Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Ein Lehr- und Arbeitsbuch. Einfacher Einstieg [1 ed.] 9783886405459, 9783886401451

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athematik für Wirtschaftswissenschaftler Ein Lehr- und Arbeitsbuch

Einfacher Einstieg von Thomas Köhler

Deutscher Betriebswirte-Verlag GmbH

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Thomas Köhler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Ein Lehr- und Arbeitsbuch

Einfacher Einstieg

Deutscher Betriebswirte-Verlag GmbH, Gernsbach

Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet unter http://www.ddb.de abrufbar.

© Deutscher Betriebswirte-Verlag GmbH, Gernsbach 2010 Druck: BoD, Norderstedt ISBN: 978-3-88640-145-1

Vorwort Bekanntlich stellen die Veranstaltungen zur Mathematik mit den anschließenden Prüfungen ein erhebliches Hindernis im Verlauf wirtschaftswissenschaftlicher Studiengänge dar - an Universitäten ebenso wie an Fachhochschulen. Dieses Problem wird nie ganz zu beseitigen sein; wer diese Fächer studiert, muss nicht notwendig vorher in der Schule besonders gut in Mathematik gewesen sein - und die Numerus clausus-Regeln zum Studium der Wirtschaftswissenschaften selegieren wenig in diesem Sinne. Dieser Situation müssen sich die Lehranstalten in gewissem Sinne anpassen, nicht unbedingt, indem sie ihre Anforderungen herabsetzen, sondern indem sie gezielter das diesbezügliche Vorwissen und die Fähigkeiten der Studierenden berücksichtigen; sie sollten nicht mit ihnen umgehen wie mit angehenden Mathematikern und sie mit schwierigen sowie zur Darstellung letztlich vermeidbaren Begriffen wie „Äquivalenzrelationen" oder „Indexmengen" überhäufen, überhaupt den Stoff knapper halten und dafür mehr mit Beispielen unterlegen. Oft besteht eine auffällige Diskrepanz zwischen dem, was in den Vorlesungen zu vermitteln versucht wurde und den dann sehr viel einfacheren und sich über Semester wiederholenden Klausurfragen - deren Standardbeantwortung zudem nicht selten noch in speziellen universitären und außeruniversitären Paukkursen eingebläut wird. Das vorliegende kleine Buch versucht, direkt die Vorkenntnisse und die mathematischen Stärken der Studierenden zu berücksichtigen, wiederholt - so abwegig dies erscheinen mag - zunächst das, was aus der Schule mitgebracht werden sollte, aber oft eben nicht mitgebracht wird: Rechnen mit Brüchen, Potenzen und Ungleichungen. Stärker als die meisten vergleichbaren Lehrbücher führt das vorliegende in die Algebra ein, also die prinzipiellen Arten mathematischer Verknüpfungen, und arbeitet auf dieser Basis Unterschiede zwischen den Zahlenarten heraus, etwa den wesentlichen Unterschied zwischen den rationalen und den reellen Zahlen, schließlich auch den Sinn der Erweiterung zur Menge der komplexen Zahlen. Bei diesen Darstellungen wird an einfachen Beispielen geübt, insbesondere die praktisch höchst bedeutsame Nullstellenbestimmung reell- und komplexwertiger Polynome durchgearbeitet. Die vielen offenbar ein permanentes Rätsel bleibende vollständige Induktion wird an mehreren Beispielen vorgestellt und auf grundsätzliche Fehlermöglichkeiten bei dieser Behandlung dieser Probleme verwiesen. Die beiden letzten Kapitel über Vektoren und Matrizen sind ebenfalls wieder einfach und relativ stoffarm gehalten; sie versuchen jedoch, wichtige und dabei nicht allbekannte Sachverhalte deutlich herauszuarbeiten, etwa dass die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren nicht bedeutet, dass jeder mit

5

jedem lineare Abhängigkeit aufweist, nicht einmal, dass ein einziges der drei Paare wechselseitig linear abhängig sein muss. Um den eigentlichen Stoff ballastarm und klar gegliedert zu halten, wurde vieles in die Anmerkungen verlegt, die man lesen kann, aber nicht unbedingt muss. Sie enthalten teilweise Anekdotisches, so die Herkunft des Wortes „Algorithmus" oder die ursprüngliche Bedeutung von „trivial", daneben aber auch mathematische Ergänzungen (ζ. B. den Beweis der Irrationalität von λ/2 , die allgemeinere Einführung der Vollständigkeit eines Körpers mittels des Cauchyschen Folgenkriteriums oder den Austauschsatz von Steinitz), die nicht uninteressant sind, aber im Text eher ablenken und Verwirrung stiften. Das Buch ist programmatisch für das Selbststudium konzipiert, deswegen nicht nur die zuweilen etwas saloppe, „vorwissenschaftliche" Ausdrucksweise und die zahlreichen im Text vorgerechneten Beispiele, sondern auch die Übungsaufgaben am Ende der einzelnen Abschnitte, zu denen im Anhang ausführliche kommentierte Lösungen stehen. Frau Regina Meier vom Deutschen Betriebswirte-Verlag danke ich sehr für die spontane Annahme meines Publikationsangebots sowie Frau Marina Lang für die wertvollen Ratschläge bei der Textgestaltung und ihre ausgesprochen gründliche Lektorierung; die mit Sicherheit vorhandenen mathematischen Fehler gehen selbstverständlich ganz zu meinen Lasten. Sehr verbunden bin ich einmal mehr Ingmar Böschen, der mit seinem enormen Computer-KnowHow sowie mit seiner effizient-sachlichen Art mir schon viel Geld und Zeit gespart hat und auch bei diesem Buch wieder sehr half. Und wie immer der Dank an meine liebe Frau Carmen für ihr Verständnis, wenn ich mit ihrem Laptop an unseren gemeinsamen Wochenenden mich zu sehr mit Mathematik beschäftigt habe.

Hamburg, den 1. August 2010

Thomas Köhler

6

Inhaltsverzeichnis

1

Erinnerung an die Schulmathematik

9

1.1

Rechnen mit Brüchen

9

1.2

Potenzen und Wurzeln

12

1.3

Ungleichungen und Absolutbeträge

14

Anmerkungen zu Kapitel 1

18

Mathematische Grundbegriffe und Formalisierungssprache; mengentheoretische Grundbegriffe

19

2.1

Der Sprachgebrauch der Mathematik

19

2.2

Mengentheoretische Grundbegriffe

22

Anmerkungen zu Kapitel 2

31

3

Zahlenarten

32

3.1

Allgemeines zu algebraischen Strukturen

32

3.2

Die natürlichen Zahlen;

2

das Prinzip der vollständigen Induktion

35

3.3

Ganze und rationale Zahlen

38

3.4

Der vollständige Körper der reellen Zahlen

41

3.5

Die Menge der komplexen Zahlen

52

Anmerkungen zu Kapitel 3

57

7

4

Vektorräume

61

4.1

Definition von Vektorräumen und Vektoren; Unterräume; inneres Produkt und Orthogonalität; normierte Räume

61

4.2

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren; Erzeugendensysteme und Basen

67

4.3

n

Der Vektorraum R ; der Gauß-Algorithmus

73

Anmerkungen zu Kapitel 4

80

5

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

82

5.1

Definition und Typen von Matrizen; Addition und skalare Multiplikation im Matrixvektorraum R m x n

5.2

82

Quadratische Matrizen; Determinanten und inverse Matrizen

85

5.3

Eigenwerte und Eigenvektoren

92

5.4

Lineare Gleichungssysteme

94

Anmerkungen zu Kapitel 5

100

6

Anhang: Lösungen und Kommentare zu den Übungen

101

7

Literaturverzeichnis

117

8

Stichwortverzeichnis

118

8

1 Erinnerung an die Schulmathematik Wem dies alles in der Schule vermittelt wurde und wer es auch nicht wieder vergessen hat, kann dieses Kapitel ohne Schaden überspringen oder zumindest diagonal lesen, zumal die wesentlichen Aussagen (wenn auch stärker mathematisch formalisiert) noch einmal im Abschnitt über Zahlenarten präsentiert werden (s. Kap. 3). Es wird jedoch schwer sein, die in diesem Buch präsentierte „höhere Mathematik" zu verstehen bzw. praktisch anzuwenden, wenn elementare Kenntnisse der Bruchrechnung und weiterer einfacher Algebra fehlen - und dies ist selbst bei Studierenden der Wirtschaftswissenschaften erfahrungsgemäß keineswegs selten. Wer also ohne Zögern bei Brüchen aus den Summenausdrücken im Zähler und Nenner ein- und dieselbe Zahl wegstreicht („kürzt"), wer denkt, dass die Wurzel einer Summe gleich den addierten Wurzeln der einzelnen Summanden ist oder wer das Quadrat eines Summenausdrucks für identisch mit den summierten Quadraten der Einzelelemente hält, sollte sich deshalb ruhig etwas gründlicher bei diesem Kapitel aufhalten.

1.1 Rechnen mit Brüchen Diejenige Zahl, die, um ein einfaches Beispiel zu geben, mit 5 multipliziert den Wert 1 ergibt - in Kap. 3 werden wir sie als „multiplikativ inverses Element" von 5 einfuhren und mit 5 _ 1 symbolisieren - , heißt bekanntlich der „Kehrwert von 5" und wird in der praktischen Bruchform, nämlich als - j , geschrieben. Nicht nur die einfache natürliche Zahl 5 hat ihren Kehrwert, sondern jede reelle Zahl, ζ. B. auch die irrationale Zahl π , deren Inverses man analog als — schreibt. Eine einzige Ausnahme bildet die 0, welche kein π multiplikativ inverses Element besitzt (s. Kap.3.1). Man darf also nie, aber auch wirklich niemals einfach durch 0 dividieren. Was man lediglich tun kann, ist durch eine nahe bei 0 liegende, also eine kleine Zahl h, dividieren und beobachten, was passiert, wenn dieses h immer näher an 0 heranrückt. 3 Unter der Zahl — versteht man das mit 3 multiplizierte Inverse von 5, also

1=3.1. 5

5

9

Bekanntlich darf man Zähler und Nenner mit derselben Zahl - ausgenommen wiederum der 0 - multiplizieren („erweitern"), ohne dass sich der Wert des Bruchs verändert, beispielsweise: 3 _ 3 · 6 _ 18 5 ~ 5 · 6 ~ 30 ' Umgekehrt lassen sich - ohne Veränderung des Bruchwerts - Zähler und Nenner durch dieselbe (von 0 verschiedene) Zahl dividieren (darf „gekürzt" werden), also: 30 ~ 5-6 ~ 5-6 ~ 5' Keineswegs aber darf man - und dies ist leider nicht immer bekannt und daher nachdrücklich zu betonen - im Zähler und Nenner heraus ungestraft Summanden wegstreichen. In aller Regel gilt nämlich: * + y χ + ζ

z

Φ

ζ

' '

Β 18 _ 10+8 ' 30 10+20

8 20 '

Bevor wir zur Multiplikation und Division von Brüchen kommen, sei daran erinnert, dass jede Zahl immer auch als Bruch geschrieben werden kann, ζ. B. 1 Bei der Multiplikation von zwei Brüchen multipliziert man den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten, den Nenner des ersten mit dem Nenner des anderen, beispielsweise: 18 6 18*6 = ;da in Zähler und Nenner nur Produkte stehen, lässt sich 30 12 30-12 , ^ . 18 6 18-6 18 J J J kurzen, zunächst etwa durch 6 und damit = = , dann 30 12 30-12 30-2 18 6 18 6 noch einmal durch 3, somit = = und schließlich durch 2, 30 12 30-2 10-2 womit wir (nach ziemlichen Umwegen) schließlich den Wert von 18 6 3 , , _ 6 18 6 18 -6 108 w , miB , . 10 = — erhalten. Oder: 18·— = = = . V o r d e m Multi30 12 10 7 1 7 1-7 7 plizieren von Brüchen muss man also - anders als vor dem Addieren und Subtrahieren - nicht erst einen gemeinsamen Nenner suchen. (Es würde zwar nicht schaden, wäre aber überflüssiger Aufwand, zumal im Anschluss an die Multiplikation die Aufgabe des Kürzens hinzukäme.)

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Bei der Division von Brüchen multipliziert man den zu dividierenden Bruch (den Dividenden) mit dem Kehrwert der teilenden Bruchzahl (des Divisors), a c ad a-d also — :— = = ; etwa: b d b c b-c 3 6 _ 3 14 _ 3-14 _ 7 ^ ^ 3 ό _ 3 6_3·1 _ 1 ^ 2 Ì 4 ~ 2* 6 ~ 2-6 ~ 2 °

er

'

4

~ 4 Ί ~4·6 ~ 8

°

2 7 2 7-3 21 = — . A m Ende der Rechnung, aber erst dann, kann es 7 : — = — :— = 3 13 1 - 2 2 21

ι/

sinnvoll sein, das Resultat anders darzustellen, — = 10 oder 10,5. / z 2 Genauso ist vorzugehen, wenn die Divisionsaufgabe in Bruchdarstellung gegeben ist: a 4 h a c a-d Λ . . Λ . ς 4 5 4-6 24 — = — :—= , beispielsweise ~ir = — : — = = —. ç_ b d b-c 5 5 6 5-5 25 d 6 Stehen nur drei Zahlen in diesen „Doppelbrüchen", so ist entscheidend, wo der „Hauptbruchstrich" liegt, wie am folgenden Beispiel zu ersehen. 7 2 3 7-3 1-2 21 2 ' 3 2 7 7Γ 2 ο 7 ' 31 2-3 7-1 76 ' —·— —-, aber · 3 Besitzen zwei Brüche den gleichen Nenner, so ist die Addition (wie die Subtraktion) einfach: Das Resultat ist wiederum ein Bruch, bei dem unten der „gemeinsame Nenner" steht, der Zähler sich durch Addition (Subtraktion) der beiden Zähler der Brüche ergibt; also: 2 5 2+5 7 ι/ 3 5 3-5 -2 -1 1 -+—= =-=2 oder = = = — = — = -0,25. / 3 3 3 3 3 8 8 8 8 4 4 Besitzen zwei oder mehr Brüche keinen gemeinsamen Nenner, so muss man sich einen solchen suchen, indem man Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit einer Zahl a multipliziert (den Bruch „erweitert"), den zweiten mit einer Zahl b erweitert, sodass die resultierenden Brüche einen gemeinsamen Nenner besitzen. Zum Beispiel: 3 | 5 _ 3 · 3 | 5 - 2 _ 9 | 10 _ 19 7/ 4 + 6~4·3 + 6·2~12 + 12~12~ ζ 1 2 ' Analog geht man bei drei oder mehr Brüchen vor, wobei die Entdeckung des „kleinsten gemeinsamen Nenners" oft gewisse Findigkeit erfordert: 3 _ 5_ 1 _ 3-6 5-5 1 15 18 25 5 6 2 ~ 5 ^ 6 (T~5 2 Ï Ï 5 ~ 30 30 30 ~ 30 ~ T^ "

11

Gemeinsamer Nenner (meist aber nicht der kleinste) ist stets das Produkt der Nenner, im obigen Beispiel 5 - 6 - 2 = 60. Nimmt man diesen, macht man keinen Fehler, muss aber oft anschließend kürzen, sodass sich der Rechenvorgang umständlicher (oft aber weniger fehlerträchtig) gestaltet.

Übungen zu 1.1 a)

14

7

= ? ; b ) 2 . 1 - I 7 = ? c ) - U ? 7d) J L 4 7 5 4 5 5

?;

e) ü 4 26

=?

