Mathematics 08 [8]

Citation preview

8

8

8

1398

‫ملي سرود‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ！ولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـو＇ـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پ‪＋‬ـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه يان‬

‫دا ه‪５‬ــــــواد به تل ‪＄‬لي‪８‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ ３‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫د ‪ ٨‬ټول‪／‬ى‬

‫رياضي‬ ‫‪١٣٩٨‬‬

‫الف‬

‫د تاب ان ت او‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫مضمون ر ا‬

‫مؤلف ن د تعل مي نصاب د ر ا‬

‫ديپار نت د در‬

‫تابونو مؤلف‬

‫ا يټ وون ي د پ تو ب د اډيټ د پار نت غړي‬ ‫ټول‬

‫دم‬

‫اتم‬

‫به پ تو‬

‫ان شاف ور وون‬

‫خ روون‬

‫د اپ ال‬ ‫د اپ ا‬ ‫اپخونه‬

‫بر نال‬

‫د تعل مي نصاب د پراخت ا او در‬

‫تابونو د تأل ف لو ر است‬

‫د پوهن وزارت د اړ و او عامه پوهاوي ر است‬ ‫هجري شم‬ ‫ابل‬ ‫ته ‪[email protected]‬‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫تابونو د چاپ و ش او پلورلو حق د افغانستان اس مي جمهور ت د پوهن‬ ‫د در‬ ‫پلورل او پ رودل منع دي له غړوون و ه‬ ‫وزارت ه محفوظ د په بازار‬ ‫قانو‬ ‫ب‬

‫چلند‬

‫ي‬

‫د‬

‫ن د ز ر غام‬

‫اقرأ باسم رب‬ ‫مو ته ي وند راب ل او د لوست او لي‬ ‫ش ر ه ا وو‬ ‫د لو او ب ون خدا‬ ‫اله‬ ‫له نعمت خه ي برخمن ي يو او د الله تعال ر وروست غم محمد مصطف‬ ‫لوم ن غام ورته لوستل و درود وايو‬ ‫هجري ريز ال د وهن د ال ه نامه ونومول شو له د امله به‬ ‫ولو ته اره ده‬ ‫رن ه‬ ‫اداره‬ ‫تاب وون‬ ‫زده وون‬ ‫د ران ه واد وونيز نظام د ورو بدلونونو شاهد وي وون‬ ‫د ه واد د وون‬ ‫او د والدينو شورا ان د ه واد د وهنيز نظام ش و بنس يز عنا بلل ي ي‬ ‫او روزن ه راختيا او رمختيا مهم رول لري ه داس مهم وخت د افغانستان د وهن وزارت‬ ‫د م تابه مقام د ه واد ه وونيز نظام د ود او راخت ا ه لور بنس يزو بدلونونو ته من د‬ ‫له همد امله د وونيز نصاب اص ح او راختيا د وهن وزارت له مهمو لوم يتوبونو خه دي همدارن ه‬ ‫وونيزو تأسيساتو د در تابونو محتوا يفيت او‬ ‫ه وون يو مدرسو او ولو دولت او خصو‬ ‫د با يفيته در‬ ‫ا لري مو ه د باور يو‬ ‫توز ع ته املرنه د وهن وزارت د ارو ه‬ ‫تابونو له شتون رته د وون او روزن اسا اهدافو ته رس دل نشو‬ ‫ورتنيو موخو ته د رس دو او د اغ زنا وونيز نظام د رامن ته ولو ل اره د راتلون نسل د روزون و‬ ‫ه تو ه د ه واد له ولو ز ه سواندو وون و استادانو او مسل مديرانو خه ه درناوي هيله وم‬ ‫تابونو ه تدريس او د محتوا ه ل دولو هي ول ه ه او هاند‬ ‫د ه واد ب يانو ته د د در‬ ‫زيار او و‬ ‫ونه س موي او د يوه فعال او ه دين م او انتقادي تف ر سمبال نسل ه روزنه‬ ‫ه ه د نيت لوست ل ي‬ ‫و ي هره ور د من ه نوي ولو او د مسؤوليت ه در‬ ‫ران زده وون به سبا د يوه رمختل افغانستان مع ران او د ولن متمدن او ور‬ ‫د نن ور‬ ‫اوس دون وي‬ ‫د ه واد ارز تنا ه ان ه ده غو تنه لرم و له هر فرصت‬ ‫همدا راز له خو و زده وون و خه‬ ‫و او فعالو ونوالو ه تو ه او وون و ته ه‬ ‫ه روسه د‬ ‫خه ه ورته ي او د زده‬ ‫درناوي ه له تدر س خه ه او اغ زنا ه استفاده و ي‬ ‫د‬ ‫د وون او روزن له ولو وهانو او د وونيز نصاب له مسل هم ارانو خه‬ ‫ه ا‬ ‫دي مننه وم او د لو‬ ‫دون هل ل‬ ‫د تاب ه لي لو او متو ولو ي نه ست‬ ‫بريا غوا م‬ ‫له دربار خه دو ته ه د س ي ل او انسان جو وون ه‬ ‫خدا‬ ‫و ي خ لوا وه او‬ ‫وونيز نظام او د داس ودان افغانستان ه ه له‬ ‫د معياري او رمختل‬ ‫سو اله وي‬ ‫د وهن وزير‬ ‫د تور محمد م ويس بلخ‬

