Leonhard Euler und Christian Goldbach: Briefwechsel 1729–1764 [Reprint 2022 ed.] 9783112652886

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A B H A N D L U N G E N DER D E U T S C H E N AKADEMIE D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU B E R L I N Klasse für Philosophie, Geschichte, Staats-, Rechts- und

Wirtschaftswissenschaften

Jahrgang 1965 Nr. 1

LEONHARD EULER UND CHRISTIAN GOLDBACH B R I E F W E C H S E L 1729 -

1764

Herausgegeben und eingeleitet von A. P. J U S K E V I C U N D E. W I N T E R Zum Druck vorbereitet von P. Hoffmann, T. N. Klado und J u . Ch. Kopelevic

AKADEMIE-VERLAG 1965

•

BERLIN

Gesamtredaktion: A. P. Juäkevif (Moskau), E. Winter (Berlin) Vorbereitung der Briefe zum Druck: P. Hoffmann (Berlin), T. N. Klado (Leningrad), J u . Ch. Kopelevic (Leningrad), T. D. Lavrencova (Moskau) Anmerkungen: P. Hoffmann (Berlin), A. P. Juäkevic (Moskau), T. N. Klado (Leningrad), J u . Ch. Kopelevic (Leningrad), M. Miller (Dresden), E. Winter (Berlin) Zahlentheoretische Anmerkungen: A. A. Kiselev (Leningrad), I. G. Mel'nikov (Leningrad) Redaktionelle Bearbeitung der deutschen Übersetzung der mathematischen Anmerkungen: H. Koch (Berlin), M. Miller (Dresden) Übersetzungen aus dem Russischen und redaktionelle Bearbeitung der Ausgabe: P. Hoffmann (Berlin)

Vorgetragen von Hrn. W I N T E R in der Sitzung vom 13. Februar 1964 Zum Druck genehmigt am gleichen Tage, ausgegeben am 17. Februar 1965

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, Berlin W 8, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1965 b y Akademie-Verlag G m b H Lizenznummer 202 • 100/137/65 Satz, Druck u n d Bindung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg Bestellnummer 2001/65/VI/l • ES 14 D • Preis: MDN 1 1 8 , -

Vorwort Das Wirken Leonhard Eulers hat in den letzten Jahren ständig steigendes Interesse gefunden. Vor allem in Verbindung mit seinem 250. Geburtstag sind viele Publikationen erschienen, die unsere Kenntnis teilweise erheblich erweitern. I n diesem Zusammenhang fand besonders der Briefwechsel Leonhard Eulers große Beachtung. Davon zeugen neben einer Auswahl seines wissenschaftlichen Briefwechsels, die in der Sowjetunion erschien 1 , die beiden in deutsch-sowjetischer Zusammenarbeit herausgegebenen Bände „Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Briefwechsel L. Eulers" 2 . Wie die letztgenannte Veröffentlichung wurde auch der vorliegende Band in Gemeinschaftsarbeit zwischen dem Institut für Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik an der Akademie der Wissenschaften der UdSSR und der Arbeitsstelle für Geschichte der deutsch-slawischen Wissenschaftsbeziehungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin erarbeitet. F ü r die Kommentierung und als Berater wurden Wissenschaftler, vor allem Mathematiker, aus anderen Institutionen mit hinzugezogen. I n der vorliegenden Veröffentlichung wird der Briefwechsel des großen Mathematikers mit seinem Freund, dem Mitglied der Petersburger Akademie Christian Goldbach, vorgelegt, der sowohl für die Geschichte beider Akademien als auch für die Geschichte der Mathematik von außerordentlicher Bedeutung ist. Dieser Briefwechsel wurde bereits vor 120 Jahren von P. H. Fuß als 1. Band der Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII è m e siècle, Petersburg 1843, veröffentlicht. Diese Ausgabe ist schon längst zu einer bibliographischen Rarität geworden, das Werk fehlt sogar teilweise in großen Bibliotheken, so daß eine Neuausgabe gerechtfertigt ist. Sie erscheint um so dringender, da bei Fuß dem Charakter seiner Ausgabe entsprechend der Brieftext mit vielen häufig nicht einmal gekennzeichneten Auslassungen und teilweise dadurch bedingten willkürlichen Veränderungen im Text geboten ist. Ausgelassen wurden fast alle Ausführungen bzw. Briefe, die nicht mathematischen Fragen gewidmet sind. So fehlen u. a. die Ausführungen über die Reorganisation der Berliner Akademie mit ihren für die Biographie Eulers so außerordentlich wichtigen Details, es fehlen die Angaben über Eulers Ubersiedlung nach Berlin, über seine Verbindungen zur Petersburger Akademie (z. B. die Empfehlungen f ü r Braun und Aepinus) usw. Den letzten Brief Eulers an Goldbach, der rein mathematischen Inhalts ist, kannte Fuß nicht, da dieser Brief unter den Papieren G. F. Müllers verborgen war. In der vorliegenden Ausgabe werden alle zur Zeit bekannten Briefe vollständig (mit Ausnahme der Anrede und der Höflichkeitsfloskeln am Schluß) wiedergegeben einschließlich der vielen, bei Fuß fehlenden Randglossen Eulers zu den Briefen Goldbachs, die in die Anmerkungen auf1 2

I*

Jleoiiap« 9üJiep, Ü H C b M a K y i e H H M , Moskau—Leningrad 1963. Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Briefwechsel Leonhard Eulen. Teil 1 : Der Briefwechsel L. Eviers mit (!. F. Müller 1735 — 1767. Herausgegeben und eingeleitet von A. P. JuSkevic und E. Winter unter Mitwirkung von P. Hoffmann-, Teil 2: Der Briefwechsel L. Eulers mit A. K. Nartov, K. O. Razumovskij, J. D. Schumacher, G. N. Teplov und der Petersburger Akademie 1730—1763. Herausgegeben und eingeleitet von A. P. JuSkevic und E. Winter unter Mitwirkung von P. Hoffmann und Ju. Ch. Kopelevic ( = Quellen und Studien zur Geschichte Osteuropas, Bd. III/l, 2), Berlin 1959, 1961

IV

Vorwort

genommen wurden. Von den 196 Briefen der vorliegenden Ausgabe fehlen bei Fuß die Briefe 21, 36, 37, 38, 41, 44, 46, 95, 122, 123, 143, 175, 191, 192, 196 völlig. Die Einleitung wurde gemeinsam von A.' P. Juslceviö und E. Winter unter Mitwirkung von P. Hoffmann verfaßt. Den zahlreichen deutschen und sowjetischen Mitarbeitern, deren Anteil an dieser Ausgabe auf der Rückseite des Titelblattes verzeichnet ist, sei an dieser Stelle für ihre bereitwillige Unterstützung gedankt. Die Originale, die der vorliegenden Publikation zugrundeliegen, befinden sich im Zentralen Staatsarchiv für alte Akten (CGADA) in Moskau und in der Leningrader Abteilung des Archivs der Akademie der Wissenschaften der UdSSR (AAL). Auch den Leitern beider Archive gebührt für ihre Unterstützung der vorliegenden Publikation der Dank der Herausgeber. Der Band ist als Würdigung für den in der Geschichte der Mathematik oft unterschätzten Christian Goldbach gedacht, dessen Todestag sich am 1. Dezember 1964 zum 200. Male jährt. A. P. JuSkevic, E. Winter

Inhalt Abkürzungsverzeichnisse

VII

Einleitung

1

Der Briefwechsel Leonhard Eulers mit Christian Goldbach

17

Zur Textgestaltung

18

1729 (Brief 1730 ( „ 1731 ( „ 1732 ( „ 1735 ( „ 1736 ( „ 1737 ( „ 1738 ( „ 1739 ( „ 1740 ( „ 1741 ( „ 1742 ( „ 1743 ( „ 1744 ( „ 1745 ( „ 1746 ( „ 1747 ( „ 1748 ( „ 1749 ( „ 1750 ( „ 1751 ( „ 1752 ( „ 1753 ( „ 1755 ( „ 1756 ( „ 1757 ( „ 1762 ( „ 1763 ( „ 1764 ( „

1-2) 3-13) 14-16) 17-20) 21-22) 23 ) 24 ) 25 ) 26-32) 33-35) 36-43) 44 - 60) 60-75) 76-85) 86-97) 98-112) 113-123) 124-133) 134-141) 142-149) 150-156) 157-165) 166-169) 170-176) 176-182) 183-184) 185-188) 189-195) 195-196)

Personenregister

'

19 25 49 54 60 62 62 64 66 80 82 92 135 189 209 239 266 284 305 318 334 344 365 376 385 392 394 399 403 407

Verzeichnis der in Abkürzungen zitierten Literatur und Quellen Verweisungen 1

A A L — ApxHB ÄKaaeMHii Hayn CCCP, Leningrader Abteilung Acta — Acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, Petersburg 1778 —1786 (für die Jahre 1777 —1782) Acta erud. — Acta eruditorum, Leipzig 1682—1731 Bibl. math. — Bibliotheca mathematica, Bd. 1 ff., Leipzig 1900ff., Amsterdam 1952ff. Briefwechsel L. Eulers — Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Briefwechsel Leonhard Eulers ( = Quellen und Studien zur Geschichte Osteuropas, Bd. I I I ) , Teil 1, Der Briefwechsel mit 6. F. Müller, Berlin 1959; Teil 2, Der Briefwechsel mit Nartov, Razumovskij, Schumacher, Teplov und der Petersburger Akademie, Berlin 1961 Bull. Ac. St. Pet. — Bulletin de l'Academie Impériale des Sciences de St. Péterbourg Cantor, Geschichte — M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. I — I V , Leipzig 1908—1912 CGADA — IieHTpajibHtiö rocyflapcTBeHHuit apxHB HpeBHHX aKTOB, Moskau Chovanskij — A. H. XoBaHCKHil, PaöoTM JI. 9ünepa no TeopHH licniibix apoöefl. HCT. MaT. HCMI., 10, 1957, S. 305-326 Comm. — Commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae, Bd. 1 — 14, Petersburg 1728—1751 (für die Jahre 1726-1746) Ijiekson, History — L. E. Dickson, History of the theory of numbers, vol. 1 — 3, New York 1934 Eneström — G. Eneström, Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers ( = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Ergänzungsband IV), Leipzig 1910—1913 (Nachdruck: P y K . MaT. I, S. 352—387) Eneström, Briefwechsel — G. Eneström, Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I . Bernoulli. Bibliotheca mathematica, 3. Folge, B. 4—6, 1903 — 1905 Euler, Op. Omn. — Leonhardi Euleri Opera omnia. I. Serie: Opera mathematica, I I . Serie: Opera mechanica et astronómica. I I I . Serie: Opera physica. Miscellanea, Leipzig u. Berlin 1911 ff. (Römische Ziffer: Angabe der Serie, arabische Ziffer: Angabe des Bandes). Euler, Op. post. — L. Euleri Opera postuma mathematica et physica, Bd. 1, 2, Petersburg 1862 Faber, Über die Bände — G. Faber, Übersicht über die Bände 14, 15, 161; 162 der ersten Serie, in: Euler, Op. Omn., I, 162 Fermat, Oeuvres — Pierre de Fermat, Oeuvres, Hg. Paul Tannery, Charles Henry, Bd. 1—4, Supplement, Paris 1891-1922 Fuß, Correspondance — Correspondance mathématique et physique de quelques célébres géométres, éd. par P. H. Fuß, Bd. I, I I , Petersburg 1843 Gussov, l i o TEOPHH .T-iJiyHKijHH — B. B. TyccoB, Paßora pyccKHx y i e m i x no TeopHH raMMa-yinmnH, in: H C T . MaT. HCCJI. 5, 1952, S. 421-472 Harnack, Gesch. d. preuß. A d W — A. Harnack, Geschichte der Königl.-Preuß. Akademie der Wissenschaften, Bd. 1 - 3 , Berlin 1900 Hofmann, Eulers Reihenstudien — J. E. Hofmann, Um Eulers erste Reihenatudien, in: Sammelband zu Ehren des 250. Geburtstages Leonhard Eulers. Unter Red. von K . Schroeder, Berlin 1959, S. 139—208 H3B. A H CCCP — H3BecTHH AnafleMMH Hayn CCCP Intr. anal. inf. — L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1—2, 1748 (Op. Omn. I, 8—9) Inst. calc. diff. — L. Euler, Institutiones calculi differentialis, 1755 (Op. Omn. I, 10) Inst. calc. int. — L. Euler, Institutiones calculi integralis, 1—3, 1768 — 1770 (Op. Omn. I, 11 — 13) H C T . MAT. HCCJI. — HCTOPHKO-MATEMARAIECKHE IICCJIE^OBAHMH, hg. unter der Red. von T . P H 6 K H H und A . II. lOiiiKeBHi, Bd. lff., Moskau 1948ff.

