Mathematische Olympiadeaufgaben aus der UdSSR

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MATHEMATISCHE OLYMPIADEAUFGABEN aus der lldSSR mit ausffihrlichen Lésuhgen

bearbeitet von

ARTHUR ENGEL

990 ERNST KLETT VERLAG STUTTGART

71 03

Druck: Union Druckerei Gmbfl, Stuttgart, Gottastr. 1) - 22; 1966

INHALT Vorlort ........................................................... Gebraucheanweieung ....................z...........................

Mathematiache Olympiaden .................;........................ Schuleystem und lathematikunterricht in der Sowjetunion ................................................

13

Einfuhrende Aufgaben ..............................................

18

I. Teil

- Algebra und Zahlentheorie -

Kombinatorische Aufgaben .......................................... Teilbarkeit

25

.......................................................

24

Gleichungen .......................................................

26

Ungleichungen .....................................................

27

Folgen .......................................................I....

29

II. Teil

_- Geometric -

Kombinatorische Geometric .........................................

29

Abbildungegeometrie ...............................................

31

Verschiedene Aufgaben

.............................................

32

Aufgaben ohne Lfieung .............................................,

36

Hinweise und Antworten zu den Aufgaben ohne Lasung .......................................................

59

- L6eungen - ...........................................

41

III. Teil

Einweise .......................................................... 144 Antworten

......................................................... 152

VORWORT

Dieses Buch enthilt keine einzige Routineaufgabe. die ohne Uberlegung auf den Anhieb gelfist werden k6nnte. Man benfitigt in der Regal groflen Einfallsreichtun, Einffihlungsvernagen und achfipferische Fihigkeiten. Die not-endigen Vorkenntnisse 31nd dagegen gering. Die elementare Mathenatik der Hittelstufe reicht inner aus. Einige der Aufgaben sind so "leicht". dafl sie in Prinzip von einen Sextaner gelBst verden kfinnen, 2.8. Nr. ha. 6. 7.

14. 15. 16. 20, 21, 22. 27a, 29. Andere sind so

schwierig. dafl jeder Mathematiker nit Hochschulbildung stolz sein kann, wenn er sie nach nehrstfindiger intensiver Arbeit bezwingen kann (vorauagesetzt,

daB er sie nicht kennt).

2.3. Nr.

33,

34.

117.

118,

122.

E5

handelt sich jedoch keinegwegs un kfinstlich konstruierte Spitzfindigkeiten. Sehr hfiufig sind nichtige Lehrefitze Oder ihre Sonderfille zu beweisen. Des Hauptziel des Buches ist es. den Schfiler nit einer Reihe Wichtiger nethenatischer Tatsachen, Ideen und Beweisnethoden vertraub zu nachen. Das Buch ist fir Lehrer.

studenten.

Schfiler und Frennde der Hethenatik

sedacht. Der Lehrer kann es als Ergfinzung zun eingeffihrten Lehrbuch vervenden. Er sollte inner wieder anspruchsvolle, aber intereesante Aufgaben nit seinen Klassen behandeln. Denn nur so kann er die Freude an der Mathematik wachhalten und die Leistung steigern. So nanche "schwache" Klasse ist erst durch fortgesetzte unterforderung leistungsschwach genorden. Die Erfahrungen der Russen haben gezeigt, daB nan gute Schfiler spitestens von der h. Gynnasialklasse an extra ffirdern sollte. Ein guter Schfiler braucht nicht inner dieselben Hausaufgaben zu nachen wie die fibrige Klasae. Er bekonnt stattdessen ein Olympiadeproblen, an den er seine Krifte nessen kann. Einige Aufsaben bzw. Aufgabengruppen eignen sich als Jahresarbeiten ffir Schfiler der Oberstufe. In der Regel wird die Lasung auch den Lehrer Schwierigkeiten bereiten. Dadurch wird er die Nfite der Schfiler bei Problemlfisungen besser verstehen und Iird ihnen wirksaner helfen kfinnen.

In erster Linie ist das Buch fur die Hand des Schfilers gedacht. Die Farderung des guten Schfilers liegt nir besonders an Herzen. In der Mathematik konnt es nicht auf Wissen.

sondern auf K6nnen an.

Deshalb lernt nan

Mathematik am besten nicht durch Lesen weiterffihrender Literatur, sondern durch intensive Beschfiftigung nit intereasanten und anspruchsvollen Prob-

lemen von einfachem und elementarem charakter. Der tagelange. ja wochenlange Kampf und die schlieflliche Bezwingung einee Problems ist ein wich-

tiges Element in der Erziehung eines zukfinftigen produktiven Mathematikers. Der Schfiler braucht die Aufgaben nicht der Reihe nach zu lasen. Er kann sich auawihlen, was ihm gerade geffillt.

In die Sammlung wurden auch leichte Problene aus der 1. Runde und aus den Anffingen der Olympiaden aufgenommen. Besonders knifflige Aufgaben wurden gemieden. Hence gibt es bei den SchluBrunden keine einfachen Aufgaben mehr. Relativ leicht sind die 50 einffihrenden Probleme (das letzte ausgenommen). Dagegen sind die Aufgaben aus der kombinatorischen Geometric ziemlich séhwer. Die Anforderungen an die Vollstindigkeit der Darstellung sind bei Olympiaden sehr hoch. Einige Lasungen in diesem Buch wfirden nicht als vollgfiltig anerkannt,

besonders in der Geometric,

da nus Platzmangel auf Determination

und auf die Untersuchung von Senderffillen verzichtet wurde. Bei einem Drittel der Lfisungen konnte ich mich an die Daratellung von J.M. Jaglom anlehnen. Der Rest der Aufgaben wurde von mir selbst gelfist. Daher ist anzunehmen. dafl sich einige Lfisungen ganz wesentlich vereinfachen laasen. Arthur Engel

Stuttgart-Bohr. in Januar 1965

Gebreucheenweieung

Um die Selbattitigkeit des Lesere zu ffirdern. haben wir Autgahentext,‘ Lésung. Anleitung und Antwort voneinander getrennt. Der Leaer 3011 versuchen. die Aufgabe selbst zu 163en. Dunn kenn er aein Ergebnia nit der

Antlort an SchluB dea Buches vergleichen. Wenn die Ergebniase nicht fibereinstinmen, dann sollte er sich benfihen, seinen Fehler selbst zu finden.

Stinmen die Ant-orten fiberein, dann aollte er seine Lacung mit der in Buch vergleichen. Hfiufig findet er dort Ieitere LBsungen, Verallgemeinerungen.

weiterffihrende Aufgaben und Deutungen des Ergebnisses. Gelingt die selbstfindige Lésung nicht. dann kann er die Anleitung am Ende des Buches ansehen; Zu allen achvierigen Aufgnben warden Anleitungen und Hinleiae gegeben. Ere: Ienn due Allen nicht hilft (was an Anfang hfiufig vorkonmen wird), kanu er die Lasung durchlesen. Die Zeichen (A). (H), (AH) an Ende des Aurgebentextes bedeuten Jeweila, daB die betreffende Aufgebe nit einer Antwort. einen Hinweis odor beiden veraehen ist.

Mathematische Olympiaden

Die nathematiachen Olympiaden verfolgen hauptsichlich folgende Ziele: a) Ea aollen mathematieche Talente frfihzeitig entdeckt und ayatematiech geffirdert werden. Die entdeckten Talente Bollen in ffihrende Universitfiten dea Landea gelenkt werden. b) Das Interesse aller Schfiler an der Mathematik aoll erhfiht werden. Sie aollen angeregt werden, sich aktiv mit dieaer Wiesenschaft zu befasaen. c) Den Lehrern Iird ein Vorbild-gesetzt, an den sie sich orientieren k6nnen. Dadurch 5011 daa Unterrichtaniveau in Mathematik an den Mittelachulen erh6ht werden.

Die erate Olympiade wurde in der SU 193“ in Leningrad abgehalten. Nach kurzer Zeit hat man in zahlreichen Groflatfidten Olympiaden durchgeffihrt. Die meisten Aufgaben dieser Sammlung stammen von Moskauer Olympiaden. Der Rest konmt von einen Dutzend anderer stadte. E5 5011 kurz erlautert werden, nie die Moakauer Olympiade vorbereitet undvdurchgeffihrt wird. Khnliches gilt dann auch ffir andere Stfidte. Die Initiative geht von der Fakultfit fir Mathematik und Mechanik der Moskauer Staatsuniversitit (MSU) and von der Moakauer Mathematischen Geeellschaft aus. wahrend dea ganzen Schuljehrea (Beginn in September) arbeiten an der MSU fiber 10 mathematiache Schfllerzirkel fur die Schfiler dee VII bis XI Schuljahres. Daneben gibt es noch zahlreiche Zirkel in der weiteren Ungebung der stadt.

Die Zirkel warden von fiber 50 studenten and

Assistenten der MSU geleitet. In den Zirkeln werden ausgewflhlte Frasen der Algebra, Geometric. Zahlentheorie. Wahracheinlichkeitstheorie u.a.n. behandelt. Dort werden auch achwierige Probleme geatellt und gelfist. An Sonntagen werden von den Professoren nnd Dozenten der MSU Vortrfige ffir Schfiler abgehalten. Die Vortragsredner sind zum Teil ffihrende Gelehrte des Landes.

z.B. Kolnogorow, P.s. Alexandrow. Dynkin, Lusternik. Boltjanaki.

Dobruachin, J.M. Gelfand, Schilow, J.M. Jaglom u.a., um nur einige Namen zu nennen. In Januar erscheint eine Aufgabensammlung zur Vorbereitung. Sie

enthalt Aufgaben frfiherer Olympiaden. In April finden dann die beiden Runden der Olympiade statt. In der 1. Runde nehmen 1 000 bis 1 500 Schfiler teil. Etna ein Drittel davon wird zur zweiten Runde hugelaseen.

In der russischen Federation (dies iat fiber die Hilfte der Sowjetunion) sind die Olympiaden seit 1961 zentral organiaiert. Dort gibt es jetzt vier

Runden. Die 1. Runde wird an den Schulen nbgehalten. An 1hr nehmen rund 1 500 000 Schfiler der Klassen V his XI teil. Die Sieger nehmen an der 2. Runde teil, dies sind die Stadt- and Kreiaolympiaden. Die 5. Runde 31nd die Gebietsolympiaden. Teilnahmeberechtigt sind die sieger der 2. Runde aus den Klassen VII bis XI. Die h. Runde (Endrunde) heiBt Allruseische Olympiade und

findet in Moskau statt. An ihr nehmen runu 70 Mannschaften

von je k Schfilern teil. Dies sind Schfiler der VIII-bis XI.K1asse. die bei der 3. Runde siegreich waren. Die sieger jeder Runde lerden nit wertvollen Preisen und Ehrenurknnden besehenkt. Ferner werden sie bei Aufnahmen in ffihrende Universititen und Hochschulen bevorzugt. Zuu SchluB geben wir zur Orientierung sfintlicher Aufgaben der XX. Moskauer Olympiade (1957). Damale gab es in der 5" 1O Schuljahre. heute eind ee 11.

VII. Klasse 1. Runde 1. Bestinne alle gleichschenkligen Trapeze. die von einer Diagonale in ' zwei gleichechenklige Dreiecke zerlest warden.

2. Es eei bekannt. daB ax’ + bx? + cx + d mit den gegebenen ganzen Zahlen a. b. c. d fir jedes gauze x durch 5 teilbar iet. Zeige. daB alle vier Zahlen a.

b.

c.

d durch 5 teilbar eind.

3. Eine Schnecke kriecht auf einen Tiech nit konetanter Geechwindigkeit.

Alle 15 Hinuten dreht sie sich um 90° nach rechte oder links. In der Zeit zwischen zwei Undrehungen kriecht sie geradeaus. Zeige, daB sie nur nach einer ganzzahligen stundenzahl zun Ausgangspunkt zurfickkehren kann.

“. Eine rechteckige Tabelle enthilt nur positive Zahlen. Das Produkt irgendeiner Zeilensumne nit irgendeiner Spaltensumme ist gleich der Zahi. die in ihrem Schnittpunkt steht. Zeige, daB die Summe aller Zahlen in der Tabelle gleich 1 15%. 5. Von A bis B sind es 999 kn. Entlang dee Weges etehen Kilometersteine. auf denen die Entfernungen von A and von B etehen: .... vor?

.

. Auf wieviel Steinen komen nur zwei verschiedene ziffern

.

2. Runde 1.

Die Geraden 0A und OB sind senkrecht zueinander.

Bestimme den geome-

trischen Ott der Endpunkte M aller solchen Streckenzfige OM von der Linge 1, die von jeder an OA oder OB parallelen Geraden in hfichstens einem Punkt 5eschnitten werden. 2.

