Lehrbuch der höheren Mathematik für Universitäten und Technische Hochschulen: Band 1 Vektorrechnung und analytische Geometrie [Reprint 2019 ed.] 9783111627854, 9783111249605

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Lehrbuch der höheren Mathematik für Universitäten und Technische Hochschulen

Bearbeitet nach den Vorlesungen von

Dr. Gerhard Kowalewski o. Professor an der Technischen Hochschule zu Dresden o. Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zn Leipzig

Erster Band

Vektorrechnung und analytische Geometrie

Mit 67 Figuren

W a l t e r de G r u y t e r 8c C o . v o r m a l s G.J. G O s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & C o m p .

Berlin WlO und Leipzig 1933

Alle Hechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen,

vorbehalten

Archiv-Nr. za c6 33 Druck von Waller de Gruyter & Co., Berliu W 1 0

Vorwort. Als ich im Jahre 1928 mein 25jähriges Professorenjubiläum beging, legten mir einige meiner ehemaligen Schüler den Plan zu einem dreibändigen Lehrbuch der höheren Mathematik vor, das sich auf nachgeschriebene Kolleghefte stützen sollte. Dieser Plan ist erst jetzt zur Ausführung gekommen. Ich machte bei der Sichtung des Materials die Beobachtung, daß meine Hörer Fragen, die ich selbst für weniger wichtig hielt, oft mit großer Hingebung viel weiter verfolgt haben. Vielleicht wird gerade hierdurch die Lesbarkeit und Brauchbarkeit des Buches erhöht. Der Vortragende weiß oft nicht genau, nach welcher Richtung die Interessen der Hörer eingestellt sind. Manches hält er für besonders schön und interessant, was die jungen Köpfe geradezu abstößt. Es ist überhaupt kein schlechtes pädagogisches Prinzip, den Lernenden über die Lehrmethoden etwas mitreden zu lassen. D r e s d e n , Weißer Hirsch, 1933. Gerhard

Kowalewski.

Inhaltsübersicht des ersten Bandes. Vektorrechnung and analytische Geometrie. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. §12. § 13. § 14. § 15. §16. § 17. §18. § 19. § 20. § 21. § 22. § 23. § 24. § 25. § 26. § 27. § 28. § 29. § 30. § 31. § 32. § 33.

Definition und Bezeichnung der Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl Addition und Subtraktion der Vektoren Basisdarstellung der Vektoren Homogene Koordinaten für die Punkte einer Ebene und einer Geraden Übergang zu einer neuen Basis Volumprodukt dreier Vektoren Haupteigenschaften der Determinanten Der allgemeine Determinantenbegriff Beispiele und Erläuterungen Einige geometrische Anwendungen Systeme linearer Gleichungen Lineare homogene Gleichungen Anwendung auf die inhomogenen linearen Gleichungssysteme Das innere Produkt zweier Vektoren Das äußere Produkt zweier Vektoren Doppelkreuzprodukte und andere mehrfache Produkte Anwendungen auf die sphärische Trigonometrie Ein Beispiel aus der Statik Analytische Darstellung der Drehungen Koaxiale Quaternionen und gewöhnliche komplexe Zahlen Drehstreckungen Linear gebrochene Transformationen Spiegelungen an Kreisen Spiegelungen an Geraden Grundgebilde erster Stufe und projektive Beziehungen zwischen ihnen. Involutionen in Grundgebilden erster Stufe Die Punktepaare einer Involution in analytischer Darstellung Der Pascalsche Satz Projektivität zwischen Ebenen Projektive Umformung einer Kurve zweiter Ordnung Die Bewegungen als projektive Transformationen Kurven zweiter Ordnung mit Mittelpunkt

Seite

1 2 3 5 8 10 13 17 21 27 36 44 49 54 56 59 63 66 72 79 92 100 104 116 120 131 152 161 166 174 186 198 203

Vektorrechnung und analytische Geometrie. § 1.

Definition und Bezeichnung der Vektoren.

