Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik - Band II - Zweiter/Physikalischer Teil [II, 2 ed.]

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Zweiter / physikalischer/Teil unter Mitarbeit von G. Reck - Kansas (USA), R. Fürth - Prag,

R. v. Mises-Istanbul, F. Noether-Tomsk, G. Schulz-Berlin, A. Sommerfeld-München, E. Trefftz-Dresden herausgegeben von

Dr. Philipp Frank o, Professor an der Deutschen Universität in Prag

Inhaltsübersicht 1. Abschnitt

Klassische Mechanik und Strahlenoptik Von Ph. Frank in Prag

Erstes Kapitel: Strahlenoptik Seite

§ 1. Lichtstrahlen und Wellenflächen in belie bigen Körpern 1. Homogene isotrope Körper . . . . . . . . . . 2. Das Fermatsche Prinzip und die Lichtstrahlen . . . . . . 3. Lichtstrahlen und Wellenflächen . . . . . . . . . . . . . . 4. Die Differentialgleichung der Wellenflächen und Lichtstrahlen § 2. Optische Abbildung in allgemein anisotropen Medien 1. Punkteikonal, gemischtes Eikonal, Abbildungsgleichungen . . 2. Abbildung von Linien- und Flächenelementen . . . . . . . 3. Berechnung der Lichtstrahlen aus dem Eikonal, Berührungstransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Strahlengang in speziellen Medien 1. Brechungsgesetz . . 2. Isotrope Medien . . 3. Einachsige Kristalle 4. Bewegte Körper . . 5. 1 ) Elektronenmikroskop § 4 1 ) . Die Abbildung durch symmetrische optische Instrumente 1. Die Differentialgleichung für achsennahe Strahlen. 2. Gau ß sehe Dioptrik . . . . . . 3. Dioptrik der Elektronenstrahlen . Lehrbücher . . . . . . . . .

1 3 8 11 16 18 21 23 25 27 31 35 37 40 42 43

Z w ei te s Kap i tel: Die Differentialgleichungen allgemeiner mechanischer

Systeme § 1. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen 1. Der freie Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Beispiel: Einfluß der Luftreibung auf die Wurfbewegung . . . . . 3. Die Bewegungsgleichungen von Systemen freier Massenpunkte und deren Integrale . . . . . . . . . . . . . . 4. Die Gleichgewichtslagen als singuläre Punkte. . . . . . . . . . 5. Das d' Alem bertsche Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Die Lagrangeschen und Hamiltonschen Bewegungsgleichungen 1. Gestalt der Lagrangeschen Gleichungen 2. Beispiele . . . . . . . 3. Energie- und Impulssatz . . . . . . . . 1) Von W. GI ase r in Prag.

44 45 47 49 50 51 54 55

XII

Inhaltsiibersicht Seite

4. Beziehungen zur Variationsrechnung . . 5. Die Hamiltonsche und Routhsche Form der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Integrale der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen . . § 3. Die Differen tialgleich ungen der Bahnkurven 1. Die Bahnkurven eines materiellen Punktes in der Ebene 2. Die Bahnkurven allgemeiner mechaniseher Systeme 3. Die verschiedenen Arten von Bahnkurven . . 4. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Transformationstheorie der Hamiltonschen Differentialgleich ungen 1. Die H a m i I ton sche Analogie zwischen Optik und Meehanik 2. Beriihrungstransformation, kanonische Veranderliche . . . . 3. Gemischtes Eikonal, angepaBte kanonische Veranderliche , . 4. Zur Integration der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung 5. Einfiihrung einer Wellenfortpflanzung . . . . . . . . . § 5. Methode der Separation der Ve r a nd e r l ic he n 1. Grundgedanken der Methode . 2. Kriterium ihrer Anwendbarkeit 3. Durchfuhrung der Rechnung 4. Beispiele. . . . . . . . . . . 5. Periodizitatseigenschaften der Separationsvariablen 6. Winkelvariable und Wirkungsvariable . . . . . . § 6. Mehrfach periodische Systeme 1. Einfiihrung beliebiger Koordinaten. . . . . . . . . . 2. Einfuhrung allgemeiner mehrfach periodischer Systeme. 3. Entartung. . . . . . . . . . . 4. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Beziehungen zur Quantentheorie. . . . . . . . . . . § 7. Eindeutige Integrale und raumerfiillende Bahnkurven 1. Der ebene Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Systeme von eindeutigen Integralen; imprimitive Systeme . 3. Angenaherte Perioden bei n-fach periodischen Systemen. . § 8 1 ) . Einiges aus der statistischen Mechanik 1. Relative Verweilzeit, virtuelle Gesamtheiten. 2. Volumenberechnungen im Phasenraum 3. Liou villescher Satz. . . . . . . . . . 4. Bol tzmannscher Satz. . . . . . . . . 5. Verweilzeit im n-fach periodischen System 6. Quasiergodisches System, mikrokanonische Gesamtheit Lehrbiicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 59 61 65 66 68 70

72 74

78 80 81 83 84 85 87 90 92 94 96·

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D r it t e s K a pi tel: Stabilitat und kleine Schwingungen §1.

Quasistatische Bewegungen 1. Erleichterung der Integration beim Vorhandensein verborgener Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120' . 122 2. Quasistatische Bewegungen nach Routh 3. Verallgemeinerung des Begriffes der quasistatischen Bewegung nach Lev i-Ci vi t.a . 124-

1) Von W. Glaser in Prag.