Eine Radiorahre hat 7 kreisffirmig angeordnete Kontakte.

steckdose nit 7 L6chern gesteckt werden.

die in eine

Kann man die Rahrenkontakte und

die dher der Steckdose so numerieren, daB bei einem beliebigen Hineinstecken der Rahre wenigstens ein Kontakt auf seinen Platz kommt (d.h. in due Loch mit der gleichen Nummer)? 3. In einem Dreieck sind zwei Seiten a und b bekannt. Wie grofl mun die dritte Seite sein. damit der graflte Dreieckswinkel maglichst klein wird? h. In ein Dreieck wird der Inkreis einbeschrieben. und desaen Beruhrpunkte mit den Seiten werden miteinander verbunden. In das entstehende Dreieck wird wieder der Inkreis einbeschrieben, dessen Berfihrpunkte mit den Seiten die Ecken eines dritten Dreiecks sind. das die gleichen Winkel hat wie das er— ste Dreieck. Bestimme diese Winkel. r,

5. Gegében ist die Zahlenfolge 1, 2, 3, 5, 8. 13, 21.

..., in der jedes

Glied. beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorangehenden ist. Aus dieser Folge werden 8 aufeinanderfolgende Glieder ausgewfihlt. Zeige. dafl ihre Summe unter den Gliedern der Folge nicht vorkommt.

VIII. Klasse 1. Runde 1. Bestimme die Ortslinie der vierten Ecken aller Rechtecke, deren drei

Ecken auf zwei gegebenen konzentrischen Kreisen liegen und deren Seiten parallel zu zwei gegebenen Geraden'sind: 2. Siehe Aufgabe Nr.

3 ffir die

1.

Runde der VII. Klasse.

3. Unter allen Parallelogrammen mit gegebenem Flicheninhalt ist dasjenige zu bestimmen. bei den die lingste Diagonale mfiglichst kurz ist.

4. In einer rechteckigen Tabelle ist das Produkt aus irgendeiner Zeilensumme mit irgendeiner Spaltensumme gleich der Zahl, die in ihrem Schnittpunkt steht. Zeige, daB die Summe aller Zahlen in der Tabelle gleich 1

ist, oder allé Zahlen sind gleich 0.

.

5. Es sci bekunnt. daB ax‘ + bx’

+ car2

4 dx + e nit gegebenen ganzen Zahlen

a. b. c. d, e ffir jedes ganze x durch ? teilbar ist. Zeige. daB 3119 5 Zahlen a.

b.

c,

d.

e durch 7 teilbar 31nd.

2. Runde

1. In einen Dreieck sind zuei Seiten a and h bekannt. Wie groB DUB-die dritte Seite sein.

damit der kleinstc Dreieckslinkel mfiglichst grofl wird?

2. Zeige. daB die Anzahl aller ziffern in der Folge 1. 2. 3. ist der Anzahl aller Nullen in der Folge

1,

2.

3,

....

109

.... 10a gleich

.

3. Es sei G der Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecke ABC und 0 ein Punk: 1m Innern des Dreiecks. Die Gerade OG schneidet die Seiten des Dreiecka (oder ihre Verlingerungen) in den Punkten A', B'. C'.

Zeige. dull

=—+:+=—= 3.

5. Bestinne alle reellen Lfisungen des Gleichungssystems i:

‘

1 + xi

fizz—=x"

31,—:x1.

1 + 1%

1 + x§

5. In ein ungleichseitiges Dreieck ist der Inkreis einbeachrieben. Seine Berfihrpunkte mit den Seiten warden ale Ecken eines zweiten Dreiecks 5eIihlt. In dieaes zueite Dreieck lird wieder der Inkreis einbeschrieben, dessen Berfihrpunkte die Ecken eines dritten Dreiecks aind. In diesem Dreieck Iird wieder der Inkreis gezeichnet usw. Zeige. due in der entatehenden Dreieckatolge keine zwei ihnliche Dreiecke vorkonmen.

IX. Klasse 1. Runde 1. Siehe Aufgabe Nr. 1 der 1. Runde ffir die YIII. Klaese.

2. Lfise die Gleichung x’ — [x] = 3. '0 [x] die grfiate ganze Zahl bedeutet, die x niche fibertrifft.

3. In konvexen Viereck ABCD ist H die Hitte der Diagonale IE und N die Mit-

te der Diagonale 33. Die Gerade HN schneidet die Seiten AB und CD in den

Punkten H' und N'. Zeige: venn fifi' = 33' ist, dann ist BC ll AD. h. Ein Schiler fihrt zur Olympiade nit der Hetro1); zahlt einen Rubel und bekonmt Geld heraus.

10

Zeige:

wenn er nit der straBenbahn heimkehrt,

dann

__________________ 1 ) Untersrundbahn

kann er die Fahrt bezahlen ohne Geld herauazubekommen. (Bei der Metro kostet eine Fahrt 50 Kopeken und hei der straBenbahn 30 Kopeken.)

5. Ein ebenea Vieleck A1A,

... An besteht sue n starren stfiben, die 3e-

lenkig verbunden Bind. Zeige. daB man ea fir n > 4 zu einem Dreieck deformieren kann. 2. Runde 1. Zwei Rechtecke liegen in der Ebene so. daB ihre Umffinge 8 Schnittpunkte

haben. Diese Punkte werden verbunden, wobei jeder zweite Punkt fibersprungen wird. Zeige, daB sich die Flfiche des entstehenden Vierecks nicht Endert, wenn eines der Rechtecke parallel Qerschoben wird. 2. Beatimme alle reellen Lfisungen dea Systems

1-2::=x,,1-x;=x,....,1-x§.=x,..1-x2,,

=x1.

3. Zwei kongruente Kreisacheiben sitzen auf derselben Achse. Auf den Umffingen der beiden Scheiben sind die Zahlen 1, 2. 3,

..., 20 in gleichen

Abstflnden und in beliebiger Reihenfolge verteilt. Iet es immer mfiglich eine .Scheibe relativ zur anderen so zu drehen, daB keine zwei gleiche Zahlen sich gesenfiberstehen? . #. Zerlege die Zahl 1957 in 12 ganze positive Summanden a1, a1. a,, 54,

...,

so. daB das Produkt a1! -a.l 0a,! -... '51,! minimal wird.

5. Drei gleiche Kreise berfihren sich gegeneeitig. Ein vierter Kreis berfihrt dieae Kreise von auBen. Voh einem beliebigen Punkt dieses Krgiaea werden die Tangenten an die drei eraten Kreiae gelegt. Zeige. daB die Sumne der Lingen zweier Tangentenatrecken gleich der Linge der dritten let.

X. Klasse 1. Runde

1. Fiir welche ganze n 151: die Zahl 20'1 + 16'n - 3n - 1 durch 323 teilbar? 2. Im Raum ist ein geschlosaener Streckenzug konstruiert. Alle Glieder des Streckenzuges haben die gleiche Linge und je drei aufeinanderfolgende Glieder stehen paarweise senkrechf aufeinander. Zeige, dafl die Anzahl

der Glieder durch 6 teilbar ist. 3.'siehe Aufgabe Nr.

3 der 1.

Runde ffir die IX. Klasse.

h. Ein Schfiler ffihrt zum Zirkel mit der StraBenbahn. zahlt einen Rubel und bekommt Geld heraus. Zeige: wenn er auf dem Rfickweg ebenfalls mit der

11

StraBenbahn fibrt.

bekommen.

dann kann er die Fahrt bezahlen.

ohne Geld herauszu-

(Eine straBenbahnfahrt kostet 30 Kopeken.)

5. Sin ebenes Vieleck AqA,

... An besteht aus n starren stfiben. die ge-

lenkig verbunden sind. Kann man es zu einem Dreieck deformieren?

2: Runde 1. Dem gegebenen Viereck ABCD ist ein Rechteck mit vorgegebenen Seiten-

richtungen einzubeschreiben.

2. Bestimme alle reellen Lasungen des Systems

1 - xfi = x,. 1 - x} = x,. ..., 1 - x;_1 = xn. 1 - x3 = x‘. 3. Dem regelniBigen Tetraeder ABCD ist die Kugel mit den Mittelpunkt G

oinbeschrieben. O sei ein beliebiger Punkt in Innern des Tetraeders. Die Gerade OG schneidet die Ebenen der Seitenflfichen in den Punktgn A', B'. C'.

D'.

Zeige.

dafl

h. Zeige. dafl die Anzahl aller Ziffern in der Folge 1, 2. 3. gleich ist der Anzahl aller Nullen in deH Folge 1, 2, 3,

.... 10k

..., 1Ok+1n

5. Gegeben sind n gauze Zahlen a, = 1, at, 3,, ..., ‘n' Dabei ist a.1 nn . Zeige dies.

(H)

n(n+1)

fibr‘fir jede gauze Zah1n>1gilt 1"2"3"h‘”n“ O

sind. Zeige

1 a1 a;

b)

+

1

7:=—7-= a1+ a,

1 a; a,

1

+

1

811-13"

1 + 7a2+7a,

n-1

+ ... + -————— = ————

a, 85

+

... .

1 + 7an_1+7an

81 an

=

n-1

(H)

Ja1+3an

Geometrie

Kombinatorische Geometfie

104. Die Ebene ist dutch ein kongruentes Quadratnetz bedeckt (kariertes Papier). Gibt es ein gleichseitiges Dreieck. dessen Ecken Gitterpunkte

des Netzes sind? (HA) 105.

Im Innern eines Wfirfels mit der Kantenlfinge

1

werden 9 Punkte ge-

wfihlt. Man zeige. daB mindestens ein Paar dagger Punkte um weniger als 3 durch eine kleinere ersetzt %; voneinander entfernt ist. Kénn die Zahl 7?

warden? (H) 106. Eine ebene Figur F von belieBiger Gestalt. deren Inhalt kleiner ale 1 cm”

ist, kann man so auf kariertes Papier mit 1 cmz-Karos legen. daB

kein Gitterpunkt'bedeckt wird. (H)

3 - 7103/22

29

107. Je vier von ffinf gegebenen Kteisen gehen durch einen Punkt. Zeige, daB

es einen Punkt gibt, durch den alle ffinf Kreise gehen. 108. Gibt es in Raum vie? Punkte A. B. C. D so. dafl :3 = CD = 8 cm,

36 = 35 = 10 cm. KB = 36 = 13 cm 13c? (HA) 109.

Ein konvexes Vieleck mit

13 Seiten kann nicht in Parallelogramme zer-

1egt werden. Zeige dies. (H)

110. Zeige, dafl man an ein Quadrat nicht mehr ale 8 dazu kongruente. sich nicht fiberlappende Quadrate anlegen kann. (H) 111. Auf wieviel verschiedene Arten kann man die Flfichen eines Wfirfels mit

sechs gegebenen Farben férben. Ffir jede Flfiche dart nur eine Farbe verwendet werden. Als verschieden gelten nur die Ffirbungen, die nicht durch Dre-

hung des Wfirfels ineinander fibergeffihrt werden kfinnen. (A) 112. In wieviel Teile hfichstens kann die Ebene dutch

a) n Geraden 113.

b) n Kreise zerlest warden?

(HA)

In wieviel Teile héchstens kann der Raum durch

a) n Ebenen

b) n Kugeln zerlegt verden?

(HA)

11h. Wieviel Schnittpunkte haben die Diagonalen eines konvexen n-Ecks,

wenn keine drei Von ihnen dutch einen Punkt gehen? (A) 112. a) Wieviei der Graae ode} der Lage nach verschiedene Rechtecke (die aus einer ganzen Zahl von Feldern bestehen) kann man auf einem Schachbrett

mit 6h Feldern zeichnen? (A) b) Dieselbe Frage fir ein Schachbrett nit n2

Feldern. (A)

llé. a) Wieviel der Grfifle oder der Luge nach verschiedene Quadrate (die aus einer ganzen Anzahl von Feldern bestehen) kann man auf einem Schach-

brett nit 6h Feldern zeichnen? (A)

'

b) Dieselbe Frage ffir ein Schachbrett nit nz Feldern. (A) 1 7. Auf dem Unfang eines Kreises werden 20 Punkte gewfihlt. Auf wieviel Arten kann man diese Punkte paar-eise durch 10 Sehnen verbiyden. die sich innerhalb des Kreises nicht schneiden? (HA) 118. In wieviel Teile wird ein konvexes n-Eck Von seinen Diagonalen zer-

legt, wenn keine drei Diagonalen durch einen Punkt gehen? (EA) 119. In Baum sind h Punkte gegeben, die nicht in einer Ebene liegen. Wie-

viel Ebenen gibt es. die von diesen Punkten gleichen Abstand haben? (A) 30

129. Im Raum eind 5 Punkte gegeben, die weder in einer Ebene noch auf einer Kugel liegen. Wieviel Ebenen oder Kugeln gibt es. die von diesen Punk-

ten gleichen Abstand haben? (Unter Kugel ist die Oberfléche der Kugel ge— meint.) (A) 121.

