Mathematics 11 [11]

Citation preview

‫ﺭﻳﺎﺿﻰ‬

‫ﺻﻨﻒ ‪11‬‬ ‫(‬

‫)‬

‫ﺻﻨﻒ ‪11‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x+2=5‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a.b‬‬

‫‪a2 a‬‬

‫‪ab‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪1398‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a+b‬‬

‫‪. b‬‬

‫‪S‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺟﻤﻬﻮﺭﻯ ﺍﺳﻼﻣﻰ ﺍﻓﻐﺎﻧﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ﻭﺯﺍﺭﺕ ﻣﻌﺎﺭﻑ‬ ‫ﺭﻳﺎﺳﺖ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺍﻧﻜﺸﺎﻑ ﻧﺼﺎﺏ ﺗﻌﻠﻴﻤﻰ‬

‫صنف یازدهم‬ ‫برای مدارس دینی‬

‫‪1398‬‬

‫الف‬

‫مؤلفان‬ ‫ سرمؤلف عبدالکبیر عضو علمی ریاست انکشاف نصاب تعلیمی و تألیف کتب درسی‬‫ سرمؤلف نظام الدین عضو علمی ریاست انکشاف نصاب تعلیمی و تألیف کتب درسی‬‫ معاون مؤلف نویداهلل هاشمی عضو علمی ریاست انکشاف نصاب تعلیمی و تألیف کتب درسی‬‫ادیتوران علمی‬ ‫ حبیب اهلل راحل مشاور وزارت معارف در ریاست انکشاف نصاب تعلیمی‬‫ ميرنقيب اهلل عضو علمی ریاست انکشاف نصاب تعلیمی و تألیف کتب درس‬‫ادیتوران زبان‬ ‫ معاون مؤلف عین الدین اسدی عضو علمی ریاست انکشاف نصاب تعلیمی و تألیف کتب درسی‬‫کمیتۀ دینی‪ ،‬سیاسی و فرهنگی‬ ‫ مولوی عبدالوکيل‬‫‪ -‬حبیب اهلل راحل مشاور وزارت معارف در ریاست انکشاف نصاب تعلیمی‬

‫إشراف‬ ‫دکتور شیر علی ظریفی رئیس پروژة انکشاف نصاب تعلیمی‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫بسم اهلل الرحمن الرحیم‬

‫د‬

‫پیام وزیر معارف‬ ‫الحمدهلل رب العالمین والصالة والسالم علی رسوله محمد وعلی آله وأصحابه أجمعین‪ ،‬أما بعد‪:‬‬ ‫نصاب تعليمي معارف‪ ،‬اساس نظام تعلیم و تربیه را تشکیل داده و در رشد و توسعۀ علمی‪ ،‬فکری و‬ ‫سلوکی نسلهای امروز و فردای کشور نقش بنیادی و سرنوشت ساز دارد‪.‬‬ ‫نصاب تعلیمی با گذشت زمان‪ ،‬تحول و پیشرفت در عرصه های مختلف زنده گی‪ ،‬مطابق با نیازهای جامعه‪،‬‬ ‫باید هم از نظر مضمون و محتوا و هم از نظر شیوه و روش عرضۀ معلومات‪ ،‬تطور و انکشاف نماید‪.‬‬ ‫یکی از عرصه های نصاب تعلیمی که مورد توجه جدی برای تجدید نظر و بهبود می باشد‪ ،‬نصاب‬ ‫تعلیمات اسالمی است؛ زیرا از یک جانب‪ ،‬فارغان مدارس دینی به حیث پیشوایان معنوی جامعه‪،‬‬ ‫باید محور تالشهای معارف قرار گیرند و از سوی دیگر نصاب تعلیمات اسالمی شامل عقاید‪ ،‬احکام‬ ‫و هدایات دین مبین اسالم است که به حیث نظام و قانون مکمل‪ ،‬تمام ابعاد زنده گی انسان ها را در‬ ‫بر گرفته و به عنوان آخرین پیام خالق و پروردگار جهان تا روز قیامت‪ ،‬رسالت رهنمایی و هدایت‬ ‫بشریت را انجام می دهد‪.‬‬ ‫علمای امت اسالمی در طول تاریخ نقش مهمی را در ایجاد‪ ،‬توسعه و غنامندی سیستم تعلیمات و معارف‬ ‫اسالمی مخصوصاً انکشاف تدریجی نصاب تعلیمی مراکز و مؤسسات علمی جهان اسالم‪ ،‬ایفاکرده اند‪.‬‬ ‫مطالعۀ دقیق در سیر تطور تاریخی علوم و معارف اسالمی در جهان نشان میدهد که نصاب تعلیمی‬ ‫مدارس و مراکز علمی ما‪ ،‬همواره بنا بر ضرورت های جامعه و در تطابق با احکام ثابت و پا بر جای‬ ‫دین اسالم‪ ،‬که برای همۀ انسانها در همۀ زمانها و مکانها می باشد‪ ،‬توسعه یافته است‪.‬‬ ‫کشور عزیز ما افغانستان با سابقۀ درخشان علمی‪ ،‬روزگاری مهد علم و دانش و جایگاه بزرگترین‬ ‫مراکز علمی عصر بوده و در شکل گیری تمدن بزرگ اسالمی نقش عظیمی داشته است‪ ،‬وجود‬ ‫هزاران دانشمند و عالم در عرصه های مختلف علم و فرهنگ مخصوصاً در علوم شرعی؛ مانند‪:‬‬ ‫عقاید‪ ،‬تفسیر‪ ،‬حدیث‪ ،‬فقه‪ ،‬اصول فقه و غیره‪ ،‬گواه واضح آنچه گفته شد می باشد‪.‬‬ ‫همزمان با رشد بیداری اسالمی در عصر حاضر‪ ،‬تعلیمات اسالمی در کشور ما شاهد تحول کمی و‬ ‫کیفی بوده و اطفال و جوانان کشور ما با شوق و رغبت فراوان به طرف مدارس و مراكز تعلیمات‬ ‫اسالمی رو می آورند‪.‬‬ ‫وزارت معارف جمهوری اسالمی افغانستان بر اساس مسؤولیت ورسالت خویش‪ ،‬در مطابقت با احکام‬ ‫قانون اساسی کشور‪ ،‬به منظور رشد و توسعۀ کمی و کیفی تعلیمات اسالمی و از جمله نصاب آن‪،‬‬ ‫اقدامات قابل توجه نموده است‪.‬‬ ‫در این راستا وزارت معارف با دعوت از علماء‪ ،‬استادان و متخصصان باتجربه و قابل اعتماد کشور‪ ،‬به‬ ‫بهبود و انکشاف نصاب تعلیمی پرداخته و کتابهای رایج مدارس تعلیمات اسالمی را با شرح و توضیح‬ ‫متون‪ ،‬جا به جا ساختن فعالیتها‪ ،‬ارزیابی و تمرینها با معیارهای کتب درسی عیار ساخت‪.‬‬ ‫امیدوارم این تالشهای قابل تمجید علماء و متخصصان وزارت معارف‪ ،‬در بهبود و انکشاف هر چه بیشتر‬ ‫تعلیمات اسالمی در افغانستان عزیز مفید واقع شده وسبب کسب رضای خداوند متعال قرار گیرد‪.‬‬ ‫وباهلل التوفیق‬ ‫دکتور محمد میرویس بلخی‬ ‫وزیر معارف‬

‫مقدمه‬ ‫استادان عالیقدر و شاگردان گرامی‪،‬‬ ‫ریاضی زبان علوم طبیعی است که قوانیني را که خداوند در طبیعت حاکم ساخته فورمول بندی‬ ‫می کند و مسائل مربوط به اعداد و مقادیر را به زبان حساب ارائه می نماید‪.‬‬

‫انسان ها در زنده گی روز مره به علم ریاضی احتیاج دارند‪ ،‬این علم برای ساینس حیثیت کلید‬ ‫را دارد‪ ،‬زیرا که اکثر قوانین طبیعت به زبان ریاضی بیان می شود و در مسائل شرعی نیز به علم‬

‫ریاضی ضرورت می باشد‪ ،‬در تقسیم میراث‪ ،‬تقسیم زمین و دریافت مساحت آن‪ ،‬تعیین حقوق‬ ‫شرکا‪ ،‬تعیين زکات و غیره موارد‪ ،‬از علم ریاضی استفاده صورت می گیرد‪.‬‬

‫برای اینکه فارغان مدارس علوم شرعی قابلیت های ضروری را آموخته‪ ،‬مسائل روزمرۀ زنده گی‬ ‫مربوط ریاضی را حل کرده بتوانند و مسائل؛ مانند‪ :‬میراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬تقسیمات اموال و محتوای‬

‫مضامین ساینسی را بفهمند‪ ،‬ریاست عمومی انکشاف نصاب تعلیمی وزارت معارف جمهوری‬ ‫اسالمی افغانستان مسائل ضروری ریاضی را در نصاب تعلیمی مدارس جابه جا نمود‪.‬‬

‫به گونه یی که ضرورت های اساسی شاگردان مدارس شرعی‪ ،‬تخصص آینده ایشان و ساعات‬ ‫تعیین شده در پالن تعلیمی برای مضمون ریاضی را در نظر گرفته و مسائل ضروری این علم را‬ ‫با درنظرداشت فن معاصر نصاب نویسی بر میتود آسان و مؤثر تألیف نمود‪ ،‬تا فارغان مدارس‬

‫شرعی در پهلوی علوم دینی بعضی علوم ضروری دنیوی را نیز فرا گیرند‪ ،‬ظرفیت های شان بلند‬ ‫برود و نقش مؤثر و مثمر را در جامعه بازی نمایند‪.‬‬

‫و اهلل ولی التوفیق‬

‫هـ‬

‫عناوین‬

‫صفحه‬

‫فصل اول‪ :‬اعداد حقیقی‪ ،‬تناسب مرکب و مشارکت‬ ‫اعداد حقیقی‪3............................................................................................................................‬‬ ‫تناسب مرکب‪5..........................................................................................................................‬‬ ‫مشارکت‪7..................................................................................................................................‬‬ ‫تمرینات فصل اول‪10 ................................................................................................................‬‬ ‫فصل دوم ‪ :‬مشابهت ها‬ ‫قضیة تالس در مثلث‪13 ..............................................................................................................‬‬ ‫حالت های تشابه مثلث ها (حالت اول) ‪15....................................................................................‬‬ ‫حالت های تشابه مثلث ها (حالت دوم)‪17 ..................................................................................‬‬ ‫حالت های تشابه مثلث ها (حالت سوم)‪19...................................................................................‬‬ ‫عکس قضیة فیثاغورث‪23...........................................................................................................‬‬ ‫قضایای مثلث قایم الزاویه‪25.......................................................................................................‬‬ ‫قضایا در مثلث قایم الزاویه برای زوایای ‪ 30‬و ‪29............................................................... 60‬‬ ‫نکات مهم فصل دوم‪33..............................................................................................................‬‬ ‫تمرینات فصل دوم‪34.................................................................................................................‬‬ ‫فصل سوم‪ :‬افاده های الجبری‬ ‫مربع مجموع و تفاضل افاده های دو حده‪37................................................................................‬‬ ‫تجزیة افاده های الجبری‪39.........................................................................................................‬‬ ‫نکات مهم فصل سوم‪41.............................................................................................................‬‬ ‫تمرینات فصل سوم‪42................................................................................................................‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬معادالت‪ ،‬رابطه و تابع‬ ‫مفهوم معادله‪45..........................................................................................................................‬‬ ‫تشکیل معادالت‪47.....................................................................................................................‬‬ ‫معادالت معادل‪49......................................................................................................................‬‬ ‫رابطه‪51.....................................................................................................................................‬‬ ‫و‬

‫رابطة خطی‪53.............................................................................................................................‬‬ ‫تشکیل رابطه های خطی‪55..........................................................................................................‬‬ ‫تابع‪57.........................................................................................................................................‬‬ ‫نکات مهم فصل چهارم‪59...........................................................................................................‬‬ ‫تمرینات فصل چهارم‪60..............................................................................................................‬‬ ‫فصل پنجم‪:‬مساحت و احجام‬ ‫مساحت و حجم مکعب مستطیل‪63..............................................................................................‬‬ ‫مساحت و حجم منشور‪67............................................................................................................‬‬ ‫مساحت و حجم استوانه ‪69..........................................................................................................‬‬ ‫مساحت و حجم هرم‪71...............................................................................................................‬‬ ‫مساحت و حجم مخروط‪75.........................................................................................................‬‬ ‫مساحت و حجم کره‪77...............................................................................................................‬‬ ‫نکات مهم فصل پنجم‪79.............................................................................................................‬‬ ‫تمرینات فصل پنجم‪81................................................................................................................‬‬

‫ح‬

‫فصل اول‬ ‫اعداد حقیقی‪ ،‬تناسب‬ ‫مرکب و مشارکت‬

‫اعداد حقیقی‬

‫‪Real Numbers‬‬

‫در صنف هشتم ست اعداد حقیقی را‬ ‫مطالعه نمودیم و دیدیم که اعداد در‬ ‫ریاضی اهمیت زیاد دارد؛ بنابراین‬ ‫فهمیدن اعداد در زنده گی انسانها‬ ‫ضروری شمرده میشود‪.‬‬

‫اعداد حقیقی‬

‫اعداد ناطق‬ ‫(نسبتی)‬

‫اعداد غیر ناطق‬ ‫(غیر نسبتی)‬

‫اگر شما به ترمامیتر(میزان الحراره) متوجه شده‪ ،‬ممکن دیده باشید که درجه بندی آن از‬ ‫صفر به طرف باال و پائین ادامه دارد به همین ترتیب محور اعداد هم به قسم ترمامیتر یک خط‬ ‫جهت دار درجه بندی شده است که از یک نقطه به دو جهت مخالف ذریعة استعمال یک‬ ‫واحد معین ادامه پیدا می کند؛ مانند شکل زیر‪:‬‬

‫شما میدانید که ست اعداد تام از اعداد تام مثبت‪ ،‬اعداد تام منفی و صفر تشکيل شده است‬ ‫که در شکل باال بعضی از اعداد تام روی آن نشان داده شده اند؛ ولی عالوه از اعداد تام‬ ‫اعداد دیگری هم وجود دارد که تا به حال بر روی محور اعداد نشان داده نشده اند‪.‬‬ ‫یا به عبارت دیگر یک تعداد زیاد اعداد ناطق و اعداد غیر ناطق به روی محور اعداد واقع اند‪،‬‬ ‫جهت روشن شدن بهتر این مسئله به شکل ذیل توجه نمایید‪.‬‬

‫دیده می شود که هر نقطة محور اعداد به یک عدد ارتباط دارد؛ پس به این ترتیب بین اعداد‬ ‫و نقاط محور چنین رابطه موجود است که هر نقطة محور یک عدد را و هر عدد یک نقطة‬ ‫محور را نشان میدهد‪ .‬هر گاه عدد ‪ a‬بزرگتر از ‪ b‬باشد در این حالت باید عدد‪ a‬روی محور‬

‫‪3‬‬

‫اعداد به طرف راست عدد‪ b‬واقع باشد؛ پس به صورت عمومی روی محور اعداد‪ ،‬اعداد‬ ‫طرف راست بزرگتر از اعدادی اند که به طرف چپ محور واقع اند؛ مانند شکل زیر‪:‬‬

‫در شکل دیده می شود که نقطة ‪ n‬عدد ) ‪ (- 1‬را‪ ،‬نقطة ‪ m‬عدد ) ‪ ( 1‬را و به همین ترتیب‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫هر یکی از نقاط ‪ c,b,a‬و ‪ d‬یک عدد را روی محور اعداد نشان می دهد‪ .‬دیده می شود که‬

‫‪11‬‬ ‫( > ‪ 1‬است و‬‫نقطة ‪ m‬به طرف راست نقطة ‪ n‬روی محور اعداد واقع است؛ بنابر آن ) ‪-2‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪2‬‬

‫همچنان نقطة ‪ b‬به طرف راست نقطة ‪ d‬روی محور اعداد واقع است؛ پس گفته می شود که‬ ‫‪ - 3 > -2.5‬است‪ .‬در شکل دیده می شود که نقطة ‪ c‬به طرف راست نقطة ‪ a‬واقع است‬

‫‪2‬‬ ‫پس ‪ 2.5 > 3‬می باشد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫همان طوری که اعداد ناطق دارای معکوس جمعی می باشند اعداد غیر ناطق نیز معکوس‬

‫جمعی دارند‪.‬‬ ‫تعریف اعداد حقیقی‬ ‫تمام اعداد ناطق و غیر ناطق را اعداد حقیقی گویند‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫تناسب مركب‬ ‫‪compound proportion‬‬

‫تناسب به چند نوع است؟‬ ‫می تواند یک تناسب تنها مستقیم و‬ ‫یا معکوس باشد‪.‬‬ ‫آیا تناسبي وجود دارد که همزمان‬ ‫هم مستقیم و هم معکوس باشد؟‬

‫‪5‬‬ ‫‪ 25  30‬‬ ‫‪15 18‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫به اندازة دو قاشق چاي خوری‪ ،‬شربت را در يك گيالس‬ ‫آب مطابق شكل حل كرده ايم كه نسبت هر گيالس آب‬ ‫و تعداد قاشق های شربت ‪ 1‬بر ‪ 2‬است‪ .‬جك شكل مقابل‬ ‫گنجايش ‪ 2‬گيالس آب را دارد‪ .‬مطابق شكل‪ 4 ،‬قاشق‬ ‫چاي خوري شربت را در آن حل كرده ايم‪ .‬آيا شيريني‬ ‫آب گيالس و جك به يك اندازه است؟‬ ‫جدول زير را تكميل كنيد‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تعداد گیالس های آب‬

‫‪2‬‬

‫تعداد قاشق های شربت‬

‫• نسبت تعداد گيالس های آب بر تعداد قاشق های شربت را بنويسيد‪.‬‬ ‫• چه رابطه بين اين نسبت ها وجود دارد؟‬ ‫از فعاليت فوق نتیجه می گیریم كه هر قدر تعداد گيالس هاي آب بيشتر يا كمتر شود‪ ،‬تعداد‬ ‫قاشق چاي خوري شربت نيز متناسب به آن تغيير مي كند تا نسبت ‪ 1‬ثابت بماند؛ بنا برآن‬ ‫‪2‬‬ ‫جدول فوق يك جدول تناسب است که مساوی بودن چهار نسبت را نشان می دهد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫تساوي زياده تر از دو نسبت را تناسب مركب گويند در تناسب مركب صورت نسبت‬ ‫اول و مخرج هاي نسبت هاي ديگر را به نام طرفين و مخرج نسبت اول و صورت هاي‬ ‫نسبت هاي ديگر را به نام وسطين تناسب ياد مي كنند‪.‬‬ ‫وسطین‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫طور مثال‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫طرفین‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬

‫توجه‪ :‬در یک جدول تناسب مرکب جهت تیر به طرف باال‪ ،‬تناسب مستقیم و جهت تیر به‬ ‫طرف پایین‪ ،‬تناسب معکوس را نشان می دهد‪.‬‬ ‫مثال ‪ 5 :1‬نفر كارگر براي ‪ 4‬روز كار کرده اند و ‪ 80000‬افغاني مزد مي گيرند‪8 .‬‬ ‫نفر براي ‪ 6‬روز كاری چند افغاني مزد خواهند گرفت؟‬

‫حل‪ :‬چون رابطه بين نسبت ها مستقيم است؛ پس جدول را طور زيرتشكيل ميدهيم‪:‬‬ ‫تعداد نفر‬

‫‪80000 4 × 5 80000 5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6×8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x = 192000‬‬

‫‪5‬‬

‫‪8‬‬

‫روز‬

‫مزد‬

‫‪6‬‬

‫‪80000‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫مثال ‪ :2‬اگر ‪ 10‬نفر‪ ،‬كانالي را به طول ‪ 12‬متر در ‪ 8‬روز حفر نمايند ‪ 5‬نفر كانال مشابه‬ ‫‪2‬‬ ‫مي توانند؟ ‪6‬‬ ‫را كه طول آن ‪ 15‬متر باشد در چند روز حفر كرده‪18‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫معكوس و با‪3‬طول كانال‬ ‫‪ 27‬تناسب‬ ‫حل‪ :‬متحول مطلوب‪ ،‬يعني تعداد روز ها با تعداد نفر‬ ‫تناسب مستقيم دارد؛ پس داريم‪:‬‬ ‫‪8 × 15 × 10‬‬ ‫‪12 × 5‬‬

‫=‪, x‬‬

‫‪8 12 × 5‬‬ ‫=‬ ‫‪x 15 × 10‬‬ ‫‪x = 20‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫تعداد نفر‬ ‫‪10‬‬

‫‪12‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪15‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪27‬‬

‫طول‬

‫روز‬

‫‪‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 24 -1‬نفر دهقان با كار روزانة ‪ 8‬ساعت‪ ،‬زميني را به وسعت ‪ 2000‬متر مربع در ظرف‬ ‫‪ 20‬روز بيل مي زنند‪ .‬اگر ‪ 40‬نفر دهقان روزانه ‪ 12‬ساعت كار كنند‪ ،‬زميني به وسعت‬ ‫‪ 3000‬متر مربع را در چند روز بيل زده مي توانند؟‬ ‫‪ - 2‬اگر براي انتقال ‪ 4200‬كيلو گرام گندم به فاصلة ‪ 810‬كيلو متر ‪ 500‬افغاني‬ ‫ضرورت باشد؛ پس براي حمل و نقل ‪ 6000‬كيلو گرام گندم به فاصلة ‪ 630‬كيلو متر‬ ‫چند افغاني ضرورت خواهد بود؟‬

‫‪6‬‬

‫مشارکت‬ ‫هرگاه دو یا چند نفر به طور شراکت‬ ‫تجارت کنند سرمایه و وقت شراکت‬ ‫آنها از هم متفاوت باشند‪ .‬مفاد آنها را‬ ‫چگونه بین شان تقسیم می نمایید؟‬