Wenn man im Räume von einem Punkte A geradlinig zu einem Punkte B übergeht, so beschreibt oder durchläuft man die Strecke AB. Sie hat den A n f a n g s p u n k t A und den E n d p u n k t B. In dem Streckensymbol AB steht immer an erster Stelle der Anfangspunkt, an zweiter Stelle der Endpunkt. Der Endpunkt wird in den Figuren gewöhnlich durch eine Pfeilspitze markiert. Zwei Strecken AB und A1B1 heißen ä q u i v a l e n t , wenn man die eine in die andere durch Parallelverschiebung überführen kann, d. h. wenn ABBXA t die Ecken eines Parallelogramms sind, wie man sie beim Durchlaufen ^ des Randes der Reihe nach antrifft (vgl. Fig. 1). Die Äquivalenz der Strecken AB, A1B1 wird | durch die Gleichung AB = A& ausgedrückt. Alle mit einer bestimmten Strecke AB äquivalenten Strecken betrachten wir als Einzelerscheinungen eines Vektors. Jede zu AB äquivalente Strecke gilt als Rep r ä s e n t a n t dieses Vektors. Ein V e k t o r i s t , so könnte man kurz sagen, eine S t r e c k e , der alle P a r a l l e l v e r s c h i e b u n g e n e r l a u b t sind. Es kann vorkommen, daß diese Freiheit eingeengt wird, daß man z. B. nur Verschiebungen auf der Geraden AB erlaubt. Dann spricht man von gebundenen Vektoren. Vektoren werden gewöhnlich durch große oder kleine d e u t s c h e Buchstaben bezeichnet. Wenn man im Räume eine T r a n s l a t i o n (Parallelverschiebung) vornimmt, die den Punkt A in B, den Punkt C in D überführt usw., so sind die Strecken AB, CD,... alle äquivalent. Bei einer Translation beschreiben alle Punkte des Raumes äquivalente Strecken. Es gehört also zu jeder Translation ein Vektor. Die Translationen können wir als anschauliche Korrelate der Vektoren betrachten. Ein Vektor ist, anschaulich gesprochen, eine Translation. K o w a l e v s k I , Höhere Mathematik. I.

1

Vektorrechnung und analytische Geometrie.

2 § 2.

Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.

SC sei ein Vektor und k eine positive oder negative Zahl. Dann soll ftSl einen Vektor bezeichnen, der die | k |-fache Länge *) von 81 hat und die gleiche oder entgegengesetzte Richtung, je nachdem k positiv oder negativ ist. So entsteht der Vektor 391, indem man 91, ohne die Richtung zu ändern, auf die dreifache Länge bringt, -j 91 hat dieselbe Richtung wie 91, aber nur den dritten Teil der Länge. (— 5)91 wäre ein Vektor von derselben Länge wie 591, aber von entgegengesetzter Richtung. Ist also AB ein Repräsentant von 591, so wird BA den Vektor (— 5)91 darstellen. (— 1)91, wofür man auch kurz — 91 schreibt, ist der Vektor BA. Wenn man den Vektor 91 zuerst mit und dann mit kt multipliziert, so kommt dasselbe Ergebnis heraus wie bei direkter Multiplikation mit A^ftg. Die Länge von 91 wird zuerst mit | kt \ und dann noch mit | k2 | multipliziert, also im ganzen mit | kt | | kt | oder | |. Wenn kt und k2 beide positiv sind, bleibt beidemal die Richtung des Vektors erhalten. Ist einer der beiden Faktoren negativ, so tritt einmal eine Umkehrung der Richtung ein, ebenso wie bei direkter Multiplikation mit der negativen Zahl Äxft2. Sind endlich kx und k2 beide negativ, so erfolgt beidemal eine Umkehrung der Richtung, d. h. die Richtung ist schließlich dieselbe geblieben, ebenso wie bei direkter Multiplikation mit der positiven Zahl kxkt. Man kann dieses einfache Rechnungsgesetz durch die Formel (I) *.(*!«) = eh) ist. Die Determinante lautet also nach Vertauschung der p-ten mit der y-ten Zeile 1 — ¿'sgn (eJ, q'2, . . ß ' n ) sgn (ffi, 0n—i, N) = sgn (Q u Q2, . . g „ _ x ) , und die Summe (2) läßt sich in der Form schreiben (2*)

sgntej, g 2 , . .

q , ^ ) a l e i a2Q2 . . . a n _ l t

Pn

l

oder an

.

.

. «,,

n

_ j

• • • "n—1,«—1 Der Faktor, mit dem ann in der n-reihigen Determinante ön-l,l

«11

• «1, n—1 «In

«n-1.1 • • «»—\,nlf'n-l,n «nl • an, ii—l °nn auftritt, ist also die (n — 1 )-reihige Determinante «11

•••«l.n-l

c n - l , l • • • ön—1, n—1 Man nennt sie die zu ann gehörige U n t e r d e t e r m i n a n t e oder den zu ann gehörigen Minor. Richtiger sollte man die Minor sagen (determinans minor = die kleinere Determinante). Wenn man aber determinans nicht als Beiwort zu dem Femininum quantitas, sondern zu dem Masculinum numerus betrachtet, was nicht unberechtigt ist, so rechtfertigt sich die Vermännlichung des Wortes Minor. Die zu ann gehörige Unterdeterminante entsteht aus der «-reihigen Determinante dadurch, daß man Zeile und Spalte des Elements a nn streicht.