Inhaltsübersicht

XIII Seite

§ 2. Stabilität und Energie 1. Begriff der Stabilität. . . . . . ..... 2. Das Rou thsche Energiekriterium der Stabilität. 3. Beispiele . . . . . . . . . . . ..... § 3. Kleine Sch wingungen eines Systems um eine G leichgewich t slage oder beständige Bewegung 1. Herleitung und Gestalt der Differentialgleichungen . . . . " 2. Integration der Differentialgleichungen der freien Schwingungen 3. Spezielle schwingende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Erzwungene Schwingungen 1. Allgemeine Integration der Differentialgleichungen. 2. Systeme von einem Freiheitsgrad . . . . . . . . § 5. Kleine Schwingungen und Sta b i l i t t 1. Allgemeine Kriterien . . . . . . 2. Kreisbahnen bei Zentralbewegung 3. Der Zentrifugalregulator .'. . .

129 130 132

133 136 139 142 144

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Vi er t es Kap i tel: Die Bewegungsgleichungen starrer Körper § 1. Aufstellung der Bewegungsgleichungen 1. Lagekoordinaten . . . . . . 2. Geschwindigkeitskoordinaten . . . . . 3. Bewegungsgesetze des starren Körpers. 4. Die Eulerschen Bewegungsgleichungen 51). Formale Erweiterung des Ansatzes (Motorrechnung) 6. Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen § 2. Kräftefreie Bewegung des starren Körpers 1. Allgemeine Integration der Eulerschen Gleichungen. 2. Explizite Gestalt der Lösungen für den periodischen Fall 3. Quasistatische Bewegungen 4. Der symmetrische Kreisel. . . . . . . . . . . . . . . § 3. Bewegung im Schwerefeld 1. Allgemeine Theorie. . 2. Symmetrischer Kreisel. Quasistatische Bewegung 3. Symmetrischer Kreisel. Allgemeinste Bewegung 4. Pendelschwingungen mit endlicher Amplitude. § 4. Die Flugzeugbewegung 1. Aufstellung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . 2. Differentialgleichungen der Längsbewegung . . . . . . . . . 3. Beständige (permanente) Bewegungen und kleine Schwingungen 4. Längsstabilität des Horizontalfluges 5. Phygoidbewegung . . . . . . . . . . Lehrbücher . . . . . . . . . .

153 155 157 159 161 165 167 170 172 173 174 176 177 180

181 183 186 188 189 190

Fünftes Kapitel: Methoden der Störungstheorie § 1. Grund begriffe der Störungsrechnung 1. Allgemeine mechanische Systeme

2. Mehrfach periodische Systeme. . . . . 3. Entartete Systeme. . . . . . . . . . 4. Die Differentialgleichungen der säkularen Störungen.

1) Von R. v. Mises in Istanbul.

191 194 198 201

XIV

Inhaltsübersicht Seite

§ 2. Störungen elastischer Schwingungen 1. Die störende Kraft ist in der Elongation quadratisch 2. Die störende Kraft enthält Koppelungsglieder 3. Störungen einfach periodischer Bahnen. . . . § 3. Der Energieausdruck für gestörte Systeme 1. Angepaßte kanonische Veränderliche 2. Berechnung des Energieausdruckes 3. Das ungestörte System ist entartet § 4. Der Energieausdruck für unharmonische Schwingungen 1. Die oskulierende harmonische Schwingung ist nicht entartet 2. Einfach periodische Grundbewegung . . . . . . . . . . . .

203 205 206 209 211

. 212 . 214 215

Sechstes Kapi tel: Probleme der Himmels- und Atommechanik §1. Die Keplerbewegung 1. Bahnelemente der K e p l e r ellipse . . . . . . . 2. Einführung von Winkel- und Wirkungsvariablen . 3. Berechnung der Lagekoordinaten . . . § 2. Die gestörte Keplerbewegung 1. Die störende Kraft ist eine Zentralkraft . . . . . 2. Störungen durch ein homogenes elektrisches Feld . § 3. Einiges vom Dreikörperpro blem 1. Das Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . 2. Reduktion des Dreikörperproblems . . . . . . . . . . 3. Quasistatische Bahnen beim ebenen Dreikörperproblem Lehrbücher zu Kap. IV und V .

218 220 224 228 229 232 233 237 239

II. Abschnitt

Mechanik der Kontinua VII. bis IX. Kap. von E. Treff tz in Dresden, X. bis XII. Kap. von R. v. Mises in Istanbul und G. Schulz in Berlin

Siebentes Kapitel: Mathematische Grundlagen der Elastizitätstheorie § 1. Problemstellung. Bezeichnungen § 2. Analyse d e r Spannungen und Verzerrungen 1. Gleichgewichtssätze . . 2. Der Spannungstensor . . . . . . . . . 3. Der Verzerrungstensor . . . . . . . § 3. Das Hookesche Gesetz und die Grundgleich ungen 1. Das Ho 0 k esche Gesetz . . . . . . 2. Die Grundgleichungen . . 3. Berechnung der Verschiebungen aus den Spannungen § 4. Die Minimalprinzipe. Eindeutigkeitssätze 1. Die Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . 2. Das Minimalprinzip für die Verschiebungen, Prinzip der Verrückungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Eindeutigkeit der Lösungen. . . . . . . . . . . . . § 5.

