Mathematics 08 [8]

Citation preview

‫د افغاﻧستان اسﻼمﻲ جﻤﻬﻮرﻳت‬ ‫د پﻮﻫﻨ‪ ３‬وزارت‬ ‫د تعلﻴﻤﻲ ﻧصاب د پراختﻴا لﻮی رﻳاست‬

‫‪x+2=5‬‬ ‫?=‪x‬‬

‫? = ‪3‬‬ ‫‪4 8‬‬

‫‪x‬‬

‫درسﻲ کتابﻮﻧﻪ د پﻮﻫﻨ‪ ３‬پﻪ وزارت پﻮرې اړه لرې‪ ،‬پﻴرودل او پلﻮرل ﻳ‪ ３‬مﻨع دي‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬

‫‪[email protected]‬‬

‫د ‪！ ٨‬ﻮل‪／‬ﻲ‬

‫رﻳاضﻲ‬ ‫‪١٣٩٨‬‬

‫الف‬

‫لﻴکﻮاﻻن‪:‬‬ ‫ سرمﻮلف ﻧظام الدﻳﻦ د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف د لوی رياست علمي غ‪７‬ى‬‫ د مﻮلف مرستﻴال محمد خالد ستوری (ځدراڼ) د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف د لوی‬‫رياست علمي غ‪７‬ى‬ ‫ مﻬرﻳﻪ ﻧاصر د ＊وون‪ ３‬او روزن‪ ３‬د وزارت د درسي کتابونو د تاليف د پروژې غ‪７‬ى‬‫علﻤﻲ اډﻳ＂ﻮر‪:‬‬

‫ حبيب اهلل راحل د پوهن‪ ３‬وزارت سالکار د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف د لوی رياست ک‪３‬‬‫ژب‪ ３‬اډﻳ＂ﻮر‪:‬‬ ‫ محمد قدوس زکوخيل د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف لوی رياست علمي غ‪７‬ى‬‫‪ -‬محمد سهراب ديدار د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف لوی رياست علمي غ‪７‬ى‬

‫دﻳﻨﻲ‪ ،‬سﻴاسﻲ او فرﻫﻨ‪／‬ﻲ کﻤﻴ＂ﻪ‪:‬‬ ‫‪ -‬محمد اصف کوچی د اسالمي زده ک‪７‬و د ډيپارتمنت متخصص‬

‫‪ -‬حبيب اهلل راحل د پوهن‪ ３‬وزارت سالکار د تعليمي نصاب د پراختيا په رياست ک‪３‬‬

‫‌إﺷراف‬ ‫‪ -‬دکتور شير علي ظريفي د تعليمي نصاب د پراختيا د پروژې رئيس‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫د‬

‫دا وطﻦ افغاﻧستـــان دى‬

‫دا عزت د ﻫـــر افغان دى‬

‫کﻮر د سﻮل‪ ３‬کﻮر د تﻮرې‬

‫ﻫر بچی ﻳ‪ ３‬قﻬرﻣـــان دى‬

‫دا وطﻦ د ！ﻮلﻮ کـﻮر دى‬

‫د بلﻮ＇ــــﻮ د ازبکـــــــــﻮ‬

‫د پ‪＋‬تــــﻮن او ﻫزاره وو‬

‫د ترکﻤﻨــــﻮ د تاجکـــــــﻮ‬

‫ورسره عرب‪－ ،‬ﻮجــر دي‬

‫پاﻣﻴــرﻳان‪ ،‬ﻧﻮرستاﻧﻴــــان‬

‫براﻫﻮي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫ﻫﻢ اﻳﻤـــاق‪ ،‬ﻫﻢ پشـﻪ ‪４‬ان‬

‫دا ﻫﻴـــﻮاد بﻪ تل ‪＄‬لﻴ‪８‬ي‬

‫لکــﻪ لﻤــر پر شﻨﻪ آسﻤـان‬

‫پﻪ سﻴﻨــﻪ ک‪ ３‬د آسﻴـــا بﻪ‬

‫لکـــﻪ زړه وي جــاوﻳدان‬

‫ﻧﻮم د حق ﻣﻮدى رﻫبـــر‬

‫واﻳﻮ اهلل اکبر واﻳﻮ اهلل اکبر‬

‫بسﻢ اهلل الرحﻤﻦ الرحﻴﻢ‬ ‫د پﻮﻫﻨ‪ ３‬د وزﻳر پﻴغام‬

‫الحمداهلل رب العالمين والصلوة والسالم علی نبيه و رسوله محمد و علی آله و اصحابه اجمعين اما‬ ‫بعد‪:‬‬ ‫د پوهن‪ ３‬تعليم‪ ３‬نصاب د ＊وون‪ ３‬او روزن‪ ３‬د نظام بنسټ جوړوي او د هيواد د اوسنيو او راتلونکو‬ ‫نسلونو په علمي‪ ،‬فکري او سلوکي ودې او پراختيا ک‪ ３‬بنسټيز او ارز＊تمن رول لري‪.‬‬ ‫تعليمي نصاب بايد د وخت په تيريدو او د ژوندانه په ب‪５‬الب‪５‬لو ډ‪－‬رونو ک‪ ３‬له بدلون او پرمخت‪ ，‬او د‬ ‫ټولن‪ ３‬له اړتياوو سره سم هم د مضمون او محتوا او هم د معلوماتو د ورک‪７‬ې د الرو چارو له مخ‪３‬‬ ‫بدلون او پراختيا ومومي‪.‬‬ ‫د تعليمي نصاب په ډ‪－‬ر ک‪ ،３‬چ‪ ３‬د بيا کتلو لپاره ورته ډ‪４‬ره اړتيا موجوده ده‪ ،‬يو هم د اسالمي زده‬ ‫ک‪７‬و نصاب دی؛ ځکه په اسالمي زده ک‪７‬و ک‪ ３‬عقايد او د اسالم د سپ‪（５‬لي دين احکام او الر＊وون‪３‬‬ ‫شامل‪ ３‬دي‪ ،‬چ‪ ３‬د انساني ژوند د ټولو اړخونو بشپ‪ ７‬نظام او قانون او د ن‪７‬ۍ د خالق او پرود‪－‬ار د‬ ‫وروستني پيغام په تو‪－‬ه به د قيامت تر ورځ‪ ３‬پورې د بشريت د الر＊وون‪ ３‬دنده سرته رسوي‪.‬‬ ‫د اسالمي امت عالمانو د تاريخ په اوږدو ک‪ ３‬د اسالمي معارف‪ ،‬د اسالمي تعليماتو د سيستم په‬ ‫رامنځته کولو‪ ،‬پراختيا او ب‪６‬اينه او همدارنگه په ځانگ‪７‬ې توگه د اسالمي ن‪７‬ۍ د علمي مرکزونو او‬ ‫موسساتو د تعليمي نصاب په تدريجي انکشاف ک‪ ３‬خپله دنده سرته رسول‪ ３‬ده‪.‬‬ ‫په اسالمي معارف او اسالمي علومو ک‪ ３‬دقيقه مطالعه دا څر‪－‬ندوي چ‪ ３‬زموږ د تعليمي مدرسو او‬ ‫مرکزونو نصاب د ټولن‪ ３‬د اړتياوو او د اسالم د دين له ثوابتو او طبيعت سره سم د ټولو انسانانو لپاره هر‬ ‫وخت او هر ځای پراختيا موندل‪ ３‬ده‪.‬‬ ‫زموږ گران هيواد افغانستان د علمي ځلند تاريخ په درلودلو سره يو وخت د علم او زده ک‪７‬ې يو لوی‬ ‫مرکز و چ‪ ３‬د اسالمي لوی تمدن په جوړ＊ت ک‪ ３‬ي‪ ３‬ستر رول درلود‪ .‬د علم او فرهنگ په مختلفو‬ ‫هـ‬

‫ساحو او په ځانگ‪７‬ې توگه په شرعي علومو‪ ،‬لکه عقايد‪ ،‬تفسير‪ ،‬حديث‪ ،‬فقه‪ ،‬د فقه‪ ３‬اصولو ک‪ ３‬د زر‪－‬ونو پوهانو او‬ ‫عالمانو شتون زموږ ددې وينا پخلی کوي‪.‬‬ ‫په اوسني عصر ک‪ ３‬د اسالمي څپو له ډ‪４‬ر‪４‬دو او لوړ‪４‬دو سره سم زموږ په ه‪５‬واد ک‪ ３‬اسالمي تعليماتو د څومره والي‬ ‫او ځرن‪／‬والي له مخ‪ ３‬زيات بدلون موندلی او د ه‪５‬واد کوچنيانو او ځوانانو په ډ‪４‬ره مينه او ليوالتيا د اسالمي زده ک‪７‬و‬ ‫مرکزونو او مدرسو ته مخه ک‪７‬ې ده‪.‬‬ ‫د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهن‪ ３‬وزارت د اسالمي زده ک‪７‬و د کيفي او کمي پراختيا او په هغ‪ ３‬ک‪ ３‬د‬ ‫اسالمي زده ک‪７‬و نصاب په اړه د پام وړ ‪－‬امونه پورته ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫دې وزارت د هيواد د ډاډ وړ عالمانو‪ ،‬استادانو او نامتو ماهرينو ته بلنه ورک‪７‬ې چ‪ ３‬د تعليمي نصاب ال ＊ه کولو ته مټ‪３‬‬ ‫ونغاړي او د ＊‪ ３‬او زيات‪－ ３‬ټ‪ ３‬اخيستن‪ ３‬په موخه په اسالمي زده ک‪７‬و ک‪ ３‬د دود تعليمي نصاب د موجودو مضمونونو‬ ‫او کتابونه له کمولو او زياتولو پرته موجود کتابونه په درسي چوکاټ ک‪ ３‬واچوي‪ ،‬متنونه ي‪ ３‬ال واضح او څر‪－‬ند ک‪７‬ي‬ ‫او د فعاليتونو‪ ،‬ارزونو او مناسبو تمرينونو په زياتولو ي‪ ３‬نور هم پس‪ ３‬ب‪６‬ای ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫هيله لرم چ‪ ３‬د پوهن‪ ３‬وزارت دا کوچنی خدمت او د هيواد د عالمانو‪ ،‬پوهانو او ماهرانو د ستاينی وړ زيار د اهلل تعالی‬ ‫د منلو وړ او زموږ په ‪－‬ران ه‪５‬واد ک‪ ３‬د اسالمي تعليماتو په ودې او پراختيا ک‪ ３‬گټور پای ته ورسي‪８‬ي‪.‬‬

‫وبااهلل توفيق‬ ‫دکتور محمد ميرويس بلخي‬ ‫د پوهن‪ ３‬وزير‬

‫ﻣقدﻣﻪ‬ ‫قدرﻣﻨﻮ استاداﻧﻮ او ‪－‬راﻧﻮ زده کﻮوﻧکﻮ‪،‬‬

‫رياضي چ‪ ３‬د طبيعي علومو ژبه ده‪ ،‬د طبيعت قوانين د فورمولونو په شکل وړاندې کوي او په عددونو‬ ‫او مقدارونو پورې اړوند مسايل د حساب په ژبه بيانوي‪.‬‬ ‫و‪７－‬ي په خپل ورځني ژوند ک‪ ３‬دى علم ته اړتيا لري‪ ،‬د ساينسي علومو لپاره د ِکلِي حيثيت لري‪ ،‬د‬ ‫طبيعت زيات قوانين د رياضي د علم په ژبه بيان‪８５‬ي‪ ،‬د رياضي علم ته د شرعي مسايلو په حل ک‪ ３‬هم‬ ‫اړتيا ده‪ ،‬د ميراث د ويش‪ ،‬د ځمکو د و‪４‬ش په مهال د هغو د مساحت پ‪５‬ژندل‪ ،‬د شريکانو د حقوقو‬ ‫پ‪５‬ژندل او په داس‪ ３‬نورو ډ‪４‬رو برخو ک‪ ３‬له رياضي څخه کار اخيستل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫نو د دې لپاره چ‪ ３‬زمون‪ ８‬د شرعي مدارسو فارغان اړين‪ ３‬وړتياوې ولري‪ ،‬د ژوند ورځني مسايل چ‪ ３‬په‬ ‫رياضي پورې اړوند وي حل ک‪７‬اى شي‪ ،‬د ميراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬د مالونو د و‪４‬ش په مسايلو او د ساينسي‬ ‫مضامينو په محتوا وپوه‪８５‬ي‪ ،‬د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهن‪ ３‬وزارت د تعليمي نصاب د‬ ‫پراختيا عمومي رياست‪ ،‬د رياضي اړين مسايل د شرعي مدارسو په نصاب ک‪ ３‬ځای په ځای ک‪７‬ل‪.‬‬ ‫په دې تو‪－‬ه چ‪ ３‬د دې برخ‪ ３‬د زده کوونکو بنسټيزو اړتياوو‪ ،‬راتلونکي تخصص او په تعليمي پالن‬ ‫ک‪ ３‬د رياضي د مضمون لپاره ټاکل شوي وخت ته په پام ‪ ３４‬د رياضي د علم ضروري مسايل د نصاب‬ ‫ليکن‪ ３‬د معاصر فن په نظر ک‪ ３‬نيولو سره په آسانو او اغيزمنو طريقو تاليف ک‪７‬ل‪ ،‬تر څو د شرعي‬ ‫مدارسو فارغان د ديني علومو تر څن‪ ，‬ځين‪ ３‬اړين دنيوي علوم هم زده ک‪７‬ي‪ ،‬ظرفيتونه ي‪ ３‬لوړ شي‬ ‫او په ټولنه ک‪ ３‬د فعال ‪－‬ټور او اغ‪５‬زمن رول لوبولو لپاره وړتياوې تر السه ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫واهلل ولى التوفيق‬

‫ل‪ ７‬لﻴک‬ ‫سرلﻴک‬ ‫لﻮﻣ‪７‬ى ＇پرکﻰ‪ :‬حقﻴقﻲ عددوﻧﻪ‬ ‫د حقيقي عددونو مفهوم‬ ‫د حقيقي عددونو خواص‬ ‫د تقريبي جذرالمربع د نيولو عمومي طريقه‬ ‫د اوسط په طريقه د جذرالمربع تقريبي قيمت‬ ‫د اعشاريه لرونکو عددونو جذرالمربع‬ ‫د جذر لرونکو عددونو جمع او تفريق‬ ‫د جذرالمربع ضرب او تقسيم‬ ‫د توان لرونکو عددونو قوانين (ضرب)‬ ‫د توان لرونکو عددونو و‪４‬ش‬ ‫د صفر او منفي توان‬ ‫کسري توانونه او قوانين ي‪３‬‬ ‫د کسرونو ناطق يا گويا کول‬ ‫دوﻳﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬ﻣالﻲ ﻣحاسب‪３‬‬ ‫نسبت‬ ‫په متناسبو اجزاوو باندې و‪４‬شل‬ ‫تناسب‬ ‫د تناسب خواص‬ ‫د تناسب ډولونه‬ ‫معکوس تناسب‬ ‫فيصد (سلنه)‬ ‫احديت‬ ‫زکات‬ ‫تخفيف‬ ‫در‪４‬ﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬ﻣشابﻬتﻮﻧﻪ‬ ‫ورته شکلونه‬ ‫ورته (متشابه) مضلع ‪－‬ان‪３‬‬ ‫په مساوي فاصلو موازي خطونه‬ ‫د تالس قضيه‬ ‫و‬

‫مخﻮنﻪ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫‪٢٩‬‬ ‫‪٣١‬‬ ‫‪٣٧‬‬ ‫‪٣٩‬‬ ‫‪٤١‬‬ ‫‪٤٣‬‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٥١‬‬ ‫‪٥٣‬‬ ‫‪٥٥‬‬ ‫‪٥٧‬‬ ‫‪٦١‬‬ ‫‪٦٧‬‬ ‫‪٦٩‬‬ ‫‪٧١‬‬ ‫‪٧٣‬‬ ‫‪٧٥‬‬

‫سرلﻴک‬ ‫＇لﻮرم ＇پرکﻰ‪ :‬تﻨاظر‬ ‫د تناظر مفهوم‬ ‫محوري تناظر‬ ‫مرکزي تناظر‬ ‫پﻨ‪％‬ﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬د ﻣثلث قضﻴ‪３‬‬ ‫د متساوي الساقين مثلث قضي‪３‬‬ ‫د فيثاغورث قضيه‬ ‫ناصف الزاويه‬ ‫د مثلث د داخلي زاويو ناصفونه‬ ‫په يوه مثلث ک‪ ３‬عمومي ناصف‬ ‫د مثلث ارتفاع ‪－‬ان‪( ３‬جگوال‪)３‬‬ ‫د مثلث مياني‬ ‫شپ‪８‬م ＇پرکﻰ‪ :‬الجبري افادې‬ ‫د متحول مفهوم‬ ‫الجبري افادې‬ ‫د الجبري افادو ساده کول‬ ‫د يو حده افادو ضرب‬ ‫د يو حده افادو و‪４‬ش‬ ‫د الجبري افادو ضرب‬ ‫مطابقتونه‬ ‫اووم ＇پرکﻰ‪ :‬ﻣعادل‪３‬‬ ‫د معادل‪ ３‬مفهوم‬ ‫په معادله ک‪ ３‬د جمع‪ ３‬او تفريق عملي‪３‬‬ ‫په معادلو ک‪ ３‬د ضرب او و‪４‬ش عملي‪３‬‬ ‫لوم‪７‬ۍ درجه يو مجهوله عمومي معادله‬ ‫اتﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬د قاﻳﻤﻮ ﻣختصاتﻮ سﻴستﻢ‬ ‫ټکى په مستوي ک‪３‬‬ ‫د يوه ټکي مختصيات په مستوي ک‪３‬‬ ‫مجهول او متحول‬

‫مخﻮنﻪ‬ ‫‪٧٩‬‬ ‫‪٨١‬‬ ‫‪٨٣‬‬ ‫‪٨٥‬‬ ‫‪٨٩‬‬ ‫‪٩١‬‬ ‫‪٩٣‬‬ ‫‪٩٧‬‬ ‫‪٩٩‬‬ ‫‪١٠١‬‬ ‫‪١٠٥‬‬ ‫‪١٠٧‬‬ ‫‪١١١‬‬ ‫‪١١٣‬‬ ‫‪١١٥‬‬ ‫‪١١٧‬‬ ‫‪١١٩‬‬ ‫‪١٢١‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫‪١٢٥‬‬ ‫‪١٣١‬‬ ‫‪١٣٣‬‬ ‫‪١٣٥‬‬ ‫‪١٣٧‬‬ ‫‪١٣٩‬‬ ‫‪١٤٣‬‬ ‫‪١٤٥‬‬ ‫‪١٤٧‬‬ ‫‪١٥١-١٤٩‬‬ ‫ز‬

‫لوم‪７‬ى ＇پرکی‬ ‫حقﻴقي عددونه‬

‫‪√2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-√ 2‬‬

‫‪-e‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-π‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫د حقﻴقي عددونو مفهوم‬ ‫کوالى شئ ټول نسبتي عددونه د عددونو‬ ‫د محور پر مخ باندې وښياست‪ ،‬لکه په‬ ‫الندې شکل کې چې د عددونو محور‬ ‫پر مخ ځينې نسبتي عددونه ښودل‬ ‫شوي دي‪.‬ايا کوالى شئ چې د ‪ 2‬په‬ ‫ډول عدد هم د عددونو د محور پر مخ‬ ‫وښياست؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫? ‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫ايا ناطق عددونه مو پيژندلي دي؟‬ ‫د اووم ټولګي په درسي کتاب کې د عددونو د محور په پام کې نيولو سره ويالى شو چې هر‬ ‫ناطق (نسبتي) عدد د عددونو د محور پر مخ باندې يوازې د يوې نقطې په واسطه ښودل کي‪８‬ي‪،‬‬ ‫لکه دا الندې شکل چې ځينې نسبتي عددونه د هغه پر مخ باندې ښودل شوي دي‪.‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪- 3‬‬

‫‪- 34 -0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫داسې نور عددونه هم شته چې تر اوسه پورې د عددونو د محور پر مخ باندې نه دې ښودل‬ ‫شوى‪ ،‬يا په بل عبارت يوازې نسبتي عددونه نشي کوالى د عددونو د محور پر مخ ټولې پرتې‬ ‫نقطې وښيي يعنې د عددونو د محور پر مخ باندې د نسبتي عددونو په منځ کې د داسې عددونو‬ ‫لپاره ډير تش ځايونه شته چې هغه نسبتي يا ناطق عددونه‪ ،‬نه دي چې د همدې عددونو په‬ ‫واسطه ډکي‪８‬ي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د الندې عددونو جذرالمربع پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪25‬‬

‫‪10‬‬

‫په پورتني فعاليت کې د کوم عدد جذرالمربع پيدا کول تاسو ته ستونزمن دي؟‬

‫‪3‬‬

‫ﻋﺪ د‬ ‫ﺟﺬر اﻟﻤﺮﺑﻊ‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪16‬‬

‫ﻋﺪ د‬

‫ځان‪ 1‬کې ضرب شي او د ﺟﺬر‬ ‫‪0‬‬ ‫ضرباﻟﻤﺮﺑﻊحاصل‬ ‫ايا کوالى شئ يو ناطق عدد پيدا ک‪７‬ئ چې په خپل‬ ‫يې ‪ 2‬شي‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1.3 1.4 4 1.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪16‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫ﻋﺪ د‬ ‫ﻋﺪ د‬

‫ﺟﺬر اﻟﻤﺮﺑﻊ‬

‫‪1‬‬

‫د ﻋﺪ د ﻣﺮﺑﻊ‬

‫‪1.5‬‬ ‫د ‪ 2‬عدد جذرالمربع د کومو دوو عددونو‪1.43‬‬ ‫ترمنځ پرته ده؟‬ ‫د ﻋﺪ د ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫د ‪ 2‬د عدد جذرالمربع د پيدا کولو ن‪８‬دې‪2.25‬‬ ‫بشپ‪７‬‬ ‫جدول‬ ‫قيمت ته د زيات پام‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫‪1.9881‬لپاره الندې د ﻋﺪ د‬ ‫ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪1.3 1.42‬‬ ‫‪1.4‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪1.42‬‬

‫‪1.2‬‬ ‫‪1.41‬‬

‫‪1 1.401.1‬‬

‫‪1.41‬‬ ‫‪1.9881‬‬

‫‪1.40‬‬

‫ﻋﺪ دﻋﺪ د‬

‫ﻋﺪ د‬ ‫د ﻋﺪ د ﻣﺮﺑﻊ‬

‫د پورتني جدول په کتلو سره وواياست چې د ‪ 2‬د عدد جذرالمربع د کومو دوو عددونو‬ ‫ترمنځ پرته ده؟ د لوم‪７‬ۍ کرښې عددونه داسې عددونه دي چې د هغوی په منځ کې د ‪ 2‬عدد‬ ‫جذرالمربع د شتون ګومان پرې کيداى شي‪.‬هر څومره چې د جدول د لوم‪７‬ۍ کرښې عددونه‬ ‫يو بل ته نژدې وټاکل شي‪ ،‬بيا هم په دويمه کرښه کې د ‪ 2‬عدد نه ليدل کي‪８‬ي او د ‪ 2‬جذرالمربع‬ ‫نه پيدا کي‪８‬ي‪ .‬يعنې داسې ناطق عدد چې له ‪ 2‬سره مساوي وي‪ ،‬پيدا کوالى نشو‪ ،‬نو د‬ ‫عددونو يو نوى سيټ شته چې د غير ناطقو (ګونګو) عددونو له سيټ څخه عبارت دى‪ .‬د غير‬ ‫ناطقو عددونو سيټ په ‪ Q‬سره ښيو‪ ،‬لکه‪ 2 , 3 , 5 , 7 ...‬او داسې نور‪.‬‬ ‫سره له دې چې د ‪ 2‬ناطق عدد نه دى‪ ،‬کوالى شو د هندسي ښوونې په کارولو سره هغه په‬ ‫الندې ډول د عددونو د محور پر مخ باندې وښيو‪.‬‬

‫په پورتني شکل کې ليدل کي‪８‬ي د ‪ ABCD‬کوچن‪ ９‬مربع چې د ضلعو اوږدوالی يې يو يو‬ ‫واحد دى‪ ،‬په دوو قايم الزاويه مثلثونو وېشل شوي چې د ټولې کوچني مربع مساحت يو واحد‬

‫‪4‬‬

‫مربع دى‪.‬‬ ‫همدارنګه د ‪ AMNC‬د لويې مربع په شکل کې وينئ چې مساحت يې نسبت ‪OBCD‬‬ ‫کوچن‪ ９‬مربع ته زيات او مساحت يې ‪ 2‬واحد مربع دى‪ .‬له دې ا مله د مربع د مساحت د‬ ‫فارمول له مخې پوهي‪８‬و چې د لويې مربع د هرې ضلعې اوږدوالى له ‪ 2‬واحد ﺳﺮه مساوي‬ ‫دي‪.‬‬ ‫که چېرې د ‪ O‬ټکى مرکز ونيسو او د ‪ 2‬په شعاع‪ ،‬چې د لويې مربع يوه ضلعه ده‪ ،‬يو قوس‬ ‫رسم ک‪７‬و‪ ،‬چې د عددونو محور قطع ک‪７‬ي‪ ،‬د عددونو له محور سره د تقاطع نقطه د ‪ 2‬ځاى‬ ‫د عددونو د محور پر مخ باندې ټاکي‪.‬‬ ‫څرنګه چې ناطق عددونه‪ ،‬جمعي معکوس عددونه لري‪ ،‬غير ناطق عددونه هم جمعي‬ ‫معکوس عددونه لري‪ .‬د بېلګې په توګه د ‪ 2‬جمعي معکوس ‪ - 2‬دى چې د عددونو پر‬ ‫محور د صفر کيڼې خوا ته ښودل شوى دى‪.‬‬ ‫ويلى شو چې د عددونو د محور هره نقطه له يوه حقيقي عدد سره او برعکس هر حقيقي‬ ‫عدد د عددونو د محور له يوې نقطې سره مطابقت کوي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪- 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪-1.414‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫د ناطقو او غيرناطقو عددونو يووالى (اتحاد) د حقيقي عددونو د سيټ په نامه يادي‪８‬ي او د‬ ‫حقيقي عددونو سيټ په ‪ IR‬ښودل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 3‬عدد د عددونو پر محور وښياست‪.‬‬ ‫حﻞ‪ :‬د ‪ 2‬له نقطې څخه د يوه واحد په اندازه پورته خواته حرکت کوو او يو ټکى په نښه‬ ‫کوو الس ته راغلى ټکى له ‪ O‬سره نښلوو‪ ،‬د (‪ )O‬نقطه مرکز نيسو‪ .‬يو قوس رسموو چې د‬ ‫عددونو محور قطع ک‪７‬ي‪ .‬الس ته راغلې نقطه د عددونو پر محور باندې د ‪ 3‬ځاى ټاکي‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬له الندې عددونو څخه کوم يو غير ناطق دئ‪:‬‬ ‫‪37‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪5,‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪16 ,‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬درې ناطق عددونه او درې غير ناطق عددونه وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 15‬په اړه څه ډول فکر کوئ ناطق دی او که غير ناطق؟‬ ‫‪ -4‬د عددونو پر محور باندې د ‪ 5‬او ‪ 1+ 2‬ځايونه وښياست‪.‬‬ ‫‪ -5‬د ‪ 8 + 2 2‬او ‪ 3 + 4‬په عددي افادو کې کومه افاده ناطقه او کومه يوه غير ناطقه ده؟‬ ‫‪ -6‬د ‪ 5 , 31 , 36‬او ‪ 144‬په اړه څه فکر کوئ ناطق دي او که غير ناطق؟‬

‫‪6‬‬

‫د حقﻴقي عددونو خواص‪:‬‬

‫ايا په حقيقي عددونو کې د تبديلي‬ ‫اتحادي او توزيعي خاصيتونه سم دي؟‬

‫‪2+ 5= 5+ 2‬‬

‫)‬

‫‪2× 5‬‬

‫()‬

‫‪2× 3 +‬‬

‫)‬

‫‪2+ 3 + 5‬‬

‫( =) ‪( 3 + 5‬‬

‫( =) ‪( 3 + 5‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪2+‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د جدول له مخې الندې تقريبي قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫تقريبي قيمت‬

‫عدد‬

‫‪1.41‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1.73‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2.23‬‬

‫‪5‬‬

‫?= ‪3+ 2‬‬ ‫? = ‪2+ 2‬‬ ‫?= ‪1+ 3‬‬ ‫? = ‪1+ 3‬‬

‫?= ‪2+ 3‬‬ ‫?=‪2+2‬‬ ‫?=‪3+ 1‬‬ ‫? = ‪3 +1‬‬

‫اﻳا دحقيقي عددونو ترتيب په جمع کې توپير لري او که نه؟‬ ‫خاصيت د څه په نامه يادې‪８‬ي؟‬ ‫په طبيعي عددونو کې دا‬ ‫فعاﻟﻴت‬ ‫له پورتني فعاليت څخه داسې پايله په الس راځي چې د ‪ a‬او ‪ b‬هر حقيقي عدد لپاره‬ ‫ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪a + b = b+ a‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬ايا د حقيقي عددونو د ضرب په عميله کې هم د بدلون خاصيت صدق کوي؟‬ ‫په څو مثالونو کې يې څرگند ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪5‬‬

‫د ‪ 5‬واحدونو په اوږدوالي او د ‪ 3‬د واحدونو په سور يو مستطيل‬ ‫رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬د دې مستطيل مساحت څومره دى؟‬ ‫يو بل مستطيل رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬چې اوږدوالى يې ‪ 5‬او سور يې ‪2‬‬ ‫واحده وي‪ ،‬ددې مستطيل مساحت څومره دى؟‬ ‫دا دوه مستطيلونه يو د بل څنگ ته کې‪８‬دئ‪ .‬له دواړو مستطيلونو‬ ‫څخه د جوړ شوي لوى مستطيل مساحت څومره دى؟‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫د لوى مستطيل مساحت د دوو کوچنيو مستطيلونو د مساحتونو له‬ ‫مجموع سره څه اړيکه لري؟‬ ‫)‪5(3+2)=(5.3)+(5.2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله په الس راځي‪ ،‬د ‪ b,a‬او ‪ c‬اختياري حقيقي عددونو له پاره‬ ‫(‪a×)b+c(=)a×b(+)a×c‬‬ ‫لرو‪:‬‬ ‫دا خاصيت په جمعې باندې د ضرب د توزيعي خاصيت په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫مثال‪ :‬د ) ‪ 3 × ( 2 + 5‬افادې ښی خوا د حقيقي عددونو د توزيعي خاصيت له مخې‬ ‫وليکئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪3 × ( 2 + 5) = ( 3 × 2) + ( 3 × 5‬‬

‫‪8‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫مخامخ شکلونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د (‪ )a‬شکل يعنې د مکعب مستطيل حجم‬ ‫څومره دى؟‬ ‫د (‪ )b‬شکل مکعب مستطيل حجم څومره‬ ‫دى؟‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪(a‬‬

‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله الس ته راځي‪:‬‬

‫د ‪ b,a‬او ‪ c‬هر حقيقي عدد لپاره لرو‪:‬‬ ‫)‪(a× b) × c = a× (b× c‬‬

‫تاسو په ياد لرئ چې‪:‬‬ ‫‪a+ 0 = 0 + a = a‬‬ ‫‪a× 1 = 1 × a = a‬‬

‫پورته رابطه يا اړيکه د ‪ a‬د هر حقيقي‬ ‫عددونو سيټ لپاره صدق کوي‪.‬‬

‫دا په ضرب کې د يووالي خاصيت دى‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د حقيقي عددونو له خاصيت څخه په کار اخيستنې سره په ) ‪2 × ( 3 × 5‬‬ ‫باندې اتحادي خاصيت تطبيق ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫افادې‬

‫‪2 × ( 3 × 5 ) = ( 2 × 3) × 5‬‬

‫د اتحاد يا يووالي خاصيت د جمعې په عمليه کې شته؟ په څو مثالونو کې يې څرگند ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫يــادونه‪ :‬له دې وروسته د(×) نښې په ځاى د (‪ ).‬نښه ليکو‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫الندې هر يو مساوات په پام کې ونيسئ‪ ،‬اړوند خاصيتونه يې مخې ته وليکئ‪.‬‬ ‫( د‪......‬خاصيت له مخې)‬

‫‪5 (2 + 3) = 2 5 + 3 5 .........‬‬

‫‪a‬‬

‫(د‪......‬خاصيت له مخې )‬

‫‪5 + 3 = 3 + 5 .........‬‬

‫‪b‬‬

‫(د‪ ......‬خاصيت له مخې ) ‪3 × ( 2 × 3 ) = ( 3 × 2 ) × 3‬‬

‫( د‪......‬خاصيت له مخې )‬

‫‪c‬‬

‫‪2 × 3 = 3 × 2 .........‬‬

‫‪d‬‬

‫( د‪ ......‬خاصيت له مخې)‬ ‫‪3 + ( 5 + 2 ) = ( 3 + 5 ) + 2 .........‬‬

‫‪e‬‬

‫‪10‬‬

‫د تقريبي جذر المربع د نﻴولو عمومي‬ ‫طريقه‪:‬‬

‫تاسو د عددونو د جذرالمربع د پيدا کولو‬ ‫لپاره د تجزيې په طريقه باندې پوهي‪８‬ئ‪.‬‬ ‫ايا کوالى شو د ټولو عددونو جذرمربع د‬ ‫تجزيې په طريقه پيدا ک‪７‬و؟‬ ‫ايا د يوه عدد دريم جذر د تجزيې له‬ ‫طريقې پرته په کومه بله طريقه پيدا کوالى‬ ‫شئ؟‬

‫ال د ‪ 25‬جذر المربع څو ده؟‬ ‫د عددونو جذرالمربع مو د تجزيې په طريقه په ياد ده؟ مث ً‬‫ال‪ 3 27 :‬څو دى؟‬ ‫ د عددونو دريم جذر په کومې طريقې پيدا کوالى شئ‪ .‬مث ً‬‫ د تجزيې له طريقې پرته د جذر المربع د پيدا کولو لپاره کومه بله طريقه شته؟‬‫تاسو په تېر ټولګي کې د هر مثبت عدد لپاره د عددونو د جذرالمربع د پيدا کولو عمومي‬‫شکل‪ ،‬ولوست‪ ،‬د بيا يادونې لپاره الندې مثالونه په پام کې نيسو‪:‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ 625‬عدد جذرالمربع پيدا کوو‪.‬‬ ‫حل‪ :‬عدد تر جذر الندې ليکو‪:‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪0 0‬‬

‫‪11‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪45 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 116964‬عدد جذر المربع پيدا کوو‪:‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪64‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪00‬‬

‫په پايله کې‪116964 = 342 :‬‬

‫‪342‬‬ ‫‪3 11 6 9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪64 2 6 9‬‬ ‫‪2 56‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪682‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪00‬‬

‫د دويم جذر د نيولو مرحلې تشريح ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬د الندې عددونو جذرالمربع پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1127‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪a ) 1024‬‬

‫‪b) 5329‬‬

‫د ‪ c‬په جز کې مو وليدل چې د ‪ 1127‬عدد تام جذرالمربع نه لري‪.‬‬ ‫ايا د عددونو تقريبي جذرالمربع په عمومي شکل سره حسابوالى شئ‪.‬‬ ‫د يوه عدد د تقريبي جذرالمربع پيدا کولو لپاره له عمومي طريقې څخه هم کار اخلو‪ ،‬ددې‬ ‫لپاره چې وکوالى شو تقريبي جذرالمربع په الس راوړو‪ ،‬الندې فعاليت سر ته رسوو‪:‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪1.23 1.360‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪2.03‬‬

