Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium (Viewegs Fachbücher der Technik) (German Edition) 3834803049, 9783834803047

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Lothar Papula Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2

Die drei Bande Mathematikfilr Ingenieure and Naturwissenschaftier werden durch eine Formelsammlung, ein Buch mit Klausur- und Ubungsaufgaben sowie ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem Lehr- und Lernsystem erganzt: Lothar Papula Mathematische Formelsammlung fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler

Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen und einer ausfiilirlichen Integraltafel Mathematikfilr Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausurund Ubungsaufgaben Mathematikfilr Ingenieure und Naturwissenschaftler Anwendungsbeispiele

Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik mit ausfiihrlichen Losungen

Lothar Papula

Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 Ein Lehr- und Arbeitsbuch fiir das Grundstudium 11., iiberarbeitete Auflage Mit 377 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 310 iJbungsaufgaben mit ausfiihrlichen Losungen

Viewegs FachbiJcher der Technik

31 vieweg

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber abrufbar.

1. 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 11.,

Auflagel983 durchgesehene Auflage 1984 durchgesehene Auflage 1986 durchgesehene und erweiterte Auflage 1988 verbesserte Auflage 1990 verbesserte Auflage 1991 iiberarbeitete und erweiterte Auflage 1994 verbesserte Auflage 1997 verbesserte Auflage 2000 durchgesehene Auflage Oktober 2001 iiberarbeitete Auflage 2007

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2007 Lektorat: Ewald Schmitt Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschiitzt. lede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: Hartmut Kiihn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Satz: Druckhaus Thomas Miintzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinska Tiskarna, a. s., Tschechien Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN 978-3-8348-0304-7

Vorwort

Das dreibandige Werk Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fiir das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formelsammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem kompakten Lehr- und Lernsystem erganzt. Die Bande 1 und 2 lassen sich dem Grundstudium zuordnen, wahrend der dritte Band spezielle Themen iiberwiegend aus dem Hauptstudium behandelt.

Zur Stoffauswahl des zweiten Bandes Aufbauend auf den im ersten Band dargestellten Grundlagen (Gleichungen und lineare Gleichungssysteme, Vektoralgebra, Funktionen und Kurven, Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von einer Variablen, Potenzreihenentwicklungen) werden in dem vorliegenden zweiten Band folgende Stoffgebiete behandelt: • Lineare Algebra: Reelle und komplexe Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme, Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix • Fourier-Reihen • Komplexe Zahlen und Funktionen: Komplexe Rechnung, Anwendungen auf Schwingungen und Wechselstromkreise, Ortskurven • Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen: Partielle Ableitungen, totales Differential, Anwendungen (relative Extremwerte, Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen, „lineare Fehlerfortpflanzung"), Doppel- und Dreifachintegrale mit Anwendungen • Gewohnliche Differentialgleichungen: Lineare Differentialgleichungen 1., 2. und n-iox Ordnung, Anwendungen insbesondere in der Schwingungslehre, numerische Integration gewohnlicher Differentialgleichungen, Systeme linearer Differentialgleichungen • Laplace-Transformationen

Zur Darstellung des Stoffes Auch in diesem Band wird eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verstandliche Darstellungsform des mathematischen Stoffes gewahlt. Begriffe, Zusammenhange, Satze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen naher erlautert.

VI

Vorwort

Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die Ubungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einiiben und Vertiefen des Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausftihrlich kommentierten) Losungen ermoglichen dem Leser eine standige SelbstkontroUe. In dieser Auflage wurden weitere Hinweise der Benutzer eingearbeitet und das Kapitel Laplace-Transformationen vollstandig neu iiberarbeitet.

Zur auBeren Form Zentrale Inhalte wie Defmitionen, Satze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und Beispiele sind besonders hervorgehoben: • Defmitionen, Satze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau unterlegt. • Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol • gekennzeichnet. Bei der (bildlichen) Darstellung von Flachen und raumlichen Korpem werden Grauraster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussagekraftige Bilder zu erhalten.

Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen In zunehmendem MaBe werden leistungsfahige Computeralgebra-Programme wie z. B. DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Losung naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Solche Programme konnen bereits im Grundstudium ein niitzliches und sinnvolles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art ,,Kontwllinstanz'' beim Losen von Ubungsaufgaben verwendet werden (Uberpriifung der von Hand ermittelten Losungen mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos losen.

Eine Bitte des Autors Fiir Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fiir die stetige Verbesserung des Lehrwerkes.

Ein Wort des Dankes . . . ... an alle FachkoUegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben, ... an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Herm Ewald Schmitt, fiir die hervorragende Zusammenarbeit wahrend der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes. Wiesbaden, im Sommer 2007

Lothar Papula

VII

Inhaltsverzeichnis

I Lineare Algebra

1

1 Reelle Matrizen

1

1.1 1.2 1.3 1.4

Ein einfiihrendes Beispiel Definition einer reellen Matrix Transponierte einer Matrix Spezielle quadratische Matrizen 1.4.1 Diagonalmatrix 1.4.2 Einheitsmatrix 1.4.3 Dreiecksmatrix 1.4.4 Symmetrische Matrix 1.4.5 Schiefsymmetrische Matrix 1.5 Gleichheit von Matrizen 1.6 Rechenoperationen fiir Matrizen 1.6.1 Addition und Subtraktion von Matrizen 1.6.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 1.6.3 Multiplikation von Matrizen

2 Determinanten 2.1 Ein einfiihrendes Beispiel 2.2 Zweireihige Determinanten 2.2.1 Definition einer zweireihigen Determinante 2.2.2 Eigenschaften zweireihiger Determinanten 2.3 Dreireihige Determinanten 2.3.1 Definition einer dreireihigen Determinante 2.3.2 Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach Unterdeterminanten (Laplacescher Entwicklungssatz) 2.4 Determinanten hoherer Ordnung 2.4.1 Definition einer n-reihigen Determinante 2.4.2 Laplacescher Entwicklungssatz 2.4.3 Rechenregeln fiir w-reihige Determinanten 2.4.4 Regeln zur praktischen Berechnung einer ^-reihigen Determinante . 3 Erganzungen 3.1 3.2 3.3 3.4

Regulare Matrix Inverse Matrix Orthogonale Matrix Rang einer Matrix

1 2 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 19 19 21 21 22 30 30 33 37 37 41 43 46 50 50 51 54 59

VIII

Inhaltsverzeichnis

4 Lineare Gleichungssysteme 4.1 4.2 4.3 4.4

Allgemeine Vorbetrachtungen GauBscher Algorithmus Losungsverhalten eines linearen (m,«)-Gleichungssystems Losungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems 4.4.1 Inhomogenes lineares («,«)-System 4.4.2 Homogenes lineares («,«)-System 4.4.3 Cramersche Regel 4.5 Berechnung einer inversen Matrix nach dem GauBschen Algorithmus (GauB-Jordan-Verfahren) 4.6 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren 4.6.1 Bin einfuhrendes Beispiel 4.6.2 Linear unabhangige bzw. abhangige Vektoren 4.6.3 Kriterien fur die lineare Unabhangigkeit von Vektoren 4.7 Bin Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes . . . . 5 Komplexe Matrizen 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Bin einfuhrendes Beispiel Definition einer komplexen Matrix Rechenoperationen und Rechenregeln fur komplexe Matrizen Konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix Spezielle komplexe Matrizen 5.5.1 Hermitesche Matrix 5.5.2 Schiefhermitesche Matrix 5.5.3 Unitare Matrix

6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix 6.1 6.2 6.3 6.4

Bin einfuhrendes Beispiel Bigenwerte und Bigenvektoren einer 2-reihigen Matrix Bigenwerte und Bigenvektoren einer n-reihigen Matrix Bigenwerte und Bigenvektoren spezieller Matrizen 6.4.1 Bigenwerte und Bigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix 6.4.2 Bigenwerte und Bigenvektoren einer symmetrischen Matrix 6.4.3 Bigenwerte und Bigenvektoren einer hermiteschen Matrix 6.5 Bin Anwendungsbeispiel: Normalschwingungen gekoppelter mechanischer Systeme

Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt 6

65 65 68 72 79 79 83 86 89 91 91 93 95 100 101 102 103 104 106 109 109 112 114 116 116 121 128 134 134 136 138 140 142 142 143 146 149 153 155

Inhaltsverzeichnis

IX

11 Fourier-Reihen

158

1 Fourier-Reihe einer perodischen Funktion

158

1.1 Einleitung 1.2 Entwicklung einer periodischen Funktion in einer Fourier-Reihe 2 Anwendungen 2.1 Fourier-Zerlegung einer Schwingung (harmonische Analyse) 2.2 Zusammenstellung wichtiger Fourier-Reihen 2.3 Bin Anwendungsbeispiel: Fourier-Zerlegung einer Kippspannung

158 160 171 171 173 174

Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2

178 178 180

III Komplexe Zahlen und Funktionen

182

1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl

182

1.1 1.2 1.3 1.4

Definition einer komplexen Zahl Die GauBsche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Darstellungsformen einer komplexen Zahl 1.4.1 Algebraische oder kartesische Form 1.4.2 Trigonometrische Form 1.4.3 Exponentialform 1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen 1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 1.4.5.1 Umrechnung: Polarform -^ Kartesische Form 1.4.5.2 Umrechnung: Kartesische Form -^ Polarform

2 Komplexe Rechnung 2.1 Die vier Grundrechenarten fur komplexe Zahlen 2.1.1 Vorbetrachtungen 2.1.2 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 2.1.2.1 Definition von Addition und Subtraktion 2.1.2.2 Geometrische Deutung 2.1.3 MultipUkation und Division komplexer Zahlen 2.1.3.1 Definition von MultipUkation und Division 2.1.3.2 MultipUkation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung 2.1.3.3 Geometrische Deutung 2.1.4 Grundgesetze fur komplexe Zahlen (Zusammenfassung)

182 184 188 191 191 191 194 196 197 197 199 203 203 203 204 204 205 206 206 209 210 216

X

Inhaltsverzeichnis 2.2 Potenzieren 2.3 Radizieren (Wurzelziehen) 2.4 Natiirlicher Logarithmus

3 Anwendungen der komplexen Rechnung 3.1 Symbolische Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm 3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger 3.1.2 Ungestorte Uberlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz . . . 3.1.3 Anwendungsbeispiele aus Mechanik und Elektrotechnik 3.1.3.1 Uberlagerung zweier harmonischer Schwingungen 3.1.3.2 Uberlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen 3.2 Symbohsche Berechnung eines Wechselstromkreises 3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik 3.2.2 Widerstands- und Leitwertoperatoren 3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung 4 Ortskurven 4.1 Ein einfiihrendes Beispiel 4.2 Ortskurven einer parameterabhangigen komplexen GroBe (Zahl) 4.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen 4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivitat (Widerstandsortskurve) 4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazitat (Leitwertortskurve) 4.4 Inversion einer Ortskurve 4.4.1 Inversion einer komplexen GroBe (Zahl) 4.4.2 Inversionsregeln 4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve . . .

216 219 225 227 227 227 231 234 234 236 237 237 239 244 248 248 249 253 253 254 255 255 257 259

Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4

262 262 263 265 267

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

269

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung

269

1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen 1.2 Darstellungsformen einer Funktion

269 272

Inhaltsverzeichnis 1.2.1 Analytische Darstellung 1.2.2 Darstellung durch eine Funktionstabelle (Funktionstafel) 1.2.3 Graphische Darstellung 1.2.3.1 Darstellung einer Funktion als Flache im Raum 1.2.3.2 Schnittkurvendiagramme 2 Partielle Differentiation 2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung 2.2 Paritelle Ableitungen hoherer Ordnung 2.3 Das totale oder vollstandige Differential einer Funktion 2.3.1 Geometrische Betrachtungen 2.3.2 Definition des totalen oder vollstandigen Differentials 2.4 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) 2.4.1 Kettenregel fur Funktionen mit einem Parameter 2.4.2 Kettenregel fur Funktionen mit zwei Parametern 2.5 Anwendungen 2.5.1 Implizite Differentiation 2.5.2 Linearisierung einer Funktion 2.5.3 Relative oder lokale Extremwerte 2.5.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 2.5.5 Lineare Fehlerfortpflanzung 3 Mehrfachintegrale 3.1 Doppelintegrale 3.1.1 Definition und geometrische Deutung eines Doppelintegrals 3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals 3.1.2.1 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten 3.1.2.2 Doppelintegral in Polarkoordinaten 3.1.3 Anwendungen 3.1.3.1 Flacheninhalt 3.1.3.2 Schwerpunkt einer Flache 3.1.3.3 Flachenmomente (Flachentragheitsmomente) 3.2 Dreifachintegrale 3.2.1 Definition eines Dreifachintegrals 3.2.2 Berechnung eines Dreifachintegrals 3.2.2.1 Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten 3.2.2.2 Dreifachintegral in ZyUnderkoordinaten 3.2.3 Anwendungen 3.2.3.1 Volumen und Masse eines Korpers 3.2.3.2 Schwerpunkt eines Korpers 3.2.3.3 Massentragheitsmomente Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3

XI 272 273 275 275 281 287 287 296 301 301 303 307 308 313 318 318 322 326 333 340 348 349 349 352 352 360 366 366 373 379 386 386 388 388 392 397 397 405 411 418 418 419 426

XII

Inhaltsverzeichnis

V Gewohnliche Differentialgleichungen

433

1 Grundbegriffe

433

1.1 1.2 1.3 1.4

Ein einfuhrendes Beispiel Definition einer gewohnlichen Differentialgleichung Losungen einer Differentialgleichung Anfangs- und Randwertprobleme

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.1 2.2 2.3 2.4

Geometrische Betrachtungen Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Integration einer Differentialgleichung durch Substitution Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.4.1 Definition einer Hnearen Differentialgleichung 1. Ordnung 2.4.2 Integration der homogenen Hnearen Differentialgleichung 2.4.3 Integration der inhomogenen Hnearen Differentialgleichung 2.4.3.1 Variation der Konstanten 2.4.3.2 Aufsuchen einer partikularen Losung 2.5 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 2.6 Anwendungsbeispiele 2.6.1 Radioaktiver ZerfaH 2.6.2 Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes 2.6.3 Wechselstromkreis 3 Lineare Diffentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3.1 Definition einer Hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3.2 Allgemeine Eigenschaften der homogenen Hnearen Differentialgleichung . 3.3 Integration der homogenen Hnearen Differentialgleichung 3.4 Integration der inhomogenen Hnearen Differentialgleichung 4 Anwendungen in der Schwingungslehre 4.1 Mechanische Schwingungen 4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik 4.1.2 Freie ungedampfte Schwingung 4.1.3 Freie gedampfte Schwingung 4.1.3.1 Schwache Dampfung (Schwingungsfall) 4.1.3.2 Starke Dampfung (aperiodische Schwingung, Kriechfall) . . . 4.1.3.3 Aperiodischer GrenzfaU 4.1.3.4 Zusammenfassung 4.1.4 Erzwungene Schwingung 4.2 Elektrische Schwingungen 4.2.1 Schwingungsgleichung eines elektrischen Reihenschwingkreises . . . . 4.2.2 Freie elektrische Schwingung 4.2.3 Erzwungene elektrische Schwingung

433 435 436 438 442 443 447 450 453 453 454 456 456 460 463 467 467 468 471 475 475 477 483 490 501 501 501 503 508 508 511 515 519 520 530 530 533 536

Inhaltsverzeichnis 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . 5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung 5.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung 5.4 Ein Eigenwertproblem: Bestimmung der Eulerschen Knicklast 6 Numerische Integration einer Differentialgleichung 6.1 Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung 6.1.1 Streckenzugverfahren von Euler 6.1.2 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 6.2 Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 7 Systeme linearer Differentialgleichungen 7.1 Systeme Hnearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 7.1.1 Ein einfiihrendes Beispiel 7.1.2 Grundbegriffe 7.1.3 Integration des homogenen linearen Differentialgleichungssystems . 7.1.4 Integration des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems 7.1.4.1 Aufsuchen einer partikularen Losung 7.1.4.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren 7.1.5 Ein Anwendungsbeispiel: Kettenleiter 7.2 Systeme Hnearer Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

XIII 540 540 541 548 553 558 558 558 563 569 573 573 573 574 577 582 582 586 594 599

Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt 6 Zu Abschnitt 7

606 606 606 612 615 619 621 623

VI Laplace-Transformationen

626

1 Grundbegriffe

626

1.1 Ein einfiihrendes Beispiel 1.2 Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion 1.3 Inverse Laplace-Transformation

626 629 634

XIV

Inhaltsverzeichnis

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) 2.1 Linearitat (Satz iiber Linearkombinationen) 2.2 Ahnlichkeitssatz 2.3 Verschiebungssatze 2.3.1 Erster Verschiebungssatz 2.3.2 Zweiter Verschiebungssatz 2.4 Dampfungssatz 2.5 Ableitungssatze 2.5.1 Ableitungssatz fiir die Originalfunktion 2.5.2 Ableitungssatz fiir die Bildfunktion 2.6 Integralsatze 2.6.1 Integralsatz fiir die Originalfunktion 2.6.2 Integralsatz fiir die Bildfunktion 2.7 Faltungssatz 2.8 Grenzwertsatze 2.9 Zusammenfassung der Rechenregeln (Transformationssatze)

635 636 637 638 638 641 643 644 644 646 648 648 650 651 654 658

3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion

659

4 Rucktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich

663

4.1 AUgemeine Hinweise zur Riicktransformation 4.2 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen 5 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.1 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 5.1.1 Allgemeines Losungsverfahren mit Hilfe der Laplace-Transformation 5.1.2 Integration einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5.1.3 Integration einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5.2 Einfache Beispiele aus Physik und Technik 5.2.1 Entladung eines Kondensators iiber einen ohmschen Widerstand . . . . 5.2.2 Zeitverhalten eines P Ti-Regelkreisgliedes 5.2.3 Harmonische Schwingung einer Blattfeder in einem beschleunigten System 5.2.4 Elektrischer Reihenschwingkreis 5.2.5 Gekoppelte mechanische Schwingungen tJbungsaufgaben Zu Zu Zu Zu Zu

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1 2 3 4 5

663 666 669 669 669 670 672 675 675 677 678 680 683 685 685 686 689 690 691

Inhaltsverzeichnis

XV

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

694

I

Lineare Algebra

694

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

694 695 697 701 706 708

1 2 3 4 5 6

II Fourier-Reihen

714

Abschnitt 1 Abschnitt 2

714 715

III Komplexe Zahlen und Funktionen Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1 2 3 4

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Abschnitt 1 Abschnitt 2 Abschnitt 3 V Gewohnliche Differentialgleichungen Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

717 717 719 723 725

727 727 729 736 744

1 2 3 4 5 6 7

744 745 752 756 761 765 766

VI Laplace-Transformationen

773

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1 2 3 4 5

773 775 780 780 781

Literaturhinweise

791

Sachwortverzeichnis

792

XVI

Inhaltsiibersicht Band 1

Kapitell:

AUgemeine Grundlagen 1 2 3 4 5 6

Kapitel II:

Einige grundlegende Begriffe iiber Mengen Die Menge der reellen Zahlen Gleichungen Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Der Binomische Lehrsatz

Vektoralgebra 1 2 3 4

Grundbegriffe Vektorrechnung in der Ebene Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum Anwendungen in der Geometrie

Kapitel III: Funktionen und Kurven 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Kapitel IV:

Definition und Darstellung einer Funktion AUgemeine Funktionseigenschaften Koordinatentransformationen Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Gebrochenrationale Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Algebraische Funktionen Trigonometrische Funktionen Arkusfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen

Differentialrechnung 1 Differenzierbarkeit einer Funktion 2 Ableitungsregeln 3 Anwendungen der Differentialrechnung

Inhaltsubersicht Band 1 Kapitel V:

Integralrechnung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kapitel VI:

Integration als Umkehrung der Differentiation Das bestimmte Integral als Flacheninhalt Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Grund- oder Stammintegrale Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion Elementare Integrationsregeln Integrationsmethoden Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung

Potenzreihenentwicklungen 1 Unendliche Reihen 2 Potenzreihen 3 Taylor-Reihen

Anhang:

XVII

Losungen der Ubungsaufgaben

XVIII

Inhaltsiibersicht Band 3

Kapitel I:

Vektoranalysis 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kapitel II:

Ebene und raumliche Kurven Flachen im Raum Skalar- und Vektorfelder Gradient eines Skalarfeldes Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme Linien- oder Kurvenintegrale Oberflachenintegrale Integralsatze von GauB und Stokes

Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 2 3 4 5 6 7 8

Hilfsmittel aus der Kombinatorik Grundbegriffe Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Kennwerte oder MaBzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen Priif- oder Testverteilungen

Kapitel III: Grundlagen der mathematischen Statistik 1 Grundbegriffe 2 Kennwerte oder MaBzahlen einer Stichprobe 3 Statistische Schatzmethoden fur die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parameterschatzungen") 4 Statistische Prufverfahren fur die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parametertests") 5 Statistische Prufverfahren fur die unbekannte Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Anpassungs- oder Verteilungstests") 6 Korrelation und Regression

Inhaltsiibersicht Band 3 Kapitel IV:

XIX

Fehler- und Ausgleichsrechnung 1 „Fehlerarten" (systematische und zufallige MeBabweichungen). Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung 2 Statistische Verteilung der MeBwerte und MeBabweichungen („MeBfehler") 3 Auswertung einer MeBreihe 4 „Fehlerfortpflanzung" nach GauB 5 Ausgleichs- oder Regressionskurven

Anhang:

Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Teil B: Losungen der Ubungsaufgaben

I Lineare Algebra

1 Reelle Matrizen 1,1 Ein einfiihrendes Beispiel Wir betrachten den in Bild I-l skizzierten Gleichstromkreis. Er enthalt die drei ohmschen Widerstande R^, R2 und R^ sowie eine Spannungsquelle mit der Spannung U.

Die Teilstrome /j^, 12, und 73 sind dabei durch R^, R2, R^ und U eindeutig bestimmt. Zwischen diesen Grofien bestehen namlich aufgrund der Kirchhoffschen Regeln die folgenden linearen Beziehungen: Nach der Knotenpunktsregel^^: h-l2-h=0

(I-l)

Nach der Maschenregel^^: R^ I. + R2I2

=U (1-2)

^ Knotenpunktsregel: In einem Knotenpunkt ist die Summe der zu- und abflieBenden Strome gleich Null (zuflieBende Strome werden positiv, abflieBende Strome negativ gerechnet). ' Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.

I Lineare Algebra Die Teilstrome genugen somit dem inhomogenen linearen Gleichungssystem h -

h -

Ri / i + R2 ^2

^3=0 =V

(1-3)

Die Koeffizienten dieses Systems fassen wir zu einem Schema mit drei Zeilen und drei Spalten, einer sog. Matrix A, zusammen: / I1 - 1 --11 \ A = I Ri ^2 Ri 0 1 Rl 0 R2 - ^ 3

(1-4)

A wird in diesem Zusammenhang auch als Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (1-3) bezeichnet und beschreibt den strukturellen Aufbau des in Bild I-l dargestellten Netzwerkes.

1.2 Definition einer reellen Matrix

Wir fiihren weitere Bezeichnungen ein: aii^\ i: k: m: n:

Matrixelemente (i = 1, 2,..., m; k = 1, 2,..., n) Zeilenindex Spaltenindex Anzahl der Zeilen (Zeilenzahl) Anzahl der Spalten (Spaltenzahl)

1 Matrizen

3

Anmerkungen (1) Eine reelle Matrix ist ein geordnetes Zahlenschema aus reellen Zahlen und besitzt keinen Zahlenwert (im Gegensatz zu den spater noch einzufiihrenden Determinanten). (2)

Eine reelle Matrix wird bis auf weiteres kurz als Matrix bezeichnet.

(3)

Gebrauchliche Schreibweisen fiir eine Matrix sind: A' ^{m,n)^ i^ik)^ (^ik){m,n)

(4)

Eine Matrix vom Typ (m, n) wird auch kurz als (m, n)-Matrix bezeichnet.

(5)

Der Platz, den ein Matrixelement a^^ innerhalb der Matrix A einnimmt, ist durch die beiden Indizes i und k eindeutig festgelegt (das Indexpaar U k kann als ,,Platzziffer" aufgefaBt werden). Das Matrixelement a^^ befindet sich dabei in der i-ten Zeile und der k-ten Spake:

(6)

Sonderfall m = n: Die Matrix enthalt gleichviele Zeilen und Spalten und wird daher als n-reihige, quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung bezeichnet (verkiirzte Ausdrucksweise: quadratische Matrix).

(7)

Die obige Definition einer (reellen) Matrix laBt sich sinngemaB auch auf den komplexen Zahlenbereich ubertragen. Wir gehen darauf am Ende dieses Kapitels in Abschnitt 5 naher ein. Beispiele (1)

Die Matrix ' 3 1 5 0 \2 - 3 0 1 besitzt 2 Zeilen und 4 Spalten und ist daher vom Typ (2, 4). Ihre Elemente lauten der Reihe nach: a^ = 3, ai2 = 1, a,J

Obere Dreiecksmatrix

Anmerkung Fiir die Elemente einer unteren bzw. oberen Dreiecksmatrix gilt demnach: Untere Dreiecksmatrix: a^y^ = 0 fiir i k

ist eine untere Dreiecksmatrix der Ordnung 3.

ist eine obere Dreiecksmatrix der Ordnung 4.

1.4.4 Symmetrische Matrix

Anmerkung Bei einer symmetrischen Matrix sind die Elemente spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet. Daher gilt fiir eine symmetrische Matrix A stets A^ = A.

10 •

I Lineare Algebra Beispiel Die Elemente der 3-reihigen, quadratischen Matrix

liegen spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen. A ist daher eine symmetrische Matrix.

1.4.5 Schiefsymmetrische Matrix

Anmerkungen (1) Bei einer schiefsymmetrischen Matrix A verschwinden sdmtliche Diagonalelemente: a^^- = 0, i = 1, 2,..., n. Dies folgt unmittelbar aus der Definitionsgleichung (1-12) fur / = k\ ^ii = -^ii

=^ 2aii = 0 =>fljf= 0

(1-13)

(2)

Beim Transponieren einer schiefsymmetrischen Matrix A andern samtliche Matrixelemente ihr Vorzeichen. Eine schiefsymmetrische Matrix erfiillt demnach die Bedingung A^ = — A.

•

Beispiele (1)

Die 3-reihige, quadratische Matrix

ist schiefsymmetrisch: a^i = a22 = ^33 = ^ (alle Diagonalelemente verschwinden) «12 = - « 2 l = 4 , a i 3 = - ^ 3 1 = 3, a23 = - ^ 3 2 =

-5

1 Matrizen (2)

H

Die 3-reihige, quadratische Matrix 1

x "0^4

•2

^ 2 - 3 \ 0

dagegen ist nicht schiefsymmetrisch. Begriindung: Nicht die Diagonalelemente verschwinden (es ist a^^ = 1 ^ 0)-

1.5 Gleichheit von Matrizen

Anmerkung Gleiche Matrizen stimmen in ihrem Typ und in samtlichen einander entsprechenden Elementen iiberein.

•

Beispiele 0

3/

\0

3/'

\0

7

Es ist a^i = b^i = 1, ai2 = ^12 = ^' ^21 = ^21 = ^' ^22 = ^22 — ^ ^^^ ^omit A = B. y4/?er: Die Matrizen A und C sind voneinander ver^c/z/^(ie«, da ^22 = ^' ^22 ^ ^ und somit CI22 1^ C22 i^^: A ^ C. Die gleiche Aussage gilt fiir die Matrizen B und C.

1.6 Rechenoperationen fiir Matrizen Wir erklaren in diesem Abschnitt die folgenden Rechenoperationen fiir Matrizen: — Addition und Subtraktion von Matrizen — Multiplikation einer Matrix mit einem (reellen) Skalar — Multiplikation von Matrizen (sie ist nur unter bestimmten Voraussetzungen moglich) Die Rechenregeln sind dabei weitgehend die gleichen wie bei Vektoren (abgesehen von der Matrizenmultiplikation).

12

I Lineare Algebra

1.6.1 Addition und Subtraktion von Matrizen Matrizen werden wie Vektoren elementweise addiert und subtrahiert.

Anmerkungen (1) Addition und Subtraktion sind nur fiir Matrizen gleichen Typs erklart. Summenmatrix C = A + B und Differenzmatrix D = A — B sind vom gleichen Typ wie A und B. (2)

Weitere iibliche Schreibweisen fiir die Summe bzw. Differenz zweier Matrizen sind:

D = [dik) = (atk) - {bik) = {atk - b./c) Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz

A+ B= B+ A

(1-18)

A + (B + C) = (A + B) + C

(1-19)

Beispiel . /I ^ = 4

5-3\ 0 8>

^ / 5 « n - l

1 4

3 7

Wir bilden die Summe C = A + B und die Differenz D = A — B und erhalten:

^

^ + ®

'(1 + 5) (5 + 1) ( - 3 + 3)\ \ ( 4 - l ) (0 + 4) (8 + 7 ) ;

D = A - B = | ( ^ - ^ ) ^'-'^ \(4 + l) ( 0 - 4 )

(-3-3)\ (8-7);

/6 V3

6 4

0' 15

/-4 4-6 V 5-4 1

1 Matrizen

13

1.6.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors mit einem reellen Skalar erfolgt komponentenweise, die einer Matrix elementweise.

Anmerkungen (1)

Die Matrix k- X ist das Produkt aus der Matrix A und dem Skalar X.

(2)

Die Matrizen X • A und A sind vom gleichen Typ (m, n).

(3)

Der Multiplikationspunkt im Produkt X • A wird meist weggelassen: i • A = i A.

(4)

Besitzen alle Elemente einer Matrix einen gemeinsamen Faktor, so kann dieser vor die Matrix gezogen werden.

Rechengesetze X und pi sind reelle Skalare, A und B Matrizen vom gleichen Typ: Assoziativgesetz

A (/i A) = (A /i) A

Distributivgesetze

(1-21)

(A + /i)A = AA + /iA* (1-22)

A(A + B) = /IA +AB •

Beispiele ^'^

'1 - 5 ^ = \4 1

3 0

Wir berechnen die Matrizen B = 4 A und C = — 3 A: B=4A=4

1 -5 . '4 1

3\ , 0/

/ 4 -20 , 116 4

1

0/

12' 0

\-12 -3

0

14

I Lineare Algebra

(2)

Die Elemente der Matrix A = I

J besitzen den gemeinsamen

Faktor 5. Wir ziehen ihn vor die Matrix: /5 1 0 - 2 0 \ \0-5 30/

Yl 2-4 lO-l 6

1.6.3 Multiplikation von Matrizen Wir fuhren den Begriff der Matrizenmultiplikation zunachst anhand eines einfachen Beispiels ein. Dazu betrachten wir die Matrizen

^ = (2 3) ""^ « = (t I 3)

^'-''^

Matrix A ist vom Typ (2, 2), Matrix B vom Typ (2, 3). Die Zeilenvektoren von A und Spaltenvektoren von B besitzen genau zwei Komponenten. Wir bilden nun Skalarprodukte aus jeweils einem Zeilenvektor von A und einem Spaltenvektor von B nach folgendem Schema: 1. Zeilenvektor -> / I 2. Zeilenvektor -^ \2

5\ /4 3/ \1

T

1 0

2 3/

11 ^C2i

^12 C22

Nullzeilen 0 0/

Ij

M: =

- 0,5 Z2

98

I Lineare Algebra Die Matrix besitzt jetzt die gewunschte Trapezform, fiir ihren Rang gilt somit Rg (A) ^ r = 2. Wegen n = 3 und somit r < n = 3 sind die Vektoren a^, a2 und a3 linear abhdngig. Zwischen ihnen besteht der folgende Zusammenhang (wie man leicht nachrechnet):

a3 = 3 a^ — 2a2 = 3

Wir konnen aus dem Kriterium fiir linear unabhangige Vektoren noch weitere Schliisse Ziehen:

Es liegen n Vektoren a i , a 2 , . . . , a „ aus dem IR" vor, die aus ihnen gebildete Matrix A ist daher quadratisch. Dann aber gilt: regular, d.h. det A ^ 0 => linear unabhangige Vektoren singular, d.h. det A = 0 => linear abhdngige Vektoren

Die Anzahl n der Vektoren ist grofier als die Dimension m des Raumes, aus dem sie stammen. Fiir den Rang r der Matrix A gilt dann: r ^m,

r ^n,

m IdetAI = 1

Ferner wollen wir zeigen, da6 A = A ^ ist. Dazu berechnen wir zunachst die konjugiert transponierte Matrix A:

Die noch benotigte inverse Matrix A ^ berechnen wir mit Hilfe von Unterdeterminanten nach Formel (1-90).

116

I Lineare Algebra Die algebraischen Komplemente der vier Matrixelemente in der Determinante von A lauten dabei wie folgt: ^ii=(-l)'^'-^ii=(-l)'0==0

^12=(-1)'^'-^12=(-1)'(-J)=J

^22=(-l)'''^-^22=(-l)^0 = 0 Somit ist ^_,^

1

[A,,

detA\^i2

A2i\_

fO-}\_f

^22/

\J

0/

0

\-j

j

0

die zu A gehorende Inverse und zugleich identisch mit der konjugiert transponierten Matrix A, was zu erwarten war.

6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix In zahlreichen naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen stoBt man auf sog. Matrizeneigenwertprobleme. Die dabei grundlegenden Begriffe wie ,,Eigenwerf' und „Eigenvektor" einer quadratischen (reellen oder auch komplexen) Matrix wollen wir zunachst an einem einfachen geometrischen Beispiel erlautern.

6.1 Ein einfiihrendes Beispiel Wir betrachten die Spiegelung eines beliebigen Punktes P = (x^; X2) an der x^-Achse einer Ebene (Bild 1-8). Der Punkt P geht dabei in den „Bildpunkt" P' = (w^; M2) iiber. Die Transformationsgleichungen konnen wir unmittelbar aus dem Bild ablesen. Sie lauten wie folgt: Ui = Xi

u^ = 1 Xi -\- 0 ' X2

Oder

(1-216) U2 = 0 • Xi — 1 ' X2

M2 = — ^ 2

Wir bringen diese Gleichungen noch in die Matrizenform: 'wi\ U2/

/I

0

,

\ 0 — 1 / \X2^ X

Oder

u = Ax

(1-217)

6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix X2i

117

I ^1

X

P^(Xi:X2)

^2

0

N^^

^1=^1

^1

U2 = -X2

Bild 1-8 Spiegelung eines ebenen Punktes P an der x^-Achse

u > P' = (Uj;U2)

Der Vektor x ist dabei der Ortsvektor des Punktes P, der Vektor u der Ortsvektor des zugehorigen Bildpunktes P^ Jetzt interessieren wir uns ausschlieBlich fur alle diejenigen (vom Nullvektor verschiedenen) Ortsvektoren, die bei dieser Spiegelung in einen Vektor gleicher Richtung oder Gegenrichtung iibergehen-^^^ Diese (noch unbekannten) Vektoren geniigen also der Bedingung u = 2x

(1-218)

und somit der folgenden Matrizengleichung: Ax = Xx = lEx

Oder

(A - / I E) x = 0

(1-219)

Dabei ist E die 2-reihige Einheitsmatrix. Die als charakteristische Matrix von A bezeichnete Matrix A — >l E besitzt die folgende Gestalt: 0

0-1/

Vo

1/

V 0

-i-x

(1-220)

Die Matrizengleichung (1-219) lautet daher in ausfiihrlicher Schreibweise: 1 -1 0

23)

0 1 -A

Die Vektoren u und x sollen also kolUnear sein.

(1-221)

118

I Lineare Algebra

DiQSQshomogene lineare Gleichungssystem mit den beiden unbekannten Koordinaten Xi und X2 enthalt noch einen (ebenfalls unbekannten) Parameter X und ist bekanntlich nur dann nicht-trivial losbar, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet, d.h. det(A-2E) = | A - A E | =

1 -/I 0

0 - 1 -X

= 0

(1-222)

gilt. Hieraus erhalten wir die sog. charakteristische Gleichung der Matrix A: det(A - AE) = (1 - A) ( - 1 - A) = 0

(1-223)

Die Losungen dieser Gleichung heiBen Eigenwerte der Matrix A. Sie lauten hier also: 2^ = 1,

A2=-l

(1-224)

Zu diesen Eigenwerten gehoren bestimmte Ortsvektoren, die in diesem Zusammenhang als Eigenvektoren der Matrix A bezeichnet werden. Man erhalt sie, indem man in das homogene lineare Gleichungssystem (1-221) fiir den Parameter X den jeweiligen Eigenwert einsetzt und anschlieBend das Gleichungssystem lost. Mit der Bestimmung dieser Eigenvektoren wollen wir uns jetzt naher befassen. Eigenvektoren zum Eigenwert Aj = 1 Einsetzen des erst en Eigenwertes A^ = 1 in die Gleichung (1-221) liefert das homogene lineare Gleichungssystem Oxi +0x2

=0

^ ^ 0 • x^ — 2 • X2 = ^

(1-225)

Dieses System reduziert sich auf die eine Gleichung -2x2 = 0

(1-226)

mit der Losung X2 — 0. Da die erste Unbekannte x^ in dieser Gleichung nicht auftritt, diirfen wir uber x^ frei verfugen und setzen daher x^ = a. Das Gleichungssystem (1-225) besitzt damit die von dem reellen Parameter cc abhangige Losung xi=a,

X2 = 0

Oder

Xi=(

j=a(

j

(1-227)

(a 6 R). Der zum Eigenwert A^ = 1 gehorige Eigenvektor ist somit bis auf einen beliebigen konstanten Faktor a ^0 eindeutig bestimmt. Wir wahlen a = 1 und erhalten den normierten Eigenvektor x,=(i)

(1-228)

Alle weiteren zum Eigenwert X^ = 1 gehorenden Eigenvektoren sind dann ein Fie//ac/ies (a-faches) des normierten Eigenvektors x^ (a ^ 0). In der Praxis beschrankt man sich daher auf die Angabe dieses Eigenvektors und betrachtet x^ als den zum Eigenwert ^1 = 1 gehorenden Eigenvektor.

6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

119

Geometrische Deutung: Die zum Eigenwert X^ = \ gehorenden Eigenvektoren sind die Ortsvektoren der auf der x^-Achse liegenden Punkte, die bei der Spiegelung an dieser Achse in sich selbst iibergehen (ausgenommen ist der Nullpunkt; Bild 1-9). / a\

Spiegelung an der

/a\

^;^l

P=P'=(OC;0)

!»•

Bild 1-9

Eigenvektoren zum Eigenwert ^2 = "- 1 Wirsetzenjetzt den zweif^n Eigenwert /I2 = — 1 in die Gleichung (1-221) ein und erhalten das homogene lineare Gleichungssystem ^

(1-230)

0 - Xi H- 0 •X2 = 0

Dieses System reduziert sich auf die eine Gleichung 2xi=0

(1-231)

mit der Losung x^ = 0. Die zweite Unbekannte tritt in dieser Gleichung nicht auf, darf daher frei gewdhlt werden. Wir setzen X2 = P und erhalten fiir das Gleichungssystem (1-230) die von dem reellen Parameter f] abhangige Losung xi=0,

X2 = P

Oder

x^ = ("^ j = i^ ('^')

(1-232)

()S EIR). Wiederum ist der Eigenvektor bis auf einen beliebigen konstanten Faktor p 9^ 0 eindeutig bestimmt. Wir wahlten P = 1 und erhalten so den normierten Eigenvektor X2 = ( J )

(1-233)

Alle weiteren zum Eigenwert /I2 = — 1 gehorenden Eigenvektoren sind dann ein Vielfaches (j^-faches) dieses normierten Eigenvektors X2 (P ¥" 0).

120

I Lineare Algebra

Geometrische Deutung: Die zum Eigenwert X2 — ~ ^ gehorenden Eigenvektoren sind die Ortsvektoren der auf der X2-Achse liegenden Punkte (wiederum mit Ausnahme des Nullpunktes), die bei der Spiegelung an der x^-Achse in den jeweiligen Gegenvektor iibergehen {Richtungsumkehr des Ortsvektors bei gleichbleibender Lange; Bild I-10): / 0\

Spiegelung an der

/0\

i

(> P=(0;ft)

i^ .

0

^1

Bild I-IO U2 = -X2 1

^ P'={0;-ft)

Fazit Die Eigenvektoren der Transformationsmatrix A sind in diesem Beispiel diejenigen (vom Nullvektor verschiedenen) Ortsvektoren, die bei der Spiegelung an der x^-Achse entweder in sick selbst oder in den entsprechenden Gegenvektor iibergehen. Den beiden Eigenwerten kommt dabei die folgende geometrische Bedeutung zu: >oi = 1:

Richtung und Lange des Ortsvektors bleiben bei der Spiegelung erhalten (Punkte auf der x^-Achse mit Ausnahme des Nullpunktes; Bild 1-9)

X,2 = - 1- Richtungsumkehr des Ortsvektors bei der Spiegelung (Punkte auf der X2-Achse mit Ausnahme des Nullpunktes; Bild I-IO) Die Spiegelung an der x^-Achse haben wir in eindeutiger Weise durch die 2-reihige Transformationsmatrix

beschreiben konnen.

6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

121

Die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix lieferten uns dabei diejenigen Ortsvektoren, die bei dieser Spiegelung entweder unverdndert blieben oder aber eine Richtungsumkehr erfuhren. Man nennt allgemein ein Problem dieser Art ein Matrixeigenwertproblem. Die Aufgabe besteht dann darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren der vorgegebenen (quadratischen) Matrix A zu bestimmen.

6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix A sei eine 2-reihige Matrix-^^l Wir ordnen dann jedem Vektor x der Ebene durch die Abbildungsgleichung (Transformationsgleichung) y = AX

(1-236)

in eindeutiger Weise einen Bildvektor y der gleichen Ebene zu. Wie in unserem einfiihrenden Beispiel konnen wir wiederum den Vektor x als den Ortsvektor eines (ebenen) Punktes P auffassen, der bei dieser Transformation in den Ortsvektor y = A x des zugeordneten Bildpunktes P' iibergefiihrt wird. Unsere Problemstellung lautet jetzt wie folgt: Gibt es bestimmte Richtungen, die sich von den anderen Richtungen dadurch unterscheiden, daB der Urbildvektor x und der zugehorige Bildvektor y = A x in eine gemeinsame Linie (Gerade) fallen? Fiir eine solche bevorzugte Richtung muB also gelten: Fallt der Urbildvektor x in diese Richtung, so liegt auch der Bildvektor y = A x in dieser Richtung (Bild I-ll).

y= Ax

Bild I-ll Sonderfall: Urbildvektor x und der zugehorige Bildvektor y = A x fallen in eine gemeinsame Linie, sind also kollineare Vektoren

24) Bei unseren weiteren Ausfiihrungen gehen wir zunachst von einer reellen Matrix aus, lassen diese Einschrankung jedoch spater fallen.

I Lineare Algebra

122

Die Richtung selbst ist dabei durch Angabe des in diese Richtung fallenden Urbildvektors X eindeutig festgelegt. Fiir solche bevorzugten Richtungen muB also gelten, daB der Bildvektor y = A x ein (positives oder negatives) Vielfaches (>^-faches) des Urbildvektors X darstellt-^^^: y = A X = 2x

(1-237)

Die (noch unbekannten) bevorzugten Richtungen bzw. die in diese Richtungen fallenden Urbildvektoren geniigen somit der Matrizengleichung Ax = Xx = XEx

oder

(A - >^E)x = 0

(1-238)

Durch diese Gleichung wird ein sog. Matrixeigenwertproblem beschrieben. Die Matrix A — >l E ist die sog. charakteristische Matrix von A. In ausfiihrlicher Schreibweise lautet die Matrizengleichung (1-238) wie folgt: -X «21

»12

(1-239)

«22 - ^

Nicht-triviale Losungen, d.h. vom Nullvektor 0 verschiedene Losungen treten jedoch nur dann auf, wenn die Koeffizientendeterminante des homogenen linearen Gleichungssystems (1-239) verschwindet. Dies fuhrt zu der folgenden charakteristischen Gleichung mit dem unbekannten Parameter 1: det (A - A E) =

CLil — X

^12

^21

^ 2 2 ~" ^

(1-240)

=0

Die 2-reihige Determinante det (A — 1E) wird dabei als charakteristisches Polynom p (X) der Matrix A bezeichnet. Die Losungen der charakteristischen Gleichung heiBen Eigenwerte, die zugehorigen (vom Nullvektor verschiedenen) Losungsvektoren Eigenvektoren der Matrix A. Die Eigenwerte der Matrix A werden aus der charakteristischen Gleichung (1-240) berechnet, sind also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(X}: p{X) = dQt{A-lE)

= ^21

^22 ~ ^

= («11 - ^ ) («22 - ^ ) - ^ 1 2 ^ 2 1 =

= X^ - ( « 1 1 + « 2 2 ) ^ + ( ^ l l « 2 2 - « 1 2 ^ 2 l ) = 0

Sp(A)

(1-241)

det A

Die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung haben dabei die folgende Bedeutung: Der erste Koeffizient ist die mit einem Minuszeichen versehene sog. Spur der Matrix A, definiert durch die Gleichung Sp(A) = a i i +^22 25)

(1-242)

Die Vektoren x und y = A x mussen kollinear sein, d.h. sie sind entweder parallel oder anti-parallel orientiert.

6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

123

{Summe der Hauptdiagonalelemente). Der zweite Koeffizient ist die Koeffizientendeterminante det A =

ni ^21

"12 ^22

n i " 2 2 ~ "12"21

(1-243)

Sind Xi und ^2 diebeiden£igenwerre, d.h. diebeiden Losungender charakteristischen Gleichung (1-241), so konnen wir das charakteristische Polynom p{X) = 1^ - ( a i l + « 2 2 ) > ^ ' + ( ^ 1 1 ^ 2 2 - « 1 2 ^ 2 l ) =

= A^ - Sp (A) • 2 + det A

(1-244)

auch in der Produktform p{X} = (A - Ai) (i - ^2) = ^^ - {^i + /l2)^ + ^1 ^2

(1-245)

darstellen (Zerlegung in Linearfaktoren). Durch einen Vergleich der Koeffizienten in den beiden Gleichungen (1-244) und (1-245) erhalten wir dann zwei wichtige Beziehungen zwischen der Spur und der Determinante von A einerseits und den beiden Eigenwerten ^1 und ^2 ^^^ Matrix A andererseits: Sp (A) = ai 1 + ^22 = ^\ -^ ^2 FV / 11 22 1 2 det A = a i i a 2 2 - «i2/6,

ein orthonormiertes Vektorsystem bilden, die Matrix A daher orthogonal ist. Bestimmen Sie die inverse Matrix A~^ sowie die Determinante von A. 8)

9)

Bestimmen Sie den Rang der nachfolgenden Matrizen unter ausschlieBlicher Verwendung von Unterdeterminanten:

A=

B=

C =

D =

0 -1

Bestimmen Sie den Matrizenrang mittels elementarer Umformungen in den Zeilen bzw. Spalten:

B=

C =

10)

D =

1 2 3 0 1 -2 -5 -1

0 3 2 5

-1 1 -1 5

' ' 5/

1 3 10 4

2 -3 1 0 5 -3 3 -3

'\

A 0 1 3 1

1 2 1 1

Zeigen Sie, daB die folgende 5-reihige Matrix regular ist: 2 5

5

4

1

11

2

6\ 13

3 -1

13 1

8 11 1

2 1

15 1

I 3

10

8

2

12/

/ A =

Hinweis: Rangbestimmung mit Hilfe elementarer Zeilen- bzw. Spaltenumformungen in der Matrix.

Ubungsaufgaben

149

Zu Abschnitt 4 1)

Losen Sie die folgenden nicht-quadratischen linearen Gleichungssysteme mit Hilfe elementarer Umformungen in den Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix (Gaufischer Algorithmus):

a)

2xi - 3x2 = 11 — 5xi + X2 = — 8

b)

3x2 — 5x3 +

c)

2)

—

X i — J X2

—

^4 =

0

X ^ =^ — J

— 2xi + X2 + 2x3 + 2 x 4 = — 3 x ^ + 4 x 2 + 2x3 + 2 x 4 =

2 8

Zeigen Sie: Das lineare (4,3)-System x^ + — ZXj^

X2 — +

X3 =

2

X3= —2

5xi — X2 + 2x3 = 2xi + 6x2 — 3x3 =

4 5

ist nicht losbar.

3)

Gegeben ist das homogene lineare (4,3)-System 2x|^ — X2 + 4x3 = 0 — 4xi + 5x2 + 3^3 = 0 2xjL — 2x2 + ^ 3 = 0 6x1 + 5x3 = 0 Es ist zu zeigen, daB dieses System nur trivial losbar ist.

4)

Ist das homogene lineare Gleichungssystem

nicht-trivial losbar? Gegebenfalls sind samtliche Losungen zu bestimmen.

150

I Lineare Algebra

5) Zeigen Sie, daB das homogene lineare (3,3)-System

nicht-triviale Losungen besitzt. Wie lauten die Losungen? 6)

Fiir welche reellen Werte des Parameters X besitzt das homogene lineare Gleichungssystem nicht-triviale Losungen?

0 0

b)

1 7)

-A

Losen Sie die folgenden homogenen linearen {n, n)-Systeme: Xi + 2^2 + 3^3 = 0 a)

Xi -\-

X2

=0

b)

2x2 + 5x3 = 0 8)

2 1 0 4

1 2 2 1

4 4 5 0

Zeigen Sie: Das inhomogene quadratische Gleichungssystem 2xi + 3x2 + ^3 = ~ 1 — 4x1—8x2 — 3 x 3 = 7 — ZX-^ — ^ ^ 2 — -^-^3 ^

— ^

ist nicht losbar. 9)

Untersuchen Sie das Losungsverhalten der folgenden quadratischen linearen Gleichungssysteme und bestimmen Sie im Falle der Losbarkeit samtliche Losungen:

a)

b)

Ubungsaufgaben

151

Xi

+ 2x3 — 5x4 = 0

Xi + 4^2 + 4x3 — 5x4 = 10 c)

X^ "h 2X2 ~\~ -^-^3 — -5X4 =

J

4xi + 2x2 + 9x3 — 20x4 = ^

d)

10)

Zeigen Sie, daB die folgenden quadratischen linearen Gleichungssysteme genau eine Losung besitzen und bestimmen Sie diese Losung nach der Cramerschen Kegel: Xi +

2X2

=

^

xi + 7x2 + 4x3 = 18 3xi + 13x2 + 4x3 = 30

b)

10 - 3 4 5 11)

lOxi - 4x2 + 5 x 3 = - 13 2 Xj^ + 8 X2 — 7 x.^ F= 35

d)

7xi

X2+9X3=

20

Man berechne Teilstrome und Gesamtstrom im Netzwerk nach Bild 1-17 fiir die Widerstands- und Spannungswerte i? = 60 Q, R^=R^ = 100^, i^2 = 200 Q, t/ = 10 V.

Bild 1-17

12)

Die nachfolgenden Matrizen sind regular, Berechnen Sie die jeweils zugehorige inverse Matrix nach dem Gaufi-Jordan-Verfahren. A=

3 1 0

1 4 2 0 1 -2

B=

4 2 3

-1 0 1 1 0 5

•

c=

3 1 0

4 5 1

2 3 0

152 13)

I Lineare Algebra Begriinden Sie, warum die folgenden Vektoren linear abhdngig sind:

' ""-(:)• '=("!) 'K-D '"-('} -'-(i)- "'^(i) Vi/'

2' 14)

lor

\-i

Zeigen Sie die lineare Unabhdngigkeit der folgenden Vektoren:

' "^Q' --i"'}"''(-!)

15)

Zeigen Sie zunachst, daB die Vektoren

a=

L

b= I

und

c=

1

linear abhdngig sind und stellen Sie anschlieBend den Vektor c als Linearkombination der beiden iibrigen Vektoren dar.

Ubungsaufgaben 16)

153

Zeigen Sie, daB die drei raumlichen Vektoren

komplanar sind, d.h. in einer gemeinsamen Ebene liegen. 17)

Fiir welchen Wert des Parameters /I sind die Vektoren

linear abhdngigl 18)

Sind die Spalten- bzw. Zeilenvektoren der folgenden Matrizen linear unabhdngigl

Zu Abschnitt 5 1) Berechnen Sie mit den (2,3)-Matrizen

V 2

1+j

1/

Vl+j

5

\0

4-3j

1

1+j

die folgenden Ausdriicke: a) 2)

A+ B+ C

b)

3A-4(B-2C)

c)

2AT-3(B-C)T

Berechnen Sie unter Verwendung des Falk-Schemas die Matrizenprodukte A • A = A^, A • B, B • A und B • B = B^ (soweit diese iiberhaupt existieren) fiir ^^,2+j 2

b)

A= (' \1

1+A l - j /

'^' 5

' j

^

/2j Vsj

3-3J l+2j

154 3)

I Lineare Algebra Welchen Wert besitzt die Determinante der nachfolgenden Matrizen?

.1+j

4)

/2+j A= ( 0 Vl-j

-3j

l+2j 2-2j 5 + 3j

j \ 1 j j /

b)

/ 1 0 + 5J A= j 3-2j V 5 + 5j

l-2j\ 4 + 2j j l-2j/

Welche der nachstehenden Matrizen sind hermitesch, welche schiefhermiteschl /

1

A=

-

-T!; 6)

vi-j

Bilden Sie die jeweils zugehorige konjugiert komplexe Matrix A* sowie die konjugiert transponierte Matrix A:

a)

5)

3 ;'

J 0

OX 1 ,

B=

-

"3?I.

Zerlegen Sie die folgenden Matrizen in ihre Real- und Imagindrteile und priifen Sie dann, welche Matrizen hermitesch bzw. schiefhermitesch sind:

A = (-[.

