Lehrgang der Höheren Mathematik - Teil II [II, 16 ed.] 3326000294

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Titel der Originalausgabe:

B. 11. CMl1pHOH Hypc nucureä MaTeManum, "HaYHa", Mocima 1965

TOM

2

Die Ausgabe in deutscher Sprache besorgten uach der 12. Auflage Klaus Krienes (Übersetzung), Klaus Krienes und Helmut Pachale (wissenschaftliche Hedaktion). Die Übersetzung nach der im .Jahre 1965 erschienenen neunzehnten, bearbeiteten russischen Auflage erfolgte JUI'ch Peter Langrock und -Iürgen 'I'iedge.

ISBN 3-326-00029-4 ISSN 0073-2842 Verlag.'llektoren: El'ika Ar-n dt, Brigitte Mai

Verlagsherst.eller : l\la r-ion Zehller Uruschluggest.altung : Hurt.wig Hoeftmarm © der dcut.schspruchigen Ausgabe 1955 und I H72 VEB Deutscher' Verlag der 'Vit-lSClHlchaftell, D011,-l080 Berlin, Postfach 1216 Lizenz-Nr. 20ti . 435/130/Sü Printed in t.ho GI:'J'/llun Democrat ie Hepublic Geaamt.herstellung : VEB Druckerei "Thomas Müntzer"; 5S20 Bau Langensalza LSV 1034 Bestellnummer: 5ü9 40{j 9 03250

Vorwort zur neunzehnten russischen Auflage

Der Grundaufbau der vorliegenden Auflage des zweiten Teils entspricht dem Aufbau der vorhergehenden Auflage. Wesentliche Änderungen sind in den ersten beiden Kapiteln vorgenommen worden, die sich auf Differentialgleichungen beziehen. Schon im Punkt 2 des ersten Kapitels wird der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösung einer Differentialgleichung bei vorgegebener Anfangsbedingung formuliert. Die weitere Darstellung steht mit diesem Satz in unmittelbarer Verbindung. Der Inhalt von Kapitel 11, § 5, wurde bedeutend erweitert. In Kapitel 111, § 9, werden nach 'der Darlegung der Theorie des Jordanschen Maßes und der Untersuchung des Riemannschen Integrals die Lebesguesche Maßtheorie, die Eigenschaften meßbarer Funktionen und das Lebesguesche Integral behandelt. In Verbindung mit dieser Erweiterung werden in Kapitel VI, § 15, die Eigenschaften der Klasse L 2 und die Theorie der orthonormalen Funktionensysteme in dieser Klasse dargestellt. Die ersten drei Kapitel wurden von Herrn S. 1\1. LOSINSKI durchgesehen, von dem ich eine Reihe wertvoller Hinweise erhielt. Ich möchte ihm dafür meinen besten Dank aussprechen. 11. Dezember 1964

W. SMIRNOW

Inhalt

I. Gl'wöhnliche

Differl'ntial~ll'ichun~en .

. . .

13

§ 1. Differentialgleichungen erster Ordnung

l:l

1. Allgemf'ine Begriffe . . . . . . . . . 2. .Fest.legung der Lösung durc-h die Anfangsbedingung. Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Differentialgleichungen mit separierbaren Veränderlichen 4. Beispiele. . . . . . . . . . . . . 5. Homogene Differentialgleichungen . . . . . . . ö. Lineare Differentialgleichungen und die Bernonllisehe Different.inlgleir-hung 7. Das Euler-Oauchysche Verfahren . . R. Anwendung von Potenzreihen 9. Das allgemeine Integral und die singuläre Lösung . 10. Gleichungen, die nicht nach y' aufgelöst sind 11. Die Clairautsche Differentialgleichung. . . . . . 12. Die Lagrangesche Differentialgleichung . . . . . . 13. Die Einhüllende einer Kurvenschar und die singulären Lösungen 14. Die isogonalen Trajektorien . . . . . . . . . . . . . . . .

13 15 17 1R 22 27 31

33 35 37 39 42 44 47

§ 2. Differenttalgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Different inlgleichun-

gen. . . . . . .

