Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik - Band I - Erster/Mathematischer Teil [I, 2 ed.]

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V orwort zur ersten Auflage Als Heinrich Weber wenige Jahre vor seinem Tode die fünfte Auflage (die zweite von ihm herausgegebene) des "Riemann-Weber" vorbereitete, erschien ihm schon eine durchgreifende Neubearbeitung des ganzen Werkes als wünschenswert. Er wandte sich mit der Einladung zur Mitarbeit an verschiedene jüngere Kollegen, vor allem an J osef Wellstein und an seinen Sohn Rudolf Weber (die ihm leider beide bald im Tode nachgefolgt sind) und auch an den Unterzeichneten. Doch erwies sich damals die zur Verfügung stehende Zeit als zu kurz und so kam 1910 die gegenüber der vierten nur wenig veränderte fünfte Auflage heraus, der später noch ein ganz unveränderter Abdruck als sechste Auflage gefolgt ist. Inzwischen hat sich der Stoff, der behandelt werden muß, wenn man dem Physiker eine einigermaßen ausreichende Grundlage für die mathematische Durchdringung seiner Probleme darbieten will, so sehr erweitert, daß eine vollständige Neugliederung des Ganzen und eine bis ins Einzelne gehende Nenbearbeitung aller Teile unabweisbar erschien. Man wird vielleicht bezweifeln, ob die neuen Herausgeber berechtigt waren, dem völlig veränderten Werke den Titel des alten voranzustellen, und gewiß mag auch der Umstand, daß Heinrich Weber in seinen letzten Lebensjahren verschiedene Abschnitte (so die Theorie der Integralgleichungen, die Prinzipien der analytischen Mechanik) gemeinsam mit dem Unterzeichneten (und mit P. Epstein, A. Speiser und J. Wellstein) in Straßburger Seminarübungen behandelte, keinen genügenden "Kontinuitätsbeweis" bilden. Allein wir wollten mit dem Zusatz auf dem Titelblatt nicht unsere Verantwortung einschränken, sondern vor allem einer Pflicht der Pietät genügen und, was an uns gelegen ist, dazu beitragen, die verehrungswürdigen Namen Riemanns und Webers in der jüngeren Physikergeneration lebendig zu erhalten. Die auffallendste Veränderung, die wir vorgenommen haben und die einer Rechtfertigung bedarf, ist die Trennung in einen "mathematischen" Teil (1. Band) und einen "physikalischen" (2. Band). Gewiß bildete in der alten Ausgabe die stete Abwechslung zwischen Kapiteln rein mathematischen Inhalts und solchen, die von physikalischen Fragestellungen ausgingen, einen besonderen Reiz. Aber diesen Grundsatz aufrechtzuerhalten, wäre bei den vielfachen Ver-

Vorwort

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Vorwort zur zweiten Auflage Die neue Auflage zeigt das Buch in wesentlich der gleichen Gestalt wie die letzte. Doch wurde das ganze Manuskript noch einmal sorgfältig durchgearbeitet, von allen Mängeln, die uns bekannt geworden waren, befreit und verschiedentlich ergänzt. Einige größere Zusätze seien hier besonders hervorgehoben. Zum zweiten Kapitel steuerte Philipp Frank einen kurzen Abriß der Theorie der Gruppen linearer Transformationen bei. Im dritten Kapitel wurden die elliptischen Integrale und Funktionen in erweiterter Form dargestellt. In das zwölfte Kapitel wurde ein von G. Sc h u lz herrührender Abschnitt übel' singuläre Integralgleichungen aufgenommen. Die stärksten Veränderungen weist der letzte Hauptteil des Buches auf, der den partiellen Differentialgleichungen gewidmet ist. Das fünfzehnte Kapitel, das die Anfangswertprobleme behandelt, ist hauptsächlich von R. I gl i s c h ganz neu bearbeitet worden. Im siebzehnten ist ein Abschnitt über das Kondensatorproblem hinzugekommen. Das Randwertproblem der elliptischen Differentialgleichungen im achtzehnten Kapitel hat eine neue Darstellung erhalten, für die Behandlung der hyperbolischen Gleichungen ist jetzt auch die Heaviside-Methode herangezogen worden. Auch das neunzehnte Kapitel wurde mehrfach erweitert. Für die Redaktionsarbeit habe ich in Dr. R. Iglisch einen überaus gewandten, sachverständigen und zuverlässigen Helfer gefunden, der die mühevolle Aufgabe, die Einzelbeiträge dem Gesamtziel des Buches anzupassen, fast selbständig durchgeführt hat. Ihm, wie allen Mitarbeitern, auch an dieser Stelle den Dank auszusprechen, ist mir eine angenehme Pflicht. Berlin, Juli 1930 R. v. Mises