5 + 2j

/-j C=

V

-'^'^ -4j

0

0 -j

0

0

y

0),

BJ

'

V2 + 4J

'-'^

2

D =

Welchen Wert besitzen die zugehorigen Determinanten'}

7)

Zeigen Sie aufm6glichsteinfachemWege,da6 die Matrix A = ( . sein kann. ^^

. ) nichtunitdr ^'

Ubungsaufgaben 8)

155

Zeigen Sie, daB die folgenden Matrizen unitdr sind: / 1 A=

2

l-Tsj

-2j

ys-j

Vs+j

2

-2

\-2

3V J

-l->/3j'

-I-J7

J

\O

Zu Abschnitt 6 1) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 2-reihigen Matrizen:

^) ^ = G'2)

^' ^ = (1 I)

^^ ^ = (4 2

2)

Welche Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen die Matrizen

3)

Berechnen Sie die Spur und die Determinante der Matrix A aus den Eigenwerten der Matrix:

^ ']

b) A = f ^ - M c) A = (' '

3 oy 4)

^

\-2

oy

^

vo-i

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 3-reihigen Matrizen: /

2 1 IX 2 3 4 \ -1 -1 - 2 /

a)

A=

c)

/O 1- 1 \ C= [ 1 0 1 I \1 -1 2/

/a

/-2 2-3X 2 1-6 \ -1 -2 0/

b)

B=

d)

/O - 4 - 2 \ D= j 1 4 1 j \2 4 4/

b

a\

5) Zeigen Sie: Die Matrix A = j b a a \ besitzt u.a. den Eigenwert \ a a b/ Xi = 2a -\- b. Wie lauten die iibrigen Eigenwerte?

156

I Lineare Algebra

6)

BerechnenSie die £igenwertederjeweiligen Matrix A und daraus die Spur und die Determinante von A:

7)

a)

/I 2 - 1 \ A = |0-1 Ij \1 -1 1/

c)

.2 A= 2 \3

1 3 3

b)

/ 0 A =j 0 \ -10

1 0 1

0\ ij 10/

IX 2 4/

Bestimmen Sie die drei Eigenvektoren der Matrix A =

/7 2 \0

2 6 2

Ox 2 1 und zeigen 5/

Sie, dafi die aus ihnen gebildete 3-reihige Matrix orthogonal ist. '2 0 8)

1 2-2-4

Welche Eigenwerte besitzt die 4-reihige Matrix A = (

I •? ,0

9)

0

0-1

0/

/ -2 Zeigen Sie, daB die Eigenvektoren der 3-reihigen Matrix A = I 7

2-1 3—1

V-4 -4 -2, linear unabhdngig sind. Welchen Wert besitzen Spur und Determinante von A?

10)

Welche Eigenwerte besitzen die folgenden Matrizen? Begriinden Sie das Ergebnis ohne Rechnung. /I A= j 0 \2

11)

0 5 1

00 8,

/4-1 C = j 0 -2 \0 0

B=

31 5,

Die mathematische Behandlung einer 2-stufigen chemischen Reaktion vom Typ X -^ Y -* Z fuhrt auf das folgende KgenwerfproWem:

i-ki-X)

0

'^i

(-^2-'^)

0

k2

Wie lauten die Eigenwertel

0 0 =0 -A

Ubungsaufgaben 12)

157

Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 2-reihigen symmetrischen Matrizen?

^)

/O

1\

^ = (1

0)

/I ^>

2\

/ - 2 - 4

^ = (2-2)

fa

^^

^ = (-4

p\

(

4

-0,5\

\

13)

Welche £/g^nw^rfg besitzen die Matrizen A = l

14)

Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden schiefsymmetrischen Matrix:

15)

Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 3-reihigen symmetrischen Matrizen?

16)

Welche Eigenwerte besitzen die folgenden symmetrischen Matrizen?

/2 A= | l \1 17)

1 2 1

1\ 1 j, 2/

/ 3 -1 1\ B= ( - l 5-1 j, \ 1 -1 3/

und B = (

/a C= | 1 \0

)?

1 b 1

0' 1 a,

Bestimmen Sie die Eigenwerte der folgenden symmetrischen Matrix:

A=

18)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden hermiteschen Matrix: A= |

' 2j

'^ 1

158

II Fourier-Reihen

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion 1.1 Einleitung In einfachen Fallen laBt sich ein zeitlich periodischer Vorgang wie beispielsweise die Schwingung eines Federpendels oder eine Wechselspannung durch ein Sinusgesetz der allgemeinen Form y{t) = ^ • sin (wt + cp) oder

y{t) = A^ • sin (ot) + A2 ' cos (cot)

(ii-i)

beschreiben. Wir sprechen dann von einer harmonischen Schwingung oder Sinusschwingung mit der Kreisfrequenz co und der Schwingungsdauer T = In/cu (Bild II-l)^^:

Bild II-l Harmonische oder Sinusschwingung

In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (insbesondere in der Elektrotechnik) treten jedoch haufig auch zeitabhangige Vorgange auf, die zwar periodisch, aber nicht mehr sinusformig verlaufen. Wir nennen zwei einfache Beispiele: — Kippschwingung (Kippspannung, auch Sdgezahnimpuls genannt (Bild II-2)) — Sinusimpuls (Sinushalbwellen) eines Einweggleichrichters (Bild II-3)

Die harmonischen Schwin^ungen wurden bereits in Band 1, Abschnitt IIL9.5.1 ausfuhrlich behandelt.

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion

159

Bild II-2 Kippschwingung (Sagezahnimpuls) 3T

t

u k

7/2

T

3T/2

2T

ST/2

Bild II-3 Sinusimpuls eines Einweggleichrichters

Von grundsdtzlichem Interesse ist daher die Frage, ob die Moglichkeit besteht, eine nichtsinusformige Schwingung aus harmonischen Einzelschwingungen zusammenzusetzen. Wir werden spater zeigen, daB es unter gewissen Voraussetzungen tatsachlich moglich ist, einen Schwingungsvorgang y = y(t) mit der Schwingungs-oder Periodendauer T und der Kreisfrequenz COQ = 2 n/T in eine unendliche Summe aus sinus- und kosinusformigen Einzelschwingungen wie folgt zu ,,entwickeln'': UQ

y{t)

+

7

[^n • ^OS (^ ^ 0 0 + ^n • si^ (" ^ 0 0] =

n = 1

«0

= -— -\- ai • COS (COQ 0 + «2 ' cos (2 (DQ t) -\- a^ - cos (3 COQ 0 + • • • (11-2) ... + ^1 • sin {CDQ 0 + ^2 * sin (2 COQ t) -\- b^- sin (3 COQ 0 + • • • Diese Darstellung in Form einer unendlichen trigonometrischen Reihe-^^ heiBt FourierReihe, die Entwicklung selbst wird als harmonische oder Fourier-Analyse bezeichnet. In dieser Darstellung erscheint die Gesamtschwingung y = y{t) als ungestorte Uberlagerung unendlich vieler harmonischer Teilschwingungen mit den Kreisfrequenzen COQ, 2O)Q, 3(DQ, ... . Die Kreisfrequenzen der einzelnen Schwingungskomponenten sind somit stets ganzzahlige Vielfache von COQ, der sog. Grundkreisfrequenz. Die Teilschwingung mit der kleinsten Kreisfrequenz (COQ) heiBt Grundschwingung, alle librigen Teilschwingungen werden als Oberschwingungen bezeichnet. 2)

Die „Zerlegung" (II-2) enthalt noch den zeitunabhdngigen Bestandteil UQ/I.

160

II Fourier-Reihen

Vom physikalischen Standpunkt aus bedeutet die Darstellung einer nicht-sinusformigen Schwingung y = y{t) durch ihre Fourier-Reihe eine Zerlegung der Schwingung in ihre harmonischen Schwingungskomponenten. Sie wird daher in den Anwendungen auch als Fourier-Zerlegung bezeichnet. Die „Entwicklungskoeffizienten" UQ, a^, a2, a^,..., bi,b2, b^,... heiBen Fourierkoeffizienten.

1.2 Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe Bei den weiteren Uberlegungen gehen wir zunachst von einer nicht-sinusformigen periodischen Funktion /(x) mit der Periode p = 2n aus (Bild II-4).

27t

^n

STC

Bild II-4 Schaubild einer nicht-sinusformigen periodischen Funktion (Periode: p — 2n)

Sie kann unter gewissen Voraussetzungen, auf die wir spater noch eingehen werden, in eine unendUche trigonometrische Reihe der Form 00

/W =y +

^

K • COS (nx) + b„ • sin (nx)] =

n=\

=

h a^ • cos X + a2 • cos (2x) + ^3 • cos (3 x) + ... ^ ... + ^1 • sin X + /?2 • sin (2 x) + 63 • sin (3 x) + ...

(11-3)

entwickelt werden. Diese Art der Darstellung heiBt Fourier-Reihe von / (x). Sie enthalt neben den Sinus- und Kosinusfunktionen mit den „Kreisfrequenzen" 1, 2, 3 , . . . noch ein konstantes Glied ao/2. Die Konstanten UQ, a^, a2, ^ 3 , . . . , b^, ^2, ^3, • • • der Entwicklung (II-3) sind die Fourierkoeffizienten, mit deren Bestimmung wir uns jetzt beschaftigen werden.

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion

161

Bestimmung der Fourierkoeffizienten Fiir die Bestimmung der Fourierkoeffizienten werden einige Integrale benotigt, die wir in der folgenden Tabelle 1 zusammengestellt haben.

Tabelle 1: Integrale, die fiir die Berechnung der Fourierkoeffizienten benotigt werden (m, n G N)

II Fourier-Reihen

162 (1) Bestimmung des Fourierkoeffizienten UQ

Wir integrieren die Fourier-Reihe (II-3) gliedweise im Periodenintervall {0,2n): In

In

I—

In

dx-^ y

f{x)dx = 0

0

2n

COS (nx)dx +fe„• sin {nx)dx

n= 1

0

(11-4)

0

Fiir die einzelnen Integrale gilt dann unter Verwendung von Tabelle 1: 2n

In

dx = 2n,

In

cos {nx)dx = 0,

0

0

sin {nx)dx = 0

(II-5)

0

Gleichung (II-4) reduziert sich daher auf 2n

(11-6)

f (x) dx = QQTI

0 Wir erhalten damit fur den Fourierkoeffizienten UQ die Integralformel In

1 ao

f (x) dx

(11-7)

(2) Bestimmung der Fourierkoeffizienten a„ (n = 1, 2, 3,...) Wir multiplizieren die Fourier-Reihe (II-3) zunachst mit cos (mx) (m e N) und integrieren anschlieBend wiederum iiber das Periodenintervall {0,2n): In

In

f{x)' COS {mx)dx =ao

00

-I n= \

I—

cos {mx)dx + In

In

cos (nx) • cos {mx)dx + b„ • sin(nx) • cos {mx)dx

a„ • 0

(II-8)

0

Die anfallenden Integrale berechnen sich nach Tabelle 1 wie folgt: In COS {mx)dx = 0 0

(11-9)

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion

163

Fiir m^ m In

In

COS (nx) • cos (mx) dx = 0,

sin [nx) • cos {mx)dx = 0

(11-10)

0

Fiir n = m: In

In

COS {nx) • cos {mx)dx = cos^ {nx)dx = n 0

0

2n

271

(11-11)

sin (nx) • cos (nx)dx = 0

sm{nx) • cos(mx)rfx

(11-12)

0

Daher ist 2n

In

f{x) • COS {mx)dx = f (x)' cos (nx) dx = a^n

(11-13)

und somit 2n

f{x) • COS {nx)dx

(11-14)

(3) Bestimmung der Fourierkoeffizienten A„ (w = 1, 2, 3,...) Die Fourier-Reihe (II-3) wird jetzt zunachst mit sin (mx) (m e N) multipliziert und anschlieBend in den Grenzen von x = 0 bis x = 2n integriert: 2n

2n

f{x) • sin(mx)^x =

00

-h

I

r-

n = l '-

ao

sin {mx)dx +

2n

a„-

2n

COS (nx)' sin {mx)dx + b^ 0

sin (nx) • sin(mx)^x

(11-15)

164

II Fourier-Reihen

Die anfallenden Integrate werden wiederum nach Tabelle 1 berechnet: In

sin(mx)Jx = 0

(11-16)

0

Fiir m^ n: 2%

In

COS (nx) • sin {mx)dx = 0,

sin (nx) • sin (mx) dx = 0

(11-17)

0

Fiir m = n: In

In

COS {nx) • sin (mx) dx = cos (nx) • sin (nx) Jx = 0 0

0

2n

2n

si„M.sin(.x).x=jsin^(nx).x = .

(11-18)

(11-19)

0

Aus Gleichung (11-15) folgt somit 2n

2n

| / ( x K) ) • sin(mx)^x = /(x) • sin (nx)dx = b^n 0

(11-20)

0

und hieraus schlieBlich 271

1 f bf. = - • /(x) • sin (nx) dx

(11-21)

^ J 0

Die Fourierkoeffizienten ao, a^, a2, ^ 3 , . . . , ^ i , ^ 2 ' ^ 3 ' • • • lessen sich demnach aus den Integralformeln (II-7), (11-14) und (11-21) berechnen.

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion

165

Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:

Anmerkungen (1) Die Entwicklung einer periodischen Funktion f{x) in eine Fourier-Reihe ist unter den folgenden Voraussetzungen moglich (sog. Dirichletsche Bedingungen): 1. Das Periodenintervall laBt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen / (x) stetig und monoton ist. 2. In den Unstetigkeitsstellen (es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Spriingen in Frage) existiert sowohl der Hnks- als auch der rechtsseitige Grenzwert. Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die Fourier-Reihe von f{x) fiir alle X EIR. In den Stetigkeitsstellen von f{x) stimmt sie mit der Funktion f{x) uberein, wahrend sie in den Sprungstellen das arithmetische Mittel aus dem hnks- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion hefert. So besitzt beispielsweise die FourierReihe der in Bild II-5 skizzierten Kippschwingung in den Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen) Xj, = k - In {k = 0, ± 1, ±2,...) denFunktionswert (4 + 0)/2 = 2.

166

II Fourier-Reihen

y• i,v^

1

X 1

y^ 1

\ 2n

y^ 1

y

47r

1 1 6%

X

Bild II-5 „Kippschwingung" mit den Sprungstellen Xk = k- 2n {k = 0,±\,± 2,...)

(2)

Symmetriebetrachtungen Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion f{x) enthalt nur gerade Reihenglieder, d.h. neben dem konstanten Glied nur Kosinusglieder (^„ = 0 fiir n = 1, 2, 3,...): (11-24) n= l

Die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion f{x) enthalt dagegen nur ungerade Reihenglieder, d.h. Sinusglieder (a„ = 0 fur n = 0, 1, 2,...): f{x)=

^

bn'sininx)

(11-25)

n= 1

(3)

Die Integration darf iiber ein beliebiges Periodenintervall der Lange 2 n erstreckt werden (beispielsweise auch iiber das Intervall (— n, n)),

(4)

Durch Abbruch der Fourier-Reihe (11-22) nach endlich vielen Gliedern erhalt man eine Naherungsfunktion fur f{x) in Form einer trigonometrischen Reihe. Ahnlich wie bei den Potenzreihen gilt auch hier: Je mehr Glieder beriicksichtigt werden, um so „besse/' ist die Naherung (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel).

(5)

Die Fourier-Entwicklung ist keineswegs auf periodische Funktionen mit der Periode 2 n beschrankt. Sie laBt sich auch auf periodische Funktionen mit beliebiger Periode p ausdehnen. Diesen allgemeinen Fall behandeln wir im folgenden Abschnitt im Zusammenhang mit der Zerlegung einer nicht-sinusformigen Schwingung in ihre harmonischen Schwingungskomponenten. Der allgemeine Fall kann jedoch stets (mit Hilfe einer geeigneten Substitution) auf den hier dargestellten speziellen Fall der Fourier-Entwicklung einer Funktion mit der Periode 2n zuruckgefuhrt werden.

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion

167

Beispiel Wir entwickeln die in Bild II-6 dargestellte Rechteckskurve mit der Funktionsgleichung r 1 f{x) = \ [—1

0^x^71 fur n < X

[a„ • cos {n COQ t) + b^- sin (n COQ t)] =

n= 1

= -— + «! • COS (CDQ t) + a2 • COS (2 WQ t) -\- a^ • cos (3 COQ 0 + • • • (11-26) ... + hi ' sin {CDQ 0 + ^2 * si^ Pem Symbol \/ —i gcbcn wir nun durch die folgcnde Definition einen Sinn und Namen.

Anmerkung In der Mathematik wird die imagindre Einheit meist durch das Symbol i gekennzeichnet. Wir werden dieses Symbol jedoch nicht verwenden, um Verwechslungen mit der Stromstdrke i zu vermeiden. Die „Losungen" der Gleichung x ^ + 1 = 0 lauten damit unter Verwendung der imaginaren Einheit j wie folgt: x^ + i = 0 => Xi/2= ±J

(ni-5)

1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl

183

Sie konnen als „Produkte" aus der reellen Zahl + 1 bzw. — 1 und der imagindren Einheit j aufgefaBt werden: ^1 = 1 • J = J

und

X2 = - 1 • j = - j

(111-6)

Auf ahnliche „Zahlen" stoBen wir beim formalen Losen der Gleichung x^ + 9 = 0: x2 + 9 - 0 ^ x^,2= ± V - 9 = ± V 9 - ( - l ) = ± V 9 V - 1 = = ± 3 j

(in-7)

Zahlen dieser Art werden als imagindre Zahlen bezeichnet.

Anmerkungen (1) Zulassige Schreibweisen sind: bj, ib oder b j , j • b. (2) Das Quadrat einer imaginaren Zahl bj ist stets eine negative reelle Zahl: (bjf = b^ -i^ = b^ •{-!)=

•

-b^

Polarform Die komplexe Zahl liegt in der kartesischen Form {Normalform) vor und soil in die Polarform, d.h. in die trigonometrische oder in die Exponentialform umgerechnet werden. Anhand von Bild III-16 ergeben sich dabei folgende Transformationsgleichungen:

lm(z)k Bild III-16 Zur Transformation einer komplexen Zahl aus der kartesischen Form in eine Polarform

Bei der Winkelbestimmung ist besondere Sorgfalt geboten. Wir beschranken uns dabei vereinbarungsgemaB auf den im Intervall 0 ^ cp 0 erfolgt die Drehung im positiven Drehsinn, fiir (p ;2(0) = 4 2 - e J " ^ = 4 2 y{0) = yiiO) + y2{0) = A, -^ A2 = A

(in-105)

3 Anwendungen der komplexen Rechnung

233

Wir fassen wie folgt zusammen:

Anmerkung Liegen beide Einzelschwingungen als Kosinusschwingungen vor, yi = Ai ' cos {(Dt -\- (pi) und

y2 = A2 ' cos {cot -\- cp2)

(III-112)

so ergeben sich fiir die Berechnung der resultierenden Schwingung y = yi +3^2 prinzipiell zwei Moglichkeiten: 1. Die Schwingungen y^ und y2 werden zunachst als sinusformige Schwingungen dargestellt. AnschlieBend erfolgen die weiter oben angegebenen drei Rechenschritte. Die resultierende Schwingung liegt dann in der Sinusform vor.

234

III Komplexe Zahlen und Funktionen

2. Die Schwingungen y^ und y2 werden in der Xosmws/orm belassen. Dann erfolgen die ersten beiden der oben angegebenen Rechenschritte und anschlieBend die Rucktransformation aus dem Komplexen ins Reelle. Diesmal jedoch ist der Realteil des resultierenden komplexen Zeigers y zu nehmen: y = y^-\-y^

= RQ (y) = Re (^ • Q^"^^) = A COS {CDt + (p)

(III-113)

Die resultierende Schwingung liegt jetzt als Kosinusschwingung vor.

3.1.3 Anwendungsbeispiele aus Mechanik und Elektrotechnik 3.1.3.1 Uberlagerung zweier harmonischer Schwingungen Die mechanischen Schwingungen y^ = 4 cm • sin (2 s ~ ^ -1) und

3/2 = 3 cm • cos ( 2 s ~ ^ • f — - j

(IIM14)

sollen ungestort zur Uberlagerung gebracht werden. Vor der Durchfuhrung der komplexen Rechnung miissen wir die Schwingung y2 zunachst als Sinusschwingung darstellen: ^2 = 3 cm • cos 12 s ^ • t — - j = 3 cm • sin I 2 s ^ ' ^ ~ 7 + x I /

— 1

(III-115)

= 3 cm • sm 2 s ^ • t -\- 3 Jetzt fuhren wir die einzelnen Rechenschritte aus. (1)

Ubergang von der reellen Form zur komplexen Form yi -^ ^1 = 4 cm • eJ^^ y^ -^ );2 = 3cm-e^^'^'"^3) = (3 cm • e^^) . gj^^

(III-116)

(mit CO = 2s~^) Die komplexen Schwingungsamplituden lauten: Ai = 4 cm und (2)

j -

A2 = ^cm-Q ^

(III-117)

Addition der komplexen Amplituden A = Ai-\-A2 = 4cm-\-3cm'Q

j -

^ = 4 cm+ 3 cm

71 \

/ n

cos I - I + j • sin

= 4 cm + 1,5 cm + j (1,5 • ^3 cm) = 5,5 cm + (1,5 • ^ 3 cm) j

(III-118)

In Bild III-40 ist die geometrische Addition der komplexen Schwingungsamplituden dargestellt.

3 Anwendungen der komplexen Rechnung lm(z)i

235

i

cm

4

A - A

3/

t A

j ^

Ay^^25,5'\

Bild III-40 4

A,

R&(z)

Wir berechnen nun den Betrag A = \A\ und die Phase cp der komplexen Schwingungsamplitude A\ \A\ = A = V(^'^ c^)^ + (1'5 • V3 cm)^ = 6,08 cm l,5-x/3cm tan (p =

5,5 cm

(III-119)

0,4724

(p = arctan 0,4724 = 25,28° = 0,44

(III-120)

A = A't^'P = 6,08 cm • eJ^''^'^

(III-121)

Die resultierende Schwingung lautet daher in komplexer Form: y = A' e-J^^ = 6,08 cm • e^^'^^ • eJ^^ = 6,08 cm • QHcot + OA^r)

(3)

(III-122)

Rucktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form y = lm (y) = Im [6,08 cm • Qiio^t + OA^)j = = Im [6,08 cm • (cos {cot + 0,44) + j • sin (cor + 0,44))] = = 6,08 cm • sin {cot + 0,44)

(III-123)

Mit CO = 2 s~ ^ erhalten wir schlieBlich fur die resultierende Schwingung: y = yi+y2

= 6,08 cm • sin (2 s ~ ^ • r + 0,44)

(III-124)

236

III Komplexe Zahlen und Funktionen

3.1.3.2 Uberlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen Auf einem Oszillographen werden die gleichfrequenten technischen Wechselspannungen u^{t) = 100V-sin(a;0 U2 (t) = 200 V • sin (ot + - TT J

(III-125)

u^{t) = 150 V-cos (cor) ungestort zur Uberlagerung gebracht (Frequenz / = 50Hz; co = 27r/ = 314s~^). Wie lautet die Gleichung der resultierenden Wechselspannung u{t)l

Losung: Zunachst stellen wir die Wechselspannung U2,{t) in der Sinusform dar: M3 (0 = 150 V • cos (cor) - 150 V • sin ( 0 oder ZQ < 0 ist. Liegt PQ in der x, };-Ebene, so ist ZQ = 0. Ordnet man auf diese Weise jedem Zahlenpaar {x; y)e D einen Raumpunkt P = {x; y; z = f{x; y)) zu, so erhalt man in der Regel eine iiber dem Definitionsbereich D liegende Flache, die in anschaulicher Weise den Verlauf der Funktion z = f{x; y) widerspiegelt (Bild IV-6).

^1

N. \

\ \

\

% ^ o = ^^0'>b''^o^

^0

yo

Bild IV-5 Kartesische Koordinaten eines Raumpunktes

276

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

Bild IV-6 Geometrische Darstellung einer Funktion z = f{x; y) als Flache im Raum

Beispiele (1)

Ebenen im Raum Das geometrische Bild einer linear en Funktion vom Typ ax -h by -\- cz -\- d = 0 ist eine Ebene. Wir behandeln zunachst einige Sonderfdlle: Koordinatenebenen

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung

277

Bild IV-8 X, z-Ebene y = 0

Bild IV-9 y, z-Ebene x = 0

Parallelebenen z = const. = a ist die Funktionsgleichung einer Ebene, die im Abstand d = \a\ parallel zur x, y-Ebene z = 0 verlauft (Bild IV-10). Fiir a > 0 liegt die Ebene oberhalb, fiir a < 0 unterhalb der x, jz-Ebene. Beispiele hierfiir sind: z = 4: Parallelebene im Abstand d = 4 oberhalb der x, y-Ebene z = — 2: Parallelebene im Abstand d = 2 unterhalb der x, j/-Ebene Analog beschreiben die Gleichungen y = const. = a und x = const. = a Ebenen, die im Abstand d = \a\ parallel zur x, z- bzw. y, z-Ebene verlaufen.

278

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen

Ebenen in allgemeiner Lage Die rdumliche Lage einer Ebene mit der allgemeinen Funktionsgleichung ax -\- by i- cz + d = 0 laBt sich aus ihren Schnittpunkten 5^ = (x; 0; 0), iS^ = (0; };; 0) und S^ = (0; 0; z) mit den drei Koordinatenachsen bestimmen (Bild IV-11). Denn eine Ebene ist bekanntlich durch drei Punkte eindeutig festgelegt. So erhalten wir beispielsweise fiir die Ebene 3x-\-6y-\-4z = 12 die folgenden drei Achsenschnittpunkte: S^:

3x + 6-0 + 4 - 0 = 1 2 ^ x = 4, d.h. S^ = (4; 0; 0)

Sy'. 3 • 0 + 6y + 4 • 0 = 12 ^ y = 2, d.h. Sy = (0; 2; 0) S^:

3-0 + 6-0 + 4z = 1 2 = > z = 3 , d.h. S^ = (0; 0; 3)

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung

279

Durch diese Schnittpunkte ist die Ebene eindeutig bestimmt. Sie besitzt die in Bild IV-12 skizzierte raumliche Lage.

(2)

Rotationsflachen Die Funktionsgleichung einer zur z-Achse rotationssymmetrischen Flache besitzt die allgemeine Form

Fine solche Rotationsfldche entsteht durch Drehung der Kurve z = f{x) um die z-Achse (Bild IV-13). Dabei bewegt sich der (beliebige) Kurvenpunkt (x; z) mit z = f{x) auf einer Kreisbahn um die z-Achse. Die x-Koordinate wird zum Radius r des beschriebenen Kreises, der im raumHchen X, y, z-Koordinatensystem nach Bild IV-13b) durch die Gleichungen x^ -\- y^ = r^,

z = f{r) = const.

z=f{r) beschrieben werden kann. Mit r = ^x^ -h y^ erhalten wir aus fiir a ^r ^b schHeBHch die Gleichung der gesuchten Rotationsflache:

Formal gesehen erhalt man die Gleichung dieser Flache aus der Kurvengleichung z = f{x) mit Hilfe der Substitution x -^ y x ^2 +I y. , 2 . Kurve z = / ( x )

> Rotationsflache z = fy^x^

-\- y^)

Im Zusammenhang mit den ZyUnderkoordinaten gehen wir hierauf noch naher ein (vgl. hierzu Abschnitt 3.2,2.2).

280

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

Bild IV-13 Durch Drehung der in Bild a) dargestellten Kurve z =/(x), a ^x ^b um die z-Achse entsteht die in Bild b) skizzierte Rotationsflache z = f(r), a ^r ^b mit r = vx"^ + y'^

Ein einfaches Beispiel fur eine Rotationsflache liefert die Mantelfldche eines Rotationsparaboloids (Bild IV-14), die durch Rotation der Normalparabel z = x^ um die z-Achse entsteht. Die Funktionsgleichung der Rotationsflache lautet daher z = r-^ = x-^ -\- y^.

Bild IV-14 Rotationsflache z = x^ + y"^ (Mantelflache eines Rotationsparaboloids)

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung

281

1.2.3.2 Schnittkurvendiagramme Einen sehr anschaulichen Einblick in die Struktur einer Funktion z = f{x; y) ermoglichen haufig auch Schnittkurven- oder Schnittliniendiagramme, die man durch ebene Schnitte der zugehorigen Bildflache erhalt. Meist werden dabei Schnittebenen parallel zu einer der drei Koordinatenebenen gewahlt. Das bekannteste Schnittliniendiagramm ist das sog. Hohenliniendiagramm, das wir aus diesem Grunde auch vorrangig behandeln wollen. Beim Hohenliniendiagramm werden alle auf der Flache z =f(x; y) gelegenen Punkte gleicher Hohe z = c zu einer Flachenkurve zusammengefaBt (Bild IV-15). Diese Kurve laBt sich auch als Schnitt der Flache z = f{x; y) mit der zur x, y-EbcnQ parallelen Ebene z = c auffassen. Die Projektion einer solchen „Linie gleicher Hohe" in die x, _y-Ebene wird als Hohenlinie bezeichnet. Fiir jeden zulassigen Wert der Hohenkoordinate z erhalten wir dann eine Flachenkurve gleicher Hohe und somit genau eine Hohenhnie. Die Hohenlinien einer Funktion (Flache) z = f{x; y) sind demnach durch die Gleichung f {x; y) = const = c

(IV-4)

definiert. Sie bilden in ihrer Gesamtheit das Hohenliniendiagramm der Funktion, wobei verabredungsgemaB der Wert der Hohenkoordinate z an die zugehorige Hohenlinie geschrieben wird.

Bild IV-15 Zum Begriff der Hohenlinie einer Funktion z = f{x; y)

282

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

Anmerkungen (1) Die durch Gleichung (IV-5) definierten Hohenlinien reprasentieren eine einparametrige Kurvenschar mit der Hohenkoordinate z = c als Parameter, Zu jedem (zulassigen) Parameterwert gehort dabei genau eine Hohenlinie. (2)

Die Hohenlinien sind die Projektionen der Linien gleicher Hohe in die x, };-Koordinatenebene.

Beispiel Die Hohenlinien der bereits bekannten Rotationsflache z = x ^ + }; ^ {Mantelfldche eines Rotationsparaboloids, vgl. Bild IV-14) geniigen der Gleichung x^ -\- y^ = const. = c Fiir jeden positiven Wert des Parameters c erhalten wir hieraus einen Mittelpunktskreis mit dem Radius r = Jc: c

1

2

3

4

r = yjc

1

\/2

V3

2

Der Hohenkoordinate c = 0 entspricht der NuUpunkt (0; 0). Fiir c < 0 liefert die Gleichung x"^ + j ; ^ = c keine Losungskurven. Das Hohenliniendiagramm der Funktion z = x-^ -\- y^ besteht somit aus einem System konzentrischer Mittelpunktskreise (Bild IV-16). Denn jeder Schnitt der Flache z = x^ + j ^ mit einer zur x, 3;-Ebene parallelen Ebene z = c mit c > 0 ergibt wegen der Rotationssymmetrie der Flache einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der positiven z-Achse liegt (Bild IV-17).

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung

283

Bild IV-16 Hohenliniendiagramm der Funktion (Flache)

Bild IV-17 Schnitt der Flache z = x'^ + y^ mit der Parallelebene z = c

Wir bewegen uns nun aw/der Rotationsflache in der durch den Pfeil gekennzeichneten Richtung nach auBen (vgl. hierzu Bild IV-16). Dabei kreuzen wir die Hohenlinien mit zunehmender Hohenkoordinate. Der Weg fiihrt daher nach ,,oben" und diese Aussage gilt fuvjeden Weg, der vom Nullpunkt aus auf der Flache nach aufien fiihrt. Man erkennt jetzt leicht, da6 die Rotationsflache z = x-^ + y^ die bereits aus Bild IV-14 bekannte Gestalt besitzt.

284

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen

Analog lassen sich Schnitte der Flache z = f{x; y) mit Ebenen, die zu einer der beiden iibrigen Koordinatenebenen parallel verlaufen, erzeugen. Die Schnittkurven werden anschlieBend wiederum in die entsprechende Koordinatenebene projiziert und ergeben das gesuchte Schnittkurvendiagramm, So fiihren beispielsweise die Schnitte der Flache z ^ f{x; y) mit den Parallelebenen x = const. = c, d.h. Ebenen, die parallel zur y, zEbene x = 0 verlaufen, zu der einparametrigen Kurvenschar z=f{x

= c;y)

(IV-6)

mit dem Kurvenparameter c. Alle Kurven liegen dabei in der y, z-Ebene (Projektionsebene) und bilden in ihrer Gesamtheit das zugehorige Schnittkurvendiagramm. Wir fassen zusammen:

Anmerkungen (1)

Die Schnittkurvendiagramme reprasentieren somit einparametrige Kurvenscharen. Ihre Gleichungen erhalt man aus der Funktionsgleichung z = f{x; y), indem man der Reihe nach eine der drei Variablen (Koordinaten) festhdlt, d.h. als Parameter betrachtet.

(2)

Das Hohenliniendiagramm ist ein spezielles Schnittkurvendiagramm mit der Hohenkoordinate z als Kurvenparameter (z = const. = c).

(3)

In den physikaHsch-technischen Anwendungen wird das Schnittliniendiagramm einer Funktion meist als Kennlinienfeld bezeichnet.

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung

285

Beispiele (1)

Das Hdhenliniendiagramm der Rotationsflache z = x^ + y^ hatten wir bereits bestimmt. Es besteht aus den in Bild IV-16 dargestellten konzentrischen Mittelpunktskreisen. Wir bestimmen nun die Schnittkurven der Flache mit Ebenen, die zur y, zEbene parallel verlaufen {x = c). Sie geniigen der Gleichung z = c'^ -\- y-^

oder

z = y-^ -{- c^

und reprasentieren somit ein System von Normalparabeln, deren Scheitelpunkte S = {0;c^) wegen c ^ ^ O auf der positiven z-Achse liegen (Bild IV-18).

Bild IV-18 Schnittkurvendiagramm der Flache z = x^ -j- y'^ (Schnitte parallel zur y, z-Ebene)

Bild IV-19 Schnittkurvendiagramm der Flache z = x ^ + y ^ (Schnitte parallel zur x, z-Ebene)

Auch die Schnitte mit den Parallelebenen zur x, z-Koordinatenebene fiihren wegen der Rotationssymmetrie der Flache zu einem Schnittkurvendiagramm vom gleichen Typ mit dem Kurvenparameter y = c (Bild IV-19): z = x^ + c^

286

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen (2)

Bin typisches Anwendungsbeispiel fur ein Kennlinienfeld liefert die Zustandsgleichung eines idealen Gases (pV = RT fixr 1 Mol). Wir wahlen die absolute Temperatur T als Parameter und erhalten das in Bild IV-20 dargestellte Kennlinienfeld. Es besteht aus den rechtwinkligen Hyperbeln piV) =

RT

const.

(F>0)

Sie beschreiben die Abhangigkeit des Gasdruckes p vom Gasvolumen V fiir den Fall, da6 die Zustandsanderung isotherm, d.h. bei konstanter Temperatur erfolgt. Man bezeichnet diese Kurven gleicher Temperatur daher auch als Isothermen (aus physikalischen Grunden bleiben sie auf den 1. Quadrant beschrankt).

P»

Bild IV-20 Isothermen eines idealen Gases {T^ < T2 < T^ < T4. < T^)

287

2 Partielle Differentiation

2 Partielle Differentiation 2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung Wir erinnern zunachst an den Begriff der Ableitung bei einer Funktion von einer Variablen: DefinitionsgemaB wird der Grenzwert / ' ( x o ) = lim

fjXQ +

AX)-/(XQ)

(IV-10)

Ax

als 1. Ableitung der Funktion/(x) an der Stelle XQ bezeichnet. Aus geometrischer Sicht laBt sich diese Ableitung als Steigung m der im Punkt P = {XQ; yo) errichteten Kurventangente deuten (Bild IV-21)^^: m = tan oc = f

(IV-11)

(XQ)

Yi i

Tangenfe in P=(XQ;y P / yo-

y=f(x)

y

Bild IV-21 Zum Begriff der Ableitung bei einer Funktion von einer unabhangigen Variablen

yo

)^o)- ^nstieg der Flachentangente im Flachenpunkt P = (XQ; yQ; ZQ) in der x-Richtung fyixQi yo): Anstieg der Flachentangente im Flachenpunkt P = (XQ; JQ; ^O) in der y-Richtung Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von z = f{x; y) bestimmen damit den Anstieg der Bildflache in P in Richtung der x- bzw. y-Achse (siehe hierzu Bild IV-22).

Als ein oft niitzhches Hilfsmittel bei der Bildung partieller Ableitungen erweisen sich 8 6 die beiden partiellen Differentialoperatoren — und —. Sie erzeugen aus einer Funktion dx dy z = / ( x ; y) durch ihr „Einwirken" die partiellen Ableitungen 1. Ordnung: d [/(^; y)] =fA^\ y). ox

d ^ Ui^'.y)] =fyix;y) dy

(iv-20)

292 •

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Beispiel z=f(x;y)=

-4x^y^

+ Sxy"^ -3x

+ 2y + 5

Wir bestimmen die partiellen Ableitungen 1. Ordnung dieser Funktion und berechnen ihre Werte an der Stelle x = 1, y = 2: fA^;y)

= ^[-4x^y^ ox

+ 3xy^-3x

+ 2y + 5]=-12x^y^

+

3y^-3

/ (x;3;) = — - [ - 4 x ^ } ; ^ + 3 x } ; ' ^ - 3 x + 2v + 5] = - 8 x ^ V + 12xy^ + 2 oy / , ( l ; 2 ) = - 3 , /,(1;2)^82 Die im Flachenpunkt P = (1; 2; 38) errichteten Tangenten besitzen somit den folgenden Anstieg bzw. Steigungswinkel: Tangente in x-Richtung: m^ = tan a = - 3 ^ a = 180° + arctan ( - 3) = 108,4° Tangente in y-Richtung: m^ = tan jg = 82 => p = arctan 82 = 89,3°

Der Begriff einer partiellen Ableitung 1. Ordnung laBt sich ohne Schwierigkeiten auch auf Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen iibertragen. AUerdings ist hier eine geometrische Deutung der partiellen Ableitungen nicht mehr moglich. Bei einer Funktion u = f{x; y; z) von drei unabhangigen Variablen konnen wir partiell nach X, y oder z differenzieren, wobei wahrend des Differenzierens jeweils die beiden iibrigen Variablen als Parameter festgehalten werden. Es gibt somit drei partielle Ableitungen 1. Ordnung, die wir wie folgt kennzeichnen: Partielle Ableitung nach x:

u^,

/v,

du ;— ox

oder

9/ —ox

Partielle Ableitung nach y:

Uy,

fy,

ew — dy

oder

8/ dy

Partielle Ableitung nach z:

u^,

L,

—oz

oder

^— oz

du

a/

Von einer Funktion y ==/(xi; X2; ...;x„) mit n unabhangigen Variablen konnen entsprechend n partielle Ableitungen 1. Ordnung gebildet werden. Wir kennzeichnen sie durch die Symbole y

f ^

^

dy -^ Sxfc

Oder

df -^ oxfc

(/c = 1,2,..., n)

(IV-21)

2 Partielle Differentiation

293

Wir fassen zusammen:

Anmerkungen (1) Die partielle Differentiation wird somit auf die gewohnliche Differentiation, d.h. auf die Differentiation einer Funktion von einer Variablen zuriickgefiihrt. Die Ableitungsregeln sind daher die gleichen wie bei den Funktionen von einer Variablen. So lautet beispielsweise die Produktregel bei zwei unabhangigen Variablen, d.h. fiir eine Funktion vom Typ z = ^fix; y) = ui{x; y) • V(x; y)

u•V

(IV-22)

ie folgt: dz dx

dx

dz ~dy

du dx

dv •u ox

du

dv u dy

z^ = u^v -{- v^u Oder

(IV-23) Zy = UyV -\- VyU

(2)

Das partielle Differenzieren erfordert viel Ubung und besondere Konzentration. Voraussetzung ist ferner, daB die gewohnlichen Ableitungsregeln (insbesondere die Kettenregell) sicker beherrscht werden. Erleichtern Sie sich (zumindest am Anfang) die Arbeit z. B. dadurch, daB Sie die Differentiationsvariable farbig unterstreichen.

(3)

Bei einer Funktion von einer Variablen besteht kein Unterschied zwischen der gewohnlichen und der partiellen Ableitung. Wir verwenden hier nach wie vor die dy „alten" Symbole, also y' oder f'{x) oder -— fur die Ableitung von y=f{x) nach der Variablen x.

Wir zeigen jetzt an einigen einfachen Beispielen, wie man die aus Band 1 bekannten Ableitungsregeln fur „gewohnliche" Funktionen beim partiellen Differenzieren anwendet.

294 •

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)

RT Wir differenzieren die Zustandsgleichung des idealen Gases p = p{V;T) = partiell nach V bzw. T:

dp _ d (RT\_

(2)

RT

dp _ d

fRT\_R

z=f{x;

y) = x^y^ + e^ • cos y+lOxly^ + 3 9z 9z Die partiellen Ableitungen -— und — werden nach der Summenregel gebilox oy det {gliedweise Differentiation nach x bzw. y): dz

.

— = 2xy^ + e^ • COS); + 10 ox 9z ^ ^ — = 4x'^y^ — Q^ ' siny ~ 4y dy (3)

z = f{x; y) = xy-^ • (sin x + sin y) u

V

dz dz Wir bilden die partiellen Ableitungen —- und — mit Hilfe der Produktregel und erhalten: — = u^v -\- v^u = y^ • (sm x + sm y) + xv^ • cos x 8x .

dz

^

— = u^v -\- v^u = 2xy ' (sinx + siny) + xy^ • cos y dy ^ ^ (4)

z=f{x;y)

= ln{x + y^)

Wir fiihren zunachst die „Hilfsvariable" u = x-\-y'^ ein, erhalten die „au6ere" Funktion z = \nu und wenden dann die Kettenregel an: dz )x

dz du _1 du dx u

3z 9y

9z du 9w 8y

1 w

_

1 X + y^ 2y X + y-^

(5) z =:/(x; y) = ln(x + y^) - e^^^^ + 3x Unter Verwendung von Summen- und Kettenregel bestimmen wir die partiellen Ableitungen z^ und Zy und ihre Werte an den Stellen (x; y) = (0; 1) und { x ; y ) - ( l : - 3 ) :

2 Partielle Differentiation

295

^x(^; y) = ^

[In {X + y^) - e^-3^ + 3x] = ^

-

- 2y • t^^y + 3

z rx; y) = ; ^ [In {x + j;^) - e^^^ + 3x] = - ^ ^ - 2x • e^^^^ ^

(6)

^y

x^-y^

z^(0;l) = 2,

z,(0;l) = 2

z^(l; - 3 ) = 3,115,

z^(l; - 3 ) = -0,605

Die Funktion u = u[x\ y\ z) = 2x - Q^^ ^- V-^^ +3/^ + 2^ ist partiell nach der Variablen j ; zu differenzieren. Die unabhangigen Variablen x und z werden bei der Bildung der partiellen Ableitung nach y als Konstanten behandelt. Wir erhalten unter Verwendung von Summen- und Kettenregel: u=:—[2x'Qy^^ ^^

(7)

V x ^ + y^ + z^] = 2xz-e>^^ + V x 2 + 3 ; 2 + z2

Wir bilden die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion u = f{x; y; z) = sin {x — y) • cos {z -^ 2y) und berechnen ihre Werte an der Stelle x = 7i, y = 0, z = 7r:

e . w^ (x; y; z) = — [sm {x — y) - cos (z + 2 y)] = cos {x — y) - cos (z + 2 3;) (unter Verwendung der Kettenregel) 6 w^(x; _y; z) = ^ [sin (x — j;) • cos (z + 2 y)] = = — cos {x — y)' cos (z + 2 y) — 2 • sin (z + 2 };) • sin (x — y) (unter Verwendung der Produkt- und der Kettenregel) 6 w^(x; y; z) = ^ [sm (x — };) • cos (z + 23;)] == - sin {x — y)- sin (z -h2y) oz (unter Verwendung der Kettenregel) u^{7i; 0; 7i) = cos n • cos n = 1 Uy (TT; 0;

TT)

= — cos n • cos TT — 2 • sin TT • sin TT = — 1

u^ (71; 0; 7i) = — sin TT • sin 71 = 0

296

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

2.2 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung Auf partielle Ableitungen hoherer Ordnung stoBt man, wenn man eine Funktion von mehreren unabhangigen Variablen mehrmals nacheinander partiell differenziert. So erhalt man beispielsweise aus einer von zwei Variablen abhangigen Funktion z = f{x\ y) nach dem folgenden Schema der Reihe nach zwei partielle Ableitungen 1. Ordnung, vier partielle Ableitungen 2. Ordnung und schlieBHch acht partielle Ableitungen 3. Ordnung:

1. Ordnung fxx JXXX

fxy Jxxy

Jxyx

fyx Jxyy

Jyxx

fyy Jyxy

-Jyyx

2. Ordnung Jyyy

•^' v^ranung

Zur Symbolik (1)

Die einzelnen Differentiationsschritte sind grundsdtzlich in der Reihenfolge, in der die als Indizes angehangten Differentiationsvariablen im Ableitungssymbol auftreten, auszufiihren (von links nach rechts gelesen). Beispiel: Die partielle Ableitung f^y wird gebildet, indem man die Funktion z = f{x; y) zundchst nach der Variablen x und anschliefiend nach der Variablen y differenziert. Unter bestimmten Voraussetzungen jedoch ist bei einer „gemischten" partiellen Ableitung die Reihenfolge der Differentiationen vertauschbar (vgl. hierzu den nachfolgenden Satz von Schwarz). Eine „gemischte" partielle Ableitung hegt dabei vor, wenn nicht nur nach ein- und derselben Variablen differenziert wurde. Beispiel: f^y und fyy. sind gemischte partielle Ableitungen 2. Ordnung, f^^y und fyxy gemischte partielle Ableitungen 3. Ordnung.

(2)

Die Ordnung einer partiellen Ableitung entspricht der Anzahl der Indizes, d.h. der Anzahl der angehangten Differentiationsvariablen. Beispiel: f^y ist eine partielle Ableitung 2. Ordnung, f^y^ eine partielle Ableitung 3. Ordnung.

(3)

Partielle Ableitungen hoherer Ordnung lassen sich auch in Form partieller Differentialquotienten darstellen. So lautet beispielsweise die Schreibweise fiir partielle Differentialquotienten 2. Ordnung wie folgt:

_ 8 fdf\_d^f^ JXX \ ^TT I ~ '^ '''' ~ ^TT dx\dxj 8 x 92''

^^

_ 8 / 9 / \ _ 8V dy\dx) 8x8^'

Jyx ^y^ ~

^^

8 fdf\^

eV

dx\dyj

dydx

_ Q ^y\^yj

(^f\_^^f ^y

Ein Beispiel fur einen partiellen Differentialquotienten 3. Ordnung: f^y^ =

dxdydx

2 Partielle Differentiation

297

Unter bestimmten Voraussetzungen, auf die wir im Rahmen dieser Darstellung nur fliichtig eingehen konnen, ist bei den ,,gemischten" partiellen Ableitungen die Reihenfolge der Differentiationen vertauschbar. Sind namlich die partiellen Ableitungen fc-ter Ordnung stetige Funktionen, so gilt der folgende Satz von Schwarz:

Anmerkungen (1)

Der Satz von Schwarz setzt also die Stetigkeit der partiellen Ableitungen /c-ter Ordnung voraus. Anschaulich (aber etwas unprazise) laBt sich die Stetigkeit einer Funktion z = f{x; y) an der Stelle (XQ; yo) wie folgt erklaren: Der Funktionswert f{x;y) unterscheidet sich heliehig wenig von / ( X Q ; y^), wenn (x; y) nur geniigend nahe an der Stelle (XQ; yo) liegt. Wir verweisen den naher interessierten Leser auf die einschlagige mathematische Literatur (s. Literaturverzeichnis).

(2)

Fiir die in den Anwendungen benotigten Funktionen ist der Satz von Schwarz in der Regel gultig.

(3)

Der Satz von Schwarz bedeutet in der Praxis einen nicht unbedeutenden Zeit- und Arbeitsgewinn, da er die Anzahl der verschiedenen partiellen Ableitungen erheblich reduziert.

(4)

Fiir die gemischten partiellen Ableitungen 2. bzw. 3. Ordnung einer Funktion z = f{x; y) gilt somit unter den Voraussetzungen des Satzes von Schwarz: Jxy ~~ Jyx (IV-24) Jxxy ~ Jyxx ~ Jxyx •> Jyyx ~ Jxyy ~ Jyxy

Die Anzahl der (verschiedenen) partiellen Ableitungen 2. bzw. 3. Ordnung reduziert sich damit von vier auf drei bzw. von acht auf vier Ableitungen: 2. Ordnung: J. Uranung.

f^x^fxyJyy Jxxx-> Jxxy' Jxyy'

Jyyy

298

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)

Wir zeigen, daB die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung der Funktion z = In (x^ -\- y) miteinander iibereinstimmen:

a z^ = — [\n{x^+y)] = -, ^^^ " 8y Sx x^-\-y 8 Zy=^[\n{x^

^

1 + y)] = — x"- -^y

2x

~|

2x (x2 + >,)2

_^^ +3^ J

8 1 ^^" " 8x _^^ +y_

2x

2x ^xy

(2)

,,,2

2yx

_L

„^2

(x^ + y)^

X—y

Man bestimme fiir die Funktion z = bis zur 3. Ordnung. ^

sdmtliche partiellen Ableitungen

^

Losung: 2y ^:x - (X

^xx

7.

2x

+ yf'

(x+yy

Ay 3' (x + y)3

2x — 2y ^xy ~~ ^yx ~~

(x^y)'^

v3'

ny {x + y)

yy

''

= •

(x + );)3

- 4 x + ^y 4'

^xxy

^yxx

^xyx

~ '

12x

•^x -\- 4y

(^ + y) (3)

4x z

4

'

yyy

(x + yY

Bild IV-25 zeigt die Momentanaufnahme einer mechanischen Transversalwelle, die sich im Laufe der Zeit t in der x-Richtung ausbreitet und durch die Gleichung y = ^ • sin

'2n

{ct — x)

beschreiben laBt. Dabei bedeuten: y: Auslenkung oder Elongation eines schwingenden Teilchens am Ort x in Abhangigkeit von der Zeit t (alle Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung x) A: Amplitude {maximale Auslenkung) c: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle A: Wellenldnge (Entfernung zweier benachbarter Teilchen, die sich in jedem Zeitpunkt im gleichen Schwingungszustand befmden, d,h. „synchron" schwingen)

2 Partielle Differentiation

299

Bild IV-25 Momentanaufnahme einer mechanischen Transversalwelle Die Ausbreitung der eindimensionalen Welle wird in Bild IV-26 in verschiedenen Phasen verdeutlicht.

Bild IV-26 Ausbreitung einer (eindimensionalen) Transversalwelle (ti

3

^"^\^

' ^ ) - 6 x 2 -2)^2

^);(-^; y) = 2(:>c^ + y^)' 2y — 2x • 2y — 2y = = 4y{x^

^y^)-4xy-2y

Die Steigung der Kurventangente in einem beliebigen Kurvenpunkt betragt damit nach Gleichung (IV-65): ,^

F^ix;y)^ Fy{x; y)

4xix^^-y^)-6x^-2y\_ 4y{x^ + y^) - 4xy - 2y

2x(x^ +y^)-3x^

-y^

2y{x^ -\-y^)-2xy-

y

Speziell im Punkt P = (0; 1) gilt dann: y{P) = y'{x = 0;y=l)

=l

322

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen

2.5.2 Linearisierung einer Funktion Wie bereits aus Band 1, Abschnitt IV.3.2 bekannt ist, laBt sich eine nichtlineare Funktion y = f[x) in der Umgebung eines Kurvenpunktes P = {XQ; yo) durch eine lineare Funktion, namlich die dortige Kurventangente, annahern (Bild IV-35). Diesen Vorgang haben wir als Linearisierung einer Funktion bezeichnet.

Bild IV-35 Zum Begriff der Linearisierung einer Funktion von einer unabhangigen Variablen

Auch eine Funktion z=f{x;y) von zwei unabhangigen Variablen kann unter bestimmten Voraussetzungen in der unmittelbaren Umgebung eines Flachenpunktes p = (XQ; yQi ZQ) linearisiert, d.h. durch eine lineare Funktion vom Typ z = ax -\r by -\- c ndherungsweise ersetzt werden. Der Punkt P wird im naturwissenschaftlich-technischen Anwendungsbereich meist als „Arbeitspunkt'' bezeichnet. Linearisierung einer Funktion z = f{x; y) bedeutet also, daB man die gekriimmte Bildfldche von z =f{x; y) in der unmittelbaren Umgebung des Arbeitspunktes P durch die dortige Tangentialebene ersetzt (vgl. hierzu auch Bild IV-28). Die nichtlineare Funktion z =f{x; y) wird somit durch die lineare Funktion {Tangentialebene) Z-ZQ=

f^{xo; yo)' (^ - ^o) + fyi^o'^ yo)' (y - yo)

(IV-66)

bzw. das totale oder vollstdndige Differential dz = f^ [xo; yo) dx + fy {xo; ^o) dy

(IV-67)

angendhert. In den Anwendungen ersetzt man meist die „Differentiale" dx, dy und dz durch die „Differenzen" Ax, Ay bzw. Az. Sk kQnnzQichnQn die Abweichungen vom Arbeitspunkt P = (XQ; yol ^o)Ax = x - X o ,

Ay = y - yo,

Az = z - ZQ

(IV-68)

Die linearisierte Funktion besitzt jetzt die Form Az = / , ( x o ; yo) Ax + / , ( x o ; yo) Ay

(IV-69)

DieseNaherungistumso/?^ss^r,je/c/dn^rdieAbweichungen Ax und Ay vomArbeitspunkt P sind.