Vektorrechnung nnd analytische Geometrie.

24

Nun wollen wir fragen, mit welchem Faktor ein beliebiges Element apj in der entwickelten re-reihigen Determinante auftritt. Wir können diese Frage auf die soeben behandelte zurückführen. Wenn wir der Reihe nach die p-te Zeile mit jeder folgenden Zeile vertauschen, wechselt die Determinante (n — p)-mal ihr Zeichen. Vertauschen wir dann noch die q-tB Spalte mit jeder folgenden Spalte, so tritt ein (n — 9)-maliger Zeichenwechsel ein. Im ganzen hat sich die Determinante mit (— l ) 2 n _ i l _ i , d. h. mit (— l ) p + ? multipliziert. In der neuen Determinante steht nun apJ rechts unten. Der Faktor, mit dem es in der ausgerechneten Determinante multipliziert erscheint, entsteht dadurch, daß man die letzte Zeile und die letzte Spalte streicht. Genau dieselbe (n — l)-reihige Determinante kommt aber heraus, wenn man vor Durchführung der Zeilen- und Spaltenvertauschungen Zeile und Spalte des Elements apJ streicht. Diese (n — l)-reihige Determinante nennt man die zu öpj gehörige U n t e r d e t e r m i n a n t e oder den zu aM gehörigen Minor. Der Faktor von apq in der ursprünglichen Determinante, also in der Summe (1), unterscheidet sich von der Unterdeterminante um (— l ) p + i . Man bezeichnet diesen Faktor als das K o m p l e m e n t oder die A d j u n k t e von apj und gebraucht dafür das Symbol Apq. Da wir zur Auffindung dieses Faktors die p-te Zeile und q-te Spalte, nämlich die Zeile und Spalte von apq, streichen müssen, so baut sich das Komplement Apq nur aus den Elementen auf, die außerhalb der p-ten Zeile und 17-ten Spalte liegen. Wenn wir in der Summe (1) alle Glieder sammeln, die mit apX behaftet sind, so erhalten wir aplApl. Unter ihnen ist keins mit ap2 behaftet, weil die Faktoren eines Determinantengliedes lauter verschiedenen Zeilen und lauter verschiedenen Spalten entstammen. Sammeln wir weiter alle Glieder von (1), die den Faktor ap2 enthalten, so ergibt sich ap2Ap2. Keines der Glieder, die in aplApl und ap2Ap2 vereinigt sind, ist mit ap3 behaftet. Die mit ap3 behafteten Glieder haben wir also noch nicht erfaßt. Wir fassen sie zu ap3Api zusammen. So fahren wir fort, bis wir schließlich zu apnAnp gelangen. Die Gliedergruppen aplApl,..., a^A^ haben keine gemeinsamen Glieder. Da andererseits jedes Determinantenglied einen Faktor aus der p-ten Zeile enthält, weil zu jedem Determinantenglied alle Zeilen (und alle Spalten) je einen Faktor stellen, so haben wir nun alle Determinantenglieder erschöpft. Es ist also, wenn wir die n-reihige Determinante mit A bezeichnen, (3)

A = aplApl

+ ap2Ap2

-\

+ a^A^

.

Man nennt diese Darstellung der Determinante die E n t w i c k e l u n g n a c h den E l e m e n t e n e i n e r Zeile oder kurz nach einer Zeile. Genau ebenso ergibt sich (4)

A = aJtAlt

+ a^A^

H

+

anqAnq,

die E n t w i c k e l u n g n a c h einer S p a l t e . Da A p i, A P 2,..., Ap„ sich aus den Elementen aufbauen, die außerhalb der p-ten Zeile liegen, so zeigt uns Formel (3), wie die Determinante A von den Elementen der p-ten Zeile abhängt. Sie ist, wie man auf Grund der

§ 9. Der allgemeine Determinantenbegriff.

