Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Ein Lehr- und Arbeitsbuch. Teil 2 [1 ed.] 9783886405480, 9783886401482

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athematik für Wirtschaftswissenschaftler Ein Lehr- und Arbeitsbuch

Teil 2 von Thomas Köhler

Deutscher Betriebswirte-Verlag GmbH

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Thomas Köhler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Ein Lehr- und Arbeitsbuch

Einfacher Einstieg

Deutscher Betriebswirte-Verlag GmbH, Gernsbach

Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet unter http://www.ddb.de abrufbar.

© Deutscher Betriebswirte-Verlag GmbH, Gernsbach 2010 Druck: BoD, Norderstedt ISBN: 978-3-88640-145-1

Vorwort

Das vorliegende Büchlein ist die Fortsetzung des ersten Bandes der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, welcher im Herbst vergangenen Jahres erschien. Während letzterer - neben einer Einfuhrung in die mathematischen Grundbegriffe (inklusive Mengenlehre) und einer Darstellung der verschiedenen Zahlenarten - sich vorwiegend mit linearer Algebra (Vektorräumen, Matrizen, Gleichungssystemen) befasste, ist der Inhalt dieses Bandes die reelle Analysis (vorwiegend einer Veränderlichen), ein aus der Schule üblicherweise bereits besser bekannter Stoff, welcher auch für die Anwendung in den wirtschaftswissenschaftlichen Disziplinen von größerer Bedeutung sein dürfte. Wieder wurde eine Art Gratwanderung versucht: einerseits etwas vom Geist der Mathematik zu vermitteln, d. h. die eine oder andere Aussage zu beweisen oder wenigstens den Beweisgang anzudeuten, andererseits aber doch im Auge zu behalten, dass Studierende der Wirtschaftswissenschaften oft zur Mathematik in einem etwas distanzierterem Verhältnis stehen und auch gar nicht die Zeit haben, sich in die Materie wirklich zu vertiefen. Insofern wurden - wie schon im ersten Band - viele der Beweise in die Anmerkungen verlegt, um den Text einigermaßen flüssig lesbar zu halten. In diesem Sinne wurden auch oft die Voraussetzungen mancher Aussagen verkürzt formuliert, denn viele wollen nur die eigentliche Gleichung („Formel") wissen und nicht genau die Bedingungen ihrer Gültigkeit, die sie ohnehin überlesen würden. Bei der Beurteilung des Büchleins möge man sich bitte vor Augen halten, dass es sich nicht primär an Mathematiker wendet und zudem die Intention hat, die Darstellung auf möglichst geringem Raum zu leisten. Dabei wurde auch das eine oder andere Mal riskiert, etwas nicht ganz formal korrekt niederzuschreiben, wenn die Hoffnung bestand, damit eine für die Zielgruppe vielleicht verständlichere Darstellung zu liefern. Inhalt ist, wie gesagt, die reelle Analysis; dabei wurde die mehrerer Veränderlicher vergleichsweise kurz gefasst, nicht zuletzt aber mit der Hoffnung, dass das Wenige dazu Gesagte, verstanden wird und sich auch für längere Zeit dem Gedächtnis einprägt. Bei den Integrationsmethoden wurden zusätzlich die in einigen vergleichbaren Lehrbüchern nicht besprochene Integration nach Partialbruchzerlegung behandelt, bei den Reihen und speziell den Potenzreihen genauer auf Konvergenzkriterien eingegangen.

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Wiederum wurde versucht, die Sachverhalte durch einfache, dafür zahlreiche Beispiele zu illustrieren. Wie in Band 1 wurden Übungsaufgaben präsentiert, die bewusst nicht kreative Umsetzung der gewonnenen Kenntnisse erfordern, sondern nur das unmittelbare Verständnis des Stoffes überprüfen. Die Lösungen mit Kommentaren finden sich im Anhang. Frau Regina Meier vom Deutschen Betriebswirte-Verlag danke ich für ihre Bereitschaft zur Publikation, Frau Marina Lang für die ausgesprochen wertvolle Hilfe bei der Textgestaltung und ihre äußerst kompetente Lektorierung. Ingmar Böschen war mir - wie schon so oft - eine unersetzliche Hilfe bei der Manuskripterstellung. Meine liebe Frau Carmen hat wieder einmal in ihrer geduldiger Art der Abfassung des Manuskripts beigewohnt und mich tatkräftig durch ihre Ermunterungen bei dieser für mich nicht ganz leichten Arbeit sehr unterstützt.