2 Partielle Differentiation

323

Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

Anmerkungen (1)

In den Anwendungen verwendet man fiir die linearisierte Funktion (IV-71) meist die Schreibweise

Der Index „0" kennzeichnet dabei den Arbeitspunkt P. (2)

Haufig interessieren in den technischen Anwendungen (insbesondere in der Automation und der Regelungstechnik) nur die Abweichungen der GroBen vom Arbeitspunkt P. Man fiihrt dann zunachst durch Parallelverschiebung ein neues u, v, wKoordinatensystem mit dem Arbeitspunkt P = (XQ; yQ; ZQ) als Koordinatenursprung ein. Zwischen dem „alten" x, y, z-System und dem „neuen" u,v, w-System bestehen dann folgende Transformationsgleichungen: u = X — XQ = Ax,

V = y — yQ = Ay,

w = z — ZQ = Az

(IV-73)

Die linearisierte Funktion (IV-71) besitzt dann im neuen w, r, w-Koordinatensystem die besonders einfache Gestalt w = au -\- bv

(IV-74)

mit ^) dxjQ

und

b = (^] K^y/Q

(IV-75)

324

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Die Koordinaten w, v und w sind die Abweichungen gegenuber dem Arbeitspunkt P (Koordinatenursprung des u,v, w-Systems), also Relativkoordinaten, wahrend a und b die Werte der beiden partiellen Ableitungen 1. Ordnung im Arbeitspunkt P bedeuten.

(3)

Auch eine Funktion von n unabhangigen Variablen laBt sich linearisieren. In der unmittelbaren Umgebung des „Arbeitspunktes" P kann die Funktion y = / ( x ^ ; X2;...; x„) ndherungsweise durch das totale Differential ersetzt werden: Ay = ( ^ ]

Axi+fl^)

Ax2 + ... + f | ^ )

Ax„

(IV-76)

Die partiellen Ableitungen beziehen sich dabei wiederum auf den Arbeitspunkt P, gekennzeichnet durch den Index „0".

Beispiele (1)

Wir linearisieren die Funktion

z=f{x;y) = 5x^-vy in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P = (2; 1; 20). Nach Gleichung (IV-71) ist Az=^(2;l)Ax+/3,(2;l)Ay Wir berechnen die partiellen Ableitungen 1. Ordnung: fjx;y)

= 10x-^y

fyix;y) = ^ 2Vy

=> /,(2;1) = 20 => /,(2;1) = 10

Die lineare Ndherungsfunktion lautet somit: Az = 20Ax + 10 Ay Oder, unter Beriicksichtigung der Beziehungen Ax = x — 2, Ay = y — 1 und Az = z — 20: Z-20X +

lOy-30

Rechenbeispiel Wir wahlen Ax = 0,06 und Ay = — 0,05 und erhalten fur Az den Ndherungswert Az = 20 • 0,06 + 10 • (-0,05) = 0,7

2 Partielle Differentiation

325

Daher ist /(2,06; 0,95) ^ 20,7. Der exakte Funktionswert betragt dagegen /(2,06; 0,95) = 20,68. (2)

Der Gesamtwiderstand R einer Parallelschaltung aus zwei ohmschen Widerstanden Ri und ^2 wird nach der Formel R = R(R^;R2) = — — ^ berechnet (Bild IV-36). Wir linearisieren diese Funktion in der Umgebung voni^i = lOOQ, i^2 = 4 0 0 Q .

Bild IV-36 Parallelschaltung zweier Widerstande

Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung betragt R=

100 Q-400 Q = 80 Q 100Q + 400Q

Die linearisierte Funktion lautet nach Gleichung (IV-71):

[ ^R\

f^R\

Wir benotigen noch die partiellen Ableitungen an der Stelle R^ = 100 Q, ^2 = 400Q: dR _ RI ei^i {R^ + R^)^ dR

6^2

_

Rj

{Ri+R2f

( ^ R \ \dR^ / o

(400 Q ) 2 = 0,64 (500 af

f ^ ^ \

_(100Q)^

K^RiJo

(500 Q)

= 0,04

Bei einer Anderung der beiden Einzelwiderstande um Ai^^ bzw. Ai^2 ^^" dert sich der Gesamtwiderstand ndherungsweise um AR = 0,64 • AR^ + 0,04 • AR2 {linearisierte Funktion).

326

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Rechenbeispiel Wir vergrofiern R^ um 10 Q und verkleinern gleichzeitig R2 um 20 D: AKi = 10Q, AR2= —20CI. Dann andert sich der Gesamtwiderstand ndherungsweise um AR = 0,64 10 0 + 0,04 • ( - 20 Q) = 5,6 Q Er betragt jetzt K = 80 Q + 5,6 Q = 85,6 Q.. Der exakte Wert dagegen ist R=

110 Q-380 0 = 85,3 Q 110Q + 380Q

2.5.3 Relative oder lokale Extremv^erte Wir beschaftigen uns jetzt mit den relativen Maxima und Minima einer Funktion z = f{x; y), d.h. mit jenen Punkten auf der Bildflache von z = f{x; y), die im Vergleich zur unmittelbaren Nachbarschaft eine hochste oder tiefste Lage einnehmen.

Anmerkungen (1) Die relativen Maxima und Minima einer Funktion werden unter dem Sammelbegriff ^Relative Extremwerte" zusammengefaBt. Die den Extremwerten entsprechenden Flachenpunkte heiBen Hoch- bzw. Tiefpunkte. (2)

Ein relativer Extremwert wird auch als lokaler Extremwert bezeichnet, da die extreme Lage meist nur in der unmittelbaren Umgebung zutrifft.

(3)

Ist die Ungleichung (IV-77) an jeder Stelle (x; y) des Definitionsbereiches von z = f{x; y) erfullt, so liegt ein absolutes Maximum bzw. absolutes Minimum vor.

So besitzt beispielsweise die in Bild IV-37 skizzierte Funktion an der Stelle (XQ; yo) ein relatives Minimum: Der auf der zugehorigen Bildflache gelegene Punkt P = {XQ; yQ; ZQ) nimmt gegeniiber alien unmittelbar benachbarten Flachenpunkten eine tiefste Lage ein und ist somit ein Tiefpunkt der Flache.

2 Partielle Differentiation

327

Bild IV-37 Zum Begriff des relativen Extremwertes einer Funktion z = f{x; y) (die gezeichnete Flache besitzt im Punkt P = {XQ', yol ^o) einen Tiefpunkt) •

Beispiele (1)

Durch Rotation der Normalparabel z = x^ um die z-Achse entsteht die in Bild IV-38 skizzierte Rotationsfldche mit der Funktionsgleichung z = x^ + y^ (Rotationsparaboloid).

Bild IV-38 Die Rotationsflache z = x^ + y^ (Mantel eines Rotationsparaboloids) besitzt im Punkt P = (0; 0; 0) einen Tiefpunkt (absolutes Minimum)

328

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Aus dem Scheitelpunkt {Minimum) der Parabel wird dabei der Flachenpunkt P = (0; 0; 0), der von sdmtlichen Flachenpunkten die tiefste Lage einnimmt. Die Funktion z = x-^ + y-^ besitzt somit an der Stelle (0; 0) ein (sogar absolutes) Minimum. (2)

Die Rotationsfldche Z = Q~^^ "^^ ^ ist aus der Gaufischen Glockenkurve z = Q~^ durch Drehung dieser Kurve um die z-Achse entstanden (Bild IV-39). Die zugehorige Bildflache besitzt im Punkt P = (0; 0; 1) einen Hochpunkt (Maximum).

Bild IV-39 Die Rotationsflache z = e ^""'^^"^ besitzt im Punkt P = (0; 0; 1) einen Hochpunkt (absolutes Maximum)

Die bisherigen Beispiele lassen vermuten, daB die in einem Hoch- bzw. Tiefpunkt an die Flache z =f{x; y) angelegte Tangentialebene stets parallel zur x, y-Koordinatenebene verlauft (vgl. hierzu die Bilder IV-37 bis IV-39). Besitzt namlich die Funktion z = f{x; y) beispielsweise an der Stelle (XQ; yo) ein relatives Minimum, so trifft diese Eigenschaft auch auf jede durch den Tiefpunkt P = {XQ ; yQ'•>^o) gehende Flachenkurve zu. Somit besitzen alle in P angelegten Flachentangenten den Steigungswert Null. Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von z=f{x;y) miissen daher an der Stelle {XQ; yo) verschwinden, d.h. die Tangentialebene in P verlauft parallel zur x, }^-Ebene. Die beiden Bedingungen fxi^o; yo) = 0 und /^(XQ; yo) = 0 sind somit notwendige Voraussetzungen fiir die Existenz eines relativen Maximums bzw. Minimums an der Stelle (XQ; yo).

2 Partielle Differentiation

329

Dieses Kriterium ist zwar notwendig, aber keinesfalls hinreichend. Mit anderen Worten: In einem Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) verlauft die Tangentialebene stets parallel zur X, y-EhonQ, jedoch ist nicht jeder Flachenpunkt mit einer zur x, };-Ebene parallelen Tangentialebene ein Hoch- oder Tiefpunkt! Das nachfolgende Beispiel wird dies unterstreichen. Beispiel Wir betrachten das in Bild IV-40 skizzierte hyperbolische Paraboloid mit der Funktionsgleichung z = x^ — y^. An der Stelle (0; 0) sind die notwendigen Bedingungen (IV-78) fur ein relatives Extremum erfiillt:

Die Tangentialebene im zugehorigen Flachenpunkt P = (0; 0; 0) fallt daher mit der X, }^-Ebene zusammen. Und trotzdem besitzt die Funktion z = x'^ — y-^ an dieser Stelle keinen Extremwert!

330

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Begrundung: Der Schnitt der Flache mit der x, z-Ebene (y = 0) ergibt die nach oben geoffnete Normalparabel z = x ^, die in P ihr (absolutes) Minimum besitzt (Bild IV-41). Schneidet man die Flache jedoch mit der y, z-Ebene (x = 0), so erhalt man die nach unten geoffnete Normalparabel z = — y^, die in P ihr (absolutes) Maximum annimmt (Bild IV-42). Der Flachenpunkt P = (0; 0; 0) kann daher kein Extremum sein. Es handelt sich vielmehr um einen sog. Sattelpunkt. Die Rotationsflache z = x^ — j;-^ besitzt die Form eines Sattels und wird daher auch als Sattelfldche bezeichnet. ^»

M

z-V

Bild IV-41 Schnitt des hyperbolischen Paraboloids mit der x, z-Ebene y = 0

Bild IV-42 Schnitt des hyperbolischen Paraboloids mit der y, z-Ebene x = 0

Mit Sicherheit jedoch besitzt eine Funktion z =f{x; y) an der Stelle (XQ; yo) einen relativen Extremwert, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind (ohne Beweis):

2 Partielle Differentiation

331

Anmerkungen (1)

Wie bei den Funktionen von einer Variablen entscheiden auch hier die (partiellen) Ableitungen 1. und 2. Ordnung iiber Existenz und Art von Extremwerten.

(2)

Die Diskriminante A kann auch als zwdref/z/ge Def^rmmanfe geschrieben werden: A=

fxxi^o'^ yo) Jxyi^o'^ yo)

(IV-81)

fxy i^O'^ yo) Jyy(^0'-> -Vo) (3)

Die Bedingungen (IV-79) und (IV-80) sind hinreichend. In den Fallen A < 0 und A = 0 gilt: A < 0: Es liegt kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt vor. A = 0: Das Kriterium ermoglicht in diesem Fall keine Entscheidung dariiber, ob an der Stelle (XQ; J/Q) ein relativer Extremwert vorliegt Oder nicht.

(4)

Der Begriff des relativen Extremwertes laBt sich ohne Schwierigkeiten auch auf Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen iibertragen. Notwendig fiir die Existenz eines relativen Extremums ist auch hier, daB an der betreffenden Stelle sdmtliche partiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden. Auf die hinreichenden Bedingungen konnen wir im Rahmen dieser Darstellung nicht eingehen.

Beispiele (1)

Wir zeigen, daB die in Bild IV-39 skizzierte Rotationsfldche mit der Funktionsgleichung z = f{x; y) = Q~^^ ^^ ^ an der Stelle (0; 0) ein (sogar absolutes) Maximum annimmt. Dazu benotigen wir die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung: /,(x;y)=-2x-e- xi = 0 = x{l - x 3 ) = 0 C ^ ^ ^ ^ 1 - x ^ = 0 => X2 = 1

Die zugehorigen j-Werte sind yi =0 und y2 = ^- Damit gibt es zwei Stellen, an denen die notwendigen Bedingungen fiir die Existenz eines relativen Extremwertes erfullt sind: (xi;yi) = (0;0)

und

(x2; >^2) = (1; !)•

Wir priifen jetzt anhand der Diskriminante A aus (IV-80), ob auch das hinreichende Kriterium zutrifft: Stelle (jci; j i ) = (0; 0), d.h. P^ = (0; 0; 0) z^^(0;0) = z^^(0;0) = 0, z^,(0;0) = 3 A = 0-0 — 3 ^ = — 9 < 0 => Kein Extremwert, sondern Sattelpunktl Stelle (X2; yj) = (1; 1), d.h. P2 = (1; h 1) ^x;c(l; 1) = ^yyi^'^ 1) = " 6, Z^^(l; 1) = 3 A = (-6)-(-6)-32 = 27>0 ] [ => Relatives Maximum z^^(l;l) = - 6 < 0 )

2 Partielle Differentiation

333

Die Funktion z = ?>xy — x^ — y^ besitzt daher an der Stelle (x; y) = (1; 1) ein relatives Maximum. Der Flachenpunkt P2 = {^'A'A) ist somit ein Hochpunkt.

2.5.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Bisher haben wir uns ausschliefilich mit dem Extremwerten einer Funktion z = f{x; y) beschaftigt, deren unabhangige Variable x und y keinerlei Einschrankungen unterworfen waren (sog. Extremwerte ohne Nebenbedingungen). In vielen Anwendungsbeispielen ist dies jedoch nicht der Fall, d.h. die Variablen x und y sind nicht mehr unabhangig voneinander, sondern durch eine Neben- oder Kopplungsbedingung miteinander verbunden. Diese wird meist in der Form einer impliziten Gleichung (p{x; y) = 0 angegeben. Aufgabenstellungen dieser Art haben wir bereits in Band 1 kennengelernt (Abschnitt IV.3.4). Dabei sind wir stets so vorgegangen, daB wir zunachst die Nebenbedingung beispielsweise nach y aufgelost haben, um dann den gefundenen Ausdruck y = y{x) in die Funktion z = f(x; y) einzusetzen ^l Die auf diese Weise erhaltene Funktion z=f{x;y{x)) = F{x)

(IV-82)

hangt nur noch von der einen Variablen x ab. Damit haben wir die gestellte Extremwertaufgabe auf die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von einer unabhangigen Variablen zuruckgefiihrt. Das bisher angewandte Verfahren wollen wir jetzt noch an einem Anwendungsbeispiel aus der Festigkeitslehre verdeutlichen. Beispiel Aus einem (langen) Baumstamm mit einem kreisrunden Querschnitt soil durch Langsschnitte ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daB sein Widerstandsmoment W — bh^l6 einen moglichst groften Wert annimmt {b\ Balkenbreite; h\ Balkendicke; Bild IV-43)

3) Vorausgesetzt, diese Auflosung ist moglich und eindeutig. Ebenso verfahrt man, wenn die Nebenbedingung (p{x; y) = 0 eindeutig nach x auflosbar ist.

334

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Das Widerstandsmoment W hangt dabei sowohl von der Balkenbreite b als auch von der Balkendicke h ab, ist also eine Funktion der Variablen b und h. Diese jedoch sind nicht unabhdngig voneinander, sondern iiber den Satz des Pythagoras mit dem (gegebenen) Radius R des Baumstammes miteinander verkniipft. Die Nebenbedingung lautet hier also b^-^h^ = 4R^

Oder

(p{b;h) = b^ -]-P - 4R^ = 0

In Band 1 haben wir diese Extremwertaufgabe schrittweise wie folgt gelost (Abschnitt IV3.4): 1. Schritt: Die Nebenbedingung wird zweckmaBigerweise nach h-^ aufgelost: h^=4R^-b^ und dieser Ausdruck dann in die Widerstandsformel eingesetzt. Das Widerstandsmoment W hangt jetzt nur noch von der Balkenbreite b ab: W = W{b) = - b{4R^ -b^) = 7 i^^R^b - b^) 6 6 Dabei kann die Balkenbreite nur Werte zwischen 0 und 2R annehmen: 0^ + Ay^ax

(IV-117)

angegeben. (2)

Das Jineare Fehlerfortpflanzungsgesetz" wird haufig fiir Uberschlagsrechnungen verwendet und insbesondere auch dann, wenn die MeBunsicherheiten der unabhangigen GroBen unbekannt sind und man daher auf Schdtzwerte angewiesen ist.

346

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen

In der nachfolgenden Tabelle 1 haben wir die Formeln fur die maximale Mefiunsicherheit {Maximalfehler des Mittelwertes) Azj^ax f^r einige in den technischen Anwendungen besonders haufig auftretende Funktionen zusammengestellt.

Tabelle 1: Maximale MeBunsicherheit (maximaler Fehler) des Mittelwertes fur einige besonders haufig auftretende Funktionen (C e IR)

Anmerkungen (1) Man beachte: Die GroBen Ax, Ay und Azj^^x sind Absolutwerte und besitzen daher die gleichen Dimensionen und Einheiten wie die MeBgroBen selbst. Dagegen sind ^

, \^\

I XI Iy I

und — ^ ^

relative bzw. prozentuale GroBen. Sie sind

I z I

daher dimensionslos, tragen keine Einheiten und werden meist in Prozenten angegeben. (2)

Entsprechende „lineare Fehlerfortpflanzungsgesetze" gelten auch fur Summen mit mehr als zwei Summanden und Potenzprodukte mit mehr als zwei Faktoren.

Beispiele (1)

Wir berechnen den Gesamtmderstand einer Reihenschaltung aus zwei ohmschen Widerstanden R^ = (100 ± 3) Q und R2 = (150 ± 4) Q sowie die maximale Mefiunsicherheit des Gesamtwiderstandes (Bild IV-45).

Bild IV-45 Reihenschaltung zweier ohmscher Widerstande R^ und R2

2 Partielle Differentiation

347

Nach den Kirchhoffschen Regeln ist R=f{R^;R2)

=

Ri+R2

Fiir den Mittelwert R des Gesamtwiderstandes R erhalten wir nach Formel (IV-112): R=f{R^;R2)

= Ri -\-R2 = ^00a+

150D = 250D

Die absolute bzw. prozentuale maximale Mefiunsicherheit {maximaler „Fehler") berechnen wir nach Tabelle 1 wie folgt (die Funktion ist vom Typ z = X + y): ^ ^ m a x == ARi

+ Ai^2 = 3 0 + 4 0 == 7Q

7Q —

— VAfAo 0 0^9 — Z,o '^ 90/ — /o

250 D Damit erhalten wir als Mefiergebnis: R = R± ARrn^^ = (250 ±1)Q (2)

Die Oberfldche 0 eines Zylinders laBt sich aus dem Radius r und der Hohe h nach der Formel 0=f(r;

h) = 2nr^ + 2nrh

bestimmen (Zyhnder mit Boden und Deckel). Es wurden folgende Werte gemessen: r = (10,5 ± 0,2) cm,

h = (15,0 ± 0,3) cm

Fiir den Mittelwert 0 erhalten wir den Wert O =f(f;h)

= 271 (10,5 cm) 2 + 271 (10,5 cm) • (15,0 cm) = = 1682,32 cm^;^ 1682 cm^

Fiir die Berechnung des maximalen „Fehlers'' (der maximalen Mefiunsicherheit) AOjnax benotigen wir noch die partiellen Ableitungen der Funktion. Sie lauten: —- = 4nr -\- 2nn, or

— = 2nr oh

80 _ —- (r; h) = 471 (10,5 cm) + 2 7C (15,0 cm) = 226,19 cm or 80 _ —-{r;h) = 2n (10,5 cm) = 65,97 cm oh

348

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Der maximale ^Fehlef betragt dann nach Formel (IV-113)

ao.

^r-Af-

ar

90 _

hh + — dh

= (226,19 cm) • (0,2 cm) + (65,97 cm) • (0,3 cm) = = 65,03 cm^ ^ 65 cm^ Das Mefiergebnis fur die Oberflache 0 des Zylinders lautet damit: 0 = 0 ± AOjnax = (1682 ± 65) cm^ Der prozentuale „Maximalfehler'' betragt AO^ax 0

65 cm^ 1682 cm^ = 0,039 = 3,9%

3 Mehrfachintegrale In Band 1, Kapitel V hatten wir uns ausfuhrlich mit der Integration einer Funktion von einer unabhangigen Variablen auseinandergesetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer gewohnlichen Integration und bezeichnet daher ein Integral vom Typ b

f(x)dx

als ein gewohnliches Integral.

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der Integration einer Funktion von mehreren unabhangigen Variablen, insbesondere mit der Integration einer Funktion von zwei bzw. drei Variablen, beschaftigen. Diese Erweiterung des Integralbegriffes wird uns zu den Mehrfachintegralen {Doppelintegralen, Dreifachintegralen) fiihren, die in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen u.a. bei der Berechnung der folgenden GroBen auftreten: — — — — — —

Fldcheninhalt Schwerpunkt einer Fldche Fldchenmomente (Fldchentrdgheitsmomente) Volumen und Masse eines Korpers Schwerpunkt eines Korpers Massentrdgheitsmomente

Von groBer praktischer Bedeutung ist dabei, daB sich ein Mehrfachintegral auf mehrere nacheinander auszufiihrende gewohnliche Integrationen zuriickfuhren laBt. Legt man noch ein Koordinatensystem zugrunde, das sich der Symmetrie des Problems in besonders

3 Mehrfachintegrale

349

gunstiger Weise anpaBt, so vereinfacht sich die Berechnung der Integrale oft erheblich (Verwendung sog. symmetriegerechter Koordinaten). Bei ebenen Problemen mit Kreissymmetrie etwa werden wir daher vorzugsweise Polar koordinaten, bei rotationssymmetrischen Problemen zweckmaBigerweise Zylinderkoordinaten verwenden.

3.1 Doppelintegrale 3.1.1 Definition und geometrische Deutung eines Doppelintegrals Den Begriff eines Doppelintegrals fiihren wir in anschaulicher Weise anhand eines geometrischen Problems ein. z=f{x;y) sei eine im Bereich (A) definierte und stetige Funktion mit f{x;y)'^0. Wir betrachten nun den in Bild IV-46 dargestellten zylindrischen Korper. Sein „Boden" besteht aus dem Bereich (A) der x, y-Ebene, sein „Deckel" ist die Bildflache von z=f{x;y). Die auf dem Rand des Bereiches (A) errichteten „Mantellinien" verlaufen dabei parallel zur z-Achse. Unser Interesse gilt nun dem Zylindervolumen V.

Bestimmung des Zylindervolumens (1)

Zunachst wird der Bereich (A) („Zylinderboden") in n Teilbereiche mit den Flacheninhalten AA^, AA2, ...,AA^ zerlegt. Der Zyhnder selbst zerfallt dabei in eine gleich groBe Anzahl von „Rohren".

350

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

(2)

Wir beschaftigen uns nun naher mit der (wahllos herausgegriffenen) /c-ten Rohre. Ihr „Boden" ist eben und vom Flacheninhalt AAj^, ihr „Deckel" dagegen als Teil der Bildflache von z=f{x;y) i.a. gekrummt. Das Volumen AP^ dieser Rohre stimmt dann ndherungsweise mit dem Volumen einer Sdule uberein, die iiber der gleichen Grundflache errichtet wird und deren Hohe durch die Hohenkoordinate ^k =" fi^k'^ yk) ^^s Flachenpunktes Pj^ = (x^; yj^; z^) gegeben ist (Bild IV-47)^^: AV,,^zj,AAk=f{x^;yu)AAu

(IV-118)

Mit den iibrigen Rohren verfahren wir ebenso. Durch Aufsummierung der Rohrenbzw. Saulenvolumina erhalten wir schlieBlich den folgenden Ndherungswert fiir das gesuchte Zylindervolumen V: n

V=

^ k=l

n

A F , ^ ^ f{x,',yk)AAk

(IV-119)

k=\

i^kl yk) ist eine beliebige Stelle aus dem /c-ten Teilbereich. Der Punkt Pk liegt senkrecht iiber (x^; yk) auf der Bildflache der Funktion z = f{x; y).

3 Mehrfachintegrale (3)

351

Dieser Naherungswert laBt sich noch verbessern, wenn wir in geeigneter Weise die Anzahl der Rohren (Saulen) vergrofiern. Wir lassen nun die Anzahl n der Teilbereiche (und damit auch der Rohren) unbegrenzt wachsen {n -^ oo), wobei gleichzeitig der Durchmesser eines jeden Teilbereiches gegen Null streben soil. Bei diesem Grenzubergang strebt die Summe (IV-119) gegen einen Grenzwert, der als 2-dimensionales Bereichsintegral von f{x; y) iiber (A) oder kurz als Doppelintegral bezeichnet wird und fiir / ( x ; y) ^ 0 als Volumen V des zylindrischen Korpers (F) interpretiert werden darf. Wir definieren daher:

Anmerkungen (1)

Auch die symbolische Schreibweise

f{x; y)dA, die nur ein Integralzeichen ver-

wendet, ist moglich. Wir bevorzugen jedoch die Schreibweise mit dem doppelten Integralzeichen. Sie soil uns daran erinnern, daB bei einem Doppelintegral die Integration iiber einen 2-dimensionalen, d.h. fldchenhaften Bereich zu erstrecken ist. (2)

Wir fiihren noch folgende Bezeichnungen ein: X, y: f(x; y): dA: (A):

Integrationsvariable Integrandfunktion (kurz: Integrand) Fldchendifferential oder Fldchenelement Integrationsbereich

(3)

Fiir den Begriff ^Doppelintegral" sind auch folgende Bezeichnungen iiblich: 2-dimensionales Bereichs- oder Gebietsintegral, zweifaches Integral, Fldchenintegral.

(4)

Der Grenzwert (IV-120) ist vorhanden, wenn der Integrand f{x;y) schlossenen) Integrationsbereich (A) stetig ist.

im (abge-

352

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen

3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals 3.1.2.1 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Wir warden in diesem Abschnitt anhand einfacher geometrischer Uberlegungen zeigen, wie man ein Doppelintegral

fix;y)

dA durch zwei nacheinander auszufiihrende ge-

wohnliche Integrationen berechnen kann. Der Rechnung legen wir dabei kartesische Koordinaten zugrunde und beschranken uns zunachst auf Integrationsbereiche, die die in Bild IV-48 skizzierte Gestalt besitzen. Ein solcher „normaler" Integrationsbereich (A) laBt sich durch die Ungleichungen fui^)^y^foM,

a^x^b

(IV-121)

beschreiben, wobei >^^ = /^^ (x) die untere und y^ = f^ (x) die obere Randkurve ist und die seitlichen Begrenzungen aus zwei Parallelen zur y-Achse mit den Funktionsgleichungen X = a und x = b bestehen.

Bild IV-48 Integrationsbereich (A) mit eingezeichnetem Flachenelement dA = dx dy

Das Flachenelement dA besitzt in der kartesischen Darstellung die geometrische Form eines Rechtecks mit den infinitesimal kleinen Seitenlangen dx und dy. Somit ist dA = dxdy

(IV-122)

(vgl. hierzu Bild IV-48). tjber diesem Flachenelement hegt eine (quaderformige) Sdule mit dem infinitesimal kleinen Rauminhalt dV = zdA =f{x; y) dx dy =f{x; y) dy dx

(IV-123)

(Bild IV-49).Das Volumen V des in Bild IV-49 skizzierten Zy/mJ^rs (V) berechnen wir nun schrittweise durch Summation der Saulenvolumina.

3 Mehrfachintegrale

353

Bild IV-49 Zylindrischer Korper mit einer Saule vom Volumen dV = f{x; y) dy dx

Bild IV-50 Zylindrischer Korper mit einer Volumenschicht (Scheibe) der Dicke dx

354

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

1. Integrationsschritt Wir betrachten eine im Zylinder liegende Volumenschicht (Scheibe) der Breite dx, wie in Bild IV-50 dargestellt. Sie entsteht, wenn in der }^-Richtung Sdule an Sdule gereiht wird, bis man an die beiden Randkurven y^^ = /„ (x) bzw. y^ = f^ (x) des Bereiches {A) stoBt. Dieses Vorgehen haben wir in Bild IV-51 durch Pfeile gekennzeichnet. Die infinitesimal diinne Scheibe liegt dann im Zylindervolumen iiber dem skizzierten Streifen der Breite dx.

Bild IV-51 Die iiber den Flachenelementen dA errichteten Saulen dV ergeben durch Summation die in Bild IV-50 skizzierte Volumenschicht der Dicke dx

Das VolumenrfV'scheibedieser Scheibe erhalten wir dann durch Summation aller in der Volumenschicht gelegener Saulenvolumina, d.h. durch Integration von dV = f{x; y) dy dx^^ in der y-Richtung zwischen der unteren Grenze y = /^^(x) und der oberen Grenze y = fo W • foix)

dV,Scheibe

/

dV = y=fu{x)

foix)

f{x;y)dy\

dx

(IV-124)

\y = fu{x)

Da wir zuerst in der y-Richtung und erst anschliefiend in der x-Richtung summieren (integrieren), schreiben wir auch die Differential in dieser Reihenfolge: Also zuerst dy, dann dx.

3 Mehrfachintegrale

355

Bei der Integration von f{x; y) nach y wird die Variable x als eine Art Konstante (Parameter) betrachtet. Mit anderen Worten: Die Funktion f{x;y) wird wahrend der Integration als eine nur von y abhangige Funktion angesehen. Es handelt sich somit um eine gewohnliche Integration nach der Variablen y. Neu dabei ist, daB die Integrationsgrenzen keine Konstanten (Zahlen) mehr sind, sondern noch von der Variablen x abhangige Funktionen darstellen, die aber wie Zahlen in die ermittelte Stammfunktion eingesetzt werden. Das Ergebnis dieser sog. inneren Integration (Integration nach der Variablen y) ist eine noch vom „Parameter" x abhangige Funktion.

2. Integrationsschritt Nun setzen wir Volumenschicht an Volumenschicht, bis der Zylinder vollstandig ausgefiillt ist. Mit anderen Worten: Wir summieren, d.h. integrieren in der x-Richtung iiber alle zwischen den Grenzen x = a und x = b liegenden Scheiben. Fur das Zylindervolumen erhalten wir dann: W) f{x;y)dA

v=

f{x;y)dy\

dV,Scheibe

dx

(IV-125)

-fuix)

(A)

Bei dieser sog. dufieren Integration handelt es sich um eine gewohnliche Integration einer von X abhangigen Funktion in den Grenzen von x = a bis x = b. Vereinbart man, daB bei einem Doppehntegral die Integrationen in der Reihenfolge der Differentiale ausgefuhrt werden und daB dabei zur inneren Integration die Grenzen des inneren Integrals, zur dufieren Integration die Grenzen des dufieren Integrals gehoren, so darf man die Klammer im Doppehntegral (IV-125) fortlassen und verkiirzt (aber eindeutig!) schreiben: b

foix)

f{x;y)dA (A)

f{x; y) dy dx x=a

y=fu{x)

Inneres Integral AuBeres Integral

(IV-126)

356

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

Wir fassen diese wichtigen Aussagen zusammen:

Anmerkungen (1)

Merke: Beim Doppelintegral (IV-127) wird von innen nach aufien integriert, d.h. zuersthQzvi^ichdQV Variablen y und J 0)

beschreibt die harmonische Schwingung eines elastischen Federpendels unter den folgenden Versuchsbedingungen (Anfangsbedingungen): 1. Das Federpendel besitzt zu Beginn der Bewegung, d.h. zur Zeit t = 0 eine Auslenkung XQ in der positiven Richtung; 2. Die Bewegung erfolgt aus der Ruhe heraus (Anfangsgeschwindigkeit i;o = x(0) = 0). Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung lautet dann nach den Ergebnissen des vorherigen Abschnitts: x{t) = A- sin (COQ t -\- (p)

{A > 0;0 ^ (p < In)

2) Auf die Existenz- und Eindeutigkeitssatze konnen wir im Rahmen dieser einfiihrenden Darstellung nicht naher eingehen.

440

V Gewohnliche Differentialgleichungen Die Parameter A und (p, d.h. Amplitude und Phase der Schwingung, bestimmen wir aus den beiden Anfangswerten wie folgt: (I)

X (0) = XQ => A ' sin (p = XQ

(11) X (t) =

COQ

X (0) = 0 ^

A ' cos

(COQ

t + (p)

(JOQA- COS (p = 0

cos (p = 0 =^ (pi

3

n

^2'

Wegen ^ > 0 und XQ > 0 ist auch sin (/? > 0. Der gesuchte Phasenwinkel n liegt daher im Intervall 0 < (p < n. Es kommt somit nur die Losung (p = in Frage. Aus Gleichung (I) folgt dann ^ = XQ. Das Federpendel schwingt unter den genannten Anfangsbedingungen nach der Weg-Zeit-Funktion X{t) =

XQ

• sin

COQ^

+

XQ

• COS {COQ t)

(t^O)

Bild V-5 zeigt den Verlauf dieser Schwingung.

Bild V-5 Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung (spezielle Losung fur die Anfangswerte x(0) = XQ, x(0) = v{0) = 0)

Randwertproblem Bei einem Randwertproblem, auch Randwertaufgabe genannt, werden der gesuchten speziellen Losung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung an n verschiedenen Stellen Xi,X2,...,x„ der Reihe nach die Funktionswerte y(xi), y(x2), ...,3^(x„) vorgeschrieben. Sie werden als Randwerte oder Randbedingungen bezeichnet und fiihren wiederum zu n Bestimmungsgleichungen fiiY diQ n Parameter Ci,C2,...,C„ der allgemeinen Losung. Fur eine Differentialgleichung 2. Ordnung bedeutet dies: Die Losungskurve ist so zu bestimmen, daB sie durch zwd vorgegebene Punkte P^ = (x^; y^) und P2 = (X2; ^2) verlauft. Es soil jedoch nicht unerwahnt bleiben, daB nichtjedes Randwertproblem losbar ist. In bestimmten Fallen konnen auch mehrere Losungen auftreten.

1 Grundbegriffe •

441

Beispiel Wir betrachten einen auf zwei Stutzen ruhenden und durch eine konstante Streckenlast q gleichmaBig belasteten Balken (Bild V-6).

Bild V-6 Biegelinie eines Balkens bei gleichmaBiger Belastung

In der Festigkeitslehre wird gezeigt, daB die Biegelinie y = yix) fiir kleine Durchbiegungen naherungsweise der Differentialgleichung 2. Ordnung ^

EI

geniigt (sog. Biegegleichung)^\ Darin bedeuten: E: Elastizitdtsmodul (Materialkonstante) /: Fldchenmoment des Balkenquerschnitts M^: Biegemoment Fiir das ortsabhdngige Biegemoment M^ erhalten wir in diesem Belastungsfall

Die Biegegleichung nimmt damit die folgende Gestalt an: y"=

- ^ r ^'^ - ^ ' ) 2EI

{0 C9 = 0

2EI\6

^1

12 0

l - / 4 + C i / = 0 => Ci =

-4/3

12

12

Die Biegelinie lautet somit:

y{x)=-^-(-lx^-^X^-~l^x] ^^ ^ 2EI\6 12

= 12

J

24 £ /

Das Maximum der Durchbiegung liegt dabei aus Symmetriegmnden in der Balkenmitte und betragt ym^x = yW^) = 384 £ /

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der Integration, d.h. der Losung einer Differentialgleichung 1. Ordnung. Ahnlich wie in der Integralrechnung gibt es auch hier kein allgemeines Losungsverfahren. Der einzuschlagende Losungsweg ist vielmehr noch vom Typ der Differentialgleichung abhangig. Wir beschranken uns daher auf einige in den

443

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen besonders wichtige Typen, wobei die linear en Differentialgleichungen 1. Ordnung im Vordergrund stehen werden. Bei alien weiteren Uberlegungen gehen wir dabei von der expliziten Darstellungsform y' = f{x; y) einer Differentialgleichung 1. Ordnung aus.

2.1 Geometrische Betrachtungen Die Differentialgleichung y' =f{x; y) besitze die Eigenschaft, daB durch jeden Punkt des Definitionsbereiches von f{x; y) genau eine Losungskurve verlaufe. PQ = (XQ; yo) sei ein solcher Punkt und y = y(x) die durch PQ gehende Losungskurve (Bild V-7).

Losungskurve y=y(x) durch PQ

Tangente in R

Bild V-7 Losungskurve der Differentialgleichung y' = f{x; y) durch den Punkt PQ = (^o^ ^o)

Die Steigung m der Kurventangente in PQ kann dann auf zwei verschiedene Arten berechnet werden: 1. Aus der (als bekannt vorausgesetzten) Funktionsgleichung y = y{x) der Losungskurve durch Differentiation nach der Variablen x: m = y'(XQ); 2. Aus der Differentialgleichung y' = f{x; y) selbst, indem man in diese Gleichung die Koordinaten des Punktes PQ einsetzt: m = f{xQ; yQ). Es ist somit in =

y'{xQ)=f{xQ;yQ)

(V-9)

Der Anstieg der Losungskurve in PQ kann somit direkt aus der Differentialgleichung berechnet werden, die Funktionsgleichung der Losungskurve wird dabei iiberhaupt nicht benotigt. Durch die Differentialgleichung y' = f{x; y) wird namhchj^^^m Punkt P = {x] y) aus dem Definitionsbereich der Funktion / ( x ; y) ein Richtungs- oder Steigungswert zugeordnet. Er gibt den Anstieg der durch P gehenden Losungskurve an.

444

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Graphisch kennzeichnen wir die Richtung der Kurventangente in P durch eine kleine, in der Tangente liegende Strecke, die als Linien- oder Richtungselement bezeichnet wird (Bild V-8). Das dem Punkt P = (x; y) zugeordnete Linienelement ist demnach durch die Angabe der beiden Koordinaten x,y und des Steigungswertes m=f{x;y) eindeutig bestimmt. yk

-Linienelement in P=(x;y)

Bild V-8 Zum Begriff des Linienelementes

Die Gesamtheit der Linienelemente bildet das Richtungsfeld der Differentialgleichung, aus dem sich ein erster, grober Uberblick iiber den Verlauf der Losungskurven gewinnen laBt (Bild V-9). Eine Losungskurve muB dabei in jedem ihrer Punkte die durch das Richtungsfeld vorgegebene Steigung aufweisen.

Losungskurve y=y(x)

Bild V-9 Richtungsfeld einer Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ y' = f{x; y) mit einer Losungskurve y = y(x)

445

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

Bei der Konstruktion von Ndherungskurven erweisen sich die sog. Isoklinen als sehr hilfreich und niitzlich. Unter einer Isokline versteht man dabei die Verbindungslinie aller Punkte, deren zugehorige Linienelemente in die gleiche Richtung zeigen, d.h. zueinander parallel sind. Die Isoklinen der Differentialgleichung y' = f{x; y) sind daher durch die folgende Gleichung definiert: f{x;y)

(V-10)

= constant

Im Richtungsfeld der Differentialgleichung konstruieren wir nun Kurven, die in ihren Schnittpunkten mit den Isoklinen den gleichen Anstieg besitzen wie die dortigen Linienelemente. In einem Schnittpunkt verlaufen somit Kurventangente und Linienelement parallel, d.h. das Linienelement fallt in die dortige Kurventangente. Kurven mit dieser Eigenschaft sind dann Ndherungen fur die tatsachlichen Losungskurven. •

Beispiele (1)

Die Isoklinen der Differentialgleichung x -\- yy' = 0 sind Geraden, die durch den Nullpunkt verlaufen (Bild V-10). Mit y' = constant = a erhalten wir namlich:

Losungskurve (Kreis)

Isokline mit Linienelementen

Bild V-10 Richtungsfeld (Isoklinen) der Differentialgleichung x + yy' = 0 mit einigen Losungskurven (konzentrische Mittelpunktskreise)

V Gewohnliche Differentialgleichungen

446 Fur a = 0: x = 0 Fiir a ^ 0: x -\- ya = 0,

d.h.

y=

1 x a

Anhand des Richtungsfeldes erkennt man, daB die Losungskurven konzentrische Mittelpunktskreise vom Typ x-^ -\- y-^ = R-^ darstellen {R> 0). (2)

Die Isoklinen der Differentialgleichung y^ = 2x sind Geraden, die parallel zur };-Achse verlaufen: 2x = constant = a

X

=

In das Richtungsfeld der Differentialgleichung haben wir eine Losungskurve eingezeichnet, die auf das Richtungsfeld „paI3t" (Bild V-11). Es handelt sich dabei um die Normalparabel y = x-^. Die Losungsschar der Differentialgleichung y' = 2x besteht aus den Parabeln y = x^ + C.

ri 1

\ i

\

i\\\ ^y

\

\\ ^

\

1

W

\ \

y

\ \ \

y

\ \^ \ y \

i V\

I \

i \

\

\ \

i\ ^\ \ \ A i\ ^y \ \\ \ ^y

^

1 ^

\ 1

~

/

~~

/

~~

/

v: y ^

~~

/

~~

/

\

\

^ ^ ^

^^

^ r^ \ i\ ^ y \

1

i ^^

__

/

\

\

\

/ / ~~ / ___ / / ~ / ~~ / ~~

1 1 1 1 /

-Losungskurve y = x^

ii /

/

//

/l V /

/1 /J

' Isokline mit Linienelementen

T~

/1 / 1

Bild V-11 Richtungsfeld (Isoklinen) der Differentialgleichung y' = 2x mit der Losungskurve y = x'^ 11

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

447

2.2 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Eine Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ /=f{x)-g{y)

Oder

^=f{x)-giy) ax

(V-11)

heiBt separabel und laBt sich durch „Trennung der Variablen" losen. Dabei wird die Differentialgleichung zunachst wie folgt umgestellt: f=f{x)-g{y) dx

=> ^ = f{x)dx g(y)

{g{y)^0)

(V-12)

Die linke Seite der Gleichung enthalt nur noch die Variable y und deren Differential dy, die r^c/ite Seite dagegen nur noch die Variable x und deren Differential dx. Die Variablen wurden somit getrennt (daher stammt auch die Bezeichnung dieser Integrationsmethode). Jetzt werden beide Seiten unbestimmt integriert: dy

f(x)dx

(V-13)

Die dann in Form einer impliziten Gleichung vom Typ F^iy) = F2 (x) vorliegende Losung wird nach der Variablen y aufgelost, was in den meisten Fallen moglich ist, und wir erhalten die allgemeine Losung der Differentialgleichung y' =f{x)- g{y) in der expliziten Form y = y{x).

Anmerkung Die Trennung der Variablen ist nur unter der Voraussetzung g{y)¥'0 moglich. Die Losungen der Gleichung g{y) = 0 sind vom Typ y = constant = a und zugleich auch Losungen der Differentialgleichung y' = f{x) • g{y) (vgl. hierzu die nachfolgenden Beispiele).

448 •

V Gewohnliche Differentialgleichungen Beispiele (1)

Die Differentialgleichung y' = y ist vom Typ (V-14) und laBt sich fiir y i^O durch Trennung der Variablen wie folgt losen. Zunachst trennen wir die beiden Variablen: dy dx

=^

—-dx y

Durch Integration auf beiden Seiten der Gleichung folgt dann: ^dy y

.

dx ^ \n\y\ = x-\-C

(CelR)

Die Losung liegt jetzt in der impliziten Form vor. Wir losen diese Gleichung nach der Variablen y auf und erhalten ^^:

y=±QC.QX

(CelR)

Wenn die Integrationskonstante C alle reellen Zahlen durchlauft, durchlauft die Konstante e^ alle positiven Werte und die Konstante ± e^ somit alle von Null verschiedenen Werte. Wir setzen daher

Eine wettere Losung der Differentialgleichung y' = y ist y = 0, so daB diese Differentialgleichung insgesamt folgende Losungsmenge besitzt: >; = 0

und

y=K -

Q""

{K

^ 0)

Sie ist auch in der geschlossenen Form y= Xe^

(XeR)

darstellbar, denn fiir K = 0 erhalten wir hieraus die spezielle oder partikulare Losung y = 0.

Wichtiger Hinweis Bei der Integration einer Differentialgleichung treten haufig „logarithmische" Terme wie In | x |, In | y | usw. auf. Es ist dann zweckmaBiger, die Integrationskonstante nicht in der iibhchen Form, sondern in der „logarithmischen" Form In |C| anzusetzen. Diese Schreibweise fuhrt zu einem geringeren Arbeitsaufwand und ist erlaubt, da mit C auch ln|C| a//e reellen Zahlen durchlauft ^I

4) Wir erinnern: Die Betragsgleichung \y\ = a> 0 hat zwei Losungen, namlich y ^ ± a. Bekanntlich isi jede reelle Zahl als natiirlicher Logarithmus einer positiven Zahl darstellbar (Band 1, AbschnittIII.12.1).

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

449

Den Vorteil dieser Methode zeigen wir am soeben behandelten Beispiel der Differentialgleichung y' = y. Wie bisher trennen wir zunachst die beiden Variablen und integrieren anschlieBend beide Seiten der Gleichung, wobei wir die Integrationskonstante in der Form In |C| schreiben: dy dx dy

= dx

\n\y\ = x + ln|C|

dx

y

Die logarithmischen Terme werden noch zusammengefaBt: l n | } ; | - l n | C | = ln

=

X

Durch Umkehrung erhalten wir dann = e-^

Oder

C

= +e'

Die allgemeine Losung der Differentialgleichung y^ = y lautet damit y = + C • e^

Oder

y = K • Q^

wobei wir K = ± C gesetzt haben (X e R). (2)

Die Anfangswertaufgabe x + y/

= 0, y{0) = 2

losen wir durch Trennung der Variablen. Trennung der Variablen: dy x + y-^ = 0 dx

ydy = — xdx

Integration: ydy= — \ xdx

-J

-x^ + C

Allgemeine Losung der Differentialgleichung: j ^ = — x ^ + 2C

oder

x^ + y^ = 2C

Dies ist die Gleichung eines Mittelpunktkreises mit dem Radius R = v 2 C, falls C > 0 ist. Fiir C = 0 erhalten wir den Nullpunkt („entartete" Losung), fiir C < 0 existieren keine Losungen. Die Losungskurven der Differentialgleichung X -\- yy' = 0 sind somit konzentrische Mittelpunktskreise mit der Gleichung x^ -i-y^ = R^ (Bild V-12).

V Gewohnliche Differentialgleichungen

450 Spezielle Losung fiir y{0) = 2:

y{0) = 2 => 4 = 2C, d.h. C = 2 und somit R = 2 Die Losung der gestellten Anfangswertaufgabe fiihrt zu dem Mittelpunktskreis x2 + 3;2 = 4 mit dem Radius R = 2 (vgl. hierzu Bild V-12).

Bild V-12 Losungen der Differentialgleichung x + yy' = 0 (konzentrische Mittelpunktskreise x'^ + y'^ = R'^; dQT stark ausgezogene Kreis ist die spezielle Losung fiir den Anfangswert y(0) = 2)

2.3 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution In einigen Fallen ist es moglich, eine explizite Differentialgleichung L Ordnung y' = fix; y) mit Hilfe einer geeigneten Substitution auf eine separable Differentialgleichung L Ordnung zuruckzufiihren, die dann durch Trennung der Variablen gelost werden kann. In diesem Abschnitt behandeln wir Differentialgleichungen vom Typ y' =f{ax-\-by-\-c)

und

y'= f

(V-15)

Differentialgleichungen vom Typ y' = f(ax -^ by -\- c) Eine Differentialgleichung von diesem Typ laBt sich durch die lineare Substitution u = ax -\- by -^ c

(V-16)

losen. Dabei sind y und u als Funktionen von x zu betrachten. Durch Differentiation dieser Gleichung nach x erhalten wir dann: u' = a -\- by'

(V-17)

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

451

Beriicksichtigen wir noch, daB y' = f{u) ist, so folgt hieraus die Differentialgleichung u' = a-\-hf{u)

(V-18)

die durch Trennung der Variablen gelost werden kann, da die rechte Seite dieser Gleichung nur von u abhangt. Die Losung u = u{x) dieser Differentialgleichung setzen wir dann in die Substitutionsgleichung (V-16) ein und losen anschlieBend die Gleichung nach y auf (sog. Rucksubstitution). (y Differentialgleichungen vom Typ j ' = /

-

Eine Differentialgleichung von diesem Typ wird durch die Substitution u = -,

d.h.

y = xu

(V-19)

X

gelost. Wir differenzieren diese Gleichung nach x und erhalten: y' = \ ' u + X • u' = u + xu'

(V-20)

(wiederum sind y und u Funktionen von x). Da y' = f{u) ist, geht die Differentialgleichung y' = f \ - \ u + xu' =f{u)

schlieBlich in die separable Differentialgleichung Oder

u' = -^

(V-21) X

iiber, die ebenfalls durch Trennung der Variablen gelost werden kann. AnschlieBend erfolgt die Rucksubstitution. Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

452

V Gewohnliche Differentialgleichungen Beispiele (1)

/ =

2x-y

Die Differentialgleichung ist vom Typ y^ = f{ax -\- by -\- c) und wird durch die Substitution u = 2x — y gelost. Mit u = 2x — y und u' = 2-y\

d.h.

/ =

2-u'

gehen wir in die Differentialgleichung y' = 2x — y ein und erhalten: 2 — u'= u

oder

—u' = u — 2

Diese Differentialgleichung laBt sich durch Trennung der Variablen losen: du du — ^^ u — 2 = = — dx dx u—2 du ^u—2

dx ^

ln|M-2|-ln|C|-ln u-2 C

l n | M - 2 | = - X + ln|C| u-2\ C

=

— X

w = Ce~^ + 2

(CeR)

Durch Riicksubstitution folgt weiter: u = 2x — y = C ' Q~^-\-2 ^

j; = — C • e " ^ + 2x — 2

Die allgemeine Losung der Differentialgleichung y' = 2x — y lautet somit: }; = Ci • e ~ ^ + 2 x - 2

(2)

{Ci = - C;

C,Ci^^)

Die Differentialgleichung 1. Ordnung

X ist vom Typ y'=f\-] y ^"' u = - wie folgt losen: X

\x/ und laBt sich daher durch die Substitution

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

453

Substitution: y u = -,

d,h.

y = xu,

y^ = u -\- xu'

X

y' = l + 2 ( - )

=> u -\- xu' = 1 -\- 2u

Oder

xu' = 1 -\- u

Integration durch Trennung der Variablen: du du dx X-— = 1 + w => =— dx u -\- 1 X C du u -\- 1

Cdx j X

ln|w + 1| = ln|x| + l n | C | = ln|Cx| u + 1 = Cx

oder

u = Cx — 1

(C e R)

Riicksubstitution: y = xu = x{Cx — 1) = Cx^ — X Die allgemeine Losung der Differentialgleichung y' = die Gestalt y = Cx^ -X

X + 2y

besitzt somit

^

(C e IR)

2.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung

Die Funktion g (x) wird als Storfunktion oder Storglied bezeichnet. Fehlt das Storglied, d.h. ist ^(x) = 0, so heiBt die lineare Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen.

454

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Anmerkung Kennzeichen einer linear en Differentialgleichung 1. Ordnung sind: 1. y und y' treten linear, d.h. in 1. Potenz auf. 2. Ein „gemischtes Produkt" yy' kann nicht vorkommen.

