Mathematics 08 [8]

Citation preview

‫جمهورى اسالمﻰ افغانستان‬ ‫وزارت معارف‬ ‫ریاست عمومﻰ انکشاف نصاب تعلیمﻰ‬

‫‪x+2=5‬‬ ‫?=‪x‬‬

‫کتب درسی مربﻮط وزارت معارف بﻮده‪ ،‬خرﻳد و فروش أن‬ ‫ممنﻮع است‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬

‫? = ‪3‬‬ ‫‪4 8‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1398‬‬

‫الف‬

‫مﻮلفان‪:‬‬ ‫ سرمؤلف نظام الدین عضو علمﻰ ریاست انکشاف نصاب تعلیمﻰ و تألیف کتب درسﻰ‬‫ معاون مؤلف محمد خالد ستورى (ځدراڼ) عضو علمﻰ ریاست انکشاف نصاب تعلیمﻰ و تألیف‬‫کتب درسﻰ‬ ‫ مهریه ناصر عضو تیم پروژه تألیف کتب درسﻰ وزارت معارف‬‫ادﻳتﻮران علمﻰ‪:‬‬ ‫ حبیب اﷲ راحل مشاور وزارت معارف در ریاست انکشاف نصاب تعلیمﻰ و تألیف کتب درسﻰ‬‫ادﻳتﻮران زبان‪:‬‬ ‫ عبدالرزاق کوهستانﻰ عضو علمﻰ دیپارتمنت زبان و ادبیات درى‬‫ نرگس صالحﻰ عضو علمﻰ دیپارتمنت زبان و ادبیات درى‬‫کمﻴتﺔ دﻳنﻰ‪ ،‬سﻴاسﻰ و فرﻫنگﻰ‪:‬‬ ‫ محمد آصف کوچﻰ متخصص علوم اسﻼمﻰ‬‫‪ -‬حبیب اﷲ راحل مشاور وزارت معارف در ریاست انکشاف نصاب تعلیمﻰ و تألیف کتب درسﻰ‬

‫إشراف‪:‬‬ ‫‪ -‬دکتور شیر علﻰ ظریفﻰ رئیس پروژۀ انکشاف نصاب تعلیمﻰ‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫سرود ملﻰ‬

‫د‬

‫دا وطن افغانستـــان دى‬

‫دا عزت د هـــر افغان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچي ي‪ ３‬قهرمـــان دى‬

‫دا وطن د ټولو کـور دى‬

‫د بلوڅـــــــو د ازبکــــــو‬

‫د پښتــــون او هزاره وو‬

‫د ترکمنــــــــو د تاجکــــو‬

‫ورسره عرب‪ ،‬ګوجــر دي‬

‫پاميــريان‪ ،‬نورستانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه ‪４‬ان‬

‫دا هيـــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لکــه لمــر پر شنه اسمـان‬

‫په سينــه ک‪ ３‬د آسيـــا به‬

‫لکـــه زړه وي جــاويدان‬

‫نوم د حق مودى رهبـــر‬

‫وايو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫بسم اﷲ الرحمن الرحﻴم‬ ‫پﻴام وزﻳر معارف‬ ‫الحمدﷲ رب العالمین والصﻼۀ والسﻼم علﻰ نبیه و رسوله محمد وعلﻰ آله‬ ‫وأصحابه أجمعین‪ ،‬أما بعد‪:‬‬ ‫نصاب تعلیمي معارف اساس نظام تعلیم و تربیه را تشکیل داده و در رشد و‬ ‫توسعۀ علمﻰ‪ ،‬فکرى و سلوکﻰ نسلهاى امروز و فرداى کشور نقش بنیادى و‬ ‫سرنوشت ساز دارد‪.‬‬ ‫نصاب تعلیمﻰ با گذشت زمان و تحول و پیشرفت در عرصه هاى مختلف‬ ‫زندگﻰ‪ ،‬مطابق با نیازهاى جامعه‪ ،‬باید هم از نظر مضمون و محتوا و هم از نظر‬ ‫شیوه و روش عرضۀ معلومات‪ ،‬تطور و انکشاف نماید‪.‬‬ ‫یکﻰ از عرصه هاى نصاب تعلیمﻰ که مورد توجه جدى براى تجدید نظر و بهبود‬ ‫مﻰ باشد‪ ،‬نصاب تعلیمات اسﻼمﻰ است؛ زیرا از یک جانب‪ ،‬فارغان مدارس‬ ‫دینﻰ به حیث پیشوایان معنوى جامعه‪ ،‬باید محور تﻼشهاى معارف قرار گیرند و‬ ‫از سوى دیگر نصاب تعلیمات اسﻼمﻰ شامل عقاید‪ ،‬احکام و هدایات دین مبین‬ ‫اسﻼم است که به حیث نظام و قانون مکمل‪ ،‬تمام ابعاد زندگﻰ انسان ها را در‬ ‫بر گرفته و به عنوان آخرین پیام خالق و پروردگار جهان تا روز قیامت‪ ،‬رسالت‬ ‫رهنمایﻰ و هدایت بشریت را انجام مﻰ دهد‪.‬‬ ‫علماى امت اسﻼمﻰ در طول تاریخ نقش مهمﻰ را در ایجاد‪ ،‬توسعه و غنامندى‬ ‫سیستم تعلیمات و معارف اسﻼمﻰ مخصوصا انکشاف تدریجﻰ نصاب تعلیمﻰ‬ ‫مراکز و مؤسسات علمﻰ جهان اسﻼم‪ ،‬ایفاء کرده اند‪.‬‬ ‫مطالعۀ دقیق در سیر تطور تاریخﻰ علوم و معارف اسﻼمﻰ در جهان نشان مﻰ‬ ‫دهد که نصاب تعلیمﻰ مدارس و مراکز علمﻰ ما‪ ،‬همواره بنا بر ضرورت هاى‬ ‫جامعه و در تطابق با احکام ثابت و پا بر جاى دین اسﻼم‪ ،‬که براى همۀ انسانها در‬ ‫همۀ زمانها و مکانها مﻰ باشد‪ ،‬توسعه یافته است‪.‬‬ ‫کشور عزیز ما افغانستان با سابقۀ درخشان علمﻰ‪ ،‬روزگارى مهد علم و دانش‬ ‫و جایگاه بزرگترین مراکز علمﻰ عصر بوده و در شکل گیرى تمدن بزرگ‬ ‫اسﻼمﻰ نقش عظیمﻰ داشته است‪ ،‬وجود هزاران دانشمند و عالم در عرصه هاى‬ ‫مختلف علم و فرهنگ مخصوصاً در علوم شرعﻰ مانند عقاید‪ ،‬تفسیر‪ ،‬حدیث‪،‬‬ ‫فقه‪ ،‬اصول فقه و غیره‪ ،‬گواه واضح آنچه گفته شد مﻰ باشد‪.‬‬

‫هـ‬

‫همزمان با رشد بیدارى اسﻼمﻰ در عصر حاضر‪ ،‬تعلیمات اسﻼمﻰ در کشور ما شاهد تحول کمﻰ و‬ ‫کیفﻰ بوده و اطفال و جوانان کشور ما با شوق و رغبت فراوان به طرف مدارس و مراکز تعلیمات‬ ‫اسﻼمﻰ رو مﻰ آورند‪.‬‬ ‫وزارت معارف جمهورى اسﻼمﻰ افغانستان بر اساس مسؤولیت ورسالت خویش‪ ،‬در مطابقت با احکام‬ ‫قانون اساسﻰ کشور‪ ،‬به منظور رشد و توسعۀ کمﻰ و کیفﻰ تعلیمات اسﻼمﻰ و از جمله نصاب آن‪،‬‬ ‫اقدامات قابل توجه نموده است‪.‬‬ ‫درین راستا وزارت معارف با دعوت از علماء‪ ،‬استادان و متخصصین باتجربه و قابل اعتماد کشور‪ ،‬به‬ ‫بهبود و انکشاف نصاب تعلیمﻰ پرداخته و کتابهاى رایج مدارس تعلیمات اسﻼمﻰ‪ ،‬را با شرح و توضیح‬ ‫متون‪ ،‬جا بجا ساختن فعالیتها‪ ،‬ارزیابﻰ و تمرینها با معیارهاى کتب درسﻰ عیار ساخت‪.‬‬ ‫امیدوارم این تﻼشهاى قابل تمجید علماء و متخصصان وزارت معارف‪ ،‬در بهبود و انکشاف هر چه‬ ‫بیشتر تعلیمات اسﻼمﻰ در افغانستان عزیز مفید واقع شده وسبب کسب رضاى خداوند متعال قرار‬ ‫گیرد‪.‬‬ ‫وباﷲ التوفیق‬ ‫دکتور محمد میرویس بلخﻰ‬ ‫وزیر معارف‬

‫و‬

‫مقدمﻪ‬ ‫استادان عالﻴقدر و شاگردان گرامﻰ‪،‬‬ ‫ریاضﻰ زبان علوم طبیعﻰ است که قوانین طبیعت را فورمول بندى مﻰ کند و مسائل مربوط به اعداد و‬ ‫مقادیر را به زبان حساب ارایه مﻰ نماید‪.‬‬ ‫انسان ها در زنده گﻰ روز مره به علم ریاضﻰ احتیاج دارند‪ ،‬این علم براى ساینس حیثیت کلید را دارد‬ ‫که اکثر قوانین طبیعت به زبان ریاضﻰ بیان مﻰ شود و در مسائل شرعﻰ نیز به علم ریاضﻰ ضرورت مﻰ‬ ‫باشد‪ ،‬در تقسیم میراث‪ ،‬تقسیم زمین و دریافت مساحت آن‪ ،‬تعیین حقوق شرکاء‪ ،‬تعین زکات و غیره‬ ‫موارد‪ ،‬از علم ریاضﻰ استفاده صورت مﻰ گیرد‪.‬‬ ‫براى اینکه فارغان مدارس علوم شرعﻰ قابلیت هاى ضرورى داشته باشند‪ ،‬مسائل روزمرۀ زنده گﻰ‬ ‫مربوط ریاضﻰ را حل کرده بتوانند و مسائل مانند میراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬تقسیمات اموال و محتواى‬ ‫مضامین ساینسﻰ را بفهمند‪ ،‬ریاست عمومﻰ انکشاف نصاب تعلیمﻰ وزارت معارف جمهورى اسﻼمﻰ‬ ‫افغانستان مسائل ضرورى ریاضﻰ را در نصاب تعلیمﻰ مدارس جابه جا نمود‪.‬‬ ‫به گونۀ که ضرورت هاى اساسﻰ شاگردان مدارس شرعﻰ‪ ،‬تخصص آینده ایشان و ساعات تعیین شده‬ ‫در پﻼن تعلیمﻰ براى مضمون ریاضﻰ را در نظر گرفته و مسایل ضرورى این علم را با درنظرداشت به‬ ‫فن معاصر نصاب نویسﻰ بر میتود آسان و مؤثر تالیف نمود‪ ،‬تا فارغان مدارس شرعﻰ در پهلوى علوم‬ ‫دینﻰ بعضﻰ علوم ضرورى دنیوى را نیز فرا گیرند‪ ،‬ظرفیت هاى شان بلند برود و رول مؤثر و مثمر را‬ ‫در جامعه بازى نمایند‪.‬‬ ‫و اﷲ ولﻰ التوفیق‬

‫ز‬

‫صفحﻪ‬ ‫عنﻮان‬ ‫‪1‬‬ ‫فصل اول( اعداد حقﻴقﻰ)‬ ‫‪3‬‬ ‫مفهوم اعداد حقیقﻰ و خواص آن‬ ‫طریقۀ عمومﻰ استخراج جذر مربع تقریبﻰ‪ ،‬اوسط و دریافت جذر اعداد اعشارى دار ‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫عملیات باالى اعداد جذر دار (جمع‪ ،‬تفریق‪ ،‬ضرب و تقسیم)‬ ‫‪23‬‬ ‫قوانین اعداد توان دار (ضرب‪ ،‬تقسیم‪ ،‬توان صفر و منفﻰ)‬ ‫‪29‬‬ ‫طاقت نماهاى کسرى و قوانین آن‪ ،‬ناطق کردن کسر ها‬ ‫‪33‬‬ ‫نکات مهم فصل‬ ‫‪34‬‬ ‫تمرینات عمومﻰ‬ ‫‪37‬‬ ‫فصل دوم (محاسبات مالﻰ)‬ ‫‪39‬‬ ‫نسبت‪ ،‬تقسیم به اجزاى متناسب‬ ‫‪43‬‬ ‫تناسب‪ ،‬خواص تناسب‪ ،‬انواع تناسب‬ ‫‪53‬‬ ‫فیصد‪ ،‬احدیت‪ ،‬زکات و تخفیف‬ ‫‪63‬‬ ‫نکات مهم فصل‬ ‫‪65‬‬ ‫تمرینات عمومﻰ‬ ‫فصل سﻮم( مشابﻬت)‬ ‫اشکال متشابه‪ ،‬مضلعات متشابه‬ ‫قضیۀ خطوط موازى با فاصله هاى مساوى‪ ،‬قضیۀ تالس‬ ‫نکات مهم فصل‬ ‫تمرینات عمومﻰ‬ ‫فصل چﻬارم( تناظر)‬ ‫مفهوم تناظر‪ ،‬تناظر محورى‪ ،‬تناظر مرکزى‬ ‫نکات مهم فصل‬ ‫تمرینات عمومﻰ‬ ‫فصل پنجم (قضاﻳاى مثلث)‬ ‫قضایاى مثلث متساوى الساقین‬ ‫و‬

‫‪67‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪91‬‬

‫صفحﻪ‬ ‫عنﻮان‬ ‫‪93‬‬ ‫قضیۀ فیثاغورث‬ ‫‪97‬‬ ‫ناصف الزاویه‪ ،‬ناصف الزاویه هاى داخلﻰ مثلث‪ ،‬ناصف عمودى در یک مثلت‬ ‫‪107‬‬ ‫ارتفاع هاى مثلث‪ ،‬میانه هاى مثلث‬ ‫‪109‬‬ ‫نکات مهم فصل‬ ‫‪110‬‬ ‫تمرینات عمومﻰ‬ ‫‪111‬‬ ‫فصل ششم (افاده ﻫاى الجبرى)‬ ‫‪113‬‬ ‫مفهوم متحول‪ ،‬افاده هاى الجبرى‪ ،‬ساده کردن افاده هاى الجبرى‬ ‫‪119‬‬ ‫ضرب یک حده ها‪ ،‬تقسیم افاده هاى یک حده‪ ،‬ضرب افاده هاى الجبرى‬ ‫‪125‬‬ ‫مطابقت ها‬ ‫‪127‬‬ ‫نکات مهم فصل‬ ‫‪129‬‬ ‫تمرینات عمومﻰ‬ ‫‪131‬‬ ‫فصل ﻫفتم ( معادﻻت)‬ ‫مفهوم معادله‪ ،‬عملیه هاى جمع و تفریق در مساوات‪ ،‬عملیه هاى ضرب و تقسیم در مساوات‬ ‫‪133‬‬ ‫‪139‬‬ ‫معادلۀ عمومﻰ درجه یک یک مجهوله‬ ‫‪141‬‬ ‫نکات مهم فصل‬ ‫‪142‬‬ ‫تمرینات عمومﻰ‬ ‫‪143‬‬ ‫فصل ﻫشتم ( سﻴستم کمﻴات وضعﻴﺔ قاﻳم)‬ ‫‪145‬‬ ‫نقطه در مستوى‪ ،‬مختصات یک نقطه در مستوي‪ ،‬مجهول و متحول‬ ‫‪151‬‬ ‫نکات مهم فصل و تمرینات عمومﻰ‬

‫ز‬

‫فصلا ّول‬ ‫اعداد حقﻴقﻰ‬

‫‪√2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-√ 2‬‬

‫‪-e‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-π‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫مفﻬوم اعداد حقﻴقﻲ‬ ‫مﻲ دانﻴم که تمام اعداد نسبتﻲ را‬ ‫مﻲ توانﻴد روي محور اعداد نماﻳش‬ ‫دهﻴد در شکل زﻳر روى محور اعداد‬ ‫بعضﻰ از اعداد نسبتﻰ نماﻳش داده‬ ‫شده اند‪.‬‬ ‫آﻳا مﻰ توان عددى را مانند ‪ 2‬نﻴز‬ ‫روى محور اعداد نماﻳش داد؟‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫?‬ ‫‪2‬‬

‫‪–3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫آﻳا اعداد ناطق را مﻰ شناسﻴد؟‬ ‫از مطالب رﻳاضﻰ صنف هفتم با در نظرداشت محور اعداد گفته مﻰ توانﻴم که هر عددناطق‬ ‫(نسبتﻰ) را روى محور اعداد توسط ﻳک نقطه نشان مﻰ دهﻴم‪ ،‬مانند‪ :‬شکل زﻳر که بعضﻰ‬ ‫از اعداد نسبتﻰ روى آن نشان داده شده اند‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-11‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫اعداد دﻳگرى نﻴز وجود دارند که تا به حال روى محور اعداد نشان داده نشده اند‪.‬‬ ‫ﻳا به عبارة دﻳگر اعداد نسبتﻰ به تنهاﻳﻰ نمﻰ توانند تمام نقاط روى محور اعداد را بپوشانند؛‬ ‫ﻳعنﻰ بﻴن اعداد نسبتﻰ روى محور اعداد‪ ،‬جا هاى خالﻰ براى اعدادى که نسبتﻰ ﻳا ناطق‬ ‫نباشند وجود دارند که توسط همﻴن اعداد پر مﻰ شوند‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جذر مربع اعداد زﻳر را پﻴدا کنﻴد‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪25‬‬

‫‪10‬‬

‫در فعالﻴت فوق پﻴدا کردن جذر مربع‪ ،‬کدام عدد براي شما مشکل است؟‬

‫‪3‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫عدد‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬ ‫جذر مربع‬

‫‪9‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫شود و‬ ‫ضرب‬ ‫خودش‬ ‫آﻳا مﻰ توانﻴد ﻳک عدد ناطق را پﻴدا کنﻴد ‪4‬که در‬ ‫ﺭﺫﺝ ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫‪10‬‬ ‫آن عدد ‪ 2‬شود؟‬ ‫جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1.4‬‬

‫‪11.3‬‬ ‫‪00‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1.2‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪1.1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫ﺩﺩﻉ‬ ‫عدد‬

‫‪1‬‬

‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬ ‫مربع عدد‬

‫جذر المربع عدد ‪ 2‬بﻴن کدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫تکمﻴل ﺭﺫﺝ‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬ ‫نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪ 1.9881‬را‬ ‫مربع عدد ‪ 2‬جدول زﻳر‬ ‫‪1‬‬ ‫به منظور دقت بﻴشتر در پﻴدا کردن جذر ‪2.25‬‬ ‫‪1.42 1.4 1.43‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.5‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪1.42‬‬

‫‪1.1 1.41‬‬ ‫‪1.2‬‬

‫‪1.41‬‬ ‫‪1.9881‬‬

‫‪1.40‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫ﺩﺩﻉ‬

‫‪1.40‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫عدد‬ ‫مربع عدد‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬

‫با مﻼحظﺔ جدول فوق نشان دهﻴد که جذر مربع عدد ‪ ، 2‬بﻴن کدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫اعداد سطر اول اعدادى هستند که امکان موجودﻳت جذر مربع عدد ‪ 2‬بﻴن آن ها وجود‬ ‫دارد‪ .‬به هر اندازه ﻳﻰ که در سطر اول جدول اعداد با هم نزدﻳکتر انتخاب گردند‪ ،‬باز‬ ‫هم دﻳده مﻰ شود که در سطر دوم جدول عدد ‪ 2‬ظاهر نمﻲ شود‪ .‬ﻳعنﻰ عدد ناطقﻰ که‬ ‫مساوى به ‪ 2‬باشد پﻴدا کرده نمﻰ توانﻴم؛ پس ست جدﻳد اعداد را درﻳافت کردﻳم‬ ‫که عبارت از ست اعداد غﻴر ناطق(گنگ)است‪ .‬ست اعداد غﻴر ناطق را به ‪ Q‬نشان‬ ‫‪ 3 , 5 , 7 ...‬و ‪2‬‬ ‫مﻲ دهﻴم‪ .‬مانند‬ ‫با وجود اﻳن که ‪ 2‬عدد ناطق نمﻰ باشد‪ ،‬با استفاده از نماﻳش هندسﻰ مﻰ توان آن را‬ ‫روى محور اعداد طور زﻳر مشخص نمود‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫در شکل مﻰ بﻴنﻴم مربع کوچکﻰ ‪ ABCD‬را که طول اضﻼع آن ﻳک واحد است به‬ ‫دو مثلث قاﻳم الزاوﻳه تقسﻴم شده و داراى مساحت ﻳک واحد مربع مﻰ باشد‪.‬‬ ‫و مربع بزرگتر ‪ AMNC‬که در شکل آن را مشاهده مﻲ کنﻴد نظر به مربع کوچک‬ ‫‪ OBCD‬داراى مساحت بﻴشتر است که مساحت آن ‪ 2‬واحد مربع است‪ ،‬بنابر اﻳن از‬ ‫درﻳافت فورمول مساحت مربع مﻰ دانﻴم که هر ضلع مربع بزرگ مساوى به ‪ 2‬واحد‬ ‫مﻰ باشد‪.‬‬ ‫هرگاه نقطﺔ ‪ O‬را مرکز قرارداده به شعاع ‪ 2‬که ﻳک ضلع مربع بزرگ مﻰ باشد‬ ‫ﻳک قوس طورى رسم نماﻳﻴم‪ ،‬که محور اعداد را در ﻳک نقطه قطع کند‪ ،‬نقطﺔ تقاطع‬ ‫با محور اعداد‪ ،‬موقعﻴت ‪ 2‬را مشخص مﻰ کند‪.‬‬ ‫همانطوري که اعداد ناطق داراى معکوس جمعﻰ مﻰ باشند‪ ،‬اعداد غﻴر ناطق نﻴز معکوس‬ ‫جمعﻰ دارند؛مث ً‬ ‫ﻼ‪ :‬معکوس جمعﻰ ‪ 2 ، 2‬است که به طرف سمت چپ صفر‬ ‫روى محور اعداد نشان داده شده است‪ .‬هر نقطﺔ محو اعداد به ﻳک عدد حقﻴقﻰ و‬ ‫معکوساً هر عدد حقﻴقﻰ به ﻳک نقطﺔ محور اعداد مطابقت مﻰ کند‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪- 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪1.414‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اتحاد ست هاي اعداد ناطق و غﻴر ناطق را به نام ست اعداد حقﻴقﻲ ﻳاد مﻲ کنند‪ .‬ست‬ ‫اعداد حقﻴقﻲ را به ‪ IR‬نشان مﻲ دهند‪IR = Q U Q' .‬‬ ‫مثال‪ 3 :‬را روى محور اعداد نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬از نقطﺔ ‪ 2‬به اندازة ﻳک واحد به سمت باﻻ حرکت مﻰ نماﻳﻴم‪ .‬نقطﺔ به دست‬ ‫آمده را به ‪ O‬وصل مﻰ نماﻳﻴم‪ ،‬نقطﺔ ‪ O‬را مرکز گرفته ﻳک قوس رسم مﻰ کنﻴم که‬ ‫محور اعداد را در ﻳک نقطه قطع کند‪ .‬نقطﺔ به دست آمده موقعﻴت ‪ 3‬را باﻻى‬ ‫محور اعداد مشخص مﻰ کند‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬کدام ﻳک از اعداد زﻳر غﻴر ناطق اند‪:‬‬ ‫‪37‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪5,‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪16 ,‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬سه عدد ناطق و سه عدد غﻴر ناطق را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در باره ‪ 15‬چﻰ فکر مﻰ کنﻴد‪ ،‬عدد ناطق است ﻳا غﻴر ناطق؟‬ ‫‪ -4‬موقعﻴت ‪ 5‬و ‪ 1+ 2‬را روى محور اعداد مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -5‬کدام ﻳک از اعداد ‪ 3 + 4 , 8 + 2 2‬ناطق و کدام آن ها غﻴر ناطق است؟‬ ‫‪ -6‬در مورد اعداد ‪ 5 , 31 , 36‬و ‪ 144‬چه فکر مﻰ کنﻴد؟ ناطق اند و ﻳا غﻴر‬ ‫ناطق؟‬

‫‪6‬‬

‫خواص اعداد حقﻴقﻲ‬

‫‪2+ 5= 5+ 2‬‬

‫آﻳا خاصﻴت هاى تبدﻳلﻰ‪ ،‬اتحادى‬ ‫و توزﻳعﻰ در اعداد حقﻴقﻰ صدق‬ ‫مﻰ کنند؟‬

‫)‬

‫‪2× 5‬‬

‫()‬

‫‪2× 3 +‬‬

‫)‬

‫‪2+ 3 + 5‬‬

‫( =) ‪( 3 + 5‬‬

‫( =) ‪( 3 + 5‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪2+‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫قﻴمت هاى تقرﻳبﻰ جذور زﻳر را با استفاده از جدول در ﻳافت کنﻴد‪:‬‬ ‫قﻴمت تقرﻳبﻰ‬

‫ﻋﺪﺩ‬

‫‪1.41‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1.73‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2.23‬‬

‫‪5‬‬

‫?= ‪3+ 2‬‬ ‫? = ‪2+ 2‬‬ ‫?= ‪1+ 3‬‬ ‫? = ‪1+ 3‬‬

‫?= ‪2+ 3‬‬ ‫?=‪2+2‬‬ ‫?=‪3+ 1‬‬ ‫? = ‪3 +1‬‬

‫آﻳا خاصﻴت تبدﻳلﻰ در ست اعداد حقﻴقﻰ صدق مﻰ کند ﻳا خﻴر؟‬ ‫خاصﻴت به نام چه ﻳاد مﻲ شود؟‬ ‫در اعداد طبﻴعﻲ اﻳن فعالﻴت‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم که‪:‬‬ ‫براي هر عدد حقﻴقﻲ ‪ a‬و‪ a + b = b + a b‬مﻰ باشد‪.‬‬

‫سؤال‪ :‬آﻳاخاصﻴت تبدﻳلﻲ عملﻴه ضرب در اعداد حقﻴقﻲ نﻴز صدق مﻰ کند؟‬ ‫با چند مثال واضح سازﻳد‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ﻳک مستطﻴل به طول ‪ 5‬واحد و عرض ‪ 3‬واحد طول رسم نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫مساحت اﻳن مستطﻴل چند است؟‬ ‫مستطﻴل دﻳگر را رسم نموده که طول آن ‪ 5‬و عرض آن ‪2‬‬ ‫واحد باشد مساحت اﻳن مستطﻴل چقدر است؟‬ ‫اﻳن دو مستطﻴل را کنار هم قرار داده و بگوﻳﻴد مساحت مستطﻴل‬ ‫بزرگ مساوى به چند است؟‬ ‫مساحت مستطﻴل بزرگ چه رابطه با مجموع مساحت هاى دو‬ ‫مستطﻴل کوچک دارد؟‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪5(3+2)=(5 3)+(5 2‬‬ ‫از نتﻴجﺔ فعالﻴت فوق براي هر عددحقﻴقﻲ ‪ c,b,a‬دارﻳم‪:‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‪a×)b+c(=)a×b(+)a×c‬‬

‫اﻳن خاصﻴت به نام چه ﻳاد مﻲ شود؟‬ ‫اﻳن خاصﻴت به نام خاصﻴت توزﻳعﻰ ضرب باﻻى عملﻴﺔ جمع ﻳاد مﻰ گردد‪.‬‬ ‫)‪3 × ( 2 + 5‬‬

‫مثال‪ :‬افادة‬ ‫باﻻى آن تطبﻴق کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫را در نظر گرفته خاصﻴت توزﻳعﻰ اعداد حقﻴقﻰ را‬ ‫)‪3 × ( 2 + 5) = ( 3 × 2) + ( 3 × 5‬‬

‫‪8‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫اشکال مقابل را در نظر بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(b‬‬

‫حجم مکعب مستطﻴل شکل ‪ a‬مساوي به چند است؟‬ ‫حجم مکعب مستطﻴل شکل ‪ b‬مساوي به چند است؟‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم‪:‬‬ ‫براي هر عدد حقﻴقﻲ ‪ b،a‬و‪ c‬دارﻳم که‪:‬‬ ‫)‪(a× b) × c = a× (b× c‬‬

‫اﻳن خاصﻴت اتحادي در عملﻴﺔ ضرب است‪.‬‬

‫مثال‪ :‬با استفاده از خاصﻴت اعداد حقﻴقﻰ‪ ،‬افادة‬ ‫خاصﻴت اتحادى را باﻻى آن تطبﻴق کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫شما به ﻳاد دارﻳدکه‪:‬‬ ‫‪a+ 0 = 0 + a = a‬‬ ‫‪a× 1 = 1 × a = a‬‬

‫روابط فوق براي هر ‪ a‬از ست‬ ‫اعداد حقﻴقﻲ نﻴز صدق مﻲ کند‪.‬‬

‫)‪2 × ( 3 × 5‬‬

‫را در نظر گرفته‬

‫‪2 × ( 3 × 5 ) = ( 2 × 3) × 5‬‬

‫آﻳا خاصﻴت اتحادي تحت عملﻴﺔ جمع وجود دارد؟ با چند مثال واضح سازﻳد‪.‬‬ ‫ازاﻳن به بعد عﻼمت ضرب (×) را به عﻼمت ( ‪ ) .‬نشان مﻲ دهﻴم‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫مساوات زﻳر را در نظر گرفته خاصﻴت هاى مربوطه را در مقابل آن بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫(نظر به کدام خاصﻴت‪).................‬‬

‫‪5 (2 + 3) = 2 5 + 3 5 .........‬‬

‫‪a‬‬

‫( نظر به کدام خاصﻴت‪).................‬‬

‫‪5 + 3 = 3 + 5 .........‬‬

‫‪b‬‬

‫(نظر به کدام خاصﻴت‪3 × ( 2 × 3 ) = ( 3 × 2 ) × 3.......... ).................‬‬

‫‪c‬‬

‫‪2 × 3 = 3 × 2 .........‬‬

‫‪d‬‬

‫(نظر به کدام خاصﻴت‪3 + ( 5 + 2 ) = ( 3 + 5 ) + 2 ......... ).................‬‬

‫‪e‬‬

‫( نظر به کدام خاصﻴت‪).................‬‬

‫‪10‬‬

‫طرﻳقﺔ عمومﻲ استخراج جذر‬ ‫مربع تقرﻳبﻲ ﻳک عدد‬ ‫جذر اعداد را به طرﻳقﺔ تجزﻳه مﻰ دانﻴد‪.‬‬ ‫آﻳا مﻰ توان جذر مربع تمام اعداد را‬ ‫به طرﻳقه تجزﻳه درﻳافت کرد؟‬ ‫آﻳا جذر سوم ﻳک عدد را به جز‬ ‫از طرﻳقﺔ تجزﻳه به کدام طرﻳقﺔ دﻳگر‬ ‫درﻳافت کرده مﻰ توانﻴد؟‬

‫ آﻳا درﻳافت جذر مربع اعداد را به طرﻳقﺔ تجزﻳه مﻴدانﻴد؛ مث ً‬‫ﻼ‪ 25 :‬چند است؟‬ ‫ جذر سوم‪ ،‬اعداد را به کدام طرﻳقه درﻳافت کرده مﻲ توانﻴد؛ مث ً‬‫ﻼ ‪ 3 27 :‬چند‬ ‫است؟‬ ‫ آﻳا براي پﻴدا کردن جذر مربع به جز از طرﻳقﺔ تجزﻳه کدام طرﻳقﺔ دﻳگر وجود‬‫دارد؟‬ ‫در صنف گذشته درﻳافت جذر مربع اعداد مثبت را به شکل عمومﻰ آموختﻴد؛ به‬ ‫منظور ﻳادآورى مثال هاى زﻳر را در نظر مﻰ گﻴرﻳم‪:‬‬ ‫مثال ‪ :1‬جذر مربع عدد ‪ 625‬را در ﻳافت مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬عدد را تحت عﻼمت جذر مﻲ نوﻳسﻴم ‪.‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪0 0‬‬

‫‪11‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪45 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫مثال ‪ :2‬جذر مربع عدد ‪ 116964‬را درﻳافت مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬عدد فوق را تحت عﻼمت جذر مﻲ نوﻳسﻴم‪.‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪64‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪00‬‬

‫‪342‬‬ ‫‪3 11 6 9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪64 2 6 9‬‬ ‫‪2 56‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪682‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪00‬‬

‫در نتﻴجه‪116964 = 342 :‬‬

‫مراحل استخراج جذر دوم را توضﻴح دهﻴد‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬جذر مربع اعداد زﻳر را در ﻳافت کنﻴد‪:‬‬ ‫‪c) 1127‬‬

‫‪a ) 1024 b) 5329‬‬

‫در جزء ‪ c‬دﻳدﻳم که‪ 1127‬جذر مربع تام ندارد ‪.‬‬ ‫آﻳاجذر تقرﻳبﻲ اعداد را به شکل عمومﻲ محاسبه کرده مﻲ توانﻴد؟‬ ‫براي محاسبﺔ ﻳک عدد جذر تقرﻳبﻲ ﻳک عدد از روش عمومﻲ کار گرفته‪ ،‬براي اﻳنکه‬ ‫بتوانﻴم جذر تقرﻳبﻲ ﻳک عدد را به دست آورﻳم فعالﻴت زﻳر را انجام مﻰ دهﻴم‪:‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪1.23 1.360‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪2.03‬‬

‫‪1.2‬‬

‫ﻋدﺪ‬ ‫عدد‬

‫مربعﻋدﺪ‬ ‫‪ 1.44 4‬ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫‪5.1209‬‬ ‫عدد‬

‫با در نظرداشت جدول فوق‪ ،‬چه رابطه ﻳﻰ بﻴن تعداد ارقام اعشاري عدد و مربع آن‬ ‫وجود دارد؟‬

‫‪12‬‬

‫با داشتن تعداد ارقام اعشاري جذر مربع‪ ،‬چگونه مﻲ توانﻴم تعداد ارقام اعشارى عدد‬ ‫را درﻳافت کنﻴم؟‬ ‫همان طورﻳکه در فعالﻴت باﻻ تعداد ارقام اعشاري جذر مربع‪ ،‬نصف تعداد رقم هاي‬ ‫اعشاري مربع آن است از اﻳن قاعده براي استخراج جذر تقرﻳبﻲ استفاده مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫مثال ‪ : 1‬مﻲ خواهﻴم جذر مربع عدد ‪ 1438‬را تا ﻳک رقم اعشارى محاسبه کنﻴم‪.‬‬

‫باقﻴمانده‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه‬

‫‪37.9‬‬ ‫‪37.9‬‬ ‫‪3 14 3 8 . 0 0‬‬ ‫‪3 14 3 8 . 0 0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪67 5 3 8‬‬ ‫‪67 5 3 8‬‬ ‫‪4 69‬‬ ‫‪4 69‬‬ ‫‪749‬‬ ‫‪6 9 .0 0‬‬ ‫‪749‬‬ ‫‪6 9 .0 0‬‬ ‫‪6 7 . 4. 1‬‬ ‫‪67 41‬‬ ‫‪1 .5 9‬‬ ‫‪1 .5 9‬‬

‫در نتﻴجه‪1438 37.9 :‬‬ ‫سؤال ‪ :‬آﻳا ‪ 1438.00=1438‬است؟ چرا ‪ 1438‬را به شکل ‪ 1438.00‬مﻲ نوﻳسﻴم؟‬ ‫مثال ‪ :2‬جذر مربع تقرﻳبﻲ عدد ‪ 2417‬را تا دو رقم اعشارى محاسبه کنﻴد‪.‬‬

‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه‬ ‫باقﻴمانده‬

‫در نتﻴجه‪49.16 :‬‬

‫‪13‬‬

‫‪2417‬‬

‫‪49.16‬‬ ‫‪49.16‬‬ ‫‪4 424 241 71 .7 0. 00 00 00 0‬‬ ‫‪16 16‬‬ ‫‪89 898 81 71 7‬‬ ‫‪8 80 10 1‬‬ ‫‪981981 1 61 .6 0. 00 0‬‬ ‫‪9 .9 8. 18 1‬‬ ‫‪6 .6 1. 91 09 00 0‬‬ ‫‪9826‬‬ ‫‪9826‬‬ ‫‪5 .5 8. 98 59 65 6‬‬ ‫‪0 .0 2. 92 49 44 4‬‬

‫در مثال هاي فوق مﻲ بﻴنﻴم که تعداد ارقام اعشاري باقﻴمانده مساوي به تعداد ارقام اصلﻲ‬ ‫عددى است که مﻰ خواهﻴم جذر مربع آن را پﻴدا کنﻴم‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬جذر مربع اعداد زﻳر را تا ﻳک رقم اعشارى محاسبه کنﻴد‪:‬‬ ‫‪b) 74‬‬

‫‪c) 427‬‬

‫‪a ) 814‬‬

‫‪ -2‬جذر مربع اعداد زﻳر را تا دو رقم اعشارى محاسبه کنﻴد‪:‬‬ ‫‪c) 418‬‬

‫‪b) 5039‬‬

‫‪a ) 94752‬‬

‫‪14‬‬

‫قﻴمت تقرﻳبﻰ جذر مربع‬ ‫به طرﻳقﺔ اوسط‬ ‫آﻳا ‪81‬‬

‫را گفته مﻰ توانﻴد که‬

‫چند است؟‬ ‫‪25‬‬ ‫آﻳا‬ ‫‪16‬‬

‫را گفته مﻰ توانﻴد که‬

‫چند است؟‬

‫شما مﻲ دانﻴد هر عددى که در نفس خود ضرب شود حاصل ضرب به دست آمده‬ ‫بنام مربع عدد اولﻲ ﻳاد مﻲ شود‪ .‬ولﻰ جذر مربع تمام اعداد مثبت را به شکل کسرى ﻳا‬ ‫نسبتﻰ ارائه کرده نمﻰ توانﻴم؛ مانند‪30, 10, 5 :‬‬

‫از اﻳن رو قﻴمت جذر مربع بعضﻰ از اعداد به شکل تقرﻳبﻰ ارائه مﻰ شود‪.‬‬ ‫دراﻳنجا مﻰ خواهﻴم قﻴمت تقرﻳبﻲ ‪ 5‬را درﻳافت کنﻴم‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬عدد ‪ 5‬بﻴن مربعات کدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫‪ 5‬بﻴن کدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫با درنظرداشت اﻳنکه جذر مربع ‪ 5‬بﻴن ‪ 2‬و‪ 3‬قرار دارد مﻲ توان گفت که جذرمربع‪5‬‬ ‫‪2+3‬‬ ‫تقرﻳباً مساوى به قﻴمت وسطﻲ ‪ 2‬و ‪ 3‬است‪ .‬ﻳعنﻲ‪= 2.5 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫براي پﻴدا کردن قﻴمت دقﻴقتر ‪ 5‬جدول زﻳر را در نظر مﻲ گﻴرﻳم‪:‬‬

‫ﻋﺪ ﺩ ‪ 5‬ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ‪ 2‬و ‪2.5‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭه ﺩﻳﮕﺮ‪ 5‬ﺑﻴﻦ ‪ 2‬و ‪ 2.25‬ﻗﺮاﺭ ﺩاﺭﺩ‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻋﺪ ﺩ‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6.25‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫با در نظر داشت اﻳنکه عدد ‪ 5‬بﻴن ‪4‬و‪ 6.25‬قرار دارد مﻲ توان گفت که قﻴمت تقرﻳبﻲ‬ ‫‪2 + 2.5 4.5‬‬ ‫=‬ ‫‪ 5‬قﻴمت وسطﻲ ‪ 2‬و ‪ 2.5‬است‪= 2.25 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫جدول مقابل را تکمﻴل کنﻴد‪.‬‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻋﺪ ﺩ‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪6.25‬‬

‫‪15‬‬

‫‪2.5‬‬

‫بادر نظرداشت جدول فوق گفته مﻰ توانﻴد ‪ 5‬بﻴن کدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫دﻳده مﻰ شود که قﻴمت تقرﻳبﻰ ‪ 5‬با در نظرداشت اﻳن دو مرحله عبارت از ‪2.25‬‬ ‫‪5‬‬

‫بوده پس نوشته کرده مﻰ توانﻴم که‪2.25 :‬‬

‫هرقدر که به روش فوق عملﻴه هاى باﻻ را تکرار نماﻳﻴم به ‪ 5‬بﻴشتر نزدﻳک مﻰ شوﻳم‪.‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2 2.25 3‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫در نتﻴجه مﻰ توانﻴم جذر تقرﻳبﻰ اعداد را با استفاده از روش فوق درﻳافت نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬جذر تقرﻳبﻰ ‪ 10‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از روش فوق تقرﻳب اولﻲ ‪ 10‬مﻲ تواند قﻴمت وسطﻲ ‪ 3‬و ‪ 4‬باشد‪.‬‬ ‫‪9 < 10 < 16‬‬

‫‪3 < 10 < 4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3+ 4‬‬ ‫‪= 3.5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫خﻼصه عملﻴﺔ فوق را در جدول زﻳر مﻼحظه مﻲ کنﻴد‪:‬‬ ‫‪10‬‬

‫از جدول فوق نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم که‪3.5 :‬‬

‫مربع‬

‫بﻴن ‪ 3‬و ‪35‬‬

‫عدد‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫با در نظرداشت اﻳن که عدد ‪ 10‬بﻴن ‪ 9‬و ‪ 12.25‬قرار دارد مﻲ توان گفت که قﻴمت‬

‫‪3 + 3.5 6.5‬‬ ‫=‬ ‫تقرﻳبﻲ ‪ 10‬قﻴمت وسطﻲ ‪ 3‬و ‪ 3.5‬است‪= 3.25 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫براي درﻳافت قﻴمت دقﻴقتر ‪ 10‬جدول زﻳر را در نظر مﻲ گﻴرﻳم‪.‬‬

‫درنتﻴجه‪3.25 :‬‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫بﻴن ‪ 3‬و ‪25.3‬‬ ‫‪3.25‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫مربع‬

‫عدد‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10.5625‬‬

‫‪3.25‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪ -1‬صحت هرﻳک از غﻴر تساوى هاى زﻳر را نشان دهﻴد‪:‬‬ ‫‪a) 3 < 12 < 4‬‬

‫‪b) 7.1 < 51 < 7.2‬‬

‫‪ -2‬با استفاده از روش قﻴمت وسطﻲ جذر مربع تقرﻳبﻲ اعداد زﻳر را محاسبه کنﻴد‪:‬‬ ‫‪c) 7‬‬

‫‪b) 12‬‬

‫‪a) 21‬‬

‫‪16‬‬

‫جذر اعداد اعشاري دار‬ ‫اگر ﻳک عدد اعشارى دار را‬ ‫مربع کنﻴم تعداد رقم هاي بعد از‬ ‫اعشاري آن جفت است‪.‬‬ ‫در صورتﻲ که تعداد رقم هاي بعد‬ ‫از اعشاري آن تاق باشد چه عمل‬ ‫را باﻳد انجام دهﻴم؟‬

‫مثال ‪ :‬جذر مربع عدد ‪ 547.56‬را محاسبه کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چون تعداد ارقام بعد از اعشاري جفت است؛ پس مﻲ توان قسمت صحﻴح را از‬ ‫راست به چپ و قسمت اعشاري آن را برعکس از چپ‬ ‫‪23.4‬‬ ‫به راست دو دو خانه جدا کنﻴم؛ پس مانند قبل از طرﻳق‬ ‫‪2 5 47 . 56‬‬ ‫‪4‬‬ ‫روش درﻳافت جذر عمومﻲ ‪ ،‬جذر عدد را استخراج‬ ‫‪43 1 4 7‬‬ ‫مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫در نتﻴجه‪547.56 = 23.4 :‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪8 . 5 6‬‬ ‫‪8 . 5 6‬‬ ‫‪0 . 0 0‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪464‬‬

‫ عدد ‪ 381.291‬چند رقم اعشاري دارد؟‬‫ براي پﻴدا کردن جذر مربع اﻳن عدد در قدم اول چه‬‫باﻳد کرد؟‬ ‫ جذر مربع آن را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬‫ قبل از جذر گرفتن تخمﻴن کرده مﻰ توانﻴد جذر مربع اﻳن عدد چند رقم اعشاري‬‫دارد؟‬ ‫ باقﻴماندة جذر گرفته شده ‪ ،‬چند رقم اعشاري باﻳد داشته باشد؟‬‫در گذشته ما در عملﻴات چهار گانه بهخاطر مطمئن شدن از حل درست سؤال‪ ،‬جواب را‬ ‫امتحان مﻲکردﻳم؛ بنا براﻳن در جذر اعداد اعشارﻳه دار نﻴز اﻳن عمل را انجام مﻲ دهﻴم‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧدﻪ‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جز‪ )a‬تقسﻴم مقابل را در نظر بگﻴرﻳد‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫جز‪)b‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫با در نظرداشت عملﻴه هاى جزء ‪ a‬و ‪ b‬شراﻳط درست بودن عمل تقسﻴم را شرح دهﻴد‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬چطور مﻲ توان اطمﻴنان حاصل کرد که عملﻴﺔ جذر گرفتن درست است؟‬ ‫مثال‪ :‬جذر مربع عدد ‪ 149‬را درﻳافت نموده و درست بودن‬ ‫‪12‬‬ ‫آنرا امتحان مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫‪1 1 49‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫امتحان‪(12 × 12) + 5 = 144 + 5 = 149 :‬‬ ‫‪22 0 4 9‬‬ ‫سؤال‪ :‬چرا ‪ 12‬را ضرب ‪ 12‬مﻲ کنﻴم‪.‬؟‬ ‫‪4 4‬‬ ‫آﻳا براي اثبات درست بودن جذر فقط اجراى اﻳن عمل کافﻲ‬ ‫‪0 5‬‬ ‫است؟ اگر شاگرد اشتباهاً در جذر ‪ 149‬جذر مربع ‪ 11‬ضرب‬ ‫‪ 11‬و باقﻴمانده ﻳعنﻲ ‪ 28‬را جمع آن کند مساوي به عدد اصلﻲ مﻲ شود‪.‬‬ ‫‪ (11× 11) + 28 = 149‬آﻳا مﻴتوانﻴم جواب آن را را درست قبول کنﻴم؟‬ ‫از مثال فوق نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم که براي امتحان کردن عملﻴﺔ جذر مربع‪ ،‬شرط دﻳگري‬ ‫هم ﻻزم است‪ :‬دو چند جذر مربع ﻳعنﻲ ‪ 2 12‬جمع ‪ 1‬بزرگتر از باقﻴمانده ﻳعنﻲ ‪5‬‬ ‫مﻰ باشد وﻳا ‪5 < 2 × 12 + 1‬‬ ‫سؤال‪ :‬با در نظر داشت فعالﻴت فوق نشان دهﻴد که چرا جواب ‪ 11‬اشتباه بود؟‬ ‫براي امتحان کردن جذر مربع شراﻳط زﻳر باﻳد در نظر گرفته شود‪:‬‬ ‫‪ -1‬حاصل ضرب جذر مربع در خودش جمع باقﻴمانده مساوي به عدد اصلﻲ است‪.‬‬ ‫‪ -2‬دو چند جذر مربع ﻳک عدد‪ ،‬جمع ﻳک از باقﻴمانده بزرگتر است‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫جذر مربع اعداد زﻳر را درﻳافت نموده امتحان کنﻴد‪:‬‬ ‫? = ‪4) 692.916‬‬

‫? = ‪3) 973‬‬

‫? = ‪2) 6721‬‬

‫? = ‪1) 780.81‬‬

‫‪18‬‬

‫جمع و تفرﻳق اعداد جذر دار‬ ‫شما مﻲ دانﻴد که در ست اعداد‬ ‫ناطق براي هر عدد حقﻴقﻰ ‪a‬‬ ‫مﻲ توانﻴم بنوﻳسﻴم‪.‬‬ ‫‪3a + 2a = (3 + 2)a = 5a‬‬ ‫‪3a 2a = (3 2)a = a‬‬

‫?= ‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2 3+‬‬

‫? = ‪xn a + y n a‬‬

‫آﻳا اعداد جذردار را نﻴز باهم‬ ‫جمع و تفرﻳق کرده مﻲ توانﻴد؟‬ ‫تساوى هاى زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬

‫‪2 3 + 4 3 = (2 + 4) 3 = 6 3‬‬

‫‪2 × 13 + 3 × 13 = (2 + 3) × 13 = 5 × 13‬‬

‫براى آسانﻰ ‪ 5 × 13‬را به شکل ‪ 5 13‬مﻰ نوﻳسﻴم ‪.‬‬ ‫براي درﻳافت حاصل جمع از خاصﻴت هاي اعداد حقﻴقﻲ استفاده مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬آﻳا براي تفرﻳق اعداد حقﻴقﻲ از روش جمع استفاده کرده مﻲ توانﻴم؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫در مساوات دوم به جاي‪ )7-2(،5‬را قرار دهﻴد‪ .‬مشابه به روش فوق محاسبه را انجام دهﻴد‪.‬‬ ‫جمع و تفرﻳق اعداد جذرى در صورتﻰ ممکن است که درجﺔ جذر و اعداد تحت جذر‬ ‫ﻳکسان باشند‪ .‬ضراﻳب حدود مشابه جذور را با هم جمع ﻳا از هم تفرﻳق مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫‪x n a ± y n a = ( x ± y) n a‬‬

‫سؤال‪ :‬آﻳا گفته مﻲ توانﻴد جذر هاي مشابه کدام ها اند؟ آﻳا ‪ 10‬و‪ 5 5,‬باهم مشابه‬ ‫اند؟‬ ‫مثال ‪2 3 + 5 3 = ? : 1‬‬

‫حل‪ :‬چون اعداد تحت جذر و درجﺔ جذور با هم مساوى اند‪.‬‬ ‫بنابراﻳن‪:‬‬

‫‪19‬‬

‫‪2 3 + 5 3 = (2 + 5) 3 = 7 3‬‬

‫? = ‪18 12 16 12‬‬

‫مثال ‪:2‬‬

‫‪18 12 16 12 = (18 16) 12 = 2 12‬‬

‫حل‪:‬‬

‫مثال ‪:3‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از خاصﻴت توزﻳعﻰ اعداد حقﻴقﻰ‬ ‫= ‪8 48 10 48 3 48‬‬ ‫در مرحلﺔ اول نتﻴجه دو حد را به دست آورده بعد نتﻴجه‬ ‫‪= (8 10) 48 3 48‬‬ ‫را ازحد سوم تفرﻳق مﻰ کنﻴم‪.‬‬ ‫? = ‪3 48‬‬

‫‪8 48 10 48‬‬

‫‪48 = ( 2 3) 48 = 5 48‬‬

‫‪= 2 48‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫قﻴمت ‪ 9 + 16‬و ‪ 9 + 16‬را به دست آورﻳد آﻳا قﻴمت ها با هم مساوي اند؟‬ ‫قﻴمت هاي ‪ 100 36‬و ‪36‬‬

‫‪ 100‬را به دست آورﻳد آﻳا نتاﻳج اﻳن دو‬

‫عملﻴه با هم مساوي اند؟‬ ‫از فعالﻴت باﻻ نتﻴجه مﻰ شود که‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪a+ b‬‬

‫‪a+b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ -1‬حاصل جمع و حاصل تفرﻳق اعداد جذرى زﻳر را به دست آرﻳد‪:‬‬ ‫‪50 3 50‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪d) 5 × 36 + 5 × 36‬‬

‫‪a) 5 2 + 3 2 9 2‬‬ ‫‪81 + 3 27‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪ -2‬کدام اعداد جذرى را مﻰ توان باهم جمع ﻳا از همدﻳگر تفرﻳق نمود؟‬ ‫‪b) 5 4 + 3 4‬‬

‫‪a) 4 3 2 + 3 2‬‬

‫‪d) 7 3 6 + 2 3 6‬‬

‫‪c) 5 3 6 2 3 6‬‬

‫‪20‬‬

‫ضرب و تقسﻴم جذرها‬ ‫آﻳا اعداد جذرى را باهم ضرب و‬ ‫تقسﻴم کرده مﻲ توانﻴد؟‬

‫‪36 × 9‬‬ ‫‪36 × 9 6 × 3 9‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جذور اعداد زﻳر را محاسبه کنﻴد‪:‬‬

‫= ‪36 × 9‬‬

‫‪4 × 25 = 100 = ............‬‬

‫‪= ..............‬‬

‫= ‪36 × 9 = ........ × ..............‬‬

‫= ‪4 × 25 = ....... × ............‬‬

‫‪= ..................‬‬

‫= ‪25 × 36‬‬

‫= ‪25 × 36 = ........... × .............‬‬

‫‪= ................‬‬

‫= ‪4×9‬‬

‫= ‪4 × 9 = .......... × ...........‬‬

‫از فعالﻴت باﻻ نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم‪:‬‬ ‫براي هر عدد حقﻴقﻰ اختﻴارى مثبت ‪ a‬و ‪ b‬دارﻳم‪a × b = a × b :‬‬

‫مثال ‪: 1‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2 × 32 = 2 × 32 = 64 = 8‬‬ ‫‪20 × 5 = 20 × 5 = 100 = 10‬‬ ‫‪0.25 = 0.01× 25 = 0.01 × 25‬‬ ‫‪= 0.1× 5 = 0.5‬‬

‫با انجام دادن عملﻴه ها‪ ،‬باﻻي جذور سعﻰ مﻰ کنﻴم افادة ساده ترى را به دست آورﻳم‬ ‫که اﻳن عمل راساده کردن جذر ها مﻰ نامند‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫مثال ‪: 2‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪75 = 25 × 3 = 25 × 3 = 5 × 3 5 × 1.7 = 8.5‬‬ ‫مثال ‪ : 3‬اﻳن افاده را ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫? = ‪64a 2‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫? = ‪75‬‬

‫‪64a = 64 × a‬‬ ‫‪82 × a 2 = 8a‬‬

‫مثال ‪ : 4‬مﻲ خواهﻴم افاده هاي جذري زﻳر را با هم ضرب نماﻳﻴم‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪3‬‬

‫‪(2 6)(5‬‬

‫)‪= (2 6 × 5) (2 6 × 3‬‬ ‫‪= 10 6 2 18 = 10 6 2 9 × 2‬‬ ‫‪= 10 6 2 9 × 2 = 10 6 6 2‬‬

‫آﻳا مﻴتوانﻴد مشابه به قانون ضرب جذرها‪ ،‬براي تقسﻴم نﻴز قاعده ﻳﻰ را درﻳافت کنﻴد؟‬ ‫مثال زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫= = ‪= 16 × 0.01 = 16 × 0.01 = 4 × 0.1 = 0.4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10 100‬‬

‫اگر به جاى‪ a ،16‬و به جاى ‪ b ، 100‬بگذارﻳم براى ‪ b 0‬دارﻳم‪:‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪36‬‬ ‫?=‬ ‫‪49‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9× 4‬‬ ‫‪9 × 4 3× 2 6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪49‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪49‬‬

‫مثال ‪: 5‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬افادة هاى زﻳر را ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫‪0.28‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪64‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪36‬‬

‫‪0.003‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪169a 2‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪144a 2‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬افاده هاى زﻳر را ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫‪81a 4‬‬ ‫?=‬ ‫‪125c6‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪25‬‬ ‫?=‬ ‫‪5‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪18‬‬ ‫?=‬ ‫‪6‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪22‬‬

‫قوانﻴن اعداد توان دار‬ ‫ضرب اعداد توان دار‬ ‫در ﻻبراتوارها از ماﻳکروسکوپ ها براى‬ ‫بزرگ شدن اجسام استفاده مﻰ کنند‪.‬‬ ‫هر ماﻳکروسکوپ دو عدسﻴه دارد‬ ‫که ﻳک عدسﻴﺔ آن نزدﻳک به چشم‬ ‫و دﻳگرى نزدﻳک جسم قرار دارد‪.‬‬ ‫عدسﻴﺔ نزدﻳک جسم‪ ،‬اندازه را ‪2 2‬‬ ‫برابر و عدسﻴﺔ نزدﻳک چشم‪ ،‬تصوﻳر را‬ ‫‪ 23‬برابر بزرگ مﻰ سازد‪ .‬تصوﻳر جسم‬ ‫چند برابر بزرگ مﻰ شود؟‬

‫در صنف گذشته توان و قوانﻴن مربوطﺔ آن را براى اعداد طبﻴعﻰ مورد مطالعه قرار‬ ‫دادﻳم در اﻳن بخش مﻰ خواهﻴم براى اعداد حقﻴقﻰ آن را مورد مطالعه قرار دهﻴم‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جا هاى خالﻰ را با اعداد مناسب توان دار پر نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪5 = 5 × 5 = 5 × .... = 5 × .... = .... × 51‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.... = ( ) 2 × ( )8 = ( )3 × .... = ( )9 × ....‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a = a × .... = .... × a = .... × a‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫از فعالﻴت باﻻ نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم که‪ :‬هر گاه ‪ m‬و‪ n‬اعداد تام و ‪ a‬ﻳک عدد حقﻴقﻰ باشد‪.‬‬ ‫‪a m × a n = a m+n‬‬ ‫دارﻳم که‪:‬‬ ‫اگر در ضرب اعداد توان دار قاعده ها مساوى و توان ها مختلف باشند‪ .‬در اﻳن صورت‬ ‫از قاعده هاى مساوى ﻳکﻰ را مشترک گرفته و توان ها را باهم جمع مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫? = ‪2 × 24‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪23 × 2 4 = 23+ 4 = 2 7‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫با ﻳک مثال واضح سازﻳدکه ‪ ( a ) = a‬همﻴشه درست نﻴست‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تساوى زﻳر را درنظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫‪(149 ) 4 = (149 ) × (149 ) × (149 ) × (149 ) = (14)9+9+9+9 = 144×9‬‬

‫جاهاى خالﻰ را با اعداد مناسب توان دار پر نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪(23 ) 4 = 23 × .... × .... × .... = 23+....+3+3 = 23×....‬‬ ‫‪(a n ) 4 = a n × .... × .... × .... = a n +....+....+.... = a ......×4‬‬

‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم براى هر عدد حقﻴقﻰ ‪ a‬و دو عدد تام ‪ n‬و ‪ m‬دارﻳم‪:‬‬ ‫‪(a n )m = a m n‬‬ ‫= ‪= (2) 6‬‬

‫‪2×3‬‬

‫‪=2‬‬

‫مثال ‪:‬‬ ‫تساوي هاي زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬

‫‪2 2 2‬‬

‫)‪(2 2 )3 = (2 2 )(2 2 )(2 2 ) = (2‬‬

‫‪(30)3 = (6 × 5)3 = (6 × 5)(6 × 5)(6 × 5) = (6 × 6 × 6)(5 × 5 × 5) = 63 × 53‬‬

‫‪(30)3 = (10 × 3)3 = (10 × 3)(10 × 3)(10 × 3) = (10 × 10 × 10)(3 × 3 × 3) = 103 × 33‬‬

‫مساوات فوق به صورت عموم براى تمام اعداد حقﻴقﻰ ‪ b, a‬و ‪ n‬ﻳک عدد تام درست‬ ‫است‪(a × b) n = a n × b n .‬‬

‫اگر در ضرب دو عدد توان دار قاعده ها مختلف و توان ها مساوى باشند؛ پس قاعده ها‬ ‫را با هم ضرب و از توان هاى مساوى ﻳکﻰ رامﻰ نوﻳسﻴم‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫? = ‪4 ×5‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل ‪:‬‬ ‫‪(4 × 5) = 20‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫با استفاده از قانون ضرب سؤال هاى زﻳر را به شکل ﻳک توان بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫? = ‪2) (0.2) 2 × (0.2) 2 = ? 3) ( ) 4 × ( )3 = ? 4) ( ) 7 × ( ) 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫? = ‪6) 27 × 53 = ? 7) a 7 × b 7 × c 7 = ? 8) a 5 × b 5 × c 5‬‬

‫? ?== ‪1)1)6 26××636‬‬ ‫? = ‪5) 54 × 5‬‬

‫‪24‬‬

‫تقسﻴم اعداد توان دار‬ ‫آﻳا تا به حال عکس خود را به اندازة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫نﻴم( ) کوچک کرده اﻳد؟ براي اﻳن‬ ‫هدف از کدام عمل رﻳاضﻲ استفاده‬ ‫مﻲ کنﻴم؟‬

‫براى ضرب کردن دو عدد توان دار‪ ،‬توانستﻴم رابطه بﻴن توان و قاعده را درﻳافت کنﻴم‪.‬‬ ‫آﻳا مﻰ توانﻴد به صورت مشابه در رابطﺔ تقسﻴم دو عدد توان دار رابطه ﻳﻰ را درﻳافت‬ ‫کرد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪3‬‬ ‫‪3 ×3‬‬ ‫=‬ ‫‪= 31 = 35‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫= ‪35 ÷ 34‬‬

‫خانه هاى خالﻰ را پر نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫چه رابطه بﻴن توان صورت‪ ،‬توان مخرج و توان خارج قسمت وجود دارد؟‬ ‫آﻳا اﻳن رابطه براى تقسﻴم همه اعداد توان دار باقاعده هاى مساوى صدق مﻴنماﻳد؟‬ ‫به صورت عموم هرگاه ‪ a‬ﻳک عدد حقﻴقﻰ خﻼف صفر ‪ n‬و ‪ m‬اعداد تام باشند در‬ ‫اﻳن صورت دارﻳم‪:‬‬ ‫‪am‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫‪=a‬‬

‫‪an‬‬

‫در تقسﻴم دو عدد توان دار‪ ،‬در صورتﻰ که قاعده ها باهم مساوى باشند از قاعده ها‬ ‫ﻳکﻰ را گرفته از توان صورت توان مخرج را تفرﻳق مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬تقسﻴم هاى زﻳر را انجام دهﻴد‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪c) ( ) ÷ (0.25‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪25‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪b) 5 ÷ 5‬‬

‫‪7 +1‬‬

‫‪a) 5 ÷ 5‬‬

‫‪a ) 5 7 ÷ 5 1 = 5 7 ( 1) = 5‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪b) 3 = 5 3 3 = 5 0‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جاهاى خالﻰ را با نوشتن اعداد مناسب پر نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪× 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫(=‬ ‫(×)‬ ‫‪) × ( ) = ( )3 = 33‬‬ ‫‪×4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪123‬‬ ‫=‬ ‫× ‪43 4‬‬

‫= ‪123 ÷ 43‬‬

‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم که به صورت عموم براى تمام اعداد حقﻴقﻰ ‪ a‬و ‪، b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫طورﻳکه ‪ b 0‬و ‪ n‬عددتام باشند دارﻳم‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫=‬

‫‪bn‬‬

‫در تقسﻴم اعداد توان دار اگر قاعده ها مختلف و توان ها مساوى باشند‪ ،‬قاعدة صورت‬ ‫را بر قاعدة مخرج تقسﻴم و از توان ها ﻳکﻰ را به حﻴث توان حاصل تقسﻴم مﻰ نوﻳسﻴم‪.‬‬ ‫? = ‪b) 32 ÷ 102‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫حل‪ :‬نظر به قانون تقسﻴم اعداد توان دار مﻰ توان نوشت‪:‬‬

‫? = ‪a ) 254 ÷ 54‬‬ ‫‪a ) (25 ÷ 5) 4 = 5 4‬‬ ‫‪b) (3 ÷ 10) 2 = (0.3) 2‬‬

‫در عملﻴﺔ تقسﻴم دو عدد توان دار اگر قاعده ها و توان ها در صورت و مخرج با هم فرق‬ ‫داشته باشند براي پﻴدا کردن حاصل تقسﻴم هر کدام را به صورت جداگانه در صورت‬ ‫و مخرج محاسبه نموده بعد صورت را باﻻى مخرج تقسﻴم مﻰ نماﻳﻴم‬ ‫ﻳادداشت‪ :‬قوانﻴن فوق در صورتﻰ که ‪ n ، m‬اعداد حقﻴقﻲ باشند نﻴز صحت دارد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬با استفاده از قاعدة تقسﻴم سؤال هاى زﻳر را حل نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪126‬‬ ‫?=‬ ‫‪125‬‬

‫)‪3‬‬

‫? = ‪6) 63 ÷ 23‬‬

‫? = ‪2) 137 ÷ 138‬‬ ‫‪85‬‬ ‫?=‬ ‫‪83‬‬

‫)‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫? = ‪1) ( ) 4 ÷ ( )3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫? = ‪4) 3‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪26‬‬

‫توان صفر وتوان منفﻲ‬ ‫‪ 23‬را محاسبه کنﻴد ‪.‬‬ ‫آﻳا ‪ 20‬را مﻲ توان محاسبه کرد؟‬ ‫آﻳا اعداد را به توان صفر نوشته‬ ‫مﻰ توانﻴم؟‬ ‫آﻳا اعداد را به توان منفﻰ نوشته‬ ‫کرده مﻴتوانﻴم؟‬

‫‪3‬‬

‫?= ‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫?= ‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫?=‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2 ÷2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 ÷2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 ÷2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 2 ÷2‬عدد توان دار‬ ‫‪8‬‬

‫حاصل‬

‫چه رابطه بﻴن توان هاى سطر اول وجود دارد؟‬ ‫چه رابطه بﻴن اعداد سطر دوم جدول مﻲ ﻳابﻴد؟‬ ‫عملﻴﺔ سطر اول را ادامه دهﻴد و عدد بعدى را ‪ 20‬قرار دهﻴد‪ .‬با توجه به رابطﺔ که بﻴن اعداد‬ ‫سطر دوم وجود دارد چه عددى را براى ‪ 20‬در سطر دوم درﻳافت کرده مﻰ توانﻴد؟‬ ‫جدول باﻻ را براى عدد ‪ 3‬تکرار کنﻴد؛ طورى که عﻴن اعداد در توان تکرار شوند‪.‬‬ ‫جدول زﻳر را براي عدد ‪ a 0‬تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪a ÷a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a ÷a‬‬

‫‪3‬‬

‫‪a ÷a‬‬

‫‪4‬‬

‫‪a ÷a‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪a‬‬

‫عدد توان دار‬ ‫حاصل‬

‫عملﻴﺔ سطر اول را ادامه داده‪ ،‬عدد بعدى را ‪ a 0‬قرار دهﻴد‪ .‬با توجه به رابطه ﻳﻰ که بﻴن‬ ‫اعداد سطر دوم وجود دارد چه عددى را براى ‪ a 0‬در سطر دوم درﻳافت کرده مﻰتوانﻴد؟‬ ‫از فعالﻴت باﻻ نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم که براى هر عدد حقﻴقﻰ ‪ a‬خﻼف صفر دارﻳم‪:‬‬ ‫‪a0 = 1‬‬

‫‪27‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جدول زﻳر رادر نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 3 3‬اعداد توان دار‬

‫‪9‬‬

‫‪27‬‬

‫حاصل‬

‫چه رابطه ﻳﻰ را بﻴن اعداد سطر اول و اعداد سطر دوم جدول مﻰ ﻳابﻴد؟‬ ‫عملﻴﺔ سطر اول را ادامه داده عدد توان دار بعدى را ‪ 3 1‬قرار دهﻴد‪.‬‬ ‫اکنون با در نظرداشت رابطه بﻴن اعداد سطر دوم که پﻴدا کرده اﻳد‪ ،‬چه اعدادى را‬ ‫براى ‪ 3 1‬و ‪ 3 2‬درﻳافت مﻰ کنﻴد؟‬ ‫براى عدد ‪ a 0‬جدول باﻻ را تکرار بنوﻳسﻴد‪ .‬چه اعدادى را براى ‪ a 1‬و ‪ a 2‬پﻴدا‬ ‫کرده مﻰ توانﻴد؟‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم که براى هر عدد حقﻴقﻰ ‪ a 0‬و ‪ n‬ﻳک عدد تام‬ ‫دارﻳم که‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫)‪ ( 15‬را به شکل توان مثبت بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫=‬

‫مثال ‪ :‬افاده هاى ‪ (1.3) 3‬و‬

‫‪21‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 15) 21‬‬

‫حل‪:‬‬

‫=‬

‫‪21‬‬

‫‪n‬‬

‫‪a‬‬

‫)‪( 15‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(1.3)3‬‬

‫‪,‬‬

‫= ‪(1.3) 3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬افاده هاى زﻳر را به توان مثبت بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫) ‪d) (2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ( )‪c‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪b) ( 7‬‬

‫‪a) 5‬‬

‫‪ -2‬هر ﻳک از افاده هاى زﻳر را به صورت ﻳک افاده با توان منفﻰ بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪311‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪64‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪b2‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a) 0.0001‬‬

‫‪28‬‬

‫طاقت نما هاى کسرى و قوانﻴن آن‬ ‫‪a‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a‬‬

‫شما قوانﻴن طاقت نما ها را قب ً‬ ‫ﻼ‬ ‫خواندﻳد‪ ،‬آﻳا مﻰ توانﻴد قوانﻴن فوق‬ ‫را باﻻى توان هاى کسرى نﻴز تطبﻴق‬ ‫کنﻴد؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a3‬‬ ‫‪a2‬‬

‫‪a3‬‬

‫‪a‬‬

‫‪n‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● آﻳا ‪ 16‬و ‪16‬‬ ‫● ‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫با هم مساوى اند؟‬

‫و ‪ 3 8‬مساوى به چند است؟‬

‫● آﻳا ‪ a‬را به شکل توان مﻰ توان نوشت؟ ‪ n a‬را به شکل توان بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫از فعالﻴت فوق مﻰ توان بﻴان کرد‪:‬‬ ‫اعداد منفﻰ در ست اعداد حقﻴقﻰ جذرالمربع ندارند‪ .‬هر عدد حقﻴقﻰ چه مثبت و چه منفﻰ‬ ‫باشد‪ ،‬جذر سوم دارد‪.‬‬ ‫ﻳک عدد جذر دار را به شکل علمﻰ چنﻴن مﻰ نوﻳسند‪a :‬‬

‫‪n‬‬

‫و اﻳن قسم خوانده مﻰ شود (جذر ‪ n‬ام ‪.)a‬‬ ‫مقصد از جذر ‪ n‬ام ﻳک عدد‪ ،‬عددى است که هرگاه آن عدد به توان ‪ n‬بلند برده شود‪ ،‬عدد‬ ‫تحت جذر حاصل مﻰ شود‪.‬‬

‫توان عدد تحت جذر‬ ‫درجه جذر‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a =a‬‬

‫‪n‬‬

‫به ﻳاد داشته باشﻴد‪ :‬اگر توان ﻳک عدد تحت جذر و درجﺔ جذر با هم مساوى باشند‬ ‫پس‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a n = a = a1 = a‬‬

‫‪29‬‬

‫‪n‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جا هاى خالﻰ را پر ‪1‬کنﻴد‪:‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a = 2a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪a = 33 a‬‬

‫‪, 3a‬‬

‫= ‪+ 2a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬

‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم‪ :I ،‬هرگاه قاعده ها مشابه و توان هاى کسرى مساوى‬ ‫باشند براى تمام ‪ a IR‬و ‪ a 0‬مﻰ توانﻴم بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ma ± ba = (m ± b)a = (m ± b) n a‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪(15) 3‬‬

‫‪2(15) 3 + 3(15) 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪= (2 + 3 1)(15) = 43 15‬‬

‫‪ :II‬در عملﻴﺔ تقسﻴم هر گاه قاعده ها مساوى و توان هاى کسرى مختلف باشند براى‬ ‫‪n m‬‬

‫‪ a IR‬و ‪ a 0‬دارﻳم‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬

‫‪m‬‬

‫‪= a m n = m n an‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪am‬‬

‫‪= am‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪=5 = 5‬‬ ‫‪12‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ :III‬در عملﻴﺔ ضرب به صورت عمومﻰ مﻰ توان گفت هرگاه قاعده ها مختلف و‬ ‫توان هاى کسرى مساوى باشند مﻰ توان رابطه ذﻳل را نوشت‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪c = (a b c) n = n abc‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(7 6 4)5‬‬