EinhRechteck mit den Seiten

16 and 9 5011 so in zwei Teile zerschnit—

ten warden, daB man nus den beiden Teilen ein Quadrat zusammenlegen kann.

Welche anderen Rechtecke lassen sich auf die gleiche Art in ein Quadrat

verwandeln? (HA) 122. In der Ebene sind n Punkte so gelagert, dafl man je drei Von ihnen in

einen Kreis vom Radius 1 einschlieflen kann. Zeige. dafl man dann alle n

Punkte in einen Kreis vom Radius 1 einschlieflen kann.

(H)

123. Man bestimme alle mfiglichen Anordnungen von vier Punkten in der Ebene,

bei denen die gegenseitigen Entfernungen zwischen zwei Punkten nur zwei verschiedene Werte a und b annehmen. Man gebe alle Werte des Verhiltnisses E

an. fir welche solche Anordnungen mfiglich sind.

(A)

123. Ein Kreis ist in p kongruente Sektoren eingeteilt, wo p eine Primzahl ist. Auf wieviel verschiedene Arten kann man diese p Sektoren nit n Farben ffirben; wenn ffir mehrere (ja sogar alle) Sektoren gleiche Ffirbung zulfissig ist. Zwei Ffirbungen gelten nur dann als Verschieden, wenn man sie nicht durch eine Drehung des Kreises zur Deckung bringen kann. Beweise damit den folgenden Satz von Fermat: Wenn p eine Primzahl ist. dann-

iat np - n ffir jedes n durch p teilbar. (A)

Abbildungsgeometrie

125. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck aus den drei Entfernungen seiner Ecken von einem festen Punkt der Ebene. (H) 126. Konatruiere ein Dreieck. wenn die Mittelpunkte der Quadrate gegeben sind, die auf den Dreiecksseiten nach auBen errichtet wurden. (H) 12?. Wenn in einem Viereck die Verbindungsstrecke der Mitten zweier Ge-

genseiten gleich der halben Summe der beiden anderen Seiten ist, dann ist das Viereck ein Trapez. Zeige dies. (E)

128. Gegeben sind drei konzentrische Kreise und ein Punkt auf einem von -diesen5 Ziehe durch diesen Punkt eine Gerade. deren Abschnitt zwischen den fiufleren Kreisen Von dem mittleren Kreis halbiert wird.

(H)

31

129. Gegeben ist ein spitzer linkel und in aeinem Innern ein Kreia. Unter allen Dreiecken mit den Ecken auf den Schenkeln des Winkels und auf den Kreisunfang ist dasjenige'zu beatimmen. welches deh kleinsten

Unfang hat. (HA) 1}o. Zeige. daB die Linge einer geachlossenen'Linie. die alle Seiten eines Rechtecks schneidet. nicht kfirzer 315 die doppelte Diagonale dea Rechtecks ist. (H) 131. Gegeben sind eine Gerade g and zIei Punkte A und B. Beatinme Euf'g einen Punkt P so. daB seine Entfernungsdifferenz von A and B maglichst groB ist.

12E. Es sci ABC ein gleichseitigea Dreieck and M ein beliebiger Punkt in der Ebene disses Dreiecka. Zeige. den i: + Ea ; MB ist. In uelchem Fall

ist ix + i? = ii? (H) 22. In der Ebene sind 6 Geraden 31 s 5: v 8! : 8a.: 85 v s. segeben. Diese Geraden 51nd Mittellote eines Sechsecke A.A;A,A.A5A‘. Konstruiere diesea

Sechseck. (3) 13%. Au! den Seiten dos heliebigen Dreiecka ABC werden nach auBen gieich-

seitige Dreiecke errichtet. Zeige. deB ihre Mitteipunkte die Ecken einea

gleichseitigen Dreiecks sind. (H) 135. Gegeben sind die Punkte 01. Ch. 05 und noch ein Punkt M. Man spie-

gelt mm M an 0. nach M“ M. an 0.

nach H“ H‘

an 0;

nachlfi, M,

an 0,

Inch M,. M,

an 01

nach Hg. M; an 0, Inch M. . Zeige. dell M = M; ist.

(H)

Verschiedene Aufgaben

136. has Dreieck mac habe die mache F und die Seiten a, b, c (a E b-§ c). Diesem Dreieck soll die grBBte Raute einbeschrieben werden. deren.e;ne

Ecke nit einer Ecke des Dreiecks zuaammenffillt. (EA)

122. Durch einen Punkt A in Innern einea Winkela geht eine Gerade. die mit den Schenkeln des Winkela ein Dreieck kleinster Flfiche_b11det. Zeige

daB der Abachnitt dieaer Geraden. welchep zwischen den ScHenkeln liegt,

durch den Punkt A halbiert wird.

138. Nieviel spitie Winkel kann ein konvexea Polygbn h6chstena haben? (A),

32

139.

Haben die Seitenflfichen einea Tetraeders gleichen Umfang.

dann 31nd

sie kongruent.

1h0. Vier Raumpunkte A, B, C. D liegen so, daB 33 L 65 und :6 L Es ist.

Zeige. (153 A75 L 3'6 ist. 1H1. Gegeben ist ein Winkel mit den Scheitel A und ein Punkt P auflerhalb desselben.

Ziehe durch P eine Gerade.

die von dem Winkel ein Dreieck mit

dem gegebenen Umfang 25 abschneidet. (H) 1k2. Gegeben ist ein Rechteck ABCD. Ein beliebiger Raumpunkt P hat von den Ecken A. B und C die Entfernungen a. b and c. Wie groB ist seine Ent-

fernung d von D? (A) 143‘ Gegeben sind zwei windschiefe Strecken. Man bestimme den geometrischen Ort (= die Henge) der Mitten aller strecken, die jeden Punkt der ersten

Strecke mit jedem Punkt der zweiten Strecke verbinden. 149.

(A)

Die LEngen aufeinanderfolgender Seiten eines Vierecks seien a,

d. Die Flache desierecks sei F. Zeige, dafl

b,

c.

C

< 1

F = H (a + b) (c + d) ist. (H) 152. Die Figur zeigt vier Orte und die Verbindungswege zwischen ihnen. Dabei ist 35 > :6 > i6 and 6K. 6E. 65 halbieren die Winkel des Dreiecks ABC. Man 3011 von 0 ans die fibrigen Orte besuchen und nach O zurfickkehren. Welchea ist der

kfirzeste Rundgang? (HA) lflé. In ein ungleichseitiges Dreieck ist der Inkreis einbeschrieben. Seine Berfihrpunkte mit den Seiten werden ale Ecken, einea zweiten Dreiecke gewihlt. In dieses zweite Dreieck wird wieder der Inkreis einbeschrieben, dessen Berfihrpunkte die Ecken eines dnitten Dreiecks sind. In diesem Dreieck lird wieder der Inkreis gezeichnet usw. Zeige, daB in der entstehenden Dreiecks-

fplge keine zwei Ehnliche Dreiecke vorkommen. (H) 1h7. In einem_gleichseitigen Dreieck ABC werden die Seiten durch die Punkte

Ahm undc1 sogeteilt,daflfi1:A1C=-(fi, : B1A=-A_01:C1B=1:2 ist. Die Geraden AA1, 33,. CC.

begrenzen ein Dreieck MNP. Wie verhalten sich

die Flficheninhalte der Dreiecke MNP and ABC? (A)

33

1&8. Konstruiere ein Dréieck ABC. wenn die drei Punkte P.

sind,

Q.

R gegeben

in denen die Héhen des Dreiecks den Unkreia achneiden.

1&9. In das gegebene Viereck ABCD ist ein Rechteck nit vorgegebenen Seitenrichtungen einzubeschreiben. (H) 150. Das Dreieck ABC wird durch die Gerade BB in zIei Dreiecke zerlegt. Zeige. daB die Summe der Inkreisradien der Dreiecke ABD und DEC grfifler

ist als der Inkreisradius des Dreiecks ABC. (H)

.

121. BB sei ABCD ein Trapez nit den Grundseiten A3 = a und 65 = b. Der Schnittpunkt der Diagonalen sei 0. Berechne die folgenden vier zu den Grundseiten parallelen Strecken, deren Endpunkte auf den Schenkeln liegen:

‘

3) Die Strecke E? = m. lelche die Hfihe des Trapezes halbiert. b) Die Strecke 65 = g. welche daa Trapez in zlei Ehnliche Trapeze zerlegt.

c) Die Strecke E = h. Ielche dutch den Punkt o gent. d) Die Strecke LN = q, welche die Trapezflfiche halbiert.

Vergleiche n. g. h. q der GrBBe nach, falls a 2 b ist. (A) 152. Einen gegebenen Halbkreis ist das Rechteck mit den grBBten Umfang

einzubeschreiben. (HA)

'

122. Einen gegebenen Dreieck ist ein n6511chst stones gleichseitiges Drei-

eck unzubeschreiben. (E) 122. IE und EA' sind zweilsich nicht schneidende Diagonalen zweier benachbarter Seitenflichen eines lfirfels nit der Kante a. Konetruiere'und berechne die kfirzeste strecke 36. deren Endpunkte nut 35 und 33' liegen. (HA) 155. In ein regelnfiBiges Sechaeck mit der Seite 3 ist daa grfiflte Quadrat einzubeschreiben. Bestiflme die Seite des Quadrats. Zeige damit, daB ein Ifirfel so durchbohrt Ierden kann, daB durch das Bohrloch ein graflerer Wfirfel hindurchgeschoben Ierden kann. (EA)

126. Die Hfihe. die Winkelhalbierende und die Schwerlinie, die von der Ecke C des Dreiecke ABC auagehen. teilen den linkel an dieaer Bake in vier gleiche Teile. Zeige, daB das Dreieck rechtwinklig ist. (H)

122. In das Dreieck ABC sind vier Kreise einbeschrieben. Einer dieser Kreise berfihrt die drei Seiten, wihrend jeder der fibrigen je zvei Seiten

des Dreiecks ABC und den ersten Kreis‘berfihft. Bestimme den Radius r des ersten Kreises, Ienn die Radien r1, r}. r, der drei fibrigen Kreise gegeben sind.

3%

(A)

V

lgg. Es ist zu klfiren, ob oder wann folgende Figuren regelmaflig eind: a) Sin gleichseitiges.Vie1eck mit Umkreis. b) Ein gleichwinkliges Vieleck mit Umkreis. c) Ein gleichaeitigea Vieleck mit Inkreis.

d) Ein gleichwinkliges Vieleck mit Inkreis.

(A)'

159. Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist { ACB = 20°. Auf den gleichen Seiten BE und K5 wfihlt man die Punkte P und Q so, dafl { PAB = 50° und

g QBA = 60° 15:. Zeige, daB { PQB = 30° ist. lég. Die Gerade g berfihrt den Kreis k0.

Ab

Zwischen g und k0 sind eine Folge von

Kreisen k1.‘k¢. k,,

... so eingeschoben,

daa kn+1 die Kreise k0. kn und die Gerade

A}

g berfihrt (siehe Figur). Der Radius Von k0 sei 1 km und der von k1

sei 1 mm. Bestimme

den Radius des Kreises k1000° (HA)

9

161. In einen Dreieck sind zwei Hfihen nicht kleiner als die Seiten, auf

die sie geffillt 51nd. Bestimme die Winkel des Dreiecks. (A) 162. Gegeben ist ein konvexes Sechseck ABCDEF. Es ist bekannt, dafl jede der Diagonalen KB, 35 und 5? seine Flfiche halbiert. Zeige, dafl diese Diagonalen durch einen Punkt gehen. (H) 163. Ein ebenes konvexes Vieleck habe den Inhalt F. Seine Projektionen auf die x-Achse. die 1. Winkelhalbierende. die y-Achse und die 2. Winkel-

halbierende seien jeweils #, 345, 5. #JE. Zeige, daB

10 § F § 17.5 gibt.

(H)

16“. In ein Dreieck ist ein Kreis einbeschrieben. Dem Kreia ist ein Quadrat umbeschrieben. Zeige, daB auBerhalb des Dreiecks weniger als die Hilfte des Quadratumfangs liegt. 165. In Innern des Dreiecks ABC wird ein Punkt 0 genahlt. Auf den Stran1en 0A, OB und OC werden von 0 ausgehende Einheitsvektoren gezeichnet.

