Mathematische Probleme lösen mit Maple 978-3-540-44117-5, 978-3-662-08569-1

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Thomas Westermann Mathematische Probleme lösen mit MAPLE

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

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Thomas Westermann

Mathematische Probleme lösen mit MAPLE

Springer

Prof. Dr. Thomas Westermann Fachhochschule Karlsruhe Hochschule für Technik Postfach 2440 76012 Karlsruhe

thomas. westermann @fh-karlsruhe.de http://www.home·fh-karlsruhe.de/-weth0002

ISBN 978-3-540-44117-5 ISBN 978-3-662-08569-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-08569-1 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek. Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugs weiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechts gesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com http://www.springer.de © Springer- Verlag Berlin Heidelberg 2003 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. D1N, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satzerstellung durch Autor Einbandgestaltung: KünkelLopka, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 7 I 3020 ra - 5 4 3 2 1 0-

Vorwort

Das vorliegende Werk richtet sich sowohl an Studenten von technischen Hochschulen und Fachhochschulen als Begleitung und Ergänzung zu den Mathematikvorlesungen als auch an Praktiker, die ihre konkreten mathematischen Probleme direkt am Computer lösen möchten. Gleichzeitig ist das Buch eine themengebundene Einführung in die Nutzung des Computeralgebrasystems Maple, welche sich an konkreten Problemstellungen orientiert. Grundlegende mathematische Probleme wie z.B. das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, dreidimensionale graphische Darstellungen von Funktionen, Nullstellenbestimmungen, Ableitungen von Funktionen, Finden von Stammfunktionen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Integraltransformationen, Lösen von Differentialgleichungen, Vektorrechnung usw. kommen in den Anwendungen immer wieder vor, sind aber teilweise sehr aufwendig und zu umfangreich, um sie per Hand zu lösen. "Mathematische Probleme lösen mit Maple" ist als Handbuch gedacht, diese elementaren Probleme analytisch und numerisch zu behandeln. Das Buch ist so konzipiert, dass diese mathematischen Probleme direkt am Computer ohne große Vorkenntnisse mit Maple gelöst ,werden können. Dabei werden nur grundlegende Erfahrungen im Umgang mit Windowsprogrammen vorausgesetzt. Die beiliegende CD-ROM soll einen schnellen Zugriff auf die entsprechenden Maple-Befehle liefern. Alle Probleme werden an jeweils einem Beispiel exemplarisch vorgeführt. Die elektronischen Arbeitsblätter sind so flexibel gestaltet, dass sie an die eigenen Problemstellungen einfach angepasst werden können. Das Buch ist sowohl als Nachschlagewerk bzw. die CD-ROM zur Überprüfung von Übungsaufgaben geeignet als auch eine sehr kompakte problemorientierte Darstellung der Lösungen mit Maple. Daher ergibt sich die übersichtliche Struktur der einzelnen Abschnitte: • Jedes Thema wird mathematisch beschrieben. • Das Problem wird mit Maple gelöst. • Die Syntax des Maple-Befehls wird erläutert. • Ein Beispielaufruf wird angegeben. • Hinweise behandeln Besonderheiten des Befehls oder der Ausgabe. Mein Dank gilt dem Springer-Verlag für die sehr angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, besonders Frau Hestermann-Beyerle und Frau Lempe. Ganz besonders bedanken möchte ich mich bei meinen Töchtern Veronika und Juliane, die mich tatkräftig und zeitintensiv bei diesem neuerlichen Projekt unterstützt haben. Karlsruhe, im Oktober 2002

Thomas Westermann

Inhaltsverzeichnis

Kapitell: Rechnen mit Zahlen und Ausdrücken .............................................. 1 1.1 Rechnen mit reellen Zahlen ......................................................................... 1 1.2 Berechnen von Summen und Produkten ...................................................... 2 1.3 Vereinfachen von Ausdrücken .................................................................... 3 1.4 Expandieren von Ausdrücken ...................................................................... 4 1.5 Auswerten von Ausdrücken ......................................................................... 4 1.6 Rechnen mit komplexen Zahlen .................................................................. 5 1. 7 Berechnen von komplexen Wurzeln ............................................................ 6 Kapitel2: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme ........................... 7 2.1 Lösen einer Gleichung ................................................................................. 7 2.2 Näberungsweises Lösen einer Gleichung .................................................... 8 2.3 Lösen einer Ungleichung ............................................................................. 9 2.4 Lösen von linearen Gleichungssystemen ................................................... 10 Kapitel3: Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen.......................... 11 3.1 Allgemeines Iterationsverfahren ................................................................ 11 3.2 Regula falsi ................................................................................................ 12 3.3 Newton-Verfahren ..................................................................................... 13 3.4 Newton-Verfahren in 2D ........................................................................... 14 3.5 Lineare Gleichungssysteme: lacobi-Methode ........................................... 16 3.6 Lineare Gleichungssysteme: Gauß-Seidel-Methode .................................. 17 Kapitel 4: Definition von Funktionen ............................................................... 19 4.1 Elementare Funktionen .............................................................................. 19 4.2 Defmition von Funktionen ......................................................................... 20 4.3 Definition zusammengesetzter Funktionen ............................................... 21 KapitelS: Graphische Darstellung von Funktionen in einer Variablen••.••••. 22 5.1 Darstellung von Funktionen in einer Variablen ......................................... 22 5.2 Ortskurven ................................................................................................. 24 5.3 Bode-Diagramm ........................................................................................ 25 5.4 Logarithmische Darstellung von Funktionen ............................................ 26 Kapitel6: Graphische Darstellung von Funktionen in mehreren Variablen 27 6.1 Darstellung einer Funktion f(x,y) in zwei Variablen ................................. 27 6.2 Animation einer Funktion f(x,t) ................................................................. 29 6.3 Animation einer Funktion f(x,y,t) .............................................................. 30 6.4 Darstellung von Rotationskörpern bei Rotation um die x-Achse .............. 31 6.5 Darstellung von Rotationskörpern bei Rotation um die y-Achse .............. 32

viii

Inhaltsverzeichnis

Kapitel7: Messdatenerfassung ..•...........•..•......•............•.............•..................... 33 7.1 Einlesen und Darstellen von Messdaten .................................................... 33 7.2 Logarithmische Darstellung von Daten ..................................................... 34 Kapitel 8: Funktionen in einer Variablen ........................................................ 35 8.1 Bestimmung von Nullstellen ..................................................................... 35 8.2 Linearfaktorzerlegung von Polynomen ..................................................... 36 8.3 Partialbruchzerlegung gebrochenrationaler Funktionen ............................ 37 8.4 Kurvendiskussion ...................................................................................... 38 8.5 Taylorentwicklung einer Funktion ............................................................ 41 Kapitel9: Funktionen in mehreren Variablen ................................................ 42 9.1 Totales Differential. ................................................................................... 42 9.2 Tangentialebene ......................................................................................... 43 9.3 Fehlerrechnung .......................................................................................... 44 9.4 Taylorentwicklung einer Funktion mit mehreren Variablen ..................... 45 Kapitel 10: Grenzwerte und Reihen ................................................................. 46 10.1 Bestimmung von Folgengrenzwerten ...................................................... 46 10.2 Bestimmung von Grenzwerten rekursiver Folgen ................................... 47 10.3 Bestimmung von Funktionsgrenzwerten ................................................. 48 10.4 Konvergenz von Zahlenreihen: Quotientenkriterium .............................. 49 10.5 Konvergenz von Potenzreihen: Konvergenzradius .................................. 50 Kapitel 11: Differentiation ................................................................................ 51 11.1 Ableitung eines Ausdrucks in einer Variablen ........................................ 51 11.2 Ableitung einer Funktion in einer Variablen ........................................... 52 11.3 Numerische Differentiation ..................................................................... 53 11.4 Partielle Ableitungen eines Ausdrucks in mehreren Variablen ............... 54 11.5 Partielle Ableitungen einer Funktion in mehreren Variablen .................. 55 Kapitel 12: Integration ...................................................................................... 56 12.1 Integration einer Funktion in einer Variablen ......................................... 56 12.2 Numerische Integration einer Funktion in einer Variablen ..................... 57 12.3 Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei x-Achsenrotation . 58 12.4 Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei y-Achsenrotation . 59 12.5 Mehrfachintegrale einer Funktion in mehreren Variablen ....................... 60 12.6 Linienintegrale ......................................................................................... 61 Kapitel 13: Fourierreihen und FFT .................................................................. 63 13.1 Fourierreihen (analytisch) ....................................................................... 63 13.2 Fourierreihen (numerisch) ....................................................................... 65 13.3 Komplexe Fourierreihe und Amplitudenspektrum .................................. 67 13.4 FFT .......................................................................................................... 69

Inhaltsverzeichnis

ix

Kapitel 14: Integraltransformationen .............................................................. 71 14.1 Laplace-Transforrnation .......................................................................... 71 14.2 Inverse Lap1ace-Transformation .............................................................. 72 14.3 Lösen von DG mit der Lap1ace-Transformation ...................................... 73 14.4 Fourier-Transformation ........................................................................... 74 14.5 Inverse Fourier-Transformation ............................................................... 75 14.6 Lösen von DG mit der Fourier-Transformation ....................................... 76

KapitellS: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung •••••..••.•..•.•.•••.. 77 15.1 Richtungsfelder ........................................................................................ 77 15.2 Analytisches Lösen .................................................................................. 79 15.3 Numerisches Lösen .................................................................................. 80 15.4 Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren ........................................ 81 15.5 Numerisches Lösen mit dem Prädiktor-Korrektor-Verfahren ................. 82 15.6 Numerisches Lösen mit dem Runge-Kutta-Verfahren ............................. 83

Kapitel 16: Gewöhnliche Differentialgleichungs-Systeme .............................. 84 16.1 Analytisches Lösen von DGS 1. Ordnung ............................................... 84 16.2 Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung ............................................... 86 16.3 Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung mit dem Eu1er-Verfahren ..... 88 Kapitel 17: Gewöhnliche Differentialgleichungen n.-ter Ordnung ..••••••.•••••.. 90 17.1 Analytisches Lösen .................................................................................. 90 17.2 Numerisches Lösen .................................................................................. 92

Kapitel 18: Extremwerte und Optimierung ..................................................... 94 18.1 Lösen von überbestimmten linearen Gleichungssystemen ...................... 94 18.2 Lineare Optimierung ................................................................................ 96 18.3 Extremwerte nichtlinearer Funktionen .................................................... 97

Kapitel 19: Interpolation und Extrapolation ................................................... 98 19.1 Interpolationspolynom ............................................................................. 99 19.2 Kubische Spline-Interpo1ation ............................................................... 100 19.3 Korrelationskoeffizient .......................................................................... 101 19.4 Ausgleichsfunktion ................................................................................ 102

Kapitel20: Vektoren, Matrizen und Eigenwerte .......................................... 104 20.1 Vektoren ................................................................................................ 104 20.2 Vektorrechnung ..................................................................................... 105 20.3 Winkel zwischen zwei Vektoren ........................................................... 106 20.4 Matrizen ................................................................................................. 107 20.5 Matrizenrechnung .................................................................................. 108 20.6 Determinante ......................................................................................... 109 20.7 Wronski-Determinante .......................................................................... 110 20.8 Rang einer (mxn)-Matrix ....................................................................... 111 20.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .............................................................. 112

x

Inhaltsverzeichnis 20.10 Charakteristisches Polynom ................................................................ 113

Kapitel 21: Vektoren im IRn ........................................................................... 114 21.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im IRR (LGS) ........................... 21.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im IRn (Rang) .......................... 21.3 Basis des IRn •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••.• 21.4 Dimension eines Unterraums des IRn •••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••.•••••.•

114 115 116 117

Kapitel 22: Affine Geometrie .......................................................................... 118 22.1 Definition von Punkt, Gerade und Ebene im IR3 ..•....•....•.•.•.•.••...........•. 118 22.2 Schnitte von Geraden und Ebenen im IR 3 •.••••••..•••.••••.•.••••....•......•.•...... 120 22.3 Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen im IR 3 •...•.••.•.•••.••....•..•••• 121

Kapitel 23: Vektoranalysis .............................................................................. 122 23.1 Gradient ................................................................................................. 23.2 Rotation ................................................................................................. 23.3 Divergenz .............................................................................................. 23.4 Potentialfeld zu gegebenem Vektorfeld, WirbelfreiheiL. ..................... 23.5 Vektorpotential zu gegebenem Vektorfeld, QuellenfreiheiL. ...............

122 123 124 125 126

Kapitel 24: Programmstrukturen ................................................................... 127 24.1 for-Schleife ............................................................................................ 24.2 while-Schleife ........................................................................................ 24.3 if-Bedingungen ...................................................................................... 24.4 proc-Konstruktion .................................................................................

127 128 129 130

Anhang A: Einführung in Maple ..................................................................... 133 Anhang B: Die CD-ROM................................................................................. 138 Literaturverzeichnis.......................................................................................... 141 Index ................................................................................................................... 143 Index .............................................................................................................. 143 Maple-Befehle ............................................................................................... 145

Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen und Ausdrücken

In Kapitel 1 wird das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen sowie einfachen Ausdrucken behandelt. Die Grundrechenoperationen werden mit +, -, *, /, das Potenzieren mit /\ gebildet. Durch evalf erfolgt die Umwandlung des Ergebnisses in eine float-Zahl bei einer Genauigkeit von 10 Dezimalstellen; evaic fuhrt die komplexen Rechenergebnisse in die algebraische Normalform über. Die Vereinfachung von Ausdrucken erfolgt entweder durch den simplify-Befehl oder durch normal, der von dem Ausdruck den Hauptnenner bildet und anschließend gemeinsame Faktoren kürzt. Das Einsetzen einer Zahl in eine Formel bzw. das Auswerten eines Ausdrucks an einer vorgegebenen Stelle erfolgt durch subs oder mit eval. sum und product berechnen Summen und Produkte.

1.1 Rechnen mit reellen Zahlen

....evaH P,robleIIi

" Gesucht sind die Ergebnisse elementarer Rechenoperationen CI c2

.Befehl

(Cl

"

Parameter, """ ＧＬＱＢｾ＠

.

C l ' C2 :

C2 );

Ganze, gebrochenrationale oder reelle Zahlen

;

2 Ｈｾ

4

Ｍ

2.) / ｾ＠ 5 7

,'"" > 2* (3/4-5/7) / (3/5);

,

5 42 .'

.,'

> evalf (%)

i

.1190476190 ,

H:inwj!ise ,., Man beachte, dass die Grundrechenoperationen in den gebrochenrationalen Zahlen exakt ausgefuhrt werden. Die Konvertierung in eine float-Zahl erfolgt durch evalf. % steht fur das zuletzt berechnete Ergebnis. Statt der Konvertierung mit evaH genügt es, eine der Zahlen in einer .-Darstellung anzugeben. Dann werden alle Ergebnisse in der float-Näherung bis auf 10 Stellen genau berechnet. Siehe,auch '. evalf, Digi ts; -7 Rechnen mit komplexen Zahlen.

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2

Kapitell: Rechnen mit Zahlen und Ausdrücken

1.2 Berechnen von Summen und Produkten

sum

product Problem

Gesucht sind Ergebnisse von Summen und Produkten bzw. Formeln fiir Summen und Produkte der Form

L" a

k= 1

Befehle

sum(a(k), k=l..n); product(a(k), k=l..n);

Pl;lramete.1:

a(k):

k

bzw.

TI" a*

k= 1

Zahlenfolge

Beispiele

> product (l/k, k=l .. 5)

j

1 120

> Sum(l/ (k* (k+l», k=1.. infinity) =sum(l/(k*(k+l», k=l .. infinitY)j

L 00

ｫ ｾ ｬ ｫＨ

Hinweise

Siehe auch

1 Ｋ

ｬＩ＠

= 1

Bei Großschreibung des Befehls Sum (inerte Form) wird die Summe nur symbolisch dargestellt. Anschließend kann mit limit der Grenzwert fiir n gegen 00 bestimmt werden. Gleiches gilt rur den product-Befehl zur Bestimmung von Produkten. Für die Obergrenze ist ebenfalls 00 erlaubt.

1.3 Vereinfachen von Ausdrucken

3

1.3 Vereinfachen von Ausdrücken

simplify normal Problem ,,

Befehle

Gesucht sind Vereinfachungen von Ausdrucken. Der simplifyBefehl vereinfacht Ausdrucke, der normal-Befehl bildet bei Bruchen den Hauptnenner und kürzt gemeinsame Faktoren. simplify(a); normal(a);

Parameter

a:

Ausdruck

Beisp'iele. > simpl ify (x" 4 *x" 5) ;

> 1/ (x-I)

+ 1/ (x+I)

+ I/x; 1 1 1 - - + --+x- I x+l x

. > normal (%) ;

(x - I) (x + I) x > y: ;sin (x) 2 +cos (x) 2 : >y;simplify(y, trig); A

A

sin(x)2 + COS( X )2 = I >simplify (arcs in(sin( x )), symbolic); x

Hinweise

Manchmal müssen die Befehle mehrmals hintereinander ausft;führt werden. Zum symbolischen Vereinfachen von Z.B. .J x 2 verwendet man den simplify-Befehl mit der Option symbolic.

Siehe auch

expand; 7 Expandieren von Ausdrücken 7 Ausdrücken.

Auswerten von

4

Kapitel I: Rechnen mit Zahlen und Ausdrucken

1.4 Expandieren von Ausdrücken e_xpaod Pröplem

Expandieren von Ausdrucken der Form (x + l)s, sin( x + y) .

Befehl _.

expand(a);

Parameter

a:

ｂ･ｩ

ｾ ｩ＾･Ｑ＠

Ausdruck sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

-

-. ,

> expand(sin(x+y»; sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

.-

Siebe auch

combine; ｾ＠

Vereinfachen von Ausdrücken.

1.5 Auswerten von Ausdrücken 4

｟Ｚ ｾ

",

ＮＬ ｾ＠

Ｌ＠

subs ' Ｎｾ＠

ｾｬ＠

:PioblepJ:k, - - Auswertung eines Ausdrucks an einer vorgegebenen Stelle xo .

.

:'. eva l c (cl - c2/cl);

> betrag: =abs (c2) ;

be/rag :=

fl3

> phi: =argument (c2) ; , >phi: =evalf (%) ; 4J :=

Ｍ ｡ｲ｣ｴｮＨｾ

Ｉ＠

+ 1t

4J := 2.158798931 ｾ ｈｩｮｷＧ･ｳ＠

Die imaginäre Einheit wird in Maple mit I bezeichnet! Um die n.ten Wurzeln einer komplexen Zahl C zu bestimmen muss das '. Problem in ein Nullstellenproblem zn - C = 0 umgeformt und mit dem fsolve-Befehl behandelt werden. Siehe auch

conjugate(c) = die zu c komplex konjugierte Zahl, Re(c) = Realteil von c, Im(c) = Imaginärteil von c, abs(c) = Absolutbetrag , von c, argument(c) = Winkel von c; -7 Berechnen von komplexen Wurzeln -7 Rechnen mit reellen Zahlen.