49

15. Allgemeine Begriffe 16. Graphische Verfahren zur Integration einer Differentialgleichung zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Die Gleichung y(n) = j(x) •.........•. 18. Die Reduktion der Ordnung einer Differentialgleichung 19. Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 20. Beispiele . . . . . . . . . . . 21. Systeme von Differentialgleichungen und Different.ialgleichungen höherer Ordnung. . . . . . . . . . . . . . 22. Lineare partielle Differentialgleiehungen 23. Geometrische Interpretation 24. Beiaplele . . . . . . . . . . . . . .

11. Lineare Differentialgleichungen und ergänzende Ausführungen zur Theorie der Differentialgleichungen . . . . . . . . § 3. Allgemeine Theorie.

Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

25. Die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung . 26. Die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung 27. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . . .

49 51 54 55 58 fi2 fiß fi7

70 72

76 7fi 7fi 79 R1

8

Inhalt 28. Die homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. Die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Die Nullstellen einer Lösungsfunktion und oszillierende Lösungen. . . . . . 32. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 33. Lineare Differentialgleichungen und die Schwingungsvorgänge 34. Eigenschwingungen und erzwungene Schwingungen . 35. Sinusförmige äußere Kraft und Resonanz 36. Randwertaufgaben . . 37. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . 38. Die Operatorenmethode . . . . . . . . 39. I.. ineare homogene Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . " 40. Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 41. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Die Eulersche Differentialgleichung . . . . . 43. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 44. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 85 86 88 91 93 95 97 102 104 105 108 110 111 112 114 118

§ 4. Integration mittels Potenzreihen

121

45. 46. 47. 48. 49.

121 124 125 127

Integration einer linearen Differentialgleichung mittels einer Potenzreihe Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entwicklung der Lösung in eine verallgemeinerte Potenzreihe Die Besselsche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . Differentialgleichungen, die sich auf die Besselsche Differentialgleichung zurückführen lassen

§ 5. Ergänzende Ausführungen zur Theorie der Differentialgleichungen

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.

Die Methode der sukzessiven Approximation für lineare Differentialgleichungen Nichtlineare Differentialgleichungen Ergänzungen zum Existenz- und Eindeutigkeitssatz . . . . Die Konvergenz des Euler-Cauchyschen Verfahrens . . . . Singuläre Punkte einer Differentialgleichung erster Ordnung Autonome Systeme Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130 132 132 139 145 14 7 150 158 160

111. Mehrfache Integrale und Kurvenintegrale. Uneigentliche Integrale und Integrale, die von einem Parameter abhängen 166 § 6. Mehrfache Integrale

57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66.

Volumina . . . . . Das Doppelintegral . Die Berechnung des Doppelintegrals Krummlinige Koordinaten. . . . . Das dreifache Integral . Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten Krummlinige Koordinaten im Raum Fundamentaleigenschaften mehrfacher Integrale Der Inhalt einer Fläche . . . . . . . . . . . Flächenintegrale und die Gauß-Ostrogradskisr-he Formel .

1M

llHl 169

171 175 178 182 187 188 189 193

Inhalt

9

67. Integrale über eine bestimmte Seite der Fläche 68. Momente . . . . . . . . . . . . . . . .

196 19R

§ 7. K nrverrintegrnle

202

69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. ~O.

Definit-ion des Kurvenintegrals Die Arbeit. in einem Kraftfeld, Beispiele Flächeninhalt und Kurvenintegral Die Greensehe Formel. . . . . . . . Die Stokessche Formel. . . . . . . . Die Unabhängigkeit eines ebenen Kurvenintegrals vom Weg Der Fall eines mehrfach zusammenhängenden Bereiches . . Die Unabhängigkeit eines räumlichen Kurvenintegrals vom Weg Die stationäre Strömung einer Flüssigkeit . . . . . . . . . . Der integrierende Faktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . Die vollständige Differentialgleichung im Fall dreier Veränderlicher Substitution der Veränderlichen in einem Doppelintegral . . . . .

202 205 209 211 213 216 220 222 224 226 230 232

§ H. Uneigentliehe Integrale und Integrale, die von einem Parameter abhängen 234 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90.

