Mathematics 08 [8]

Citation preview

֓ZË  ¦À

 ¦À

1399

‫سرود ملی‬ ‫دا وطن افغانس���تـــان دى‬

‫دا عـ���زت د هـــر افـغـان دى‬

‫دا وطن د ټول���و کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅــــ���و د ازبـکـــــ���و‬

‫کور د سولې کور د تورې‬ ‫د پښ���تــون او هــ���زاره وو‬

‫ورس���ره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬ ‫دا هېـــ���واد به تل ځليږي‬ ‫په س���ينــه کې د آس���يـــا به‬

‫نوم د حق م���و دى رهبـــر‬

‫هر بچی يې قهرمـــــان دى‬ ‫د تـــرکـمنــــ���و د تـــاجـکـــ���و‬

‫پــاميــري���ان‪ ،‬نـورس���تانيــــان‬ ‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه يان‬

‫لـکـه لـمــر پـر ش���نـه آس���مـان‬ ‫لـکـ���ه زړه وي جـــاويـــ���دان‬

‫واي���و اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫‪1399‬‬

‫الف‬

‫مشخصات‌کتاب‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫مضمون‪ :‬ریاضی‬

‫مؤلفان‪ :‬گروه مؤلفان کتاب‌های درسی دیپارتمنت ریاضی نصاب تعلیمی‬ ‫ویراستاران‪ :‬اعضای دیپارتمنت ویراستاری و ایدیت زبان دری‬

‫صنف‪ :‬هشتم‬

‫زبان متن‪ :‬دری‬

‫انکشاف دهنده‪ :‬ریاست عمومی انکشاف نصاب تعلیمی و تالیف کتب درسی‬

‫ناشر‪ :‬ریاست ارتباط و آگاهی عامۀ وزارت معارف‬

‫سال چاپ‪ 1398 :‬هجری شمسی‬ ‫مکان چاپ‪ :‬کابل‬ ‫چاپ‌خانه‪:‬‬

‫ایمیل آدرس‪[email protected] :‬‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫حق طبع‪ ،‬توزیع و فروش کتاب‌های درسی برای وزارت معارف جمهوری اسالمی‬ ‫افغانستان محفوظ است‪ .‬خرید و فروش آن در بازار ممنوع بوده و با متخلفان برخورد‬ ‫ب‬

‫قانونی صورت می‌گیرد‪  .‬‬

‫پیام وزیر معارف‬

‫اقرأ باسم ربک‬ ‫سپاس و حمد بیکران آفریدگار یکتایی را که بر ما هستی بخشید و ما را از نعمت بزرگ خواندن‬ ‫و نوشتن برخوردار ساخت‪ ،‬و درود بی‌پایان بر رسول خاتم‪ -‬حضرت محمد مصطفی‪ ‬که‬ ‫نخستین پیام الهی بر ایشان «خواندن» است‪.‬‬ ‫چنانچه بر همه‌گان هویداست‪ ،‬سال ‪ 1397‬خورشیدی‪ ،‬به نام سال معارف مسمی گردید‪ .‬بدین‬ ‫ملحوظ نظام تعلیم و تربیت در کشور عزیز ما شاهد تحوالت و تغییرات بنیادینی در عرصه‌های‬ ‫مختلف خواهد بود؛ معلم‪ ،‬متعلم‪ ،‬کتاب‪ ،‬مکتب‪ ،‬اداره و شوراهای والدین‪ ،‬از عناصر شش‌گانه‬ ‫و اساسی نظام معارف افغانستان به شمار می‌روند که در توسعه و انکشاف آموزش و پرورش‬ ‫کشور نقش مهمی را ایفا می‌نمایند‪ .‬در چنین برهۀ سرنوشت‌ساز‪ ،‬رهبری و خانوادۀ بزرگ‬ ‫معارف افغانستان‪ ،‬متعهد به ایجاد تحول بنیادی در روند رشد و توسعه نظام معاصر تعلیم و‬ ‫تربیت کشور می‌باشد‪.‬‬ ‫از همین‌رو‪ ،‬اصالح و انکشاف نصاب تعلیمی از اولویت‌های مهم وزارت معارف پنداشته‬ ‫می‌شود‪ .‬در همین راستا‪ ،‬توجه به کیفیت‪ ،‬محتوا و فرایند توزیع کتاب‌های درسی در مکاتب‪،‬‬ ‫مدارس و سایر نهادهای تعلیمی دولتی و خصوصی در صدر برنامه‌های وزارت معارف قرار‬ ‫دارد‪ .‬ما باور داریم‪ ،‬بدون داشتن کتاب درسی باکیفیت‪ ،‬به اهداف پایدار تعلیمی در کشور‬ ‫دست نخواهیم یافت‪.‬‬ ‫برای دستیابی به اهداف ذکرشده و نیل به یک نظام آموزشی کارآمد‪ ،‬از آموزگاران و‬ ‫مدرسان دلسوز و مدیران فرهیخته به‌عنوان تربیت کننده‌گان نسل آینده‪ ،‬در سراسر کشور‬ ‫احترامانه تقاضا می‌گردد تا در روند آموزش این کتاب درسی و انتقال محتوای آن به فرزندان‬ ‫عزیز ما‪ ،‬از هر نوع تالشی دریغ نورزیده و در تربیت و پرورش نسل فعال و آگاه با ارزش‌های‬ ‫دینی‪ ،‬ملی و تفکر انتقادی بکوشند‪ .‬هر روز عالوه بر تجدید تعهد و حس مسؤولیت پذیری‪،‬‬ ‫با این نیت تدریس راآغاز کنند‪ ،‬که در آیندۀ نزدیک شاگردان عزیز‪ ،‬شهروندان مؤثر‪ ،‬متمدن‬ ‫و معماران افغانستان توسعه یافته و شکوفا خواهند شد‪.‬‬ ‫همچنین از دانش آموزان خوب و دوست داشتنی به مثابه ارزشمندترین سرمایه‌های فردای‬ ‫کشور می‌خواهم تا از فرصت‌ها غافل نبوده و در کمال ادب‪ ،‬احترام و البته کنجکاوی علمی از‬ ‫درس معلمان گرامی استفادۀ بهتر کنند و خوشه چین دانش و علم استادان گرامی خود باشند‪.‬‬ ‫‪ ‬در پایان‪ ،‬از تمام کارشناسان آموزشی‪ ،‬دانشمندان تعلیم و تربیت و همکاران فنی بخش نصاب‬ ‫تعلیمی کشور که در تهیه و تدوین این کتاب درسی مجدانه شبانه روز تالش نمودند‪ ،‬ابراز‬ ‫قدردانی کرده و از بارگاه الهی برای آن‌ها در این راه مقدس و انسان‌ساز موفقیت استدعا دارم‪.‬‬ ‫با آرزوی دستیابی به یک نظام معارف معیاری و توسعه‌یافته‪ ،‬و نیل به یک افغانستان آباد و‬ ‫مترقی دارای شهروندان آزاد‪ ،‬آگاه و مرفه‪.‬‬ ‫دکتور محمد میرویس بلخی‬ ‫وزیر معارف‬