‫بعضی اوقات دو یا چندین نفر باهم سرمایه خود را یکجا جمع کرده و تجارت می کنند‪،‬‬ ‫فایده و نقص تجارت را در بین خود به نسبت سرمایه تقسیم می کنند‪ .‬بعضی اوقات طوری‬ ‫هم می شود که سرمایة آنها با هم مساوی بوده‪ ،‬لیکن وقت شراکت آنها با هم فرق می کنند‬ ‫در این صورت فایده و نقص تجارت به نسبت وقت بین شان تقسیم می شود‪.‬‬ ‫گاهی امکان دارد که سرمایه و وقت هر دو فرق داشته باشد باز هم نفع و ضرر در بین آنها‬ ‫باید طوری تقسیم شود که عدالت بین شان برقرار باشد یعنی هم سرمایه و هم وقت در نظر‬ ‫گرفته شود‪ ،‬پس ضرورت است که به این نوع مسایل و سوالهای مشارکت جوابها گفته شود‬ ‫که مثال های زیر توضیح کننده موضوع می باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬زلمی و احمد به ترتیب با سهم‪ 48000‬و ‪ 64000‬افغانی مشترک باهم تجارت‬ ‫می کنند اگر آنها ‪ 24500‬افغانی مفاد کرده باشند‪ ،‬فایده هر کدام آنها را معلوم کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬معلوم است که نفع باید به نسبت سرمایه های زلمی و احمد بین شان تقسیم گردد که‬ ‫نسبت بین سرمایه های شان به ترتیب ذیل است‪:‬‬ ‫سرماية زلمی‬ ‫ ‬ ‫سرماية احمد‬ ‫ ‬ ‫‪48000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪64000‬‬ ‫ ‬ ‫‪48‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪64‬‬ ‫يا ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫يا ‬ ‫‪3‬‬ ‫پس گفته می توانیم که نسبت سرمایه زلمی و احمد عبارت از است‪ .‬اکنون تمام مفاد‬ ‫‪4‬‬

‫يعني ‪ 24500‬افغانی را به نسبت ‪ 3‬تقسیم کرده و فایدة هر کدام را دریافت میداریم‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ =3+4=7‬مخرج نسبت ‪ +‬صورت نسبت‬

‫‪7‬‬

‫افغانی ‪ = 24500 × 3 = 3500 × 3 = 10500‬مفاد زلمی‬

‫‪7‬‬ ‫‪24500 × 4‬‬ ‫= مفاد احمد‬ ‫افغانی ‪= 3500 × 4 = 14000‬‬ ‫‪7‬‬

‫مثال دوم‪ :‬سه نفر تاجر طور مشترک با هم تجارت می کنند‪ ،‬سرمایة نفر اولی ‪120000‬‬ ‫افغانی‪ ،‬سرمایة نفر دومی ‪ 360000‬افغانی و سرمایه نفر سومی‪ 600000‬افغاني اند‪ .‬اگر آنها‬ ‫در این معامله ‪ 225000‬افغاني نفع کرده باشند‪ ،‬مفاد هرکدام را معلوم کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬باز هم مانند مثال گذشته مفاد کلی را به نسبت سرمایه ها تقسیم نموده و مفاد هرکدام‬ ‫شان را به دست می آوریم‪:‬‬ ‫سرمایة نفر سوم‬ ‫ ‬ ‫سرمایة نفر دوم‬ ‫ ‬ ‫سرمایة نفر اول‬ ‫‪600000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 360000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 120000‬‬ ‫ ‬ ‫‪60‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪36‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪12‬‬ ‫يا ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫يا ‬ ‫اکنون می نویسیم‪1+3+5=9 :‬‬ ‫‪225000 ×1‬‬ ‫افغانی ‪= 25000 ×1 = 25000‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪225000 × 3‬‬ ‫= مفاد نفر دوم‬ ‫افغانی ‪= 25000 × 3 = 75000‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪225000 × 5‬‬ ‫= مفاد نفر سوم‬ ‫افغانی ‪= 25000 × 5 = 125000‬‬ ‫‪9‬‬

‫= مفاد نفر اول‬

‫مثال سوم‪ :‬احمد سه ماه بعداز شروع تجارت خود محمود را همرای خود در تجارت‬ ‫شریک می کند‪ .‬اندازه سرمایه های آنها باهم مساویست‪ .‬اگر در این معامله یک سال بعد از‬ ‫شروع تجارت ‪ 350000‬افغانی فایده کرده باشند فایدة هرکدام را معلوم کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬سرمایه های آنها با هم مساویست؛ اما وقت به کار انداختن سرمایه ها با هم مختلف‬ ‫است‪ .‬سرمایة تجار اولی ‪ 12‬ماه و سرمایه تجار دومی ‪ 9‬ماه فعالیت نموده است توجه باید‬ ‫نمود که برای دریافت مفاد هرکدام مفاد کل به نسبت وقت تقسیم می شود‪:‬‬ ‫وقت محمود‬ ‫وقت احمد ‬ ‫ ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫يا ‬ ‫مجموع نسبت ها‪4+3=7 :‬‬

‫‪8‬‬

‫افغانی ‪ = 350000 × 4 = 50000 × 4 = 200000‬مفاد احمد‬

‫‪7‬‬ ‫‪350000 × 3‬‬ ‫افغانی ‪= 50000 × 3 = 150000‬‬ ‫= مفاد محمود‬ ‫‪7‬‬

‫مثال چهارم‪ :‬دو نفر یکجا با هم تجارت می کنند‪ ،‬تاجر اولی ‪ 150000‬افغاني را برای‬ ‫‪ 9‬ماه و تاجر دومی ‪ 90000‬افغانی را برای ‪ 7‬ماه به کار انداخته اند‪ ،‬در این وقت تمام نفع‬ ‫‪ 77000‬افغانی شده است نفع هر کدام را به مقایسة سرمایه ها و وقت معلوم کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در اینجا می بینیم که هم سرمایه مختلف است و هم اوقات کار فرق دارند‪ ،‬در این‬ ‫صورت کوشش می کنیم که یکی از آنها را باهم مساوی نماییم و این کار را طور ذیل انجام‬ ‫می دهیم‪:‬‬ ‫نفع ‪ 150000‬افغانی در ‪ 9‬ماه مساویست به نفع ‪ 9 ×150000 = 1350000‬افغاني در یک‬ ‫ماه‪.‬‬ ‫همچنان نفع ‪ 90000‬افغاني در ‪ 7‬ماه مساویست به نفع ‪ 7 × 90000 = 630000‬افغاني در‬ ‫یک ماه‬ ‫اکنون می توانیم سرمایه تاجر اولی را ‪ 1350000‬افغانی و سرمایه تاجر دومی را ‪630000‬‬ ‫افغانی و وقت هر دو را یک ماه در نظر بگیریم مانند سوال گذشته حل نمود و مفاد هرکدام‬ ‫را دریافت کنیم‪:‬‬ ‫سرمایة تجار دومی‬ ‫ ‬ ‫سرمایة تجار اولی‬ ‫ ‬ ‫‪630000‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪ 1350000‬‬ ‫ ‬ ‫‪63‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪135‬‬ ‫يا ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪15‬‬ ‫يا ‬ ‫پس‪15+7=22 :‬‬ ‫‪77000 ×15‬‬ ‫افغانی ‪= 3500 ×15 = 52500‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪77000 × 7‬‬ ‫افغانی ‪= 3500 × 7 = 24500‬‬ ‫= مفاد تاجر دومی‬ ‫‪22‬‬

‫= مفاد تاجر اولی‬

‫یادداشت‪ :‬در مشارکت نفع یا نقص به نسبت سرمایه ها و یا اوقات تقسیم می گردد‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫تمرينات فصل اول‬ ‫عبارت های زیر را به دقت خوانده؛ اگر درست است حرف(ص) و اگر غلط است حرف(غ)‬ ‫را پیش روی سؤال بگذارید‪.‬‬

‫‪ ) ( -1‬تمام اعداد نسبتی و اعداد تام را به نام اعداد حقیقی یاد میکنند‪.‬‬ ‫‪ ) ( -2‬تنها اعداد تام مثبت و منفی را اعداد حقیقی گویند‪.‬‬

‫‪ ) ( -3‬تمام اعداد ناطق و غیر ناطق را اعداد حقیقی گویند‪.‬‬

‫‪ ) ( -4‬روی محور اعداد‪ ،‬اعداد طرف راست بزرگتر از اعدادی است که به طرف چپ‬ ‫واقع اند‪.‬‬

‫‪ ) ( -5‬دو یا چند نفر باهم پول خود را یکجا جمع کرده و تجارت می کنند فایده و نقص‬ ‫تجارت را در بین خود به نسبت سرمایه ها تقسیم می کنند‪.‬‬

‫‪ ) ( -6‬مساوات دو تناسب را نسبت گویند‪.‬‬ ‫جاهای خالی را با کلمات مناسب پر کنید‪.‬‬

‫‪ -1‬در هر تناسب صورت نسبت اول و مخرج نسبت دوم را به نام‪ ....................‬و مخرج نسبت‬ ‫اول و صورت نسبت دوم را به نام ‪ ..................‬یاد می کنند‪.‬‬

‫‪ -2‬هرگاه در یک مشارکت سرمایه ها با هم مساوی باشند تمام‪ .........................‬آن‬

‫به‪ ...................‬سرمایه ها تقسیم می شود‪.‬‬ ‫سؤال های زیر را حل کنید‪:‬‬

‫‪ - 1‬زمینی با مساحت ‪ 1200‬متر مربع را ‪ 14‬نفر تحت شرط این که روزانه ‪ 3‬ساعت کار‬ ‫کنند؛ ‪ 8‬روز بیل میزنند‪ ،‬زمین دیگری را با مساحت ‪ 1500m 2‬توسط ‪ 15‬نفر‪ ،‬در صورتی‬ ‫که روزانه شش ساعت کار کنند در چند روز بیل خواهند زد؟‬

‫‪ -2‬در یک شرکت تجارتی ‪ 3‬نفر به ترتیب به سرمایه های ‪ 120000 ،90000‬و‬

‫‪ 150000‬تجارت می کنند هرگاه تمام مفاد آنها ‪ 72000‬افغانی باشد مفاد هر کدام را‬

‫دریافت کنید؟‬

‫‪10‬‬

‫فصلدوم‬ ‫مشابهت ها‬

‫قضیة تالس در مثلث‬ ‫آيا مي توانيد خطوط موازي را در‬ ‫مثلث ببينيد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● يك مثلث كيفي را رسم نموده‪ ،‬يك نقطه را روي يكي از اضالع آن در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫● از اين نقطه خطی موازي با يك ضلع مثلث رسم نماييدکه ضلع دیگر مثلث را در یک نقطه‬ ‫قطع کند‪ ،‬مثلث ايجاد شده را نامگذاري كنيد‪.‬‬ ‫● نسبت هر ضلع مثلث ايجاد شده را بر ضلع هم مانند متناسبة آن در مثلث اوليه بنويسيد‪.‬‬ ‫اين نسبت ها باهم چه رابطه دارند؟‬ ‫از انجام دادن فعالیت باال قضیة زیر را می توان بیان کرد‪:‬‬ ‫قضیة ‪ :1‬هرگاه یک خط دو ضلع یک مثلث را طوری قطع نماید که با ضلع سوم موازی‬ ‫باشد اضالع قطع شده را متناسباً تقسیم می کند‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪A‬‬

‫‪DE // BC‬‬ ‫‪AD AE DE‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪AB AC BC‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫قضیة‪ : 2‬در مثلث ‪ ABC‬شکل فوق نقطة ‪ D‬باالی ضلع ‪ AB‬و نقطۀ ‪ E‬باالی ضلع ‪AC‬‬ ‫‪AD AE‬‬ ‫=‬ ‫طوری واقع است كه رابطة‬ ‫‪DB EC‬‬

‫برقرار است در نتیجه ‪ DE || BC‬است‬

‫اين رابطه را به عنوان معكوس قضية تالس مي شناسيم‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫‪.‬‬

‫‪CE‬‬ ‫‪CD 5‬‬ ‫مثال‪ :1‬در شكل زیر‪ AB||DE‬و =‬ ‫است‪ .‬نسبت‬ ‫‪EB‬‬ ‫‪DA 2‬‬ ‫حل‪ :‬چون ‪ AB || DE‬است‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫چند ‪2‬است؟‬ ‫مساوي به ‪D‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪AA‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫تناسب بين اضالع وجود دارد‪ ،‬و نظر به قضیة تالس‬ ‫پس‪CE 5 :‬‬ ‫‪CE CD 5‬‬ ‫=‬ ‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪CC‬‬ ‫‪BB‬‬ ‫‪EB 2‬‬ ‫‪EE‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪EB‬‬ ‫‪DA‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مثال ‪ :2‬درمثلث‪ ABC‬روی ضلع ‪ AB‬و ‪ AC‬به ترتیب دو نقطة ‪ M‬و ‪ N‬را طوری انتخاب کنید‬ ‫‪C‬‬

‫‪55‬‬

‫‪N‬‬

‫‪3‬‬

‫آيا ‪ MN‬با ‪ BC‬موازي شده مي تواند؟‬

‫حل‪ :‬از روابط فوق می توان نوشت‪1 AM 1 :‬‬ ‫‪= ,‬‬ ‫=‬ ‫‪3 AB 3‬‬

‫‪NN C‬‬

‫‪AN‬‬

‫‪N‬‬

‫‪AA‬‬

‫‪C C AC‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪AN AM‬‬ ‫=‬ ‫از مقایسۀ روابط باال داریم‪:‬‬ ‫‪AC AB‬‬ ‫نوشت‪:‬‬ ‫چون تناسب بین اضالع وجود دارد نظر به معکوس قضیۀ تالس م‬ ‫‪C‬ی توان ‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪E‬‬

‫‪ -1‬در شکل مقابل ‪ DE || AB‬و ‪، AC = 12cm‬‬ ‫‪ BC = 15cm‬و ‪ EB = 5cm‬است طول های ‪DC ، AD‬‬ ‫و ‪ EC‬را معلوم کنید‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ -2‬در ذوزنقه ‪ EF || CD ،ABCD‬و ‪، AE = ED‬‬

‫‪ BC = 6 cm‬است‪ .‬طول ‪ BF‬و ‪ FC‬را دریابید‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B FB‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪ED‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪DA‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪6 C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪LF‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪D A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D E‬‬

‫‪L‬‬

‫‪L‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪D‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0m‬‬

‫‪0m 10‬‬

‫‪N‬‬

‫‪N‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪60mJ H 180m‬‬

‫‪0m‬‬

‫‪N‬‬

‫‪60m H 180m‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪J‬‬

‫‪14‬‬

‫‪10‬‬

‫‪M‬‬

‫‪J‬‬

‫‪10‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪60m H 180mL‬‬

‫‪N‬‬

‫‪0m‬‬

‫‪LM‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ -3‬قریة ‪ L‬در یک طرف دریا و پایه های انتقال برق به طرف‬ ‫دیگر دریا واقع است‪ .‬با درنظر داشت فاصله های داده شده‬ ‫در شکل‪ ،‬طول سیم مورد ضرورت برای برق رسانی به‬ ‫قریه‪  ،‬یعنی طول ‪ JL‬را محاسبه کنید‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪F E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪EE B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BB‬‬

‫‪CC‬‬

‫‪E‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MM‬‬

‫‪N‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪E A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪MN || BC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫که ‪ AN = 1 AC , AM = 1 AB‬باشند‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪0m‬‬

‫‪60m H P 180m‬‬

‫‪J‬‬

‫حالت های تشابه مثلث ها‬ ‫حالت اول‬ ‫آيا مي توانيد با دانستن طول ساية‬ ‫احمد و طول سایه درخت‪ ،‬ارتفاع‬ ‫درخت را دريافت كنيد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫● مثلث های ‪ ABC‬و ' ‪ A ' B ' C‬را قسمی رسم کنید که ''‪ AB==AB‬و '‪ B = B‬باشند‪.‬‬ ‫● ‪ B′′‬را روي ضلع ‪ AB‬طوري انتخاب کنید که ‪ A′B′ = AB′′‬باشد‪.‬‬ ‫● از نقطة ‪ B′′‬زاوية را ترسیم کنید كه ضلع ‪ AC‬را در نقطه ' '‪ C‬قطع نموده و با ' ‪ B‬مساوي باشد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫آیا قطعه خط ‪ BC‬موازي با اين خط است؟ چرا؟‬ ‫∆‬ ‫‪A′‬‬ ‫● مثلث هاي " ‪ AB " C‬و ‪ A′B′C ′‬باهم چه رابطة دارند؟‬ ‫‪B″‬‬ ‫‪C″‬‬ ‫تالس را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪B′‬‬ ‫● در مثلث ‪ B′′C′′ || BC ، ABC‬است‪ ،‬رابطة ‪C′‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪C‬‬ ‫● آيا نتيجه گرفته مي توانيد∆ كه ‪ AB′′C ′′ ~ ∆ABC‬است؟‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪~ABC‬و~‪′′C′′ ′′‬‬ ‫‪AB′′C‬‬ ‫در فعاليت فوق ديديم كه‪ABC‬‬ ‫‪AB‬بايكديگرمشابه بوده و چون ' ‪AB' ' C ' ' ≅ A' B' C‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫است؛ پس‪ ABC ~ A′B′C′ :‬می شود‪.‬‬ ‫قضیه‪ :‬هرگاه دو مثلث دو زاوية مساوي داشته باشند؛ پس مثلث ها باهم مشابه اند‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪A′‬‬ ‫‪A = A ′‬‬ ‫‪B″‬‬ ‫‪C″‬‬ ‫پس‪ ⇒ ABC ~ A′B′C′ :‬‬ ‫∧‬

‫مثال‪ :‬آيا مثلث های زیر باهم مشابه‬ ‫هستند؟‬ ‫حل‪ :‬از شکل دیده می شود که‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪A‬‬

‫∧‬

‫‪B = B′ ‬‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫‪C′‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪30‬‬

‫‪X‬‬

‫‪47° B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪45°‬‬ ‫‪105°‬‬

‫‪105°‬‬

‫‪Y‬‬

‫∧‬

‫‪A = 47 , X = 45 , C = Y = 105 , B = 28‬‬

‫‪B‬‬

‫‪28‬‬

‫‪A‬‬

‫‪15‬‬

‫‪X‬‬

‫‪30‬‬

‫‪45°‬‬ ‫‪105°‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪47°‬‬

‫‪105°‬‬

‫‪C‬‬

‫∧‬

‫و ‪ Z = 30‬دیده می شود که زوایای دو مثلث یک به یک با هم مساوی نبوده؛‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫بنابراین‪ ABC :‬و ‪ XYZ‬با هم مشابه نیستند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬دو قسمت مختلف یک شفاخانه به وسیلۀ یک پل هوایی با هم ارتباط داده شده اند‪.‬‬ ‫محسن برای پیدا کردن ارتفاع این پل مانند شکل زیر در یک انجام آن ایستاده و شعاع دید‬ ‫خود را به رأس زاویه بین خط ديد و ساختمان قرار داد‪.‬‬ ‫چرا دو مثلث ‪ ABC‬و ' ‪ AB ' C‬با هم مشابه اند؟‬ ‫با توجه به اندازه های مشخص شده در شکل‪ ،‬اگر طول قد محسن ‪ 1,8m‬باشد ارتفاع پل‬ ‫یعنی ‪ BC‬را به دست آورید‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪C′‬‬

‫∧‬

‫حل‪ :‬در شکل دیده می شود که‪B = B′ = 90 :‬‬

‫قرار مقابل به رأس‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫‪A1 = A2‬‬

‫‪1.8m‬‬

‫‪1 A‬‬ ‫‪B′ 1.5m 2 7m‬‬

‫ ‪C‬‬ ‫‪C = C′‬‬

‫پس‪:‬‬ ‫نظر به حالت اول تشابه مثلث ها ' ‪ABC ~ AB ' C‬‬ ‫چون مثلث ها باهم مشابه اند؛ پس تناسب بین اضالع آن ها وجود دارد‪.‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪C′‬‬

‫‪BC 1 AB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1.5m 2 7m‬‬ ‫= ‪B′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪AB′‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪7 mM C 90° 7 m ⋅1.8m 7 ⋅18m 2‬‬ ‫=‬ ‫= ‪, BC‬‬ ‫=‬ ‫‪1.8mC′ 1.5m‬‬ ‫‪1.5m‬‬ ‫‪15m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B42‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B′ 1.5m 2 7m‬‬ ‫= ‪BC‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪BCA = 8.4m‬‬ ‫‪1.8m‬‬

‫‪1.8m‬‬

‫‪90°‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫∆‬

‫∆‬

‫‪M‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪M‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪ -1‬در شکل مقابل ثابت کنید که‪NMP ~ MAB :‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P‬‬

‫‪N‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪P 60°R‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪ -2‬در شکل مقابل نشان دهید که‪RQP ~ DEF :‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪R‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪80°‬‬

‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪R‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪D‬‬

‫حالت دوم‬ ‫چگونه مي توان ارتفاع درخت را‬ ‫محاسبه كرد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫∧‬

‫‪A‬‬

‫∧‬

‫در دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ A = A′ ، A′B′C ′‬و‬

‫‪A′‬‬

‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪A′B′ A′C′‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫● نقطة " ‪ B‬را روي ضلع ‪ AB‬طوري انتخاب‬

‫را در نظر بگيريد‪.‬‬

‫‪C′′‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪B′′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫كنيد كه ‪ AB′′ = A′B′‬شود‪.‬‬ ‫● از نقطه " ‪ B‬خطي موازي به ضلع ‪ BC‬رسم كنيد و نقطة تقاطع آن را " ‪ C‬بنامید‪.‬‬ ‫∆‬

‫● رابطة تالس را در ‪ ABC‬بنويسيد‪.‬‬ ‫● در تناسب‬

‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪A′B′ A′C′‬‬

‫قيمت مساوي ' ‪ A ' B‬را وضع نماييد‪.‬‬

‫‪AB AC‬‬ ‫‪AB AC‬‬ ‫=‬ ‫● از تناسب ‪ AB == AC‬و‬ ‫‪AB′′ AC′′ AAB′B′′′ AA′CC′ ′′‬‬ ‫● آيا دو مثلث ' ‪ A ' B ' C‬و " ‪ AB " C‬با هم انطباق پذير اند؟ چرا؟‬

‫کدام رابطه‌ را به دست آورده مي توانيد؟‬

‫∆‬

‫∆‬

‫● دو مثلث ‪ ABC‬و " ‪AB " C‬‬

‫‪A′‬‬ ‫باهم چه رابطة دارند‪ .‬چرا؟‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪A‬‬

‫∆‬

‫● آیا می توان از توضیحات باال تشابه ‪ ABC‬و ' ‪≅ A ' B ' C‬را‪′′C ′′‬‬ ‫‪ AB‬گرفت؟‬ ‫نتیجه‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪C′‬‬

