Lineare Algebra mit Mathematica und Maple: Repetitorium und Aufgaben mit Lösungen [1 ed.] 978-3-528-06978-0, 978-3-322-80306-1

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Walter Strampp

Lineare Algebra mit Mathematica und Maple

Aus dem Programm _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-....... MathematikjComputeralgebra Mathematica grifibereit von N. Blachrnan Maple griffbereit von N. Blachman und M. J. Mossinghoff Das Mathematica Arbeitsbuch von E. Heinrich und H.-D. Janetzko Das Maple Arbeitsbuch von E. Heinrich und H.-D. Janetzko Mathematica: Yom Problem zum Programm von E. Heinrich und H.-D. Janetzko Lineare Algebra von A. Beutelspacher Lineare Algebra von G. Fischer Ubungsbuch zur Linearen Algebra von H. Stoppel und B. Griese Analysis 1 und 2 von O. Forster Ubungsbuch zur Analysis 1 von O. Forster und R. Wessoly Ubungsbuch zur Analysis 2 von O. Forster und Th. Szymczak Analysis mit Maple von R. Braun und R. Meise Differentialgleichungen mit Mathematica von W. Strampp und V. Ganzha Hohere Mathematik mit Mathematica, 4 Binde von W. Strampp, V. Ganzha und E. Vorozhtsov Band 1: Grundlagen, Lineare Algebra Band 2: Analysis Band 3: Differentialgleichungen und Numerik Band 4: Funktionentheorie, Fourier- und Laplacetransformationen

vieweg _________________

Walter Strampp

Lineare Algebra mit Mathematica und Maple Repetitorium und Aufgaben mit L6sungen

ｾ＠

vleweg

Prof. Dr. Walter Strampp Gh-Universitiit Kassel FB 17 MathematikjInformatik Heinrich-Plett-Str. 40 34109 Kassel [email protected]

AIle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Veriagsgesellschaft mbH, Braunschweiy'Wiesbaden, 1999 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschlieBlich aller seiner reile ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfliltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. http://www.vieweg.de Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf siiurefreiem Papier ISBN-13: 978-3-528-06978-0 e-ISBN-13: 978-3-322-80306-1 DOl: 10.1007/978-3-322-80306-1

v

Vorwort Das vorliegende Ubungsbandchen beschiiftigt sich mit Vektoren, Matrizen und linearen Gleichungssystemen. Die Vektorrechnung wird aus dem dreidimensionalen Anschauungsraum heraus aufgebaut. Mit dem Kapitel iiber komplexe Zahlen solI eine solide Grundlage fiir komplexe Vektorriiume gelegt werden. Computeralgebrasysteme erleichtem Routinerechnungen, dienen aber auch wesentlich dem begrifflichen und inhaltlichen Verstandnis. Mathematica und Maple sind die Computeralgebrasysteme mit der groBten Verbreitung. Man hiitte die Rechnungen natiirlich auch mit einem anderen geeigneten System machen konnen. Das Buch besteht aus drei Komponenten. • Repetitorium: Jeder Abschnitt beginnt mit einem kurzen AbriB der Theorie. Hierbei werden Definitionen und Siitze nicht besonders gekennzeichnet. Es solI ein Leitfaden fiir die Wiederholung gegeben werden und Werkzeuge fUr konkrete Aufgaben bereitgestellt werden. Die eingefiihrten Begriffe werden zur Erleichterung der Orientierung auf der Randspalte hervorgehoben. (ca. 20% des Buchumfangs) . • Aufgaben mit Losungen: Die Aufgaben reichen in drei Stufen von der Einiibung iiber die Festigung eines Begriffs bis zu anwendungsorientierten Problemstellungen. Sie wurden in Lehrveranstaltungen und Klausuren erprobt. Die angegeben Losungen sollten als Vorschliige und Hinweise verstanden werden, die oft erganzt, optimiert und abgekiirzt werden konnen. Mit der Aufgabenstellung wird stets ein Ubungsziel (operative Festigung eines Begriffs) oder ein Lemziel (Umgang mit einem Begriff im Kontext) verbunden. Diese Ziele werdenjeweils auf der Randspalte komprimiert. (ca. 60% des Buchumfangs).

VI • Mathematica und Maple-Notebooks: Der Einsatz von Mathematica und Maple ist als Unterstiitzung fiir das interaktive Selbststudium gedacht und soli Anregungen und VorschIage fUr eigene Experimente geben. Durch den Umgang am Rechner werden die Begriffe der konkreten Anwendung zuganglich gemacht. Mathematica- und Mapleund ｾ＠ Rechnungen werden jeweils durch die Symbole auf der RandspaJte gekennzeichnet. Die verwendeten Mathematica- und Maple-Befehle werden ebenfalls hervorgehoben. 1m Text werden typische Anwendungssituationen der BefehIe kurz erliiutert. Bei voIlig identischen Befehlen wird nur die Erliiuterung des Mathematica-Befehles gegeben. Der Einsatz von Mathematica und Maple wurde so einfach wie nur moglich gestaltet, damit diese Softwarepakete den Charakter von Hilfsmitteln behalten und nicht ein Buch iiber Mathematica und Maple entsteht. Die durchgefiihrten Rechnungen wurden insbesondere bei umfangreichen Standardanwendungen nicht in den Text aufgenommen, konnen aber in den Materialien im Netz eingesehen werden. (ca. 20% des Buchumfangs).

$

Fiir die mathematischen Begriffe, sowie fiir die Mathematica- und Maple-Befehle wird jeweils ein eigenes Verzeichnis am ｅｮｾ＠ des Buches angelegt. Der theoretische Hintergrund wird durch das Buch:

W. Strampp: Hohere Mathematik mit Mathematica , Band I, vermittelt, an das sich der Theorieteil stark anlehnt. Die Aufgabenstellungen sowie die Mathematica- und Maple-Rechnungen werden ins Netz gestellt, so daB der Benutzer leicht zu jeder Aufgabe die entsprechenden Computerrechnungen auffinden und ergiinzen kann: ｨｴｰＺＯｷＮ､｢ｩｮｦｯｲｭ｡ｫｵＭｳ･ｬｾ＠

http://vieweg.de/welcome/downloads/supplements.htm In der Kombination aus Buch und Netz entsteht somit ein ftexibles, modemes Lemmittel zur Wiederholung und Einiibung des Stoffs von zentralen Gebieten der Linearen Algebra. Man kann auch so mit dem Material arbeiten, daB man zuerst die Aufgabenstellung im Netz anschaut. Wenn man damit nichts anzufangen weiB, konnen als niichstes die theoretischen Werkzeuge aus den entsprechenden Abschnitten herangezogen werden. Dann kann nachgesehen werden, ob Mathematica- bzw. Maple-Rechnungen hilfreich sind. Zum SchluB konnen die selbst gefundenen mit den angegeben Losungen verglichen werden.

VII Mein Dank gilt den Herren Daniel Bock und Stefan Schuler fur viele wertvolle Hilfen bei der inhaltlichen Ausrichtung und iiuBeren Gestaltung des Buches. Meiner Tochter Pia danke fur die Unterstutzung bei den Schreib- und Rechenarbeiten. Herrn Schwarz vom Verlag Vieweg gebuhrt mein Dank fur die Forderung dieses Buches wiihrend seiner ganzen Entstehung.

VIII

Inhaltsverzeichnis 1 Vektorrechooog im "13 1.1 Vektoren als Pfeile 1.2 Das skalare Produkt . . . 1.3 Das vektorielle Produkt . 1.4 Gerade und Ebene im Raum

1 8 21 28

2 Komplexe Zahleo 2.1 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . 2.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Quadratische Gleichungen und n-te Wurzeln .

44 44 55 63

3 Vektorraome 3.1 Der Begriff des Vektorraums 3.2 Basis und Dimension . . . 3.3 Koordinaten........ 3.4 Der unitiire Vektorraum en

70 70 79 85

1

99

4 Matrizeo 4.1 Rechenoperationen mit Matrizen 4.2 Der Rang einer Matrix . . . . . 4.3 Lineare Abbildungen und Matrizen .

109 109 118 130

5 Lioeare Gleichongssysteme ood Determioaoteo 5.1 Der L6sungsraum eines linearen Gleichungssystems 5.2 Der GauBsche Algorithmus . 5.3 Determinanten....................

145 145 157 169

6 Eigeowerte ood Eigeovektoreo 6.1 Das charakteristische Polynom . . . . . . 6.2 Eigenvektoren............... 6.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen . Sachwortverzeichnis . Mathematica-Befehle Maple-Befehle . . . .

188 188 195 205 220 223 224

Vektorrechnung im V 3

1

1.1 Vektoren als Pfeile Ais Grundlage der Vektorrechnung fiihren wir zunachst den dreidimensionalen Punktraum ein. Der Punktraum ｾＮｊ＠ = {(x , y, z) I x, y, Z E JR} besteht aus allen geordneten Zahlentripeln. Die Elemente von JR.3 heiBen Punkte p = (x. y, z) mit Koordinaten x, y, Z.

Punktraum

z Koordinaten eines Punktes im R3

. . . . .... X

Ｍ

Iz I / / /X

/

........

...........

Ｍｾ＠

Y

1m Punktraum 1R3 betrachten wir Verschiebungen. Sei a = (x a• Ya, Za) E JR3. Die Zuordnung

ii : ｾ＠

-)0

1Il3 ,

li(P) = ii(x, y, z) = (xa+x, Ya+Y, Za+Z),

die jedem Punkt (x. y, z) E 1Il3 genau einen Punkt

(xa

Vektor

+ x. Ya + Y, Za + z) E JR3

a

zuordnet, heiSt Verschiebung jm a3 . Eine Verschiebung = (xo. Ya. zo) bezeichnen wir auch a1s Verschiebungsvektor oder kurz als Vektor mit den Komponenten xo, Yo. Za.

W. Strampp, Lineare Algebra mit Mathematica und Maple © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999

2

1 Vektorrechnung im V3

.,

a(P)

-! .

Q; ,

,,, '

［ Ｎ ｰＭｾＬ＠

:

:

",

..

Verschiebung eines Punktes im ]R3

Vektoren werden komponentenweise addiert:

a+ b =

Addition zweier Vektoren

(xo

+ Xb. Yo + Yb, Zo + Zb)·

Ein Vektor wird komponentenweise mit einem Skalar (einer reellen Zahl) multipliziert: Multiplikation von Vektoren mit Skalaren

Die Verschiebungsvektoren bilden einen beziiglich der Addition und der Multiplikation mit Skalaren abgeschlossenen Raum. Mil den Operationen Addition und Multipiikation mjt Skalaren bilden die Verschjebungsvekloren den Vektorraum V3 . Es gilt: 1.)

Rechnen im Vektorraum ,,3

4.)

a+ E= E+ a , a+(E+c)=(a+E)+c, a+ 0 = a und a+ (-€i) = 0, Ｌ｜ＮＨｾ＠

5.) ).

a) = p. JL)

(a + E) = ). 2i + ). E,

6.) (). + JL)

a = ). a+ JL a.

Mit den Verschiebungsvektoren ist die Auffassung von Vektoren als Pfeilen (oder gerichteten Strecken) verkniipft.

3

1.1 Vektoren als Pfeile

SeienP

=

(xp,yp,zp)undQ

=

(xQ,YQ,ZQ)zweiPunk-

teo Dann gibt es genau einen Verschiebungsvektor apQ, der den Punkt P in den Punkt Q iiberfiihrt: Pfeil

aPQ = (xQ - Xp , YQ - YP, zQ - zp).

PO =

Der Verschiebungsvektor te Strecke) von P nach Q.

aPQ hei!3t Pfeil (oder gerichte-

Die gerichtete Strecke

PO

Pfeile gleicher Riehtung und gleieher Lange werden nieht untersehieden. Zwei pfeile wenn gilt:

PO und pi(]' sind genau dann gleieh ｐｾｑ＠ XQ - XP YQ - yp ZQ - Zp

= = =

= P'Q' ,

xQ' - XP' , YQ' - YP' ,

Gleich lange und gleich gerichtete Pfeile

ZQ' - Zp'.

Man sagt dann, die Pfeile sind gleich lang und gleiehgerichtet.

Vektoren gieicher Richtung und gieicher Liinge

Sind zwei Vektoren lediglieh gleichgeriehtet oder entgegengesetzt gleiehgeriehtet, so nennen wir sie linear abhiingig.

a

Zwei Vektoren und b sind linear abhangig, wenn es eine Darstellung b = A ,A f. 0, oder = b f. 0 gibt. Andemfalls sind die Vektoren linear unabhiingig .

a

a

Zwei linear abhiingige Vektoren

Lineare Abhiingigkeit zweier Vektoren

4

1 Vektorrechnung im V3 Die Summe zweier Vektoren liiBt sich leicht geometrisch darstellen:

ParalJeJogrammregel

Man verschiebt den Vektor b parallel, bis der Anfangspunkt von b im Endpunkt von a liegt. Der Vektor a + b wird dargestellt durch einen Pfeil, dessen Anfangspunkt mit dem Anfangspunkl von und dessen Endpunkt mit dem Endpunkt des parallel verschobenen Vektors bubereinstimmt. Fur je drei Punkte P, Q, R aus JR.3 gilt:

a

ｒｾｐＫｑ

］

ｒｑ

v ------------------/ --.

a+b

Ｎ＠

Addition zweier Vektoren nach der Para!JeJogramrnregeJ

Eine ausgezeichnete Bedeutung kommt dem Ortsvektor eines Punktes P zu, weil seine Komponenten gleich den Koordinaten von P sind.

=

Ortsvektor

=

Sei P (xp , yp, zp) ein beliebiger Punkt und 0 (0,0,0) der Nullpunkt. Der Verschiebungsvektor dp heiJ3t Ortsvektor des Punktes P.

Ortsvektor eines Punktes P

Einen Punkt im Raum verschieben

Aufgabe 1.1 In welchen Punkt Q wird der Punkt P = (3,0,5) uberfiihrt, wenn man ihn nacheinander der Verschiebung durch die Vektoren = (2, 1. 1) und b = (7,3,5) unterwirft.

a

Losung:

Man kann die Verschiebungen nacheinander ausfiihren:

Q = «3 + 2) + 7, (0 + 1) + 3, (5 + 1) + 5) = (12,4, 11) oder gleich mit

a+ b = (8,4, 6) verschieben.

1.1 Vektoren als Pfeile

5

Mathematica: Man kann Vektoren als Listen in geschweiften Klammem eingeben und (komponentenweise) addieren.

ｾ＠ ｾ＠

= {3, 0, 5}; a = {2, I,I}; b = {7, 3, 5};

P

P+a+b {12,4,11} Maple: Man kann Vektoren als Listen in eckigen Klammem eingeben und (komponentenweise) addieren.

+ ｾ＠

> P:=[3,O,51: a:=[2,l,11: b:=[7,3,51; > P+a+b;

[12, 4, 11]

Aufgabe 1.2 Gegeben seien die Vektoren

Gleichungen mit Vektoren lasen

Man berechne einen Vektor d mit:

3d-lOa=b-5c. Liisung:

Mit Hilfe der Rechenoperationen ergibt sich:

= !3 (2, ｾ＠ = Mathematica: ziert werden.

Ｈ

ｾ＠ ｾ＠

61)

4 '3

61)

3' 12' 9

.

.

Listen kannen (komponentenweise) mit Zahlen multipliI

a = {2' 3, 5}; b = {2, I,

I

I

3(lOa + b ｻ

ｾ＠

I

3}; c = {I, 4' 6}; 5c)

119 61} 3' 12' 9

1 Vektorrechnung im V3

6 Maple:

> a:=[1/2,3,5]: b:=[2,1,1/3]: c:=[1,1/4,6]: > (1/3)*(lO*a+b-5*c);

｛ ｾ＠3' ｾ＠ 12' ｾ｝＠ 9 Lineare Abhiingigkeit zweier Vektoren iiberpriifen

Aufgabe 1.3 Man prtife, ob folgende Vektoren linear abhangig sind: (a) (2,3, -4),

(b)

ＨＱＬｾ＠

Liisung:

ｾＩＬ＠

(-6, -9, 12) , (5,4,3).

(a) Offensichtlich gilt:

(-6, -18,12)

= -3 (2, 3, -4),

so daB die Vektoren linear abhiingig sind. (b) Es kann kein ).. E IR geben mit

(5,4,3)

=)..

ＨｉＬｾ＠

D'

denn sonst miiSten die folgenden Gleichungen gelten: )..

5 =)..,

Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms berechnen

4= 2'

Aufgabe 1.4 Durch die Eckpunkte A, B, C, D E 1R3 werde ein Parallelogramm ABC D gegeben. S sei der Schnittpunkt der Diagonalen dieses Parallelogramms. Man zeige mittels Vektorrechnung:

AS = ｾ＠ Ｈａｾｂ＠

+ AD), is = ｾ＠ (AD - AS) .

D

C Parallelogramm mit Diagonalenschnittpunkt S

A

B

Losung: Damit die Vektoren AB und ib ein Parallelogramm aufspannen konnen, miissen sie linear unabhiingig sein. Es gilt mit Skalaren ).. und p.,:

1.1 Vektoren als Pfeile

is =

AAC =

7

A(AB + AD) und is = p.,BD = p.,(AD - AB).

is - is = AB. Hieraus ergibt sich: A (AB + AD) - p., (AD - AB) = AB,

AuBerdem besteht die Beziehung:

bzw.

+ p., - I) AB + (A Ware einer der Skalare A + p., - 1 oder A (A

p.,)

AB = 6.

p., ungleich Null, so ergabe sich ein Widerspruch zur linearen Unabhiingigkeit der Vektoren AB und AD. Also bekommen wir das Gleichungssystem:

welches nur die Losung A = p., =

ｾ＠

zulaBt.

werde ein Aufgabe 1.5 Durch die Eckpunkte A, B, C E ｾＳ＠ Dreieck gegeben. Die Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt S. Man zeige mittels Vektorrechnung: ｾ＠ ＱＨｾ＠ ｾ＠ ｾＩ＠

OS=3" OA+OB+OC

.

Dreieck A, B, C mit Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden

Losung: Die Punkte P auf der Halbierenden der Seite BC und die Punkte Q auf der Halbierenden der Seite AC werden durch folgende Ortsvektoren beschrieben:

a-A + A (AB + ｾ＠ BC)

,0.::: A'::: 1

O-Q = O-B + p., (BA + ｾ＠ AC)

,0.::: p., .::: I.

O-P =

bzw.

1m Schnittpunkt S = P = Q gilt:

Mit

AB = AC - BC ergibt sich:

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks berechnen

1 Vektorrechnung im V3

8

ｾ＠ + A ｾ＠Ｈ AC - 2.ｾＩ＠Ｑ BC = OB ｾ＠ + I-' ｾ＠Ｈ BC - 2.ｾＩ＠Ｑ AC OA und mit ｏｾａ＠

- ｏｾｂ＠

= BC - AC:

ｾ＠ - ＠ｾ AC + A ｾ＠Ｈ AC - 2.ｾＩ＠Ｑ BC - I-' ｾ＠Ｈ BC - 2.ｾＩ＠Ｑ AC BC

= O.

Durch Umformen bekommt man:

Waren die Vektoren AC und BC linear abhiingig, so konnte kein Dreieck aufgespannt werden. Also muB gel ten:

1

--A-I-'+l=O. 2

Dieses Gleichungssystem laBt nur die Losung A = I-' = ｾ＠ zu, und durch Einsetzen ergibt sich:

6s =

ｾ＠ ＲＨｾ＠ OA+ 3'

ｏｾａ＠ =

ｬｾＩ＠ AB + 2. BC

ｾ＠

+ ｾ＠ Ｈｏｾｂ＠ ( ｏｾａ＠

ｏｾａ＠

-

+ ｏｾｂ＠

+ ｏｾｃＩ＠

+ ｾ＠ Ｈｏｾｃ＠

-

ｏｾｂＩ＠

)

.

1.2 Das skalare Produkt Jedem Vektor kann eine Lange zugeordnet werden:

Lange eines Vektors

Die Lange des Vektors durch:

a= (xa, Ya, Za) E v3

lIall =

Jｸｾ＠

+ ｙｾ＠ + ﾣｾ＠

wird gegeben

.

Lange eines Vektors

9

1.2 Das skalare Produkt

Die folgenden Eigenschaften der Lange ergeben sich unmittelbar.

1.)

Ilall>O

2.)

fill"

aiD (undll(}II=O),

Eigenschaften der Lange

lI)..all = 1)..lllall.

Die Lange kann als Sonderfall des skalaren Produkts aufgefaBt werden:

Das skalare Produkt zweier Vektoren

b=

(Xb, Yb, Zb) E

a

= (xa, Ya, Za) E 'iJ3 und V 3 ist eine reelle Zahl, die durch

ab = Xa Xb + Ya Yb + Za Zb den Vektoren

Skalares Produkt

aund b zugeordnet wird.

Das skalare Produkt besitzt folgende Eigenschaften.

1.)

aii = IIa ll 2 ,

2.)

a b= (a + b) c = a c +

3.)

a=0,

- 0

ab = tib

0

{:::::}

solve(2*xb-yb+4*zb=O,{xb,yb,zb});

{yb = 2xb + 4zb, xb = xb, zb = zb}

Einen Vektor als Sumrne zweier Vektoren darstellen

a

Aufgabe 1.10 Man stelle den Vektor = (1,2,3) als Sum+ A2 dar. Dabei solI der Vektor senkrecht auf me = Al (2, 1,2) stehen und der Vektor parallel zu (2,2,4) sein. Losung: Den Vektor a2 konnen wir schreiben:

a2 = I.t (2, 2, 4), so daB

wir gleich zur Darstellung iibergehen konnen:

Wenn senkrecht auf (2, I, 2) stehen soli, dann folgt aus der Darstellung als Summe: (2, 1,2) =

-).2

= 2 (1 =0,

(2, 2, 4)) (2, 1,2)

2A2)

+ (2 -

2A2)

+ 2 (3 -

4 ).2)

17

1.2 Das skaIare Produkt

d. h. 10 - 14 A2 = 0

A2 =

bzw.

ｾ＠

. Damit muBte Q die Darstellung be-

sitzen:

Hieraus folgt sofort:

ｾ＠

ｾ＠

(-3,4,1) = AI QI und die Darstellung:

a=

1

5

1" (-3,4, 1) + 1" (2, 2,4) .

Offensichtlich gilt: (-3,4, 1)(2, 1,2) = O.

Der Vektor (1,2,3) als Summe eines auf dem Vektor (2, I, 2) senkrecht stehenden Vektors und eines zum Vektor (2, 2, 4) parallelen Vektors

Aufgabe 1.11 Man bestiitige, daB die Vektoren el

= ＨｾＬ＠

ｾＬ＠

ｾＬ＠

) , = ( - ｾＬ＠

ｾＬｯ＠

Einen Vektor durch Projektion auf Einheitsvektoren zerlegen

),

ＨｾＬＭＩ＠ paarweise senkrecht aufeinander stehende Einheitsvektoren sind. Fur einen beliebigen Vektor Ii = (xa, Ya, Za) zeige man durch Nachrechnen, daB gilt:

Ii

= (Ii el) el + (Ii

+ (Ii

1 Vektorrechnung im V3

18 Lasung:

Es gilt:

Ferner ergibt sich fUr die Summe: (a el) el

+ (a e2) e2 + (a e3) e3

Ｈｸ｡ｾＫｙ＠

ｾ＠

+ (-xa

ＫＨｸ｡ｾ＠

ｾ＠

+Za

+ Ya

ｾＩ＠

ｾＩ＠

ＨｾＬ＠ ｾＬ＠ (-

ｾＬ＠ ｾＬｏ＠

Ｋｙ｡ｾＭｺＩ＠

ｾＬＩ＠ )

ＨｾＬＭＩ＠

(xa, Ya, Za)· Mathematica: Simplify

Mit Simplify werden Ausdriicke vereinfacht.

el

IJ3J3 J31 = 14' 4""' T }; e2 = 1- T' 2'O}; J3 3 1 e3=14""'4'-2}; a = {xa, ya, za};

Simplify[a.elel + a.e2e2 + a.e3e3] {xa, ya, za}

1.2 Das skalare Produkt

19

Maple: Zur Berechnung der Vektorsumme verwendet man den Befehl Evalm aus der Matrizenrechnung. Mit Simplify werden Ausdriicke vereinfacht. (Map veranlaBt Simplify, jede Komponente zu vereinfachen). > with (linalg) : > el:=[1/4,sqrt(3)/4,sqrt(3)/2]: e2:=[-sqrt(3)/2,1/2,O]: > e3:=[sqrt(3)/4,3/4,-1/2]: > a:=[xa,ya,za]: > map(simplifY,evalm( > dotprod(a,el)*el+dotprod(a,e2)*e2+dotprod(a,e3)*e3»;

[xa, ya,

LOsung:

B

simplify

zal

Aufgabe 1.12 Durch die Eckpunkte A, B, C, D E 1R3 werde ein Parallelogramm ABC D gegeben. Man zeige mittels Vektorrechnung, daB die Diagonalen AC und B D genau dann gleich lang sind, wenn das Parallelogramm ABC D ein Rechteck ist.

A

evalm map

B

A

Diagonalen im Rechteck sind gleich lang

Parallelogramm ABCD und Rechteck ABCD mit Diagonalen

Die Diagonalen sind genau dann gleich lang, wenn gilt:

IIACII2 = IIBDII2 . Wegen AC = AB mit:

+ BC und

BD = BC - AB ist dies gleichbedeutend

bzw.

4ABBC=O. Da ein Parallelogramm aufgespannt werden soli, kann weder AB noch BC gleich dem Nullvektor sein. Also stehen die Vektoren AB und BC senkrecht aufeinander.

Aufgabe 1.13 Durch die Eckpunkte A, B, C, D E 1R3 werde ein Parallelogramm ABC D gegeben. Man zeige mittels Vektorrechnung:

LOsung:

Mit AC

= AB + BC und BD = BC (AB

= und

AB gilt:

+ BC) (A-B + BC)

IIABII2 + 2 AB BC + IIBCII2

Langen im Parallelogramm in Beziehung setzen

1 Vektorrechnung im V 3

20

(BC - AB) (BC - AB)

= =

IIBCII2 - 2 BC Ail + IIABI12 .

Durch Addition der Gleichungen folgt sofort die Behauptung. Nachweisen, daB sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden

Aufgabe 1.14 Durch die Eckpunkte A, B, C E 1R3 werde ein Dreieck ABC gegeben. Man zeige mittels Vektorrechnung, daB sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden. C

Dreieck ABC mit Winkelhalbierenden B

A

Losung: Wir fuhren folgende Abkurzungen ein: b=AC,

a

-0

« ·h· . eOllensIc thch gIlt:

-0

lIall'

=

= b- -

a- ,

b

b =-_-,

lib II

e-

e

-0

e = lIell .

b-a = b-a . = -__ . Da . 10 emer Rau-

lie II

lib -all

te die Diagonalen die Winkel halbieren, konnen wir die Winkelhalbierenden der Winkel BAC, ABC und ACB jeweils durch folgende Ortsvektoren beschreiben:

O-A + A(b O+ cO)

O-P OQ

=

dR

,

O-B+I-' (aO_e O) , O-C + v (-a

0- b 0) ,

A, ｯｾ＠

ｏｾｉＭＧＬ＠

o ｾ＠

v.

Schneiden wirdie Halbierenden der Winkel BAC und ABC, so ergibt sich:

bzw.

-l-'aO+AbO+(A+I-')eO-e=O. . e- = Ersetzt man h·lenn

b - a- un d e-0 = blIell - a,so erh··la t man:

1.3 Das vektorielle Produkt

21

a

Die Vektoren und b sind linear unabhiingig, sonst bekommt man kein Dreieck ABC. Also gilt im Schnittpunkt:

ＭｉｾｽＮＫＨＩｊ

= I

(

I)

Ilbll + lIell

-I,

I

}.. + lIell J.I-

I,

d. h.

Ilaliliell +'"'--lIe-1i

v = -lIa-II...:c+'-'1ｾｉ｢ＭＧ＠

Der Schnittpunkt selbst besitzt schlieBlich den Ortsvektor

6s = OA +

ｉ｢ｬｾ･＠

Iiall + Ilbll + Ilell

(b O + eO) .