‫ج‬

‫ﻓﻬرست‬ ‫سرﻟﻴﻜﻮﻧﻪ‬

‫ﻣخﻮﻧﻪ‬ ‫‪١‬‬

‫لوم‪７‬ى فصل (حقيقي عددونه)‬ ‫‪٣‬‬ ‫د حﻘﻴﻘﻲ ﻋددوﻧﻮ ﻣﻔﻬﻮم‪ ،‬د حﻘﻴﻘﻲ ﻋددوﻧﻮ خﻮاص‬ ‫د تﻘرﻳبﻲ دوﻳﻢ جذر د پﻴداکﻮﻟﻮ ﻋﻤﻮﻣﻲ طرﻳﻘﻪ‪ ،‬د اوسط پﻪ طرﻳﻘﻪ د دوﻳﻢ جذر تﻘرﻳبﻲ ﻗﻴﻤت‪ ،‬د اﻋشارﻳﻪ‬ ‫‪١١‬‬ ‫ﻟروﻧکﻮ ﻋددوﻧﻮ دوﻳﻢ جذر‬ ‫‪١٩‬‬ ‫د جذري ﻋددوﻧﻮ جﻤﻊ‪ ،‬تﻔرﻳﻖ‪ ،‬ضرب او تﻘسﻴﻢ‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫د تﻮان ﻟروﻧکﻮ ﻋددوﻧﻮ ﻗﻮاﻧﻴﻦ‬ ‫‪٢٩‬‬ ‫کسري تﻮاﻧﻮﻧﻪ او ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻳ‪３‬‬ ‫دويم فصل (مالي محاسب‪)３‬‬ ‫ﻧسبت‪ ،‬پﻪ ﻣتﻨاسبﻮ اجزاوو باﻧدې وﻳشﻞ‬ ‫تﻨاسب‪ ،‬د تﻨاسب خﻮاص‪ ،‬د تﻨاسب ډوﻟﻮﻧﻪ‪ ،‬ﻣرکب تﻨاسب‬ ‫ﻓﻴصد‪ ،‬احدﻳت ﻳا واحد‪ ،‬تخﻔﻴﻒ‬ ‫ساده او ﻣرکبﻪ ربح‬

‫‪٣٧‬‬ ‫‪٣٩‬‬ ‫‪٤٣‬‬ ‫‪٥٥‬‬ ‫‪٦١‬‬

‫درﻳﻢ ﻓﺼﻞ ﻣﺸابﻬتﻮﻧﻪ‬ ‫ورتﻪ(ﻣشابﻪ) شکﻠﻮﻧﻪ‪ ،‬ورتﻪ (ﻣتشابﻪ) ﻣضﻠﻊ ‪－‬اﻧ‪３‬‬ ‫ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ‪ ،‬د تاﻟس ﻗضﻴﻪ‬ ‫پﻪ ﻣثﻠث ک‪ ３‬د تاﻟس ﻗضﻴﻪ‪ ،‬د ﻣثﻠثﻮﻧﻮ د ورتﻪ واﻟﻲ حاﻟتﻮﻧﻪ‬

‫‪67‬‬ ‫‪٦٩‬‬ ‫‪٧٣‬‬ ‫‪٧٧‬‬

‫څلورم فصل تناظر‬ ‫د تﻨاظر ﻣﻔﻬﻮم‪ ،‬ﻣحﻮري تﻨاظر‪ ،‬ﻣرکزي تﻨاظر‬

‫‪89‬‬ ‫‪91‬‬

‫پنځم فصل د مثلث قضي‪３‬‬ ‫د ﻣتساوي اﻟساﻗﻴﻦ د ﻣثﻠث ﻗضﻴ‪ ،３‬د ﻓﻴثاﻏﻮرث ﻗضﻴﻪ‬ ‫د ﻓﻴثاﻏﻮرث د ﻗضﻴ‪ ３‬ﻣﻌکﻮس (سرچپﻪ)‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫د ﻗاﻳﻢ اﻟزاوﻳﻪ ﻣثﻠث ﻗضﻴ‪ ،３‬پﻪ ﻗاﻳﻢ اﻟزاوﻳﻪ ﻣثﻠث ک‪ ３‬د ‪ 30‬او ‪ 60‬زاوﻳﻮ ﻟپاره ﻗضﻴ‪３‬‬ ‫ﻧاصﻒ اﻟزاوﻳﻪ‪ ،‬د ﻣثﻠث د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻧاصﻔﻮﻧﻪ‪ ،‬پﻪ ﻳﻮه ﻣثﻠث ک‪ ３‬ﻋﻤﻮدي ﻧاصﻒ‬ ‫د ﻣثﻠث ارتﻔاع ‪－‬اﻧ‪ ،３‬د ﻣثﻠث ﻣﻴاﻧ‪３‬‬

