Mathematics 11 [11]

Citation preview

‫‪֓ZË‬‬ ‫‬

‫د افغانستان اسالمي جمهوريت‬ ‫د پوهنې وزارت‬ ‫د تعليمي نصاب د پراختيا لوى رياست‬

‫‬

‫‪x‬‬ ‫‪x+2=5‬‬ ‫‪a+b‬‬

‫‪ab‬‬

‫ ‬

‫‪[email protected]‬‬

‫‪b‬‬

‫‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1398‬‬ ‫‬

‫‪S‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪.‬‬

‫‪a+b‬‬

‫ ‬

‫درسي کتابونه د پوهنې په وزارت پورې اړه لري‪ ،‬پيرودل او پلورل يې منع دي‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪a.b‬‬

‫د ‪ 11‬ټولګي‬

‫رياضي‬ ‫د ديني مدارسو لپاره‬

‫‪1398‬‬

‫الف‬

‫ليکواالن‪:‬‬ ‫ سرمؤلف نظام الدین د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تآليف رياست علمي غړى‪.‬‬‫ سرمؤلف عبدالکبير د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تآليف رياست علمي غړى‪.‬‬‫ د مؤلف مرستيال نويداهلل هاشمي د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تآليف رياست علمي غړى‪.‬‬‫علمي اډيټور‪:‬‬

‫‪ -‬حبيب اهلل راحل د تعليمي نصاب د پراختيا په رياست کې د پوهنې وزارت سالکار‬

‫ محمد داوود غيرت د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تآليف رياست علمي غړى‪.‬‬‫ژبې اډيټور‪:‬‬ ‫‪ -‬عبدالقدوس زکوخيل‬

‫ديني‪ ،‬سياسي او فرهنګي کميټه‪:‬‬ ‫ مولوي عبدالوکيل د اسالمي ديپارتمنت علمي او مسلکي غړی‬‫‪ -‬حبيب اهلل راحل د تعليمي نصاب د پراختيا په رياست کې د پوهنې وزارت سالکار‬

‫‌‬ ‫إشراف‬

‫‪ -‬دکتور شير علي ظريفي د تعليمي نصاب د پراختيا د پروژې رئيس‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫د پوهنې د وزير پيغام‬

‫الحمد هلل رب العالمين والصلوة والسالم علی رسوله محمد و علی آله و أصحابه أجمعين‪ ،‬أما بعد‪:‬‬ ‫د پوهنې تعليمې نصاب د ښوونې او روزنې د نظام بنسټ جوړوي او د هيواد د اوسنيو او راتلونکو نسلونو په‬ ‫علمي‪ ،‬فکري او سلوکي ودې او پراختيا کې بنسټيز او ارزښتمن رول لري‪.‬‬ ‫تعليمي نصاب بايد د وخت په تېرېدو او د ژوندانه په بېالبېلو ډګرونو کې له بدلون او پرمختګ او د ټولنې له اړتياوو‬ ‫سره سم‪ ،‬هم د مضمون او محتوا او هم د معلوماتو د ورکړې د الرو چارو له مخې‪ ،‬بدلون او پراختيا ومومي‪.‬‬ ‫د تعليمي نصاب په ډګر کې يو هم د اسالمي زده کړو نصاب دی چې بيا کتنې او ودې ته ېې جدي اړتيا ليدل‬ ‫کېده؛ ځکه له يوې خوا بايد د ديني مدرسو فارغان د ټولنې د معنوي مخکښانو په توګه د معارف د هڅو د پوره‬ ‫پام وړ وګرځي او له بلې خوا د ديني مدرسو په نصاب کې د اسالم د سپېڅلي دين عقايد‪ ،‬احکام او الرښوونې‬ ‫راغلې دي چې د انساني ژوند د ټولو اړخونو بشپړ نظام او قانون او د نړۍ د خالق او پرودګار د وروستني پيغام‬ ‫په توګه د قيامت تر ورځې پورې‪ ،‬د بشريت د الرښوونې دنده سرته رسوي‪.‬‬ ‫د اسالمي امت عالمانو د تاريخ په اوږدو کې د اسالمي معارف او د اسالمي تعليماتو د سيستم په رامنځته‬ ‫کولو‪ ،‬پراختيا او بډاينه‪ ،‬په تېره بيا د اسالمي نړۍ د علمي مرکزونو او مؤسسو د تعليمي نصاب په تدريجي‬ ‫وده کې‪ ،‬خپله دنده سرته رسولې ده‪.‬‬ ‫د اسالمي علومو تاريخ ته کره کتنه‪ ،‬دا څرګندوي چې د ديني مدرسو او علمي مرکزونو نصاب تل د اسالم د تلپاتې‬ ‫او ثابتو احکامو پر بنسټ‪ ،‬د ټولنې له اړتياوو سره سم‪ ،‬هر وخت او هر ځای پراختيا موندلې ده‪.‬‬ ‫زموږ گران هيواد افغانستان د علمي ځالنده تاريخ په درلودلو سره د علم او پوهې زانګو او د وخت لوی علمي‬ ‫مرکز وو چې د اسالمي ستر تمدن په جوړښت کې يې مهم رول درلود‪ .‬د علم او فرهنگ په مختلفو ډګرونو‪،‬‬ ‫په ځانگړې توگه د عقايدو‪ ،‬تفسير‪ ،‬حديث‪ ،‬فقهې او د فقهې د اصولو په څېر په شرعي علومو کې د زرګونو‬ ‫پوهانو او عالمانو شتون‪ ،‬زموږ ددې وينا پخلی کوي‪.‬‬ ‫په اوسني عصر کې د اسالمي ويښتابه له پراختيا سره سم زموږ په هېواد کې اسالمي زده کړو د څومره والي‬ ‫او څرنګوالي له مخې زيات بدلون موندلی او د هېواد کوچنيان او ځوانان په ډېره مينه او ليوالتيا د اسالمي زده‬ ‫کړو مرکزونو او مدرسو ته مخه کوي‪.‬‬ ‫د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهنې وزارت د خپل مسؤوليت او دندې له مخې د هېواد له اساسي‬ ‫قانون سره سم د اسالمي زده کړو د کيفي او کمي پراختيا او په هغې کې د اسالمي زده کړو د نصاب په اړه د‬ ‫پام وړ ګامونه پورته کړي دي‪.‬‬ ‫په دې لړ کې د پوهنې وزارت‪ ،‬د هېواد د ډاډ وړ تجربه لرونکو عالمانو‪ ،‬استادانو او متخصصانوڅخه په بلنه د‬ ‫ديني مدرسو د تعليمي نصاب‪ ،‬د ال ښه کولو لپاره‪ ،‬مروج کتابونه‪ ،‬د متنونو د شرحې او توضيح او د فعاليتونو‪،‬‬ ‫ارزونو او تمرينونو په ورزياتولو د درسي کتابونو له نويو معيارونو سره سم چمتو کړل‪.‬‬ ‫هيله من يم‪ ،‬د پوهنې وزارت د عالمانو او متخصصانو د ستاينې وړ دا هڅې‪ ،‬په افغانستان کې د اسالمي زده‬ ‫کړو د ال پراختيا او بډاينې او د لوی خدای جل جالله د رضا د ترالسه کولو المل شي‪.‬‬ ‫وباهلل التوفيق‬ ‫دکتور محمد ميرويس بلخي‬ ‫د پوهنې وزير‬ ‫د‬

‫مقدمه‬ ‫قدرمنو استادانو او ګرانو زده کوونکو‪،‬‬

‫رياضي چې د طبيعي علومو ژبه ده‪ ،‬د طبيعت قوانين د فورمولونو په شکل وړاندې کوي او په عددونو‬ ‫او مقدارونو پورې اړوند مسايل د حساب په ژبه بيانوي‪.‬‬

‫وګړي په خپل ورځني ژوند کې دى علم ته اړتيا لري‪ ،‬د ساينسي علومو لپاره د ِکلِي حيثيت لري‪ ،‬د‬ ‫طبيعت زيات قوانين د رياضي د علم په ژبه بيانېږي‪ ،‬د رياضي علم ته د شرعي مسايلو په حلولو کې‬ ‫هم اړتيا ده‪ ،‬د ميراث د ويش‪ ،‬د ځمکو د وېش په مهال د هغو د مساحت پېژندل‪ ،‬د شريکانو د ونډې‬ ‫پېژندل او په داسې نورو ډېرو برخو کې له رياضي څخه کار اخيستل کېږي‪.‬‬ ‫نو د دې لپاره چې زمونږ د شرعي مدارسو فارغان اړينې وړتياوې ولري‪ ،‬د ژوند ورځني مسايل چې په‬ ‫رياضي پورې اړوند وي حل کړاى شي‪ ،‬د ميراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬د مالونو د وېش په مسايلو او د ساينسي‬ ‫مضامينو په محتوا وپوهېږي‪ ،‬د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهنې وزارت د تعليمي نصاب د‬ ‫پراختيا عمومي رياست‪ ،‬د رياضي اړين مسايل د شرعي مدارسو په نصاب کې ځای په ځای کړل‪.‬‬ ‫په دې توګه د دې برخې د زده کوونکو بنسټيزو اړتياوو ته په پام‪ ،‬راتلونکي تخصص او په تعليمي پالن‬ ‫کې د رياضي د مضمون لپاره ټاکل شوي وخت ته په پاملرنې د رياضي د علم هغه اړوند او ضروري‬ ‫مسايل د نصاب ليکنې د معاصر فن په نظر کې نيولو سره په أسانو او اغيزمنو طريقو تاليف کړل‪ ،‬تر‬ ‫څو د شرعي مدارسو فارغان د ديني علومو تر څنګ ځينې اړين دنيوي علوم هم زده کړي‪ ،‬ظرفيتونه‬ ‫يې لوړ شي او په ټولنه کې د فعال ګټور او اغېزمن رول لوبولو لپاره وړتياوې تر السه کړي‪.‬‬ ‫واهلل ولى التوفيق‬

‫هـ‬

‫لړليک‬ ‫سرليک ‬

‫لومړى فصل‪ :‬حقيقي عددونه‪ ،‬مرکب تناسب او مشارکت‬

‫مخونه‬

‫حقيقي عددونه‪3......................................................................................‬‬ ‫مرکب تناسب‪5........................................................................................‬‬ ‫مشارکت‪7.............................................................................................‬‬ ‫د لومړى فصل پوښتنې‪10.............................................................................‬‬ ‫دويم فصل ‪ :‬مشابهتونه‬

‫په مثلث کې د تالس قضيه ‪13........................................................................‬‬ ‫د مثلثونو د ورته والي حالتونه(لومړى حالت)‪15.......................................................‬‬ ‫د مثلثونو د ورته والي حالتونه(دويم حالت)‪17........................................................‬‬ ‫د مثلثونو د ورته والي حالتونه(دريم حالت)‪19........................................................‬‬ ‫د فيثاغورث د قضيې معکوسه قضيه‪23.............................................................‬‬ ‫د قايم الزاويه مثلث قضيې‪25.........................................................................‬‬ ‫په قايم الزاويه مثلث کې د ‪ 30‬او ‪ 60‬زاويو لپاره قضيې‪29.......................................‬‬ ‫د دويم فصل مهم ټکي‪33...........................................................................‬‬ ‫د دويم فصل پوښتنې‪34..............................................................................‬‬ ‫دريم فصل‪ :‬الجبرى افادې‬

‫د دوه حده افادو د جمعې او تفاضل مربع‪37.........................................................‬‬ ‫د الجبرى افادو تجزيه‪39.............................................................................‬‬ ‫د دريم فصل مهم ټکي‪41............................................................................‬‬ ‫د دريم فصل پوښتنې‪42..............................................................................‬‬ ‫څلورم فصل ‪ :‬معادلې‪ ،‬رابطه او تابع‬

‫د معادلې مفهوم‪45....................................................................................‬‬ ‫د معادلو تشکيلول (جوړښت) ‪47....................................................................‬‬ ‫معادلي معادلې‪49.....................................................................................‬‬ ‫رابطه‪51...............................................................................................‬‬ ‫و‬

‫خطي رابطه‪53........................................................................................‬‬ ‫د خطي رابطو جوړښت‪55............................................................................‬‬ ‫تابع‪57.................................................................................................‬‬ ‫د څلورم فصل مهم ټکې‪59..........................................................................‬‬ ‫د څلورم فصل پوښتنې‪60............................................................................‬‬ ‫پنځم فصل‪ :‬مساحت او حجمونه‬

‫د مکعب مستطيل مساحت او حجم‪63.............................................................‬‬ ‫د منشور مساحت او حجم‪67........................................................................‬‬ ‫د استوانې مساحت او حجم‪69......................................................................‬‬ ‫دهرم مساحت او حجم‪71............................................................................‬‬ ‫د مخروط مساحت او حجم‪75.......................................................................‬‬ ‫دکرې مساحت او حجم‪77..........................................................................‬‬ ‫د پنځم فصل مهم ټکي‪79...........................................................................‬‬ ‫د پنځم فصل پوښتنې‪81.............................................................................‬‬

‫ز‬

‫لومړی فصل‬ ‫حقيقي عددونه‪ ،‬مرکب‬ ‫تناسب‬ ‫او مشارکت‬

‫حقيقي عددونه‬ ‫په اتم ټولګي کې مو د حقيقي عددونو‬ ‫سټ ولوست او وموليدل چې په رياضي‬ ‫کې عددونه ډېر زيات ارزښت لري‪ ،‬نو له‬ ‫دې امله په عددونو پوهېدل د انسانانو په‬ ‫ژوند کې ډير اړين دي‪.‬‬

‫حقيقي عددونه‬

‫ناطق عددونه‬

‫غير ناطق عددونه‬

‫که چېرې تاسې ترماميتر (ميزان الحراره) ته پام کړی وي ښايي ليدلي به مو وي چې د هغو درجه‬ ‫بندي د صفر عدد پورته او ښکته خواته ادامه لري‪ .‬په همدې ډول د عددونو محور هم د ترماميتر‬ ‫په څېر جهت لرونکی خط او درجه لرونکی دی‪ .‬چې له يوه ټکي څخه دوو مخالفو لورو ته ادامه‬

‫مومي‪ .‬له يوه ټاکلي او معين واحد څخه په کار اخيستنې سره درجه بندي شوی دی‪ .‬لکه په الندې‬ ‫شکل کې‪:‬‬

‫تاسې پوهيږی چې د تامو عددونو سټ له مثبت تامو عددونو‪ ،‬منفي تامو عددونو او صفر څخه جوړ‬ ‫شوی دی چې په پورته شکل کې ځينې تام عددونه په محور باندې ښودل شوي دي‪ ،‬خو د تامو‬ ‫عددونو سربېره نور عددونه هم موجود دي چې تر اوسه د عددونو په محور باندې نه دي ښودل شوي‬

‫يا په بل عبارت يو شمېر زيات ناطق او غير ناطق عددونه هم د عددونو پر محور پراته دي‪.‬‬ ‫ددې مسئلې د ال ښه روڼوالي لپاره الندې شکل ته پام وکړئ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫ليدل کيږي چې د عددونو د محور هر ټکی له يوه عدد سره ارتباط لري‪ ،‬نو په دې ترتيب د عددونو‬

‫او د محور د ټکو ترمنځ داسې اړيکه موجود ده چې د محور هر ټکې يو عدد او هر عدد د محور يو‬ ‫ټکی ښيي‪.‬‬

‫که چېرې د ‪ a‬عدد له ‪ b‬عدد څخه لوی وي‪ ،‬په دې حالت کې د عددونو پر محور بايد د ‪ a‬عدد د ‪ b‬د‬

‫عدد ښې لورې ته پروت وي‪ ،‬نو په عمومي ټوګه د عددونو د محور پر مخ هغه عددونه چې ښې لورې‬ ‫ته پراته دي‪ ،‬د کيڼ لورې له عددونو څخه لوی دي‪ .‬لکه په الندې شکل کې چې ليدل کيږي‪:‬‬

‫په شکل کې ليدل کيږي چې د ‪ n‬ټکې د ) ‪ (− 1‬عدد او د ‪ m‬ټکی د ) ‪ ( 1‬عدد او په همدې ترتيب‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫د ‪ c,b,a‬او ‪ d‬هر يو ټکی د عددونو پر محور يو عدد راښيي او په عين وخت کې ليدل کيږي چې‬ ‫د ‪ m‬ټکی د عددونو پر محور د ‪ n‬د ټکی ښي لورې ته پروت دی‪ ،‬له دې امله ‪ 1 > − 1‬دی‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫او همدارنګه د ‪ b‬ټکی د عددونو پر محور د ‪ d‬د ټکي ښی لورې ته پروت دی‪ ،‬نو ويالی شو چې‬ ‫‪ − 3 > −2,5‬دی او د ‪ c‬ټکی د ‪ a‬ټکي ښي لورې ته پروت دی‪ ،‬نو ‪ 2,5 > 3‬دی‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫څرنګه چې ناطق عددونه جمعي معکوس لري‪ ،‬غير ناطق عددونه هم جمعي معکوس لري چې‬

‫ددې موضوع يادونه په اتم ټولګي کې هم شوې ده‪.‬‬

‫د حقيقي عددونو تعريف‪ :‬ټولو ناطقو او غير ناطقو عددونو ته حقيقي عددونه وايي‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫مرکب تناسب‬ ‫‪compound proportion‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ 25  30‬‬ ‫‪15 18‬‬ ‫‪3‬‬

‫• تناسب په څو ډوله دى؟‬ ‫• کيداى شي يو تناسب يوازي مستقيم‬ ‫او يا معکوس وي آيا داسې يو تناسب‬ ‫پېژنئ چې په عين وخت کې هم‬ ‫مستقيم او هم معکوس وي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫دوې کاچوغې شربت د اوبو په يوه ګيالس کې له‬ ‫مخامخ شکل سره سم حل کړئ‪ ،‬د هر ګيالس د اوبو‬ ‫او شربت نسبت ‪ 1‬پر ‪ 2‬دى‪ .‬د مخامخ شکل جک د‬ ‫‪ 2‬ګيالسونو اوبو ځاى لري‪ .‬له شکل سره سم د چاى‬ ‫خوړلو ‪ 4‬کاچوغې شربت په هغه کې حل شوى دی‪ ،‬ايا‬ ‫د ګيالس او جک خوږوالى په يوه اندازه دى؟‬ ‫الندې جدول بشپړ کړئ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫د ګيالسونو شمېر‬

‫‪2‬‬

‫د کاچوغو شمېر‬

‫• د اوبو دګيالسونو د شمېر او د شربت د کاچوغو د شمېر نسبت وليکئ‪.‬‬ ‫• ددې نسبتونو ترمنځ څه ډول رابطه شته؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه ويلى شو‪:‬‬ ‫په هر اندازه چې د اوبو د ګيالسونو شمېر زيات يا لږ شي‪ ،‬د شربت د کاچوغو شمېر متناسبا ً بدلون‬ ‫کوي‪ ،‬تر څو د ‪ 1‬نسبت ثابت پاتې شي‪ .‬له دې امله پورتنى جدول د تناسب يو جدول دى چې د‬ ‫‪2‬‬

‫ځلورو نسبتونو مساويتوب ښيي‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫له دوو څخه د زياتو نسبتونو مساوي والي ته مرکب تناسب ويل کيږي‪ ،‬په مرکب تناسب کې د‬ ‫لومړي نسبت صورت او د نورو نسبتونو مخرجونه طرفين‪ ،‬د لومړي نسبت مخرج او د نورو‬ ‫نسبتونو صورتونو ته د تناسب وسطين ويل کيږي‪ .‬لکه‪:‬‬ ‫وسطین‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫طرفین‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫يادونه‪ :‬د مرکب تناسب په جدول کې د تير جهت پورته خوا ته د مستقيم او کښته خوا ته د‬ ‫معکوس تناسب ښودنه کوي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ 5 :‬کسان کارکوونکي د ‪ 4‬ورځو لپاره ‪ 80000‬افغانۍ مزدوري اخلي‪8 .‬‬ ‫کسان به د ‪ 6‬ورځو کار لپاره څو افغانۍ مزدوري واخلي؟‬

‫حل‪ :‬څرنګه چې د نسبتونو تر منځ رابطه مستقيمه ده‪ ،‬نو الندې جدول جوړوو‪.‬‬ ‫‪80000 4 × 5 80000 5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6×8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x = 192000‬‬

‫د کسانو شمېر‬ ‫‪5‬‬

‫ورځې‬ ‫‪4‬‬

‫‪80000‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫مزدوري‬

‫دويم مثال‪ :‬که چيرې ‪ 10‬تنه يو كانال‪ ،‬چې اوږدوالى يې ‪ 12‬متره دى‪ ،‬په ‪ 8‬ورځو کې‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫وکني نو ‪ 5‬تنه هغه ته ورته کانال چې اوږدوالى يې ‪ 15‬متره ‪‬‬ ‫دى‪ ،‬په څو ‪‬‬ ‫ورځو کې‪ 3‬کنالى شي‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې متحول يعنې د ورځو شمېر د کسانو له شمېر سره معکوس تناسب او د‬ ‫کانالونو له اوږدوالي سره مستقيم تناسب لري‪ ،‬نو په الندې ډول يې حلوو‪:‬‬ ‫‪8 12 × 5‬‬ ‫‪8 × 15 × 10‬‬ ‫=‬ ‫=‪, x‬‬ ‫‪x 15 × 10‬‬ ‫‪12 × 5‬‬ ‫ورځې‬ ‫‪x = 20‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫د کسانو شمېر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪‬‬

‫اوږدوالى‬

‫ورځې‬

‫‪15‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -1‬که چېرې ‪ 24‬تنه بزګران د و رځې ‪ 8‬ساعته کار وکړي‪ ،‬يوه ځمکه چې ‪ 2000‬متره مربع‬ ‫پراخوالى لري په ‪ 20‬ورځو کې واړوي‪ .‬نو ‪ 40‬تنه بزګران چې د ورځې ‪ 12‬ساعته کار وکړي‬ ‫يوه بله ټوټه ځمکه چې ‪ 3000‬متر مربع پراخوالى لري په څو ورځو کې به يې په بيل واړوي؟‬ ‫‪ - 2‬که چېري د ‪ 4200‬كيلو گرامو غنمو د وړلو لپاره د ‪ 810‬كيلو مترو په واټن ‪ 500‬افغانيو ته‬ ‫اړتيا وي د ‪ 6000‬كيلو گرام غنمو د وړلو لپاره د ‪ 630‬كيلو متر په واټن څو افغانيو ته اړتيا ده؟‬

‫‪6‬‬

‫مشارکت‬ ‫که چيرې دوه يا څو کسان د مشارکت په‬ ‫توگه تجارت وکړي‪ .‬د هغو په شراکت کې‬ ‫سرمايه او وخت يو له بل سره توپير ولري‪.‬‬ ‫الس ته راغلي گټه د هغو ترمنځ څه ډول‬ ‫ويشل کيږي؟‬