1.2 Potenzen und Wurzeln Ist m eine ganze positive Zahl (also eine natürliche Zahl), so lässt sich für jede reelle Zahl a (einschließlich 0) die m-te Potenz von a (gesprochen: a hoch m) bilden, nämlich: Def 1.1: am - α · α · ...· a . (a wird also m-mal mit sich selbst multipliziert.) m-mal

Man nennt a in diesem Ausdruck die Basis oder Grundzahl, m Exponenten oder Hochzahl. Die „nullte Potenz" von a, also a°, ist definitionsgemäß gleich 1 (gleichgültig welchen Wert die Basiszahl hat). Mit natürlichen Zahlen m und η (einschließlich der 0) gilt dann: Satz 1.1 : · α" = ; außerdem gilt: (a m)" = anv". Sei a eine beliebige reelle Zahl (wobei wir die Null allerdings ausnehmen müssen) und m eine ganze positive Zahl oder 0, dann definiert man als a~m jene Zahl, die mit am multipliziert 1 ergibt, in Bruchschreibweise also Def 1.2:

a~m=—=——. α-a-..-a m-mal

an Wie leicht zu sehen, gilt dann: a"-a~ =—=a"~ m. * am Allgemeiner lässt sich damit formulieren: Sind η und m beliebige ganze Zahlen (also auch 0 oder negativ) und ist α Φ 0, so berechnet sich das Produkt der Potenzzahlen, indem man die Basis hoch der Summe der Exponenten nimmt, also: Satz 1.2: am-a" =am+". m

12

So berechnet man: 2 4 ·2

2

= ^ - ^ - = 2 - 2 = 2 2 =2 4

2

oder

2-2

0,01 · 0,001 = 10" 2 · 10"3 = — — = î = 10 5 = 0,00001. 100 1000 100000 Für das Weitere sei nun vorausgesetzt, dass die Basis a eine positive reelle Zahl ist. Dann lassen sich Potenzen von a nicht nur mit ganzen, sondern mit Q beliebigen rationalen Zahlen bilden (also mit Bruchzahlen der Gestalt b = — d bei ganzzahligen c und d, d Φ 0 ). Def 1.3: Als ad

definiert man jene Zahl, die mit d „hochgenommen" a er-

gibt; 2 2 ist somit J Ï ; 8 3 = 2. Entsprechend gilt: Def 1.4: ad =(a d) c

\

so ergibt etwa 3 1 1 1 I i i 3 4 2 = ( 4 2 ) 3 = 2 3 = 8 , A~2 ={A 2)~x=—r =-)==— ; 16 0 ' 75 = 16* = ( V l 6 ) 3 = 2 3 = 8. τ λ/4 2 42 Die oben für ganzzahlige Exponenten gegebenen Beziehungen lassen sich nun auf rationale Hochzahlen erweitern (s. Anmerkung 1.1): Ist a eine positive reelle Zahl und sind b und c rationale Zahlen (Bruchzahlen, inklusive der Null und negativer Zahlen), so gelten die Beziehungen: Satz 1.3: ab · ac = ab+c und (a h)c = ahc. Werden verschiedene Grundzahlen mit gleichem Exponenten multipliziert, so besitzt das resultierende Produkt als Basis das Produkt der Grundzahlen, versehen mit der gemeinsamen Hochzahl: Satz

1.4:

yfä

a

4b

u\ bl

T

ac -bc =(a-b) c = a2 ·b

Oder: a2-b2=(a·

2

=a2

; speziell

\b-x) 2

yfä-Jb

- (a-b~ 1)2

2

= a2 -b2 = (a-b) 2

=(-) 2 V

= yfä^b ;

U 1

u

bzw. ~ = ( - ) 2 . b2 b Produkte oder Quotienten darf man also „unter die Wurzel ziehen" bzw. aus der Wurzel „herausziehen". Dies ist natürlich nicht richtig bei Summen (oder Differenzen): Wie an einfachen Beispielen nachzuprüfen, gilt stets - außer in speziellen Fällen: (a + b)2 Φα 2 +b2 und yfäTb Φ^ + yfb . bf

13

Übungen zu 1.2 -1

a) α 2·α~ 2= ?; b) 4 T - V 2 = ?; c)

b

c_

b

a

-ch =?; d) ac-c c

= l

1.3 Ungleichungen und Absolutbeträge Ein Ausdruck der Art Bspl. 1.1: 5 - 2 x < 9 heißt bekanntlich eine lineare Ungleichung in einer Variable (für die wir Lösungen aus der Menge der reellen Zahlen als zulässig erklären wollen). Anders als lineare Gleichungen (also wo die beiden Seiten durch ein „ = " verbunden sind), bei denen es im typischen Fall genau eine Lösung gibt (zu linearen Gleichungssystemen s. Kap. 5.4), lassen sich für eine solche Ungleichung in aller Regel viele Zahlen χ finden, für welche die Beziehung gilt. So wären x x =-\;x 2 =0,5;x 3 =1 nur drei der (unendlich vielen) Lösungen der angeführten Ungleichung. Ungleichungen kann man auflösen, also die Menge der Werte für χ bestimmen, welche die angeführte Bedingung erfüllen. So kann man auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren (eine Zahl „auf die andere Seite bringen"), ohne dass die Beziehung dadurch verändert wird. Ebenso lassen sich beide Seiten mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder durch dieselbe positive Zahl dividieren, ohne die Gleichung fundamental verändern. Hingegen muss nach Multiplikation mit einer negativen Zahl bzw. nach Division durch eine negative Zahl das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. (Multiplikation mit 0 und Division durch 0 sind nicht zulässig). Im Falle der obigen Ungleichung isolieren wir χ auf der linken Seite. Erster Schritt ist Subtraktion von 5 auf beiden Seiten: Bspl. 1.1a: 5-2·χ - 2 - x < 4 ; die folgende Division durch - 2 liefert nur dann ein korrektes Resultat, wenn man das Ungleichheitszeichen „umdreht", also: Bspl. 1.1b:-2·χ< 4|:(—2) = > x > - 2 . Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit ein Abschnitt auf der reellen Zahlengerade, nämlich alle Zahlen rechts von - 2 (inklusive dieser Zahl selbst). Als Absolutbetrag einer reellen Zahl α, geschrieben \a\, versteht man - etwas lässig formuliert - den „Wert" der Zahl selbst, ohne Berücksichtigung ihres

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Vorzeichens. Für positive Zahlen ist ihr Absolutbetrag die Zahl selbst, ebenso für 0, während der Absolutbetrag negativer Zahlen die Zahl ohne Vorzeichen ist: Also |l,2| = l,2;|-7,53|=7,53;|0| = 0. Formal ausgedrückt: Def. 1.5: \a\ = a, falls α > 0;|α| = - α , f a l l s a < 0 . Wie Summen nicht unter Wurzeln gezogen werden dürfen, so begeht man in aller Regel einen Fehler, wenn man Summen unter Absolutbeträge zieht. Es gilt im allgemeinen Fall: \a + b\ φ\α\ +|Z?|. Für die Beziehung zwischen dem Absolutbetrag einer Summe und der Summe der Absolutbeträge der Summanden gilt die Dreiecksungleichung: Satz 1.5: \a + b\ 0 ist äquivalent (gleichbedeutend) mit der Aussage χ < 3 ; nur aus Werten mit dieser Einschränkung kann daher die (erste) Lösung genommen werden. Da die Zahl zwischen ihnen nicht negativ ist, lassen sich problemlos die Absolutstriche weglassen und wir erhalten die Gleichung 6-2·χ=8, welche allein durch Xj = - 1 erfüllt ist. Da mit der Voraussetzung χ < 3 vereinbar, stellt - wie leicht nachzurechnen - dies tatsächlich eine Lösung der Gleichung |6 - 2 · x| = 8 dar. Als zweiter Fall wird 6 - 2 · χ < 0 angenommen, also χ > 3. Die Zahl zwischen den Absolutstrichen ist dann negativ und ihr Absolutbetrag die mit negativem Vorzeichen versehene Zahl; also: Bspl. 1.2a: |6 - 2 · x| = - ( 6 - 2·χ) = 2 · χ - 6 . Damit lautet die ursprüngliche Gleichung:

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Bspl. 1.2b: \β - 2 · x| = - ( 6 - 2 · χ ) = 2 · χ - 6 = 8; durch Umformen (Schaffen von 6 auf die rechte Seite) ergibt sich 2· χ = 14 und damit als Lösung x 2 = 7 , was mit der Voraussetzung χ > 3 vereinbar ist. Die Gleichung Bspl. 1.2: |6 — 2 · jc| = 8 hat also die beiden Lösungen χ λ = - 1 und x 2 = 7 . Könnte man vielleicht bei gewisser Geschicklichkeit die beiden Lösungen der obigen Gleichung noch durch Probieren finden und sich so die mühsame Fallunterscheidung sparen, wird man um letztere nicht mehr herumkommen, wenn auf beiden Seiten Ausdrücke zwischen Absolutstrichen stehen, wie etwa in folgender Gleichung. Bspl. 1.3: |6 - 3 · x| + 2 = |x +1|. Hier sind vier Fälle zu unterscheiden, nämlich a) beide Zahlen unter den Absolutbeträgen sind positiv b) beide Zahlen zwischen den Absolutstrichen sind negativ c) die Zahl unter dem Absolutbetrag der linken Seite ist positiv, die rechts Seite ist negativ und d) umgekehrt wie in Fall c). Auch für diese Gleichung sind wieder zwei Lösungen zu erwarten. Es wird sicher der Fall eintreten, dass unter mehreren der Voraussetzungen keine Lösung auftritt bzw. diese im Widerspruch zur Voraussetzung steht. Fall a) Die Aussage: „Beide Zahlen unter den Absolutstrichen sind positiv" ist gleichbedeutend mit den beiden Aussagen 6-3·χ>0 und x+l>0, also mit χ < 2 sowie χ > - 1 . Finden wir nach Weglassen der Absolutstriche in Bspl. 1.3 eine Lösung jc,5 können wir sie nur dann akzeptieren, wenn sie zwischen - 1 und 2 liegt (s. Anmerkung 1.2). Unter dieser Voraussetzung lassen sich nun die Absolutbeträge weglassen, und Bspl. 1.3 nimmt die Form an: Bspl. 1.3a: 6 - 3 · χ + 2 = χ + 1 an, welche als Lösung Xj=^=l^/=1,75 hat. Diese ist mit den gemachten Voraussetzungen vereinbar, sodass x x = 1,75 tatsächlich eine Lösung von |6 - 3 · x\ + 2 = |x +1| darstellt. Fall b): Sowohl 6-3-x als auch x + 1 sind negativ (oder 0), also 6-3·χ 0 und x + l < 0 , gleichbedeutend mit x < 2 und x < - l ; es kommen hier nur χ als Lösungen in Frage, die höchstens den Wert - 1 annehmen oder kleiner sind. Der Absolutbetrag auf der linken Seite kann man einfach weggelassen, auf der rechten Seite muss dazu der „Inhalt" mit Minuszeichen versehen werden. Dies liefert die Gleichung:

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Bspl. 1.3b: 6 - 3 · χ + 2 = - ( χ +1) = - χ - 1 ; Umformung ergibt: 9=2-xund als Lösung 4,5. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass χ nicht größer als - 1 sein darf. Fall d): 6 - 3 · χ < 0 sowie χ +1 > 0, woraus man als Bedingung erhält 2 < χ und - 1 < χ ; soll x 2 eine Lösung sein, muss es mindestens den Wert 2 annehmen. Die von den Absolutbeträgen befreite Gleichung lautet dann: Bspl. 1 . 3 c : - ( 6 - 3 - x ) + 2 = x + \, was äquivalent ist mit - 6 + 3·χ + 2 = χ + 1 bzw. 5 = 2x ; dies liefert die Lösung x 2 = 2,5, was mit der Fall d) zu Grunde liegenden Voraussetzung in Einklang steht. x 2 = 2,5 stellt also eine weitere Lösung von Bspl. 1.3 dar. Nachprüfen liefert für die linke Seite: |6 - 3 · 2,5| + 2 = |6 - 7,5| + 2 = |-1,5| + 2 = 1,5 + 2 = 3,5 , für die rechte |2,5 + l|=|3,5|=3,5. Ebenso geht man bei Ungleichungen mit Absolutbeträgen vor, wobei man anders als bei Gleichungen - wenn überhaupt - nicht einzelne Lösungen erhalten wird, sondern Lösungsmengen (Abschnitte der reellen Zahlengerade). Aus Raumgründen sei nur eine Ungleichung mit einem einzigen Absolutbetrag angeführt (zu einer Ungleichung mit deren zwei siehe Übung 1.3d): Bspl. 1.4: | 2 5 - 2 x | > 3 . Die übliche Unterscheidung liefert zunächst Fall a): 25 - 2 · χ > 0 , äquivalent mit χ 3 oder 22 > 2 χ ; diese Ungleichung erfüllen alle Werte von x, die nicht größer als 11 sind, nicht im Widerspruch zur Voraussetzung, die χ < 12,5 angenommen hatte. Im zweiten zu unterscheidenden Fall 25 - 2 · χ < 0 , äquivalent mit χ < 12,5, ist der Absolutbetrag der linken Seite identisch mit - ( 2 5 - 2 · χ ) = 2 · χ - 2 5 und es resultiert folgende Ungleichung Bspl. 1.4b:2 x - 2 5 > 3 , die von allen χ >14 gelöst wird. Insgesamt hat also die Ungleichung Bspl. 1.4 als Lösungsmenge: L={x | x < l l oder x > 1 4 j (zur Mengenschreibweise s. Kap. 2.2).

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Übungen zu 1.3 a) Zeigen Sie an zwei positiven Zahlen a und b, zwei negativen Zahlen a und b sowie an einem positiven a und einem negativen b die Gültigkeit der Dreiecksungleichung. Wann gilt das Gleichheitszeichen? b) Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung |ΐ0-2·χ| + 3 = |2·χ-10| ; wie viele Lösungen erwarten Sie im typischen Fall bei Gleichungen dieser Art? c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 12—4*| < - 4 . d) Welche Lösungsmenge hat die Ungleichung |l2-3x| >2-|x+2| ?

Anmerkungen zu Kapitel 1 1.1: Mit Hilfe der „e-Funktion" (s. Band 2) lässt sich dies sogar auf reelle (nicht notwendige rationale) Exponenten ausdehnen. So wären beispielsweise 2π

oder

wohldefiniert. Noch einmal ist die Wichtigkeit der Voraussetzung a > 0 zu betonen, wenn im Exponenten nicht ganze, sondern gebrochene Zahlen stehen. 1.2: Dieser Gedankengang ist nicht unbedingt gleich einleuchtend, sollte aber prinzipiell nachzuvollziehen sein: Wir machen bestimmte Voraussetzungen bezüglich x, um die Absolutbeträge auflösen zu können. Erhalten wir nach Auflösung dann ein χ als Lösung, welches den an es zuvor gestellten Anforderungen widerspricht, so ist diese natürlich unbrauchbar.

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2 Mathematische Grundbegriffe und Formalisierungssprache; mengentheoretische Grundbegriffe Diese unterschiedlichen Themen werden hier in einem Kapitel behandelt, weil sie nicht neue mathematische Erkenntnisse liefern, sondern vornehmlich Definitionen einfuhren. Zudem ist an Mengen das zuvor über Formalisierungen Gesagte gut zu illustrieren.

