS BWFSBHF QPXFS 8IBU TIPVME UIFZ CF

26&45*0/

:PV TIPVME àOE UIBU UIF VOJUT BSF KPVMFTTFDPOE PS XBUUT :PV DBO àHVSF PVU UIF GVOEBNFOUBM VOJUT GPS UIF KPVMF CZ DPOTJEFSJOH UIF VOJUT JO UIF FYQSFTTJPO GPS LJOFUJD FOFSHZ / NW  *G ZPV EPVCMF UIF BOHVMBS GSFRVFODZ CZ XIBU GBDUPS EPFT UIF BWFSBHF QPXFS JO UIF XBWF DIBOHF *G JOTUFBE ZPV EPVCMF UIF BNQMJUVEF IPX EPFT UIF BWFSBHF QPXFS DIBOHF

26&45*0/

*O CPUI DBTFT UIF QPXFS XJMM JODSFBTF CZ B GBDUPS PG GPVS CFDBVTF CPUI ω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

4 45"/%*/( 8"7&4 *O UIJT TVQQMFNFOU BOE JO $IBQUFS  XF IBWF CFFO TUVEZJOH USBWFMJOH XBWFT‡XBWFT XIPTF DSFTUT USBWFM UISPVHI TQBDF BU B TQFFE UIBU JT DIBSBDUFSJTUJD PG UIF UZQF PG XBWF UIF TQFFE PG MJHIU GPS FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO UIF TQFFE PG TPVOE GPS TPVOE XBWFT FUD  /FYU XF XJMM TUVEZ XBWFT UIBU USBWFM CBDL BOE

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT GPSUI XJUIJO B DPOà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

TP UXP XBWFT BQQSPBDIJOH FBDI PUIFS SFQSFTFOU B WBMJE TPMVUJPO PG UIF XBWF FRVBUJPO v

v

'JHVSF 4 $PMMJEJOH XBWFT BEE VQ UP DSFBUF B TUBOEJOH XBWF

8IFO UIF XBWFT TUBSU UP PWFSMBQ UIFZ PG DPVSTF JOUFSGFSF XJUI FBDI PUIFS DPOTUSVDUJWFMZ PS EFTUSVDUJWFMZ EFQFOEJOH PO UIF SFMBUJWF QIBTFT PG UIF UXP t ϕ XBWFT JO TQBDF 5IJT JOUFSGFSFODF MFBET UP B SFNBSLBCMF FGGFDU -PPL BU UIF TFRVFODF PG TOBQTIPUT JO 'JHVSF 4 UBLFO POFFJHIUI PG B QFSJPE BQBSU *O t + T/8 UIF PWFSMBQ SFHJPO UIF XBWF EPFTOU QSPQBHBUF *U KVTU TUBZT JO POF QMBDF XJUI ϕ + π/4 UIF DSFTUT XBWJOH VQ BOE EPXO CVU OPU NPWJOH UP UIF MFGU PS UP UIF SJHIU 5IJT JT TPNFUIJOH OFX DBMMFE B iTUBOEJOH XBWFu t + T/4 5IFSF BSF FWFO JOTUBOUT XIFO UIF XBWF JT DPNQMFUFMZ [FSP UISPVHIPVU UIF ϕ + π/2 PWFSMBQ SFHJPO "U UIF JOTUBOU UIBU UIJT PDDVST GPS B TUSJOH QJFDFT PG UIF TUSJOH EP IBWF WFMPDJUZ SBUF PG DIBOHF PG EJTQMBDFNFOU BOE LJOFUJD FOFSHZ TP UIF XBWJOH t + 3T/4 EPFT DPOUJOVF FWFO UIPVHI UIFSF JT NPNFOUBSJMZ OP USBOTWFSTF EJTQMBDFNFOU ϕ + 3π/4 PG UIF TUSJOH BOZXIFSF JO UIF SFHJPO *O UIF DBTF PG FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO UIF FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET BSF DIBOHJOH BT UIFZ HP UISPVHI [FSP t + T/2 0OF PG UIF JNQPSUBOU QSPQFSUJFT PG B TUBOEJOH XBWF JT UIF FYJTUFODF ϕ+π PG XIBU BSF DBMMFE iOPEFTu‡MPDBUJPOT XIFSF UIF XBWF JT [FSP BU BMM UJNFT Nodes 1PTJUJPOT PG OPEFT PG UIF TUBOEJOH XBWF BSF DJSDMFE PO UIF CPUUPN TOBQTIPU JO 'JHVSF 4 5XP USBWFMJOH XBWFT PG UIF 'JHVSF 4 )BMGXBZ CFUXFFO UIF OPEFT UIF TUBOEJOH XBWF QFSJPEJDBMMZ HFUT TBNF GSFRVFODZ QSPEVDF B TUBOEJOH XBWF UP GVMM BNQMJUVEF 5IFTF MPDBUJPOT BSF DBMMFE iBOUJOPEFTu

4UBOEJOH 8BWFT WT 5SBWFMJOH 8BWFT " TJOHMF PCTFSWFS PCTFSWJOH UIF XBWF BT B GVODUJPO PG UJNF BU POF TQFDJàD MPDBUJPO UIBU JT OPU B OPEF DBOU UFMM UIF EJGGFSFODF CFUXFFO B USBWFMJOH XBWF BOE B TUBOEJOH XBWF 26&45*0/

#SJFáZ FYQMBJO XIZ UIJT JT

5IF TJOHMF PCTFSWFS TFFT UIF XBWF HPJOH VQ BOE EPXO BU UIJT MPDBUJPO XIJDI JT KVTU XIBU JU EPFT XIFO B USBWFMJOH XBWF HPFT CZ 0O UIF PUIFS IBOE JG UIF TJOHMF PCTFSWFS JT MPDBUFE BU B OPEF UIF PCTFSWFS NBZ DPODMVEF UIBU OPUIJOH JOUFSFTUJOH JT IBQQFOJOH BU BMM PS UIBU UIJT JT B MPDBUJPO XIFSF UXP USBWFMJOH XBWFT BSF EFTUSVDUJWFMZ JOUFSGFSJOH XJUI FBDI PUIFS BT JO UXPTMJU JOUFSGFSFODF XJUIPVU GPSNJOH B TUBOEJOH XBWF JO TQBDF 0OMZ JG XF MPPL BU UIF DPNQMFUF QBUUFSO PG XBWFT JO TQBDF BOE UJNF DBO XF TFF UIBU B TUBOEJOH XBWF JT SFBMMZ WFSZ EJGGFSFOU GSPN B USBWFMJOH XBWF :FU UIFSF

4 4UBOEJOH 8BWFT

4

BSF TPNF QSPQFSUJFT UIBU BSF UIF TBNF GPS CPUI LJOET PG XBWF -PPL DBSFGVMMZ BU UIF UJNF TFRVFODF PG TOBQTIPUT JO 'JHVSF 4 BOE UIFO BOTXFS UIF GPMMPXJOH JNQPSUBOU RVFTUJPOT *G UIF XBWFMFOHUI PG UIF UXP USBWFMJOH XBWFT JT λ XIBU JT UIF XBWFMFOHUI DSFTUUPDSFTU EJTUBODF PG UIF TUBOEJOH XBWF *G UIF GSFRVFODZ PG UIF UXP USBWFMJOH XBWFT JT G XIBU JT UIF GSFRVFODZ OVNCFS PG DPNQMFUF DZDMFT QFS TFDPOE PG UIF TUBOEJOH XBWF

26&45*0/

5IF XBWFMFOHUI BOE GSFRVFODZ PG UIF TUBOEJOH XBWF BSF UIF TBNF BT GPS UIF USBWFMJOH XBWFT 5IJT NFBOT UIBU BMUIPVHI UIF TUBOEJOH XBWF JTOU HPJOH BOZXIFSF MFGU PS SJHIU

XF DBO TUJMM VTF UIF JNQPSUBOU SFMBUJPOTIJQ W = Gλ UP SFMBUF GSFRVFODZ BOE XBWFMFOHUI GPS B TUBOEJOH XBWF UISPVHI UIF TQFFE W PG B USBWFMJOH XBWF

$POàOFE 8BWFT 4UBOEJOH 8BWFT PO B 4USJOH

λ = 2L

L λ=L

0OF PG UIF XBZT UP DSFBUF B TUBOEJOH XBWF JT UP JOJUJBUF B TJOHMF USBWFMJOH TJOVTPJEBM XBWF JO B DPOàOFE TQBDF TP UIBU JU DPOUJOVBMMZ SFáFDUT PGG UIF CPVOEBSJFT PG UIJT DPOàOFE TQBDF BOE UIF SFáFDUFE XBWF JOUFSGFSFT XJUI UIF PSJHJOBM XBWF 5IF GSFRVFODZ EPFTOU DIBOHF JO SFáFDUJOH PGG B TUBUJPOBSZ CPVOEBSZ TP UIF PSJHJOBM XBWF BOE JUT SFáFDUJPO BSF HVBSBOUFFE UP IBWF UIF TBNF GSFRVFODZ XIJDI JT OFDFTTBSZ JO PSEFS UP CF BCMF UP DSFBUF B TUBOEJOH XBWF &YBNQMFT PG TVDI DPOàOFE XBWFT JODMVEF FMBTUJD XBWFT PO B TUSJOH TUSFUDIFE CFUXFFO UXP TVQQPSUT TPVOE XBWFT JOTJEF B QJQF DMPTFE BU CPUI FOET BOE MJHIU XBWFT SFáFDUJOH CBDL BOE GPSUI CFUXFFO NJSSPST BU FBDI FOE PG B MBTFS 'PS DPODSFUFOFTT XFMM FNQIBTJ[F FMBTUJD XBWFT PO B UBVU TUSJOH CVU UIF BOBMZTJT BQQMJFT UP NBOZ PUIFS RVJUF EJGGFSFOU QIZTJDBM TJUVBUJPOT 'JHVSF 4 TIPXT UXP QPTTJCMF TUBOEJOH XBWFT PO B UBVU TUSJOH PG MFOHUI - UIBU JT UJFE UP UXP àYFE TVQQPSUT 5IF XBWFMFOHUI JO UIF VQQFS DBTF JT λ = - BT DBO CF WFSJàFE CZ OPUJOH UIBU UIF MFOHUI - DPOUBJOT IBMG B XBWFMFOHUI 5IF XBWFMFOHUI JO UIF MPXFS DBTF JT λ = - 8IZ DBOU ZPV IBWF B TUBOEJOH XBWF PO UIJT TUSJOH XJUI XBWFMFOHUI - PS - PS -

26&45*0/

'JHVSF 4 5XP PG UIF QPTTJCMF TUBOEJOH XBWFT PO B UBVU TUSJOH PG MFOHUI -

5IFTF XBWFMFOHUIT EPOU àU CFDBVTF UIF XBWFT BSFOU [FSP BU UIF FOET PG UIF TUSJOH XIFSF UIF TUSJOH JT UJFE UP àYFE TVQQPSUT :PV IBWF EJTDPWFSFE UIBU UIF QPTTJCMF TUBOEJOH XBWFT PO B TUSJOH BSF iRVBOUJ[FEu /PU KVTU BOZ PME XBWFMFOHUI XJMM EP 5IF QPTTJCMF XBWFMFOHUIT PG B TUBOEJOH XBWF PO B UBVU TUSJOH BSF DPNQMFUFMZ EFUFSNJOFE CZ UIF EJTUBODF CFUXFFO UIF TVQQPSUT 5IF TBNF JNQPSUBOU QSJODJQMF BQQMJFT UP QPTTJCMF XBWFMFOHUIT PG TUBOEJOH TPVOE XBWFT JO BO PSHBO QJQF PS QPTTJCMF XBWFMFOHUIT PG TUBOEJOH MJHIU XBWFT JO B MBTFS 45"/%*/( 8"7&4 "3& 26"/5*;&% 0OMZ DFSUBJO XBWFMFOHUIT BOE GSFRVFODJFT BSF QPTTJCMF

&OVNFSBUJOH UIF 1PTTJCMF 4UBOEJOH 8BWFT -FUT HFOFSBUF B NPSF DPNQMFUF DBUBMPH PG UIF QPTTJCMF XBWFMFOHUIT GPS TUBOEJOH XBWFT PO B UBVU TUSJOH *O UFSNT PG UIF MFOHUI - XSJUF EPXO UIF TJY MPOHFTU QPTTJCMF XBWFMFOHUIT :PV BMSFBEZ LOPX UIF àSTU UXP λ = - BOE λ = - 26&45*0/

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT 3(λ/2) = L λ = 2L/3

4(λ/2) = L λ = 2L/4

&WJEFOUMZ XF IBWF λ = -/ λ = -/ λ = -/ BOE λ = -/ 5IF XBWFT BSF TIPXO JO 'JHVSF 4 " RVJDL XBZ UP EFUFSNJOF UIF QPTTJCMF XBWFMFOHUIT JT UP OPUF UIBU JO UIF MFOHUI - UIFSF NVTU CF BO JOUFHFS OVNCFS O PG IBMGXBWFMFOHUIT TP - = O λO /

XIJDI NFBOT UIBU λO = -/O "T MPOH BT UIF BNQMJUVEF JTOU UPP MBSHF PS UIF XBWFMFOHUI UPP TNBMM UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO W PG USBWFMJOH XBWFT PO B UBVU TUSJOH UVSOT PVU UP CF JOEFQFOEFOU PG UIF XBWFMFOHUI *O UFSNT PG UIJT TQFFE W XIBU BSF UIF GSFRVFODJFT PG UIF TJY MPXFTU QPTTJCMF TUBOEJOHXBWF GSFRVFODJFT

26&45*0/

5(λ/2) = L λ = 2L/5

6(λ/2) = L λ = 2L/6

'JHVSF 4 5IF OFYU GPVS QPTTJCMF TUBOEJOH XBWFT

D

4PMWJOH GPS GO = W/λO = OW/ -

XF IBWF G = W/ -

G = W/ -

G = W/ -

G = W/ -

G = W/ -

BOE G = W/ -  5IFTF EJGGFSFOU TUBOEJOH XBWFT BSF DBMMFE iNPEFTu 5IF UFDIOJDBM VTF PG UIF UFSN JT UIBU B NPEF PG PTDJMMBUJPO PG B TZTUFN JT POF DIBSBDUFSJ[FE CZ B TUBOEJOH XBWF UIBU JT TJOVTPJEBM JO UJNF XJUI UIF TBNF GSFRVFODZ BU FWFSZ MPDBUJPO BOE UIBU OFDFTTBSJMZ TBUJTàFT UIF CPVOEBSZ DPOEJUJPOT JO PVS DBTF UIBU UIF XBWF JT [FSP BU UIF FOET PG UIF TUSJOH  " NPEF NBZ BMTP CF TJOVTPJEBM JO TQBDF BU B QBSUJDVMBS JOTUBOU PG UJNF BT JT USVF GPS B TUSJOH CVU JU OFFE OPU CF TQBUJBMMZ TJOVTPJEBM JO NPSF DPNQMJDBUFE TZTUFNT TVDI BT UIF UXPEJNFOTJPOBM TVSGBDF PG B ESVN 8FWF TFFO UIBU UIFSF JT B MPOHFTU QPTTJCMF XBWFMFOHUI - BOE B MPXFTU QPTTJCMF GSFRVFODZ W/ -  *T UIFSF B TIPSUFTU QPTTJCMF XBWFMFOHUI DPSSFTQPOEJOH UP B IJHIFTU QPTTJCMF GSFRVFODZ :FT *G UIF EJTUBODF CFUXFFO BUPNT JO UIF TUSJOH JT % UIF TIPSUFTU UIFPSFUJDBMMZ QPTTJCMF XBWFMFOHUI GPS B TUBOEJOH FMBTUJD XBWF JT % XJUI BEKBDFOU BUPNT PTDJMMBUJOH PVU PG QIBTF XJUI FBDI PUIFS 'JHVSF 4  "OZ TIPSUFS XBWFMFOHUI IBT OP QIZTJDBM TJHOJàDBODF "T JT UIF DBTF GPS NBOZ PUIFS TZTUFNT B WJCSBUJOH TUSJOH IBT B OVNCFS PG NPEFT OVNCFS PG EJGGFSFOU QPTTJCMF TUBOEJOHXBWF QBUUFSOT UIBU JT OPU JOàOJUF CVU àOJUF