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besonderen Gestalt des Ausdrucks (3) sagt, eine l i n e a r e F o r m oder L i n e a r f o r m dieser Elemente. Eine Linearform in xlf x2, . . . , £ „ ist eben ein Ausdruck von der Gestalt c1®1 + c2x2 + •••-)- cnxn, wobei die Koeffizienten c ganz unabhängig von den Größen x sind. Ebenso kann man auf Grund von (4) sagen, daß die Determinante eine Linearform der Elemente der ^-ten Spalte ist. Aus (3) folgt sofort, daß die Determinante den Faktor k erhält, wenn man apl, ap2,..., a^ durch kapl, kap2,. .ka^ ersetzt, und daß sie verschwindet, wenn in der p-ten Zeile lauter Nullen stehen. Den Satz vom Faktor k könnte man den F a k t o r e n s a t z nennen. Wenn apU ap2i •7 apn Binome sind, also a ri p flpi = «pi + a so zerlegt sich die Summe (3) in A A' = a'plApl + a'Up2-Äp2 p! + ' pn-^pnund A" = aplApl + ap2Ap2 + + a'^nApnOffenbar entsteht A' aus A dadurch, daß man von jenen Binomen nur die ersten Bestandteile beibehält, ebenso A" dadurch, daß man nur die zweiten Bestandteile stehen läßt. Hierbei tritt der Umstand in Wirkung, daß die Komplemente Apl, Ap2,..., A^ nichts aus der p-ten Zeile enthalten. Die Gleichung A = A' +A" drückt den A d d i t i o n s s a t z (oder Zerlegungss a t z ) aus. Dieser Satz überträgt sich sofort auf den Fall, daß die Glieder der p-ten Zeile aus mehr als zwei Summanden bestehen. Ähnliche Folgerungen lassen sich aus der Entwicklung (4) ziehen. Mit Hilfe des Faktorensatzes und des Zerlegungssatzes läßt sich nachweisen, daß für »-reihige Determinanten dieselbe Multiplikationsregel gilt wie für dreireihige. Diese Regel lautet: «1.&-1, «1.6.2, • •.. avb„ «li Hz «1» '11 b12 . • hn a a 21 * 2 2 a2.b. 1, a2.b.2, . . .. a2.b.n 21 b22 . • b2n 2n

+

=

b

a b an.b.2, . • •• an.b.n nl °n2 • • • d„n n. -l, »1 n2 • • hn Dabei ist ae.b.a = atlbla + at2b2„ -j ,t »„„".w,+ v6» Durch mehrfache Anwendung des Zerlegungssatzes erkennt man, daß die aus den ae,b.g aufgebaute Determinante sich in n" Summanden zerlegt. Jeder dieser rtn Summanden kommt dadurch zustande, daß man in der ersten Zeile nur die Bestandteile algi bti2, a i e i b t i 2 , . . a l Q i b t i n beibehält, in der zweiten Zeile nur die Bestandteile a2c,betl, a2eibet2,..a^b^,, schließlich in Ein der n-ten Zeile nur die Bestandteile , ananKn2 > • a«enbw solcher Summand hat also folgendes Aussehen: a

a

2e.6e.i>

a

nanbenl'

- «20A.» a

*?A»2> • *' "nennen*

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Vektorrechnung and analytische Geometrie.

Er reduziert sich mittels des Faktorensatzes auf K i

•Kn •

be.n

°n0n K i

btnZ'

(?i> (?2> •••>£» sind Zahlen aus der Reihe 1, 2 , . . . , n und durchlaufen bei der Summation unabhängig voneinander die Werte 1 , 2 , . . n , wobei gerade n " Summanden herauskommen. Wenn aber in der Reihe glt g2, . . (?n übereinstimmende Werte stehen, gibt es in der ¿»-Determinante übereinstimmende Zeilen, so daß die Determinante verschwindet. Es genügt also, wenn wir Pu (?2i • • •! Qn a l ' e Permutationen von 1, 2 , . . . , n durchlaufen lassen. Dadurch, daß wir geeignete Zeilentranspositionen (Vertauschungen nur zweier Zeilen) in der ¿-Determinante vornehmen, können wir sie in

B

=

bn

ht

•

•

hn

b21

b22

.

•

b2n

hi

hi

•

•

hn

verwandeln. Es hängt von sgn(ß!, g2,. . . , p n ) ab, ob sie dabei schließlich ihr Zeichen gewechselt hat oder nicht. Sie multipliziert sich geradezu mit 6gn(£j, q2, . . . , Qn). Wenn dieser Faktor gleich 1 ist, kommen wir mit einer geraden Anzahl von Transpositionen zum Ziele, wenn er gleich — 1 ist, mit einer ungeraden. W i r haben es jetzt mit folgender Summe zu tun: { E

sgn (gi,

q2,

. . ., e J a ^ a ^ . . . anCn)B

,

d. h. mit AB. Die Multiplikationsregel erweist sich also als richtig. Den Relationen (3) und (4) lassen sich noch andere an die Seite stellen, die wichtige Eigenschaften der Komplemente Aca ausdrücken. Man denke sich in der Determinante A die p-te Zeile a p l , a p t , a f n durch ap>u ap,„,..., ap>„ ersetzt, d. h. durch die p'-te Zeile (p' ^ p). Dann entsteht eine Determinante mit zwei übereinstimmenden Zeilen, die also verschwindet. Andererseits erhalten wir bei jener Ersetzung nach Formel (3) nichts anderes als a p'i A p\ + • • • + a v 'n A TnMithin ist (3')

ap'iApl

+

ap,2Ap2

H

b « y

^

f- anq,AnJ

n

A

f n

=

0 .