240 242 245 248 252 255 258 . . . . . 259 virtuellen . . .. 260 . . .. 263

Gleichungen der Bewegung. Eindeutigkeit der Lösungen 1. Differentialgleichungen für die Bewegungen. 2. Die Eindeutigkeit der Lösungen. . . . . . . . . . . . . . .

265 267

Inhaltsü bersicht

xv Seite

Achtes Kapitel: Probleme des elastischen Gleichgewicht §1. Elementare Lösungen mit 1. Beanspruchung durch einen 2. Konstante Zugkraft auf die 3. Biegung eines Stabes durch

linearer Spannungsverteilung allseitig gleichen Normaldruck . . . Enden eines Zylinders . . . . . . an den Enden angreifende Momente

§ 2. Torsion prismatischer Stäbe 1. Differentialgleichung und Randbedingung . . . . . 2. Elementare Fälle. . . . . . . . . . . . . . . . 3. Das Rechteck. Methode der Reihenentwicklungen . 4. Polygonal begrenzte Querschnitte

269 270 270 274 276 279 283

§ 3. Beanspruchung ebener Platten durch Kräfte, die in der Plattene bene wirken 1. Die Spannungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 2. Einzelkraft am Rande einer Halbebene 295 3. Die von Normalkräften am Rande beanspruchte Kreisscheibe 297 4. Der gelochte Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 § 4. Räumliche Probleme 1. Gleichgewicht eines von einer unendlichen Ebene begrenzten Körpers 301 2. Eindruck eines Stempels in eine Unterlage. . . . . . . . . . . 306

Neuntes Kapitel: Dynamische Probleme der Elastizitätstheorie § 1. Die 1. 2. 3. 4. 5. 6. § 2.

schwingende Saite Die Differentialgleichungen der schwingenden Saite Die Methode der Reihenentwicklung . . Einführung des Anfangszustandes . . . Die d'Alembertsche Form der Lösung Die endlose Saite Unstetigkeiten. . . . . . . . . . . .

313 315 317 318 320 323

Sch wing ungspro bleme und Integralgleichungen 1. Ableitung der Integralgleichung . . 2. Potentielle und kinetische Energie. 3. Einführung des Anfangszustandes 4. Erzwungene Schwingungen . . . . 5. Stabschwingungen . . . . . . . .

327 331 334 336 33S

§ 3. Die Schwingungen einer Mem bran 1. Die Differentialgleichung der schwingenden Membran 2. Die rechteckige Membran. . . . . . . 3. Kreisförmige Membran . . . . . . . . . . . . . 4. Analytische Eigenschaften der Lösungen . . . . . 5. Die Integralgleichung der schwingenden Membran. § 4.

339 342 348 350 355

Die Rand wertaufga be der schwingenden Membran als Problem der Variationsrechnung 1. Das Minimalproblem für den ersten Eigenwert 357 2. Die höheren Eigenwerte. . . . . . . . . 360 3. Folgerungen aus den Minimaleigenschaften . . 363

XVI

Inhaltsübersicht Seite

4. Das Ritzsche Verfahren. Elliptische Membran 5. Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte Lehrbücher zu Kap. VII, VIII und IX

365 369 373

Zeh TI t es Kap i tel: Grundlagen der Hydromechanik § 1. Aufstellung der Grundgleichungen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Kinematische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation eines Volumenintegrals mit veränderlichen Grenzen Die Kontinuitätsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . Deformation eines Flüssigkeitsteilchens. Wirbelvektor . . . Die Bewegungsgleichungen für ein deformierbares Kontinuum Die ideale Flüssigkeit. Die Zustandsgleichung Die zähe Flüssigkeit . Die Randbedingungen Die Energiegleichung . Die Bernoullische Gleichung. Die Impulssätze . . . . . . . Anwendungen des Impulssatzes

,'§ 2. Gleichgewichtsprobleme (Hydrostatik und Kapillarität) 1. Die Gleichgewichtsbedingungen 2. Das Archimedische Prinzip . . . . . . . . 3. Rotierende Flüssigkeitsmassen . . . . . . . . 4. Die Grundgleichungen der Kapillaritätstheorie 5. Folgerungen aus den Grundgleichungen. 6. Beispiele für Kapillaritätserscheinungen

373 374 376 377 378 379 380 381 383 383 384 385 388 389 390 391 392 395 396

Elftes Kapitel: Ideale FHissigkeiten ,§ 1. Ebene Potentialström ung 1. Die Stromfunktion . . . . . . . . . . 2. Umformung der Bewegungsgleichungen . 3. Das Geschwindigkeitspotential. . . 4. Anwendung der Funktionentheorie. 5. Strömung um einen Kreiszylinder . 6. Strömung um ein beliebiges Profil.

Spezielle Probleme der ebenen Potentialström ung 1. Tragflügeltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Das Ausflußproblem (Problem der vena contracta) 3. Beispiele zum Ausflußproblem . 4. Die Methode von Le v i-Ci v i t 5. Wellen in Kanälen. . . . . . '§ 3. Räumliche Potentialströmung 1. Grundbegriffe . . . . . . . . 2. Potentiale von Quellverteilungen . 3. Strömungen um feste Körper. . 4. Bewegung eines starren Körpers in einer Flüssigkeit 5. Folgerungen und Beispiel. . . . . . . . . . . . . ~§ 4. Wirbelbewegung 1. Zirkulation und Wirbelmoment 2. Die HeImhol tzschen Wirbelsätze

399 400 401 402 405 408

.§ 2.