•

Beispiele (1)

Die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung sind linear: y' — xy = 0

Homogene Dgl

xy' -^ 2y = Q^

Inhomogene Dgl

y' + (tan x) • 3; = 2 • sin x • cos x (2)

Inhomogene Dgl

Nicht-linear sind folgende Differentialgleichungen 1. Ordnung: y' = 1 — y-^

{y tritt in der 2. Potenz auf)

yy' -\- X = 0

(Die Differentialgleichung enthalt ein „verbotenes" gemischtes Produkt yy')

2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Eine homogene hneare Differentialgleichung 1. Ordnung /^f(x)-y

=0

(V-25)

laBt sich durch Trennung der Variablen wie folgt losen. Zunachst trennen wir die beiden Variablen: ^ + / ( x ) - j = 0 => ^=-f{x)dx ax y

(V-26)

Dann werden beide Seiten integriert, wobei wir die Integrationskonstante wiederum in der logarithmischen Form In |C| schreiben: Cdy

Jy

fix)dx

=> \n\y\ =

f{x)dx-\-\n\C\

(V-27)

Die logarithmischen Terme werden noch zusammengefaBt: f{x)dx

Inlyl-lnlCl^ln

(V-28)

Durch Umkehrung erhalten wir hieraus die allgemeine Losung der homogenen linearen Differentialgleichung in der Form ^^(^^.g-J/W^^

(CeR)

(V-29)

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

455

Beispiele (1)

x^/

+y =0

Oder

/-{-^y

1

=0

(x / 0)

Die vorliegende homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung losen wir durch Trennung der Variablen. Trennung der Variablen: dy dx

dy

1 x^

y

dx

=

Integration auf beiden Seiten:

l7=-|$-'"'-' = - + ln|C X

l n | y | - l n | C | =ln

y

c

=

1 X

Wir losen diese Gleichung noch nach y auf und erhalten die allgemeine Losung der homogenen linearen Differentialgleichung x-^y' -\- y = 0 in der Form y = Cei/^

(2)

(CeR)

= 0, y{0) = 5

/-2xy

Wir bestimmen zunachst die allgemeine Losung dieser homogenen Hnearen Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: Trennung der Variablen: dy dx

^ n ^y ^ ^ 2xy = ij ^> — = 2xdx y

456

V Gewohnliche Differentialgleichungen Integration auf beiden Seiten: \^=\2xdx J y J

=> ln|v| = x ^ + l n | C |

y x^ l n | } ; | - l n | C | = ln y_ = x^2 => — = e-^ c C

Allgemeine Losung: y= Ce^'

(CeR)

Spezielle Losung fur y(0) = 5: j;(0) = 5 ^

C-5

Das Anfangswertproblem y^ — 2xy = 0, y{0) = 5 besitzt somit die Losung y = 5 ' Q^

2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Wir beschaftigen uns nun mit der allgemeinen Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung und behandeln zwei unter den folgenden Bezeichnungen bekannte Losungsmethoden: 1. Integration durch ^Variation der Konstanten". 2. Integration durch ,,Aufsuchen einer partikuldren (speziellen) Losung''. 2.4.3.1 Variation der Konstanten Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung y'+f{x)-y

= g(x)

(V-32)

laBt sich wie folgt durch Variation der Konstanten losen. Zunachst wird die zugehorige homogene Differentialgleichung /+f{x)-y

=0

(V-33)

durch Trennung der Variablen gelost. Dies fuhrt zu der allgemeinen Losung ^^ yo = K-Q-^^^''^ ^^

{K e R)

(V-34)

Wir ersetzen jetzt die Integrationskonstante K durch eine (noch unbekannte) Funktion K (x) und versuchen, die inhomogene Differentialgleichung durch den Produktansatz y -K(x)-e-^-^(^)^^

(V-35)

Um Verwechslungen mit der allgemeinen Losung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zu vermeiden, kennzeichnen wir ab sofort die allgemeine Losung der homogenen Gleichung durch das Symbol yo-

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

457

zu losen. Dazu wird noch die 1. Ableitung dieses Losungsansatzes benotigt. Unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel erhalten wir: y

K'{x) •Q-U{x)dx ^K{x)'f{x)

•Q-if(^)dx

(Y_35)

Wir setzen nun die fur y und y^ gefundenen Funktionsterme in die inhomogene Differentialgleichung (V-32) ein: K'{x) • e "^^^-^^^^ - K{x)'f{x)

• e -^/(^)^-^ + /(x) • X(x) • e "I/W^^ = g{x)

K'{x)-Q-^f^^^^'' = g(x) K'{x) = g{x)'Q^f^''^^''

(V-37)

Durch Integration folgt weiter: K{x) = \g{x)- Q^f^^'^^'^dx + C

(V-38)

Diesen Ausdruck setzen wir fiir die Faktorfunktion K (x) des Losungsansatzes (V-35) ein und erhalten dann die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-32) in der Form y = {\g{x)- Q^f^^'^^'^dx + C) • e " ^ / ^ ^ ^

Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

(V-39)

V Gewohnliche Differentialgleichungen

458

Anmerkung Durch die Bezeichnung ^Variation der Konstanten" soil zum Ausdruck gebracht werden, daB die Integrationskonstante K „variiert",d.h. durch eineFwntoon K{x) ersetzt wird.

Beispiele Hinweis: Die beim Losen einer Differentialgleichung anfallenden Integrale werden der Integraltafel der Formelsammlung entnommen (Angabe der jeweiligen Integralnummer). Diese Regelung gilt im gesamten Kapitel. (1)

3 ; ' + - = cosx X

Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung / +- =0 X

durch Trennung der Variablen:

-/ + - = 0 dx

X

dy

dx

y

X

dx — => \n\y\=

dy y

-\n\x\

+ l n | X | = In

X

Die allgemeine Losung der homogenen Gleichung lautet somit: K

(XeR)

yo

Die inhomogene Differentialgleichung losen wir durch Variation der Konstanten (K->K(x)): _ K{x)

^ _K'{x)'X-

K{x) _ K'{x)

K{x)

Wir setzen nun diese Funktionsterme in die inhomogene Differentialgleichung ein: y K'{x) y -\-- = X

X

K{x) K{x) r- + — z - = cos X X^

X^

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung = cos X

459

Oder

K (x) = x • cos x

X

Durch unbestimmte Integration folgt hieraus: K{x) = j K' {x)dx = j X ' cos X dx = cos x + x • sin x + C Integral Nr. 232 Die inhomogene Differentialgleichung besitzt damit die allgemeine Losung K (x) cos X + X • sin X + C y=—^ = X

(2)

y-3y

(C EIR)

X

= X'Q'^''

Die zugehorige homogene Differentialgleichung y'-3y

=0

wird durch Trennung der Variablen gelost. Ihre allgemeine Losung ist yo = K-Q^''

(KeR)

(nachrechnen!). Die inhomogene Differentialgleichung losen wir durch den Ansatz y = K{x)-Q^'' {Variation der Konstanten). Wir gehen mit den Termen y = K{x)' e^^,

/ = K'{x) • e^^ + 3K{x) • e^^

in die inhomogene Gleichung ein und erhalten: y -3y

= K'{x)- e^-^ + 3X(x) • e^^ - 3K{x) • e^^ = x • e^^ 0

K'(x)-e^^ = x-e'^^

Oder

K^(x) = x - e ^

Durch unbestimmte Integration folgt: K{x) - j X^(x)rfx = j X • e^ Jx = (x - 1) • e^ + C Integral Nr. 313 Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet damit: y = K{x) • e^^ = [(x - 1) • e^ + C] • e^^ = (x - 1) • e^^ + C • e^^

460

V Gewohnliche Differentialgleichungen

2.4.3.2 Aufsuchen einer partikularen Losung Bin weiteres Losungsverfahren, das wir als „Aufsuchen einer partikularen Losung" bezeichnen wollen, beruht auf der folgenden bedeutenden Eigenschaft der inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung:

Anmerkung Auch lineare Differentialgleichungen 2. und hoherer Ordnung besitzen diese Eigenschaft.

Beweis: yo sei die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung, yp eine beliebige partikuldre (spezielle) Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Somit ist:

>'o+/W-yo = 0

(V-46)

yp + f{^)-yp = gix)

(v-47)

Wir zeigen zunachst, da6 auch die Summe y = yo + yp

(v-48)

eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-43) ist: y' + f(x)-y

= (yo + ypY + /(x) • (^o + Vp) = = y'o + y'p+fix)

• yo + / W • yp =

= (yo + / W • yo) + {y'p + f{x)-yp) = g(x)

0

JM

(nach (V-46))

(nach (V-47))

(V-49)

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

461

Die Funktion y ^ yo + yp ist daher eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung y' -\- f{x) • y = g{x). Sie ist zugleich die allgemeine Losung dieser Gleichung, da der Summand yQ als allgemeine Losung der zugehorigen homogenen Gleichung und damit auch die Summe y = yo ~^ yp genau einen frei wahlbaren Parameter enthalten. Aus diesem Satz ziehen wir noch eine wichtige Folgerung: Um die allgemeine Losung y der inhomogenen Gleichung y^ -\- fix) - y = g{x) zu erhalten, geniigt es, eine partikulare Losung yp dieser Gleichung zu bestimmen. Dieses Vorhaben gehngt in vielen Fallen mit Hilfe eines speziellen Losungsansatzes, der noch einen oder mehrere Stellparameter enthalt. Die partikulare Losung yp wird dann zur allgemeinen Losung ^Q der zugehorigen/zomog^nen Gleichung y' -\- f{x)- y = ^, diemandurch Trennung der Variablen ermitteU hat, addiert und ergibt die gesuchte allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung. Bei diesem Verfahren wird somit die allgemeine Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung y' -^ f{x) - y = g{x) durch „Aufsuchen einer partikuldren Losung" dieser Gleichung bestimmt.

Wir fassen zusammen:

Anmerkungen (1) Prinzipiell laBt sich eine partikulare Losung yp der inhomogenen Gleichung stets durch Variation der Konstanten bestimmen. Dieses Verfahren ist hier jedoch nicht gemeint.

462 (2)

V Gewohnliche Differentialgleichungen Der Losungsansatz fiir eine partikulare Losung yp hangt noch sowohl vom Typ der Koeffizientenfunktion f (x) als auch vom Typ der Storfunktion g (x) ab. Im konkreten Fall mu6 man sich zunachst fiir einen speziellen Funktionstyp entscheiden und dann versuchen, die Parameter so zu bestimmen, daB diese Funktion der inhomogenen Gleichung (V-50) geniigt. Wir weisen jedoch darauf bin, daB dieses Vorhaben nur in einfachen Fallen gelingt.

Beispiel y' — (tan x) • y = 2 - sinx Wir integrieren zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung y' — (tan x) • y = 0 durch Trennung der Variablen und erhalten: dy dx

J y

^ ^ ^ dy (tan x) • y = 0 => — = tan K . dx y

.

tan X dx

Int(sgral Nr. 286 C ln|>;| = — In 1 cos X1 + In 1C1 = In cos x cos X Fiir die partikulare Losung yp der inhomogenen Differentialgleichung wahlen wir den Losungsansatz yp = A' cos X mit dem Parameter A, da dann beide Summanden der Hnken Seite in der inhomogenen Gleichung jeweils zu einer Sinusfunktion, d.h. zum Funktionstyp der Storfunktion g{x) = 2 • sin x fiihren. Durch Einsetzen von yp = A - cos x und der zugehorigen Ableitung y^ = — ^ • sin x in die inhomogene Differentialgleichung erhalten wir eine Bestimmungsgleichung fiir den Parameter A: y'p — (tan x) • y^ = 2 • sin x — ^ • sm X

sin X ^ . • A ' cos X = 2 • sm X cos X

— y4 • sin X — ^ • sin X = 2 • sin X — 2 ^ • sin X = 2 • sin X ^ A = — 1

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

463

yp= — cos X ist somit eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung, deren allgemeine Losung daher in der Form C

y = yo + yp = ^

C — cos"^ X

cos x =

(c e R)

cos X

cos X

darstellbar ist.

2.5 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koefflzienten In den Anwendungen spielen lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten eine besondere Rolle. Sie sind vom Typ y^ay

= g{x)

(V-53)

und somit ein Sonderfall der linearen Differentialgleichungen vom Typ (V-24) fiir f{x) = a. Die zugehorige homogene Gleichung y' ^ay = 0

(V-54)

enthalt nur konstante Koeffizienten und wird durch Trennung der Variablen oder durch den Exponentialansatz yQ = C-Q^''

(V-55)

gelost ^l Mit diesem Ansatz gehen wir in die homogene Differentialgleichung (V-54) ein und erhalten eine Bestimmungsgleichung fiir den Parameter /I: y'Q^ayo

= lC- e^^ + aC • e^^ = (A + a)C • e^^ = 0 0

2+ a=0:^^=-a

(V-56)

Die homogene Differentialgleichung y' -\- ay = 0 besitzt demnach die allgemeine Losung yo^C-e-^^

(CeR)

(V-57)

Beispiele (1)

y'^4y

=0

(2)

/ -0,5y

(3)

-3/

= C-t-^^

(CGR)

= 0 => j/Q^C-e^'^-^

(CeR)

+ lSy = 0 | : ( - 3 ) / -

7)

^yQ

6y = 0 => yo = C'Q^''

Beide Methoden fuhren natiirlich zur gleichen Losung.

(CeR)

464

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Die Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung (V-53) erfolgt wie beim bereits in Abschnitt 2.4 behandelten allgemeinen Typ y' -\- f{x) - y = g{x) entweder durch Variation der Konstanten oder durch Aufsuchen einer partikuldren Losung. Da bei den linearen Differentialgleichungen l.Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Losungsansatz fur eine partikuldre Losung yp im wesentlichen dem Funktionstyp des Storgliedes g (x) entspricht, erweist sich die zweite Losungsmethode in den meisten Fallen als die zweckmdfiigere Methode. In der nachfolgenden Tabelle 1 teilen wir die Losungsansatze yp fur einige in den Anwendungen besonders haufig auftretende Storfunktionen mit.

Tabelle 1: Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp (x) der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y' + ay = g(x) (a ¥" ^) in Abhangigkeit vom Typ der Storfunktion g{x)

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

465

Anmerkungen zur Tabelle 1 (1) Dieimjeweiligen Losungsansatz yp enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, daB diese Funktion eine (partikulare) Losung der vorgegebenen inhomogenen Differentialgleichung darstellt. Bei einem richtig gewahlten Ansatz nach Tabelle 1 stoBt man stets auf ein eindeutig losbares Gleichungssystem fur die im Losungsansatz befindlichen Stellparameter. (2)

Besteht die Storfunktion g (x) aus mehreren (additiven) Storgliedern, so erhalt man den Losungsansatz fiir yp als Summe der Losungsansatze fur die Einzelglieder nach Tabelle 1.

(3)

Liegt die Storfunktion in Form eines Produktes vom Typ g{x) = gi{x)' g2{x) vor, so sucht man die Losungsansatze fiir die beiden Faktorfunktionen g^ (x) und ^2 (^) auf und multipliziert diese miteinander. Der Losungsansatz ist also durch das Produkt yp = ypi ' yp2 gegeben, wobei yp^ und yp2 die Losungsansatze fiir die bQidQn „Stdrfaktoren" gi{x) und 6^2 W bedeuten.

Zusammenfassend gilt somit:

Anmerkung Ein weiteres Losungsverfahren, das auf einer Anwendung der Laplace-Transformation beruht, werden wir in Kapitel VI kennenlernen (Abschnitt 5.1.2). •

Beispiele (1)

y' -\-2y = 2x^

-4

Die zugehorige homogene Differentialgleichung y + 2y = 0 besitzt die allgemeine Losung

466

V Gewohnliche Differentialgleichungen Der Losungsansatz fur eine partikuldre Losung yp der inhomogenen Differentialgleichung lautet nach Tabelle 1: yp = ax-^ -{- bx + c

{a,b,c: Parameter).

Mit yp = 2ax -}- b folgt hieraus durch Einsetzen in die inhomogene Gleichung: /p^2yp

=

2x^-4

lax + b + 2{ax^ -\-bx-{- c) = 2x^ - 4 2ax + 5 + 2 a x ^ 4 - 2 5 x + 2c = 2x^ — 4 Wir ordnen die Glieder noch nach fallenden Potenzen: 2ax^ + {2a + 2b)x + (b + 2c) = 2x^ + 0 • x - 4 Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das folgende, bereits gestaffelte Uneare Gleichungssystem: (I)

2a

=

2 => a=

1

(II)

2a + 2b

=

0 => b=

-1

(III)

b + 2 c - - 4 => c = - 1,5

Es wird gelost durch a = l, b = — 1, c = — 1,5. Damit ist yp = X^ -X-

1,5

eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: y = ^Q + y^ = C • e - 2^ + X 2 - X - 1,5 (2)

(CeM)

3;' + 5y = - 26 • sin x, y{0) = 0 Allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung y^ -\- 5y = 0: y^ = C-Q-^''

(CeR)

Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung y^ der inhomogenen Differentialgleichung nach Tabelle 1 (mit co = 1): yp = Ci • sin X + C2 • cos x Bestimmung der Parameter C^ und C2: jp = Cj * cos X — C2 • sin X yp -^ 5yp= - 26 • sin X Ci • cos X — C2 • sin X + 5 Ci • sin X + 5 C2 • cos X = — 26 • sin x

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

467

Ordnen der Glieder: (5 Ci — C2) • sin X + {Ci + 5 C2) • cos x = — 26 • sin x + 0 • cos x Koeffizientenvergleich fiihrt zu dem linear en Gleichungssystem (I) (II)

5 Ci -

C2 = - 26

Ci + 5 C2 =

0 => Ci = - 5 C2

Wir setzen (II) in (I) ein und erhalten: 5 ( - 5 C 2 ) - C 2 = - 2 6 C 2 = - 2 6 ^ C2 = 1 Aus (II) folgt dann: Ci = - 5 C 2 = - 5 - l = - 5 Die partikuldre Losung ist damit eindeutig bestimmt: yp = — 5 • sin X + cos x Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet somit: y = yQ -{- yp = C ' c~^^ — 5 • sin X -h cosx

(C e R)

Den Parameter C berechnen wir wie folgt aus dem Anfangswert y{0) = 0: y{0) = 0

^C+1=0=>C=-1

Die Anfangswertaufgabe besitzt demnach die Losung y = — e ~ ^^ — 5 • sin X + cos x

2.6 Anwendungsbeispiele 2.6.1 Radioaktiver Zerfall Aus der Physik ist bekannt, daB die Atomkerne gewisser Substanzen wie beispielsweise Uran oder Radium auf natilrliche Art und Weise nach bestimmten statistischen GesetzmaBigkeiten zerfallen. Wir stellen uns zunachst die Aufgabe, diesen als radioaktiven Zerfall bezeichneten Vorgang durch eine Differentialgleichung zu beschreiben. Dazu fiihren wir folgende Bezeichnungen ein: n = n{t): Anzahl der zur Zeit t noch vorhandenen Atomkerne dt: Kurzes Beobachtungsintervall (infinitesimal kleines Zeitintervall) dn: Anzahl der im Beobachtungsintervall dt zerfallenen Atomkerne Wir diirfen dabei annehmen, daB die Anzahl dn der im Beobachtungsintervall dt zerfallenen Atomkerne sowohl dem Beobachtungsintervall dt als auch der Anzahl n der noch vorhandenen Atomkerne proportional ist: dn ^ dt] V =^ dn^n-dt dn ^ n \

(V-59)

V Gewohnliche Differentialgleichungen

468

dn ist somit auch dem Produkt n • dt proportional. Aus dieser Proportionalitat erhalten wir durch Einfuhrung einer Proportionalitatskonstanten X (vom Physiker als Zerfallskonstante bezeichnet) die folgende Differentialgleichung des radioaktiven Zerfalls: dn = — In • dt

oder

dn = — Xn dt

oder

dn -\- Xn = ^ dt

(V-60)

Durch das Minuszeichen bringen wir dabei zum Ausdruck, daB die Anzahl der Atomkerne standig abnimmt. Der radioaktive Zerfallsprozefi wird somit durch eine homogene Hneare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Diese Gleichung wird nach (V-58) durch die Exponentialfunktion n{t) = C-e -At

(V-61)

(CGR)

allgemein gelost. Den Parameter C bestimmen wir aus dem Anfangswert n{0) = HQ, d.h. der Anzahl der zu Beginn vorhandenen Atomkerne: n (0) =

HQ

=> C = no

(V-62)

Der radioaktive Zerfall wird somit durch das Zerfallsgesetz (V-63)

n{t) = no'Q~^' beschrieben (Bild V-13).

Bild V-13 Zerfallsgesetz beim naturlichen radioaktiven Zerfall

2.6.2 Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes Wir untersuchen die Abhangigkeit der Fallgeschwindigkeit v von der Fallzeit t unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes. Auf einen frei fallenden Korper der Masse m wirken dabei die folgenden auBeren Krafte ein: 1. Die Schwerkraft: F^ = mg

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

469

2. Der Luftwiderstand, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit angenommen wird: F2 = — kv-^ {g: Erdbeschleunigung; k: Reibungskoeffizient)

i

> i

C3l

]

1

^ Fj=mg

Bild V-14 Zum freien Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes

1f

Erdoberfldche

Der Luftwiderstand wirkt der Schwerkraft stets entgegen (Bild V-14). Nach dem Newtonschen Grundgesetz der Mechanik gilt dann: ma = mg — kv^

oder

m-~ = mg — kv-^ dt

(V-64)

dv a = —: BeschleunigungJ. Diese Gleichung stellt eine nicht-lineare Differentialgleichung 1. Ordnung fur die Fallgeschwindigkeit v dar, die durch Trennung der Variablen losbar ist. Zunachst aber stellen wir sie noch geringfiigig um: dv -- = dt

k r g-~v' m

g 1

(V-65)

mg

Diese Gleichung bringen wir mit Hilfe der Substitution X

=

:^' mg

dx dv

k mg

d.h.

dv •

dx

(V-66)

auf die folgende Form: 'ma dx = k

dt

g{\-x^

oder

'm

dx

gk

dt

= 1

(V-67)

V Gewohnliche Differentialgleichungen

470

Wir trennen nun die Variablen und integrieren anschlieBend beide Seiten der Differentialgleichung, wobei wir beach ten miissen, daB 0 ^ x < 1 ist: Im

dx

gk

1-x^

= dt

m C dx f J—r\ ^=\dt N gk J i - x ^ J

^

m /—-artanhx = i + C ^ gk

(V-68)

Durch Riicksubstitution nach (V-66) folgt weiter: 'm k \ , —r ' artanh / — v ] = t -\- C gk \\lmg

artanh

-(t + C)

(V-69)

mg

Diese Gleichung losen wir nach v auf und erhalten: V = tanh

(t + C)

mg

V

(f + C)

tanh

=

(V-70)

Wir nehmen nun an, daB der freie Fall aus der Ruhe heraus erfolgt: v (0) = 0. Aus diesem Anfangswert laBt sich dann die Integrationskonstante C berechnen: mq I qk \ t;(0) = 0 => /-7^-tanh / —-C =0

c=o

^

c=o

(V-71)

Fur die Fallgeschwindigkeit erhalten wir damit das Zeitgesetz v{t) = I —--tanh /—t ^' k \V m ,

(V-72)

Fiir t -^ 00 strebt die Fallgeschwindigkeit gegen den Endwert VE=

lim v{t)=

mg —

(V-73)

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

471

Der Korper fallt dann krdftefrei, d.h. mit konstanter Geschwindigkeit v^, da sich Gewichtskraft und Reibungskraft (Luftwiderstand) in ihrer Wirkung gerade aufheben. Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion laBt sich unter Berucksichtigung von (V-73) auch in der Form v{t) = vr'tanhi

— t]

(t^O)

(V-74)

W J darstellen und besitzt den in Bild V-15 skizzierten Verlauf.

Bild V-15 Fallgeschwindigkeit v als Funktion der Fallzeit t unter Berucksichtigung des Luftwiderstandes

2.6.3 Wechselstromkreis Wir stellen uns die Aufgabe, den in Bild V-16 dargestelUen Wechselstromkreis mit einem ohmschen Widerstand R, einer Induktivitat L und einer Spannungsquelle, die eine sinusformige Wechselspannung liefert, durch eine Differentialgleichung zu beschreiben.

Bild V-16 Wechselstromkreis mit einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L in Reihenschahung

Die an R und L abfallenden Spannungen bezeichnen wir mit Uji{t) bzw. Ui^{t). Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz (Maschenregel) gilt dann^^: UL{t) + UR{t) = u{t)

8)

Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.

(V-75)

472

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Fiir die Teilspannungen U]^{t) und Uji{t) und die angelegte Wechselspannung gelten dabei folgende Beziehungen: di UT{t) = L-~ at

(Induktionsgesetz)

Ujf^(t) = Ri

{Ohmsches Gesetz)

(V-76)

u{t) = u ' sin (cot) Gleichung (V-75) geht damit liber in: L- —-\- Ri = u'sin (cot) dt

(V-77)

Diese inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten bcschrQiht denzeitlichen Verlaufder Stromstdrke i = i{t) in dem Wechselstromkreis nach Bild V-16. Wir beschaftigen uns nun mit der allgemeinen Losung dieser Differentialgleichung. Zunachst losen wir die zugehorige homogene Gleichung di L--\-Ri dt

=0

Oder

di R -4--i = 0 dt L

(V-78)

Sie besitzt nach (V-58) die allgemeine Losung io(0 = C e

L

(CelR)

(V-79)

Die inhomogene Differentialgleichung (V-77) losen wir durch Aufsuchen einer partikuldren Losung. Aus Tabelle 1 entnehmen wir dabei den Losungsansatz ip(t) = ?• sin {(Dt-\- (p)

(V-80)

mit dem Scheitelwert i und der Phase (p als Parameter. Mit diesem Ansatz gehen wir in die inhomogene Differentialgleichung (V-77) ein: L • -J- [^' • sin (ojt + (p)] + Ri • sin {cot -\- cp) = u • sin (cot) ojLi' cos {ojt + cp) -\- Ri • sin (cot -\- cp) = u • sin (cot)

(V-81)

Die Funktionen cos (cot + (^) und sin (cot + c^) entwickeln wir nach den Additionstheoremen^^ und erhalten: coLi [cos ((Dt) • coscp — sin (cot) • sin cp] + Ri [sin (ojt) - cos cp -\- cos (ot) • sin cp] = = u-sin{(ot) ^^ Vgl. hierzu Band 1, Gleichungen (III-139) und (III-140).

(V-82)

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

473

Wir ordnen nun die Glieder nach sin (cot) und cos {cot): [— coLi • sin (p -\- Ri • cos cp] sin (cot) + [coLi • cos (p -\- Ri - sin cp] cos (cot) = = w • sin (coO + 0 • cos (cot)

(V-83)

Ein Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten dieser Gleichung fiihrt zu dem nicht-linearen Gleichungssystem (I)

— CD Li sin cp -\- Ri • cos cp = u (V-84)

(II)

coL/ • cos (p ^- Ri- sin cp = 0

aus dem sich Scheitelwert i und Phasenwinkel (/) wie folgt bestimmen lassen. Zunachst werden beide Gleichungen quadriert und dann addiert. Die Unbekannte (p fallt dabei heraus und wir erhalten eine Bestimmungsgleichung fiir den Scheitelwert i: (I"*"):

CD^ L^i-^ • sin-^ (p — IRcoLi-^ - sin cp - cos cp + R-^i-^ • cos^ cp = w^

(II*):

(D^ L^i^ • cos-^ (p + IRwLi-^

• sin cp • cos (p -\- R-^i^ - sin^ cp + =0

co'^ I? i'^ (sin-^ (/) + cos^ cp) -\- R'^i'^ (cos^ (/? + sin^ cp) = u^ 1 co2• L 2 f •2

+

(« 2 ^ 2 + R 2 )

r^ -

r2 =: « 2

K2

r2 =: M 2

«2

M2

R 2 + 0,2 L2

i?2 + (ft;•L)2

M

(V-85)

•Jh:2 + ((« L)2 Damit ist der Scheitelwert i bestimmt. Den Phasenwinkel cp erhalten wir dann aus der Gleichung (II): coLi • cos (p -\- Ri' sin (p = 0 \: Ri • cos cp (DL sin (D CDL -— + = -— + tan (/) - 0 R cos 9 R

[

CDL

tan (/) = — - -

COL\

[

CDL\

=> cp = arctan I — — 1 = - arctan I — I

(V-86)

Die partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) lautet daher: ip{t) = i • sin {cot -\- cp) =

sin icot - arctan ( — ))

(V-87)

474

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Interpretation aus physikalischer Sicht Die partikuldre Losung (V-87) stellt einen sinusformigen Wechselstrom mit dem Scheitelwert i = u/^R^ + (coL)^ unddcmPhasenwinkel cp = — arctan(coL/i^) dar. R istder ohmsche und coL der indukdve Widerstand des Kreises. Der Scheinwiderstand des Wechselstromkreises betragt Z - ^R^

+ icoLf

(V-88)

Der Wechselstrom ip{t) lauft dabei der angelegten Wechselspannung u{t) = u • sin (cot) um den Phasenwinkel cp hinterher, d.h. cp ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom (Bild V-17).

/ = / s i n ((jjt+(p)

Bild V-17 Die Wechselspannung u = u • sin (cot) erzeugt im Wechselstromkreis nach Bild V-16 den phasenverschobenen Wechselstrom i = i • sin [cot + cp) („stationare" Losung)

Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) ist dann in der Form i{t) = iQ{t) + ip{t) =

= CQ

— i L +

u ^R^^icoL)^

( /WL\\ sm (Dt - arctan — ^ ^^^^

(V-89)

darstellbar. Dem Wechselstrom ip{t) uberlagert sich der exponentiell abklingende GleichR

-jt

Strom iQ{t) = C ' Q , der nach einer kurzen Einschwingphase praktisch keine Rolle mehr spielt und mit der Zeit nahezu verschwindet (sog. fluchtiger Bestandteil der allgemeinen Losung (V-89), vgl. hierzu Bild V-18).

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

475

Bild V-18 Exponentiell abklingender Gleichstrom im Wechselstromkreis nach Bild V-16 („fluchtiger" Bestandteil)

Die Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) besteht daher fiir hinreichend groBes t aus der partikuldren Losung ip{t), d.h. dem Wechselstrom i{t)^ip(t)

sm co^ — arctan

coL

(V-90)

^R^ ^((joLY Man bezeichnet die partikuldre Losung ip{t) daher auch als stationdre Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) (vgl. hierzu Bild V-17).

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten In den naturwissenschafthch-technischen Anwendungen spielen die linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten eine bedeutende Rolle. Sie treten beispielsweise bei der mathematischen Behandlung von mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen auf. Im Rahmen dieser Darstellung beschranken wir uns daher auf diesen besonders wichtigen Typ von Differentialgleichungen 2. Ordnung.

3.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

476

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Die Funktion g (x) wird als Storfunktion oder Storglied bezeichnet. Fehlt das Storglied, d.h. ist ^(x) = 0, so heiBt die lineare Differentialgleichung homo gen, sonst inhomogen.

Anmerkungen (1)

Kennzeichen einer linear en Differentialgleichung 2. Ordnung sind: 1. y, y^ und y" treten linear, d.h. in 1. Potenz auf. 2. „Gemischte Produkte" wie yy\ yy'' und y^y'' sind in der Differentialgleichung nicht enthalten.

(2)

Die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall der allgemeinen hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung, die durch die Gleichung

r+fi{x)'/+fo{x)-y

= g{x)

(V-92)

defmiert ist. Mit /^ (x) = constant = a und /Q (X) = constant = b erhalten wir hieraus die Differentialgleichung (V-91).

Beispiele (1)

Die folgenden Differentialgleichungen 2. Ordnung sind linear und besitzen konstante Koeffizienten: y^' + y = 0

(2)

Homogene

Dgl

y^' -\- 2y' — 3y = 2x — 4

Inhomogene Dgl

2 y'^ — 4y^ -\- 20y = cos X

Inhomogene Dgl

Die Differentialgleichungen 2. Ordnung y^' + xy^ -\- y = 0

und

x^y^'-\-x-^y'—

xy = Q^

sind zwar linear, besitzen jedoch nicht-konstante Koeffizienten. (3)

Bei den folgenden Differentialgleichungen 2. Ordnung handelt es sich um nichtlineare Differentialgleichungen: y'' -^ y' -\- y^ = 0 y'y" -^ y = X

{y tritt in der 2. Potenz auf) (Die Differentialgleichung enthalt das „verbotene" gemischte Produkt y' y'^)

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

477

3.2 AUgemeine Eigenschaften der homogenen linearen Differentialgleichung Wir beschaftigen uns zunachst mit einigen besonders wichtigen Eigenschaften der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Beweis Zu 1.: Wir zeigen, daB mit y^ = yi{x) auch die Funktion y = C • y^ eine Losung der homogenen Differentialgleichung (V-93) ist: y'' + ay' ^by = {C' y^f + a{C • y^Y + b{C • y^) = C • y'{ + C • ay[-h C • by^ = = C{y'{ + ay[ +by^) = 0

(V-96)

0 (da y^ eine Losung der Dgl (V-93) ist) Zu 2.; Nach Voraussetzung gilt: yi + ay[ ^by^=0

und

y'{ + ay'2 + by2=0

(V-97)

478

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Dann ist auch die Linearkombination y = Ciy^ -\- €2)^2 sine Losung der homogenen Differentialgleichung (V-93): y' + a/ ^by = ( Q • ^i + C2 • y2V + a(Ci • y^ + C2 • ^2)' + />(Q • yi + C2 • ^2) == = Ci ' yi + C2 • y^ + aC^'y[+aC2-

y'2 +hC^-y^

+ hC2'y2 =

= Ci {/{ + ayl + by^) + C2 (}^^' + a/2 + by2) = 0 0

(V-98)

0

(nach (V-97))

(nach (V-97))

Zu 3.: Nach Voraussetzung ist y = u -\- j - v eine komplexwertige Losung der homogenen Differentialgleichung (V-93) (u und i; sind Funktionen von x): y" + ay' + by = {u+] - v)" + a(w+j • v)' + b{u + ] • v) = {)

(V-99)

Nach dem Permanenzprinzip wird (wie im Reellen) gliedweise nach der reellen Variablen X differenziert. Wir erhalten dann: u" -\- i • v'' -\- a{u' +} • v') -\- b{u +} ' v) = 0 u" +]• v" -V au' -^ ] • av' + bu + ] • bv = ^ {u" + au' + bu)+] {v" + av' + bv) = ^

(V-100)

Diese Gleichung aber kann nur bestehen, wenn Real- und Imaginarteil der linken Seite verschwinden. Somit ist u'' -\- au' + bu = 0

und

v" ^ av' ^bv = ^

(V-101)

Dies aber bedeutet: Realteil u und Imaginarteil v sind (reelle) Losungen der homogenen Differentialgleichung (V-93). •

Beispiele (1)

Gegeben ist die sog. Schwingungsgleichung^^^ y''-\-Oj^y

=0

(co>0)

Partikuldre Losungen sind u.a.: yi = sin (cox)

und

y2 = cos (cox)

Den Nachweis fuhren wir, indem wir diese Funktionen zweimal differenzieren und anschheBend Funktion und Ableitung in die Schwingungsgleichung einsetzen: Fiir y^ = sin (cox): yi = sin (cox), y'l = w • cos (cox), y'{ = — co-^ • sin (cox) y'l + oj-^ yi = — CO"^ • sin (cox) + co^ • sin (cox) = 0 10)

Wir werden im Anwendungsteil noch zeigen, daB durch diese Gleichung eine harmonische Schwingung beschrieben wird.

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

479

Fiir y2 = cos (cox): ^2 = cos {(Dx), y2 = — CO • sin (cox), ^2 = — co^ • cos (cox) y'i + (^'^ yi— — ^^ ' cos {(Dx) -{- co-^ ' cos (cox) = 0 Damit sind auch die folgenden Funktionen Losungen der Schwingungsgleichung y^' + co^y = 0: y = Ci • sin (cox)

(C^ e R)

y = C2 ' cos (cox)

(C2 e IR)

3; = C^ • sin (cox) + C2 • cos (cox) (2)

(C^, C2 e IR)

Die Schwingungsgleichung y^' -\- oj-^ y = 0 wird auch durch die komplexwertige Exponentialfunktion y = Q^^^ gelost. Mit y = Qioyx^ 3;^=jco-eJ^^,

y'^ = j ^ co^ ' cJ^"^ = - co^ • e^^^

folgt namlich durch Einsetzen in die Differentialgleichung: y^' + co^y = - co^ • eJ^^ + co^ • eJ^^ = 0 Daher sind auch Realteil und Imagindrteil von y = Q^^^ (reelle) Losungen der Schwingungsgleichung. Unter Verwendung der Eulerschen Formel lauten diese Losungen: yi = Re (eJ ^^) = Re [cos (co x) + j • sin (cox)] = cos {ox) y2 = Im (eJ ^•^) = Im [cos (co x) + j • sin {(ox)] = sin (cox) Es handelt sich um die bereits aus Beispiel (1) bekannten periodischen Funktionen sin (co x) und cos {co x).

Es hegt nun die Vermutung nahe, daB eine aus zwei partikuldren Losungen y^ = yi{x) und ^2 — yi W gcbildete Linearkombination vom Typ y{x) = C^-y^{x)^C2-y2{x)

(V-102)

die allgemeine Losung der Differentialgleichung y'^ -\- ay' -\- by = 0 darstellt. Denn sie enthalt ja zwei frei wahlbare Parameter. Diese Vermutung trifft jedoch nur unter bestimmten Voraussetzungen zu. Zur naheren Erlauterung des Problems bedienen wir uns wieder der Schwingungsgleichung y^' -\- oj-^ y = 0. Die Funktionen yi = sin (cox)

und

^2 = 2 • sin (cox)

(V-103)

sind (wie sich durch Einsetzen leicht nachweisen laBt) partikuldre Losungen dieser Differentialgleichung. Die aus ihnen gebildete Linearkombination y = Ci • yi + C2 \y2 = Q • sin (cox) + 2 C2 • sin (cox)

(V-104)

ist dann ebenfalls eine Losung der Schwingungsgleichung (C^, C2 elR). Sie ist jedoch

480

V Gewohnliche Differentialgleichungen

nicht die allgemeine Losung, da sich ihre Parameter zu einer Konstanten zusammenfassen lassen^^^: y = Ci ' sin (cox) + 2 C2 • sin (cox) = = (Ci + 2 C2) • sin (cox) = C3 • sin (cox)

(C3 e R)

(V-105)

Wahlen wir jedoch als spezielle Losungen je eine Sinus- und Kosinusfunktion aus, also beispielsweise yi = sin (cox)

und

y2 = cos (wx)

(V-106)

so enthalt die aus ihnen gebildete Linearkombination y = Ci • yi -\- C2 ' y2 = Ci • sin {cox) + C2 • cos {cox)

(V-107)

zwei voneinander unabhdngige Parameter. Es ist im Gegensatz zum ersten Beispiel hier nicht moglich, die beiden Konstanten C^ und C2 zu einer Konstanten zusammenzufassen. Die Linearkombination (V-107) stellt - wie wir spater noch zeigen werden - tatsachlich die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung dar. Sie enthalt zwei linear unabhdngige Losungen, die man als Basisfunktionen oder Basislosungen der Differentialgleichung bezeichnet. Diese Uberlegungen fiihren zu der folgenden Begriffsbildung:

Anmerkungen (1) Die Wronski-Determinante ist eine 2-reihige Determinante (vgl. hierzu Abschnitt L2.2). Sie enthalt in der 1. Zeile die beiden Losungsfunktionen y^ und ^2 ^^^ i^ der 2. Zeile deren Ableitungen y[ und ^2- ^^^ beachte, daB der Wert der Wronski-Determinante noch von der Variablen x abhangt.

Wir erinnern: Die allgemeine Losung einer Differentialgleichung 2. Ordnung enthalt zwei voneinander unabhdngige Parameter.

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

481

(2)

Es geniigt zu zeigen, daB die Wronski-Determinante an einer Stelle XQ von Null verschieden ist.

(3)

ZwQi Basislosungen yi{x) und y2W der/lomogenen Differentialgleichung werden auch als linear unabhdngige Losungen bezeichnet. Dieser Begriff kommt aus der Linearen Algebra und besagt, daB die lineare Gleichung Ci-yi(x) + C2-y2W = 0

(V-110)

nur trivial, d.h. fiir C^ = C2 = 0 losbar ist. (4)

Verschwindet dagegen die Wronski-Determinante zweier Losungen y^ und y2, d.h. ist W{yi; y2) = 0, so werden diese Losungen als linear abhdngig bezeichnet.

Wir werden nun zeigen, daB die allgemeine Losung der homogenen hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung y'' -\- ay^ i- by = 0 in Form einer Linearkombination aus zwei BasisWsungen darstellbar ist. y^ = }^i W und y2 = y2W seien zwei solche (linear unabhangige) Losungen. Ihre Wronski-Determinante ist dann von Null verschieden: W{y,;y2)

yi

yi

y'l

y'l

^0

(V-111)

Es geniigt zu zeigen, daB es fiir beliebig vorgegebene Anfangswerte

y{^o) = yo^ y'{^o) = ^

(v-ii2)

genau eine Losung in Form einer Linearkombination y(x) = Ci-yi(x) + C2-y2W

(V-113)

gibt^^\ Mit anderen Worten: Die Konstanten C^ und C2 im Losungsansatz (V-113) miissen eindeutig aus den Anfangsbedingungen (V-112) bestimmbar sein. Wir erfullen nun die Anfangsbedingungen und erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten C^ und C2'.

y (->^o) = yo =^ Q • yi (^o) + 1^ = 12 = ^ Fundamentalbasis der Differentialgleichung: j;^=e^^,

y2=X'Q'^''

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

487

Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = Ci • e^-^ + C2X • e"^^ = (Ci + C2X) • e^^^

( Q , C2 e R )

Die charakteristische Gleichung /l^ + a/l + l7 = 0 besitzt jetzt konjugiert komplexe Losungen. Sie lassen sich mit den Abkiirzungen a = - -

und

4(D^ =4b-a^>0

(V-138)

in der folgenden Form darstellen:

'1/2

a 1 2-2 ^ C _ - ^

= a±y/-(D^

—2

= a±jco

(V-139)

Die Fundamentalbasis der homogenen Differentialgleichung (V-119) besteht in diesem Fall aus den komplexen Losungen yi = e(« + J^)^

und

3/2 - e^^-J^^^

(V-140)

deren Wronski-Determinante den von Null verschiedenen (imaginaren) Wert W{y^;y2)=

-j2co-e^^^

(V-141)

besitzt. Unter Verwendung der Eulerschen Formeln e±J^ = c o s z ± j -sinz

(V-142)

laBt sich die komplexe Basis jedoch in eine reelle Basis iiberfiihren. Um dies zu zeigen, formen wir die allgemeine Losung zunachst einmal wie folgt um: y = Ci • j^i + C2 • 3^2 = Q • e^^ + J^)^ + C2 • e^^-J^)^ = = Ci • e^^ • eJ^^ + C2 ' e^^ • e~J^^ = e^^ [Q • eJ^^ + C2 • e~J^^] = = e^^ [Ci (cos (cox) + j • sin (cox)) + C2 (cos (cox) — j • sin (cox))] = = Q'^^ [Ci • cos (cox) + j Ci • sin (cox) + C2 • cos (cox) — j C2 • sin (cox)] = = e^^ [j (Ci - C2) • sin (cox) + (C^ + C2) • cos (cox)] =

= Q''''[jA^- sin (cox) + A2 • cos (cox)]

(V-143)

488

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Bei einer komplexwertigen Losung y{x) = u{x) -\- j - v(x) sind auch Realteil u(x) und Imagindrteil v{x) selbst Losungen der Differentialgleichung (vgl. hierzu Abschnitt 3.2). Daher sind yi = e'^^ • sin (cox)

und

^2 = ^^^ ' ^^^ (^^)

(V-144)

Losungen der homogenen Differentialgleichung y'' -]- ay' -\- by = 0. Sie bilden wegen W{y^; y2)= -CO' e^^^ ^ 0

(V-145)

sogar eine (reelle) Fundamentalbasis dieser Differentialgleichung. Die allgemeine Losung ist daher in der Linearform y = Ki ' e^^ • sin (cox) + K2 • e^^ • cos (CDX) = = e«^ [Ki • sin {(ox) + K2 • cos {OJX)]

darstellbar

m

(V-146)

{K^,K2elR).

Beispiel y' -]-4y' + ny = 0 Charakteristische Gleichung mil Losungen: /l^+4A + 13 = 0 /li/2= - 2 ± V 4 - 1 3 - - 2 + V - 9 =

-2±3j

(a = — 2, o) = 3) Reelle Fundamentalbasis der Differentialgleichung: y^ = e~^^ • sin(3x), ^2 = ^~^^ " cos(3x) Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = C^ •e"^-^-sin(3x) + C2 • e"^^ • cos (3x) = = e~^^[Ci •sin(3x) + C2-cos(3x)]

( Q , C2elR)

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts wie folgt zusammen:

Beispiele (1)

y' ^3/

-4y

=0

Charakteristische Gleichung mit Losungen: ^2 + 3 ^ - 4 = 0 ^ ^ 1 = 1, A 2 - - 4 Fundament alb asis der Differ entialgleichung:

Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = C^ •e^ + C 2 e - ^ - ^

( Q , C2GIR)

(1. Fall)

489

490

V Gewohnliche Differentialgleichungen (2)

/' + 4/

+ 20y = 0

Charakteristische Gleichung mit Losungen: 2^ + 42 + 2 0 - 0 X^^2 = -2±

V4-20 = - 2 + y^T6 = - 2 + 4j

(3. Fall: a = - 2, co = 4) Reelle Fundament alb asis der Differ entialgleichung: y 1 = e ~ ^^ • sin (4 x), 3^2 = ^ ~ ^^ " ^^^ (4 x) Allgemeine Losung der Differ entialgleichung: y = Q-^^[C^ •sin(4x) + C2-cos(4x)]

( Q , C2eIR)

3.4 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung In Abschnitt 2.4.3.2 haben wir gezeigt, daB man die allgemeine Losung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung erhalt, wenn man zur allgemeinen Losung der zugehorigen homogenen Gleichung irgendeine partikuldre Losung der inhomogenen Gleichung addiert. Diese Aussage bleibt auch fur eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten unverandert giiltig.

Der Beweis verlauft analog wie in Abschnitt 2.4.3.2.

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

491

Das Losungsverfahren fiir eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten entspricht daher weitgehend der in Abschnitt 2.4.3.2 unter der Bezeichnung „Aufsuchen einer partikuldren Losung" behandelten Losungsmethode fiir inhomogene lineare Differentialgleichungen /. Ordnung. Zunachst wird dabei die zugehorige homogene Gleichung gelost. Wie dies geschieht, wurde im vorherigen Abschnitt ausfiihrlich dargelegt. Dann bestimmt man mit Hilfe eines geeigneten Losungsansatzes, der im wesentlichen vom Typ der Storfunktion g (x) abhangt, eine partikuldre Losung der inhomogenen Gleichung und addiert diese zur allgemeinen Losung der homogenen Gleichung. In der nachfolgenden Tabelle 2 sind die Losungsansdtze fiir einige in den Anwendungen besonders haufig auftretende Storglieder aufgefiihrt.

Tabelle 2: Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp (x) der inhomogenen hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y^^ -\- ay' -\- by = g{x) in Abhangigkeit vom Typ der Storfunktion g{x)

492

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Tabelle 2 (Fortsetzung)

Anmerkungen zur Tabelle 2 (1) Der jeweilige Losungsansatz gilt auch dann, wenn die Storfunktion zusatzlich noch einen konstanten Faktor enthalt.

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

493

(2)

Dieimjeweiligen Losungsansatz j ^ enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, daB diese Funktion eine (partikulare) Losung der vorgegebenen inhomogenen Differentialgleichung darstellt. Dies fiihrt stets zu einem eindeutig losbaren Gleichungssystem fiir die im Losungsansatz befindlichen Stellparameter.

(3)

Besteht die Storfunktion g (x) aus mehreren (additiven) Storgliedern, so erhalt man den Losungsansatz fiir yp als Summe der Losungsansatze fur die Einzelglieder nach Tabelle 2 (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (3)).

(4)

Liegt die Storfunktion in der Form eines Produktes vom Typ g{x) = gi{x) • 02(x) vor, so erhalt man in vielen (aber leider nicht in alien) Fallen einen geeigneten Losungsansatz fiir die gesuchte partikulare Losung yp, in dem man die aus Tabelle 2 entnommenen Losungsansatze yp^ und yp2 fiir die beiden „Storfaktoren" gi{x) und g2{x) miteinander multipliziert: yp = yp^ • ^^2-

(5)

Die unter 4. genannten Storfunktionen g{x) = P„{x) • e^^ • sin {^x)

und

g{x) = P„(x) • e'^ • cos (jSx)

(V-158)

enthalten als Grenzfdlle die unter 1. bis 3. aufgefiihrten Storfunktionen P„(x), e^^ und sin(j6x) bzw. cos(j8x). (6)

Bei periodischen Storfunktionen vom Typ g{x) = sind^x) oder g{x) = cos{Px) verwendet man haufig auch komplexe Losungsansatze der allgemeinen Form };p(x) = C-eJ^^-^ + ^>

Wir fassen zusammen:

(V-159)

494

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Anmerkungen (1) Wir bezeichnen wiederum (wie bereits bei den linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung) die allgemeine Losung der homogenen Gleichung mit yQ = yQ (x) und die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung mit y = y{x). (2)

Ein weiteres Losungsverfahren, das auf einer Anwendung der Laplace-Transformation beruht, werden wir in Kapitel VI kennenlernen (Abschnitt 5.1.3).

Beispiele (1)

/' + 10}^' - 24y = 12x^ + 14x + 1 Wir losen zunachst die zugehorige homogene Gleichung /' + 10y' -24y

=0

Die Losungen der charakteristischen Gleichung ^2 + 1 0 1 - 2 4 = 0 sind ^i = — 12 und ^2 = 2. Die Fundamentalhasis besteht daher aus den beiden Losungen (Basisfunktionen) yi=Q~^'^^

und

y2=^^^

Durch Linearkombination erhalten wir hieraus die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung in der Form );o = C i - e - i 2 ^ + C2-e2-

(Ci,C2eIR)

Ein partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen wir nach Tabelle 2 durch den Losungsansatz yp = a2X-^ -\- a^x -\-

AQ

(wegen b = - 24 ^ 0). Mit yp = a2X^ ~\- a^x + ao, yp = 2a2X -\- a^,

y'p =2a2

folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: 2^2 + 10(2^2^ + «i) - 24(^2x2 + a^x + ao) = 12x^ + 14x + 1 2^2 + 20a2X + lOai - 2 4 a 2 x 2 - 2 4 a i X - 2 4 a o = 12x2 + 14x + 1 Wir ordnen noch die Glieder nach fallenden Potenzen: - 2 4 a 2 x 2 + ( - 2 4 a i + 20a2)x + ( - 2 4 a o + lO^i + 2^2) = = 12x2 + I4x + 1

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

495

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das gestaffelte lineare Gleichungssystem -24a2 -24ai

= 12

+20a2 = 14

- 2 4 ^ 0 + 10^1 + 2a2=

1

Es wird durch 1

1

«2 = " 2 '

^1 = - 1. ^0 = " 2

gelost. Damit ist 1

2

1

/p 2 2 eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung und die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung besitzt somit die folgende Gestalt: }^ = yo + yp = Q - e - i 2 - + C 2 - e 2 - 1- - x2 2 - x - -1 2 2

(2)

(CI,C2EIR)

Wir beschaftigen uns nun mit der allgemeinen Losung der inhomogenen Differentialgleichung /' + y -2y

= g{x)

wobei wir fiir die Storfunktion g (x) verschiedene Funktionstypen vorgeben werden. Zunachst einmal losen wir die zugehorige homogene Differentialgleichung y'' + y-2y

=0

Sie besitzt die charakteristische Gleichung 1^ + A - 2 = 0 mit den reellen Losungen A^ = 1 und ^2 = — 2. Dies fiihrt zu der Fundamentalbasis

und damit zur allgemeinen Losung der homogenen Gleichung in der Form

496

V Gewohnliche Differentialgleichungen Wir geben nun verschiedene Storfunktionen g{x) vor und entnehmen der Tabelle 2 den jeweiligen Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung y^ der inhomogenen Gleichung:

Zul.: / ' + / - 2 j = 10x + l Wir gehen mit dem Ansatz

in die Differentialgleichung ein: 0 + ai - 2(aix + AQ) = lOx + 1 ai — 2 a^ X — 2 UQ = 10X -{- 1

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

497

Die Glieder werden noch nach fallenden Potenzen geordnet: — 2aiX-\-{ai

— 2ao) = lOx + 1

Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter: -2ai

=10

a^ — 2^0 = 1 Dieses gestaffelte lineare Gleichungssystem wird durch a^ = — 5, UQ = — 3 gelost. Damit ist yp=

-5x-3

und die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung besitzt die Form

Zu2.: j ' ' + j ' - 2 j = x 2 - 4 x + 3 Losung: 1 ^ 3

5

y = yo + yp = Ci-Q''

+ C2- e " ^ ^ -

1

^

2

3

5

2

~4

(Ci,C2e]

Zu3.: / ' + / - 2 j = 3-e4^ Losung: 1

4.

y = yo + yp = Ci • e- + C2 • e-2^ + ^ • e^-

( Q , C2 e R)

Zu4.: / ' + j ' - 2 j = 6-e^ Mit dem Losungsansatz: yp = Ax' e^,

j ; ^ = (^ + ^x) • e^,

yp = {2A + Ax) • e^

folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung: (2v4 + Ax) • e^ + (^ + Ax) • e-^ - 2Ax • e^ = 6 • e-^ |: e^ 2A-\-Ax

-i-A-\-Ax

-2Ax

=6 3^ = 6 ^ ^ = 2

498

V Gewohnliche Differentialgleichungen Somit ist

eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung und die allgemeine Losung dieser Gleichung lautet:

= (Ci + 2 x ) e ^ + C 2 e " ^ ^

( Q , C2GIR)

Zu5.: j ' ' + j ' - 2 j = jc-e'' Wir gehen mit dem Losungsansatz yp = Q^ia^x^ + QQX) y'p = e^(aix^ + UQX) + Q^ila^x + ao) = = Q^{ai x-^ -\- GQX -{- lai

X -\-

UQ)

y'p = e^(ai x-^ + ^QX + 2ai X + ao) + e^(2ai x + AQ + 2ai) = = e^(ai x^ +

^QX

+ 4ai X + 2^0 + 2ai)

in die Differentialgleichung ein: e^(aiX'^ + aoX + 4aiX + 2ao + 2ai) + e^(aiX^ H-aoX + 2aj^x + ao) — — 2 • e^(a^ x^ + aQx) = X • e^ Nach Division durch e^ und Ordnen der Glieder folgt weiter: 6aiX + 3^0 + 2fli = X Ein Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten dieser Gleichung fiihrt zu dem gestaffelten linearen Gleichungssystem 6ai = 1 3aQ + 2ai = 0 1 1 . . mit der eindeutig bestimmten Losung a^ = - , GQ = — . Somit 1st

eine partikuldre Losung und

y = yo + yp = Q • e'' + C2 • e-2^ + f -x2 - -X = Q x 2 -^-x + CA • e^ + C2 • e - 2 ^

(Ci, C2 e R)

die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung.