=

0.

( p ' ^ . p )

Ebenso ist (4')

a

w

A

l q

+ a

i t

, A

2 q

Man drückt diese Beziehungen in Worten so aus: S e t z t m a n e i n e Z e i l e der D e t e r m i n a n t e m i t den K o m p l e m e n t e n einer anderen Z e i l e z u s a m m e n , so k o m m t N u l l h e r a u s . Entsprechendes gilt für die Spalten. Aus (3) und (3') folgt A = (Opl + ¿ V l M p l + (aj>2 + ?-ap'2)Ap2 H h (apn + ^p'n)Apn • In Worten: Addiert man zu einer Zeile eine mit dem Faktor 1 versehene andere Zeile, so bleibt die Determinante ungeändert. Diese Eigenschaft, die sich auf die Spalten überträgt, lernten wir bereits bei den dreireihigen Determinanten kennen.

§ 10. Beispiele und Erläuterungen.

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§ 10. Beispiele und Erläuterungen. Für die zweireihigen Determinanten reduziert sich die Formel (1) in § 9 auf « u «12 = E sgn ( e i l Q2) «21 «22

aleia2ei.

Q2 durchläuft die beiden Permutationen 1, 2 und 2,1. Da sgn(l,2) = l , sgn(2,1) = — 1 ist, wird | «11 «12

= a11 "22— a1„2 c,2 1 • Iflgl«22 Die Determinante ist gleich dem Produkt der Hauptelemente, die in der Hauptdiagonale stehen, vermindert um das Produkt der beiden andern Elemente. Man multipliziert also zuerst von links oben nach rechts unten und dann von rechts oben nach links unten und nimmt das erste Produkt mit + , das zweite mit —. Die Worte „links" und „rechts" vertreten die Spaltenindizes, die Worte „oben" und „unten" die Zeilenindizes 1 und 2. Eine einreihige Determinante hat nur ein Element und ist gleich diesem Element. Das Komplement von avq in der zweireihigen Determinante ist das Element, das nach Streichung der p-ten Zeile und gr-ten Spalte stehenbleibt, versehen mit dem Zeichen ( — Ist p' die von p verschiedene Zahl in der Reihe 1, 2 und q' die von q verschiedene, so wird also das Komplement von api lauten (—\) v+q a p i q -, das Komplement von apy ist ( - 1 Y+"apv weil p + p = q + q' = 3, also p' + q' ( _ 1 )P'+*'api oder = 6 — (p + q)- Achtet man auf die Faktoren der einzelnen apq in «11022 —ai2ß2i> 8 0 findet man diese Angaben bestätigt. Für die dreireihigen Determinanten gilt die Definitionsformel in «12 fli3 a2l a.22 "23 = -£sgn(oi, q2, (?3)°i(.1a2e.i73ejX a. 31 «32 «33 Sn Q2> Ci durchläuft die sechs Permutationen 1,2,3; 2,3,1; 3 , 1 , 2 ; 1,3,2; 2,1,3; 3,2,1. Bei den drei ersten ist sgn(gi, Q2, Q3) = 1, bei den drei letzten sgn(ß1( Q2, Q3) = — 1. Offenbar entsteht 2 , 3 , 1 aus 1, 2, 3 dadurch, daß man zuerst 1 und 2 vertauscht und dann in 2,1,3 noch 1 und 3. Ebenso entsteht 3,1, 2 aus 1, 2,3 dadurch, daß man zuerst 1 und 3 und dann in 3, 2,1 noch 1 und 2 auswechselt. Die Permutationen der zweiten Zeile ergeben sich aus den darüberstehenden durch Auswechselung der beiden letzten Elemente, gehören also in die andere Klasse. Daß es in beiden Klassen gleichviele Permutationen gibt, erkennt man sofort, wenn man alle Elemente aea gleich 1 setzt. Dann hat man eine Determinante mit lauter übereinstimmenden Zeilen, die also null ist, und erhält die Gleichung

Vektorrechnung und analytische Geometrie.

