Lehrgang der Höheren Mathematik - Teil V [V, 11 ed.] 3326006675

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Titel der Originalausgabe

B. M. CMMpHOB Hypc BbICllleil MaTeMaTioIKIl. «H3MaTrH3),

TOM

5

Mocsna 1959

Die Ausgabe in deutscher Sprache besorgten: Renate Helle und Brigitte Mai

ISBN 3·326·00667·5 ISSN 0073-2842

Verlagslektoren : Erika Arndt, Brigitte Mai Verlagshersteller: Norrna Braun Umschlaggestaltung: Hartwig Hoeftmann © der deutschsprachigen Ausgabe: 1962 Deutscher Verlag der Wissenschaf't.en, 0 - 1080 Berlin, Postfach 1216 Lizenz-NI'. 206 Prin ted in Germany Gesamtherstellung : Druckerei )G. W. Leibrriz« GmbH, 0 - 4450 Gräfenhainichen LSV 1034 Bestelln ummer : 5694245

Aus dem Vorwort zur russischen Ausgabe

In der modernen mathematischen Physik sind die Funktionen einer reellen Veränderlichen, verschiedene Funktionenräume und die allgemeine Theorie der Operatoren von großer Bedeutung. Diesen Fragen ist im wesentlichen das vorliegende Buch gewidmet, das aus der im Jahre 1947 erschienenen ersten Auflage entstanden ist. Die Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen in diesem Buch umfaßt die Theorie des klassischen Stieltjesschen Integrals, des Lebesgue-Stieltjesschen Integrals und die Theorie der volladditiven Mengenfunktionen. Im ersten Kapitel ist die Theorie des klassischen Stieltjesschen Integrals dargelegt. Ferner wird eine allgemeinere Definition des Stieltjesschen Integrals über ein Intervall beliebiger Art angegeben; diese Definition basiert auf der Übereinstimmung des entsprechenden oberen und unteren Darbouxschen Integrals bei der Zerlegung des Grundintervalls in beliebige Teilintervalle. Als Beispiel für das klassische Stieltjessche Integral werden die Fourier-Stieltjesschen und die Cauchy-Stieltjessehen Integrale betrachtet und für diese Integrale Umkehrformeln aufgestellt. Auch wird das Stieltjessche Integral für den Fall einer Ebene definiert. Wir studieren ferner den Ra um C de-r stetigen Funktionen und geben die allgemeine Form der linearen Funktionale auf diesem Raum an. Das zweite Kapitel enthält Grundzüge der metrischen Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen und die Grundlagen des Lebesgue-Stieltjesschen Integrals. Die ganze Theorie wird am Fall der Ebene erklärt, und es wird gezeigt, wie diese Theorie auf den n-dimensionalen euklidischen Raum übertragen werden kann. Die Maßtheorie wird für eine beliebige, nichtnegative, additive und normale Funktion aufgebaut, die auf halboffenen zweidimensionalen Intervallen gegeben ist. Das Lebesgue-Stieltjessehe Integral einer beschränkten Funktion wird definiert mit Hilfe der übereinstimmung des oberen und des unteren Darbouxschen Integrals bei Zerlegung der zugrunde gelegten meßbaren Menge in meßbare Teilmengen. Am Schluß des zweiten Kapitels wird ausführlich auf den Prozeß der Mit.telung von Funktionen und auf die Eigenschaften der Mittelfunktionen unter gewissen Forderungen für den Mittelungskern eingegangen. Dieser Prozeß wird im weiteren Verlauf der Ausführungen oft benutzt. Im dritten Kapitel werden die volladditiven Mengenfunktionen behandelt. Nach dem Beweis der ersten Sätze dieser Theorie wird (zunächst ohne Beweis) ein Satz angegeben, der die Zerlegung einer volladditiven Mengenfunktion in einen singulären und in einen absolut stetigen Summanden betrifft, und die mit dieser Zerle-

gung verknüpften grundlegenden Tatsachen werden erläutert. Der Fall einer unabhängigen Veränderlichen wird eingehend untersucht. Im allgemeinen Fall betrachten wir eine absolut stetige Mengenfunktion und geben eine Formel für die Variablensubstitution im mehrdimensionalen Lebesgue-Stieltjesschen Integral an. Am "Schluß des dritten Kapitels wird dann der Satz über die Zerlegung einer volladdi-

Illhalt

I. Das Stieltjes8che Integral 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

11.