Schneiden wir die Halbierenden der Winkel BAC und AC B, so ergibt sich: O-A

bzw.

+}.. (bO + eO) =

O-C

+ v (-a

°- bO)

vao+(}..+v)bO-b+}..eO= with (linalg) ; > a:=[3,1,1): al:=[l,3,-2): bl:=[2,-4,-1): rO:=[O,-1/4,3); > n:=crossprod(a1,bl);

n:= [-11, -3, -10] > solve(dotprod(n,rO)=dotprod(n, [2,1/3,-4) > +tS*dotprod(n,a»;

185 184

1.4 Gerade und Ebene im Raum >

37

[2,1/3,-4]+(18S/184)*a;

923 739 -551 [184' 552' 184 1 >

evalf (%);

[5.016304348, 1.338768116, -2.9945652171

Aufgabe 1.21 Welche Lage haben die beiden folgenden Geraden zueinander: (a) (4,2, -1) + t (12, 6, -24) und (7, 3, 2) + s (3, -2,1), (b) (5,4,6)

+ t (2, 4, 6) und (-2, -2, 1) + s (3,2, 1).

Losung:

(a) Offenbar sind die Richtungsvektoren linear unabhangig. Die Bedingung fiir einen Schnittpunkt lautet:

(4,2, -1)

+ t (12, 6, -24) =

(7,3,2)

+ s (3, -2, 1)

bzw.

12t - 3s

:::;:

3,

6t+2s

1,

-24t-s

3.

Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich durch Eliminieren von t: - 7 s :::;: 1 und damit:

t

=

3 14 .

Setzt man diese Werte in die dritte Gleichung ein, so ergibt sich der Wider45 spruch: 14 :::;: 1. Die Geraden sind somit windschief. (b) Offenbar sind die Richtungsvektoren wieder linear unabhangig. Die Bedingung fiir einen Schnittpunkt lautet:

(5,4,6)

+ t (2, 4, 6) = (-2, -2,1) + s (3, 2,1)

bzw.

2t-3s

-7,

4t - 2s

-6,

6t-s

:::;:

-5.

Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich durch Eliminieren von t: 4 s = 8 und daraus

s

= 2,

Mit diesen Werten wird auch die dritte Gleichung erfiillt, so daB die Geraden einen Schnittpunkt besitzen.

Lage zweier Geraden zueinander bestimmen

1 Vektorrechnung im V3

38 Mathematica:

Gleichungl:= 2t - 3s == -7; Gleichung2:= 4t - 2s == -6; Gleichung3:= 6t - s == -5; Solve[{Gleichungl, Gleichung2, Gleichung3}, {t, s}] I

{{t -+ -2' s -+ 2}} Maple: > Gleichungl:=2*t-3*s=-7;Gleichung2:=4*t-2*s=-6;

> Gleichung3:=6*t-s=-5;

Gleichungl := 2t - 3s = -7 Gleichung2 := 4 t - 2 s = -6 Gleichung3:= 6t - s = -5 > solve({Gleichungl,Gleichung2,Gleichung3},{t,s});

-1 2

(t = - , s = 2)

Vektorielles Produkt, lineare Abhiingigkeit und Geradenbzw. Ebenengleichung in Beziehung setzen

Aufgabe 1.22 Seien PI, P2, P3, P4 Punkte im 1R3. Man gebe eine Bedingung dafiir, daJ3 PI, Pz, P3 auf einer Geraden und PI, P2, P3, P4 in einer Ebene liegen. Losung:

Die drei Punkte PI, P2, P3 liegen genau dann auf einer Geraden, wenn die Vektoren PI-P2 und PI-P3 linear abhiingig sind, d.h. das vektorielle Produkt muB den Nullvektor ergeben: PI-P2 x PI-P3 =

0.

Die vier Punkte PI, P2, P3, P4 liegen genau dann in einer Ebene, wenn die Vektoren PI-P2, PI-P3 und PI-P4 linear abhiingig sind, d.h. das Spatprodukt muB Null ergeben:

Schnittgerade zweier Ebenen berechnen

Aufgabe 1.23 Durch die Punkte PI = (0,0,3), P2 = (0, 3,0) und P3 = (1,1,4) wird eine Ebene EI gegeben. Durch die Gleichung 2x + 4 y - 6z = 8 wird eine Ebene E2 gegeben. Man bestimme die Schnittgerade von E lund E2. Losung:

Wir berechnen zuerst einen Normalenvektor der Ebene E I:

ii = PI-P2 x

piP3 =

(0,3, -3) x (1,1, 1) = (6, -3, -3) .

Darnit bekommen wir eine parameterfreie Darstellung der Ebene E I :

(6, -3, -3) «x, y, z) - (0,0,3» = 6x - 3 y - 3 z + 9 =

°

bzw. 2 x - Y - z = -3 . Durch Subtraktion der ersten Ebenengleichung von der zweiten findet man, daB auf der Schnittgeraden gel ten muB:

1.4 Gerade und Ebene im Raum

2x -

y-

39

z = -3,

5 y - 5 z = 11 .

Setzen wir z = t E IR, so ergibt sich:

11 5

2

y=t+-,

x = t --

5

und die Schnittgerade:

2 11 ) (x,y,z)= ( -S'5'O

+t(1,I,I).

Mathematica: Gleichungl := 2x - y - z == -3; Gleichung2 := 2x + 4y - 6z == 8; Solve[{Gleichungl, Gleichung2}. {x, y}] ｻｸｾ＠

ｓＨＭＲＫＵｺＩＬｹｾ＠

1

1

S(I1+5z)}}

Maple: > Gleichungl:=2*x-y-z=-3:Gleichung2:=2*x+4*y-6*z=8: > solve({Gleichungl,Gleichung2},{x,y});

2

11

{x=z-S,y=z+5} Durch die Punkte PI = (-3, -I, -2) und P2 = (4, -4,1) werde eine Gerade g gegeben. Yom Punkt Po = (1, 2, -1) werde das Lot auf g gefiillt. Man bestimme den Abstand des Punktes Po von g und den FuBpunkt des Lots auf

Aufgabe 1.24

Losung:

Die Gerade g hat die Parameterdarstellung: OPI

+ t ｐｬｾＲ＠

+ t (7, -3,3).

= (-3, -I, -2)

Wir suchen nun einen Punkt der auf g liegt, und die folgende Eigenschaft besitzt: POPF PjP2 = O. Das heiSt, POPF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden Offenbar stellt PF den FuSpunkt des Lotes dar und POPF einen Richtungsvektor des Lotes. Mit einem t F gilt dann: POPF = (-3, -I, -2)

+

(7, -3, 3)

und «-3, -I, -2)

+tF (7, -3, 3»

- 24 = 0 und

Hieraus folgt sofort

=

ｾ＠

(7, -3, 3) = O.

. Damit berechnet sich der

FuSpunkt zu: PF

= (_ 33 67'

_ 139 _ 62) . 67' 67

Lot von einem Punkt auf eine Gerade fallen

1 Vektorrechnung im V3

40

Der Abstand des Punktes Po von gist gieich der Lange des Vektors PoPr

ｾ＠

(33)2 ( 139)2 ( 62)2 /1262 1+67 + 2+ 67 + -1+ 67 = 67'

Mathematica:

Solve[({-3, -I, -2) + tF{7, -3, 3}).{7, -3, 3} == 0, tF] 24

{{tF -+ 67}} 24 PF = {-3, -I, -2} + 67 {7, -3, 3}

33 139 { - 67' - 67'

-

62 67 }

Sqrt[({1, 2, -I} - PF).({1, 2, -I} - PF)] /1262 67 > solve(dotprod«[-3, -1, -2)+tF*[7, -3,3), [7, -3,3) > =O,tF);

24 67 > PF:=[-3,-1,-2)+24/67*[7,-3,3);

-33 -139 -62

PF:=

[67"' ---r;:;-' 67"1

> norm([1,2,-1)-PF,2);

Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen

Aufgabe 1.25 Sei g die Gerade durch die Punkte (1, -I, 0) und (3, -2,3). Sei h die Gerade durch die Punkte (-1,2, -1) und (1, 0, 0), Man bestimme den Abstand der beiden Geraden und ihr gemeinsames Lot. LOsung:

In Parameterform nimmt g die Gestalt an:

(1, -1,0) + t «3, -2, 3) - (1, -I, 0»

= (1, -I, 0) + t (2, -1,3)

undh:

(-1,2, -1) + s «I, 0, 0) - (-1, 2, -1»

= (-1,2, -1) + s (2, -2, 1) .

Da die Richtungsvektoren offenbar linear unabhangig sind, konnen wir den Abstand d der Geraden berechnen:

d _ [(2, -1,3), (2, -2, I), (-2,3,1)] _

-

11(2, -1,3) x (2, -2,1)11

ｾ＠

-.J45'

41

1.4 Gerade und Ebene im Raum Somit sind die beiden Geraden windschief und besitzen ein gemeinsames Lot. Sei P ein Punkt auf g und Q ein Punkt auf h, so daB der Vektor Po. sowohl auf gals auch auf h senkrecht steht. Mit ｏｾｐ＠

+ tp (2, -1,3),

(1, -1,0)

= ｏｾｑ＠

(-1,2,-I)+sQ(2,-2,1),

(-2,3, -1) +sQ (2, -2,1) - tp (2, -1, 3),

Po.

ergeben sich folgende Bedingungen:

«-2,3, -1) «-2,3, -1)

+ sQ (2, -2, 1) + sQ (2, -2, 1) -

tp (2, -1, 3)) (2, -1, 3)

0,

tp (2, -1, 3)) (2, -2,1)

O.

Rechnet man die skalaren Produkte aus, so bekomrnt man:

-14tp +9sQ und t p =

5'

SQ

= 10,

-9tp +9sQ

= 11,

64 . Das gememsame . . aJ so d'Ie Gerade, d'Ie = 45 Lot 1st

durch die Punkte festgelegt wird: =

Ｈｾ＠

5'

Ｍｾ＠

ｾＩ＠

5' 5

83 38 19) Q = ( 45' - 45' 45 .

'

Mathematica: Solver

{({-2, 3, -I)

+ sQ{2, -2, I} - tP{2, -I, 3)).{2, -I, 3} == 0, + sQ{2, -2, I} - tP{2, -1, 3)).{2, -2, I} == OJ,

({-2, 3, -l) {tP, sQ)]

{{tP_

ｾＬｳｑＭ

{I, -1, O} 7

ｾｽ＠ 1

+ S{2, -1, 3} 6 3

{5' -5' 5} 64

{-I,2,-I}+ 4S{2,-2,I} 83 38 19 {45 ' - 45' 45 }

Maple: > with(linalg); > > > >

solve({dotprod([-2,3,-1]+sQ*[2,-2,1] -tP*[2,-1,3]' [2,-1,3])=0, dotprod([-2,3,-1]+sQ*[2,-2,1] -tP*[2,-1,3]' [2,-2,1])=0},{tp,sQ});

1 Vektorrechnung im V3

42 64

{sQ

= 45'

1

tP

= "5}

> P:=[l,-1,O]+(1/5)*[2,-1,3];

> Q:=[-1,2,-1]+(64/45)*[2,-2,1];

Lot von einem Punkt auf eine Ebene fallen, Lotgerade bestimmen

Aufgabe 1.26 Durch die Punkte PI = (1,1,0), P2 = (1,1,1) und P3 = (1, 0, 1) werde eine Ebene E gegeben. Vom Punkt Po = (2,2, 1) wird das Lot auf E gefiillt. Man gebe die Gleichung der Lotgerade an. Losung:

Die Gleichung der Ebene E lautet in Parameterform: O-P =

o'h + s PI-P2 + t piP3

bzw. y, z) = (1, 1,0) + s (0, 0, 1) + t (0, -1, 1) . E besitzt den Normalenvektor: ii = (0,0,1) x (0, -1,1) = (1,0,0). Der Vektor ii liefert einen Richtungsvektor der Lotgerade, die folgende Gestalt annimmt: also y, z)

Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

= (2,2,1) + t (I, 0, 0) .

Aufgabe 1.27 Gegeben seien die Punkte Po = (1, 1, 1), PI = (1,0, 0) und P2 = (1, 1,0). Welchen Abstand hat der Punkt Q = (3,4, 1) von der Ebene E, die durch die drei Punkte Po, PI, P2 festgelegt wird. Man bestiitige das Ergebnis durch eine geometrische Uberlegung. LOsung:

Die Gleichung der gesuchten Ebene E lautet in Parameterform: O-P = OPo

+ s PO-PI + t POP2

bzw. y, z) = (1, I, 1) + s (0, -I, -1) + t (0, 0, -1) . Die Ebene besitzt den Normalenvektor:

ii = (0, -I, -1) x

(0,0, -1)

= (1,0,0).

Die Gleichung der Ebene E lautet in parameterfreier Form:

«x, y, z) -

(1, 1, 1)) (1, 0, 0) = 0,

also x - I = O. Dies stellt bereits die Hessesche Normalform dar, so daB wir den Abstand des Punktes Q von E wie folgt bekommen: d

= 13 -II = 2.

1.4 Gerade und Ebene im Raum

43

Da die Ebene E parallel zur y - z-Ebene verHiuft, wird der Abstand des durch den Betrag der Differenz des Abstandes von E zu der Punktes y - z-Ebene und der x-Koordinate von gegeben. 4

Die Ebene

x-I=O und der Punkt (3,4, 1)

44

2

Komplexe Zahlen

2.1

Rechnen mit komplexen Zahlen Sei z = x + y i eine Zahl aus C in cartesischer Darstellung, dann bezeichnen wir x als Realteil und y als Imaginfuteil: Realteil und Irnaginiirteil

91(z)

=

+ y i) =

,

= ｾＨｸ＠ ｾＨｺＩ＠

+

i)

=

Mit folgenden Rechenoperationen bilden die komplexen Zahlen einen Korper. Addition: Xl

+

+ X2 +

i

= (XI + X2) + (YI + Y2)

•

Subtraktion: XI Rechenoperationen mit komplexen Zahlen

+ YI

- (X2

+ Y2 i) =

-

X2)

+

-

Y2) i •

MultiplikaLion:

+

i)

(X2

+ Y2 i) = (XI X2 -

+ (XI

+

X2)

i ,

Division:

+ X2

falls

X2

i

+ Y2 i

+ Y2 i

=

X2 + ｘｾ＠ + ｙｾ＠

+

+ X2 ｘｾ＠ + ｙｾ＠

I •

o.

Die Division kann man sich als Erweiterung mit der konjugiert komplexe Zahl einpriigen: Konjugiert komplexe Zahl

Die komplexe Zahl: Z = giert komplexe Zahl.

X -

i heiBt die zu

z=

X

+yi

konju-

Beim Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften niitzlich.

W. Strampp, Lineare Algebra mit Mathematica und Maple © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999

2.1 Rechnen mit komplexen Zahlen

1.)

z = z,

2.)

t (z + z) = m(z).

3.)

zz = D1(Z)2 + ｾＨｚＩＲ＠

fy (z -

S.) Z =

Z

= ｾＨｺＩＬ＠ Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl

+ Z2 = fi + Z2 ,

4.)

z)

45

ZI Z2

= fi Z2

Z E IR.

Veranschaulicht man sich eine komplexe Zahl Z durch einen Zeiger in der GauBschen Ebene, der vom NUllpunkt ausgehend zum Punkt Z weist, so bedeutet der Betrag von z die Lange des Zeigers. DiereelleZahllzl

=

z=x+yi.

/x

2

+ y2 heif3t Betrag der komplexen Zahl

Betrag einer komplexen Zahl

Die komplexe Zahl x + yi als Zeiger in der GauBschen Ebene

Wir stellen folgende Eigenschaften des Betrags einer komplexen Zahl zusammen. 1.)

Izl

2.)

Izl2 =

ｾ＠

0,

Izi

=0

z = 0,

zz ,

3. Izi = I - zl = Iii ,

Eigenschaften des Betrags einer komplexen Zahl

4.) IZI z21 = IZIIIz21 5.) IZI

+ z21 :::: Izd + IZ21.

Izd - IZ21 :::: IZI

+ z21·

x+ yi Die konjugiert komplexe Zahl x - yi

x- yi

von x + yi

2 Komplexe Zahlen

46

Die Dreiecksungleichung

Mit Real- und Imaginiirteil rechnen

Aufgabe 2.1

zl=3+

Gegeben sind die komplexen Zahlen: i

= 3+

(1f) +2rr-l, 2 cos '6-1

. J3-3 2

.

Man berechne die Differenz z 1 LOsung:

Wir formen z1 urn:

-1)

3+21l'+( 2 cos /1f) '6 -1

i

3+21l'+(.J31_1-1)i + ( .J32+ 1 - l)

3 + 21l'

.J3 -

i

1

3+21l'+-2- i . Damit ergibt sich: z 1 -

= 21l'

+i.

Mathematica:

I

Die komplexen Zahlen werden eingegeben und ihre Differenz mit Simplify vereinfacht. Die komplexe Zahl i wird als eingegeben, erscheint in der Standardform aber wieder als i.

Simplify

zl

= 3 + 2cos ｛ｾ｝＠ (3

.

-I)

'6 - I i

+

z2 = 3 + ｾｩＨＮｊＳ＠ 3+

M

-1 +v3

ｾｩＨ＠

+ 21l' +21l'

- 3)

-3+.J3)

Simplify[zl - z2J i

+21l'

i

2.1 Rechnen mit komplexen Zahlen

47

Maple: Die komplexen Zahlen werden eingegeben und ihre Differenz mit Simplify vereinfacht. Die komplexe Zahl i wird als 1 eingegeben und auch ausgegeben.

ｾ＠ x I

> zl:=3+(I/(2*cos(Pi/6)-1»+2*Pi-I;

1 := 3 + - ｾＭＱ＠

simplify

+ 21f

> z2:=3+I*(1/2)*(sqrt(3)-3);

1 3 + '21 ＨｾＭ

3)

> Simplify(zl-z2)=simplify(zl-z2);

Simplify( , / v3-1

Aufgabe 2.2 (a)

z=

(b)

Z

ｾ＠

2

1 (.J3 - 3))

= 21f + 1

(2 + J i)2 + 3 - 4 i ,

= 1+ 3i (1

1-3i - (1 - 2 i)2 '

+ i)(2 -

= (4 _

Losung:

1-

Man berechne Real- und Imaginiirteil von:

1-2i

(c) Z

+ 21f -

6i)(1

3 i)

+ 2i)

(a) Mit den Rechenregeln ergibt sich:

z = -5+3+ 12i -4i

= -2+8i.

(b) Mit den Rechenregeln ergibt sich durch Erweitem mit der konjugiert komplexen Zahl: (1 - 2 i)(1 - 3 i) (1 - 3 i) (1 + 2 i)2 10 25 1 = 50 (5 (1 - 6 - 5 i) - 2 (1 - 3 i) (-3 + 4i)) 1 = 50 (-25 -25i) -2(9+ 13i)) 43 51 = - 50 - 50 i. (c) Anwenden der Regeln und Kiirzen ergibt: (1 + i)(2 - 3i) (4-6i)(1+2i) 1+ i = -1 - = -1 (1 + i) (1 - 2 i)) 21+2i 10 3 1. =10-10"

Rechengesetze anwenden, Real- und Imaginiirteil bestimmen

48

2 Komplexe Zahlen Mathematica:

Nach Eingabe der Zahl erfolgt sofort die Vereinfachung.

(I + i)(2 - 3i) (4 - 6i)(1 + 2i) 3 10

ｾ＠

10

Map'" > (l+I) * (2-3*I) / «4-6*I) * (1+2*I));

3 10

1 10

---I

Rechengesetze anwenden, Real- und Imaginiirteil bestimmen

Aufgabe 2.3

Man berechne ReaI- und ImaginfuteiI von:

(a) ZI =

I HI

1+

(b) Z2 = -

1LOsung:

+

I i-I

1 1-

+

I' i-I

1 1+

I· HI

(a) Wir formen ZI urn: ZI

1+

=l,fl + 1 -

-iiI

2i 2 --+-3-i 3+i 2 i (3 + i) 2 (3 - i) 2 . --1-0- + 10 = 10 (2 + 21). Das heiSt:

Mathematica: Mit den Funktionen Re bzw. 1m wird der Realteil bzw. der Imaginiirteil berechnet. Re Im

zl ］ｾ＠

i

I+m

+ --1-' I .

Re[zl] 2 5

Im[zl]

2 5

1-7=1

49

2.1 Rechnen mit komplexen Zahlen Maple: > zl:=I/(l+l/(I+l»+l/(l-l/(I-l»;

2 z1:= 5 >

2 5

Re 1m

+-1

Re(zl);

2

5 >

Im(zl);

2 5

Losung:

(b) Man kann dieselben Rechnungen wie in Teil (a) durchfiihren oder die Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl und das Ergebnis von Teil (a) benutzen:

1

i

----+---

Z2

1-2:r 1+r-h

=

-i ----:1:--

1 + -i+l

1

+

1

=

1 - -i-1

Also ergibt sich:

2

=

Mathematica:

"5' ｾＨｚＲＩ＠

2 = --. 5

Mit der Funktion Conjugate wird die konjugiert komplexe

Zahl berechnet.

i

1 z2= - - - 1 - + --1-; 1- i-I 1 + HI

Conjugate

Re[z2] 2 5 Im[z2] 2

5 z2 - Conjugate[zl]

o Maple: >

z2:=-I/(1-1/(I-l»+1/(1+1/(I+l»;

2 2 z2:= - --1 5 5 > Re(z2);

2 5

conjugate

2 Komplexe Zahlen

50 > Im{z2);

-2 5 >

z2-conjugate{zl);

o Aufgabe 2.4 Aus den Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl erhiilt man sofort:

Regel fUr die Konjugation einer Potenz verdeutlichen

(a +bi)n = (a -bi)n,

a,b E lR,n EN.

Man uberzeuge sich nochmals von dieser Gleichung fur n = 3, indem man die linke und die rechte Seite ausrechnet. Losung:

+ b i)3

Aus (a

(a

= a 3 - 3 a b2 + (3 a b - b 3) i folgt

+ b i)3 =

a 3 - 3 a b2 - (3 a b - 3 b 3) i ,

wiihrend sich auf der rechten Seite ergibt:

(a-bi)3

=

a 3 -3a(-b)2+(3a(-b)-(-b)3)i a 3 - 3 a b2 - (3 a b - b3 ) i .

Mathematica: Mit ComplexExpand und Conjugate wird die linke Seite ausgerechnet, mit ComplexExpand die reehte. ComplexExpand

ComplexExpand[Conjugate[(a + bi)3 11 a 3 _ 3ia 2b - 3ab 2 + ib 3

ComplexExpand[(a - bi)3]

a 3 - 3ia 2b - 3ab 2 + ib 3 MapJe: Mit Evalc und Conjugate wird die linke Seite ausgereehnet, mit Evalc die reehte. evalc >

>

･ｶ｡ｬ｣ｻｯｮｪｵｧｴＫ｢ＪｉＩｾＳ［＠

･ｶ｡ｬ｣ｻＭ｢ＪｉＩｾＳ［＠

Evale«a - I b)3) = a 3 - 3ab 2 + I (-3a 2 b +b 3) Kurven in der komplexen Ebene durch eine Gleichung beschreiben

Aufgabe 2.5 durch

Welche Kurven werden in der GauBschen Ebene

bei konstantem C

ＺｳＨｾＩ＠ E

Z- 1

IR gegeben ?

=c

2.1 Rechnen mit komplexen Zahlen Losung: z+1

Mit

z = x + yi

51

berechnen wir zuerst den Imaginiirteil von

z- 1 (x z+1 z+li-1 --=----= z-I z-li-I

+ 1+ y

- 1- y

+ y2

(x - 1)2

also:

I)

z+ ｾ＠ ( - 1 = -

2y

(x - 1)2 + y2 '

z #= I.

= 0, so ergibt sich die Gerade: y = O. 1st c

1st c Kreise:

(x - 1)2

+

+ -2 y = c

#=

0, so ergeben sich

0

bzw. (x _

1)2 +

(y + ｾＩＲ＠c

=

ｾ＠ 2 . c

Es handelt sich damit urn Kreise mit dern Mittelpunkt

.

(1, - ｾＩ＠

und dern

1

RadIus -. c

Die

ｾＨＩ＠

Kurven

=c

z- 1 in der kornplexen Ebene

Aufgabe 2.6 durch:

Welche Menge komplexer Zahlen wird beschrieben cos(2 t)

+ sin(t)

t E IR.

Eine Kurve in der kornplexen Ebene in Parameterdarstel!ung angeben

52

2 Komplexe Zahlen Liisung:

Mit cos(2t) = 1 - 2 (sin(t))2 konnen wir umformen: cos(2t)

+ sin(t) i

+ sin(t) i .

= (1 - 2 (sin (t))2)

Durchlauft t ein Intervall der Lange 2rr, so durchlauft sin(t) das Intervall -1 ::: sin(t) ::: 1. Damit werden folgende komplexen Zahlen beschrieben: (1 - r2)

+ ri .

-1::: r ::: 1 •

die auf einem Parabelbogen in der GauBschen Ebene liegen.

Die Kurve cos(2t) + sin(t) i in der komplexen Ebene

Betrage ausrechnen

Aufgabe 2.7

Man berechne jeweils den Betrag von:

3 + 2i. Liisung:

Es gilt: 13 + 2 i 1=

.J13 und

I(1 - 13 i)2 I = Matbematica: Abs

(1 - 3 i)2 .

1

1

11 - 3 i 12 = 10 .

Betrage werden mit Abs berechnet. Abs[3 + 2iJ

.J13 Abs[

1 (1 - 3i)2

10

]

2.1 Rechnen mit komplexen Zahlen

53

Maple: > abs(3+2*I);

Abs(3 + 2/) =

abs

.Ji3

> abs(1/(1-3*I)A2);

231 Abs(-- + - I ) = -

25

50

10

Aufgabe 2.8 Welche Kurven werden in der Gau6schen Ebene durch die folgenden Beziehungen gegeben:

(a) Iz - I = ｾＨｺ＠ (b) Iz -

31

+

> Iz -

ii,

(c) Iz + 3 i I + Iz - 11 = 6. LOsung:

(a) 1st z = x + yi, dann ergibt sich:

J(X - 1)2 + y2 = Y + 1,

ｾ＠

-1.

Y ｾ＠

-1 .

y

Dies ist gleichbedeutend mit:

x2 +

_ 1)2

= + 1)2 ,

2 Wir bekommen also die Parabel: y = x4 . (b) Die angegebene Bedingung lautet:

(x - 3) d.h.

2

+ y2 >

(x - 1:1 )2+ y2 (x - 3)2 > (x - 1:1 )2

1 -3x+9>-x+-

4

bzw.x
-4'

7

4.

(c) DefinitionsgemiiB besitzen die Punkte auf einer Ellipse eine konstante Summe der Abstande von zwei festen Punkten. Also wird eine Ellipse mit den Brennpunkten - 3i und 1 beschrieben. Der Abstand der Brennpunkte betriigt ../10. Die groBe Halbachse ergibt sich aus 2a = 6 zu 3. Die kleine

. .

../10 = 32 zu T. J26

Halbachse erglbt slch aus: b2 + (-2-)2

Gleichungen und Ungleichungen mit Betriigen lasen

54

2 Komplexe Zahlen

Die Ellipse Iz + 3 i I + Iz - 11 = 6 in der komplexen Ebene

Kurven in der komplexen Ebene durch eine Betragsgleichung beschreiben

Aufgabe 2.9 Welche Kurven werden in der GauBschen Ebene durch die Beziehung

Ｑｾｉ］｣＠ bei konstantem c LOsung:

E

IR, c ::: 0, gegeben?