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

499

Zu 6.: j ' ' + j ' - 2J = 3 • sin (2x) Mit dem Losungsansatz yp = A ' sin(2x) -\- B ' cos (2x) y'p = 2A- cos (2 x) — 2 5 • sin (2 x) j;^' = - 4 ^ - s i n ( 2 x ) - 4 5 - c o s ( 2 x ) folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: — 4A-sm{2x)

— 4B-cos{2x)-\-2A-cos{2x)

— 2B' sin (2 x) —

— 2A' s,m{2x) — 2B • cos (2x) = 3 • sin (2x) Wir ordnen nun die Glieder nach S/nws- und Kosinusfunktionen: — 6 ^ • sin (2 x) — 2 fi • sin (2 x) + 2.4 • cos (2 x) — 6 5 • cos (2 x) = = 3 • sin (2 x) {-6A-2B)'

sin(2x) + {2A - 6B) • cos(2x) = 3 • sin(2x) + 0 • cos(2x)

Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter: -6A-2B

=3

2^1-65 = 0 Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Losung A=

9

, B=

20

3 20

Somit ist yp =

9 3 sin (2 x) 20 ^20

cos (2 x' ^ ^

Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet daher: 9 . 3 }^ = yo + -V77 = Q • e'' + C2 • e ^^ - — • sin (2x) - ^ • cos (2x) (Ci,C2GlR)

(3)

3;^'-6y^ + 93; = 2 e ^ + 9 x - 1 5 Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung y'' -6y'

-h9y = 0

Die charakteristische Gleichung ^2-62+ 9= 0

500

V Gewohnliche Differentialgleichungen wird durch A^ = /I2 = 3 gelost. Die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung lautet damit: yo = (CiX + C 2 ) e 3 ^

(Ci,C2eR)

Wir beschaftigen uns nun mit der Integration der inhomogenen Differentialgleichung. Zunachst benotigen wir einen geeigneten Losungsansatz fur eine partikuldre Losung y^. Diesen erhalten wir wie folgt: Wir zerlegen die Storfunktion g{x) zunachst in zwei Teile QI (X) und ^2 Wg{x) = 2 • e^ + 9x - 15 - 6^1 (x) + ^2 W

Fiir die Einzelstorglieder g^ (x) und ^2 W entnehmen wir aus Tabelle 2 die Ldsungsansdtze yp^= A' Q""

bzw.

yp2 =a^x-^

a^

Der Losungsansatz yp ist dann die Summe aus y^^ und ^^2*

DiQ drci Parameter A, a^ und aQ werden nun so bestimmt, daB diese Funktion die inhomogene Differentialgleichung lost. Mit yp = A'Q''-\-aiX-\-aQ,

yp = A - Q"" -\- a^,

y'^ = A • Q""

gehen wir in die inhomogene Gleichung ein und erhalten: ^ • e^ - 6 (^ • e^ + ^i) + 9 (yl • e^ + fli X + ao) = 2 • e^ + 9 X - 15 ^ • e ^ - 6 . 4 e ^ - 6 a i + 9 ^ e ^ + 9aiX + 9ao = 2 e ^ + 9 x - 1 5 4^e^4-9aiX-6ai+9ao

= 2 e ^ + 9x-15

Ein Koeffizientenvergleich fiihrt zu dem bereits gestaffelten hnearen Gleichungssystem 4A

= 2 9ai

=

9

— 6ai + 9^0 = — 15 1 Es wird durch A =-, a^ = 1, aQ = — 1 gelost. Damit ist 1 >;^ = - - e ^ + x - l und die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung besitzt die folgende Gestalt: y = yo + Jp = ( Q ^ + Q ) • e^"^ + - • e^ + X - 1

(Ci, C2 e R)

4 Anwendungen

501

4 Anwendungen 4.1 Mechanische Schwingungen 4.4.1 AUgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik Ein Feder-Masse-Schwinger (auch Federpendel genannt) soil uns im folgenden als Modell ftir ein schwingungsfdhiges mechanisches System dienen. Das System besteht aus einer Masse m, einer dem Hookeschen Gesetz geniigenden elastischen Feder und einer Ddmpfungsvorrichtung (z. B. einem Kolben, der sich durch eine zahe Fliissigkeit bewegt, wie in Bild V-19 dargestellt).

Gleichgewichfslage (Ruhelage)

Ddmpfungsvorrichtung

Bild V-19 Modell eines schwingungsfahigen mechanischen Systems (Feder-Masse-Schwinger mit Dampfungsvorrichtung)

Feder und Dampfungskolben werden dabei als masselos angenommen. Die Gleichgewichtslage (Ruhelage) des Systems ist dann durch das Eigengewicht der Masse bestimmt. Mit X = x{t) bezeichnen wir die Auslenkung zur Zeit t, bezogen auf die Gleichgewichtslage (Ruhelage). Auf die Masse m wirken dann die folgenden Krdfte ein: 1. Die zur Auslenkung x proportionale Ruckstellkraft der Feder: FI = —ex {Hookesehes Gesetz; c: Federkonstante).

(V-163)

502

V Gewohnliche Differentialgleichungen

2. Die zur Geschwindigkeit v = x proportionale Ddmpfungskraft: F2 = -bv

= -bx

(V-164)

{b\ Dampferkonstante). Sie wirkt stets der Bewegung entgegen. 3. Zusatzlich eine von auBen (z. B. iiber einen Exzenter) einwirkende, zeitabhdngige Kraft: F3 = F{t)

(V-165)

Wir wenden jetzt das von Newton stammende Grundgesetz der Mechanik an. Danach ist das Produkt aus Masse m und Beschleunigung a = x gleich der Summe der einwirkenden Krafte. Somit gilt: ma = Fi ^ F2 ^ F3 mx = -ex

- bx -i- F{t)

(V-166) Oder

mx -i- bx -\- ex = F(t)

(V-167)

Die Bewegung (Schwingung) eines Feder-Masse-Schwingers wird somit durch eine lineare Differentialgleiehung 2. Ordnung mit konstanten Koejfizienten beschrieben, die in den Anwendungen daher auch als allgemeine Schwingungsgleiehung der Mechanik bezeichnet wird. Wir unterscheiden dabei noch zwischen einer freien und einer erzwungenen Schwingung. Bei einer freien Schwingung unterliegt das System keiner (zeitabhangigen) auBeren Kraft, d. h. es ist F (t) = 0. Diese Schwingung kann geddmpft oder ungeddmpft sein, je nachdem, ob das Dampfungsglied F2 = -bx vorhanden ist oder nicht. Bei zu starker Ddmpfung kommt es allerdings zu keiner eigentlichen Schwingung mehr, wir erhalten eine aperiodische Bewegung (Kriechfall). UnterUegt das System dagegen Qinorperiodischen auBeren Kraft, d. h. ist z.B. F {t) = FQ - sin (oj t), so erhalt man eine erzwungene Schwingung. Wir stellen die verschiedenen Schwingungstypen wie folgt zusammen:

4 Anwendungen

503

Anmerkung Freie Schwingungen werden durch homogene, erzwungene Schwingungen durch inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. 4.1.2 Freie ungedampfte Schwingung Die freie ungedampfte Schwingung eines Feder-Masse-Schwingers wird durch die homogene Differentialgleichung mx -\- ex — 0

Oder

x + O^QX = 0

(V-172)

beschrieben, wobei COQ^^ c/m gesetzt wurde. Die zugehorige charakteristische Gleichung 2^ + a;2 = 0

(V-173)

besitzt die konjugiert komplexen Losungen Xi,2 = ±](OQ

(V-174)

Die Fundamentalbasis der Differentialgleichung besteht daher aus den linear unabhdngigen Funktionen (Basislosungen) xi = sin (a> 0 0

^^^

^2 = cos ((X> o 0

(V-175)

504

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung ist damit in der Linearform x{t) = Ci - sin {(DQt) ^ C2 • cos {(DQt)

(V-176)

Oder in der Form x ( 0 = C • sin (ft;o^ + (p)

(V-177)

darstellbar (Ci, C2 G R bzw. C > 0, 0 ^ ^
0 • cos 0 - A a> 0 • sin (0) = 0 0

1 =^ Ci a)o = 0

Ci

0

(V-179)

(wegen c 7^ 0 ist auch COQ y^ 0). Die den Anfangswerten x(0) = A, i(0) = 0 angepafite spezielle Losung lautet somit: x{t) = A • cos {w 0 0

(V-180)

Der Feder-Masse-Schwinger voUftihrt harmonische Schwingungen nach einer Kosinusfunktion mit der Eigenkreisfrequenz (o 0

und der Amplitude A (Bild V-21).

x(t) = A • COS ((jjQt)

Bild V-21 Zeitlicher Verlauf einer ungedampften harmonischen Schwingung (spezielle Losung ftir die Anfangswerte x (0) = A, x{0) = v (0) = 0)

506

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Wir fassen zusammen:

Anmerkung Fiir die Bestimmung der beiden Integrationskonstanten (z. B. aus vorgegebenen Anfangsbedingungen) erweist sich die Darstellungsform (V-183) meist als rechnerisch giinstiger. Amplitude C und Phase cp lassen sich dann mit Hilfe des (reellen) Zeigerdiagramms leicht aus C i und C 2 bestimmen.

Beispiel Wir untersuchen die Bewegung eines schwingungsfdhigen mechanischen Systems mit der Masse m = 10 kg und der Federkonstanten c = 250 N/m unter den Anfangshedingungen X (0) = 0,6 m, V (0) = i (0) = 0 Zunachst berechnen wir die Eigenkreisfrequenz des Systems: /250N . m - i o^. = M^^ = ^ / — T O k ^

, _i =^'~

507

4 Anwendungen Die Schwingungsgleichung X + 25JC = 0

besitzt nach Gleichung (V-183) die allgemeine Losung x(r) = Ci • sin (5^) + C2 • cos (5r) Die Parameter Ci und C2 lassen sich wie folgt aus den Anfangswerten bestimmen (wir legen dabei ein festes MaBsystem zugrunde und lassen bei alien Zwischenrechnungen der besseren Ubersicht wegen die physikalischen Einheiten fort): x(0) = 0,6 ^

Ci • sinO + C2 • cos 0 = 0,6 -^ C2 = 0,6 0

(in m)

1

x{t) = 5 C1 • cos (5 r) - 5 C2 -sin (51) i(0) = 0 ^

5 C i • cosO - 5C2 • sinO = 0 ^ 1

5 C i = 0 =^ Ci = 0

0

Das mechanische System schwingt demnach harmonisch nach der Gleichung X (t) = 0,6 m • cos (5 s " ^ • t)

{t ^ 0)

Die Schwingungsdauer betragt T = ITT/OJO = 0,4 TTS ^ 1,26 s, die SchwingungsampHtude C = 0,6 m. Der zeitliche Verlauf der Schwingung ist in Bild V-22 dargestellt.

x{t) = 0,6m cos (Ss"^ t)

508

V Gewohnliche Differentialgleichungen

4.1.3 Freie gedampfte Schwingung Die Differentialgleichung einer freien geddmpften Schwingung lautet: mx + bx + ex = 0

(V-184)

Oder — mit den Abkiirzungen 26 = h/m und (o^ = c/m: X + 2dx + (DIX = 0

(V-185)

Die physikalischen GroBen 5 und COQ werden wie folgt bezeichnet: d:

Dampfangsfaktor oder Ahklingkonstante

CO 0: Eigen- oder Kennkreisfrequenz Die zugehorige charakteristische Gleichung X^ +2(52 + o;2 = 0

(V.186)

besitzt die Losungen Ai/2 = - ( 3 ± 1/52 -0)1

(V-187)

iiber deren Art die Diskriminante D = d^ - CD^ entscheidet. Nur bei schwacher Ddmpfung ist das mechanische System zu echten Schwingungen fahig (sog. Schwingungsfall). Dieser Fall tritt fiir D < 0, d. h. d < OJQ ein. Bei starker Ddmpfung, d, h. fiir Z) > 0 und somit 6 > w^ bewegt sich das System aperiodisch auf die Gleichgewichtslage zu (sog. aperiodisehe Sehwingung, auch Krieehfall genannt). Fiir Z) = 0, d. h. 6 = (D{) erhalten wir schlieBlich den sog. aperiodisehen Grenzfall. Wir unterscheiden somit drei Falle: D < 0, d. h. ^ 0 • Geddmpfte Schwingung (Schwingungsfall) D = 0, d. h. (5 = o) 0 • Aperiodiseher Grenzfall Z) > 0, d. h. ^ > a; 0 • Aperiodisehe Schwingung (Krieehfall) Sie werden im folgenden ausfiihrlich diskutiert. 4.1.3.1 Schwache Dampfung (Schwingungsfall) Bei schwacher Dampfung ist D = 6^ - eo'^ < ^, d. h. 6 < COQ. 7MX Abkiirzung setzen wir noch 0)1 = 0)1-

d^ > ()

(V-188)

Die charakteristische Gleichung (V-186) hat dann die konjugiert komplexen Losungen Ai/2 = - COQ. Die charakteristische Gleichung (V-186) hat dann wegen Jd^

- col < d

(V-196)

zwei verschiedene negative Losungen: (D\

0; Bewegung zu Beginn: a) aus der i?w/ze heraus (^;(0) = ^0 = 0), b) nach aufien hin, d. h. von der Gleichgewichtslage fort {VQ > 0), c) nach innen hin, d. h. in Richtung Gleichgewichtslage mit ausreichender Geschwindigkeit (^0 < 0, i;o
0

Beispiel Wir losen die Schwingungsgleichung X + 6 i + 8,75x = 0 fiir die Anfangswerte x(0) = 0, i(0) = 8. Die charakteristische Gleichung besitzt zwei verschiedene negative Losungen: X'^ ^6X^

8,75 = 0 ^

Ai

-2,5,

X,

-3,5

Die allgemeine Losung der Differentialgleichung lautet daher: x{t) = C i • e-2'5^ + C2 • e-3'5^

Die Konstanten Ci und C2 werden aus den An/fl^g>yZ)eJmgw^g^^ bestimmt: x(0) = 0 =^ Ci + C2 = 0 =^ C2 = - C i x{t) = - 2 , 5 C i • e-2'5^ - 3,5C2 • e'^^^^ i(0) = 8 ^

- 2 , 5 C i - 3,5C2 =

=> -2,5CI

+ 3,5Ci =

Somit ist Ci = 8

und

C2 = -Ci

= -8

8 8

(wegen C2 = - C i )

4 Anwendungen

515

Die gesuchte partikuldre Losung der Schwingungsgleichung lautet damit: .-2,5r

x{t)

-3,5r\

(r^O)

Sie bescheibt die in Bild V-27 skizzierte aperiodische Schwingung (Kriechfall).

/Umkehrpunkt der Bewegung

x(t)=d(Q-^'^^-e-^'^^J

0,3U 0,5

Bild V-27

4.1.3.3 Aperiodischer Grenzfall Fiir Z) = (5^ — (^Q = 0, d. h. (3 = a)o erhalten wir den sog. aperiodischen Grenzfall, der die periodischen Bewegungsablaufe, d. h. die eigentlichen Schwingungen von den aperiodischen Bewegungsablaufen trennt. Auch im aperiodischen Grenzfall ist das schwingungsfahige mechanische System (Feder-Masse-Schwinger) zu keiner echten periodischen Bewegung (Schwingung) fahig. Die charakteristische Gleichung (V-186) besitzt jetzt zwei gleiche negative Losungen: 2i = ^2 = - ^

(V-211)

Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung (V-185) besitzt somit die Form x{t) = (Cir + C2) • e-^^

(Ci, C2 G IR)

(V-212)

(vgl. hierzu Abschnitt 3.3, 2. Fall, Gleichung (V-152)). Interpretation aus physikalischer Sicht Das schwingungsfahige mechanische System verhalt sich ahnhch wie im Kriechfall (starke Dampfung: d > OJQ): ES bewegt sich apmo(i/5'c/z aus der Anfangslage heraus auf die Gleichgewichtslage zu und erreicht diese im Laufe der Zeit (d. h. fiir r —> 00): lim x{t) ^ lim (Ci r + C2) • e ~bt

0

(V-213)

516

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Bild V-28 zeigt mogliche Bewegungsablaufe im aperiodischen Grenzfall fiir verschiedene Anfangswerte.

/Umkehrpunkf der Bewegung

BOd V-28 Zeitlicher Verlauf einer Schwingung im aperiodischen Grenzfall fiir verschiedene Anfangsbedingungen. Anfangslage: x(0) = A > 0; Bewegung zu Beginn: a) aus der Ruhe heraus {v{0) = VQ = 0), b) nach aufien hin, d. h. von der Gleichgewichtslage fort (^o > 0), c) nach innen hin, d. h. in Richtung Gleichgewichtslage mit ausreichender Geschwindigkeit (^o < 0, VQ < -dA)

Umkehrpunkf der Bewegung

Spezielle Losungen (1)

Zunachst erfolge die Bewegung des Systems (Feder-Masse-Schwinger) aus der Ruhe heraus, die Auslenkung zu Beginn (^ = 0) sei A > 0: x{0) ^ A

und

v{0) = x (0) = 0

(V-214)

Die Konstanten Ci und C2 in der allgemeinen Losung (V-212) lassen sich aus diesen Anfangsbedingungen wie folgt berechnen: x(0) =^ A :^ C2 = A

(V-215)

x{t) = Ci . e-^^ + {Cit + C2)(-(3) • e-^^ = = {-dCit i(0) = 0 ^

+ Ci - dC2) • e-^^ Ci - dC2 = 0 =^ Ci - dC2 = dA

(V-216)

Die spezielle Losung hat somit die Gestalt x{t) = A{dt + 1) ' Q-^'

(t^O)

Das System bewegt sich aperiodisch auf die Ruhelage zu (Bild V-29).

(V-217)

4 Anwendungen

517

.x(t) =

A(6t'^1)Q

BildV-29 Zeitlicher Verlauf einer Schwingung im aperiodischen Grenzfall fiir die Anfangswerte x{0) = A > 0, v(0) =^ 0

(2)

Wir stoBen das in der Gleichgewichtslage befindliche schwingungsfahige System kurz an, erteilen ihm somit eine Anfangsgeschwindigkeit VQ > 0. Die Anfangsbedingungen lauten jetzt: x(0) = 0

und

v(0) - i(0) =

(V-218)

VQ

Sie fiihren zu den folgenden Bestimmungsggleichungen fiir die Parameter C\ und C2 in der allgemeinen Losung (V-212): X (0) = 0

C2

i(0) = v^

0 (5C2

(V-219) ^^0

Ci

^0

(V-220)

Der aperiodische Grenzfall wird daher unter den Anfangsbedingungen (V-218) durch das Weg-Zeit-Gesetz x{t) ^ vot

-dt

{t>0)

(V-221)

beschrieben. Diese Funktion hat zur Zeit ti = 0 ihren einzigen Nulldurchgang und erreicht zur Zeit ^2 = 1/(5 ihr (relatives und zugleich absolutes) Maximum (BildV-30). Mit anderen Worten: Die Masse bewegt sich zunachst aufgrund der Anfangsgeschwindigkeit VQ aus der Ruhelage heraus, erreicht zur Zeit ^2 ^ 1/6 ihren Umkehrpunkt und nahert sich dann asymptotisch der Gleichgewichtslage (Bild V-30).

V Gewohnliche Differentialgleichungen

518

.Umkehrpunkt der Bewegung

,x(t) = v^fe

BildV-30 Zeitlicher Verlauf einer Schwingung im aperiodischen Grenzfall flir die Anfangswerte x{0) = 0 , v{0) = VQ > 0

Beispiel Wir betrachten ein schwingungsfdhiges mechanisches System mit der Federkonstanten c = 200 N/m und der Dampferkonstante b = 60kg/s. Wie groB muB die schwingende Masse m sein, damit der aperiodische Grenzfall eintritt? Losung: Der aperiodische Genzfall tritt fixr d = COQ, d.h. _b_ _ 2m ein. Wir losen diese Beziehung nach m auf und erhalten: b^ (60kg.s-i)2 " = 4^ = 4 . 2 0 0 N . m - i - ^ - ^ ' g Zu echten Schwingungen ist das System demnach nur fahig, wenn die schwingende Masse 4,5 kg ubersteigt. Fiir Massen kleiner als 4,5 kg schwingt das System aperiodisch. Der aperiodische Grenzfall wird bei einer Masse von 4,5 kg erreicht.

4 Anwendungen

519

4.1.3.4 Zusammenfassung Bei einer freien geddmpften Schwingung sind — je nach Starke der Dampfung — drei verschiedene Schwingungstypen moglich.

520

V Gewohnliche Differentialgleichungen

4.1.4 Erzwungene Schwingung Auf ein geddmpftes schwingungsfahiges mechanisches System wirke von auBen her die periodische Kraft F{t) = Fo - sin (ft)r)

(V-228)

ein (ft;: Kreisfrequenz des Erregers). Die Schwingungsgleichung lautet dann mx + Z?i + ex = Fo • sin [ojt)

(V-229)

Oder mit den iiblichen Abkiirzungen d = b/{2m), COQ = c/m und KQ = Fo/m: X + 2dx + wlx = KQ • sin (ft;^

(V-230)

Wir beschranken uns zunachst auf die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung (V-230) ftir ein schwach geddmpftes System. Losung der homogenen Schwingungsgleichung Die zugehorige homogene Differentialgleichung X + 2dx + (DIX = 0

(V-231)

wird bei (vorausgesetzter) schwacher Ddmpfung (d. h. 6 < COQ) nach den Ergebnissen aus Abschnitt 4.1.3.1 durch die Funktion xo = C • e-^^ • sin {codt + cpd)

(V-232)

gelost. Sie beschreibt eine geddmpfte Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz (Dd - ^(ol

- (52

(V-233)

Losung der inhomogenen Schwingungsgleichung Eine partikuldre Losung der inhomogenen Schwingungsgleichung (V-230) konnen wir nach Tabelle 2 (Abschnitt 3.4) sowohl durch den reellen Losungsansatz Xp = A ' sm{a)t - cp)

(V-234)

als auch durch den komplexen Losungsansatz Xp = A' eJ(^'-^) = A [cos (ft>r - ^) + j • sin (ft>r - cp)]

(V-235)

gewinnen^^^ Wir entscheiden uns hier bewuBt ftir den (bequemeren!) komplexen Ansatz, um einmal die Brauchbarkeit dieser Losungsmethode zu zeigen. Bei komplexer Rechnung muB allerdings auch die auBere Kraft F{t) = FQ • sin (cot) in komplexer Form dargestellt werden: F_{t) = Fo ' eJ^' = Fo [cos (ft^O + J ' sin (ft^O]

(V-236)

^^^ Bei komplexer Rechnung ist es in diesem Fall gunstiger, das Argument in der Form cot — cp anzusetzen (anstatt von cot + cp wie bisher). Komplexe Funktionen kennzeichnen wir dabei durch Unterstreichen.

4 Anwendungen

521

Es ist somit Xp = Im (xp)

= lm{A

' Q^^^'-^^)

F{t) = Im (F(0) = Im

(FQ

= A • sin {cot - cp)

• eJ^O = ^o • sin {(ot)

(V-237) (V-238)

Die Schwingungsgleichung lautet dann in komplexer Schreibweise: X + 2dx +

(DIX

= Ko • eJ^'

(V-239)

Mit Xp = A • eJ^^^-'^^

(V-240) Xp = j^co^A

_^,j2^ _ ^jcor _ e~J^ • eJ^"^'-^) = - a ; 2 ^ • e i{o)t-(p) = ^ —CO

gehen wir in diese Gleichung ein und erhalten

(V-241) Wir dividieren diese Gleichung zunachst durch A • t^^^ ^ {) und multiplizieren sie anschlieBend mit eJ"^: - a ; 2 . e-J'^ ^]2doj

J

. e-J^ + a;^

U

-j^?'

^0

(V-242)

^

(a>g-^2)+j(2(5a;)=^.ei^

(V-243)

Diese Gleichung interpretieren wir wie folgt: Auf der linken Seite steht eine komplexe Zahl in algebraischer Form mit dem Realteil a> Q - a; ^ und dem Imaginarteil Ida), rechts steht dieselbe komplexe Zahl in exponentieller Form mit dem Betrag KQ/A und dem Argument (Winkel) cp (BildV-31). lm(z)k

Bild V-31 ReCz;

522

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Zwischen den beiden Darstellungsformen bestehen dann nach Bild V-31 die folgenden Beziehungen: ^0

2^2 , (ft>^ - 0)')' +

AA2

46^0) 7

(V-244)

(folgt aus dem Satz des Pythagoras) 2(5 ft)

(V-245)

tan cp ft>o

— (JO^

Aus ihnen konnen Amplitude A und Phasenwinkel cp bestimmt werden. Fiir die Amplitude erhalten wir aus Gleichung (V-244) den Ausdruck K,

(V-246)

{wl - ft)2)2 + 4(52ft)2

mJ{wl

- w'^y + 46^0)^

Der Phasenwinkel cp wird aus Gleichung (V-245) ermittelt, wobei die Falle ft> o, ft> = ft^o und ft; > ft^o zu unterscheiden sind (Bild V-32).

imrz;4

lmlz)i

26uj

Rerz;

Rerz;

a)

(JJ^UJQ

.^ I

(a> ^ 0)

(V-269)

beschrieben. Der Verlauf der Resonanzkurve ist in BildV-37 dargestellt. Im Resonanzfall kommt es dabei zur sog. Resonanzkatastrophe: Das mechanische System schwingt jetzt mit beliebig grofier Amplitude, es kommt zur Zerstorung des Systems. (2)

Die Ergebnisse lassen sich auch auf starker gedampfte Systeme iibertragen. Nach den Ausflihrungen im vorherigen Abschnitt verschwinden namlich die Losungen der homogenen Gleichung mit der Zeit. Die partikuldre Losung der inhomogenen Gleichung fiihrt fiir alle drei Schwingungstypen zur erzwungenen Schwingung (V-265). Man beachte jedoch, da6 die Resonanzkurven mit zunehmender Dampfung flacher werden und da6 sich ihr Maximum (Resonanzfall) nach links, d. h. in den Bereich kleinerer Kreisfrequenzen verschiebt (Bild V-38). Fiir 6 ^ (Oo/y/2 besitzt die Resonanzkurve iiberhaupt kein Maximum mehr!

4 Anwendungen

529

Resonanzkur ve A = A (w)

Bild V-37 Resonanzkurve bei fehlender Dampfung

Bild V-38 Verlauf der Resonanzkurve ftir verschiedene Dampfungsgrade

530

V Gewohnliche Differentialgleichungen

4.2 Elektrische Schwingungen 4.2.1 Schwingungsgleichung eines elektrischen Reihenschwingkreises Ein elektrischer Reihenschwingkreis besteht nach Bild V-39 aus einem ohmschen Widerstand R, einem Kondensator mit der Kapazitat C und einer Spule mit der Induktivitat L in Reihenschaltung.

Bild V-39 Elektrischer Reihenschwingkreis

Wir fuhren noch die folgenden zeitabhdngigen GroBen ein: Ua = wfl(0 •

^^^ auBen angelegte Spannung

UR = UR{t):

Spannungsabfall am ohmschen Widerstand

uc = uc{t)'.

Spannungsabfall am Kondensator

UL = w L (0 • Spannungsabfall an der Spule (Induktivitat) q — q{t): Ladung des Kondensators / = / [t):

Im Reihenschwingkreis flieBender Strom

Nach dem 2. Kirchhojfschen Gesetz (Maschenregel^^^) ist dann: UL -h UR -\- Uc — Ua = ^

Oder

UL ^ UR -[- uc = Ua

(V-270)

Fiir die Teilspannungen WL, UR und uc gelten dabei folgende Beziehungen: UL = L —- (Induktionsgesetz) at

(V-271)

uj^ = Ri

(V-272)

(Ohmsches Gesetz)

Uc =" -^ q

(Kondensatorgleichung)

(V-273)

Gleichung (V-270) geht dann iiber in: L-^ + Ri + - q = Ua at C 16)

Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.

(V-274)

4 Anwendungen

531

Wir differenzieren diese Gleichung noch nach der Zeit t und beriicksichtigen, daB definitionsgemaB / = —— ist: at ^ — + ^ X + ^ ' = ^ (V-275) dt^ dt C dt ^ ^ Vor uns liegt jetzt eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ftir die Stromstarke / = i{t). Sie beschreibt die elektrische Schwingung in einem Reihenschwingkreis und wird daher als Schwingungsgleichung eines Reihenschwingkreises bezeichnet. Diese Differentialgleichung laBt sich auch in der Form d^i

^ . di + 2(5 - - +

dt^

dt

9 . 1 =~ L

dUa dt

OJU

(V-276)

'

darstellen. Dabei ist d = —

und

(DQ

--

1

\fTc.

(V-277)

Die Bezeichnungen sind die gleichen wie bei einem mechanischen Schwingkreis: 6:

Dampfangsfaktor oder Ahklingkonstante

CO 0: Eigen- oder Kennkreisfrequenz Ein direkter Vergleich mit der mechanischen Schwingungsgleichung^^^ X + 2dx + a)lx = ^

(V-278) m zeigt, daB die Differentialgleichung des elektrischen Reihenschwingkreises vom gleichen Typ ist. In beiden Fallen wird die Schwingung durch eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom allgemeinen Typ y^2dy^wly=f{t)

(V-279)

beschrieben. Wir stellen die Eigenschaften beider Schwingkreise einander gegeniiber:

^^^ F (i) ist die von auj^en auf das mechanische System einwirkende Kraft.

532

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Der elektrische Reihenschwingkreis ist somit das elektrische Analogon des mechanischen Schwingkreises (Modell: Feder-Masse-Schwinger, haufig auch Federpendel genannt). AUe Aussagen iiber den mechanischen Schwingkreis gelten daher sinngemaB auch flir den elektrischen Schwingkreis. Prinzipiell gesehen besteht somit kein Unterschied zwischen einer mechanischen und einer elektrischen Schwingung. Wir fassen wie folgt zusammen:

Anmerkung Wie bei den mechanischen Schwingungen wird auch hier zwischen einer freien und einer erzwungenen, einer ungeddmpften und einer geddmpften Schwingung unterschieden.

4 Anwendungen

533

4.2.2 Freie elektrische Schwingung Die freie elektrische Schwingung eines Reihenschwingkreises wird durch die homogene lineare Differentialgleichung d^i di + 25 — + (Op dt^ dt ^ 2

•

0

(V-283)

beschrieben. 1st kein ohmscher Widerstand vorhanden, d. h. ist R = 0 und somit auch (3 = 0, so erhalten wir eine ungeddmpfte elektrische Schwingung (Bild V-40). /•

i

i i(t)=C%\n(UJQf-^ip)

c-

4

/

/

/

/

/

ip/ujo

t

-c»»

•^

Bild V-40 Zeitlicher Verlauf einer ungedampften elektrischen Schwingung Bei vorhandener Ddmpfung, d. h. fiir i? 7^ 0 und somit ( 5 / 0 , miissen wir wie bei den mechanischen Schwingungen drei mogliche Falle unterscheiden: 1. Bei schwacher Ddmpfring (5 < o^o) erhalten wir eine geddmpfte Schwingung (Schwingungsfall; Bild V-41). / I

n^,-

^—^^^^i(t)

= C^~

^s'mfuj^f-f-ip^)

^^

Bild V-41 Zeitlicher Verlauf einer gedampften elektrischen Schwingung (Schwingungsfall)

"

534

V Gewohnliche Differentialgleichungen

2. Fiir 6 = (OQ tritt der aperiodische Grenzfall ein (Bild V-42).

Bild V-42 Zeitlicher Verlauf einer elektrischen Schwingung im aperiodischen Grenzfall fiir verschiedene Anfangsbedingungen (vgl. hierzu auch Bild V-28)

3. Bei starker Ddmpfung [d > COQ) verlaufen die elektrischen Schwingungen aperiodisch (Kriechfall', Bild V-43).

Bild V-43 Zeitlicher Verlauf einer aperiodischen elektrischen Schwingung fiir verschiedene Anfangsbedingungen (vgl. hierzu auch Bild V-24)

4 Anwendungen

535

Wir stellen abschlieBend die verschiedenen Schwingungstypen einer freien elektrischen Schwingung mit ihren allgemeinen Losungen wie folgt zusammen:

536

V Gewohnliche Differentialgleichungen

4.2.3 Erzwungene elektrische Schwingung Der in Kap. Ill, Abschnitt 3.2.3 behandelte Wechselstromkreis in Reihenschaltung kann als ein Reihenschwingkreis aufgefaBt werden, der durch eine auBere Wechselspannung zu einer erzwungenen elektrischen Schwingung erregt wird. Wir werden nun zeigen, daB die Losung der Schwingungsgleichung zu den bereits bekannten physikalischen Gesetzen flihrt. Die von auBen angelegte sinusformige Wechselspannung (Erregerspannung) Ua{t) = it ' sin {(Dt)

(V-293)

schreiben wir in der fur den Losungsweg bequemeren komplexen Form Ua{t) = u • eJ^'

(V-294)

{ua = Im (ua))- Die Schwingungsgleichung (V-281) lautet dann (in komplexer Schreibweise):

Die zugehorige homogene Gleichung liefert bei angenommener schwacher Ddmpfung {d < coo) den Beitrag io (0 = C - e-^'

'Sinicodt

+ (pd)

(V-296)

zur Gesamtschwingung {(Od = J^^l - d^; C > 0 ; 0 ^ q)d < 2jt). Es handelt sich hierbei um eine geddmpfte Schwingung, die nach einer gewissen Einschwingphase keine nennenswerte RoUe mehr spielt und daher unberiicksichtigt bleiben kann (sog. „fluchtige" Losung). Eine partikuldre Losung der inhomogenen Schwingungsgleichung (V-295) gewinnen wir mit Hilfe des komplexen Losungsansatzes ip{t) = i- eJ(^^-^)

(V-297)

dessen Imagindrteil dann zur „stationaren" Losung ip (t) ftihrt: ip (t) = Im {ip (0) = Im [/ • eJ(^^-^)] = / • sin {cot - cp)

(V-298)

Mit dem Ansatz (V-297) und den beiden Ableitungen ^ = j a > r eJ(^^-^), dt

- ^ = dt^

-w^i-

eJ(^^-^^

(V-299)

gehen wir nun in die inhomogene Schwingungsgleichung (V-295) ein: (o^i- Q^i^'-^) -^]2da)i-

eJ(^^-^^ +(oli'

e^^^^"^) = j ^ -

e^"' (V-300)

4 Anwendungen

537

Nach einigen elementaren Umformungen^^'> erhalten wir schlieBlich: (V-301)

Li

Wir multiplizieren diese Gleichung noch mit - j und beachten dabei, daB j ^ = - l ist:

Li Ida) + ]{(o 2 -

..2^ _

OJQ)

"_^ .

i^

(V-302)

Li

Auf der linken Seite dieser Gleichung steht eine komplexe Zahl in kartesischer Schreibweise mit dem Realteil Idw und dem Imaginarteil o)^ - col, rechts steht uco und dem Argudieselbe komplexe Zahl in exponentieller Form mit dem Betrag —;: ment (Winkel) cp (BildV-44). ^^

\n\(z)\

\

w^-w^o ^^^-^^

Bild V-44 26 U)

R^(z)

Zwischen der kartesischen Form und der Exponentialform bestehen dabei nach Bild V-44 die Beziehungen

co^ - wiy

+46^0)^

(V-303)

(folgt aus dem Satz des Pythagoras) und tan (p

0)"- — 0)^

Ibo)

(V-304)

^^) Der Losungsweg ist der gleiche wie beim mechanischen Analogon (vgl. hierzu Abschnitt 4.1.4).

V Gewohnliche Differentialgleichungen

538

Wir losen diese Gleichungen nach / bzw. cp auf und erhalten schlieBlich unter Be1 R — - und 6 = —— die aus der Wechselstromlehre berlicksichtigung von CDQ LC 2L kannten Beziehungen I

=

LJ{CO^

uco - 0)2)2 + 4 5 2 ^ 2

(V-305) i?2 + [wL

wC

und ^CD'

arctan

cot 2da)

coL arctan

(oC R

(V-306)

Gleichung (V-305) ist dabei das Ohmsche Gesetz der Wechelstromtechnik mit den Scheitelwerten u und / von Spannung und Strom und dem (reellen) Scheinwiderstand Z = Wi?2 + {(joL

1 coC

(V-307)

Die Schwingungsgleichung (V-295) besitzt somit nach einer bestimmten Einschwingphase die stationdre Losung i{t) - /o (0 + h (0 ~ ip (0 = i ' sin {cot - cp)

(V-308)

wobei die frequenzabhdngigen GroBen / (Scheitelwert des Stroms) und cp (Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung) nach Gleichung (V-305) bzw. (V-306) berechnet werden.

Bild V-45 Frequenzgang des Scheitelwertes der Stromstarke bei einer erzwungenen elektrischen Schwingung (Resonanzkurve)

4 Anwendungen

539

Bild V-45 zeigt den Frequenzgang des Scheitelwertes i. Fiir oj = ojo = —==^ tritt \JLC

dabei Resonanz ein, der Scheitelwert des Wechselstroms erreicht dann seinen groj^ten Wert. Die Abhangigkeit der Phasenverschiebung cp von der Kreisfrequenz w ist in Bild V-46 dargestellt. Fiir o) < (D{) eilt der Strom der Spannung in der Phase voraus, fiir (^ > CO 0 ist es umgekehrt. Im Resonanzfall o) = COQ sind Strom und Spannung in Phase [cp — 0). Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:

540

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Bild V-46 Frequenzgang der Phasenverschiebung bei einer erzwungenen elektrischen Schwingung

5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten KoefGzienten 5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Die Funktion g (x) wird als Storfunktion oder Storglied bezeichnet. Fehlt das Storglied, d. h. ist g (x) = 0, so heiBt die lineare Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen. Die Koeffizienten AQ, «i, • • , « « - ! sind reelle Konstanten.

5 Lineare Differentialgleichungen n-icr Ordnung mit konstanten Koeffizienten •

541

Beispiele Die nachfolgenden Differentialgleichungen sind linear und besitzen konstante Koeffizienten: y^^^ — 2y'^ -\- y' — 2y = 0

(3. Ordnung, homogen)

y{4-) _^yff' ^i^yf' _y^ = Q

(4. Ordnung, homogen)

y^^^ -\- 3 y'^ — 4y = sin X

(4. Ordnung, inhomogen)

•

5.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Ahnlich wie bei einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung laBt sich auch bei einer homogenen hnearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ >;(") + a„_ 1 • y^"-1> + ... + ai • };' + «o • 3^ = 0

(V-314)

die allgemeine Losung y = y{x) als Linearkombination von diesmal genau n Basislosungen oder Basisfunktionen darstellen. Darunter verstehen wir n Losungen der Differentialgleichung mit folgender Eigenschaft:

Anmerkungen (1) Die Wronski-Determinante ist n-reihig. Ihre Zeilen werden der Reihe nach aus den n Losungsfunktionen und ihren Ableitungen 1. Ordnung, 2. Ordnung, ..., (n — 1)ter Ordnung gebildet. Man beachte, daB der Wert der Wronski-Determinante im allgemeinen noch von der Variablen x abhangen wird.

542

V Gewohnliche Differentialgleichungen

(2)

Es geniigt zu zeigen, daB die Wronski-Determinante an einer Stelle XQ von Null verschieden ist.

(3)

Die Basislosungen J^i, 3^2' •••'3^n der homogenen linearen Differentialgleichung (V-315) werden auch als linear unabhdngige Losungen bezeichnet. Dies bedeutet (wie bei Vektoren), daB die lineare Gleichung C i - y i + C2-y2 + --- + Q - y „ = 0

(V-317)

nur trivial, d. h. fur C^ = C2 = ... = C„ = 0 erfiillbar ist. (4)

Losungen, deren Wronski-Determinante verschwindet, heiBen dagegen linear ahhdngig.

In Analogie zu den homogenen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten gilt auch hier fiir die Losungsmenge der Differentialgleichung die folgende Aussage:

Anmerkung Die der allgemeinen Losung (V-319) zugrunde liegenden Basislosungen bilden eine sog. Fundamentalbasis oder ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung (V-318). •

Beispiel Die homogene hneare Differentialgleichung 3. Ordnung y'^' -2y'

+ / -2y

=0

besitzt u.a. die folgenden Losungen: };i=sinx,

};2 = cosx,

3^3 = e^^

5 Lineare Differentialgleichungen ^-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

543

Wir fiihren den Nachweis fur die erste Funktion. Mit y^ = sin X, y[ = cos x,

y'l = — sin x und

y^^' = — cos x

folgt namlich durch Einsetzen in die Differentialgleichung: — cos X — 2 • (— sin x) + cos x — 2 • sin x = 0 — cos X + 2 • sin X + cos X — 2 • sin X = 0 0=0 Ebenso zeigt man, daB die beiden iibrigen Funktionen Losungen der Differentialgleichung sind. Bilden die drei Losungen eine Fundamentalhasis der Differentialgleichung? Um diese Frage zu beantworten, bestimmen wir den Wert der Wronski-Determinante:

iiy2iy3)

=

sin X cos X — sinx

= Q2X

.

cos X — sinx — cosx

sin X cos X — sin X

e^-^ 2 • e^^^ 4'e^^

cos X 1 — sin X 2 — cos X 4

= e ^^ (— 4 • sin^ x — 2 • sin x • cos x — cos^ x — — sin^ X + 2 • sin X • cos x — 4 • cos"^ x) = = e ^^ (— 5 • sin^ x — 5 • cos^ x) = = - 5 • e^^(sin^x + cos^ x) = — 5 • e^^ ^ 0

Wegen Wiy^; y2', y^) T^ 0 sind die Losungen linear unabhdngig und bilden somit eine Fundament alhasis der Differentialgleichung. Die allgemeine Losung ist daher als Linearkombination der drei Basisfunktionen wie folgt darstellbar: y = Cj • }^i + C2 • 3^2 + ^3 • ^3 = ^1 * sin X + C2 • cos X + C3 • e^^ (CI,C2,C3GR).

Eine Fundament alhasis der homogenen Differentialgleichung (V-318) laBt sich allgemein durch einen Losungsansatz in Form einer Exponentialfunktion vom Typ y = e'

mit dem noch unbekannten Parameter X gewinnen.

(V-320)

544

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Mit diesem Ansatz und den Ableitungen y' = X' e^^,

y" = X^ ' e^^,

... , y^") = }!" • e^^

(V-321)

gehen wir dann in die Differentialgleichung (V-318) ein und erhalten eine Bestimmungsgleichung fur den Parameter 1: r • e^^ + a„_i • A"-i • e^^ + ... + ai • ;i • e^^ + ao • e^^ = 0 | : e^^ A" + a „ _ i - A " ~ i + . . . + ai -^ + (30 = 0

(V-322)

Diese als charakteristische Gleichung bezeichnete algebraische Gleichung n-ten Grades besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n reelle oder komplexe Losungen Ai, /I2, ..., >l„. Die Basislosungen selbst hangen dabei noch von der Art dieser Losungen ab, wobei die folgenden drei Falle zu unterscheiden sind:

1. Fall: AUe Losungen sind reell und voneinander verschieden In diesem Fall erhalten wir n verschiedene Losungen in Form der Exponentialfunktionen y^^e^i^,

};2 = e ^ 2 ^ ,

... ,

y^ = Q^nX

(V-323)

Sie bilden ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung (V-318). Die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung ist dann als Linearkombination y = Ci • e^i^ + C2 • e^2^ + ... + Q • e^"^

(V-324)

dieser Basislosungen darstellbar.

2. Fall: Es treten mehrfache reelle Losungen auf Ist X = oc eine r-fache Losung der charakteristischen Gleichung (V-322), also etwa X^=X2 = X2, = ... = K = ^

(V-325)

so gehoren hierzu genau r linear unabhdngige Losungen, die wie folgt lauten: j;^=e«^,

y2 = x-Q'''',

};3 = x2-e«^,

... , y, - x**"^ • e«^

(V-326)

Sie gehen mit den konstanten Faktoren C^, C2, C3, ..., Q in die (aus alien Basisfunktionen gebildete) allgemeine Losung ein und konnen daher auch wie folgt zusammengefaBt werden: Ci • yi + C2 • ^2 + Q • ^3 + ... + Q • y^ = = Ci • e«^ + C2 • X • e^^ + C3 • x^ • e^^ + ... + C, • x**-! • e^^ = = (Ci + C2 • X + C3 • x^ + ... + C, • x'-^) ^ ^ ' Polynom vom Grade r — 1

• e^^

(V-327)

5 Lineare Differentialgleichungen n-lQr Ordnung mit konstanten Koeffizienten

545

Kegel: 1st a eine r-fache Losung der charakteristischen Gleichung (V-322), so ist in dem zugehorigen Beitrag C • e'^^ die Konstante C durch eine Polynomfunktion vom Grade r — 1 zu ersetzen.

3. Fall: Es treten konjugiert komplexe Losungen auf Ist l^j2 = OL ±](D eine (einfache) konjugiert komplexe Losung der charakteristischen Gleichung (V-322), so erhaUen wir als zugehorige Basisfunktionen zunachst die beiden komplexen Exponentialfunktionen y^

=Q^l^

= Qi^ + JOj)x _ QCCX . QJCDX

y^

= Q^2X _ g ( a - j c o ) x = QCCX . ^ -JCDX

(V-328)

und (V-329)

Unter Verwendung der Eulerschen Formel e±J^ = cos(/)±j 'sincp

(V-330)

lassen sich diese Funktionen auch wie folgt schreiben {(p = cox): y^ = e^^ . e+J^^ = e'^^ [cos (cox) 4-j • sin (cox)]

(V-331)

y^ = Q^^ • e~J^^ = e'^^ [cos (cox) — j • sin (cox)] Wie bei den homogenen hnearen Differentialgleichungen 2. Ordnung gilt auch hier: Ist y{x) = u{x) -\- i ' V(x) eine komplexwertige Losung der homogenen Differentialgleichung (V-318), so sind Realteil u{x) und Imagindrteil v{x) selbst (reelle!) Losungen dieser Differentialgleichung. Daher sind die reellen Funktionen yi = Q^^ • sin (cox)

und

^2 = ^^^ ' ^^^ (cox)

(V-332)

(linear unabhdngige) Losungen der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und somit Basisfunktionen dieser Differentialgleichung. Sie liefern in der allgemeinen Losung den folgenden Beitrag: Q • }^i + ^2 ' }^2 = Q • ^^^ ' si^ (^-^) + ^2 " ^^^ ' ^os (cox) = = e^^ [Ci • sin (ojx) + C2 • cos (cox)]

(V-333)

Tritt das konjugiert komplexe Losungspaar a ± j co jedoch mehrfach auf, also etwa r-fach, so sind die beiden Konstanten C^ und C2 im Ansatz (V-333) wie im reellen Fall durch Polynomfunktionen vom Grade r — 1 zu ersetzen.

546

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Wir fassen diese Ergebnisse wie folgt zusammen:

5 Lineare Differentialgleichungen ^z-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

547

Beispiele (1)

y'^^ -~4y'' -y'

+ 4y = 0

(3. Ordnung)

Charakteristische Gleichung mit Losungen: ;i^ -41^

-X-^4

= 0 => 1^ = -1,

i2 = l.

^3=4

(1. Fall)

Fundamentalbasis der Differentialgleichung:

Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = Q • e~^ + C2 • e^ + C3 • e^^^

(2)

y^^) - 6y"' + 12y^^ - lOy^ + 3); = 0

( Q , C2, C3 e R )

(4. Ordnung)

Charakteristische Gleichung mit Losungen: ^'^-6yl3 + 12yl^-10^ + 3 = 0 =^ li^2/3 = l' Fundament albasis der Differ entialgleichung: yi=e-^,

y2 = X'e^,

y^ = x^'Q^,

J4 = e^^

Allgemeine Losung der Differ entialgleichung: y = ( d + C2 • X + C3 • x^) • e-^ + C4 • e^^ (Ci,C2, C3,C4eIR)

^4 = 3 (2. Fall)

548

V Gewohnliche Differentialgleichungen (3)

y ^^> + 3 y'' - 4 }; = 0

(4. Ordnung)

Charakteristische Gleichung mit Losungen: ^^^ + 3 ^ 2 - 4 = 0 =^ i i = - 1 , ^2=^1'

h/4.=

±^}

(3. Fall) Fundamentalbasis der Differentialgleichung: yi=e~^,

y2 = Q^, y3 = sin(2x), j 4 = cos(2x)

Allgemeine Losung der Differ entialgleichung: y = Ci • e~^ + C2 • e^ + C3 • sin (2x) + C4 • cos (2%) (Ci,C2,

C3,C4GR)

5,3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Auch bei einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ j^«> + a„_i • y(«-i) + ... + ai • y' + ao • y = ^(x)

(V-342)

laBt sich die allgemeine Losung y = y[x) als Summe aus der allgemeinen Losung yo = >^o W ^^^ zugehorigen homogenen Differentialgleichung und einer (beliebigen) partikuldren Losung y^ = yp{x) der inhomogenen Differentialgleichung darstellen: y{x) = yoix) + yp{x)

(V-343)

(Losungsmethode: „Aufsuchen einer partikuldren Losung"). Zunachst wird dabei die zugehorige homogene Differentialgleichung gelost. Wie dies geschieht, haben wir bereits im vorangegangenen Abschnitt ausfuhrlich dargelegt. Dann wird mit Hilfe eines geeigneten Losungsansatzes, der im wesenthchen vom Typ der Storfunktion g (x) abhangt, eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmt und zur allgemeinen Losung der homogenen Differentialgleichung addiert. Die nachfolgende Tabelle 3 enthalt geeignete Losungsansdtze yp = ypix) fur einige in den Anwendungen besonders haufig auftretende Storglieder g{x).

5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

549

Tabelle 3: Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp{x) der inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y^"^ + a„_ 1 • y^"~^^ + ... + a^ •};' + ao • y = ^(x) in Abhangigkeit vom Typ der Storfunktion g (x)

Anmerkungen zur Tabelle 3 (1) Der jeweilige Losungsansatz gilt auch dann, wenn die Storfunktion zusatzlich noch einen konstanten Faktor enthalt.

550

V Gewohnliche Differentialgleichungen

(2)

Dieimjeweiligen Losungsansatz y^ enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, daB diese Funktion eine (partikulare) Losung der vorgegebenen inhomogenen Differentialgleichung darstellt. Dies fiihrt stets zu einem eindeutig losbaren Gleichungssystem fiir die im Losungsansatz befindlichen Stellparameter (bei richtig gewahltem Losungsansatz nach Tabelle 3).

(3)

Besteht die Storfunktion aus mehreren (additiven) Storgliedern, so erhalt man den Losungsansatz fiir yp als Summe der Losungsansatze fiir die einzelnen Storglieder. Beispiel: Fur die Storfunktion g{x) = g^ (x) + ^2 W l^^tet der Losungsansatz: yp = ypi + yp2

(v-344)

Dabeisind y^^ und yp2 die Losungsansatze fiir die Einze/g/ze^^r ^i(x) bzw. ^2 W ^^^^ Tabelle 3. (4)

1st die Storfunktion ein Produkt aus mehreren Funktionen (auch „Storfaktoren" genannt), so erhalt man in vielen (aber leider nicht alien) Fallen einen geeigneten Losungsansatz fiir die gesuchte partikulare Losung, indem man die aus Tabelle 3 entnommenen Losungsansatze der einzelnen Storfaktoren miteinander multipliziert. Beispiel: Fiir die Storfunktion ^(x) = ^^(x) • ^2 W versuchen wir also einen Losungsansatz in der Produktform yp = ypi • yp2

(v-345)

Dabei sind y^^ und yp2 die Losungsansatze fiir die Storfaktoren g^ (x) und ^2 W ^^^^ Tabelle 3. Wir fassen das Losungsverfahren wie folgt zusammen:

5 Lineare Differentialgleichungen n-tQV Ordnung mit konstanten Koeffizienten •

551

Beispiele (1)

y''' - 3y' + 2y = 2 - s m x + COSX

Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung /'' -3/

^2y

=0

Die Losungen der charakteristischen Gleichung A^-3A + 2 = 0 sind Xi = — 2 und /I2/3 = 1. Die Fundamentalbasis besteht daher aus den drei Losungen (Basisfunktionen) yi=Q~'^^,

y2 = ^^

und

^3 = x • e-^

Durch Linearkombination erhalten wir hieraus die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung in der Form yo = Ci • e - 2 - + (C2 + C3 • X) • e-

(Cj, C2, C3 e IR)

Bin partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen wir nach Tabelle 3 durch den Losungsansatz yp = A ' sin X -i- B • cos x (Begriindung: ^ = l ; j ^ = j l = j Gleichung). Mit

ist keine Losung der charakteristischen

yp = A • sin X + B ' cos x,

yp = A- cos x — B - sinx

yp = — A ' sinx — B ' cos x,

yp' = — A - cos x -\- B • sinx

folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: — A • cos X + B • sin X — 3 (^ • cos x — 5 • sin x) + + 2 (^ • sin X + 5 • cos x) = 2 • sin x + cos x — A • cos X + 5 • sin X — 3 ^ • cos x + 3 J5 • sin x + + 2 ^ • sin X + 2 5 • cos x = 2 • sin x + cos x Wir fassen noch die Sinus- bzw. Kosinusterme zusammen: (2yl + 45) • sinx + (—4^1 + 2B) • cosx = 2 • sinx + cos X Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das lineare Gleichungssystem 2A + 4B = 2 ~4A + 2B= 1 mit der eindeutigen Losung ^ = 0 und B = 1/2.