‫‪8‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫)‪= 8 (7 6 4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪= ( 7 6 4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪(9‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪IV‬‬

‫)‪( 6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a‬‬

‫) ‪(7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪(a n ) m = a m n = m . n a‬‬ ‫‪1 1‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫? = ‪(a 4 ) 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪= (a ) = a‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫) ‪(a ) = (a‬‬

‫‪30‬‬

‫ناطق سازى ﻳا گوﻳا کردن کسر ها‬ ‫قﻴمت تقرﻳبﻲ‬ ‫قﻴمت‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫را درﻳافت کردﻳم‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫?‬

‫به صورت تقرﻳبﻲ چند‬

‫?‬

‫خواهد بود؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫معموﻻً کار کردن با اعدادﻳکه در مخرج آن ها جذر نباشد‪ ،‬آسانتر است اگر در مخرج عدد‪،‬‬ ‫جذر موجود باشد‪ ،‬اﻳن گونه اعداد را طورى مﻲ نوﻳسﻴم که در مخرج کسر‪ ،‬جذر از بﻴن‬ ‫برود؛ ولﻲ چگونه باﻳد اﻳن کار را انجام داد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫خانه هاي خالﻲ را با اعداد مناسب پرنماﻳﻴد‪:‬‬

‫‪= 6‬‬

‫‪=3 5‬‬

‫×‪3‬‬

‫×‪2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫× ‪15 15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‪5‬‬

‫با استفاده از فعالﻴت باﻻ دﻳده مﻲ شود که براي از بﻴن بردن جذر مربع در مخرج ﻳک کسر‬ ‫صورت ومخرج کسر را به مخرج آن ضرب مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬در عدد‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪31‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫مﻲ توانﻴم جذر را از مخرج آن حذف کنﻴم‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جاهاى خالﻰ را پر کنﻴد‪:‬‬

‫= ‪8 =3 2‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬ ‫‪3‬‬

‫‪27 = 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪2 ×3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9 ×3‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪= 33 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪63‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‪6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 3 22 × 3 2‬‬ ‫‪23‬‬

‫از فعالﻴت باﻻ نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم که براى از بﻴن بردن جذر سوم از مخرج ﻳک کسر‪ ،‬باﻳد‬ ‫صورت و مخرج را در جذر سوم عدد ضرب کنﻴم تا زﻳر عﻼمت جذر توان ‪ 3‬به وجود‬ ‫آﻳد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a) 3‬‬ ‫‪b) 3‬‬ ‫مثال ‪ :‬کسرهاى زﻳر را ناطق سازﻳد‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2× 3 2‬‬ ‫‪23 2 23 2 3‬‬ ‫= ‪a) 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 3 2 2 3 2 2 × 3 2 3 23‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 × 3 52‬‬ ‫‪5 3 52 5 3 52 3 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 3 5 × 3 52‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪b‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬کسرهاى زﻳر را ناطق سازﻳد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3) 13‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3 3‬‬

‫)‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪1‬‬ ‫)‪4‬‬

‫‪32‬‬

‫نكات مﻬم فصل اول‬ ‫اعداد حقﻴقﻲ‬ ‫‪ -1‬اتحاد ست اعداد ناطق و غﻴر ناطق را به نام ست اعداد حقﻴقﻲ ﻳاد مﻲ کنند‪.‬‬ ‫‪ -2‬هر نقطه محور اعداد حقﻴقﻰ به ﻳک عدد حقﻴقﻰ و معکوساً هر عدد حقﻴقﻰ به ﻳک نقطه‬ ‫خط اعداد مطابقت مﻰ کند‪.‬‬ ‫خواص اعداد حقﻴقﻲ‬ ‫‪ -1‬خاصﻴت تبدﻳلﻰ عملﻴه هاى جمع و ضرب صدق مﻰ کند‪.‬‬ ‫‪ -2‬خاصﻴت اتحادي در عملﻴه هاى جمع و ضرب صدق مﻰ کند‪.‬‬ ‫‪ -3‬خاصﻴت توزﻳعﻲ عملﻴﺔ ضرب باﻻى جمع صادق است‪.‬‬ ‫‪ - 4‬جذرالمربع تقرﻳﻴبﻰ اعداد‬ ‫جذر المربع تقرﻳبﻰ اعداد‬ ‫‪ -1‬درﻳافت جذرالمربع تقرﻳبﻰ اعداد تام و اعشارى دار به طرﻳقﺔ عمومﻰ‬ ‫‪ -2‬به طرﻳقﺔ قﻴمت اوسط‬ ‫ضرب و تقسﻴم جذر ها‬ ‫‪ -1‬ضرب جذر ها ‪a × b = ab‬‬

‫‪ - 2‬تقسﻴم جذر ها‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫در اعداد جذر دار تنها جذر هاي مشابه را با هم جمع و تفرﻳق کرده مﻲ توانﻴم‪.‬‬ ‫توان و قواعد آن‬ ‫‪ a ، a 0 = 1 -1‬ﻳک عدد حقﻴقﻲ و خﻼف صفر است‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪a‬‬

‫= ‪ a 1‬وقتﻰ که ‪ a 0‬و ﻳک عدد حقﻴقﻲ باشد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ -4‬ضرب توان ها‬ ‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪ a 0 ، a‬و ﻳک عدد حقﻴقﻲ‬

‫‪ -5‬تقسﻴم توان ها‬

‫‪33‬‬

‫‪(a m ) n = a m×n‬‬

‫‪a m × a n = a m+n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪b 0‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪= ( ),n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪a n × b n = ( a × b) n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪= am‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬

‫ناطق ﻳا گوﻳا ساختن کسرها‬ ‫براى ناطق ﻳا گوﻳا ساختن ﻳک کسر جذر مخرج را رفع مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫تمرﻳنات عمومﻲ‬ ‫‪ .I‬مساوات و افاده هاى زﻳر را به دقت خوانده جاهاي خالﻲ را با اعداد و کلمات مناسب پر‬ ‫نماﻳﻴد‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( ) 2 × ( ) 5 = .......................... = .......................... -1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a 8 ÷ a 1 = ........................ -2‬‬ ‫‪59 × ............. = (5 × 7) 9 -3‬‬

‫ﻳک عدد‪ .......................................‬است‪.‬‬

‫‪ -4‬عدد‬

‫‪ .II‬عبارت هاى زﻳر را به دقت خوانده اگر درست است حرف (ص) و اگر غلط است حرف‬ ‫(غ )را پﻴش روي سؤال بگذارﻳد‪.‬‬ ‫‪( -1‬‬

‫) اتحاد اعداد نسبتﻲ و اعداد تام را به نام ست اعداد حقﻴقﻲ ﻳاد مﻰ کنند‪.‬‬

‫‪( -2‬‬

‫) خاصﻴت توزﻳعﻲ ضرب باﻻي عملﻴﺔ جمع در اعداد حقﻴقﻲ درست است‪.‬‬

‫‪( -3‬‬

‫) ‪ 3‬عدد غﻴر ناطق است‪.‬‬

‫‪( -4‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪a n‬‬

‫= ‪ a n‬مﻰ شود‪.‬‬

‫‪ .III‬براي سؤال هاى زﻳر چهار جواب داده شده است‪ ،‬جواب درست را درﻳافت نموده و‬ ‫دور آن را حلقه نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪= ? -1‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪1‬‬

‫‪d ) 41‬‬

‫‪b) 4 2‬‬

‫‪c) 4‬‬

‫‪a) 40‬‬

‫‪(6 y 3 z 2 ) 2 = ? -2‬‬ ‫هﻴچ کدام ) ‪d‬‬

‫‪c) 36 y 6 z 2‬‬

‫‪b) 36 y 3 z 4‬‬

‫‪a ) 36 y 6 z 4‬‬

‫‪81× 9 = ? -3‬‬ ‫‪d ) 25‬‬

‫‪c) 24‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪27‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a ) 27‬‬

‫‪34‬‬

‫‪49a 4‬‬ ‫‪= ? -4‬‬ ‫‪144b 4‬‬ ‫‪7a‬‬ ‫‪7a 2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪12b 2‬‬ ‫‪12b 2‬‬ ‫‪ -5‬کدام دو عدد افاده هاى جذري متشابه اند؟‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7a 2‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪b) 5 2‬‬

‫‪8a 2‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪12b 2‬‬ ‫‪, 3 2‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪d) 6 3‬‬

‫‪a) 2 3‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪c) 5 3‬‬

‫‪ .IV‬سوال هاى زﻳر را حل نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪6 125a 2 + 5a 2 = ? -1‬‬

‫‪ -2‬قﻴمت تقرﻳبﻲ ‪ 0.5‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬افاده هاي زﻳر را ساده سازﻳد‪:‬‬ ‫? = ‪b) ( 4a × 2a ) 2‬‬

‫‪c ) ( 2 4 x )3‬‬

‫? = ‪a ) ( 25a 2b)3‬‬

‫‪ -4‬جذر دوم ‪ 2475‬را استخراج و امتحان نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ -5‬افاده هاي زﻳر را ساده سازﻳد‪:‬‬ ‫‪( 4q 2 p 3 ) 4‬‬

‫‪( 103 )5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪(625a 2b 2 )6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ -6‬افاده هاي زﻳر را به شکل توان مثبت بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫)‪(6ab‬‬

‫‪4‬‬

‫‪,‬‬

‫) ‪(9 x 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬

‫)‪(27‬‬

‫‪ -7‬افاده هاي زﻳر را به شکل توان منفﻲ بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪(cd ) 4‬‬ ‫‪ -8‬افاده هاي زﻳر را ساده سازﻳد‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪144 × 169‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪(16)6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (× ‪( ) 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(36) 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1 11 2 622 6‬‬ ‫) )} )‬ ‫‪,, {( (((xyxy‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪4 44‬‬

‫‪35‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (× ‪( ) 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪33‬‬

‫) ‪(( 66)) × ( 66)) , , (13a(13) a‬‬

‫‪2 6 2 6‬‬

‫‪55‬‬

‫‪ -9‬افاده هاي زﻳر را با هم ضرب نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫)‪a ) (3 8 + 2)( 2 3 7‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪ -10‬با دو مثال نشان دهﻴد که‪a m + n :‬‬

‫‪am + an‬‬

‫‪ -11‬با دو مثال نشان دهﻴد که‪a 2 + b 2 :‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ -12‬با دو مثال نشان دهﻴد که‪:‬‬

‫‪am‬‬

‫‪ -13‬با دو مثال نشان دهﻴد که‪a 2 b 2 :‬‬

‫‪b) ( 2 + 1)( 5‬‬

‫‪( a + b) 2‬‬ ‫‪an‬‬

‫‪am‬‬

‫‪( a b) 2‬‬

‫‪ -14‬نخست افاده هاى زﻳر را ساده و سپس به شکل جذر بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫? = )‪17(15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫? = ) ‪(19‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪36(15‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪8 2‬‬

‫)‪b‬‬

‫? = ) ‪(17‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫? = )‪5(25) + 7(25) + 4(25‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪= ? e‬‬

‫‪(17) 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫) ‪(7‬‬

‫)‪d‬‬

‫?=‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫) ‪(7‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪c‬‬

‫) ‪(7‬‬

‫‪36‬‬

‫فصلدوم‬ ‫محاسبات مالﻰ‬

‫نسبت‬

‫‪Ratio‬‬

‫براى مالﻴکول آب فورمول کﻴمﻴاوى‬ ‫آن را بنوﻳسﻴد‪ ،‬نسبت اتوم هاى‬ ‫هاﻳدروجن و اکسﻴجن در ﻳک‬ ‫مالﻴکول آب چند است؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ﻳک مالﻴکول آب از دو اتم هاﻳدروجن و ﻳک اتم اکسﻴجن ترکﻴب شده است‪ .‬در جدول‬ ‫زﻳر نسبت هاﻳدروجن بر اکسﻴجن را بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺎﻟﻴﻜﻮل آب‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﻫﺎﻳﺪروﺟﻦ ﺑﺮ اﻛﺴﻴﺠﻦ‬

‫آﻳا نسبت هاﻳدروجن بر اکسﻴجن براي مالﻴکول هاي مختلف آب ثابت است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اگر عرض ﻳک اتاق ‪ 3‬متر و طول آن ‪ 5‬متر باشد نسبت عرض و طول آن چند است؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ 3‬متر‬ ‫‪ 3 ÷ 5‬ﻳا ‪= 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 5‬متر‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫مستطﻴلﻲ به طول ‪ 6cm‬و عرض‪ 3cm‬رسم‪ ،‬محﻴط و مساحت آن را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫مستطﻴل دﻳگرى به طول ‪ 4cm‬و عرض‪ 2cm‬رسم کنﻴد که نسبت طول مستطﻴل اولﻰ بر‬ ‫طول مستطﻴل دومﻰ و عرض مستطﻴل اولﻰ بر عرض مستطﻴل دومﻰ ‪ 3‬بر ‪ 2‬باشد‪.‬‬ ‫محﻴط و مساحت مستطﻴل دوم را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫نسبت محﻴط مستطﻴل اول بر محﻴط مستطﻴل دوم چند است؟‬

‫‪39‬‬

‫نسبت مساحت مستطﻴل اول بر مساحت مستطﻴل دوم چند است؟‬ ‫چه رابطﺔ بﻴن اﻳن نسبت ها درﻳافت کرده مﻲ توانﻴد؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫نسبت بﻴن دو کمﻴت و ﻳا دو مقدار همجنس عبارت از آن عددى است که نشان مﻰ دهد‬ ‫کمﻴت اول چند برابر کمﻴت دوم و ﻳا ﻳک کمﻴت چندم حصﺔ کمﻴت دﻳگر است وﻳا کمﻴت‬ ‫دوم چند مرتبه شامل کمﻴت اول است‪.‬‬ ‫نسبت دو عدد را معموﻻً با عﻼمت هاي(‪ ÷ ، )-‬ﻳا به ‪ :‬نشان مﻲ دهند‪.‬‬ ‫مث ً‬ ‫ﻼ‪ :‬نسبت ‪ 5‬بر ‪ 3‬را به صورت ‪ 5 ،5÷3‬ﻳا ‪ 5:3‬نﻴز مﻲ توان نشان داد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬نسبت ‪ 4‬بر ‪ 7‬حصﺔ ﻳک داﻳره را با نسبت ‪ 16‬بر‪ 28‬حصﺔ ﻳک داﻳرة دﻳگر مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر تعداد گروه اول شاگردان ﻳک صنف ‪ 25‬نفر و تعداد گروه دوم آن ‪ 40‬نفر باشند‬ ‫نسبت تعداد شاگردان گروه دوم بر گروه اول را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬مربعﻲ را به طول ‪ 3‬واحد رسم کنﻴد که نسبت ﻳک ضلع آن بر ﻳک ضلع مربع رسم‬ ‫شدة زﻳر برابر ‪ 1‬باشد به همﻴن ترتﻴب نسبت محﻴط و مساحت مربع دوم بر محﻴط و مساحت‬ ‫‪2‬‬ ‫مربع اولﻰ را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪40‬‬

‫تقسﻴم به اجﺰاي متناسﺐ‬ ‫‪Proportional division‬‬ ‫دو برادر مشترکاً ﻳک ساختمان را‬ ‫اعمار مﻲ کنند‪ .‬اگر ﻳکﻲ آن بﻴشتر‬ ‫از دﻳگري کار کرده باشد‪ .‬آﻳا فکر‬ ‫مﻲ کنﻴد به ﻳک اندازه دست مزد به‬ ‫آن ها داده شود؟‬ ‫چطور مﻲ توان تعﻴﻴن کرد که به هر‬ ‫کدام چقدر پول باﻳد پرداخته شود؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫سه نفر از شاگردان ﻳک صنف روزى تصمﻴم گرفتند که به مﻴله بروند ﻳکﻲ از شاگردان گفت‬ ‫که من سه دانه تخم مرغ و چهار دانه سﻴب مﻲ آورم‪ .‬دو شاگرد دﻳگر گفتند ما هم همﻴن چﻴزها‬ ‫را مﻲ آورﻳم‪ ،‬ﻳعنﻲ تصمﻴم گرفتند که در مقابل هر سه دانه تخم مرغ چهار سﻴب تهﻴه کنند‪.‬‬ ‫جدول مقابل را تکمﻴل کنﻴد‪.‬‬ ‫نسبت تعداد تخم هاى مرغ بر مجموع تعداد تخم‬ ‫تخم مرغ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫هاى مرغ و سﻴب ها را در هر ﻳکﻰ از حاﻻت فوق‬ ‫سﻴب‬ ‫‪4‬‬ ‫پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫مجموع تخم مرغ و سﻴب‬ ‫‪7‬‬ ‫چه رابطﺔ بﻴن نسبت هاي آن ها وجود دارد؟‬ ‫نسبت تعداد سﻴب بر مجموع تعداد تخم مرغ و‬ ‫سﻴب را در هر ﻳکﻰ از حاﻻت فوق پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫چه رابطﺔ بﻴن نسبت هاي آنها وجود دارد؟‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻲ گﻴرﻳم که دو مقدار وقتﻲ با هم متناسب اند که نسبت هر مقدار بر‬ ‫مجموع تعداد آن دو مقدار همﻴشه عدد ثابت باشد‪ .‬از اﻳن نتﻴجه گﻴرى مﻲ توانﻴم در حل‬ ‫مساﻳل استفاده کنﻴم‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ﻣﻘﺪار واﻗﻌﻰ‬

‫طول و عرض ﻳک قطعه زمﻴن مستطﻴل شکل‪ ،‬به‬ ‫نسبت ‪ 4‬بر ‪ 3‬است‪ .‬اگر محﻴط اﻳن زمﻴن ‪ 280‬متر‬ ‫باشد‪ .‬مساحت آن چند متر مربع است؟‬ ‫براي جواب دادن به اﻳن سؤال جدول مقابل را تکمﻴل‬ ‫کنﻴد‪.‬‬

‫ﻣﻘﺪار ﻧﺴﺒﻰ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪280‬‬

‫ﻃﻮل‬ ‫ﻋﺮض‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ‬

‫براي تقسﻴم کردن ﻳک عدد به نسبت هاي داده شده نخست حاصل جمع نسبت هاي داده شده‬ ‫را به دست مﻲ آورﻳم‪ .‬بعد از آن عدد مفروض را به اﻳن مجموع تقسﻴم نموده و خارج قسمت‬ ‫حاصله را به هر ﻳک از نسبت هاي داده شده ضرب مﻲ نماﻳﻴم‪ ،‬اعدادى که حاصل مﻲ شوند‪،‬‬ ‫حاصل تقسﻴم عدد مورد نظر به نسبت هاي داده شده است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬مبلﻎ ‪ 27000‬افﻐانﻲ را مﻲ خواهﻴم بﻴن احمد و مسعود به نسبت ‪ 32‬تقسﻴم کنﻴم‪.‬‬ ‫نخست جدول زﻳر را تکمﻴل مﻲ کنﻴم‪:‬‬ ‫مسعود‬

‫احمد‬

‫مجموع نسبت ها‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪27000‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪27000‬‬ ‫حصﺔ احمد ‪× 2 = 5400 × 2 = 10800 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪27000‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫حصﺔ مسعود‪× 3 = 5400 × 3 = 16200 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪x‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اگر نسبت دو عدد ‪ 53‬و عدد دوم آن ‪ 25‬باشد عدد اول آن را معلوم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬دو نفر مشترکاً کار مﻲ کنند که مجموع پول هاي شان ‪ 280‬افﻐانﻲ و نسبت بﻴن پول هاي شان‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫است‪ .‬درﻳافت کنﻴد که نفر اول و دوم هرکدام چند افﻐانﻲ گرفته اند؟‬

‫‪ -3‬روى قطعه خط ‪AB‬که طول آن ‪ 32cm‬است نقطﺔ ‪ M‬را طوري تعﻴﻴن نماﻳﻴد که قطعه خط‬ ‫مذکور را به نسبت ‪ AM = 3‬تقسﻴم کند‪ .‬طول قطعه خط هاي ‪ AM‬و‪ BM‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪BM 5‬‬ ‫‪ 320 -4‬سﻴر گندم را باﻻي سه نفر د هقان به نسبت‪ 5،7،9‬تقسﻴم کنﻴد‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫تناسﺐ‬ ‫‪Proportion‬‬ ‫در نسبت ‪ 3‬چند عدد مﻲ بﻴنﻴد؟‬ ‫چه رابطه ‪5‬بﻴن نسبت هاي ‪ 2‬و ‪6‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫وجود دارد؟‬ ‫آﻳا مﻲ توانﻴد ﻳک نسبت دﻳگرى‬ ‫بنوﻳسﻴد که با نسبت هاي فوق مساوي‬ ‫باشد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫نسبت تعداد پنسل پاک ها و قلم ها ‪ 3‬است‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫با در نظر داشت نسبت تعداد پنسل پاک ها بر تعداد قلم ها جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫ﺗﻌﺪاد ﭘﻨﺴﻞ ﭘﺎك ﻫﺎ‬

‫‪4‬‬

‫ﺗﻌﺪاد ﻗﻠﻢ ﻫﺎ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬

‫نسبت تعداد پنسل پاک ها بر تعداد قلم ها را در هر ﻳکﻰ از حاﻻت داده شده با هم مقاﻳسه‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫‪3:4=6:8‬‬ ‫حاصل ضرب کدام جوره از اعداد با هم‬ ‫در مساوات نسبت هاى فوق ﻳعنﻰ‬ ‫مساوى است‪ .‬چرا؟‬ ‫چهار عدد وقتﻲ ﻳک تناسب را تشکﻴل مﻲ دهند که نسبت عدد اول و دوم مساوي به نسبت‬ ‫عدد سوم و چهارم باشد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در نسبت هاي زﻳر نسبت هاي مساوي را نشان دهﻴد‪:‬‬ ‫‪5, 9 , 3, 3 ,1‬‬ ‫‪8 6 6 2 2‬‬ ‫حل‪ :‬اگر صورت و مخرج نسبت ‪ 3‬را اختصار کنﻴم‪ ،‬ﻳعنﻲ صورت و مخرج را به ‪ 3‬تقسﻴم‬ ‫‪6‬‬ ‫نماﻳﻴم ‪ 1‬به دست مﻲ آﻳد‪ ،‬پس گفته مﻲ توانﻴم که هر دو نسبت با هم مساوي اند‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪43‬‬

‫‪9 3‬‬ ‫=‬ ‫‪6 2‬‬

‫‪5‬‬ ‫در نسبت هاي داده شده هﻴچ نسبتﻲ را پﻴدا کرده نمﻲ توانﻴم که با‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻳعنﻰ بﻴن بعضﻰ از نسبت ها رابطﺔ مساوات به وجود آمده نمﻰ تواند‪.‬‬

‫‪3 1‬‬ ‫=‬ ‫‪6 2‬‬

‫مساوي باشد‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫تساوى دو نسبت را تناسب گوﻳند؛ مث ً‬ ‫ﻼ‪ 5 = 10 :‬ﻳک تناسب است که از نسبت هاي ‪ 85‬و‬ ‫‪8 16‬‬ ‫‪ 10‬به دست آمده است‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫تناسب فوق را به شکل زﻳر هم نوشته کرده مﻲ توانﻴم‪:‬‬ ‫‪5 : 8 = 10 : 16‬‬

‫در اﻳنجا صورت نسبت اول و مخرج نسبت دوم را به نام طرفﻴن تناسب‪ ،‬مخرج نسبت اول و‬ ‫صورت نسبت دوم را به نام وسطﻴن تناسب ﻳاد مﻲ نماﻳند‪.‬‬ ‫‪5 : 8 = 10 : 16‬‬

‫وسطﻴن‬

‫طرفﻴن‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬در نسبت هاي زﻳر کدام جورة آن ها با هم ﻳک تناسب را تشکﻴل مﻲ دهند‪:‬‬ ‫‪3 12‬‬ ‫‪7 35‬‬ ‫‪a) ,‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8 30‬‬ ‫‪3 15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪49 7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪5 100‬‬ ‫‪35 5‬‬ ‫‪ -2‬سه حد ﻳک تناسب داده شده اند حد چهارم آن را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫)‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪44‬‬

‫خواص تناسﺐ‬ ‫‪Properties of proportion‬‬ ‫چهار عدد را طورى انتخاب کنﻴد‬ ‫که باهم متناسب باشند‪.‬‬ ‫در تناسب تشکﻴل شده چه رابطه‬ ‫ﻳﻰ را بﻴن اعداد درﻳافت کرده‬ ‫مﻲ توانﻴد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫با توجه به قﻴمت هاي داده شده‪ ،‬جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪b.c‬‬

‫‪a c‬‬ ‫در تناسب =‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a.d‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪40‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪20‬‬

‫‪5‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ c ، b ، a ،‬و ‪ d‬چه نام دارند؟‬

‫‪a c‬‬ ‫با استفاده از تناسب =‬ ‫‪b d‬‬

‫رابطه بﻴن اعداد داده شده را بﻴان کنﻴد‪.‬‬

‫به صورت عموم گفته مﻲ توانﻴم‪:‬‬ ‫خاصﻴت اول‪ :‬در دو نسبت مساوي که ﻳک تناسب را تشکﻴل مﻴدهد حاصل ضرب طرفﻴن مساوي‬ ‫به حاصل ضرب وسطﻴن است‪.‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a d=b c‬‬

‫‪d‬‬

‫=‬

‫‪b‬‬

‫مثال‪ :‬با استفاده از خاصﻴت موجود بﻴن طرفﻴن و وسطﻴن در ﻳک تناسب حد نامعلوم را پﻴدا‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪55 12‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫× ‪2 × 12 = 5‬‬ ‫‪= 24 ÷ 5 = 4.8‬‬

‫‪45‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫با توجه به قﻴمت هاي داده شده‪ ،‬جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪a c‬‬ ‫با استفاده از تناسب =‬ ‫‪b d‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪28‬‬

‫‪21‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪21‬‬

‫رابطه بﻴن اعداد داده شده را بﻴان کنﻴد‪.‬‬

‫به صورت عموم مﻲ توان گفت‪:‬‬ ‫خاصﻴت دوم‪ :‬اگر در ﻳک تناسب جا هاي وسطﻴن را تبدﻳل کنﻴم ﻳک تناسب جدﻳد به‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫دست مﻲ آﻳد‪.‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫خاصﻴت سوم‪ :‬هرگاه در ﻳک تناسب جاهاي طرفﻴن را تبدﻳل نماﻳﻴم‪ ،‬تناسب جدﻳد تشکﻴل‬ ‫مﻰ شود‪.‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪d c‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‬

‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫=‬

‫‪b‬‬

‫‪4‬‬ ‫مثال‪ :‬نسبت طول بر عرض ﻳک مستطﻴل است‪ .‬اگر طول و عرض اﻳن مستطﻴل را ‪ 2‬برابر‬ ‫‪3‬‬ ‫کنﻴم‪ .‬نسبت طول بر عرض مستطﻴل جدﻳد چقدر است؟ آﻳا نسبت طول بر عرض دو مستطﻴل‬ ‫فوق ﻳک تناسب را تشکﻴل مﻰ دهند؟‬ ‫‪8‬‬ ‫حل‪ :‬نسبت طول بر عرض مستطﻴل جدﻳد است‪.‬‬ ‫‪ 8‬و ‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4× 6 = 8×3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫چون نسبت طول بر عرض مستطﻴل ها باهم مساوى است‪ .‬ﻳعنﻰ ‪ 4 = 8‬؛ پس نسبت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫طول بر عرض اﻳن مستطﻴل ها ﻳک تناسب را تشکﻴل مﻰ دهند‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫با توجه به قﻴمت هاي داده شده‪ ،‬جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪46‬‬

‫‪c‬‬ ‫با استفاده ازتناسب‬ ‫‪d‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫= رابطه بﻴن اعداد داده شده را بﻴان کنﻴد‪.‬‬

‫به صورت عموم گفته مﻲ توانﻴم‪:‬‬ ‫خاصﻴت ﭼﻬارم‪ :‬اگر دو نسبت ﻳک تناسب را تشکﻴل دهند‪ ،‬معکوس آن ها نﻴز ﻳک‬ ‫تناسب را تشکﻴل مﻲ دهند‪.‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪b d‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫با توجه به قﻴمت هاي داده شده‪ ،‬جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪c -d‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a-b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c+d‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a+b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪6+9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪a c‬‬ ‫با استفاده از تناسب =‬ ‫‪b d‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪18‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪36‬‬

‫‪24‬‬

‫‪18‬‬

‫‪12‬‬

‫رابطه بﻴن اعداد داده شده را بﻴان کنﻴد‪.‬‬

‫به صورت عموم مﻲ گوﻳﻴم‪:‬‬ ‫خاصﻴت ﭘنجم‪ :‬هر گاه دو نسبت ﻳک تناسب را تشکﻴل دهند و صورت هر نسبت را با‬ ‫مخرج جمع و حاصل آن را بر مخرج آن بنوﻳسﻴم ﻳک تناسب جدﻳد حاصل مﻲ شود‪.‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a + b c+ d‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫خاصﻴت ششم‪ :‬هر گاه در ﻳک تناسب از صورت هر نسبت مخرج را تفرﻳق و حاصل آن را‬ ‫بر مخرج آن بنوﻳسﻴم ﻳک تناسب حاصل مﻰ شود‪.‬‬

‫‪a b c d‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪47‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫با توجه به قﻴمت هاي داده شده‪ ،‬جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪a+c‬‬ ‫‪b+d‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3+6‬‬ ‫‪4+8‬‬

‫‪a c‬‬ ‫با استفاده از تناسب =‬ ‫‪b d‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪14‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫رابطه بﻴن اعداد داده شده را بﻴان کنﻴد‪.‬‬

‫به صورت عموم مﻰ گوﻳﻴم‪:‬‬ ‫خاصﻴت هفتم‪ :‬اگر در ﻳک تناسب صورت ها را با هم جمع نموده در صورت نوشته‬ ‫و مخرج ها را با هم جمع نموده در مخرج بنوﻳسﻴم ‪ .‬نسبت جدﻳد باهر نسبت تناسب‬ ‫داده شده مساوى است‪.‬‬ ‫مث ً‬ ‫ﻼ‪:‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a+c‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪3+ 6 9‬‬ ‫=‬

‫‪4 + 8 12‬‬ ‫‪3 × 12 = 4 × 9‬‬ ‫‪6 × 12 = 9 × 8‬‬

‫=‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫=‬ ‫‪4 12‬‬ ‫‪6 9‬‬ ‫=‬ ‫‪8 12‬‬

‫‪b+d‬‬

‫‪d‬‬

‫=‬

‫‪b‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬تناسب هاى زﻳر را با در نظر داشت قﻴمت هاى داده شده به شکل عددى بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫‪ c = 30 ، b = 5 ، a = 10‬و ‪d = 15‬‬

‫باشد‪:‬‬

‫‪b = d‬‬ ‫‪a–b c–d‬‬ ‫‪b = d‬‬ ‫‪a+b c+d‬‬

‫باشد‪:‬‬ ‫‪ c = 32 ، b = 9 ، a = 8‬و ‪d = 36‬‬ ‫‪ -2‬اگر ‪ a = c‬باشد با استفاده از خواص تناسب چطور مﻲ توانﻴد تناسب ‪a + b c + d‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a–b c–d‬‬ ‫را به دست آورﻳد؟‬

‫‪48‬‬

‫انواع تناسﺐ‬ ‫تناسب به دو نوع است‬ ‫‪-1‬تناسﺐ مستقﻴم ‪Direct proportion‬‬ ‫به خاطر ترتﻴب کردن کارهاى‬ ‫دستﻰ‪ ،‬نگران صنف به هر ﻳک از‬ ‫شاگردان ‪ 2‬بسته کاغذ رنگه داد‪ .‬اگر‬ ‫صنف هشتم ‪ 20‬نفر شاگرد داشته‬ ‫باشد‪ ،‬چند بسته کاغذ رنگه ضرورت‬ ‫است‪ ،‬تا براي همه شاگردان برسد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جدول هاى زﻳر را با در نظر داشت قﻴمت هاي داده شدة ﻳک کﻴلو گرام و ده کﻴلو گرام‬ ‫بوره تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ 51‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮام ﻧﻴﻢ‪ 4‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮام‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 6‬کﻴلو گرام‬

‫‪ 3‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮام‬

‫‪ 7‬کﻴلو گرام ‪ 8‬کﻴلو گرام‬

‫‪ 2‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮام‬

‫‪ 9‬کﻴلو گرام‬

‫‪ 1‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮام‬

‫ﻣﻘﺪار‬

‫‪ 50‬اﻓﻐﺎﻧﻰ‬

‫ﻗﻴﻤﺖ‬

‫‪ 10‬کﻴلو گرام‬

‫مقدار‬

‫‪ 500‬افﻐانﻰ‬

‫قﻴمت‬

‫با زﻳاد شدن مقدار بوره قﻴمت آن چگونه تﻐﻴﻴر مﻲ کند؟‬ ‫با کم شدن مقدار بوره قﻴمت آن چگونه تﻐﻴﻴر مﻲ کند؟‬ ‫چه رابطﺔ بﻴن مقدار بوره و قﻴمت آن وجود دارد؟‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم که‪:‬‬ ‫که قﻴمت بوره با مقدار آن رابطﺔ مستقﻴم دارد‪ ،‬ﻳعنﻲ هر قدر مقدار بوره زﻳاد شود قﻴمت آن‬ ‫نﻴز زﻳاد مﻲ شود‪ .‬هر قدر مقدار بوره کم شود قﻴمت آن نﻴز کم مﻲ شود‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اگر در ﻳک تناسب‪ ،‬زﻳاد شدن و ﻳا کم شدن مقدار ﻳک کمﻴت به ترتﻴب سبب زﻳاد شدن و‬ ‫ﻳاکم شدن مقدار کمﻴت دﻳگر شود‪ ،‬اﻳن تناسب را تناسب مستقﻴم مﻰ نامند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اگر قﻴمت ‪ 8‬قوطﻲ گوگرد ‪ 8‬افﻐانﻲ باشد قﻴمت ‪ 62‬قوطﻲ گوگرد چند افﻐانﻲ‬ ‫خواهد بود؟‬ ‫حل‪ :‬اگر قﻴمت ‪ 62‬قوطﻲ گوگرد ‪ m‬افﻐانﻰ فرض شود‪ ،‬چون تعداد قوطﻲ هاي گوگرد‬ ‫مستقﻴماً متناسب به قﻴمت آن است‪ ،‬پس اﻳن ﻳک تناسب مستقﻴم است‪.‬‬ ‫ﮔﻮﮔﺮد‬ ‫‪8‬‬ ‫‪62‬‬

‫ﻗﻴﻤﺖ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪8 = 8‬‬ ‫‪62 m‬‬ ‫‪m = 8×62 = 62‬‬

‫‪8‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬مزد ‪ 12‬نفر کارگر ‪ 480‬افﻐانﻲ است‪ ،‬مزد ‪ 10‬نفر کارگر را معلوم کنﻴد‪( .‬مزد همﺔ‬ ‫کارگران برابر است)‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر ﻳک نفر کارگر در ‪ 5‬روز ‪ 125‬افﻐانﻲ مزد بگﻴرد‪ ،‬مزد ‪ 18‬روزة او چند افﻐانﻲ‬ ‫مﻲ شود؟‬ ‫‪ -3‬براى خرﻳدن ‪ 3‬متر تکه ‪ 33.75‬افﻐانﻲ ضرورت است‪ .‬براى خرﻳدن ‪ 15‬متر تکه چند‬ ‫افﻐانﻰ به کار خواهد بود؟‬