‫∆‬

‫‪B′‬‬

‫∆‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫در فعاليت فوق ديديم كه‪ A ' B ' C ' ≅ AB " C " :‬و ‪ AB " C " ~ ABC‬است؛ پس مي‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫توان نتيجه گرفت كه ‪ ABC ~ A′B′C′‬است‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫قضیه‪ :‬اگر دو ضلع يك مثلث با دو ضلع‬ ‫مثلث دیگر متناسب و زاویۀ ما بین این دو‬ ‫ضلع در هر دو مثلث انطباق پذیر باشند‬ ‫مثلث ها باهم مشابه اند‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫∧ ∧ ‪AC‬‬ ‫=‬ ‫اگر '‪ A = A‬و‬ ‫‪A′B′ A′C′‬‬

‫پس‪:‬‬

‫∆‬

‫‪A‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫‪C′′‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B′′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫باشند‪.‬‬

‫∆‬

‫' ‪ABC ~ A ' B ' C‬‬

‫‪A′‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪6‬‬

‫متشابه اند؟‬ ‫مثال‪ :‬آيا ‪ O A B‬و ‪O A′ B′‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫داریم‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫حل‪ :‬در دو مثلث ‪ O A B‬و ‪A′ B′‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫قرار متقابل به رأس‪O1 = O 2 ......................... :‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪4‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪OA OB 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪OB′ OA′ 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫∆‬

‫‪B‬‬

‫∆‬

‫دردو مثلث یاد شده دو ضلع شان متناسب و زاویة بین آنها مساوی است‪ ،‬درنتیجه ‪OAB ~ OA′B′‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪ 24m‬است‬ ‫مسأله‪ :‬طول سایۀ یک تعمیر ‪ 16m‬است‪ ،‬در حالی که سایۀ تعمیر بلندتر از آن‬ ‫‪ A′‬تعمیر کوچک ‪ 24m‬باشد‪.‬‬ ‫‪ A′‬در صورتي كه بلندي‬ ‫بلندی تعمیر بزرگ را دریافت کنید‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬

‫َ‪A‬‬

‫‪C′‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B′ O‬‬

‫‪4‬‬

‫‪M‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2.5 C‬‬ ‫َ‪C‬‬ ‫َ‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪40°‬‬ ‫حل‪ :‬چون مثلث های‪ ABC‬و ‪′‬‬ ‫اضالع مثلث‬ ‫مشابه هستند پس نسبت بین‬ ‫‪ A ′B′CP‬با هم ‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪24m‬‬ ‫های ‪ ABC‬و ‪ A′B′C′‬را چنین مي توان نوشت‪ :‬‬ ‫=‬ ‫‪40°‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪24m 16m‬‬ ‫‪24m × 24m‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫‪= 36m‬‬ ‫‪16m‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫در اشکال زیر کدام دو مثلث با هم مشابه اند؟‬ ‫‪M‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2.5‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪40°‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪6‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪18‬‬

‫‪6‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪B‬‬

‫حالت سوم‬ ‫اگر طول انگشت مقابل ‪ 5cm‬باشد‬ ‫طول تصویر آن چند خواهد بود؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫∆‬

‫●‬

‫‪= 9 ,=AB‬‬ ‫‪ AC =AC‬واحد و ‪BC = 12‬‬ ‫واحد‪9 ,‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫مثلث ‪ A BC‬را طوري رسم كنيد كه ‪6 = 6‬‬

‫واحد باشد‪ ،‬سپس زواياي آن را اندازه كنيد‪.‬‬ ‫∆‬

‫● مثلث ‪ M N P‬را طوري رسم كنيد كه‪ NP = 4 , MP = 3 , MN = 2 :‬واحد طول‬ ‫بوده؛ سپس زواياي آن را اندازه كنيد‪.‬‬ ‫● با در نظر داشت قيمت هاي فوق جدول زير را تكميل نماييد‪:‬‬ ‫زوايا‬

‫‪‬اضالع‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫مثلث‬ ‫‪BC  12 , AC‬‬ ‫‪ AB  6‬ﻭ ‪ 9‬‬

‫?=‪A=?,B=?,C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪BC212 , AC‬‬ ‫‪  AB  6‬ﻭ ‪ 9‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫?‬ ‫‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫?‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C‬‬ ‫?=‬ ‫‪NP  4 , ABC‬‬ ‫‪MP  3 , MN‬‬ ‫?=‪M=?,N=?,P‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫?=‪M=?,N=?,P‬‬

‫‪‬‬

‫‪NP  4 , MP  3 , MN  2‬‬

‫‪MNP‬‬ ‫‪BC‬‬

‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫?‪‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪NP‬‬ ‫‪MPAB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫‪?,‬‬ ‫?‪‬‬ ‫نسبت بين اضالع‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪NP‬‬ ‫‪MP‬‬

‫در فعاليت باال ديديم كه نسبت بين اضالع مثلث ها وجود دارد و زواياي دو مثلث نیز با هم‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪A‬‬ ‫مساوي اند‪ ،‬بنا بر آن مثلث ‪ABC ~ MNP‬‬ ‫قضیه‪ :‬اگر سه ضلع يك مثلث با سه‪M‬ضلع مثلث ديگر‬ ‫متناسب باشند‪ ،‬آن دو مثلث باهم مشابه اند‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫‪P‬‬

‫‪N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪M‬‬

‫‪P‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪‬‬

‫‪BC‬‬

‫‪‬‬

‫‪NP‬‬

‫‪P‬‬

‫‪N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫مثال‪ :‬آيا دو مثلث ذیل با هم مشابه اند؟‬ ‫‪QR‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪UT 2.4 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪RS‬‬ ‫‪7 5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪S‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪U‬‬ ‫∆‬ ‫∆ ‪4.2‬‬ ‫‪TV 4.2 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫پس‪ RQS ~ TUV :‬می باشد‪.‬‬ ‫‪QS‬‬ ‫‪7 5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫مثال‪ :‬ارتفاع برج ‪ AB‬را به کمک طول سایۀ آن یعنی ‪ AC‬تعیین کنید‪UV 4.2 3.‬‬

‫حل‪ :‬برای این منظور میله يي را عمود بر سطح زمین در جایی قرار می دهیم که انجام باالیی‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫آن یعنی نقطه ‪ N‬با نقاط ‪B‬و‪ C‬روي يك خط قرار گیرد؛ چون ‪ ABC ~ CMN‬است‪.‬‬

‫‪AB AC‬‬ ‫=‬ ‫‪MN MC‬‬

‫پس‪:‬‬

‫‪ AC‬معلوم اند؛ پس به کمک رابطة باال طول‬ ‫در رابطة باال طول قطعه خط های ‪ MN، MC‬و ‪B‬‬

‫‪ AB‬را که ارتفاع برج است می توان طورزير حساب‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫در مثلث های مشابه ‪ CMN‬ﻭ ‪ CAB‬داریم‪:‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪10‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪25‬‬

‫‪E‬‬

‫’‪D‬‬

‫‪15‬‬

‫‪18‬‬ ‫’‪E‬‬

‫’‪F‬‬

‫’‪D‬‬

‫‪M‬‬

‫‪18‬‬ ‫’‪E‬‬ ‫’‪D‬‬

‫‪15‬‬

‫‪E‬‬

‫‪19‬‬

‫‪C‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪12‬‬ ‫’‪C‬‬

‫‪8‬‬

‫’‪B‬‬

‫‪18‬‬

‫‪12‬‬ ‫’‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪8‬‬

‫’‪B‬‬

‫’‪E‬‬

‫‪19‬‬

‫‪M‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪P‬‬

‫’‪C‬‬

‫‪8D‬‬

‫’‪B‬‬

‫‪8‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪18‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪15‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪5‬‬

‫‪20‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪P‬‬

‫‪C‬‬

‫‪10‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫’‪A‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪20‬دو مثلث با هم‪12‬متشابه اند؟‬ ‫اشکال ذیل کدام‬ ‫‪ -2‬نشان دهيد‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬که در ‪30‬‬ ‫’‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪12‬‬

‫‪B‬‬

‫’‪A‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫’‪F‬‬

‫‪12AB = 20 ⋅ 10‬‬ ‫‪200‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪A‬‬ ‫’‪A‬‬ ‫‪AB = 16‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪C‬‬

‫‪12 20‬‬

‫‪F‬‬

‫‪25‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ 19‬های ذیل با هم مشابه اند؟‬ ‫‪ -1‬کدام جوره از مثلث‬ ‫‪E‬‬

‫‪12‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪C‬‬

‫‪10‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪10‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫کرد‪N:‬‬

‫‪AB AC‬‬ ‫=‬ ‫‪MN MC‬‬ ‫‪AB 20‬‬ ‫=‬ ‫‪10 12‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪P‬‬ ‫∧‬

‫? =∧‪PM‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪4.3cm‬‬

‫? = ‪AC‬‬

‫● مثلث ‪ ABC‬را طوری رسم كنيد كه در آن ‪ B = C‬باشد‪.‬‬ ‫‪69°‬‬ ‫‪69°‬‬ ‫اندازه گيري كنيد‪.‬‬ ‫● طول اضالع مثلث ‪ ABC‬را با استفاده از خط كش‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫● چه رابطه یی بين طول اضالع اين مثلث مشاهده مي شود؟‬ ‫● مثلث ديگري را با دو زاوية مساوي رسم نموده عملیة فوق را تكرار كنيد‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3.2cm‬‬

‫‪64° 64°‬‬

‫‪M‬‬

‫از فعاليت فوق مشاهده مي شود‪ ،‬مثلث هايی كه دو زاوية مساوي دارند‪ ،‬اضالع مقابل زواياي‬ ‫مذکور با هم مساوي اند‪ .‬اين مطلب را به شكل یک قضيه طور زير‪ ،‬بیان می نماییم‪:‬‬ ‫قضيه‪ :‬اگر دو زاويه در يك مثلث با هم مساوي باشند‪ ،‬اضالع‬ ‫مساوي هستند‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪62° 62°‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪56°‬‬ ‫مقابل ‪56°‬‬ ‫زواياي مذكور‬

‫‪N‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫باهم‬

‫‪R‬‬

‫ثبوت‪ :‬فرض مي كنيم در مثلث ‪ B = C ، ABC‬است‪ .‬ناصف الزاوية ‪ A‬را رسم نموده‬ ‫آن را ‪ DA‬مي ناميم‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫در دو مثلث ‪ ABD‬و ‪ ACD‬داريم‪:‬‬

‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪A1 = A 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ ‬ ‫(چرا)؟‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 = 90‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪B = C ‬‬ ‫حال در دو مثلث ‪ ABD‬و ‪ ACD‬داريم‪:‬‬ ‫∧‬

‫‪1 2‬‬

‫∧‬

‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪ AD، A1 = A 2 ‬ناصف الزاويه‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪‬‬ ‫‪ D1 = D 2  ⇒ ABD ≅ ACD‬زوایای قایمه اند‬ ‫‪ ، AD = AD‬ضلع مشترك‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪30°‬‬

‫با در نظر داشت تساوي اصل دو زاويه و ضلع بين آن‌ها‪ ،‬مثلث‌هاي ‪ ABD‬و ‪ ACD‬باهم‬ ‫انطباق پذيراند؛ بنابر اين اضالع مقابل آن ها نیز باهم مساوي هستند‪.‬‬ ‫‪AB = AC‬‬

‫‪21‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫مثال‪ :‬درشكل زیر ‪ AB = 2.9cm ، B = C = 30‬است طول ضلع ‪ AC‬را معلوم كنيد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫چون‪ B = C :‬است‪ ،‬پس مثلث متساوي الساقين است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫در نتيجه‪ ،‬مقابل زواياي مساوي‪ ،‬اضالع مساوي قرار دارند‪.‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫ ‬ ‫بنابراین‪:‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪AB = AC = 2.9cm‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬در شكل هاي زير اضالع نا معلوم را دريافت كنيد‪.‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪A‬‬

‫‪P‬‬ ‫? = ‪PM‬‬

‫‪M‬‬

‫‪4.3cm‬‬

‫? = ‪AC‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪3.2cm‬‬

‫‪4.3cm‬‬ ‫‪64° 64°‬‬

‫‪PM = ? 69° 69°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪69° 69°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪N‬‬

‫? = ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪64° 64°‬‬

‫‪ -2‬با توجه به اندازة زاويه ها درشكل زير نشان دهيد که دو مثلث ‪ MNR‬و ‪ MSR‬انطباق‬ ‫پذير اند‪.‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪62° 62°‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪56° 56°‬‬

‫‪N‬‬

‫‪62° 62°‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪56° 56°‬‬

‫‪N‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3.2cm‬‬

‫‪22‬‬

‫‪B‬‬

‫عكس قضیۀ فيثاغورث‬ ‫‪Pythagorean‬‬

‫‪A‬‬

‫در کدام حالت با سه قطعه خط‬ ‫کیفی یک مثلث قایم الزاویه‬ ‫تشکیل می گردد؟‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫● مثلثي را با طول اضالع ‪ 4 ، 3‬و ‪ 5‬سانتی متر رسم كنيد‪.‬‬ ‫● اندازة زاويه هاي اين مثلث را محاسبه كنيد‪.‬‬ ‫● مثلث به دست آمده چه نوع مثلثي است؟‬ ‫● چه رابطه یی بين طول اضالع اين مثلث مشاهده مي شود؟‬ ‫● عمليه هاي فوق را براي مثلثي به طول اضالع ‪ 10,8‬و ‪ 6‬سانتی متر تكرار كنيد‪.‬‬ ‫مشاهدات قضية فوق را به عنوان عكس قضية فيثاغورث طور زير مي توان بيان كرد‪:‬‬ ‫عكس قضية فيثاغورث‬ ‫اگر مجموع مربعات دو ضلع یک مثلث مساوی به مربع ضلع سوم آن باشد‪ ،‬آن مثلث‬ ‫قایم الزاویه است‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬که طول اضالع آن‬ ‫‪ b , a‬و ‪ c‬باشد داريم‪a 2 = b 2 + c 2 :‬‬ ‫مثلث ‪ A′B′C ′‬را با طول اضالع ‪ c , b‬طوري رسم‬ ‫مي كنيم كه در رأس ‪ A′‬قايمه باشد‪ ،‬براي اين منظور‬ ‫ابتدا زاوية قايمة ‪ A′‬را رسم نموده روي اضالع آن‬ ‫قطعه خط هايي را به طول ‪ b‬و ‪ c‬جدا مي كنيم‪.‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫آن نقاط را ‪ B′‬و ‪ C ′‬مي ناميم‪.‬‬

‫‪B′‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪M‬‬

‫طبق قضية فيثاغورث در مثلث ‪ A′B′C′‬داريم‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B′C′ = b 2 + c 2‬‬

‫از طرف دیگر مي دانيم که ‪ b 2 + c 2 = a 2‬است در نتيجه‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B′C′ = a 2‬‬

‫واحد ‪B′C′ = a‬‬ ‫پس دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ A′B′C ′‬نظر به حالت تساوي سه ضلع‪ ،‬انطباق پذير هستند‪ ،‬در نتيجه‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫زواياي آنها نيز يك به يك مساوي اند؛ چون‪ A′ = 90  :‬پس‪ A = 90  :‬می شود‪.‬‬ ‫يعني‪ :‬مثلث ‪ ABC‬قايم الزاويه است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬مثلثي به طول اضالع ‪ AC = 2 cm , AB = 3 cm‬و ‪ BC = 5 cm‬چه نوع‬ ‫مثلثي است؟‬ ‫حل‪ :‬به اساس قضیه فیثاغورث داريم‪:‬‬ ‫‪( 3)2 + ( 2 )2 = ( 5 )2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫پس به اساس معکوس قضية فيثاغورث مثلث ‪ ABC‬در رأس ‪ A‬قايم است‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪A′‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪C′‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AB +B′AC = BC‬‬

‫‪ -1‬دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ MNP‬داده شده اند‪ .‬نشان دهيد كه كدام یکي آن ها مثلث قايم الزاويه‬ ‫‪M‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪ -2‬درست بودن یا تحقق رابطة فيثاغورث را در مثلث هاي قايم الزاوية زير تحقيق كنيد‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7.2‬‬ ‫‪7.2‬‬

‫‪5.4‬‬ ‫‪5.4‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪24‬‬

‫قضاياي مثلث قايم الزاويه‬

‫‪C‬‬

‫در شكل مقابل چند مثلث قايم الزاويه را‬ ‫مي بينيد؟ آيا اين مثلث ها باهم مشابه‬ ‫اند؟‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪H‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● مثلث قايم الزاوية ‪ ABC‬را رسم كنيد كه زاوية ‪ C‬آن قايمه باشد‪.‬‬ ‫● از رأس ‪ C‬ارتفاع باالی وتر آن رسم نموده آن را ‪ CH‬بناميد‪.‬‬ ‫● مثلث هاي ‪ ACH‬و ‪ BCH‬چه نوع مثلث هايی هستند؟‬ ‫● آيا مثلث هاي ‪ ACH‬و ‪ ABC‬مشابه اند؟ چرا؟‬ ‫● آيا مثلث هاي ‪ BCH‬و ‪ ABC‬مشابه اند؟ چرا؟‬ ‫● آيا مثلث هاي ‪ ACH‬و ‪ BCH‬مشابه اند؟ چرا؟‬

‫‪C‬‬

‫از فعاليت فوق مشاهده مي شود كه ارتفاع باالی وتر يك مثلث قايم الزاويه‪ ،‬مثلث را به سه‬ ‫ثبوت قضاياي زير استفاده کرد‪.‬‬ ‫مثلث متشابه تقسيم مي كند‪ .‬از اين مطلب مي توان برای‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫قضيه‪ :1‬در هر مثلث قايم الزاويه‪ ،‬حاصل ضرب اضالع قايم مساوي به حاصل ضرب وتر در‬ ‫ارتفاع وارد بر وتر است‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬فرض كنيد ‪ CH‬ارتفاع باالی وتر مثلث قايم الزاوية ‪ ABC‬باشد‪ .‬در دو مثلث‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ACH‬و ‪ ABC‬داريم‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫~‬ ‫‪ACH‬‬ ‫⇒‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ ‬زاویة مشترك ‪A = A‬‬ ‫∧‬

‫‪b‬‬

‫∧‬

‫‪C = H 1 = 90‬‬

‫‪25‬‬

‫‪h‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H‬‬

‫‪A‬‬

‫از تشابه دو مثلث نتيجه مي شود كه اضالع مقابل زاویه های مساوی باهم متناسب اند‪.‬‬ ‫يعني‪:‬‬ ‫‪AC CH‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ AC ⋅ CB = CH ⋅ AB‬‬ ‫‪AB CB‬‬

‫قضية ‪ :2‬در هر مثلث قايم الزاويه مربع ارتفاع باالی وتر مساوی به حاصل ضرب دو قطعه‬ ‫خط ایجاد شده باالي وتر مي باشد‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬فرض كنيد ‪ CH‬ارتفاع باالی وتر مثلث قايم الزاويه ‪ ABC‬باشد‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫در مثلث قايم الزاوية ‪ ABC‬داريم‪A + B = 90............... I :‬‬

‫در مثلث قايم الزاوية ‪ ACH‬داريم‪A + C1 = 90.............II :‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪B‬‬ ‫∧‬

‫‪A‬‬

‫‪H‬‬

‫∧‬

‫از روابط(‪ I‬و ‪ )II‬نتيجه مي گيريم كه‪B = C1 :‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫به همين ترتيب مي توانيم نشان دهيم كه‪ A = C 2 :‬است‪ .‬چرا؟‬

‫در دو مثلث قايم الزاوية ‪ ACH‬و ‪ CBH‬داريم كه‪:‬‬ ‫∆‬

‫‪‬‬ ‫‪A = C2‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪C1 = B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪H1 =B H 2D= 90 ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬

‫∆‬

‫‪⇒ ACH ~ CBH‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫∧‬

‫‪C‬‬

‫از تشابه دو مثلث‪ ACH‬و‪ CBH‬نتيجه مي شود كه اضالع مقابل زاویه های مساوی باهم‬ ‫متناسب اند‪ ،‬يعني‪:‬‬ ‫‪CH AH‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ CH 2 = AH ⋅ HB‬‬ ‫‪HB CH‬‬

‫‪26‬‬

‫عمود باالی ‪ AB‬است و چهار ضلعی ‪ DECF‬یک مستطیل‬ ‫مثال‪ : 1‬در شکل زیر ‪CD‬‬ ‫∆‬ ‫می باشد‪ ،‬نشان دهید که مثلث ‪ B E D‬با مثلث قایم‬ ‫‪B‬‬ ‫ا لزاویه ‪ ABC‬مشابه است‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫∆‬

‫∆‬

‫حل‪ :‬در مثلث های ‪ AC B‬و ‪ B E D‬داریم که‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫چون‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪B‬‬ ‫مشترک‬ ‫‪DE‬‬ ‫||‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪F‬‬ ‫قاطع است؛ پس زوایای یک طرف قاطع با هم‬ ‫مساوی اند‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫یعنی‪C = BED = 90  :‬‬ ‫چون دو زاوية دو مثلث با هم مساوي شدند‪ ،‬بنابر آن در مقابل زوایای مساوی اضالع‬ ‫متناسب وجود دارد‪ .‬در نتيجه نظر به حالت تشابه مثلث ها مي توان گفت‪:‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪BED ~ ACB‬‬

‫نوت‪ :‬در شکل باال تعداد مثلث های متشابه تشکیل شده را حساب کنید‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬در شکل زیر ‪ CH‬ارتفاع باالی وتر مثلث قایم الزاویه ‪ ABC‬است‪.‬‬ ‫اگر ‪ r = 4cm‬و ‪ s = 9cm‬باشد طول ‪ h‬را دریافت کنید‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪CH 2 = AH ⋅ BH‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪h‬‬

‫‪CH 2 = 4 ⋅ 9 cm‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪CH 2 = 36 cm‬‬

‫‪B‬‬

‫‪s‬‬

‫‪H‬‬

‫‪r‬‬

‫‪CH 2 = 36‬‬ ‫‪CH = 6cm‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪27‬‬

‫‪N‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪a‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪h‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪B‬‬

‫‪s‬‬

‫‪B‬‬

‫‪s‬‬

‫‪H‬‬

‫‪C‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ -1‬مثلث قایم الزاویه يي که زاویة ‪ G‬آن قایم است داده شده‪R‬است‪ ،‬قیمت های ‪ a‬و ‪ b‬را‬ ‫به دست آورید‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪b‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪a‬‬

‫‪T‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ -2‬در مثلث قایم الزاویة ‪ CH ، ABC‬ارتفاع باالی وتر ‪ AB‬می باشد‪ .‬هرگاه ‪m = 9‬‬ ‫واحد طول و ‪ n = 3‬واحد طول باشد قیمت های ‪ b ، a‬و ‪ h‬را دریافت کنید‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ha‬‬