6

Kapitell: Rechnen mit Zahlen und Ausdrücken

1.7 Berechnen von komplexen Wurzeln

fsolve Problem ,

Gesucht sind alle k.-ten komplexen Wurzeln einer komplexen Zahl

c.

(r)

z =C

Befehl

fsol v e( zl\k-c=O, z, complex);

Par:atneier

k: c:

zk - C

=0

k.-te Wurzel Komplexe Zahl

Beispiele ;.

._

,L

>c := 1-2*I: > fso 1ve(z"4-c=O, z, comp1ex); -1.176301073 + .33416248421, -.3341624842 - 1.176301073 I .3341624842+ 1.176301073/, 1.176301073- .3341624842/

> c: =1; > fsolve(z"S-c=O, z, comp1ex); -I., -.70710678 12- .70710678121, -.7071067812+ .7071067812/ -1.1,1./

.7071067812- .7071067812/, .7071067812 + .7071067812/,1. liinweise,

Es werden nach dem Fundamentalsatz der Algebra alle k komplexen Nullstellen, sprich aUe k Wurzeln, bestimmt. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gerechnet.

Siehe'auch ｾ＠

evalc, Digi ts; -7 Rechnen mit komplexen Zahlen -7 Näherungsweises Lösen einer Gleichung.

:..'

',-

Kapitel 2: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

Kapitel 2 behandelt das Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und einfachen Gleichungssystemen mit dem solve-Befehl. solve löst diese Probleme exakt, sofern die Lösung sich in einer algebraischen Form angeben lässt und Maple die Lösung findet. Alternativ kann der fsolve-Befehl zum numerischen Lösen von Gleichungen verwendet werden, insbesondere dann wenn solve keine befriedigende Lösung liefert.

2.1 Lösen einer Gleichung solve Problem

Gesucht sind Lösungen der Gleichung f(x)=g(x)

Befehl ..

salve( eq, var);

Parameter

eq: var:

Gleichung der Form f(x)=g(x) Variable der Gleichung

Beispiel

x2 - 2x =.{;

, ',-

.

3

ｾ＠

I'" 1''-

,

1

0' '2+'2 [5

Hinweise -

>eq . - x A 2 - 2*x=sqrt(x) : > solve (eq, xl;

Siehe auch

Der solve-Befehlliefert - falls möglich - die exakte Lösung. Falls eine exakte Lösung nicht explizit angegeben wird, besteht die Möglichkeit durch evalf(%) anschießend das Ergebnis numerisch auszuwerten. Alternativ zu solve und evalf kann der fsolve-Befehl verwendet werden. f sol ve ;

-7 Näherungsweises Lösen einer Gleichung.

ｾＭ

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8

Kapitel 2: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

2.2 Näherungsweises Lösen einer Gleichung fsolve Problem

Gesucht sind Näherungslösungen der Gleichung f(x)=g(x)

,Befehl

fsol ve( eq, var);

I

Parameter "

Beispiele-

' eq: var: > eq

Gleichung der Fonn f(x)=g(x) Variable der Gleichung

.-

-

exp (x)

, , > fsolve (eq , x)

.

4*x " 2 = Xi eq := e X - 4 x 2 = X

i

.5426594516

> eq: =x " 4+3 *x 3 +x+l =O: eq := x 4 + 3 x 3 + X + 1 == 0 > fsolve (eq,x, complex) i A

I·

.

1;:".- ... ·i

"

-3.071488446, -.56367134 17, .3175798939 - .69046384201

,

I> ,

.3175798939+ .69046384201

l

-

Optionale Paraqleter "

,

Hinweise -

K:r .'c.,

" .y'\. ,,

,

"

Siehe auch

> fsolve( eq, x, x=xO. . xI); x=xO .. xl gibt das Intervall an, in dem eine Lösung näherungsweise berechnet wird. Mit >fsolve(eq, x, compfex); werden auch komplexe Lösungen berechnet. Ist fex) ein Polynom vom Grade n und g(x)=O, dann werden mit der Option complex aUe NuUsteUen (reelle als auch komplexe) des Polynoms f(x) näherungsweise bestimmt. Ansonsten ist bei mehreren Lösungen einer Gleichung nicht sichergestellt, dass aUe gefunden werden . Mit dem plot-Befehl verschafft man sich einen Überblick über die Lage der Lösungen und mit der Option x=xO .. x 1 schränkt man das Lösungsintervall ein. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n SteUen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gerechnet. s ol v e, Di gi ts ; gleichung. ｾ＠

Lösen einer Gleichung ｾ＠

Lösen einer Un-

2.3 Lösen einer Ungleichung

9

2.3 Lösen einer Ungleichung

. solve P(oblem

Gesucht sind Lösungen von Ungleichungen der Fonn fex) {=} g(x)

Befehl

sol ve( uneq, var);

::Parameter -, ;-,.

uneq:

var:

Ungleichung der Fonn fex) {=} g(x) Variable der Gleichung

> uneq : = x"2 -4 *x>abs (x) : > solve (uneq, x) i RealRange( Open ( 5 ), CX> ), RealRange( -CX>, Open (0) ) >plot([rhs(uneq), Ihs(uneq)], x=-2 . . 6, color=[red,blue), thickness=2)

i

Der solve-Befehl liefert - falls möglich - das Lösungsintervall, welches mit RealRange bezeichnet wird. Open(5) bzw. Open(O) bedeutet, dass es sich um ein offenes Intervall handelt. D.h. die Lösungsmenge lautet (-00,0) U (5, 00). Mit dem plot-Befehl erhält man graphisch einen Überblick über die beiden Seiten der Ungleichung. fsolve kann nicht verwendet werden! Siehe auch

sol ve, plot, rhs, lhs; 7 Lösen einer Gleichung.

10

Kapitel 2: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

2.4 Lösen von linearen Gleichungssystemen 'solve Problem

Gesucht sind Lösungen von linearen Gleichungssystemen a l, l x l+ a l,2 x 2 a2,l x l+

a 2,2

+ ... +

al , nxn

= bl

x 2 + ... + a 2, n x n = b2

=b Befehl ..

solve( {eql, ... ,eqm}, {varl, ... ,vam});

Pärameter '

eqJ .. eqm:

'"

Lineare Gleichungen Variablen der Gleichungen

varl.. varn:

4 xl + 5 x2 - x3 = 5 2 xl - 3 x2 - 1 x3 = 4

> eql := 4*xl+5*x2-x3=5: >eq2 := 2*xl-3*x2-1*x3=4: >solve({eql,eq2}, {xl,x2,x3})i

{xl

> assign (%)

1 ="24x2,x2 =x2, x3 =-3 -

11 x2}

i

>x3;

- 3 - 11 x2 Der solve-Befehlliefert - falls möglich - die exakte Lösung innerhalb der gebrochenrationalen Zahlen. Falls in der Lösung ein freier Parameter enthalten ist, so wird dies Z.B. wie im obigen Fall durch die Identität x2=x2 angezeigt. Soll die Lösung den Variablen zugewiesen werden, muss dies explizit mit dem assign-Befehl veranlasst werden. Ist das System überbestimmt liefert der solveBefehl keine Lösung. Sucht man nur ganzzahlige Lösungen eines Gleichungssystems wird der isolve-Befehl statt dem solve-Befehl verwendet. Siehe auch

fsolve, assign; -7 Überbestimmte LGS -7 Lösen einer Gleichung -7 Näherungsweises Lösen einer Gleichung.

Kapitel 3: Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen

In Kapitel 3 werden iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen mit Maple programmiert. Es wird das allgemeine Iterationsverfahren, die Regula falsi und das Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungen in einer Variablen bereitgestellt sowie das Newton-Verfahren für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

3.1 Allgemeines Iterationsverfahren ,

for Ｎｾ＠

Probiem . I-

,

Gesucht ist eine Näherungslösung der Gleichung h(x)=g(x) durch Verwendung des allgemeinen Iterationsverfahrens. Mit f(x) := h(x)-g(x) + x erhält man die Iteration xj := f(x j _ l ) .

."

Befehl ,

' " . . ._

ｾＺ｣＠

Maple-Befehlsfolge

'-" .

Parameter .,

Gleichung der Form h(x)=g(x) Variable der Gleichung Startwert für die Iteration Anzahl der Iterations schritte

eq:

x: x[O}:

N:

-R - 3x = - .5

Beispiel

2

>eq . - sqrt(x 3l - 3*x 2 = - 0.5: # Gleichung >x [0] .- O. : #Startwert >N - 10: #Iterationen ., > f : = unapply(lhs(eql-rhs(eql+x, xl: > for i from 1 to N >do > xli] :=evalf(f(x[i-1]l): > od: A

A

.

.

'.

li'

-

> print (-nie Iterationslösung lautet nach i, -Iterationen

Die Iterationsläsung lautet nach

-, - ,x [i] l;

, 10, Iterationen, .6799680376

Hinweise - ." Das Verfahren konvergiert nur für hinreichend flache Funktionen. Eventuell muss der Startwert x[O] angepasst werden. Siehe'.... auch

fsolve, unapply, for-Schleife ;

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

ｾ＠

Newton-Verfahren.

12

Kapitel 3: Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen

3.2 Regula falsi . for . Probiem

Gesucht ist eine Näherungslösung der Gleichung h(x)=g(x) durch Verwendung der Regula falsi. Mit fex) := hex) - g(x) erhält man die Iteration f(X I _ 2 ) (XI_I - Xi _ 2 ) Xi :=Xi _ 2 -

f(x i _ l ) - f(X i _ 2 )

Maple-Befehlsfolge ｐ｡ｩｊｮｾｴ･ｲ＠

eq:

." ,

X:

x[O]. x[I]: ' N:

Gleichung der Form h(x)=g(x) Variable der Gleichung Startwerte fiir die Iteration Anzahl der Iterationsschritte

x 2 -2=O > eq : = x" 2 - 2 = 0: #zu lösende Gleichung >x[O] ,- 1.5: >x[I] ,- 1.7: #Startwerte #Iterationen >N : = 3: >f:= unapply(lhs(eq)-rhs(eq), x): > i:=l: >while abs(f(x[i]))>IO"(-9) and ido > i : =i+l: > x[i]:= x[i-2] - evalf(f(x[i-2])* (x [ i-I] -x [i-2]) / (f (x [i-I]) -f (x [i-2]))) : >od: > print Ｈｾｄｩ･＠ Iterationslösung lautet nach ｾＬ＠ i, ｾｉｴ･ｲ｡ｩｯｮ＠ ｾＬｸ ｛ ｩ｝Ｉ［＠

Die Iterations/ösung lautet nach ,3, Iterationen , 1.414914915

ruf

Das Verfahren konvergiert nur hinreichend flache Funktionen. Eventuell müssen die Startwerte x[O] und x[l] angepasst werden. 'Siehe auch

fs o lve ,unapp l y ,fo r-Schleife,while-Schl ei f e;

-7 Newton-Verfahren.

3.3 Newton-Verfahren

I3

3.3 Newton-Verfahren while -

" Problem -

Gesucht ist eine Näherungslösung der Gleichung h(x)=g(x) durch Verwendung des Newton-Verfahrens. Mit fex) := hex) - g(x) folgt fur die Iteration

Maple-Befehlsfolge , eq: - x:

x[Oj: N:

Gleichung der Form h(x)=g(x) Variable der Gleichung Startwert fuf die Iteration Maximale Anzahl der lterationsschritte

'Beispiel . -.-

>eq := x 2 -2 >x[O] := 2.: >N := 10: A

0: #zu lösende Gleichung #Startwert der Iteration #Iterationen

>f:= unapply(lhs(eq)-rhs(eq), x): > i :=0: >while abs(f(x[i]»>10A(-9) and ido > i:=i+1: > x[i] := x[i - 1] - f(x[i - 1])/D(f)(x[i-1]): >od: ＾ｰｲｩｮｴＨｾｄ･＠ Iterationslösung lautet nach ｾＬ＠ i, ｾｉｴ･ｲ｡ｩｯｮ＠ -,x[i]); Die Iterations/ösung lautet nach

Hinweise '-0;:

.Siehe auch

, 4, Iterationen , 1.414213562

Das Verfahren konvergiert nur fiir einen hinreichend nahe an der Lösung liegenden Startwert x[O]. fso l ve, unapply , for -S c hlei f e, whi l e -Sch l eif e ,D Ope rator; ｾ＠ Allgemeines Iterationsverfahren.

14

Kapitel 3: Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen

3.4 Newton-Verfahren in 20

Gesucht ist eine Näherungslösung der nichtlinearen Gleichungen

Problem

h l (x, y)= g, (x,y)

h2 (x, y)= g2 (x,y). Diese beiden Gleichungen sind äquivalent zu den beiden Gleichungen

1; (x,y) = h, (x,y)- g, (x,y) =0 , J; (x,y) = h2 (x,y)- g2 (x,y) = 0, die durch das Newton-Verfahren numerisch gelöst werden:

'Befehl· ,. • .t,

Maple-Befehlsfolge

i,

Parameter

eq J: eq2: x,y:

Gleichung der Form hl(x)=g,(x) Gleichung der Form hb)=g2(x) Variablen der Gleichungen

x2 + 2/- 8 = 0 x 3 _ 4y= 0

eql : = x A2 + 2 *yA2 - 8 > eq2 : = x 3 - 4*y =0: A

>x[O J > y [OJ

= 0i

# Gleichungen

:= 1.:

: = 1.:

>N := 20:

#Startwerte #Iterationen

3.4 Newton-Verfahren in 2D

>f1:= unapply(lhs(eq1)-rhs(eq1), >f2:= unapply(lhs(eq2)-rhs(eq2),

(x,y»: (x,y»:

Definition der lacobi-Matrix A und deren Inversen k >with(linalg) : >A:=jacobian([f1(x,y), > Ainv: =inverse (A) : >M[l,l] >M[1,2] > M [2,1] >M[2,2] > i :=0:

f2(x,y)],

:=unapply(Ainv[l,l], :=unapply(Ainv[1,2], : =unapply (Ainv [2,1], :=unapply(Ainv[2, 2],

15

1

[x,y]):

(x,y»: (x,y»: (x, y) ) : (x,y»:

Iteration >while (abs(f1(x[i],y[i]»>10 .... (-8 ) or abs(f2(x[i],y[i]»>10 A (-8» and ido

>

i:=i+1:

> >

xi:=x[i-l]: yi : =y [i - 1] : xCi] ,- xi - M(l,l] M[1,2] y[i] ,- yi - M[2,1] M[2,2]

(xi,yi)*f1(xi,yi) (xi,yi)*f2(xi,yi): (xi,yi)*f1(xi,yi)(xi,yi)*f2(xi,yi):

Ausgabe > print (-Die Iterationslösung lautet nach -, i f - Iterationen - f x Ci] f Y Ci] ) ;

Die Iterationslösung laulei nach , 6, Iterationen , 1.827700576, 1.52635359

Das Verfahren konvergiert nur fiir hinreichend nahe an der Lösung liegende Startwerte x[O], y[O]. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardrnäßig wird mit 10 Stellen gerechnet. fsolve , unapply,for-Schleife,while-Schleife,DOperator, Digi ts; ｾ＠ Allgemeines Iterationsverfahren ｾ＠

Lineare Gleichungssysteme: lacobi-Methode.

16

Kapitel 3: Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen

3.5 Lineare Gleichungssysteme: Jacobi-Methode

ProBlem

Gesucht sind Lösungen von linearen Gleichungssystemen a l, l x l+ a l,2 x 2 a2, 1 XI + a2,2x2

+ ... + a l, nxn + ... + a 2,n x n

afit I XI + an, 2 X2 + ... + an, n X

=

bl

= b2

n=

b11

durch die Jacobi-Iteration (m+ I)

Xl

ｐｾ･ｴｲ＠

Befehl '

[bk - Ｈ Ｈ ｾ＠ ak"x/ m») + (,t ak,;x/ m»))] I

Maple-Befehlsfolge

eqJ..eqn: xJ..xn:

Lineare Gleichungen Variablen der Gleichungen 4 xl - 1 x2 - x3

=5

2 xl - 5 x2 - I x3 = 4 -xl + 3 x2 - 8 x3 = 7 , Definition der Gleichungen >eql .- 4*xl-l*x2-x3=5: >eq2 := 2*xl-5*x2-1*x3=4: >eq3 := -xl+3*x2-8*x3=7: >N:=lO:

Auflösen der Gleichungen eqi nach Xi > for i from 1 to 3 >do > ls l l i:=isolate(eq l l i,x l l i) > od;

5

I

1

/sI :=xl =4+4x2+4x3 ls2 := x2

4

2

1

7

I

3

= - 5+ 5xl - 5x3

ls3 := x3 = -

"8 - "8 xl + "8 x2

3.6 Lineare Gleichungssysteme: Gauß-Seidel-Methode

17

Iteration .... ,.. :

>xl:=O . : x2:=O.: x3:=O.: > for i from 1 to N > do > > > >

xln:=rhs(1s1): x2n:=rhs(1s2): x3n: =rhs (1s3): xl:=xln: x2:=x2n: x3:=x3n:

>od:

Ausgabe >print(-Die Iterationslösung lautet nach -, i, -Iterationen - ,xln, x2n, x3n); Die Iterations /ösung lautet nach

,10, Itera/ionen • .9286016152, -.214337893 ·1.071402566

Das Verfahren konvergiert nur für hauptdiagonaldominante Matrizen bzw. Gleichungssysteme. Eine schnellere Konvergenz besitzt das Gauß-Seidel-Verfahren. Durch die Angabe Digits:=n wird die , Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardrnäßig wird mit 10 Stellen gerechnet. fs o lve, isola te, for - Schleife; ｾ＠

Lineare Gleichungs-

systeme: Gauß-Seidel-Methode.