Mengen und ihre Mächtigkeit . . . . . . . . . . . . Das Stieltjessche Integral und seine Haupteigenschaften . Darbouxsche Summen . Das Stieltjessche Integral einer stetigen Funktion Das uneigentliche Stieltjessche Integral Die Sprungfunktion . . . . . . . . Physikalische Interpretation Funktionen von' beschränkter Variation Integrierbare Funktionen von beschränkter Variation Existenz des St.ielt.jesschen Integrals . . . . . Grenzübergang unter dem Stieltjesschen Integral Satz von HELLY . Das Auswahlprinzip . . . . . . . . . . Der Raum der stetigen Funktionen Die allgemeine Form der Funktionale in C Lineare Operatoren in C. . . . . . Intervallfunktionen . Das allgemeine Stieltjessche Integral . . . Eigenschaften des (allgemeinen) Stieltjesschen Integrals Existenz des allgemeinen Stieltjesschen Integrals Intervallfunktionen in der Ebene Ubergang zur Punktfunktion . . . . . . . . . Das Stieltjessche Integral in der Ebene . . . . . Funktionen von beschränkter Variation in der Ebene Der Raum der stetigen Funktionen mehrerer Veränderlicher Das Fourier-Stieltjessche Integral Die Umkehrformel . Der Falt.ungssatz . Das Cauchy-Stieltjessche Integral

~Iengenfunktionen

15 17 21 24 27 29 32 33 38 39 40 42 45

46 48

52 53 55 57 60 62 65 67 68 71 71 74 76 78

und das Lebesguesche Integral

§ 1. Mengenfunktionen und Maßtheorie

82

30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

82 85 86 89 92

Mengenoperationen . Punktmengen . . . . . . . . . . Eigenschaften abgeschlossener und offener Mengen Elementarbereiche . Das äußere Maß und. seine Eigenschaften Meßbare Mengen. . . . . . Meßbare Mengen (Fortsetzung) . . . . .

94 101

10

Inhalt 37. 38. 39. 40. 41.

Meßbarkeitskriterien . . . . Mengenkörper . . . . . . . Unabhängigkeit von der Wahl Der Körper B . Der Fall einer Veränderlichen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . des Koordinatensystems . . . . . . . . . . .

§ 2. Meßbare Funktionen. . . . 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Die Definition der meßbaren Funktionen Eigenschaften der meßbaren Funktionen Der Grenzwert meßbarer Funktionen Die Eigenschaft G . Stückweise konstante Funktionen Die Baireschen Klassen . .

102 104 106 107 108 109 109

112 113 117 117 119

§ 3. Das Lebesguesche Integral

120

48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.

120 123 126 129 131 135 136 139 141 144 146 150 152 155 156 160 164 166 168 170 173 176

Das Integral beschränkter Funktionen Eigenschaften des Integrals . . . . . Das Integral von unbeschränkten nichtnegativen Funktionen Eigenschaften des Integrals . . . . Funktionen beliebigen Vorzeichens Komplexe summierbare Funktionen Der Grenzübergang unter dem Integralzeichen Die Klasse L2 . . . . . . . . . Konvergenz im Mittel . . . . . Der Hilbertsche Funktionenraum Orthogonale Funktionensysteme Der Raum 12 • • • • . • • • • Lineare Mannigfaltigkeiten in L2 Beispiele für vollständige Systeme Die Höldersche und die Minkowskische Ungleichung Das Integral über eine Menge unendlichen Maßes Die Klasse ~ auf einer Menge unendlichen Maßes . Integrierbare Funktionen von beschränkter Variation Die Reduktion mehrfacher Integrale Der Fall einer charakteristischen Funktion Der Satz von FUBINI . Das Vertauschen der Reihenfolge der Integration Die Stetigkeit im Mittel Mittelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .

177 179

111. Mengenfunktlonen. Absolute Stetigkeit. Verallgemeinerung des Integralbegriffs 72. Additive Mengenfunktionen . 73. Die singuläre Funktion . . . 74. Der Fall einer Veränderlichen 75. Absolut stetige Mengenfunktionen 76. Beispiel. . . . . . . . . . . . 77. Absolut stetige Funktionen mehrerer Veränderlicher 78. Hilfssätze . . . . . . . 79. Hilfssätze (Fortsetzung) 80. Hauptsatz .

185 188 190 194 199

201 203 207

211

Inhalt

81. Das Hellingersehe Integral. . . . . . . . 82. Der Fall einer Veränderlichen . . . . . . 83. Eigenschaften des Hellingersehen Integrals

11

214 217 220

IV. Metrische und normierte Räume 84. Der metrische Ra.um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. Vervollatändigung eines metrischen Raumes . . . . . 86. Operatoren und Funktionale. Das Prinzip der kontrahierenden Abbildungen . 87. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. Beispiele für die Anwendung des Prinzips der kontrahierenden Abbildungen . 89. Kompaktheit . . . . . . 90. Kompaktheit im Raum C 91. Kompaktheit im Raum L p 92. Kompaktheit im Raum lp . 93. Funktionale auf in sich kompakten Mengen 94. Separabilität. . . . . . . . . . . 95. Lineare normierte Räume 96. Beispiele für normierte Räume 97. Operatoren in normierten Räumen 98. Lineare Funktionale . . . . . . 99. Konjugierte Räume. . . . . . . 100. Schwache Konvergenz von Funktionalen 101. Schwache Konvergenz von Elementen 102. Lineare Funktionale in den Räumen C, L p und l» 103. Schwache Konvergenz in den Räumen C, L p und lp . . 104. Der Raum der linearen Operatoren und die Konvergenz von Operatorenfolgen . 105. Adjungierte Operatoren . . 106. Vollstetige Operatoren 107. Operatorengleichungen . 108. Vollstetige Operatoren in den Räumen C, L p und lp. 109. Verallgemeinerte Ableitungen ..... 110. Verallgemeinerte Ableitungen (Fortsetzung) 111. Sternförmige Gebiete . . . . . . . . . . · R"aume yJ"T(l) w un d W(l) 112. D ie 113. Eigenschaften der Funktionen aus der Klasse W~)(D) . 114. Einbettungssätze 115. Integraloperatoren mit polaren Kernen 116. So bolewsche Integraldarstellungen 117. Einbettungssätze 118. Gebiete allgemeinerer Art 119. Der Raum C(ll(D)

p

p..............

224 226 230 231 234 236 238 238 241 242 243 245 248 248 251 254 257 259 262 268 269 271 271 272 274 277 281 283 284 286 292 295 300 304 306 307

V. Der ffilbertsch,e Raum § 1. Die Theorie der beschränkten Operatoren

317

120. Die Axiome des Raumes . 121. Orthogonalität und Orthogonalsysteme von Elementen 122. Die Projektion . . . . . . . . . . . . • . . . . .

317 319 322

12

Inhalt 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. 145. 146. 147. 148. 149. 150. 151. 152. 153. 154. 155. 156. 157. 158. 1.59. 160. 161.