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0 = ¿sgn(£?i, 6t, 63)Entsprechendes gilt bei n-gliedrigen Permutationen, was man auch auf anderem Wege leicht nachweisen kann.

a„—a,

In ausführlicher Schreibung lautet die obige dreireihige Determinante a ll a 22 fl 33

+ a12a23a31 + a13a21a32

®11®23®32 ®1!®81®3J "u®!!®«' Man denke sich die Elemente, wie in Fig. 8 zu sehen ist, auf einen Zylinder geschrieben und multipliziere auf diesem as,—aj2 Zylinder von links oben nach rechts unten, d. h. von a n über a t i nach a 33 , von a 12 über a 2 3 nach a 31 , von a 1 3 über a n Fig. 8. nach a3t. Diese Produkte werden mit + genommen. Dann multipliziere man auf dem Zylinder von rechts oben nach links unten, d. h. von a u Uber a 2 3 nach a 3 2 , von a 12 über a a i nach a M ) von a13 über an nach a31 und nehme diese Produkte mit —. Anstatt mit dem Zylinder zu operieren, kann man es auch so machen, daß man an die dritte Spalte die erste und zweite noch einmal anfügt und in dem so entstehenden Verzeichnis a

2/—ai.

a ìì 'n V \. \ /\ J a 22 a, x23 22 21 x/ V \ \ A "31 "32 "33 ®31 ö32 Mi

a 12

\

von links oben nach rechts unten und von rechts oben nach links unten multipliziert. Das Komplement von apt in der dreireihigen Determinante lautet (_l)P+7 Dabei sind plt p2 diejenigen Zahlen der Reihe 1, 2, 3, die nach Streichung von p, und qlt q2 diejenigen, die nach Streichung von q stehenbleiben. Hiernach hat z. B . o 13 das Komplement *21 "22 = a a — a a 21 32 S2 31 »31 «32 und a 23 das Komplement a u a 12 fl31

«32

= — a u a 3 2 + a12a31,

was man an der ausgerechneten dreireihigen Determinante bestätigt findet. Die Entwicklung der dreireihigen Determinante z. B. nach der dritten Spalte hat folgendes Aussehen: a12(a21a22

— d22a31)

— a

Zi(alla32

~ alia3l)

+ a 33( a ll fl 22 ~ °12 a 2l)-

§ 10. Beispiele und Erläuterungen.

29

Durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte wird eine n-reihige Determinante auf (n—l)-reihige Determinanten reduziert. Es gibt eine andere Reduktion auf eine einzige (n — l)-reihige Determinante, die auf folgende Weise zustandekommt: Man multipliziere die n — 1 letzten Zeilen der Determinante fl ii «12 • • «1» «21 «22 • • «2n A = «nl «712 • • «nn mit a n . Nach dem Faktorensatz ist dann «11 i «12 •> «1» ßn «2A «11 «21, «11 «221 • «11 «nl, «11 «n2' • •> «11 «»» Subtrahiert man jetzt von der zweiten Zeile die mit a 2l multiplizierte erste,.. von der n-ten Zeile die mit anl multiplizierte erste, so ergibt sich, da diese Operationen den Determinantenwert nicht ändern, «11» a'^A

=

0,

«11 «22

«12 , •• «12 «211 • • an

ain

«1»

aln

a21

0 , «11 «»2 «12 «»ll • •i «11 «n» ~ «1» «nl Entwickelt man diese Determinante nach der ersten Spalte, in der n — 1 Nullen stehen, so kommt man zu der Gleichung X

11

a-ii "22

—

a,n — a 1» "21 *11 "2n

a 12

ß«n ~—"In a, "nl "11 art2 — «12 "nli • • -1 "11 "nn Damit ist die n-reihige Determinante A auf eine (n — l)-reihige Determinante reduziert. Die Elemente dieser (n — l)-reihigen Determinante sind offenbar zweireihige Determinanten, da x n «l« «11 «r. — «i.«n *rl «f. Man nennt diese Determinanten die zweireihigen S u p e r d e t e r m i n a n t e n von a u in A. Sie entstehen aus A dadurch, daß man alle Zeilen bis auf die erste und r-te und alle Spalten bis auf die erste und s-te streicht. ajT 2 -4 ist also, so lautet das Ergebnis, gleich der Determinante aus den zweireihigen Superdeterminanten von au. Wenn wir ar,

a„

=

K

setzen, so können wir schreiben (1)

hi b3 s

bi3 . • Kn b33 . • hn

Kt

b

n3 •

•

Kn

Vektorrechnung und analytische Geometrie.