Da z - 1 = 0 keinen Sinn macht, bekommen wir Iz

bzw. mitz = x

+ 11 =

c Iz -

11

+

1st c = 0, so wird der Punkt z = -1 durch die Beziehung festgelegt. 1st c = 1, so wird die y-Achse, x = 0, durch die Beziehung festgelegt. Fiir c :f= 1 formen wir urn: x2

1 + c2

+ 2 - - 2 x + 1+ 1- c

=0

und erhalten durch quadratisches Ergiinzen:

2)2 l+c2)2 4c2 (x+ -2 +y2 =-1+ (l+c =---:::-:::2 2 1- c

1- c

=

(

2c

(1 - c )2

)2

11 - c2 1

Hieraus ersieht man, daB fur c > 0, c :f= 1, ein Kreis mit dem Mittelpunkt 1 +c2 . 2c . (- - - 2 ' 0) und dem RadIUs - - 2 - gegeben wlrd. l-c 11-cl

2.2 Polarkoordinaten

55

Durch die Gleichung

I-zz +--111 =c .

III

der

komplexen Ebene beschriebene Kreise

2.2 Polarkoordinaten Wir beschreiben eine komplexe Zahl durch eine Winkel- und Liingenangabe. Den Winkel 4>. den die po itive reelle Achse und der zu einer komplexen Zahl z i= 0 gehorige Zeiger in der GauB chen Ebene einschlieBen. bezeichnet man als Argument 4> = arg(z) von z. Der Winkel soli auf der positiven reellen Achse 0 und auf der negativen reellen Achse 1T beLragen. und es soli -1T < 4> S 1T gelten.

Das Argument einer komplexen Zahl

Mit dem Betrag und dem Argument ergibt sich die Polarkoordinatendarstellung.

Argument

56

2 Komplexe Zahlen

=

= x + y i #- 0 ergibt sich

Mil dem Betrag r J x 2 + y2 von ｾ＠ Po!arkoordinatendarstellung: PolarkoordinatendarsteUung

z=

r (cos(¢)

+ sin(¢) i).

Das Agument berechnet man mit Hilfe der Arcusfunktionen. Sei ｾ＠ = x + y i Dann gilt:

und

r

= j x 2 + y2 > o. ｹｾｯ＠

y < 0 Berecbnung des Arguments einer komplexen Zabl

'

b ZW.

arg(z)

=

I

1r -

arctan ＨｾＩＮ＠ arctan ( -!:; ),

x > 0,

x < 0,

ｹｾｯ＠

y

, y

arg(z) = - arg(z) ,


2, ¢

und falls r2

E

ｾＲ＠

IR , rl. = r2 e

r2, r

,

E

Z

JR, rt.r2,r

= r

#- 0:

Recbnen mit komplexen Zablen in Polarkoordinaten

z, -_" -e r2

Ferner bekommt man:

ｾ＠

. Dann gilt:

.

o und

57

2.2 Polarkoordinaten

Multiplikation (Division) zweier komplexer Zahlen

Potenzen einer komplexen Zahl

Aufgabe 2.10

Gegeben sind die komplexen Zahlen:

zl=-l+i,

z2=1+i.

Man stelle Zl und Z2 in Polarform dar und berechne: ｺｾ＠ LOsung:

Es gilt: Zl

'" 3,..· T1 , = v2e

unddamit

zl3 z25

= =

Multiplikation mit Hilfe der Polarform ausfiihren

e(2f+¥) i 14,.. . ,.. • 16e'"4l = 16e-,!1

( vi. '"2)8

-16i.

ｺｾ＠

.

58

2 Komplexe Zahlen Mathematica: Mit der Funktion Arg wird das Argument einer komplexen Zahl berechnet. zl = -I

Arg

+ i; z2 = I + i; -l+i

Abs[zlJ ./2 Arg[zlJ 3rr 4 Abs[z2J ./2 Arg[z2J rr 4

Maple: Die Funktion Convert mit der Option polar gibt den Betrag und das Argument einer komplexen Zahl an. convert( ... ,polar) > zl:=-l+I:

z2:=1+I:

> convert(zl,polar);

Convert( -1

+ I,

polar) = polar(./2,

3

4" rr)

> convert(z2,polar);

Convert(l >

+ I,

polar) = polar(./2,

1

4" rr)

ｺｬｾＳＪＲＵ［＠

-161

Ausdriicke mit Polarfonnen in cartesische Darstellung umwandeln

Aufgabe 2.11 Seien a und b reelle Zahlen. Welche Menge komplexer Zahlen wird beschrieben durch:

a e- t i + bet i,

t E

lR.

2.2 Polarkoordinaten Losung:

59

Wir gehen zur cartesischen Darstellung liber: a

+b + b)

-

(a

+ b)

+

1st a = so wird die Strecke von + imaginiiren Achse dargestellt. 1st a = b, so wird die Strecke von (a + bis Achse dargestellt. 1st a =f. -b und a =f. b, so wird die Ellipse: x2

---;:;-+ (a +b)2

+ i.

bis (a -

+

auf der

auf der reellen

y2

+b)2

=1

in der GauBschen Zahlenebene dargestellt. Mathematica: ComplexExpand berechnet die cartesische Darstellung einer komplexen Zahl unter der Annahme, daB vorkommende Parameter reelle Zahlen sind.

+ beti ) +

ComplexExpand[ae- ti

+b

a

ComplexExpand

Maple: Evalc berechnet die cartesische Darstellung einer komplexen Zahl unter der Annahme, daB vorkomrnende Parameter reelle Zahlen sind. evalc > evalc(a*exp(-t*I)+b*exp(t*I));

Evalc(a

t)

+b

t)

= a

+b

+I

Aufgabe 2.12 Man bestimme die Menge aller Eigenschaft: (a) 0 < arg(z

3 '

i)

< - .

z+ (b) 0 < arg ( -. Z -I

Losung:

z mit folgender

2rr


0 mit der weiteren Einschriinkung: 2x ) rr 0< arctan ( 2 2 oi,

]'[ ,

leite man folgende Losungsmenge her:

Z

_I ± (

u+?

+

- ±( ｵＫｾ＠

ＭｊｵＫｾＮＩ＠

2

JＭｵＫｾ＠

i) , ｾ＠

0,

v

2

I

,v< 0 .

Man zeige die Ubereinstimmung mit der Losungsmenge:

Losung: Wir setzen z = x + y i und bekommen: z2 = x 2 - i

+2x Y i .

Hieraus ergeben sich folgende Gleichungen zur Bestimmung von x und y:

x 2 - y2 = u,

2x y = v.

Durch Quadrieren folgt:

u 2 = (x 2 - i)2 = x4 - 2x2 i und hieraus

u 2 + v 2 = (x2

+ i,

v 2 = 4x 2 i ,

+ y2)2 .

Insgesamt bekommen wir die aquivalenten Bestimmungsgleichungen fUr x und y: x 2 - y2 = u • x 2 + i = J u 2 + v 2 . Auflosen ergibt zunachst: 2 x =

ｵＫｾ＠

2

2

'

Y =

ＭｵＫｾ＠

2

.

2.3 Quadratische Gleichungen und n-te Wurzeln 1st nun v ::: 0 und damit

z=±

y ::: 0, so erhiilt man:

Ｈ ｊｵＫｾ＠

+ ｊＭｵＫｾＮＩ＠

2

Istjedoch v < 0 und damit x

z=±

67

Ｈ ｊｵＫｾ＠

2

I

< 0, so erhiilt man:

ｊＭｵＫｾＮＩ＠

_.

2

2

I

Betrachten wir nun die Polarkoordinatendarstellung: u = ro cos(o) ,

v = ro sin(o) .

Einsetzen ergibt: 2

x =

y

2

rO cos(o) 2

+ rO

cos(O) 2

=

( 1

2 (\ + cos(o»

= ro

+ rO = ro ( 2 1 (1

)

- cos(o»

, )

.

Aus dem Additionstheorem fiir den Cosinus folgt:

und

ｾ＠

(1

+ cos(o» =

(cos

Ｈｾｯ＠

))

2

,

ｾ＠

(1 _ cos(O» = (Sin (

ｾｯ＠

))

2

.SchlieBlich werden x und y durch folgende Gleichungen festgelegt:

Beachtet man noch die Vorzeichen der Funktionen cos ( ｾＩ＠ so ergibt sich die Ubereinstimmung der Losungsforrneln.

Die Funktionen 1 + cos(..2{O, 2} == (13,2)] {{Al ｾ＠

13, >..2 ｾ＠

11

-2'}}

Solve

3 Vektorriiume

76

Maple: Mit Solve kann eine Vektorgleichung nicht unmittelbar aufgelost werden. Man muB die Komponenten der Vektorgleichung eingeben. solve

> solve({lambdal=13,lambdal+2*lambda2=2});

Solve({AI

Losung:

= 13,

AI + 2A2

= 2}) = {AI = 13,

(b) Gesucht sind A1, A2, A3

A2

=

-11 -2-}

IR mit

E

A1 (1,0,0) + A2 (I, I, 1) + A3 (1,4, -1) = (0,2,3) bzw. A1 +A2 + A3

0,

A2 +4A3

=

2,

A2 - A3

=

3.

Aus den letzten beiden Gleichungen ergibt sich sofort: A2 =

14

und dann aus der ersten Gieichung A1 = - 1: . Insgesamt gilt: 13 _ b = - - a1 5

14 _

+ -5

1_

a2 -

- a3

5

Darstellung des Vektors (0, 2, 3) durch die Vektoren (1,0,0), (I, I, 1) und (1,4, -1)

Mathernatica: SoIve[)"}{I, 0, O} +A2{I, I, I} + H{I, 4, -l}

==

{O, 2, 3}]

ｾ＠

ｻ ａＲｾ＠

14 - ｈｾＭ

5 '

1

5'

ＩＮＬｽｾＭ＠

1

5' A3 = -5

13

5

Map'" > solve({lambdal+lambda2+lambda3=O,lambda2+4*lambda3=2, > lambda2-lambda3=3});

77

3.1 Der Begriff des Vektorraums Solve({AI + A2+A3 = 0, -13 = {AI = - , A2 = 5

A2 +4A3 14 - , A3 = 5

= 2, A2 - A3 = 3}) -1 -} 5

Aufgabe3.4

=

(a) Man stelle den Vektor b (1, i) E der folgenden Vektoren dar:

=

2) ,

(b) Man stelle den Vektor b

c2

als Linearkombination

ih = (1 + 1 -

= (1 +

i)

3) E C 3 als Linearkom-

bination der folgenden Vektoren dar:

= (1, LOsung:

ih = (1 +

0),

ih = (I, I, i)

1),

(a) Gesucht sind AI, A2 E I(; mit Al

2) + A2 (1 +

1 - i)

= (1, i)

bzw. iAl

HI

+ (1 + i) A2 + (I - i) A2

= =

1,

Offenbar bekommt man:

und daraus Al

=

Insgesamt gilt:

ｾ＠

ｾ＠

b = 2i

A2

3

3i

= -2 --. 2

(3 3i) ｾ＠

+ -2 - -2

.

Mathematica: Solve[Al{i,2} + A2{l + i,l- i} == {I, ill {{Al-+ 2i,A2-+

3

3i

2 -"2}}

Maple: > solve{{I*lambdal+{l+I)*lambda2=1, > 2*lambdal+{l-I)*lambda2=I});

Solve({1 Al + (1 + I) A2 = I, HI + 3 3 2 2

A2 =

Einen Vektor als Linearkombination von gegebenen Vektoren im 1(;2 bzw. 1(;3 darstellen

78

3 Vektorriiume Losung:

(b) Gesucht sind)'1, A2, A3 E IC mit

+ A2 (1 + i, i, 1) + A3 (1,

Al (1, i, 0)

I, i) = (1

+ i, i, 3)

bzw. Al

1 + i, i,

+ (1 + i) A2 + A3 HI + H2 + A3 A2 + iA3

3.

Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich sofort: Al = -(1

+ i) A2 -

Al = -A2

+i,

A3

+ H3 + I,

und hieraus: -i A2 - (1

+ i) A3 =

-i .

Dies ergibt zusammen mit der dritten Gleichung: 11

A2

2 5

2

="5 + 5'i,

4 5

A3 = -- - - i.

SchlieBlich bekommt man damit:

2 5

4 5

Al = - - - - i.

Insgesamt gilt:

_ (25' + 4) - (25' + 4) 5' i _+ (11 "5 + 5'2) i 5' i _

b= -

al

a2 -

a3·

Mathematica: Solve[ H{1, i, O}

+ A2{1 + i, i, I} + A3{1, I, i} ==

{1+i,i,311

ｻ ａＲｾ＠

11

2i

-+ａＳｾＭ 5 5'

2

4i

5

5'

ｈｾＭｬ＠

2

4i

5

5

Maple: > > > >

Gleichungl:=lambdal+(1+I)*lambda2+1ambda3=1+I: Gleichung2:=I*lambdal+I*lambda2+1ambda3=I: Gleichung3:=lambda2+I*lambda3=3: solve({Gleichungl,Gleichung2,Gleichung3});

3.2 Basis und Dimension

79

Aufgabe 3.5 Konnen die Vektoren hI = (6, -2,1), bz ( - 2, 2, 0) , jeweils als Linearkombination der folgenden Vektoren dargestellt werden: al = (1, 1, 1) , a"i = (0, 2, 1) . Losung:

Wenn es eine Darstellung gibt: (6, -2,1) = Al (1, I, I) + A2 (0, 2,1) ,

so muB AI = 6 sein. Daraus folgt weiter: 6+2A2=-2

und

6+A2=1.

Aus der ersten Gleichung ergibt sich A2 = -4 und aus der zweiten A2 = -5. Also kann ｢ｾ＠ nicht als Linearkombination von ell und ai dargestellt werden. Wenn es eine Darstellung gibt: (-2,2,0) = Al (1, 1, 1) + A2 (0, 2,1),

so muB Al = -2 sein. Daraus folgt weiter: -2 + 2A2 = 2

Beide Gleichungen werden mit A2 bekommen:

und

- 2 + A2 = O.

= 2 erfiillt, so daB wir die Darstellung

Die Vektoren (6, -2, 1), (-2,2,0), (1, I, 1), (0, 2, I)

3.2 Basis uDd Dimension Der Nullvektor liiBt sich stets als Linearkombination darstellen, wenn man aile Skalare Null setzt.

Priifen, ob ein Vektor als Linearkombination von gegebenen Vektoren im IR3 dargestellt werden kann

80

3 Vektorraurne

Die folgende Linearkombination bezeichnet man als triviale n

Darstellung des NullvektOfs:

LOaj = O. j=1

Jede andere DarsteUung des Nullvektors Triviale und nichttriviale Darstellung des Nullvektors

n

LAjGj j=1

=0,

bei der fijI' mindestens einen Index 1 ::5 jo ::5 n gilt Ajo =1= bezeichnen wir als nichttriviale DarsteJlung des Nullvektors. Wir unterscheiden nun zwischen Mengen von Vektoren, die nur die triviale und soIchen die auch nichttriviale Darstellungen des Nullvektors gestatten.

Lineare Unabhiingigkeit und Abhiingigkeit

Wenn es nul' die triviale Darstellung des Nullvektor al Linearkombination aus den Vektoren Gj E V, j = 1•... ,n gibt, dann hei!3en sie linear unabhiingig. Wenn es eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors als Linearkornbination aus den Vektoren Gj E V, j = I, ... ,n gibt, dann heiBen sie linear abbangig. Wenn die n Vektoren GiE'll, j = I , ...• n linear abhangig sind, dann gibt es mindestens einen Vektor aio, der durch die restlichen n - 1 Vektoren dargestelIL werden kann. Wir bauen nun Untemaurne durch Linearkornbinationen auf. Sei Vein Vektorraum und V s;: Vein Unterraum von V. Die Vektoren Gj E V, j = 1, ... ,n bilden ein Erzeugenden y tern von V, wenn gilt:

Basis

Man schreibt auch: U =< ... > . Die Vektoren bj E j = 1, ...• stellen eine Basis von V dar, wenn sie linear unabhiingig ind und ein Erzeugendensystem von V bilden. Die Darstellung eines Vektors durch eine Basis ist eindeutig. Ein von endlich vielen Vektoren erzeugter Vektorraurn besitzt unterschiedliche Basen, aber aile Basen enthalten die gleiche Anzahl von Vektoren.

3.2 Basis und Dimension

81

ei Vein Vektorraum und 1[J 5; Vein von endlich vielen Vektoren eneugter Unterraum von V. Jede Basis von V enthiilt die gleiche Anzahl von Vektoren. Die Anzahl der Vektoren einer Ba is von U heiBt Dimension von U: Dim(V).

Dimension

Zur Beschreibung der L6sungsmenge linearer Gleichungssysteme fiihren wir lineare Teilriiume ein. Sei V ein Vektorraum und U 5; Vein Unlerraum der Dimension n und E Vein fester Vektor. Die Teilmenge fa bib E U) von V heiBt linearer Teilraum der Dimension n von V.

a

+

Linearer Teilraum

Ihrer besonderen Struktur wegen wird die folgende Basis des IKn sehr oft benutzt. Die au den Vektoren be tehende Basis von IKn :

ej (n) =

(0, . . . ,0,

1

'-v-'

,0, . . . , 0),

j = 1, ... , n

Kanonische Basis

j - teSr elle

bezeichnet man al kanonische Basis. Aufgabe 3.6 Welche der folgenden Mengen von Vektoren sind linear unabhiingig: (a) {(1, 5, 0), (2,7, 2)},

c

ffi.3 ,

(b) {(2, 4,1), (1, -2,1), (3,2, 5)}, C ffi.3 , (c) {(2, i), (1 - i, i)}, C

«;2 ,

(d) {(2, 1), (1, 5), (a, b)}, C ffi.2 , Losung: on:

(a) Wir schreiben den Nullvektor aus lR3 als Linearkombinati)'"l

(1,5,0)

+ A2 (2, 7, 2) =

(0,0,0) .

Dies ist gleichbedeutend mit dem Gleichungssystem:

+ 2>..2

0,

SAl +7>..2

0,

2A2

0,

Al

Die Vektoren sind damit linear unabhiingig. (b) Wir schreiben den Nullvektor aus lR3 als Linearkombination: Al (2,4,1)

+ A2 (1, -2, 1) + A3 (3, 2, 5) = (0,0,0).

Dies ist gleichbedeutend mit dem Gleichungssystem:

Priifen, ob Vektoren linear abhiingig sind

82

3 Vektorraume HI+A2+ 3A3

0,

=

=0,

4AI - H2 + H3

O.

=

Al +A2+5A3

Eliminiert man AI aus der ersten und der dritten Gleichung bzw. aus der zweiten und der dritten Gleichung, so ergibt sich das System: -A2 -7A3

0,

-6A2 -I8A3

0,

welches nur die Losung A2 = A3 = 0 zuliiBt. Damit folgt sofort auch A3 = 0, und die Vektoren sind linear unabhangig.

Mathematica: Gleichungl := 2At + A2 + 3A3 == 0; Gleichung2 := 4At - 2A2 + 2A3 == 0; Gleichung3 := At + A2 + 5A3 == 0; Solve[{Gleichungl, Gleichung2, Gleichung3}]

ｾ＠

({At -+ 0, A2 -+ 0, A3 -+ Oll

Map'" > > > >

Gleichungl:=2*lambdal+lambda2+3*lambda3=O: Gleichung2:=4*lambdal-2*lambda2+2*lambda3=O: Gleichung3:=lambdal+lambda2+5*lambda3=O: solve({Gleichungl,Gleichung2,Gleichung3});

{AI = 0, A2 = 0, A3 = O}

Liisung: on:

(c) Wir schreiben den Nullvektor aus (:2 als LinearkombinatiAl (2, i) + A2 (1 -

i)

= (0,0).

Dies ist gleichbedeutend mit dem Gleichungssystem:

0,

HI+(1-i)A2

i Al Unmittelbar ergibt sich:

+ iA2

ｾ＠ 1-1 Al = Al

=

O.

und Al

=

O. Hieraus folgt dann

auch A2 = O. (d) Wir schreiben den Nullvektor aus]R2 als Linearkombination: Al (2, 1) + A2 (1, 5) + A3

b)

= (0,0).

Dies ist gleichbedeutend mit dem Gleichungssystem: HI +A2 +A3a Al +5A2+A3b bzw.

0,

=

0,

83

3.2 Basis und Dimension

+ A2 + 5A2

2Al Al

Fur beliebige a, b E ]R besitzt dieses Gleichungssystem die Losung:

°

Man kann A3 =1= beliebig festsetzen und erhalt dann eine nichtriviale Linearkombination des Nullvektors. Mit A3 = -I ergibt sich gerade die Darstellung des Vektors (a, b) durch die Vektoren (2,1) und (1,5):

G

a-

ｾ＠

b) (2, 1) +

ＨＭｾ＠

a

+ ｾ＠

b) (1,5) = (a, b).

Aile drei Vektoren (2,1), (1,5), (a, b) sind also linear abhiingig, wiihrend die beiden Vektoren (2, 1), (1, 5) linear abhiingig sind. Mathematica: Gleichungl:= 2H + A2 == -A3a; Gleichung2 := H

+ 5>..2 == -A3b;

Solve[{Gleichungl, Gleichung2}, {H, >..2}]

{{H ｾ＠ >..2 ｾ＠

ｾＨＭＵ｡ａＳＫ｢ＩＬ＠ ｾ＠ (aA3 - 2bA3) }}

Maple: > > >

Gleichungl:=2*lambdal+lambda2=-lambda3*a: Gleichung2:=lambdal+5*lambda2=-lambda3*b: solve({Gleichungl,Gleichung2}, {lambdal,lambda2});

Aufgabe 3.7 Man gebe jeweils drei verschiedene Basen flir folgende Vektorraume: ]R2 , «;2 , ]R3 , «;3 , ]R4 , ｾ＠ . LOsung:

Als Beispiele flir Basen des ]R2 geben wir: {(1, 0) ,

(0, 1) , }

{(l, 1) ,

(0, 1) , }

{(I, 1),

(-1,1).}

Als Beispiele fur Basen des JR.3 geben wir: {(l, 0, 0) ,

(0, 1, 0) ,

{(1,I,O),

(0,1,0),

{(l,O, 1),

(-1,1,2),

Ais Beispiele fur Basen des JR.4 geben wir:

(0, 0, 1) , } (-l,I,l),}

(0, -1,1).}

Verschiedene Basen fur Vektorraume angeben

84

3 Vektorriiume

{(l, 0, 0, 0), {(l, 1,0,1), {(1,O, 1,0),

(0, 1,0,0),

(0,0, 1,0) ,

(0,1,0,1),

(-1,1,1,0),

(-1,1,2,3),

(0,0,0, 1) , } (-1, -I,I,I),}

(0, -1,1,0),

(I,0,I,2).}

Jede Basis von R2 bzw. R3 bzw. R4 !iefert nun zugleich eine Basis von C2 bzw. C3 bzw. c:::4. Wir geben aber noch jeweils eine Basis an, deren Vektoren auch komplexe Komponenten beinhalten: {(l

+ i, i) , (0, 1 -

i) , }

{(1,O, 1 + i), (-i, i, 2), (1 - i, -1, I),} {(1,i, 1,0),(-1, I,2,3+i),(0,-i, I,O),(1-i,O, I,i).}

Jeweils eine Basis fiir einen Unterraum des c2 ,R3 , c3

Aufgabe 3.8 Man gebe jeweils eine Basis fiir folgende Unterriiume:

(a) {(x}, X2) E

C2 I Xl + i X2

= O} ,

+ i X2 - i X3 = O}, {(XI,X2,X3) E 1R313xl +X2 = O,XI - X3 = O}, {(Xl, X2, X3) E 1R3 12xI + 3X2 = O}.

(b) {(Xl, X2, X3) E C3 I Xl

(c) (d)

LOsung:

(a) Der Unterraum kann beschrieben werden durch:

Der Vektor (1, i) stellt eine Basis dar. (a) Der Unterraum kann beschrieben werden durch:

Die Vektoren (1, i, 0), (1,0, -i) stellen eine Basis dar. (b) Der Unterraum kann beschrieben werden durch:

Der Vektor (1, -3, I) stellt eine Basis dar. (c) Der Unterraum kann beschrieben werden durch: (XJ, X2,X3)=AI

Die Vektoren (1, Mengen als !ineare Teilriiume beschreiben

Aufgabe 3.9 Teilriiume:

ＨＱＬＭｾＰＩＫａＲＧｉ＠

AI,A2ER.

2 -3' 0), (0,0, I) stellen eine Basis dar. Man beschreibe folgende Mengen als lineare

(a) T = {(Xl, X2, X3) E 1R3 I Xl

(b) T = LOsung:

{(Xl,X2,X3,X4) E

+ 2 X2 -

JR413xl

3 X3 = 1} ,

+X2 - X3 +X4 =

(a) Die Menge kann beschrieben werden als:

2}.

3.3 Koordinaten

85

Dies ergibt die Darstellung: T = (1, 0, 0) + U , wobei U der von den Vektoren (-2, 1,0), (3,0,1) erzeugte Unterraum des R3 ist. (b) Die Menge kann beschrieben werden als:

= ()"I, A2, A3, 2 - 3)"l - A2

+ A3)

,AI A2A3 E R.

Dies ergibt die Darstellung: T = (0, 0, 0, 2) + U , wobei U der von den Vektoren (1, 0, 0, -3), (0, 1, 0, -1), (0, 0, 1, 1) erzeugte Unterraum des R4 ist.

3.3

Koordinaten

Wir wollen irn folgenden eine Beziehung zwischen verschiedenen Basisdarstellungen herstellen. Durch die Vektoren , ... raums V iiber lK gegeben. Sei in der Basisdarstellung

n

werde eine Basis des Vektor-

aein beliebiger Vektor aus V. Die n

a= L(Xjbj

Koordinaten beziiglich einer Basis

auftrelenden Skalare (XI , . .. , an aus lK heiBen Koordinaten des Vektors beziiglich der Basis bI , . .. , bn . Die Koordinaten eines Vektors beziiglich einer festen Basis kann man zurn Koordinatenvektor aus lKn anordnen.

a

Wird ein Vektor aus dern ocn als n-Tupel von Zahlen gegeben, so lassen sich die Koordinaten beziiglich der kanonischen Basis einfach ablesen.

e

Beziiglich der kanonischen Basis j = 1, ... , n besitzt der Vektor (aj , ... , E ocn die Koordinaten aJ , ... n

Laje/"). j 1

Koordinaten beziiglich der kanonischen Basis

86

3 Vektorriiume Wir betrachten nun die Uberfiihrung zweier Basen. ｾ＠

ｾ＠

Seien bl ..... bn und bl ..... bn zwei Basen des ndimensionaJen Vektorraums V mit der gegenseitigen Darstellung: n

hj:::: L Pk,JJk

n

und

bj

::::

L

Pk ,j hk .

k= J

k=J

Basistiberfiibrung

(k :::: j •...• n). Dann gilt: n

n

L

Pk .j Pj ,I

:::: Olel

und

j=1

L

Pk.j Pi ,I

:::: Okl·

j=l

Bei der Basisiiberfiihrung verwenden wir das Kronecker-Symbol. Das Kronecker-Symbol wird fur

kEN erkliirt durch:

k

falls falls

Kronecker-Symbol

j =1= k

Einen Vektor konnen wir in verschiedenen Basissystemen ausdriikken. Zwischen den Koordinaten aus den Darstellungen n ｾ＠

/I

a=Letjbj=Lajbj Koordinatentransformation

besteht der Zusammenhang:

etk:::: L j )

(k :::: 1 , ...•

n

(3k

j

bzw.

ak

=

L j )

Pk j

etj.

87

3.3 Koordinaten Mit Hilfe der Koordinaten irn Vektorraurn IRn erkUiren wir affine Koordinaten irn Punktraurn IRn . Ein affines Koordinatensystem des Punktraumes jR'I

besteht aus einem festen Punkt Q E ]RII und einer Basis ... bn des Vektorraums IRn . 1st ein ｐｵｮｾｴ＠ aus ]Rn. so bezeichnet man die Koordinaten des Vektors Q bezuglich der b Basis

Affines Koordinatensystem

n

Q-P=Lxjbj j==1

al Koordinaten des Punktes .. . stems (Q .

beziiglich des Koordinatensy-

Der Zusarnrnenhang affiner Koordinaten beziiglich verschiedener Systerne ergibt sich durch Koordinatentransforrnation.

bn )

-

-

Seien und

bn )

affine Koordinatensy terne des ]RII mit n

bj

=

_

L fJk,j

_

n

, bj

=

k== 1

L fik

•j

.j

= I , .... n

k= l

und

n

= LXQ,j bj . Dann stehen die Koordinaten aus den Darstellungen Beziehung affiner Koordinaten -

II

Q-P = L

xjbj

und

II

_

QP=Lxjbj j=)

j==1

in folgender Beziehung: II

xk=LfJk,j(Xj-x Q) .

k=l •... ,n.

j==)

bzw.

n

Xk =

fik .J Xj j= 1

+ xQ,k'

k = I. '" • n.

