Mathematische Olympiade-Aufgaben mit Läsungen [1 ed.] 3761403925

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Mathematische Olympiade-Aufgaben mit Lfisungen Herausgegeben von

Prof. Dr. Wolfgang Engel Prof. Dr. Udo Pirl

#74

Q i Aulis Verlag Deubner & Co KG, Kiiln

Der Originaltitel dos vorliegenden Werkes in der DDR lautet: "Aufgaben mit Lésungen aus Olympiaden Junger Mathematiker del' DD “, Band 1 und Band 2. Im vorliegenden Band sind die beiden Bande zusammengefaflt und entsprechend den Erfordemiasen in der Bundesrepublik Deutschland fiberarbeitet.

Best.-Nr. 2018 © Volk und Wiesen Volkseigener Vex-lag Berlin/DDR 1975 Lizenzsusgabe ffir den Aulis Verlag Deubner&Co KG, Kéln l. ffir den Aulis Verlag Deubner 85 Co KG veranstaltete Auflage 1979 Printed in the German Democratic Republic ISBN 3-7614-0392-5

INHALTSVERZEICHNIS

Teil 1 Vorwort

Vorbemerkungen

Aufgaben

l. 2. 3. 4. 5.

Arithmetik Gleichungen Ungleichungen Funktionen, insbesondere trigonometrische Funktionen Logisch-kombinatorische Aufgaben

Lt'isungen

51

l. Arithmetik

52

2. Gleichungen 3. Ungleichungen

115

4. Funktionen, insbesondere trigonometrische Funktionen

5. Logisch-kombinatorische Aufgaben

159

Teil 2 (Geometric) VorWort

Vorbetraohtungen I. Einfache Grundrelationen

II. Geometrische Orter

VI. Konstruktionen

l4 17 27 31 35

Aufgaben

39

l. Geometrie in der Ebene 2. Geometrie im Raum 3. Geometrische Konstruktionen in der Ebene

40

Lésungen

63

III. Kongruenz; Vielecke

IV. Ahnlichkeitslehre; Kreis- und Kugelgeometrie V. Polyeder; gekriimmte Fléchen

59

l. Geometrie in der Ebene

2. Geometric im Baum

3. GeometriSche Konstruktionen in‘der Ebene

123 143

VORWORT

Mathematische Wettbewerbe werden schon seit mehreren Jahren auf nationaler und in-

ternationaler Ebene durchgefiihrt. Aus der Erkenntnis heraus, daB heube auch ein umfassendes mathematisches Wissen zur Allgemeinbildung des Menschen gehért und die

Anwendung mathematischer Verfahren und Prinzipien in der Technik, der Wissenschaft und auch in der Wirtschaft von zunehmender Bedeutung ist, werden die Wettbewerbe

in den einzelnen Landern staatlich oder (wie bei uns der Bundeswettbewerb Mathematik)

von einer Stiftung geférdert. Die Wettbewerbe verfolgen die Ziele: - dazu beizutragen, daB sich die Schfiler innerhalb und auBerhalb des Untrerrichts ein solides Wissen und Kénnen auf dem Gebiet der Mathematik aneignen; — allen Schiilern die wachsende Bedeutung der Mathematik fiir das Leben in einer modernen Welt bewuBtzumachen;

.

—- das Interesse und die Begeisterung fiir das Fach Mathematik zu weeken und zu vertiefen, die mathematischen Kenntnisse der Schiiler zu erweitern, die Schiiler zu

mathematischem Denken zu erziehen und zur Lésung mathematischer Probleme zu beféhigen; é dazu beizutragen, spezielle Begabungen, Interessen und Talente zu entWickeln, damit ihre Fiirderung erfolgen kann. Der vorliegende Band enthélt einen Fundus herrlicher problemorientierter Aufgaben, wie man sie wohl nur selten zusammengestellt findet. Die Aufgaben waren zunéchst fiir Schiiler, némlich fiir die Teilnehmer der Mathematik-Olympiaden in der DDR gedacht. Gerede deshalb ergibt sich der Zugang zur Lfisung vieler Aufgaben nicht aus einem eingeiibten Schema, also einem fertigen Kalkiil. Das Bemiihen um die Aufgaben soll vielmehr zu den Anffmgen mathematischen Fragens und Suchens hinfiihren. Zum Lésen der

Aufgaben warden insbesondere mathematische Phantasie und selbsténdiges Denken erforderlich sein, aber auch Za'ihigkeit, Wille und Fahigkeit zur Konzentration.

Die hier vorgelegten Olympiade-Aufgaben‘entstammen den Olympiaden und Vorolympiaden der DDR von 1960 bis 1968. In der DDR Wird der Wettbewerb in- vier Stufen durchgefiihrt:

1. Stufe: 2. Stufe: 3. Stufe: 4. Stufe:

Schulolympiade Kreisolympiade Bezirksolympiade DDR-Olympiade

(Olympiadeklassen (Olympiadeklassen (Olympiadeklassen (Olympiadeklassen

5 bis 12 bzw. 11.12) 5 bis 12 bzw. 11.12) 7 bis 12 bzw. 11.12) 10 bis 12 bzw. 11.12)

Die Numerierung der Olympiaden folgt dem nachstehenden Schliissel: 1960 1. Vorolympiade 2. Vorolympiade ~ 1961 1.01ympiade — 1961/62 2. Olympiade —— 1962/63 3. Olympiade — 1963/64 4. Olympiade -— 1964/65 5. Olympiade —- 1965/66 6. Olympiade — 1966/67 7. Olympiade — 1967/68 Hinter jeder Aufgabe ist angegeben, in welcher Olympiade und in welcher Stufe die entsprechende Aufgabe gestellt wurde. In (x/y/z) bedeutet x die x-te Olympiade (V0 60 bzw. V0 61 stehen fiir Vorolympiade 1960 bzw. 1961), y die Olympiadeklasse (9, 10, 11, 12, 11.12) und 2 die Stufe. Wir legen diese Aufgaben unseren Lesern vor, um ihnen Ubungsmaterial fiir den Bundeswettbewerb Mathematik in die Hand zu geben und ferner, um den Lehrern neuartige

und interessante Aufgaben fiir ihren Unterricht, fiir die Verwendung in Arbeitsgemein-

schaften (Problemgmppen) oder auch zum Selbstvergniigen zur Verfiigung zu stellen. Um das Werk preisgiinstig anbieten zu kfinnen, wurde darauf verzichtet, das Kapitel Gleichungen auf die moderne Terminologie umzuschreiben. Ob nun x ——- 7 als Lésung bezeichnet wird oder nur 7 mit dem Zusatz ,,7 ist Lésungsmenge“, ist schlieBlich keine tief—

schiirfende mathematische Weisheit, sondern eher eine Absprache, die dem Benutzer wohl keine Schwierigkeiten bereiten wird.

AULIS VERLAG DEUBNER & CO KG

VORBEMERKUNGEN

Bei den folgenden Bemerkungen handelt es sich um einige Festlegungen der im Text verwendeten Terminologie; es werden keine strengen Definitionen gegeben. Die Redewendungen ,,heiBen“, ,,bedeuten“, ,,genannt werden“, ,,versteht man“ 1. werden stets im Sinne von ,,genau dann, wenn . . .“ verwendet.

Mit der Formulierung ,,Wenn das Gebilde g der Bedjngung B geniigt, so heiBt es ein Element (191‘ Menge 9)?“ ist gemeint: ,,g ist dann und nur dann Element von

93?, wenn es der Bedingung B genii .“ ,,0. B. d. A.“ ist die Abkfirzung fiir ,,ohne Beschrfinkung der Allgemeinheit“.

,,Notwendige Bedingung“ 11nd ,,hinreichende Bedjngung“ werden am Beispiel der Aufgabe A.2.8 erlfiutert. Alla vorkommenden Zahlen sind, wenn nichts anderes gesagt wird, unter VerWendung des dekadischen Systems dargestellt bzw. darzustellen.

{anamaa} bezeichnet die Menge ans den Elementen a1, aa, aa. Es ist also {(11, as: as} = {an a3, a1} = {“2» “1’ “3} new. Femer i315 {an “1} = {a1}-

(a1 , (1,) beieichnet das geordnete Paar, (a1 , as, as) bezeichnet das geordnete Tripel, (a1, a3, ama‘) bezeichnet das geordnete Quadrupel ans den Elementen a1, a” a3, a4. Es ist (a1,a,) = (b1, b2) dann und nur dann, wenn a1 = b1 and a, = b, ist usw.

Unter einer Lésung einer gegebenen Gleichung oder einer Ungleiohung oder eines Systems von Gleichungen oder eines Systems von Ungleichungen mit zwei Variablen (Unbekannten) x, y versteht man ein geordnetes Zahlenpaar (x0, yo), dessen Elemente beim Einsetzen in jede der gegebenen Gleichungen bzw. Ungleichungen diese erffillen. Entsprechend ist jede Lésung' einer Gleichung mit drei Variaa blen ein geordnetes Zahlentripel usw. Zwei Gleichungen (Ungleichungen) heiBen gleichwertig oder aquivalent, wenn bei beiden Gleichungen (Ungleichungen) die Mengen ihrer simtlichen Lésungen dieselben Mengen sind.

10.

Der Satz ,,Jede natl’irliche Zahl n > 1 15.81: sich — bis auf die Reihenfolge der

Faktoren -— eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben“ wird hfiufig benutzt, ohne daB besonders auf ihn verwiesen wird.

11.

Fiir gauze Zahlen a, b bedeutet _ alb:

.

a ist Tefler von b,

a, b teilerfi'emd: a and b haben den gréBten gemeinsamen Teiler l,‘ a a b (modn): n ist Tefler von a — b. 12.

Fiir eine beliebige Zahl m und eine natfirliche Zahl la bedenten k'={l’

' (m) k

fallllc=00derk=l,

l-2-...-lc, l,

fallsk>list, fallslc=0,

m, ‘ fallslc=1, mm—l)"'(m—k+l),fallslc>list.

k!

ARITHMETIK

A.‘l .1

Der ungarische Rechenkfinstler PATAKI berechnet das Produkt 95 - 97 auf folgende Weise: (l)

Er addiert die Faktoren

(2)

Er streicht die erste Stelle der Summe

(3)

Er bildet die Difi'erenz aus 100 und dem einen Faktor und die Difi'erenz ans 100 und dem anderen Fak-

95 + 97 = 192 92

tor und multipliziert die Difl'erenzen. Ergibt sich als Produkt eine einstellige Zahl, so schreibt er eine Null davor

(4)

Er schreibt das Ergebnis von (3) hinter das Ergebnis von (2) und erhfilt

3-5 =

15

9215.

Untersuchen Sie, ob dieses Verfahren ffir alle Faktoren zwischen 90 und 100 giiltig ist!

(4/9/2)*

AC1.2

Das Produkt von vier unmittelbar aufeinanderfolgenden natiirlichen Zahlen ist 110 355024. Wie lauten die Zahlen?

(3/9/3)

A.‘ .3

Unter der Zahl ,,n!“, gelesen ,,n Fakulti “, verstéht man dag Produkt l . 2 - 3 - ... - (n — 1) - n aller natiirlichen Zahlen von 1 bis n. Soistz.B.4! = l ~2.3-4=24. Auf wieviel Nullen endet die Zahl ”50!“?

Begriinden Sic Ihre Antwort! (V0 61/10/3) " V31. mit dem Hinweis im Vorwort!

10

A.1.II

Man denke sich die natiirlichen Zahlen von 1 bis 100, aufsteigend der GréBe nach geordnet, angeschrieben. Die dabei insgesamt aufgeschriebenen Zifi'ern

denke man sich in unverinderter Reihenfolge zur Zifi'ernfolge der hiermit erklfirten Zahl

1234567891011121314 . . . 979899100 zusammengestellt. Aus ihr sollen genau 100 Zifi'ern so gestrichen werden, daB die restlichen Zifi'em in gleicher Reihenfolge eine méglichst grofie Zahl bilden. Wie lautet diese?

(7/9/3)

A.1.5

Eine ganze Zahl wird mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl geschrieben. Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein'!

(4/10/3)

A.1.6

Es seien p, , pg, 103, ..., pm die ersten 100 Primzahlen in ihrer natiirlichen Reihenfolge. Man ermittle die genaue Anzahl der ,,Endnu]]en“ der Zahl

p} - (pi-1);) - (p? - pi - 20;) -

- (P}°°-p§’-P‘.’° -

- Pia-P5. '14...)-

(3/10/4)

A.1.7

Mit welcher Zifl'er endet die Zahl 210°? (V0 61/9/3)

A.1.8

Mit welcher ‘Zifl'er endet die Summe 116 + 12‘ + 13° + 14‘ + 15° + 16“?

(1/10/3)

A.1 .9

'

Beweisén Sie, daB fiir jedes natiirliche n, n > 1, die Zah]

23" + 1 mit der Zifl'er 7 endet! (7/10/2)

A.1.10

Wie lauten die letzten beiden Zifl'ern der Zahl 3°" — 29”?

(4/11/1) 11

A.1.11

Wie lauten die letzten heiden Zifi'ern der Zahl

77" — '7'!7 z

(7/11.12/3) A.1.12

Es sind alle ganzzahligen Zihler und Nenner eines Bmches zu finden, der die rationale Zahl 0,4 darstellt und hei dem die Summe ans Zihler und Nenner eine zweistellige Quadratzahl ist.

(1/9/3)

A.1.13

Es sci—gain unkfilzharer Bruch (p, q ganzzahlig, q+ 0 and gréBter gemeinsamer Teiler von 1) und q gleich 1). Man heweiae, daB dann auch {1—22 ein unkiirzharer Bruch ist. (6/10/2)

A.1.1ll

Ist ,,Vermehrt man das Produkt von vier heliehigen unmittelhar aufeinanderfolgenden natiirlichen Zahlen um I, so erhiilt man eine Quadratzahl“

ein (richtiger) mathematischer Iiehrsatz!

(4/9/3) A.1.15

Weisen Sie nach, daB alle Zahlen der Form 0300 1331, 1030301, 1003003001, ..., 100

0300

01

—,——,—~—.—:

jeweils ls Nullen Kubikzahlen sind!

(5/10/3)

A.1.16

A.1.11

' Es ist folgender Satz zu beweisen: Wenn die Summe zweier ganzer Zahlen dutch l0 teilhar ist, so stimmen die Quadrate dieser Zahlen m ihren Endzifi'ern iiherein. (2/10/1)

Beweisen Sie, daB ffir alle natiirlichen Zahlen m die Zahl

1’: m’ + 1’}:

3 +?

6

eine natiirliche Zahl int! (2/10/2)~ l2

A.1.18

Es seien m, n, p und q gauze Zahlen mit der Eigenschaft m — p + 0.

Manvzeige, (111.8 in diesem Falle m — p genau dann Teiler von mg + up ist, wenn m — p Tefler von mm + pq ist.

(5/10/4.)

A.1.19

Man untersuche, ob der folgende Satz richtig ist: Setzt man vor cine beliebige dreistellige Zahl ihr Doppeltes,_so ist die entsrtehende sechs. oder siebenstellige Zahl dutch 23 und 29 teilbar.

(4/9/1)

A.1.20

Bildet man von einer natfirlichen Zahl die Quersumme and von dieser (wenn méglich) wieder die Quersumme usw., so erhilt man schlieBlich eine einstellige Zahl, die wir die ,Jetzte Quersumme“ nennen wollen. Dubai wird die Quersumme einer einstelligen Zahl nach Definition der Zahl gleiehgesetzt. Berechnen Sic, wieviel natfirliche Zahlen von 1 bis 1000 die ,,letzte Quersumme“ 9 haben!

(6/9/1)

AA .21

Gegeben sei eine beliebige mehrsfellige natiirliche Zahl. Man bilde durch eine beliebige Umstellung ihrer Zifl'ern daraus eine zweite Zahl. Beweisen Sie, daB die Difi‘erenz diesel- beiden Zahlen stats durch 9 tailbar ist!

(2/10/2)

A01 .22

Suchen Sie eine zweistellige Zahl, die gleich der Summe aus der Zahl an ihrer Zehnerstelle und dem Quadrat der Zahl an der Einerstelle ist!

Weisen Sie nach, daB as 11111 eine solche Zahl gibt! (5/10/1)

A.1.23

Man ermittle simtliche natfirlichen Zahlen gréBer als l, dutch die jedes Produkt aus drei unmittelbar aufeinanderfolgenden natiirlichen Zahlen mit ungerader Summe teilbar ist.

(3/10/2) A.1.2ll

Es sind sfimtliche dreisfelligen Zahlen z zu finden, die folgende Eigenschaften haben: z ist dutch 9 und ll teilbar. a) Vertauscht man die erste und die letzfe Zifl'er von 2, so erhilt man b) .

2 '—2.

9

(2/10/3) l3

A.1.25

Ein Mathematiker hatte den Schlfissel ffir das Fach eines Gepfickautomaten verloren. Von der Nummer des Faches wuBte er allerdings noch, daB sie eine durch l3 teilbare dreistellige Zahl war und daB sich die mittlere Zit'fer als arithmetisches Mitts] ans den beiden anderen Zifi'ern ergab. Das Fach konnte schnell ermittelt werden, d8. nur wem'ge Zahlen diese Eigenschaften haben. Geben Sie alle diese Zahlen an!

(7/10/1)

A.‘ .26

A.1.27

Die positive ganze Zahl m gehe aus der penitiven ganzen Zahl n dadurch hervor, daB man die Zifi'em von 1:. in entgegengesetzter Reihenfolge aufschreibt. Ist es méglich, daB m = 6n ist? (1/11/3)

Jemand benutzt, um die Teflbarkeit natiirlicher Zahlen durch 7 zu untersuchen, die folgende ,,Siebenerregel“:

Von der (mindestens zweistelligen) zu untersuchenden Zahl 2 Wild die letzte Zifl'er gestrichen. Von der erhaltenen Zahl wird sodann das Doppelte der gestrichenen Zahl subtrahiert. Die so entstandene Zahl z1 ist dann und nur dnnn durch 7 teilbar, won 2 durch 7 teilbar ist. Indem er das Verfahren

gegebenenfalls wiederholt anwendet, kann er so von jeder natfirlichen Za'hl z feststellen, ob sie dutch 7 teilbar ist. Man untersuche, ob diese ,,Siebenerregel“ riehtig ist.

‘ (5/11.12/1)

AI1 On

Geben Sie ohne Benutzung eines Tafelwerks alle zweistelligen Zahlen an an, deren dritte Potenz mit den (auch in der Anordnung) unveriinderten Zifl'ern der Zahl a: beginnt!

(3/12/2)

A.1.29

Emitteln Sie ohne Benutzung eines Tafelwerks alle zweistelligen Zahlen x, deren dritte Potenzen mit den beiden Zifi'em der Zahl a: in derselben Anordnung wie bei a: endenl

(3/12/3) A.1.30

Ermitteln Sic ohne Benutzung eines Tafelwerks alle vierstelligen Quadratzahlen, deren crate zwei und letzte zwei Ziffem jeweils einander gleich sind!

(7/9/3)

l4

A.1.31

Beweisen Sie folgenden Satz: Ist eine positive gauze Zahl z durch 99 teilbar, so ist ihre Quersumme nicht kleiner 9.18 18.

mm»

A.1.32

Die positive gauze Zahl a: ende auf die Zifi‘ern a und 1) (in dieser Reihenfolge). Man ermittle alle geordneten Paare (a, b), fiir die :1? auf dieselben Zifi’em a and b (auch in bezug auf die Reihenfolge) endet.

(5/9/3)

A.1.33

Ermitteln Sic alle vierstelligen Zahlen, die gleich der 4. Potenz ihrer Quersumme sindi

(V0 61/12/2)

A.1.“

Ermitteln Sie alle n-stelligen natiirlichen Zahlen, die gleich der n-ten Potenz ihrer Quersumme sindi

(6/l l .12/1)

A.1.35

Beweisen Sis, daB die Summe von_1000 beliebigen unmittelbar aufeinanderfolgenden natiirlichen Zahlen keine Primzahl sein kann!

(3/9/1)

A.1 I36

Beweisen Sie, daB das Produkt von vier unmittelbar aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen nicht das Quadrat einer positiven ganzen Zahl sein kann! (7/ll.l2/2)

A.1 .31

Zwei Primzahlen 191 und p, (mit p1 > p.) heiBen Primzahlzwillinge, wenn p1 —- p = 2 gilt. Bewaigen Sie, daB ffir alle Pn'mzahlzwillinge p1 und 1;, mit 12, > 3 die Summe

p1 + p, dutch l2 teilbar ist!

(6/9/3) A438

a)

b)

Man beweise: Dividiert man cine beliebige Primzahl p > 30 durch 30, so ist der Rest entweder l oder eine Primzahl. Man untersuche, ob diese Aussage auch bei der Division einer beliebigen Primzahl p > 60 dutch 6O gilt.

