Matematici clasice și moderne [IV]

Citation preview

Acad. Calus Iacob (coordonator) Dorei Homentcovschi, Nicolae Marcev, Alexandru Nicolau

MATEMATICI clasice şi moderne voi. IV

Editura

@ Bucureşti

tehnică

·1

Prefata l'f!,iJial,- lucra'l"ea ,,Matematioi clasice ~i moderne" afost proiectatii sa ciiprin,da 1vumai trei volume. Dar dezvoltarea deqsebitii, pe care au înregistmt-o în wnii àin u1•mii, analiza numericii ~i . diverse att_e ,metode .matematice u,tilizate (n cercetar!J 1i teknologie, a con,(œ,y, z) der s

~~_p-wi;ieijte,~implu strat (de densitate .µ) pe suprafat;a 8 .. :: 4) Daca, 0, este o ~urba, neteda pe port;iuni ~i µ (œ,y, z) o func-çie con~ tinua, pe port;iuni definita pe O, relat;ia (µ(111, y, z) Ile, q>(œ, y,~)) •

~ µ(111, y, z) ~(111, y, z) d8 C

·.:

define~te o distribut,ie. , . Din definit;ia distribut,iilor ca funct,ionale rezulta definiW corespunzatoare pentru suma a doua distribut;ii ~i produsul unei distribut;ü. eu un nmnar real. Astfel, daca f1 ~i f 2 sînt doua, distribu~ii, suma lor va fi distribu'tïia f definita prin relat,ia . .

(f,

d

cp) ·= (fu cp)

+ (/2, cp).

De asemenea produsul numarului real c eu distribut;ia f este distribu~ia cf avînd expresia (cf, q>)

=d c(f, cp). 11

Doua distribut;ü f ~i g se num.esc egale pe multimea deschisa e: daca (f, cp) = (g, cp) pentru orice funct;ie test cp( œ, y, z) eu suportul inclus în multimea G. Oonform definiyiei date avem 3(œ, y, z) = 0 pe orice multime (deschisa) ce nu. include origine~; Complementarea reuniunii mulyimilor pe care distribuyia f(œ, y, z) se anuleaza poarta denumirea de suport al distribuJiei f, notat supp f. Ïn particular, suportul funct;iei lui Dirac este originea, iar suportul distri. buyiei µ8 8 este suprafa1ïa S. Nmnim di8t1·ibuJie temperata o funct;ion.ala liniara ~i continua qefinita pe mult;imea funct;iilor test rapid descrescatoare. Mult;imea distribut;iilor temperate (notata !') este inclusa în mùlt;imea D'. Ca exemplu de distribut;ie temperata este distributia. generata de o funct;ie f(œ, y, z) local integrabila, încet ·crescatoare*: (f(œ, y, z), .cp(œ, y, z))

d

.