Zeige. dafi der resultierende Vektor dem Betrage nach kleiner ale 1 ist.

(H)

35

Aufsaben ohne Lfieunfi Die Lésungen der folgenden Aufgaben kannen aua

Platzmangel nicht gebrncht verden. Antworten und Hinweise findet man an SchluB dieses Kapitels.

Leichte and nittelschwere Aufgaben 166. Zeige. daB das Produkt von Vier aufeinanderfolgenden natfirlichen

Zahlen um 1 kleiner iat ale ein vollstindiges Quadrat. (H)

l§Z° Berechne

3

3 V20 - 1445 und

20 + 1k 2 +

(Die Ergebnisse aind gang.)

3 V5J§ +

-

3 V5J— — 7

(HA)

l§§. Berechne ohne Logarithmentafel x = 15 5 ~13 20 + 13? 2

(HA)

lég. Beatinne die Henge aller Reunpunkte nit den beiden tolgenden Eigenschaften:

‘

a) die Henge enthilt vier Punkte. die nicht in einer Ebene liegen. b) nit irgend zlei Punkten enthilt sie auch ihre Verbindungsgerade.

(A)

129. Zeige, dafl in Produkt [a0 + 3.x + 3.18 + ... + anxn][ao - 5.x + 32x3 - ... + (_1)nxn] nach Autlasung der Klammern nur Glieder nit geraden Potenzen von x vor-

konnen. (H)

121. Zeige. daB die Zahl 5 teilbar iat.

2n+1 .2n+2 + 3n+2 .22n+1

fur n > O durch 19

(H)

123. Lase 1n ganzen Zahlen

a)x’+f+z’=2xyz

b)x’+y’«-rz’+u'=2xyzu

1 2. In ein 20 x 25 Rechteck werden 120

(A)

1 x 1 Quadrate genorfen. Zeige,

daB man in Rechteck einen Kreie nit den Radius 1 unterbringen kann. der' nit keinen der Quadrate einen gemeineamen Punkt hat. (H)

17h. In konvexen 1950-Eck 51nd alle Diagonalen gezogen. Sie zerlegen ea in Vielecke. Wir Ifihlen unter diesen des Vieleck mit der hfichsten Seitenzahl nus. wieviel Seiten kann ea h6¢hstena haben? 175. Bestinme eine dreistellige Zahl N, deren Potenzen nlle auf N enden. (A)

36

lZé. Zeige: unter 5 (16) aufeinanderfolgenden Zahlen gibt es inner eine, die zu allen fibrigen teilerfremd ist. Bemerkung:

der Satz gilt

ffir 2,

3,

Ffir 17 gilt er nicht. Ffir mehr ale

#,

...,

16 aufeinanderfolgende Zahlen.

1? Zahlen vein man nichts.

177. Die Zahl 16h + 5 ist keine Quadratzahl. 178. Bestimme die Bedingung daffir, daB der Hittelpunkt der Umkugel eines Tetraeders in Innern des Tetraeders liegt. 179. Welches ist die kleinste (grBBte) Anzahl von Symmetrieachsen, die

eine raumliche Figur haben kann. welche aus drei Geraden besteht, von denen keine zwei parallel sind oder zusammenfallen.

180. Einige der Zahlen a1. a,,

..., an seien +1 und der Rest -1. Zeige

I o= a1a1...an a a a 3. 2+8, 251n(a4 +32—EL+_LEI_L+...+—2—m-1——)‘+5

2

+a,

2+...+ an V5.

(H) 181. Zeige; daB x2

+ 5x + 16 ffir kein ganzea x durch 169 teilbar iat. (H)

182. Konstruiere ein Dreieck, das einem gegebenen Dreieck kongruent ist.

so. daB seine Seiten durch drei gegebene Punkte gehen. (H) 183. Gegeben 51nd AABC und ADEF sowie der Punkt O. In AABC wandert der Punkt

x und in ADEF der Punkt Y. Welche Punktmenge besehreibt der Punkt Z, wenn a; die Summe der Vektoren O

und 6? ist.

(A)

18#. Drei Kreiae in der Ebene liegen so. daB ea ein Ebenenstfick gibt, das

allen drei Kreisen gemeinsam iet. Zeige, den die drei gemeinsemen Sehnen durch einen Punkt gehen. (H)

'

185. Konstruiere ein Dreieck aus zwei gegebenen Seiten, wenn bekannt ist,

dafl die Seitenhalbierenden dieser Seiten sich rechtwinklig schneiden. (H) 186. In Innern des gegebenen Quadrats ABCD befindet sich ein anderes Quadrat A'B'C'D'. wobei beide Quadrate gleichorientiert sind. Zeige, dafl die

Mitten der strecken 33', 53'. 66', 35' die Ecken eines Quadratp sind.

Schwere Aufgaben

_' (s)+(2>+(s)+~ ~ (r21)+(2)+(1g)+...,

((

) .(;)+(1';)+...

(HA) 37

188. Um eine Kugel ist ein riumliches Viereck beschrieben. Zeige. dafl die vier Berfihrpunkte in einer Ebene liegen. 189. Ein beliebiges Dreieck 5011 durch einen geruden Schnitt in zwei umfangsund inhaltsgleiche Teile zerschnitten werden. 190. Auf einem unendlichen Schachbrett steht ein Springer. Bestimme alle Felder,

die er in 2n Zfigen erreichen kann.

191. Lfise die folgenden Gleichungen in ganzen Zahlen

x2y-1 + (x + 1)2y-1 = (x + 2)2y-1 2

b) x 3' + (x + ”2y

N

a)

(H)

(1: + 2)2y

192. Zeige. daB die Summe cos )2: + a,,cos 31x + a,ocoa 30x + ... + a.cos x

sowohl positive als auch negative Werte annimmt. (H) 122. Be liegen mehrere Zahlen vor, Von denen jede kleiner ale 1951 iat. Das kleinste geneinsane Vielfache von irgend zwei dieser Zahlen ist grBBer als 1991. Zeige. daB die Summe der Kehrwerte dieaer Zahlen kleiner ale 2 ist.

(Auf die Zahl 1951 kommt ea hier gar nicht an. Die Zahl taucht nur deqhalb auf, veil die Aufgabe 1951 gestellt wurde. Der Satz 1&3: sich wesontlich

verschirfen.) (H) 123. Das Buanetz einer stadt besteht ans mehreren (mehr ale zwei) Linien und ist folgendermaflen aufgebaut: a) Jede Linie hat nicht weniger ale drei Haltestellen. b) Von Jeder Halteatelle kann man zu jeder anderen ohne Umsteigen fahren. c) Fur Jedea Paar von Linien gibt es cine (und-nur cine) Halteatelle, an

der nan von einer Linie in die andere umsteigen kann.

Zeige. dun jade Linie dieselbe Anzahl von Haltestellen hat und daB durch jede Haltestelle dieselbe Anzahl von Linien geht (die gleich der Anzahl der Haltestellen einer Linie ist.).

I

Wieviel Balteatellen hat jede Autobuslinie. Ienn die stadt insgesamc

57 Linien hat? (Bier handelt es sich um das Axionensyatem einer endlichen projektiven

Geometric.)

(EA)

195. Eine Buslinie hat 1‘1 Balteatellen (einschlieBliqh der Endhaltestellen).

In Bus kannen gleichzeitig nicht mehr als 25 Passagiere fahren. Zeige, daB Ifihrend der Fahrt des Buses von einem Ende zum anderen

38

a) acht verschiedene Haltestellen A1. B1. A2. B2. Ag. B3. A.. B. sich finden lassen, so daB kein einziger Passagier Von A1 oder Von A,

A;

nach B,

b)

es vorkommen kann.

nach B,

daB die Passagiere so fahren,

schiedene Haltestellen A1.

B1.

nach B1

oder Von

oder Von A. nach Bu ffihrt.

A2.

3;,

....

As,

B;

daB keine existieren,

1O verdie ana-

loge Eigenschaften haben.

2)2

- 2)!

-

2)2

-

g..~.(((x - a):

-

196. Der Ausdruck

V

n-mal wird ausmultipliziert und gleichnamige Glieder werden zusammengefaflt. Beatimme den Koeffizienten von x2. (HA)

lé2°

Die gesuchte Mange ist der gauze Raun.

.x .

x = 1315 + 2 lg 5 1g 2 + 1512 = (13 5 + lg 2)2 = 13110

II

0‘

_\ Lb

20 t 14 J5 = (2 : JE)’. Antworten: H und 2.

.1 0\ OJ

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n’ + 3n + 1F

0‘ \‘l .

Hinweise und Antworten zu den Aufgaben ohne Lésung

129. Nenne das Produkt {(x). Dann iat f(-x) = f(x).

121. 52“+1 -2“+2 + 3n+2 .22“+1 F 20 .50“ + 18 .12n = 19(50" + 12") + 50“ 42".

I” I.

lzg. a) x = y = z = O

_| m 0

U!

173.

Strecke jedes der

b) x = y = z = u = 0. 120 Quadrate im Verhfiltnis 2

:

1.

N = 625 oder 376. Benutze die Formel Zsin g = 1 V2 - 2cosu.

und berechne der Reihe nach

asin a, -h5°, 25in (a. + EEEL) ~k5o. Zain (a1 + 3%EL + ELELEL) ~450. ---

lgl. 1. Haglichkeit ' 2. naglichkeit

x2 + 5x + 16 = (x + 9)(x - h) + 52. n(xz + 5x + 16) = (2x + 5)2 + 39.

182. Die gegebenen Punkte seien D. E, F und das gegebene Dreieck habe die Stficke a,_b, c, a, 8,8'. Zeichne fiber if, B? und BE die Kreisbogen mit u,

B,t’. Lege durch D eine Sehne von der Lange a.

39

18}. z beschreibt ein Sechaeck, desaen Ulfeng gleich der Sumac der Umffinge der Ausgangsdreiecke ist. 18h. Betrachte die Halbkugeln fiber diesen Kreisen. sie haben genau.einen geneinsenen Punkt.

léz. Es sei Xi = c eine der bekannten Seiten and D 1hr Hittelpunkt. Der Schwerpunkt s des Dreiecks liegt anf den Kreia fiber 35. streckt man diesen Kreia von D aue in Verhiltnis 3 : 1, so erhfilt nan cine Ortslinie ffir die Ecke c. n-Z

;a_ (3)+(:) + (3% (2) + (2) + (3)+ (2) + (2) + (12% (3‘) + (3) + (:2) +

zn-Z + 2 2

cos n ~h§°

n-2

2n-2 + 2 2

sin n to

n_-2_ Zn-Z

- 2 2

cos n ~h§°

L2 Zn-Z - 2 a

sin n -h§°

Beweis durch Entwickeln Von (1 + 1)“. (1 - 1)“. (1 + 1)". (1 - 1)n nach den binonischen Lehraatz. 191. a) lir setzen x + 1 2 t und erhelten (t - 1)2y-1 + tZy-1 = (t + 1)2y-1'

oder t

2y-1 __ 2 ( 2y-1 2y-2 + 2} (2y-1) 23,-} + ... + 2 (211-1) 1 ) t 3 t Zy-Z t + 2.

Wenn t ungerade ist, dann eteht links eine ungorede and rcchta eine gerade Zahl. Dies ist ein liderepruch. lenn t gerade und y > 1. dann is: die linke Scite durch H teilbar. Degegen ist die rechte Seite nicht durch M teilber. de alle Glieder aufler den let:ten durch h teilbar sind. Nur ffir y = 1 gibt es die L6sung 1 + 2 = 3. 192. Ersetze x durch x + n and addiere den erhaltenen Anadruck zum uraprfinglichen.

122. Die Zehlen seien 3.. ab. ... 9n“ Unter [I] veréteht men die graflte genze Zahl S x. Zeige zuerst. daB

[1951] + "___951 + _1951 + 81

a!

as

+ —1951 $1951 ist. an

Daraus folgt leicht die Behauptung. 19“. E3 sei n die Anzahl der Haltestellen einer Linie a. Zcige nacheinan-

der, daB 1) durch jede Haltestelle, die nicht cut a liegt, gcnau n Linien

ho

gehen;

2) jede Linie genau n Heltestellen hat;

1e Von a ebenfalls genau n Linien gehen. Ans n2

3) durch jede Haltestel-

- n + 1 = 57 ergibt sich

dann n = 8. 196. Bezeichne den Ausdruck fn(x). Denn iet fn(x) =

[fn_1(x) - €11. Der

Koeffizient von x2 ist “Zn-1 _ “n-1

3

Lasungen

1. Legt Paul den Punkt P in den Schwerpunkt dee Dreiecks,

dann ist es ffir Peter am beaten den

Schnitt parallel zu einer Seite des Dreiecks zu legen. Jeder andere Schnitt bringt ihm weniger ein. Dies erkennt man an der Figur 1.1. Dort ist P der Schwerpunkt des Dreiecks ABC. DEIIAB

und EHIIAC. Daher ist ADPF E AEPH (awn) und also ADPF < APGE. Der Schnitt DE zerlegt den Kuchen in zwei Teile. die sich vi; 5 : # verhalten. Man aieht leicht ein, dafl die Wahl des Schwerpunkts ffir Paul am beaten iat. Denn bei einer anderen Wahl Von P (Figur 1.2) kann sich Peter nicht nur das Trepez ABED, sondern noch zuaatzlich des stfick DEGF abschneiden. Er kenn eager noch mehr ebschneiden.