3.6 Lineare Gleichungssysteme: Gauß-Seidel-Methode t h . Zusätzlich zum Graphen werden durch die Option style = patchcontour Höhenlinien berechnet und eingezeichnet >plot3d(f(x,y),x=-lO .. lO,y=-lO •. lO, contours=20, style=patchcontour);

grid=[n,m] Dimension des Berechnungsgitters: nxm title=t Titel des Schaubildes labels=[x,y,z] Spezifiziert die Achsenbeschriftung '. tickmarks=[l,m,n] Anzahl der Markierungen auf Achsen Anzahl der Höhenlinien contours=n Nur Höhenlinien werden gezeichnet style=contour scaling= Maßstabsgetreue Skalierung Der darzustellende z-Bereich view=zmin .. zmax axes=boxed Achsen werden gezeichnet •. ;.}. :;;'·.i thickness= Steuerung der Liniendicke orientation=[phi, theta] Blickrichtung der 3d Graphik . "';l ［Ｎｾ＠ Das Gitter wird unterdrückt . t[ style=patchnogrid Unter ?plot3d[options] sind alle Optionen des plot3d-Befehls beschrieben. Die vielen anderen plot3d-Befehle sind im plots-Package enthalten, die mit with(plots); aufgelistet werden. Zur graphischen Manipulation klickt man das Schaubild an und wählt dann Optionen der Menueleiste aus, die oben im Worksheet angezeigt werden. Zum Drehen der Graphik genügt es die rechte Mousetaste gedrückt zu lassen und dann zu drehen. Alternativ klickt man mit der rechten Mousetaste auf die Graphik und spezifiziert einen der angegebenen Optionen. Insbesondere können Graphiken so in ein . anderes Format exportiert werden. ,- Cl}.f"_

_

Siehe' auch

plot, densi typlot, gradplot, fieldplot, display, animate, animate3d; -7 Darstellung von Funktionen in einer Variablen.

6.2 Animation einer Funktion f(x,t)

29

6.2 Animation einer Funktion f(x,t) ,.

'

': animate' ' Gesucht ist die Animation einer Funktion f(x,t) in einer Ortsvariablen x und der Zeitvariablen t.

'Problem

:Befehl ｐｾｴ･ｲ

animate(f(x,t), x=a .. b, t=tO .. tl, opt); Ｇ＠

•

f(x, t):

:' - '.,- . x=a .. b: t=tO.. tl : '; , opt:


wi th (plots) :

Liste von Daten der Fonn [[xl ,yl], ... , [xn,yn]].

>1:=(

(1,1],

[3,9]'

[5,25]'

(1 0,100]]:

> logplot (1) ; Waming, the name changecoords has been redefined .1e3

.5e2

.1e2 5.

1.

'Hinweise '".-.

Siehe auch

Das plots-Package muss vorher geladen werden. Es ist zu beachten, dass die x- bzw. y-Werte je nach SkaLierung größer Null sind,

wri tedata, readdata; -7 Einlesen und Darstellen von Messdaten.

Kapitel 8: Funktionen in einer Variablen

Für Funktionen in einer Variablen werden folgende elementaren Probleme gelöst: Nullstellen von Funktionen erhält man über den solve- bzw. fsolve-Befehl, die Linearfaktorenzerlegung erfolgt mit factor und eine Partialbruchzerlegung von gebrochenrationalen Funktionen mit convert. Die Bestimmung von Extremwerten, Wendepunkte und Asymptoten ist im Abschnitt über die Kurvendiskussion zusammengefasst. Das Lösen der Einzelprobleme erfolgt hierbei im Wesentlichen durch solve, diff, simplify sowie plot. Speziell tUr die Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe benötigt man den taylor-Befehl.

8.1 Bestimmung von Nullstellen _

-

• -,

-,-'-0";''1

-fsq!:ve

Problem

Befehl'

Gesucht sind Näherungen tUr die Nullstellen einer Funktion f(x): f(x)=O

.. .

fsolve ( f(x)=O, x);

ｾ＠

Parameter . f(x): .x: ,

Funktionsausdruck Variable der Funktion

Beispiel ;

..

..jx -4x2 =0

> f (x) .- sqrt(x} - 4*x A 2 : > fsolve (f (x) =0 x) ; I

O.

>fsolve(f(x)=O, x, x=o.1. .2} ;

3968502630

> fsolve(f(x)=O, x, x=xO .. xI); x=xO ..xI gibt das Intervall an, in Optionale' Parameter . dem eine Nullstelle näherungsweise berechnet wird. > fsolve(f(x)=O, x, complex); bereclmet auch komplexe Lösungen.

'Hinweise ,-

Ist f(x) ein Polynom vom Grade n, dann werden mit der Option comp/ex alle Nullstellen (reelle als auch komplexe) des Polynoms f(x) näherungsweise bestimmt.

'::;iehe auch

s ol ve; -7 Näherungsweises Lösen einer Gleichung.

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

Kapitel 8: Funktionen in einer Variablen

36

8.2 Linearfaktorzerlegung von Polynomen factor :-Problem

Gesucht ist eine Zerlegung des Polynoms •

f(x)=anx + a. _1x

(. - I)

+ ... + a 1x +a o

. in Linearfaktoren der Form (.- I)

a.x·+a._1x

+ ... + a1x+a o = a.(x -x l ) (x -x2)

;BHehl

facto r( f(x»;

,ParanieteJ

f(x) :

(x-x n )

Polynom vom Grade n

'Beisp,iel .. -

ＺＮｾ＠

> factor (f (x) ) ; x(7 x- 3)(x2 + l)(x- 1)2 > factor (f (x), complex)

i

7. (x + 1. I) x (x - 1. /) (x - .4285714286) (x - 1.)2 Der factor-Befehl liefert falls möglich alle reellen Nullstellen und stellt das Polynom in diesen Nullstellen dar. Mit der Option comp/ex werden auch die komplexen Nullstellen näherungsweise bestimmt und man erhält eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren. Siehe -auch

f s olve.

8.3 Partialbruchzerlegung gebrochenrationaler Funktionen

37

8.3 Partialbruchzerlegung gebrochenrationaler Funktionen

conv er t parfrae Problem

Gesucht ist eine Partialbruchzerlegung der gebrochenrationalen Funktion •

(anx + an _ lx

(n - I)

+ ... +al x+a o ) / m

(brnx +bm_ , x Befehl

c onv e rt(f(x), parfrac, x);

Parameter

J(x) : x:

(rn - I)

+ ... + b, x+ bo )

Gebrochenrationale Funktion Unabhängige Variable der Funktion

Beispiel

f( x)

x - 2X +x +4x+ 1 =--,----:----4 3 6

S

x

-

4

2 x + 2 x -I

>f(x) :=(x A 6 _2*x A S+x A 4+4*x+l) / (x A 4-2*x A 3+2*x-l) : > convert (f (x) parfrac x) ; 1 I

,.

ｾＫ

ｬ Ｋ＠

3

4(x- I)2

I

_

1 + I + __5_""7 8(x+l) 8(x-l) 2(x- I)3

Hinweise Siehe auch

I

f s olve, fa c t o r .

Die Maple-Ausgabe ist versionsabhängig leicht unterschiedlich.

38

Kapitel 8: Funktionen in einer Variablen

8.4 Kurvendiskussion

Kurvendiskussion einer Funktion f(x) in einer Variablen x ｾｲｯ｢ｬ･ｉＡ＠

(I) Graph der Funktion (2) Symmetrie (3) Nullstellen (4) Lokale Extrema (5) Wendepunkte (6) Verhalten im Unendlichen Maple-Befehlsfolge ,Parameter

j(x): x:

Ausdruck in der Variablen x Unabhängige Variable

> f:=x->x/sqrt(x 4+2): A

(I) Funktionsgraph: plot-Befehl ','

'c'

>plot(f(x)

-10

-8

I

x=-10 .. 10)

-6

-4

-2

i

2

4

x6

8

10

8.4 Kurvendiskussion

39

(2) Symmetrie: f(-x)=f(x) oder f(-x)=-f(x): simplify-Befehl > simplify (f (x) /f (-x),

symbolic)

i

-I Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Urspnmg. (3) NullstelIen: sol ve-Befehl >solve(f(x)=O,x)

i

o

(4) Lokale Extrema: Erste Ableitung gleich Null, zweite ungleich Null. Bestimmung der relevanten Ableitungen mit dem diff-Befehl. > fs:=simplify(diff(f(x), x»; >fss:=simplify(diff(f(x), X$2»i >fsss:=simplify(diff(f(x), x$3»;

x4 _ 2 fs: = fss := 2 fsss := - 6

(312)

(x 4 + 2) xl (x 4 - 10) (x 4 + 2)

( 512)

x 2 (x 8 - 28x 4 + 20)

(x 4 + 2)

(712)

Es gibt 2 reelle Kandidaten für lokale Extremwerte e[l] und e[3]. : Ob diese Kandidaten auch Extremwerte darstellen entscheidet die 2. Ableitung > subs (x=e [1) , fss) > evalf (%) i

i

｟ ｾＲＨＳ

f4

Ｏ Ｔ Ｉ＠ 4 -.8408964155

.'/ ': . .' ＬＭＺｾ＠ ＧｾＢ＠ ,.., ＢＮｾ［＠ .... ,

Da zweite Ableitung negativ, liegt hier ein lokales Maximum vor. . Der Funktionswert ist >evalf(f(e[l))i

>" "

.

,

.5946035575 >subs(x=e[3] ,fss); > evalf (%) i

40

Kapitel 8: Funktionen in einer Variablen

!

2 (314)

14

4 .8408964155

Da zweite Ableitung positiv, liegt hier ein lokales Minimum vor. (5) Wendepunkte: Zweite Ableitung gleich Null, dritte ungleich Null >w:= [solve(fss=O,x)] i w := [0,0,0, \O( 114 ),1 lO(lf4), -1O( 114), -I 1O( 114)] > evalf (w) ; [0 .,0.,0.,1.778279410, 1.778279410/, -1.778279410, - 1.778279410

Es gibt 3 reelle Kandidaten für Wendepunkte w[1], w[4] und w[6]. Ob diese Kandidaten auch Wendepunkte darstellen entscheidet die 3. Ableitung " >subs(x=w[l] ,fsss) ievalf(%) i

o

O. Da die dritte Ableitung Null, liegt für den Wert x=O kein Wendepunkt vor. In Frage kommen nun noch die Werte 1.778279410 bzw. -1.778279410: . >subs (x=w[4] ,-fsss);evalf(%); 5 - 108 .[iO

fI2

-.5071505162

> subs (x=w [6] ,fsss) i evalf (%) ;

ＱｾＸ Ｎ｛ｩｏ＠

fI2

.5071505162

(6) Asymptotisches Verhalten: Das asymptotische Verhalten bestimmt man mit dem asympt-Befehl > asympt (f (x) ,x);

Falls der solve-Befehl keine befriedigenden Ergebnisse liefert, sollte der fsolve-Befehl verwendet werden, der eine Näherungslösung der Nullstellen bestimmt. Mit simplify werden die Ausdrücke . vereinfacht. Siehe aych

subs, fsolve, simplify.

8.5 Taylorentwicklung einer Funktion

41

8.5 Taylorentwicklung einer Funktion

t ay l o r Gesucht ist die Taylorentwicklung der Ordnung N fiir eine Funktion fex) mit einer Variablen x

Problem

(! ｾ＠ (!

f ex) = f( x o) +

f(X o)} (x - xo) + ... +

f

f( xo) (x - xot

tay l o r(f(x), x=xO, N+ l); ｂ･ｦｾｨｬ＠

Parameter I

f(x): x =xO:

,

N:

Funktionsausdruck Entwicklungspunkt Ordnung der Taylorreihe

fe x ) = e X an der Stelle X o = 0 bis zur Ordnung 5.

Beispiel

> f: =x->exp (x) : > t ayl or (f (x ), x=O,

;

,/"

6) ;

1 2 1 ) 1 4 I s 6 l + x+ Z x +(i x + 24 x + 120 x + O( x ) > p : = convert (% , polynom) ;

._ 1 2 1 ) 1 4 1 S p.- l +x + Zx +(i x +24 x + 120 x

I'r

2

, >p lo t([f(x), pi, x = -2 . . ＴＬ｣ｯｬｲ］｛･ ､Ｌ｢ｬ

ｵ･｝Ｉ［ｾ＠

Hinweise

O( x 6 ) bedeutet, dass Terme ab der Ordnung 6 abgeschnitten werden. Mit convert wird die Partialsumme in ein Polynom umgewandelt, welches dann z.B. mit dem plot-Befehl gezeichnet werden kann. Die allgemeine Taylorreihe mit einem allgemeinen Glied kann nicht durch den elementaren Befehlssatz von Maple bestimmt werden.

Siehe' auch'

convert, mtaylor; -7 Konvergenz von Potenzreihen: Konvergenzradius -7 Fehlerrechnung.

Aus Platzgründen wird auf die Ausgabe der Graphik verzichtet.

Kapitel 9: Funktionen in mehreren Variablen

Bei den Funktionen in mehreren Variablen werden die ThemensteIlungen der Tangentialebene, der Fehlerrechnung sowie das totale Differential über MapleBefehlsfolgen bearbeitet. Hierzu werden zwei Prozeduren, fehler und differential, bereitgestellt, die vor der entsprechenden Verwendung ausgefiihrt werden müssen. Die Taylorreihe einer Funktion wird durch mtaylor bis zur Ordnung N bestimmt.

9.1 Totales Differential diffe r eo'Ü al --"

ｾｲ

ｯ｢

"

--, ｬ･ｉｩ＠

"

Gesucht ist das totale Differential einer Funktion f( XI df=

'4

B_efelil > ' . ,-' Parallleti:lr'

+ ... +

xn

):

ＨｯｾＯＩ､ｸｮ＠

d ifferential(f(xl , ... , xn), [xl, ... , xn));

f(xl , .. ., xn): {xl, ... , xn}:

Funktionsausdruck in den Variablen x I, .. ., xn. Liste der Variablen

f(x ,y ) =x ln(x+ y )

Beispiel

> f(x,y) : =x*ln(x+y): > df: =diff e r e ntial (f (x,y) ,

.

[x , y]);

df:= ( In(x + y ) + -X) x+y

Hinweise I

ＨｾＯＩ､ｸｬ＠

, .. . ,

.

Siehe auch

xdy dx + -x+y -

Die externe Prozedur differential muss vor dem erstmaligen Aufruf ausgefiihrt werden. mtaylor; ｾ＠

Fehlerrechnung.

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

9.2 Tangentialebene

43

9.2 Tangentialebene

}>roblem

Gesucht ist die Tangentialebene einer Funktion von zwei Variab1en f(x,y) an der Stelle ( Xo 'Yo ).

f(x o' Yo) + (!f)

Beispiel .'" . ..::ｾＧＮ＠

fiir n

ＮｾＧＬ＠

l e ｾＧＮＢ＠

_.1...;

an

"

>a:= n -> 1 + (_1)A n *1/2 An: >limit(a(n), n=infinity) ; 1

,.Hinweise

.

Siehe .auch , ' .

Bei Großschreibung des Befehls Limit (inerte Form) wird der Grenzwert nur symbolisch dargestellt. rsolve.

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

10.2 Bestimmung von Grenzwerten rekursiver Folgen

47

10.2 Bestimmung von Grenzwerten rekursiver Folgen rsolve Gesucht ist der Grenzwert einer Zahlenfolge an für n -+00

Problem

lim an'

n ......

wenn die Folge rekursiv definiert ist durch an = f( an _ I' ... , a l

)

und a l vorgegeben ist. raal ve( {a(n), a(I)} , a); ｾＮ＠

ｾＮＬＺＧ＠

,

Ｎｾ＠

t--

Parameter ..

a(n):

Rekursive Defmition der Folge an

a(1):

Startwert Folgenname

a:

1 a( n ) = 2 (a( n - 1) + 2)

mit

a( 1)=4

. >rsolve({a(n)=1/2*(a(n-l)+2) , a(1)=4},

4Gr

> limit (%, n=infinity)

a)j

+2

j

2

Mit rsolve wird die rekursive Folge explizit nach a(n) aufgelöst und mit limit der Grenzwert gebildet. limi t ; ｾ＠

Bestimmung von Funktionsgrenzwerten.

48

Kapitel 10: Grenzwerte und Reihen

10.3 Bestimmung von Funktionsgrenzwerten

Iinüt Problem ' . , Gesucht ist der Funktionsgrenzwert lim f(x) = lim f( xn )

,-

ｂ･ｾ

n-+a)

X-HO

･ ｨｬ＠

limi t(f(x), x=xO);

Parameter ,

f(x): xO:

,.

Funktionsausdruck Grenzwert der x-Folge; kann auch

run

Beispiele

x -+ o

sein

sin(x )

-

-

X

> limi t (sin (x) Ix, x = 0) ; I

;:

..

•

> f:=l/(x-l);

:;."

1

/ .=. x-

"

j.,,, ,'.

,

00

,,

.

,

..

'.

ＺＬＮｾ＠

.

'

Hinweise,

..

,

,

:'

Siehe auch , ',"

1

. >Limit(f, x=l, right)=limit(f, x=l, ri g ht); ., lim x -+ 1+

.

1 x- I

--=00

' Es werden die Regeln von I'Hospital bei der Berechnung des Grenzwertes berücksichtigt. Optional kann als drittes Argument u.a. rur den rechtsseitigen bzw. linksseitigen Funktionsgrenzwert gewählt werden. ｾ＠

Bestimmung von Folgengrenzwerten.

10.4 Konvergenz von Zahlenreihen: Quotientenkriterium

49

10.4 Konvergenz von Zahlenreihen: Quotientenkriterium

limit ProbleIl) ',

Anwendung des Quotientenkriteriums auf Zahlenreihen

2:'" an :

*=1

limit (abs(a(n+ l)/a(n», n=infmity); Zahlenfolge

',' '." ' .. :, ".' >a:= n -> n/2 n: >limit(abs(a(n+l)/a(n», n=infinity); A

I

I

2

ＮＬＺｾ｜＠ - ｾ＠ . . t

,: ", Die Reihe konvergiert, da der Grenzwert f

Funktion

_- x -> exp(x)

+ 4*x 2; A

f: =x --+ e + 4:>? X

, >D(f);

x--+e""+8x >D (t) (2); "

Ｚ ｈＧ［ｷ･ｩ

ｾ Ｏ ｲＺｩＧＬ＠

Höhere Ableitungen werden durch (D@@2)(t) usw. gebildet. Es ., ist wichtig zwischen diff und D zu unterscheiden: diff differenziert . ＬＮｾ＠ , einen Ausdruck und liefert als Ergebnis einen Ausdruck; D differenziert eine Funktion und liefert als Ergebnis eine Funktion! Man beachte, dass D(f)(x) = diff(f(x),x). Das Ergebnis des D-Operators ist wieder eine Funktion, die anschließend an einer Stelle Xo aus-

"

wertbar ist.

,

"

'

St'ehe ｾｵ｣ｨ＠

diff ; -7 Ableitung eines Ausdrucks in einer Variablen.