‫‪H B‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪m‬‬

‫‪A‬‬

‫‪m‬‬

‫‪28‬‬

‫قضایا در مثلث قایم الزاویه برای‬ ‫زوایای ه‪ 30‬و ه‪60‬‬ ‫‪B‬‬

‫درشكل مقابل‪ ،‬آيا ضلع مقابل زاوية‬ ‫‪ 30 ‬برابر نصف طول وتر است؟‬ ‫‪C‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪C‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫روي يك صفحة كاغذ‪ ،‬مثلث قايم الزاويه يي مانند شكل زير رسم‬ ‫و آن را قیچی کنید‪.‬‬ ‫● مثلث ‪ ABC‬را طوري قات كنيد كه رأس ‪ B‬باالي رأس ‪A‬‬ ‫قرار گيرد‪.‬‬ ‫● همچنان آن را دوباره طوري قات كنيد كه رأس ‪ C‬باالي رأس‬ ‫‪ A‬قرار گيرد‪.‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫● اگر نقطة تقاطع را ‪ D‬بناميم‪ ،‬آيا مي توا ن گفت ‪ AD = DC = DB‬است؟ چرا؟‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫زير‬ ‫نتيجه يي كه از فعاليت فوق به طور عملي به دست مي آيد مي توانيم‪ N‬به صورت قضية ‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫بيان و ثابت نماييم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قضيه‪ :‬در هر مثلث قايم الزاويه طول ميانه كه از رأس قايم باالی وتر آن رسم شده باشد‪،‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مساوي به نصف طول وتر است‪.‬‬

‫ثبوت‪ :‬فرض كنيد كه ‪ BM‬ميانة وارد بر وتر مثلث‬ ‫‪ ABC‬باشد‪ .‬مي خواهيم نشان دهيم كه‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪BM‬‬

‫براي ثبوت ميانة ‪ BM‬را به اندازة خودش امتداد‬ ‫مي دهيم تا نقطة‌ ‪ N‬به دست آيد‪.‬‬

‫‪29‬‬

‫‪N‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬

‫پس‪ BM = MN :‬‬ ‫در دو مثلث ‪ AMB‬و ‪ MNC‬داريم‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪ ⇒ AMB ≅ MNC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬قرار متقابل برأس‪،‬‬

‫‪BM‬ميانه است‪AM = MC ،‬‬ ‫قرار ترسيم‪BM = MN ،‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪M1 = M 2‬‬

‫با توجه به انطباق پذيري دو مثلث ‪ AMB‬و ‪ MNC‬نتيجه مي شود كه‪:‬‬

‫‪AB = NC.............. I‬‬ ‫‪AB = NC.............. I‬‬

‫به همين ترتيب از انطباق پذيري دو مثلث ‪ AMN‬و ‪ BMC‬نتيجه مي شود كه‪:‬‬

‫‪AN = BC..............II‬‬ ‫‪AN = BC..............II‬‬

‫چرا؟ ‬ ‫پس از روابط(‪ I‬و‪ )II‬نتيجه مي شود كه در چهار ضلعي ‪ ABCN‬اضالع مقابل با هم‬ ‫مساوي اند‪ ،‬چون يك زاوية آن قايمه است‪ ،‬پس‪ ABCN :‬يك مستطيل مي باشد‪.‬‬ ‫چون در یک مستطيل قطرها باهم مساوي بوده و همديگر را نصف مي كنند؛ پس‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬

‫= ‪BM‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● مثلث قايم الزاوية ‪ ABC‬را طوری رسم كنيد كه اندازة ‌زواياي حادة آن ‪ 30‬و ‪60‬‬

‫باشد‪.‬‬ ‫● طول وتر و اضالع قايم آن را با خط كش اندازه گيري كنيد‪.‬‬ ‫● چه رابطه بين طول اضالع اين مثلث وجود دارد؟‬

‫● تجربة فوق را با يك مثلث قايم الزاويه یی که شما رسم می کنید با داشتن زواياي ‪60 ,30‬‬ ‫تكراركنيد‪.‬‬ ‫مشاهدات فعاليت فوق را مي توان طور زير بيان و ثبوت كرد‪:‬‬ ‫قضيه‪ :‬در یک مثلث قايم الزاويه اگر اندازة يك زاوية حادة آن‪ 30°‬باشد‪ ،‬طول ضلع مقابل‬ ‫اين زاويه نصف طول وتر است‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ثبوت‪ :‬در مثلث قايم الزاوية ‪ ABC‬فرض كنيد ‪ A = 30‬و ‪ B = 90‬باشد‪.‬‬ ‫مي خواهيم ثابت كنيم كه‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪BC‬‬

‫‪30‬‬

‫براي اثبات‪ ،‬ميانة ‪ BM‬را باالی وتر رسم می کنیم‪ ،‬مي دانيم که ميانة وارد بر وتر نصف‬ ‫وتر است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫پس‪ BM = MC :‬‬ ‫در نتيجه‪ :‬مثلث ‪ BMC‬متساوي الساقين است‪.‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪M‬‬ ‫از اينجا نتيجه مي گيريم ‪ˆ = 60‬‬ ‫‪ˆ = MCB‬‬ ‫‪MBC‬‬ ‫پس مثلث ‪ MBC‬متساوي االضالع است‪ .‬چرا؟‬ ‫‪C‬‬

‫بنا برآن‪BC = MC :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫چون ‪ M‬نقطة وسط ‪ AC‬است‪ .‬در نتیجه ‪BC = AC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‪ :‬در شكل مقابل اگر ‪ BM‬ميانة وارد بر وتر مثلث ‪ABC‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ 3‬واحد باشد‪ ،‬طول اضالع مثلث را تعيين كنيد‪.‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬در مثلث قايم الزاويه مي دانيم که ميانة وارد بر وتر نصف‬ ‫وتر است؛ پس‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BM = 3 AC ⇒ 3 = AC ⇒ AC = 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫از طرف ديگر مي دانيم ضلع مقابل زاوية ‪ 30 ‬نصف وتر است؛ پس‪:‬‬

‫ ‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC ⇒ AB = × 6 ⇒ AB = 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪ABB‬‬

‫‪D‬‬

‫حال با استفاده از قضية فيثاغورث مي توانيم اندازة ضلع سوم مثلث را محاسبه كنيم‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AB‬‬ ‫‪C + BC = AC A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ 32 + BC = 6 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ 9 + BC = 36 ⇒ BC 2 = 36 − 9 = 27‬‬ ‫‪⇒ BC = 27‬‬

‫‪31‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫‪ -1‬در مثلث ‪ C ، ABC‬قايمه است‪ ،‬اگر ‪ AB = 16‬واحد طول و ‪ CD‬ميانه باشد‪ ،‬طول‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ CD‬را دريابيد‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ -2‬در شكل فوق اگر طول میانة ‪ CD = 15‬واحد طول باشد طول ‪ AB‬را دريابيد‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪ -3‬در مثلث ‪ H ، GHK‬قايمه است و ‪ ، GH = 1 GK‬اندازة زاوية ‪ K‬چقدر است؟‬ ‫‪2‬‬

‫‪G‬‬

‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫∧‬

‫‪H‬‬ ‫‪G‬‬

‫∧‬

‫‪ -4‬در مثلث ‪ M ، KMN‬زاوية قايمه و ‪ K = 30 ‬است‪ RS , TV , XY .‬بر ‪KM‬‬ ‫‪N‬‬

‫واحد و ‪ KR = 6‬واحد‬ ‫عمود اند‪ .‬اگر ‪ KN = 16‬واحد‪ KX = 13 ،‬واحد‪KT = 10 ،‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪K‬‬

‫باشند در اين صورت طول های ‪ RS , TV , XY‬و ‪ MN‬را دريابيد‪.‬‬

‫‪T‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪V‬‬

‫‪S‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪K‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪M‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪V‬‬

‫‪S‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪K‬‬

‫‪32‬‬

‫نكات مهم فصل دوم‬ ‫ هرگاه یک خط‪ ،‬دو ضلع مثلث را طوری قطع نماید که موازی به ضلع سوم آن باشد آن‬‫دو ضلع را متناسباً تقسیم می کند‪.‬‬ ‫ دو مثلث را وقتی مشابه می گوییم که تمام زوایای آن یک به یک انطباق پذیر و یا اضالع‬‫آن با هم متناسب باشند‪ ،‬یعنی اگر یکی از دو خاصیت آن در مثلث ها صدق کند مثلث ها‬

‫مشابه اند‪.‬‬

‫‪ -‬مثلث ها در سه حالت با هم مشابه اند‪.‬‬

‫حالت اول‪ :‬هرگاه دو زاویة یک مثلث با دو زاویة مثلث دیگر مساوی باشند‪.‬‬

‫حالت دوم‪ :‬هرگاه دو ضلع یک مثلث با دو ضلع مثلث دیگر متناسب و زاویة بین شان مساوی‬ ‫باشند‪.‬‬

‫حالت سوم‪ :‬هرگاه سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر متناسب باشند‪.‬‬

‫‪ -‬عکس قضیه فیثاغورث‪ :‬اگر مجموع مربعات دو ضلع مثلث مساوی به مربع ضلع سوم باشد‪،‬‬

‫مثلث قایم الزاویه است‪.‬‬

‫ در هر مثلث قایم الزاویه‪ ،‬حاصل ضرب اضالع قایم مساوی به حاصل ضرب وتر در ارتفاع‬‫وارد بر وتر است‪.‬‬

‫‪ -‬در هر مثلث قایم الزاویه‪ ،‬طول میانه که از رأس قایم باالی وتر آن رسم شده باشد مساوی‬

‫به نصف طول وتر است‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫تمرينات فصل دوم‬ ‫’‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حرف(ص)‪2‬و در ‪1 1‬‬ ‫مقابل جملة غلط‬ ‫بخوانید‪ ،‬در‪8‬مقابل جملة صحیح‬ ‫جمالت زیر را ‪B‬به دقت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫حرف(غ) بنویسید‪.‬‬

‫‪L‬‬

‫‪18‬‬

‫‪12‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الزاویه‪ ،‬در صورتی با هم ‪K‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫باهم‬ ‫شان‬ ‫های‬ ‫وتر‬ ‫طول‬ ‫که‬ ‫اند‬ ‫مشابه‬ ‫) دو مثلث’‪B‬قایم‬ ‫’‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫’‪A‬‬

‫‪(-1‬‬

‫‪a‬‬

‫مساوی باشند‪.‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫مثلث دیگر‬ ‫‪ ) (-2‬اگر در یک مثلث دو ضلع وزاویة مابینی شان با دو ضلع و زاویه مابینی ‪E‬‬ ‫‪ 18‬مثلث های مذکور با هم‪M‬مشابه اند‪.‬‬ ‫انطباق پذیر باشند‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫مذکور‬ ‫‪ ) (-3‬اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع˚‪60‬مثلث دیگر متناسب باشند‪ ،‬مثلث‬ ‫‪16‬های ‪16‬‬ ‫‪12‬‬

‫مشابه ‪5‬اند‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫˚‪60‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ ) (-4‬تمام مثلث‪ 8‬های قایم الزاویه‪P‬با هم مشابه اند‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫‪N‬‬

‫‪B‬‬

‫‪5‬‬

‫‪C‬‬

‫‪9‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ ) (-5‬اگر یک خط با یک ضلع مثلث موازی باشد با دو ضلع دیگر آن نیز مساوی است‪.‬‬ ‫جاهای خالی را با کلمات مناسب پر کنید‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫مثلث مساوی به ‪ ......‬آن باشد آن مثلث قایم الزاویه‬ ‫یک ‪3‬‬ ‫‪ .1‬اگر مجموع مربعات دو ضلع ‪2‬‬ ‫است‪.‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ .2‬در هر مثلث قایم الزاویه حاصل ضرب‪ .................‬مساوی به حاصل ضرب وتر در‬ ‫ارتفاع وارد به وتر است‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ .3‬اگر یک خط دو ضلع یک مثلث‪ 2‬را ‪4‬طور متناسب تقسیم نماید به ضلع سوم آن ‪............‬‬ ‫‪E‬‬

‫است‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ .4‬دو مثلث وقتی با هم مشابه اند که ‪ ............‬یک مثلث با‪ .............‬دیگر انطباق پذیر باشد‪.‬‬ ‫سؤال زیر را حل کنید‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫در اشکال زیر ‪ MN // BC‬است با استفاده از قضیة تالس ‪ x‬را در یابید‪.‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪N 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪6‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪x‬‬

‫‪B‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪x‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪34‬‬

‫فصلسوم‬

‫افاده های الجبری‬

‫مربع مجموع و تفاضل افاده های‬ ‫دو حده‬ ‫مثلث عددی مقابل‪ ،‬به نام مثلث‬ ‫پاسکال مشهور است‪ .‬سطر سوم‬ ‫مثلث چه چیزی را نشان می دهد؟‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪b‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a+b‬‬ ‫‪a.b‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ab‬‬

‫●طول هر ضلع مربع مقابل ‪ a + b‬است‪.‬‬ ‫● مساحت مربع را به ‪ S‬نشان دهید و قيمت آن را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫● مربع اولي را به دو مربع با مساحت هاي ‪ a 2 , b 2‬و دو‬ ‫مستطیل با مساحت های ‪ a.b‬مانند شکل مقابل تقسيم و به‬

‫‪1‬‬

‫‪S‬‬

‫‪a+b‬‬

‫‪b2 a + b‬‬

‫‪ab‬‬

‫‪ S3 , S 2 , S1‬و ‪ S 4‬نامگذاري نماييد‪.‬‬ ‫● مجموع مساحت های مربعات و مستطيل ها را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪a2 a‬‬ ‫‪a.b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫● مساحت مربع اولي با مساحت های مربعات و مستطيل ها‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪S‬‬ ‫چه رابطه یی دارد؟ بنويسيد‪.‬‬ ‫‪. b‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫● رابطة به دست آمده را با استفاده از خاصيت توزيعي ضرب باالي جمع نشان دهيد‪.‬‬ ‫از فعاليت فوق مي توان بيان كرد‪:‬‬ ‫است‪(a‬به مربع حد اول‬ ‫مساوي‬ ‫‪ 2ab‬دو‬ ‫مربع‪+‬مجموع‬ ‫)‪+ b‬‬ ‫‪2 +‬حد‪= a،‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫جمع دو چند حاصل ضرب حد اول و دوم جمع مربع‬ ‫حد دوم‪ ،‬یعنی‪:‬‬ ‫‪(a + b) = a 2 + 2ab + b 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪a‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ab‬‬

‫‪SS 23‬‬

‫‪b a S S4 1‬‬

‫‪b‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪37‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫مثال ‪ :  1‬افادة ‪ ( x + 3) 2‬را انکشاف دهید‪.‬‬

‫‪( x + 3) 2 = x 2 + 2 × 3 × x + (3) 2‬‬ ‫‪= x2 + 6 x + 9‬‬

‫مثال ‪ :  2‬افادة ‪ (3x + 5 y ) 2‬را انکشاف دهید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از مطابقت ‪ ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2‬مي توان نوشت‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪(3 x + 5 y ) 2 = (3 x) 2 + 2(3 x)(5 y ) + (5 y ) 2‬‬

‫‪= 9 x 2 + 30 xy + 25 y 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مثال ‪( x + ) 2 = x 2 + 2 x + ( ) 2 : 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫انکشاف مطابقت ‪ (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2‬است که آن را می توان طور زیر به دست آورد‪:‬‬

‫‪(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2‬‬

‫مربع تفاضل دو حد مساوي است به مربع حد اول منفي دو چند حاصل ضرب حد  اول و دوم‬ ‫جمع مربع حد دوم؛ مانند‪:‬‬ ‫‪(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2‬‬ ‫مثال ‪ ( x − 1) 2 :  4‬را انكشاف دهيد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از مطابقت داریم‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(a − b) = a − 2ab + b‬‬

‫‪( x − 1) 2 = x 2 − 2( x )(1) + (1) 2‬‬ ‫‪( x − 1) 2 = x 2 − 2 x + 1‬‬

‫‪1‬‬

‫مثال ‪ (8 x − ) 2 :  5‬را انكشاف دهيد‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(8 x − ) 2 = (8 x) 2 − 2(8 x)( ) + ( ) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 64 x 2 − x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬افاده هاي زير را انكشاف دهيد‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d ) ( x + )2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪c) ( x + 12) 2‬‬

‫‪b) ( x + 7) 2‬‬

‫‪ -2‬افاده هاي زير را انكشاف دهيد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d ) ( x − y )2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪c) (6 xy − ) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪b) (12 x − 5 y ) 2‬‬

‫‪a) (m + 1) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a ) ( − 3) 2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪38‬‬

‫‪2x + 3‬‬

‫تجزية افاده هاي الجبري‬

‫= ‪S1‬‬

‫‪3x – 1 6x² + 7x – 3‬‬

‫شما می توانید مساحت مستطيل را به‬ ‫طول ‪ 2 x + 3‬و عرض ‪ 3x − 1‬پيدا‬ ‫كنيد‪.‬‬ ‫آيا فكر كرده ايد چگونه مي توانيد‬ ‫طول و عرض مستطيل به مساحت‬ ‫‪ 3x 2 − 4 x + 1‬را دريافت كنيد؟‬

‫?‬

‫= ‪S2‬‬ ‫‪3x² – 4x + 1‬‬

‫?‬

‫‪(2x – 3)(2x + 3) = . . . . . . – . . . . . .‬‬ ‫‪(3y + . . . )(3y – . . . ) =9y 2 – a 2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪( . . . + . . . )( . . . – . . . ) =4x 2 – 9‬‬ ‫‪(4y – 2x) 2 = . . . . – . . . . + 4x 2‬‬

‫جاهاي خالي را درتساوي هاي مقابل با افاده های‬ ‫مناسب پركنيد‪.‬‬

‫‪(2 x − 3)(2 x + 3) = ... − ...‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( . . . + 2y) 2 = a 2 – 4ay + . . .2.‬‬

‫‪(3 y + ... )(3 y − ... ) = 9 y − a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪. ) ...= −‬‬ ‫‪4x...‬‬ ‫‪+ 12x‬‬ ‫() ‪( (.... . +. +.... .‬‬ ‫‪) = +4 x9 2 − 9‬‬

‫‪(4 y − 2 x) 2 = ... − ... + 4 x 2‬‬ ‫‪( ... + 2 y ) 2 = a 2 − 4ay + ...‬‬ ‫‪( ... + ... ) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9‬‬

‫در فعاليت فوق ديديم که بعضي اوقات يك افادة الجبري را به صورت ضرب دو افادة‬ ‫الجبري مي توان نوشت‪:‬‬ ‫ارائه يك افادة الجبري به شكل حاصل ضرب دو يا چند افادةالجبري را تجزيه مي ناميم‪.‬‬

‫مثال ‪ :  1‬افادة الجبري ‪ 4 − 16 x 2‬را تجزيه كنيد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از مطابقت‪:‬‬

‫)‪b 2 = (a – b) (a + b‬‬

‫مثال ‪ :2‬افادة الجبري ‪ 25a 2 − 4b 2‬را تجزیه کنید‪:‬‬ ‫حل‪25a 2 − 4b 2 = (5a ) 2 − (4b:‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫)‪= (5a − 4b)(5a + 4b‬‬

‫‪39‬‬

‫– ‪a2‬‬

‫)‪(2) 2 – (4x) 2 = (2 – 4x)(2 + 4x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪25a − 4b = (5a ) − (2b‬‬ ‫)‪= (5a − 2b)(5a + 2b‬‬

‫مثال ‪ :  3‬افادة الجبري ‪ x 2 + 12 x + 36‬را تجزيه مي كنيم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬مي دانيم كه‪ :‬‬ ‫‪a 2 +2ab + b 2 = (a + b) 2‬‬ ‫‪x 2 +2 × x×6 + (6) 2‬‬

‫ ‬

‫ديده مي شود كه دو چند حاصل ضرب جذر مربع حد اول و سوم حد وسط را مي دهد‪ .‬پس‬ ‫افادة فوق به شكل ‪ (a + b) 2‬مطابقت دارد‪.‬‬

‫)‪x 2 + 12 x + 36 = ( x + 6) 2 = ( x + 6)( x + 6‬‬ ‫‪a 2 –2ab‬‬ ‫= ‪bb 2‬‬ ‫)‪–+b‬‬ ‫‪+2ab +‬‬ ‫بنويسيد‪+.‬‬ ‫‪= (a‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫مثال ‪ : 4‬افادة ‪ 4a 2 + 28a + 49‬را به شكل حاصل ضرب‪b)22‬‬ ‫قوس‬ ‫دو‬

‫‪(2a ) 2 + 2 × 2a × 7 + (7) 2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +2‬‬ ‫‪x×2‬ي×‬ ‫‪x×6‬‬ ‫)‪+ (2‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫×‬ ‫‪+‬‬ ‫پس‬ ‫ دهد؛‬ ‫وسط را م‬ ‫ديده مي شود كه دو چند حاصل ضرب جذر مربع حد اول و سوم حد‬ ‫افادة فوق شكل مطابقت ‪ (a + b) 2‬را دارد‪.‬‬ ‫)‪4a 2 + 28a + 49 = (2a + 7) 2 = (2a + 7)(2a + 7‬‬ ‫ ‬ ‫در نتيجه‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال ‪ :  5‬افادة الجبري ‪ x − 4 x + 4‬را به دو قوس تجزيه مي نماييم‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a –2ab + b = (a – b) 2‬‬ ‫حل‪ :‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪x 2 –2 × x×2 + (2)2‬‬

‫ ‬ ‫ديده مي شود دوچند حاصل ضرب جذر حد اول و حد سوم حد وسط را مي دهد؛ پس افادة‬ ‫فوق شكل مطابقت ‪ (a − b) 2‬را دارد‪.‬‬ ‫در نتيجه‪:‬‬

‫)‪x 2 − 2 × x × 2 + (2) 2 = ( x − 2) 2 = ( x − 2)( x − 2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬افاده هاي الجبري زير را تجزيه كنيد‪:‬‬ ‫‪c) 49 − y 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪− y2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪64 x‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b) m − 36‬‬

‫‪a ) 49 x − 16‬‬

‫‪e) x 2 y 2 − 64‬‬

‫‪d ) 25 − x 2‬‬

‫‪ -2‬افاده هاي زير را به اساس مطابقت ‪ (a + b) 2‬و ‪ (a − b) 2‬به دو قوس تجزيه نماييد‪.‬‬

‫‪+ b+22 b 2‬‬ ‫‪cc) 2aa22 + 24ab2ab‬‬ ‫‪f ) 4a 2 − 12ab + 9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪bb)) xx2 ++66xx ++ 99‬‬ ‫‪e) b 2 − 12b + 36‬‬