De asemenea 3(œ, y, z)

~~~f(œ, y, z) cp(œ, y, z) da; dy dz. Ra

constituie o! · distribut;j~ ~emperata (singulara). !

B. Operatfi eu distributii în · mai multe variabil~ Ïn sect;iunea precedenta s-a definit sum.~ a doua dis.tribuyiî ·~i. produ-:sul unei distribut;ii cu un num.ar real. tn continuare vor fi definite 'alte operat;ii pe mult;imea distribut;iilor. Deosebirile între operayiile definite pe S' fat;a de cele de pe D' vor fi speciffüate!· · ·· 71.3. Produsul unei distribufü eu o funcfie indefinit derivabilii. Fie a(œ, y, z) o funct;ie indefinit derivabila ~i f(œ;-y, z) o distribut;ie din D'. Num.im proà'U8 al distribwJiei feu funcJia a distribut;ia (af) ·definita, prin relat;ia d (af, cp) = (f, acp), cp e D{R 3). Daca "IJ(œ, y, z) e ac00>(R) este o funct;ie egala eu unu pe o vecinatate a suportului distribuFei f(œ, y, z), atunci (71.6) "IJ(œ, y, ~) f(œ, y, z) = f(œ, y, z). 1ntr-adevar, funct;ia [1 - "IJ(œ, y, z)]cp(œ, y, z) este o funcF,e test nuli în vecinatatea suportului lui: f(œ, y, z). Avem atunci (/, (1 - "IJ)cp) = O, de unde ((1 - "IJ)f, , 'P) = ~ ( • g, o:) = =

' '1 r

-(f(a;, y,~), ( g( ;, 1/, ?:), O,p(a;H'.::1/, /1/H))).

· -(Aœ,-1I, z), !_ ôœ

(g( ~-' "Il, ~), cp(œ

·

+-~,y + "I), z+ ~)) .=

= ( :: * g, 'P) = ... Mai generai, daca L este un operator düerent;ial eu coeficient;i constant;i este va,Iabila relat;ia . . . L(/ * g) = Lf • g = f * Lg.

21

_E:1temple. 1) ,Fié f(~~ y.,%) o fµnetie .continµ,ii pe: 1.l.3 ~i µ88 un simplu strat pe suprafa~a Jnfl'Sî,ni~. $ ·eu dcnsitate :µ._ ;~onHm,1~.. ?,odus~l _lor, d.e con_volutic este· f_uncti~, Joc~,l .i,nfc~ grabQa : . . . _ ·, ·. · · •.'

·

. · (f • !LBs)

(71.32)

:

'

.- ~ \ l

'..

. .

.·

-r

- •

-

·ê

({~ µ.Ss, cp) = (f(~,·y, z), (µ(;, - '.

' ' · '.

= ~~~f(x, U, z) ( RrJ

:

'I), ~)

·,

,

.

.

·· · ,

··

•

i,;i

eonform dcfinitici date exista (• µ8s. :Mai t

8si;, 11 .'~, cp(x •· .',

·

+ ;, y+ ·q, z ,+ ~))) ,= ,

.J,,

.I;

•

·

,·

:

,,

~~ µ(;, r,, Cl 9(; + !;,y+ r,, z + Cl dé{"'~ }dx dy dz = S

.

'

r,, •

+ C)

dx dy

d:} ~a ]{ki~ k2, k3 ) e 9'(R 3) astfel ca, transformata, Fourier a unei distribut;ii tempera,te este tot o. -distribut;ie temperata. · 1 .•. 1 )\fai d~~iniµl ti;a~fO:\'~t8i, ,Fourier Jnyersa,.:$f- [ f], a, distribut;iei f(œ, y, z)" prin relat;ia · . . ,, l ; . (71.34') , -1 [f(œ, y, z)] = - , [ f ( -œ, -y, -z)]. . ' .

(2n:)3.

.'

. !\

Proprietiili ale transformatei Fourier.· '~j ',t.F...:1 [!]]='~1 (#(.f]] · 1ntr-adevar . . .•! '. . . . . . .. t

'

•!

f.

.

(F[F-1 [!]], q>] = (,~ 1 [/](œ, y, ~)/3Z='[q>](œ, y, z)) = •

~1

' '

L· · ·

•

I•,

••

·_

l

~

J

1 ;·~ ~ i: :' = -·-(f, §' [F[q>](-œ,' ~'!/, -z)])=(J, q>)' (2n:)3 '

,J

•••

',

J '

•

'

•

i • •

•

.

• '

•

pentru orice ·}un.ctié! test-; din 9'(R 3 )~ !F[iôf] (k17 k2, les) -:--- ik1 !F[f] (ki, ka, ka).

b)

ôœ

·

Âvem ôf] l . . ) ( ôf ·• ) ( . . ô · ) ( !F [ ô:c ,q>(kuk2,k3 ~ = 8;,F[q>] = - /(œ,.y,z), ô:c!F[q>](œ,y,z) =

= -

(f(x, '!/, z), !F[ - i k1 q>(lci, k 2 , ka)]) ==:(!F[JJ, ik1 q>) = (ik1F[f], q>).

Mai general avem '

,

l

.

. •r

•

,•

'

•

~

. . [ ·an,+na+n., .f ] ' . ' · F ,, : · . · Ji_·.· = (ik1 )"'' (i~)"' (ik3 )na F[f] . .• ôar,ôy"aôfl'a '. •

·a

.... ;,

·.,

\1. '.

.'

.

o) ôki, {.F[f(x, y, z}](l~~ 7'1, k3 )}

,

•

. ·.

I'

.

~-[ ;-IX /(œ,

- , '

.

.

y, .z)](ki, k 2 , ka)· . 23

într,ad~var

. 'G~ irn,

. ,.

r· ·

q,(k1 , k.,

• • ;:,

•· •

,

,

ka))'. - (,[n. :~ ) .'~ (1: ;; .[:~ ])= .

= - (f, iœ !F[cp])

'

.

= (~iœf(œ, y, :z), !F[cp]) =

.

(!F[-iœf(œ, y, z)], cp) ..

,,, .

,.

In general Ô"1+nt+tia

{

·

·1

ô1c1~ôk~•ak;a . !F[f(œ, y, z)] (k~,. k2, ka)

= F[(-iœ)•Js-(.-fy)"• ·(-iy)"3 f(~,

'!•

.

y, 'z)] (ku k 2 , ka)·

~) Daca. distributia temper~ta f are suportul compact, . ~tun.Gi . . . F[.f](ki, kz,/;~), = (j(œ., riÎ,, ~), rJ~fP, Y, z) e-i(ki~+k:1+~~>) •. : ·. . .

eu

. · ·e) - Fief o distdbùt;ie temperata '~i g' o distributie: ~émpetat~· suport compact. Avem · ' ·· · · . !F[f • g]_- F[f]. !F[g]. Demonstrat;iile ultimelor doua proprietat;i pot fi fücute analog ca în. cazul unidimensional (cap~ 69). . . . . . :. . · f) · Dacili f(œ, y, z) este o distril>rttie· temp~rata, atm~.ci .. ·_ !F[~~d:f] ~'

.,_

=

·'.

(ik) F[fl •

k fiind vectorul de componente

1

'

•

V(œ,

y, z) un cîmp vectorial .al~ carui .componente sb;a.t distributiile temperate V a:, V sn V z• Se

mai obtin ·:• ·

··

!F[1·ot

·

ku k2, k3 • Fie acum

· ·

·

·

VJ = ik x:F[VJ, . , ~[div J'°J:- i~ .f[VJ~ , . ·i

Exemple. 1) Fic f(x, y, z) = 8(x, U, :). Aplicind proprietatca d), rczulta "[8(x, y, z)] = 1

,i deci

2) Sa aplicüm transforma ta Fourier relatici (71.29). A vcm

cczr• ] , ', [ (-A+ «2)-.-. .

- - 41tr•

=1

2

2

sau (k1 + k2 +

•

z,, 9 [car ] ki'-r « ) ~ --- . = - 41tr

1,

ccea cc conducc la relatia (71.35)

., [ ear ·1 ------· kt+ k~ 1

41tr

+k:+(7.2

,' .

i·

71.9. Distributii depinzînd de un parametrn. Fie fri(œ, y, z) o distributie depinzînd de parametrul r~al .ot. Aceasta î:nseamna cij,· pentru fiecare ot ER, fa.(œ, y, z) reprezi:ntiii 6 dist1ibutie din D'(R~)- Vo~ spune ca, distributia fa.(œ, y, z) converge la distribu~ia f(œ, y, z) atunci cînd ot~a0 , daca lim (fa.(œ; y, z), tp(œ, y, z)) = (f(œ, y,\ z)', cp(œ, y, z)) 24 .

::pentru orice functie test. cp. Vom mai scrie acest lucru sub forma . , / linlfcc(œ, '!/, z) .,= f(œ, '!J, z).

(71.36) i

•/,·•« ➔ a~

:

{ ;·'

-,

!''

l

În cazul în care l parametrul ex parcurge mulyiinea numerelor naturale = oo relatia (71.36) define~te convergenta unui EJÏr de distributii. Distributia .fcc(œ, y, z) este. derivabila în raport eu ex în punctul ex0 daca exista . liin fcc(œ, y, Z)- fcc (œ, '!/, Z) d 8fœo(œ, '!J, z) '

~i

) , lim ; a°' / ; . CX ➔a:o

(fœ, ~) -. (fao, _'l>) ex - exo . .

Exemple. 1) Sa consideram distributia 8(x - ;, y ti tuic trci parametri. Avem

1), z -

=

d(fa;o, q>) • d(X

~) pentru carc ~. î], ~ cons-

>) =

a8(x - ~o, g - T,o, z ,_ ~o) - - - , < p x( , y, z ( - - - - -a;o · .

=

=

. (8(x-;, y-110, z-~o), tp)-(8(x-l;o, y-110, z-~0), tp) llm - - - - - - - - - - - - - - - - -

l;➔~o

; -

;o

·

=

lim cp( 1;, 1Jo, ~) - q>( l;o, '110, ~) ~➔~o

~o

; -:--

= ( _ a8(o: - ~ ua: 'lo, z ~, !;.)

,

•+

De al ci rezulta ô8( X

-

;,

g -

'1j, Z

-~)

ô8(x-1;,

ô;

u-11, z-~)'

ÔX

=

2) Fie S(x, y, z, t) 0 ecuatia unei suprafete (lnchise) mobile ln spatiu. Desemnam prin G(t) domeniul marginit de suprafa\a la momentul t ~i fie 8a(x, y, z, t) functia caracteristicà co:i;espunzatoare. Avem ô8a(x, y, z, t) ----,-_-=. (d-.•n-) os• . at Il'·~

dfiind vlteza de d,eP,lasare a suprarctei S. Intr-adeviir .

.ô6a(x;y, z, t) . ) . d. . . . . ( - -ôt- - , q,(x, y, z) = -dt (6o(x, y, z, t), cp(x, y, z)) =

=;

~~~ ~"• U, z) do: dg dz. G(')

25

Apliciim in continuare ~ormula .de dcrivarc a ,unci intcgra~e triple [4] : ; ; ,

~

fü

F(x, U, z, 1) d.; \tu dz

. G(O_

Rezµiti'i

.

