Matematici clasice și moderne [III]

Citation preview

Acad. Calus Iacob .(coordonator) Paul Cocârlan, · Lazir Drago,, ~tefan. I. GheorghUi, Dorel Hollientcovschi, Alexandra Nlcolau, Eugen Soôs

MATEMATICI clasice ~i moderne vol. Ill

Editur• - ~ Bacare,tl

tehnicà

Prefata , ·1

1n

calitate de coordonator al lucrarii ,, Matematici clasice ~i moderne" am deosebita satisfacJie de a prezenta cititorilor acest al treilea vol'Utm. V olum111,l cuprinde dezvoltari J>rivind teoria ecuajiilor ·eu derivate partiale, teoria ecuaJiilor integrale ,ï elemente de analiza funcJionala, calculul variaJional, teoria transformarilor integrale 1i teoria ·distribuJiilor, .domenii ale matematicii .speciale legate de aplicatiile ei în mecanica, f izica 1i în ,tiinJele tehnice. . .A.utorii sînt oameni de ,tiinJa consacraji, distin~i reprezentanti ai 1colii de meca~ica formate la Universitatea din Bucure1ti. OontribuJiile lor tn domenii ca hidrogazodinamica subterana, magnetohidro- ,i aerodinamica, mecanica solidélor dèformàbile, dinamica fflbsonièa a gazelor, · aerodinamica marilor viteze 8'Ubsonice sau 8'Upersonice, teoria aripii de anvergura finita 1i teoria ecuatiilor integrale singulare, s-au impus astazi pe plan international. EœperienJa lor bogata Î'n cercetare se reflectii desigur in mod pozitiv a8'Upra prezentarii unotà di'litre elementele matematice de bazii care au intervenit Cn investigaJiile lor ,tiinJifice 1i. ori~nteaza tn mod f ericit a~est volum in sensul unei mai str,nse lega~uri. între teorie # àplic~Jiile _ei posibile, insisttn(l, ,i asupra propriilor lor crea#i matematice legate de cercetarile pe care le-am amintit. De aceea, credem ca volumul va putea fi con.sultat ·eu f olos de matematicieni, mecanicieni; fizicieni, ingineri de variate specialitaJi, de studenJi ai f acultaJilor ·de mate,matica-mec0tnica 1i. de f izica, de studen# de la institutele tehnice, de .la CnvaJamîntul f ara frecvenJa ,i de profesori de matematica 1i f izica din licee. La f el ca ,i 'Dolumele anterioare, lucrarea este divizatii ln parJi 1i capitole, preciztndu-se pentru. f iecare parte, sau eventual 'capitol, contribuJia f iecarui separat, pe porJiuni. · autor. Oartea ·poate fi consultata Ca orice .lucrare realizata .de un colectiv mai ma.re de autori, volumele de ,,Matematici clasice ri moderne" au reclamat un efort deosebit din partea redacJiei de matematicii, a Editurii tehnice, ,n munca apecifica de revedere a materialul11,i 1i de adaptare a acestuia la condi#ile cerute de imprimare. Este o plaqutii, datorie, pe care o tnd.eplinesc Cn numele tuturor autorilor acestui .volum de ,,Matematici clasice 1i moderne" de a eœprima Editurii tehnice cele mai ~àlde mulJumiri pentru tip~rirea l_ui in_. ~fle mai bune conài#i. :euclll'eot~;·.mai 1es1 Acad. prof. Caïus Iaeob

,i

Cuprins t • ·I · conf. XIII. E~uatü eu derivate par ,1a e . . conf.

dr. doc. LAzlR DRAao~

dr. ALExANDnu N1coLAu

9

Cap. 51. EcuaJii eu derioale parJiale de ordinùl lntli ,\

A. Ecuatfi llniare . B. Ecuatfi nelini~re .

\~

9 17

..

Cap. 52. ·EcuaJii eu derivale partiale' de ordinul al dnilea ,ï sisleme de ecu,a/ii eu derivate par/iale 'de ordinul tntti . • • • •· ; · '

'31 ·

'd

A. Deflnltll Ji exemple . · . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . ·B. ClasWcarea i,i reducerea la for1na canonica a ecuatfilor ,;i sisteme-

lor de ecuatfi eu derivate par~lale • . . . . • . . • • • C. Probleme pentru ecuatil lji sisteme de ecuaiu eu derivate part(ale

Cap~ 53. Meloda caracteri8ticilor pentru ecuatii fi sisteme de ecuaJii ' tip hiperbolic • • . . • . • • . • • • ·; • • . . • • • • · • • : •

31 40 53

de

A. Metoda caracter.isücllor pentru ecuatla undelor in doua. varlabile .

59 59

. :B•. Metoda caracter.isücilor pentru ecuatia undelor tn patru !jl trel

,., ·varlablle · · . ·. · ·. . . • • . . . . . : . . . . . . . ., . • . . . C. Metoda caracteristicilor pentru slsteme de tip hiperbollc ln doua variablle . ~ . • . . . • . • . . . . ·• . . . . . • .: • ·.

Cap~ :54. Metoda separtlrli ·variabilelor pentru .ecuaJii eu deriDate partiale • A. Metoda separariï. variabilelor (sau met~da lui F~urier). pentru. ecuatfl omogene in doua ·varlabile • . . . . . . . B. Metoda lui Foûrier pentru ecuatfl omogeriè · in trel · · !jl ' patru · varlabile .' .. .- .- . . . • • · . • . . _- . • . .• · C. Ecuaill ·i,i probleme neo_mogene Cap. 1 55. Func/ii speciale. AplicaJii .

.

~

...