552

V Gewohnliche Differentialgleichungen Damit ist 1 yp = -' 2 cos X eine partikuldre Losung und 1

y = yo -^ yp = ^ 1 ' ^ ^^ + (^2 + ^3 • x) • e^ +2 ^ • cos x die allgemeine Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung. (2)

y^'^^ + l/''

-3/'

^lOx-Q^""

Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung yW^2/''

-3y'

=0

Die charakteristische Gleichung X'^ + lP

-3X^

=0

wird durch /ii/2 = 0> ^3 = ^ ^^^ A4 = — 3 gelost. Die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung lautet damit: y^ = Ci + C2 • X + C3 • e-^ + C4 • e"^^ (Ci,C2, C 3 , C 4 G 1 R ) .

Wir beschaftigen uns nun mit der Integration der inhomogenen Differentialgleichung. Einen geeigneten Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung erhalten wir wie folgt. Die Storfunktion g{x) ist das Produkt zweier Funktionen g^{x) und^2W^(x) = 20x • e^^ = g^ (x) • ^2 W

Fiir die beiden „Storfaktoren" ^i(x) = 20x und g2{^) = ^^^ entnehmen wir aus Tabelle 3 die Losungsansdtze ypi = Ax -\- B

und

yp2 = ^ ' ^'^^

Der gesuchte Losungsansatz 3;^ ist dann das Produkt aus j ^ j und ^^2' yp = ypi'yp2

= iAx + B)'C'

e^^ = (^Cx + EC) • e^^ = a

b

= {ax + b)-Q^'' Die verbliebenen Parameter a = AC und b = EC werden jetzt so bestimmt, daB diese Funktion die inhomogene Differentialgleichung lost. Dazu benotigen wir zunachst die Ableitungen des Losungsansatzes bis zur 4. Ordnung.

5 Lineare Differentialgleichungen n-tQY Ordnung mit konstanten Koeffizienten

553

Sie lauten: yp = {2ax-\- a-i- 2b)-Q^"" y'p =A{ax -^ a + b)'t^'' y'^' =

A[2ax-^?>a^2b)'Q^''

Mit diesen Ableitungen gehen wir in die inhomogene Differentialgleichung ein: 16{ax + 2a + b) • e^"" + 8(2ax + 3a + 2b) • e^^ - 12(ax + a + 5)-e^^ = 20x-e2^ Wir kiirzen noch durch 4 • e^^, ordnen und fassen dann die Glieder wiefolgt zusammen: 4{ax -\- 2a -\- b) + 2(2ax -{- 3a + 2b) — 3{ax -\- a -\- b) = 5X 4ax-\-^a-\-4b-\-4ax

+

6a-{-4b-3ax-3a-3b^5x

Sax + 11a + 5b = 5x Ein Koeffizientenvergleich fiihrt uns zu dem bereits gestaffelten linearen Gleichungssystem 5a

=5

l l a + 5b = 0 mit der Losung a = 1 und b = — 2,2. Damit ist yp = (X - 2,2) • e2^ eine partikuldre und

= Ci + C2 • X + C3 • e^ + C4 • e - 3 ^ + (x - 2,2) • e^^ die allgemeine Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung.

5.4 Ein Eigenwertproblem: Bestimmung der Eulerschen Knicklast Bei vielen naturwissenschaftlich-technischen Problemen stoBt man auf eine Randwertaufgabe, deren Differentialgleichung noch einen gewissen freien Parameter }x enthalt. Man interessiert sich dann fiir alle diejenigen Werte des Parameters, die zu einer nicht-trivialen Losung fiihren, und bezeichnet diese Werte als Eigenwerte und die zugehorigen Losungen als Eigenlosungen oder Eigenfunktionen^^K Aus dem Randwertproblem ist dabei ein sog. Eigenwertproblem geworden. 19) Der Parameter fx kann auch in den Randbedingungen selbst auftreten. Zur Erinnerung: Eine Losung wird als trivial bezeichnet, wenn sie identisch verschwindet, also y = 0 gilt.

554

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Wir wollen jetzt an einem einfachen Beispiel aus der Festigkeitslehre zeigen, wie sich ein solches Eigenwertproblem losen laBt. Formulierung der Rand- bzw. Eigenwertaufgabe Der in Bild V-47 dargestellte homogene Stab der Lange / ist an beiden Enden gelenkig gelagert und wird durch eine in Stabrichtung angreifende (konstante) Druckkraft F belastet.

Bild V-47 Beidseitig gelenkig gelagerter Stab, belastet durch eine Druckkraft F Die sich dabei einstellende ortsabhangige Durchbiegung y = y{x) geniigt der folgenden homogenen Hnearen Differentialgleichung 4. Ordnung (vgl. hierzu Bild V-48): ^(4) j^

y^f ^Q

(O^x^l)

(V-349)

EI Darin bedeuten: E:

Elastizitdtsmodul (elastische Materialkonstante)

/:

Fldchenmoment oder Fldchentrdgheitsmoment des Stabquerschnittes

EI:

Biegesteifigkeit (Konstante)

Mit der Abkiirzung fi-^ = F/EI erhalten wir schheBlich die als Biegegleichung bezeichnete Differentialgleichung der Biegelinie in der speziellen Darstellungsform y(^) + ^2^// _ Q

(0 ^ X ^ /)

(V-350)

Bild V-48 Biegelinie des durch eine Druckkraft belasteten Stabes

Der von der einwirkenden (und zunachst behebigen) Druckkraft F > 0 abhangige Parameter fi kann dabei nur positive Werte annehmen. Da in den beiden Randpunkten des Stabes, d.h. an den Stellen x^ =0 und X2 = I keine Durchbiegungen moglich sind und

5 Lineare Differentialgleichungen ^-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

555

auch keine Momente auftreten konnen, gelten fiir die Biegelinie y = y{x) die folgenden Randbedingungen ^^^: gungen und keine Momente y'^(O) = y^'(/) = 0 J

i^ ^^^ beiden Randpunkten)

Die Losungen dieses Randwertproblems werden dabei in irgendeiner Weise noch von dem Parameter /i > 0 in der Biegegleichung (V-350) abhangen. Wir haben es daher mit einem Eigenwertproblem zu tun, mit dessen Losungen wir uns jetzt naher beschaftigen wollen.

Triviale Losung der Eigenwertaufgabe Die Funktion y = y{x) = 0 ist sicher eine Losung der Biegegleichung (V-350), wie man durch Einsetzen in diese Gleichung leicht nachrechnen kann. Sie erfiillt auch sdmtliche Randbedingungen. Aus physikalischer Sicht bedeutet diese Losung, daB der Stab keinerlei Verformung erleidet. Es handelt sich also um die nicht naher interessierende triviale Losung unserer Rand- bzw. Eigenwertaufgabe (Bild V-49). Stab

y(x)^0 Bild V-49 Triviale Losung: Der Stab erfahrt keinerlei Verformung

Eigenlosungen oder Eigenfunktionen der Eigenwertaufgabe Uns interessieren jetzt ausschliefilich diejenigen Druckkrafte F, bei deren Einwirken der Stab auch tatsachlich verformt wird. Man bezeichnet diese Krafte als Eulersche Knickkrdfte oder auch Eulersche Knicklasten. Dabei gehort zu jeder Knickkraft F ein bestimmter Wert des Parameters ji sowie eine bestimmte nicht-triviale Losung y = y{x)^0 unserer Randwertaufgabe. Diese speziellen Werte des Parameters fi (bzw. der Knicklast F), fiir die man also nicht-triviale Losungen erhalt, heiBen Eigenwerte und die zugehorigen Losungen daher Eigenlosungen oder auch Eigenfunktionen. Mit der Bestimmung dieser Eigenwerte und Eigenlosungen wollen wir uns im folgenden beschaftigen. Die Biegegleichung (V-350) fiihrt zunachst auf die charakteristische Gleichung ^ 4 + ^ 2 ^2 _ ^2 (^2 ^^2^

20)

= 0

(V-352)

. . Bei geringen Verformungen ist das Moment M proportional zur 2. Ableitung der Biegelinie: M ^ y . Daher verschwindet die 2. Ableitung in beiden Randpunkten.

556

V Gewohnliche Differentialgleichungen

mit den Losungen Ai/2=0

und

23/4=±J/^

(V-353)

Die allgemeine Losung der Biegegleichung (V-350) lautet daher: y = Q + C2 X + C3 • sin (fix) + C4 • cos (//x)

(V-354)

Mit den benotigten Ableitungen y^ = C2 -\- fiCj • cos {fix) — fiC^- sin {fix)

(V-355)

und y'^ = — fi-^ C^ • sin {fix) — fi-^ C^,- cos {fix) — = - ju^ [C3 • sin {fix) + C4 • cos {fix)]

(V-356)

erhalten wir dann aus den Randbedingungen (V-351) vier Bestimmungsgleichungen fur die unbekannten Konstanten Q bis C4: j(0)=:0 => Ci + C4 = 0

(V-357)

j;(/) = 0 => Ci + C2 / + C3 • sin {fil) + C4 • cos {fil) = 0 3;''(0) = 0 =^ -fi^C^

=0

(V-358) (V-359)

j ; ' ' (/) = 0 => - /i^ [C3 • sin {fil) + C4 • cos {fil)] = 0

(V-360)

Aus Gleichung (V-359) folgt sofort C4 = 0 (wegen fi> 0) und damit weiter aus Gleichung (V-357) auch Ci = 0. Das Gleichungssystem reduziert sich damit auf C2 / + C3 • sin {fil) = 0 ^ C3 • sin {fil) — 0

(V-361)

Durch Differenzhildung dieser Gleichungen folgt dann C2 / = 0 und somit € 2 = 0 . Es verbleibt daher noch eine einzige Bestimmungsgleichung, namlich C3'sin(/i/) = 0

(V-362)

Unser Eigenwertproblem ist daher nur dann nicht-trivial losbar, wenn C3 / 0 ist. Dies aber fiihrt zu der Gleichung sin {fil) = 0

oder

fil = nn

(V-363)

deren Losungen /i„ = y

(n = 1,2,3,...)

(V-364)

die gesuchten Eigenwerte sind. Die zugehorigen Eigenlosungen oder Eigenfunktionen besitzen damit die folgende Gestalt: yn = Jn W = Q • sin f y X j

(0 ^ X ^ /)

(n = 1, 2, 3,...). Dabei ist C3 eine (beliebige) von Null verschiedene Konstante.

(V-365)

5 Lineare Differentialgleichungen n-tQY Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einige dieser unendlich vielen Eigenlosungen sind in Bild V-50 graphisch dargestellt.

Bild V-50 Die ersten Eigenlosungen (Eigenfunktionen) beim Eulerschen Knickfall

557

V Gewohnliche Differentialgleichungen

558

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung Zahlreiche der in der naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftretenden Differentialgleichungen (insbesondere nichtlineare Differentialgleichungen) sind elementar nicht losbar, d.h. es ist nicht moglich, die Losungsfunktionen in Form von Funktionsgleichungen anzugeben. In anderen Fallen wiederum ist eine Losung der Differentialgleichung in geschlossener Form zwar grundsdtzlich erreichbar, jedoch vom Arbeits- und Rechenaufwand her zu aufwendig. Es bleibt dann noch die Moghchkeit der punktweisen Berechnung der Losungskurve unter Verwendung spezieller Ndherungsverfahren.

6.1 Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung 6.1.1 Streckenzugverfahren von Euler Die Aufgabe besteht darin, das Anfangswertproblem y' = / ( ^ ; y)

Anfangswen: y{xo) = y^

(V-366)

im Intervall a ^ x ^b numerisch zu losen. Zunachst unterteilen wir das Intervall in n gleiche Teile der Lange h=

b—a

(V-367)

Die GroBe h wird in diesem Zusammenhang als Schrittweite bezeichnet. Von Euler stammt das folgende, sehr anschauliche Verfahren zur punktweisen Bestimmung der Losungsfunktion an den Stellen XQ

= a, Xi = a -h h, X2 = ci -\- 2h, ..., x„ = ^

Xj^ = XQ -{- k' h

{k = 0, 1, ...,n)

(V-368)

Ausgehend vom vorgegebenen Anfangspunkt PQ = {XQ; J^Q), der auf der exakten Losungskurve y = y{x) liegt, ersetzen wir die Losungskurve im Intervall XQ ^ x ^ x^ ndherungsweise durch die Kurventangente im Punkt PQ (Bild V-51):

yi

\ exakte Losungskurve

y/^

^0

^0-

1

Tangenfe

1 1

1 1 1

"0

^I

1 ' 1 1

y(^^)

1

[

h 1

1\

Bild V-51 X

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung

559

Die Tangentensteigung MQ erhalt man aus der Differentialgleichung y' = fix; y), indem man fur x und y die Koordinaten des Anfangspunktes PQ einsetzt. Also ist mo

(V-369)

=f{xo;yo)

Die Gleichung der Tangente lautet daher y-yo X — XQ

(V-370)

= f{^o'.yo)

Oder (V-371)

y = yo + (^-^o)-/(-^o;)^o) An der Stelle x^ = XQ -\- h besitzt diese Tangente den Ordinatenwert

yi=yo + (^1 - -^^o) '/(^o; yo) = yo + ^ -/(^o; yo)

(V-372)

Bei geringer Schrittweite h ist y^ ein brauchbarer Ndherungswert fiir den Funktionswert y{xi) der exakten Losung an dieser Stelle: y{^i)^yi

(V-373)

=yo + ^-/(^o;}^o)

Bild V-51 verdeutlicht diesen Sachverhalt.

exakfe Ldsungskurve

Streckenzug nach Euler

Bild V-52 Streckenzugverfahren von Euler

Die ndherungsweise Berechnung der Losungskurve y = y{x) an der Stelle X2 erfolgt analog. Der Punkt P^ = (x^; y^) ist daher der Ausgangspunkt'^^\ Die Losungskurve wird dann im Intervall x^ ^ x ^ X2 durch eine Gerade ersetzt, die durch den Punkt P^ verlauft und dieselbe Steigung m^ besitzt wie die Kurventangente der Losungskurve durch Pi an dieser Stelle (Bild V-52). 21)

Man beachte, daB Pi nicht auf der exakten Losungskurve liegt.

560

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Die Gleichung dieser Geraden lautet somit ^^^^

= m,=f{x,;y,)

(V-374)

y = yi^ix-x^)'f{x^;y^)

(V-375)

X — X-i

Oder

An der Stelle X2 = x^ i- h ist dann ndherungsweise yi^i) ^y2=yi-^

(^2 - ^1) -fi^iiyi)

= J i + h-f{x^;

y^)

(V-376)

Dann wird das beschriebene Verfahren fiir den (neuen) Anfangspunkt P2 = (^2; 3^2)' der nicht auf der exakten Losungskurve liegt, wiederholt. Nach insgesamt n Rechenschritten gelangt man schlieBlich zum Endpunkt P„ = i^n'^ yn)- Die ndherungsweise Berechnung der Funktionswerte der Losungskurve y = y{x) erfolgt somit nach der Vorschrift

y{xk) ^yk = yk-i^h

-fix^.^;

j^^.i)

{k = i, 2,..., n)

(v-377)

Beim Eulerschen Verfahren setzt sich die Losungskurve aus geradlinigen Stucken zusammen, d.h. man erhalt eine Naherungskurve in Form eines Streckenzuges (auch Polygon genannt; s. Bild V-52). Wir fassen zusammen:

Anmerkungen (1) Die stiickweise Approximation der exakten Losungskurve y = y{x) durch eine Gerade ist eine relativ grobe Naherung, zumal nur das Steigungsverhalten der Losungskurve an einer einzigen Stelle, namlich im jeweiligen linken Randpunkt, beriicksichtigt wird. Eine ausreichende Genauigkeit der Naherungsrechnung ist daher nur fur entsprechend kleine Schrittweiten zu erwarten. Dies aber bedeutet zugleich auch einen hohen Rechenaufwand. Folgerung: Das Eulersche Streckenzugverfahren ist fiir die Praxis nur wenig geeignet.

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung (2)

561

Der Fehler (Verfahrensfehler) kann wie folgt abgeschatzt werden: ^yk = yM-yk^yk-yk

(v-380)

Dabei bedeuten: y{xj^): Exakte Losung an der Stelle x^ yj^: Ndherungslosung an der Stelle x^ bei der Schrittweite h y^: Ndherungslosung an der Stelle Xj^ bei doppelter Schrittweite (/z* = 2/i) Um eine Kontrolle iiber die Genauigkeit der Naherungsrechnung zu erhalten, kann eine Zweitrechnung (Grobrechnung) mit doppelter Schrittweite durchgefiihrt werden. Aus Formel (V-380) laBt sich dann der Fehler abschdtzen (Rundungsfehler sind dabei noch nicht beriicksichtigt).

Rechenschema Fiir die Rechnung selbst empfehlen wir das folgende Rechenschema:

Beispiel Das Anfangswertproblem y' = _y + e^

Anfangswert: y{0) = 1

ist exakt losbar, die Losungsfunktion lautet: y = (x + 1) • e^ Wir berechnen nun die Ndherungslosung dieser Differentialgleichung im Intervall 0 ^ X ^ 0,2 zunachst fiir die Schrittweite h = 0,05 und anschlieBend bei halbierter Schrittweite {h = 0,025). Durch einen Vergleich der Naherungslosungen mit der exakten Losung erhalten wir einen Eindruck iiber die Gute des Eulerschen Strekkenzugverfahrens.

562

V Gewohnliche Differentialgleichungen Schrittweite h = 0,05

Schrittweite h = 0,025

Wir stellen die beiden Ndherungslosungen der exakten Losung gegeniiber:

Der Vergleich zeigt deutlich, daB sich die Funktionswerte bei kleineren Schrittweiten erwartungsgemaB verbessern.

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung

563

6.1.2 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung erweist sich in der Praxis als ein Rechenverfahren von hoher Genauigkeit. Der Grundgedanke ist dabei der gleiche wie beim Streckenzugverfahren von Euler. Wiederum wird die (exakte) Losungskurve y = y{x) der Differentialgleichung 1. Ordnung y'=f(x-y)

(V-381)

mit dem Anfangswert y{xQ) = yg in jedem Teilintervall der Lange h durch eine Gerade ersetzt. Ausgangspunkt ist der vorgegebene Anfangspunkt PQ = {xQiyo). Wir ersetzen die Losungskurve im Inter vail XQ ^ x ^ x^ durch eine Gerade mit der Gleichung y — yr\

= m

Oder

y = y^ + {x — XQ)m

(V-382)

X — XQ

Anders als beim Streckenzugverfahren von Euler wird hier fiir die Steigung m der Ersatzgeraden eine Art mittlerer Steigungswert der Losungskurve angesetzt, wobei das Steigungsverhalten der Losungskurve in den beiden Randpunkten und in der Intervallmitte beriicksichtigt wird, allerdings mit unterschiedlicher Gewichtung^^l Die Rechenvorschrift fiir das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung lautet:

22) Wir erinnern: Beim Streckenzugverfahren wurde fiir die Steigung m nur das Steigungsverhalten der Losungskurve im linken Randpunkt, d.h. im Anfangspunkt PQ beriicksichtigt (m = f{xo; yo))-

564

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Anmerkungen (1) Die Hilfsgrofien k^, /c2, k^ und k^ miissen in jedem Teilintervall, d.h. i\\x jeden Rechenschritt neu berechnet werden. Sie beschreiben naherungsweise das Steigungsverhalten der Losungskurve y = yix) in den beiden Randpunkten (/c^, k^) sowie in der Intervallmitte (/c2, k^). (2)

Der Fehler (Verfahrensfehler) laBt sich wie folgt abschatzen: 1 ^yk = yin) -yk^j^iyk-

yu)

(v-385)

Dabei bedeuten: y{xj^): Exakte Losung an der Stelle x^ y^: Ndherungslosung an der Stelle Xj^ bei der Schrittweite h yj^: Ndherungslosung an der Stelle x^ bei doppelter Schrittweite (2 h)

Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung ist im Gegensatz zum Eulerschen Streckenzugverfahren eine Rechenmethode von grofier Genauigkeit (s. hierzu das folgende Beispiel).

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung

565

Rechenschema Fiir die Rechnung verwenden wir das folgende Rechenschema: 1 Abkurzung: K = -{k^ + 2/c2 + 2/C3 + k^) 6

Grau unterlegt: Naherungswert fiir yix^)

Geometrische Deutung (Bild V-53) Wir versuchen nun, das Runge-Kutta-Verfahren geometrisch anschaulich zu deuten: Vom Ausgangspunkt (Anfangspunkt) PQ aus geht man langs einer Geraden g mit der (mittleren) Steigung m bis zum Intervallende, d.h. bis zur Stelle x^ = XQ -\- h und gelangt so zum Endpunkt P^, dessen Ordinate y^ ein Naherungswert fiir die gesuchte exakte Losung yix^) ist. Die Steigung der Geraden wird dabei aus vier Steigungswerten ermittelt (je ein Steigungswert in den beiden Randpunkten des Intervalles und zwei weitere Steigungswerte in der Intervallmitte).

V Gewohnliche Differentialgleichungen

566 y /j

Losungskurve

/1

11

y(xi)

V -

'o

1

XQ

1

XQ^^

1

'

Xo*h

X

Bild V-53 Zur geometrischen Deutung des Runge-Kutta-Verfahrens 4. Ordnung

Die in die Runge-Kutta-Formel eingehenden Steigungswerte haben dabei die folgende geometrische Bedeutung:

(1)

Steigungswert /Wj = / ( x o ; JQ) Dieser Wert ist die Steigung der Tangente an die exakte Losungskurve im Punkt PQ (Linienelement a).

(2)

Steigungswert /W2 = / h o + 2' ^o + y I Man geht von PQ in Richtung der Tangente bis zur Intervallmitte und erreicht somit den Punkt Q mit den Koordinaten (V-386)

Die Losungskurve durch Q besitzt an dieser Stelle das Linienelement b mit der / h kA Steigung m2 = / ( x o + - ; y o + y I-

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung

(3)

567

[ h k2 Steigungswert W3 = / 1 xo + - ; Jo + y Man geht von PQ aus geradlinig und parallel zum Linienelement b bis zur Intervallmitte und gelangt so zum Punkt R mit den Koordinaten h

1

f

h

kA

y

(V-387)

Die Losungskurve durch R besitzt an dieser Stelle das Linienelement c mit der Steigung m3 = / I XQ + 2' -^^ "^ T

(4)

Steigungswert m^ =f{xQ + h; j o + ^3) Der Weg fiihrt jetzt von PQ aus geradlinig und parallel zum Linienelement c bis zum Intervallende. Man erreicht somit den Punkt S mit den Koordinaten /

Xs = Xo-^h,

h

ys = yo +h-f\xo-^-;yQ^—\

/C2\

= yQ + k^

(V-388)

Die Losungskurve durch S besitzt dann an dieser Stelle das Linienelement d mit der Steigung m^ = / ( ^ o + ^; Jo + ^3)Die Steigung der Geraden g wird dann aus diesen vier Steigungswerten wie folgt berechnet: mi + 2m2 + 2ma + m^ m = -^ ^^ ^ 6

(V-389)

Dieser Wert ist eine Art mittlere Steigung der Losungskurve im betrachteten Intervall XQ

^X

^ X^ = XQ -\- h.

Beispiel Wir behandeln nochmals das exakt losbare Anfangswertproblem y' = y -\- Q^

Anfangswert: y{0) = 1

mit der exakten Losung j; = (X + 1) • e"" diesmal aber nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung.

568

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Gesucht wird die NdherungsWsung im Intervall 0 ^ x ^ 0,2 fiir die Schrittweite h = 0fi5.

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung

569

Die Rechenergebnisse zeigen eine vollige Ubereinstimmung zwischen Ndherungslosung und exakter Losung. Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung ist daher ein hervorragendes Mittel zur numerischen Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung. Dies zeigt auch der direkte Vergleich mit den Rechenergebnissen, die wir nach dem Eulerschen Streckenzugverfahren erhalten haben:

6.2 Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Das aus Abschnitt 6.1.2 bekannte Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur Losung einer Differentialgleichung 1. Ordnung laBt sich auch auf eine Differentialgleichung 2. Ordnung vom Typ /^=fix;y;y)

(V-390)

mit den Anfangswerten y(xQ) = JQ, y' {XQ) = yQ libertragen. Ausgehend von diesen Anfangswerten laBt sich die gesuchte Losungskurve y = y{x) im Intervall a ^ x ^b Punkt fur Punkt mit der konstanten Schrittweite h berechnen (a = XQ). Im 1. Rechenschritt werden Naherungswerte fiir die gesuchte Losungsfunktion und ihre Ableitung an der Stelle Xi = XQ -\- h berechnet. Diese wiederum dienen dann als Anfangswerte fiir den 2. Rechenschritt, d.h. fiir die Berechnung der Naherungswerte der Losungsfunktion und ihrer Ableitung an der Stelle X2 = x^ -\- h usw. Die punktweise Berechnung der Losungskurve erfolgt somit nach der folgenden Rechenvorschrift:

570

V Gewohnliche Differentialgleichungen

6 Numerische Integration einer Differentialgleichung

571

Anmerkung Die Hilfsgrofien k^, kj, k^, k^ und m^, m2, m^, m^, miissen bei jedem Rechenschritt neu berechnet werden. Rechenschema Fur die Rechnung verwenden wir das folgende Rechenschema: 1 Abkurzungen: K = -{k^ + 2/c2 + 2/C3 + /C4), 6

1 M = 7(^1 + 2m2 + 2m3 + m^) 6

Grau unterlegt: Naherungswerte fiir y(xi) und y^ix^)

•

Beispiel Das Anfangswertproblem y^' = y' + 2y

Anfangswerte: y{0) = 3, y'(0) = 0

ist exakt losbar, die Losungsfunktion lautet: y = e^^ + 2 • e " ^ Wir berechnen nun die Ndherungslosung im Intervall 0 < x ^ 0,3 fur die Schrittweite h = 0,1.

572

V Gewohnliche Differentialgleichungen

*3 G

o cq

u (D C3

N

3

(U X)

4^

:D E Ai = - 4, ^2 = 1

=0 (1- Fall)

Allgemeine Losung des Differentialgleichungssystems: y^ = Ci-e-^-^ + C2-e-^ j ; ^ = _ 4 C i •e"'^^ + C2-e^,

a ^ = - 1, ^12 = 3

^12

= ^ ( - 4 Ci • e"^^ + C2 • e^ + Ci • e ' ^ " + C2 • e^ | =

3 Ci • e'^^ + 2 C2 • e^ U - Ci • e"^^ + ^ C2 • e^

Das vorliegende System wird somit durch die folgenden Funktionen allgemein gelost: Ci, C2GIR ) ; 2 = - C i - e - ^ - + -C2-e-

581

7 Systeme linearer Differentialgleichungen

Wir konnen die Losung des vorgegebenen linearen Differentialgleichungssystems aber auch durch den Losungsvektor Ci • e - ' ^ ^ + C . - e ^ (Ci,C2elR)

y = Ci-e-^- + -C2-ebeschreiben. (2)

1

1

-yi+yi

1

1

Charakteristische

Gleichung mit Losungen:

y[=

j i + ^2

y2 =

Oder

(1-2)

1

- 1

(1 - A)

= (1 - i ) 2 + l = 0

A^ - 2A + 2 = 0 => Ai/2 = 1 ± j Allgemeine Losung des

(3. Fall)

Differentialgleichungssystems:

yi = Q^{Ci • sin X + C2 • cos x) y[ = Q^{Ci • sin X + C2 • cos x) + e^(Ci • cos x — C2 ' sin x) ^11 = 1.

ai2 = l

1 yi = — (^1 -^iiyi)

=

= e^(Ci • sin X + C2 • cos x) + e^(Ci • cos x — C2 • sin x) — — Q^iCi • sin X + C2 • cos x) = = e^ (Ci • cos X — C2 • sin x) Die allgemeine Losung des Differentialgleichungssystems lautet somit: yi = Q^{Ci • sin X + C2 • cos x) Q , C2GIR

y2 = Q^{Ci • cos X — C2 • sin x) (3)

y[ = 4 ^ 1 - 3 ^ 2 yi(0) = l , y'l = ^yi

y2{0) = 0

-2^2

Charakteristische

I (4 - 1 ) 3

Gleichung mit Losungen: -3 (-2-/1)

/12-21+ 1 =0

= (4-A) ( - 2 - / I ) + 9 = 0

^ Ai/2 = 1

(2. Fall)

582

V Gewohnliche Differentialgleichungen Allgemeine Losung des Differentialgleichungssystems:

1 yi = — (yi -^iiyi) ^12

=

- - 3 I C2 • e^ + (Ci + C2X) • e^ - 4{C^ + C2X) • e^ ) =

= - V - 3 C i + C 2 - 3 C 2 x y e ^ = (^Ci-^C2 + C2xye^ Das Differentialgleichungssystem besitzt somit die folgenden allgemeinen Losungsfunktionen: yi ={Ci + C 2 x ) - e ^ Ci,C2 6 R

)^2 = f Q - - C 2 + C2xj-e^ Losung des Anfangswertproblems: y,{0) = l ^ C, = 1 y2{0) = 0 ^ C i - ^ C 2 - 0 ^ C2 = 3Ci = 3 - l = 3 Die gesuchte Losung besitzt damit die folgende Gestalt: yi =(1 + 3x)-e^,

372 = 3 x - e ^

7.1.4 Integration des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit zwei Losungsverfahren fiir inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung vom Typ y[ = « i i y i -\-a12y2 ^2 = ^2iyi

+^iW

Oder

y' = Ay + g(x)

(V-422)

+^22^2 +6'2W

7.1.4.1 Aufsuchen einer partikularen Losung Ahnlich wie bei einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1., 2. oder allgemein n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten laBt sich auch bei einem inhomogenen linearen Differentialgleichungssystem 2. Ordnung vom Typ (V-422) die allgemeine Losung des inhomogenen Systems als Summe aus der allgemeinen Losung des zughorigen homogenen Systems und einer partikularen Losung des inhomogenen Systems aufbauen.

7 SySterne linearer Differentialgleichungen

583

Wir fiihren noch folgende Bezeichnungen ein: }^i(0)' 3^2(0)- Allgemeine Losung des homogenen Systems yi(p), y2{p)- P^rtikuldre Losung des inhomogenen Systems y^, ^2-

Allgemeine Losung des inhomogenen Systems

Fiir die allgemeine Losung des inhomogenen Systems (V-422) gilt dann: yi = yiiO) + yi{p)

^nd

y2 = y2i0) + yiip)

(V-423)

Die Losungsansatze yi^p) und y2{p) fiir die partiTcw/flr^ Losung des Systems orientieren sich dabei wiederum an den beiden Srorg/iW^m ^i(x) und ^2W und konnen unmittelbar aus der Tabelle 1 (oder auch aus der Tabelle 3) entnommen werden. Dabei mussen jedoch in y^ ^^^ und y2 (p) jeweils beide Storfunktionen entsprechend berucksichtigt werden. Die Bestimmung der in den Losungsansatzen enthaltenen (und meist sehr zahlreichen) Parameter fiihrt zu einem linearen Gleichungssystem, das (bei richtig gewahlten Losungsansatzen) stets eindeutig losbar ist. Wir fassen dieses Losungsverfahren wie folgt zusammen:

584

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Anmerkungen (1) Durch den Index „0" kennzeichnen wir die allgemeine Losung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems, durch den Index „/?" eine partikuldre Losung des inhomogenen linearen Systems. (2)

Bei der Berechnung der in den Losungsansatzen fiir y^ (p) und y2 (p) auftretenden zahlreichen Parameter stoBt man auf lineare Gleichungssysteme, die (bei richtigem Ansatz!) stets eindeutig losbar sind. Durch die Vielzahl der (zunachst unbekannten) Parameter ist der Rechenaufwand jedoch oft erheblich.

Beispiel

y'l = 2^1 -2y2

+e"^

Zunachst miissen wir das zugehorige homogene System yi = -yi yi = 2yi

+ 3^2 -2y2

losen. Dies ist bereits im vorangegangenen Abschnitt 7.1.3 in Beispiel (1) geschehen und fuhrte uns zu den Losungsfunktionen

y2(0) — ~ ^1' ^

-^ 3''^^2

Eine partikuldre Losung des inhomogenen Systems gewinnen wir aufgrund der beiden Storglieder g^{x) = x

und

^2W = e~^

unter Verwendung von Tabelle 1 durch den speziellen Losungsansatz yi(p) = ax + b + c • e" x y2(^p) = Ax + B-{- C - e-X' Mit diesen Funktionen und ihren Ableitungen yUp) = ^-^'^~''

und

y2{p) =

^-C-Q~''

folgt dann durch Einsetzen in das inhomogene System: a- c- Q~^ = - (ax -}- b + c • e~^) + 3{Ax + B -\- C - e"^) 4- x A-C-

e~^ = 2{ax + 6 + c • e"^) - 2{Ax + J5 + C • e"^) + e~^

Wir ordnen noch und fassen entsprechende GHeder wie folgt zusammen: a - c - e - ^ = ( - a + 3yl + l)x + ( - b + 35) + ( - c + 3 C ) - e - ^ A-C'Q~''

= i2a-2A)x-^{2b~2B)

+ {2c-2C-\-

l)-e"^

7 SySterne linearer Differentialgleichungen

585

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus schlieBlich das folgende lineare Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 6 Unbekannten: (I)

0=-fl + 3^ + l

Oder

a-3

(II)

a= -b + 3B

Oder

a + b-3B

(III)

-c=

-C + 3C

A

=1 =0

Oder

3C= 0

(IV)

0 = 2a-2A

Oder

A =a

(V)

^ = 2I)-2B

Oder

- 2 ^ + ^4 + 2 5 = 0

Oder

-2c+ C

(VI) - C = 2 c - 2 C + 1

=1

Aus Gleichung (III) folgt sofort C = 0 und damit weiter aus Gleichung (VI) c = — 1/2. Beriicksichtigen wir noch, daB nach Gleichung (IV) A = a ist, so gehen die restlichen drei Gleichungen uber in: (I*)

a-3a

(II*)

a+

(III*)

a-2b

=1 b-3B

Oder

-2a = 1

=0

+ 2B = 0

Aus Gleichung (I*) folgt unmittelbar a = — 1/2 und somit wegen A = a auch A = — 1/2. Die verbliebenen Gleichungen (II*) und (III*) gehen dann iiber in: (I**)

- - + b-3B 2

=0

b~3B

= 2

oder (II**) - - - 2 5 + 2B = 0 2

-2b

+ 2B = 2

Wir multiplizieren jetzt die obere Gleichung mit 2 und addieren sie zur unteren Gleichung: (2 • I**) (II**)

- 4 B = ^ =. 2

B=-l 8

Aus Gleichung (I**) folgt dann: V 8/

2

8

Damit sind samtliche Unbekannten bestimmt: 1 ^ 5 a=--, b=--, 2 8

1 c=-~,

1 A=--,

2

3 B=--,

2

C=0 8

586

V Gewohnliche Differentialgleichungen Das inhomogene lineare System besitzt daher die folgende partikuldre Losung: _

1

5

1 _^

_

1

3

Die allgemeine Losung des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems ist daher in der Form 1 5 1 _ yi = yi (0) + yi (p) = Q • e"^^ "^ ^^ • e"" - - x - - - - • e"^ y2 = y2{0) + y2{p)=

- Q - e

^'' + ^ C 2 - e ^ - ^ x

3 ^

2

darstellbar ( Q , C2elR).

7.1.4.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren Ein weiteres sehr brauchbares Losungsverfahren fiir ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den beiden gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Oder yi = ^2iyi

y' = Ay + g(x)

(V-427)

+^22)^2 +6'2W

ist das sog. Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren. Das lineare System (V-427) wird dabei zunachst in eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fiir die (noch unbekannte) Funktion y^ = yiix) iibergefiihrt. Dann wird diese Differentialgleichung gelost und aus der Losung y^ = yi{x) die noch fehlende zweite Funktion ^2 = 3^2 W ermittelt. Insgesamt sind bei diesem Eliminationsverfahren drei Schritte nacheinander auszufiihren: (1)

Wir losen zunachst die erste Differentialgleichung des linearen Systems (V-427) nach y2 auf, erhalten y2 = ^{yi-^iiyi-9i

w]

(v-428)

und differenzieren diese Gleichung dann nach x: y2 = —(y 1-^11 «12 V

y'l-diix))

(v-429) /

7 Systeme linearer Differentialgleichungen

587

Diese Ausdriicke fiir y2 und y'2 setzen wirjetztindiezwe/r^Differentialgleichung des Systems (V-427) ein: \yl - ^ i i J ^ i - ^ ' i W =«2i-Vi + - ^ ^ yi - « i i 3 ^ i ^\2 \ 1 ^\2 \

y'i-^wy'x

-Q\{A\^QI(A

I

-^iW =

= a^2^2\y\

+^22(^1 -^\\y\

- ^ ' i W) + «i2 6^2W

(v-430)

Diese Gleichung enthalt nur noch eine der beiden unbekannten Funktionen, namlich J i ^^^. Wir ordnen noch die Glieder und fassen zusammen: y'i -^\\y'\

-^iiy'i

+^11^22)^1 - ^ 1 2 ^ 2 1 ^ 1 ==

= Q\ M - «22 6^1 W + '^12 6^2 W

y'i -('^ii ^ ^ii)y'\ ^{^w^ii

--^\i(^i\)y\

=

= Oi W - (^22 9i W - ^12 6^2 W)

(V-431)

Dies aber ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fiir die unbekannte Losungsfunktion y^. Sie ist vom allgemeinen Typ yi + ay[^by,=g{x)

(V-432)

Die Koeffizienten a und b in dieser Differentialgleichung haben dabei die folgende Bedeutung: (3 - - ((3ii + (222) ^ - Sp(A)

{Spur von A)

b = aiia22 — ^12^21 = d e t A

{Determinante von A)

(V-433) (V-434)

a ist also die mit einem Minuszeichen versehene Spur, b die Determinante der Koeffizientenmatrix A des linearen Differentialgleichungssystems (V-427). Der zweite Summand des Storgliedes g{x) = g[ (x) - (^22 ^1 W - ^12 6^2 W)

(V-435)

der Differentialgleichung (V-431) bzw. (V-432) kann auch als Determinante einer ^Hilfsmatrix'' B aufgefaBt werden, die man aus der Koeffizientenmatrix A gewinnt, wenn man dort die l.Spalte durch die beiden Storglieder gi{x) und ^2(^) des Differentialgleichungssystems (V-427) ersetzt:

^21

I

"22/

\Q2W

^22/

__i

1. Spalte durch die Storglieder ersetzen 25)

Die Funktion ^2 wurde also aus dem linearen System (V-427) eliminiert. Dies erklart zugleich die Bezeichnung dieser Methode („Eliminationsverfahren'').

588

V Gewohnliche Differentialgleichungen Das Storglied g(x) in der Differentialgleichung (V-432) kann somit auch in der Form ^(x)-^i(x)-detB

{V-437)

mit der „Hilfsdeterminante'' detB =

= «22 ^1W - «12 ^2 W

(V-438)

dargestellt werden. (2)

Wir losen jetzt die durch Elimination von ^2 erhaltene inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (V-432) nach der in Abschnitt 3.4 ausfiihrlich behandelten Methode und erhalten die erste der beiden Losungsfunktionen, namlich

(3)

Die Losung fiir die zweite Funktion ^2 erhalten wir dann, indem wir die inzwischen bekannte Funktion y^ zusammen mit ihrer Ableitung yi in die Gleichung (V-428) einsetzen: y2 = — (yi-^iiyi-9i ^12 \

W)

(v-439)

/

Das aus zwei gekoppelten Differentialgleichungen bestehende lineare Differentialgleichungssystem 2. Ordnung (V-427) ist damit eindeutig gelost.

Wir fassen zusammen:

7 Systeme linearer Differentialgleichungen

589

Anmerkung Das Eliminationsverfahren gilt natiirlich auch fur ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem y' = Ay. Die Differentialgleichung (V-441) fiir die erste der beiden gesuchten Losungsfunktionen ist dann ebenfalls homogen.

Beispiele (1)

Wir losen das inhomogene lineare System 2. Ordnung

y'l = ^y\ -^yi

+ e~^

diesmal nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren. Koeffizientenmatrix A und „Hilfsmatrix" B haben dabei das folgende Aussehen:

590

V Gewohnliche Differentialgleichungen Die Koeffizienten a und b in der Differentialgleichung (F-441) fur die erste Losungsfunktion y^ lauten damit: a = -Sp(A)= - ( - 1 -2) = 3 b = dQtA =

1 2

3 = 2-6 = -2

Fiir das Storglied g{x) dieser Differentialgleichung erhalten wir mit 01 (x) = X und daher g^ (x) = 1: ^(x) = ^ l ( x ) - d e t B = l

X

3

e"-^

-2

= 1 - ( - 2 x - 3 - e - ^ ) = 2x + l + 3 - e - ^ Die Differentialgleichung fiir y^ besitzt damit die folgende Gestalt: yi'^3y[-4y^

=2x + l +3-e-^

Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung Ji+33^1-4^1=0 Die Losungen der charakteristischen Gleichung ^2 + 3 1 - 4 = 0 sind 2.1 = — 4 und 2.2 = ^. Die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung ist daher in der Form yi(0) = Q - e - ^ " + C 2 - e -

(Ci,C2e]R)

darstellbar. Ein partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen wir nach Tabelle 2 durch den Losungsansatz 3;i(^) = Ax-^ B -^ C-e"-^ (da die Storfunktion die Summe aus einer linearen und einer Exponentialfunktion ist). Mit den Ableitungen

folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: C-e--^ + 3 ( ^ - C - e " ^ ) - 4 ( ^ x + 5 + C - e - ^ ) = 2x + l + 3 - e - ^ C - e ~ ^ + 3 y l - 3 C - e ~ ^ - 4 y l x - 4 5 - 4 C - e ~ ^ = 2x + l + 3 - e " ^ Wir ordnen noch die Glieder und fassen sie zusammen: - 4 y l x + 3 ^ - 4 5 - 6 C e " ^ = 2x + l + 3 e " ^

7 Systeme linearer Differentialgleichungen

591

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das gestaffelte lineare Gleichungssystem -4A 3A-4B

=2 =1 =3

-6C

mit der eindeutigen Losung 1 A= - - , 2'

5 B= - - , 8'

C=

1 -2

Damit ist 1 yiip) = " 2 X

5

1 - •e 2 eine partikuldre Losung und —

^1 = 3^1(0) + yi{p)

C i - e - ' ^ ^ + C2'e^

1

5

1

::^ — T: — ::' ^

2

8

2

die gesuchte allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung fiir die erste der beiden Losungsfunktionen. Die erste der beiden Losungsfunktionen haben wir damit bestimmt. Die zweite Losungsfunktion ^2 erhalten wir aus Gleichung (V-445) unter Beriicksichtigung von a^^ = — 1, (3^2 = 3 und gi{x) = x: yi = — \yi -^iiyi

-9iM

«12 \

-4Ci-e-^^ + C 2 - e ^ - ^ + ^ - e - ^ + Ci-e^ 2 2 + C. • e^

1 2

5 8

- X

3

+

1 2 3 9 2^-8

3Ci •e"'^-^ + 2C2-e^ = — Ci • e-4-x

4x

1 2

• - X

^

3 8

Das inhomogene lineare Differentialgleichungssystem besitzt somit die folgende allgemeine Losung: yi = C i e - * - + C 2 e -

1

5 1 8~2 • e Q , C26IR

y2=-Ci-e-^- + ^C2-e--^x-^

V Gewohnliche Differentialgleichungen

592 (2)

y'l y'l

>'i(0) = 2, y2(0) = 0 3yi -23^2

Koeffizientenmatrix A und „HUfsmatrix" B lauten wie folgt: 3

A=

B-

2 - e 2x

• 2 / '

Die Differentialgleichung (V-441) fur die erste Losungsfunktion y^ besitzt die Koeffizienten a= - S p ( A ) = - ( - 2 - 2 ) = 4 Z? - det A =

-2

4 + 9-13

-3

und das Storglied g{x) = g[{x) - dQiB = 4 ' Q^"" -

2-e2-^ 0

= 4 . e 2 ^ - ( - 4 - e ^ - ^ ) = 8-e^^ Sie lautet also: yi-^4y[-^13y^

=8-e^^

Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung y'( + 4y[ +

13yi=0

Die charakteristische Gleichung 12 + 41 + 13 = 0 besitzt die konjugiert komplexen Losungen lj^/2 = ~ 2 + 3j, die homogene Differentialgleichung somit die allgemeine Losung yi{0)

=e

— 2x

[Ci •sin(3x) + C2-cos(3x)]

Ein partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung erhalten wir aus Tabelle 2 durch den Exponentialansatz yi{p)

=

^-^^''

(Ansatz fur das Storglied g{x) = 8 • e^^). Mit den Ableitungen y[^p^ = 2A-c^-

und

/{^p^ =

4A-^^-

7 Systeme linearer Differentialgleichungen

593

folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: 4yl • e^^ + 8 ^ • e^^ + 13^4 • e^^ = 8 • e^^ 25.4-e2^ = 8-e2-^

| le^^

8 2 5 ^ = 8 => A^ — 25 Damit ist y^{v)

- ^ e"

eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Die erste der beiden gesuchten Losungsfunktionen besitzt daher die folgende Gestalt: 3^1 =3^1(0) +3^1 (p) = e"^^[Ci •sin(3x) + C2-cos(3x)]

+^'^^''

Die zweite Losungsfunktion ^2 erhalten wir aus Gleichung (V-445), wenn wir dort die erste Losungsfunktion y^ und ihre Ableitung y[ = - 2 - e " ^ ^ [ C i •sin(3x) + C2 •cos(3x)] + + e~2-^ [3 Ci • cos (3 x) - 3 C2 • sin (3x)] + — • e^-^ = = - e - ^- ^2 x[ 1( 2 C i +3C2)-sin(3x) + ( - 3 C i + 2 C2) • cos (3 x)] + 16 + -.e2^ 25' einsetzen (a^i = — 2, ai2 = 3, g^ (x) = 2 • e^^):

^12 \

/

= 3 f - e - ^ ^ [ ( 2 C i + 3C2)-sin(3x) + + ( - 3 Ci + 2 C2) • cos (3x)] + ^ • e^-" +

V-e-2^[3C2-sin(3x)-3CiCos(3x)]-^-e2A = e " 2 -^ [ - C2 • sin (3 x) + Ci • cos (3 x)]

e^ ^

V Gewohnliche Differentialgleichungen

594

Damit erhalten wir die folgende allgemeine Losung fiir das gegebene inhomogene lineare Differentialgleichungssystem: y^ = Q-^x [Q . sin (3x) + C2 • cos (3x)] + — • e^^

y^ = Q-^x [ - C2 ' sin (3x) + Ci • cos (3x)] - — • e^^

Die Konstanten C^ und C2 lassen sich aus den Anfangswerten j ; ^ (0) = 2 und y2i^) = ^ berechnen: 8 y,i0) = 2 => ^ 2 + ^ = 2 =>

42 C2=-

y2{0) = 0 =^ Q - ^ = 0 => C i = ^ Die Anfangswertaufgabe besitzt damit die folgende Losung: 6 42 2x J i = e ^-^ — • sin (3 x) H • cos (3 x) 25 25 + 25-^ y2=e

^^

42 6 2x — •sin(3x) + —•cos(3x) - 2 5 - ^

7.1.5 Ein Anwendungsbeispiel: Kettenleiter Der bereits im einfiihrenden Beispiel in Abschnitt 7.1.1 behandelte Kettenleiter soil durch eine konstante Spannung u = const. = L/^ gespeist werden (Bild V-55).

Bild V-55 Kettenleiter

7 Systeme linearer Differentialgleichungen

595

Die beiden Maschenstrome i^ = i^ (t) und ^^ = ^2(0 genugen dann dem folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungssystem 2. Ordnung-^^^: U =

R R i^ + L ^ L R

In =

U^ L (V-446)

IR L "

L '

Dieses System laBt sich auch in der Matrizenform -R/L R/L

R/L 2 R/L

UJL 0

H

(V-447)

darstellen. Zu Beginn, d.h. zur Zeit t = 0 soUen beide Maschen stromlos sein. Wir haben es daher mit einem Anfangswertproblem mit den Anfangsbedingungen /i(0) = 0

und

i2{0) = 0

(V-448)

zu tun. Die erste Losungsfunktion i\ ist dann die allgemeine Losung der folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: i'l -\- ai[ -\- bii = g{t)

(V-449)

Die Koeffizienten a und b sind dabei durch die Koeffizientenmatrix A eindeutig bestimmt. Es gilt nach (V-442) und (V-443): R L

a= - Sp (A) =

5 = det A =

-R/L R/L

2R

3R

(V-450)

17 R/L 2 R/L

2R^

R^

R'

1?

(V-451)

Um die Storfunktion g{t) in der Differentialgleichung (V-449) ermitteln zu konnen, benotigen wir noch die Determinante der ,,Hilfsmatrix'' B=

Uo/L 0

R/L 2 R/L

(V-452)

Sie besitzt den folgenden Wert detB

Uo/L 0

R/L 2 R/L

2RUn

26) Der „Strich" im Ableitungssymbol kennzeichnet hier die Ableitung nach der Zeit.

(V-453)

596

V Gewohnliche Differentialgleichungen

Mit g[ (t) = 0 und det B = - IRUJL^

ist

KO = Qi it) - det B = 0 + - - ^ = — ^

(V-454)

Die Differentialgleichung fur i^ besitzt damit die folgende Gestalt: 3R . i?2 2RU. ii+—ii+^h=-^

(V-455)

1?

Mit der Abkurzung a = R/L laBt sich diese Gleichung auch in der ubersichtlicheren Form i'i + 3 a / i + a^fi =

(V-456)

schreiben. Losung der homogenen Differentialgleichung fiir den Maschenstrom /j Wir beschaftigen uns zunachst mit der Losung der zugehorigen homogenen Differentialgleichung /i' + 3 a i i + a 2 / i = 0

(V-457)

Die charakteristische Gleichung 2^ + 3aA + a2 = 0

(V-458)

hat die Losungen A^ = —0,382 a und A2 = —2,618 a und fuhrt somit zu der folgenden allgemeinen Losung der homogenen Differentialgleichung (V-457): — r .^-0,382at

h(0) - 0)

a)

Bestimmen Sie den Parameter p so, daB gerade der aperiodische Grenzfall eintritt.

b)

Wie lautet die den Anfangsbedingungen x(0) = 10, x(0) = — 1 angepaBte spezielle Losung im soeben behandelten aperiodischen Grenzfalll Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf dieser „Schwingung".

Bin einseitig fest eingespannter homogener Balken (oder Trager) der Lange / werde nach Bild V-67 durch eine am freien Ende einwirkende Kraft F auf Biegung beansprucht. Die Biegelinie y = y{x) ist dann die Losung der Randwertaufgabe

^

Er

x),

3/(0) = 0,

y'{0) = 0

(E: Elastizitatsmodul; /: Flachenmoment des Balkens). Wie lautet die Gleichung der Biegelinie?

Bild V-67

614 10)

V Gewohnliche Differentialgleichungen Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung f^2y

+ y = g{x)

mit dem Storglied g{x). Ermitteln Sie fiir die nachfolgenden Storglieder anhand von Tabelle 2 den jeweiligen Losungsansatz fiir eine partikulare Losung yp{x) der inhomogenen Gleichung.

11)

12)

13)

a)

g{x) = x^ -2x+

c) e)

\

b)

g{x) = x^ — X

0 (x) = 2 • e-^ + cos X

d)

g{x) = 3 - e " ^

g{x) = 2x • e^^ • sin{4x)

f)

g{x) = Q~^ ' COS a X

Bestimmen Sie die allgemeinen Losungen der folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung: a)

y" + 2y' ~3y = 3x^-4x

b)

c)

X —2x + x = e^'

d)

y" -2y'

e)

X + l O x + 25x = 3-cos(5£)

f)

y ^-l^y'

g)

X — X = t • sint

h)

y" + 12y' + ?>6y = ?>'Q-^''

i)

y" + 4y= 10-sin(2x) + 2x^ - x + e"

J)

y" + 2y' + y = x'^ • e^ + X — cos x

-?>y=

-2Ay

-I-Q^""

= 2x^

~6x

Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)

f + 6x + lOx = cosr,

x(0) = 0,

x(0) = 4

b)

y'' -^2y' + 3y = Q-^'',

y(0) = 0,

y'(0) = 1

c)

X + 2x + 17x = 2 • sin(5 0,

x(7r) = 0,

x(7r) = 1

Bestimmen Sie diejenige Losungskurve der Differentialgleichung 2. Ordnung

y^' -\- my =x^ -e"", die durch den Punkt P = (0; 2) verlauft und dort die Steigung m = y^ (0) = 1 besitzt. 14)

Bin biegsames Seil der Lange / und der Masse m gleite reibungsfrei liber eine Tischkante. Ist x = x{t) die Lange des iiberhangenden Seiles zur Zeit t, so ist die auf das Seil einwirkende Kraft gleich dem Gewicht des uberhdngenden Seiles, also {x/l)mg (g: Erdbeschleunigung). Die Differentialgleichung der Bewegung lautet somit . . X

mx = -mg

^

oder

»

9

r^

x — -x = 0

a)

Losen Sie diese Differentialgleichung fur ein 1,50 m langes Seil, das zu Beginn (t = 0) zur Hdlfte iiberhangt und sich aus der Ruhe heraus in Bewegung setzt.

b)

Nach welcher Zeit ist das Seil abgerutscht?