#VJMEJOH 6Q UP UIF 4UFBEZ 4UBUF λ = 2D 'JHVSF 4 5IF TIPSUFTU QPTTJCMF XBWFMFOHUI IJHIFTU QPTTJCMF GSFRVFODZ 

:PV NBZ IBWF IBE UIF FYQFSJFODF PG CVJMEJOH VQ B TUBOEJOH XBWF JO B TUSJOH PS SPQF :PV UJF POF FOE PG UIF SPQF UP TPNFUIJOH QVMM JU UBVU UIFO TIBLF ZPVS FOE PG UIF SPQF VQ BOE EPXO *G ZPV TIBLF BU POF PG UIF NPEF GSFRVFODJFT B MBSHF PTDJMMBUJPO RVJDLMZ CVJMET VQ CFDBVTF UIF USBWFMJOH XBWF ZPV TFOE EPXO UIF SPQF SFáFDUT PGG UIF PUIFS FOE JO TVDI B XBZ BT UP QSPEVDF B TUBOEJOH XBWF UISPVHI DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF )PXFWFS JG ZPV USZ UP TIBLF UIF SPQF BU B GSFRVFODZ UIBU JT OPU SJHIU GPS BOZ NPEF ZPV EPOU CVJME VQ B MBSHF PTDJMMBUJPO CFDBVTF ZPV EPOU HFU DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF "T ZPV DPOUJOVF UP QVU FOFSHZ JOUP UIF SPQF CZ TIBLJOH JU BU BO BQQSPQSJBUF GSFRVFODZ UIF TUBOEJOH XBWF HSPXT BOE HSPXT 8IBU MJNJUT JUT HSPXUI 8IBU EFUFSNJOFT UIF àOBM BNQMJUVEF PG UIF TUBOEJOH XBWF "U àSTU BMNPTU BMM PG ZPVS FOFSHZ JOQVU HPFT JOUP NBLJOH UIF TUBOEJOH XBWF HSPX "T UIF BNQMJUVEF JODSFBTFT IPXFWFS TP EPFT UIF SBUF PG FOFSHZ MPTTFT EVF UP BJS SFTJTUBODF BOE iJOUFSOBM GSJDUJPOu JO UIF SPQF JUTFMG BTTPDJBUFE XJUI CFOEJOH UIF NBUFSJBM 5IF BJS SFTJTUBODF HSPXT CFDBVTF BJS SFTJTUBODF JT MBSHFS BU IJHIFS TQFFET BOE UIF SPQF IBT IJHIFS USBOTWFSTF TQFFET XIFO UIF BNQMJUVEF PG UIF TUBOEJOH XBWF JT MBSHFS *OUFSOBM GSJDUJPO JOTJEF UIF SPQF BMTP HSPXT BT UIF CFOEJOH BOHMF PG UIF SPQF HFUT MBSHFS XJUI MBSHFS BNQMJUVEF "U TPNF QBSUJDVMBS BNQMJUVEF UIF MPTTFT UP BJS SFTJTUBODF BOE JOUFSOBM GSJDUJPO JO FBDI DZDMF IBWF HSPXO UP CF FYBDUMZ FRVBM UP UIF FOFSHZ JOQVU ZPV NBLF FBDI DZDMF %VSJOH FBDI DZDMF ZPV TJNQMZ NBLF VQ GPS UIF MPTTFT CVU OP GVSUIFS HSPXUI PG UIF XBWF PDDVST :PV IBWF SFBDIFE B TUFBEZ TUBUF *G UIF MPTTFT BSF SFMBUJWFMZ TNBMM ZPV EPOU IBWF UP EP NVDI UP LFFQ UIF XBWF HPJOH *O GBDU ZPV NBZ IBWF FYQFSJFODFE LFFQJOH B SPQF PTDJMMBUJOH XJUI B TJ[BCMF BNQMJUVEF XIJMF ZPVS IBOE IBSEMZ NPWFT *O B MPXMPTT TJUVBUJPO

4 4UBOEJOH 8BWFT

4

ZPVS IBOE JT WFSZ OFBSMZ B OPEF JO UIBU ZPVS IBOE NPWFT B WFSZ UJOZ BNPVOU DPNQBSFE XJUI UIF MBSHF NPUJPO BU POF PG UIF BOUJOPEFT 'JHVSF 4 

'JHVSF 4 8JUI MPX MPTTFT WFSZ MJUUMF NPUJPO PG UIF IBOE JT TVGàDJFOU UP NBJOUBJO UIF TUFBEZ TUBUF

$IFDLQPJOU  (JWFO UIF MPTT NFDIBOJTNT XF IBWF PVUMJOFE XIJDI TIPVME CF FBTJFS UP CVJME VQ BOE TVTUBJO B MPOHXBWFMFOHUI MPXGSFRVFODZ NPEF PS B TIPSUXBWFMFOHUI IJHIGSFRVFODZ NPEF *G ZPV IBWF UIF PQQPSUVOJUZ USZ UIJT ZPVSTFMG XJUI B SPQF

4VQFSQPTJUJPO PG .PEFT

Sum of 1 and 2 2

2

1

1

8FWF FTUBCMJTIFE UIBU TUBOEJOH XBWFT NPEFT BSF RVBOUJ[FE GPS PTDJMMBUJOH TUSJOHT *T UIBU BMM B TUSJOH DBO EP‡CF JO POF PG UIFTF NPEFT /P "DDPSEJOH UP UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF JU PVHIU UP CF QPTTJCMF GPS B TUSJOH UP CF PTDJMMBUJOH JO B NBOOFS EFTDSJCFE CZ UIF TVQFSQPTJUJPO PG UXP PS NPSF NPEFT 8IBU XPVME UIBU MPPL MJLF 8PVME JU CF B TUBOEJOH XBWF 'JHVSF 4 TIPXT ZPV B UJNF TFRVFODF PG UIF TVQFSQPTJUJPO PG UIF UXP MPXFTUGSFRVFODZ NPEFT XBWFMFOHUIT - BOE -  #PUI NPEFT IBWF CFFO HJWFO UIF TBNF BNQMJUVEF 5IF JOEJWJEVBM NPEFT BSF TIPXO XJUI MJHIU MJOFT BOE UIFJS TVN JT TIPXO XJUI B DPMPSFE MJOF 26&45*0/

*T UIJT NPUJPO B TUBOEJOH XBWF " USBWFMJOH XBWF 8IZ

PS XIZ OPU

1 2

1

2 1

2 'JHVSF 4 " DPOàOFE XBWF UIBU JT UIF TVQFSQPTJUJPO PG UIF UXP MPXFTUGSFRVFODZ NPEFT

/FJUIFS *U JT OPU B TUBOEJOH XBWF OPS JT JU B TJNQMF USBWFMJOH XBWF CFDBVTF DSFTUT NPWF CPUI UP UIF MFGU BOE UP UIF SJHIU "MTP UIFSF JTOU B iXBWFMFOHUI u XIJDI JT TPNFUIJOH UIBU CPUI TUBOEJOH BOE USBWFMJOH XBWFT IBWF %FTQJUF UIF DPNQMFYJUZ PG UIJT NPUJPO JU JT BU MFBTU QFSJPEJD‡UIF NPUJPO SFQFBUT BGUFS B UJNF 5P VOEFSTUBOE IPX UIF NPUJPO SFQFBUT JO 'JHVSF 4 JU JT JOTUSVDUJWF UP GPMMPX NPEF  GSPN UPQ UP CPUUPN UIFO GPMMPX NPEF  GSPN UPQ UP CPUUPN *G UIF QFSJPE PG UIF MPOHFTUXBWFMFOHUI NPEF JT 5 =-/W

XIBU JT UIF QFSJPE PG UIJT UXPNPEF PTDJMMBUJPO

26&45*0/

"GUFS 5 UIF MPXGSFRVFODZ NPEF IBT HPOF UISPVHI POF DPNQMFUF DZDMF BOE UIF TFDPOE NPEF IBT HPOF UISPVHI UXP DPNQMFUF DZDMFT BOE XFSF CBDL BU UIF PSJHJOBM DPOàHVSBUJPO 5IFSFGPSF UIF QFSJPE JT 5 "OPUIFS XBZ UP TFF UIJT JT UIBU JO 'JHVSF 4 NPEF  HPFT UISPVHI B RVBSUFS DZDMF GSPN NBYJNVN QPTJUJWF UP [FSP

XIJMF NPEF  HPFT UISPVHI UXP RVBSUFS DZDMFT GSPN NBYJNVN QPTJUJWF PO UIF MFGU UP NBYJNVN OFHBUJWF PO UIF MFGU  &YUFOEJOH UIF TFU PG EJBHSBNT UP GPVS UJNFT BT NVDI UJNF XPVME CSJOH CPUI NPEFT CBDL UP UIF TUBSUJOH DPOàHVSBUJPO $PNCJOBUJPOT PG MBSHF OVNCFST PG NPEFT DBO SFQSFTFOU QSFUUZ DPNQMJDBUFE NPUJPOT 'JHVSF 4 JT B UJNF TFRVFODF PG UIF TVQFSQPTJUJPO PG QBSUJDVMBS BNQMJUVEFT PG UFO EJGGFSFOU NPEFT DIPTFO JO TVDI B XBZ BT UP BQQSPYJNBUF B iTRVBSF XBWFu JOJUJBMMZ )PX DPNQMJDBUFE DBO UIJT HFU *U DBO CF NBUIFNBUJDBMMZ QSPWFO UIBU BOZ GVODUJPO G Y UIBU JT [FSP BU UIF FOET PG UIF TUSJOH G  =  BOE G - =  DBO CF DSFBUFE CZ BEEJOH VQ DBSFGVMMZ DIPTFO BNPVOUT PG B QPTTJCMZ JOàOJUF OVNCFS PG NPEFT *O B TFDUJPO PO 'PVSJFS BOBMZTJT BU UIF FOE PG UIJT TVQQMFNFOU XF TIPX ZPV IPX XF EFUFSNJOFE UIF BNQMJUVEFT PG FBDI PG UIF UFO NPEFT XF VTFE UP BQQSPYJNBUF UIF XBWF TIPXO JO 'JHVSF 4 5IJT QSPWJEFT BO FYUSFNFMZ QPXFSGVM XBZ PG BOBMZ[JOH UIF CFIBWJPS PG DPOàOFE XBWFT 'JSTU àHVSF PVU XIBU UIF NPEFT BSF UIF QPTTJCMF TJOVTPJEBM TUBOEJOH XBWFT  5IFO àHVSF PVU XIBU DPNCJOBUJPO PG NPEFT DBO NBLF B QBSUJDVMBS TIBQF G Y BU UJNF U =  8IBU XJMM IBQQFO GSPN UIFO PO DBO CF DBMDVMBUFE TJNQMZ CZ GPMMPXJOH UIF TJOVTPJEBM CFIBWJPS PG UIF JOEJWJEVBM NPEFT FBDI XJUI UIFJS PXO DIBSBDUFSJTUJD GSFRVFODJFT BOE BEEJOH VQ UIF JOEJWJEVBM DPOUSJCVUJPOT PG UIF WBSJPVT NPEFT

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT

.VTJDBM 5POFT 8IFO B WJPMJO TUSJOH JT CPXFE JU PTDJMMBUFT XJUI B TVQFSQPTJUJPO PG WBSJPVT NPEFT BOE UIFTF PTDJMMBUJPOT ESJWF UIF CPEZ PG UIF WJPMJO UP PTDJMMBUF XIJDI BMUFSOBUFMZ DPNQSFTTFT BOE SBSFàFT UIF BJS UP QSPEVDF UIF TPVOE XBWFT UIBU ZPV IFBS 6TVBMMZ UIF MBSHFTUBNQMJUVEF NPEF JT UIF MPOHFTUXBWFMFOHUI MPXFTUGSFRVFODZ NPEF XIJDI DPSSFTQPOET UP XIBU JT DBMMFE UIF iQJUDIu PS iGVOEBNFOUBM GSFRVFODZu " QVSF TJOHMFGSFRVFODZ UPOF TPVOET WFSZ CPSJOH 5IF SJDI NVTJDBM UPOF ZPV IFBS GSPN B WJPMJO JT EVF OPU KVTU UP UIF GVOEBNFOUBM GSFRVFODZ CVU UP UIF TVQFSQPTJUJPO PG NBOZ IJHIFSGSFRVFODZ NPEFT UIBU BSF BMTP QSFTFOU .PEF GSFRVFODJFT UIBU BSF TJNQMF JOUFHFS NVMUJQMFT PG UIF GVOEBNFOUBM GSFRVFODZ BSF DBMMFE iIBSNPOJDTu *U JT B QFDVMJBSJUZ PG UIF IVNBO FBS BOE CSBJO UIBU XF àOE UIF TVQFSQPTJUJPO PG IBSNPOJDT WFSZ QMFBTJOH 5IF TVQFSQPTJUJPO PG GSFRVFODJFT UIBU BSF OPU TJNQMF JOUFHFS NVMUJQMFT PG B GVOEBNFOUBM GSFRVFODZ TPVOET NVDI MFTT QMFBTJOH

/POIBSNPOJD 0TDJMMBUJPOT

'JHVSF 4 "O BQQSPYJNBUJPO UP BO JOJUJBM TRVBSF XBWF VTJOH UFO NPEFT

5IF FYBNQMF PG B TUSJOH JT IJHIMZ SFQSFTFOUBUJWF PG B WFSZ CSPBE SBOHF PG TUBOEJOHXBWF QIFOPNFOB )PXFWFS XF TIPVME BMFSU ZPV UP TPNF JTTVFT UIBU BSF OPU JMMVTUSBUFE CZ UIF SFMBUJWFMZ TJNQMF CFIBWJPS PG B TUSJOH 'JSTU XIJMF UIF HFPNFUSZ PG UIF TZTUFN EFUFSNJOFT UIF QPTTJCMF XBWFMFOHUIT JO PSEFS UP TBUJTGZ UIF CPVOEBSZ DPOEJUJPOT

UIF EJGGFSFOU XBWFMFOHUIT OFFE OPU CF TJNQMZ /O UJNFT UIF MPOHFTU XBWFMFOHUI " HPPE FYBNQMF JT B ESVN 5IF XBWFMFOHUIT PG UIF UXPEJNFOTJPOBM XBWFT PO B ESVNIFBE BSF EFUFSNJOFE CZ UIF SFRVJSFNFOU UIBU UIF XBWF CF [FSP BU UIF ESVNIFBE CPVOEBSZ 5IF SFMBUJPOTIJQ BNPOH UIF WBSJPVT NPEF XBWFMFOHUIT JT SBUIFS DPNQMJDBUFE OPU TJNQMZ /O UJNFT UIF MPOHFTU XBWFMFOHUI 5IF GBDU UIBU UIF XBWFMFOHUIT PG ESVN NPEFT BSF OPU TJNQMZ SFMBUFE UP FBDI PUIFS BSF OPU IBSNPOJDT DPSSFTQPOET UP UIF GBDU UIBU B ESVN EPFT OPU QSPEVDF B NVTJDBM UPOF TVDI BT JT QSPEVDFE CZ B WJPMJO