A.· Functfi cllindrice. Aplicatli

. . ·.. • .• B~ Pollnoamelc lui Legendre· ~l functfile asoèiate · ·

:~: ··c. 6

FunctlftsferlcC.·Aplicatfe

.•.•....•••

72 79.

82 82

100· 106

.it2 .112

121

·127

''Ï

Cap. 56.-Meloda funcJiilor lui Green • • • • • • . • • • • • • . . . . . . . . . . • . . A. Solutii fundamentale B. Functlile ,1ut · Green tn· cazùl •operatorilor · de: tlp · ellptic (fenomene

sta1,ionare). .. . .. .. .. .. .. . ... -. . .. . . . ·•. . . •.- . .. . . Functia lui Green pc11tru operatori de tip·,paraholiê. ·,,:: . •,. • 1.,: • • : ·· D. Funcµa lui Green pentru operatori ;de:.tfp hfperbolic·•·· : . ~ • • • 1

· ·c. ·

Bibliografie.. . • ·~ . ·:. . • . ·. ·•

.: . . . ; . • • • . • •

XIV. EcuaJii integrale §i •elemente de :.·..

Cap. Cap. Cap. . Cap. Cap.

••

1

_

.

• •• _.

. .. ,

1

analiza

_._lector. dr.

• . . . . . . . . . .

ccrcet. pr. dr.

EuGEN

S06s

Cap. 02. NoJiuni introductive, EcuaJiile Euler.Lagrange Cap. 63. Problema bilocalii Ji problema variaJionaUi. . . Cap. 64. Realizarea numerica a metodelor variaJionale

Bibliografie . • • . . • . . • . . . : . .

XVT.

166 176

.Co~

58;. Ecua/ii intégrale eu nuclee simetrice : .... , • .. . • ., .• . . ·,·~· • :•~... . ...... • 59;Jnlroducere· ln teoria ecuà/iilor integrale neliniare 60. lntrodilcère ln teoria ecua/iilor intégrale singulal'e . . . . ·. 61. Elemente de analiza funcJionaUi. . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . A. Spatii metrfce B. Spaµ! liniare ~i opcratori liniari . . .

XV. Elemente de calcul variaponal .

143 .158

nuîcponalii PAUL

5_7. EcuaJii inlegrale linia;e de 'tipul lui ·Fi~dh~lin Ji YolÛrr~

Bibliografie

133· 133

· 178 ·230 246 257 266 266 275 305 307 307 329 344 365

prof. dr. doc. ~TEFAN I. GHEORGHITX dr. Do:REL Hol\lENTCOVSCHI

Transformari integrale . conf.

Cap. 65. Transformarea lui Laplace

A. Introducere . . . . . . . . . . . B. Proprietatlle transformiirli lui Laplace C. Invcrsarea transformaril lui Laplace C.-ip. 66. A.plicaJii ale transformarii lui Laplace A. B. C. D. E.

Rezultate prellmfnare ... Ecuatii dfferentfale . . . . • . . . . Ecuatfi eu derlvatc partiale Ecuatii Jntegrale . . . . • . . • . Alte apllcatfl fn anallzn matematica •

Cap. 67. Alte transformari integrale . • • . • A. Transformarea lui Mellin . B. Transformarea lui Hankel C. Transformarea lui Hilbert . . .

D. Transformarea lui Fourier discreta Bibliografle . • . • • • • • • . • .

366

366 373 398 411

411. 414

419 429 435

446 446 452 456 459 469

XVII. Elemente de·teoria distribnpilor conf. dr. DoREL HoMENTcovsœ1 Cap. 68. DefiniJîa distribuJiilor Ji a funcJîilor generali:ate . . A. Definlµa dlstributmor . . . . . . . B. Functfl generallzate • • • . • . . • . C. Dfstrlbutiile ~ functflle generallzate . . .

470 470 476 481

7

Cap. 69. Operatii eu funcJii generali.zate fi operaJii eu distribuJii

,1

484:

A. Produsul functwor generallzate cu functfl derlvablle fi suma a doul funcµl generallzate . • • . . . • . • • • • • • . • B. Derlvarea funcµIlor generallzate • . • . • • . . C. Produsul de convolutle a dou4 funcµl generallzate D. Transformate lntegrale ale functwor generallzate

Exemple fizice de funcµl generallzate . . . . . DefinJrea plrtll principale a unor lntegrale divergente Ecuaµl diferentlale in distrlbutll . . . • • Studlul unor sisteme cu impulsuri . . . . . . Blbllografle . . . . . . . . . . •

487 491 496'

-506

Cap. 70. AplicaJii ~le funcJiilor generalizate A. B. C. D.

484

. • . . • . . .

506 510 520 527 532

XIII

ECUATII eu derivate partiale Conf. dr. doc. LAZ.AR DRAGO~ ~ conf. dr. ALEXANDRU NICOLAU

•>

Capitolul 51

ECUATJI CU DERIVATE PARJIALE DE ORDINUL INTII

A. Ecuatii liiliare 51.1. Notiuni introductive. 0 eoualie ou dorivate parJiale de ordinul tnUi. este .. o ,ecua'(;ie de forma,

(51.1) .

· 1J' ( œi, .•• · , xn;u,-, au .. . ,au) - =0, '

axl

' aœn

unde 11' este o func'(;ie data §i u(œi., •.. , œ ~cvia necunoscuta. Pentrn derivatele par'(;iale se niai utilizeaza urmatoarele notatii clasice: 0 ).

au

(5.2) _

Pi=-·,·· ·,Pn \ Ôœ1 Cu acestea, ecua'(;ia se scrie (51.1')

F(œ11

•••

,xn, u,

au =-· ' aœn

Pu•··,Pn)=O.