(2/12/4) l5

A.1.39

Dietmar und J6rg schcn bci cincm Spazicrgang cin Auto, bei den im Kennzcichcn die Zahl 4949 steht. Die Tatsachc, daB 49 cine Quadratzahl ist, fiihrt sic auf die Frage, ob auch

die Zahl 4949 cine Quadratzahl int. Nach kurzer crlcgung sagt Dietmar: ,,Ich kann sogar beweiscn, daB kcinc vierstclligc Zahl, dercn erste glcich

ihrcr drittcn Zifi'cr und dcren zwcitc glcich ihrcr vicrtcn Zifl'er ist, eine

Quadratzahl scin kann. Ubrigcns 15.31; sich auch bcwcisen, daB untcr dicscn Zahlcn gcnau cine Primzahl ist.“ Ffihren Sic dicsc Bcweisc dutch! (Dictmar faBt dabci allc Kennzeichcn von 0001 his 9999 all! vicrstcllige Zahlcn auf.)

(7/10/1)

A01.”

Zeigcn Sic, (138 cc untcr allen Zahlen dcr Form 212 + l, wobci p cine Primzahl ist, gcnau cinc Kubikzahl gibt!

(6/9/3) A.1 .M

Es ist zu bcwcisen, daB dic'Zahl z = 2'I + l fiir kcine natiirlichc Zahl n Kubikzahl ist. (5/ll.l2/3)

A.1 .112

Man wihle zwei belicbigc voncinandcr vcrschicdcne natiirliche Zahlen und bildc ihre Summc, ihre Differenz und ihr Produkt. Es ist zu bcwciscn, daB

untcr dicsen drei Zahlcn wcnigstcns cine durch 3 tcilbarc ist.

(1/9/2)

A.1 .143

. Beweiscn Sic folgcndcn Satz: cc nicht durch 9 tcilbarc (ganzzahlige) Quadratzahl liBt bci Division durch 3 den Best 1.

(5/9/3)

A.1 .llll

Man bcwcisc folgendcn Satz: Vermindert man die siebcntc Potenz cincr von Null vcrschicdcncn natfirlichen Zahl a um a, so ist die Difi'crcnz stcts durch die Summc aus dcr crstcn, zweiten und drittcn Potcnz von a tcilbar.

(2/9/2)

A.1.45

Es ist zu bcwciscn, daB daa Prodnkt von sechs beliebigen unmittclbar cufcinandcrfolgendcn natiirlichen Zahlcn stcts durch 720 teilbar ist.

(V0 61/12/2)

l6

A.1.“

Man beweise: Sind m and n natiirliche Zahlen, so ist die Zahl

z=m~n-(m‘—n‘) durch 30 teflbar.

(6/10/4)

A.1 .ll'l

Beweisen Sie, daB die Summe der Kuben dreier unmittelbar aufeinnnder-

folgender natfirlicher Zahlen stets dutch 9 teilbar ist!

(2/10/3)

A.1 .118

Man zeige, daB fiir jade natiirliche Zahl n die Zahl z = n3 + lln durch 6 teilbar ist.

(3/10/3)

A.1 1‘9

Ffir alle ungemden Zahlen n ist die Difi'erenz n” — 1 dutch 8 téilbar. Beweisen Sie diesen Satz!

(V0 61/9/3)

A.1.50

Es ist zu beweisen, daB n3 + 3n)2 — n — 3 fiir jedes ungerade n (lurch 48 teilbar ist.

(3111/2) A.1.51

Beweisen Sie, daB die Zahl 2’5“ — l keine Primzahl ist! Geben Sie mindesbens drei Primfaktoren dieser Zahl an!

(3/10/2)

A.1 .52

Es ist zu entscheiden, dutch welche der Primzahlen 2, 3, 5, I3, 109, 151, 491 die Zahl ' z = 1963"“ — 1963 teilbar ist und dutch welche nicht. (4/ll.l2/4) ’

A.1.53

Zeigen Sie, daB die Zahl 218° + 3921 dutch 45 teilbar ist! (1/12/1) ' l7

A.1.5ll

Beweisen Sie, daB ffir jede positive gerade Zahl n- die Zahl z = 3" + 63 durch 72 teilbar ist!

(2/10/4)

A.1.35

Es ist zu beweisen, daB ffir jedes natfirliche ungerade 1; die Zahl 73" + 1049 - 58“ durch 1965 teflbar ist. (4/11.12/2)

A.1.56

Beweisen Sie, daB ffir jede natfirliche Zahl n g 1 die Zahl [(n) = 52n+1 .‘2n+2 + 3n+2 . 22n+1 durch 19 teilbar ist!

(2/11/2)

A.1.57

Beweisen Sie, (1:13 p” — l ffir jede Primzahl p g 5 (lurch 24 teilbar ist!

A1 .58

Man ermittle simtliche nichtnegativen ganzen Zahlen n, fiir die die Zahl z = 5" —— 4" durch 61 teilbar ist. (5/11.12/2)

AI1 .59

(3/11/1)

'

Beweisen Sie folgenden Satz: Ist s=a1+a,+ ...+a,| durch 30 teilbar, dann ist auch

p=a§+a§+ ...+a,5. dutch 30 teilbar ((11 , a2, .. ., an bedeuten natiirliche Zahlen). (6/ll.l2/2)

A.1.60

Beweisen Sie folgenden Satz: Ist die Summe dreier natiirlicher Zahlen durch 6 teilbar, dann ist auch die Summe der Kuben dieser drei Zahlen durch 6 teilbar. (4/10/4)

A.1 .61

18

Untersuchen Sie den folgenden Satz auf seine Richtigkeitl Fiir alle ganzen Zahlen a und 1) gilt: Wenn a3 + b’ dutch 3 teilbar ist, dann Bind auch a und b durch 3 teflbar. (4/10/3)

A.1.62

Man zeige:

.

.

Genfigen die natfirlichen Zahlen w, y, z der Bedingung x3 + y’ = a”, so ist ihr Produkt dutch 60 beilbar.

(1/12/2) A.1.63

Welchen Best 1581‘. eine natfirliche Zahl a bei Division dutch 73, won die Zahlen an” — 2 11nd aml — 69 (lurch 73 teilbar sind?

(7/10/4)

A.1.“

‘

Es ist zu bewelsen, daB es genau ein Paar (x, 3/) mil: natiirlichen Zahlen

zundygibt,fiirdasdie Zat = 104+ 4y‘Primzahlist.

(2/12/1)

A.1.65

Gesucht sind vier natiirliche Zahlen a1< a, < “s < (14, so daB jede der Zahlen d1=a‘—a,, d4=a4-—a,,

da=as"asa ds=“a"a1:

d3=a,—a1, do=ad"“1

eine Primzahl ist, wobei auch gleiche Primzahlen auftreten dfirfen.

(9/10/2)

A.1.“

Man ermittle die Anzahl aller natfirlichen Zahlen, die kleiner 8.13 1000 and die weder durch 3 noch durch 5 teilbar sind. (6/10/1)

A.1.67

Es ist zu untersuchen, ob ea eine natfirliche Zahl z gibt, die auf zwei verschiedene Arten in der Form _

z -‘—— z! + y! dargestellt werden kann, wobei a: und 3/ von Null verschiedene natiirliche Zahlen sind, ffir die a: g y gilt. (4/ll.l2/3)

A.1.68

2-

Beweisen Sie, daB log,6 keine rationale Zahl ist! (5/10/3)

l9

2.

GLEICHUNGEN

A.2.‘I

Fritz ermittelt als Ergebm's einer Divisionsaufgabe 57 Rest 52. Er macht die Probe und erhfilt 17380. Das ist falsch; denn er hatte die Zifi'ern un-

deutlich geschrieben 11nd bei der Probe an der Zehnerstelle des Divisors cine 6 313 0 gelesen.

Wie lautet die Aufgabe? (V0 61/10/3)

.A.2.2

Eine Aufgabe aus dem Jahre 1494: Chen auf einem Baum, der 60 Ellen hoch ist, sitzt eine Mans, unten auf

der Erde eine Katzp. Die Mans klettert jeden Tag —21— Elle herunter und in

der Nacht % Elle in die Héhe. Die Katze klettert jeden Tag 1 Elle hinauf und in der Nacht % Elle hinunter, solange, bis sich die Tiere in gleicher Héhe befinden. Nach Wieviel Tagen erreicht die Katze die Mauls?

(2/9/3)

A.2.3

Zwei Schfiler erhalten die Aufgabe, ZWei von Null verschiedene natfirliche

Zahlen a und b miteinander zu multiplizieren. Zur Probe dividieren sie das Produkt dutch den kleineren Faktor. Dabei erhfilt der erste Schiller 575 Best 227. Der zweite Schiiler erhfilt 572 Rest 308.

Jeder hatte bei der Addition der Teilprodukte veygessen, eine l zu addieren,

aber jeder an einer anderen Stelle. Daher hatte der erste Sehiiler im Ergebnis 100 und der zweite Schiiler 1000 zu wenig erhalten. Wie heiBen die Zahlen a and b? (3/10/3)

20

A.2.ll

Martina stellt ihrer Freundin in einem Jahr, das kein Schaltjahr ist, fol-

gende Aufgabe: ,,Wenn man zur Halfte der Zahl der bis heute verflossenen Tage dieses Jah-

res ein Drittel der Zahl der restlichen Tage des Jahres addiert, erhalt man die Zahl der verflossenen Tage. Den heutigen Tag habe ich zu den verflossenen gezihlt.“ Geben Sie das Datum (Tag and Monat) an, an den das gesehieht!

(4/9/1)

A.2.5

Herr X, der noch nicht 100 Jahre alt ist, stellt am 30. 05. 1967 fest, daB

er jede Zifl‘er von 0 bis 9 genau einmal benutzt, wenn er sein Geburtsdatum in der soeben verwendeten Schreibweise fiir Terminangaben notiert und sein Alter in Jahren dazusetzt. AuBerdem bemerkt er, daB die Anzahl seiner Lebensjahre eine Primzahl ist. Wann ist Herr X geboren, und wie alt ist er?

(7/10/1)

A.2.6

Ein Bruder sagt zu seiner Schwester: ,,Als Tante Katja so alt war, wie wir beide zusammen jetzt sind, warst du so alt, wie ich jetzt bin. Aber als Tante Katja so alt war, wie du jetzt bist, da. warst du, .“

a) b)

‘ Wie alt war da die Schwester? Wieviel mal so alt wie die Schwester ist Tante Katja jetzt?

(5/9/2) A.2.7

Eine Mutter stellt ihren drei Kindern Renate, Jfirgen und Christine eine .Schiissel mit Kirschen auf den TiSch mit der Bemerkung, daB sich jeder

nach Riickkehr ein Drittel der Kirschen nehmen mége. Jiirgen, der als erster nach Hause kommt, nimmt sick, da die Zahl der Kirschen nicht durch 3 teilbar ist, zunachst eine Kirsche and dann von den restlichen den dritten Teil. Als Renate heimkommt, meint sie, daB

keines der Geschwister vor ihr nach Hause gekommen sei. Sie nimmt sich, da die Zahl der Kirschen nioht durch 3 teilbar ist, zunachst zwei und von den fibrigen den dritten Teil. Auch Christine glaubt, als sie heimkehrt, erste

zu sein,‘ und nimmt sich den dritten Teil der in der Schfissel befindlichen Kirschen. p , Die Mutter stellt danaeh fest, daB insgesamt 42 Kirschen gegeasen wurden. Wieviel Kirschen befanden sich anfangs in der Schiissel? (5/9/3) f

21

A.2.8

Man gebe fl'ir die reellen Zahlen a, b, c, d Bedjngungen an, die folgendes leisten:

a)

Wenn die Bedingungen erflfllt sind, damn hat die Gleichung a(x+l)+b=az+b

(1')

c(x+l)+d cx+d (mindestens) eine Lfisung. 211:; Wenn die Gleichung (*) eine Lésung hat, so sind die Bedingungen erEs Bind also Bedingungen aufzustellen, die ffir die Lésbarkeit von (*) a) notwendig und b) hinreichend sind. Man ermittle, falls die Bedingungen elfiillt sind, alle Lésungen von (*). (5/10/3)

A.2.9

Ermitteln Sie alle reellen Zahlen 2:, die gleichzeitig den beiden Gleichungen 3x‘+ l3z3+20z'+l7x+7=0 315+ aP- 8x3+ llx— 7='0 figen!

(4/11/1)

A.2.10

Geben Sie alle geordneten Paare (a, b) reeller Zahlen an, deren Summe

a + b, Produkt ab und Quotient?—b untereinander gleich sind! (3/9/2)

A.2.11

Man ermittle die Anzahl aller geordneten Paare zweistelliger natiirlicher Zahlen (m, n), fiir die m + n = 111 gilt!

(7/9/2)

A.2.‘|2

Ermitteln Sic alle Tripel (a, b, c) reeller Zahlen a, b, c, fiir die

a+bc=(a+b)(a+c) gilt!

(5/10/3)

A21 3

Gegeben sind zwei reelle Zahlen a und b. Man gebe eine notwendige und eine hjnreichende Bedingung (vgl. Aufgabe A.2.8) so an, daB das Gleichungssystem :61 + z, = a $1 ' x.

= b

reell lésbar ist.

(1/10/3) 22

A.2.1ll

Man ermitfle ffir die reellen Zahlen a und b, a + 0, die dem Betrag naoh

kleinere Lésung der Gleiehung x2+2aw—b‘=0.

(5/9/3) A.2.15

Man ermittle alle reellen Zahlen a, fiir die eine der Wumeln der quadratischen Gleichung xz—agz+a=0 dag Quadrat 0

2

erffillt ist.

(7/11.12/4)

All."

Man beweise, daB ffir jede natiirliche Zahl n g 1 die folgenden Beziehungen gelten: 1.

sinz+sin3w+...+sin(2n—l)x=

sin2 ma sin a:

ffir alle reellen a: mit sinx =1: 0 und sinx+sin3x+...+sin(2n—l)x=0 fiir allc reellen a: mit sine: = 0. (5/ll.l2/3)

2.

39

All.“

Ermitteln Sic alle reellen Zahlen x, fiir die sin'a: + 003%; = 1

gilt!

(2/11/3)

All."

Emitteln Sic alle reellen Zahlen a: mit 0 g a: < 271., fiir die cos’x-eos'Zx-oos‘iix+sin'x-sin'2x-sin’3a:= oos‘x - cos2 2:» + 003% - cos” 32: + consa 3a: - 00453 2a: gilt!

(2/12/1) AA.”

Ermitteln Sie alle reellen Zahlen x, fiir die 1 -- sin5a: = (cos; x — singx)’

ist! (3/11/2)

A.ll.21

Man ermittle fl‘ir jede reelle 23.111 7 alle reellen Zahlen 1:, die die folgende Gleichung erfiillen:

sin3x-oos(%—4z>+l .

at

n

=0.

sm(§-—7xi)—cos(—+x)+r

6

(3/11.12/4) A1522

Ermitteln Sie alle reellen Zahlen 1, die die Gleichung tan'a: + cot’a: = 6 erffillen! (4/ll.l2/3)

A.ll.23

Es sind alle diejenigen in den Intervallen 0 < x< gundg < a: < n gelegenen reellen Zahlen a: anzugeben, fiir die f(x)=sinz+cosx+tanz+cotx a) positiv, b) negativ ist. c) Gibt es einen kleinsten positiven Wart, den f(:z:) in den obigen Intervallen annimmt, und wenn ja, welcher Wert ist das?

(6/ll.l2/3)

40

A.lt.2ll

Ermitteln Sie alle reellen Zahlen z, fiir die sin'x + sin2 22: > sina 3x

int!

(3/11/1)

A.ll.25

Ermittcln Sie alle positiven reellen Zahlen x, fiir die

1 gilt!

1

s

m—M—E

(2/12/3)

A.lt.26

Ermitteln Sie alle reellen Zahlen a: des Intervalls 0 < a: < n, fl'ir die tan 2:»

2 cot 2x

tuna;

cotx

gilt! (2/11.12/4) A1527 ‘

S l _

Es ist zu beweisen, daB fiir alle reellen Zahlen a: aus dem Interval] 0 g z s % stets

sinx + coszg VE-‘V2sinx-cosz 't.

I(El/nil)

All.”

Man ermittle alle Paare (x, 3/) von reellenZahlen a: and y, fiir die die Gleichung ain(x+y)=ainx+siny

erfiillt ist.

(5/ll.l2/2)

Ermitteln Sie simtliche Paare reeller Zahlen (x, y), ffir die die folgenden beiden Gleiohungen gleichzeitig erffillt sind: 008

x—y

x+y.

2

1

°°s 2 =3’

eos a: - cos y=

Hill—

A1429

(3/12/2) 41

A1630

Emitteln Sic alle Paare reeller Zahlen (x, 3/), fit die sinx + siny __ 5 sina: — sing _ E and

7t

2: + y — *2—

nihenmgsweise (bis auf zwei Stellen nach dem Komma) gilt!

(4/ll.l2/2)

A1531

Man ermittle simt-liche Paare reeller Zahlen (z, y), die die Gleichung [sin(x-—y) + l]-[2cos(2x—y) + 1] =6 erfiillen.

(5/10/4)

LOGISCH-KOMBINATORISCHE AU FGABEN

A.5.1

Ein Student und eine Studentin gehen in ein Cafe. Der Student bestellt ffir sich ein Glas Milch und ffir die Studentin eine Tasse Kafl‘ee. Er entnimmt

seinem Glas einen Teeléifel voll Milch und gieBt diesen in die Tasse mit Kafi‘ee. Sie riihrt den Inhalt ihrer Tasse gut um und entnimmt ihrem Kafl'eeMflch-Mischgetrink einen Teeléfl'el voll (gleiches Volumen Wie vorher) und gieBt ihn in das Glas des Studenten. Hat sie am Ende mehr, gleichviel Oder weniger (Volumen’wile) Milch in ihrer Tasse als er (Volumenteile) Kafi‘ee im Glas?

(3/11/1)

A.5.2

Ein Wfirfel Wird aus 27 kleineren, untereina-nder gleich groBen Wfirfeln

derart zusammengesetzt, daB in jeder Reihe 3 dieser kleinen Wiirfel nebeneinander liegen. Der zusammengesetzte Wiirfel wird angestrichen (die 27 kleinen Wiirfel waren vorher nicht angestrichen). Wieviel der kleinen Wiir-

fel haben jetzt keine, wieviel haben genau eine, wieviel haben genau zwei und wieviel haben drei angestrichene Fléchen?

Man lése dasselbe Problem, wenn in jeder Reihe 4 bzw. n gleiche Wfirfel nebeneinander liegen. '

(1/11/1) A.5.3

Es ist zu beweisen, daB 77 Telefone nicht so miteinander verbunden werden kénnen, daB jedes mit genau l5 anderen verbunden ist.

(5/9/1) A.5.1!

Fi'mf GefziBe enthalten je genau 100 Kugeln. In eim'gen der GeféBe hat jede der Kugeln eine Masse von 10 g, wihrend in den fibrigen GeféBen jede der Kugeln eine Masse von 11 g hat.

Wie kann man durch eine einzige Wégung feststellen, welche GeffiBe Kugeln mit einer Masse von 10 g bzw. von 11 g enthalten?

(1/12/2)

43

A.5.5

Bei einem Preisschiefien hat ein Schiitze mit fiinf SchuB auf einer lO-RingScheibe genau 40Ringe erzielt. Bei jedem SchuB hat er mindestens 7 Binge getrofien. , Wieviel Méglichkeiten gibt es fiir die bei den einzelnen Schiissen erzielten Ringe? Bemerkung: Die Reihenfolge ist zu berficksichtigen. So gelten z.B. 7, 7, 7, 9, 10 und 7, 7, 7, 10, 9 als verschiedene Méglichkeiten.

(3/9/2) A.5.6

Beim FuBball-Toto ,,13 + 1“ ist auf dem Tipschein bei l4 Spielen anzukreuzen, ffir welche Mannschaft man mit einem Sieg rechnet Oder oh man Unentschieden erwartet. Bei jedem Spiel gibt es drei Méglichkeiten: Sieg der Mannschaft A, Sieg der Manuschaft B oder Unentschieden. Welches ist die kleinste Anzahl ausgefiillter Tipscheine, unter denen sich in jedem Fall ein Tip mit 14 richtigen Voraussagen befindet? (3/10/1)

A.5.7

Klaus und Dieter vereinbaren das folgende Spiel: Klaus nimmt genau 6 Bindfiiden gleicher Linge in eine Hand, so daB an jeder Seite seiner Faust sechs Bindfadenenden herausragen. Dieter wird aufgefordert, auf jeder Seite jedes Ende mit genau einem der fibrigen zusammenzukniipfen. Stellt sich beim Ofi'nen der Hand heraus, daB die Bindffiden einen einzigen ,,Ring“ bilden, so hat Dieter gewonnen, anderenfalls hat Klaus gewonnen.

Wer von beiden hat die gréBeren Gewinnchancen? Stellen Sie dazu folgende Uberlegungen an:

a)

b) 0)

Wieviel verschiedene Méglichkeiten m, die Bindfadenenden zu verknfipfen, gibt es fiberhaupt? In wieviel Fallen r erhfilt man einen einzigen Ring? Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit w, daB ein einziger Ring entsteht?