4QFFE %FQFOEFOU PO 'SFRVFODZ 4FDPOE UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO JO NBOZ TZTUFNT JT OPU DPOTUBOU CVU EFQFOET PO UIF GSFRVFODZ PS XBWFMFOHUI  4JODF G = W/λ JO TVDI TZTUFNT UIF GSFRVFODZ PG B NPEF OFFE OPU CF TJNQMZ JOWFSTFMZ QSPQPSUJPOBM UP UIF XBWFMFOHUI PG UIBU NPEF BT JU JT GPS B TUSJOH 4VDI TZTUFNT BSF DBMMFE iEJTQFSTJWFu CFDBVTF USBWFMJOH XBWFT PG EJGGFSFOU GSFRVFODJFT TQSFBE PVU EJTQFSTF GSPN FBDI PUIFS EVF UP EJGGFSFODFT JO UIFJS TQFFET 5IF BOBMZTJT JO UFSNT PG NPEFT GPS EJTQFSTJWF TZTUFNT JT TUJMM WBMJE *UT KVTU UIBU XIFO ZPV DBMDVMBUF G = W/λ GPS B QBSUJDVMBS λ ZPV IBWF UP DPOTJEFS UIF GBDU UIBU W JTOU B DPOTUBOU

/POMJOFBS 4ZTUFNT 5IJSE XF SFMJFE PO UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF UP DPNCJOF NPEFT TJNQMZ CZ BEEJOH UIFN VQ .PSF GVOEBNFOUBMMZ XF JNQMJDJUMZ BTTVNFE UIBU JG XF EPVCMF UIF BNQMJUVEF PG B NPEF UIF GSFRVFODZ XPOU DIBOHF 4VDI TZTUFNT BSF DBMMFE iMJOFBSu TZTUFNT CFDBVTF UIF BNQMJUVEF PG UIF TVQFSQPTJUJPO PG UXP XBWFT PG UIF TBNF NPEF JT KVTU UIF TBNF NPEF XJUI BO BNQMJUVEF UIBU JT UIF TVN PG UIF BNQMJUVEFT PG UIF UXP XBWFT  )PXFWFS NBOZ SFBM TZTUFNT BSF POMZ BQQSPYJNBUFMZ MJOFBS JO UIJT TFOTF *O iOPOMJOFBSu TZTUFNT UIF TVQFSQPTJUJPO PG UXP XBWFT PG UIF TBNF GSFRVFODZ NBZ MFBE UP B XBWF XJUI B EJGGFSFOU GSFRVFODZ 5IJT DBO FWFO IBQQFO XJUI B TUSJOH 8F IBWF TFFO UIBU UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO W GPS B TUSJOH JT QSPQPSUJPOBM UP UIF TRVBSF SPPU PG UIF UFOTJPO JO UIF TUSJOH 'PS TNBMM BNQMJUVEFT UIF TUSJOH JT OPU TUSFUDIFE WFSZ NVDI NPSF UIBO JU XBT BU SFTU BOE UIF UFOTJPO JT OPU DIBOHFE WFSZ NVDI #VU GPS MBSHF BNQMJUVEFT UIF TUSJOH NBZ CF TUSFUDIFE RVJUF B CJU NPSF UIBO JU JT XIFO BU SFTU BOE UIBU NFBOT B DIBOHF JO W XIJDI NFBOT B DIBOHF JO GSFRVFODZ GPS UIF TBNF

4 8BWF BOE 1BSUJDMF .PEFMT PG -JHIU

4

XBWFMFOHUI )FODF UXP NFEJVNTJ[FE XBWFT NJHIU BEE VQ UP B MBSHF XBWF XJUI B EJGGFSFOU GSFRVFODZ

$POàOFE 8BWFT BOE 2VBOUVN .FDIBOJDT 8F IBWF CFFO DPOTJEFSJOH RVBOUJ[BUJPO JO DMBTTJDBM OPORVBOUVN TZTUFNT 8F GPVOE UIBU TUBOEJOH XBWFT JO DPOàOFE SFHJPOT DPVMEOU IBWF KVTU BOZ PME XBWFMFOHUI CFDBVTF UIF QPTTJCMF XBWFMFOHUIT BSF RVBOUJ[FE CZ UIF DPOTUSBJOUT PG UIF CPVOEBSJFT 5IFSF JT BO BOBMPHPVT TJUVBUJPO JO UIF RVBOUVN XPSME PG BUPNT EVF UP UIF GBDU UIBU QBSUJDMFT TVDI BT FMFDUSPOT DBO IBWF XBWFMJLF QSPQFSUJFT 'PS FYBNQMF XF GPVOE UIBU FMFDUSPO EJGGSBDUJPO EFNPOTUSBUFT UIF TUBSUMJOH GBDU UIBU FMFDUSPOT IBWF XBWF QSPQFSUJFT BT XFMM BT QBSUJDMF QSPQFSUJFT 5IJT JNQMJFT UIBU UIFSF DPVME CF UISFFEJNFOTJPOBM TUBOEJOH XBWFT PG BO FMFDUSPO JO B IZESPHFO BUPN CFDBVTF UIF FMFDUSPO JT DPOàOFE UP B SFHJPO OFBS UIF QSPUPO EVF UP UIF FMFDUSJD BUUSBDUJPO " IZESPHFO BUPN EPFT JOEFFE IBWF RVBOUJ[FE TUBUFT BOBMPHPVT UP TUBOEJOHXBWF NPEFT &BDI PG UIFTF TUBUFT IBT B TQFDJàD FOFSHZ‡UIF FOFSHZ JT RVBOUJ[FE " IZESPHFO BUPN DBO ESPQ GSPN B IJHIFSFOFSHZ UP B MPXFSFOFSHZ TUBUF XJUI UIF FNJTTJPO PG FOFSHZ JO UIF GPSN PG MJHIU BOE B TUVEZ PG UIF MJHIU FNJUUFE CZ BUPNT MFUT VT EFUFSNJOF UIF RVBOUJ[FE FOFSHJFT PG BUPNJD TUBUFT

4 8"7& "/% 1"35*$-& .0%&-4 0' -*()5 8F IBWF FTUBCMJTIFE UIBU B WBSJFUZ PG QIFOPNFOB DBO CF FYQMBJOFE CZ UIF XBWF QSPQFSUJFT PG FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO :FU JO $IBQUFST  BOE  XF FYQMBJOFE B WBSJFUZ PG QIFOPNFOB CZ B QBSUJDMF QIPUPO NPEFM PG MJHIU "T B àSTU TUFQ JO DPNQBSJOH UIF XBWF BOE QBSUJDMF NPEFMT PG MJHIU MFUT DPOTJEFS UIF QSFEJDUJPOT PG UIF UXP NPEFMT PG MJHIU JO UXP EJGGFSFOU FYQFSJNFOUBM TJUVBUJPOT UIF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU BOE UIF DPMMJTJPO PG B CFBN PG MJHIU XJUI GSFF FMFDUSPOT $PNQUPO TDBUUFSJOH 

5IF 1IPUPFMFDUSJD &GGFDU

Light

Electron

5IF NPCJMF FMFDUSPOT JO B NFUBM BMUIPVHI RVJUF GSFF UP NPWF BSPVOE JOTJEF UIF NFUBM BSF OFWFSUIFMFTT CPVOE UP UIF NFUBM BT B XIPMF UIFZ EPOU ESJQ PVU *U UBLFT TPNF XPSL UP NPWF BO FMFDUSPO GSPN KVTU JOTJEF UP KVTU PVUTJEF UIF TVSGBDF PG UIF NFUBM "U UIBU QPJOU FMFDUSPO KVTU PVUTJEF UIF TVSGBDF

UIF NFUBM XPVME OPX CF QPTJUJWFMZ DIBSHFE BOE XPVME BUUSBDU UIF FMFDUSPO TP ZPV XPVME OFFE UP EP BEEJUJPOBM XPSL UP NPWF UIF FMFDUSPO GBS BXBZ 5IF UPUBM BNPVOU PG XPSL SFRVJSFE UP SFNPWF BO FMFDUSPO GSPN B NFUBM JT PGUFO DBMMFE UIF iXPSL GVODUJPOu CVU DPVME KVTU BT XFMM IBWF CFFO DBMMFE UIF iCJOEJOH FOFSHZu 8F XJMM SFGFS UP JU XJUI UIF TZNCPM 8 5ZQJDBM WBMVFT GPS DPNNPO NFUBMT BSF B GFX FMFDUSPO WPMUT F7 

Metal

1SFEJDUJPO PG UIF 8BWF .PEFM 'JHVSF 4 5IF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU MJHIU DBO FKFDU BO FMFDUSPO GSPN B NFUBM

0OF XBZ UP TVQQMZ FOPVHI FOFSHZ UP SFNPWF BO FMFDUSPO GSPN B NFUBM JT UP TIJOF MJHIU PO UIF NFUBM 'JHVSF 4  "DDPSEJOH UP UIF XBWF NPEFM PG MJHIU IPX DPVME B CFBN PG MJHIU IBWF TVGàDJFOU FOFSHZ 8 UP PWFSDPNF UIF CJOEJOH FOFSHZ BOE SFNPWF BO FMFDUSPO GSPN B QJFDF PG NFUBM

26&45*0/

4JODF UIF FOFSHZ QFS TRVBSF NFUFS JOUFOTJUZ PG BO FMFDUSPNBHOFUJD XBWF JT QSPQPSUJPOBM UP & XF XPVME OFFE B IJHIJOUFOTJUZ FMFDUSPNBHOFUJD XBWF JO XIJDI UIF BNQMJUVEF PG UIF FMFDUSJD àFME JT WFSZ MBSHF UP TVQQMZ FOPVHI FOFSHZ "MUFSOBUJWFMZ JG UIF FOFSHZ GSPN UIF FMFDUSPNBHOFUJD XBWF XFSF OPU RVJDLMZ

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT EJTTJQBUFE JOUP UIFSNBM FOFSHZ XF NJHIU CF BCMF UP TIJOF B MPXJOUFOTJUZ CFBN PO UIF NFUBM GPS B MPOH UJNF UP TVQQMZ FOPVHI FOFSHZ "DDPSEJOH UP UIF XBWF NPEFM PG MJHIU XPVME XF OFFE UP VTF FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO PG BOZ QBSUJDVMBS XBWFMFOHUI PS XPVME BOZ XBWFMFOHUI CF BEFRVBUF

26&45*0/

K

I 'JHVSF 4 5IF XBWF NPEFM PG MJHIU QSFEJDUT UIBU UIF LJOFUJD FOFSHZ PG BO FKFDUFE FMFDUSPO TIPVME CF QSPQPSUJPOBM UP UIF JOUFOTJUZ PG MJHIU IJUUJOH UIF NFUBM

K

"DDPSEJOH UP UIF XBWF NPEFM UIF FOFSHZ EFOTJUZ PG BO FMFDUSPNBHOFUJD XBWF EFQFOET PO & UIF TRVBSF PG JUT BNQMJUVEF OPU PO JUT XBWFMFOHUI "MM XF OFFE JT BO JOUFOTF CFBN PG MJHIU‡JU DPVME IBWF BOZ XBWFMFOHUI PS DPMPS  8F NJHIU UIFSFGPSF FYQFDU B QMPU PG UIF LJOFUJD FOFSHZ PG BO FKFDUFE FMFDUSPO WT JOUFOTJUZ PG MJHIU IJUUJOH UIF NFUBM UP CF MJOFBS BT JO 'JHVSF 4

1SFEJDUJPO PG UIF 1BSUJDMF .PEFM 3FDBMM GSPN UIF QSFWJPVT WPMVNF UIBU BDDPSEJOH UP UIF QBSUJDMF NPEFM B CFBN PG MJHIU JT B DPMMFDUJPO PG QBSUJDMFT USBWFMJOH BU TQFFE D FBDI XJUI [FSP SFTU NBTT CVU XJUI B àYFE FOFSHZ BOE NPNFOUVN 8IBU EPFT UIF QBSUJDMF NPEFM PG MJHIU QSFEJDU XPVME CF SFRVJSFE UP FKFDU BO FMFDUSPO GSPN B NFUBM

26&45*0/

W

Ephoton

'JHVSF 4 5IF QBSUJDMF NPEFM QSFEJDUT UIBU BCPWF B DFSUBJO UISFTIPME FOFSHZ 8 UIF LJOFUJD FOFSHZ PG BO FKFDUFE FMFDUSPO TIPVME CF QSPQPSUJPOBM UP &QIPUPO − 8 

K

f0

Frequency f = c/λ

'JHVSF 4 8IBU JT BDUVBMMZ PCTFSWFE JT UIBU BCPWF B NJOJNVN GSFRVFODZ G UIF LJOFUJD FOFSHZ PG FKFDUFE FMFDUSPOT JT QSPQPSUJPOBM UP G − G 

5IF QBSUJDMF NPEFM TVHHFTUT UIBU UIF FOFSHZ PG BO JOEJWJEVBM QIPUPO JT XIBU JT JNQPSUBOU TJODF UIF BCTPSQUJPO PG B TJOHMF QIPUPO PG UIF BQQSPQSJBUF FOFSHZ XPVME CF BEFRVBUF UP GSFF BO FMFDUSPO GSPN UIF NFUBM BOE HJWF JU TPNF LJOFUJD FOFSHZ  5IJT NPEFM QSFEJDUT UIBU BO FYUSFNFMZ JOUFOTF CFBN NBOZ QIPUPOT QFS TRVBSF NFUFS XJMM IBWF OP FGGFDU JG UIF FOFSHZ PG UIF JOEJWJEVBM QBSUJDMFT JT UPP MPX 'JHVSF 4 

8IBU *T 0CTFSWFE *O GBDU XIBU JT PCTFSWFE FYQFSJNFOUBMMZ JT UIBU UIF XBWFMFOHUI PG UIF MJHIU UIBU GBMMT PO UIF NFUBM TVSGBDF EFUFSNJOFT XIFUIFS PS OPU BO FMFDUSPO XJMM CF MJCFSBUFE GSPN UIF NFUBM 'JHVSF 4  *G UIF XBWFMFOHUI PG UIF MJHIU JT UPP MBSHF UIF GSFRVFODZ JT UPP MPX

OPUIJOH IBQQFOT FWFO JG UIF CFBN JT WFSZ JOUFOTF )PXFWFS BT UIF XBWFMFOHUI PG UIF SBEJBUJPO JT EFDSFBTFE GSFRVFODZ JODSFBTFE

BU POF QBSUJDVMBS XBWFMFOHUI XF CFHJO UP TFF FMFDUSPOT MJCFSBUFE GSPN UIF NFUBM "T UIF XBWFMFOHUI PG UIF JODJEFOU MJHIU JT EFDSFBTFE FWFO GVSUIFS UIF LJOFUJD FOFSHZ PG UIF FMFDUSPOT MJCFSBUFE GSPN UIF NFUBM JODSFBTFT 8IBU IBQQFOT JG XF VTF B WFSZ MPX JOUFOTJUZ CFBN "U MPX JOUFOTJUZ MPOHXBWFMFOHUI MJHIU EPFT OPU FKFDU FMFDUSPOT OP NBUUFS IPX MPOH XF XBJU )PXFWFS BT QSFEJDUFE CZ UIF QBSUJDMF NPEFM XJUI B MPX JOUFOTJUZ CFBN PG TIPSU XBWFMFOHUI MJHIU XF TPNFUJNFT TFF BO FMFDUSPO FKFDUFE BMNPTU JNNFEJBUFMZ 'PS MJHIU PG TIPSU FOPVHI XBWFMFOHUI XF EP IPXFWFS PCTFSWF UIBU UIF SBUF BU XIJDI FMFDUSPOT BSF FKFDUFE GSPN UIF NFUBM JT QSPQPSUJPOBM UP UIF JOUFOTJUZ PG UIF MJHIU