Hamburg, den 1.2.2011

Thomas Köhler

6

Inhaltsverzeichnis 1

Folgen und Reihen

9

1.1

Folgen

9

1.2

Reihen

23

Anmerkungen zu Kapitel 1

30

2

Funktionen einer reellen Veränderlichen: Grundbegriffe 34

2.1

Definitionen

34

2.2

Der Graph einer Funktion und seine Charakteristika

36

2.3

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

39

2.4

Elementare Funktionen

44

Anmerkungen zu Kapitel 2

55

Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen

61

Differenzenquotient und Differentialquotient; Differenzierbarkeit von Funktionen

61

3.2

Ableitungsregeln

66

3.3

Ableitungen elementarer Funktionen

70

3.4

Höhere Ableitungen; Anwendung der Differentialrechnung zur Bestimmung von Nullstellen und Grenzwerten

73

Kurvendiskussion

77

Anmerkungen zu Kapitel 3

81

3 3.1

3.5

7

4

Integralrechnung

84

4.1

Das bestimmte Integral: geometrische und analytische Definition

84

Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung; die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral

87

4.3

Integrationsregeln

90

4.4

Integrale elementarer Funktionen

97

4.5

Numerische Integration (numerische Quadratur)

100

4.6

Uneigentliche Integrale

102

Anmerkungen zu Kapitel 4

104

Potenzreihen, Taylorpolynome und Taylorreihen

107

Potenzreihen

107

4.2

5 5.1

5.2 Taylorpolynome und Taylorreihen

6

Anmerkungen zu Kapitel 5

114

Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher

117

6.1 Terminologie; Beispiele 6.2

111

117

Übertragung von Definitionen und Aussagen aus der Analysis einer Veränderlichen

118

Differentialrechnung zweier reeller Veränderlicher

121

Anmerkungen zu Kapitel 6

123

7

Anhang: Lösungen zu den Übungen

125

8

Literaturverzeichnis

132

9

Stichwortverzeichnis

133

6.3

8

1 Folgen und Reihen 1.1 Folgen Definition von Folgen Eine reelle Zahlenfolge (kurz: Folge), symbolisiert mit ((#„)), ist eine in ihrer Abfolge festgelegte (durchnummiertere) Menge reeller Zahlen; ax bedeutet also das erste Glied der Folge, a2 das 2., an das n-te Glied (oder auch: der n-te Term), wobei es im Falle unendlicher Folgen, die uns allein hier interessieren, keine Begrenzung für η gibt; es existiert also u. a. das Element α 1 0 0 0 , ebenso a 3 4 9 0 0 8 7 usw., ohne dass man an ein Ende gelangt; auch wenn alle Werte gleich sein sollten, so ist es doch eine unendliche Folge. Die tief gestellte Zahl, der Index, beispielsweise 4, bezeichnet die Stellung des Folgengliedes, a4 den Wert dieses Gliedes. Der Index, die Ordnungszahl, ist also immer eine natürliche Zahl, die mit dem Index versehene Zahl kann irgendeine reelle Zahl sein, beispielsweise eine Bruchzahl. Wenn hier nur Folgen reeller Zahlen betrachtet werden, so bedeutet dies zweierlei: Erstens dass Folgen komplexer Zahlen uns hier nicht beschäftigen werden - obwohl sie mathematisch kaum schwieriger zu behandeln sind als reelle Zahlenfolgen; relevanter ist folgende Implikation, nämlich dass Folgenglieder (auch wenn sie ausschließlich der Untermenge der rationalen Zahlen Q angehören) als Elemente des vollständigen Körpers IR betrachtet werden, somit die wesentliche Eigenschaft aufweisen, dass jede mit einer oberen Schranke versehene Teilmenge (also auch eine Folge mit nach oben beschränkten Gliedern) eine kleinste obere Schranke besitzt (ein so genanntes Supremum; s. Band 1, Kap. 3.4 zum Vollständigkeitsaxiom für IR); entsprechend hat eine nach unten beschränkte Folge reeller Zahlen ein Infimum, eine größte untere Schranke. Auch wenn die Folgenglieder selbst stets rationale Zahlen sind, kann die größte untere (kleinste obere) Schranke (die sich unter bestimmten Umständen als „Grenzwert" der Folge erweisen wird) eine irrationale Zahl sein - ein Fall, welcher sogar ausgesprochen häufig eintreten wird. Zwei Folgen ((a n )) und ((b n)) sind dann, aber auch nur dann gleich, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind; unter Benutzung der in Band 1, Kap. 2.1 eingeführten Formalsprache gilt also: ((a n )) = ((b n )) : a„ = bn für alle η e IM. Das ist der wesentliche Unterschied zwischen Mengen und Folgen: Mengen sind gleich, wenn ihre einzelnen Glieder gleich sind, jedes in Menge A vorhandene Element sich irgendwo auch in Menge Β finden lässt, Folgen nur