‫ج‬

‫د‬

‫صفحه‬ ‫عناوین ‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫فصل اول( اعداد حقیقی)‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫مفهوم اعداد حقیقی و خواص آنها‬ ‫‪11‬‬ ‫طریقة عمومی استخراج جذر مربع تقریبی‪ ،‬اوسط و جذر دوم اعداد اعشاریه دا ر‬ ‫‪19‬‬ ‫ ‬ ‫عملیات باالی اعداد جذر دار (جمع‪ ،‬تفریق‪ ،‬ضرب و تقسیم)‬ ‫‪23‬‬ ‫ ‬ ‫قوانین اعداد تواندار (ضرب‪ ،‬تقسیم‪ ،‬توان صفر و منفی)‬ ‫‪29‬‬ ‫ ‬ ‫توانهای کسری و قوانین آن‪ ،‬ناطق کردن کسرها‬ ‫‪33‬‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل اول‬ ‫‪37‬‬ ‫ ‬ ‫فصل دوم( محاسبات مالی)‬ ‫‪ 39‬‬ ‫ ‬ ‫نسبت‪ ،‬تقسیم به اجزای متناسبه‬ ‫‪ 43‬‬ ‫ ‬ ‫تناسب‪ ،‬خواص تناسب‪ ،‬انواع تناسب‪ ،‬تناسب مرکب‬ ‫‪ 55‬‬ ‫ ‬ ‫فیصد‪ ،‬احدیت‪ ،‬تخفیف ‬ ‫‪61‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ربح ساده و مرکب‬ ‫‪63‬‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل دوم‬ ‫‪ 67‬‬ ‫ ‬ ‫فصل سوم( مشابهت)‬ ‫‪69‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫اشکال متشابه‪ ،‬مضلعات متشابه‬ ‫‪73‬‬ ‫ ‬ ‫قضیة خطوط موازی با فاصله های مساوی‪ ،‬قضیة تالس و معکوس آن‬ ‫‪77‬‬ ‫ ‬ ‫قضیة تالس درمثلث‪ ،‬حالت های تشابه مثلث ها‬ ‫‪85‬‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل سوم‬ ‫‪ 89‬‬ ‫ ‬ ‫فصل چهارم( تناظر)‬ ‫‪91‬‬ ‫ ‬ ‫مفهوم تناظر‪ ،‬تناظر محوری‪ ،‬تناظر مرکزی‬ ‫‪97‬‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل چهارم‬ ‫‪99‬‬ ‫ ‬ ‫فصل پنجم (قضایای مثلث)‬ ‫‪101‬‬ ‫ ‬ ‫قضایای مثلث متساوی الساقین‬ ‫‪105‬‬ ‫ ‬ ‫قضیة فیثاغورث‪ ،‬عکس قضیة فیثاغورث‬ ‫‪111‬‬ ‫قضایای مثلث قایم الزاویه‪ ،‬قضایا در مثلث قایم الزاویه برای زوایای ‪ 30‬و ‪ 60‬‬ ‫‪119‬‬ ‫ناصف الزاویه‪ ،‬ناصف الزاویه های داخلی مثلث‪ ،‬ناصف عمودی در یک مثلت ‬ ‫‪127‬‬ ‫ ‬ ‫ارتفاع های مثلث‪ ،‬میانه های مثلث‬ ‫‪131‬‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل پنجم‬ ‫‪ 135‬‬ ‫ ‬ ‫فصل ششم ( مساحت ها و احجام)‬ ‫‪137‬‬ ‫ ‬ ‫مساحت و حجم مکعب مستطیل‪ ،‬دریافت قطر مکعب مستطیل و مکعب‬ ‫‪141‬‬ ‫مساحت و حجم منشور‪ ،‬مساحت و حجم استوانه ‬ ‫‪145‬‬ ‫ ‬ ‫مساحت و حجم هرم‬ ‫‪149‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مساحت و حجم مخروط‪ ،‬مساحت و حجم کره‬ ‫‪153‬‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل ششم‬