1

Bei den im A A L liegenden Briefen bedeutet F = OOHA, Op = onHCb, bei den im CGADA liegenden Briefen F = ® 0 H H , D = ffleno, C = qacTb, die Blattangaben werden mit arabischen Ziffern gegeben, die Rückseite wird durch den Zusatz „ r " gekennzeichnet.

VIII

Verzeichnis der in Abkürzungen zitierten Literatur und Quellenverweisungen

Juskeviö, 9ttaep o KeanpaType Kpyra — A. II. K>LiiKeBH4, JleoHap« 9iijiep o KBaapaType Kpyra, in: HCT. MBT. HCCJI. 10, 1957, S. 1 5 9 - 2 1 0 Kramar, ÜHTerpau. MeTOAti Bajijmca — fl. KpaMap, MHTerpaniioHHbie MeTOfibi ,U,JKOHa Bajuinca, i n : HCT. MaT. HCCJI. 14, 1961, S. 1 1 - 1 0 0 Krasotkina, üepenncKa — T. A. KpacoTKima, üepenHCKa JI. 9fijiepa H fliK. CrapjiHHra, in: H C T . MaT. HCCJI. 10, 1957, S. 1 1 7 - 1 5 8 Lichin, TeopnH — 1 ergibt sich: B{e + 1, n + 1) =

n\ ( e + l ) ( e + 2 ) . . . ( e + » + l)

Euler bildet die Zahlenfolge mit dem allgemeinen Glied (e + n + 1) B(e + 1, n + 1) =

n\ (6 + 1) (e + 2)...(e

+ n)'

1 er beachtet dabei die Struktur der Binominalkoeffizienten. Für e = — ergibt sich ein allgemeines Glied der 2 2n 4. 3 r gegebenen Zahlenfolge in der Form —— J yx (1 — x)ndx; vgl. Brief 3 7

8

Später (zuerst in der Mechanica sive motus scientia analytice exposita, Petersburg 1736, Eneström 15,16) benutzte Euler das Symbol ji, das sehr wahrscheinlich zuerst bei Jones (1706) zu finden ist. Die harmonische Reihe hatte bereits Oresme untersucht, der schon um 1350 ihre Divergenz bewies, die erneut von Mengoli (1650) und von Jakob und Johann Bernoulli (1689) festgestellt wurde. Ihre Benennung erhielt die Reihe durch die Arbeit von Brouncher über die Quadratur der Hyperbel xy = 1 (1668), ihre Verbindung zu den Logarithmen wurde von Mengoli 1659 festgestellt und von N. Mercator, der die Entwicklung von ln(l 4- x ) in eine Potenzreihe entdeckte (1668). Goldbach stellte in seinem Specimen methodi ad summas serierum (Acta erud. 1720) die Summe der n ersten oo n Glieder der harmonischen Reihe in der Form 5"1 dar; er wußte nicht, daß das schon von Mengoli k=i +'») getan worden und Jak. Bernoulli bekannt war (vgl. Brief Goldbachs an Dan. Bernoulli vom 4. 11. 1723, Fuß, Correspondance 2, S. 184—185). Im Brief vom 20. 2./3. 3. 1729 benachrichtigte D. Bernoulli Goldbach von der »+» 1 m Entdeckung der asymptotischen Eigenschaft von V —; für — = const. und m + n -»- oo strebt diese k^h+l *> » Funktion gegen gewisse „nombres asymptotes", wie sein Bruder Joh. II. Bernoulli entdeckt hatte. Weiterhin n 1 verwies D. BernouUi auf verschiedene Abschätzungen der Summe V — (vgl. ebd., S. 252—253, der Brief ist k k=i hier fälschlich 20. 2. 1728 datiert und folglich falsch eingeordnet). In Antwort auf die Annahme Goldbacha, daß die Ergebnisse mit Hilfe von Logarithmen erhalten wurden (vgl. ebd., S. 296—297), gibt D. Bernoulli am 28. 4./9. 5. 1729 die genaue Formulierung des Satzes: m n + 1 lim 2i -j7 = m+n—> oo k=m+1 ^

und dessen Ausdehnung auf allgemeinere harmonische Reihen

ln

m 4 n n

1 a

^

1 a + o

4

1 «4

——)- ... (ebd., S. 300 — 302). 26

1729

23

Dieses Ergebnis, das im wesentlichen schon bei Mengoli 1659 zu finden ist, erhält man leicht aus der Quadratur n und ihrer Abschätzung mit Hilfe von eingeschriebenen und dej- Hyperbel xy = 1 von £ = m bis x = m umschriebenen Rechtecken. Diese Abschätzungsmethode wurde ausführlich dargelegt und entwickelt (unter Anwendung auf die harmonischen Reihen) von Euler in dem Beitrag Methodus universalis serierum convergentium summas quam proxime inveniendi (Comment. 8 (1736) 1741, Eneström 46, der Akademie vorgelegt am 9./20. 6. 1735, vgl. npOTOKO.iu I, S. 206, 221). Euler beschäftigte sich, angeregt durch seine Freunde, mit den harmonischen Reihen. I m vorliegenden Brief sind seine ersten Entdeckungen auf diesem Gebiet mitgeteilt, die er ausführlicher in dem zweiten Beitrag zur Reihenlehre De summatione innumerabilium progressionum (Comment. 5 (1730—1731) 1738, Eneström 20) darlegte. Euler ging von der Gleichung • 1 f l - a" d x 2 / 7 = 1 "j = sn k=l « J 1 —x 0 aus und berechnete Si/t — 2 — 2 In 2, dann benutzte er die Beziehung sn+1 Eulers Reihenstudien, §§ 5, 12, 16, 19. 8

= sn -|

. Vgl. Hof mann, n

+

1

Am Ende des Briefes Vermerk von Goldbach: pr[aelectum?] 3. Nov. 1729

2. CkMbach an Euler Moskau, 1. Dez. 1729

A. A. L. : F. 136, Op. 2, Nr. 8 Blatt 2—3

[. . .] Ad epistolam tuam, quae mihi gratissima fuit, generatim respondeo me in terminis mediis serierum inveniendis satis habuisse, si quos in numeros rationales cogere non possem, eosdem per series infinitas numerorum rationalium utcunque exprimerem, quodsi deinde ostendi possit Seriem hujusmodi, qua valor termini medii quaesiti continetur, vel ad numeros irrationales vel ad logarithmos vel denique ad curvarum quadraturas nondum inventas pertinere, id minime contemnendum puto, nam si alii operam dederunt ut incognitam rationem diametri ad circulum per seriem infinitam determinarent, e contrario summam seriei nondum cognitam per quadraturam circuii esplicare licebit, hac tarnen notabili differentia, quod numeros irrationales ad rationales redigi non posse fàcile demonstretur, quadraturam vero circuii numeris rationalibus definiri non posse nemo, quod sciam, evicerit. 1 Terminum generalem seriei 1 + 2 + 6 + 24 + etc., quem pro exponente quocunque m facis

j ^2m

1+ra

21~m

• 3m

2+to

31—m • 4m

41-"1. 5m

3+m

4+m

cunqùe, erit formula generalis factorum

'

etc., sic demonstro : Sit x exponens factoris cuius1

x1_m

(x + 1)"® X

, et productum omnium factorum a

m

+

1)

+

2)

• primo /2r/ usque ad ultimum, cujus exponens est x inclusive (x + 1)™ : 1 2 (x + 3) (x + m) „ „ • . Exempli gratia si m = 2, net productum factorum ad datum ^

m

quemcunque factorem (cujus exponens est x)

2(x

+

l)2

{x —f— 1 ) {pc

=

2)

2(x

+

1)

, adeoque produc-

27 — — j 2

tum omnium in infinitum = 2. Si m = 3, erit simile productum ad datum quemcunque Ix + 1\ (x + 2\ lx + 3\ factorem 6 (a; + l) 3 : I—-—I I—-—1 I—^—I, adeoque productum omnium in infinitum = 6, et sic porro. Sed observasti sine dubio series algebraicas omnes, quarum termini consueto more per signum + conjungi solent, etiam in hujusmodi factores converti posse, erunt enim hic producta factorum, quae illic sunt aggregata terminorum.

24

1729

Fateor me non satis perspectam habere naturam logarithmorum hyperbolicorum, quin et Cl. Wolfius, ubi de logarithmis agit, hyperbolicorum mentionem nullam facit. 2 In reliquarum serierum, quas commémoras, terminis generalibus tuo more per factores •j . •• expnmendis non magnam video difficultatem, nam seriei 2

1

x

+ etc. terminus generalis est si nusquam 1 2 fit — • — 4 3 2 Seriei 3

2x

3ìc

1

2

•

4

3-5

1

3-6-9

4 . 7 -10

1

4 • 8 • 12 • 16

5 - 9 -13-17

mx

, donee m fiat = x , quod H î + 1 2ï+1 3 i + l mx+ 1 contingat, erunt factores numero /3/ infiniti; sic terminus respondens exponenti — 2 3 4 • — • — • etc. 5 6 2-4 2-4-6 2-4-6-8 1 1 ! h etc. terminus generalis est e 3 - 5 3 - 5 - 7 3-5-7-9 2 ( 2 » + 3) 4 ( 2 » + 5)

6(2»+7)

8 ( 2 » + 9)

3 ( 2 » + 2) ' 5 ( 2 » + 4) ' 7 ( 2 » + 6) ' 9 ( 2 » + 8) ' ® Seriei

1 2

1

1-2 3-4 1

1

1-2-3 4-5-6

1

/ 2 ( 4 » + 2)

1-2-3-4 5-6-7-8

1- etc. terminus generalis est

3 ( 4 » + 6) 4 ( 4 » + 1 0 )

a

5 ( 4 » + 14)