9

dann, wenn an gleicher Stelle immer das gleiche Element steht. Die Mengen A:={1;2,3,4...} und B\={2;1,3,4...} sind also gleich, während die Folgen ((a n ))

mit

ax =l;a 2

=2;a3

=3;a4 =4...und

((b„))

mit

bx = 2\b2 = \;b3 =3\b4 =4...nicht gleich sind. (De facto werden wir sie doch als gleich ansehen und mathematisch gleich behandeln, wenn ab einem gewissen Wert η die Terme an und bn ein für allemal identisch sind.) Mathematischer Betrachtung zugänglich sind lediglich Folgen, deren Glieder bekannt sind, sich also angeben lässt, welchen Wert das Folgenglied an hat. Im einfachsten Fall geschieht dies explizit durch Formulierung der Beziehung zwischen der Zahl η (der Ordnungsnummer des Folgengliedes) und dem Wert an. So wäre die Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3,.. definiert als: ((a n )) mit a n : = n , die Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16 ... folgendermaßen: ((a n )) mit an:=2", die Folge der Zehnerpotenzen 10, 100, 1000... als ((#„)) mit an :=10" Manchmal, wie im gerade gegebenen Beispiel, kann es sinnvoll sein, eine Folge bereits mit dem Glied a0 beginnen zu lassen, also a 0 = 1 = 10° als ersten Term der Folge anzusehen. Andererseits wird häufig der Fall eintreten, dass eine Folge für gewisse Werte von η nicht definiert ist, etwa die Folge ((#„)) mit an\-

î (n-\)-(n-2)

überhaupt erst ab η > 3 . Hier würden also die Glieder ax und a2 nicht „existieren"; die ersten Werte lauten: 1

_ 1 .

1

_ 1

°3 ~ ( 3 - 1 ) · ( 3 - 2 ) ~ 2 ' α 4 ~ ( 4 - 1 ) · ( 4 - 2 ) ~ 6 ' " Weitere wichtige Beispiele sind die konstanten Folgen ((a n)) mit z.B.

((a n ))

mit

a n : = 5,2,

die

aus den

immer

gleichen

an\=a, Gliedern

ax =5,2\a 2 =5,2;a 3 =5,2\a 4 =5,2... besteht. Weiter zu nennen sind die alternierenden Folgen, etwa ((a n )) mit a n :=2·(-1)"; deren erste Glieder lauten: a x = - 2 ; a 2 = 2;a 3 = - 2 ; a 4 =2..., während die ebenfalls alternierende Folge ((ü n)) mit an : = 2 - ( - l ) w + 1 zwar dieselben Elemente, aber in anderer Anordnung enthält, nämlich ax =2;a2

=-2\a3

=2\a4

=-2....

Weniger leicht unmittelbar verständlich und im Allgemeinen anspruchsvoller - gleichwohl nicht weniger wichtig - sind die induktiv definierten Folgen ((a n)), bei denen sich das n-te Glied an mittels mathematischer Operationen aus einer oder mehrerer der vorangehenden Folgenelemente berechnet und man entsprechend die allerersten Folgenglieder explizit angeben muss. 10