1n èàzul a doua var.iabile independente œ ~i y, se utilizeaza nota~iile· ltii Monge p = ôu ~i q = au• 1n acest caz, e~~~'(;ia eu derivate partiale are. forma· (51.1")

8œ

ôy

·

·

F(x, y, u,p, q~. = O.

•> Capitolele 51 ~i 56 au fost scrise de Lazar Drago~, iar capitolele 52-55 de Alexandru Nicolau.

1n cele ce urmeaza, pentru deriva.tele pa,ryia.le vom ma,i utiliza, urma,toarele notatfi : (51.3) Vom scrie de asemenea x în locul a.nsamblului varia.bilelor independente (œu .•• , œn) ~i p în locul ansamblului CPu ••• , p 11 ). 0 ecuat;ie de forma (51.4)

au aœ1

X 1(X)-

au + ... + Xn(X) -aœn =0

se va numi ecuat;ie liniara ,ï omogBna, iar o ecuayie de forma (51.5)

au aaJi

au aœn

X 1(x, u)-+ ... +Xn(x,u)-= Y(x,u)

ecua.t;ie liniara ,ï neomogena. Adjectivul liniar marcheaza faptul ca derivatele par~ia,le intervin liniar în ecuavie. Sa observam ca, spre deosebire de ecuat;ia (51.4), în ecuavia. (51.5) intervine ~i funct;ia, necunosçuta u. Mai precis, ecuat;ia (51.5) se nume~te ovasiliniara. A integra o ecuaJie eu deriva.te paryiale înseamna a, gasi forma generala a, fu.ncviei necunoscute u(x) care înlocuita în ecuat;ie sa verifice identic aceasta ecuat;ie. Vom num.i solu#e generala o astfel de solut;ie. În aplicat;ii adesea, ne intereseaza nu solut;ia genera,la, ci solut;ia ca.re satisface anumite condit;ii. Vom nu.mi problema lui Oauoky problema determinarii unei astfel de solut;ii. !n mod curent problema lui Oauoky pentru ecua.t;ia (51.1) revine la a, determina, solut;ia acestei ecuat;ii care satisface o condit;ie de forma (51.6)

u(œî, œ2 ,

••• ,

œ11 ) =J(œ2 ,

••• ,

œ,,),

/ fiind o funcyie data. Semnificat;ia a.cestei condit;ii, daca ne referim la. ca,zul a doua varia.bile independente, este urmatoarea. 0 solut;ie u = cp(œ, 11) a ecuat;iei (51.1") reprezinta în spat;iu.1 · (œ, 11, u) o suprafata integrala. A gasi solut;ia, oare satisface condit;ia (51.7)

u(a;O, y)

= /{11)

inseam.na a ga,si supra,fa,t;a integrala care cont;ine curba de ecuat;ii œ = œ0 , = /(y). !n spat;iul eu trei dimensiuni o curbi se poate da, ~i prin ecua,yii de forma

u

(51.8)

/ 1 (œ,

11, u) = O, / 2 (œ, 11, u)

= O,

sau, mai general, prin ecuat;ii de forma (51.9) 10

œ = œ(t), y = y(t), u = u(t).

Vom arata._c~ .se r~olva problema lui Cauchy (cum se determina supra-

fata, integra,la, ·car.·e colltine. curba data).. ~i -~ _astfel de cazuri. .

,

r -·

51.2. Ecu~lfi Îiniare ~i

omogen'.e.' Yom

a~1,

(51.10) '

. X 1(x)_-_..-.

ôœ1

conside~ .ecu,a,iii de forma

au = O, + ... _+ Xn(X)ôœn

unde functiile X,(œi, ... , œ,i} le presupunem date într-un ahume domeniu Dn, de clasa 01(.JJ..) f}i astfel incît cel putin una, (sa zicem X 1 ) sa nu se anuleze nicaieri în Dn. Cu limbajul din § 49.4,. X= (Xi, ... ,Xn) define~te un cîm.p de vectori pe_ .D". Teoria cîmpurilor vectorilor ne sugereaza sa consideram sistemul · dœ1

(51.11)

_

X1(X) -

... -

pe care il vom numi siBtem caracteristic asociat ecua-çiei (51.10). Acest sis_· · · tem define~te liniile de cîm.p. întrucît vom arata, ca problema, integrarii ecua"tiiei (51.10) se reduce la, problema integrarii sistemului (51.11), vom reaminti modul de rezolva,re a,a,cestei probleme. tn cadrul teoriei ecuatillor diferentiale, sistemele de f~r.ma,, (51.11) se numesc simetrice. Se numeijte integralà prima a, sistemului (51.11) o fu.nct;ie.F(œ,_, ... , œn), de clasa (Jl(Dn), care se reduce la, o constanta cînd œu ... , œ" se înlocuiesc cu functiile ce verifica $istemul (51.11). Pentru integra,rea sistemului (51.11.) sint necesare n -1 integra,le prime independente. Fie .F1 (x ), ... , .Fn-i (x) aceste integra,le. Afirma-çia, ca integra,lele prime sint independente revine la, faptul ca în matricea formata cu deriva,tele part;iale de ordinul ·întü ale functiilor JJ'u ... , .Fn-i exista cel putin un determina,nt de ordinul n-1 ,diferit: de zero._ Fie J

(51.12)

= ô(Fu ... ,.F,,_1 ) ô(;z;2, ••• ' œn)

8!Qest determ~a,nt. Pe o soluti~ ,a sistemului (51.11), avem /

(51.13)

.F,Jœu ... , œn) = 0-,..,

k

= I, .•• ,n-1.