= ~~~ a: dx du ch G(#l

.

( aa~ , 'cp} ~

~ ~~ F(il, ïij da, S(I)

~~ cp(.,;:~.· :)(iÏ• iii

da

'

'.

= ((ët : ni ils 1,~cp);

~(')

rclatic ce atesta valabilitatea formulei de derivare (71.37).

O. Ecuatii ···eu derivate, partiale in distri~uµi. Aplicape la problema determinarii cimpurilor .

.

l.

.

'.

71.10. Solutii fundamentale. Fie L un operator- eu derivate part;fale de ordinul n, n ;a,; 1, eu coeficienti constauti Lu(œ, 'Y, z)

=

" ôii+iaHa u ~ a;1 ,J-,ia . . . i1Hi+ia=0 . ôœ'1ây1•Ôz1•

~ide asemeneaf(œ, y, z) o distribut;ie data. Spunem ca di~tribut;ia u(œ, y, z) satisface ecuatia (71.38) Lu =f, daca (71.39)

(Lu, cp) _:_ '(f, cp), Vcp eD(R 3 ).

Relatïa (71.39) mai poate fi scris~· sub forma (71.39')

('lt, L*cp)

=

(f, cp), Vcp e D(R 3),

L* fiind adjunctul fo~mal al operatorùlui L :

L*u=

11

~ L.J

- •

•

•

(-1)'1+1:i+Ja i1+i1+ia==0 .

âi1+iu+ia u

a..,1, ,·, • .,,• ô . -. - .. ..

$11 Ô'!J11 âzla •

'.1'

Daca u(œ, y, z) este o distribut;ie regulata de clasa o(R 3 ) ~i satisface (în sens clasic) ecuatia (71.38), a~~asta va fi numita solutiie clasica. !n acest caz relat;iile (71.39) ~i (71.39') constituie identita;tïi. În cazul în care distribut;ia u(œ, y, z) este o distributie de tip functie de clasa o(R 3 ), k < n, ~i verificarelavia (71.39), u(œ, y, z) se num.e~te solut;ie slaba·a ecua~iei(71.38). tn sfîr~it, daca u(œ, y, z) este o distribut;ie singulara ce verifica relatifh (71.39), aceasta este solutie distributiqnala a ecu'.atiei- (71.38). 0 solutie a ecuatiei (71.40) Ltf{œ, y, z) = .ô(œ, '!f,z) se nume~te solutie fundamentala (eu polul "în origine) a operatorului L. 26

Se demonstreazi1i (vezi de exemplu [9 ]) ca, criée- operator eu derivate :par~iale eu coeficie~tii constant~ are o s9lupe fnndamenta,la, în D'(.R3). Pentru determmarea solutief "f"undamèntale. t~µiperate a, unui operator diferent;ial se poatè utiliza transformata·Fourier. Astfel, aplicînd aceasta, transformata eeuatiei (71.40), se obtine .,t

'

.

·:

P(k17 k 2 , ka) · §[8]

•;;

= 1,

unde P{k17 k27 k3) '; ~ste po]jnom~.;,

=

P( 1c17 7c 2 , ka)

n

~ a;1, iu i 1(ilci)i1(ik2 )i•(ik3 )ia. i1+i,+i:a=0 _· ·i • ~

tn cazul în care polinomul P ·nu are::r·idacini reale, avem §'[I]

=

1/P(If,., k 2, k3)

~i determinarea solut;iei fundamentale revine la, inversarea Fourier tei rela~ii. Daca polinomul are r~acini.~~ale, problema este mai ne~esltînd ·:r;nai î~~îi const~rea: .Uilei. ;regulariz~;ri,: ~ distribut;iei in' continuare inversarea Fourier a aOO"steia.' · · · · ·

a, acesdificila,

1/P ~i

·, .,

'

1

Teorema. ll'ie 8(œ, y, z) Q···s~luJi~fut}damentala a operatorului L. -Dacii p rod11tB'lÛ de convoluJie 8• f eœistii, sol!uJia eouaJiei ( 71.38) în D'(R 3 ) este data ,dp relaJia_ :. . r -:u( œ, y, z) = t!(œ, y, z) *'-f(œ, 'y, z)~ 1

Mai mult, BQluJi.a ·e~aJi.ei este unica în rrvulJimea distribuJiilor al c~ror proà'U8 de con'lioluJie cu 8 eœista. _ ! . 1n cap. 79 ;aceasta teo:r:ema, .este co~siderata pentru c~zul unui operat~r. diferent;ial eu éoef!cient;ii constânt;i_. Demonsµ-atia t~oremei enuntate aici este identica ·eu denion~~at;ia ~eo,~emei a1;1~foâg~_, d~t~:,~n. _§ 70.12: ... Ca o aplicntic, fie operatorul lui Laplace

:.

Lu~;:....'.&u=

-- ( a2 U

a2u )

ô2u

~-:

.:2: - +-.·-:2 +-2 ·; axa ôy . az i'!'.

.

_t

Solutia fundamentala a accstui operator a fost pusa in evidenta anterior [formula (71.29) eu ex= 0):

-

C(x, y, =) Fiè S o suprafat.a mârginitu ·~i:·u(:t, suprafetei S. Avem Llu

y,;)

= -·

1

4~r

•

o functi~ ·ae clas~ cc 2>(G) ~i ide'!ltic nula ln arara · · · · ·

; au = {6u} -··' - - 3s an ' : .

ô

.;_ (u 89). ôn

27.

Cum disq-jbupa clin meI_Q-brul ·aLdQi\e~:. are s~~ortul compa!!.t, .pute1p scric 1

•

~ t . (·{A . }' ,· au ~ a u(x, U,. z) == -·•· QU - _;_tas - .. 4nr ,r.an .an ·, ', · ·

."t-

) )

(u • os

.,

· ~

1 • '

r

sau, caleullnd produsele de eonvolu\ie ce ap~ in membru} al doilea, eonform ~ela\iilor (71.32) ~i (71.33),

(71.41)

· u(x, y, z)

=

-1 ((( âu(~, 11, r. ))) R

t)

1 . (( d~ d7J dt:+ 4~ ))

4

1 R daç, '11, i;-

s

.B -

au an

~ (( u !_ (_!_) da~, 'll,'. t; an R

, ., 4n )) s

care este toemai formula lui Green de reprezèntare

+ (y -

1))S

+ (z -

à

fune\iilor de clasa

c[R2 =

(x -

~)2

+

t)S],

71~11. Determinarea unui cîmp vectorial de rotor ~r divergenta date. Ne punem problema determinarH.'cîmpului vectorial W(œ, y, z) ·ce verifica relatiile ·· · · • rot W· ~-J; div

(71.42)

W = p,

J iji

p fiind distribuW date. Aplicînd transformata Fourier sistemului (71.42), se obiine sistemul algebric

(71.43)

-

~

ik X W

-~ == AJ, ik·W =

,.

p,

A

-

,.