88

3 Vektorraume

(I, -32)

(2 -"7' -3I) ' 3) ' ｢ｾ＠ = (13 . Baund｢ｾ＠ = (59' -2" -""1' 5"3) ,steII· en Jewel·1 s eme

ｾ＠ = Aufgabe3.l0 Die Vektorenbl

Basen des ]R2 ineinander iiberfiihren, Koordinaten umrechnen

I

ｾ＠ = ,b2

2

sis des ]R2 dar. Man berechne die Koordinatendarstellung der zweiten Basis ｢･ｾｩｧｬ｣ｨ＠ der ersten. Welche Koordinaten besitzt der Vektor Liisung:

a= 3 hi + 5 h2 beziiglich der ersten Basis?

Aus

13 5 3) = f3I,2 ( I, ( -"7'

(-=;' 2 -31) ' -32) + f32,2

ergeben sich folgende Gleichungssysteme fiir die Koordinaten:

5

2 f31,l - =; f32,1

=

9'

2 1 -3 f3I,1 - 3 f32,1

=

-2'

3

und -

f3I,2 2 -

2 -

13

=; 132.2

7

1 -

-3 f3I,2 - 3 f32,2 -

Die Losungen lauten: f3I,1 -

83

-

116

=

-

3

5 427

= 99 ,f32,1 = 198' und

67

f3I,2 = - 55 ' f32,2 = 55 . Somit gilt: :!

116 -

427 -

:!

83 -

67 -

99 bl + 198 b2, b2 = - 55 bl + 55 b2 . SchlieBlich bekommen wir: a = al bl + a2 b2 mit bl =

al

-

-

133

= f3I,13 + f3I,2 5 = -33'

a2

-

-

829

= f32,13 + f32,2 5 = 66·

Darstellung des Vektors a in verschiedenen Basen des ]R2

3.3 Koordinaten

89

Mathematica: Gleichungl:= ,811- ＲｾＱ＠

== ｾ［＠

Gleichung2:= tC-2),811- ｾ＠

==

-i;

Solve[ {Gleichungl, Gleichung2} 1 {{ ,811

ｾ＠

ｾ＠

,821 ｾ＠ 427}} 99 ' 1 9 8

Gleichungl := ,812 _ Ｒｾ＠

==

-Jf;

Gleichung2:= tC-2),812 - ｾ＠

== ｾ［＠

Solve[ {Gleichungl, Gleichung2} 1 83 67 {{,812 ｾ＠ - 55' ,822 ｾ＠ 55}} Maple: > Gleichungl:=betall-(2/7)*beta21=S/9: > Gleichung2:=-(2/3) *betall-(1/3) *beta21=-3/2:

> solve({Gleichungl,Gleichung2});

tl6

99'

{,8tl =

427 ,821 = 198}

> Gleichungl:=beta12-(2/7)*beta22=-13/7: > Gleichung2:=-(2/3) *beta12-(1/3) *beta22=3/S: > solve({Gleichungl,Gleichung2});

67 -83 {,822 = 55' ,812 = 55}

x

Anfgabe 3.11 Der Vektor E JR2 besitze beziiglich der kanonischen Basis die Koordinatendarstellung: x = Xl (2) + X2 (2) . Welche Darstellung besitzt der Vektor beziiglich der Basis:

x

ｾ＠

ｾ＠

hI = (cos(4», sin(4))), h2 = (- sin(4)), cos(4))), LOsung:

hI

4> E JR.

Die Vektoren bzw. h2 gehen offenbar aus den Vektoren (2) bzw. (2) durch Drehung im entgegengesetzten Uhrzeigersinn um den Winkel cp hervor.

Kanonische Basis im R2 drehen, Koordinaten im gedrehten System bestimmen

90

3 Vektorriiume

Drehung der kanonischen Basis im lR.2 urn den Winkel ¢

-

-

Die Darstellung der Basis bi bzw. b2 durch die kanonische Basis lautet:

e2 (2) , sin(¢) el (2) + cos(¢) e2 (2) .

hI = cos(¢) el

h2 =

-

(2)

+ sin(¢)

Macht man die Drehung durch Drehung urn den Winkel -¢ riickgiingig, so erhiilt man die Darstellung: el (2) = cos(¢) hI - sin(¢)

h2'

e2 (2) = sin(¢) hI + cos(¢) h2. Setzt man dies ein, so folgt: ....

....

x = Xl (cos(¢) bi - sin(¢) b2) + bzw.

x=

....

....

(sin(¢) bi + cos(¢) b2)

-bi -

-

(cos(¢ )XI + sin(¢ )X2) bi + (- sin(¢ )XI + cos(¢ )X2) b2

x = xl + X2 b2 die Koordinatendarstellung x (cOS(¢)XI - sin(¢)X2)eI (2)

Genauso folgt aus

+(sin(¢ )XI + cos(¢ )X2) el (2) .

3.3 Koordinaten

91

Aufgabe 3.12 Die Basis el (3), e2 (3) , e3 (3) werde durch drei aufeinanderfolgende Drehungen (im entgegengestzten Uhrzeigersinn) urn die Eulerwinkel in eine neue Basis iiberfiihrt. 1.) Wir drehen urn den Winkel

erhalten die Basis ｢ｾＬ＠

1/1

e3 (3)

mit

b2 b3.

2.) Wir drehen urn den Winkel halten die Basis ｢ｾ＠ , ｢ｾＬ＠

e mit ｢ｾ＠

3.) Wir drehen urn den Winkel ¢ mit halten die Basis I' 2' 3'

als Drehachse und

als Drehachse und er-

br als Drehachse und er-

Man beschreibe die jeweilige Basisiiberfiihrung. Wie berechnen sich die Koordinaten eines Vektors x = Xl el (3) + X2 e2 (3) + X3 e3 (3) wenn folgende Darstellung . ｾ＠ ｢ｾ＠ III III ｢ｾ＠ III III ｢ｾ＠ III gegebenlstX.=XI I +X2 2 +X3 3' Losung:

1.) Der Vektor

(3) bleibt fest, und wir erhalten wie im ]R2:

+ sin(1/!) (3) , sin(1/I) ej (3) + cos(1/I) e2 (3) ,

=

cOS(1/!')

=

-

(3)

(3) .

Analog zum]R2 gilt flir die Koordinaten: de Beziehung:

Xl

cos(1/I)Xi - sin(1/I)x2' sin(1/I) xi

x3

x = xi ｢ｾ＠ + x2 b2+ ｸｾ＠ h3 folgen-

=

+ cos(1/I) x2'

3·

Dberfiihrung der kanonischen Basis im ]R3 durch Drehung urn den Eulerwinkel 1/1

2.) Der Vektor ｨｾ＠

bleibt fest, und wir erhaIten wie im ]R2:

Drehungen der kanonischen Basis im]R3 urn die Eulerwinkel, Darstellung der Koordinaten im kanonischen System durch die Koordinaten im gedrehten System

92

3 Vektorraume

ｨｾ＠

=

hI'

z+ sin(9) h; = z+ cos(9) h; Analog zum ]R2 gilt fUr die Koordinaten: x = ｨｾ＠ + h2 h3

=

cos(9) h

- sin(9) h

h2 +

h3 fol-

gende Beziehung:

"

Xl '

=

'

- sin(9) + cos(9)

cos(9) sin(9)

Uberfiihrung der Basis ｾｉ＠ -, -, b I , b2 , b3 durch Drehung urn den Eulerwinkel 9

3.) Der Vektor h3 bleibt fest, und wir erhalten wie im ]R2:

ｨｾＧ＠

cos

h2' h3'

- sin(if» h3·

=

ｨｾ＠

+ sin h2 ' ｾ＠ｨ + cos h2 '

Analog zum ]R2 gilt fUr die Koordinaten: folgende Beziehung:

xl'

cos (if> ) sin

x3"

x = ｸｾＧ＠

xl' - sin (if> ) xl'

x311/ .

FaBt man alles zusammen, so ergibt sich:

ｨｾＧ＠

+

h2' +

h3'

3.3 Koordinaten

93 (cos(1/!") cos (4)) - sin(1/I')cos(8) ｳｩｮＨＴＩｸｾＧ＠

Xl

+( - cos (1/1' ) sin(4)) - sin(1/I') cos(8) cos (4) ))x;'

X2

=

+ sin(1/I') sin(8)x3" , (sin(1/I') cos(4)) + cos(1/I')cos(8) sin(4)))xl'' +( - sin(1/I') sin(4)) + cos (1/1' ) cos(8) - cos( 1/1') sin(8)x3" , sin(8) ｳｩｮＨＴＩｸｾＧ＠ + sin(8) cos (4) )x;'

X3

+

ｕ｢･ｾｩＱＡＮｲｵｮ＠

der Basis ｢ｾＬ＠ ｢ｾ＠ • b:; durch Drehung urn den Eulerwinkel 4>

1

Mathernatica:

xl = cos[ 1/1' ]xsl - sin[ 1/1' ]xs2; x2 = sin[ 1/1' ]xsl + cos[ 1/1' ]xs2; x3 = xs3; xsl = xssl; xs2 = cos[8]xss2 - sin[8]xss3; xs3 = sin[8]xss2 + cos[8]xss3; xssl = cos[ 4> ]xsssl - sin[ 4> ]xsss2; xss2 = sin[4>]xsssl + cos[4>]xsss2; xss3 = xsss3; Expand[xl]

xsssl cos[ 4> ] cos [1/1' ]xsss2 cos[ 1/1'] sin[4>] - xsss2 cos [4> ] cos[8] sin[ 1/1']xsssl cos[8] sin[4>] sin[ 1/1'] + xsss3 sin[ 1/1'] sin[8] Expand[x2]

94

3 Vektordiume xsss2 cos[ljI] cost l/J] cos[9]+ xsssl cost l/J] cos[9] sin[ljI]

+ xsssl cos[ljI] sin[ l/J]-

xsss2sin[ljI] sin[l/J]- xsss3cos[l/J] sin[9]

Expand[x3] xsss3cos[9]

+ xsss2cos[ljI] sin[9]+

xsssl sin[ljI] sin[9]

Maple: > > > > > > > > > >

xl:=cos(psi)*xsl-sin(psi)*xs2: x2:=sin(psi)*xsl+cos(psi)*xs2: x3:=xs3: xsl:=xssl: xs2:=cos(theta) *xss2-sin(theta) *xss3: xs3:=sin(theta) *xss2+cos(theta) *xss3: xssl:=cos(phi)*xsssl-sin(phi)*xsss2: xss2:=sin(phi) *xsssl+cos(phi) *xsss2: xss3:=xsss3: expand (xl) ;

cos(l/J) cos(ljI) xsssl - cos(l/J) sin(ljI) xsss2 - sin(l/J) cos(9) sin(ljI) xsssl - sin(l/J) cos(9) cos(ljI) xsss2 + sin(l/J) sin(9) xsss3 >

expand (x2) ;

sin(l/J) cos(ljI) xsssl - sin(l/J) sin(ljI) xsss2 + cos(l/J) cos(9) sin(ljI) xsssl

+ cos(l/J) cos(9) cos(ljI)xsss2 -

cos(l/J) sin(9)xsss3

> expand (x3) ;

sin(9) sin(ljI) xsssl Beziehung affiner Koordinaten herstellen

+ sin(9) cos(ljI) xsss2 + cos(9) xsss3

Aufgabe 3.13 Seien

(Q,bl, ... bn ) affine Koordinatensysteme des n

-

ｾｮ＠

-

(Q,bl, ... bn )

und

mit

_

_

bj = L 13k bk, j = 1, ...

,n ,

und

n

QQ = LXQ,j bj. j=l

k=l

Man bestatige die oben angegebene Beziehung zwischen den Koordinaten des Punktes aus den Darstellungen: _

n

n

=L j=l

xj

bj

und

QP

=

L j=l

_

3.3 Koordinaten Losung:

95

Aus der Beziehung:

QP = Q-P - Q Q folgt: n

n

I>jbj - L,xQ,jbj j=I

j=I

n

"L...J

.-

- .) b

j=I

n

n_

"(x' - x - .) "L...J 13k . bk L...J j=I k=I t (t13k,j (Xj -X Q } ) Ek k=I j=I SchlieBlich ergibt sich folgende Beziehung der Koordinaten: n

xk=L,13k,j(xj-x Q } ,

k=l,oo.,n.

j=I

_

n

Ersetzt man b j = L, fik,j bk in der Ausgangsbeziehung k=I n

....

n

n

L, xjbj = L,xjbj - L,xQ,jbj' j=I

j=I

j=I

so ergibt sich auBerdem: n

xk=L,fik,jXj+xQ,k'

k=l,oo.,n.

j=I

Aufgabe 3.14 1m Punktraum JR2 seien die affinen Koordinaten-

systeme

und

eI (2), e2 (2))

(Q, hI, h2) gegeben mit:

-hI = (cos(¢), sin(¢)), - = (- sin(¢), cos(¢)), h2

¢ E JR.

Es gelte: O-Q = xQ,I eI (2) + X Q,2 e2 (2) . Welche Beziehung besteht zwischen den Koordinaten des Punkｴ･ｾ＠ P ｡ｵｾ＠ den I?arstellungen: = XI eI (2) + X2 e2 (2) und

QP =xIhI +x2h2. Losung:

Die gegenseitige Darstellung der Basisvektoren lautet:

EI = E2 = bzw.

ｳｩｮ･ｲＯﾻｾ＠

eI

+ ｳｩｮ･ｲＯﾻｾ＠ eI (2) + (2)

e2 (2) e2

, (2) ,

Kanonisches System im ]R2 drehen und verschieben, Koordinaten im neuen System berechnen

96

3 Vektorriiume el (2) = cos (I/> ) bl - sin (I/> ) b2 ,

e2 (2) =

sin (I/» bl

+ eos(l/» b2.

Also ergibt sieh: PI,1 = cos (I/> ) ,

P2,I = sin (I/> ) ,

P2,2 = eos(I/»,

PJ.2 = - sin(I/»,

und Pl,l = cos (I/» , P2,I = - sin(I/», PJ.2 = sin(I/», P2,2 = eos(l/» . Setzt man dies ein, so folgt:

+ sin(l/>)(x2 - XCi,2) , xCi,I) + cos (I/» (X2 - XCi,2) ,

XI = eos(l/>)(xl - xCi,I) X2

= - sin(l/» (XI -

bzw.

= cos (I/» X2 = sin(l/»

XI

XI - sin(l/» X2

+ xCi,1 '

+ cos (I/»

+ xCi,2'

XI

X2

Koordinaten eines Punktes P beziiglieh versehiedener Koordinatensysteme des JR2

Gleiehung zweiten Grades im JR2 in einem gedrehten Koordinatensystem darstellen, Hauptaehssystem finden

Aufgabe 3.15 Die Koordinaten XI, X2 eines Punktes P beziiglich (0, el (2), e2 (2») erfiillen die Gleichung:

A

E ]R2

xl + B XI X2 + c xi + D XI + E X2 + F = 0,

(A, B, C, D, E E IR. B 10). Man bestimme ¢ so, daB die Koordinaten ｸｾＬ＠ ｸｾ＠ von P beziiglich (0, (cos(¢), sin(¢)), (- sin(¢), cos(¢))), des Hauptachsensystems, eine Gleichung der folgenden Gestalt erfiillen:

A' ｸｾ＠

2

+ C' ｘｾ＠

Was ergibt sich im Fall:

2

+ D' ｘｾ＠ + E' ｘｾ＠ + F' = 0 .

97

3.3 Koordinaten

LOsung:

Durch Einsetzen von:

x2 '

Xl

cos(l/J) xi - sin(l/J)

X2

sin(l/J)xi+cos(l/J)x2'

ergibt sich zuniichst eine Gleichung:

mit A' B'

= =

c' F'

B ((cos(l/J»2 - (sin(l/J»2) + 2 (C - A) sin(l/J) cos(l/J), A (sin(l/J»2 - B sin(l/J) cos(l/J) + C (cos(l/J»2 ,

D' E'

A (cos(l/J»2 + B sin(l/J) cos(l/J) + C (sin(l/J»2 ,

D cos(l/J) + E sin(l/J), =

-D sin(l/J) + E cos(l/J),

F.

Es bleibt das Problem l/J so zu bestimrnen, daB B' = 0 wird. Verwendet man die Beziehungen: (COS(l/J»2 - (sin(l/J»2 so folgt: B'

= cos(2l/J),

2 sin(l/J) cos(l/J)

= B cos(2l/J) + (C -

= sin(2l/J),

A) sin(2l/J).

Hieraus kann l/J mit Hilfe von:

A-C

cot(2l/J) = - B

bestimmt werden.

Darstellung der Ellipse

ｾｬ＠

2

Xf -

ｾｸｩ＠

+ ｾｘｉ＠

ｾＮｊＳｘｉＲ＠

+

+1= 0 in verschiedenen Koordinatensystemen des ]R2

Sei nun konkret:

98

3 Vektorriiume

Aus 2 I cot(2t/» = _4_ = - -

-i v'3

entnehmen wir t/> =

v'3

3

3"7r und mit I / I.r.:; / 2 2 ' I .r.:; / I /

-xl-- v3x2

Xl

- v3xI + -x2 2 2' folgt: /2

2xI +

3 /2

/ / x2 +xI+ 4x2+ I =O.

Durch quadratische Ergiinzung bekommt man hieraus folgende Ellipsengleichung: 1)2 ( 2 ( xi + 4 + 3 ｸｾ＠

E

+

3'4)2 =

11 24 .

Mathematica: Die Konstante E ist fiir die Eulersche Zahl reserviert. Mit Unprotect kann dies riickgiingig gemacht werden. Mit Collect wird ein Ausdruck als Polynom von bestimmten Variablen dargestellt, die in einer Option festgelegt werden.

Unprotect

Unprotect[E] ;

Collect

g[xL, xl_] := Axl2 + Bxlxl + Cxl2 + Dxl + Exl + F gs = Expand[ g[cos[t/>]xsl- sin[t/>]xs2, sin[t/>]xsl + cos[t/>]xs211; Collect[gs, {xsl, xs2, xslxs2}] F + xs2(E cos[t/>] - D sin[t/> D + xsl(D cos[t/>] + E sin[t/> D+

xs22 (Ccos[t/>]2 -

cos[t/>] sin[t/>] + Asin[t/>]2)+

xslxs2(Bcos[t/> ]2cos[t/>] sin[t/>] + 2C cos[t/>] sin[t/>]xsI 2 (Acos[t/>]2 +

collect collect( ,distributed)

cos[t/>] sin[t/>] + CSin[t/>]2)

Maple: Mit Collect wird ein Ausdruck als Polynom von bestimmten Variablen dargestellt, die in einer Option festgelegt werden. Damit man als Ausgabe auch das gewiinschte Polynom erhiilt, muB noch die Option Distributed verwendet werden. > ｧＺ］ＨｸｬＬＲＩＭ＾ａＪｾＫｂｃｄｅｆ＠

g := (xl, x2) -+ A xl2 + B xl x2 + C x22 + D xl + E x2 + F

3.4 Der unitiire Vektorraum

en

99

> >

gs: =expand(g(cos (phi) *xsl-sin(phi) *xs2,sin(phi) *xsl +cos(phi)*xs2»:

>

collect(gs, [xsl,xs2] ,distributed);

F

+

sin(4))

+D

cos (4) )2

+ +

cos (4) ) sin(4))

sin(4))2 + C cos(4))2 cos(4))2

sin(4))

+

cos(4)))

+ C sin (4) )2) 2

cos(4))

+ 2 C cos(4)) sin(4)) -

sin(4))2 - 2

cos(4)) sin(4)))

3.4 Der unitiire Vektorraum en Wir iibertragen als erstes das im 1R3 erkliirte skalare Produkt und die Liinge eines Vektors in den IRn .

a

Das skalare Produkt zweier Vektoren = b2 • bn ) aus JR'I wird erkliirtdurch:

b=

• ...•

und

Das skalare Produkt besitzt dieselben Eigenschaften wie im IR3 und durch

11"11 =

Jt,a j

wird die Lange eines Vektors gegeben. Versehen mit dem skalaren Produkt triigt der nes Euklidischen Vektorraums.

en

die Strukur ei-

ebenfalls Liingen von Vektoren einDamit wir im Vektorraum fiihren konnen, muB das skalare Produkt etwas modifiziert werden.

Skalares Produkt und Lange im lR.n

100

3 Vektorriiume

a

Das skalare Produkt zweier Vektoren = (al. a2 . .... an) und (bl. b2 • ...• b aus wird erkliirt dureh:

n) en

b=

n

ab=Lajbj. j=1

Skalares Produkt und Lange im

en

Die Lange eines Vektors aus

en wird gegeben als: n

L

!iall = \

.

j=1

Versehen mjt dem skalaren Produkt triigt der en die Struktur eines unitiiren Vektorraums. Fur viele Belange sind Vektoren mit der Einheitsliinge zweekmiiBig. Nonnierte Vektoren

Vektoren der Lange 1 heiBen normierte Vektoren oder Einheitsvektoren. Das skalare Produkt besitzt folgende Eigensehaften.

1.)aa=llaI12 •

¢:=}

a=O.

3.)

a b = ba. + b) c = c+ be.

4.)

p.a) b = J.. a b . a (J... b) =

S.)

Iia + bll ｾ＠ Iiall + IIbll . (Dreieeksungleichung).

2.} Eigenschaften des skalaren Produkts im en

aa=O

).

ajj •

DaB Vektoren senkreeht aufeinander stehen, konnen wir mit dem Skalaprodukt wie im 1R3 erkliiren.

Orthogonale Vektoren, Orthogonalsysteme und Orthonormalsysteme

a

Zwei Vektoren und b aus en (lRn) heiBen orthogonal wenn 0 gilt. Eine Menge von Vektoren (iiI •...• am), die den Nullvektor nieht enthiill, hei13t Orthogonalsystem, wenn je zwei Vektoren ii/c und ii j • k ¥= j • orthogonal sind. Sind die Vektoren paarweise orthogonal und normiert. so heiJ3t die Menge (iiI •...• am} Orthonormalsystem.

ab =

3.4 Der unWire Vektorraum en

101

Verwendet man Basissystemen, deren Vektoren paarweise senkrecht stehen, so gestalten sich viele Rechnungen einfacher. Stellen die Vektoren {a 1 , ••• ,am} ein Orthogonalsystem dar, so sind sie linear unabhiingig. Bildet ein Orthogonalsystem eine Basis des en (IRn). so sprechen wir von einer Orthogonalbasis. Sind zusatzlich alle Basisvektoren normiert, so liegt eine Orthonormal basis vor. Die kanonische Basis ｾｮＩ＠ des en (JR") stellt eine Orthonormalbasis dar.

Orthogonalbasen und Orthononnalbasen

e

Beziiglich einer anderen Orthonormal basis lassen sich die Koordinaten eines beliebigen Vektors eben so bequem berechnen.

en. Aus der Basisdarstellung a= L aj ｾ＠ j ergibt sich: aj = aｾ＠ j Sei ｾｪ＠

eine Orthonormal basis des

II

j=1

Das skalare Produkt berechnet man wie folgt:

Koordinaten beziiglich einer Orthononnalbasis

Orthonormalsysteme kann man mit dem Verfahren von HilbertSchmidt herstellen. Seien .11 , ... , am aus en (IRn) linear unabhiingige Vektoren. Dann erzeugt das Hilbert-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren: 1

ｾ＠

=

lIalll al

=

QI+l -

I

L

ｾ＠

al+1

ik) i k

k=!

1

=

Ilal+11I ｾ＠

ｾ＠

ein Orthonormal system {el •...•

-

Hilbert-Schmidtsches Orthononnalisierungsverfahren

ｾ＠

m

mit der Eigenschaft m >.

Aufgabe 3.16 Man bestimme eine Orthonormal basis des 1R2 , indem man von der Basis (1.3), (2,7) ausgeht und das HilbertSchmidtsche Verfahren anwendet. WeIche Darstellung besitzt der f3) in der neuen Basis? Vektor

Hilbert-Schmidtsches Verfahren im]R2 anwenden

3 Vektorriiume

102

Losung:

Wir beginnen mit der Basis: al = (1,3), a2 = (2,7).

Der erste Schritt besteht darin, den Vektor al zu norrnalisieren:

1m zweiten Schritt berechnen wir den Vektor J2 und norrnalisieren ihn anschlieBend. a2 - (a2

ｾｬＩ＠

ｾｬ＠

(2,7) - (2,7)

ｾ＠

1 (2,7) - 10 23 (1, 3) ＭｾｩＲ＠

1

ｾ＠

(1,3))

=

(1, 3)

1 10 (-3, 1),

ｾ＠

IIii211 1

J.n

1 10 (-3, 1) =

1

vTo (-3,1).

,,10 Der Vektor

(3) besitzt die Darstellung:

«a, (3) - + «a, f3) ｾ＠

f3)

=

1 10 (a

+ 3 (3)

ｾ＠

1

-

+ 10 (-3 a + (3)

ｾ＠

.

Orthonorrnalisieren der Basis (1,3), (2,7) imlR2

al = {I, 3}; a2 = {2, 7};

3.4 Der unitiire Vektorraum en

103

al esl=-Jal.al 1

ｻｾＬｽ＠

3

as2 = Simplify[a2 - a2.eslesl] 3

1

{-lO'lO} es2 =

{- ｾＬｽ＠

as2 Jas2.as2 3

1

Maple: > al:=[l,3): a2:=[2,7): > esl:=(1/norm(al,2»*al;

1

esl := 10 ｾ｛ＱＬ＠

3]

> as2:=a2-dotprod(a2,esl)*esl;

-3 1 as2:=[- - ] 10'10 > es2:=(1/norm(as2,2»*as2; ｾ＠ -3 1 es2 := ,,10 [w' 10]

Aufgabe 3.17 Man bestimme eine Orthonormalbasis des 1R3 indem man von der Basis (2, 1,3), (1,2, I), (0,3,4) ausgeht und d"as Hilbert-Schmidtsche Verfahren anwendet. t

LOsung:

Wir beginnen mit der Basis:

al

=

2

=

Der erste Schritt besteht darin, den Vektor

3

= (0,3,4).

al zu normalisieren:

1m zweiten Schritt berechnen wir den Vektor schlieBend.

a2 und normalisieren ihn an-

1m dritten Schritt berechnen wir den Vektor ti3 und normalisieren ihn anschlieBend.

Hilbert-Schmidtsches Verfahren im 1R3 anwenden

104

3 Vektorriiume

3

4

Orthonormalisieren der Basis (2,1,3), (1,2,1), (0,3,4) imR3

2

al = {2, 1, 3}; a2 = {t, 2, I}; a3 = to, 3, 4};

as2 = Simplify[a2 - a2.eslesl] 3

1

{0'2'-2} es2= 3

as2

-=== .Jas2.as2 1

to, ./W' - ./W}

3.4 Der unitiire Vektorraum as3

en

105

= Simplify[a3 -

a3.eslesl - a3.es2es2] 15 3 9

{- 7' 7' 7}

as3 es3= --=== . v'as3.as3

f5

{-V7' ｾＧ＠

1

ｾｽ＠

3

Maple: > with(linalg) : > al:=[2,1,3]: a2:=[1,2,1]: a3:=[O,3,4]: > esl:=(1/norm(al,2»*al;

1 esl := 14 .Ji4 [2, 1, 3] > as2:=a2-dotprod(a2,esl)*esl;

3 -1 as2:= [0 - - ] '2' 2

> es2:=(1/norm(as2,2»*as2;

1 ｾ＠ 3-1 es2 := - v 10[0 - - ] 5

'2' 2

> as3:=a3-dotprod(a3,esl)*esl-dotprod(a3,es2)*es2;

-15 3 9 as3:= [-7-' 7' 7] > es3:=(1/norm(as3,2»*as3;

1 es3:= 15

-15 3 9 55[- -] 7 ' 7' 7

Aufgabe 3.18 Sei IU ein m- with (linalg) ; > A:=matrix(2,3, [3,3,4,-5,2,6);

A.= . [ -53

3 4]

2 6

> rref (A);

Aufgabe 4.9

Man zeige, daB die Matrix:

32 0)6 1

1

invertierbar ist und bestimme ihre Inverse durch Zeilenoperationen.