11.3 Numerische Differentiation

53

11.3 Numerische Differentiation

Gesucht ist eine Näherung filr die Ableitung eines Ausdrucks f(x) an der Stelle X o

Problem;

Maple-Befehlsfolge

f

Parameter

xO: h:

Funktion Wert an der die Ableitung berechnet wird Schrittweite

·' Beispi.el , :'. f{x)=sit\x)lt\x) bei xo = ·5 miteinerSchrittweitevonh= 1 · > f

. >xO : =O . 5: · >h: = O.l : " >Ableitung= (f (xO +h) - f (x O- h) ) /h; ＧＺＮｾ＠

Ｎｾ＠

: = x- > sin (x) *ln (x) :

'. f: =l/sqrt (x"2+y"2) : >Diff (f,x) =diff (f,x) i

o 1 OX ｾ＠ il +1 =

X

(il + 1)(312)

>Oiff(f, x, y)=diff(f, x, y)i

ｾ＠

oyax ｾ ｸＲＫＱ＠

1

- 3

-

xy

(il+ltfl )

..ｾ＠ Höhere partielle Ableitungen werden durch diff(f(x), xS2) bzw. diff(f(x), y$2) oder diff(f(x), x,y,z) usw. gebildet. Bei Großschreibung des Befehls Diff (inerte Form) wird die Ableitung nur symbolisch dargestellt. Di

ｾ＠

Ableitung einer Funktion in einer Variablen.

11.5 Partielle Ableitungen einer Funktion in mehreren Variablen

55

11.5 Partielle Ableitungen einer Funktion in mehreren Variablen

D· Problem . ,

Gesucht ist die partielle Ableitung einer Funktion f( XI nach einer Variablen

,

x2 '

•. . ,

xn

)

Xi

a axfC XI' X2' X3 , •.• , xn ) I

D[i](t);

Funktion f:= (x,y) ｾ＠

'Beispiel ·

>f

1 ＨｘＧｙＩｾＲ＠

'1

a)2+ (y - b)2) :

2x - 2a

ｾ＠ (x - a )2 + (y - b )2

'.'i': ',"'

ｾ ｃｸＭ

-> In (sqrt «x-a) "'2+ (y-b) "'2»

: = (x,y) >D[l](f)i

. ｾ＠ )

Ｑｾ

2

>D[ 2 ] (f) (x,y);

I

2y-2b 2 xl - 2 X a + 0 2 +1- 2 Y b+ b 2 Höhere Ableitungen werden durch D(I$2] , D(2$2] bzw. D[I, 2] fur die gemischte zweite Ableitung usw. gebildet. Alternativ zu - D(I$2] und zu D(2$2) kann auch (D(I)@@2)(f) und , (D(1]@@2)(f) verwendet werden . .'., Es ist wichtig zwischen düf und D zu unterscheiden: diff differenziert einen Ausdruck und liefert als Ergebnis einen Ausdruck; D , '. . differenziert eine Funktion und liefert als Ergebnis eine Funktion! Das Ergebnis des D-Operators ist wieder eine Funktion, die anschließend an einer vorgegebenen Stelle auswertbar ist. diff ; -7 Ableitung eines Ausdrucks in einer Variablen.

Kapitel 12: Integration

Neben dem Ableiten gehört das Integrieren zu den Standard-Aufgaben der Analysis. Die Integration erfolgt mit ißt. Damit können bestimmte, unbestimmte und uneigentIiche Integrale berechnet werden. Doppel-, Mehrfach- bzw. Linienintegrale müssen zunächst auf einfache Integrale mit den zugehörigen Integrationsgrenzen zurückgespielt werden und können dann mit dem ißt-Befehl sukzessive bestimmt werden. Die Berechnung der Mantelfläche und des Volumens von Rotationskörper ist ebenfalls eine Anwendung des ißt-Befehls.

12.1 Integration einer Funktion in einer Variablen , int Problem

ｾ ｯ＠

Gesucht ist das bestimmte Integral

f fex ) dx a

Befehl

int(f(x), x=a..b);

Parameter

f (x): x=a.. b:

Integrand in x Integrationsvariable und Integrationsbereich

f

3

Beispiel

x 2 +ln(x)+4dx

I

> f (xl .- x 2+1n( x )+4 : > int (f (x) x=1. . 3); A

I

3ln(3) + 44 3 Hinweise

..

-

Siehe auch

Bei Großschreibung des Befehls Int (inerte Form) wird das bestimmte Integral nur symbolisch dargestellt. Werden die Integrationsgrenzen nicht angegeben, so wird eine Stammfunktion bestimmt. Als Integrationsgrenzen sind auch -00 und 00 zugelassen, d.h. der int-Befehl berechnet auch uneigentliche Integrale . ｾ＠

Numerische Integration einer Funktion in einer Variablen.

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

12.2 Numerische Integration einer Funktion in einer Variablen

57

12.2 Numerische Integration einer Funktion in einer Variablen lot evalf Gesucht ist eine numerische Näherung für das bestimmte Integral

f

b

fex) dx

a

1"" .'

'Be(dile:. " Int(f(x), x=a .. b); ,.:. ';' evalf(%); ｂｾ･ｴｲ＠

.

.'

' f(x) :

x=a.. b:

Integrand in x lntegrationsvariable und Integrationsbereich

.' ,

I

I bn;X)

Beispiel .

o > Int ( tan (x) Ix, x=O •. 1)

IIon;X)

dx

i

I

dx

o

> evalf (%)

i

1.149151231

!!;, ｲＺｾ＠ 't :.ｾＮ＠ Hihweise','

.

Bei der Vetwendung von evalf dürfen weder der Integrand noch die Integrationsgrenzen Parameter enthalten. Die inerte Formulierung ist bei der numerischen Reclmung im Allgemeinen schneller, da dann nicht versucht wird, zunächst eine Stammfunktion zu bestimmen und diese dann an den Integrationsgrenzen auszuwer, : ten. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gereclmet.

\;.

;

... Ｂｾ＠

Siehe'aUch , trapezoid(f(x), x=a .. b, n): Trapezregel fiir eine Unterteilung des Intervalls in n Teilintervalle; simpson(f(x), x=a .. b, n): Simpsonregel fiir eine Unterteilung des Intervalls in n Teilintervalle.

58

Kapitel 12: Integration

12.3 Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei x-Achsenrotation

.P.roblem ·

Gesucht sind die Mantelfläche M und das Volumen V eines Rotationskörpers bei Rotation eines Funktionsgraphen fex) um die xAchse:

JｱｘＩ b

M=,.

ｾ ｬＫＨＡｱｘﾻＩＧ＠

a

f

dx,

b

v= 1t

f(X)2 dx .

a

,

,

; ｾ＠

M := 2*Pi*int(f(x)*sqrt(I+diff(f(x),x)"'2), x=a .. b); V := Pi*int(f(x)"'2, x=a .. b)

'Befellle .'

:

."li;

.Parameter ｾ＠

,i.l .'

f(x):

Funktionsausdruck

x=a .. b: Bereich der Variablen x fex)

=x2

im Bereich von 0 bis 2 >f(x) := x"2: >M:=2*Pi*int(f(x) *sqrt(l+diff (f (x) ,x) " 2) ,x=O .• 2)

M := 2 1t ( ;4 In( -4 + [f7) + ｾ＠

i

[f7)

>v .- Pi*int(f(x)"2, x=O •• 2)i

32 V·= . 5- 1t

Falls die Integration in Maple nicht ausgeführt wird, wende man auf das Ergebnis evalf(%) an. Dann wird das bestimmte Integral numerisch berechnet. ;S!.ehe,auch . int; -7 Darstellung von Rotationskörpern bei Rotation um die x. Achse -7 Darstellung von Rotationskörpern bei Rotation um die y, Achse.

12.4 Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei y-Achsenrotation

59

12.4 Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei y-Achsenrotation

Gesucht sind die Mantelfläche Mund das Volumen Veines Rotationskörpers bei Rotation eines Funktionsgraphen f(x) um die yAchse: b

M=2n

fｸｾｉＫＨＡｦｘＩｬＧ＠

dx,

a

b

V=21t

J

xf(x)dx,

a

. M:= 2*Pi* int(x*sqrt(l+diff(f(x),x)"2), x=a .. b); : .. ' . V:= 2*Pi* int(x*f(x), x=a.. b); Funktionsausdruck Bereich der Variablen x fex)

=x2

im Bereich von 0 bis 2 := x . . 2: >M .- 2*Pi* int(x*sqrt(1+diff(f(x),x)A 2 ) ,x=O . . 2);

ｍＺ］ＲＱｴＨＡｾＬｭ＠ >v

.-

-

/2)

2*Pi* int (x*f (x), x=O .. 2) ;

V:=8 1t I Falls die Integration in Maple nicht ausgefiihrt wird, wende man . .' auf das Ergebnis cvalf(%) an. Dann wird das bestimmte Integral numerisch berechnet.

jSiel\e:fu"cJiil'" int; 7 Darstellung von Rotationskörpern bei Rotation um die y!: ., ｜ｾ＠ Achse 7 Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei x" j)/ . " i; . Achsenrotation.

fl: =t:

#erstes Intervall Of2:=-1/3*(t-T/4)+T/4: #zweites Intervall > a [OJ : =l/T* (int (fl, t =O .. T/4) +int (f2, t =T/4 . . T»; 1

a o :=8 T

> a [nl : =2/T* (int (fl*cos (n*2*Pi/T*t) ,t=o .. T/4) +int (f2*cos (n*2*Pi/T*t) ,t=T/4 .. T » : > a [nJ : =normal (a [nl ) ;

a Ｎ］｟

ｾ＠ ｔＨＭＲ｣ｯｳｾｮＱｴＩＫ＠

n

3

l+cOS(n1t)2)

n 1t 2

2

>b[n] :=2/T* (int(fl*sin(n*2*Pi/T*t) ,t=O .. T/4) +int (f2*sin (n* 2*Pi/T*t) ,t=T!4 . . Tl l : > b [nJ : =normal (b [nJ ) ;

b

Ｎ］｟ｾ＠

r(-2sinGn1t)+sin(n1t)Cos(n1t»)

3

n •

n 2 1[2

>N:=10 : T:=l:

> a [0] + sum(a [n] *cos (n*2*Pi/T*t), n=l .. N) + sum(b[n]*sin(n*2*Pi/T*t), n=l .. N); cos( 4 1[ t) 2 cos( 6 1[ t) _ cos( 10 1[ t)

1 2 cos( 2 1[ t) 8 3 1[2 ,

1 cos( 12 1t t) 27 1[2

ｾｓｩｮＨＲＱＩ＠

_!

3

3..

1[2

2 cos( 141t t) 147 1t 2

27

11 2

1[2

+

7S

2 cos( 18 1t t) 243 1[2

ｾｓｩｮＨＱＰｬｴＩ＠

2 sin(611t) 11 2

27

,,2 1 cos(20 TI I) 75 1[2

k

2 sin(1411t) 11 2

-

147

11 2

Sin (l 81tt

+

11 2

> plot (f _ reihe, t= 0 .. 2 *T, color=red); 3

3

Hinweise

Bei der analytischen Berechnung der Fourierkoeffizienten dürfen in der Funktion Parameter enthalten sein. Damit das Integral aber berechnet wird, sollte auf eine Definition der Funktion über den piecewise-Befehl verzichtet werden. Stattdessen sollten die Integrale geeignet aufgespaltet und die Funktionsvorschrift direkt in die Integrale eingesetzt werden. Mit dem plot-Befehl wird die Näherung rur die Fourierreihe gezeichnet.

Siehe auch

int, normal , plot; -7 Fourierreihen (numerisch) -7 FFT.

Auf die Ausgabe der Graphik wird aufgrund von Platzgründen verzichtet.

13.2 Fourierreihen (numerisch)

65

13.2 Fourierreihen (numerisch)

Gegeben ist eine T-periodische Funktion f(t). Gesucht sind die numerisch berechneten Fourierkoeffizienten bis zur Ordnung N 1 T f(l) dl , ao = T

Problem

1 o

an

=

2

(

2 T

(

T J, f(/) cos(n Wo t) dt o

bn

-

J, f( t) sin( n Wo t) dt

o sowie die Partial summe der Fourierreihe f(l) == ao +

an cos(n Wo t») +

(.tl

b n sin(n Wo

t» )

Maple-Befehlsfolge

Befehl

Beispiel ｾＮ＠

Ctl

2n mit Wo == T

,

-

Gesucht ist die Fourierreihe einer Dreiecksfunktion > f:=piecewise(ta[O] :=l/T*Int(f,t = 0 .. T): > a [0] : =evalf (%) ;

ao ;= 1.250000000 >N:=10: > for n from 1 to N >do > a[n] :=2/T*Int(f*cos(n*2*pi/T*t),t=0 .. T); > a[n] :=evalf(%}; > bEn] :=2/T*Int(f*sin(n*2*Pi/T*t),t=0 .. T); > b [n] : =evalf (%) ; > print Ｈｾｮ＠ = ｾ＠ ,n, a [n], b [n] ) ; >od:

66

Kapitel 13: Fourierreihen und FFT

n =, I, -.6754745576, .6754745576 n = ,2, -.3377372788, O. n = ,3, -.07505272862, -.07505272862 n =, 4, -.131581988110. 15, O. n =, 5, -.02701898230, .02701898230 n = , 6, -.03752636432, o. n =,7, -.01378519505, -.01378519505 n =, 8, .164477485110. 15, O. n = , 9, -.008339192070, .008339192070 n =, 10, -.01350949115, O. > f reihe:= a [0] + sum(a[i]*cos(i*2*Pi/T*t), i=l .. N) + sum(b[i]*sin(i*2*Pi/T*t), i=l .. N): >plot([f, freihe],

t=O .. T, color=[black, red]);

2.5 2

Hinweise

Bei der numerischen Berechnung der Fourierkoeffizienten dürfen

in der Funktion keine Parameter enthalten sein. N spezifiziert die Ordnung der Partialsurnrne. Durch die numerische Berechnung der Integrale können KoefflZienten, die analytisch zwar Null sind, nun Werte in der Größenordnung 10-9 und kleiner bekommen. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n SteHen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gerechnet.

Siehe .auch

int, piecewise, for-Schleife, plot; -7 Fourierreihen (analytisch) -7 FFT.

13.3 Komplexe Fourierreihe und Amplitudenspektrum

67

13.3 Komplexe Fourierreihe und Amplitudenspektrum

Problem

Gegeben ist eine T -periodische Funktion f(t). Gesucht sind die komplexen FourierkoefflZienten co:

cn

=

J.r

T

I

T

27t

(-nwol)

f(t) e

mit

dt

w=-

o

o sowie die Darstellung des Amplitudenspektrums. Befehl

T

Maple-Befehlsfolge

Parameter f(t) = Zweiwegegleichrichter (T= l):

ｂ ｾｩｳｰ･ｬ＠

0.5

o

t

0.5

>wO:=2*Pi!T: >fl:=iO*sin(wO*t) : >f2:=-iO*sin(wO*t):

#erstes Intervall Owith(inttrans) : >DG . - diff(y(t), t$2) -y(t)=t*sin(t); DG := (

> laplace (DG,

,

s (s laplace(y( t),

I,

:2

y( t) ) - y( t)

= t sin( t )

t, s ) ; s) - y(O» - D( y)( O) - laplace(y(t ), t, s) = 2

s (s2 + 1)

2. Schritt: Auflösen der Gleichung nach F(s) >solv e( % , laplace (y (t) , t, s» ;

y( 0) SS + 2 y( 0) S3 + S y( 0) + D(y )( 0) S4 + 2 D(y )( 0) S2 + D(y )( 0) + 2 S S6 + S4 _ S2 _ I

. 3. Schritt: Die Rücktransformation liefert als Lösung > invlap lace ( %, s, t) ; 6 ,

6

I 1 1 I ( - t) 1 (-t) 1 (-t) ie'y(O)+4e'+i e t D(y)( O) +i e y(O)+4 e -i e D(y)(O)

-4

cos( t) -

ｾ＠

t sin( t )

Hinweise '

Die Anfangsbedingungen können vor dem Lösen spezifiziert werden; D(y)(O) bedeutet y'(O).

Siehe auch

l aplac e , inv laplace, d iff, sol v e ; 7 Lösen von DG mit der Fourier-Transformation 7 Analytisches Lösen.

Die Maple-Ausgabe ist versionsabhängig leicht unterschiedlich.

74

Kapitel 14: Integraltransfonnationen

14.4 Fourier-Transformation founer Gesucht ist die Fourier-Transformierte eines Ausdrucks f(t)

Problem

f

I) dt

-with(inttrans) : >F(w) := 4/{2+3*I*w): >f(t):=invfourier(F(w), w, t ) ; lY) 4 (- 213 I) H eavisl " d") 1\( :=3 e '\ t , > plot(f(t), t=-4 .. 10); 1.2

Hinweise

｣ ｓｩ･ｨ

L'

-:,,,-,:-,

.'

Ｇ ｾｵ｣ｨ＠

",

Vor dem Aufruf muss dieser Befehl des Package inttrans (Integraltransformationen) mit with(inttrans) geladen werden. fourier , Heaviside; -7 Inverse Laplace-Transformation -7 Fourier-Transformation.

76

Kapitel 14: Integraltransfonnationen

14.6 Lösen von DG mit der Fourier-Transformation

Problenr

Gesucht ist eine partikuläre Lösung einer linearen Differentialgleichung mit Hilfe der Fourier-Transfonnation.

},lefehl "

Maple-Befehlsfolge

,

Gesucht ist eine partikuläre Lösung der DG y"(t) - y(t) = t * sin(t).

,

1. Schritt: Anwenden der FT auf die DG: > wi th (inttrans) : >DG := diff(y(t), t$2)-y(t)=t*sin(t);

!:

DG := (

y( t) ) - y( t) = t sin( t)

> fourier (DG, t, w); - wl fourier( y( t), t,w) - fourier(y(t), t, w) =1t Dirae( I, w- I) -

1t

Dirae( I, w+ I)

2. Schritt: Auflösen der Gleichung nach F(w)

> salve ( % , faurier(y(t), t, w»; 1t (Dime( 1, w - 1) - Dirac(l, w + 1» ｾＫ＠

I

3. Schritt: Die Rücktransfonnation liefert als Lösung > invfaurier ( %, w, t): > simplify(evalc ( %

»;

- !2 t sin( t) - !2 cos(t ) Man beachte, dass im Gegensatz zum dsolve-Befehl mittels der FT nur eine partikuläre Lösung der DG berechnet wird, und zwar genau die Lösung mit verschwindenden Anfangsbedingungen. Für andere Anfangsbedingungen muss noch die homogene Lösung hinzuaddiert werden. Siehea\lc}i '. "'

,

fourier, invfourier, diff, solve; -7 Lösen von DG mit der Laplace-Transfonnation -7 Analytisches Lösen.