6OJGZJOH UIF 5XP .PEFMT )PX EP XF SFDPODJMF PVS NPEFMT XJUI UIF FYQFSJNFOUBM PCTFSWBUJPOT 'JSTU JU TFFNT DMFBS UIBU UIJT QIFOPNFOPO JT FTTFOUJBMMZ B RVBOUVN POF " DFSUBJO BNPVOU PG FOFSHZ NVTU CF EFMJWFSFE JO POF DIVOL PS QBDLFU UP UIF TZTUFN JO PSEFS UP SBJTF UIF TZTUFN UP BO FOFSHZ TUBUF JO XIJDI UIF FMFDUSPO JT VOCPVOE 5IVT UIF QBSUJDMF NPEFM PG MJHIU TFFNT BQQSPQSJBUF IFSF 5IF TVSQSJTJOH UIJOH IPXFWFS JT UIBU UIF XBWFMFOHUI PG UIF JODJEFOU MJHIU JT JNQPSUBOU 8BWFMFOHUI JT DFSUBJOMZ B QSPQFSUZ PG B XBWF‡IPX DBO UIJT CF SFDPODJMFE XJUI B QBSUJDMF NPEFM PG MJHIU &WJEFOUMZ XF OFFE UP NPEFM MJHIU BT TPNFUIJOH XJUI CPUI XBWFMJLF BOE QBSUJDMFMJLF QSPQFSUJFT 5IF XBWF OBUVSF PG MJHIU FYQMBJOT UIF JOUFSGFSFODF

4 8BWF BOE 1BSUJDMF .PEFMT PG -JHIU

4

QIFOPNFOB XF IBWF PCTFSWFE 5IF QBSUJDMF OBUVSF PG MJHIU FYQMBJOT IPX B àYFE BNPVOU PG FOFSHZ DBO CF EFMJWFSFE UP B TZTUFN CZ B QIPUPO *U UVSOT PVU UP CF QPTTJCMF UP EFTDSJCF QIPUPOT BT QBSUJDMFT UIBU IBWF NPNFOUVN BOE FOFSHZ ZFU TUSBOHFMZ FOPVHI XJUI B XBWFMFOHUI BT XFMM 'JHVSF 4  'JHVSF 4 " QIPUPO DBO CF EFTDSJCFE BT B QBSUJDMF XJUI NPNFOUVN BOE FOFSHZ ZFU TUSBOHFMZ FOPVHI XJUI B XBWFMFOHUI BT XFMM

&OFSHZ BOE 8BWFMFOHUI 'SPN FYQFSJNFOUBM PCTFSWBUJPOT PG UIF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU JU JT GPVOE UIBU UIF FOFSHZ PG B QIPUPO JT QSPQPSUJPOBM UP UIF GSFRVFODZ BOE JOWFSTFMZ QSPQPSUJPOBM UP UIF XBWFMFOHUI 2VBOUJUBUJWFMZ UIF SFMBUJPO JT & = IG =

ID λ

XIFSF I =  × − +T JT 1MBODLT DPOTUBOU XIJDI ZPV NBZ SFNFNCFS GSPN PVS TUVEZ PG RVBOUJ[FE IBSNPOJD PTDJMMBUPST JO 7PMVNF *

*OUFOTJUZ BOE /VNCFS PG 1IPUPOT4FDPOE 4JODF UIF OVNCFS PG FMFDUSPOT QFS TFDPOE FKFDUFE JT QSPQPSUJPOBM UP UIF JOUFOTJUZ PG MJHIU PG TVGàDJFOUMZ TNBMM XBWFMFOHUI BQQBSFOUMZ JO UIF QBSUJDMF NPEFM UIF JOUFOTJUZ PG MJHIU JT QSPQPSUJPOBM UP UIF OVNCFS PG QIPUPOT QFS TFDPOE TUSJLJOH B TVSGBDF

"QQMZJOH UIF .PEFM *G UIF XPSL GVODUJPO CJOEJOH FOFSHZ 8 =  F7 GPS B DFSUBJO NFUBM XIBU JT UIF NJOJNVN FOFSHZ B QIPUPO NVTU IBWF UP FKFDU BO FMFDUSPO

26&45*0/

&WJEFOUMZ UIF QIPUPO NVTU IBWF BO FOFSHZ PG  F7 PS NPSF *G UIF QIPUPO IBT MFTT FOFSHZ JU DBOU LOPDL BO FMFDUSPO PVU PG UIJT NFUBM 26&45*0/

8IBU JT UIF XBWFMFOHUI PG B QIPUPO XJUI UIJT NVDI

FOFSHZ λ=

ID  × − +·T  ×  NT

=  × − N =  ON = &  F7  × − +F7

5IJT JT OFBS UIF WJPMFU FOE PG UIF WJTJCMF TQFDUSVN XIJDI FYUFOET GSPN BCPVU  ON  F7 UP BCPVU  ON  F7  'PS B NFUBM XJUI 8 =  F7 MJHIU JO NPTU PG UIF WJTJCMF TQFDUSVN PS JO UIF JOGSBSFE DBOOPU FKFDU BO FMFDUSPO 67 VMUSBWJPMFU MJHIU XJUI XBWFMFOHUI TIPSUFS UIBO  ON QIPUPO FOFSHZ HSFBUFS UIBO  F7

DBO LOPDL FMFDUSPOT PVU PG UIJT NFUBM 8IBU JG ZPV FYQPTF UIJT NFUBM UP MJHIU XIPTF QIPUPO FOFSHZ JT  F7 JO UIF 67 )PX NVDI LJOFUJD FOFSHZ XPVME ZPV FYQFDU UIF FKFDUFE FMFDUSPO UP IBWF XIFO JU XBT GBS GSPN UIF NFUBM

26&45*0/

4JODF JU UBLFT  F7 KVTU UP SFNPWF UIF FMFDUSPO B  F7 QIPUPO DBO FKFDU BO FMFDUSPO XJUI  F7 UP TQBSF TP UIF FMFDUSPO XJMM IBWF B NBYJNVN LJOFUJD FOFSHZ PG  F7 JU DPVME IBWF MFTT JG JU MPTFT TPNF FOFSHZ PO JUT XBZ PVU PG UIF TPMJE  &YQFSJNFOUT IBWF WFSJàFE UIJT TJNQMF QBSUJDMF NPEFM GPS UIF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU 5IF NBJO QPJOUT BSF UIFTF 5IFSF JT B NJOJNVN QIPUPO FOFSHZ 8 SFRVJSFE UP FKFDU BO FMFDUSPO GSPN B NFUBM QIPUPOT PG MPXFS FOFSHZ MPOHFS XBWFMFOHUI EP OPU FKFDU FMFDUSPOT 1IPUPOT XJUI FYDFTT FOFSHZ FKFDU FMFDUSPOT XIPTF NBYJNVN LJOFUJD FOFSHZ JT FRVBM UP UIF QIPUPO FOFSHZ NJOVT 8

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT )JTUPSJDBMMZ BU UIF CFHJOOJOH PG UIF UI DFOUVSZ UIF XBWF NPEFM PG MJHIU XBT UIF BDDFQUFE NPEFM *U XBT &JOTUFJO XIP àSTU QSPQPTFE UIF QBSUJDMF JOUFSQSFUBUJPO PG UIF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU JO  *O UIF TBNF ZFBS &JOTUFJO BMTP QVCMJTIFE UIF UIFPSZ PG TQFDJBM SFMBUJWJUZ BOE IF BMTP DPSSFDUMZ BOBMZ[FE #SPXOJBO NPUJPO UIF SBOEPN NPUJPO PG TNBMM PCKFDUT EVF UP NPMFDVMBS DPMMJTJPOT XIJDI MFE UP UIF àSTU BDDVSBUF EFUFSNJOBUJPO PG BUPNJD TJ[FT " USVMZ SFNBSLBCMF ZFBS

$IFDLQPJOU  *G B QBSUJDVMBS NFUBM TVSGBDF JT IJU CZ B QIPUPO PG FOFSHZ  F7 BO FMFDUSPO JT FKFDUFE BOE UIF NBYJNVN LJOFUJD FOFSHZ PG UIF FMFDUSPO JT  F7 8IBU JT UIF XPSL GVODUJPO 8 CJOEJOH FOFSHZ PG UIJT NFUBM

$PNQUPO 4DBUUFSJOH p2 , E2 p1, E1 Photon Electron

Photon θ Electron ϕ p3 , E3

'JHVSF 4 $PNQUPO TDBUUFSJOH B QIPUPO TDBUUFST PGG B TUBUJPOBSZ FMFDUSPO

'JHVSF 4 JT B EJBHSBN PG B DPMMJTJPO CFUXFFO B QIPUPO BOE B TUBUJPOBSZ FMFDUSPO 5IJT QSPDFTT JT DBMMFE i$PNQUPO TDBUUFSJOHu JO IPOPS PG UIF QIZTJDJTU XIP TIPXFE FYQFSJNFOUBMMZ UIBU UIJT QSPDFTT IBT CPUI QBSUJDMF BOE XBWF BTQFDUT *G UIF FMFDUSPO SFDPJMT XJUI TPNF LJOFUJD FOFSHZ UIF QIPUPO OFDFTTBSJMZ IBT MPTU FOFSHZ *O UIF XBWF NPEFM PG UIF JOUFSBDUJPO MPTT PG FOFSHZ DPSSFTQPOET UP EFDSFBTFE BNQMJUVEF CVU UIF TBNF GSFRVFODZ XIFSFBT JO UIF XBWFmQBSUJDMF NPEFM B MPTT PG QIPUPO FOFSHZ DPSSFTQPOET UP B MPOHFS XBWFMFOHUI $PNQUPO TIPXFE FYQFSJNFOUBMMZ UIBU UIF DPNCJOFE XBWFmQBSUJDMF NPEFM EJE DPSSFDUMZ QSFEJDU UIF DIBOHF PG XBWFMFOHUI BT B GVODUJPO PG UIF TDBUUFSJOH BOHMF PG UIF FMFDUSPO 5IJT XBT POF PG UIF NPTU DPNQFMMJOH FBSMZ QJFDFT PG FWJEFODF GPS UIF DPNCJOFE XBWFmQBSUJDMF OBUVSF PG MJHIU *O 7PMVNF  ZPV VTFE UIF .PNFOUVN 1SJODJQMF BOE UIF &OFSHZ 1SJODJQMF UP TUVEZ QBSUJDMF DPMMJTJPOT BOE ZPV USFBUFE QIPUPOT BT QBSUJDMFT XJUI [FSP SFTU NBTT 5IF HFOFSBM SFMBUJPOTIJQ CFUXFFO FOFSHZ BOE NPNFOUVN GPS B QBSUJDMF JT & = QD  + ND   'PS [FSPNBTT QBSUJDMFT TVDI BT QIPUPOT BOE QSPCBCMZ OFVUSJOPT

UIJT SFEVDFT UP & = QD 8F XJMM VTF UIJT JO BO BOBMZTJT PG $PNQUPO TDBUUFSJOH -FUT VTF UIF DPNCJOFE XBWFmQBSUJDMF NPEFM PG MJHIU UP QSFEJDU UIF DIBOHF JO XBWFMFOHUI Δλ GPS B QIPUPO UIBU DPMMJEFT XJUI B GSFF FMFDUSPO "T JOEJDBUFE JO 'JHVSF 4 MFU UIF FOFSHZ PG UIF JODPNJOH QIPUPO CF & UIF PVUHPJOH QIPUPO FOFSHZ CF & BOE UIF FOFSHZ PG UIF SFDPJM FMFDUSPO CF & XIFSF & = ND + , , JT UIF LJOFUJD FOFSHZ PG UIF SFDPJM FMFDUSPO BOE N JT UIF NBTT PG UIF FMFDUSPO & + ND = & + & & = & − & + ND Q = Q + Q Q = Q − Q

&OFSHZ 1SJODJQMF 4PMWF GPS SFDPJM FMFDUSPO FOFSHZ .PNFOUVN 1SJODJQMF 4PMWF GPS SFDPJM FMFDUSPO NPNFOUVN

5P HFU UIF TRVBSF PG UIF NBHOJUVEF PG B WFDUPS XF UBLF UIF EPU QSPEVDU PG UIF WFDUPS XJUI JUTFMG Q • Q = Q − Q • Q − Q

%PU QSPEVDU

Q

= Q + Q −  Q • Q = Q + Q − Q Q DPT θ Q D  = Q D  + Q D  −  Q D Q D DPT θ

&YQBOE

& − ND  = & + & − & & DPT θ

4VCTUJUVUF QD  = & − ND 

.VMUJQMZ CZ D

& − & + ND  − ND  = & + & − & & DPT θ

4VCTUJUVUF &

4 8BWF BOE 1BSUJDMF .PEFMT PG -JHIU

4

"GUFS FYQBOEJOH UIF TRVBSFE QBSFOUIFTJT BOE TJNQMJGZJOH XF PCUBJO UIJT ND & − & = & &  − DPT θ

     =  − DPT θ

− ND & &   λ  λ =  − DPT θ

ND − ID ID I λ − λ  =  − DPT θ

ND

%JWJEF CZ & & 6TF XBWFmQBSUJDMF SFMBUJPO & =

ID λ

$PNQUPO TDBUUFSJOH QSFEJDUJPO

)FSF XF IBWF B RVBOUJUBUJWF QSFEJDUJPO GPS UIF JODSFBTF JO XBWFMFOHUI PG UIF TDBUUFSFE QIPUPO BT B GVODUJPO PG UIF TDBUUFSJOH BOHMF θ 5IF RVBOUJUZ I  × − +·T

=  × − N = ND  × − LH  ×  NT

JT DBMMFE UIF $PNQUPO XBWFMFOHUI 5P NBLF JU GFBTJCMF UP NFBTVSF UIF XBWFMFOHUI JODSFBTF POF NVTU VTF MJHIU XIPTF XBWFMFOHUI JT DPNQBSBCMF UP UIF $PNQUPO XBWFMFOHUI 4VDI MJHIU JT JO UIF YSBZ SFHJPO PG UIF FMFDUSPNBHOFUJD TQFDUSVN 5P TUVEZ UIJT LJOE PG DPMMJTJPO JU JT OFDFTTBSZ UP IBWF B CFBN PG NPOPDISPNBUJD TJOHMF XBWFMFOHUI YSBZT )PXFWFS NPTU YSBZ CFBNT TUBSU PVU XJUI B SBOHF PG XBWFMFOHUIT (JWFO XIBU ZPV LOPX BCPVU YSBZ EJGGSBDUJPO DBO ZPV UIJOL PG B XBZ UP QSPEVDF B TJOHMFXBWFMFOHUI CFBN

26&45*0/

*G B CFBN PG YSBZT JOUFSBDUT XJUI B DSZTUBM SFSBEJBUFE YSBZT PG B HJWFO XBWFMFOHUI XJMM CF QBSUJDVMBSMZ JOUFOTF BU BO BOHMF TBUJTGZJOH UIF YSBZ EJGGSBDUJPO DPOEJUJPO 4VDI B TJOHMFXBWFMFOHUI CFBN DPVME CF VTFE JO UIF FYQFSJNFOU )PX NJHIU POF NFBTVSF UIF XBWFMFOHUI PG UIF YSBZT BGUFS UIFZ JOUFSBDU XJUI BO FMFDUSPO