Ubungsaufgaben

615

Zu Abschnitt 4 1) Losen Sie die folgenden Schwingungsgleichungen (freie ungedampfte Schwingungen): a)

X + 4x = 0,

x(0) = 2 ,

x(0)

b)

X + X = 0,

x(0) = 1,

x(0)

c)

X + a^x = 0,

X (0) = 0,

x(0)

1

VQ

(«7^0)

2) Ein Feder-Masse-Schwinger mit der Masse m — 600 g und der Federkonstanten c = 50 N/m bewege sich reibungsfrei und frei von aufieren Krdften. a)

Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ct>o, die Frequenz /o und die Schwingungsdauer To des Systems.

b)

Wie lautet die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung?

c)

Bestimmen Sie die den Anfangsbedingungen x (0) = 0 , x(fS) = v (0) = = 0,5 m/s angepaBte spezielle Losung und skizzieren Sie den Schwingungsverlauf.

d)

Wie groB sind Auslenkung x, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a der Masse nach /^ = 2,5 s (fiir die unter (c) bestimmte spezielle Schwingung)?

3) Das in Bild V-68 dargestellte Fadenpendel mit der Lange / und der Masse m schwingt fiir kleine Auslenkungen nahezu harmonisch. Die Schwingungsgleichung lautet dann:

^ + y^

0

Dabei v^i cp ^ cp {t) der Auslenkwinkel (gegeniiber der Vertikalen) zur Zeit t und g die Erdbeschleunigung. A und B kennzeichnen die Umkehrpunkte der Schwingung.

Bild V-68

616

V Gewohnliche Differentialgleichungen a)

Wie lautet die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung?

b)

Mit welcher Kreisfrequenz o^o, Frequenz / o und Schwingungsdauer TQ schwingt das Fadenpendel?

c)

Bestimmen Sie die spezielle Losung der Schwingungsgleichung ftir die Anfangsbedingungen q){0) = q)o, (^ (0) = 0 (Bewegung des Pendels aus der Ruhe heraus).

4) Losen Sie die folgenden Schwingungsprobleme (freie geddmpfte Schwingungen):

5)

a)

X + 4 i + 29x = 0,

x(0) = 1,

i(0) = - 2

b)

X + X + 2x = 0,

X (0) = 0,

i (0) = 3

c)

i' + 2 i +

x(0) = 10,

i(0) = 0

5JC

= 0,

Gegeben sei das schwingungsfahige geddmpfte Feder-Masse-System (Federpendel) mit den folgenden Kenndaten: m - 0,5 kg,

b = S kg/s,

c = 128 N/m

a)

Wie lautet die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung?

b)

Berechnen Sie die Kreisfrequenz co d, die Frequenz f d und die Schwingungsdauer T d der gedampften Schwingung.

c)

Wie lautet die spezielle Losung, die den Anfangswerten x(0) = 0,2 m, v(fd) = 0 geniigt? Skizzieren Sie den Schwingungsverlauf.

6) Die folgenden Anfangswertprobleme beschreiben mechanische Schwingungen im aperiodischen Grenzfall. Wie lauten die Losungen? a)

2x + lOi + 12,5x = 0,

x(0) = 5 ,

i(0) = 1

b)

X + i + 0,25 jc = 0,

X (0) = 1,

i (0) = - 1

7) Ein schwingungsfahiges mechanisches System bestehe aus einer Masse m — 0,5 kg und einer Feder mit der Federkonstanten c = 128 N/m. a)

Wie groB muB die Dampferkonstante h sein, damit gerade der aperiodische Grenzfall eintritt? Ftir welche Werte von b schwingt das System aperiodischl

b)

Losen Sie die Schwingungsgleichung fiir den unter (a) behandelten aperiodischen Grenzfall, wenn zu Beginn der Bewegung gilt: x(0) = 0,2 m, f (0) = 0. Skizzieren Sie den „Schwingungsverlauf".

8) Losen Sie die folgenden Schwingungsprobleme (aperiodische Schwingungen): a)

X + 6 i + 5x = 0,

x(0) = 10,

i(0) = 2

b)

X + i + 0,16x = 0,

x(0)=2,

x(0) = - 4

c)

X + 7x + 12x = 0,

x(0) = 5,

x(0) = 0

Ubungsaufgaben

617

9) Ein Kondensator mit der Kapazitat C = 5 [xF wird zunachst auf UQ = 100 V aufgeladen und anschlieBend liber einen ohmschen Widerstand von R = 500 Q und eine Spule mit der Induktivitat L = 0,2 H entladen (Bild V-69). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke / = i{t) in diesem Reihenschwingkreis.

Bild V-69

Anleitung: Losen Sie die Schwingungsgleichung d^i

^ . di

dt^

dt ' ^

9.

/,

^

R

[d =—,

)li = 0

V

9

0)1

2L' ^

1

LC

fiir die Anfangswerte /(O) = 0 , wc(0) = wo- Zwischen der Kondensatorspannung uc{t), der Kondensatorladung q{t) und der Stromstarke i{t) bestehen dabei die folgenden Zusammenhange: C = —,

i = -q

^

uc{t) = — q{t) = - — C

Uc

i{t) dt

C

10) Stofiddmpferproblem: Untersuchen Sie mit Hilfe der Schwingungsgleichung mx + bx -{- ex = 0 die Bewegung einer Masse von m = 50 kg, die mit einer elastischen Feder der Federkonstanten c = 10200N/m verbunden ist, wenn das System die Dampferkonstante b = 2000 kg/s besitzt. Dabei werde die Masse zu Beginn der Bewegung {t = 0) in der Gleichgewichtslage mit der Geschwindigkeit VQ = 2,8 m/s angestoBen (x{0) = 0, i (0) = 2,8 m/s). Skizzieren Sie den zeitHchen Verlauf dieser aperiodischen Schwingung. 11) Ein schwingungsfahiges mechanisches System, bestehend aus einer Blattfeder mit der Federkonstanten c und einer Schwingmasse m, befindet sich fest verankert auf einem reibungsfrei bewegUchen Fahrgestell (Bild V-70). Unterliegt das Fahrwerk einer konstanten Beschleunigung a in der eingezeichneten Richtung, so geniigt das Weg-Zeit-Gesetz x = x{t) des schwingungsfahigen Systems nach dem Newtonschen Grundgesetz der Meehanik der folgenden linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: mx = — ex -\- ma

oder

x -\- a)lx = a

{ + 3y^^> + lOy^'^ + 6y" + 5y' - 25y = 0

d)

j;^^) + 22y''^ + 2}/^' - 15y' + 50y = 0

Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)

/--3/^

+ 4y = 0, y{0) = /{0) = 0, j''(0) = l

b)

X * - 2 x - x + 2x = 0, x(0) = 0, x(0) = l,

c)

x^^) + 1 0 x + 9x = 0, x(7i) = 8, x{n) = 0, x{n) = 0,

d)

y^^'^ + S/" ^4y = 0 y{0) = 0, y^(0) = 0, y''(0) = 0, };''^(0) = 0, );(^)(0) = 12

x(0) = 0 x {n) = 0

620 7)

V Gewohnliche Differentialgleichungen Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung /''^f

+ / + y = g{x)

mit dem Storglied g{x). Ermitteln Sie fur die nachfolgenden Storglieder anhand von Tabelle 3 den jeweiligen Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp{x) der inhomogenen Differentialgleichung.

8)

9)

10)

a)

g{x) = 2x -^ 5

b)

g(x) = x^ — 2x^ -{- 2x

c)

g{x) = 4'Q^''

d)

^(x) = 10-e~^

e)

g(x) = 3 ' cos (2 x)

f)

^ (x) = 8 • sin x

g)

g{x) = 2- e~^ + sin (5x) + 2 • cos x

Bestimmen Sie die allgemeinen Losungen der folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 3. Ordnung: a)

/'' ^2y''

-\-y' = 10-cosx

b)

/'' -^3/'

^3/

c)

'x-\-x = 9t^

d)

/ ' ' - / ' - /

^y = x + 6'Q-'' -^y =

16x-Q-''

Welche allgemeinen Losungen besitzen die folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 4. und 5. Ordnung: a)

y^^) + 2y'' + y = 8 • sin x + x^ + 4

b)

y^^^ + 3y^^^ + 3^'' + y'' = 2(sinx + cos x + 1)

Bestimmen Sie zu jeder der nachfolgenden linearen Differentialgleichungen eine partikuldre Losung: a)

y'''-y'

= 10x

b)

y'^' + 4y'' + 13 3;' = e^ + 10

c)

y'^'— 3}^'+ 2y = 2 • cos X — 3 • sin X

d)

x^"^^ ^2x^x

e)

j;(5> - 2};(^> + 3/'^ - 6y" - Ay' + ^y =

= t-Q-^

= - 104-e^-^ + 2 4 - s i n x - 12-cos x + 8x^ 11)

Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)

/'' i-9/

b)

y''' + ^y'' + My' + \0y = 34 • sin x + 12 • cos x j;(0) = l,

= nx,

y'{0)=-3,

c)

x ( ' ^ ) - x = 45•e2^

d)

i;(5)_^-^2t + 2

y{n) = n^,

/{n) = 2n,

/'(n) = 20

r{^) = ^ x(0) = 6, x(0) = 0, x'(0) = 15,

t;(0) = 1, r (0) = - 2, v{0) = 2, 'v (0) = 0,

x(0) = 24

i;^^) (0) = - 4

621

Ubungsaufgaben 12)

Ein beiderseits g^/en/cig gelagerter Druckstab der Lange / wirdinderausBild V-71 ersichtlichen Weise sinusformig belastet. Die Biegelinie des Stabes geniigt dann ndherungsweise der folgenden Differentialgleichung 4. Ordnung: EI • y^^) + F y'' = Q^- sin nx

T

Oder

j;^^) + a^ • y'' = K^ • sin {^x)

(mit den Abkurzungen a^ = F / ^ / , P = n/l und X^ = Qf^/EI), Dabei ist F die konstante Druckkraft in Richtung der Stabachse und EI die ebenfalls konstante Biegesteifigkeit des Stabes. Da in den beiden Randpunkten weder Durchbiegungen noch Momente auftreten konnen, gelten folgende Randbedingungen: y(0) = y(/) = 0, / ' ( 0 ) = y"(/) = 0 Welche Losung besitzt dieses Randwertproblem unter der Voraussetzung a ^ p. Stab

F

/ /

rt a(x) = Qo-s\n(^)

Bild V-71

Zu Abschnitt 6 1) Losen Sie das Anfangswertproblem y' = x-y,

y{l) = 2

ndherungsweise im Intervall 1 ^ x ^ 1,4 a)

nach dem Eulerschen Streckenzugverfahren,

b)

nach dem Verfahren von Runge-Kutta

bei einer Schrittweite von /i = 0,1 und vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Losung.

622 2)

V Gewohnliche Differentialgleichungen Die Differentialgleichung 1. Ordnung y' = y^ + 3x ist nichtlinear. Bestimmen Sie numerisch die durch den Punkt P = (0; 1) verlaufende Losungskurve im Intervall 0 ^ x ^ 0,5. Anleitung: Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren mit der Schrittweite h = 0,1.

3)

Gegeben ist die nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung y' = ^x + y und der Anfangswert y{l) = 1. Bestimmen Sie ndherungsweise den Ordinatenwert der Losungskurve an der Stelle x^ = 1,2 a)

nach dem Eulerschen Streckenzugverfahren,

b)

nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung.

Wahlen Sie als Schrittweite h = 0,05. Fiihren Sie ferner eine Zweitrechnung (Grobrechnung) mit doppelter Schrittweite durch und geben Sie eine Abschdtzung des Fehlers. 4)

Losen Sie das Anfangswertproblem y" = 2y-y',

y{0) = \,

y'(0) = 0

im Intervall 0 ^ x < 0,3 naherungsweise nach dem Kwngg-XwUa-l^r/fl/iren^. Ordnung bei einer Schrittweite von /z = 0,1 und vergleichen Sie die Ndherungslosung mit der exakten Losung. 5)

Das Anfangswertproblem x + 4x + 29x = 0,

x(0) = l,

x(0) = i;(0)= - 2

beschreibt eine geddmpfte (mechanische) Schwingung {x: Auslenkung; v = x: Geschwindigkeit). Wie groB sind Auslenkung und Geschwindigkeit zur Zeit t = 0,1

6)

a)

bei exakter Losung,

b)

bei ndherungsweiser Losung der Differentialgleichung nach dem Runge-KuttaVerfahren 4. Ordnung (Schrittweite: h = At = 0,05).

Die {nichtlineare!) Differentialgleichung fur die Bewegung eines Fadenpendels lautet: (/)+-• sm (p = 0 (vgl. hierzu Bild V-68). Dabei ist (p = (p (t) der Auslenkwinkel (gegeniiber der Vertikalen) zur Zeit t,g die Erdbeschleunigung und / die Fadenlange. Das Pendel soil aus der Ruhelage heraus {cp (0) = 0) mit einer anfanglichen Winkelgeschwindigkeit von (p{0) = 1 in Bewegung gesetzt werden. Berechnen Sie fur den Sonderfall g = I den Auslenkwinkel cp sowie die Winkelgeschwindigkeit cp zur Zeit

Ubungsaufgaben

623

^ = 0,1. Welches Ergebnis erhalt man, wenn man die fiir kleine Winkel zulassige Naherungsformel sincp ^ cp verwendet (vgl. hierzu auch Ubungsaufgabe 3 aus Abschnitt 4). Anleitung: Rechnen Sie nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit einer Schrittweite von h = 0,05.

Zu Abschnitt 7 1)

Losen Sie die folgenden homogenen Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit Hilfe des Exponentialansatzes: a)

y[ = -2y^-2y2 yi

y'l =

c)

b)

y[=y2

d)

2)

f)

6x1 + 3x2

5y2

y'i=^y\-^y2 ^2=2^1+

y2

Bestimmen Sie die allgemeine Losung der folgenden in der Matrizenform dargestellten Systeme homogener linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung:

y'lJ b)

V

y

2 -4

-IW^i 2j{x2

2

-3)[y2

yj^i 3)

y[=7y^-l5y2 y'2 = 3yi -

ii = - 3 x i - 2 x 2 X2 =

^2

^2=

y'2= - 16yi e)

x^=x^+2x2

\y2

Losen Sie das homogene Differentialgleichungssystem X = 3x — 4y y = X — 2y

4)

a)

durch einen Exponentialansatz,

b)

nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren.

Losen Sie die folgenden inhomogenen hnearen Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung durch „Aufsuchen einer partikuldren Losung": a)

y[=

2 ^ 2 + 8x

y'2 = - 2 ^ 1

b)

yl = -

yi+

y'2 = -4y^

3/2 + 4-e^^

-\-3y2

624

V Gewohnliche Differentialgleichungen

5)

Bestimmen Sie die allgemeine Losung der folgenden Systeme inhomogener linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren:

y2=

^yi'^^yi

- CD=(1 1)C;)^G: 3

- 1 \ /xi \

-1 6)

Losen Sie das inhomogene Differentialgleichungssystem

y2=

7)

^/ e 3J\xo)~^^\l

yi+

yi

a)

durch „Aufsuchen einer partikuldren

b)

nach dem Einsetzungs- oder

Losen Sie die folgenden a)

y i = - 3 y i + 5y2 }^2 = -

3^1 +

Losung",

Eliminationsverfahren.

Anfangswertprobleme: .

yi(0) = 2,

^2(0) = !

yi

- ';DH; :)C:>C:;:)K" Xi = — 2 x i + 2x7 + ^ ;> X i ( 0 ) = - 3 , ^ 2 = — 2 x i + 3 x 2 + 3-e*

d)

y' = (

5

e)

J'l = 7 ^ 1 -

|)y.

y2 , } }'2 = 53'i + 53/2

y(o) = ( _ i

yi(0) = 2,

j;2(0) = 0

X2(0)=-5

Ubungsaufgaben 8)

9)

625

Losen Sie das Anfangswertproblem

a)

durch „Aufsuchen einer partikuldren Ldsung'\

b)

nach dem Einsetzungs- oder EUminationsverfahren.

Ein Massenpunkt bewege sich in der x, jz-Ebene so, daB seine kartesischen Koordinaten x und y den folgenden Differentialgleichungen geniigen: X = y,

y =

—X

Bestimmen Sie die Bahnkurve fiir die Anfangswerte x{0) = y{0) = 0, x(0) = 0,

y(0)=l

Hinweis: Das Differentialgleichungssystem laBt sich mit Hilfe der Substitutionen u = X und V = y auf ein System linearer Differentialgleichungen L Ordnung zuriickfiihren. Losen Sie zunachst dieses System. Durch Rucksubstitudon und anschlieBende Integration erhalten Sie dann die gesuchten zeitabhangigen Koordinaten X = x{t) und y = y(t) des Massenpunktes.

626

VI Laplace-Transformationen

1 Grundbegriffe 1.1 Ein einfuhrendes Beispiel Bei der mathematischen Behandlung naturwissenschaftlich-technischer Probleme wie z. B. Ausgleichs- und Einschwingvorgdngen stoBt man immer wieder auf lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Standardlosungsverfahren fiir derartige Differentialgleichungen wurden bereits in Kapitel V ausfiihrlich behandelt^\ Ein weiteres Losungsverfahren, das auf einer Anwendung der sog. LaplaceTransformation beruht, hat sich in der Praxis als sehr niitzlich erwiesen und spielt daher (insbesondere in der Elektro- und Regelungstechnik) eine bedeutende Rolle. Wir versuchen nun anhand eines einfachen Anwendungsbeispiels einen ersten Einstieg in diese zunachst etwas kompliziert erscheinende Losungsmethode. Bild VI-1 zeigt einen auf die Spannung UQ aufgeladenen Kondensator der Kapazitat C, der zur Zeit t — 0 iiber einen ohmschen Widerstand R entladen wird.

Bild VI-1 Entladung eines Kondensators iiber einen ohmschen Widerstand

Nach dem 2. Kirchhojfschen Gesetz (Maschenregel) ^^ gilt dann: u - Ri = 0

(VI-1)

u = u{t) ist dabei die Kondensatorspannung zur Zeit t und / = /(t) die Stromstarke in Abhangigkeit von der Zeit. Zwischen der Ladung q = q{t) und der Spannung

^^ Es handelt sich um die Losungsmethoden ^Variation der Konstanten''' und „Aufsuchen einer partikuldren Losung"'. ^^ In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.

1 Grundbegriffe

627

u — u{t) besteht die lineare Beziehung q = Cu, aus der man durch beiderseitiges Differenzieren nach der Zeit t den Ausdmck i = -q

= -Cu

(VI-2)

fiir die Stromstarke / gewinnt (die Stromstarke / ist die Anderung der Ladung q pro Zeiteinheit; das Minuszeichen bringt dabei zum Ausdmck, dass q und u abnehmen). Unter Beriicksichtigung dieser Gleichung lasst sich der Entladungsvorgang am Kondensator auch durch die folgende lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreiben: u -{- RCu = 0

Oder

li + RC

•w= 0

(VI-3)

Die Losung dieser Differentialgleichung muss dabei noch dem Anfangswert w (0) = UQ (Kondensatorspannung zu Beginn der Endadung) geniigen. Mit den aus Kapitel V bekannten Losungsmethoden erhalten wir den durch die Funktionsgleichung u ^ u{t) = UQ • t'RC

(r > 0)

(VI-4)

beschriebenen exponentiell abklingenden Spannungsverlauf am Kondensator (Bild VI-2).

Bild VI-2 Spannungsverlauf an einem Kondensator, der iiber einen ohmschen Widerstand entladen wird

Unser Anfangswertproblem (VI-3) lasst sich aber auch bequem mit Hilfe der sog. LaplaceTransformation losen. Die gesuchte Losungsfunktion u = u(t) wird in diesem Zusammenhang als Originalfunktion bezeichnet. Ihr wird durch eine spezielle Transformationsvorschrift, auf die wir im nachsten Abschnitt naher eingehen werden und die eben die Bezeichnung Laplace-Transformation tragt, eine als Bildfunktion bezeichnete neue Funktion [/ = U {s) der Variablen s zugeordnet. Diese Bildfunktion [/ = U {s) heiBt die Laplace-Transformierte der Originalfunktion u — u{t). Wir schreiben daftir symbolisch: U{s) = £^{u{t)}

(VI-5)

Der Operator 5£ heiBt Laplace-Transformationsoperator. In den folgenden Abschnitten werden wir die allgemeinen Eigenschaften der Laplace-Transformation naher kennenlemen und dort u. a. auch sehen, wie man die Laplace-Transformierte der Ableitung u — u{t) aus der Laplace-Transformierten der Originalfunktion u = u(t) leicht berechnen kann. Wendet man dann die Laplace-Transformation gliedweise auf die

628

VI Laplace-Transformationen

Differentialgleichung (VI-3) an, so erhalt man als Ergebnis die folgende algebraische Gleichung 1. Grades fiir die (zunachst noch unbekannte) Bildfunktion U = U (s)^^: 0

(VI-6)

Diese Gleichung losen wir nach U (s) auf und erhalten: '^'k)

' "^'^ = "0

^

U{s) = - ^ ^

(VI-7)

Dies ist die Losung der gestellten Aufgabe im sog. Bildbereich oder Bildraum. Durch Rucktransformation (in der Praxis mit Hilfe einer spezidlen Transformationstabelle, die wir spater noch kennenlemen werden) erhalten wir hieraus die Originalfunktion u — w (^), d. h. die gesuchte Losung der Differentialgleichung (VI-3). Sie lautet (wie bereits bekannt): u = u{t) = uo ' Q~RC

[t > 0)

(VI-8)

Die Praxis zeigt, dass sich beim Losen einer linearen Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation die durchzufuhrenden Rechenoperationen meist wesentlich vereinfachen. Darin Uegt der Vorteil dieser speziellen Losungsmethode begriindet. Wir halten fest:

^^ Am Ende dieses Kapitels kommen wir auf dieses Anwendungsbeispiel nochmals ausfiihrlich zurtick und werden doit Schritt fiir Schritt zeigen, wie man durch Anwendung der Laplace-Transformation aus der Differentialgleichung (VI-3) diese algebraische Gleichung fiir die Bildfunktion U {s) erhalt (siehe Abschnitt 5.2.1).

1 Grundbegriffe

629

1.2 Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion Technische Probleme lassen sich oft durch zeitabhdngige Funktionen beschreiben, die erst ab einem gewissen Zeitpunkt (meist t = 0) von Null verschieden sind (z. B. Einschaltvorgdnge in der Elektro- und Regelungstechnik). Fiir solche Zeitfunktionen gilt also / (^) = 0 fiir / < 0. Wir gehen daher bei den weiteren Betrachtungen von einem zeitlich veranderlichen Vorgang aus, der zur Zeit ^ = 0 „beginnt" (sog. Einschaltzeitpunkt) und durch eine (reellwertige) Funktion / {t) mit / (r) = 0 fiir r < 0 beschriebenwird(Bild VI-3)4).

f(t)i

Bild VI-3 Zeitlich veranderlicher Vorgang (Einschaltzeitpunkt t = 0)

Dieser Funktion wird wie folgt eine Bildfunktion F [s] der (reellen oder komplexen) Variablen s zugeordnet (sog. Laplace-Transformation):

Wir fiihren noch folgende Bezeichnungen ein: / (t):

Original- oder Oberfunktion (auch Zeitfunktion genannt)

F {s):

Bild- oder Unterfunktion, Laplace-Transformierte von / (t)

S^:

Laplace-Transformationsoperator

Die Menge der Originalfunktionen heiBt Originalbereich oder Originalraum, die Menge der Bildfunktionen Bildbereich oder Bildraum. Originalfunktion / (/) und Bildfunktion F [s] — ^ {f {t)} bilden ein zusammengehoriges Funktionenpaar. Man verwendet daftir auch die folgende symbolische Schreibweise, Korrespondenz genannt: /W ^

•t^is)

"^^ Die unabhangige Variable t kann durchaus auch eine andere GroBe als die Zeit sein.

(VI-11)

630

VI Laplace-Transformationen

Anmerkungen (1)

Das in der Defmitionsgleichung (VI-9) auftretende uneigentliche Integral wird auch als Laplace-Integral bezeichnet. Es existiert nur unter gewissen Voraussetzungen (siehe spater).

(2)

Die unabhangige Variable s der Laplace-Transformierten F {s) wird haufig auch als Parameter bezeichnet. Sie kann reell oder komplex sein.

(3)

Eine Originalfunktion f (t) heiBt Laplace-transformierbar, wenn das zugehorige Laplace-Integral existiert. Fiir die Bildfunktion (Laplace-Transformierte) F (s) gilt dann: lim F{s) = 0

(VI-12)

Uber die Konvergenz des Laplace-Integrals Das Laplace-Integral ist als uneigentliches Integral durch den Grenzwert X

lim

/W

'^~''dt

definiert, fiir den man die symbolische Schreibweise

f{t)'t

'^ dt gewahlthat.

Dieser Grenzwert ist vorhanden, wenn folgende Bedingungen erfiillt sind ^^: 1. f (t) ist eine stUckweise stetige Funktion, d. h. in jedem endhchen Teilintervall liegen hochstens endlich viele Sprungstellen. 2. Fiir hinreichend groBe Werte der Zeitvariablen t gilt

1/(01 < / r - e « ^

(VI-13)

(mit K > 0, a = reell). Das Laplace-Integral konvergiert (d. h. existiert) dann in der komplexen Halbebene Re(^) > a 6) Bei den weiteren Ausfiihrungen in diesem Kapitel gehen wir stets von einer reellen Variablen s aus. Das Laplace-Integral konvergiert dann fiir jeden Wert der reellen Variablen s aus dem Intervall s > a. Diese Einschrankung ist (leider) notig, da im Grundstudium die fiir die komplexe Darstellung benotigten Kenntnisse aus dem Gebiet der Funktionentheorie noch nicht verfiigbar sind. Den an Einzelheiten naher interessierten Leser verweisen wir auf die zahlreiche Fachliteratur (siehe Literaturverzeichnis).

^) Die Bedingungen sind hinreichend, nicht aber notwendig, d. h. es gibt auch Funktionen, die diese Bedingungen nicht erfullen und trotzdem Laplace-transformierbar sind. ^) Zur Erinnerung: Re {s) ist der Realteil der komplexen Variablen s.

631

1 Grundbegriffe Beispiele

Hinweis: Die bei der Berechnung der Laplace-Transformierten anfallenden Integrale sind der Integraltafel der Mathematischen Formelsammlung entnommen (Angabe der jeweiligen Integralnummer). Diese Regelung gilt im gesamten Kapitel. (1) Laplace-Transformierte der Sprungfunktion Wir bestimmen die Laplace-Transformierte Sprungfunktion (Einheitssprung) 0

fit) = a{t)

^.. lur

1

der in Bild VI-4 dargestellten

^ < 0

f(t)k

t > 0

Bild VI-4 Sprungfunktion

Sie lautet: -Q-Sf

F(s)

=

1 • Q-'' dt

dt

—s 0

(0-

lim e

OO

-|

"e-^'" ~ - ^

"4

(s > 0; Integral Nr. 312). Denn nur fiir >s > 0 verlauft e ^^ streng monoton fallend und verschwindet im Unendlichen. Somit ist ^{1}

= s

Oder

1 o-

1

(2) Laplace-Transformierte der linearen Funktion (Rampenfunktion) Die Laplace-Transformierte der in Bild VI-5 gezeichneten linearen Funktion mit der Funktionsgleichung

fit)

0 t

^.. lur

^ < 0 t > 0

Bild VI-5 Lineare Funktion f(t) = t lautet wie folgt:

VI Laplace-Transformationen

632 oo

^.

{-St

- 1) • e-^'

- 1 • e^

^

1

1

(^ > 0; Integral Nr. 313). Wiederum gilt: Nur flir 5 > 0 verschwindet e~^^ im Unendlichen. Somit gilt die Korrespondenz ^ {t} = ^ Oder t o • — s^ s^ d. h. die Funktionen f (t) — t und F {s) = — bilden ein zusammengehoriges Funktionenpaar. (3) Laplace-Transformierte der Sinusfunktion Die Laplace-Transformierte der in Bild VI-6 dargestellten Sinusfunktion

fit]

[smr

fiir

t < 0 t > 0

Bild VI-6 Sinusfunktion

lautet wie folgt: oo

F(5) =

sinr • e'''

dt =

^2+ 1

( - 5 • sin ^ - cos t)

= lim

{— s • sint — cos ^) • e ^^ ^2 + 1

- 0 -

(0 - 1) • 1 ^2 + 1

(— ^ • sin 0 — cos 0) • e^ S^ + 1

1 s^ + I

(s > 0- Integral Nr. 322). Somit ist if {sin t} =

1 :2 + 1

Oder sin^ o

•

^2 + 1

1 Grundbegriffe

633

(4) Laplace-Transformierte eines Rechteckimpulses Der rechteckige Impuls besitze den in Bild VI-7 dargestellten zeitlichen Verlauf mit der Funktionsgleichung

{

0

A

t < a

fur

a < t < b

0

f(t)i i

t > b

A-

t)

cI

Bild VI-7 Rechteckimpuls

^ t

Wir berechnen die zugehorige Laplace-Transformierte nach der Definitionsfonnel(VI-9):

F{s)

0 • t-''

dt +

A • Q-'' dt

A • Q-'' dt = A

e-'Ut

0 • Q-'' dt =

- A —s

L-bs

_^-as\

A(e-^^ - e-^')

(s > 0; Integral Nr. 312). Fiir a = 0, A = 1 und den Grenziibergang b -^ oo erhalten wir hieraus die aus Beispiel (1) bereits bekannte Laplace-Transformierte der Sprungfunktion o{t) (BildVI-4): A{t-^'

- e

-bs\

l(ef

1 (1 - 0) _ 1 s s

634

VI Laplace-Transformationen

1.3 Inverse Laplace-Transformation Die Berechnung der Bildfunktion F {s) aus der Originalfunktion / {t) nach der Defmitionsgleichung (VI-9) wurde als Laplace-Transformation bezeichnet (Ubergang aus dem Original- in den Bildbereich). Die RUcktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich, d. h. die Bestimmung der Originalfunktion f (t) aus der als bekannt vorausgesetzten Bildfunktion F {s) heiBt inverse Laplace-Transformation. Beide Vorgange lassen sich wie folgt schematisch darstellen:

Fiir die RUcktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich werden folgende Symbole verwendet: if -1 {F (5)} == / (t)

Oder F {s) •

o / {t)

(VI-14)

Die Ermittlung der Originalfunktion f {t) aus der Bildfunktion F {s) erfolgt in der Praxis meist mit Hilfe einer speziellen Transformationstabelle (z. B. der Tabelle in Abschnitt 4.2). Die Originalfunktion / [t) lasst sich aber auch auf dem direkten Wege mittels eines Integrals aus der zugehorigen Bildfunktion F {s) berechnen (sog. inverses Laplace-Integral, auch Umkehrintegral genannt). Die Integration ist dabei in der komplexen Zahlenebene auszufiihren und setzt fundierte Kenntnisse aus der Funktionentheorie voraus. Wir miissen daher im Rahmen dieser einfiihrenden Darstellung auf die Integralformel verzichten^\

Beispiele (1) Aus der vorgegebenen Korrespondenz t^ o

2 • — s^

Oder

^{t^}

2 = -, s^

erfolgt durch RUcktransformation (inverse Laplace-Transformation): \% s

or^

Oder

^ - ^ [ \ \ ^ t ^

2 Zur Bildfunktion F {s) = —r gehort also die Originalfunktion f {t) — t^ .

^^ Literaturhinweis fiir den an Einzelheiten naher interessierten Leser: Ameling: Laplace-Transformation (siehe Literaturverzeichnis).

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)

635

1 (2) Wie lautet die zur Bildfunktion F Is) — — gehorige Originalfunktion s^~^ 1 unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2.? Losung: Aus dieser Tabelle entnehmen wir (Nr. 11 fiXr a = 1):

Somit ist / (t) — sin t die gesuchte Originalfunktion. s^ - 9 (3) Wir suchen die Originalfunktion f (t) von F (s) = -—^ — unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2. Losung: In der Tabelle fmden wir die folgende „passende" Korrespondenz: 2

s

(^2

2

— a

+^2)2

•

o t • COS {a t)

(Nr. 30)

Fiir (3 = 3 erhalten wir hieraus die gesuchte Originalfunktion:

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Eigenschaften der Laplace-Transformation hergeleitet und naher erlautert. Mit Hilfe dieser Satze lassen sich dann u. a. aus bekannten Funktionenpaaren neue Funktionenpaare gewinnen. Sie liefern ferner die fiir die Praxis wichtigen Rechenregeln. Wichtiger Hinweis Da die Originalfunktionen (Zeitfunktionen) / {t) stets fiir r < 0 verschwinden, konnen sie auch als Produkt mit der Sprungfunktion o {t) dargestellt werden:

Diese Schreibweise ist an manchen Stellen von groBem Vorteil, well sie MiBverstandnisse vermeidet (z. B. bei Verschiebungen der Zeitfunktion langs der Zeitachse).

636

VI Laplace-Transformationen

2.1 Linearitat (Satz uber Linearkombinationen) Wir unterwerfen eine Linearkombination aus zwei Originalfunktionen f\ (t) und / i {t) der Laplace-Transformation und beriicksichtigen dabei die aus Band 1 bekannten Integrationsregeln: CXD

C\

f,{t)

-C-'Ut

+ C2

= c 1 . if {/i (0} + C2- ^{f2

/ 2 ( 0 -e-^^Jr

W}

(VI-16)

(c 1, c 2: Konstanten). Entsprechend gilt fiir Linearkombinationen aus n Originalfunktionen der folgende Satz:

Beispiel Wir bestimmen unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die Laplace-Transformierte der Originalfunktion f {t) — ?>t — 5t^ ^ ?> - cos t: ^ { 3 r - 5r^ + 3 • cosr} = 3 • J^{r} - 5 • £e{t^} -h 3 • if {cos f} = 1 ^ 2 ^ = 3-

5-

s h3-

3

10

=

3^ h

3s{s'^ + 1) - 1Q(^^ + 1) + 35^ _ 35^ + 3^^ - 10^^ + 3 5 - 1 0

s^s^ +1)

~

Tn^^TT)

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)

637

2.2 Ahnlichkeitssatz Die Originalfunktion / {t) mit f (t) = 0 filv t < 0 wird einer sog. Ahnlichkeitstransformation at

(VI-18)

(fl > 0)

unterworfen. Die neue Funktion g{t) = f {a t) mit g{t) = 0 fiir r < 0 zeigt einen dhnlichen Kurvenverlauf wie die urspriingliche Funktion f {t), da sie aus dieser durch Streckung langst der Zeitachse hervorgegangen ist (MaBstabsanderung auf der Zeitachse, siehe Bild VI-8).

BildVI-8 Zum Ahnlichkeitssatz (dargestellt am Beispiel der Sinusfunktion und der AhnUchkeitstransformation f ^ 2f; /(r) = sinr -^ g{t) = sin(2r)) a) Originalfunktion / {t) b) Gestreckte Funktion g (t) Dabei gilt: a < I: Dehnung der Kurve langs der r-Achse a > I: Stauchung der Kurve langs der ^Achse Wir berechnen nun die Laplace-Transformierte der gestreckten Funktion g{t) = f {at). DefinitionsgemaB ist if{g(f)} = i ^ { / ( « r ) }

f{at)'e

'^ dt

(VI-19)

Mit der Substitution u = at,

u t = —, a

^ du at = — a

(VI-20)

bei der sich die Integrationsgrenzen nicht andem, geht dieses Integral iiber in oo

^{fiat)}

=

oo

fiu)

-C-a'

du

1 a

\a

0

F {s/a)

(VI-21)

Denn das auf der rechten Seite stehende Integral ist die Laplace-Transformierte von / (t), wenn man dort formal die Variable s durch s/a ersetzt.

638

VI Laplace-Transformationen

Wir fassen zusammen:

Beispiel Wir berechnen die Laplace-Transformierte von cos {a t) unter Verwendung des Ahnlichkeitssatzes und der (als bekannt vorausgesetzten) Korrespondenz cos t o

• —

s

Oder

s if jcos t\ = F is) = —z

und erhalten:

i^{cos(^0} =-a

F' '^ V^y

^ ^

^"^ f s\'^

+1

^ f s^

A

a^[—^\ 2"

5^+^'

2.3 Verschiebungssatze Wir untersuchen in diesem Abschnitt, welche Auswirkung eine Verschiebung der Originalfunktion / {t) langs der Zeitachse auf die zugehorige Bildfunktion hat. Probleme dieser Art treten z. B. in der Nachrichtentechnik auf: Bei der Ubertragung von Informationen werden Signale haufig zeitlich verzogert (in Folge der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit).

2.3.1 Erster Verschiebungssatz (Verschiebung nach rechts) Die Originalfunktion / {t) mit f {t) = 0 fiir ^ < 0 wird zunachst um die Strecke a nach rechts verschoben {a > 0). Dabei verandert die Kurve ledigUch ihre Lage gegentiber der ^Achse, der Kurvenverlauf selbst bleibt aber erhalten (Bild VI-9). Mit Hilfe der Sprungfunktion a (t) lasst sich die verschobene Funktion durch die Gleichung ^ (0 — f {^ ~ ^) • o{t - a) beschreiben.

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) f(t)k

639

9(t)k

a)

^

b)

Bild VI-9 Zum 1. Verschiebungssatz (Verschiebung nach rechts) a) Originalfunktion / {t) b) Nach rechts verschobene Funktion g {t) Der Verschiebung der Kurve / (t) entspricht die Variablensubstitution t -^ t — a. Wir bestimmen nun die Laplace-Transformierte der verschobenen Funktion g {t). DefinitionsgemaB ist ^{g{t)}

= ^{f{t-a)

-o^t-a)}

=

f{t - a) ' o(t - a) • t''^ dt

f{t - a) • c~''dt

(VI-23)

Dieses Integral losen wir durch die Substitution u = t — a,

t = u + a,

dt = du

wobei sich die Integrationsgrenzen wie folgt dndern: Untere Grenze: t = a =^ u = 0 Obere Grenze:

t = oo ^ u = oo

Damit erhalten wir: ^{g{t)}

= ^{f{t-a)

^a{t-a)}

=

f{u) • e-"^"'"'' du =

) / ( « ) • e-^" • e-'^du = e'"

f{u) • e-'"du

=

F{s) (VI-24) Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte F {s) der unverschobenen Originalfunktion f{t).

VI Laplace-Transformationen

640 Somit gilt:

Beispiel Wir verschieben die Sinuskurve f (t) = sin t um zwei Einheiten nach rechts (siehe Bild VI-10).

Bild VI-10 Verschiebung der Sinusfunktion um zwei Einheiten nach rechts a) Sinusfunktion b) Verschobene Sinusfunktion Die Laplace-Transformierte der verschobenen Kurve g {t) = sin {t — 2) • a{t — 2) lautet dann nach dem 1. Verschiebungssatz: ^{sm{t

- 2) . o{t - 2)} = e-^^ • ^ {sin r} = e-^^

Dabei haben wir von der Korrespondenz ^ {sin t) (siehe Transformationstabelle in Abschnitt 4.2).

1 ^2 + 1

_ -2s

^2^1

1 Gebrauch gemacht s^ + 1

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)

641

2.3.2 Zweiter Verschiebungssatz (Verschiebung nach links) Die Originalfunktion f {t) mit f {t) = 0 fiir t < 0 wird diesmal um die Strecke a{a > 0) nach links verschoben, wobei das Kurvenstiick mit t < 0 abgeschnitten wird (in Bild VI-11 gestrichelt dargestellt). Mit Hilfe der Sprungfunktion a {t) lasst sich die verschobene Kurve durch die Gleichung g{t) = f {t -^ a) a (t) beschreiben.

g(t)i

f(t)k

/ \

/

/

1 1

a)

1 -a b)

\

Bild VI-11 Zum 2. Verschiebungssatz (Verschiebung nach hnks) a) Originalfunktion f {t) b) Nach links verschobene Funktion g {t) Fiir die Laplace-Transformierte der verschobenen Kurve lasst sich dann der folgende Satz herleiten (auf den Beweis verzichten wir):

642

VI Laplace-Transformationen Beispiel Aus der Transformationstabelle in Abschnitt 4.2 entnehmen wir fiir die lineare Funktion f {t) — t die folgcnde Laplace-Transformierte:

Wir verschieben diese Kurve um zwei Einheiten nach links und berechnen mit Hilfe des 2. Verschiebungssatzes die Laplace-Transformierte der verschobenen Kurve mit der Gleichung g{t) = (/ + 2) • o{t) (Bild VI-12):

9(t) 1 2;

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/ b)

-2

t

Bild VI-12 Verschiebung der linearen Funktionen f (t) = t um zwei Einheiten nach links a) Unverschobene Funktion b) Verschobene Funktion

^ { ( r + 2) -ait)}

= c^' • \^{t}

= e'^

= e2^

p2s

— e -

p25

— e e2^

-

t • &-"

dt

(i- [(^)-

=

-St

>r + 1) • e-^'"

(i(i-'

:)

2s + I) • e-2^ - 1 ^2

1 + (2^ + 1) • e-2* - ][ s2 {2s + 1) • e-2*

2s + 1

(Integral Nr. 313). Zum gleichen Ergebnis kommen wir, wenn wir die LaplaceTransformation ^ {{t -\- 2) • o{t)} mit Hilfe des Satzes Uber Linearkombinationen durchfiihren (Abschnitt 2.1):

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) ^{{t

+ 2) • o{t)} = ^{t

643

-oit) + 2 • o{t)} =

= if {? • 1} + 2 • i ^ ( l ) } = ^{t} _ 1

1_1

~^ -|- Z • S^

2 _l —r -\-

S

S"^

S

+ 2 • i?(l)} =

+2s

_2s

+ I

-

-

S^

S^

•

lA Dampfungssatz Die Originalfunktion f {t) mit f {t) — ^ flir r < 0 soil nun exponentiell geddmpft werden. Dies aber bedeutet eine Multiplikation der Funktion / (f) mit der Exponentialfunktion e"^^ Wir interessieren uns fiir die Laplace-Transformierte der geddmpften Funktion g {t) = e""^^ / ( O ™t g (r) = 0 fiir t < 0. Ausgehend von der Defmitionsgleichung (VI-9) der Laplace-Transformation erhalten wir das folgende Ergebnis:

^{g{t)}

= i^{e— -/(Ol

fit)

• c-^'^^^Ut

e"^^ -f{t)

= F{s -{- a)

• t-''

dt

(VI-27)

F{s ^ a) Denn das letzte Integral in dieser Gleichung ist nichts anderes als die Bildfunktion von /(f), wenn man dort formal die Variable s durch s ^ a ersetzt. Wir fassen zusammen:

Anmerkung Die Konstante a kann reell oder komplex sein. Eine ^c/zf^ Dampfung der Originalfunktion / {t) im physikalischen Sinne erhalt man jedoch nur fiir a > ^.

644

VI Laplace-Transformationen Beispiel Zur Sinusfunktion

f {t) — sinr

F{s) = i^{sinf} -

(Originalfunktion)

gehort die

Bildfunktion

1 -. Wir bestimmen mit Hilfe des Ddmpfungssatzes die 2 ^ ,.

Laplace-Transformierte der geddmpften Sinusfunktion g (t) = e~^^ • sin^: ^{e-^'

• sinf} = F{s + 3) =

1 {s + 3)2 + 1

1 s^ ^6s

+ 10

2.5 Ableitungssatze Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der Differentiation im Original- und Bildbereich.

2.5.1 Ableitungssatz fiir die Originalfunktion Beim Losen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe der Laplace-Transformation werden die Laplace-Transformierten der Ableitungen einer Originalfunktion f {t) nach der Variablen t benotigt. Wir beschaftigen uns zunachst mit der Bildfunktion der ersten Ableitung f'(t). DefinitionsgemaB ist

^{f'{t)}

=

fit)

-^-"dt

(VI-29)

Dieses Integral losen wir durch partielle Integration, indem wir den Integrand / ' ( / ) • e"''' wie folgt zer/ege«: M = e ,

u = — s • e'

v'=f'{t), v'

(VI-30)

v=f{t)

u

Nach der Formel der partiellen Integration folgt dann; f'{t)-^-"dt

=

v' u dt

i-s-t~'')

•fit)

•fit)

+s

fit)

-/(O) -f{0)+s-F{s)

u'v dt —

uv' dt = uv

•f{t)dt

-c-^'dt

=

=

F{s) =s-F{s)

-/(O)

(VI-31)

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)

645

Dies gilt unter der Voraussetzung, dass lim (e~^^ ' / ( O ) = 0 ^^^ / ( ^ ) endlich ist. t^ oo

Das verbliebene Integral der rechten Seite von Gleichung (VI-31) ist die Bildfunktion F{s) v o n / ( 0 . Analog lassen sich Formeln ftir die Laplace-Transformierten der hoheren Ableitungen gewinnen. Es gilt der folgende Satz:

Anmerkung Ist / (t) eine Sprungfunktion mit einer (endlichen) Sprungstelle bei r = 0, so sind fiir /(O), /^ (0), . . . , /^"~^^ (0) jeweils die rechtsseitigen Grenzwerte einzusetzen, fiir die man auch die symbolische Schreibweise / (+ 0), /^ (+ 0), . . . , / ^'^~ '^ (4- 0) verwendet. •

Beispiele (1) Von der Funktion f {t) = sin r sind Anfangswert /(O) und Bildfunktion F {s) bekannt: / (0) = sin 0 = 0 und

F {s) = ^ {sin t} =

-^—

646

VI Laplace-Transformationen Wir berechnen hieraus unter Verwendung des Ableitungssatzes die LaplaceTransformierte der Kosinusfunktion: i ^ { / ' ( 0 } = i ^ | ^ ( s i n 0 } = i f { c o s O =s-F{s) 1

-/(O) =

s

(2) Wir bestimmen aus dem gegebenen Funktionenpaar

mit Hilfe des Ableitungssatzes die Laplace-Transformierten der Ableitungen f'{t) = 2r und /'^(O = 2 (An/a«g^wm^: / (0) = 0, f {0) = 0): 7. Ableitung:

^{f'{t)}

= Se{lt\ = s • F{s) -/(O) = . . 4 - 0 = ^ S^

S^

2. Ableitung: ^{f'm

= ^ { 2 } = .^ . F{s) - s -/(O) - / ' ( O ) = . 2 2 = s^'-.-s-0-0 = -

-

2.5.2 Ableitungssatz fiir die Bildfunktion Wir interessieren uns jetzt fiir die Ableitungen der Bildfunktion F {s) = ^ {/ (r)} nach der Variablen s. Aus der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation folgt unmittelbar durch beiderseitige Differentiation nach s (wir differenzieren unter dem Integralzeichen, d. h. vertauschen die Reihenfolge der beiden Operationen): \

CX)

^'(" = 7.^W = l f{t) • ( - 0

-c'^'dt:

-t-f{t)]

•Q-^'dt

=

^{-ff{t)}

^{-t-f{t)} (VI-35) Denn das letzte Integral dieser Gleichung ist nichts anderes als die Laplace-Transformierte der Funktion g{t) = — f -/{t), von der wir voraussetzen, dass sie Laplacetransformierbar ist. Analog lassen sich Formeln fiir die hoheren Ableitungen der Bildfunktion F (s) herleiten.

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)

647

Es gilt zusammenfassend:

Anmerkung Der Ableitungssatz fiir die Bildfunktion lasst sich auch in der Form ce{t- . / ( f ) } = ( - 1 ) - . F^^^s)

(VI-39)

darstellen. •

Beispiele (1) Aus dem vorgegebenen Funktionspaar f (t) = sinh t o

• F (s)

A

1

erhalt man durch Anwendung des Ableitungssatzes in der Form (VI-39) fiir n — I diQ Bildfunktion (Laplace-Transformierte) von g (t) = t • sinh f:

i.{..s:nh.} = ( - l ) ' . F ' ( . ) = - ^ ( - ^ ) = - ^ ( . ^ - l ) -

648

VI Laplace-Transformationen (2) Ausgehend von der Korrespondenz fit)

= e«' o

. F{s) -

^ s — a

bestimmen wir mit Hilfe des Ableitungssatzes (VI-39) die Laplace-Transform/^r/^ der Funktion g{t) — t^ • e^^: [s - a)-

F"W = | l - ( . - . ) - | = 2 ( . - W - ' - . = i ^ (beide Male wurde nach der Kettenregel differenziert) if{r2-e-}^(-l)2-F^'(.)=--^

2.6 Integralsatze Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der Integration im Original- und Bildbereich.

2.6.1 Integralsatz fiir die Originalfunktion t

An dieser Stelle interessiert uns, wie sich das Integral

f (u) du einer Originalfunktion 0

/ {t) bei der Laplace-Transformation verhalt. Es gilt der folgende Satz (ohne Beweis):

2 Eigenschaften der Laplace-Transfonnation (Transformationssatze)

649

Anmerkung Eine etwas allgemeinere Transformationsformel fiir ein Integral erhalt man, wenn man die Integration im Interval! [a, t] ausfiihrt: '

^

t

'

f

1

du

(M)

F{s)-

(VI-41)

f {u) du

In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen ist meist a = 0 und Formel (VI-41) geht dann in den Spezialfall (VI-40) uber. •

Beispiele (1) Wir gehen von der als bekannt vorausgesetzten Korrespondenz f{t)

= cosr o

• F{s) =

^ ^ ^

aus und bestimmen aus diesem Funktionenpaar die Laplace-Transformierte der Sinusfunktion. Wegen cos u du = sm u

sin ^ - sin 0 = sin r - 0 = sin ^

folgt aus dem Integralsatz mit / (w) = cos u unmittelbar die gewiinschte Beziehung: cos u du\

^

'

1 1 ^ 1 — ^ {sin t\ = — • F (s) = — • -^ = -^ ^ ^ s ^^ s s^ ^ I s^ ^ I

(2) Aus der bekannten Korrespondenz fit)

=to

.F{s)

= \ S^

konnen wir mit Hilfe des Integralsatzes fur die Originalfunktion problemlos die Bildfunktion von g(t) = t^ ermitteln. Zunachst bestimmen wir das Integral von f {u) — u: f (u) du =

i= '

1

u du =

Aus dem Integralsatz (VI-40) folgt dann: ^

^{t'}

udu}

= ^{—

Oder

F{s)

t

t o

•

2

1

1

1

VI Laplace-Transformationen

650

2.6.2 Integraisatz fiir die Bildfunktion Die Integration einer Bildfunktion F (s) = ^ {f {t)} regelt der folgende Satz, den wir ohne Beweis anfuhren:

Voraussetzung dabei ist, dass die Funktion g{t) = — - f (t) Laplace-transformierbar ist. ^

Beispiel Ausgehend von dem Funktionenpaar

berechnen wir mit Hilfe des Integralsatzes die Laplace-Transformierte der Funktion g{t) = t^, die wir als Quotient aus f (t) = t^ und t auffassen konnen: ^

{f'1

^{t^}

-2

F {u) du =

= -2

0

6u ^ du = 6

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)

651

2.7 Faltungssatz In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (z. B. bei der mathematischen Behandlung linearer Ubertragungssysteme) stellt sich haufig das Problem der Rucktransformation einer Bildfunktion F{s), die als Produkt zweier Bildfunktionen Fi{s) und F2 {s) darstellbar ist: F{s) = F,{s) • F2{s)

(VI-43)

Die Originalfunktionen / i {t) = ^ " ^ { F i {s)} und /2 (0 -^ ^-^{F2{s)} der beiden Bildfunktionen (Faktorfunktionen) Fi (^) und F2 (s) werden dabei als bekannt vorausgesetzt^l Es stellt sich dann die Frage nach der Originalfunktion f{t) des Produktes F {s) = F\ (s) • F2 (s). Man vermutet zunachst, dass sich die gesuchte Originalfunktion / {t) ebenfalls in der Produktform, namhch als Produkt der Originalfunktionen fx {t) und /2 (0 darstellen lasst. Mit anderen Worten: Folgt aus F {s) = F\ {s) • F2 (s) stets auch f {t) = / i {t) ' /2 (^)? Bei der Losung dieses wichtigen Problems, auf die wir im Rahmen dieser einfiihrenden Darstellung nicht naher eingehen konnen, zeigt sich jedoch, dass dies nicht der Fall ist. Die gesuchte Originalfunktion / [t) ist vielmehr durch eine Integralkombination der beiden Originalfunktionen f\ {t) und /2 {t) vom Typ

fit)

/ , {u) •f2{t-

u) du

(VI-44)

gegeben. In der mathematischen Literatur wird dieses Integral als Faltungsintegral oder (einseitige) Faltung der Funktionen f\ (t) und /2 {t) bezeichnet. Fiir das Faltungsintegral wird meist die symbolische Schreibweise f\ (t) * /2 {t) verwendet (sog. Faltungsprodukt; gelesen: / i (t) „Stem" /2 (t)). Wir defmieren:

Anmerkung Die Bezeichnung F^liungsprodukt ist gerechtfertigt, da sich diese GroBe wie ein gewohnliches Produkt, d. h. kommutativ, assoziativ und distrubutiv verhalt.

Sie lassen sich meist ohne groBe Schwierigkeiten aus einer Transformationstabelle bestimmen.