(J= F[J], p

gc · J = o,

= ~:[p]

,.

etc.).

'

.

,.

Din prima relatie se mai o~tine relatie echivàlen~a·cu div J ;-'. (). Prin urmare, cîmpul vectorial J nu poate fi dat arbitrar, lucru ce rezu.lta, dealtfel ~i luind divergen'(ia primei · relatii (71.42). Din identitatea ~ ik X (ik X W)

= + ik- • (ik- • ~ W) + k2 ô. W,

k2

= k •k,

tinînd seama de relat;iile (71.43), rezulta,

~

,.,

-ik· p ikxJ

W=--+--· k2 k2 Pentru determinarea transformatei Fourier inverse a acestei relat;ii vom utiliza formula (71.35) scrisa sub forma . §-l [:.]

28

=

4:r ·

D~a, p. ~i -;i sîntrdistributu.~u st;tpor~ .compact, ,solutia ~ poate fi.pusa, ~~b ,f9rma · ··,i.

W=-irrad.( 4

(71.44)

~~++rôt{L,J), ! .

Fie acum p ~i J dist:ributii · de forma

+ Ps · as + Pc • ac,

P··= po(œ, Y, z)

J = :f.,(œ, y, z) +Js · as+ Je •a '

~

'. ' .

'

'

:

•

•

p.,, Jv fiind distribuyii de tip functie. Relayia

'W(œ, y, z) = (71.44')