‫صفحه‬

‫عناوین ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫فصل هفتم(افادههای الجبری)‬ ‫ ‬ ‫مفهوم متحول‪ ،‬افادههای الجبری‪ ،‬ساده کردن افاده‌های الجبری‬ ‫ضرب افادههای یک حده‪ ،‬تقسیم افاده‌های یک حده‪ ،‬ضرب افاده‌های الجبری ‬ ‫مطابقتها‪ ،‬مربع مجموع و تفاضل افاده‌های دو حده‪ ،‬تجزیة افاده‌های الجبری ‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل هفتم‬ ‫ ‬ ‫فصل هشتم( معادالت)‬ ‫ ‬ ‫مفهوم معادله‪ ،‬عملیههای جمع و تفریق در مساوات‪ ،‬عملیه های ضرب و تقسیم در مساوات‬ ‫ ‬ ‫معادلة عمومی درجه یک یک مجهوله‪ ،‬معادالت معادل و تشکیل معادالت‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل هشتم‬ ‫ ‬ ‫فصل نهم( رابطه و تابع)‬ ‫ ‬ ‫نقطه در مستوی‪ ،‬مختصات یک نقطه در مستوی‪ ،‬مجهول و متحول‬ ‫ ‬ ‫رابطه‪ ،‬رابطة خطی‪ ،‬تشکیل رابطه های خطی و تابع‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل نهم‬ ‫ ‬ ‫فصل دهم( احصائیه)‬ ‫ ‬ ‫جدول کثرت ديتای غیر متمادی‪ ،‬خواص اجرای جدول کثرت‬ ‫ ‬ ‫کثرت تجمعی‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کثرث نسبی‪ ،‬گراف میلهای‪ ،‬گراف خط منکسر‬ ‫ ‬ ‫اوسط ديتای غیر متمادی‪ ،‬اوسط ديتای متمادی با استفاده از جدول‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل دهم‬ ‫ ‬ ‫فصل یازدهم( احتمال)‬ ‫ ‬ ‫کثرت نسبی و احتمال‬ ‫ ‬ ‫چانس برابر و نابرابر در یک فضای نمونه‬ ‫ ‬ ‫حادثة اتفاقی یک فضای نمونه‪ ،‬قواعد احتمال‬ ‫دیاگرام درختی‪ ،‬قاعدة اول مسیر (حاصل ضرب) ‬ ‫ ‬ ‫نکات مهم فصل یازدهم‬ ‫‌‬

‫‌‬

‫‪157‬‬ ‫‪159‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪171‬‬ ‫‪177‬‬ ‫‪181‬‬ ‫‪ 183‬‬ ‫‪189‬‬ ‫‪195‬‬ ‫‪ 199‬‬ ‫‪201‬‬ ‫‪209‬‬ ‫‪217‬‬ ‫‪ 219‬‬ ‫‪ 221‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪ 227‬‬ ‫‪233‬‬ ‫‪237‬‬ ‫‪241‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪245‬‬ ‫‪247‬‬ ‫‪251‬‬ ‫‪255‬‬

‫هـ‬

‫فصلاول‬ ‫اعداد حقیقی‬

‫‪√2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-√ 2‬‬

‫‪-e‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-π‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫مفهوم اعداد حقيقي‬ ‫مي‌دانيم که تمام اعداد نسبتي را مي‌توانيد‬ ‫روي محور اعداد نمايش دهيد‪ ،‬مانند‪:‬‬ ‫شکل زیر که روی محور اعداد بعضی‬ ‫از اعداد نسبتی نمایش داده شده اند‪.‬‬ ‫آیا می‌توان عددی؛ مانند ‪ 2‬را نیز‬ ‫روی محور اعداد نمایش داد؟‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫?‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪–3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫آیا اعداد ناطق را می‌شناسید؟‬ ‫از صنف هفتم با در نظرداشت محور اعداد گفته می‌توانيم که هر عددناطق (نسبتی) را‬ ‫روی محور اعداد توسط یک نقطه نشان دهیم؛ مانند‪ :‬شکل زیر که بعضی از اعداد نسبتی‬ ‫روی آن نشان داده شده اند‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2.5‬‬

‫?‬ ‫‪-2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-11‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪–3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫دیگری نیز وجود دارند که تا حال روی محور اعداد ‪2‬نشان داده نشده اند‪.‬‬ ‫اعداد‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺩﺩﻉ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ تمام نقاط روی محور اعداد را بپوشانند؛‬ ‫یا به عبارة دیگر اعداد نسبتی به تنهایی نمیﺭﺫﺝتوانند‬ ‫‪10‬‬ ‫یعنی بین اعداد نسبتی روی محور اعداد‪ ،‬جا‌های خالی برای اعدادی که نسبتی یا ناطق‬ ‫ﺩﺩﻉی‌شوند‪.‬‬ ‫اعداد پر م‬ ‫همین‬ ‫توسط‬ ‫که‬ ‫دارند‬ ‫وجود‬ ‫نباشند‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪1.43‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪1‬‬