Bemerkung: w ist definiert als 1—1}, wobei m und 9' in a.) und b) erkliirt sind. Dieter hat gréBere Gewinnchancen als Klaus, wenn w > 0,5 ist. Beide haben

gleiche Gewinnchancen, wenn w = 0,5 ist. (5/l l .1 2/1)

A.5.8

Wieviel zweistellige, dreistellige und vierstellige Zahlen lassen sich maximal mit den Zifi'ern a) l, 2 b) 1,2, 3 c) l, 2, 3, 4 d) l,2,3,4,.. ,n durch Hintereinanderschreiben bilden, wobei die Zifi'ern auch mehrfach

benutzt werden diirfen und ein Zahlensystem mit einer Basis, die gréfler als n ist, vorausgesetzt wird?

(1112/1)

,

A.5.9

n Schfiler seien in einer Reihe angetreten. Sie erhalten in die‘ser Reihenfolge die Nummern l, 2, ..., n.

Ein Umordnungsbefehl bestehe darin, daB jeder Schfiler entweder einmal seinen Platz mit einem anderen tauscht Oder auf seinem Platz bleibt. Man gebe zwei Befehle an, durch'deren Hintereinanderausffihrung die Anordnung n, 1, 2, ..., n — 1 entsteht.

(6/11.12/3)

A.5.10

In einer Ebene sind ffinf paarweise voneinander verschiedene Punkte gegeben, von denen keine drei auf derselben Geraden liegen. Je zwei dieser Punkte sind entweder durch eine rote oder eine blaue Strecke so verbunden,

daB keine drei von diesen Strecken ein Dreieck derselben Farbe bilden. Beweisen Sie: a) 1.

2.

Von jedem der fiinf gegebenen Punkte gehen genau zwei rote und genau zwei blaue Strecken ans.

Die roten Strecken bilden einen geschlossenen Streckenzug, der alle fiinf gegebenen Punkte enthalt. Dasselbe gilt fiir die blauen

b)

Strecken. Ermitteln Sie die Anzahl aller Moglichkeiten, die gegebenen fiinf Punkte unter den Bedingungen der Aufgabe durch rote und blaue

Strecken zu verbinden! (6/ll.l2/l)

A.5.1 1

Beim Schulsportfest batten sich Christian (C), Bernd (B), Alfred (A) and

Dieter (D) fiir den Endlauf fiber 100 m qualifiziert. Auf Grand der Vorlaufzeiten rechnete man mit einem Einlauf ins Ziel in der Reihenfolge C B A D.

Damit hatte man aber sowohl die Plitze simtlicher einzelnen Laufer als auch die Paare aller direkt aufeinanderfolgenden Laufer falsch vermutet.

Der Sportlehrer erwartete die Reihenfolge A D B C. Tatsachlich kamen genau zwei Laufer auf diesen erwarteten Platzen ins Ziel. In welcher Reihenfolge erreichten die Laufer das Ziel?

(4/9/1)

A.5.12

Von vier Personen hat jede genau einen der Vornamen Arnold, Bernhard, Conrad und Dietrich. Aueh die Familiennamen dieser Personen lauten

Arnold, Bernhard, Conrad find Dietrich. Ferner Wissen Wir folgendes: a) Bei keiner der vier Personen stimmt der Vorname mit dem Zunamen fiberein.

b)

Conrad hat nicht den Familiennamen Arnold.

0)

Der Zuname von Bernhard stimmt mit dem Vornamen der Person fiberein, deren Familienname mit dem Vomamen der Person fibereinstimmt, die den Zunamen Dietrich hat.

Wie heiBen die einzelnen Personen mit Vor- und Zunamen?

(3/10/2)

45

A.5.13

Von sechs Schiilern, die an der zweiten Stufe der Mathematik-Olympiade teilnahmen, erreichten genau zwei die volle Punktzahl. Die sechs Schiiler seien zur Abkfirzung mit A, B, C, D, E und F bezeichnet. Auf die Frage, welche beiden Schiiler die volle Punktzahl erreicht haben, wurden die folgenden ffinf verschiedenen Antworten gegeben: l)AundC;2)BundF;3)FundA;4)BundE;5)DundA.

Nun ist bekannt, daB in genau einer Antwort beide Angaben falsch sind, Wahrend in den fibrigen Vier Antworten jeweils genau eine Angabe zu-

trifft. Welche beiden Schfiler erreichten die volle Punktzahl? (4/10/3)

A.5.1ll

Bei einem Spiel versteckt jede der drei Schfilerinnen Anna, Brigitte und Claudia in ihrer Handtasche genau einen der Gegenstande: Ball, Bleistift,

Schere. Dieter sol] feststellen, wer den Ball, wer den Bleistift und wer die Schere hat. Auf seine Fragen erhalt er folgende Antworten, von denen verabredungs-

genial} eine wahr, die beiden anderen falsch sind: 1. 2.

Anna hat den Ball. Brigitte hat den Ball nicht.

3.

Claudia hat die Schere nicht.

Wie kann Dieter das Problem 16sen?

(3/9/3)

A.5.15

Bei einem Ratselnachmittag wird dem beaten Jungen Mathematiker der Klasse die Aufgabe gestellt, eine reelle Zahl zu erraten. Dazu werden von seinen Mitschfilern nacheinander Eigenschaften dieser Zahl genannt: Klaus: Inge: Giinter:

,,Die Zahl ist durch 4 ohne Rest teilbar.“ ,,Die Zahl ist Radius eines Kreises vom Umfang 2“. ,,Die Zahl ist kleiner als 3.“

Monika 2

,,Die Zahl ist Diagonalenlange eines Quadratesder Seitenlange 2.“

Barbe]: Peter:

,,Die Zahl ist irrational.“ ,,Die Zahl ist der Flacheninhalt eines gleichseitigen Dreiecks der

Seitenlange 2.“ I Ferner erfahrt er, daB von den beiden Schiilern Klaus and Inge bzw. Giinter und Monika bzw. Barbel und Peter jeweill genau einer die Wahrheit gesagt hat. Wie heiBt die Zahl?

(4/9/3)

A5.“

Vier Personen A, B, C, D legten gemeinsam eine positive ganze Zahl fest. Jede der Vier gibt fiber diese Zahl drei Auskiinfte, von denen jeweils min-

destens eine wahr und mindestens eine falsch ist. 46

wwwwwt—www

mun—I

Die Auskfinfbe lauten: A: . Die Zahl ist dutch 4 teilbar ; . sie ist dutch 9 teilbar; . das llfache der Zahl ist kleiner als 1000. . Die Zahl ist dutch 10 teilbar ; B: . sie ist gréfiex als 100;

O

. das l2fache der Zahl ist gréBer als 1000.

. Die Zahl ist eine Primzahl; . sie ist durch 7 teilbar; . sie ist kleiner als 20. D: . Die Zahl ist nicht durch 7 teilbar; . sie ist kleiner als l2; . das 5fache der Zahl ist kleiner 9.13 70. Wie lautet die Zahl? (7/ 11.12/1)

A.5.17

In einer Arbeitsgemeinschaft einigen sich sechs Teilnehmer auf eine reelle Zahl a, die der siebente Teilnehmer, der vorher das Zimmer verlassen hat,

999.59!"

ermitteln soll. Nach seiner Riickkehr erhalt er folgende Auskfinfte:

6.

a ist eine rationale Zahl,

a ist eine ganzrationale Zahl, die durch l4 teilbar ist. a. ist eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich l3 ist. a ist eine ganzrationale Zahl, die durch 7 teilbar ist.

a ist eine reelle Zahl, die die folgende Ungleichung erfiillt 0 < a3 + a < 8000. a ist eine gerade Zahl.

Er erfihrt, daB von den Auskiinften l und 2, 3 und 4 sowie 5 und 6 jeweils eine wahr und eine falsch ist. Wie lautet die Zahl a?

(4/12/3)

A.5.18

Jutta, Gunter und Klaus nehmen an der zweiten Stufe der Mathematik-

Olympiade teil. (l)

Sie arbeiten (nicht notwendig in dieser Reihenfolge) in den Rfiumen

48, 49, 50. (2) (3)

(4) (5) (6) (7)

Jutta und Giinter sind gleichaltrig, Klaus ist ein Jahr alter als Jutta. Ihre drei Mathematiklehrer, Herr Adler, Herr Bar and Herr Drossel, ffihren in diesen drei Raumen w'alhrend der Arbeit einzeln Aufsicht, keiner jedoch in dem Baum, in dem sein Schfiler arbeitet. Herr Bar hat den gleichen Vomamen Wie sein Schfiler. Die Nummer des Raumes, in dem Herr Drossel Aufsicht fiihrt, ist das Eineinhalbfache seines Alters. Gi'mters Baum hat eine héhere Nummer als der von Klaus. Die drei Schiiler sind zusammen gerade so alt, wie die Nummer des

Raumes angibt, in dem Jutta arbeitet. (8)

Jutta kennt Herrn Drossel nicht. 47

Welchen Vomamen hat Herr Bar? In welchem Baum fiihrt er Aufsicht? (Die Altersangaben erfolgen in vollen Jahren.)

(4/9/2) A.5.1?

In einem Abteil des Pannonia-Expresses befinden sich sechs Fahrgfiste;

jeder von ihnen hat in einer der folgenden Stédte seinen einzigen Wohn— sitz: Berlin, Rostock, Schwerin, Erfurt, Cottbus und Suhl. Die Anfangsbuch-

staben ihrer Namen sind A, B, C, D, E und F (die Reihenfolge entspricht nicht der Reihenfolge der Wohnsitze). Ans Gesprfichsfetzen entnehmen wir folgende Tatsachen: 1. Zwei Fahrgz'iste, und zwar A und der Berliner, sind Ingenieure. 2 Zwei Fahrgfiste, und zwar E und der Rostocker, sind Dreher. 3. Zwei Fahrgfiste, und zwar C und der Schweriner, sind Kranfiihrer. 4. B und F sind aktive Sportler, der Schweriner treibt nicht Sport. 5 Der Fahrgast aus Cottbus ist filter als A, der Fahrgast ans t1 ist jfinger als C.

6.

Zwei Fahrgfiste, und zwar B und der Berliner, wollen in Prag aus. steigen. Zwei Fahrgfiste, und zwar C und der Cottbuser, wollen bis Budapest fahren.

Welches sind die Namen, Berufe und Wohnsitze der einzelnen Fahrgéste?

(1/9/3) A.5.20

Die Schiilerinnen Brigitte, Christina, Dorothea, Eva, Inge und Monika und die Schiiler Anton, Fred, Giinter, Helmut, Jiirgen und Kurt, die einer Laienspielgruppe angehéren, wollen einen Tanz auffiihren. Dabei Wird zu

Paaren getanzt. (1)

In keinem Paar soll der mannliche Partner kleiner als der weibliche

sein. AuBerdem haben einige Teilnehmer noch verschiedene Wiinsche:

(2)

Christina. mochte nicht mit Anton tanzen, der kleiner als Brigitte ist.

(3) (4)

Jfirgen mochte nur mit Dorothea. oder Monika tanzen. Fred, der gr613er als Helmut, aber kleiner als Anton ist, mochte nur mit Eva oder Monika. tanzen. Kurt, der weiB, daB Eva. gréBer als Anton ist, versucht, eine Einteilung zu finden, die allen Wiinschen gerecht Wird.

(5)

Geben Sie alle Moglichkeiten der Zusammenstellung dieser Schfiler zu Tanzpaaren an, die die genannten Wiinsche und Bedingung (l) erfiillen! Die Aufgabe ist dahingehend zu verstehen, daB sfimtliche Zusammenstellungen zu Tanzpaaren angegeben werden sollen, die auf Grund der Angaben nicht als unvertraglich mit einer oder mehreren der gestellten Bedingungen (1) bis (5) ausgeschlossen werden mfissen.

(6/9/2) 48

A.5.21

In einer IL 18 der Interflug, die von Budapest nach Berlin fliegt, sitzen fiinf Fluggaste in einer Reihe nebeneinander. Jeder von ihnen hat genau einen der Berufe: Journalist, Feinmechaniker, Lehrer, Kapitin und Inge-

nieur und genau eine der folgenden Staatsangehérigkeiten: Polen, DDR, Ungarn, Zypern und UdSSR. Sie sind 21, 24, 32, 40 und 52 Jahre alt, und jeder von ihnen betreibt genau eine der Sportarten: Handball, Schwimmen, Volleyball, Inichtathletik und FuBball. Jeder von ihnen hat als Reiseziel genau eine der Stfidte: Berlin, Leipzig, Dresden, Karl-Marx-Stadt und Rostock. Aus den Gesprichen der Flaggiste entnehmen wir die folgenden Angaben: (1) Der Ingenieur sitzt ganz links. (2) Der Volleyballspieler hat den mittleren Platz. (3) Der Pole ist Journalist. (4) Der Feinmechaniker ist 21 Jahre alt. (5) (6)

Der Lehrer treibt Schwimmsport. Der Kapitin reist nach Rostock.

('7) (8) (9) (10) (ll) (l2) (l3)

Der Handballspieler ist aus der DDR. Der Fluggast aus der UdSSR hat das Beiseziel Leipzig. Der naeh Berlin reisende Fluggast ist 32 Jahre alt. Der Leichtathlet hat das Reiseziel Karl-Marx-Stadt. Der Fluggast aus der DDR sitzt neben dem ans Ungarn. Der 52j§hrige sitzt neben dem Reisenden, der nach Dresden fliegt. Der 24j§hrige sitzt neben dem Reisenden, der nach Leipzig fliegt.

(l4)

Der Ingenieur sitzt neben dem Zyprioten.

a) Welche Staatsangehérigkeit besitzt der FuBballspieler? b) Wie alt ist der Kapitfin?

(4/12/1)

A.5.22

Bei einem Schachturnier mit 8 Teilnehmem spielte jeder gegen jeden genau eine Partie. Am Ende des Turniers haben alle Teflnehmer verschiedene Punktzahlen erzielt. DerrSpieler auf dem zweiten Platz hat genau so viele Punkte gewonnen Wie die letzten vier zusammen. Dabei erhielt man fiir einen Sieg 1 Punkt, ffir jedes Unentschieden 1/2 Punkt und ffir eine Niederlage keinen Punkt. Wie endete die Pattie zwischen den Spielem, die den 4. bzw. 6. Platz belegten?

(619/1)

A.5.23

Vier Mannschaften A, B, C und D tragen ein FuBballturnier aus. Dabei spielt jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere, und es werden den einzelnen Mannschaften fiir ein gewonnenes, unentschieden ausgegangenes bzw. verlorenes Spiel 2, l bzw. 0 ,,Pluspunkte“ gegeben. Am Tage nach dem AbschluB des Turniers hért Peter den SchluB einer Radiomeldung: ,,... Vierter wurde die Mannsehaft D. Damit erhielten keine zwei Mann-

schaften gleiche Punktzahl. Das Spiel A gegen B endete als einziges unentschieden.“ Peter ist enttfiuscht, daB seine Ideblingsmannschaft, die an dem Turnier 49

teilgenommen hat, in diesem Teil der Meldung uberhaupt nicht erwahnt wurde. Dennoch kann er aus den gehorten Angaben — wenn diese wahr sind— und aus der Kenntnis des Austragungsmodus nicht um die Plazierung, sondem auch den Punktstand dieser Mannschaft ermitteln. Wie ist das méglich?

(7/9/1)

A.5.216

An einem Tanzabend hat jeder der anwesenden Herren mit mindestens einer der anwesenden Damen getanzt und jede der anwesenden Damen mit mindestens einem der anwesenden Herren. Kein Herr hat mit jeder der

anwesenden Damen und keine Dame mit jedem der anwesenden Herren getanzt. Es ist zu beweisen, daB es unter den Anwesenden zwei solche Damen

und zwei solche Herren gegeben hat, fiir die folgendes zutrifft: An diesem Abend tanzte jede dieser beiden Damen mit genau einem dieser beiden Herren, und jeder dieser beiden Herren tanzte mit genau einer dieser beiden Damen (Es Wird vorausgesetzt, daB der Tanzabend nicht ohne Damen und Herren stattgefunden hat, d.h., die Menge, die aus allen anwesenden Damen und Herren besteht, ist nicht leer.)

(5/ll.l2/4)

A.5.25

Beweisen Sie den folgenden Satz:

Gegeben seien gewisse Gegenstfinde, von denen jeder eine bestimmte Farbe und eine bestimmte Form hat. Wenn es unter diesen Gegensténden zwei von verschiedener Farbe und zwei von verschiedener Form gibt, dann be-

finden sich unter den Gegenstfinden mmdestens zwei solche, die sich sowohl in der Farbe als auch in der Form unterscheiden.

(7/11.12/2)

A526

In einer Weberei Wird Garn von genau sechs verschiedenen Farben zu Stof— fen von je genau zwei verschiedenen Farben verarbeitet. Jede Farbe kommt

in mindestens drei verschiedenen Stofi'sorten vor. (Dabei gelten zwei Stofll sorten dann und nur dann als gleich, wenn in ihnen dieselben zwei Farben auftreten. ) Beweisen Sic, daB man drei Stofl'sorten derart finden kann, daB jede der sechs Farben 1n einer von ihnen auftritt!

(7/11.12/3)

50

'ARITHMETIK

L.1.1

Die Zahlen seien 100 — a und 100 — b, 0 < a, b < 10. Nach PATAKI er-

hiilt man: (1) (lOO—a)+(100—b)=200—a—b. (2) Die Streichung der 1. Stelle entspricht der Subtraktion von 100: (200—a—b)——100=100—a—b. (3)

Man erhfilt a - b.

(4)

100(100—a—b) +a-b= 100(100—a)—b(100—a) = (100 — a) (100 — b). Diese Methode ist also fiir alle Faktoren zwischen 90 und 100 giiltig.

L12

Die natfirlichen Zahlen seien n, n + 1, n + 2, n + 3. Laut Voraussetzung ist n (n + l) (n + 2) (n + 3)'= 110355024.

Daraus folgt n4< 111000000, also it < 104. Andererseits gilt

(n+3)‘>n(n+1)(n+2)(n+3) (n + 3)‘ n +3 n also 97 < n
100000000 > 100 > 97, 104.

110355024 ist nicht durch 5 teilbar, folglich ist auch keine der gesuchten Zahlen durch 5 teilbar. Also ist n = 101. Die gesuchten Zahlen lauten 101, 102, 103, 104.

L01 .3

52

Eine Zahl endet dann und nur dann auf Null, wenn sie dutch 10 = 2 - 5 teilbar ist.

50! enthélt genau 12ma.1 den Faktor 5 (5, 10, 15, 20, 25 = 5 - 5, 30, 35, 40

45, 50 = 2 - 5 . 5) und mehr als l2mal die 2, also ist 50! dutch 101‘, abet nicht dureh 1013 teilbar.

50! endet also auf genau 12 Nullen.

L1 .4

Die vorgegebene Zahl enthilt 9 - 1 + 90 - 2 + 1 . 3 Zifl'ern, also insgesamt 192 Zifi‘ern. Geneu 92 devon sollen in der zu bildenden Zahl enthalten sein. Von zwei 92stelligen Zahlen, die mit verschiedener Anzahl von Neunen

beginnen, ist diejenige die gréBere, die mit der gréBeren Anzahl von Neunen beginnt. Vor der ersten in der Zahl auftretenden Neun stehen 8 von Neun verschiedene Zifl'ern, vor der zweiten weitere l9, vor der dritten, vierten und ffinf— ten wiederum je weitere 19 von Neun verschiedene Zifl'ern. Streichen wir diese, so sind insgesamt 84 Zifi‘ern (8 + 4 - 19 = 84) ent-

femt. Die Zahl beginnt dann so: 999995051525354555657585960 . . . Es sind noch l6 Zifl'em zu streichen. Es ist nun hicht mehr méglich, die 19 Zifi'ern vor der nichsten (urspriinglich sechsten) Neun zu streichen, da. dann mehr als 100 Zifi‘em entfielen. Von zwei 92stelligen Zahlen, die mit 5 Neunen beginnen und an der sechsten Stelle verschiedene Zifi'ern hsben, ist diejem'ge gréBer, die an der seeh-

sten Stelle die groBere Zahl enthalt. In unserem Fall kommt die Acht daffir nicht in Frage, da. denn noch l7 Zifl'ern zu streichen wiren. An der sechsten Stelle kann also héchstens eine Sieben stehen. Das ist auch erreichbar,

wenn man die nichsten 15 Zifi'ern streicht. Entsprechend zeigt man, daB als letzte Zifi‘er die auf die Sieben folgende Fi‘mf entfernt werden muB. Die gesuchte Zahl lautet also 999997859606162 . . . 979899100.

LI .5

Die Quersumme der Zahl ist 300. Die Zahl 300 ist durch 3, nicht aber durch

9 teilbar, also ist auch die angegebene Zahl nach dem Satz fiber die Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung dutch 3, nicht aber durch 9 teilbar. Daher kann sie keine Quadratzahl sein.

L.1.6

Die Anzahl der ,,Endnullen“ hfmgt von der Anzahl der Faktoren p1 = 2

and p3 = 5 ab; denn nur dos Produkt der beiden Primzahlen 2 and 5 liefert eine Null.

Im angegebenen Produkt kommt die Zahl 2 genau

(1 + 2 +’... + 100) mal, die Zahl 5 genau + 98)mal (l + 2 + als Faktor vor. Also hat die Zahl genau

1 + 2 +

+ 98 = 9—82—99 = 4851 ,,Endnullen“.