Integration unter dem Integralzeichen Die Dirichletsche Formel. . . . . . . Differentiation unter dem Integralzeichen Beispiele. . . . . . . . . . . . . Uneigentliche Integrale . . . . . . Nicht absolut konvergente Integrale Gleichmäßig konvergente Integrale . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Uneigentliehe mehrfache Integrale Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 9. Maß und Integrationstheorie 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 1] 1.

Grundbegriffe . . . . . . Grundlegende Sätze. . . . Abzählbare Mengen. Operationen mit Punktmengen Das J ordansche Maß . . . . . . . . . . . . . . Meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . Die Unabhängigkeit von der Wahl des Bezugssystems Der Fall beliebig vieler Dimensionen Integrierbare Funktionen . . . . . Die Berechnung des Doppelintegrals Die n-faehf"n Integrale. . . . Beispiele. . . . . . . . . . Das äußere Lebosguesche Mnß Meßbare Mengen . . . . Meßbare Funktionen Ergänzende Ausführungen Das Lebesguesche Integral. Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals Integrale unbeschränkter Funktionen . . . Der Grenzübergang unter dem Integralzeichen Der Sat.z von FUBTNI . • . . • • • • . . . Integrale über Mengpn mit. uuendlichem Maß

234 236 239 242 24-6 250 253 256 259 263 268

268 270 272 274 276 279 281 281 283 286 287 2R9 290 295 298 :lOO

302 306 309 31J 314

10

Inhalt

IV. Vektoranalysis und Feldtheorie

316

§ 10. Grundzüge der Vektoralgebra

31ß

112. Addition und Subtraktion von Vektoren .

31ß 31R 319 :320 321 324 325

113. 114. 115. 11ß. 117. 11 R.

Mult.iplikaf.ion r-iries Vektors mit einem Rkalnr. Komplanare Vektoren. Die Zerlegung eines Vektors in drei nir-htkomplanare Vektorr-n Das skalare Produkt . . . . . . . . . . . . . . Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beziehungen zwischen skalaren Produkten und Vektorprodukten Die Geschwindigkeitsverteilung bei der Drehung eines starren Körpers. Das Moment eines Vektors . .

§ 11. Feldtheorie

327

119. Differentiation eines Vektors

327 329 333 336 33R 339 341 343 345 34ß 347 349 352 357

120. Das skalare Feld und sein Gradient 121. Das Vektorfeld. Hotation und Divergenz . 122. Potential- und Solenoidalfeld 123. Das orientierte Flächenelement . . . . . 124. Einige Formeln der Vektoranalysis 125. Die Bewegung eines starren Körpers. Kleine Deformatdonen 126. Die Kontinuitätsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . 127. Die hydrodynamischen Gleichungen einer idealen Flüssigkeit 128. Die Gleichungen der Schallausbreitung . . . 129. Die Differentialgleichung der Wärmeleitung . . . . . . . 130. Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 131. Die Darstellung des Laplaceschen Operators in orthogonalen Koordinaten . 132. Different.iation im Fall eines veränderlichen Feldes . . . . . . . . . . V. Anfangsgriinde der Differentialgeometrie .

3G3

§ 12. Kurven in der Ebene und im Raum

363

133. Die ebene Kurve, ihre Krümmung und Evolute

363 369

134. Die Evolvente . . . . . . . . . . . . 135. 136. 137. 138.

370

Die natürliche Gleichung einer Kurve . . Die Fundamentalgrößen einer Raumkurve Die Frenetschen Formeln Die Schmiegebene 139. Die Schraubenlinie . . . 140. Das Feld der Einheitsvektoren

377 379

§ 13. Elemente der Flächent.heorie .

3RO

371

375 376

141. Die Parameterdarstellung einer Fläche 380 142. Die erste Gaußsehe Fundamentalform . 382 143. Die zweite Gaußsche Fundamentalform 383 144. Die Krümmung der Flächenkurven . . 385 145. Die Dupinsche Indikatrix und die Eulersche Formel. 38R 146. Bestimmung der Hauptkrümmungsradien und der Hauptkrümmungsrieh- 390 tungen . . . . . . 147. Krümmungslinien 392 148. Der Dupinsche Sntz 394 149. Beispiele. . . . . . 395 150. Die Gaußsehe Krümmung 397

Inhalt

11

399 151. Variation des Flächenelements und mittlere Krümmung. . . . 152. Die Einhüllende einer Flächenschar und die Einhüllende einer Kurvenschar 401 404 153. Abwickelbare Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Fourler-Relhen . . . . . . .