‫‪50‬‬

‫‪ -2‬تناسﺐ معكوس‬ ‫‪Indirect proportion‬‬ ‫بعد از تزﻳﻴن صنف نگران خواست‬ ‫که صنف را منظم بسازد‪ .‬اگر ﻳک‬ ‫شاگرد صنف را در ‪ 60‬دقﻴقه پاک‬ ‫کند ‪ 6‬نفر شاگرد در چند دقﻴقه‬ ‫مﻲ توانند صنف را پاک کنند‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫اگر ﻳک رنگمال ﻳک اتاق را در چهار روز رنگ آمﻴزى کند‪ ،‬پس براي رنگ کردن ﻳک‬ ‫اتاق در مدت ﻳک ﻳا دو روز چند کارگر ضرورت است؟‬ ‫براي جواب به سؤال فوق جدول زﻳر را با در نظر داشت قﻴمت هاي داده شده تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ 1‬روز‬

‫‪ 2‬روز‬

‫‪ 4‬روز‬

‫ﻛﺎر اﺟﺮا ﺷﺪه ﺑﻪ روز‬

‫‪1‬‬

‫ﺗﻌﺪاد ﻛﺎرﮔﺮ‬

‫با کم شدن تعداد روز‪ ،‬تعداد کارگران زﻳاد مﻲ شود ﻳا کم؟‬ ‫چه رابطه بﻴن کار اجرا شده‪ ،‬به روز و تعداد کارگران وجود دارد؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اگر در ﻳک تناسب با زﻳاد شدن مقدار ﻳک کمﻴت‪ ،‬مقدار دﻳگري کم وﻳا با کم‬ ‫شدن مقدار ﻳک کمﻴت‪ ،‬مقدار دﻳگر زﻳاد شود اﻳن تناسب به نام تناسب معکوس ﻳاد‬ ‫مﻲ شود‪ .‬ﻳعنﻲ بﻴن کمﻴت اولﻲ و دومﻲ رابطﺔ معکوس وجود دارد‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫مثال‪ :‬ﻳک مسجد را ‪ 20‬نفر کارگر در ‪ 15‬روز ترمﻴم مﻲ کنند‪ .‬اگر بخواهند که اﻳن مسجد‬ ‫را در ‪ 10‬روز ترمﻴم کنند براي آن چند نفر کارگر ضرورت است؟‬ ‫حل‪ :‬تناسب معکوس است‪ ،‬زﻳرا براي روز هاي کم تعداد زﻳاد کارگران ضرورت است‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫روز‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻧﻔﺮ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20 15 10‬‬ ‫‪20 10‬‬ ‫‪20 × 15‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫=‪, m‬‬ ‫نفر ‪= 30‬‬ ‫‪1 15‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m 15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬چهار نل‪ ،‬ﻳک حوض را در ‪ 8‬ساعت پر مﻲ کند‪ 5 ،‬نل‪ ،‬اﻳن حوض را در چند ساعت پر‬ ‫خواهد کرد؟ (قطرهاي نل ها با هم مساوي اند)‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻳک موتر با سرعت ‪ 50‬کﻴلومتر فﻰ ساعت حرکت مﻰ کند و فاصله بﻴن دو شهر را در‬ ‫‪ 3‬ساعت طﻰ مﻰ کند‪ .‬اگر سرعت موتر دﻳگرى ‪ 75‬کﻴلومتر فﻰ ساعت باشد‪ ،‬فاصله بﻴن دو‬ ‫شهر را در چند ساعت مﻰ پﻴماﻳد؟‬

‫‪52‬‬

‫فﻴصد‬ ‫‪Percentage‬‬ ‫تﻴم ﻳک مکتب از ‪ 15‬بازي انجام شده‬ ‫در منطقه‪ 11 ،‬بازي را برده است؛ اما‬ ‫تﻴم مکتب دﻳگر از ‪ 12‬بازي انجام‬ ‫شده در ‪ 10‬بازي برنده شده است‪ .‬به‬ ‫نظر شما برد کلﻰ کدام مکتب بﻴشتر‬ ‫است؟‬

‫‪15 11‬‬ ‫‪100 x‬‬ ‫?=‪x‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫اگر در ‪ 80‬لﻴتر تﻴل‪ 20 ،‬لﻴتر آب مخلوط شده باشد‪ .‬پس در ‪100‬‬ ‫لﻴتر تﻴل آن چند لﻴتر آب مخلوط است؟‬ ‫با درنظرداشت قﻴمت هاى جدول تناسب را تشکﻴل دهﻴد‪.‬‬ ‫با استفاده از خاصﻴت طرفﻴن و وسطﻴن قﻴمت ‪ x‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫آﻳا گفته مﻰ توانﻴد که در ‪ 100‬لﻴتر تﻴل چند فﻴصد آب وجود دارد؟‬

‫آب‬

‫ﺗﻴﻞ‬

‫‪20‬‬

‫‪80‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫مثال ‪ :1‬شخصﻲ ‪ 45000‬افﻐانﻲ را در بانک گذاشته بعد از مدتﻲ ‪ 900‬افﻐانﻲ مفاد کرد‪.‬‬ ‫شخص مذکور از سرماﻳﺔ اصلﻲ خود چند فﻴصد مفاد گرفته است؟‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از تناسب مﻲ توان نوشت‪:‬‬ ‫‪45000 900‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻧﻔﻊ‬

‫ﺳﺮﻣﺎﻳﻪ‬

‫‪900‬‬

‫‪45000‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫با استفاده از خاصﻴت طرفﻴن و وسطﻴن‪:‬‬ ‫‪900 × 100 90000 90‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2%‬‬ ‫‪45000‬‬ ‫‪45000 45‬‬

‫=‪x‬‬

‫از حل مثال فهمﻴده مﻲ شود که در هر ‪ 100‬افﻐانﻲ شخص مذکور ‪ 2‬افﻐانﻲ ﻳا ‪ 2%‬مفاد‬ ‫کرده است‪.‬‬

‫‪53‬‬

‫مثال ‪ :2‬در امتحان کانکور پوهنتون از جملﺔ ‪ 320‬نفر فارغ التحصﻴل لسﻴﺔ حبﻴبﻴه ‪ 256‬نفر‬ ‫کامﻴاب و از جمله ‪ 400‬نفر فارغ التحصﻴل لﻴسﺔ غازى به تعداد ‪ 300‬نفر کامﻴاب گردﻳده اند‪.‬‬ ‫گفته مﻲ توانﻴد که کدام ﻳکﻰ از مکاتب نامبرده در امتحان با فﻴصدى بﻴشتر موفق بوده اند؟‬ ‫فﻴصدي کامﻴابﻲ شاگردان را درﻳافت نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫ﻓﺎرغ اﻟﺘﺤﺼﻴﻞ‬ ‫ﻛﺎﻣﻴﺎب‬ ‫‪256‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪256‬‬ ‫×‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2560‬‬ ‫فﻴصدي کامﻴابﻲ‬ ‫‪320‬‬ ‫‪256‬‬ ‫=‬ ‫=‪, x‬‬ ‫=‬ ‫‪= 80%‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪32‬‬ ‫لﻴسﺔ حبﻴبﻴه‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫فﻴصدي کامﻴابﻲ لﻴسﺔ‬ ‫غازى‬

‫‪300 × 100 300‬‬ ‫=‬ ‫‪= 75%‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪300 400‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪100‬‬

‫ﻛﺎﻣﻴﺎب‬

‫ﻓﺎرغ اﻟﺘﺤﺼﻴﻞ‬

‫‪300‬‬

‫‪400‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫گفته مﻲ توانﻴم که لﻴسﺔ حبﻴبﻴه در امتحان کانکور نسبت به لﻴسﺔ غازى موفق بوده است‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫فﻴصد طرز ارائه براى کسر ﻳﻰ است که مخرج آن ها ‪ 100‬باشد‪ .‬براى نماﻳش فﻴصد از‬ ‫عﻼمت ‪ %‬استفاده مﻰ شود‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬ﻳک دکاندار در ﻳک ماه دو مرتبه مال وارد نموده است‪ .‬مرتبﺔ اول به سرماﻳﺔ ‪25000‬‬ ‫افﻐانﻲ‪ ،‬مبلﻎ ‪ 800‬افﻐانﻲ مفاد نموده و مرتبه دوم از سرماﻳه ‪ 10000‬افﻐانﻲ‪ ،‬مبلﻎ‪ 330‬افﻐانﻲ‬ ‫مفاد نموده است‪ .‬فاﻳده دکاندار در کدام مرتبﺔ به تناسب سرماﻳه بﻴشتر بوده درﻳافت کنﻴد؟‬ ‫‪ -2‬عبدالرحﻴم در مضمون رﻳاضﻲ از ‪ 75‬نمره ‪ 60‬نمره به دست آورده است‪ .‬فﻴصدي نمره‬ ‫عبدالرحﻴم را در مضمون رﻳاضﻲ به دست آورﻳد؟‬ ‫‪ -3‬از مساوات زﻳر کدام آنها صحﻴح مﻲ باشد؟ آن هاﻳﻲ که غلط اند‪ ،‬نسبت صحﻴح آن را‬ ‫بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪50‬‬

‫= ‪30%‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪= 11% ,‬‬ ‫= ‪= 21% , 4%‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬

‫= ‪50%‬‬

‫‪54‬‬

‫احدﻳت )‪(Unitary‬‬ ‫اگر قﻴمت ﻳک مجموعه به صورت‬ ‫کل داده شده باشد چگونه مﻲ توانﻴد‬ ‫قﻴمت ﻳک دانﺔ آن را درﻳافت کنﻴد؟‬ ‫اگر قﻴمت ﻳک دانه قلم داده شده‬ ‫باشد‪ ،‬آﻳا قﻴمت چند دانﺔ آن را پﻴدا‬ ‫کرده مﻲ توانﻴد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪28‬‬ ‫نسبت تعداد پﻴراهن ها بر تعداد روزهاﻳﻰ که ﻳک خﻴاط مﻲ دوزد‬ ‫‪4‬‬

‫است‪ .‬ﻳعنﻲ اﻳن خﻴاط‬

‫‪28‬پﻴراهن را در ‪ 4‬روز مﻲ دوزد‪ ،‬چند پﻴراهن را در ﻳک روز خواهد دوخت؟‬ ‫با در نظر داشت متن فوق جدول داده شدة زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪28‬‬

‫تعداد پﻴراهن‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫روز‬ ‫نسبت‬

‫با استفاده از جدول فوق تناسب را تشکﻴل دهﻴد‪.‬‬ ‫با استفاده از خاصﻴت طرفﻴن و وسطﻴن قﻴمت ‪ x‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫پس گفته مﻲ توانﻴم‪ :‬اگر قﻴمت ﻳک مجموعه به صورت کل داده شده باشد‪ ،‬ما مﻲ توانﻴم‬ ‫قﻴمت ﻳکدانﺔ آن را درﻳافت کنﻴم‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬قﻴمت ﻳک بﻴرل تﻴل خاک(‪200‬لﻴتر) مبلﻎ ‪ 10000‬افﻐانﻲ است‪ .‬قﻴمت ﻳک لﻴتر‬ ‫تﻴل را معلوم کنﻴد‪.‬‬ ‫لﻴتر تﻴل‬ ‫‪ 200 = 10000‬قﻴمت به افﻐانﻰ‬

‫افﻐانﻰ ‪x = 50‬‬

‫‪55‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪200 x = 10000‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪200‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫مثال ‪ :2‬ﻳک درجن قلم پنسل(‪ 12‬دانه ﻳﻰ) به مبلﻎ ‪ 240‬افﻐانﻲ خرﻳده شده است‪ .‬قﻴمت ‪7‬‬ ‫دانه پنسل چند افﻐانﻲ مﻲ شود؟‬ ‫قﻴمت به افﻐانﻰ تعداد قلم پنسل‬ ‫حل‪ :‬نخست قﻴمت ﻳکدانه قلم را درﻳافت مﻲ کنﻴم‪.‬‬

‫افﻐانﻰ‪x = 20‬‬

‫‪,‬‬

‫‪240‬‬

‫‪12‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12 240‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12 x = 240‬‬ ‫‪240‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪12‬‬

‫پس قﻴمت ‪ 7‬دانﺔ آن عبارت است از‪:‬‬ ‫افﻐانﻰ ‪20 7 = 140‬‬ ‫در اکثر معامﻼت تجارتﻲ که خرﻳد و فروش اشﻴا و اجناس به صورت درجن و ﻳا مجموعه‬ ‫صورت مﻲ گﻴرد‪ .‬بعضﻲ اوقات ضرورت مﻲ افتد تا قﻴمت ﻳک و ﻳا چند دانﺔ آن را معلوم‬ ‫کنﻴم‪ .‬براي اجراي اﻳن عمل از طرﻳقه ﻳﻰ استفاده به عمل مﻲ آﻳد که به نام احدﻳت ﻳاد مﻲ‬ ‫شود‪ .‬و احدﻳت را چنﻴن تعرﻳف مﻰ نماﻳﻴم‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫احدﻳت عبارت از درﻳافت قﻴمت ﻳک واحد از قﻴمت ﻳک مجموعه است‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬قﻴمت‪ 2‬متر تکه ‪ 300‬افﻐانﻲ است‪ ،‬نخست قﻴمت ﻳک متر آن را درﻳافت کنﻴد و سپس‬ ‫بگوﻳﻴد که قﻴمت ‪ 17‬متر آن چند افﻐانﻲ مﻲ شود؟‬ ‫‪ -2‬مصرف انتقال ‪ 60‬کﻴلو گرام جنس در ﻳک فاصله معﻴن ‪ 2400‬افﻐانﻲ مﻲ شود نخست‬ ‫قﻴمت انتقال ﻳک کﻴلو گرام آن را درﻳافت کنﻴد و سپس بگوﻳﻴد که قﻴمت مصرف انتقال‬ ‫‪35‬کﻴلو گرام چند افﻐانﻲ خواهد شد؟‬

‫‪56‬‬

‫زکات‬ ‫زکات عبارت از چهلم حصﺔ داراﻳﻰ‬ ‫هاى نقدى تحت شراﻳط معﻴن مﻰ باشد‬ ‫که شرﻳعت آن ها را مشخص نموده‬ ‫است‪.‬‬ ‫بنابر آن نسبت بﻴن زکات و سرماﻳه‬ ‫( پول نقد ) عبارت است از ‪:‬‬ ‫زکات‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ 4 0‬سرماﻳه‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫زکات بناى چندم اسﻼم است ؟‬ ‫آﻳا پرداخت زکات بر ذمﺔ هر مسلمان فرض است ؟‬ ‫آﻳا پدر شما گاهﻰ زکات مال خود را پرداخته است ؟‬ ‫آﻳا براى دادن زکات از داراﻳﻰ تان کدام نصابﻰ وجود دارد ؟‬ ‫بعد از انجام فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳر را مﻰ توان بﻴان کرد‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫زکات درلﻐت به معناى پاکﻰ و ازدﻳاد است و در اصطﻼح شرعﻰ عبارت از ﻳک اصل‬ ‫اسﻼمﻰ است که شخص صاحب نصاب بخش معﻴنﻰ از مال خود را که شرﻳعت امر کرده‬ ‫است به خاطر رضاى خداوند و ادا کردن فرض به شخص مستحق مﻰ پردازد‪.‬‬ ‫زکات بناى چهارم اسﻼم بوده و بر هر مسلمان مالک نصاب تادﻳﺔ آن فرض است‪.‬‬ ‫اساس نصاب زکات در نقود و اموال تجارتﻰ طﻼ و نقره است‪ ،‬ﻳک مثقال معﻴارى طﻼ‪،‬‬ ‫‪ 4.25‬گرام و ﻳک درهم نقره معادل به ‪ 3‬گرام است‪ .‬طورﻳکه‪:‬‬ ‫گرام‬ ‫‪4.2 5 g r‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪57‬‬

‫مثقال‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫گرام‪ 2 0 = 2 0 × 4 . 2 5 = 8 5‬مثقال طﻼ‬ ‫‪g‬‬

‫پس کسﻰ که مالک ‪ 85‬گرام طﻼ باشد بعد از سپرى شدن ﻳک سال باﻳد زکات آن را‬ ‫بپردازﻳد‪.‬‬ ‫زمانﻰ که دوصد درهم نقره را به گرام تبدﻳل کنﻴم معادل به ‪ 598‬گرام مﻰ شود‪.‬‬ ‫‪3 200‬‬ ‫گرام‪= 600‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‪x‬‬

‫گرام‬

‫درهم‬

‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪200‬‬

‫ﻳعنﻰ کسﻰ که مالک دو صد درهم ﻳا ‪ 598‬گرام نقره وﻳا قمﻴت معادل آن باشد باﻳد زکات‬ ‫دو صد گرام نقره را که ‪ 5‬درهم مﻰ شود وﻳا قﻴمت معادل آن را بپردازد و از طﻼ نﻴم مثقال‬ ‫ﻳا ‪ 2‬گرام که ‪ 125‬ملﻰ گرام وﻳا قﻴمت معادل آن را بپردازد‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬زکات سرماﻳه ‪ 5000000‬افﻐانﻰ قرار زﻳر حساب مﻰ شود‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫زکات‬ ‫‪4 0 x = 5000000 1‬‬ ‫‪5000000‬‬ ‫افﻐانﻰ‪= 125000‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫سرماﻳه‬ ‫‪40‬‬ ‫‪5000000‬‬

‫=‪x‬‬

‫زکات و فﻴصد‬ ‫چنانکه مﻰ دانﻴم زکات سرماﻳه از هر چهل افﻐانﻰ ﻳک افﻐانﻰ حساب مﻰ شود‪ .‬بنابر اﻳن در‬ ‫فﻴصد مقدار زکات قرار زﻳر معﻴن مﻰ شود‪:‬‬ ‫زکات‬ ‫افﻐانﻰ ‪11250‬‬

‫‪450000 2.5 ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪100‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪2.5‬‬ ‫‪x‬‬

‫سرماﻳه‬

‫‪100‬‬ ‫‪450000‬‬

‫مقدار زکات سرماﻳه به حساب فﻴصد چند افﻐانﻰ مﻰ شود‪.‬‬

‫‪58‬‬

‫مثال‪ : 2‬زکات سرماﻳﺔ ‪ 24000‬افﻐانﻰ را از قرار ‪ 2.5‬فﻴصد درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬طرﻳقﺔ اول‬ ‫‪24000‬‬ ‫‪24000 2.5‬‬ ‫‪, x = 600‬‬ ‫افﻐانﻰ ‪, xA=F600‬‬ ‫‪100100‬‬

‫== ‪x‬‬

‫زکات‬ ‫‪2.5‬‬

‫سرماﻳه‬ ‫‪100‬‬

‫‪x‬‬

‫‪24000‬‬

‫طرﻳقﺔ دوم‪ :‬مقدار سرماﻳه را تقسﻴم عدد ‪ 40‬مﻰ کنﻴم‪.‬‬ ‫‪24000‬‬ ‫افﻐانﻰ ‪= 600‬‬ ‫‪Af‬‬ ‫‪40‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪24000 x‬‬

‫زکات‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫سرماﻳه‬ ‫‪40‬‬

‫‪24000‬‬

‫مثال‪ : 3‬محمد ابراهﻴم داراى ﻳک مقدار طﻼ معادل به ‪ 360000‬افﻐانﻰ و ‪ 50000‬افﻐانﻰ‬ ‫پول نقد مﻰ باشد‪ .‬بعد از سپرى شدن ﻳک سال چقدر زکات داراﻳﻰ خود را بپردازد؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ = 360000 A F‬قﻴمت طﻼ‬ ‫‪ = 50000 A F‬پول نقد‬ ‫‪= 360000 A F‬‬ ‫افﻐانﻰ ‪ = 360000 + 50000 = 410000‬مجموع پول‬ ‫‪AF‬‬ ‫‪= 50000 A F‬‬ ‫‪= 360000 + 50000 = 410000 A F‬‬

‫‪410000‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪= 10250 A F‬‬ ‫‪40‬‬ ‫زکا ت سرماﻳه‬ ‫‪410000 410000‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫افﻐانﻰ ‪= 10250‬‬ ‫‪AF‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪410000 x‬‬

‫‪59‬‬

‫مثال‪ :4‬عبدالبارى درسال ‪ 1388‬به اندازة ‪ 745‬افﻐانﻰ زکات پول خوﻳش را داده بود‪،‬‬ ‫درﻳافت نماﻳﻴد که مقدار سرماﻳﺔ آن چقدر بود؟‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪100 745 74500‬‬ ‫=‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪100 2.5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪745‬‬

‫زکا ت‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪745‬‬

‫سرماﻳه‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x = 29800 A F‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ – 1‬زکات سرماﻳﺔ ‪ 7518000‬افﻐانﻰ را بعد از سپرى شدن ﻳک سال محاسبه کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ – 2‬اگر شخصﻰ اندازة زکات سرماﻳﺔ خود را ‪ 6520‬افﻐانﻰ محاسبه کرده باشد‪ ،‬سرماﻳه وى‬ ‫را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬

‫‪60‬‬

‫تخفﻴﻒ‬

‫‪Discount‬‬

‫بعضﻲ اوقات به مﻐازه ها رفته و اﻳن‬ ‫اعﻼنات را دﻳده ﻳا شنﻴده باشﻴد‪.‬‬ ‫‪10%‬تخفﻴف در قﻴمت لباس هاي‬ ‫بهاري‪.‬‬ ‫‪ 50%‬تخفﻴف در فروش سﻴم کارت‪.‬‬ ‫‪ 15%‬تخفﻴف در دﻳگر اجناس‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ﻳک شاگرد براي خرﻳد کتاب داستان‪ ،‬به کتاب فروشﻲ مراجعه مﻲ کند‪ .‬قﻴمت کتاب ‪60‬‬ ‫افﻐانﻲ است و شاگرد مذکور ‪ 55‬افﻐانﻲ دارد‪ .‬کتاب فروش کتاب مورد نظر را به ‪ 55‬افﻐانﻲ‬ ‫باﻻي آن شاگرد به فروش مﻲ رساند‪.‬‬ ‫شاگرد کتاب را چند افﻐانﻲ ارزانتر از قﻴمت اصلﻲ آن خرﻳداري نموده است؟‬ ‫چند فﻴصد پول کتاب را از قﻴمت اصلﻲ آن کمتر پرداخته است؟‬ ‫حاصل ضرب اﻳن فﻴصد‪ ،‬در قﻴمت اصلﻰ کتاب تقسﻴم‪100‬چه عددي را نشان مﻲ دهد؟‬ ‫پس مﻲ توان گفت‪ :‬همان اندازه ﻳﻰ که شاگرد کتاب را از قﻴمت اصلﻲ آن خرﻳده است‬ ‫تخفﻴف کتاب نامﻴده مﻲ شود‪.‬‬ ‫مثال ‪ :1‬ماشﻴن آب مﻴوه ﻳﻰ که به ‪ 4000‬افﻐانﻲ خرﻳده شده است‪ ،‬با تخفﻴف ‪ 8%‬به‬ ‫فروش مﻲ رسد‪ .‬قﻴمت فروش ماشﻴن را معلوم کنﻴد‪.‬‬ ‫ﺗﺨﻔﻴﻒ ﻗﻴﻤﺖ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪100‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪8‬‬ ‫افﻐانﻲ ‪= 40 × 8 = 320‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 3680‬افﻐانﻲ = ‪ = 4000 320‬قﻴمت فروش‬ ‫× ‪ = 4000‬تخفﻴف‬

‫‪61‬‬

‫مثال ‪ :2‬شخصﻰ ﻳک جنس را که قﻴمت اصلﻲ آن ‪ 3000‬افﻐانﻲ است‪ ،‬بعد از تخفﻴف به‬ ‫‪ 2895‬افﻐانﻲ خرﻳد‪ ،‬معلوم کنﻴد که خرﻳدار چند فﻴصد تخفﻴف گرفته است؟‬ ‫حل‪ :‬نخست تمام تخفﻴف را به دست مﻲ آورﻳم‪:‬‬ ‫افﻐانﻰ ‪ 3000 2895 = 105‬تمام تخفﻴف‬ ‫تمام تخفﻴف ‪ 105‬افﻐانﻲ است‪ .‬حاﻻ به کمک تناسب تخفﻴف آن را در ‪ 100‬افﻐانﻰ معلوم‬ ‫مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫‪ = 100 × 105 = 10500 = 3.5%‬تخفﻴف‬ ‫‪3000 3000‬‬ ‫‪ = 3.5%‬تخفﻴف‬

‫ﺗﺨﻔﻴﻒ‬

‫ﻗﻴﻤﺖ‬

‫‪105‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫پولﻲ را که تاجران براي مشترﻳان خوﻳش از حﻴث رقابت و جلب مشترى‪ ،‬از قﻴمت اصلﻲ آن‬ ‫کم مﻲ نماﻳند به نام تخفﻴف ﻳاد مﻲ شود‪ .‬تخفﻴف را از روى صد‪ ،‬نظر به قﻴمت اصلﻰ به نام‬ ‫تخفﻴف فﻴصدى ﻳاد مﻰ کند‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬قﻴمت اصلﻲ ﻳک باﻳسکل ‪ 5000‬افﻐانﻲ است‪ .‬هرگاه فروشنده به مشتري خوﻳش‪2%‬‬ ‫تخفﻴف قاﻳل شده باشد قﻴمت فعلﻲ باﻳسکل را معلوم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬قﻴمت اصلﻲ ﻳک بخاري گازي‪ 8000‬افﻐانﻲ است‪ ،‬به خاطر ضرورت دکاندار آن را به‬ ‫قﻴمت ‪ 7600‬افﻐانﻲ به فروش مﻲ رساند‪ .‬تخفﻴف و فﻴصدي تخفﻴف آن را معلوم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬قﻴمت ﻳک جاروب برقﻲ‪ 5730‬افﻐانﻲ است و به تخفﻴف‪ 3%‬به فروش مﻴرسد‪ .‬قﻴمت‬ ‫فروش را معلوم کنﻴد‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫نكات مﻬم فصل دوم‬ ‫نسبت‬ ‫نسبت بﻴن دو کمﻴت و ﻳا مقدار همجنس عبارت از عددى است که نشان مﻰ دهد کمﻴت اول‬ ‫چند برابر کمﻴت دوم وﻳا کمﻴت دوم چند مرتبه شامل کمﻴت اول است‪ .‬ﻳا ﻳک کمﻴت چندم‬ ‫حصﺔ کمﻴت دﻳگر است‪.‬‬ ‫تقسﻴم به اجﺰاي متناسبه‬ ‫براي تقسﻴم کردن ﻳک عدد به نسبت هاي داده شده نخست حاصل جمع نسبت هاي داده‬ ‫شده را به دست مﻲ آورﻳم و بعد از آن عدد مفروض را به اﻳن مجموعه تقسﻴم نموده و خارج‬ ‫قسمت حاصله را ضرب هر ﻳکﻰ از نسبت هاي داده شده مﻲ نماﻳﻴم‪ .‬اعدادى که حاصل‬ ‫مﻲ شوند حاصل تقسﻴم عدد مورد نظر به نسبت هاي داده شده اند‪.‬‬ ‫تناسﺐ‬ ‫مساوات دو نسبت را تناسب گوﻳند‪.‬‬ ‫خواص تناسﺐ‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬

‫‪63‬‬

‫‪a b‬‬ ‫=‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪d c‬‬ ‫=‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪b d‬‬ ‫=‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a + b c+ d‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a b c d‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a+c‬‬ ‫‪b+d‬‬ ‫‪a+b c+d‬‬ ‫=‬ ‫‪a b c d‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a d=b c‬‬

‫اقسام تناسﺐ‬ ‫تناسب دو نوع است‪ :‬اول‪ :‬تناسب مستقﻴم و دوم تناسب معکوس‬ ‫‪ -1‬اگر در ﻳک تناسب ﻳک مقدار کم گردد و در مقابل مقدار دوم نﻴز کم شود و ﻳا ﻳک‬ ‫مقدار زﻳاد شود در مقابل مقدار دوم نﻴز زﻳاد شود اﻳن تناسب را تناسب مستقﻴم گوﻳند‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر در ﻳک تناسب ﻳک مقدار زﻳاد و در مقابل مقدار دوم کم و ﻳا برعکس ﻳک مقدار کم‬ ‫و درمقابل مقدار د وم زﻳاد شود اﻳن تناسب‪ ،‬تناسب معکوس است‪.‬‬ ‫فﻴصد‬ ‫فﻴصد طرز ارائه ﻳﻰ است براى کسرهاﻳﻰ که مخرج آن ‪ 100‬باشند‪.‬‬ ‫احدﻳت‬ ‫احدﻳت عبارت از درﻳافت قﻴمت ﻳک واحد از قﻴمت ﻳک مجموعه است‪.‬‬ ‫زکات‬ ‫درلﻐت به معناى پاکﻰ و ازدﻳاد است و در اصطﻼح شرعﻰ عبارت از بناى چهارم اسﻼم است‬ ‫که شخص صاحب نصاب بخشﻰ از مال خود را که شرﻳعت امر کرده است به خاطر رضاى‬ ‫خدا و به جا کردن اوامر او براى شخص مستحق مﻰ پردازد‪.‬‬ ‫تخفﻴﻒ‬ ‫پولﻰ را که تاجران براى مشترﻳان خوﻳش از حﻴث رقابت و جلب مشترى از قﻴمت اصلﻰ آن‬ ‫کم مﻰ نماﻳند‪ ،‬به نام تخفﻴف ﻳاد مﻰ شود‪.‬‬

‫‪64‬‬

‫تمرﻳنات عمومﻲ‬ ‫در زﻳر براي هر سؤال چهار جواب داده شده است‪ ،‬دور جواب صحﻴح را حلقه بکشﻴد‪.‬‬ ‫‪ -1‬حاصل نسبت عبارت است از ﻳک عددى که‪:‬‬ ‫‪ )d‬هﻴﭽکدام‬ ‫‪ )b‬مثبت باشد ‪ )c‬بدون واحد باشد‬ ‫‪ )a‬منفﻰ باشد‬ ‫‪ -2‬عﻼمﺔ فﻴصد عبارت است از‪:‬‬

‫‪×)a‬‬

‫‪÷ )b‬‬

‫‪+ )c‬‬

‫‪%)d‬‬

‫جاهاي خالﻲ را با کلمات مناسب پر کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ -1‬در هر تناسب صورت نسبت اول و مخرج نسبت دوم را به نام ‪ ......................‬و مخرج‬ ‫نسبت اول و صورت نسبت دوم را به نام ‪ .............................‬ﻳاد مﻲ کنند‪.‬‬ ‫‪ -2‬در تناسب مستقﻴم هر دو مقدار هم زمان‪ ...........................‬ﻳا ‪ .......................‬مﻲ شوند‪.‬‬ ‫‪ -3‬کسري که مخرج آن ‪ ......................‬است به نام ‪ ................................‬ﻳاد مﻲ شود‪.‬‬ ‫در زﻳر ﻳک تعداد جمﻼت داده شده اند در مقابل جملﺔ صحﻴح حرف (ص) و در مقابل‬ ‫جملﺔ غلط حرف (غ) بگذارﻳد‪:‬‬ ‫‪( -1‬‬

‫) در ﻳک تناسب صورت نسبت اول و مخرج نسبت دوم را به نام طرفﻴن‪ ،‬مخرج‬

‫نسبت اول و صورت نسبت دوم را به نام وسطﻴن تناسب ﻳاد مﻲ کنند‪.‬‬ ‫‪( -2‬‬

‫) فﻴصد کسري است که مخرج آن ‪ 100‬باشد‪.‬‬

‫‪( -3‬‬

‫) تخفﻴف تناسب مستقﻴمﻲ است که نخست قﻴمت ﻳک واحد آن را از نسبت مربوطه‬

‫درﻳافته؛ سپس ضرب مقدار داده شده مﻲ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪( -4‬‬

‫) مساوات دو تناسب را نسبت گوﻳند‪.‬‬

‫سؤال هاى زﻳر را حل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ -1‬تعداد شاگردان دو مکتب به ترتﻴب ‪ 720‬و ‪ 810‬نفر اند‪ .‬نسبت بﻴن شاگردان هر دو‬ ‫مکتب را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در ﻳک باغ ‪ 45‬اصله درخت سﻴب‪ 30 ،‬اصله درخت ناک و ‪ 75‬اصله درخت انار است‪.‬‬ ‫نسبت بﻴن دو دو نوع درخت را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫‪ -3‬براي خرﻳدن سه متر تکه‪ 33.75 ،‬افﻐانﻲ ضرورت است‪ .‬براي خرﻳدن ‪ 15‬متر تکه چند‬ ‫افﻐانﻲ به کار خواهد بود؟‬ ‫‪ -4‬ﻳک رستورانت را ‪ 27‬نفر در ‪ 20‬روز اعمار مﻲ کنند‪ ،‬اگر بخواهﻴم اﻳن رستورانت در ‪15‬‬ ‫روز اعمار گردد چند نفر ﻻزم است؟‬ ‫‪ -5‬تعداد داخله در ﻳک صنف لﻴسﺔ عالﻲ مﻼلﻲ ‪ 50‬نفر اند‪ .‬معلم مﻲ خواهد آن ها را به دو‬ ‫‪2‬‬ ‫گروه طوري تقسﻴم کند که نسبت بﻴن آن ها‬ ‫‪3‬‬

‫شود‪ ،‬تعداد هر گروه را معلوم کنﻴد‪.‬‬

‫‪ -6‬ادارة ﻳک لﻴسه از ﻳک کتاب فروشﻲ به مبلﻎ ‪ 2560‬افﻐانﻰ کتاب خرﻳداري نموده است‪.‬‬ ‫براي اﻳنکه کتاب فروش خرﻳدار مذکور را براي آﻳنده مشتري خود بسازد‪ 5 .‬فﻴصد پول‬ ‫کمتر از قﻴمت اصلﻲ آن اخذ مﻲ کند معلوم کنﻴد که ادارة لﻴسه چند افﻐانﻲ به کتاب فروش‬ ‫داده است؟‬ ‫‪ -7‬مجموعﺔ سرماﻳه هاي دو تاجر که مشترکاً با هم تجارت مﻲ کنند ‪ 2540000‬افﻐانﻲ و‬ ‫‪3‬‬ ‫نسبت سرماﻳه هاي آنها‬ ‫‪5‬‬

‫است‪ .‬سرماﻳه هر کدام آن ها را معلوم کنﻴد‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫فصلسوم‬ ‫مشابهت ها‬

‫اشكال متشابه‬ ‫آﻳا اشکال همانند را به اندازه هاى‬ ‫مختلف دﻳده اﻳد؟‬ ‫در اطراف ما اشکالﻲ وجود دارند‬ ‫که اندازه هاى شان مساوى نبوده؛ اما‬ ‫هم شکل مﻰ باشند؛ مث ً‬ ‫ﻼ‪ :‬تصوﻳر تاق‬ ‫ظفر پﻐمان که ﻳکﻰ از آن ها بزرگ‬ ‫و دﻳگرى کوچک است؛ ولﻰ از نظر‬ ‫شکل باهم مشابه اند‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫دو مثلث زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪B‬‬

‫● آﻳا فکر مﻲ کنﻴد اﻳن دو مثلث با هم مشابه اند؟‬ ‫● اگر فکر مﻲ کنﻴد که مثلث ها با هم مشابه اند‪ ،‬اضﻼع متناسب و زاوﻳه هاي مساوى آن ها‬ ‫را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫● زاوﻳه هاي مساوى را توسط نقاله اندازه گرفته و باهم مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫● نسبت هاى اضﻼع متناسب را حساب نماﻳﻴد‪.‬‬

‫فعالﻴت فوق به ما نشان مﻰ دهدکه‪:‬‬ ‫در اشکال مشابه زواﻳاي مساوى ﻳک به ﻳک با هم انطباق پذﻳر اند و نسبت هاى اضﻼع‬ ‫متناسب ﻳک مقدار ثابت بوده که اﻳن مقدار ثابت را نسبت تشابه مﻰ گوﻳند‪ .‬هرگاه دو شکل‬ ‫باهم چنﻴن رابطه ﻳﻰ داشته باشند‪ ،‬مشابه اند‪ .‬اشکال مشابه را به عﻼمﺔ )~( نماﻳش مﻲ دهﻴم‪.‬‬

‫‪69‬‬

‫مثال‪ :‬نشان مﻲ دهﻴم که دو مثلث متساوي اﻻضﻼع با هم مشابه اند‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪6‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A A ,B B , C C‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC 6 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= =‬ ‫‪AB AC BC 4 2‬‬