2.1 Der Sprachgebrauch der Mathematik Wie jede Wissenschaft, kennt die Mathematik ihre eigene (leider keineswegs immer verbindliche) Terminologie und Symbolik, die nicht zuletzt eine ökonomischere Darstellung gestatten. Die Implikationspfeile => und B beweisen und danach B=>A . Wir zeigen das Vorgehen an einem sehr speziellen Sonderfall der obigen Gleichung, welcher in seiner Schlichtheit den Blick auf das Wesentliche umso weniger verstellt. Zu zeigen ist: Für eine natürliche Zahl m zwischen 19 und 23 ist die Quersumme durch 3 teilbar Eine natürliche Zahl m zwischen 19 und 23 ist durch 3 teilbar (kürzer formuliert: Eine natürliche Zahl m zwischen 19 und 23 ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist). Zunächst ist die Richtigkeit der Implikation => zu zeigen: Die natürlichen Zahlen zwischen 19 und 23 haben die Quersummen 10, 2, 3, 4 und 5, wobei von diesen Zahlen lediglich 3 durch 3 teilbar ist; dies ist die zu m = 21 gehörige Quersumme; also ist m durch 3 teilbar. Nun die Gegenrichtung : m ist eine natürliche Zahl zwischen 19 und 23, die durch 3 teilbar ist; dann gilt: m = 21 - keine andere Zahl in diesem Bereich erfüllt die Bedingung; folglich hat m als Quersumme 3, welche Zahl durch 3 teilbar ist (s. Anmerkung 2.2). Eine weitere zu zeigende Äquivalenz macht mit dem in der Mathematik sehr gebräuchlichen Beweis durch Widerspruch bekannt. Wie in 1.3 ausgeführt, ist der Absolutbetrag einer reellen Zahl r (geschrieben |r| ) mit r identisch, sofern r positiv oder gleich 0 ist, anderenfalls -r. Es sei vorausgesetzt: r Φ0. Zu beweisen ist: r ist positiv (also r > 0) \r\ = r . Der Schluss von der linken Aussage auf die rechte, also die Gültigkeit der Implikation => ist trivial (s. Anmerkung 2.3), denn definitionsgemäß ist für eine positive Zahl \r\ = r . Der Beweis der Umkehrung, also der Schluss |r|=r=>r positiv , soll mittels Widerspruch geführt werden. Es sei also \r\ — r , und wir nehmen an: r ist nicht positiv, somit - da wir den Fall r = 0 in der Voraussetzung ausgeschlossen haben - negativ, d. h. < 0. Dann müsste gelten: |r|=—r = r, somit 2r = 0 => r = 0 , im Widerspruch zum eben Gesagten. Unter der Voraussetzung \r\ = r (rechte Seite) folgt also notwendig: r ist positiv (anders formuliert: r > 0)

20

Die Symbole λ und ν ; Allquantor V und Existenzquantor 3 Oft ergibt sich die Notwendigkeit, einen mathematischen Sachverhalt (etwa eine Zahl, eine Funktionsgleichung, eine Menge) durch mehrere Bestimmungsstücke zu charakterisieren. Ist zur Charakterisierung des gesuchten Elements das gleichzeitige Vorliegen zweier oder mehr Bedingungen erforderlich, vermerkt man dies durch Verwendung des Verknüpfungssymbols λ (lies: sowohl als auch). So sind die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen m charakterisiert durch m =JC-2A m = l-3 mit natürlichen Zahlen k und /. (9 würde nicht zur angeführten Menge gehören, da es keine natürliche Zahl k gibt, sodass gilt: 9=k-2.) Genügt es zur Charakterisierung, dass wenigstens eine von mehreren Bedingungen erfüllt ist, werden die Bedingungen durch das Symbol ν (lies: entweder ...oder); dabei handelt es sich nicht um einen Ausschluss; es können auch beide Bedingungen erfüllt sein, eine muss es allerdings mindestens sein. So sind die entweder durch 2 oder durch 3 (oder eben durch beide) teilbaren natürlichen Zahlen m charakterisiert durch m=k-2vm=l'3 mit natürlichen Zahlen k und /. Die eingeführten Symbole spielen u. a. eine wesentliche Rolle bei der Definition des Durchschnitts und der Vereinigung von Mengen (s. Kap. 2.2), und an den bekannteren, optisch ähnlichen Mengensymbolen η und u kann man sich auch leichter die oben eingeführten logischen Verknüpfungssymbole merken: M n i V umfasst alle Elemente, die sowohl in Mals auch in Ν liegen, M u i V jene, die entweder in Moder in Ν oder auch in beiden liegen. Aussagen der Art: Für alle Zahlen χ mit bestimmten Eigenschaften (ζ. B. für alle reellen Zahlen > 0) gilt die Aussage .... (ζ. B. ihre Quadratwurzel ist ebenfalls eine reelle Zahl) sind in der Mathematik so häufig, dass man zur Abkürzung den „Allquantor" V eingeführt hat. Die Elemente, auf welche sich die Aussage bezieht, stehen dabei üblicherweise unter dem Allquantor, die Aussage steht auf Zeilenhöhe rechts davon (das „gilt" wird nicht eigens vermerkt). Der obige Beispielsatz hätte demnach die Gestalt: V Vx e IR. jc>0;.xeR Entsprechend wäre

V \x\N heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist, wenn also jedes Element von M genau ein Bild in iVhat (Definition der Abbildung), wenn weiter zwei verschiedene Elemente von M verschiedene Bilder in Ν haben (Injektivität) und schließlich jedes Element

29

von Ν sich als Bild eines Elements aus M darstellen lässt (Surjektivität). In diesem Fall lässt sich die Umkehrabbildung von/definieren, geschrieben/ 1 . Sie ordnet jedem Element beN ein Element aeM und zwar genau jenes, welches die Abbildung/in b überfuhrt hatte. Formalisiert also: f~ l'.N—>M mit f-\b)=f~\f(a))=a. Einige Beispiele: Die Abbildung / : [ l ; 2 ] - ^ [ 2 ; 8 ] m i t / ( a ) = 2 •a ist injektiv; denn angenommen f(a)=2>a =f(b) = 2-b , dann folgt 2-a = 2-b und damit a=b . Die Abbildung ist hingegen nicht surjektiv, da das im Zielbereich gelegene Element 7 kein Urbild im Definitionsbereich besitzt. Würde

man

die

Abbildungsvorschrift

/ : [l;2]—>[2;4] mit f(a)=2-a,

hingegen

so

verändern,

dass

den Zielbereich also an die Bildmenge anpas-

sen, so w ä r e / bijektiv. Die Umkehrabbildung lautete dann: / " ' : [ 2 ; 4 H l ; 4 ] mit f(b)=0,5-b Die Abbildung / : [— l;l] ^ [0;l]mit/"(x) = x 2 ist zwar surjektiv, aber nicht injektiv, denn l = / ( l ) = / ( - l ) . Einschränkung des Definitionsbereichs auf das reelle Zahlenintervall zwischen 0 und 1 sichert hingegen auch die Injektivität und damit die Bijektivität. Die Umkehrabbildung lautet:

/ : [ 0 ; l ] - > [0;l] m i t / o o = T r -

übungen zu 2.1 und 2.2 a) Übersetzen Sie folgende Aussage: V 3

V

\an -am \ < ε.

ε >0 /?0 m, n > n( )

b) Bestimmen Sie zu den drei Mengen die jeweiligen Potenzmengen: 0 ; {a];{a;b}. c) Es sei fKl die Menge der natürlichen Zahlen (ohne die Null) und Έ. die Menge der ganzen Zahlen, außerdem wird definiert: A^ 0 :=Nu{o} / l : = { l ; 2 } , ß : = { - l } c Z . Bestimme: A\B; B\A;Ä; N 0nB; Ani; Aul. d) Berechnen Sie - sofern möglich - folgende Ausdrücke:

i=2

i=9

i=2

/'=1

i=9

i=0

e) Untersuchen Sie ob, es sich bei den nachfolgenden Zuordnungen überhaupt um Abbildungen handelt und überprüfen Sie deren Injektivität und Surjektivität. Geben Sie, wenn vorhanden, die Umkehrabbildung an. / : ] l ; 2 [ - > IR mit f(x) = \; f :

]-°°;1θ] m i t / ( x ) = V x ;

/ : ] - co; 10] -> ] - co; ~ [mit f(x) = λ / 7 ; / : ]-1;0]-> [θ;1 [mit f(x)=\x\.

30

Anmerkungen zu Kapitel 2 2.1: Führt man das Negationszeichen —ι ein, wird also mit —ι A (sprich: non A) die zu A konträre Aussage bezeichnet, im Beispiel des Textes also, „x ist nicht durch 9 teilbar" als non Α, „x ist nicht durch 3 teilbar" als non Β, dann kehrt sich bei den Negationen das Implikationszeichen um; es gilt also: —ι Β => —,Α . 2.2: Zumindest an einer dreistelligen Zahl soll der Beweis allgemein gefuhrt werden. abc lässt sie sich (im uns allein vertrauten Dezimal-, d. h. Zehnersystem) schreiben als: abc = α·\ 00+ό·10+c = a-{99+\)+b{9+\)+c= a-99+a+b-9+b+c = a-99+b-9+{a+b+c). Da sowohl 99 als auch 9 durch 3 teilbar sind, gilt mit einer geeigneten natürlichen Zahl k: abc = a-99+b-9+(a+b+c) = k-?>+(a+b+c). Wie bekannt, ist letztere Zahl genau dann durch 3 teilbar, wenn (a + b + c), also die Quersumme von abc, sich durch 3 teilen lässt. 2.3: Das Wort „trivial", von lat. trivialis = zum Trivium, also den niedrigen Wissenschaften gehörend, bedeutet in der Mathematik in etwa „unmittelbar einsichtig, selbstverständlich". Zuweilen hat man den Eindruck, dass Autoren manchmal trivial zu dem sagen, wo ihnen nicht schnell eine prägnante Erklärung gelingt. Im obigen Fall ist die eine Richtung der Implikation allerdings tatsächlich trivial, da sie nichts anderes leistet, als die Definition des Absolutbetrags zu wiederholen. 2.4: Üblicherweise betrachten wir natürlich Mengen von Zahlen, aber es lassen sich auch andere Mengen denken und formal korrekt darstellen, etwa: M = {Bankunternehmen x\x börsennotiert im DAX}; augenblicklich fällt M zusammen mit M ' = {Deutsche Bank; Commerzbank }. 2.5: Vielfach findet man in der Literatur offene Intervalle durch runde Klammern symbolisiert (also (2;5) statt ]2;5[), was angesichts der vielfachen Verwendung runder Klammern zu Missverständnissen fuhren kann und zudem die ästhetisch ansprechende Symmetrie [ ], ] [ aufhebt. 2.6: Statt Abbildung sagt man oft auch Funktion, insbesondere wenn die Abbildung Elemente der Menge IR wieder in Elemente von IR überfuhrt. Die aus der Schule vertraute Schreibweise f{x) für eine Funktion ist insofern nicht ganz korrekt, als f{x) nicht die Abbildung selbst bezeichnet, als vielmehr das Bild von x unter dieser Abbildung / . Das aber sind Feinheiten, die insbesondere jenen, denen Mathematik nur bedingt am Herzen liegt, nicht ernsthafte Sorgen bereiten sollten. 2.7: In der Praxis wird dies häufig auch gemacht, insbesondere wenn /injektiv ist und man durch Schaffung der Surjektivität eine Bijektivität von / erzeugen kann und sich damit die zumeist sehr nützliche Umkehrfunktion von / (geschrieben f 1 ) finden lässt. Zunächst allerdings wird man, um sicher zu gehen, den Zielbereich eher groß angeben.

31

3 Zahlenarten Hier sollen die gebräuchlichen Zahlenarten, nämlich die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und schließlich die komplexen Zahlenmengen mit ihren Eigenschaften vorgestellt werden. Bei der Darstellung der natürlichen Zahlen kommt ausführlich die vollständige Induktion zur Sprache, bei der Behandlung der reellen und komplexen Zahlen der Fundamentalsatz der Algebra und die Polynomzerlegung. Vorangestellt ist ein kurzer Abschnitt über algebraische Strukturen (Halbgruppen, Gruppen, Ringe und Körper), der notfalls überlesen werden kann - und oft auch in Lehrbüchern der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler fehlt; andererseits erleichtern die Definitionen bzw. Ausführungen - einmal verstanden - erheblich das Eindringen in die Besonderheiten der genannten Zahlenmengen.

3.1 Allgemeines zu algebraischen Strukturen Innere Verknüpfungen; Assoziativität und Kommutativität; Halbgruppen Eine innere Verknüpfung auf einer Menge M ordnet zwei Elementen daraus in eindeutiger Weise ein drittes (nicht unbedingt von den Ausgangselementen verschiedenes) Element dieser Menge zu. Innere Verknüpfungen werden üblicherweise mit dem Zeichen ο symbolisiert; spezielle innere Verknüpfungen wie die Addition und die Multiplikation haben bekanntlich ihre eigenen Symbole, nämlich das + - und das Mal-Zeichen. Ein einfaches Beispiel für eine innere Verknüpfung ist die Addition auf der Menge der natürlichen Zahlen IM. Jedem Element a und b aus dieser Menge wird in eindeutiger Weise das Element a + b=c zugeordnet, etwa 5 und 7 das Element 5+7=12. Keine innere Verknüpfung wäre hingegen das Skalarprodukt auf dem Vektorraum IR2. Hiermit ordnet man nämlich jedem Paar von Vektoren eine reelle Zahl zu, beispielsweise

und [2J

die Zahl v^y

» ) { 3 ) = 1 . 3 + 2 . 4 = 11. Def. 3.1: Eine innere Verknüpfung ο heißt assoziativ, wenn gilt: (aob)oc=ao(boc) (man vergleiche hierzu die entsprechenden in Kap. 2.2 bezüglich Mengenoperationen gegebenen Definitionen). Eine Menge mit einer assoziativen inneren Verknüpfung wird Halbgruppe (in Hinblick auf diese spezielle Verknüpfung) genannt. So ist IM eine Halb-

32

gruppe bezüglich der Verknüpfung „+", also eine additive Halbgruppe, denn es gilt bekanntermaßen (a+b)+c = a+(b+c). Def. 3.2: Eine Verknüpfung heißt kommutativ, wenn gilt: aob=boa . Da die Addition kommutativ ist, ist IN eine kommutative addititive Halbgruppe. (Gleichzeitig ist IN auch eine kommutative multiplikative Halbgruppe, denn mit der Multiplikation kommt man nicht aus IN „hinaus"; zudem ist diese Verknüpfung sowohl assoziativ wie kommutativ). Def. 3.3: Ein Element e der Menge M heißt neutrales Element (bezüglich der Verknüpfung ο ) 5 wenn eoa=aoe=a für alle Elemente a der Halbgruppe gilt (s. Anmerkung 3.1). Das neutrale Element der Addition bezeichnet man üblicherweise in Anlehnung an den intuitiven (vordefinitorischen) Sprachgebrauch als NullElement, das der Multiplikation als Eins-Element. Die Menge IN hat bezüglich der Multiplikation ein neutrales Element, nämlich die 1, während es in ihr kein neutrales Element der Addition gibt - die 0 wird definitionsgemäß i. Allg. nicht zu den natürlichen Zahlen gerechnet. Hingegen ist IN0:= INu { θ } additive wie multiplikative Halbgruppe mit jeweils neutralem Element. Inverse Elemente; Gruppen Es sei Meine Halbgruppe bezüglich der Verknüpfung ο mit einem neutralen Element e und aeM.

Dann heißt ein Element a inverses Element (oder

kürzer: Inverses) von α, wenn gilt: α ο a" - a" ο a-e

(s. Anmerkung 3.2).

Def. 3.4: Gibt es zu jedem aeM ein Inverses aeM, dann heißt die Halbgruppe M eine Gruppe. Ist die Verknüpfung kommutativ, so spricht man von einer abelschen Gruppe. IN ist weder bezüglich Addition noch Multiplikation eine Gruppe, ebenso wenig IN0. Es gibt kein additiv Inverses von 2 und auch kein multiplikativ inverses Element zu 2. Diese inversen Elemente (nämlich - 2 ) und 2 _ 1 = müssen wir in anderen „Obermengen" suchen (nämlich in Ζ und in Q). Die Menge der ganzen Zahlen Ζ ist eine additive Gruppe (sogar eine abelsche). Die Menge der rationalen Zahlen Q bildet ebenfalls eine additive abelsche Gruppe: Zu jeder Bruchzahl — ; b ï 0 findet sich ein Element, nämlich b a a ι / a\ / a\ a Λ , sodass — + ( — ) = ( — ) + — = 0 . b b bß bß b Q ist auch eine multiplikative Gruppe, allerdings nur dann, wenn man das Nullelement (das neutrale Element der Addition) herausnimmt (s. S. 34).