(Siehe Aufgabe

Nr. 13?.) Bemerkung: Wenn der Kuchen konvex ist,. dann kann Pail durch Wahl des Schwerpunkts stets erreichen, daB Peter nicht mehr ale % des Kuchens bekommt. Es gibt jedoch nichtkonvexe Kuchenformen,

A

ffir die es Paul nicht verhindern kann,

daB sich Pe-

ter % des Kuchens abschneidet. (Man finde eine solche Kuchenform!) Bei wel— chen Kuchenformen bekommt jeder die Hilfte des Kuchens? g. 70 g kann man mit 83— and 11g-Gewichten einechalig "Egan, da

70 = 2 -11 + 6 .8 ist. Ferner ist 7 -8 - 5 -11 = 1 und 3 -11 - k «8 = 1.

Wir zeigen jetzt, dafl mit n 2 7O auch n+1 Higher ist.

a1

ES 521 also n a 70 einsnhalig Uighur. Wir unterscheiden zwei Fille. a) n enthalte 5

11g-Gewichte. Dann werden sie durch 7

8g-Gewichte er-

setzt und man hat n+1 g hergestellt. b) n enthalte weniger 815 5

113-Gewichte. Dann enthilt n mindestens

7O - h -11 = 26 g in Sg-Gewichten. Also sind mindestens 4 vorhanden. Diese werden durch 3 n+1 g.

,

2. s sei eine stadt. in der die Flugzeuge ans A.

B.

8g-Gewichte

11g-Gewichte ersetzt und man hat wieder

C.

D.

...

A

5

gelandet sind. Wir verbinden

A nit B. Das Dreieck ABS hat lauter verschie— dene Seiten.

Ferner ist XE < :3.

denn sonst

Iire das Flugzeug aus A nach B geflogen. Eben-

C

so let fig < XE. In Dreieck liegt aber der gras-

seren Seite der grfiflere Winkel gegenfibet. Daher ist r >«a und l'> B. Wegen «4'3 0 I = 1800 folgt daraus V > 60°. Zwei beliebige Plugstrecken nach s bilden also einen Winkel von mehr als 60°. Daher kannen hochstens ffinf

Plugstrecken in s enden (6- 60° = 360°). 3. a) lird das 3. Glied gefnet, denn zerffillt die Kette in 3 stficke nit

je 1. 2. h Gliederh. Hit den Zahlen 1, 2, h kann man jede Zahl von 1 bis 7 additiv zusamqensetzen. Daher genfigt es, ein Glied zu affnen. b) Wir lasen des Problem allgenein. Eine Kette habe n Glieder. Ea werden k

Glieder geaffnet. lir groB darf n (bei festem k) sein. damit man aus den Kettenteilen jede Gliederzahl Von 1 his n zusanmensetzen kann? Aus den k einzelnen Gliedern kann man jede Zahl von 1 bis k bilden. Um k+1 zu erhalten. breuchen Iir ein loiteres Kettenstfick nit hachstens k+1 Gliedern. An

sparsansten ist es. wenn ein Kettenstfick nit genau k+1 Gliedern vorhanden ist. Denn kann man jede Zahl von 1 bis 2k+1 bilden. Das nichste Kettenstfick sollte daher genau 2(k+1) Glieder haben. Damit kann man jede Zshl von 1 bis hk+3 bilden. Das nichstgrBBere Kettenstfick sollte also h(k+1) Glieder haben. Man uuB also die k Glieder so affnen, dafl die fibrigen Kettenstficke folgende Gliederzahlen haben: k+1. 2(k+1), h(k+1), 8(k+1).

... 2k(k+1). Dann kann man

jede Gliederzahl von 1 bis n = k + (k+1) + 2(k+1) + h(k+1) + ... + 2k(k+1) =

2K+1(k+1) - 1 znssmnenstellen. Wenn also 2k k g n g 2k+1(k+1) - 1 ist. dann genfigt es k Glieder zu 6ffnen; aber die Offnung von k-1 Gliedern genfigt noch nicht. um das Problem zu 1633a. Man erhfilt

ha

2 g n g

7. dann k = 1

8 E n E

23, dann k = 2

160 g n g

383. dann k = 5

g

895, dann k = 6

38“ g

896 5 n § 2047, dann k = 7.

2h 5 n E 63. dann k = 3 6h E n E 159, dann k = h

Bei n = 2 000 mfissen also 7 Glieder geaffnet werden, 2.3. so. daB (neben

den 7 Einzelgliedern) Kettenstficke mit 8, 16. 32, 6#, 128, 256, 512 und

A

977 Gliedern entstehen. 2. Der Nordpol hat offensichtlich die verlangte Eigenschaft. Dies ist jedoch nicht die einzige

Lasung. In der Figur 5.1 ist A ein beliebiger Punkt auf dem Parallelkreis um den Sfidpol s mit

dem Radius Rk = 10 + 5%% (k = 1. 2. 3. ...). Geht man von A aus 10 km nach Sfiden. so kommt man zum Punkt B auf dem Parallelkreis mit dem Radius rk = 5%E. Jetzt geht man von B aus dauernd

in Ostrichtung, bis der Parallelkreis k-mal durch-

laufen ist. Dann hat man k '2nrk = 10 km zurfickgelegt und ist wiedes in B

angelangt. Geht man jetzt 10 km nach Norden, so kommt man nach A zurfick. Die verlangte Eigenschaft hat also auBer dem Nordpol jeder Punkt suf der unendlichen Schar konzentrischer Kreise um den sfidpol mit den Rédien

1 RR =1°(1+ m)!

k ='1y

21

3!

'°'

6. Nach den 1. Umlauf Bind alle Zahlen nit dem 159r-Rest 1 durchgestrichen. Die letzte solche Zahl ist 991.

Beim 2.

Umlauf wird 991

+

15 -

1 000 = 6

als erste Zahl gestrichen. Ferner wefden beim 2. Umlauf alle Zahlen mit den 15er-Rest 6 gestrichen (die letzte solche Zahl ist 996). Beim 3. Umlauf

trifft es zuerst die Zahl 996 + 15 - 1 000 = 11; dann werden alle Zahlen mit‘dem 15er-Rest 11 durchgestrichen (ale letzte die Zahl 986). Beim h. Umlauf trifft man zuerst auf 986 +

15 -‘1 000 =

1.

Da diese Zahl schon ge-

strichen ist. trifft man beim Fortsetzen des Verfahrens nur noch auf ge— strichene Zahlen.

Es werden also alle Zahlen mit dem 15er-Rest

strichen und nur diese.

1.

6.

11 ge-

Dies sind aber gerade alle Zahlen mit dem 5er-Rest

16,

...,

996 =

199 '5 +

1).

1.

11,

Solche Zahlen gibt es unter den ersten 1 000 genau 200 (die Zahlen 1, 6,

Folglich bleiben 1 000 — 200 = 800 zshlen stehen.

Z. In 2“ stunden macht der Minutenzeiger 2“ Umdrehungen und der stundenzeiger 2 Uhdrehungen. Folglich wird der Stundenzeiger von dem Minutenzeiger

#3

22nnl fiberrundet. Aber zuiachen zwei flberrundungen b11den die Zeiger zwei-

mal einen rechten winkel. Duher atehen die Zeiger “final senkrecht aufeinander. g. Der Unfang dea Zifferblatte lat lit 60 "Minutenteilungen" versehen. Der

Schfiler begann um 10 Uhr x Hinuten und gab seine Arbeit um 12 Uhr y Minuten ab. De sich der stundenzeiger 12na1 langsamer dreht ale der Minutenzeiger, gelten die beiden Gleichungen x = 12(y - 50) und y = 12x nit den LBsungen x = h—%%. 1 = 50-%%. Der Schfiler

begann also um 10 Uhr h—%— Minuten undobeendete die Arbeit un12 Uhr 50 £%- Mi nuten.

Er brauchte fur die Arbeit 2— 1g stunden.

Beuerkuns: lie oft in 2% stunden sind die beiden Zeiger einer Uhr vertauschbar? D.h. bei der Vertauschung muB Iieder eine m3311che Zeigeratellung he-

rauskonnen. (Antwort: 26hmn1; auBerden fallen die Zeiger noch 22ma1 zusamnen und nan kann sie in diesel Fall trivinlerueise ebenfalls "vertauschen".) 2. Die beiden Faktoren seien x und y und der ffinfatellige Divisor sei z. Dann gilt die Gleichung 1°°°_;*l=3§zloder1000x+y=3xyoderx=m.

Daraua folgt y > 333. y = 334 ergibt x = 167. y g 335 komnt nicht in Frage, da x dann nicht nehr dreistellig iet. Da x Primzahl und y = 2 -x ist, nun

z = 167a = 27 889 (Oder z = 2 - 167* = 55 778) sein. 19. Men ordnet den Haschinen die Runnern o, 1, 2, schine Nr.k (k = O. 1. 2.

.... n-1 zu. Von der Ma-

.... n-1) ninnt der Kontrolleur eine stichprobe

von 21‘ lerkatficken und bestinnt das Gesamtgeuicht aller stichproben. Wenn alle Haschinen in Ordnung eind._ergibt sich das Sollgewicht 1O -(1 + 2 + h + ... + 2n-1) = 10(2n - 1). Liefern die Maschinen nit den Nunaern k1, ha.

2

+ 2

... k, AuaschuB. dann atellt man einen Fehlbetiag von

+ ... + 2 r fest. De aich jede Zahl eindeutig ale Summe verschie-

dener Zueierpotenzen darstellen lfiflt. kann man mit einem Schlag alle Haachinen ernitteln. die Aussehun liefern. Wenn 2.3- 327 g fehlen, dann zer-

legen Iir diese Zahl in Zueierpotenzen, d.h. wir schreiben eie 1m Zweiersystem:

327 = 101 000 111, = 2° + 2‘ + 21 + 2* + 2° . Die Hochzahlen der Zweierpotenzen geben die Nummern der Haschinen an, die Ausachufl produzieren; in

unserem Fall aind es die Haschinen Nr. 0. 1. 2, 6. 8. hh

bar 151:, folgt leicht ans 1 + 2 + 21 +

4.2“” = 2n

-

Dan cine Zahl eindeutig ale Sunne verschiedonor Zueiorpotonzen duratell-

1. (wieao?)

11. Wir unterscheiden die beiden Wfirfelarten ale leicht (Aluminium) und achwer (Duraluminium). Zuerat legen wir auf jade Schaie Je einen Wfirfel. Dann sind zwei Ffille mfiglichz. 1) Bei der ersten Wigung sinkt eine Schale. In diesem Fall ist ein Wfirfel leicht und der andere schwer. Wir legen jetzt beide Wfirfel auf die linke Schale und wfigen damit die fibrigen 9 Paare auf der rechten Schale. Wenn 'die rechte Schale sinkt, sind beide Wfirfel schwer, wenn sie ateigt, dann sind beide leicht. Wenn Gleichgewicht beateht, ist ein Wfirfel leicht und der andere schwer.

In diesem Fall kann also die Anzahl der leichten Wfirfel

in 10 Wfigungen ermittelt werden.