‫حل‪ :‬زواﻳا با هم انطباق پذﻳر اند‪.‬‬ ‫تناسب بﻴن اضﻼع وجود دارد‪.‬‬

‫‪ABC ~ A B C‬‬

‫پس ‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬کدام ﻳک از جمﻼت زﻳر همﻴشه درست نﻴست‪ ،‬براي هر ﻳک مثال دهﻴد‪.‬‬ ‫ دو مربع همﻴشه باهم مشابه اند‪.‬‬‫ دو مثلث همﻴشه باهم مشابه اند‪.‬‬‫ دو مستطﻴل همﻴشه باهم مشابه اند‪.‬‬‫ دو مثلث متساوي الساقﻴن همﻴشه باهم مشابه اند‪.‬‬‫ دو لوزي همﻴشه باهم مشابه اند‪.‬‬‫‪ -2‬مثلث هاى ‪ A B C‬و ‪ ABC‬متشابه اند‪ .‬زواﻳاى آن ها مشخص شده است‪.‬‬ ‫نسبت بﻴن اضﻼع مقابل آن ها را بنوﻳسﻴد و سپس طول هاي ‪ x‬و ‪ y‬را تعﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫مﻀﻠعات متشابه‬ ‫آﻳا اﻳن دو نقشﺔ زﻳر نظر به نقشﺔ اولﻰ به‬ ‫ﻳک اندازه کوچک شده اند؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫با اندازه گﻴرى اضﻼع هر ﻳک از نسبت هاي زﻳر را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫=‬ ‫‪AD‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫=‬ ‫‪CD‬‬

‫‪D′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C′‬‬

‫● اضﻼع لوزي ‪ ABCD‬بالترتﻴب چند برابر اضﻼع لوزى ‪ A B C D‬است؟‬ ‫● زاواﻳاى ‪ ABCD‬و ‪ A B C D‬را اندازه بگﻴرﻳد‪ .‬چه چﻴزي مشاهده مﻲ کنﻴد؟‬

‫‪C‬‬

‫از فعالﻴت فوق دﻳدﻳم که نسبت اضﻼع متناسب در دو شکل همواره ثابت و باهم مساوي‬ ‫مﻰ باشند‪ .‬وزاوﻳه هاي مساوى هم با هم مساوي اند‪ .‬پس دو شکل با هم مشابه اند‪.‬‬ ‫چند ضلعﻲ ها در صورتﻲ با هم مشابه اند که داراي خواص زﻳر باشند‪:‬‬ ‫‪ -1‬تعداد رأس هاي شان با هم مساوى باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬تمام زواﻳا در مضلعات مشابه باﻳد ﻳک به ﻳک با هم انطباق پذﻳر باشند‪.‬‬ ‫‪ -3‬اضﻼعﻰ که در مقابل زواﻳاى مساوى قرار دارند باهم متناسب باشند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬نشان مﻰ دهﻴم که دو مضلع ‪ ABCD‬و ‪ A B C D‬با هم مشابه اند‪C .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪71‬‬

‫‪4‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D′‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪A‬‬

‫حل‪ :‬در شکل دﻳده مﻰ شود که‪:‬‬ ‫‪ -1‬زاواﻳا با هم انطباق پذﻳر اند‪.‬‬ ‫‪ -2‬تناسب بﻴن اضﻼع وجود دارد‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C ,D‬‬

‫‪B , C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A ,B‬‬

‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪DA‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫'‪A' B' B' C' C' D' D' A‬‬

‫‪8 6 4 2‬‬ ‫‪= = = =2‬‬ ‫‪4 3 2 1‬‬

‫پس دو شکل با هم مشابه اند‪.‬‬ ‫در مثال فوق نسبت تشابه بﻴن اضﻼع ‪ 2‬مﻰ باشد‪ .‬ﻳعنﻰ اضﻼع مضلع ‪ ABCD‬دو برابر اضﻼع‬ ‫مضلع ‪ A B C D‬مﻰ باشد‪ ،‬پس ‪ABCD ~ A B C D‬‬ ‫سؤال‪ :‬اضﻼع ‪ A B C D‬چند برابر اضﻼع ‪ ABCD‬است؟‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬نشان دهﻴد که اشکال زﻳر با هم مشابه اند‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪7.5‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ -2‬هر جوره اشکالﻰ که در کنار هم رسم شده باهم مشابه اند‪ ،‬طول مجهولﻰ که با حرف ‪x‬‬ ‫نشانﻰ شده حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪36‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪63‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3.6‬‬

‫‪ -3‬در شکل زﻳر نشان دهﻴد که در دو مستطﻴل مشابه نسبت طول بر عرض ﻳک مستطﻴل‬ ‫مساوي به نسبت طول بر عرض مستطﻴل دومﻰ‪ ،‬مﻲ باشد‪.‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪10‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪16‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪20‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪72‬‬

‫ﺧﻄﻮط ﻣﻮازي ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻫﺎي ﻣﺴﺎوي‬ ‫فاصلﺔ خطوطﻰ که عرض خط رﻳل‬ ‫را باهم وصل کرده اند‪ ،‬باهم چه‬ ‫رابطه دارند؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● چهار خط موازي روبرو را در نظر بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫● خط عمودي براﻳن چهار قطعه خط رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● قطعه خط ها ي که بﻴن خطوط موازى توسط خط قاطع‬ ‫اﻳجاد شده اندازه بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫● ﻳک خط مستقﻴم دﻳگر رسم کنﻴد که اﻳن چهار خط موازي را قطع کنند‪.‬‬ ‫● قطعه خط هاﻳﻲ که توسط اﻳن خط قاطع و خطوط موازي به دست آمده اندازه بگﻴرﻳد و‬ ‫بگوﻳﻴد باهم چه رابطه دارند؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان تعرﻳف زﻳر را بﻴان نماﻳﻴم‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اگر چند خط موازي که فاصله ها بﻴن شان با هم مساوى باشند توسط ﻳک خط مستقﻴم قاطع‬ ‫قطع گردند‪ ،‬روي خط قاطع قطعات مساوي را جدا مﻲ کنند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬درشکل زﻳر خطوط موازى به فاصله هاى مساوى داده‬ ‫شده اند‪ ،‬فاصله ‪ x‬را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫حل‪:‬چون مجموع دو قطعﺔ اﻳجاد شدة خط قاطع بﻴن خطوط موازي‬ ‫‪x‬‬ ‫دو برابر(‪8‬واحد) است؛ پس طول هر قطعه چهار واحد مﻲ شود‪.‬‬ ‫چون ‪ x‬برابر هر ﻳک از اﻳن قطعات است پس‪x = 4 :‬‬

‫‪73‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪ -1‬قطعه خط کﻴفﻰ ‪ AB‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬از نقطﺔ ‪ A‬ﻳک نﻴم خط کﻴفﻰ ‪ AX‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬روى نﻴم خط ‪ AX‬از نقطﺔ ‪ A‬شروع کرده و ‪ 5‬واحد مساوي پﻰ هم جدا کنﻴد‪ .‬اﻳن نقاط‬ ‫را ‪ Q،P،N ،M‬و ‪ C‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫‪ -4‬نقطه ‪ C‬را به ‪ B‬وصل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -5‬حال از نقاط ‪ Q ،P ،N ،M‬خطوط موازى به خط مستقﻴم ‪ BC‬رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -6‬پنج قطعه خطوط اﻳجاد شده چه رابطه ﻳﻰ با هم دارند؟‬ ‫از خاصﻴت خطوط موازي با فاصله هاي مساوي براي تقسﻴم ﻳک قطعه خط به قسمت هاي‬ ‫مساوي مﻲ توان استفاده کرد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬در هر ﻳک از اشکال زﻳر خطوط موازى به فاصله هاى مساوى داده شده اند‪ ،‬قﻴمت ‪x‬‬

‫را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1.5‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ -2‬دوقطعه خط را رسم کنﻴد؛ سپس ﻳکﻰ از آن ها را به سه قسمت و دﻳگرى را به چهار‬ ‫قسمت مساوى تقسﻴم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬قطعه خطﻰ را به طول ‪ 12cm‬رسم نموده‪ ،‬بعد آن را به ‪ 8‬قسمت مساوى تقسﻴم کنﻴد‪.‬‬

‫‪74‬‬

‫قﻀﻴه تالﺲ‬ ‫)‪(Thales‬‬ ‫تعمﻴري را که در شکل مﻲ بﻴنﻴد چند‬ ‫طبقه دارد؟‬ ‫آﻳا فاصلﺔ طبقات با هم مساوي اند؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● سه خط مستقﻴم موازى ‪ b ، a‬و ‪ c‬را طوري رسم کنﻴد که هم فاصله نباشند‪.‬‬ ‫● دو قاطع (ﻳک دﻳگر خود را قطع نکنند) را رسم کنﻴد که خطوط موازى آن ها را به ترتﻴب‬ ‫در نقاط ‪ C ، B ،A‬و ‪ B ، A‬و ‪ C‬قطع کنند‪.‬‬ ‫● نسبت هاي زﻳر را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫?=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫?=‬ ‫‪BC‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪A′‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C′ c‬‬

‫● قاطع کﻴفﻲ دﻳگري را رسم نموده و نسبت قطعات اﻳجاد شده را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫تا لس رﻳاضﻰ دان ﻳونان( ‪ 624 -548‬قبل از مﻴﻼد) نتﻴجﺔ فعالﻴت فوق را به شکل زﻳر بﻴان کرد‪.‬‬ ‫قﻀﻴه تالﺲ‪ :‬هرگاه دو ﻳا چندﻳن قطعه خط موازي توسط دو خط قاطع قطع گردند‪ ،‬روي‬ ‫آن ها قطعات متناسب جدا مﻰ کنند‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫طبق شکل مقابل ‪ d ،d‬و ‪ d‬سه خطوط مستقﻴم موازي اند‪d1.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫پس‬

‫‪75‬‬

‫‪AB A B‬‬ ‫=‬ ‫‪BC B C‬‬

‫‪d2‬‬ ‫‪C′ d‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫مثال‪ :‬در شکل زﻳر قﻴمت ‪ x‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫=‬

‫‪x‬‬ ‫‪2× 4 8‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪3‬‬

‫’‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫’‪B‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫'‪AB A' B‬‬ ‫=‬ ‫'‪BC B' C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪4‬‬

‫’‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬در هر ﻳک از اشکال زﻳر قﻴمت ‪ a‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫’‪2 C‬‬

‫‪4‬‬

‫’‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫’‪B‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬

‫’‪B‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(b) B‬‬

‫’‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪C‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪ -2‬شکل زﻳر را در نظر گرفته نسبت هاي داده شده را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫?=‬ ‫‪MB‬‬

‫‪AM‬‬ ‫?=‬ ‫‪AB‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬با در نظرداشت قﻴمت هاى داده شده و تطبﻴق قضﻴه تالس بگوﻳﻴد در کدام شکل زﻳر‬ ‫‪ DE‬موازي با ‪ BC‬است؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪2.4‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪3.8‬‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2.4‬‬

‫‪E‬‬

‫‪3.6‬‬

‫‪C‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪76‬‬

‫نكات مﻬم فصل سوم‬ ‫‪ -1‬اشکال متشابه عبارت ازاشکالﻲ اندکه هم شکل بوده؛ اما ضرورى نﻴست که اندازه هاﻳشان‬ ‫باهم مساوى باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬مضلعات وقتﻰ با هم متشابه اندکه داراى خواص زﻳر باشند‪:‬‬ ‫‪ )a‬تمام زواﻳاى مضلعات مشابه باﻳد ﻳک به ﻳک با هم انطباق پذﻳر باشند‪.‬‬ ‫‪ )b‬اضﻼع مقابل زواﻳاى مساوى با هم متناسب باشند‪.‬‬ ‫‪ -3‬هرگاه خطوط موازى به فاصله هاى مساوى و قاطع را باﻻى آن ها در نظر بگﻴرﻳم در اﻳن‬ ‫صورت ﻳک قطعه خط را به قطعات مساوى تقسﻴم کرده مﻰ توانﻴم‪.‬‬ ‫‪ -4‬با استفاده از خطوط موازى با فاصله مساوى‪ ،‬ﻳک قطعه خط را به قطعات مساوي تقسﻴم‬ ‫کرده مﻰ توانﻴم‪.‬‬ ‫‪ -5‬اگر چند قطعه خط موازى که فاصله ها بﻴن شان مساوى باشند توسط ﻳک قاطع قطع‬ ‫گردند بر روى خط قاطع قطعات مساوى را جدا مﻰ کنند‪.‬‬

‫‪77‬‬

‫تمرﻳنات عمومﻲ‬ ‫● سؤال هاى زﻳر را به دقت مطالعه کنﻴد‪ .‬براى هر سؤال چهار جواب داده شده است‪ ،‬جواب‬ ‫درست را انتخاب نموده و دور آن را حلقه کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﻳک مثلث متساوى اﻻضﻼع مشابه است با‪:‬‬ ‫‪ )a‬مثلث مختلف اﻻضﻼع‬

‫‪ )b‬مثلث متساوي اﻻضﻼع‬

‫‪ )c‬مثلث متساوي الساقﻴن‬

‫‪ )d‬هﻴﭽکدام‬

‫‪ -2‬تمام چهار ضلعﻰ هاي متساوى الزواﻳا باهم‪:‬‬ ‫‪ ) a‬مشابه اند ‪ ) b‬انطباق پذﻳراند‬

‫‪ ) c‬متوازى اﻻضﻼع اند‬

‫‪ ) d‬هﻴﭽکدام‬

‫‪ -3‬مثلث هاي ‪ ABC‬و ‪ DEF‬باهم مشابه اند‪ .‬هرگاه ‪ A = D , B = E‬بوده و‬ ‫‪ AB = 9cm ، AC = 12cm‬و ‪ DE = 3cm‬باشند‪ ،‬در اﻳن صورت طول ‪ DF‬عبارت‬ ‫است از‪:‬‬ ‫‪3cm )a‬‬

‫‪4cm)b‬‬

‫‪6 cm )c‬‬

‫‪7cm )d‬‬

‫‪CD 5‬‬ ‫‪ -4‬درشکل زﻳر ‪ AB || ED‬و =‬ ‫است نسبت ‪ CE‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AD‬‬

‫‪EB‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪(c‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪78‬‬

‫فصل چهارم‬ ‫تناظر‬

‫مفﻬوم تناﻇر‬ ‫آﻳا تا به حال فکر کرده اﻳد که در‬ ‫طبﻴعت اطراف ما چقدر اشکال متناظر‬ ‫وجود دارند؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫به شکل هاي زﻳر توجه کنﻴد‪:‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬

‫● اگر اشکال فوق را در امتداد خط‪ l‬قات کنﻴم چه مشاهده مﻲ شود؟‬ ‫● آﻳا مﻲ توان گفت که دو قسمت شکل که در دو طرف خط‪ l‬قرار مﻲ گﻴرند‪ .‬انطباق پذﻳر‬ ‫هستند؟‬ ‫● آﻳا مﻲ توان روي اشکال فوق خط دﻳگري رسم کرد که اگر روي آن‪ ،‬شکل را قات کنﻴم‬ ‫ﻳکﻲ باﻻي دﻳگري منطبق شود؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مشاهده مﻰ شود که بعضﻲ از اشکال داراي اﻳن خاصﻴت هستند که اگر آن ها‬ ‫را در امتداد ﻳک خط مستقﻴم قات کنﻴم دو قسمت شکل باهم دﻳگر منطبق مﻲ شوند‪.‬‬ ‫در اﻳن حالت مﻲ گوﻳﻴم دو قسمت شکل متناظر ﻳکدﻳگر نظر به خط‪ l‬اند‪.‬‬ ‫اگر با قات کردن ﻳک شکل به امتداد خط مستقﻴم دو قسمت با همدﻳگر منطبق شوند آن‬ ‫شکل را نسبت به خط مستقﻴم متناظر گوﻳند و خطﻰ که روي آن شکل قات شده‪ ،‬محور‬ ‫تناظر نامﻴده مﻲ شود‪.‬‬

‫‪81‬‬

‫مثال‪ :‬اشکال زﻳر نسبت به خط ‪( l‬محور تناظر) متناظر هستند‪:‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪l‬‬

‫‪l‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫محور تناظر هر ﻳک از اشکال زﻳر را در صورت موجودﻳت رسم کنﻴد و بگوﻳﻴد که هرکدام‬ ‫از اﻳن اشکال چند محور تناظر دارند و نﻴز جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎى ﻣﺘﺴﺎوى اﻻﺿﻼﻉ‬

‫ﺩاﻳﺮه‬

‫ﻟﻮزى‬

‫ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼﻉ‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺗﻌﺪاﺩ ﻣﺤﻮﺭ ﻫﺎى‬

‫ﺗﻨﺎﻇﺮ‬

‫‪l‬‬

‫‪82‬‬

‫تناﻇر محوري‬ ‫بسﻴاري از موجودات که‬ ‫خداوند(ج) خلق کرده اند متناظر‬ ‫اند‪ ،‬آﻳا مﻲ توانﻴد نمونه هاي‬ ‫دﻳگري از اشکال متناظر را در‬ ‫طبﻴعت نام ببرﻳد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪d‬‬

‫‪A‬‬

‫خط مستقﻴم ‪ d‬و نقطﺔ ‪ A‬را خارج آن مطابق شکل مقابل در نظر بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫● از نقطﺔ ‪ A‬مستقﻴم عمودي باﻻي خط ‪ d‬رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● نقطﺔ تقاطع آن را ‪ H‬نام گذاري کنﻴد‪.‬‬ ‫● ‪ AH‬را به اندازة خودش امتداد دهﻴد‪ .‬تا نقطﺔ ‪ A‬به دست آﻳد‪.‬‬ ‫● آﻳا ‪ AH = A' H‬است‪ .‬چرا؟‬ ‫● آﻳا ‪ A H d‬است‪ .‬چرا؟‬ ‫● آﻳا مﻲ توان نتﻴجه گرفت که خط ‪ d‬ناصف عمودي ‪ AA‬است؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫نقطﺔ ‪ A‬را متناظر نقطﺔ ‪ A‬نسبت به خط ‪ d‬مﻲ نامﻴم اگر خط‬ ‫‪ d‬ناصف عمودي قطعه خط واصل بﻴن ‪ A‬و ‪ A‬باشد؛ مانند‬ ‫شکل مقابل‪.‬‬ ‫تناظر محورى هر شکل هندسﻰ شکلﻴست که هر نقطﺔ آن نظر به‬ ‫ﻳک نقطﺔ شکل اولﻰ متناظر مﻰ باشد‪.‬‬

‫‪83‬‬

‫‪A‬‬

‫‪d‬‬

‫‪H‬‬ ‫´‪A‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪A‬‬

‫در مثلث متساوي الساقﻴن ‪ ABC‬خط ‪ d‬ناصف عمودي قاعدة‬ ‫‪ BC‬است‪.‬‬ ‫● اگر مثلث را روي خط ‪ d‬قات کنﻴم آﻳا دو قسمت مثلث با‬ ‫‪d‬‬ ‫همدﻳگر منطبق مﻲ شوند؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫● ﻳک نقطﺔ مانند ‪ P‬را روي ضلع ‪ AB‬انتخاب کنﻴد‪.‬‬ ‫● از نقطﺔ ‪ P‬باﻻى خط ‪ d‬عمود رسم کنﻴد و انجام آن را ‪ H‬نام گذاري کنﻴد‪ .‬آن را امتداد‬ ‫دهﻴد تا ‪ AC‬را در ‪PP‬قطع کند‪.‬‬ ‫● آﻳا مﻲ توان نتﻴجه گرفت که ‪ PH = P H‬است؟ چرا؟‬ ‫● آﻳا مﻲ توان نتﻴجه گرفت که خط ‪ d‬ناصف عمودي ‪ PP‬است؟ چرا؟‬ ‫● نقطﺔ مانند ‪ Q‬را روي ضلع ‪ AC‬انتخاب کنﻴد و مراحل فوق را تکرار کنﻴد‪.‬‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻰ شود که متناظر هر نقطﺔ ضلع ‪ AB‬نظر به محور تناظر ‪ d‬باﻻى ضلع‬ ‫‪ AC‬قرار دارد‪.‬‬ ‫اگر شکلﻲ نسبت به ﻳک خط متناظر باشد‪ ،‬محور تناظر آن شکل ناصف عمودي قطعه‬ ‫خط هاي واصل نقاط متناظر روي شکل است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬متناظر شکل داده شده را نسبت به خط ‪ d‬به دست‬ ‫آورﻳد‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫حل‪ :‬با در نظر داشت اﻳنکه محور تناظر ناصف عمودي‬ ‫قطعه خط هاي واصل بﻴن نقاط متناظر است‪ ،‬پس کافﻲ است از هر نقطﺔ روي شکل به ‪d‬‬ ‫عمود رسم کنﻴم به اندازة خودش امتداد دهﻴم‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫از وصل کردن نقاط به دست آمده متناظر شکل به دست مﻲ آﻳد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫متناظر هر شکل را نسبت به خط ‪ d‬رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪d‬‬

‫‪d‬‬ ‫)‪(e‬‬

‫)‪(c‬‬

‫‪d‬‬

‫)‪d (b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(d‬‬

‫‪84‬‬

‫تناﻇر مرکﺰي‬

‫آﻳا تناظر در چرخک را مشاهده‬ ‫مﻰ نماﻳﻴد؟‬

‫نقطﺔ ‪ A‬را متناظر نقطﺔ ‪ A‬نسبت به نقطﺔ ‪ O‬مﻲ نامﻴم اگر‬ ‫نقطﺔ ‪ O‬وسط قطعه خط ‪ AA‬باشد‪ .‬در اﻳن حالت ‪ O‬را‬ ‫مرکز تناظر نامﻴده و مﻲ گوﻳﻴم نقاط ‪ A‬و ‪ A‬نسبت به نقطه‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ O‬متناظر اند‪ .‬همﭽنﻴن اگر ‪ S‬ﻳک مجموعﺔ نقاط و ‪ O‬ﻳک‬ ‫‪A‬‬ ‫نقطه باشد اگر متناظر هر نقطﺔ ‪ S‬نظر به ‪ O‬روي ‪ S‬باشد‪ ،‬مﻲ‬ ‫گوﻳﻴم ‪ S‬نظر به نقطﺔ ‪ O‬متناظر است‪ ،‬در اﻳن حالت ‪ O‬مرکز تناظر ‪ S‬است‪ .‬و ‪ S‬تناظر‬ ‫مرکزي دارد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬شکل هاي زﻳر نسبت به نقطﺔ ‪ O‬متناظر هستند‪:‬‬

‫´‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪B‬‬

‫قطعه خط ‪ AB‬و نقطﺔ ‪ O‬را مطابق شکل در نظر بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫● نقطﺔ ‪ A‬را به نقطﺔ ‪ O‬وصل کنﻴد و به اندازة خودش امتداد دهﻴد‪.‬‬ ‫انجام آن را ‪ A‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫● آﻳا ‪ A‬متناظر نقطﺔ‪ A‬نسبت به نقطﺔ ‪ O‬است؟‬ ‫● نقطﺔ ‪ B‬را به نقطﺔ ‪ O‬وصل کنﻴد و به اندازة خودش امتداد دهﻴد وانجام آن را ‪ B‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫● آﻳا نقطه ‪ B‬متناظر نقطﺔ ‪ B‬نسبت به نقطﺔ ‪ O‬است؟‬

‫‪85‬‬

‫● نقطﺔ دلخواه ‪ P‬را روي قطعه خط ‪ AB‬انتخاب کنﻴد‪.‬‬ ‫● نقطﺔ ‪ P‬را به ‪ O‬وصل نموده به اندازة خودش امتداد دهﻴد‪ .‬انجام آن را ‪ P‬نام گذاري‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫● آﻳا نقطه ‪ P‬روي قطعه خط ‪ A B‬قرار مﻲ گﻴرد؟‬ ‫● آﻳا قطعه خط ‪ A B‬متناظر قطعه خط ‪ AB‬نسبت به نقطﺔ ‪ O‬است؟‬ ‫براي درﻳافت متناظر ﻳک شکل نسبت به ﻳک نقطﺔ ‪ O‬کافﻲ است هر نقطﺔ شکل را به نقطه‬ ‫‪ O‬وصل نموده و به اندازة خودش امتداد دهﻴم‪ .‬از وصل کردن نقاط حاصله شکل متناظر‬ ‫شکل داده شده به دست مﻰ آﻳد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در شکل مقابل مثلث ‪ A B C‬متناظر مثلث‬ ‫‪ ABC‬نظر به نقطﺔ ‪ O‬است‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬متناظر زاوﻳﺔ ‪ ABC‬را نظر به نقطﺔ ‪ O‬به‬ ‫دست آورﻳد؟‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬درکدام ﻳک از اشکال زﻳر نقطﺔ ‪ O‬مرکز تناظر است‪:‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪ -2‬متناظر شکل هاي زﻳر را نسبت به نقطﺔ ‪ O‬رسم کنﻴد‪:‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(c‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪86‬‬

‫نكات مﻬم فصل ﭼﻬارم‬ ‫● مفﻬوم تناﻇر و محور تناﻇر‬ ‫اگر با قات کردن ﻳک شکل به امتداد ﻳک خط مستقﻴم دو قسمت شکل با هم منطبق شوند‬ ‫آن شکل را متناظر گوﻳند‪ .‬خطﻰ که روي آن شکل قات شده است محور تناظر نامﻴده مﻲ‬ ‫شود‪.‬‬ ‫● تناﻇر محوري‬ ‫نقطﺔ ‪ A‬را متناظر نقطﺔ ‪ A‬نسبت به خط مستقﻴم ‪ d‬مﻲ نامﻴم اگر خط ‪ d‬ناصف عمودي‬ ‫قطعه خط واصل بﻴن نقاط ‪ A‬و ‪ A‬باشد‪.‬‬ ‫● اگر نقطﺔ ‪ A‬روي خط مستقﻴم ‪ d‬باشد‪ ،‬متناظر آن نسبت به خط مستقﻴم ‪ d‬خود آن نقطه‬ ‫است‪.‬‬ ‫● اگر شکلﻲ نسبت به ﻳک خط مستقﻴم متناظر باشد‪ ،‬محور تناظر آن شکل ناصف عمودي‬ ‫قطعه خط هاي واصل بﻴن نقاط متناظر روي شکل است‪.‬‬ ‫● تناﻇر مرکﺰي‬ ‫اگر ‪ S‬ﻳک مجموعﺔ نقاط و ‪ O‬ﻳک نقطه باشد‪ ،‬اگر متناظر هر نقطﺔ ‪ S‬نظر به نقطﺔ ‪ O‬باز‬ ‫هم روي ‪ S‬باشد‪ .‬در اﻳن صورت مﻲ گوﻳﻴم مجموعﺔ نقاط ‪ S‬نظر به نقطﺔ ‪ O‬متناظر اند‪ ،‬در‬ ‫اﻳن حالت ‪ O‬مرکز تناظر ‪ S‬است و ‪ S‬تناظر مرکزي دارد‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫تمرﻳنات عمومﻲ‬ ‫سؤال هاى زﻳر را حل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ -1‬متناظر هر شکل را نسبت به نقطﺔ ‪ O‬رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪O‬‬

‫‪ -2‬محور تناظر هر شکل را رسم کنﻴد‪:‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪ -3‬شکل هاﻳﻲ را که مرکز تناظر دارند مشخص کنﻴد‪ ،‬سپس مرکز تناظر را روي هر شکل‬ ‫نشان دهﻴد‪:‬‬ ‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪ -4‬متناظر هر شکل را نسبت به خط ‪ d‬درﻳافت کنﻴد‪:‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(d‬‬ ‫‪d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫‪d‬‬

‫)‪(a‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪d‬‬

‫‪88‬‬

‫فصلپنجم‬ ‫قضاﻳاى مثلث‬

‫قﻀاﻳاي مثﻠﺚ متساوي الساقﻴن‬

‫‪A‬‬

‫اضﻼع مثلث ‪ ABC‬را اندازه بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫اﻳن مثلث چه نوع مثلث است؟‬ ‫چه رابطه بﻴن اندازة زاوﻳه هاي اﻳن‬ ‫مثلث وجود دارد؟‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● مثلث متساوي الساقﻴن ‪ ABC‬را طورى رسم کنﻴد که در آن ‪ AB = AC‬باشد‪.‬‬ ‫● در مثلث متساوي الساقﻴن ‪ ABC‬اضﻼع مساوي چه نامﻴده مﻲ شوند؟‬ ‫زاوﻳه هاي مقابل اضﻼع مساوي را به کمک نقاله اندازه گﻴري نموده چه رابطه بﻴن اﻳن دو‬ ‫زاوﻳه مﻲ بﻴنﻴد‪.‬‬ ‫● ﻳک مثلث متساوي الساقﻴن را رسم کنﻴد‪ .‬عملﻴﺔ فوق را تکرار نموده چه نتﻴجه‬ ‫مﻲ گﻴرﻳد؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مشاهده مﻰ شودکه در مثلث هاي متساوي الساقﻴن زاوﻳه هاي مقابل ساق ها‬ ‫باهم مساوي اند‪ .‬اﻳن مطلب را به شکل قضﻴﺔ زﻳر مﻲ توان بﻴان نمود‪:‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬اگر دو ضلع ﻳک مثلث باهم مساوي باشند‪ .‬زواﻳاي مقابل آن دو ضلع نﻴز با هم‬ ‫مساوي اند‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬فرض مﻲ کنﻴم ‪ AB = AC‬است نقطﺔ وسط ضلع ‪ BC‬را ‪M‬‬ ‫نامگذاري نموده مﻴانﺔ ‪ AM‬را رسم مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫در دو مثلث ‪ ABM‬و ‪ ACM‬دارﻳم‪:‬‬ ‫‪ABM = AMC‬‬

‫‪ AB = AC‬قرار فرضﻴه‬ ‫‪ M( BM = CM‬نقطﺔ وسطﻲ‪)BC‬‬ ‫‪ AM = AM‬مشترک‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪B‬‬

‫با در نظر داشت تساوي سه ضلع‪ ،‬نتﻴجه مﻲ شود که مثلث هاي ‪ ABM‬و ‪AMC‬‬ ‫انطباق پذﻳراند؛ بنا براﻳن همﺔ زواﻳاي آن ها نﻴز ﻳک به ﻳک با هم مساوي مﻰ باشند‪.‬‬

‫‪91‬‬

‫در نتﻴجه‪B = C :‬‬

‫معکوس قضﻴه فوق را چنﻴن بﻴان مﻰ کنﻴم‪:‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬اگر دو زاوﻳﺔ ﻳک مثلث با هم مساوي باشند‪ ،‬اضﻼع مقابل زواﻳاي مذکور باهم‬ ‫مساوي هستند‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫مثال‪ : 1‬در مثلث ‪ ABC‬اگر ‪ AB = AC = 4cm‬و ‪ B = 52‬باشند‪ ،‬زاوﻳﺔ ‪ C‬چند‬ ‫‪A‬‬ ‫درجه است؟‬ ‫حل‪ :‬چون ‪ AB = AC‬است‪ ،‬در مقابل اضﻼع مساوى‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫زواﻳاى مساوى قرار دارند‪ ،‬در نتﻴجه ‪ B = C‬مﻰ شود‪.‬‬ ‫‪65°‬‬ ‫پس‪:‬‬ ‫‪C = 52o‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مثال‪ : 2‬در شکل زﻳر ‪، B = C = 30o‬‬ ‫‪ AB = 2.9cm‬است ضلع ‪ AC‬را معلوم‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫چون‪ B = C :‬است‪ ،‬پس مثلث متساوي الساقﻴن‬ ‫‪C‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫در نتﻴجه‪ ،‬مقابل زواﻳاي مساوي‪ ،‬اضﻼع مساوي‬ ‫قرار دارند‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB = AC = 2.9cm‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪D‬‬

‫‪ -1‬در شکل هاي زﻳر زواﻳاي‬ ‫نامعلوم را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬

‫‪4.3cm‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪4.3cm‬‬

‫‪58°‬‬ ‫‪4cm‬‬

‫‪F‬‬

‫?=‪F‬‬

‫‪ -2‬در شکل هاي زﻳر اضﻼع‬ ‫نامعلوم را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪I‬‬

‫‪M‬‬

‫‪H‬‬

‫‪4cm‬‬

‫?=‪H=?,I=?,G‬‬

‫‪P‬‬

‫? = ‪PM‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪4.3cm‬‬

‫‪70° 70°‬‬

‫‪N‬‬

‫? = ‪AC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3.2cm‬‬

‫‪65° 65°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪92‬‬

‫قﻀﻴﺔ فﻴثاﻏورث‬ ‫‪Pythagorean theorem‬‬ ‫فﻴثاغورث رﻳاضﻲ دان مشهور و‬ ‫فﻴلسوف ﻳونان باستان بود‪ ،‬که در‬ ‫سال ‪ 530‬قبل از مﻴﻼد مﻲ زﻳست‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪b‬‬

‫‪B‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪d‬‬

‫‪A‬‬

‫در اشکال فوق مشاهده مﻲ شود که مثلث هاي ‪ ABC‬در رأس ‪ A‬قاﻳم الزاوﻳه اند‪ .‬مساحت‬ ‫مربعاتﻰ که توسط اضﻼع مثلث ‪ ABC‬تشکﻴل شده اند‪ .‬با شمارش تعداد مربعاتﻰ کوچک اندازة‬ ‫مساحت آن ها را تخمﻴن کنﻴد‪ .‬مانند نمونه ﻳﻰ که در جدول زﻳردرج است جزء ‪ c, b‬و ‪ d‬را تکمﻴل‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫تعداد مربعاتﻰ که باﻻى ضلع‬ ‫‪ AB‬قرار دارند‬ ‫‪9‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫تعداد مربعاتﻰ که باﻻى مجموع مربعاتﻰ که در ضلع تعداد مربعاتﻰ که روى‬ ‫‪ AB‬و ‪ AC‬قرار دارند‬ ‫ضلع ‪ AC‬قرار دارند‬ ‫وتر ‪ BC‬قرار دارند‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪32‬‬

‫با توجه به اعداد مندرج در جدول چه رابطه بﻴن مساحت مربعات تشکﻴل شده توسط اضﻼع‬ ‫مثلث هاي قاﻳم الزاوﻳه مشاهده مﻰ کنﻴد؟‬

‫‪93‬‬

‫قﻀﻴﺔ فﻴثاﻏورث‪:‬‬ ‫در هر مثلث قاﻳم الزاوﻳه مربع وتر مساوي با مجموع مربعات‬ ‫اضﻼع قاﻳم آن مﻰ باشد‪:‬‬ ‫‪a 2 + b2 = c2‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬با در نظر داشت شکل زﻳر مﻲ توان نوشت‪:‬‬ ‫نظر به خاصﻴت توزﻳعﻰ ضرب باﻻى جمع‬ ‫مﻰ توان نوشت‪:‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪P b C‬‬

‫‪c‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪c‬‬

‫‪a‬‬

‫) ‪= a (a + b ) + b (a + b‬‬ ‫‪= a 2 + ab + ba + b 2‬‬

‫‪= a 2 + 2ab + b 2 ..............1‬‬ ‫‪S( ABCD ) = 4S‬‬ ‫) ‪+ S( MNPQ‬‬ ‫از طرف دﻳگر چون‪:‬‬ ‫) ‪( AMQ‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫)‪S( ABCD) = (a + b)(a + b‬‬

‫‪A b M‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 4( ab) + c 2 ...........II‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫از تساوي روابط ‪ I‬و ‪ II‬نتﻴجه مﻲ شود‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a + b + 2ab = 4( ab) + c 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a + b + 2ab = 2ab + c 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a 2 + b2 = c2‬‬