Kapitel 15: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

Kapitel 15 behandelt das Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung. Der dsolve-Befehl bestimmt - falls möglich - eine geschlossen darstellbare (im Folgenden analytisch genannte) Lösung der DG mit oder ohne Anfangsbedingung. Dabei dürfen in der DG Parameter enthalten sein. Mit der Option numeric des dsolve-Befehls wird eine DG numerisch gelöst. Dabei ist dann zu beachten, dass weder in der DG noch in der Anfangsbedingung unbekannte Parameter enthalten sein dürfen. In Kapitel 15.3-15.5 werden numerische Verfahren (Euler-, Prädiktor-Korrektor- und Runge-Kutta-Verfahren) mit Maple programmiert und in Form von Prozeduren (Unterprogrammen) zur Verfügung gestellt. Vor dem Aufruf muss die entsprechende Prozedur ausgeführt werden.

15.1 Richtungsfelder DEplot . Gesucht ist das Richtungsfeld, das zu einer Differentialgleichung 1. Ordnung gehört ｾＮ＠

ß ßx y(x ) = f(x, y( x »

.'

,. 'Befehl ",

,; DEp lo t ( DG, y(x), x=a ..b, y(x)=c .. d);

. ,

Parameter

I

'

DG: y (x) : . x=a .. b: y =c.. d:

Differentialgleichung Funktionsname x-Bereich der Graphik y-Bereich der Graphik

a

Be.ispiel . " ｾＧＮ＠ ＺｾＮ＠

Ox y( x ) = - y(x) + 1

> DG ＮｾＧ＠ li..

. - diff (y ( x) ,x)

= -y (x) +1 ;

>with(DEtools):

ｾ＠

,

\

> DEp lot (DG,

Y (x) , x=1. .10, y=O •• 2) ;

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

Kapitel 15: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

78

////////////////////

////////////////////

/1/1/111111111111/11

ｾ＠ ＠ｾ ＠ｾ i i i ｾ＠ ＠ｾ i i ｾ＠ ＠ｾ ｾ＠ ＠ｾ ｾ＠ ＠ｾ ｾ＠ ｾ＠lｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ Z I Z ＠ｾ1 I.ｾ＠ ｾ＠1 I.ｾ＠ ＠ｾI I.＠ｾ " ｾ＠ ＠ｾ ｾ＠ i ＠ｾ i ＠ｾ 1 I. 1 I. 1 I I

OE

o

4

x 6

ｾ＠

! !

II. I

o

>DEplot(DG, y(x),x=4 .. 10, y=O •• 2, [[y(4)=O]], stepsize=O.3);

-------------------////////////////////

////,////////////////

05///!/////!/!!!!!!!!!

.

1111/1/11111/1111111

ｾＧｴ＠

I ! I ! ! I ! I / I / ! ! I , ! , ! I I o 4 5 6 o x

Durch die Option [[y(xO)=yO]] wird die Darstellung des Richtungsfeldes zusammen mit der Lösung zum Anfangswert y(xO)=yO , angegeben. Die Lösung wird durch das Euler-Verfahren konstruiert. Man beachte, dass der DEplot-Befehl im DEtools'DG:=diff(y(x),x)=-r 2jR 2*sqrt(2*g*y(x» >g:=9.81: R:=O.l: r:=O.Ol: > F: =dso1ve ({DG, y (0) =1}, Y (x) numeric); F := proc (rkf45 _x) ... end proc A

A

:

I

>F(2.5); [x = 2.5, y(x)

= .892329452021270342]

>with(plots) : > odeplot (F, [x,y (x») , O.. 50);7 Hinweise

Das Ergebnis von dsolve bei der Option numeric ist eine Prozedur . F := proc (rkf45 _x) .. . end proc , welche zum Zeitpunkt teine Liste von Zeitpunkt sowie Funktionswert liefert. Mit dem odeplotBefehl wird die Liste gezeichnet. odeplot ist im plots-Package enthalten. Man beachte, dass beim numerischen Lösen der DG weder in der DG noch in der Anfangsbedingung unbekannte Parameter enthalten sein dürfen. Es ist auch möglich DG höherer Ordnung zu lösen. Für eine DG 2. Ordnung enthält die Liste auch die erste Ableitung.

DEplot; 7 Siehe auch . diff , Verfahren. 7

Numerisches Lösen mit dem Eu]er-

Auf die Ausgabe der Graphik wird aufgrund von Platzgründen verzichtet.

15.4 Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren

81

15.4 Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren '-Eu.l er ｐｲｯ｢ｬｾｭ＠

Gesucht ist die numerische Lösung der Differentialgleichung I . Ordnung

'.

a

ax y(x) = fex, y(x» mit der Anfangsbedingung y( xo) = Yo durch das Euler-Verfahren. Euler( DG, y(x), x=aub, y(xO)=yO, N);

;Befehl "

Ｎ ｦｾ･ｴｩ＠

.

.

Differentialgleichung Gesuchte Funktion x-Bereich fiir die Lösung Anfangsbedingung Anzahl der Zwischenschritte

' DG: y(x) :

x=a..b: , y(xO)=yO: N:

y'(x) + y(x) = sin(x)

mit

y(O)=O:

>DG:= diff(y(x),x)+y(x)=sin(x): >Euler(DG, y(x), x= O .. 10,

y(O)=O, N=30);

Euler·Verfahren

O.B 0.6 0.4 0,2

o .(J,2 .(JA .(J.G .(J.B ｾ＠

,

Ｇ ｈｩｮｾ･ｳ ＠Ｚ " Die externe Prozedur Euler muss vor dem erstmaligen Aufruf ""''{:'' cti"'_ f . . ausgefiihrt werden. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauig.' - '-

?

keit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 , Stel1en gerechnet

,;

,Siehe au\;h . diff, d s o l v e , DEplot; ｾ＠ Numerisches Lösen mit dem . ': . -:, Prädiktor-Korrektor-Verfahren ｾ＠ Numerisches Lösen mit dem Runge-Kutta-Verfahren ｾ＠ Analytisches Lösen.

82

KapitellS: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

15.5 Numerisches Lösen mit dem Prädiktor-KorrektorVerfahren PraeKörr Problem

Gesucht ist die numerische Lösung der Differentialgleichung

o

Ox y(x) = fex, y(x» mit der Anfangsbedingung y(xo) = Yo durch das PrädiktorKorrektor-Verfahren. Befehl Parameter

PraeKorr( DG, y(x), x=a .. b, y(xO)=yO, N);

DG: y(x):

x=a..b: y(xO)=yO: N:

Differentialgleichung Gesuchte Funktion x-Bereich fiir die Lösung Anfangsbedingung Anzahl der Zwischenschritte ! Y(X)=-Y(X)Sin(X)

mit

y(O)=l:

>DG : = diff(y(x),x)=-y(x)*sin(x): >PraeKorr(DG, y(x), x=O .• 10, y(O)=l, N=30); Pradiktor·Korrektor-Yertahren

HinweIse

. Die externe Prozedur PraeKorr muss vor dem erstmaligen Aufruf ausgefuhrt werden. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gerechnet. diff , dsolve, DEplo t; ｾ＠ Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren ｾ＠ Numerisches Lösen mit dem Runge-KuttaVerfahren ｾ＠ Analytisches Lösen.

15.6 Numerisches Lösen mit dem Runge-Kutta-Verfahren

83

15.6 Numerisches Lösen mit dem Runge-Kutta-Verfahren Ru](u Gesucht ist die numerische Lösung der Differentialgleichung

Problem

a

ax y(x) == fe x, y( x » mit der Anfangsbedingung y(x o) == Yo durch das Runge-KuttaVerfahren 4. Ordnung. RuKu( DG, y(x), x=a.. b, y(xO)=yO, N); ｂ･ｦｾｨｬ＠

p'arameter

".

Differentialgleichung Gesuchte Funktion x-Bereich für die Lösung Anfangsbedingung Anzahl der Zwischenschritte

DG: y(x): x=a.. b: y(xO)=yO:

N:

!

BeispieL ., < , ,

y(x) == -y(x) sin(x)

mit y(O)=O:

> DG : = diff (y (x) ,x) = -y (x) *sin (x) i > RuKu(DG, y{x), x=O .. lO, y{O)=l, N=30}i Runge-Kutla-Verfahren

0.4

Hinweise '

Die externe Prozedur RuKu muss vor dem erstmaligen Aufruf - ausgefiihrt werden. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gerechnet.

diff, dsolve, DEplot; -7 Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren -7 Numerisches Lösen mit dem Prädiktorｾ＠ ..., Korrektor-Verfahren -7 Analytisches Lösen.

Siehe aucb

Kapitel 16: Gewöhnliche DifferentialgleichungsSysteme

In Kapitel 16 werden Differentialgleichungs-Systeme 1. Ordnung mit dsolve gelöst. Für die numerische Bestimmung der Lösung verwendet man wieder die Option numeric. Für kompliziertere DGS empfiehlt es sich immer mit der Option numeric zu arbeiten oder das System wie in Kapitel 16.3 beschrieben mit dem EulerVerfahren zu lösen. Denn selbst lineare DG-Systeme mit mehr als 3 Gleichungen besitzen in der Regel keine explizit darstellbare Lösung! Beim numerischen Lösen ist darauf zu achten, dass alle Anfangsbedingungen und Parameter als Zahlenwerte vorliegen.

16.1 Analytisches Lösen von DGS 1. Ordnung

ｾｩｪｬ･Ｌｄ

ｯＧ＠ .,; Gesucht ist die allgemeine Lösung von Differentialgleichungsｾ＠ " : ,. ' .. 11: . . Systemen 1. Ordnung

o

oxY\ (x) =

1; ( Y\

(x), .. . , Yn (x»

dsolve( [DGI, ... , DGn], [yl(x), ... , yn(x)]); [DGJ, ... , DGn): [yJ(x), ..., yn(x)):

Liste der Differentialgleichungen Liste der gesuchten Funktionen

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

16.1 Analytisches Lösen von DGS 1. Ordnung

85

o

- vx( t) = -w vy( t) - Ex

ot

o

01 vy(t) = wvx(t) - Ey

ato vz(t) =- Ez >DGl .- diff(vx(t),t) >DG2 .- diff(vy(t),t) >DG3 . - diff(vz(t),t)

= -w*vy(t) +w*vx (t) - Ez: =

> dsolve ( [DG1,DG2,DG3],

{vx(t)

= Ey+

vy(t) =-

-

Ex: Ey:

[vx(t) ,vy(t) ,vz (t)]);

C2sin(wt)w + C3cos(wt)w,vz(t)= _Ezt + Cl

w

C2 cos(wt) w -

-

C3 sin(wt) w+ Ex w

}

Lösen der DGs

> dsolve( [DG I, ... , DGn, init], [yl(x), ..., yn(x)] , method=laplace); Lösen der DGs mit Anfangsbedingungen durch die LaplaceTransformation.

> dsolve( [DG I, ... , DGn, init], [yl(x), ... , yn(x)], numeric); nume-

ｾＧＢ＠

risches Lösen der DGs mit Anfangsbedingungen. Werden als Problem nur DGs ohne Anfangsbedingung gestellt, enthält die Lösung freie Parameter, die Maple mit _Cl, ... , _ Cn einfuhrt. Sollen die DGs mit Anfangsbedingungen init gelöst werden, so verwendet man die Erweiterung des dsolve-Befehls. Bei komplizierteren DGs empfiehlt es sich, den dsolve-Befehl mit der Option numeric zu verwenden bzw. das System mit dem EulerVerfahren zu lösen. Denn selbst lineare DG Systeme mit mehr als 3 Gleichungen besitzen in der Regel keine geschlossen darstellbare Lösung! Man beachte, dass das Ergebnis des dsolve-Befehls eine Gleichung ist, in der die rechte Seite nicht y(x) zugewiesen wird. Um mit dem Ergebnis weiter zu rechnen, muss die rechte Seite der , Gleichung y(x) erst als formaler Ausdruck durch assign zugeord, net werden. diff, DEplot; -7 Numerisches Lösen.

86

Kapitel 16: Gewöhnliche Differentialgleichungs-Systeme

16.2 Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung

dsolve' Problertt·· , Gesucht ist die numerische Lösung von Differentialgleichungs-Sys"" ternen 1. Ordnung

8

axy,(X) = J;( y,(x), ... , Yn(x»

mit den Anfangsbedingungen y,(O)=YIO, ... , Yn(O)=YnO. \B'efebf Ａｾ Ｎ＠

•

.

ｾＺｩ＠

ＢｾＺＧｯ＠

'-

dsolve( [DGI, ... , DGn, init], [yl(x), ... , yn(x)], numeric);

.... ,

Parameter , [DG J, ..., DGn, initJ.' Liste der DG mit Anfangsbedingungen " " init: Anfangsbedingungen der Form ""

I

yJ(O)=yJO. ... , yn(O)=ynO

Liste der gesuchten Funktionen

8 8t

- vx( t)

=-w vy( t) -

Ex

a

at vy(t) = wvx(t) - Ey

8 8t

-v'li.,t) = -Ez >DGl ._ diff(vx(t) ,tl > DG2 . - diff (vy (t) , t) >DG3 .- diff(vz(t),t)

= -w*vy(t) = +w*vx (t) = - Ez:

Ex: - Ey:

>w:=l: Ex:=lO: Ey:=4: Ez:=l: >init:= vx(O)=l, vy(O)=O, vz(O)=O: > F : =dsol ve ( [DG1, DG2 ,DG3, ini t] , [vx(t),vy(t),vz(t)], numeric);

F:= proc (rkj45..x) ... end proc t = 1., vx(t) = -6.0356167809526102:

16.2 Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung

87

vy(t) = -7.1213898903960322,lvz( t) = -1. >with(plots) : > odeplot (F, [t, vx (t) ] ,0 .. 50, numpoints=200)

i

Waming, the name changecoords has been redefined

1\

ft

fI

1\

fI

'"

fI

11

0

5

u

5

30

10

v

V

v

v

v

50

D

v

V

v

> odeplot(F, [vx(t),vy(t),vz(t)], 0 •• 50, numpoints=500, axes=framed)

i

o -10

-20 -30

-40 -50 -20

Alle Parameter und Anfangsbedingungen müssen vor dem dsolveBefehl als Zahlenwerte vorliegen! Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gerechnet.

［ ｾｩ･ｨ＠

auch " diff, d s o l ve, DEplo t; ｾ＠

Analytisches Lösen.

88

Kapitel 16: Gewöhnliche Differentialgleichungs-Systeme

16.3 Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung mit dem Euler-Verfahren

'Pr.?blem' , ' Gesucht ist die numerische Lösung von DifferentialgleichungsSystemen 1. Ordnung ß ßx Y1 (x) =

.r. ( Y (x), ..., Y. (x» 1

ß

ax Y• (x) = In ( Y1 (x), ... , Y. (x» mit dem Euler-Verfahren. ｽ Ｖ･ｦｾｨＱ＠

,- ｾ＠ ｾ

Ｇ Ｍ Maple-Befehlsfolge

ß dyl entspricht im Folgenden der Ableitung ßiY1(t) , ""

ß

'. dyn entspricht im Folgenden der Ableitung ß, Y.(') . ß ßt vx(t) =-wvy(t) - Ex

ß ßt vy(t) = wvx(t) - Ey ß ßt vz1. t) >dvx := -w*vy . - +w*vx Ez:

>dvy >dvz

.- -

-

-

=- Ez

Ex: Ey :

- . >vx:=l: vy:=O: vz:=O :

: ;' Lösen der DG mit dem Euler-Verfahren . . >N:=200: T:=30: dt:=T/N: > t:=O: >datax[l] :=vx: datay[l] :=vy: dataz[l] :=vz:

. > for i

from 2 to N

16.3 Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung mit dem Euler-Verfahren

>do > vx .- vx + dt*dvx: > vy .- vy + dt*dvy: > vz vz + dt*dvz: > t:=t+dt: > datax[i] :=vx: > datay[i] :=vy: > dataz[i] :=vz: >od:

89

.-

#Lösung vx #Lösung vy #Lösung vz

Darstellen der einzelnen Lösungskomponenten mit dem plotBefehls > plot ( [seq ( [n*dt, datay [n) ] ,n=1. . N)] ) i Darstellen der Lösung mit dem spacecurve-Befehl > wi th (plots) : > spacecurve ( [seq ( [datax [n], datay [n] , dataz[n]),n=l .• N)] , axes=framed,thickness=3) i Waming, the name changecoords has been redefined.

o -5

-10 -15

-20 -25 -30 -20

.ｊＺＡｩｮｷＧ･ｾ＠

-15

-10

Alle Parameter und Anfangsbedingungen müssen als Zahlenwerte vorliegen! Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 Stellen gerechnet.

Siehe,auCii ·. diff, dsolve, DEplot; ｾ＠ Analytisches Lösen ｾ＠ Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren. 8

Auf die Ausgabe der Graphik wurde verzichtet.

Kapitel 17: Gewöhnliche Differentialgleichungen n.-ter Ordnung

Differentialgleichungen n.-ter Ordnung werden ebenfalls mit dem dsolve-Befehl gelöst. Die Option numeric bewirkt eine numerische Bestimmung der Lösung, wenn alle Anfangsbedingungen und Parameter als Zahlenwerte vorliegen. Für die Angabe von Anfangsbedingungen der Form y(k)(XO) muss die k.-te Ableitung mit dem D-Operator durch (D@@k)(y)(xo) berechnet werden. Die WronskiDeterminante zum Überprüfen linear unabhängiger Lösungen wird in §20A behandelt.

17.1 Analytisches Lösen dsolve Gesucht ist die alIgemeine Lösung der Differentialgleichung n.-ter Ordnung

Problem

a

(ax ) y(x) = fex, y(x), y'(x), ... , y(n-Il(x))

..

n

Befehl

dsolve( DG, y(x»;

Parameter

DG: y(x):

Beispiel

Differentialgleichung Gesuchte Funktion

(:2

y( x) ) + 4 (

!

y( x) ) + 4 y( x) = sin( w x)

>DG : = d iff{y{x) ,x$2 ) + 4 * diff {y {x ) ,x) + 4*y (x) = sin (w* x ) : > d so l ve (DG , y (x) ) ; y(x) =

4wcos(wx)-4sin(wx)+sin(wx)WZ (4 + WZ)

2

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

C ( - 2.) C ( - 2.) +_ l e +_ 2 e x

17.1 Analytisches Lösen

91

> ini t: = y (0) =0, D (y) (0) =1: > dsolve ({DG, init},y(x»;

y(x)=

4 cos(wx) w - 4 sin(wx) + sin( wx)

(4 +

-

. 1

(w+w+4)e

W

4 we( -2x) + 16 + 8 W+ w4

w) 2 ( - 2x)

x

4+w > assign (%) : ,' >w:=I: plot(y(x) ,x=O .. 15,

thickness=2);

0,1

-0.1

> dsolve( {DG, y(xO)=yOO, D(y)(xO)=ylO, .. , (D@@k)(y)(xO) =

.optionale Paraineter

ykO}, y(x»; Lösen der DG mit Anfangsbedingungen. - > dsolve( {DG, init}, y(x), method=laplace); Lösen der DG mit .' ｪ｟Ｇｾ＠ Anfangsbedingungen init durch die Laplace-Transfonnation . .', > dsolve( {DG, init}, y(x), numeric); numerisches Lösen der DG , ," ( mit Anfangsbedingungen init. _.