‫د‬

‫‪٩٩‬‬ ‫‪١٠١‬‬ ‫‪١٠٩‬‬ ‫‪١١١‬‬ ‫‪١١٩‬‬ ‫‪١٢٧‬‬

‫سرﻟﻴﻜﻮﻧﻪ‬

‫ﻣخﻮﻧﻪ‬

‫شپ‪８‬م فصل مساحت او حجمونه‬ ‫د ﻣکﻌب ﻣستطﻴﻞ ﻣساحت او حجﻢ‬ ‫د ﻣﻨشﻮر ﻣساحت او حجﻢ‪ ،‬د استﻮاﻧ‪ ３‬ﻣساحت او حجﻢ‬ ‫د ﻫرم ﻣساحت او حجﻢ‬ ‫د ﻣخروط ﻣساحت او حجﻢ‪ ،‬د کرې ﻣساحت او حجﻢ‬

‫‪١٣٥‬‬ ‫‪١٣٧‬‬ ‫‪١٤١‬‬ ‫‪١٤٥‬‬ ‫‪١٤٩‬‬

‫اووم فصل الجبرې افادې‬ ‫د ﻣتحﻮل ﻣﻔﻬﻮم‪ ،‬اﻟجبرې اﻓادې‪ ،‬د اﻟجبرې اﻓادو ساده کﻮل‬ ‫د ﻳﻮه حده اﻓادو ضرب‪ ،‬د ﻳﻮ حده اﻓادو و‪４‬ش‪ ،‬د اﻟجبري اﻓادو ضرب‬ ‫ﻣطابﻘتﻮﻧﻪ‪ ،‬د دوه حده اﻓادو د جﻤﻌ‪ ３‬او تﻔاضﻞ ﻣربﻊ‪ ،‬د اﻟجبري اﻓادو تجزﻳﻪ‬

‫‪١٥٧‬‬ ‫‪١٥٩‬‬ ‫‪١٦٥‬‬ ‫‪١٧١‬‬

‫اتم فصل معادل‪３‬‬ ‫د ﻣﻌادﻟ‪ ３‬ﻣﻔﻬﻮم‪ ،‬پﻪ ﻣﻌادﻟﻪ ک‪ ３‬د جﻤﻌ‪ ３‬او تﻔرﻳﻖ ﻋﻤﻠﻴ‪ ،３‬پﻪ ﻣﻌادﻟﻪ ک‪ ３‬د ضرب او و‪４‬ش ﻋﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى درجﻪ ﻳﻮ ﻣجﻬﻮﻟﻪ ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌادﻟﻪ‪ ،‬ﻣﻌادﻟﻲ ﻣﻌادﻟ‪ ،３‬د ﻣﻌادﻟﻮ تشکﻴﻠﻮل (جﻮړ＊ت)‬

‫‪١٨١‬‬ ‫‪١٨٣‬‬ ‫‪189‬‬

‫نهم فصل رابطه او تابع‬ ‫！کﻲ پﻪ ﻣستﻮي ک‪ ،３‬د ﻳﻮه ！ک‪ ３‬ﻣختصات پﻪ ﻣستﻮي ک‪ ،３‬ﻣجﻬﻮل او ﻣتحﻮل‬ ‫رابطﻪ‪ ،‬خطﻲ رابطﻪ‪ ،‬د خطﻲ رابطﻮ جﻮړ＊ت‪ ،‬تابﻊ‬

‫‪١99‬‬ ‫‪٢٠١‬‬ ‫‪٢٠٩‬‬

‫لسم فصل احصائيه‬ ‫د ﻣﻨﻔصﻠی ډﻳ＂ا د کثرت جدول‪ ،‬د کثرت د جدول د اجزاوو خاصﻴتﻮﻧﻪ‬ ‫ډﻟﻪ ﻳﻴز (تجﻤﻌﻲ) کثرت‬ ‫ﻧسبﻲ کثرت‪ ،‬ﻣﻴﻠﻪ ﻳﻲ ‪－‬راف‪ ،‬د ﻣﻨکسري کر＊‪－ ３‬راف‬ ‫د ﻣﻨﻔصﻠ‪ ３‬ډﻳ＂ا اوسط‪ ،‬د جدول پﻪ ﻣرستﻪ د ﻣتصﻠ‪ ３‬ډﻳ＂ا اوسط‬