Lineare Funktionale . . . . . . . . Lineare Operatoren Bilineare und quadratische Funktionale Die Grenzen eines selbstadjungierten Operators Der inverse Operator . . . . . . . . . . . . Das Spektrum eines Operators. . . . . . . . Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators. . Die Resolvente Folgen von Operatoren Schwache Konvergenz Vollstetige Operatoren Die Räume Hund 12 • Lineare Gleichungen mit vollstetigen Operatoren Vollstetige selbstadjungierte Operatoren Unitäre Operatoren Die absolute Norm eines Operators Operatoren über Unterräumen . . Projektionsoperatoren . . . . . . Zerlegung der Einheit. Das Stieltjessche Integral Die Spektralschar eines selbstadjungierten Operators Stetige Funktionen eines selbstadjungierten Operators Eine Formel für die Resolvente. Die Charakterisierung der regulären \Verte von).. . . . . . . . . Eigenwerte und Eigenelemente Das reine Punktspektrum . . . Das einfache kontinuierliche Spektrum Invariante Unterräume . . . . . . . Der allgemeine Fall eines kontinuierlichen Spektrums Das gemischte Spektrum . . . . . . . . . . . . . Differentiallösungen . . . . . . . . . . . . . . . Die Multiplikation mit der unabhängigen Veränderlichen Unitär äquivalente selbstadjungierte Operatoren Die Spektralzerlegung unitärer Operatoren Funktionen eines selbstadjungierten Operators. Vertauschbare Operatoren Störung des Spektrums eines selbstadjungierten Operators Normale Operatoren Hilfssätze Die Potenzreihe eines Operators Die Spektralschar . .

§ 2. Die Räume T2 und L2

162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174.

Lineare Operatoren im Raum 12 Beschränkte Operatoren Unitäre Matrizen und Projektionsmatrizen . Selbstadjungierte Matrizen Das kontinuierliche Spektrum J acebische Matrizen Differentiallösungen Beispiele . . . . . Schwache Konvergenz im Raum 12 Vollstetige Operatoren im Raum 12 Integraloperatoren im Raum L2 Der adjungierte Operator Vollstetige Operatoren

324 326 329 330 332 335 337 341 341 342 344 346 348 352 356 359 361 362 366 371 372 375 377 378 379 384 386 388 389 392 394 395 395 399 400 402 404 407 408 411 411 412 416 417 419 423 425 427 430 430 431 432 434

Inhalt 175. 176. 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183.

Die Spektralschar . . . . . . . . . Die Spektralschar (.Fortsetzung) . . . Unitäre Transformationen im Raum Lz Fouriertransformationen . . . . . . Fouriertransformation und Hermitesche Funktionen Die Operation der Multiplikation Differenzkerne . . . . . . . . . . . Schwache Konvergenz . . . . . . . Andere Realisierungen des Raumes H

§ 3. Nichtbeschränkte Operatoren 184. 185. 186. 187. 188. 189. 190. 191. 192. 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 206. 207. 208. 209. 210. 211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218.

Abgeschlossene Operatoren Der adjungierte Operator . Der Graph eines Operators Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren Beispiele für nichtbeschränkte Operatoren Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators. Das Punktspektrum . . . . . . . . . . . . . Invariante Unterräume und Reduzibilität eines Operators Zerlegung der Einheit. Das Stieltjessches Integral Stetige Funktionen eines aelbstadjungierten Operators Die Resolvente Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . Das gemischte Spektrum Funktionen eines selbstadjungierten Operators Kleine Störungen des Spektrums Der Operator der Multiplikation . . . . . . Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . Erweiterung eines abgeschlossenen symmetrischen Operators Defektindizes . . . . . Der adjungierte Operator . . . . . . . . . . . . . . Maximale Operatoren Erweiterung symmetrischer halbbeschränkter Operatoren Vergleich halbbeschränkter Operatoren . . . Beispiele aus der Theorie der Erweiterungen Das Spektrum eines symmetrischen Operators Einige Sätze über Erweiternngen und ihre Spektren Die Unabhängigkeit der Defektindizes von}, . . Über die Invarianz des kontinuierlichen Teils des Kerns bei symmetrischen Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . Über die Spektren selbstadjungierter Erweiterungen Beispiele . . . . . Unendliche Matrizen . . Jacobische Matrizen Matrizen und Operatoren Unitäre Äquivalenz von C-Matrizen. Die Existenz einer Spektralschar . .