grad { ~ 4

1,

0,

·1

' t

(71.44) ·devine/ •

~~~ p.(~ 'IJ, ~)dl; d~· d~ + L~~ p,(~'IJ,~) da~,~. t + .

s

_!_( Pc(~, 7l, ~) ds } +rot{_!_((( J,,(~, 1l, ~) d~ d"tl d~ + + 41t) R ~.,i,i; 41t ))) R ., C

unde R 2 = (œ - ~) 2 + (y - "IJ) 2 + (z - ~) 2 • Relatia (71.44') constituie o generalizare a formulai Biot §Î Savart. Ea indica totodata posibilitatea descompunerü unui cîmp vectorial în suma dintre gradientul unui cîmp scalar §i rotorul unui cîmp vectorial.

D. :1\-pli~alfi ale teoriei distrbulfilor la mecanica fluidelor 71.12. Forma ln distribuJii a ecuatiilor meeanicü fluidelor ideale. Consideram domeniul !'J, marginit, :de suprafata S(œ, y, z, t) = 0 in interiorul unui fluid· ideal compresibil. · Sùprafa;t;a 8 poate fii o supraifat;a de discon.;. · tinuitate a m~carü sau ·suprafa;t;a unui corp ·ce se deplaseazai in fluid. tn acest ultim caz a.dm.item cai ~i domeniul !'Ji este ocupat de .a,cela~i flu.id iar suprafata S -împiedicai interactiunea fluidului din domeniul !'J, eu cel din domeniul exterior (notat !'J .,) • · 1n cele doua domenii vor fi ·verificatea ecuyiile [4'] 1

ôP Ôt

(71.45)

+ r, ~ (p V 1) = 0

(ecuatia de continuitate),

i=l ÔXj

i. {p V,) + i=l f~ (pV,Vj + pa ÔXj

Ôt

p

=

0)

= o (ecuatiile lui Euler), '

p(p) (legea de comp1·esibilitate),

29

în care V(V1; V 2, V s}este viteza particulei fluide din ptmctul de' coordonate (œ17 œ2 , œ3 ), p-densitatea iar p-presiunea. De asemenea, in cazul tn care suprafava 8 e~te o suprafa'\ia ~e discontinuitate a mi~ca,rli fluidului, pe ea vor fi satisfacute ~matoarele relatü de salt [4]: ·

(71.46)

undedeste viteza de deplasare a suprafe'\iei S,i-versorul normalei exterioare la suprafava S, iar [a] 3 semnifica, saltul ma,rim.ii a la traversarea suprafetei de discontinuitate. ,, Relat;üle (71.45) ~i (71.46). sînt consecinte a\e legilor mecanicii fluidelor (ideale) scrise sub forma integrala. · · · · !n cazul în care 8 este suprafava (solida) a unui corp în mi~care, relatille (71.46) sînt înlocuite de condit;ia,

v·n= "J. n,

(71.46')

care descrie alunecarea fluidului pe . suprafata corpului. Fie 6(œ,11, z, t) funct;ià caracteristica a domeniului ~,. Vorn pune

+ p8,,)}: 8 + ·{!.._ (py~e>) + at

aœ, •.

i _a_ ( Vics>vt>+ pa,,)}

;.... 1 aœ,

+ [ pV 1( V - d) .n]s 8s + [p ]s n, 8s ~ .ao.

;.,. 1

P

(1-6)+

Din nou acoladele sînt nule în virtutea ecua~iilor, (71.45) iar din relat;ia scrid, se ob~ine ô( p V,) . ·. . 3 . _ :a · .. ·. . . _: . · . (71.47)

+ ;~... ·ôœ.1 -.. -

. ôt

1

(P,V 1V.1 -

+ p · ~,.1).,=

[.P]snt ~s·,

i

= 1, 2, 3,

distribut;ia din membru! al doilea interv~nind numai în. cazul suprafe1ïelor solide [în cazul unei suprafete de disco:b.tinuitate membru!. at·doilea al relayiei (71.47) este nul]. Rela1aile (71,.•47) constituie o forma Îl;l· distributii a ecuaitiilor lui Euler. Pentru a pune în evidenya sem.nificat;ia mecariica a membrului al doilea al acestei ecuayii sa consideram cazul mi~carii staiionare, caz în care solut;ia în n este id~tic_ nula .. _Aven;i... . . .. ,.

n

(,-[p]s n°Bs, 1/

- ~~pm calcula $li~ întli ~~ 1[(k2~ 2âj.ki)-·1 ] •. s~ ènsiderain .. ecuat;ia . .. -·. -·

-.

:_

+

:(~Â + 2a ~)j(;i,

(71.54)

Œs, Œ3)

=8(œi, ~2, «:3).

Ô:C1

Pr~. sclljmbarea de funct;ie f(œ1 , a:2 , ,œ3 t pentrti noua'. func~ie ecuàt;ia .

J

,.· ·: :·,t:·,:Ltt a2 )fU»1 , œâ;.·œ3 )

eC?zi ft.œu :.ç2 , œ3)

~ ·8(œ17 _œ~,

Folosind- relait;ia (7i.29)/·unde .. a;: _ :-~ex, avèm ; :(71 .55).

3 -

c. 4'1

. 1!),

.

'

e~(Z1-r)

f( a:1, œ2, œs) = ----, .. 4--ztr .

œ3 ).

. VOill

obpine

Pe de alta parte;; transformata Foùrier a rela'(iiei (71.54) conduce la formula Ï("1_, k2, k3) = 1/(k2 + 2 ai"1_). (71.56) Din rela'(iiile (71.55), (71.56) avem ea,~1-r> 1 ] g;-1 [ - - - - - - k2 +[2 aik1 - - 4'1t1" •

Pentru inversarea Fourier a celui de-al doilea termen din relajia (71.52) folosim formula ~1

~

a

0

e

- - - - d 3 11

aœœ

= -1-

4'1t1"

41t

-00

31 2

312

œ

(

1

+ 313

2

31 ) +....!.

r

e0 , «=2,3.

(Prin derivare în raport eu 311 se gase~te o egalitate ~i de asemenea cei doi termeni sînt egali pentru 311 ~ - oo.) Utilizînd relayiile de mai sus, se ob"{iine din (71.52)

j

= 1, 2, 3,

eo(~1-r)

(71.57)

tœa = 2 a - - - 8aa 4'1t1"

- _!_ 831a

{.!.. œ~ œa+ . 41r

+ œ1 ) (1 -

(1

r

31f

t11 =~t11 ,

ea(œ, y, z) = p8 (œ0 '!/oz.) .6.a, 3(œ - œ0 y - Yu z ---- z,), iar densitatea de sarcina a întregil suprafete S este aproximata prin p o.

0( f) • 0(g)

49 • -

C. ,.,

•

►.. ~

Daca f, (72.16)

= O(g,), i = 1, 2, ... , n,

iar ai, a2, ••• , a11 sînt numere reale, avem

,t,aJ, = o(.t, Ja, 1• lu, 1 ) ;

'f! J, = o(}!u,) •

Sa demonstram prima relatie· din (72.16). Avem

l,t, a,f11..; ,t Ia,1 · If I"- ,; I

M,

Ja, I • 1«1>,I < M

t, la,J • l«1> 1, 1

1

unde 1/,1 ~M,1,I ~i M = max IM,1, j = 1, ... , n. Relatia obtinuta este echivalenta eu relatia ce ne-am propus s-o demonstram. · Derivarea relatiilor asimptotice nu este totdeauna permisa. Astfel de exemplu f(œ) = œ + cos œ2 = O(œ) pentru œ ➔ oo. însa f'(œ) = 1 - 2œ cos œ2 :#:0(1) pentru œ ➔ oo. tri general, relatiile de ordine pot fi integrate daca sînt îndeplinite o serie de restrictii referitoare la convergenta integralelor implicate. !n cele ce urmeaza vom face adesea referire la relatia (72.17) O(e-cx) = o(œ- 11 ) pentru œ ➔ oo (o> O, ne N). Pentru a o demonstra vom lua ca punct de pleoare relatia lim œn a-ex =0 z-+oo ce se poate proba aplicînd den ori regula lui l'Hospital. Din aceasta relatie rezulta . (72.18) e-cs -. o(œ-") pentru œ ➔ oo ~i n natural arbitrar, de unde, facînd apel ~i la prima relatie (72.15), se obtine formula (72.17). 72.3. Seevente asimptotiee, dezvoltari asimptotiee, seril asimptotiee de