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412 417 424 427 434 440 442 445 449 452 454 455

Inhaltsübersicht

XVII Seite

3. Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors aus seiner Divergenz und Rotation . . . . . . . . 457 4. Isolierte Wirbellinien . . . . . . 459 5. Zweidimensionale Wirbelströmung 461 465 6. Die Karmanschen Wirbelstraßen 467 7. Die Stabilität der Wirbelstraßen . 8. Berechnung des Widerstandes . 470

Zwölftes Ra p i tel: Zähe Flüssigkeiten § 1. Grundprobleme der Bewegung zäher Flüssigkeiten 1. Die Bewegungsgleichungen und die Energiegleichung

2. Laminare Strömung. Poiseuillesches Gesetz 3. Turbulente Strömung. Reynoldssches Gesetz . . . . 4. Weiteres über die Geschwindigkeitsverteilung in Rohren 5. Das mathematische Turbulenzproblem . . . . . . . . § 2. Die Integration der Bewegungsgleichungen der zähen Flüssigkeiten 1. Einführung einer Stromfunktion . . . . . . . 2. Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten 3. Die Linearisierung der Differentialgleichungen 4. Eine Integrationsmethode von Oseen . . . . 5. Verwendung der Fundamentalintegrale . . . . 6. Die Fundamentalintegrale der Stokesschen Gleichungen 7. Die Fundamentalintegrale der erweiterten Stokesschen Gleichungen § 3. Widerstandsformeln und Grenzschichttheorie 1. Die Stokessche Widerstandsformel 2. Die Oseensche Widerstandsformel . . . . . . . 3. Grenzschichttheorie ; Übergang zu R ~ 00 . . . 4. Ableitung der Hauptgleichung der Grenzschicht. 5. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . Lehrbücher zu Kap. X, XI und XII.

475 478 482 486 490

492 494 498 499 501 502 505 507 510 515 519 523 525

III. Abschnitt

Wärmeleitung und Diffusion Von R. Fürth in Prag

D r e i zehn t es Kap i tel: Freie Wärmeleitung und Diffusion § 1. Grundbegriffe und Differentialgleichungen

1. Grundbegriffe der Wärmeleitung bei Abwesenheit von Konvektion 2. Die Differentialgleichung der Wärmeleitung . . . . . . . . . 3. Grundbegriffe der Diffusion ohne Einwirkung äußerer Kräfte 4. Die Differentialgleichung der Diffusion. . . . . . . . . . . § 2. Wärmeleitung und Diffusion im unbegrenzten Körper 1. Der Körper ist unendlich ausgedehnt in einer Dimension. Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 3. Anwendung auf die Brownsche Bewegung eines Einzelteilchens 4. Der Körper ist unendlich ausgedehnt in zwei Dimensionen. 5. Der Körper ist unendlich ausgedehnt in drei Dimensionen. 6. Die Integralgleichungen der Wärmeleitung und Diffusion. . II

526 528 530 531

532 535 541 542 547 550

XVIII

Inhaltsübersicht Seite

§ 3. Wärmeleitung und Diffusion im begrenzten Körpe I' bei konstanter Oberflächentemperatur bzw. Konzentration 1. Der Körper ist von einer Ebene begrenzt . . . . . . . . 2. Brillouins Diffusionsversuch und "Erstpassagen" bei Brownscher Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Der Körper ist von zwei Ebenen begrenzt . . . . . . . 4. "Doppelseitige Erstpassagen" bei Brownscher Bewegung 5. Geschichteter Körper. . . . 6. Wärmeleitung im Zylinder . 7. Wärmeleitung in der Kugel. 8. Vordringen des Frostes. . . und Diffusion im begrenzten Körper bei anderen Randbedingungen 1. Die Temperatur (Konzentration) der Oberfläche ist eine gegebene 2. Wärmewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Die Oberfläche ist ein Isolator . . . . . . . . . . . . 4. An der Oberfläche des Körpers findet äußere Leitung statt 5. Diffusion durch ein Diaphragma. . . . 6. Das Problem der äußeren Wärmeleitung in zwei Dimensionen 7. Wärmeleitung in einem Stab 8. Abkühlung eines Prismas. .

553 555 557 559 560 561 563 565

§ 4. Wärmeleitung

568 572 576 579 582 584 586 589

Vierzehntes Kapitel: Erzwungene Wärmeleitung und Diffusion § 1. Grund begriffe und Differentialgleichungen 1. Die Differentialgleichung der Wärmeleitung mit Konvektionsströmung . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 591 2. Die Differentialgleichung der Diffusion unter dem Einfluß äußerer Kräfte 593 3. Die Integralgleichung der Diffusion und ihre Beziehung zur Statistik 594 § 2.

§ 3.

Die Wärmeleitung und Diffusion bei aufgezwungener Konvektion 1. Wärmeleitung bei reibungsloser Flüssigkeitsströmung. Abkühlung eines Körpers durch eine vorbeiströmende Flüssigkeit 2. Endliche Wärmeübergangszahl . . . . . . . . . . . 3. Strömung durch enge Röhren. Der Kühler . . . . 4. Diffusion in strömenden Gasen und unter Einwirkung gegebener äußerer Kräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Sedimentation und Brownsche Bewegung im Schwerefeld. . . . . . . . . 6. Diffusion von Elektrolyten . . . . . . . . . . 7. Diffusion von Ionen in Gasen.