‫ځيني وختونه دوه يا زيات کسان په گډه پيسې اچوي او په گډه سره تجارت (سوداګری) کوي د‬ ‫تجارت ګټه او نقصان د سرمايو په نسبت په خپلو منځو کې ويشي‪ ،‬ځيني وختونه داسې هم کيږي‬ ‫چې سرمايې مساوي وي خو دشريکانو دشرکت وختونه مختلف وي په دې صورت کې ګټه يا نقصان‬ ‫د وختونو په نسبت د مشترکينو په منځ کې ويشل کيږي ځينې وختونه دا هم امکان لري چې سرمايې‬ ‫او وختونه دواړه مختلف وي او بيا هم بايد ګټه او ضرر ددوی په منځ کې داسې تقسيم شي‪ ،‬چې‬ ‫عدالت پرځای شي يعنې هم سرمايه او هم وخت په پام کې ونيول شي نو اړينه ده چې د مشارکت‬ ‫داسې مسائلو او پوښتنو ته ځواب وويل شي چې په مثالونو کې به ښه وليدل شي او پوهه به ترالسه‬ ‫شي‪ .‬بايد وويل شي دغه ټول مسائل د نسبت په مرسته حليږي‪.‬‬ ‫لومړی مثال‪ :‬ځلمی او احمد په ترتيب سره د ‪ 48000‬او ‪ 64000‬افغانيو په شريکولو سره يو‬ ‫ځای تجارت کوي که چېرې دوی ‪ 24500‬افغانی ګټه کړې وي د هر يوه ګټه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ښکاره ده چې گټه بايد د ځلمی او احمد د سرمايو په نسبت د دوی په منځ کې وويشل شي چې‬ ‫د سرمايو نسبت په الندې ډول دی‬ ‫د ځلمی سرمايه‬ ‫ ‬ ‫د احمد سرمايه‬ ‫ ‬ ‫‪48000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪64000‬‬ ‫ ‬ ‫‪48‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪64‬‬ ‫يا ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫يا ‬ ‫نو ويلی شو چې د سرمايو نسبت له ‪ 3‬څخه عبارت دی اوس ‪ 24500‬افغانی يعنې ټوله گټه جال‬ ‫‪4‬‬

‫جال د ‪ 3‬په نسبت ويشو او د هر يوه ګټه پيدا کوو‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪ =3+4=7‬د نسبت مخرج ‪ +‬د نسبت صورت‬ ‫افغانی ‪ = 24500 × 3 = 3500 × 3 = 10500‬د ځلمي ګټه‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24500 × 4‬‬ ‫= د احمد ګټه‬ ‫افغانی ‪= 3500 × 4 = 14000‬‬ ‫‪7‬‬

‫دويم مثال‪ :‬درې کسان په ګډه سره تجارت کوي د لومړي کس سرمايه ‪ 120000‬افغانی د دويم‬ ‫کس سرمايه ‪ 360000‬افغانی او د دريم کس سرمايه ‪ 600000‬افغاني دي‪ .‬که چېرې هغوی په دې‬ ‫معامله کې ‪ 225000‬افغاني ګټه کړي وي د هر يوه ګټه معلومه کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬بياهم د تير مثال په ډول ګټه د سرمايو په نسبت ويشو او د هر يوه ګټه په الس راوړو‪:‬‬ ‫د دريم کس سرمايه‬ ‫د دويم کس سرمايه ‬ ‫د لومړی کس سرمايه ‬ ‫‪600000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 360000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 120000‬‬ ‫ ‬ ‫‪60‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪36‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪12‬‬ ‫يا ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫يا ‬ ‫اوس ليکو‪1+3+5=9 :‬‬ ‫‪225000 ×1‬‬ ‫افغانی ‪= 25000 ×1 = 25000‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪225000 × 3‬‬ ‫= د دويم کس ګټه‬ ‫افغانی ‪= 25000 × 3 = 75000‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪225000 × 5‬‬ ‫= د دريم کس ګټه‬ ‫افغانی ‪= 25000 × 5 = 125000‬‬ ‫‪9‬‬

‫= د لومړي کس ګټه‬

‫دريم مثال‪ :‬د احمد د تجارت له پيل څخه درې مياشتې وروسته محمود له ځان سره په تجارت‬ ‫کې شريکوي‪ .‬د دواړو د سرمايو اندازه مساوي ده که په دې معامله کې د تجارت له پيل څخه يو کال‬ ‫وروسته ‪ 350000‬افغانی ګټه کړي وي د هر يوه ګټه معلومه کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬دلته سرمايې سره مساوي خو د سرمايو په کار اچولو وختونه سره مختلف دي‪ .‬د لومړي سوداگر‬ ‫سرمايې ‪ 12‬مياشتې او د دويم سوداگر سرمايې ‪ 9‬مياشتې کار کړی دی‪ .‬دلته بايد ډيره پاملرنه وشي‬ ‫چې د هريوه د ګټې د پيدا کولو لپاره ټوله گټه د وختونو په نسبت ويشو‪:‬‬ ‫د احمد وخت د محمود وخت‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫يا ‬

‫‪8‬‬

‫د نسبتونو مجموعه‪3+4=7 :‬‬

‫افغانی ‪ = 350000 × 4 = 50000 × 4 = 200000‬د احمد ګټه‬ ‫‪7‬‬ ‫‪350000 × 3‬‬ ‫افغانی ‪= 50000 × 3 = 150000‬‬ ‫= د محمود ګټه‬ ‫‪7‬‬

‫څلورم مثال‪:‬دوه کسه يو ځای په گډه سوداگري کوي لومړي سوداګر ‪ 150000‬افغاني د ‪9‬‬

‫مياشتو لپاره او دويم سوداګر ‪ 90000‬افغانی د‪ 7‬مياشتو لپاره په کار اچولي دي‪ .‬په دې وختونو کې‬ ‫ټوله ګټه ‪ 77000‬افغانی شوي ده د هر يوه ګټه د سرمايې او وخت په مقايسه پيدا کړئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬دلته ليدل کيږي چې هم سرمايې مختلفې او هم وختونه مختلف دي‪ .‬کوښښ کوو چې يو له‬ ‫دوی څخه مساوي کړو چې دغه کار په الندې ډول سرته رسوو‪:‬‬

‫د ‪ 150000‬افغانيو ګټه په ‪ 9‬مياشتو کې مساوي کيږي د ‪ 9 ×150000 = 1350000‬افغانيو‬ ‫ګټې سره په يوه مياشت کې‪ ،‬همدارنګه د ‪ 90000‬افغانيو ګټه په ‪ 7‬مياشتو کې مساوي کيږي د‬

‫‪ 7 × 90000 = 630000‬افغانيو له ګټې سره په يوه مياشت کې‪.‬‬ ‫اوس کوالی شو د لومړي سوداګر سرمايه ‪ 1350000‬افغانی او د دويم سوداګر سرمايه ‪360000‬‬

‫افغانی او د دواړو وخت يوه مياشت په پام کې ونيسو او د تير مثال په ټوګه يې حل کړو‪:‬‬ ‫د دويم سوداګر سرمايه‬ ‫د لومړي سوداګر سرمايه ‬ ‫‪630000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪1350000‬‬ ‫ ‬ ‫‪63‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪135‬‬ ‫يا ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪15‬‬ ‫يا ‬ ‫نو‪15+7=22 :‬‬ ‫‪77000 ×15‬‬ ‫افغانی ‪= 3500 ×15 = 52500‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪77000 × 7‬‬ ‫= د دويم سوداګر ګټه‬ ‫افغانی ‪= 3500 × 7 = 24500‬‬ ‫‪22‬‬

‫= د لومړي سوداګر ګټه‬

‫يادونه‪ :‬په مشارکت کې ګټه يا ضرر د سرمايې يا وختونو په نسبت تقسيم کيږي‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫د لومړي فصل پوښتنې‬ ‫الندې عبارتونه په دقت سره ولولئ دسمې جملې مخې ته د (ص) تورې او د ناسمې جملې مخې ته د (غ)‬ ‫تورې وليکئ‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 1‬ټول ناطق او تام عددونه د حقيقي عددونو په نامه ياديږي‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 2‬يوازې مثبت او منفي تامو عددونو ته حقيقي عددونه وايې‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 3‬ټولو ناطقو او غير ناطقو عددونو ته حقيقي عددونه وايي‪.‬‬ ‫‪(-4‬‬

‫) د عددونو د محور پرمخ هغه عددونه چې ښي لورې ته پراته دي‪ ،‬د کين لورې له عددونو څخه‬

‫لوى دي‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 5‬دوه يا زيات کسان په ګډه پيسې اچوي او په ګډه سره تجارت کوي‪ ،‬د تجارت ګټه او تاوان د سرمايو‬ ‫په نسبت په خپلو منځو کې ويشي‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 6‬د دوو تناسب مساوات ته تناسب وايې‪.‬‬ ‫تش ځايونه په مناسبو کليموسره ډک کړئ‪.‬‬ ‫‪ - 1‬په تناسب کې د لومړي نسبت صورت او دويم نسبت مخرج د ‪ .............‬په نامه او د لومړي نسب‬ ‫مخرج د دويم نسبت صورت د ‪ ................‬په نامه ياديږي‪.‬‬ ‫‪ - 2‬که په يوه مشارکت کې سرمايې مساوي وي ټوله‪ ................‬د وخت په ‪ ................‬وېشل کيږي‪.‬‬ ‫الندې پوښتنې حل کړئ‪.‬‬ ‫‪ 1200 - 1‬متر مربع ځمکه ‪ 14‬کسه چې ‪ 3‬ساعته دورځې کار وکړي په ‪ 8‬ورځو کې بيل وهي‪1500 ،‬‬ ‫متر مربع ځمکه ‪ 10‬کسه چې د ورځې ‪ 6‬ساعته کار وکړي په ځو ورځوکې بيل وهلى شي؟‬ ‫‪ - 2‬په يوه تجارتي شرکت کې درې کسان په ترتيب سره ‪ 120000 ، 90000‬او ‪ 150000‬افغانيو سرمايو‬ ‫په شريکولو سره تجارت کوي‪ ،‬که د هغوی ټوله گټه ‪ 72000‬افغانی وي د هر يوه ګټه پيدا کړئ؟‬

‫‪10‬‬

‫دويم فصل‬ ‫مشابهتونه‬

‫په مثلث کې د تالس قضيه‬ ‫آيا کوالى شئ په مثلث کې موازي‬ ‫خطونه ووينئ؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫● يو اختياري مثلث رسم کړئ او دهغه په يوې ضلعې با ندې يوه نقطه په پام کې ونيسئ‪.‬‬

‫● له دې ټکي څخه د مثلث له يوې ضلعې سره موازي خط رسم کړئ‪ ،‬تر څو د مثلث بله ضلع قطع‬ ‫کړي‪ .‬نوي تشکيل شوي مثلث د تورو په واسطه وښيا ست‪.‬‬ ‫● د نوي تشکيل شوي مثلث د هرې ضلعې نسبت د لومړى مثلث له هم ډولو ضلعو سره وليکئ‪ ،‬دا‬ ‫نسبتونه يو له بله سره څه ډول اړيکې لري؟‬ ‫د پورته فعاليت په سرته رسولو سره الندې قضيه بيانوالى شو‪:‬‬ ‫لومړى قضيه ‪ :‬که چېرې د مثلث د ضلعې له يوه ټکې څخه يو داسې خط رسم شي چې د مثلث‬ ‫له يوې ضلعې سره موازي وي‪ ،‬نو دمثلث دوې نورې ضلعې متناسبا ً ويشي‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫ ‬

‫‪DE // BC‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪AD AE DE‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪AB AC BC‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫دويمه قضيه ‪:‬د ‪ ABC‬په پورته مثلث کې د ‪ D‬ټکى د ‪ AB‬په ضلعې باندې او د ‪ E‬ټکى د ‪AC‬‬

‫په ضلعې باندې داسې پراته دي چې که چېرې ‪ AD = AE‬وي‪ ،‬په پايله کې ‪ DE // BC‬دى‪.‬‬ ‫‪EC‬‬

‫‪DB‬‬

‫دا رابطه د تالس د قضيې د معکوسو اړيکو په توګه پېژنو‪.‬‬ ‫يعنې که يو خط د مثلث دوې ضلعې متناسباً تقسيم کړي‪ ،‬له درېمې ضلعې سره موازي دى‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫‪A‬‬

‫‪CE‬‬ ‫لومړى مثال‪:‬په الندې شکل کې ‪ AB // DE‬او ‪ CD = 5‬دي د‬ ‫‪EB‬‬ ‫‪DA 2‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې ‪ AB // DE‬دى‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪CE CD‬‬ ‫اودضلعو تر منځ تناسب شته يعنې‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪EB DA‬‬ ‫‪CE CD 5‬‬ ‫نو‪:‬‬ ‫‪CE 5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪CC‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪EB‬‬ ‫‪DA‬‬ ‫‪EB 2‬‬

‫‪A2 D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D‬‬

‫نسبت له ‪5‬څو سره مساوي دى؟‬ ‫‪5‬‬

‫‪AA‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BB‬‬

‫‪EE‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ ABC‬په مثلث کې د ‪ AB‬او ‪ AC‬په ضلعو باندې د ‪ M‬او ‪ N‬دوه ټکې‪A‬داسې وټا‬ ‫‪C‬‬

‫کئ چې ‪ AN = 1 AC , AM = 1 AB‬وي‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪N‬‬

‫‪3‬‬

‫آيا ‪ MN‬او ‪ BC‬سره موازي کيداى شي؟‬ ‫حل‪ :‬له پورته رابطو څخه ليکالى شو‪:‬‬

‫‪AN 1‬‬ ‫‪AM 1‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫‪AC 3‬‬ ‫‪AB 3‬‬

‫‪E‬‬

‫‪AA N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪NN‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪D‬‬

‫‪EEE‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ED‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B FB‬‬ ‫‪B FC‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D D‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪F E‬‬

‫= ‪AE‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪BB‬‬

‫‪ -1‬په مخامخ شکل کې ‪، AC = 12cm ، DE || AB‬‬ ‫‪ BC = 15cm‬او ‪ EB = 5cm‬دي د ‪ AD‬او ‪ DC‬اوږدوالى‬ ‫پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ ،ABCD‬په ذوذونقه کې ‪ EF || CD‬او ‪ED‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ BC = 6‬دي ‪ BF‬او ‪ FC‬اوږدوالی پيدا کړئ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪C C‬‬ ‫‪C E‬‬

‫‪MN // BC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BB‬‬

‫د پورته‪ ،‬اړيکوله پر تله کولو څخه لروچې‪AN AM :‬‬ ‫=‬ ‫‪AC AB‬‬ ‫څرنګه چې دضلعو په منځ کې تنا سب شته‪ ،‬د تالس معکوسې قضيې په اساس ليکلى شو‪:‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MM‬‬

‫‪A‬‬

‫‪CC‬‬

‫‪M‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪A E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪LF‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬د ‪ L‬کلى درود يوې خواته اود بريښنا دليږدولو پايې د رود بلې‬ ‫خواته دي‪ .‬په شکل کې د ورکړل شوې فاصلې له مخې د اړتيا د‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫سيم اوږدوالي چې کلي ته بريښنا ورسوي‪ ،‬پيدا کړئ يعنې ‪JL‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪M‬‬ ‫محاسبه کړئ‪.‬‬

‫‪D A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪L‬‬

‫‪ML‬‬

‫‪0m‬‬

‫‪0m 10‬‬

‫‪60m H 180m‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪60m H 180mL‬‬

‫‪J‬‬

‫‪0m‬‬

‫‪60m‬‬ ‫‪P H 180m‬‬

‫‪J‬‬

‫‪14‬‬

‫‪10‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪0m‬‬

‫‪P‬‬

‫‪J‬‬

‫‪10‬‬

‫‪N‬‬

‫‪P‬‬

‫‪10‬‬

‫‪MN‬‬

‫‪N‬‬

‫‪D‬‬

‫‪60m H 180m‬‬ ‫‪0m‬‬

‫‪P‬‬

‫‪J‬‬

‫د مثلثونو د ورته والي حالتونه‬ ‫لومړي حالت‬ ‫آيا کوالى شئ د احمد او د وني د‬ ‫سيورې له مخې د ونې ارتفاع (جګوالې)‬ ‫پيدا کړئ؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫● د ‪ ABC‬او ' ‪ A ' B ' C‬مثلثونه داسې رسم کړئ که چيري ''‪ AB== AB‬او '‪ B = B‬وي‪.‬‬ ‫● د ‪ AB‬په ضلعې باندې د ‪ B′′‬ټکى داسې وټاکئ چې ‪A′B′ = AB′′‬‬ ‫● د ‪ B′′‬په ټکې کې يوه زاويه جوړه کړئ چې د ‪ AC‬ضلع د ' '‪ C‬په ټکې کې قطع کړي او له ' ‪B‬‬ ‫سره مساوي وي‪ .‬آيا د ‪ CB‬قطعه خط له دې خط سره موازي دى‪ ،‬ولې؟‬ ‫∆‬ ‫● د " ‪ AB " C‬او ‪ A′B′C ′‬مثلثونه يوله بل سره څه ډول اړيکې لري؟‬ ‫● د ‪ ABC‬په مثلث کې ‪ B′′C′′ || BC‬دى‪ ،‬د تالس رابطه وليکئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫● آيا پايله اخيستلې شئ چې ‪ AB′′C ′′ ~ ABC‬ده؟‬ ‫‪A′‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪C″‬‬ ‫دي څرنګه ‪B″‬چې‬ ‫په پورته فعاليت کې مو وليدل چي د ‪~ ABC‬او‪ AB′′C ′′‬يو له بله سره مشابه‬ ‫‪B′‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫نو‪:‬‬ ‫≅‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫'‬ ‫‪B‬‬ ‫' ‪'C‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪ABC ~ A B C‬‬ ‫قضيه‪ :‬که چېرې دوه مثلثونه دوې مساوي زاويې ولري‪ ،‬مثلثونه يو له بله سره مشابه دي‪A .‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪A = A ′‬‬ ‫‪B″‬‬ ‫‪C″‬‬ ‫نو‪:‬‬ ‫‪ ⇒ ABC ~ A′B′C′‬‬ ‫∧‬

‫‪C′‬‬

‫∧‬

‫‪B = B′ ‬‬

‫مثال‪ :‬آيا الندې مثلثونه يوله بله سره مشابه دي؟‬ ‫حل‪ :‬له شکل څخه ليدل کيږي چې‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪X‬‬

‫‪47°‬‬

‫‪45°‬‬ ‫‪105°‬‬

‫∧‬

‫‪A = 47 , X = 45 , C = Y = 105 , B = 28‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪105°‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪B‬‬

‫‪15‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪45°‬‬ ‫‪105°‬‬

‫‪47°‬‬

‫∧‬

‫او ‪ Z = 30‬ليدل کيږي چې د دواړو مثلثونو زاويې يو په يو‪ ،‬له يو بل سره مساوي نه دي‪ .‬له دې امله‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫د ‪ ABC‬او ‪ XYZ‬مثلثونه يو له بل سره مشابه مثلثونه‪ ،‬نه دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د يو روغتون دوه مختلفي برخې د يوه هوايي پله په واسطه نښلول شوي دي‪.‬‬ ‫بريالى د دې پله د جګوالي د پيدا کولو لپاره لکه چې په شکل کې د پله په پاى کې دريږي او د خپل‬ ‫ليد شعاع يې د زاويې په راس باندې د ليد د خط او ودانې ترمنځ‬ ‫په پام کې ونيوله‪.‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫ولې د ‪ ABC‬او ' ‪ AB ' C‬دوه مثلثونه يوبل ته مشابه دي؟‬ ‫‪1 A‬‬ ‫په شکل کې د ټاکلو اندازو په پام کې نيولو سره که چيرې د ‪B‬‬ ‫‪B′ 1.5m 2 7m‬‬ ‫بريالي د تنې جگوالی ‪ 1,8m‬وي‪ ،‬د پله جګوالي يعنې ‪ BC‬په‬ ‫الس راوړئ‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪C‬‬

‫∧‬

‫حل‪ :‬په شکل کي ليدل کيږي چې‪B = B′ = 90 :‬‬

‫متقابل بالرآس دى‪.‬‬

‫‪...‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A1 = A2‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫ ‬ ‫‪C = C′‬‬ ‫نو‪:‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫د مثلثونو د مشابهت له لومړي حالت څخه ليکلى شو‪ABC ~ AB ' C ' :‬‬ ‫‪1 A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫څرنګه چې مثلثونه يوبل ته ورته دي‪ ،‬نو د هغو د ضلعو نسبتونه تناسب جوړوي‪2 7m‬‬ ‫چې په‪1.5m‬‬ ‫‪ B′‬ډول‬ ‫الندې‬ ‫دی‪.‬‬ ‫‪N BC AB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C′‬‬

‫=‬ ‫‪B′C′C′ AB′ M‬‬ ‫‪90°‬‬ ‫‪BC 1 A7 m‬‬ ‫‪7 m ⋅1.8m 7 ⋅18m 2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ‪= 2 7m , BC‬‬ ‫=‬ ‫‪B′ 1.5m‬‬ ‫‪1.8m 1.5m‬‬ ‫‪1.5m B‬‬ ‫‪15m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪90°‬‬ ‫‪BC = 8.4m‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫∆‬

‫‪B‬‬

‫∆‬

‫ ‬

‫∆‬

‫‪P‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ -1‬په مخامخ شکل کې ثبوت کړئ‪ ،‬چې‪NMP ~ MAB :‬‬

‫‪P‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪P‬‬

‫‪E‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪80°‬‬

‫‪QQ‬‬

‫∆‬

‫‪ -2‬په مخامخ شکل کې ثبوت کړئ‪ ،‬چې‪RQP ~ DEF :‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪80°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪R‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪R‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪R‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫دويم حالت‬ ‫څرنګه کوالى شو چې د ونې جګوالى‬ ‫محاسبه کړو؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫∧‬

‫‪A‬‬

‫∧‬

‫د ‪ ABC‬او ‪ A′B′C ′‬په دوو مثلثونو کې ‪ A = A′‬او‬

‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪A′B′ A′C′‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫● د " ‪ B‬ټکى د ‪ AB‬په ضلع باندي داسې وټاکئ‬

‫‪A′‬‬

‫په پام کې ونيسى‪.‬‬

‫‪C′′‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪B′′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫چې ‪ AB′′ = A′B′‬شي‪.‬‬ ‫● د " ‪ B‬له نقطې څخه د ‪ BC‬له ضلعې سره داسې يو موازي خط رسم کړئ چې د ‪ AC‬ضلع قطع کړي‬ ‫او د تقاطع ټکى يې په " ‪ C‬سره وښياست‪.‬‬ ‫∆‬

‫● د ‪ ABC‬په مثلث کې د تالس قضيه وليکئ‪.‬‬

‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫● د ‪A′B′ A′C′‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫●د‬ ‫==‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪AABB′′ AA′CC′′′‬‬

‫په تناسب کې د ‪ A′B′‬پر ځاى د هغه مساوي قيمت وليکئ‪.‬‬

‫او ‪ AB = AC‬له تناسبونو څخه څه ډول اړيکه په الس راوړالى شئ؟‬ ‫‪AC′′‬‬

‫‪AB′′‬‬

‫● آيا د ' ‪ A ' B ' C‬او " ‪ AB " C‬دوه مثلثونه يوله بل سره انطباق منونکي دي؟ ولې؟‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫● د ‪ ABC‬او " ‪ AB " C‬يو له بل سره څه اړيکه لري؟ ولې؟‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫≅‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫'‬ ‫‪B‬‬ ‫● آيا کوالى شئ له ‪ ABC‬او ' ‪' C‬‬ ‫راوړئ؟‬ ‫الس‬ ‫په‬ ‫نتيجه‬ ‫مشابهت‬ ‫د‬ ‫څخه‬ ‫‪C′‬‬ ‫‪B′‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫په پورته فعاليت کي مو وليدل چې " ‪ A ' B ' C ' ≅ AB " C‬او ‪ AB " C " ~ ABC‬دي‪.‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫نو کوالى شو دې پايلې ته ورسيږو چې ‪ ABC ~ A′B′C′‬دى‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫‪B‬‬

‫قضيه‪ :‬که چيرې د يوه مثلث دوې ضلعې د‬ ‫بل مثلث له دوو ضلعوسره متناسبې او په دواړو‬ ‫مثلثونو کې‪ ،‬د دوو ضلعو په منځ کې زاويې انطباق‬ ‫منونکې وي‪ ،‬مثلثونه يو له بل سره مشابه دي‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫∧ ∧ ‪AC‬‬ ‫=‬ ‫که چېرې ‪ A = A′‬او‬ ‫‪A′B′ A′C′‬‬