｟ ｈｦｮｾ･ｩｳ＠

'

, ',: , -" _c' , Ｎｾ＠

Wird als Problem nur eine DG ohne Anfangsbedingung gestellt, enthält die Lösung freie Parameter, die Maple mit Cl, C2 usw. einfUhrt. Soll die DG mit Anfangsbedingung y(XO)=yOO, D(y)(xO)=ylO, ... , (D@@k)(y)(xO)=ykO gelöst werden, so verwendet man die Erweiterung des dsolve-Befehls, wobei die k.-ten Ab, leitungen mit dem D-Befehl berechnet werden müssen.

Man beachte, dass das Ergebnis des dsolve-Befehls eine Glei" chung ist, in der die rechte Seite nicht y(x) zugewiesen wird. Um mit dem Ergebnis weiter zu rechnen, muss die rechte Seite der Gleichung y(x) erst als fonnaler Ausdruck durch assigo zugeord; net werden. Ｍ ｓｩ･ｨ

Ｇ ｾ｣ｨＭ

' diff, DEplot, D; ｾ＠

DG 1. Ordnung ｾ＠

Numerisches Lösen.

Kapitel 17: Gewöhnliche Differentialgleichungen n.-ter Ordnung

92

17.2 Numerisches Lösen

､ｾｯｬ

ｾ･＠

'ocleplot Gesucht ist die numerische Lösung und deren graphische Darstellung der Differentialgleichung n.-ter Ordnung

Problem

°

n

(ox ) y(x) = f(x, y(x), y'(x), ... , y(n·!)(x» mit den Anfangsbedingungen y( xo) == Yo , .. . ,y(n.!) (x o) = Yn _ ! F:=dsolve( {DG, init}, y(x), numeric); odeplot(F, [x,y(x)], a..b); Differentialgleichung Anfangsbedingungen y(xO)=yO, ... , (D@@k)(y)(xO)=yk Gesuchte Funktion y(x): numeric: Numerisches Lösen der DG . a.. b: x-Bereich der graphischen Darstellung init:

°

Beispiel, ;..

02 y(x) ) + 4 (ox y(X») 3 + 4 y(x) = sin(2 x) ( (}x2

>DG := diff(y(x),x$2) + 4*diff(y(x) ,X)A 3 + 4*y(x)= sin(2*xl: >init:= y(O)=O, D(y) (0)=1: > : >F:=dsolve({DG,y(O)=l, D(y) (0)=2},y(x), numeric); . ｾＧＡＭＺｩ＠

I

',r':

F := proc (rkf45 _x ) ... end proc

> F (2.5)

i

, [x = 2.5, y(x) == ＭＮＲＹＱＰＳＴＸＶＷＵｾ＠

!

y(x) = -.430289465199696075]

>with(plots) : > odeplot (F, [x, y (x) 1 ,0 .. 30, numpoints=500) Waming, the name changecoords has been redefined

i

17.2 Numerisches Lösen

93

1.2

0.8 0.6

0.4 0.2

o -0.2 -0.4

>odeplot(F, [x,diff(y(x),x)],O .. 30, numpoints=SOO) ;

2 1.5

0.5

o -0.5

>'\' .

ｾＺ［＠

＿｜ＺｾＬ＠

ｲｾ｛ＮｩＭﾷ｟Ｚ［Ｌｬ＠

ｾＬ＠ ＨＬＮｦｾ＠

. ＬＧｾ＠

;" -, >v .' ｜ｾｲＮ＠ .

ten.

Man beachte, dass beim numerischen Lösen der DG weder in der DG noch in der Anfangsbedingung unbekannte Parameter enthal. ten sein dürfen. Durch die Angabe Digits:=n wird die Genauigkeit der Rechnung auf n Stellen erhöht. Standardmäßig wird mit 10 ', ... .' Ｎｾ＠ Stellen erechnet. I . . Ｌ｜ｲｾ＠

,

Ｌｾ＠

Das Ergebnis von dsolve bei der Option numeric ist eine Prozedur F ;= proc (rkf45_x ) ... end proc , welche zum Zeitpunkt teine Liste von Zeitpunkt, Funktionswert sowie alle Ableitungen bis zur Ordnung n-l liefert. Mit dem odeplot-Befehl kann die Liste der Lösung gezeichnet werden. odeplot ist im plots-Package enthal-

• I.

,.,.,.

Kapitel 18: Extremwerte und Optimierung

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme A x = b werden mit dem linsolveBefehl in dem Sinne gelöst, dass die Fehlerquadrate von lAx - b I minimiert werden. Zur linearen Optimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen steht der maximize-Befehl zur Verfügung. Extremwerte nichtlinearer Funktionen (auch unter Nebenbedingungen in Form von Gleichungen) bestimmt man mit dem extrema-Befehl.

18.1 Lösen von überbestimmten linearen Gleichungssystemen

Gesucht sind Lösungen von überbestimmten linearen Gleichungssystemen A x = b, a t,t x t+ a l, 2 x2 + ... +

al,nxn

= bt

a2, t Xl + a2, 2 X2 + ... + a2, n Xn = b2

wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekarmten ist. Diese Gleichungssysteme lassen darm nur eine Lösung in dem Sinne zu, dass die Fehlerquadrate von r = lAx - bl minimal werden. Das zu lösende LGS lautet darm mit der transponierten Matrix At At Ax=A t b

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

18.1 Lösen von überbestimmten linearen Gleichungssystemen

·Befeiir

linsolve( transpose(A)&*A, transpose(A)&*b);

,
wi th (linalg) : Waming, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected [exp (x),

sinh (x), cosh (x) 1 :

> Wr: = wronskian (AT > det (Wr);

x) ;

eX sinh(x) [ Wr; = e X cosh( x) e

X

sinh(x)

o

COSh(X)] sinh(x) cosh(x)

Da die Detenninante Null ergibt, sind die 3 Funktionen linear abhängig. Ｈ ｡ｩｮｷｾｳ･＠

Der Befehl wronskian steht im linalg-Package, das mit witb(linalg) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden.

'Siehe auch

det; -7 Determinante.

20.8 Rang einer (mxn)-Matrix

111

20.8 Rang einer (mxn)-Matrix

rank Problem

Gesucht ist der Rang einer mxn-Matrix A (=Anzahl der linear unabhängigen Spalten der Matrix =Anzahl der linear unabhängigen Zeilen der Matrix)

Rang( A) = rang

Befehl

rank(A) ;

Para'1leter

A:

a l, l

a l ,2

...

Ql , n

a 2• 1

a 2• 2

...

a 2• n

a m. 1 am.2

...

am,n

-2

0

...

mxn -Matrix

Beispiel

A := .. >A:=matrix([

-1

1

0

0

2

1

1

4

I

2 4

3

2

2

I

0

0

I

0

4

0

4

0

[-1,1,0,-2,0], [0,2,1,1,4], [1,2,4,3,2), [2,1,0,0,1], [0,4,0,4,0)]) :

>with(linalg, rank): > Rang (A) = rank (A) i Rang(A)

=5

Hinweise ,

Der Befehl rank steht im lioalg-Package, das mit with(lioalg) oder with(linalg, rank) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden.

Siehe auch

matrix, det ; -7 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren -7 Matrizenrecbnung -7 Determinante.

112

Kapitel 20: Vektoren, Matrizen und Eigenwerte

20.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Ｇ ｳ＠ , ｾｩＬｧＮＡｴｮｶ｡ ; eigenveets . •

-f,'

Gesucht sind Eigenwerte und Eigenvektoren einer nxn-Matrix A a. ,2

a .,.

a .,n a2,n

A=

.

"Befehle' , ,'

!} . ,

Ｇ ｐｾ

...ｾ＠

'-

an,n

eigenval s(A); ; eigenvects(A);

,'ｾ＠

"1

J

an ,2 ...

an, .

Ｑｾ＠

,

ｾＧｴ･ｻ

Ｇ＠

A:

nxn-Matrix

>A := matr i x([

[ 3,1,11,

[ 1,3,-11, [0,0,411);

3 [ A:=

1

ｾ＠ ｾ＠

-il

> wi th (linalg) : Waming, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > eigenvals (A) ; 2, 4,4 > eigenvects (A) ; [2, 1, {( -1, 1, O])], [4,2, {[O, 1, -1], [1,0, I]}]

, ' .... :' .._'. o

':

Das Ergebnis von eigenvals(A) ist eine Folge der Eigenwerte; doppelte Eigenwerte werden zweimal aufgeführt. eigenvects(A) besteht aus einer Sequenz von Listen. Jede Liste hat den Aufbau .' [Eigenwert, Vielfachheit, Menge zum Eigenwert gehörender unabhängiger Vektoren]. Der Eigenwert 2 hat die Vielfachheit I und der zugehörige Eigenvektor ist [-1 , 1, 0] . Der Eigenwert 4 hat die Vielfachheit 2. Zugehörige linear unabhängige Eigen, vektoren sind [1, 1,0] und [1,0, 1] . Vor der Verwendung der Befehle muss das linalg-Package mit with(linalg) geladen werden. Die Warnung kann ignoriert werden.

matrix , c harpo ly; ｾ＠

Charakteristisches Polynom.

20.10 Charakteristisches Polynom

113

20.10 Charakteristisches Polynom cllarpöly

}>roblerfi

Gesucht ist das charakteristische Polynom einer rum-Matrix A a' .n a. . . a •. 2 a

det(A - A. J) = det

2,n

_

A. I

an , n charpoly (A, lambda);

Parameter.

A:

lambda: .Bejspiel ,

rum-Matrix Variable des charakteristischen Polynoms

>A := matrix( [ [3,1,1],

A

[1,3,-1],

Ｚ］｛ oｾ＠ ｾ＠ Ｍｾｬ＠ 0

[0,0,4]]);

4

>with(lina1g, charpoly): . > charpoly (A, lambda); Ä,3 -

10 A. 2 + 32 A. - 32

> solve (%=0, lambda);

2,4,4

Das charakteristische Polynom ist bei Maple als det(). *I-A) festgelegt. Damit ist es bis auf das Vorzeichen mit der Standardnotation gleich. Die Eigenwerte ändern sich aber durch diese spezielle . .' Festlegung nicht. Vor der Verwendung von char poly muss linalg , ' Ｎ ｾ＠ .' mit with(linalg) geladen werden. Die Warnung kann ignoriert . werden. Mit dem anschließenden solve-Befehl erhält man die , Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also die Eigenwerte. Sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms keine ganzen .' ＬｾＧ＠ oder gebrochenrationalen Zahlen, verwendet man zur Lösung bes..... , ser den fsolve-Befehl mit der Option complex. Dann werden aUe n Nullstellen des charakteristischen Polynoms näherungsweise be. stimmt. Siehe auch . matrix, eig e nva ls, eig enve cts; fs o l v e; ｾ＠ .,. " und Eigenvektoren ｾ＠ Lösen einer Gleichung.

Eigenwerte

Kapitel 21: Vektoren im IR"

Das Überprüfen der linearen Unabhängigkeit von Vektoren des IRn kann entweder durch den Rang der zugeordneten Matrix erfolgen (rank-Befehl) oder indem die Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystem bestimmt wird (linsolveBefehl). Die Auswahl einer Menge linear unabhängiger Vektoren aus m Vektoren des IRn erfolgt durch basis und die Bestimmung der Dimension des Unterraums mit rank. Die Befehle sind im Iinalg-Package enthalten.

21.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im IRn (LGS) llnsolve

Ｚ ｾｏ

ｬ ｦｾ ＧＺ＠ Ｎｾ［Ｇ＠

k Vektoren (al' a2 , ... , ak ) des IR" sind linear unabhängig, wenn das lineare Gleichungssystem

",'

A1a l

+ A2 a2 + ... + Akak = 0

;' .... ' .....::, ..' nur durch AI =0, A2 =0, ... , At =0 lösbar ist. Maple-Befehlsfolge

［ｉｾ･ｲ

Ｌ＠ ". al, ..., ak:

aI

Vektoren oder Listen der Länge n.

=

-1

0

1

2

0

2

, a3 =

, a2 =

-2

o > a1: = [-1 , 1, 0 , - 2, 0 ] : , > a3 : = [1, 2 , 4, 3, 2 ] : > wi t h (lina l g ) : r .•

1

2 4

,

0

a4--

0

3 4

2 a2 :=[ O, 2 ,1,1 , 4 ] : a 4 : = [2,1,O,O , 1 ] :

> A: = t r anspo se (matrix ( [al, a2 , a3, a 4]

» :

> linsolve (A, [seq( O, i=1. . rowdim(A»] ) ; [0,0,0,0] ....:_: ｾ Ｎ ［＠

ｾ ｈｩｨｷ

.(:."10:''- , ..

･ ｩｳ･

Ｂ＠

. Die Befehle stehen im Iinalg-Package, das mit with(linalg) gela-

.

den wird. Die Warnung kann ignoriert werden.

Ｚ［ ｓｩ ｾｨ ｾ '.. ｡ｵ｣ｩ ｻ ...ﾷ＠ ｾ＠

ｾ＠

(

ｾ＠

matrix , t r anspose, linsolv e , rowdi m, seq.

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

21.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren (Rang)

115

21.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im IR" (Rang) rank Problem

k Vektoren ( a l

, a 2 , .•. , a k )

des IR" sind linear unabhängig, wenn

der Rang der zugehörigen Matrix A den Wert k hat.

Rang( A) = rang

a l, l

a l,2

...

al , n

a 2, 1

a 2, 2

...

a 2, n

a k,2

.. .

a k, n

... a k,l

Befehl

rank([al ,a2, ... , ak]);

Parameter

al, . .. ,

Beispiel

,..

aI =

Vektoren oder Listen der Länge n.

ak: -I

0

1

2

1

2

2

1

0

1

, a2=

, a3 =

0

a4=

3

1 4

-2

4

0 0 1

2

>al:=[-1,1,O,-2,Ol:

> a2 : = [0 , 2 , 1 , 1 , 4] : , >a3 : = [1,2,4, 3,2] :

> a4 : = [2,1,0,0,1] : > wi th (linalg) : Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> Rang (A) = rank ( [al, a2, a3, a4] ) ; Rang(A)

=4

Hinweise

Der Befehl rank steht im linalg-Package, das mit with(linalg) oder with(linalg, rank) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden. Ist der Rang kleiner als die Anzahl der Vektoren, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Siehe auch

matrix, det.

11 6

Kapitel 21 : Vektoren

21.3 Basis des IRn

· Gegeben sind k Vektoren (a., a2 ,

•.• ,

ak ) des IR". Gesucht ist ei-

ne Liste maximal linear unabhängiger Vektoren. basis([al,a2, ... , ak]);

al, ... , ak:

Vektoren der Länge n.

> a1 : =vector ( [-1,1,0, - 2 1 ) : >a2:=vector([O,2,1,l]) : · > a3 : =vec tor ( [1, 2 , 4 , 3] ) : >a4:=vector([2,1,O,O]) : > a5 : =vector ( [-1, 0, -1 , 01 ) :

>basis( [al,a2,a3,a4,a51);

[al,a2,a3,a4] aj, a2, a3, a4 sind linear unabhängige Vektoren, die den Vektor-

raum [ab a2, aJ. a4. as] aufspannen. Der Befehl basis steht im Iinalg-Package, das mit with(linalg) oder with(linalg, basis) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden.

"

..

· v ec tor; 7 (Rang).

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im !Rn

2 \.4 Dimension eines Unterraumes

117

21.4 Dimension eines Unterraums des IR" ·· rank 'P roblem

Gesucht ist die Dimension des Unterraumes, der durch k Vektoren ( a l , a 2 , . •• , ak ) des IRn aufgespannt wird. al , l

,

a 2, 1

Rang( A) = rang

.. ?;

a l,2

...

al , n

a 2.2

...

a 2. n

a k• 2

...

a k• n

...

,

ak, 1

rank([al,a2, ... , akD; Ｎｬｾ･ｦｨ＠

"7

•

-

Vektoren oder Listen der Länge n.

a1, .. ., ak:

Parameter

•

."

a1 =

.c:- ::;; 1- •. : '"

.:

-1

0

1

0

1

2

2

1 , a3 =

4

5 5

-2

1

3

2

0

4

2

6

0

, a2 =

a4 =

> a1 : = [-1, 1, 0 , - 2 , 0] : ,"I >a2:=[O , 2,l,l,4]: : i > a3 : = [1, 2 , 4 , 3 , 2] : ., > a4 : = [0, 5,5,2,6] :

-ｾ＠ ,

> wi th (linalg, rank): . \ > Rang{A) = rank { [a1,a2,a3,a4j); Rang(A) = 3

.'

. ..... "1:;.-:,. ｾ＠

J::

ｾ＠

" Die Dimension des Unterraums, der durch (al ' ｾＮ＠

a2 ,

a3 ,

a4 )

auf-

gespannt wird, ist 3.

"

ｈｩｮｷｾｳ･

. I'"

Ｚ＠ Der Befehl rank steht Im linalg-Package, das mit with(linalg) ...ｾ＠ ,: /",: oder with(linalg, rank) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert , werden. Um aus der L iste der Vektoren linear unabhängige Vekto-

. . ｾ＠

'.'

.Siehe . ｡ｾ｣ｨ

ren auszuwählen, verwendet man den basis-Befehl .

Ｚ＠ ｬｾ＠ bas i s ; -7 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im !Rn (Rang) . ';., ,- -7 Basis des !Rn .

Kapitel 22: Affine Geometrie

Im Kapitel über die affine Geometrie werden Objekte wie Punkte, Geraden und Ebenen im IR3 definiert und die Lage dieser Objekte zueinander diskutiert. Hierzu werden entweder Abstände (distance-Befehl) der Objekte oder die Schnittmenge (intersection) und der Schnittwinkel (Find Angle) bestimmt. Die Befehle sind im geom3d-Package enthalten.

22.1 Definition von Punkt, Gerade und Ebene im IR3 Ｇ ｰｯ

ｩ ｮ ｾ＠

lin.e plane . ,,

,.

. .,

Problem ,. ,.

..

ﾷ ｂｾｦ

, ｾＮ＠

･ ｬｩ･＠

ｩｾ＠ .

｜ｾＺ＠

.. -

--'-."

,.

ｐｾ｡ｭ･ ｾ＠

ｴ･ｲＺ＠ ,

,

ｾ ｂ･ｩｳｰｬ＠ ｾＮ＠

, . j:r,,;'

;'

,

. .