‫‪1.2‬‬

‫ﻋدد‬

‫‪ 1.44 4.1209‬د ﻋﺪد ﻣﺮﺑﻊ‬

‫د پورتنى جدول له مخې د عدد د اعشاري رقمونو د شمېر او د هغه د مربع په منځ کې څه‬ ‫ډول اړيکه يا رابطه موجوده ده؟‬

‫‪12‬‬

‫څرنگه کوالى شو چې د اعشاري رقمونو د شمېر مربع په درلودلو سره د اعشاري عدد‪،‬‬ ‫د رقمونو شمېر پيدا ک‪７‬و؟‬ ‫څرنگه چې په پورته فعاليت کې د جذرالمربع د اعشاري رقمونو شمېر د همغه اعشاري‬ ‫رقمونو د شمېر د مربع نيمايي دى‪ ،‬له دې قاعدې څخه د تقريبي جذرالمربع د نيولو لپاره کار‬ ‫اخلو‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ۍ مثال‪ :‬غواړو تر يو رقمي اعشاري پورې د ‪ 1438‬عدد جذرالمربع حساب ک‪７‬و‬ ‫‪.00‬‬

‫‪.0 0‬‬ ‫‪.4 1‬‬ ‫‪.5 9‬‬

‫پاتې‬ ‫په پايله کې‪37.9 :‬‬

‫‪37.9‬‬ ‫‪3 14 3 8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪67 5 3 8‬‬ ‫‪4 69‬‬ ‫‪749‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1438‬‬

‫پو＊تنه‪:‬ايا ‪ 1438.00 = 1438‬سره دی؟ ولې د ‪ 1438‬عدد د ‪ 1438.00‬په ډول ليکو‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬تر دوه رقم اعشاري پورې د ‪ 2417‬تقريبي جذرالمربع پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪. 00 00‬‬

‫پاتې‬

‫په پايله کې‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪49.16‬‬

‫‪2417‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 00‬‬ ‫‪9 56‬‬ ‫‪9 44‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪49.16‬‬ ‫‪24 1 7‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8 17‬‬ ‫‪8 01‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪981‬‬ ‫‪9826‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬تر يوه رقم اعشارې پورې د الندې عددونو جذرالمربع پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪274‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) 74‬‬

‫‪a ) 814‬‬

‫‪ -2‬تر دوه رقمي اعشارې پورې د الندې عددونو جذرالمربع حساب ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪c) 418‬‬

‫‪b) 5039‬‬

‫‪a ) 94752‬‬

‫‪14‬‬

‫د اوسط په طريقه د جذرالمربع‬ ‫تقريبي قﻴمت‪:‬‬

‫‪-‬ايا ويالى شئ چې د‬

‫‪81‬‬

‫څو دى؟‬

‫‪-‬ايا ويالى شئ چې د‬

‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬

‫څو دى؟‬

‫تاسو پوهې‪８‬ئ هر عدد چې په خپل ځان کې ضرب شي‪ ،‬د ضرب الس ته راغلى حاصل د‬ ‫لوم‪７‬ي عدد د مربع په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫خو د ټولو مثبتو عددونو جذرالمربع د کسري يا نسبتي عدد په ډول ښودالى نشو‪.‬‬ ‫لکه‪30, 10, 5 :‬‬

‫له دې امله د ځينو عددونو د جذرالمربع قيمت په تقريبي ډول ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫دلته غواړو د ‪ 5‬د تقريبي عدد قيمت پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬د ‪ 5‬عدد‪ ،‬د کومو دوو عددونو د مربع په منځ کې دى؟‬ ‫‪ 5‬د کومو دوو عددونو په منځ کې دى؟‬ ‫د دې په پام کې نيولو سره چې د ‪ 5‬جذر المربع د ‪ 2‬او ‪ 3‬په منځ کې ده‪ ،‬کوالى شو ووايو د ‪5‬‬ ‫‪2+3‬‬ ‫جذرالمربع تقريبا ً د ‪ 2‬او ‪ 3‬په منځ کې له يو قيمت سره مساوي ده‪ ،‬يعنې‪= 2.5 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫د ‪ 5‬د ښه دقيق قيمت د پيدا کولو لپاره الندې جدول په پام کې نيسو‪:‬‬ ‫د‬

‫‪5‬‬

‫عدد د ‪ 2‬او ‪ 2.5‬په منځ کې دي‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻋﺪ د‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6.25‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫د دې په پام کې نيولو سره چې د ‪ 5‬عدد د ‪ 4‬او ‪ 6,25‬په منځ کې دی‪ ،‬کوالى شو ووايو د ‪5‬‬

‫عدد تقريبي قيمت د ‪ 2‬او ‪ 2,5‬په منځ کې له يو قيمت څخه‬ ‫عبارت دى يعنې ‪ ، 2 + 2.5 = 4.5 = 2.25‬دا جدول ډک ک‪７‬ئ‬ ‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻋﺪ د‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪6.25‬‬

‫‪2.5‬‬

‫د جدول له مخې ويالى شئ چې د ‪ 5‬عدد د کومو عددونو په منځ کې پروت دى؟‬ ‫د دې دوو عمليو په کارولو سره ليدل کې‪８‬ي چې د ‪ 5‬تقريبي قيمت له ‪ 2.25‬څخه عبارت‬ ‫دي‪ ،‬نو کوالى شو وليکو‪ ،‬چې‪2.25 :‬‬

‫‪5‬‬

‫که چيرې پورتن‪ ９‬عمليي بيابيا وکاروو‪ ،‬د ‪ 5‬اصلي قيمت ته ال ډير زيات ن‪８‬دې کي‪８‬و‪.‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪2 2.25 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫په پايله کې کوالى شو د عددونو تقريبي جذر مربع د پورتني ميتود يا طريقې په کارولو سره پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 10‬تقريبي جذر پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د پورتني طريقې په کارولو سره کيداى شي د ‪ 10‬عدد د ‪ 4‬او ‪ 3‬عددونو په منځ کې‬ ‫‪3+ 4 7‬‬ ‫وي‬ ‫‪= = 3.5‬‬ ‫‪3 < 10 < 4‬‬ ‫‪9 < 10 < 16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د پورته عمليي لنډيز په الندې جدول کې کتالى شو‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻋﺪ د‬

‫د ‪ 10‬د ‪ 3‬او ‪ 3.25‬په منځ کې‬ ‫له پورته جدول څخه داسې پايله الس ته راځي چې ‪10 3.5 :‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫د دې په پام کې نيولو سره چې د ‪ 10‬عدد د ‪ 9‬او ‪ 12,25‬په منځ کې دى‪ ،‬کوالى شو ووايو‬ ‫‪3 + 3.5 6.5‬‬ ‫=‬ ‫چې د ‪ 10‬تقريبي جذر د ‪ 3‬او ‪ 3,5‬په منځ کې پروت دى‪= 3.25 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪ 10‬د ال دقيق قيمت د پيدا کولو له پاره الندې جدول په پام کې نيسو‪:‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫د ‪10‬‬

‫په پايله کې‪3.25 :‬‬

‫‪10‬‬

‫د ‪ 3‬او ‪ 3.25‬په منځ کې‬

‫ﻋﺪ د‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10.5625‬‬

‫‪3.25‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪3.5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د الندې هرې يوې غير تساوي سموالى وښياست‪.‬‬ ‫‪a) 3 < 12 < 4‬‬

‫‪b) 7.1 < 51 < 7.2‬‬

‫‪-2‬د پورتن‪ ９‬طريقې په کارولو سره د الندې عددونو تقريبي جذرالمربع حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪c) 7‬‬

‫‪b) 12‬‬

‫‪a) 21‬‬

‫‪16‬‬

‫د اعشارﻳﻪ ﻟروﻧکﻮ عددوﻧﻮ‬ ‫جذراﻟﻤربع‪:‬‬ ‫که چيرې يو اعشاريه لرونکی عدد‬ ‫مربع ک‪７‬و‪ ،‬د مربع کولو په صورت کې‬ ‫يې د اعشاري رقمونو شمېر جفت‬ ‫دى‪.‬‬ ‫که چيرې د اعشاري رقمونو شمېر‬ ‫تاق وي‪ ،‬څه بايد وک‪７‬و؟‬

‫مثال‪ :‬د ‪ 547.56‬عدد جذر المربع محاسبه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې د اعشاري رقمونو شمېر جفت دى‪ ،‬نو کولى شو په جذر نيولو پيل وک‪７‬و‪.‬‬ ‫صحيح برخه يې له ښي لوري څخه کيڼ لورې ته او اعشاري برخه يې برعکس له کيڼ لورې‬ ‫څخه ښي لورې ته دوه‪ ،‬دوه عددونه يا خانې رابيلوو‪ .‬د تېر لوست په ډول د عمومي جذر نيولو‬ ‫د طريقې په ميتود سره د عدد جذرالمربع يا جذر په الس راوړو‪.‬‬ ‫په پايله کې‪547.56 = 23.4 :‬‬

‫پو＊تنه‪:‬‬ ‫ د ‪ 381.291‬عدد څو اعشاري رقمونه لري؟‬‫د دې عدد د جذرالمربع د پيدا کولو لپاره په لوم‪７‬ني گام کې‬‫څه بايد وک‪７‬و؟‬ ‫ د هغه جذر المربع پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧدﻪ‬ ‫‪ -‬د جذرالمربع له نيولو مخکې فکر وک‪７‬ئ چې د دې عدد‬

‫‪. 56‬‬

‫‪. 5 6‬‬ ‫‪. 5 6‬‬ ‫‪. 0 0‬‬

‫‪23.4‬‬ ‫‪2 5 47‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪43 1 4 7‬‬ ‫‪1 29‬‬ ‫‪464‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪00‬‬

‫جذرالمربع څو اعشاري رقمه لري؟‬

‫ د نيول شوي جذر پاتې بايد څو اعشاري رقمونه ولري؟‬‫پخوا موږ په څلورګونو عمليو کې د پوښتنې د سم حل لپاره‪ ،‬ځواب ازمايلى دى‪ .‬له دې امله‬ ‫د اعشاري جذر لرونکو عددونو جذر المربع لپاره هم دا عمليه سرته رسوو‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫مخامخ ويش په پام کې ونيسئ‬

‫‪17‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪a:‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪b:‬‬

‫د ‪ a‬او ‪ b‬د حل د عمليو په پام کې نيولو سره وېش يا د تقسيم د عمليې د سموالي شرايط‬ ‫تشريح ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬څرنگه کوالى شو ځان ډاډمن ک‪７‬و چې د جذرالمربع نيولو عمليه سمه ده؟‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 149‬عدد جذرالمربع پيدا او سموالى يې و ازمويئ‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪1 1 49‬‬ ‫ازﻣﻮﻳﻨﻪ‪(12 × 12) + 5 = 144 + 5 = 149 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22 0 4 9‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬ولې ‪ 12‬په ‪ 12‬کې ضربوو‪.‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫ايا د جذرالمربع د سموالي لپاره يوازې د دې ازموينې عمليې سرته رسول‬ ‫‪0 5‬‬ ‫بس دي؟‬ ‫که چيرې زده کوونکي تېروتنه وک‪７‬ي د ‪ 149‬جذرالمربع ‪ 11‬په ‪ 11‬کې‬ ‫ضرب او پاتې يعنې‪ 28‬له هغو سره جمع ک‪７‬ي‪ ،‬د تر جذر الندې عدد سره مساوي کې‪８‬ي‪،‬‬ ‫يعنې‪(11× 11) + 28 = 149 :‬‬ ‫ايا کوالى شو چې ‪ 11‬د سم ځواب په توگه ومنو؟‬ ‫له پورته مثال څخه داسې پايله په الس راځي‪ ،‬چې د جذرالمربع د سموالى آزمايلو لپاره يو‬ ‫بل شرط هم الزم دى‪ .‬د جذرالمربع دوه برابره يعنې ‪ 2 12‬جمع ‪ 1‬له پاتې‪ ،‬يعنې له ‪ 5‬څخه‬ ‫لوى ده‪ .‬يا ‪5 < 2 × 12 + 1‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬د پورته فعاليت په پام کې نيولو سره وښياست چې ولې د ‪ 11‬ځواب سم نه دى؟‬ ‫د جذرالمربع د آزمايلو لپاره بايد الندې شرطونه په پام کې ونيول شي‪.‬‬ ‫‪ -1‬د جذرالمربع عدد په خپل ځان کې ضرب‪ ،‬د ضرب حاصل جمع پاتې مساوي له اصلي‬ ‫عدد سره وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د يوه جذرالمربع دوه برابره جمع يو(‪ )1‬له پاتې څخه زيات دی‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫د الندې عددونو جذرالمربع پيدا او وازمويئ‪.‬‬ ‫? = ‪4) 692.916‬‬

‫? = ‪3) 973‬‬

‫? = ‪2) 6721‬‬

‫? = ‪1) 780.81‬‬

‫‪18‬‬

‫د جذر لرونکو عددونو جمع او‬ ‫تفريق‪:‬‬ ‫تاسو پوهې‪８‬ئ چې د نسبتي عددونو‬ ‫په سيټ کې کوالى شو‪ ،‬د هر ‪ a‬لپاره‬ ‫وليکو‪:‬‬ ‫‪3a + 2a = (3 + 2)a = 5a‬‬ ‫‪3a 2a = (3 2)a = a‬‬

‫?= ‪3‬‬

‫‪4 2‬‬ ‫‪2 3+‬‬

‫?= ‪x a ±y a‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫ايا کوالى شئ چې جذر لرونکي عددونه‬ ‫يو له بل سره جمع او تفريق ک‪７‬ئ؟‬

‫الندې مساوات په پام کې ونيسئ‪.‬‬

‫‪2 3 + 4 3 = (2 + 4) 3 = 6 3‬‬

‫‪2 × 13 + 3 × 13 = (2 + 3) × 13 = 5 × 13‬‬

‫د اسانتيا لپاره د ‪ 5 × 13‬په ځاى ‪ 5 13‬ليکو‪.‬‬ ‫د جمعې د حاصل د پيدا کولو لپاره د حقيقي عددونو له خاصيت څخه کار اخلو‪.‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬د حقيقي عددونو د تفريق لپاره د جمعې له طريقې څخه کار اخيستالى شو؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫په دويم مساوات کې د ‪ 5‬پر ځاى له(‪ )7-2‬څخه کار واخلئ‪ ،‬پورته طريقې ته‪ ،‬ورته محاسبه سرته ورسوئ‪.‬‬ ‫د جذري عددونو جمع او تفريق په داسې حال کې کيداى شي چې تر جذرالمربع الندې عدد‬ ‫او د جذرالمربع درجه يو ډول وي‪ .‬د ورته (مشابه) حدونو ضريبونه يو له بل سره جمع او يا يو‬ ‫له بله تفريقوو‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫په عمومي توګه‪x a ± y a = ( x ± y) a :‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬ويالى شئ چې ورته يا مشابه جذرونه کوم دي‪ .‬ايا ‪ 10‬او‪ 5 5,‬سره ورته يا مشابه‬ ‫دي؟‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪2 3 + 5 3 = ? :‬‬

‫حل‪ :‬څرنگه چې تر جذر الندې عددونه او د جذرونو درجه يو له بل سره مساوي ده‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫‪2 3 + 5 3 = (2 + 5) 3 = 7 3‬‬

‫له دې امله‪:‬‬

‫? = ‪18 12 16 12‬‬

‫دوﻳﻢ ﻣثال‪:‬‬

‫‪18 12 16 12 = (18 16) 12 = 2 12‬‬

‫حﻞ‪:‬‬ ‫درﻳﻢ ﻣثال‪:‬‬ ‫حﻞ‪ :‬د توزيعي خاصيت په کارولو سره لوم‪７‬ى د دوو‬

‫? = ‪3 48‬‬

‫‪8 48 10 48‬‬

‫= ‪3 48‬‬

‫‪8 48 10 48‬‬

‫څنګ په څنګ عددونو نتيجه پيدا او بيا له دريم حد سره‬ ‫علميه سرته رسوو‪.‬‬ ‫‪= 2 4848 3 48 = ( 2 3) 48 = 5 48‬‬ ‫‪= (8 10) 48‬‬

‫‪3 48‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د ‪ 9 + 16‬او ‪ 9 + 16‬قيمتونه په الس راوړئ‪ ،‬دا قيمتونه يو له بل سره پرتله ک‪７‬ئ؟‬ ‫د ‪ 100 36‬او ‪36‬‬

‫‪ 100‬قيمتونه په الس راوړئ‪ ،‬ايا ددې دوو عمليو پايله يو‬

‫له بل سره مساوي ده؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه نتيجه اخيستل کې‪８‬ي‪ ،‬چې‪:‬‬

‫‪a+ b‬‬

‫‪a+b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪b‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪-1‬په الندې پوښتنو کې د جمعې او تفريق حاصل په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪50 3 50‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪d) 5 × 36 + 5 × 36‬‬

‫‪a) 5 2 + 3 2 9 2‬‬ ‫‪81 + 3 27‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪ -2‬کوم جذري عددونه يو له بل سره جمع او يا يو له بله تفريقوالى شو؟‬ ‫‪b) 5 4 + 3 4‬‬

‫‪a) 4 3 2 + 3 2‬‬

‫‪d) 7 3 6 + 2 3 6‬‬

‫‪c) 5 3 6 2 3 6‬‬

‫‪20‬‬

‫د جذروﻧﻮ ضرب او تقسﻴﻢ‬ ‫ايا کوالى شو چې جذري عددونه‬ ‫ضرب او تقسيم ک‪７‬و؟‬ ‫‪36 × 9‬‬ ‫‪36 × 9 6 × 3 9‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې جذري عددونه محاسبه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫= ‪36 × 9‬‬

‫‪4 × 25 = 100 = ............‬‬

‫‪= ..............‬‬

‫= ‪36 × 9 = ........ × ..............‬‬

‫= ‪4 × 25 = ....... × ............‬‬

‫‪= ..................‬‬

‫= ‪25 × 36‬‬

‫‪= ................‬‬

‫= ‪25 × 36 = ........... × .............‬‬

‫= ‪4×9‬‬

‫= ‪4 × 9 = .......... × ...........‬‬

‫له پورته فعاليت څخه الندې پايله په الس راځي‪:‬‬ ‫د ‪ a‬او ‪ b‬هر مثبت اختياري حقيقي عدد لپاره لرو‪a × b = a × b :‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2 × 32 = 2 × 32 = 64 = 8‬‬ ‫‪20 × 5 = 20 × 5 = 100 = 10‬‬

‫‪0.5 = 0.5 0.5 = 0.25 = 0.5‬‬

‫‪0.5‬‬

‫په پورته جذرونو باندې د عمليې په سرته رسولو کې کوښښ وک‪７‬ئ چې يوه ساده عمليه په الس‬ ‫راوړئ‪ ،‬دې ډول کارولو ته د عمليې ساده کول وايي‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫? = ‪75‬‬

‫دويم مثال‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪75 = 25 × 3 = 25 × 3 = 5 × 3 5 × 1.7 = 8.5‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬مخامخ افاده ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫? = ‪64a 2‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪64a 2 = 64 × a 2‬‬ ‫‪= 82 × a 2 = 8a‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬غواړو دا الندې جذري افادې يو له بله سره ضرب ک‪７‬و‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫?= )‪3‬‬

‫‪(2 6)(5‬‬

‫)‪= (2 6 × 5) (2 6 × 3‬‬ ‫‪= 10 6 2 18 = 10 6 2 9 × 2‬‬ ‫‪= 10 6 2 9 × 2 = 10 6 6 2‬‬ ‫ايا کوالى شئ د جذرالمربع د ضرب قانون ته ورته د ويش(تقسيم) لپاره هم قاعده پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫الندې مثال په پام کې ونيسئ‪:‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 0.4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100 10‬‬

‫له پورته مثال څخه داسې پايله الس ته راځي چې د ‪ a‬او ‪ b‬مثبتو اختياري حقيقي عددونو‬ ‫‪a‬‬ ‫لپاره په داسې حال کې چې ‪ b 0‬وي‪ ،‬لرو‪a :‬‬ ‫=‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪36‬‬ ‫?=‬ ‫‪49‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9× 4‬‬ ‫‪9 × 4 3× 2 6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪49‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪49‬‬

‫پن‪％‬م مثال ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪-1‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:.‬‬ ‫‪0.28‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪64‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪36‬‬

‫‪0.003‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪169a 2‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪144a 2‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪-2‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:.‬‬ ‫‪81a 4‬‬ ‫?=‬ ‫‪125c6‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪25‬‬ ‫?=‬ ‫‪5‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪18‬‬ ‫?=‬ ‫‪6‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪22‬‬

‫د تﻮان ﻟروﻧکﻮ عددوﻧﻮ قﻮاﻧﻴﻦ‬ ‫د تﻮاﻧﻮﻧﻮ ضرب‪:‬‬ ‫په البراتوار کې د جسمونو د لوى ښودلو‬ ‫لپاره له مايکروسکوپ څخه کار اخلي‪ .‬هر‬ ‫مايکروسکوپ دوې عدسيې لري چې يوه‬ ‫يې سترگې ته نژدې او بله يې شى يا جسم ته‬ ‫نژدې وي‪ .‬هغه عدسيه چې جسم ته نژدې‬ ‫ده‪ ،‬د جسم اندازه د ‪ 22‬په برابر او هغه‬ ‫عدسيه چې سترگې ته نژدې ده‪ ،‬تصوير يا‬ ‫څېره د ‪ 23‬برابره غټوي‪ .‬ويالى شئ چې د‬ ‫جسم تصوير څو برابره لويي‪８‬ي؟‬

‫په تير ټولګى کې مو د توان اړوند قوانين د طبيعي عددونو لپاره ولوستل‪ ،‬په دې برخه کې‬ ‫غواړو چې د حقيقي عددونو له پاره نوموړي قوانين وڅي‪７‬و‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تش ځايونه په مناسبو توان لرونکو عددونو سره ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪5 = 5 × 5 = 5 × .... = 5 × .... = .... × 51‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.... = ( ) 2 × ( )8 = ( )3 × .... = ( )9 × ....‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a = a × .... = .... × a = .... × a‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله السته راوړو چې که چيرې ‪ m‬او ‪ n‬تام عددونه او ‪ a‬يو‬ ‫‪a m × a n = a m+n‬‬ ‫حقيقي عدد وي‪ ،‬نو ليکالى شو چې‪:‬‬ ‫نو ويالى شو‪ :‬که چيرې په طاقت کې قاعدې سره مساوي او توانونه مختلف وي‪ ،‬په دې‬ ‫صورت کې حاصل شوې پايله په گډه (مشترکه) قاعده سره ليکو چې توان يې د توانونو د‬ ‫جمعې له حاصل څخه عبارت دى‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫?= ‪2 ×2‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪23 × 2 4 = 23+ 4 = 2 7‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫د مثالونو په واسطه څرګنده ک‪７‬ئ چې ‪ ( a ) = a‬تل سم نه دى‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې تساوي په پام کې ونيسئ‪:‬‬ ‫‪= 144×9‬‬

‫‪9+9+9+9‬‬

‫)‪(14 ) = (14 ) × (14 ) × (14 ) × (14 ) = (14‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9 4‬‬

‫‪9‬‬

‫الندې تش ځايونه په مناسبو توان لرونکو عددونو سره ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪(23 ) 4 = 23 × .... × .... × .... = 23+....+3+3 = 23×....‬‬ ‫‪(a n ) 4 = a n × .... × .... × .... = a n +....+....+.... = a ......×4‬‬

‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله الس ته راځي چې‪ :‬که چيرې ‪ m‬او ‪ n‬دوه تام عددونه او ‪a‬‬ ‫حقيقي عدد وي‪ ،‬نو لرو‪(a n ) m = a m n :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣثال‪(2 2 )3 = (2 2 )(2 2 )(2 2 ) = (2) 2 2 2 = 2 2×3 = (2) 6 = 6 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫الندې تساوي ګانو ته پاملرنه وک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪(30) = (6 × 5) = (6 × 5)(6 × 5)(6 × 5) = (6 × 6 × 6)(5 × 5 × 5) = 63 × 53‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(30)3 = (10 × 3)3 = (10 × 3)(10 × 3)(10 × 3) = (10 × 10 × 10)(3 × 3 × 3) = 103 × 33‬‬

‫په عمومي توګه که چېرې ‪ a‬او ‪ b‬دوه حقيقي عددونه او ‪ n‬يو تام عدد وي‪ ،‬نو پورته مساوات په‬ ‫الندې ډول ليکالى شو‪(a × b) n = a n × b n .‬‬

‫که چيرې دوه عددونه د ضرب په حالت کې يو شان توانونه ولري‪ ،‬د هغو د ضرب د حاصل د‬ ‫پيدا کولو لپاره هر يو عدد په همغه توان سره ليکلى شو او سرچپه يې که چيرې توانونه مساوي‬ ‫او قاعدې مختلفې وي‪ ،‬عددونه د ضرب په حالت کې ليکو او له توانونو څخه يې يو د ضرب‬ ‫د حاصل د توان په توگه ليکو‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫? = ‪4 ×5‬‬ ‫ﻣثال‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حﻞ‬ ‫‪(4 × 5) = 20‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫د ضرب د قانون په کار اخيستنې سره د ضرب هره يوه افاده د توان په ډول وليکئ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫? = ‪2) (0.2) 2 × (0.2) 2 = ? 3) ( ) 4 × ( )3 = ? 4) ( ) 7 × ( ) 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫? = ‪6) 27 × 5 = ? 7) a × b × c = ? 8) a × b × c 5‬‬

‫? ?== ‪1)1)6 26××636‬‬ ‫? = ‪5) 54 × 5‬‬

‫‪24‬‬

‫د توان لرونکو عددونو و‪４‬ش‬

‫آيا تر اوسه پورې مو خپل عکسونه د‬ ‫نيمايي ( ‪ ) 1‬په اندازه کوچنى ک‪７‬ي دي؟‬ ‫‪2‬‬

‫د دې کار لپاره د رياضي له کومې عمليې‬ ‫څخه کار اخلو؟‬

‫د ضرب د دوو توانونو لپاره مو وکوالى شول چې د توان او قاعدې په منځ کې اړيکه پيدا ک‪７‬و‪ .‬ايا‬ ‫کولى شئ‪ ،‬ضرب ته ورته د ويش دوو توانونو ته اړيکه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪35 3 × 34‬‬ ‫=‬ ‫‪= 31 = 35‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪34‬‬

‫= ‪35 ÷ 34‬‬

‫د مقسوم‪ ،‬مقسوم عليه او د ويش د حاصل د توانونو تر منځ څه ډول اړيکه موجوده ده؟‬ ‫ايا د ويش د ټولو توانونو لپاره چې قاعدې يې مساوي وي‪ ،‬دا اړيکه تطبيق کيداى شي؟‬ ‫په عمومي توگه که چيرې ‪ a‬حقيقي عدد‪ n ،‬او ‪ m‬تام عددونه وي‪ ،‬په دې صورت کې لرو‬ ‫چې‪:‬‬ ‫‪am‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫‪=a‬‬

‫‪an‬‬

‫د دوو توان لرونکو عددونو په ويش کې په داسې حال کې چې قاعدې يې سره مساوي وي‪،‬‬ ‫له قاعدو څخه يوه قاعده ټاکو‪ .‬بيا د مقسوم له توان څخه د مقسوم عليه توان تفريق او د تفريق‬ ‫حاصل يې د ټاکلى قاعدې د توان په توگه ليکو‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬الندې ويشونه سرته ورسوئ‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪c) ( )7 ÷ (0.25)3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪25‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪b) 53 ÷ 53‬‬ ‫‪7 +1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a) 5 7 ÷ 5‬‬

‫‪a ) 5 7 ÷ 5 1 = 5 7 ( 1) = 5‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪b) 3 = 5 3 3 = 5 0‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تش ځايونه په مناسبو عددونو سره ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪× 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫(=‬ ‫(×)‬ ‫‪) × ( ) = ( )3 = 33‬‬ ‫‪×4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪123‬‬ ‫=‬ ‫× ‪43 4‬‬

‫= ‪123 ÷ 43‬‬

‫له پورته فعاليت څخه الندې پايله السته راځي‪ .‬په عمومي توگه د ‪ a‬او ‪ b‬اختياري حقيقي عددونو‬ ‫‪ b‬او ‪ n‬يو طبيعي عدد وي‪ ،‬ليکالى شو‪ ،‬چې‪n:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫لپاره په داسې حال کې چې ‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫د توان لرونکو عددونو په ويش کې که چيرې قاعدې مختلفې او توانونه مساوي وي‪ ،‬د صورت‬ ‫قاعده د مخرج په قاعدې باندې وېشو‪ ،‬له توانونو څخه يو يې د ويش د حاصل د توان په توگه‬ ‫ليکو‪.‬‬ ‫? = ‪b) 32 ÷ 102‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫حل‪ :‬د طاقتونو د وېش له قاعدې څخه ليکالى شو‪:‬‬

‫? = ‪a ) 254 ÷ 54‬‬ ‫‪a ) (25 ÷ 5) 4 = 5 4‬‬ ‫‪b) (3 ÷ 10) 2 = (0.3) 2‬‬

‫که چيرې د ويش په عمليه کې د مقسوم او مقسوم عليه قاعدې او توانونه يو له بله سره توپير‬ ‫ولري د ويش د حاصل د پيدا کولو لپاره بايد هر عدد په صورت او مخرج کې په خپل توان‬ ‫وليکل شي او اړوند عدد يې په الس راوړل شي‪.‬‬ ‫ﻳادوﻧﻪ‪ :‬پورتني قوانين په داسې حال کې چې ‪ m‬او ‪ n‬حقيقي عددونه وي‪ ،‬هم سم دي‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د وېش د قانون په کارولو سره الندې پوښتنې حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪126‬‬ ‫? = ‪3) 5‬‬ ‫‪12‬‬

‫? = ‪2) 13 ÷ 13‬‬

‫? = ‪6) 63 ÷ 23‬‬

‫‪85‬‬ ‫? = ‪5) 3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫? = ‪1) ( ) 4 ÷ ( )3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫? = ‪4) 3‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪26‬‬

‫د صفر او منفي توان‬ ‫‪ 23‬پيدا ک‪７‬ئ ‪.‬‬ ‫ايا کولى شو د ‪ 20‬مساوي عدد پيدا‬ ‫ک‪７‬و؟‬ ‫ايا عددونه د صفر په توان ليکالى‬ ‫شو؟‬ ‫ايا عددونه د منفي عدد په توان سره هم‬ ‫ليکالى شو؟‬

‫‪3‬‬

‫?= ‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫?= ‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫?=‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 ÷2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 ÷2‬‬

‫‪2 ÷2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2 ÷2‬‬ ‫‪8‬‬

‫تﻮان ﻟﺮوﻧﻜﻲ ﻋدد‬

‫حاصل يې‬

‫د جدول په لوم‪７‬ۍ ليکه کې د توانونو تر منځ څه اړيکه وجود لري؟‬ ‫د جدول په دويمې ليکې کې د عددونو تر منځ څه ډول اړيکه پيدا کوالى شئ‪.‬‬ ‫د جدول لوم‪７‬ۍ ليکې عمليې ته ادامه ورک‪７‬ئ د ‪ 20‬وروستى ورپسې عدد وليکئ‪ ،‬د دويمې‬ ‫ليکې عددونو تر منځ د اړيکې له مخې د ‪ 20‬لپاره‪ ،‬کوم عدد په دويمې ليکې کې ليکالى شئ؟‬ ‫پورته جدول د ‪ 3‬عدد لپاره تکرار ک‪７‬ئ داسې چې په توان کې عين عددونه تکرار شي‪.‬‬ ‫الندې جدول د ‪ a 0‬عدد لپاره بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪a1 ÷a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a ÷a‬‬

‫‪a 3÷a‬‬

‫‪a4÷a‬‬ ‫‪a3‬‬

‫تﻮان ﻟﺮوﻧﻜﻲ ﻋدد‬

‫حاصل يې‬

‫د جدول لوم‪７‬ۍ ليکى ته ادامه ورک‪７‬ئ‪ ،‬د ‪ a 0‬ورپسې وروستى عدد وليکئ‪ .‬د دويمې ليکې‬ ‫عددونو تر منځ د اړيکې له مخې د ‪ a 0‬لپاره څه ډول عدد په دويمې ليکې کې ليکلى شئ؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه داسې پايله السته راځي چې پرته له صفر څخه د بل هر عدد لپاره‬ ‫‪ a 0 = 1‬دى‪.‬‬

‫‪27‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې جدول په پام کې ونيسئ‪:‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫تﻮان ﻟﺮوﻧﻜﻲ ﻋدد‬

‫‪27‬‬

‫حاصل يې‬

‫په جدول کې د لوم‪７‬ۍ او دويمې ليکې عددونو تر منځ څه ډول اړيکه پيدا کوالى شئ؟‬ ‫د جدول لوم‪７‬ۍ ليکې عمليې ته ادامه ورک‪７‬ئ‪ ،‬وروسته ورپسې توان لرونکى عدد يعنې‬ ‫‪ 3 1‬وليکئ‪.‬‬ ‫اوس د دويمې ليکې عددونو تر منځ د اړيکې له مخې د ‪ 3 1‬او ‪ 3 2‬لپاره کوم برابر عددونه‬ ‫پيدا کوالى شـئ‪.‬‬ ‫• د ‪ a 0‬ﻋدد ﻟپاره پﻮرتﻨﻲ جدول د ‪ a‬تﻮاﻧﻮﻧﻮ ﻟپاره وﻟﻴﻜئ‪ .‬د ‪ a 1‬او ‪ a 2‬ﻟپاره د‬ ‫ﻛﻮﻣﻮ ﻋددوﻧﻮ ﮔﻮﻣان ﻛﻮﻟئ ﺷئ‪.‬‬ ‫له پورتنى جدول څخه داسې پايله السته راځي چې د ‪ a‬حقيقي عدد لپاره په داسې حال کې‬ ‫چې ‪ a 0‬او ‪ n‬يو تام عدد وي‪ ،‬ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣثال ‪ :‬د ‪ (1.3) 3‬او‬

‫‪21‬‬

‫)‪ ( 15‬افادې د مثبت توان په ډول وليکئ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 15) 21‬‬

‫حﻞ‪:‬‬

‫‪an‬‬

‫=‬

‫‪a‬‬

‫=‬

‫‪21‬‬

‫)‪( 15‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(1.3)3‬‬

‫‪,‬‬

‫= ‪(1.3) 3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬الندې افادې د مثبت توان په ډول وليکئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫) ‪d) (2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ( )‪c‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪b) ( 7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a) 5‬‬

‫‪ -2‬الندې افادې د منفي توان په ډول وليکئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪311‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪64‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪b2‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a) 0.0001‬‬

‫‪28‬‬

‫کسري توانونه او قوانﻴن ي‪３‬‬

‫تاسو په خوا توانونه ولوستل‪ ،‬ايا‬ ‫کوالى شى همغه قوانين په کسري‬ ‫توانونو باندې هم تطبيق ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪a3‬‬ ‫‪= a3 2 = a = a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a =a‬‬