L.1.7

Wit- beweisen zuniichst den folgenden Hilfssatz: Die letzbe Ziffer jedes Produktes zweier natiirlicher Zahlen, deren jede (im

Dezimalsystem) die letzte Zifier 6 hat, ist (im Dezimalsystem) die 6. Ein Beweis besteht in der folgenden Rechnung:

(10a + 6) (10b + 6) = 10 (10611) + 6a + 6b + 3) + 6. Daher gilt 219° = 24‘25 = 1625 = 16 - 25612 = 16 - 2562‘6 = 16 - (10a + 6)‘3 = 16 - (10a + 6)“'3 = 16 - (10b + 6)3 = 16-(10b +6) (100 +6) = 16-(10d+6) = 108+6, wobei a, b, c, d und e natiirliche Zahlen bedeuten. Daher endet 21"0 auf die Zifi‘er 6.'

L.1.8

Die angegebenen Potenzen lassen sich auch in der Form (10 + l)“ + (10 + 2)6 + (10 + 3)“ + (10 + 4)6 + (10 + 5)°-+ (10 + 6)6

schreiben. Allgemein gilt

‘

(10 + a)“ = 106 +,6-105-a+ 15-104-a2+20~ 103.a3+ 15- 102-0544.— 6 - 10 - a5 + a“. flier tritt bei allenGliedern auBer dem letzten die 10 als Faktor auf. Alle Glieder —- auBer dem letzten — enden also auf 0, und die Endzifi'er von

(10 + a)“ ist gleich der Endzifl‘er von (1‘. 1‘ endet auf 1, 2“ endet auf 4, 3‘ endet auf 9, 4° endet auf 6, 5‘ endet auf 5,

6° endet auf 6,

also endet die angegebene Summe auf l.

L01 .9

Fiir n g 2 gilt

22" = 2M"-2 = 162"”. Da jede Potenz von 16 mit 6 endet, ist die letzte Zifi'er von 22” im Falle n g 2

stats die 6 und die von 23" + 1 demzufolge die '7.

L.1.10

Wit beweisen zunéchst folgenderi Hilfssatz: Sind a; und b.- die vorletzte bzw. die letzte Zifi'er der natfirlichen Zahl 2,im Dezimalsystem, 2' = l, 2, so stimmt die vorletzte bzw. die letzte Ziffer von 21 - 22 mit der entsprechenden Ziffer von (10a1 + b1) (10a2 + b2) fiberein.

Beweis: Auf Grand der Voraussetzungen gibt es zwei natfirliche Zahlen c1 und 0, derart, (1313 Z; = 1006.- + 10a,-+ bi,

gilt. Daraus folgt

t= 1, 2,

21 - 22 = 100 [1000102 + ~(10a1 + 6,) 02 + (10a2 + b2) 61] + (10a1 + 6,) (10a, + b2), woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt. Berechnet man die letzten beiden Zifi'ern der Potenz 3” ffir n = l, 2, 3, . . . , 20,

so erkennt man, daB die letzten beiden Zifi'ern von 31” gleich 67 and die von 32° gleich 01 sind. Wegen 3""9 = (33")49 - 319 sind. dann die letzten beiden Zifl'ern von 3999 gleich 67 Du:rch Berechnung der letzten beiden Zifl'ern von 2’" ffir m = 1, 2, 3, . . . , 22

erkennt man, daB die letzten beiden Zifi'em von 222 gleich 04 sind. Es gilt: 2999 = (222)45 , 29_

Die letzten beiden Ziffern von (222V5 sind. also gleich den letzten beiden Zifl'ern von 445 = 290 = (222)4 , 22. Die letzten beiden Ziffern von (232)4 sind dieselben wie die von 44 = 23, and zwar 56, und die letzten beiden Zifi'ern von 29 lauten l2.

Daher sind die letzben beiden Ziffern von 29” gleich den letzten beiden Zifi'ern des Produktes 56 - 4 - 12. Die letzten beiden Zifiem dieses Produktes Iauten 88, und damit sind die letzten beiden Zifl'em von 39” — 299°

gleich 79.

L1."

Es ist

71 E 7 (mod 100), 72 E 49 (mod 100),

73 E 43 (mod 100), 74 —=- 1 (mod 100), also

74"

E 1 (mod 100),

7‘"-1 E 43 (mod 100), wobei k eine beliebige natfirliche von Null verschiedene Zahl ist.

Nun ist E — 1 (mod 4), also 77 E — 1 (mod 4),

d.h. 77 = 4m —- 1, wobei m eine von 0 verschiedene natiirliche Zahl ist. Dal-ans folgt

777 = 74'»-1 E 43 (mod 100). Da somit

777 = 7m-1 E — 1 (mod 4), d.h. 777 = 4m’ —— l (m’ natiirliche von 0 verschiedene Zahl) ist, folgt weiter

7777 = 774””1 = 74m'-1 5 43 (inod 100). Daher ist die zu untersuchende Zahl

77’7 — 777 E 43 — 43 E 0 (mod 100), d.h. dutch 100 teilbar; jede ihrer letzten beiden Ziffern ist also 0. 55

L.1.12

Sind» p und q Zihler und Nenner eines Bruches der geforderten Art, so ist q=l=0und—:—= 0,4 = %. Daraus folgt

5? = 2q-

(1)

Folglich ist p gerade und q durch 5 teilbar (wegen der Eindeutigkeit der Pfimfaktorenzerlegung), also gilt wegen (l) p = 2r und q = 5r mit ganzzahligem r =|= 0. AuBerdem gilt p + q = 7r = 8'

(2)

mit natiirlichem s g 9. Am (2) folgt, daB 8 > O und durch 7 teilbar und damit gleich '7 ist. So. mitmuBr=7,p=l4undq=35sein. '

Wegen l4 +35=49 = 73undg=0,4sind 14 and 35und nurdiesedie zn findenden Zihler und Nenner.

L.1.13

IMirekter Beweis: Angenommen, q—Z’ ware durch c kiirzbar (c ganz, c =|= 0, c =|= :I: I), dun miiBte gelten

q—p=c-m (mganzzahlig) q = c . n (n ganzzahlig).

and

Daraus wiirde folgen p = c (n — m).

Dunn wiren jedoch 22 um]. q durch c teilbar, was der Voraussetzung widerspricht.

L1.“

Die erste von vier unmittelbar aufeinanderfolgenden natiirlichen Zahlen sei n. Dann erhilt man folgendes Produkt: n(n+ 1)(n+2)(n,+3).

Durch Ausmultiplizieren und Addieren einer 1 ergibt sich n4+6n3+ lln2+6n+ 1 = (n’+3n+ 1)’, also cine Quadratzahl. Damit ist gezeigt, daB der in der Aufgabe formulierte Satz richtig ist.

L1 .15

Es ist 1331=1-103+3-103+3-101+1=(10+1)3 1030301 = l- 10°+3-10"+ 3403+ 1 = (103+ 1)3 1003003001 = 1 ~10’+3-10‘+ 3-103+ l = (103+ l)‘. Folgen bei einer Zahl in der angegebenen Weise jeweils k Nullen direkt aufeinander, so erhélt man

1 - 103("+1)+ 3 - lO’ 9) (Quersumme (Quersumme (Quersumme (Quersumme (Quersumme (Quersumme (Quersumme (Quersumme

a: a: x a: a: a: x x

> > > > > > > >

9) 9) 9) 9) 9) 9) 9) 9).

(Es geniigt die Betrachtung der letzten vie!- Stellen.) Also ist 9’ = 81 die einzige derartige Zahl mit der Quersumme 9. Die gesuchten Zahlen sind also fiir n=l: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 n=2: n=3z

81 512

n = 4: 2401.

Fiir n g 5 gibt es keine derartigen Zahlen.

L.1.35

Die erste der 1000 natfirlichen Zahlen sei k. Dunn erhilt man folgende Summe: k+(lc+1)+(lc+2) + + (k+999)=1000k+ (l + 2 + + 999). In der Klammer steht die Summe aller natfirlichen Zahlen von 1 bis 999. Addjert man bier der Reihe nach 1 + 999, 2 + 998 usw. bis 499 + 501 und

beriicksichtigt den fibrigbleibenden Summanden 500, so erhfilt man auf der rechten Seite

" Lésung ohne Verwendung von Logarithmen: Fiir n g 22 ist 9" eine hfichstens (n — 1)-stellige Zah]; denn es gilt 9* g Ion—22 . 931,

‘ also wegen 922 = (0,9)“" - 0,81 - 1022 < (0.59)“ - 0,81 ~ 10” = 0,3481” - 0,81 - 1022 < 0,35a - 0,81 - 1022 = 0,1225 . 0,81 - 1022 = 0,0992% - 10n < 10“, 9" < 10"” - 10’1 = 10"“.

100010 + (1000 - 499 + 500). Dieser Ausdruck ist durch 500 teilbar, also ist auch die ursprfingliche Summe durch 500 teilbar. Einfachere Lésung: Die Summe aus 500 geraden und 500 ungeraden Zahlen ist stats gerade.

LI1.“

Jedes in der Aufgabe genannte Produkt hat die Form n(n+ l)(n+2)(n+3) =n‘+6n’+ 11n’+6n = (n'+ 3n + l)'— l,

wobei n eine positive gauze Zahl ist. Da (703+ 3n)‘< (n’+ 3n + l)‘— l < (n'+ 3n + l)‘ gilt, liegt n (n + l) (n + 2) (n + 3) zwischen den Quadraten Von zwei un-

mitfelbar aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen, nfimlich denen von n3+3n

und

n9+3n+ l,

und kann daher selbst nicht das Quadrat einer positiven ganzen Zahl sein.

L1 .37

Laut Aufgabe gilt p1 = p, + 2. Alsogilt:

P1+P2=Pa+2+Pa=2Pa+2=2(Ps+l)Da jede Primzahl p, p > 3, eine ungerade Zahl ist, ist p, + l gerade und 121 + p, mithin durch 4 teilbar. Ferner sind 1),, p, + l und_ 1), + 2 = p, drei aufeinanderfolgende natfirliche Zahlen, von (10a somit genau eine durch 3 teilbar ist. D8. 101 und 1), Primzahlen gréBer als 3 sind, iet keine von beiden dutch 3 teilbar. Also ist p, + l durch 3 und damit 121 + p, = 2 (123 + 1)

dutch 12 teilbar.

L138

a)

p 15,131: sich folgendermaBen schreiben: p = 30g + r,

q und 1' natiirliche Zahlen mit 1 g r g 29.

Fiir alle Zahlen r, die durch 2, 3 Oder 5 feilbar Bind, ist 30g + r keine Primzahl. Daher kommen nur die Zahlen l, 7, ll, 13, 17, 19, 23, 29 8.18 Best r in Frage, d.h.. r ist entweder gleich 1 Oder eine Primzahl.

b)

p 15,812 sich folgendermaBen schreiben: p= 60q+r, rundqnatfirlicheZahlenmitlgrgw. Da. sich die Primzahl 109 in der Form

109 = 60 - l + 49

schreiben 16.1315 und da. 49 keine Primzahl und nicht 1 int, gilt die Aussage von a.) nicht fiir b). 5.

67

L13?

Die vierstellige Zahl sei 2, die ans der ersten und zweiten Zifi'er gebildete Zahl sei a (a ganz; 0 < a < 100). Dann gilt: z = 100a + a =101a. Des heiBt, es gflt 101|z. Nut fit a = l ist z Primzahl. Das ergibt das Zeichen 0101. D3. 101 Primzahl ist, so folgte, falls 2 eine Quadratzahl ware, ans 101|z

auch 1012|z. Das ist aber nicht méglich, da sonst wegen 101’ > 10000 die Zahl 2 mindestens ffinfstellig sein miiBte.

L01 Om

Angenommen, p sei eine Primzahl, fiir die 2p + l Kubikzahl ist. Dunn gilt 2p + l = z3, wobei z eine natfirliche Zahl ist. D9. 21) + l ungerade i312, ist z aueh ungerade. Es gilt daher z = 2n + 1 (n natfirliche Zahl), also 2p+1=(2n+ 1)3=8n3+12n‘+6n+l und damit 21; = 2% (411,” + 6n + 3) und p=n(4n’+6n +3).

Da. 1) Primzahl und der Faktor 4n2 + 6n + 3 eine natiirlicheKZahl gréBer als2ist,muBn=lsein. ' Fiir n = 1 ist p=l-(4-12+6-l+3)=13 Primzahl und 2 - 13 + l = 27 tatsichlich Kubikzahl. Die einzige Primznhl p, fiir die 23) + l Kubikzahl ist, ist daher die Zahl 13.

L.1.ll1

2° + l = 2 ist nicht Kubikzahl. Ffir n g l ist die Zahl 2" + 1 ungerade. Angenommen, 2” + 1 sei eine’ Kubikzahl, so ist sie die dritte Potenz einer ungeraden Zahl, die sich in der Form 210 + 1 darstellen lfiflt, wobei k eine

natfirliche Zahl ist. Es gilt also 2" + 1 = (2k + 1)”.

(l)

Dadie Zahl2"+ l ffirn= 1 nichtKubikzahlist, muB manin (l) n>1

und Ic > 0 annehmen. Nun folgt ans (1) 2"+ l=8k3+ 12kz+6lc+ 1, 2”=2Ic(4k“+6k+3), 2’”1 = [H4102 + 616 + 3). Der zweite Faktor der rechten Seite ist eine ungerade natiirliche Zahl, die gréBer ale 3 ist. Diese Zahl miiBte, da. 10 eine von Null verschiedene natfirliche Zahl ist, Teiler von 2'”1 sein. Das ist abet wegen der Eindeutigkeit der Zerlegbarkeit jeder natfirlichen Zahl g2 in Primfaktoren nicht misglich. Wir erhalten einen Widerspruch, also ist keine der Zahlen z der Form 2" + l Kubikzahl.

68

L1 .112

Es seien a und b die Ausgangszahlen, a =I= b.

1. Fall: 3|a Oder 3[b. Dann gilt auch 3 |ab. 2. Fall: a und b lassen bei der Division durch 3 gleiche Rests, d. h. entweder as 1(mod3) und b2 1(mod3) Oder

a E 2 (mod 3) und b E 2 (mod 3). Dann gilt 3 la —b . 3. Fall: a und b lassen bei der Division dutch 3 verschiedene Reste, d.h. entweder a_-—_- 1 (mod 3) und b:-2 (mod3) oder

aE2(mod3) und bEl (mod3). Dann gilt 3|a + b.

L113

Die Quadratzahl sci a“, wobei a ganzzahlig ist. Dann kfmnen folgende Falls eintreten. 1. Fall: a = 3n, n ganz. Dann ist a’= 911. und daher a2 dumb 9 teilbar. 2. Fall: a = 3n + 1,7» ganz.

Dann gilt =9n2+6n+ l =3(3n2+2n)+ l. a:2 lfiBt also bei Division dutch 3 den Rest l. 3. Fall: a = 3n + 2, nganz. Dann gilt a“: 9722+ 1211 +4 =3(3n”+4n+1)+ 1.

a’ last also bei Division durch 3 den Best 1. Andere Falls sind nicht méglich.

L.1 M

a)

Beweis dutch Ausfiihrung der Division:

1))

(aV—a):(a3+a2+a) =a‘-a3+a— 1, (1+0. Beweis durch Umformen des Ausdrucks (a7 — a):

((17—01) =a(a°—- l) =a(a‘+1)(a3——1) =a(a3+ l)(a—1)(a3+a+l)

=(a‘+1)(a—1)(a3+a’+a).

69

L1 .45

Da. ffir 720 folgende Primzahlzerlegung gilt: 720=24-3'-5, ist zu zeigen, daB das Produkt von 6 beliebigen unmittelbar aufeinanderfolgenden natfirlichen Zahlen (lurch 24, 32 und 5 teilbar ist. Von sechs unmittelbar aufeinanderfolgenden natfirlichen Zahlen sind genau drei dureh 2, davon mindestens eine durch 4, genau zwei Zahlen durch 3 und mindestens eine durch 5 teilbar. Demnach ist das Produkt von sechs unmittelbar aufeinanderfolgenden natfn-lichen Zahlen dutch 2‘ - 3’ - 5 = 720 teilbar.

L1 .46

Die zu untersuchende Zahl ist

z=m-n-(m—n)-(m +n)-(m’+n').

a)

Behauptung: z ist durch 2 teilbar. Beweis: Sind m, n nicht beide ungerade, so enthfilt z einen geraden Faktor, nimlich m oder n. Sind m, n beide ungerade, so enthélt z den geraden Faktor m — n.

b)

Behauptung: z ist dutch 3 teilbar. Beweis: Ist eine der Zahlen m, n durch 3 teilbar, so each 2. Lassen m, n, bei der Division durch 3 dcnselben Rest, so ist m — n, also such 2, dutch 3 teilbar. LéBt eine der Zehlen m, n bei der Division durch 3 den Rest 1, die andere den Rest 2, so ist m + n, also auch z, dutch 3 teilbar.

Behauptung: z ist durch 5 teilbar.

Beweis: Ist eine der Zahlen m, n dutch 5 teilbar, so auch z. Lassen m, n bei Division durch 5 denselben Rest, so ist m — 1», also such 2, durch 5 teilbar. LaBt eine der Zahlen m, n bei der Division durch 5 den Best 1, die andere den Rest 4, so ist m + n, also such 2, durch 5 teilbar; desselbe gilt, wenn eine der Zahlen m, n den Rest 2, die andere den Rest 3 15.1313. LfiBt schlieBlich eine der Zahlen m, n bei der Division durch 5 den Rest 1 oder 4, die andere den Rest 2 oder 3, so laiBt das Quadrat

der erstgenannten Zahl den Rest l, das Quadrat der letztgenannten Zahl den Best 4; also ist dann m“ + n” und somit z durch 5 teilbar.

d)

Behauptung: z ist dutch 30 teilbar.

.70

Beweis: Es ist 30 = 2 - 3 - 5, und da. 2, 3, 5 zu je zweien teilerfi'emd sind,‘

folgt die Behauptung aus a), b) und e).

L1 .37

n sei eine beliebige natfirliche Zahl. Dunn ist zu zeigen, daB n’+ (n+1)3+ (n+2)3=n3+n3+3n”+3n+l+n3+6n'+ 12n+ 8

=3(n3+3n3+5n+3) = 3[3(n'+ l)+n(n’+5)] durch 9 teilbar ist.

Wir beweisen die Behauptung dwdurch, daB wir zeigen: n n3 + 5) ist fiir alle natfirlichen Zahlen n durch 3 teilbar. 1. Fall: n ist durch 3 ohne Rest teilbar: n = 3k. Dann ist

n(n3+5) = 3k(9k2+5) durch 3 teilbar. 2. Fall: n laBt bei der Division durch 3 den Rest l: n = 310 + l . Dann ist n(n’+6) = (316+ l)(9k’+6k+6) =3(3lc+ 1) (3k’+2k+2)

durch 3 teilbar. ' 3. Fall: n liBt bei der Division durch 3 den Rest 2: n = 316 + 2. Dann ist n(n3+5) = (3k +2)(9k3+ 12k+9) =3(3Ic+2)(3lc“+4lc+3) durch 3 teilbar. Daraus folgt, (18.8 n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 stets durch 9 teilbar ist.

L1 .148

Esgiltz =n3+ lln =n(n2+ 11).

Die Division dutch 6 Wild zuriickgefiihrt auf die Division dutch 2 und (lurch 3. a) Ist n gerade, so ist die zu untersuchende Zahl dutch 2 teilbar. Ist n ungerade, also von der Form n = 216 + 1, lo natiirliche Zahl, so ist

b)

n9+11 =4Ic3+4k+12 gerade, d.h. durch 2 teilbar. LiBt n bei der Division duroh 3 den Rest l (n = 3k + l; k natiirliche Zahl), so liBt

n2 = 91::8 + 6].: + 1 den Best 1. 71

L581: 11. bei der Division durch 3 den Best 2 (n = 315 + 2; la natiir-

liche Zahl), so 15,31: -n’=9k2+6k+4=(9k3+6k+3)+l ebenfalls den Best 1.

Daraus folgt, daB n’ + 11 in beiden Fallen durch 3 teilbar ist. Ans a.) mid b) folgt: n3 + lln ist duroh 6 teilbar.

L1 .119

n ist nach Voraussetzung eine‘ ungemde Zahl, also gilt n = 215 + l, wobei Ic eine gauze Zahl ist. Nunist n“—-l=(4lc3+4lc+l)—1 =4lc3+4lc =4Ic(k+l).

Da von zwei unmittelbar benachbarten ganzen Zahlen stets eine gerade ist, ist das Produkt 17 (la + 1) durch 2 teilbar. Dal-ans folgt, daB n” — 1 ffir alle ungeraden n (lurch 8 teilbar ist.

L150

Es gilt: n3+3n’—n—3=n2(n+3)—(n+3) = (n+3)(n2— 1) (1) =(n+3)(n+l)(n—l). Da. n ungerade und die Summe zweier ungerader Zahlen stets cine gerade Zahl ist, ist jeder der Faktoren n + 3, n + l, n — l (lurch 2 teilbar.