Y ' \ 6(» + 1) ' 10(» + 2) ' 14(» + 3) ' 18(» + 4) ' 6

\ C '/

neque adeo difficile est assumere numéros quadraturam circuii exprimentes, aliunde jam cognitos, et pro iisdem series concinnare, quarum terminos medios hi numeri constituant, cujus artificii mihi probe gnarus videris. Caeterum egregias plane judico methodos, quarum specimina mecum communicasti, neque dubito quin iisdem vestigiis progrediens multa nova et praeclara in hoc genere reperturus sis; misi ego quoque nuper ad Cl. Bernouïlium nostrum theorema 3 , quo methodum summandi series ad calculum quem vocant integralem accomodavi. Vale [. . .] P. S. Notane Tibi est Fermatii observatio omnes numéros hujus formulae 2 2 *" + 1, nempe 3, 5, 17, etc. esse primos4, quam tarnen ipse fatebatur se demonstrare non posse et post eum nemo, quod sciam, demonstravit. 1 2

3

4

Vgl. Brief 7, Anm. 4 Gemeint ist Christian Wolffs Leitfaden: Anfangsgründe sämtlicher mathematischer Wissenschaften, Halle 1710, oder die lateinische Ausgabe Elementa matheseos universae (1713 —1714). Hyperbolische Logarithmen werden schon früher von Dan. Bernoulli in seinem Brief an Goldbach vom 28. 4./9. 5. 1729 erwähnt, damals forderte Goldiach jedoch keine Erklärung. Offensichtlich ist von einem der beiden Sätze die Rede, die Goldbach seinem Brief an D. Bernoulli vom 28. 11. 1729 beigelegt hatte, die aber nicht ermittelt werden konnten. D. Bernoulli erwähnt sie in seiner Antwort vom 28. 12. (bei Fuß a. St., nach der Antwort Goldbachs vom 5. 1. 1730 n. St. muß es aber neuen Stils heißen) und stellt dabei fest, daß sie eher zur Reihensummierung als zur Integralrechnung gehören. Im Brief vom 5. 1. 1730 bittet Goldbach, diese Sätze nicht den Petersburger Akademiemitgliedern zu zeigen, bevor er nicht noch einige analoge hinzugefügt hat (vgl. Fuß, Correspondance 2, S. 336, 340, 344). Der Gedanke, daß Fn = 22" -f l(n = 0, 1, 2, ...) immer eine Primzahl ergibt, beschäftigte Fermat mindestens seit 1640. Schon in seinem Brief an Pascal (1654) gab Fermat zu, daß er keinen Beweis für diesen Satz besitzt, später aber wies er in einem Brief an Pierre de Carcavy (1659) darauf hin, daß es durch die Methode „la descente infinie" bewiesen werden könne (vgl. Fermat, Oeuvres I, S. 131; II, S. 206, 309, 404, 433—434). Das Problem der Zahlen F„ wird in den Briefen 2—8 behandelt. Das die Behauptung Fermats widerlegende Beispiel F6 = 2 2 ' + 1 = 4294967297 = 641 • 6700417 wurde von Euler zufällig gefunden und 1732 in den Observationes de theoremate quodam Fermati&no aliisque ad numeros primos spectantibus, Comment. 6 (1732—33) 1738 (Eneström, 26), zur Veröffentlichung vorgelegt (vgl. Brief 52, Anm. 19).

25

1729-1730

Unter den Fermataohea Zahlen F„ blieb die Zahl Fb die einzige bekannte zusammengesetzte Zahl bis 1877. In diesem Jahr bewies I. M. PervuHn, daß F12 eine zusammengesetzte Zahl ist (das gleiche Ergebnis fand zwei Monate später E. Lucas). Bald darauf bewies PervuHn, daß auch F23 eine zusammengesetzte Zahl ist (Bull. Ac. St. Pet., Ser. 3, Bd. 24, S. 559, Bd. 25, S. 63—64). Weitere zusammengesetzte Fermatschc Zahlen entdeckten F. Landry, P. Seelhoff, F. Klein, A. Cunningham, A. E. Western, J. Cullen, J. O. Morehead, M. Kraitchik, J. L. Selfridge, R. M. Robinson. Die beiden letztgenannten Wissenschaftler erhielten ihre Ergebnisse mit Hilfe einer elektronischen Rechenmaschine vom Typ SWAC. Gegenwärtig (1962) ist nachgewiesen, daß Fn eine zusammengesetzte Zahl ergibt für n = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14, 15,16,18, 23,36, 38, 39, 55, 58, 63, 73, 77, 81,117, 125,144,150, 207,226, 228, 260, 267, 268, 284, 316, 452, 1945. Vgl. über die Fermatachen Zahlen: Dickson, History I, Kap. 15; R. M. Robinson, A report on primes of the form k. 2 n + 1 and on factors of Fermat numbers, in: Proceedings of the American Mathematical Society, Bd. 9, Nr. 5, 1958, S. 673 ff.; W. Sierpiiiski, A Selection of problems in the theory of numbers, Pergamon Press 1964, S. 7 7 - 8 4 M.

3. Euler an Ooldbach Petersburg, 8. Jan. 1730

CGADA: F. 181, D. 1413, C, III. Blatt 6 9 - 7 2 1

[. . .] Quae nuper de methodo mea progressionum Terminos medios ex quadraturis inveniendi scripsi, ea non ope serierum infinitarum terminos illos exprimentium perfido, maxime enim arduum esse arbitror de quaque serie infinita, ad quam pertineat quadraturam, pronunciare; quanquam non negem, me primo ex serie terminum generalem progressionis 1 + 2 + 6 + 24 -(- etc. 1

exhibente, quam Tibi, Vir Celeberrime, perscripsi, conclusisse terminum ordine — a quadratura circuii pendere. Deinde autem eodem modo circa alias progressiones versari diffidens id meditatus sum, quomodo alia via eodem pervenire possem, quae'non serifebus] 2 dignoscendis contineatur. In aliam igitur atque novam incidi rationem progressionum terminis generalibus denotandarum. E a in hoc consistit, ut formulas integrales in terminos generates recipiam. Ad hoc autem adductus sum considerans ad ea, quae a communi algebra perfìci non possent, analysin infìnitorum plerumque facilem praebere aditum. Sed termini hujusmodi generales toties consuetam induunt formam, quoties formulae illae integrales algebraice exprimi possunt, quibus in casibus progressionis omnes termini, sive exponentes sint numeri fracti sive integri, algebraice exhibentur. Quando vero illae formulae integrationem universaliter non admittunt, omnes termini algebraice exponi nequeunt, sed quidam a quadraturis curvarum pendebunt, quae inde cognoscuntur. Cum igitur in nonnullis seriebus observassem terminos quosdam medios a quadratura circuii pendere, in earum terminis generalibus necessario formulae integrales inesse debere visae sunt. Sequenti autem modo hujusmodi formulis /69r/ integralibus utor. Quando dico seriei cujuspiam terminum generalem esse fPdx, intelligi oportet ex eo terminum quemcunque indicis n inveniri posse. Indicat vero hie P functionem quandam ex x et constantibus quantitatibus una cum n indice compositam; refero scilicet n ad constantes, ut unica variabilis x adsit. J a m fPdx hoc modo dat terminum w3,ramum. Integretur jPdx vel reipsa, si fieri potest, vel ad quadraturam curvae convenientis referatur; tanta autem constans adjiciatur, ut totum evanescat posito x = 0. Deinde ponatur x = constanti cuidam quantitati (in sequentibus semper pono x = 1), habebitur functio quaedam quantitatum constantium et indicis n, quae erit ipse terminus wmus3. Fieri nunc potest, praecipue si n in exponentes ingrediatur, ut positis loco n certis numeris formula integrari possit, secus vero si alii substituantur.

26

1730

Quo fit, ut alii termini algebraice seu in numeris exprimi queant, alii a quadraturis pendeant. 2n + 3 r 2 2-4 U t 4 terminum generalem reperi hunc ldx(l — x)n Vx progressionis istius 1 J 3 3*5 2 2•4• 6 7 r r 2 + -—-—- + etc. Qui quomodo congruat, ut appareat, sit n — 2, habebitur — J dx (1 — x) yx 7 A 14 1 1 7 = — x2 — — x2 + x2 ; ponatur x = 1, orietur terminus secundus = — 5 3 3

14 8 1- 1 = —. 5 15

Idem hie terminus generalis omnes terminos medios suppeditat, ut sit n = —, 2

erit

2 Jdx ]jx — xx terminus quaesitus. Sed 2 Jdx j/x — xx exhibet segmentum circuii, cujus sagitta est x, radio existente — seu diametro 1. Ponatur x = 1, erit terminus ordine — aequalis areae 2

2

circuii, cujus diameter = 1. Similiter alii termini medii /70/determinantur. Hujusmodi terminos generales omnium earum progressionum, quarum mentionem feci, aliarumque infinitarum similium dare possum. Quousque autem haec methodus pateat, ut posais cognoscere, Vir Celeberrime, generaliora hie adjungo. Fundamenti loco mihi fere fuit haec progressio 1 + 1.2 -f 1.2.3. + etc., cujus terminus generalis mihi inventus est Jdx(— lx)n.6 Nimirum sumto integrali positoque x = 1, prodit terminus, cujus index e s t — . Dénotât autem Ix logarithmum 2

hyperbolicum ipsius x. Antequam vero ostendam, quomodo haec formula progressioni satisfaciat, explicabo, quod Te non satis perspicere innuis, quo différant logarithmi hyperbolici ab ordinariis. Si constituatur progressio geometrica A, 1, a, a2, a3, a4, a5, etc. eique subscribatur arithmetica B, b, b-\-c, b-\-2c, 6 + 3c, & + 4c, b + 5c, etc., habebit quilibet terminus progressionis A sive eorum, qui adsunt, sive interpolatorum respondentem in progressione B. Hi termini progressionis B respondentium terminorum in progressione A vocantur logarithmi. Jam cum innumerabiles progressiones arithmeticae subscribi possint, perspicuum est innumerabilia dari systemata logarithmorum. In vulgari systemate, quorum tabulae a Briggio et Vlacquio6 computatae habentur, loco seriei geometricae A posuerunt 1, 10, 100, 1000 etc. et loco arithmeticae sumserunt hanc 0, 1, 2, 3, 4, etc., ita ut logarithmus unitatis sit 0, denarii 1 etc. Ex hoc intelligitur, ad systema quodpiam logarithmorum condendum, duorum quorundam numerorum logarithmos pro lubitu accipi posse, e quibus deinde omnium numerorum logarithmi determinantur. /70r/ Ita in systemate logarithmorum hyperbolicorum etiam pro logarithmo unitatis ponitur 0, et pro numero qui unitatem quantitate infinite parva superai, ut 1 + dz assumitur logarithmus hoc ipsum dz. Vel series A est 1, (1 + dz), (1 + dz)2, (1 + dz)3 etc. 7 Et series B logarithmos contine[n]s est 0, dz, 2dz, 3dz, etc. Logarithmi ex hac positione deducti sunt ii, qui vocantur hyperbolici, eo quod iidem sint, ac illi qui ex quadratura hyperbolae eruuntur. In hoc systemate est logarithmus binarii 0,693147180559945 et logarithmus denarii est 2,302585092 994045, ut ipse calculo aliquoties repetito inveni. Sin autem acciderit, ut logarithmis hyperbolicis uti oporteat, non quidem necesse est tabulam eorum ad manus habere, sed Vlacquiani in usum vocari possunt dummodo singuli [logarithmi] per 2,302585 etc: multiplicentur. Semper autem, quando in calculo infinitesimali de logarithmis sermo est, hyperbolici intelliguntur. E t hanc ob rem in termino generali^dx(— lx)n, l désignât logarithmum hyperbolicum. Ut nunc appareat, quomodo haec formula quemvis terminum praebeat, sit n = 3, habebitur Jdx(Ixf — — x(lx)3 + 3x(lx) 2 — 6 x l x + 6«; constantis additione opus non est. Ponatur ergo x = 1: proveniet terminus tertius = 6. Omnes enim termini, in quibus est Ix, evanescent, quia Ix = 0. Simili modo omnes termini numéros integros habentes eruuntur. Sed qui valor sit eorum, quorum indices sunt numeri fracti, id difficilius eruitur. Deducit enim ad quadraturas curvarum

27

1730

transcendentium, ut terminus ordine — determinatur /71/ a quadratura curvae, ad quam est yy lx = 0, cum tarnen eundem ante a quadratura circuii pendere deprehenderim. Verum tarnen alia mihi insuper est methodus eosdem terminos ad curvarum algebraicarum quadraturas reducendi, quae hoc theoremate continetur : terminus, cujus index est p : q, aequalis est 2 p (

|/(1 • 2 • 3 ••• p)

+ 1

3® — + 1 . 1

qp

L

Lg

—

+1

q

p'

j

- a;«)«

dx{xq~1

r

quae expressio aequivalet huic terminus ordine

I dx{— lx)1.