Din (51.12) ~i (51.13), pe baza, teor~~ei funcyiilor implicite, rezul~ (51.13')

œ1

= œ1(œ1, Ou •.• , 0,._1 ),

j. = 2, ••• , n.

Aceasta, este ceea ce se nume~te reprezenta,rea, pa,ra,metrica a, unei curbe integraZe. Da,ca, vrem sa determinam curba, care trece printr-un P-UDCt dat x 0 , determina•constantele 01c din (51.l~) sub forma Ok = .F,.(x0 ). tnlocuind

acesteva.lori în (51.13'l, obtinemcurba, cautata. tn ipotezele preciza,t~ reJà:. tiv la, X 0 prin orice punct din D,. trece o curba integra,la ~i numai -u.na~ Integra,lele prime se ga,sesc prin a,~a,-numitele combinatii integra,le. Sistemu.l (51.11) poa,te· sa ·a,iba, doa,r n·~1 integrale prime· independente. Orice alta integra,Ia prima, 1J' este functie de acestea, 1J' = (F11 ••• , F n-1 ). Teorema 5.1. Orioe integrala prima a sistemului (51.11) este o soluJie a eouaJiei (51.10) ,ï, reoiproo, orioe soluJie a eouatïei (51.10) este o integrala prima a sistemului (51.11). DemonstraJie. Presupunem întil ca. F este ·o integra,la, prima a, sistemului (51.11). Conform definitiei integra,lei prime, de-a, lungul unei curbe integra,le a,ceasta este o constanta., deci deriva,ta, ei este nula ·

Dar, de-a lungul uneicurbe integra,le raporturile dœ1/dœ1 se scot din (51.11). Reznlta deci (51.14)

Aceasta, relatie demonstreaza prima afirmaiie. Sa presupunem acum ca · li' este o solutie a, ecuatiei eu derivate par~iale (51.10) ~i sa aratam ca de-a.· lungu.l curbei integra,le (51.13') diferentia.la. ei este nula. tntr-adevar avem

Se utilizeaza conveniia, de suma.re din calculul tensoria,1. Qu a,ceasta teorema, este demonstrata. Problema. determinarii solutiei generale a, ecuatiei (51.10) se termina, daca demonstram ca orioe solulie a aoestei eouajiei este de forma {51.15)

'Il,

=

{ll'i, . • •, F n-1).

Orice solutie a ecuatiei (51.10) este o integrala j>'rim.a a, sistemului (5LU).: Sa arata,m deci ca orice int0c,o-rala prima Fa sistemului (51.11) este de forma (51.15). F fiind integra,la prima a, sistemului (51.11) verifica ecuatie (51.-14). ll''I: (k = 1, ... , n - l) fiind integrale prime, a vem {51.16)

Sistemul algebric, Iinia,r ~i omàgen, forniàtt din,ecuat;iile (51.14) ~i (51.16), un.de· i, se considera necunosc-ute, admit;ind solu~ie· difer-ita de zero, are determinantul nul. A~adar, . :· '. · ~

--

:

'',

8(1i', F ~' • •• 'li'n-1) 8( œ1;::.••• , œn) :

(51.17)

= o.

Determinantul J din {51.12) fiind diferit de zero, din {51.17) rezulta

." .

.

li' = {li'u ••• 'Fn-1). Se verif~ca .direct ca. o funct;ie. d~:forma, {51.15) verifica. ecuat;ia (51.10). 1n.tr'7adevM", avem .. . • . ,, . · â

âœ,

X, =

â ( âli'k âF,. aœ,

X,)=

âtl> •o =

âF,.

o.

1n concluzie, problema, gasirii solut;iei generale a ecua1ïiei (51.10) se reduce laproblemagasirii a n-1 integrale prime independenteasistemuluisimetric (51.11) • .Odata. aceasta facut, formula {51.15) ne. da solutia. Pentru rezolvarea problemei lui Oauohy {51.6) va trebui determinata forma funct;iei astfel încît sa fie verifica.ta ecuat;ia (51.18) (li'1 (œî,œ2 ,

.

~

•• • ,œn),

.. . ,F,._1 (:éf., œ2,

•••

,œ0 )) =f(œ2,

••• ,

œn).

se :face aceasta în ·mod curent, se· arata în [27].

Bxemplu. Sà integràm ecuatia ôu

·ôu

ÔXi

ÔXn

Xi·_._+ ... + X n - = 0.

(51.19) I ,'

::·,

~istemul caracteristic asocfat dxi ,,;,,. -~ .. =;dx,. admite urritàtoarele ·integrale prime indepen:. Xi

dente : -

Xg Xi

, -

:z:3 X1

.

Xn

, •·· , -

Xn ,:

:

• ln concluzie. solutta· generalà a ecuatfel (51.19) este

i ·.

Xi

u

(51.19')

= ( -~s , ~ .. , -;n )'. ·:

.Xi,,

·,. Xi

·

!-.1

de

Aceasta este O functie arbitra ra omogena. Oin teorenia lui Euler 'iezùlta ·cif functllle . omogene gradul zero verifica ecuatla (51.19). Rezolvarea acestel ecuatll arata ca numai funcµtle omogene de grad zero au aceastà proprletat~ (recipro~ teoremel lui .Euler). .· : .· ·.

51.3. Ecnatü cvasiliniare. Sa consideram ecuaiü . de forma. , '. ! âu

(51.20)

·

âu ·,

r

'

· ·

+... +X (x, ~ ) - = Y(x, u), 8œ1 ~ .. ' ' fJœn

X 1(x, u) -

11

13

unde X, iji Y sînt fo.nctü- de :clasi (Jl, definite pe un domeniu Dn+ 1Cx, u). Rezolva,;rea, ace$tei probleme se reduce la precedenta daéi-·se oauti solu-pia, sub forma, implioita '· · · l.