‫‪aa)) x 2x+2 2+xy‬‬ ‫‪+ y+2 y 2‬‬ ‫‪2 xy‬‬ ‫‪d ) 4 x 2 y 2 + 4 xy + 1‬‬

‫‪40‬‬

‫نكات مهم فصل سوم‬ ‫‪ -‬مربع مجموع دو حد‪ ،‬مساوی است به مربع حد اول‪ ،‬جمع دو چند حاصل ضرب حد اول‬

‫و دوم‪ ،‬جمع مربع حد دوم‪ ،‬یعنی‪:‬‬

‫‪(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2‬‬

‫‪ -‬مربع تفاضل دو حد‪ ،‬مساوی است به مربع حد اول‪ ،‬منفی دو چند حاصل ضرب حد اول‬

‫و دوم‪ ،‬جمع مربع حد دوم؛ مانند‪:‬‬

‫‪(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2‬‬

‫‪ -‬ارائه یک افاده الجبری به شکل حاصل ضرب دو یا چند افادة الجبری را تجزیه می نامیم‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫تمرينات فصل سوم‬ ‫‪ -1‬دو حده های زیر را تجزیه کنید‪.‬‬ ‫‪b) x 2 y 2 − 64‬‬

‫‪a) x 2 −1‬‬

‫‪d ) 121 − y 2‬‬

‫‪c) m 2 − 16a 2‬‬

‫‪ -2‬افاده های زیر را انکشاف دهید‪.‬‬ ‫‪b) ( y − b) 2‬‬ ‫‪d ) (a + 7 ) 2‬‬

‫‪a ) (m + 1) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c) ( x − ) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -3‬افاده های زیر را تجزیه کنید‪.‬‬ ‫‪b) x 2 − 8x + 16‬‬ ‫‪x 2 + 2 xy + y 2‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪a ) 4 x 2 y 2 − 9z 4‬‬ ‫‪a 2 x 2 + 4axy + 4 y 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪42‬‬

‫فصلچهارم‬ ‫معادالت‪ ،‬رابطه‬ ‫و تابع‬

‫مفهوم معادله‬ ‫قبل از اینکه به مطالعه معادالت آغاز‬ ‫نماییم الزم است که مفهوم مساوات‬ ‫را واضح سازیم تا بتوانیم به کمک‬ ‫مساوات معادله را یک بار دیگر‬ ‫تعریف نماییم‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫مفهوم مساوات‪ :‬هرگاه قیمت عددی دو افادة الجبری با هم مساوی باشند گفته می شود که‬ ‫این دو افاده با هم مساوی اند و افاده های نامبرده یک مساوات را تشکیل میدهند‪.‬‬ ‫مث ً‬ ‫ال‪ :‬اگر ‪ A = 2a + b‬و ‪ B = 2a + b‬را در نظر بگیریم نوشته کرده می توانیم که‬ ‫‪ 2a + b = 2a + b‬یا ‪A = B‬‬ ‫دیده می شود که افاده ها توسط عالمة مساوات(=) با هم دیگر ارتباط دارند و هر افاده یک‬ ‫طرف مساوات را تشکیل میدهد‪ .‬به صورت عموم در الجبر دو نوع مساوات عمومیت دارد‬ ‫نوع اول مساوات شرطیه که معادله هم به آن گفته می شود و نوع دوم آن عبارت از مطابقت‬ ‫یا عینیت است که در فصل قبلی مطالعه شد‪ .‬برای معلومات بیشتر مساوات شرطیه یا معادله را‬ ‫قرار ذیل مورد مطالعه و تحقیق قراد میدهم‪.‬‬ ‫مساوات شرطیه یا معادله‪:‬‬ ‫میدانیم که هرگاه اعداد ‪ 2‬و ‪ 5‬را با هم جمع نماییم عدد ‪ 7‬به دست میاید که این جمله در‬ ‫ریاضی چنین نوشته میشود ‪2 + 5 = 7‬‬ ‫اکنون اگر گفته شود که کدام عدد با عدد ‪ 2‬جمع شود تا حاصل جمع آن ‪ 7‬شود و این‬ ‫جمله در ریاضی چنین نوشته می شود ‪(?( + 2 = 7‬‬ ‫در اینجا عالمه(؟) عبارت از عدد نا معلوم(مجهول) است‪ .‬اگر عدد مجهول را با ‪ x‬نمایش‬ ‫دهیم‪ :‬پس افادة باال را چنین نوشته کرده می توانیم‪:‬‬ ‫‪x+2=7‬‬ ‫‪2+ x = 7‬‬

‫به همین قسم اگر از عدد‪ y‬عدد ‪ 7‬تفریق شود حاصل تفریق آن مساوی به ‪ 2‬می شود‪ ،‬یعنی‬ ‫‪y-7=2‬‬ ‫اگر گفته شود که از کدام عدد ‪ 7‬تفریق گردد تا عدد ‪ 2‬به دست آید در این جا اگر عدد‬

‫‪45‬‬

‫مجهول ‪ y‬نامیده شود افاده را چنین می توان نوشت‪y − 7 = 2 :‬‬ ‫و همچنان اگر بگوییم کدام عدد ضرب ‪ 4‬گردد تا عدد ‪ 20‬به دست آید‪ .‬بازهم اگر عدد‬ ‫مجهول را ‪ x‬بگوییم افاده را چنین میتوان نوشت‪4 x = 20 :‬‬ ‫در افادة باال ‪ y − 7 = 2 ، x + 2 = 7‬و ‪ 4 x = 20‬هر کدام عبارت از معادلة الجبری اند به‬

‫صورت عموم معادله را چنین تعریف می نماییم‪:‬‬ ‫هرگاه به بعضی قیمت های مجهوالت هر دو طرف مساوات با هم برابر شود اینطور مساوات‬ ‫را به نام معادله و یا مساوات شرطیه یاد می کنند‪.‬‬ ‫دیده میشود اگر در معادلة ‪ x + 2 = 7‬به عوض متحول ‪ ، x‬عدد ‪ 5‬نوشته شود هر دو طرف‬ ‫معادله با هم مساوی میشوند؛ بنابر این عدد ‪ 5‬را جذر معادله ‪ x + 2 = 7‬می نامند‪.‬‬ ‫به همین ترتیب در معادلۀ ‪ y-7=2‬اگر به جای متحول ‪ y‬عدد ‪ 9‬نوشته شود هر دو طرف‬ ‫معادله باهم مساوی میگردد‪ .‬عدد ‪ 9‬حل ویا جذر معادله ‪ y-7=2‬می باشد‪.‬‬ ‫به همین قسم اگر در معادله ‪ 4 x = 20‬به جای ‪ x‬عدد ‪ 5‬نوشته شود هر دو طرف معادله‬ ‫باهم مساوی می شوند؛ پس عدد ‪ 5‬جذر معادلة ‪ 4 x = 20‬است‪.‬‬ ‫در نتیجه گفته می توانیم‪ :‬قیمت های مجهولی که در معادله صدق میکنند جذر های معادله‬ ‫نامیده می شوند‪ .‬اعدادی که جذر های معادله نباشند‪ .‬هیچگاه هر دو طرف معادله را مساوی‬ ‫ساخته نمی توانند‪ .‬معادالتی که دارای یک مجهول بوده و توان مجهول آن یک باشد‪ ،‬معادله‬ ‫یک مجهولة درجه یک نامیده می شود‪.‬‬ ‫خواص معادله‪ :‬شاگردان عزیز خواص معادله را در صنف هشتم مطالعه نموده اید در درس‬ ‫گذشته هم گفته شد که معادله عبارت از مساوات شرطیه است و در معادله آن افاده های‬ ‫الجبری که به هر دو طرف عالمه مساوات قرار دارند از نقطه نظر قیمت عددی با هم مساوی‬ ‫اند هر گاه معادله را با ترازو مقایسه نماییم دیده می شود که معادله و ترازو هر دو دارای عین‬ ‫خواص اند‪ ،‬یعنی وزن های که به هر دو طرف پله های ترازو گذاشته می شوند مشابه به افاده‬ ‫های الجبریست که به هر دو طرف عالمة مساوی‪ ،‬نوشته میشوند‪ .‬اگر وزن های گذاشته شده‬ ‫در هر دو پله ترازو با هم مساوی نباشند ترازو به حالت تعادل نمی آید‪.‬‬ ‫به همین ترتیب اگر قیمت های عددی افاده های الجبری هر دو طرف مساوات با هم مساوی‬ ‫نباشند‪ ،‬افاده های نامبرده معادله را تشکیل داده نمی توانند‪ .‬اگر ترازو در حالت تعادل باشد و‬ ‫یک مقدار وزن های مساوی از هر دو پله آن کم و یا به هر دو پلة آن زیاد شود حالت تعادل‬ ‫ترازو تغییر نمی خورد‪ .‬در معادالت نیز این خواص تطبیق میگردد‪ ،‬یعنی اگر به هر دو طرف‬ ‫معادله اعداد مساوی را جمع ویا از آن تفریق نماییم باز هم معادله به حالت خود باقی می ماند‪.‬‬ ‫که چهار حالت جمع‪ ،‬تفریق‪ ،‬ضرب و تقسیم را در یک معادله در صنف هشتم کار نموده‬ ‫اید‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫تشکيل معادالت‬ ‫عثمان‪ :‬فرهاد‪ ،‬تو چند ساله هستي؟‬ ‫فرهاد‪ :‬اگر از نصف عمر پدرم عدد ‪ 5‬كم‬ ‫گردد مساوي به سن من است‪ .‬زماني كه‬ ‫من تولد شدم پدرم ‪ 25‬سال عمر داشت‪.‬‬ ‫عثمان‪ :‬فهميدم‪ ،‬عمر پدرت ‪ 40‬وسن تو‬ ‫‪ 15‬سال است‪.‬‬ ‫آيا مي توانيد بگوييد كه عثمان چگونه‬ ‫فهميد‪ .‬كه فرهاد چند ساله است؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪x  5  x  25‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫يك مسأله حسابي روزمره را به معادلة الجبري تبديل مي نماييم و سعي مي كنيم كه در انجام‬ ‫فعاليت‪ ،‬شيوة تشکيل معادله و حل آن را بيابيم‪.‬‬ ‫● اگر با دو چند يك عدد‪ ،‬عدد ‪ 4‬جمع شود مساوي به ‪ 16‬مي شود‪ ،‬عدد كدام است؟‬ ‫● آيا مسأله را فهميديد؟ چگونه مي توانید آن را به يك معادلة الجبري تبديل نماييد؟‬ ‫● بعد از تبديل آن به معادلة الجبري حل آن را به دست آوريد‪.‬‬ ‫● آيا واقعاً حل تان درست است؟ امتحان كنيد‪.‬‬ ‫از فعاليت باال نتيجة زير را به دست مي آوريم‪:‬‬ ‫براي تشکیل يك معادلة الجبري و دريافت حل آن با در نظرداشت فعاليت فوق‪ ،‬مراحل زير‬ ‫ضروري و اساسي پنداشته مي شود‪:‬‬ ‫ تحلیل و درك مفهوم موضوع‬‫ انتخاب مجهول و نامگذاري‬‫ تشکيل يك معادله‬‫ حل مسأله‪ ،‬يا دريافت قيمت مجهول‬‫‪ -‬امتحان كردن مسأله با جواب دريافت شده‬

‫‪47‬‬

‫مثال‪ :‬اگر با دو چند پول رشاد ‪ 20‬افغاني اضافه گردد‪ ،‬مساوي به پول خوشحال مي گردد‪.‬‬ ‫اگر مقدار پول خوشحال ‪ 60‬افغاني باشد‪ ،‬مقدار پول رشاد چند است؟‬ ‫حل‪ :‬براي تشکیل معادله و دريافت حل آن مرحله به مرحله پیش می رویم‪.‬‬ ‫ تحلیل و درك مسأله و خواندن آن با تمام دقت‪.‬‬‫انتخاب مجهول‪ ،‬مقدار پول رشاد است كه آن را ‪ x‬مي ناميم‪.‬‬ ‫ ساختمان معادله‪ :‬با دو چند پول رشاد (‪ )2x‬اگر ‪ 20‬افغانی اضافه گردد (‪ )2x+20‬مساوي‬‫به پول خوشحال مي شود ‪2x+20=60‬‬ ‫ حل معادله‬‫‪2 x + 20 = 60‬‬ ‫از اطراف معادله (‪ )20‬را کم می کنیم‪ :‬‬

‫‪2 x = 60 − 20 = 40‬‬ ‫‪2 x = 40‬‬ ‫‪2 x 40‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = 20‬‬

‫اطراف معادله تقسيم ‪ : 2‬‬

‫ ‬ ‫مقدار پول رشاد‪:‬‬

‫امتحان‪ :‬اگر با دو چند پول رشاد ‪ 20‬افغاني اضافه گردد‪ ،‬مساوي به پول خوشحال‪ ،‬يعني ‪60‬‬

‫مي شود كه اين مسأله هم درست است‪.‬‬ ‫ ‬ ‫زيرا‪:‬‬

‫‪2(20( + 20 = 60‬‬

‫‪40 + 20 = 60‬‬ ‫‪40 + 20 = 60‬‬ ‫‪60 = 60‬‬ ‫چون مساوات عددی ‪ 60 = 60‬است‪ ،‬بنابراین قیمت دریافت شده صحیح است‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اگراز ‪ 3‬چند يك عدد ‪ 5‬تفريق گردد‪ ،‬مساوي به ‪ 4‬مي شود‪ ،‬عدد كدام است؟‬ ‫‪ -2‬حاصل جمع سن ليمه و نيلوفر مساوي به ‪ 30‬است‪ ،‬ليمه ‪ 2‬سال بزرگتر از نيلوفر است‪.‬‬ ‫ليمه و نيلوفر چند سال دارند؟‬

‫‪48‬‬

‫‪x‬‬

‫معا دالت معادل‬ ‫در ترازوهاي شماره ‪ 2 ،1‬و ‪ 3‬چی را‬ ‫مي بينيد؟‬ ‫هر سه ترازو در حالت تعادل قرار‬ ‫دارند‪.‬‬ ‫چگونه می توانید با کم کردن و زیاد‬ ‫کردن مقادیر مساوی حاالت مختلف‬ ‫تعادل را به وجود بیاورید؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x x‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جملة زير را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫اگر از دو چند يك عدد‪ 4 ،‬كم شود‪ ،‬مساوي به ‪ 8‬می شود‪ ،‬عدد كدام است؟‬ ‫هر گاه مجهول را ‪ x‬بناميم در اين صورت براي بيان فوق معادله را به شكل ذيل مي توانيم‬ ‫ ‬ ‫بنویسیم‪.‬‬ ‫‪2x − 4 = 8‬‬ ‫● با در نظر داشت معادلة فوق فعاليت زير را با پر كردن خانه هاي خالي جدول زير انجام‬ ‫دهيد‪.‬‬ ‫حل ها معادله به دست آمده عملیه ها باالی طرفین معادله‬ ‫‪2x – 4 = 8‬‬

‫معادله داده شده‬

‫با طرفین معادلة شماره ‪ 1‬عدد ‪ x‬را جمع می کنیم‬

‫طرفین معادلة شماره ‪ 1‬را ضرب ‪ 2‬می کنیم‬ ‫‪x – 6= 0‬‬

‫طرفین معادلة شماره ‪ 1‬را تقسیم ‪ 2‬می کنیم‬

‫معادلة شماره‪ 1‬را به شکل معیاری می نویسیم‬

‫شماره‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫همه حاالت فوق اشکال مختلف یک معادله (بیانیه) واحد اند که با هم معادل اند‪ .‬با کم‬ ‫کردن و زیاد کردن مقادیر مساوی و یا ضرب و تقسیم به مقادیر مساوی خالف صفر به‬ ‫دست آمده اند‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫از فعاليت فوق نتيجة زير را به دست مي آوريم‪:‬‬ ‫معادالتی كه داراي جذر هاي مساوي باشند‪ ،‬به نام معادالت معادل ياد مي گردند‪.‬‬ ‫انجام عمليات سادة الجبري باالي يك معادله‪ ،‬معادله های معادل را به وجود مي آورد‪.‬‬ ‫براي دريافت جذر معادله سعي مي گردد تا از روش دريافت معادالت معادل‪ ،‬معادله يي به‬ ‫دست آيد كه شكل ساده تري براي دريافت مجهول معادله داشته باشد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬معادلة ‪ 2 x − 4 = 0‬را حل كنيد‪.‬‬ ‫‪2x − 4 = 0 2x − 4 + 4 = 0 + 4‬‬ ‫حل‪ :‬به اطراف معادله ‪: + 4‬را جمع مي كنيم‪:‬‬ ‫‪2x − 4 + 4 = 0 + 4‬‬ ‫‪: +4‬‬ ‫‪2x 4‬‬ ‫اطراف تقسيم ‪ : 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2x 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= ⇒x=2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫امتحان‪ :‬قيمت دريافت شده را در اصل معادلة ‪ 2 x − 4 = 0‬وضع مي نماييم‪:‬‬ ‫‪2× 2 − 4 = 0‬‬ ‫‪4−4 = 0‬‬ ‫‪0=0‬‬

‫چون هردو طرف مساوات صفر است‪ ،‬بنا بر اين ‪ x = 2‬جذر معادله مي باشد‪.‬‬ ‫با وضع کردن قیمت دریافت شده در معادلۀ ‪ 2 x = 4‬می بینیم‪ ، 2 × 2 = 4 :‬پس ‪2 x = 4‬‬ ‫و ‪ 2 x − 4 = 0‬معادالت با هم معادل هستند‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬حل معادالت زير را دريافت نموده امتحان كنيد‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪4( 16 − 3t = 0‬‬

‫ ‬

‫‪5( 3 − 4 y = 2 − 6 y‬‬ ‫‪ -2‬کدام یک از معادالت زیر با هم معادل هستند؟‬ ‫‪3x − 4 = 8‬‬ ‫‪2x − 2 = 4‬‬

‫)‪b‬‬

‫(‪(a − 2‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2( 2(2 x − 1( = 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3( + x = 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x +1 = + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1 = x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪1‬‬

‫‪50‬‬

‫ناصر‬

‫رابطــه‬ ‫حمید‬

‫سباوون محمود‬

‫كي با كي چه را بطه دارد؟‬

‫پدر‬ ‫پسران‬ ‫راحله‬ ‫زرغونه‬

‫هیله‬

‫مادر‬

‫دختران‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫شكل باال را در نظر گرفته‪ ،‬با ارتباطاتي كه بين اعضاي يك خانواده وجود دارد‪ ،‬به سؤاالت‬ ‫زير جواب دهيد‪:‬‬ ‫● راحله خانم ناصر است‪ ،‬حمید با ناصر چه رابطه دارد؟‬ ‫● محمود پسر ناصر است‪ ،‬راحله و حمید چه رابطه دارند؟‬ ‫● هيله خواهر سباوون است‪ ،‬آيا سباوون برادر هيله است؟‬ ‫● زرغونه خواهر هيله است‪ ،‬آيا بر عكس هيله خواهر زرغونه است؟‬ ‫● هيله خواهر زرغونه و زرغونه خواهر محمود است‪ ،‬پس هيله با محمود چه ارتباط دارد؟‬ ‫● از قرابت فاميلي براي روابط اعضاي خانواده چند مثال ديگر بگوييد‪.‬‬ ‫از فعاليت باال مي توانيم نتيجة زير را به دست آوريم‪:‬‬ ‫هرگاه بين دو شي (دو جسم) و يا عناصر دو ست‪ ،‬توسط عمليه هاي‬ ‫رياضي و يا كدام رشتة اجتماعي‪ ،‬پيوندي وجود داشته باشد اين پيوند‬ ‫به نام رابطه ياد مي گردد‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬بين اعداد ‪‌3،2،1‬و ‪ 4‬و تعداد مربعات مقابل يك رابطه برقرار‬ ‫می نماييم‪:‬‬

‫‪51‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫ﺭﻭﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﻋﻤﻮﺩﻯ‬

‫‪–7‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–4‬‬

‫حل‪:‬‬

‫ﺭﻭﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻓﻘﻰ‬

‫‪H‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻧﻘﺎﻁ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪=9‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫—–‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪1 –3‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎﻯ ﻣﺘﺤﻮﻝ ‪x‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎﻯ ﻣﺠﻬﻮﻝ ‪y‬‬ ‫‪2 –7‬‬

‫‪y‬‬

‫مثال‪ :2‬اگر نسرين ‪ 26‬سال و انجيال ‪ 16‬سال عمر داشته باشند‪ ،‬بعد از ‪ 10 ، 5‬و ‪ 15‬سال‬ ‫سن نسرين و انجيال چند سال خواهد بود؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫ﺳﻦ ﺍﻧﺠﻴﻼ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪41‬‬

‫‪O‬‬

‫‪15‬‬

‫‪26‬‬

‫ﺳﻦ ﻧﺠﻼ‬

‫‪7‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪20‬‬

‫ﺳﻦ ﺭﺣﻤﻦ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺯﻣﺎﻥ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ‬

‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﻪ ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮ‬

‫‪29‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪400‬‬

‫‪36‬‬

‫‪31‬‬

‫‪300‬‬

‫ﺳﻦ ﻧﺴﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬يك ست ‪ 5‬عنصره از نام هاي هم صنفان تان و يك ست ‪ 5‬عنصره از ميوه هاي مختلف‬ ‫تهيه نماييد‪ ،‬اسم هر هم صنف تان را به ميوه مورد عالقة او در يك قوس به شکل جوره‬ ‫‪ a‬ﺿﻠﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بنويسيد‪.‬‬ ‫عددی‪a²‬راﻣﺴﺎﺣﺖ‬ ‫دريافتﻣﺮﺑﻊكنيد كه‬ ‫مساوي ‪1‬‬ ‫گرفته با ‪9‬رابطة ‪4‬‬ ‫در نظر ‪16‬‬ ‫‪ -2‬اعداد ‪ 6،5،4،3،2،1‬و ‪ 8‬را ‪25‬‬ ‫جذر المربع آن مساوي به يكي از اعداد فوق باشد؛ طور مثال‪ 25 = 5 :‬است‪.‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪240 270‬‬

‫‪40‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺒﻠﻎ ﻣﺼﺮﻑ‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺒﻠﻎ ﻣﺼﺮﻑ‬

‫‪52‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪240‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪60‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻧﻘﺎﻁ‬

‫‪3‬‬

‫ﺭﻭﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻓﻘﻰ‬

‫‪–5‬‬ ‫‪6‬‬

‫رابطة خطي‬

‫ﺭﻭﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﻋﻤﻮﺩﻯ‬

‫‪–7‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪G H‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪–3 –4 1‬‬ ‫رابطه خط مستقيم‬ ‫‪–2 –4 –4‬‬