Interessantes Beispiel fur eine solch induktiv definierte Folge ist die der FibonacciZahlen (die „Fibonacci-Folge"), deren erste Glieder 0 und 1 sind und deren weitere Elemente sich als Summe der unmittelbar vorangehenden beiden ergeben; also ((a n)) mit ax:=0\a 2:=\\an:= an_2+an_x . a3 := a3_2 + a3_x = ax + a2 = 0 +1 = 1 ; a4:=a2 + a3 = 1 +1 = 2; a5 = 3;a 6 = 5; a7 = 8... (s. Anmerkung 1.1). Während die Fibonacci-Folge nicht zuletzt Esoteriker fasziniert, stellt die Folge der Primzahlen ((/?„)) (also jener natürlicher Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind) eine immense Herausforderung an die Mathematiker seit Jahrtausenden dar. Bis heute ist es nicht gelungen, p n , d. h. die in die Reihenfolge n-te Primzahl explizit als Funktion von η anzugeben (s. Anmerkung 1.2). Sie lässt sich nur induktiv definieren - und das in mathematisch sehr unbefriedigender Weise - , nämlich als px-2 (1 gilt definitionsgemäß nicht als Primzahl) und pn : = kleinste Primzahl, die größer als pn_x ist. Ebenfalls induktiv definiert sind die Summenfolgen ((s„))oder Reihen zu gegebenen Folgen ((#„)). Sie entstehen, indem man zur Bildung des n-ten Gliedes der Reihe die ersten η Glieder der zugrunde liegenden Folge aufsummiert,

also

sl:=a l;s n:=sn_l+a n.

sx = ax ; s2 = ax + a2 ; s 3 = ax + a2 + a3 ;

allgemein

also

Wir werden uns in Kap. 1.2 eingehend mit diesen

Reihen beschäftigen. Hauptsächlich kommen hier die explizit definierten Folgen zur Sprache. Das Gesagte gilt aber meist für Folgen allgemein (auch für induktiv definierte).

Folgencharakteristika: Monotonie und Beschränktheit Was in erster Linie an Folgen interessiert, ist, ob sie konvergent sind, d. h. einen „Grenzwert" besitzen und - falls ja - , welchen Wert dieser hat (s. unten). Über das erstere, die Existenz eines Grenzwerts, geben die Charakteristika Monotonie und Beschränktheit wichtige Entscheidungshilfen. Def. 1.1: Eine Folge ((a n)) heißt monoton steigend, wenn für alle η gilt: an+x > an . (Da in dieser Definition auch die Möglichkeit der Gleichheit aufeinander folgender Glieder vorgesehen ist, wäre die Bezeichnung „nicht fallend" eigentlich korrekter, ist aber umständlich und zunehmend ungebräuchlicher.) Eine Folge ((a n)) heißt streng monoton steigend, wenn für alle η a n+\ > a n gi't. Entsprechend heißt eine Folge ((a n)) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle η die Ungleichung besteht: an+x < an (bzw. an+x < an ). Da für das Konvergenzverhalten einer Folge die ersten (endlich vielen) Glieder irrelevant sind - nur die „infiniten", also sich unend-

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liehen Ordnungszahlen annähernden Terme Bedeutung haben - , spricht man von Monotonie (strenger Monotonie) im obigen Sinne auch dann, wenn die angeführten Ungleichungen lediglich gelten fiir alle n > n 0 , also erst ab einer bestimmten Ordnungsnummer (dann aber fiir alle η ab diesem n0). Bspl. 1.1 a-e: Die Folge der natürlichen Zahlen ((#„)) mit an :=n ist monoton steigend (sogar streng monoton steigend). Konstante Folgen ((#„)) mit an:=c sind monoton steigend (jedoch nicht streng monoton steigend); sie sind gleichzeitig auch monoton fallend (aber nicht streng monoton fallend). Die Folge ((#„)) mit an :=— ist streng monoton fallend. Die Folge η ((a n )) mit a n : = n fiir « < 1 0 und a n : = — fiir « > 1 0 ist nach dem oben η Gesagten ebenfalls streng fallend, weil dies zwar erst ab « > 1 0 gilt, dann aber in „ein- für allemal". Die Folge ((#„)) mit an := — ·(— 1)" ist weder η monoton steigend noch fallend (und erst recht nicht natürlich streng monoton steigend oder fallend). Def. 1.2: Eine Folge ((#„)) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl a gibt, sodass gilt: anb.