33

Distributivität; Ringe und Körper Wir betrachten nun eine Menge M, auf der zwei unterschiedliche innere Verknüpfungen bestehen, die im Weiteren mit + (additive Verknüpfung) und a-b (multiplikative Verknüpfung) bezeichnen werden sollen. Def. 3.5: Ist M bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, ist zudem die multiplikative Verknüpfung assoziativ (gilt also, wie erinnerlich (a -b)-c = a-(b-c)) und gelten schließlich die so genannten Distributivgesetze, d. h. a (b+ c)=ab+ac sowie (a+b}c=ab+a c ), dann heißt M mit diesen Verknüpfungen ein Ring. Dann gilt die wichtige Beziehung: V üO—0·#=0 sowie {—ci)'b——ci'b (s. OG M Anmerkung 3.3). Beispiele für Ringe sind die Zahlenmengen Z , Q , IR und C, wobei die Eigenschaften der letzten drei weit über die von Ringen hinausgehen. Sie sind nämlich so genannte Körper; letztere sind wie folgt charakterisiert: Def. 3.6: Ist M ein Ring im Sinne von Def. 3.5 und ist zudem Μ \ { θ } eine multiplikative abelsche Gruppe, dann heißt M ein Körper. Unter anderem bedeutet dies: Es gibt ein neutrales Element der Addition, welches man üblicherweise 0 nennt; zu jedem Element a aus M existiert ein additiv Inverses, das mit - a bezeichnet wird; es gilt damit a + (—a) = ( - a ) + a = 0 . Weiter gibt es zu jedem Element b (mit Ausnahme von 0) ein üblicherweise mit b~x bezeichnetes multiplikativ Inverses, sodass gilt: b~x-b = b'b~ x=1. Wie erwähnt, sind Q, IR und C Körper. Dass Q, die Menge der rationalen Zahlen (der Bruchzahlen), diese Eigenschaften erfüllt, ist trivial (Q wird ja so definiert, dass die Eigenschaften erfüllt sind; s. 3.3). Dass es für IR und C gilt, liegt daran, dass diese Mengen mathematisch sinnvolle Erweiterungen von Q darstellen, somit auf ihnen weiterhin die Körperaxiome gelten. Es ist auch unmittelbar ersichtlich, dass die Menge der ganzen Zahlen Ζ zwar ein Ring, aber kein Körper ist, denn es existiert kein Element ö g Z , welches m i t 2 multipliziert 1 ergibt. Für das Nullelement gibt es kein multiplikativ Inverses. Sei dieses nämlich ( Γ 1 , dann wäre definitionsgemäß 0 - 1 ·0 = 1, andererseits wurde oben ausgeführt, dass für jedes Element a des Körpers, also auch für ( Γ 1 , gilt: a · 0 = 0. Angeordnete Körper Es sei Κ ein Körper, dann besteht auf ihm eine Ordnungsrelation in Form der größer-kleiner-Beziehung (symbolisiert mit 0 und damit ( - / )

2

=i

54

2

=-\

/ 0 (s. Anmerkung 3.18).

Nullstellen komplexwertiger Polynome; Fundamentalsatz der Algebra Ein Ausdruck der Form pn(z)=c 0 + c,-z + c 2 - z 2 + + · zn heißt ein Polynom n-ten Grades in C, wenn man ftir ζ beliebige komplexe Zahlen einsetzen kann und die Koeffizienten c0\c x\...\c nmitοηΦ 0 Elemente von C sind. (Dies schließt nicht den Fall aus, dass alle Koeffizienten keinen Imaginärteil haben, also rein reell sind; entscheidend ist, dass als Lösungen für pn(z) = 0, also als Nullstellen des Polynoms, auch komplexe Zahlen zugelassen sind.) In 3.4 wurde ausgeführt, dass ein Polynom /7-ten Grades in IR höchstens η Nullstellen haben kann (aber auch eventuell überhaupt keine). In C gilt der wichtige Satz, dass diese Polynome - sofern η > 0 - genau η, nicht notwendig verschiedene Nullstellen besitzen (so genannter Fundamentalsatz der Algebra). Entsprechend lässt sich jedes komplexwertige Polynom in η Linearfaktoren zerlegen, erlaubt folglich eine Darstellung als Produkt der Form pn(z)=c-(z-Zj)-(z-z 2)·...· (z-z n) (wobei zl,z 2,...,z n nicht unbedingt alle verschieden sein müssen, also mehrfache Nullstellen vorliegen können). Wie bei reellwertigen Polynomen muss man im Falle η > 2 die erste Nullstelle erraten und erhält danach durch Polynomdivision ein Polynom vom Grad η— 1, dessen nächste Nullstelle ebenfalls geraten werden muss oder - im Falle η = 2 - an Hand der Mitternachtsformel exakt bestimmt werden kann. Wir demonstrieren das Vorgehen am Polynom 3. Grades p 3 ( z ) = 1 + ( - 1 + 2 · 0 · Ζ + ( - 1 - 2 · / ) · Ζ2 + Ζ 3 . Wie man durch Einsetzen sieht, ist Zj = 1 eine Nullstelle, sodass wir die Polynomdivision 1 + ( - 1 + 2 · /) · ζ + ( - 1 - 2 · /) · ζ 2 + z J : (ζ - 1 ) durchführen können und als Ergebnis ein Polynom lediglich 2. Grades erwarten dürfen. Dies ist tatsächlich der Fall, denn z 3 - z 2 - 2 - / - Z 2 - Z + 2-/-Z + 1 : ( z - l ) = z 2 - 2 - / - Z - 1

- 2 · / · ζ 2 - ζ + 2 · / · ζ +1 - 2 · / · ζ2 + 2 · / · ζ ζ+1 ζ+1

0 Dieses lautet also: ρ2(ζ) = ζ 2 - 2-i·z-\

= (z-i) 2.

Wie aus dessen Zerle-

gung in Linearfaktoren zu erkennen, ist z 2 = i doppelte Nullstelle. Trotzdem 55

sollen auch noch an Hand der berühmten Mitternachtsformel die Nullstellen von p 2 (ζ) = ζ 2 - 2 · i · ζ - 1 = - 1 + ( - 2 · /) · ζ + ζ 2 berechnet werden. Dabei gilt a = \;b=-2-i;c=-\,

und die Formel liefert für die Nullstellen:

_ - b ± 4 b 2 - A ' ü ' C _ - ( - 2 · 0 ± λ / ( ~ 2 · 0 2 - 4 · 1 · ( - 1 ) _2·/±V(-2) 2 ·ζ2+4 _ '~

2~a

~

2

~

2

~

2 · / ± λ / ( - 2 ) 2 · / 2 + 4 _ 2 - / ± V 4 - / 2 + 4 _ 2 - / ± V - 4 + 4 _ 2 - / ±0 2 2 2 2 Jedoch ist mit den uns bisher zur Verfügung stehenden Mitteln selbst die Nullstelle eines quadratischen komplexwertigen Polynoms nicht immer rasch zu bestimmen. (Mit Kenntnis der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus und Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten wird dies leicht zu bewältigen sein, ebenso wie das Ziehen beliebiger Wurzeln in C). Gleichwohl soll schon jetzt die Wurzel aus /, also die Nullstellen des Polynoms p2(z) = z2-i, ermittelt werden. Die nach dem Fundamentalsatz der Algebra zu erwartenden zwei (nicht notwendig verschiedenen) Nullstellen müssen als Elemente von C die Gestalt z, = ax+b x-i;z 2 =a2+b2-i haben (mit reellen Zahlen ax\b x\a 2\b2 ). Dann muss gelten: 0

Ο

0

0

0

0

0

ζ, = (a x + bx · /) = ax + 2 · ax · bx · i + bx -i =ax —bx + 2 · ax · bx · i und damit a2 -b2

= 0 « a2 =b2 sowie 2 · ax · bx =\. Mit dem Ansatz ax =bx erhält man

2·α χ·α χ = \ und α λ = J— =^—=b ]. 2 2 λ/2 Λ/2 1

2

2-2

2

ο

Λ/2

Λ/2 Λ/2

7

2

2

2 2

Die Probe λ/2 2

7

1 2·Λ/2·Λ/2

Λ/2

2

2

2-2

7

7

—h /Η—(—1) =/ 2 2-2 4 λ/2 zeigt, dass ζ,= 1

λ/2 1

2

i tatsächlich eine Wurzel von i darstellt. Die zweite 2

Nullstelle des Polynoms p2(z) = z2 - i findet sich durch Polynomdivision ζ2

λ/2

λ/2 +

faktor) p x ( z ) = z - ( —

man erhält das Polynom 1. Grades (den Linear— ·/), das als Nullstelle

+

besitzt.

Probe bestätigt, dass es sich tatsächlich um eine Wurzel von i handelt (s. Anmerkung 3.19). Dieselbe Lösung ergäbe sich, wenn man aus der Identität a2=bl

die Beziehung a2=-b2

ableitet und in die Gleichung 2-a2-b2 = \ ein-

setzt. 56

Übungen zu 3.5 a) Mit

= 2-/'; r 2 =4/ ist zu berechnen: γ 1 +γ 2 ;/·γ 1 -^-;γ 1 ·γ 2 ;

.

b) Ermitteln Sie die Nullstellen des komplexwertigen Polynoms 3. Grades p(z) = -2'i'Z 1 -z und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren. c) Betrachten Sie das Polynom p(x) = x^+x 2+3x+3 aus den Übungen zu 3.4 als komplexwertiges Polynom und bestimmen Sie seine Nullstellen. Weshalb kann man sicher sein, dass es in C tatsächlich Nullstellen besitzt?

Anmerkungen zu Kapitel 3 3.1: Streng genommen müsste man die Begriffe des linksneutralen und des rechtsneutralen Elements einfuhren (also e/ und er) mit V e/°a = a und V a°er = a. Es ae M

ae M

gilt jedoch ej =ej°e r = er, sodass links- und rechtsneutrales Element identisch sind und deshalb legitimerweise mit der einheitlichen Bezeichnung neutrales Element (auch im Falle nicht kommutativer Halbgruppen) versehen werden können. 3.2: Wieder wäre eigentlich ein links- und ein rechtsinverses Element zu unterscheiden; wiederum lässt sich aber zeigen, dass - auch wenn keine Kommutativität der Verknüpfung gegeben ist - links- und rechtsinverses Element identisch sind. Bezeichnet man nämlich das Linksinverse von a mit at, das Rechtsinverse mit ar, so gilt a/ = ci/ °e = a/°(a°a r) = {a t°a)oa r=eoa r=a r. Dieses inverse Element ist eindeutig bestimmt, denn seien a und a Inverse von a, so folgt: α —α ο e —a °(a ° a ) = (a ° a)° a =e° a —a . 3.3: Angenommen a • 0 Φ 0 , so gilt auf Grund des Distributivgesetzes α-0 = α·(0+0) = α-0+α·0. Wegen der Eindeutigkeit des neutralen Elements einer Verknüpfung (s. Anmerkung 3.2), folgt dann aber a· 0 = 0, im Widerspruch zur Annahme. Damit ergibt sich auch: (-a)-b = (-a)-b + 0 = (-a)-b + a-b + (-a-b) = l(-a) + a]-b + (-a-b) = 0-b + (-a-b) = -a-b. 3.4: Diese Ordnungsrelation wird in unterschiedlicher (aber letztlich äquivalenter Weise) in der Literatur eingeführt; wir haben eine besonders einfache Einfuhrung gewählt, uns auch nicht darum gekümmert, ob alle Definitionsstücke unabhängig sind. Die Bedeutung der Ordnungsrelation lässt sich nicht zuletzt daran sehen, dass man mit ihrer Hilfe den Körper der reellen Zahlen IR gegenüber dem „Unterkörper" der rationalen Zahlen Q abgrenzen kann. 3.5: Für a>0 folgt dies unmittelbar aus den Ausordnungsaxiomen. Um die Beziehung auch fur a < 0 zu zeigen, sind einige Vorbemerkungen nötig, nämlich zunächst: aeP + =>-aeP_ (wobei - a wie üblich das additiv inverse Element von a ist. Denn unter der Annahme: aeP +A-aeP + folgt a+(-a) = 0e P + im Widerspruch zur Fest-

57

legung, dass 0 weder zu den positiven noch zu den negativen Zahlen gehört. Und ebenso die Umkehrung ae P_=>-ae P + . Weiter gilt: (~a}b = (-a}b+0 = (-a)-b+a-b+(-a-b) = [(-a)+a\b+(-a-b) = 0-b+(-a-b) = -a-b . Falls a und b positive Zahlen sind, folgt der aus der Schule sattsam bekannte Satz (minus mal plus = minus). Ähnliche Umformungen ergeben die noch bekanntere Identität (-a)-(-b) = a-b , was - im Falle, dass a und b positiv sind - die Aussage „minus mal minus gibt plus" liefert. Für a < 0 gilt demnach - a > 0, also (-a) · (-a) > 0. 3.6: fKl ist auch tatsächlich die einzige Menge, welche den Peanoschen Axiomen gehorcht. Für die Elemente von Ζ gilt zwar, dass jedes von ihnen einen eindeutigen Nachfolger und Vorgänger hat, dass es aber kein kleinstes Element von Ζ gibt. Für die Körper Q und IR existiert eben so wenig ein kleinstes Element, und zudem stellt sich die Frage der Definition des Nachfolgers. Ist der Nachfolger von

die Zahl

—+1 oder die Zahl —— ? In jedem Fall liegen - anders als bei Elementen aus fKl 2 2+1 zwischen Zahl und potentiellem Nachfolger unendlich viele andere Zahlen. 3.7: Diese Identität hat der gerade einmal sieben- oder achtjährige Carl Friedrich Gauß entdeckt und verblüffte damit seinen Lehrer (und ärgerte ihn zugleich). Dieser hatte den Schülern, um sie zu beschäftigen, die Aufgabe vorgelegt, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Der kleine Gauß betrachtete diese endliche Reihe und addierte das erste Glied (also 1) und das letzte Glied (100), erhielt die Summe 101, was sich ebenso als Summe des zweiten und des vorletzten Gliedes, des dritten und des drittletzten Gliedes usw. ergab. Insgesamt musste man also nur 50mal die Zahl 101 addieren. Die Gültigkeit der Gleichung, die uns immer wieder begegnen wird, an kleinen Zahlen fur η auszurechnen und mit dem von der Formel gelieferten Ergebnis zu vergleichen, ist eine nützliche und angenehme Übung. 3.8: Es ist nicht überflüssig anzumerken, dass nur so - durch Umformen der linken Seite zur rechten Seite der Induktionsbehauptung unter Benutzen der Induktionsvoraussetzung - eine kunstgerechte vollständige Induktion durchgeführt wird. Nicht zulässig ist es, die Gültigkeit der Induktionsbehauptung anzunehmen und unter VerI

wendung von = -Zeichen solange zu rechnen, bis man eine triviale Identität des Typs 2=2 findet. Natürlich darf man sich in einem ersten inoffiziellen Durchgang in der Induktionsbehauptung von rechts nach links vorarbeiten, im gegebenen Beispiel etwa die Identität " 2 + 3 " + 2 = ( " + 1 H " + 2 ) feststellen, die dann bei der eigentlichen Induktion 2

2

schnell eingesetzt werden kann. 3.9: Diese Aussage wird durch Widerspruch bewiesen. Nehmen wir also an, yfï sei rational, dann ist sie als Bruch -^mitg^O darstellbar, wobei weiter angenommen sei, dass die natürlichen Zahlen ρ und q teilerfremd sind, dass also bereits sämtliche mög-

58

liehen Kürzungen erfolgt sind. Insbesondere sollen ρ und q nicht beide gerade Zahlen sein, denn sonst ließe sich noch einmal durch 2 kürzen. Wegen

2

=— gilt dann 2 = —

un

d somit

l-q 2=p2

; damit ergibt sich aber, dass

p2

q2

V

eine gerade Zahl ist. Da allgemein fur jede ganze Zahl a gilt: a gerade a 2 gerade (ein Satz, von dessen Richtigkeit man sich hier lediglich durch Einsetzen überzeugen möge), folgt, dass auch ρ gerade, d. h. durch 2 teilbar sein muss. falls eine natürliche Zahl, und Umformung liefert:

2

ist damit eben-

Daraus folgt aber, dass q2 und (nach der obigen Feststellung über das Quadrat ganzer Zahlen) auch q gerade sein muss, dies im Widerspruch zur Annahme, dass ρ und q teilerfremd sind. Die Zahl V2 - wenn sie überhaupt existiert, aber das wird mit der Einfuhrung des Körpers IR sichergestellt - kann also keine rationale Zahl sein. 3.10: Sie sind im doppelten Sinne irrational, einerseits weil sie sich nicht als Bruch darstellen lassen (lat. ratio = Bruch), andererseits weil sie dem Verstand (lat. ratio = Verstand, Vernunft) nur schwer zugänglich sind. Letztlich wird man die unendliche Folge der Dezimalstellen mit beliebig kleinem, aber stets vorhandenem Fehler irgendeinmal abbrechen und die betrachtete irrationale Zahl mit dieser so gewählten rationalen gleichsetzen. 3.11 : Dazu muss erst die Funktion ex eingeführt werden (s. Band 2). Angemerkt sei, dass man ay (im Falle positiver Werte ä) allgemein für reelle Zahlen y, insbesondere somit sogar für irrationale Exponenten sinnvoll einfuhren kann, ζ. B. 3 ^ bilden kann. Auf welche Weise dies auch immer geschieht, es wird in jedem Falle darauf hinauslaufen, dass man den irrationalen Exponenten, hier 41 , näherungsweise durch eine rationale Zahl ersetzt. 3.12: Es gilt also 41=2 ; die beiden Zahlen x 1 ? x 2 , welche die Gleichung χ =4 erfüllen, sind dann x X 2 = +JÄ = ±2 , also x x = + V Ï = +2 x 2 = = -2. 3.13: Korrekter wäre die Schreibweise pn(X) = a0 + ax · X + a2 · X 2 +... + an · X", weil man mit Kleinbuchstaben nur die Werte der Variable, mit Großbuchstaben die Variable selbst bezeichnet; solche Feinheiten sollen uns nicht bekümmern, zumal in der Schule immer kleine Buchstaben geschrieben wurden. Man sei aber nicht irritiert, in der Literatur auch hier auch Großbuchstaben zu finden. 3.14: Theoretisch ist es noch möglich für Polynome 3. Grades mit der komplizierten Cardano-Formel; man sollte diese nur anwenden, wenn Ausprobieren kein Resultat bringt. 3.15: Anders ist es in der Physik, die ohne komplexe Zahlen nicht auskommt. Mathematisch ist die Erweiterung von IR zu C keineswegs reine Mehrarbeit, sondern in sogar eine Ersparnis; auf der allgemeiner definierten Menge C lassen sich nämlich Probleme bearbeiten, die auch für IR gelten, aber auf dieser Menge ohne die Hilfsmittel der komplexen Analysis (der Funktionentheorie) nicht gelöst werden könnten. 59

3.16: Oft wird auch nur b als der Imaginärteil von ζ bezeichnet, was mathematisch korrekter sein mag, aber weniger anschaulich ist. Nicht anschaulich ist auch die Darstellung der komplexen Zahl z=a+b-i in Form eines Ausdrucks z=(a;b) als Element des (zu C „isomorphen") Vektorraums IR2. 3.17: Imaginär bedeutet, nur in der Vorstellung existierend. Die Menge der imaginären Zahlen, für die üblicherweise kein eigenes Symbol benutzt wird, ist multiplikativ nicht abgeschlossen: Das Produkt der beiden imaginären Zahlen

und

ergibt , also eine reelle Zahl. 3.18: C ist zwar kein angeordneter, jedoch ein vollständiger Körper, allerdings nicht im Sinne der Supremumsdefinition der Vollständigkeit (die wir für IR herangezogen haben), sondern einer anderen dazu äquivalenten (nämlich der Konvergenz von Folgen, welche das Cauchy-Kriterium erfüllen; s. Band 2). In jedem Fall ist für C gesichert - was eben in Q nicht der Fall ist, jedoch in IR - dass jede konvergente Folge aus Mengenelementen auch gegen ein Element dieser Menge konvergiert. 3.19: In IR wurde als Quadratwurzel einer Zahl a diejenige positive Zahl b definiert, deren Quadrat a ergibt. In C, wo das Anordnungsaxiom nicht gilt, sind alle Zahlen b, die ins Quadrat gesetzt a ergeben, gleichwertig. Anders als in IR ist also in C die Wurzel nicht eindeutig.

60

4 Vektorräume 4.1 Definition von Vektorräumen und Vektoren; Unterräume; inneres Produkt und Orthogonalität; normierte Räume Allgemeines zu Vektorräumen; Unterräume Vektoren werden in der Mathematik sehr viel allgemeiner definiert als üblicherweise in der Schule geschehen, wo Vektoren mit gerichteten Strecken in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum gleichgesetzt werden. Gleichwohl werden wir uns im Folgenden weitgehend auf die bekannten Vektorräume IRn, insbesondere IR2 und IRJ, beschränken, wobei wir diese allerdings weniger unter geometrischen Aspekten betrachten, sondern vielmehr hinsichtlich anderer Eigenschaften, u. a. jener, Aussagen über die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme zu liefern. Def. 4.1: Ein Vektorraum V, dessen Elemente Vektoren genannt und üblicherweise zur Abgrenzung von gewöhnlichen Zahlen mit einem darüber gesetzten Pfeil symbolisiert werden, ist eine additive abelsche (also kommutative) Gruppe. (Zur Erinnerung: Es ist eine Addition von Vektoren gegeben, die nicht aus dem Vektorraum hinaus führt - der somit diesbezüglich abgeschlossen ist - , es existiert ein additiv neutrales Element, der üblicherweise mit 0 symbolisierte Nullvektor, zu jedem Vektor ν gibt es ein additives Inverses - ν , sodass v + ( - v ) = 0). Weiter ist eine Multiplikation der Vektoren aus V mit Elementen a eines Körpers Κ definiert (häufig als skalare Multiplikation bezeichnet), sodass a-ve V und die Assoziativgesetze gelten, also: a-iv+w) = a-v+a-w sowie (a+b)-v = a-v+b-v . Man sagt, F i s t ein Vektorraum über K\ man spricht auch von einem K-Vektorraum und symbolisiert dies zuweilen mit (V;K). Bspl. 4.1: Der vertrauteste Vektorraum ist IR2, dessen Elemente aus Spaltenvektoren

J bestehen mit v,,v 2 £ IR; letztere Zahlen werden auch Kom-

ponenten genannt. Die Addition zweier Elemente aus IR2 ergibt sich über Addition der Komponenten {komponentenweise Addition), der Nullvektor 0 ist das Element ^Q j , der zu ^

j inverse Vektor ist der Vektor

j . Ska-

lare Multiplikation definiert sich als Multiplikation der Komponenten mit einem Element von IR (s. auch 4.3). Bspl. 4.2: Ebenfalls Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen IR (ein IR-Vektorraum) ist die Menge der reellwertigen Polynome vom Grad < n , 61

also Ausdrücke der Gestalt p^ n(x)=a 0+ax-x+...+a n-x n. dieser

Menge

(s.

Anmerkung

4.1),

somit

Für zwei Polynome

Gleichungen

der

Form

p

\/

/

FB

b2

Ha =

2

b2

= ax-b x+a 2'b 2+...an'b n

zu schreiben.

Λ y Der Bequemlichkeit halber und der lieben Gewohnheit wegen werden wir trotzdem das Skalarprodukt zweier Vektoren aus IRn ü und ν weiterhin mit ü'V symbolisieren und nicht als u l -v . In IRJ, noch besser in IR2, lässt sich das Skalarprodukt zweier Vektoren ü und ν gut veranschaulichen, nämlich als Produkt der Beträge \ü\ und |v| (allgemeiner: der Euklidischen Normen \\ü\\2 und ||v|| ), multipliziert mit dem Cosinus des von den Vektoren einschlossenen Winkels a . Also: m-v=||m|| -||v|| -cosor. Handelt es sich bei ü und ν um normierte Vektoren, also ||w|| =1 und ||v|| 2 =l, dann ist das Skalarprodukt identisch mit dem Cosinus des zwischen ihnen gelegenen Winkels. Die Gültigkeit dieses Satzes (s. '2s Anmerkung 4.10) wird am Vektorpaar ü und v = | q I demonstriert. Vorab sei an die Definition des Cosinus erinnert. Der Cosinus eines Winkels α , symbolisiert mit cos α , ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypothenuse, wenn a Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Dann gilt: cos 0°=l;cos 60°=0,5;cos 90°=0;cos 180°=-l;cos 270°=0;cos 360°=1. Die Beträge berechnen sich IUI = V l 2 + 2 2 = 2 ' * als Skalarprodukt: ü-v

M

-

« 2,24;||v|| = V 2 2 + 0 2 =2, II \\2

•2+2-0 = 2. Damit erhält man für den Cosi-

2 '^=0,447. nus des Winkels zwischen ü und ν : cosa= T i u-v \\u\\ - ν "λ/5·2 Λ/5 5 ΙΓΙΙ2ΙΓΙΙ2

woraus sich mit den zwangsläufigen Rundungsfehlern or = 63,4° ergibt. 75

Erzeugendensysteme, Basismengen, Orthonormalbasen und die kanonische Basis von IR" Wie unmittelbar zu sehen, ist die Menge gendensystem von IR2 V 3:=

ein Erzeu-

Ό 0

eines von IRJ und

eine Menge V n mit η Vektoren, deren η Komponenten sämtlich 0 sind bis auf jeweils eine mit dem Wert 1, ein Erzeugendensystem von IR" (eines der vielen Erzeugendensysteme dieses Vektorraums). Da die Vektoren dieser Erzeugendensystemen linear unabhängig sind, handelt es sich bei den Mengen V 2,V 3,...,V n gleichzeitig um Basen der in diesem Abschnitt betrachteten Vektorräume handelt. Als Folgerung lässt sich ziehen, dass der Vektorraum IR2, dessen eine Basis V 2 bildet, die Dimension 2 hat. (Wie in 4.2 gezeigt, haben die diversen Basen eines Vektorraums stets dieselbe Anzahl von Elementen, welche als dim F bezeichnet wird.) IRn hat entsprechend die Dimension n. Da sämtliche Vektoren der genannten Basen aufeinander senkrecht stehen und zudem den Betrag 1 aufweisen, handelt es sich bei V 2,V 3,...,V n sogar um Orthonormalbasen. Von diesen gibt es immer noch unendlich viele: so ist

F1 auch B2 :=

F 1 ^ V2 ~ JÏ 5 Orthonormalbasis von IR2 (s. Übung 1 Λ = 1

^

vV2 ;

ν -Ä J

4.2). Die Menge

, welche die Eigenschaft einer Orthonor-

malbasis besitzt und gegenüber anderen solchen Mengen den Vorteil besonders

einfacher

Struktur

(0 (0) foi V 3:= v,= 0 $2 = 1 ,v 3 = 0 l°J lu l°J

hat, heißt

auch kanonische

Basis

von

IR2,

kanonische Basis von IR3 (s. Anmerkung 4.11).

Der Gauß-Algorithmus zur Überprüfung der linearen Abhängigkeit von Vektoren in IRn Um herausfinden, ob die Vektoren

V,,V 2 ...,V^G

R n linear unabhängig (linear

abhängig) sind, kann man den Ansatz machen: Ä [ -v x +X 1 -v 2 +...+X k -v k = 0 und überprüfen, ob als Indiz der linearen Unabhängigkeit λί = λ2 = ...=λ1( = 0 folgt.

76

Ist dies nicht der Fall, so wird es aufwändig nachzuweisen, wie viele dieser Vektoren linear unabhängig sind. Hier hilft das Gaußsche Eliminationsverfahren oder der Gauß-Algorithmus (s. Anmerkung 4.12) weiter, welches v. a. eingesetzt wird, um den Rang einer Matrix zu bestimmen und damit Aussagen über Lösbarkeit und Lösungen eines linearen Gleichungssystems zu machen (s. Kap. 5.4). Wir beweisen zunächst folgendes Lemma (s. Anmerkung 4.13): Lemma 4.1: Die Vektoren

Y

(l'l λ (V f *b0 0 .V2 = 2 ,-,v = h k 0 0

k

5

(also jene Spaltenvektoren, die ab

\Jk) demy+l-ten Glied nach unten nur die Werte 0 haben, deren y-tes Glied aber ungleich 0 ist), bilden eine Basis von IRk d IRn. Dazu muss lediglich die lineare Unabhängigkeit gezeigt werden; dann gilt à\mV k —k — dim IRk, und V k ist automatisch auch Erzeugendensystem. Man zeigt leicht: (ι Λ M M b2 +..+Ä - lM b 2 = 0 = ^ = 0 4· 0 +4>· +4>· 2 k

ÎM

M 0

4·

Λ

=>Ayt_1=0=>.^=>/l1=0.

+-+Λ-Γ

f ι λ l'I 2

= 0

\Jk-\)

J'n

also die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren. Daraus folgt aber: Gelingt es, die Elemente einer Vektormenge V durch erlaubte Umformungen, also Multiplikation mit von 0 verschiedenen Skalaren und durch Vektoraddition (außer der Subtraktion eines Vektors von sich selbst) in solche Gestalt zu bringen, dass der erste Vektor nur in der ersten Komponente einen von 0 verschiedenen Wert hat, der zweite Vektor bestenfalls in den ersten beiden Komponenten sich von 0 unterscheidet, der Ä:-te Vektor unterhalb der k-ten Komponente nur 0 stehen hat und letzteres auch für alle weiteren Vektoren der Menge gilt, dann sind genau k Vektoren von F linear unabhängig. Ein Beispiel sollte den Sachverhalt verständlich machen - wobei wir auf einen sich aufdrängenden Einwand erst später eine Antwort geben wollen. Bspl. 4.17: Gegeben sei die drei Vektoren:

'2Ì

v,= 6

vU

,V,= 1 2

>v3

=

. Wie viele von diesen sind linear unabhängig?

v-5y

Wir schreiben zunächst die Vektoren (diesmal ohne Klammern) nebeneinander und nummerieren die Zeilen dabei mit römischen Ziffern, also: I

2-1

III

2

7 / 6 1 3

5 *

-5

77

Multiplikation der ersten Zeile mit 3 ergibt: fi* 6 - 3 15) 7 / 6 1 3 III 1 2 - 5 V / Mit II* =11-1* folgt fr

is) -12 -5 \ / In einem nächsten Schritt bilden wir durch Multiplikation mit 6 aus III den

II* III

6-3 0 4 1 2

Ausdruck III*

und erhalten:

f r

6-3 is) 0 4 -12 III* 6 12 - 3 0 ν /

II*

Zieht man von III* den Ausdruck I* ab, ergibt sich f r

6-3 is) 0 4 -12 III** 0 15 -45 V / Man multipliziert nun III * mit 4, II* mit 15 und erhält

II*

( ί ' 6-3 15 "Ι //* 0 60 -180 ///"* 0 60 -180 V / Anschließend subtrahiert man II** von III***, welcher Vorgang liefert: F I* 6-3 15 ί 0 60 -180 ΙΓ ΙΐΓ* 0 0 0 V y Tatsächlich sind also nur zwei der durch solche Transformationen gewonnenen Spaltenvektoren linear unabhängig; der dritte lässt sich durch Linearkombination (mit μχ=\\μ 2=-3 ) der ersten beiden erhalten. Dasselbe Resultat sollte das Standardverfahren erbringen mit dem Ansatz f2> ί 5 Ί foi ί-0 6 + À2 · 1 3 = 0 l 2 J l - 5 J loj Diese Aussage ist identisch mit den drei Gleichungen / :2/lj - A 2 + 5Λ3 = 0 77:64 + 4 + 3 Λ =0 777:4+2^-5^=0

78

Auflösen von / nach 4

liefert 2 4 + 5 4 = 4 , Einsetzen in II und III ergibt:

II: 6/ί, +2Λ, + 5 4 + 3 4 =084 = - 8 4 III : 4 + 2 < 2 4 + 5 4 )-54=054 = - 5 4 Somit: 4

= —

4

un(

^ 24 + 5 · (-1)4 = 4 ^

=

' dies in //eingesetzt:

6 4 - 3 4 - 3 4 = 0 , also eine triviale Identität, auf jeden Fall nicht 4 = 0 - Es bleibt nun nichts anderes übrig, als für 4 irgendeinen Wert zu wählen, am naheliegendsten 4 = 1 ; dann ergibt sich 4 - ~ U 4