V(x, u)

(51.21)

== o.

tntr-adevar, prin derivare in raport cu .œ, ob"t;inem ôV ôV ôu · -+- = O, ôœ, Ô'Lt, ôœ, .

(51.22)'

1

-~ ·

1,

= 1, •••

,n.

Presupunem ca Ve CJ1(Dn+ 1 ) ~i ·ca V depiiJ.de efectîv de fu.nct;ia, necunoscuta u (ôV/8u=F0). Determinînd din (51.22) functiile ôu/ôœ, ~i înlocuind ·aceste funct;ü în (51.20), obt;ineJ;n

av

av

av =

X1 (x, u)~ + .•• +X11 (x,u)-- + Y(x,u) . '·,. œ1 · . âœ,, Ô'I!,.

(51.23) '·J'

0;

..

V satisface deci o ecuat;ie de forma, (51.10) cu o va,riabila (u) în plus. Scriem. sistemul caracteristic · dœ du = -11= -

Xn

y

~i determinam cele n integrale prime independ~te ale acestuia,. Fie 0 1(x, u), ... , G11 (x, u) a.ceste int~ara,le. Solut;ia, generali a, ecua,t;iei (51.23) va fi V

=

(Gu ••• , Gn),

funct;ia fünd arbitra,ra, eu conditia de a, depinde efectiv deu (ôV/8u #: 0). . . Solutia ecuatiei (51.20) se determina din ecuat;ia (51.24)

Se demonstre.aza [13, 27, 33] cai orioe soluvie a ecuatiei (51.20) sepoate obtine din (51.24) printr-o a,~egere adecvata a fu.nc"(ïiei arbitrare . Daca se cere sa rezolvam problema lui Cauchy (51.6), vom impune ~c~te.~te în 4J,tegralele prime_(}:, ~i V(?m nQta ,.

•◄'

:,)

•

(51.25)

E1iroinînd de aici varia.bilele œ2 , •.•• , œn, obt;inem o ·relatie fl>~(Uu •.. , Un) =0. Solutïa problem.ei lui Caucp.y va fi ,1; ,'

(51.24')

o(6\, ... , Gn)

=

O.

..... ExemJ)le • . i> Sa)let~rminam soluJla, generala, a., ecuati~

., ..

1•

(51.26)

'' 1 I,

1

m filn~ o constanta. Sistemul .caracterlstlc. asocla~

d±i' ' dx - - : - -8 x· a

~-

: t ! ~

ciu

dxn

...

,-Xn · mu_ ..

admite urmatoarele integrale prime 1 Xn -Xa,.. ... ,,-·-,

:i:i

:i:i

u

-· :cr

Ef?~apa (5~-24)_ tn acest caz este ~

:(-Xa

Xi

Xn , ... , , -u

·Xi,

)

· ·

xr = ,O, de unde· u=.'

m ( ~ q> -

~ %1

, ••• , -X,a ) • X1

Aceasta este o funcµe omogena de gradul m. Cu teorema lui Èuler se obtlne câ f unctllle omogene de grad m satlsfac proprietatea (51.26). Rezolvarea ecuattei (51.26) arata cd aceasta proprletate este caracteristlca functiilor omogene. 2) Sa determinam solutia ecua1,iel (1

eu éo~dlt-1~ u(O,y)

= y.

+U

-

X -

y) -

au

au + =2 ax ôy

in· acest caz. sistemul caracterlstlc admite urmâtoareie lntegrale prime 1 G~

=u -

2y,

.

-G1

= (u-x-g)etl. '

Scründ ecuatfile (51.25), ob1,inem -y= g1, 0 = g1 • Relatfa tntre 9c este g1 solutJa .problemei lui Cauchy este (~-x-y)efl = 0, de .unde u = x + y.

= O.

ln concuzle,

51.4. Metoda caracteristicilor · (Cauchy). Dam a,ici aJta metodi de rezolva,re a ecua,\;iei (51.20). Peri.tru. a, a,vea un suport geometric voiµ presupll.lle cit functia necunoscuta u depùide doàir de doua variabile ù(œ,y). Sa, rezolvam deci ecua~ (51.25)

XJP +X2q -· Y

= O,

,i

X 17 X 2 ijÏ Y fiind functii de a:, y u sa,tisfacînd cerinveJ,e impuse in ca,zul ge:ileraJ. Sa observam. ca. aceasta ecuaFe arata ca. în orice pu.net vectorul' V . . :. (Xu X:y Y) este continut în pia,ri.ul. tangént 1a, supra.fa.ta, integraUL. ù = q,(a:, y). rntr-adevar, membrul întîiaJ ega,Iitatü (51.25) reprezintlpro-

dusul scala,r dintre vectorul V ~i vectorul de coordonate (p, q, -1), care · este normal la suprafata, integrala u = q,(a:,y). Ecuatiile (~1.26)

da: X1

=

dy X2

=

du .Y· 15

definesc liniile de cîmp ale vectorului V (v. § 49.4). Le vom· nu.mi ourbe (Zinii) oaracteriBtice. Oonform teoremei de existenta iji unicitate, prin fieca,re punct din .D3 trece o curba caracteristica iji nu.mai una. · · Fie M un pu.net apa.ftinînd' unei suprafete integra,le I; . Sa a.ratam ca Iinia, cara.cteristica ce trece prin acest punct este situa.ta în întregime pe suprafa.ta, integrala ~. Fie m ,.proiecyia. punctului M pe pla.nul œOy ~i -; proiecyia. cîmpului V pe a.cest pla.n. Notam eu y curba, ce trece prin m (în a.cest pla.n) tangenta la, i. Ecua.yia. ei va, fi · dœ

n,(51.27) .. J •..U.. At.,_,,:

dy

~

Exista în mod unie o a.stfel de curba. Aceasta curba este proiecyia. pe pla.nul œOy a, unei curbe r situa.ta pe ~ ~i ca.re a.re proprieta.tea. ca în M este tangenta la. V.· De-a. lungul curbei r a,vem însa ~i relayfa du = pdœ + qdy, rezulta din fa.ptul ca r este pe o s~prafa.ta integrala. Din a.ceasta rela.yie, din '(51.27) ~i din (51.25) rezulta du = p