‫‪n‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● ايا د ‪ 16‬او ‪16‬‬

‫يو له بل سره مساوي دي؟‬

‫● ‪ 3 8‬او ‪ 3 8‬له څو سره مساوي کي‪８‬ي؟‬ ‫● ايا د ‪ a‬د توان په شکل ليکلى شو؟ ‪ n a‬د توان په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫کوالى شو پورته فعاليت داسې بيان ک‪７‬و‪:‬‬ ‫منفي عددونه د حقيقي عددونو په سيټ کې جذرالمربع نه لري‪ ،‬خو هر حقيقي عدد که مثبت‬ ‫يا منفي وي‪ ،‬جذر مکعب يا دريم جذر لري‪.‬‬ ‫په عمومي توګه يو جذر لرونکى عدد داسې ليکل کي‪８‬ي‪:‬‬ ‫‪ ، n a‬داسې لوستل کي‪８‬ي (د ‪n،a‬ام جذر)‪.‬‬ ‫د يوه عدد ‪ n‬ام جذر له هغه عدد څخه عبارت دى چې که چيرې هغه عدد د ‪ n‬په توان لوړ‬ ‫شي‪ ،‬تر جذر الندې عدد په الس راشي‪.‬‬

‫تر جذر الندې عدد توان‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫د جذر درجﻪ‬

‫‪a =a‬‬

‫‪n‬‬

‫په ياد ولرئ‪ :‬که چېرې تر جذر الندې عدد توان او د جذر درجه يو له بل سره مساوي وي‪،‬‬ ‫داسې پايله السته راځي‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a =a =a =a‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪29‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‬

‫‪1‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪a = 2a = 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪, 3a‬‬

‫‪1‬‬

‫= ‪+ 2a 3‬‬

‫‪a 3 =3 3 a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬

‫کوالى شو له پورته فعاليت څخه الندې پايله په الس راوړو‪:‬‬ ‫‪-I‬که چېرې قاعدې او کسري توانونه سره مساوي وي‪ ،‬د اختياري ‪ a‬لپاره په داسې حالت کې چې‬

‫‪ a IR‬او‪ a 0‬وي‪ ،‬ليکلى شو‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ma n ± ba n = (m ± b)a n = (m ± b) n a‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2(15) 3 + 3(15) 3 15 3 = (2 + 3 1)(15) 3 = 43 15‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪ -II‬که چيرې د وېش په عمليه کې قاعدې مشابه او کسري توانونه مختلف يا مساوي وي‪،‬‬ ‫‪n m‬‬

‫په داسې حال کې ‪ a IR‬او ‪ a 0‬و ي لرو چې‪:‬‬

‫‪m‬‬

‫‪= a m n = m n an‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪= am‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻣثال‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= 5 = 12 5‬‬

‫‪am‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪a‬‬

‫‪54‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪53‬‬

‫‪ -III‬په عمومي توگه د ضرب په عمليه کې ويالى شو چې که چېرې قاعدې نامساوي او‬ ‫کسري توانونه يې مساوي وي‪ ،‬په داسې حال کې چې ‪ b،a‬او ‪ c‬حقيقي عددونه او د صفر‬ ‫خالف وي‪:‬‬ ‫ﻣثال‪:‬‬ ‫‪:IV‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(7 6 4) 5‬‬

‫‪88‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫)‪= 8 (7 6 4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪= (7 6 4‬‬

‫‪=mna‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪mn‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪(4‬‬

‫‪=a‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪n m‬‬

‫)‪(6‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫) ‪(7‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪n m‬‬

‫‪(a ) = a‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫? = ) ‪(a‬‬

‫ﻣثال‪:‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a n b n c n = (a b c) n = n abc‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪(a 4 ) 2 = (a ) 4 2 = (a ) 8 = 8 a‬‬

‫‪30‬‬

‫د کسروﻧﻮ ﻧاطق ﻳا گﻮﻳا کﻮل‬

‫د ‪ 2‬تقريبي قيمت مو پيدا ک‪ ،７‬په‬ ‫تقريبي توګه د ‪ 1‬قيمت به څو‬ ‫‪2‬‬ ‫وي؟‬

‫‪2‬‬

‫?‬ ‫?‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫په عمومي توگه پر هغو عددونو باندې چې د کسر مخرج جذر ونه لري کارکول آسان دي‪ .‬که‬ ‫چيرې د کسر په مخرج کې جذري عدد وي‪ ،‬نو دا ډول عددونه بايد له جذر څخه وباسو‪ ،‬داسې‬ ‫چې د کسر په مخرج کې جذري عدد نه وي‪ ،‬خو دا کار بايد په څه ډول سرته ورسوو؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪= 6‬‬

‫تش ځايونه په مناسبو عددونو سره ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪=3 5‬‬

‫×‪3‬‬

‫×‪2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫× ‪15 15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‪5‬‬

‫د پورتني فعاليت له مخې د يو کسر د مخرج جذرالمربع له منځه وړلو لپاره کوالى شو‪ ،‬د کسر‬ ‫صورت او مخرج د هغه په مخرج کې ضرب ک‪７‬و‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬ايا کولى شو چې د‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫په عدد کې د مخرج جذرالمربع له منځه يوسو؟‬

‫حل‪ :‬ددې لپاره صورت او مخرج د ‪ 2‬کې ضرب کوو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪31‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫= )‪8 = ( 3 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27 = 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪2 ×3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9 ×3‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪= 33 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪63‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‪6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 3 22 × 3 2‬‬ ‫‪23‬‬

‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله الس ته راځي چې د مخرج د دريم جذر د له منځه وړلو‬ ‫لپاره بايد صورت او مخرج د داسې عدد په دريم جذر کې ضرب ک‪７‬و‪ ،‬چې تر جذر الندې‬ ‫عدد د ‪ 3‬توان ته لوړ شي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال‪ :‬الندې کسرونه ګويا (ناطق) ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪5‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2× 3 2‬‬ ‫‪23 2 23 2 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 3 2 2 3 2 2 × 3 2 3 23‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5 × 3 52‬‬ ‫‪5 3 52 5 3 52 3 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 3 5 × 3 52‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪b‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪-1‬الندې کسرونه ګويا (ناطق) ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪23 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3 3‬‬

‫)‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪32‬‬

‫د لوم‪７‬ى ＇پرکی مهم ！کي‬ ‫● حقﻴقي عددونه‪:‬‬

‫‪ -1‬د ناطقو او غير ناطقو عددونو د سيټ يووالى(اتحاد) د حقيقي عددونو د سيټ په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪ -2‬د عددونو د محور هر ټکى يو حقيقي عدد او برعکس هر حقيقي عدد د عددونو د محور‬ ‫له يو ه ټکي سره مطابقت کوي‪.‬‬ ‫● د حقﻴقي عددونو خواص‪:‬‬

‫‪ -1‬د بدلون(تبديلي) خاصيت د جمعې او ضرب په عمليو کې سم دی‪.‬‬ ‫‪ -2‬د يووالى(اتحادي) خاصيت د جمعې او ضرب په عمليو کې سم دی‪.‬‬ ‫‪ -3‬توزيعي خاصيت د جمعې او ضرب په عمليو کې سم دی‪.‬‬ ‫● د عددونو تقريبي جذرالمربع‪:‬‬ ‫● د عمومي طريق‪ ３‬په واسطه د تامو او اعشاري عددونو د جذرالمربع پﻴدا کول‪:‬‬ ‫‪ - 1‬د اوسط په طريقه د جذرالمربع تقريبي قﻴمت‪.‬‬ ‫● د جذرونو ضرب او ويش‪:‬‬

‫‪ -1‬د جذرونو ضرب ‪a × b = ab‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪ -2‬د جذرونو ويش‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫● په جذري عددونو کې يوازې ورته جذرونه يعنې د جذرونو درجې او تر جذر الندې عددونه‬

‫بايد يو شى وي‪ ،‬يو له بله سره جمع او يا تفريق کوالى شو‪.‬‬ ‫توانونه او قوانﻴن ي‪:３‬‬

‫‪, a 0 ,‬او ‪ a‬يو حقيقي عدد دی‪.‬‬

‫‪a 0 = 1 -1‬‬ ‫‪0 , a 1 = 1 -2‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪, a‬او ‪ a‬يو حقيقي عدد دی‪.‬‬

‫‪, a 0 , a n = 1 -3‬او ‪ a‬يو حقيقي عدد دی‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ -4‬د توانونو ضرب ‪a n × b n = (am× b) n ، a m × a n = a m + n ، (an m ) n = a m×n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪= ( )n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -5‬د توانونو ويش‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫● د کسرونو ناطق يا گويا کول‪ :‬د کسرونو د ګويا کولو لپاره د کسر مخرج له جذر باسو‪.‬‬ ‫‪0,‬‬

‫‪33‬‬

‫‪b‬‬

‫‪n‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪= am‬‬ ‫‪an‬‬

‫‪0,‬‬

‫‪a‬‬

‫د لوم‪７‬ي ＇پرکی پو＊تن‪３‬‬

‫‪ .I‬الندې مساوات او عبارتونه په پوره پاملرنې سره ولولئ‪ ،‬تش ځايونه يې په مناسبو عددونو‬ ‫او کلمو ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( ) 2 × ( ) 5 = .......................... = .......................... -1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a 8 ÷ a 1 = ........................ -2‬‬ ‫‪59 × ............. = (5 × 7) 9 -3‬‬

‫‪ -4‬د‬

‫عدد يو ‪ .......................................‬عدد دى‪.‬‬

‫‪.II‬الندې پوښتنې په ځير ولولئ‪ ،‬که چيرې سمې وي‪ ،‬د (س) تورى او که چيرې ناسمې وي‬ ‫د(ن) تورى يې مخې ته وليکئ‪.‬‬ ‫‪( -1‬‬

‫) د نسبتي او تامو عددونو يووالى(اتحاد) د حقيقي عددونو د سيټ په نامه يادوي‪.‬‬

‫‪( -2‬‬

‫) په حقيقي عددونو کې د ضرب توزيعي خاصيت د جمعې په عمليې باندې سم‬

‫دى‪.‬‬ ‫‪( -3‬‬

‫) ‪ 3‬غير ناطق عدد دى‪.‬‬

‫‪( -4‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪an = n‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ .III‬د الندې پوښتنو لپاره څلور ځوابونه درک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬سم ځواب يې پيدا او کرښه ترې‬ ‫تاو ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪= ? -1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪d ) 41‬‬

‫‪b) 4 2‬‬

‫‪c) 4‬‬

‫‪a) 40‬‬

‫‪(6 y 3 z 2 ) 2 = ? -2‬‬ ‫درې واړه غلط دي‬

‫)‪d‬‬

‫‪b) 36y 3 z 4‬‬

‫‪c) 36y 6 z 2‬‬

‫‪a ) 36y 6 z 4‬‬

‫‪81× 9 = ? -3‬‬ ‫‪d ) 25‬‬

‫‪c) 24‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪27‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a ) 27‬‬

‫‪34‬‬

‫‪49a 4‬‬ ‫‪= ? -4‬‬ ‫‪144b 4‬‬ ‫‪7a 2‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪12b 2‬‬

‫‪7a 2‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪7a‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪12b 2‬‬

‫‪ -5‬کوم دوه جذر لرونکي عددونه سره ورته دي؟‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪b) 5 2‬‬

‫‪8a 2‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪12b 2‬‬ ‫‪, 3 2‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪d) 6 3‬‬

‫‪a) 2 3‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪c) 5 3‬‬

‫‪ .IV‬الندې پوښتنې حل ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪6 125a 2 + 5a 2 = ? -1‬‬

‫‪-2‬د ‪ 0.5‬تقريبي قيمت حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫? = ‪b) ( 4a × 2a ) 2‬‬

‫‪c ) ( 2 4 x )3‬‬

‫??== ‪aa)) (( 25aa22bb2))36‬‬

‫‪-4‬د ‪ 2475‬دويم جذر پيدا او بيا يې وازمويئ‪.‬‬ ‫‪-5‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪( 4q 2 p 3 ) 4‬‬

‫‪( 103 )5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪(625a 2b 2 )6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ -6‬الندې افادې د مثبت توان په ډول وليکئ‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪(6ab‬‬

‫‪4‬‬

‫) ‪(9 x 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬

‫)‪(27‬‬

‫‪ -7‬الندې افادې د منفي توان په ډول وليکئ‪.‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪(cd ) 4‬‬

‫‪35‬‬

‫‪,‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪(16)6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(36) 2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ -8‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( xy) 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪144 × 169‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫کې‬ ‫‪-9‬الندې افادې يو په بل‬ ‫ضرب ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪( xy‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2 6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (× ‪( ) 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ -10‬په دوو عددي مثالونو کې وښياست چې‪a m + n :‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (× ‪( ) 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪am‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪3‬‬ ‫‪am + an‬‬

‫‪ -11‬په دوو عددي مثالونو کې وښياست چې‪a 2 + b 2 :‬‬

‫‪ -12‬په دوو عددي مثالونو کې وښياست چې‪:‬‬

‫)‪( 6) ( 6‬‬

‫)‪a() 6‬‬ ‫)‪(3 ×8( +6‬‬ ‫‪2)( ,2 (13‬‬ ‫))‪3 a7‬‬

‫‪2 6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n‬‬

‫‪5‬‬

‫‪, (13a ) ,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪b) ( 2 + 1)( 5‬‬

‫‪( a + b) 2‬‬ ‫‪an‬‬

‫‪ -13‬په دوو عددي مثالونو کې وښياست چې‪a 2 b 2 :‬‬

‫‪am‬‬

‫‪( a b) 2‬‬

‫‪ -14‬الندې افادې ساده او د جذر په ډول يې وليکئ‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫? = ‪36(15) 7 17(15) 7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫? = ‪5(25) 7 + 7(25) 7 + 4(25) 7‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 1‬‬ ‫‪8 2‬‬

‫? = ) ‪(17‬‬

‫)‪e‬‬

‫?=‬

‫‪(17) 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪d‬‬

‫?=‬

‫)‪(17‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫) ‪(7‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪c‬‬

‫) ‪(7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪(19 7 ) 3‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪36‬‬

‫دويم ＇پرکی‬ ‫مالي مﺤاسب‪３‬‬

‫ﻧسﺒت‬

‫‪Ratio‬‬

‫د اوبو د ماليکول لپاره کيمياوي‬ ‫فورمول وليکئ؟ د هايدروجن او‬ ‫اوکسيجن د اتمونو نسبت څو دى؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫يو ماليکول اوبه له دوو اتمونو هايدروجن او يو اتم اوکسيجن څخه ترکيب شوی دی‪ .‬په‬ ‫الندې جدول کې د هايدورجن او اوکسيجن نسبت وليکئ‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪1‬‬

‫د اوبو ماليکولونه‬ ‫د هايدروجن او اوکسيحن نسبت‬

‫ايا د اوبو د بيالبيلو ماليکولونو لپاره د هايدروجن نسبت پر اوکسيجن باندې ﺛابت دى؟‬ ‫مثال‪ :‬که چېرې د يوې کوټې سور ‪ 3‬متره او اوږدوالى يې ‪ 5‬متره وي‪ ،‬د سور او اوږدوالي‬ ‫ترمنځ نسبت څو دى؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ 3‬ﻣﺘﺮ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3 ÷ 5‬ﻳا‬

‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪ 5‬ﻣﺘﺮ‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د ‪ 6cm‬په اوږدوالي او ‪ 3cm‬په سور يو مستطيل رسم ک‪７‬ئ‪ .‬محيط او مساحت يې پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ 4cm‬په اوږدوالي او ‪ 2cm‬په سور داسې يو بل مستطيل رسم ک‪７‬ئ چې د لوم‪７‬ي‬ ‫مستطيل د اوږدوالي نسبت د دويم مستطيل په اوږدوالى باندې او د لوم‪７‬ى مستطيل سور د‬ ‫دويم مستطيل پر سور باندې ‪ 3‬پر ‪ 2‬وي‪.‬‬

‫‪39‬‬

‫د دويم مستطيل محيط او مساحت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د لوم‪７‬ي مستطيل د محيط نسبت د دويم مستطيل پر محيط باندې څو دى؟‬ ‫د لوم‪７‬ي مستطيل د مساحت نسبت د دويم مستطيل پر مساحت باندې څو دی؟‬ ‫د دې نسبتونو تر منځ څه ډول اړيکه پيدا کوالى شئ‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫د دوو همجنسو (يوشان) کميتونو يا مقدارونو تر منځ نسبت له هغه عدد څخه عبارت دى چې وښيې‬ ‫لوم‪７‬ی کميت د دويم کميت څو برابره دى‪ ،‬يا يو کميت د بل کميت څومه برخه ده او يا دويم کميت‬ ‫څوځلى په لوم‪７‬ى کميت کې شامل دى‪.‬‬ ‫د دوو عددونو نسبت عموماً د کسري کرښې ( ) يا ‪ :‬او ÷ نښو په واسطه ښيي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬کوالى شو د ‪ 5‬پر ‪ 3‬نسبت د ‪ 5 ،5÷3‬يا ‪ 5:3‬په ډول وښيو‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د يوې دايرې ‪ 4‬پر ‪ 7‬برخې نسبت د يوې دايرې د ‪ 16‬پر ‪ 28‬برخې له نسبت سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چېرې د يو ټولګي د لوم‪７‬ي ګروپ د زده کوونکو شمير ‪ 25‬تنه او د دويم ګروپ شمېر ‪40‬‬ ‫تنه وي‪ ،‬د دويم ګروپ د زده کوونکو شمېر پر لوم‪７‬ى ګروپ باندې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬يوه مربع د ‪ 3‬واحده په اوږدوالي سره داسې رسم ک‪７‬ئ چې د دويمې مربع د يوې ضلعې د‬ ‫اوږدوالي نسبت د لوم‪７‬ۍ مربع (د الندې رسم شوې مربع) په ضلعې باندې‬ ‫له ‪ 1‬سره برابر وي‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫د دويمې مربع د محيط نسبت د لوم‪７‬ۍ مربع په محيط باندې او د دويمې مربع د مساحت نسبت د‬ ‫لوم‪７‬ۍ مربع په مساحت باندې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪40‬‬

‫په متناسبو اجﺰاوو باندې ويشل‬ ‫‪Proportional division‬‬ ‫دوه ورو‪１‬ه په گډه يوه ودان‪ ９‬جوړوي‪ .‬که‬ ‫چيرې يو يې له بل څخه زيات کار ک‪７‬ى‬ ‫وي‪ ،‬ايا فکر کوئ چې دواړو ته بايد په يوه‬ ‫اندازه اجوره ورک‪７‬ل شي؟‬ ‫څرنګه پيدا کوالى شو چې هر يوه ته بايد‬ ‫څومره پېسې ورک‪７‬شي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫يوه ورځ د يوه ټولګي درې تنو زده کوونکو پرېک‪７‬ه وک‪７‬ه چې خپل منځ کې ميله وک‪７‬ي‪ .‬يوه زده‬ ‫کوونکي وويل‪ :‬زه درې دانې هګ‪ ９‬او څلور دانې مڼې راوړم‪ .‬دوو نورو زده کوونکو وويل موږ هم‬ ‫همدا شيان راوړو‪ .‬يعنې پرېک‪７‬ه يې وک‪７‬ه چې هر يو له درېو هګيو سره څلور دانې مڼې راوړي‪.‬‬ ‫الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫هګ‪９‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫مڼې‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫د هګيو او مڼو مجموعه‬

‫د هگيو د شمېر نسبت د هګيو او مڼو د مجموعې پر شمېر باندې په پورته هر يوه حالت کې‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د هغو نسبتونو په منځ کې څه ډول اړيکه موجوده‪ ،‬ده؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه پايله په الس راځي چې‪ :‬دوه مقداره هغه وخت سره متناسب دي‪ .‬چې د هر‬ ‫مقدار او هغو دوو مقدارو پر مجموعې باندې نسبت تل يو ﺛابت عدد وي‪ .‬له دې پايلې څخه کوالى‬ ‫شو د پوښتنو په حل کې کار واخلو‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د يوې مستطيل ډوله ټوټې ځمکې د سور او اوږدوالي‬ ‫نسبت ‪ 3‬دى‪ .‬که چيرې ددې ځمکې محيط ‪ 280‬متره‬ ‫‪4‬‬

‫وي مساحت يې څو متره مربع دى؟‬ ‫ددې پوښتنې ځواب لپاره مخامخ جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫واقعي مقدار‬

‫نسبتي مقدار‬

‫‪4‬‬

‫اوږدوالى‬

‫‪3‬‬

‫سور‬

‫‪280‬‬

‫محيط‬ ‫مساحت‬

‫ددې لپاره چې يو عدد په راک‪７‬ل شوو نسبتونو باندې وويشو‪ ،‬لوم‪７‬ى د راک‪７‬ل شوو نسبتونو دجمعې‬ ‫حاصل په الس راوړو‪ ،‬وروسته له هغه مفروض عدد د جمعې په حاصل باندې ويشو او د وېش‬ ‫حاصل يې د نسبتونو په هر يوه عدد کې ضربوو‪ .‬کوم عددونه چې الس ته راځي‪ ،‬د راک‪７‬ل شوو‬ ‫نسبتونو اړوند عددونه دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬غواړو چې ‪ 27000‬افغانى د احمد او مسعود ترمنځ د ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫په نسبت ووېشو‪.‬‬

‫لوم‪７‬ى الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬

‫ﻣﺴﻌﻮد‬

‫احﻤد‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪27000‬‬ ‫‪27000‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫د احمد برخه‪× 2 = 5400 × 2 = 10800 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪27000‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫د مسعود برخه‪× 3 = 5400 × 3 = 16200 :‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬که چيرې د دوو عددونو نسبت ‪ 53‬او دويم عدد يې ‪ 25‬وي‪ ،‬بل عدد يې معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ -2‬دوه تنه په گډه کار کوي چې د هغو د پيسو مجموعه ‪ 280‬افغان‪ ９‬او نسبت يې‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫دى‪ .‬ايا پيدا کوالى‬

‫شئ چې لوم‪７‬ي تن او دويم تن هر يوه څو افغانى اخيستي دي‪.‬‬ ‫‪ -3‬د‪ AB‬د ټوټه کرښې اوږدوالى ‪ 32cm‬دى‪ ،‬د ‪ M‬ټکى ځای داسې وټاکئ چې نوموړى ټوټه کرښه‬ ‫د ‪ AM = 3‬په نسبت وويشي‪ ،‬د ‪ AM‬او‪ BM‬اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪BM 5‬‬ ‫‪ 320 -4‬منه غنم په دريو تنو بزګرانو باندې د ‪ 7،9‬او ‪ 5‬په نسبت وويشئ‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫تﻨاﺳﺐ‬ ‫‪Proportion‬‬ ‫د ‪ 3‬په نسبت کې څو عددونه‬ ‫وينئ؟ ‪5‬‬ ‫د ‪ 2‬او ‪ 6‬نسبتونو ترمنځ څه ډول‬ ‫‪9 3‬‬ ‫اړيکه شته؟‬ ‫کوالى شئ يو بل نسبت وليکئ چې له‬ ‫پاسنيو نسبتو سره مساوي وي‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪3‬‬

‫د پنسل پاکونو او قلمونو د شمېرو نسبت دى‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -1‬د پنسل پاکونو د شمېر او قلمونو د شمېر د نسبت په پام کې نيولو سره الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ 3‬د پنسل پاکونو شمېر‬ ‫‪4‬‬

‫د قلمونو شمېر‬ ‫نسبت‬

‫د پنسل پاکونو د شمېر نسبت پر قلمونو باندې په هر يوه درک‪７‬شوي نسبت کې يو له بله سره پرتله‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د پورتنيو مساواتو په نسبتونو کې يعنې ‪ 3 : 4 = 6 : 8‬د کومو جوړو عددونو د ضرب حاصل يو له‬ ‫بل سره مساوي دي؟ ولې؟‬ ‫څلور مقداره هغه وخت يو تناسب جوړوي چې د لوم‪７‬ي او دويم مقدار نسبت د دريم او څلورم‬ ‫مقدار له نسبت سره مساوي وي‪.‬‬ ‫‪5, 9 , 3, 3 ,1‬‬ ‫مثال‪ :‬په الندې نسبتونو کې مساوي نسبتونه وښياست‪:‬‬ ‫‪8 6 6 2 2‬‬ ‫حل‪ :‬که چيرې د ‪ 3‬نسبت صورت او مخرج اختصار ک‪７‬و‪ ،‬يعنې د هغه صورت او مخرج په ‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫وويشو ‪ 1‬الس ته راځي‪ ،‬نو ويالى شو چې دواړه نسبتونه يو له بله سره مساوي دي‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪43‬‬

‫‪5‬‬ ‫په راک‪７‬ل شوو نسبتونو کې داسې يو نسبت پيدا کوالى نشو چې له‬ ‫‪8‬‬

‫‪3 1‬‬ ‫=‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫=‬ ‫‪6 2‬‬

‫سره مساوي وي‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ال ‪ 5 = 10‬يو تناسب دى چې له ‪ 85‬او ‪ 10‬نسبتونو‬ ‫د دوو نسبتونو مساواتو ته تناسب وايي‪ ،‬مث ً‬ ‫‪8 16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫څخه الس ته راغلى دى‪.‬‬ ‫پورتنى تناسب په الندې شکل هم ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪5 : 8 = 10 : 16‬‬

‫دلته د لوم‪７‬ي نسبت صورت او د دويم نسبت مخرج د طرفينو په نامه يادوي‪ ،‬همدارنګه د لوم‪７‬ى‬ ‫نسبت مخرج او دويم نسبت صورت‪ ،‬د وسطينو په نامه يادوي‪.‬‬ ‫‪5 : 8 = 10 : 16‬‬

‫وﺳﻄﻴﻦ‬

‫ﻃﺮﻓﻴﻦ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬په الندې نسبتونو کې کومه جوړه يو له بله سره يو تناسب جوړوي؟‬ ‫‪7 35‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3 15‬‬ ‫‪49 7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪35 5‬‬ ‫‪ -2‬د يوه تناسب درې حده درک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬نامعلوم حد يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫)‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3 12‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪5 100‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪44‬‬

‫د تﻨاﺳﺐ ﺧﻮاص‬ ‫‪Properties of proportion‬‬ ‫څلور عددونه داسې وټاکئ چې يو‬ ‫تناسب جوړ ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫په جوړ شوي تناسب کې دعددونو تر‬ ‫منځ څه ډول اړيکه پيدا کوالى شئ؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د درک‪７‬ل شوو قيمتونو په پام کې نيولو سره الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪b.c‬‬

‫‪c‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a.d‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪40‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪20‬‬

‫‪5‬‬

‫‪8‬‬

‫د = په تناسب کې ‪ a‬او ‪ d‬او همدارنګه ‪ b‬او ‪ c‬په څه نامه يادي‪８‬ي؟‬ ‫‪b d‬‬ ‫د پورته جدول په کارولو سره د درک‪７‬ل شوو عددونو تر منځ اړيکې وواياست‪.‬‬

‫لوم‪７‬ى خاصﻴت‪ :‬دوه مساوي نسبتونه يو تناسب جوړوي‪ ،‬د طرفينو او وسطينو د ضرب حاصل‬ ‫يې يو له بله سره مساوي دي‪.‬‬ ‫‪a d=b c‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫مثال‪ :‬د طرفينو او وسطينو تر منځ د خاصيت په کارولوسره په الندې تناسب کې نامعلوم جز پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪5 12‬‬ ‫× ‪2 × 12 = 5‬‬

‫‪= 24 ÷ 5 = 4.8‬‬

‫‪45‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫بشپ‪a · ７‬‬ ‫جدول = ‪d‬‬ ‫د درک‪７‬ل شوو قيمتونو په پام کې نيولو سره الندې ‪b · c‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪28‬‬

‫‪21‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9 3‬‬ ‫=‬ ‫‪21 7‬‬

‫د پورته جدول له مخې د درک‪７‬ل شوو عددونو تر منځ اړيکې وواياست‪.‬‬ ‫دويم خاصﻴت‪ :‬که چيرې په يوه تناسب کې د وسطينو ځايونه بدل شي‪ ،‬يو نوى تناسب الس ته راځي‪.‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫=‬ ‫‪c d‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫‪d c‬‬ ‫=‬ ‫‪b a‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫دريم خاصﻴت‪ :‬که چيرې په يوه تناسب کې د طرفينو ځايونه سره بدل ک‪７‬و‪ ،‬يو نوى تناسب جوړي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬د يوه مستطيل د اوږدوالي او سور نسبت دى‪ .‬ددې مستطيل اوږدوالي او سور دوه برابره کوو‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫د نوي مستطيل د اوږدوالي او سور نسبت څومره دى؟ ايا د دواړو مستطيلونو د اوږدوالى او سور نسبتونه‬ ‫يو تناسب جوړوي؟‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4 = 8‬‬ ‫حﻞ‪ :‬د نوي مستطيل د اوږدوالي او سور نسبت دى‪4 × 6 = 8 × 3 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫څرنګه چې د مستطيلونو د اوږدوالي او سور نسبتونه يو له بل سره مساوي دي‪ ،‬يعنې‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫دى‪ ،‬نو ددې مستطيلونو د اوږدوالى او سور نسبتونه يو تناسب جوړوي‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د درک‪７‬ل شوو قيمتونو له مخې الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪46‬‬

‫د پورتني جدول له مخې ددرک‪７‬ل شوو عددونو ترمنځ اړيکه وواياست‪.‬‬

‫＇لورم خاصﻴت‪ :‬که چيرې دوه نسبتونه يو تناسب جوړ ک‪７‬ي‪ ،‬د هغو سرچپه (معکوس) هم يو‬ ‫تناسب جوړ وي‪.‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪b d‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د درک‪７‬ل شوو قيمتونو له مخې الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪c -d‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a-b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c+d‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a+b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪6+9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪a c‬‬ ‫د =‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪18‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪36‬‬

‫‪24‬‬

‫‪18‬‬

‫‪12‬‬

‫د تناسب له مخې د درک‪７‬ل شوو عددونو ترمنځ رابطه (اړيکه) وواياست‪.‬‬

‫پن‪％‬م خاصﻴت‪ :‬که چيرې دوه نسبتونه يو تناسب جوړ ک‪７‬ي او د هر نسبت مخرج له صورت سره‬ ‫جمع او حاصل يې پر مخرج وليکو‪ ،‬بيا هم يو تناسب الس ته راځي‪.‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a + b c+ d‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﺷپ‪８‬م خاصﻴت‪ :‬که چېرې په يو تناسب کې د هر نسبت مخرج له صورت څخه تفريق او حاصل‬ ‫يې پر مخرج وليکو‪ ،‬ايا کوم نوى تناسب جوړي‪８‬ي؟ د مثال په واسطه يې څرګند ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪a b c d‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪47‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د درک‪７‬ل شوو قيمتونو له مخې الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪a+c‬‬ ‫‪b+d‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪3+6‬‬ ‫‪4+8‬‬

‫‪a c‬‬ ‫د =‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪14‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫د تناسب له مخې د درک‪７‬ل شوو عددونو تر منځ رابطه وواياست‪.‬‬

‫اووم خاصﻴت‪ :‬که چيرې په يوه تناسب کې صورتونه يو له بله سره جمع او په صورت کې‬ ‫او مخرجونه يو له بل سره جمع او په مخرج کې وليکل شي‪ ،‬نو نوى نسبت منځ ته راځي چې‬ ‫له هر راک‪７‬ل شوي نسبت سره مساوي دى‪.‬‬ ‫ال‪:‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a+c‬‬ ‫مث ً‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪3+ 6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪4 + 8 12‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪3 × 12 = 4 × 9‬‬ ‫=‬ ‫‪4 12‬‬ ‫‪6 9‬‬ ‫‪6 × 12 = 9 × 8‬‬ ‫=‬ ‫‪8 12‬‬

‫‪b+d‬‬

‫‪d‬‬

‫=‬

‫‪b‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬الندې مساوات په درک‪７‬ل شوو عددونو کې وښاياست‪:‬‬ ‫که چېرې ‪ c = 30 ، b = 5 ، a = 10‬او ‪ d = 15‬وي‪:‬‬

‫‪b = d‬‬ ‫‪a–b c–d‬‬

‫‪b = d‬‬ ‫که چېرې ‪ c = 32 ، b = 9 ، a = 8‬و ‪ d = 36‬وي‪:‬‬ ‫‪a+b c+d‬‬ ‫‪ -2‬که چېرې ‪ a = c‬وي‪ ،‬څرنګه کولى شو‪ ،‬د تناسب د خاصيت په کارولو سره ‪a + b c + d‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a–b c–d‬‬

‫تناسب په الس راوړو؟‬

‫‪48‬‬

‫د تﻨاﺳﺐ ډوﻟﻮﻧﻪ‬ ‫تناسﺐ په دوه ډوله دی‬

‫‪ -1‬ﻣسﺘقﻴﻢ تﻨاﺳﺐ‬

‫‪Direct proportion‬‬

‫د ټولګى څارونکى د السې کارونو‬ ‫د جوړولو لپاره هر زده کوونکي ته ‪2‬‬ ‫بستې رنګه کاغذ ورکوي‪.‬‬ ‫که چېرې اتم ټولګى ‪ 20‬زده کوونکي‬ ‫ولري‪ ،‬څو بستو رنګه کاغذ ته اړتيا ده‪،‬‬ ‫چې ټولو زده کوونکو ته يې ورک‪７‬ي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د يو کيلو ګرام او ‪ 10‬کيلو ګرامه بورې د بيې په پام کې نيولو سره الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‬ ‫‪ 5‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫‪ 4‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫‪ 3‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫‪ 2‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫‪ 1‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮام‬

‫‪ 50‬افغان‪９‬‬

‫‪ 6‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫‪ 7‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫‪ 8‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫‪ 9‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ‬

‫اندازه (مقدار)‬ ‫بيه‬

‫‪ 10‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮاﻣﻪ اندازه (مقدار)‬

‫‪ 500‬اﻓﻐاﻧﻰ‬

‫بيه‬

‫د بورې د اندازې په زياتېدو سره د هغې بيه څه ډول بدلون مومي؟‬ ‫د بورې د اندازي په ل‪８‬يدو سره دهغې بيه څه ډول بدلون کوي؟‬ ‫د بورې د اندازي او بيې ترمنځ څه ډول اړيکه شتون لري؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه ويلى شو چې‪:‬‬ ‫د بورې اندازه د هغې له بيې سره مستقيمه اړيکه لري‪ ،‬يعني په هر اندازه چې بوره زياته شي‪ ،‬بيه يې‬ ‫هم زياتي‪８‬ي او په هر اندازه چې بوره کمه شي‪ ،‬بيه يې هم کمي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫که چېري په يوه تناسب کې د لوم‪７‬ي مقدار په زياتيدو دويم مقدار هم ورسره زيات شي او يا که چېري‬ ‫لوم‪７‬ى مقدار کم او دويم مقدار هم کم شي‪ ،‬دغه ډول تناسب ته مستقيم تناسب وايي او نوموړي‬ ‫مقدارونه يو له بل سره مستقيماً متناسب دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬که چېرې د ‪ 8‬قطيو اورلګيت بيه ‪ 8‬افغان‪ ９‬وي‪ ،‬د ‪ 62‬قطيو بيه به څو افغان‪ ９‬وي؟‬ ‫حل‪ :‬که چېرې د ‪ 62‬قطيو اورلګيت بيه ‪ m‬افغانى وي‪ ،‬څرنګه چې د اورلګيت د قطيو شمېر‬ ‫دهغو له بيې سره مستقيما ً متناسب دی‪ .‬نو دا يو مستقيم تناسب دى‪.‬‬ ‫ﺑﻴﻪ‬

‫اورﻟﮕﻴﺖ‬

‫‪8‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪8 = 8‬‬ ‫‪62 m‬‬ ‫‪ 62‬افغان‪m = 8×62 = ９‬‬