‫‪9‬‬

‫مثال‪ : 1‬طول اضﻼع ﻳک مثلث به ترتﻴب زﻳر داده شده اند‪.‬‬ ‫‪a = 4cm ، b = 3cm ، c = 5cm‬‬ ‫حل‪ :‬در شکل دﻳده مﻲ شود که باﻻى ضلع ) ‪16، (a‬عدد مربع‬ ‫‪13‬‬ ‫که هر ضلع آن ‪ 1cm‬است‪.‬‬ ‫‪9 14 1‬‬ ‫‪5 10 1 5 16‬‬ ‫باﻻى ضلع قاﻳم )‪ 9 ، (b‬عدد مربع که هر ضلع آن مساوى به‬ ‫‪1 6 7 1 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1cm‬است و باﻻى ضلع قاﻳم )‪ 25 ، (c‬عدد مربع که هر ضلع‬ ‫‪a 4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1 2 3 4 5‬‬ ‫آن نﻴزمساوى ‪ 1cm‬است‪ ،‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫در نتﻴجه‪:‬‬

‫‪25cm 2 = 16cm 2 + 9cm 2‬‬ ‫‪c2 = a 2 + b2‬‬

‫‪6 7 8 9 10‬‬ ‫‪11 12 13 14 15‬‬ ‫‪16 17 18 19 20‬‬ ‫‪21 22 23 24 25‬‬

‫مثال‪ : 2‬در مثلث قاﻳم الزاوﻳﺔ ‪ ABC‬اندازة ضلع ‪ AC‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪94‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AB = AC + BC‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(25) 2 = AC + (15) 2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪625 = AC + 225‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AC = 625 225‬‬

‫‪B‬‬

‫‪15‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AC = 400 , AC = 20 cm‬‬

‫‪CC‬‬

‫مثال‪: 3‬طول قطر مستطﻴلﻲ با داشتن اضﻼع ‪ 3.5cm‬و ‪ 4.5cm‬درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬طبق قضﻴﺔ فﻴثاغورث اگر طول قطر را ‪ d‬بنامﻴم؛ دارﻳم‪:‬‬ ‫‪4.5‬‬

‫‪d 2 = (4.5cm) 2 + (3.5cm) 2‬‬ ‫‪d 2 = 20.25cm 2 + 12.25cm 2‬‬

‫‪d‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪d 2 = 32.50cm 2‬‬ ‫‪, d 5.7cm‬‬

‫‪d = 32.50cm 2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬طول و عرض صنف خود را به متر اندازه کنﻴد‪ .‬فاصلﺔ دو کنج مقابل را اوﻻً با استفاده از‬ ‫قضﻴﺔ فﻴثاغورث‪ ،‬بعدا ً ذرﻳعﺔ خط کش محاسبه و نتاﻳج را مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در شکل زﻳر زﻳنﺔ با زمﻴن و دﻳوار مثلث قاﻳم الزاﻳه را تشکﻴل نموده اگر طول زﻳنه ‪ 5m‬و‬ ‫طول ﻳک ضلع قاﻳم آن ‪ 3m‬باشد‪ .‬طول ضلع سوم ﻳعنﻲ ‪ x‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪95‬‬

‫‪B′‬‬ ‫‪c‬‬ ‫شده اند‪b .‬‬ ‫‪ -3‬دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ MNP‬داده ‪C′‬‬ ‫نشان دهﻴد که‪A′‬کدام ﻳکﻲ آن ها مثلث قاﻳم الزاوﻳه‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪B‬‬

‫‪P‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7.2‬‬

‫‪5.4‬‬

‫‪B‬‬

‫‪N‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪5‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪96‬‬

‫ناصﻒ الﺰاوﻳه‬

‫‪X‬‬

‫آﻳا تمام نقاط ناصف الزاوﻳه از دو ضلع‬ ‫همان زاوﻳه متساوى الفاصله اند؟‬

‫‪Y‬‬

‫‪O‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● ناصف الزاوﻳه ‪ XOY‬را رسم کنﻴد و آنرا ‪ OZ‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫● ﻳک نقطﺔ کﻴفﻰ را روى ناصف ‪ OZ‬انتخاب کرده آن را ‪ P‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫● از نقطﺔ ‪ P‬باﻻى دو ضلع زاوﻳه ﻳعنﻰ ‪ OX‬و ‪ OY‬عمودها رسم کنﻴد آن ها را ‪ HP‬و ‪KP‬‬ ‫بنامﻴد‪.‬‬ ‫● طول ‪ HP‬و ‪ KP‬را با خط کش اندازه بگﻴرﻳد‪ .‬چه رابطﺔ بﻴن طول اﻳن عمودها مﻼحظه‬ ‫مﻰ شود؟‬ ‫مشاهدات فعالﻴت فوق را مﻰ توان طور زﻳر بﻴان و ثبوت کرد‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬هر نقطه روى ناصف الزاوﻳه‪ ،‬از دو ضلع زاوﻳه متساوى الفاصله است‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬فرض مﻲ کنﻴم ‪ OZ‬ناصف الزاوﻳه ‪ YOX‬باشد‪ ،‬مﻰ‬ ‫خواهﻴم نشان دهﻴم‪:‬‬ ‫‪PH = PK‬‬

‫‪ OZ‬ناصف الزاوﻳه است‪XOZ = YOZ ،‬‬ ‫ضلع مشترک‪،‬‬

‫‪97‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪H = K = 90o‬‬ ‫‪OPH‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪P‬‬

‫در دو مثلث ‪ HPO‬و ‪ KPO‬دارﻳم‪:‬‬

‫‪OPK‬‬

‫‪X‬‬

‫‪OP = OP‬‬

‫‪K‬‬

‫‪O‬‬

‫با در نظر داشت تساوى وتر و ﻳک زاوﻳﺔ حاده در دو مثلث قاﻳم الزاوﻳه ‪ OPK‬و ‪OPH‬‬ ‫نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم که اﻳن دو مثلث انطباق پذﻳر اند بنابراﻳن‪PK = PH :‬‬ ‫معكوس قﻀﻴﺔ فوق نﻴﺰ صحﻴﺢ است‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬هر نقطه که از دو ضلع ﻳک زاوﻳه متساوى الفاصله باشد‪ ،‬آن نقطه روى ناصف آن‬ ‫زاوﻳه قرار دارد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫نقطﺔ ‪ M‬روى ناصف الزاوﻳه ‪ A‬قرار داشته‪ ،‬قطعه خط‬ ‫‪ MH‬باﻻى قطعه خط ‪ AX‬عمود است‪ .‬طول اضﻼع مثلث‬ ‫‪ AMH‬را از جنس اضﻼع مربوطه به دست آورﻳد‪.‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪H′‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪H‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪98‬‬

‫ناصﻒ الﺰاوﻳه هاى داخﻠﻰ مثﻠﺚ‬

‫‪A‬‬

‫آﻳا مﻰ توان نقطه اى را در داخل‬ ‫مثلث پﻴدا نمود که از هر سه ضلع‬ ‫مثلث فاصله هاى مساوى داشته‬ ‫باشد؟‬

‫‪B‬‬

‫?‬ ‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● ﻳک مثلث کﻴفﻰ ‪ ABC‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● ناصف الزاوﻳه هاى داخلﻰ ‪ B‬و ‪ C‬را طورى رسم کنﻴد تا ﻳکدﻳگر را در نقطﺔ مانند ‪O‬‬ ‫قطع کنند‪.‬‬ ‫● ناصف الزاوﻳﺔ داخلﻰ ‪ A‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● آﻳا ناصف الزاوﻳﺔ ‪ A‬نﻴز از نقطه ‪ O‬مﻰ گذرد؟‬ ‫● ﻳک مثلث کﻴفﻰ دﻳگرى ‪ A B C‬را رسم کرده‪ ،‬فعالﻴت فوق را در آن تکرار کنﻴد‪.‬‬ ‫مشاهدات فعالﻴت فوق را مﻰ توان طور زﻳر بﻴان و ثبوت کرد‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬در هر مثلث ناصف الزاوﻳه هاى داخلﻰ ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطﺔ داخل مثلث قطع‬ ‫مﻰ کنند‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬فرض مﻲ کنﻴم ناصف الزاوﻳه هاى ‪ B‬و ‪ C‬ﻳکدﻳگر را در نقطﺔ ‪O‬‬ ‫قطع مﻰکنند‪ .‬نشان مﻰ دهﻴم که ناصف الزاوﻳﺔ ‪ A‬نﻴز از نقطﺔ ‪ O‬مﻰگذرد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫با در نظر داشت شکل زﻳر دارﻳم‪:‬‬ ‫‪I‬‬

‫چون ‪ O‬روى ناصف الزاوﻳﺔ ‪ B‬است‪.‬‬ ‫پس‪:‬‬ ‫‪OH = OK....................I‬‬ ‫و چون ‪ O‬روى ناصف الزاوﻳﺔ ‪ C‬است‪.‬‬ ‫پس‪OK = OI....................II :‬‬

‫‪99‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫مﻰ دانﻴم وقتﻰ ﻳک طرف دو مساوات باهم مساوى شوند طرف دﻳگر آن ها نﻴز باهم مساوى‬ ‫مﻰ شوند‪ .‬بنابراﻳن از رابطﺔ و نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم‪OH = OI :‬‬ ‫از طرف دﻳگر قرار قضﻴه قبل مﻰ دانﻴم هر نقطﺔ که از دو ضلع ﻳک زاوﻳه متساوى الفاصله‬ ‫باشد آن نقطه روى ناصف آن زاوﻳه قرار دارد‪ .‬بنابراﻳن نقطﺔ ‪ O‬روى ناصف الزاوﻳﺔ ‪ A‬قرار‬ ‫دارد‪.‬‬ ‫در نتﻴجه مﻰ توان گفت هر سه ناصف الزاوﻳه هاى داخلﻰ مثلث همدﻳگر را در ﻳک نقطه‬ ‫قطع مﻰ کنند‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫مثال‪ :‬مثلثﻰ را با طول اضﻼع ‪ 4 ، 3 ، 6‬واحد رسم کنﻴد‪،‬‬ ‫نشان دهﻴد که ناصف الزاوﻳه ها ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع‬ ‫مﻲ کنند‪.‬‬ ‫حل‪ :‬مثلثﻰ ‪ ABC‬را در نظر گرفته از رأس هاي ‪ B ، A‬و‬ ‫‪ C‬ناصف الزاوﻳهها را رسم نموده‪ ،‬دﻳده مﻲ شود که ناصفها‬ ‫ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع کردهاند‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫مثلثﻰ با زاوﻳه هاي ‪ C = 85o , B = 75o , A = 20o‬رسم کنﻴد و نشان دهﻴد که ناصف الزاوﻳه‬ ‫هاى آن ها ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪.‬‬

‫‪100‬‬

‫ناصﻒ عمودي در ﻳک مثﻠﺚ‬

‫آﻳا ناصف عمودي ﻳک ضلع مثلث‬ ‫حتماً از رأس مقابل آن مﻲ گذرد؟‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪B‬‬ ‫● ناصف عمودى قطعه خط ‪ AB‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● ﻳک نقطه را مانند ‪ P‬باﻻى ناصف عمودى قطعه خط ‪ AB‬انتخاب کنﻴد‪X.‬‬

‫‪A‬‬

‫● دو انجام قطعه خط ‪ AB‬را به نقطﺔ ‪ P‬وصل کنﻴد‪.‬‬ ‫● توسط خط کش طول هاى ‪ PA‬و ‪ PB‬را اندازه بگﻴرﻳد چه رابطﺔ باهم دارند؟‬ ‫● قطعه خط دﻳگرى مانند ‪ A B‬را رسم کنﻴد و فعالﻴت فوق را در آن تکرار کنﻴد‪.‬‬ ‫نتﻴجﺔ فعالﻴت فوق را طور زﻳر مﻰ توان بﻴان و اثبات کرد‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬هر نقطﺔ روى ناصف عمودى ﻳک قطعه خط از دو انجام آن متساوى الفاصله اند‪.‬‬ ‫‪X‬‬

‫ﺛبوت‪ :‬فرض مﻰ کنﻴم ‪ XY‬ناصف عمودى قطعه خط ‪AB‬‬ ‫است‪ .‬مﻰ خواهﻴم نشان دهﻴم که هر نقطﺔ اختﻴارى ‪ P‬روى‬ ‫ناصف عمودى از نقاط ‪ A‬و ‪ B‬مساوى الفاصله اند‪.‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪PB = PA :‬‬ ‫در دو مثلث ‪ PAH‬و ‪ PBH‬دارﻳم‪:‬‬ ‫‪ XY‬ناصف عمودى است‪،‬‬

‫‪PAH PBH‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AH = BH‬‬

‫‪ XY‬ناصف عمودى است‪H1 = H 2 = 90o ،‬‬

‫ضلع مشترک‪،‬‬

‫‪101‬‬

‫‪P‬‬

‫‪PH = PH‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪A‬‬

‫چون در دو مثلث ‪ PAH‬و ‪ PBH‬دو ضلع و دو زاوﻳﺔ بﻴن آن ها مساوى اند بنابراﻳن مثلث‬ ‫ها با هم انطباق پذﻳر اند‪ .‬در نتﻴجه اضﻼع آنها نﻴز با هم مساوى اند‪.‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪PB = PA :‬‬ ‫عكﺲ قﻀﻴه فوق نﻴﺰ صحﻴﺢ است‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬هر نقطﺔ که از انجام هاى ﻳک قطعه خط متساوى الفاصله باشد‪ ،‬آن نقطه روى ناصف‬ ‫عمودى آن قطعه خط قرار دارد‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● مثلث کﻴفﻰ ‪ ABC‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● ناصف عمودى اضﻼع ‪ AB‬و ‪ AC‬را رسم و نقطﺔ تقاطع آن ها را ‪ O‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫● ناصف عمودى ضلع ‪ BC‬را رسم کنﻴد‪ .‬آﻳا اﻳن ناصف عمودى نﻴز از نقطﺔ ‪ O‬مﻰ گذرد؟‬

‫مشاهدات فعالﻴت فوق را مﻰ توان طور زﻳر بﻴان و ثبوت کرد‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬در هر مثلث ناصف عمودى اضﻼع آن ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬ناصف هاى عمودى اضﻼع ‪ AB‬و ‪ AC‬ﻳکدﻳگر را در نقطﺔ ‪ O‬قطع‬ ‫کرده اند‪ .‬مﻰ خواهﻴم نشان دهﻴم که نقطه ‪ O‬روى ناصف عمودى ضلع ‪ BC‬قرار دارد‪.‬‬ ‫چون نقطﺔ ‪ O‬روى ناصف عمودى ‪ AB‬واقع است‪.‬‬ ‫پس‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪OA = OB....................I‬‬

‫چون نقطﺔ‪ O :‬روى ناصف عمودى ‪ AC‬است‪.‬‬ ‫پس‪:‬‬

‫‪OA = OC....................II‬‬

‫از مقاﻳسه تساوى هاى‬

‫و‬

‫مﻰ توان نتﻴجه گرفت که‪:‬‬ ‫‪OB = OC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪102‬‬

‫از طرف دﻳگر قرار قضﻴه قبل مﻰ دانﻴم هر نقطﺔ که از انجام هاى ﻳک قطعه خط متساوى‬ ‫الفاصله باشد آن نقطه روى ناصف عمودى آن قطعه خط قرار دارد؛ بنابراﻳن نقطﺔ ‪ O‬روى‬ ‫ناصف عمودى ضلع ‪ BC‬قرار دارد‪.‬‬ ‫در نتﻴجه ناصف هاى عمودى اضﻼع هر مثلث ﻳک دﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫´‪C‬‬ ‫´‪B‬‬ ‫هاى عمودى اضﻼع آن را‬ ‫رسم کنﻴد‪ .‬محل تقاطع ناصف‬ ‫مثال‪ :‬ﻳک مثلث قاﻳم الزاوﻳه را‬

‫درﻳافت کنﻴد‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫حل‪ :‬مثلث قاﻳم الزاوﻳﺔ ‪ ABC‬و ناصف هاي´‪A‬عمودي آن را رسم مﻲ کنﻴم‪ ،‬دﻳده مﻲ شود که‬ ‫ناصف هاي عمودي اضﻼع قاﻳم مثلث در نقطﺔ وسطﻲ باﻻي وتر ﻳکدﻳگر را قطع مﻲ کنند‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫در نتﻴجه مﻲ توان گفت ناصف هاي عمودي در هر مثلث قاﻳم الزاوﻳه ﻳکدﻳگر را در نقطﺔ‬ ‫وسطﻲ باﻻي وتر قطع مﻲ کنند‪.‬‬

‫‪103‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬مثلث ‪ ABC‬را با وسعت زاوﻳه هاى ‪ 80o ,70o ,30o‬رسم کنﻴد‪ .‬محل تقاطع ناصف هاى‬ ‫عمودى اضﻼع آن را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬مثلثﻰ را با اضﻼع ‪ 4 ،6‬و‪ 2.5‬سانتﻰ متر رسم و ناصف هاى عمودى اضﻼع آن را ترسﻴم‬ ‫و محل تقاطع ناصف هاى عمودى را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫ارتفاعات مثﻠﺚ‬

‫‪A‬‬

‫مثلث ‪ ABC‬قاﻳم الزاوﻳه است‪ .‬اگر‬ ‫‪ AH‬ارتفاع باﻻي وتر مثلث باشد‬ ‫ارتفاعات دﻳگر مثلث کدام ها اند؟‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫● مثلث کﻴفﻰ ‪ ABC‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● از رأس ‪ A‬ارتفاع را باﻻي ضلع ‪ BC‬رسم کنﻴد‪ ،‬انجام آن را ‪ H‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫● از رأس هاي مثلث ‪ ABC‬خطوطﻰ موازى به اضﻼع آن رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● مثلث حاصل شده از تقاطع‪ ،‬اﻳن خطوط را ‪ A B C‬نامگذارى کنﻴد؛ طورى که‬ ‫‪ A C || AC , B C || BC‬و ‪ A B || AB‬باشند‪.‬‬ ‫● آﻳاقطعه خط ‪ AH‬بر قطعه خط ‪ B C‬عمود است؛ چرا؟‬ ‫● آﻳا چهار ضلعﻰ ‪ ABCB‬متوازى اﻻضﻼع است؛ چرا؟‬ ‫● آﻳا ‪ AB = AC‬است؛ چرا؟‬ ‫● آﻳا قطعه خط ‪ AH‬ناصف عمودى قطعه خط ‪ B C‬است؛ چرا؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مشاهده مﻰ شود که‪:‬‬ ‫اگر از رأس هاي ﻳک مثلث خطوطﻰ موازى به اضﻼع آن رسم کنﻴم در اﻳن صورت‬ ‫ارتفاعات مثلث اولﻴه ناصف عمودى اضﻼع مثلث تشکﻴل شده است‪.‬‬ ‫مﻰ دانﻴم ناصف هاى عمودى اضﻼع مثلث ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪ .‬پس‬ ‫ارتفاعات مثلث‪ ،‬هم ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬در هر مثلث ارتفاعات در ﻳک نقطه متقاطع اند‪.‬‬

‫‪105‬‬

‫ﺛبوت‪ :‬از رأس هاي مثلث ‪ ABC‬خطوطﻰ را موازى‬

‫‪A‬‬

‫´‪B‬‬

‫´‪C‬‬

‫به اضﻼع آن رسم مﻰ کنﻴم‪ .‬از تقاطع خطوط مثلث‬ ‫‪ A B C‬مانند شکل تشکﻴل مﻰ شود در اﻳن حالت مﻲ‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫توان نوشت‪:‬‬ ‫‪ A C || AC , B C || BC‬و ‪. A B || AB‬‬ ‫با در نظر داشت اﻳن که اضﻼع رو به روى چهارضلعﻰ‬

‫´‪A‬‬

‫‪ ABCB‬موازى هستند نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم که اﻳن چهار ضلعﻰ ﻳک متوازى اﻻضﻼع است‪.‬‬ ‫بنابراﻳن اضﻼع مقابل چهار ضلعﻰ ‪ ABCB‬مساوى اند‪.‬‬ ‫‪AB = BC................ I‬‬

‫ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫به همﻴن ترتﻴب چهار ضلعﻰ ‪ ACBC‬نﻴز متوازى اﻻضﻼع است؛ در نتﻴجه‪:‬‬ ‫‪AC = BC................ I‬‬

‫از روابط‬

‫و ‪ II‬نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم که‪:‬‬

‫‪AB = AC‬‬

‫از طرف دﻳگر چون ‪ AH BC‬و ‪ BC || B C‬است؛ بنا بر اﻳن ‪ AH B C‬است‪.‬‬ ‫نظر به اﻳنکه ‪ AB = AC‬و ‪ AH B C‬است‪.‬‬ ‫پس‪ AH :‬ناصف عمودي ‪ B C‬است‪.‬‬ ‫به همﻴن ترتﻴب مﻰ توان نشان داد که ارتفاعات باﻻى اضﻼع ‪ AB‬و ‪ AC‬نﻴز به ترتﻴب‬ ‫ناصف هاى عمودى اضﻼع ‪ A B‬و ‪ A C‬هستند‪ .‬چون ناصف هاى عمودى در ﻳک نقطه‬ ‫ﻳک دﻳگر را قطع مﻰ کنند؛ پس ارتفاع ها نﻴز ﻳک دﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬مثلث ‪ ABC‬را به طول اضﻼع‪ 4، 5‬و ‪ 6‬سانتﻰ متر رسم کنﻴد‪ .‬از هر راس باﻻى ضلع‬ ‫مقابل ارتفاع رسم نموده و محل تقاطع آن ها را در صفحه مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻳک مثلث قاﻳم الزاوﻳه را رسم نموده محل تقاطع ارتفاعات اﻳن مثلث را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬مثلثﻰ منفرجﺔ الزاوﻳه را رسم نموده محل تقاطع ارتفاعات آن رامشخص کنﻴد‪.‬‬

‫‪106‬‬

‫مﻴانه هاي مثﻠﺚ‬ ‫آﻳا فکر کرده مﻰ توانﻴدﻳک مثلث را‬ ‫روى نوک تﻴز ﻳک پنسل قرار داده‬ ‫که به زمﻴن نه افتد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● مثلث کﻴفﻰ ‪ ABC‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● از رأس ‪ B‬مﻴانﺔ ‪ BN‬و از رأس ‪ C‬مﻴانﺔ ‪ CM‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫● نقطﺔ تقاطع آن دو مﻴانه را ‪ G‬نامگذارى کنﻴد‪.‬‬ ‫● طول هاى ‪ BG‬و ‪ GN‬را با خط کش اندازه گﻴرى کنﻴد‪ .‬اﻳن طول ها چه رابطﺔ دارند؟‬ ‫● طول هاى ‪ CG‬و ‪ GM‬را با خط کش اندازه گﻴرى کنﻴد‪ .‬اﻳن طول ها چه رابطﺔ دارند؟‬ ‫● از رأس ‪ A‬مﻴانﺔ را باﻻى ضلع ‪ BC‬رسم نموده و انجام آن را ‪ K‬بنامﻴد‪.‬‬ ‫● آﻳا ‪ AK‬از نقطﺔ ‪ G‬عبور مﻰ کند؟‬ ‫● طول هاى ‪ AG‬و ‪ GK‬را با خط کش اندازه گﻴرى نموده‪ .‬اﻳن طول ها با هم چه رابطﺔ‬ ‫دارند؟‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬مﻴانه هاى هر مثلث ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع نموده و نقطه تقاطع‪ ،‬هر مﻴانه را به‬ ‫نسبت ‪ 2‬بر ‪ 1‬تقسﻴم مﻰ کند‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬نقطﺔ ‪ G‬محل تقاطع مﻴانه هاى ‪ BN‬و ‪ CM‬است‪ .‬با در نظر داشت‬ ‫اﻳن که قطعه خط ‪ MN‬وسط هاى اضﻼع ‪ AB‬و ‪AC‬‬ ‫را با هم وصل مﻰ کند‪ .‬پس طبق قضﻴه تالس نتﻴجه مﻴشود‬ ‫که‪:‬‬ ‫‪BC || MN‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BC ...................I‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪MN‬‬

‫نقطﺔ وسطﻰ ‪ BG‬را ‪ P‬مﻰ نامﻴم و نقطﺔ وسطﻲ ‪ CG‬را ‪ Q‬مﻰ نامﻴم‪.‬‬

‫‪107‬‬

‫‪ PQ‬قطعه خطﻰ است که وسط اضﻼع ‪ BG‬و ‪ CG‬را در مثلث ‪ GBC‬با هم وصل مﻰ کند‪.‬‬ ‫بنا بر قضﻴه تالس در مثلث ‪ GBC‬مﻰ توان نتﻴجه گرفت که‪:‬‬ ‫‪BC || PQ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BC .......... .. II‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪PQ‬‬

‫از روابط و نتﻴجه مﻰ شود که چهارضلعﻰ ‪ MNQP‬که دو ضلع آن موازى و مساوى‬ ‫اند ﻳک متوازى اﻻضﻼع است‪.‬‬ ‫در متوازى اﻻضﻼع ‪ MNQP‬قطرها ﻳکدﻳگر را تنصﻴف مﻰ کنند بنابراﻳن‪:‬‬ ‫‪ QG = GM‬و ‪PG = GN‬‬ ‫از طرف دﻳگر مﻰ دانﻴم‪:‬‬ ‫‪ QG = QC‬و ‪PG = PB‬‬ ‫بنابراﻳن‪:‬‬ ‫‪ QG = GM = QC‬و ‪PG = GN = PB‬‬ ‫‪BG CG 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪GN GM 1‬‬

‫در نتﻴجه‪:‬‬

‫چون مﻴانه هاي ‪ BN‬و ‪ MC‬در مثلث ‪ ABC‬دلخواه انتخاب شده بودند‪ ،‬پس اﻳن رابطه‬ ‫براي هر دو مﻴانه دلخواه دﻳگر نﻴز درست است‪.‬‬ ‫از اﻳنجا نتﻴجه مﻲ شود که سه مﻴانﺔ مثلث ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻲ کنند‪.‬‬ ‫و نقطﺔ تقاطع‪ ،‬هر مﻴانه را به نسبت ‪ 2‬بر ‪ 1‬تقسﻴم مﻲ کند‪.‬‬ ‫نقطﺔ تقاطع مﻴانه ها به نام مرکز ثقل مثلث ﻳاد مﻰ گردد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬ﻳک مثلث قاﻳم الزاوﻳه رسم نموده محل تقاطع مﻴانه هاي آن را مشخص کنﻴد؟‬ ‫‪ -2‬نشان دهﻴد که در هر مثلث متساوي اﻻضﻼع محل تقاطع مﻴانه ها‪ ،‬ناصف ها و ارتفاعات‬ ‫در ﻳک نقطه مﻰ باشند؟‬ ‫‪ -3‬در مثلث ‪ ABC‬اگر ‪ G‬مرکز تقاطع مﻴانه هاي ‪ BN , AM‬و ‪ CK‬باشد نشان دهﻴد؟‬ ‫‪GM 1‬‬ ‫=‬ ‫‪AM 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪AG 2‬‬ ‫=‬ ‫‪AM 3‬‬

‫‪108‬‬

‫نكات مﻬم فصل ﭘنجم‬ ‫●‬

‫قﻀاﻳاى مثﻠﺚ متساوى الساقﻴن‬

‫ اگر دو ضلع ﻳک مثلث با هم مساوى باشند‪ .‬پس زواﻳاى مقابل آن دو ضلع نﻴز با هم‬‫مساوى اند‪.‬‬ ‫ اگر دو زاوﻳه ﻳک مثلث با هم مساوى باشند‪ .‬اضﻼع مقابل زواﻳاى مذکور نﻴز با هم مساوى‬‫هستند‪.‬‬ ‫●‬

‫قﻀﻴه فﻴثاﻏورث‬

‫ در هر مثلث قاﻳم الزاوﻳه مساحت مربعﻰ که توسط اندازه وتر ساخته مﻰ شود برابر مجموع‬‫مساحت هاى دو مربعﻰ است که توسط اندازه هاى دو ضلع قاﻳم آن مثلث ساخته مﻰ شود‪.‬‬ ‫ در هر مثلث قاﻳم الزاوﻳه مربع وتر‪ ،‬مساوى به مجموع مربعات اضﻼع قاﻳم آن مﻰباشد‪:‬‬‫‪a 2 + b2 = c2‬‬ ‫●‬

‫قﻀاﻳاى خﻄوطﻰ که ﻳكدﻳﮕر را در ﻳک نقﻄه داخل مثﻠﺚ قﻄع مﻰ کنند‬

‫ هر نقطه روى ناصف الزاوﻳه از دو ضلع زاوﻳه متساوى الفاصله است‪.‬‬‫ هر نقطﺔ که از دو ضلع ﻳک زاوﻳه متساوى الفاصله باشد آن نقطه روى ناصف آن زاوﻳه‬‫قرار دارد‪.‬‬ ‫ در هر مثلث ناصف الزاوﻳه هاى داخلﻰ ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪.‬‬‫ هر نقطه روى ناصف عمودى ﻳک قطعه خط از دو انجام آن متساوى الفاصله اند‪.‬‬‫ هر نقطه که از انجام هاى ﻳک قطعه خط متساوى الفاصله باشد آن نقطه روى ناصف‬‫عمودى آن قطعه خط قرار دارد‪.‬‬ ‫ در هر مثلث ناصف عمودى اضﻼع آن ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند‪.‬‬‫ در هر مثلث ارتفاعات در ﻳک نقطه متقاطع اند‪.‬‬‫ مﻴانه هاى هر مثلث ﻳکدﻳگر را در ﻳک نقطه قطع مﻰ کنند و نقطﺔ تقاطع مﻴانه ها‪ ،‬هر مﻴانه را‬‫به نسبت ‪ 2‬بر ‪ 1‬تقسﻴم مﻰ کنند‪.‬‬

‫‪109‬‬

‫تمرﻳنات عمومﻲ‬ ‫براى سؤال هاى زﻳر چهار جواب داده شده است‪ .‬جواب صحﻴح را درﻳافت و دور آن را‬ ‫حلقه نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ -1‬در مثلث منفرج الزاوﻳه محل تقاطع هر سه ناصف عمودى در کجاست‪:‬‬ ‫‪ )b‬در خارج مثلث‬ ‫‪ )a‬در داخل مثلث‬ ‫‪ )d‬هﻴچ کدام‬ ‫‪ )c‬باﻻي ضلع بزرگ‬ ‫‪ -2‬مثلثﻰ با داشتن اضﻼع ‪ 4 ،8‬و ‪ 5‬واحد طول مفروض است‪ ،‬سه ارتفاع اﻳن مثلث ﻳکدﻳگر‬ ‫را‪:‬‬ ‫‪ )b‬در خارج مثلث قطع مﻰ کنند‬ ‫‪ )a‬در داخل مثلث قطع مﻰ کنند‬ ‫‪ )d‬در رأس مقابل بزرگترﻳن ضلع قطع مﻰ کنند‪.‬‬ ‫‪ )c‬روى ضلع به طول ‪ 5‬متقاطع اند‪.‬‬ ‫‪ -3‬هرگاه در مثلث قاﻳم الزاوﻳه اندازة اضﻼع قاﻳم ‪ 3‬و ‪ 2‬واحد باشند‪ ،‬طول وتر عبارت است‬ ‫از‪:‬‬ ‫‪2 )d‬‬ ‫‪3 )c‬‬ ‫‪3 )b‬‬ ‫‪13 )a‬‬ ‫‪ -4‬در مثلث متساوى الساقﻴن ﻳک زاوﻳﺔ قاعدة آن مساوى به ‪ 65°‬است‪.‬‬ ‫زاوﻳﺔ قاعدة دﻳگر آن عبارت است از‪:‬‬ ‫‪45°)d‬‬ ‫‪70°)c‬‬ ‫‪65° )b‬‬ ‫‪50°)a‬‬ ‫در عبارات زﻳر جاهاى خالﻰ را با کلمات مناسب پر نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ -1‬در مثلث منفرج الزاوﻳه ارتفاعات ﻳکدﻳگر را ‪ ...............‬قطع مﻰ کنند‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر طول اضﻼع ﻳک مثلث به ترتﻴب ‪ 4cm ،3cm‬و ‪ 5cm‬باشد‪ .‬مثلث مذکور‬ ‫‪ ....................‬است‪.‬‬ ‫مساوى باشند ‪ ...................‬آن با هم مساوى‬ ‫‪-3‬در ﻳک مثلث هر گاه دو ضلع آن با هم ‪A‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫سؤاﻻت زﻳر را حل نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪9.4‬‬ ‫‪ -1‬در اشکال زﻳر مثلث‪6‬هاى قاﻳم الزاوﻳه داده اند‪ ،‬وتر هاى مثلثها را به تقرﻳب کمتر از ‪0.1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪P‬‬

‫‪18‬‬

‫‪A‬‬

‫‪14‬‬

‫‪6‬‬

‫‪N‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪9.4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8C C 4‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9.4‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ -2‬مثلث‪ ABC‬را طورى رسم کنﻴدکه ‪ ABC = 80° ، BC = 6‬و‪ ACB = 80°‬باشد‪،‬‬ ‫‪14‬‬ ‫بعدا ً ناصف هاى مثلث هاى مذکور را رسم ‪N‬کنﻴد‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪J‬‬

‫‪P‬‬

‫‪18‬‬

‫‪I‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪A‬‬

‫‪18‬‬

‫‪H‬‬

‫‪N‬‬

‫‪N‬‬

‫‪I‬‬

‫‪I‬‬

‫‪110‬‬

‫فصلششم‬ ‫افاده هاى الجبرى‬

‫ﻣﻔﻬﻮم ﻣﺘﺤﻮل‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻳک نفر ‪ 10‬حصه درآمد خود را‬ ‫به فقرا مﻰ دهد‪ ،‬اﻳن خبر را چگونه‬ ‫مﻲ توانﻴم به زبان رﻳاضﻲ اعﻼن کنﻴم؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪5000 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪13000 .‬‬

‫‪10000 .‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جدول زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3×3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻃﻮل ﺿﻠﻊ ﻣﺮﺑﻊ‬

‫‪4×2‬‬

‫ﻣﺤﻴﻂ ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺮﺑﻊ‬

‫● ‪ 4× a‬ﻳعنﻲ چه؟ براي ساده نوﻳسﻰ ‪ 4× a‬را به شکل ‪ 4a‬نشان مﻲ دهﻴم‪.‬‬ ‫● آﻳا مﻲ توان مساحت هر مربع را به شکل ‪ a 2‬نشان داد؟‬ ‫● آﻳا مﻲ توان براى نشان دادن مساحت مربع از حرف دﻳگر استفاده کرد؟‬ ‫● اگر محﻴط مربع را به ‪ P‬و مساحت آن را به ‪ S‬نشان دهﻴم‪ ،‬قاعدة براي پﻴدا کردن محﻴط و‬ ‫مساحت مربع را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫● محﻴط و مساحت مربعﻲ با ضلع ‪ 4‬واحد با قرار دادن ‪ 4‬به جاي ‪ a‬به دست بﻴاورﻳد‪.‬‬ ‫● آﻳا مﻲ توان به جاي ‪ a‬هر عدد مثبت دﻳگر را قرار داد؟ اﻳن عدد مثبت چه چﻴزي را نشان‬ ‫مﻲ دهد؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان بﻴان کرد‪:‬‬ ‫براي بﻴان قاعده و ﻳا قانون عمومﻰ از حروف مﻲ توان استفاده کرد‪ .‬با در نظر داشت اﻳن‬ ‫حقﻴقت که قﻴمت هاي مختلف را مﻰ توان به جاي حروف قرارداده در اﻳن حالت حروف را‬ ‫متحول مﻲ نامﻴم‪.‬‬

‫‪113‬‬

‫مثال ‪ : 1‬ﻳک عدد ‪ a‬به عﻼوة عدد ‪ 5‬را در ﻳک افاده نوشته و مقادﻳر آن را براي‬ ‫‪ a = 2 , 3 , 5‬محاسبه کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬افادة فوق عبارت است از ‪ a + 5‬که براي قﻴمت هاى مختلف ‪ a‬جدول زﻳر را ترتﻴب‬ ‫مﻲ دهﻴم‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 + 5 = 10‬‬