26&45*0/

"HBJO UIFZ DBO CF NFBTVSFE CZ VTJOH YSBZ EJGGSBDUJPO GSPN B TJOHMF DSZTUBM *G XF LOPX UIF TQBDJOH PG BUPNT JO B QBSUJDVMBS DSZTUBM NFBTVSJOH UIF BOHMFT PG EJGGSBDUJPO NBYJNB XJMM UFMM VT UIF XBWFMFOHUI PG UIF YSBZT $PNQUPO EJE UIF FYQFSJNFOU TIPPUJOH YSBZT PG LOPXO TJOHMF XBWFMFOHUI BU B CMPDL PG NFUBM XIJDI DPOUBJOT MPUT PG OFBSMZ GSFF FMFDUSPOT BOE NFBTVSJOH UIF XBWFMFOHUI PG UIF TDBUUFSFE YSBZT BU WBSJPVT TDBUUFSJOH BOHMFT )F GPVOE UIBU UIF XBWFMFOHUI EJE JOEFFE JODSFBTF CZ UIF BNPVOU QSFEJDUFE CZ UIF BOBMZTJT HJWFO BCPWF 5P TVNNBSJ[F B QBSUJDMF WJFX PG MJHIU XBT VTFE UP QSFEJDU UIF DIBOHF JO FOFSHZ PG UIF QIPUPO BOE UIF XBWFmQBSUJDMF SFMBUJPO & = ID/λ XBT VTFE UP DPOWFSU UIF FOFSHZ DIBOHF UP B DIBOHF JO XBWFMFOHUI 5IF FYQFSJNFOU TIPXFE UIBU UIF DPNCJOBUJPO PG UIF QBSUJDMF NPEFM BOE UIF XBWF NPEFM EJE JOEFFE QSFEJDU XIBU BDUVBMMZ IBQQFOT JO UIJT QSPDFTT /FJUIFS B QVSF XBWF NPEFM PG UIF QSPDFTT OPS B QVSF QBSUJDMF NPEFM XPVME NBLF UIF DPSSFDU QSFEJDUJPO $IFDLQPJOU  *O B $PNQUPO TDBUUFSJOH FYQFSJNFOU JG UIF JODPNJOH YSBZT IBWF XBWFMFOHUI  × − N XIBU JT UIF XBWFMFOHUI GPS YSBZT PCTFSWFE UP TDBUUFS UISPVHI ◦

5XP4MJU *OUFSGFSFODF 3FWJTJUFE 8F TBX QSFWJPVTMZ UIBU JG B CFBN PG NPOPDISPNBUJD MJHIU QBTTFT UISPVHI UXP TMJUT BO JOUFSGFSFODF QBUUFSO JT GPSNFE PO B EJTUBOU TVSGBDF 6TJOH UIF XBWF

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT Photomultipliers

θ L

Two slits d

NPEFM PG MJHIU BOE BQQMZJOH UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF XF XFSF BCMF UP QSFEJDU BDDVSBUFMZ UIF BOHMFT BU XIJDI NBYJNB BOE NJOJNB XPVME PDDVS JO UIF JOUFSGFSFODF QBUUFSO 4VQQPTF XF TIJOF B CFBN MJHIU UISPVHI UXP TMJUT BT CFGPSF CVU UIJT UJNF XF EFDSFBTF UIF JOUFOTJUZ PG UIF MJHIU VOUJM UIF CFBN JT FYUSFNFMZ XFBL 5IF BNPVOU PG MJHIU IJUUJOH B EJTUBOU TDSFFO JT UPP TNBMM UP CF EFUFDUFE CZ IVNBO FZFT TP XF VTF B EJGGFSFOU LJOE PG EFUFDUPS B QIPUPNVMUJQMJFS 'JHVSF 4  5IF GVODUJPOJOH PG B QIPUPNVMUJQMJFS UVCF JT CBTFE PO UIF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU *G B TJOHMF QIPUPO FKFDUT BO FMFDUSPO GSPN B NFUBM TVSGBDF UIF SFTVMUJOH POFFMFDUSPO iDVSSFOUu JT BNQMJàFE FMFDUSPOJDBMMZ JOUP B TJHOBM TUSPOH FOPVHI UP EFUFDU 1IPUPNVMUJQMJFS UVCFT DBO EFUFDU JOEJWJEVBM QIPUPOT 8F XJMM QVU BO BSSBZ PG QIPUPNVMUJQMJFST BU UIF MPDBUJPO PG UIF TDSFFO XIFSF XF QSFWJPVTMZ TBX BO JOUFSGFSFODF QBUUFSO XJUI B TUSPOH CFBN PG MJHIU BOE NBLF B QMPU PG OVNCFS PG QIPUPOT EFUFDUFE WT MPDBUJPO 26&45*0/

8IBU XPVME ZPV FYQFDU UIF BQQFBSBODF PG UIF SFTVMUJOH

QMPU UP CF Laser

'JHVSF 4 " UXPTMJU FYQFSJNFOU XJUI B WFSZ MPX JOUFOTJUZ CFBN VTJOH QIPUPNVMUJQMJFST BT QIPUPO EFUFDUPST

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

&MFDUSPO %JGGSBDUJPO

'JHVSF 4 /VNCFS PG QIPUPOT EFUFDUFE WT BOHMF GPS B MPXJOUFOTJUZ CFBN QBTTJOH UISPVHI UXP TMJUT

*G XF TIPPU B CFBN PG YSBZT BU B TJOHMF BUPN SFSBEJBUJPO PG YSBZT CZ BDDFMFSBUFE FMFDUSPOT JO UIF BUPN HPFT JO OFBSMZ BMM EJSFDUJPOT )PXFWFS JG XF TIPPU B CFBN PG YSBZT BU B DSZTUBM NBEF VQ B IVHF OVNCFS PG BUPNT BSSBOHFE JO B UISFFEJNFOTJPOBM BSSBZ UIFSF JT DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF PG UIF SFSBEJBUJPO POMZ JO DFSUBJO TQFDJBM EJSFDUJPOT GPS XIJDI UIF DPOEJUJPO E TJO θ = Oλ JT USVF 5IJT JT WFSZ NVDI B XBWF QIFOPNFOPO &BSMJFS JO UIJT TVQQMFNFOU XF EJTDVTTFE YSBZ EJGGSBDUJPO CZ QPMZDSZTUBMMJOF QPXEFST JO XIJDI UIFSF JT TUSPOH DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF GPS UIPTF UJOZ DSZTUBMT UIBU IBQQFO UP CF PSJFOUFE BU UIF BQQSPQSJBUF BOHMF GPS UIF DPOEJUJPO E TJO θ = Oλ UP CF USVF 5IF SFTVMU JT SJOHT PG SFSBEJBUFE YSBZT TVSSPVOEJOH UIF JODPNJOH YSBZ CFBN 5IF MBSHFS UIF XBWFMFOHUI λ UIF MBSHFS UIF BOHMF θ BOE UIF MBSHFS UIF SJOHT TFFO PO UIF YSBZ àMN 8F XPVME FYQFDU WFSZ EJGGFSFOU CFIBWJPS JG XF VTFE QBSUJDMFT JOTUFBE PG XBWFT 4VQQPTF UIBU JOTUFBE PG VTJOH YSBZT XF TIPPU FMFDUSPOT BU B TJOHMF BUPN 5IFSF JT B DPNQMJDBUFE FMFDUSJD JOUFSBDUJPO CFUXFFO BO JODPNJOH FMFDUSPO BOE UIF BUPN JODMVEJOH QPMBSJ[BUJPO PG UIF BUPN CZ UIF FMFDUSPO 5IF FMFDUSPO JT EFáFDUFE CZ UIF DPMMJTJPO XJUI UIF BUPN BOE DBO HP JO BMNPTU BOZ EJSFDUJPO EFQFOEJOH PO IPX DMPTF UP DFOUFS JU IJUT UIF BUPN *G FMFDUSPOT XFSF TIPU BU B DSZTUBM NBEF VQ PG B IVHF OVNCFS PG BUPNT BSSBOHFE JO B UISFFEJNFOTJPOBM BSSBZ XIBU XPVME ZPV FYQFDU UP TFF

26&45*0/

8F DFSUBJOMZ EPOU FYQFDU UP TFF BOZ JOUFSGFSFODF FGGFDUT TJODF XF BTTVNF UIBU BO FMFDUSPO JT B QBSUJDMF OPU B XBWF /FWFSUIFMFTT JG XF TIPPU B CFBN PG FMFDUSPOT JOUP B QPMZDSZTUBMMJOF QPXEFS XF HFU SJOHT PG FMFDUSPOT KVTU BT XJUI YSBZ EJGGSBDUJPO XJUI UIF BOHMFT PG UIF SJOHT EFTDSJCFE CZ UIF VTVBM YSBZ EJGGSBDUJPO FRVBUJPO &YQFSJNFOUBMMZ JU BQQFBST UIBU FMFDUSPOT BMTP DBO BDU MJLF XBWFT

4 8BWF BOE 1BSUJDMF .PEFMT PG -JHIU

After 10 electrons

4

.PSFPWFS BO FMFDUSPO OPU POMZ FYIJCJUT XBWFMJLF JOUFSGFSFODF QIFOPNFOB CVU FWFO BQQFBST UP JOUFSGFSF XJUI JUTFMG *G ZPV TFOE JO FMFDUSPOT POF BU B UJNF B WFSZ MPXDVSSFOU CFBN PG FMFDUSPOT

BOE EFUFDU UIF FMFDUSPOT POF BU B UJNF XJUI BO BSSBZ PG EFUFDUPST PS B QIPUPHSBQIJD àMN

ZPV HFU BO JOUFSGFSFODF QBUUFSO CVU CVJMU VQ JO B TUBUJTUJDBM XBZ 'JHVSF 4 TIPXT XIBU ZPV PCTFSWF XJUI MPOHFS BOE MPOHFS FYQPTVSFT PG àMN XJUI B MPXDVSSFOU CFBN PG FMFDUSPOT IJUUJOH B QPMZDSZTUBMMJOF QPXEFS &BDI EPU SFQSFTFOUT B MPDBUJPO XIFSF BO FMFDUSPO IJU UIF àMN 5IJT JT JOUSJHVJOH :PV EFUFDU JOEJWJEVBM FMFDUSPOT MJLF QBSUJDMFT :FU JG ZPV XBJU MPOH FOPVHI ZPV àOE UIBU UIF QBUUFSO PG EFUFDUJPO MPPLT MJLF XIBU ZPV HFU XJUI YSBZT XIJDI BSF XBWFT 8F TBZ UIBU FMFDUSPOT IBWF QSPQFSUJFT UIBU BSF CPUI QBSUJDMFMJLF BOE XBWFMJLF *O UIFTF FMFDUSPO FYQFSJNFOUT UIF DPOEJUJPO GPS TUBUJTUJDBM DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF JT E TJO θ = Oλ KVTU UIF TBNF BT GPS YSBZ EJGGSBDUJPO 8IBU JT UIF XBWFMFOHUI λ PG UIF FMFDUSPOT *U XBT QSFEJDUFE UIFPSFUJDBMMZ CZ EF #SPHMJF BOE WFSJàFE FYQFSJNFOUBMMZ CZ %BWJTTPO BOE (FSNFS UIBU λ=

After 50 electrons

I Q

XIFSF Q JT UIF NPNFOUVN PG UIF FMFDUSPO BOE I JT 1MBODLT DPOTUBOU BO FYUSFNFMZ TNBMM RVBOUJUZ NFBTVSFE UP CF I =  × − + · T /PUF UIBU TJODF GPS B QIPUPO & = QD UIJT SFMBUJPO JT WBMJE GPS QIPUPOT UPP λ= After 100 electrons

ID I = & Q

5IJT SFMBUJPOTIJQ JT FBTJMZ EFNPOTUSBUFE XJUI BO FMFDUSPOEJGGSBDUJPO BQQBSBUVT JO XIJDI ZPV DBO DPOUSPM UIF NPNFOUVN PG UIF JODPNJOH FMFDUSPOT CZ WBSZJOH UIF BDDFMFSBUJOH WPMUBHF Δ7 8F DBMDVMBUF UIF NPNFOUVN DPSSFTQPOEJOH UP B HJWFO LJOFUJD FOFSHZ , ,=

Q N

√ TP Q = N, XIFSF , = FΔ7 JG UIF FMFDUSPOT TUBSU GSPN SFTU 5IFSFGPSF XF QSFEJDU UIJT XBWFMFOHUI GPS UIF FMFDUSPO After 1000 electrons 'JHVSF 4 -POHFS BOE MPOHFS FYQPTVSFT UP FMFDUSPOT QBTTJOH UISPVHI B QPMZDSZTUBMMJOF QPXEFS

λ=

I I =√ Q NFΔ7

#BTFE PO UIJT SFMBUJPO BOE PO UIF EJGGSBDUJPO SFMBUJPO Oλ = E TJO θ IPX XPVME ZPV FYQFDU UIF TQBDJOH PG FMFDUSPO EJGGSBDUJPO SJOHT UP DIBOHF JG ZPV JODSFBTF UIF BDDFMFSBUJOH WPMUBHF

26&45*0/

&YQFSJNFOUBMMZ XF àOE UIBU JG UIF BDDFMFSBUJOH WPMUBHF Δ7 JT RVBESVQMFE UIF FMFDUSPO XBWFMFOHUI JT EFDSFBTFE CZ B GBDUPS PG  BOE UIF EJGGSBDUJPO SJOHT TISJOL EVF UP TJO θ CFJOH SFEVDFE CZ B GBDUPS PG  &MFDUSPO EJGGSBDUJPO JT VTFE FYUFOTJWFMZ UP TUVEZ UIF TUSVDUVSF PG NBUFSJBMT *U IBT BO BEWBOUBHF DPNQBSFE XJUI YSBZ EJGGSBDUJPO JO UIBU FMFDUSPO CFBNT DBO CF GPDVTFE FBTJMZ UP B WFSZ TNBMM TQPU VTJOH FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET XIFSFBT UIJT JT EJGàDVMU UP EP XJUI YSBZT 'PS UIJT SFBTPO FMFDUSPO EJGGSBDUJPO JT QBSUJDVMBSMZ VTFGVM JO TUVEZJOH TNBMM SFHJPOT PG B TBNQMF PG NBUFSJBM *O BDUVBM QSBDUJDF SBUIFS IJHIFOFSHZ FMFDUSPOT BSF VTFE JO PSEFS UP BDIJFWF HPPE QFOFUSBUJPO PG UIF NBUFSJBM XJUI UZQJDBM BDDFMFSBUJOH QPUFOUJBMT PG TFWFSBM IVOESFE UIPVTBOE WPMUT 5IBU NFBOT UIBU UIF XBWFMFOHUI λ JT NVDI TNBMMFS UIBO B UZQJDBM JOUFSBUPNJD TQBDJOH E $POTFRVFOUMZ θ JT RVJUF TNBMM BOE UIF FMFDUSPOT BSF TFOU JO OFBSMZ QBSBMMFM UP UIF BUPNJD QMBOFT PG JOUFSFTU

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT

/FVUSPO %JGGSBDUJPO 1FSIBQT FMFDUSPOT BOE QIPUPOT BSF WFSZ TQFDJBM JO IBWJOH CPUI QBSUJDMF BOE XBWF BTQFDUT /PU SFBMMZ 4JNJMBS EJGGSBDUJPO QBUUFSOT IBWF CFFO PCTFSWFE XIFO FOUJSF IFMJVN BUPNT BSF TIPU BU B DSZTUBM BOE UIF XBWFMFOHUI PG UIF IFMJVN BUPN JT BHBJO λ = I/Q CVU XJUI B NVDI MBSHFS NBTT N  " QBSUJDVMBSMZ JNQPSUBOU DBTF JT OFVUSPO EJGGSBDUJPO /FVUSPOT IBWF OP DIBSHF BOE POMZ B WFSZ TNBMM NBHOFUJD NPNFOU TP OFVUSPOT IBWF OP FMFDUSJD JOUFSBDUJPOT XJUI FMFDUSPOT BOE B TNBMM NBHOFUJD JOUFSBDUJPO )PXFWFS OFVUSPOT EP IBWF B TUSPOH OVDMFBS JOUFSBDUJPO XJUI QSPUPOT BOE PUIFS OFVUSPOT BT JT FWJEFOU CZ UIF QSFTFODF PG OFVUSPOT JO UIF OVDMFJ PG BUPNT *G ZPV TIPPU B TJOHMF OFVUSPO BU B TJOHMF BUPN UIF OFVUSPO NBZ CF IBSEMZ BGGFDUFE CZ UIF FMFDUSPOT CVU DBO CF EFáFDUFE CZ UIF OVDMFVT UISPVHI KVTU BCPVU BOZ BOHMF 8IFO ZPV TIPPU OFVUSPOT BU B DSZTUBM UIF VTVBM FRVBUJPO E TJO θ = Oλ GPS DPOTUSVDUJWF JOUFSGFSFODF BQQMJFT