,

2) Bei der ersten wagung herrscht Gleicfisewicht. In diesem Fall 31nd beide Wfirfel leicht oder beide schwer. Wir bringen sic wieder auf die linke Scha1e and wisen nit ihnen die fibrigen Paare. Wir nehmen an, daB bei k weiteren

Wigungen Gleichgewicht herrscht und bei der (k+1)ten Wfigung die rechte Schale sinkt (die folgende fiberlegung verlfiuft ganz analog, wenn die linke

Schale sinkt). Dann haben wir in 1 + (k+1) = k + 2 Wfigungen k + 1 Paare leichter Wfirfel gefunden. Wir vergleichen Jetzt die beiden Wfirfel des (k+2)ten (schwereren) Pears. Dies ist die (k+3)te wagung. Wenn beide Wfirfel gleiches Gewicht haben. sind aie beide schwer; andernfalls ist einer leicht und der andere schwer. In beiden Fillen kfinnen wir nach k + 3 WEgungen eip Wfirfelpaar mit einem leichten und einem schweren Partnér zusammenstellen. Mit diesem Paar k6nnen wir in 8 - k Wfigungen die Anzahl der leichten Wfirfel unter den 20 - 2(k+2) a 16 - 2k noch fingewogenen Wfirfeln bestimmen. Man verffihrt genau wie unter 1). In zweiten Fall wefden insge-

samt k + 3‘+ (8-k) = 11 Wigungeh benfitigt. Bemerkung: Wir haben mit 11 Wfigungen nur dié Anzahl der léichten Wfirfel er-

mifitelt. Will man die leichten Wfirfel ausgondern, so braucht man natfirlich

mehr Wigungen. Mic Hilfsmitteln der Informationatheorie kann man zeigen. dafl mit weniger als 13 Wigunggn die Aluminiumwfirfel sicher nicht ermittelt werden kannen. lg.

Es sei n die Anzahl der Teilnehmer nus der 9. Klasse und m 361 die von

ihnen gewonnene Punktzahl. Dann haben 10n Schfiler der 1o. Klasse teilgenom-

9 m Punkte gewonnen. Insgesamt haben die 11n'Teilnehmer men und sie haben E 11 7? m Punkte gewonnen. Die Geaamtpunktzahl atimmt mit der Zahl der gespielten Pariien fiberein. Da_aber jeder der 11n Tellnehmer nit jeden eine Par-

lo — 7103/22

“5

tie apielte. Iurden insgesant JJE-LJ%2-:-ll Partien geapielt. Also gilt die Gleichung %} m =

11n (1gn - 1) odor I. = n (1111 — 1). Aber jeder Spie-

ler der 9. Klasse spielte 11n - 1 Partien (da es 11n Teilnehmer waren.) Du sie n (11n - 1) Punkte gesannelt hahen. nfiasen aie alle ihre Partien geionnen haben. Dies ist nur maglich ffir n = 1. Deshalb nahn ein Schfiler der

9. Klasse teil und er gewann 1O Punkte.

12. Die vier Spieler. welche die letzten Plitze belegten. spielten unter sich 21%; = 6 Partien. Folglich haben sie schon in dieaen Partien 6 Punkte gesanmelt. Daher hat der 2. Spieler mindestena 6 Punkte erzielt: nach Voraussetzung hat er so viele Punkte sesammelt, vie die letzten vier zusanmen. Aber mehr ale 6 Punkte konnte der 2. Spieler nicht gewinnen: wenn

der crate 7 Punkte erzielt hat. so hat er den 2. beaiegt und dieser hat nicht nehr ale 6 Partien geuonnen (Jeder spielt 7 Partien). Wenn der erste nur 6.5 Punkte gewonnen hat, so kann der 2. nicht mehr ale 6 Punkte gew6nnen haben. da alle verschiedene Punktzahlen gewonnen haben. Folélich hat der 2. Spieler 6 Punkte geuonnen. Daher haben die vie? letzten zusanmen such nut 6 Punkte erzielt; das sind die Punkte. die sie voneinander geIonnen haben. Daraus folgt, daB die letzten vier alle ihre Spiele geéen die ersten vier verloren haben.

Insbeaondera hat der 7.

gegen den 3.

ver-

loren. 12. Wenn A und E in der gleichen Lingsreihe stehen. dann ist B grafler ale A.

da B der grfiflte Schfiler in dieser Reihe ist.

Wenn A and B in derselben

Querreihe atehen. dann ist B wieder grBBer ale A. da A der kleinate Schuler in dieser Reihe ist. Schliealich mfigen A und B in verachiedenen Langsreihen und verschiedenen Querreihen atehen. Es aei C der Schfiler. der in derselben Querreihe wie A und in derselben Lingareihe vie B steht. Dann ist B grBBer als C (da 3 der grBBte in dieser Langsfeihe ist) und C ist grfifler als A (da A der kleinste in dieaer Querreihe ist). Daher ist wieder B grfisset 315 A. Es ist also stets der kleinate der GroBen (B) grfifler ale der grBBte der Kleinen (A). Der kleinste Riese ist nBer ale der grBBte 2werg.

Benerkung: Das Problem stellt einen Sanderfall eines Satzes der Spieltheorie dar. Gegeben sind m on Zahlen, die in-m Reihen zu je n angeordnet sind.

#6

811

an

343

31b

... aan

fi1

fie

Q!

fit

-” fin

351 . .

as: . .

333 . .

as» . .

--- asn ... . ... .

am

am

am am

- - - aum

Die Zahl Bik steht in der i-ten Zeile und k—ten Spalte. Das Minimum der

i-ten Zeile bezeichnet man min aik and due Maximum der Zeilenminima k mgx mfin aik (grfiflter Zwerg). Das Maximum der k-ten Spalte nennt man mix aik 1 und das Minimum der Spaltenmaxima min max aik (kleinster Riese).

k

1

Es gilt steta max min aik g min max aik‘ Der Beweis verlfiuft w6rt1ich vie i k k i oben. Es kann auch das Gleichheitszeichen bestehen. Man erfinde ein Beispiel dazu. 12. Es gibt 9 einstellige, 99 - 9 = 90 zweistellige, 999 - 99 = 900 dreistellige Zahlen; allgemein gibt es 9 -10"'1 n-etellige Zahlen. Die einstelligen Zahlen nehmen die ersten 9 stellen der ziffernfolge z ein. Die zweistelligen Zahlen nehmen die nfichsten 2 .90 =

180 stellen ein.

Die

"EChSten 900 '3 = 2 700 Stellen warden von den dreistelligen Zahlen eingenommen. Die vier- und ffinfstelligen Zahlen benétigen 9 000- h = 36 000 bzw.

90 000 .5 = #50 000 Stellen.

Die uns interessierende Ziffer erscheint

in einer ffinfstelligen Zahl. Denn die 1- his k-stelligen Zahlen nehmen

nur 38'889 stellen ein. Um festzmstellen wie viele ffinfstellige Zahlen im Intervall von der )8 889. bis zur 206 788. stelle stehen. teilen wir

die Different. 206 788 - 38 889 = 167 889 durch 5; 167 389 = 5 '33 579 + “-

Die gesuchte Ziffer ist also die “. Ziffer der )3 580. ffinfatelligen Zahl.

Dies ist aber #3 579 (da die 5—stelligen Zahlen mit 10 000 beginnen). Ihre h. Ziffer ist 7.

‘

Bemerkung: Welches ist die 101°°°. Ziffer der Folge z? (Antwort: 3). lé. Wir denken uns die sechs Personen durch sechs Punkte veranschaulicht. Wenn zwei Personen sich kennen,

dann wollen wir die betreffenden Punkte

durch eine £232 Strecke verbinden. Wenn zwei Personen sich nicht kennen,

dann verbinden wir die betreffenden Punkte durch eine Blggg Strecke. Wir mfissen jetzt zeigen. daB unter den entstehenden Dreiecken mindestens eines Seiten von gleicher Farbe hat. Von jedem der aechs Punkte gehen ffinf Strekken aus von denen mindestens drei die gleiche Farbe haben, etwa blau (Schub-

fachprinzipl). Diese drei blauen Strecken enden in den Ecken eines Dreiecks. Iet eine Seite dieses Dreiecks blau, so.haben wir ein "blaues" Drei-

47

eck. Andernfalls sind alle Seiten des Dreiecka rot und wir haben ein "rates" Dreieck. Benerkuns. Die Aufgabe lint sich verallgeneinern: In Raul sind n In = 1 + n! £2 £7 Punkte gegeben. Jedea Punktepaar 1st durch eine Strecke =0 verbunden. nnd jede Strecke iat nit einer von n verschiedenen Farbe getirbt. Zeige, daB mindestens ein Dreieck entsteht. deeaen Seiten von glei-

cher Farbe aind. lie nan nachrechnet. ist a. = 3, a, = 6, a, = 17, a‘ = 66. a, = 32?. a‘ = 1958.

... Be-eise dieaen Satzl

1_7_. Es aeien Ii (1 = 1,

l/4t;

/

..., ‘0) die vierlege.

>‘64—.52—>29

55

4311 2

62

77

37. Die Zahl n wollen wir uns durch n Kugeln veranschaulichen (Figur 37.1) , 0 0'0 0 O O 0 0'0 0 O 0 die in einer Reihe liegen. Zwischen diesen n Kugeln gibt es n-1 Zwischenrfiume. Von diesen wfihlen wir zwei aus und schieben dort Trennwfinde ein. Dadurch gewinnen wir eine Zerlegung der Zahl n in drei positive Summanden. Von n-1 Zwischenrfiumen kann man zwei Zwischenraume auf (“g1

= ££:J%§E:£l

Arten auswfihlen. Dies ist die

gesuchte Anzahl der Darstellungen.

3_8. Es ist 1 000 000 = 2‘- 5‘ . Jeder Teiler dieser Zahl hat die Form 2" 5". und eine Zerlegung hat die Form 1 000 000 = (2“1531)(2‘25“2)(2‘555!). Ffir die nichtnegativen ganzen Exponenten gelten die Gleichungen

«1

+ a, + a, = 6 und 3, + B, + B, = 6. wir mfissen die Anzahl der Zerffil-

lungen von 6 in drei Summanden bestimmen, wobei ein Summand auch den Wert O haben darf. Sie ist gleich der Anzahl der Anordnungen von 6 Kugeln und

2 Trennwfinden (Figur 38.1), also

2) = 28.

Jede der beiden Gleichungen hat also 28 Lb'-

OOIOOOIO

sungen. Da wir bei der Zerlegung von 10‘

in drei Faktoren jedes Tripel 011ld2|d,) nit jedem Tripel (B1IB,IB,) kombinieren'kfinnen, gibt es insgesamt

'28- 28 = 78“ verschiedene Zerlegungen. Bei dieser Aufzfihlung haben wir ' die Reihenfolge der Faktoren berficksichtigt, d.h. wir haben einige Zerlegungen mehrfach gezfihlt.

1) Nut eine Zerlegung, nfimlich 10‘ = (2’0 51)(22. 5’)(2’ '5’), haben wir einmal gezfihlt.

2) Zerlegungen, bei denen genau zwei Faktoren gleich sind, wurden dreinal

gezfihlt, Der ungléiche Faktor kann an 1.. 2. and 3. Stelle stehen. Eine Asolche'Zerlegung hat die Form 10‘ = (2" SB)(2‘- 53)(26-;“'56-23). d.und

B k6nnen unabhfingig voneinander die h Werte 0. 1, 2, 3 annehmen. Daher

gibt es 4- k = 16 solche Zerlegungen. Dabei muB man aber die eine M63lichkeit u = B = 2 weglassen, da sie auf die schon unter 1) betrschtefe

Zerlegung 106 = (2' ~5')(2'- 51)(2'- 5’) fflhrt. Daher werden 15 Zerlegungen 3mal gezfihlt. 3) Alle anderen Zerlegungen in 3 verschiedene Faktoren warden 6 (= 3!) mal gezihlt. Also ist die Gesamtzahl der Zérlegungen von 106 in 3 Faktoren

78h-3-15-1o1 1 + 15 + ____6— = 139.

63

22. Des Produkt (1 + x5 + x7)(1 + x5 + x7) ... (1 + x5 + x7) mit 20 Klan? nern lird ausgerechnet, indem men ens jeder Klamuer Je einen Summanden auswihlt und das Produkt dieser 20 Faktoren bildet.