= -

3 . Dies eingesetzt in

fol (5λ (Ολ fs) (2) r-n 1 +I3· 3 1 -1· 3 0 ergibt 1· 6 -3·f-0 0 5 _5 l~ J l°Jder Vektoren luzeigt (s. Anmerkung l Jl°J4.14) wasuJ die lineare Abhängigkeit (A

=

=

Basis des von ihnen ausgespannten Vektorraums, also eine Basis von (ν ΐ 5 ν 2 ...,ν Λ ) , gefunden werden soll, wie es im nächsten Beispiel geschieht. Vorab muss aber dem Einwand begegnet werden, dass wir bei der gerade durchgeführten Anwendung des Algorithmus nicht Spaltenvektoren addiert oder mit einem Skalar multipliziert haben, sondern innerhalb der Spaltenvektoren Manipulationen vorgenommen haben, was zunächst unerlaubt scheint (und letztlich auch ist). Zur Bestimmung der Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren war dies jedoch legitim, weil wir an den entsprechenden Zeilenvektoren erlaubte Transformationen vorgenommen haben und die Zahl der linear abhängigen Spaltenvektoren gleich der linear abhängiger Zeilenvektoren ist („Zeilenrang = Spaltenrang"; s. Kap. 5.4). Folglich sind die beiden durch den Gauß-Algorithmus gewonnenen linear unabhängigen Spaltenveltoren f q Jund Ì ^ Q Ì auch keine Basis des von den Vektoren

(2] 6

5

fo 18 7 15 Adj 7 18 11 15 11

203 39 -193

(-1)

1+1

Ί( 8

1

i2+1l7

f In

r

l ( - 1 ) Mi ,18

11 18

7 H ) 1 + 2 15

15 18

2+2

(-D

15 11

(-1)3+2

39 -193 99 -93 -93 275

18 15 18

u ι?

h)1+3| )|

H)2+3

)l H)3+ t

n] 18

Da diese symmetrisch ist, ist sie identisch mit ihrer Transponierten. Division durch die Determinante liefert daher die gesuchte Inverse: λ 203 39 - 1 9 3 Χ 39 99 - 9 3 Β- =1032 -193 - 9 3 275 Probe (diesmal zur Abwechslung durch Multiplikation von rechts) ergibt: / 203 39 -193) ( 18 7 15^ (1032 0 0 Ν f1 0 0i 1 7 18 11 39 99 -93 0 1032 0 = 0 1 0 1032 ^15 11 18y 1032 -193 -93 275 0 0 1032) l o 0 l j V (s. Anmerkung 5.2)

Übungen zu 5.2 a) Durch Entwicklung nach der ersten Zeile sowie nach der zweiten Spalte ist die '18 7 15' Determinante der Matrix 7 18 11 zu berechnen. .15 11 U b) Bestimmen Sie die Inverse der Matrix keit Ihres Ergebnisses.

91

und überprüfen Sie die Richtig-

5.3 Eigenwerte und Eigenvektoren Einführung und erste Definitionen Wie erwähnt, lassen sich bestimmte Abbildungen zwischen Vektorräumen (die „linearen Abbildungen") als Multiplikationen von Vektoren mit Matrizen darstellen. Wir betrachten im Folgenden nur Abbildungen eines Vektorraums in sich selbst und somit quadratische Matrizen. In diesem Zusammenhang interessieren häufig Eigenwerte und Eigenvektoren (s. Anmerkung 5.3). Def. 5.8: Ein Skalar λ heißt Eigenwert und ein Vektor ν Eigenvektor zur quadratischen Matrix A, wenn gilt: Α · ν = λ· v. Die Gleichung in Def. 5.8 ist äquivalent zur Gleichung: (Α-λ·Ε)·ν=0 und hat dann eine nichttriviale Lösung (also eine Lösung mit v ^ O ) , wenn die Determinante von A-À-E gleich 0 ist (verschwindet). Dies liefert eine Anzahl von Eigenwerten, also Werte für λ , welche die Gleichung lösen (abhängig von der Zahl unabhängiger Zeilen der Matrix). Aus den Eigenwerten lassen sich dann die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen, die bis auf ihre Länge (ihren Betrag) eindeutig sind. Zunächst ist ein wichtiger Begriff einzuführen: Charakteristisches Polynom und die Bestimmung von Eigenwerten Def. 5.9: Sei A eine quadratische nxn-Matrix. Dann heißt die Determinante -λ an ^22 — ^

I

der Matrix Α — λ · E , also det

233- λ ..

7

n\ " " " ann ^ das charakteristische Polynom der Matrix A. Es hat tatsächlich die Gestalt eines Polynoms n-ten Grades, wobei die Variable hier nicht χ genannt wird, sondern λ \ der Koeffizient von λ" hat den Wert ( - 1 ) " , ist also 1 bei gerader Zeilenzahl (Spaltenzahl) der Matrix A. Bspl. 5.10: Das charakteristische Polynom der Matrix A = ^ pÄ}l)=det

f\-2 V 5

? ^ ο q =(\-λ)'(2-λ)-2-?>=λ 2-?>λ-6 λ—A

92

.

lautet:

Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms lassen sich die Eigenwerte von A bestimmen; nach dem Gesagten sind dies genau seine Nullstellen. Bspl. 5.11 : Gesucht sind Eigenwerte von

^

Eine Gleichung zu ihrer Bestimmung erhalten wir, indem wir das charakteristische Polynom gleich 0 setzen: \((α β))-λ·Ε\

=

2 2} ο f 1 0 3 1 r Ä ' 0 1

2-λ

3

2

Ì-À

= 0.

Dies liefert die Gleichung: (2 - λ) · (1 - λ) - 6 = 0 oder nach Ausmultiplizieren: Λ 2 - 3 · / 1 - 4 = 0 mit den Lösungen: λι = 4 und λ 2 = - 1 . Bestimmung der Eigenvektoren Um den Eigenvektor ν = ^

j (eigentlich die Menge der Eigenvektoren) zum

ersten Eigenwert, nämlich λι = 4, zu erhalten, machen wir den Ansatz 3 2 ] ' (^y1 ]

= 4

'{^v j ' W

a S ZWe

G l e i c h u n

^

S e n liefert, nämlich

ν,—2-v2 = v, sowie 3·ν,+2·ν 2 =4·ν χ und damit: v 2 = 1,5 · ν, Wählt man v, =2, folgt v 2 =3 . Eigenvektoren sind also nur bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig (s. Anmerkung 5.4). Bei ν = 3

j handelt es tatsächlich um einen Eigenvektor mit Eigenwert 4:

2) 3 Γ

3-2 + 2·3 Γ

12 Γ

4

'

3Γ

Übungen zu 5.3 f-\ 2λ a) Man bestimme die Eigenwerte der Matrix £=l ^ 3 I u n d

z u

diesen jeweils einen

Eigenvektor. Zeigen Sie, dass es sich tatsächlich um einen Eigenwert und einen Eigenvektor der Matrix handelt.

93

5.4 Lineare Gleichungssysteme Definitionen und Problemstellung Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und η Variablen (Unbekannten) hat die Gestalt: Gleichung \:au ·χ χ + al2-x 2 +.... + α λη ·χ η =b{; Gleichung 2:a 2 X ·χ χ -\-a22-x 2-\-.... + a2n ·.x n =b2;

Gleichung m:α ηύ

·χ χ + am2-x 2 +.... + amn ·χ η =bm.

Das System wird linear genannt, weil die Unbekannten nur in 1. Potenz auftauchen, die (hier ausschließlich als reell angenommenen) Zahlen α η,..,α 1η,..,α 21,..,α 2η,..,α ηή,..,α ηιη,..,^,..^ η heißen Koeffizienten. Spezielle Werte in den Variablen - so genannte /7-Tupel, meist (etwas nachlässig) in für welche die Form eines Zeilenvektors dargestellt, also (x lA,x 2A,...,x nA)~ geforderten Identitäten gelten, heißen Lösungen des Gleichungssystems. Bspl. 5.12: Das Gleichungssystem 1-Xj + 2·Χ2 — — 2 ; -5·χ 1 +5·Χ 2 = 0. besteht aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten (dass die Unbekannte x 3 in der zweiten Gleichung nicht auftaucht, liegt daran, dass ihr Koeffizient dort 0 ist). Eine Lösung (keineswegs die einzige) ist das Zahlentripel ( X\A

9 X2A

1X3A

)

=

(I9I9O92)

.

Die zentralen Fragen im Rahmen solcher linearer Gleichungssysteme lauten: Hat das System überhaupt Lösungen; wenn ja, sind diese eindeutig, d. h. gibt es nur eine einzige Lösung, also ein einziges /7-Tupel in Werten der Variablen, für welches die geforderte Identität gilt, und schließlich: Wenn es mehrere Lösungen gibt, wie hängen diese zusammen? In Bspl. 5.12 gibt es also eine Lösung - und ist leicht, weitere Zahlentripel zu finden, die ebenfalls Lösungen darstellen, beispielsweise (0;0;-0,4) oder (2; 2; 1,2) (bzw. ( 0 ; 0 ; - 0 , 4 ) 7 , (2; 2; 1,2)7 , da die Lösungen eigentlich Spaltenvektoren sind); die Lösung ist also nicht eindeutig. Wie die diversen, das System lösenden Zahlentripel zusammenhängen, wird später erläutert. Zunächst eine wichtige Definition: Def. 5.9: Ein Gleichungssystem der beschriebenen Art wird homogen genannt, wenn auf der rechten Seite nur Nullen stehen, es heißt inhomogen, wenn mindestens einer der Koeffizienten b{,..,b n nicht 0 ist. Bspl. 5.13: Das Gleichungssystem

94

\·χ +2'Χ 2 — 5·Χο=2* J ' i s t inhomogen, das Gleichungssystem

—5·χ ί+5·χ 2

=

0.

10·χ, + 2·Χ 7 +5Χ 1 = 0; . , ' ist homogen. -7·χ 1 + 0,33·Χ 2 =0. * Gleichungssysteme in Matrix- bzw. Vektorschreibweise; Lösbarkeit Ein lineares Gleichungssystem lässt sich sparsam auch als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben, nämlich axx -x x + aX 2-x 2 + .... + aX n -x n =bx; / / X, \ «l/ «11 «12 ÎM x2 «21 «21 «2 « λ a2X -x x + a22-x 2 + .... + a2n ·.x n =&2; = V«ml «„,2 a

m\

'

X

a

\

· — ~*~ mn

^W/7 )

IaJ

X

' n

Bspl. 5.14: Das Gleichungssystem \-x x + 2-x 2 5*Xß =2; .^ ist äquivalent mit -5·χ!-1-5·χ2 = 0.

1 2 -5 -5 5 0

or V X3

J

Aus dem zuvor über Vektoren und Matrizen Erarbeiteten kann nun folgende wichtige Aussage abgeleitet werden: Satz 5.3: Ein lineares Gleichungssystem axx -x x +aX 2x 2 + ....+aX n x n =bx; @22 '%2 + ···· "I" @2n ' X n — '

ü 2 X -Χχ a

m\ ' X\ ~^ am2 ' X2~^~ ·— ~*~ amn ' Xn

hat dann Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix

a2X

\

a

m

1

a2X

a

m2

λ

2 η

a

nm

gleich ist dem Rang der erweiterten

Koeffizientenmatrix

95

«11, a->„

b

\λ

h

m1 ni2 Was so überraschend-tiefsinnig klingt, ist eigentlich trivial (d. h. eine Binsenweisheit), denn das Gleichungssystem kann auch so geschrieben werden: / \ / \ / \ ί L·λ a ( «11^ al2 \n f 1 a2l a22 b2 a2n — + ... + x „ · + X2 ' χ, ·

\

a

··

··

\am2 ) \am\ J Λυ Existenz von Lösungen bedeutet nichts anderes, als dass Darstellung von /

\

/

«11

als Linearkombination der Vektoren

a2X

«22

«21 -

9

-

«2/7 9··9

\ «1*

a22

«2*

··

··

\am\) \am2 )

gelingt, J

ÎM 62

9 ··

/

9 ··

\bmj von den n+1 Vektoren / \ / «12 \ / «1* \

\ «12

also höchstens η linear unabhängig sein können.

··

V^OTl ) V«m2 ) V «mw )I a J Damit ergibt sich ein einfaches Verfahren, anhand der Koeffizientenmatrizen (nicht durch fehlerträchtige Rechnungen im Gleichungssystem selbst), über dessen prinzipielle Lösbarkeit zu entscheiden: Man untersucht mittels des Gauß-Verfahrens, ob der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt, und dies kann sogar „in einem Aufwasch" geschehen. Bspl. 5.15: Besitzt folgendes Gleichungssystem überhaupt eine Lösung? 1 " Xj 2 "X2 2 "X3 — 4, Xj 5 • X2 4 • X3 — 3 · Xj +6 x 2 + 6 -x3 =4. Durchgeführt werden dazu elementare (rangerhaltende) Operationen an der erweiterten Koeffizientenmatrix: r

1 2 2 4λ II 1 - 5 - 4 6 3 6 6 4j KIII I

Multiplikation der 1. Zeile mit 3 und Subtraktion des Produkts von III gibt:

96

7 II III

1 2 1 -5 0 0

2 -4 0

1 2 2 12 2 4 , damit Rg 1 - 5 - 4 ~'xnA ) u n < ^ {x\B>x2B>~>xnB) sind ebenso sowie c-(x lA;x 2A;..;x nA) Lösungen des inhomogenen Systems. Den Beweis der Aussage zur Dimensionalität übergehend, wollen wir sofort eine wichtige Folgerung ziehen: Findet man für ein homogenes Gleichungssystem mit η Unbekannten n-RgA verschiedene Lösungen, so stellen diese eine Basis von LH dar. Jede weitere Lösung lässt sich dann als Linearkombination von ihnen darstellen. Bspl. 5.16: Gesucht ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems x

\

~x2

+

2 ' x3

-x x + x 2- 2 • x 3 =0; x

\ + 7 · jc2 — 16 ·ΛΓ3 =0.

Zunächst ermitteln wir mit dem Gauß-Algorithmus den Rang der Koeffizientenmatrix A =

1 -1

2^

-1

-2

vi

1

7

. Subtraktion der mit (-1) multiplizierten ersten

"Ι*,

Ί -1 2 ^

Zeile von der zweiten liefert: A = 0 0 0 . Die Koeffizientenmatrix hat 1 7 -16 somit den Rang 2, während die Zahl der Unbekannten 3 beträgt. Man erhält für die Dimension der Lösungsmenge: dim LH = n- RgA = 3 - 2 = 1 . Um eine spezielle Lösung des Systems zu finden, wird x {=\ gesetzt, somit: x 2 2 "χ2 — 2, 1 "f - x 2 2 ' Xj -3; — und daraus: x 2 = 9 ; x 3 = 4 . 1 +7 ·χ 2 —16 ·χ 3

1

Damit ergibt sich Lh

χ =

ζ. B. auch Xj — 2 · 1, x 2—2 " 9,

λ·

; mit À e R > ; man prüft rasch nach, dass

ν4/

— 2 4 Lösungen des Gleichungssystems sind.

98

Nun lässt sich rasch die Lösungsmenge Lm eines inhomogenen Gleichungssystems abgeben. Diese ist kein Vektorraum, sondern wird gewonnen durch Addition eines Vektorraums (des Vektorraums der Lösungsmenge des homogenen Systems LH) zu einem speziellen Vektor, der eine der vielen (sofern existenten) Lösungen des inhomogenen Systems darstellt. Oder formalisiert: A// = WA + Lh } (s. Anmerkung 5.6). Bspl. 5.17: Hat das inhomogene Gleichungssystem χ j χ2 "H 2 • x 3 — 2, χι

·Χ*2 2 • x 3 — 2,

X! + 7 ·Χ 2-\6·Χ 3

= - 8 .