§ 14. Die harmonische Analyse 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163.

407 407

Die Orthogonalität der trigonometrischen Funktionen Der Dirichletsche Satz . . . . . Beispiele. . . . . . . . . . . . . . Die Entwicklung im Intervall [0. n]. . Periodische Funktionen der Periode 21 Der mittlere quadratische Fehler . . . Allgemeine orthogonale Funkt.ionensyeteme Die Klasse L'l' . . . . . . Konvergenz im Mittel. . . Orthonormale Systeme in L'l

434

§ 15. Ergänzende Ausführungen zur Theorie der Fourier-Reihen

436

164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172.

Die Entwicklung in eine Fourier-Reihe Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung. Das Dirichletsche Integral . . . . . . . . . . Der Dirichletsche Satz . Approximation einer stetigen Funktion durch Polynome . Die Vollständigkeitsrelation . Der Konvergenzcharakter der Fourier-Reihen Verbesserung der Konvergenz von Fourier-Reihen. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

411 413 415 419 421 425 430 431

436

441 444 447 449

453 455 459 462

§ 16. Fourier-Integral und mehrfache Fourier-Reihen

464

173. Die Fouriersehe Formel . . . . . . . . . 174. Die Fourier-Reihen in der komplexen Form 175. Mehrfache Fourier-Reihen . . . . . . . .

471

VII. Partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik .

464 472

475

§ 17. Die Wellengletchung. . . . . . . . . . . . .

475

Die Differentialgleichung der schwingenden Saite Die d'Alembertsche Lösung Spezialfälle . . . . . . Die begrenzte Saite . . . . Die Fouriersehe Methode. . Die Harmonischen. Stehende Wellen Erzwungene Schwingungen Eine Einzelkraft . . . Die Poissonsche Formel . Zylinderwellen . . . . . Der n-dimensionale Raum Die inhomogene. Wellengleichung Die punktförmtge Quelle. . . . Querschwingungen einer Membran.

475 479

176. 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183. 184. 185. 186. 187. 188. 189.

481 486 491 493

495 497 501

505

507 509 512 513

12

Inhalt 190. 191. 192. 193.

Die rechteckige Membran Die kreisförmige Membran Der Eindentigkeitssatz Anwendung des Fouriersehen Integrals

514 517

524 52ti

§ 1s. Dif' Telegrnpbengleichung

52R

194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201.

52K 52n

Die Grundgleichungen Stationäre Prozesse . Einschwingvorgänge. Beispiele. . . . . . Die verallgemeinerte Gleichung der Schwingungen einer Saite Der unbegrenzte Leiter im allgemeinen Fall Das Fouriersehe Verfahren für den begrenzten Leiter Die verallgemeinerte 'Vellenglpichnng . . . . . , .

531 535 537

540 542 54.1)

§ 19. Dil" Laplacesche Gleichung

547

202. Harmonische Funktionen 203. Die Greensehe Formel . . 204. Fundamentaleigenschaften der harmonischen Funktionen 205. Die Lösung des Dirichletschen Problems für den Krpi~ 206. Dfts Poissonsche Integral. . . . . . . , 207. Das Dirichleteche Problem für' die Kugel 208. Die Greensehe Funktion . . . . . . . . 209. Der' Fall des Halbraums . 210. Das Potential räumlich verteilter Massen . 211. Die Poissonsche Gleichung 212. Die Kirchhoffsche Formel

.547

549 553

557 560 SM

5ßH 569 570

574 577

§ 20. Die Wärmeleitungsgleichung

580

213. Grundgleichungen 214. Der unbegrenzte Stab . . . 215. Der einseitig begrenzte Stab 2W. Der beidseitig begrenzte Stab 217. Ergänzende Bemerkungen . 218. Der kugelsymmetrische Fall 219. Dpr Eindeutigkettesatz

580

581 58H 590

592 593 595

Literaturhi nweise

599

Namen- und Saehverzelehnfs

610