8IBU *T *U 5IBU *T i8BWJOHu &MFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO DPOTJTUT PG XBWFT PG FMFDUSJD àFME *OUFSGFSFODF PG FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO JT EVF UP TVQFSQPTJUJPO PG FMFDUSJD àFMET BOE UIF JOUFOTJUZ JT QSPQPSUJPOBM UP UIF TRVBSF PG UIF àFME BNQMJUVEF *O UIF DBTF PG FMFDUSPO PS OFVUSPO EJGGSBDUJPO XIBU JT JU UIBU JT iXBWJOHu *U UVSOT PVU UIBU QBSUJDMFT DBO CF EFTDSJCFE CZ BCTUSBDU iXBWF GVODUJPOTu XIPTF BNQMJUVEF TRVBSFE BU B MPDBUJPO JO TQBDF JT UIF QSPCBCJMJUZ PG àOEJOH UIF QBSUJDMF UIFSF 5IF TBNF FRVBUJPO E TJO θ = Oλ UIBU QSFEJDUT UIF MPDBUJPOT PG SJOHT PG JOUFOTJUZ GPS YSBZ EJGGSBDUJPO BMTP QSFEJDUT UIF MPDBUJPOT PG SJOHT PG QSPCBCJMJUZ GPS FMFDUSPO PS OFVUSPO EJGGSBDUJPO $MBTTJDBM JOUFSGFSFODF PG MJHIU JT UIFSFGPSF B HPPE GPVOEBUJPO GPS VOEFSTUBOEJOH RVBOUVN JOUFSGFSFODF PG QBSUJDMFT‡CVU UIF JOUFSQSFUBUJPO DIBOHFT GSPN DMBTTJDBM JOUFOTJUZ UP RVBOUVN QSPCBCJMJUZ $IFDLQPJOU  3PVHIMZ XIBU JT UIF NJOJNVN BDDFMFSBUJOH QPUFOUJBM Δ7 OFFEFE JO PSEFS UIBU FMFDUSPOT FYIJCJU EJGGSBDUJPO FGGFDUT JO B DSZTUBM

4 '063*&3 "/"-:4*4 )PX EJE XF àHVSF PVU XIBU BNPVOU PG FBDI PG UIF UFO NPEFT UP TVQFSJNQPTF UP HFU UIF DPNQMJDBUFE CFIBWJPS TIPXO JO 4FDUJPO 4 *O QSJODJQMF XF DPVME IBWF EPOF JU CZ USJBM BOE FSSPS‡KVTU USZ WBSJPVT DPNCJOBUJPOT PG NPEFT VOUJM XF HFU UIF TIBQF XF XBOU )PXFWFS ZPV DBO FBTJMZ JNBHJOF UIBU JU XPVME CF WFSZ UFEJPVT UP USZ UP HFU UIJT SJHIU NFSFMZ CZ USJBM BOE FSSPS 8FMM PVUMJOF UIF HFOFSBM TDIFNF GPS EPJOH UIJT UIFO BQQMZ JU UP PVS TQFDJàD DBTF 8F XBOU UP FYQSFTT UIF JOJUJBM TIBQF PG UIF TUSJOH G Y

BT B TVN PG BQQSPQSJBUF BNPVOUT PG NBOZ NPEFT XIJDI BSF TJOF GVODUJPOT XJUI XBWFMFOHUIT - -/ -/ BOE TP PO      Y Y Y G Y = " TJO π + " TJO π +··· + " TJO π 8F OFFE UP BEKVTU UIF DPFGàDJFOUT " " " BOE TP PO JO PSEFS UP DIPPTF UIF BQQSPQSJBUF TVQFSQPTJUJPO PG NPEFT UIBU JT FRVBM UP G Y  *O PSEFS UP àHVSF PVU XIBU UIF OUI DPFGàDJFOU TIPVME CF DPOTJEFS UIF GPMMPXJOH JOUFHSBM

 OY G Y TJO π EY =     

-  OY Y Y + · · · TJO π " TJO π + "  TJO π EY 

4 %FSJWBUJPO 5XP 4MJUT BSF -JLF 5XP 4PVSDFT

4

*U DBO CF TIPXO CZ VTJOH USJH JEFOUJUJFT UIBU UIF GPMMPXJOH JT USVF  

-  LY OY TJO π TJO π EY = JG L = O    

-  LY OY TJO π TJO π EY =  JG L = /O  5IFSFGPSF UIF JOUFHSBM QJDLT PVU KVTU UIF " O UFSN



 OY EY =  +  + · · · +  + " O +  +  + · · · G Y TJO π 

'JOBMMZ UIJT NFBOT UIBU XF DBO DBMDVMBUF UIF OUI NPEF DPFGàDJFOU CZ UIF GPMMPXJOH FRVBUJPO  "O = -





 OY EY G Y TJO π -

5IJT TDIFNF JT DBMMFE i'PVSJFS BOBMZTJTu *U QMBZT BO FOPSNPVTMZ JNQPSUBOU SPMF JO NBOZ CSBODIFT PG TDJFODF BOE FOHJOFFSJOH

" 4QFDJàD &YBNQMF *O 4FDUJPO 4 XF XBOUFE UP BOBMZ[F B iTRVBSF XBWFu BT B TVN PG NPEFT 'JHVSF 4  5IJT GVODUJPO G Y IBT UIF WBMVF + GPS  < Y < -/ BOE  GPS -/ < Y < - TP XF IBWF

1

0 L/2

L/2

'JHVSF 4 8F XJMM FYQSFTT UIJT TRVBSF XBWF JO UFSNT PG B TVN PG TJOVTPJET

Here, E = Elaser + ES1 + ES2 + ER = 0 Section R

 OY  OY  - / G Y TJO π G Y TJO π EY = EY +  -     OY -/    π   − = DPT π  − DPT O "O = πO -  πO  "O =

 -



-

%SPQQJOH UIF PWFSBMM GBDUPS PG /π XIJDI KVTU TFUT UIF PWFSBMM TDBMF PG IPX CJH UIF PTDJMMBUJPO JT

XF HFU UIF GPMMPXJOH TFU PG NPEF DPFGàDJFOUT " =  "  =  "  = / "  =  "  = / "  = / "  = / "  =  "  = / "  = / BOE TP PO &BSMJFS JO UIJT TFDUJPO XF VTFE KVTU UIFTF àSTU UFO NPEFT TP XF EJEOU NJNJD UIF EFTJSFE TRVBSFXBWF GVODUJPO G Y FYBDUMZ SJHIU CVU XF XFSF DMPTF *G XF IBE VTFE NPSF NPEFT XF XPVME IBWF DPNF FWFO DMPTFS UP BQQSPYJNBUJOH UIF TRVBSF XBWF *G XF VTF BO BSCJUSBSJMZ MBSHF OVNCFS PG NPEFT XF DBO DPNF BSCJUSBSJMZ DMPTF UP UIF EFTJSFE GVODUJPO 5IJT JT BDUVBMMZ B QSFUUZ FYUSFNF FYBNQMF CFDBVTF UIJT TRVBSF XBWF IBT EJTDPOUJOVJUJFT UIBU SFRVJSF WFSZ IJHIGSFRVFODZ NPEFT JO PSEFS UP BQQSPYJNBUF UIF JOàOJUF TMPQFT PG UIF GVODUJPO 'VODUJPOT UIBU IBWF MFTT FYUSFNF CFIBWJPS DBO PGUFO CF BQQSPYJNBUFE RVJUF XFMM XJUI POMZ B GFX NPEFT

S1 S2

Laser

'JHVSF 4 #FIJOE UIF PQBRVF TIFFU UIF OFU FMFDUSJD àFME JT [FSP

4 %&3*7"5*0/ 580 4-*54 "3& -*,& 580 4063$&4 5IF QSPPG UIBU UXP JMMVNJOBUFE TMJUT BDU MJLF UXP TPVSDFT JT BO BQQMJDBUJPO PG UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF 4VQQPTF UIBU B MBTFS JMMVNJOBUFT BO PQBRVF TIFFU 'JHVSF 4  "DDPSEJOH UP UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET QSPEVDFE CZ UIF MBTFS NVTU CF QSFTFOU CFIJOE UIF TIFFU EFTQJUF UIF MBDL PG MJHIU UIFSF 5IJT NFBOT UIBU UIF MJHIU GSPN UIF MBTFS BDDFMFSBUFT FMFDUSPOT JO UIF TIFFU JO TVDI B XBZ UIBU UIF BDDFMFSBUFE FMFDUSPOT QSPEVDF FMFDUSJD BOE

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT

NBHOFUJD àFMET CFIJOE UIF TIFFU UIBU FYBDUMZ DBODFM UIF àFMET QSPEVDFE CZ UIF MBTFS 8F DBO DPOTJEFS UIF TIFFU UP DPOTJTU PG UIF NBUFSJBM UIBU XJMM FWFOUVBMMZ CF SFNPWFE UP NBLF UIF TMJUT TFDUJPOT 4 BOE 4 PG UIF TIFFU

QMVT UIF SFTU PG UIF TIFFU TFDUJPO 3  5IF [FSP OFU FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET CFZPOE UIF TIFFU DBO CF DPOTJEFSFE UP CF QSPEVDFE CZ GPVS TPVSDFT UIF MBTFS BOE UIF BDDFMFSBUFE FMFDUSPOT JO TFDUJPOT 4 4 BOE 3 PG UIF TIFFU 5IF OFU FMFDUSJD àFME JT MBTFS + & 4 +& 4 +& 3 =  &   Now, E = Elaser + ER Section R

Laser

'JHVSF 4 8JUI UIF TMJUT DVU PVU UIF OFU àFME JT EVF KVTU UP UIF MBTFS BOE TFDUJPO 3

E = ES1 + ES2

S1 S2 'JHVSF 4 #FZPOE UIF TMJUT XF DBO QSFUFOE UIBU UIF àFME JT EVF UP KVTU UIFTF UXP TPVSDFT

8IFO XF DVU PVU UIF TMJUT UIF OFU FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET CFZPOE UIF TIFFU BSF EVF KVTU UP UIF MBTFS BOE UP UIF BDDFMFSBUFE FMFDUSPOT JO TFDUJPO 3 PG MBTFS + & 3 'JHVSF 4  UIF TIFFU & *G XF BTTVNF UIBU UIF FMFDUSPO BDDFMFSBUJPOT JO TFDUJPO 3 BSF BCPVU UIF TBNF JO UIF UXP TJUVBUJPOT XIFUIFS PS OPU UIF TMJUT IBWF CFFO DVU PVU UIFO UIF FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET QSPEVDFE CZ TFDUJPO 3 BSF BCPVU UIF TBNF JO MBTFS + & 4 +& 4 +& 3 =  UIF FMFDUSJD àFME XJUI UIF CPUI TJUVBUJPOT 4JODF &   TMJUT DVU PVU JT MBTFS + & 3 = − & 4 +& 4

&   *O DBMDVMBUJOH JOUFOTJUJFT XF EPOU DBSF BCPVU BO PWFSBMM TJHO TP JOTUFBE PG DPOTJEFSJOH UIF EJGàDVMU TJUVBUJPO PG B MBTFS BOE B TIFFU XJUI UXP TMJUT DVU PVU PG JU XF DBO DPOTJEFS UIF NVDI TJNQMFS BOE BMSFBEZ GBNJMJBS TJUVBUJPO PG UXP TPVSDFT MPDBUFE XIFSF UIF TMJUT BDUVBMMZ BSF BOE QSPEVDJOH B OFU FMFDUSJD àFME 4 +& 4 XJUI OP MBTFS BOE OP TFDUJPO 3 'JHVSF 4  &   )PX HPPE JT UIF BTTVNQUJPO UIBU UIF FMFDUSPO BDDFMFSBUJPOT JO TFDUJPO 3 BSF BCPVU UIF TBNF XIFUIFS PS OPU UIF TMJUT IBWF CFFO DVU PVU 5IJT BTTVNQUJPO NBZ OPU XPSL XFMM WFSZ DMPTF UP UIF TMJUT CFDBVTF UIF QSFTFODF PS BCTFODF PG UIF NBUFSJBM XJMM BGGFDU UIF FEHF SFHJPOT PG TFDUJPO 3 CVU XF BSF JOUFSFTUFE JO FYQMBJOJOH UIF JOUFSGFSFODF QBUUFSO PO B EJTUBOU TDSFFO OPU DMPTF UP UIF TMJUT 5IF BTTVNQUJPO BMTP NBZ OPU XPSL WFSZ XFMM JG UIF TMJUT BSF UPP TNBMM CFDBVTF JO UIBU DBTF UIFJS DPOUSJCVUJPOT BSF TP TNBMM BT UP CF DPNQBSBCMF UP UIF FEHF FGGFDUT CVU XF UZQJDBMMZ EFBM XJUI TMJUT UIBU BSF RVJUF XJEF JO UIF TFOTF PG IBWJOH B XJEUI NVDI MBSHFS UIBO UIF XBWFMFOHUI PG MJHIU 1SFEJDUJPOT CBTFE PO USFBUJOH UIF UXP TMJUT BT UIPVHI UIFZ XFSF TPVSDFT EP HJWF SFTVMUT JO FYDFMMFOU BHSFFNFOU XJUI PCTFSWBUJPOT 5IJT EFSJWBUJPO JT EVF UP 3JDIBSE 'FZONBO 5IF 'FZONBO -FDUVSFT PO 1IZTJDT CZ 3 1 'FZONBO 3 # -FJHIUPO BOE . 4BOET "EEJTPO8FTMFZ  QBHF m

4 5)& 8"7& &26"5*0/ '03 -*()5 *O UIJT PQUJPOBM TFDUJPO XF EFSJWF UIF XBWF FRVBUJPO GPS MJHIU TUBSUJOH GSPN UIF EJGGFSFOUJBM GPSNT PG .BYXFMMT FRVBUJPOT XIFSF + JT UIF DVSSFOU EFOTJUZ JO BNQFSFT QFS TRVBSF NFUFS =∇ = •& EJW &

ρ ε

=∇ = •# EJW #

=∇ = − ∂# ×& DVSM &

∂U   ∂ & × # = μ + + ε DVSM # = ∇ ∂U

(BVTTT MBX (BVTTT MBX GPS NBHOFUJTN 'BSBEBZT MBX "NQFSFm.BYXFMM MBX

4 5IF 8BWF &RVBUJPO GPS -JHIU

4

$POTJEFS UIF DBTF PG BO FMFDUSPNBHOFUJD QMBOF XBWF QSPQBHBUJOH JO UIF Y EJSFDUJPO JO FNQUZ TQBDF XIFSF UIFSF BSF OP DIBSHFT PS DVSSFOUT XJUI =   #[  3FDBMM UIBU =  &Z  BOE # & = ∂ ∂ ∂  ∇ ∂Y ∂Z ∂[ 6TJOH UIF TUBOEBSE EFàOJUJPOT GPS DBMDVMBUJOH UIF DPNQPOFOUT PG B EPU QSPEVDU BOE B DSPTT QSPEVDU ZPV DBO WFSJGZ UIBU .BYXFMMT FRVBUJPOT GPS UIJT TJUVBUJPO BSF BT GPMMPXT SFNFNCFS UIBU UIFSF BSF OP DIBSHFT PS DVSSFOUT  ∂&Z

 =    ∂Z =   ∂#[  =    EJW #

∂[ ∂& = − Z  ∂&Z  =   − ∂#[  DVSM &

∂[ ∂Y ∂U ∂& ∂# ∂# Z [ [ = DVSM #

−

 = μ ε 

 ∂Z ∂Y ∂U =  EJW &

5IFTF FRVBUJPOT TIPX UIBU &Z BOE #[ EPOU EFQFOE PO Z PS [ TP XF BSF JOEFFE EFBMJOH XJUI B QMBOF XBWF QSPQBHBUJOH JO UIF +Y PS −Y EJSFDUJPO 5IF SFNBJOJOH UXP DPNQPOFOU FRVBUJPOT BSF UIFTF ∂&Z ∂#[ =− ∂Y ∂U ∂&Z ∂#[ − = μ ε ∂Y ∂U 5BLF UIF QBSUJBM EFSJWBUJWF PG UIF àSTU FRVBUJPO XJUI SFTQFDU UP Y BOE SFWFSTF UIF PSEFS PG UIF QBSUJBM EFSJWBUJWFT PG #[  ∂ ∂Y