‫‪1.42‬‬

‫‪1.41‬‬

‫‪1.40‬‬

‫‪1.9881‬كنيد‪:‬‬ ‫• جذر مربع اعداد زير را پيدا‬

‫ﺭﺫﺝ ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺩﺩﻉ‬ ‫ﺭﺫﺝ ﻉﺏﺭﻡ‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪25‬‬

‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬ ‫جذر مربع‬

‫‪10‬‬

‫• در فعالیت فوق پيدا كردن جذر مربع كدام عدد براي شما مشكل است؟‬ ‫‪1.5‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪1.3‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪2.25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪1.42‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫عدد‬

‫‪1.41‬‬ ‫‪1.9881‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬

‫‪1‬‬

‫ﺭﺫﺝ ﻉﺏﺭﻡ‬

‫‪1.40‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫ﺭﺫﺝ ﻉﺏﺭﻡ‬

‫‪–3‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪16‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬

‫ﺭﺫﺝ ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫‪10‬‬ ‫ضرب‬ ‫خودش ضرب شود و حاصل‬ ‫• آيا می‌توانيد يك عدد ناطق را پيدا كنيد كه در‬ ‫آن عدد ‪ 2‬باشد؟‬ ‫• جدول مقابل را تكميل كنيد‪.‬‬ ‫ﺩﺩﻉ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.1 1.2 1.3 1.4 1.5‬‬ ‫عدد‬ ‫‪9‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬ ‫مربع عدد‬ ‫ﺭﺫﺝ ﻉﺏﺭﻡ‬

‫‪1.40‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬

‫‪1‬‬

‫ﺭﺫﺝ ﺩﺩﻉ‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬

‫‪1.40‬‬

‫ﺩﺩﻉ‬ ‫عدد‬

‫‪10‬‬ ‫‪1.42‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪1.41‬‬

‫• جذر مربع عدد ‪ 2‬بين كدام دو عدد قرار ‪1.5‬‬ ‫دارد؟‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫تکمیل ﺭﺫﺝ‬ ‫نمایید‪.‬‬ ‫مربع عدد ‪ 2‬جدول زیر را‬ ‫‪1‬‬ ‫• به منظور دقت بیشتر در پیدا کردن جذر ‪2.25‬‬ ‫‪1.4‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪1.3‬‬

‫‪1.42‬‬

‫‪1.1 1.2‬‬ ‫‪1.9881‬‬

‫‪1.41‬‬ ‫‪1.9881‬‬

‫مربع عدد‬ ‫ﻉﺏﺭﻡ‬ ‫ﺭﺫﺝ‬

‫با مالحظه به جدول فوق‪ ،‬نشان دهیدکه جذر مربع عدد ‪ ، 2‬بین کدام دو عدد قرار‬ ‫دارد‪ .‬اعداد سطر اول اعدادی هستندکه حدس موجودیت جذر مربع عدد ‪ 2‬بین آن ها‬ ‫وجود دارد‪ .‬به هر اندازه يي که در سطر اول جدول اعداد با هم نزدیک‌تر انتخاب‬ ‫گردند‪ .‬باز هم دیده می‌شود که در سطر دوم جدول عدد ‪ 2‬ظاهر نمي شود؛ یعنی عدد‬ ‫ناطقی را که مساوی ‪ 2‬باشد پیدا کرده نمی توانیم‪ ،‬پس ست جدید اعداد را دریافت‬ ‫کردیم که عبارت از ست اعداد غیر ناطق(گنگ)است‪ .‬ست اعداد غیر ناطق را به ‪Q′‬‬ ‫مانند‪ 3 , 5 , 7 :‬و ‪2‬‬ ‫نشان مي دهيم‪... ،‬‬ ‫با وجود این که ‪ 2‬عدد ناطق نمی باشد‪ ،‬می‌توان آن را باالی محور اعداد با استفاده‬ ‫از نمایش هندسی زیر مشخص نمود‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫در شکل می‌بینیم مربع کوچکی ‪ ABCD‬که طول اضالع آن یک واحد است به دو‬ ‫مثلث قایم‌الزاویه تقسیم شده و دارای مساحت یک واحد مربع می‌باشد‪.‬‬ ‫و مربع بزرگتری ‪ AMNC‬که در شکل آن را مشاهده مي‌کنيد نظر به مربع کوچک‬ ‫ِ‪ ABCD‬دارای مساحت بيشتر است که مساحت آن ‪ 2‬واحد مربع است‪ ،‬بنابر این از‬ ‫دریافت فورمول مساحت مربع می‌دانیم که هر ضلع مربع بزرگ مساوی به ‪ 2‬واحد‬ ‫می‌باشد‪.‬‬ ‫هرگاه نقطة ‪ 0‬را مرکز قرار داده به شعاع ‪ 2‬که یک ضلع مربع بزرگ می‌باشد یک‬ ‫قوس را طوری رسم نماییم که محور اعداد را در یک نقطه قطع کند‪ ،‬نقطة تقاطع با‬ ‫محور اعداد‪ ،‬موقعیت ‪ 2‬را مشخص می‌کند‪.‬‬ ‫همانطوري كه اعداد ناطق دارای معکوس جمعی می باشند‪ ،‬اعداد غير ناطق نیز‬ ‫‪2‬‬ ‫طرف‬ ‫به‬ ‫كه‬ ‫)است‬ ‫(‬ ‫جمعی ‪، 22‬‬ ‫معکوس جمعی دارند؛ طور مثال‪ :‬معکوس‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.414‬هر نقطة خط اعداد به یک‬ ‫سمت چپ صفر روی محور اعداد نشان داده شده است‪.‬‬ ‫عدد حقیقی و برعكس هر عدد حقیقی به یک نقطه محور اعداد مطابقت می‌کند‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪- 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪1.414‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اتحاد ست‌هاي اعداد ناطق و غير ناطق را به نام ست اعداد حقيقي ياد ميكنند و ست‬ ‫اعداد حقيقي را به ‪ IR‬نشان مي‌دهند‪IR = Q  Q' .‬‬ ‫‌‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2  1.414‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫مثال‪ 3 :‬را روی محور اعداد نشان دهید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬از نقطه ‪ 2‬به اندازة یک واحد به سمت باال حرکت می‌نماییم نقطة به دست‬ ‫آمده را به ‪ 0‬وصل می‌نماییم‪ .‬نقطه ‪ 0‬را مرکز گرفته یک قوس رسم می‌کنیم که محور‬ ‫اعداد را در يک نقطه قطع کند نقطة به دست آمده موقعیت ‪ 3‬را باالی محور اعداد‬ ‫مشخص می‌کند‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬كدام يك از اعداد زير غير ناطق اند‪:‬‬ ‫‪37‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) − 5 ,‬‬