Ponatur exempli gratia p = 1 et q = 2, ut

inveniatur, abibit forma generalis in |/l • 2 jdx

j/a; — xx\ sed jam osten-

sum est 2 fdx ]jx — x x dare aream circuii diametri 1, quare in serie 1 + 1- 2 + 1- 2- 3 1 1 . 2 • 3 • 4 • [ + etc.] terminus, cujus index est — , aequalis est radici quadratae ex cir2

culo, cujus diameter est 1. Cum igitur Jdx(—

lx)n

sit terminus generalis seu terminus ordine n

hujus seriei, habeo J dx(— = 1 - 2 - 3 ••• n. Quod in serierum hanc includentium terminis generalibus inveniendis magni est momenti. Nec minus hoc J dx(— lx)m+n lx)n

m-m + l - m + 2 - - w + ra = 7—:

7•

J d x ( -

ixr-1

Maxime universale et latissime patens est hoc theorema (f + 9) (f + 2g)

( / + 3jf) •••(/ + ng)

gn+i

fdx(-lx)*

= ( f + ( n + l)g)fx' d x ( \ - x f

unde facile fluit hoc : (f + 9)(f

+ 2g) •••(f + ng)

(h + k) (A + 2ft) ••• {h +

gn+1(h+(n+l)k)

nk)

kn+1(f

fx~*dx(í

+ (n+

1)9) Jx"

-

x)n

dx{ 1 -

x)n

E x hoc theoremate facile est invenire omnium hujusmodi serierum, quarum termini sunt facta, in quae ingrediuntur quantitates in arithmetica progressione /Vir/ progredientes, terminos . 1 2 - 4 3 - 6 - 9 generales. Ut proposita sit haec progressio, de qua nuper mentionem feci, — + - — - + -—~—-+ etc. Hujus terminus ordine n est cum

(f + g)(f (h + k)(h

+

2g)(f+3g)...(f

+ 2k)(h+3k)---(h

n•2n•3n

nn

(•n + 1) (2n + 1) (3n + 1) + ng) +

nk)

(nn

+ 1)

. Hunc comparo

.

, quae formula ut in ìllam transmutetur, oportet

sit / = 0, g — n et h = 1, k = n. His valoribus substitutis prodit (1 + n + nn)

n • 2n • 3n • • • nn (n +

1) ( 2 n +

1) ( 3 n +

1) ••• {nn +

1)

(wra

+

n

Jxn

dx (1 — x)r

)fdx{ 1 -

xf

28

1730

Id quod est terminus generalis progressionis propositae. Est autem dx( 1 — x)n (1 -

integrale enim est C

x)n+1

rn +

1

. Constans C debet esse =

1 71+1

integrabile,

, ut posito x = 0 toj

tum evanescat. Ponatur nunc x = 1, ut principio monui, prodibit C seu

, est igitur n + 1 (nn + n ) J dx( 1 — x)n = n, et ideo terminus generalis seriei propositae hanc habet formam /I + n + nn\ r n3-6-9 I JJ x dx(l — x)n. Sit n = 3, ut terminus tertius -—-—— prodeat; habe-

bitur

13 r A 13 A — J x 3 dx( 1 — x)3 = — x3

13

39

4

7

39 1

39 — Jq ^ 3 — x 3 ' P o n a t u r

x = I,

habebitur

162 1 1 n = —, 1= = termino tertio. Quaero termmum ordine — ; fiat ergo 0 10 280 2 2 7 r 1 7 A 14 — 1 habebitur — J xx dx (1 - x)2 = C (1 - x) 2 -\ (1 - x)2 - (1 - x)2 . 2 3 5 7 14 7 14 8 Ergo C est = — — f- 1. Ponatur x = 1, restabit solum C seu /72/ 1- 1 = — . 3 5 3 5 15 1

39

1

1

1

1

Algebraice ergo hic terminus ordine — dari potest nec non ii, quorum indices sunt —, —, — 2

3

4

5

etc., omnes numeris exprimi possunt; qui autem quanti sint, alio modo vix fortasse inveniri posset. Hic autem observo hunc terminum ordine — aequalem esse termino ordine 2, et gene2

1

raliter teminus ordine — 8 aequalis est termino ordine n. Haec fere constituunt unum genus pron gressionum, ad quod mea methodus deduxit; multa quoque ejus ope in seriebus summandis detexi, et praecipue terminis summatoriis inveniendis omnium earum progressionum, in quarum terminis generalibus exponens vel index in denominatorem ingreditur, ut in progressiofie harmonica. Sed de his alio tempore, si placuerit, scripturus sum. Nihil prorsus invenire potui, quod ad Fermatianam observationem spectaret. Sed nondum prorsus persuasus sum, quomodo sola inductione id inferre legitime potuerit, cum certus sim ipsum numeris in formula 22" loco x substituendis nec ad senarium quidem pervenisse.9 Haec igitur benevole accipias enixe rogo, et favere pergas [. . .] 1

2 3

Eine erste Passung dieses Briefes befindet sieh im AAL, F. 136, Op. 2, Nr. 8, Blatt 6—7r. Sie trägt den Vermerk: Ad D. Goldbach, den 6 t e n Jan. 1730. Diese erste Fassung weicht in vielen Stellen von der endgültigen Ausfertigung ab, vor allem deswegen, weil Euler in der Ausfertigung viele Probleme umfassender behandelt. Da in der ersten Fassung keine neuen Gedanken enthalten sind, wird sie hier nicht wiedergegeben. Im Original fälschlich seriis x x Euler betrachtet hier das bestimmte Integral j f(x)dx als Wert der Stammfunktion F(x) = J f(x)dx bei x = 1 o o (fonction primitive — Terminus von Lagrange 1797), die für x = 0 zu null wird. In den Inst. calc. integr. ist ebenfalls das unbestimmte Integral der Ausgangsbegriff, es wird „integrale completum" genannt und als Funktion bestimmt, deren Differential gleich dem gegebenen Differential ist. Bei fester Integrationskonstante ergibt sich das integrale particulare, dessen Wert gleich einem bestimmten Integral ist. Euler setzte mit der Betrachtung der Integration als Umkehrung der Differentiation die Tradition von Newton fort. Leibnix betrachtete das Integral als eine Summe von Differentialen, was aber Eulers Widerspruch hervorrief, der das Differential als gleich null betrachtete. In seinen Arbeiten zur angenäherten Berechnung von Integralen und bei speziellen bestimmten Integralen behandelt Euler im Grunde genommen das Integral als Grenzwert von Integralsummen (Definition von Canchy 1823). Später, in den 70er Jahren des 18. Jh., begann Euler Formulierungen wie Integratio a valore x = 0 ad x = 1 extensa und die spezielle Schreibweise jPdx

^rf % — b]

ZU

^enutzen;

untere

un
0) sunt vel 3 vel 5, simili ratione facile apparet nullum terminum seriei Fermati&n&e ¡21 r/ dividi posse per numerum < 100. Sed quidquid sit de Fermatii observatione, hoc certum est omnem numerum 2P + 1, ubi p non sit = alicui numero 2" (in quo n est numerus integer affirmativus) esse nonprimum, cuius quidem divisores facillime inveniuntur. Sic numeri 2 84 + 1 divisor est 17, numeri 2 1736 + 1 divisor est 257 etc. Vale.

5. Euler an Oóldbaeh Petersburg, 4. Juni 1730

CGrADA: F . 181, D. 1413, C. III. Blatt 8 6 - 8 7

[. . .] Postquam ultimas ad Te misissem literas 1 , de Theoremate Fermatiano diligentius cogitare coepi, idque non tam levi nixum fundamento, quam primum putaveram, perspexi. Quoties enim in 2M + 1 non est n numerus ex progressione geometrica 1, 2, 4, 8, etc., divisores semper, ut Ipse, Vir Celeberrime, in postremis literis monuisti, assignari possunt. Nam si n est numerus impar, binomium 2" + [I]» 2 vel etiam generalius an + bn poterit dividi per a + b. Si praeterea fuerit n multiplum quodpiam numeri imparis, uti si n = ki denotante i numerum quemcunque imparem, divisor erit ak -j- bk. Quam ob rem, cum solae binarii potentiae hanc habeant proprietatem, ut per nullum numerum imparem dividi possint, praeter unitatem, sequitur tum solum binomii a" + bn ex hoc fonte divisorem assignari non posse, quando n est potentia quaedam binarii. Hoc quidem multum ad evincendam theorematis veritatem, sed tamen non est prorsus sufficiens. Quanquam enim pro n assumitur dignitas quaedam binarii, tamen ex eo inferre non licet an + bn nullos habere divisores ; ut si a sit 4, et b 3, etiamsi ponatur n = 2 , potest 16 + 9 dividi per 5. Conducit ergo investigare casus, quibus nihilominus divisores locum habent. Perspicuum est primum, si a et & fuerint numeri inter se compositi, ut cf et df, binomium cnfn dnfn habere divisorem /". Deinde si a et & utrumque fuerit numerus impar, dividi semper poterit per 2. Denique ut hos casus universalius evolvamus, sit a = m c + oc et b = me + ß, erit n • n—1 n 2 2 2 a" = txn + noi^mc + 0 offensichtlich. Wenn aber ß = 0 ist, dann müssen alle Zahlen a, b, c, d ungerade sein und man kann sie so auswählen, daß a = 6 = c = d = 1 (mod 4) gilt. Aus der Identität 1 4

4

5

6

7

8

9

10

/a + b + c + dV +

"

2 +

C2 +

= (

i

ja + 6 — c -

19. Eider an Ooldbach Petersburg, 31. Jan. 1732

CGADA: F. 181, D. 1413, yiiKi;nö EepHyjKiii, §1-3 Auf Blatt 20 und 20r Rechnungen von Euler: J6

ö2

bl

4aa

lia?