‫اگر گراف يك‬ ‫باشد‪ ،‬رابطه بين ‪ x‬و ‪ y‬را چه‬ ‫مینامند؟‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪yA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﻘﺎﻁ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫—–‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪ –3‬ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎﻯ ﻣﺘﺤﻮﻝ ‪x‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪ –7‬ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎﻯ ﻣﺠﻬﻮﻝ ‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪36‬‬

‫‪21‬‬

‫‪16‬‬

‫ﺳﻦ ﺍﻧﺠﻴﻼ‬

‫تولد شد‪.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫رحمان ‪ 20‬ساله بود كه دخترش نجال ‪41‬‬

‫‪31‬‬

‫‪26‬‬

‫ﺳﻦ ﻧﺴﺮﻳﻦ‬

‫‪31‬‬

‫‪x‬‬

‫● زماني كه ‪O‬نجال در ‪ 7‬ساله گي شامل مكتب شد‪ ،‬مي توانيد بگوييد كه رحمان چند ساله‬ ‫بود؟‬ ‫● زماني كه نجال ‪ 20‬ساله شود‪ ،‬پدرش چند سال خواهد داشت؟‬ ‫● با در نظر داشت سن نجال و پدرش جدول زير را تكميل كنيد‪:‬‬ ‫‪15‬‬

‫ﺳﻦ ﻧﺠﻼ‬

‫‪7‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪29‬‬

‫ﺳﻦ ﺭﺣﻤﻦ‬ ‫رحمان‬ ‫سن‬

‫‪21‬‬ ‫‪20‬‬

‫رسم ﺑﻪكنيد‪.‬‬ ‫● گراف سن نجال را نظر ‪4‬به‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫مختصات‪0‬قايم ﺯﻣﺎﻥ‬ ‫سيستم ‪1‬‬ ‫رحمان در ‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮاست؟‬ ‫چندﺑﻪ ساله‬ ‫● اگر رحمان ‪ 24‬ساله باشد‪ ،‬از روي گراف پيدا كنيد كه نجال‬ ‫‪ 0‬ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫‪100 200 300 400‬‬ ‫● چه رابطه بين سن رحمان و نجال وجود دارد؟‬ ‫● اگر سن رحمان را به ‪ y‬و سن نجال را به ‪ x‬نشان دهيم‪ ،‬رابطه بين سن رحمان و نجال را با‬ ‫‪ a‬ﺿﻠﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بنويسيد‪.‬‬ ‫يك افادۀ الجبري‬ ‫‪25‬‬

‫‪16‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ a²‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺮﺑﻊ‬

‫‪1‬‬

‫از فعاليت فوق نتيجة زير را به دست مي آوريم‪:‬‬ ‫هرگاه گراف یک رابطه خط مستقيم باشد‪ ،‬در اين صورت رابطه بين متحولين را به نام رابطة‬ ‫ياد مي نمايند‪.‬‬ ‫خطي‬ ‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪30 40‬‬ ‫‪60 70‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪53‬‬

‫‪240 270‬‬

‫‪150‬‬

‫‪60‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺒﻠﻎ ﻣﺼﺮﻑ‬

‫‪O‬‬

‫‪31‬‬

‫‪36‬‬

‫‪21‬‬

‫‪16‬‬

‫ﺳﻦ ﺍﻧﺠﻴﻼ‬

‫‪41‬‬

‫‪36‬‬

‫‪31‬‬

‫‪26‬‬

‫ﺳﻦ ﻧﺴﺮﻳﻦ‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال‪ :1‬هرگاه فاصلة كابل – هرات را نظر به زمان با‬ ‫سرعت وسطي ‪ 100Km‬في ساعت طي نماييم‪ ،‬چگونه‬ ‫ﻧﺠﻼ‬ ‫رابطه بین فاصله و‪7‬سرعت وسطی وجودﺳﻦ‬ ‫‪15‬‬ ‫دارد؟‬ ‫ﺭﺣﻤﻦزمان را در‬ ‫نظر به‬ ‫فواصل طي‬ ‫‪ 20‬شده ﺳﻦ‬ ‫حل‪ :‬ابتدا‪29‬رابطه بين ‪23‬‬ ‫جدول زير درج مي نماييم‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪400‬‬

‫‪300‬‬

‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺯﻣﺎﻥ‬ ‫زمان ﺑﻪبه ساعت‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﻪ ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮ‬

‫‪y‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬

‫‪y‬‬

‫‪400200‬‬ ‫‪300100‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪200‬‬

‫هرگاه موقعیت جوره های مرتب فوق را در سيستم كميات‬ ‫‪ a‬ﺿﻠﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وضعيه تثبيت و باهم وصل نماييم ديده مي شود كه يك خط ‪x‬‬ ‫مستقيم‪ 4‬به ‪3‬وجود‪ 2‬مي ‪1‬آيد‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫طي ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ‬ ‫وسطي و ‪a²‬‬ ‫‪1‬‬ ‫رابطه بين‪9‬سرعت‪4‬‬ ‫‪25‬اين ‪16‬‬ ‫شده يك رابطة خطي مي باشد‪.‬‬ ‫فاصلة‬ ‫بنابر‬ ‫‪y‬‬ ‫مثال‪ :  2‬رابطه بين طول اضالع مربع و مساحت آن را در نظر مي گیريم‪ .‬به اين منظور هرگاه‬ ‫ضلع مربع را به ‪ a‬و مساحت آن را به ‪ a 2‬نشان دهيم‪ ،‬در‬ ‫‪y‬‬ ‫مختلف ‪0‬ديگري براي‬ ‫‪30‬ت هاي‬ ‫‪ a 40‬قيم‬ ‫برابر‪70‬قيمت‪ 60‬هاي مختلف‬ ‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬ ‫‪10‬‬ ‫مساحت به دست مي آوريم كه در جدول زير درج شده اند‪:‬‬

‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪240 270‬‬

‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪150‬‬

‫‪60‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪16‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺒﻠﻎ ﻣﺼﺮﻑ‬

‫‪ž¸“a‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ž]€»duZˆ»a‬‬

‫‪O‬‬

‫موقعیت نقاط را در سيستم كميات وضعيه مشخص نموده‬ ‫‪0 10‬‬ ‫‪70‬‬ ‫مستقيم است؟‬ ‫‪ 40‬آيا گراف يك خط‬ ‫گراف را ترسيم نماييد‪.‬‬ ‫ﻣﺒﻠﻎ ﻣﺼﺮﻑ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪240‬آيا رابطه خطي‪150‬‬ ‫است؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪60‬و ‪0‬‬ ‫ﻓﺮﻭﺵ ‪ a‬خطي نبوده كه اين نوع‬ ‫ﻋﻮﺍﻳﺪيعني‬ ‫مساحت مربع‪،‬‬ ‫‪180‬طول ضلع ‪a‬‬ ‫‪360‬صورت رابطه بين‬ ‫نخير در اين‬ ‫رابطه به نام رابطة غير خطي ياد مي‪60‬گردد‪.‬‬ ‫ﻣﻔﺎﺩ ﻓﺮﻭﺵ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬

‫‪O‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬طول يك فنر در حالي كه وزن به آن آويزان نشده است ‪ 10cm‬است‪ ،‬هرگاه وزن ‪m‬‬ ‫كيلو گرام را به آن بياويزيم طول فنر توسط رابطة ‪ L = 10 + 0.5 × m‬افزايش مي يابد‪.‬‬ ‫‪ )a‬براي وزن ‪ 4‬كيلوگرام طول فنر چند است؟‬ ‫‪ )b‬چه مقدار وزن را در فنر آويزان نماييم تا طول فنر به ‪ 15‬سانتي متر برسد؟‬ ‫‪ -2‬طول يك سوسمار نوزاد ‪ 30‬سانتي متر است‪ .‬هرگاه ساالنه به طور وسطي ‪ 22‬سانتي متر‬ ‫به طول نوزاد اضافه شود‪ ،‬پس در چه زماني طول سوسمار به ‪ 96‬سانتي متر خواهد رسيد؟‬

‫‪54‬‬

‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–4‬‬

‫تشکیل رابطه های خطی‬

‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪=9‬‬

‫با در نظرداشت متن فعالیت زیر‬ ‫فروش ‪4 1005‬پوقانه‪ 3‬چند‬ ‫در ‪1‬‬ ‫احمد‪1‬‬ ‫—‬ ‫—–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫افغانی مفاد خواهد داشت؟‬ ‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻧﻘﺎﻁ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪ –3‬ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎﻯ ﻣﺘﺤﻮﻝ ‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪ –7‬ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎﻯ ﻣﺠﻬﻮﻝ ‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪O‬‬

‫‪31‬‬

‫‪36‬‬

‫‪21‬‬

‫‪16‬‬

‫ﺳﻦ ﺍﻧﺠﻴﻼ‬

‫‪41‬‬

‫‪36‬‬

‫‪31‬‬

‫‪26‬‬

‫ﺳﻦ ﻧﺴﺮﻳﻦ‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫احمد به خاطر اين كه پول قلم و كاغذ خود را پيدا نمايد‪ ،‬به مشورة مادرش تصميم ميگيرد‬ ‫ﺳﻦ ﻧﺠﻼ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬ ‫بفروشد‪ .‬هرگاه احمد براي خريد ‪ 100‬بالون پوقانه ‪260‬‬ ‫پوقانة هوايي‬ ‫تا بعد از ظهر در شهر‬ ‫ﺭﺣﻤﻦ‬ ‫ﺳﻦ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪29‬‬ ‫افغاني و عالوه بر آن ‪ 20‬افغاني براي خوردن غذا و ‪ 20‬افغاني هم براي كراية ترانسپورت‬ ‫بپردازد‪ .‬احمد تصميم مي گيرد كه هر پوقانه را ‪ 6‬افغاني به فروش برساند‪.‬‬ ‫رياضي ‪0‬خود ﺯﻣﺎﻥ ﺑﻪ‬ ‫معلم ‪1‬‬ ‫به خاطر اطمینان خود‪4 ،‬موضوع‪ 3‬را با ‪2‬‬ ‫ﺳﺮﻋﺖكند و معلم به او مشوره‬ ‫مطرح مي‬ ‫ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮ از سبب فروش تشكيل‬ ‫شدﺑﻪو مفاد‬ ‫‪200‬نظر به‬ ‫‪300‬ه ها را‬ ‫تعداد پوقان‬ ‫‪100‬قیمت‪0‬تمامﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫مي دهد‪ ،‬تا معادالت ‪400‬‬ ‫نموده‪ ،‬گراف هاي هردو حالت را با هم مقايسه كند‪.‬‬ ‫جواباتﺿﻠﻊ‬ ‫‪a‬‬ ‫كمك كنيد‪.‬‬ ‫تكميل‬ ‫در‬ ‫تحقیق‬ ‫در تحليل گراف و‬ ‫‪1‬‬ ‫احمد ‪2‬‬ ‫موضوع با ‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊشد می شود؟‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖتمام‬ ‫مساوي به‪a²‬قیمت‬ ‫فروش‬ ‫عوايد‬ ‫‪ 25‬پوقانه‪،‬‬ ‫● بعد از فروش چند عدد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪16‬‬ ‫● جدول مصرف مجموعي را براي ‪ 100‬عدد پوقانه كه جمله مبلغ ‪ 300‬افغاني می شود‬ ‫تكميل كنيد‪:‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪100‬‬

‫‪60‬‬

‫‪240 270‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪150‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺒﻠﻎ‬ ‫ﻣﺼﺮﻑشد‬ ‫قیمت تمام‬

‫● هرگاه ‪ x‬تعداد پوقانه‌ها و ‪ y‬مقدار مصرف باشد‪ ،‬رابطه الجبري مصارف پوقانه ها را به دست‬ ‫آورده گراف آن را در سيستم مختصات قايم ترسيم كنيد‪ .‬مانند جدول قیمت تمام شد‪ ،‬جدول‬ ‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬ ‫‪0 10‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪70‬‬ ‫ ها تكميل كنيد‪.‬‬ ‫عوايد فروش پوقانه‬ ‫‪ 90‬بر حسب‬ ‫‪100‬زير را‬ ‫فروشات‬ ‫‪240‬‬

‫‪55‬‬

‫‪150‬‬

‫‪360‬‬

‫‪60‬‬

‫‪60‬‬

‫‪180‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺒﻠﻎ ﻣﺼﺮﻑ‬

‫‪0‬‬

‫ﻋﻮﺍﻳﺪ ﻓﺮﻭﺵ‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﻔﺎﺩ ﻓﺮﻭﺵ‬

‫‪70‬‬

‫‪100‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬

‫‪240 270‬‬

‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪30‬‬

‫‪150‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪240‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺒﻠﻎ ﻣﺼﺮﻑ‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩﭘﻮﻗﺎﻧﻪ‬

‫‪60‬‬

‫‪360‬‬

‫‪60‬‬

‫‪180‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺼﺮﻑشد‬ ‫قیمت تمام‬ ‫ﻣﺒﻠﻎ‬

‫‪0‬‬

‫فروش‬ ‫قیمتﻓﺮﻭﺵ‬ ‫ﻋﻮﺍﻳﺪ‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﻔﺎﺩ ﻓﺮﻭﺵ‬ ‫‪y‬‬

‫● در نقطة تقاطع گراف مفاد و قیمت‬ ‫تمام شد با هم چه رابطه دارند؟‬ ‫● چند پوقانه به فروش برسد تا‬ ‫مقدار فروش و مصرف با هم‬ ‫مساوی گردد؟ اين مسأله از نگاه‬ ‫‪x‬‬ ‫گراف چه معنا مي دهد؟‬

‫قی‬

‫‪600‬‬

‫م‬ ‫ت فرو‬

‫قیم‬

‫ت تمام‬

‫‪500‬‬

‫ش‬

‫شد‪ ،‬م‬ ‫فاد فرو‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪300‬‬

‫ش‬

‫تعداد پوقانه‬ ‫‪8‬‬

‫‪400‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫از فعاليت فوق نتيجة زير را به دست مي آوريم‪:‬‬ ‫حل دو معادلة خطي عبارت از نقطة تقاطع گراف هاي آن ها مي باشد؛ و مختصات این نقطه‬ ‫هر دو معادله را صدق می کند‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬قرار شد یک رستورانت برای یک شرکت‪ ،‬غذا تهیه کند‪ .‬این رستورانت ‪ 1000‬افغانی‬ ‫پیش‌پرداخت ساالنه و به عالوه ‪ 600‬افغانی هر ماه مطالبه کرده است‪ .‬رستورانت دیگر بدون‬ ‫پیش‌پرداخت و ماهانه ‪ 850‬افغانی مطالبه نموده است‪ .‬جدول زیر را تکمیل کنید‪.‬‬ ‫ﺣﻮﺕ‬

‫ﺩﻟﻮ‬

‫ﺟﺪﻯ ﻗﻮﺱ ﻋﻘﺮﺏ ﻣﻴﺰﺍﻥ ﺳﻨﺒﻠﻪ‬

‫ﺍﺳﺪ ﺳﺮﻃﺎﻥ ﺟﻮﺯﺍ‬

‫ﺛﻮﺭ‬

‫ﺣﻤﻞ‬

‫ﻣﺎﻩ‬

‫‪6400‬‬

‫اول‬ ‫رستورانتﺍﻭﻝ‬ ‫‪ 1600 2200‬ﺭﺳﺘﻮﺭﺍﻥ‬

‫‪7650‬‬

‫دوم‬ ‫رستورانتﺩﻭﻡ‬ ‫‪ 850 1700‬ﺭﺳﺘﻮﺭﺍﻥ‬

‫گراف پرداخت به این دو رستورانت را در یک سیستم مختصات رسم نمایید‪ ،‬اگر ‪ 6‬ماه غذا‬ ‫بخوریم قرارداد کدام رستورانت به نفع ما است؟‬

‫‪56‬‬

‫تابع‬ ‫● اگر سرعت یک موتر ‪ 50 Km‬باشد‪:‬‬ ‫ موتر یاد شده در دو ساعت‪ h‬کدام‬‫فاصله را طی میکند؟‬ ‫ موتر یاد شد در سه ساعت کدام فاصله‬‫را طی میکند؟‬ ‫● آیا گفته می توانید که برای هر زمان‬ ‫به یک فاصله جداگانه با یک سرعت‬ ‫معین ارتباط می گیرد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫حال رابطه بین سرعت یک موتر و فاصله طی شده نظر به زمان را در نظر می گیریم‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ 17‬حرکت نماید‪ .‬جدول زیر را با در نظرداشت زمان‬ ‫● اگر یک موتر با سرعت ثابت‬ ‫‪sec‬‬

‫داده شده برای فاصله طی شده تکمیل کنید‪:‬‬

‫‪20sec 25sec 30sec‬‬

‫‪10sec 15sec‬‬

‫‪5sec‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬

‫● برای جوره های مرتب به دست آمده‪ ،‬هرگاه سیستم مختصات قایم را برای زمان ‪t‬‬ ‫منحیث متحول مستقل و محور ‪ x‬را متحول مربوطه در نظر بگیریم گراف آن را رسم کنید‪.‬‬ ‫● آیا گفته می توانید که به هر زمان داده شده یک فاصله جداگانه وجود دارد؟‬ ‫●هرگاه ‪ t‬متحول مستقل رابطه فوق باشد در این صورت قیمتهای متحول مربوطه را تعیین کنید‪.‬‬ ‫از فعالیت فوق نتیجه‪ ،‬زیر را به دست می آوریم‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫تابع عبارت از رابطه یی است که ارتباط بین دو ست از عناصر را بر قرار می نماید‪.‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-11‬‬ ‫طوری که برای هر عنصر از ست اولی تنها و تنها یک عنصر از ست دومی تقابل نماید‪.‬‬ ‫ست اولی را به نام ناحیه تعریف (‪ )Domain‬و ست دومی را به نام ناحیه قیمت ها‬ ‫(‪ )Codomain‬یاد می کنند‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f(x‬‬

‫‪57‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪16‬‬

‫‪20sec 25sec 30sec‬‬

‫‪10sec 15sec‬‬

‫‪5sec‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬

‫مثال‪ :1‬افادة ‪ f ) x ) = 2x + 1‬با قیمت های ‪ 4 ، 1 ، -2‬و ‪ -6‬داده شده است نشان دهید‬ ‫که ‪ f‬يک تابع است‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با وضع کردن قیمت های داده شده در تابع‪ ،‬قیمت های ) ‪ f ) x‬طور زیر به دست میاید‪:‬‬

‫‪20sec 25sec 30se‬‬

‫‪10sec‬‬ ‫‪f)x( 15sec‬‬

‫‪5sec‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪xt‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-11 -3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪f ) x ) = 2x + 1‬‬ ‫‪f )−2) = 2)−2) + 1 = −3‬‬ ‫‪f )1) = 2)1) + 1 = 3‬‬ ‫‪f )4) = 2)4) + 1 = 9‬‬ ‫‪f )−6) = 2)−6) + 1 = −11‬‬

‫دیده می شود که برای قیمت های مختلف متحول مستقل تصاویر مختلف وجود دارد‪ ،‬بنا ًء‬ ‫‪1‬‬ ‫افاده فوق ‪3‬‬ ‫یک تابع است‪.‬‬ ‫)‪f(x‬که شکل ‪ y x= ax + b‬را داشته باشد به نام تابع خطی ياد مي شود یا به‬ ‫هر افاد‌‌ة الجبری‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪2 9‬‬ ‫عبارت دیگر هر‪-2‬رابطة خطی را به نام تابع یاد می نمایند‪.‬‬ ‫قیمت های ‪ 916 ،9-6،4‬به افادۀ ‪ f ) x ) = ± x‬داده شده باشد آیا ‪ f‬یک تابع‬ ‫هرگاه ‪3‬‬ ‫مثال‪-11:2‬‬ ‫است یا خیر؟ ‪-3‬‬ ‫‪16‬در افاده‪ ،‬قیمت های(‪ f(x‬را به دست می آوریم‪:‬‬ ‫حل‪ :‬با قرار دادن‪ 4‬قیمت های متحول‬ ‫‪-4‬‬

‫)‪f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f )x) = ± x‬‬ ‫‪f )4) = ± 4 = ±2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪f )9) = ± 9 = ±3‬‬

‫‪16‬‬

‫‪f )16) = ± 16 = ±4‬‬

‫در شکل فوق می بینیم که برای هر عنصر از ست ‪ x‬دو قیمت در ست ) ‪ f ) x‬وجود دارد‪،‬‬ ‫بنابراین نظر به تعریف تابع‪ f ،‬یک تابع نیست ولی رابطه است‪.‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫آيا افادة ‪ f ) x ) = x‬برای قیمت های داده شدة ‪ 3 ،2 ،1 ،0‬و ‪ -3‬یک تابع است؟‬

‫‪58‬‬

‫نكات مهم فصل چهارم‬ ‫ هرگاه با بعضی قیمت های مجهوالت‪ ،‬هر دو طرف مساوات با هم مساوی شود‪ ،‬این‬‫مساوات را به نام معادله یا مساوات شرطیه یاد می کنند‪.‬‬

‫‪ -‬اگر به هر دو طرف معادله اعداد مساوی را جمع و یا تفریق نماییم باز هم معادله به حالت‬

‫خود باقی می ماند‪.‬‬

‫ معادالت معادل‪ :‬معادالتی که دارای جذر های یکسان باشند‪ ،‬به نام معادالت معادل یاد‬‫میگردند‪ .‬انجام عملیات سادة الجبری باالی یک معادله‪ ،‬معادالت معادل را به وجود آورده‬ ‫که با معادلة اولی حل یکسان دارد‪.‬‬

‫‪ -‬هر گاه مسائل روز مره را به قسم یک معادلة الجبری تنظیم کنیم تا با استفاده از حل معادله‬

‫جذر معادله را به دست بیاوریم این پروسه تشکیل معادله بوده که حل آن را به اختیار ما می‬ ‫گذارد‪.‬‬

‫ رابطه‪ :‬هرگاه بین دو شی‪ ،‬جسم ویا عناصر دو ست توسط عملیه های ریاضی و یا کدام‬‫رشتة اجتماعی پیوندی وجود داشته باشد این پیوند به نام رابطه یاد می گردد‪.‬‬

‫ رابطة خطی‪ :‬هرگاه گراف یک رابطه یک خط مستقیم باشد در این صورت رابطه بین‬‫متحولین را به نام رابطة خطی یاد می کنند‪.‬‬