AuBerdem ist genau eine der Zahlen n + l oder n —- l durch 4 teilbar. Da weiter von drei unmittelbar aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen stets genau eine (lurch 3 teilbar ist, ist von den Zahlen n — 1, n, n + 1 mid damit auch von den Zahlen n — l, n + 1, n + 3 genau eine (lurch 3 teilbar.

Damit ist das Produkt (l) durch 2-2 -4- 3 = 48 teilbar.

L.1.51

Wegen '

a’—l=(a+1)(a—l)fiirjedesa

gilt:

2N—1=(2128+1)-(2m—1) .=(2M+1)-(2“+1)-(2«—1)

1—— (2129+ 1).(2u+ 1)-(2°%+ 1)-(21°+1).(2°+ 1)-(24+ 1)

,(2.+1).(2+1),(2_1)_

Die angegebene Zahl ist folglich keine Primzahl. Primfaktoren sind z.B. 3, 5, 17, 257.

Bemerkung: 21' + l ist Primzahl, wihrend 2“ + l durch 641 teilbar isfi.

72

L1 .52

Es gilt: z = 19631"5 - 1963 = 1963 (19631”4— 1) = 1963 (1963“: + 1) - (1963"1 + 1) - (1963m — l). Wegen + l) a." — 1 = (a — 1) (a1"‘1 + a*‘=+ sowie a jedes fiir jedes positive gauze k and + 1) a"+ 1 = (a + 1) (ak-1 — a*-=+ fiir jedes ungerade natiirliche Ia und jedes a gilt: z= 1962-1963-1964-P, wobei P das Produkt der fibrigen Faktoren ist. Wegen 1962 = 2-32- 109 1963 = 13 - 151 1964 = 24 - 491 ist z dutch 2, 3, 13, 109, 151, 491 teilbar.

Es gilt 19631"M — 1 = (19634)491 — 1 . Die letzte Ziffer von 19634 ist l, deshalb ist auch 1 die letzte Zifl'er von (19634)“1.Daher ist die letzte Ziffer von 1963““4 — 1 gleich O, damit ist diese Zahl durch 5 teilbar, und deswegen ist auch z dutch 5 teilbar. z ist also (lurch alle angegebenen Primzahlen teilbar.

L1 .53

Da. fiir 45 die Primzahlzerlegung 45 = 32 - 5 gilt, ist zu migen, daB die Summe 2139 + 3921 durch 32 und 5 teilbar ist. Die letzte Ziffer von 21" ist fiir jedes natiirliche n gleich l, und die letzte

Zifl'er von 39’" +1 ist fiir jedes natiirliche n gleich 9. Daher ist die letzte Zifl‘er der Summe gleich 0 und die Summe damit durch 5 teilbar. Weil sowohl 213° als auch 3931 durch 32 teilbar ist, ist auch die Summe (lurch 32 teilbar. Also ist 213° + 39"1 (lurch 45 teilbar. Bemerkung: Wegen 2l= = 1 (mod 20), 39— = — 1 (mod 20) ist 213’ + 3921— =

= 13° + (-— l)’“_ = 0 (mod 20), and wegen 2139 + 3921: 321 (73’ 313 + 13“) ist 2139 + 3921 sogar dutch 321 20 teilbar.

L1 .514

1. Lb'sung : _ Do 72 = 8 - 9 gilt, ist zu zeigen, daB z durch 8 und 9 teilbar ist.

,Weil n cine positive gerade Zahl int, liBt sich n schzeiben als n = 2m mit positiv ganzzahligem m. Daher ist z=3m+33-7=9(3”"“2+7) durch 9 teilbar. Setztman2k=2m~2g0,soist

z=9(3’*+7)=9(3"‘— 1 +8). Es gilt ‘ 32"— 1 = (3k— 1) (3"+ l).

3" - 1 und 3" + 1 sind zwei unmittelbar aufeinanderfolgende gerade Zah73

len, daher Bind beide dutch 2, eine von ihnen dutch 4, das Produkt also durch 8 teilbar. Deshalb ist auch die Summe 3"— l +8=(3"-- l)(3"+1)+8 durch 8 teilbar und damit auch 2. Also istz = 3”"+ 63 duroh 8-9 = 72 teflbar.

2. Lé‘sung :

Beweis durch vollstfindjge Induktion: Ffirn=2gflt3a+63 =7250(mod72). a) b) Angenommen, fiir n = 2k sei 32" + 63 a 0 (mod 72). Es ist zu beweisen, daB dann 3" + 63 such ffir n = 21:: + 2 dutch 72

‘ teilbar ist. 3u+z+63 =32-32"+63 = 33(3z"+ 63) —— 7 - 72 E 0 (mod 72). Aus a) und b) folgt, daB die angegebene Zahl fiir alle positiven geraden Zahlen durch 72 teilbar ist.

L1 .55

Es ist 1049 -58 = 60842 = 31-1965 — 73. Daher gilt: 73" + 1049 - 58" = 73" + (31 - 1965 — 73) 58"—1 = 73 (73"—1 —— 58“”) + 31 - 1965 - 58”“. Da. n ungerade ist, ist n — l gerade und in der Form 11. —- l = 2k mit k g 0 und lc ganzzahlig darstellbar. Es ist deshalb 73""1 —— 58’”1 = (73*)k -— (583)” = 5329‘ — 3364*. Da a” - b" fiir natiirliche Zahlen n durch a. — b teilbar ist, ist 5329” — 3364" durch 5329 —— 3364 = 1965,teilbar. Daher ist auch

73 (73%1 — ssn-I) + 31 - 1965-58"-1 durch 1965 teflbar, d.h., 73” + 1049 - 58" ist dutch 1965 teilbar.

L156

Mit Hilfe bekannter Potenzgesgtze wird der Ausdruck umgeformt: f(n)=5~5”"-2’-2“+32-3"-2-2"' =20~50"+18-12" = 20 (38 + 12)” + 18 - l2".

Nach dem binomjschen Lehrsatz gilt:

(38 + 12)n= 38" +(71‘) sen-1. 12 +

+ (”31) 38- 12%1 + 12".

Daher kann man [(n) in folgender Form schreiben:

f(n) = 20 [38" + (1‘) 331—1 - 12 +

+ (”1‘ 1) 38 - 12»-1

,

4-20-12" +18-l2“

74

= 20-38[38"—1 +(’l")38n—2- 12 + ---+(n’_‘ 1) 12n-1]+ 38- 12n, d.h. f(n) = 199, wobei g eine positive gauze Zahl ist.

Also ist fin) dm-ch 19 teilbar. Bemerkung: Fiir alle ganzen positiven Zahlen n ist f(n) sogar (lurch 2" + 3 - 19 teilbar, denn es ist fl”) = 2n+2 (52n+1 + 391+: . 211—1),

so daB flu) sowohl durch 2"” als auch durch 19 teilbar ist.

Ll1 .51

Es gilt

P2-1=(P+1)(P—1) Da. alle Primzahlen auBer p= 2 ungerade sind, ist jede der beiden Zahlen 11+ lundp~ 1 durch2tei1bar. AuBerdem ist genau eine der Zahlen p —- l, p + l durch 4 teilbar, da 1) als ungerade Primzahl entweder die Form 411 + 1 oder 4n + 3 (n ganz) hat.

Also ist p3 — 1 durch 8 teilbar. Da weiter von drei aufeinanderfolgenden natiirlichen Zahlen stets genau cine (lurch 3 teilbar ist, ist von den Zahlen p — l, p, p + 1 genau eine

dutch 3 teilbar. Da p 1113 eine Primzahl, die groBer als 3 ist, nicht durch 3 teilbar sein kann,

ist entweder p —— 1 oder p + 1 dutch 3 teilbar. Damit ist

p2—1=(p+1)(p—1)

dutch 8 und durch 3 teilbar. Da. 8 und 3 teilerfremd sind, ist p2 — 1 auoh dutch das Produkt 8- 3= 24 teilbar.

LO1058

~Jede nichtnegative gauze Zahl n léBt sich in genau einer der folgenden Formen darstellen: n=3k

oder

n=3k+l

oder

n=3k+2.

Dabei ist k cine nichtnegative ganze Zahl. Fiir n = 3k gilt: z = 53k _ 48k = (53)b ._ (43)]5.

Da a." — b’" fiir alle niohtnegativen ganzen Zahlen m stets dutch a — b teilbam ist, ist (53)‘—- (43V durch 5“— =61 teilbar. Fiir n = 31:; + 1 gilt: z = 53134-1 _ 43k+1 = 5. 53k_ 4 ,4sk'

z = 5(531: — 43k) + 48*. In diesem Falle ist z nicht durch 61 teilbar, da. der Summand 5 (53“ — 4") (lurch 61 teilbar ist, der Summand 4"" abet nicht. Ffir n = 316 + 2 gilt: z = 53k+2_ 431+: = 531.25 _ 431,-. 16 z=25(5“’ -4"‘) +9-4’k, 75

d.h., in diesem Falle ist z ebenfalls nicht durch 61 teilbar, da der Summand

25 (5" - 4“) dutch 61 teilbar ist, der 811d 9 - 4" aber nicht. Die Zahl z = 5" — 4" ist also genau dann dutch 61 teilbar, wen u dutch 3 teilbar 1'81}.

L159

1) 2.1)

Es geniigt zu zeigen, (13.13 p — a dumb 30 teilbar ist. Mit p — s ist nimlich auch p = (p — .9) + s dutch 30 teilbar. Es ist

p-8=(a§—a1)+(a§—ag)+

Hui—an)-

Da fl'ir alle k(~k = l, 2, ...,n)

dk=a§-ak=ab(ak- 1) (ak+ 1) (ai+ 1)

(1)

gilt, und da alle a], gauze Zahlen sind,ist jedes d], sowohl durch 2 als 2.2)

anch dutch 3 beilbar, d.h., jedes d], ist dutch 6 teilbar. Ebenfalls kann man zeigen, daB jedes db auch durcll 5 teilbar ist.

1. Weg Wenn at E 0 (mod 5) ist, so ist db E 0 (mod 5). Wenn a]; E 1 (mod 5) ist, so ist wegen (1) db E 0 (mod 5).

Wenn a]: E 2 (mod 5) Oder wenn a; E — 2 (mod 5) ist, so ist ai E — 1 (mod 5), d.h. af, + l E 0 (mod 5), und daher ist d], E 0 (mod 5). 2. Way Ist ab durch 5 teilbar, so ist wegen (1) auch dk (lurch 5 teilbar. Ist a1, nicht (lurch 5 teilbar, so 15.81: sich fiir jedes dieser ah genau eine der folgenden Darstellungen angeben: a)

a; = 51)], + 1 ;

b) 6)

a; = 5b,, — l; a], = 5b]; + 2;

(1)

a1, = 5b;- -— 2

(dabei ist bk eine ganze Zahl).

Im Fall 9.) ist in (1) a; — 1 und damit auch d. durch 5'teilbar. Im Fall b) ist in (l) a]; + 1 und damit auch d; (lurch 5 teilbar. Im Fall 0) ist in (l) ai+l=25b§+20bk+5=5(5bi+4b;.+l)

. und damit auch d1, dutch 5 teilbar. Im Fall d) ist in (l) a§+ l =25b2—20bb+5=5(5b2—4bk+ 1)

und damit auch d1, durch 5 teilbar.

Folglich ist bei beliebigem ganzzahligem a), das entsprechende d;

2.3)

durch 5 teilbar. Da alle 11,, sowohl dutch 6 als auch dutch 5 teilbar sind und da ferner 5 und 6 teilerfremd zueinander sind, sind alle d], und damit neben

p — s auch p durch 30 teilbar. 76

L.‘l.60

1. Beweis: Es seien a, b, c natiirliche Zahlen.

Aus der Voraussetzung folgt: a+b+cE0(mod2)und a+b+cE0(mod3).

a) b)

l. '

2.

Wegen a) sind entweder alle drei Zahlen gerade, damit sind auch die Kuben und deren Summe gerade; Oder genau eine der Zahlen ist gerade, dann sind zwei der Kuben ungerade, der dritte gerade; die Summe der Kuben ist in beiden Fallen durch zwei teilbat: a3+ b3+ c‘EO (mod2). Wegen b) gilt (a + b + o)3E0 (mod3) und damit as + b3 + as + 6abc + 301% + 3a'c + 3ab’ + 3016‘ + 3b‘c + 31m” — = 0 (mod 3).

Daraus folgt aber a3+b3+caE0(mod3). Aus l. und 2. folgt: 'a3+b3+caE0(mod6). 2. Beweis: LaBt cine natiirliche Zahl x bei der Division durch 6 den Best 1' (0_ rg dann laBt x3 auch den Best 1', wie man fiir die einzelnen Falle r= 0,1 ,3 leicht ausrechnet. Daher erhilt man das scharfere Resultat a3+b3+03Ea+b+c(mod6).

L1 .61

5) ,5

Voraussetzung: 3 [a3 + b’l mit ganzen Zahlen a and b, d.h. a8 + b’ E 0 (mod 3). Behauptung: a:—0 (mod 3) und 6— = 0 (mod 3). Indirelcter Beweis.

1. Fall: at E 1 (mod 3), d.h. a2 E 1 (mod 3). Wegen der Voraussetzung miiBte dann b2 E 2 (mod 3) scin, was ffir keine Quadratzahl moglich ist. 2. Fall: a E 2 (mod 3), d.h. a,2 E 1 (mod 3).

Der Beweis erfolgt analog zum 1. Fall. Also gilt: a E 0 (mod 3) 11nd folglich auch b E 0 (mod 3). Der Satz ist also richtig.

L! .62

Da 60:3-4-5 gilt, ist zu zeigen, daB das ProduktP=zyz dutch 3, 4 und 5 teilbar ist, wenn

fi+¢=fi

v

(n

gilt. l. Teilbarkeit durch 3. Bei der Division natiirlicher Zahlen durch 3 treten als mégliche Reste die Zahlen 0, l oder 2 auf und daher bei der Division der Quadrate dieser natiirlichen Zahlen dutch 3 nur die Rests 0 and 1. 7'7

Die méglichen Reste der Summe der Quadrate zweier natiirlicher Zahlen Bind daher 0, l oder 2.

Wegen (l) kann z” + y” nur die Reste 0 oder l haben, d.h., mindestens eine der Zahlen x“, y” hat den Best 0 und ist damit durch 3 teilbar. Ans 3|aca oder 3L0]2 folgt 3|x oder 3|y, und damit teilt 3 das Produkt P = x yz.

Teilbarkeit durch 5. Bei der Division natiirlicher Zahlen dutch 5 kommen als Reste die Zahlen 0, 1,2, 3 oder 4 vor und daher bei der Division der Quadrate

dieser natfirlichen Zahlen nur die Reste 0, 1 oder 4. Die moglichen Reste der Summe zweier Quadrate natiirlicher Zahlen sind daher 0, l, 2, 3 oder 4.

Wegen (l) kann x” + y" nur einen der Reste 0, l oder 4 haben, und daher hat mindestens eines der Quadrate w“, y2 oder za den Rest 0

und ist somit durch 5 teilbar. Wegen des Satzes fiber die eindeutige Zerlegbarkeit einer natiirlichen Zahl in Primfaktoren ist daher weiter mindestens eine der Zahlen x, y oder z durch 5 teilbar und damit auch das Produkt P. Teilbarkeit durch 4.

Zunfichst ist mindestens eine der Zahlen ac, 31 oder z gerade; denn die Annahme, x, y und 2 (und damit auch x“, y”, 22) wiren ungerade Zahlen, ffihrt zu dem Widerspruch, (1:33 at“ + y’ = z2 als Summe zweier

ungerader Zahlen eine ungerade Zahl wire. Ist z gerade, so sind entweder a.) x und 3/ gerade — in diesem Falle teilt 4 dos Produkt P— oder b) a: und y ungerade. In diesem Falle lessen sich x, y und 2 schreibizn als x=2x’ +1 undy=2y' +1 undz=2z’,

wobei x’, y’, z’ beliebige natiirliche Zahlen bedeuten. (l) ist dann equivalent mit 4::2’2 + 4x’ + 1 + 43/” + 43/ + l = 42” bzw. mit 4 (90” + x’ + y” + y’) + 2 = 42". Dies ist ein Widersprueh, da. eine natiirliche Zahl nicht gleichzeitig durch 4 teflbar sein 11nd bei der Division durch 4 den Best 2 lessen kann. ' Also ist Fall b) nioht moglich. 181: z ungerade und eine der Zehlen a: oder y gerwde, so kann o. B. d. A. x als gerade vorausgesetzt warden. Dann ist y ungerade. a; = 2x’ 3/ = 23/ + l (x’, y’, z’ sind natiirliche Zahlen) z = 22’ + l (l) ist dann gleichbedeutend mit: 4x’2 + 431" + 431' + 1 = 42’“ + 42’ + l and waiter mit

x’“ = z" + z' — y" — y’. d.h., x’” ist als Summe von vier ungeraden Zahlen gerade, 11nd daher

ist auch x’ durch 2 teilbar. Wegen a: = 2x’ ist daher a: dumb 4 teilbar und damit ouch das Produkt P.

LL63

Wenn a eine solche natiirliche Zahl ist, daB amo — 2 und al"1 — 69 durch

73 teilbar sind, dann folgt einerseits die Teilbarkeit von “101 — 2a durch 73, also die Em'stenz einer ganzen Zahl r mit am — 2a = 731',

und andererseits die Existenz einer ganzen Zahl a mit a101 —— 69 = 73.9. Daraus folgt: 2a—69=73(8—-r),

also die Existenz einer ganzen Zahl t mit 2a = 69 + 73t, 2a=69+73+73(t—1), 2.a=142+73(t——1)

D9. 2a — 69 ungerade ist, muB auch t eine ungerade Zahl sein. Dann ist t — 1 gerade, also von der Form t— 1 = 2n, nganz, und es gilt: 2a = 142 + 2n - 73,

also a = 71 + 7311,. A13 Rest, den a bei Division dutch 73 lfiBt, kommt demnach hochstens die

Zahl 71 in Frags. Zusfitzlich Wird noch gezeigt, daB 71 als Rest tatsiichlich méglich ist, d.h., daB (mindestens) eine Zahl a mit den in der Aufgabe genannten Eigenschaften existiert. Dies kann folgendermaBen geschehen: Es ist:

71 a -—2 (mod 73), ' 71' .=_ (—2)°-=- -—512 = —7-73 - lE—l (mod73), 71” = (— 1)11 = — 1 (mod 73), 71100 E 2 (mod 73),

71101 E —4 E 69 (mod 73). Wenn allgemeiner a _=_ 71 (mod 73) ist, also

E — 2 (mod 73) ist, gilt an” E 2 (mod 73), 0,101 E —4 (mod 73). Folglich ist am—2 a2—2=0(mod73), —- 69 E —4 —- (—4) = 0 (mod 73). Also geniigen genau alle natiirlichen Zahlen a E —-2 (mod 73) allen Bedingungen der Aufgabe.

79

L1.“

Angenommen, es gibe zwei natiirliche Zahlen 30, yo derart, daB

N = x: + 43;: Primzahl ist, dann sind x0 und yo grofler als Null, und es gilt:

N = 4+ 4yt= (x: + 2%)2- 4903313

= [(x’o + 2.1/5) + 237090] W: + 23/3) — 2%!!0]

= [(30 + 3/0)2 + 31:] ‘ [(370 — 2'10)a + 3/36] Ans der Annahme, daB N Primzahl ist, folgt, daB genau einer der Faktoren

(30 + gala + 1/20 Oder (x0 — 31(0)z + (I: gleich Eins ist. Wegenxo>0undyo>0ist (xo+yo)2+ yfi> l. Daher muB (5‘0- yo)’+ y3= 1

sein. Daraus folgt ”o = 3/0 = 1 Wenn es ein Paar (mo, yo) natiirlicher Zahlen gibt, das den Bedingungen der Aufgabe genfigt, dann ist es dasxPaar (1, 1) and kein anderes. Dieses Paar liefert uns die Primzahl N = 5.

L1.65

Angenommen, a1, .. ., a4 seien vier Zahlen der gesuchten Art. Dann gelten fl'ir die nach Aufgabenstellung gebildeten Zahlen d, , . . . , (1, die Gleichungen d4=d1+dz,

d5=d2+dax d8=dl+d2+d3'

Nun sind hochstens folgende Fille méglich: 1. Fall: (11, (1,, d, sind ungerade Primzahlen. Donn ergibt sich der Widerspruch, daB d4 und d5 gerade und gréBer als 2. also keine Primzahlen sind. Daher scheidet dieser Fall ans. 2. Fall: d1, (1,, d3 sind gerade Primzahlen (also ist jede gleich 2). Donn ergibt sich der Widerspruch, daB d4, d5, d. keine Primzahlen sind. 3. Fall: Von den Zahlen d1 , d3, d3 ist genau eine gerade (also gleich 2). Dann ergibt sich der Widerspruch, daB d. gerade und gréBer als 2 ist. ' 4. Fall: Von den Zahlen d1, d2, d3 sind genau zwei gerade (also let jede gleich '2).

a)

Unter diesen befindet sich d,. Dann ergibt sich, daB entweder (14 oder d5 gerade und gréBer 9.13 2 ist, also ein Widerspruch. 1)) d1 = (13 = 2; d, ungerade Primzahl. Dannfolgtd4=d5=dz+2unddo=d2+4. Nun ist von drei ganzen Zahlen der Form d, , d, + 2, (Z2 + 4 stets eine dutch 3 teilbar. Beweis: Beim Teilen von natiirliohen Zahlen durch 3 konnen nut die Reste 0, 1 Oder 2

auftreten. Tritt beim Teilen vein (I, (let Best 0 auf, ist d2 dureh 3 teilbar. Tritt der Rest l auf, ist (wegen l + 2 = 3) d, + 2 durch 3 teilbar. Tfltt der Best 2 auf, ist (wegen 2 + 4 = 6) dI + 4 dureh 3 teilbar.