puteri. 0 mulvime finita, sau infinita de funcvil {11 (œ)}, n = 1, 2, ... , alcatuie~te o seooenJa asimptotioèl pentru œ ➔ œ0 daca functiile n(œ) nu au

alte zerouri într-o vecinatate a punctului œ0 eu excep-çia eventuala a punc-

tului œ0 ~i daca pentru orice n

{72.19)

n+1(œ)

=

o(n (œ)).

Iata cîteva exemple de secvenve asimptotice: 10

pentru

œ ➔ œ0 ,

20

pentru

œ ➔ oo,

30

pentru œ ➔ oo,

¾i >ocn fiind num.ere reale pozitive ;

4°

1, œ ln œ, œ, œ2(ln œ) 2 , œ2 ln œ, œ2 , ••• pentru

œ ➔ O.

Este necesara ~i specificarea domeniului în care este considerata o :aecventa asimptotica. Astfel în exemplul 4 domeniul. este inclus în semi.50

dreàpta, (O,oo). Sa verificam, de exemplu, ca secventa 3° este o secventà. asimptotica:

Fie {(f)n (œ)} o secventa asimptotica, pentru œ ➔ œ0 ~i an constante reale .. CO Vom spune ca, tan(f)n(œ) constituie àœ'Doltarea asimptotic4 (sa,u aproœi.man-1

rea a,imptotiolJ) a functiei /(œ) in raport eu secventa data daca pentru. orice Ji' ~treg ~i pozitiv avem N

(72.20)

f(œ)

= ~ an n(œ) + o((f)N(œ))

pentru

n=l

œ ➔ œ0 •

Se mai scrie (72.21)

f(œ)

=

N-1

~ an

(f)n(œ)

+ O((f)N(œ))

no::al

pentru œ ➔ œ0

astfel ca eroa,rea, este de ordinu.l primului termen neglijat. Pentru a pun&. în evidenja libertatea alegerii lui N în relatiile de mai sus, scriem. CO

f(œ)

(72.22)

r-.1

~ ann(œ)

pentru

n-1

œ ➔ œ0 •

[Relatia (72.22) nu are ait sens decît cel dat de definitie !]. 0a, exemplu de dezvoltare asimptotica avem din 72.1: erfc(œ) -

CO

~ ( -1)" ·f=o

(2œ __:_ 1) If · ·e-%1 pentru œ ➔ oo. 2n+1a,2n+l

într-adevar, secventa {e-%1œ- 211 , 1}constituie o secventa asimptotica, pentru:. œ ➔ oo ia,r relatiile (72.4)-(72.6) asigura, indeplinirea conditiilor impli-cate în definirea unei dezvoltari asimptotice. 0 dezvoltare asimptotica poate fi · in' unele cazuri convergenta. în. aceasta situape este de o mai mica importanta practica decît o dezvoltare divergenta. Aceasta din urma permite ca folosind doar 1:lll numarmic de termeni sa se detina aproximari bune ale functiei pe domenii _largi. ale variabilei independente. Daca functia /( œ) este analitica in punctul œ0 , dezvolta,rea, sa Taylor în vecinatatea lui .œ0 constituie o dezvoltare asimp-totica convergenta pentru œ➔ œ0 • Discutia anterioara evidentiaza faptul_ ca, sîntem in general interesati în obtinerea, dezvoltarii asimptotice a unei. functii la infinit sau in puncte unde functia nu este analitica.

51

Teorema 72.t. OondiJia neoesara 1i sufioient4 oa funoJiaf(œ) sil, admita dezvoltare asimptotioil, de fo1'ma (72.22) este oa pentr'll, (}rio~ numil,r N natu~.

,o

·raz '80,

·w,,em,

.

. .'

.

. ..

.. .

.

,

N-1

~ °'n n(œ) . _ _ _-e:---:---,-,---..... 1 ·:1rm = aN. x➔ x0 N(œ)

f(œ) -

(72.23)

DemonstraJie. ~elatïa, (72.23) implica : ·.: 00

· i

~,a~ n(œ) N (œ))

-j(œ) -

n=l •

•

'

•

•

•

~'

.

'

•

•

_:

•

'

r

~

~

. •

l

t

-

7

; '

'

. 1

~

· •

.

•

• •

'

.~,

~

•

::pentru orice N .·natural astfel ca de aici conform ·relatiei (12 .21) r.ezulta suficient;a condit;iei din enunt;ul teoremei. Necesitatea condit;iei (72.23) .rezulta din rela~ia echivalenta . N·

lim

°'n Cl>n(œ)

~

f(œ) -

ts=l

=0

s(œ)

x➔ xo

oe se obt;ine din_ formula (72.20 ).

.

OonseoinJe. 1° Formula (72.23) poate fi utilizata la calculul coeficien1ïilor. dezvoltarii asimptotice a funct;iei f(~). Prim.ul termen;nenul în dez00

voltarea asimptotica.J

t

'

.

.

;•

.

.

a"Cl>n(œ) poarta denumirea de termen dominant

n .... t

~i se mai scrie f(œ)-a1Cl>1(œ).

tn

multe aplicat;ii secvent;ele asimptotice corespunzatoare nu pot ..fi obtinute ~i ceea ce interesea,za este termenul dominant al dezvoltarii• funct;iei

f(œ).

2° Teorema 72.1 asigura ~i- unicitatea dezvoltarii asimptotice a unei funct;ii f(œ) în raport eu o secvent;a asimptotica data. Ooeficient;ü dezvoltarü sînt determinat;i în mod unie prin relat;iile (72.23). Proprietatea reciproca celei puse în evident;a de observat;ia 2 este falsa. -Astfel, întrucit lim œ"e-a; = O pentru orice n natural, vom avea ~00.

..

;

0 0 : e-x....,o,+-+-+ ... ·.·

œ .

a;2

ca dezvoltare asimptotica a_ funct;iei · e-x în ~port eu ·secveilt;a '{œ- 11} ; a: ➔ oo.Daca .

t anœ-•, 00

· f(~). -

n=O

52

.

.j

rezulta ··

•!:

_f(œ)

+

CO

e7:'z N

~ anœ-:n_., n=O

·

Faptul œ funcyia reprezentata de o dezvoltare asimptotica data nu .este unica êontrasteaza ·eu propriétatea corespunzato~re a sumei seriilor de funcyii convergente. Secventa asimptotica cel ma~ des utilizata este (œ - œ0 )n pentrù œ➔ œ0 • Prin transformari simple punctul œ0 poate fi adus in origine sau la infinit. în cele. ce urffi-~'\Za vom considera cel mai adesea punctul a:0 ca fiind la infinit iar dezvoltarile asimptotice tipice în acest caz vor fi de forma oo a f(œ) - g(œ) ~ .2 , œ ➔ oo, 1·

n=l fi)"

.

unde g(œ) este o functie data. Dezvoltarile asimptotice ce se obyin utilizînd secvenya puterilor întregi negative· ale lui œ sînt numite oerii asimpto·tioe de puteri . .Astfel dezvoltarea obtintJ.ta pentru funcyia erfc(œ) constituie un exemplu de s~rie asimptotica ·: de puteri. . ·.,: 72.4. Operafii eu dezvoltiiri asimptotice. 1) DezvoltarileJ asimptotice

.Pot fi combinate liniar. Astfel, daca ,.

00

pentru

œ ➔ œ0 ,

·g(œ) >- ~ bnnCœ}

n=l.

n=l

~e D,

vom avea 00

r,.f(œ)

00

f(œ) - ~ an n(œ),

+ ~g(œ)- ~

(rt.an

+ ~b

11 )