überhaupt Lösungen; wenn ja, gibt es nur eine einzige oder sind die Lösungen nicht eindeutig; wie lässt sich im letzteren Fall die Lösungsmenge allgemein angeben? Da der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem der erweiterten Koeffizientenmatrix (beide 1; nachprüfen!), hat das System eine Lösung. Wegen n=3, RgA =2; hat das zugehörige inhomogene System von Bspl. 5.17 einen eindimensionalen Lösungsraum; da das homogene System von Bspl. 5.17 gerade Bspl. 5.16 ist, kennen wir diesen, nämlich xx = λ·

9 ; mit λ e R

Es übrigt noch nun, eine der unendlichen vielen Lösungen des inhomogenen Systems zu finden, beispielsweise x 1 = l ; x 2 = l ; x 3 = l . Dieses bestimmen wir praktischerweise nicht aus dem ursprünglichen Gleichungssystem, sondern jenem nach Umformungen durch den Gauß-Algorithmus (indem wir nun wieder die Unbekannten hinzufügen). Somit lässt sich der Lösungsraum des inhomogenen Systems darstellen:

Übungen zu 5.4 a) Hat das lineare Gleichungssystem x 1 -X 2 +X 3 -X 4 =0; -Χ! +2·Χ2 +2-X3 +X4 =3; x2+3-x3=5; 2xj +3·χ2 —2·Χ 3 -2·χ 4 =9. überhaupt Lösungen? In diesem Fall soll die Lösungsmenge dargestellt werden.

99

b) Es soll gezeigt werden, dass folgendes Gleichungssystem Lösungen besitzt und die Lösungsmenge bestimmt werden. Xj X2 + x 3 — 2, Xj H- X2 x 3 — 2, 2 · X! - 2 · x 2 + 2 · x 3 = 4.

Anmerkungen zu Kapitel 5 5.1 : Die Herkunft des Wortes Matrix in dieser Verwendung liegt im Dunkeln. Matrix bedeutet im Lateinischen „Mutterboden", etwas, worauf ein Gebilde in natürlicher Weise wächst; so ist die Nagelmatrix das Keimgewebe, aus dem die Finger- oder die Fußnägel entstehen. Möglicherweise leitet sich der Ausdruck auch indirekt aus „Matrize" her, was drucktechnisch „Gussform" bedeutet. 5.2: Daneben gibt es weitere Methoden, die Inverse einer regulären Matrix zu bestimmen. So kann man etwa die Matrix A links neben die Einheitsmatrix E derselben Dimension schreiben und an A solange rangerhaltende Transformationen durchführen (s. Kap. 5.4 zum Gauß-Verfahren), bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Dieselben Transformationen, an der rechts von A stehenden Einheitsmatrix durchgeführt, wandeln letztere in A"1 um. 5.3: Diese Eigenwerte sind von zentraler Bedeutung bei einigen statistischen Verfahren, etwa bei bestimmten Varianten der sogenannten Faktorenanalyse, bei multivariaten Varianzanalysen und der Diskriminanzanalyse. 5.4: Oft normiert man Eigenvektoren, legt also fest, dass sie den Betrag 1 haben. 5.5. Da bei einem homogenen linearen Gleichungssystem der Rang der Koeffizientenmatrix notwendigerweise gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, ergibt sich die Existenz einer Lösung direkt aus Satz 5.3. 5.6: Ein solches Gebilde trägt den putzigen Namen lineare Mannigfaltigkeit. Es handelt sich um die Zusammenstellung eines fixes Elements (eines Vektors χ , bei einer Gerade oder Ebene der „Aufpunkt" genannt), auf dem sich wiederum ein Vektorraum aufbaut. Eine lineare Mannigfaltigkeit ist kein Vektorraum, weil sie i. Allg. kein Nullelement und die Summe zweier Elemente einer linearen Mannigfaltigkeit nicht notwendig wieder in der linearen Mannigfaltigkeit zu liegen kommt. Der Sachverhalt wird sicher verständlicher, wenn man die aus der Schule vertrauten Ebenen im dreidimensionalen Raum als lineare Mannigfaltigkeiten begreift. Beispielsweise (Ολ definiert die Gleichung X χ == 3 +À- 0 + M 1 ; A,//g IR eine Ebene, die parallel zu

1°;

l°J

x-^-Ebene hoch über dieser verläuft (und die wegen des fehlenden Nullelements selbst kein Unterraum von IR3 ist).

100

6 Anhang: Lösungen und Kommentare zu den Übungen Übungen zu 1.1 3

5

_ 3-10 + 70 63 9 i/ +5= =—=—=4 Κ = 4,5. / 2 7 14 14 2

a)

14 b) 3_ , 5 _ 6 7 _3·5 _ 6· 7 _ 15 _ 42 _ 15-5-42-28 _ 75-1176 4 7 5 ~4·7 5 ~28 5 28-5 ~ 140

1101 140 ~

7121/

/ ΐ 40

3 c)

7—= 4 5

\ 4 5

=— : — = = — = 3 3/ = 3,75. Man beachte sehr, dass der 1 5 1 - 4 4 / 4 '

3 Hauptbruchstrich unterhalb von 3 steht, der Hauptzähler also die Gestalt 3 =— hat 4 - man teilt 3 durch — . 5 3 3 d) = 1 = - : - = ^ - L = — = 0 , 1 5 . Hier liegt der Hauptbruch5 5 4 1 4-5 20 1 3 strich unter der 4, der Zähler lautet - anders als im obigen Beispiel - hier —, der 4 5 4 Nenner 5 = — ; man teilt in diesem Falle — durch 5. 1 5 13-26 13-13 169 „ „ ^ w , , x 13 4 e) — : — = := = = 21 =21,125. Man lasse sich also durch die / 8 4 26 4-4 4-2 8 schön zueinander passenden Zahlenpaare (13 und 26 einerseits, 4 und 4 andererseits) nicht dazu verführen, die Regeln des Bruchrechnens über den Haufen zu werfen. Übungen zu 1.2 a) a -a

=a

=a = 1 ; oder anders: α · a

1 zi _1 zL i b) 4 τ - V 2 = ( 2 2 ) - * -22 = 2 Τ · 2 2

44

(22)4

_!

1

= a -—- = 1. a

-2* =2° = 1 ; oder anders:

24

22 101

c) ac-c b=ae-cb . Hier ist nichts zu vereinfachen, die Grundzahlen sind verschieden und ebenso die Exponenten. Etwas günstiger liegt der Fall bei der nächsten Aufgabe; hierbei kann man zunächst die Exponenten so umformen, dass jeder das Glied — c enthält, also: t

1

t-

d) ac-c c = a c-c

a-

-

c

= (a h-ca)c

Übungen zu 1.3 a) Es sollte die Gültigkeit der Dreiecksungleichung gezeigt werden. Bekanntlich lautet die Dreiecksungleichung fur beliebige reelle (übrigens auch komplexe) Zahlen + Für zwei positive reelle Zahlen, beispielsweise 2 und 5, gilt tatsächlich: |2+5| = |7| = 7 = 2 + 5=|2| + |5|0 n0

V \α η-α η\0 existiert eine Zahl n0 (lässt sich eine Zahl n0 finden), sodass fur alle Zahlen m und η, die so groß wie n0 oder größer sind, gilt: Der Absolutbetrag der Differenz zwischen den Gliedern a„ und am (Gliedern einer so genannten Folge) ist kleiner als die Zahl ε (Cauchy-Kriterium für Folgen; s. Band 2) b) Zu drei Mengen 0;{a},{a;b} waren die jeweiligen Potenzmengen zu bestimmen: Die Potenzmenge P(M) einer Menge M umfasst - was zugegebenermaßen anfangs wenig eingängig ist - alle Teilmengen von M (nicht alle Elemente von M- das wäre natürlich M selbst). In der Potenzmenge von M ist allemal die leere Menge 0 und M selbst enthalten. Um zu prüfen, ob man die Potenzmenge richtig identifiziert hat, hilft der Satz weiter: Hat M m Elemente, besitzt die Potenzmenge von M 2m Elemente. Gesucht: P(0) ; Teilmenge der leeren Menge ist wiederum die leere Menge selbst, diese aber auch als einzige. Damit ergibt sich P(0)={0}. Sie enthält ein Element, was auch zu erwarten war, weil die leere Menge 0 Elemente hat, finden sich in ihrer Potenzmenge 2°=1 Elemente. Gesucht /^({tf}) ; \a\ enthält genau ein Element, nämlich a\ folglich muss die Potenzmenge dieser Menge 2l=2 Elemente enthalten. Die Menge {l=27-6=21 . i=2 i=2 i=2 9

=4. Kommentar: Steht unter (hinter, rechts von) dem Summenzeichen eine /=9 Konstante, dann wird die Summation über die geforderte Anzahl von Gliedern vorgenommen (hier beginnend mit den 9. und endend mit dem 9. Glied), die alle den Wert der Konstante besitzen. ^

i=2

(τ~~τ ~ 2) = - 2)+ - 2)f - 2)+ (——- - 2)+ - 2)f ( — - 2) = /+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1

(— - 2)+ (— - 2)f (— - 2)f (— - 2)+ (— - 2)+ (— - 2 ) = — + — + — + — + — + — - 6- 2 = 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 2· 35-8 + 3-35-6 + 4-7· 24+ 5· 35-4 + 6-5· 24+ 7· 35-3 ] 2 _ 35-24 560 + 630 + 672 + 700 + 720 + 735 1 2 _ 4017 1 2 - 4 Q 1 7 ~ 1 2 8 4 ( ) - 7 2173571 840 840 840 4 ! = 4 1 - 2 + 4 2 - 2 + 4 3 - 2 + 4 4 - 2 = 4 _ 1 +4° +4 1 + 4 2 = - + 1 + 4 + 8 = 9 ^ = 9,25 8

·/. Diese Summe ist nicht definiert, da die obere Summationsgrenze kleiner als /=9 die untere ist. (Würde statt 8 als obere Summationsgrenze 9 stehen, wäre das Ergebnis 18). 2

2-Z+2/_1 +1 )=( 2-0+2 0 - 1 +1 )+(2-l+21-1 +1 )+(2-2+22-1 +1 )=2 -1 +1+2+20+1+4+21 +1 /=0 -H-l+2+l+l+4+2+l=l 2 K=12,5. / 2 2 e) Zu untersuchen war, ob es sich bei den nachfolgenden Zuordnungen überhaupt um Abbildungen handelt und deren Injektivität und Surjektivität zu überprüfen. Wenn vorhanden, sollte die Umkehrabbildung angegeben werden. /:]l;2[—>IR mit f(x)=l. Hierbei handelt es sich zweifellos um eine Abbildung. Jedem Element des Definitionsbereichs ]l;2[ wird in eindeutiger (unmissverständlicher) Weise ein Element des Zielbereichs zugeordnet, nämlich die 1. Die Abbildung ist nicht surjektiv, denn bis auf die Zahl 1 hat kein Element von IR ein Urbild. Sie ist auch nicht injektiv, denn verschiedenste Elemente des Definitionsbereichs haben ein und dasselbe Bild.

106

/ : ]— οο;1 θ] —> ]-°°;10]mit f(x) = [θ;ΐ[ mit / ( * ) = |jt|. Hier handelt es sich um eine bijektive Abbildung. (Man beachte die Grenzen: - 1 gehört nicht zum Definitionsbereich, 1 nicht zum Zielbereich). Würde - 1 zum Definitionsbereich gehören, wäre kein Bild im Zielbereich für dieses Element vorhanden, würde es sich also gar nicht um eine Abbildung handeln. Würde 1 zum Zielbereich gehören, wäre/nicht surjektiv. So (mit dem gegebenen Definitionsbereich und dem gegebenen Zielbereich) ist aber/bijektiv, und es lässt sich die Umkehrabbildung definieren, nämlich: / _1 · [θ;ΐ[ —>]- Ι?θ] mit f~\y) = -y . Übungen zu 3.4 a) Überprüft werden sollte hier, ob das reellwertige quadratische Polynom p2(x)=3-6x+3x 2 überhaupt Nullstellen besitzt und wenn ja, welche? Wir entscheiden über die Existenz von reellwertigen Nullstellen anhand der Diskriminante, wobei zur Anwendung bekannt sein muss, welche Werte a, b und c annehmen. a ist definitionsgemäß immer der Koeffizient des quadratischen Gliedes, c das konstante Glied des Polynoms, hier also a = 3;b = -6;c = 3. Damit ergibt sich für die Diskriminante D=b2-4ac = 36-4-3-3 = 0 . Folglich ist genau eine Nullstelle zu erwarten, welche sich nach der Mitternachtsformei berechnet zu: x V 7 12

-b±ylb 2-4ac = 2a

6±0 =

6

, = 1.

Nachprüfen durch Einsetzen in die Gleichung bestätigt die Richtigkeit der Lösung. Polynomdivision 3-6x + 3x 2:x-\ liefert als Ergebnis (JC)=3(JC—1) 9 welches ebenfalls 1 als Nullstelle besitzt - somit ist 1 ist doppelte Nullstelle. Zerlegung in Linearfaktoren liefert p(x) = 3-6x + 3x 2 = 3 · (χ -1)2. b) Bestimmt werden sollten die Nullstellen von p3 (x) = + x 2 + 3x + 3 . Durch Probieren findet man die erste Nullstelle, nämlich xx = - 1 . Führt man die Polynomdivision

+ x 2 +3x + 3 : (* + l) durch, erhält man das Polynom 2. Grades

p2(x) = x 2 +3 . Wie aus dessen Diskriminante D =0-4-1-3 = -12 zu ersehen, besitzt

107

dieses keine weiteren reellen Nullstellen - und nur solche haben wir so weit berücksichtigt (s. jedoch Übung 3 im nächsten Abschnitt). Übungen zu 3.5 a) Gegeben sind z1 = 2-z;z 2 =4z . Damit berechnet man: ζ, +z 2 =2-ζ+4·ζ=2+3·ζ ; i - z

( 2 - / ) - ~ 4 · / = 2 i - i 2 - 2 z = z2 = - ( - 1 ) = 1;

x

Zj·ζ2 = (2-ζ)·4·ζ = 8·ζ-4ζ2 = -4·(-1)+8·ζ = 4+8·ζ ; ζ 2 _ 4·ζ _4·ζ_ 4·ζ'·(5+ζ) _20·ζ'·+4ζ'2 _-4+20ζ' _-4+20·ζ'_-4 20 . ζ 1 +3~2-ζ+3~5-Γ(5-ζ>(5+/)~ 25-ζ 2 ~25-(-1)~

26

~26 26 ' '

Probe bestätigt die Richtigkeit der Rechnung: 4 (

20 -i 2

20 - 2 0 4/ 100/ + — z ) ( 5 — z) = +—+

26

26

26

26

26

- 2 0 - 20·(-1) +104· / _ - 2 0 + 2 0 + 1 0 4 · /

26

- 2 0 - 2 0 · / 2 +104/ =

26

26

=

L

26

Ζ2=-4·Ζ ; I 2-z| = ^ 2 2 + ( - l ) 2 = y[5 . I Ζ χ | = 12-z| = λ / 2 2 + ( - 1 ) 2 = λ/5 ; oder anders: |

|

Ζ ι

= λ

/^

= λ/(2-Ζ)·(2+Ζ)

= Λ / 2 2 - / 2 = V 2 2 - ( - l ) =λ/4+Γ = Λ/5 .

b) Ermittelt werden sollten die Nullstellen des komplexwertigen Polynoms 3. Grades p3 (z) = z J - 2 · ζ · ζ 2 - ζ ; außerdem war das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen. Durch Raten ergibt sich die erste Nullstelle zx= 0 . Polynomdivision liefert: P2(Z) = [(Ζ3-2·Ζ·Ζ2-Ζ) : ζ] = Z

2

- 2 ·ζ · ζ - 1 .

Die Nullstellen dieses quadratischen Polynoms lassen sich mit Hilfe der „Mitternachtsformel" bestimmen: _ —b±slb 2—4ac _ -(—2-i)±^(—2i) 2-4-\-{—\ ) ~ 2a ~ 2-1

Z2;3

^ 2·ζ'±^(-2) 2 ·ζ' 2 -4·1·(-1) ^ ~ 2-1

2-/±V4-(-l)+4 _ 2·ζ±0 _ . 2 ~ 2 ~ L i ist damit doppelte Nullstelle, und die Zerlegung in Linearfaktoren liefert / ? 3 ( Z ) = Z j - 2 - Z - Z 2 - Z = ( Z - Z ) 2 · Ζ , was durch Ausmultiplizieren leicht zu bestätigen ist. c) Das Polynom p3(x) = x^ + x 2 + 3x+3 aus den Übungen zu 3.4 sollte als komplexwertiges Polynom betrachtet werden und seine Nullstellen bestimmt werden. Um zu symbolisieren, dass nun auch komplexe Zahlen als Lösung zugelassen sind, schreiben wir zunächst p3(z) = z J + z 2 + 3z + 3 . Die erste Nullstelle wurde schon in den Übungen zu 3.4 bestimmt (nämlich Zj = - 1 ), und Polynomdivision lieferte damals: p 3 (z) = z 3 + z 2 + 3 z + 3 : (z+1) = z 2 + 3 .