Eine Matrix durch Zeilenoperationen in die Einheitsmatrix iiberfiihren, Inverse bestimmen

124

4 Matrizen Liisuog: Wir versuchen, die Matrix durch Zeilenoperationen in die Einheitsmatrix zu iiberftihren, und gehen nach folgendem Schema vor:

E

A 2

3

0

1

0

0

-5

2

6

0

1

0

1

0

1

0

0

1

3

0

I

0

0

19

T 1

6

5

1

0

0

1

3

0

0

1

12

0

0

1 ｾ＠

0 0 1

1

0

ｾ＠

ｾ＠

3

1

0

0

1

0

3

2 1

ｾ＠ ｾ＠

0

1 ｾ＠

0 19 1

5

19 5

0 12

1

1

0

0

5

0

1

19 -

2

7 5 -7

7 2 -7 3 -7 2

2 19

-

T Z3

5

0

0

19

0

0

0

0

2

19

-7

2

ZI

0

1

7 5 -7 4 -7

1

0 2

-7

0

0

-

1 I

I ZI

5-

2 19 Z2

0

19

2

12

+ ｾ＠

0

2

19

Ｍｾ＠ Ｍｾ＠

0

0

5

19

Ｍｾ＠

I

ｾ＠

-

T

12 Z2 - 19 Z3

-T 19

T

18

T 12 -T

7 2 -7

3ZI - 2 Z2

19

T

Der Rang von A ist also gleich 3 und A invertierbar. Die inverse Matrix kann aus dem Schema entnommen werden, denn es gilt:

G Dｾ＠ ＨＭｾＺ＠

3

-7 2

1

7

0

d. h.

A-I =

2

-7

('

19

-7 3

-7

-7

'5

7

-7

-7

2

2

") Ｍｾ＠

0

T

¥) 12

-T 19

T

4.2 Der Rang einer Matrix

Mathematica:

125

Mit Inverse wird die Inverse einer Matrix berechnet. A = {{2, 3, O}, {-5, 2, 6}, {O,l,l}}; Inverse

RowReduce[A]/ /MatrixForm

1 00) ( 010 001 MatrixForm[Inverse[ A]]

Maple: > with (lina1g) ; >

inverse

A:=matrix(3,3, [2,3,0,-5,2,6,0,1,1):

> rref (A);

>

inverse (A) ;

-4

-3

7

7

7

5

2

-12

-

-

7

7

-5

-2

19

7

7

7

7

Aufgabe 4.10

18

Gegeben sei die Matrix:

A

=

(-53 36 05) 2

7 0

2

2

1

Durch Zeilen- und Spaltenoperationen soil A in die Matrix:

(010010)

A= 0 1 0

000 iiberfiihrt werden. Man gebe Matrizen schaft: A = P A Q

- Q Normalform bringen

Eine Matrix in

und Q an mit der Eigen-

126

4 Matrizen Ltisung: ma vor:

Wir gehen bei den Zeilenumfonnungen nach folgendem Sche-

A

3

3

2

7

5 0 0

-5 6 2 2 1

1

1

0

5

0

11

T

0

3 ZI Ｒｾ＠ Z2 - 3 ZI ｾ＠

2S

0 1

1

0

1

0

0

0

0

Z3

-!S

ｾ＠

+ i ZI Ｒｾ＠

Z4 - j ZI

3 2 -3

1 ｾ＠

3' Z2

47

T

ｾ＠ 11 ｾ＠ Z3 - TZ2

-!S

1

1

0

1

3 2 -3

0

0

1

0

1 ｾ＠

S

! -3"

10

ｾ＠

0

0

Z4

+

3 ｾ＠ 47 Z3 7 ｾ＠ 47Z3

1m erstem Schritt nehmen wir vier Zeilenumfonnungen vor, die durch Multiplikation von links mit folgender Produktmatrix bewirkt werden:

12 (-33S

_ 1 2 2 2 _ PI - Ml 1 M21 _2 M31 S M41 _2 '3 • 3 '3 • 3

0

-i

1

0 0

0 0

0

1

0) 0 . 0 1

1m zweiten Schritt nehmen wir drei Zeilenumfonnungen vor, die durch Multiplikation von links mit folgender Produktmatrix bewirkt werden:

I _ 1 2 _ (0 P2-M21M32_1I- 0

·s

.,-

o

0

!11

--S 0

oo

0)

1

0

o

1

0

.

1m dritten Schritt nehmen wir zwei Zeilenumfonnungen vor, die durch Multiplikation von links mit folgender Produktmatrix bewirkt werden:

P3

=

1 M3

3

'47

2 M43

7

'47

=

1 0 ( 0

0 1 0

o 0

Wir gehen bei den Spaltenumfonnungen nach folgendem Schema vor:

4.2 Der Rang einer Matrix

127

A

1

0

0 2

0

1

-3

0

0

1

0

0

0

1

0

52 - 51 ｾ＠

Ｕｾ＠

s3 -

3 SI

ｾ＠

Ｒｾ＠

0

0

0

0

0

1

0

0

0

S3+j S2

1m erstem Schritt nehmen wir zwei Zeilenumformungen vor, die durch Multiplikation von rechts mit fo\gender Produktmatrix bewirkt werden: 2

2

QI = M21 ,_1 M31

= (0

':J

0

ＭｾＩ＠ o

-1 1 0

1 _5

.

1

1m zweiten Schritt nehmen wir eine Zeilenumformungen vor, die durch Mu\tiplikation von rechts mit fo\gender Matrix bewirkt wird:

ｾ＠

Ｌｾ＠ Ｈｾ＠ 32':J

M'

0

n

0 1 0

1nsgesamt gilt nun:

A=

P3 P2 PI A QI Q2 = P A Q

mit

I

j

2

0

0

0

I

0

0

3

0

-15

5

I

-233

4'1

77 -m

7 47

P=

5 I

-5

33

und -1 1 0

ｑｾｇ＠

ＭＬｾＩ＠ 3

.

1

Mathematica: A

= {{3, 3, 5}, {2, 7, A}, {-5, 6, O}, {2, 2, I}};

Pl=

{{j-, 0, 0, o}, { P2= {{l, 0, 0, O},

ｾＬ＠

1,0, o}, ｻｾＬ＠

0, I,D}, { - ｾＬ＠

0, 0,

l} };

to, !, 0, OJ, to, -¥, I,D}, {O, 0, 0, l}};

P3= {{l,0,0,0}, {O, 1,0,0},

{o,o,

{0,0,

17, l}};

128

4 Matrizen

MatrixForm[P3.P2.Pl] 1

° °° 5 °° °

"3

2

1

-15

5

-ill

33

3 47

_1

77 -235

47

1

5

Ql= {{ 1, -1,

7

-i}, {a, 1, a}, {a, 0, l}}

Q2= {{1,0,0},

{a, 1, ｾｽＬ＠

{O,O,

1}}

MatrixForm[Q1.Q2]

ｾＱ＠

(:

1 -i )

MatrixForm[P3.P2.Pl.A.Ql.Q2]

ｕｾｮ＠ > with (lina1g) ; > A:=matrix(4,3, [3,3,5,2,7,0,-5,6,0,2,2,1]): > Pl:=matrix(4,4, [1/3,0,0,0, -2/3, 1, 0, 0, 5/3, 0, 1, 0,

-2/3,0,0,1]) :

°,°,°,

°,°,

°,°,°,

0, 1/5, 0, -11/5, 1, 0, 1] ) : > P2: =ma tr ix (4, 4, [1, > P3:=matrix(4,4, [1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,3/47,0,0,0,7/47,1]): > eva1m(P3&*P2&*Pl);

1 3 -2 15 1 5 -1 5

° °° °° °

1 5 -33 235 -77 235

3 47 7 47

129

4.2 Der Rang einer Matrix

>

Q1:=matrix(3,3, [1,-1,-5/3,0,1,0,0,0,1]):

> Q2:=matrix(3,3, [1,0,0,0,1,2/3,0,0,1]): > evalm(Q1&*Q2);

> eva1m(P3&*P2&*P1&*A&*Q1&*Q2);

Ui!] Aufgabe 4.11 Durch Spaltenoperationen bestimme man die Inverse der Matrix:

:i)

1

1

•

-i LOsung:

Wir iiberfiihren die Matrix durch Spaltnoperationen in die Einheitsmatrix und gehen nach folgendem Schema vor:

i

1

1+ i

1

0

0

0

3

i

0

1

0

0

-i

0

0

1

0 1

1

3

0

1

-1+i

-i

0

0

-i SI

-1

0

1

1 .

0

3" 0

0

3" S 2 i S3

0

0

3

0

0

1

1

3

-3 +1

-i

0

I

0

0 0

0

2

1

0

1

0

1

i 1

ｾ＠

S3 +S2

3 i 2'

i

3"

-1--1

1

1

1

0

0

-i

0

1

0

0

3

3

0

0

1

0

0

i

ｾ＠

1

ｾ＠

s2 + 3 SI ｾs3 ＠ - (-3 2 + .) sl ｾ＠

Die inverse Matrix kann aus dem Schema entnommen werden, denn es gilt:

Inverse einer Matrix mit Elementen aus IC bestimmen

4 Matrizen

130

0 I 0

G 0)ｾ＠ d. h.

C C

1 . 31

- I

ｾ＠

=A

J

0

1.

A- 1 =

Jl

ｾ＠

1

-I

J

0

-It) ｾ＠ 1i) J

.

i

Mathematica: A

= Hi,I, 1+ i}. {O, 3, i}. {O, 0, -ill; MatrixForm[Inverse[ A11

Maple: > A:=matrix(3,3, [I,1,1+I,O,3,I,O,O,-I]): > inverse (A) ;

I -I

3 I 3

o

4.3

Lineare Abbildungen und Matrizen Wir betrachten strukturvertragliche Abbildungen zwischen zwei Vektorraumen.

Lineare Abbildung

V und W seien Vektorraume iiber dem selben Skalarenk6rper oc. Die Abbildung f : V ｾ＠ W heil3t linear, wenn fur aile Q E V und )" E IK gilt: f()"Q

+

= A 1(0)

+

Bei linearen Abbildung spielt (neben dem Bildraum) der Nullraum eine wichtige Rolle.

4.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

131

1.) Die Menge aller Bildvektoren

Bild(f)

= {f(a) E WI ii

E V}

stellt einen Unterraum von W dar. 2.) Die Menge aller Vektoren. die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Kem(f)

= (a E VI f(a) = 0 E 'W}

Eigenschaften linearer Abbildungen

steHl einen Unterraum von V dar. 3.) Die Abbildung isl genau dann injektiv. wenn Kem(f) = {O} isl.

4.) Es gilt die Dimensionsforrnel: Dim(V) - Dim(Bild(f» = Dim(Kem(f» . Eine lineare Abbildung wird somit durch die Vorgabe der Bilder der Basisvektoren bereits festgelegt. Wenn V die Basis al , ... ,an besitzt, dann bekommt man das Bild eines Vektors durch die Bilder der Basisvektoren: Lineare Abbildungen und Basen im Urbildraum

Wir konnen jeder linearen Abbildung eine Matrix zuordnen.

4 Matrizen

132

Sei al und:

..... an eine Basis von V. bl ..... bm eine Basis von W m

f

j)

=L

fJl with (linalg) ; > dotprod (crossprod ( [a, -3, -4] , [1, -2!3, -1/3] ) , [1,1, -3] ) ;

44

7

-3+3"a Losung: (b) Die Gerade schneidet die Ebene nicht, wenn das folgende Gleichungssystem keine Losung besitzt:

2+ ta I - +t 3

-4+t

=

+r2 1 --+a3-r4

a

4

3-a2-r

bzw.

at-a-2r t-3a+4r t

+ 2a + r

-2 7 12 7.

5.1 Der Losungsraum eines linearen Gleichungssystems

151

Die letzten beiden Spalten der Matrix des Systems: -1

-3 2 sind linear unabhiingig. Wir miissen a so bestimmen, daB die Matrix insgesarnt nicht den Rang 3 besitzt. Dies ist wiederum dann der Fall, wenn das Spatprodukt der Vektoren: (a,-I,-2),

(1,-3,4),

(1,2,1)

Null ergibt. Hieraus bekommt man die Bedingung:

-l1a-13=O, 11 d.h. a = -1"3. Wir zeigen nun, daB die erweiterte Matrix: -1

-2

-3

4 I

2

-:,2) 12 7

den Rang 3 besitzt. Dazu berechnen wir das Spatprodukt der Vektoren

(-1,-2,-2),

(-3,4'172)'

we Ic hes - -199 ergl·bt. W·If k··onnen a1so a 4

= - -11

13

(2,1,7), .. wiilllen.

Schnittpunkt der Geraden

= 2 + ta,x2

Xl

=

l + t, x3 = -4 + t

mit der Ebene = (1 + r 2, X2 = + (13 - r 4, x3 = 3-(12-r

Xl

-i

a

= -ll

Mathematica: Simplify[(a, -1, -2} x (1, -3, 4}.(I, 2, I)]

-13-11a Simplify[(-I, -2, -2} x { - 3,4, :2 }.(2, 1, 7}) 199 4

'

5 Lineare Gleichungssysteme und Detenninanten

152 Maple:

> with (lina1g) ;

> dotprod(crossprod( [a, -1, -2) , [1, -3,4) ) , [1,2,1) ) ;

-13-11a > dotprod(crossprod( [-1, -2, -2) , [-3,4,7/12) ) , [2,1,7) ;

-199 4 Losbarkeit eines linearen Gleichungssystems in Abhiingigkeit von der rechten Seite diskutieren

Aufgabe 5.4 Fur welche losbar:

Losung:

b

E

cJ

wird das folgende System

Offenbar sind die zweite und die dritte Spalte

der Systemmatrix linear unabhiingig, wiihrend die erste Spalte

von der dritten linear abhiingt. Darnit ist der Rang der Systemmatrix 2, und das System wird losbar, wenn der Rang der erweiterten Matrix auch 2 ist. Letzteres ist gleichbedeutend darnit, daB wir die rechte Seite

linear aus zweiten und dritten Spalte kombinieren konnen:

Hieraus liest man die Losbarkeitsbedingung ab:

Wir konnen auch so vorgehen, daB wir den Rang der erweiterten Matrix nur mit Hilfe von Zeilenoperationen bestimmen, so daB wir gleichzeitig auch den Rang der Systemmarix selbst ablesen konnen.

5.1 Der L6sungsraum eines linearen Gleichungssystems

153

bT

A

0

0

-2

-1

0

2i

-2

-1

0

bl b2

0

b3 b2

0

bl bJ

Z2 ZI

0

2i

0

-2

-1

1

0

1

0

bI

0

0

0

-2ibI+bJ

b2

Hieraus entnimmt man wieder, daB der Rang der Systemmatrix 2 ist. Wiihrend der Rang der erweiterten Matrix nur dann 2 betriigt, wenn 2 i bI b3·

Mathematica: Bestimmt man den Rang der erweiterten Matrix mit RowReduce, so wird der Sonderfall 2 i bI = b3 nicht beriicksichtigt. RowReduce

A = flO, 1, O}, {-2, -1, I}, {O, 2i, OJ}; MatrixForm[A]

ｾＲ＠

(

ｾＱ＠

o

001)

2i

MatrixForm[RowReduce[ AII 1

(

-1) 0

0

o 1

000 b = {bl, b2, b3}; AE = Transpose[Append[Transpose[A], bll; MatrixForm[AE]

o ( -2

o

lObi

-1

1

b2)

2i

0

b3

MatrixForm[RowReduce[AE]1

(

10

o o

1

0

Ｍｾ＠

I

o o

ｾ＠ 1 )

154

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

concat

Maple: Mit Concat kann man eine Matrix urn einen Spaltenvektor erweitern. Bestimmt man den Rang der erweiterten Matrix mit Rref, so wird der Sonderfall 2 i b I = b3 nicht beriicksichtigt. > with (linalg) ; > A:=matrix(3,3, [O,1,O,-2,-1,1,O,2*I,O]);

ａｾ＠

-2

1 -1

0

21

0 [

n

> rref(A);

-1

[ｾ＠ ] 0

2

1 0

0 0

> b:=[bl,b2,b3];

b:= [bl, b2. b3] > AE:=concat(A,b);

ａｅｾ＠

0 [ -2 0

1 -1

21

0 1 0

hi b2 ] b3

> rref (AE);

[ｾ＠ Rangkriterium anwenden, schematisch vorgehen

0

-1

-

1 0

2 0 0

:]

Aufgabe 5.5 Mit dem Rangkriterium entscheide man, ob die folgenden Gleichungssysteme losbar sind:

(a)

(b)

2XI 3xI i XI

2xI 3XI

Losung:

+X2 +4X2 +2X2 -2X2 +4X2 +2X2

+ 3X3

= =

i ,

1,

- 2X3 + 2X3

0, 3,

+ 3X 3

-X4 +2X4 -3X4

- 2X3

(a) Wir formen die Matrix

=

2, 1,

O. mit Zeilenoperationen urn:

5.1 Der Losungsraum eines linearen Gleichungssystems

bT

A

2

1

3

3

i

4

0

1

i

2

-2

0

0

-2

2

3

2

1

3

0

5

9

0

1

3

0

9

0

2 3

12i

7i

0

0

5-5 8 -5

2

1

3

i

0

2

9

1 -2 3i

0 0

5

0 0

- Z3

2i ZI

5 6i 5-5

Z3 -

19

-2 8

23-ZI

i 3i 1 -2

-2 8

Z2 -

1

2

5

0

2

3· -2-j

2

2

i 1 _ 3i

-2

2 2- ｾ＠ -2

0

155

12i

(2Z4

n

Z2

+ ｾｚＲ＠

7i

5-5 41 13

0

5 -13 JOi

-Z4

6i)-Z3 + (4TI + TI

Hieraus entnimmt man: Rg (A) = 3 und Rg (Alb T) = 4. Das System ist nicht losbar.

Mathematica: A

= {{2, I, 3}. {3, 4, O}, {i, 2, -2}, {O, -2, 2}}; MatrixForm[A] 213

(;

ｾ＠

ｾＲＩ＠

o -2

2

b = {i,I, 0, 3};

AE

= Transpose[Append[Transpose[AJ. bll; MatrixForm[AE] 2 ( 3 i

1 4 2 -2

o

3 0 -2 2

i

1) 0 3

MatrixForm[RowReduce[AE]]

Ｈｾ＠

1

000

ｾ＠ ｾ＠

000

ｾＩ＠

1

156

5 Lineare Gleichungssysteme und Deterrninanten Maple: > with(linalg); > A:=matrix(4,3, [2,1,3,3,4,0,1,2,-2,0,-2,2);

1 3] [ 2 2-2 340 I

A:=

o -2

2

> b:=[1,1,0,3);

b:=[/, 1,0,3] > AE:=concat(A,b);

> rref (AE);

Losung:

uｾ＠ !n

(b) Wir formen die Matrix Alb T wieder mit Zeilenoperationen

urn:

bT

A

2

0

-I

3

2

3

4

0

2

i

0

2

-2

-3

0

2

0

3

-I

2

0

4

9

-2

7

2

-3 +i

0

2

-2

-3

0

2

0

3

-1

2

0

4

9

-2

7

-3+i

0

1

2

0

-"'4

2-2

4

3

19

i

ｾ＠

Z2 -

Ｓｾ＠

2 ZI

ｾ＠ 1 ｾ＠ Z3 - "2 Z2

Hieraus entnimmt man: Rg (A) = 3 und Rg (Alb T) = 3. Das System ist losbar. Mathematica: A = {{2, 0, 3, -I}, {3, 4, 0, 2},

2 ( 3

o

0 4 2

to, 2, -2, -3}); MatrixForm[A] 3 0 -2

-I) 2 -3

5.2 Der GauBsche Algorithmus

157

b = f2, i, OJ; AE

= Transpose[Append[Transpose[AJ, b)); MatrixForm[AEJ -1 2 2 0 3 3 4 0 2 i) ( o 2 -2 -3 0 MatrixForm[RowReduce[AEJJ

28 1 0 0 ( 010-4,] o 0 -19

-8 + 3i ) 6-2i 6-2i

Maple: > A: =ma trix (3, 4, [2, 0, 3, -1, 3 , 4, 0, 2 , 0, 2 , - 2 , - 3]) ;

Ｍｾ＠

-3

]

> b : =[2,I,O];

b:= [2, I, OJ > AE:=concat(A,b);

ａｅｾｕ＠

0 4 2

3 0 -2

-1 2 -3

2 I 0

]

> rref (AE);

28 -41 2 -19

-8+31 ] 6-21

6-21

5.2 Der Gau6sche Algorithmus Der Losungsraum eines inhomogenen Gleichungssystems solI nun konkret beschrieben werden. T = bT mit der m x n-Matrix A. Gegeben sei das System: Fiihrt man in der erweiterten Matrix (A I bT) eine Zeilenoperation durch, so verandert sieh der Losungsraum nichl. Vertauschl man in der Matrix A zwei Spaltenvektoren, so vedindert sich . der Losungsraum nieht. (Wenn man zwei Spalten vertauscht, so empfiehlt es sieh, die entsprechenden Unbekannten umzubenennen).

Zeilen- und Spaltenoperationen bei Gleichungssystemen

5 Lineare Gleichungssysteme und Detenninanten

158

Der GauBsche Algorithmus verliiuft v6llig analog zu der Umformung einer Matrix bei der Rangbestimmung. In r Rechenschritten liiBt sich das Sj'stem: A folgende Gestalt bringen: A X T = b mit

=

Gaufischer Algorithmus

und b

= Ｈ｢ｾｲＩ＠

xT = bT

in die

1

12

13

0

1

a23

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

｡ＨｾＩ＠

1

1

1•

a2

｡ＨｾＩ＠

1

1

• . ..•

=

!

Der GauBsehe Algorithmus - losbares System. (Helle Felder sind mit Nullen besetzt).

=

=

Der GauBsehe Algorithmus - nieht losbares System. (Helle Felder sind mit Nullen besetzt).

5.2 Der GauBsche Algorithmus

159

Diese Form gestattet es, den Losungsraum bequem darzustellen. ungleich Null ist, ist FaJls eine der Konstanten b;11 ' ... Ｌ｢ｾＩ＠ das Rangkriterium verletzt, und das Gleichungssystem besitzt keine Losung. = ... = ｢ｾＩ＠ = 0 setzt man mit beliebigen FaJls jedoch: ｢ｾＱ＠ Skalaren aus IK. Xr+1

= Ar+1

= Ar+1 , ...

,Xr+1

,Xn =

Ltisung eines Iinearen Gleichungssystems

An

und berechnet die XI , ... , X, aus den ersten r Gleichungen.

Aufgabe 5.6 Mit dem GauBschen Algorithmus priife man, ob das folgende System losbar ist:

8,

2Xl+2x2-4x3

+ X3

=

1,

+ 3 X2 - 7 X3

=

5.

-3 Xl Xl

Losung:

- X2

Mit

2

-4) ,

-\

\

-7

3

bilden wir zuerst die erweiterte Matrix

):

2 -\

3 Der erste Schritt des GauBschen Algorithmus ergibt:

ＨｾＳ＠

-2 -\

\

3

-7 -2

G

2 2

-5 -5

n ｾＩ＠

Der zweite Schritt des GauBschen Algorithmus ergibt:

-2

G

1 2

5

-2 -5

i),

-2

G

1 0

5

-2 0

4 ) . "2 -12 13

GauBschen Algorithmus durchfiihren, Losbarkeit priifen

160

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Diese letzte losungsaquivalente Form zeigt, daB das vorliegende System keine Losung besitzt. Wie bei der Rangbestimmung gehen wir aueh beim GauBsehen Algorithmus sehematiseh vor:

bT

A

2

2

-4

8

-3

-1

1

I

1

3

-7

5

1

1

-2

4

-3

-1

1

1

-7

5

3

1

LinearSolve

I

!

1

1

-2

4

0

2 2

-5 -5

13

0 1

1

-2

4

0

1

0

2

-2 -5

Z2

+

1

5

-

13

T

I

2

1

1

1

-2

4

0

1

5

-2

13

-T

0

0

0

-12

ｾ＠

ｾ＠

Z3 -

Mathematica: Zur Losung linearer Gleiehungssysteme wird die Funktion LinearSolve bereitgestellt. Man gibt die Matrix und die reehte Seite (als Zeilenvektor) ein. 1st das System nieht losbar, wird es von LinearSolve zuriiekgegeben. A = {{2, 2, -4J. {-3, -1, I}. {t, 3, -7}}; MatrixForm[AJ 2

( -3

2 -1

3 b = {S,l, S} {8, 1, 5}

LinearSolve[A, bJ LinearSolve[{{2, 2, -4}. {-3, -I, l}, {I, 3, -7}}. {8. 1. 5}]

AE = Transpose[Append[Transpose[AJ. bll; MatrixForm[AEJ 2 -1 3

-4 8) I -7

1 5

161

5.2 Dec GauBsche Algorithmus

MatrixFonn[RowReduce[AE]] 1

0

1

0

o

0

0

1

(0 1 ｟Ｒｾ＠ 0) Maple: Zur LOsung linearer Gleichungssysteme wird die Funktion Linsolve (in dem Paket Linalg) bereitgestellt. Man gibt die Matrix und die reehte Seite (als Zeilenvektor) ein. 1st das System nicht losbar, wird es von Linsolve zuriickgegeben.

linsolve

> A:=matrix(3,3,[2,2,-4,-3,-l,l,l,3,-71);

2

2

-3 1

-1 3

Ｍｾ＠

-7

]

> b:=[8,l,51;

b:= [8, 1,5] > linsolve (A, b) ;

> AE:=concat(A,b);

2 -4 8]

-1 3

1 1 -7 5

> rref(AE);

Aufgabe 5.7 1st das folgende lineare Gleichungssystem losbar:

1 3 1 + 3i

0

ｾ＠ ＨｾＩ＠

1+i

)

= X3

ＨｬｾｩＩ＠

-3

.

X4

LOsung: GemiiB dem GauBschen Algorithmus formen wir die erweiterte Matrix

I 3 1+3i urn und bekommen:

0

l+i

Gau.6schen Algorithmus (Reehenschema) durchfiihren, Losbarkeit priifen

5 Lineare Gleichungssysteme und Detenninanten

162

bT

A 0

1

i

1

i

3

0

1

0

i

1+i

-3

-1

1

1 +3i

-i

-1 - 3i

10i

-I-i

3

-Z3

0

1

i

1

10i

Zt

i

3

0

1

0

Z2

1

-1- 3i

-i

-I-i

3

0

1

i

1

IOi

0

i

-1

i

-3i

Z3 - i Zt

1

-1- 3i

-i

-I-i

3

0

1

i

1

Wi

0

0

0

0

10 - 3i

Z3 - i Z2

Damit besitzt das System keine Losung.