‫‪8‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د ‪ 12‬تنو کارکوونکو اجوره ‪ 480‬افغان‪ ９‬ده‪ ،‬د ‪ 10‬تنو کارکوونکو اجوره پيدا ک‪７‬ئ‪( .‬د ټولو کار‬ ‫کوونکو اجوره برابره ده)‬ ‫‪-2‬که چېرې يو تن کارکوونکى په ‪ 5‬ورځو کې ‪ 125‬افغان‪ ９‬اجوره واخلي‪ ،‬د هغه د ‪ 18‬ورځو اجوره‬ ‫څو افغان‪ ９‬کي‪８‬ي؟‬ ‫‪ -3‬که چېرې د ‪ 3‬مترو ټوکر د رانيولو لپاره ‪ 33.75‬افغانيو ته اړتيا وي‪ .‬د ‪ 15‬مترو ټوکر رانيولو ته‬ ‫به څو افغان‪ ９‬په کار وي؟‬

‫‪50‬‬

‫‪ -2‬ﻣعکﻮس تﻨاﺳﺐ‬ ‫‪Indirect proportion‬‬ ‫د ټولګي څارونکی له پاکولو وروسته‬ ‫غواړي چې ټولګی منﻈم ک‪７‬ي‪ .‬که‬ ‫چېرې يو زده کوونکى ټولګي په ‪60‬‬ ‫دقيقو کې پاک ک‪７‬ي‪ 6 .‬زده کوونکي يې‬ ‫په څو دقيقو کې پاکولى شي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫که چېرې يو رنګمال يوه کوټه په څلورو ورځو کې رنګ ک‪７‬ي‪ ،‬نو که په يوه يا دوو ورځو کې مو په‬ ‫کار وي‪ ،‬څو رنګماالنو ته اړتيا ده؟‬ ‫د پوښتنې د ځواب لپاره الندې جدول د درک‪７‬ل شوو قيمتونو په پام کې نيولو سره بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫ورځ‬

‫‪ 2‬ورځې‬

‫‪4‬‬

‫ورځې په ورځو کې سرته رسېدلې کار‬

‫‪1‬‬

‫د کار کوونکو شمېر‬

‫د ورځو په ل‪８‬يدو سره د کار کوونکو شمير زياتي‪８‬ي او که کمي‪８‬ي؟‬ ‫د کار په سرته رسيدو سره د ورځو د شمېر او کارکوونکو تر منځ څه ډول اړيکه وجود لري؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫که چېرې په يوه تناسب کې د يوه کميت مقدار زيات او باالمقابل د بل کميت مقدار کم شي او‬ ‫يا د يوه کميت مقدار کم او د بل کميت مقدار زيات شي‪ ،‬دا تناسب د معکوس تناسب په نامه‬ ‫يادي‪８‬ي‪ ،‬يعنې د لوم‪７‬ى کميت او دويم کميت ترمنځ معکوسه اړيکه يا رابطه وجود لري‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫مثال‪ 20 :‬تنه کارکوونکی يو جومات په ‪ 51‬ورځو کې جوړوي‪ ،‬که چېرې وغواړو چې دا جومات‬ ‫په ‪ 10‬ورځو کې جوړ شي‪ ،‬نو څو تنو کارکوونکو ته اړتيا ده؟‬ ‫حل‪ :‬دا تناسب معکوس دى‪ ،‬ځکه چې د ل‪８‬و ورځو لپاره زياتو کارکوونکو ته اړتيا ده‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ورځ‬

‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫تﻨﻪ‬

‫‪20‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20 15 10‬‬ ‫‪20 10‬‬ ‫‪20 × 15‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫=‪, m‬‬ ‫يعني ‪30‬تنو ته اړتيا شته ‪= 30‬‬ ‫‪1 15‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m 15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د اوبو څلور نله يو حوض په ‪ 8‬ساعتو کې ډکوي‪ 5 ،‬نله به نوموړي حوض په څو ساعتونو کې‬ ‫ډک ک‪７‬ي؟ (د نلونو قطرونه يو له بله سره مساوي دي)‬ ‫‪ -2‬يو موټر په يو ساعت کې د ‪ 50‬کيلومترو په چټکتيا سره الره وهي او د دوو ښارونو تر منځ واټن‬ ‫په ‪ 3‬ساعتو نو کې وهي‪ ،‬که چېرې د يو بل موټر چټکتيا په يوه ساعت کې ‪ 75‬کيلو متره وي‪ ،‬د‬ ‫نوموړو ښارونو تر منځ واټن به په څو ساعتونو کې ووهي؟‬

‫‪52‬‬

‫فﻴﺼد )ﺳﻠﻨﻪ(‬ ‫‪Percentage‬‬ ‫زموږ ښوونځي ‪ 15‬لوبې سر ته رسولي او‬ ‫‪ 11‬لوبې يې گټلي دي‪ ،‬خو د بل ښوونځي‬ ‫ټيم ‪ 12‬لوبې سر ته رسولي‪ 10 ،‬لوبې يې‬ ‫گټلي دي‪.‬‬ ‫ستاسو په نﻈر کوم ټيم زياتې لوبې ګټلې‬ ‫دي؟‬

‫‪15 100‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫که چېرې په ‪ 80‬ليترو تيلو کې ‪ 20‬ليتره اوبه ګډې وي‪ ،‬نو په ‪ 100‬ليترو‬ ‫کې څو ليتره اوبه ګډې دي؟‬ ‫د پورته رابطو يا قيمتونو په پام کې نيولو سره تناسب جوړ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د طرفين او وسطين د خاصيت په کارولو سره د ‪ x‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫وواياست چې په ‪ 100‬ليترو تيلو کې څو فيصده اوبه شته؟‬

‫اوﺑﻪ‬

‫تﻴﻞ‬

‫‪20‬‬

‫‪80‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬يوه س‪７‬ي په بانﮏ کې ‪ 45000‬افغان‪ ９‬کېښودلې‪ .‬له څه وخت وروسته يې ‪900‬‬ ‫افغان‪ ９‬گټه وک‪７‬ه‪ .‬نوموړي س‪７‬ي له خپلې اصلي سرمايې څخه څو فيصده ګټه اخستې ده؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪45000 900‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬

‫گټه‬

‫سرمايه‬

‫‪900‬‬

‫‪45000‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫‪900 × 100 90000 90‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2%‬‬ ‫‪45000‬‬ ‫‪45000 45‬‬

‫=‪x‬‬

‫د مثال له حل څخه پوهي‪８‬و چې نوموړې س‪７‬ي په هر ‪ 100‬افغان و کې ‪ 2‬افغان‪ ９‬يا ‪ 2%‬ګټه ک‪７‬ي‬ ‫ده‪.‬‬

‫‪53‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د پوهنتون دکانکور په آزموينه کې د حبيبيې ليسې له ‪ 320‬تنو فارغانو څخه ‪256‬‬ ‫تنه بريالي او د غازي ليسې له ‪ 400‬تنو فارغانو څخه ‪ 300‬تنه بريالي شوي دي‪ .‬ويالى شئ چې له‬ ‫نوموړو ښوونځيو څخه په ازموينه کې کوم يوه ښوونځي به زياته فيصدي بريالي ورک‪７‬ي دي؟‬ ‫د برياليو زده کوونکو سلنه (فيصدي) څو ده؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫بريالي‬ ‫ﻓارﻏان‬ ‫‪256‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪256‬‬ ‫×‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2560‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪256‬‬ ‫=‬ ‫=‪, x‬‬ ‫=‬ ‫د حبيبيې د ليسې د ‪= 80%‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫برياليو فيصدي‬ ‫د غازي ليسې د برياليو‬ ‫فيصدي‬

‫‪300 × 100 300‬‬ ‫=‬ ‫‪= 75%‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪300 400‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪100‬‬

‫ﺑﺮﻳاﻟﻲ‬

‫ﻓارﻏان‬

‫‪300‬‬

‫‪400‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫نو ويالى شو چې د کانکور په ازموينه کې د حبيبې ليسې نسبت د غازي ليسې ته زيات بريالى وړک‪７‬ي‬ ‫دي‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫فيصدي د داسې کسر ښودنه ده چې په مخرج کې يې ‪ 100‬وي‪ .‬د فيصدی د ښودلو لپاره له ‪ %‬نښې‬ ‫څخه کار اخيستل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬يو هټيوال په يوه مياشت کې دوه وارې مالونه راوړي دي‪ .‬لوم‪７‬ى وار يې د ‪25000‬افغانيو په‬ ‫پانګې ‪ 800‬افغان‪ ９‬ګټه ک‪７‬ې ده او دويم وار يې د ‪ 10000‬افغانيو په پانګې‪ 330،‬افغان‪ ９‬ګټه ک‪７‬ي‬ ‫ده‪ .‬نوموړي هټيوال کوم وارې نﻈر سرمايې ته زياته گټه ک‪７‬ې ده؟‬ ‫‪ -2‬عبدالرحيم د رياضي په مﻀمون کې له ‪ 57‬نمرو څخه ‪ 60‬نمرې په الس راوړي‪ ،‬د رياضي په‬ ‫مﻀمون کې‪ ،‬د عبدالرحيم د نمرو فيصدي په الس راوړئ؟‬ ‫‪ -3‬په الندې مساواتو کې کوم يو يې سم دى؟ هغه چې سم نه دی‪ ،‬صحيح نسبت يې وليکئ‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪50‬‬

‫= ‪30%‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪= 11% ,‬‬ ‫= ‪= 21% , 4%‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬

‫= ‪50%‬‬

‫‪54‬‬

‫احدﻳت ‪Unitary‬‬ ‫که چېرې په عمومي توګه د يوي‬ ‫مجموعي قيمت راک‪７‬ل شوى وي‪ .‬څرنګه‬ ‫کوالى شو‪ ،‬د هغه د يوې دانې قيمت پيدا‬ ‫ک‪７‬و؟‬ ‫که چېرې د يوه قلم قيمت درک‪７‬ل شوى‬ ‫وي ايا د هغه د څو دانو قيمت پيدا کوالى‬ ‫شو؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪28‬‬ ‫د يو شمېر کمېسونو نسبت چې يو ګڼدونکي يې نﻈر ورځو ته ګنډي‬ ‫‪4‬‬

‫کمېسونه په ‪ 4‬ورځو کې ګنډي‪ ،‬په يوه ورځ کې به څو کميسونه وګنډي؟‬ ‫د پورته وينا له مخې الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫دى‪ ،‬يعنې دا ګنډونکى‪28‬‬

‫‪x‬‬

‫‪28‬‬

‫د کميسونو شمېر‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫ورځې‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬

‫د پورته جدول له مخې تناسب جوړ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د طرفين او وسطين له خاصيت څخه په کار اخيستنې سره د ‪ x‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په پايله کې ويالى شو‪ ،‬که چېرې په عمومي توګه د يوې مجموعې قيمت راک‪７‬ل شوى وي‪ ،‬کوالى‬ ‫شو‪ ،‬د يوې دانې قيمت پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د خاورو د تيلو د يوه بيرل (‪200‬ليترو) بيه ‪ 40000‬افغانې ده‪ ،‬د هغه د يو ليتر بيه‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ليتر‬ ‫‪ 200 40000‬افغان‪９‬‬ ‫=‬ ‫‪200‬‬ ‫‪40000‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪200 x = 40000‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫افغان‪x = 200 ９‬‬

‫‪55‬‬

‫‪,‬‬

‫‪40000‬‬ ‫‪200‬‬

‫=‪x‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د پنسل يو درجن (‪ 12‬دانې) قلمونه په ‪ 240‬افغانيو را نيول شوي دي‪ ،‬د هغه د ‪7‬‬ ‫دانو قيمت څو افغان‪ ９‬کي‪８‬ي؟‬ ‫لوم‪７‬ى د يوه قلم قيمت پيدا کوو‪.‬‬ ‫د پنسل د قلمونو شمېر‬ ‫افغانى‬

‫افغان‪x = 20 ９‬‬

‫نو د ‪ 7‬دانو قيمت عبارت دى له‪:‬‬

‫‪240‬‬

‫‪12‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12 240‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12 x = 240‬‬ ‫‪240‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪12‬‬

‫افغان‪20 7 = 140 ９‬‬

‫د سوداګرۍ په ډيرو راک‪７‬و ورک‪７‬و کې د جنسونو اوشيانو پلورل او را نيول د درجن او د ستې په توګه‬ ‫کي‪８‬ي‪ ،‬کله نا کله اړتيا پيدا کي‪８‬ي چې د هغو د يوې يا څو دانو قيمت پيدا ک‪７‬و‪ .‬ددې عمل د سرته‬ ‫رسولو لپاره له داسې طريقې څخه کار اخيستل کي‪８‬ي چې احديت بلل کي‪８‬ي او داسې يې تعريفوو‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫له يوې مجموعې څخه د يوه واحد قيمت پيدا کول‪ ،‬له احديت څخه عبارت دی‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ 2 -1‬متره ټوکر ‪ 300‬افغان‪ ９‬بيه لري‪ .‬لوم‪７‬ى د هغه د يوه متر بيه پيدا ک‪７‬ئ او بيا وواياست چې د‬ ‫‪ 17‬مترو بيه څو افغان‪ ９‬کي‪８‬ي؟‬ ‫‪ -2‬د يو جنس د ‪ 60‬ﻛيلو گرام د وړلو لګښت ‪ 2400‬افغانى کي‪８‬ي‪ ،‬لوم‪７‬ى د هغه د يوه کيلو ګرام د‬ ‫وړلو لګښت پيدا او بيا وواياست چې د ‪ 35‬کيلو گرام د وړلو يې څو افغان‪ ９‬کي‪８‬ي؟‬

‫‪56‬‬

‫زکات‬ ‫ترټاکلو شرايطو الندې د نقدي شتمن‪９‬‬ ‫څلويښتمه برخه له زکات څخه عبارت‬ ‫ده چې شريعت هغه ټاکلی دی له دې امله‬ ‫د زکات او پانگې (نقدی پيسې) ترمنځ‬ ‫نسبت عبارت دی له‪:‬‬ ‫‪ = 1‬زﻛات‬ ‫‪ 4 0‬پاﻧﮕﻪ‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫زکات د اسالم څوم رکن دی؟‬ ‫ايا په هر مسلمان د زکات ورکول فرض دي؟‬ ‫ايا ستاسو پالر کوم وخت د خپلې شتمن‪ ９‬زکات ورک‪７‬ی دی؟‬ ‫" ايا د شتمن‪ ９‬د زکات ورکولو لپاره کوم ځانگ‪７‬ی نصاب شته؟‬ ‫د پورتني فعاليت له سرته رسولو وروسته کوالی شو‪ ،‬الندې تعريف بيان ک‪７‬و‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫زکات په لغت کې د پاکی (سپي（لتيا) او ډيروالي په معنا دی‪ ،‬مقصد له پاکی څخه دا دی چې د‬ ‫زکات په ورکولو سره د مسلمان شتمني پاکي‪８‬ي او مطلب له ډيروالي څخه دا دی چې د زکات له‬ ‫ورکولو وروسته د هغه شتمني زياتوالی مومي او د شرعي په اصطالح اسالمي اصل دی چې د‬ ‫نصاب خاوند زکات د خپلې شتمن‪ ９‬يوه برخه چې شريعت ورته امر ک‪７‬ی دی‪ ،‬د خدای(ج) د رضا‬ ‫او د فرض د ادآ کولو لپاره يوه مستحق کس ته ورکوي‪.‬‬ ‫زکات د اسالم څلورم رکن دی او په هر مسلمان د نصاب په خاوند يې ورکول فرض دی‪ ،‬د زکات‬ ‫اساس په نقدو او تجارتي مالونو کې د نقرې او طال درلودل دي‪ ،‬د طال يو معياري مثقال ‪4.25‬‬ ‫گرامه او يو درهم نقره چې د ‪ 3‬گرامه معادل دی‪ ،‬داسې چې‪:‬‬

‫‪57‬‬

‫ﻣﺜﻘال‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫ﮔﺮام‬ ‫‪4.2 5 g r‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﮔﺮام ‪ 2 0 = 2 0 × 4 . 2 5 = 8 5‬ﻣﺜﻘاﻟﻪ ﻃﻼ‬ ‫‪g‬‬ ‫نو هغه څوک چې د ‪ 85‬گرامه طال خاوند وي‪ ،‬نو ديوه کال په تېريدو سره بايد زکات ورک‪７‬ي‪.‬که‬ ‫وغواړو چې ‪ 200‬درهمه نقره په گرام واړوو‪ ،‬تقريبا ً له ‪ 600‬گرامه سره معادل دي‪.‬‬ ‫‪3 200‬‬ ‫ﮔﺮام‪= 600 g‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‪x‬‬

‫ﮔﺮام‬

‫درﻫﻢ‬

‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪200‬‬

‫يعني څوک چې ‪ 200‬درهمه يا ‪ 600‬گرامه نقره او يا د هغې معادل قيمت ولري‪ ،‬نو بايد د‬ ‫‪ 200‬درهمو نقرې زکات او يا د هغه معادل قيمت ورک‪７‬ي او د طال زکات د نيم مثقال‪2 ،‬‬ ‫گرامه‪ 125 ،‬ملي گرامه او يا د هغه معادل قيمت دې ورک‪７‬ي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ی مثال‪:‬د ‪ 5000000‬افغان‪ ９‬پانگې زکات په الندې ډول حسابي‪８‬ي‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫زﻛات‬

‫‪4 0 x = 5 000000‬‬ ‫‪5 000000‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‪= 125000 A‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫پاﻧﮕﻪ‬

‫‪40‬‬ ‫‪5 000000‬‬

‫=‪x‬‬

‫زکات او فﻴﺼد‪:‬‬ ‫څرنگه چې پوهي‪８‬و د پانگې زکات له هرو څلويښتو افغانيو څخه يوه افغان‪ ９‬حسابي‪８‬ی‪ ،‬نو د زکات‬ ‫مقدار په الندې ډول ټاکل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪450000 1‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‬ ‫‪, x = 11250 A‬‬ ‫‪40‬‬

‫=‪x‬‬

‫زﻛات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫پاﻧﮕﻪ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪450000‬‬

‫اوس د ‪ 450000‬افغانيو پانگې زکات د ‪ 2.5%‬له مخې په الس راوړو‪:‬‬

‫‪58‬‬

‫‪450000 2.5‬‬ ‫‪, x = 11250‬‬ ‫‪100‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪450000‬‬

‫زﻛات‬

‫پاﻧﮕﻪ‬

‫‪2.5‬‬

‫‪100‬‬

‫‪x‬‬

‫‪450000‬‬

‫ليدل کي‪８‬ي چې په دواړو حالتونو کې د زکات مقدار يوله بل سره مساوي دی‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 24000‬افغانيو پانگې زکات د ‪ 2.5‬فيصده له مخې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ی طريقه‬ ‫‪24000 2.5‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‪, x = 600 A‬‬ ‫‪100‬‬

‫زﻛات‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪x‬‬

‫=‪x‬‬

‫پاﻧﮕﻪ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪24000‬‬

‫دويمه طريقه‪:‬‬ ‫‪24000 1‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‬ ‫‪, x = 600 A‬‬ ‫‪40‬‬

‫زﻛات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫=‪x‬‬

‫پاﻧﮕﻪ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪24000‬‬

‫دريم مثال‪ :‬محمد ابراهيم يو مقدار طال چې د ‪ 360000‬افغانيو سره معادل او ورسره‬ ‫‪ 50000‬افغان‪ ９‬نقدې لري‪ ،‬د يوه کال په تيريدو يې زکات څومره کي‪８‬ي؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‬ ‫‪ = 360000 A‬د طال قيمت‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‬ ‫‪ = 50000 Af‬نقدې افغان‪９‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‬ ‫‪ = 360000 + 50000 = 410000 Af‬مجموعې پيسې يا شتمني‬

‫‪410000 1 41000‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‬ ‫=‬ ‫‪A f , x = 10250Af‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‪x‬‬

‫زﻛات پاﻧﮕﻪ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪410000 x‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬عبدالباري په ‪ 1388‬کال کې ‪ 745‬افغان‪ ９‬زکات ورک‪７‬ی دی‪ ،‬پيدا ک‪７‬ي چې هغه‬ ‫په نوموړې کال کې څومره پانگه درلوده؟‬

‫‪59‬‬

‫حل ‪:‬‬ ‫‪100 745 74500‬‬ ‫=‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‪, x = 29800‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪100 2.5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪745‬‬

‫زﻛات‬ ‫‪2.5‬‬

‫پاﻧﮕﻪ‬ ‫‪100‬‬

‫‪745‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ – 1‬د ‪ 7518000‬افغانيو پانگې زکات ديوه کال له تيريدو څخه وروسته حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬که يوه س‪７‬ی د خپلې پانگې زکات ‪ 6520‬افغان‪ ９‬حساب ک‪７‬ې وي‪ ،‬اصلې پانگه يې پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪60‬‬

‫تﺨﻔﻴﻒ‬

‫‪Discount‬‬

‫ځينې وختونه به پلورنځي ته تللي ياست‬ ‫او دا اعالنونه به مو ليدلي يا اوريدلي‬ ‫وي‪:‬‬ ‫د پسرلنيو جامو په بيه کې ‪10%‬‬ ‫تخفيف‪.‬‬ ‫د سيم کارت په بيه کې ‪50%‬‬ ‫تخفيف‪.‬‬ ‫په اجناسو کې ‪ 15%‬تخفيف‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫يو زده کوونکى د کيسو د کتاب د اخيستلو لپاره د کتابونو پلورنځي ته ځي‪ .‬د کتاب بيه ‪ 60‬افغان‪９‬‬ ‫ده‪ .‬نوموړى زده کوونکى ‪ 55‬افغان‪ ９‬لري‪ .‬کتاب پلورنکى نوموړى کتاب په زده کوونکي باندې په‬ ‫‪ 55‬افغانيو پلوري‪.‬‬ ‫زده کوونکي دا کتاب له اصلي بيې څخه څو افغان‪ ９‬ارزانه اخيستی دی؟‬ ‫د کتاب له اصلي بيې څخه يې څو فيصده ل‪８‬ې ورک‪７‬ي دي؟‬ ‫که چېرې دا فيصد د کتاب په بيه کې ضرب او په سلو وويشل شي‪ ،‬کوم عدد را ښيي؟‬ ‫ويلى شو په هر اندازه چې زده کوونکي کتاب له اصلي بيې څخه ارزان اخيستی دى‪ ،‬د کتاب‬ ‫تخفيف بلل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ميوې د اوبو ماشين په ‪ 4000‬افغان‪ ９‬اخيستل شوی دی بيه لري او د ‪ 8%‬په‬ ‫تخفيف پلورل کي‪８‬ي د پلورلو بيه يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫ﻗﻴﻤﺖ‬

‫ﺑﻴﻪ‬

‫‪8‬‬

‫‪100‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪= 40 × 8 = 320‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 3680‬اﻓﻐاﻧﻲ = ‪ = 4000 320‬د پﻠﻮرﻟﻮ ﺑﻴﻪ‬ ‫× ‪ = 4000‬تﺨﻔﻴﻒ‬

‫‪61‬‬

‫دويم مثال‪ :‬يو تن يو جنس چې اصلي بيه يې ‪ 3000‬افغان‪ ９‬ده‪ ،‬له تخفيف وروسته يې په ‪2895‬‬ ‫افغانيو واخيست‪ .‬معلوم ک‪７‬ئ چې نوموړي اخيستونکى په څو فيصده تخفيف اخيستى دى؟‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى ټول تخفيف په الندې ډول په الس راوړو‪:‬‬ ‫‪3000 2895 = 105‬‬

‫ټوله تخفيف ‪ 105‬افغان‪ ９‬دي‪ ،‬اوس د تناسب په مرسته د ‪ 100‬تخفيف پيدا کوو‪.‬‬ ‫‪ = 100 × 105 = 10500 = 3.5%‬تﺨﻔﻴﻒ‬ ‫‪3000 3000‬‬ ‫‪ = 3.5%‬تﺨﻔﻴﻒ‬

‫تﺨﻔﻴﻒ‬

‫ﺑﻴﻪ‬

‫‪105‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪x‬‬

‫‪100‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫هغه پېسې چې سوداګران يې د سيال‪ ９‬او د خپلو مشتريانو د جذب لپاره له اصلي بيې څخه کموي‪.‬‬ ‫تخفيف بلل کي‪８‬ي‪ .‬ددې تخفيف فيصدي نسبت اصلي قيمت ته د تخفيف د فيصدۍ په نامه‬ ‫يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪-1‬د يوه بايسکل اصلي بيه ‪ 5000‬افغان‪ ９‬ده که چيرې پلورونکى خپل اخيستونکي ته ‪ 2%‬تخفيف‬ ‫منلې وي‪ ،‬د بايسکيل بيه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چېرې د يوې ګازې بخارۍ اصلي بيه ‪ 8000‬افغان‪ ９‬وي‪ ،‬هټيوال د خپلې اړتيا لپاره هغه په‬ ‫‪ 7600‬افغان‪ ９‬وپلوري‪ ،‬تخفيف اود تخفيف فيصدي پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪-3‬د يوه برقي جارو بيه ‪ 5730‬افغان‪ ９‬ده او هغه د ‪ 3%‬په تخفيف پلورل کي‪８‬ي‪ .‬د پلورلو بيه يې پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫د دويم ＇پرکی مهم ！کي‬ ‫نسبت‪:‬‬ ‫د دوو همجنسو کميتونو يا مقدارونو تر منځ نسبت له هغه عدد څخه عبارت دى چې وښيي لوم‪７‬ی‬ ‫کميت د دويم کميت څو برابره دى‪ ،‬يا يو کميت د بل کميت څومه برخه ده او يا دويم کميت‬ ‫څوځلې په لوم‪７‬ى کميت کې شامل دى‪.‬‬ ‫په متناسبو اجﺰاو ويشل‪:‬‬ ‫د يوه عدد د ويشلو لپاره په راک‪７‬ل شوو نسبتونو‪ ،‬لوم‪７‬ی د راک‪７‬ل شوو نسبتو د جمعې حاصل په الس‬ ‫راوړو‪ .‬له هغه وروسته مفروض عدد په دې مجموعې باندې ويشو او د وېش حاصل يې په راک‪７‬ل‬ ‫شوي هر يوه نسبت کې ضربوو‪ ،‬الس ته راغلي عددونه په راک‪７‬ل شوو نسبتونو باندې د نوموړي عدد‬ ‫ويشل دي‪.‬‬ ‫تناسﺐ‪:‬‬ ‫د دوو نسبتونو مساوات ته تناسب وايي‪.‬‬ ‫د تناسﺐ خواص‪:‬‬ ‫‪a d=b c‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬

‫‪63‬‬

‫‪a b‬‬ ‫=‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪d c‬‬ ‫=‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪b d‬‬ ‫=‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪a + b c+ d‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a b c d‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫‪a+c‬‬ ‫‪b+d‬‬ ‫‪a+b c+d‬‬ ‫=‬ ‫‪a b c d‬‬

‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‬ ‫‪b d‬‬

‫د تناسﺐ ډولونه‬ ‫تناسب په دوه ډوله دی (‪ -١‬مستقيم تناسب‪ -٢ .‬معکوس تناسب)‬ ‫‪ -1‬مستقﻴم تناسﺐ‪ :‬که چېرې په يوه تناسب کې لوم‪７‬ۍ مقدار زيات او دويم مقدار يې هم ورسره‬ ‫زيات شي يا که چېرې لوم‪７‬ۍ مقدار کم او دويم مقدار يې هم کم شي‪ ،‬دغه ډول تناسب ته مستقيم‬ ‫تناسب وايي‪.‬‬ ‫‪ -2‬مﻌکوس تناسﺐ‪ :‬که چېرې په يوه تناسب کې د يوه کميت مقدار زيات او باالمقابل د بل کميت‬ ‫مقدار کم شي‪ ،‬يا د يوه کميت مقدار کم او د بل کميت مقدار زيات شي‪ ،‬دا تناسب د معکوس تناسب‬ ‫په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫ﻓﻴﺼد‪:‬‬ ‫فيصد د داسې يوه کسر ښودونکى دى چې مخرج يې ‪ 100‬وي‪.‬‬ ‫احديت‪:‬‬ ‫له يوې مجموعې څخه د يوه واحد قيمت پيدا کول‪ ،‬له احديت څخه عبارت دی‪.‬‬ ‫زکات‪:‬‬ ‫زکات په لغت کې د پاکی (سپي（لتيا) او ډيروالي په معنا دی‪ ،‬مقصد له پاکی څخه دا دی چې د‬ ‫زکات په ورکولو سره د مسلمان شتمني پاکي‪８‬ي او مطلب له ډيروالي څخه دا دی چې د زکات له‬ ‫ورکولو وروسته د هغه شتمني زياتوالی پيدا کوي او د شرعي په اصطالح اسالمي رکن دی زکات د‬ ‫نصاب خاوند‪ ،‬د خپلې شتمن‪ ９‬يوه برخه چې شريعت ورته امر ک‪７‬ی دی‪ ،‬د خدای(ج) د رضا او د‬ ‫فرض د ادآ کولو لپاره يوه مستحق کس ته ورکوي‪.‬‬ ‫تﺨفﻴﻒ‪:‬‬ ‫هغه پېسې چې سوداګران يې د سيال‪ ９‬او د خپلو مشتريانو د جذب لپاره له اصلي بيې څخه کموي‬ ‫تخفيف بلل کي‪８‬ي‪ .‬ددې تخفيف فيصدي نسبت اصلي قيمت ته د تخفيف د فيصدی په نامه‬ ‫يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪64‬‬

‫عمومي پو＊تن‪３‬‬ ‫د هرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه درک‪７‬ل شوي دي‪ .‬له سم ځواب څخه يې کرښه تاو ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬د نسبت حاصل داسې يو عدد دى چې‪:‬‬ ‫‪ )a‬منفي وي‬

‫‪ )b‬مثبت وي‬

‫‪ )c‬واحد نه لري‬

‫‪ )d‬هي＆ يو هم نه دى‬

‫‪ -2‬د فيصد نښه عبارت ده‪ ،‬له‪:‬‬

‫‪×)a‬‬

‫‪÷ )b‬‬

‫‪+ )c‬‬

‫‪%)d‬‬

‫تش ځايونه په مناسبو کلمو ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬په تناسب کې د لوم‪７‬ي نسبت صورت او دويم نسبت مخرج د ‪ ........................‬په نامه او‬ ‫د لوم‪７‬ى نسبت مخرج د دويم نسبت صورت د ‪ .............................‬په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -2‬په مستقيم تناسب کې دواړه کميتونه په عين وخت کې ‪ ...........................‬يا‬ ‫‪ .......................‬کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -3‬هغه کسر چې مخرج يې ‪ ......................‬وي‪ ،‬د ‪ ................................‬په نامه‬ ‫يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫الندې يو شمېر جملې درک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬د سمې جملې مخې ته د (ص) توری او د ناسمې‬ ‫جملې مخې ته د (غ) توری وليکئ‪:‬‬ ‫‪( -1‬‬

‫) په يوه تناسب کې د لوم‪７‬ي نسبت صورت او دويم نسبت مخرج د طرفينو په نامه او د‬

‫لوم‪７‬ى نسبت مخرج د دويم نسبت صورت د وسطينو په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪( -2‬‬

‫) فيصد داسې کسر دى چې مخرج يې ‪ 100‬وي‪.‬‬

‫‪( -3‬‬

‫) تخفيف مستقيم تناسب دى چې لوم‪７‬ی له اړوند نسبت څخه د يو واحد قيمت پيدا او‬

‫بيا يې راک‪７‬ل شوې مقدار کې يې ضربوو‪.‬‬ ‫‪( -4‬‬

‫‪65‬‬

‫) د دوو تناسبو مساوات ته نسبت وايي‪.‬‬

‫الندې پوښتنې حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د دوو ښوونځيو د زده کوونکو شمېر په ترتيب ‪ 720‬او ‪ 810‬تنه دي‪ .‬د نوموړو ښوونځيو د زده‬ ‫کوونکو ترمنځ نسبت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬په يوه بڼ کې ‪ 45‬ونې د مڼو‪ 30 ،‬ونې د ناکو او ‪ 75‬ونې د انارو دي‪ .‬د دوو‪ ،‬دوو ډولو ونو ترمنځ‬ ‫نسبت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 3‬مترو ټوکر د رانيولو لپاره ‪ 33.75‬افغانيو ته اړتيا ده ‪ .‬نو د ‪ 15‬مترو ټوکر رانيولو ته به څو‬ ‫افغانى په کاروي؟‬ ‫‪ 27 -4‬تنه يو رستورانت په ‪ 20‬ورځو کې جوړ وي‪ ،‬که چېرې وغواړو چې دا رستورانت په ‪15‬‬ ‫ورځو کې جوړ شي‪ ،‬د هغه لپاره څو تنه په کار دي؟‬ ‫‪ -5‬د مالل‪ ９‬د عالي لېسې د داخله شمېر ‪ 50‬تنه دي‪ ،‬د هغو ښوونکي غواړي په داسې دوو ګروپونو‬ ‫‪2‬‬ ‫يې وويشې چې د هغو تر منځ نسبت‬ ‫‪3‬‬

‫وي‪ .‬د هر ګروپ شمېر معلوم ک‪７‬ئ؟‬

‫‪ -6‬د ښوونځي اداره له يو کتاب پلورنکى څخه د ‪ 2560‬افغانيو کتابونه را نيولي دي‪ ،‬د دې لپاره‬

‫چې کتاب پلورونکى نوموړي اخيستونکي خپل پېرويدونکي (مشتري) وګرځوي له اصلي قيمت‬ ‫څخه ‪ 5‬فيصده ل‪ ８‬افغان‪ ９‬اخلي‪ ،‬معلوم ک‪７‬ئ چې د لېسې اداره څومره افغانى کتاب پلورونکي ته‬ ‫ورک‪７‬ي دي؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -7‬دوه سودا ګر د ‪ 2540000‬افغانيو په گډې پانګې سوادګري کوي‪ ،‬د هغو د پانګې نسبت‬ ‫‪5‬‬

‫دى‪ ،‬د هر يوه پانګه پيدا ک‪７‬ئ؟‬

‫‪66‬‬

‫دريم ＇پرکی‬ ‫مشابﻬتونه‬

‫ورته ﺷکلونه‬

‫ايا يوشکل مو په بېلو اندازو ليدلى‬ ‫دى؟‬ ‫زموږ په شاوخوا کې داسې شکلونه‬ ‫شته چې اندازې يې يو له بله سره‬ ‫مساوي نه وي‪ ،‬خو هم ډوله (هم‬ ‫ال د پغمان تاق ﻇفر‪،‬‬ ‫شکله) وي‪ ،‬مث ً‬ ‫چې يويې لوى او بل يې کوچنی دى‪،‬‬ ‫خو د شکل له نﻈره يې يو بل ته ورته‬ ‫وينو‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې دوه مثلثونه په پام کې ونيسئ‪:‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪B‬‬

‫● ايا فکر کوالى شئ چې پورته مثلثونه يو بل ته ورته دي؟‬ ‫● که چيرې فکر کوالى شئ چې مثلثونه يو بل ته ورته دي‪ ،‬دهغو متناسبې ضلعې او مساوي‬ ‫زاويې وټاکئ‪.‬‬ ‫● مساوي زاويې د نقالې په واسطه اندازه او پرتله يې ک‪７‬ئ‪ ،‬څه فکر کوئ؟‬ ‫● د متناسبو ضلعو نسبت حساب ک‪７‬ئ؟‬ ‫پورتنى فعاليت موږ ته راښيي‪ ،‬چې‪:‬‬ ‫په ورته شکلونو کې مساوي زاويې يو له بله سره مساوي او انطباق منونکی دي او د متناسبو‬ ‫ضلعو نسبت د يو ﺛابت مقدار لرونکی دی چې دې ﺛابت مقدار ته د ورته والي نسبت وايې که‬ ‫چېرې دوه شکلونه داسې اړيکې ولري ‪ ،‬دا شکلونه‪ ،‬سره ورته شکلونه دي ‪ ،‬دوه ورته شکلونه‬ ‫د (~) نښې په واسطه ښيي‪.‬‬