n(œ) pentru œ ➔ a:0 ,

œeD.

n=-1

2) Produsul a doua dezvoltari asimptotice in raport eu o secvenya data in general nu constituie o dezvoltare asimptotica întrucît produsul (J>n{œ) • ,nCœ) n11 9onstituie ·în genéral o 13ecvenya itsimptotica~ D~ca insa, œle' doua dezvoltari asimptotice sînt _serii asimptotice de puteri . 00

f(œ) - ~an œ- 11 , g(œ) ,.._, ~bn œ-n,

,o.. o

- n-o

œ~ ➔

oo,

œeD,

vom avea :

f(œ)g(œ)

N

·oo

~ 0 11 œ-n n=iO

pentru

a; ➔

oo,

œeD,

unde 53

3) Seriile asimptotice de puteri pot fi integra.te termen eu termen. Sa presupunem cit f(œ)

=

N

~

a11œ-n

+ O(œ-N- 1) pentru œ ➔ oo,

œeD.

n=O

Putem scrie Ql

f(œ) -a0 - - = X

unde t·(œ)

= O(œ-N- 1)

pentru

nsa2

œ ➔ oo.

CO

t

Avem CO

f

( [f(t) - a0 -~]dt =

J

a11œ-~ + r(œ),

CO

~

an

(1z,-l)œ11 -

fl=2

1

+ Cr(t)dt. J X

S

Dar cum lt·(œ) l ~kœ-N- 1 în .D, vom avea 00

00

,~ r(t)dtl "'k X

~ t-N -•dt =

!

,i;-N

X

EJÏ deci 00

a0

( [ f(t) -

(72.24)

J

-

~]dt= t

Î;

a,.

n=2 (n,-l}œ11 - 1

+ o(œ-N+t) •

X

Relatia (72.24) fiind valabila pentru orice N, putem scrie CO

(72.25)

( [f(t) - a0

J

-~]dt ,. , :Ë t

an+i

"=11zœ11

pentru a; ➔oo,

œe.D.

X

4) Derivarea termen eu termen a unei dezvoltari asimptotice nu da în mod necesar o dezvoltare asimptotica (exemplul 2 de la 72.3). Tot~i, daca f(œ) ~if'(œ) au dezvoltari în serii asimptotice de puteri pentru œ ➔ oo, œ e .D, atunci CO

(72.26)

f(œ) ,..,,

~

CO

a 11 œ- 11 , f'(œ),..,, -

'E n a,,œ-

11

-

1,

X ➔

00.

4=1

nsaO

Verificarea se face simplu înlocuind in relatia (72.25) functia f(t) prinf'{t). Rezulta ·. CO

~f'(t)dt "' X

iji de aici relatia (72.26). 54

~tnœ-n

72.5. Dezvoltiiri asimptotice uniform valabile, dezvoltiiri exterioare ~i interioare ~i dezvoltiiri asimptotice generale. :ûi multe probleme ce apar 1n aplicayii este necesara dezvoltarea asimptotica, a unei functii f(œ, e:) ln raport eu o secven.ta asimptotica {µ,,(e:)} pentru e: ➔ e: 0 • Rolul de variabila al lui œ E}i de parametru pentru e: rezulta din problema matematica -concreta în care intervine functia f( œ, e: ). Definim mai întîi ordinele O E}i o uniforme. Fie W(œ, e:) E}i $(œ, e:) doua functii de variabila œ e D EJÏ parametrul e: e I. Spunem ca w = 0( $) uniJorm tn domeniul D, pentru e: ➔ e: 0 , daca exista o constanta pozitiva k E}i o vecinatate V a lui e: 0 astfel încît sa avem l 1~ k 1$ 1 pentru orice œe D E}i e: e V n I. Analog w = 0($) uniform in .D, pentru e ➔ e: 0 , daca pentru -orice a> 0 se poate gasi o vecinatate V 8 a lui e: 0 astfel încît Iw1 ~ 1aI tf, 1 -pentru orice œe D E}i ae V 8 n I. [În cazurile in care se pot pune în evi-denta relatii similare celor de mai sus în care le, V, a, V 8 depind de punctul œ relatiile w = 0( $) EJÏ = o( $) sînt valabile punctual in acest domeniu.] 00

~

a,,(œ)µn( e:) constituie o dezvoltare aBimptotioll, a functiei f(œ, e) uniform 'Oalabi14 în raport eu secvenya asimptotica fµ,,(e)} -pentru œe D E}i e ➔ e: 0 daca 0 suma de forma

n=1

N

/(œ) -

~ an(œ}µn (e)

=

o(µN(e)),

n ... 1

relatia de ordine o fiind uniforma pentru œe D. Sa consideram ca un -exemplu functia (72.27)

Vom determina o dezvoltare asimptotica a acesteia pentru 1

e:2 · ( e:4 )] 1[ -; 1 +a~t/2 œ2 + 0 œ4

pentru

1e 1,œ

1

e: ➔ 0.

Avem

0, œ~ dt+ ~ .

a

f(t) elh(tldt.

a+8

1n prima integrala efectuam ·schimbarea de v~iabila h(a) - h(t)

~i fie t

= cp(a)

=a

funciia inversa. Rezulta a+8

ll'1 ( À)

8'

= J f(t) e (

U(I)

dt

b( O) (

=e

)/(

a

..ll•l-•), a+8

o >0,

·

ti 4eci F 2 (À) este exponential de mica, în raport eu .F1(À). S-a obtinut astfel lirixJAtorul rëzultat. · ·

= [a, b] un inter'Dal marginit ,i ..funojiile f(t), oare înàeplin~ao conài#ile =-. : 1) maœimuZ funoJiei h(t) în [a, b] se atinge numai în t = a; Teorema 73.3. JJ'ie I

h(t) : I

➔R

2) /(t), k(t) e O°(I); f(t), h(t)e 0 00 într-o veoinatate a punatului a 1i f(a)#:0, l1,'(a.)#:0-: .A:tundi_ ·_pentru·. À ➔ OO este· valab_ila d~oltarea asimptotfa4 3)

(73.10)

.F(À}=. _ -

0 Àh(a).

f lJ[ ~ +~]" h (t) dt

~-o

-ji-'(t) } t-n-t. h (t) , ...a

D~'Dol'tarea (73.10) poate fi :deri'Data termen eu ter·men·în raporl, ou

À.

0 b se r vat i e. ln toate teoremele prezentate intervalul [a, b] poate sA fie infinit. De asemenea functllle f(t), h(t) pot avea slngularitati ln punctul t = b, binetnteles ramtnlnd ln condi\llle de aplicabilitate ale le~ei 73.1.

73.4. Aplieatii ale metodei lui Laplace~ 1) Aplicim metoda lui Laplace la evaluarea asimptotica a functiei r(À) pentru À ➔ OO. Avem: 00

r(À

00

+ 1) = ~ e-• ·r':d-r - ~ e-•+A"" d-r 0

0

67:

sau eu schim.barea de variabila

-r

=

iJ, 00

rp,

+ 1) = ÀHI~

el(-Hlol)

dt.

0

Avem h(t) = - t + ln t, h'(t) = ~1 + 1ft, h"(t) = -1/t2 astfel ca puna• tul t = 1 constituie singurul extrem al functiei pe_ intervalul (O, oo ). Apli· cind teorema 73.1, · formula (~3~8}, obtinem

rp. + l}_=

ÀHle-:"[V211:/À + 0(.)..- 312 }],

À ➔ OO.

.

. ...

Pentru À = n (întreg} avem

~~l-~tie -~uno.scut~ ca formula _lui Stirling.. ._ _. 2) Evaluarea asim.ptotica. a functiilor lui Bessel n:Ïodiijcate I~(A) poate fi obtinuta utilizînd reprezentarea lor integra,la · ·

... .. •

1'C

1_n{À} =. -1~ cos nt e.ÀC05'.dt. 71:

.

. 0

.Avem

f(t)

= cos .nt, .' h(t) = cos t.

l .

Maxirµul , ultimei functii éste atins , în

t 0 = 0 f}i h'(O) = O, h"(O) = -1. Aplicînd teorema 73.2, se obtine

.

. .e-" In(À). ·. V . · 211:À

'

[1 -;-f1

0()..- 112}}

.

,_p·entru ·.

a

Pentru à obyilie evaluarèa. asimptotica àceleia~i vom face schimbarea de variabila À 1 = - À:

À ➔

oo~

..,.

:): , .

functii' pèntru À2. Sei:/

n·

. I.{-À',l

.

~ ~ cos

.

Avem h(t)

=-

cost, max h(t}

I 11(À)

=

0

=

(-i)" e-" · [1

V-211:À

nt e_1;.,,., dt.

h(11:)

= 1,

+ 0(1 Al-~1

h'(11:) 2 )]

=

O, h"(11:}

pentrii

=

,-i ➔ -oo.

-1

f}i

.. ., 3) }'.Je"t94~ 1~. L~place poate fi aplicatitc E;i integralelor de forma, ..

b.

.

. ~f(t}[g(t)id~ g(t)

.

.

> O.

·a

Într-ad~var,- se poate. s~rie [g(t)t = exp {À ln g(t)} asûfel ca, h(t) = ln g(t). Daca, spre exemplu, functia g(t) are punct de maxim numai pentru t = t0 ~i _.g'(t0 ) · = O, g~'(t0 )-#= O, f(t0 ) #: O, putem scrie b

(73.11)

V~ !\~i [g(to)]A+'I',

~f(t)[g(t)t dt~ &f(to) a

unde e: = 1 dacai t0 e (a, b) ~i e: = 1/2 d~ca, t0 = a sau t0 = b. · ···Vom aplica formula (73.11) pentru a obtine evaluarea asii:µ.ptoticai pentru n ➔ oo, œ> 1, a polinoamelor lui Legendre Pn(œ)~ Avem · 1t

= ·~ ~ (œ + Vœ• -

·P.(œ)

1 cos t)• dt .

0

= 1 ~i g(t) = œ + Vœ2 - 1 cos t. Functia g(t): are un m~ximîn punctul t = O E}i g(O) = œ + ya;2- 1, g'(O) = o, g"(O) = 1 - x/(œ +

E}i deèi f(t)

+ V~).

1nlocuind în relatia (73.11), se obtine

+ Vœ2· -

p n(œ; . '("œ

1)~+112

[1

+ O(n -112)].

'·--V21mVœ2 -1

B. Metoda fazei stationare

-..····1:ù,.; ihteg~'1~le,)ui ,o~rier. ~p~ .; dète,;mipa• dezvoltari asbnptotice pentru integra,lelë lui Fourier b

. F(À)

(73.12)

= ~f(t)eo.&(a + 3) = q~ ti = 0, 1, 2, ••. ;

dt.

a

Oontinuînd procesul de integrare prin par{ïi,, se ~biine a+8 ( /(t)eiM(t)

J a

.

dt

= _ eiM(a).

.

f {[-1-~]" 71,'(t) dt

n=O

1

f(t) } h'(t)

t=a

+

(iÀ:)n+l

a+B

+ (-l)N (iÀ)-N

( ~ { [ --. ~]~ · f(t) } eï_~"(~0 ) œ œ

,f

1 .

.

~tfei° v~p~ lui k ~~~-a lu~.gu1·a,.cî~va: i~~ ,de undai e~te 1enta ·pentru· 0

~re. O,t1~ a;/~,:, .0(1), urm~a~a C?,.vatiat;i~l1;ük0 la scara a cîteva,perioade:

ë~te,_qf~s.e~en~~;Ient~.P.è,nti;u. t µia,r:e •. ;Oele d?uai. sc~i in:lungime ~i timp de~-a lun'gill· earor~'. A, k' ~i. 6) sint :~ê>Ilstante smt respectiv 1/k0 .~i l/(t){k-0).· Tot oo' o consecintit a relat;iei {73.20)_ a pare faptul ·ca amplitudinea unq.ei se amortizeaza; pentru t ➔ oo ·ca t- 112. . ·. . , · · . . ,. · Din a doua relat;ie (73.10) avem œ - (t)'{k0)t = O astfel ca viteza de propagare a lui ,,k0" este egala eu viteza de grup (l)'(k0 } eu care este trans· · ·· portata ·energia., ·, ·. ~ . · Oa- un exemplu conciet sa, corisideram ecuat;ia liniarizata a mi~carii unei· .corzi vibmnte eu fo$ ·rezistiva, derivînd _din potentialul 2/2 : a2e1> -.-:- a2e1> .

at

aœ

2

+ =O.

2 '.

încercind solu~ii de forma undelor simple, se obt;ine ecuat;ia de dispersie (t) 2

-

iar viteza de grup va fi (l)'{k) . .

k2

=

-

k(k 2

i = O, 12 ·_+ . 1)- 1 •

·· 0. · Metoda ·celei ' mai rapide coborîri

in

·

73.9~··1ntegralele lui Laplace pl~ul complex. Oonsideram dezvolpéntru valori mari ·ale parametrului À. ale _unor integra,le de.forma•·

tari asimptotice, ! ;

F(),)

= ~J(z) eM"1ds, C

79

= q,(œ, y) + i~('a,, yf fiindftmcyii :analitice intr-uii d~mèniu ,at planului complex z incluzînd curba neteda pe portiuni O. Pentru Os [a, b] ~i q,{œ, y) = const. (pe 0) s_e obyine din {73.21) o integrala a h;û :Laplace 4~ tipul ·celor cohsidera~e în subcapitolul ;À. iar ·pentr:n O = [a, b] iji q,( œ, y) = =const dezvoltarea asimptoticlt a integralei lui Fourier rezultate poate fi obyinuta prin metoda fazei sta,yi~nare. ·Pe de alta parte, integralele· lui Laplace (73.1) ~i Fourier (73.12) nu pot fi puse totdeauna sub forma (73.21) astfel•.ca metodele.asimptotice -considerate ·antérior, nu sînt éazuri pàrticulare :ale celei ,ce. o prezentam. în continuare. · · · . · ' : ·. . · Dific~t~tea in· evaluar~· asimpt~tica a functie~ JJ'( ~). ct;,nsm· b;i fapttii ca pentrù valori mari ale parainetruluÏÀ odata CU maxhnulfoartepronuntat al functiei ~rp, ce faciliteaza aplicarea metodei lui Laplace, apare ~i o oscilatie foarte -r~pida datorita factorului -e1Alj,, _ oscilatie èe poate sa anihileze in iil.t~grala,- (73.21) cc;,ntributia pun~telor de extreni ale funcyiei cp(œ,y). Din fericire, integrandul in (73.21) fiindo funcyie ~nalitic~, teo;rema lui Cauchy ne pernrlte sa, deforma:m conturul de iiitegrare ·0 (extr~tjiitaiijê arcului fiind fixe) in altul pent~ care evaluarea asimptotica poate. fi faenta eu metodele dezvoltate anterior. 1n consecinta," problema· :aetermi-. ~rü dezvoltarü ·asimpto~ice a ~tegralei (73.~1) necesita 'douit et~pe: una topologica, de alegere a celui mai convenabil drum de.-·. integrare, ~i .o a, doua, (le .evaluare asimptotica, propriri-zisa.

f(s} ~i Ji(s)

1

•

i

'/

•

•

'

•

73 .10. Alegerea celui mai convenabil contur de integrare. Fie s-z(t)~ tj_ ~ V~ t2 , o parametrizare a curbei O. Avem '.

t,.

(73.12 ') li'( À) · ~f(z( t)) z'(t) lC~ este egal Fig. 73.4 eu ungbiul format de directia tangentei la curba Co ln punctul z0 !ii directia pozitiva a axei reale. (Din (73.23') h"(z0) = 0 !iÏ decl arg h"(z0 ) = - arg (z - z0 ).] :avem arg (z - z0) + arg 2) Coeficientii dezvoltiirli asimptoticc pot fi calculati din relatiile

V-

V-

00

f(z(w)) z'(w)

=

~ bn w",

an=

V21rc2n> 1 n 122n

n=O

b2n-

'3) Dezvoltarea asimptotica (73.22) po~te fi derivata. termen eu termen.

în mod similar se demonstreaza ~i teorema urmatoare. Teorema 73.8. SIJ presupu,nem îndeplinite cond#iile teoremei 73. 7 ou teœoep#a oondiJiei 2. Daoii, maœimul fun,Jiei cp(œ, y) se atinge numai în 1)Unotul z0 al ourbei 0, oare este punot 1a pentru funcJia cp(œ, y) 1i în aoela,i timp eœtremitate a aroulu,i 0, ·. atunoi pentru À ➔ OO ,

~

= e'J!