Mathematica:

A = {{O, 1, i, I}, Ii, 3, 0, I}, (-I, 1 + 3 * i, i, 1 + iH; MatrixForm[A]

(

ｾｉ＠

0

i

1 3

)

0

1 + 3i

1+i

b = {l0i, 0, 3} {Wi, 0, 3} LinearSolve[A, b] LinearSolve[{{O, 1, i, I}, Ii, 3, 0, I}, {-I, 1 + 3i, i, 1 + iH, {Wi, 0, 3}] AE

= Transpose[Append[Transpose[A], bll; MatrixForm[AE] 1 3 1 +3i

10i ) 03

0

1+ i

MatrixForm[RowReduce[AE]]

(

1 0

o o

1 0

-3

2i

0)

0

1 0

0 1

5.2 Der GauBsche Algorithmus

163

Maple: > A:=matrix(3.4. [0.1.1.1.1.3.0.1.-1.1+3*1.1.1+1]);

I 0 I

1 3 1 + 31 > b:=[10*1.0.-3];

b := [10 I, 0, -3] > linsolve (A, b) ; > AE:=concat(A,b);

ａｅｾ＠

[

0

1

I

I -1

3 1 +31

0

1

101 0

I

1+ I

-3

]

> rref (AE);

[ oo1 0 -3 1 0

Aufgabe 5.8

21 1 0

I

0

0]

0

Man lose das System:

+ X2

- 2X3

+ lOX2 -

13 X3

-6Xl - 4X2

+ X3

3 Xl

24xl

= =

3, 25, -7,

und bestimme eine Basis des Losungsraumes des homogenen Systems. Losung:

Wir bilden wieder mit

b=

(3, 25, -7) •

die erweiterte Matrix:

1

-2

10

-13

-4

;5) .

-7

Der GauBsche Algorithmus wird nun schematisch ausgefiihrt:

Inhomogenes System mit GauBschem Algorithmus losen, eine Basis des Losungsraumes des homogenen Systems angeben

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

164

'b T

A

1

-2

10

-13

3 25

1

-7

1

-4 I !

2

1

24

10

3 24 -6

-6 1

0 0 1

-! -13

-4 1 I 2 l -l 2 3 -2 -3 I 2 l -!

0

-7 1 1

+ 6iI

1

! -2 -3 1 !I -!2 3 0 1 ! 0

i3

I !

I ｾ＠

Z2

-I

0

0

i2 - 24iI

-I

3

1

I ｾ＠ ! ZI

25

1

I

0

0

i3

+ 2i2

Diese losungsiiquivalente Form zeigt Rg (A) = Rg (A I'b T) = 2, so daB das System einen linearen Teilraum der Dimension 1 als Losungsraum besitzt. Wir beschreiben ihn durch

bzw. durch

x=

5

7

1

3

xl

=

"6 + "6 A3 '

X2

=

2 - 2A3 ,

X3

=

A3,

G, ｾＬｯＩ＠

+A3

ＨｾＬ＠

ＭｾＧＱＩ＠

.

Die LOsung des homogenen Systems kann man auch hieraus entnehmen:

ｾ＠

X

Der Vektor

LinearSolve Nullspace

ＨｾＬ＠

-

ｾＬ＠

= A3

(7 3 ) - -- 1 6' 2'

.

1) stellt eine Basis des Losungsraumes dar.

Mathematica: 1st ein inhomogenes System losbar, so liefert LinearSolve eine spezielle LOsung des inhomogenen Systems. Eine Basis des Losungsraumes eines homogenen Systems erhiilt man mit Nullspace. A = (f3, I, -2l, {24, 10, -13l, {-6, -4, I}}; MatrixForm[A] 3 (24 -6

1 10 -4

-2 -13 )

5.2 Der GauBsche Algorithmus

165

b = {3, 25, -7}

{3, 25, -7} LinearSolve[A, b)

5 1

{6'2'O} NullSpace[A) {{7, -9, 6}}

Maple: Ist ein inhomogenes System losbar, so !iefert Linsolve die allgemeine Losung des inhomogenen Systems. Eine Basis des Losungsraumes eines homogenen Systems erhiilt man mit Nullspaee.

linsolve nullspace

> with (linalg) ; > A:=matrix(3,3, [3,1,-2,24,10,-13,-6,-4,1]);

A:=

[2! 10 -6

-4

> b:=[3,25,-7];

b := [3, 25, -7) > linsolve (A, b) ;

[ -5 6

7 1 - + -..11 6 '2

3 2

-..11

]

'

..11

> nullspace (A) ;

Aufgabe 5.9 Fur welche a E C und b = (bI, b2, b3) E C3 wird das folgende System losbar: Xl

+ X3 =

aXI +2x2+2x3 X2

+ aX3

=

bI,

b2, b3,

und wie lautet die Losung? Losung:

Die erweiterte Matrix des Systems lautet:

Umformen naeh dem GauBsehen Algorithmus ergibt:

Losbarkeit eines !inearen Gleiehungssystems in Abhiingigkeit von einem Parameter und der reehten Seite priifen

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

166

bT

A

I

0

I

bi

a

2

2

b2

I

a

0

b3

I

0

I

bi -abi + b2

0

2

2-a

0

I

a

I

0

0

I

0

b3

I 2-a

bi - abi+ b2

I

a

b3

I 2-a

I

0

0

I

0

0

Z2 - aZI

2

I ｾ＠ 1: Z2

bi - abi+ b2

2

2-3a -2｡｢ＡＫｾＭＲＳ＠

Z3 - Z2

Dieser losungsaquivalenten Form des Systems entnehmen wir Folgendes: Der Rang von A ist gleich 3 mit Ausnahme des Falles, wo I -

ｾ＠

Falls a

x= Falls

ｾ＠

a= 0

#-

a=

besitzt das inhomogene System stets genau eine Losung:

((-2+ 2a)bI +b2 - 2b3, -a 2bI +ab2 + (-2 +a)b3, abi - b2 + 2b3). -2 + 3a -2 + 3a -2 + 3a =

2

"3 ist das inhomogene System dann und nur dann losbar, wenn die

I - 2 b2 + b3 = 0 erfiillt ist. Die Losung des inhomogenen Systems lautet dann:

Beziehung

I

"3 bi

x

Gb2 - 3b3 - A3 ,b3 -

ｾａＳ＠

Ｍｾ｢ｉ＠

-

(bi - A3 ,

=

$

ｾＮ＠

+

ｾ｢Ｒ＠

Ｈ｢ｉＬＭｾｬＫＲｏＩａＳ＠

,A3 )

ｾａＳ＠

'A3)

ＨＭｬＧｾＩＮ＠

Math....."" A = {{I, 0, I}, {a, 2, 2}. {O, I, a}}; MatrixForm[A]

( aI 02 2I) o

I

a

b = fbi, b2, b3} fbi, b2, b3}

5.2 Der GauBsche Algorithmus

167

LinearSolve[A, bl { -2b1+2abl+b2-2b3 -a 2 b1+ab2-2b3+ab3

-2+3a

'

-2+3a

'

abl-b2t2b3 }

2+a

NullSpace[AI {}

2

a= -

3

2 3

-

LinearSolve[A, bl . 2 2 LmearSolve[{ {l, 0, I}, {3' 2, 2}, {O, 1, 3}}' {bI, b2, b3}] Maple: > with(linalg);

> A:=matrix(3,3, [l,Q,1,a,2,2,Q,l,a]);

> b:=[bl,b2,b3];

b := [bI, b2, b31 > linsolve(A,b);

[

b2+2abI-2b3-2bl, _ -ab2+a 2 bI-ab3+2b3, -b2+abI+2b3] -2+3a -2+3a -2+3a

> nullspace (A) ; {} > a:=2/3;

2

a'.- -3 > linsolve(A,b);

Error,

(in solve/linear/sparse) division by zero

Aufgabe 5.10 Man lose das folgende Gleichungssystem mit dem GauBschen Algorithmus: +X2 +2X2

+3X3 +X3 -2X3

+2X5 +X4

+X5

+5X 5

=2, =0, =2.

Man gebe eine Basis des Losungsraumes des homogenen Systems an. Losung:

Durch schematisches Umformen ergibt sich:

Inhomogenes System mit GauBschem Algorithmus losen, eine Basis des Losungsraumes des homogenen Systems angeben

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

168

bT

A

2

1

3

0

2

2

3

0

1

1

1

0

1

2

-2

0

5

2

1

2

-2

0

5

2

3

0

1

1

1

0

2

1

3

0

2

2

0

-6

Z2 - 3 ZI

-2

Z3 -

1

2

-2

0

-6

7

1

5 -14

0

-3

7

0

-8

1

2

-2

0

5

2

1

7

-(;

I

-(;

7

1

0

0

7

1

I

-I

1

1

2

0 0

2

-2

2

-2

0

5

1

-(;

7

I

7

1

2

2

0

ZI

2

0

-6 1 -7I

Z3

3"

-7

2z1

I ｾ＠ -(; Z2 ｾ＠ I ｾ＠ Z3 - 2 Z2

2

ｾ＠

'7 Z3

"i

Der Rang der Systemmatrix betriigt 3 und der Losungsraum des homogenen Systems hat die Dimension 2. Mit beliebigen A4 und AS bekommt man durch Riickwiirtsauflosen als Losung des inhomogenen Systems: A5,

XS

X4

=

A4,

2

1

2

+ 7 A4 + 7 A5 ,

X3

7

X2

3 + 3 A4 -

XI

- 21 - 21 >"4 - 7

4

1

2

2)..s ,

8

3

>..s .

Hieraus kann man auch sofort folgende Basis des Losungsraumes des homogenen Systems ablesen:

811 )( 32) ( -21'3'7,1,0, -7,-2'7,0,1.

Mathematica: A = {/2, 1,3,0, 2}, {3, 0, I, I, I}, {I, 2, -2, 0, 5}};

MatrixForm[A]

b = {2, 0, 2}

5.3 Determinanten

169 {2, 0, 2}

LinearSolve[A, b] 2 4 2 {- 21' 3' 7'0,0}

NuIlSpace[A] {{-3, -14,2,0, 7}, {-8, 7, 3, 21, O}}

Maple: > with (lina1g) ;

> A:=matrix(3,5, [2,1,3,0,2,3,0,1,1,1,1,2,-2,0,5);

>

b:=[2,0,2);

b!= [2,0, 2] > 1inso1ve(A,b);

> nu11space (A) ;

{[I, -8,0, -6,3], [0, -19. I, -9, 8]}

5.3 Determinanten Wir beginnen mit Deterrninanten von 2 x 2- und 3 x 3-Matrizen mit Elementen aus C. Die Delerrninante der 2 x 2-Matrix

Detenninante einer 2 x 2·Matrix

wird erldart durch: det(A) =

I

all a21

al2 a22

I=

alla22 - al2a21 .

Die Determinante einer 3 x 3-Matrix merkt man sich am besten mit der Sarrusschen Regel.

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

170

Die Determinante der 3 x 3-Matrix

wird erkliirt durch: det(A) Detenninante einer 3 x 3-Matrix, Sarrussche Regel

=

all a21

al2 a22

al3 a23

a31

an

a33

aJ la22 a 33

+ al2aZ3a31 + a13QZla32

-a13 Q22a31 - alla23 a 32 - al2a 21 a 33

=

Mit dem Begriff der Adjunkte erkliiren wir Determinanten von n x nMatrizen. Sei

eine n x n-Matrix mit Elementen aus C. Durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entsteht eine (n - 1) x (n - 1)Matrix: B'k

= all

aJ,k-1

ai-I.l

ai-I,k-I

ai - I,HI

aHI,1

ai+l,k-i

ai+J.k+1

ani

an,k-I

an,k+1

al,HI

Adjunkte

Die komplexe Zahl

heiBt Adjunkle des Matrixelements aik.

171

5.3 Determinanten

Bildung der Adjunkte des Elements a3.3 einer 4 x 4-Matrix

Mit den Adjunkten der Elemente einer Zeile oder einer Spalte bekommen wir. Die Determinante einer n x n-Matrix laBt sich folgendermaJ3en auf die Bereehnung von Determinanten von (n - I) x (n - 1)Matrizen zuriiekfi.ihren: n

det(A) = I>ileAile. Berechnen einer Determinante durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte

(Entwiekeln nach der i-ten Zeile) und n

det(A) =

L aikAik • ;=)

(Entwiekeln naeh der k-ten Spalte). Wir stellen einige wiehtige Eigensehaften der Determinante zusammen. Seien E die n x n-Einheitsmatrix und gilt:

B n x n-Matrizen. Dann

1.) det(E) = 1 •

2.) det(A T ) = det(A) , 3.) det(A B) = det(A) det(B) •

0 4.) det(A) = { ::f:. 0

falls falls

Eigenschaften der Determinanle

A A

oieht invertierbar invertierbar

1 S.) det(AC-)) = - - . falls del(A) ::f:. O. det(A)

Wir besehreiben die Determinante noeh als multiline are Abbildung.

172

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Die Detenninanle stelll eine altemierende Multilinearform ihrer Spallenvelctoren dar: 1.) det ist in jedem Argument linear:

).,det(sl, . .. ,Sj, . . . ,Sn) fur jeden Index 1 !::

+ I-Ldel(S1 , .. . ,s; ,

,sn)

!:: n.

Alternierende Multilinearfonn

2.) det ist altemierend: det(S1 , .. . ,Sj , .. . , Sk, . . . ,sn) - det(S1 , . . . , Sk , . . . ,Sj • ... , $/1) < k !:: n

fur je zwei verschiedene Indizes 1 !::

(Ganz analoge Aussagen gelten fur Zeilenvektoren). vlit Hilfe der Adjunkten Hillt sich die inverse Matrix berechnen. Die n x n-Matrix A =

Berechnung der inversen Matrix mit Adjunkten

(aj/e) b1""1. .... " : I. ... .n.

habe eine nichtverschwin-

dende Detenninante det(A) ::f:. O. Die inverse Matrix A-I hat die Gestalt: A- I =

Ｈ｡ JkｾＭ ｉ ﾻ Ｉ＠

=

J: 4-1•.... 0

ＨｾＩ＠

det(A)

.

k=1.. ..• _ }=1 •.•.. " .

Damit bekommen wir die Cramersche Regel.

1

Cramersche Regel bei einer 4 x 4-Matrix. Berechnung von x3

5.3 Determinanten

173

Die n x n-Matrix A =

(a jt) /-I. ....n

sei regular. Dann besitzt das

t=I ..... n.

!ineare Gleichungssystem

+ +

alixi a21 X I

an_I,IX]

a22X2

a n2 X2

genau eine Losung i = (XI t Xi:

+ ... + + ... +

alnXn

= bl

a2nXn

=

+ ... +

•••

annxn

=

(""

Cramersche Regel

al,i:-I

bl

al.k+l

an,k-I

bn

a;l

all,t+1

ann

:

aliI

bn

,xn ):

1 = det(A) .

det

b2

+ a n-l,2 X2 + ... + an-l,nXn = bn-I

+

anlXl

al2X2

Aufgabe 5.11 Man berechne die folgende Determinante nach der Sarrusschen Regel sowie durch Entwickeln nach der ersten Zeile: 241 2 3

4 2 Losung:

Nach der Sarruschen Regel gilt:

241 2 3 4 2

ｾ＠

+

+

+

=

-

-

-

2·2·i+4·3·4+I·i·2 -4 . 2 . 1 - 2 . 3 . 2 - i . i . 4 32 + 6i . Entwickeln nach der ersten Zeile ergibt:

241 2 3 4 2 2 (2 i - 6) - 4 (i 2 - 12) + (2 i - 8)

=

32+ 6i.

Determinante einer 3 x 3-Matrix mit der Sarrusschen Regel und durch Entwickeln nach der ersten Zeile berechnen

174

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Mathematica:

Determinanten berechnet man mit Det. det[{{2, 4, I}. {i, 2, 3}, {4, 2, i}}]

Det

32+6i Maple: > with (linalg) :

det

> det(matrix(3,3, [2,4,1,1,2,3,4,2,1]»;

I]

24 Det( [ 1 2

3

) = 32 + 61

421 Berechnen der Determinante einer 4 x 4-Matrix durch Entwickeln nach der zweiten Spalte

Aufgabe 5.12 Man berechne folgende Determinante durch Entwickeln nach der zweiten Spalte:

4

1 2 0

034 210 103 4 Losung: 4 0 2

1 3 1 0

Entwickeln nach der zweiten Spalte ergibt: 2 4 0 3

0

0 2

4

4 0 3

4 2

+3 4

= 26 - 4 i - 48 = -76 - 34i.

2 0 3

0 4

420 041 3 4

30 i + 54

Mathematica: A

= {{4, 1,2, O}, {O, 3, 4, I}, {2, 1,0,

{l, 0, 3, 4}};

MatrixForm[A]

4

Ｈｾ＠

1

1

2

0

i

ｾ＠ ｾＩ＠

034 det[A]

-76 - 34 i B2I = {{O, 4, I}, {2, 0, i}, {I, 3, 4}}; MatrixForm[B2I] 041) ( 2 0 i 134 B22 = {{4, 2, O}, {2, 0, i}, {I, 3, 4}}; MatrixForm[B22]

5.3 Determinanten

175

( 42 02 0) i

134 B23 = {{4, 2, O},

to, 4, I}, {I, 3, 4}}; MatrixForm[B23] 420) ( 041 134

- det[B21]

+3

det[B22] - det[B23]

-76 - 34 i Maple: wi th (linalg) ; > A:=matrix(4,4, [4,1,2,0,0,3,4,1,2,1,0,I,1,0,3,4]);

>

Det (A) =det (A) ;

Det(A) = -76 - 34 I > -det(matrix(3,3, [0,4,1,2,0,I,1,3,4]» > +3*det(matrix(3,3, [4,2,0,2,0,I,1,3,4]» > -det(matrix(3,3, [4,2,0,0,4,1,1,3,4]»;

-Det

｛ｾ＠

ｾ＠ ｾ｝＠

134

+ 3 Det ｛ｾ＠

ｾ＠ ｾ｝＠

- Det

134

｛ｾ＠

ｾ＠

13

041 ]

= -76 - 341

Aufgabe 5.13 Man berechne die Determinanten folgender Matrizen: (a)

Ｈｾ｡＠

a 0 -c 0

-b

0 c 0

-d

ｾＩ＠

,

(b) ( ';n(a) co,(P) r cos(a) cos(fi) -r sin(a) sin(fi)

a,b,c,d,a,fi

E

lIt

r r

sin(a) sin(fi) cos(a) sin(fi) sin(a) cos(fi)

co,(a) ) -r ｳｾｮＨ｡Ｉ＠

,

Entwicklungssatz und Sarrusche Regel anwenden

5 Lineare Gleichungssysterne und Deterrninanten

176 LOsuog:

0 -a 0 -b

(a) Entwicklung nach der ersten Zeile ergibt:

a 0 -c 0

0 c 0 -d

b 0 d 0

=

-a 0 -b

-a

c 0 -d

0 d 0

-b

-a 0 -b

0 -c 0

c 0 0

+ a2 d 2 + abc d + c2 b2 = 2 abc da 2 d 2 + 2 abc d + c2 b2 abc d

Mathematica:

= {l0, a, 0,

{-a, 0, c, a}, {O, -c, 0,

0,

O}};

MatrixForm[A]

(

0 -a 0 -b

a 0 -c 0

0 c 0 -d

b

ｾ＠

0

)

ｾ＠

det[A] b2 c2 + 2 abc d + a 2 d 2

Map!" > with (linalg) ; > det(matrix(4,4, [O,a,O,b,-a,O,c,O,O,-c,O,d,-b,O,-d,O]));

Losuog:

(b) Mit der Sarrusschen Regel bekommen wir: sin sin

sin(a) sin(f3) sin(f3) sin

sin(f3)

(sin(a»3 (sin(f3))2 sin(a) (sin(a»3 sin(a) .

+

sin(a)

(sin(f3»2

+

sin(a) 0

+

sin(a) (cos(a))2

(sin(a»3 (cos(f3»2

177

5.3 Determinanten

Mathematica: A = {{sin[a) cosLB), sin[a) sin[,B1. cos[a]},

cos[a) cos[,B), cos[a) sin[,B1.

sin[a]},

sin[a) sin[,B1.

sin[a) cos[,B1. O}};

MatrixForm[ A) cos[,B) sin[a) cos[a) cos[,B) sin ) sin[,B)

(

sin[a) sin[,B)

cos[a)

r cos[a) sin[,B)

)

ｾｮ｛｡Ｉ＠

r cos[,B) sin[a)

Simplify[det[A)) sin[a)

Maple: > > > > >

simplify(det( matrix(3,3, [sin(alpha)*cos(beta) ,sin(alpha)*sin(beta) , cos (alpha) ,r*cos(alpha)*cos(beta) , r*cos(alpha)*sin(beta) ,-r*sin(alpha), -r*sin(alpha)*sin(beta) ,r*sin(alpha)*cos(beta) ,0))));

sin(a) cos(,B) cos cos(,B) sin(a) sin(,B)

Simplify(D"( [

sin sin(,B) cos(a) sin (,B) r sin(a) cos (,B)

cos(a) sin(a)

o

= sin(a)

Aufgabe 5.14

Man zeige, daB flir eine obere bzw. untere Drei-

ecksmatrix gilt: all

al2

a13

al n

0

a22

a23

a2n

0

0

0

ann

all

0

a21

a22

0 0

0 0

anI

a n2

a n3

ann

= alla22

... ann,

bzw.

= alla22 ... ann,

LOsung: Wir betrachten zuerst die obere Dreiecksmatrix. Da unterhalb der Hauptdiagonalen lauter Nullen stehen bekommen wir durch Entwickeln nach der ersten Spalte:

Determinante von Dreiecksmatrizen berechnen

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

178 all

0

a13 a23

al2 a22

aln a2n

a22

=

0

0

0

0

a23 a33

a2n a3n

0

0

ann

all

ann

0

a34 a44

a3n a4n

0

0

ann

a33

=

=

all a22

all a22 ... ann·

Bei der unteren Dreiecksmatrix geht man vollig analog durch Entwickeln nach der ersten Zeile vor, oder man benutzt die Regel det(A) = det(A T Determinante von Blockdreiecksmatrizen berechnen

Aufgabe S.lS Liings der Diagonale einer quadratischen Matrix seien n quadratische Matrizen al ... an angeordnet. Oberhalb dieser Matrizen sollen beliebige Elemente stehen unterhalb jedoch lauter Nullen. Man zeige:

o Liisung: klar.

Wir machen den Grundgedanken anhand von zwei Spezialflillen

all a21

al2 a22

0 0 0

0 0 0

cll C21 bll b21 b31

a22 all

=

o

0

all a22

I all a21

0 0 0

C12 c22 bl2 b22 b32

c13 C23 b13 b23 b33

C21 bll b21 b31

C22 bl2 b22 b32

bll b21 b31

al2 a22

I

c23 b13 b23 b33

all - a21

bl2 b22 b32

b13 b23 b33

- a21 al2

bll b21 b31

bl2 b22 b32

b13 b23 b33

Damit bekommen wir nun:

0 0 0 bll b21 b31

cll bll b21 b31

b12 b22 b32

cl2 bl2 b22 b32

b13 b23 b33

C13 b13 b23 b33

5.3 Determinanten

179

all a21 a31

al2 a22 a32 0

al3 a23 a33 0

o

0

0

0

0

b31

a22 a32

a23 a33 0 0 0

o o

=

o o

all

o

al2 a32

o o o

ell e21 e31 bll

el2 e22 e32 bl2

el3 e23 e33 bl3

ｾｬ＠

ｾＲ＠ b32

ｾＳ＠ b33

al3 a33 0

e21 e31 bll

e22 e32 bl2

ｾｬ＠

b22 b31

b32

ell e31 bll

o o o

C}2 e32 bl2

ｾｬ＠

0

b31

b32

b33

al3 a23 0 0 0

ell e21 bll b31

C}2 e22 bl2 b22 b32

el3 e23 b13 b23 b33

bll b21 b31

bl2 ｾＲ＠ b]2

b13 b23 b]3

ｾｬ＠

bll ｾｬ＠

b31

=

all a21 a31

al2 a22 a32

el3 e33 bl3

ｾＲ＠ ｾＳ＠

0

al2 a22

e23 e33 bl3 ｾＳ＠ b]3

al3 a23 a33

bll b21 b31

bl2 b22 b32

b13 ｾＳ＠ b33

b12 b22 b32

b13 ｾＳ＠ b33

bl2 b22 b32

b13 b23 b33

Aufgabe 5.16 Man berechne die Determinanten der Matrizen

o5

2)

0 2 1

(32 40102 01)1 ' i

und

B=

i

o

1 2

i

indem man sie durch Zeilenoperationen auf Dreiecksgestalt bringt. LOsung: Unter Beachtung der Eigenschaft, daB die Detenninante eine multilineare Fonn der Zeilenvektoren darstellt, gehen wir schematisch vor. Wir bekommen in jedem Rechenschritt eine Matrix, deren Determinante mit der Determinante der Ausgangsmatrix iibereinstimmt.

Determinante von Matrizen durch Uberfiihrung in Dreiecksgestalt berechnen

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

180

A

3

0

2

2

5

0

2

2

3

0

2

0

5

4

0

-3

ｾ＠

3

0

2

0

5

4

Ｒｾ＠

3 ZI

Z3 -Z2

3 0 "51

0

Z2 -

3 1

ｾ＠

Z3

Ｓｾ＠

+ 5 Z2

Hieraus k8llD man"sofort entnehmen: det(A)"= 3 . 5 .

1

5" =

3.

Fur die Matrix B ergibt sich folgendes Schema:

B 0

1

4

2

0

0

1

3

2 0

2

3

i

0

0

4 -"3 2i

2

0

3

1

1

0

0

0

0

0

ｾ＠

Z3 -

Ｒｾ＠

3 ZI i

ｾ＠

3 ZI

0 2i 4 -"3

0 3

ｾ＠

Z2 -

ＱＭｾ＠

2

3 0

2

-3

0

0

0

i

3'7-3'7 -1

i 2i 4 -"3

0

2

2 31

-3 39 12i 37 - 37

-3+2i

0 2

2 31

i

3'7-3'7 0

-3 39 45

-26

12i

- 37 + 43i 26

ｾ＠

Z4

i ) + (31 26 + 26

ｾ＠

Z3

Hieraus entnehmen wir:

2 .) (31 (45 det(B)=34--1 - - -1.) I - - +43) - i =-14+20i. ( 3 37 37 26 26

181

5.3 Determinanten Mathematica: A = {{3, 0, 2}, {2, 5, O}, {2, 2, 1}}; MatrixForm[A]

3 02) ( 250 221 det[A]

3 B = {{3, i, 0, I}, {2, 4, 2, O}, {i, 0, I, I}, {O, 1,2, i}};

MatrixForm[B] 301

ｾ＠

(;

o

2

ｾＩ＠

2 det[B]

-14 + 20 i Maple: > with(linalg); > A:=matrix(3,3, [3,0,2,2,5,0,2,2,1]);

3 A:= [ 2 2

02]

5 2

0 1

> det (A);

Det(A) = 3 > B:=matrix(4,4, [3,1,0,1,2,4,2,0,1,0,1,1,0,1,2,1]);

B

0= [ ; °

o

ｾ＠ ｾ＠

ｾ｝＠

011 2

> det(B);

Det(B) = -14 + 20 I

Aufgabe 5.17 Man berechne die Inverse der folgenden Matrix mit Hilfe von Adjunkten:

Losung:

Wir bekommen die Inverse in der Gestalt:

Inverse einer Matrix mit Hilfe von Adjunkten berechnen

182

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

det(A)

-Ｈ］ｾ＠ 2

ｾ＠

4

-1

Mathematica: A = {{I, O,l}, f4, -I, O}, fO,l, 2}}; MatrixForm[A]

Ｈｾ＠

ｾＱ＠ ｾＩ＠

MatrixForm[Inverse[A]J

1

-1

(-4 Ｍｾ＠

2

i

Maple: > with (linalg) ; > A: =matrix (3.3. [1.0.1.4. -1. 0.0.1.21 ) ;

> inverse (A) ;

Invm,(A)

ｾ＠ =: [

n

2

1 -1 2

Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regellosen

Aufgabe 5.18 Man lose folgende Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel: (a) 2Xl 4Xl

+ 2X 3 -X2 -X2

- 2X 3

= = =

0, -I, 1,

(b) i Xl 4Xl Xl -3Xl

+ 3X 3 -X2 -X2

- 2X 3

+X2

+ 2X 3

+4X4 -X4 + iX4

=

i , -I,

= =

4, 1.