596 600 602 604 605 608 610

Spontane Konvektionsströmung unter Einwirkung äußerer Kräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

§ 4. Be z ie h un g e n zwischen Diffusionstheorie und Wellenmechanik 1. Wellenmechanische Grundlagen . . . . . . . . . 2. Bewegung eines Teilchenschwarmes unter der Wirkung äußerer Kräfte . . . . . . . . . . . . . 3. Kräftefreie Bewegung. . . . . . . 4. Zusammenhang mit der Unschärferelation Lehrbücher zu Kap. XIII und XIV. .

615 617 620 623 626

lnhal ts übersieht

XIX Seite

IV. A bschni tt

Das stationäre (und quasistationäre) elektromagnetische Feld Von F. N oether in Tomsk

P ü n f z eh TI t ('s Kap i tel: Elektrostatik § 1. Form uIierung des mathe m a tischen Pro blems

1. Physikalische Erfahrungen und Vorstellungen. . . 2. Mathematische Feldgleichungen . . § 2. Fundamentalaufgaben; Spiegelung und elektrische Bilder 1. Homogene Grundaufgaben . . . . . . . . . 2. Verteilung der Elektrizität auf einem Ellipsoid . 3. Inhomogene Grundaufgaben . . . 4. Spiegelung und elektrische Bilder § 3. Elektrostatisches Gleichgewicht auf zwei geladenen Kugeln 1. Aufgabe und Prinzip der Lösung 2. Durchführung der Lösung. . . . 3. Kapazitätskoeffizienten . . . . . Zylindrische Felder. Darstellung durch Funktionen komplexer Veränderlicher 1. Logarithmisches Potential, koaxiale Kreiszylinder . . . . . 2. Spiegelung, exzentrische Kreiszylinder . . . . . . . . . . 3. Felddarstellung durch Funktionen von komplexen Variablen S5. Das Feld prismatischer Leiter 1. Anwendung des Schwarzsehen Verfahrens. . . . . . . . 2. Zwei unendliche prismatische Leiter . . . . . . . . . . . 3. Feld zwischen zwei Leitern von endlicher Querschnittsausdehnung § 6 1 ) . Anwendung der Elektrostatik auf die Theorie der Glühkathodenröhre 1. Problemstellung . . . . . . 2. Berechnung des Durchgriffs . 3. Die Raumladung. . . .

627 630 632 634 636 638 642 643 648

§ 4.

649 651 655 658 662 667

674 675 678

Sec h z eh nt e s K a pi t H 1: Stationäre elektrische Strömungen § 1. Aufstellung der Feldgleichungen und einfache Aufgaben

1. Die physikalischen Gesetze . . . . . . . . . . . . 2. Einfache Aufgaben übel' stationäre Strömungsfelder . § 2. Stromübertritt zwischen Erde und metallischen Leitungen 1. Randwertaufgabe und Integralgleichung . . . . . . 2. Direkter Ansatz einer Integralgleichung . . . . . . . . . . . . 3. Auflösung der Integralgleichung für die Stromaufnahme . . . . . 4. Auflösung der Integrodifferentialgleichung für den Stromaustritt § 3. :FI üssigkei tsschich t mi t metallischer Begrenz ung. No bilische Farbenringe 1. Die Riemannsche Aufgabe. . . 2. Berücksichtigung der Polarisation 3. Homogene Hilfsaufgabe . . . . . 4. Allgemeine Lösung der inhomogenen Aufgabe. 5. Lösung für den Strömungsfall. . . . . . . .

1) Von R. Fürth in Prag.

683 686 687 689 692 696

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Sie b z e h n t es Ka pi tel: Magnetostatik § 1. Erzeugung magnetischer Felder 1. Die magnetischen Grundgesetze . . . . . . . . 2. Permanenter Magnet und magnetisches Moment 3. Stationäres elektromagnetisches Feld. . .

§ 2. Paramagnetische Körper im Magnetfeld 1. Die allgemeine Randwertaufgabe 2. Kugel im Parallelfeld . . . . . . 3. Ellipsoid im Parallelfeld § 3. Kräfte auf materielle Körper im elektrischen oder magnetischen Felde 1. Die Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . 2. Hilfssa tz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Energie eines dielektrischen Körpers im elektrischen Felde 4. Energie eines para- oder diamagnetischen Körpers im Magnetfeld 5. Anwendung auf das Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . .

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724 725 726 727 729

Achtzehntes Kapitel: Quasistationäre Ströme und Wellen § 1.

§ 2.

§ 3.

Quasistationäre Stromkreise 1. Magnetische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Mechanische Auffassung des Systems. Faradays Induktionsgesetz 3. Schwingungen von Stromkreisen. Wechselstromwiderstand . Quasistationäre Wellen in Leitern 1. Die Wellengleichungen . . . . . . . 2. Stehende Wellen. Freie Schwingungen 3. Erzwungene Schwingungen . . . . . 4. Fortschreitende Wellen beliebiger Gestalt. Quasistationäre Wellen in Spulen 1. Die Wellengleichungen . . . . . . 2. Harmonische Wellen . . . . . . . 3. Zusammensetzung zu abgebrochenen Wellen. Lehrbücher zu Kap. XV bis XVIII .