‫نو‪:‬‬

‫∆‬

‫‪A‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫‪C′′‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B′′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫وي‪.‬‬

‫∆‬

‫' ‪ABC ~ A ' B ' C‬‬

‫‪A′‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪6‬‬

‫مثال‪ :‬آيا د ‪ O A B‬او ‪ O A′ B′‬يوبل سره مشابه دي؟‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې‬ ‫∧‬ ‫∧‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫متقابل بالراس‪O1 = O 2 ......................... :‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪OA OB 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪OB′ OA′ 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫څرنګه چې د مثلثونو دوې ضلعې يوله بل سره متناسبې او د ضلعو په منځ کې زاويې مساوي دي‪.‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫نو‪OAB ~ OA′B′ :‬‬ ‫مثال‪ :‬د يوې ودانۍ دسيورې اوږدوالې ‪ 16m‬دى‪ .‬په داسې حال کې چې له هغه څخه د ‪A‬بلې جګې‬ ‫‪A′‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ودانۍ د سيوري اوږدوالى ‪24m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫َ‪A‬‬ ‫دى د جګې ودانۍ جګوالې په‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫داسې حال کې پيدا کړئ چې‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3B′‬‬ ‫‪4‬‬ ‫دکوچني ودانۍ جګوالى ‪24m‬‬ ‫‪B′‬‬ ‫وي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫َ‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫َ‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫حل‪ :‬که چيرې د سيوري په پاى‬ ‫‪3‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪40°‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫جوړيداى شي‪ ،‬د ‪ABC‬‬ ‫کې ودريږو او د جګوالې وروستي ټکې ته وګورو‪ ،‬نو دوه‪ ،‬مشابه مثلثونه‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40°‬‬ ‫ليکلى شو چې‪:‬‬ ‫او ‪ A′B′C′‬د مشابه مثلثونو د‬ ‫ضلعو له نسبت څخه ‪N‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪24m‬‬ ‫‪24m ⋅ 24m‬‬ ‫=‬ ‫=‪⇒h‬‬ ‫‪= 36m‬‬ ‫‪24m 16m‬‬ ‫‪16m‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬په الندې شکلونو کې کوم دوه مثلثونه يو له بل سره مشابه دي؟‬ ‫‪M‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2.5‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪40°‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪6‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪18‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪B‬‬

‫درېم حالت‬ ‫که چيري د يوې ګوتې اوږدوالې ‪5cm‬‬

‫وي د ګوتې تصوير څومره اوږدوالې‬ ‫لري؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫∆‬

‫● د ‪ A BC‬مثلث داسې رسم کړئ چې ‪ AC = 9 , BC = 12‬او ‪ AB = 6‬واحده وي‪ ،‬وروسته‬ ‫له هغه يې زاويې اندازه کړئ‪.‬‬ ‫∆‬

‫● د ‪ M N P‬مثلث داسې رسم کړئ چې ‪ MP = 3 , NP = 4‬او ‪ MN = 2‬واحده وي‪ ،‬د نوموړي‬ ‫مثلث د زاويو اندازه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫● د پورته قيمتو نو په پام کې نيولو سره الندې جدول بشپړ کړئ‪:‬‬ ‫زاويې‬

‫‪‬‬

‫ضلعې‬ ‫‪‬‬

‫مثلث‬

‫‪‬‬

‫= ‪AB = 6 , AC‬‬ ‫‪9 , BC = 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A=?,B=?,C=? ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AB = 6 ,AC = 9, BC = 12‬‬ ‫?=‪A=?,B=?,C‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪MN = 2 , MP = 3 , NP = 4 M = ? , N = ? , P = ? ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫? = ‪MN = 2 , MP = 3 , NP = 4 M = ? , N = ? , P‬‬ ‫‪MNP‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫‪‬‬ ‫?‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪NP‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫?‪‬‬ ‫نسبت‬ ‫‪MP‬ضلعو تر منځ‬ ‫د‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪NP‬‬ ‫‪MP‬‬

‫په پورته فعاليت کې مو وليدل چې د مثلثونو د ضلعو په منځ کې نسبت شته او همدارنګه د دواړو‬ ‫مثلثونو زاويې يو له بل سره مساوي دي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫نو له دې امله ‪ABC ~ MNP‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ضلعې د بل مثلث له درېو‬ ‫قضيه‪ :‬که چېرې د يوه مثلث درې‬ ‫ضلعو سره متناسبې وي دا دوه مثلثونه مشابه مثلثونه دي‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪19‬‬

‫‪N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P‬‬

‫‪N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫مثال‪ :‬آيا الندې دوه مثلثونه يو له بل سره مشابه دي؟‬ ‫‪T‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪4.2‬‬

‫‪V‬‬ ‫∆‬

‫‪R‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2.4‬‬

‫‪S‬‬

‫‪U‬‬

‫‪4.2‬‬

‫‪QR‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪UT 2.4 3‬‬ ‫‪RS‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪TV 4.2 3‬‬ ‫‪QS‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪UV 4.2 3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪7‬‬

‫∆‬

‫نو‪ :‬د ‪ RQS ~ TUV‬دى‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬په الندې شکل کې د برج جګوالې ‪ AB‬د هغه دسيورې يعنې ‪ AC‬له مخي وټاکئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬د دې کار لپاره ميله د ځمکې په سطحې باندې په عمودي توګه داسې دروو چې پورته سر يې‬

‫يعنې د ‪ N‬نقطه د ‪ B‬او ‪ C‬له نقطو سره په يوه مستقيم خط باندې راشي‪.‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫څرنګه چې‪ ABC ~ CMN :‬دي‪ ،‬نو‪:‬‬

‫‪AB AC‬‬ ‫=‬ ‫‪MN MC‬‬

‫ ‬

‫‪B‬‬

‫په پورته رابط کې د ‪ MC , MN‬او ‪ AC‬اوږدوالی معلوم دی‪N.‬کوالى شو د پورته رابطې په مرسته د‬ ‫‪ 10‬کړو‪.‬‬ ‫‪ AB‬اوږدوالی‪ ،‬چې د برج جګوالی دى‪ ،‬په الندې توګه پيدا‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪AB AC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 12‬کې لرو‪:‬‬ ‫د ‪ CMN‬او ‪ CAB‬په‪A‬مشابه‪M‬مثلثونو‬ ‫=‬ ‫‪B‬‬

‫‪MC‬‬

‫‪20‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪A‬‬ ‫’‪E‬‬

‫‪N‬‬

‫‪E‬‬

‫’‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪10‬‬

‫‪12‬‬

‫‪A15 20‬‬

‫‪30M‬‬

‫’‪F‬‬

‫‪C20‬‬

‫‪12‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪19‬‬

‫‪20‬‬

‫‪12‬‬ ‫’‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ -1‬په الندې مثلثونو کې کومه جوړه مثلثونه مشابه دي؟‬ ‫’‪D‬‬ ‫‪18‬‬ ‫’‪E‬‬

‫‪25‬‬

‫‪E‬‬

‫‪15‬‬

‫‪D E‬‬

‫’‪D‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪30‬‬

‫‪25‬‬

‫‪D‬‬

‫‪20‬‬

‫‪3020‬‬

‫‪15‬‬

‫‪AB 20‬‬ ‫=‬ ‫‪10 12‬‬ ‫’‪A‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪AB = 20 ⋅ 10‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20010‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B 12 12‬‬ ‫’‪B‬‬ ‫واحد ‪AB = 16.6‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪18‬‬

‫‪10‬‬

‫‪C‬‬

‫’‪b B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪12‬‬

‫‪M‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪12‬‬

‫‪B‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪8‬‬

‫‪F‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪B‬‬

‫‪20‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1515‬‬

‫‪A‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪18‬‬

‫‪10‬‬

‫’‪E‬‬ ‫’‪F‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪19‬‬ ‫’‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪ -2‬په الندې شکلونو کې وښاياست چې کوم دوه مثلثونه مشابه’‪B‬دي؟‬

‫’‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫’‪C‬‬

‫‪8‬‬

‫‪AA‬‬

‫’‪A‬‬

‫‪12‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫’‪A‬‬

‫‪MN‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪P‬‬

‫‪A‬‬

‫? = ‪PM‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪4.3cm‬‬ ‫‪69° 69°‬‬

‫‪M‬‬ ‫∧‬

‫? = ‪AC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪m‬‬

‫‪64° 64°‬‬

‫∧‬

‫● د ‪ ABC‬مثلث داسې رسم کړئ چې په هغه کې ‪ B = C‬وي‪.‬‬

‫● د خط کش په استعمالولو سره د ‪ ABC‬د مثلث د ضلعو اوږدوالى اندازه کړئ‪.‬‬ ‫● ددې مثلث د ضلعو د اوږدوالو تر منځ څه ډول اړيکې ليدل کيږي؟‬

‫● يو بل مثلث چې دوې زاويې يې سره مساوي وي‪ ،‬رسم کړئ او پورتنى عمل ‪M‬‬ ‫ورباندې تکرار کړئ‬ ‫له پورته فعاليت څخه ليدل کيږي‪ ،‬هغه مثلث چې دوې مساوي زاويې ولري د مساوي زاويو مخامخ‬ ‫ضلعې يې هم يوه له بلې سره مساوي دي‪ .‬دا مطلب د قضيې په توګه په الندې ډول بيانوو‪:‬‬ ‫‪62° 62°‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪S‬‬ ‫مخامخ ضلعې‬ ‫زاويو ‪56°‬‬ ‫قضيه‪ :‬که چېرې د يوه مثلث دوې زاويې يوه له بلې سره مساوي وي‪ ،‬د نوموړو‪56°‬‬ ‫هم يوه له بلې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫ثبوت‪ :‬د ‪ ABC‬مثلث په پام کې نيسو داسې چې ‪ B = C‬ده‪ ،‬د ‪ A‬زاويې ‪R‬‬ ‫ناصف الزاويه رسموو‬ ‫او هغه ته ‪ DA‬وايو‪.‬‬ ‫د ‪ ABD‬او ‪ ACD‬په دوو مثلثونو کې لرو‪:‬‬

‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪A1 = A 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ ‬ ‫(ولې)؟‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 = 90‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪B = C ‬‬ ‫اوس د ‪ ABD‬او ‪ ACD‬په دوو مثلثونو کې لرو‪:‬‬ ‫∧‬

‫‪A‬‬

‫∧‬

‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AD ، 1‬ناصف الزاويه دي‬ ‫‪2 ‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ، D1 = D 2  ⇒ ABD ≅ ACD‬قايمه دي‬ ‫‪ ، AD = AD‬گډه ضلعه ده‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫د مثلث د دوو زاويو او ضلعو د مساوي والي په پام کې نيولو سره د ‪ ABD‬او ‪ ACD‬مثلثونه‬ ‫‪A‬‬ ‫انطباق منونکي دي‪ .‬له دې امله د هغو مخامخ ضلعې هم مساوي دي‪.‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫يعنې‪AB = AC :‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪21‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫مثال‪ :‬په الندې شکل کې ‪ AB = 2.9cm ، B = C = 30‬دي‪ ،‬د ‪ AC‬ضلعه معلومه کړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪A‬‬ ‫څرنګه چې‪ B = C :‬ده‪ ،‬نو نوموړى مثلث متساوى‬ ‫الساقين دى‪.‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫د مخکنۍ قضيې له مخې چې د يوه مثلث د مساوي‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫زاويو مخامخ ضلعې سره مساوي دي‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪AB = AC = 2.9cm‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬په الندې شکلونو کې نامعلومې ضلعې پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬

‫? = ‪PM‬‬

‫‪4.3cm‬‬ ‫? = ‪PM‬‬ ‫‪4.3cm‬‬ ‫‪69° 69°‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪69° 69°M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫? = ‪AC‬‬ ‫? = ‪AC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪3.2cm‬‬ ‫‪3.2cm‬‬ ‫‪64° 64°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪64° 64°C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -2‬د زاويو د اندازې له مخې په الندې شکل کې وښاياست چې د ‪ MNR‬او ‪ MSR‬دوه انطباق‬ ‫منونکي مثلثونه دي‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪62° 62°‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪62°‬‬ ‫‪56°‬‬ ‫‪56°62° S‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪56° 56°‬‬

‫‪R‬‬

‫‪A‬‬

‫‪N‬‬

‫‪R‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪D1 2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪22‬‬

‫د فيثاغورث د قضيې معکوسه قضيه‬ ‫‪Pythagoraen‬‬

‫‪A‬‬

‫درې اختياري قطعه خطونه په‬ ‫کوم حالت کې قايمه الزاويه مثلث‬ ‫جوړوي؟‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫● داسې يو مثلث رسم کړئ چې د ضلعو اوږدوالی ‪ 4 ،3‬او ‪ 5‬سانتي متره وي‪.‬‬

‫● ددې مثلث د زاويو اندازه حساب کړئ‪.‬‬

‫● الس ته راغلى مثلث څه ډول مثلث دى؟‬

‫● ددې مثلث د ضلعو د اوږدوالي تر منځ څه ډول رابطه ليدل کيږي؟‬

‫● پورتنى فعاليت د داسې مثلث لپاره سرته ورسوئ چې د ضلعو اوږدوالي يې په ترتيب سره ‪10,8‬‬ ‫او ‪ 6‬سانتي متره وي‪.‬‬ ‫پورتنى عمل د فيثاغورث د قضيې د معکوسې قضيې په نامه په الندې توګه بيانولى شو‪:‬‬ ‫د فيثاغورث د قضيې معکوسه قضيه‬ ‫که چېرې په يوه مثلث کې د دوو ضلعو د مربعاتو مجموعه د هغه د درېمې ضلعې له مربع سره مساوي‬ ‫وي‪ ،‬نو مثلث قايم الزاويه دى‪.‬‬ ‫ثبوت‪:‬فرض کړئ چې د ‪ ABC‬مثلث د ‪ b , a‬او ‪ c‬ضلعو په اوږدوالى لرو‪a 2 = b 2 + c 2 :‬‬ ‫د ‪ A′B′C ′‬مثلث د ‪ b‬او ‪ c‬ضلعو په اوږدوالي سره داسې‬ ‫‪B′‬‬ ‫رسموو چې د ‪ A′‬راس يې قايم وي‪ .‬ددې کار لپاره لومړى‬ ‫د ‪ A′‬قايمه زاويه رسموو او د هغې زاويې د ضلعو په مخ‬ ‫‪c‬‬ ‫باندې د ‪ b‬او ‪ c‬په اوږدوالى قطعه خطونه جال کوو او هغو‬ ‫نقطو ته ‪ B′‬او ‪ C ′‬وايو‪.‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪23‬‬

‫‪b‬‬

‫‪A′‬‬

‫د فيثاغورث له قضيې سره سم د ‪ A′B′C ′‬په قايم الزاويه مثلث کې لرو‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B′C′ 2 = b 2 + c 2‬‬ ‫‪B′C′ = b 2 + c 2‬‬ ‫‪b2 + c2 = a 2‬‬ ‫‪b 2 +2c 2 = a 2‬‬ ‫‪B′C′ 2 = a 2‬‬ ‫‪B′C′ = a 2‬‬ ‫‪B′C′ = a‬‬ ‫‪B′C′ = a‬‬

‫له بلې خوا پوهيږو چې‪:‬‬ ‫په نتيجه کې‪:‬‬

‫نو د ‪ ABC‬او ‪ A′B′C ′‬دوه مثلثونه چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي دي‪ ،‬انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫په نتيجه کې د هغو زاويې هم يوه په يوه مساوي دي‪ ،‬نو د ‪ A‬زاويه يې قايمه ده‪ ،‬يعنې د ‪ ABC‬مثلث‪،‬‬ ‫قايم الزاويه مثلث دى‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬يو مثلث چې د ضلعو اوږدوالى يې په ترتيب ‪ AC = 2cm , AB = 3cm‬او‬ ‫‪ BC = 5cm‬وي‪ ،‬وواياست چې دامثلث څه ډول مثلث دى؟‬ ‫حل‪:‬د فيثاغورث د قضيې له مخې لرو‪ ،‬چې‪:‬‬ ‫‪( 3) 2 + ( 2) 2 = ( 5) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB 2 + AC‬‬ ‫‪B′ = BC‬‬

‫نو د فيثاغورث د قضيې له عکس سره سم ويالي شو چې ‪ ABC‬مثلث د ‪ A‬په راس کې‪B′‬قايم دي‪.‬‬ ‫‪cc‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪A′‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪bb‬‬

‫‪C′C′‬‬

‫‪ -1‬د ‪ ABC‬او ‪ MNP‬دوه مثلثونه درکړل شوي دي‪ ،‬وښياست چې کوم يو يې قايم الزاويه مثلث‬ ‫دى؟‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪AA‬‬

‫‪66‬‬ ‫‪CC‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪66‬‬ ‫‪1010‬‬

‫‪BB‬‬

‫‪PP‬‬

‫‪88‬‬

‫‪66‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪ -2‬په الندې قايم الزاويه مثلثونو کې د فيثاغورث د قضيې د سموالي څيړنه وکړئ‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪AA‬‬

‫‪CC‬‬

‫‪99‬‬

‫‪7.2‬‬ ‫‪7.2‬‬

‫‪5.4‬‬ ‫‪5.4‬‬

‫‪BB‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪PP‬‬

‫‪55‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪24‬‬

‫د قايم الزاويه مثلث قضيې‬

‫‪C‬‬

‫په مخامخ شکل کې څو قايم الزاويه مثلثونه‬ ‫وينئ؟ آيا دا مثلثونه يو د بل مشابه دي؟‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪H‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫● د ‪ ABC‬قايم الزاويه مثلث داسې رسم کړئ چې د ‪ C‬زاويه يې قايمه وي‪.‬‬

‫● د ‪ C‬له راس څخه د هغه په وتر باندې يوه ارتفاع رسم کړئ او هغه ته ‪ CH‬وواياست‪.‬‬ ‫● د ‪ ACH‬او ‪ BCH‬مثلثونه څه ډول مثلثونه دي؟‬

‫● آيا د ‪ ACH‬او ‪ ABC‬مثلثونه يو له بل سره مشابه دي؟ ولې؟‬ ‫● آيا د ‪ BCH‬او ‪ ABC‬مثلثونه يو له بل سره مشابه دي؟ ولې؟‬

‫‪C‬‬

‫● آيا د ‪ ACH‬او ‪ BCH‬مثلثونه يو له بل سره مشابه دي؟ ولې؟‬

‫له پورتني فعاليت څخه ليدل کيږي‪ ،‬چې که د قايم الزاويه مثلث په وتر باندې ارتفاع رسم شي‪،‬‬ ‫قضيې په‬ ‫نوموړى مثلث په دريو مشابه مثلثونو باندې ويشي‪ .‬ددې مطلب ‪B‬څخه کوالى شو د الندې‬ ‫‪A‬‬ ‫ثبوت کې ګټه واخلو‪:‬‬ ‫لومړى قضيه‪ :‬په هر قايم الزاويه مثلث کې‪ ،‬د قايمو ضلعو د ضرب حاصل د وتر او په وتر باندې د‬ ‫رسم شوي ارتفاع د ضرب له حاصل سره مساوي وي‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬فرض کړئ چې ‪ CH‬د ‪ ABC‬قايم الزاويه مثلث پر وتر باندې ارتفاع وي‪ ،‬نو د ‪ACH‬‬ ‫‪C‬‬ ‫او ‪ ABC‬په دوو مثلثونو کې لرو‪ ،‬چې‪:‬‬ ‫نتيجه‪:‬‬

‫‪25‬‬

‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪C = H1 = 90 ‬‬ ‫⇒‬ ‫‪ABC‬‬ ‫~‬ ‫‪ACH‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ ‬گډه زاويه ‪A = A‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪H‬‬

‫‪1‬‬

‫‪A‬‬

‫له دوو‪ ،‬مشابه مثلثونو څخه داسې پايله الس ته راځي چې د دوو مثلثونو د مساوي زاويو مخامخ‬ ‫ضلعې سره متناسبې دي‪ ،‬يعنې‪:‬‬ ‫‪AC CH‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ AC ⋅ CB = CH ⋅ AB‬‬ ‫‪AB CB‬‬

‫دويمه قضيه‪ :‬په هر قايم الزاويه مثلث کې د وتر اړوند د ارتفاع مربع د هغو دوو قطعه خطونو د‬ ‫ضرب له حاصل سره مساوي ده چې نوموړى ارتفاع يې پر وتر باندې بېلوي‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬فرض کړئ چې ‪ CH‬د ‪ ABC‬قايم الزاويه مثلث پر اړوند وتر باندې ارتفاع وي‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A + B = 90............... I‬‬

‫د ‪ ABC‬په قايم الزاويه مثلث کې لرو‪ ،‬چې‪:‬‬

‫همدارنګه د ‪ ACH‬په قايم الزاويه مثلث کې لرو‪ ،‬چې‪A + C1 = 90.............II :‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪H‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫د ‪ I‬او ‪ II‬رابطو له پرتله کولو څخه نتيجه الس ته راځي‪ ،‬چې‪B = C1 :‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫په همدې ډول ښودالى شو‪ ،‬چې‪ A = C 2 :‬ده‪ .‬ولې؟‬

‫د ‪ ACH‬او ‪ CBH‬په دوو قايم الزاويه مثلثونو کې لرو‪:‬‬ ‫∆‬

‫‪‬‬ ‫‪A = C2‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪C1 = B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪H1 = H 2 = 90 ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D‬‬ ‫∧‬

‫∆‬

‫‪⇒ ACH ~ CBH‬‬

‫∧‬

‫‪E‬‬

‫د پورته دوو مثلثونو له مشابه والي څخه ويالى شو چې ددې‪A‬دوو مثلثونو د مساوي زاويو ‪C‬‬ ‫مخامخ‬ ‫‪F‬‬ ‫ضلعې سره متناسبې دي‪ ،‬يعنې‪:‬‬

‫‪CH AH‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ CH 2 = AH ⋅ HB‬‬ ‫‪HB CH‬‬

‫‪26‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬په الندې شکل کې ‪ CD‬پر ‪ AB‬باندې عمود دى او د ‪ DECF‬څلور ضلعې يو‬ ‫∆‬ ‫مستطيل دى‪ ،‬وښياست چې ‪ B E D‬مثلث له ‪ ABC‬قايم الزاويه مثلث سره مشابه دى‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫حل‪ :‬د ‪ AC B‬او ‪ B E D‬په مثلثونو کې وينو چې‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مشترک زاويه ده ‪B = B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫څرنګه چې ‪ DE // AC‬دى او ‪ BC‬د هغو قاطع ده‪ .‬نو د قاطع يوې خوا ته زاويې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪C = BED = 90 ‬‬

‫د دواړو مثلثونو دوې زاويې يوه له بلې سره مساوي دي‪ .‬نو له دې امله د ضلعو په منځ کې يې تناسب‬ ‫شته‪ .‬په پايله کې د مثلثونو د مشابهت په پام کې نيولو سره ويالى شو‪.‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪B D E ~ AC B‬‬

‫نوټ‪ :‬په شکل کې د مشابه مثلثونو شمېر حساب کړئ‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬په الندې شکل کې ‪ CH‬د ‪ ABC‬قايم الزاويه مثلث پر اړوند وتر باندې ارتفاع ده‪.‬‬ ‫که چېرې ‪ s = 9cm ، r = 4cm‬وي د ‪ h‬اوږدوالی پيدا کړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪CH 2 = AH ⋅ BH‬‬ ‫‪CH 2 = 4 ⋅ 9‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪CH 2 = 36‬‬ ‫‪CH 2 = 36‬‬ ‫‪CH = 6cm‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪s‬‬