‫‪٢١9‬‬ ‫‪٢٢١‬‬ ‫‪٢٢٥‬‬ ‫‪٢٢٧‬‬ ‫‪٢٣٣‬‬

‫يوولسم فصل احتمال‬ ‫ﻧسبﻲ کثرت او احتﻤال‬ ‫پﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬ﻓضا ک‪ ３‬برابر او ﻧا برابر چاﻧس‬ ‫د ﻳﻮې ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻳﻲ ﻓضا ﻧا＇اپ‪ ３‬پ‪＋５‬ﻪ‪ ،‬د احتﻤال ﻗاﻋدې‬ ‫وﻧﻪ ﻳﻴز (شجرﻳﻲ) دﻳا‪－‬رام‪ ،‬د ﻣسﻴر ﻟﻮﻣ‪７‬ى ﻗاﻋده (د ضرب حاصﻞ)‬

‫‪٢4١‬‬ ‫‪٢٤٣‬‬ ‫‪٢٤٥‬‬ ‫‪٢٤٧‬‬ ‫‪٢٥١‬‬ ‫هـ‬

‫لوم‪７‬ى فصل‬ ‫حقيقي عددونه‬

‫‪√2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-√ 2‬‬

‫‪-e‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-π‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫د حقيقي عددونو مفهوم‬ ‫کوالى شئ ټول نسبتي عددونه د عددي‬ ‫محور پر مخ باندې وښياست‪ ،‬لکه په‬ ‫الندې شکل کې چې د عددي محور‬ ‫پر مخ يو شم‪５‬ر نسبتي عددونه ښودل‬ ‫شوي دي‪.‬آيا کوالى شئ چې د ‪ 2‬په‬ ‫ډول عدد هم د عددونو د محور پر مخ‬ ‫‪2‬‬ ‫وښياست؟‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫? ‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫آيا ناطق عددونه مو پيژندلي دي؟‬ ‫د اووم ټولګي او عددي محور په پام کې نيولو سره ويالى شو چې هر ناطق (نسبتي) عدد د‬ ‫عددونو د محور پر مخ باندې يوازې د يوې نقطې په واسطه ښودل ک‪５‬داى شي‪ ،‬لکه الندې‬ ‫شکل چې يو شم‪５‬ر نسبتي عددونه د هغه پر مخ باندې ښودل شوي دي‪.‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪- 34 -0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪- 3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-4‬‬

‫داسې نور عددونه هم شته چې تر اوسه پورې د محور پر مخ باندې ښودل شوي نه دي يا په بل‬ ‫عبارت يوازې نسبتي عددونه نشي کوالى د عددونو د محور ټولې نقطې وښيې يعنې د عددي‬ ‫محور پر مخ باندې د نسبتي عددونو په منځ کې د داسې عددونو لپاره ډ‪４‬ر تش ځايونه شته چې‬ ‫هغه نسبتي يا ناطق عددونه‪ ،‬نه دي چې د همدې عددونو په واسطه د عددونو محور ډک‪８５‬ي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د الندې عددونو دويم جذر پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪25‬‬

‫‪10‬‬

‫په پورته فعاليت کې د کوم عدد دويم جذر پيدا کول تاسو ته ستونزمنه ده؟‬

‫‪3‬‬

‫عدد‬ ‫ﻋد د‬ ‫دويم جذر‬ ‫اﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫جذر‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪25‬‬

‫‪16‬‬

‫ﻋد د‬

‫جذر اﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫آيا کوالى شئ يو ناطق عدد پيدا ک‪７‬ئ چې په خپل ‪10‬‬ ‫حاصل يې‬ ‫ځان کې ضرب او د ضرب‬ ‫‪ 2‬عدد شي‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻋد د‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.1 1.2 1.3 1.4 1.5‬‬ ‫عدد‬ ‫مخامخ جدول ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ﻋد د‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪10‬‬

‫جذر اﻟﻤﺮﺑﻊ‬

‫مربع‬ ‫عددد ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫دد ﻋد‬

‫‪1‬‬

‫‪1.5‬‬ ‫د ‪ 2‬عدد جذرالمربع د کومو دوو عددونو‪1.43‬‬ ‫ترمنځ ده؟‬ ‫د ﻋد د ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫د ‪ 2‬د عدد جذرالمربع د پيدا کولو نژدې‪2.25‬‬ ‫بشپ‪７‬‬ ‫جدول‬ ‫قيمت ته د زيات پام‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫‪1.9881‬لپاره الندې د ﻋد د‬ ‫ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪1.3 1.42‬‬ ‫‪1.4‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪1.42‬‬