\

-

'

.

point(pl, [x,y,z]); line (gl , [Pl,P2]); p lan e(El, [p l ,P2,P3]);

' [x,y,z}: gI : EI:

f

"

,

Gesucht sind die Darstellungen von Punkten, Geraden und Ebenen im IR3 •

,

Koordinaten des Punktes PI Name der Geraden durch die Punkte PI, P2 Name der Ebene durch die Punkte PI, P2, P3

>with(geom3d) : Warning, the name polar has been redefined Defmition der Punkte PI, P2, P3 > p oin t (PI, [1 ,0,0]): d etail (PI) ; >point(P2 , [2,2 , 1]): > p oint (P3 , [-1,-2,1]) :

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

22.1 Definition von Punkt, Gerade und Ebene im IR3

119

name of the object: P1 form of the object: point3d coordinates ofthe point: [1, 0, OJ

Definition der Geraden g durch die Punkte PI, P2 >line(gl, [PI,P2]): > Equation (gI, lambda); [ 1 + 1.., 2 1.., 1..]

Defmition der Ebene durch die Punkte PI, P2, P3 >plane(El, [Pl,P2,P3]); > Equation(El, [x,y, z]);

EI -4 + 4x - 3y+ 2 z= 0 , Die graphische Darstellung der Objekte erfolgt mit draw . >draw({EI,gl}, axes=boxed, numpoints=2000) i

ＴｾＭ＠

2

o -2 -4 ＢｴｲｾＭＮｉＧ＠

,."

ｊｾｩｮｷ･ｳｅｦ

.!'

ｾ＠

..

Ｇ＠

x

Die Befehle befinden sich im geom3d-Package, das mit , with(geom3d) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden. '. (. Mit dem draw-Befehl werden die Objekte gezeichnet und mit deｾＮ＠ taU bzw. Equation erhält man Informationen über die Objekte. detail , draw; -7 Schnitte von Geraden und Ebenen im IR3

-7 Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen im IR3 .

120

Kapitel 22: Affine Geometrie

22.2 Schnitte von Geraden und Ebenen im IR3 'intersection . coC?idina.' tes Fin"dAngel

Problem . ,

Gesucht sind die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden oder Gerade-Ebene bzw, deren Schnittwinkel.

Ｇ ｂ Ｎ ･ｦｾ＠

intersection(S, obj I, obj2); coordina te s(S); FindAngel(obj 1,obj2);

.Parameter

S: objJ: obj2:

ｾ ｂ･ｩｳｰｾｬ＠

Name des Schnittpunktes der Objekte obj I und obj2 Punkt, Gerade oder Ebene Punkt, Gerade oder Ebene

>with(geom3d) : Waming, the name polar has been redefined Definition der Geraden gl und g2 >point(p , [1,-2,0]): >line(gl, [p, [ -1,2,0 ]] ): >line(g2 , [P , [-1,0,1]]): Berechnung des Schnittpunktes S und dessen Koordinaten >intersection{S, gl,g2): > coordinates {SI ; [ I, -2, 0] Berechnung des Winkels > FindAngle (gI, g2) ; arccos( 110 > evalf

ß

fi)

(%) ;

1,249045772

Die Befehle befinden sich im geom3d-Package, das mit with(geom3d) geladen wird, Die Warnung kann ignoriert wer; den. point, line, plane; -7 Defmition von Punkt, Gerade und .-, Ebene im IR3 -7 Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen . imIR3.

22.3 Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen im IR3

121

22.3 Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen im IR3 'distance Ｇｾ＠

,"

Problem -

Gesucht ist der Abstand von Punkten, Geraden oder Ebenen.

,Befe.hl

. dis tance( obj 1, obj2);

ｆ｡ｲｭ･ｴｾ＠

.ｾ＠ ob}J: ob}2: ＧＮＺｾ＠

Punkt, Gerade oder Ebene Punkt, Gerade oder Ebene

>with(geom3d) :

Waming, the name polar has been redefined Defmition der Geraden gl und des Punktes Q ._ >point(P, > line(gl, ｾ＠ > point (Q,

Ｍｾ｟ＬＮＧ＠

ＧＺｾＭ

[1,-2,0]): [P, [0,2,0]]): [5, -3,2] ) :

2.ß

Ｇｲ ｾＧ［ｩｳ

Ｇ ｓｩｾｬ

･＠ ｟Ｎｾ＠

Die Befehle befinden sich im geom3d-Package, das mit

.

Liegen die Objekte aufeinander bzw. schneiden sie sich, ist der , Abstand Null.

- .' J' with(geom3d) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden.

ｾＬｱＮ｟Ｚ＠

Ｇ ｡ｴｩ｣ｫ

ｓ Ｇ［＠ e,'

point, line, plane; -7 Defmition von Punkt, Gerade und E-

bene im IR3 -7 Schnitte von Geraden und Ebenen im IR3.

Kapitel 23: Vektoranalysis

Im Kapitel Vektoranalysis werden die Differentialoperatoren Gradient für ein skalares Feld sowie die Rotation und die Divergenz für ein Vektorfeld mit den Befehlen grad, eurl und diverge berechnet. Die Bestimmung eines Potentialfeldes bzw. eines Vektorfeldes erfolgt mit potential bzw. vectpotent. Die Befehle zur Vektoranalysis sind im Iinalg-Package enthalten.

23.1 Gradient

Gesucht ist der Gradient einer Funktion f( XI

cPr6blern

a

gradj{ xI' Xz , .. . , xn )=[ -;- f( UX,

:Befehl

grad(f, [xl, x2, x3, ... , xn]);

Pat:ameter

f" [xl, x2, x3, ... , xn}:

, ｂ･ｩｳｰｾｴ

Ｚ＠ ,

-

r

,

c. ...

ｾ＠

..

ﾷＱｾＢ＠

f_

X I ' Xz , ..• ,

xn

'

x2 ,

a

. .. ,

xn ):

) , .• , - ; - f( XI ' uXn

x 2 , .. . , xn

)]

Ausdruck in den Variablen xl, x2, x3, ... , xn Liste der unabhängigen Variablen

1

ｸＲＫｬｾ ＫｺＲＡ＠ > wi th (1 inalg, grad) : >f:=1/sqrt(xA2+yA2+zA2+1) : >grad(f, [x,y,Z])i -

[-

(3/2)'Y (3/2)' Z (3/2) x (x 2 +l+z2 + 1) (x 2 +l+z 2 + 1) (x 2 +l+z2 + 1)

Der Befehl grad steht im Iinalg-Package, das mit with(linalg) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden. Alternativ kann der grad-Befehl durch with(linalg, grad) geladen werden. Mit gradplot bzw. gradplot3d aus dem plots-Paket werden 2D bzw. 3D Gradientenfelder gezeichnet. Optiona! kann durch ein drittes Argument beim grad-Befehl ' .. das Koordinatensystem gewählt werden. 'Siehe auch

diverge , curl; -7 Rotation -7 Divergenz.

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

23.2 Rotation

123

23.2 Rotation

curl Gesucht ist die Rotation eines Vektorfeldes f(x, y, z) von 3 Variablen

Problem -

'I:,.,

,

Ｈｾｊ［ｘＧ＠ ｾ＠

Ａ＾ｾ＠

rot r wi th (linalg) : Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

" ,.

';'

Siene ｡ｾｴＺｨ＠

>f:=[x 2*y,-2*x*z,2*y*z]: >curl(f, [x,y,z]); A

[ 2 z + 2 x, 0, - 2 z - x 2 ] Der Befehl curl steht im linalg-Package, das mit with(linalg) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden. Alternativ kann der curl-Befehl durch with(linalg, curl) geladen werden. Mit fieldplot3d aus dem plots-Paket werden 3D Vektorfelder gezeichnet. .• di verge, grad; 7 Gradient 7 Divergenz.

124

Kapitel 23: Vektoranalysis

23.3 Divergenz

diverge Gesucht ist die Divergenz eines Vektorfeldes f(x, y, z) von 3 Variablen

Problem

ｬ

ｾＨｘＧｙｚ

Ｉｬ＠

div !;(x,y,z) =

ＡｾＨｸＧｙｺＩ＠

a

a

+ Oy!;(x,y,z) + azNx,y,z)

Nx,y, z)

- diverge(f, [x, y, z]); Ausdruck in den Variablen x, y, z Liste der unabhängigen Variablen x2 Y

1

f= [ - 2xz 2 yz

>with(linalg) :

Warning, the protected names norm and trace have been redefmed and unprotected Ji;");'

>f:=[x"2*y,-2*x*z,2*y*z]: >diverge(f, [x,y,z]) ;

2xy+2y Der Befehl diverge steht im Iinalg-Package, das mit with(linalg) geladen wird. Die Warnung kann ignoriert werden. Alternativ kann der diverge-Befehl durch with(linalg, diverge) geladen werden. Mit fieldplot3d aus dem plots-Paket werden 3D Vektorfelder gezeichnet. Der diverge-BefeW kann auch auf Vektorfelder mit n Komponenten angewendet werden.

Sieh,e auch

curl, grad; -7 Gradient -7 Rotation.

23.4 Potentialfeld zu gegebenem Vektorfeld, Wirbelfreiheit

125

23.4 Potentialfeld zu gegebenem Vektorfeld, Wirbelfreiheit potential

Gesucht ist für ein Vektorfeld fex, y, z) von 3 Variablen ein zugehöriges Gradientenfeld ｾＬｳｯ＠ dass

Problem

ｾＨｘＬ

f(x , y, z) =

ｹＬ＠

Z)j

｛ !;(x, y, z)

= grad ｾ＠

!;(x,y, z) Befehl

potential(f, [x, y, z), phi);

Paramerer '

f

, Beispiei ,,;.

[x,y,z}: phi:

Ausdruck in den Variablen x, y, z Liste der unabhängigen Variablen Zugehöriges Potentialfeld

2

1= [x :

2+;Z] y2+ 2z . >with(linalg): Waming, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected [2*x+y, x+2*y*z, y A2 +2 *z]i 1:= [2x+ y,x+ 2yz,/+ 2 z]

.

>potential(f, >phi;

[x,y,z], phi}i

true x 2 + y X + / z + Z2

Ｌ ｾｷＮﾧｩｳ･

, "

°C

ｾ＠ .. '. Ist das Ergebnis des potential-Befehls true, dann existiert ein sol. '," ches Potentialfeld, welches im Namen phi abgespeichert wird. • Man nennt dann fwirbelfrei, da rot(t) = O. Ist das Ergebnis des potential-Befehls lalse, existiert kein solches Potentialfeld. Der Bei . fehl potential steht im linalg-Package, das mit with(linalg) geladen wird. Der potential-Befehl kann auch auf Vektorfelder mit n , . '.' Komponenten angewendet werden.

'i

Siehe auch

curl, grad, vecpotent; -7 Gradient -7 Vektorpotential zu gegebenem Vektorfeld, Quellenfreiheit.

126

Kapitel 23: Vektoranalysis

23.5 Vektorpotential zu gegebenem Vektorfeld, Quellenfreiheit

.

"vecpötent . . Gesucht ist fiir ein Vektorfeld f(x, y, z) von 3 Variablen ein zugehöriges Vektorfeld A, so dass

f(x, y, Z) =

[1;( x, y, Z)1

!;(x, y ,z ) = rotA

hex, y,z) vecpo tent(f, [x, y, Z), A); ｩ ,ｦＮ ￤ｲ｡ｭｾＮ＠

,f [x,y,z} :

Ausdruck in den Variablen x, y, Z Liste der unabhängigen Variablen Zugehöriges Vektorpotential

j=

x x2

+l o

> wi th (linalg) : Waming, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected 0] :

[x,y,z], A) ;

ｲ ｈｩｮ

ＮＺＡｉｾ＠

ｗＬＺＭ ･ｩｳ

［ｾＬＧ＠

Ist das Ergebnis des vecpotent-Befehls true, dann existiert ein sol-

,;,t- . ches Vektorpotential, welches im Namen A abgespeichert wird.

. Man nennt dann f quellenfrei, da div(t) = o. Ist das Ergebnis des vecpotent-Befehls false, existiert kein solches Vektorpotential. Der Befehl vecpotent steht im Iinalg-Package, das mit with(linalg) geladen wird. Der vecpotent-Befehl kann nur auf Vektorfelder mit 3 Komponenten angewendet werden!

-, ....

curl, g rad , potential; -7 Rotation -7 Potentialfeld zu gegebenem Vektorfeld, Wirbelfreiheit.

Kapitel 24: Programmstrukturen

Im Kapitel über die Programmstrukturen werden einfache Konstruktionen in Maple wie z.B. die Schleifenbildung mit for oder while, Verzweigungen mit if und Unterprogrammstrukturen mit der proc-Konstruktion beschrieben.

24.1 tor-Schleife f

,

._.

Ｍ ｾ ｯ ｲ＠

ｋｯｾｳｴｲｵｫｩｮ＠

for-Schleife.

Syntax

for from to do end do;

"

for in do end do;

ｾ ｾ＠

,

,,Beispiel .:,,,

w, ':

Summe der ersten 100 Zahlen > summe: =0 : > for i from 1 to 100 >do > summe . - summe +i; >end do: > S UlIIllle ; 5050

Hinweise ;

Siehe auch , l .'

Eine for- oder while-Schleife, if-Konstruktion bzw. ein Unterprogramm muss immer innerhalb eines Anweisungsblocks stehen. Anstatt dem Abschluss end do ist auch od erlaubt. while, if, proc; -7 while-Schleife -7 if-Bedingungen -7 proc-Konstruktion.

T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

128

Kapitel 24: Programmstrukturen

24.2 while-Schleife

while

.Kons,tl1l:kt,ion" while-SchJeife. ,

"

whil e

Syntax .

do end do;

Summe der ersten 100 Zahlen

> summe : =0 : i: =0 :

> while

i

do

i,

> summe: = summe + i; > i:=i+l ; . > end do: > summe; 20100 Eine for- oder while-Schleife, if-Konstruktion bzw. ein Unterprogramm muss immer innerhalb eines Anweisungsblocks stehen, Anstatt dem Abschluss end do ist auch od erlaubt.

.sieht(. ｡ｾ｣ｬｌ＠

for , if, proc; Konstruktion. ｾ＠

while-Schleife ｾ＠

if-Bedingungen ｾ＠

proc-

24.3 if-Bedingungen

129

24.3 if-Bedingungen

if

Konstruktion

if-Bedingung. if then end if; i f then

else end if; i f then

elif then else end if; öL

Betrag einer Zahl

-,.,.;.-: >zahl:=-3 . 6:

.; > > > > >

if zahl >betrag;

3.6 Eine for- oder while-Schleife, ir-Konstruktion bzw. ein Unterprogramm muss immer innerhalb eines Anweisungsblocks stehen. Anstatt dem Abschluss end if ist auch fi erlaubt. f o r, while, p r o c; 7 for-Schleife 7 while-Schleife 7 procSiehe au-ch . , ｾ＠ '..ｾ＠ ":,' . Konstruktion.

130

Kapitel 24: Programmstrukturen

24.4 proc-Konstruktion

proc ｋｯｾｳｴｮｩｫ＠

Unterprogramm-Konstruktion.

-Syntax

procO local var; end;

ｂ･ｩｳｰ

Prozedur zur Berechnung der Summe der ersten N Zahlen

ｾ ｬ＠

> sunune : =proc ( ) > local i, sunune, N; > N:=args[l] : > > > sunune : =0: for i from 1 to N > > da sunune . - sunune +i: end da: > > >end : > sunune (10);

55 Eine for- oder while-Schleife, if-Konstruktion bzw. ein Unterprogramm muss immer innerhalb eines Anweisungsblocks stehen. ｾ＠

ｓｩ･ｬ

!

1-

｟ ｡ｾ｣ｨ＠

,..

... •

for, while, if; 7 Bedingungen.

for-Schleife 7

while-Schleife 7

if-

Anhang A: Einführung in Maple

A1 Grundlegendes Nach dem Starten von Maple unter Windows erscheint die Benutzeroberfläche des elektronischen Arbeitsblattes (Worksheets) mit der Eingabeaufforderung > Nach dieser Aufforderung kann eine Eingabe entsprechend der Maple-Syntax gemacht werden, auf die Maple antwortet. Die Eingabe muss mit einem; oder: abgeschlossen und durch Drücken der Return-Taste bestätigt werden. Ein Beispiel: > 5*4;

20 Die Ausgabe erscheint versetzt eine Zeile tiefer und zentriert. Anschließend erscheint wieder die Eingabeaufforderung. Wird statt der Return-Taste die Tastenkombination Shift zusammen mit Return betätigt, erhält man eine weitere Eingabeaufforderung, ohne dass der Befehl sofort ausgeführt wird. Erst wenn die gesamte Eingabe mit Return bestätigt wird, führt Maple alle Befehle in einem Befehlsblock aus. > 5**2 i 25 > 4+%;

29 Zusammengehörende Teile sind durch eine Klammer am linken Rand gekennzeichnet. Durch die Funktionstaste F3 werden zwei Maple-Befehle getrennt; mit F4 werden zwei Maple-Befehle zu einem Block zusammengefügt. Um Textstellen im Worksheet einzufügen, wird eine Eingabezeile mit der Funktionstaste F5 in den Textmodus umgeschaltet. Eine neue Eingabezeile erhält man durch Anklicken des ">"-Symbols an der Kopfleiste. Durch Markieren und Löschen können Befehls-, Ausgabe- oder Textzeilen wieder entfernt werden.

134

Anhang A: Einführung in Maple

A2 Symbolisches Rechnen und Graphik Standardmäßig werden die Maple-Befehle zur Formelmanipulation in der MapleSyntax eingegeben. Z.B. > int (x"2*sin (x), x); _x2 cos(x) + 2 cos(x) + 2 x sin(x)

berechnet zu x 2 sin(x) eine Stammfunktion. Die Eingabe erfolgt dabei in der Maple-Notation. Alternativ kann man die symbolische Darstellung der Eingabe wählen, indem man an der oberen Leiste den x-Button aktiviert, dann lautet die gleiche Eingabezeile >

ft

2

sin(x) dx

Markiert man das Ergebnis der Maple-Rechnung und betätigt die rechte Mousetaste, werden mögliche Rechenoperationen vorgeschlagen, die auf das Ergebnis anwendbar sind. Z.B. Differentiate ｾ＠ x differenziert die Stammfunktion und liefert die Maple-Eingabezeile > x"2*sin (x)

i

Markiert man nur einen Teil des Outputs und wählt mit der rechten Mousetaste wieder Differentiate ｾ＠ x, wird der Befehl als neue Eingabezeile in Maple-Syntax angegeben und ist anschließend ausführbar. >RO := diff(-x"2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x) ,x); RO sin(x)

:=r

Wählt man statt dem Differenzieren mit der rechten Mousetaste Plots ｾ＠ 2D-Plot, so wird die Stammfunktion in einem Smartplot gezeichnet. Durch Anklicken der Graphik erscheint eine neue Toolbar, mit der man die Graphik interaktiv ändern kann. Alternativ steht wieder die rechte Mousetaste zur Verfügung. Ab Maple6 gibt es dadurch eine bequeme Möglichkeit Legenden zu beschriften, in die Graphik mit einzubinden sowie die Graphiken in einem der Formate abzuspeichern. Durch >plot(x"2, x=O .. 2);

wird direkt der plot-Befehl aktiviert, der den vorgegebenen Ausdruck im angegebenen Bereich zeichnet. Auch hier befinden sich die zusätzlichen Optionen zur Manipulation der Graphik nach dem Anklicken der Graphik am Kopf des Worksheets. Insbesondere um eine Animation, die durch animate oder display erzeugt wird, zu starten muss die Animation angeklickt und der Startbutton betätigt werden. Alternativ kann man nach dem Anklicken der Graphik zur Steuerung wieder die rechte Mousetaste nutzen.