732 735 736 73~

741 743 745 749 751 752 755

V. Abschnitt

Elektromagnetische Schwingungen Von A. Sommerfeld in München

Neu n zeh nt e s Kap i tel: Allgemeine Sätze und Integrationsmethoden § 1.

§ 2.

Grundgleich ungen und Eindeu tigkei t der Lösungen 1. Eigentliche M a X weIl sehe Theorie . . . . . . . . . . . . . 2. Energiesatz und Eindeutigkeit der Lösungen . . . . . . . . 3. Zur mathematischen Behandlung von Schwingungszuständen. 4. Elektronentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Invarianz der Maxwellschen Gleichungen gegenüber Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . 767 1. Einführung der elektrodynamischen Potentiale . 768 2. Der Sechservektor des Feldes. . . . . . . . . 770 773 3. Die Gruppe der orthogonalen Transformationen. 775 4. Die spezielle Loren tz - Transformation. . . . .

Inhaltsübersicht

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§ 3.

Retardierte .Potentiale und Feld einer beschleunigten Ladung 1. Darstellung des Viererpotentials (/J. . . . . . . . . . . . . . . 2. Retardierte Potentiale und Li e n a.r d- Wiechertsche Näherung 3. Das Feld einer beliebig bewegten Ladung . . . . . . . § 4. Hertzscher Vektor, Ausstrahlung eines schwingenden Dipols 1. Direkte Behandlung des elektrischen Dipols 2. Das Feld einer harmonischen, linearen Schwingung 3. Ausgestrahlte Energie . . . . . . . . . . . . . 4. Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . 5. Berechnung der optischen Intensität aus dem Hertzschen Vektor § 5. Ausstrahlungs bedingung, Eigenfunktionen und Eigen werte

780 783 786 7ioi9 790 792 795 798 801 803

Zwanzigs tes Ra pi t 81: Theorie der Beugung § 1. Verzweigte Lösungen der Schwingungsgleichung . 1. Formulierung des mathematischen Problems . . . . . 2. Die Idee der Riemannschen Räume . . . . . . . . 3. Die auf einer Riemannschen Fläche eindeutige Funktion der ebenen Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Lösungen für den Riemannschen Raum . . . . . . 5. Anwendungen und Erweiterungen . . . . . . . . . . § 2. Konvergente und se mikon vergen te En twickl ungen der verzweigten Lösungen 1. Vorbereitendes über Besselsche Funktionen 2. Konvergente Darstellung der verzweigten Funktion der ebenen Welle durch Reihen mit Besselschen Funktionen 3. Asymptotische Darstellung der verzweigten Funktion der ebenen Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Der Sonderfall n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Vergleich mit der klassischen Beugungstheorie (FresnelKirchhoff) 1. Greenscher Satz und Greensche Funktion 2. H uygenssches Prinzip. . . . . . . . . . 3. Rechteckige Öffnung, Spalt und Halbebene . 4. Verhältnis von geometrischer und Wellenoptik § 4. Beugung an Kugeln und anderen Körpern, Methode der Reihenen twickl ung 1. Partikularlösungen . . . . . 2. Additionstheoreme . . . . . 3. Beugung an einem Zylinder. 4. Beugung an der Kugel, kolloidale Teilchen.

808 809 811 816 821 826

830 838 841 847

853 855 857 859

863 867 869 871

Ein un dzwanzigs tes Ra pi tel: Wechselstromwiderstand und Skineffekt 875 § 1. Verteilung an einer leitenden Ebene 1. Symmetrie des Problems und strenge Integration. 2. Diskussion des Feldes . . . . . . . 3. Wechselstromwiderstand § 2. Draht von kreisförmigem Querschnitt bei niederen hohen Frequenzen 1. Das Wechselfeld von Kreissymmetrie . . . 2. Diskussion des Feldes . . . . . . . . . 3. Widerstand und Selbstinduktion des Drahtes.

876 879 883 und 887 890 892

XXII

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§ 3. Die Wechselstrom führende Spule

895 899 900 903

1. Vereinfachung und Symmetrie des Problems 2. Diskussion des Feldes . . . . . . . . . . 3. Widerstand und Selbstinduktion der Spule. Lehrbücher zu Kap. XIX, XX und XXI

Zwei undzwanzigstes Ra p i tel: Drahtwellen

903

§ 1. Fe I dun d F 0 I' t P fl a n z u n g von D I' a h t w e 11 e n . . . . . 1. Oberflächenbedingungen und transzendente Gleichung.

904 905

2. Numerisches Beispiel eines typischen Falles. Berechnung von Fortpflanzung und Dämpfung 3. Sehr dünner Draht. Abnormer Fall von Fortpflanzung und Dämpfung 4. Der Energiefluß im Unendlichen. 5. Struktur des Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Erweiterungen 1. Nebenwellen von elektrischem oder magnetischem Typus. symmetrische Wellen . . . . . . . . . . . . . . 2. Drahtwellen am Nichtleiter. . . . . . . . . . . 3. Probleme mit metallischer Rückleitung des Stromes.