‫‪1.2‬‬ ‫‪1.41‬‬

‫‪1 1.401.1‬‬

‫‪1.41‬‬ ‫‪1.9881‬‬

‫‪1.40‬‬

‫ﻋد دﻋد د‬

‫عدد د‬ ‫ﻋد‬

‫عدددمربع‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫دد ﻋد‬

‫د پورته جدول په ليدو سره وواياست چې د ‪ 2‬د عدد جذرالمربع د کومو دوو عددونو تر‬ ‫منځ پرته ده؟ د لوم‪７‬ۍ کرښې عددونه داسې عددونه دي چې د هغو په منځ کې د ‪ 2‬د عدد‬ ‫جذرالمربع د شتون ګومان پرې ک‪５‬داى شي‪.‬هر څومره چې د جدول د لوم‪７‬ۍ کرښې عددونه‬ ‫يو بل ته نژدى وټاکل شي بيا هم په دويمه کرښه کې د ‪ 2‬عدد نه ليدل ک‪８５‬ي او د ‪ 2‬جذرالمربع‬ ‫نه پيدا کي‪８‬ي‪ .‬يعنې داسې ناطق عدد چې له ‪ 2‬سره مساوي وي‪ ،‬پيدا کوالى نشو‪ ،‬نو د‬ ‫عددونو يو نوى سټ شته چې د غير ناطق (ګونګ) عددونو له سټ څخه عبارت دى د غير‬ ‫ناطق عددونو سټ په ‪ Q‬سره ښيو‪ ،‬لکه‪ 2 , 3 , 5 , 7 ...:‬او داسې نور‪.‬‬ ‫سره له دې چې د ‪ 2‬ناطق عدد نه دى کوالى شو د هندسي ښوونې په کارولو سره په الندې‬ ‫توګه هغه د محور پر مخ باندې وښيو‪.‬‬

‫په شکل کې ليدل ک‪８５‬ي د ‪ ABCD‬کوچن‪ ９‬مربع چې د ضلعو اوږد والی يې يو واحد دی په‬ ‫دوو قايم الزاويه مثلثونو و‪４‬شل شوي چې د ټولې کوچن‪ ９‬مربع مساحت يې يو واحد مربع دى‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫همدارنګه د ‪ AMNC‬د لويې مربع په شکل کې وينئ چې مساحت يې نسبت‪ABCD‬‬ ‫کوچن‪ ９‬مربع ته زيات او ‪ 2‬واحد مربع ده‪ .‬له دې امله د مربع د مساحت د فارمول له مخې‬ ‫پوه‪８５‬و چې د لويې مربع د هرې ضلعې اوږدوالى له ‪ 2‬واحد ﺳﺮه مساوي دي‪.‬‬ ‫که چ‪５‬رې د ‪ O‬ټکى مرکز ونيسو او د ‪ 2‬په شعاع چې د يوې مربع يوه ضلع ده‪ ،‬يو قوس‬ ‫رسم ک‪７‬و‪ ،‬تر څو د عددونو محور قطع ک‪７‬ي‪ ،‬د عددونو له محور سره د تقاطع نقطه د ‪2‬‬ ‫ځاى د عددونو د محور پر مخ باندې ټاکي‪.‬‬ ‫څرنګه چې ناطق عددونه‪ ،‬جمعې معکوس عددونه لري غير ناطق عددونه هم جمعي‬ ‫معکوس عددونه لري‪ .‬د ب‪５‬لګې په توګه د ‪ 2‬جمعې معکوس ‪ - 2‬دى چې د عددونو پر‬ ‫محور د صفر کيڼې خوا ته ښودل شوى دى‪.‬‬ ‫نو ويلى شو چې د عددونو هره نقطه له يوه حقيقي عدد سره او برعکس هر حقيقي عدد د‬ ‫عددونو د محور له يوې نقطې سره مطابقت کوي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪- 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪-1.414‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫د ناطق او غيرناطق عددونو يووالى (اتحاد) د حقيقي عددونو د سټ په نامه ياد‪８４‬ي او د حقيقي‬ ‫عددونو سټ په ‪ IR‬سره ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ 3 :‬د عددونو پر محور وښياست‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ 2‬له نقطې څخه د يوه واحد په اندازه پورته يو ټکى په نښه کوو او الس ته راغلى‬ ‫ټکى له ‪ O‬سره نښلوو د (‪ )O‬نقطه مرکز نيسو‪ .‬يو قوس رسموو چې د عددونو محور قطع‬ ‫ک‪７‬ي‪ .‬الس ته راغلې نقطه د عددونو پر محور باندې د ‪ 3‬ځاى ټاکي‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬دالندې عددونو څخه کوم يو يې غير ناطق دئ‪:‬‬ ‫‪37‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪5,‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪16 ,‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬درې ناطق عددونه او درې غير ناطق عددونه وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 15‬په اړه څه ډول فکر کوي ناطق دى؟ او که غير ناطق؟‬ ‫‪ -4‬د عددونو پر محور باندې د ‪ 5‬او ‪ 1+ 2‬ځايونه وښياست‪.‬‬ ‫‪ -5‬د ‪ 8 + 2 2‬او ‪ 3 + 4‬په عددي افادو کې کومه يوه ناطقه او کومه يوه يې غير ناطقه ده‪.‬‬ ‫‪ -6‬د ‪ 5 , 31 , 36‬او ‪ 144‬په اړه څه فکر کوئ ناطق دي او که غير ناطق؟‬ ‫آيا حقيقي عددونه د بدلون (تبديلي)‪ ،‬يووالي (اتحادي) او توزيعي خاصيتونه لري؟‬