‫‪r‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫‪s‬‬

‫‪A‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪r‬‬

‫‪R‬‬

‫‪ -1‬په الندې قايم الزاويه مثلث کې چې د ‪ G‬زاويه يې قايمه ده‪ ،‬د ‪ a‬او ‪ b‬قيمتونه په الس راوړى‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪27‬‬

‫‪R‬‬

‫‪N‬‬

‫‪42‬‬

‫‪ba‬‬

‫‪NT‬‬

‫‪G‬‬

‫‪a‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪h‬‬

‫‪C‬‬

‫‪b‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪N‬‬

‫‪G‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ -2‬په الندې شکل کې که چېرې ‪ n = 3cm ، m = 9cm‬وي او ‪ CH‬د ‪ ABC‬قايم ا لزاويه‬ ‫مثلث د ‪ AB‬پر وتر باندې ارتفاع دى‪ ،‬د ‪ b ، a‬او ‪ h‬قيمتونه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪28‬‬

‫په قايم الزاويه مثلث کې د ‪ 30‬او‬ ‫‪ 60‬زاويو لپاره قضيې‬

‫‪B‬‬

‫آيا په مخامخ شکل کې د ‪ 30 ‬زاويې‬ ‫مخامخ ضلعه د وتر د اوږدوالى له نيمايې‬ ‫سره برابره ده؟‬ ‫‪C‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫● همدارنګه دويم وارې داسې قات کړئ چې د ‪ C‬راس د‪ A‬په راس باندې ‪D‬‬ ‫ولويږي‪.‬‬

‫● که چېرې د تقاطع نقطې ته ‪ D‬ووايو‪ .‬آيا ويالى شو چې ‪ AD = DC = DB‬دي؟ ولې؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫هغه پايله چې له پورته فعاليت څخه په عملي توګه الس ته راځي کوالى شو‪N‬د الندې قضيې په ‪A‬‬ ‫توګه‬ ‫‪M‬‬ ‫يې ثابت کړو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫رسم‬ ‫قضيه‪ :‬په هر قايم الزاويه مثلث کې د هغې ميانې اوږدوالى چې له قايم راس‪C‬څخه په وتر باندې‬ ‫‪B‬‬ ‫کيږي‪ ،‬د وتر د اوږدوالي له نيمايي سره مساوي دى‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬فرض کړو چې ‪ BM‬د ‪ ABC‬دمثلث په وتر باندې‬ ‫ميانه ده‪ .‬غواړو وښيو چې‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪BM‬‬

‫د ثبوت لپاره د ‪ BM‬ميانه په خپله اندازه اوږدوو‪ ،‬تر څو ‌د ‪N‬‬ ‫ټکى په الس راشي‪.‬‬

‫‪29‬‬

‫‪N‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫● د کاغذ پر مخ باندې يو قايم الزاويه مثلث دالندې شکل په توګه رسم او‬ ‫بياتي کړئ‪.‬‬

‫●د ‪ ABC‬مثلث داسې قات کړئ چې د ‪ B‬راس د‪ A‬په راس سر په سر‬ ‫ولويږي‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬

‫نو‪ BM = MN :‬‬ ‫د ‪ AMB‬او ‪ MNC‬په دوو مثلثونو کې لرو‪ ،‬چې‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪  ⇒ AMB ≅ MNC‬د ترسيم له مخې‪BM = MN ...‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ ‬متقابل بالراس‪M1 = M 2 ...‬‬ ‫‪BM‬ميانه ده‪AM = MC ...‬‬

‫د ‪ AMB‬او ‪ MNC‬دوو انطباق منونکو مثلثونو په پام کې نيولو سره داسې پايله الس ته راځي‬ ‫چې‬ ‫‪AB = NC.............. I‬‬

‫په همدې ډول له ‪ AMN‬او ‪ BMC‬دوو انطباق منونکو مثلثونو څخه الندې نتيجه السته راځي‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪AN = BC..............II‬‬ ‫له ‪ I‬او‪ II‬رابطو څخه ليکالى شو چې د ‪ ABCN‬په څلور ضلعې کې مخامخ ضلعې يوه له بلې‬ ‫سره مساوي دي‪ ،‬څرنګه چې يوه زاويه يې قايمه ده‪ .‬نو‪ ABCN :‬يو مستطيل دى‪.‬‬ ‫له بلې خوا پوهيږو چې په مستطيل کې قطرونه يو له بل سره مساوي او همدارنګه يو بل نمايي کوي‪.‬‬ ‫نو‪ :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BM = AC‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ ABC‬قايم الزاويه مثلث داسې رسم کړئ چې د حاده زاويو اندازې يې په ترتيب سره ‪30‬‬ ‫او ‪ 60‬وي‪.‬‬

‫● د وتر او قايمو ضلعو اوږدوالى د خط کش په واسطه اندازه کړئ‪.‬‬

‫● ددې مثلث د ضلعو د اوږدوالي تر منځ څه ډول رابطه موجوده ده؟‬

‫● پورتنى فعاليت په بل قايم الزاويه مثلث باندې‪ ،‬چې زاويې يې ‪ 60 ,30‬وي‪ ،‬تکرار کړئ‪.‬‬ ‫د پورتنى فعاليت له ليدو څخه الندې قضيه بيان او ثبوتوالى شو‪.‬‬ ‫قضيه‪ :‬که چېرې په يوه قايم الزاويه مثلث کې د يوې حاده زاويې اندازه ‪ 30°‬وي‪ ،‬د دې زاويې مخامخ‬ ‫ضلعې اوږدوالى د وتر د اوږدوالي نيمايي دى‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ثبوت‪ :‬د ‪ ABC‬په قايم الزاويه مثلث کې فرض کړو ‪ A = 30‬او ‪ B = 90‬وي‪.‬‬ ‫غواړو ثبوت کړو چې‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪AC‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪BC‬‬

‫‪30‬‬

‫د ثبوت لپاره ميانه رسموو او هغه ته ‪ BM‬وايو‪ .‬د مخکنۍ قضيې له مخې پوهيږو چې په قايم‬ ‫الزاويه مثلث کې ميانه د اړوند وتر نيمايي ده‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ ‬ ‫نو‪BM = MC :‬‬ ‫په پايله کې د ‪ BMC‬مثلث متساوى الساقين دى‪.‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪M‬‬ ‫له دې څخه الس ته راځي‪ ،‬چې‪ˆ = 60 :‬‬ ‫‪ˆ = MCB‬‬ ‫‪MBC‬‬ ‫نو د ‪ MBC‬مثلث متساوى االضالع دى‪ .‬ولې؟‬ ‫له دې امله‪BC = MC :‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫څرنګه چې ‪ M‬د ‪ AC‬منځنى ټکى دى‪.‬نو ‪BC = AC‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫مثال‪ :‬که چېرې د ‪ ABC‬مخامخ شکل قايم الزاويه مثلث او‬ ‫‪ BM‬د هغه اړونده ميانه‪ ،‬چې اوږدوالی يې ‪ 3‬واحده دى‪ ،‬د مثلث‬ ‫د ضلعو اوږدوالى پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حل‪ :‬په قايم الزاويه مثلث کې پوهيږوچې ميانه د اړوند وتر نيمايي‬ ‫ده‪:‬‬ ‫نو‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪BM = AC ⇒ 3 = AC ⇒ AC = 6‬‬ ‫‪30° 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫له بلې خوا پوهيږو چې د ‪ 30 ‬زاويې مخامخ ضلعه د اړوند وتر نيمايي ده‪.‬‬ ‫ ‬ ‫نو‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC ⇒ AB = × 6 ⇒ AB = 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫اوس د فيثاغورث د قضيې په کارولو سره د مثلث د دريمې ضلعې اندازه محاسبه کوو‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AB + BCA = AC‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ 32 + BC = 62‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ 9 + BC = 36‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ BC = 36 − 9‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ BC = 27‬‬ ‫‪⇒ BC‬‬ ‫‪BC == 27‬‬ ‫‪27 = 3 3‬‬ ‫⇒‬

‫‪31‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫‪ -1‬د ‪ ABC‬په مثلث کې د ‪ C‬قايمه ده‪ .‬که چېرې ‪ AB = 16‬واحده اوږدوالی او ‪ CD‬د‬ ‫نوموړي مثلث ميانه وي‪ ،‬د ‪ CD‬اوږدوالى پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ -2‬که چېرې په پورتني شکل کې د ميانې اوږدوالى يعنې ‪ CD = 15‬واحده اوږوالی وي ‪ AB‬پيدا‬ ‫کړئ؟‬ ‫∧‬

‫‪ -3‬د ‪ GHK‬په مثلث کې د ‪ H‬قايمه او ‪ ، GH = 1 GK‬سره دى‪ ،‬د ‪ K‬زاويې اندازه پيدا‬ ‫‪2‬‬ ‫کړئ‪.‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪K‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪K‬‬

‫‪H‬‬

‫∧‬

‫‪ -4‬د ‪ KMN‬په مثلث کې د ‪ M‬زاويه قايمه ده ‪ KK = 30 ‬ده ‪ RS , TV , XY .‬پر ‪KM‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪N‬‬

‫عمود دي‪ .‬که چېرې ‪ KX = 13 ، KN = 16 ، KR = 6‬او ‪= 10‬‬

‫کې ‪ RS , TV , XY‬او ‪ MN‬پيدا کړئ‪.‬‬

‫‪N‬‬

‫‪X KT‬واحده‪T‬وي په دې صورت‬ ‫‪R‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪V‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪S‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪K‬‬

‫‪K‬‬

‫‪32‬‬

‫د دويم فصل مهم ټکي‬ ‫‪ -‬که چيرې يو خط د مثلث دوې ضلعې داسې قطع کړي چې له دريمې ضلعې سره موازي وي نو‬

‫هغه دوې ضلعي متناسباً قطع کوي‪.‬‬

‫ دوه مثلثونو ته هغه وخت مشابه مثلثونه وايو چې ټولې زاويې يې يو په يو انطباق منوونکى او يا ضلعې‬‫يې يوه له بلې سره متناسبې وي‪ .‬يعنې که چيرې له دې دوو خاصيتونو څخه يو يې په مثلثونوکې سم‬ ‫وي مثلثونه يو د بل سره مشابه دي‪.‬‬

‫‪ -‬مثلثونه په دريو حالتونو کې يو له بل سره مشابه دي‪.‬‬

‫‪ )a‬لومړي حالت‪ :‬که چيرې ديوه مثلث دوې زاويې دبل مثلث له دوو زاويو سره مساوي وي‪ ،‬مثلثونه‬

‫متشابه دي‪.‬‬

‫‪ )b‬دويم حالت‪ :‬که چيرې د يوه مثلث دوې ضلعي دبل مثلث له دوو ضلعو سره متناسب او د ضلعو‬

‫ترمنځ زاويې يې مساوي وي‪ ،‬مثلثونه يود بل مشابه دي‪.‬‬

‫‪ ) c‬دريم حالت‪ :‬که چيرى د يوه مثلث درې ضلعې دبل مثلث له دريو ضلعو سره متناسبې وي دا‬

‫دوه مثلثونه مشابه مثلثونه دي‪.‬‬

‫‪ -‬د فيثاغورث د قضيي معکوسه قضيه‪ :‬که چيرې د مثلث د دووضلعو د مربعاتو مجموعه د هغه د‬

‫دريمې ضلعې له مربع سره مساوي وي مثلث قايم الزاويه دی‪.‬‬

‫‪ -‬په هر قايم الزاويه مثلث کې د قايمو ضلعو د ضرب حاصل د وتر او هغې ارتفاع د ضرب له حاصل‬

‫سره مساوي دی چې پرنوموړى وتر باندې ده‪.‬‬

‫‪ -‬په هر قايم الزاويه مثلث کې د هغې ميانې اوږدوالى چې له قايم راس څخه د هغه پروتر رسميږي د‬

‫وتر داوږدوالي له نيمايي سره مساوي دى‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫د دويم فصل پوښتنې‬ ‫• الندې جملې په پام سره ولولئ دسمې پوښتنې مخې ته د(ص) تورې او د ناسمې مخې ته د(غ)‬

‫توری وليکئ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫’‪B‬‬

‫‪3‬‬ ‫’‪C‬‬

‫’‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪8‬‬

‫‪21‬‬

‫‪A‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪L‬‬ ‫دې ‪12‬‬ ‫دوترونو اوږدوالې يې سره‬ ‫صورت کې يو‪18‬بل ته مشابه دي چې‬ ‫‪ ) (-1‬دوه قايم الزاويه مثلثونه په‬ ‫‪C‬‬

‫مساوي وي‪.‬‬

‫‪K‬‬

‫‪N‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬

‫’‪A‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ ) (-2‬که چيرې د يوه‪a‬مثلث دوې ضلعې او د منځ‪b‬زاويه د بل مثلث له دوو ‪c‬ضلعو او دمنځ له زاويې‬

‫سره انطباق منونکي وي نوموړي مثلثونه يوبل ته مشابه دي‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫سره متناسبې وي‪ ،‬نوموړي مثلثونه‬ ‫‪ ) (-3‬که چيرې د يوه مثلث درې ضلعې د بل مثلث له دريو ضلعو ‪A‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫يو د بل مشابه دي؟‬

‫‪60˚ y‬‬

‫‪12‬‬

‫‪5 ) (-4‬ټول قايم الزاويه مثلثونه يود بل مشابه دي؟‬

‫‪x‬‬

‫‪16‬‬

‫‪9‬‬

‫‪16‬‬

‫˚‪60‬‬

‫يوخط د ‪D‬‬ ‫مثلث له ‪P‬‬ ‫ضلعو سره‪ D‬مساوي‬ ‫يوې ضلعې سره موازي‪ N‬وي‪B ،‬نوله دوو نورو‬ ‫‪ ) (-5‬که ‪C‬چيرې ‪8‬‬ ‫‪9 C 5‬‬

‫دي؟‬

‫• الندې جملې په پوره پام سره ولولئ او تش ځايونه يې په مناسبو کلمو سره ډک کړئ‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫مجموعه د هغه له‪ ................ 6‬مساوي وي‬ ‫مربعاتو‬ ‫‪ .1‬که چيرې د يوه مثلث د دوو ضلعو د ‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫الزاويه دى‪.‬‬ ‫نوموړي مثلث قايم‬ ‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪ .2‬په هر قايم الزاويه مثلث کې د‪ ...............‬دضرب حاصل دوتر او د هغې د ارتقاع د ضرب له‬

‫حاصل سره مساوى دى چې په نوموړي وتر باندې دى‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫متناسباً وويشي‪ ،‬نو داخط د مثلث له دريمې ضلعې سره‬ ‫‪ .3‬که چيرې يو خط د مثلث دوې‬ ‫‪2‬‬ ‫ضلعې ‪4‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ .............‬دى‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ .4‬دوه مثلثونه هغه وخت يو د بل مشابه دي چې د يو مثلث‪ ...............‬د بل‪....................‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫انطباق منونکى وي‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫• الندې پوښتنه حل کړئ‪:‬‬

‫په الندې شکلونو کې ‪ MN // BC‬او مشابه دي د تالس د قضيې په کارو لوسره ‪ x‬پيداکړئ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪N 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪6‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪5‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪x‬‬

‫‪B‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪x‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪34‬‬

‫دريم فصل‬ ‫الجبري افادې‬

‫د دوه حده افادو د جمعې او تفاضل‬ ‫مربع‬ ‫مخامخ عددي مثلث د پاسکال مثلث‬ ‫په نامه ياديږي ددې مثلث دريمه ليکه‬ ‫څه را ښيي؟‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a+b‬‬ ‫‪a.b‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ab‬‬

‫● مخامخ مربع په پام کې ونيسئ چې د ضلعې اوږدوالى يې‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ a + b‬ده‪.‬‬ ‫● د مربع مساحت په ‪ S‬سره وښياست او قيمت يې وليکئ‪.‬‬ ‫● نوموړې مربع په داسې دوو مربعګانو چې مساحتونه يې ‪b‬‬ ‫‪ a 2 , b 2‬او دوو مستطيلونو چې مساحتونه يې ‪ a.b‬وي‪ ،‬د‬

‫‪1‬‬

‫‪S‬‬

‫‪a+b‬‬

‫‪b2‬‬

‫‪a+b‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a.b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪a‬‬

‫مخامخ شکل په ډول وويشى او هغه په ‪ S3 , S 2 , S1‬او ‪S 4‬‬ ‫سره وښياست‪.‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪S .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫● د مربع ګانو او مستطيلونو د مساحتونو مجموعه وليکئ‪.‬‬ ‫‪b b‬‬ ‫● لومړنۍ مربع مساحت د مربع ګانو او مستطيلونو د مساحتونو له مجموعې‪b‬سره څه ډول‪a‬اړيکه لري؟‬ ‫● السته راغلي رابطه په جمع کې د ضرب توزيعي خاصيت په کارولو سره وښياست‪.‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ab‬‬

‫‪a‬‬

‫له پورته فعاليت څخه ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪(a + b) = a 2 + 2ab + b 2‬‬ ‫مربع‬ ‫د دوو حدونو د مجموع مربع مساوي ده د لومړي حد ‪b‬‬ ‫جمع د لومړي او دويم حدونو د ضرب حاصل دوه برابره جمع‬ ‫يعنې‪(a + b) = a 2 +:‬‬ ‫سره‪2ab‬‬ ‫مربع ‪+‬‬ ‫د دويم حد ‪b 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a bS1 S4 S3 S2 a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪37‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪S4‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫لومړى مثال   ‪ :‬د ‪ ( x + 3) 2‬افادې ته پراختيا ورکړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪= x2 + 6 x + 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دويم مثال ‪ :‬د ) ‪ (3x + 5 y‬افادې ته پراختيا ورکړئ‪.‬‬ ‫‪ ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2‬مطابقت په کارولو سره ليکلى شو‪:‬‬ ‫حل‪ :‬د‬

‫‪( x + 3) 2 = x 2 + 2 × 3 × x + (3) 2‬‬

‫ ‪(3 x + 5 y ) 2 = (3 x) 2 + 2(3 x)(5 y ) + (5 y ) 2‬‬ ‫‪= 9 x 2 + 30 xy + 25 y 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دريم مثال  ‪( x + ) 2 = x 2 + 2 x + ( ) 2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪ (a − b) 2‬مطابقت انکشاف ‪ (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2‬دی چې هغه داسې السته راوړالی‬

‫شو‪:‬‬ ‫د دوو حدونو د تفاضل مربع مساوي دى د لومړى حد مربع منفي د لومړى او دويم حدونو د ضرب‬ ‫حاصل دوه برابره جمع د دويم حد مربع لکه‪:‬‬ ‫‪(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2‬‬ ‫‪(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2‬‬

‫څلورم مثال   ‪ :‬د ‪ ( x − 1) 2‬افادې ته پراختيا ورکړئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حل‪:‬د ‪ (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2‬مطابقت په کارولو سره‬ ‫شو‪(a − b) 2 = a 2 − 2ab:‬‬ ‫ليکلى‪+ b‬‬

‫‪( x − 1) 2 = x 2 − 2( x )(1) + (1) 2‬‬ ‫‪( x − 1) 2 = x 2 − 2 x + 1‬‬

‫‪1‬‬

‫پنځم مثال ‪ :‬د ‪ (8 x − ) 2‬افادې ته پراختيا ورکړئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ( ‪(8 x − ) 2 = (8 x) 2 − 2(8 x)( ) +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 64 x 2 − x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ -1‬الندې افادو ته د مطابقت په ډول پراختيا ورکړئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d ) ( x + )2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b) ( x + 7) 2‬‬

‫‪c) ( x + 12) 2‬‬

‫‪ -2‬الندې افادو ته پراختيا ورکړئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d ) ( x − y )2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪c) (6 xy − ) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪b) (12 x − 5 y‬‬

‫‪a) (m + 1) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a ) ( − 3) 2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪38‬‬

‫‪2x + 3‬‬

‫د الجبري افادو تجزيه‬

‫= ‪S1‬‬

‫‪3x – 1 6x² + 7x – 3‬‬

‫تاسو کوالی شی چې د يوه مستطيل‬ ‫مساحت چې اوږدوالى يې ‪ 2 x + 3‬او‬ ‫سور يې ‪ 3x − 1‬دى پيدا کړئ‪.‬‬ ‫ايا فکر مو کړى دى څرنګه کوالى شو‬ ‫د مستطيل اوږدوالى او سور پيدا کړو‬ ‫په داسې حال کې چې مساحت يې‬ ‫‪ 3x 2 − 4 x + 1‬دى؟‬

‫?‬

‫= ‪S2‬‬ ‫‪3x² – 4x + 1‬‬

‫?‬

‫‪(2x – 3)(2x + 3) = . . . . . . – . . . . . .‬‬ ‫‪(3y + . . . )(3y – . . . ) =9y 2 – a 2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪( . . . + . . . )( . . . – . . . ) =4x 2 – 9‬‬ ‫‪(4y – 2x) 2 = . . . . – . . . . + 4x 2‬‬

‫تش ځايونه په مناسبو افادو سره ډک کړئ‪.‬‬

‫‪(2 x − 3)(2 x + 3) = ... − ...‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( . . . + 2y) 2 = a 2 – 4ay + . . .2.‬‬

‫‪(3 y + ... )(3 y − ... ) = 9 y − a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪. ) ...= −‬‬ ‫‪4x...‬‬ ‫‪+ 12x‬‬ ‫() ‪( (.... . +. +.... .‬‬ ‫‪) = +4 x9 2 − 9‬‬

‫‪(4 y − 2 x) 2 = ... − ... + 4 x 2‬‬ ‫‪( ... + 2 y ) 2 = a 2 − 4ay + ...‬‬ ‫‪( ... + ... ) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9‬‬

‫په پورته فعاليت کې مو وليدل چې ځينې وخت يوه الجبري افاده د ضرب په شکل په دوو الجبري‬ ‫افادو سره ليکلى شو‪:‬‬ ‫د يوې الجبرې افادې ليکل د دوو او يا څو افادو د ضرب په ډول سره تجزيه بلل کيږي‪.‬‬ ‫لومړى مثال   ‪ :‬د ‪ 4 − 16 x 2‬الجبري افاده تجزيه کړئ‪.‬‬ ‫)‪– b 2 = (a – b) (a + b‬‬ ‫حل‪ :‬د مطابقت په کارولو سره لرو‪:‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 25a 2 − 4b 2‬الجبري افاده تجزيه کړئ‪:‬‬ ‫حل‪25a 2 − 4b 2 = (5a ) 2:‬‬ ‫‪− (4b) 2‬‬ ‫)‪= (5a − 4b)(5a + 4b‬‬

‫‪39‬‬

‫‪a2‬‬

‫)‪(2) 2 – (4x) 2 = (2 – 4x)(2 + 4x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪25a − 4b = (5a ) − (2b‬‬ ‫)‪= (5a − 2b)(5a + 2b‬‬

‫دريم مثال ‪ :‬د ‪ x 2 + 12 x + 36‬الجبري افاده تجزيه کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬پوهيږو چې‪ :‬‬

‫‪a 2 +2ab + b 2 = (a + b) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪x 2 +2 × x×6 + (6‬‬

‫ ‬

‫ليدل کيږي چې د لومړي اودرېمو حدونو د جذرالمربع د ضرب حاصل دوه برابره منځنى (دويم حد)‬ ‫حد راکوي نو پورتنۍ افاده د ‪ (a + b) 2‬مطابقت شکل لري‪.‬‬