+

2a 2a - T1 " + 3

|

2ß

+ •1

2a 5

l M 3 2y +

J8

12 a 6 +

- r

j

16a 8

2a

- l

5

l

2(5

7

2ß =

1

1

T25

2ß =

1 — 24

P

2y = 2(5 5

1

~ 12 ~ ITE 1 — 4

2a

1_ x

1

11

ü

2y +

1 ~ 3^8

1 +

2a 13

+ l 9 1 1

- f

2y +

2. > wobei a l l ) = 1, u(p) = 0, J(») , - 1 Pn wenn p durch ein Quadrat > 1 teilbar ist und fi(p) = ( — , wenn p = plt p2 ... p j , wobei • • • Vk verschiedene Primzahlen sind. Diese Identität veröffentlichte Euler in seiner Intr. anal. inf. 1, Kap. 15. Die systematische Erforschung der Punktion /i(p) und der mit ihr verbundenen zahlentheoretischen Umkehrungsformeln begann mit den Arbeiten von A. F. Möbius (Gesammelte Werke, Bd. 4, 1887, S. 589—612, zuerst 1832 veröffentlicht). Die Funktion fi(p) wird deshalb heute allgemein als -äfö&iiiS-Funktion bezeichnet. K.

29. Euler an GoUbach Petersburg, 26. Nov. 1739

CGADA: P. 181, D. 1413, C. III, Blatt 213—214

[...] Considerans rationem, quae intercedit intet summam seriei et hanc expressionem (P — l) 2 + 1 (P _

1)2

+

2

0171

i _ J L ocn

=

-\—^ -\—^ -|—^n + etc. n n

2n

3

5

1

deprehendi seriem aliquanto esse minorem ac fore

+

Ä_ + _ L

+

_L

+

etc.

74

1739 + 2. sum[mae] factorum ex ternis terminis inaequalibus

— 2. sum[mae] factorum ex quaternis + 2. sum[mae] factorum ex quinis etc.

1 1 1 1 seriei — - \ — - - \ — - H — - + etc. 1 Quod si autem duplices istae factorum ex ternis, quaternis 2 3 5 7 etc. summae, quippe quae per inventa Tua habentur, substituantur, prodit aequatio identica; quod idem non dubito, quin interim Ipse observaveris, Yir. Celeb. Incidi heri in hanc seriem non parum curiosam 1-| 1

1

1

2W

1

2

L

3n

4

1

n

1

2

1

on

1

1

on

1

3

2

1

2

1

1

1

*j n

12*

+ etc.,

cujus numeratores indicant, quot modis denominatores respondentes sint hujus seriei 2 n 3 + + 5 n + 6n + etc., vel termini ipsi, vel producta ex binis, vel ternis, vel quaternis, vel ita porro. Sic denominator 60" numeratorem habebit 11, quia 60 his undecim modis componitur: V. 5. 12.

I X . 2. 5. 6.

I I . 2. 30.

VI. 6. 10.

X. 3. 4. 5.

I I I . 3. 20.

VII. 2. 2. 15.

IV. 4. 15.

VIII. 2. 3. 10.

I . 60.

XI. 2. 2. 3. 5.

[213 tI Hujus seriei summam casu, quo n = 2, inveni esse = 2; atque initio arbitratus sum etiam reliquis casibus summam rationaliter exhiberi posse. Verum rem diligentius scrutatus 8 e"n — , ubi est próxime e" — 23,1407, 2 inveni casu n = 4 summam fore = ., e

—

1

e"

—

er

Deinde omnia fere theoremata, quae de seriebus numerorum primorum aliisque hinc natis protulisti, Vir Celeb., multo latius patere observavi. Si enim sit A = c t

=

a - \ - b - \ - c - \ - d - { -

B = summae factorum ex binis

etc.

terminis seriei A, terminis aequalibus non exceptis,

G = summae factorum ex ternis

D = summae factorum ex quaternis etc. itemque fi = summae factorum ex binis

y = summae factorum es ternis

terminis inaequalibus seriei A vel »

Ò = summae factorum ex quaternis etc. erit

fueritque Ì

+

A

+

B

+

C

+

D

+

E

+

etc.

=

s

1 +cc

+

p

+

l

-

A

+

B

—

C

+

D

—

E

+

etc.

=

t

1 —K

+

p -

+

d +

etc. = —

y +

ò —

etc. = —

y

t

s

75

1739

hincque etc.

1 + B + D + F +

etc.

A + C + E + G +

s + t

=

1 + ß + » + f + etc. =

s — t

=

etc.

oc-{-y-{-e-\-rj-\-

=

s + t 2st s — t 2 st

item (B -

ß) + ( C - y ) +

( D - 6 ) +

(B -

ß) -

(D -

(C -

y) +

6)

etc. = * -

- etc. =t

—

( I C - y ) + ( E - e ) + e t c . = - i (s -

t

( B - ß )

s

t) ( l -

~

1

/

2

\

1 — st

+ ( D - d ) + etc. = — (s + i) 1 -

/214/ Quod si autem loco terminorum a, b, c, d, etc. sumantur eorum quadrata sitque A" = oc" = a2 + 6a + c2 + d2 + etc., hincque series B", C", D", etc., itemque ß", y", ò", e" etc. simili modo formentur, quo supra B, G, D, etc. ß, y, ò, etc., ex serie A — « fiet: 1 + A" + B" + C" + D" + etc. = s i

unde erit generaliter 1 — A-\-B (1 ++(»-l)? erzeugt, wurde so gewählt,

z=i ~ / °° 1 daß der Wert des Integrals I zV+^-^tdz mit dem Wert der Glieder der Reihe V zusammenfällt; J Ä an - b dabei wird q = a und p — a — b — i . Der vorliegende Brief ist eine Antwort auf eine uns nicht überlieferte Mitteilung Goldbachs, wie aus diesem Absatz hervorgeht, in dem Euler eine Summierung seines Korrespondenten korrigiert. Über seine Summierung der oo 1 Reihe Y (veröffentlicht in den Act. erud. 1720, vgl. Brief 1, Anm. 8) hatte Goldbach am 31. 5. 1723

X* +

fx

an D. Bernoulli geschrieben und dabei behauptet, daß die Summe nur dann in rationalen Zahlen darstellbar ist, wenn / ganzzahlig ist. In den folgenden Briefen Goldbacha vom 26. 8. und 4. 11. des gleichen Jahres berichtet er über Reihen, deren Glieder rationale Funktionen sind; dabei benutzt er die Zerlegung eines rationalen Bruches in die Summe einfacher Brüche, gibt aber keine allgemeine Methode der Summierung an (Fuß, Correspondance 2, S. 173—174, 177 — 178, 184—187). Einige solche Reihen sind in Goldbacha Abhandlung „De transformatione serierum" (vgl. Einleitung, S. 8) summiert. Vgl. Hofmann, Eulers Reihenstudien, § 10 und 12.

31. Goldbach an Euler Petersburg, 9. Dez. 1739

AAL: F. 136, Op. 2, Nr. Blatt 25

[. . .] Observavi heri denominatoribus 1, 1 - 2 , 1 - 2 - 3 , 1 - 2 - 3 - 4 , etc. innumeris modis assignari posse numeratores algebraicos, ita ut series tota fiat summabilis, sic verbi gr. 1 1-2-3 2

est = —^

1-2-3

3 1-2

1

1

5

1

1-2-3-4 3 1-2-3-4

4

11 1-2-3-4.5

1

4 1-2-3-4-5

5 1-2-3

6

19

1

1

1---6 5

29

1

1---7 6

1

1

41 1---8

1

7

1 - - 6 1 - - - 7 1 - - - 8

7

8

9

55

1

1

1---9 8 1---9

f- etc.

b etc. =

1

-,

2

10

+ «1 - n2 - »3 -• 4, ^' 1^- - - 5; + 1i - - - 6í - 1i - - - 7= + 1; - - - 85 - ^1 - - - n9 + etc. = 1,

quae quidem facile demonstrari possunt; sed ex eodem fonte alia multo abstrusiora derivantur, ut si haec series a + 1 n

1

2a + 3

—

1 • 2w 2

(

1

3a + 7

—

1 - 2 • 3 • n3

ax + x2 — x +

1

4a +

13

1 • 2 - 3 • 4 • n*

H etc.

1\

cujus terminus generalis est —I fiat = — 1, posito pro a numero quocunque, 1 • 2 • 3 •esse * • n —J dico, ut aequationi satisfiat, sumendum '- i [. . .]

2

79

1739

32. Evler an Goldbach Petersburg, 9. Dez. 1739

CGADA: F. 181, D. 1413, Ö. III Blatt 215-216

„

.

.

,

,

[. . .] Omnea series, quae contmentur in hac formula generali

«

+

+

y z

2

+

ÖX3

+ etc.

1 • 2 • 3* 4 • • • 2! * % summari possunt per quantitates exponentiales et algebraicas conjunctim. Quare si vel coefficientes oí, ß, y, l /r T-|-

= 2 cos A • pl2

Ergo

+ ì - v ^

=

o

si fuerit pl2 = (2n + 1) y ; n = 3,1415926535

34 = — = 2,26618021 0,6931471805 15 P. Kolb, Caput bonae spei hodiernum, Das ist vollständige Beschreibung des afrikanischen Vorgebürges der Guten Hoffnung, Nürnberg 1719.

p = 6

1,5707963267

— = 1,5707963267 2

46. Goldbach an Euler

AAL: F. 136, Op. 7, Nr.

Petersburg, 13./24. Febr. 1742

Blatt 3 9 - 3 9 r

[. . .] Eurer Hochedelgebornen habe ich hierdurch melden wollen, daß ich des H. Doct. Duvernoi Schreiben unter Dero Couvert richtig erhalten habe, es wird auch ohne Zweifel mein Brief an Ew. Hoched., welchen ich den 13. Febr. 1 an meinen Korrespondenten in Königsberg adressiert hatte, bereits in Berlin angekommen /39 r/ sein; gestern war seit dem 23. Dez. st. n. 1741 meine erste Ausfahrt, da ich denn bei Anziehung der Kleider noch einen merklichen Abgang von meiner vorigen Circumferenz observierete, ohngeachtet ich mich im übrigen von Tag zu Tag besser befinde. Ich verbleibe mit sonderbarer Hochachtung [. . .] 1

Brief 45

47. Euler an Ooldbach

Berlin, 23. Febr./6. März 1742

CG ADA: F. 181, D. 1413, Ö. IV Blatt 6—7r

[. . .] Ew. Hochedelgeb. Unpäßlichkeit ist mir in verschiedenen Briefen zu meinem größten Leidwesen berichtet worden, dahero kann ich Denselben meine innigste Freude nicht genugsam beschreiben, welche bei Empfang Dero wertesten Zuschrift empfunden. Ich wünsche von Herzen,