‫‪69‬‬

‫مثال‪ :‬غواړو وښيو چې دوه متساوي االضالع مثلثونه يو بل ته ورته دي ‪A‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬زاويې يې يو له بل سره انطبا ق منونکي دي‪.‬‬ ‫دضلعو ترمنځ تناسب وجود لري‪.‬‬ ‫نو‪:‬‬

‫‪6‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A A ,B B , C C‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC 6 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= =‬ ‫‪AB AC BC 4 2‬‬ ‫‪ABC ~ A B C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬الندې کومه يوه جمله تل سمه ده؟ دهرې يوې لپاره مثال وواياست‪.‬‬ ‫ دوې مربع ګانې تل يو بل ته ورته دي‪.‬‬‫ دوه مثلثونه تل يو بل ته ورته دي‪.‬‬‫دوه مستطيلونه تل يو بل ته ورته دي ‪.‬‬‫ دوه متساوي الساقين مثلثونه تل يوبل ته ورته دي‪.‬‬‫ دوې لوزې ګانې تل يوبل ته ورته دي‪.‬‬‫‪ -2‬د ‪ A B C‬او ‪ ABC‬مثلثونه يو بل ته ورته دي‪ .‬د هغو زاويې ټاکل شوي دي‪ .‬د مخامخ‬ ‫ضلعو تر منځ نسبت يې وليکئ او وروسته د ‪ x‬او ‪ y‬اوږ دوالي پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫ورته )متشا به( مﻀلع ‪－‬ان‪３‬‬ ‫ايا دا دوه الندې نقشې نسبت لوم‪７‬ی‬ ‫نقشې ته يوه اندازه کوچن‪ ９‬شوي دي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د خط کش په واسطه د الندې شکلونو د هر يوه ضلعو په اندازه کولو الندې نسبتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪D′‬‬ ‫‪B′‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪D‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫څو برابره دي؟‬ ‫● د ‪ ABCD‬د لوزي ضلعې د ‪ A B C D‬د لوزي د ضلعو‬ ‫● د ‪ ABCD‬او ‪ A B C D‬زاويې اندازه ک‪７‬ئ‪ ،‬څه توپير وينئ؟‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫له پورته فعاليت څخه ليدل کي‪８‬ي چې د دواړو شکلونو د متناسبو ضلعو نسبت تل ﺛابت او يو له بله‬ ‫سره مساوي دي‪ .‬همدا رنګه زاويې يو له بل سره مساوي دي‪ ،‬نو دا دوه شکلونه يوبل ته ورته دي‪.‬‬ ‫څو ضلعې ګانې د الندې خاصيتونو په درلودلو سره ورته دي‪.‬‬ ‫‪ -1‬د راسونو شمېر يې مساوي دي‪.‬‬ ‫‪ -2‬په ورته مﻀلع ګانو کې ټولې زاويې يو په يو له يو بل سره انطباق منونکي وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬هغه ضلعې چې د مساوي زاويو مخامخ ته پرتې دي يوله بله سره متناسبې وي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ ABCD‬او ‪ A B C D‬په الندې دوو مﻀلع ګانو کې ښيو چي يو بل ته ورته دي‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪71‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪4‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪A‬‬

‫حل‪ :‬په شکلونو کې ليدل کي‪８‬ي‪ ،‬چې‪:‬‬ ‫‪ -1‬زاويې يو له بل سره‬ ‫انطباق منوونکی دي يعنې‪:‬‬ ‫‪ -2‬د ضلعو ترمنځ تناسب شته‪ ،‬يعنې‪:‬‬

‫‪A A ,B B , C C ,D D‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪DA‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫'‪A' B' B' C' C' D' D' A‬‬ ‫‪8 6 4 2‬‬ ‫‪= = = =2‬‬ ‫‪4 3 2 1‬‬

‫نو دا دواړه شکلونه يو بل ته ورته دي‪.‬‬ ‫په پورته مثال کې د ورته والي نسبت ‪ 2‬دى‪ ،‬يعنې د ‪ ABCD‬د مﻀلع ضلعې د ‪A B C D‬‬ ‫دمﻀلع دضلعو دوه برابره دي‪ABCD ~ A B C D .‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬د ‪ A B C D‬ضلعي د ‪ ABCD‬د ضلعو څو برابره دي؟‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬په الند ې شکلونو کې وښياست چې يو بل ته ورته دى‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪7.5‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪G‬‬

‫‪4‬‬

‫‪D‬‬

‫‪H‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ -2‬الندې هره جوړه شکلونه چې د يو بل ځنګ ته رسم شوي دي‪ ،‬ورته (مشابه) شکلونه دي‪ ،‬هغه‬ ‫نامعلوم اوږ دوالى يې حساب ک‪７‬ی چې په ‪ x‬سره ښودل شوى دى‪.‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪36‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪63‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3.6‬‬

‫‪ -3‬په الندې شکلونو کې وښياست چي په دوو ورته مستطيلونو کې د يوه د اوږد والي او سور نسبت‬ ‫د دويم مستطيل د اوږدوالي او سور له نسبت سره مساوي دى‪.‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪10‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪16‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪20‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪72‬‬

‫په مساوي ﻓاصلو موازي خطونه‬ ‫د اورګاډي د خطونو ترمنځ فاصله يو له بله‬ ‫سره څه اړيکې لري‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● څلور مخامخ موازي ټوټه کرښې يا خطونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫● په دې څلورو ټوټه کرښو باندې يو عمود رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● پيدا شوي ټوټه خطونه اندازه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● يو بل خط داسې رسم ک‪７‬ئ چې دا څلور موازي خطونه قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫● هغه ټوټه خطونه چې د دې قطع کوو نکي او موازي خطونو په واسطه الس ته راځي‪ ،‬اندازه او‬ ‫وواياست چې يوله بله سره څه ډول رابطه لري؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه الندې تعريف ترالسه کوو‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫که چېرې څو موازي خطونه چي يو له بل څخه په مساوي فاصلو سره پراته وي‪ ،‬د يوه قاطع په واسطه‬ ‫قطع شي‪ ،‬د قاطع کوونکي په مخ باندې مساوي ټوټه خطونه جال کوي‪.‬‬ ‫مثال‪:‬په الندې شکل کې موازي خطونه په مساوي فاصلو سره درک‪７‬شوي دي‪ ،‬د ‪ x‬فاصله په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې د جال شوو دوو ټوټه خطونو مجموعه چې د موازي‬ ‫خطونو ترمنځ ده‪ ،‬له ‪ 8‬واحده سره مساوي ده‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫نو هره ټوټه خط څلور واحده کي‪８‬ي او ‪ x‬د دې هر يوه واحد سره برابر‬ ‫‪x‬‬ ‫دى‪ ،‬نو ‪ x=4‬دى‪.‬‬

‫‪73‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪-1‬د ‪ AB‬کيفى ټوټه خط رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ A‬له ټکې څخه د ‪ AX‬يو کيفي نيم خط رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ AX‬پر مخ باندې د ‪ A‬له ټکې څخه پيل او‪ 5‬واحده پر له پسې جال ک‪７‬ئ‪ .‬دې ټکو ته په‬ ‫ترتيب سره ‪ Q،P،N ،M‬او ‪ C‬وواياست‪.‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ C‬ټکى له ‪ B‬سره ونښلوئ‪.‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫مستقيم خط سره موازي خطونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -5‬اوس د ‪ P ،N ،M‬او ‪ Q‬له ټکو څخه له‬ ‫‪ -6‬پنځه پيدا شوي ټوټه خطونه يو له بل سره څه ډول رابطه لري؟‬ ‫که چېرې وغواړو يو ټوټه خط په مساوي برخو وويشو‪ ،‬کوالى شو په مساوي فاصلو سره د موازي‬ ‫خطونو له خاصيت څخه کار واخلو‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬په الندې هريو شکل کې موازي خطونه په مساوي فاصلو سره درک‪７‬ل شوي دي‪ .‬د ‪ x‬قيمت پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1.5‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ -2‬دوه ټوټه خطونه رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬وروسته يو له هغو څخه په درې مساوي بر خو او بل يې په څلورو‬ ‫مساوى بر خو وويشئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬يوټوټه خط د ‪ 12cm‬په اوږدوالي سره رسم او په ‪ 8‬مساوي برخو يې وويشئ‪.‬‬

‫‪74‬‬

‫د تاﻟﺲ قﻀﻴﻪ‬ ‫)‪(Thales‬‬ ‫دا مخامخ ودان‪ ９‬څو پوړه (طبقې) لري؟‬ ‫ايا د پوړونو (طبقو) فاصلې يو له بله سره‬ ‫مساوي دي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ b ، a‬او ‪ c‬درې موازي مستقيم خطونه رسم ک‪７‬ئ چې يوله بله سره مساوي فاصلې و نه لري‪.‬‬

‫● دوه قا طع (غير موازي) خطونه داسې رسم ک‪７‬ئ چې درې موازي خطونه يې په ترتيب سره‬ ‫د ‪ C ، B ،A‬او ‪ C ، B ، A‬پﻪ ټکو کې قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫● الندې نسبتو نه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫?=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫?=‬ ‫‪BC‬‬ ‫●‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪A′‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C′ c‬‬

‫يو بل کيفي قاطع رسم ک‪７‬ئ او د پيدا شوو ټوټو نسبت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫تالس يوناني رياضي پوه په کا ل(‪ 624 -548‬له ميالد د مخه) د پورته فعا ليت نتيجه په الندې‬ ‫ډول ويلي وه‪.‬‬ ‫د تالﺲ قﻀﻴه‪ :‬که چيرې دوه يا څو موازي ټوټه خطونه د دوو يا څو خطونو په واسطه قطع‬ ‫شي‪ ،‬د هغو په مخ باندې متناسب ټوټه خطونه جال کوي‪ ،‬لکه‪ :‬په الندې شکل کې ‪d2 ،d1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫او ‪ d3‬درې موازي مستقيم خطونه دي‪.‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫ﻧﻮ‪:‬‬

‫‪75‬‬

‫‪AB A B‬‬ ‫=‬ ‫‪BC B C‬‬

‫‪d2‬‬ ‫‪C′ d‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫مثال‪ :‬په مخامخ شکل کې د ‪ x‬قيمت حساب ک‪７‬ئ‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫=‬

‫'‪AB A' B‬‬ ‫=‬ ‫'‪BC B' C‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2× 4 8‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫’‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫’‪B‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪4‬‬

‫’‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬په الندې هر يوه شکل کې د ‪ a‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫’‪2 C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫’‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫’‪B‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬

‫’‪B‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(b) B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4.5‬‬

‫’‪C‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪ -2‬مخامخ شکل په پام کې ونيسئ اوالندې نسبتونه بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫?=‬ ‫‪AB‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AM‬‬ ‫?=‬ ‫‪MB‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬د تالس د قﻀيې په پام کې نيولو سره وواياست په الندې کوم يو شکل کې ‪ DE‬له ‪BC‬‬

‫سره موازي دي؟‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪3.8‬‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2.4‬‬

‫‪E‬‬

‫‪3.6‬‬

‫‪C‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪76‬‬

‫ددريم ＇پرکی مهم ！کي‪:‬‬ ‫‪-1‬ورته شکلونه له هغو شکلونو څخه عبارت دي چې هم شکله (هم ډوله)وي‪ ،‬خو اړينه نه ده چې‬ ‫اندازې يې يو له بله سره مساوي وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬مﻀلع ګانې هغه وخت يو بل ته ورته وې چې الندې خواص ولري‪:‬‬ ‫‪ )a‬په ورته مﻀلع ګانو کې ټولې زاويې بايد يو په يو سره انطباق منونکې وي‪.‬‬ ‫‪ )b‬د مﻀلع ګانو د زاويومخامخ اړوندې ضلعې يوله بل سره متناسبې وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬که چېرې په مساوي فا صلو سره موازي خطونه څوقاطع‪ ،‬پرې ک‪７‬ي‪ ،‬د هغو پر مخ باندې په‬ ‫مساوي اندازې سره ټوټه خطونه جال کوي‪.‬‬ ‫‪ -4‬په مساوي فاصلو سره د موازي خطونو په کار ولو سره کوالى شو‪ ،‬يو ټوټه خط پر مساوي ټوټه‬ ‫خطونو باندې وويشو‪.‬‬ ‫‪ -5‬که چېري څو موازي مستقيم خطونه چې د هغو تر منځ فاصلې مساوي وي د دوو قاطع په واسطه‬ ‫قطع شي او د يوه قاطع پر مخ باندې مساوي ټوټې جالک‪７‬ي‪ .‬د بل پر مخ باندې هم مساوي ټوټې‬ ‫جﻶ کوي‪.‬‬

‫‪77‬‬

‫عمومي پو＊تن‪３‬‬

‫● ال ندې پوښتنې په ځير سره ولولئ‪ ،‬دهرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه درک‪ ７‬شوي دي‪ ،‬سم ځواب‬ ‫يې وټاک‪ ９‬اوکرښه ترې تاو ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬يو متساوى االضالع مثلﺚ الندې کوم يو مثلﺚ ته ورته دى؟‬ ‫‪ )a‬مختلف االضالع مثلﺚ ته‬

‫‪ )b‬متساوي االضالع مثلﺚ ته‬ ‫‪ )d‬يوه ته هم نه دى‬

‫‪ )c‬متساوي الساقين مثلﺚ ته‬

‫‪ -2‬ټولې متساوي الزاويې څلور ضلعې ګانې يو بل ته‪:‬‬ ‫‪ ) c‬متوازي االضالع دي‬

‫‪ ) a‬ورته دي ‪ ) b‬انطبا ق منونکى دي‬

‫‪ -3‬د ‪ ABC‬او ‪ DEF‬مثلثونه يو بل ته ورته دي‪ .‬که چېرې‬

‫‪ ) d‬يو يې هم نه دى‬ ‫‪ A = D , B = E‬او‪،‬‬

‫‪ AB = 9cm , AC = 12cm‬او ‪ DE = 3cm‬وي‪ ،‬په دې صورت کې د ‪ DF‬اوږدوالى عبارت‬ ‫دی له‪:‬‬ ‫‪)a‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪4cm )b‬‬

‫‪)c‬‬

‫‪6 cm‬‬

‫‪7cm‬‬

‫‪)d‬‬

‫‪ -4‬په الندې شکل کې ‪ AB // ED‬او ‪ CD = 5‬دي د ‪ CE‬نسبت عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪(c‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪AD‬‬

‫‪EB‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪78‬‬

‫＇لورم ＇پرکی‬ ‫تناﻇر‬

‫د تﻨاﻇرﻣﻔﻬﻮم‬

‫ايا تر اوسه مو فکر ک‪７‬ى دى چې‬ ‫څومره متناﻇر شکلونه زموږ په‬ ‫چاپيريال اوطبيعت کې شته؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې شکلونو ته پاملرنه وک‪７‬ى‪:‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬

‫● که چېرې پورتني شکلونه د ‪ Ä‬د خط په امتداد سره قات ک‪７‬و څه شئ ليدل کي‪８‬ي؟‬ ‫● ايا ويالى شو چې د شکل دوې برخې چې د ‪Ä‬خط دواړه خواوته دي انطباق منونکى دي؟‬ ‫● ايا کوالى شو د پورتنيو شکلونو پر مخ باندې بل خط رسم ک‪７‬و؟ که چېرې شکل د رسم‬ ‫شوې خط په امتداد قات ک‪７‬و‪ ،‬د شکل برخې يو په بل باندې منطبق شي؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه ليدل کي‪８‬ي چې ځينې شکلونه دا خاصيت لري‪ ،‬که چېرې هغه ديو‬ ‫خط په امتداد سره قات ک‪７‬و‪ ،‬نو د شکل دواړه برخې يو پر بل باندې منطبق کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫دلته وايو چې شکل نسبت خط ته متناﻇر دى‪.‬‬ ‫که چېرې يو شکل د مستقيم خط په امتداد سره قات شي اودواړه برخې يې يو پر بل باندې‬ ‫منطبق شي‪ ،‬دې دووشکلونو ته متنا ﻇر شکلونه نسبت مستقيم خط ته وايي‪ ،‬هغه خط چې‬ ‫شکل په هغه باندې قات شوى دی‪ ،‬د تنا ﻇر محور بلل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪81‬‬

‫مثال‪ :‬الندې شکلونه نسبت د ‪ Ä‬خط (د تناﻇر محور) ته متناﻇر دي‪:‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪l‬‬

‫‪l‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫په الندې هر يوه شکل کې د تناﻇر د محور د شتوالى په صورت کې رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬وواياست چې هر يو‬ ‫شکل د تناﻇر څو محوره لري او همدارنګه الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫متساوي االضالع مثلثونه‬

‫دايره‬

‫لوزي‬

‫متوازي االضالع‬

‫ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫ﺷﻜﻞ‬ ‫د تناﻇر د‬ ‫محورونو شمېر‬

‫‪l‬‬

‫‪82‬‬

‫مﺤوري تنا ﻇر‬ ‫ډير موجودات چې خدای (ج) خلق‬ ‫ک‪７‬ي دي متنا ﻇرې دي‪.‬‬ ‫ايا کوالى شئ په طبيعت کې نور د‬ ‫متناﻇرو شکلونو نومونه واخلى؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬

‫‪d‬‬

‫‪A‬‬

‫● د ‪ d‬مستقيم خط او له هغه څخه د باندې د ‪ A‬يو ټکى په پا م کې ونيسئ‪:‬‬ ‫● د ‪ A‬له ټکي څخه د ‪ d‬پر خط باندې عمودي خط رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د هغو د تقاطع ټکي ته ‪ H‬وواياست‪.‬‬ ‫● ‪ AH‬په خپل اندازی اوږد ک‪７‬ئ چې د ‪ A‬ټکى الس ته راشي‪.‬‬ ‫● ايا ‪ AH = A H‬دى‪ ،‬ولې؟‬ ‫● ايا ‪ A H d‬دی ولې؟‬ ‫● ايا دې پايلې ته رسي‪８‬و چې ‪ d‬د ‪ AA‬عمودې نا صف دى؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫د ‪ A‬ټکې د ‪ A‬ټکې متناﻇر نسبت د ‪ d‬مستقيم خط ته بولي‪ .‬که‬ ‫چېرې د ‪ d‬خط‪ ،‬عمودي ناصف د هغه ټوټه خط وي چې ‪ A‬او '‪A‬‬ ‫يې سره نښلولي دي‪ ،‬لکه مخامخ شکل‪.‬‬ ‫د هر شکل محوري تناﻇر له هغه هندسي شکل څخه عبارت دى چې‬ ‫هره نقطه يې نسبت د لوم‪７‬ي شکل يوې نقطې ته متناﻇره وي‪.‬‬

‫‪83‬‬

‫‪A‬‬

‫‪d‬‬

‫‪H‬‬ ‫´‪A‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪A‬‬

‫● د ‪ ABC‬په متساوي الساقين مثلﺚ کې د ‪ d‬خط د ‪ BC‬د قاعدې‬ ‫عمودي ناصف دى‪.‬‬ ‫● که چېرې‪ ،‬نو موړى مثلﺚ د ‪ d‬پر خط باندې قات ک‪７‬و‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ايا د مثلﺚ دواړه برخې يو پر بل باندې منطبق کي‪８‬ي؟‬ ‫● د ‪ AB‬پر ضلعې باندې د ‪ P‬يو ټکې وټاکئ‪ ،‬لکه په شکل کې‬ ‫● د ‪ P‬له ټکې څخه پر ‪ d‬باندې عمود رسم ک‪７‬ئ او د تقاطع ټکې ته ‪ H‬وواياست‪ ،‬امتداد ورک‪７‬ئ‪،‬‬ ‫تر څو ‪ AC‬په ‪PP‬کې قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫● ايا کوالى شئ نتيجه واخلئ چې ‪ PH = P H‬دی؟ ولې؟‬ ‫● ايا کوالى شئ نتيجه واخلئ چې د ‪ d‬خط د ‪ PP‬د ټوټه خط عمودي ناصف دی؟ ولې؟‬ ‫● د ‪ Q‬يو بل ټکى د ‪ AC‬د ضلعې په مخ باندې وټاکئ او پورتن‪ ９‬مرحلې تکرار ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له پورته فعا ليت څخه ليدل کي‪８‬ي چې د ‪ AB‬دضلعې د هر ټکې تناﻇر نسبت د ‪ d‬تناﻇري محور‬ ‫ته د ‪ AC‬په ضلعې باندې دی‪.‬‬ ‫که چېرې يو شکل نسبت يوه خط ته متناﻇر وي‪ ،‬د هغه شکل تناﻇري محور د هغو ټوټه خطونو‬ ‫عمودې نا صف دى چې د شکل مخا مخ ټکې يو له بل سره نښلوي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د درک‪ ７‬شوي شکل متنا ﻇر نسبت د ‪ d‬خط ته په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ددې په پام کې نيولو سره چې د تناﻇرمحور د مخا مخ ټکو د‬ ‫نښلو لو ټوټه خطونو عمودې ناصف دى‪ .‬نو دلته د شکل له هر ټکي ‪d‬‬ ‫څخه د ‪ d‬په خط باندې عمود رسموو او په خپلې اندازې يې اوږدوو ‪d‬‬ ‫د الس ته راغلو ټکو له نښلولو څخه د شکل تناﻇرپه الس راځي‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د هر شکل متناﻇر نسبت د ‪ d‬خط ته رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪d‬‬

‫‪d‬‬ ‫)‪(e‬‬

‫)‪(c‬‬

‫‪d‬‬

‫)‪d (b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(d‬‬

‫‪84‬‬

‫مرکﺰي تناﻇر‬ ‫ايا په څرخ کې تنا ﻇر ليدالى شى؟‬

‫د ‪ A‬ټکى د ‪ A‬د ټکي متناﻇر نسبت د ‪ O‬ټکي ته بولي‪.‬‬ ‫که چېرې ‪ O‬د ‪ AA‬د ټوټه خط منځنى ټکى وي‪ .‬په دې حالت‬ ‫کې ‪ O‬ته مرکزي تنا ﻇر وايي او وايو ‪ A‬او ‪ A‬نسبت د ‪ O‬ټکي‬ ‫‪O‬‬ ‫ته متناﻇر دي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫همدا رنګه که چېرې ‪ S‬د ټکو يو سيټ او ‪ O‬د ‪ S‬يو ټکى وي‪.‬‬ ‫که چېرې د ‪ S‬د هر ټکي متناﻇر نسبت ‪ O‬ته د ‪ S‬پر مخ باندې وي‪ ،‬نو وايو ‪ S‬نسبت ‪ O‬ته متناﻇر‬ ‫دى‪ .‬په دې حا لت کې ‪ O‬د ‪ S‬مرکزي تناﻇر دى او ‪ S‬مرکزي تناﻇر لري‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬الندې شکلونه نسبت د ‪ O‬ټکي ته متناﻇر دي‪:‬‬

‫´‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ AB‬ټوټه خط او د ‪ O‬ټکى په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫● د ‪ A‬ټکى له ‪ O‬سره ونښلوئ او په خپل يعنې د ‪ OA‬په اندازه‬ ‫سره يې اوږد ک‪７‬ئ اوپاى ته يې ‪ A‬ووايا ست‪.‬‬ ‫● ايا د ‪ A‬ټکی د ‪ A‬د ټکي متناﻇر نسبت د ‪ O‬ټکې ته دى؟‬ ‫● د ‪ B‬ټکی له ‪ O‬سره ونښلوئ او د ‪ OB‬په اندازه سره يې اوږد ک‪７‬ئ‬

‫‪85‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪A‬‬

‫او پاى ته يې ‪ B‬وواياست‪.‬‬ ‫● ايا ‪ B‬د ‪ B‬د ټکې متناﻇر نسبت ‪ O‬ته دى؟‬ ‫● په خپله خوښه د ‪ P‬ټکى د ‪ AB‬د ټوټه خط پر مخ وټا کئ‪.‬‬ ‫● د ‪ P‬ټکى له ‪ O‬سره ونښلوئ او په خپله اندازه يې اوږد ک‪７‬ئ‪ ،‬پاى ته يې ‪ P‬وواياست‪.‬‬ ‫● ايا ‪ P‬د ‪ A B‬پر مخ باندې راځي‪.‬‬ ‫● ايا د ‪ A B‬ټوټه خط د ‪ AB‬ټوټه خط متناﻇر نسبت ‪ O‬ته دى؟‬ ‫د يوه شکل د تناﻇر پيدا کولو لپاره نسبت د ‪ O‬يوه ټکي ته‪ ،‬بايد د شکل هر ټکى له ‪ O‬سره ونښلوو‬ ‫او په خپل اندازه سره امتداد ورک‪７‬و‪.‬‬ ‫هغه شکل چې د الس ته راغلو ټکو له نښلولو څ（ه الس ته راځي‪ ،‬د اصل يا لوم‪７‬ن‪ ９‬شکل متناﻇر‬ ‫نسبت د ‪ O‬ټکي ته دی‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال‪ :‬په مخامخ شکل کې د ‪ A B C‬مثلﺚ د‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ABC‬د مثلﺚ متناﻇر نسبت د ‪ O‬ټکي ته دى‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬د ‪ ABC‬زاويې متناﻇره زاويه نسبت د ‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ټکي ته په الس راوړئ؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬په الندې کوم يوه شکل کې د ‪ O‬ټکى مرکزي تناﻇر دى؟‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪ -2‬دالندې شکلونو متنا ﻇر نسبت د ‪ O‬ټکي ته رسم ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(c‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪86‬‬

‫د ＇لورم ＇پرکی مهم ！کي‪:‬‬ ‫● د تنا ﻇر او تناﻇري مﺤور مفهوم‪:‬‬ ‫که چېرې د يوه مستقيم خط په امتداد سره يو شکل داسې قات ک‪７‬و چې د شکل دوې برخې يو پر‬ ‫بل باندې منطبقې شي‪ ،‬دې شکل ته متنا ﻇر نسبت خط ته وايي او هغه مستقيم خط چې شکل يې‬ ‫پر مخ باندې قاتي‪８‬ي د شکل تنا ﻇري محور بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫● مﺤوري تناﻇر‪:‬‬ ‫د ‪ A‬ټکى د ‪ A‬د ټکي متناﻇر نسبت د ‪ d‬خط ته وايو‪ ،‬که چېرې د ‪ d‬مستقيم خط د ‪ A‬او ‪A‬‬

‫تر منځ دټوټه خط عمودې نا صف وي‪.‬‬

‫● که چېرې د ‪ A‬ټکى د ‪ d‬د مستقيم خط پر مخ باندې وي‪ ،‬متناﻇر يې نسبت د ‪ d‬مستقيم‬ ‫خط ته په خپله همغه ټکى دى‪.‬‬ ‫● که چېرې يو شکل نسبت يوه خط ته متناﻇر وي‪ ،‬د شکل تناﻇري محور د هغه ټوټه خط‬ ‫عمودي ناصف دى چې د شکل پر مخ د متناﻇر نښلوونکو ټکو په منځ کې دى‪.‬‬ ‫● مرکﺰي تناﻇر‪:‬‬

‫که چېرې ‪ S‬د ټکو يو سيټ او (‪ )O‬يو ټکى وي‪ ،‬د ‪ S‬د هر ټکي متناﻇر نسبت (‪ )O‬ټکي ته‬ ‫په خپله د ‪ S‬پر مخ باندې وي ‪.‬‬ ‫نو وايو د ‪ S‬د ټکو مجموعه نسبت د (‪ )O‬ټکي ته متنا ﻇر دي‪ .‬په دې صورت کې ( ‪ ) O‬د‬ ‫‪ S‬تناﻇري مرکز دى او ‪ S‬مرکزي تناﻇر لري‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫عمومي پو＊تن‪:３‬‬ ‫الندې پوښتنې حل ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬د الندې هر شکل متنا ﻇر نسبت د ‪ O‬ټکى ته رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪O‬‬

‫(‪)a‬‬

‫‪ -2‬د هر شکل تناﻇري محور رسم ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪ -3‬هغه شکلونه وټاکئ چې مرکزي تناﻇر لري او بيا د هر شکل پر مخ باندې مرکزې تناﻇر‬ ‫وښياست‪:‬‬ ‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪ -4‬د هرشکل متنا ﻇر نسبت د ‪ d‬خط ته پيداک‪７‬ئ‪:‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(d‬‬ ‫‪d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫‪d‬‬

‫)‪(a‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪d‬‬

‫‪88‬‬

‫پن‪％‬م ＇پرکی‬ ‫د مثلﺚ قﻀﻴ‪３‬‬

‫د متساوي الساقﻴن مثلﺚ قﻀﻴ‪３‬‬

‫‪A‬‬

‫د ‪ ABC‬د مثلﺚ ضلعې اندازه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دا مثلﺚ څه ډول مثلﺚ بلل کي‪８‬ي؟‬ ‫ددې مثلﺚ د زاويو ترمنځ څه ډول اړيکې‬ ‫شته؟‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ ABC‬متساوى الساقين مثلﺚ داسې رسم ک‪７‬ئ چې د هغه ‪ AB = AC‬وي‪.‬‬ ‫● د ‪ ABC‬په متساوى الساقين مثلﺚ کې مساوي ضلعې په څه نامه يادي‪８‬ي؟‬ ‫د مساوي ضلعو مخامخ زاويې د نقالې په مرسته اندازه ک‪７‬ئ‪ ،‬ددې دوو زاويو ترمنځ څه ډول اړيکې‬ ‫ليدﻵى شئ؟‬ ‫● يو بل متساوى الساقين مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬پورتن‪ ９‬عمليه ورباندې تکرار ک‪７‬ئ او وواياست څه ډول‬ ‫پايله الس ته راځي؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه ليدل کي‪８‬ي چې په متساوى الساقين مثلﺚ کې د مساوي اضالعو مخامخ‬ ‫زاويې يو له بل سره مساوي دي چې دا پوښتنه د الندې قﻀيې په توګه ﺛبوت کوو‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬که چېرې د يوه مثلﺚ دوه ضلعې يو له بل سره مساوي وي‪ ،‬د هغو دوو ضلعو مخامخ زاويې هم يو له‬ ‫بل سره مساوي دي‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬فرض ک‪７‬ئ چې ‪ AB = AC‬دى‪ .‬د ‪ BC‬د ضلعې منځني ټکي ته ‪ M‬وايو‪ .‬د ‪AM‬‬ ‫ميانه رسموو‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫د ‪ ABM‬او ‪ ACM‬د دوو مثلثونو له مخې لرو‪:‬‬ ‫‪ AB = AC‬د فرضيې له مخې‬ ‫‪ABM = AMC‬‬

‫‪ M( BM = CM‬د‪ BC‬منځنى ټکى دى)‬

‫‪ AM = AM‬ګډه ضلعه (مشترکه)‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪B‬‬

‫د درېو مساوي ضلعو له مخې داسې پايله الس ته راوړو چې د ‪ ABM‬او ‪ AMC‬مثلثونه انطباق‬ ‫منونکي دي‪ .‬له دې امله د هغو ټولې زاويې هم يو په يو سره مساوي دي‪.‬‬

‫‪91‬‬

‫په پايله کې‪:‬‬

‫‪B=C‬‬

‫‪A‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که چېرې د ‪ ABC‬په مثلﺚ کې ‪ AB = AC = 4cm‬او‬ ‫‪ B = 52o‬وي‪ ،‬د ‪ C‬څو درجې ده؟‬

‫‪4cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫حل‪ :‬څرنګه چې ‪ AB = AC‬ده‪ ،‬په نتيجه کې ‪B = C‬‬ ‫نو‪ C = 52o :‬ده‪.‬‬

‫‪65°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫د پورتنې قﻀيې معکوس داسې بيانوالی شو‪:‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬که چېرې د يوه مثلﺚ دوې زاويې يو له بل سره مساوي وي‪ ،‬د نوموړو زاويو مخامخ ضلعې‬ ‫هم يو له بله سره مساوي دي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬په الندې شکل کې ‪ AB = 2.9cm ، B = C = 30o‬دي‪ ،‬د ‪ AC‬ضلعه معلومه‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬څرنګه چې‪ B = C :‬ده‪ ،‬نو نوموړى مثلﺚ متساوى الساقين دى‪.‬‬ ‫د مخکن‪ ９‬قﻀيې له مخې چې د يوه مثلﺚ د مساوي‬

‫‪A‬‬

‫زاويو مخامخ ضلعې سره مساوي دي‪ ،‬نو‪:‬‬

‫‪2.9‬‬

‫‪AB = AC = 2.9cm‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪D‬‬

‫‪-1‬په الندې شکلونو کې نامعلومې‬ ‫زاويې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪4.3cm‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪4.3cm‬‬

‫‪58°‬‬ ‫‪4cm‬‬

‫‪F‬‬

‫?=‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪I‬‬

‫? = ‪PM‬‬

‫‪M‬‬

‫‪H‬‬

‫‪4cm‬‬

‫?=‪H=?,I=?,G‬‬

‫‪P‬‬

‫‪ -2‬په الندې شکلونو کې نامعلومې‬ ‫ضلعې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪4.3cm‬‬

‫‪70° 70°‬‬

‫‪N‬‬

‫? = ‪AC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3.2cm‬‬

‫‪65° 65°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪92‬‬

‫د ﻓﻴثاﻏورث قﻀﻴه‬ ‫فيثاغورث يو نامتو رياضي پوه او د‬ ‫پخواني يونان فيلسوف و چې له ميالد‬ ‫څخه ‪ 530‬کاله مخکې يې ژوند کاوه‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪b‬‬

‫‪B‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪d‬‬

‫‪A‬‬

‫په پورته شکلونو کې ليدل کي‪８‬ي چې د ‪ ABC‬مثلﺚ د ‪ A‬په راس کې قايم الزاويه دی‪ .‬د هغو‬ ‫مربع ګانو مساحت چې د ‪ ABC‬د مثلﺚ د ضلعو په واسطه جوړی شوی دی‪ .‬د کوچنيو مربع ګانو‬ ‫د شمېر په شمېرلو سره د هغو مساحت تخمين ک‪７‬ئ‪ ،‬لکه‪ :‬په الندې جدول کې ليکل شوي دي‪ .‬د‬ ‫‪ c, b‬او ‪ d‬جزونه بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫د هغو مربع ګانو شمېر چې د هغو مربع ګانو شمېر چې‬

‫د هغو مربع ګانو مجموعه چې د‬

‫د ‪ AB‬په ضلعې باندې دي د ‪ AC‬په ضلعې باندې دي ‪ AB‬او ‪ AC‬په ضلعو باندې دي‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪93‬‬

‫‪9‬‬

‫‪16‬‬

‫‪25‬‬

‫د هغو مربع ګانو شمېر چې‬ ‫د ‪ BC‬په وتر باندې دي‬

‫‪25‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪32‬‬

‫په جدول کې د ليکل شوو عددونو له مخې د قايم الزاويه مثلثونو د ضلعو په واسطه د جوړو شوو مربع‬ ‫ګانو د مساحت په منځ کې څه ډول رابطه ليدالى شئ؟‬ ‫د ﻓﻴثاﻏورث قﻀﻴه‪:‬‬

‫‪c‬‬

‫په هر قايم الزاويه مثلﺚ کې د وتر مربع د هغه مثلﺚ د قايمو ضلعو د‬

‫‪b‬‬

‫مربع ګانو له مجموعي سره مساوي ده‪ ،‬يعنې‪a 2 + b 2 = c 2 :‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬د الندې شکل له مخې ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪Ma B‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫‪c‬‬

‫له بلې خوا‪ ،‬څرنګه چې‪N :‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪a‬‬

‫)‪S( ABCD) = (a + b)(a + b‬‬ ‫) ‪= a (a + b ) + b (a + b‬‬ ‫‪= a 2 + ab + ba + b 2‬‬