‫‪16 ,‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬سه عدد ناطق و سه عدد غير ناطق را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در باره ‪ 15‬چی فکر می‌کنید‪ ،‬عدد ناطق است یا غیر ناطق؟‬ ‫� ‪ 1+ 2‬را روی محور اعداد مشخص کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬موقعيت ‪ 5‬و‬ ‫‪ -5‬کدام یک از اعداد ‪ 3 + 4 , 8 + 2 2‬ناطق و کدام آن‌ها غیر ناطق است؟‬ ‫‪ -6‬در مورد اعداد ‪ 5 , 31 , 36‬و ‪ 144‬چه فکر می‌کنید؟ ناطق اند و یا غیر‬ ‫ناطق؟‬

‫‪6‬‬

‫خواص اعداد حقيقي‬

‫‪2 5 5 2‬‬

‫آیا خاصیت تبدیلی‪ ،‬اتحادی‬ ‫و توزیعی در اعداد حقیقی وجود‬ ‫دارد؟‬

‫‪‬‬

‫‪2 5‬‬

‫‪‬‬

‫‪2 3 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪2 3  5‬‬

‫‪ 3  5  ‬‬

‫‪ 3  5  ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫• قیمت‌های تقریبی افاده‌های جذری زير را با استفاده از جدول دريافت كنيد‪:‬‬ ‫عدد‬

‫قیمت تقریبی‬ ‫‪1.41‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1.73‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2.23‬‬

‫‪5‬‬

‫?= ‪3+ 2‬‬ ‫? = ‪2+ 2‬‬ ‫?= ‪1+ 3‬‬ ‫? = ‪1+ 3‬‬

‫?= ‪2+ 3‬‬ ‫?=‪2+2‬‬ ‫?=‪3+ 1‬‬ ‫? = ‪3 +1‬‬

‫• آيا خاصیت تبدیلی عملیة جمع‪ ،‬در ست اعداد حقيقي صدق مي كند یا خیر؟‬ ‫فعالیت که براي هر عدد حقيقي ‪ a‬و‪ b‬داريم‪:‬‬ ‫از فعاليت فوق نتيجه مي گيريم‬ ‫‪a + b = b+ a‬‬

‫سؤال‪ :‬آيا خاصيت تبديلي عملیة ضرب در اعداد حقيقي نيز صدق می‌کند؟‬ ‫با چند مثال واضح سازيد‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫• يك مستطيل به طول ‪ 6‬واحد و عرض ‪ 3‬واحد رسم نماييد‪.‬‬ ‫مساحت اين مستطيل چند است؟‬ ‫• مستطيل ديگر را رسم نموده كه طول آن ‪ 6‬واحد و عرض آن‬ ‫‪ 2‬واحد باشد مساحت اين مستطيل چقدر است؟‬ ‫• اين دو مستطيل را کنار هم قرار داده و بگویید مساحت مستطيل‬ ‫بزرگ به دست آمده مساوی به چند است؟‬ ‫• مساحت مستطيل بزرگ چه رابطه با مجموع مساحت‌های دو‬ ‫مستطيل كوچك دارد؟‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‪6)3+2(=)6 3(+)6 2‬‬

‫‪56 5‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪56 5‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪56 5‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫از فعاليت فوق نتیجه میشود که براي هر عددحقيقي ‪b,a‬و‪ c‬داريم‪:‬‬ ‫(‪a×)b+c(=)a×b(+)a×c‬‬ ‫‌‬