5.3 Determinanten

183

Losung: (a) Die Systemmatrix

hat eine nichtverschwindende Deterrninante: det(A) = -4. Damit bekommen wir nach der Cramerschen Regel:

xl

4

x2

x3

0 -1

4

=

4

2 0 -2

0 -1 -1

= -1,

2 4 0

0 -1 1

2 0 -2

= -3,

2 4 0

0 -1 -1

0 -1 1

= 1.

(b) Die Systemmatrix

ａｾ･＠

-3

0 -1 -1 1

3 0 -2 2

il)

hat eine nichtverschwindende Deterrninante: det(A) = 20 - 9i. Damit bekommen wir nach der Cramerschen Regel:

Xl

20- 9i

x2

X3

20 - 9i

=

-1 4 1

3 0 -2 2

4 -1 0

0 -1 -1 1

-1 4 1

4 1 -3 4

20 - 9i

20 - 9i

4 -1 0

0 -1 -1

-3

X4

3 0 -2 2

-1 4

4 1 -3

0 -1 -1

3 0 -2 2

1275 481

213 . 481'

4193 481

997 . 481'

=-----1

=-----1

4 -1 0

= 481

-1 4

= - 481

497

392.

+ 481 I,

426

145.

+ 481 I.

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

184 Mathematica:

A = {{i, 0, 3, 41. {4, -I, 0, -I}, {I, -I, -2, A}, {-3, 1,2, ill; MatrixForm[ A]

o

( ｾ＠

-1

3 0

-1

-2

-3

2

det[A] 20 1 det[A] 20

+ 481

481

wk(det[{{i, 0, 3, 41. {-I, -1,0, -I}, {4, -I, -2, A}, (I, 1,2,

1275

2I3i

-481 - -481 20':9i (det[ 3, 41. {4, -I, 0, -I}, {I, 4, -2, A}, (-3, 1,2, i}}]) 4193

---481

481

20':9i (det[{{i, 0, i, 41. {4, -I, -I, -I}, {I, -I, 4, A}, (-3, I, I, i}}])

497 481

20':9i (det[{{i, 0,3,

+

392i 481

{4, -1,0, -I}, {I, -I, -2, 41.

(-3, I, 2,l}}])

426 - 481 > A:

+

145i 481

=ma tr ix ( 4 , 4, [I, 0 , 3 , 4 , 4 , -1 , 0 , -1 , 1, -1, - 2 , 0, - 3 , 1 , 2 , I 1 ) ;

A.- [

ｾ＠

0 -1 I

-3

-I

1

3 0 -2 2

> det(A);

Det(A) = 20 - 9 I

i' ]

5.3 Determinanten

185

> 1/det(A);

> (1/(20-9*I»*det(matrix(4,4,[I,0,3,4,-1,-1,0,-1,4,-1, > -2,0,1,1,2,1]»;

o

I

20 (481

9 ([ -1 + 481 I)Det ｾ＠

ｾ＠ ｾＱ｝Ｉ＠ 0

-1 -1

-2

1

2

= _ 1275 _ 213 1 481 481

I

> (1/(20-9*I»*det(matrix(4,4,[I,I,3,4,4,-1,0,-1,1,4,-2, > 0,-3,1,2,1]»;

ｾ＠ ｾＱ｝Ｉ＠ 0

-2 2

= _ 4193 _ 997 1 481 481

1

> (11 (20-9*1» *det (matrix(4, 4, [1,0, I, 4, 4, -1, -1, -1, 1, -1, > 4,0,-3,1,1,1]»;

I

20 (481

9 ([ 4 + 481 I)Det 1 3

0

1

-1 -1 1

-1 4 1

ｾ＠ o1 ]) = 497 392 1 481 + 481 1

> (1/(20-9*I»*det(matrix(4,4, [1,0,3,1,4,-1,0,-1,1,-1, > -2,4,-3,1,2,1]»;

ｾ＠

ｾ＠

1 Det . (481 + 481 )

145 ([ 4ｾ＠/03/]) -!-1 -;0 -1ｾ＠ -__ 426 481 + 481 1

Aufgabe 5.19 Mit dem Determinantenkriterium entscheide man, ob folgende Vektoren linear unabhiingig sind: (a) (2,3,4),

(b) (2,

(3,6, to),

0,

(1

(5,4,3) , 3, 3, 0),

(1,0,2,0),

(0,7,0,

.

Ltisuog: (a) Nach dem Determinantenkriterium sind die drei Vektoren genau dann linear unabhiingig, wenn die folgende Determinante nicht verschwindet:

2 3 4 3 6 10 543

= 36 + 48 + 150 - 27 - 80 - 120 = 7.

Die drei Vektoren sind also linear unabhiingig. (b) Wiederum entscheidet die Determinante:

Lineare Unabhiingigkeit mit Hilfe von Determinanten iiberpriifen

186

5 Lineare Gleichungssysteme und Detenninanten 2 1+ i 1

3 0

0

7

0 3

-i

2

0 0

0

1- i

1+i 1

3 0

3

0

7

0

2

2 1+ i 1

+O-i)

3 0

29 - 6i. Die vier Vektoren sind also linear unabhiingig.

Mathematica: det[{{2, i, 0, -i}, {1

+ i, 3, 3, O}, {I, 0, 2, O}, {O, 7, 0, I -

i}}]

29 - 6 i

> det(matrix(4,4,[2,I,O,-I,1+I,3,3,O,1,O,2,O,O,7,O,1-I]));

ｾｴＨ｛＠ Ebenengleichungen mit Hilfe von Determinanten schreiben

I J) ｾＲＹＭＶＱ＠

III ｾ＠ ｾ＠

Durch die drei Punkte PI = ZI), P2 = werde eine Ebene im 1R3 festgelegt. Man schreibe die Ebenengleichung mit Hilfe einer 3 x 3- und einer 4 x 4-Determinante. Aufgabe 5.20

P3

=

Losung: Tragen wir die Ebene im Punkt PI ab und nehmen die RichP2 = (X2 tungsvektoren , - I), so gilt fUr einen Punkt P

(X, Y, z)

=

- ZI), P3 = (X3 z) auf der Ebene:

ZI) +).. (X2 (X3 -

-

-

- ZI)

- ZI)·

In parameterfreier Form bekommen wir mit dem Spatprodukt:

bzw. X2 - XI - xI

- YI -

=

- ZI - ZI

o.

Wir gehen nun von der folgenden Darstellung der Ebene aus:

AX +

+C +D

Da die Punkte das System

= 0,

C)

=1=

(0,0,0).

P3 in der Ebene liegen, bekommen wir insgesamt

xI A X2

A

+ + + +

+ + + +

ZI C

C C

+ + + +

D D D D

0, 0, 0,

o.

0 3 2

187

5.3 Determinanten mit einer nichttrivialen Losung (A, B, C, D) :f= (0,0,0,0). Dies ist dann und nur dann moglich, wenn die Determinante des Systems Null ergibt:

x

Y

Z

Xl x2 x3

Yl Y2

Zl Z2 Z3

Y3

=0.

Die 4 x 4-Determinante kann folgendermaBen umgeformt werden: X

xl x2 x3

Y Yl Y2 Y3

Z Zl Z2 Z3

-xl xl x2 -xl x3 -xl

Yl Y2 - Yl Y3 - Yl

Z - Zl Zl Z2 - Zl Z3 - Zl

X -xl x2 -xl x3 -xl

Y-Yl Y2 - Yl Y3 - Yl

Z - Zl Z2 - Zl Z3 - Zl

X

so daB beide Darstellungen iibereinstimmen.

Y-Yl

0 1 0 0

188

6 6.1

Eigenwerte und Eigenvektoren Das charakteristische Polynom Einer n X n-Matrix ordnen wir ein Poly nom zu, indem wir mit,l.. zuniichst die Matrix A bilden.

E

e

Sei

Cbarakteristiscbes Polynom

eine n x n-Matrix mit Elementen aus Einheitsmatrix. Das Polynom

e

und E die n x n-

XA ().) = del(A - ). E)

heiBt charakteristi ches Polynom von A. Das charakteristische Polynom tellt ein Polynom vom Grad n in ). dar.

en

Jede n x n-Matrix A legt eine lineare Abbildung des in sich fest. Wechselt man die Basis, so wird die Abbildung durch eine Matrix A = 1AB mit der Basisubergangsmatrix B vermittelt.

e

Cbarakteristiscbes Polynom iibnlicber Matrizen

Zwei n x n-Matrizen A und A mit Elemenlen aus heiBen iihnlich, wenn es eine reguliire n x n-Matrix B gibt mit A = B 1 A Da charakleristische Polynom iihnlicher Matrizen ist gleich:

Das charakteristische Polynom der transponierten Matrix ist gleich dem charakteristischen Polynom der Ausgangsmatix. Fur jede n x n-Matrix A gill: Cbarakteristiscbes Polynom der transponierten Matrix

xI (,l..) = XA ().) . Setzt man eine Matrix seIber anstelle von ,l.. in ihr charakteristisches Polynom ein, so entsteht die Nullmatrix.

W. Strampp, Lineare Algebra mit Mathematica und Maple © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999

189

6.1 Das charakteristische Polynom

Jede n x n-Matrix wird von ihrem charakteristischen Polynom anulliert. Das heiGt, das Ausfiihren der Matrizenoperation XA (A) liefert die n x n Nullmatrix.

Satz von Cayley-Hamilton

Aufgabe 6.1 Man berechne das charakterische Poly nom folgender Matrizen:

Charakterisches Polynom berechnen

A=

Losung:

4 2)

GｾＩＬ＠

o

c=

1

(1 3 5) 4

0

2

1 1

.

Wir schreiben zuerst:

und bekommen det(A - A E)

(1 - A)(7 - A) - 2 i

A2 -8A+7-2i.

Wir schreiben wieder: (

I-A

4

ｾ＠

i-A

o

und bekommen - A E)

Offenbar ist C

5 (4 - 2 (i - A» + (1 - A)«(1 - A)(i - A) - 12) 20 - IO i + IO A + (1 - A)(A 2 - (1 - i) A - 12 + i) - A3 + (2 + i) A2 + (21 - 2 i) A + 8 - 9 i .

= BT und somit XC.. -

2i)"

+ 2),,2 + i),,2

_),,3

Maple: Das charakteristische Polynom wird nach Laden des Pakets Linalg mit Charpoly berechnet. Das Polynom XA (),,) wird mit dem Faktor versehen. > A := rnatrix(2,2, [1,2,i,7]): > charpoly(A,larnbda);

> B:=rnatrix(3,3, [1,4,2,3,i,1,5,Q,l): > charpoly(B,larnbda);

),,3 _),,2 i _ 2>.. 2 + 2>.. i - 21>..

+ 9i

- 8

> C:=rnatrix(3,3, [1,3,5,4,i,Q,2,1,l): > charpoly(C,larnbda);

Charakterisches Polynom berechnen

Aufgabe 6.2 Man berechne das Matrix: 0 A= 3 i 2 0 o 0

(

Losung:

i

charakteristische Polynom der

i)

2 7 i 4 3 1 i 0

Durch Entwickeln nach der zweiten Spalte folgt: i-)"

3

det(A -)" E)

2 0

0 i-)" 0 0

-),,)

-)"

2

2

3-)"

o

7i 4

3-)"

i-)"

(i -),,)

),, 4 - (3

2

7i 1

-)"

«i -),,) (-(3 -)"»,, - - 2 (-2>.. + 7» + 2 i) ),, 3 - (5 - 5 i) ),, 2 + (15 + 4 i) )" - 13 i .

Mathematica: A = I Ii, 0, 2, 7i}, 13, i, i, 4}, 12, 0, 3, I}, 10, 0, i, Oll; CharacteristicPolynomial[A, ),,] -13i

+

(15

+ 4i»" -

(5 - 5i»" 2 - (3

+ 2i»,,3 +),, 4

191

6.1 Das charakteristische Polynom Maple: > with (lina1g) ; > A := matrix(4,4, [I,0,2,7*I,3,I,I,4,2,0,3,1,0,0,I,0]); > charpo1y(A,lambda);

.1. 4 - 3A 3

+

5 / .1. 2 - 2/ .1. 3

+

15 A - SA 2 - 13 /

+

4/ A

Aufgabe 6.3 Man bestatige den Satz von Cayley-Hamilton anhand der Matrix

n

A=G und berechne A 4 .

Losung: Wir berechnen zuerst das carakteristische Polynom: XA (A) =

11 -I A

1 2-.1..

I=

(1 - A) (2 - A) - I

und bekommen XA (A)

= .1. 2 -

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton

3A + 1 .

nun gelten:

wobei E die 2 x 2-Einheitsmatrix und 0 die 2 x 2-Nullmatrix darstellt. Wir iiberpriifen dies wie folgt: A2 - 3 A + E

D-3 G D+G =n+G n

Zur Berechnung von A 4 kann man von A 2 ausgehen und erhalt:

Man kann aber auch von ausgehen und erhalt zunachst:

Hieraus ergibt sich dann:

ｾＩ＠

Satz von Cayley-Hamilton bestatigen, Potenzen einer Matrix berechnen

192

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

Mathematica: Potenzen einer Matrix berechnet man mit MatrixPower. Die n x n-Einheitsmatrix kann mit IdentityMatrix[n] abgerufen werden. A = {{I, I}, {I, 2}};

IdentityMatrix

MatrixPower[A, 2]/ /MatrixForm

(; ｾＩ＠

MatrixPower[A, 2] - 3 * A + IdentityMatrix[2] {{O, O}, {O, O}}

MatrixPower[A, 41/ /MatrixForm

( 13 21

21) 34

Maple: Die n-te Potenz einer Matrix A berechnet man mit Evalm(An). Die n x n-Einheitsmatrix wird mit Array(identity, 1.. n, 1.. n) eingegeben. array (identity, 1. .n, 1. .n)

> A:= matrix(2,2, [1,1,1,2)): > eva 1m (A&*A) ;

Eva1m(A&*A) = [ ;

ｾ｝＠

> eva1m((A&*A)-3*A+array(identity,1 .. 2,1 .. 2));

[ 13 21 Potenzen einerMatrix berechnen, Satz von Cayley-Hamilton anwenden

Aufgabe 6.4

21] 34

Man berechne samtliche Potenzen der Matrix

0

1 0) 3 . 030

A= ( 1 0

Liisung:

Das charakteristische Polynom lautet:

-A XA(A) =

1

0- A

o

3

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt also: A 3 =lOA.

Hiermit konnen nun die Potenzen berechnet werden:

6.1 Das charakteristische Polynom A3 A4

=

= 102 A

102 A2

A6 A7 AS A9

lOA IOA 2 IOA 3

AS

193

=

102 A 3 103 A2

= 103 A

103 A 3

= 104 A

Insgesamt ergibt sich fUr n 2: 1: A2n = IOn - 1 A2

und A2n+l = IOn A.

Wir berechnen schlieBlich noch A2 :

Aufgabe 6.S Sei A eine beliebige 3

X

3-Matrix:

Man zeige: XA(),.)

= _),.3 + (all + a22 + a33)),.2 _ (det (all

a21

a 12 ) a22

+ det (all

a31

+ Losung: Mit den Rechenregeln fUr Deterrninanten als Multilinearforrnen bekornrnt man:

Charakteristisches Polynom einer 3 x 3-Matrix umordnen

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

194 all -)..

()..)

=

a21

a12 a22 -)..

a31

a32

all

=

a21

al2 a22 -)..

a31

a32

an a23 a33 -)..

an

)..

a23 a33 -)..

0 0

al2 a22 -).. a32

all

al2

an

all

0

al3

a21

a22

a21

)..

a31

a32

a23 a33 -)..

a31

0

a23 a33 -)..

)..

a12

al3

0 0

a22

a23 a33 -)..

a32

)..

0

al3

+ 0

)..

0

0

a23 a33 -)..

all

al2

al3

all

a12

a21

a23

a33

a21

a23

0 0

a31

a32

a33

a31

a32

)..

all

0

al3

a21

)..

a33

all

0

a21

)..

0 0

a31

0

a33

a31

0

)..

a12

+

)..

al2

al3

)..

0 0

a22

a33

+ 0

a22

0 0

a32

a33

0

a32

)..

)..

0

+ 0

)..

0

0

a33

al3

)..

0

a23

0 0

)..

0 0

0

)..

an a23 a33 -)..

Hieraus kann die Behauptung sofort abgelesen werden. Regeln fUr das charakteristische Polynom iilmlicher Matrizen und Transponierter nachweisen

Aufgabe 6.6

Man zeige: =

und

=

Losung:

Wir benutzen die Rechenregeln fUr Determinanten von Produkten und Transponierten und rechnen nach: det(B- I

- )"E)

det(B-I(A det(B-I) det(A - )"E) det(B) det(A - )"E)

=

, T - )..E)

det«A - )"E)T) det(A - )"E) .

6.2 Eigenvektoren

195

6.2 Eigenvektoren NuIlsteIlen des charakteristischen Polynoms einer Matrix A sorgen dafiir, daB die Matrix A - AE singular wird. Jede Nullstelle (aus C) des charakteristischen Polynoms XA (A) einer n x n-Matrix A bezeichnet man als Eigenwert von A.

Eigenwert

Zu jedem Eigenvektor gibt es nichttriviale Losungen der Eigengleichung. Sei A ein Eigenwert der Matrix A. Jeder Vektor U

U ;i: 0 und

E

en

mit

Eigenvektor und Eigenraum

heiBt Eigenvektor von A zum Eigenwerl A. Der gesamte Nullraum der Matrix A - A E wird aIs Eigenraum des Eigenwertes A bezeichnet. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes Xist hochstens gleich der algebraischen Vielfachheit. Sei A eine n x n-Matrix mit dem charakteristischen Polynom XA(A). Xsei eine NullsteJle der Vielfachheit k von XA(A). Der Eigenraum des Eigenwertes Xhabe die Dimension y. Dann heiBt k die algebraische Vielfachheit und y die geometrische VieLfachheit des Eigenwertes X. Stets gilt:

Algebraiscbe Vielfacbbeit und geometrische Vielfacbbeit

l::;:r::;:k::;:n. Eigenvektoren, die zu paarweise verschiedenen Eigenwerten gehoren, sind linear unabhiingig. Sei A eine n x n-Matrix und A) •.•.• Am paarweise verschiedene Eigenwerte von A. Zu jedem Eigenwert Aj gehore ein Eigenvektor Uj. Dann sind die Eigenvektoren U) , ...• m linear unabhiingig.

u

Stimmen fiir jeden Eigen wert einer n x n -Matix A geometrische und algebraische Vielfachheit iiberein, so kann A in eine Diagonalmatrix A iiberfiihrt werden.

Lineare Unabhiingigkeit von Eigenvektoren

196

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

Eine Matrix A ist genau dann diagonaliihnlich, das heiGt, es gibt eine Diagonalmatrix Aund eine reguliire Matrix B mil

A = B- 1 AB,

Diagonaliihnliche Matrix

wenn die algebraische und die geometrische Vielfachheit fUr jeden Eigenwert iibereinstimmen. Hat ein Eigenwert die Vielfachheit y , dann tritt er y-mal in der Diagonale auf. Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmem

Aufgabe 6.7 Man bestimme Eigenwerte und zugehorige Eigenvektoren der Matrix:

(o31 000 02) .

A=

i

LOsung:

Das charakteristische Polynom ergibt sich zu:

= =

1-)"

0

2

3

-).,

0

o

0

i -).,

(i - ).,) ((1 - ).,) (-).,) - 6) _).,3

+ (I + i».,2 -

j).,.

Den Eigenwert )., I = 0 kann man sofort ablesen. Die Eigenwerte ).,2 und).,3 = i bekommt man aus der Faktorisierung: )., 2 - (1

+ i»" + i =

=1

()., - I)()., - i) .

Die Eigenvektoren zum Eigenwert )., I = 0 ergeben sich aus dem System A ;;iT = aT. Da die Matrix A den Rang 2 besitzt, ist der Eigenraum des

Eigenvektors )., I = 0 eindimensional. Offenbar wird er yom Vektor (0. I. 0) erzeugt. AUe Vektoren (0, p" 0), p, i= 0, stellen Eigenvektoren dar. Die Eigenvektoren zum Eigenwert ).,2 = 1 ergeben sich aus dem System (A - E);;iT = aT mit 0

0

A-E= ( 3

o

-I

2 o

0

i-I

)

.

Hieraus liest man ab, daB der Eigenraum des Eigenvektors ).,2 = 1 yom Vektor (1.3,0) erzeugt wird und daB aUe Vektoren (p,. 3 P,. 0), P, i= 0, Eigenvektoren darsteUen. Die Eigenvektoren zum Eigenwert).,3 = i ergeben sich aus dem System (A - i E);;iT = aT mit

A-E= (

I - i

o

ｾ＠

-i

o

197

6.2 Eigenvektoren

Hieraus liest man ab, daB der Eigenraum des Eigenvektors A3 Vektor ( I, - 3

i, - 1 ｾ＠ i) erzeugt wird und daB alle Vektoren

i,

i). tL #-

(tL, -3 tL -tL 1 ｾ＠

=

i vom

0, Eigenvektoren darsteUen.

Mathematica: Die Eigenwerte konnen mit CharacteristicPolynomial und Solve errnittelt werden, man kann sie aber auch direkt mit Eigenvalues abfragen.

A = 111,0, 2}, {3, 0, O}, {O, 0, i}};

CharacteristicPolynomial Solve Eigenvalues

CharacteristicPolynomial[A, A] -iA + (1 + i)A 2 _ A3 Solve[CharacteristicPolynomial[A, A]

== 0]

IIA -+ O), {A -+ i}, {>" -+ I}}

Eigenvalues[ A] {O, i, 1}

NuIlSpace[A]

110, I, O}} NullSpace[A - IdentityMatrlx[311 1I1,3,0}}

NullSpace[A - iIdentityMatrix[311 II-I - i, -3

+ 3i, I}}

Maple: Die Eigenwerte konnen mit Charpoly und Solve ermittelt werden, man kann sie aber auch direkt mit Eigenvalues abfragen. > with (linalg) ;

> A:=matrix(3,3, [1,0,2,3,0,0,0,0,I]): >

charpo1y(A,lambda);

(A - 1) A (A - I) >

solve(charpoly(A,lambda)=O);

1, 0, 1 >

eigenvalues(A);

I, 0, 1 > nullspace (A) ;

{[O, 1, OJ}

charpoly solve eigenvalues

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

198

> nullspace(A-array(identity.l .. 3.1 .. 3»;

ｻ｛ｾＬ＠ >

I, OJ}

nullspace(A-I*array(identity.l .. 3.1 .. 3»;

[3I ' , 6I 6I]

{ -/ I -- - -/ }

Aigebraische und geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes bestimmem

Aufgabe 6.S Man bestimme die algebraische und geometrische Vielfachheit des Eigenwertes ).. = 2 der Matrix:

:j

-3

4

7

-10 LOsung:

.

Wir berechnen zuerst das charakteristische Polynom: 5

-3 XA(A)

13 "4

=

5

=

Ｍｾ＠

'Z 15

-A

"4

-10

7-A

-A 3 +6A 2 -12A+8 -(A - 2)3.

Hieraus ergibt sich sofort, daB A = 2 der einzige Eigenwert von A ist und die algebraische Vielfachheit 3 besitzt. Zur Bestimmung der geometrischen Vielfachheit betrachten wir das Gleichungssystem (A - 2E)u T = Man sieht sofort, daB 2Z2 - Z3 = ii ergibt fiir die Zeilenvektoren der Matrix:

aT.

-3

ｾＵＩ＠

-2

13

"4

-10

5

.

Die ersten beiden Zeilenvektoren der Matrix (A - 2E) sind jedoch lineeinen ar unabhiingig und darnit besitzt das System (A - 2E)u T = Losungsraum der Dimension 1. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes A = 2 betriigt also I. Offenbar wird der Eigenraum vom Basisvektor (2, 1, 0) aufgespannt.

aT

Mathematica:

CharacteristicPolynomial[A, AJ 8-12A+6A2 -A 3

6.2 Eigenvektoren

199

NuUSpace[A - 2IdentityMatrix[311 {{2,1,0}}

Maple: > with(linalg); > A:=matrix(3, 3, [7/2, -3, 5/2, 13/4, -9/2, 15/4, 5, -10, 7]): > charpo1y(A,lambda);

> nullspace(A-2*array(identity,1 .. 3,1 .. 3));

{[2, I, OJ}

Aufgabe 6.9 Sei A eine n x n-Matrix mit der Eigenschaft, daB algebraische und geometrische Vielfachheit fur jeden Eigenwert iibereinstimmen. (Dies gilt insbesondere dann, wenn aIle Eigenwerte einfach sind). Man konstruiere eine invertierbare Matrix B und eine Diagonalmatrix A mit A = B- 1 B. Losung: Wir fassen = M(!) als Matrix auf, die eine lineare Abbildung f : en -+ en beziiglich der kanononischen Basis el (n), ... , el (n) (im Urbild- und im Bildraum) beschreibt. Da bei jedem Eigenwert die algebraische mit der geometrischen Vielfachheit iibereinstimmt ist die Summe der Dimensionen der Eigenraume gleich n. Da femer Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhiingig sind, liiBt sich eine Basis hi, ... , hn des en aus lauter Eigenvektoren aufstellen. Nun verwenden wir im Urbild- und im Bildraum die neue Basis und ordnen f die Matrix A = !i1(f) beziiglich dieser Basis zu. Zwischen den beiden Matrizen besteht dann der Zusammenhang: !i1(f) = B- 1 M(f) B

mit der Basisiibergangsmatrix:

B= ((:1 :nl)-I)T ＨｾｉＩｔ＠

=

ＨｾｉＩｔ＠

bn

en (n)

bn

Schreibt man die die Basisiibergangsmatrix B = Clh,j)' so gilt mit dem betreffenden Eigenwert: n

f(hj)

=L

f3k,j hk

k=1

Hieraus folgt sofort: f3k,j = 0, wenn j

f= k.

= Abj.

Diagonaliihnliche Matrizen herstellen

200 Eine Matrix diagonalisieren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

Aufgabe 6.10 Gegeben sei die Matrix:

A=

Man gebe eine invertierbare Matrix B und eine Diagonalmatrix A an, so daB gilt: A = B- 1 A B. Losung: Durch Entwickeln nach der dritten Zeile berechnen wir zunachst das charakteristische Polynom: l-i-). XA().)

=

2+i

o

3-),

o

1-2i

3· 3 4-21

2+2i -).

-(A - 3)2 (A - i) .

Es liegt also ein zweifacher Eigenwert ). 1 = 3 und ein einfacher Eigenwert ).2 = i vor. Die Matrix A kann nur dann diagonalisiert werden, wenn der Eigenwert ). 1 die geometrische Vielvachheit 2 besitzt. Offensichtlich besitzt die Matrix

-2- i

A-3E=

(

2+i )

o

0

1 - 2i

-1 :2i

den Rang 1. Multipliziert man die dritte Zeile mit -i, so entsteht gerade die erste Zeile. Als Basisvektoren des Eigenraumes von). 1 = 3 wahlen wir

(1,0,1), (

ＭｾＬ＠

1,0).

Die Matrix

r

3

3·

-2 - 4 1

-2;

A-3E=

0

3- i

1 - 2i

4 - 21

3

3·

2:;) 2+i

besitzt den Rang 2, und wir wahlen den Vektor (-i, 0,1) als Basis des Eigenraumes von A2 = i. Der Ubergang von der kanonischen Basis (1, 0, 0), (0,1,0), (0, 0,1) des (:3 zur Basis (1,0,1), ( ＭｾＬ＠ matrix

1,0). (-i, 0,1) wird durch die Ubergangs-

201

6.2 Eigenvektoren

vermittelt. Die Inverse von B ergibt sich zu:

1

= (

ｾ＠ ｾ＠ ｾｩ＠ 1

1+ 1i)

° .