652

VI Laplace-Transformationen

Rechenregeln fur das Faltungsprodukt Kommutativgesetz f\ (t) * / i {t) = / i {t) * f\ (t) Assoziativgesetz

(VI-46)

[/i (0 * /2 (0 ] * / s (0 = / i (0 * [/2 {t) * / s (0 ]

Distributivgesetz / i (0 * [fi (0 + / s (0] = / i (0 * / i (0 + / i (0 * h (0

(VI-47) (VI-48)

Wir sind nun in der Lage, den sog. Faltungssatz TAX formulieren (ohne Beweis):

Anmerkungen (1)

Der Faltungssatz lasst sich auch in der Form ^-'

{Fi (.) • F2 {s)] = / i (0 * /2 (0

(VI-50)

formulieren: Zum Produkt zweier Bildfunktionen F\ {s) und F2 {s) gehort im Originalbereich das Faltungsprodukt der zugehorigen Originalfunktionen f\{t) undf2{t). (2)

Bei der Rucktransformation einer Bildfunktion F(5'), die sich in ein Produkt F {s) = F\ {s) ' F2 (s) zweier (einfach gebauter) Faktorfunktionen Fi (s) und F2 (s) zerlegen lasst, kann man auch wie folgt vorgehen: 1. Aus einer Transformationstabelle (z. B. der Tabelle in Abschnitt 4.2) entnimmt man die zugehorigen Originalfunktionen f\{t) = ^"^ {Fi {s)}

und/2(r) = i f - ' { F 2 ( . ) } . 2. Die gesuchte Originalfunktion / (t) von F {s) — F\ (5) • F2 {s) kann dann als Faltungsprodukt der Originalfunktionen / i {t) und / i (t) berechnet werden: f{t)

= ^-'{F{s))

= /lW*/2W

= ^-'{F,{s)-F2{s)} f,{u)

•f2{t-u)du

= (VI-51)

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)

653

Beispiele (1) Wir

bestimmen

mit

Hilfe

des

Faltungssatzes die

zur

Bildfunktion

1 gehorige Originalfunktion f{t). Dazu zerlegen wir die {s^ + 1)^

F{s)

Bildfunktion zunachst wie folgt in ein Produkt aus zwei Faktoren:

whvs-{^0-(}^=''^'^-''^'^

i^ {/(?)} =Fis)

Fi (s)

F2 (s)

Die Originalfunktionen f\ {t) und fj (t) der beiden Faktorfunktionen Fi (s) und F2 (s) lassen sich leicht anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 bestimmen:

/,(0 = i--'{f',(5)} = i - - ' { ^ ^ }

Sin t

Die gesuchte Originalfunktion f {t) ist dann das Faltungsprodukt dieser beiden Originalfunktionen:

f{t)

=/l(0*/2(0

/ i (w) 'flit-

u) du

Mit / i [u) = sin w und fiit - u) = 1 erhalten wir schlieBlich: (sin w) • 1 Jw =

/w0 =

sin M [ (iw

cos u

0

— cos t + COS 0 = — cos ^ + 1

1— COS t

=

Somit ist f (t) = I - cos t die Originalfunktion von F (^) 1

(2) Die RUcktransformation der Bildfunktion F [s)

(^2 + 1)^ in den Original-

^ 2 - 4

bereich lasst sich mit Hilfe des Faltungssatzes leicht durchfiihren. Zunachst zerlegen wir F [s) wie folgt in ein Produkt aus zwei Faktoren: Fis)

1

1

1

^2-4

(5+ 2) ( ^ - 2 )

V^ + V F, (.)

1

V^ - 2 F2 {s)

Fi is) . F2 (.)

654

VI Laplace-Transformationen Die Originalfunktionen der beiden Faktoren werden anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 wie folgt ermittelt:

/i(0 = i^-^{/^i(.)} = i - - ^ { ^ } = / 2 ( 0 = ^-'{F2[S)}

=

-2f

,2r

^-

s - 2

Die gesuchte Originalfunktion f {t) — ^ ^ [F{s)} — ^ Hann Fnltunosmrndiikt d\es.ex dann Has das Faltungsprodukt dieser hehdew beiden FnnktinnenFunktionen: f {t) = / i (r) * /2 (f) =

/i

(M)

• /2 (/ -

M)

^ l—^

> ist

*
= - A • COS (3 f)

52 + 32

Ubungsaufgaben

685

Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 1) Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation die Bildfunktionen der folgenden Originalfunktionen:

^)

f (0 = ^^s (^ 0

c)

/ ( 0 = e -(5r

e)

/(O-^^

b)

sin {(D t)

f{t)=2t-t-"

d) f)

/ [t) = sinh ((3 r) / ( 0 = sin2/

2) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von / (/) = cos {oj t) unter Berlicksichtigung der folgenden Beziehungen: QJCOt _^

Q-](Ot

cos {(D t) =

und

^{e^^}

1 s — a

3) Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitions gleichung der Laplace-Transformation die Bildfunktionen der folgenden Originalfunktionen: a)

Rechteckimpuls (Bild VL24) A A 0

fur

Wi i

0 < t < a a < t < 2a r > 2fl

^

a

Bild VI-24 Rechteckimpuls

b)

Sinusimpuls (Bild VI-25) JT

/ (0 = A • sin — r \a (furO < / < «) sonst: / ( O

=0

Bild VI-25 Sinusimpuls

->!\-

2a

t

VI Laplace-Transformationen

686 c)

Treppenfunktion (Bild VI-26) 0

0 < t < a a < t < la

fit) = I

fiir lA

2a < t < 3a usw.

f(t)k 4A

T

3A 2A A

Bild VI-26 Treppenfunktion 2a

3a

4a

t

Zu Abschnitt 2 1) Bestimmen Sie nach dem Linearitdtsprinzip und unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die Laplace-Transformierten der folgenden Originalfunktionen: a)

f{t)

= At' -t^

+ 2t

b) f{t)

= C(l - e-^0

c)

/ ( r ) = A • sin {cut) -^ B • cos (cor) + C • e^^

2) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ahnlichkeitssatzes und der jeweils angegebenen Laplace-Transformierten die Bildfunktionen zu: ,

,,

a) /(0 = (30^

,. 120 F(.) = i f { r 5 } -

b)

/ (r) = cos {At),

F {s) = if {cos t}

c)

/ ( r ) = e^^

F(5) = i^{e^} =

d)

f{t)

F{s) = ^{cos^t}

= cos^ {(jot),

^2 + 1 1 S -

=

1

5^ + 2

7(7^T4)

Ubungsaufgaben

687

3) Bestimmen Sie unter Verwendung der Verschiehungssdtze und der jeweils angegebenen Laplace-Transformierten die Bildfunktionen der folgenden Originalfunktionen: a)

f{t)

= sin (^ + y ) ,

F(s) = ^{sint}

b)

f{t)^{t-4)\

F{s) = ^{t'}

c)

f{t)

= e(^-^),

F{s) = ^ { e ^ }

d)

f{t)

= cos^{t-3),

F(s) -^ ^ {cos^ t}

1 s^ + 1

= 2 ^ ^^

^ s - 1

_

^^ + 2

4) Bestimmen Sie unter Verwendung des Ahnlichkeitssatzes und des entsprechenden Verschiebungssatzes dit Laplace-Transformierte \on sin {cot -^ (f) ftir 99 > 0. Anleitung: Gehen Sie von der Funktion / {t) = sin t aus und verschieben Sie diese zunachst um die Strecke q) nach links. AnschlieBend wird die verschobene Kurve mit der Gleichung g{t) = f {t + q)) = sin {t + cp) der Ahnlichkeitstransformation t -^ cot unterworfen. Femer ist if {sinrj = -^ . ^ ^ s^ -^ I 5) Bestimmen Sie unter Verwendung des Ddmpfungssatzes sowie der jeweils angegebenen Laplace-Transformierten die Bildfunktionen der folgenden „gedampften" Originalfunktionen : a)

f{t)

- e^^ • c o s ( 2 0 ,

b)

f{t)=A'

c)

f{t)

F[s) = £e{cos{2t)}

s

=

^ ^2+4 CO

e-^^ • sin {cot),

= 2'\

F{s) = ^{sin(a>^} F{s) =

Anleitung zu c): Stellen Sie die Funktion 2

s^ + 0)^

^{l}=-

zunachst als c-Funktion dar.

6) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ableitungssatzes fur Originalfunktionen und unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die Bildfunktionen der 1. Ableitung. Welche neuen Funktionenpaare lassen sich daraus gewinnen? a)

f{t)

= sinh {at)

b)

f {t) = t^

c)

f {t) = sin {at + b)

7) Die Funktion / {t) = sin {co t) ist eine Losung der Schwingungsgleichung f" — —co^ • f. Bestimmen Sie hieraus die zugehorige ^//w F{s), indem Sie die Laplace-Transformation auf diese Differentialgleichung anwenden und dabei den Ableitungssatz fur Originalfunktionen verwenden.

688

VI Laplace-Transformationen

8) Gegeben ist das Funktionenpaar f (t) = sin {o) t) o

• F {s) =

^^ + €0'

Bestimmen Sie hieraus unter Verwendung des Ableitungssatzes fur Bildfunktionen die Laplace-Transformierte von f\ [t) — t • sin {co t) und /2 (0 = ^ ^ * sin {(D t). 9) Bestimmen Sie untere Verwendung des Integralsatzes fur Originalfunktionen die Laplace-Transformierten der folgenden Integrate: t

t

cos {u) (u) du

a)

u du

b)

0

0

Welclie neuen Funktionenpaare lassen sicli daraus gewinnen? 10) Gegeben ist das Funktionenpaar f {t) = sin {(o t) o

• F (s) =

CO

S^ +

0)'

Bestimmen Sie hieraus mit Hilfe des Integralsatzes fur Bildfunktionen die Laplacesin (o) t) Transformierte von g {t) = t

11) Berechnen Sie die folgenden Faltungsprodukte: a)

? * e" ^

b)

e ^ * cos ^

12) Bestimmen Sie unter Verwendung des Faltungssatzes die zugehorigen Originalfunktionen : a)

F{s)^-

rrV—^ ^ - 2 ) (^ + 4)

c)

F(^)

1 (52 + 9)^

b)

F{s) ^^

^' (5^ + 1)2

13) Ein elektrischer Schwingkreis mit einer Induktivitat L und einer Kapazitat C wird durch die sinusformige Spannung Ua = UQ • sin {cot) zu Schwingungen angeregt. Bei der mathematischen Behandlung dieses Problems mit Hilfe der Laplace-Transformation erhalt man im sog. Resonanzfall fiir die Stromstarke / {t) eine Bildfunktion vom Typ

Bestimmen Sie durch Anwendung des Faltungssatzes die zugehorige Originalfunktion fit) = i f - ' { F ( 5 ) } .

Ubungsaufgaben

689

Anmerkung: Der Resonanzfall tritt ein, wenn die Kreisfrequenz der von auBen angelegten Wechselspannung den Wert o) — (DQ = ^^ ^ /LC auch Ubungsaufgabe 19 aus Abschnitt 5).

annimmt (siehe hierzu

14) Welchen Anfangswert f (0) besitzt die zugehorige Originalfunktion f {t) ? a)

1

3s

F{s)

b)

s' +

F{s) =

1 ^(^ — 1)

1 s

Anleitung: Benutzen Sie den entsprechenden Grenzwertsatz. 15) Berechnen Sie mit Hilfe des entsprechenden Grenzwertsatzes aus der gegebenen Bildfunktion F [s] den Endwert f (oo) der zugehorigen Originalfunktion f (t):

Zu Abschnitt 3 1) Wie lauten die Laplace-Transformierten der folgenden periodischen Funktionen? a)

fit)

= sm^ {(jot)

b)

Sinusimpuls (Einweggleichrichtung; Bild VI-27)

fit) =

(Periode: T = njo))

A • sm { — t a

0 < t < a >

fiir

(Periode: T = 2a)

a < t < la f(t)k

A^

a

2a

3a

t

Bild VI-27 Periodischer Sinusimpuls (Einweggleichrichtung) 2) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der in Bild VI-28 dargestellten Kippschwingung (Sdgezahnfunktion) mit der Gleichung f{t)

=

it - a)

fiir

0 < t < a

690

VI Laplace-Transformationen

f(t)i

i

A

NN

Bild VI-28 Kippschwingung (Sagezahnfunktion)

\

\

\

3

2a

t

3a

Zu Abschnitt 4 1) Gegeben ist die jeweilige Bildfunktion F{s). Bestimmen Sie hieraus dutch Rucktransformation anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die zugehorige Originalfunktion f{t): 1

a)

F{s) =

c)

F{s) =

e)

F{s) = (j - 4) 2 + 4

s - 8

3 ^2 + 25 ^ - 4

b)

F(5)=-^

d)

F(5) =

f)

F{s)

4^

s^ + 36 1 s^ + 25

3s s2 - 1

2) Die folgenden Bildfunktionen sind gebrochenrational. Wie lauten die zugehorigen Originalfunktionenl a)

F{s) =

c)

F(.) =

5s + 1

b)

^2 + 5 - 2

F(.)

5 + 2 ^2 + 25 - 3

-2^^ + 1 8 5 - 3 s^ - s^ - ^s ^ 12

Anleitung: Zerlegen Sie die Funktionen zunachst mit Hilfe der Partialbruchzerlegung in eine Summe aus einfachen Bruchen. 3) Bestimmen Sie anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2:

a)

^-'i

b)

^"

2

s

3

4

.+ s — I s^

1 25 5 (5 - 5)3 ^ 52 + 25 ^ (5 - 3)2 + 1

Ubungsaufgaben

691

Zu Abschnitt 5 1) Unterwerfen Sie die folgenden linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten der Laplace-Transformation und bestimmen Sie die Bildfunktion Y{s) — £^{y{t)} der allgemeinen Losung y{t)\ a)

?)y' + 2y = t

Anfangswert:

_y (0) = 0

b)

y" ^ 2y' ^ y ^ cos {It)

Anfangswerte:

y{0) = 1,

y'(0) = 0

2) Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) c)

y' - y = t', y (0) - 1 b) y' + 3y = - cos r, j ' - 5y = 2 • cosr - sin(3 0 , 3^(0) = 0

j(0) = 5

Anleitung: Bei der Rucktransformation dtirfen Sie von der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 Gebrauch machen. 3) Losen Sie die folgenden linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koefizienten: a)

y' - ?>y = At • Q^

b)

y' - Ay = 5 • ^mt

Anleitung: Der (zahlenmaBig nicht bekannte) Anfangswert y{0) = a ist als Parameter zu betrachten. 4) Losen Sie das Anfangswertproblem y' ^Ay

= t\

y{\) = 2

Anleitung: Bestimmen Sie zunachst die allgemeine Losung der Differentialgleichung in Abhdngigkeit vom (noch unbekannten) Anfangswert y (0) und berechnen Sie diesen durch Einsetzen des vorgegebenen Anfangswertes y{\) = 2 in die allgemeine Losung. 5) Losen Sie die/«/z6>mo^^A2^///i^(2r(^ Differentialgleichung 1. Ordnung y' — ?>y = t • t^ fiir den Anfangswert y (0) = 1 a)

durch Variation der Konstanten,

b)

durch Aufsuchen einer partikuldren Losung,

c)

mit Hilfe der Laplace-Transformation.

6) Losen Sie die Ubungsaufgabe 20 aus Kapitel V (Abschnitt 2) mit Hilfe der LaplaceTransformation. 1) Losen Sie die Ubungsaufgabe 21 aus Kapitel V (Abschnitt 2) mit Hilfe der LaplaceTransformation . 8) Losen Sie die Ubungsaufgabe 22 aus Kapitel V (Abschnitt 2) mit Hilfe der LaplaceTransformation .

692

VI Laplace-Transformationen

9) Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)

y'^ + 4y = 0,

y{0) - 2,

y'(0) = 1

b)

y" + 6y' + lOy = 0,

^(O) = 0,

>;'(0)=4

c)

y'^+};^ = e - 2 ^

3;(0)=0,

y'(0) = I

d)

y' + 2y' -3y

y(0) = l ,

y'(0)=0

= 2t,

10) Wie lauten die allgemeinen Losungen der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in Abhdngigkeit von den (zahlenmaBig nicht bekannten) Anfangswerten j (0) = a und y' (fi) = )8: a)

y" ^2y'

-^y ^ t

b)

y" - 2y ' - ^y = t^'

11) Losen Sie die m/zomo^^^^/m^flr^ Differentialgleichung 2. Ordnung y" + 2y' ^- y = r + sin r fm d^^^ Anfangswerte };(0) = 1, j ^ (0) = 0 a)

durch Aufsuchen einer partikuldren Losung,

b)

mit Hilfe der Laplace-Transformation.

12) Losen Sie die folgenden Schwingungsprobleme: a)

x + a^-x

b)

3c 4 - 4 i

c) d)

= 0,

x(0)=0,

i ( 0 ) = i;o

jc(0)

J!:(0) =

-2

jc + i + 0,25x = 0,

jc(0) = 1 , i ( 0 ) =

- l

jc + 7 i + 12x = 0,

jc(0) = 5,

+ 29x

=

0,

=

l,

{a ^ 0)

i(0) = 0

13) Losen Sie die Ubungsaufgabe 14 aus Kapitel V (Abschnitt 3) mit Hilfe der LaplaceTransformation . 14) Losen Sie die tJbungsaufgabe 2, Teil c) aus Kapitel V (Abschnitt 4) mit Hilfe der Laplace-Transformation. 15) Losen Sie die Ubungsaufgabe 3, Teil a) und c) aus Kapitel V (Abschnitt 4) mit Hilfe der Laplace-Transformation. 16) Losen Sie die Ubungsaufgabe 5, Teil c) aus Kapitel V (Abschnitt 4) mit Hilfe der Laplace-Transformation. 17) In einem RC-Kreis nach Bild VI-29 geniigt die Stromstdrke i = i{t) der folgenden Integro-Differentialgleichung (R: ohmscher Widerstand; C: Kapazitat): 1

t

R

i (r) dr = Ua 1

oo

Bild VI-29 RC-KxQis

i(t).

c M

1

1

11

J

M

1

o

* •

Ua(t)

(T

Ubungsaufgaben

693

Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke / bei konstanter auBerer Spannung Ua — const. = wo, wenn der Stromkreis zu Beginn, d. h. im Einschaltzeitpunkt t = 0 energielos ist. 18) Der in Bild VI-30 skizzierte Stromkreis enthalt einen ohmschen Widerstand von /? = 10 Q und eine (widerstandslose) Spule mit der Induktivitat L = 0,1 H (sog. RL-Kreis). Die von auBen angelegte konstante Spannung betragt Ua = 100 V. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke i — i (t), wenn der Stromkreis im Einschaltzeitpunkt t — 0 energielos ist. Anleitung: Nach der Maschenregel geniigt die Stromstarke / der folgenden Differentialgleichung: H = 10 U

di — + /?/ dt

= Ua

r-CZ i(t).

L = 0,1H

\\

^mm^^__^ ^

I

Bild VI-30 7?L-Kreis u.= 100 V

19) Der in Bild VI-31 dargestellte elektrische Reihenschwingkreis enthalt einen Kondensator mit der Kapazitat C und eine (widerstandslose) Spule mit der Induktivitat L. Von auBen wird die sinusformige Wechselspannung Ua — UQ • sin (a> o 0 mit col — V ( ^ ^ ) angelegt. Losen Sie die Schwingungsgleichung di_ J_ "dt ^'C

i{x) dr — Ua

unter der Voraussetzung, dass der Schwingkreis zu Beginn der Schwingung, d. h. zur Zeit r = 0 energielos ist. Anleitung: Es handelt sich hier um den bereits in Ubungsaufgabe 13 aus Abschnitt 2 beschriebenen Resonanzfall. Sie diirfen daher bei der Losung dieser Aufgabe auf die Ergebnisse aus Ubung 13, Abschnitt 3 zuriickgreifen.

i(t) i Bild VI-31 Elektrischer Reihenschwingkreis Ua(t)

694

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

I Lineare Algebra

Abschnitt 1 '1 - 5

4\

/

3

4'

3

iT

2)

Symmetrisch: B, C, E. Schiefsymmetrisch: A, D.

3) ^

a) ^ d)

/9 \2

10 13\ 0 12/

11

. 0\

4) a) ( 3 ^^ ^ j

5)

a)

b)

c) ^

35 - 1 5 ' - 226 6 22 * 57 - 5 9 /

-3 18 - 1 5 26-32 12 10

c)

/ - 4 3 -10 -81 , \ -9 26 - 7 3 '

b) ^

2

/ /

3 -10\ \

b) (^-9

jj

Der Ausdruck A — 2C + B ist nicht definiert: A und C sind (2,3)-Matrizen, B dagegen eine (3,2)-Matrix. / 1 3 34 1 8 \ A A = A^ = ( 8 32 17 1; \ 1 5 3/

/-21 10 1 2 \ B B = B^ = ( - 4 - 9 - 6 ] \ - 1 6 -20 - 3 /

/-13 A B = ( -21 \ -2

/ 8 32 1 7 \ BA = | -5 - 3 - 1 j; \ - 1 2 -13 - 8 /

19 1 5 \ 10 12 1; 1 0/

A B # B A

Die Matrizenprodukte („Potenzen") A • A = A^ und B • B = B"^ existieren nicht.

(

4 10 12 29' 1 4 3 0-4 0-2 1 8 3 10>

Die Matrizen A • B und B • A sind von verschiedenem Typ und konnen somit nicht gleich sein.

695

1 Lineare Algebra

6)

15 32

a)

A• B :

b)

B C

c)

A (B + C)^

d)

(A • B)T :

10 24

34 33

(A B) C =

13 82 59 169

37 35

A (B C) =

13 82 59 169

37 35

22 26

Abschnitt 2 1)

a)

det A = - 22

2)

a)

0

3)

a)

Ai = 1,562, ^2 - - 2,562

4)

a)

det A enthalt zwei zueinander proportionale Spalten (die 2. Spalte ist das — 2-fache der 1. Spalte).

b)

det B enthalt einen NuUvektor (2. Spalte).

c)

det C enthalt zwei gleiche Zeilen (1. und 3. Zeile).

d)

det D enthalt zwei zueinander proportionale Zeilen (die 1. Zeile ist das — 3-fache der 3. Zeile).

5)

a)

b)

b) 264

5 det A - - ( - 5 ) ' 7 3

det B = 0 c)

c)

det C = - 5x

454 b)

A^ — 1,

2 1 4 0 - 3 + 3- 1 9 4 5

1 4 0 -3 4 5

/,2 — -^^

664

128

b)

det A - 1

-5 1 9

3 0 7 -3 3 5

a)

5 4 3 0 = 664 7 -3

""^^245

-316 6)

2 -5 1

Entwicklung nach der 4. Zeile 1

3

detA-2-|-2 1

0 1 28

3|-25

1 -2 1

0 1 4 -43

4 3 5

142

^2

696

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben b)

Entwicklung nach der 2. Spake: 1 det A = 2 • 0 4

5 3 1 3 1 -1 • 1 2 -- 3 4

5 3 2 1 2-3

-27 7)

8)

A ist eine (untere) Dreiecksmatrix: det A = 1 • (— 2) • 5 = — 10

b)

B ist eine Diagonalmatrix: det B = 1 • 4 • 3 • 4 = 48

a)

Zur 1. Zeile wird das — 2-fache der 2. Zeile addiert. Die neue Determinante enthalt dann zwei gleiche Zeilen (1. und 3. Zeile):

b)

4 3 2

6 1 4

8 4 = 0

-2 3 -2

4 1 4

0 4 =0 0

Zur 4. Spalte addieren wir das 2-fache der 1. Spalte und erhalten eine Determinante mit zwei zueinander proportionalen Spalten (3. und 4. Spalte; die 4. Spalte ist das 3-fache der 3. Spalte):

|A| =

10)

9

a)

1A| =

9)

-63

1 2 1 1

1 4 8 3

0 3 1 2

2 5 5 4

-1 2 -1 1

1 4 8 3

0 3 1 2

0 9 3 6

a)

det C = det (A • B) = (det A) • (det B) = ( - 20) • ( - 5) = 100

b)

det C = det (A • B) = (det A) • (det B) = 68 • 83 = 5644

Durch Entwicklung nach der /. Zeile erhalt man: M = ? x F = ( - 200 Nm) e^ + (0 Nm) ey + (40 Nm) e^ =

11)

Esist: [a b2]

12)

a)

=

2 2 -4 3 -6 15

:0

Wir addieren der Reihe nach zur 2., 3. und 4. Spalte das — 3-fache, 1-fache bzw. 6-fache der 1. Spalte und entwickeln anschliefiend nach der 1. Zeile:

det A =

- 1 0 0 0 3-8 7 23 -2 4 1-9 -2 3 -1 -8

-1

-8 7 23 4 1 -9 = -10 3 -1 -8 10

I Lineare Algebra b)

697

Wir addieren zunachst zur 2. Spalte das — 4-fache und zur 5. Spalte das — 1-fache der 1. Spalte und entwickeln dann nach der 1. Zeile: 1 0 0 0 0 2-8 1 2-3 1 -3 -2 -3 -5 =1 3-8 0 0-2 0 1 1 3 5

det A

1 2 -3 -2 - 3 - 5 0 0-2 1 3 5

Jetzt addieren wir zur 1. Spalte das — 4-fache der 4. Spalte und entwickeln dann nach der 3. Zeile:

det A =

4 1 2 - 3 17 - 2 - 3 - 5 = 0 0 0-2 -19 1 3 5

-{-2)-

4 1 2 17 - 2 - 3 = - 9 6 -19 1 3 -48

Abschnitt 3 1)

det A = — 9 / 0 = > A i s t regular. det B = 0 => B ist singular. det C = 0 (Entwicklung nach der 2. Spalte) => C ist singular.

2)

a)

det A = 1 7^ 0 => A ist regular. A-^ =

sin (p — cos (p ^cos (p

b)

det A = 2 ^ 0 => A ist regular. A-'

=

1,5 - 0,25

-1 0,5

c)

det A = 1 ^ 0 (Dreiecksmatrixl) => A ist regular.

d)

det A = 6 ^ 0 => A ist regular. A-'

3)

sm (p

=

A-AT = ( J

B B* =

^'| = E ;

1 /lOO 0 100 V 0 100

det A = 1 1 0

0 1

det B = - 1

698 4)

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Die Matrix A kann nicht orthogonal sein, da ihre Zeilen- und Spaltenvektoren nicht normiert sind. B und C sind dagegen orthogonale Matrizen:

B B'

5)

'9

0

0

1

0

0^

0 sO

9 0

0 h= 9

0 0

1 0

0 1.

c c*

'1 0 .0

0 1 0

0\ 0 | = E 1/

A~^=A'

6)

A A ^ = 0

1

0 = E ;

7)

Die Spaltenvektoren a^ =

BB^ = l0

1

0|=E

1 / I 1

normiert und orthogonal: tai|=

•V2^ + 1 ^ + 0^ = 1;

=

V ( - l ) ^ + 2 ^ + 5^ = 1;

J30

N/5

1

|a3l= — • V ( - l ) ' + 2 ' + ( - l ) ' = l V6 1

'

1

1

' 75 TsoVo/ \

( - 2 + 2 + 0) = 0

5/ V150 ( - 2 + 2 + 0) = 0

(1 + 4 - 5) = 0

Ebenso zeigt man, daB die Zeilenvektoren ein orthonormiertes System bilden. 2/^5

I/V5

-1/\/30

2/\/30

,-l/V6 8)

2/V6

0 5/>/30 I ;

det A = - 1

-l/>/6,

Rg(A) = 2. Begriindung: Wegen det A = 0 ist A singular und somit Rg(A) < 3. Es gibt eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante, z.B. 3 1

4 4

^0

=> Rg (A) = 2

I Lineare Algebra

699

Rg(B) = 3. Begriindung: B ist vom Typ(3,4), daher kann Rg (A) hochstens gleich 3 sein. Streicht man in B die 4. Spalte, so erhalt man eine von Null verschiedene 3-reihige Unterdeterminante: 2 1 7

1 1 1 2 ^-5^0 2-6

=> Rg (B) = 3

Rg ( Q = 2. Begriindung: C ist vom Typ (4,3). Daher gilt Rg (C) ^ 3. Es verschwinden alle 3-reihigen Unterdeterminaten, eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante ist jedoch vorhanden (wir streichen die 3. und 4. Zeile und die 3. Spalte): 1 2

0 1

1 ^ 0 => Rg(C) = 2

Rg (D) = 2. Begriindung: D ist vom Typ (2,3), daher gilt Rg (D) ^ 2. Es gibt eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante (wir streichen die 3. Spalte): 3 1 0 -1 9)

3 ^ 0 =^ Rg (D) = 2

Die Matrix wird mit Hilfe der angegebenen elementaren Umformungen auf Trapezform gebracht. a)

(T)

Zeile 1 mit Zeile 3 vertauschen.

(2)

Zur 2. Zeile wird das — 3-fache und zur 3. Zeile das — 2-fache der 1. Zeile addiert.

Q)

Zur 3. Zeile wird das — 2,5-fache der 2. Zeile addiert, anschlieBend wird die 3. Zeile durch — 3,5 dividiert.

Die Matrix hegt jetzt in der Trapezform vor: /I 2 I 0 -2 \0 0 b)

OX 1 1 = ^ Rg(A) = 3 1/

(\)

Zur 2. Zeile wird das — 2-fache und zur 3. Zeile das — 3-fache der 1. Zeile addiert.

(2)

Zeile 2 durch 3 und Zeile 4 durch 5 dividieren.

(3)

Zur 3. Zeile wird das — 2-fache und zur 4. Zeile das — 1-fache der 2. Zeile addiert.

(4)

Spalte 3 mit Spalte 4 vertauschen.

Die Matrix besitzt jetzt Trapezform: 1 0 0 0

0 1 0 0

1 -- I N \ 1 1 1 0

=^ Rg(B) = 3

0/ B: hermitesch * _ / 2j C*= ' 1+j

-l+jV . ; 3j / '

r_,r*^T C = (C*)

( ^j , V-l+J

1+j 3j

I Lineare Algebra

707

Somit: C = — C => C: schiefhermitesch / -2j D* = ( 2 \5-5j

-2 -j 8-j

2

J J

Somit: D = — D => D: schiefhermitesch

schiefsymmetrisch

symmetrisch

A: schiefhermitesch; det A = 25 1

2-4j\_/l

2 + 4j

2

2\

)~\2

/O

-4

2y"^^V4

0

symmetrisch schiefsymmetrisch B: hermitesch; det B — — 18 /-j C= l \

0 0 0

-j 0

0\

/O

0

0\

0 )= ( 0 - j / \0

0 0

0 )+J 0/

schief-

symmetrisch

symmetrisch C: schiefhermitesch; det C = j D - | j

2

4

'1 0 1 \ /O )= l 0 2 4 | + j f l A 4 3/ \2 symmetrisch

-1 0 0

-2' 0 0/

schiefsymmetrisch

D: hermitesch; det D = — 7

7)

det A =

J

J

-J^-J^-2

|i - J i Ware A unitdr, so miiBte det A = + 1 oder — 1 sein. A ist also nicht unitar.

5-5j 8- j -2j

708

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben 2

2j

A = (AY = ^ l + Vsj /l2l ^

V3+j ^

2

•1+V3J

V3-j

-2/

12 1 AA = —I 0 \ 0

B* =

1

0 12 0

/1-j •J 0\

3\o

3J

=

/I

0\

lo

i;

-^ _«)

-

/I VO

0 1 0

0' O l = E = > A : wnftaV 1/

*,T__1 B = (B*)

-1+J

1/3 BB =-

c.=l

'1 0' Ol = IO 12/ \0

/1-J

3V 1

-1+J

= E = > B : unitdr

CMC.f = ( -

_»

0\ 1'

Abschnitt 6 1)

a)

det (A - A E) =

1-2 0

-1 2-2

Eigenvektoren: x^ = ^

b)

det (A - 2 E):

0-2 1

Eigenvektoren: x^

c)

det (A - 2 E):

det (A - 2 E) =

-1-2 4

1 /

^2

1 /I 1

1^

1 /

1 -1

1 = ( 5 - 2 ) ( 2 - 2 ) - 4 = 0 =^ 2i = l, 2-2 1 / [

1

I,

. 1 /l^ x^ =

2 = ( - 1 - 2 ) ( 1 - 2 ) - 8 = 0 => 2i/2 = ± 3 1 -2

1 /I Eigenvektoren: x^ = — ^ | _ |,

xA

i,

A2 = 2

1 = 2^ - 1 = 0 => 2i/2 = ± 1 0-2

5-2 4

Eigenvektoren: x^ =

2)

1

: (1 - 2) (2 - 2) - 0 => 2i = 1 ,

x^ =

1 /

r -1

22

709

I Lineare Algebra

det (B - ^ E) ^

0-A j

-j = r - 1 = 0 =^ X^/2 = ± 1 0-1 1 /

Komplexe Eigenvektoren: x^ = /2VJ det (C - A E) =

1 -X 1

-1 1 -X

2V-J

{\-Xf 1 /

Komplexe Eigenvektoren: x^ =

+ \=0

=> Ai/2 = l ± j

1

1 /I /2VJ

2V-J 3)

4)

a)

Eigenwerte: :[^ = -2,

b)

Eigenwerte: X^ = - \ ,

c)

Eigenwerte: k^i2 = ± 1 ^ Sp (A) = A^ + A2 = 0;

a)

det (A - A E):

1-X 2 -1

1

A2 - 3 =^ Sp (A) = A^ + A2 = 1; ^2 = 2 ^ Sp (A) = A^ + ^2 = 1;

1 3-A -1

1 4 -2-2

2 ^ - 3 2 ^ - 2 + 3 = 0 =^ Ai = - 1 ,

det A = A^ ^2 = - 2

det A = /l^ /I2 = - 1

=0

22 = 1,

23 = 3 1

1

Eigenvektoren: x^ =

det A = A^ ^2 = " 6

14V 1.

b)

det (B - 2 E):

•2-2 2 -1

2 1-2 -2

-3 -6 0-2

2^ + 2^ - 21 2 - 45 = 0 ^ 2i/2 = - 3,

Eigenvektoren: x^ = — - \

\

V5\

c)

det (C - 2 E):

0-2 1 1

0.

10

1 0-2 -1

2 ^ - 2 2 ^ + 2 - 0 => 2i = 0 ,

Eigenvektoren: x^ =

23 = 5

1

-1 1 2-2 22/3

1

,

x,=

/2\0.

1 r'

X3=— x/2\

0 1 .

710

Anhang: Losungen der LJbungsaufgaben

d)

det (B-XE)

0-A =\ 1 2

-4 4-X 4

-2 = 0 1 4-A

A^-8A^ + 2 0 A - 1 6 = 0 => /ii/2 = 2 ,

Eigenvektoren: x^ =

5)

det (A - A E) =

A3 = 4

1

1

a — 2. b a b a— X a a a b— I

X^ - {la + b)X^ -{a-bfX

+ la^-?>a^b

+ b^=Q

Mit Hilfe des Horner-Schemas zeigt man, daB X^ = 2a + b eine Losung dieser charakteristischen Gleichung ist. Aus dem 1. reduzierten Polynom erhalt man die resdichen Eigenwerte X2 = a — b und A3 = — a + b.

6)

a)

det

(A-XE)--

\-X 0 1

2 -\-X -1

-1 = 0 1 \-X

A^ - A^ + A - 1 = 0 ^ Ai = 1, Sp(A) = /ii +A2 + /i3 = 1;

b)

det (A - A E) =

O-A 0 -10

A2/3 = ± j

detA = AiA2^3 = 1 1 0-/1 1

0 = 0 1 10-A

A ^ - 1 0 A ^ - A + 1 0 = 0 ^ Ai = - 1 , Sp (A) = A^ 4- A2 + A3 = 10;

c)

det (A - A E) =

A^ -

9AH

2-A 2 3

7)

1 = 0 2 4-A

15A - 7 = 0 ^ Ai/2 = 1,

7-A det (A - A E) = I 2 0

2 6-A 2

A3 = 10

det A = A^ A2 A3 = - 10

1 3-A 3

Sp (A) = Ai + A2 + A3 = 9;

^2 = 1,

^3 = 7

det A = A^ A2 A3 = 7 0 2 5-A

A ^ - I S A ^ + 99A-162 = 0 =^ Ai = 3,

:0

A2 = 6,

A3 = 9

711

I Lineare Algebra

Eigenvektoren: x ^ ^ - l

- 2 I,

^2 = 3 !

1 h

^3 =^ 3 I ^ I

Die Eigenvektoren sind orthogonal: x^ • X2 = x^ • X3 = X2 • X3 = 0 Die aus ihnen gebildete Matrix

X = (x^ X2 X3) = - I - 2 ^\ 2 2-X 0 det (A - A E) = 0 0

1 2

2 I ist daher orthogonal (X • X' = E). 1/

0 1 2-X -2 0 0-A 0 - 1

{2-XriX' + \) = 0 => ^1/2 = 2,

9)

det (A - A E) =

-2-2 7 _4

2 3-A -4

V=±J -1 -1 -2-A

A^+ i ^ - 3 0 A - 7 2 - 0 :^ Ai = - 4 , 1 1 Eigenvektoren: x^ = —- I — 1

V2\

2 -4 1 0-A

A2--3,

^2=—=

0.

=0

A3 = 6

- 3

,

X3=—=1

V29V-4/

V14

1 2 1 -1 -3 3 = 1 8 / 0 => x^,X2, X3 sind linear unabhdngig 0 -4 -2 Sp (A) - ^1 + ^2 + A3 = - 1; 10)

det A = A^ ^2 A3 = 72

A

Aj^ = 1,

A2 = 5,

A3 = 8

{untere Dreiecksmatrix)

B

X^ = 4,

A2 = 5,

A3 = 0,

A4 = 1 {Diagonalmatrix)

C

A|=4,

A2=—2,

A3 = 5

{obere Dreiecksmatrix)

In alien 3 Fallen gilt: Eigenwerte = Hauptdiagonalelemente. 11)

Die Systemmatrix ist eine (untere) Dreiecksmatrix. Die Eigenwerte lauten daher: A^ = — k^ X2 = — /C2,

12)

a)

A3 = 0 .

det(A-AE) =

0-A 1

Eigenvektoren: x^

1 = A ^ - 1 - 0 => Ai/2= ± 1 0-A 1 /I

1 /

r 1

712

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

b)

det (A - A E):

1 -A 2

2 -2-/1

A2 + ^ _ 6 ^ 0 = ^ A I

= - 3 ,

1 /

Eigenvektoren: x^ =

-2-A -4

det (A - i E) =

^2 = 2

1 -2

/5 c)

:(1 - A ) ( - 2 - A ) - 4 = 0

1 /2

-4 4-X

= {-2-2){4-X)-16

r - 2 A - 2 4 = 0 -> ^1 = - 4 , 1

Eigenvektoren: x^ =

13)

1-2 -0,5

det(A-AE) =

-2

2

2

-X

- 1 1

-X a)

det(A-AE) =

det (A - i E) = I

= 0^X^-\-9X

= 0=^X^=0,

^2/3 = ± 3j

-A

1 1 1 -1 1 = 0 => A ^ - 3 A - 2 = 0 -> Ai/2= - 1 , 1 1 -A

Eigenvektoren: Xj^ =

b)

• (1 - A)^ - 0,25 = 0

^2 = 1,5

•X -2

15)

1

yi2 = a + j5

-0,5 1-X

(1 _ Xf = 0,25 ^ X^= 0,5,

14)

1 /

: (a - A)^ - j5^ = 0

(a - ;.)^ = jg^ => /ii = a - j5,

det (B - i E):

^2 = 6

2

det(A-AE):

=0

1 V2\

2-A 1 0

1 I, 0/

1 2-A 1

X2 =

0

'2\

1,

0 I, 1/

0 1 =0 2-A

(2 - A)(A^ - 42 + 2) = 0 ^ Ai = 2,

Eigenvektoren: x^ =

I x/2\

,

A2/3 = 2 + V2 1

X2=;

X3 =

I 1 V3VL

X^ = 2

713

1 Lineare Algebra

16)

det ( A - A E ) :

2-X 1 1

1 1-A \

1 1 =0 2-1

A^ - 62^ + 9A - 4 = 0 ^ Xyn 1/2 = 1,

det (B - ^ E) =

3-A -1 1

-1 5-A -1

^3-4 1 -1 =0 3-A

A ^ - I U ^ + 3 6 2 - 3 6 = 0 =^ A i - 2 ,

det (C - 2 E):

fl->l

1

1

^ - A

0

1

^2 = 3,

A3 - 6

0 1 a-X

(« - X) \X^ - (a + /?)A + «^ - 2] = 0 X ^ = a,

17)

X 2/3

det ( A - / I E ) :

\ -{a^h±J(a-hf 3-2 1 -1 1

1 3-2 1 -1

^%) -1 1 3-2 1

X^ - 122^ + 4 8 2 ^ - 6 4 2 = 0 ^ 2^ = 0 ,

18)

det(A-2E) =

4-2 - 2j

2j 1-2

2 ^ - 5 2 = 0 ^ 2i = 0 , Eigenvektoren: x^ = -

22 = 5

1 2j

1 -1 =0 1 3-2 2 2/3/4 •

(4-2)(l - 2 ) - 4 = 0

714

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

II Fourier-Reihen Abschnitt 1 271

1)

I f aQ = -{2nx — x'^)dx n J

4 =-n'^ 3

0 In

I

f

,

4

(«GN)

a^ = - • (2nx — X ) • cos (nx) dx = ; n J n^ b„ = 0 (gerade Funktion) f(x)

3

2)

1

= -n—4{

-^-

{n e N) 1

1

2^

3^

cos X + ^ r • cos (2 X) + ^ r • COS (3 X) + . ..

\\^

In 1 f AQ = ~ * X fix = 2 TT 71

J 0

In 1 f fl = - • X • COS (nx) ^x = 0 n J 0 In 1 f 2 /? = - • X • sin (nx) (^x = 7c J n 0 / 1 / (x) = TT — 21 sin X -I

3)

flQ = - -

7C j

(n e M)

1 sin (2 x) H

n

I f

(n G N )

\ sin (3 x) + ... I

n

|x|(ix = 2 —

If

X fix = 71

7r j 0

-TT

n

1

f

^n =" ~ •

| x | • COS(nx)fix =

7C

J

4

1

n = l , 3 , 5,

TT n^ 1 f = 2— X • cos (nx) dx = 71 J 0

0

^„ = 0 (gerade Funktion) 71

/(x) = 2

4/ 1

fiir n = 2,4,6,

(n e N) 1

1

7r\ 1— • cos X + — • cos (3 x) + — • cos (5 x) •

II Fourier-Reihen

715

Abschnitt 2 71/2

1 Ij

UQ

r >^

= - •

n

\

^ 2w

u • COS t at = —

J -n/2

n n= 1

nil

I f , ^n — ~' n J

fiir

u • cost • COS (nt) dt = \ (-1)2

-n/2

2w

+\

n(n-

/}„ = 0 (gerade Funktion)

(n e N)

WW 2w/ 1 w(r) = - + - - c o s r + — 71 2 7i;\l-3

cos(2t)

ly

1 3-5

n = 2,4,6,

\){n + 1)

cos(4r) +

1 5-7

n = 3, 5, 7,

- 0 0 8 ( 6 ^ ) - + ...

O^t^

n 2)

y{t) =

2y

^

TT

3

n

^

2

2

2y

t

-4y

- 7 i ^ t ^ 2 n

2

a^ = 0 (ungerade Funktion)

{n e NQ)

p n/2

3 n/2

— t' sin {nt)dt + 0

t + 2y]- sin {nt)dt + n/2

" + ^ 8j} 1 (-1)2 2 . ^ . -

+ I [^t-4y]'

sin {nt)dt

3 n/2

« = 2,4,6,

8y/ 1 1 1 y(0 = ^ — - s i n r - —• sin(30 + ^ ' s i n ( 5 r ) - + . TT V 1

3

5

2w O^f

3)

^-

fiir

u{t)={

^ f

r V2

n= 1,3,5, fiir

2w -t dt -h

^ T

I"'

u dt

T/2

3 , = -u 2

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

716 T/2

— t • cos \n — tjdt

+

0

u • cos in — 1 \ T/2

2u 1 71

w = l,3, 5,

W

fur 0 T/2

n

« = 2, 4, 6,

f 2w 2M . / 271 \ f , . / 271 \ — t • sin I w — t\dt -\w • sin I « — t\dt

^r

0

L

3, M(t) = -w 4

(neN)

T/2

2u 1 ^1 —-COS (COQO + ^ ' c o s ( 3 a ; o 0 + — • cos(5a)oO + ••• 7r V1 3 5 u 1 1 - sin (COQ OH sin [Iw^t) -\- - • sin (3 COQ t) + ... 71V 2 3

4)

)'(0=-^t + y

(0 X3/4 :

±1

^3/4 = + 1

a)

Xi = 1 (durch Probieren gefunden!). Linearfaktor x — 1 abspalten => x ±2j "^2/3

b)

Bi-quadratische Gleichung (Substitution z = x )! Losungen: x^i2=

13)

(/c = 0,1,2)

a)

±\/3,

b)

^3/4= + j

1 = l - e J ^ = 1 •eJ^^"''-^^^ = lnl=jfe-27r

1.- epjfe-27r

(keZ)

- l + j = V2-e^4

)

l n ( - l + j ) = ln V 2 + j ( -71 + /c-27r)

J = 1 • e ^2

{ke\

^

l n j = l n l + j ( - + / c - 2 7 r j = j ( - + A;-27r)

.71

d)

. /7l

,

2 • e 3 = 2 • e^3

«

^

(/c (

- 1 = 1 .eJ(" + ^-2") L n ( - l ) = l n l +J7c=j7r

f)

(fcei

\

In ( 2 - e 3) = i n 2 + j | - + /c-27r|

e)

+ 4= 0

(/c = 0)

l n G ^ ) = j - l n j = j j ( - + /c-27r Nach 13)c)

•^-^•271,

Ln(jJ)=-^

(fc = 0)

723

Ill Komplexe Zahlen und Funktionen

Abschnitt 3 1)

Bildliche Darstellung der Sinuszeiger in Bild A-7. lm(z)k

Bild A-7

2)

3)

a)

y^ = 3-sm[2t

+ 'j\ ^ y^ ={?> • Q ^) - Q^^';

b)

y2 = ?>-sm{4t + ^n]

c)

y^ = 4- sm[2t + -n

d)

^4 = 5-8111(71^4-5,08) => );4 = (5-eJ^'^^)-eJ"';

a)

y^ = 3 • sin I cot +l),

n = {3-^^-.^-

b)

y2=4-sm(2t

j ; ^ = (4 ' e 4^) • e^^'

c)

^3 = 5 • sin {t + 2,57),

y3 = (5 • eJ ^'^^) • e^'

d)

y4 = 3- sin (nt + - ^ ) ,

^4 = (B • e-'6'') • eJ^'

a)

Ml - 100V-sin(a;0 => Ml =-lOOV-eJ^'

+ ^nY

A ^ = 3-Q^ = 1,5 + 2,60 j

=> y2 = {3 • Q"^"") • Q'"^';

^ 2 ^ 3 - e 4 ^ = - 2,12 + 2,12j

^ 4 = 5-eJ^'^^ = 1,80 - 4,67j

U2 = 150V-sin(a;t + ^ ) ^ W2 - (l50 V • e 4) • gj^^ u = u^ + U2 = 100Y + 150Y-Q^ = 206,07 V + j 106,07 V = 231,77 V • e^^'"^^ u = u^+U2 = u- eJ"^ = 231,77 V • eJ^^'^^'^^^ M = Im (u) = 231,77 V • sin {cot + 0,48) b)

u^ = 50Y'sm{ajt

+ n) => u^ = (50\ - Q^"") - Q^""'

U2 = 200V-sin(a;^ + - | => M2 = (2OO V • e 3) • gj^^

724

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

^ = ^^ + ^2 = 50 V • eJ^ + 200 V • e 3 = 50 V + j 173,21 V + 180,28 V • e^ ^'^^ u = u^-\-U2 = u- eJ^' = 180,28 V • eJ^^'^^'^^^ u = lm (w) = 180,28 V • sin {cot + 1,29) /

•? \

/

.2 A

A

A

A

\

.4 J

J ~ ^

M = Ml + Ml + ^3 = "o + "o • ^ ^ +

-^

WQ

^

^

A

'^^ ~ ^

w = Ml + M2 + W3 = w • e-''^^ = 0, w = Im (w) = 0 5)

Darstellung der Schwingungen in der Kosinusform (wir setzen co = ns~^): y^ = 20 cm • cos (cot--7C j => y^ = (20 cm • e ^s^'j-eJ"^ ^2 = 15 cm • cos I cor + - I

=> y2 = (15 cm • e 6 ) • e-'"^

_.2

.n

A = A^-\-A2 = 20cm' e""'5"" + 15 cm • e 6 = 1947 cm - j 11,52 cm = 22,37 cm • e^ ^'^"^ y = y^+y^

= A' e^^' = 22,37 cm • eJ^^^'"^'''^)

y = Re (y) = 22,37 cm • cos (cot + 5,74) 6)

Z = i^+j(coL

7)

1 1 Z = - - j — => Z = 0,01S-jO,004S R coL

(co = ns~^)

1 ^ Z = 1 0 0 Q + j 199 999,95 Q coCJ

1 1 Z =—= = 86,21 Q + j 34,48 Q Y 0,01S-jO,004S l=YU_= 8)

1A-J0,4A

Leitwert der Parallelschaltung aus ^2 ^^^ ^•

-^

1

1

C0L-JR2

i?2

f«^

R2{coL)

Widerstandsoperator der Gesamtschaltung: 1 R,Rl + {R, + R2){coLf ^ . R^(coL) Z(co) = i^i +—- = — -—+jYp Rl + icoLf Rl + (coLf 9)

Z i = jRi +JC0L1 = 5 0 Q + j 3 0 0 Q 1 Z2 = i ? 2 - J

= 100Q-j333,33Q coCj^

Z3 = i?3 + j C0L2 = 20 Q + j 450 Q

725

Ill Komplexe Zahlen und Funktionen Leitwert des Parallelkreises _ -1

1 _^2 +^3

^2

3

^2

^3

Komplexer Widerstand des Parallelkreises: Z„ = — = -^'-^ = 810,80 Q - j 468,86 Q -' Zp Z2 + Z3 Komplexer Widerstand des Gesamtkreises: Z = Z^ + Z p = 860,80Q-j 168,86 Q

Abschnitt 4 1)

a) b)

Siehe Bild A-8 Siehe Bild A-9 lm(z)i Im^z;,

1

^ 1-

^(t)

/

^

\/f=0 a

2)

1 3 5 — zi = — 34 - —3 j4 ;'

a)

1

Bild

Bild A-9

— = -0,06-0,08j; Z2

1 — = 0,167 - 0,289j;

1

0,330-0,047j; 3)

^

J Re(z)

Z{co) = R+i(joL

X"' V"°. 2

Re^z;

1 — = 0,128 + 0,107j

1 — = 0,100 + 0,173j (BildA-10)

ImfZ)

Bild A-10

726

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

b)

1 1 ZM =- - j — R o)L

(Bild A-11)

lm(Y)klm(Z)

Bild A-11

4)

a)

Z(R) =

c)

Y{R)

R-j-coC \

b)

Siehe Bild A-12

R{(oCf

Z(R)

(oC

R^(coCf-\-\

+ J-

R^(coCf-\-\

(Bild A-12)

lm(Z)^

/

^Y(R)

/ 1

\ \

V\

-^^JR >7 ^ RQ(Y) RQ(Z}

Z(Ri)

~1Z(R)

Bild A-12 ^1

R

IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Abschnitt 1 1)

a)

y'^lx,

XGR

{grau unterlegter Bereich in Bild A-13)

b)

|x|^l, |y|^3

{hellgrau unterlegter Bereich in Bild A-14)

|x| ^ 1, |y| ^ 3

(dunkelgrau unterlegter Bereich in Bild A-14)

c)

y ^ — X, y ^ X, XE]^

d)

x^+y^^l

^;0;oY

(grau unterlegter Bereich in Bild A-15)

{grau unterlegter Bereich in Bild A-16)

S, = k - ^ ; o Y

S, = (o; 0; ^

A liegt in der Ebene, B oberhalb der Ebene, C und D unterhalb der Ebene.

727

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

728 3)

a)

Bild A-17

b) Bild A-1^

c) Bild A-19

Bild A-17

Bild A-18

Bild A-19

4)

Rotationsfldche: z = v 4 - x^ - y^, x^ -\- y^ ^ 4 (Halbkugel vom Radius R = 2, Bild A-20).

Schnitt mit der x, y-Ebene: Kreis vom Radius R = 2. Schnitt mit der x, z- bzw. y, z-Ebene: Halbkreis vom Radius R = 2.

IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

729

Abschnitt 2 1)

a)

z^ = 12{3x-5yf; ^.y = ^yx=-

t>)

z =

x^-y^

z^^ = 300(3x - 5y)^

w^, = — 6w • sin (3 wu);

{x-hy){x-y)

=

X+ y

X -\- y

Zy= - \ ;

z^^ = 0;

z^ = 3{l+r(p)-Q''^;

w^^^ = — ISu^ • cos (3 wu); w^j^ = — 18w^ • cos (3 wi;)

=X—y z^y = z^^ = 0;

Zyy = 0

z^ = 3r^ • Q'"^; Z^^ = 3cp{2 + rep) • Q'^^;

„2

X —y

X

'x'^—lxy

\j x'^ —Ixy

e)

z^^ = lOS i3x - 5 yf;

6 • sin (3 wu) — l^uv • cos {3uv);

" vu

z^ = \; d)

m{3x-5yf;

w„ = — 6u • sin (3wi;); ' uv

c)

Zy = - 20i3x - 5yf;

^{x^ — Ixy)^

xy

x^

V(x^-2xy)^

V(x^-2x);)^

1 X

'

y

1

1

y

x^

X 1''

1

y

2

S 3^

22 ,. 22 ''

Ixy 2'

^^

/

2

x^ — y'^ 2\ 2 '

^y

y^

\

2\ 2 '

i

2x3;

(x^ + y V 2 ^)

^X

29 ,. 2 2' '

x^ + y 2 X

3;

-X + y

^XX ^^

,

2

—X + 3 ;

/.

29 ,.

'^

29x\ 22 ''

^.^3^

(^ + y )

Lxy y^

/

2 ,

2x2'

(x + y )

2 - y

(x' + yr 5t "''~(2x4-t)^'

5x "'"

20t

(2x + t)^' "'"''"

(2x + t)^' " ' ' ' ~ " ' ' ' ~ ( 2 x + 0 ^ '

lOx {2x + tf j)

Zj = a • cos (at + (p); ^t