‫این خاصیت به نام خاصیت توزیعی ضرب باالی جمع یاد می‌گردد‪.‬‬ ‫افادة) ‪ 3 × ( 2 + 5‬را با در نظر داشت خاصیت اعداد حقیقی‬ ‫راست ( =‬ ‫طرف‪3 × 2‬‬ ‫مثال‪) + ( :‬‬ ‫)‪3 × 5‬‬ ‫بنویسید‪.‬‬ ‫)‪1.73 × (1.41 + 2.25) ≅ (1.73 × 1.41) + (1.73 × 2.25‬‬ ‫‪3 × ( 2 + 5 ) = ( 3 × 2 ) + ( 3 × 15.73‬‬ ‫حل‪) × 3.66 ≅ 2.4393 + 3.8925 :‬‬ ‫‪1.73 × (1.41 + 2.25) ≅ (1.73 × 1.41) + (1.673‬‬ ‫‪× 2.25‬‬ ‫‪.3318‬‬ ‫‪≅ )6.3318‬‬ ‫‪1.73 × 3.66 ≅ 2.4393 + 3.8925‬‬ ‫‪6.3318 ≅ 6.3318‬‬

‫‪8‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫اشكال مقابل را در نظر بگيريد‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪(a‬‬

‫• حجم مكعب مستطيل شكل ‪ a‬مساوي به چند است؟‬ ‫• حجم مكعب مستطيل شكل ‪ b‬مساوي به چند است؟‬ ‫از فعاليت فوق نتيجه ميگيريم‪:‬‬

‫براي هر عدد حقيقي ‪ b،a‬و‪ c‬داريم که‪(a× b) × c = a× (b× c) :‬‬

‫اين خاصيت اتحادي تحت عملية ضرب است‪.‬‬ ‫را»€]ž‬ ‫Ÿ|{‬ ‫نظرگرفته طرف‬ ‫در‬ ‫افادة ) ‪2 × ( 3 × 5‬‬ ‫حقیقی ( =‬ ‫اعداد‪2 × 3‬‬ ‫مثال‪ :‬با استفاده از خاصیت‪) × 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫راست آن را بنویسید‪.‬‬ ‫‪1.41 × (1.73 × 2.25) ≅ (1.71 × 1.73) × 2.25‬‬ ‫Ÿ|{‪2.5Á2ž]€»¾Ì]5‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫]‪1.41{Y{Y€«2.25Á2¾Ì‬‬ ‫‪× (3.8925) ≅ 2.4393‬‬ ‫‪× 2.25‬‬ ‫]‪€´Ë{ÃZ^ŸÄ‬‬

‫‪2 × ( 3 × 5 ) = ( 25 × 3 ) × 5‬‬ ‫‪5.488425 ≅ 5.488425‬‬ ‫جمع× ‪1.41‬‬ ‫عملية‪(1.73‬‬ ‫تحت‪× 2.25‬‬ ‫اتحادي‪) ≅ (1‬‬ ‫‪.71 × 1.73‬‬ ‫آيا در اعداد حقیقی‪) × 2.25‬‬ ‫وجود دارد؟‬ ‫خاصيت‬ ‫‪ž]€» 1.41 × (3.8925) ≅ 2.4393 × 2.25‬‬ ‫واضح سازيد‪.‬‬ ‫‪4 5.488425 ≅ 5.488425‬‬ ‫یادداشت‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ -1‬شما به ياد داريدکه‪:‬‬

‫‪a+ 0 = 0 + a = a‬‬ ‫‪a× 1 = 1 × a = a‬‬

‫روابط فوق براي هر ‪ a‬از ست اعداد حقيقي هم صدق مي كند‪.‬‬

‫‪6.25‬‬

‫‪ - 2‬از اين به بعد عالمت (×) را به عالمت ( ‪ ) .‬مي‌توانيد نشان دهيد‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫با چند مثال‬ ‫Ÿ|{‬ ‫‪2‬‬

‫‪2.25‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫مساوات‌های زیر را در نظر گرفته خاصیت‌های مربوط را در مقابل آن‌ها بنویسید‪.‬‬ ‫از کدام خاصیت پيروي مي‌كند؟‬

‫‪5 (2 + 3) = 2 5 + 3 5 .........‬‬

‫‪a−‬‬

‫از کدام خاصیت پيروي مي‌كند؟‬

‫‪5 + 3 = 3 + 5 .........‬‬

‫‪b−‬‬

‫از کدام خاصیت پيروي مي‌كند؟‪c − 3 × ( 2 × 3 ) = ( 3 × 2 ) × 3.............‬‬

‫از کدام خاصیت پيروي ميكند؟‬

‫‪2 × 3 = 3 × 2 .........‬‬

‫‪d−‬‬

‫از کدام خاصیت پيروي ميكند؟ ‪3 + ( 5 + 2 ) = ( 3 + 5 ) + 2 .........‬‬

‫‪e−‬‬

‫‪10‬‬

‫طريقة عمومي استخراج جذر مربع‬ ‫تقريبي‬ ‫دريافت جذرمربع اعداد را به طریقة‬ ‫تجزیه می‌دانید‪.‬‬ ‫• آیا می‌توان جذر مربع تمام اعداد را به‬ ‫طریقة تجزیه دریافت کرد؟‬ ‫• آیا جذر سوم یک عدد را به جز‬ ‫از طریقة تجزیه به کدام طریقة دیگر‬ ‫دریافت کرده می‌توانید؟‬