‫)‪x 2 + 12 x + 36 = ( x + 6) 2 = ( x + 6)( x + 6‬‬ ‫‪a 2 –2ab‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫وليکئ‪+2ab .‬‬ ‫= ‪+ bb 2‬‬ ‫شکل=‬ ‫‪(a –+‬‬ ‫څلورم مثال  ‪ :‬د ‪ 4a 2 + 28a + 49‬افاده د دوو قوسونو د ‪b)22‬‬ ‫ضرب)‪b‬په‬

‫‪(2a ) 2 + 2 × 2a × 7 + (7) 2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2 –2 × x×2 + (2)22‬‬ ‫حد)‬ ‫منځنى×(دويم‬ ‫برابره‬ ‫‪x +2‬‬ ‫‪x×6 +‬‬ ‫ليدل کيږي چې د لومړي او درېمو حدونو جذرالمربع د ضرب حاصل دوه)‪(6‬‬ ‫حد راکوي‪ ،‬نو پورتنۍ افاده د ‪ (a + b) 2‬مطابقت شکل لري‪.‬‬ ‫)‪4a 2 + 28a + 49 = (2a + 7) 2 = (2a + 7)(2a + 7‬‬ ‫په پايله کې‪ :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫پنځم مثال   ‪ :‬د ‪ x − 4 x + 4‬الجبري افاده د دوو قوسونو د ضرب په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a –2ab + b 2 = (a – b) 2‬‬ ‫حل‪ :‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪2‬‬

‫)‪x 2 –2 × x×2 + (2‬‬

‫ ‬ ‫ليدل کيږي چې د لومړي او درېمو حدونو جذرالمربع د ضرب حاصل دوه برابره منځنى (دويم حد)‬ ‫حد راکوي‪ ،‬نو پورتنۍ افاده د ‪ (a − b) 2‬مطابقت شکل لري‪.‬‬ ‫په پايله کې‪:‬‬

‫)‪x 2 − 2 × x × 2 + (2) 2 = ( x − 2) 2 = ( x − 2)( x − 2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬الندې الجبري افادې تجزيه کړئ‪:‬‬ ‫‪c) 49 − y 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪− y2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪64 x‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b) m − 36‬‬

‫‪a ) 49 x − 16‬‬

‫‪e) x 2 y 2 − 64‬‬

‫‪d ) 25 − x 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -2‬الندې افادې د ‪ (a + b) 2‬او ‪ (a − b) 2‬مطابقتونو په ډول په دوو قوسونو سره تجزيه کړئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪abb++2 bb22‬‬ ‫‪c) 2c2a)a222++a24+ab‬‬ ‫‪24ab‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12+ab‬‬ ‫‪f ) 4f a) 2 4−a12−ab‬‬ ‫‪9+9‬‬

‫‪b) x 2 + 6 x + 9‬‬

‫‪a ) x 2 + 2 xy + y 2‬‬

‫‪e) b 2 − 12b + 36‬‬

‫‪d ) 4 x 2 y 2 + 4 xy + 1‬‬

‫‪40‬‬

‫د دريم فصل مهم ټکي‬ ‫‪ -‬د دوو حدونو د مجموعې مربع مساوي ده د لومړي حد مربع جمع د لومړي او دويم حدونو د ضرب‬

‫حاصل دوه برابره جمع د دويم حد مربع سره يعنې‪:‬‬

‫‪(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2‬‬

‫ د دوو حدونو د تفاضل مربع مساوي ده د لومړي حد مربع منفي د لومړي او دويم حدونو د ضرب‬‫حاصل دوه برابره جمع د دويم حد مربع لکه‪:‬‬

‫‪(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2‬‬

‫‪ -‬د يوې الجبرى افادې ليکل د دوو او يا څو افادو په شکل سره تجزيه بلل کيږي‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫د دريم فصل پوښتنې‬ ‫‪ -1‬الندې دوه حده افادې تجزيه کړئ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a) x −1‬‬ ‫‪b) x 2 y 2 − 64‬‬ ‫‪c) m 2 − 16a 2‬‬ ‫‪d ) 121 − y 2‬‬

‫‪ -2‬الندې افادو ته انکشاف ورکړئ‪.‬‬ ‫‪(m + 1) 2‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪b) ( y − b) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c) ( x − ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d ) (a + 7 ) 2‬‬

‫‪ -3‬الندې افادې تجزيه کړئ‪.‬‬ ‫‪b) x 2 − 8x + 16‬‬ ‫‪x 2 + 2 xy + y 2‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪a ) 4 x 2 y 2 − 9z 4‬‬ ‫‪a 2 x 2 + 4axy + 4 y 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪42‬‬

‫څلورم فصل‬ ‫معادلې‪ ،‬رابطه‬ ‫او تابع‬

‫د معادلې مفهوم‬ ‫مخکې له دې چې د معادلو مطالعه‬ ‫پېل کړو الزمه ده چې د مساوات‬ ‫مفهوم توضيح کړو‪ ،‬تر څو وتوانيږو‬ ‫د مساوات په مرسته يو ځل بيا معادله‬ ‫تعريف کړو‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫د مساوات مفهوم‪ :‬که چېرې د دوو الجبري افادو عددي قيمتونه سره مساوي وي ويل کيږي‬ ‫چې دغه الجبري افادې يوه له بلې سره مساوي دي او نوموړې افادې يو مساوات جوړوي لکه‪ :‬که‬ ‫‪ A = 2a + b‬او ‪ B = 2a + b‬په پام کې ونيسو ليکلی شو چې ‪ 2a + b = 2a + b‬يا ‪A = B‬‬ ‫ليدل کيږي چې د ‪ A‬او ‪ B‬افادې د مساوي د عالمې (=) په واسطه يوه له بلې سره ارتباط لري او هره‬ ‫افاده د مساوات يوه خوا جوړوي‪ ،‬په عمومي توگه په الجبر کې دوه ډوله مساواتونه عموميت لري‪.‬‬ ‫لومړی ډول شرطيه مساوات چې معادله هم ورته وايي او دويم ډول يې له مطابقت يا عنيت څخه‬ ‫عبارت دی چې په مخکيني فصل کې ولوستل شو‪ ،‬د ډيرو معلوماتو لپاره يوازې شرطيه مساوات يا‬ ‫معادله مطالعه او څېړو‪.‬‬ ‫شرطيه مساوات يا معادله‪ :‬پوهيږو که چېرې ‪ 2‬او‪ 5‬عددونه يو له بل سره جمع کړو د ‪ 7‬عدد‬ ‫په الس راځي‪ .‬چې دا جمله په رياضي کې داسې ليکل کيږي‪2+5=7 :‬‬ ‫اوس که چېرې ووايو کوم عدد له ‪ 2‬سره جمع شي چې د جمعې حاصل يې ‪ 7‬شي او دا جمله په‬ ‫رياضي کې داسې ليکل کېږي‪(+2=7.‬؟)‬ ‫په دې ځای کې د (؟) عالمه له نامعلوم (مجهول) عدد څخه عبارت دی‪ ،‬که مجهول عدد ‪ x‬ونوموو‬ ‫نو پورتنی رياضيکي افاده داسې ليکالی شو‪x + 2 = 7 , 2 + x = 7 :‬‬ ‫په همدې ډول که چيرې د ‪ 9‬له عدد څخه د ‪ 7‬عدد تفريق شي د تفريق حاصل يې ‪ 2‬کيږي يعنې‬ ‫‪ 9 − 7 = 2‬که وويل شي‪ ،‬له کوم عدد څخه د ‪ 7‬عدد تفريق کړو چې حاصل يې ‪ 2‬شي اوس که‬ ‫مجهول عدد ته ‪ y‬ووايو داسې افاده ليکالی شو‪y-7=2:‬‬ ‫او همدارنگه که ووايو چې له ‪ 4‬سره کوم عدد ضرب شي‪ ،‬تر څو د ‪ 20‬عدد په الس راشي‪ ،‬بيا هم‬ ‫که مجهول عدد ته ‪ x‬ووايو‪ ،‬نو داسې افاده ليکلی شو‪4x=20 :‬‬

‫‪45‬‬

‫په پورته مثالونو کې ‪ y − 7 = 2 ، x + 2 = 7‬او ‪ 4x = 20‬هر يوه يې الجبري معادله ده‪ ،‬نو‬ ‫په عمومي ډول معادله داسې تعريفوو‪:‬که چېرې د مجهولونو په ځينو قيمتونو سره د مساوات دواړه‬ ‫خواوې سره برابرې شي دې ډول مساواتو ته معادله يا شرطيه مساوات وايي‪.‬‬ ‫په پورتنيو معادلو کې ليدل کيږي که چېرې د ‪ x + 2 = 7‬په معادله کې د ‪ x‬پر ځای د ‪ 5‬عدد وليکل‬ ‫شي د معادلې دواړه خواوې سره مساوي کيږي‪ ،‬نو د ‪ 5‬عدد ته د ‪ x + 2 = 7‬معادلې جذر وايي‪.‬‬ ‫په همدې ډول که د ‪ y − 7 = 2‬په معادله کې د ‪ y‬متحول پر ځای د ‪ 9‬عدد وليکل شي د معادلې‬ ‫دواړه خواوې سره مساوي کيږي‪ ،‬نو د ‪ 9‬عدد د ‪ y − 7 = 2‬معادلې جذر دی همدارنګه که د‬ ‫‪ 4x = 20‬په معادله کې د ‪ x‬پر ځای د ‪ 5‬عدد وليکل شي‪ ،‬د معادلې دواړه خواوې يوه له بلې سره‬ ‫مساوي کيږي‪ ،‬نو د ‪ 5‬عدد‪ ،‬د ‪ 4x = 20‬معادلې جذر دی‪.‬‬ ‫په پايله کې ويالی شو چې د مجهولونو هغه قميتونه چې په معادله کې صدق کوي د معادلې جذرونه‬ ‫بلل کيږي او هغه عددونه چې د معادلې جذرونه‪ ،‬نه وي هيڅ وخت د معالې دواړه خواوې سره‬ ‫مساوي کوالی نشي‪ .‬هغه معادلې چې يو مجهول لري او دمجهول توان يې يو وي د يو مجهوله لومړی‬ ‫درجې معادلې په نامه ياديږي‪.‬‬ ‫د معادلې خاصيتونه‪:‬‬ ‫ګرانو زده کوونکو د معادلې خاصيتونه مو په اتم ټولګي کې هم لوستي دي‪ ،‬په تېر لوست کې هم‬ ‫يادونه وشوه چې معادله له شرطيه مساوات څخه عبارت ده او په معادله کې هغه الجبري افادې چې د‬ ‫مساوات د عالمې دواړو خواوو ته قرار لري‪ ،‬د عددي قيمت له مخې يو له بل سره مساوي دي‪.‬‬ ‫که چېرې معادله له تلې سره پرتله کړو‪ ،‬ليدل کيږي چې معادله او تله دواړه عينې خاصيتونه لري يعنې‬ ‫هغه وزنونه چې د تلې په دواړو پلو کې اېښودل کيږي‪ ،‬هغو الجبري افادو ته ورته دي چې د مساوي‬ ‫عالمې دواړه خواوو ته ليکل کيږي که د تلې په پلو کې اېښودل شوي وزنونه يو له بل سره مساوي نه‬ ‫وي‪ ،‬تله د تعادل په حالت کې نه راځي‪.‬‬ ‫په همدې ترتيب که د الجبري افادې د مساوي عالمې د دواړو خواوو عددي قيمتونه سره مساوي نه‬ ‫وي‪ ،‬نو موړې افاده معادله منځ ته نشي راوړالی‪.‬‬ ‫که تله د تعادل په حالت کې وي اويو مساوي مقدار وزن له دواړو پلو څخه کم او يا په دواړو پلو کې‬ ‫زيات شي د تلې د تعادل حالت بدلون نه مومي‪ ،‬چې په معادلو کې هم دغه خاصيت تطبيق کيږي‪.‬‬ ‫يعنې که د معادلې له دواړو خواوو سره مساوي عددونه جمع او يا ترې تفريق کړو‪ ،‬بيا هم معادله په‬ ‫خپل حالت پاتې کيږي‪.‬‬ ‫په معادله کې (د جمعې‪ ،‬تفريق‪ ،‬ضرب او تقسيم) څلور حالتونه مو په اتم ټولګي کې لوستې دي‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫د معادلو تشکيلول (جوړښت)‬ ‫عثمان‪ :‬فرهاده ته څو کلن يې؟‬ ‫فرهاد‪ :‬که چېرې زما د پالر له نيمايي عمر‬ ‫څخه ‪ 5‬كم شي زما له عمر سره مساوي‬ ‫کيږي‪ .‬هغه وخت چې زه پيدا شوم زما پالر‬ ‫‪ 25‬کلن وو‪.‬‬ ‫عثمان‪ :‬پوه شوم‪ ،‬چې ستا پالر ‪ 40‬کاله او ته‬ ‫‪ 15‬کاله عمر لري‪.‬‬ ‫ايا کوالى شى وواياست عثمان څرنګه پوه‬ ‫شو چې فرهاد ‪ 15‬کلن دى؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪x  5  x  25‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ورځينۍ حسابي پوښتنه په الجبري افادې باندې بدلوو‪ .‬هڅه کوو چې د فعاليت په پاى کې د معادلې‬ ‫د جوړښت او حل طريقه پيدا کړو‪.‬‬ ‫•که چېرې د يوه عدد له دوه برابره سره د ‪ 4‬عدد جمع شي له ‪ 16‬سره مساوي کيږي‪ ،‬عدد کوم دى؟‬ ‫• آيا پر پوښتنې باندې پوه شواست؟ څرنګه کوالى شئ هغه په يوه معادله باندې واړوئ‪.‬‬ ‫• په معادلې باندې له بدلولو وروسته د هغه حل په الس راوړئ؟‬ ‫• آيا په رښتيا سره ستاسو حل سم دى؟ ويې ازمويي‪.‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه الندې پايله په الس راځي‪:‬‬ ‫د يوې معادلې د جوړښت او حل د پيدا کولو لپاره د پورته فعاليت په پام کې نيولو سره الزمه ده چې‬ ‫الندې ګامونه په پام کې ونيول شي‪:‬‬ ‫ درك او پوهيدل‪.‬‬‫ د مجهول ټاکل او د نوم ايښودل‪.‬‬‫ له بيانيې سره سم په ډير غور د يوې معادلې جوړښت‪.‬‬‫ د پوښتنې حل‪ ،‬يا د مجهول د قيمت پيدا کول‪.‬‬‫‪ -‬د پوښتنې ازمويل د پيدا شوي حل په واسطه‪.‬‬

‫‪47‬‬

‫مثال‪ :‬که چېرې د رشاد د پيسو په دوه برابر ‪ 20‬افغانۍ ورزياتې شي‪ ،‬نو د خوشحال له پېسو سره‬ ‫مساوي کيږي او که چېرې خوشحال ‪ 60‬افغانۍ ولري د رشاد د پېسو اندازه څو ده؟‬ ‫حل‪ :‬د معادلې د جوړښت او حل پيدا کولو لپاره په الندې توګه ګام په ګام پوښتنه حل کوو‪:‬‬ ‫ د پوښتنې پوهيدل او د هغې لوستل په ډير غور سره‪.‬‬‫ د مجهول ټاکل‪ ،‬د رشاد د پېسو اندازه ده چې په ‪ x‬سره ښيو‪.‬‬‫ د معادلې جوړښت‪ :‬د رشاد د پېسو په دوه برابر (‪ )2x‬باندې ‪ 20‬ورزياتې شي (‪)2x+20‬‬‫د خوشحال د پېسو سره مساوي کيږي‪2x+20=60 .‬‬ ‫ د معادلې حل‬‫‪2 x + 20 = 60‬‬ ‫له دواړو خواو ‪ 20‬تفريق کوو‪ :‬‬

‫‪2 x = 60 − 20 = 40‬‬

‫دواړه خواوې په ‪ 2‬وېشو ‪ :‬‬ ‫‪2 x = 40‬‬ ‫‪2 x 40‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫د رشاد د پېسو اندازه‪:‬‬ ‫‪x = 20‬‬ ‫ازموينه‪ :‬که چېرې د رشاد د پېسو په دوه برابر باندې ‪ 20‬افغانۍ ورزياتې کړو‪ ،‬نو د خوشحال له‬ ‫پېسو سره مساوي يعني ‪ 60‬کيږي‪ .‬چې دا پوښتنه هم سمه ده‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2 × 20 + 20 = 60‬‬ ‫‪40 + 20 = 60‬‬ ‫‪40 + 20 = 60‬‬ ‫‪60 = 60‬‬ ‫څرنګه چې د ‪ 60 = 60‬صحيح مساوات دی‪ ،‬له دې امله پيدا شوى حل يا قيمت سم دى‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬که چېرې د يوه عدد له درې برابر څخه ‪ 5‬تفريق شي‪ .‬د ‪ 4‬سره مساوي کيږي‪ ،‬عدد کوم دى؟‬ ‫‪ -2‬د زرغونې او ماللۍ د عمرونو د جمعې حاصل له ‪ 30‬سره مساوي کيږي‪ ،‬که چېرې زرغونه له‬ ‫ماللۍ څخه ‪ 2‬کاله لويه وي‪ ،‬ماللۍ څو کلنه ده؟‬

‫‪48‬‬

‫‪x‬‬

‫معادلي معادلې‬

‫‪1‬‬

‫په ‪ ،2 ،1‬او ‪ 3‬ګڼو تلو کې څه شى‬ ‫وينئ؟‬ ‫څرنګه کوالی شو د مساوي مقدار په‬ ‫کم کولو او زياتولو سره د تعادل مختلف‬ ‫حالتونه منځته راوړو‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x x‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫الندې جمله په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫که چېرې د يوه عدد له دوه برابره (دوه چنده) څخه ‪ 4‬تفريق شي ‪ 8‬په الس راځي‪ ،‬عدد کوم دى؟‬ ‫که چېرې مجهول ته ‪ x‬ووايو په دې صورت کې کوالى شو پورتنى بيان د معادلې په شکل په الندې‬ ‫ډول ليکو‪ :‬‬ ‫‪2x − 4 = 8‬‬ ‫• د پورتنی معادلې په پام کې نيولو سره الندې فعاليت د جدول د تش ځايونو په ډکولو سره‪ ،‬سرته‬ ‫ورسوي‪:‬‬ ‫حل‬

‫الس ته راغلي معادله‬ ‫‪2x – 4 = 8‬‬

‫د معادلې په دواړه خواو باندې عمليې‬

‫گڼه‬

‫معادله راکړل شوي ده‬

‫‪1‬‬

‫د (‪ )1‬ګڼې معادلې له دواړه خواو سره ‪ x‬جمع کوو‬

‫‪2‬‬

‫د (‪ )1‬ګنې معادلې دواړه خواوي په ‪ 2‬کې ضربوو‬

‫‪3‬‬

‫د (‪ )1‬ګڼې معادلې دواړه خواوې په ‪ 2‬وېشو‬

‫‪x–6=0‬‬

‫‪ 1‬ګڼه معادله په معياري ډول ليکو‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫• پورتني ټول مختلف شکلونه يوه واحده معادله (بيانيه) ده چې يو له بله سره معادل دي د مساوي‬ ‫مقدار په کم کولو او زياتولو او يا د مساوي مقدار په ضرب کولو او په مساوي مقدار تقسيم کولو‪ ،‬چې‬ ‫خالف د صفر وي په الس راغلي دي‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫له پورته فعاليت څخه الندې پايله په الس راوړو‪:‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫هغه معادلې چې مساوي جذر لري معادلې‪ ،‬معادلې بلل کيږي‪ .‬په يوه معادله باندې د الجبري ساده‬ ‫عمليو په سرته رسولو يوه له بلې سره معادلې‪ ،‬معادلې منځ ته راځي‪ .‬د معادلې د حل لپاره کوښښ‬ ‫کيږي چې يو له بل سره د معادل‪ ،‬معادلو طريقې په کارولو معادله په الس راشي‪ .‬د معادلې د مجهول‬ ‫د جذر پيدا کولو لپاره بايد ساده شکل ولري‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 2 x − 4 = 0‬معادله حل کړئ؟‬ ‫‪2x − 4 = 0‬‬ ‫له دواړو خواو سره ‪ 4‬جمع کوو‪:‬‬ ‫‪2x − 4 + 4 = 0 + 4‬‬ ‫‪: +4‬‬ ‫‪2x = 4‬‬ ‫دواړه خواوې په ‪ 2‬وېشو‪ :‬‬ ‫‪2x 4‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫=‬ ‫‪: 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫ازموينه‪ :‬پيدا شوى حل په راکړل شوې معادله کې ږدو لرو چې‪:‬‬

‫‪2× 2 − 4 = 0‬‬ ‫‪4−4 = 0‬‬ ‫‪0=0‬‬

‫څرنګه چې د مساوات دواړه خواوې صفر دي عددې مساوات شتوالى لري‪ ،‬له دې امله ‪ x = 2‬د‬ ‫معادلې جذر دى‪ .‬د معادلې پيدا شوى قيمت د ‪ 2 x = 4‬په معادله کې ږدو ليدل کيږي ‪2 × 2 = 4‬‬ ‫‪ ،‬نو د ‪ 2 x = 4‬او ‪ 2 x − 4 = 0‬معادلې‪ ،‬معادل (منطبق) معادلې دي‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د الندې معادلو حل پيدا او وازمويي؟‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪4( 16 − 3t = 0‬‬ ‫‪3− 4y = 2 − 6y‬‬

‫(‪5‬‬

‫‪ -2‬الندې کومې معادلې يو د بل معادل دي؟‬ ‫‪3x − 4 = 8‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪2x − 2 = 4‬‬

‫(‪(a − 2‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2(2 x − 1( = 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ x =1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x +1 = + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1 = x + 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‪1‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪50‬‬

‫ناصر‬

‫رابطــه‬ ‫حميد‬

‫مخامخ شکل ته وګورئ څوک له چا‬ ‫سره څه ډول اړيکه يا رابطه لري؟‬

‫سباوون محمود‬ ‫پالر‬

‫زامن‬ ‫راحلهراحله‬ ‫زرغونه‬

‫هیله‬

‫مور‬

‫لوران‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫پورته شکل په پام کې ونيسئ‪ ،‬هغه اړيکې چې د ېوې کورنۍ د غړو ترمنځ شته دي د هغو له مخې‬ ‫الندې پوښتنو ته ځواب ورکړئ‪:‬‬ ‫● راحله د ناصر مېرمن ده‪ ،‬حميد له ناصر سره څه اړيکې لري؟‬ ‫● محمود د ناصر زوى دى‪ ،‬راحله او حميد څه رابطه لري؟‬ ‫● هيله د سباوون خور ده‪ ،‬ايا سباوون د هيلې ورور دى؟‬ ‫● زرغونه د هيلې خور او زرغونه د محمود خور هم ده‪ ،‬نو هيله د محمود سره څه اړيکې لري؟‬ ‫● د کورنۍ د غړو د اړيکو لپاره څو نور مثالونه چې د کورنۍ خپلوي وښيي‪ ،‬وواياست‪.‬‬ ‫کوالى شو له پورته فعاليت څخه الندې پايله په الس راوړو؟‬ ‫که چېرې د دوو شيانو‪ ،‬جسمونو او يا د دوو سيټونو د عناصرو ترمنځ د‬ ‫رياضي عمليو په واسطه او يا د کومې ټولنيزې اړيکې ترمنځ شتوالي ولري‬ ‫رابطه بلل کيږي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ‪‌3،2،1‬او ‪ 4‬عددونو او مخامخ مربعګانو د شمېر ترمنځ‬ ‫يوه رابطه پيدا کړئ‪:‬‬

‫‪51‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3‬‬

‫‪–5‬‬ ‫‪–7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–4‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫—–‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪2‬‬