∂&Z ∂Y



∂ =− ∂Y



∂#[ ∂U



∂ =− ∂U



∂#[ ∂Y



4VCTUJUVUF UIF WBMVF PG ∂#[ /∂Y GSPN UIF TFDPOE FRVBUJPO ∂  &Z ∂  &Z = μ ε   ∂Y ∂U 3FXSJUF UP NBUDI UIF GPSNBU PG UIF XBWF FRVBUJPO ∂  &Z  ∂  &Z =  μ ε ∂Y ∂U  5IJT JT UIF FRVBUJPO PG B XBWF NPWJOH XJUI TQFFE W = / μ ε

XIJDI FWBMVBUFT UP W =  ×  NT 3FDBMM UIBU XF PCUBJOFE UIF TBNF SFTVMU JO $IBQUFS  CZ BQQMZJOH UIF JOUFHSBM GPSNT PG .BYXFMMT FRVBUJPOT UP B TMBC PG FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT

46.."3: -JHIU IBT CPUI XBWFMJLF BOE QBSUJDMFMJLF QSPQFSUJFT " QIPUPO JT B QBSUJDMF PG MJHIU XJUI [FSP SFTU NBTT XJUI FOFSHZ BOE NPNFOUVN SFMBUFE UP JUT XBWFMFOHUI λ=

I Q

BOE & =

ID λ

#PUI QIPUPOT BOE QBSUJDMFT XJUI OPO[FSP SFTU NBTT TVDI BT FMFDUSPOT BOE OFVUSPOT DBO FYIJCJU XBWFMJLF QSPQFSUJFT TVDI BT JOUFSGFSFODF 1SPQFSUJFT PG TJOVTPJEBM XBWFT " XBWF QSPQBHBUJOH UP UIF SJHIU & DPT π

U Y − π + φ

5 λ

& JT UIF BNQMJUVEF 5 JT UIF QFSJPE G = /5 JT UIF GSFRVFODZ ω = πG JT UIF BOHVMBS GSFRVFODZ λ JT UIF XBWFMFOHUI φ JT B QIBTF DPSSFTQPOEJOH UP DIPJDF PG U =  BOE Y =  W = Gλ W JT UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO PG UIF XBWF  *OUFOTJUZ * JT QSPQPSUJPOBM UP BNQMJUVEF  

*OUFSGFSFODF 8BWFT PG UIF TBNF GSFRVFODZ DBO JOUFSGFSF XJUI FBDI PUIFS "T B SFTVMU PG UIF TVQFSQPTJUJPO QSJODJQMF TPNF MPDBUJPOT IBWF VOVTVBMMZ MBSHF BNQMJUVEFT BOE JOUFOTJUJFT XIFSFBT PUIFS MPDBUJPOT IBWF TNBMM PS [FSP BNQMJUVEFT BOE JOUFOTJUJFT 5XPTMJU JOUFSGFSFODF NBZ CF PCTFSWFE FWFO JG QIPUPOT HP UISPVHI UIF TMJUT POF BU B UJNF 4UBOEJOH XBWFT 4UBOEJOH XBWFT SFTVMU GSPN UIF JOUFSGFSFODF PG UXP USBWFMJOH XBWFT PG UIF TBNF GSFRVFODZ UIBU BSF USBWFMJOH JO PQQPTJUF EJSFDUJPOT 5IF TUBOEJOH XBWFT IBWF UIF TBNF GSFRVFODZ BOE XBWFMFOHUI BT UIF USBWFMJOH XBWFT *O B DPOàOFE TQBDF TUBOEJOH XBWFT BSF RVBOUJ[FE‡POMZ DFSUBJO TUBOEJOHXBWF XBWFMFOHUIT BSF BMMPXFE *O UIF TJNQMF DBTF PG B UBVU TUSJOH UIF BMMPXFE XBWFMFOHUIT BSF - -/ -/ BOE TP PO 5IF TUBOEJOHXBWF NPUJPOT BSF DBMMFE iNPEFTu "SCJUSBSJMZ DPNQMFY DPOàOFE XBWFT DBO CF CVJMU VQ JO UFSNT PG TVQFSQPTJUJPOT PG UIFTF TJNQMF NPEFT 5IF TUFBEZ TUBUF JT SFBDIFE XIFO UIF FOFSHZ MPTTFT BSF KVTU FRVBM UP UIF JOQVU FOFSHZ 1BUI EJGGFSFODF BOE UXPTPVSDF JOUFSGFSFODF *OUFSGFSFODF PG UXP JOQIBTF TPVSDFT UIBU BSF B EJTUBODF E BQBSU .BYJNVN JOUFOTJUZ * XIFSF ΔM = E TJO θ JT  λ λ λ BOE TP PO .JOJNVN JOUFOTJUZ [FSP XIFSF ΔM = E TJO θ JT λ/ λ/ λ/ BOE TP PO /P [FSPJOUFOTJUZ NJOJNVN JT QPTTJCMF JG E < λ/ *G UIF TPVSDFT BSF OPU JO QIBTF ZPV OFFE UP UBLF UIBU QIBTF EJGGFSFODF JOUP DPOTJEFSBUJPO JO BEEJUJPO UP UIF QIBTF EJGGFSFODF EVF UP ΔM

9SBZ EJGGSBDUJPO $POEJUJPO GPS iSFáFDUJPOu JT E TJO θ = Oλ XIFSF O JT BO JOUFHFS E JT UIF EJTUBODF CFUXFFO BEKBDFOU DSZTUBM QMBOFT BOE θ JT UIF BOHMF PG UIF JODPNJOH YSBZT UP UIF TVSGBDF 1PMZDSZTUBMMJOF QPXEFST QSPEVDF SJOHT BSPVOE UIF CFBN $PNQUPO TDBUUFSJOH QSFEJDUJPO I  − DPT θ

ND 5IJO àMNT TIPX JOUFSGFSFODF FGGFDUT &YBNQMFT BSF PJM TMJDLT BOE TPBQ CVCCMFT λ − λ =

%JGGSBDUJPO HSBUJOHT .BYJNB BU BOHMFT TBUJTGZJOH E TJO θ = Oλ XIFSF E JT UIF TMJU TQBDJOH "OHVMBS SFTPMVUJPO PG EFWJDFT Δθ ≈

λ 8

XIFSF 8 JT UIF UPUBM XJEUI PG UIF JMMVNJOBUFE QPSUJPO PG UIF EFWJDF 4JOHMF TPVSDF PG XJEUI 8 BOHMF UP àSTU EJGGSBDUJPO NJOJNVN JT θ ≈ λ/8 4DBUUFSJOH PG MJHIU JT BGGFDUFE CZ JOUFSGFSFODF FGGFDUT ∂  V Y U

∂  V Y U

= W   ∂U ∂Y   LT J : 5IF TQFFE PG MPOHJUVEJOBM XBWFT W = E= NB ρ   '5 E '5 5IF TQFFE PG USBOTWFSTF XBWFT W = = NB μ 'SPN BMMPXFE XBWFMFOHUIT JO B TUBOEJOH XBWF POF DBO DBMDVMBUF UIF DPSSFTQPOEJOH GSFRVFODJFT *O UIF TJNQMF DBTF PG B UBVU TUSJOH UIF BMMPXFE GSFRVFODJFT DBO CF DBMDVMBUFE GSPN G = W/λ BOE UIFZ BSF W/ -

W/ -

W/ -

BOE TP PO 5IF XBWF FRVBUJPO

1BSUJDMFT IBWF XBWFMJLF QSPQFSUJFT 5IF NPNFOUVN PG B QBSUJDMF JT SFMBUFE UP JUT XBWFMFOHUI λ=

I Q

XIFSF I =  × − +T JT 1MBODLT DPOTUBOU 5IF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU " QIPUPO XJUI FOFSHZ FRVBM UP PS HSFBUFS UIBO UIF CJOEJOH FOFSHZ PG BO FMFDUSPO BOE B NFUBM UIF iXPSL GVODUJPOu

DBO FKFDU BO FMFDUSPO GSPN B NFUBM TVSGBDF $PNQUPO TDBUUFSJOH " DPMMJTJPO CFUXFFO B QIPUPO BOE B GSFF FMFDUSPO SFTVMUT JO B DIBOHF PG UIF XBWFMFOHUI PG UIF QIPUPO DPSSFTQPOEJOH UP UIF BNPVOU PG FOFSHZ HBJOFE CZ UIF FMFDUSPO JO UIF DPMMJTJPO

1SPCMFNT XIFSF 'PVSJFS BOBMZTJT " DPOàOFE XBWF DBO CF FYQSFTTFE BT B TVN PG TJOVTPJET      Y Y Y +" TJO π +" TJO π + ··· G Y = " TJO π -

"O =

 -





4

 OY G Y TJO π EY -

26&45*0/4 2 *U JT OBUVSBM UP TBZ UIBU iMJHIU CPVODFT PGG NJSSPST u CVU JT UIFSF B QIZTJDT QSJODJQMF UIBU XPVME BDDPVOU GPS TVDI CFIBWJPS 8IBU SFBMMZ IBQQFOT 8IZ JTOU UIFSF MJHIU HPJOH JO BMM EJSFDUJPOT OPU KVTU JO UIF EJSFDUJPO PG UIF iSFáFDUJPOu BOHMF 2 4VNNBSJ[F UIF EJGGFSFOU QSFEJDUJPOT PG UIF XBWF BOE QBSUJDMF NPEFMT PG MJHIU SFHBSEJOH UIF QIPUPFMFDUSJD FGGFDU 8IBU FYQFSJNFOUBM PCTFSWBUJPOT TVQQPSU UIF QBSUJDMF NPEFM 2 "DDPSEJOH UP UIF XBWF NPEFM PG MJHIU XIBU JT UIF SFMBUJPOTIJQ CFUXFFO FOFSHZ BOE JOUFOTJUZ 8IBU JT JU BDDPSEJOH UP UIF QBSUJDMF NPEFM PG MJHIU 2 'JHVSF 4 JT BO JOUFOTJUZ QMPU GPS B TJUVBUJPO XIFSF UIF TPVSDFT BSF DMPTF UPHFUIFS XJUI E = λ/ 8F TFF UIBU UIF JOUFOTJUZ EJTUSJCVUJPO JTOU WFSZ ESBNBUJD XIFO E < λ/ 8IZ JT UIF JOUFOTJUZ OPO[FSP FWFSZXIFSF 8IZ JTOU UIF JOUFOTJUZ [FSP TPNFXIFSF

I

d = λ /3.5

'JHVSF 4 *OUFOTJUZ QMPU GPS UXP TPVSDFT WFSZ DMPTF UPHFUIFS 2 *O B DPMMJTJPO CFUXFFO B QIPUPO BOE B TUBUJPOBSZ FMFDUSPO XIZ EPFT UIF XBWFMFOHUI PG UIF QIPUPO DIBOHF BT B SFTVMU PG UIF DPMMJTJPO %PFT JU JODSFBTF PS EFDSFBTF

2 *O FMFDUSPO EJGGSBDUJPO EJGGSBDUJPO SJOHT BSF QSPEVDFE XIFO FMFDUSPOT HP UISPVHI QPMZDSZTUBMMJOF NBUFSJBM BGUFS CFJOH BDDFMFSBUFE UISPVHI BO BDDFMFSBUJOH QPUFOUJBM EJGGFSFODF 8IBU IBQQFOT UP UIF TJ[F PG UIF EJGGSBDUJPO SJOHT XIFO UIF BDDFMFSBUJOH QPUFOUJBM EJGGFSFODF JT JODSFBTFE 2 &YQMBJO XIZ B CFBN PG MJHIU DBO HP TUSBJHIU UISPVHI B SBUIFS MPOH UBOL PG DMFBS XBUFS PS B MPOH SPE PG DMFBS HMBTT XJUI IBSEMZ BOZ MJHIU FNJUUFE UP UIF TJEF EFTQJUF UIF IVHF OVNCFS PG BUPNT XIPTF FMFDUSPOT BSF BDDFMFSBUFE CZ UIF JODPNJOH MJHIU 2 "U OJHIU ZPV MPPL EPXO JOUP BO PVUEPPS TXJNNJOH QPPM UIBU IBT B QPXFSGVM VOEFSXBUFS MJHIU XIPTF IPSJ[POUBM CFBN IFBET UP ZPVS SJHIU 5IF XBUFS JT OPU DPNQMFUFMZ DMFBS BOE UIFSF JT TJHOJàDBOU TDBUUFSFE MJHIU :PV IBWF B QPMBSJ[JOH àMN XJUI B MJOF ESBXO PO JU TIPXJOH UIF EJSFDUJPO PG FMFDUSJD àFME UIBU JT QBTTFE UISPVHI XJUI MJUUMF MPTT 5P NJOJNJ[F UIF CSJHIUOFTT PG UIF TDBUUFSFE MJHIU TIPVME ZPV IPME UIF àMN XJUI UIF MJOF JO UIF EJSFDUJPO PG UIF CFBN MFGUSJHIU PS QFSQFOEJDVMBS UP UIF CFBN VQEPXO &YQMBJO CSJFá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àOHFS EPXO PO UIF TUSJOH UIF MPXFTUGSFRVFODZ NPEF BOE BMM NPEFT XJUI PEE NVMUJQMFT PG UIBU GSFRVFODZ BSF BCTFOU 5IJT DIBOHFT UIF UPOF NBSLFEMZ BOE JT VTFE UP BDIJFWF B TQFDJBM NVTJDBM FGGFDU &YQMBJO XIZ UIF PEE IBSNPOJDT BSF NJTTJOH

130#-&.4 4FDUJPO 4 r1 " QBSUJDVMBS ". SBEJP TUBUJPO CSPBEDBTUT BU B GSFRVFODZ PG  L)[ 8IBU JT UIF XBWFMFOHUI PG UIJT FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO )PX NVDI UJNF JT SFRVJSFE GPS UIF SBEJBUJPO UP QSPQBHBUF GSPN UIF CSPBEDBTUJOH BOUFOOB UP B SBEJP  LN BXBZ r1 5IF XBWFMFOHUI PG WJPMFU MJHIU JT BCPVU  ON  ON = × N  8IBU BSF UIF GSFRVFODZ BOE QFSJPE PG UIF MJHIU XBWFT

r1 5IF IFJHIU PG B QBSUJDVMBS XBUFS XBWF JT EFTDSJCFE CZ UIF GVODUJPO   π Z =  N DPT /T U − /N Y + SBE

 $BMDVMBUF UIF BOHVMBS GSFRVFODZ ω UIF GSFRVFODZ G UIF QFSJPE 5 UIF XBWFMFOHUI λ UIF TQFFE BOE EJSFDUJPO PG QSPQBHBUJPO UIF +Y