Inhaltsübersicht 1. Abschnitt

Allgemeine Hilfsmittel Erstes Ra pi tel: Reelle Funktionen Von G. Sze gö in Königsberg Seite

Vorwort zur ersten Auflage Vorwort zur zweiten Auflage §1. Grundbegriffe 1. Stetige Funktionen. . . 2. Funktionen von beschränkter Schwankung. 3. Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . 4. Hauptsätze der Differentialrechnung 5. Mehrere Variable. Maximum und Minimum

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Rektifizierbare Kurven

§ 2. In te gral re chn ung 1. Definition und Existenz des Riemannschen Integrals 2. Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . 3. Methoden und Hauptformeln der Integralrechnung . .

1 3 4 5 8 10 13 15

§3. Mehrere Variable 1. Mehrfache Integrale . . . . . . . . . . 2. Transformation von mehrfachen Integralen 3. Kurvenintegrale . . 4. Oberflächenintegral . . . . . . . . . . . § 4. Be s tim m tel n t e g r ale 1. Integrale, die von einem Parameter abhängen 2. Beispiele . . . . . . . . . • . 3. Eu I e r sche Summenformel. . . .

20 21 24 26 27 30 34

§5. Vertiefung des Integralbegriffs 1. Das Stieltjessche Integral. . . . . . . . 2. Das Lebe s gu esche Integral . . . . . 3. Anwendungen des Le besgueschen Integrals Einige Lehrbücher der Differential- und Integralrechnung.

36 39 41 43

Zweites Kapitel: Lineare Gebilde Von Ph. Frank in Prag und R. v. Mises in Berlin 1) § 1. Auflösung linearer Gleichungen 1. Allgemeine Form der Lösung 2. Determinanten. . . . . . . . .

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1) Die §§ 1 bis 4 stammen von R. v. Mises, § 5 von Ph. Frank. II

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Inhaltsübersicht Seite

3. Cramersche Auflösungsformel . . 4. Lineare Formen oder Vektorgebilde 5. Beliebige lineare Gleichungen § 2. Das 1. 2. 3. 4. 5.

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Hauptachsenproblem Orthogonalität und Koordinatentransformation Quadratische Form und lineare Transformation Die Säkulargleichung . . . Anwendungen. . . . . . . . . . . . Paare quadratischer Formen . . . . . § 3. Vektoranalysis in drei Dimensionen 1. Die einfachsten Beziehungen 2. Differentiation von Vektoren 3. Integration. . . . . . . . 4. Krummlinige Koordinaten

71 74 78 82

§ 4. Tensoranalysis in drei Dimensionen 1. Definitionen und Grundeigenschaften 2. Dyadische Produkte von Vektoren. . 3. Transformation und Invarianten des Tensors 4. Weitere Formeln und Verallgemeinerungen .

86 90 93 97

§ 5. Lineare Transformationen 1. Die Gruppe aller linearen Transformationen . . . . . . . . . • 2. Äquivalente Matrizen. Kogrediente und kontragrediente Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Unitäre Transformationen und He rm it e sehe Operatoren . . . . . 4. Eigenwertdarstellung der Her mit e sehen und unitären Operatoren 5. Infinitesimale Transformationen einer Gruppe. Lehrbücher . . . . . . . . . . . . . .

55 59 61 65 68

103 108 110 112 116 119

Drittes Kapitel: Komplexe Veränderliche Von K. Löwner in Prag § 1. "Grundbegriffe 1. Rechenregelu , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Folgen und Reihen von komplexen Zahlen. Die elementaren Transzendenten eZ , cos z, sin z und ihre Umkehrfunktionen . 3. Differenzierbarkeit und konforme Abbildung 4. Winkeltreue der Abbildung. . . .

121 126 129

§2. Beispiele konformer Abbildungen 1. Die linearen Transformationen 2. Kreisverwandtschaft . . . . . . . 3. Die Abbildung 10 = zm (m positiv)

132 135 137

4. Die Abbildung

5. 6. § 3. Der 1. 2. 3. 4.

10

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~

(z + ~) . .

Die Abbildung 10 ez • . . • • Die Abbildung z =