‫دويم ‪y‬‬ ‫مثال‪ :‬که چېرې نسرين ‪ 26‬کاله او انجيال ‪ 16‬کاله عمر ولري د ‪ 10 ، 5‬او ‪ 15‬کلونو وروسته‬ ‫به نسرين او انجيال څو کاله عمر ولري؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ 16 21 36‬د انجيال عمر‬ ‫‪31‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪x‬‬

‫‪41‬‬

‫‪O‬‬

‫‪36‬‬

‫‪31‬‬

‫‪26‬‬

‫د نسرين عمر‬

‫‪29‬‬

‫‪7‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪20‬‬

‫‪23‬‬

‫‪ -1‬د خپلو ټولګيوالو يو سيټ‪ ،‬چې ‪ 5‬عنصره او هم د مختلفو ميوو يوسيټ‪ ،‬چې ‪ 5‬عنصره‬ ‫ټولګيوال نوم‪ 2‬د هغه ‪1‬دخوښې‪ 0‬وړ ميوې سره په جوړه ييز ډول په قوس‬ ‫ولري‪ ،‬جوړ کړئ د خپل‪4‬هر‬ ‫‪3‬‬ ‫کې وليکئ‪.‬‬ ‫‪400‬‬

‫‪300‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬

‫‪ -2‬د ‪ 6،5،4،3،2،1‬او ‪ 8‬عددونه په پام کې ونيسئ‪ ،‬د مساوي رابطې په واسطه هغه عددونه پيدا‬ ‫پورتني عدد‪ 2‬سره ‪1‬‬ ‫له يو ‪3‬‬ ‫کړئ چې جذرالمربع يې ‪5‬مساوي ‪4‬‬ ‫وي لکه‪ 25 = 5 :‬دى‪.‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪240 270‬‬

‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪100‬‬

‫‪4‬‬

‫‪16‬‬

‫‪9‬‬

‫‪60‬‬

‫‪4‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪70‬‬

‫‪1‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪40‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪52‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3‬‬

‫‪–5‬‬ ‫‪–7‬‬

‫‪6‬‬

‫خطي رابطه‬ ‫‪G H‬‬ ‫‪J‬‬ ‫اړيکې ‪–3‬‬ ‫که چېرې د يوې رابطې‪1‬يا ‪–4‬‬ ‫ګراف‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫مستقيم خط وي د ‪ –4x‬او ‪ y‬تر منځ‬

‫رابطې يا اړيکې ته څه وايي؟‬

‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫×‪2‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪1‬‬ ‫—–‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪31‬‬

‫‪x‬‬

‫‪36‬‬

‫‪21‬‬

‫‪16‬‬

‫‪36‬‬

‫‪31‬‬

‫‪26‬‬

‫وزيږيدله‪.‬‬ ‫محمود ‪ 20‬کلن و چې نجال لور يې‬ ‫‪41‬‬ ‫● کوم وخت‪ O‬چې نجال په ‪ 7‬کلنی کې ښوونځي ته شامله شوه ويلى شئ چې محمود څو کلن وو؟‬ ‫● کله چې نجال ‪ 20‬کلنه شي پالر به يې څو کلن وي؟‬ ‫● د نجال او پالر د عمرونو په پام کې نيولو سره الندې جدول بشپړ کړئ‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪29‬‬

‫د نجال عمر‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪23‬‬

‫د محمودعمر‬

‫● د نجال د عمر ګراف نظر د محمود عمر ته د قايم مختصات په سيستم کې رسم کړئ‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫● که چېرې محمود ‪ 24‬کلن وي‪ ،‬د ګراف له مخې يې پيدا کړئ چې نجال څو کلنه ده؟‬ ‫‪100‬يا ‪0‬‬ ‫ترمنځ څه‪200‬‬ ‫عمرونو ‪300‬‬ ‫● د محمود او نجال د ‪400‬‬ ‫اړيکه موجود ده؟‬ ‫ډول رابطه‬ ‫● که چېرې د محمود عمر په ‪ y‬او د نجال عمر په ‪ x‬سره وښيو‪ ،‬د محمود او نجال د عمرونو ترمنځ‬ ‫وليکئ‪1 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫افادې په ‪3‬‬ ‫الجبري ‪4‬‬ ‫رابطه يا اړيکه د يوې ‪5‬‬ ‫واسطه‬ ‫له پورته فعاليت څخه ‪25‬‬ ‫الندې پايله‪16‬په الس‪9‬راوړو‪:‬‬ ‫که چېرې د يوې رابطې يا اړيکې ګراف مستقيم خط وي‪ ،‬په دې صورت کې د متحولينو تر منځ‬ ‫رابطه خطي رابطه بلل کيږي‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪53‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪240 270‬‬

‫‪40‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪1‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪O‬‬

‫‪31‬‬

‫‪36‬‬

‫‪21‬‬

‫‪16‬‬

‫‪41‬‬

‫‪36‬‬

‫‪31‬‬

‫‪26‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬که چېرې د کابل او هرات تر منځ واټن په‬ ‫منځني چټکتيا سره په يوه ساعت کې ‪ 100Km‬ووهو‪ ،‬د‬ ‫‪15‬او چټکتيا ‪7‬‬ ‫ترمنځ څه ډول رابطه وجود لري؟‬ ‫واټن‬ ‫رابطه نظر وخت ته په الندې‬ ‫حل‪:‬‬ ‫لومړۍ د وهل شوي‪23‬واټن ‪20‬‬ ‫‪29‬‬ ‫جدول کې ليکو‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫وخت په ساعت‬

‫‪400‬‬

‫‪300‬‬

‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫واټن په کيلومتر‬

‫‪y‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬

‫‪y‬‬

‫‪400200‬‬ ‫‪300100‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪200‬‬

‫که چېرې پورتنۍ مرتبې جوړې ځای د وضعيه کمياتو په سيستم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫منځ ته ‪3‬راځي‪ 2.‬له ‪1‬دې امله‪ O‬د‬ ‫خط‬ ‫کې په نښه او يو له بل سره ونښلوو‪ ،‬ليدل کيږي چې يو مستقيم‬ ‫‪4‬‬ ‫وهل ‪4‬‬ ‫چټکتيا او ‪9‬‬ ‫منځنى ‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫شوي واټن ‪1‬تر منځ رابطه يوه خطي رابطه ده‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د يوې مربع د اضالعو د اوږدوالي او مساحت ترمنځ رابطه په پام کې ونيسئ‪ ،‬ددې لپاره‬ ‫که چېرې د مربع ضلعه په ‪ a‬او مساحت يې په ‪ a 2‬سره وښيو‪ ،‬د ‪a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫قيمتونه ‪0‬په الس راوړو‬ ‫‪ 30‬مختلف‬ ‫مساحت‬ ‫قيمتونو لپاره د‬ ‫مختلفو‬ ‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪60 70‬‬ ‫چې په الندې جدول کې ليکل شوي دي‪.‬‬

‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪240 270‬‬

‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪150‬‬

‫‪60‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪16‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ž¸“a‬‬ ‫ضلعه‬ ‫‪ a‬د مربع‬ ‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ž]€»duZˆ»a‬‬ ‫‪ a2‬د مربع مساحت‬

‫‪O‬‬

‫پورتنۍ ټکي د وضعيه کمياتو په سيستم کې وټاکئ او ګراف يې‬ ‫‪10‬‬ ‫دى؟آيا‪ 0‬دا يوه خطي‬ ‫‪ 40‬يو مستقيم خط‬ ‫رسم‪70‬کړئ‪ .‬آيا ګراف يې‬ ‫‪60‬د ضلعې ‪0‬‬ ‫اوږدوالى او ‪ a 2‬يعني د مربع مساحت خطي نه ده‬ ‫‪ 150‬رابطه چې ‪ a‬يعنې‬ ‫‪240‬رابطه ده؟نه ‪ :‬دا ډول‬ ‫‪0 60‬‬ ‫خطي رابطې په نامه ‪180‬‬ ‫او د غير ‪360‬‬ ‫ياديږي‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪60‬‬

‫‪O‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬د يوه فنر اوږدوالى چې وزن ورباندې ځوړند دى‪ 10cm ،‬دى‪ ،‬که چېرې ‪ m‬كيلو گرامه وزن‬ ‫ورباندې ځوړند کړو‪ ،‬د فنر اوږدوالى د ‪ L = 10 + 0.5 × m‬رابطې په واسطه په الس راځي‪.‬‬ ‫‪ )a‬د ‪ 4‬كيلوگرامه وزن لپاره د فنر اوږدوالى څومره دى؟‬ ‫‪ )b‬په فنر باندې څومره وزن ځوړند شي چې د فنر اوږداولى ‪ 15‬سانتي مترو ته ورسيږي؟‬ ‫‪ -2‬د يوه نوي زيږيدلي مار اوږدوالى ‪ 30‬سانتي متره دى‪ .‬که چېرې هر کال په منځنى توګه د نوي‬ ‫زيږيدلي مار اوږدوالى ‪ 22‬سانتي متره زيات شي‪ ،‬نو په څومره وخت کې به د نوموړې مار اوږدوالى‬ ‫‪ 96‬سانتي متره شي؟‬

‫‪54‬‬

‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–4‬‬

‫د خطي رابطو جوړښت‬

‫‪H‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫×‪2‬‬

‫د ‪ 100‬پوکڼيو پلورل به څومره گټه‬ ‫—– ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ولري؟‬ ‫—‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪O‬‬

‫‪31‬‬

‫‪36‬‬

‫‪21‬‬

‫‪16‬‬

‫‪41‬‬

‫‪36‬‬

‫‪31‬‬

‫‪26‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ددې لپاره چې احمد د خپل قلم او کاغذ پېسې پيدا کړي د خپلې مور په سال سره تصميم نيسي‬ ‫‪15‬‬ ‫وروسته هوايي ‪7‬پوکڼۍ وپلوري‪ ،‬که چېرې احمد د ‪ 100‬دانو پوکڼيو د رانيولو‬ ‫چې په ښار کې له غرمې‬ ‫‪20‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪29‬‬ ‫لپاره ‪ 260‬افغانۍ ورکړي او سربېره پر هغه ‪ 20‬افغانۍ د ډوډى خوړلو او ‪ 20‬افغانۍ د ترانسپورت کرايه‬ ‫ورکړي په دې صورت کې تصميم نيسي چې هره پوکڼۍ په ‪ 6‬افغانيو وپلوري‪.‬‬ ‫رياضي له ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ځان د ډاډينې لپاره دا ‪4‬‬ ‫ښوونکي ‪0‬سره گډه او ښوونکى هغه ته مشوره ورکوي‬ ‫موضوع ‪3‬د‬ ‫نظر ټول‪200‬قيمت‪100‬او گټې‪0‬ته د پلورلو له مخې جوړ او د دواړو حالتو‬ ‫معادلې‪300‬‬ ‫تر څو د پوکڼيو د شمېر ‪400‬‬ ‫ګرافونه يو له بل سره پرتله کړئ‪ .‬د ګراف د تحليل او پوښتنې کې د ځوابونو د فعاليت په بشپړ ولو کې‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وکړئ‪.‬‬ ‫له احمد سره مرسته‬ ‫پلورلو ګټه‪ 4‬له ټول‪1‬قيمت سره مساوي کيږي؟‬ ‫پلورلو‬ ‫وروسته د ‪9‬‬ ‫‪16‬‬ ‫● د څو دانو پوکڼيو له ‪25‬‬ ‫● د ټول قيمت جدول چې د ‪ 100‬دانو پوکڼيو لپاره چې ټولې ‪ 300‬افغانۍ لګېدلى دي‪ ،‬بشپړ کړئ‪:‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪100‬‬

‫‪60‬‬

‫‪240 270‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪150‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫د پوکڼيو شمېر‬ ‫ټول قيمت‬

‫● که چېرې ‪ x‬د پوکڼيو شمېر او ‪ y‬د لګښت اندازه وي‪ ،‬د پوکڼيو د لګښت الجبري رابطه په الس‬ ‫راوړئ او ګراف يې د قايم مختصات په سيستم کې رسم کړئ‪.‬‬ ‫‪0 10‬‬ ‫‪90 100‬‬ ‫‪ 40‬د پوکڼيو د پلورلو عوايدو له مخې بشپړ کړئ‪.‬‬ ‫قيمت جدول د‪70‬پلورلو الندې جدول‬ ‫لکه د ټول‬ ‫‪240‬‬

‫‪55‬‬

‫‪150‬‬

‫‪360‬‬

‫‪60‬‬

‫‪180‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪70‬‬

‫‪100‬‬

‫‪40‬‬

‫‪60‬‬

‫‪240 270‬‬

‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪30‬‬

‫‪150‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪240‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60‬‬

‫‪360‬‬

‫‪60‬‬

‫‪180‬‬ ‫‪60‬‬

‫د پوکڼيو شمېر‬

‫‪ 0‬ټول قيمت‬ ‫‪ 0‬د پلورلو قيمت‬ ‫‪ 0‬د پلورلو گټه‬

‫‪y‬‬

‫● د ګرافونو د تقاطع په ټکې کې گټه او‬ ‫ټول قيمت يو له بل سره څه ډول رابطه‬ ‫‪500‬‬ ‫مت‬ ‫يا اړيکه لري؟‬ ‫‪400‬‬ ‫ټو‬ ‫ل قيمت‪،‬‬ ‫د‬ ‫‪300‬‬ ‫پ‬ ‫ل‬ ‫و‬ ‫رل‬ ‫●څو دانې پوکڼۍ وپلورل شي‪ ،‬تر څو‬ ‫و ګټه‬ ‫‪200‬‬ ‫شمېر‬ ‫پوقانو‬ ‫د‬ ‫د پلورلو او لګښت اندازه سره مساوي‬ ‫‪100‬‬ ‫شي؟ دا غوښتنه د ګراف له مخې څه ‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫معنا ورکوي‪.‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه الندې پايله په الس راوړو‪:‬‬ ‫د دوو خطي معادلو حل‪ ،‬د هغو د ګراف د تقاطع له نقطې څخه عبارت دى ځکه چې ددې نقطې‬ ‫مختصات په دواړو معادلو کې صدق کوي او ‪ ‌y‬يعنې فاصله او ترتيب په دواړو معادلو کې مساوي يا‬ ‫يو ډول دي‪.‬‬ ‫د‬

‫پلور‬ ‫لو قي‬

‫‪600‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬يو رستوانت د يو شرکت لپاره ډوډۍ پخوي‪ .‬دا رستورانت ‪ 1000‬افغانی يو کال مخکې او سربېره‬ ‫پر هغه په هره مياشت کې ‪ 600‬افغانۍ غوښتې دي‪ .‬بل رستورانت د مخکنۍ غوښتنې پرته د مياشتې‬ ‫‪ 850‬افغانی غوښتې دي‪ .‬الندې جدول بشپړ کړئ‪.‬‬ ‫کب‬

‫سلواغه مرغومى لندى‬ ‫‪6400‬‬ ‫‪7650‬‬

‫لړم‬

‫تله‬

‫وږى زمرى‬

‫چنګاښ‬

‫غبرګولى غواي‬

‫ورى‬

‫مياشتې‬

‫‪ 1600 2200‬لومړى رستورانت‬ ‫‪ 850 1700‬دويم رستورانت‬

‫دې دوو رستورانتونو ته د پېسو ورکولو ګراف د قايم مختصات په يو سسيتم کې رسم کړئ که چېرې‬ ‫‪ 6‬مياشتې ډوډۍ وغواړو کوم يو رستورانت زموږ په گټه دى‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫تابع‬ ‫● که چېرې د يوه موټر چټکتيا ‪Km‬‬ ‫‪h‬‬ ‫وي‪:‬‬

‫‪50‬‬

‫ نوموړي موټر په دوو ساعتونو کې څومره‬‫واټن وهي؟‬ ‫په درې ساعتونو کې څومره واټن وهي؟‬‫● ايا ويالي شئ چې د هر وخت لپاره يو‬ ‫ځانګړي واټن په يوه ټاکلى چټکتيا پورې‬ ‫اړه لري؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫اوس د يوه موټر د چټکتيا او وهل شوي واټن تر منځ رابطه نظر وخت ته په پام کې نيسو‪:‬‬ ‫● که چېرې يو موټر د ‪ 17 m‬په ثابتې چټکتيا سره حرکت وکړي‪ ،‬الندې جدول د درکړل شوو‬ ‫‪sec‬‬

‫وختونو په پام کې نيولو سره د وهل شوې فاصلې لپاره بشپړ کړئ‪:‬‬ ‫‪20sec 25sec 30sec‬‬

‫‪10sec 15sec‬‬

‫‪5sec‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬

‫● د الس ته راغلي مرتبو جوړو لپاره که چېرې پورته رابطه د قايم مختصات په سيستم کې‪ ،‬په داسې‬ ‫حال کې چې وخت يعنې ‪ t‬د مستقل متحول په توگه په عمودي محور او د ‪ x‬محور اړوند متحول يا‬ ‫وهل شوي واټن افقي محور په پام کې ونيسو د هغو ګراف رسم کړئ‪.‬‬ ‫)‪ f(x‬وجود لري؟‬ ‫● ايا ويلي شئ چې د هر راکړ شوي وخت لپاره يو ځانګړې واټن‬ ‫‪x‬‬ ‫متحول قيمتونه‬ ‫● که چېرې په پورته رابطه کې ‪ t‬يو مستقل متحول وي په دې‪-3‬حالت کې د اړوند ‪-2‬‬ ‫پيدا کړئ‪.‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه الندې تعريف الس ته راوړو‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪9‬‬ ‫اړيکې برقراروي‪ .‬داسې چې د لومړي‬ ‫تابع له هغې رابطې څخه عبارت ده چې د دوو سيټونو ترمنځ‬

‫سټ د تعريف د‬ ‫تقابل وکړي‪ .‬لومړی ‪-6‬‬ ‫سټ هر عنصر يوازې او يوازې‪ ،‬د دوم سټ له يوه عنصر سره‪-11‬‬

‫ناحيې (‪ )Domain‬په نامه او دويم سټ د قيمتونو د ناحيې يا (‪ )Codomain‬په نامه ياديږي‪.‬‬

‫‪57‬‬

‫)‪f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪20sec 25sec 30sec‬‬

‫‪10sec 15sec‬‬

‫‪5sec‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬مثال‪ :‬د ‪ x=-6 ، 4 ، 1 ، -2‬قميتونو په واسطه وښاياست چې ‪ f ( x ) = 2x + 1‬يوه تابع ده‪.‬‬ ‫حل‪ :‬په تابع کې د راکړل شوو قيمتونو په اېښودلو سره د) ‪ f ( x‬قيمتونه په الندې ډول په الس‬ ‫راځي‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪20sec 25sec 30sec‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪10sec‬‬ ‫‪-2 15sec‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-11‬‬

‫)‪f(x‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪5sec‬‬

‫‪t‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪f ( x ) = 2x + 1‬‬ ‫‪f (−2) = 2(−2) + 1 = −3‬‬ ‫‪f (1) = 2(1) + 1 = 3‬‬ ‫‪f (4) = 2(4) + 1 = 9‬‬ ‫‪f (−6) = 2(−6) + 1 = −11‬‬

‫ليدل کيږي چې د مستقل متحول د مختلفو قيمتونو لپاره مختلف تصاوير وجود لري نو پورتني افاده‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫يوه تابع ده‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫شکل ولري يا په بل عبارت هره خطي رابطه د تابع په نامه‬ ‫هره الجبري افاده چې‪ 2‬د ‪4 y = ax + b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ياديږي‪.‬‬ ‫‪2‬مثال‪ :‬که چېرې د ‪ 9 ،43‬او ‪ 16‬قيمتونه د‪ f ( x ) = ± x 9‬افادې لپاره درکړل شوي وي‪ ،‬ايا ‪ f‬يوه‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-11‬‬ ‫تابع ده او که نه؟ ‪-3‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ f (4x ) = ± x‬په افاده کې د ‪16‬‬ ‫متحول د قيمتونو په اېښودلو سره د (‪ f)x‬قيمتونه په الس‬ ‫‪-4‬‬ ‫راړو‪:‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪16‬‬

‫‪f (x) = ± x‬‬

‫‪f (4) = ± 4 = ±2‬‬ ‫‪f (9) = ± 9 = ±3‬‬ ‫‪f (16) = ± 16 = ±4‬‬

‫په پورته شکل کې ليدل کيږي چې د ‪ x‬د سټ دهر عنصر لپاره د ) ‪ f ( x‬په سټ کې دوه قيمتونه‬ ‫دي‪ ،‬نو له دې امله د تابع تعريف له مخې ‪ f‬يوه تابع نه ده خو يوه رابطه ده‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫آيا د ‪ f ( x ) = x‬تابع د ‪ 3 ،2 ،1 ،0‬او ‪ -3‬درکړل شوو قيمتونو لپاره يوه تابع ده؟‬

‫‪58‬‬

‫د څلورم فصل مهم ټکي‬ ‫ که چيرې د مجهولونو په ځينو قيمتونو سره د مساوات دواړه خواوې سره مساوي شي دا ډول‬‫مساوات ته معادله يا شرطيه مساوات وايې‪.‬‬

‫ که چيرې د معادلې له دواړو خواوو سره مساوي عددونه جمع او يا ترې تفريق کړو‪ ،‬بيا هم معادله‬‫په خپل حالت پاتې کيږي‪.‬‬

‫ معادلې معادلې‪ :‬هغه معادلې چې مساوي جذر يا جذرونه لري‪ ،‬معادلې‪ ،‬معادلې بلل کيږي په يوه‬‫معادله باندې د الجبري ساده عمليو په سرته رسولو سره معادلې‪ ،‬معادلې منځ ته راځي چې د لومړى‬ ‫معادلې سره مساوى حل لري‪.‬‬

‫‪ -‬که چيري وکوالى شو ورځني حسابي پوښتنې د يوې الجبري معادلې په ډول ترتيب کړو او د هغې‬

‫څخه په استفادې سره معادله حل او جذرونه يې پيداکړو دا پړاوونه د معادلې جوړول دې چې د هغې‬ ‫حل موږ ته راکوي‪.‬‬

‫‪ -‬رابطه‪ :‬که چيرې د دووشيانو‪ ،‬جسمونو ياد دوو سيټونو د عناصر وترمنځ د رياضي د عمليو په واسطه‬

‫او يا د کومو ټولنيزو اړيکو د تړون له مخې شتوالى ولري رابطه بلل کيږي‪.‬‬

‫‪ -‬تابع‪ :‬له هغې رابطې څخه عبارت ده چې د دوو سيټونو د عناصرو ترمنځ اړيکې برقراروي‪ .‬داسې‬

‫چې د لومړي سټ هر عنصر يوازې او يوازې‪ ،‬د دوم سټ له يوه عنصر سره تقابل وکړي‪ .‬لومړی‬

‫سټ د تعريف د ناحيې (‪ )Domain‬په نامه او دويم سټ د قيمتونو د ناحيې يا (‪)Codomain‬‬ ‫په نامه ياديږي‪.‬‬

‫‪59‬‬

‫د څلورم فصل پوښتنې‬ ‫• د الندې هرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه ورکړل شوي دي‪ .‬له هر سم ځواب څخه کرښې‬

‫تاوکړئ‪.‬‬

‫‪ -1‬د ‪ 10 + x = 18‬معادلې حل عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪d) 4‬‬

‫‪c) 2‬‬

‫‪b) 8‬‬

‫‪a) − 8‬‬

‫‪ -2‬د يوې معادلې د حل پړاوونه عبارت دي له‪:‬‬

‫‪ )b‬د مجهول ټاکل او نوم ايښودل‬

‫‪ )a‬تحليل او درک‬

‫‪ )d‬پورته ټول صحيح دي‪.‬‬

‫‪ )c‬د مجهول پيداکول او آزمول‬

‫‪ .3‬د ‪ 3x − 6 = 3‬معادلي معادل عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪3x − 2 = 1 (a‬‬