30

Auf die Determinante ¿22 ¿32 B =

¿23 • • ¿2« ¿33 " • ¿3»

¿«2 ¿»3 • • ¿„n können wir dieselbe Reduktion anwenden und erhalten, wenn wir ¿22 ¿2« ! _ o h A I — "" setzen, (2)

ßzz ßn • • • ßzn [ ßi3 ßil • • • ßin i

=

ßn3 ßnl • • • ßnn , Formel (1) liefert aber, angewandt auf die dreireihige Determinante Cr,

=

die Aussage

«11 «12 «1. ! a», a «2i 21 «22 «rl «r2 «rs

_ b22 ¿>2,; _ w. — 1 i —• pri°r2 "r» Setzen wir diese Ausdrücke in (2) ein, so läßt sich aus allen n — 2 Zeilen der Faktor a n herausziehen, und es ergibt sich C33 C34

(2')

'22

"11

C43 C44

•

L3n

cn3 cnl

Da nach (1)

ß = rt^-2 A

ist, so kommt heraus C33 C34

(2*)

«11 «12

I «21 «22

A =

C43 C44

C

3n .

C4n!

Cn3 • • • Cnn j Die Determinanten c„ nennt man die dreireihigen Superdeterminanten von «ii ai21 j n ^ «21 «22 |

Ihre Determinante ist also gleich A, multipliziert mit der

(n — 3)-ten Potenz der von ihnen umschlossenen S u b d e t e r m i n a n t e . Nichts hindert uns, auf die Determinante C33 C34 c3„ C43 C41 Cin c = Ln3 Lnt

§ 10. Beispiele und Erläuterungen,

31

nochmals das Reduktionsverfahren anzuwenden. Dann erhalten wir

(3)

C33

*C —

Yu Yii • • Yin Ys4 Ys 5 • • Ysn Yni Yni • • Ynn

wobei C33

c3,

cr3

ctt

= Yr.

gesetzt worden ist. Formel (2*) liefert aber, angewandt auf die vierreihige Determinante «11 d„ = «21 «31 «rl

«12 «22 «32 «r2

«13 «23 «33 «r3

«1» «2. «3» «r.

die Aussage C33 c 3 l ^r3 Cr*

'ii "12 J 21

«22

so daß sich aus allen n — 3 Zeilen der Determinante (3) der Faktor bi2 herausziehen läßt, wodurch sich ergibt (3')

¿44 ¿45 • • din ¿64 ¿55 • • ¿5n rn—1 f _ J.M—3 C33 ° "¿2 ¿m ¿»5 • • dnn

Nun ist aber noch (2*) C = 6»rM • Also folgt «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33

n—4 A

=

du ¿45 • • ¿4n dM ¿55 • • ¿in ¿n 4 ¿»5 • • ¿nn

Die Determinante der vierreihigen Superdeterminanten von «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 ist hiernach gleich A, multipliziert mit der n — 4 Potenz der von ihnen umschlossenen Subdeterminante. Setzt man diese Betrachtungen fort, so gelangt man zu dem berühmten S y l v e s t e r s c h e n D e t e r m i n a n t e n s a t z . Er besagt, daß die Determinante aus den (h - f l)-reihigen Superdeterminanten von

32

Vektorrechnung und analytische Geometrie. °11 ai2

•

•

• Gl*

^22 * «AI ah2 • • 1 zurückbewegt. Für einen in C befindlichen Beobachter durchläuft dieser Punkt den Dreiecksrand entweder nach links herum oder nach rechts herum. Im ersten Falle wollen wir von einem positiven Dreieck sprechen, im zweiten von einem negativen Dreieck. Man stellt nun leicht fest, daß die Strecken CPly CP2, CP3 ein Rechtssystem bilden, wenn P1PtP3 ein negatives Dreieck, und ein Linkssystem, wenn PXP2P3 ein positives Dreieck ist. Daher wird, wenn wir die obigen Betrachtungen wieder aufnehmen, P1PiP3 = -i[CPi,CPi,CP3] sein. Da CP, = OP, — OC ist, so hat man CPT = x,\+y,\-l. Wir wissen nun, daß das Volumprodukt [C-Pi, CPt, CP3\ die Koordinatendeterminante der beteiligten Vektoren ist. Also folgt, wenn man aus der letzten Spalte dieser Determinante den Faktor — 1 herauszieht, 2/i 1 Vi Vs Nehmen wir z. B. das Dreieck OAB, das offenbar ein positives ist, so wird P1P2P3 = \ sein. Da die Koordinaten der Punkte O, A, B PiP*Pz

0,0;

i

=

1,0;

0,1

lauten, so steht auf der rechten Seite der obigen Gleichung

10 Entwickelt man nach der ersten Zeile, so ergibt sich — , also tatsächlich —. A 01 4» Wir wollen nun zwei Dreiecke P1P2P3 und P^P^Pa betrachten und ihre Inhalte einschließlich des Zeichens 3 und nennen. Dann ist t yi l Vi l 2 3 = xt Vi l , 2 3 ' = t y* l x3 y» l #3 y* l Jede dreireihige Determinante kann mit Hilfe von Nullen in eine vierreihige verwandelt werden. Wir schreiben x2 x3 und

0

yi y2 y3

0

1

0 10 1 0

0 1

39

§ 11. Einige geometrische Anwendungen.