‫‪–3+5=2‬‬

‫‪2+5=7‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a+5‬‬

‫مثال ‪ : 2‬جملﺔ" حاصل ضرب ﻳک عدد ضرب در خودش مساوي است با همان عدد به توان‬ ‫‪ ."2‬اﻳن عبارت را به شکل ﻳک افاده نوشته وبا دو مثال عددي نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬افادة حرفﻲ عبارت است از‪a × a = a 2 :‬‬ ‫اگر ‪ a = 2‬باشد پس‪ 2 × 2 = 22 = 4 :‬است‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اگر = ‪ a‬باشد‪ .‬پس‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫= ‪ × = ( ) 2‬ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫جمﻼت زﻳر را با استعمال حروف مناسب به صورت افاده هاى حرفﻲ نشان دهﻴد و براي‬ ‫هرﻳک ‪ 3‬مثال عددي بﻴاورﻳد‪.‬‬ ‫● هر عدد به توان ﻳک مساوي به خود عدد است‪.‬‬ ‫● ﻳک به توان هر عدد مساوي به ﻳک است‪.‬‬ ‫● به ا ستثناى صفر هر عدد به توان صفر مساوي به ﻳک است‪.‬‬ ‫● صفر به توان هر عدد مساوي به صفر است‪.‬‬

‫‪114‬‬

‫‪A‬‬

‫افاده هاي الجبري‬ ‫محﻴط مثلث شکل ورودى را درﻳافت‬ ‫کنﻴد‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪a‬‬

‫‪B‬‬

‫‪a‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● در مثلث متساوي الساقﻴن مقابل‪ ،‬اندازة ساق را به ‪ a‬و قاعده را به ‪ b‬نشان‬ ‫مﻲ دهﻴم‪ .‬چرا هر دو ساق را به ‪ a‬نشان مﻲ دهﻴم؟‬ ‫● محﻴط مثلث را به شکل ﻳک فورمول بنوﻳسﻴد‪ .‬آن را براي ‪ a = 4‬و‬ ‫‪ b = 5‬محاسبه کنﻴد‪.‬‬ ‫● محﻴط و مساحت مستطﻴل مقابل را به صورت ﻳک فورمول‬ ‫بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫● مساحت و محﻴط مستطﻴل را براي = ‪ w‬و = ‪ l‬به دست‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫آورﻳد‪.‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪l‬‬

‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان بﻴان کرد‪:‬‬ ‫و ‪ 4a‬را که از ترکﻴب عملﻴه هاﻳﻰ‬ ‫افاده هاﻳﻲ‬ ‫چون‪ :‬جمع‪ ،‬تفرﻳق‪ ،‬ضرب تقسﻴم‪ ،‬توان و جذر با اعداد از ﻳک ﻳا چند متحول تشکﻴل‬ ‫شده باشند‪ ،‬افاده هاي الجبري(جمﻼت الجبري) مﻲ نامند‪ .‬قﻴمت عددى ﻳک افادة الجبري را‬ ‫مﻲ توان براي قﻴمت هاي مختلف متحول درﻳافت کرد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال ‪ :‬قﻴمت افادةالجبري ‪ 2b‬را به قﻴمت هاي داده شدة ‪b= , 4 , 3 , 2 , 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪4a b‬‬ ‫مثل ‪, 4a , 3a b , 2a + b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪115‬‬

‫و ‪a2‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‪2‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 × 2 = 4 2 × 4 = 8 2 × (–2) = –4 2 × (–3)= –6‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪2b‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬قﻴمت عددي هر افادة الجبري را به قﻴمت هاي داده شده حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a‬‬ ‫–‬

‫‪b‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x– 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪b(a+7‬‬

‫‪116‬‬

‫‪ : x‬ﻛﺘﺎﺑﭽﻪ‬ ‫‪ : y‬ﻗﻠﻢ‬

‫ساده کردن افاده هاي الجبري‬ ‫عبداﷲ گفت‪ :‬من دو کتابﭽه داشتم‪،‬‬ ‫سه کتابﭽﺔ دﻳگر پدرم براﻳم خرﻳد‬ ‫حال ‪ 5‬کتابﭽه دارم‪.‬‬ ‫کبﻴر گفت‪ :‬من هم سه کتابﭽه داشتم‪،‬‬ ‫‪ 2‬قلم پدرم براﻳم خرﻳد‪ .‬چه مﻲ توانم‬ ‫بگوﻳم؟‬

‫‪2x + 3x = 5x‬‬ ‫? = ‪3x + 2y‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫عبارت هاي زﻳر را ساده و تکمﻴل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪5 × 3 + 2 × 3 = (5 + 2) × 3 = 7 × 3‬‬ ‫‪8 × 0.5 2 × 0.5 = (..... .....) × ... = .....× ..... = .....‬‬ ‫‪= .....‬‬ ‫‪= .....‬‬

‫)‪= (..... + .....‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫)‪= (..... + ..... + .....‬‬ ‫‪2a + 3a = (..... + .....)a = ..... a‬‬ ‫‪3 y + 4 y = (..... + .....) y = ..... y‬‬ ‫‪2ax + 3ax = (..... + .....) × ax = .....ax‬‬

‫● در ساده کردن عبارت هاي فوق از کدام خاصﻴت استفاده کردﻳم؟‬ ‫● آﻳا مﻲ توانﻴد‬

‫‪+2‬‬

‫‪ 3‬ﻳا ‪ 3x + 2 y‬را جمع کنﻴد؟‬

‫● آﻳا مﻲ توان افاده ‪ 2b + 3b‬را جمع نماﻳﻴم؟‬

‫‪117‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪2‬‬

‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان چنﻴن نتﻴجه گرفت‪:‬‬

‫دﻳده مﻰ شود که ‪ 3y + 4 y , 2a + 3a‬و ‪ 2ax + 3ax‬هرکدام افاده هاى الجبرى اند‬ ‫که حد هاى آن داراى عﻴن حروف و توان هاى مساوى مﻰ باشد‬ ‫پس گفته مﻰ توانﻴم حد هاى که داراى عﻴن حروف بوده و توان هاى شان مساوى‬ ‫باشند حدود مشابه گفته مﻰ شوند‪.‬‬ ‫مثال ‪ :1‬افادة زﻳر را ساده کنﻴد‪:‬‬

‫‪5n + 8s 2n 7s‬‬

‫حل‪ :‬چون تنها تفاوت ‪ 5n‬و ‪ 2n‬در ضرﻳب ها است که در متحول ضرب مﻲ شود پس‬ ‫حدود مشابه هستند به همﻴن ترتﻴب ‪ 7 s‬و ‪ 8s‬نﻴز با هم مشابه اند که ذﻳ ً‬ ‫ﻼ نشان داده شده‬ ‫اند‪.‬‬ ‫‪5n + 8s 2n 7s = (5 2)n + (8 7)s = 3n + s‬‬

‫چون ‪ s‬و ‪ 3n‬با هم مشابه نﻴستند‪ .‬پس جمله را بﻴشتر از اﻳن نمﻲ توان ساده کرد‪.‬‬ ‫مثال ‪ : 2‬افاده هاي ‪ 5xy 2 + 4 yz 8‬و ‪ xy 2 + 3yz + 8‬را جمع کنﻴد‪.‬‬ ‫‪5 xy 2 + 4 yz 8‬‬ ‫‪xy 2 + 3 yz + 8‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪+‬‬

‫‪6 xy 2 + 7 yz‬‬

‫‪ -1‬افاده هاي الجبري زﻳر را ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫‪b) 8c + 3k + 5k 8k‬‬ ‫‪d ) 4b 5 3b + 2‬‬

‫‪a ) 5a + 7 d 4a + 3d‬‬ ‫‪c) 3d + 2c + 4d + 3c 5d‬‬

‫‪ -2‬کدام ﻳک از افاده هاي زﻳر با هم مشابه اند‪:‬‬ ‫‪b) 3 xy 2 , 8 x 3 y‬‬

‫‪c) 3x 2 , 9 x 2‬‬ ‫‪4 x 2 y , 2 x3 y 3‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪118‬‬

‫ضرب ﻳک حده ها‬

‫‪2a‬‬

‫مربعﻰ با ضلع ‪ a‬دارﻳم اگر اضﻼع‬ ‫مربعات دو برابر باشند‪ ،‬نسبت مساحت‬ ‫مربع اول بر دوم چقدر است؟‬

‫‪a‬‬ ‫‪S1‬‬

‫? = ‪S2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تساوي هاي زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫‪= 6 x5 y 3‬‬

‫‪2 +1‬‬

‫‪y‬‬

‫‪3+ 2‬‬

‫‪x y = 6x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(3 x y ) (2 x y ) = (3 × 2) x y‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(4a 2b) (6ab 2 ) = (4 × 6)a 2b ab 2 = 24a 3b3‬‬

‫● در اﻳن حاصل ضرب از کدام خاصﻴت عملﻴﺔ ضرب و قاعدة ضرب طاقت ها استفاده شده است؟‬ ‫● ضرﻳب عددي عوامل ضربﻰ طرف چپ مساوات و ضرﻳب عددي افادةالجبرى طرف‬ ‫راست تساوي باهم چه رابطه ﻳﻲ دارند؟‬ ‫● توان هاى هرﻳک از متحولﻴن در دو افادةالجبرى با هم چﻰ رابطه دارند؟‬ ‫● محاسبات فوق را براي افاده هاي زﻳر انجام دهﻴد‪:‬‬

‫‪3 x 2 y 3 z 2 × 4 x 2 y 3 z = ...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 x 3 a 2 × ya 3 = ...‬‬ ‫‪5‬‬

‫در فعالﻴت باﻻ افاده هاى چون ‪ 3x 3 y 2 , 2x 2 y , 6ab 2 , 4a 2 b‬را که از ضرب عدد در متحول‬ ‫با توان هاى طبﻴعﻰ ﻳا صفر تشکﻴل شده اند ﻳک حده و عددى را که در متحول ها ضرب مﻰ‬ ‫شوند به نام ضرﻳب ﻳک حده ﻳاد مﻰ کنند‪.‬‬ ‫در ضرب ﻳک حده ها باﻳد ضراﻳب و عﻼمه آن ها را در همدﻳگر ضرب کنﻴم و توان هاى‬ ‫متحولﻴن مشابه را با هم جمع کنﻴم‪.‬‬

‫‪119‬‬

‫مثال ‪ :1‬افاده هاى الجبرى ‪4ab , 6b 3‬‬

‫را با هم ضرب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪( 4ab)(6b3 ) = ( 4 6)abb3 = 24ab 4‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫مثال ‪ :2‬کدام ﻳک از افاده هاى الجبرى زﻳر ﻳک حده اند؟‬

‫‪4 2‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪b) 4 y 2 x + 5‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪4 y2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪d ) xy‬‬

‫)‪c‬‬

‫حل‪ c،a :‬و ‪ d‬هر کدام ﻳک حده اند‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫حاصل ضرب ﻳک حده هاي زﻳر را حساب کنﻴد‪:‬‬ ‫) ‪b) ( 2 xy 2 z ) × ( x 2 z‬‬

‫)‪a) ( 5 x 2 ay ) × (3ax‬‬

‫) ‪d ) ( 3 x 2 ) × ( 5 xy 2‬‬

‫) ‪c) 2 xy 2 × ( 3a 2‬‬

‫‪120‬‬

‫‪2x‬‬

‫تقسﻴم افاده هاى ﻳک حده‬ ‫مساحت مستطﻴل به طول ‪ 2x‬و‬ ‫عرض ‪ ، x‬چند برابر مساحت مربع‬ ‫به طول‪ x‬است؟‬

‫‪x‬‬

‫?=‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫جاهاي خالﻲ را پر کنﻴد‪.‬‬

‫‪3y 5 3y y‬‬ ‫——‬ ‫———— =‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪= 3y‬‬

‫–‬

‫‪3y 5‬‬ ‫——‬ ‫‪= 3y‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪3y 5‬‬ ‫——‬ ‫‪y2‬‬

‫● دو روش تقسﻴم ﻳک حده ها را با هم مقاﻳسه کنﻴد‪ .‬در هر روش از چه خواص استفاده‬ ‫کرده اﻳم‪.‬‬ ‫● ضرﻳب توان هاي متحول در دو طرف راست و چپ با هم چه رابطﺔ دارند؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان بﻴان کرد‪:‬‬ ‫در تقسﻴم ﻳک حده ها از قاعدة ساده کردن کسرها استفاده مﻲ شود‪ .‬ابتدا ضرﻳب عددي ﻳک‬ ‫حده ها را باﻻى ﻳکدﻳگر تقسﻴم نموده و حدود باقﻴمانده را با استفاده از قوانﻴن طاقت ساده‬ ‫مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫مثال ‪ :1‬ﻳک حدة ‪ 20 x 4 y 3 z‬را بر ﻳک حدة ‪ 5x3 y 2 z‬تقسﻴم مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬

‫‪121‬‬

‫‪20 x 4 y 3 z‬‬ ‫‪20 x 4 y 3 z‬‬ ‫=‬ ‫×‪× 3× 2‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫‪5 x3 y 2 z‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 4 xy‬‬

‫مثال ‪ :2‬افاده الجبري ‪ 12 x3 + 8 x 2‬را ساده کنﻴد‪.‬‬ ‫‪2x‬‬

‫‪12 x3 + 8 x 2 12 x3 8 x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 6x + 4x‬‬

‫ﺣﻞ‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫‪a 4b 2‬‬ ‫‪b) 6 2‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪9c 4 d 5‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪45c 3 d 3‬‬

‫‪a 4 b8‬‬ ‫‪a) 4 7‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪10m 4‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪30m‬‬

‫‪122‬‬

‫‪5‬‬ ‫ضرب افاده هاي الجبري‬

‫‪S1 =5X4‬‬

‫مﻰ دانﻴم مساحت ﻳک مستطﻴل را که‬ ‫طول آن ‪ 5‬و عرض آن ‪ 4‬سانتﻰ متر‬ ‫باشد چگونه پﻴدا کنﻴم‪ .‬آﻳا مساحت‬ ‫مستطﻴلﻰ که طول آن ‪(3x 2)cm‬‬ ‫و عرض آن ‪ 5xcm‬است چگونه‬ ‫مﻰ توان پﻴدا کرد؟‬

‫‪4‬‬

‫‪3X-2‬‬

‫?= ‪S2‬‬

‫‪5X‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪B‬‬

‫شکل مقابل را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫● مساحت مستطﻴل ‪ S1‬را با ﻳک افادة الجبرى بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫● مساحت مستطﻴل ‪ S2‬را با ﻳک افادة الجبرى بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫● مساحت مستطﻴل ‪ ABCD‬را با ﻳک افادة الجبرى‬ ‫بنوﻳسﻴد و آن را به ‪ S‬نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫● چه رابطه ﻳﻰ بﻴن ‪ S1 , S‬و ‪ S 2‬وجود دارد؟‬

‫‪4x+1‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2x‬‬ ‫‪D‬‬

‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان بﻴان کرد‪:‬‬ ‫براي ضرب کردن ﻳک افاده ﻳک حده در ﻳک افادة الجبري از خاصﻴت توزﻳعﻰ ضرب باﻻى‬ ‫جمع مﻲ توان استفاده کرد‪.‬‬ ‫مثال ‪ : 1‬حاصل ضرب ﻳک حدة ‪ 5ax 2‬را در افادة الجبرى ‪ x 2 a 2‬به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪a ) = ( 5ax ) × x + ( 5ax ) × ( a‬‬

‫‪5ax ( x‬‬

‫‪= 5ax 4 + 5a 3 x 2‬‬ ‫مثال ‪2a 2 + 6a ) = ? : 2‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3a 2 (a 3‬‬

‫) ‪3a 2 (a 3 2a 2 + 6a ) = 3a 2 (a 3 ) + [3a 2 ( 2a 2 )] + 3a 2 (6a‬‬ ‫‪= 3a 5 6a 4 + 18a 3‬‬

‫‪123‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪3x‬‬

‫‪2b‬‬

‫شکل مقابل را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫● مساحت مستطﻴل ‪ S1‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫● مساحت مستطﻴل ‪ S2‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫● مساحت مستطﻴل ‪ S3‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫● مساحت مستطﻴل ‪ S4‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫● اگر طول مستطﻴل ‪ 3x + 2b‬و عرض آن ‪ 2 x + b‬باشد‪ .‬مساحت مستطﻴل بزرگ را‬ ‫درﻳافت کنﻴد و آن را به ‪ S‬نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫● رابطه بﻴن ‪ S3 ، S2 ، S1 ، S‬و ‪ S4‬را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان بﻴان کرد‪:‬‬ ‫براي ضرب کردن دو افادةالجبري با همدﻳگر با استفاده از خاصﻴت توزﻳعﻰ ضرب باﻻى‬ ‫جمع‪ ،‬ﻳک به ﻳک تمام حدود افادة اول را در حدود افادة دوم ضرب مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫مثال ‪ : 1‬حاصل ضرب دو حدة ‪ x + 2‬در دو حدة ‪ x 1‬را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪( x + 2)( x 1) = x( x 1) + 2( x 1‬‬ ‫‪x + 2x 2‬‬

‫‪= x2‬‬

‫‪=x +x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال ‪ ( x + 2)( x 2) : 2‬را ساده کنﻴد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬

‫)‪( x + 2)( x 2) = x( x 2) + 2( x 2‬‬ ‫‪= x2 2 x + 2 x 4‬‬ ‫‪= x2 4‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫حاصل ضرب افاده هاى زﻳر را به دست آورﻳد‪:‬‬ ‫) ‪2) 5ab(a 2 ab + b 2‬‬ ‫) ‪4) (a + b)( x + y‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪6n‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3n(2n‬‬

‫)‪1‬‬

‫)‪9k 3 (2k 2 4k 7‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪124‬‬

‫مﻄابقت ها‬

‫‪Identities‬‬

‫آﻳا مﻲ توانﻴد ﻳک راه ساده و سرﻳع‬ ‫را براي ضرب ‪1000 2 × 9998‬‬ ‫درﻳافت کنﻴد؟‬

‫?=)‪(10002)(9998‬‬ ‫)‪(10000+2)(10000-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=(10000)2-2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫در جدول زﻳر قﻴمت هاى دو افادة الجبري ‪ A‬و ‪ B‬را براي قﻴمت هاي مختلف ‪ x‬درﻳافت‬ ‫کنﻴد‪:‬‬ ‫‪x A = 3x (2x – 4) B = 6x 2 – 12x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫چه رابطﺔ بﻴن ‪ A‬و ‪ B‬وجود دارد؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مﻲ توان رابطه بﻴن ‪ A‬و ‪ B‬را به شکل زﻳر خﻼصه کرد‪:‬‬ ‫تساوي دو افاده الجبري را که براي تمام قﻴمت هاي متحول با هم مساوى باشند ﻳک مطابقت‬ ‫مﻲ نامﻴم‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● عملﻴه ضرب اعداد مقابل را انجام دهﻴد‪.‬‬

‫? = ‪a ) 202 198‬‬ ‫? = ‪b) 104 96‬‬ ‫? = ‪c) 32 28‬‬

‫‪125‬‬

‫‪a : (a + b)(a b) = ... ... + ... ...‬‬

‫● جاهاي خالﻲ را پر کنﻴد‪.‬‬

‫‪b : (a b)(a + b) = ... + ... ... ...‬‬

‫● در افاده هاى فوق قﻴمت ‪ a = 200‬و قﻴمت ‪ b = 2‬قرار دهﻴد‪ .‬حاصل ضرب جزء ‪ a‬و‬ ‫جز ‪ b‬را با هم مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫● اﻳن بار ‪ a = 100‬و ‪ b = 4‬در دو طرف مساوات قرار داده حاصل ضرب جزهاى ‪ a‬و ‪b‬‬ ‫را مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجه مﻰ گﻴرﻳم‪:‬‬ ‫حاصل ضرب مجموع دو عدد در تفاضل همان دو عدد مساوي است با تفاضل مربعات آن‬ ‫دو عدد ‪ (a + b)(a b) = a 2 b 2‬که به نام تفاضل مربعات هم ﻳاد مﻰ شود‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬قوس هاى زﻳر را با هم ضرب و به شکل تفاضل مربعات افاده کنﻴد‪:‬‬ ‫)‪b) (5 x 2 y 2 + 7)(5 x 2 y 2 7‬‬

‫)‪a ) ( x 5)( x + 5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪d ) ( + 1)( 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫) ‪c) (2a 2 + 5a ) (2a 2 5a‬‬

‫‪( x 5)( x + 5) = x × x + 5 x 5 x 5 × 5‬‬

‫حل ‪:(a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪=x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(5 x 2 y 5 + 7)(5 x 2 y 5 7) = (5 x 2 y 5 ) 7(5 x 2 y 5 ) + 7(5 x 2 y 5 ) (7) 2‬‬

‫‪:(b‬‬

‫‪49‬‬

‫‪10‬‬

‫‪= 25 x y‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪(2a 2 + 5a )(2a 2 5a ) = (2a 2 ) 2 (5a ) 2‬‬

‫‪:(c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25a‬‬

‫‪:(d‬‬

‫‪4‬‬

‫‪= 4a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪( + 1)( 1) = ( ) (1) 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫قوس هاى زﻳر را با هم ضرب و به شکل تفاضل مربعات افاده کنﻴد‪.‬‬ ‫)‪c) ( x + 2)( x 2‬‬ ‫)‪y)(6 x + y‬‬

‫‪f ) (6 x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫()‪( + 1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(49 + 1)(49 1‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪(P 7)(P + 7‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪e‬‬

‫)‪(2 x + 5)(2 x 5‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪126‬‬

‫نكات مﻬم فصل ششم‬ ‫● مفﻬوم متحول‬ ‫براى بﻴان قاعده عمومﻰ ﻳا قانون از حروف مﻲ توان استفاده کرد‪ .‬با در نظر داشت اﻳن که‬ ‫قﻴمت هاي مختلف را مﻰ توان به جاى حروف قرار داد‪ .‬در اﻳن حالت حروف را متحول‬ ‫مﻲ نامﻴم‪.‬‬ ‫● تعرﻳﻒ افادة ﻳک حده‬ ‫اعداد و حروف الجبرى که در آن عملﻴﺔ ضرب‪ ،‬تقسﻴم‪ ،‬طاقت و جذر صورت گرفته باشد‬ ‫افادة ﻳک حدة الجبرى نامﻴده مﻰ شود‪.‬‬ ‫‪3x 2 y 2‬‬ ‫‪3abc 3y 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻼ‪ 2 x y , 2 , 2 , 6ab 2 , 4a 2 b :‬و‬ ‫مث ً‬ ‫‪5ab‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪3x‬‬

‫● ضرﻳﺐ افادة ﻳک حده‬ ‫عددي که در متحول ضرب مﻲ شود ضرﻳب ﻳک حده مﻲ نامﻴم‪.‬‬ ‫● حدود مشابه‬

‫حدهاﻳﻰ که داراى عﻴن حروف بوده و توان هاى شان مساوى باشند حدود مشابه گفته‬ ‫مﻰ شوند‪.‬‬ ‫● افاده هاي الجبري‬

‫افاده هاي مثل ‪ a 2 , 3x 4 , ab , 2a + b‬و ‪ 4a‬که از ترکﻴب عملﻴه هاي چون‪:‬‬

‫جمع‪ ،‬تفرﻳق‪ ،‬ضرب‪ ،‬تقسﻴم‪ ،‬توان و جذر با اعداد از ﻳک ﻳا چند متحول تشکﻴل شده باشند‬ ‫افاده هاي الجبري نامﻴده مﻲ شوند‪ .‬مقدار قﻴمت ﻳک افادة الجبري را مﻲ توان براي قﻴمت هاي‬ ‫مختلف متحول درﻳافت کرد‪.‬‬ ‫● ضرب افاده ﻳک حده‬ ‫در ضرب ﻳک حده ها باﻳد ضراﻳب و عﻼمه آن ها را با همدﻳگر ضرب کنﻴم و توان هاى‬ ‫متحول هاى مشابه را با هم جمع کنﻴم‪.‬‬

‫‪127‬‬

‫● تقسﻴم افاده هاى ﻳک حده‬ ‫در تقسﻴم افاده هاى الجبرى ﻳک حده از قاعدة ساده کردن کسرها استفاده مﻲ شود‪ .‬که ابتدا‬ ‫ضراﻳب و عﻼمه ها را باﻻى ﻳکدﻳگر تقسﻴم نموده و حدود باقﻲ مانده را با استفاده از قوانﻴن‬ ‫توان ها‪ ،‬ساده مﻲ سازﻳم‪.‬‬ ‫مﻄابقت‬ ‫● تساوى دو افادةالجبرى که براى تمام قﻴمت هاى متحول برقرار است‪ ،‬ﻳک مطابقت‬ ‫مﻰ نامﻴم‪.‬‬ ‫● حاصل ضرب مجموع دو عدد در تفاضل همان دو عدد مساوي است با تفاضل مربعات آن‬ ‫دو عدد‪.‬‬ ‫‪(a + b)(a b) = a 2 b 2‬‬

‫‪128‬‬

‫تمرﻳنات عمومﻲ‬

‫‪ -1‬سؤال هاى زﻳر را به دقت خوانده براي هر سؤال چهار جواب داده شده است‪ .‬جواب‬ ‫درست را انتخاب نموده و دور آن را حلقه بکشﻴد‪.‬‬ ‫● ﻳک عدد ضرب در خودش جمع ‪ 6‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a) x 6‬‬ ‫‪b) x + 6‬‬ ‫‪c) x 2 + 6‬‬ ‫هﻴچ کدام ) ‪d‬‬ ‫● حاصل ضرب )‪ 5ab(4ac‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪c) 20ab 2 c‬‬

‫‪d ) 20a 2bc 2‬‬ ‫‪4m 2 n 2‬‬ ‫● حاصل تقسﻴم‬ ‫‪4m3 n 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b) 20a bc‬‬

‫عبارت است از‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪20a bc‬‬

‫‪m1‬‬ ‫جواب ‪ b‬و ‪ c‬درست است ) ‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 6 x3‬در صورتﻲ که = ‪ x‬باشد عبارت است از‪:‬‬ ‫● قﻴمت عددي افادة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b) 4‬‬ ‫‪c) 4 1‬‬ ‫‪d) x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪c‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪a) m‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬جا هاي خالﻲ را با کلمات و اعداد مناسب پر کنﻴد‪:‬‬ ‫● براي ساده کردن افاده هاي الجبري ‪ .....................................‬را با هم جمع وتفرﻳق مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫● ﻳک افادةالجبرى که از ضرب اعداد حقﻴقﻰ و ‪ ............................‬هاي مختلف با توان هاى‬ ‫اعداد تام ﻳا اعداد حقﻴقﻰ تشکﻴل شده باشد ﻳک حده است‪.‬‬ ‫● عددي که در متحول ها ‪ .......................‬مﻲ شوند‪ .‬ضرﻳب ﻳک حده مﻲ نامﻴم‪.‬‬

‫‪ -3‬افاده هاي زﻳر را ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫) ‪( 6 xy 2 )( ax 2 y 2‬‬ ‫)‪4 y 2 (6 xy‬‬

‫‪129‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪2b( 2c) 2‬‬ ‫‪2a ( 3ab) 2‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪ -4‬کسرهاي زﻳر را ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫‪3ab‬‬ ‫‪3a‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪5a 2b + 10ab2‬‬ ‫‪5ab‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12x y‬‬ ‫‪2 xy3‬‬

‫‪15xyz‬‬ ‫‪3 xy‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪ -5‬ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫‪c) 4a + 5b 2c‬‬ ‫‪+ 4a 3b 2c‬‬

‫‪b) 5 x + y‬‬ ‫‪+ 3x 2 y‬‬

‫‪ -6‬افاده هاي زﻳر را با استفاده از مطابقت ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫)‪c) (5a + 2b)(5a 2b‬‬

‫‪a ) 7 a 3 b 4 c 2 8 a 3b 4 c 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪b‬‬

‫‪a 1 a‬‬ ‫() ‪b) ( +‬‬ ‫‪5 b 5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫() ‪a ) ( + z‬‬ ‫)‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪130‬‬

‫فصلهفتم‬ ‫معادﻻت‬

‫‪1‬‬ ‫‪x 5 = x 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫مفﻬوم معادله‬ ‫زلمﻰ‪ :‬عمر ! چقدر پول در نزد خود‬ ‫دارﻳد؟‬ ‫عمر‪ :‬اگر از دو چند پولﻲ که در نزد‬ ‫خود دارم ‪ 2‬افﻐانﻲ کم گردد مساوى‬ ‫به ‪20‬افﻐانﻲ مﻲ شود‪.‬‬ ‫زلمﻰ‪ :‬فهمﻴدم چند افﻐانﻰ دارﻳد‪.‬‬ ‫عمر‪ :‬چطور فهمﻴدي که من نزد خود‬ ‫چند افﻐانﻰ نقد دارم؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫زلمﻲ مﻲ خواست از ﻳک دکان ﻳک کﻴلو بوره بخرد‪ .‬دکاندار تنها وزن هاي ﻳک ﻳک دانه‬ ‫ﻳﻰ ‪100‬گرامه‪ 150 ،‬گرامه‪ 250 ،‬گرامه‪ ،‬نﻴم کﻴلوﻳﻲ و ‪ 2‬کﻴلوﻳﻲ داشت‪.‬‬ ‫● چگونه براي زلمﻲ دکاندار ﻳک کﻴلو بوره را وزن کند؟ کدام ﻳک از روش هاي زﻳر براي‬ ‫وزن کردن ﻳک کﻴلوگرام بوره درست است؟‬ ‫ دکاندار اوﻻً نﻴم کﻴلو بوره را وزن نموده‪ ،‬بعد وزنﺔ نﻴم کﻴلوﻳﻲ را با نﻴم کﻴلو بورة وزن شده‬‫در ﻳک پلﺔ ترازو گذاشته و ﻳک کﻴلو بوره را در پله دﻳگر ترازو وزن مﻲ کند‪.‬‬ ‫ دکاندار ‪ 2‬کﻴلو بوره را وزن نموده‪ ،‬بعد ‪ 2‬کﻴلو بورة وزن شده را در هر دو پلﺔ ترازو نصف‬‫مﻲ کند‪.‬‬ ‫چه روش دﻳگر براي اندازه کردن ﻳک کﻴلو بوره را شما مﻲ توانﻴد با استفاده از وزن هاي‬ ‫موجود پﻴشنهاد نماﻳﻴد؟‬ ‫در پاﻳان هر روش هر دو پلﺔ ترازو در چﻰ حالتﻰ قرار دارند؟‬ ‫محتوﻳات هر دو پلﺔ ترازو در پاﻳان هر روش با هم چه نسبتﻲ دارند؟‬ ‫اگر در ﻳک پلﺔ ترازو ﻳک بسته وزن نا معلوم با ﻳک وزنﺔﻳک کﻴلوﻳﻲ و در پلﺔ دﻳگر آن‬ ‫ﻳک وزن نﻴم کﻴلوﻳﻲ و دو کﻴلوﻳﻲ در حال تعادل قرار داشته باشند‪ ،‬تعادل پله ها را با ﻳک‬ ‫تساوي الجبري نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫آﻳا مﻲ توانﻴد تصور کنﻴد که وزن بسته چند است؟ به عبارت دﻳگر بستﺔ نامعلوم چقدر وزن‬ ‫داشته باشد تا تعادل ترازو حفﻆ گردد؟‬ ‫در فعالﻴت باﻻ‪ ،‬وزن کردن ﻳک کﻴلو گرام بوره و تعادل آن با اوزان گوناگون موجود نتﻴجﺔ‬

‫‪133‬‬

‫زﻳر را به معناى مفهوم معادله به دست مﻲ آورﻳم‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫● ﻳک مساوات الجبرى که براى بعضﻰ از قﻴمت هاى مجهول صدق نماﻳد به نام معادله و‬ ‫درﻳافت عددى که معادله الجبرى را به ﻳک مساوات عددى تبدﻳل نماﻳد به نام حل و ﻳا جذر‬ ‫معادله ﻳاد مﻴگردد‪.‬‬ ‫● آنﭽه که در حل معادله پﻰ سراغ آن مﻰ باشﻴم به نام مجهول معادله ﻳاد گردﻳده که اکثرا ً‬ ‫آن را به ‪ x‬نشان مﻰ دهند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اگر با ﻳک عدد‪ ،‬عدد ‪ 5‬جمع گردد مساوي به ‪ 15‬مﻲ شود‪ ،‬عددکدام است؟‬ ‫حل‪ :‬اگر عددي را که دنبال آن هستﻴم ‪ x‬بنامﻴم پس سوال طورﻳست که اگر با ‪ x‬عدد ‪5‬‬ ‫جمع شود مساوي به ‪ 15‬مﻲ گردد‪ ،‬ﻳعنﻲ‪:‬‬ ‫‪x + 5 = 15‬‬ ‫کدام عدد است که با ‪ 5‬جمع گردﻳده و در نتﻴجه عدد ‪ 15‬حاصل گردد‪.‬‬ ‫از حل کردن معادلﺔ فوق مﻲ توان گفت که عدد مساوي به ‪ 10‬مﻲ باشد‪.‬‬ ‫‪x = 10‬‬ ‫ﻳعنﻲ‪:‬‬ ‫حال به خاطر امتحان مسﺄله هرگاه قﻴمت درﻳافت شده را در معادلﺔ ‪ x + 5 = 15‬وضع‬ ‫نماﻳﻴم دارﻳم‪:‬‬ ‫‪x + 5 = 15‬‬ ‫‪10 + 5 = 15‬‬ ‫‪15 = 15‬‬ ‫چون تساوي عددي ‪ 15 = 15‬درست است بنابر اﻳن پاسخﻲ که به دست آورده بودﻳم براي‬ ‫معادله درست مﻲ باشد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اگر محﻴط ﻳک مثلث متساوي اﻻضﻼع مساوي به ‪ 9‬واحد طول باشد‪ ،‬مطلوب است‪.‬‬ ‫معادله الجبري که از حل آن ﻳک طول ضلع مثلث را درﻳافت نموده بتوانﻴم‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر با ﻳک عدد‪ ،‬عدد‪ 9‬جمع گردد مساوي به ‪ 14‬مﻲ شود‪ ،‬عدد چند است؟‬

‫‪134‬‬

‫عمﻠﻴه هاي جمع و تفرﻳق در معادله‬

‫اگر ﻳک وزن نامعلوم با دو گلوله در‬ ‫ﻳک طرف پلﺔ ترازو و در پلﺔ دﻳگر‬ ‫آن ‪ 5‬گلوله برابر و مساوي قرار داشته‬ ‫باشند‪ ،‬وزن مجهول مساوي به چند‬ ‫گلوله مﻲ باشد؟ چه فکر مﻲ کنﻴد؟‬