Dies muB auf alle #0

ten genacht warden. Die Produkte werden dann eddiert. Ein Glied x1°

Ar-

wird

dabei nicht vorkommen, denn aus den Faktoren x5 and :7 kann man nie x” bekonnen. Dagegen kann man 17 eindeutig ans 5 and 7 zusammensetzen: 17 = 5 + 5 + 7. Han erhilt also den "Summanden x" ,

wenn man ans einer

Klamner x7 und nus zwei Klannern 15 auswihlt. Man kenn x7 aus jeder der Klannern, also auf 20 Arten. auswihlen. Von den fibrigen 19 Klammern mflssen 2 ausgewihlt Ierden. denen die Faktoren x5 entnommen werden. Diese

Auswahl kann auf(1?)=

12131§ = 171 Arten geschehen. Insgesamt erhfilt man

20 '171 = 3 420 Summanden x" .

mo y

29. Burch die Ungleichung |x|+|y| < 100 wird das Innere des Quadrats nit den Ecken (:100I0). (0|:100) dargestellt. Die gesuchte Anzahl der

Lésungen ist gleich der Anzahl der Gitterpunk--100 te in Innern des Quadrats. also 2(1 + 5 + 5 + 7 ... + 197) + 199

= 2 - ———99 '2198 + 199 = 19 801. -100

u. Teilt nan die False der Botenzen 2°, 2‘ . 2* . 2’ , 2*, 25, 2‘,

durch

7. so ergibt sich die Restfolge 1. 2. h, 1. 2. h. ... mit der Periodenlflnge 3. Tent man die Folge der Quadretzahlen Oa . 1: . 2' . 3’ , it? , 5’ , 6", ...

durch 7. so ergibt sich die Resttolge 0. 1, 4, 2, 2, h, 1. O. 1, 4, 2, 2, h, 1. ... mit der Periodenlinge 7. Dnher ergibt der Ausdruck 2x - x1 (x = O. 1, 2,

...) bei der Teilung dutch 7 eine Restfolge nit der Periode

21. lir schreiben die ersten 21 7er-Reste Von 2x and x?

untereinander:

12412h12u12412h12h‘12h

01h22h101lo221+101l+221+1 Fir die ersten 21 lerte von x stimmen die Reste Gnal fiberein. Deshalb sind von den Zehlen 2x - x1

(x = 0,

1, 2,

.... 20) genau 6 durcn 7 teilbar.

be

10 000 = 21- #76 + h ist. gibt es unter den Zahlen x < 10 000 genau Q76 gauze Intervalle von 21 Zahlen. Ffir x = 9 996 = 21 'h76 ist 2x - x?

genau 476' 6 =

= 2 856mal durch 7 teilbar. Die reatlichen drei Zahlen unter 10 000 ergeben bei der Teilung dutch 21 die Rests 1, 2. 3. Deshalb gibt eine dieser Zahlen

6b

(nfimlich 9 998) den 2857. Wart von x. ffir den 2x - x3

dutch 7 teilbar ist. Un-

ter den Zahlen x < 10 000 gibt es also 9 999 - 2 857 = 7 142, ffir die der Ausdruck 2x - x2

nicht durch 7 teilbar ist.

22. Jede s-atellige Zahl n ist in die Grenzen 105-

1 < = n < 105 eingeschlos-

sen. Es gibt insgesamt 9 -103-1 s-stellige Zahien, und sie haben zusammen 9 '5 ~105-1 ziffern. Bei allen s-stelligen Zahlen ist die erate Ziffer ungleich Null; an allen anderen Stellen stehen alle Ziffern gleichoft. Folslich enthalten alle a-stelligen Zahlen 9 .s .1os~1

_ 9 _1os-1

= 9(5 - 1)105_2 Nullen. Dies 31nd sensuao

10

viele Nullen wie aile (s-1)-stelligen Zahlen zusammen Ziffern haben. Ist N1

die Anzahl der Ziffern in der Folge 1, 2, 3,

..., 10k-1, 10k and m

die Anzahl der Nullen in der Folge 1. 2, 3, .... 1ok+1-1. 101‘”. so ist

+9-k~1ok‘1 +k+ 1.

N. =N, =9+»9-2-1o+9-3-1o2 +

(k+1 ist die Anzahl der Ziffern in der Zahl 10k oder die Anzahl der Nul-

len in der Zahl 101m.) Bemerkuns. Zeige. daB N1 = N, = W ist. £2. Es sei 3k + 1 < ae, d.h. die zwel Summanden ak and ae unterscheiden sich um mehr ale 1. Dann ist

(ak + 1)!(ae - 1)! = ak + 1 < ak! ae!

a

1. e

Also dfirfen sich zwei Summanden ak und ae nicht um mehr ale 1 unterscheiden- Sonst kannte man das Produkt a1! a2!

... ak!

... ae!

... a.,! weiter

verklelnern, 1ndem man ak! ae! durch (ak + 1)! (ae - 1)! ersetzt.

Aus 195? = 163 '12 + 1 folgt daher a. = a. = a, = ... = 34. = 163 und 812

=

161*.

‘

£5. Wenn x2 + y’ durch 49 teilbar ist, dann ist x? + y‘ auch durch 7 teilbar. Aber x2

hat nur die 7er-Reste 0. 1. 4 Oder 2. Der 7er—Rest von 3:1

+ y‘

ist gleich der Summe der 7er-Reste von x2 and y’. Nun kann man leicht nachprfifen, daB von allen éummen zweier beliebiger (gleicher oder verachiedener) der Zahlen 0.

1,

h,

2 nur die Summe O + O = O durch 7 teilbar ist.

Folglich

ist x3 + y’ nur dann durch 7 teilbar, wenn x? und )3 und damit auch x and y durch 7 teilbar sind. Umgekehrt, wenn x and y zwei Siebenerzahlen 51nd, dann

ist x? + y’ durch 49 teilbar. Also ist die gesuchte Zahl gleich der Anzahl

65

der Panre natfirlicher Zahlen unéer 1 000. die Siebenerzahlen 31nd. Wegen

1 000 = 7 -1H2 + 6 gibt es unter‘1 000

1h2 Siebenerzahlen. Man fiann jade

der 1h2 Zahlen x nit jeder der 1h2 Zahlen y komhinieren und erhalt so

1R2I

Padre (xly). 1h2 dieser Padre beatehen nus gleichen Zahlen. Alle

anderen Paare hnben wir zweinal gezihlt: einnal ale Paar (XI!) und ein

zweitea Hal ale Paar (ylx). Daher ist die Anzahl der verachiedenen Padre (x|y) gleich

M+1u2=£élfl= 2

10 153.

22. Da die Schfiler alle gleich gut 51nd, nfissen die Anzahlen der Noten

1 und 2 in ihren Zeugnissen fibereinstinnen. Wir nehnen an, daB jeder

n-nal die Note 1 und (2n-n)-na1 die Note 2 hat. Bei 2n Fichern Bind dann (if) verschiedene Zeugnisse naglich. Dieee Zahl let an grBBten {fir n = n

(zeige diesi). Ffir die Anzahl N der Schfiler gilt daher

N g (21:) g (2n) = 2n(2n - 1)(2n - 2) n

fig. Es ist klar. daB x1

n

(n+1)

1 '2 ~3 -... °n

stets in den Zfihler and x;

steta in den Nenner

konnt. leniger klar ist es. daB die fibrigen Buchstaben x3. x~,

... xn

sich in vollkonnen lillkfirlicher Weiae auf den Zflhler und den Nenner verteilen lessen. Daraus folgt, defines 2n-2 verschiedene Brfiche gibt. Denn jeden von n-2 Buchstaben kann nan auf Z'Arten unterbringen: in Zfihler oder in Nenner. wir beweisen dies dutch Induktion. Der Auedruck x1

: x,

:

...

: xn ergebe

bei einer bestinnten Klannereetzung den Bruch A. Wenn nan in dieaen Ausdruck *n dutch xn : xn+1 ereetzt. so ergibt>aich der Bruch A, bei den xn+1 in Zihler oder in Nenner dasukonnt, Je nachden xn in Nenner oder in zihler

steht. lir nehnen jetzt an, dafl der Auadruck so endete ..; (P : xn) (P iet irgendein Auadruck oder einfach xn_1). lenn vir (P : xn) dutch den Ansdruck

((P : xn) : xn+1) ersetzen, so etgibt sich wieder der Bruch A. bei den xn+1 in Gegensatz zu vorhin dart dazukonnt, '0 xn steht. Denn ((P : xn) : xn+1) = F : (xnxn+1).

>

Wenn wir also ffir irgend ein n, n 2 2 einen Bruch erhalten k6nnen, bei den die Buchstaben (auBer x, sind,

und 2;) beliebig in zahler und Nenner verteilt

so kfinnen vir dies auch ffir n + 1. De unaere Behauptung ffir n = 2

trivialerweise gilt, ist sie ffir alle n richtig 22. Jede der 101 ausgewfihlten Zahlen wird duroh die grfiBte in 1hr enthaltene

Zleierpotenz dividiert. Man erhilt dann 101 ungerade Zahlen. Do as von 1 bis

66

200 nur 190 verechiedene ungerade Zahlen gibt. mfiaaen mindeatena zwei der

101 ungeraden Zahlen gleich sein. Unter den 101 ursprfinglicg gewfihlten Zahlen gibt es daher pvei. deren Faktorzerlegungen bich hur um eine Zweier-

potent unterscheiden. Die kleinere dieser beiden Zahlen mufl die andere teilen. Bemerkuns. Wfihle unter den ersten 200 natfirlichen Zahlen 100 paarweise Iteilerfremde Zahlen aus! Zeige allgemein: unter den ersten 2n natfiflichen Zahlen kann man n eber nicht n+1 paarweise teilerfremde Zahlen auswfihlen.

&§. Es seien a4. 3,. a,,

..., 3100 die gegebenen ganzen Zahlen (in einer

beliebigen Reihenfolge). Wir betrachten die Summen

s1=a1.s;=a1+a4.s,=a1+a¢+a,,..._,s‘oo=a4+a¢+...+a1°°. Ist eine dieser 100_Summen durch 100 teilbar, dann sind wir fertig. Andernfalls mfissen mindeétens zwei der Summen denselben 100er-Rest haben ja nur 99 verschiedene Reste mfiglich).

(es sind

Wenn wir die kleinere der beiden Sum-

men mit den gleichen 100er-Rest von der grfifleren subtrahieren, erhalten yir eine Summe von der Form ak+1 + ak+2 + ... + an, die durch 100 teilbar int. 32. 1. L65un5.

Wir nehmen an, daB x = g eine Lfisung der Gleichung ist.

Dabei éollen p und q ganz und-nicht beide gerade sein. Andernfalls kfinnten wir'ja nit 2 kfirzen. Durch Einsetzen in ax‘

+ bx + c = O erhfilt man

up2 + bpq + cq‘ = O

(1)

Wir unterecheiden Jetzt drei Falle.

1. Fall. p and q eind ungerade. Dann eteht auf der linken Seite von (1) die Summe von drei ungeraden Zahlen, also'eine ungerade Zahl. Rechta steht

eine gerade Zahl (O ist gerade). Dies ist ein Widerspruch. ‘2. Fall.

p ist gerade und q ungerade. Links in (1) steht die Summe ans

zwei éeraden und einer ungeraden Zahl, also eine ungerade Zahl. Wit haben

wiedeg einen Widerspruch.

3. Fall.

-

p ist ungerade und q gerade. Genau pie in 2. Fall ateht links

wieder eine ungerade Zahl.

_

2. Lfisung; Die gegebene‘quadratiache Gleichung het dann und nur dann ra-

tionale Lfisungen, wenn ihre Diskriminante D = h? - #ac eine Quadratzahl ist.

Es sei nun b = 2p +

1.

a = Zq + 1,

c = 2r +

1.

Dann ist

D = 8 [215111 - q - 2q — 2r — 1] + 5. Die eckige Klammer enthfilt eine ganze Zahl n. Daher ist D = 8n + 5. Da D ungerade ist, kann sie nur daa

67-

Quadrst einer ungeraden Zahl sein. Jede ungerade Zahl hat-aber die Fogm

“k t 1 und 1hr Quadrat hat die Form (“k t 1)’ = 8(2k':

k) + 1 = 8n + 1.

Daher kann D keine Quadratzahl sein. 29. De die Sunne 5n = x,x,

+ x,x,

+ ... + xnx,

den Wort O hat. nfissen eini-

3e der xk den left -1 und andere den lert +1 haben. Kehrt man das Vorzeichen einer Zahl xk um. dann Iird nur die Sunme xk-1xk+ xkxk+1 Von dieser Inderung betrotfen. Dione Summe kann nu: die Ierte -2,0 and +2 annehmen. Wenn man das

Vorzeichen von xk umkehrt, dann geht der lert der Summe xk-1xk + xkxk+1 von -2 in +2 oder von 0 in O oder von +2 in -2 fiber. Auf jeden Fall Endert sich der Wert der Sunne xk_1xk + xkxk+; um sin Vielfaches von # (o ist such ein Vielfaches von 4). Dieselbe Knderung erffihrt die Sumne Sn.

lir gehen nun von der Sunme Sn = x1];

+ lax;

+ ... + gnx‘

= 0 ans und in—

dern alle negativen xk der Reine nach in +1 ab. Jeder Schritt bewirkt eine

Inderung von Sn um 3“ oder 0. Die Gesamtfinderung ist daher ein Vielfaches von h, etln hr. Andererseits ist Sn = n. venn alle xk = 1 sind. Also ist

n = hr Is. Z'.‘ Die Zahl N = hag,

am

nit den 1956 Ziffern 34. a4. .... am;

sei durch 2? teilbar. Setzt nan die erste Ziffer a. steht die neue Zshl N.

= a,a,a.