25V =

-

x[

y[

O l

4

1/2 o

i

*3

y»

l

o

0 0 1 0 Bei der Determinante 2 haben wir, wie man siebt, die beiden letzten Spalten vertauscht und deshalb das Minuszeichen beigefügt. Diese Spaltenumstellung ist mit Rücksicht auf die nun erfolgende Multiplikation beider Determinanten geschehen. Wenn wir beim Multiplizieren Zeilen mit Zeilen zusammensetzen und uns der Bezeichnungen Pr. =

xrx',

+y

Pn

P12

bedienen, so erhalten wir 400/

=

r

y ,

Pia

1

P21 P22

Pi3

1

P31

P33

1

Pat

1 1 1 0 Nun addieren wir zur r-ten Zeile die mit — % (2% + 2/r) multiplizierte letzte Zeile und zur s-ten Spalte die mit — \ (x* + y', 2) multiplizierte letzte Spalte. Dies machen wir bei den drei ersten Zeilen und Spalten, also für r = 1,2, 3 und s = 1, 2,3. Dann tritt an die Stelle von p„ der Ausdruck + =

-

y,y\

H t o

- 1

+ y ? ) - i (tf +

- * : ) » +

v?)

( y , - y ' . ? } =

Dabei bezeichnet d„ die Entfernung der Punkte Pr und P',. Nun lautet die Formel für 4 3 3 ' —

— i ¿13 > i^ii» /T2 > — \d\i. ¿23 » 11 "22 — £ ¿31 ) — ^¿32 ) — ^¿33l 1 , 1 , 1 , Sie vereinfacht sich, wenn man die drei ersten Zeilen mit — 2 multipliziert und dann noch die letzte Spalte mit — Dabei hat die Determinante im ganzen den Faktor 4 erhalten, so daß wir schreiben können ¿12 ¿13 ¿22 ¿23 -1633' = 31 ¿32 ¿33 1 1 Fallen die Punkte Pi, P't, P3 der Reihe nach mit Pjj Pg, P3 zusammen, so verschwinden d n , ¿22, ¿33 und ¿ 23 = d32, d31 = d13, d12 = ¿ 21 sind die Seiten des Dreiecks P j P P . Bezeichnen wir sie mit a2, a 3 , so wird 0 s) negativ sind und ob die Anzahl der negativen Faktoren gerade oder ungerade ist. Hat gr — q, einen negativen Wert, so bedeutet dies mit Rücksicht auf r > s , daß in der Reihe g lt q2, q3, hinter q, die kleinere Zahl g r vorkommt. In der Grundpermutation 1, 2,3, 4 stehen hinter einer Zahl immer nur größere. Deshalb spricht man im Falle Qr < g„ r > s von einem F e h l s t a n d . Es gilt, so können wir nunmehr sagen, folgende Regel: Die Permutation Qly q2, q3, £>4 ist gerade oder ungerade, je nachdem sie eine gerade oder ungerade Anzahl von Fehlständen aufweist. Diese Regel gilt bei beliebiger Elementzahl. Greifen wir z. B. die Permutation 2, 4 , 1 , 3 heraus, so hat sie folgende Fehlstände: 2 vor 1, 4 vor 1, 4 vor 3, also eine ungerade Anzahl. Daher ist diese Permutation ungerade. Dagegen hat 4, 3, 2, 1 die Fehlstände: 4 vor 3, 4 vor 2,4 vor 1,3 vor 2,3 vor 1,2 vor 1, also eine gerade Anzahl. 4,3,2,1 ist daher eine gerade Permutation. Durch Auszählen der Fehlstände kann man immer den Klassencharakter einer Permutation feststellen. Man muß dabei mit dem ersten Element beginnen und auszählen, wie viele der folgenden Elemente kleiner sind. Dann kommt das zweite Element an die Reihe u. s. f. bis zum vorletzten. Kehren wir jetzt zu der Determinante der d% zurück, so erhalten wir, wenn g t , g i t o i mit 2,1, 4 , 3 oder 3, 4,1, 2 oder 4,3, 2,1 zusammenfällt, die Gliedergruppe M *

+ dUdU

+

d\td\3.

Den übrigen Permutationen in unserm Verzeichnis entsprechen die Determinantenglieder

§ 11.

¿ 1 2 ¿23 ¿34 ¿41

¿ 1 2 ¿ 2 4