1742

95

daß dieser Zufall nunmehro gänzlich verschwunden und Ew. Hochedelgeb. wiederum zu den vorigen Kräften und einer dauerhaften Gesundheit gelanget sein möchten. Vor einiger Zeit habe die Ehre gehabt, mit dem H. Geh. R a t Culeman bei dem H . Geh. R a t Vockerodt zu speisen, seit der Zeit aber hat es sich nicht schicken wollen, bei demselben meine Aufwartung zu machen. Bei dieser Gelegenheit habe Demselben Ew. Hochedelgeb. Kompliment abgestattet, worauf er sich auf das genauste um Dero gegenwärtige Umstände erkundiget und bezeuget, daß er sich sehr für Ew. Hochedelgeb. interessiere und nicht mehr wünschte, als daß in Ihro Königl. Maj. Diensten eine convenable Stelle für Ew. Hochedelgeb. ausgefunden werden könnte. /6 r/ Daß 4 mn — m — 1 oder 4 mn — m — n niemals ein quadratum sein könne, konnte ich bis anjetzo auch nicht rigorose demonstrieren, sondern ich hatte solches aus einem theoremate Fermati&no, worin behauptet wird, daß eine summa duorum quadratorum aa -f- bb niemals per numerum formae 4m — 1 divisibilis sei, hergeleitet. 1 Dann hat dieses Theorema seine Richtigkeit, so ist a a + 1 i (4n — 1 )m, da ich Ew. Hochedelgeb. Signum um eine aequationem impossibilem anzuzeigen, gebrauche. Dahero ist aa 4 m n — m — 1. Ferner kann aa + 1 • aa -f- 1 auch unmöglich ein numerus integer sein, oder es ist =c i , folglich 4% — 1 4m — 1 aa 1 aa -f- 4m bb + 4m . . bb + n ist auch b 1 oder oder %. Gleichfalls kann + n 4M — 1 4w — 1 4M — 1 4M — 1 bb + 4 nn cc + mm oder oder kein numerus integer sein. Und wann man auf solche Art 4m — 1 4M — 1 aa -+- n" fortgehet, so folget, daß m, und also aa :n 4 m n — m — n", welches die Kon4w — 1 sequenz ist, so Ew. Hochedelgeb. aus diesem theoremate gezogen haben. 2 Die Richtigkeit davon beruhet also auf der Wahrheit dieses theorematis, daß eine summa 2 quadratorum aa + bb unmöglich durch 4m — 1 geteilet werden könne (wann nicht aa und bb ein jedes für sich durch 4n — 1 divisibile ist.) Ich habe aber erst j«tzo hievon nachfolgende Demonstration gefunden. Prop. 1 : Haec forma (a + b)p — ap — bv Semper est divisibilis per p, si fuerit p numerus primus. Dem. : Evolvatur potestas (a + b)p eritque v p (a + 6)" ; - a - b = — a^b 1

+

~ 1-2

a?-*b2

b

~ ^ a2V>~2 + — ab*-1; 1-2 1

cujus expressionis singuli termini sunt numeri integri, singuli ergo erunt divisibiles per p, siquidem p sit numerus primus : nam si p foret numerus compositus, fieri possit, ut in quodam termino factor quispiam ipsius p per factorem denominatoris tolleretur, illeque terminus ac proinde tota expressio cessaret per p divisibilis esse. Quocirca si p est numerus primus, haec expressio (a -f- b)v — av — bp Semper erit divisibilis per p. Q. E. D. /7/ Coroll. 1 : Positis ergo a — b = 1 erit 2P — 2 divisibile per numerum primum p, ideoque, nisi p sit = 2, erit 2P~1 — 1 per p divisibile. Coroll. 2 : Sit a = 2, b = . 1, erit 3" — 2P — 1 divisibile per p. Cum autem 2P — 2 sit quoque divisibile per p, erit quoque istarum formularum summa 3P — 3 divisibilis per p, ideoque nisi sit p = 3, erit 3 P _ 1 — 1 per p divisibile. Propos. 2: Si ap — a fuerit divisibile per p, erit quoque (a + l)p — a — 1 per p divisibile. Dem.: Si in prop. 1 ponatur 6 = 1 , erit (a + l)* — ap — 1 per p divisibile. Cum autem per hypothesin sit av — a per p divisibile, erit quoque summa istarum formularum (a + 1)" - a — 1 per p divisibilis. Q. E. D.

96

1742

Coroll. 1 : Cum igitur l p — 1 divisibile sit per p, erit quoque 2P — 2 divisibile per p, hincque porro progrediendo per p divisibiles erunt istae formulae 3P — 3 ; 4" — 4 ; 5 P — 5; etc. Coroll. 2: Generaliter ergo per numerum primum p divisibilis erit ista formula av — a, quicunque numerus integer loco a ponatur. Nisi ergo p sit divisor ipsius a, erit quoque av~i —. 1 per p divisibile. 3 Coroll. 3: Quoniam simili modo bv~l — 1 per numerum primum p est divisibile, nisi b sit multiplum ipsius p. Sequitur fore ap~1 — bp~1 per p divisibile. Theorema: Summa duorum quadratorum aa + bb non est divisibilis per numerum primum An — 1, nisi utrumque quadratum seorsim per eundem numerum primum sit divisibile. An — 1 Demonstr. : Quoniam per hyp. neque a neque b divisibile est per , sequitur hanc P formulam ain 2 — bin~2 fore per An — 1 divisibilem: unde per 4w — 1 non erit divisibilis haec forma a 4 " - 2 + b4n~2 neque propterea ullus ejus factor. At cum 4w — 2 sit numerus impariter par, formulae a4n~2 + b4n~2 factor est aa + bb: quocirca aa bb per numerum primum i n — 1 dividi omni no nequit. Q. E. D. Coroll. 1 : Quoniam si An — 1 non est numerus primus, divisorem habet necessario numerum primum hujus formae 4 n — 1, sequitur summam duorum quadratorum aa + bb per nullum numerum hujus formae An — 1 sive primum sive non primum dividi posse. Coroll. 2: Quodsi ergo summa duorum quadratorum aa + bb habeat divisorem, is erit necessario numerus formae hujus 4m + 1. Coroll. 3: Si ergo summa duorum quadratorum aa + bb per alium numerum dividi nequit, nisi qui ipse sit duorum quadratorum summa (quod demonstrari posse confido), sequitur omnem numerum primum An + 1 in duo quadrata esse resolubilem. 4 /7r/ Daß Ew. Hochedelgeb. die Curiosité gehabt zu untersuchen, wann diese Formel 2 + ï l , '~ 1 -fnihilo aequalis werden könnte, hat mir Anlaß gegeben anzumerken, daß solches infinitis modis geschehen [könne]: der erste Valor pro p ist wie Ew. Hochedelgeb. observiert, 71 zwischen 2 und 3, nämlich p = 2,26618021, der wahre Valor aber ist p = , da ist n ' r r o/o' = 3,14159265, und Z 2 = l — ~1 + 1 1 — + etc. = 0,6931471805. Alle folgenden Valores ipsius p entspringen aus diesem, indem man diesen mit 3, 5, 7, 9, etc. multipliziert.® Der H. Brigadier Baudan läßt Ew. Hochedelgeb. sein gehorsamstes Kompliment vermelden. Er ist dem König noch nicht präsentiert worden und folglich noch nicht emploiert. Mr. Achard kenne ich sehr speziell, wie dann seine Frau unsers jüngsten Kindes Patin ist; ich habe ihn öfters gehört predigen, er ist ein großer Orator. Ihro Maj. haben den H. D. Gwandt aus Königsberg hieher an die Stelle des sel. H. Reinbecks berufen mit einer Pension von 2000 Rth., er hat aber diese Vocation abgebeten. Mein ruhiges Leben ist anjetzo in etwas gestöret worden, indem ich täglich eine Stunde bei dem Landprinzen von Würtenberg 6 sein und Lectiones geben muß; auch muß ich fast täglich bei dem H. Geh. R a t Osterman speisen, welcher Ew. Hochedelgeb. sein ergebenstes Kompliment vermelden läßt. Für die gütige Nachfrage wegen unsers Albrechts bin gehorsamst verbunden, derselbe hat vor einiger Zeit ein Rezidiv von seiner vorigen Krankheit bekommen, befindet sich aber durch Gottes Hülfe wiedrum ziemlich gut. Ich habe einen Praeceptorem domesticum angenommen, bei welchem er nebst den übrigen Kindern sehr gut profitiert. Meine ganze Familie läßt sich Ew. Hochedelgeb. auf das gehorsamste empfehlen, und ich verbleibe mit der schuldigsten Hochachtung [. . .] 1

In seinem Brief v o m August 1640 hatte Fermât an de Roberval mitgeteilt, daß er den Beweis für den Satz „Nicht eine einzige Primzahl der Form 4 n — 1 kann Teiler der Summe von zwei untereinander teilerfremden Quadraten sein" besitze. Er verweist darauf, daß dieses Theorem nützlich zum Auffinden v o n Primzahlen sei. So sei es zur Lösung der Frage, ob die Zahl 10000000001 gleich 100000 2 + 1 eine Primzahl sei oder nicht, nicht nötig, durch

1742

2

3

4

5

6

97

3, 7, i l usw. zu teilen. Der Beweis Fermata ist uns unbekannt. Vgl. Fermât, Oeuvres II, S. 204. Den ersten uns überlieferten Beweis für dieses Problem gibt Euler im vorliegenden Brief, er ist veröffentlicht in dem Beitrag: M. Theoremata circa divisores numerorum, in: Nov. Comm. 1 (1747 — 1748) 1750, (Eneström 134). Dieser Beweis wurde in der Notiz des Studenten Ph. Bédos in Nouv. Ann, Math. II, 1852, S. 278—279 wiederholt. Dort wird auch der mißlungene Versuch unternommen zu beweisen, daß 4 m » — m — » = | = D ist, ohne dabei den Satz Fermais zu benutzen, daß eine Primzahl der Form in — 1 nicht Teiler einer Summe von zwei untereinander teilerfremden Quadraten sein kann. M. Es wird hier der sogenannte kleine Fermatsche Satz bewiesen : Wenn p eine Primzahl und a eine natürliche zu p teilerfremde Zahl ist, dann ist a p ~ l — 1 durch p teilbar. Es handelt sich hier um einen grundlegenden Satz der Zahlentheorie (vgl. Brief 15, Anm. 2). In etwas veränderter Form hatte Fermât ihn zuerst in seinem Brief an Frenicle vom 18. 10. 1640 formuliert (vgl. Fermai, Oeuvres II, S. 209). Fermât behauptete, daß er einen Beweis für diesen Satz besitze, aber wir kennen ihn nicht. Euler hat den Beweis für diesen Satz veröffentlicht in Eneström 54 (vgl. Brief 15, Anm. 6). Ende des vergangenen Jahrhunderts wurde ein Beweis für diesen Satz Fermata unter den Papieren von Leibniz gefunden. Der Beweis von Leibniz beruht auf dem polynomischen Lehrsatz (vgl. G. Vacca, Intorno alla prima dimostrazione di un teorema di Fermât, in: Bibl. math. (2) 8, 1894, S. 46—48; vgl. Brief 7, Anm. 2, Beitrag von D. Mahnice). Schon zu Lebzeiten Eulera war eine Mitteilung von S. König erschienen, daß eine Schrift von Leibniz vorhanden sei, in der der kleine Fermatsohe Satz in der gleichen Weise bewiesen werde, wie von Euler. Euler antwortete darauf: „J'ajoute foi sans aucune difficulté à l'assertion de M. Koenig, et je suis fort content de n'être que le troisième démonstrateur de ce theorème, M. de Leibniz ayant été le second, et tout la gloire de la première démonstration étant due à Fermai" (vgl. Lettre de M. Euler à M. Merian, in: Hist. de l'Acad. de Berlin 1750 (1752), S. 530, Eneström 182). Die Beweise von Euler und Leibniz sind verschieden. Euler gab verschiedene Beweise für den kleinen Fermat&chva. Satz und sehr wichtige Verallgemeinerungen. Sein zweiter auf gleicher Grundlage entwickelter Beweis ist 1750 veröffentlicht worden (vgl. Anm. 1). Die diesbezüglichen Stellen dieses Briefes wurden veröffentlicht in Nouv. Ann. Math. 12, 1853, S. 47. Der dritte Beweis Eulera stützte sich auf den Satz, den Fermât in seinem erwähnten Brief an Frenicle anführt : Wenn p eine Primzahl und o eine natürliche zu p teilerfremde Zahl ist, dann gibt es eine Zahl X, die Teiler von p — 1, für die a1 — 1 durch p teilbar ist. Dieser Satz liegt der Theorie der Potenzreste zugrunde, er wurde von Euler in: Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta (Nov. Comm. 7 (1758 — 1759) 1761, Eneström 262) bewiesen. Der vierte Beweis ergab sich aus einem weit allgemeineren Satz, der den Namen Eulera trägt: Sind a und n natürliche Zahlen (a, n) = 1 und ist tp (n) die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen n, dann gilt aH») = 1 (mod n). Die Funktion /~1 = 3, alsdann 2 xp ^~ 1 + 2~ xp ^~ 1 = wird (i +

- ( - 1 + T/s) t)2a;+l

ix+r

(l + 1/5) 2 - 1 - ( - 1 + j / 5 ) 2 - 1 22

sooft x ein numerus integer ist. /57 r/ Nachdem ich diese Observation wieder durchgelesen, finde ich dieselbe von keiner Wichtigkeit, man darf nur setzen a ==

1

3 ± V5 — , so ist ax 2

a

x

der terminus generalis.