‫‪x‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تعادل ترازو در حالت فوق به معناي آن است که اوزان قرار گرفته در هر دو پلﺔ ترازو با هم‬ ‫برابر اند‪ .‬پس اگر وزن نامعلوم طرف راست را ‪ x‬بنامﻴم به سؤال هاى زﻳر جواب دهﻴد‪.‬‬ ‫● تساوى الجبرى براي تعادل اﻳن که ‪ 2‬گلوله با وزن مجهول در ﻳک پله و در پلﺔ دﻳگر ترازو‬ ‫‪ 5‬گلوله قرار داشته باشند بنوﻳسﻴد؟‬ ‫● اگر از هر دو پلﺔ ترازو دوگلوله را بردارﻳم آﻳا تعادل ترازو باقﻲ مﻲ ماند؟‬ ‫● آﻳاکم کردن گلوله ها از هر دو پلﺔ ترازو از نگاه رﻳاضﻲ با عملﻴه رﻳاضﻰ ﻳکسان است؟‬ ‫● نظر به اﻳن که با کم کردن گلوله ها تعادل بر هم نمﻲ خورد پس اﻳن عمل از نگاه رﻳاضﻲ چه‬ ‫معنا دارد؟‬ ‫● حال اگر به هر دو پلﺔ ترازو ‪ 4‬عدد گلولﺔ هاى ﻳکسان عﻼوه گردد چه اتفاقﻲ مﻲ افتد؟‬ ‫از مشاهدات فعالﻴت باﻻ نتﻴجﺔ زﻳر به دست مﻲ آﻳد‪:‬‬ ‫اگر از هر دو طرف پله هاي ﻳک ترازو در حال تعادل‪ ،‬ﻳک مقدار معﻴن را کم و ﻳا به هر دو‬ ‫پله ﻳک مقدار مساوي را اضافه نماﻳﻴم باز هم تعادل باقﻲ مﻲ ماند‪.‬‬ ‫به اصطﻼح رﻳاضﻲ اگر از طرفﻴن ﻳک تساوي عﻴن عدد را کم و ﻳا با آن زﻳاد نماﻳﻴم باز هم‬ ‫تساوي بر قرار مﻲ ماند‪ .‬ﻳعنﻲ‪:‬‬ ‫اگر ‪ a = b‬باشد‪ ،‬پس براي هر عدد حقﻴقﻰ ‪:c‬‬ ‫‪ a + c = b + c‬و ‪ a c = b c‬مﻲ باشد‪.‬‬ ‫از اﻳن خاصﻴت در حل معادﻻت استفاده به عمل مﻲ آﻳد‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫مثال‪ :1‬معادلﺔ ‪ x + 7 = 9‬را حل کنﻴد؟‬ ‫حل‪ :‬مﻴدانﻴم که اگر از طرفﻴن معادله عدد ‪ 7‬را کم کنﻴم در تعادل معادله تﻐﻴﻴر نمﻲ آﻳد‪،‬‬ ‫بنابراﻳن‪:‬‬ ‫‪x+7 7 =9 7‬‬ ‫‪x=2‬‬

‫امتحان‪ :‬هر گاه حل درﻳافت شده را در اصل معادله قرار دهﻴم دارﻳم‪:‬‬

‫‪x+7 =9‬‬ ‫‪2+7 =9‬‬ ‫‪9=9‬‬

‫چون تساوي عددي بر قرار است‪ ،‬بنا بر اﻳن حل درﻳافت شدة ‪ x = 2‬درست است‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬حل معادلﺔ ‪ x 5 = 4‬را به دست آورﻳد؟‬ ‫حل‪ :‬مﻴدانﻴم که هرگاه با طرفﻴن معادله‪ ،‬عددي را جمع نماﻳﻴم‪ ،‬تعادل مساوات بر هم نمﻲ‬ ‫خورد‪ ،‬بنا بر اﻳن‪ ،‬جمع نمودن عدد ‪ 5‬به هر دو طرف معادله براي ما مﻲ دهد‪:‬‬ ‫‪x 5+5 = 4+5‬‬ ‫‪x=9‬‬

‫امتحان‪ :‬حل درﻳافت شده را در اصل معادله قرار مﻲ دهﻴم‪:‬‬

‫‪x 5=4‬‬ ‫‪9 5=4‬‬ ‫‪4=4‬‬

‫چون تساوي عددي ‪ 4 = 4‬وجود دارد؛ بنا بر اﻳن ‪ x = 9‬حل معادله مﻲ باشد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اگر با ﻳک عدد ‪ 3‬اضافه گردد ‪ 15‬حاصل مﻲ شود؛ عدد کدام است؟‬ ‫‪ -2‬اگر از ﻳک عدد ‪ 7‬را تفرﻳق نماﻳﻴم ‪ 13‬حاصل مﻲ گردد؛ عدد کدام است؟‬ ‫‪ -3‬معادﻻت زﻳر را حل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪a) x 6 = 2‬‬ ‫‪b) x + 4 = 1‬‬ ‫‪c) 2 + x = 3‬‬

‫‪136‬‬

‫‪x‬‬

‫عمﻠﻴه هاي ضرب و تقسﻴم در معادﻻت‬

‫‪1‬‬

‫دو ترازوي ‪ 1‬و ‪ 2‬با ‪ 2‬گلوله مساوي درﻳک‬ ‫طرف و در طرف دﻳگر آن ﻳک وزن‬ ‫نامعلوم در حال تعادل قرار دارد‪.‬‬ ‫هرگاه طرف به طرف گلوله ها را در‬ ‫ﻳک پله و وزن ها را در ﻳک پلﺔ دﻳگر‬ ‫ترازوي شماره ‪ 3‬قرار دهﻴم جواب تان به‬ ‫سؤال زﻳر چﻴست؟‬ ‫آﻳا ترازوي شماره سوم درحال تعادل‬ ‫خواهد ماند ﻳا نه؟‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫?‬

‫‪x x‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ترازوي شماره ‪ 3‬را در نظر مﻲ گﻴرﻳم‪ .‬دﻳده مﻲ شود که باز هم ترازو در حالﻴکه در ﻳک‬ ‫طرف آن دو وزنﺔ مجهول و در طرف دﻳگر آن ‪ 4‬عدد گلوله مساوي قرار دارند‪ ،‬در حال‬ ‫تعادل است‪ .‬اگر وزن مجهول را ‪ x‬بنامﻴم به حل سؤال هاى زﻳر فکر کنﻴد؟‬ ‫● افادة رﻳاضﻲ و ﻳا به عبارت دﻳگر بﻴان الجبري براي تعادل ترازوي شماره ‪ 3‬کدام است؟‬ ‫● حال هرگاه دوباره گلوله ها و وزنه ها را بجاي خود برگردانده نصف نماﻳﻴم و دوباره ﻳک‬ ‫قسمت را به ترازوي شماره ‪ 1‬و قسمت دﻳگر را در همﻴن ترازو باقﻲ بمانﻴم‪ ،‬آﻳا در اﻳن‬ ‫صورت باز هم تعادل در ترازو هاي شماره ‪ 1‬و ‪ 3‬وجود خواهد داشت؟‬ ‫● نصف نمودن گلوله ها و وزنه ها از نگاه رﻳاضﻲ چه معنﻲ دارد؟‬ ‫● آﻳا اﻳن فعالﻴت را براي بﻴشتر از ‪ 2‬ترازو نﻴز مﻲ توانﻴم انجام دهﻴم؟‬ ‫از فعالﻴت فوق مﻲ توانﻴم نتﻴجﺔ زﻳر را بﻴان نماﻳﻴم‪:‬‬ ‫هرگاه وزنه هاي هر دو طرف ترازو را به دو ﻳا بﻴشتر از دو قسمت مساوى تقسﻴم ﻳا ضرب‬ ‫نماﻳﻴم وﻳا نصف از وزنه را از هر دو طرف ترازو بردارﻳم باز هم تعادل باقﻲ مﻲ ماند‪ .‬زﻳرا‬ ‫وزن هر دو طرف ترازو با هم مساوي مﻲ باشد‪.‬‬ ‫از نگاه رﻳاضﻲ اگر طرفﻴن ﻳک تساوي را در عددي ضرب ﻳا بر عددى خﻼف صفر تقسﻴم‬ ‫نماﻳﻴم‪ ،‬باز هم مساوات باقﻲ مﻲ ماند به عبارت دﻳگر‪:‬‬ ‫اگر ‪ a = b‬باشد‪ ،‬پس براي هر عدد حقﻴقﻲ ‪ ac = bc ، c‬مﻲ باشد‪.‬‬ ‫و براي هر عدد حقﻴقﻲ ‪ c‬خﻼف صفر‪ a = b ،‬مﻲ باشد‪.‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪137‬‬

‫‪c‬‬

‫مثال‪ :‬مساوات ‪ 3 x = 6‬را در نظر گرفته‪ ،‬حل آن را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫اطراف مساوات فوق را به ‪ 3‬تقسﻴم نموده دارﻳم‪:‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫اﻣتﺤان‪ :‬هرگاه قﻴمت ‪ x = 2‬را در اصل معادله وضع نماﻳﻴم دارﻳم‪:‬‬

‫‪3x 6‬‬ ‫=‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3x = 6‬‬ ‫‪3(2) = 6‬‬ ‫‪6=6‬‬

‫دﻳده مﻲ شود که ‪ x = 2‬واقعاً حل مساوات فوق مﻲ باشد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫معادﻻت زﻳر را حل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪1) 4 x = 2‬‬ ‫‪2) x ÷ 5 = 12‬‬ ‫‪3) 3 x = 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪= 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫= ÷ ‪7) x‬‬ ‫‪3 3‬‬

‫‪138‬‬

‫معادله عمومﻲ ﻳک مجﻬولﺔ‬ ‫درجه ﻳک‬ ‫معلم از شاگردان پرسﻴد‪.‬‬ ‫اگر با چهار چند ﻳک عدد ‪ 8‬عﻼوه‬ ‫گردد مساوي به صفر مﻲ شود‪ ،‬عدد‬ ‫کدام است؟‬

‫‪4x + 8 = 0‬‬ ‫‪4x = –8‬‬

‫?= ‪x‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫آﻳا براي حل سؤال معلم که به صورت فوق مطرح گردﻳده است فکر کرده اﻳد؟‬ ‫● اگر عدد مطلوب سؤال قبلﻰ را ‪ x‬بنامﻴم‪ ،‬آﻳا مﻲ توانﻴد سؤال فوق را باﻳک افادةرﻳاضﻲ‬ ‫بنوﻳسﻴد؟‬ ‫● چگونه براي درﻳافت حل آن و ﻳا راه حل آن فکر مﻰ کنﻴد؟‬ ‫● اگر از ‪ 3‬چند ﻳک عدد‪ 9 ،‬منفﻲ گردد نتﻴجه مساوي به صفر است افادة الجبرى اﻳن سؤال‬ ‫را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫● چگونه براي درﻳافت حل اﻳن معادله فکر مﻰ کنﻴد؟‬ ‫● اگر با ‪ a‬چند ﻳک عدد‪ ،‬عدد ‪ b‬عﻼوه گردد نتﻴجه مساوي به صفر است‪.‬‬ ‫● حل حالت فوق را به صورت عمومﻲ بنوﻳسﻴد و بگوﻳﻴد که عدد چند است؟‬ ‫از انجام فعالﻴت باﻻ نتﻴجﺔ زﻳر به دست مﻲ آﻳد‪:‬‬ ‫در عملﻴات مانند فوق مقدار نامعلوم را به ‪ x‬نشان داده‪ ،‬مﻲ توان براي آن ﻳک مساوات بر‬ ‫حسب ‪ x‬به دست آورﻳم‪.‬‬ ‫تساوي را معادله و مقدار نامعلوم را به نام مجهول معادله ﻳاد نموده و روش ﻳافتن مجهول را‬ ‫به نام حل معادله ﻳاد مﻰ کنند‪.‬‬ ‫حالت عمومﻲ معادله ﻳک مجهوله درجه ﻳک به شکل ‪ ax + b = 0‬بوده‪ ،‬که در آن ‪ a‬و‬ ‫‪ b‬اعداد حقﻴقﻲ خﻼف صفر اند‪ ،‬بنابر آن شکل فوق بنام حالت معﻴاري و ﻳا ستندرد معادله‬ ‫خطﻰ ﻳاد مﻲ گردد‪.‬‬

‫‪139‬‬

‫حل معادله را توسط عملﻴه هاى ساده الجبري با انجام دادن مراحل زﻳر به دست آورده مﻲ‬ ‫توانﻴم‪.‬‬ ‫ جمع و ﻳا تفرﻳق طرفﻴن معادله با مقدار هاي مساوي‪.‬‬‫ ضرب و ﻳا تقسﻴم طرفﻴن معادله با مقدار هاي مساوي خﻼف صفر‪.‬‬‫با انجام دادن عملﻴات فوق بعد از محاسبه به جاي مﻲ رسﻴم که‪ ،‬مجهول معادله به ﻳک طرف‬ ‫و مقادﻳر معلوم در طرف دﻳگر قرار مﻲ گﻴرد و به اﻳن ترتﻴب حل معادله به دست مﻲ آﻳد‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬معادله ‪ 3 x 4 = 5‬را حل کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ابتدا به طرفﻴن معادله عدد ‪ 4‬را جمع مﻰ کنﻴم‪:‬‬ ‫‪3x = 9‬‬

‫طرفﻴن معادله را بر ‪ 3‬تقسﻴم مﻰ کنﻴم‪:‬‬

‫‪3x 4 + 4 = 5 + 4‬‬

‫‪x=3‬‬ ‫مثال‪ : 2‬معادلﺔ ‪ 2(3 x + 4) = 1 3 x‬را حل کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪/ + 3x‬‬

‫‪3x 9‬‬ ‫=‬ ‫‪3 3‬‬

‫‪2(3 x + 4) = 1 3 x‬‬ ‫‪6 x + 8 = 1 3x‬‬ ‫‪6 x + 3x + 8 = 1 3x + 3x‬‬ ‫‪9x + 8 = 1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9x + 8 8 = 1 8‬‬

‫‪/‬‬

‫‪9x = 9‬‬

‫‪/ ÷9‬‬

‫‪9x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x= 1‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬در مثال فوق‪ ،‬قﻴمتﻰ را که براي ‪ x‬به دست آورده اﻳد؛ در اصل معادله امتحان کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬حل معادله ‪ 2(2 x + 3) = 2 x 2‬را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -3‬معادله ‪ (4 x 2) = 5 x + 2‬را حل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪140‬‬

‫نكات مﻬم فصل هفتم‬ ‫معـادله‬ ‫عبارت از مساوات الجبرى است که براى بعضﻰ قﻴمت هاى معﻴن مجهول صدق مﻰ نماﻳد و با‬ ‫استفاده از عملﻴه هاي حسابﻲ با ﻻي طرفﻴن معادله مطلوب‪ ،‬مجهول معادله درﻳافت مﻲ گردد‪.‬‬ ‫عمﻠﻴه هاي الجبري و معادله‬ ‫اگر به اطراف هر معادله ﻳک عدد را جمع‪ ،‬تفرﻳق‪ ،‬ضرب و ﻳا تقسﻴم (خﻼف صفر) نماﻳﻴم‬ ‫در معادله کدام تﻐﻴﻴر وارد نمﻲ شود‪.‬‬ ‫معادله درجه ﻳک‪ ،‬ﻳک مجﻬوله‬ ‫معادلﺔ ‪0 ، ax + b = 0‬‬

‫‪ ، a‬در حالﻲ که ‪ x‬مجهول( ‪ a‬و ‪ b‬اعداد حقﻴقﻲ بوده) به نام‬

‫معادلﺔ درجه ﻳک‪ ،‬ﻳک مجهوله ﻳاد مﻲ گردد‪.‬‬

‫‪b‬‬ ‫معادلﺔ باﻻ به نام معادلﺔ خطﻲ نﻴز ﻳاد مﻲ گردد‪ .‬و هر معادله خطﻲ‪ ،‬داراي ﻳگانه حل‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ a 0 ،‬مﻲ باشد‪.‬‬

‫=‪x‬‬

‫تمرﻳنات عمومﻲ‬ ‫براى هر سؤال زﻳر چهار جواب داده شده است دور جواب صحﻴح را حلقه بکشﻴد‪.‬‬ ‫‪ -1‬حل معادله ‪ 10 + x = 18‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪8‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪4‬‬

‫‪(d‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪ -2‬حل معادله ‪ 12 x + 2(5x + 22) = 0‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫جاهاى خالﻰ را با کلمات و اعداد مناسب پر کنﻴد‪.‬‬

‫‪141‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪ -1‬ﻳک مساوات الجبرى که براى بعضﻰ از ‪ ........................‬مجهول ها صدق مﻰ‬ ‫نماﻳد‪ ..............‬ﻳاد مﻰ شود‪.‬‬ ‫‪ -2‬آنﭽه که در حل معادله سراغ آن مﻰ باشﻴم به نام ‪ ................‬ﻳاد گردﻳده است‪.‬‬ ‫کدام ﻳک از جمﻼت زﻳر صحﻴح و کدام ﻳک آن ها غلط است‪ ،‬در مقابل جمله صحﻴح‬ ‫حرف (ص) در مقابل جمله غلط حرف (غ) بگذارﻳد‪.‬‬ ‫‪(1‬‬

‫) اگر از هر دو طرف پله ترازو ﻳک مقدار معﻴن را کم و ﻳا به هر دو طرف پله ترازو‬

‫ﻳک مقدار مساوى را اضافه نماﻳﻴم باز هم تعادل باقﻰ مﻰ ماند‪.‬‬ ‫‪(2‬‬

‫) معادﻻتﻰ که داراى حل ها باشند‪ ،‬به نام معادﻻت غﻴر مساوى ﻳاد مﻰ گردند‪.‬‬

‫‪(3‬‬

‫) ﻳک مساوات الجبرى را که براى بعضﻰ از قﻴمت هاى مجهول صدق نماﻳد به نام‬

‫معادله ﻳاد مﻰ گردد‪.‬‬ ‫‪(4‬‬

‫) اگر طرفﻴن ﻳک تساوى را در عدد ضرب ﻳا بر عدد خﻼف صفر تقسﻴم نماﻳﻴم باز‬

‫هم مساوات باقﻰ مﻰ ماند‪.‬‬ ‫سواﻻت زﻳر را مفص ً‬ ‫ﻼ حل نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪ -1‬معادﻻت زﻳر را حل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪b) x 9 = 5‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪d) x‬‬ ‫=‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪a) t + 5 = 2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫= ‪c) x +‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪ -2‬حل معادﻻت زﻳر مطلوب است‪:‬‬ ‫‪b) 3 x = 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d) +1 = 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪f ) (4 x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a) 6 y = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪c) + 1 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e) 3(2 y 1) = x‬‬

‫‪142‬‬

‫فصلهشتم‬ ‫سﻴستم مختصات کمﻴات‬ ‫وضعﻴه قاﻳم‬

‫نقﻄه در مستوي‬ ‫آسمان پر از ستاره ها است‪.‬‬ ‫به طرف شمال‪ ،‬شرق‪ ،‬غرب و جنوب‬ ‫مهتاب‪ ،‬موقعﻴت ستاره ها را در چهار‬ ‫اطراف مهتاب چه گونه مشخص‬ ‫مﻰ کنﻴد؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫دو خط مستقﻴم ( محور ) ' ‪ X X‬و ' ‪ Y Y‬را که داراى جهات معﻴن و باهم عمود اند‪،‬‬ ‫رسم کنﻴد‪ .‬نقطﺔ تقاطع را (‪ ) O‬نامگذارى کنﻴد‪.‬‬ ‫همﻴن دو محور متقاطع فوق الذکر مستوى را به چند حصه تقسﻴم مﻰ کند‪.‬‬ ‫محور ' ‪ X X‬از مبدا به طرف راست و چپ داراى عﻼمات مثبت و ﻳا منفﻰ اند ؟‬ ‫محور ' ‪ Y Y‬از مبدا به طرف باﻻ و پاﻳﻴن داراى عﻼمات مثبت است وﻳا منفﻰ؟‬ ‫از فعالﻴت فوق تعرﻳف زﻳر را مﻰ توان بﻴان کرد‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫در ﻳک مستوى دو محور ' ‪ X X‬و ' ‪ Y Y‬که در نقطﺔ ‪ O‬باهم عمود اند به نام سﻴستم‬ ‫مختصات قاﻳم ﻳاد مﻰ گردد‪.‬‬ ‫' ‪ X X‬را به نام محور افقﻰ ﻳا محور فاصله ( ‪ ) abscissa‬و محور ' ‪ Y Y‬را به نام محور‬ ‫عمودى ﻳا ترتﻴب (‪ )ordinate‬ﻳاد مﻰ کنند‪.‬‬ ‫طرف راست محور افقﻰ ' ‪ X X‬را از مبدا به حﻴث جهت مثبت و طرف چپ آن را از مبدا‬ ‫به حﻴث جهت منفﻰ قبول شده است‪.‬‬ ‫به همﻴن ترتﻴب طرف باﻻى محور عمو دى )' ‪ (Y Y‬را از مبدا جهت مثبت و طرف پاﻳﻴن‬

‫‪145‬‬

‫آن از مبدا به حﻴث جهت منفﻰ قبول شده است‪.‬‬ ‫محورات سﻴستم مختصات قاﻳم مستوى را به چهار‬ ‫ناحﻴه (‪( )Quadrant‬حجره) تقسﻴم مﻰ کند‪.‬‬ ‫ناحﻴه دوم‬ ‫ناحﻴه اول‬ ‫آن ناحﻴه (حجره ) مستوى که باﻻى محور افقﻰ‬ ‫) ‪( ,+‬‬ ‫) ‪( +,+‬‬ ‫)' ‪ ( X X‬و به طرف راست محور عمودى )' ‪(Y Y‬‬ ‫ناحﻴه سوم‬ ‫ناحﻴه چهارم‬ ‫واقع است‪ .‬به نام ناحﻴه اول وهم چنان ناحﻴﺔ مستوى‬ ‫) ‪( ,‬‬ ‫) ‪( +,‬‬ ‫که باﻻى محور افقﻰ و به طرف چپ محور عمودى‬ ‫موقعﻴت دارد به نام ناحﻴﺔ دوم به همﻴن قسم آن ناحﻴﺔ‬ ‫مستوى که طرف پائﻴن محور )' ‪ ( X X‬و طرف‬ ‫چپ محور )' ‪ (Y Y‬واقع است به نام ناحﻴﺔ سوم و باﻻخره آن ناحﻴه مستوى که طرف پاﻳﻴن‬ ‫محور افقﻰ را ست محور عمودى مانند شکل زﻳر قرار دارد به نام ناحﻴه چهارم ﻳاد مﻰ شود‪.‬‬ ‫مثال‪ : 1‬عﻼمات ' ‪ Y Y ' ، X X‬را درهر چهار ناحﻴﺔ بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬درناحﻴﺔ اول ‪ x‬و ‪ y‬مثبت اند‪ (+ , + ) .‬در ناحﻴﺔ دوم ‪ x‬منفﻰ اما ‪ y‬مثبت است‪.‬‬ ‫) ‪ ( , +‬درناحﻴﺔ سوم ‪ x‬و ‪ y‬هر دو منفﻰ اند‪ ( , ) .‬در ناحﻴﺔ چهارم ‪ x‬مثبت اما‬ ‫‪ y‬منفﻰ است‪( + , ) .‬‬ ‫مثال‪ : 2‬هرگاه ‪ x = 3 , 5‬و ‪ y = 7 , 4‬واحد‬ ‫باشند موقعﻴت آن را در کمﻴات وضعﻴه تعﻴن کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ x = 3 :‬از مبدا به طرف راست موقعﻴت دارد و‬ ‫‪ x = 5‬از مبدا به طرف چپ موقعﻴت دارد‪y = 7 .‬‬ ‫از مبدا به طرف پاﻳﻴن محور ‪ y‬موقعﻴت دارد و‬ ‫‪ y = 4‬از مبدا به طرف باﻻى محور موقعﻴت دارد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ – 1‬کمﻴات وضعﻴﺔ مبدا را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ – 2‬به کدام ناحﻴه نقطﺔ ‪ p‬محدود است؟ اگر ‪:‬‬ ‫الف‪ :‬فاصلﺔ آن مثبت و ترتﻴب آن منفﻰ‬

‫ب ‪ :‬فاصلﺔ آن منفﻰ و ترتﻴب آن مثبت‬

‫ج ‪ :‬فاصله و ترتﻴب آن هردو مثبت‬

‫د ‪ :‬فاصله و ترتﻴب آن هر دومنفﻰ باشد‪.‬‬

‫‪146‬‬

‫‪y‬‬

‫مختصات ﻳک نقﻄه در مستوي‬ ‫چهار وﻻﻳت افﻐانستان که در نقشه‬ ‫تعﻴﻴن شده است‪ ،‬بگوﻳﻴد که در‬ ‫تقاطع کدام حرف و کدام عدد‬ ‫قرار دارند؟‬ ‫آﻳا تقاطع هر حرف و عدد ﻳک‬ ‫نقطه افﻐانستان را نشان مﻲ دهد؟‬

‫‪x‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻛﺎﺑﻞ ‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫ﻓﺎﺭﻳﺎﺏ‬

‫‪-7 -6 -5 -4 -3 -2-1G O1 2 3 4 5‬‬ ‫ﻧﻨﮕﺮﻫﺎﺭ ‪H‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪K‬‬ ‫ﻗﻨﺪﻫﺎﺭ‬ ‫‪L‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫سﻴستم مختصات قاﻳم را ترسﻴم کنﻴد‪.‬‬ ‫نقطﺔ ‪ A‬را در ناحﻴه اول سﻴستم مختصات قاﻳم تعﻴﻴن به ترتﻴب عمود هاى ‪ A B‬و ‪ A C‬را‬ ‫به محورات ' ‪ X X‬و ' ‪ Y Y‬رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫فاصلﺔ نقطﺔ ‪ A‬از مبدأ کمﻴات وضعﻴه باﻻى محور ' ‪ X X‬کدام نقطﺔ است ؟‬ ‫ترتﻴب نقطﺔ ‪ A‬از مبدا کمﻴات وضعﻴه باﻻى محور ' ‪ Y Y‬کدام نقطﺔ است ؟‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳرا را مﻰ توان بﻴان کرد‪.‬‬ ‫فواصل ‪ B‬و ‪ C‬از مبدأ )‪ (O‬به ترتﻴب فاصلﺔ ‪ x‬و‬ ‫‪ y‬ترتﻴب نقطﺔ ‪ A‬را از مبدأ ارائه مﻰ کنند‪ .‬ﻳا به عبارت‬ ‫دﻳگر ترسﻴم نقطﺔ ‪ A‬باﻻى محور ' ‪ X X‬عبارت از‬ ‫نقطﺔ ‪ B‬است فاصلﺔ نقطﺔ ‪ A‬را از مبدأ کمﻴات وضعﻴه‬ ‫ارائه کرده و به همﻴن قسم ترسﻴم نقطﺔ ‪ A‬باﻻى محور‬ ‫' ‪ Y Y‬عبارت از نقطﺔ ‪ C‬است‪ .‬محوارت را به واحد‬ ‫هاى ﻳک سانتﻰ متر و هر واحد به صورت ملﻰ متر‬ ‫نشانﻰ کنﻴد‪.‬‬ ‫ﻳادداشت‪ :‬ناگفته نماند که جاهاى فاصله و ترتﻴب ﻳک نقطﺔ را تﻐﻴﻴر داده نمﻰ توانﻴم‪،‬‬ ‫درصورت تﻐﻴﻴر دادن جاهاى فاصله و ترتﻴب ﻳک نقطﺔ دﻳگر حاصل مﻰ شود‪.‬‬

‫‪147‬‬

‫مثال‪ : 1‬نقطﺔ ‪ A‬که فاصلﺔ آن از مبدأ )‪ (O‬به اندازة ‪ 2‬واحد طول و ترتﻴب آن از مبدأ‬ ‫)‪ (O‬به قدر ‪ 3‬واحد طول مﻰ باشد‪ ،‬تعﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬به اندازة ‪ 2‬واحد طول در جهت مثبت محور ' ‪ X X‬انتخاب نموده و در اﻳن نقطﺔ عمود‬ ‫رسم مﻰ کنﻴم‪ ،‬سپس به اندازة ‪ 3‬واحد طول در جهت مثبت محور ' ‪ Y Y‬انتخاب نموده و بر‬ ‫آن نقطه عمود رسم مﻰ کنﻴم‪ .‬اﻳن دو عمود ﻳکدﻳگر را در نقطﺔ ‪ A‬که فاصلﺔ آن ‪ 2‬و ترتﻴب‬ ‫آن ‪ 3‬واحد است قطع مﻰ کنند و مختصﺔ نقطﺔ ‪ A‬را به شکل ) ‪ A(2 , 3‬نشان مﻰ دهﻴم‪.‬‬ ‫مثال ‪ :2‬ترتﻴب و فاصله نقاط زﻳر را که در سﻴستم مختصات قاﻳم داده شده اند‪ ،‬و مختصات‬ ‫آن نقطه جورة مرتب‪ ،‬به صورت تشرﻳحﻲ ﻳک جدول بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫حل‪ :‬مختصات نقاط به حﻴث جوره هاى مرتب سﻴستم مختصات قاﻳم عبارت اند از‪:‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪A(2,2‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪B(3,4‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪C(1,5‬‬

‫)‪D(1, 2‬‬ ‫)‪G ( 3, 2‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫)‪E ( 2,2‬‬ ‫)‪H( 4, 4‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫)‪F( 3,1‬‬ ‫)‪J (1, 4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪O‬‬

‫‪G‬‬

‫‪D‬‬

‫طرز نوشتن جدولﻲ‪ ،‬براى نقاط فوق قرار زﻳر‬ ‫به دست مﻲ آﻳد‪:‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪J‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪F‬‬

‫‪H‬‬

‫ﻧﻘﺎط‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬جوره هاى مرتب زﻳر را به شکل جدول بنوسﻴد‪.‬‬ ‫)‪A(5 , 5) , B(0 , 3) , C( 1,1) , D(2 , 1‬‬

‫‪ E(1 , 4) , D( 5 , 3) , C( 1 ,‬را‬

‫‪ -2‬نقاط )‪2) ، B( 3 , 1) , A(1 , 1‬‬ ‫در سﻴستم مختصات قاﻳم مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬مختصات نقاط زﻳر را درﻳافت کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ )a‬نقطه روي محوري ‪ x‬از مبدأ به طرف راست ‪ 6‬واحد فاصله داشته باشد‪.‬‬ ‫‪ )b‬نقطه روي محور ‪ y‬از مبدأ به طرف پاﻳﻴن ‪ 5‬واحد فاصله داشته باشد‪.‬‬

‫‪148‬‬

‫مجﻬول و متحول‬

‫‪15‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪–5‬‬

‫● با ازدﻳاد کدام وزن‪ ،‬تعادل ترازو به‬ ‫وجود خواهد آمد؟‬ ‫● آﻳا تنها ﻳک وزن است که ترازو براي‬ ‫آن در حالت تعادل قرار مﻲ گﻴرد؟‬ ‫● در ﻳک شبانه روز درج‪ ،‬حرارت‪،‬‬ ‫ثابت است ﻳا متحول؟‬

‫‪30‬‬ ‫‪–5‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪–15‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪–15‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪–255‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪–255‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫مساوات زﻳر را که داراي دو خانه خالﻲ مﻲ باشد در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫خانه هاى خالﻲ را ﻳکﻲ پﻲ دﻳگر طوري پر نماﻳﻴد که نخست خانﺔ اولﻲ و بعدا ً خانﺔ دومﻰ‬ ‫مساوات پر گردد‪.‬‬ ‫خانه دومﻲ خانه اولﻲ‬ ‫‪=9‬‬

‫‪+‬‬

‫×‪2‬‬

‫● اگر در خانﺔ اول عدد‪ 1 ،‬را بگذارﻳم‪ ،‬عددخانﺔ دوم باﻳد چند باشد؟‬ ‫● اگر در خانﺔ اول عدد‪ 2 ،‬را بگذارﻳم‪ ،‬عدد خانﺔ دوم را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫● آﻳا مﻲ توانﻴم به خانﺔ اولﻲ هر عددي دﻳگر را بگذارﻳم؟‬ ‫● آﻳا در برابر قﻴمت هاي متﻐﻴﻴري که به خانﺔ اول داده اﻳد نظر به معلومات گذشته مﻲ توانﻴد‬ ‫نامﻰ براى عدد خانه دومﻲ بگﻴرﻳد؟‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳر را به دست مﻲ آورﻳم‪:‬‬ ‫● براي انتخاب عدد خانﺔ اول ما امکان آن را داشتﻴم که عدد دلخواه را انتخاب کنﻴم‪ ،‬که در‬ ‫برابر آن مجبورﻳم از روي حل معادله قﻴمت مجهول را براي خانﺔ دوم به دست آورﻳم‪.‬‬ ‫● هرگاه در ﻳک مساوات امکان دادن قﻴمتهاى مختلف به ﻳک حرف افادة الجبرى وجود‬ ‫داشته باشد‪ ،‬حرف مذکور به نام متحول (مجهول) ﻳاد مﻲ گردد‪.‬‬ ‫● هرگاه به صورت عمومﻰ متحول قابل تﻐﻴﻴر اختﻴاري نباشد‪ ،‬مجهول نامﻴده مﻲ شود‪.‬‬

‫‪149‬‬

‫مثال‪ :‬در مساوات ‪ 2x y = 1‬براي متحول ‪ x‬با در نظر داشت جدول زﻳر قمﻴت داده که‬ ‫بعد از قﻴمت گذاري در معادله‪ ،‬قﻴمت مجهول ‪ y‬به دست مﻲ آﻳد‪:‬‬ ‫مث ً‬ ‫ﻼ‪ :‬براي ‪ x = 3‬قﻴمت‬ ‫‪2( 3) y = 1‬‬ ‫‪6 y =1‬‬ ‫‪y= 7‬‬

‫مﻲ باشد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫—–‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪ –3‬ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎى ﻣﺘﺤﻮل ‪x‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪ –7‬ﻗﻴﻤﺖ ﻫﺎى ﻣﺠﻬﻮل ‪y‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬متحول و مجهول از هم چه فرق دارند؟ با مثال واضح سازﻳد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در سﻴستم مختصات جوره هاى مرتب که در مثال فوق در جدول به دست آمده اند‬ ‫مشخص نموده‪ ،‬نقاط مذکور را با هم وصل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در مساوات ‪ 2x - y = 7‬براى متحول ‪ x‬با درنظر داشت جدول زﻳر بعد از قﻴمتگذارى‬ ‫مجهول ‪ y‬را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪150‬‬

‫نكات مﻬم فصل هشتم‬ ‫● نقﻄه در مستوي‪ :‬ﻳک نقطه را در مستوي مﻲ توانﻴم در ﻳک سﻴستم کمﻴات وضعﻴه قاﻳم‬ ‫تعرﻳف نماﻳﻴم که توسط جوره مرتب (‪ )x , y‬که به نام فاصله و ترتﻴب ﻳاد مﻲ گردد مشخص‬ ‫مﻲ گردد‪.‬‬ ‫● سﻴستم مختصات قاﻳم‪ :‬دو محور عمود ' ‪ XX‬و ' ‪ YY‬که ﻳک دﻳگر خود را به صورت‬ ‫عمودى در نقطه ‪ o‬قطع مﻲ کنند‪ .‬به نام سﻴستم مختصات قاﻳم ﻳاد مﻲ گردد که به هر جوره‬ ‫مرتب (‪ )x , y‬آن ﻳک نقطه مستوي ارتباط دارد‪.‬‬ ‫‪ x‬را به نام فاصله و ‪ y‬را به نام ترتﻴب نقطه ﻳاد مﻲ کنند‪ .‬از روي محورات قﻴمت هاي آن ها‬ ‫که به واحدات مساوي تقسﻴم شده اند تعﻴﻴن مﻲ گردد‪.‬‬ ‫● مختصات ﻳک نقﻄه در مستوي‪ :‬به هرنقطﺔ ‪ P‬ﻳک مستوي مختصات قاﻳم تنها ﻳک‬ ‫جوره مرتب اعداد )‪P(x , y‬و برعکس به هر جورة مرتب اعداد )‪ (x , y‬تنها و تنها مﻲ توان‬ ‫ﻳک نقطﺔ ‪ P‬مستوي مختصات قاﻳم را ارتباط دهﻴم‪.‬‬ ‫● مجﻬول و متحول‪ :‬هرگاه در ﻳک مساوات امکان دادن قﻴمت هاى مختلف به ﻳک‬ ‫حرف افاده الجبرى وجود داشته باشد حرف مذکور به نام متحول ﻳاد مﻲ گردد‪.‬‬ ‫و هرگاه به صورت کلﻲ متحول قابل تﻐﻴﻴر اختﻴاري و دلخواه نباشد‪ ،‬مجهول نامﻴده مﻲ‬ ‫شود‪.‬‬ ‫تمرﻳنات عمومﻲ‬ ‫‪ -1‬موقعﻴت نقاط داده شدة زﻳر را در سﻴستم مختصات قاﻳم مشخص نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫)‪D( 1 ,4) , C(4 , 1) , B(3, 5) , A(1,5‬‬

‫‪ -2‬مختصات ‪ 3‬نقطه را بنوﻳسﻴد که داراي ترتﻴب هاي مساوي بوده ولﻲ نقاط روي هم قرار‬ ‫نداشته باشند‪.‬‬

‫‪151‬‬