‫‪(b‬‬

‫‪x − 2 = 1 (c‬‬

‫‪ )d‬يوهم نه دى‬

‫‪ .4‬الندې معادلې حل کړئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x+‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪x−2=3‬‬

‫‪c) 7 x − 2 = 19‬‬

‫‪b) 6 x − 6 = 6‬‬

‫‪a) t + 4 = 8‬‬

‫• الندې پوښتنې حل کړئ‪:‬‬

‫‪ .1‬که چيرې د يوه عدد له ‪ 5‬برابره څخه ‪ 2‬تفريق شي‪ ،‬مساوي له ‪ 3‬کيږي‪ ،‬عدد کوم دی؟‬

‫‪ .2‬که چيرې د يوه عدد په نيمايې باندې ‪ 4‬ورزيات کړوله ‪ 8‬سره مساوي کيږي‪ ،‬عدد کوم دی؟‬

‫‪ .3‬د }‪ A = {1,2,3,4‬او}‪ B = {5,6,7,8‬سيټونو د عناصرو تر مڼځ يوه اړيکه يا رابطه د گراف‬

‫په واسطه رسم کړئ‪.‬‬

‫‪ .4‬عبدااهلل له خپل پالر څخه ‪ 25‬کاله کوچنى دی که چيرې د عبداهلل او پالر د عمرونو مجموعه‬ ‫‪ 41‬کاله وي‪ ،‬عبداهلل څوکلن دی؟‬

‫‪60‬‬

‫پنځم فصل‬ ‫مساحت او حجمونه‬

‫د مکعب مستطيل مساحت او حجم‬

‫ايا تر اوسه مو فکر کړئ چې يو انسان د‬ ‫نفس په کښلو هر وار د هوا څومره حجم‬ ‫خپلو سږو ته داخلوي‪.‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪l‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪G‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2‬‬

‫● مخامخ شکل په کاغذ کې رسم او قيچې يې کړئ او بيا يې په‬ ‫ټکي ټکي کرښو باندې قات کړئ‬ ‫‪2‬‬ ‫● يوبل مکعب مستطيل د ‪ 5‌ cm‬په اوږدوالى ‪ 2cm‬په سور او ‪ 3cm‬په ارتفاع سره رسم کړئ‪.‬‬ ‫● نوموړى مستطيلي مکعب څو راسونه‪ ،‬څو ضلعې او څو سطحې لري؟ هر يو يې وشمېرئ‪.‬‬ ‫● د جانبي (اړخو) سطحو مساحت فرمولونه‪ ،‬چې هره سطح يې مستطيل دى‪ ،‬پيدا يې کړئ‪.‬‬ ‫● نوموړى مستطيلي مکعب څو قاعدې لري؟ نومونه يې واخلئ‪.‬‬ ‫● د هغه د قاعدې د مساحت فورمول پيدا کړئ‪.‬‬ ‫● د مساحتونو د مجموع په کارولو سره د مستطيلي مکعب د ټول مساحت فرمول وليکئ‪.‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه پيدا کوالى شو‪ ،‬چې‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫مکعب مستطيل يو منظم هندسې شپږ وجهې جسم دى چې ټولې وجهې يې مستطيل شکل دي‪،‬‬ ‫او د هرې وجهې مقابل مساحتونه دوه په دوه مساوي‪ ،‬موازي او ټولې زاويې يې قايمه دي‪ .‬که چېرې‬ ‫د مکعب مستطيل اوږدوالى په ‪ ،l‬سور يې په ‪ w‬او ارتفاع (جګوالى) يې په ‪ h‬سره وښيو‪ ،‬څرنګه‬ ‫چې مکعب مستطيل شپږ سطحې لري او د جانبي سطحې‬ ‫‪F‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪w‬‬ ‫مساحت يې په الندې ډول دى‪:‬‬ ‫‪H h‬‬ ‫‪E‬‬ ‫) ‪S = 2( w ⋅ h + h ⋅ l‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪B‬‬ ‫دقاعدو مساحت يې مساوي دی له‪B = 2 w ⋅ l :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪63‬‬

‫‪ A = w l + l h + wh + w l + l h + wh‬کلي مساحت يې‬ ‫او يا ) ‪ A = 2( l w + l h + wh‬د مکعب مستطيل کلي مساحت‬

‫هغه مکعب مستطيل‪ ،‬چې ټولې ضلعې يې يوه له بلې سره مساوي وي‪ ،‬مکعب بلل کيږي‪ .‬که چېرې‬ ‫مساحت يې په ‪ A‬سره وښيو‪ ،‬لرو چې‪:‬‬ ‫‪ A = a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2‬د مکعب کلي مساحت‬ ‫او يا‪:‬‬ ‫‪A = 6a 2‬‬ ‫هغه مکعب چې اوږدوالى‪ ،‬سور او ارتفاع يې يو واحد وي‪ .‬واحد مکعب بلل کيږي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د مکعب مستطيل کلي مساحت پيدا کړئ‪ ،‬په داسې حال کې چې اوږودوالى يې‬ ‫‪ ،5cm‬سور يې ‪ 3cm‬او ارتفاع يې ‪ 4cm‬وي‪.‬‬ ‫‪w=3‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪l = 5cm‬‬ ‫‪w = 3cm‬‬ ‫‪h = 4cm‬‬

‫‪h=4‬‬

‫‪w=3‬‬ ‫‪h=4‬‬ ‫‪L=5‬‬

‫)‪l = 3 A = 2( l w + l h + wh ) = 2(5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4‬‬ ‫)‪A = 2(15 + 20 + 12) = 2(47‬‬

‫‪ A = 94cm 2‬كلي مساحت‬

‫‪3‬‬

‫دويم مثال‪ :‬که چېرې د يوه مکعب کلي مساحت ‪ 54cm2‬وي‪ ،‬ددې مکعب د يوې ضلعې‬ ‫اوږدوالى پيدا او رسم يې کړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6a 2 = 54 cm2‬‬ ‫‪a = 3cm‬‬

‫‪A = 6a 2‬‬ ‫‪54‬‬ ‫= ‪a2‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫● د واحد مکعبونو په درلودلو‪ ،‬مکعب مستطيل چې اوږدوالى يې ‪ ، 3cm‬سور يې ‪ 2cm‬او ارتفاع‬ ‫يې ‪ 2cm‬وي‪ ،‬رسم کړئ‪.‬‬

‫‪64‬‬

‫● د څو واحده مکعبونو په درلودلو سره کوالى شو دا مکعب مستطيل ډک کړو‪ .‬د جوړ شوي شکل‬ ‫حجم څومره دى؟‬ ‫● د مکعب مستطيل د اوږدوالي‪ ،‬سور او ارتفاع ترمنځ څه ډول اړيکې شته چې د هغه په واسطه يې‬ ‫حجم پيدا کړو؟‬ ‫● آيا کوالى شى د مکعب مستطيل دحجم د محاسبه کولو لپاره فارمول وښاياست؟‬

‫له پورتني فعاليت څخه پوهيږو چې‪:‬‬ ‫د هغه مکعب مستطيل حجم چې اوږدوالى يې ‪ ،L‬سور يې ‪ w‬او ارتفاع يې ‪ h‬وي مساوي دى له‪:‬‬ ‫‪ v=L×w× h‬د مکعب مستطيل حجم‬ ‫‪ V = a × a × a = a 3‬د مکعب حجم‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د مخامخ مکعب حجم پيدا کړئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪V = a × a × a = a3‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪V = 1.5 × 1.5 × 1.5‬‬ ‫‪ V = 3.375cm3‬د مکعب حجم‬ ‫دويم مثال‪ :‬د يوه مکعب مستطيل حجم ‪ 24‬متر مکعب او د قاعدې مساحت يې ‪ 8‬متر مربع دى‬ ‫ددې مکعب مستطيل ارتفاع څو متره ده‪.‬‬ ‫‪ v=l×w× h‬د مکعب مستطیل حجم‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪24 = 8 × h‬‬ ‫‪h = 24 ÷ 8 = 3 m‬‬ ‫تاسو پوهيږ ئ په هر مکعب مستطيل کې هغه ټوټه خط چې د مکعب مستطيل دوه مخامخ راسونه‬ ‫يو له بل سره نښلوي د مکعب مستطيل قطر بلل کيږي‪ .‬ددې د الس ته راوړلو لپاره الندې فعاليت‬ ‫سرته ورسوئ‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫●‬ ‫●‬ ‫●‬

‫‪65‬‬

‫په درکړ شوي شکل کې ‪ BE , AB‬او ‪ EB‬اوږدوالي په ترتيب سره ‪ b,a‬او ‪ c‬ونوموئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬راس له ‪ C‬او د ‪ C‬له ‪ B‬سره ونښلوى‪ ،‬تر څو يو قايم الزاويه مثلث جوړ شي‪.‬‬ ‫په شکل کې د ‪ ABC‬د قايم الزاويه مثلث وتر ‪ AC‬دى‪ ،‬د ‪ AC‬د پيدا کولو لپاره د فيثاغورث‬

‫له قضيې څخه کار واخلئ‪.‬‬ ‫● څرنګه چې د يو مکعب مستطيل ټولې سطحې مستطيلي‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫نو‪BE = DC :‬‬ ‫دي او يو پر بل باندې انطباق منونکي دي‪= ?،‬‬ ‫‪B‬‬ ‫● همدارنګه د ‪ BCD‬په قايم الزاويه مثلث کې ‪ BC‬وتر دى‪.‬‬ ‫د فيثاغورث دقضيې په کارولو سره د ‪ BC‬اوږدوالى پيدا او په مخکنۍ رابطه کې د ‪ BC‬په ځاى‬ ‫کښيږدئ‪.‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه لرو‪:‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪AC 2 a 22+ b 222 + c22‬‬ ‫‪AC  a + b + c‬‬

‫که چېرې په يوه مکعب مستطيل کې ‪ a=b=c‬وي‪ ،‬نو د مکعب قطر په الس راځي‪.‬‬ ‫‪AC 2 a 22 a 22 a 2  2 3a 2‬‬ ‫‪AC  a 3‬‬ ‫‪AC  a  a  a  3a‬‬ ‫‪AC  a 3‬‬

‫مثال‪ :‬د مکعب مستطيل د قطر اوږدوالى پيدا کړئ چې ابعاد يې په ترتيب ‪3cm ، 2cm‬‬ ‫او ‪ 6cm‬وي‪.‬‬

‫حل‪ :‬که چېرې ‪ b = 3cm , a = 2cm‬او ‪ c = 6cm‬ووايو‪ ،‬د ‪ AC‬د قطر اوږدوالى په‬ ‫الس راوړو‬ ‫‪AC = a 2 + b 2 + c 2 = 2 2 + 32 + 6 2 = 4 + 9 + 36 = 49 = 7cm‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د ډبرو د يوه ديوال اوږدوالى ‪ ،60cm‬سور يې ‪ 30cm‬او ارتفاع يې ‪ 120cm‬ده‪ .‬د هغه حجم‬ ‫په سانتي متر مكعب سره پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چېرې د يوه مکعب اوږدوالی‪ ،‬سور او ارتفاع يې ‪ 3‬برابره شي‪ ،‬د مکعب حجم څو برابره‬ ‫کيږي؟‬ ‫‪ - 3‬دالندې مکعب مستطيلونو حجم او کلي مساحت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ - 4‬که چېرې ديوه مکعب اوږدوالى‪ ،‬سور او ارتفاع دوه برابره کړو‪ ،‬د هغه د قطر اوږدوالى څه ډول‬ ‫بدلون مومي‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫د منشور مساحت او حجم‬

‫‪Surface Area and Volume of Prisms‬‬ ‫ايا تر اوسه مو فکر کړى دئ د ژوند کولو‬ ‫خيمه څه ډول هندسي شکل لري؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫مخامخ شکل په درکړل شوو اندازو سره په يوه کاغذ باندې رسم کړئ‪ .‬د‬ ‫کاغذ له شکل څخه د پريکولو او جال کولو وروسته جال شوې ټوټې په‬ ‫ترتيب يو د بل تر څنګ داسې کښيږدئ چې ونښلول شي‪.‬‬ ‫● جوړ شوى شکل کوم هندسي شکل دى؟‬ ‫● په پورتنۍ شکل کې څو سطحې او څو قاعدې ليدالى شى؟‬ ‫● د پورتنيو هر يوه مساوي مستطيلونو مساحت په الس راوړئ ‪.‬‬ ‫● د پورته دوو قاعدو د مثلثونو مساحت پيدا کړئ‪.‬‬ ‫● د پورته دوو الس ته راغلي مساحتونو مجموعه څه شى راښيي؟‬

‫‪10cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫له پورته فعاليت څخه پيدا کوالى شو چې‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫منشور يو هندسي منظم جسم دى چې مخامخ جانبي سطحې يې يوه له بلې سره مساوي اوموازي‬ ‫دي اود مخامخ جانبي سطحو زاويې يو پر بل باندې انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫څرنګه چې هر سطح يې مستطيل شکل دی‪ ،‬نو ټول يې د منشور جانبي سطحې بلل کيږي‪.‬که‬ ‫د قاعدې محيط د هغه په ارتفاع کې ضرب کړو د جانبي سطحو مساحت په الس راځي چې د‬ ‫ټولو جانبي سطحو مساحت او د دوو قاعدو د مساحت د جمع کولو څخه د منشور کلي مساحت‬ ‫السته راځي‪ .‬که چېرې د منشور سطحې پر قاعده باندې عمود وي‪ ،‬هغه ته قايم منشور ويل کيږي‪.‬‬

‫‪67‬‬

‫منشورونو ته د قاعدو د څو ضلعې شکل له مخې نوم ورکول کيږي‪.‬‬

‫‪ 6‬ضلعې منشور‬

‫‪ 5‬ضلعې منشور ‬

‫‪ 3‬ضلعې منشور‬

‫‪ 4‬ضلعې منشور ‬

‫خپل او د خپل ټولګيوالو د رياضي کتابونه واخلئ او په الندې توګه يې يو پر بل باندې کيښږدي‪ ،‬جوړ‬ ‫شوى شکل يو مستطيل القاعده منشور يا مکعب مستطيل دى‪ .‬د کتابونو د مکعب مستطيل حجم‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪ 3cm‬ځاى چې‬ ‫مساوي دى‪ .‬د قاعدې مساحت ضرب په ارتفاع کې‪ .‬که چېرې اوس د رياضي کتابونو په‬ ‫‪3cm‬راځي‪.‬‬ ‫‪ 3cm‬الس ته‬ ‫‪3cm‬القاعده منشور‬ ‫مستطيل شکل دى‪ ،‬خپل گونياګانې يو پر بل باندې کښيږدئ يو مثلث‬ ‫‪3cm‬‬ ‫چې ددې شکل حجم هم د قاعدې د مساحت او ارتفاع له ضرب سره مساوي دى‪V=B× h .‬چې په‬ ‫هغه کې ‪ B‬د قاعدې مساحت او ‪ h‬ارتفاع ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د مثلث القاعده منشور کلي مساحت او حجم پيدا کړئ په داسې حال‬ ‫ضلعې اوږدوالى‬ ‫کې چې قاعده يې يو متساوي االضالع مثلث چې د هرې‪3cm‬‬ ‫‪ 2cm‬او ارتفاع يې ‪ 4cm‬دی‪.‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫حل‪:‬په لومړي ګام کې د منشور د قاعدې د مثلث ارتفاع يعنې ‪ AH‬پيدا‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫کوو‪:‬‬ ‫‪AH = AC − CH ⇒ AH = (2 2 ) − (1) 2 ⇒ AH = 3 cm‬‬ ‫ ‬ ‫’‪A‬‬ ‫‪ = 2 × 4 = 8cm 22‬دهرې جانبي سطحې مساحت‬ ‫‪= 2 × 4 = 8cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫=‬ ‫‪cm 22‬‬ ‫‪ == 332×××884===24‬د درېو جانبي سطحو مساحت‬ ‫‪24‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫’‪c‬‬ ‫’‪C‬‬ ‫‪A’ 4 A‬‬ ‫‪= 13 × 8 = 24cm 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3 B’ 2‬‬ ‫‪ == 1 ×× 22 33 == 33cm2‬دمنشورد قاعدې مساحت‬ ‫‪C‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A B‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪H2‬‬ ‫‪2 ×2 3 = 3‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3cm C‬‬ ‫‪H‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3 2‬‬ ‫‪ = 2 3 cm‬د دواړو قاعدو مساحت‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫د قاعدو ‪2 +3 2 3‬‬ ‫مساحتونه = ‪3‬‬ ‫‪== 24‬‬ ‫ټول مساحت‬ ‫دجانبي سطحو‬ ‫مساحتونه ‪= 24 ++‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫مساحت‬ ‫ټول‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪V = B ⋅ h = 4 3 cm3‬‬ ‫’‪A‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫’‪C‬‬

‫‌‪ -1‬دمخامخ منشورونو کلي مساحت او حجم حساب کړئ‬ ‫په داسې حال کې چې‪:‬‬ ‫’‪c‬‬ ‫‪= 12.92cm 2 S ( ABC ) = 3cm 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫) ‪( ABCDE‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪C‬‬

‫’‪A’D‬‬

‫‪C3 4‬‬

‫‪D2 S‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3cm‬‬ ‫‪2.3‬‬

‫’‪B‬‬ ‫’‪E‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪B‬‬

‫’‪B‬‬

‫‪3 E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪A‬‬

‫‪68‬‬

‫‪B‬‬ ‫’‪C‬‬

‫’‪c‬‬ ‫’‪B‬‬

‫’‪C‬‬ ‫‪A’ 4‬‬ ‫’‪3 B’ 2 A‬‬ ‫‪CA‬‬

‫’‪B‬‬

‫’‪B‬‬

‫د استوانې مساحت او حجم‬ ‫ډېر هغه وسايل چې په ورځني ژوند کې‬ ‫ورسره مخامخ کېږو‪ ،‬استوانه يي شکلونه‬ ‫دي لکه د اوبو ګيالس‪ ،‬د اوبو نل او‬ ‫نور‪...‬‬ ‫ايا کوالى شئ د څو استوانه يي شکلو‬ ‫شيانو نومونه واخلئ؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫د يوې قايمې استوانې د ارتفاع اوږدوالى ‪ 5cm‬او د قاعدې شعاع يې ‪ 2cm‬ده‪ ،‬د ارتفاع په اوږدوالي‬ ‫استوانه خالصه او رسم يې کړئ‪.‬‬ ‫● د الس ته راغلي مستطيل اوږدوالى او سور څومره دى؟‬ ‫● د مستطيل مساحت الس ته راوړئ‪.‬‬ ‫● ددې مستطيل مساحت د استوانې د جانبې سطحې له مساحت سره څه ډول اړيکې لري؟‬ ‫● د استوانې د هرې قاعدې مساحت په داسې حال کې په الس راوړئ چې د قاعدې شعاع يې ‪ 2cm‬وي؟‬ ‫● د استوانې کلي مساحت حساب کړئ‪.‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه ويالى شو‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫قايمه استوانه له دوو انطباق منونکو دايروي قاعدو او يوې جانبې سطحې څخه چې پر قاعدو باندې‬ ‫عمود ده‪ ،‬جوړه شوي ده‪ .‬که چېرې د هغې ارتفاع په ‪ h‬او د قاعدې شعاع يې په ‪ r‬سره وښيو‪ ،‬نو د‬ ‫هغې ټول مساحت په ‪ A‬سره ښيو‪:‬‬ ‫‪ s = 2πr ⋅ h‬د جانبي سطحې مساحت‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = 2πr‬د دوو قاعدو مساحت‬ ‫‪ A = 2π r 2 + 2π r × h‬د استوانې کلي مساحت‬ ‫)‪A = 2π r (r + h‬‬ ‫‪π = 3.14‬‬

‫‪69‬‬

‫‪h‬‬

‫‪r‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د مخامخ استوانې مساحت حساب کړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪A = 2π r (r + h) = 2 × 3.14(6)(6 + 12‬‬ ‫)‪A = 6.28 × 6(18) = 37.68(18‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪12cm‬‬

‫‪A = 678.24cm 2‬‬ ‫يادونه‪ :‬د منشور د حجم د پيدا کولو لپاره مو لومړۍ د قاعدې مساحت پيدا او بيا هغه په ارتفاع کې‬ ‫ضربوو د استوانې د حجم د پيدا کولو لپاره هم لومړى د دايروي قاعدې مساحت پيدا او بيا هغه په‬ ‫ارتفاع کې ضربوو که چېرې د استوانې حجم په ‪ V‬سره وښيو‪ ،‬نو لرو چې‪V = π r 2 × h :‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬که چېرې د يوه ‪ 4‬سلندره ماشين حجم‪ ،‬چې د هر سلندر قطر يې ‪ 8cm ،‬دى له‬ ‫‪ 1600cm3‬سره مساوي وي‪ ،‬د هر سلندر ارتفاع څومره ده؟‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې ‪ V=1600cm3 ، r=4cm‬دي‪ ،‬نو ?=‪ ، h‬له فارمول څخه په کار اخيستنې‬ ‫سره د ‪ 4‬سلندرو لپاره لرو‪:‬‬ ‫ ‬ ‫) ‪v = (4πr 2 ⋅ h‬‬ ‫) ‪1600 = 4(16π ⋅ h ) = 4(16 ⋅ 3.14 ⋅ h‬‬ ‫‪1600 = 200.96h‬‬

‫‪⇒ h = 7.96cm‬‬

‫‪1600‬‬ ‫‪= 7.96cm‬‬ ‫‪200.96‬‬

‫=‪h‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬دالندې هرې يوې استوانې کلي مساحت او حجم حساب کړئ‪:‬‬ ‫‪8cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪5in‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪5in‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪20cm‬‬

‫‪ -2‬که چېرې د يوې استوانې د قاعدې شعاع ‪ 3‬برابره شي د هغې په حجم کې څومره بدلون راځي؟‬ ‫‪ -3‬د اوبو ذخيره چې استوانه يې شکل لري‪ ،‬د قاعدې شعاع يې ‪ 40cm‬او ارتفاع يې ‪120cm‬‬ ‫دي‪.‬د اوبو په ذخيره کې څومتره مکعبه اوبه ځاييږي؟‬ ‫‪ -4‬که چېرې د ېوې استوانې ارتفاع دوه برابره شي د جانبي سطحې اندازه يې څومره بدلون مومي؟‬

‫‪70‬‬

‫د هرم مساحت او حجم‬ ‫ايا تر اوسه مو فکر کړى چې مصريانو‬ ‫د مصر هرمونه په څو کلونو کې جوړ‬ ‫کړي دي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫● مخامخ شکل د کاغذ پر مخ رسم کړئ‪.‬‬ ‫● که چېرې د مثلثونو راسونه يو له بل سره ونښلوئ‪ ،‬څه ډول شکل په‬ ‫الس راځي؟‬ ‫● هر يو مثلث په نقطه چين نقطو کې قات کړئ‬ ‫● آيا د شکل له مخې کوالى شئ د هرم د جانبي سطحو د مساحت د‬ ‫پيدا کولو لپاره يوه طريقه بيان کړئ؟‬ ‫‪P‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه لرو‪ ،‬چې‪:‬‬ ‫تعريف‪ :‬هرم يو هندسي څو وجهي شکل دى چې قاعده يې مضلع او جانبي‬ ‫سطحې يې مثلثونه دي او يو ګډ (مشترک) راس لري‪.‬‬ ‫‪ S= 1 n.b.l‬د جانبي سطحو مساحت‬ ‫‪2‬‬ ‫دلته ‪ n‬د قاعدې د ضلعو شمېر‪ b ،‬د هغه مثلث قاعده ده چې جانبي‬ ‫ارتفاع ورباندې رسم کيږي او ‪ l‬جانبي ارتفاع ده‪ .‬د هرم ارتفاع له هغه ټوټه‬ ‫‪ h‬ارتفاع‬ ‫خط څخه عبارت ده چې د هرم له راس څخه د هغه په قاعده باندې‬ ‫عمود وي‪.‬‬ ‫د جانبي سطحو مساحت ‪ +‬د قاعدې مساحت= د هرم کلي مساحت‬ ‫يا ‪A=B+S‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫مثال‪ :‬په مخامخ شکل کې د هرم اوږدوالى‪ ،‬سور او جانبي ارتفاع‬ ‫درکړل شوي دي دهغه کلي مساحت پيدا کړئ‪:‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪71‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P‬‬