Diese Behauptung ist leicht zu beweisen, p und e seien zwei natürliche Zahlen. Die Zahlen xl sind Wurzeln der quadratischen Gleichung 4x 2 — 4pz dieser Gleichung sei eine natürliche Zahl, so wird p = widerspricht.

-j- p 4a;2 + e2 4x — 1

e2 = 0.

2

=

V—i Vi*2 — v —

2 Wenn mari annimmt, eine Wurzel x

eine gebrochene Zahl, was der Voraussetzung lyj

Randbemerkung von Goldbach: Emend[andum] vid[e] infra (vgl. den folgenden Brief).

50. Euler

an Goldbach Berlin, 27. April/8. Mai 1742

CGADA: F. 181, D. 1413, Ö. IV Blatt 14—15

[. . .] Ew. Hochedelgeb. Abreise nach Moskau haben mir die beiden Prinzen Dolgorukij, welche mich ganz unvermutet allhier besuchten, zu wissen getan, und der H. Rat Schumacher hatte mir sogar geschrieben1, daß Dieselben gesinnet wären, die Akademie gänzlich zu verlassen, und zu Dero großem Avantage bei Hofe oder in der Reichskanzlei engagiert werden, sollten. Gleichwie nun diese [für] Ew. Hochedelgeb. so große Veränderung bei mir den größten Eindruck gemachet, so wünsche von ganzem Herzen, daß dieselbe zu Dero höchstem Vergnügen und beständigen Wohlfahrt gereichen möge. Inzwischen statte hiermit Ew. Hochedelgeb. für die noch immerfort gegen mich hegende hochgeneigte Intention allen gehorsamsten Dank ab und empfehle mich Dero ferneren sonderbaren Gewogenheit, hoffe aber dabei, daß diese Veränderung mir das innigste Vergnügen nicht benehmen wird, Denselben von Zeit zu Zeit meine gehorsamste Devotion zu bezeugen und von Dero Commercio zu profitieren. Noch vor Erhaltung dieser Nachricht habe ich bei dem H. Geh. Rat Culeman zu speisen die Ehre gehabt, da insonderheit die Frau Geheime Rätin sehr umständlich sich über Ew. Hochedelgeb. Zustand erkundiget und ihre sonderbare Hochachtung und Freundschaft gegen Die-

101

1742

selben auf das deutlichste zu erkennen gegeben. Sie haben mir beiderseits aufgetragen, Ew. Hochedelgeb. Ihr ergebenstes Kompliment abzustatten. /14 r/ Mit Catalogis von französischen Büchern könnte Ew. Hochedelgeb. zur Genüge aufwarten, wann entweder Dieselben die Postfreiheit genössen oder mir jemand anzeigen wollten, an wen ich solche adressieren sollte, dann von hier kann dieselben, ohne etwas zu bezahlen, wegschicken.2 Die Madame La Marquise du Chateilet hat mir ein Exemplar von der neuen Edition der Institutions Physiques nebst ihrem Porträt zugeschickt.3 Die Bücher, welche Ew. Hochedelgeb. auch immer verlangen möchten, können von hieraus bequem nach Petersburg geschickt und darfür allda die Bezahlung entweder von H. Stähelin oder das Berlinische Contoir entrichtet werden. Von Mr. Achard weiß ich nicht das Geringste, das durch den Druck herauskommen wäre. Weilen die übersandten Inskriptionen 4 von Ew. Hochedelgeb. eigener Hand geschrieben waren, und dabei nichts gemeldet war von dem Auetore, so habe nicht gezweifelt, daß dieselben nicht von Denselben sein sollten. Ich habe aber anjetzo dem H. Geh. Rat Jordan gemeldet, daß ein guter Freund solche Ew. Hochedelgeb. kommuniziert hatte. Bei Ihro Königl. Majestät Anwesenheit allhier habe ich verschiedene mal präsentiert werden sollen, es sind aber immer Hinternisse dazwischen gekommen, bis endlich allerhöchst Dieselben ganz plötzlich von hier abgereiset sind. Der H. Rat Schumacher hat mir geschrieben 5 , daß meine Pension bei der Akademie schon so gut als fest gesetzet sei, und ich also nur den Anfang mit Einsendung meiner Piecen machen sollte; hierauf habe denselben Posttag zwei ziemlich große Piecen 6 dahin geschickt. Ich nehme aber dennoch die Freiheit, Ew. Hochedelgeb. diese Affäre gehorsamst ferner zu rekommendieren. /15/ Die Corollaria, welche Ew. Hochedelgeb. aus meinem theoremate, daß 4 m n — m — n kein Quadratum sein könne, hergeleitet, sind sehr merkwürdig und übertreffen das theorema selbst weit an Wichtigkeit. Dann daß 4 m n — m — n auch kein numerus trigonalis sein könnte, hatte ich nicht wahrgenommen, anjetzo aber habe aus dieser Anleitung auch befunden, daß eben diese Formel 4 m n — m — n auch kein numerus heptagonalis sein könne.7 Überhaupt habe gefunden, daß alle Zahlen, welche nicht = 4 m n — m — n sein können, in dieser Formul xx yy + y alle xx + yy + y enthalten sind. Dahero diese Expression 4mu — m — n mögliche Zahlen geben muß 8 , welches theorema einigermaßen ähnlich ist dem Fermatiano, daß pp + 0, n > 0 2) N = x' + y* + y; (x, ty + 1) = 1

9

Aus der Gaußsehen Theorie der ganzen komplexen Zahlen kann man die Eulersohe Behauptung leicht ableiten. Nach Gauß ist jede Zahl 4 jV + 1, N > 0 , im Ring der ganzen komplexen Zahlen in zwei Faktoren zerlegbar. K. Vgl. Gauß: Theoria residuorum biquadraticorum, 2 (1832, Werke I I , S. 67 — 148) Es ist leicht zu überprüfen, daß der Ausdruck 3 a 2 + 36 2 + 7 c2 f ü r ganze Zahlen a, b u n d c kein Quadrat sein kann, wenn sie nicht alle zugleich zu Null werden. Wenn a u n d b gerade Zahlen sind und c eine ungerade Zahl ist, dann wird 3a 2 + 36 2 + 7c 2 = 3 • 4fc + 3 • 4Z + 7(4m + 1) = 4 » + 3, was folglich kein Quadrat sein kann. In ähnlicher Weise lassen sich die anderen Möglichkeiten überprüfen, wenn unter a, b und c auch nur eine ungerade Zahl ist. Der Fall, daß a, b und c gerade Zahlen sind, läßt sich auf den vorherigen Fall zurückführen. Sei dazu a = 2 a a 1 , 6 = 2^6,, c = 2^Cj, wobei a 1 ; u n d c t ungerade Zahlen sind. Bezeichnen wir mit und kleiner als < auf Harriot (zuerst veröffentlicht 1631). Wallis benutzte 1760 für „größer als oder gleich" und „kleiner als oder gleich" die entsprechenden Zeichen und (vgl. Brief 78 und 84). 3 ^ Mittwoch, 1) Sonnabend * Über die feierliche Eröffnung der Berliner Akademie am 24. 1. 1744 brachten u. a. die Berlinischen Nachrichten von Staats- und gelehrten Sachen 1744, Nr. 11 vom 25. 1. einen Bericht. 6 Der Brief Goldbacha an Marinoni konnte nicht ermittelt werden. 6 O. A. Müller, Untersuchungen der wahren Ursachen von Neutons allgemeiner Schwere . . ., Weimar 1743; auf welche Rezension Ooldbach verweist, ließ sich nicht ermitteln. ' Vgl. Brief 81, Anm. 3 2

78. Euler an Goldbach Berlin, 14./25. April 1744

CGADA: F. 181, Op. 1413, C. IV Blatt 9 3 - 9 4

[. . .] Ew. Wohlgeb. Schreiben an H. Marinoni habe ich dem hiesigen Buchhändler H. Havde abgegeben, welcher mir versprochen, dasselbe ohne Verzug dergestalt zu bestellen, daß solches dem H. Marinoni franco eingehändigte werde, und kürzlich hat er mich versichert, daß dasselbe schon würklich überliefert worden.1 Keiner von den hiesigen Buchhändlern will etwas von einem französischen Reimregister2 wissen. Der H. Prof. Strube aber, welcher Ew. Wohlgeb. seine gehorsamste Empfehlung macht, meint, daß er einmal ein solches Buch gesehen, er konnte sich aber nicht recht erinnern, und hat mir auch bisher keine weitere Nachricht geben können. Ich kann mich nicht besinnen, etwas von eines D. Müller Gedanken de causa gravitatis3 gelesen zu haben. Die gelehrten Zeitungen werden mir auch sehr unrichtig kommuniziert. Inzwischen kann ich mir doch nicht einbilden, daß dieser Auetor etwas merkwürdiges hierüber entdecket haben sollte, dann hiezu gehört eine solche tiefe Einsicht in die sublimste Mechanic, dergleichen bei einem noch unbekannten Mann nicht leicht zu vermuten ist. Und ohne diese Erkenntnis verfällt man gemeiniglich auf bloße Chimeren und contradiktorische Hypotheses, welche ebensowenig mit den wahren Principiis der Physik bestehen, als den Phenomenes ein Genügen leisten können. /93r/ Ich bin in Verfertigung meiner Piece, welche ich über den Magneten im vorigen Jahr nach Paris geschickt4, auf einen Einfall, um die causam gravitatis zu erklären, geraten, welcher