‫‪= a 2 + 2ab + b 2 ..............1 b‬‬ ‫‪S( ABCD ) = 4S‬‬ ‫) ‪+ S( MNPQ‬‬

‫‪D a P‬‬

‫د ‪ I‬او ‪ II‬رابطو له پرتله کولو څخه الندې نتيجه‬ ‫الس ته راځي‪:‬‬

‫) ‪( AMQ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 4( ab) + c 2 ...........II‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a + b + 2ab = 4( ab) + c 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a + b + 2ab = 2ab + c 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a 2 + b2 = c2‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د يوه مثلﺚ د ضلعو اوږدوالى په الندې ډول دی‪.‬‬ ‫‪a = 4cm ، b = 3cm ، c = 5cm‬‬ ‫حل‪ :‬په شکل کې ليدل کي‪８‬ي چې د (‪ )a‬پر ضلعې باندې ‪ 16‬مربع ګانې‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫په نتيجه کې‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪25cm 2 = 16cm 2 + 9cm 2‬‬

‫‪1‬‬

‫اوږدوالى يې ‪ 1cm‬دى‪ ،‬شته دي‬

‫‪7‬‬

‫ده‪ ،‬شته او د ‪ c‬په قايمې ضلع باندې ‪ 25‬مربع ګانې چې هرې ضلعې‬

‫‪4‬‬

‫د )‪ (b‬په قايمې ضلعې باندې ‪ 9‬مربع ګانې چې هره ضلع يې ‪1cm‬اوږده‬

‫‪14‬‬ ‫‪10 15 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 6 7 1 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪a 3 4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1 2 3 4 5‬‬ ‫‪6 7 8 9 10‬‬ ‫‪11 12 13 14 15‬‬ ‫‪16 17 18 19 20‬‬ ‫‪21 22 23 24 25‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫چې هره ضلع يې ‪ 1cm‬دى‪ ،‬شته‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫‪c2 = a 2 + b2‬‬

‫‪94‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ ABC‬په قايم الزاويه مثلﺚ کې د ‪ AC‬د ضلعې اندازه حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AB = AC + BC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(25) 2 = AC + (15) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪625 = AC + 225‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AC = 625 225‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AC = 400 , AC = 20 cm‬‬

‫‪A‬‬

‫‪15‬‬

‫دريم مثال‪:‬د مستطيل ضلعې په ترتيب سره ‪ 3.5cm‬او ‪ 4.5cm‬دي‪ ،‬د قطر اوږدوالى حساب‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د فيثاغورث له قﻀيې سره سم که چېرې د قطر اوږدوالي ته ‪ d‬ووايو‪:‬‬ ‫‪d 2 = (4.5cm) 2 + (3.5cm) 2‬‬ ‫‪3.5 d 2 = 20.25cm 2 + 12.25cm 2‬‬

‫‪d 5.7cm‬‬

‫‪d = 32.50cm 2‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪d‬‬

‫‪d 2 = 32.50cm 2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د خپل ټولګي اوږدوالى او سور په متر اندازه ک‪７‬ئ‪ .‬د دوو مخامخ کونجونو فاصله لوم‪７‬ى د‬ ‫فيثاغورث د قﻀيې په کارولو او بيا د خط کش په واسطه حساب ک‪７‬ئ‪ .‬نتيجې يې پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬په الندې شکل کې زينې له ځمکې او ديوال سره يو قايم الزاويه مثلﺚ جوړ ک‪７‬ى دى‪ .‬که چيرې‬ ‫د زينې اوږدوالى ‪ 5m‬او د يوې قايمې ضلعې اوږدوالى ‪ 3m‬وي‪ ،‬د هغې بلې ضلعې يعنې ‪x‬‬

‫قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪95‬‬

‫‪B′‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪b‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪ -3‬د ‪ ABC‬او ‪ MNP‬دوه مثلثونه درک‪７‬ل شوي دي وښياست چې کوم يو يې قايم الزاويه مثلﺚ‬ ‫دى؟‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪B‬‬

‫‪P‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7.2‬‬

‫‪5.4‬‬

‫‪B‬‬

‫‪N‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪5‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪96‬‬

‫ﻧاﺻﻒ اﻟﺰاوﻳﻪ‬

‫‪X‬‬

‫ايا د يوه ناصف الزاويې ټول ټکي د هم‬ ‫هغه زاويې له دوو ضلعو څخه مساوي‬ ‫الفاصله دي؟‬

‫‪Y‬‬

‫‪O‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ xoy‬زاويې‪ ،‬ناصف الزاويه رسم او هغه ته ‪ OZ‬وواياست‪.‬‬ ‫● يو اختياري ټکى د ‪ OZ‬په مخ باندې وټاکې او هغه ته ‪ P‬وواياست‪.‬‬ ‫●‬

‫د ‪ P‬له ټکې څخه د زاويې په دوو ضلعو ‪ ox‬او ‪ oy‬باندې عمودونه رسم ک‪７‬ئ هغو ته ‪ HP‬او ‪KP‬‬

‫وواياست‪.‬‬ ‫● د ‪ HP‬او ‪ KP‬اوږدوالى د خط کش په واسطه اندازه ک‪７‬ئ‪ .‬ددې عمود د اوږدوالي تر منځ څه‬ ‫ډول اړيکې ليدل کي‪８‬ي؟‬ ‫کولى شو پورتن‪ ９‬ليدنې د الندې قﻀيې په توګه بيان او ﺛبوت ک‪７‬و‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬د ناصف الزاويې هر ټکى د زاويې له دوو ضلعو څخه مساوي الفاصله دى‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬فرض کوو چې ‪ OZ‬د ‪ YOX‬ناصف الزاويه وي‪ ،‬غواړو‬ ‫وښيو چې‪:‬‬ ‫‪PH = PK‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪97‬‬

‫‪H‬‬

‫‪K‬‬

‫‪O‬‬

‫د ‪ OHP‬او ‪ OKP‬په دوو مثلثونو کې لرو چې‪:‬‬ ‫‪H = K = 90o‬‬ ‫‪OPH‬‬

‫‪OPK‬‬

‫‪ OZ‬ﻧاﺻﻒ اﻟﺰاوﻳﻪ دى‪،‬‬

‫‪XOZ = YOZ‬‬

‫گډه ضلعه ‪،‬‬

‫‪OP = OP‬‬

‫د ‪ OPK‬او ‪ OPH‬په دوو قايم الزاويه مثلثونو کې د وتر او يوې حاده زاويې له مساوي کيدو څخه‬ ‫داسې نتيجه اخلو چې دا دوه مثلثونه انطباق منونکي دي‪ .‬له دې امله‪PH = PK :‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫په الندې شکل کې د ‪ M‬ټکى د ‪ A‬زاويې د ناصف الزاويې پر مخ باندې دى او ‪ MH‬پر ‪AX‬‬

‫باندې عمود دى‪ ،‬د ‪ AMH‬مثلﺚ د ضلعو اوږدوالى په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪H′‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪H‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪98‬‬

‫د مثلﺚ د داخل‪ ３‬زاويو ناصفونه‬

‫‪A‬‬

‫ايا کوالى شو د مثلﺚ دننه داسې يو‬ ‫ټکې پيدا ک‪７‬و چې له درې واړه ضلعو‬ ‫څخه مساوي فاصله ولري؟‬

‫‪B‬‬

‫?‬ ‫‪C‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ ABC‬يو ا ختياري مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د ‪ B‬او ‪ C‬زاويو داخلي ناصفونه رسم ک‪７‬ئ چې يو بل د‪ O‬په ټکي کې قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫● د ‪ A‬زاويې داخلي ناصف الزاويه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● ايا د ‪ A‬ناصف الزاويه هم د ‪ O‬له ټکي څخه تيري‪８‬ي؟‬ ‫● د ‪ A B C‬يو بل اختياري مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ او پورتنى فعاليت د هغه لپاره هم تکرار ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫کوالى شو پورتن‪ ９‬ليدنې په الندې توګه بيان او ﺛبوت ک‪７‬و‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬په هر مثلﺚ کې داخلي ناصف الزاويې يو بل دمثلﺚ په‬ ‫دننه کې په يوه ټکې کې قطع کوي‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬فرضوو چې د ‪ ABC‬په مثلﺚ کې د ‪ B‬او ‪C‬‬ ‫ناصف الزاويې يو بل د ‪ O‬په ټکي کې قطع کوي‪ .‬اوس ښيو‪C‬‬

‫چې د ‪ A‬ناصف الزاويه هم د ‪ O‬له ټکي څخه تيري‪８‬ي‪.‬‬ ‫د الندې شکل په پام کې نيولو سره لرو‪:‬‬ ‫څرنګه چې ‪ O‬د ‪ B‬ناصف الزاويې پر مخ باندې دى‪.‬‬

‫‪99‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪B‬‬

‫نو‪:‬‬

‫‪OH = OK....................I‬‬

‫همدارنګه ‪ O‬د ‪ C‬ناصف الزاويې پر مخ باندې هم دى‪.‬‬ ‫نو‪:‬‬

‫‪OK = OI....................II‬‬

‫پوهي‪８‬و که چېرې د دوو مساواتو يوه خوا يو له بل سره مساوي او بله خوا يې هم سره مساوي کي‪８‬ي‪،‬‬ ‫له دې امله د او ‪ II‬رابطو څخه نتيجه الس ته راځي‪:‬‬ ‫‪OH = OI‬‬

‫له بلې خوا له مخکن‪ ９‬قﻀيې څخه پوهي‪８‬و‪ ،‬هر ټکى چې د يوې زاويې له دوو ضلعو څخه مساوي‬ ‫الفاصله وي‪ ،‬هغه ټکى د هغې زاويې د نيمايي کوونکي پر مخ پروت دى‪.‬‬ ‫له دې امله د ‪ O‬ټکی د ‪ A‬ناصف الزاويې پر مخ باندې هم پروت دى‪.‬‬ ‫په نتيجه کې ويالى شو‪ :‬د مثلﺚ درې واړه داخلي ناصف الزاويې يو بل په يوه ټکي کې قطع کوي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬يو مثلﺚ د ‪ 3،6‬او ‪ 4‬ضلعو په اوږدوالي رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬وښياست چې ناصفونه يو بل په يوه ټکي‬ ‫کې قطع کوي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د راک‪７‬ل شوو ضلعو په ا وږدوالي د ‪ ABC‬مثلﺚ رسموو‪ ،‬بيا په ترتيب سره د ‪B ، A‬‬ ‫او ‪ C‬له راسونو څخه د هغو زاويو ناصفونه رسموو‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫ليدل کي‪８‬ي چې درې واړه ناصفونه يو بل په يوه ټکي کې قطع ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬يو مثلﺚ د ‪ B = 75o , A = 20o‬او ‪ C = 85o‬په زاويو سره رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬وښاياست چې ددې‬ ‫زاويو ناصفونه يو بل په يو ټکي کې قطع کوي‪.‬‬

‫‪100‬‬

‫په يوه مثلﺚ ک‪ ３‬عمودي ﻧاﺻﻒ‬

‫‪A‬‬

‫ايا د مثلﺚ د يوې ضلعې عمودي ناصف‬ ‫هرومرو د هغې له مخامخ راس څخه‬ ‫تيري‪８‬ي؟‬

‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ AB‬د ټوټه خط عمودي ناصف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬

‫● د ‪ AB‬د ټوټه خط پر عمودي ناصف باندې د ‪ P‬يو ټکى وټاکئ‪.‬‬ ‫● د ‪ AB‬د ټوټه خط دوه سرونه (پاى ټکې) له ‪ P‬سره ونښلوئ‪.‬‬

‫● د ‪ PA‬او ‪ PB‬اوږدوالى د خط کش په واسطه اندازه ک‪７‬ئ‪ ،‬دا اوږدوالى يو له بل سره څه ډول‬ ‫رابطه لري؟‬ ‫‪x‬‬ ‫‪P‬‬

‫د پورتن‪ ９‬ليدنې نتيجه په الندې توګه ﺛبوت او بيانوالى شو‪:‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬د يوه ټوټه خط د عمودي ناصف پر مخ باندې هر ټکى د‬ ‫نوموړي ټوټه خط له دوو سرونو (انجامونو) څخه متساوي الفاصله‬ ‫دي‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬فرضوو چې ‪ XY‬د ‪ AB‬د ټوټه خط عمودي ناصف دی‬ ‫غواړو وښيو د ‪ P‬هر اختياري ټکى چې د عمودي ناصف پر مخ‬ ‫باندې دى‪ ،‬له ‪ A‬او ‪ B‬څخه په مساوي فاصله کې پروت دى‪.‬‬

‫‪101‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪A‬‬

‫يعنې‪:‬‬

‫‪PB = PA‬‬

‫د ‪ PAH‬او ‪ PHB‬له دوو مثلثونو څخه لرو چې‪:‬‬

‫‪ XY‬عمودي ناصف دی‪،‬‬

‫‪AH = BH‬‬

‫‪ XY‬عمودي ناصف دی‪H1 = H 2 = 90o ،‬‬

‫‪PAH PBH‬‬

‫گډه ضلعه‪،‬‬

‫‪PH = PH‬‬

‫څرنګه چې د ‪ PAH‬او ‪ PBH‬په دوو مثلثونو کې دوې ضلعې او د منځ زاويه يې مساوي دي‪ ،‬له‬ ‫دې امله نوموړي مثلثونه انطباق منونکي دي‪ .‬په نتيجه کې د هغو ضلعې هم يو له بل سره مساوي دي‬ ‫يعنې‪PB = PA :‬‬

‫د پورتن‪ ９‬قﻀﻴ‪ ３‬عکﺲ )سرﭼپه( ﻫم سم دى‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬هر ټکى چې د يوه ټوټه خط له دوو انجامونو څخه مساوي فاصله ولري‪ ،‬نوموړى ټکى د ټوته‬ ‫خط په عمودي ناصف باندې پروت دى‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ ABC‬يو کيفي مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د ‪ AB‬او ‪ AC‬د ضلعو عمودې ناصفونه رسم ک‪７‬ئ‪ .‬د هغو د تقاطع ټکې ته ‪ O‬وواياست‪.‬‬ ‫● د ‪ BC‬د ضلعې عمودي ناصف رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ايا دا عمودې ناصف هم د ‪ O‬له ټکې څخه‬ ‫تيري‪８‬ي؟‬ ‫کولى شو د پورتني فعاليت ليدنې په الندې توګه بيان او ﺛبوت ک‪７‬و‪.‬‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬په هر مثلﺚ کې د هغه د ضلعو عمودې ناصفونه يو بل په يوه ټکي کې قطع کوي‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬د ‪ ABC‬په مثلﺚ کې د ‪ AB‬او ‪ AC‬د ضلعو عمودې ناصفونه يو بل د ‪ O‬په ټکي کې قطع‬ ‫ک‪７‬ي دي‪ .‬غواړو وښيو چې د ‪ O‬ټکى د ‪ BC‬د ضلعې په عمودي ناصف باندې هم پروت دی‪.‬‬

‫‪102‬‬

‫‪A‬‬

‫څرنګه چې ‪ O‬د ‪ AB‬پر عمودې ناصف باندې پروت دى‪.‬‬ ‫نو‪OA = OB....................I :‬‬

‫همدارنګه ‪ O‬د ‪ AC‬عمودي ناصف باندې پروت دی‪.‬‬ ‫نو‪OA = OC....................II :‬‬ ‫د‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫او ‪ II‬مساواتو څخه ليکالى شو چې‪:‬‬ ‫‪OB = OC‬‬

‫له بلې خوا له مخکن‪ ９‬قﻀيې څخه پوهي‪８‬و‪ ،‬هر ټکى چې د يوه ټوټه خط له انجامونو څخه په مساوي‬ ‫فاصله کې پروت وي‪ ،‬دا ټکى د نوموړي ټوټه خط د عمودې ناصف په مخ باندې پروت دى‪ .‬نو ويالى‬ ‫شو چې د ‪ O‬ټکى د ‪ BC‬د ضلعې په عمودې ناصف باندې پروت دی‪.‬‬ ‫په نتيجه کې ويالى شو‪ :‬د هر مثلﺚ د ضلعو عمودي ناصفونه يو بل په يوه ټکي کې قطع کوي‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫´‪B‬‬

‫´‪C‬‬

‫مثال‪ :‬يو قايم الزاويه مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ‪ .‬د هغه د ضلعو د عمودې ناصفونو د تقاطع ټکی پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ ABC‬قايم الزاويه مثلﺚ رسم او د‪C‬هغه د ضلعو عمودي ناصفونه رسموو‪ ،‬ليدل کي‪８‬ي‬ ‫‪B‬‬

‫چې په قايم الزاويه مثلﺚ کې د قايمو ضلعو عمودې ناصفونه يو بل د وتر په منځني ټکې کې چې د‬ ‫وتر پر مخ باندې دى‪ ،‬قطع کوي‪.‬‬

‫´‪A‬‬

‫په نتيجه کې ويالى شو‪ :‬په هر قايم الزاويه مثلﺚ کې عمودي ناصفونه يو بل د وتر په منځنى ټکي‬ ‫کې قطع کوي‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪103‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ 8080‬زاويو په پراخوالی سره رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ددې مثلﺚ د ضلعو‬ ‫‪ -1‬د ‪ ABC‬مثلﺚ د ‪,70o ,30o‬او‬ ‫د عمودي ناصفونو د تقاطع ټکی پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ -2‬يو مثلﺚ د ‪ 4 ،6‬او‪ 2.5‬سانتي مترو ضلعو په اوږدوالي سره رسم ک‪７‬ئ او وروسته دهغو ضلعو‬ ‫عمودي ناصفونه رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬د عمودې ناصفونو د تقاطع ټکی پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫د مثلﺚ ارتفاع ‪－‬ان‪) ３‬ج‪／‬والﻰ(‬

‫‪A‬‬

‫د ‪ ABC‬مثلﺚ قايم الزاويه دى‪ .‬که چېرې‬ ‫‪ AH‬د نوموړي مثلﺚ ارتفاع په وتر باندې‬ ‫وي‪ ،‬د مثلﺚ نورې ارتفاع ګانې کومي‬ ‫دي؟‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ ABC‬اختياري مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د ‪ A‬له راس څخه د ‪ BC‬په ضلعې باندې ارتفاع رسم او د هغه پاى ته ‪ H‬وواياست‪.‬‬ ‫● د ‪ ABC‬مثلﺚ له راسونو څخه د هغه له ضلعو سره موازي خطونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● له دې خطونو څخه الس ته راغلی مثلﺚ ته ‪ A B C‬وواياست‪ .‬په داسې حال کې چې‬ ‫‪ A C // AC , B C // BC‬او ‪ A B // AB‬دي‪.‬‬ ‫● ايا ‪ AH‬ټوټه خط پر ‪ B C‬ټوټه خط عمود دى؟ ولې؟‬ ‫● ايا د ‪ ABCB‬څلور ضلعې متوازي االضالع ده؟ ولې؟‬ ‫● ايا ‪ AB = AC‬دي؟ ولې؟‬ ‫● ايا د ‪ AH‬ټوټه خط د ‪ B C‬ټوټه خط عمودي نيمايي کوونکى دى؟ ولې؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه ليدل کي‪８‬ي‪:‬‬ ‫که چېري د يوه مثلﺚ له راسونو څخه د هغه له ضلعو سره موازي خطونه رسم ک‪７‬و‪ ،‬يو بل مثلﺚ‬ ‫جوړي‪８‬ي چې په دې صورت کې د لوم‪７‬ى مثلﺚ ارتفاع ګانې د جوړ شوي مثلﺚ د ضلعو عمودې‬ ‫نيمايي کوونکي دي‪.‬‬ ‫پوهي‪８‬و د مثلﺚ د ضلعو عمودې نيمايي کوونکي يو بل‪ ،‬په يوه ټکې کې قطع کوي‪ ،‬نو د مثلﺚ ارتفاع‬ ‫ګانې هم يو بل په يوه ټکي کې قطع کوي‪.‬‬

‫‪105‬‬

‫قﻀﻴه‪ :‬په هر مثلﺚ کې ارتفاع ګانې په يوه ټکې کې متقاطع‬ ‫دي‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬د ‪ ABC‬مثلﺚ له راسونو څخه داسې خطونه رسموو‬ ‫چې د نوموړو خطونو له تقاطع څخه‪ ،‬لکه‪ :‬په شکل کې‪ ،‬د‬ ‫‪ A B C‬مثلﺚ جوړ شي‪ .‬له شکل څخه ليکالى شو‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫´‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫´‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫´‪A‬‬

‫‪ A C // AC , B C // BC‬او ‪. A B // AB‬‬ ‫ددې په پام کې نيولو سره چې د ‪ ABCB‬څلور ضلعي‬ ‫مخامخ ضلعې يو له بله سره موازي دي‪ ،‬نو داسې پايله الس ته راځي چې دا څلور ضلعې يوه متوازي‬ ‫االضالع ده‪.‬‬ ‫له دې امله د ‪ ABCB‬د څلور ضلعې مخامخ ضلعې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫يعنی‪:‬‬ ‫‪AB = BC‬‬ ‫‪I‬‬ ‫په همدې ډول د ‪ ACBC‬څلور ضلعې هم يوه متوازي االضالع ده‪ ،‬په پايله کې‪:‬‬ ‫‪II‬‬

‫‪AC = BC‬‬

‫د او ‪ II‬له رابطو څخه نتيجه الس ته راځي چې‪AB = AC :‬‬ ‫له بلې خوا څرنګه چې ‪ AH BC‬او ‪ BC || B C‬دي‪ ،‬نو ‪B C‬‬

‫‪ AH‬دى‪.‬‬

‫څرنګه چې‪ AB = AC :‬او ‪ AH B C‬دي‪.‬‬ ‫نو‪ AH :‬د ‪ B C‬عمودې نيمايي کوونکى دى‪.‬‬ ‫په همدې ډول ښودالى شو چې د ‪ AB‬او ‪ AC‬په ضلعو باندې ارتفاع ګانې هم په ترتيب سره د‬ ‫‪ A B‬او ‪ A C‬د ضلعو عمودې نيمايي کوونکي دي‪ .‬څرنګه چې عمودي نيمايي کوونکي يو بل‬ ‫په يوه ټکې کې قطع کوي‪ ،‬نو ارتفاع ګانې هم يو بل په يوه ټکې کې قطع کوي‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪-1‬د ‪ ABC‬مثلﺚ د ‪ 4، 5‬او ‪ 6‬سانتي مترو په اوږدوالي سره رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬د هغه د هر راس څخه په‬ ‫مخاخ ضلعو باندې ارتفاع رسم او د هغو د تقاطع د ټکي ځاى وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬يو قايم الزاويه مثلﺚ رسم او ددې مثلﺚ د ارتفاع ګانو د تقاطع ځاى وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬يو منفرج الزاويه مثلﺚ رسم او د هغه د ارتفاع ګانو د تقاطع ټکی وټاکئ‪.‬‬

‫‪106‬‬

‫د مثلﺚ مﻴان‪３‬‬ ‫ايا فکر کوالى شئ يو مثلﺚ د يوه پنسل‬ ‫په تيره څوکه باندې داسې کي‪８‬دئ چې ونه‬ ‫لوي‪８‬ي؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● د ‪ ABC‬اختياري مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د ‪ B‬له راس څخه د ‪ BN‬ميانه او د ‪ C‬له راس څخه د ‪ MC‬ميانه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د هغو دوو ميانو د تقاطع ټکى په ‪ G‬سره وښياست‪.‬‬ ‫● د ‪ BG‬او ‪ GN‬اوږدوالى په خط کش سره اندازه او اوږدوالى يې له يو بل سره څه رابطه لري؟‬ ‫● د ‪ CG‬او ‪ GM‬اوږدوالى په خط کش سره اندازه او اوږدوالى يې له يو بل سره څه ډول رابطه لري؟‬ ‫● د ‪ A‬له راس څخه د ‪ BC‬په ضلعې باندې ميانه رسم او د هغه پاى ته ‪ K‬وواياست‪.‬‬ ‫● ايا ‪ AK‬د ‪ G‬له ټکې څخه تيري‪８‬ي؟‬ ‫● د ‪ AG‬او ‪ GK‬اوږدوالى په خط کش سره اندازه ک‪７‬ئ دا اوږدوالى له يو بل سره څه ډول رابطه‬ ‫لري؟‬ ‫قﻀﻴه‪ :‬د هر مثلﺚ ميانې په يوه ټکې کې قطع کوي او د تقاطع ټکى هره ميانه د ‪ 2‬او ‪ 1‬په نسبت‬ ‫ويشي‪.‬‬ ‫ﺛبوت‪ :‬د ‪ ABC‬په مثلﺚ کې د ‪ G‬ټکې د ‪ BN‬او ‪ MC‬د ميانو د تقاطع ځاى دى‪ .‬د دې په پام کې‬ ‫نيولو سره چې د ‪ MN‬ټوته کرښه د ‪ AB‬او ‪ AC‬د ضلعو‬ ‫منځنى ټکې او يو له بل سره نښلوي‪ ،‬د تالس د قﻀيې له مخې‬ ‫داسې پايله پر الس راځي چې‪:‬‬ ‫‪BC || MN‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BC ...................I‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪ BG‬منځنى ټکې ته ‪ P‬وايو او د ‪ CG‬منځنى ټکي ته ‪ Q‬وايو‪.‬‬ ‫= ‪MN‬‬

‫‪107‬‬

‫‪ PQ‬داسې ټوټه خط دى چې د ‪ BGC‬مثلﺚ د ‪ BG‬او ‪ CG‬د ضلعو منځنى ټکى يو له بل سره‬ ‫نښلوي‪ ،‬د تالس د قﻀيې له مخې د ‪ GBC‬په مثلﺚ کې لرو چې‪:‬‬ ‫‪BC || PQ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪PQ = BC .......... .. II‬‬ ‫‪2‬‬

‫د او ‪ II‬له رابطو څخه داسې پايله الس ته راځي‪ ،‬د ‪ MNQP‬په څلور ضلعې کې چې دوې‬ ‫ضلعې يې موازي او مساوي دي‪ ،‬يوه متوازي االضالع ده‪.‬‬ ‫د ‪ MNQP‬په متوازي االضالع کې قطرونه يو بل نيمايې کوي‪ ،‬له دې امله‪:‬‬ ‫‪ QG = GM‬او‬ ‫‪PG = GN‬‬ ‫له بلې خوا پوهي‪８‬و‪:‬‬ ‫او‬ ‫‪PG = PB‬‬ ‫‪QG = QC‬‬ ‫له دې امله ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪ QG = GM = QC‬او ‪PG = GN = PB‬‬ ‫په پايله کې‪:‬‬ ‫‪BG CG 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪GN GM 1‬‬

‫څرنګه چې د ‪ ABC‬په مثلﺚ کې د ‪ CN‬او ‪ BN‬ميانې په خپله خوښه يا اختياري ټاکل شوي دي‪.‬‬ ‫خو دا رابطه د هر دوو نورو غوښتل شوو ميانو لپاره هم سمه ده‪ .‬له دې څخه داسې پايله الس ته راځي‬ ‫چې د مثلﺚ درې واړه ميانې يو بل په يوه ټکى کې قطع کوي (ولې)؟‬ ‫د تقاطع ټکى‪ ،‬دواړه ميانې د ‪ 2‬او ‪1‬په نسبت ويشي‪.‬‬ ‫د ميانو د تقاطع ټکې د مثلﺚ د ﺛقل مرکز بلل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬يو قايم الزاويه مثلﺚ رسم ک‪７‬ئ‪ .‬د هغه د ميانو دتقاطع ځاى وټاکئ؟‬ ‫‪ -2‬وښياست چې په هر متساوي االضالع مثلﺚ کې د ميانو‪ ،‬ناصفونو او ارتفاع ګانو د تقاطع ځاى‬ ‫يو ټکى دی؟‬ ‫‪ -3‬که چېرې د ‪ ABC‬په مثلﺚ کې د ‪ G‬ټکى د ‪ BN , AM‬او ‪ CK‬ميانو د تقاطع مرکزوي‬ ‫وښياست چې؟‬ ‫‪GM 1‬‬ ‫=‬ ‫‪AM 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪AG 2‬‬ ‫=‬ ‫‪AM 3‬‬

‫‪108‬‬

‫د پن（م ＇پرکی مهم ！کي‬

‫د متساوي الساقﻴن مثلﺚ قﻀﻴ‪:３‬‬ ‫ که چېرې د يوه مثلﺚ دوې ضلعې يو له بل سره مساوي وي‪ ،‬نو د هغو دوو ضلعو مخامخ زاويې‬‫هم يو له بل سره مساوي دي‪.‬‬ ‫ که چېرې د يوه مثلﺚ دوې زاويې يو له بل سره مساوي وي‪ .‬د نوموړو زاويو مخامخ ضلعې سره‬‫مساوي دي‬ ‫د ﻓﻴثاﻏورث قﻀﻴه‪:‬‬ ‫ په هر قايم الزاويه مثلﺚ کې د هغې مربع مساحت چې د وتر په اوږدوالي جوړي‪８‬ي‪ ،‬د هغو دوو نورو‬‫مربع ګانو د مساحتونو له مجموعي سره برابره ده چې د دوو قايمو ضلعو په اوږدوالي جوړي‪８‬ي‪.‬‬ ‫ په هر قايم الزاويه مثلﺚ کې د وتر مربع‪ ،‬د هغه د قايمو ضلعو د مربع له مجموعې سره مساوي ده‪:‬‬‫‪a 2 + b2 = c2‬‬ ‫د ﻫﻐو خطونو قﻀﻴ‪ ３‬ﭼ‪ ３‬د مثلﺚ په دننه ک‪ ３‬يو بل په يوه ！ک‪ ３‬ک‪ ３‬قطع کوي‪:‬‬ ‫ د ناصف الزاويې په مخ باندې هر ټکى يې د زاويې له دوو ضلعو څخه په مساوي فاصله کې پروت‬‫دى‪.‬‬ ‫ هر ټکى چې د يوې زاويې له دوو ضلعو څخه په مساوي فاصله کې پروت وي‪ ،‬هغه ټکى د زاويې‬‫د ناصف په مخ باندې پروت دى‪.‬‬ ‫ په هر مثلﺚ کې د زاويو داخلي ناصفونه يو بل په يوه ټکې کې قطع کوي‪.‬‬‫ د يوه ټوټه خط د عمودې ناصف په مخ باندې هر ټکى د هغه له انجامونو څخه مساوي فاصله‬‫لري‪.‬‬ ‫ هر ټکى چې د يوه ټوته خط له انجامونو څخه مساوي فاصلې ولري‪ ،‬دا ټکى د نوموړي ټوته خط‬‫په عمودي ناصف باندې پروت دى‪.‬‬ ‫ په هر مثلﺚ کې د ضلعو عمودي ناصفونه يو بل په يوه ټکې کې قطع کوي‪.‬‬‫ په هر مثلﺚ کې ارتفاعګانې يو بل په يوه ټکې کې قطع کوي‪.‬‬‫ د هر مثلﺚ ميانې يو بل په يوه ټکې کې قطع کوي او د ميانو د تقاطع ټکى‪ ،‬هره ميانه د ‪ 2‬او ‪ 1‬په‬‫نسبت ويشي‪.‬‬

‫‪109‬‬

‫عمومي پو＊تن‪３‬‬ ‫په الندې پوښتنو کې د هرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه درک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬صحيح ځواب يې پيدا او‬ ‫کرښه ترې تاو ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬په منفرجه الزاويه مثلﺚ کې د درې واړو عمودې ناصفونو د تقاطع ځاى چيرې دى؟‬ ‫‪ )b‬د مثلﺚ د باندې‬ ‫‪ )a‬د مثلﺚ دننه‬ ‫‪ )d‬يو يې هم نه دى‬ ‫‪ )c‬په لويه ضلعه باندې‬ ‫‪ -2‬يو مثلﺚ د ‪ 4 ،8‬او ‪ 5‬ضلعو په اوږدوالي سره په پام کې ونيسئ‪ ،‬ددې مثلﺚ درې واړه ارتفاع‬ ‫ګانې يو بل په‪:‬‬ ‫‪ )a‬د مثلﺚ په دننه کې قطع کوي‬ ‫‪ )b‬د مثلﺚ د باندې قطع کوي‬ ‫‪ )c‬د هغې ضلعې پر مخ باندې چې اوږدوالې يې ‪ 5‬دى‪ ،‬قطع کوي‬ ‫‪ )d‬په هغه راس کې قطع کوي چې د لويې ضلعې مخامخ دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬که چېرې په يوه قايم الزاويه مثلﺚ کې د قايمو ضلعو اندازه ‪ 3‬او ‪ 2‬واحده وي‪ ،‬د وتر اوږدوالى‬ ‫عبارت دى‪ ،‬له‪:‬‬ ‫‪2 )d‬‬ ‫‪3 )c‬‬ ‫‪3 )b‬‬ ‫‪13 )a‬‬ ‫‪ -4‬په متساوي الساقين مثلﺚ کې د قاعدې يوه زاويه ‪ 65°‬ده‪ .‬د قاعدې بله زاويه يې عبارت ده له‪:‬‬ ‫‪45°)d‬‬ ‫‪70°)c‬‬ ‫‪65° )b‬‬ ‫‪50°)a‬‬ ‫په الندې جملو کې تش ځايونه په مناسبو کلمو سره ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬په منفرج الزاويه مثلﺚ کې ارتفاع ګانې يو بل په ‪ ...............‬قطع کوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چېرې د يوه مثلﺚ د ضلعو اوږدوالى په ترتيب ‪ 4cm ،3cm‬او ‪ 5cm‬وي‪ ،‬نوموړى مثلﺚ‬ ‫‪ ....................‬دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬که چېرې په يوه مثلﺚ کې دوې ضلعې يو له‪A‬بل سره مساوي وي‪ ،‬نو ‪ ..................‬يې هم يو‬ ‫له بل سره مساوي دي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫الندې پوښتنې حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪9.4‬‬ ‫‪ -1‬په الندې شکلونو‪6‬کې قايم الزاويه مثلثونه درک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬د نوموړو مثلثونو وترونه د ‪ 0.1‬ل‪８‬والى‬ ‫په تقرب کې حساب ‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪C C .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪P‬‬

‫‪18‬‬

‫‪A‬‬

‫‪14‬‬

‫‪6‬‬

‫‪N‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪9.4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪C CB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9.4‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ -2‬د ‪ ABC‬مثلﺚ داسې رسم ک‪７‬ئ چې ‪ ABC = 80° ، BC = 6‬او‪ ACB = 80°‬وي‪،‬‬ ‫وروسته د نوموړي مثلﺚ ناصفونه رسم ‪N‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪P‬‬

‫‪J‬‬

‫‪18‬‬

‫‪I‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪H‬‬

‫‪I‬‬

‫‪110‬‬ ‫‪N‬‬

‫ﺷپ‪８‬م ＇پرکی‬ ‫الﺠبري اﻓادې‬

‫د ﻣﺘﺤﻮل ﻣﻔﻬﻮم‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫يو شته من غواړي د خپلو عوايدو‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫برخه بېوزلو ته ورک‪７‬ي‪ .‬دا خبره د‬

‫‪5000 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪x‬‬

‫‪13000 .‬‬

‫رياضي له مخې څنګه بيانوالى شو؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪10000 .‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫د مربع د ضلعې اوږدوالى‬