‫‪6‬‬

‫د حقيقي عددونو خواص‬

‫‪2+ 5= 5+ 2‬‬

‫آﻳا په حقيقي عددونو کې‬ ‫د تبديلی‪ ،‬اتحادی او توزيعي‬ ‫خاصيتونه شتون لری؟‬

‫)‬

‫‪2× 5‬‬

‫()‬

‫‪2× 3 +‬‬

‫)‬

‫‪2+ 3 + 5‬‬

‫( =) ‪( 3 + 5‬‬

‫( =) ‪( 3 + 5‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪2+‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د جدول له مخې الندې قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫تﻘﺮﻳﺒﻲقيمت‬ ‫تقريبي‬ ‫ﻗﻴﻤﺖ‬

‫ﻋدد‬

‫‪1.41‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1.73‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2.23‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪5‬‬

‫?= ‪3+ 2‬‬ ‫? = ‪2+ 2‬‬ ‫?= ‪1+ 3‬‬ ‫? = ‪1+ 3‬‬

‫?= ‪2+ 3‬‬ ‫?=‪2+2‬‬ ‫?=‪3+ 1‬‬ ‫? = ‪3 +1‬‬

‫أيا د جمعې د عملې تبديلي خاصيت د حقيقی عددونو به سټ کې صدق کوي او کنه‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫له پورتني فعاليت څخه داسې پايله په الس راځي چې د ‪ a‬او ‪ b‬هر حقيقي عدد لپاره‬ ‫ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪a + b = b+ a‬‬ ‫پوښتنه‪ :‬حقيقي عددونه د ضرب په عمليه کې د بدلون خاصيت لري؟‬ ‫په څو مثالونو کې يې څرگند ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪56 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫د ‪ 6‬واحد په اوږدوالى او ‪ 3‬واحد په سور يو مستطيل رسم ک‪７‬ئ‪،‬‬ ‫د دې مستطيل مساحت څومره دى؟‬

‫‪56 5‬‬

‫يو بل مستطيل رسم ک‪７‬ئ چې اوږدوالى يې ‪ 6‬او سور يې ‪ 2‬واحده‬ ‫وي‪ ،‬ددې مستطيل مساحت څومره دى؟‬

‫‪56‬‬

‫‪2‬‬

‫دا دوه مستطيلونه يو د بل څنگ ته ک‪８５‬دئ‪ .‬له دواړو مستطيلونو‬ ‫څخه د جوړ شوي لوى مستطيل په الس راغلى مساحت څومره دى؟‬ ‫د لوى مستطيل مساحت د دوو کوچنيو مستطيلونو له مساحت سره‬ ‫څه اړيکه لري؟‬ ‫(‪6)3+2(=)6.3(+)6.2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله په الس راځي‪ ،‬د ‪ b,a‬او ‪ c‬اختياري حقيقي عددونو لپاره‬ ‫(‪a×)b+c(=)a×b(+)a×c‬‬ ‫لرو‪:‬‬ ‫دا خاصيت په جمعې باندې د ضرب د توزيعي خاصيت په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ) ‪ 3 × ( 2 + 5‬افادې ښی خوا د حقيقي عددونو د خاصيت له مخې وليکئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪3 × ( 2 + 5) = ( 3 × 2) + ( 3 × 5‬‬

‫‪8‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫مخامخ شکلونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د (‪ )a‬په شکل کې د مکعب مستطيل حجم‬ ‫څومره دى؟‬ ‫د (‪ )b‬په شکل کې مکعب مستطيل حجم څومره‬ ‫دى؟‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪(a‬‬

‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله الس ته راځي‪:‬‬ ‫د ‪ b,a‬او ‪ c‬حقيقي عددونو لپاره لرو‪:‬‬

‫)‪(a× b) × c = a× (b× c‬‬

‫دا په ضرب کې د يووالي (اتحادي) خاصيت دى‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د حقيقي عددونو له خاصيت څخه په کار اخيستنې سره د ) ‪2 × ( 3 × 5‬‬ ‫ښى خوا وليکئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫افادې‬

‫‪2 × ( 3 × 5 ) = ( 2 × 3) × 5‬‬

‫أيا د حقيقي عددونو په جمع کې د يووالي خاصيت شته؟ په څو مثالونو کې يې څرگند ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫يــادونه‬ ‫‪ -1‬تاسو په ياد لرى چې‪:‬‬

‫‪a+ 0 = 0 + a = a‬‬ ‫‪a× 1 = 1 × a = a‬‬

‫پورته رابطه يا اړيکه د ‪ a‬د هر حقيقي عدد لپاره صدق کوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬له دې وروسته د ضرب عمليې د (×) نښې په ځاى د (‪ ).‬نښه ليکو‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫الندې هر يو مساوات په پام کې ونيسئ‪ ،‬اړوند خاصيتونه يې مخې ته وليکئ‪.‬‬ ‫له کوم خاصيت څخه پيروي کوي؟‪.......‬‬