(51.28)

dœ

+ q~y .tdœ

= p

+ qX = XJP +X q=_!_· 2

X1

2

X1

X1

Din (51.27) iji (51.28) rezulta (51.2~)~ Curba, reste deci o linie ca,racteristica. Oum prin M trece o singura linie caracteristica, rezu.Ita ca aceasta este conyinuta în întregime de sµpra,fa.ta integrala. Liniile ca,ra,cteristice nu se pot intersecta, deoarece sistemul (51.26) a.re soluyie unica în orice punct. Deducem ca suprafa.ta, integra,la a, ecua.yiei (51.25) este generata de linii ca,racteristice. Invers, orice suprafata loo de curbe cara.cteristice · este o suprafata ~tegra,la a, ecua.yiei (51.25) .. Vectorul_ V f_iind tangent la linia ca.ra.cteristica es~e în pla.nul tangent ?,l suprafeiei. Se verifica deci ecua.yi~. (51.25). .. . ·. Din fa,ptul ca suprafeteie·mte~le iji'numai suprafeyele integrMe _sînt foc de cùrbe ca.racteristice, rezulta mbdul for de deterniina.re. Se··det~rn:i~, rezolvînd sistemul (51.26), ecua.yiile curbelor caracteristice. Fie (51.29)

ècu~,vj.~e l9r .. fe o· suprafa.ya~.i- curbele •ciracteristice depind de un singµr pa,rai:µetru~ R~lizam a.cest imperat,iy. dînd_ o lega~a (Ou 0 2) între cele 4~_ua.,/b#stal!-te. R_~zûlta· c~. ~u.p~fatai î.~tegrala esté cle~~,ta impl~cit de ecua.v1a. · •~ •

; ._

t '·

(51.30)

_L

-

. (G1 (œ, y, u), G,}.(œ,

y, u)) = O.

Am obyinut deci, pe alta caJ.e, ~olutia. generala. Sa rezolvam problema lui Oauohy. Peritru a.ceasta, va trebui sa d,eterminam suprafa.ta, integra,la ca.re trece·printr-o curba O da.ta. Este necesa,r l6:

ca; a,ceasta curba sa nu fie linie ca,mcteristica deoarece in ca,z contrar prin fiecare punct al ei trece doar O. Daca O nu este linie caracteristica, prin fiecare punct -al eitrece o linie camcteristi~. Aceste linii genereaza supra,fa,t;a, integrala. Daca ecuatia curbei Ose da sub forma (51.8), urmeaza sa. ~inam œ, y f}iu din ecua,tiile (51.8) §i (51.29). Puncp~e de pe Ode coordonate œ, y, .'.U satisfaç f}i ecuatiile (51.8) f}i (51.29). Prin. ac~sta elimina,re se ob.tine o relatie 0 (0i, 0 2 )=0. _Acest ,0 , înlocuit în (51.30), ne defineijte implicit supra.~t;a, integra,la. Daca O. se da prin ecua,tiile. (5L9), _Wocuim aceste expresü în_ (51.29) f}i eliminam_parametrult. Se obtine ia,raiji o relatie. 0 (0i, 0 2 ) = O. Solutia problemei lui Cauchy se obtine din (51.30) înlocuind eu 0 •

B. Ecuatii .. , neliniare 51.5. Eeuatii eu diferenfiale totale (eeuatii Pfaff). 0 ecuatïie eu diferentiale totale este o ecuatie de .forma ., (51.31)

du= X 1dœ1

+ ... +Xndœn,

unde X, sînt functïï date de œu ... ; œn ~i u, de clasa 0 1 într-un anumit domeniu Dn+i· Se pune problema de a gasi functïiile u = cp(xu ... , œ11 ) car& sa verüice identic aceasta ec~~tïie. 1ntrucît (51.32) rezulta ca ecuatia (51.31) este echivalenta eu sistemul de ecuatii eu deriva,te partïiale (51.33) X, fünd functii de··cla,sa, · ;

:. dq

.

'

1

·'

•

- - - - - - 2- - - - d t . . p

k

q

·.:

\ ·.

0

•

0

\'

\11

admite urmatoarele integrale prime (51. 77) 1

= q0, .xi..= p0 ï .. + x 0 , :Y,=;:= q0 ï., + Yo, ~.= k 2 "A + u0 • , ~fterlst!cile:..~t dr~p~e ce por~csçrdin 7x 0·, Yo,, u0• .Ç.p~diµa (5l! 7.8} ~a (51.9~).

•-.. ,; . : i i:;

.P ~ Po, q

: , • ··: · •

•.

~

, / ~. ·

.

t : ,

l ~ :

; '-

•

t"

1

•

-

•

- • '-

.'

'. •

•

··~

'

;

,

.

·r, ,

..