Eine Folge heißt

beschränkt, wenn sie sowohl nach unten wie nach oben beschränkt ist. Bspl. 1.1 f-i: Die Folge ((a n )) mit an :=— ist nach unten beschränkt (eine η untere Schranke, sogar die größte, ist der Wert 0); sie ist zugleich nach oben beschränkt, denn obere Schranke ist 1. die genannte Folge ist also (generell, in jeder Richtung) beschränkt. Die Folge der natürlichen Zahlen mit an\=n ist zwar nach unten beschränkt (ζ. B. durch den Wert 0), nicht aber nach oben, also nicht beschränkt. Konstante Folgen ((#„)) mit an :=c sind beschränkt, denn sie sind sowohl nach oben wie nach unten beschränkt (nämlich u. a. durch die Konstante c). Die Folge ((a n )) mit an : = ( - l ) " ist sowohl nach oben (durch den Wert 1) wie nach unten (durch den Wert-1) beschränkt, also beschränkt.

12

Der Begriff des Grenzwerts und die Konvergenz von Folgen Mit der Erklärung von Grenzwert und Konvergenz fuhren wir zwei der wichtigsten Begriffe der Analysis überhaupt ein - die nicht nur im Kontext der Folgen und Reihen, sondern auch bei der Betrachtung von Funktionen im Sprachgebrauch unentbehrlich sind. Zunächst zum Begriff des Grenzwerts einer Folge, vorläufig noch sehr umgangssprachlich formuliert: Eine reelle Zahl a heißt (eigentlicher) Grenzwert (oder Limes) einer Folge ((#„)) reeller Zahlen, wenn die Folgenglieder an mit wachsender Ordnungsnummer sich immer mehr dem Wert a annähern und sich nie - auch vereinzelt nicht - wieder davon entfernen. Vor der eigentlichen Definition einige Beispiele: Bspl. 1.1 j-m: Die Folge der natürlichen Zahlen ((#„)) mit an \-n hat keinen (eigentlichen, wie oben definierten) Grenzwert. Konstante Folgen ((#„)) mit an \-c besitzen als Grenzwert die Konstante c\ die Folgenglieder kommen diesem Wert beliebig nahe (da identisch mit ihm). ((a n )) mit an\=— hat als Grenzwert 0 (ist eine „Nullfolge"); setzt man η η = 10, η = 100, η = 10000 ..., liegen die Folgenglieder immer näher bei dieser Zahl. Die Folge ((#„)) mit a n : = ( - \ ) " besitzt keinen Grenzwert: Zwar kommt jedes zweite Glied (nämlich jedes mit einer geraden Ordnungsnummer) dem Wert 1 beliebig nahe, ist sogar identisch mit ihm, ebenso jedes zweite Glied (solche mit ungerader Ordnungsnummer) dem Wert - 1, aber nie bleiben alle Folgenglieder in unmittelbarer Umgebung dieser beiden Zahlen. (1 und - 1 sind lediglich „Häufungswerte" der genannten Folge, nicht aber Grenzwerte; s. unten). Nun zu einer strengen mathematischen Definition des Grenzwerts einer Folge, welche anfangs meist ziemlich befremdet, jedoch unerlässlich ist, um überhaupt die Eigenschaft des Grenzwerts an konkreten Folgen nachzuweisen. Def. 1.3: Eine reelle Zahl a heißt (eigentlicher) Grenzwert der Folge ((#„)), wenn gilt: V Ξ V \an - a \ < £ . £>0 /?() /?>/?() Diese in Kap. 2.1 des ersten Bandes eingeführte Symbolik ist so zu übersetzen: Für jedes noch so kleine (beliebig kleine) ε > 0 lässt sich eine natürliche Zahl Fio angeben, sodass alle Glieder der Folge ((#„)) mit Ordnungsnummern ab ììq sich von a um weniger als ε unterscheiden. Vielleicht ist eine äquiva-

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lente Formulierung hier hilfreich: Für beliebig kleine Werte ε gilt für fast alle Folgenglieder (d. h. alle bis auf endlich viele): |a n

-a\—!— 0 0,0007

alle

Folgenglieder

ab

=—-— = 0,0006997 weniger vom Grenzwert 0 abweichen als um die1429 sen Betrag. Die konstante Folge ((a n)) mit an :=c besitzt als Grenzwert a die Konstan