Un-

Dr ei un d awan z i gs tos Ra pi tel: Drahtlose Telegraphie

912 914 917

918

Vertikalantenne auf der ebenen Erde Primäre und sekundäre Erregung . Umformung der primären Erregung Erfüllung der Grenzbedingungen . . Andere Formen der Lösung. . . . Qualitative Diskussion der Lösung. Quantitative Formeln für z = 0, numerische Entfernung Verallgemeinerung für den Fall z > 0

919 920 921 924 926 928 933 936

§ 2. Horizontalantenne und Rahmenantenne 1. Die magnetische Vertikalantenne . . . . . 2. Die elektrische Horizontalantenne . . . . 3. Die magnetische Horizontalantenne (Rahmenantenne von vertikaler Ebene) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

941 942 943

§ 1.

Die 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

907 908 910 911

949

§ 3. Das Reziprozitätstheorem der drahtlosen Telegraphie

1. Allgemeine Grundlegung nach H. A. Lorentz. . . . . . . 953 2. Zwei elektrische Linearantennen. . . . . . . . . . . . . 956 3. Zwei magnetische Antennen oder eine elektrische und eine magnetische Antenne . . . . . . . . . . . . . 960

§ 4. Drahtlose Telegraphie um die Erde 1. Homogene Atmosphäre, allgemeiue Formulierung des Problems 2. Übergang von der Reihen- zur Integraldarstellung . . . . . 3. Numerische Diskussion und Ergänzungen. . . . . . . . . . 4. Vergleich mit der Erfahrung, Heavisideschicht (richtiger Kene11yHea visideschicht). . . . . Lehrbücher zu Kap. XXII und XXIII

963 964 967 973 976 977

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XXIII Seite

VI. Absehnitt

Wellenmechanik Von G. Beck in Kansas (USA)

Vi erundzwanzigstes Kapi tel: Die Schrödingergleichung

§l.

Über die der Schrödingergleichung zugrunde liegende FragesteIl ung 1. Die Wahrsc heinlichkeitsfunktion 2. Der Erhaltungssatz . . . . . . 3. Problemstellung. . . . . . . . § 2. Beziehungen zur klassischen Mechanik 1. Übergang zur Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung. 2. Die de Broglie-Wellen . . . 3. Wellenpaket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Bewegung eines Wellenpakets. . § 3. Näherungsweise Integration im eindimensionalen Fall 1. Der Wentzel-Brillouinsche Satz . 2. Beispiel: Durchgang durch eine Potentialschwelle 3. Beispiel: Der radioaktive (X-Zerfall . . . . . . .

978 979 980 980 981 983 984 986 988 990

Fünfundzwanzigstes Ra pi tel: Eigenwertprobleme Quan tel ung als Eigenwertpro blem 1. Erfüllung der Randbedingungen 2. Beispiel . . . . . . . . . . . . . 3. Die Orthogonalitätsrelationen. . . . 4. Die Entwicklung nach Eigenfunktionen 5. Variationsprinzip . . . . . . . . . . § 2. Matrizenmechanik 1. Unitäre Transformationen 2. Operatoren und Matrizen 3. Die Hauptachsentransformation . 4. Der Energieoperator. . . . 5. Die Vertauschungsrelationen . 6. Der Summensatz . . . . . . 7. Die Unbestimmtheitsrelationen

§1.

992 994 995 996 998 1000 1000 1002 1003 1004 1005 100ti

Sechsundzwanzigstes Kapitel: Die wichtigsten Lösungstypen der

Schrödingergleichung . . . . . . . . . . 1008 §1. Rotator und Drehimpuls 1. Der raumfeste Rotator 2. Der frei drehbare Rotator 3. Drehimpulsmatrizen . . . § 2. Der harmonische Oszillator 1. Die Hermiteschen Polynome 2. Die Polynommethode . 3. Die Koordinatenmatrix . . Elektron im Zentralfeld 1. Die Schrödingergleichung in Polarkoordinaten . 2. Symmetrieentartung . 3. Kräftefreier Fall . .

1009 lOll 1013 1015 lOH)

1017 1018 1018 1019

XXIV

Inhaltsüber sieht Seite

~

4. Elektron im Coulombfeld 1. Das diskrete Eigenwertspektrum 2. Die Laguerreschen Polynome. 3. Die Wasserstoffterme 4. Die allgemeine Lösung. . . . . . 5. Die F-Funktion 6. Normierung der Eigenfunktionen

§ 5.

Axialsymm etrische Lösungen 1. Die Schrödingergleichung in parabolischen Koordinaten 2. Das Zweizentrenproblem . . . . . . . . . .

1021 1022 1023 1023 1024 1026 1029 1030

§ 6. Streu ung einer ebenen Welle 1. Zerlegung der ebenen Welle ..... 2. Die Streuwelle . . . . . . . . . . . . 3. Beispiel: Streuung an kleinem Hindernis 4. Beispiel: Das Ru t he rf 0 r d sehe Streugesetz 5. Beispiel: Die anomale ex-Streuung. .

1032 1033 1036 1037 1040

§ 7. Elektron im periodischen Kraftfeld 1. Das Eigenwertspektrum . . 2. Gestalt der Eigenfunktionen . .

1041 1043

Si« b en undzwanzigs t es Ka pi tel: Störungstheorie und Mehrkörper-

problem §1. Die 1. 2. 3. 4. 5. 6.