•

_.,._;

:.;, ,_1 __.·

i

Pentru a construi suprafa\a l~~eg~ala trebuie.~a•lll~iJ!~rJli~~ cQnditi~ (51.89) sub·form, 1(51.91): (51.95)

:_i:

ôx

ÔU 0

ÔYo

0 =•.x -·oµ·'i-.. P.o! ,taµ - .- qo:'aµ =

0

• \'

l-9i ., .P·

1

\•

J!c

"f?Pli(51:~~11MAA,95) ~~zulti q0 =:= 1,, T?o,F: 1± 1 -::1.-.PlW~d deci;xO.F 0~ yO_ =:==: µ, u0 .= JL,:q0 = 1, p 0 = ± Vk2-1 ln (51.93), deduc~m·· ,., _ ·, , ... , ,1 ,·, .. ..•• :;· : :·, · , .. ,, , . .. , · • 1J '· i, t . , · \ : . , . • •• · - , . J • • 1 . "' 1

. ,;::;..-.·. :-, 'jia.-:J:=Vk1 -1; 1·q•J•1~ '%='±Yta~1•;ï..,

uil.+µ.:-u=k 2 ~\+ii.:!

=

,

1

11 ·:.

'-c.nÜ~ftle tr~l ~~-aµi da~ rcpr~z~~tarea par~m~J.~~ a ~~p~~i~Îei int~gra'i~:-:kc~p~:el ~~~ia~â se obtfne ellminlnd parametrii ~i. µ. Sè -gl~~~te' -~ = Ù±·vki_;_ 1 x. :Metocla' lui i."agr~~gè ne-•n 1

1

1

,:

dus mal rapid la acest rezultat .

.,,·. • _;-.

I:

_,. 1

•

~

: ..

~

.':_-:

1

1"1 : t .

. : . ~; : ...... ~. 1 ..

f

~·

~•

'~ • ; t

·_ ;

~:

:

f

PaJ.)f~olul;52,. 1 ._,.,\.~.

1 ;:,.; :_,:,-.

j••

· _;•" · EtlJA'fil CU DÉRIVÂTE ·P AR'flALÊ i ])~ 'ô®INVL .li. D'OILÉA ~- SIST~E ~E ECU:A.JII cifi'.D-fyAT~ iA~'fÎALE_' :,· ·· "·,,:-(i ... :,.·:: • ! ,. ·._,· ·.t .

~~~ (

1

(x, 1) dT;

D

dT,

D

l>.Q,

= l>.t~~~ c(x) u,(x, !) dT, D

conduce la ecuatla difuziel tntr-un mediu imobil sub forma (52.19)

eu,

= div (D grad u) + (1 ,

cnre ln ipotc7.a ca c, D slnt constante se redu cc la ecuntia (52.18') eu a!= D/c, f

38

= (1/c.

..

c) Ecua/ia difu:.iei tntr-un mediu mobil. în ipoteza .mecllului eu densitatea p(x, t), ce se . mi~cii cu viteza v(x, t), ln deducerea precedentii,Jnafara de faptul c~ D ~i S stnt variabile ln timp: D(t), S(t), egalitatea de bilant trebufe fdcutii !ntre Ll(h LlQ2 (eu ·semnJflcatffle precedente) ~j variatla masei de substanta LlM, ln tlmpul llt, datorita·aut variatiei concentratiel u, tn timp clt ~l varJatiei domenlului D(t) in timp. Cum

+

àM

= ~- ;,

~~~ pud~ = ÀI [~~~ ô(:;) dT + ~~ pu;n:da] = D(I,

D(I)

=

Àl~fü-ô(;t +

div pu-;] d,

D(tJ

S(I)

=

Àl~~H :: +-; D(t)

grad

+

[deoarece div u(pv) = u div p; + grad· u.(p~ ~i s-a tfnut seama de ecua\fa de continuitate din (52.13)) iar domeniul D(t) este arbltrar, egalitatea llQ1 + llQ2 = llM conduce la ecua\ia cllfuziei ln medfu mobil : (52.20)

u,

+ -v grad u = -1p div (D grad u) + -1p f1•

52.4. Exemple de eeualll eu derivate parltole oie unor fenomene statlonare. în cazul fenomenelor precedente, statfonare sau permanente, functfa necunoscutii u nu depJnde de tlmpul t. Ecua\ia membranei vibrante (52.11) sau (52.11') se reduce la ecuatfn lui Poisson

(52.21)

L¾U = -

1 as f(x, y),

care ln lipsa fortelor perturbatoarc f = 0 se reduce la ecua\la lui Laplace Ll2 u= O. în mod aseman:itor, ccuatillc permanente ale acusticii (52.15) (52.16) se redue la ccua\ia lui Laplac~ llaP =0 sau ll3p = O. l\-li~carea plana, permanenta, potentiala eu F=O,-; = u(x, x)i + v(x, u)J= grad cp(x, y), a unui fiuid perfect incomprcsibil (p = p0) conduce la ecuatla lui Laplace !lep= 0, obtinutii pI"in introduccrea lui ;ln ccuatln de continuftate. Ecuntlile propagiiril stationare a caldu;rll (52.18) (52.18') sau ale difuziei statfonarc (52.19) conduc fie la ecuatia (52.22)

div (p grad u)

+ (1 = 0,

p fiind egal eu k snu D

fie la ecua\ia lui Poisson. Ecuatla stationara (52.20) dcviac div (D grad u) -

p!,

grad u

+ fi = O.

Concluzie. În general, ecuatiile ce descriu vibratiile sau osclatüle u ale unor medii eu n=l, 2, 3 dimensiuni au forma (52.23) p(œ)utt = div(p(zj grad u) - q(œ)u + f(œ, t). Cele ce descriu difuzia sau propagarea caldurü 'U, au forma (52.24) p(x)u, = div (p(x)gradu)-q{x}u + f(x, t) iar cele ce descriu fenomene stationare au forma

(p(œ) grad u)-q(œ)u + f(œ,t) eu vectorul de ëomponente i = 1 sau i =1, 2, sau i = 1, 2, 3; eu coeficieniii p, p, q depinzînd de proprietatile mediului iji termenului liber f de cîmpul de forte sau surse unde este situat mediul.