‫‪c) 7‬‬

‫‪a) 21‬‬

‫‪b) 12‬‬

‫ دریافت جذر مربع (جذر دوم) اعداد را به طريقة تجزيه می‌دانید‪ ،‬مثال‪ 25 :‬چند است‪.‬‬‫ جذر مکعب (جذر سوم)‪ ،‬اعداد را دريافت كرده مي توانيد‪ ،‬مثال ‪ 3 27 :‬چند است؟‬‫ آيا براي پيدا كردن جذر مربع اعداد به جز از طريقة تجزيه كدام طريقة ديگر وجود‬‫دارد؟‬ ‫دريافت جذر مربع اعداد را به شكل عمومي براي هر عدد مثبت در صنف هفتم‬ ‫خوانديد به منظور ياد آوري مثال‌هاي زير را در نظر ميگیريم‪:‬‬ ‫مثال ‪ :1‬جذر مربع عدد ‪ 625‬را دريافت ميكنيم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬عدد ‪ 625‬را تحت عالمت جذر مي‌نويسيم‪.‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪0 0‬‬

‫‪11‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪45 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪342‬‬ ‫‪3 11 6 9 6 4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪64 2 6 9‬‬

‫‪2 2 5‬‬ ‫‪2 2 5‬‬ ‫‪0 0 0‬‬

‫‪25‬‬ ‫ ‬ ‫مثال ‪ :2‬جذر مربع عدد ‪ 116964‬را دريافت ميكنيم‪6 2 5 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪2 2 5‬‬ ‫‪2 2 5‬‬ ‫‪0 0 0‬‬

‫‪45‬‬

‫‪2‬‬

‫‪342‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪3 11 45‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪64 2 6 9‬‬ ‫‪2 56‬‬ ‫‪13 64‬‬ ‫‪682‬‬ ‫‪13 64‬‬ ‫‪00 00‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪342‬‬ ‫در نتیجه‪116964 = 342 :‬‬ ‫‪3 11 6 9 6 4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫سؤال‪:‬‬ ‫‪ - 1‬مراحل دريافت جذر مربع يك عدد را توضيح دهيد‪.‬‬ ‫‪64 2 6 9‬‬ ‫ﻋﺩﺪ‬ ‫‪1.2 2 2.03‬‬ ‫‪5 6 0.3 1.23 1.360‬‬ ‫‪ 1.44 5.1209‬ﻣﺮﺑﻊ ﻋﺩﺪ‬ ‫‪ - 2‬جذر مربع اعداد زير را دريافت كنيد‪.‬‬ ‫‪13 64‬‬ ‫‪682‬‬ ‫‪a ) 1024 b) 15329‬‬ ‫‪3 6 4c) 1127‬‬ ‫ندارد ‪0.‬‬ ‫مکمل‪0 0‬‬ ‫بعد از حل در جز‍‪ c‬ديده مي‌شود كه‪ 1127‬جذر مربع ‪0‬‬ ‫آيا جذر مربع تقريبي اعداد را به شكل عمومي محاسبه كرده مي توانيد؟‬ ‫براي محاسبة جذر مربع تقريبي يك عدد از روش عمومي كار گرفته براي اينكه‬ ‫بتوانيم جذر مربع تقريبي را به دست آوريم فعاليت زير را انجام دهيد‪:‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪1.23 1.360‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪2.03‬‬

‫‪1.2‬‬

‫ﻋﺩﺪ‬ ‫عدد‬

‫مربعﻋﺩﺪ‬ ‫‪ 1.44 5.1209‬ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫عدد‬

‫• با در نظرداشت جدول فوق چه رابطه بين تعداد ارقام اعشاري عدد و تعداد ارقام‬

‫‪12‬‬

‫اعشاری مربع آن وجود دارد؟‬ ‫• با داشتن تعداد ارقام اعشاري جذر مربع یک عدد‪ ،‬چگونه مي توانيم تعداد ارقام‬ ‫اعشاری آن عدد را مشخص کنیم؟‬ ‫همان طوري‌كه در فعاليت باال تعداد ارقام اعشاري جذر مربع‪ ،‬نصف تعداد رقم هاي‬ ‫اعشاري مربع آن است از اين قاعده براي استخراج جذر مربع تقريبي استفاده مي كنيم‪.‬‬

‫باقیمانده‬

‫‪37.9‬‬ ‫‪3 1437.9‬‬ ‫‪38.00‬‬ ‫‪39 14 3 8 . 0 0‬‬ ‫‪67 5 93 8‬‬ ‫‪674 56 93 8‬‬ ‫‪749‬‬ ‫‪46 96 90 0‬‬ ‫‪749 6 76 94 10 0‬‬ ‫‪16 75 94 1‬‬

‫‪1 59‬‬

‫مثال‪ : 1‬مي خواهيم جذر مربع عدد ‪ 1438‬را تا يك رقم اعشار محاسبه كنيم‪.‬‬ ‫در نتيجه‪1438 ≈ 37.9 :‬‬

‫سؤال ‪ :‬آيا ‪ 1438.00=1438‬است؟ چرا ‪ 1438‬را به شكل ‪1438.00‬‬ ‫مي نويسيم‪.‬‬ ‫‪49.16‬‬

‫‪4 2449.16‬‬ ‫‪17 . 00 00‬‬ ‫‪41624 1 7 . 0 0 0 0‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪89 8 16‬‬ ‫‪898 80 11 7‬‬ ‫‪981‬‬ ‫‪81 60 1 0 0‬‬ ‫‪91 6 8 10 0‬‬ ‫‪981‬‬ ‫‪6 9 1 98 10 0‬‬ ‫‪9826‬‬ ‫‪5 6 8 91 95 60 0‬‬ ‫‪9826‬‬ ‫‪0 5 2 98 94 45 6‬‬ ‫باقیمانده‬ ‫‪29 44‬‬ ‫‪49.16‬‬ ‫محاسبه‪0‬كنيد‪.‬‬ ‫‪ 2417‬عدد ‪ 2417‬را تا دو رقم اعشار‬ ‫مربع≈ تقريبي‬ ‫مثال ‪ ::2‬جذر‬