A3 Paletten

Kommen wir nochmals aufunsere Integralaufgabe

Ir

135

sin(x) dx zurück. Um das

Ergebnis der Rechnung einer Variablen expr zuzuordnen, steht der %-Operator (ditto-Operator) zur Verfiigung > expr:=%; expr:= _x2 cos(x) + 2 cos(x) + 2 x sin(x) Anschließend können mit expr wieder Formelmanipulationen vorgenommen oder der Ausdruck kann durch > eval (expr, x=Pi/2); 7t 7t

an der Stelle x ="2 ausgewertet werden. Alternativ zum %-Operator hätte man auch direkt die Variable expr definieren können: > expr: =int (x 2 *sin (x) , x) ; expr cos(x) + 2 cos(x) + 2 x sin(x) A

:=-r

A3 Paletten Um dem Anfänger das interaktive Arbeiten mit Maple zu erleichtern, steht zum einen die rechte Mousetaste zur Verfügung, mit der man jeweils den MapleOutput manipulieren kann. Andererseits bietet Maple drei sog. Paletten an, die an der oberen Taskleiste unter View ｾ＠ Palettes angesteuert werden können. Symbol Palette. Oftmals verwendet man sowohl im Textmodus als auch im Eingabemodus griechische Buchstaben. Diese stehen direkt über die Symbol Palette zusammen mit e, 00, 7t, i zur Verfügung. Expression Palette. Häufig verwendete Maple-Operationen wie Integration, Differentiation, Summenbildung, Limesrechnung aber auch Grundrechenarten, Potenzen und Wurzeln sowie elementare Funktionen werden durch Anklicken des entsprechenden Symbols in Maple-Syntax umgesetzt. Die noch zu spezifizierenden Parameter des Befehls werden mit %? gekennzeichnet. Diese müssen anschließend gesetzt werden. Matrix Palette. Um die Eingabe von Matrizen zu erleichtern, gibt es die Matrix Palette. Dadurch können durch Auswahl des entsprechenden Symbols alle 4x4Matrizen spezifiziert werden.

136

Anhang A: Einfiihrung in Map1e

A4 Spreadsheets Zur Tabellenkalkulation stehen die sog. Spreadsheets zur Verfiigung. Diese werden wie Tabellen Z.B. in Excel bedient und benutzt. Das folgende Spreadsheet zeigt die Werte der Summen

n

n

k= I

k= I

L kund L 12

in Abhängigkeit von n. Dazu

wählen wir auf der oberen Taskleiste 7 Spreadsheet. Es erscheint im Arbeitsblatt eine Tabelle mit Zeilen A, B, C, .. . und Spalten 1, 2, 3, ... Zuerst wählen wir A an, schreiben in das grau markierte Feld n und bestätigen die und Eingabe mit Return. Dann wählen wir B an, schreiben sum(k, k=l .. ｾａｬＩ＠ wird bei der späteren Auswertung der Tabelle bestätigen die Eingabe. Durch ｾａｬ＠ der aktuelle Wert des Parameters n aus der ersten Spalte genommen. In das Feld C Man beachte, dass Maple die Summen symboschreiben wir sum(kA2, k=l ..ｾａｬＩＮ＠ lisch in Abhängigkeit von n berechnet. In die Felder 2, 3, 4, 5 und 6 der Spalte A tragen wir 1, 2, 3, 10 und 100 ein. Nun Klicken wir die gesamte Spalte B an und wählen Spreadsheet 7 Fill 7 Down. Dann werden die zugehörigen Summenwerte in die zweite Spalte übertragen. Die Summen der dritten Spalte werden analog berechnet oder man wählt nach dem Markieren der Spalte das Ausfiihrungssymbol an der oberen Taskleiste. A 1

n

B

1

2

C

1

2('1+1) -2 n -

11

3

1

2

1

1

1

3

2

3

5

..

2

3('1+1) -2 ('1 + 1) +"6 n

3

6

14

10

55

385

100

5050

338350

1

+6'

1

A5 Maple als Textsystem Mit der Funktionstaste F5 kann man vom Maple-Input-Status in den Textmodus umstellen und in diese Zeile Text eingeben. Wie bei anderen Textsystemen kann man durch die Wahl von speziellen Buttons an der oberen Taskleiste den Text fett (B), kursiv (l) bzw. unterstrichen (y) darstellen. Mögliche Formate fiir den Absatz sind links- oder rechts bündig oder Blocksatz. Eine sehr attraktive Möglichkeit Formeln einzugeben besteht in der folgenden Vorgehensweise: Im Textmodus (F5) klickt man das Summensymbol von Maple an. Es erscheint dann in der Maple-Oberfläche eine Eingabezeile und im Text ein ? In die Eingabezeile kann man nun eine Formel in der Maple-Syntax eingeben. Im Text erscheint dann nach

A6 Maple Strukturen

137

Betätigung der Return-Taste die Formel in symbolischer Schreibweise. Beispielsweise liefert int(sqrt(diff(y(x),x)"2+ l),x=a .. b) die Formel

Jｾ＠

(:xy(X»), + J dx

a

Ein Aufbau des Textsystems in der Form von aufklappbaren Buttons ist durch die Option Insert ｾ＠ Seetion oder Insert ｾ＠ Subseetion möglich. Durch das Exportieren des Worksheets in .tex erhält man sowohl den Text als auch die Formeln in LaTeX und die Bilder als eps-Files. Durch das Exportieren des Worksheets in .htm erhält man den Text als html-File und sowohl die Formeln als auch die Bilder im gif-Format. Animationen werden als animated-gifs abgespeichert und werden bei der entsprechenden html-Seite als Animationen abgespielt. Ein Exportieren in das rif-Format ist ebenfalls möglich.

A6 Maple Strukturen

•

Operatoren Addition + Subtraktion Multiplikation * Division Potenz ** /\ Potenz


=

kleiner kleiner gleich größer größer gleich gleich ungleich

• Nulloperatoren Zuweisung Befehlsende zur Ausführung und Darstellung des Ergebnisses Befehlsende zur Ausführung ohne Darstellung des Ergebnisses % zuletzt berechneter Ausdruck (ditto-Operator) An- und Abführungszeichen für Texte in Maple-Befehlen • Packages Da Maple beim Starten nur einen Grundumfang von Befehlen aktiviert, sind viele Befehle in sog. Packages aufgeteilt, die bei Bedarf mit >with(package) geladen werden müssen. Wichtige Packages sind geometry Geometrie-Paket für den R 2 geom3d Geometrie-Paket für den R3 inttrans Package der Integraltransformationen linalg Package zur linearen Algebra LinearAlgebra Package zur linearen Algebra für große Matrizen plots Plot-Package für viele Graphikfunktionen Alle Packages können mit index,package und alle Befehle eines Packages mit with(package) oder ?package aufgelistet werden; die Hilfe zu den einzelnen Befehlen erhält man mit ?befehl.

Anhang B: Die CD-ROM

Auf der CD-ROM befinden sich • eine pd!-Version des vorliegenden Buches; • alle Maple-Beispiele, wie sie im Buch beschrieben sind fiir Maple6 - Maple8. Die getesteten Systemvoraussetzungen für den Gebrauch der CD-ROM sind • Intel 486 DX oder Pentium; • empfehlenswert mind. 64 MB Festplattenplatz; • empfehlenswert mind. 32 MB RAM; • Windows NT 4.0, Windows 9x und höher. Voraussetzungen • Maple6, Maple7 oder Maple8 ist auf dem Rechner installiert. • .mws ist je nach Version mit dem ausführbaren Programm wmaple.exe, maplew.exe bzw. maplew8.exe im Maple-bin-Verzeichnis verknüpft. • Acrobat-Reader steht zur Verfügung. Aufbau der CD-ROM: Die Struktur der Dateien und Verzeichnisse ist wie folgt: buch.pdj

enthält den Inhalt des Buches. Zum Navigieren innerhalb der Themengebiete bzw. zum Starten der Maple-Worksheets verwendbar.

index.mws

Inhaltsverzeichnis der Worksheets.

\worksheet\

enthält alle Worksheets im mws-Format.

read.me

letzte Änderungen, die nicht mehr im Text aufgenommen werden konnten.

Arbeiten mit der CD-ROM Arbeiten mit der mws-Datei: Durch Doppelklicken der Datei index.mws öffnet man das Maple-Inhaltsverzeichnis. Durch anschließendes Anklicken des gewünschten Abschnitts wird das zugehörige Maple-Worksheet gestartet und ist dann interaktiv bedienbar. Mit der ｾＭ Taste der oberen Taskleiste kommt man vom W orksheet wieder zum Inhaltsverzeichnis zurück. Die einzelnen Worksheets sind aber auch separat anwählbar.

Arbeiten mit der CD-ROM

139

Arbeiten mit der pdf-Version: Durch Doppelklicken der Datei buch.pdj öffnet man den Inhalt des Buches, wie es auszugsweise in der untenstehenden Abbildung angegeben ist. • Die linke Spalte (Lesezeichen) bildet das Inhaltsverzeichnis des Buchs ab. Man wählt das gewünschte Themengebiet aus. Dann springt der Cursor auf die entsprechende Stelle im Buch (rechter Bildschinninhalt). • Vom rechten Bildschinninhalt aus kann das zugehöri e Maple-Worksheet durch Anklicken des blau gekennzeichneten Links Workshee gestartet werden. Das Maple-Worksheet enthält neben dem im Buch diskutierten Beispiel noch weitere, welche dann interaktiv geändert werden können. Durch Schließen des Worksheets kommt man wieder zur pdf Version des Buches zurück. • In der pdfVersion sind die Querverweise in der Spalte Siehe auch aufgelöst, d.h. durch Anklicken des Verweises springt der Cursor an die entsprechende Stelle im Text. • Um innerhalb des Textes zu navigieren kann auch der Index verwendet werden, da die angegebenen Seitenzahlen mit den TextsteIlen verlinkt sind, d.h. durch Anklicken der Seitenzahl im Index springt der Cursor an die zugehörige TextsteIle. !lR.. _ _ _ _ l-JjiIo

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Literaturverzeichnis

Brauch, W., Dreyer, H.l, Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure. Teubner, Stuttgart 1990. Burg, K., Haf, W., Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure I-IV. Teubner, Stuttgart 1985-90. Burkhardt, W.: Erste Schritte mit Maple. Springer 1996. Char, B.W. et al: MapleV: First Leaves. Springer 1991. Char, B.W. et al: MapleV: Library Reference Manual. Springer 1991. Devitt, lS.: Calculus with Maple V. Brooks/Cole 1994. Dodson, C., Gonzalez, E.: Experiments in Mathematics Using Maple. Springer 1995. Ellis, W. et al: Maple V Flight Manual. Brooks/Cole 1996. Engeln-Müllges, G., Reutter, F.: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1985. Heck, A.: Introduction to Maple. Springer 1996. Heinrich, E., Janetzko, H.D.: Das Maple Arbeitsbuch. Vieweg, Braunschweig 1995. Kofler, M.: Maple V Release 4. Addison-Wesley 1996. Komma, M.: Modeme Physik mit Maple. Int. Thomson Publishing 1996. Kofler, M., Bitsch, G., Komma, M.: Maple (Einführung, Anwendung, Referenz). Addison-W esley 2001. Lopez, R.J.: Maple via Calculus. Birkhäuser, Boston 1994. Meyberg, K., Vachenauer, P.: Höhere Mathematik 1+2. Springer 1999+97. Wemer, W.: Mathematik lernen mit Maple (Band 1+2). dpunkt 1996+98. Westermann, T.: Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 1+2). Springer 2002+2001. Westermann, T., Buhmann, W., Diemer, L., Endres, E., Laule, M., Wilke, G.: Mathematische Begriffe visualisiert mit Maple. Springer 2001.

Index

Ableitung Ausdruck 51 Funktion 52 numerische 53 partielle 54, 55 Abstände 121 Affine Geometrie 118 Allgemeines Iterationsverfahren 11 Amplitudenspektrum 67 Animation f(x,t) 29 f(x,y,t) 30 Ausdrücke Auswerten 4 Expandieren 4 Vereinfachen 3 Ausgleichsfunktion 102 Auswerten von Ausdrücken 4 Basis 116 Bode-Diagramm 25 Charakteristisches Polynom 113 Determinante 109 DG 1. Ordnung Analytisches Lösen 79 Euler-Verfahren 81 Numerisches Lösen 80 Prädiktor-Korrektor-Verfahren 82 Runge-Kutta-Verfahren 83 DG n.-ter Ordnung Analytisches Lösen 90 Numerisches Lösen 92 DGS 1. Ordnung Analytisches Lösen 84 Euler-Verfahren 88 Numerisches Lösen 86 Differentialgleichungen 1. Ordnung 77 Differentialgleichungen n. Ordnung 90 Differentialgleichungs-Systeme 84 Differentiation 51 Dimension 117 Divergenz 124

Ebene 118 Eigenvektoren 112 Eigenwerte 112 Euler-Verfahren 81 Expandieren von Ausdrücken 4 Extremwerte nichtlinearer Funktionen 97 Extremwerte und Optimierung 94 Fehlerrechnung 44 FFT 69 Folgengrenzwerte 46 for-Schleife 127 Fourierreihen 63 analytisch 63 FFT 69 komplexe 67 numerisch 65 Fourier-Transformation 74 inverse 75 Lösen von DG 76 Funktionen 19 Definition 20 graphische Darstellung 1D 22 graphische Darstellung 2D 27 Kurvendiskussion 38 Linerarfaktorzerlegung 36 logarithmische Darstellung 26 Nullstellen 35 Partialbruchzerlegung 37 Tangentialebene 43 Taylorentwicklung 41,45 Totales Differential 42 zusammengesetzte 21 Funktionen in mehreren Variablen 42 Funktionsgrenzwerte 48 Gauß-Seidel-Methode 17 Gerade 118 Gleichungen 7, 8 Gleichungssysteme 10 Gradient 122 Grenzwerte 46

144

Index

if-Bedingung 129 Integraltransfonnationen 71 Integration 56 Linienintegrale 61 Mehrfachintegrale 60 numerische 57 Interpolation 99 Iterative Verfahren 11

Partialbruchzerlegung 37 Partielle Ableitungen 54, 55 Potentialfeld 125 Potenzreihen 50 Prädiktor-Korrektor-Verfahren 82 proc-Konstruktion 130 Produkte 2 Programmstrukturen 127 Punkt Il8

Jacobi-Methode 16 Komplexe Wurzeln 6 Konvergenz 49, 50 Konvergenzradius 50 Korrelationskoeffizient 10 1 Kurvendiskussion 38 Laplace-Transfonnation 71 inverse 72 Lösen von DG 73 Lineare Gleichungssysteme überbestimmte 94 Lineare Optimierung 96 Lineare Unabhängigkeit 114, Il5 Linearfaktorzerlegung 36 Linienintegrale 61 Logarithmische Darstellung 26 Mantelfläche Rotationskörper 58, 59 Maple-Prozeduren differential 42 Euler 81 fehler 44 PraeKorr 82 RuKu 83 Matrizen 107 Matrizenrechnung 108 Mehrfachintegrale 60 Messdaten Einlesen 33 graphische Darstellung 34 Newton-Verfahren 13 Newton-Verfahren in 2D 14 Nullstellen 35 Numerische Differentiation 53 Numerische Integration 57 Ortskurven 24

Quellenfreiheit 126 Quotientenkriterium 49 Rang 111 Rechnen komplexe Zahlen 5 reelle Zahlen 1 Regula falsi 12 Rekursive Folgen 47 Richtungsfelder 77 Rotation 123 Rotationskörper 58, 59 x-Rotation 31 y-Rotation 32 Runge-Kutta-Verfahren 83 Schnitte von Geraden und Ebenen 120 Spline-Interpolation 100 Summen 2 Tangentialebene 43 Taylorentwickiung 41,45 Totales Differential 42 Ungleichungen 9 Vektoranalysis 122 Vektoren 104 Vektoren im IRn 114 Vektorpotential 126 Vektorrechnung 105 Vereinfachen von Ausdrücken 3 Volumen Rotationskörper 58, 59 while-Schleife 128 Winkel 106 Wirbelfreiheit 125 Wronski-Detenninante 110 Zahlenreihen 49

Maple-Befehle

Maple-Befehle

11 16 -> 20 angle 106 animate 29 animate3d 30 basis 116 charpoly 113 convert 37 coordinates 120 crossprod 105 curl 123 D 52,55 DEplot 77 describe 10 1 det 109, 110 diff 51,54 distance 121 diverge 124 dotprod 105 ､ｾｯｬｶ･＠ 79,80,84,86,90,92 eIgenvals 112 eigenvects 112 eval 4 evalc 5 evalf 1, 19,57 evalm 105, 108 expand 4 extrema 97 factor 36 FFT 69 FindAngel 120 for 11,12,16,17,127 fourier 74 fsolve 6,8,35 grad 122 if 129 int 56,57,58,59,60,61

interp 99 interseetion 120 inverse 108 invfourier 75 invlaplace 72 laplace 71 leastsquare 102 ｬｾｭｩｴ＠ 46, 48, 49, 50 lIne 118 linsolve 94, 114 loglogplot 26, 34 logplot 26, 34 matrix 107 maximize 96 mtaylor 45 nonnal 3 odeplot 80, 92 parfrac 37 piecewise 21 plane 118 plot 22,24 plot3d 27,31,32 point 118 potential 125 proc 130 product 2 rank 111,115,117 readdata 33 rhs 17 rsolve 47 ｳｾｭｩｬｯｧｰｴ＠ 25, 26, 34 slmplify 3 solve 7,9, 10 spline 100 subs 4 sum 2 taylor 41 transpose 108 unapp1y 20 value 60 vecpotent 126 vector 104 while 13, 128 wronskian 110

145