Die einzige Primzahl, die dutch 3 teilbar ist, ist die 3. Da aber d, > 1 ist, also (I, + 2 und d, + 4 gréBer 8.15 3 sind, verbleibt nur die Méglichkeit d, = 3.

Hiernach folgt weiter a3=al+d3=a1+2,

a3=a2+d2=a1+5, a4=a3+d1=a1+7. Daher konnen a1, . . . , a4 nur damn den Bedjngungen der Aufgabe genfigen, wenn sie von der Form a2=n+2,

a1=n,

a3=n+5,

a4=n+7

(1)

mit einer natfirlichen Zahl n sind. Umgekehrt geniigen je Vier Zahlen der Form (1) in der Tat den Bedingungen der Aufgabe; denn ffir sie ist jede der Zahlen d1=a4—-a3='2, d3=a2—a1=2, d5=a3—al=5,

d2=a3—a2=3, d4=a4—a2=5, da=a4—a1=7

Primzahl.

L1.“

Bezeichnet man mit [2;] die grofite ganze Zahl, die nicht gréBer als x ist, so betrfigt die Anzahl der durch 5 teilbaren Zahlen, die kleiner 3.13 1000 sind 999] — = 19 . 9 [ 5 Entsprechend ergibt sich fiir die Anzahl der durch 3 toilbaren Zahlen

'999 l

[? — 333. Dabei warden aber die Zahlen, die sowohl durch 3 als auch dutch 5 teilbar

sind, doppelt gerechnet. Ihre Anzahl ist 999

F

= 66.

Von den 999 Zahlen sind also 999 — 333 — 199 + 66 = 533 Zahlen weder durch 3 noch durch' 5 teilbar.

L1 .61

Angenommen, es gfibe verschiedene Darstellungen einer natfirlichen Zahl z in der verlangten Form, dann Wire

x1!+y1! =x2! +3121, (1) wobei x1, y1, and :02, 3/, von Null verschiedene natfirfiche Zahlen sind mit “31$ y].

und

wig ya-

Aus x1 = x2 wiirde 3/1! = 3/2! folgen und wegen yl 3/2 =|= 0 also 311 = 3/2. O.B.d.A. kann daher m1 < x, angenommen werden. Dunn gelten folgende Darstellungen:

z” j :11:

3/1— 1

y2=x2+ m

wobei h, k und m natiirliche Zahlen mit

hg0,m;0undkglsind.

2

U 81

Wegen (2) 15131; sich (l) schreiben als x1!+(x1+h)l=(z1+lc)!+(:c1+k+m)!

(3)

bzw.inder Form x1![l + (961+ 1) (x1+2)...(zl+h)]

= «:1! (2:1 + l) (a:1 + la)[l + (a:1 + 10 + l) Wegen x,! =t= 0 ist daher (4) Equivalent mit

(4)

(a:1 + In + m)].

1+(x1+l)...(x1+h)

(5)

=(w1 + l)... (x1+k)[l + (x1+ k+ 1)...(x1+lc +m)]. Fiir h > 0 ist die rechte Seite der Gleichung (5) dutch 2:1 + 1 teilbar, die linke Seite aber nicht; aus diesem Widerspruch folgt, daB in diesem Falle (l) nicht gelten kann. Fiir h = 0 ergibt sich ans (3)

2x1! = x1! (.11:1 + l) und wegen $1! #= 0

(x1 + k)[l + (x1 + In + l)

(a:l + Ia + m)]

2 = (x1+ 1)... (x1+ k)[1 + (951+ Ia + 1)... (x1+lc+m)].

(6)

(6) ist ebenfalls ein Widerspruch, da die rechte Seite von (6) wegen x1 + l g 2 und 1+(x1+k+l)... (x1+lc+m);2,

(die letzte Beziehung gilt wegen m g 0) gréBer oder gleich 4 ist. Also gibt es nicht zwei verschiedene Darstellungen einer natiirlichen Zahl z in der Form 2 = x! + y!

mit positiven ganzen Zahlen x, y und 3: g y.

L1.“

Angenommen, log26 wire eine rationale Zahl. Dann gibt es zwei teilerfremde gauze Zahlen p, q mit q > 0, so daB

log,6 = J;

(1)

gilt. Hieraus folgt nach der Definition des Logarithmus g

2‘ = 6.

(2)

Diese Aussage ist fiquivalent mit 21’ = 691 = (2 - 3)¢. Also miiBte 2p-q = 3a gelten. Es sei p — q = n. Dann int n ganz, und es miiBte

2" = 34 gelten, woraus wegen q > 0 folgt, daB n > 0 sein muB. Daraus ergibe sich 2 | 3", was nicht wahr ist. Also ist log,6 keine rationale Zahl. 82

2.

GLEICHUNGEN

L.2.1

Der Divisor sei x. Dunn erhilt man aus der Probe: 57:: + 52 = 17380 a: = 304. Anstelle der O‘muB aber eine 6 stehen; es ergibt sich also 57 . 364 + 52 = 20800. Die Aufgabe heiBt 20800: 364 = 57 Rest 52.

L22

In jeweils 24 Stunden klettert die Mans um I

1

l

EEHG — EElle — —3-El.le>

nach nnten, die Katze um I 3 1 Elle — I Elle — 2- Ellen nach oben. Die Tiere kommen sich also um 13 l 3 ZEllen + EElle = EEllen

niher. Das gilt aber fiir den Tag der Begegnung m'cht, hier entfillt das nichtliche Zurfickweichen. Am letzten Tag kommen sich die Tiere um I 3 1 Elle + —2—Elle — EEllen

niher. Also befinden sich die Katze und die Mans nach a: Tagen genau dann in gleicher Héhe, wenn l3

3

(a: — 1)1—2- + E = 60,

d.h.,wenn a: = 55 ist. 6.

83

LI2I3

Es sei a < b. Dann gilt:

L110": 575 + 22—7 ab— lOOO=572+§0_8 Daraus erhfilt man a = 327 und (2 = 576.

Durch Einsetzen fiberzeugt man sich, daB dieses die gesuchten Zahlen a and b sind.

L.2.l4

Bezeichnet man wit a: die Zahl der verflossenen Tage, so gilt die Gleichung a: 365 — a;

E+

3

_

Man erhfilt dataus a: = 1.46. Das Datum ist der 26. 5.

L.2.5

Es bezeichne ab . cd . efgh das Geburtsdatum und ik das Alter von Herrn X.

Es seien also a und b die Zifi'ern fi‘u‘ den Tag, '

'

c and (1 die Ziffern ffir den Monat,

e, f, g und h die Zifiern ffir das Jahr und i and k die Zifi'em fiir das Alter. Dann muB gelten: e = 1, and f kann nur 9 oder 8 sein, da, die Anzahl (ler Lebensjahre von

Herrn X zweistellig sein muB und er demnach nach 1799 geboren wurde. c = 0, do. es nut 12 Monate gibt und die 1 bereits vergeben ist. a = 2, da. ein Monet héchstens 31 Tage haben kann, die 0 und die 1 vergeben sind, und somit 30 und 31 auch nicht in Frage kommen.

I. Sci f = 9. Dann muB gelten

A)

lOg+h+lOi+k=66, falls Herr X nach dem 30. 5. Geburtstag hat, B) 10g + h + 101? + k = 67 andernfalls. Aus A) folgt, daB entweder a) g+i=6 und h+k=6 oder b) g+i=5 und h+k=l6gilt. Aus B) folgt, daB entweder c) g+i=6 und h+k= 7 oder d) g+i=5 und h+k=l7gilt. Ans den noch vorhandenen Zifi'ern ist keins der vier Gleichungspaare realisierbar. Die Annahme f = 9 ist falsch.

II. Sci f = 8. Dann gilt, éhnlich Wie oben, lOg+k+10i+k=166 oder C) D) lOg+h+lOi+lc=l67. Ans C) folgt, daB entweder 6 oder g+i=16 und h+k e) g + i = 15 und h + Ic 16 gilt. f) Aus D) folgt, daB entweder g+i'=.16 und h+k= 7 oder g) g+i=l5 und h+lc=l7 gilt. h) t den noch vorhandenen Ziffern ist nur g) realisierbar. Folgende vier Verteilungen sind mfiglich: g=9 und i=7} und {h=4 und Ic=3 g=7 und i=9 h=3 und k=4. Das Alter von Herrn X kann damjt 73, 74, 93 oder 94 Jahre sein. Von die-

sen Zahlen ist nur 73 Primzahl. Es ergibt sich damit folgende Verteilung: i=8, i=7, k=3, g=9 und h=4. Fiir b und (1 stehen nur noch die Zifi'ern 5 and 6 zur Verfiigung. Ans g) folgt, weil es aus D) hervorgegangen ist, daB Herr X vor dem 30. 5. Geburtstag hatte. Damjt ist d = 5 and b = 6. Herr X wurde am 26. 05. 1894 geboren und ist 73 Jahre alt.

L.2.6

Bezeichnet man das jetzige Alter der Tante in Jahren mjt k, das des Bruders mit b, das der Schwester mit 8, die Anzahl der seit dem im ersten Satz

genannten Zeitpunkt verflossenen Jahre mit x und die Anzahl der seit dem im zweiten Satz genannten Zeitpunkt verflossenen Jahre mit 31, dann kann man die in der Aufgabe enthaltenen Aussagen in der folgenden Form schreiben: Io — a: = b + s (l) s — x =b

(2)

la — y = 8. Aus (1) und (2) folgt

(3)

k = 2s,

(4)

ans (3) und (4) folgt y = s. a) Vor y Jahren war die Schwester 0 Jahre alt. b) Die Tante ist jetzt 2y Jahre alt, also doppelt so alt, wie die Schwester jetzt ist.

L.2.7

Bezeichnet man die ursprfinglich vorhandene Anzahl Kirschen mit at, so kann man folgende Aufstellung machen: Jfirgen nimmt x—1_x+2. 1+T

3

:

85

ea verbleiben

f esverbleiben 2x—2

3

9

’

2x+10_4z—16

_

9

‘

9

'

'

Christinenimmt 43—161_4x—16.

9

i'

27

"

eaverbleiben 43—16 4x—l6_8x—32 9 27 27 Laut Aufgabe gilt 8x — 32

x—

27

— 4?

und somit a: = 58.

Es befanden sich anfangs 58 Kirschen in der Schfissel.

L018

Wenn die Gleichung (*) eine Lésung x4, besitzt, so gilt: a(zo+l)+b__axo+b

c(xo+1)+d~cxo+d’

(l)

c(xo+l)+d+0, czo+d=|=0. Damusfolgt [a (x0 + l) + b] (6x0 + d) = [0 (2:0 + 1) + d] (mm, + b), c‘ + d' > 0, weil c und d nicht gleichzeitig Null sein kénnen,

(2)

und weiter ad=bc,

c’+d’>0.

(3)

Wenn (*) eine Ibsung besitzt, so muB (3) gelten, und umgekehrt, wenn (3)

gilt, dann hat (*) eine Lésung; denn ans (3) folgt, daB ffir alle reellen Zahlen mo sicher (2) gilt, und daraus folgt weiter: Ist c = 0, dann ist wegen (3) auch a = 0 and d + 0. Also ist fiir jede I. reelle Zahl x0 sicher (l) erffillt. II. Ist c =|= 0, dann ist die Gleichung (l) fiir jede reelle Zahl x, mit

xo*—%und xo+—d:°erfa11t.

86

L.2.9

Angenommen, die Gleichungen hitten beide die Lésung 2:0, dann ist x0 + 0, und es gilt 3x3+ l3x3+20w§+ l7xo+7 =0 (1) (2) 3x3+x3 - 8x3+llzo—7=0. .

Dutch Addition erhilt man ans (1) und (2):

6x.‘, + 141:: + 12953 + 28:11:0 = 0 bzw. wegen x0 + 0 6x: + 14:»: + 12220 + 28 = 0. Durch Subtraktion erhélt man ans (1) und (2):

(3) (3a.)

12x3 + 28x: + 6x0 + 14 = 0 bzw.

(4)

6x: + 142:: + 3% + 7 = 0. Ans (3 a) und (4 a) folgt durch Subtraktion: 9x, + 21 = 0, d.h.

as» = — % = — ;—

(4a)

-

(5)

7 A13 gemeinsame Lésung des Gleichungssystems kommt nur der Wert —— E in Frage. Durch Einsetzen in die beiden Ausgangsgleichungen bestfitigt man, daB a:= -%Lfisungist.

L.2.10

Ist (a, b) ein Paar reeller Zahlen, fiir das a+b=ab

a-b=%

(1)

‘

(2)

gilt, so folgt ans (2), (1513 b + 0 ist, und danach ans (l).dnB a=|= 0, und ans (2), daB b2 = 1 int. Also gilt a)

bl = + l

oder b) b, = — 1. Fall 9,) ffihrt zu a + l =a

und damit zu einem Widerspruch. Fall b) ergibt a -— l = —a 1

“=3 als einzig mégliche Lésung. Dutch Einsetzen in (l) und (2) zeigt man, daB (—;-, —— 1)L0, b>0, c>0und

A =“——+;’ +°, G= abc. Dunn gilt A g G Beweis: O. B. d. A. kann 0 g a g b g c vorausgesetzt werden.

Die Ungleichung a+b+c

g abs

(1)

3 ist mit der folgenden Abschitzung Equivalent: (a+ b + c)‘ g 27abs. (2) Diese folgt aus der dutch Ausrechnen leicht zu bestifigenden Identitit: (a+b+c)3—27 abc=%(a+b+o)[(a—b)‘+(b—c)‘+(c—a)’] +3[a(b—c)’+b(c—a)’+c(a—b)’], deren rechte Seite fl'ir alle nichtnegativen a, b, o nicht negativ ausfiillt und gemm dann verschwindet, wen u = b = c ist. Nun zur Lfisung der Aufgabe: Setztman:z‘=a,y’= b,z’= c,sofolgtausdemHilfssatz,daB'

51323;,” M, 39+ y‘+ z’g 3zyz ist.

7.

Da. weiter wegen a: > 0, y > 0, z > 0 3x912 > 2xyz

ist, gilt stets x3+313+23>2xyz, und daher gibt es kein Tripel (x, y, z) positiver reeller Zahlen, das den Bedingungen der Aufgabe genfigt.

L.2.75

Angenommen, (m1, xa, x3, x4) sei eine Losung des gegebenen Gleichungssystems, dann folgt ans (*) und (**) durch Subtraktion $l — $1.704 + mama — wax-4 + x, —— x, = 0, also (933 — x4) (x1 + ”a — 1) =

D9, das Gleichungssystem bei jeder zyklischen Vertauschung der Indjzes in sich fibergeht, ergeben sich weiter die folgenden Gleichungen: (“71 _ x2) (x3 + x4 _ 1) = 0 ($1 _ x3) (x2 + x4 “ 1) = 0 (“71 " 374) (-772 + ”a " 1) = 0

(x, “ “3) (x1 + x4 " l) = 0

(1) (2) (3)

(4)

(%-%H%+wy-D=0

(&

(x3 — x4) (“’1 + x2 " 1):

(6)

Diese Gleichungen sind genau dann erfullt, wenn in jeder der Gleichungen wenigstens ein Faktor gleich Null ist. Wir unterscheiden folgende Falle: l)

xl=x2=x3=wu

2) 3)

zl=x2=x3=§=xp xl=x2=|=x3, “314:5‘74:

-

4)

x§=l=97kffiri=1=h

\

Alle anderen Falle ergeben sich durch zyklisches Vertauschen der Indizes, da jedes Quadrupel, das ans einer Lésung durch zykh'sche Vertauschung der- Indizes entsteht, ebenfalls L6sung ist und man jedes Quadrupel durch zyklische Vertauschung in einen der Falle 1) bis 4) fiberffihren kann. 1)

In diesem Falle erhilt man aus (*): xf+z§+xf+x1=2,

3 3 = 0. a§+ fl_3

Diese Gleichung ist nur dann erfiillt, wenn x _—l +5__2_ ‘— 6 _ 3 oder ‘ —1—5

ist. Man fiberzeugt sich leicht, daB fiir 2 x1=x3=x3=xl=§

und 100

‘$1=x3=$3=$4=—1

2)

das gegebene Glgichungssystem erfl'illt ist. In diesem Falle erhalt man wegen x3 =|= a:4 ans (6): x1 +. x2 = 1,

22:1 = 1, 1

:cl = x, = x3 = E . Femer folgt aus (*)

3x? + x4 = 2

5

“=2_Z=Z' Man fiberzeugt sich leicht, daB fiir 1 5 x1=x2=x3=§a

3)

‘54:?

due gegebene Gleichungssysbem erfiillt ist. In diesem Falle miiBte wegen (2), (3), (4), (5) xa+x4=x2+xs=x1+x4=x1+xs=l,

also ass = x4, und wegen der aus (*) folgenden Beziehung x3 = 1 — x1 xi+2x1(l—x1)+l—xl=2 as? — x1 + 1 = 0 auf Grund von aber ist Das gelten. xf—x1+ l =(x1——;-)2 +§>0 4)

nicht méglich. In diesem Falle existiert also keine Lésung. In diesem Falle folgt ans (1) und (2): xa+x4=x3+x4= 1;

das ist aber wegen x, =i= ma unmégh'ch. Das gegebene Gleichungssystem ist also ffir die Quadrupel

(zzza) 3’3’3’3

(12’2’1’33 1 5 1)

(_l:_1’_1,_1)


50 unddamitl/g >V5—6, so daB V50, y 0 and 2x — l > 0 gilt. Dies ist genau ffi'r a: > 9 der Fall. Die gegebene Ungleichung ist dann aquivalent mit jeder (ler folgenden Ungleichungen: l —2-lg(22;—l)+§lg(a:—9)>l

lg(2:1:— l)(x—9)>2 lg (2x3 -— 19:: + 9) > lglOO. Diese Ungleichung gilt genau dann, wenn (2a:2 — 192: + 9) > 100, d.h., wenn

19 _ _ 91 x2 _ _ 2 a: 2 >0 gilt. Wegen 7

19

91

ist die letzte Ungleichung Equivalent mit

(x—l3)(x+—;—)>0.

(1)

Da ein Produkt zweier reeller Zahlen genau dann positiv ist, wenn entweder beide Faktoren poaitiv oder beide Faktoren negativ aind, ist (1) genau dann erfullt, wenn entweder x—13>0 126

und

z+-;—>0

.

(2)

Oder

x—13 0 nur a; > 13 Lasung der gegebenen Ungleichung; diese ist somit ffir alle reellen Zahlen a: > 13 und nur fiir diese erffillt.

L.3.23

1. Fall: a > 0. Angenommen, es gibe eine reelle Zahl x0, die der Gleichung genfigt. Dann folgt a+xo—a= V(2a+xo)(a+xo) , hieraus

x02 0 and x: = 2a” + 311% + «:25, also 2 xo=—-—a O. 131; 2:0 irgendeine positive reelle Zah], so gilt: 02 l’O'l‘xo—l/m:

xo=V2-0+xo,

d.h., die Gleichung ist erfiillt. Daher genfigen alle positive reellen a: und nur diese der Gleichung.

3. Fall: a < 0. Angenommen, es gabe eine reelle Zahl can, die der Gleichung geniigt. Dann folgt a+xo+a= (2a+xo)(a+xo) (2a + x0)' = (2a + we) (a + :50) (2a + $0) a = 0,

_ wegena=|=0alsoxo=—2a. Istxo= —2a,soista +xo= —a>0und2a+xo=0,alsogilt 2

W— Ilavixo=V—-—E—V-——a=0=

2a+xo,

d.h., die Gleichung ist erfiillt. Daher genfigt die Zahl a: = —2a and nut diese der Gleichung.

127

L.3.ZII

Angenommen, es gibe einen Wert x0, der der Ungleichung I/3-xo-— l/xo+l>—;—

(l)

geniigt. Dann folgt zunfichst, da die Radikanden nicht négativ sein diirfen, daB ffir x0 nur Werte des Intervalls — 1 g 220 g 3 in Frage kommen. (l) ist fiquivalent mit . 1 I/3—xo>§+

xo+1.

(2)

Ana (2) folgt durch Quadrieren

l

3~xo>z+xo+l+

xo+l

und weiter

7

1r—

Aus (3) folgt, daB fiir x0 nur Werte des Intervalls — l g x0 < 1 in Frage 8 kommen.

Daher folgen ans (3) der Reihe nach folgende Ungleichungen: 49 T6,- 4.123— 7xo>zo+ 1 4(

33 ) mo2

—

2x0 + .— 64

> 0

4(xo—1+—;—]/3—1)(xo—1—%V§1‘)>0.