... an“

an den SchluB, so ent-

a.. Wir zeigen. daB N1

ebenfalls

duroh 27 teilbar ist. In der Tat ist 1ON=84

N1=

a,

a,

”.111,“

a. as

349“

Subtraktion ergiht 1o» - u. = a. - 10"“ N. = 10 N - 34 (1o"“

0

a4

- a. = a.(1o”“‘ - 1) Oder-

- 1). Nach Voraussetzung ist 10 N = 27 -p ein Viel—

faches von 2?. Ferner ist 10"“ 27 . 37 teilbar. also 10”“

- 1 = (10’ ) “t ' 1 durch 10’ - 1 = 999 =

- 1 = 27- q. Damit ist N, = 27 - p - 27 - q - a4

ebenfalls ein Vielfaches von 27.

1

Auf diese Weise kann man beliebig viele Ziffern der Reihe nach von vorne nach hinten bringen. ohne die Teilbarkeit durch 27 an zerstBren. Man darf also such beliebige Ziffernblficke vorne abschneiden und an SchluB der Zahl anhingen. Danit ist die Behauptung bewiesen. 2g. Es seien a and b zwei verschiedene siebenstellige Zahlen, und jede enthalte alle ziffern Von 1 bis 7. Dunn haben beide Zahlen dieselbe Quersumme 1 + 2 + 3 + h + 5 + 6 + 7 = 28. Der 9er-Rest einer Zahl ist aber gleich den

68

9er-Rest ihrer Quersumme. Beide Zahlen haben daher den 9er-Reat 1. Also ist a = 9p + 1 und b = 9q + 1. Wire 2 = n ganz, so wire a = bn = 9nq + n. b Folglich mfiflte auch n den 9er-Rest 1 haben. Der kleinste Wart, ffir den dies mfiglich ist. ist 10. Aber % < 10, da beide Zahlen eiebenatellig 31nd.

22. Es ist n‘ + h = n“ + hn’ + k - hn’ = (n’+ 2)’- (2n)’= (n’+ 2n f 2)(n'-2n-+2). Fir n > 1 sind beide Klammern > 1. Damit ist eine Zerlegung dieser Zahlen ffir n > 1 gefunden.

23. Ni: benutzen die Identitat n2 + 3n + 5 = (n + 7)(n - #) + 33. $011 diese Zahl durch 11 teilbar aein, so muB (n + 7)(n - h) dutch 11 teilbar sein. Da (N + 7) - (n — 4) = 11 ist, 51nd entweder beide Faktoren durch 11 teilbar oder keiner von beiden. Wenn also (n + 7)(n - h) dutch 11 teilbar int. dann ist diesea Produkt auch durch 11 '11 = 121 teilbar und (n + 7)(n - h)+ 33 ist dann nicht durch 121 teilbar. 22. Der gegebene Bruch lint sich genau dann kfirzen, wenn sein Kehrwert sich 1.

2

2

kfirzen lfiflt. Daher dfirfen wir 2--:—22—-:—1 = a + a + 1 a’+ 2a a’+ 2a mfissen also zeigen. dafl

a: + 1

betrachten. Wir

nicht gekfirzt werden kann. Aber dieser

a’+ 2a Bruch ist wieder genau dann kfirzbar, wenn sein Kehrvert es ist. Wir haben

a’ + 2a

a

-—--— = a + a2

+

1

a2

+

.

. Setzt man dleses Verfahren fort. so kommt man schlieB1

lich an % und dieser Bruch lint aich offeneichtlich ffir kein a kfirzen. 2g. 1. Lfisunfi. Wir teilen die Zahlen 1, 11, 111,

... 11;..i1 durch N und ma

betrachten die N Reste. E6 Bind h6chstens N-1 von 0 and untereinander verschiedene Reste maglich. Daher ist eine dieser Zahlen durch N teilbar (in diesem Fall ist der Beweis fertig),

oder aber zwei der Zahlen,

etwa

'

K = 111...1 and L = 111...1 (1 > k) haben denselben Rest bei der Teilung k-mal l-mal durch N. In letzten Fall ist die Differenz L - K = J11...1, 999;;ég dutch (l-k)mal k-mal; N teilbar.

Wenn N zu 10 teilerfremd ist, dann folgt nus L - K = J11...1 '10k.

daB sogar 111...1 durch N teilbar ist. (1-k)ma1

(l-k)ma1

2. Lfisuns. Wir entwickeln % in einen Dezimalbruch: 1.

i=0' b1b1

—

... bk a431,

... a1:

b1b2...bka182.'.a1-b‘bz...bk

99...9 l-mal

00...0 k—mal

69

Folglich ist A = 29...2

00...O ein Vielfaches von N.

l-mal Nun

iat A = 9 'A., no A,

k-mal =

11...1

l-nal

00...O,

Wir betrachton die Zahl

k-nal

B = A1A1...A‘. die nan erhilt. indem man A. bqf—-—I

9na1 nebeneihanderschreibt.

‘

9ma1

Diese Zahl iat offensichtlich dutch 9 and A,

and daher‘auch durch N tell-

bar. Ist N teilerfremd zu 10. dann 31b: 1 N einen reinperiodischen Zehnerbruch und B besteht aus_lauter Einsen. 22. E5 sei a die erste und b die letzte Ziffer der gesuchten Zahi N. Dann iat N : 1 0003 + 100a + 10b + b = 1 100a + 11b = 11(1003 + b). Die Zahl N is: also dutch 11 teilbar. and da es cine Qfiadratzahl ist. mun sie sogar] dutch 121 teilbar sein. D.h. 100: + b is: durch 11 teilbar. Aber

I

100a + b = 99a + (a + b) = 11 -9a + (a + b). Daher nun a + b dutch 11 tailbar sein. Da abet a g 9, b g 9 und 3 ¥ 0 15¢, muB 1 g a + b § 18 gain. also a + b =

11.

Folglich ist

1003 + b = 11 o9a f 11

= 11

(93 + 1). 3g?_= 95 + 1.

Hit N ist such 1%? eine Quadratzahl. Aber unter den Zahlen der Form 93 + 1.

I0 5 die lerte von 1 bis 9 durchliuft. ist nur 9- 7 t 1 = 64 eine Quadiat-

zahl. 9.1:. n = 121 .61» = 7 71m = 88’.

2g. Bekanntlich ist an - b“ durch a - b and a2“ - b2n sogar durch a’ - b' = (a - b)(a + 5) teilbar. Ferner ist )2} = 17 -19. An: der Dar-

atellung zon + 16ll - 3" - 1 = (.20ll - 3") + (16n - 1“) = (20n - 1“) + (16'? — 3“) -

folgt {fir gerade n 20!!

3n iBt dug-ch 20 - 3 = 17 teilbu-

16“ — 1" ist durch 163- 1’: 17- 15 teilbar20“ - 1n ist dutch 20 - 1 = 19 teilbar.

16" - 3“ 131: dutch 16'— 3‘: 19'- 13 tenbar. V

.

Daher is: 20n + 16n - 33 - 1 fir alle geraden Zahlen n dutch 17 :19 = 323 teilbar. lir ffihren noch einen zueiten Beweia. aus dem aich gleichzeitig ergibt. dafl der gegebene Ausdruck fir ungerade n nicht dutch 323 teilbar ist. Wir gehen aus von der Darstellung

eon + 16In — 3n — 1 = (19 + 1)n + (19 - 3)“ — 3n - 1 = (17 + 3)“ + (17-1)“-3n-1 und nultiplizieren rechts die Klamnern aus. Es ergibt aich

(19 +1)n = 19-1» + 1.

(19 - 3)n = 19 -q + (-3~)n

(17 + 3)“ = 17r + 3".

(17 - 1)n

7O

173' + ('—1)n

aon+16n-3"-1=19(p+q)+(-3)"-3"=17 ______412+a > 5, also x3 > a. Dies widerspricht (5). Es verbleibt nur die Lb'sung x1 = ————w, die (3), (5), (8) u_nd damit auch (1) erfiillt. Wit hab.en aléo folgendes Ergebnis: Die Gleichung Va - Va + x = x hat

fiir a = 0 die Lasung x =0, fiir a < 1, aber a 4: 0 keine Lfisung. fiir a Z 1 die Lfisung x = ___I82'3‘1. 2. Die Angabe O < a < 7} stellt eine wqeentliche Erleichterung dieaer

schwierigen Aufgabe dar. Wit wollen aie Jedoch allgemein lfiaen und alle Werte van a zulassen. Setzt man x2

4- 2a): + 1—16 = y, dann 151: y = -a +\’a’

+ x - 7'13.

y + a = (’a‘ + x - 1—16.Fiir y Z a 131: dies gleichwertig wit a

1 . oder +x _ 1—6

1 x..y2 +2ay+w. -

(y+a) a _—

Die gegebene Gleichung kann man also ersetzen durch das gleichwertige

"gemischte" System von Gleichungen und Ungleichungen

y=xz+2ax+T16

x=y2+23y+-116

(1)

y+a§0

83

Ana (1) $0131: durch _Subtraktion

y-x=x’-y1+2(x-y)

oder

(x-y)(x+y+2a+1)=0

(2)

legen (2) nnterscheiden wir zwei Fille

1.Fa11.

x-y=0.y=x.Dann19ty:y‘+Zay+-1-1:1oder

y+a=(y+a)’-a’+a+1-16.y+a=-;- -":’7‘26-a+

5+"(a-H)(a-~E).

4-

"(a - {1-)(a - 1;) ist positiv. Deshalb hat die gegebene Gleichung fiir

"A

Das System (1) hat also keine Liiaung, wenn I; < a < 13; ist. Wenn aber 3 oder a $1.5 iat. dann hat y + a reelle Werte. Einer dieser Werte z I;

gland a g i; die Lb‘aung x. = -a + g + "(a -1})(& - §)-

Wir untersuchen den zweiten Wert von y + a:

y + a = g - "(a - 11;)(5 - '2)-

Die Bedingung y + a = O liefert 1;: >(a. - 1;)(a - 1;) ode:2 - g g a g 2 + fl

lenn also a < 3-3135 oder a > 24,75. dann ist x, = -i‘f: k' 1 + n - k = n. Sobald die linke Seite mehr als zwei Faktoren hat (n > 2), ist also (1' 2° 3 ... n)2 > n- n °n ... n = n n .

§£. Fir n = 1 ist der Satz falsch. Ffir n = 2 erhfilt man 11- 2' < 2’, und dies stimmt. Wir nehmen an. dafl die Ungleichung ffir die beliebige Zahl n gilt. Wir beweisen, daB sie dann auch fur n + 1 rlchtlg lst.

Ana 11 -2' - 3’

nn < n

n(n+1)

2

folgt durch Hultiplikation nit (n+1)n+1

85

n(n+1)

1‘-21- 3’... mm)"+1 < n 2

n(n+1)

'(n+1)"+1 < (n+1) 2

(n+1)(n+2)

um)“+1 = (114-1)

2

(n+1)(n+2)

1‘-2’-]P...

(n+1)n+1 < (n+1)

2

. Damit ist die Behauptung ffir alle

n ) 2 bewieaen.

Bemerkuna. Ea gilt die viel schirfere Ungleichung n(n+1) 1‘. 2'. 3’

nn g (211%

2

_

. n Z 1. Der Beweis ist viel achwerer.

§2. Die Ungleichung is: richtig ffir n = 2, da 1 + a: > V5 iat. Wir nehmen

2 Jetzt an. daB die Ungleichung 1+i+l+...+l>fi

45

(3

(1)“

«a

tit irgendeine Znhl n richtig ist. Wit nfisaen zeigen.

daB dann auch die

Ungleichung

1+l+l~+...+

45

{3

1

>Vn+1

(2)

4H + 1

richtig ist. Zu diesen Zucck beweisen wir die Ungleichung

1 >J—q+-5

.

(3)

n+1

Aus (1) und (3) ergibt aich dann (2) durch Addition. Die Ungleichung (3) lint folgende iquivalente Unfornung an

'

1 >‘n + 1 - 4n: + n ‘ Jn’ +n>n Die letzte Ungleichung ist offensichtlich richtig. Damit iét der Béweia fertig. §§. Die folgende Kette von Ungleichungen ist gleichwertig

L21 < 1 1- xy

«=.

Ix - yl < [1 - xyl {=5

Ix -.yl’< l1 -‘xyl2

:28 -2xy+y’2

+— 2n

n+3

V

Das Rechteck ABCE hat die Fla'che 1 - 2 L- % und das Trapez ABCD hat die F13. 1 + — che To =3. Die Rechtecksume liegt offensichtlich zwiachen diesen zwei Zahlen. Also hfiben wir wieder

1

1

1

1'

§