1·

3

-z+ z' SchlieBlich berechnet man

-8

1

3· + 8'

Z-

A:

ａｾｲｬｂ＠

1· z'

n

Gｾ＠

Mathematica:

A= {{ 1 - i, Ｍｾ＠

-

¥, 2 + i}, to, 3, OJ, {I -

2i, ｾ＠ -

¥, 2 + 2i}};

CharacteristicPolynomia1[A, AJIIFactor -(-3

+ A)2(-i + A)

NullSpace[A - 3 * IdentityMatrix[311 3 {{l,0, IJ, {- 4' I,O}} NullSpace[A - i * IdentityMatrix[311

B = {{l, -3/4, -iJ, to, 1, OJ, {I, 0, I}} 3 . {{I, -4' -,}, to, 1, OJ, {l, 0, 1}} Inverse[BJ

{h - Z' '8 1

i

1

3

i

3i

1

"8' Z + 3

3i

i

to, 1, OJ, 1

i

{-Z+Z'-'8+"8'Z-Z}} Inverse[BJ.A.B {{3, 0, OJ,

to, 3, OJ, to, 0, i}}

Maple: > with (linalg) : >

A:=matrix(3,3, (1-I,-(3/2)-(3*I)/4,2+I,0,3,

> 0, 1-2*I, (3/4) - (3*I) /2, 2+2*I]): > factor(charpo1y(A,1ambda»;

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

202

(A - I)(A - 3)2 >

nullspace (A-3*array (identity, 1 .. 3,1 .. 3»;

t[ｾＳＬ＠ >

1, 0] , [1, 0, In

nullspace(A-1*array(identity,1 .. 3,1 .. 3»;

([-I,O, In > B:=matrix(3, 3, [1, -3/4, -I, 0, 1, 0, 1, 0, 11);

>

inverse (B) ;

1 1 - - - 1 2 2 0 1 1 -- +-1 2 2

[ >

3

8

3

1 1 - +-1 2 2 0 1 1 - --/ 2 2

--/

8

3 3 - - +-1

8

8

]

evalm(inverse(B)&*A&*B);

UH] Diagonaliihnlichkeit einer Matrix iiberpriifen

Aufgabe 6.11 bar ist:

Man priife, ob die folgende Matrix diagonalisier-

4+ 3i

-31 - 2'I

0

3 - 3i

0

-3

-4

ｾ＠3 +2i

3i

-2-6i

0

3

1

0

1- 3i

1 + 6i

A=

Losung:

Zuniichst bentitigen wir die Eigenwerte:

4+3i-A

-31 - 2 I.

0

3 - 3i - A

0

-3

-4

ｾ＠ +2i

3i - A

-2 -6i

0

3

1

0

1-3i-A

1 + 6i

XA(A) =

=0

und entwickeln nach der dritten Spalte:

6.2 Eigenvektoren

203

o

3-3i-A

ｾ＠ 3

-4

XA(A)

-3

+ 2i

-2-6i

1

o

1-3i-A 3 4+3i-A

+(3i - A)

1 +6i

o

3-3i-A

-3

o

t

1-3i-A

4 «3 - 3 i-A) (1 - 3 i-A) + 1)

+(3 i - A)(4 + 3 i-A) «3 - 3 i - A)(1 - 3 i-A) + 1) (4 + (3i - A)(4+ 3i - A»)(A - (2 - 3i)2 (A - (2- 3i»2 (A - (2 +3i»2.

Es liegen SOInit zwei doppelte Eigenwerte Al vor. Man sieht unrnittelbar, daB die Matrizen

2+6i

=2-

-31 - 2'I

=

=2+

3i

1 + 6i

0

A - (2 - 3i) E

3 i und A2

0

-3

-4

ｾ＠ +2i

-2+6i

-2-6i

0

3

I

0

-I

und

A - (2 + 3i) E

2

-31 - 2'I

0

1 - 6i

0

-3

-4

ｾ＠ +2i

-2

-2-6i

0

3

1

0

-1 - 6i

=

1 + 6i

jeweils den Rang 3 besitzen. Also haben Alund A2 jeweils die algebraische Vielfachheit 2 und die geometrische Vielfachheit I. Die Matrix ist somit nicht diagonaliihnlich, Der Eigenraum von AI wird vom Vektor (0, 1,0,3) aufgespannt und der Eigenraum von A2 wird vom Vektor (1, 0, -2, 3),

Mathematica:

-1- 2i, 1, 1 + 6i}, to, 3 - 3i, 0, -3}, + 2i, 3i, -2 - 6i}, to, t, 0,1 - 3i}}

A = {{4 + 3i,

{ - 4, ｾ＠

Factor[ CharacteristicPolynomial[A, A]] (13 - 4A + A2/

Solve[CharacteristicPolynomial[A, Al

== 0]

204

6 Eigenwerte und Eigenvektoren (f)..

--+

2 - 3i}, {A

--+

2 - 3i}, {A

--+

2 + 3i},

{A --+ 2 + 3i}}

A - (2 - 3i) 2+6i

(

0

-4 0

A - (2 + 3i) 2

( -4

ｾ＠

0

0

* IdentityMatrix[4]/ /MatrixForm -31 - 2'I 1 ｾ＠ +2i 1 3

1

1 +6i -3 -2-6i -I

0

-2+6i 0

)

* IdentityMatrix[4]/ /MatrixForm -31 - 2'I 1 - 6i ｾ＠ +2i

0

-3

-2

3

0

-2-6i -I - 6i

1

1

1 + 6i

)

Map'" > with (linalg) ; > A:=matrix(4, 4, [4+3*I, -1/3-2*I, 1,1+6*I, 0, 3-3*I, 0, > -3,-4,2/3+2*I,3*I,-2-6*I,0,1/3,0,1-3*I): > factor(charpoly(A,lambda»;

>

solve(charpoly(A,lambda)=O);

2+31.2-3/.2+3/.2-31 >

evalm(A-(2-3*I)*array(identity,1 .. 4,1 .. 4»;

2+61 0

-4

o >

1 -- -21 3 1 2 - +21 3

3

1 + 61

0

-3

-2+61

-2 -61

o

-I

evalm(A-(2+3*I)*array(identity,1 .. 4,1 .. 4»;

2 0

-4 0

1 -- -21 3 1 - 61 2 - +21 3 1 3

1 + 61 0

-3

-2

-2-61

0

-1-6/

205

6.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen

6.3

Symmetrische und orthogonale Matrizen

Wir betrachten nun Matrizen mit speziellen Eigenschaften. Eine n x n-Matrix A mit Elementen aus IR heiBt symmetrisch, wenn gilt und otbogonal, wenn gilt

Symmetrische und orthogonale Matmen

Die Deterrninante einer Orthogonaimatrix betragt +1 oder -1. Wenn A orthogonal ist, dann sind die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) paarweise orthogonal und haben die Lange 1. Bilden die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer n x n-Matrix A eine Orthonormalbasis des 1lfI. so bilden auch die Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) eine Orthonorrnalbasis. und A ist orthogonal.

Orthononnalbasen und orthogonalen Matmen

Symmetrische und orthogonale Matrizen stehen in folgendem Zusammenhang mit dem skalaren Produkt. Wenn A eine symmetrische n x n-Matrix ist, dann gilt - (A y-T)T • (A x-T)T y=x

und wenn A eine orthogonale n x n-Matrix ist. dann gilt ｚｵｳ｡ｮ･ｨｧｺｾ｣＠

skalarem Produkt und symmetrischen und orthogonalen Matmen

ftir beliebige Vektoren i , YE IRn . 1m JR3 ergibt sich folgende geometrische Eigenschaft. Liegt eine orthogonale 3 x 3-Matrix vor, so bleibt bei der Anwendung der durch die Matrix definierten linearen Abbildung die Lange eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren erhalten. Wir betrachten nun Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen.

Erhaltung von Lange und Winkel durch orthogonale Matmen im ]R3

206

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

Sei A eine symmetrische Matrix. Dann gilt: 1.) Aile Eigenwerte sind reell. Eigenschaften symmetrischer Matrizen

2.) Sind AI '1= A2 zwei ver chiedene Eigenwerte mit zugeh6rigen Eigenvektoren UI bzw. U2, so sind Ulund U2 orthogonal: ill il2 = O.

3.) Bei jedem Eigenwerl stimmen geometrische und algebraische Vielfachheil uberein. Aus den Eigenschaften der Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix ergibt sich die DiagonaHihnlichkeit. Diagonaliihnlichkeit symmetrischer Matrizen

Jede symmelIische Malrix ist diagonaliihnlich. SchlieBlich betrachten wir Eigenwerte und Eigenvektoren orthogonaler Matrizen.

Eigenwerte und Eigenvektoren orthogonaler Matrizen

Eigenschaften orthogonaler Matrizen nachweisen

Sei A eine orthogona\e Matrix und A E C ein Eigenwert. Dann und ii E gilt 1).1 = ±l. Geh6ren die Eigenvektoren il E zu verschiedenen Eigenwerten, dann sind il und ii orthogonal:

en

en

iiv =0.

Aufgabe 6.12 Sind A und orthogonale n x n-Matrizen, dann ist auch die Produktrnatrix orthogonal. Gilt det(A) = + 1 und ist n ungerade, so ist A = 1 ein Eigenwert von A. Gilt det(A) = -1, so ist stets). = -1 ein Eigenwert von

A.

x

x

Fur aile Vektoren E IRn gilt: II A T II = Ilx II . Liegt eine orthogonale 3 x 3-Matrix vor, so bleibt bei der Anwendung der durch die Matrix definierten linearen Abbildung die Lange eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren erhalten. Losung:

Aus

=

und

=

1=

folgt:

=

=

1 A-I

= +1: 1) det(A-E) = T) = = det(A) det(E -

Wir formen urn bei det(A)

det«E -

= = = =

det(E det(-(A - E» det(A - E) -det(A -

6.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen

207

Hieraus ergibt sich det(A - E) = 0 fur ungerades n. Wir formen urn bei det(A) = -1: det(A

+ E)

det(A (E

+ det(A (E +

-I)

det(A) det(E

+

-det«E

+

-det(A + Hieraus ergibt sich det(A + E) = 0 Fur beliebige Vektoren )i E IRn gilt:

x,

Setzt man)i =

x, so ergibt sich:

II = Das heiBt, bei der Anwendung der durch und daraus folgt IIA die Matrix definierten linearen Abbildung bleibt die Lange eines Vektors erhalten. Schreiben wir nun im IR3 : =

1I)i)

und = so folgt wegen IIA

II

=

und

II

= 1I)i1l die Beziehung

=

1I)i).

Aufgabe 6.13 Man zeige: Wenn eine orthogonale 2 x 2-Matrix ist, dann gibt es ein ¢ E [0, 2rr), so daB

A _ (COS(¢) sin(¢)

LOsung:

- Sin(¢») cos(¢)

Wir schreiben

ｾ＠

=

(all a21

SI = (all)

a21

COS(¢) A = ( sin(¢)

oder

sin(¢) ) - cos(¢) .

a 12 ) . Die Spaltenvektoren

und

12 =

(a

12 )

bilden ein orthonormales System. Zunachst mussen Winkel ren mit ｾ＠ (COS(c/J2») 1 _ (COS(c/J)) und S2 = sin . sin(c/J) 1Da die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschlieBen, gilt

c/J2 existie-

Siimtliche orthogonale 2 x 2-Matrizen bestimmen

208

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 1f

Ith - ¢Ill = k "2 bzw. th =

± k

ｾ＠

mit k = I, 3. Setzt man nun

s _ (COS(¢I))

_ und

sin(¢I)

1 -

(cos sin

s2 =

=

so gilt:

± k ｾＩ＠ ± k Ｉ＠ｾ

.

Die Beziehungen:

｣ｏｓＨﾢｉﾱｫｾＩ＠ ｳｩｮＨﾢｉﾱｫｾＩ＠

cos (±k ｾＩ＠

=

cos

=

sin(¢I) cos (±k ｾＩ＠

-

sin

sin

+ cos (¢I)

(±k ｾＩ＠

sin (±k ｾＩ＠

zusammen mit

ｃｏｓＨﾱｫｾＩ］＠

und

ｳｩｮＨﾱｾＩ］ｉＬ＠

ｳｩｮＨﾱＳｾＩ］ｦｬ＠

beweisen die Behauptung. Eigenwerte und Eigenvektoren von orthogonalen 2 x 2-Matrizen bestimmen

Aufgabe 6.14 Gestalt:

Die Matrix

A _ (COS(¢) sin(¢)

- Sin(¢)) cos(¢)

besitze mit einem ¢ COS(¢) = ( sin(¢)

oder

E

[0, 2Jl') die

sin(¢) ) -cos(¢) .

Man berechne Eigenwerte und Eigenvektoren und interpretiere das Ergebnis geometrisch. ·· L osung:

P" ur

=

(COS(¢I)

sin

ｾ＠

ｾＩ＠

ergibt sich das charakteristische

Polynom zu: XA (A) = (cos(¢I) - A)2

+ (sin(¢I))2

und die Eigenwerte: Al = cos

+

J-(sin(¢I))2,

A2 = cos

-

J-(sin(¢I))2.

1m Sonderfall ¢I = 0 fallen beide Eigenwerte zum doppelten Eigenwert Al = 1 zusammen. 1m Sonderfall = 1f fallen beide Eigenwerte zum doppelten Eigenwert AI = -1 zusammen. In beiden Fiillen sind aile Vektoren aus (:2 (]R2) Eigenvektoren. 1m allgemeinen Pall haben wir zwei konjugiert komplexe Eigenwerte. Zur Berechnung der Eigenvektoren betrachten wir die Matrix: - (cos(¢I) ±

J

-(sin(¢I))2)

=

(=fJ -,

with (linalg) ;

> A:=matrix(3,3, [1/sqrt(2),-1/sqrt(2),O, > -3/sqrt(22) ,-3/sqrt(22),2/sqrt(22) , > 1/sqrt(11),l/sqrt(11),3/sqrt(11)]);

ｾＮＯＲ＠ A'-

1 --./2

2

0

2

3 3 ＮＯＲ＠ｾ --./22 --./22 22 22 11

ｾＮｊｉｔ＠

11

ｾＮｊｉｔ＠

11

2..JIT 11

> det(A);

> nullspace(A+array(identity,l .. 3,l .. 3»;

Kriterium fiir die Definitheit einer quadratischen Form herieiten

Aufgabe 6.17 Sei A eine symmetrische n x n Matrix. Die Abbildung QA : IR" ｾ＠ R, ---+ . heiSt quadratische Form. Die Matrix A besitze die Eigenwerte AI •...• mit VielfachheiMan zeige: ten kl •...• :5 0 ::: 0) gilt genau dann fur aIle:i E IR". wenn Akm :5 0 (Akm ::: 0) fur aile m = 1•...• I gilt.

213

6.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen

LOsung:

Bei einer symmetrischen Matrix stimmen die aIgebraische und die geometrische Vielfachheit berein. Der Eigenwert Akm besitzt einen Eigenraum der Dimension km . Fiir diesen Eigenraum liiBt sich mit dem HilbertSchmidtschen Verfahren eine Orthonormalbasis hm,I,'" ,hm,km finden. Nimmt man diese Basen aller Eigenraume zusammen, so ergibt sich eine Orthonormalbasis hI, ... ,hn des lRn , die aus lauter Eigenvektoren besteht. Mit der Basisiibergangsmatrix:

wird die kanonische Basis des lRn in die neue Basis iiberfiihrt: n

hj = L

f3k,j ek (n) •

k=I

Berechnet man die Koordinaten eines Punktes n

X=

L

Xj ej (n)

j=I

in den Systemen (0, Beziehungen:

o-p = x

n

el (n), ... ,en (n»

=L

xj

hj

j=I

bzw. (0,

hI, ... ,bn ), so gelten die

Die Matrix B ist gemiiB ihrer Konstruktion orthogonal B- 1 deshalb gilt:

Beriicksichtigt man, daB die Matrix A diagonalisiert wird

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

214

mit entsprechend ihrer Vielfachheit aufgefiihrten Eigenwerten AI, . .. ,An, so bekommt man

=

t (t

f3j,k Xk)2

Aj

j=1

k=1

Hieraus kann man nun das behauptete Kriterium entnehmen. Hauptachsensystem einer quadratischen Form finden, Kurven und Flachen beschreiben

Aufgabe 6.18 Gegeben seien die symmetrische Matrizen:

=

(-2 3) 3

1

Man gebe orthogonale Matrizen BI und B2 an, so daB T A2 = B2 A2 B2

und jeweils eine Diagonalmatrix darstellt. Man beschreibe die Kurve:

und die Flache

0:)

= I

im jeweiligen Hauptachsensystem. Losung: Die Matrix

I besitzt das charakterische Polynom

mit den Eigenwerten Al

1

3

= --2 - -.J5 2 '

1 A2 = - 2

3

+ -2 .J5.

Beide Eigenwerte besitzen die algebraische und geometrische Vielfachheit 1. Der Eigenraum yon AI wird aufgespannt yom Eigenyektor

Der Eigenraum yon A2 wird aufgespannt yom Eigenyektor

6.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen

215

Die Vektoren u) und stehen senkrecht aufeinander. Normiert man die Vektoren, so entsteht eine Orthonormalbasis des ]R2 aus Eigenvektoren:

h)

=

h2

=

1

_

(

1

_

(

--U)=

1+,/5 2) J2(5 +./5)' J2(5 +./5) , 1-,/5 2) -./5)' J2(5 -./5) .

2 2 U2 =

J2(5

Mit der Matrix 1+ 5

_

--J..=L)

2 (s+.J5)

B)= (

..j2:-.J5)

J2(S2+.J5)

J2(S-.J5)

gilt deshalb:

A-) -_

(-! ＭｯｾＮＯＵ＠ ＭｾＫＢＬＵ＠

)

0) 3 u

Geht man im]R2 zum Hauptachsensystem dinaten:

=

T

h), h2) tiber mit den Koor-

so nimmt die angegebene Kurve die Gestalt an:

/2 (1-'2+'2",5 ＳｾＩ＠ 1 ＳｾＩ＠ xl+ (-'2-'2",5 bzw.

ｸＧｾ＠

/2

x2=1

x'i

---=1 b2 a2 mit

｡］ｊｬＫｾＮＯＵＧ＠

b=J-l:3./5'

Die Gleichung stellt also im Hauptachsensystem eine Hyperbel mit der a

Achse 2b und den Asymptoten X) = ±b'X2 dar.

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

216

Die

Hyperbel

(XI, X2) (-23

3)1 (XI) = 1 x2

im Hauptachsensystem

Die Matrix A2 besitzt das charakterische Polynom XA2(A) = _A 3 + U 2 + U - 4

mit den Eigenwerten

AIle drei Eigenwerte besitzen die algebraische und geometrische Vielfachheit 1. Der Eigenraum von AI wird aufgespannt vom Eigenvektor

"I =

(1, 1,0) .

Der Eigenraum von A2 wird aufgespannt vom Eigenvektor

Der Eigenraum von A3 wird aufgespannt vom Eigenvektor

"I, "2

Die Vektoren und "3 stehen senkrecht aufeinander. Nonniert man die Vektoren, so entsteht eine Orthonormalbasis des 1R3 aus Eigenvektoren:

Mit der Matrix

6.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen I .J2 B2=

I .J2 0

217

1+.J2

I-.J2

2.J3+2.J2

2.J3-2.J2

I+.J2

I-.J2

2.J3+2.J2

2.J3-2.J2

2+.J2

2-.J2

2.J3+2.J2

2.J3-2.J2

gilt deshalb: 0

ａＧｾｇ＠

-../2 0

ｾＩ＠ ｾ＠

../2

B[ A,B,

Geht man imlR3 zum Hauptachsensystem (0, bI, b2, b3) tiber mit den Koordinaten:

(:D ｾｂＬ＠ ＨｾＩＮ＠ so nimmt die angegebene Flache die Gestalt an:

r,; /2 2 x /2I - vr,;2ｾｸ＠ /22 + v2x 3 = 1. Die Gleichung stellt also im Hauptachsensystem ein einschaliges Hyperboloid dar.

Das

einschali-

ge (1ｈｹｰｾｲ｢ｏｬＺ､Ｉ＠

x

1

1

-1

xT = 1

0 1 -1 im Hauptachsensystem, (x = (XI,X2,X3»

Mathematica: Al

= {{-2, 3}, {3, I}};

CharacteristicPolynomial[AI, A] -11+A+A2

218

6 Eigenwerte und Eigenvektoren Solve[CharacteristicPolynomial[Al, A]

{{A ｾ＠

ｾ＠2 ( - 1 - 3vrs) }, {A ｾ＠

NullSpace[Al-

ｾＨ＠

== 0]

ｾ＠2 ( - 1+ 3vrs) }}

- 1- 3.J5)IdentityMatrix[2l] 1

({2:( -1 - vrs), I}} NullSpace[Al-

1

i( -1 + 3.J5)IdentityMatrix[2]] 1

{{ 2: ( - 1+ vrs), l}} Simplify[

I} {!(-1-® 2 v oJ) '

J{H -1- ｾＬｉｽﾷｻｈ＠ {-

-1- ｾＬＱｽ＠

J + J5

1+J5

2

J2(5 + J5)' Simplify [

J{H ＭＱＫｾＬｉｽＮｻｈ＠

}

5

I} {!(-1+® 2 v oJ) '

ＭＱＫｾＬｽ＠ ｾ＠

ｾ＠

]

{ J 10 - 2J5' Vs=7s }

Map'" > with (linalg) ; > A1:=matrix(2,2, [-2,3,3,1]): > charpoly(A1,lambda);

> solve(charpoly(A1,lambda)=O);

1

3

1

3

--2 + -2 vrs' --2 - -2 vrs > nullspace(A1-(-1/2+3/2*sqrt(5» > *array(identity,l .. 2,1 .. 2»;

]

6.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen > nullspace(Al-(-1/2-3/2*sqrt(5» > *array(identity,1 .. 2,1 .. 2»;

> evalm([l, 1/2+1/2*sqrt(5)]1 > (norm(vector([l,1/2+1/2*sqrt(5)]),2»);

> evalm([l, 1/2-1/2*sqrt(5)]1 > (norm(vector([l,1/2-1/2*sqrt(5)]),2»);

219

220

Sachwortverzeichnis Abstand von Punkt und Ebene,32 Abstand von Punkt und Gerade,30 Adjunkte, 170 Affine Abbildung, 136 Affine Koordinaten, 87, 94 Affines Koordinatensystem, 87 Algebraische Vielfachheit, 195 Alternierende Multilinearform, 172 Argument, 55, 56 Basis, 80 Basisiibergangsmatrix, 133 Betrag einer komplexen Zahl, 45 Bild einer linearen Abbildung, 131 Blockdreiecksmatrix, 178 Charakteristisches Polynom, 188 Charakteristisches Polynom aImlichee Matrizen, 188 Cramersche Regel, 173 Definitheit einer quadratischen Form,212 Determinante, 169, 171 DiagonalaImliche Matrix, 196, 199 Dimension, 81 Drehspiegelung im 1R3, 139, 209 DrehungimlR2 , 89,209 DrehungimIR3 ,91,139,209 Dreiecksmatrix, 177 Dreiecksungleichung, 46, 100 Dreifingerregel der rechten Hand, 23 Ebenengleichung, 30, 31 Eigenraum, 195 Eigenvektor, 195

Eigenwert, 195 Einheitsmatrix, 112 Einheitsvektor, 10, 11 Einheitswurzel, 64, 69 Elementarmatrizen, 119 Entwicklungssatz, 171 Erweiterte Matrix, 146 Eulersche Formel, 56 Eulerwinkel, 91 GauBscher Algorithmus, 158 Geometrische Vielfachheit, 195 Geradengleichung, 28, 29 Gerichtete Strecke, 3 Hauptachsensystem, 97, 214 Hessesche Normalform, 32 Hilbert-Schmidt Verfahren, 101 Homogenes System, 145 Hyperboloid, 217 Imaginfuteil, 44 Inhomogenes System, 145 Inverse Matrix, 120, 172 Kanonische Basis, 81 Kern einer linearen Abbildung, 131 Komplexe Zahl, 44 Komponente, 1 Konjugiert komplexe Zahl, 44, 45 Koordinaten, 1,85, 101 Koordinatentransformation,86 Kronecker-Symbol, 86 Kurve in der Ebene, 50, 51, 53,54 Lange eines Vektors, 8, 9, 99, 100,205 Losungsraum, 145, 159 Losungsraum eines homogenen Systems, 146

221

SACHWORTVERZEICHNIS Losungsraum eines inhomogenen Systems, 146 Lineare Abbildung, 130, 131 Lineare Abhiingigkeit, 3, 22, 25,80 Lineare Unabhiingigkeit, 80 Linearer Teilraum, 81 Lineares Gleichungssystem, 81, 82,88,145 Linearkombination, 71 Lot, 39,40,42 Matrix, 109 Matrix einer Verkettung, 132 Matrixform eines linearen Gleichungssystems, 145 Normalenvektor,31 Normierter Vektor, 100 Nullraum einer linearen Abbildung, 131 Orthogonalbasis, 101,205 Orthogonale Matrix, 205-207, 209,210 Orthogonale Vektoren, 100 Orthogonalsystem, 100 Orthonormalsystem, 100 Ortsvektor, 4 P-Q Normalform, 125, 137 Parallel flach, 24 Parallelogramm, 6, 19 ParallelogrammregeI, 4 Pfeil,3 Polarkoordinaten, 56 Produkte von Skalaren mit Matrizen, 111 Produktmatrix, 111, 112 Projektion, 11, 12, 105 Punktraum, 1 Quadratische Form, 212 Quadratwurzel, 63, 66 Rang einer Matrix, 120, 133 Rangbestimmung, 120

Rangkriterium, 146 Raute,20 Realteil, 44 Rechteck, 19 Richtungscosinus, 12 Sarussche Regel, 170 Satz von Cayley-Hamilton, 189 Scherung, 137, 139 Schnitt von Ebenen, 32, 147 Schnitt von Geraden, 29 Seitenhalbierende, 7 Senkrechte Vektoren, 10 Skalar, 2, 70 Skalares Produkt, 9, 22, 99, 100,205 Spaltenoperation, 118, 157 Spaitenrang, 118 Spaltenvektor, 110 Spatprodukt, 24 Spiegelung im 1R3 , 139 Spur einer Matrix, 117 Summe von Matrizen, 111 Symmetrische Matrix, 205, 206, 212 Systeme mit quadratischer Systemmatrix, 147 Tetraeder, 26 Transponierte Matrix, 111, 112, 188 Triviale Darstellung des Nullvektors, 80 Unterraum, 71 Vektor, 1, 2, 70 Vektorielles Produkt, 21-23 Vektorraum, 2, 70 Vektorraum JK'l , 71 Verschiebungsvektor, 1 Volumen eines Spats, 24 Windschiefe Geraden, 29, 30 Winkel, 9, 205 Winkelhalbierende, 20 Wurzel,63

222

SACHWORTVERZEICHNIS Zeilenoperation, 157 Zeilenrang, 118 Zeilenvektor, 11 0 Zerlegung eines Vektors, 12, 17 Zugeordnete Matrix, 132, 133

223 ｾｔｈｅｉｃａＭｂｆｌ＠

Mathematica-Befehle Abs,52 Arg,58 CharacteristicPolynomial, 189, 197 Collect, 98 ComplexExpand, 50, 59 Conjugate, 49 Cross, 25 Det,174 E,98 Eigenvalues, 197 1,46 IdentityMatrix, 192 1m, 48 Inverse, 125 LinearSolve, 160, 164 MatrixForm, 113 N,13 Nullspace, 164 Re,48 RowReduce, 123, 153 Simplify, 18,46 Solve, 16,34,75, 197 Sum, 62 Transpose, 113 Unprotect, 98

224

MAPLE-BEFEHLE

MapJe-Befeble abs,53 array (identity, Ln, Ln), 192 charpoly, 190, 197 collect, 98 collect( ,distributed), 98 combine( ... ,trig),63 concat, 154 conjugate, 49 convert( ... ,polar),58 convert, degrees, 14 cross prod, 26 det, 174 dotprod,14 eigenvalues, 197 evalc, 50, 59 evalf,14 evalm, 19, 114 1,47 Im,49 inverse, 125 linalg, 14 linsolve, 161, 165 map, 19,26, 143 norm, 14 nullspace, 165 Re,49 rref,123 simplify, 19,26,47, 143 solve, 16,34,76,197 sum, 63 transpose, 114