(4)

Aus(4)folgt: a)

Oder

b)

wo>l+%]/§l—

1 xo0 und cxs+d>0, d.h. («£1 + d) (ox, + d) > 0. Ffir c.< 0 folgt ans (5):

cx1+d 0 genau dann, wenn ad — be < 0 ist.

Also ist fix) genau dann streng monoton fallend, wenn ad — bc < 0 gilt.

L.ll.5

a)

D9. der Ausdruck

x2—2x+2=(x—1)=+1 fiir alle reellen a: positiv ausfdllt, ist

_ b)

Ix - 1|

f(x) l/x’ —- 2x + 2 fiir alle reellen Werte x definiert. Es ist zu zeigen, daB fiir l g ml < x,

(1)

(2)

stets gilt: I (:01) < f (902)Aus (2) folgt nl— l 0 die Beziehung _——.—.—

l

.-

V2 ‘ V5 = 5 (V 6 — V5) ergibt. Setzt man diesen Wert in (1) ein, so folgt die Behauptung 1= VE+V2_—V§—2.

L.ll.13

Bezeichnet man das gesuchte Produkt mit .11: und setzt ferner y = sin 5° - sin 10° - sin 15° ...... sin 40° - sin 45° - sin 50°

sin 85°,

so ist wegen sin (90° — a) = cosa y = (sin 5° - cos 5°) - (sin 10° - cos 10°) ' 0 l - (sm40 -cos40 0 ) .5. V2—

und wegen sin 20: = 2 sine: - 0030: l l . .

. o y=§. fi-gsm10°~sm20°...sm80,

also

1 l . . . . xy=§- 15'? sm5°-smlO°-sml5°...sm85°=%-V531. Daraus folgb wegen y + 0 l a: = y ' V2— .

10

145

L.ll.‘lla

Setztman y=sin20°-sin40°-sin60°~sin80°, soist l6zy = (2 -sin20° - cos 20°) - (25in40° -cos40°)

-(2sin60°-cos60°)-(2sin80°-cosSO°).

Wegen sin2¢z = 2simz cosa

ist 16x3] = sin40° - sin 80° - sin 120° - sin 160°. Da sin (180° -— at) = ist, folgt 16x31 = sin40° -sin80° -sin60° -sin20°, d.h. 16x3] = y.

Wei] 31 4= 0 ist, ergibt sich _ l , __ T5

L.ll.15

Der Beweis erfolgt indirekt. Angenommen, es gibe ein 2:0 derart, daB sinzz:o + 005.1:.) = 1,5 gilt, dann ergibt sich hieraus durch Quadrieren sin’a:o + 2sinac0 - 008170 + cos’a:o = 2,25. Daraus folgt dann wegen der fiir alle reellen a: gfiltigen Beziehungen sin’a: + c0832: = 1 und 2 sine; - coax = sin 2m,

(1118 sin 2x0 = 1,25 ist. Dies ist nicht méglich, weil — l g sina; g l fiir alle reellen z gilt. Damit ist der geforderte Beweis erbracht. Bemerkung: Auf Grand von Aufgabe 3.16 gilt genauer

|sinx+cosx|§v2=1,4l42...

LA.“

Setztman

f(a_:) = sinz+ gain2x+ —;—sin 3.1:, so gilt ffir alle a: wegen sin2x = 2sinw cosz

und sin3a; = sin2zcosx + cos2xsina: = 2 sinx oos'x + sinx (2 cash: — l)

= sina; (4 cos’a: — l) 146

N”)

=' x(l+cosx+-4icosflz__l.) 3

3

=—;-sin x(4oos'x+3oosa:+2) l 3 9 9 =-3—sin a:--4(4cos’z+22 —cosa:+ 16+2— 1—6) —lsinx[(2cosx+3>z+—2—3.

”E

16

Nun ist fiir alle reellenx 23 3)‘ (2008274':

23

+figl—6>o.

Ferner ist fi'n' 0< x 0, also fix) > 0.

LAW

Wir ffihren den Beweis der Beziehung l) durch vollstiindige Induktion. Die Beziehung l) gilt ffir n = 1'; denn es ist sin’x sinx = , sina: wenn sinx + 0 ist.

Wir zeigen jetzt, daB fiir jede natiirliche Zahl ’6 aus der Richtigkeit der Behauptung ffir n = k deren Richtigkeit fiir n = k + l folgt. Aus der Richtigkeit der Beziehung l) fiir n = In folgt sinx+ -+sin(2Ic—l)x+sin(2k+l)x

=sm’“+sin(2k+1)x. Elna: Nun gilt wegen 2sinaz-sinfi = cos(az —fi) —cos(a +5)— sin3kx . sin’kx + sinz - sin (21: + 1)::

+sm(2lc+l)x= ‘

__ . l

.

smx

- a lax + 2l [cos 2km _ cos (2k + 2) :c]) (sin

=$0 fiir 0 1000,

2 g 84.

Nun ist unter den Zahlen 84, 85, . .., 90 nur die Zahl 89 eine

Primzahl, es ist also z = 89. Man fiberzeugt sich zum AbschluB davon, daB dann D1 wahr und D, und D3 falsch sind, daB also alle Bedingungen erfiillt sind. 4. Fall: Sind 0, und 03 wahr und ist 01 falsch, so ist z = 14. Dann sind D1, D, und Da falsch, so daB dieser Fall nicht eintreten kann. 5. Fall: Ist 0, wahr und sind 01 und 0', falsch, so 1'51: 2 g 20 und 2 durch 7 teilbar. Dann sind aber D1, D,, D3 falsch, so daB auch dieser Fall nicht eintreten kann. 6. Fall: Sind (1'1 und 0, falsch und ist 03 wahr, so ist z < 20, z nicht Prim-

zahl und nicht durch 7 teilbar. Dann sind B, , B3 falsch und B1 wahr also 2 = 10.

Dann sind D1 , D,, Da wahr, so daB such dieser Fall nicht eintreten kann. Daher entspricht nur der 3. Fall allen gestellten Bedingungen. Die zu ermittelnde Zahl ist 89.

166

L.5.17

Angenommen, die Auskunft 2 sei wahr, dann ist auch die Auskunft, 1 wahr.

Das ist aber nach Voraussetzung nicht méglich, also ist die Auskunft 1 wahr und die Auskunfb 2_i_'alsch. Da. die Auskunft l wahr ist, ist die Auskunft 3 falsch, denn :1: V13 sind keine rationalen Zahlen, und die Auskunft

4 ist wahr. Ffir a kommen also nur Zahlen der Form

7 (21:: + 1),

la ganze Zahl,

in Frage. Daher ist auch die Auskunft 6 falsch, damit ist die Auskunft 5 richtig,

d.h., a muB positiv sein, also die Form 7 (2n + l), nnatiirliche Zahl,

haben. Esgilt a3+a=7’(2n+1)°+7(2n+1). Fiirn = Oergibt sioh a3+a=73+7=3508000.

Alsoist die einzige Zahl der Form7 (2n + l),d:ieder Bedingungliund den Bedingungen l und4 geniigt, die Zahla = 7.

L.5.18

Ana den Angaben (1) bis (8) folgt: (9)

Herr Drossel ffihrt Aufsicht im Raum 48 - wegen (l) und (6).

(10) Jutta. arbeitet in Run 49 (ll)

— wegen (l), (2) und (7). Gunter arbeitet im Baum 50, Klaus in 48 — wegen (l), (10) und (6).

(l2) Gunter ist Schfiler von Hen-n Drossel -— wegen (3), (8), (9) und (11). (13)

Klaus ist Schfiler von Herm Bar

— wegen (l2) und (4). (14) Jutta ist Schfilerin von Herrn Adler — wegen (12) und (l3).

(l5) Herr Adler fiihrt Aufsicht im Raum 50 — wegen (3), (9), (10) und (14). (16) Herr Bar heiBt Klaus und fiihrt Aufsioht im Raum 49 - wegen (3), (4), (l3), (9) und (15).

L.5.19

Die Bedingungen 1. bis 6. liefern folgende Strukturmatrix (die in den runden Klammern stehenden Zahlen geben die Nummer der Bedingung an, die zum Ausscheiden der entsprechenden Kombination fl'ihrt): 167

Stadt

Bm‘ Name

Berlin

Rostoek

Schwerin

Ingenieur

Dreher

Krau-

Beruf

Erfurt

Cottbus Suhl

ffihrer

A

(1)

B

(6)

C

(1; 3)

(2; l)

(3)

(1; 2)

(2)

(3; I)

Ingenieur

(2: 1)

(3; l)

(5)

(4) (6)

(5)

Krauiiihrer D E

Dreher F

(4)

Daraus folgt: C wohnt in Erfurt und ist Kranffihrer.

A wohnt in Suhl und ist Ingenieur. E wohnt in Cottbus und ist Dreher. B wohnt in Rostock und ist Dreher.

F wohnt in Berlin und ist Ingenieur. D wohnt in Schwerin und ist Kranffihrer.

L.5.20

Die Aufgabe wird mit Hilfe einer Strukturmatrix gelost Dabei geben die in runden Klammem stehenden Zahlen die Nummer der Bedingung an, die das Aufstellen des entsprechenden Tanzpaares verhindert.

Brigitte Anton

Dorothea.

(2:1)

' (2)

(4; 1)

(4)

Eva

Inge

(5; 1) (4)

(5: 4; 1)

(4)

Gfinter Helmut

(4:1)

Jib-gen

(3)

(5; 1) (3) V

(3)

Kurt

Daraus folgt: (6) Fred kann nur mit Monika tanzen. (7)

Jfirgen kann nur mit Dorothea tanzen.

(8) Anton kann nur mit Inge tanzen. (9) Helmut kann nur mit Christina tanzen. 168

' (3)

Monika.

(10) Sowohl Giinter als auch Kurt kennen mit Brigitte oder Eva tanzen. Damit ergeben sich nur die folgenden beiden Méglichkeiten: Fred und Monika, Jfirgen und Dorothea, Anton und Inge, Helmut 1)

und Christina, Gfinter und Brigitte, Kurt und Eva. 2)

L521

Fred und Monika, Jiirgen und Dorothea, Anton und Inge, Helmut Vund Christina, Giinter und Eva, Kurt und Brigitte.

Die. Sitzplatze werden, von links beginnend, der Reihe nach mit l, 2, 3, 4 und 5 numeriert.

Behauptung: (1) Auf Platz l sitzt der Ingenieur. (l5) Auf Platz 2 sitzt der Zypriot wegen (l) und (14). (16) Auf Platz l sitzt der Reisende aus der UdSSR, er ist Ingenieur, fliegt nach Leipzig und ist FuBballspieler. Beweis: Auf Platz l sitzt nicht der Reisende aus Polen wegen (l) and (3), nicht der Reisende aus der DDR und der aus Ungam wegen (ll) und (l5) and nicht der Reisende aus Zypem wegen (15). Wegen (8) fliegt er naeh Leipzig und ist wegen (10) nicht Leichtathlet, wegen (I) und (5) nicht Sehwimmer,

wegen (7) nicht Handballspieler und wegen (2) nicht Volleyballspieler. Damit ergibt sich die Antwort auf 9.): Der FuBballspieler ist' Biirger der UdSSR. Behauptung: (l7) Der Zypriot ist 24 Jahre alt wegen (l3), (16) 11nd (14). (18) Der Kapitan spielt Volleyball oder Handball. Bewet's: Der Kapitan spielt nicht FuBball wegen (l6). Er ist nicht Leichtathlet wegen (6) und (10) und nicht Sehwimmer Wegen (5).

Behaupmng: (l9) Der Kapitin ist Ungar oder Deutseher. » Beweis: Der Kapitfin ist nicht aus der‘UdSSR wegen (16), nicht ans Polen wegen (3) mid nicht aus Zypern wegen (18), (2) und (15) bzw. (l8) and (7).

Behauptung: (20) Der Kapitan sitzt auf Platz 3, 4 oder 5 wegen (1), (15) und (19). (21) Der Kapitan ist 40 oder 52 Jahre alt . Beweis: Er ist nicht 21 Jahre wegen (4), nicht 24Jahre wegen (l7) und (l9) and

nicht 32 Jahre wegen (6) und (9). 169

Behauptung: (22) Der Zypriot auf Platz 2 reist nach Dresden. Beweis: Er reist nicht nach Berlin wegen (9) und (17), nicht nach Rostock wegen (19) und (6), nicht nach Leipzig wegen (l6) und nicht nach Karl-MarxStadt, denn dann ware er wegen (10) Isichtathlet, daher wegen (18) nicht Kapitan, wegen (5) nicht Lehrer, wegen (16) nicht Ingenieur und wegen (3) nicht Journalist, also Feinmechaniker. Dann wire or 21 Jahre alt wegen

(4) im Widerspruch zu (17). Behamatung: (23) Der Kapitin ist 40 Jahre alt. Beweis: Angenommen, das ware nicht der Fall, dann wire or wegen (21) 52 Jahre alt und saBe wegen (12), (22) und (16) auf Platz 3. Er ware also wegen (2) Volleyballspieler und wegen (7) mid (19) Ungar. Dann saBe wegen (ll) und (l5) der Deutsche auf Platz 4, wire nicht Ingenieur wegen (l6), nicht Lehrer wegen (7) und (5), nicht Journalist wegen (3), sondern Feinmechaniker

und daher 21 Jahre wegen (4). Daher hatte der Reisende aus der DDR nicht das Reiseziel Berlin wegen (9) und nicht die Reiseziele Leipzig Wegen (16), Dresden wegen (22), Rostock wegen (6) und Karl-Marx-Stadt wegen (7)

und (10) im Widerspruch zur Voraussetzung, daB eine der fiinf Stadte sein Reiseziel ist. Damit ergibt sich die Antwort b): Der Kapitan ist 40 Jahre alt.

L522

Jeder Teilnehmer spielte genau 7 Partien und konnte maximal 7 Punkte erreichen (wenn er alle Partien gewann). Die vier Schachspieler, die die letzten vier Platze belegten, muBten unter sich genau 6 Partien ausspielen. Die dabei zu verteilenden 6 Punkte teilten sie also unter sich auf. Da der Spieler, der den zweiten Platz belegte, laut Aufgabe genau so viele Punkte gewonnen hat wie die letzten vier zusammen, hat or mindestens 6 Punkte erreicht. Er kann aber auch nicht mehr als 6 Punkte erreicht haben; denn besiegte er auBer den anderen Spielern auch den Ersten, wfirde er Erster,

und spielte er gegen diesen (bei Siegen gegen alle fibrigen Spieler) unentschieden, so hatten erster und zweiter Spieler entgegen der Voraussetzung gleiche Punktzahl. Somit miissen die letzten vier Spieler zusammen genau 6 Punkte erzielt haben, d.h., sie haben alle Partien gegen die ersten vier Spieler verloren. Infolgedessen hat auch der vierte Spieler den sechsten Spieler besiegt. AnBerdem sind alle Bedingungen der Aufgabe miteinander vertraglich, wie z.B. folgendes Schema zeigt:

170

l l 2 3 4 5 6 7 8

L.5.B

2

3

4

1 l 0 l 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5

6

7

8

l l l l 1 _1 1 1 l l l 0 0 0 0 0 0

l l 1 l l l l

l l 1 1

-

D9. A gegen B das einzige unentschieden ausgegangene Spiel ist,‘ haben A und B je eine ungerade, C und D je eine gerade Punktzahl. Die Summe dieser Punktzahlen ist zwélf, da. genau sechs Spiele mit je zwei vergebenen

Punkten ausgetragen wurden. Die Zahl Eins kann nicht vergeben warden sein, weil sonst D 313 letzte Mannschaft und, mit gerader Punktzahl versehen, null lkte erhelten halite. Also hatte D jedes Spiel verloren und daher jede andere Mannschaft mindestens zwei lkte gewonnen. Mithin lautet die Punkteverteilung 0, 3, 4, 5, da. keine Mannschaft mehr als

sechs Punkte und keine zwei Mannschaften gleiche Punktzahl erhalten haben. Da D die letzte Mannachaft ist, hat D Null Punkte. Folglich errang C, Peters Lieblingsmannsehaft (denn sie ist als einzige nicht in dem Bericht erwfihnt), vier Punkte und damit den zweiten Platz.

Bemerkung: Welche der beiden Mannechafben A, B die drei bzw.f1"1nf Punkte erhalten hat, ist aus den Angaben der Aufgabe nicht zu ermitteln, wie die folgenden beiden Tabellen zeigen, die auf Grand dieser Angaben méglich Bind:

A

11

20

0220

B

11

C

022:0

D

020:2

A

2:0

20

02

110:220

B

11

C

200:2

D

020:2

2020 20 02

171

Der Nachweis dieser Realisierungsméglichkeiten ist zur Lfisung der Aufgabe nioht nétig, denn wenn die Angaben als wahr vorausgesetzt werden, muB es ja eine Realisierung geben. Zieht man entgegen der Aufgabenstellung in Betracht, daB die Angaben nicht in allen Teilen wahr sind, so

kann die Plazierung von 0 nicht ermittelt werden. Eine Untersuchung, ob die Angaben wahr sein kénnen, war nicht gefordert.

L521!

DaB an dem Tanzabend mindestens ein Herr teilgenommen hat, folgt so: Angenommen, das ware nicht der Fall gewesen, dann wire sicher eine Dame dabeigewesen, weil sonst der Tanzabend ohne Herren und Damen stattgeflmden hatte. Diese Dame hitte dann, da kein Herr anwesend war, mit allen anwesenden Herren getanzt, was aber laut Aufgabentext nicht der Fall war Entsprechend ergibt sich, daB auch mindestens eine Dame anwesend war. Beweis der Behauptung der Aufgabe durch vollstiindige Induktion much der Anzahl n der anwesemlen Da/men:

Die Anzahl n der anwesenden Damon war sicher gréBer oder gleich 2; ’denn der anwesende Herr H1 hat mit mindestens einer Dame D1 getanzt and mit mindestens einer anderen - D, —— nicht. 1) Im Fall 71 = 2 sei H1 ein Herr, der mit der Dame D1 getanzt hat; Dann gibt es mindestens einen zweiten Hen-n H,, der nicht mit D1 getanzt hat. H1 kann nicht mit D, getanzt haben, da er sonst mit jeder der Damen getanzt hat-m. H, muB mit D, getanzt haben, da er sonst mit keiner der Damen getanzt hitte. Damit geniigen (H1 , H,) und (D1, D,) den Forderungen. 131; die Behauptung ffir n Damen richtig, so folgt ihre Richtigkeit fiir 2) n + l Damen in nachstehender Weise: Entweder hat jeder Herr mit mindestens 2 mid héchstens (n — l) der

(n + l) Damen getanzt, oder es gibt einen Herren H, der mit n Damon getanzt hat,

(1)

(2)

oder es gibt einen Herren H, der mit genau einer Dame D getanzt hat. (3) Im Fall (1) erfiillen n beliebige Damen und sfimtliche Herren zusammen

die Voraussetzungen des zu beweisenden Satzes, so daB es nach Induktionsvoraussetzung zwei Damen und zwei Herren gibt, die den Forderungen geniigen.

Im Fall (2) sei D’ die Dame, mit der H nicht getanzt hat. Dunn gibt es einen Hen-n H’, mit dem D’ getanzt hat. Da H’ nicht mit allen Damen getanzt hat, gibt es eine Dame D, mit der er nicht getanzt hat. Da H mit

allen Damen auBer D’ getanzt hat, hat er mitegDngetanzt. Die Damen D, D’ und die Herren H, H’ genfigen den Bedinglm Im Fall (3) gibt es einen Herrn H’ (+ H), dergnicht mit D getanzt hat und

eine Dame D’ (+ D), die mit H’ getanzt hat. (D, D’) und (H, H’) geniigen also den Bedingungen. Damit ist der verlangte Beweis erbracht.

172

I"$25

Wir bilden die Menge 9)? aller gegebenen Gegenstfinde von derselben Farbe. Wenn es in ihr zwei solche gibt, die sieh in der Form unterscheiden, dann

unterseheidet sich jeder Gegenstand anderer Farbe von wenigstens einem der Gegenstande ans 9)? sowohl in der Farbe als auch in der Form. Wenn aber alle Gegenstfinde ans 9)? auch in (161' Form fibereinstimmen, dann unterscheidet sich nach Voraussetzung wenigstens ein Gegenstand anderer Form von ihnen in der Farbe, da, andernfalls im Widerspruch zur Voraussetzung alle Gegenstfinde dieselbe Farbe batten.

["515

Man bezeichne die sechs Farben mit F1, F2, F3, F4, F5, Fu and die Stofi'e entsprechender Farbzusammenstellung mit (F1: F2):

(F1, F3)

“5W-

Nach Voraussetzung ist jede der sechs Farben mit héchstens zwei der anderen nicht kombiniert. Daher kann man die Numerierung der F1; so wfihlen, daB von folgenden Stoffarten jede vorkommt (F1:F2)a

(Fl’Fa)!

(F1:-F4)9

(F42F5)

(l)

und von folgenden mindestens eine (FI’FS):

(Fm-F4):

(2)

(F2:F5)-

Fallunterscheidung: 1)

(F6, F2) Oder (F6, F3) kommt vor.

Dann ist (F1:F3):

(F2:Fo)s

(FUFE)

(F1, F2):

(F8, F6):

(F4: F5)

'bzw.