(52.25)

œ

0 = dev

œ,,

39

B. Clasiticarea ~i reducerea la forma canonica a ecuapilor §Î sistemelor de ecuatii eu derivate patpale 52.5. Clasificarea §Ï reducerea la forma canonica a ecuatiei semilinia-

re in doua variabile. Fie ecuat;ia, semiliniara în doua va.riabile (52.3)

= 1,2,

de clasa 0 2(D), De R 2• Sa efectuam în (52.3). tra,nsformarea, punctua.la de clasa 0 2(D), nesingu.lara (deci reversibila) CU

au= au(œ, y), i,j

; =;(œ, y) , det J "fJ = "IJ(œ,y)

(52.26)

Atunci u(œ, y) = u(œ(;, "IJ), y(;, "fJ)) forma dupa relatiile cunoscute':

= D(;, "fJ) #: o, D(œ, y)

=

œ = œ(;, "Il), y

=

yœ, "IJ).

Ü{;, "IJ) ~i deriva.tele din (52.3) se trans-

= Üt;x + Ù.,,"IJx, U 11 = Û;11 + Û.,,"1) 11 , 'U:,;:,; = Ü1;t ~ + 2Üe.,, ;:,;°/l:,; + ù'1l'I) "Il~ + 'Ut Çz:,; + ÜY) "llxx, 'Uxu = Ù~~;z;11 + Ù~'l)(;z "'lu + ~u "'la:) + Ü'11'1) "'lx "1111 + Ü~ ;zy + Ù'I) "llxu, u,111 = Û,;t ~ + 2ue1> ;11 "'lu + Ü'l)TJ ~ + Ût ;1111 + Ü'I) "111111 'U:,;

care introduse în (52.3) conduc la. ecua.tia. semilinia.ra (52.27)

eu atJ(;, "IJ) e 0 2(.D) (.D fiinà imaginea, lui D prin (52.26)) dat;i de

éli.2

= au_ ;X"llz

(52.28)

a22 =

au "IJ~

+ a12 ( ;z"l)y + "'lx ;y) + a22 ;y "'lu,

+ 2a12 "llz"IJu + a22 "IJ;

eu a,i(œ( ;, "IJ), y(;, "IJ}}, i, j == 1, 2, ;z(œ(;, "IJ), y(;, "IJ)) etc. 40

Sa determinam tra,nsforma,rea, (52.6) astfel incit tin= 0 sa,u a 22 = o, adica functiile ~, 'rJ sa fie solutii ale ecuatiei eu deriva,te partiale de ordinul întii · (52.29)

ca;re se.reduceJa, o ecua,yie diferenyia,la ordina,ra prin urmatoa,rea,: Lema. OondiJia necesarii ~i suficienta ca funcJia cp e 0 2(D), eu cp., =f: 0 tn D, sa fie soluJie a ecuaJiei (52.29) este oa cp(œ, y) = ·o, eu O = const, sa fie integrala generala a uneia din ecuaJiile diferenJiale

(52.30)

lntr-a,devar, da,ca cp verifica (52.29), atunci verifica ~i On ( -

::

r-

211i. ( -

:: ) + a••

= o.

Considerînd fa,milia, de curbe y= y(œ, 0) definita prin rela,tia, implicita 0 în D, atunci ecuaJia (52.3) este de tip kiperbolio ln D. ln acest caz direcyiile caracteristice Ài, À2, sint reale ~i diferite:

± VÂ

a12 À1,2=-'---

au

41

i,i exista douà familii de curbe ca1·acteristice · (52.32)

~(x, y)

= 0 17

"l)(X,

y)

= 02

reale ~i diferite. Considerînd transformarea (52.26) cu membrü doi dati de relatüle (52.32), rezultacaîn urma, acestei transforma.ri, ecuatia.(52.3) devine (52.27) CU au= â22 = 0, ~i CU a12 #= 0, adica _ -

(52.33)

1

U~11

1 -1.i: '1J, u, ... - ) +-_-J(~, u~, ~l'i = 0, 2a 12

numita forma cano~ica a e~ua~iei (52.3) de tip hiperbolic. in urma transformarii . C(

1 =-(~ 2

+ "t))

sau

forma cano:nica (52.33) devine

cu ~( cc, ~) = ù( cc + ~, cc - ~) etc. Sà stabilim ca transformarea, folosita este nesingulara ~i ca a12 #= O. Oum (52.32) sint solut;ii ale ecuatiilor diferentiale dy

da;

= _k = À1(x, y); ~11

dy dœ

=-

'1Jz '1Ju

=

À

.

2(x,

y)

cu ~11 #= O, '1Ju #= 0 (conform lemei) sau ale ecuatiilor eu derivate partiale de ordinul întîi rezu.lta ca jacobianul transformarü folosite este detJ = {À2 - À1)~11 1J11 #= o, Introducînd relat;iile ).1 + ~ = 2 lli2 , À1 À2 = a 22 în (52.28), se obtin lli1

+ À1 ~li) ( ~z + À2~u), a12 = au[(~z + À2~11> C'1Jz + À1"1J11) + 1J

(care este un caz partlcular al ecuatlel Euler-Darboux-Poisson). 3

~=-s:, 2

'IJ=

-1/yi

tn y >0, prin transformarea

ea are forma canonica 1

û1;1;

+ ü'tl'1l +-ü 71 = 0 31)

ln '1)