‫‪5 (2 + 3) = 2 5 + 3 5 .........‬‬

‫‪a‬‬

‫له کوم خاصيت څخه پيروي کوي؟‪.......‬‬

‫‪5 + 3 = 3 + 5 .........‬‬

‫‪b‬‬

‫له کوم خاصيت څخه پيروي کوي؟‪3 × ( 2 × 3 ) = ( 3 × 2 ) × 3 .......‬‬

‫‪c‬‬

‫‪2 × 3 = 3 × 2 .........‬‬

‫‪d‬‬

‫له کوم خاصيت څخه پيروي کوي؟‪.......‬‬ ‫‪3 + ( 5 + 2 ) = ( 3 + 5 ) + 2 .........‬‬

‫‪e‬‬

‫له کوم خاصيت څخه پيروي کوي؟‪.......‬‬

‫‪10‬‬

‫د تقريبي دويم جذر د پيداکولو عمومي‬ ‫طريقه‬

‫تاسو د عددونو د مربع جذر پيدا کول د‬ ‫تجزيې په طريقه باندې پوه‪８５‬ئ‪.‬‬ ‫آيا کوالى شو د ټولو عددونو مربع جذر‬ ‫د تجزيې په طريقه پيدا ک‪７‬و؟‬ ‫آيا د يوه عدد دريم جذر د تجزيې له‬ ‫طريقې پرته په کومه بله طريقه پيدا کوالى‬ ‫شئ؟‬

‫ال د ‪ 25‬دويم‬ ‫د عددونو مربع جذر (دويم جذر) پيداکول مو د تجزيې په طريقه په ياد ده‪ ،‬مث ً‬‫جذر څو دئ‪.‬‬ ‫ال‪ 3 27 :‬څو دى؟‬ ‫ د عددونو دريم جذر په کومې طريقې پيدا کوالى شئ‪ ،‬مث ً‬‫ د تجزيې له طريقې پرته د دويم جذر د پيدا کولو لپاره کومه بله طريقه شته؟‬‫تاسو په اووم ټولګي کې د عددونو د دويم جذر د نيولو عمومي شکل‪ ،‬د هر مثبت عدد لپاره‬‫ولوستل د بيا يادونې لپاره الندې مثالونه په پام کې نيسو‪:‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ 625‬عدد دويم جذر پيدا کوو‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ 625‬عدد د جذر تر نښي الندې ليکو‪:‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪0 0‬‬

‫په پايله کې‪625 = 25 :‬‬

‫‪11‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪45 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 116964‬عدد دويم جذر پيدا کوو‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪64‬‬

‫په پايله کې‪116964 = 342 :‬‬

‫‪64‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪00‬‬

‫‪342‬‬ ‫‪3 11 6 9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪64 2 6 9‬‬ ‫‪2 56‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪682‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪00‬‬

‫پوښتنه‪:‬‬ ‫‪ -1‬د دويم جذر د نيولو مرحلې تشريح ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د الندې عددونو دويم جذر پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1127‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪a ) 1024‬‬

‫‪b) 5329‬‬

‫د ‪ c‬په جز کې مو وليدل چې د ‪ 1127‬عدد مکمل دويم جذر نه لري‪.‬‬ ‫آيا د عددونو تقريبي دويم جذر په عمومي شکل سره حسابوالى شئ‪.‬‬ ‫د يوه عدد د تقريبي دويم جذر د پيدا کولو لپاره د عمومي طريقې څخه هم کار اخلو د دې لپاره‬ ‫چې وکوالى شو تقريبي دويم جذر په الس راوړو الندې فعاليت سر ته رسوو‪:‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪1.23 1.360‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪2.03‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪ 1.44 4.1209‬د ﻋدد ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻋدد‬

‫د پورتني جدول له مخې د عدد د اعشاري رقمونو د شم‪５‬ر او د هغه د مربع د اعشاری‬ ‫رقمونو د شم‪５‬ر په منځ کې څه ډول اړيکه يا رابطه موجوده ده؟‬

‫‪12‬‬

‫څرنګه کوالی شو چې د يو مربع شوي عدد د اعشاري رقمونو د شم‪５‬ر به درلودلو سره د‬ ‫نوموري عدد د اعشاري رقمونو شم‪５‬ر پيدا ک‪７‬و؟‬ ‫څرنگه چې په پورته فعاليت کې د يو عدد د دويم جذر د اعشاري رقمونو شم‪５‬ر د همغه عدد‬ ‫د اعشاري رقمونو د شم‪５‬ر د مربع نيمايې دى‪ ،‬له دې قاعدې څخه د تقريبي دويم جذر د نيولو‬ ‫لپاره کار اخلو‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ۍ مثال‪ :‬غواړو چې د اعشارې تر يو رقم پورې د ‪ 1438‬عدد دويم جذر حساب ک‪７‬و‬ ‫‪.00‬‬

‫پاتې‬ ‫په پايله کې‪37.9 :‬‬

‫‪00‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪59‬‬

‫‪37.9‬‬ ‫‪3 14 3 8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪67 5 3 8‬‬ ‫‪4 69‬‬ ‫‪749‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1438‬‬