2)

eine geeignete Zusammenstellung. Weder (F3, F2) noch (F8, F3) kommt vor. Dann existieren- die Stofi-

art (F5, F3) und mindestens zwei der Stofi'arten (2). a) (F2, F3) kommt vor. Dann ist (FD-F4):

b)

(F2,F3),

(FMFG)

geeignet. (F3, F3) kommt nicht vor. Damn kommt (F,, F4) vor, und (F1: F3), (F2, F4), (F5, F0) sind geeignet.

173

Teil 2 Geometrie

Teil 2 (Geometric) Vorwort Vorbetrachtungen I. Einfache Grundrelationen III. Kongruenz; Vielecke

IV. Ahnlichkeitslehre; Kreis- und Kugelgeometrie V. Polyeder; gekriimmte Flfichen » VI. Konstruktionen

Aufgaben l. Geometrie in der Ebene ' 2. Geometrie im Raum 3. Geometrische Konstruktionen in der Ebene

l4 17 27 31 35

39

$33-

II. Geometrische-Orter

Liisungen 1. Geometrie in der Ebene 2. Geometrie im Raum 3. Geometrische Konstruktionen in der Ebene

123 143

VORWORT

Im vorliegenden Teil 2 werden lehrreiche geometrische Aufgaben sowie deren Lfisungen aus verschiedenen Olympiaden in der DDR vorgestellt. Hier wurden jedoch nur die Aufgaben der Olympiadeklassen 9 bis 12 beriicksichtigt. Zusiitzlich wurden den Aufgaben Vorbetrachtungen vorangestellt, in denen der Versuch

gemacht wird, die Definitionen und Wichtigsten Sitze der Geometrie, die im Schulunterricht erarbeitet sein sollten, zusammenzustellen, um die Voraussetzungen zu den Auf-

gaben zu kléren und um bei den Lésungen auf die Sétze und Definitionen verweisen zu kénnen. - Da einige Bezeichnungsweisen noch nicht vereinheitlicht sind und somit mancher Leser kleinere Abweichungen von seiner gewohnten Lesart in Kauf nehmen muB,

wurde dieser Ausgabe ein ,,Verzeichnis der verwendeten Symbole“ (auf der 3. Umschlagseite) beigegeben. Die Lc'isung einer Aufgabe besteht in der Herleitung der Behauptung aus den in den Vorbetrachtungen zusammengestellten Sfitzen bzw. in der Ausfiihrung dessen, was dort unter VI. beziiglich der Konstruktionen gesagt wird. In den Lésungen Wird, um den Leser nicht zu langweilen, nicht an jeder Stelle auf die benutzten Sétze usw. verwiesen. Vielfach werden gingige Namen der Satze benutzt, wobei diese aber in der Formulierung

der Vorbetrachtungen zu verstehen sind. AULIS VERLAG DEUBNER & CO KG

VORBETRACHTUNGEN

In den folgenden Absehnitten werden zunéchst Definitionen und Sitze der Geometric, die bei dcr Lésung dcr Aufgaben Verwcndung finden, systematisch zusammengestellt. Ferner wird der Aufbau der vollstandigen Losung einer Konstruktionsaufgabe erliiutert. Die angefiihrten Sétze werden ohne Bcweis wiedcrgcgeben. Einige von ihnen sind als Axiome aufzufassen, werden jedoch nicht als solchc gekennzeichnet, da die fibrigen hier

nicht aus ihnen hergeleitet werden. AuBerdem werden aueh einige zweckméBige Bezciehnungen eingefiihrt, die im Text allgemein Verwendung finden. Die Redewcndungen ,,hecn“, ,,bedeuten“, ,,genannt werden“, ,,verstcht man“ werden stcts im Sinne von ,,gcnau dann, wenn“ verwendct.

Mit der Formulicrung ,,Wenn das Gebildc g der BedingungB geniigt, so heiBt es ein Element der Menge 9J2“, ist gcmcint: ,,g ist dann und nur dann Element von 9R, wenn

es dcr Bcdingung B gcnfigt“. Die Redeweise ,,n paarwcise voneinander verschiedene Objckte“ (z.B. Zahlen, Punkte, Strecken) Wird gleichbedeutend mit der Redeweise ,,n Objekte, von denen keine zwci

gleich sind“ verwendet.

I. Einfache Grundrelationen

In den Aufgaben dieses Buches kommt ausschlicBlieh die sogenannte euklidische Geometric vor, von der ja cin gcwisser Teil im Unterricht unserer Schulcn behandelt wird.

Grundbegrifie dicscr Geometric (des Raumes) sind Punkte, Geraden und Ebenen. Die zwischcn ihnen und weiteren abgeleiteten Begriflen wie Strecke, Winkel, Kreis, Kugel u.a. bestehenden Relationen, wie Inzidenz, Schnitt, Kongmenz, Ahnlz‘chkeit u.a., sind Gegen-

stand dcr euklidischen Geometric. ' Da es oft vorteilhaft ist, die geometrischen Gebilde als Punktmcngcn zu interpretieren, werden cine Reihe von Bezeichnungen aus der Mcngenlehre mit in die Geometric fibernommen, z.B.: e — Element von, g — Teilmenge von, C — cchte Tcilmenge von,

u — Vereinigung, n — Durchschnitt, 0 — leere Menge

Die Darlegungen unter 1. bis 18. enthalten die wichtigsten Relationen fiber Inzidenz, Strecken- und Winkelmessung.

l.

Zwei Punkte A und B sind entweder gleich, in Zeichen

A =B

— man sagt dafiir auch: sic fallen zusammen, sie inzidieren miteinamler — oder sie sind voneinander verschieden, in Zeichen

A =1: B. Dabei gelten fiir die Gleichheit die drei folgenden Gesetze:

a)

FiirjedenPunktAgiltA=A.

b)

Gilt A = B, so gilt auch B = A.

c)

GiltA=BundB=C,sogiltauchA=0.

Entsprechendes trifl‘t auch fiir je zwei Geraden g und h sowie fiir je zwei Ebenen 6

und 1) zu. Bezeichnen A einen Punkt, g eine Gerade und 8 eine Ebene, so bestehen folgende Alternativen :

a)

A liegt auf g — gehfirt gan, inzidiert mit g — in Zeichen A e g, oder nicht, in Zeichen A e g. A liegt in e — gehért s (m, inzidiert mit e — in Zeichen A e s, Oder nicht, in Zeichen A e a. g liegt in s — gehért a an, inzidiert mit a — in Zeichen g C s, oder nicht, in Zeichen 9 3) gegeben, von denen keine 3 auf derselben Geraden liegen.

Es ist zu untersuchen, ob es einen Kreis gibt, auf dem mindestens drei dieser n Punkte liegen und der im Innern keinen der fibrigen Punkte ent— hilt.

(3/11/2)

A.1 .59

In einer Ebene seien n Punkte (n g 2) so verteilt, daB es zu jedem von ihnen

unter den iibrigen nur einen nichstgelegenen gibt. Zu jedem dieser n Punkte werde der von ihm ausgehende und in dem ihm nichstgelegenen Punkt endende Vektor und nur dieser gezeichnet. Man ermittle die gréBtmégliche Anzahl dieser Vektoren, die in demselben der n Punkte enden kénnen.

(6/ll.l2/3)

A.1.60

In einer Ebene s seien ein Quadrat ABC'D und ein in seinem Irmem gelegener Punkt P gegeben. Ein Punkt Q durchlaufe das Quadrat.

Beschreiben Sie die Menge aller derjenigen Punkte R von 8, fiir die das Dreieck PQR gleichseitig ist! (6/1112/4)

A.1 .61

Ermitteln Sie die Menge aller Punkte einer Ebene, fiir die die Summe delAbstfinde von den je eine Seite enthaltenden Geraden eines in dieser Ebene

gegebenen regelmifiigen Fiinfecks ffinfmal so groB ist Wie der Inkreisradius des Fiinfecks!

(4/11.12/4)

A.1.62

Gegeben sei ein Quadrat ABOD mit der Seitenlfinge l. Ermitteln Sie die Menge aller Punkte in der Ebene des Quadrates, fiiI die die Summe der Entfernungen von den Gemden 9.43, 930, gm, gmgleich 4 ist! (5/10/1)

52

A.1 .63

Zwei Geraden g1 und 9, schneiden einander rechtwinklig im Punkt A. Ermitteln Sie den geometrischen Ort der Schwerpunkte aller Dreiecke AX Y, fiir die Xegl, Yeg,, X=|=A, Y=|= A und |XY| = 6ist!

(3/10/3) A.1 .614

Der Kreis Ia rolle unaufhérlich (ohne zu gleiten) auf dem Kreis k’, dessen

Radius doppelt so groB ist wie der von Ia, so ab, daB er Ic’ von innen beriihrt. Man ermittle die Bahnkurve, die ein beliebiger auf Ic fixiert zu denkender Punkt P bei dieser Beweglmg durchléuft (Bild A.1.64). Anleitung: Man beweise zunfiehst den folgenden Hflfssatz: ,,Trefi'en zwei vom Mittelpunkt M’ von 10’ ausgehende Strahlen den in einer festen Lage betrachteten Kreis k in den Punkten S’1 bzw. S, und den

Kreis Ic’ in den Punkten S; bzw. SQ, so sind der M’ nicht enthaltende A Bogen 8132 von k und der kiirzere Bogen SEE; von Ic’ gleich lang.“

A.1.65

Eine Armbanduhr besitze auBer dem im unteren Teil des Zifl'erblattes angebrachten Sekundenzeiger noch eine Stoppuhreinrichtung mit einem Sekun-

denzeiger, dessen Achse durch die Mitte des Zifi‘erblattes verlfiuft. Wenn beide Zeiger in Gang sind, laufen sie mit gleicher Winkelgeschwindigkeit. Da die Stoppuhr willkiirlich in Gang gesetzt werden kann, zeigen die beiden Sekundenzeiger entweder in jedem oder in keinem Augenblick die gleiche Zeit an. Im zweiten Fall denken wir uns beide Zeiger in beiden Richtungen beliebig verlfingert und zu Geraden idealisiert.

Welches ist der geometrische Ort fiir alle Schnittpunkte der beiden zu Geraden idealisierten Sekundenzeiger, wenn diese eine halbe Umdrehung aus-

fiihren?

(1/10/3) A.1.66

Des Bild A.1.66 stellt den GrundriB eines Tefles eines Theaters dar. |AB|(A 4: B, |AB] < [03]) ist die Breite der Biihnenfifl'nung, 0D der GrundriB einer Flucht von Seiten-

B

Bild A.1.66

A E

logen. Es sind alle Punkte P auf CD zu ermitteln, von denen aus der GrundriB AB der Biihnenéfi‘nung unter einem méglichst groBen Sehwinkel erscheint. Unter dem Sehwinkel ist bier der Winkel {APB zu verstehen. Anmerkung: Die Figur ist eine Skizze. Die GréBenverhfiltnisse im Theatermum k6nnen andere sein.

(6/10I3) 53

GEOMETRIE lM RAUM

A.2.1

Ein regelmiBigw Tetraeder habe die Héhenlinge h. Ein Punkt im Innern des Tetraeders babe von den Seitenfliichen die Abstinde a, b, c and (1. Man beweise, daB a+b+c+d=h

gilt.

(4/10/3)

A22

Beweisen Sie den folgenden Satz: Sind bei einem Tetraeder mit den Ecken A , B, 0', D die Umfinge allcr seiner vier Seitenflfichen untereinander gleich, dann sind diese Flichen zueinander kongruent.

(6/9/3)

A23

Der von einem regelmiBigen Tetraeder begrenzte Kérper wird von 4 Ebenen, von denen jede zu genau einer Seitenfliche des Tetraeders parallel ist, derart geschnitten, (138 die Schnittfiguren Flichen regelmfiBiger (gleichseitiger)

Dreiecke und die verbleibenden Seitenflfichen von regelmfiBigen Sechsecken berandet sind. Man berechne die Oberflfiche des entstandenen Polyeders

und das Volumen des Von ihm begrenzten Kérpers.

(2/11/2)

All!

Die Kantenlinge eines regelmifligen Tetraeders sei a. Dutch den Mittelpunkt einer Kante ist eine Ebene s so gelegt, daB sie diese Kante nicht enthélt und parallel zu zwei Gegenkanten verliuft. Bereclmen Sie den Flicheninhalt der Schnittfigur der Ebene s mit dem Tetraeder!

(4/10/4)

A.2.5

Die Fléche des Quadrates ABO'D sei Seitenflache eines Wiirfels der Kanten-

hinge a, M der Mittelpunkt der gegeniiberliegenden Seitenfls‘iche. Wie groB ist der Abstand der Geraden 930 und 9AM vonemander?

(6/11.12/3)

A.2.6

Auf jede Seitenflfiche eines Wiirfels werde eine gerade Pyramide aufgesetzt, deren Grundflache Seitenfléiche des Wiirfels ist und deren Mantelflachen mit der Grundfléche Winkel der GréBe 45° bilden.

a)

Wieviel Seitenflz'ichen besitzt der aus dem Wiirfelkérper und den Pyramidenkérpem zusammengesetzte Kérper, und welche Form haben sic?

b)

Geben Sie das Volumen des zusammengesetzten Kérpers als Funktion der Linge a der Wiirfelkante an!

(4/9/3) A.2.7

Verbindet man bei einem Wiirfel die Mittelpunkte der Seitenfla‘ichen geradlinig miteinander, so erhiilt man die Kanten 11nd Diagonalen eines dem Wiirfel einbeschriebenen regelmiiBigen Oktaeders. Verffihrt man in entsprechender Weise bei dem Oktaeder, so erhfilt man die Kanten und Diagonalen eines Wiirfels. Man berechne das Verhfiltnis a) b) e) d)

der der der der

Volumina von Wiirfel und einbeschriebenem Oktaeder, Volumina. von Oktaeder und einbeschriebenem Wiirfel, Flécherfinhalte von Wiirfel und einbeschriebenem Oktaeder, Flicheninhalte von Oktaeder und einbeschriebenem Wiirfel.

(6/10/2), A.2.8

Ein Wiirfel mit den Eckpunkten A, B, 0, D, A’, B', 0', D’ werde mit genau acht Ebenen in verschiedener Weise zum Schnitt gebracht, und zwar so, daB

a)

jede der acht Ebenen die Mittelpunkte dreier von derselben Ecke ausgehender Wiirfelkanten enthilt, so daB die angedeutete Figur (Bild A.2.8a) entsteht, A'

Pa

Pl \ Bild A.2.8a

b)

A

BildA.2.8b

4.

P1

er.

5

I

/ P3

P2.

5

durch Abschneiden ans jeder Seitenfliche des Wiirfels eine regel-

miBige Achtecksfliiche entsteht (Bild A.2.8b). Man berechne die Volumina, der entsprechenden Restkérper.

(4/ll.l2/2) 55

A.2.9

Das Rechteck ABC'D liege in der Ebene e. P sei ein beliebiger Putikt auf‘ der Senkrechten zur Ebene a dumb A. Es inst 211 beweisen, daB die Pun-kte A, B, D auf der Kugel mit dem Durch-

messer P0 liegen.

(5/9/2) A.2.10

A, B, 0', D, E, F, G, H seien die Ecken eines Quaders, wobei ABIIDC'”

EF || HG, AE || BF || CG || DH gilt, and AD und AE Kanten der Lingea 'und AB Kante der Lange aV§ sind. S sei der Schnittpunkt der Diagonalen der Seitenfliche mit den Ecken A, B, 0, D. 8) 1))

Es ist der Radius 1' der Kugel, die dnrch die Punkte A, D, E und S geht, in Abhfingigkeit von a zu berechnen. Es ist zu beweisen, daB-die Ebene durch die lkte S, F und G diese

Kugei beriihrt. ’

(4/12/1) A.2.‘I‘I

Aus einem Kugelkérper vom Radius r ist ein Kugelsektor herausgeschnitten, der sich aus einem Kegelkérper der Hdhe h and dem zugehérigen Kugel-

segment zusammensetzt. Man berechne die Héhe h des Kegels, Wenn a)

der Fificheninhalt der herausgeschnittenen Kugelkappe'gieich einem Drittel des Oberflacheninhalts der Kugel 181; and

b)

das Volumen des Kugelsektors gleich einem lhittel des ,Volumens des Kugelkérpers ist. (5/11.12/2)

A.2.12

Es sci M der Mittclpunkt der Kugel u], and I’ sei ein l’unkt auBcrhaib

#1. Fewer sei 2:, die Kugel mit dem Mittelpunkt 1’ 11nd dem Radius |M l’l , und I sei der Flacheninhait des innerhalb x, liegenden Teiles von up Beweisen Sie, daB I van der Lage des Punkt‘es P unabhangig ist! (6/11. 12/2)

A.2.13

A, B, 0', D seien die Ecken eines Tetraeders. Auf den Kanten DA, DB 'bzw.

D0 seien Punkte M, N bzw. P so gewihlt, daB die Vierecke ABNM sowie AOPM Seimenvierecke sind. Beweisen Sic: a)

das Viereck BC'PN ist Sehnenviereck und

1!) die Punkte A, B, C, M, N, P liegen auf derselben Kugel. (2/11.12/4)

A.2.1ll

Man beweise folgenden Satz: Wenn der Schnitt jeder Ebene, die mit der Fliche (p des Raumes ,mehr als einen Punkt gemeinsam hat, ein Kreis ist, dann ist (p eine Kugel. (5/11.12/4)

A.2.1s

Drei paarweise voneinander verschiedene Kreise beriihren einander in drei paerweise voneinander verschiedenen Punkten. Man zeige, daB die drei Kreise entweder in derselben Ebene Oder auf derselben Kugel liegen. (4/11.12/3)

A.2.16

Man berechne das Verhiltnis des Oberflicheninhalts eines Kegelkérpers, dessen Achsenschnitt die Flfiohe eines gleichseitigen Dreiecks ist, zum Oberflficheninhalt eines Zylinderkérpers mit quadratischem Achsenschnitt, wenn die Raumjnhalte beider Kérper gleich sind. (5/10/1)

A.2.17

In einem Kreiskegelkérper mit der Spitze S, dessen Achsenschnitt die Fliche eines gleichseitigen Dreiecks ist, befindet sich eine Kugel, die den Mantel des Kegels beriihrt und deren Mittelpunkt M die Héhe SM’ des

Kegels im Verhfiltm's [SMI : |MM’|= l :2 teilt. Die Lénge eines Dutchmessers der Grundfléche des Kegels sei a. ' Wie groB ist der Radius r der Kugel? (3/10/2)

A.2.18

A, B, 0, D, A’, B’, C", D’ seien die Ecken eines Wiirfels der Kantenlfinge a,

wobei die von dem Quadrat ABCD begrenzte Seitenfléiche auf der Kante AA’ senkrecht steht. Man ermittle den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Strecken X Y der Lange a, fiir die X auf AA’ und Y in der von ABC'D begrenzben Seiten— flfiche liegen.

(3/11.12/3)

A.2.19

A, B, 0, D, A’, B’, 0’, D’ seien die Ecken eines Wiirfels, wobei die von den

Quadraten ABOD und A’B’C’D’ begrenzten Seitenflfichen parallel zuein-

antler sind 11nd AA’HBB’” 00’ H DD’ gilt. Ein Punkt X durchlfiuft mit konstanter Geschwindigkeit das Quadrat ABCD von A ans fiber B, 0 und

D nach A, und ein Punkt Y durchléuft mit derselben Geschwindigkeit das Quadrat A’, B’, C", D’ von A’ ans fiber D’, 0’ und B’ nach A’. X and Y

beginnen ihre Bewegungen zum gleichen Zeitpunkt' in A bzw. in A’. Ermitteln Sie den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Streeken X Y bei gleichzeitig betrachteten X und Y!

(2/12/3)

57

A.2.20

In eine quaderférmige Schachtel mit; den inneren Abmessungen 10 cm,

10 cm und 1 cm sind gleich groBe Kugeln vom Radius 0,5 cm einzulegen. Jemand behauptet, man ké'mne mehr als 105 dieser Kug’eln in der Schachtel . unterbringen. Stellen Sie fest, ob diese Behauptung richtig ist!

(6/11.12/1)

A.2.21

Man beweise folgenden Satz:

‘

Liegen n paarweise voneinander verschiedene Punkte Pl, 1' = l, 2, ..., n, n g 2, so im Raum, daB jeder von ihnen von ein und demselben Punkt Q

einen kleineren Abstand hat als von jedem anderen der P5 , dann ist n < 15. (6/ll.12/4)

58

3.

A.3.1

GEOMETRISCHE KONSTRUKTIONEN IN DER EBENE

Gegeben sei cine Gerade g und zwei auf derselben Seite von 9 gelegene Punkte A und B, A =l= B, derart, daB g und 9413 weder parallel noch senk-

recht zueinander sind. A0 sei das Lot von A auf 9, BD sei das Lot von B auf g. Konstruieren Sie auf g alle Punkte P, fiir die

A.3.ll

Konstruieren Sie ein Dreieck ABC ans h + hb=10 cm, a: = 45°, fl = 60°! Dabei ist ha die Linge der Hohe (lurch A, la» die Linge der Hohe durch B, a die GroBe des Winkels 90° und es gilt |