13 435 436 438 440 443 444 446 450 450 451 451 453 455 457 459 468 471 472 475 480 481 483 483 485 487 489 492 495 498 501 503 504 508 510 512 514 516 518 518 519 520 522 526 528 530

Literaturhinweise

534

Namen- und Sachverzeichnis

540

77. Absolut stetige Funktionen mehrerer Veränderlicher

201

nimmt j(x) nicht ab und hat einen Grenzwert, den wir als Wert von j(x) für X=Xo nehmen. Mit anderen Worten, die obige Fortsetzung reduziert sich darauf, daß wir j(xo) als obere Grenze der Werte von j(x) für von links gegen Xo strebende xEHo annehmen. Im Punkt x= 1 liefert diese Definition offenbar den Wert j(l) = 1. Somit ist die in dem ganzen Intervall [0, 1] definierte Funktion nicht abnehmend. Man kann leicht zeigen, daß sie stetig ist. Hätte sie nämlich eine Unstetigkeitsstelle x = x', so würde sich wenigstens eines der Intervalle [f (x' - 0), j(x')] oder [f(x'), j( x' + nicht auf einen Punkt reduzieren und im Innern keine Werte von j(x) enthalten, da j(x) monoton ist. Aber die oben nur für die Menge Ho definierten Werte von j(x) liegen in dem Intervall [0, 1] überall dicht. Aus der angenommenen Unstetigkeit von j(x) ergibt sich also ein Widerspruch. Wir erinnern daran, daß j(x) in jedem der Intervalle (52) einen konstanten Wert hat. Mit Hilfe der nichtfallenden stetigen Funktion j(x) können wir eine volladditive nichtnegative Mengenfunktion tp(~) konstruieren, die jedenfalls auf B-Mengen definiert ist. Nach dem oben Gesagten ist f/J(Ho) =0, und daher ist f/J(~) in jeder B-Menge, die eine Teilmenge von Ho darstellt, gleich 0. Wenn wir das Intervall [0, x] nehmen, so können wir [0, x] =[0, x] Ho+[O, x] F o und folglich j(x) = f/J([O, x]) = f/J([O, x] Ho) + f/J([O, x] F o)

On

schreiben. Der erste Summand ist nach dem oben Gesagten gleich 0, und das Maß von F o ist gleich 0; folglich ist j(x) gleich dem singulären Teil [74]: j(x) = f/J([O, x]Fo) , wobei F o die Rolle von H in Formel (20) und j(x) die von w(x) spielt. Wir untersuchen noch die Menge F o. Die stetige nichtabnehmende Funktion j(x) nimmt a.lle reellen Werte zwischen und 1 an. In jedem der "ausgewischten" Intervalle inklusive ihrer Randpunkte hat j(x) einen konstanten Wert, wobei die Menge dieser Intervalle abzählbar ist. Die Menge aller 'Verte von j(x) ist nicht abzählbar. (Sie hat die Mächtigkeit des Kontinuums.) Somit enthält F o offenbar Punkte, die von den Randpunkten der "ausgewischten" Intervalle verschieden sind. Man kann zeigen, daß F o die Mächtigkeit des Kontinuums hat.

°

77. Absolut stetige Funktionen mehrerer Veränderlicher. Analog wie wir die absolut stetigen Punktfunktionen einer Veränderlichen konstruiert haben [74], führen wir jetzt den Begriff der absolut stetigen Funktion mehrerer Veränderlicher ein. Wir beschränken uns dabei auf Funktionen zweier Veränderlicher. Es sei in dem zweidimensionalen Intervall .10 [a ~x ~b, c ~Y ~d] eine stetige Funktion F(x, y) gegeben. Wir können mit ihrer Hilfe eine Funktion fP(~) der Intervalle konstruieren, die in .10 liegen, und zwar können wir, wenn wir das Intervall ~ durch die Ungleichungen XI:::§;X :::§;X2, Yl ~y :::§;Y2 definieren, wie früher fP(~) =F(x2, Y2) -F(xl, Y2) -F(x2, Yl) +F(Xl' yI)

(53)

setzen, wobei ~ abgeschlossen oder nicht abgeschlossen sein kann, da F(x, y) nach Voraussetzung stetig ist. Wenn wir zu F(x, y) die Summe hex) + /2(y) addieren, wobei der erste Summand nur von X und der zweite nur von y abhängt, wird fP(