‫‪l‬‬

‫‪P‬‬

‫‪8cm‬‬

‫حل‪ :‬پوهيږو چې دهرم قاعده مستطيلي ده او څلور ضلعې لري‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ S = ⋅ 4 ⋅ 8cm ⋅ 10cm , S = 160cm 2‬د هرم د جانبي سطحو مساحت‬ ‫‪=8cm.5cm=40cm2‬د هرم د قاعدې مساحت‬ ‫‪=A=S+B= = 160cm 2 + 40cm 2 = 200cm 2‬د هرم کلي يا ټول مساحت‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● درې تختې کاغذونه په پام کې ونيسئ او الندې شکل په هر يوه کې رسم کړئ‪.‬‬

‫● درې واړه د سپينو تختو کاغذونه پړيکړئ او له هغو څخه درې هرمونه جوړ کړئ‪.‬‬ ‫● جوړ شوي هرمونه يو د بل تر څنګه داسې کيږدى چې يو مکعب په الس راشي‪.‬‬ ‫● د هرم اومکعب حجمونه يو له بله سره پرتله کړئ‪.‬‬

‫له پورته فعاليت څخه لرو‪ ،‬چې‪:‬‬ ‫د مکعب مستطيل حجم د هرم د حجم ‪ 3‬برابره دى‪ ،‬نو د هرم حجم د مکعب مستطيل دحجم‬ ‫يو درېمه دى‪.‬‬

‫‪72‬‬

‫د هرم حجم = ‪ 1‬د مکعب مستطيل د حجم‬ ‫‪3‬‬

‫نو که چېرې د هرم حجم په ‪ ، V‬ارتفاع يې په ‪ h‬او د قاعدې مساحت يې په ‪B‬‬ ‫سره وښيو‪ ،‬نو د هرم حجم مساوي دى له‪:‬‬

‫‪h‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪V = B⋅h‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال‪ :‬په الندې مربع القاعده هرم کې د مثلث د ضلعې اوږدوالى او ارتفاع درکړل شوي دي‪ ،‬د هرم‬ ‫کلي يا ټول مساحت او حجم حساب کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې د هرم قاعده مربع ده‪ ،‬نو مساحت يې عبارت دى‪.‬‬ ‫‪ B = a 2 ⇒ B = 12 ⋅ 12 = 144cm 2‬د قاعدې مساحت‬ ‫∆‬

‫اوس د ‪ AHP‬په قايم الزاويه مثلث کې ‪ PH‬چې د ‪ APC‬مثلث ارتفاع ده‪ ،‬په الس راوړو‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫‪28 D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a = 12cm‬‬ ‫‪12cm‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪PA = AH + PH‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10 2 = 6 2 + PH = 100 − 36 = 64 ⇒ PH = 8cm‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دي‪.‬نو‪S = :‬‬ ‫شوې × ‪(B‬‬ ‫د هرم څلور واړه سطحې له مساوي مثلثونو څخه جوړې ) ‪h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪S = 4 × (12 × 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 2(96) = 192cm 2‬‬

‫‪ A = 192 + 144 = 336cm 2‬د هرم کلي مساحت‬

‫‪73‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪144⋅⋅ 28‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪V == ⋅144‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = ⋅144cm 2 ⋅ 5.29cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = ⋅ 761.76cm3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V = 253.92cm3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د هغه هرم حجم پيدا کړئ چې قاعده يې مربع او د مربع د ضلعې اوږدوالى ‪ 40m‬او د هرم‬ ‫ارتفاع ‪ 27m‬وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬يوه خېمه د مربع القاعده هرم شکل لري په دې خيمه کې څو متره مکعب هوا وجود لري؟ په‬ ‫دې صورت کې چې د مربع د ضلعې اوږدوالى ‪ 7m‬او د هرم ډوله خيمې ارتفاع ‪ 5m‬وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬د الندې شکلونو هر يوه حجم پيدا کړئ‪:‬‬

‫‪18cm‬‬

‫‪11cm‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪h‬‬

‫‪h‬‬

‫‪6cm‬‬ ‫‪12cm‬‬

‫‪14cm‬‬

‫‪10cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪74‬‬

‫د مخروط مساحت او حجم ‬ ‫ايا تر اوسه مو فکر کړى دى چې يو‬ ‫مخروط د کوم ډول مثلث د يوې ضلعې‬ ‫په شاوخوا له دوران څخه منځ ته راځي؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫قايم مخروط داسې جسم دى چې په يوه قايمه ضلعه باندې د يوه قايم الزاويه مثلث له دوران څخه‬ ‫السته راځي‪ ،‬هغه ټوټه خط چې د مخروط راس د هغه د قاعدې له مرکز سره نښلوي د مخروط محور‬ ‫بلل کيږي‪ .‬که چېرې محور په قاعدې باندې عمود وي قايم مخروط دی له هغه پرته مايل مخروط بلل‬ ‫کيږي د مخروط مساحت د الندې فرمول په واسطه په الس راځي‪ B = πr 2 :‬د قاعدې مساحت‬ ‫‪ S = πr ⋅ l‬جانبي سطحې مساحت‬ ‫) ‪A = πr 2 + πr ⋅ l = πr( r + l‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪ l‬د مخروط د مولد اوږدوالی دی‬

‫● يو استوانه يي ډوله او يو مخروطي ډوله جسمونه چې قاعدې يې يوه له بلې سره مساوي وي‪ ،‬له کاغذ‬ ‫څخه جوړ کړئ‪ ،‬مخروطي جسم له ريګ څخه ډک او په استوانه يي جسم کې تش يعنې واچوئ‪.‬‬ ‫● د څو ډکو مخروطونو په واسطه استوانه يي جسم په بشپړه توګه ډکيږئ‪.‬‬ ‫● د استوانې او مخروط حجمونه يوله‪1‬بل سره څه ډول اړېکې لري؟‬ ‫=‪V‬‬

‫الس راځي‪:‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه الندې پايله په ‪3‬‬ ‫ليدل کيږي چې د استوانې حجم د مخروط ‪ 3‬برابره دى‪ ،‬نو د مخروط حجم د استوانې د حجم يو‬ ‫درېمه دى‪،‬‬ ‫د استوانې حجم ‪ V = 12‬د مخروط حجم‬ ‫‪A = πr3 + πr × l‬‬

‫څرنګه چې‪:‬‬

‫‪ πr 2 h‬د استوانې حجم دى‬

‫‪A = πr 2 +‬‬ ‫‪1 πr × l‬‬ ‫نو د مخروط حجم يعنې‪V = πr 2 × h :‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪75‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪V = πr2 2 × h‬‬ ‫‪A =3πr + πr × l‬‬

‫محور‬

‫‪l‬‬

‫‪h‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د غنمو يو درمند د مخروط شکل لري چې ارتفاع يې ‪ 1.5m‬او د قاعدې قطر يې‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1.5m‬‬ ‫‪ 3m‬دى‪ .‬د هغه کلي مساحت پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪h = 1.5m‬‬ ‫حل‪, d = 3m , r = 1.5m :‬‬ ‫څرنګه چې د مخروط قاعده دايروي ده‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪3m‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ = πr 2 = 3.14(1.5) 2 = 7.065m 2‬د قاعدې مساحت‬ ‫اوس د جانبي سطحې د مساحت د پيدا کولو لپاره بايد د قايم الزاويه مثلث وتر پيدا کړو‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪SA = OA + OS‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪SA = (1.5m) 2 + (1.5m) 2 = 4.5m 2‬‬ ‫‪SA = 2.12 l = 2.12‬‬ ‫‪S = π r l = 3.14 × 1.5 × 2.12‬‬ ‫‪S = 4.17 × 2.12 = 9.9852m 2‬‬ ‫‪ = 7.065 + 9.9852 = 17.0502 m 2‬جانبي مساحت ‪ +‬د قاعدې مساحت =کلي مساحت‬

‫درکړ شوو‪1‬قيمتونو له مخې حساب کړئ‪:‬‬ ‫حجم د‬ ‫دويم مثال‪ :‬د‪2‬الندې مخروط ‪1‬‬ ‫‪V h= = 15‬‬ ‫)‪π rft2 × h =, × 3.14(10‬‬ ‫‪r = 10 ft× 15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15ft‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪VV == 3π× r3.14‬‬ ‫)‪× h×=100××3.14(10‬‬ ‫‪× 15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10ft‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1570‬‬ ‫‪VV == 1××4710‬‬ ‫‪=100‬‬ ‫‪( ft ) 3‬‬ ‫‪3.14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫‪33‬‬ ‫‪V =11570 ft 3‬‬ ‫‪V = × 4710 = 1570‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬د شګو يوه کوټه يا ډېړۍ مخروطي شکل لري چې ارتفاع يې ‪ 2m‬او د قاعدې قطر يې ‪ 4m‬دى‪،‬‬ ‫د شګو حجم پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬په الندې شکلونو کې د هر مخروط قاعده شعاع او ارتفاع درکړ شوي دي‪ ،‬د هر يوه حجم حساب‬ ‫کړئ‪.‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪12cm‬‬

‫‪9m‬‬

‫‪10in‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪4in‬‬

‫‪76‬‬

‫د کرې مساحت او حجم‬ ‫آيا ستاسو په چاپيريال کې داسې شکلونه‬ ‫او جسمونه شته چې دايروي يا کروي‬ ‫شکل ولري؟ نومونه يې واخلئ‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫کره داسې جسم دى چې د هغې د سطحې ټولې نقطې له يوې ثابتې نقطې څخه مساوي فاصلې‬ ‫ولري‪.‬ثابتې نقطې ته د کرې مرکز‪ ،‬له مرکز څخه د هغې تر سطحې پورې ثابتې‬ ‫فاصلې ته د کرې شعاع (‪ )r‬وايي‪ .‬که چېرې د کرې مساحت په ‪ A‬او حجم يې‬ ‫‪O‬‬ ‫‪r‬‬ ‫په ‪ V‬سره وښيو‪ ،‬نو ليکالى شو‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪ A = 4π r 2‬د کرې مساحت‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ V = π r 3‬د کرې حجم ‬ ‫‪3‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د هغې کرې د سطحې مساحت او حجم پيدا کړئ چې قطر يې ‪ 10cm‬وي‪.‬‬ ‫‪d = 10cm‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪d 10cm‬‬ ‫= =‪r‬‬ ‫‪= 5cm‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A = 4π r 2 = 4 × 3.14 × (5) 2‬‬ ‫د کرې مساحت‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 12.56 × 25 ⇒ A = 314cm‬‬

‫ ‬ ‫د کرې حجم‪:‬‬

‫‪V = 523.33cm3‬‬

‫‪77‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = π r 3 = × 3.14 × (5)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= × 3.14 × 125 = × 392.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1570‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪= 523.33cm3‬‬ ‫‪3‬‬

‫دويم مثال‪ :‬په الندې شکلونو کې د هرې کرې حجم د درکړ شوو قيمتونو له مخې پيدا کړئ‪:‬‬ ‫‪3cm‬‬

‫‪3cm‬‬

‫ ‬ ‫‪ a‬جزشکل‪:‬‬ ‫حل‪:a‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حل‪:b‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪ b‬جز شکل‪:‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = π r 3 = × 3.14 × (3)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = × 3.14 × 27 = × 84.78 ⇒ V = 113.04cm3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r=4‬‬ ‫‪, V = π r 3 = × 3.14 × (4)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = × 3.14 × 64 = × 200.96 ⇒ V = 267.946cm3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪r =3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬ديوې کرې مساحت ‪ 36π‬سانتي متر مربع دى‪.‬‬ ‫ب‪ :‬د کرې حجم حساب کړئ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الف‪ :‬ددې کرې شعاع په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬په الندې جدول کې د کرې شعاع درکړ شوې ده‪ ،‬د کرې حجم او د سطحې مساحت پيدا کړئ‬ ‫او د جدول په تشو ځايونو کې يې وليکئ‪:‬‬ ‫‪314cm‬‬

‫‪12cm‬‬

‫‪9cm‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6 × cm‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪ -3‬که چېرې د کرې شعاع‪ 2‬برابره شي‪ ،‬په حجم او مساحت کې څه ډول بدلون راځي؟‬

‫‪78‬‬

‫د پنځم فصل مهم ټکي‬ ‫● مكعب مستطيل‬ ‫مکعب مستطيل يو منظم هندسي شپږ وجهې جسم دى چې ټولې وجهې يې د مستطيل شکل لري‪،‬‬ ‫او د سطحو مخامخ زاويې يې قايمه دي‪ .‬که چېرې د مکعب مستطيل کلي مساحت په ‪ A‬او حجم‬ ‫يې په‪ V‬سره و ښيو‪ ،‬په دې صورت کې ليکالى شو‪:‬‬ ‫) ‪A = 2( L w + L h + wh‬‬ ‫‪v =L× w × h‬‬

‫● مكعب‬ ‫هغه مكعب مستطيل چې ټولې ضلعې يې يوه له بلې سره مساوي وي‪ ،‬مکعب بلل کيږي‪ .‬که چېرې‬ ‫د مکعب ضلعه په ‪ ، a‬د هغه مساحت په ‪ A‬او حجم يې په ‪ V‬سره وښيو‪ ،‬نو لرو چې‪:‬‬ ‫‪A = 6a 2‬‬ ‫‪V = a3‬‬ ‫● منشور‬ ‫منشور يو هندسي منظم جسم دى چې مخامخ سطحې يې يوه له بلې سره مساوي او موازي دي او د‬ ‫مخامخ سطحو زاويې يې يو په بل باندې انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫● استوانه‬ ‫قايمه استوانه له دوو انطباق منونکو دايروي قاعدو او له يوې جانبې سطحې څخه چې پرقاعدو باندې‬ ‫چې‪V:‬‬ ‫وښيو‪2 ×،‬نو ‪r‬لرو‪= π‬‬ ‫عمود وي‪ ،‬جوړه شوې ده‪.‬که چېرې حجم يې په ‪ V‬او مساحت يې په ‪ A‬سره ‪h‬‬ ‫)‪A = 2π r (r + h‬‬ ‫● هـرم‬ ‫‪V = π r2 × h‬‬ ‫مثلثونه‬ ‫سطحې ‪π‬يې‪A = 2‬‬ ‫جانبي ‪r (r +‬‬ ‫هرم يو هندسي څو وجهې شکل دى چې قاعده يې يوه منظمه مضلع او )‪h‬‬ ‫دي او په يوه راس کې ګډ دي‪.‬‬ ‫د جانبي سطحو مساحت ‪ +‬د قاعدې مساحت = دهرم کلي مساحت‬ ‫‪A=B+S‬‬ ‫ ‬ ‫که چېرې د هرم حجم په ‪ V‬او ارتفاع يې په ‪ h‬د قاعدې مساحت يې په ‪ B‬سره وښيو‪ ،‬نو لرو چې‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = B×h‬‬ ‫‪3‬‬

‫● مخروط‬ ‫قايم مخروط داسې جسم دى چې په يوې قايمې ضلعې باندې د يوه قايم الزاويه مثلث له دوران څخه‬ ‫الس ته راځي‪ ،‬هغه ټوټه خط چې د مخروط راس د هغه د قاعدې له مرکز سره نښلوي‪ ،‬د مخروط‬

‫‪79‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪A = πr 2 + πr × l‬‬

‫محور بلل کيږي‪ .‬که چېرې محور په قاعدې باندې ‪2‬عمود‪ 1‬وي‪ ،‬قايم مخروط او له هغه پرته مايل‬ ‫‪V = πr × h‬‬ ‫مخروط بلل کيږي‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫که چېرې د مخروط کلي مساحت په ‪ A‬او حجم يې په ‪ V‬سره وښيو نو لرو‪:‬‬ ‫‪A = πr 2 + πr × l‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪1‬‬ ‫‪V = π r2 ×h‬‬ ‫‪3‬‬

‫● كــره‬ ‫کره هغه جسم دى چې د هغې د سطحې ټولې نقطې له يوې ثابتې نقطې څخه مساوي فاصلې ولري‪.‬‬ ‫ثابتې نقطې ته د کرې مرکز وايي‪ ،‬که چېرې دکرې مساحت په ‪ A‬او حجم يې په ‪ V‬سره وښيو‪.‬‬ ‫ليکلى شو‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A = 4π r‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = π r3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪80‬‬

‫د پنځم فصل پوښتنې‬ ‫● د الندې هرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه درکړ شوي دي‪ ،‬له هر سم ځواب څخه کرښه تاو کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د استوانې محور له قاعدې سره الندې زاويه جوړوي‪:‬‬ ‫‪ )b‬منفرجه‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬حاده‬ ‫‪ a )d‬او ‪ b‬سم دي‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬قايمه‬ ‫‪ -2‬د هرم ارتفاع هغه ټوټه خط دى چې له راس څخه پرقاعدې باندې‪:‬‬ ‫‪ )b‬مايل دى‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬موازی دى‬ ‫‪ )d‬يو يې هم نه دى‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬عمود دى‬ ‫‪ -3‬که چېرې د يوه مخروط ارتفاع ‪ 20cm‬او د قاعدې شعاع يې ‪10cm‬وي حجم يې مساوي‬ ‫دى له‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2093.3cm )b‬‬ ‫ ‬ ‫‪2093.3cm3 )a‬‬ ‫‪209.33cm3 )d‬‬ ‫ ‬ ‫‪209.33cm 2 )c‬‬ ‫‪ -4‬که چېرې د يوه مکعب مستطيل اوږدوالى‪ ،‬سور او ارتفاع يې په ترتيب ‪ 2 ،3‬او ‪ 1‬سانتي متره وي‬ ‫د هغه د ‪ CA‬قطر اوږدوالى عبارت دى‪ ،‬له‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2 )a‬‬ ‫‪14 )b‬‬ ‫‪6 )d‬‬ ‫ ‬ ‫‪1 )c‬‬ ‫‪ -5‬هغه فضا چې د يوه جسم په واسطه نيول کيږي‪ ،‬په کوم نامه ياديږي‪:‬‬ ‫‪ )b‬د جسم حجم‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬د جسم وزن‬ ‫‪ )d‬درې واړه صحيح دي‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬د جسمكتله‬ ‫● الندې تش ځايونه په مناسبو کلمو سره ډک کړئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬هغه مکعب مستطيل چې اوږدوالى‪ ،‬سور او ارتفاع يې سره مساوي وي له ‪ ..........‬عبارت‬ ‫دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬مکعب مستطيل يو منظم هندسي‪ ....................‬دى چې ټولې ‪ .....................‬او د‬ ‫سطحو مخامخ ‪ ...................‬قايمه دي‪.‬‬ ‫‪ -3‬قايمه استوانه داسې جسم دى چې له دوو انطباق منونکو‪ .....................‬قاعدو او‬ ‫‪ ...................‬باندې عمود دي جوړه شوي ده‪.‬‬ ‫‪ -4‬دهرم حجم د ‪ ..........‬د حجم څومه‪ .........‬ده چې د يوشان قاعدې او ‪ ......‬لرونکي وي‪.‬‬ ‫‪ -5‬قايم مخروط هغه جسم دى چې په يوه ‪ ....................‬د يوه ‪ ................‬مثلث له دوران‬ ‫څخه الس ته راځي‪.‬‬ ‫● له الندې جملو څخه کومه يوه سمه او کومه يوه غلطه ده؟ د سمې مخې ته د (ص) توری او د‬ ‫غلطې مخې ته د(غ) توری وليکئ‪:‬‬ ‫‪ ) ( -1‬په يوه منشور کې د ټولو سطحو د مساحتونو او قاعدو دمساحتونو له جمع کولو څخه‬

‫‪81‬‬

‫جانبي سطح په الس راځي‪.‬‬ ‫‪ ) ( -2‬که چېرې استوانه د محور په اوږدوالي سره قطع او خالصه شي يو هرم الس ته راځي‪.‬‬ ‫‪ ) ( -3‬که چېرې د مکعب مستطيل اوږدوالى ‪ ،a‬بر يې ‪ b‬او ارتفاع يې ‪ c‬وي‪ ،‬د نوموړي مکعب‬ ‫مستطيل حجم له ‪ abc‬څخه عبارت دى‪.‬‬ ‫‪ ) ( -4‬کره هغه جسم دى چې دهغې د سطحې ټولې نقطې له يوې ثابتې نقطې څخه مساوي‬ ‫فاصلې ولري‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) ( -5‬د مخروط حجم د استوانې حجم برخه ده په دې صورت کې چې د هماغه قاعدې‬ ‫‪5‬‬ ‫او ارتفاع لرونکي وي‪.‬‬ ‫● الندې پوښتنې حل کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د مکعب کلي مساحت او حجم پيدا کړئ چې ارتفاع يې په الندې توګه درکړل شوي دي‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a ) 24m‬‬ ‫‪b) 9m‬‬ ‫‪c) 3 m‬‬ ‫‪d ) 4 27‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -2‬د پوډرې شيدو قوطۍ استوانه يې شکل لري چې د قاعدې شعاع يې ‪ 6cm‬او ارتفاع يې ‪12cm‬‬ ‫ده‪ .‬د نوموړي قوطي کلي مساحت او حجم پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬په مربع القاعده خيمه کې څو متره مکعبه هوا شته‪ ،‬په داسې حال کې چې د هرم د قاعدې د‬ ‫ضعلې اوږدوالى او ارتفاع ‪ 5m‬وي‪.‬‬ ‫‪ -4‬دالندې جسمونو شکلونه درکړ شوي‪ ،‬دي د هغو د قيمتونو له مخې د هر يوه جسم حجم پيدا‬ ‫کړئ‪.‬‬ ‫‪20in‬‬

‫‪6ft‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪2cm‬‬

‫‪3in‬‬ ‫‪6in‬‬

‫‪3ft‬‬

‫‪ -5‬دوې كرې په ترتيب د ‪ 1cm‬او ‪ 2cm‬شعاع لرونکي دي‪.‬‬ ‫الف‪ :‬دهرې يوې مساحت پيدا کړي‪ .‬ب‪ :‬د هرې يوې حجم پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ -6‬د مخامخ شکل په توګه دوې قايمې استوانې په پام کې ونيسئ چې د قاعدو مرکز‬ ‫يې يو (عيني مرکز) وي‪.‬‬ ‫الف‪ :‬د لويې استوانې او کوچنۍ استوانې د جانبي سطحو د مساحتونو نسبت پيدا‬ ‫‪1cm‬‬ ‫‪2cm‬‬ ‫کړئ‪.‬‬ ‫ب‪ :‬د لويې استوانې او کوچنۍ استوانې د حجمونو نسبت څومره دى؟‬ ‫‪ -7‬ځمکه چې کابو کروي ده‪ .‬که چېرې د ځمکې شعاع ‪ 6400‬كيلو متره وي‪.‬‬ ‫ب‪ :‬د ځمکې حجم حساب کړئ‪.‬‬ ‫الف‪ :‬د ځمکې مساحت حساب کړئ‪.‬‬

‫‪82‬‬