108

Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra kann man sicher sein, dass dieses quadratische Polynom zwei (nicht notwendig verschiedene) Nullstellen in C besitzt, nämlich z 0

und Zo

. Die Zerlegung in Linearfaktoren sieht dann so

aus: p3 (z) = (z + 1) · (z -

·/) · (z+^3 ·/).

Übungen zu 4.1 a) Zu zeigen war, dass IR ein IR -Vektorraum, C ein Vektorraum über C ist. Geklärt werden sollte auch, ob IR ein Vektorraum über C ist. Gilt also V = IR und zugleich Κ = IR? Zunächst ist zu zeigen, dass IR bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, mit a,be V= IR auch a+be V= IR und mit ae V = IR, AT = IR auch b - a e V = IR. Das ist natürlich der Fall, weil IR sowohl additive wie multiplikative Halbgruppe ist. Weiter müsste gelten, dass V = IR additive Gruppe ist, also ein Nullelement besitzt und zu jedem Element ein additiv Inverses existiert, was fur IR als additive Gruppe der Fall ist. Schließlich ist zu zeigen, dass mit a e V = IR und beV = \R sowie c,deK=\R die Identitäten c(a+b)=c-a+c-b und (c+d)-a=c-a+d-a bestehen; aufgrund der Distributivgesetze in IR sind diese Bedingungen erfüllt. Mit denselben schematischen Schritten zeigt man, dass C auch C-Vektorraum ist. Hingegen ist IR kein Vektorraum über C , denn mit a e IR und be C ist b a keineswegs notwendigerweise eine reelle Zahl (Gegenbeispiel: a = \;b = i = y[-\). b) Bestimmt werden sollte | \ |·| \ | sowie

M

H

Das Skalarprodukt zweier Vektoren foi 1 ; ü = 1 ; w = - 1 linear abhängig sind. a) Um zu zeigen, dass die Vektoren v = 1 , 3ι -5 V / νJ ν J (A foi CO 1 +μ· 1 + K- -1 = 0 und erwarten, machen wir den Ansatz A-v+//-w+/f-w = λ· l'J Ι-υ vv

109

dass dieses Gleichungssystem nicht nur durch λ = μ = κ= 0 gelöst wird. Dies liefert drei Gleichungen: / 2λ +μ +0=0 II λ +μ -κ = 0 III λ +3μ -5 κ = 0 Aus I erhält man - 2 λ ^ μ ; dies eingesetzt in II und III liefert: I II III

2λ +μ λ -2λ λ -βλ

+0=0 -κ = 0 -5 κ = 0

Daraus ergibt sich: Ä = -k und -5À = 5k ; setzt man λ = \, so folgt Κ=—\\μ=-2 und wir finden eine erste nicht-triviale Darstellung des Nullvektors, nämlich: rn foi (A1 1 1 1 = 0 1 —z· 1 — 1·—1 UJ l3j l - 5 j Für eine zweite, nicht-triviale Darstellung setzt man λ = - 2 , woraus sich Κ = 2\μ = \ berechnet und es gilt:

(A

CO f o i 1 +4· 1 +2· -1 =0. l-5j UJ Obwohl die drei angeführten Vektoren linear abhängig sind, sind sie paarweise linear unabhängig, etwa ν und ü . rn (A Macht man nämlich den Ansatz λ· 1 +μ· 1 = 0 , resultieren die drei Gleichungen llj IAI Λ·2 + μ·1 = 0 - 2 ·

[?)

A-1 + //-2 = 0 Λ·1 + //·3 = 0 Subtraktion der zweiten von der dritten Gleichung liefert μ - 0 und dies eingesetzt i2i in die erste Gleichung A = 0, was die lineare Unabhängigkeit von 1 und

ιη 1

1 3> zeigt. In gleicher Art weist man die lineare Unabhängigkeit der anderen Paare nach.

(4P 2 ; u= 2 Orthonormalbasis von IR2 darstellt. Vi l 2 J l 2 ) Wir machen das Schritt fur Schritt (werden hinterher aber feststellen, dass einige davon überflüssig waren). b) Zu zeigen war, dass ν =

110

r v r 2 S

r V2 ν 2 ist Erzeugendensystem von R 2 . Denn sei w= Λ/2

\ 2 ) I

2 J,

beliebiger Vektor, so gilt:

wx + w2 2 S S

S

A

Dieses ergibt sich einfach durch Auflösung der Gleichung

{ A

(Ü]

2

À-

V 2J

2y

S

Λ/2

I 2 J

V

ì

2

+ μ·

A 2

w ì + w 2-2-yfï •

1

2 J

rv2] r v n 2 2 Nun ist die lineare Unabhängigkeit von zu zeigen, also dass die und S Λ/? 1 2 J

1 2 J

2

Addition liefert 2·λ chungen: μ = 0.

= 0 und damit Ä = 0 und nach Einsetzen in eine der Glei2

ί V2 Ì ί ^ Ι 2 und 2 bilden somit eine Basis von IR2 (sie sind Erzeugendensystem Λ^ , 2 , 1 2 J von IR2 und zugleich linear unabhängig).

111

Also nächstes ist die Orthogonal ität zu zeigen. Wir bilden dazu das Skalarprodukt der (VT f ^ i Λ/2 Λ/2 Λ/2 Λ/2. 2 2 Vektoren und erhalten: : + ( ) = 0 , d. h die VekV? V? 2 2 2 2 2 ; 1 2 toren sind orthogonal. Schließlich bleibt nachzuweisen, dass die Euklidische Norm (der Betrag) der Vektoren jeweils 1 ist. Dies ist der Fall, denn

J

2 Λ/2

-ié'^'-W^'W-"·

A

ebenso

2

= 1.

. A ν 2. Einige dieser Rechnungen hätte man sich sparen können. Aus der Orthogonalität der beiden Vektoren folgt ihre lineare Unabhängigkeit; zwei linear unabhängige Vektoren des zweidimensionalen Vektorraums R 2 bilden eine Basis und sind damit naturgemäß auch Erzeugendensystem von R 2 . Übungen zu 4.3 a) Für den Winkel zwischen den Vektoren

i 53 l L-V

5 3

und

f32 i gilt w

5·2+3·3+(-5)·5

COSÖT=

"λ/5

2

2 2 2 2 2 +3 +(-5) ·Λ/2 +3 +5

die Formel

=-0.12.

V59^

λ/59^8 47.3

Dies ergibt: « = 96,9°. b) Mittels des Gauß-Algorithmus sollte eine Basis des von den Vektoren 2 (5) und 3 aufgespannten Unterraums gefunden werden. 6 ?

i lM 21 w l l~5J wir die Spalten- in Zeilenvektoren und schreiben sie (ohne Zunächst J transponieren Vektorzeichen) untereinander mit der üblichen Nummerierung, also 7 2 6 1 II -11 2 III 5 3 - 5 2·//+/=//' 7 2 6 II 0 8 III 5 3

liefert: 1 5 -5

112

0,4·///-/=/// ergibt / 2 6 1 //' 0 8 5 I I Ï 0 -4,8 -3 — / / / ' + / / = / / / " führt schließlich zu 6 / 2 6 1 II 0 8 5 III 0 0 0 Es gibt demnach, in Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus Bspl. 4.17, nur jeweils zwei linear unabhängige Vektoren. Rücktransposition der Zeilen- in Spaltenvektoren ergibt,

2 f l f°i dass - h= 6 8

eine Basis des von den Vektoren

5

2) 6

?

M1

und

2

10 l J

10 l J aufgespannten Unterraums ist. v-5, Übungen zu 5.1

' 0 2,5" fi 3 Ί a) Für die Matrizen A = - 4 2,5 und B = -0,01 1 sollten bestimmt werden: l o -3,1 J l 1 -V N λ 1-2-0 3-2-2,5 Λ r 1 ' 0 2,5 ' -2 1 3 A-2-B = - 4 2,5 - 2 - -0,01 1 -3,98 0,5 -4-2(-0,01) 2,5-2 0,9, o -3,g 0-2 —3,1—2-(—2) ν " 2 1 - 2 ' B = T

0

0,01 1

2,5 v /_ ( 0 -0. 1 1 "1,2,5 -0,01 1 -21' -2

Wie erinnerlich, werden die Spalten der Matrix Β zu den Zeilen der Matrix Β , aus einer 3x2-Matrix also eine 3x2-Matrix. Der Rang einer Matrix ist die Zahl der linear unabhängigen Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. An Matrix A sieht man aber unmittelbar, dass die beiden Spaltenvektoren

1Ì -4

loj

und

F3

2,5

)

linear unabhängig sind. Der Spaltenrang (also der Rang „schlecht-

U u

hin") der Matrix A ist somit 2.

113

Übungen zu 5.2 a) Entwicklung nach der 1. Zeile und anschließend nach der 2. Spalte: '18 7 15λ 18 7 18 11 =18·(-1) 1+1ί ·[π 1

1Λ 1 + 2 (7 1+3 ;«]+7·(-1) "ì [\5 18 J+15·(-1)

Ο '«J

G75 ìì)

18·(18·18-11·11)—7(7-18-11·15)+15(7-11-18·15)=3654+273-2895=1032. 32. 1·15)+l 5 '18 7 15 (ι ιΛ 2+2 18 15 +18·(-1) 7 18 11 =7·(-1) 1+2 15 18 +11-Η) [}5 18 J 15 11 18, 7·(7·18-11·ί 5)+l 8·(18·18-15·15)-11·(18·11-15·7)=273+1782-1023=1032.

GS Λ)

b) Zur Matrix ix

3 - 2 } sollte die Inverse ermittelt werden. Wir bestimmen zu1

Ο

nächst die Determinante, um zu sehen, ob es überhaupt eine Inverse gibt. Man berechnet detQ

^ = 3·1-1·(-2) = 5^0 ; also gibt es eine Inverse, die sich u.a.

mittels der Adjunkten finden lässt. Die Adjunkte einer Matrix A ist bekanntlich jene Matrix, die man erhält, wenn das Element a y durch die Determinante der nach Streichen der /-ten Zeile und j- ten Spalte entstehenden Restmatrix ersetzt wird (wobei allerdings keineswegs vergessen werden darf, noch mit-1 zu multiplizieren, falls i+j eine ungerade Zahl ist). Das 1. Element der ersten Zeile der Adjunkte ist somit die Determinante der durch Streichen der 1. Zeile und 1. Spalte aus A entstehenden Matrix (hier nicht mit negativem Vorzeichen zu versehen, weil 1+1 eine gerade Zahl ist). Somit gilt: Adj\

(i

I2HHK-2)

Die Inverse ergibt sich dann durch Transponieren der Adjunkten und Division durch 2

detA, also

I ) = 5

1 5

_I 2

5 5 3 2 2 2^ f i —I— —+— 3 2 5 5 5 5 5 5 Die Probe •f - V 2 3 1 3 l ' 1 Γ —3+ -3 —+5 5 5 5 \ V. 5 5, lich die Inverse gefunden wurde. /

-(J?)

überzeugt, dass tatsäch-

Übungen zu 5.3 a) Es sollten die Eigenwerte der Matrix # =

bestimmt werden und zu diesen

jeweils ein Eigenvektor. Dazu bildet man das charakteristische Polynom der Matrix Β und setzt dieses gleich 0. Also:

114

- Ì - À

det χ - 2

2

3-Âj

= (-\-λ)·(3-λ)-(-2)·2

= Â2-2Â+l = (Â-l) 2 = Ο . Diese Gleichung

hat als einzige Lösung ^ = 1. Die Matrix Β hat also lediglich einen Eigenwert. Um die zugehörige Menge der Eigenvektoren zu bestimmen, machen wir den Ansatz -1

2

-2 3

und erhalten die Gleichungen:

-V! +2V2 =Vj VJ =V 2 - 2 V! +3v2 = v 2 -2v l = -2 v 2 Setzt man v ^ l , so folgt v 2 = l , und ein Eigenvektor lautet

(erinnert sei,

dass das Vielfache eines Eigenvektors ebenfalls ein Eigenvektor zum selben Eigenwert ist). Man bestätigt auch, dass ν tatsächlich Eigenvektor ist, denn

-2 s3C0=Cc-i^+s10=1C 0·

Übungen zu 5.4 a) Es sollte untersucht werden, ob das lineare Gleichungssystem X! - x 2 + x 3 - x 4 = 0; - Xj + 2 · x 2 + 2 · x 3 + x 4 = 3; x 2 + 3 · x 3 =5; 2xj + 3 · x 2 - 2 - 2 · x 4 = 9. überhaupt Lösungen hat und gegebenenfalls die Lösungsmenge dargestellt werden. Zur Klärung vergleicht man mit Hilfe des Gauß-Verfahrens den Rang der Koeffizientenmatrix mit dem der erweiterten Koeffizientenmatrix. Also 1 -1 1 -1 ο (\ -1 1 -1 ° ì °1 -1 2 2 1 3 -1 2 2 1 3 -1 1 2 2 3 Rg 0 1 3 0 5 =RG 0 1 3 0 5 =Rg 0 0 1 3 5 2 3 -2 -2 0 0 5 -4 Ν lo 5 -4 0 Y -1 -1 1 0> f 1 -1 -1 1 M 1 2 2 3 0 0 1 3 3 Rg 0 1 3 5 =Rg 0 0 1 3 5 0 0 -19 0 0 -19 -1 -1 1 (Γ\ (1 -1 -1 1 M 0 1 3 3 0 0 1 3 3 =Rg 0 0 0 2 =Rg 0 0 0 -19 - 6 =4; 0 0 -19 - 6 / 2 1° 0 0 0 Ί -1 -1 1 ^ -1 1 - η 2 2 1 0 0 1 3 Rg 1 3 0 =Rg 0 0 0 -19 =3 3 -2 -2 0 0 0 0 Hier wurde zunächst das doppelte der 1. Zeile von der 4. Zeile abgezogen, dann Spalten vertauscht, schließlich das fünffache der 3. von der 4. Zeile abgezogen; dann

)

115

wurde von der 3. Zeile die 2. subtrahiert, anschließend noch Zeilen 3 und 4 vertauscht. Als Resultat zeigt sich, dass die erweiterte Koeffizientenmatrix einen höheren Rang hat als die nicht erweiterte, das Gleichungssystem somit keine Lösung besitzen kann. Auflösung des Gleichungssystems nach konventioneller Art fuhrt auch zu logischen Widersprüchen des Typs 5=0. b) Es sollte gezeigt werden, dass folgendes Gleichungssystem Lösungen besitzt und die Lösungsmenge bestimmt werden, χι x 2 =2; Χ] +X2 X3 = 2, 2-X!-2-X2+2-X3=4. Zu zeigen ist also zunächst, dass der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem erweiterten Koeffizientenmatrix ist. 2Λ /Ί =1; Rg -1 1 -1 - 2 =Rg -1 1 -1 - 2 =Rg 0 0 0 0 2 - 2 2 4 \ Rg -1

1 -1 =Rg 0 0 0 =1.

2 -2 2 J lo 0 0; /

ν

V

s

(Von der 3. Zeile wurde das Doppelte der 1. abgezogen, dann 1. und 2. Zeile addiert.) Somit gibt es Lösungen. Der Rang des homogenen Systems ist ebenfalls 1, die Zahl der Unbekannten beträgt 3. Die Dimension des Vektorraums der Lösungen des homogenen Gleichungssystems ist somit 3-1=2; es müssen folglich zwei linear unabhängige Lösungsvektoren gefunden werden, welche LH aufspannen, ζ. B. f 2^ (2> ί F 1Ì 1Ì V = 1 \w = 0 und somit LH =