‫تابع عبارت از رابطه یی است که ارتباط بین دو ست از عناصر را بر قرار می نماید‪.‬‬

‫طوری که برای هر عنصر ست اولی تنها و تنها یک عنصر از ست دومی تقابل نماید‪.‬‬

‫ست اولی را به نام ناحیه تعریف (‪ )Domain‬و ست دومی را به نام ناحیه قیمت ها‬

‫(‪ )Codomain‬یاد می کنند‪.‬‬

‫‪59‬‬

‫تمرينات فصل چهارم‬ ‫برای هر سؤال زیر‪ ،‬چهار جواب داده شده است دور جواب صحیح را حلقه بکشید‪.‬‬ ‫‪ -1‬حل معادله ‪ 10 + x = 18‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪c) 2‬‬

‫‪d)4‬‬

‫‪b)8‬‬

‫‪a) − 8‬‬

‫‪ -2‬قدم های حل یک معادله عبارت است از‪:‬‬ ‫‪ - a‬تحلیل و درک‬

‫‪ - b‬انتخاب مجهول و نام گذاری‬

‫‪ - c‬دریافت مجهول و امتحان‬

‫‪ - d‬همه آنها‬

‫‪ .3‬معادل‪ ،‬معادله ‪ 3x − 6 = 3‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪x−2=3‬‬

‫‪3x − 2 = 1 )a‬‬

‫‪)b‬‬

‫‪x − 2 = 1 )c‬‬

‫‪ -d‬هیچ کدام‬

‫معادالت زیر را حل کنید‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x+‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪c) 7 x − 2 = 19‬‬

‫‪b) 6 x − 6 = 6‬‬

‫‪a) t + 4 = 8‬‬

‫سؤال های زیر را حل کنید‪:‬‬ ‫‪ .1‬اگر از پنج چند یک‪ ،‬عدد ‪ 2‬را کم کنیم مساوی به ‪ 3‬می شود‪ .‬عدد کدام است؟‬ ‫‪ .2‬اگر با نصف یک عدد ‪ 4‬اضافه گردد‪ ،‬مساوی به ‪ 8‬میشود‪ .‬عددکدام است؟‬ ‫‪ .3‬یک رابطه را بین عناصر ست }‪ A = {1,2,3,4‬و}‪ B = {5,6,7,8‬توسط ترسیم‬ ‫گراف برقرار کنید‪.‬‬ ‫‪ .4‬سن عبداهلل ‪ 25‬سال کمتر از سن پدرش است‪ ،‬اگر مجموع سن عبداهلل و پدرش ‪41‬‬

‫سال باشد‪ ،‬عمر عبداهلل چند است؟‬

‫‪60‬‬

‫فصل پنجم‬ ‫مساحت و احجام‬

‫مساحت و حجم مكعب مستطيل‬ ‫آيا تا به حال فكر كرده  ايدکه یک‬ ‫انسان در هر بار تنفس چه مقدار هوا‬ ‫را داخل شش های خود می کند؟‬ ‫‪F‬‬

‫‪l‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪2‬‬

‫● شکل مقابل را به اندازه های داده شده در کاغذ رسم‪،‬‬ ‫قیچی و بر روی خط های نقطه چین آن را قات کنید‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫● يك مكعب مستطيل را به طول ‪ ،‌ 5cm‬عرض‪ 2cm‬و ارتفاع ‪ 3cm‬رسم كنيد‪.‬‬ ‫● مكعب مستطيل مذكور چند رأس‪ ،‬چند ضلع و چند سطح دارد؟ هر يك را بشمارید‪.‬‬ ‫● مساحت سطوح جانبي را كه هر سطح آن مستطيل مي باشد دریابید‪.‬‬ ‫● مكعب مستطيل مذكور چند قاعده دارد؟ مساحت قاعدة آن را دریافت کنید‪.‬‬ ‫● با استفاده از مجموع مساحت های فوق مساحت كلي مكعب مستطيل مذکور را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫از فعاليت فوق تعریف زیر را می يابيم كه‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫مكعب مستطيل يك شش وجهي منظم هندسي است كه همه سطوح آن مستطيل شكل‬ ‫بوده و مساحت های هر وجه مقابل آن دو به دو مساوی و موازی‪ ،‬و همه زواياي آن‬ ‫قايم باشند‪ .‬اگر طول مكعب مستطيل را به ‪ ، l‬عرض آن را به ‪ w‬و ارتفاع آن را به ‪h‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ارائه نماييم‪ .‬طوري كه مکعب مستطیل دارای شش‬ ‫‪l‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪w‬‬ ‫سطح بوده و مساحت سطح جانبی آن عبارت است‬ ‫‪H h‬‬ ‫‪E‬‬ ‫) ‪S = 2( wh + h l‬‬ ‫از‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫و مساحت قاعدتين آن عبارت است از‪B=2wl :‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪63‬‬

‫و مساحت کلی آن عبارت است از‪A = w l + l h + wh + w l + l h + wh :‬‬ ‫و يا ) ‪A = 2( l w + l h + wh‬‬

‫مكعب مستطيل كه هر سه بعد (طول‪ ،‬عرض و ارتفاع) آن با هم مساوي باشند به نام‬ ‫مكعب مي ناميم‪ .‬اگر مساحت کلی آن را به ‪ A‬نشان دهيم داريم كه‪:‬‬ ‫و یا‬ ‫‪A = a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2‬‬ ‫‪A = 6a 2‬‬

‫مكعبي كه طول‪ ،‬عرض و ارتفاع آن يك واحد باشد آن را مكعب واحد گويند‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬مساحت كلي مكعب مستطيلي را دريافت نماييد كه طول آن ‪ ، 5cm‬عرض آن‬ ‫‪ 3cm‬و ارتفاع آن ‪ 4cm‬باشد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪w=3‬‬

‫‪l = 5cm‬‬

‫‪w=3‬‬

‫‪w = 3cm‬‬ ‫‪h = 4cm‬‬

‫‪h=4‬‬ ‫)‪A = 2( l w + l h + wh ) = 2(5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4‬‬ ‫)‪A = 2(15 + 20 + 12) = 2(47‬‬

‫‪h=4‬‬ ‫‪l=5‬‬

‫‪l=3‬‬ ‫‪ A = 94cm 2‬مساحت كلي‬

‫‪3‬‬

‫مثال‪ :2‬اگر مساحت کلی یک مکعب ‪ 54cm2‬باشد‪ ،‬طول یک ضلع این مکعب‬ ‫است؟ آن را رسم کنید‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A = 6a‬‬

‫‪6a 2 = 54‬‬ ‫‪54‬‬ ‫= ‪a2‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪a = 3cm‬‬

‫چقدر ‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫● مکعب مستطيلي را به طول ‪ ، 3cm‬عرض ‪ 2cm‬و ارتفاع ‪ 2cm‬رسم كنيد‪.‬‬

‫‪64‬‬

‫● با چند مكعب واحد‪ ،‬مي توان داخل این مکعب مستطيل را پركرد؟ حجم شكل تشكيل شده‬ ‫چقدر است؟‬ ‫● چه رابطه بين طول‪ ،‬عرض و ارتفاع مکعب مستطيل براي محاسبة‌ حجم مي توان دريافت؟‬ ‫● آيا مي توانيد فورمولي براي محاسبة حجم مكعب مستطيل ارائه كنيد؟‬ ‫از فعاليت فوق مي دانيم كه‪:‬‬ ‫حجم مكعب مستطيل كه طول آن ‪ ، l‬عرض آن ‪ w‬و ارتفاع آن ‪ h‬باشد مساوي است به‪:‬‬ ‫‪ V= l ×w× h‬حجم مكعب مستطيل‬ ‫‪ V = a × a × a = a 3‬حجم مكعب‬ ‫مثال‪ :1‬حجم مكعب مقابل را دريافت كنيد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪V = a × a × a = a3‬‬ ‫‪V = 1.5 × 1.5 × 1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬

‫‪ V = 3.375cm3‬حجم مكعب‬ ‫‪1.5‬‬

‫‪1.5‬‬

‫مثال‪ :2‬حجم یک مکعب مستطیل ‪ 24‬متر مکعب و مساحت قاعدۀ آن ‪ 8‬متر مربع است‪.‬‬ ‫ارتفاع این مکعب چند متر است؟‬ ‫‪V=l ×w× h‬حجم مکعب مستطیل‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪24 = 8 × h‬‬ ‫‪h = 24 ÷ 8 = 3 m‬‬ ‫شما می دانید که در هر مکعب مستطیل قطعه خطی که دو رأس مقابل را با هم وصل می کند‬ ‫قطر مکعب مستطیل نامیده می شود‪ .‬برای دریافت آن فعالیت زیر را انجام دهید‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● در شکل مقابل طول اضالع ‪ BD , AB‬و ‪ BE‬را به‬ ‫ترتیب ‪ b،a‬و ‪ c‬نامگذاری کنید‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫● رأس ‪ A‬را به ‪ C‬و رأس ‪ C‬را به ‪ B‬طوری وصل کنید تا یک مثلث قایم الزاویه‬ ‫تشکیل شود‪.‬‬ ‫● در مثلث قایم الزاویة ‪ ABC‬وتر آن ‪ AC‬است رابطة فیثاغورث را برایش‬ ‫بنویسید‪.‬‬ ‫● چون تمام سطوح یک مکعب مستطیل‪ ،‬مستطیل شکل بوده و سطوح مقابل دو به دو‬ ‫پس‪. BE = DC‬‬ ‫با هم انطباق پذیر اند؛ ? =‬ ‫● در مثلث قایم الزاویة ‪ BCD‬وتر آن ‪ BC‬بوده و با استفاده از قضیة فیثاغورث طول‬ ‫ضلع ‪ BC‬را دریافت و در رابطة قبلی وضع کنید‪.‬‬ ‫از فعالیت فوق می یابیم که‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪AC = AC‬‬ ‫‪a + ba ++cb + c‬‬

‫اگر در یک مکعب مستطیل ‪ a=b=c‬باشد پس قطر مکعب قرار زیر به دست می آید‪:‬‬ ‫‪AC  a 3‬‬

‫‪AC  a 2  a 2  a 2  3a 2‬‬

‫مثال‪ :‬قطر مکعب مستطیلی را به ابعاد ‪ 3cm ، 2cm‬و ‪ 6cm‬محاسبه کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با قرار دادن ‪ b = 3cm , a = 2cm‬و ‪ c = 6cm‬در فورمول قطر‪ ،‬طول ضلع‬ ‫‪ AC‬را به دست می آوریم‪:‬‬ ‫‪AC = a 2 + b 2 + c 2 = 2 2 + 32 + 6 2 = 49 = 7cm‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬طول سنگ كاري يك ديوار ‪ ،60cm‬عرض آن ‪ 30cm‬و ارتفاع آن ‪ 120cm‬است‪.‬‬ ‫حجم آن را به سانتي مترمكعب دريافت كنيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر طول ‪ ،‬عرض و ارتفاع یک مکعب ‪ 3‬برابر شود‪ ،‬حجم مکعب چند برابر می شود؟‬ ‫‪ - 3‬مساحت کل و حجم مکعب مستطیل های زیر را به دست آورید‪.‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ - 4‬اگر طول‪ ،‬عرض و ارتفاع یک مکعب را دو برابر کنیم‪ ،‬چه تغییری در طول قطر آن به‬ ‫وجود می آید؟‬

‫‪66‬‬

‫مساحت‌ و حجم منشور‬ ‫آيا تا به حال فكر كرده ايد‪ .‬خيمه هايي‬ ‫كه در آن زنده گي مي كنیم کدام‬ ‫شكل هندسي را دارا اند؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫شكل مقابل را روي يك كاغذ به اندازه هاي داده شده رسم كنيد‪.‬‬ ‫پس از جداكردن شكل از كاغذ‪ ،‬کاغذ را به امتداد خطوط طوری‬ ‫قات نمایید تا یک جسم بسته به وجود بیاید‪.‬‬ ‫● شكل تشكيل شده كدام شكل هندسي است؟‬ ‫‪4cm‬‬ ‫● در شكل فوق چند سطح و چند قاعده را مشاهده مي كنيد؟‬ ‫● مساحت هر یک از مستطيل های مساوي فوق را به دست آوريد‪.‬‬ ‫● مساحت دو قاعدة مثلثي فوق را دريافت كنيد‪.‬‬ ‫● مجموع دو مساحت به دست آمده در فوق چه چیزی را نشان می دهد؟‬

‫‪10cm‬‬ ‫‪4cm‬‬

‫از فعاليت فوق تعریف زیر را می توان نتیجه گرفت‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫منشور‪ :‬جسم منظم هندسي است كه سطوح مقابل آن با هم مساوي و موازي بوده و زواياي‬ ‫سطوح مقابل آن با هم انطباق پذيراند‪ .‬چون هر سطح آن مستطیل شکل می باشد‪ ،‬پس همه‬ ‫شان سطوح جانبی منشور نامیده می شود‪.‬‬ ‫اگر محیط قاعده را در ارتفاع آن ضرب کنیم مساحت سطوح جانبی به دست می آید که‬ ‫با جمع كردن مساحت سطوح جانبي با مساحت هاي قاعدتین مساحت كلي منشور حاصل‬ ‫مي شود‪ .‬اگر سطح  های منشور بر قاعده عمود باشد‪ ،‬آن را منشور قایم می نامند‪.‬‬

‫‪67‬‬

‫منشورها را بر اساس شكل چند ضلعي قاعده هاي آن ها نامگذاري مي كنند‪.‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫منشور ‪ 6‬ضلعي‬

‫منشور ‪ 4‬ضلعي ‬

‫منشور‪ 5‬ضلعي ‬

‫‪3cm‬‬

‫منشور ‪ 3‬ضلعي‬

‫کتاب ریاضی خود و همصنفان خود را گرفته طوري كه در شكل‬ ‫مقابل مي بينيد باالی هم قرار دهید‪ .‬شکل تشکیل شده یک منشور‬ ‫مستطیلی یا مکعب مستطیل می شود‪ .‬در اینجا به مالحظه می رسد‬ ‫‪3cm‬‬ ‫که حجم مکعب مستطیل مذکور مساوی مساحت قاعده ‪ B‬ضرب‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫در ارتفاع ‪ h‬می باشد‪ .‬یعنی ‪V=B× h‬‬ ‫مساوي‬ ‫گونياهای خود را روي هم قرار دهيد‪ .‬يك منشور مثلثي به دست مي آيد كه حجم آن‬ ‫’‪A‬‬ ‫به مساحت قاعده ضرب در ارتفاع است؛ که در آن ‪ B‬مساحت قاعده و ‪ h‬ارتفاع است‪.‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫’‪c‬‬ ‫مثال‪ :‬مساحت کلی و حجم منشور ‪ 3‬ضلعی را پیدا کنید که قاعدۀ‪A‬آن یک مثلث‬ ‫‪3cm‬‬ ‫ارتفاع ‪ 4cm‬است‪.‬‬ ‫متساوی االضالع با طول ‪ 2cm‬و‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حل‪:‬در قدم اول ارتفاع مثلث قاعده منشور یعنی ‪ AH‬را دریافت ‪H‬‬ ‫می کنیم‪.‬‬ ‫‪AH 2 = AC 2 − HC 2 ⇒ AH 2 = (2 2 ) − (1) 2 ⇒ AH = 3‬‬ ‫‪ = 2 × 4 = 8cm22‬مساحت يک سطح جانبی‬

‫’‪A‬‬

‫‪= 2 × 4 = 8cm‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8cm‬‬ ‫‪ == 32××84==24‬مساحت سه سطح جانبی‬ ‫‪cm22‬‬

‫’‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫’‪B‬‬

‫’‪A’c‬‬

‫‪= 3 × 8 = 24cm‬‬ ‫‪= 13 × 8 = 24cm 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ == 1 ×× 22 33 == 33‬مساحت قاعده‬ ‫‪2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C 3cm C H‬‬ ‫‪=2 × 2 3 = 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫قاعدتین‬ ‫‪ == 222 33‬مساحت‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪==+ 24‬مساحت سطوح جانبی = مساحت کلی‬ ‫قاعدتین‬ ‫مساحت ‪2 +3 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 24 + 2 3‬‬ ‫‪ = 24 + 2 3‬مساحت کلی‬ ‫‪V=4 3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫مساحت کلی و حجم منشورهاي مقابل‬ ‫را محاسبه كنيد‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫’‪C‬‬ ‫’‪D‬‬

‫’‪c‬‬ ‫‪4.5‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪3 4‬‬

‫‪S ( ABCDE ) = 12.92cm 2 S ( ABC ) = 3cm 2‬‬

‫‪3 B’ 2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪m‬‬

‫’‪B‬‬

‫’‪E‬‬

‫’‪A‬‬

‫‪4‬‬

‫’‪C’ A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪.3c‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪E3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫’‪3 B‬‬

‫’‪A‬‬

‫’‪B‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫’‪B‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫’‪C‬‬

‫‪A4cm‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪68‬‬

‫’‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫مساحت و حجم استوانه ‬ ‫بسياري از وسايلي كه در زنده گي‬ ‫روزانه با آن سر و كار داريم استوانه يي‬ ‫شكل اند‪ .‬مانند‪ :‬گيالس آب‪ ‌،‬نل آب‬ ‫و غيره‪...‬‬ ‫آيا مي توانيد چند شي استوانه يي شكل‬ ‫را نام ببريد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫طول ارتفاع يك استوانة قايم مساوي به ‪ 5cm‬و شعاع قاعدة آن ‪ 2cm‬است‪ .‬به امتداد‬ ‫ارتفاع‪ ،‬استوانة باز شدة آن را رسم كنيد‪.‬‬ ‫● طول و عرض مستطيل حاصله چند است؟‬ ‫● مساحت مستطيل را به دست آوريد‪.‬‬ ‫● مساحت اين مستطيل چه رابطه با مساحت سطح جانبي استوانه دارد؟‬ ‫● مساحت هر يك از قاعدتین استوانه را با در نظر داشت شعاع قاعده ( ‪ ) 2cm‬دريابيد‪.‬‬ ‫● مساحت كلي استوانه را حساب كنيد‪.‬‬ ‫ازفعاليت فوق تعریف زیر را می توان نتیجه گرفت‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫استوانة قايم از دو قاعدة دايروي انطباق پذير و يك سطح جانبي كه بر قاعدتین عمود میباشد‬ ‫تشكيل شده است‪ .‬اگر ارتفاع آن را به ‪ ،h‬شعاع قاعدة آن را به ‪ ، r‬مساحت سطوح جانبی آن‬ ‫را به ‪ S‬و مساحت کلی را به ‪ A‬نشان  دهيم‪:‬‬ ‫‪= 2πr × h‬مساحت سطح جانبی و ‪ = 2πr 2‬مساحت قاعدتين‬

‫‪ A = 2π r 2 + 2π r × h‬مساحت کلی استوانه‬ ‫)‪A = 2π r (r + h‬‬

‫‪69‬‬

‫‪π = 3.14‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪r‬‬

‫مثال‪ :1‬مساحت کلی استوانۀ مقابل را محاسبه كنيد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪A = 2π r (r + h) = 2 × 3.14(6)(6 + 12‬‬ ‫)‪A = 6.28 × 6(18) = 37.68(18‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪12cm‬‬

‫‪A = 678.24cm 2‬‬ ‫یادداشت‪ :‬برای محاسبۀ حجم منشور ابتدا مساحت قاعده را محاسبه و در ارتفاع آن ضرب‬ ‫کردیم‪ .‬برای پیدا کردن حجم استوانه نیز مساحت قاعدة دايروي را در ارتفاع آن ضرب‬ ‫می‌کنیم‪ .‬اگر حجم استوانه را به ‪ V‬نشان دهيم داريم كه‪V = π r 2 × h :‬‬ ‫مثال‪ :2‬هرگاه حجم یک ماشين ‪ 4‬سلندره‪ ،‬که قطر هر سلندر آن ‪ 8cm‬است مساوی به‬ ‫‪ 1600cm3‬باشد ارتفاع هر سلندر چند است؟‬ ‫حل‪ :‬چون ‪ V=1600cm 3، h=? ، r=4cm‬است‪ ،‬پس با استفاده از فورمول برای ‪4‬‬ ‫سلندر داریم‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪V = 4(πr ⋅ h‬‬ ‫) ‪1600 = 4(π ⋅16 ⋅ h‬‬ ‫‪1600 = 200.96h‬‬ ‫‪1600‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫‪= 7.96cm‬‬ ‫‪200.96‬‬

‫ ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬مساحت کلی و حجم استوانه هاي زير را محاسبه كنيد‪:‬‬ ‫‪8cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪5in‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪5in‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪20cm‬‬

‫‪ -2‬هرگاه شعاع قاعدة یک استوانه ‪ 3‬برابر شود‪ ،‬حجم آن به کدام اندازه تغییر می‌کند؟‬ ‫‪ -3‬يك ذخیره آبي كه شكل استوانه را دارد شعاع قاعدة آن ‪ 40cm‬و ارتفاع آن ‪120cm‬‬ ‫است‪ .‬در اين ذخیره آبي چند متر مكعب آب ذخیره می شود؟‬ ‫‪ -4‬هرگاه ارتفاع یک استوانه دو برابر شود‪ ،‬اندازۀ سطح جانبی آن چقدر تغییر می‌کند؟‬

‫‪70‬‬

‫مساحت وحجم هرم‬ ‫آيا کدام وقت فكر كرده ايد كه چند‬ ‫سال طول كشيد تا مصري ها هرم‬ ‫های مصر را اعمار كردند؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● شكل مقابل را روي يك كاغذ رسم كنيد‪.‬‬ ‫● هریک از مثلث ها را در نقاط‪ ،‬نقطه چین قات نمایید‪.‬‬ ‫● رأس مثلث ها را با هم وصل كنيد چه شكلي به دست مي آيد؟‬ ‫● با توجه به شكل‪ ،‬آيا مي توانيد روشی برای پیدا کردن مساحت‬ ‫سطوح جانبي هرم بیان كنيد؟‬ ‫از فعالیت فوق تعریف زیر را می توان نتیجه گرفت‪:‬‬

‫‪P‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫هرم‪ :‬يك جسم هندسی چند وجهي است‪P‬كه قاعدة آن یک مضلع و‬ ‫سطوح جانبی آن مثلث ها بوده و در يك رأس مشترك اند‪.‬‬ ‫مساحت سطوح جانبی مساوی است؛ به مساحت تعداد مثلث هایي که وجه‬ ‫جانبی آن را تشکیل نموده اند؛ بنابر آن‪:‬‬ ‫‪ s= 1 × nb l‬مساحت سطوح جانبی‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n‬عبارت از تعداد اضالع قاعده‪ b ،‬عبارت از قاعده مثلثی است‬ ‫که ارتفاع جانبی باالی آن ترسیم می گردد و ‪ l‬ارتفاع جانبی‬ ‫هرم می باشد‪.‬‬ ‫‪ h‬ارتفاع‬ ‫مساحت سطوح جانبی ‪ +‬مساحت قاعده= مساحت کلی هرم‬ ‫یا ‪A=B+S‬‬