‫‪4×2‬‬

‫د مربع محيط(چاپيريال)‬

‫‪1‬‬

‫‪3×3‬‬

‫●‬

‫د مربع مساحت‬

‫‪ 4× a‬يعنې څه؟ د ‪ 4× a‬په ساده ډول داسې ليکو‪4a:‬‬ ‫‪2‬‬

‫● ايا کوالى شو د هرې مربع مساحت د ‪ a‬په شکل سره وښيو؟‬ ‫● اياکوالى شو د مربع د مساحت د ښودلو لپاره له نورو تورو څخه کار واخلو؟‬ ‫● که چېرې محيط (چاپيريال) په ‪ P‬او مساحت په ‪ S‬سره وښيو‪ ،‬د مربع د مساحت او محيط د پيدا‬ ‫کولو لپاره قاعدې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د ‪ a‬په ځاى د ‪ 4‬په اېښودلو سره چې ‪ 4‬د مربع د ضلعې اوږدوالى وښيي‪ ،‬د مربع محيط او مساحت‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● ايا کوالى شو د ‪ a‬په ځاى بل هر مثبت عدد وليکو؟ دا مثبت عدد څه راښيي؟‬

‫‪113‬‬

‫له پورته فعاليت څخه ليکالى شو‪:‬‬ ‫کوالى شو د قاعدې او قانون د بيانولو لپاره له تورو څخه کار واخلو‪ ،‬څرنګه چې د تورو په ځاى‬ ‫مختلف قيمتونه ليکالى شو‪ ،‬نو دغه ډول تورې متحول بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ a‬او ‪ 5‬له جمع کولو څخه يوه افاده وليکئ او د ‪ a = 2 , 3 , 5‬لپاره د افادې‬ ‫قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬نوموړى‪ ،‬افاده له ‪ a + 5‬څخه عبارت ده چې د ‪ a‬بيالبيلو قيمتونو لپاره الندې جدول بشپ‪ ７‬وو‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 + 5 = 10‬‬

‫‪–3+5=2‬‬

‫‪2+5=7‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a+5‬‬

‫دويم مثال‪ :‬هر يو عدد چې په خپل ځان کې ضرب شي‪ ،‬د ضرب حاصل يې د ‪ 2‬په توان له همغه‬ ‫عدد سره مساوي وي‪ .‬دا عبارت د يوې افادې په شکل وليکئ او په دوو مثالونو کې وښياست‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د تورو افاده عبارت ده‪ ،‬له‪a × a = a 2 :‬‬

‫که چيرې ‪ a = 2‬وي‪ ،‬نو‪ 2 × 2 = 22 = 4 :‬دى‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫که چېرې‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ a‬وي‪ ،‬نو‪:‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪× = ( )2‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫الندې جملې د مناسبو تورو په ټاکلو سره د تورو د افادو په شکل وښياست او د هر يوه لپاره ‪ 3‬عددي‬ ‫مثالونه وليکئ‪.‬‬ ‫● هر عدد د يو په توان مساوي دى‪ ،‬له خپل عدد سره‪.‬‬ ‫● يو د هر عدد په توان مساوي دى‪ ،‬له يوه سره‪.‬‬ ‫● هر عدد د صفر په توان مساوي دى‪ ،‬له يوه سره‪.‬‬ ‫● صفر د هر عدد په توان مساوي دى‪ ،‬له صفر سره‪.‬‬

‫‪114‬‬

‫‪A‬‬ ‫الﺠبري اﻓادې‬ ‫د مخامخ مثلﺚ محيط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪a‬‬

‫‪B‬‬

‫‪a‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫● په مخامخ متساوي الساقين مثلﺚ کې د ساق اندازه په ‪ a‬او قاعده يې په ‪ b‬سره‬

‫‪a‬‬

‫ښيو‪ ،‬ولې دواړه ساقونه په ‪ a‬سره ښيو؟‬ ‫‪b‬‬

‫● د مخامخ مثلﺚ محيط د يوې الجبرې افادې په واسطه وليکئ او محيط يې د‬ ‫‪ a = 4‬او ‪ b = 5‬لپاره حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪w‬‬

‫● د مستطيل محيط او مساحت د يوې الجبري افادې په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫● د مستطيل مساحت او محيط د = ‪ w‬او‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪l‬‬

‫= ‪ l‬لپاره پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫له پورته فعاليت څخه ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪4a b‬‬ ‫د ‪, 4a , a b , 3a b , 2a + b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4a ,‬‬

‫او ‪ a 2‬افادې چې د جمعې‪ ،‬تفريق‪ ،‬وېش‪ ،‬توان‬

‫او جذر عمليو له ترکيب څخه چې په کې عددونه يويا څو متحولين دي‪ ،‬جوړې شوې وي‪ ،‬الجبرې‬ ‫افادې بلل کي‪８‬ي‪ ،‬کوالى شو د يوې الجبرې افادې قيمت د متحول د مختلفو قيمتونو لپاره پيدا ک‪７‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال ‪ :‬د ‪ 2b‬الجبري افادې قيمت د ‪ b= , 4 , 3 , 2 , 2‬لپاره پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪115‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‪2‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪b‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2b‬‬

‫‪2 × 2 = 4 2 × 4 = 8 2 × (–2) = –4 2 × (–3)= –6‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫د درک‪７‬ل شوو قيمتونو له مخې د هرې الجبرې افادې عددي قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a‬‬ ‫–‬

‫‪b‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x– 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪b(a+7‬‬

‫‪116‬‬

‫د الﺠبري اﻓادو ساده کول‬

‫‪ :x‬کتابﭽې‬

‫عبداﷲ‪ :‬ما دوې کتابﭽې درلودې‪ .‬پالر‬ ‫مې نورې درې کتابﭽې راته راونيولې‬ ‫اوس‪ 5‬کتابﭽې لرم‪.‬‬ ‫ﻛبير وويل‪ :‬زه هم درې کتابﭽې لرم‪.‬‬ ‫پالر مې ‪ 2‬قلمونه راته واخيستل‪ .‬څنګه‬ ‫ويالى شو؟‬

‫‪ :y‬قلمونه‬

‫‪2x + 3x = 5x‬‬ ‫? = ‪3x + 2y‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې افادې ساده او بشپ‪７‬ي ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5 × 3 + 2 × 3 = (5 + 2) × 3 = 7 × 3‬‬ ‫‪8 × 0.5 2 × 0.5 = (..... .....) × ... = .....× ..... = .....‬‬ ‫‪= .....‬‬ ‫‪= .....‬‬

‫)‪= (..... + .....‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫)‪= (..... + ..... + .....‬‬ ‫‪2a + 3a = (..... + .....)a = ..... a‬‬ ‫‪3 y + 4 y = (..... + .....) y = ..... y‬‬ ‫‪2ax + 3ax = (..... + .....) × ax = .....ax‬‬

‫● د پورته افادو په ساده کولو کې له کوم خاصيت څخه کار اخيستل شوى دى؟‬ ‫● ايا کوالى شو د‬ ‫●‬

‫‪+2‬‬

‫‪ 3‬افاده جمع ک‪７‬و؟‬

‫ايا کوالى شو د ‪ 2b + 3b‬افاده‪ ،‬جمع ک‪７‬و؟‬

‫‪117‬‬

‫‪2‬‬

‫کوالى شو له پورته فعاليت څخه داسې پايله تر السه ک‪７‬و‪:‬‬ ‫ليدل کي‪８‬ي چې ‪ 3y + 4 y , 2a + 3a‬او ‪ 2ax + 3ax‬هره يوه يې الجبري افاده ده‪ ،‬چې‬ ‫حدونه يې د عيني تورو او مساوي توان لورنکي دي‪ .‬نو ويالی شو‪ :‬هغه حدونه چې د عيني تورو‬ ‫لرونکي او توانونه يې مساوي وي ورته (مشابه) حدونه بلل کي‪８‬ي چې په دې صورت کې مشابه حدونه‬ ‫يو له بله سره جمع يا تفريقوو‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫? = ‪5n + 8s 2n 7s‬‬

‫حل‪ :‬څرنګه چې د ‪ 5n‬او ‪ 2n‬توپير يوازې د متحول په ضريبونو کې دی‪ ،‬نو مشابه حدونه دي‬ ‫په همدې ډول ‪ 7 s‬او ‪ 8s‬هم مشابه دي چې په الندې ډول ښودل شوي دي‪:‬‬ ‫‪5n + 8s 2n 7s = (5 2)n + (8 7)s = 3n + s‬‬

‫څرنګه چې ‪ s‬او ‪ 3n‬يو له بله سره مشابه نه دي‪ ،‬له دې څخه زيات ساده کيداى نشي‪.‬‬ ‫دويم مثال ‪ :‬د ‪ 5xy 2 + 4 yz 8‬او ‪ xy 2 + 3yz + 8‬افادې جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5 xy 2 + 4 yz 8‬‬ ‫‪xy 2 + 3 yz + 8‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪+‬‬

‫‪6 xy 2 + 7 yz‬‬

‫‪ -1‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪b) 8c + 3k + 5k 8k‬‬ ‫‪d ) 4b 5 3b + 2‬‬

‫‪a ) 5a + 7 d 4a + 3d‬‬ ‫‪c) 3d + 2c + 4d + 3c 5d‬‬

‫‪ -2‬الندې کومې افادې يو له بله سره مشابه دي‪:‬‬ ‫‪b) 3 xy 2 , 8 x 3 y‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4x y , 2x y‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪c) 3x 2 , 9 x 2‬‬

‫‪118‬‬

‫د ﻳﻮ حده افادو ضرب‬

‫‪2a‬‬

‫د ‪ a‬ضلعې په اوږدوالي يوه مربع لرو که‬ ‫چېرې د مربع ضلعې دوه برابره شي‪ ،‬د‬

‫‪a‬‬ ‫‪S1‬‬

‫? = ‪S2‬‬

‫لوم‪７‬ى مربع پر دويمې مربع د مساحتونو‬ ‫نسبت څومره دى؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې تساوي ګانې په پام کې ونيسئ‪:‬‬ ‫‪= 6 x5 y 3‬‬

‫‪2 +1‬‬

‫‪y‬‬

‫‪3+ 2‬‬

‫‪x y = 6x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(3 x y ) (2 x y ) = (3 × 2) x y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(4a 2b) (6ab 2 ) = (4 × 6)a 2b ab 2 = 24a 3b3‬‬

‫● د ضرب په دې حاصل کې د ضرب د عمليې له کوم خاصيت او د طاقتونو د ضرب له کومې قاعدې څخه‬ ‫کار اخيستل شوى دى؟‬ ‫● د مساوات د کيڼ لوري د حدونو عددې ضريبونه او د ښي لوري د حدونو عددې ضريبونه يو له بل‬ ‫سره څه ډول اړيکې لري؟‬ ‫● د کيڼ لوري اوښي لوري په دوو الجبري افادو کې‪ ،‬د هر يوه متحول توان يو له بل سره څه ډول‬ ‫اړيکې لري؟‬ ‫‪3 x 2 y 3 z 2 × 4 x 2 y 3 z = ...‬‬ ‫پورتني حسابونې په مخامخ حدونو باندې سرته ورسوئ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 x 3 a 2 × ya 3 = ...‬‬ ‫‪5‬‬

‫له پاسني فعاليت څخه الندې پايله په الس راځي‪:‬‬

‫‪2y‬‬ ‫څرنګه چې په پورتني فعاليت کې لکه ‪ 3x y , , 2x 2 y , 4a 2 b‬افادې د عدد او توان لرونکو‬ ‫متحولينو له ضرب څخه جوړ شوي دي‪ ،‬د يو حده او هغه‪x‬عددونه چې په متحولينو کې ضرب شوي‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫دي‪ ،‬د يوه حده ضريب بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د يو حده په ضربولو کې لوم‪７‬ى بايد د هغو ضريبونه او عالمې يو له بل سره ضرب ک‪７‬و او د مشابه‬ ‫متحولينو توانونه يو له بله سره جمع کوو‪.‬‬

‫‪119‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ 6b 3‬او ‪ 4ab‬الجبرې افادې يو له بله سره ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪( 4ab)(6b3 ) = ( 4 6)abb3 = 24ab 4‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫دويم مثال‪:‬په الندې الجبري افادو کې کومه يوه يې يو حده ده؟‬

‫‪4 2‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4y 2 x + 5‬‬ ‫‪4y 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xy‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬

‫حﻞ‪ c (، a):‬او ‪ d‬ﻫﺮ يو يې‪ ،‬يو حده ده‪ ،‬ځکه د يوه عدد او توان لرونکو متحولينو له ضرب څخه جوړه‬ ‫شوي ده‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫د الندې يو حده افادو د ضرب حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫) ‪b) ( 2 xy 2 z ) × ( x 2 z‬‬

‫)‪a) ( 5 x 2 ay ) × (3ax‬‬

‫) ‪d ) ( 3 x 2 ) × ( 5 xy 2‬‬

‫) ‪c) 2 xy 2 × ( 3a 2‬‬

‫‪120‬‬

‫‪2x‬‬

‫د ﻳﻮ حده افادو وﻳﺶ‬

‫‪x‬‬

‫د يوه مستطيل مساحت چې اوږدوالى ‪2 x‬‬

‫او سور يې ‪ x‬دي ‪ ،‬د هغې مربع د مساحت‬ ‫څو برابره کي‪８‬ي چې د هرې ضلعې‬ ‫اوږدوالى يې ‪ x‬دى؟‬

‫?=‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪3y 5 3y y‬‬ ‫——‬ ‫———— =‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪= 3y‬‬

‫–‬

‫‪3y 5‬‬ ‫——‬ ‫‪= 3y‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪3y 5‬‬ ‫——‬ ‫‪y2‬‬

‫● د يو حده افادو د وېش دواړه طريقې يو له بل سره پرتله او وواياست چې په هره طريقه کې له کوم‬ ‫خاصيت څخه کار اخيستل شوى دى؟‬ ‫● د متحولينو ضريب او توانونه چې په مقسوم او مقسوم عليه کې دي‪ ،‬يو له بل سره څه ډول اړيکې‬ ‫لري؟‬

‫د پورته فعاليت له مخې ويالى شو‪:‬‬ ‫د يو حده افادو په وېش کې د کسرونو د ساده کولو له طريقې څخه کار اخيستل کي‪８‬ي‪ .‬لوم‪７‬ى د يو‬ ‫حده افادې عددي ضريبونه يو پر بل وېشو او پاتې حدونه د توان د قوانينو له مخې ساده کوو‪.‬‬

‫‪121‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ 20 x 4 y 3 z‬يو حده افاده پر ‪ 5x3 y 2 z‬باندې وېشو‪:‬‬ ‫‪20 x 4 y 3 z‬‬ ‫‪20 x 4 y 3 z‬‬ ‫=‬ ‫×‪× 3× 2‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫‪5 x3 y 2 z‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 4 xy‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪12 x3 + 8 x 2‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د‬ ‫‪2x‬‬

‫الجبري افاده ساده ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪12 x3 + 8 x 2 12 x3 8 x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 6x + 4x‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ساده يې ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪a 4 b8‬‬ ‫‪a 4b7‬‬ ‫‪a 4b2‬‬ ‫‪a 6b2‬‬ ‫‪10m 4‬‬ ‫‪30m‬‬ ‫‪9c 4 d 5‬‬ ‫‪45c 3 d 3‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪122‬‬

‫‪5‬‬ ‫د الﺠبري اﻓادو ضرب‬ ‫پوهي‪８‬و‪ ،‬که د يو مستطيل اوږدوالى ‪ 5‬او‬ ‫سور يې ‪ 4‬سانتي متر ه وي‪ ،‬مساحت‬ ‫يې څنګه پيدا کوالى شو؟ ايا د يو‬ ‫داسې مستطيل مساحت چې اوږدوالى‬ ‫يې ‪ 3x-2‬او سور يې ‪ 5x‬وي‪ ،‬هم پيدا‬ ‫کوالى شو؟‬

‫‪4‬‬

‫‪S1 =5X4‬‬ ‫‪3X-2‬‬

‫?= ‪S2‬‬

‫‪5X‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫مخامخ شکل په پام کې ونيسئ‪:‬‬ ‫● د ‪ S1‬مستطيل مساحت د يوې الجبري افادې په توګه وليکئ‪.‬‬ ‫● د ‪ S2‬مستطيل مساحت د يوې الجبري افادې په ډول وليکئ‪.‬‬ ‫● د ‪ ABCD‬مستطيل مساحت د يوې الجبري افادې په ډول‬ ‫وليکئ او هغه په ‪ S‬سره وښياست‪.‬‬ ‫● د ‪ S1 , S‬او ‪ S 2‬ترمنځ څه ډول اړيکې شتون لري؟‬

‫‪B‬‬

‫‪4x+1‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2x‬‬ ‫‪D‬‬

‫د پورته فعاليت له مخې ليکالى شو‪:‬‬ ‫که چېرې يو الجبري حد په يوې الجبري افادې کې ضرب ک‪７‬و‪ ،‬ددې لپاره په جمع کې له توزيعي‬ ‫خاصيت څخه کار اخيستلى شو‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال ‪ :‬د ‪ 5ax 2‬يو حده د ‪ x 2 a 2‬په الجبري افادې کې ضرب او دضرب حاصل يې‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪a ) = ( 5ax ) × x + ( 5ax ) × ( a‬‬

‫دويم مثال ‪2a 2 + 6a ) = ? :‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3a 2 (a 3‬‬

‫‪= 5ax 4 + 5a 3 x 2‬‬

‫) ‪3a 2 (a 3 2a 2 + 6a ) = 3a 2 (a 3 ) + 3a 2 ( 2a 2 ) + 3a 2 (6a‬‬ ‫‪= 3a 5 6a 4 + 18a 3‬‬

‫‪123‬‬

‫‪5ax ( x‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪2b‬‬

‫‪3x‬‬

‫● مخامخ شکل په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫● د ‪ S1‬مستطيل مساحت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫● د ‪ S2‬مستطيل مساحت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫● د ‪ S3‬مستطيل مساحت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د ‪ S4‬مستطيل مساحت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● که چېرې د مستطيل اوږدوالى ‪ 3x + 2b‬او سور يې ‪ 2 x + b‬وي‪ ،‬د لوى مستطيل مساحت پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ او هغه په ‪ S‬سره وښياست‪.‬‬ ‫● د ‪ S3 ، S2 ، S1 ، S‬او ‪ S4‬تر منځ اړيکې وليکئ‪.‬‬ ‫د پورته فعاليت له مخې ليکلى شو‪:‬‬ ‫که چېرې دوه الجبري افادې يو له بل سره ضرب ک‪７‬و‪ ،‬ددې له پاره په جمع کې د توزيعي خاصيت‬ ‫څخه په کار اخيستنې سره د لوم‪７‬ۍ افادې ټول حدونه په ترتيب سره د دويمې افادې په ټولو حدونو‬ ‫کې ضربوو مشابه حدونه يو له بل سره جمع اويا تفريقوو چې په پايله کې يې د ضرب حاصل په الس‬ ‫راځي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال ‪ :‬د ‪ x + 2‬دوه حده د ‪ x 1‬په دوه حده کې ضرب او د ضرب حاصل يې په الس‬ ‫راوړئ‪.‬‬ ‫)‪( x + 2)( x 1) = x( x 1) + 2( x 1‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪x + 2x 2‬‬

‫‪= x2‬‬

‫‪=x +x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫دويم مثال ‪ :‬د )‪ ( x + 2)( x 2‬افاده ساده ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫)‪( x + 2)( x 2) = x( x 2) + 2( x 2‬‬ ‫‪= x2 2 x + 2 x 4‬‬ ‫‪= x2 4‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫د الندې افادو د ضرب حاصل الس ته راوړئ‪:‬‬ ‫) ‪2) 5ab(a 2 ab + b 2‬‬

‫) ‪3n(2n 4 6n 2‬‬

‫)‪1‬‬

‫) ‪4) (a + b)( x + y‬‬

‫)‪9k 3 (2k 2 4k 7‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪124‬‬

‫ﻣﻄابقﺘﻮﻧﻪ‬

‫‪Identities‬‬

‫کوالى شئ د‪ 1000 2 × 9998 ،‬د‬ ‫ضرب کولو لپاره يوه ساده او لنډه الر‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ؟‬

‫=)‪(10002)(9998‬‬ ‫)‪(10000+2)(10000-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=(10000)2-2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫په الندې جدول کې د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو الجبري افادو قيمت د ‪ x‬د بيالبيلو قيمتونو لپاره پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪A = 3x (2x – 4) B = 6x 2 – 12x‬‬

‫● د ‪ A‬او ‪ B‬ترمنځ څه ډول اړيکي شته دى؟‬

‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫د پورته فعاليت له مخې کوالى شو‪ ،‬د ‪ A‬او ‪ B‬ترمنځ اړيکې په الندې توګه په لنډ ډول بيان ک‪７‬و‪:‬‬ ‫دوه الجبري افادې چې د متحول د ټولو قيمتونو لپاره‪ ،‬تل سره مساوي وي‪ ،‬مطابقت بلل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫●‬

‫د ضرب الندې عمليې سرته ورسوئ‪.‬‬

‫‪125‬‬

‫? = ‪202 198‬‬ ‫? = ‪104 96‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬

‫? = ‪32 28‬‬

‫)‪a‬‬

‫●‬

‫‪+‬‬

‫تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫= )‪(a + b)(a b‬‬ ‫= )‪(a b)(a + b‬‬

‫‪+‬‬

‫‪a:‬‬ ‫‪b:‬‬

‫● په پورته افادو کې ‪ a = 200‬او ‪ b = 2‬د مساوات په ښي او کيڼې خواو کې کښي‪８‬دئ د ‪ a‬او‪b‬‬ ‫اجزاوو د ضرب حاصل يو له بل سره پرتله ک‪７‬ئ‪ ،‬کومه طريقه ساده ده؟‬ ‫● بيا ‪ a = 100‬او ‪ b = 4‬د مساوات په ښي او کيڼې خوا کې کښي‪８‬دئ د ‪ a‬او ‪ b‬د ضرب حاصل‬ ‫يو له بله سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له پورته فعاليت څخه داسې پايله الس ته راځي‪:‬‬ ‫د دوو عددونو د مجموع او هم هغه دوو عددونو د تفاضل د ضرب حاصل مساوي دي دهم هغه دوو عددونو‬ ‫د مربعاتو له تفاضل سره‪ ،‬لکه‪ (a + b)(a b) = a 2 b 2 :‬چې د مربعاتو د تفاضل په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬دالندې هرې افادې د ضرب حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫)‪( x 5)( x + 5‬‬

‫)‪(5x 2 y 5 + 7)(5x 2 y 5 7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪c) (2a 2 + 5a )(2a 2 5a‬‬ ‫( )‪d‬‬ ‫)‪1)( + 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( x 5)( x + 5) = x × x + 5 x 5 x 5 × 5‬‬ ‫)‪b‬‬

‫حل ‪:(a‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪=x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪:(b‬‬

‫‪(5 x 2 y 5 + 7)(5 x 2 y 5 7) = (5 x 2 y 5 ) 7(5 x 2 y 5 ) + 7(5 x 2 y 5 ) (7) 2‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪:(c‬‬

‫‪10‬‬

‫‪= 25 x y‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪(2a 2 + 5a )(2a 2 5a ) = (2a 2 ) 2 (5a ) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪25a‬‬

‫‪:(d‬‬

‫‪4‬‬

‫‪= 4a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪( + 1)( 1) = ( ) (1) 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫الندې افادې ضرب او د دوه حده مربع ګانو د تفاضل په شکل يې وليکئ‪.‬‬ ‫)‪( x + 2)( x 2‬‬ ‫)‪(6 x y)(6 x + y‬‬

‫)‪c‬‬ ‫)‪f‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫()‪( + 1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(49 + 1)(49 1‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪e‬‬

‫)‪(P 7)(P + 7‬‬ ‫)‪(2 x + 5)(2 x 5‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪126‬‬

‫د ﺷپ‪８‬م ＇پرکی مهم ！ک‪３‬‬ ‫● د متﺤول مفهوم‪:‬‬

‫کوالى شو د عمومي قاعدې او قانون د بيانولو لپاره له تورو څخه کار واخلو او د تورو په مختلفو‬ ‫قيمتونو سره افاده مختلف قيمتونه غوره کوي چې په دې صورت کې تورو ته متحول ويل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫● د يوه حده اﻓادې تﻌريﻒ‪:‬‬

‫هغه عددونه يا الجبري تورې چې د ضرب‪ ،‬وېش‪ ،‬طاقت او جذر عمليو الندې راغلى وي‪ ،‬يو حده‬ ‫الجبري افاده بلله کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫لکه ‪ 2 x 2 y , 3abc , 3y , 6ab 2 , 4a 2 b‬او ‪3x 2 y 2‬‬ ‫‪c 2 3x 2‬‬ ‫‪5ab‬‬ ‫● د يو ه حده اﻓادې ضريﺐ‪:‬‬

‫هغه عدد چې په متحولينو کې ضربي‪８‬ي‪ ،‬د يوه حده افادې ضريب بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫● مشابه يا ورته حدونه‪:‬‬

‫هغه حدونه چې د عيني تورو لرونکي او توانونه يې مساوي وي ورته (مشابه) حدونه بلل کي‪８‬ي چې په‬ ‫دې صورت کې مشابه حدونه يو له بله سره جمع يا تفريقوو‪.‬‬ ‫● الﺠبري اﻓادې‪:‬‬

‫د ‪ a 2 , 3x 4 , ab , 4a + b , 2a + b‬افادې چې د جمعې‪ ،‬تفريق‪ ،‬ضرب‪ ،‬وېش توان او‬ ‫جذر د عمليو له ترکيب څخه چې په کې عددونه‪ ،‬يو يا څو متحولين دي‪ ،‬جوړ شوى وي‪ ،‬الجبري‬ ‫افادې بلل کي‪８‬ي‪.‬کوالى شو د يوې الجبري افادې قيمت د متحول دمختلفو قيمتونو لپاره پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫● د دوو يو حده الﺠبري اﻓادو ضرب کول‪:‬‬

‫د يو حده په ضربولو کې لوم‪７‬ى بايد د هغو ضريبونه او عالمې يو له بل سره ضرب ک‪７‬و او د مشابه‬ ‫متحولينو توانونه هم يو له بل سره جمع کوو‪.‬‬

‫‪127‬‬

‫● د يوې الﺠبري اﻓادې و‪４‬ش پر بل‪ ３‬باندې‪:‬‬

‫د الجبري يو حده افادو په وېش کې د کسرونو د ساده کولو له طريقې څخه کار اخيستل کي‪８‬ي‪ ،‬لوم‪７‬ى د‬ ‫يو حده افادې عددي ضريبونه يو پر بل باندې وېشو او پاتې حدونه د توان له قوانينو څخه په کار اخيستنې‬ ‫سره ساده کوو‪.‬‬ ‫● مطابقت‪:‬‬

‫● دوې الجبري افادې چې د مساوات په دواړو خواو کې د متحول د ټولو قيمتونو لپاره تل مساوي‬ ‫وي‪ ،‬مطابقت بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫● د دوو عددونو مجموعه او د همغه دوو عددونود تفاضل د ضرب حاصل مساوي دى‪ ،‬د هم هغو‬ ‫دوو عددونو د مربعاتو له تفاضل سره چې د مربعاتو د تفاضل په نامه هم يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪(a + b)(a b) = a 2 b 2‬‬

‫‪128‬‬

‫عمومي پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬الندې پوښتنې په غور سره ولولئ د هرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه درک‪７‬ل شوي دي سم ځواب‬ ‫يې وټاکئ او کرښه ترې تاو ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● يو عدد ضرب په خپل عدد کې جمع ‪ 6‬عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪c) x 2 + 6‬‬

‫هي＆ يويې هم نه دى ) ‪d‬‬

‫‪b) x + 6‬‬

‫‪a) x 2 6‬‬

‫● د )‪ 5ab(4ac‬د ضرب حاصل عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪d ) 20a 2 bc 2‬‬ ‫‪4m 2 n 2‬‬ ‫●د‬ ‫‪4m3 n 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪c) 2ab 2 c‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪20a bc‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪2a bc‬‬

‫د وېش حاصل عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪m1‬‬ ‫د ‪ b‬او ‪c‬ځوابونه صحيح دي ) ‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 6 x3‬افادې قيمت عبارت دى له‪:‬‬ ‫● که چېرې = ‪ x‬وي‪ ،‬په دې صورت کې د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b) 4‬‬ ‫‪c) 4 1‬‬ ‫‪d) x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪c‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a) m‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬الندې جملې په غور ولولئ تش ځايونه يې په مناسبو کلمو او عددونو سره ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫● د الجبري افادو د ساده کولو لپاره ‪ .....................‬يو له بل سره جمع او يا يو له بل څخه تفريقوو‪.‬‬ ‫● هغه عددونه يا الجبري تورې چې ‪ ............................‬تر عمليو الندې راغلى وي‪ ،‬يو‬ ‫الجبري حد بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫● هغه عدد چې په متحولينو کې ‪ .......................‬کي‪８‬ي‪ .‬د يوه حده ضريب بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -3‬الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫) ‪( 6 xy 2 )( ax 2 y 2‬‬ ‫)‪4 y 2 (6 xy‬‬

‫‪129‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪2b( 2c) 2‬‬ ‫‪2a ( 3ab) 2‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪ -4‬الندې کسرونه ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪3ab‬‬ ‫‪3a‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪5a 2b + 10ab2‬‬ ‫‪5ab‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪12x 2 y 4‬‬ ‫‪2 xy3‬‬ ‫‪15xyz‬‬ ‫‪3 xy‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪ -5‬ساده يې ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪c) 4a + 5b 2c‬‬ ‫‪+ 4a 3b 2c‬‬

‫‪b) 5 x + y‬‬

‫‪a ) 7 a 3 b 4 c 2 8 a 3b 4 c 2‬‬

‫‪+ 3x 2 y‬‬

‫‪ -6‬د مطابقت په کارولو سره الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫)‪c) (5a + 2b)(5a 2b‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪b‬‬

‫‪a 1 a‬‬ ‫() ‪b) ( +‬‬ ‫‪5 b 5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫() ‪a ) ( + z‬‬ ‫)‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪130‬‬

‫اووم ＇پرکی‬

‫مﻌادل‪３‬‬

‫د مﻌادل‪ ３‬مفهوم‬ ‫زلميه‪ :‬په الس کې دې څو افغان‪ ９‬دي؟‬ ‫که د الس له پېسو څخه دوې افغان‪ ９‬کمې‬ ‫شي شل افغان‪ ９‬کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫عمر‪ :‬پوه شوم چې اوس څو افغان‪ ９‬لري‪.‬‬ ‫زلمی‪ :‬څنګه پوه شوې چې زه څو افغان‪９‬‬ ‫لرم؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪x 5 = x 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫زلمي وغوښتل له يوې هټ‪ ９‬څخه يو کيلوګرام بوره راونيسي‪ .‬هټيوال يوازې يو‪ ،‬يو دانه يي د ‪100‬‬ ‫ګرامو‪ 150‬ګرامو‪ 250 ،‬ګرامو‪ ،‬نيم کيلويي او د ‪ 2‬کيلو ګرام وزنونه درلودل‪.‬‬

‫هټيوال زلمي ته په څه ډول بوره وتلي؟ د يو کيلو ګرام بورې تللو لپاره کومه يوه الندې طريقه سمه‬ ‫ده؟‬ ‫هټيوال لوم‪７‬ى نيم کيلو بوره تلي‪ ،‬بيا د نيم کيلويي وزن د نيم کيلو تلل شوې بورې سره يو ځاى د‬ ‫تلې په يوه پله کې اي‪８‬دي او د تلې په بله پله کې يو کيلو ګرام بوره تلي‪.‬‬ ‫هټيوال دوه کيلو ګرامه بوره تلي او بيا ‪ 2‬کيلو تلل شوي بوره د تلې په دواړو پلو کې نيمايي کوي‪.‬‬ ‫د پورته وزنونو په درلودلو تاسو کوالى شئ د يو کيلو ګرام بورې د اندازه کولو لپاره کومه بله طريقه‬ ‫وړاندې ک‪７‬ئ؟ د هرې طريقې په پاى کې د تلې دواړه پلې نسبت يو بل ته څه ډول حالت لري‪ ،‬په هره‬ ‫طريقه کې د تلې د دواړو پلو توکې يو له بل سره څه ډول نسبت لري؟‬ ‫که چېرې د تلې په يوه پله کې يو نامعلوم ت‪７‬لى وزن او يو کيلو يې وزن او په بله پله کې يې د نيم‬ ‫کيلويي او دوه کيلويي وزنونه داسې کېښودل شي چې تله د تعادل او برابروالى حالت ولري‪ .‬د تلې د‬ ‫پلو تعادل او برابروالى د يوه الجبري مساوات په واسطه وښياست؟‬ ‫ ايا ګومان کوالى شئ چې ت‪７‬لی وزن څومره دی؟ په بل عبارت نامعلوم ت‪７‬لی شى به څومره وزن‬‫ولري‪ ،‬تر څو تله د تعادل حالت وساتي‪.‬‬ ‫په پورته فعاليت کې د يوه کيلو ګرام بورې د تللو او له مختلفو وزنو سره په تعادل کې راوړل د معادلې‬ ‫د مفﻬوم لپاره الندې نتيجه په الس راوړو‪.‬‬

‫‪133‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫يو الجبري مساوات چې يو نامعلوم متحول ولري او د مجﻬول د ځينو قيمتونو لپاره صدق کوي‪،‬‬ ‫معادله بلل کي‪８‬ي‪ ،‬هغه عدد چې الجبري مساوات په يوه عددي مساوات بدلوي‪ ،‬د معادلې حل يا‬ ‫جذر بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫هر هغه شى چې د معادلې په حل کې هغه ته قيمت پيدا کوو‪ ،‬د معادلې مجﻬول بلل کي‪８‬ي او په‬ ‫‪ x‬سره ښودل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬که چېرې له يوه عدد سره د ‪ 5‬عدد جمع شي‪ ،‬له ‪ 15‬سره مساوي کي‪８‬ي‪ ،‬عدد پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫حل‪ :‬هغه عدد چې غواړو پيدا يې ک‪７‬و‪ ،‬يعنې مجﻬول ته ‪ x‬ووايو‪ .‬نو پوښتنه داسې ده‪ ،‬که چېرې له‬ ‫‪ x‬سره د ‪ 5‬عدد جمع شي ‪ 15‬کي‪８‬ي‪ ،‬يعني‪:‬‬ ‫‪x + 5 = 15‬‬ ‫کوم عدد دى چې له ‪ 5‬سره جمع شي او په پايله کې ‪ 15‬الس ته راشي؟‬ ‫د پورته معادلې د حل کولو څخه کوالى شو ووايو چې د ‪ 10‬عدد دى يعنې‪:‬‬ ‫‪x = 10‬‬ ‫اوس که چېرې د پوښتنې د ازمولو لپاره الس ته راغلى عدد د ‪ x + 5 = 15‬په معادله کې کښي‪８‬دو‬ ‫نو لرو‪:‬‬ ‫‪x + 5 = 15‬‬ ‫‪10 + 5 = 15‬‬ ‫‪15 = 15‬‬ ‫څرنګه چې عددي مساوات د ‪ 15 = 15‬صحيح دى‪ ،‬له دې امله السته راغلي عدد د معادلې لپاره‬ ‫سم دى‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬که چېرې د يوه متساوي االضالع مثلﺚ محيط (شاوخوا) مساوي له ‪ 9‬واحده سره وي‪ ،‬د يوه‬ ‫الجبري مساوات په واسطه د مثلﺚ د ضلعو اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چېرې له يوه عدد سره ‪ 9‬جمع شي‪ 14 ،‬په الس راځي‪ ،‬عدد کوم دى؟‬