‫‪13‬‬

‫در نتيجه‬ ‫در مثال هاي فوق مي بینيم كه تعداد ارقام اعشاري باقيمانده مساوي به تعداد ارقام‬ ‫اصلي عددی است که می خواهیم جذر مربع آن را پیدا کنیم‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬جذر مربع اعداد زير را تا يك رقم اعشار محاسبه كنيد‪:‬‬ ‫‪c) 427‬‬

‫‪b) 74‬‬

‫‪ -2‬جذر مربع اعداد زير را تا دو رقم اعشاری محاسبه كنيد‪:‬‬ ‫‪c) 418‬‬

‫‪b) 5039‬‬

‫‪a ) 814‬‬

‫‪a ) 94752‬‬

‫‪14‬‬

‫قیمت تقریبی جذر مربع‬ ‫به طریقة اوسط‬

‫• آیا گفته می توانید‬ ‫است؟‬

‫که ‪81‬‬

‫‪25‬‬ ‫آیا گفته می توانید که‬ ‫‪16‬‬

‫•‬ ‫است؟‬

‫چند‬ ‫چند‬

‫شما ميدانيد هر عددی كه در نفس خود ضرب شود حاصل ضرب به دست آمده به نام‬ ‫مربع عدد اولي ياد مي شود‪ ،‬ولی جذر مربع تمام اعداد مثبت را مانند‪30, 10, 5 5:‬‬ ‫‪5‬‬

‫به شکل کسری یا نسبتی ارائه کرده نمیتوانیم‪.‬‬

‫‪44‬‬ ‫ارائه می‌شود‪33.‬‬ ‫از این رو قیمت جذر مربع بعضی از اعداد به شکل تقریبی ‪33‬‬ ‫ ‬

‫دراینجا می‌خواهیم قیمت تقريبي ‪5‬‬

‫)‪(b‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫را دریافت کنیم‪.‬‬

‫‪55‬‬

‫)‪(a‬‬ ‫)‪(a‬‬

‫سؤال‪ :‬عدد ‪ 5‬بین مربعات کدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫‪ 5‬بین کدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫‌با درنظرداشت اين كه جذر مربع ‪ 5‬بين ‪ 2‬و‪ 3‬قرار دارد مي توان گفت كه جذرمربع‬ ‫‪2+3‬‬ ‫عدد‪ 5‬به گونۀ تقریبی مساوی به قيمت وسطي ‪ 2‬و ‪ 3‬است‪ ،‬يعني‪= 2.5 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫براي پيدا کردن قيمت دقيق‌تر ‪ 5‬جدول زير را در نظر مي گيريم‪:‬‬ ‫Ÿ|{‪2.5Á2ž]€»¾Ì]5‬‬ ‫Ÿ|{‪2.5Á2ž]€»¾Ì]5‬‬ ‫]‪{Y{Y€«2.25Á2¾Ì] 5€´Ë{ÃZ^ŸÄ‬‬ ‫]‪{Y{Y€«2.25Á2¾Ì] 5€´Ë{ÃZ^ŸÄ‬‬

‫»€]ž‬ ‫»€]ž‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫Ÿ|{‬ ‫Ÿ|{‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫»€]ž‬ ‫»€]ž‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫Ÿ|{‬ ‫Ÿ|{‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫با در نظر داشت اين كه عدد ‪ 5‬بين ‪ 4‬و‪ 6.25‬قرار دارد مي توان گفت كه قيمت تقريبي‬ ‫‪2 + 2.5 4.5‬‬ ‫=‬ ‫‪ 5‬قيمت وسطي ‪ 2‬و ‪ 2.5‬است‪= 2.25 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫جدول مقابل را تكميل كنيد‪.‬‬

‫‪6.25‬‬ ‫‪6.25‬‬

‫‪15‬‬

‫‪44‬‬

‫بادر نظرداشت جدول فوق گفته می توانید ‪ 5‬بين كدام دو عدد قرار دارد؟‬ ‫‪N‬‬ ‫دیده می شود که قیمت تقریبی ‪ 5‬با در نظرداشت این دو مرحله عبارت از ‪2.25‬‬ ‫‪2‬‬

‫بوده پس نوشته کرده می‌توانیم که‪5 ≈ 2.25 :‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫هر قدر که به روش فوق عملیه‌های باال را تکرار نماییم به ‪ 5‬بیشتر نزدیک می شویم‪.‬‬ ‫‪D1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 2.25 3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2.5 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AN‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–2M‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪2‬‬

‫در نتیجه می توانیم جذر تقریبی اعداد را با استفاده از روش فوق دریافت نماییم‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫کنید‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬جذر مربع تقریبی ‪ 10‬را دریافت‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫حل‪ :‬با استفاده از روش فوق‪ ،‬قیمت تقريبی اولي ‪ 10‬مي‌تواند قيمت وسطي اعداد ‪3‬‬ ‫و ‪ 4‬باشد‪.‬‬ ‫‪3+ 4‬‬ ‫‪3+ 4‬‬ ‫‪3+ 4‬‬

‫‪, 3 < 9 10‬‬ ‫‪< 10‬‬ ‫