1044 Störungsrechnung . 1045 Eigenwertstörung . . . Entwicklung der gestörten Eigenfunktionen 1046 Die Säkulargleichung . . . . . . . . . . 1047 Zeitabhängige Störungen. Methode der Variation der Konstanten 1048 Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld. 1050 Beispiel: Dispersionstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053

§ 2. Das Me hrkörperpro blem 1. Die Schrödingergleichung 2. Beispiel: Mitbewegung des Kerns. 3. Stoßprozesse, Bornsche Näherung 4. Entartung bei gleichen Teilchen 5. Bose - und Fermistatistik . 6. Die Hartreesche Methode . .

1057 1058 1059 1062 1064 1065

Achtundzwanzigstes Kapitel: Die relativistische Wellengleichung § 1. Die 1. 2. 3. 4.

Diracschen Gleichungen Der lineare, relativistische Energieoperator Übergang zur Wellengleichung Das Eigenwertspektrum . . . . . . . . Der Spin .

§ 2. Lösungen der Diracschen Gleichungen 1. Elektron im ZentralfeId . . . . . . 2. Drehimpuls und Symmetrieentartung 3. Kräftefreie Bewegung . . . . 4. Elektron im Coulom bfeld . . 5. Das diskrete Energiespektrum

1068 1070 1073 1075 1079 1080 1083 1086 1090

IX, § 2

331

Orthogonalität der Eigenfunktionen

deren Kern K (x, ~) = K (~, x) symmetrisch ist. Nach den allgemeinen Sätzen (s. 1. Bd., XII, § 3) ist diese Integralgleichung nicht für beliebige v2 -Wert e lösbar, sondern nur dann, wenn p 2 mit einem der Eigenwerte des Kernes K (x, ~) übereinstimmt. Die Saite kann also nicht mit einer beliebigen Schwingungszahl periodische Schwingungen ausführen, sondern die möglichen Schwingungszahlen bilden als Quadratwurzeln der Eigenwerte eine diskrete, sich im Endlichen nirgends häufende Folge, die wir nach wachsender Größe geordnet mit Pl' P 2, "s usw. bezeichnen. Die zugehörigen Eigenfunktionen der symmetrisierten Integralgleichung 'fJJl (x), 'fJJ2 (x) usw. und die Funktionen CPh (x) = 'fJJh (x)/V fl (x), welche uns die Amplituden angeben, mit denen die Punkte der Saite sich bewegen, sind nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt, über den wir so verfügen, daß 1

1

f 'fJJ~ (x)dx = Jfl(x) CP~ (x)dx o

(16)

= 1

0

wird. Zwei Eigenfunktionen, welche zu verschiedenen Eigenwerten (Schwingungszahlen) gehören, sind zueinander orthogonal, d. h. es ist für h =1= k: 1

j 'fJJh (x) 'fJJk (x) d x

(17)

1

f fl (x) CPh (x) CPk (z) d x =

=

o

o.

0

Gehören zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen 'fJJ', 'fJJ" usw., so ist auch jede mit konstanten Koeffizienten gebildete lineare Verbindung c' 'fJJ' eil 'fJJ" eine Eigenfunktion für diesen Eigenwert, und man kann die c stets so bestimmen, daß die Orthogonalitätsbedingungen (17) und die Normierung (16) auch in diesem Falle gelten.

+

+ ...

2. Potentielle und kinetische Energie. Belasten wir eine Saite durch eine Belastung von q kg/cm, so wird von diesen Lasten während der Durchbiegung eine Arbeit geleistet, die als "potentielle Energie der Deformation" in der Saite aufgespeichert ist und bei der Entlastung wieder frei wird, bzw. bei den Schwingungen sich in kinetische Energie umsetzt. Um sie zu berechnen, denken wir uns die Belastung q (~) und bq vermehrt, hierbei vergrößern sich die Durchbiegungen der Saite um 1

b v (x)

=

f V (x, ~) b q (~) d ~, o

und es wird eine Arbeit 1

(18)

bA

=

f q-(x) ~ v (x) d x = o

1 1

j j V (x, ~) q (x) ~ q (~) d x d ~ 0 0

IX, § 3

Klangfiguren

bzw.

IXm 2

347

+ ßn2 = IXm'2 + ßn'2,

wo m, n und m', n' die zu verschiedenen Gliedern der Summe gehörenden Werte sind. Da jedes Glied der Summe mit einem beliebigen Faktor 0 multipliziert ist, so ist in der GI. (28) eine große Menge von möglichen Gestalten der Knotenlinien, oder wie man auch sagt, von "Klangfiguren" enthalten, deren Diskussion aber nicht ganz einfach ist. Fig.21

o o ,u=-l

,u = _1/5

,u = - 1 / 2

,u

=

,u

== 1

,u = _1/ 3

0

Als Beispiel geben wir einige Figuren für ein Quadrat von der Seitenlänge a = b = n. Für jt2 = 10 bzw. v2 = 10 c2 erhalten wir die beiden Lösungen sin vt sin x sin 3 y und sin vt sin 3 x sin y.

XIV, § 2

Diffusion von Elektrolyten

608

wicklungssatz im 1. Bd., VII, § 4 läßt sich diese Entwicklung in der Tat durchführen, und die nach Art der Berechnung der Fourierkoeffizienten durchführbare Berechnung der Koeffizienten der Entwicklung liefert

rA

(50)

_ coHv

j'1A. =

D 32 c.

1

1-e~:'

D' ",' HV (H'v2 + ~ ",'n'D')' [