‫‪134‬‬

‫په مﻌادله ک‪ ３‬د جمﻌ‪ ３‬او تفريق عملﻴ‪３‬‬ ‫که چېرې يو نا معلوم وزن او دوه غونډاري‬ ‫د تلې په يوه خوا کې او په بله پله کې يې‬ ‫‪ 5‬غونډاري داسې کېښودل شي چې د‬ ‫تلې خواوې سره برابري او مساوي وي‪.‬‬ ‫نامعلوم وزن د څو غونډارو سره مساوي‬ ‫کي‪８‬ي؟ څه ويالى شئ؟‬

‫‪x‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫په پورتني حالت کې د تلې تعادل په دې معنا دى چې وزنونه د تلې په دواړو پلو کې يو له بل سره برابر‬ ‫دي‪ ،‬نو که چېرې د کيڼې خوا نامعلوم وزن ته ‪ x‬ووايو‪ ،‬الندې پوښتنو ته ځواب وواياست‪:‬‬ ‫هغه عبارت يا رياضيکي افاده چې د تلې د تعادل لپاره ‪ 2‬غونډارو او يوه مجﻬول وزن په يوه خوا کې‬ ‫او په بله خوا کې د ‪ 5‬غونډارو څخه جوړي‪８‬ي‪ ،‬وليکئ؟‬ ‫که چېرې د تلې له دواړو پلو څخه ‪ 2‬غونډاري واخيستل شي‪ ،‬د تلې تعادل پاتې کي‪８‬ي؟‬ ‫د تلې له دواړه پلو څخه د غونډارو اخيستل د رياضي له نﻈره يا د رياضي په عمليه کې يو ډول دى؟‬ ‫دا چې د غونډارو په کمولو سره تعادل له منځه نه ځي‪ ،‬دا عمل د رياضي له نﻈره څه معنا لري؟‬ ‫که چېرې اوس د تلې په دواړو پلو کې ‪ 4‬غونډاري چې سره مساوي او هم ډول دي‪ ،‬ورزيات شي‬ ‫څه پيښي‪８‬ي؟‬ ‫د پورته فعاليت له سرته رسولو او ليدلو څخه الندې پايله په الس راځي‪:‬‬ ‫که چېرې يوه تله د تعادل په حالت کې وي او له دواړو خواو څخه عيني مقدار يا اندازه کمه شي او يا‬ ‫په دواړو پلو کې مساوي مقدارونه يا اندازې ورزياتې شي‪ ،‬بيا هم تعادل پاتې کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د رياضي په اصطالح که چېرې د يوه مساوات له دواړو خواوو څخه عيني عدد کم او يا له هغه سره‬ ‫هماغه عدد زيات ک‪７‬و‪ ،‬بيا هم د مساوات دواړه خواوې يو له بل سره مساوي پاتې کي‪８‬ي‪ .‬يعنې‪:‬‬ ‫که چېرې ‪ a = b‬وي‪ ،‬د ‪ c‬هر حقيقي عدد لپاره‪:‬‬ ‫‪ a + c = b + c‬او ‪ a c = b c‬دي‪.‬‬ ‫له دې خاصيت څخه د معادلو په حل کې کار اخيستل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ x + 7 = 9‬معادله حل ک‪７‬ئ؟‬ ‫پوهي‪８‬و که چېرې د معادلې له دواړو خوا څخه ‪ 7‬تفريق ک‪７‬و‪ ،‬د معادلې په تعادل کې بدلون نه راځي‪،‬‬ ‫له دې امله‪:‬‬ ‫‪x+7 7 =9 7‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪x+7 =9‬‬ ‫‪2+7 =9‬‬ ‫‪9=9‬‬

‫ازماي‪＋‬ت‪ :‬که چيرې د معادلې حل يعنې ‪ 2‬په راک‪７‬ل شوې لوم‪７‬ى معادله کې د ‪x‬‬ ‫په ځاى کيښودل شي‪ ،‬نو لرو‪:‬‬

‫څرنګه چې د مساوات دواړه خواوې سره مساوي دي‪ ،‬د معادلې حل يعنې ‪ x = 2‬سم دى‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ‪ x 5 = 4‬معادلې حل په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬که چېرې د معادلې په دواړو خواوو باندې ‪ 5‬ورزيات ک‪７‬و د معادلې په تعادل کې بدلون نه‬ ‫راځي‪.‬‬ ‫‪x 5+5 = 4+5‬‬ ‫‪x=9‬‬

‫ازماي‪＋‬ت‪ :‬د معادلې حل يعنې ‪ 9‬په اصلي معادله کې د ‪ x‬په ځاى ږدو‪:‬‬

‫‪x 5=4‬‬ ‫‪9 5=4‬‬ ‫‪4=4‬‬

‫څرنګه چې د ‪ 4 = 4‬مساوات شتوالى لري‪ ،‬له دې امله ‪ x = 9‬د معادلې حل دى‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬که چېرې په يوه عدد باندې ‪ 3‬ورزيات ک‪７‬و‪ 15 ،‬په الس راځي عدد کوم دى؟‬ ‫‪ -2‬که چېرې له يوه عدد څخه ‪ 7‬تفريق شي‪ 13 ،‬په الس راځي عدد کوم دى؟‬ ‫‪ -3‬الندې معادلې حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪a) x 6 = 2‬‬ ‫‪b) x + 4 = 1‬‬ ‫‪c) 2 + x = 3‬‬

‫‪136‬‬

‫په مﻌادلو ک‪ ３‬د ضرب او و‪４‬ش عملﻴ‪３‬‬ ‫‪ 1‬او ‪ 2‬دوه تلې دي‪ ،‬د دواړو تلو په يوه‪ ،‬يوه پله‬ ‫کې دوه مساوي غونډاري او په پاتې نورو پلو‬ ‫کې يې يو نامعلوم وزن دى چې تلې د تعادل‬ ‫په حالت کې ساتي‪ .‬که چېرې د تلو د لوم‪７‬يو‬ ‫دوو پلو غو‪１‬دارې په يوه دريمه پله او نامعلوم‬ ‫وزن په بله دريمه پله کې واچوو‪ ،‬د الندې‬ ‫پوښتنې ځواب پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫ايا درېمه تله به د تعادل په حالت کې وي اوکه‬ ‫نه؟‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫?‬

‫‪x x‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫دريمه تله په پام کې نيسو‪ ،‬ليدل کي‪８‬ي چې د تلې په يوې خوا کې دوه مجﻬول وزنونه او په بله خوا کې‬ ‫يې ‪ 4‬دانې مساوي غونډاري دي‪ ،‬خو بيا هم تله د تعادل په حالت کې ده‪ .‬که چېرې مجﻬول وزنونو ته‬ ‫‪ x‬ووايو‪ .‬د الندې پوښتنو د حل لپاره فکر وک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫د دريمې ګڼې تلې د تعادل لپاره د رياضي افاده يا په بل عبارت الجبري بيان کوم دى؟‬ ‫که چېرې اوس غونډاري او وزنونه نيمايي ک‪７‬و‪ ،‬يوه برخه يې بيا د لوم‪７‬ى تلې په پلو کې او بله برخه‬ ‫يې د همدې دريمې تلې په پلو کې پاتې اوکښي‪８‬دو‪ .‬ايا بيا به هم په دې حالت کې لوم‪７‬ى او درېمه تله‬ ‫تعادل ولري؟‬ ‫د غونډارو او وزنونو نيمايي کول د رياضي له نﻈره څه معنا لري؟‬ ‫ايا دا فعاليت له دوو څخه زياتو تلو لپاره هم سرته رسوالى شو؟‬ ‫کولى شو‪ ،‬له پورته فعاليت څخه الندې پايله بيان ک‪７‬و‪:‬‬ ‫که چيرې د تلې د دواړو خواو وزنونه په دوو يا زياتو مساوي برخو وويشو او يا د تلې له دواړو خواوو څخه‬ ‫نيمايي وزنونه واخلو بيا هم تعادل پاتې کي‪８‬ي‪ ،‬ځکه د تلې د دواړو خواو وزنونه يو له بل سره مساوي‬ ‫دي‪.‬د رياضي له نﻈره که چېرې د يوه مساوات دواړه خواوې په يوه عدد کې ضرب او يا دواړه خواوې‬ ‫پرته له صفر څخه په يوه عدد وويشو‪ ،‬بيا هم دمساوات دواړه خواوې يو له بل سره مساوي پاتې کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫په بل عبارت که چېرې ‪ a = b‬وي‪ ،‬نو د ‪ c‬هر حقيقي عدد لپاره ليکلى شو‪ ac = bc ،‬دى‪.‬‬ ‫او د ‪ c‬هر حقيقي عدد لپاره چې ‪ c‬د صفر خالف وي‪ a = b ،‬دى‪.‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪137‬‬

‫‪c‬‬

‫مثال‪ :‬د ‪ 3 x = 6‬مساوات په پام کې ونيسئ او حل يې پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫د پورته مساوات دواړه خواوې په ‪ 3‬وېشو‪:‬‬ ‫‪3x 6‬‬ ‫=‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫آزموينه‪ :‬که چېرې ‪ x = 2‬په راک‪７‬ل شوي معادله کې کښي‪８‬دو‪ ،‬نو لرو‪:‬‬ ‫‪3× x = 6‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬ ‫‪6=6‬‬ ‫ليدل کي‪８‬ي چې ‪ x = 2‬د معادلې حل دى‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫الندې معادلې حل ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪1) 4 x = 2‬‬ ‫‪2) x ÷ 5 = 12‬‬ ‫‪3) 3 x = 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪= 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫÷ ‪7) x‬‬

‫‪138‬‬

‫لوم‪７‬ى درجه يو مﺠهوله‬ ‫عمومي مﻌادله‬ ‫ښوونکي له زده کوونکو څخه وپوښتل‪:‬‬ ‫که چېرې د يوه عدد له څلور برابر(څلور‬ ‫چنده) سره ‪ 8‬جمع شي‪ ،‬له صفر سره‬ ‫مساوي کي‪８‬ي‪ .‬عدد کوم دى؟‬

‫‪4x + 8 = 0‬‬ ‫‪4x = –8‬‬

‫?= ‪x‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ايا د ښوونکي د پورته پوښتنې دحل لپاره د سم ځواب فکر کوالى شي يا ځواب لري؟‬ ‫که چېرې غوښتل شوي عدد ته ‪ x‬ووايو‪ ،‬ايا کوالى شئ پورتن‪ ９‬پوښتنه د رياضي د يوې افادې په‬ ‫ډول وليکئ؟‬ ‫د هغه دحل د پيدا کولو يا د حل د طريقې لپاره څه ډول سوچ کوئ؟‬ ‫که چېرې د يوه عدد له ‪ 3‬چنده څخه ‪ 9‬تفريق شي‪ ،‬نتيجه يې له صفر سره مساوي ده‪ ،‬ددې پوښتنې‬ ‫رياضيکي افاده وليکئ؟‬ ‫د دې معادلې د حل لپاره له څه ډول طريقې څخه کار اخلى؟‬ ‫که چېرې د يوه عدد په ‪ a‬چند باندې د ‪ b‬عدد ورزيات شي‪ ،‬نتيجه يې له صفر سره مساوي کي‪８‬ي‪،‬‬ ‫عدد څو دى؟ (‪ a‬او‪ b‬حقيقي عددونه او ‪ a‬د صفر خالف دى‪).‬‬ ‫د پورته فعاليت په سرته رسولو سره الندې پايله په الس راځي‪:‬‬ ‫په پورته عمليو کې نامعلوم مقدار په ‪ x‬سره ښودل کي‪８‬ي‪ ،‬کوالى شو د هغه لپاره يو مساوات د ‪ x‬له‬ ‫مخې په الس راوړو‪.‬‬ ‫تساوي ته معادله او نا معلوم مقدار ته د معادلې مجﻬول ويل کي‪８‬ي او هغه طريقې چې د مجﻬول د‬ ‫پيدا کولو لپاره په کاروړل کي‪８‬ي‪ ،‬د معادلې حل بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د معادلې عمومي شکل له ‪ ax + b = 0‬څخه عبارت دى چې په دې معادله کې‪ a ،‬او‪b‬حقيقي‬ ‫عددونه او خالف د صفر دى‪ ،‬پورتن‪ ９‬شکل د خطي معادلې معياري يا ستندرد حالت بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د معادلې حل د ساده الجبري عمليو د سرته رسولو په واسطه ګام په ګام په الندې توګه په الس راوړو‪.‬‬ ‫‪ -‬د معادلې له دواړو خواوو سره د مساوي مقدار جمع يا تفريق‪.‬‬

‫‪139‬‬

‫ د معادلې دواړه خواوې په مساوي مقدار کې ضرب يا وېشل (پرته له صفره)‪.‬‬‫د پورته عمليو او محاسبې په سرته رسولو سره داسې ځاى ته رسي‪８‬و چې د معادلې مجﻬول د مساوات‬ ‫يوې خوا ته او معلوم مقدار يې بلې خوا ته پاتې کي‪８‬ي‪ ،‬په دې ډول د معادلې حل په الس راځي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ 3 x 4 = 5‬معادله حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى ‪ 4‬د معادلې له دواړو خواوو سره جمع کوو‪:‬‬ ‫اوس د معادلې دواړو خواوې په ‪ 3‬ويشو‪:‬‬

‫‪3x = 9‬‬

‫‪3x 4 + 4 = 5 + 4‬‬

‫‪x=3‬‬

‫‪3x 9‬‬ ‫=‬ ‫‪3 3‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 2(3 x + 4) = 1 3 x‬معادله حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2(3 x + 4) = 1 3 x‬‬ ‫‪6 x + 8 = 1 3x‬‬ ‫جمع کوو‬ ‫‪6 x + 3x + 8 = 1 3x + 3x‬‬ ‫له دواړو خواو سره‪/ 3x3 x‬‬ ‫‪9x + 8 = 1‬‬ ‫‪9x + 8 8 = 1 8‬‬ ‫‪9x = 9‬‬ ‫‪9x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫له دواړو خواو څخه ‪ 8‬تفريقوو‬ ‫دواړه خواوې په ‪ 9‬وېشو‬ ‫‪9‬‬

‫‪/‬‬

‫‪x= 1‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬د ‪ x = 1‬معادلې حل چې له پورته دويم مثال څخه په الس راغلي دى‪ ،‬په اصلي معادله کې‬ ‫وازمويئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ 2(2 x + 3) = 2 x 2‬معادلې حل په الس راوړئ؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ (4 x 2) = 5 x + 2‬معادله حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪140‬‬

‫د اووم ＇پرکي مهم ！کي‬

‫مﻌـادله‪:‬‬ ‫معادله يو الجبري مساوات دى چې يو مجﻬول متحول لري او د مجﻬول د ځينو قيمتونو لپاره صدق‬ ‫کوي‪ ،‬معادله بلله کي‪８‬ي‪ .‬د معادلې په دواړو خواوو باندې د حسابي عمليو په کارولو سره د معادلې د‬ ‫مجﻬول قيمت په الس راځي‪.‬‬ ‫الﺠبري عملﻴ‪ ３‬او مﻌادله‪:‬‬ ‫که چېرې د هرې معادلې له دواړو خواوو سره يو عدد جمع‪ ،‬تفريق‪ ،‬يا دواړه خواوې په يوه عدد کې‬ ‫ضرب او پرې ووېشل (پرته له صفره) شي‪ ،‬په معادله کې کوم بدلون نه راځي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ۍ درجه يو مﺠهوله مﻌادله‪:‬‬ ‫د ‪ ax + b = 0‬معادله په داسې حال کې چې ‪ a‬خالف د صفر‪ x ،‬مجﻬول‬ ‫(‪ a‬او ‪ b‬حقيقي عددونه دي) لوم‪７‬ۍ درجه يو مجﻬوله معادله بلله کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫پورتن‪ ９‬معادله د يو مجﻬوله خطې معادلې په نامه هم يادي‪８‬ي او هره خطي معادله يوازې د‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ a 0 ،‬حل لري‪.‬‬

‫=‪x‬‬

‫عمومي پو＊تن‪３‬‬ ‫د الندې هرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه درک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬له هر سم ځواب څخه کرښه تاو ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ددې معادلې ‪ 10 + x = 18‬حل عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪b‬‬ ‫‪(d‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪ -2‬ددې معادلې ‪ 12 x + 2(5x + 22) = 0‬حل عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪141‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫الندې تش ځايونه په مناسب کلمو سره ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬يو الجبري مساوات چې د مجﻬول ‪ ........................‬سره سمون وک‪７‬ي‪..............‬‬ ‫يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -2‬هر هغه شى چې د معادلې په حل کې هغه ته قيمت پيدا کوو د‪ ..........‬بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫له الندې جملو څخه کومه يوه سمه او کومه يوه يې غلطه ده؟ د سمې مخې ته د (ص) توری او د‬ ‫غلطې مخې ته د (غ) توری وليکئ‪.‬‬ ‫‪(1‬‬

‫) که چېرې يوه تله د تعادل په حالت کې وي او له دواړو خواوو څخه عيني مقدار يا اندازه‬

‫کمه شي‪ ،‬يا په دواړو پلو کې مساوي مقدارونه يا اندازې ور زياتې شي‪ ،‬بيا هم د تعادل په حالت کې‬ ‫پاتې کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪(2‬‬

‫) هغه معادلې چې د حل لرونکي وي‪ ،‬د غير تساوي معادلو په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪(3‬‬

‫) يو الجبري مساوات چې په ځينو مجﻬولو قيمتونو کې صدق وک‪７‬ي‪ ،‬د معادلې په نامه‬

‫يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪(4‬‬

‫) د معادلې دواړه خواوې په مساوي مقدار کې ضرب يا غير له صفره وويشو کوم توپېر په‬

‫کې نه پيدا کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫الندې سوالونه حل ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬الندې معادلې حل ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪b) x 9 = 5‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪d) x‬‬ ‫=‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪a) t + 5 = 2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫= ‪c) x +‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪ -2‬د الندې هرې يوې معادلې حل غوښتل شوى دى‪:‬‬ ‫‪b) 3 x = 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d) +1 = 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪f ) (4 x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a) 6 y = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪c) + 1 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e) 3(2 y 1) = x‬‬

‫‪142‬‬

‫اتم ＇پرکی‬ ‫د ﻗاﻳﻤﻮ ﻣﺨﺘﺼاتﻮ‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ‬

‫！ک‪ ３‬په مستوي ک‪:３‬‬ ‫اسمان له ستورو ډک دى‪.‬‬ ‫د مياشتې څلورو خواوو ته‪ ،‬يعنې شمال‪،‬‬ ‫سوېل‪ ،‬ختيځ او لوېديز ته د ستورو ځايونه‬ ‫څنګه ټاکلى شئ؟‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫دوې مستقيمې کرښې د ' ‪ X X‬او ' ‪ Y Y‬چې ټاکلي جﻬتونه لري او يو په بل عمود دي‪ ،‬رسم‬ ‫ک‪７‬ئ‪ .‬د تقاطع ټکی يې (‪ ) O‬ونوموئ‪.‬‬ ‫پورتني دواړه متقاطع (محورونه) مستوي په څو برخو ويشي؟‬ ‫د ' ‪ X X‬محور له مبداء څخه ښي او کيڼ لورې ته مثبتی عالمي لري او که منفي؟‬ ‫د ' ‪ Y Y‬محور له مبداء څخه ښکته او پورته خواته مثبتی عالمي لري او که منفي؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه کوالی شو‪ ،‬الندې تعريف بيان ک‪７‬و‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫په يوه مستوی که د ' ‪ X X‬او ' ‪ Y Y‬دوه محورونه چې د ‪ O‬په ټکي کې يو پر بل عمود دي‪،‬‬ ‫دقايمو مختصاتو دسيستم په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د ' ‪ X X‬محور د افقي يا فاصلې (‪ )abscissa‬محور او د ' ‪ Y Y‬محور د عمودي يا ترتيب‬ ‫(‪ )Ordinate‬محور په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫له مبداء څخه د ' ‪ X X‬محور جﻬت ښې لوري ته مثبت او کيڼ لوري ته منفي منل شوی دی‪.‬‬ ‫همدارنگه د )' ‪ (Y Y‬محور له مبداء څخه پورته لوري ته مثبت اوله مبداء څخه ښکته لوري ته‬ ‫منفي قبول شوی دی‪.‬‬

‫‪145‬‬

‫د قايمو مختصاتو محورونه مستوي په څلورو برخو‬ ‫(حجرو) ويشي‪.‬‬ ‫دويمه ناحيه‬ ‫لوم‪７‬ۍ ناحيه‬ ‫د مستوي هغه حجره چې له مبداء څخه د افقي محور‬ ‫) ‪( ,+‬‬ ‫) ‪( +,+‬‬ ‫)' ‪ ( X X‬ښي لوري ته او له مبداء څخه د عمودي محور‬ ‫)' ‪ (Y Y‬پورته خواته منځ ته راځي د لوم‪７‬ۍ ناحيې او‬ ‫څلورمه ناحيه‬ ‫دريمه ناحيه‬ ‫د مستوی هغه ناحيه چې له مبداء څخه د افقي محور‬ ‫) ‪( ,‬‬ ‫) ‪( +,‬‬ ‫)' ‪ ( X X‬کيڼ لوري ته او له مبداء څخه د عمودي محور‬ ‫)' ‪ (Y Y‬پورته خواته منځ ته راځي‪ ،‬د دويمې ناحيې‬ ‫او د مستوي هغه ناحيه چې له مبداء څخه د افقي محور‬ ‫' ‪ X X‬کيڼ لوري ته او له مبداء څخه د عمودي محور ښکته خواته منځ ته راځي د دريمې ناحيې‬ ‫همدارنگه د مستوي هغه ناحيه چې له مبداء څخه د افقي محور ' ‪ X X‬ښي لوري ته او له مبداء‬ ‫څخه د عمودي محور ' ‪ Y Y‬ښکته خواته منځ ته راځي‪ ،‬دڅلورمې ناحيې په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ی مثال‪ :‬د ' ‪ X X‬او ' ‪ Y Y‬محورونو عالمی په هره ناحيه کې وټاکئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬په لوم‪７‬ۍ ناحيه کې ‪ x‬او ‪ y‬دواړه مثبت ) ‪ (+ , +‬دي‪ ،‬په دويمه ناحيه کې ‪ x‬منفي او‬ ‫‪ y‬مثبت ) ‪ ( , +‬دی‪ ،‬په دريمه ناحيه کې ‪ x‬او ‪ y‬دواړه منفي ) ‪ ( ,‬دي‪ ،‬همدارنگه په‬ ‫څلورمه ناحيه کې ‪ x‬مثبت او ‪ y‬منفي ) ‪ ( + ,‬دی‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬که چيرې ‪ x = 3 , 5‬او ‪y = 7 , 4‬‬ ‫وي‪ ،‬نوموړي قيمتونه په قايم مختصاتو کې وښاياست‪.‬‬ ‫حل‪ x = 3 :‬له مبداء څخه ښي لوري ته د درې واحده‬ ‫په اندازه ده او ‪ x = 5‬له مبداء څخه کيڼې خواته د ‪5‬‬ ‫‬‫واحده په اندازه ده‪ ،‬همدارنگه ‪ y = 7‬له مبداء څخه‬ ‫ښکته خواته د ‪ 7‬واحده په اندازه ده او ‪ y = 4‬له مبداء‬ ‫څخه پورته خواته د ‪ 4‬واحده په اندازه ده‪..‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ – 1‬د مبداء وضعيه کميات وليکئ‪..‬‬ ‫‪ – 2‬د ‪ p‬ټکی په کومه ناحيه پورې ت‪７‬لی دی؟‪:‬‬ ‫الف‪ :‬فاصله يې مثبت او ترتيب يې منفي وي‪.‬‬

‫ب‪ :‬فاصله يې منفي او ترتيب يې مثبت وي‪.‬‬

‫ج‪ :‬فاصله او ترتيب دواړه مثبت وي‪.‬‬

‫د‪ :‬فاصله او ترتيب دواړه منفي وي‪.‬‬

‫‪146‬‬

‫‪y‬‬

‫د يوه ！ک‪ ３‬مﺨتﺼات په مستوي ک‪３‬‬ ‫د افغانستان څلور واليتونه وټاکئ‬ ‫وواياست چې د کوم توري او کوم عدد‬ ‫په تقاطع کې واقع دي؟‬ ‫ايا د هر تورې او عدد تقاطع د افغانستان‬ ‫يوه نقطه يا يو ځاى ښيي؟‬

‫‪x‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﮐﺎﺑﻞ ‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫ﻓﺎرﯾﺎب‬

‫‪-7 -6 -5 -4 -3 -2-1G O1 2 3 4 5‬‬ ‫ﻧﻨﮕﺮﻫﺎر ‪H‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪K‬‬ ‫ﻗﻨﺪﻫﺎر‬ ‫‪L‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫د قايم مختصاتو سيستم رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬ټکی د قايمو مختصاتو د سيستم په لوم‪７‬ۍ ناحيه کې وټاکئ‪ ،‬په ترتيب سره د ‪ A B‬او ‪A C‬‬ ‫عمودونه د ' ‪ X X‬او ' ‪ Y Y‬په محورونو باندې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬ټکي فاصله د وضعيه کمياتو له مبداء څخه د ' ‪ X X‬په محور باندې کومه نقطه ده‪.‬‬ ‫د ‪ A‬ټکي ترتيب د وضعيه کمياتوله مبداء څخه د ' ‪ Y Y‬پر محور باندې کوم ټکی دی؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه الندې پايله په الس راځي‪:‬‬ ‫د (‪ )O‬له مبداء څخه د ‪ B‬او ‪ C‬فاصلې په ترتيب‪ x‬فاصله‬ ‫او‪ y‬د ‪ A‬ټکي ترتيب له مبداء څخه ښيي‪.‬‬ ‫يا په بل عبارت د‪ A‬ټکي رسمول د ' ‪ X X‬پر محور باندې‬ ‫د ‪ B‬له ټکي څخه عبارت دی‪ ،‬همدارنگه د ‪ A‬د ټکي‬ ‫رسمول د ' ‪ Y Y‬پر محور د ‪C‬له ټکي څخه عبارت دی‪.‬‬

‫ﻳادوﻧﻪ‪ :‬ناويلي دې پاتې نه شي چې د يوه ټکي فاصلې او ترتيب ته تغير نه شو ورکوالی‪ ،‬که چيرې‬ ‫فاصلې او ترتيب ته تغير ورک‪７‬و‪ ،‬نو يو بل ټکی يا ځای ښيي‪.‬‬

‫‪147‬‬

‫لوم‪７‬ی مثال‪ :‬د ‪ A‬ټکی چې فاصله يې له مبداء (‪ )O‬څخه د ‪ 2‬واحدو په اندازه او ترتيب يې له‬ ‫مبداء (‪ )O‬څخه د ‪ 3‬واحدو په اندازه وي‪ ،‬نوموړی ټکی وټاکئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ 2‬واحد په اندازه د ' ‪ X X‬محور مثبت جﻬت انتخابوو او په دې ټکي کې عمود رسموو‬ ‫وروسته د ‪ 3‬واحدو په اندازه د ' ‪ Y Y‬د محور مثبت جﻬت انتخابوو او عمود رسموو دغه دواړه‬ ‫عمودونه يو بل د ‪ A‬په نقطه کې چې فاصله يې ‪ 2‬او ترتيب يې ‪ 3‬واحده دي‪ ،‬قطع کوي او د ‪ A‬د‬ ‫ټکي مختصه په )‪ A(2 , 3‬شکل سره ښيي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د الندې ټکو فاصله او ترتيب چې په قايمو مختصاتو کې را ک‪７‬ل شوی دي د مرتبو‬ ‫جوړو په شکل وليکئ او په يو جدول کې وښاياست‪.‬‬ ‫حل‪ :‬دقايمو مختصاتو د سيستم د مرتبو جوړو مختصې په الندې ډول دي‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪A(2,2‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪B(3,4‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪C(1,5‬‬

‫)‪D(1, 2‬‬ ‫)‪G ( 3, 2‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫)‪E ( 2,2‬‬ ‫)‪H( 4, 4‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫)‪F( 3,1‬‬ ‫)‪J (1, 4‬‬

‫‪B‬‬

‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪F‬‬

‫‪O‬‬

‫‪G‬‬

‫‪D‬‬

‫د پورتنيو مرتبو جوړو جدولی ليکنه په الندې ډول ده‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪J‬‬

‫‪H‬‬

‫ټکې‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬الندې مرتبې جوړې په جدولي ډول وليکئ‪:‬‬ ‫)‪A(5 , 5) , B(0 , 3) , C( 1,1) , D(2 , 1‬‬

‫‪-2‬الندې ټکي په قايمو مختصاتو کې وښاياست‪.‬‬ ‫)‪E(1 , 4) , D( 5 , 3) , C( 1 , 2) ، B( 3 , 1) , A(1 , 1‬‬ ‫‪ -3‬د الندې ټکو مختصې وليکئ‪:‬‬ ‫‪ )a‬ټکی د ‪ x‬پر محور له مبداء څخه ښي لوري ته ‪ 6‬واحده فاصله لري‪.‬‬ ‫‪ )b‬ټکی د ‪ y‬پر محور له مبداء څخه ښکته لورته ‪ 5‬واحده فاصله لري‪.‬‬

‫‪148‬‬

‫ﻣﺠﻬﻮل او ﻣﺘﺤﻮل‬

‫‪15‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫● د تلي تعادل په کوم وزن سره منځ ته‬ ‫راتالی شي؟‬ ‫● ايا يوازې يو وزن دى چې تله د تعادل‬ ‫په حالت راوړاى شي؟‬ ‫● په يو ه شپه او ورځ کې د تودوخې‬ ‫درجه ﺛابته او که متحوله ده؟‬

‫‪–5‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪–5‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪–15‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪–15‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪–255‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪–255‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫الندې مساوات چې دوه تش ځايونه لري‪ ،‬په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫تش ځايونه يو پر بل پسې داسې ډک ک‪７‬ئ چې لوم‪７‬ى د مساوات لوم‪７‬ى تش ځاى او بيا دويم تش‬ ‫ځاى ډک شي‪.‬‬ ‫دويم تش ځاى لوم‪７‬ۍ تش ځاى‬ ‫‪=9‬‬

‫‪+‬‬

‫×‪2‬‬

‫● که چېرې په لوم‪７‬ي تش ځاى کې د ‪ 1‬عدد وليکل شي‪ ،‬د دويم تش ځاى عدد به څو وي؟‬ ‫● که چېرې په لوم‪７‬ي تش ځاى کې د ‪ 2‬عدد وليکل شي‪ ،‬د دويم تش ځاى عدد پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● ايا کولى شو په لوم‪７‬ي تش ځاى کې هر عدد وليکو؟‬ ‫● ايا د لوم‪７‬ۍ تش ځاى د بدليدونکو قيمتونو (متحول) په وړاندې او د تېرو معلوماتونو په ګټه د دويم‬ ‫تش ځاى د عدد نوم واخلئ؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه الندې پايله په الس راوړو‪:‬‬ ‫● د لوم‪７‬ي تش ځاى د عدد د ټاکلو لپاره موږ دا امکان درلود چې د خپلى خوښې عدد وټاکو او د هغه‬ ‫لپاره اړيو چې د معادلې د مجﻬول د حل له مخې د دويم تش ځاى قيمت په الس راوړو‪.‬‬ ‫● که چېرې په يوه مساوات کې د الجبري افادې يوه‪ ،‬توري ته د مختلفو قيمتونو د ورکولو امکان موجود‬ ‫وي‪ ،‬نوموړي تورې د متحول په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫● په عمومي توګه که چېرې متحول د اختياري بدلولو وړ نه وي‪ ،‬مجﻬول بلل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪149‬‬

‫ﻣثال‪ :‬د ‪ 2x y = 1‬په مساوات کې د ‪ x‬متحول د قيمتونو له مخې په الندې جدول کې د ‪y‬‬ ‫مجﻬول قيمت په الس راځي‪:‬‬ ‫د مثال په توګه‪ :‬د ‪ x = 3‬لپاره د ‪ y = 2( 3) 1 = 7‬کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫—–‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫د ‪ x‬ﻣﺘﺤﻮل ﻗﻴﻤﺘﻮﻧﻪ‬

‫‪–2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–7‬‬

‫د ‪ y‬ﻣﺠﻬﻮل ﻗﻴﻤﺘﻮﻧﻪ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬يو متحول او يو مجﻬول يو له بل سره څه توپير لري؟ په مثال کې يې څرګند ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د هغو ټکو مرتبې جوړې چې د پورته مثال په جدول کې په الس راغلي دي‪ ،‬د مختصاتو په‬ ‫سيستم کې يې وټاکى‪ ،‬نوموړې ټکې يو له بل سره ونښلوئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 2x y = 7‬په مساوات کې د ‪ x‬متحول لپاره ځينې قيمتونه درک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬په نوموړي‬ ‫مساوات کې د ‪ x‬قيمتونو په اېښودلو سره د ‪ y‬مجﻬول قيمت په الس راوړئ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪150‬‬

‫د اتم ＇پرکی مهم ！کي‬ ‫！کﻰ په مستوي ک‪ :３‬کوالى شود قايمو وضعيه کمياتو د يوه سيستم په واسطه يو ټکى تعريف ک‪７‬و‬ ‫د (‪ )x,y‬مرتبې جوړې په واسطه چې د فاصلې او ترتيب په نامه يادي‪８‬ي‪ ،‬وټاکل شي‪.‬‬ ‫د قايمو مﺨتﺼاتو سﻴستم‪:‬دوه عمود محورونه د '‪ xx‬او ' ‪ yy‬چې يو بل د ‪ o‬په ټکى کې قطع‬ ‫کوي دقايمو مختصاتو د سيستم په نامه يادي‪８‬ي‪ ،‬د هغو هره مرتبه جوړه د (‪ )x,y‬د مستوي له يو‬ ‫ټکى سره اړېکه لري‪.‬‬ ‫د ‪ x‬ټکی د فاصلې او د ‪ y‬ټکی د ترتيب په نامه يادي‪８‬ي‪ ،‬د هغو قيمتونه د محورونو له مخې چې په‬ ‫مساوي واحدونو سره ويشل شوي دي‪ ،‬ټاکل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫په مستوي ک‪ ３‬د يوه ！کي مﺨتﺼات‪ :‬د قايمو مختصاتو په مستوي کې د ‪ P‬هر ټکی يوازې‬ ‫د (‪ P)x,y‬يوه مرتبه جوړه عددونه او برعکس (سرچپه) دقايمو مختصاتو په مستوي کې د (‪P)x,y‬‬ ‫هره مرتبه جوړه عددونه يوازې د ‪ P‬يو ټکې ټاکلى شي‪.‬‬ ‫مﺠهول او متﺤول‪ :‬که چېرې په يوه مساوات کې د الجبري افادې د يوه تورې د مختلفو قيمونو‬ ‫لپاره اخيستل امکان ولري‪ ،‬متحول بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫يا په بل عبارت که چيرې په يوه مساوات کې د الجبري افادې تورې مختلف قيمتونه واخيستالی‬ ‫شي‪ ،‬متحول بلل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫که چېرې په عمومي ډول متحول له خوښې سره سم اختياري بدلون منونکي نه وي‪ ،‬مجﻬول بلل‬ ‫کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫عمومي پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬الندې درک‪７‬ل شوي ټکې‪ ،‬دقايمو مختصاتو په سيستم کې وټاکئ‪:‬‬ ‫)‪B(3, 5) A(1,5‬‬

‫)‪C(4, 1‬‬

‫)‪D( 1,4‬‬

‫‪ -2‬د ‪ 3‬ټکو مختصات داسې پيدا ک‪７‬ئ چې د مساوي ترتيب لرونکي‪ ،‬خو نوموړي ټکي يو پر بل‬ ‫باندې پراته نه وي‪.‬‬

‫‪151‬‬