1744

193

mir je länger je gründlicher vorkommt, ungeacht ich mich noch nicht imstande befinde, denselben völlig auszuführen. Anjetzo sollte man hier schon wissen können, wer dieses J a h r den Preis bei der Akademie zu Paris erhalten, weil mir nun der H. Clairaut noch nichts davon gemeldet, so kann ich gewisse Rechnung machen, daß ich diesmal wieder leer ausgegangen. Ich kann auch die Ursach leicht erraten, dann da ich, um meine Erklärung zu bekräftigen, die Meinung der Engelländer von der Attraktion als einem attributo essentiali corporum ziemlich stark angegriffen und widerleget, so wird dieses den Herrn Commissariis, welche, wie ich seit der Zeit erfahren, dieser Meinung völlig beistimmen, gar nicht gefallen haben. Die Eigenschaft, welche Ew. Wohlgeb. von den curvis dem in den Actis Lipsiensibus proponierten problemati satisfacientibus entdecket haben, hat ihre völlige Richtigkeit, und ist also allen den unendlich vielen krummen Linien, wodurch das problema solviert wird, gemein. Ich habe vor etwas Zeit eine ausführliche Solution darüber nach Leipzig geschickt 5 , darin ich ex quolibet curvarum algebraicarum ordine eine angegeben. Aus den sectionibus conicis satisfaciert der Circul, da ein punctum im centro das andere in der Peripherie angenommen wird. Ex lineis tertii ordinis ^ 3 axx — x3 satisfaciert diese, Aequation yy = positis C et D duobus x—a — 1 1 P C D illis punctis, circa quorum illud O sint areae proportionales angulis ad D formatis, et vocatis CD = a, DP — x, PM = y [vgl. Abb. 12 Abb. 12], Außer diesen curvis algebraicis gibt es unendlich viel, deren Konstruktion /94/ a quadratura circuli dependiert, die übrigen aber lassen sich durch keine Quadratur konstruieren; ich habe aber eine Generalkonstruktion per motum tractorium gegeben. Über die theoremata numerjca habe ich seit der Zeit nichts Neues entdecket. Was die neuen Zeichen > und < betrifft, dergleichen in diesen Spekulationen öfters höchst nötig sind, so wollte ich nach der Analogie dieses Zeichens 3= welches non aequale bedeutet, vielmehr diese < und > gebrauchen, deren jenes n o n m i n u s das ist entweder aequale oder majus > , dieses aber > non majus, das ist so viel als < minus oder aequale bedeutet. Nächstens wird bei dem H. Bousquet mein Tractat de problemate Isoperimetrico 6 herauskommen, und darauf wird er ein anderes Werk, Introductio ad Analysin infinitorum 7 , drucken, worin ich sowohl den partem sublimiorem Algebrae als Geometriae abgehandelt. Ich habe für nötig befunden, dieses vor der Analysi infinitorum selbst hergehen zu lassen, an welcher ich jetzt würklich arbeite. Jetzt wird hier an einer Dissertation de motu planetarum et cometarum, worin ich die orbitam des letzten Kometen bestimmet 8 , gedruckt. Es ist bei diesem Kometen merkwürdig, daß derselbe d. 4 ten April so nahe bei dem Mercurio vorbeigegangen, daß man daher eine Perturbation in dieses Planeten Lauf zu vermuten Ursach hat. Bisher ist aber der Mercurius noch unsichtbar, daß man sich also hierüber noch nicht hat eclairieren können. Vorgestern wurde in den hiesigen Zeitungen die Einrichtung der neuen Akademie publiziert. 9 Zu der glücklichen Ankunft in Moskau gratuliere von Herzen und empfehle mich zu Ew. Wohlgeb. beständigen Gewogenheit, der ich mit der schuldigsten Hochachtung verharre [. . .] [P. S.] Wegen meiner Großmutter Tod 10 petschiere ich schwarz. 1 2 3 4 6 6

Vgl. Vgl. Vgl. Vgl. Vgl. Vgl.

13

Brief Brief Brief Brief Brief Brief

77, 77, 77, 52, 76, 68,

Anm. Anm. Anm. Anm. Anm. Anm.

5 7 6 14 3 3

Euler-Goldbach-Briefwechsel

194 7 9 9

10

1744

Introductio in analysin infinitorum, Bd. 1, 2, Lausanne 1748 (Eneström 101, 102) Eneström 66, vgl. Brief 76, Anm. 2 Über die Neugründung der Berliner Akademie findet sich u. a. eine Mitteilung in den Berlinischen Nachrichten von Staats- und gelehrten Sachen 1744, Nr. 49 vom 23. 4. Eulers Großmutter mütterlicherseits Maria Magdalena Brucker geb. Faber.

79. Goldbach an Euler Moskau, 21. Mai/1. Juni 1744

AAL: P. 136, Op. 2, Nr. 8 Blatt 82—83r

[. . .] Vor wenigen Tagen habe ich ganz unvermutet gefunden, daß die aequatio emn ± fm gn = a2 allezeit possibilis ist, nämlich, daß datis numeris e, / et g, allezeit angegeben werden können m, n et a. Die Demonstration ist sehr leicht: ponatur m = eg ± / ± 2g • n = g, erit « = eg ± / ± 9- Wie aber bei solcher Bewandnis der Sache 25 von den 38 casibus, welche Ew. Hochedelgeb. in Dero Schreiben vom 15. Okt. als aequationes impossibiles anführen, sich werden legitimieren können, lasse ich (nach der bewußten phrasi) gar sehr an seinen Ort gestellet sein. Über den Tod Dero Fr. Großmutter 1 werden Sie sich vermutlich in Ansehung des hohen Alters, so dieselbe erreichet hat, leicht konsolieren, ich wünsche nur, daß E. Hochedelgeb. in diesem Stücke in derselben Fußstapfen treten und dem H. Bousquet /82r/ in Geneve noch vielen Vorteil schaffen mögen. Von H. Prof. Strube hoffe ich, bei dessen Zurückkunft einige Partikularia von den dortigen Savans als Mrs. Jordan, d'Argens, Algarotti etc. zu vernehmen. Ew. H . werden auch ohne Zweifel einen gewissen Mr. des Champs kennen, welcher einen mir annoch unbekannten Cours de la Philosophie WoZ/ienne2 geschrieben hat ; in diesem Buche soll eine Passage vorkommen, da ad marginem stehet : M. Huygens critique, wo sie so beschaffen ist, wie mir hinterbracht worden, wird es E. H. nicht gereuen, selbige gelesen zu haben. Dem H. Haude bitte ich bei Gelegenheit für die Besorgung des Briefs an H. Marinoni3 von mir dienstlichen Dank abzustatten und denselben zu versichern, daß es mir sehr lieb sein würde, ihm dieser Orten wiederum einige Gefälligkeiten zu erweisen. Weil ich die französischen Zeitungen nicht ordentlich lese /83/, so weiß ich noch nicht, wie es mit dem praemio, welches verwichene Ostern bei der Acad. Rfoyale] des Sciences ausgeteilet werden sollen, endlich abgelaufen ist. Vor die Kommunikation der aequationis ad curvam danke ich dienstlich und werde Eurer Hoche[delgeb.] Dissertation, sobald ich die Acta Erud[itorum] bekomme, mit Vergnügen lesen. Mit der angeführten Veränderung der signorum bin ich auch wohl zufrieden. Aus einem Stück der Hamburgischen Nachrichten habe ich ein favorables Judicium von des Hn. Prof. Knutzen Tractat von den Kometen 4 ersehen; es wird daselbst bei dieser Gelegenheit gemeldet, daß zwar schon einige Gelehrte gewesen, die Kometen auf eine gewisse Zeit vorausprophezeiet haben, die Kometen hätten sich aber nicht eingefunden, so daß unter allen der Hr. Prof. Knutzen der erste gewesen, welcher einen Kometen, nämlich den von A. 1744, in einer öffentlichen Schrift schon 7 Jahre voraus vermutet hat. /83r/ Aus dem, was von der Théorie de la figure de la Terre par M. Clairaut in den Leipziger] gel[ehrten] Zeit[ungen] 5 gesagt wird, schließe ich, daß es ein sehr schönes Buch sein muß. Wenn ein völliger Tomus von Eurer Hoche[delgeb.] operibus herausgekommen sein wird, bitte ich, mir notice davon zu geben.

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Ich erinnere mich, daß E. H. üiir schon vor einigen Jahren gesagt haben, auf was für Art Sie ein Kapital von 10000 Rth., im Fall Sie es erwerben sollten, zu employieren gesonnen wären, nämlich ein Landgut in patria zu kaufen und darauf zu leben, ohngeachtet nun vermutlich der casus in terminis bald existieren wird, so will ich doch nicht hoffen, daß Sie Ihr damaliges Projekt zur Erfüllung bringen werden. Ich verbleibe mit besonderer Hochachtung [. . .] 1 2 3 4

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Vgl. Brief 78, Anm. 10 Cours abrégé de la philosophie Wolfienne, en forme des lettres par Jean Descham.ps, Amsterdam 1743 Vgl. Brief 77, Anm. 5 M. Knutzen, Vernünftige Gedanken von den Cometen, Königsberg 1744; Rezension dazu in: Hamburgische Berichte von gelehrten Sachen 1744, Nr. 39 vom 14. April, S. 245—248 A.C. Clairaut, Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l'hydrostatique, Paris 1744; Rezension dazu in: Neue Zeitungen von gelehrten Sachen, Leipzig 1744, S. 316—318

80. Euler an Goldbach Berlin, 23. Juni/4. Juli 1744

CG ADA: F. 181, D. 1413, Ö. IV Blatt 9 5 - 9 8 r

[. . .] Daß diese Formul emn ••• fm •• gn generaliter ein quadratum sein könne, wann nur entweder f oder g ein numerus affirmativus ist, wie Ew. Wohlgeb. angemerket haben, kann mit meinen vormals überschriebenen theorematibus gar wohl bestehen. Dieselben waren zweierlei, entweder von dieser Form 4 e m n — pm — pn, oder von dieser 4emn ± pm pn. Die erstere leidet nun durch Ew. Wohlgeb. Observation keine Not; die letztere aber würde umgestoßen, wann nicht eine Kondition hinzugetan werden müßte, davon ich mich nicht mehr erinnere, ob ich in meinem Briefe damals Meldung getan habe, oder nicht: Nämlich [es müssen] m und n respectu p numeri primi sein. Wann ich also sage, daß 8 m » — 3m -f 3n nimmer ein Quadrat sein könne, so muß diese Kondition dabei gemeldet werden, daß n kein multiplum 3™ sei. Dann, wann man dörfte n = 3 oder überhaupt n = 3hh setzen, so könnte diese Formul 8 mn — 3 m + 3 n infinitis modis ein Quadrat sein. Diese Restriktion folget unmittelbar aus der Art, welche mich dazu geführet, und welche ich auch in der Piece, so ich vor einiger Zeit über diese Materie nach St. Petersburg geschickt habe, ausdrücklich angemerkt. 1 Dann 8mn — 3m 3n kann deswegen kein Quadrat sein, weil diese Formul aa — 2bb keinen divisorem primum hujus formae 8n ± 3 haben kann. Dahero werden diejenigen casus ausgenommen, wann n ein multiplum von 3 ist, eben wie auch in jener aa — 2bb diese Kondition hinzugetan werden muß, daß a und b numeri inter se primi sein sollen. Dann ohne diese Restriktion könnte aa — 2bb per quemcunque numerum divisibilis sein. /95r/ Ich arbeite anjetzo an einem Traktat über den calculum differentialem, in welchem ich verschiedene kurieuse Decouverten über die series gemacht habe, wovon ich die Freiheit nehme, Ew. Wohlgebornen einige zu kommunizieren: I. Sumto in circulo arcu quocunque a, cujus sinus sit =