‫پوښتنه‪:‬آيا ‪ 1438.00 = 1438‬سره دي ولې‪ ،‬د ‪ 1438‬عدد د دويم جذر د نيولو په وخت‬ ‫کې د ‪ 1438.00‬په ډول ليکو‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د اعشارې تر دويم رقم پورې د ‪ 2417‬تقريبي دويم جذر پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫پاتې‬

‫په پايله کې‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪49.16‬‬

‫‪49.16‬‬ ‫‪24 1 7 . 0 0 0 0‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8 17‬‬ ‫‪8 01‬‬ ‫‪16 00‬‬ ‫‪9 81‬‬ ‫‪6 19 00‬‬ ‫‪5 89 56‬‬ ‫‪0 29 44‬‬

‫‪2417‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪981‬‬ ‫‪9826‬‬

‫په پورته مثالونو کې وينو چې د پاتې اعشاري رقمونو شم‪５‬ر د اصلي عدد‪ ،‬د اعشاري رقمونو‬ ‫له شم‪５‬ر سره مساوي دي چې غواړو د هغو دويم جذر پيدا ک‪７‬و‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬تر يوه رقم اعشارې پورې د الندې عددونو دويم جذر پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪274‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) 74‬‬

‫‪a ) 814‬‬

‫‪ -2‬تر دوه رقمي اعشاري پورې د الندې عددونو دويم جذر حساب ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪c) 418‬‬

‫‪b) 5039‬‬

‫‪a ) 94752‬‬

‫‪14‬‬

‫د اوسط په طريقه د دويم جذر‬ ‫تقريبي قيمت‬

‫‪-‬ويالى شئ چې د‬

‫‪81‬‬

‫‪-‬ويالى شئ چې د‬

‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬

‫څو دى؟‬ ‫څو دى؟‬

‫تاسو پوه‪８５‬ئ هر عدد چې په خپل ځان کې ضرب شي د ضرب الس ته راغلى حاصل د‬ ‫لوم‪７‬ي عدد د مربع په نامه ياد‪８４‬ي‪ ،‬خو د ټولو مثبتو عددونو دويم جذر د کسري يا نسبتي عدد‬ ‫په ډول ښودالى نشو‪ ،‬لکه‪30, 10, 5 :‬‬

‫له دې امله د ځينو عددونو د دويم جذر قيمت په تقريبي ډول ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫دلته غواړو د ‪ 5‬تقريبي قيمت پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫پوښتنه‪ :‬د ‪ 5‬عدد‪ ،‬د کومو دوو عددونو د مربع په منځ کې دى؟‬ ‫‪ 5‬د کومو دوو عددونو په منځ کې دى؟‬ ‫د دې په پام کې نيولو سره چې د ‪ 5‬دويم جذر د ‪ 2‬او ‪ 3‬په منځ کې دى کوالى شو ووايو د ‪5‬‬ ‫‪2+3‬‬ ‫دويم جذر تقريبا ً د ‪ 2‬او ‪ 3‬په منځ کې له يو قيمت سره مساوي دى‪ ،‬يعنې‪= 2.5 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫د ‪ 5‬د ښه دقيق قيمت پيدا کولو لپاره الندې جدول په پام کې نيسو‪:‬‬ ‫د‬

‫‪5‬‬

‫عدد د ‪ 2‬او ‪ 2.5‬په منځ کې قرار لري‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻋد د‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6.25‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫عدد‬

‫د دې په پام کې نيولو سره چې د ‪ 5‬عدد د ‪ 4‬او ‪ 6,25‬په منځ کې قرار لري کوالى شو ووايو‬ ‫د ‪ 5‬تقريبي قيمت د ‪ 2‬او ‪ 2,5‬په منځ کې له يو قيمت څخه‬ ‫‪2 + 2.5 4.5‬‬ ‫=‬ ‫عبارت دى‪ ،‬يعنې‪= 2.25 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻋد د‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫عدد‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪6.25‬‬

‫‪2.5‬‬

‫د پورتني جدول له مخې ويالى شئ چې د ‪ 5‬د کومو دوو عددونو په منځ کې پروت دى؟ د‬

‫‪15‬‬

‫دې دوو الرو په کارولو سره ليدل ک‪８５‬ي چې د ‪ 5‬تقريبي قيمت له ‪ 2.25‬څخه عبارت دی‬ ‫‪5‬‬

‫نو کوالى شو وليکو چې‪2.25 :‬‬

‫که چ‪５‬رې پورتن‪ ９‬الرې بيابيا وکاروو‪ ،‬د ‪ 5‬اصلي قيمت ته ال ډ‪４‬ر زيات نژدې ک‪８５‬و‪.‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2 2.25 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫په پايله کې کوالى شو د عددونو تقريبي دويم جذر د پورتن‪ ９‬طريقې په کارولو سره پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 10‬تقريبي دويم جذر پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