‫‪71‬‬

‫‪P‬‬

‫‪l‬‬

‫ارتفاع هرم‪ ،‬قطعه خطي است كه از رأس هرم بر قاعدة آن عمود باشد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬طول‪ ،‬عرض و ارتفاع جانبی هرم در شکل زیر داده شده است‪ ،‬مساحت کلی آن را‬ ‫حساب کنید‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫حل‪ :‬می دانیم که قاعدة هرم مستطیلی است و چهار وجه دارد‪ ،‬پس‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫‪S = ⋅ 4 ⋅ 8cm ⋅ 10cm , S = 160cm 2‬‬ ‫چون قاعده هرم مستطیلی است‪ ،‬پس‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ B = 8cm ⋅ 5cm = 40cm 2‬مساحت قاعده هرم‬ ‫‪= S + B ⇒ A = 160cm 2 + 40cm 2‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪8cm‬‬

‫‪PA‬‬

‫‪A = 200cm 2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● سه قطعه كاغذ سفيد را در نظر گرفته و شكل زیر را در هر كدام آن رسم كنيد‪.‬‬

‫● هر سه قطعه كاغذ را برش و سه هرم از آن بسازيد‪.‬‬ ‫● هرم های به دست آمده را طوری كنار همديگر قرار دهيد تا از آن يك مكعب به دست‬ ‫آيد؟‬ ‫● حجم مكعب و حجم هرم را باهم مقایسه کنید‪.‬‬

‫‪72‬‬

‫از فعالیت فوق نتیجه می گیریم‪:‬‬

‫که حجم مکعب مستطیل سه چند حجم هرم است يا حجم هرم ‪ 1‬حجم مکعب مستطیل‬ ‫‪3‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫حجم هرم= ‪ 1‬حجم مکعب مستطیل‬ ‫‪3‬‬

‫اگر حجم هرم را به ‪ V‬ارتفاع آن را به ‪ h‬و مساحت قاعدۀ آن را به ‪ B‬نشان دهيم‪،‬‬ ‫پس حجم هرم مساوي است به‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ V = B ⋅ h‬حجم هرم‬ ‫‪3‬‬

‫‪h‬‬

‫‪a‬‬

‫مثال‪ :‬درهرم مربع شکل زير‪ ،‬طول قاعده‪ ،‬طول ضلع مثلث و ارتفاع آن داده شده است‪.‬‬ ‫مساحت كلي و حجم آن را حساب كنيد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چون قاعدة هرم مربع شکل است‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ B = a 2 ⇒ B = 12 ⋅ 12 = 144cm 2‬مساحت قاعده‬ ‫حال بايد ارتفاع ‪ ( PH‬ارتفاع وجه جانبي) را دريافت کرد‪:‬‬ ‫در مثلث قایم الزاویه ‪ PAH‬داريم‪:‬‬

‫‪10cm‬‬ ‫‪28 D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a = 12cm‬‬ ‫‪12cm‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪PA = AH + PH‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10 2 = 6 2 + PH ⇒ PH = 8cm‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S = 4 ⋅ BC ⋅ h‬‬ ‫‪2‬‬

‫چون هر چهار سطح آن از مثلث های مساوی تشكيل شده است‪1 .‬‬ ‫) ‪(B × h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪S = 4 × (12 × 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 2(96) = 192cm 2‬‬ ‫=‪S‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ A = 192 + 144 = 336cm‬مساحت کلي‬

‫‪73‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪V = 144 ⋅ 28‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = ⋅144cm 2 ⋅ 5.29cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = ⋅ 761.76cm3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V = 253.92cm3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬حجم هرمی را دريافت كنيد كه قاعدة آن مربع بوده‪ ،‬طول یک ضلع آن ‪ 40m‬و ارتفاع‬ ‫آن ‪ 27m‬باشد‪.‬‬ ‫‪ -2‬چند مترمكعب هوا داخل خيمه يي به شکل هرم مربع القاعده موجود است؟ در صورتي‬ ‫كه طول ضلع مربع ‪ 7m‬وارتفاع هرم ‪ 5m‬باشد‪.‬‬ ‫‪ -3‬حجم اشكال زير را دريافت كنيد‪:‬‬ ‫‪18cm‬‬

‫‪11cm‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪h‬‬

‫‪h‬‬

‫‪6cm‬‬ ‫‪12cm‬‬

‫‪14cm‬‬

‫‪10cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪74‬‬

‫مساحت و حجم مخروط ‬ ‫آيا تا به حال فكر كرده ايد كه يك‬ ‫مخروط از دوران كدام نوع مثلث به‬ ‫دور یک ضلع آن پديد مي آيد؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫مخروط قايم‪ ،‬جسمي است كه از دوران يك مثلث قايم الزاويه به اطراف يكي از اضالع قايم‬ ‫آن حاصل مي شود‪ .‬قطعه خطي كه رأس مخروط را به مركز قاعدة آن وصل مي كند به نام‬ ‫محور مخروط ياد مي شود‪ .‬اگر محور بر قاعده عمود باشد مخروط قايم و در غير آن مايل‬ ‫ناميده مي شود‪ .‬مساحت سطح جانبی و کلی مخروط توسط فورمول زیر به دست می آید‪:‬‬ ‫‪= S = πrl‬‬ ‫مساحت جانبی‪ l ،‬طول مولد مخروط است‪S = πr ⋅ l . A = πr 2 + πrl = πr( r + l ) .‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫● یک جسم استوانه يي و یک جسم مخروطي را كه قاعده و ارتفاع مساوي داشته باشند‪،‬‬ ‫بسازید‪ .‬جسم مخروطی را از سرمه ریگ پر كرده و در جسم استوانه يي خالي كنيد‪.‬‬ ‫● با چند مخروطي پر از سرمه ریگ استوانه به شکل کامل پر می گردد‪.‬‬

‫● حجم استوانه و حجم مخروط چه رابطه يي‪1‬با=هم‪V‬دارند؟‬ ‫از فعاليت فوق داريم كه‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫حجم استوانه سه چند حجم مخروط است؛ پس حجم مخروط ‪ 1‬حصه حجم استوانة است‬ ‫‪3‬‬ ‫که دارای عین قاعده و ارتفاع باشند‪A = πr 2 + πr × l .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حجم استوانه = ‪ V‬حجم مخروط‬ ‫محور‬ ‫‪3‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪h‬‬ ‫چون ‪ πr 2 h‬حجم استوانه است‪ ،‬پس‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪V = πr × h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A = πr 2 + πr × l‬‬

‫‪75‬‬

‫‪A = πr 2 + πr × l‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = πr 2 × h‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال‪ :1‬یکخرمن گندم مخروطی شکل داراي ارتفاع ‪ 1.5m‬و قطر قاعدة ‪ 3m‬است‪.‬‬ ‫مساحت کلی آن را دريافت نماييد‪.‬‬ ‫‪h = 1.5m‬‬ ‫حل‪, d = 3m , r = 1.5m :‬‬ ‫چون قاعدة مخروط دایروی است؛ پس‪:‬‬ ‫‪ = πr 2 = 3.14(1.5) 2 = 7.065m 2‬مساحت قاعده‬ ‫حال برای دریافت مساحت سطح جانبی باید وتر مثلث قایم الزاویه را حساب کنید‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪SA = OA + OS‬‬

‫‪1.5m‬‬

‫‪2‬‬

‫‪SA = (1.5m) 2 + (1.5m) 2 = 4.5m 2‬‬ ‫‪SA = 2.12 ، l = 2.12‬‬ ‫‪S = π r l = 3.14 × 1.5 × 2.12‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪3m‬‬

‫‪A‬‬

‫‪S = 4.17 × 2.12 = 9.9852m 2‬‬ ‫‪ = 7.065 + 9.9852 = 17.0502 m 2‬مساحت کلی‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كنيد‪V = :‬‬ ‫محاسبه ‪π r‬‬ ‫)‪3.14(10‬زير× را = ‪× h‬‬ ‫‪× 15‬‬ ‫حجم مخروط‬ ‫مثال‪:2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪h = 15 ft‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r = 10 ft‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 × 100‬‬ ‫‪1 15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪VV == 3π× r3.14‬‬ ‫)‪× h = ××3.14(10‬‬ ‫‪× 15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( ft ) 3‬‬ ‫‪1570‬‬ ‫‪VV == 1××4710‬‬ ‫=‬ ‫‪33 3.14 × 100 × 15‬‬ ‫‪V = 1570ft 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = × 4710 = 1570‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪S‬‬

‫‪15ft‬‬ ‫‪10ft‬‬

‫‪o‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬تودة ريگ مخروطي شکل‪ ،‬داراي ارتفاع ‪ 2m‬و قطر ‪ 4m‬است‪ ،‬حجم ريگ آن را محاسبه‬ ‫كنيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬شعاع قاعده و ارتفاع هر مخروط داده شده است‪ ،‬حجم هر يك را حساب كنيد‪.‬‬ ‫‪4m‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪9m‬‬

‫‪12cm‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪10in‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪4in‬‬

‫‪76‬‬

‫مساحت و حجم كره ‬ ‫آيا اشكالي و یا اجسامی در اطراف‬ ‫شما وجود دارند كه شكل دايروي يا‬ ‫كروي داشته باشند؟ نام بگيريد‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫كره‪ ،‬جسمي است كه تمام نقاط آن از يك نقطة ثابت مساوي الفاصله باشد‪.‬‬ ‫نقطة ثابت را مركز و فاصله بين نقطه ثابت و سطح كره را به نام شعاع‬ ‫كره می نامند‪ .‬اگر مساحت را به ‪ A‬و حجم را به ‪ V‬نشان دهيم داريم‪:‬‬

‫‪ A = 4π r 2‬مساحت كره‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ V = π r 3‬حجم كره‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال‪ :1‬مساحت سطح و حجم كره ‌یی را دريافت نماييد كه قطر آن‬ ‫‪ 10cm‬باشد‪.‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪d = 10cm‬‬ ‫‪d 10cm‬‬ ‫= =‪r‬‬ ‫‪= 5cm‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪A = 4π r = 4 × 3.14 × (5) 2‬‬

‫ ‬ ‫مساحت كره‪:‬‬

‫ ‪A = 314‬‬ ‫‪cm 2‬‬ ‫ ‬ ‫حجم كره‪:‬‬

‫‪77‬‬

‫‪r‬‬

‫‪O‬‬

‫‪،‬‬

‫‪= 12.56 × 25‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = π r 3 = × 3.14 × (5)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= × 3.14 × 125 = × 392.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1570‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪= 523.33cm3 ، V = 523.33cm‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال‪ :2‬حجم هر يك از كره هاي زير را که اجزای آن در شکل داده شده‌اند‪ ،‬حساب‬ ‫‪3cm‬‬ ‫كنيد‪:‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪3cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫ ‬ ‫جزء ‪)a‬‬

‫جز ‪)b‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حل‪ :‬جزء ‪)a‬‬ ‫‪V = π r 3 = × 3.14 × (3)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = × 3.14 × 27 = × 84.78 ⇒ V = 113.04cm3‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r=4‬‬ ‫‪, V = π r 3 = × 3.14 × (4)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪ :‬جزء ‪)b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = × 3.14 × 64 = × 200.96 ⇒ V = 267.946cm3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪r =3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬مساحت يك كره ‪ 36π‬سانتي متر مربع است‪.‬‬ ‫ب‪ :‬حجم كره را محاسبه كنيد‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الف‪ :‬شعاع كره را به دست آوريد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در جدول زير شعاع كره داده شده است‪ ،‬حجم و مساحت آن را محاسبه نموده و تحت‬ ‫ستون مربوطه در جدول آن بنويسيد‪:‬‬ ‫‪314cm‬‬

‫‪12cm‬‬

‫‪9cm‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6 × cm‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪ -3‬اگر شعاع کره ‪ 2‬برابر شود‪ ،‬حجم و مساحت آن چگونه تغییر می‌کند؟‬

‫‪78‬‬

‫نكات مهم فصل پنجم‬ ‫• مكعب مستطيل‬ ‫يك شش وجهي منظم هندسي است كه همه سطوح آن مستطيل شكل بوده و مساحت های‬ ‫وجوه مقابل آن دو به دو مساوی و موازی‪ ،‬زوایای آن قايمه باشند‪ .‬اگر طول مکعب مستطیل‬ ‫را به ‪ ، l‬عرض آن را به ‪ w‬و ارتفاع آن را به ‪ h‬ارائه نماييم داريم‪:‬‬ ‫مساحت جانبی آن عبارت است از‪:‬‬ ‫) ‪S = 2( wh + h l‬‬ ‫‪B=2wl‬‬ ‫ ‬ ‫مساحت قاعدتين آن عبارت است از‪:‬‬ ‫) ‪A = 2( l w + l h + wh‬‬ ‫مساحت کلی آن عبارت است از‪:‬‬ ‫‪V=l×w× h‬‬ ‫ ‬ ‫حجم مکعب مستطیل‪:‬‬ ‫• مكعب‬ ‫مكعب مستطيل كه هر سه بعد( طول‪ ،‬عرض و ارتفاع) آن باهم مساوي باشند‪ ،‬آن را مكعب‬ ‫مي ناميم‪ .‬اگر مساحت آن را به ‪ A‬و حجم آن را به ‪ V‬نشان دهيم داريم كه‪:‬‬ ‫‪A = 6a 2‬‬ ‫• منشور‬ ‫‪V = a3‬‬ ‫جسم منظم هندسي است كه سطوح مقابل آن با هم مساوي و موازي بوده و زواياي سطوح‬ ‫متقابل آن با هم انطباق پذير اند‪.‬‬ ‫• استوانه‬ ‫استوانه قايم از دو قاعدة انطباق پذير و يك سطح جانبي كه بر قاعدتین عمود اند ‪2‬تشكيل شده‬ ‫‪V =π r ×h‬‬ ‫است‪ .‬اگر حجم را به ‪ V‬و مساحت را به ‪ A‬نشان دهيم داريم كه‪:‬‬ ‫)‪A = 2π r (r + h‬‬ ‫‪V = π r2 × h‬‬ ‫)‪A = 2π r (r + h‬‬ ‫• هـرم‬ ‫هرم يك چند وجهي هندسي است كه قاعدة آن یک مضلع منظم و سطوح جانبی آن مثلثها‬ ‫بوده و در يك رأس مشترك اند‪.‬‬ ‫مساحت سطوح جانبی ‪ +‬مساحت قاعده= مساحت کلی هرم‬ ‫‪A=B+S‬‬ ‫ ‬ ‫ارتفاع هرم قطعه خطي است كه از رأس هرم بر قاعده آن عمود باشد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = B×h‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪79‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪V‬‬

‫‪A = πr 2 + πr × l‬‬

‫• مخروط‬ ‫مخروط قايم‪ ،‬جسمي است كه از دوران يك مثلث قايم الزاويه به اطراف يكي از اضالع قايم‬ ‫‪1‬‬ ‫مخروط‪r 2‬را‪π‬به =‬ ‫آن حاصل مي شود‪ .‬قطعه خطي كه رأس ‪× h‬‬ ‫مركز‪V‬قاعدة آن وصل مي كند به نام‬ ‫‪3‬‬ ‫محور مخروط ياد مي شود‪ .‬اگر محور مخروط بر قاعدة آن عمود باشد مخروط قايم و در‬ ‫غير آن مايل ناميده مي شود‪.‬‬ ‫‪A = πr 2 + πr × l‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪1‬‬ ‫‪V = π r2 ×h‬‬ ‫‪3‬‬

‫• كــره‬ ‫جسمي است كه تمام نقاط آن از يك نقطة ثابت مساوي الفاصله باشد‪ .‬نقطة ثابت را مركز‬ ‫و فاصله بين نقطة ثابت تا سطح آن را به نام شعاع كره می‌نامند‪ .‬اگر مساحت كره را به ‪ A‬و‬ ‫حجم كره را به ‪ V‬نشان دهيم داريم‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A = 4π r‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V = π r3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪80‬‬

‫تمرينات فصل پنجم‬ ‫● براي هر سؤال زير چهار جواب داده شده است‪ ،‬دور جواب صحيح حلقه بكشيد‪:‬‬ ‫‪ -1‬اگر محور استوانه بر قاعدة آن عمود باشد‪ ،‬زاویة زیر را می‌سازد‪:‬‬ ‫‪ )b‬منفرجه‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬حاده‬ ‫‪ a )d‬و ‪ b‬درست است‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬قايم‬ ‫‪ -2‬ارتفاع هرم‪ ،‬قطعه خطي است كه از رأس برقاعده آن‪:‬‬ ‫‪ )b‬مایل باشد‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬موازی باشد‬ ‫‪ )d‬هیچ کدام‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬عمود باشد‬ ‫‪ -3‬اگر ارتفاع يك مخروط كه قاعدة آن دايروي است ‪ 20cm‬و شعاع قاعدة آن ‪10cm‬‬ ‫باشد حجم آن عبارت است از‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2093.3cm )b‬‬ ‫ ‬ ‫‪2093.3cm3 )a‬‬ ‫‪209.33cm3 )d‬‬ ‫ ‬ ‫‪209.33cm 2 )c‬‬ ‫‪ -4‬اگر ابعاد یک مکعب مستطیل به ترتیب ‪ 2 ،3‬و ‪ 1‬سانتی متر باشد‪ ،‬طول قطر ‪ AC‬عبارت‬ ‫است از‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2 )a‬‬ ‫‪14 )b‬‬ ‫‪6 )d‬‬ ‫ ‬ ‫‪1 )c‬‬ ‫‪ -5‬فضايي را كه يك جسم اشغال مي كند به نام چه ياد مي شود؟‬ ‫‪ )b‬حجم جسم‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬وزن جسم‬ ‫‪ )d‬هر سه درست است‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬كتلة جسم‬ ‫● جاهاي خالي زير را با كلمات مناسب پر كنيد‪:‬‬ ‫‪ -1‬مكعب مستطيلی كه طول‪ ،‬عرض و ارتفاع آن مساوي باشد عبارت از ‪ ..................‬است‪.‬‬ ‫‪ -2‬مكعب مستطيل يك‪ ..............................‬منظم هندسي است كه همه ‪...........................‬‬ ‫آن مکعب مستطيل شكل بوده و ‪ ............................‬سطوح آن دو به دو با هم قايم باشند‪.‬‬ ‫‪ -3‬استوانة قايم‪ ،‬جسمي است كه از دو قاعدة ‪ .....................‬انطباق پذير و ‪..........................‬‬ ‫كه بر قاعده ها عمود اند تشكيل شده است‪.‬‬ ‫‪ -4‬حجم هرم ‪ ..................‬حصه حجم‪ .............‬بوده كه داراي عين قاعده و ‪ .............‬اند‪.‬‬ ‫‪ -5‬مخروط قايم‪ ،‬جسمي است كه از دوران يك مثلث ‪ ..............................‬به اطراف يك‬ ‫از ‪ ................‬قايم آن حاصل مي شود‪.‬‬ ‫● كدام يك از جمله هاي زير صحيح و كدام يكي از آن ها غلط است؟ در مقابل جملة‬ ‫صحيح حرف (ص) و در مقابل جملة غلط حرف (غ) بگذاريد‪:‬‬ ‫‪ ) ( -1‬در يك منشور با جمع كردن مساحت هاي دو قاعده با مساحت كلي مساحت‬

‫‪81‬‬

‫سطح جانبي به دست مي آيد‪.‬‬ ‫‪ ) ( -2‬اگر استوانه به امتداد محور قطع و باز گردد يك هرم حاصل مي شود‪.‬‬ ‫‪ ) ( -3‬اگر طول مكعب مستطيل ‪ ، a‬عرض آن ‪ b‬و ارتفاع آن ‪ c‬باشد حجم آن عبارت‬ ‫از ‪ abc‬است‪.‬‬ ‫‪ ) ( -4‬كره‪ ،‬جسمي است كه تمام نقاط آن از يك نقطة ثابت متساوي الفاصله باشد‪.‬‬ ‫‪ ) ( -5‬حجم مخروط ‪ 1‬حصة حجم استوانة است كه داراي عين قاعده و ارتفاع باشد‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫● سؤاالت زیر را حل کنید‪.‬‬ ‫‪ -1‬حجم و مساحت كلي مكعب هايي را كه خط رأس آن قرار زير داده شده است دريافت‬ ‫كنيد‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a ) 24m‬‬ ‫‪b) 9m‬‬ ‫‪c) 3 m‬‬ ‫‪d ) 4 27‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -2‬قطي شير پودري كه شكل استوانه يي دارد داراي شعاع قاعده ‪ 6cm‬و ارتفاع ‪12cm‬‬ ‫است‪ .‬مساحت كلي و حجم آن را دريافت نماييد‪.‬‬ ‫‪ -3‬چند متر مكعب هوا داخل خيمة مربع القاعده موجود است‪ ،‬در صورتي كه طول ضلع‬ ‫مربع و ارتفاع هرم ‪ 5m‬باشد‪.‬‬ ‫‪ -4‬حجم هر يك اجسامي را كه در زير داده شده اند حساب كنيد‪.‬‬ ‫‪20in‬‬ ‫‪6ft‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪2cm‬‬

‫‪3in‬‬ ‫‪6in‬‬

‫‪3ft‬‬

‫‪ -5‬دو كره به ترتيب داراي شعاع هاي ‪ 1cm‬و ‪ 2cm‬هستند‪.‬‬ ‫الف‪ :‬مساحت هر كدام از آنها را پيدا كنيد‪ .‬ب‪ :‬حجم هر يك را به دست آوريد‪.‬‬ ‫‪ -6‬با توجه به شكل مقابل‪ ،‬دو استوانة قايم را در نظر بگيريد كه مركز قاعده هاي‬ ‫آنها يكي باشد‪.‬‬ ‫الف‪ :‬نسبت مساحت سطح جانبي استوانة بزرگتر و مساحت سطح جانبي‬ ‫استوانة كوچكتر را دريابيد‪.‬‬ ‫ب‪ :‬نسبت حجم استوانة بزرگتر و حجم استوانة كوچكتر چقدر است؟‬ ‫‪1cm‬‬ ‫‪2cm‬‬ ‫‪ -7‬زمين که تقريباً به شكل يك كره است‪ ،‬شعاع آن ‪ 6400‬كيلو متر‬ ‫میباشد‪.‬‬ ‫الف‪ :‬مساحت سطح زمين را محاسبه كنيد‪.‬‬ ‫ب‪ :‬حجم کرۀ زمين را محاسبه كنيد‪.‬‬

‫‪82‬‬