4

4VQQMFNFOU 4 8BWFT

PS UIF −Y EJSFDUJPO

BOE UIF BNQMJUVEF PG UIF XBWF "U Y =  BOE U =  XIBU JT UIF IFJHIU PG UIF XBWF r1 5IF SFMBUJPOT CFUXFFO XBWFMFOHUI GSFRVFODZ QFSJPE BOE TQFFE PG QSPQBHBUJPO BQQMZ UP BMM XBWF QIFOPNFOB OPU KVTU FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO .JEEMF $ PO B QJBOP IBT B GVOEBNFOUBM GSFRVFODZ PG BCPVU  )[ 8IBU JT UIF DPSSFTQPOEJOH XBWFMFOHUI PG UIF TPVOE XBWFT 5IF TQFFE PG TPVOE JO BJS WBSJFT XJUI UFNQFSBUVSF CVU JT BCPVU  NT BU SPPN UFNQFSBUVSF

r1 5XP BVEJP TQFBLFST BSF TJEF CZ TJEF  N BQBSU 5IFZ BSF DPOOFDUFE UP UIF TBNF BNQMJàFS XIJDI JT QSPEVDJOH B TJOF XBWF PG  )[ iDPODFSU "u  $BMDVMBUF B EJSFDUJPO JO XIJDI ZPV XPOU IFBS BOZUIJOH BOE NBLF B EJBHSBN TIPXJOH UIF TQFBLFST BOE UIJT EJSFDUJPO 5IF TQFFE PG TPVOE JO BJS JT BCPVU  NT

rr1 *O 'JHVSF 4 BO VOQPMBSJ[FE TJOVTPJEBM FMFDUSPNBHOFUJD XBWF XJUI XBWFMFOHUI λ USBWFMT BMPOH UIF −Y EJSFDUJPO JO B SFHJPO XIFSF UIFSF BSF UXP TIPSU DPQQFS XJSFT PSJFOUFE BMPOH UIF [ EJSFDUJPO B EJTUBODF - = λ BQBSU

y

z out

x

L = 2.5λ

Detector

rr1 4VQQPTF UIBU ZPV IBWF BO YSBZ TPVSDF UIBU QSPEVDFT B DPOUJOVPVT TQFDUSVN PG XBWFMFOHUIT XJUI UIF TIPSUFTU XBWFMFOHUI CFJOH  × − N :PV IBWF B DSZTUBM XIPTF BUPNT BSF LOPXO UP CF BSSBOHFE JO B DVCJD BSSBZ XJUI UIF EJTUBODF CFUXFFO OFBSFTU OFJHICPST FRVBM UP  × − N B %FTJHO BO BSSBOHFNFOU PG YSBZ CFBN BOE DSZTUBM PSJFOUBUJPO UIBU XJMM HJWF ZPV B NPOPDISPNBUJD CFBN PG YSBZT XIPTF XBWFMFOHUI JT  × − N &YQMBJO ZPVS BSSBOHFNFOU DBSFGVMMZ BOE GVMMZ JO B EJBHSBN C *G UIF TIPSUFTU XBWFMFOHUI JO UIF YSBZ TQFDUSVN XFSF  × − N JOTUFBE PG  × − N FYQMBJO XIZ ZPVS CFBN XPVME OPU CF B QVSF TJOHMFXBWFMFOHUI CFBN rr1 5IF DPMPS NBHFOUB DPOTJTUT PG B NJYUVSF PG SFE BCPVU  ON BOE CMVF MJHIU BCPVU  ON  *G ZPV TFF B NBHFOUBDPMPSFE TFDUJPO PG B TPBQ CVCCMF BCPVU IPX UIJDL JT UIJT TFDUJPO PG UIF TPBQ CVCCMF "TTVNF UIBU XBWFMFOHUIT JO UIF NBUFSJBM BSF TIPSUFOFE CZ B GBDUPS PG  4FDUJPO 4 r1 3FE MBTFS MJHIU XJUI XBWFMFOHUI  ON HPFT UISPVHI B TJOHMF TMJU XIPTF XJEUI JT  NN 8IBU JT UIF XJEUI PG UIF JNBHF PG UIF TMJU TFFO PO B TDSFFO  N GSPN UIF TMJU

θ

Copper wires in z direction

r1 8IFO YSBZT XJUI XBWFMFOHUI  × − N IJU B DSZTUBM BU BO BOHMF PG ◦ UP UIF TVSGBDF B TUSPOH CFBN PG YSBZT JT PCTFSWFE JO UIF EJSFDUJPO PG UIF iSFáFDUJPOu BOHMF "TTVNF UIBU ZPV LOPX GSPN PUIFS FWJEFODF UIBU UIF TQBDJOH PG UIF BUPNJD MBZFST QBSBMMFM UP UIJT TVSGBDF PG UIF DSZTUBM JT HSFBUFS UIBO  × − N BOE MFTT UIBO  × − N 8IBU BSF QPTTJCMF WBMVFT PG UIF TQBDJOH CFUXFFO UIF MBZFST

Unpolarized electromagnetic radiation heading in the –x direction

'JHVSF 4 B :PV QMBDF B EFUFDUPS B MPOH XBZT BXBZ BU BO BOHMF θ UP UIF Y BYJT %FTQJUF CFJOH GBS PVUTJEF UIF SFHJPO PG UIF VOQPMBSJ[FE XBWF ZPV EFUFDU FMFDUSPNBHOFUJD SBEJBUJPO BOE JU JT QPMBSJ[FE &YQMBJO UIJT QIFOPNFOPO JO EFUBJM JODMVEJOH UIF EJSFDUJPOT PG UIF FMFDUSJD BOE NBHOFUJD àFMET UIBU ZPV EFUFDU C $BMDVMBUF BO BOHMF θ PUIFS UIBO ◦ XIFSF ZPV XJMM TFF NBYJNVN JOUFOTJUZ BOE DBMDVMBUF BO BOHMF θ XIFSF ZPV XJMM TFF [FSP JOUFOTJUZ &YQMBJO CSJFáZ rr1 $PIFSFOU HSFFO MJHIU XJUI B XBWFMFOHUI PG  ON JMMVNJOBUFT UXP OBSSPX WFSUJDBM TMJUT B EJTUBODF  NN BQBSU #SJHIU HSFFO TUSJQFT BSF TFFO PO B TDSFFO  N BXBZ B )PX GBS BQBSU BSF UIFTF TUSJQFT DFOUFSUPDFOUFS C %P UIFZ HFU GBSUIFS BQBSU PS DMPTFS UPHFUIFS JG ZPV NPWF UIF TMJUT DMPTFS UPHFUIFS D %P UIFZ HFU GBSUIFS BQBSU PS DMPTFS UPHFUIFS JG ZPV VTF WJPMFU MJHIU XBWFMFOHUI   ON

4FDUJPO 4 r1 " SBZ PG WJPMFU MJHIU XBWFMFOHUI  ON IJUT QFSQFOEJDVMBS UP B USBOTNJTTJPO EJGGSBDUJPO HSBUJOH UIBU IBT   MJOFT QFS DFOUJNFUFS "U XIBU BOHMFT UP UIF QFSQFOEJDVMBS BSF UIFSF CSJHIU WJPMFU SBZT JO BEEJUJPO UP [FSP EFHSFFT r1 "U OJHIU ZPV MPPL UISPVHI B USBOTNJTTJPO EJGGSBDUJPO HSBUJOH BU B TPEJVNWBQPS MBNQ VTFE GPS PVUEPPS MJHIUJOH XIJDI FNJUT OFBSMZ NPOPDISPNBUJD MJHIU PG XBWFMFOHUI  ON 5IF NBOVGBDUVSFS PG UIF HSBUJOH TUBUFT UIBU JU XBT SVMFE XJUI   MJOFT QFS DFOUJNFUFS *O BEEJUJPO UP [FSP EFHSFFT BU XIBU PUIFS BOHMFT XJMM ZPV PCTFSWF CSJHIU MJHIU

rr1 " TJOHMF WFSUJDBM TMJU  NN XJEF JT JMMVNJOBUFE CZ SFE MJHIU PG XBWFMFOHUI  ON B "CPVU IPX XJEF JT UIF CSJHIU TUSJQF PO B TDSFFO  N BXBZ C %PFT UIF TUSJQF HFU XJEFS PS OBSSPXFS JG ZPV NBLF UIF TMJU OBSSPXFS D %PFT UIF TUSJQF HFU XJEFS PS OBSSPXFS JG ZPV VTF CMVF MJHIU rr1 $POTJEFS B DPNNVOJDBUJPOT TBUFMMJUF UIBU PSCJUT UIF &BSUI BU B IFJHIU PG BCPVU   LN "U UIJT IFJHIU UIF PSCJU QFSJPE JT  I TP UIBU JU TFFNT UP IBOH NPUJPOMFTT BCPWF UIF &BSUI XIJDI UVSOT VOEFSOFBUI UIF TBUFMMJUF PODF FWFSZ  I 5IJT JT DBMMFE B iTZODISPOPVTu TBUFMMJUF 5IF BEWBOUBHF PG TVDI BO BSSBOHFNFOU JT UIBU SFDFJWJOH BOUFOOBT PO UIF HSPVOE DBO QPJOU BU B TFFNJOHMZ àYFE MPDBUJPO PG UIF TBUFMMJUF JO UIF TLZ BOE OPU IBWF UP CF TUFFSFE :PV IBWF QSPCBCMZ TFFO TVDI àYFE SFDFJWJOH BOUFOOBT QPJOUFE BU UIF TLZ *G UIF CSPBEDBTUJOH BOUFOOB PO UIF TBUFMMJUF JT  N JO EJBNFUFS BOE CSPBEDBTUT BU B GSFRVFODZ PG  ()[ G =  ×  )[

BQQSPYJNBUFMZ XIBU JT UIF EJBNFUFS PG UIF SFHJPO PO UIF HSPVOE XIFSF UIF TBUFMMJUF USBOTNJTTJPO DBO CF QJDLFE VQ 4FDUJPO 4 r1 " SPQF  N MPOH XJUI B NBTT PG  LH JT TUSFUDIFE UBVU " WJEFP TIPXT UIBU B USBOTWFSTF QVMTF UBLFT  T UP SVO UIF MFOHUI PG UIF SPQF 8IBU JT UIF UFOTJPO JO UIF SPQF r1 4USJLF UIF FOE PG B NFUBM CBS UIBU JT  N MPOH TJNVMUBOFPVTMZ TUBSUJOH BO FMFDUSPOJD UJNFS XIJDI JT UIFO TUPQQFE XIFO B NJDSPQIPOF BU UIF PUIFS FOE PG UIF CBS àSTU EFUFDUT B TPVOE 5IF NFBTVSFE UJNF GPS TPVOE UP HP GSPN POF FOE PG UIF CBS UP UIF PUIFS JT  NT BOE UIF EFOTJUZ PG UIF CBS JT NFBTVSFE UP CF  HDN  8IBU JT :PVOHT NPEVMVT GPS UIJT NBUFSJBM r1 *O 'JHVSF 4 XIBU JT UIF BNQMJUVEF 8IBU JT UIF XBWFMFOHUI 8IBU JT UIF QFSJPE 8IBU JT UIF XBWF OVNCFS 8IBU JT UIF BOHVMBS GSFRVFODZ 8IBU JT UIF GSFRVFODZ

"OTXFST UP $IFDLQPJOUT 1.8 m 0.04 m

80 m/s x 'JHVSF 4

r1 8SJUF UIF GVODUJPO GPS B DPTJOF XBWF NPWJOH JO UIF −Y EJSFDUJPO BMPOH B SPQF XJUI TQFFE  NT BOE BNQMJUVEF  N r1 8SJUF UIF GVODUJPO JO UFSNT PG Y BOE U GPS B DPTJOF XBWF NPWJOH JO UIF −Y EJSFDUJPO BMPOH B SPQF XJUI XBWFMFOHUI  N TQFFE  NT BOE BNQMJUVEF  N r1 " TJOVTPJEBM XBWF NPWFT BMPOH B WFSUJDBM SPQF XJUI V Z U =  TJO Z + U  8IBU JT UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO PG UIF XBWF 8IBU JT UIF GSFRVFODZ *T UIF XBWF NPWJOH VQXBSE PS EPXOXBSE rr1 0OF FOE PG B NFUBM CBS JT ESJWFO TJOVTPJEBMMZ JO B MPOHJUVEJOBM NPEF XJUI GSFRVFODZ  )[ "U UIF PUIFS FOE PG UIF CBS UIF TPVOE JOUFOTJUZ JT NFBTVSFE UP CF  × − 8N XIJDI JT BQQSPYJNBUFMZ UIF TNBMMFTU TPVOE JOUFOTJUZ UIF IVNBO FBS DBO EFUFDU 5IF CBS JT  DN MPOH XJUI DSPTTTFDUJPOBM BSFB  DN CZ  DN 5IF EFOTJUZ JT  HDN BOE UIF TQFFE PG TPVOE JT  NT 8IBU JT UIF BNQMJUVEF PG UIF MPOHJUVEJOBM PTDJMMBUJPOT PG BO BUPN JO UIF CBS )PX EPFT UIJT DPNQBSF XJUI UZQJDBM JOUFSBUPNJD EJTUBODFT JO B TPMJE

4

rr1 " XJSF PG UPUBM NBTT . BOE MFOHUI - IBOHT GSPN UIF DFJMJOH VOEFS JUT PXO XFJHIU )PX MPOH EPFT JU UBLF GPS B USBOTWFSTF QVMTF UP USBWFM GSPN UIF CPUUPN PG UIF XJSF UP UIF UPQ #F TVSF UP TIPX BMM PG UIF TUFQT JO ZPVS BOBMZTJT 4FDUJPO 4 r1 5IF MPXFTUGSFRVFODZ NPEF PG UIF MPXFTU $ TUSJOH PO B DFMMP JT  )[ 5IF MFOHUI PG UIF TUSJOH CFUXFFO JUT TVQQPSUT JT  DN B 8IBU JT UIF TQFFE PG QSPQBHBUJPO PG USBWFMJOH XBWFT PO UIJT TUSJOH C $BMDVMBUF UIF GSFRVFODJFT BOE XBWFMFOHUIT PG UIF OFYU GPVS NPEFT OPU JODMVEJOH UIF  )[

BOE NBLF B TLFUDI PG UIF TUBOEJOHXBWF TIBQF GPS FBDI NPEF 4FDUJPO 4 r1 8IBU JT UIF FOFSHZ JO F7 PG B QIPUPO XIPTF XBWFMFOHUI JT  ON r1 *G UIF XPSL GVODUJPO PG B NFUBM JT  F7 XIBU XPVME CF UIF NBYJNVN XBWFMFOHUI PG MJHIU SFRVJSFE UP FKFDU BO FMFDUSPO GSPN UIF NFUBM r1 &MFDUSPOT BSF BDDFMFSBUFE UISPVHI B QPUFOUJBM EJGGFSFODF PG  7 BOE TUSJLF B QPMZDSZTUBMMJOF QPXEFS XIPTF BUPNJD MBZFST BSF  × − N BQBSU 1SFEJDU BO BOHMF BU XIJDI ZPV XJMM TFF BO FMFDUSPOEJGGSBDUJPO SJOH rr1 "  8 MJHIU CVMC JT QMBDFE JO B àYUVSF XJUI B SFáFDUPS UIBU NBLFT B TQPU PG SBEJVT  DN $BMDVMBUF BQQSPYJNBUFMZ UIF BNQMJUVEF PG UIF SBEJBUJWF FMFDUSJD àFME JO UIF TQPU BOE UIF OVNCFS PG QIPUPOT QFS TFDPOE IJUUJOH UIF TQPU

"/48&34 50 $)&$,10*/54  8IFO U =  XF IBWF & DPT π = −& XIJDI JT POF QPJOU PO UIF DVSWF 5IF DVSWF JT TIJGUFE π SBE B IBMG DZDMF SFMBUJWF UP UIF àSTU DVSWF 'JHVSF 4 

t E cos 2π T + π

(

) t

t=0

T

'JHVSF 4   B ◦  SBE

C ◦  SBE

 ◦   ON   ON   NN   N  8F BTTVNFE UIBU UIF TMPQF PG V Y XBT TNBMM JO PSEFS UP TBUJTGZ UIF TNBMMBOHMF BQQSPYJNBUJPO GPS TJOF BOE DPTJOF  5IF MPOHXBWFMFOHUI MPXGSFRVFODZ NPEF TIPVME CF FBTJFS CFDBVTF MPXFS TQFFET NFBO MPXFS BJS SFTJTUBODF BOE MPOHFS XBWFMFOHUI NFBOT TNBMMFS CFOEJOH BOHMFT MPXFS JOUFSOBM GSJDUJPO    F7   × − N  "CPVU  7 GPS λ ≈  × − N